Funktionentheorie: Band 1 Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen [10. Aufl. Reprint 2019] 9783111370859, 9783111013909

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

668

FUNKTIONENTHEORIE P R O F . DR. K O N R A D

KNOPP

ehem. o. Professor der Mathematik an der Universität Tübingen

1

G R Ü N D L A G E N DER A L L G E M E I N E N DER ANALYTISCHEN

THEORIE

FUNKTIONEN

Zehnte Aufjage

Mit 8 Figuren

WALTER DE GRUYTER & CO. Tormale G. J . Gös&en'sche Verlagshandlung • J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . T r a b n e r - Veit & Comp.

BERLIN

1961

Die Gesamtdarstellung umfaßt folgende Bände von Prof. Dr. Konrad Knopp: Elemente der Funktionentheorie (Bd. 1109) Funktionentheorie: I : Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen (Bd. 668) I I : Anwendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie (Bd. 703) Aufgabensammlung zur Funktionentheorie: I: Aufgaben zur elementaren Funktionentheorie (Bd. 877) II: Aufgaben zur höheren Funktionentheorie (Bd. 878)

© Copyright 1961 by Walter de Gruyter & Co., Berlin W 30, Genthiner Str. 13. Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 110668. Satz und Druck: Walter de Gruyter & Co., Berlin W 30. Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis Erster Abschnitt

Grundlegende Begriffe 1. K a p i t e l . Z a h l e n u n d P u n k t e § 1. Vorkenntnisse § 2. Zahlenebene und Zahlenkugel § 3. Punkt- und Zahlenmengen § 4. Wege, Gebiete, Kontinuen

7 8 11 20

2. K a p i t e l . F u n k t i o n e n e i n e r k o m p l e x e n V e r ä n d e r l i c h e n § 5. Begriff der allgemeinsten (eindeutigen) Funktion einer komplexen Veränderlichen 27 § 6. Stetigkeit und Differenzierbarkeit 29 § 7. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen . . . 35 Zweiter Abschnitt

Integralsätze 3. K a p i t e l . D a s I n t e g r a l e i n e r s t e t i g e n F u n k t i o n § 8. Definition des bestimmten Integrals § 9. Existenzbeweis f ü r das bestimmte Integral § 10. Berechnung bestimmter Integrale § 11. Einfache Integralsätze

39 40 44 49

4. Kapitel. D e r C a u c h y s c h e I n t e g r a l s a t z § 12. Formulierung des Integralsatzes § 13. Beweis des Hauptsatzes § 14. Einfache Folgerungen und Erweiterungen

51 53 58

5. K a p i t e l . D i e C a u c h y s c h e n I n t e g r a l f o r m e l n § 15. Die Hauptformel § 16. Integralformeln f ü r die Ableitungen

64 65

Dritter Abschnitt

Reihen und Reihenentwicklungen analytischer Funktionen 6. K a p i t e l . R e i h e n m i t v e r ä n d e r l i c h e n G l i e d e r n § 17. Konvergenzbereich § 18. Gleichmäßige Konvergenz § 19. Gleichmäßig konvergente Reihen analytischer Funktionen

69 73 75

4

Inhaltsverzeichnis 7. K a p i t e l . D i e E n t w i c k l u n g a n a l y t i s c h e r F u n k t i o n e n in P o t e n z r e i h e n § 20. Entwicklungssatz und Identitätssatz für Potenzreihen . . . . . . § 21. Der Identitätssatz für analytische Funktionen

80 87

8. Kapitel. A n a l y t i s c h e F o r t s e t z u n g u n d v o l l s t ä n d i g e Definition der analytischen F u n k t i o n § 22. Das Prinzip der analytischen Fortsetzung 93 § 23. Die elementaren Funktionen 97 § 24. Fortsetzung durch Potenzreihen und vollständige Definition der analytischen Funktion 99 107 § 25. Der Monodromiesatz § 26. Beispiele mehrdeutiger Funktionen 109 9. Kapitel. G a n z e t r a n s z e n d e n t e § 27. Erklärungen § 28. Verhalten für große | z |

Funktionen 113 114

Vierter Abschnitt Y o n den singulären

Stellen

10. Kapitel. D i e L a u r e n t s c h e E n t w i c k l u n g § 29. Die Entwicklung § 30. Erläuterungen und Beispiele 11. K a p i t e l . § 31. § 32. § 33. § 34. § 35. Register

118 120

Die v e r s c h i e d e n e n A r t e n singulärer Stellen Wesentlich und außerwesentlich singulare Stellen oder Pole 123 Verhalten analytischer Funktionen im Unendlichen . . 127 Der Residuensatz 130 Umkehrung analytischer Funktionen 136 Die rationalen Funktionen 138 142

