Funktionentheorie: Band 2 Anwendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie [12. Aufl. Reprint 2019] 9783111567211, 9783111195698

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Funktionentheorie von

Prof. Dr. Konrad Knopp f ehem. Professor der M a t h e m a t i k an der U n i v e r s i t ä t T ü b i n g e n

ii

Anwendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie

Zwölfte Auflage Mit 7 Figuren

S a m m l u n g Göschen B a n d 703

Walter de Gruyter & Co • Berlin 1971 v o r m a l s G. J . Göschen'aehe V e r l a g s b a n d l u n g • J . G u t t e n t a g , Verlagsbuchhandlung • Georg R e i m e r • K a r l J . T r ü b n e r • Veit & Comp.

Die Gesamtdarstellung umfaßt folgende Bände von Prof. Dr. Konrad Knopp: Elemente der Funktionentheorie (Bd. 1109) Funktionentheorie: I : Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen (Bd. 668) I I : Anwendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie (Bd. 703) Aufgabensammlung zur Funktionentheorie: I : Aufgaben zur elementaren Funktionentheorie (Bd. 877) I I : Aufgaben zur höheren Funktionentheorie (Bd. 878)

© Copyright 1971 b y Walter de Gruyter & Co., vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung / J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung J. Trübner / Veit & Comp.,

Berlin 30. —

/ Georg Reimer / K a r l

Alle Rechte, einschließlich

der

Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, v o m Verlag vorbehalten. — Archiv-Nr. 7713 712. — Druck: Lindemann & Lüdecke, Berlin 36. Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis. Seite 6

Einleitung

Erster Abschnitt.

Eindeutige Funktionen. 1. Kapitel. G a n z e § S §

1. 2. 3.

Funktionen.

Der Weierstraßsche P r o d u k t Bat7. Beweis den Weierstraßschen ProduktBatzee Beispiele zum Weierstraßschen P r o d u k t s a t z e

2. Kapitel. M e r o m o r p h e § 5 §

4. 5. 6. 7. 8. 9.

Funktionen.

Der Mittag-Lefflersche Telibruchsatz Beweis des Mittag-Lefflerschen Satzes Beispiele z u m Mittag-Lefflerschen Satze

3. Kapitel. P e r i o d i s c h e § 9 §

8 IS 26 84 38 41

Funktionen.

Die Perioden analytischer F u n k t i o n e n Einfach-periodische F u n k t i o n e n .' Doppelt-periodische, insbesondere elliptische F u n k t i o n e n

53 60 67

Zweiter Abschnitt.

Mehrdeutige Funktionen. 4. Kapitel. W u r z e l u n d

Logarithmus.

§ 10.

Vorläufiges über mehrdeutige F u n k t i o n e n und R l e m a n n s c h e Flächen

83

5 11. 5 12.

Die R i e m a n n s c h e n Flächen f ü r y * und logz Die Riemannschen Flächen für die

89

w = V(t—a,)

(i — a,)...

(z — a j )

B. Kapitel. A l g e b r a i s c h e I 13. S 14. 5 15.

1

98

Funktionen.

Problemstellung Stetigkeit u n d Dlfferenzierbarkeit der Wurzeln Die algebraische F u n k t i o n

6. Kapitel. D a s a n a l y t i s c h e S 10. S 17. 5 18. Register

Funktionen

108 106 110

Gebilde.

Die monogene analytische F u n k t i o n Die R l e m a n n s c h e Fläche Das a n a l y t i s c h e Gebilde

