Funktionentheorie: Band 1 Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen [8. Aufl. Reprint 2019] 9783111567150, 9783111195636

Citation preview

a m m l u n g G ö s ch e n Ba n d 6 6 8

Funktionentheorie von

Prof. Dr. Konrad Knopp eni. o. Professor d e r M a t h e m a t i k an d e r Universität T ü b i n g e n

Erster Teil

Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen Mit 8 Figuren

Achte Auflage

W a l t e r

de

G r u y t e r

&

Co.

vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung • J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung * Georg Reimer • Karl J. Trübner • Veit & Comp

Berlin

1955

Alte Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien u n d Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten

Copyright 1955 by W A L T E R DE G R U Y T E R & CO. Berlin W 35, Centhiner Str. 13

Archiv-Nr. 11 06 68 D r u c k : Omnitypie-Gesellschaft Leopold Zechnall, Stuttgart Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis. Erster

Abschnitt.

Grundlegende Begriffe 1. Kapitel. § § § §

1. 2. 3. 4.

2. Kapitel. § S §

Zahlen und

Seite

Punkte.

Vorkenntnisse Zahlenebene und Zahlenkugel Punkt- und Zahlenmengen Wege, Gebiete, Kontinuen

6 7 10 18

F u n k t i o n e n einer k o m p l e x e n V e r ä n d e r l i c h e n .

5. Begriff der allgemeinsten (eindeutigen) Funktion einer komplexen Veränderlichen 6. Stetigkeit und Differenzierharkeit 7. Die Caucliy-Riemannschen Differentialgleichungen Zweiter

25 27 33

Abschnitt.

Integralsätze. 3. Kapitel.

Das

I n t e g r a l einer stetigen

Funktion.

§ 8. Definition des bestimmten Integrals 5 9. Existenzbeweis für das bestimmte Integral § 10. Berechnung bestimmter Integrale § 11. Einfache Integralsätze 4. Kapitel.

Der Cauchysche

36 39 42 47

Integralsatz.

§ 12. Formulierung des Satzes § 13. Beweis des Hauptsatzes § 14. Einfache Folgerungen und Erweiterungen 5. Kapitel.

Die Cauchyschen

49 51 50

Integralformeln.

§ 15. Die Hauptformel § 16. Integralformeln für die Ableitungen Dritter

62 63

Abschnitt.

Reihen und Reihenentwicklungen analytischer Funktionen. 6. Kapitel. § 17. § 18. § 19.

Reihen mit veränderlichen

Gliedern.

Konvergenzbereich Gleichmäßige Konvergenz Gleichmäßig konvergente Reihen analytischer Funktionen 1»

67 71 73

4

Inhaltsverzeichnis.

7. Kapitel. § 20. § 21. 8. Kapitel. § 22. § 23. § 24. § 25. § 26. 9. Kapitel. § 27. S 28.

Die Entwicklung analytischer Funktionen in P o t e n z r e i h e n . , Entwicklungssatz und Identitätasatz für Potenzreihen 78 Der Identitätssatz für analytische Funktionen 81 Analytische Fortsetzung und vollständige D e f i n i t i o n der a n a l y t i s c h e n F u n k t i o n . Das Prinzip der analytischen Fortsetzung 90 Die elementaren Funktionen 95 Fortsetzung durch Potenzreihen und vollständige Definition der analytischen Funktion 97 Der Monodromiesatz 104 Beispiele mehrdeutiger Funktionen 105 Ganze transzendente Funktionen. Erklärungen 110 Verhalten für große | z | 111 Vierter Abschnitt.

Von den singulären Stellen. 10. Kapitel. § 29. § 30. 11. Kapitel. § 31. § 32. 5 33. § 34. § 35. Register

Die Laurentsche Entwicklung. Die Entwicklung 115 Erläuterungen und Beispiele 117 Die verschiedenen Arten singulärer Stellen. Wesentlich und außerwesentlich singulare Stellen oder Pole 119 Verhalten analytischer Funktionen im Unendlichen 123 Der Residuensatz 127 Umkehrung analytischer Funktionen 1S1 Die rationalen Funktionen 134 137

Literatur. Die f ü r die Funktionentheorie grundlegenden Arbelten von C a u c h y R i e m a n n und W e i e r s t r a ß findet man In deren gesammelten Werken: A u g u s t i n C a u c h y , Oeuvres complètes, Paris (Gauthier-Villars) 1882 bis 1921. B e r n h a r d R i e m a n n , Gesammelte mathematische Werke, 2. Aufl., Leipzig 1892, Nachträge 1902. K a r l W e i e r s t r a ß , Mathematische Werke, Berlin 1804—1927. An neueren zusammenfassenden Darstellungen seien genannt: L. B i e b e r b a c h , Lehrbuch der Fnnktionentheorie, Bd. I : Elemente der Funktionentheorie, 4. Aufl., Leipzig 1934. Bd. I I : Moderne Funktionentheorie, 2. Aufl., Leipzig 1931. L. B i e b e r b a c h , Einführung in die Funktionentheorie, 2. Auflage, Bielefeld 1952. . H. B u r k h a r d t , Funktionentheoretische Vorlesungen, Bd. I hrsg. von G. F a b e r , Berlin 1920/21. C. C a ' r a t h é o d o r y , Funktionentheorie I , Basel 1950. G. D o e t s c h , Funktionentheorie. (Bildet K a p . 15 von E. P a s c a l , Repertorium der höheren Analysis, 1. Band, 2. Teilband, 2. Aufl., Leipzig 1927). É. G o u r s a t , Cours d'analyse mathématique, Bd. I I , 7. Aufl. Paris 1949. J . H a d a m a r d , La série de Taylor et son prolongement analytique (Coll. Scientia) 2. Aufl. hrsg. von S. Mandelbrojt, Paris 1926. H'. H o r n i c h , Lehrbuch der Funktionentheorie, Wien 1950. C. J o r d a n , Cours d'analyse, Bd. I , 3. Aufl. Paris 1909. K . K n o p p , Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 4. Aufl., Berlin und Heidelberg 1947. H. V. M a n g o l d t und K . K n o p p , E i n f ü h r u n g in die höhere Mathematik, Bd. I I u. I I I . , 9. Aufl. S t u t t g a r t 1948. W. F. O s g o o d , Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. I , 5. Aufl. Leipzig 1928. É. P i c a r d , Traité d'analyse, Bd. I I , 3. Aufl., Paris 1926. Daneben sei auf die E n z y k l o p ä d i e d e r m a t h e m a t i s c h e n W i s s e n s c h a f t e n , Leipzig 1898ff. hingewiesen, deren Teilbände I I , 2 und I I , 3 (Leipzig 1901—1927) größtenteils der Funktionentheorie gewidmet sind.

Erster Abschnitt.

Grundlegende Begriffe. 1. Kapitel. Zahlen und Punkte. § 1. Vorkenntnisse. Wir setzen voraus, daß der Leser mit der Lehre von den reellen Zahlen und mit den Grundlagen der auf ihr aufgebauten reellen Analysis (Infinitesimalrechnung oder Differential- und Integralrechnung) und mit denen der analytischen Geometrie vertraut ist. In welchem Ausmaße dies für das Verständnis der nachfolgenden Darstellung erforderlich ist, findet der Leeer in den ersten Paragraphen der „Elem." x ) genauer ausgeführt. Wir setzen weiter voraus, daß der Leser auch mit dem übrigen Inhalt der „Elem." im großen und ganzen vertraut ist. Wir nehmen also an, daß er die gewöhnlichen komplexen Zahlen kennt, daß er mit ihnen rechnen kann und daß er weiß, wie die Gesamtheit dieser Zahlen 2 ) den Punkten oder Vektoren einer Ebene oder den Punkten einer Kugel umkehrbar eindeutig zugeordnet werden kann und wie dadurch jede rechnerische Betrachtung geometrisch veranschaulicht und jede geometrische Betrachtung rechnerisch verfolgt werden kann (Elem., I. Abschn.). Wir nehmen ebenso an, daß er die unendlichen Zahlenfolgen und damit die unendlichen Reihen mit komplexen Gliedern und den Begriff der Funktion eines komplexen Argumentes schon in der Hauptsache kennt und mit der Anwendung des Grenzbegriffes bei beiden, also auch mit dem Begriff der Durch „Elem.'.' verweisen wir auf unser Bändchen „Elemente der Funktionentheorie", Sammlung Göschen Nr. 1109, 4. Aufl., Berlin 11155. a ) Wenn Im folgenden von „Zahlen" gesprochen wird, so sind darunter Immer die (gewöhnlichen) komplexen Zahlen zu verstehen, es sei denn, daß das Gegenteil ausdrücklich gesagt wird.

§ 2. Zahlenebene und Zahlenkugel.

7

Stetigkeit und Difierenzierbarkeit der genannten Funktionen vertraut ist (Elem., III, u. IV. Abschn.), und endlich, daß er das Wichtigste über die sogenannten elementaren Funktionen weiß (Elem., II. u. V. Abschn.). Um den Leser aber instand zu setzen, selbst zu beurteilen, inwieweit diese Voraussetzungen bei ihm erfüllt sind, und um zugleich einen festen Boden für die nachfolgende G r u n d legung der a l l g e m e i n e n T h e o r i e der a n a l y t i s c h e n F u n k t i o n e n zu gewinnen, sollen in diesem und dem nachfolgenden Kapitel die für die jetzigen Zwecke wichtigsten Dinge aus den „Elem." kurz zusammengefaßt und in einigem ergänzt werden.

§ 2. Zahlenebene und Zahlenkugel. Die komplexen Zahlen lassen sich umkehrbar eindeutig den Punkten einer durch ein rechtwinkliges Achsenkreuz orientierten Ebene zuordnen, die man dann kurz als „die (Gaußsche oder komplexe) Zahlenebene" oder noch kürzer als „die z-Ebene" bezeichnet: Jeder komplexen Zahl 2 = x-\-iy ordnet man denjenigen Punkt zu, dessen Abszisse gleich dem reellen Teil x= SR (z) und dessen Ordinate gleich dem imaginären Teil y= $ ( z ) = 9?(—iz) ist 1 ). Infolge dieser Festsetzung entspricht jeder komplexen Zahl z genau ein Punkt der z-Ebene und umgekehrt jedem Punkt dieser Ebene genau eine komplexe Zahl. Die Ausdrücke „Punkt" und „Zahl" können daher ohne Furcht vor Mißverständnissen als vollkommen gleichbedeutend gebraucht werden. Wir werden also im folgenden z. B. von „dem Punkt ¿j/3" oder von „dem Abstand zweier Zahlen" oder „dem Dreieck mit den Ecken 2 2 2 1 i> 2) 3 ' usw. sprechen dürfen. L ) Kleine lateinische oder griechische (gelegentlich auch deutsche) Buchstaben können im folgenden immer komplexe Zahlen bedeuten, wenn das Gegenteil aus dem Zusammenhang nicht eindeutig hervorgeht. Doch werden x, y und später öfter u, v und 5, v gern f ü r den reellen bzw. imaginaren Teil, also f ü r reelle Zahlen, vorbehalten. — Zuweilen wird auch iy (nicht y allein) als der imaginäre Teil von z bezeichnet. Verwechslungen sind stets durch den Zusammenhang ausgeschlossen.

8

1. Kapitel. Zahlen und Punkte.

Sind r und rp die Polarkoordinaten des Punktes 2, so heißt r der ( a b s o l u t e ) B e t r a g und q> der A r c u s von z, in Zeichen: | 2 | = r, arc z= R ebenso der Teil der z-Ebene, der außerhalb des Kreises mit dem Radius R um z1 liegt. f ) Durch 9 i ( z ) > 0 ebenso die „ r e c h t e " H a l b e b e n e , d. h. der Teil der z-Ebene, der bei der üblichen Orientierung des Achsenkreuzes rechts von der Achse des Imaginären liegt, ausschließlich dieses ihres Randes. Durch $ (z) 0 ebenso die „ o b e r e " Halbebene einschließlich ihres Randes. g) Durch 0 < r < | z — z0\ 0) charakterisiert? Welche Flächens.tücke werden durch dieselben Beziehungen charakterisiert, wenn in ihnen das Gleichheitszeichen durch < , > , oder ersetzt wird? 2. Welche gegenseitige Lage haben in der Ebene oder auf der Kugel die Punkte a) s und — z\ b) z und r 1 ); c) z und — z; 2+1

=

"

'1'.

d) z und — ;

e) z und i ;

f) z und —

z

§ 3. Punkt- und Zahlenmengen. Sondert man aus der Gesamtheit aller (komplexen) Zahlen nach irgendeinem Gesichtspunkt endlich oder unendlich viele heraus, so bilden diese eine Z a h l e n m e n g e , die entsprechenden Punkte eine P u n k t m e n g e. Auch die Ausdrücke, .Punktmenge" und „Zahlenmenge" werden als völlig gleichbedeutend angesehen. Eine solche Menge SR sieht man als gegeben oder definiert an, wenn ihre Erklärung (der aussondernde Gesichtspunkt) so gefaßt ist, daß von jeder Zahl feststeht, ob sie zur Menge gehört oder nicht, und wenn nur entweder das eine oder das andere möglich ist. Da die sie veranschaulichende Punktmenge 2JI in der komplexen Zahlenebene gelegen ist, so spricht man auch von „ e b e n e n M e n g e n " . Die Zahlen (Punkte) der Menge werden ihre E l e m e n t e genannt. Liegen alle Punkte einer solchen Menge auf einer und derselben Geraden, so nennt man sie auch eine lineare Menge. Ist die Gerade insbesondere die reelle Achse, so haben wir die reellen Mengen vor uns. Wir setzen voraus, daß der Leser mit •) Durch 2 wird die zu z konjugiert« komplexe Zahl bezeichnet.