Literatur Die f ü r die Funktionentheorie grundlegenden Arbeiten von C a u c h y , l i i e m a n n und W e i e r s t r a ß findet man in deren gesammelten Werken: A u g u s t i n C a u c h y , Oeuvres complètes, Paris (Gauthier-Villars) 1882 bis 1921. B e r n h a r d R i e m a n n , Gesammelte mathematische Werke, 2. Aufl., Leipzig 1892, Nachträge 1902. K a r l W e i e r s t r a ß , Mathematische Werke, Berlin 1 8 9 4 - 1 9 2 7 . An neueren zusammenfassenden Darstellungen seien genannt: H. B e h n k e und F. S o m m e r , Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen, Berlin und Heidelberg 1955. L. B i e b e r b a c h , Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. I : Elemente der Funktionentheorie, 4. Aufl., Leipzig 1934. Bd. I I : Moderne Funktionentheorie, 2. Aufl., Leipzig 1931. L. B i e b e r b a c h , Einführung in die Funktionentheorie, 2. Auflage, Bielefeld 1952. H . B u r k h a r d t , Funktionentheoretische Vorlesungen, Bd. I hrsg. von G. F a b e r , Berlin 1920/21. C. C a r a t h é o d o r y , Funktionentheorie I, Basel 1950. G. D o e t s c h , Funktionentheorie. (Bildet Kap. 15 von E. P a s c a l , Repertorium der höheren Analysis, 1. Band, 2. Teilband, 2. Aufl., Leipzig 1927.) É. G o u r s a t , Cours d'analyse mathématique, Bd. I I , 7. Aufl., Paris 1949. J . H a d a m a r d , La série de Taylor et son prolongement analytique (Coll. Scientia) 2. Aufl. hrsg. von S. Mandelbrojt, Paris 1926. H. H o r n i c h , Lehrbuch der Funktionentheorie, Wien 1950. C. J o r d a n , Cours d'analyse, Bd. I, 3. Aufl., Paris 1909. K. K n o p p , Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 4. Aufl., Berlin und Heidelberg 1947. H. v. M a n g o l d t und K . K n o p p , Einführung in die höhere Mathematik, Bd. II, 10. Aufl., Stuttgart 1956; Bd. I I I , 10. Aufl., Leipzig 1957. D. M e n c h o f f , Les conditions de monogénéité (Actualités scientifiques et industrielles, Ko. 329), Paris 1936. W. F. O s g o o d , Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. I, 5. Aufl.,Leipzig 1928. É. P i c a r d , Traité d'analyse, Bd. II, 3. Aufl., Paris 1926. Daneben sei auf die E n z y k l o p ä d i e d e r m a t h e m a t i s c h e n W i s s e n s c h a f t e n , Leipzig 1898ff. hingewiesen, deren Teilbände I I , 2 und II, 3 (Leipzig 1901 bis 1927) größtenteils der Funktionentheorie gewidmet sind.

Erster Abschnitt

Grundlegende Begriffe 1. Kapitel. Zahlen und Funkte § 1. Vorkenntnisse Wir setzen voraus, daß der Leser mit der Lehre von den reellen Zahlen und mit den Grundlagen der auf ihr aufgebauten reellen Analysis (Infinitesimalrechnung oder Differential- und Integralrechnung) und mit denen der analytischen Geometrie vertraut ist. In welchem Ausmaße dies für das Verständnis der nachfolgenden Darstellung erforderlich ist, findet der Leser in den ersten Paragraphen der „Elem." 1 ) genauer ausgeführt. Wir setzen weiter voraus, daß der Leser auch mit dem übrigen Inhalt der „Elem." im großen und ganzen vertraut ist. Wir nehmen also an, daß er die gewöhnlichen komplexen Zahlen kennt, daß er mit ihnen rechnen kann und daß er weiß, wie die Gesamtheit dieser Zahlen2) den Punkten oder Vektoren einer Ebene oder den (vom „Nordpol" verschiedenen) Punkten einer Kugel umkehrbar eindeutig zugeordnet werden kann und wie dadurch jede rechnerische Betrachtung geometrisch veranschaulicht und jede geometrische Betrachtung rechnerisch verfolgt werden kann (Elem., I. Abschn.). Wir nehmen ebenso an, daß er die unendlichen Zahlenfolgen und damit die unendlichen Reihen mit komplexen Gliedern und den Begriff der Funktion eines komplexen Argumentes schon in der Hauptsache kennt und mit der Anwendung des Grenzbegriffes bei beiden, also auch mit 1 ) Durch „Elem." verweisen wir auf unser Bändchen ,,Elemente der Funktionentheorie", Sammlung Göschen Nr. 1109, 5. Aufl., Berlin 1959. £ ) Wenn im folgenden von ,,Zahlen" gesprochen wird, so sind darunter immer die (gewöhnlichen) komplexen Zahlen zu verstehen, es sei denn, daß das Gegenteil ausdrücklich gesagt wird.

8

1. Kapitel. Zahlen und Punkte

dem Begriff der Stetigkeit und Differenzierbarkeit der genannten Funktionen vertraut ist (Elem., III. u. IV. Absehn.), und endlich, daß er das Wichtigste über die sogenannten elementaren Funktionen weiß (Elem., II. u. V. Abschn.). Um den Leser aber instand zu setzen, selbst zu beurteilen, inwieweit diese Voraussetzungen bei ihm erfüllt sind, und um zugleich einen festen Boden für die nachfolgende Grundlegung der allgemeinen Theorie der analytischen F u n k t i o n e n zu gewinnen, sollen in diesem und dem nachfolgenden Kapitel die für die jetzigen Zwecke wichtigsten Dinge aus den „Elem." kurz zusammengefaßt und in einigem ergänzt werden. § 2. Zahlenebene und Zahlenkugel Die komplexen Zahlen lassen sich umkehrbar eindeutig den Punkten einer durch ein rechtwinkliges Achsenkreuz orientierten Ebene zuordnen, die man dann kurz als „die (Gaußsche oder komplexe) Zahlenebene" oder noch kürzer als „die z-Ebene" bezeichnet: Jeder komplexen Zahl z = x + iy ordnet man denjenigen Punkt zu, dessen Abszisse gleich dem reellen Teil x = 9t (2) und dessen Ordinate gleich dem imaginären Teil y — 3(z) = $R(— iz) ist1). Infolge dieser Festsetzung entspricht jeder komplexen Zahl 2 genau ein Punkt der g-Ebene und umgekehrt jedem Punkt dieser Ebene genau eine komplexe Zahl. Die Ausdrücke „Punkt" und „Zahl" können daher ohne Furcht vor Mißverständnissen als vollkommen gleichbedeutend gebraucht werden. Wir werden also im folgenden z. B. von „dem Punkt i j/3" oder von „dem ') Kleine lateinische oder griechische (gelegentlich auch deutsche) Buchstaben können im folgenden immer komplexe Zahlen bedeuten, wenn das Gegenteil aus dem Zusammenhang nicht eindeutig hervorgeht. Doch werden r, y und später öfter u, v und r¡ gern f ü r den reellen bzw. imaginären Teil, also f ü r reelle Zahlen, vorbehalten. — Zuweilen wird auch iy (nicht y allein) als der imaginäre Teil von z bezeichnet. Verwechslungen sind stets durch den Zusammenhang ausgeschlossen.