118 122 126 129

Literatur F ü r die hier behandelten Teile der Funktionentheorie, sowie zur Wetterf ü h r u n g und Vertiefung des Studiums sind außer den I n , ,1" genannten Werken Ober die allgemeine Theorie (insbesondere denen von L. B i e b e r b a c h , C. C a r a t h é o d o r y , O. D o e t s c h , W. F. O s g o o d sowie den Cours d'analyse von É. G o u r s a t , C. J o r d a n und É . P i c a r d ) noch die folgenden zu nennen: É . B o r e l , Leçons sur les fonctions entières. 2. Aufl. Paris 1921. É . B o r e l , Leçons Bur les fonctions méromorphes. Paris 1903. H . B u r k h a r d t , Funktionentheoretische Vorlesungen. Zweiter Tell: Elliptische Funktionen. 3. Aufl. (hrsgeg. v. 0 . F a b e r ) . Berlin und Leipzig 1920. C. C a r a t h é o d o r y , Funktionentheorie I I , Basel 1950. P. D l e n e s , The Taylor Series, Oxford 1931. R. F r l c k e , Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen. I . Teil, Leipzig 1916, I I . Teil, Leipzig 1922. P. A p p e l und E. G o u r s a t , Théorie des fonctions algébriques et de leurs intégrales. 2. Aufl., 2 Bände, Paris 1930. F . L ö s c h und F . S c h o b l i k , Die F a k u l t ä t (Gammafunktion) und verwandte Funktionen, Leipzig 1951. R. N e v a n l i n n a , Eindeutige analytische Funktionen.2. Aull., Springer-Verlag 1953. E. C. T l t c h m a r s h , The theory of funetions, Oxford 1932. E . C. T l t c h m a r s h , The Zeta-Functlon of Riemann, Cambridge 1930. F . T r i c o m i , Funzloni analltlche. Bologna 1936. F . T r i c o m i , Funzloni ellitiche. Bologna 1937. R . W e y l , Die Idee der Riemannschen Fläche, 23. Aull., B. G. Tcubner, Stuttgart 1954. E . T. W h l t t a k e r und G. N. W a t s o n , Acourse of modern analysls. 4. Aufl. Cambridge 1927. Die Anwendungen der Funktionentheorie behandeln: J . H e l n o l d , Theorie und Anwendung der Funktionen einer komplexen Veränderlichen, München 1949. R . R o t h e , F. O l l e n d o r f f und K . P o h l h a u s e n , Funktionentheorie und Ihre Anwendungen in der Technik. Berlin 1931.

Einleitung. In dem einführenden Bändchen „Elemente derFnnktionentheorie" und im ersten Teil dieser Funktionentheorie 1 ) wurden die Grundlagen der allgemeinen Theorie der Funktionen gelegt und die sog. elementaren Funktionen (Elem., 5. Abschn.) eingehender behandelt. Daneben wurden aber auch schon zwei besondere Klassen von Funktionen, die rationalen (I, § 35) und die ganzen Funktionen (I, § 27 u. 28), näher betrachtet. Solche mehr ins Einzelne und tiefer gehenden Untersuchungen von Funktionenklassen sollen jetzt in den Vordergrund treten. Dabei wird sich zeigen, daß die Unterscheidung von eindeutigen und mehrdeutigen Funktionen, die schon in I, § 24, S. 104/6 bei dem Versuch einer vollständigen Erklärung des Begriffs der analytischen Funktionen angedeutet wurde, durchaus grundlegend ist. Sie soll daher für die ganze folgende Darstellung maßgebend sein. Aus diesen beiden Hauptklassen greifen wir wieder einige besonders charakteristische und wichtige Typen von Funktionen heraus. Da uns Vollständigkeit in dem engen Rahmen dieses Büchleins versagt bleibt, ist eine gewisse Willkür hierbei unvermeidlich. Doch werden wir dieser Gefahr am ehesten entgehen, wenn wir von den elementaren Funktionen (den ganzen und gebrochenen rationalen Funktionen, von e*, sinz, und deren Umkehrungen) als den wichtigsten ausgehen und das Wesentliche und Allgemeingesetzlichc an ihren Haupteigenschaften zu erkennen suchen 2 ). ') „ E l e m e n t e d e r F u n k t i o n e n t h e o r i e " , 5. Aufl. Berlin 1950. Sammlung Göschen Nr. 1109. — . . F u n k t i o n e n t h e o r i e " E r s t e r T e i l : Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen F u n k t i o n e n , 10. Aufl., Berlin 1961. Sammlung Göschen Nr. 668. — I m folgenden werden, diese Bändchen kurz mit „ E l e m . " bzw. „ I " u n t e r Angabe von Kapitel oder Parag r a p h zitiert. ') Es kann sich Im folgenden durchaus nur um eine Auswahl handeln. Der I«aer möge darum den Inhalt dieses Bändchens nicht dem der Funktionentheorie gleichsetzen.

6

Einleitung.