§ 3. Punkt- und Zahlenmengen.

11

diesen wie auch mit den ebenen Punktmengen im allgemeinen bekannt ist (Elem., III. Abschn., 6. Kap.). Auch die Lehre von den Zahlenfolgen und den unendlichen Reihen, insbesondere von den Potenzreihen, muß der Leser in den Hauptzügen kennen (Elem., III. Abschn., 7. u. 8. Kap.). In den genannten Kapiteln der Elemente finden sich auch viele Beispiele zu den hier besprochenen Dingen. Jede geometrische Figur liefert eine Punktmenge, jede Punktmenge kann als geometrische Figur angesehen werden. Bei den reellen Mengen war besonders der Begriff der unteren bzw. oberen Grenze wichtig ünd der Satz, daß jede reelle, nicht leere Menge eine eindeutig bestimmte untere und ebenso eine eindeutig bestimmte obere Grenze besitzt. In dieser Allgemeinheit gilt der Satz allerdings nur, wenn man auch die Zeichen — oo und + 0 0 als untere bzw. obere Grenze zuläßt. Andernfalls gilt es nur, wenn die Menge „nach links" bzw. ,,nach rechts beschränkt" ist. Ebenso wichtig war der Begriff des unteren bzw. oberen Limes (lim, lim. kleinster bzw. größter Häufungspunkt) einer (unendlichen) Menge und der Satz, daß auch diese Werte durch die Menge eindeutig bestimmt sind. Auf weitere Einzelheiten Söll indessen bei den reellen Mengen nicht wieder eingegangen werden. Bei den ebenen Punktmengen, die uns jetzt vor allem angehen, unterscheidet man ebenfalls zwischen beschränkten und nicht beschränkten Mengen: Eine Menge 2JI heißt bes c h r ä n k t , wenn alle ihre Punkte in eine Figur von endlichen Ausmaßen (z. B. in einen Kreis) eingeschlossen werden können, schärfer: wenn es eine positive Zahl K gibt, so daß für alle Punkte z der Menge \e\iSi

ist. Liegen aber außerhalb jedes noch so großen Kreises um 0 noch Punkte von SM, so heißt '¡SR nicht beschränkt. Ein Punkt £ der Ebene heißt H ä u f u n g s p u n k t einer

12

1. Kapitel. Zahlen und Punkte.

Menge 2JI, wenn in jeder Umgebung von £ (s. § 2, h) immer noch unendlich viele Punkte z der Menge liegen, wenn es also bei (beliebig klein) gegebenem e > 0 immer noch unendlich viele z der Menge gibt, für die | 2 —Cl < £ ist. Beispiele sind in Elem., III. Abschn., 6. Kap. zahlreich vorgekommen. Über solche Häufungspunkte gilt der grundlegende Bolzano-Weierstraßsche Satz (£lem., § 25): Satz 1. Jede beschränkte unendliche (d. h. aus unendlich vielen Punkten bestehende) Punktmenge besitzt mindestens einen Häufungspunkt. Ist die Menge nicht beschränkt, so bedeutet dies, auf der Kugel gedeutet, daß in jeder (noch so kleinen) Umgebung des Nordpols unendlich viele Punkte der Menge liegen. Es ist daher sinngemäß, in diesem Falle den Punkt oo als Häufungspunkt der Menge anzusprechen. Mit dieser Ausdrucksweise gilt dann der Bolzano-Weierstraßsche Satz für jede unendliche Punktmenge. Wir erinnern Weiter noch einmal an einige einfache Begriffe, deren Einführung die Verständigung erleichtert: 1. Ist SR eine beliebige Punktmenge, so bildet die Gesamtheit der nicht zu $01 gehörigen Punkte die K o m p l e m e n t ä r menge zu SDt. Gehören alle Punkte von 9JI zu einer andern Menge 9?, so heißt SDl eine T e i l m e n g e von SU. 2. Ist der aussondernde Gesichtspunkt, durch den eine Menge definiert werden soll, so beschaffen, daß es keinen Punkt der betreffenden Art gibt, so sagt man, die Menge jener Punkte sei „leer". Für leere Mengen werden einige der besprochenen Begriffe und Aussagen bedeutungslos. 3. Ein zu einer Menge 2Ji gehöriger Punkt z1 heißt ein „ i s o l i e r t e r P u n k t " derselben, wenn sich eine Umgebung von zx angeben läßt, die keinen weiteren Punkt der Menge enthält. 4. Ein zu einer Menge 9K gehöriger Punkt zl heißt ein

§ 3. Punkt- und Zahlenmengen.

13

„ i n n e r e r P u n k t " der Menge, wenn eine Umgebung von z1 ganz zu SB? gehört. 5. Ein Punkt £ der Ebene heißt ein „ ä u ß e r e r P u n k t " in bezug auf eine Menge 510?, wenn er selbst und eine Umgebung von ihm nicht zu SD? gehört. 6. Ein Punkt £ der Ebene heißt ein „ R a n d p u n k t " einer Menge SD?, wenn in jeder Umgebung von £ mindestens ein Punkt liegt, der zu SD? gehört, und auch mindestens einer, der nicht zu SDl gehört. £ selbst kann zur Menge gehören oder auch nicht. Ein isolierter Punkt einer Menge SD? oder ihrer Komplementärmenge ist hiernach stets ein Randpunkt von 9R, ein innerer Punkt niemals. 7. Eine Menge heißt „ a b g e s c h l o s s e n " , wenn alle ihre Häufungspunkte zu ihr gehören. Vom Punkt oo wird hierbei im allgemeinen abgesehen. Man sagt dann genauer „in der Ebene abgeschlossen"; andernfalls „auf der Kugel abgeschlossen". 8. Eine Menge heißt „ o f f e n " , wenn jeder ihrer Punkte ein innerer Punkt der Menge ist. 9. Als „ D u r c h m e s s e r " einer Menge bezeichnet man die obere Grenze der Abstände je zweier ihrer Punkte. Ist die Menge beschränkt und abgeschlossen, so gibt es in ihr zwei Punkte z x , Zj, so daß der Durchmesser der Menge = | z2 — z1 \ ist; kurz: der Durchmesser wird „angenommen". 10. Als „ A b s t a n d " eines Punktes £ von einer Menge 9)1 bezeichnet man die untere Grenze der Abstände des Punktes £ von den Punkten der Menge. Ist SD? abgeschlossen, so gibt es in SD? einen Punkt z0, so daß der Abstand des Punktes £ von SD? gleich dem Abstand | z 0 — £ | ist; der Abstand wird angenommen. 11. Als „ A b s t a n d " zweier Mengen 3Jix und SD?a bezeichnet man die untere Grenze der Abstände | zx — z 2 1 eines Punktes zt aus SKj von einem Punkte zt aus 3D?2. Sind die Mengen abge-

14

1. Kapitel. Zahlen und Punkte.

schlössen und ist wenigstens eine von ihnen beschränkt, so wird auch hier der Abstand angenommen. 12. Unter dem „ D u r c h s c h n i t t " zweier Mengen SBli und 3Kj versteht man die Menge aller derjenigen Punkte, die sowohl zu SSJlj als zu SJlj gehören. Ein solcher Durchschnitt kann leer (s. 2) sein. In einem solchen Falle werden und SDla als „ f r e m d e " Mengen bezeichnet. Eine entsprechende Erklärung gilt für mehrere oder für unendlich viele Mengen. 13. Als „ V e r e i n i g u n g s m e n g e " zweier Mengen SKj und bezeichnet man die Menge aller derjenigen Punkte, die entweder zu SDlj oder zu äJij gehören, und eine entsprechende Erklärung gilt auch hier für mehrere oder für unendlich viele Mengen. Das P r i n z i p d e r I n t e r v a l l s c h a c h t e l u n g (s. Elem., § 27) gestattet nun eine weitgehende Verallgemeinerung und führt zu dem sog. Einschachtelungssatz: Satz 2. Bilden ÜD?2,..., Tin, • • • eine Folge ganz beliebiger abgeschlossener Punktmengen, deren jede eine Teilmenge der vorangehenden ist,und nehmen die Durehmesser derselben mit wachsendem n zu 0 ah, so gibt es stets einen und nur einen Punkt £, der allen SJJ!H angehört. B e w e i s . Zunächst ist klar, daß nicht zwei verschiedene Punkte £' und £" allen 9K,, angehören können, da sonst entgegen der Annahme die Durchmesser aller Mengen mindestens gleich der festen positiven Zahl | £" — £' | sein müßten. Weiter ist klar, daß fast alle 1 ) Mengen beschränkt sind; denn fast alle Mengen müssen einen endlichen Durchmesser haben, und eine Menge mit endlichem Durchmesser ist gewiß beschränkt. Wählt man nun aus jeder Menge einen Punkt, etwa z* aus 2JI«, so ist die Menge dieser z„ beschränkt und hat also einen im Endlichen gelegenen Häufungspunkt £. Dieser gehört allen 9Ji„ an; denn ist p eine beliebige natürliche Zahl, so hat die •) D. h. alle bis auf endlich viele (s. Elem., § 26).

§ 3. Punkt- und Zahlenmengen.

15

ganz zu 9Jlp gehörige Folge zp, zp+1, • • • ebenfalls den Häufungspunkt f . Da aber fSSlp abgeschlossen ist, so gehört f auch zu 9Jlp, d. h. zu jeder der Mengen. Etwas tiefer gelegen und in der Folge von großer Bedeutung ist ein Satz, dem folgender Sachverhalt zugrunde liegt: Es ist eine beschränkte und abgeschlossene Menge SD! gegeben und jeder Punkt z derselben wird von einem Kreise „überdeckt", d. h. er ist in dessen Inneren gelegen. Es existiert also eine gewisse (möglicherweise wieder unendliche) Menge von Kreisen derart, daß jeder Punkt aus 9Jt von mindestens einem Kreise überdeckt wird (ein und derselbe Kreis darf aber mehrere Punkte überdecken). In solchem Falle behauptet nun der Heine-Boreische S a t z : Satz 3. Wird jeder Punkt z einer abgeschlossenen und beschränkten Menge 3Jt von mindestens einem, Kreise überdeckt, so sind schon endlich viele von diesen Kreisen ausreichend, um die Menge zu überdecken. B e w e i s . Wir beweisen den Satz indirekt, indem wir zeigen, daß die Annahme, es seien zur Überdeckung von 9JI unendlich viele der Kreise notwendig, mit der Voraussetzung der Abgeschlossenheit in Widerspruch steht. Dazu schließen wir die Menge SR zunächst in ein Quadrat ö j ein und teilen das Quadrat in 4 kongruente Teilquadrate. Die in jedem der 4 Teile (die wir uns durch Hinzunahme ihrer Seiten abgeschlossen denken) gelegenen Punkte von SDi bilden wieder je eine abgeschlossene besohränkte Menge. Wären nun zur Überdeckung der ganzen Menge unendlich viele der Kreise nötig, so wäre dies auch bei mindestens einer dieser 4 Teilmengen der Fall. Wir nennen das erste der 4 Quadrate 1 ), für das dies der Fall wäre, Von diesem gelangen wir ebenso zu einem Quadrat O j und so zu einer Folge ineinander geschachtelter Quadrate Q j , O j , . . . , £ } „ , . . . , deren Durch') Wir denken ans die Seiten aller Quadrate parallel zu den Achsen und numerieren die Teilquadrate in der bei den Quadranten der Ebene üblichen Reihenfolge.