§ 2. Zahlenebene und Zahlenkugel

9

Abstand zweier Zahlen" oder „dem Dreieck mit den Ecken z2, z 3 " usw. sprechen dürfen. Sind r und

der Arcus von z, in Zeichen: | z | = r, arc z = R ebenso der Teil der z-Ebene, der außerhalb des Kreises mit dem Radius R um z1 liegt. f) Durch 9 i ( z ) > 0 ebenso die „ r e c h t e " H a l b e b e n e , d. h. der Teil der z-Ebene, der bei der üblichen Orientierung des Achsenkreuzes rechts von der Achse des Imaginären liegt, ausschließlich dieses ihres Randes. Durch 3 ( 2 ) = 0 ebenso die „obere" Halbebene einschließlich ihres Randes. Nur wenn die Unterscheidung von K r e i s l i n i e und K r e i s f l ä c h e sich von selbst versteht oder unwesentlich ist, bezeichnet man beide als K r e i s .

10

1. Kapitel. Zahlen und Punkte

g) Durch 0 < r < l z — z0\< R ebenso das Innere des Kreisringes, der zwischen den Kreislinien mit r und R um z0 liegt, ausschließlich der beiden Ränder. h) Durch £ + z' ist bei festem 'Q und willkürlichem, nur der Beschränkung | z' \ < e unterworfenem z', wie unter c), eine Kreisfläche um'Qmit e (ohne ihren Rand) oder, wie man kurz sagt, „eine (kreisförmige) U m g e b u n g " , genauer „eine e - U m g e b u n g " , des Punktes 'Q charakterisiert; denn setzt man f + z' = z, so soll eben

! * |= |* -

c| 1 2. 1 ~ «)l; 1 = !. /'» Z+l

I 7 >' r ") l\. T 1 '=«(>0). z + h

ä

0) charakterisiert? Welche F l ä c h e n s t ü c k e werden durch dieselben Beziehungen charakterisiert, wenn in ihnen das Gleichheitszeichen durch , oder ersetzt wird? 2. Welche gegenseitige Lage haben in der Ebene oder auf der Kugel die Punkte a) 2 und — z; b) z und z 1 ); c) z und — z; d) z und — ; z

e) z und 4 - ; z

f) z und — — ? z

§ 8. Punkt- und Zahlenmengen Sondert man aus der Gesamtheit aller (komplexen) Zahlen nach einem bestimmten Gesichtspunkt endlich oder unendlich viele heraus, so bilden diese eine Zahlenmenge, die entsprechenden Punkte eine Punktmenge. Auch die Ausdrücke „Punktmenge" und „Zahlenmenge" werden als völlig gleichbedeutend angesehen. Eine solche Menge SD? sieht man als gegeben oder definiert an, wenn ihre Erklärung (der aussondernde Gesichtspunkt) so gefaßt ist, daß für jede Zahl nur ') Durch 2 wird die zu z konjugierte komplexe Zahl bezeichnet (s. Elem., § 5).

12

1. Kapitel. Zahlen und Punkte

genau eine der beiden Möglichkeiten besteht, daß sie zur Menge oder nicht zur Menge gehört. Da die sie veranschaulichende Punktmenge 3JJ in der komplexen Zahlenebene gelegen ist, so spricht man auch von „ e b e n e n M e n g e n " . Die Zahlen (Punkte) der Menge werden ihre E l e m e n t e genannt. Liegen alle Punkte einer solchen Menge auf einer und derselben Geraden, so nennt man sie auch eine lineare Menge. Ist die Gerade insbesondere die reelle Achse, so haben wir die reellen Mengen vor uns. Wir setzen voraus, daß der Leser mit diesen wie auch mit den ebenen Punktmengen im allgemeinen bekannt ist (Elem., III. Abschn., 6. Kap.). Auch die Lehre von den Zahlenfolgen und den unendlichen Reihen, insbesondere von den Potenzreihen, muß der Leser in den Hauptzügen kennen (Elem., III. Abschn., 7. u. 8. Kap.). In den genannten Kapiteln der Elemente finden sich auch viele Beispiele zu den hier besprochenen Dingen. Jede geometrische Figur liefert eine Punktmenge, jede Punktmenge kann als geometrische Figur angesehen werden. Bei den reellen Mengen war besonders der Begriff der u n t e r e n bzw. o b e r e n G r e n z e wichtig und der Satz, daß jede reelle, nicht leere Menge eine eindeutig bestimmte untere und ebenso eine eindeutig bestimmte obere Grenze besitzt. In dieser Allgemeinheit gilt der Satz allerdings nur, wenn man auch die Zeichen — oo und + oo als untere bzw. obere Grenze zuläßt. Andernfalls gilt er nur, wenn die Menge „nach links" bzw. „nach rechts beschränkt" ist. Ebenso wichtig war der Begriff des u n t e r e n bzw. o b e r e n L i m e s (lim, lim, kleinster bzw. größter Häufungspunkt) einer (unendlichen) Menge und der Satz, daß auch diese Werte durch die Menge eindeutig bestimmt sind. Auf weitere Einzelheiten soll indessen bei den reellen Mengen nicht wieder eingegangen werden. Bei den ebenen Punktmengen, die uns jetzt vor allem angehen, unterscheidet man ebenfalls zwischen beschränkten und