Die g a n z e n r a t i o n a l e n F u n k t i o n e n (Elem., § 39), in vielem die einfachsten und durchsichtigsten Funktionen, sind „rein funktionentheoretisch" dadurch charakterisiert (I, S. 139), daß sie in der ganzen Ebene regulär sind und im Punkt °o einen Pol haben. Läßt man die letztere Eigenschaft außer acht, so gelangt man zu der allgemeineren Klasse dergan zen F u n k t i o n e n , der die rationalen und transzendenten als Sonderfälle angehören und die also allein durch die Eigenschaft, in der ganzen Ebene (ausseid, oo) regulär zu sein, charakterisiert sind. Sic erschienen uns in I. § 29 auch deshalb als die einfachsten, weil ihre für einen beliebigen Mittelpunkt angesetzte Potenzreihenentwicklung in der ganzen Ebene konvergiert und also die Funktion darstellt. Da dann von analytischer Fortsetzung gar nicht mehr die Rede ist, sind sie eindeutig; und sie sind in ihrer Gesamtheit identisch mit der Gesamtheit aller beständig konvergenten Potenzreihen der Form g(e) =

J 7! =

0

und erscheinen auch so als eine unmittelbare Verallgemeinerung der ganzen rationalen Funktionen. Wir wollen im ersten Kapitel an diese Funktionen mit der Frage herantreten: Welche der Grundeigenschaften der ganzen rationalen Funktionen besitzt auch noch die übergeordnete Klasse der ganzen Funktionen und welche nicht? Die g e b r o c h e n e n r a t i o n a l e n F u n k t i o n e n (Elem. § 40) sind nach I, § 35, Satz 1 und 2 rein funktionentheoretisch dadurch vollständig charakterisiert, daß sie in der ganzen Ebene und im Punkt oo keine andern Singularitäten haben als Pole. Läßt man auch hier die letzte auf den Punkt oo bezügliche Eigenschaft außer acht, so gelangt man wieder zu einer allgemeineren Funktionenklasse, den sog. m e r o m o r p h e n F u n k t i o n e n , die nun allein durch die Eigenschaft, in der ganzen Ebene (ausschl. oo) keine anderen Singularitäten als Pole zu haben, charakterisiert sind.

Einleitung.

7

Tni zweiten Kapitel wollen wir an diese Funktionen, die sich auch als eindeutig erweisen werden, mit der analog zu formulierenden Frage herantreten wie soeben. Die funktionentheoretisch interessanteste Eigenschaft der Funktionen e*, sinz, u. a. ist ihre Periodizität. Wir werden im dritten Kapitel diese ihre Eigenschaft, losgelöst von der besonderen Natur jener Funktionen, rein funktionentheoretisch näher untersuchen. Wir gelangen so zu den Klassen der e i n fach- und der d o p p e l t - p e r i o d i s c h e n F u n k t i o n e n . Innerhalb der letzteren treffen wir dann insbesondere die e l l i p t i s c h e n F u n k t i o n e n an. — Mit diesen Typen aus dem Reich der eindeutigen Funktionen müssen wir uns genug sein lassen. Bei den m e h r d e u t i g e n F u n k t i o n e n wird es sich vor allem darum handeln müssen, den Begriff derselben klar herauszuschälen, was in I, § 24 noch nicht möglich war, und eine deutliche Anschauung von dem Wesen der Mehrdeutigkeit zu geben. Das gelingt im vierten Kapitel durch eine sehr einfache, aber eben deshalb als besonders genial zu bewertende Hilfsvorstellung, die R i e m a n n s c h e n F l ä c h e n . An den einfachsten mehrdeutigen Funktionen, wie ]ß > ioiz ' Vi11 — ai) (z —

r—m+l in absolut konvergent und stellt dort also eine gewisse Funktion dar, die Fm(z) heißen möge. Die Zahl m soll nun hierbei so gewählt werden — was nach I, § 18 geschehen kann —, daß für alle n~2:m, alle 1 und alle z aus ©' stets (5) | fn+l(z) | + | fn+l(z) | + • • • + | fn+r(z) | < * bleibt. Dann ist F m(z) sogar eine im Innern von reguläre und von 0 verschiedene Funktion. Denn es ist, wenn wir zur Abkürzung für n > m setzen,

fr (1 + f,(z)) = Pn •>=m+i

und Pm = 0

Fm(z) = lim P„ = lim[(P m + i — Pm) + (Pm+t— Pm+i) + •'• + «—••00

(Pn-^n-O],

') Ee kommen, wie aus dem Beweis hervorgehen wird, nur endlich viele der Faktoren in Betracht.