16

1. Kapitel. Zahlen und Punkte.

messer zu 0 abnehmen und deren jedes eine Teilmenge von 5DZ enthielte, für deren Überdeckung unendlich viele Kreise nötig wären. Das kann aber nicht der Fall sein, wenn 9JI abgeschlossen ist. Denn ist f der Punkt, auf den diese Quadratschachtelung zusammenschrumpft, so ist f Häufungspunkt von SR und gehört somit selbst zu 9Jt. Daher wird £ von einem der in Rede stehenden Kreise, etwa von fff, überdeckt. Wählt man dann p so groß, daß die Diagonale von äQp kleiner ist als der Abstand des Punktes f vom Rande des Kreises ¡5t>, so werden alle in ¡Q^ gelegenen Punkte aus SOt schon von diesem einen Kreise überdeckt, während für diese Punkte doch unendlich viele Kreise nötig sein sollten. Dies ist also nicht der Fall, der Satz muß vielmehr richtig sein. Ist eine Menge so beschaffen, daß man die zu ihr gehörigen Zahlen (Punkte) numerieren kann, d. h. derart der Reihe nach als 1-te, 2-te,.. .,w-te,... oder als zlt z2,..., z,„.. .bezeichnen kann, daß hierdurch jedes Element eine bestimmte Nummer erhält, so heißt die Menge „abzählbar". Ist dies nicht möglich, so heißt sie „nicht abzählbar". (Vgl. Elem., 7. Kap., wo auch Beispiele vorkommen.) Hat man eine Abzählung durchgeführt, so sagt man auch, man habe die Menge zu einer P u n k t - bzw. Zahlenfolge geordnet. Bei einer Punkt- bzw. Zahlenfolge läßt man aber im allgemeinen zu, daß dieselbe Zahl mehrfach, sogar unendlich oft, auftritt. Man definiert also ganz allgemein: Ist jeder natürlichen Zahl 1, 2 , . . . , » , . . . in ganz beliebiger Weise je eine bestimmte (komplexe) Zahl zlt z2,..., z„,... zugeordnet, so sagt man, daß diese Zahlen in der angegebenen Anordnung eine Zahlenfolge, die ihr entsprechenden Punkte eine P u n k t folge bilden. Man bezeichnet sie kurz mit (z„) und nennt die einzelnen Zahlen zn ihre „Glieder". Es handelt sich hier also einfach um abzählbare und in bestimmter Weise abgezählte (durchnumerierte) Mengen — jedoch unter der besonderen

§ 3. Punkt- und Zahlcnmengen.

17

Vereinbarung, daß Glieder mit verschiedener Nummer nicht notwendig verschieden zu sein brauchen. Ein und derselbe Punkt ist dann also mehrfach oder gar unendlich oft als Punkt der Folge zu betrachten; „er zählt mehrfach bzw. unendlich oft". Von dieser in ihrer Wirkung leicht zu überschauenden Festsetzung abgesehen gelten daher für Zahlen- und Punktfolgen die für beliebige Zahlen- und Punktmengen durchgeführten Betrachtungen. Insbesondere gelten die Sätze 1, 2 und 3 dieses Paragraphen, — man hat nur zu berücksichtigen, daß auf Grund der eben getroffenen Vereinbarungen ein Punkt £, der unendlich oft in einer Punktfolge auftritt, auch ein Häufungspunkt derselben ist. £ heißt also genau dann ein Häufungspunkt der Folge (zn), wenn bei (beliebig klein) gegebenem e unendlich viele zn in der e-Umgebung von £ liegen, wenn für unendlich viele n also ¡Zn — £| -£ für w-+oo oder l i m z „ = £ n—>oo und sagt, die Zahlenfolge zlt z2,..., z„, • • • k o n v e r g i e r e gegen den G r e n z w e r t £. Eine notwendige und hinreichende Bedingung für das Eintreten dieses Falles liefert das Allgemeine Cauchysche Konvergenzprinzip (s. Elem., § 26): Satz 4. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Folge z2,..., zn,... einen Limes hat, ist diese: Jedem beliebig gegebenen e > 0 läßt sich eine Zahl n0 = n0(e) so zuordnen, daß für alle n > n0(e) und alle p > 0 I «n+p — » n I < C ist. Knopp, Fuuktiom'nüieorie, I.

18

1. Kapitel. Zahlen und Punkte.

Wird eine Zahlenfolge (z n ) mittelbar dadurch gegeben, daß mit Hilfe einer unmittelbar gegebenen Zahlenfolge («„)• die Summen z1 = a v 22=a1+a2, z 3 = a 1 + a 2 = a 3 , 2» = («i + «a + • • • +

•• •

oder die Produkte = ( • • • gebildet werden, so bezeichnet man solche Zahlenfolgen auch kurz mit K>

H a n=l

n

bzw.

OC

I I a„ «=1

und spricht von einer „ u n e n d l i c h e n R e i h e " mit den Gliedern a n bzw. von einem „ u n e n d l i c h e n P r o d u k t " mit den Faktoren an. Die zn heißen deren „ T e i l s u m m e n " bzw. „Teilprodukte". Mit dem Gebrauch der unendlichen Reihen muß der Leser vertraut sein (s. Elem., 7. u. 8. Kap.). Aufgaben. 1. Ist die durch die Beziehung |«| + SR(i)^l definierte Menge beschränkt? Welchen Teil der Ebene erfüllen die Punkte dieser Menge? 2. Man beweise, daß jede nur aus isolierten Punkten bestehende Menge abzählbar ist. 3. Man beweise die unter 10 und 11 gemachten Aussagen, daß die dortigen Abstände „angenommen" werden. 4. Man zeige: Jeder nicht' zu einer Menge 3K gehörige Häufungspunkt von 9J£ ist ein Randpunkt derselben, und jeder nicht zu 5R gehörige Randpunkt ist ein Häufungspunkt von 2R. 5. Man zeige: Die Gesamtheit der Randpunkte einer Menge bildet selbst eine abgeschlossene Menge,.

§ 4. Wege, Gebiete, Kontinuen. Im folgenden haben wir sehr häufig „Wege" in der Ebene zu legen und „Gebiete" zu betrachten und müssen darum für diese Begriffe eine scharfe Erklärung geben.

§ 4. Wege, Gebiete, Kontinuen.

19

1. Sind x(t) und y(t) im Intervall o t ^ t ^ ß (reelle) Funktionen von t, so ist

stetige

x=x(t), y=y(t) die Parameterdarstellung einer für unsere Zwecke brauchbaren „stetigen Kurve", wenn man annimmt, daß zwei verschiedenen Werten von t auch zwei verschiedene Punkte (x, y) entsprechen, die Kurve also „doppelpunktfrei" ist. Ein solches Gebilde nennt man ein J o r d a n s c h e s Kurvenstück. Setzt man x + iy = z, also x(t) + iy(t) — z( 0 endlich viele Punkte der Menge, etwa A0 = A, Av A2,..., An = B, so angegeben werden können, daß der Abstand je zweier aufeinanderfolgender von ihnen < e ist. Da Kontinuen die mannigfachsten Gestalten haben können, ist es oft vorteilhaft, wenn man sie angenähert durch übersichtlichere Gebilde ersetzen kann. Wir nennen in dieser Hinsicht den folgenden Hilfssatz, dessen Beweis wir übergehen, da er bei voller Allgemeinheit (ähnlich wie der des Jordanschen Kurvensatzes) Schwierigkeiten macht, während er bei einfachen Mengen fast selbstverständlich ist: Hilfssatz 4. Ist ff ein Kontinuum, so besteht die Komplementärmenge von ff aus einem oder mehreren Gebieten. Genau eines von ihnen — es werde © genannt — enthalt beliebig entfernte Punkte der Ebene. Man nennt es das durch ff bestimmte Außengebiet. Ist nun ff eine stetige geschlossene Kurve (s. 1) und wird £ > 0 beliebig gewählt, so'läßt sich stets ein doppelpunktfreies geschlossenes Polygon p angeben, das in ® so verläuft, daß ff im Inmngebiet von p liegt, daß jeder Punkt von p einen Abstand < e von ff und jeder Randpunkt von @ einen Abstand < £ von p hat. Ist 9t eine beliebige in © gelegene abgeschlossene Menge, so kann hierbei durch Wahl eines hinreichend kleinen e >0 erreicht werden, daß 21 im Außengebiet von ¡¡> liegt.

2. Kap.: § 5. Begriff der Funktion einer kompl. Veränderlichen.

25

2. Kapitel: F u n k t i o n e n einer komplexen Veränderlichen. § 5. Begriff der allgemeinsten (eindeutigen) Funktion einer komplexen Veränderlichen. Ist ÜDt eine beliebige Punktmenge und kann z einen beliebigen Punkt derselben bedeuten, so heißt z eine (komplexe) V e r ä n d e r l i c h e ( V a r i a b l e ) und SDt ihr V a r i a b i l i tätsbereich. Besteht nun eine R e c h e n v o r s c h r i f t , vermöge deren jedem Punkt z aus -Dl ein bestimmter neuer Zahlenwert w zugeordnet wird, so heißt w e i n e ( e i n d e u t i g e ) F u n k t i o n d e r ( k o m p l e x e n ) V e r ä n d e r l i c h e n z; in Zeichen w=f(z), indem „ / " symbolisch für die irgendwie gegebene Rechenvorschrift gesetzt wird. 3K heißt der „ D e f i n i t i o n s b e r e i c h " der Funktion und z das „ A r g u m e n t " derselben. Die Gesamtheit der Werte w, die den Punkten z von 9K zugeordnet werden, nennt man den W e r t e v o r r a t der Funktion (auf SJi). Statt / sind auch beliebige andere Zeichen statthaft; im folgenden werden F, g, h,

\=\f(z")-f(z')\ 0 sich ein /F{t) | dz |

§ 10. Berechnung bestimmter Integrale. Die Frage, wie nun der Zahlenwert von J in gegebenen Fällen, wirklich zu berechnen ist, ist von ganz anderer Natur. Es ist dies im allgemeinen nur unter etwas einschränkenden Voraussetzungen möglich. Wir wollen annehmen, daß die reellen Funktionen x=x(l), y=y(t), die die Koordinaten des den Weg durchlaufenden Punktes liefern, wenn t das Intervall n)/|

ist.

Nach dem EinBchachtelungssatz gibt es einen und nur einen Punkt z^, der allen ® n gemeinsam ist und also auch in © liegt. Es sei nun e eine beliebig kleine positive Größe. Da f(z) in z0 eine Ableitung besitzen soll, läßt sich (s. § 6, II, 1. Form) ö > 0 so bestimmen, daß für a l l e z mit | z — z0 | < 0 , I* b) r= oo, wenn fi=0 ist. Ist aber die Folge (1) nach rechts nicht beschränkt, so ist r = 0. Es ist also c) r—O, wenn fi= + oo ist. Bei sinngemäßer Deutung ist also stets 1

1

§ 17. Für

|z — z0 |


69

Konvergenzbereich.

r ist die Reihe

Han

r ist sie divergent.

(z —

z0)'1 absolut

konvergent,

(Canchy-Hadamardscher

Satz.) Beweis. Schreibt man z statt z — z0, so sieht man, daß es genügt, z0 = 0 anzunehmen. a) Ist nun 0 ^ ¡i < + 0 0 > so ist offenbar w n (2)

l i m [ / | anzn

| =

l i m \z \ . ]/ \au\

=

fi\z

\.

(Denn nach Voraussetzung ist bei gegebenem e > 0 und z 4= 0 von der Doppelgleichung n

die linke Hälfte für unendlich viele n, die rechte für alle n von einer Stelle an erfüllt. Dasselbe gilt dann auch von der mit | z | multiplizierten Ungleichung, was die obige Aussage beweist.) Nach dem Wurzelkriteriüm (Elem., §28) ist also £ a n z n absolut konvergent, wenn ¡x\z | < 1 ist. Das ist, wenn ¡u =0 ist, für alle z der Fall, wenn fi > 0 ist, für alle | 2 i < l//u. Im Falle n > 0 ist aber, wieder nach dem Wurzelkriterium, £anzn divergent, sobald \z \ > lj/u ist. „ b) Im Falle //, = + 00 ist für jedes z-1=0 auch lim j/ | anzn | = + 00, was man ebenso leicht einsieht, wie die bei (2) gemachte Aussage. Also ist £ a n z n für jedes 24=0 divergent. Über das Konvergenz verhalten der Reihe in den R a n d p u n k t e n des Konvergenzkreises sagt der Satz nichts aus. Es ist auch von Fall zu Fall verschieden: EzP ist in keinem, zn

zn

X - j in allen, 2 — in gewissen (aber nicht allen) Randpunkten 1 ) konvergent. Sind die /„ (z) komplizierterer Natur, so ist die Feststellung des genauen Konvergenzbereiches meist mit Schwierigkeiten verknüpft. ') Für alle 3 Reihen ist r =. 1.