§ 3. Punkt- und Zahlenmengen

13

nicht beschränkten Mengen: Eine Menge 301 heißt bes c h r ä n k t , wenn alle ihre Punkte in eine Figur von endlichen Ausmaßen (z. B. in einen Kreis) eingeschlossen werden können, schärfer: wenn es eine positive Zahl K gibt, so daß für alle Punkte z der Menge \z\^K ist. Liegen aber außerhalb jedes noch so großen Kreises um 0 noch Punkte von SOt, so heißt 3Ji u n b e s c h r ä n k t oder nicht-beschränkt. Ein Punkt f der Ebene heißt H ä u f u n g s p u n k t einer Menge 2J?, wenn in jeder Umgebung von £ (s. § 2, h) immer noch unendlich viele Punkte z der Menge liegen, wenn es also bei (beliebig klein) gegebenem e > 0 immer noch unendlich viele z der Menge gibt, für die \ ' - t \ • f für n-*oo oder lim zn = f n—>00 und sagt, die Zahlenfolge z 2 , . . . , zn,... konvergiere gegen den G r e n z w e r t Eine notwendige und hinreichende Bedingung für das Eintreten dieses Falles liefert das Allgemeine Cauchysche Konvergenzprinzip (s. Elem., § 26): Satz 4. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Folge zv z 2 , . . . , s „ , . . . einen Limes hat, ist diese: Jedem beliebig gegebenen s > 0 läßt sich eine Zahl n0 = n 0 (e) so zuordnen, daß für alle n > n0(e) und alle p > 0 I zn+p — zn I < £ ist1). Wird eine Zahlenfolge (z„) mittelbar dadurch gegeben, daß mit Hilfe einer unmittelbar gegebenen Zahlenfolge (a„) die Summen z1 = av z2 = a1 + a2, z3 = a1 + a2 + a3,..., zn = {a1 + a2-j + an),... 1 ) Gilt f ü r eine Menge (man sagt auch: Kaum) von Dingen — hier also f ü r die Gesamtheit der komplexen Zahlen z — ein Satz der obigen Form, so nennt man den R a u m dieser Dinge v o l l s t ä n d i g . Das Cauchysche Konvergenzprinzip ist also der Ausdruck f ü r die V o l l s t ä n d i g k e i t des Raumes der komplexen Zahlen.

2*

20

1. Kapitel. Zahlen und Punkte

oder die Produkte = Oj, Z2 =

®1 '

2

3

=

a

l ' ®2 ' ®3> • • • >

= («1 • «2 • • • «n)> • • •

gebildet werden, so bezeichnet man solche Zahlenfolgen auch kurz mit 00

an

1

bzw.

00

JJ an

n=l

und spricht von einer „ u n e n d l i c h e n R e i h e " mit den Gliedern an bzw. von einem „ u n e n d l i c h e n P r o d u k t " mit den Faktoren a„. Die zn heißen deren „ T e i l s u m m e n " bzw. „ T e i l p r o d u k t e " . Mit dem Gebrauch der unendlichen Reihen muß der Leser vertraut sein (s. Elem., 7. u. 8. Kap.). Aufgaben.

1. Ist die durch die Beziehung | z | + 91(2) ^ 1

definierte Menge beschränkt? Welchen Teil der Ebene erfüllen die Punkte dieser Menge? 2. Man beweise, daß jede nur aus isolierten Punkten bestehende Menge abzählbar ist. 3. Man beweise die unter 10,11 und 12 gemachten Aussagen, daß die dortigen Werte „angenommen" werden. 4. Man zeige: Jeder nicht zu einer Menge 391 gehörige Häufungspunkt von 9Ji ist ein Randpunkt derselben, und jeder nicht zu SETI gehörige Randpunkt ist ein Häufungspunkt von 9K. 5. Man zeige: Die Gesamtheit der Randpunkte einer Menge bildet selbst eine abgeschlossene Menge.

§ 4. Wege, Gebiete, Kontinuen Wie unter den reellen Punktmengen die offenen und abgeschlossenen Intervalle besonders wichtig waren, sind es in der Ebene die W e g e , G e b i e t e und K o n t i n u e n , die wir nun genau definieren wollen. 1. Sind x(t) und y(t) im I n t e r v a l l x ^ t ^ ß stetige (reelle) Funktionen von i, so ist

§ 4. Wege, Gebiete, Kontinuen

(1)

* = *(0.

21

y = y(t)

die Parameterdarstellung einer s t e t i g e n K u r v e 1 ) . Setzt man x + iy = z, also x(t) + iy(t) = z(t), so kann die Darstellung kürzer (2)

z = z(t),

oc^t^ß

geschrieben werden. Eine stetige Kurve ist durch diese ihre Darstellung von selbst o r i e n t i e r t : Von den zu zwei Parameterwerten t2 gehörigen Punkten z(i 1 ) und z(t2) soll der erste als der „früher durchlaufene" gelten, — auch wenn z(t2) = z(i x ), der zugehörige Punkt also ein Doppel- oder mehrfacher Punkt sein sollte. Die Punkte z(t) mit < < i 2 gelten in jedem Falle als „zwischen" z(tj) und z(t2) gelegen. z(a) = a ist der Anfangs-, z(ß) = l der Endpunkt der Kurve. Ist für 4= ¿2 s o spricht man von einer e i n f a c h e n s t e t s z( 0 so anzugeben, daß mit a> = /(£) (2) \w-co\ = \ M - m \ < e ist für alle z, für die | 0. 2. Sind die in der vorigen Aufgabe definierten Funktionen in gewissen Punkten differenzierbar? Sind es die Funktionen f(z) = I z I, f(0) = 3t(a), f(z) — arc 0?

§ 7. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

35

3. Die Funktion f(z) sei innerhalb eines Kreises Si (allgemeiner: im Innengebiet eines geschlossenen, doppelpunktfreien Weges E) stetig und nehme in jedem Randpunkt C einen Randwert /(£) an. Man zeige, daß diese Randwerte /(£) eine längs S (bzw. ©) s t e t i g e Funktion bilden.