18

1. Kapitel. Ganze Funktionen. (6)

Fm(z) =

£ »=m+i womit Fm(z) durch eine unendliche Reihe dargestellt ist. Nun führen uns die Sätze aus I, § 19 rasch zum Ziel. Denn da für n>m \P

n

\ ^ ( l + \fm+l(z)\);--

cd wenn P'„ die Ableitung von Pn bedeutet. Folglich ist, da F„, (z) und für w > m alle P„ nicht 0 sind, M

= lim

a, Pn

l

gleichmäßig konvergiert, so

=lim f

f

'^(z)

n— • Vi + /m+i(z)

|

.. |

mW K

)

1 + /„(«)/

. Ä 1 + woraus sich in Verbindung mit (8) die Behauptung ergibt, über die gewonnene Reihe gilt noch der . ') I). h. die gewöhnliche Ableitung dividiert durch die ursprüngliche Funktion. Ist F(z) • .. .fffr(z)und sind alle Faktoren In z ( dlflerencierbar und + 0, so ist

FC.)

fl*.)

=

ti'M

»•m (s. o.) sicher ist, so gibt es eine positive Zahl y derart, daß für alle v stets y , ^ y > 0 ist. Dann ist also für alle v und alle z in

m

1 + W«) Aus dem Beweise des Satzes 3 in I, § 19, S. 79 (vgl. auch die dortige Aufgabe 2) folgt aber, daß 2 | f , (z) | in gleichmäßig konvergiert. Nach der letzten Abschätzung gilt dasselbe dann auch für die Reihe (7). 2. B e w e i s des W e i e r s t r a ß s c h e n P r o d u k t s a t z e s . Sind nur endlich viele Punkte z v z t , . . . , z t mit den Ordnungen •••{zztf* eine Lösung des Problems, so daß dieser Fall sofort erledigt ist. Sind aber u n e n d l i c h viele Punkte als Nullstellen vorgeschrieben, so kann man nicht ganz so einfach vorgehen, da das entsprechend angesetzte Produkt im allgemeinen sinnlos sein würde; und dies würde auch dann noch der Fall sein, wenn man im Hinblick auf die nun behandelten unendlichen Produkte statt (1) das Produkt

• KrKX-Kr

l

) D e n n I (1 + fy(z) | e r r e i c h t , als stetige F u n k t i o n , ihre u n t e r e Grenze; ilie^e kann also in 0 beliebig, aber f o r t a n fest) ergibt sich n u n f o l g e n d e r m a ß e n : M Die in der eckigen K l a m m e r stehenden ExponentlalgröOen m a c h e n das P r o d u k t konvergent, welohes ohne dieselhen Im allgemeinen divergent Bein würde. Man nennt sie deshalb die k o n v e r g e n z e r z e u g e n d e n F a k t o r e n .

§ 2. Beweis des Weierstraßgehen Produktsatzes.

23

Da die Reihe (3) auch für z = R konvergiert und da z„-> oo strebt, so kann m so groß gewählt werden, daß für alle v > m M-i R < | und auch -—- < £ (ö) bleibt. Ersetzen wir dann für den Augenblick — durch w, Zy k„ durch k und m das r-te Glied der Reihe (4) die Form

, « , *l,

utia

(1 — u) g* "i"

*]

- 1

it

Nun kann aber für I u I < 1 l _

U

=

"

e

i | w | < i

und

1*1 »I 2

3

-

gesetzt v/erden; denn die Funtkion u' (1 — u ) e

U +

^

+

"

hat, wie man sofort nachrechnet, in | u | < 1 die Ableitung 0, ist also konstant und zwar, wie sich für u = 0 ergibt, — 1 J ) . Das v-te Glied der Reihe (4) ist also weiter e

,fl«i*

< ;\

+1

i + 1

,

\

t+i

\ J_ l


+ tu', —tu, — tu— tu', — tu', co — tu', 2tu, 2a> + ">', 2a>+ 2to\ . . . , und in dieser nun festbleibenden Reihenfolge bezeichnen wir die Punkte mit z0, zt Dann wollen wir zunächst zeigen, daß die Reihe