70

6. Kapitel.

Reihen mit veränderlichen Gliedern.

In jedem Falle aber ist die Summe einer Reihe Zfn (z) für jeden Punkt ihres Konvergenzbereiches eine bestimmte Zahl, ist also (vgl. § 5) eine für alle Punkte von 9Jt definierte Punktion f(z). Die unendliche Reihe ist die Rechenvorschrift, durch die nach § 5 eine Funktion definiert sein sollte. Man sagt: Die Reihe stellt in 3JI die F u n k t i o n f{z) dar oder f(z) läßt sich dort in die Reihe entwickeln; 00 1 z. B. 2J zn stellt im Einheitskreis die Funktion dar, n=0 1—3 oder diese ist dort in jene Potenzreihe entwickelbar. Da wir die regulären Funktionen schon als besonders wertvoll erkannt haben, so entsteht die Frage: Wann stellt eine Reihe eine solche reguläre Funktion dar? — Um hierauf eine allgemeine Antwort geben zu können, bedürfen wir des Begriffs der gleichmäßigen Konvergenz, den wir im folgenden Paragraphen entwickeln wollen. Aufgaben: Potenzreihe

£

n=l

1. Man bestimme den Konvergenzradius der n

anz ,

wenn

gesetzt wird.

00

2. Man bestimme den Konver

z), wenn

« ) f M = * -ntz d.h.

gesetzt wird. Reihen

Man bestimme also den Konvergenzbereich der

oo J

2 — n=»l1 n*

und

ao

JJ «-n= r_ i1 i — z '

§ 18. Gleichmäßige Konvergenz.

71

§ 18. Gleichmäßige Konvergenz. Besitzt die Reihe Ef n (z) den Konvergenzbereic.il 3Ji, so heißt dies: Ist z1 ein beliebiger Punkt aus 9Jf, so läßt sich, wenn e > 0 gegeben ist, eine Zahl = n, (e) so bestimmen, daß \fn+ 1 (%) + fn + 2(zl) +•••• + fn+pCl) I < « ist für alle wSi nx und alle p ¡ä; 1. Wählt man einen anderen Punkt z2 aus 9JI, so ist entsprechend n^ bestimmbar, usw. Nachdem e gegeben ist, entspricht also jedem Punkt z aus 9K eine solche ganze Zahl nz = nz(s), derart, daß ein beliebig langes Stück der für dies z angesetzten Reihe, das hinter dem w,ten Gliede beginnt, absolut genommen < e ist. Die Größe von nz, das man sich bei gegebenem e und z möglichst klein genommen denke, ist sozusagen ein Maß für die Schnelligkeit der Konvergenz: ist w2 sehr groß, so konvergiert die Reihe langsam in dem Punkte z, ist es klein, so konvergiert sie schnell. Gibt es nun eine Zahl N, die größer ist als alle Zahlen w2, die den Punkten z aus 9Ji entsprechen, so würde dies bedeuten: wenn n 2: N und p ^ 1 beliebig sind, so ist I / « + l ( z ) + / » + 2 ( z ) + . • • + fn+p{z) I < £ für jeden Punkt z in 2R; denn n ist ja nun auch größer als jedes einzelne nz. Das eben genannte Maß für die Konvergenz ließe sich also in gleicher Weise für alle Punkte von Sil angeben. Man sagt dann kurz: die Reihe konvergiert gleichmäßig in SR Wir haben also die folgende Erklärung. Die Reihe Üf„ (z) konvergiert gleichmäßig im Bereiche 2Jtl), wenn sich nach Wahl von e > Ö eine (nur von e und nicht von z abhängende) positive ganze Zahl N = N(e) so angeben läßt, daß für alle N, alle pS; 1 und alle z in 3JI (1) | U+i («) + /«+2 («) + ••• + /„+,(«) I < £ M«. ') Von einer gleichmäßigen Konvergenz kann also immer nur in u n e n d l i c h e n Punktraengen SJ? (besonders in Gebieten), nie in einzelnen Punkte» gesprochen werden.

72

6. Kapitel. Reihen mit veränderlichen Gliedern.

Da die Reihe in 2 konvergieren soll und man also p über alle Grenzen wachsen lassen darf, so folgt, daß für alle 2 in SD? und alle n S i N der Betrag eines jeden „Restes" (2) |iU*)l = l 1 v=n+1 bleibt, wenn die Reihe in 3R gleichmäßig konvergiert. CO Hiernach ist z. B. 2 z n in seinem Konvergenzbereiche n=0

(dem Einheitskreise) n i c h t gleichmäßig konvergent, denn od +l z*= kann, was auch n sei, sogar beliebig groß v = « +1 1—z gemacht werden, wenn man nur z auf der Strecke 0 . . . + 1 dicht genug bei + 1 wählt. Dies Beispiel lehrt zugleich, daß eine Potenzreihe in ihrem ganzen Konvergenzkreise n i c h t gleichmäßig zu konvergieren braucht. Dagegen gilt der Satz 1. Eine Potemreihe konvergiert gleichmäßig in jedem zum Konvergenzkreise konzentrischen, kleineren Kreise. — Die Gleichmäßigkeit der Konvergenz kann also nur in der Nähe des Randes gestört sein. Beweis. Han(z — z0)n habe den Radius r > 0; es sei 0 < q < r und 2 ein beliebiger Punkt, für den | 2 — z0 | ^ q ist; dann ist n+p n-fp | £ a„ (2 — z0)" | iS 2 | a„ | q'' v—n+l v=n+l für alle diese z. Nun ist aber, weil der Punkt z — z0 + g im Innern des Konvergenzkreises liegt, ¿71 a„lg" konvergent, und es läßt sich daher nach Angabe von e > 0 eine Zahl N so angeben, daß für alle w ^ N und alle p ¿t 1 | a„ + 1 1 e « + i + . . . + | an+p | gn+p < e ist. Für alle \z — z01 iS g, alle wS; N und alle p^ 1 ist dann ebenfalls | an+1 (z - 2 ) " + i + . . . + an+p ( 2 - 2 ) » + p | < e , w. z. b. w. 0

0

§19. Gleichmäßig konvergente Reihen analytischer Funktionen. 7 3

Allgemein gilt das folgende sog. Majorantenkriteriurn, das auch.als Weierstraßscher Konvergenzsatz bezeichnet wird: Satz 2. Sind die positiven Zahlen y 0 , yv . . . , yn,... so beschaffen, daß für alle z eines Teiles W des Konvergenzbereichs der Reihe S f n (z) ist und daß

I /n( 2 ) I = y«>

(»=0,1,2,...),

CD

Zyn B=0 konvergiert, so ist Efn(z) in W gleichmäßig konvergent Der Beweis ist ganz analog wie in dem eben gegebenen speziellen Falle. — A u f g a b e n : 1. Man untersuche die in § 17, Aufgabe 2, gegebenen Reihen auf die Gleichmäßigkeit 00 der Konvergenz hin. 2. Man beweise, daß die Potenzreihe —= in ihrem g a n z e n n

»=i

Konvergenzkreise gleichmäßig konvergiert.

§ 19.

Gleichmäßig konvergente Reihen analytischer Funktionen. Wir machen nun die weitere Voraussetzung, daß die sämtlichen Funktionen fn(z) analytische Funktionen sind; dann werden wir zeigen, daß auch die durch die Reihe dargestellt^ Funktion analytisch ist. Genauer: Es sei /„ (z), f1 (z),... eine unendliche Folge von Funktionen, die sämtlich in ein und demselben Gebiet © regulär sind, und die Reihe £fn(z) sei auf jeder abgeschlossenen Teilmenge von g l e i c h m ä ß i g konvergent. Dann gelten die folgenden drei Sätze: Satz 1. Die Reihe Zfn(z) stellt eine in @ stetige Funktion F(z) dar. Satz 2. Es konvergiert jede durch gliedweise Integration >) D. h. also: auf jeder abgeschlossenen Teilmenge öt'von (SS, deren Punkte sämtlch im Innern des Gebietes Oi liegen.

74

6. Kapitel. Reihen mit veränderlichen Gliedern.

längs eines Weges ! tw © entstehende Reihe und liefert das entsprechende Integral von F{z)\ in Zeichen: (1)

Jj

{t)j/„

(z) dz ist konvergent und ==

lt]jF(z)dz.

Satz 3. Es ist F (z) eine in © reguläre Funktion und es konvergiert überall in © jede durch p-malige gliedweise Differentialion entstehende Reihe — und sogar gleichmäßig auf jeder abgeschlossenen Teilmenge ©' von © — und liefert dort die entsprechende Ableitung von F(z); in Zeichen: Für festes p = 0 , 1 , 2 , . . . ist (2)

2: / 0 und z0 in © seien gegeben. Dann genügt es zu zeigen, daß | F (z) - F (zj | = | Zfn (z) - Efn (z„) | < 3 s ist für alle hinreichend nahe an z0 gelegenen z aus ©. Dazu wählen wir zunächst eine abgeschlossene Kreisscheibe ©' um z0, die ganz in © liegt. Nach § 18 ist dann N so bestimmbar, daß, wenn allgemein 1 fr (*) =

r=0

(2) und J

»-» + 1

f , (z) = rn (z)

gesetzt wird, für alle z in ©' ist. Beschränkt man dann z auf eine so kleine, in ©' gelegene Umgebung von z4, daß für alle dort gelegenen z I «y («) — sN(z0) | < e ist, — da sN(z) als Summe von endlich vielen stetigen Funktionen selbst stetig ist, so ist eine solche Umgebung sicher bestimmbar —, so ist wirklich | F(t)-F(e9) \ ^ | Sn(B) - sy(Zq) I + | rjf(z) | + | r*(z 0 ) | < e + e + e = 3 e, w. z. b. w.

§19. Gleichmäßig konvergente Reihen analytischer Funktionen. 75 2. Da F(z) sich somit als eine in © stetige Funktion erwiesen hat, so ist das in der zweiten Behauptung auftretende Integral über F(z) jedenfalls vorhanden. Nun ist ! eine abgeschlossene Teilmeinge von © und Hfn (z) also auf f gleichmäßig konvergent. Daher kann bei gegebenem £ > 0 ein N so bestimmt werden, daß für alle n > N und alle z auf l stets | r»(s) | iS e ist. Nach § 11, Satz 4 ist dann zunächst (für jedes n) (,)/F(z)dz

=(,)/sn(z)dz

rn(z)dz

und nach demselben Satze weiter N |(I)/ F(t)4z—2

(,)/

+ ... +

U(z)dz\ = | f

1

fit)

wenn® die Peripherie | z — z0 \ = Q bedeutet. Aus der letzten Formel folgt noch — wir schreiben' w statt, p — die nützliche Cauchysche Abschätzungsformel i

1

o

M

M

wenn M das Maximum von | /(z) | auf | z — z0 | = g ist. Aufgaben: 1. Man untersuche, ob die in § 17, Aufgabe 2 gegebenen Reiben in ihren Konvergenzgebieten analytische Funktionen darstellen. 2. Im Anschluß an die Aufgaben der §§9 und 11 zeige man, daß, wenn neben der Reihe S fn (z) auch die Reihe E | fn (z) | in jedem ©' gleichmäßig konvergiert, der Satz 3 dahin verschärft werden kann, daß auch die Reihen 271 f^ (z) | bei festem p in noch gleichmäßig konvergieren.