§ 7. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen Um zu erkennen, was die Forderung der Differenzierbarkeit von f(z) = u + iv an der Stelle + für die beiden Funktionen u(x, y) und v(x, y) bedeutet, erinnern wir zunächst an den Begriff der (vollständigen) Differenzierbarkeit einer reellen Funktion u(x, y) der reellen Veränderlichen x und y an einer Stelle rj), an der und in deren Umgebung sie definiert ist: u(x,y) heißt in (f, rj) vollständig differenzierbar, wenn für alle dem Betrage nach hinreichend kleinen (reellen) h und k mit konstanten Zahlen a1 und • 0 streben. Ist u in (£, rj) vollständig differenzierbar, so ist u dort auch partiell differenzierbar, und es ist an der Stelle (£, rj), wie man für k = 0, h ->- 0 bzw. h — 0, 0 erkennt, ux = «x, uy = (4>. Dann ist, wenn die Integrationswege stets im mathematisch positiven Sinne durchlaufen werden: $/ = + $ " / + $"'/ + $(4)J; denn indem über den Rand der 4 Teildreiecke integriert wird (vgl. Fig. 1, in der die die Orientierung angebenden Pfeile i n n e r h a l b jedes der Teildreiecke eingezeichnet sind), wird über die 3 Hilfslinien hin- und herintegriert (vgl. § 11, 2), so daß sich deren Einfluß von selbst eliminiert. Unter den 4 Integralen rechter Hand muß nun eines sein — sein Weg

4. Kapitel. Der Cauchysche Integralsatz

54 werde mit

bezeichnet —, für das I I = 4 | ®1/ | ist, denn es kann nicht der Betrag jedes der Integrale kleiner als ein Viertel des Ganzen sein. Auf das Teildreieck kann man nun genau dieselbe Überlegung anwenden: es wird seinerseits wenigstens ein Teildreieck ® 2 besitzen, für das | ®>/ | Sa 4 | ®»/ |, also

| ®/ | ^ 421 ®»/ | ist. Fährt man weiter fort, so ergibt sich eine Folge von Dreiecken 2), S ) 2 , . . . , ® n , . . . , die alle untereinander ähnlich sind, deren jedes ganz im vorhergehenden liegt, von diesem ein Viertel ist, und so, daß für n = 1, 2 , . . . | ® / | ^ 4 » | ® » / | ist. Nach dem Einschachtelungssatz gibt es einen und nur einen Punkt z0, der allen ®„ gemeinsam ist und also auch in © liegt. Es sei nun s eine beliebig kleine positive Größe. Da /(z) in 20 eine Ableitung besitzt, läßt sich (s. § 6, II, 1. Form) 0 so bestimmen, daß für alle z mit 0 < | z — z0 | < /i(2)> • • /»(*)> • • • eine unendliche Folge beliebiger Funktionen (§ 5). Es möge gewisse Punkte z geben, die zum Definitionsbereiche aller dieser Funktionen gehören. Ist z ein bestimmter dieser Punkte, so kann die Reihe m

+ m

+ m

+ ••• = i / » ( 2 ) n=0

70

6. Kapitel. Reihen mit veränderlichen Gliedern

konvergent sein oder nicht. Die Menge aller derjenigen Punkte z, für die alle Summanden definiert sind und für die die Reihe konvergiert, werde mit 2JI bezeichnet. 9Ji heißt der K o n v e r g e n z b e r e i c h der vorgelegten Reihe. Die gewöhnlichen Potenzreihen entsprechen den speziellen Annahmen /n(z) = anzn oder = an(z - z0)n. Die erste wichtige Eigenschaft solcher Potenzreihen ist, daß für sie der Konvergenzbereich 2Ji das Innere eines gewissen Kreises um den Punkt z0 — des sog. K o n v e r g e n z k r e i s e s — ist, evtl. mit Einschluß gewisser Punkte seiner Peripherie. Wir wollen diese Tatsache auf einem Wege beweisen, der uns gleichzeitig den Radius r dieses Konvergenzkreises liefern wird. Man betrachte die Folge der (nicht negativen) reellen Zahlen (1)

n

[ «o U | o 1 | , / | a ! i | , . . . , j / | a B | ) . . . .

Sie liefert uns sofort die gewünschten Ergebnisse, denn es gilt der folgende Satz. Ist die Folge (1) nach rechts beschränkt und ¡1 ihr oberer Limes (s. § 3), so ist a)

r = 1/jx,

b)

r = + oo, wenn /j, = 0 ist.

wenn ¿t > 0,

Ist aber die Folge (1) nach rechts nicht beschränkt, so ist r = 0. Es ist also c)

r = 0, wenn [i = + oo ist.

Bei sinngemäßer Deutung ist also stets _

1_

§ 17. Konvergenzbereich

71

Reihe U a„(z — z0)n absolut konvergent,

Für \z — z0\ r ist sie divergent. (Cauchy-Hadamardscher Satz.) Beweis. Schreibt man z statt z — z 0 , so sieht man, daß es genügt, z0 = 0 anzunehmen. 1) Ist nun 0 SS fi < + oo, so ist offenbar lim ]/'[a n z n [ = lim | z | • pTa„ \ = p \ e \ .

(2)

(Denn nach Voraussetzung ist bei gegebenem e > 0 und z =)= 0 von der Doppelgleichung n ¡x - e / \ z \ < ] / \ ^ \ < n +

e/\t\

die linke Hälfte für unendlich viele n, die rechte für alle n von einer Stelle an erfüllt. Dasselbe gilt dann auch von der mit | z | multiplizierten Ungleichung, was die obige Aussage beweist.) Nach dem Wurzelkriterium (Elem., §28) ist also £ a „ z n absolut konvergent, wenn /x | z | < 1 ist. Das ist, wenn // = 0 ist, für alle z der Fall, wenn f i > 0 ist, für alle | z | < 1/fi. Im Falle f i > 0 ist aber, wieder nach dem Wurzelkriterium, ^ « „ z " divergent, sobald | z | > 1/fj. ist. 2) Im Falle ¡i = + oo ist für jedes z

0 auch

n

lim }/| a B z" | = + oo, was man ebenso leicht beweist, wie die bei (2) gemachte Aussage. Also ist £ a n z n für jedes z =f= 0 divergent. Über das Konvergenzverhalten der Reihe in den R a n d p u n k t e n des Konvergenzkreises sagt der Satz nichts aus. Es ist auch von Fall zu Fall verschieden: £ z " ist in keinem, zn

Zn

in allen, .¿"—in gewissen (aber nicht allen) Randpunkten 1 ) konvergent.