M

31

§ 3. Beispiele zum Weierstraßschen Produktsatze.

für jedes z absolut konvergiert. — Numeriert man die Parallelogramme, längs deren wir die Gitterpunkte abzuzählen hatten, der Größe nach als ltes, 2 t e s , . . . , so liegen allgemein auf dem p-ten von ihnen genau 8 p von unsern Gitterpunkten, deren Beträge zudem ph sind, wenn man mit h die kleinere der beiden Höhen des „ F u n d a m e n t a l p a r a l l e l o g r a m m s " mit den Ecken 0, , | o>') = n

(•

| ghm + h'u' hat + kfet'i

+

T (hm

y

wenn hierin k und k' unabhängig voneinander alle ganzen Zahlen ^

0 durchlaufen, doch ohne dabei g l e i c h z e i t i g 0 sein zu dürfen.

An diese letzte Einschränkung soll der Akzent am Produktzeichen erinnern. 3. Beispiel. Endlich soll noch eine ganze Funktion konstruiert werden, die für s0 = 0 sowie für zl = — 1, — — 2 , . . . ,

3. Kapitel. Ganze Funktionen.

32

zv — v,..., aber an keiner anderen Stelle, je eine Nullstelle erster Ordnung hat. Hier genügt es ersichtlich wieder, alle kp = 1 zu nehmen, so daß man in (4)

GiW = « - / 7 (i+i) •í—.i * ' sofort eine Funktion mit den verlangten Eigenschaften hat, aus der die allgemeinste nun wieder durch Hinzufügung eines Faktors der Form eW hervorgeht (s. § 1, Satz 2). Diese Funktion steht mit der Eulerscheu Gammafunktion in nächster Beziehung, die für reelle Argumente dem Leser von der Integralrechnung her bekannt sein wird. Sie wurde von L. Euler für beliebige Komplexe z mit Sft(z) > 0 durch das Integral + °o

y(z) = / e-H'^dt

(5)

0 und von C. F. Gauß für alle z 4= 0,—1, — 2 , . . . durch den Grenzwert

n

n+i

r I J n Setzt man die I 0 < yn < ( strebt also

n+i

ix l — > ——, x » + l

l i f < — > I n n+1 » J n hier In der Mitte stehende Differenz = v , I -V Also Ist £y„= C konvergent mit also

\ tt n + 1 /

- ( i + 4 + • • • +

— = logn strebt also auch

1 [(1

+

4

+

...+

K n o p p , Funktlonentheorle. II.

so Ist hiernach 0 < C < 1. Es

n ¡ ¿ 0 - / 7 - 0 : 1

n wegen - — • 0 und j

f x „ — > 0. x

L)_logn]^c. 2

C

34

2. Kapitel. Meromorphe Funktionen.

Grenzwert in dem behaupteten Umfange vorhanden. Er definiert also eine eindeutige analytische Funktion, nämlich den reziproken Wert der ganzen Funktion K(z). (Weiteres darüber s. § 6, 3. Beispiel.) A u f g a b e n : 1. Man leite aus dem sin-Produkt die Werte der folgenden drei Produkte her: 2 2 4 4 6 6 a) t -n s (Wallissches Produkt). 1 o o o o i 2 2 6 6^ 10 10 14 b) 1 3 6 T ' 9 ' 11 13 " ' 2 4 8 10 14 16 9 c) " 3 3 9 " 9 " 16 1 5 ' " 2. Man stelle die Pröduktentwicklungen für die folgenden ganzen Funktionen auf: a) e*—1; b) e*—e*o; c) sinz—sine,,; d) cos2—cosz„. 3. Man zeige, daß es ganze Funktionen gibt, die an beliebig vorgeschriebenen Stellen zv .. , zn,..., die sich nur nirgends im Endlichen häufen sollen, beliebig vorgeschriebene Werte wl,jwii . . . , « ; „ , . . annehmen.