78

7. Kap. Entwicklung analyt. Funktionen in Potenzreihen.

7. Kapitel: Die Entwicklung analytischer Funktionen in Potenzreihen. Die Sätze des vorigen Kapitels haben gelehrt, daß die Eigenschaft der Potenzreihen, in ihrem Konvergenzgebiet reguläre Funktionen darzustellen, sehr viel allgemeineren Reihen zukommt, nämlich allen gleichmäßig konvergenten Reihen, deren Glieder selbst reguläre Funktionen sind. Die große Bedeutung der Potenzreihen für das Studium der analytischen Funktionen kann also nicht in dieser Eigenschaft begründet sein. Sie beruht vielmehr auf der Umkehrung dieser Tatsache: jede reguläre Funktion läßt sich auch umgekehrt durch eine Potenzreihe darstellen. Die Gesamtheit aller nur möglichen Potenzreihen liefert also auch die Gesamtheit aller nur denkbaren regulären Funktionen. § 20. Entwicklungssatz und Identitätssatz für Potenzreihen. Satz 1. Es sei f(z) eine in einem gewissen Gebiete © reguläre Funktion und z0 ein (innerer) Punkt von Dann gibt e& stets eine, aber auch nur eine Potenzreihe der Form 1

an(z-z0)\

n=0

die für eine gewisse Umgebung von z0 konvergiert und dort die Funktion f(z) darstellt. Dabei ist =

(*)•

Die Reihe konvergiert (imindestens) in dem größten Kreise um z0, der nur Punkte von © umschließt, und der genaue Konvergenzkreis der Reihe ist der größte Kreis um z0 (sein Radius sei r\in dem f(z) noch überall als diflerenzierbare Funktion erklärt oder erklärbar ist. (Entwicklungssatz; Taylorsehe Entwicklung.)

§ 20. Entwicklungssatz und Identitätssatz für Potenzreihen. 79 Beweis. Es sei z ein beliebiger innerer Punkt des Kreises mit r u m ^ ; dann ist zunächst zu zeigen, daß bei der angegebenen Bedeutung von an 09 2j a„(z— z0)n konvergiert und = f(z) ist. n=0 Da [ z — z01 = q < r ist, kann man SO wählen, daß q i"=0 einen positiven Konvergenzradius und stimmen ihre Summen für alle Punkte einer Umgebung von z0 oder auch nur für unendliche viele (von z0 und voneinander verschiedene) solche Punkte mit einem Häufungspunkt in z„ überein, so sind sie miteinander identisch. Beweis: Läßt man z durch jene Punkte gegen den (Häufungs-)Punkt z0 rücken, so folgt, da die Potenzreihen (1) stetige Funktionen darstellen, nach § 6,1, 3. Form, zunächst, daß a0 — b0 ist. Ist dann schon bewiesen, daß a„ = bv ist für v = 0, 1 , . . . , m, so hat man für alle jene unendlich vielen Punkte (1)

a>m+l + «m+2 (2 — 20) + • • • = 6m+l + &m+2 (« — «o) + • • • Läßt man durch sie wieder z->z0 rücken, so folgt weiter, daß auch am+1 = bm+1 ist. Es ist also an — bn für alle w = 0 , 1 , 2 , . . . und die beiden Entwicklungen (1) sind somit identisch.

B e i s p i e l . In § 14, 6 ist gezeigt, daß f(z) = j

eine reguläre

i Funktion von 2 ist, wenn z und der (sonst beliebige) Integrationsweg auf das Innere der rechten Halbebene beschränkt bleibt. f(z) muß also eine Potenzreihenentwicklung z. B. für die Umgebung von 20 = + 1 zulassen, für die r mindestens = 1 ist. Da

m=

r

.

.

.

. ...

ist, so ergibt sich für z = z 0 = 1;

§ 20. Entwicklungssatz und Identitätssatz für Potenzreihen. « ¿ = 0 , ax = 1, a 2 = —~2> • •• ••)

81

» •

so daß

ist. Die gefundene Entwicklung ist die einzig mögliche. Es zeigt sich, daß r genau = 1 ist. Bei Funktionen einer reellen Veränderlichen ist eine E n t wicklung derselben in Potenzreihen selbst dann nicht immer möglich, wenn die Funktion Ableitungen jeder Ordnung besitzt; hier wurde alles lediglich aus der E x i s t e n z der e r s t e n Ableitung gefolgert. Die gefundene Entwicklung konvergiert, wie schon betont, in dem größten Kreis S um z0, in dessen Innern / (z) noch überall als differenzierbare Funktion erklärt o d e r e r k l ä r b a r ist. Das letztere soll besagen: Wenn es auf irgendeine Weise möglich ist, die Erklärung der zunächst nur in © gegebenen Funktion / (z) in den nicht mehr zu © gehörigen P u n k t e n eines über © hinausreichenden Kreises §.' um z„ so zu ergänzen, daß die Funktion in dem ganzen Kreise ff differenzierbar ist, so konvergiert unsere Potenzreihe mindestens in ff, und ihr genauer Konvergenzkreis ist der größte Regularitätskreis dieser Art um z0, d. h. der größte Kreis um z0, f ü r den in der angedeuteten Art eine Ergänzung der Erklärung von f(z) überhaupt möglich ist. Dabei sind natürlich auch die beiden äußersten Fälle möglich, daß S 0 gar nicht über © hinausreicht oder daß er die ganze Ebene bedeckt. Kann ein P u n k t auf keine Weise in 4 e r beschriebenen Art in einen Regularitätsbereich einbezogen werden, so nennt man ihn einen s i n g u l ä r e n P u n k t der Funktion. Diese ganz besonders merkwürdigen Dinge werden im nächsten Kapitel und im IV. Abschn. eingehend untersucht werden. Im Augenblick sollen nur zwei spezielle Folgerungen aus unseren Sätzen gezogen werden: K n o p p , Funktionentheorie.

I,

ß

82 7. Kap. Entwicklung analyt. Funktionen in Potenzreihen. Um die Potenzreihenentwicklung einer gegebenen Funktion zu erhalten, benutzt man häufig mit Vorteil den Weierstraßschen Doppelreihensatz: Satz 3. Für n = 0 , 1 , 2 , . . . seien die Funktionen ifc=0

sämtlich mindestens für \ z — z0 | < r regulär und es sei F (e) = i/«(*)

= [ + af\z-z0)

+... + (3-2(/

+...]

+KX)+

+...+

+...]

+

a£\z-z0)*

+ für | 2 — z9 | iS Q < r gleichmäßig konvergent und dies für jedes q < r. Dann sind die Reihen aus den vertikal untereinander stehenden Koeffizienten konvergent; und wenn man für k= 0 , 1 , 2 , . . . oi0) + 4 1 , + . . . + 4 r e ) + . . . = setzt, so ist

lain)=Ak

n=0

lAk(z-z0f *=0 | z — z0 | < r konvergente Potenzreihe

die mindestens für für FW). Beweis: Nach § 19, Satz 3, ist F(z) für \z — z0\ W =n=0i4n,=

n=0K\ womit schon alles bewiesen ist.

l ) D. h. man darf unter den gemachten Voraussetzungen die unendlich vielen Potenzreihen gliedweis addieren.

§ 20. Entwicklungssatz und Identitätssatz für Potenzreihen. 8 3

Endlich beweisen wir den ebenso merkwürdigen wie wichtigen Satz 4. Eine analytische Funktion f(z) vermag in keinem Punkte ZQ eines RegularUiUsgebietes ein Maximum des Betrages zu besitzen1), außer wenn dort f(z) überall denselben Wert /(«o) *aL

Beweis: In der Umgebung von z0 hat man /CO— 0 ) . Unter den auf f(z0) folgenden Koeffizienten sei nun mindestens einer von 0 verschieden und es sei ¿^(mS; 1) der erste dieser Art. Dann setzen wir o, = Aeix,

am = A'eia(A'

> 0), z — z0=

ge** (0 < q
\f(z0)\,

d. h. für alle auf einem bestimmten von z0 ausgehenden Radius hinreichend nahe bei z0 gelegenen Punkte z ist tatsächlich

l/MI>l/fo,)|.

Nur eine andre Fassung dieses Ergebnisses ist der folgende Satz, den man als das Prinzip vom Maximum bezeichnet: ') D. h. einen Wert, dessen Betrag 2 allen Werten von | /(z) | In einer Umgebung von z0 w&re. •) D. h.'wir wählen unter den von t , ausgehenden Radien einen bestimmten aus.

6*

84 7. Kap. Entwicklung analyt. Funktionen in Potenzreihen. Satz 5. Das Maximum, des Betrages einer in einem abgeschlossenen Gebiete regulären Funktion liegt stets auf dem Rande dieses Gebietes. Aufgabe: Man entwickle die in § 17, Aufgabe 2, gegebenen Reihen in Potenzreihen mit dem Mittelpunkt z0 = + 2 (für die erste) und z0 = 0 (für die zweite).

§ 21. Der Identitätssatz für analytische tionen.

Funk-

Aus dem Cauchyschen Satze und der mit seiner Hilfe gewonnenen Taylorschen Entwicklung einer regulären Funktion lassen sich nun die wichtigsten Folgerungen ziehen, die uns das eigentliche Wesen der regulären analytischen Funktionen erst werden erkennen lassen. Um darauf hinzulenken, mögen folgende Vorbemerkungen Platz finden: Die Funktionen, die unter den in § 5 aufgestellten allgemeinsten Funktionsbegtiff fallen, sind so willkürlicher Art, daß aus ihrem Verhalten in e i n e m Teile ihres Definitionsgebietes SDt gar nichts über das in einem a n d e r e n Teile desselben gefolgert werden kann. Ist etwa 9JI die ganze z-Ebene und ist /(z) = 3i f ü r | z | fS 1, so folgt daraus nichts über die Werte der Funktion f ü r | z | > 1 , denn f ü r diese kann j a eine ganz neue Rechenvorschrift gegeben sein (vgl. das Beispiel S. 26). Anders ist es schon, wenn die Funktion stetig sein soll; dann m ü s s e n in dem letzten Beispiel die Werte von /(z) f ü r nahe am Einheitskreise gelegene P u n k t e ihrerseits nahe bei 3 i gelegen sein. E s besteht also ein gewisser Zwang f ü r die Funktion; die Funktionswerte sind durch eine gewisse Gesetzmäßigkeit untereinander verbunden. Diese innere Gesetzmäßigkeit, die die Funktionswerte untereinander verknüpft und aus den Werten der Funktion in e i n e m Teil der z-Ebene über die in den b e n a c h b a r t e n Teilen mehr oder weniger Genaues schließen läßt, — diese Gesetzmäßigkeit wird offenbar um so stärker, je speziellere Klassen von Funktionen man aus

§ 21. Der Identitätssatz für analytische Funktionen.

85

der Gesamtheit aller Funktionen aussondert. Ein Beispiel aus der Lehre der reellen Funktionen einer reellen Veränderlichen x mag dies deutlicher machen: Beschränkt man sich hier z. B. auf die Untersuchung der ganzen rationalen Funktionen 3. Grades (der Kurven 3. Grades) y = a0 + atx + azx2 + a3x?, (av, x, y reell) so ist eine solche Funktion bzw. Kurve schon durch ganz wenige Forderungen (Angaben) vollständig bestimmt. Weiß man etwa, daß die Kurve durch vier bestimmte Punkte geht (d. h. kennt man die Funktionswerte für vier verschiedene Werte von x), so ist die Funktion schon vollständig festgelegt — die vier Punkte mögen noch so dicht beieinander liegen. Aus dem Verlauf der Funktion in einem beliebig kleinen Intervall kann also der Verlauf der Kurve mit allen ihren regulären und singuläxen Eigenschaften in der ganzen zy-Ebene erschlossen werden. Die Klasse dfer ganzen rationalen Funktionen 3. Grades bietet also eine sehr starke innere Gesetzmäßigkeit dar, durch die die Funktionswerte untereinander verkettet sind. Es ist klar, daß für die Anwendungen in den mathematischen Naturwissenschaften in erster Linie nur Funktionen in Betracht kommen, die eine solche innere Gesetzmäßigkeit besitzen, da das Naturgeschehen selbst von innerer Gesetzmäßigkeit ist. Es ist nun das außerordentlich Merkwürdige, daß aus der Gesamtheit der allgemeinsten Funktionen komplexen Argumentes allein durch die eine Forderung der Differenzierbarkeit, oder also: d u r c h die F o r d e r u n g der R e g u l a r i t ä t , eine Klasse von Funktionen ausgesondert wird, die einerseits noch sehr allgemeiner Art sind und zu denen fast alle in den Anwendungen auftretenden Funktionen gehören, die aber auf der anderen Seite eine so starke innere Gesetzmäßigkeit be-

86 7. Kap. Entwicklung analyt. Funktionen in Potenzreihen. sitzen, daß aus ihrem Verhalten in einem (wenn auch noch so kleinen) Teilgebiete der 2-Ebene auf das in der ganzen übrigen Ebene geschlossen werden kann. Wir werden nämlich — um das wichtigste Kesultat vorwegzunehmen — zeigen, daß eine analytische Funktion mit allen ihren regulären und singulären Eigenschaften vollständig bestimmt ist, wenn die Werte der Funktion längs eines (sonst beliebig) kleinen Kurvenstückchens bekannt sind. Oder: zwei analytische Funktionen, die längs eines solchen Kurvenstückchens übereinstimmen, sind vollständig identisch. Ein erster Satz in dieser Richtung war die Cauchysche Formel (vgl. hierzu das S. 62 Gesagte), die aus den Funktionswerten längs eines Randes © auf die Werte der Funktion im Innern von £ zu schließen gestattete. Ein zweites Ergebnis dieser Art war die Aussage über die Größe des wahren Konvergenzkreises der Potenzreihen beim Entwicklungssatz, da hier schon Punkte der Ebene mit in Betracht gezogen wurden, die gar nicht zum ursprünglichen Definitionsgebiete der gegebenen Funktion gehörten. Auf Grund des Entwicklungssatzes sind wir nun in der Lage, ein Ergebnis herzuleiten, das zu dem ausgesprochenen Satze und noch darüber hinaus führt, und das wegen seiner großen Bedeutung für den Aufbau der Funktionentheorie neben dem Cauchyschen Integralsatze als das Grundlegendste bezeichnet werden muß: Identitätssatz für analytische Funktionen. Sind zwei Funktionen in einem Gebiete © regulär und stimmen sie in einer (wenn auch noch so kleinen) Umgebung eines zu © gehörigen Punktes z0 überein oder tun sie dies auch nur längs eines (wenn auch noch so kleinen) von z0 ausgehenden Wegstückchens, oder auch nur in unendlich vielen (verschiedenen) sich in z0 häufenden Punkten, — so sind die beiden Funktionen überall in © einander gleich.