Für alle drei Reihen ist r = 1.

72

6. Kapitel. Reihen mit veränderlichen Gliedern

Sind die fn(z) komplizierterer Natur, so ist die Feststellung des genauen Konvergenzbereiches meist mit Schwierigkeiten verknüpft. In jedem Falle aber ist die Summe einer Reihe Z fn(z) für jeden Punkt ihres Konvergenzbereiches eine bestimmte Zahl, ist also (vgl. § 5) eine für alle Punkte von 3Jl definierte Funktion /(z). Die unendliche Reihe ist die Zuordnungsvorschrift, durch die nach § 5 eine Funktion definiert sein sollte. Man sagt: Die Reihe s t e l l t in ffli die F u n k t i o n f(z) dar oder f(z) l ä ß t sich d o r t in die Reihe e n t w i c k e l n ; 00

j

z. B. 21 zn stellt im Einheitskreis die Funktion dar, 1 n=0 ~ z oder diese ist dort in jene Potenzreihe entwickelbar. Da wir die regulären Funktionen schon als besonders wertvoll erkannt haben, so entsteht die Frage: Wann stellt eine Reihe eine solche reguläre Funktion dar? Um hierauf eine allgemeine Antwort geben zu können, bedürfen wir des Begriffs der g l e i c h m ä ß i g e n K o n v e r g e n z , den wir im folgenden Paragraphen entwickeln wollen. A u f g a b e n : 1. Man bestimme den Konvergenzradius der Potenz-

00

reihe £

n=l

ß n 2 n , wenn

1

n!

gesetzt wird. 2. Man bestimme den Konvergenzbereich von n=

CO l

/„(z), wenn

«) /.(«) =

. d- h- = «"« l o g " (log » ^ 0),

«/»(*)=

CT

gesetzt wird. Man bestimme also den Konvergenzbereich der Reihen co

co

grt

§ 18. Gleichmäßige Konvergenz

73

§ 18. Gleichmäßige Konvergenz Besitzt die Reihe H jn (z) den Konvergenzbereich 2JJ, so heißt dies: Ist z1 ein beliebiger Punkt aus 3Ji, so läßt sich, wenn e > 0 gegeben ist, eine Zahl n t = w1(g) so bestimmen, daß I /n+l(2l) + fn+iih) + • • • + /»+p(21) I < e ist für alle w ^ % und alle p S : 1. Wählt man einen anderen Punkt z2 aus SR, so ist entsprechend n2 bestimmbar, usw. Nachdem e gegeben ist, entspricht also jedem Punkt z aus 3Ji eine solche ganze Zahl n2 = nt(e), derart, daß ein beliebig langes Stück der für dies z angesetzten Reihe, das hinter dem n2-ten Gliede beginnt, absolut genommen < e ist. Die Größe von nz, das man sich bei gegebenem e und z möglichst klein genommen denke, ist sozusagen ein Maß für die Schnelligkeit der Konvergenz: ist n2 sehr groß, so konvergiert die Reihe langsam in dem Punkte z, ist es klein, so konvergiert sie schnell. Gibt es nun eine Zahl N, die größer ist als alle Zahlen n2, die den Punkten z aus 3Jt entsprechen, so würde dies bedeuten: wenn n N und f beliebig sind, so ist I /»+l00 + /n+aOO + • • • + /«+*(«) I < £ für j e d e n Punkt z in SR; denn n ist ja nun auch größer als jedes einzelne nz. Das eben genannte Maß für die Konvergenz ließe sich also in gleicher Weise für alle Punkte von SR angeben. Man sagt dann kurz: die Reihe konvergiert gleichmäßig in 9Jt. Wir haben also die folgende Erklärung. Die Reihe Z fn(z) konvergiert gleichmäßig im Bereiche SJi1), wenn sich nach Wahl von £ > 0 eine (nur von £ und nicht von z abhängende) positive ganze Zahl N = N(e) V o n einer g l e i c h m ä ß i g e n K o n v e r g e n z k a n n also i m m e r n u r in u n e n d l i c h e n P u n k t m e n g e n yji (besonders in Gebieten), nie in einzelnen P u n k t e n g e s p r o c h e n w e r d e n . — M a n b e a c h t e , d a ß es m i t der obigen E r k l ä r u n g verträglich ist, d a ß e n d l i c h v i e l e der F u n k t i o n e n fv(z) in SOi n i c h t b e s c h r ä n k t sind, wie z. B. bei der R e i h e 1 iz -- z -r z• - - in ü < [ z | ' . i> < 1 .