2. Kapitel. Meromorphe Funktionen. § 4. Der Mittag-Lefflersche Teilbruchsatz. Die gebrochenen rationalen Funktionen sind rein funktionentheoretisch vollständig durch die Sätze I, § 35, 1—3 charakterisiert. Wir lösen die darin ausgesprochenen Grundeigenschaften derselben, ähnlich wie im vorigen Kapitel, in die beiden Feststellungen auf: (A) Für jede (gebrochene) rationale Funktion gibt es eine sog. Teilbruchzerlegung,die ihre Pole mit den zugehörigen Hauptteilen erkennen läßt. Ist etwa f0(z) die gegebene rationale Funktion, sind 2j, z 2 , . . . , zk deren Pole mit den zugehörigen Hauptteilen

(v = 1, 2 , . . . , k),

§ 4. Der Mittag-Lefflersche Teilbruchsatz.

35

so kann also, wenn g0(z) eine geeignete gan^e rationale Funktion bedeutet, (2) f0(z) = g0(z) + h^z) + h2(z) +••• + hk(z) gesetzt werden. Aus dieser Teilbruchzerlegung liest man sofort weiter ab, daß jede andre rationale Funktion f(z), die dieselben Pole mit denselben Hauptteilen hat. sich von /0(z) nur in den Summanden g0(z) unterscheiden kann, und ferner daß man diese Pole mit ihren Haüptteilen beliebig vorschreiben kann; m. a. W.: (B) Es lassen sich stets rationale Funktionen bilden, deren Pole mit ihren Haüptteilen vorgeschrieben sind, — und zwar in Form einer Teilbruchzerlegung, die diese Pole mit ihren Hauptteilen erkennen läßt; und aus einer besonderen Funktion dieser Art geht die allgemeinste durch Addition einer willkürlichen ganzen rationalen Funktion hervor. Diese Grundtatsachen über rationale Funktionen lassen sich wieder genau auf die allgemeinere Klasse der meromorphen Funktionen übertragen, deren Erklärung wir schon in der Einleitung andeuteten, und die wir nun zunächst genauer fassen wollen. Erklärung. Eine eindeutige Funktion soll, ohne Rücksicht auf ihr Verhalten im Unendlichen, meromorph heißen, wenn sie in der ganzen eigentlichen Ebene keine andern singulären Stellen besitzt als höchstens Pole. Auf Grund dieser Erklärung gilt zunächst der Satz 1. Eine meromorphe Funktion hat injeclem endlichen Gebiete höchstens endlich viele Pole. Denn andernfalls läge dort auch eine Häufungsstelle von Polen, die dann ihrerseits zwar singulär, aber gewiß kein Pol wäre. Hiernach sind die rationalen Funktionen Sonderfälle der meromorphen Funktionen; auch die ganzen Funktionen müssen als solohe angesehen werden. Die Menge ihrer Pole im Endlichen ist leer.

l*

36

2. Kapitel. Meromorphe Funktionen.

Die Funktion - — ist meromorph, denn sie hat nur da im Endsm« liehen eine singulare Stelle, und zwar einen Pol erster Ordnung, wo s i n z eine Nullstelle hat. — Ebenso sieht man, daß ctg 2 = jjT^ • cos2 und tge meromorphe Funktionen sind. — Allgemeiner ist, wenn G(z) irgendeine ganze Funktion bedeutet, ihr reziproker Wert 1 : G(z) eine meromorphe Funktion (also z. B. die am Schluß des vorigen Paragraphen betrachteteFunktion/ , (2) = 1: Denn 1 : G(z) hat da und nur da Pole (und sonst keine singulären Stellen), wo G(z) Nullstellen hat; und die Ordnungen heider sind gleich. — Ist Gx(2) eine zweite ganze Funktion, die keine gemeinsamen Nullstellen mit G(z) hat, so sieht man sofort, daß auch Gx(z):G{z) eine meromorphe Funktion ist, deren Pole nach Lage und Ordnung (aber im allgemeinen nicht in den Hauptteilen) mit denen von 1 : G(z) übereinstimmen. Dies letzte Beispiel trifft schon den allgemeinen Fall; denn es gilt der Satz 2 . Jede meromorphe Funktion f(z) läßt sieh als Quotient zweier ganzer Funktionen ohne gemeinsame Nullstellen darstellen. B e w e i s : Da die Pole von f(z) sich nirgends im Endlichen häufen, kann man nach dem Weierstraßschen Produktsatz eine ganze Funktion G(z) bilden, deren N u l l s t e l l e n nach Lage und Ordnung mit den P o l e n von f(z) übereinstimmen. Dann ist aber f (z) • G(z) ersichtlich eine g a n z e Funktion G^z). also f(i) = G1(z):G(z) und G^z) hat mit G(z) keine Nullstelle gemeinsam