§ 21. Der Identitätssatz für analytische Funktionen.

87

B e w e i s . Nach dem Entwicklungssatz sind-beide Funktionen —.wir nennen sie jy(z) und / 2 (z) — für z0 als Mittelpunkt in Potenzreihen entwickelbar, die mindestens in dem größten Kreise um z0 — er heiße — konvergieren, der noch ganz in @ liegt. Auf Grund der gemachten Voraussetzungen folgt aber unmittelbar aus dem Identitätssatz für Potenzreihen, daß diese beiden Entwicklungen übereinstimmen. Überall in ist also f1 (z) = / 2 (z). Ist nun f ein beliebiger Punkt aus®, so ist zu zeigen, daß auch / 1 (C) = / 2 (C) ist. Dazu verbinde man (vgl. Fig. 5) z0 mit C durch einen ganz in © verlaufenden Weg f. Es sei Q die nach § 4, Hilfssatz 3 bestimmbare positive. Größe. Dann teile man den Weg ! durch die Teilpunkte z0, Zg, . . ., Sm—i) s m = £ irgendwie so in Teilstücke, daß deren Längen sämtlich < Q sind. Zeichnet man dann um jeden der Punkte z„ den größten Kreis SV, der noch ganz in @ liegt, So sind deren Eadien alle Sä Q, und es enthält daher jeder von ihnen den Mittelpunkt des folgenden. Wir sagen kurz: sie bilden eine K r e i s k e t t e . Um jeden der Punkte zv denken wir uns nun die Funktionen f1(z) und / 2 (z) in Potenzreihen entwickelt, wie soeben für v — 0. Die Entwicklungen konvergieren jeweils mindestens in SV. In S?0 waren sie schon als identisch erkannt; also stimmen f1 (z) und / 2 (z) auch in dem (in S 0 gelegenen) Punkte z 1 und U m g e . b u n g überein. Daher stimmen (wieder nach dem Identitätssatz für Potenzreihen) auch die beiden Entwicklungen in überein, so daß

88

7. Kap. Entwicklung analyt. Funktionen in Potenzreihen.

die Funktionen auch in z2 und U m g e b u n g einander gleich sein müssen. Daher haben sie auch in gleiche Entwicklungen usw. Der mte Schritt dieser Art lehrt: Die Funktionen stimmen in zm = f (und Umgebung) überein. Damit ist der Satz vollständig bewiesen. Das eigentümliche hierbei verwandte Verfahren nennt man wegen der dabei entstehenden Figur das Kreiskettenverfahren. Mit den wichtigsten Folgerungen aus diesem Satze wollen wir uns in dem nächsten Kapitel genauer beschäftigen und jetzt nur einige ganz einfache hervorheben. Zu ihrer bequemen Formulierung bedienen wir uns der folgenden Erklärung. Eine Stelle z0 eines Regularitäisgebietes der Funktion f(z), in der f (z0) = 0 ist, heißt eine Nullstelle der Funktion. Ist allgemeiner f(z0) = a, so heißt z0eine a-Stelle von f(z). — Dann gilt der Satz 1. Ist f(z) eine in © reguläre Funktion, so besitzt sie in jedem abgeschlossenen Teilgebiet ©' von © nur höchstens endlich viele arStellen, welche Zahl auch a sein mag, außer wenn f(z) überall = a ist1). Beweis. Gesetzt /(z) hätte in ©' unendlich viele aStellen, so besäßen diese dort eine Häufungsstelle z0, die somit auch in © läge. Die Funktion nun, die in j edem Punkte der Ebene = a ist, ist gewiß überall, speziell also in © regulär; mit ihr müßte dann aber /(z) nach dem Identitätssatze übereinstimmen. Man kann dies Ergebnis auch in die folgende für seine Anwendungen oft bequemere Form kleiden: 1 ) Oder: eine Häufungsstelle von a-Stellen liegt niemals in einem Regularlt&tageblete, ist vielmehr notwendig eine slngul&re Stelle von /(z), außer wenn überall t(z) = a Ist. Oder: Die Menge der a-Stellen einer in (9 regulären Funktion besteht nur aus isolierten Punkten (s. S 3, S), außer wenn Uberall / (z) = a ist.

§ 21. Der Identitätssatz für analytische Funktionen.

89

Satz 2. Ist f(z) in z0 regulär, so kann man um z0 einen so kleinen Kreis beschreiben, daß in ihm f(z) niemals ivieder denselben Wert wie im Mittelpunkt annimmt, — außer wenn f(z) überall diesen selben Wert hat. Satz 3. Sind /x (z) und /2 (z) in © regulär und stimmen beide Funktionen nebst allen ihren Ableitungen auch nur in einem einzigen Punkte z0 von © überein, so sind beide Funktionen identisch. Beweis. Entwiekelt man beide Funktionen um z0 als Mittelpunkt, so erhält man identische Reihen, denn die Koeffizienten sind ja — von gleichen Zahlenfaktoren abgesehen — die Ableitungen der Funktionen in z0, also nach Voraussetzung einander gleich. Nach dem Identitätssatze sind dann die Funktionen überall in © einander gleich. Satz 4. Besitzt die (nicht konstante) Funktion f(z) vn dem regulären Punkte z0 eine a-Stelle, so gibt es stets eine bestimmte positive ganze Zahl tx, so daß

für die von z0 verschiedenen Punkte einer Umgebung von 20 in eine Potenzreihe f1(z)=b0 + b1(z-z0)+--entioickelbar ist, deren erster Koeffizient von 0 verschieden ist. OD Beweis. In der Entwicklung J2an(2 — zo)n von f(z) n—0 an der Stelle z0 ist a0 = a und mindestens einer der folgenden Koeffizienten von 0 verschieden. Ist a a der erste dieser Art, so ist f(z) — a=ax(z — z0)« + ax+1 (z — z0)"+1 +•••,(«„=*= 0), woraus die Behauptung abgelesen werden kann. — Es ist natürlich b0 — a„ und allgemein br = a„ + „, (v = 0,1, 2 , . . . ) . Man nennt

zn

w! -2i+l

( 2 k ) \ '

die wegen ihrer Form als Potenzreihen (mit z0 = 0, r = oo) je eine in der ganzen z-Ebene reguläre Funktion darstellen. Da sie für z = x mit e* bzw. sin x und cos x übereinstimmen, so sind sie die F o r t s e t z u n g e n dieser Funktionen ins Komplexe. f1 (z) wird darum die Exponentialfunktion genannt und mit e z bezeichnet; ebenso werden für f2 (z) und / 3 (s) die Bezeichnungen sin g und cos z benutzt. — Die Eigenschaften dieser analytischen Funktionen sollen im folgenden als bekannt angesehen werden (s. Elem., 12. Kap.). Der Leser erkennt nun aber aus den Entwicklungen dieses Kapitels, daß in der ihm aus den Elem. her bekannten scheinbar willkürlichen Definition von e2, sin z und cos z für komplexe Argumente ein a b s o l u t e r Zwang liegt: sie können als reguläre Funktionen von z nur so definiert werden, wie es soeben geschehen ist. 3. Die Fortsetzüngen der Funktionen log x, a x, ^ x u. a. sollen erst untersucht werden, nachdem wir im folgenden Paragraphen den Begriff der analytischen Funktion vollständig werden aufgestellt haben.

97

§ 24. Fortsetzung durch Potenzreihen.

§ 24. Fortsetzung durch Potenzreihen und vollständige Definition der analytischen Funktion. Wir gehen nun an die Beantwortung der in § 22 aufgeworfenen Fragen 1) bis 3), die sich bei allen durch dasselbe Verfahren wird erledigen lassen. E s sei also in ® x eine dort reguläre Funktion ^ ( 2 ) gegeben. Ist dann irgendein P u n k t , aus so kann man um ihn als Mittelpunkt die Funktion in eine Potenzreihe entwickeln: (1)

h(z)

=

n=0

J e t z t können zwei verschiedene Fälle eintreten: Der Radius dieser Reihe ist entweder + 00 oder er h a t einen endlichen, positiven Wert. Ist ihr Radius r 1 = 00, d. h. die Reihe f ü r j e d e s 2 (oder: b e s t ä n d i g ) konvergent, so hat man schon die Antwort auf jede der Fragen: E s g i b t eine Funktion, die die Fortsetzung von / j ( z ) über © j hinaus leistet; diese ist in der ganzen Ebene regulär, und es kann daher k e i n e a n d e r e irgendwo reguläre Funktion aus / j (z) durch Fortsetzung erhalten werden, als die durch jene beständig konvergente Potenzreihe definierte. Beispiel: Es sei 2 Z2 3 7^7 z3 2 3! (diese Reihe ist beständig

, n

1

g(z) = 1— -s—

1

»

¡— zn

w! konvergent),

h(z) = l + z + z*-\

— JE n -T 0

£ z

w!

1 n T—Z"

n

71 = 0

(diese Reihe konvergiert nur für [ z | < 1), und es werde im Einheitskreise f1.(z) =

g(z)-h(z)

gesetzt. Außerhalb des Einheitskreises sind durch diese Formeln keinerlei Funktionswerte definiert. Entwickelt man nun um z1 — 0 als Mittelpunkt, so findet man durch Ausmultiplizieren der Potenzreihen x ): K n o p p , Funktionentheorie.

I.

7

98

8. Kapitel. Vollständige Definition der analytischen Funktion.

m

00

=

,M

7,

womit eine für die ganze Ebene gültige Entwicklung der Funktion gewonnen ist.

Hat der Radius r1 der Entwicklung (1) einen endlichen positiven Wert, so wähle man einen vom Mittelpunkt verschiedenen Punkt z2 im Innern des Konvergenzkreises. Dann kann man die für z2 als Mittelpunkt gültige Entwicklung ansetzen: (2)

i a ( « n=0

Für sie ist a™ = ± / (« - 5 + 1 ) e m ! -

(i-1).

Für Q ->-1 strebt die rechte Seite gegen m — 2q + 2 = g + 2, so daß bei geeigneter Wahl von g0 für alle g0 < Q < 1 notwendig I f(2) I > 3 sein muß. Da g beliebig war, so besagt dies: Bei radialer Annäherung an z0 wächst \f(z)\ über alle Grenzen; z0 kann also kein Stetigkeitspunkt sein, w. z. b. w. 2. Der andere extreme Fall, daß die Potenzreihe nach a l l e n Seiten hin über den Konvergenzkreis hinaus fortsetzbar wäre, kann nicht eintreten. Denn es gilt hier der wichtige Satz 1. Auf olern Randu des Konvergenzkreises einer Potenzreihe liegt mindestens eine singulare Stelle der durch sie definierten Funktion. Beweis. Die Behauptung besagt, daß, wenn rx der (wahre) Konvergenzradius von (1) ist, auf dem Rande des Konvergenzkreises mindestens eine Stelle f liegt, über die hinaus nicht fortgesetzt werden kann. Wir zeigen dies, indem wir beweisen: Wenn über jeden Randpunkt f des Kreises $:. | 2 — z i \ = r i hinaus fortgesetzt werden kann, so ist >i n i c h t der wahre Konvergenzradius von (1). Wenn nämlich über jeden Randpunkt £ von S fortgesetzt werden kann, so gibt es auch um jeden einen Kreis (sein Radius heiße (>), in den hinein f1 (z) fortgesetzt werden kann. Die Belegung dieser Kreise mit Funktionswerten kann sich gegenseitig nicht stören, d. h. wenn zwei dieser Kreise ein gemeinsames Stück haben, so müssen die Werte der Fortsetzungen von f1 (z) in diese Kreise hinein in dem ge-

§ 24 Fortsetzung durch Potenzreihen.