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6- Kapitel. Reihen mit veränderlichen Gliedern

so angeben läßt, daß für alle z in 9JI

nS: N, alle pS: 1 und

alle

(1) I /n+l(z) + fn+2(z) + • • • + f„+P(z) I < e ist. Da die Reihe in z konvergieren soll und man also p über alle Grenzen wachsen lassen darf, so folgt, daß für alle z in 3Ji und alle n ^ N der Betrag eines jeden „Restes" (2)

| Rn{z) | = | 1 fv{z) | ^ e r=n+l bleibt, wenn die Reihe in 3Ji gleichmäßig konvergiert. CO Hiernach ist z. B. JE zn in seinem Konvergenzbereiche n=0 (dem Einheitskreise) n i c h t gleichmäßig konvergent, denn °> zn+1 zv = kann, was auch n sei, sogar beliebig groß gemacht werden, wenn man nur z auf der Strecke 0 . . . 1 dicht genug bei 1 wählt. Dies Beispiel lehrt zugleich, daß eine Potenzreihe in ihrem ganzen Konvergenzkreise nicht gleichmäßig zu konvergieren braucht. Dagegen gilt der Satz 1. Eine Potenzreihe konvergiert gleichmäßig in jedem zum Konvergenzkreise konzentrischen kleineren Kreise. — Die Gleichmäßigkeit der Konvergenz kann also nur in der Nähe des Bandes gestört sein. Beweis. Zan(z — z0)n habe den Radius r > 0 ; es sei 0 < Q < r und z ein beliebiger Punkt, für den | z — z0 | ^ Q ist; dann ist n+P

| 2 av{z-zoy »=»+1

»+P

2 | a„ | g" v=n+l

für alle diese z. Nun ist aber, weil der Punkt z — z0 + Q im Innern des Konvergenzkreises liegt, ü\a n \Q n konvergent,

§ 19. Gleichmäßig konvergente Reihen analytischer Funktionen 7 5

und es läßt sich daher nach Angabe von s > 0 eine Zahl N so angeben, daß für alle n ¡2; N und alle p S: 1 K + i I eB+1 + • • • + I « w I e n + p < £ ist. Für alle | z — z0 | g, alle n ^ N und alle dann ebenfalls

1 ist

I - z«)n+1 + • • • + an+p(z - Zo)n+p I < e. w. z. b. w. Allgemein gilt das folgende sog. Majorantenkriterium, das auch als Weierstraßscher Konvergenzsatz bezeichnet wird: Satz 2. Sind die positiven Zahlen y0, yv ..., y„,... so beschaffen, daß für alle z eines Teiles W des Konvergenzbereichs der Reihe /„ (z) ist und daß

\fn(*)\^yn,

(» = 0 , 1 , 2 , . . . )

00

n=0 konvergiert, so ist Z fn(z) in W gleichmäßig konvergent. Der Beweis ist ganz analog wie in dem eben gegebenen speziellen Falle. A u f g a b e n : 1. Man untersuche die in § 17, Aufgabe 2 gegebenen Reihen auf die Gleichmäßigkeit der Konvergenz hin. 00

2

n

2. Man beweise, daß die Potenzreihe JH — in ihrem a b g e n

71=1

s c h l o s s e n e n Konvergenzkreise | z | sS 1 gleichmäßig konvergiert.

§ 19. Gleichmäßig konvergente Reihen analytischer Funktionen Wir machen nun die weitere Voraussetzung, daß die sämtlichen Funktionen fn(z) analytische Funktionen sind; dann werden wir zeigen, daß auch die durch die Reihe dargestellte Funktion analytisch ist. Genauer:

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6- Kapitel. Reihen mit veränderlichen Gliedern

Es sei f0(z), h(z),... eine unendliche Folge von Funktionen, die sämtlich in ein und demselben Gebiet © regulär sind, und die Reihe Zf„{z) sei auf jeder kompakten Teilmenge © ' von (5)1) g l e i c h m ä ß i g konvergent. Dann gelten die folgenden drei Sätze: Satz 1. Die Reihe Efn{z) F(z) dar.

stellt eine in © stetige

Funktion

Satz 2. Es konvergiert jede durch gliedweise Integration längs eines Weges t in © entstehende Reihe und liefert das entsprechende Integral von F(z); in Zeichen: 00 (1) 21 cf fn{z) dz ist konvergent und = tfF(z) dz. n—O Satz 3. Es ist F(z) eine in © reguläre Funktion, und es konvergiert überall in © jede durch p-malige gliedweise Differentiation entstehende Reihe — und sogar gleichmäßig auf jeder kompakten Teilmenge ©' von © — und liefert dort die entsprechende Ableitung von F{z)\ in Zeichen: Für festes p = 0 , 1 , 2 , . . . ist (2)

2

f f ( z ) in © konvergent und =

F^(z).

B = 0

Beweise: 1. e > 0 und z0 in © seien gegeben. Dann genügt es zu zeigen, daß | F(z) - F(z0) | = | Sfn(e)

- Zfn(z0)

I
0 ein N so bestimmt werden, daß für alle n > N und alle z auf ! stets | rn(z) | ^ e ist. Nach § 11, Satz 4 ist dann zunächst (für jedes n) tfF(z)dz

= *fsn(z)dz

+

tfrn(z)dz

und nach demselben Satze weiter *fsn(z) dz = «//„(*) dz + ifU(z) dz+-.-+

«//,(«) dz.

Folglich ist für jedes w > N | ifF(e)

dz - J

«//,(*) dz | = | l j rn(z)

dz\^e-l,

r — O

wenn l die Länge des Weges f bezeichnet. Da aber sl durch geeignete Wahl von e beliebig klein gemacht werden kann, so bedeutet dies genau, daß die Behauptung (1) gilt.