Wir legen uns nun zunächst wieder die der zweiten Feststellung entsprechende Aufgabe vor, nämlich zu untersuchen, ob und inwieweit man eine meromorphe Funktion bilden kann, wenn deren Pole nebst den zugehörigen Hauptteilen vorgeschrieben sind, und wieweit sie etwa dadurch bestimmt ist. Dies letztere läßt sich sofort beantworten. Sind nämlich Ma(z) und M(z) zwei meromorphe Funktionen, die in ihren Polen nebst zugehörigen Hauptteilen übereinstimmen, so ist ihre Differenz M{z) — M0(z) ersichtlich eine g a n z e Funktion. Sie unterscheiden sich also höchstens um eine additiv hinzutretende ganze Funktion („meromorphe Funktion ohne

§ 4. Der Mittag-Lefflersche Teilbruchsati.

37

Pole"). Und da umgekehrt das Hinzutreten einer solchen zur Funktion M0(z) nichts an deren Polen oder zugehörigen Hauptteilen ändert, so können wir sagen: Satz 3. Ist M0(z) eine gegebene meromorphe Funktion, so ist, wenn G(z) eine beliebige ganze Funktion becleutet, M(z) = M0(z) + G(z) die allgemeinste meromorphe Funktion, die in ihren Polen und den zugehörigen Hauptteilen mit M0(z) übereinstimmt. Hiernach bleibt wieder nur die Untersuchung, ob und wie man eine meromorphe Funktion mit irgendwie vorgeschriebenen Polen bilden kann. Nach Satz 1 darf die Menge der vorgeschriebenen Pole sich nirgends im Endlichen häufen. Schließt man dies aber aus, so läßt sich die gestellte Aufgabe ohne weitere Einschränkung lösen, d. h. es gilt folgender nach seinem Entdecker benannter Mittag-LefOerscher Teilbruchsatz. Wird irgendeine (endliche oder unendliche) sich nirgends im Endlichen häufende Punktmenge vorgeschrieben und jedem ihrer Punkte ein Hauptteü, d. h. eine rationale Funktion der besonderen Form (1), zugeordnet, so gibt es stets eine meromorphe Funktion, die genau an den vorgeschriebenen Stellen Pole mit den vorgeschriebenen Hauptteilen besitzt und sonst regulär ist. Dieselbe läßt sich in Form einer Teilbruchzerlegung aufstellen (die fertige Formel s. u. S. 39), aus der die Pole nebst ihren Hauptteilen (ähnlich wie bei (2)) wieder abgelesen werden können. Und ist dann, so können wir nach Satz 3 sogleich fortfahren, M0(z) eine solche Funktion, so ist M(z) = M0(z) + G(z) die allgemeinste den Bedingungen des Problems genügende Funktion, wenn hierin G(z) eine beliebige ganze Funktion bedeutet.

38

2. Kapitel. Meromoiphe Funktionen.

Durch diesen Satz wäre die der zweiten Feststellung über rationale Funktionen entsprechende Aufgabe gelöst. Sehen wir ihn für den Augenblick als bewiesen an, so folgt aus ihm sofort auch die Lösung der der ersten Feststellung entsprechenden Aufgabe. Ist nämlich M(z) eine beliebig gegebene meromorphe Funktion, so hat die Menge ihrer Pole nirgends im Endlichen eine Häufungsstelle. Nach dem Mittag-Lefflerschen Satz wird man daher eine andre meromorphe Funktion M0(z) bilden können, die dieselben Pole und Hauptteile hat wie M(z), und zwar in Form einer Teilbruchzerlegung, welche dieselben erkennen läßt. Dann ist aber nach Satz 3, wenn G0(z) eine passende ganze Funktion bezeichnet, M(z)=--M0{z) f G 0 (z), womit in der Tat eine Teilbruchzerlegung der g e g e b e n e n meromorphen Funktion M(z) gewonnen wäre, aus der ihre Pole und die zugehörigen Hauptteile abgelesen werden können. 2t A u f g a b e n : 1. ctgz und — - sind zwei meromorphe Funktionen, die in ihren Polen und den zugehörigen Hauptteilen übereinstimmen (Beweis?). Nach Satz 3 unterscheidet sich die erste von der zweiten nur durch eine a d d i t i v zu dieser hinzutretende ganze Funktion. Wie lautet 2. Dasselbe für diediese? Funktionen 1