101

meinsamen Teil nach dem Identitätssatz übereinstimmen, da dieser gemeinsame Teil seinerseits zu einem Teile in $ liegt, wo die Belegungen ja gewiß dieselben sind. Nach dem Heine-Borelschen Satz genügen nun endlich viele der Kreise fff, um den ganzen Hand von ff zu überdecken. Diese endlich vielen Kreise bedecken aber (zusammen mit ff) ein Kreisgebiet um zly dessen Radius r > ist. Nach dem Entwicklungssatz muß dann (1) mindestens in diesem größeren Kreise konvergieren, d. h. r t ist nicht der wahre Konvergenzradius, w. z. b. w. Man sagt, daß man ein (etwa in Gestalt der Potenzreihe £a„(z — 20)n) gegebenes Funktionselement l ä n g s eines W e g e s f fortsetzt, wenn der Weg in z0 beginnt und man nun die neuen Mittelpunkte immer auf diesem Wege wählt 1 ). Denkt man sich so ein gegebenes Element längs aller möglichen Wege fortgesetzt, so werden alle betroffenen Punkte von selbst in zwei Klassen eingeteilt: die r e g u l ä r e n und die s i n g u l ä r e n , d. h. in die, die in das Innere eines neuen Konvergenzkreises einbezogen werden können, und die, bei denen dies nicht möglich ist. Jedem sich als regulär erweisenden Punkte z wird ein bestimmter Funktions wert w zugeordnet. Hiernach kann man etwa sagen: Erklärung. Unter der durch ein gegebenes Funktionselement definierten (vollständigen) analytischen Funktion versteht man die Gesamtheit der bei dem beschriebenen Fortsetzungsverfahren sich als regulär erweisenden Punkte, ein jeder belegt mit dem ihm zugeordneten Funktionswert. Die Gesamtheit der regulären Punkte z nennt man das E x i s t e n z - oder das R e g u l a r i t ä t s g e b i e t dieser analytischen Funktion, die Gesamtheit der zugeordneten Werte w ihren W e r t e v o r r a t . 1 ) Genauer: Auf dem Stück des Weges, das zwischen dem Mittelpunkt und seinem ersten Treffpunkt mit dem Rande des Konvergenzkreises liegt.

102 8. Kapitel. Vollständige Definition der analytischen Funktion. Im Hinblick auf das allmähliche Hervorwachsen der analytischen Funktion aus einem Elemente spricht man auch von dem a n a l y t i s c h e n Gebilde, das also alle regulären 2, jedes mit dem ihm zugeordneten Funktionswerte w behaftet, umfaßt. Die analytische F u n k t i o n ist recht eigentlich das innere Band, das jedes z mit seinem w verbindet. Diese nun ziemlich vollständige Erklärung enthält noch einige L ü c k e n : a) Es werden noch Festsetzungen zu treffen sein, um das Verhalten einer Funktion im Unendlichen bezeichnen zu können. Dies wird in § 32 geschehen. b) Es kann sich folgender Umstand ereignen: Wenn man nach mehrmaligem Fortsetzen mit dem neuen Kreis wieder in den ersten hineinragt — in Fig. 8 ragt der fünfte der neuen Kreise wieder in den ursprünglichen mit dem schraffierten Segmente hinein') —, so können durch die neue Potenzreihe den wieder eingefangenen Punkten des alten Konvergenzkreises (ihr Gebiet ist in der Figur schraffiert) wieder die nämlichen Funktionswerte w zugeordnet werden, mit denen sie schon behaftet sind, — oder aber neue Funktionswerte. Im ersten Falle nennt man die Funktion eindeutig (in dem Gebiete, durch das fortgesetzt worden ist), andernfalls mehrdeutig. c) Es wäre sogar denkbar — und kann tatsächlich eintreten —, daß ein innerer (also regulärer) Punkt des ersten Konvergenzkreises sich bei der eben beschriebenen Rückkehr in diesen nunmehr als singulär erweist. Die Eigenschaft eines Punktes der Ebene, regulär oder singulär zu sein, kann ') Der Figur liegt die Annahme zu Grunde, daß der ursprüngliche Konvergenzkreis der Einheitskreis ist, daß auf ihm und in seiner weiteren Umgebung 2 = 1 - 1 der einzige singulare Punkt ist und daß die Fortsetzung längs des (gestrichelten) Kreises | z — 1 | = 1 im positiven Sinne herum erfolgt.

§ 24. Fortsetzung durch Potenzreihon.

103

also davon abhängen, auf welchem Wege oder durch welche Kette von Kreisen man an ihn herankommt. Wegen einer genaueren Untersuchung der sich aus b) und c) ergebenden Konsequenzen muß auf den II. Teil dieser Funk-

tionentheorie verwiesen werden 1 ). Doch soll im nächsten Paragraphen ein Satz bewiesen werden, der besagt, daß unter gewissen besonders häufig auftretenden Bedingungen der unter b) beschriebene Umstand sicher n i c h t eintritt. Und im darauf folgenden sollen die beiden einfachsten Beispiele mehrdeutiger Funktionen kurz behandelt werden. ® s« Die Potenzreihe 2J 1 hat den Einheitskreis zum n=i n Konvergenzkreise. Man zeige durch Entwicklung in eine neue Potenzreihn mit 2j = + £ als Mittelpunkt, daß der Punkt + 1 ein singulärer Punkt der durch die Reihe im Einheitskreise dargestellten Funktion ist. (Trotzdem ist die Reihe für ? —- + 1 konvergent!!) Aufgabe.

1 ) Funktionentheorie I I , Anwendung u n d Weiterfiihriing der allgemeinen Theorie ( S a m m l u n g Göschen Nr. 703), S. A u f l a g e , Berlin 1955.

104

8. K a p i t e l . Vollständig« D e f i n i t i o n der a n a l y t i s c h e n F u n k t i o n .

§ 25. Der Monodromiesatz. Satz. Es sei © ein einfach zusammenhängendes Gebiet und f0(z) = Ean(z— z0)n ein in dem Punkte z0 desselben reguläres FunMionselement. Wenn sich dann f0(z) von z0 aus längs eines jeden in © verlaufenden Weges fortsetzen läßt, so erzeugt die Fortsetzung eine in dem ganzen Gebiete © eindeutige und reguläre Funktion. Zum Beweise bemerken wir vorweg, daß jedes durch Fortsetzung gewonnene Element — wir benutzen dabei nur Potenzreihen — mindestens in dem größten Kreise um seinen Mittelpunkt konvergiert, der nicht aus © heraustritt. Denn auf seinem Rande liegt ja mindestens ein singulärer Punkt, der die Fortsetzung hindert. Ein solches Hindernis soll aber nach Voraussetzung im Innern von ® nirgends vorhanden sein. — Wir haben nun offenbar nur zu zeigen: Wenn man /„ (z) von z0 längs zweier verschiedener (in © liegender) Wege und f 2 nach z1 fortsetzt, so erhält man in z1 beide Male d a s s e l b e Element fi{z) = Sbn{z— z^y. Da nun, kurz gesagt, der Fortsetzungsprozeß vorwärts und rückwärts völlig eindeutig verläuft 1 ), so kann man auch sagen: Wenn man /„ (z) längs f j von z0 nach z1 fortsetzt und das dort erhaltene Element f1 (z) längs f 2 zurück nach z0 fortsetzt, so erhält man in z0 wieder das Ausgangselement /„ (z). Es genügt also zu zeigen, daß die Fortsetzung eines Elementes längs eines geschlossenen Weges zu diesem Element zurückführt. Dies beweisen wir indirekt, indem wir zeigen: Wenn die Fortsetzung eines Elementes längs eines in © liegenden geschlossenen Weges ß n i c h t zu diesem Element zurückführt, so steht dies im Widerspruch zu der Voraussetzung, daß unsere Fortsetzungen längs j e d e s Weges in © möglich sein sollen. Bei der Fortsetzung längs (E, etwa von f 0 i m ') Man hat sich nur die aufeinanderfolgenden Mittelpunkte so gewählt zu denken, daß jeder im Konvergenzkreis um den vorangehenden u n d u m d e n n a c h f o l g e n d e n gelegen ist.

§ 26. Beispiele mehrdeutiger Funktionen.

105

positiven Sinne zurück nach £0, werden nun endlich viele Mittelpunkte f 0 , . . . , f m auf dem Wege benötigt. Jeder liegt im Konvergenzkreis um den vorangehenden und nachfolgenden, wenn wir ihre Abstände kleiner gemacht haben als den Abstand des Weges ß vom Rande des Gebietes. Ersetzt man daher £ durch das Polygon p mit den Ecken C0, Ci, • • •, so sind die Fortsetzungen längs E und p genau dieselben. Auch längs p würden also die Fortsetzungen nicht zum Ausgangselement zurückführen. Zerlegt man nun p gemäß des Beweises von Hilfssatz 1 des § 4 in zwei Teilpolygone, so müßte auch schon der Umlauf um eines der Teilpolygone nicht zum Ausgangselement zurückführen1). Durch weitere Teilung dieses Polygons müßte man schließlich zu einem Dreieck kommen, längs dessen die Fortsetzung nicht zum Ausgangselement zurückführt. Teilt man dieses Dreieck wie beim Beweis des Cauchyschen Integralsatzes (s. Fig. 1) weiter, so kommt man zu einer Folge ineinander geschachtelter und auf einen Punkt f von © zusammenschrumpfender Dreiecke, längs deren die Fortsetzung nicht zum Ausgangselement zurückführt. Das kann aber nicht sein. Hat nämlich £ den Abstand g vom Rande des Gebietes, so muß die Fortsetzung um ein Dreieck jener Folge sicher zum Ausgangselement zurückführen, sobald dessen Durchmesser < y Q ist. Denn das ganze Dreieck liegt ja dann im Innern des Konvergenzkreises eines jeden der dabei benötigten Funktionselemente. Damit ist der Monodromiesatz bewiesen.

§ 26. Beispiele mehrdeutiger Funktionen. Die effektive (rechnerische) Herstellung des ganzen analytischen Gebildes, also die Scheidting aller z in reguläre und singulare und die Zuordnung der Funktionswerte zu den regulären z. l ) D e n n a n d e r n f a l l s w ü r d e a u c h der G e s a m t u m l a u f z u m Ausgangselement. zurückführen.

106

8. Kapitel. Vollständige Definition der analytischen Funktion.

wird auf die in § 24 a n g e g e b e n e Methode im allgemeinen nicht d u r c h f ü h r b a r sein. Ihr Wert besteht darin, zunächst einen Einblick in d a s Wesen der Sache zu b e k o m m e n ; sie h a t also lediglich den C h a r a k t e r eines Existenzbeweises. Die folgenden beiden Beispiele sollen zeigen, wie in den einzelnen Fällen ganz andere Mittel zum Ziele führen. 1.

w — f { z )

—

z .

l o g

Schon in § 14, 6 hatten wir gefunden, daß

i eine in der rechten Halbebene reguläre analytische Funktion ist, falls auch der Integrationsweg auf diese Halbebcne beschränkt bleibt. Da für x > 0 der natürliche Logarithmus durch X

log

x =-

f d g 1

definiert werden kann, so erkennt man sogleich, daß f(z) die analytische Fortsetzung von log x ins Komplexe ist, da für z = i > 0 in der Tat f ( z ) = log x ist. Welches ist der Existenzbereich von f (z) und welches ihr Wertevorrat ? Das Integral (1) hat stets einen Sinn, wenn der Weg den Nullpunkt vermeidet. Ist also z1 4= 0 ein beliebiger Punkt der Ebene und ein beliebiger, zunächst fester Weg von 1 nach der den (t.)