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6. Kapitel. Reihen mit veränderlichen Gliedern

Man erkennt nachträglich, daß es bei den Sätzen 1 und 2 genügt, die fn(z) als stetig vorauszusetzen, und bei Satz 2 dann weiter nur, daß £ f n ( z ) längs des Weges! gleichmäßig konvergiert. In Erweiterung von § 11, Satz 4 kann man also insbesondere den Satz aussprechen: Satz 2a. Auch eine unendliche Reihe (stetiger Funktionen) darf gliedweise integriert werden, wenn nur die Reihe längs des Integrationsweges gleichmäßig konvergiert. 3. Es sei z0 ein beliebiger Punkt von Dann genügt es zu zeigen, daß F(z) in z0 regulär ist. Dazu wählen wir eine abgeschlossene Kreisscheibe um z0, die noch ganz in © liegt. Ist dann £ ein beliebiger innerhalb (5)' liegender geschlossener Weg, so ist ¿7„(g) längs (5 gleichmäßig konvergent, nach 2. also *jF(z) dz = *f(Zfn(i))

dz = Z E//„(z) dz,

also = 0, denn jeder Summand ist nach dem Cauchysehen Integralsatze einzeln = 0. Nach dem Moreraschen Satze (§ 16, Satz 4) ist daher F(z) innerhalb insbesondere also in z0 regulär. Für die nun sicher vorhandene p-te Ableitung F,^',(z0) hat man aus demselben Grunde wie eben, wenn S jetzt etwa eine innerhalb (i)' liegende Kreislinie um z0 bedeutet,

• i f i ' / ^ - i «

1

« '

womit der zweite Teil des Satzes 3 bewiesen ist. Ist nun eine Kreisscheibe um z0, die wiederum innerhalb E liegt, und ist der Abstand zwischen ß und gleich g ( > 0), so ergibt sich für jedes z von © " aus der leicht verständlichen Abschätzung

§ 19. Gleichmäßig konvergente Reihen analytischer Funktionen 79 n+r

[ / 0, so kann ihr Konvergenzkreis | z — z0 | < r als das Gebiet & genommen werden. Denn jede kompakte Teilmenge von ® liegt für passendes g mit 0 < Q < r in dem Kreise | z — z0 15S Q, und die Potenzreihe ist also (wegen § 18, Satz 1) auf jeder solchen Teilmenge von (S) gleichmäßig konvergent. Also gilt der 2

Satz 5. Eine Potenzreihe Ean(z — zQ)n stellt im Innern des Konvergenzkreises eme dort reguläre Funktion f(z) dar; deren Ableitungen erhält man durch gliedweise Differentiation der Potenzreihe, und diese abgeleiteten Potenzreihen haben denselben Konvergenzradius wie die gegebene: f(V)(z) = £

n(n

- 1) • • • (n - p + 1) an(z - Z0)»~P

n=0

= H (n + 1) (n + 2) • • • (n + p) an+p(z - z0)>i"

ist für | z — zQ | < r konvergent. Speziell ist

1

80

7. Kapitel. Entwicklung analyt. Funktionen in Potenzreihen

wenn 6 die Peripherie | z — z0 | = Q bedeutet. Aus der letzten Formel folgt noch — wir schreiben n statt p — die nützliche Cauchysche Abschätzungsformel i

1

o M M " I— ' ^ ' £)"+l = e» ' wenn M das Maximum von | /(z) | auf | z — z0 | = Q ist.

A u f g a b e n : 1. Man untersuche, ob die in § 17, Aufgabe 2 gegebenen Reihen in ihren Konvergenzgebieten analytische Funktionen darstellen. 2. Im Anschluß an die Aufgaben der §§ 9 und 11 zeige man, daß, wenn neben der Reihe £ f n ( z ) auch die Reihe £ \ f n ( z ) \ in jedem ©' gleichmäßig konvergiert, der Satz 3 dahin verschärft werden kann, daß auch die Reihend | f ^ (z) | bei festemp in jedem noch gleichmäßig konvergieren.

7. Kapitel. Die Entwicklung analytischer Funktionen in Potenzreihen Die Sätze des vorigen Kapitels haben gelehrt, daß die Eigenschaft der Potenzreihen, in ihrem Konvergenzgebiet reguläre Funktionen darzustellen, sehr viel allgemeineren Reihen zukommt, nämlich allen g l e i c h m ä ß i g konvergenten Reihen, deren Glieder selbst reguläre Funktionen sind. Die große Bedeutung der Potenzreihen für das Studium der analytischen Funktionen kann also nicht in dieser Eigenschaft begründet sein. Sie beruht vielmehr auf der Umkehrung dieser Tatsache: jede reguläre Funktion läßt sich auch umgekehrt durch eine Potenzreihe darstellen. Die Gesamtheit aller nur möglichen Potenzreihen (mit positivem Radius) liefert also auch die Gesamtheit aller nur denkbaren regulären Funktionen. § 20. Entwicklungssatz und Identitätssatz für Potenzreihen Satz 1. Es sei /(z) eine in einem gewissen Gebiete © reguläre Funktion und z0 ein (innerer) Punkt von Dann gibt es stets

§ 20. Entwicklungssatz und Identitätssatz für Potenzreihen eine,

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aber auch nur eine Potenzreike der Form QO 2 an(z - z0)n, »=o

die für eine gewisse Umgebung von z0 konvergiert und dort die Funktion f(z) darstellt. Dabei ist

Die Reihe konvergiert (mindestens) in dem größten Kreise um z0 (sein Radius sei r), der nur Punkte von © umschließt, und der genaue Konvergenzkreis der Reihe ist der größte Kreis um z0 (sein Radius sei R), in dem f(z) noch überall als differenzierbare Funktion erklärt oder erklärbar ist. (Entwicklungssatz; Taylorsehe Entwicklung.) B e w e i s . Es sei z ein beliebiger innerer Punkt der Kreisscheibe f mit r um z 0 ; dann ist zunächst zu zeigen, daJß bei der angegebenen Bedeutung von a„ 00 2 an(z — z0)n konvergiert und = f(z) ist. «=o Da | z — z0 | = Q < r ist, kann man Q1 SO wählen, daß Q < Q1 < r ist. C sei ein beliebiger Punkt der Kreislinie f x mit g 1 um z0. Dann ist 1 = 1 _ 1 _ 1 C — z ~ (C—z 0 )— (z—z0) ~ C—z 0 ' _ z — z0 C-'t, _

S

(Z-Jo)" .

und diese spezielle geometrische Reihe ist, da ZQ ;

c—ab! ist, bezüglich f längs 6

=

E _