Nullpunkt vermeidet, so hat das Integral

f * i d £

I ¡- einen eindeutil gen, festen Wert. Das von % bis zu einem beliebigen Punkt z einer Umgebung von zx (genauer: eines einfach zusammenhängenden Gebietes @1; das z1( aber nicht den Nullpunkt enthält) genommene Integral ist nach dem Cauchyschen Satze unabhängig vom Wege, wenn dieser Weg in © x verläuft. Das von 1 längs ^ nach z t und weiter längs irgendeines Weges in © j nach z genommene Integral definiert also (nach § 14, Satz 3) eine in reguläre Funktion /x(z). Wählt man statt des Weges f j einen andern Weg f* von 1 nach zlt so unterscheidet sich die nun erhaltene und wieder in @i reguläre Funktion fl(z) von ^(z) höchstens um eine additive Konstante. Denn es ist ja

§ 26. Beispiele mehrdeutiger Punktionen.

107

die unterscheidende Konstante ist also gleich dem längs des geschlossenen Weges (I* — f j ) genommenen Integral. Längs jeden geschlossenen (den Nullpunkt vermeidenden) Weges (£* — f x ) h a t aber unser Integral einen der Werte 2fort, (k = 0, ± 1, ± 2 , . . . ) . Denn jeder solche von + 1 ausgehende und dahin zurückkehrende geschlossene Weg ist, wie man sich auf Grund von § 4, Hilf.ssatz 1 leicht klar macht, nach dem Cauchysehen Satze gleichbedeutend mit einem Weg der von + 1 aus nach kmaliger Umlaufung des Einheitskreises (k = 0, + 1, . . .) nach + 1 zurückkehrt (vgl. § 10, Beisp. 1). Die so erhaltenen Funktionselemente sind nun sämtlich Fortsetzungen voneinander, insbesondere von der durch (1)-gegebenen Funktion f(z), wenn auch bei dieser z und der Iniegrationsweg auf eine einfach zusammenhängende Umgebung @0 des Punktes + 1 (z. B. auf die rechte Halbebene) beschränkt bleiben. Denn setzt man diese Funktion f(z) längs des Weges ^ in das Gebiet hinein analytisch fort, so erhält man offenbar die oben erklärte Funktion fi(z). Alle so erhaltenen Elemente /j(z) sind also Fortsetzungen ein und derselben Funktion /(z), sind also, da der Fortsetzungsprozeß vorwärts und rückwärts völlig eindeutig verläuft (vgl. § 25), auch Fortsetzungen voneinander, sind somit Elemente einer einzigen analytischen Funktion F(z). Sie soll weiterhin mit log z bezeichnet werden. Diese ist aber nicht eindeutig. Denn ist der Weg (f* — ! t ) in dem besprochenen Sinne mit dem k- mal umlaufent n Einheitskreis gleichbedeutend, so ist. h*(z) = /i(2) + 2 km, wo nun k durch passende Wahl der Wege jeden der Werte 0, i 1, ± 2 , . . . erhalten kann. So erhält man z. B. f ü r log (—1) jeden der Werte log (— 1) = + m + 2kni (k = 0, ± 1, ± 2, . . . ) . Wir können also sagen: Die Funktion log z ist in der ganzen Ebene mit Ausnahme des Nullpunktes regulär, sie ist aber unendlich vieldeutig, doch so, daß alle Werte von log z aus einem derselben durch Hinzufügung von beliebigen ganzzahligen Vielfachen von 2ni hervorgehen. Jeden dieser unendlich vielen Werte von l o g z nennt man eine B e s t i m m u n g des log im P u n k t e z. Für jedes einfach zusammenhängende, den Nullpunkt nicht enthaltende Gebiet lassen sich diese Bestimmungen zu unendlich vielen in ® 1 e i n d e u t i g e n u n d r e g u l ä r e n Funktionen zusammenfassen, die man als Z w e i g e der mehrdeutigen Funktion

108 8. Kapitel. Vollständige Definition der analytischen Funktion. log 2 bezeichnet. Zwei verschiedene in reguläre Zweige unterscheiden sich nur um ein additiv hinzukommendes ganzzahliges Vielfache von 2ni. Wählt man als ©j die ganze Ebene auschliesslich der reellen Zahlen sí 01), so nennt man den in ihr regulären Zweig, der in -f 1 den Wert 0 hat, den H a u p t w e r t von log z alle übrigen Zweige dessen Nebenwerte. In § 20 hatten wir diesen Hauptwert für eine Umgebung von + 1 in eine Potenzreihe entwickelt. Auch von dieser Potenzreihe als zuerst gegebenem Funktionselement ausgehend, würde man nach den allgemeinen Methoden des vorigen Paragraphen dieselben Eigenschaften von log z — wenn auch nicht so bequem — entwickeln können. Insbesondere kann man so direkt zeigen, daß, wenn man die eben genannte Potenzreihe ähnlich dem in Fig. 8 skizzierten Verfahren im positiven Sinne einmal um den Nullpunkt herum fortsetzt (die neuen Mittelpunkte etwa stets auf dem Einheitskreise wählend), man nicht mit dem Hauptwert in den Ausgangskreis zurückkehrt, sondern daß sich die Funktionswerte um 2m vermehrt haben. Der Punkt 0, in dessen Umgebung log 2 -nicht eindeutig ist (und der die einzige singuläre Stelle von log z ist), heißt daher ein Verzweigungs- oder Windungspunkt von log 2; er ist hier unendlich v i e l b l ä t t r i g oder von unendlich hoher Ordnung. Die elementaren Eigenschaften der Funktion log z setzen wir als bekannt voraus (s. Eiern., 13. Kap.) und betonen nur nochmals, daß die bei manchen Darstellungen ziemlich willkürlich erscheinende Vieldeutigkeit des log 2 eine wesentliche Eigenschaft dieser Funktion ist, die mit unbedingter Notwendigkeit auf Grund des Fortsetzungsprinzips aus jedem ihrer Elemente — mag man es geben, wie man will — hervorwächst. Für jede der unendlich vielen Bestimmungen von log 2 ist eIog*=2. 2

*

w

= f(z) = ^

=

¿!m

Auch die reelle, für x > 0 definierte und dort positive Funktion x1 ' m ist ins Komplexe fortsetzbar. Denn mit log s ist auch f ( 2 ) = exp l ^ l o g z j l ) Man nennt dies Gebiet die längs der n e g a t i v - r e e l l e n » a u f g e s c h n i t t e n e " Ebene.

Achse

§ 26.

109

Beispiele mehrdeutiger Funktionen.

eine in der ganzen 2-Ebenp mit Ausnahme des Nullpunktes reguläre, wenn auch in der Umgebung des Nullpunktes nicht eindeutige Funktion 1 ). In jedem einfach-zusammenhängenden Gebiet © aber, das den Nullpunkt nicht enthält, etwa in der längs der negativ-reellen Achse aufgeschnittenen Ebene © j , ist (s. 1.) jeder Zweig von log z eine eindeutige reguläre Funktion. Da dies insbesondere von den» Hauptwert gilt, den wir nun mit Log z bezeichnen wollen, so ist die in © j reguläre Funktion f0{z) == exp ^

Log2)

die gesuchte Fortsetzung der positiv-reellen F u n k t i o n x i / » » ; denn es ist fa(x)

= exp ^i-log xj = xllm.

Die Funktion f (2) bezeichnen wir

m— m— demgemäß mit zMm oder j/z; f0(z) heißt der Hauptwert von j / z . N a c l i d i e s e r Definition e r s c h e i n t die F u n k t i o n n ä c h s t a l s u n e n d l i c h - v i e l d e u t i g ; sie ist i n d e s s e n deutig. D e n n alle W e r t e v o n log z sind in log 2 = Log 2 + 2fcri, enthalten, so daß

zunur m-

(k = 0, ± 1, ± 2, . . . ) ,

2 / ! t \ **i — L o g 2 e x p — — = exp — — • /„(*) \ in / m m ist. Der vor f0 (2) stehende F a k t o r vermag aber nur m verschiedene Werte anzunehmen 2 ), da zwei Werte von k, die sich nur um ein Vielfaches von m unterscheiden, ihm denselben W e r t geben; und die m Zweige von z l / m unterscheiden sich hiernach nur durch feste Faktoren von dem Hauptzweig. Wir lassen k die W e r t e 0 , 1 , 2 , ...,m— 1 annehmen und erhalten demgemäß als Darstellungen der m Zweige:

1 Im z'lm=

/vn f{z) =

fk(z)

exp

= exp

-exp^Log2)J ,

k =-- 0 , 1 , 2

m—

1.

E s hat sich also ergeben: 1 ) xlim

ist ins Komplexe fortsetzbar.

' ) An S t e l l e von e *) E a (exp

\

sind )

m s

dies

s c h r e i b t man häufig a u c h e x p z.

die m

= «2*». _

+

verschiedenen 1

lBt.

m-ten

Einheita wurzeln,

da

Ja

110

9. Kapitel. Ganze transzendente Funktionen.

2) Die dadurch eindeutig gekennzeichnete analytische Funktion zllm ist in der ganzen Ebene außer in 0 regulär. 3) Sie ist jedoch m-deutig. Der Punkt 0 ist der einzige und zwar m-blättrige *) Verzweigungspunkt. Bei analytischer Fortsetzung um ihn multipliziert sich die Funktion mit einer m-ten Einheitswurzel. Es ist stets (2 1 / m ) m = z. Die elementaren Eigenschaften der Funktion z1/m sehen wir wieder als bekannt an (s. Elem., 11. Kap.), so daß wir uns mit diesen kurzen Ausführungen über ihre analytische Natur begnügen können. Aufgaben. 1. Man entwickle den Hauptwert von z1/m für die Umgebung des Punktes + 1 in eine Potenzreihe; speziell für m= 2. 2. Die allgemeine Potenz az, in der a eine beliebige komplexe Konstante (=(= 0 und =f= 1) bedeutet, wird durch die Festsetzung l , also | / ( 8 ) | < 1 wäre — im Widerspruch zu dem eben bewiesenen Satz 2. (Eine ganze t r a n s z e n d e n t e Funktion braucht keine Nullstellen zu besitzen; z. B. ez ist eine ganze Funktion ohne Nullstellen.) 4. Handelt es sich dagegen bei dem Liouvilleschen Satze um eine t r a n s z e n d e n t e ganze Funktion, so kann er verschärft werden zum

§ 28. Verhalten für große | z |.

113

Satz 4. lstf(z) eine ganze transzendente Funktion, und sind die Zahlen G > 0, R > 0 und m > 0 beliebig gegeben, so gibt es stets Pimkte z, für die \z\>R und \f(z)\>G-\z\m ist-, d. h. f(z) wird in gewissen Punkten z außerhalb jedes Kreises größer als jede {noch so große) Potenz von \ z \. Beweis. Auch diesen Satz beweisen wir wie den Satz 1 in der gleichbedeutenden Form: Ist f(z) eine ganze Funktion und gibt es zwei positive Konstanten M und m, so daß für alle z \t(z)\^M\zr ist, so ist f(z) eine ganze rationale Funktion eines Grades iS m. In der Tat gilt jetzt die Abschätzung | an | ^ Mg~n+m für alle Q. Also muß an — 0 sein für n > m. 5. Aus allen diesen Sätzen ergibt sich nun der merkwürdige Satz von Casorati-Weierstraß: Satz 5. Eine ganze transzendente Funktion kommt außerhalb jedes Kreises noch jedem Werte beliebig nahe. Oder in Zeichen: Wenn die komplexe Zahl c und die positiven Zahlen s und R beliebig gegeben werden, so ist doch, die Forderung \f(z)-c\ R erfüllbar Beweis, a) Hat f(z) unendlich viele c-Stellen, so können sie nach § 21, Satz 1, nicht alle im Kreise | z \ iS R liegen, so daß außerhalb dieses Kreises sogar noch f(z) — c = 0 erfüllbar ist. b) Besitzt /(z) keine c-Stellen, so ist auch — - — = /, (z) f(z)—c eine (nicht konstante) ganze Funktion, so daß z mit | z | > R nach Satz 1 so bestimmt werden kann, daß | /, (z) | > —, e d. h. | f(z) — c | < e ist. ') Oder anders ausgedrückt: die Menge der von j(z) außerhalb des Kreiset | 21 = R angenommenen Werte w liegt überall dicht in der w-Ebene t wie groß auch R vorgeschrieben wird. K n o p p , Funktionentheorie. I . g

114

9. Kapitel. Ganze transzendente Funktionen.

c) Hat /(z) e n d l i c h viele c-Stellen, so mögen diese in Zj, z2, . . . , zk liegen und die Ordnungen