,

sinz

§ 5. Beweis des Mittag-Lefflerschen SatzeH. Soll die zu bildende Funktion gar keine Pole haben, so ist jede ganze Funktion eine Lösung des Problems. Soll sie die endlich vielen Pole zvzi,...,zlc mit den Hauptteilen /^(z), ^¡(z),..., hk(z) haben, so ist offenbar M0(z) = V z ) + K(z) + '" • + **(«) eine Lösung. Sind aber unendlich viele Pole vorgeschrieben, so wird man nicht ganz so einfach zum Ziele kommen, da die

§ 5. Beweis des Mittag-Lefflerschen Satzes.

39

analog angesetzte, nun unendliche Reihe im allgemeinen divergieren würde. Doch kann man ähnlich wie in § 2 durch eine geeignete Abänderung der Reihenglieder die Konvergenz e r zeugen. Dazu machen wir bezüglich der Numerierung der Pole genau dieselben Festsetzungen wie in § 2, S. 21, bei den Nullstellen; wir bezeichnen also auch hier den etwa vorgeschriebenen Nullpunkt mit z0. Die dann den Punkten z0, z v . . . , z„ . . . zugeordneten Hauptteile seien h0(z), ht(z), . . . , h,(z),..., — unter hv(z) einen Ausdruck der § 4, Formel (1), gegebenen Form verstehend. Für v = 1, 2, 3 , . . . sind dann alle diese Funktionen hf(z) in 0 und Umgebung regulär; ihre für diese Umgebung angesetzte Potenzreihenentwicklung \{z) = «j? + a?z + 4 ' V + • • ( v = 1, 2 , . . . ) , konvergiert für alle \ z\ _ ! 2 «v-', („=1,2,...), des Grades n , — 1, während für n, = 0 diese Funktion durch ü zu ersetzen ist. Für alle | z | ^ \• | zv | ist nun

und in M 0 («) = h 0 ( , ) + J J 7 I M * ) - * ( * ) ]

40

2. Kapitel. Meromorphe Funktionen.

haben wir eine die Bedingungen des Satzes erfüllende meromorphe Funktion. (Ist der Nullpunkt nicht als Pol vorgeschrieben, so ist der Summand h0(z) natürlich fortzulassen.) Zum Beweise haben wir nur zu zeigen, daß die rechte Seite eine analytische Funktion definiert, die in jedem endlichen Bereiche, z. B. wieder in einem Kreise mit R um 0, genau die vorgeschriebenen Singularitäten und keine andern besitzt. Wählt man aber (was wegen | z„ | ->• + oo möglich) m so groß, daß für alle v > m stets | zv | > 2 R oder also R< \ \ zv \ ist. so ist für alle | z | 5S R und alle v > m stets \ z \ < \ \ z „

\

und somit

| h,{z)

—

g,(z) \
m liegen ja a u ß e r h a l b des Kreises | z \ = R), dort eine reguläre Funktion, die wir mit Fm(z) bezeichnen wollen. Dann ist aber ersichtlich auch m

M0(z) = K(Z) + 2J

[W)

- 0 die Glieder | hjz) — gv(z) \ für alle | 2 | ^ Ii schließlich (d. h. für alle hinreichend großen v) kleiner bleiben als die Glieder einer konvergenten Reihe mit positiven Gliedern. A u f g a b e n : 1. Gilt der Mittag-Lefflersche Satz auch noch, wenn die vorgeschriebenen Hauptteile unendlich viele negative Potenzen enthalten? Wie lautet dann der Satz und sein Beweis? 2. Darf beim Mittag-Lefflerschen Satz auch an allen Stellen z, (oder einigen, oder einer) der a u f s t e i g e n d e Teil der Laurentschen Entwicklung vorgeschrieben werden ? oder wenigstens eine endliche Anzahl von Gliedern desselben? 3. Der Mittag-Lefflersche Satz läßt sich in ähnlicher Weise wie der Weierstraßsche auf den Einheitskreis übertragen (s. § 2, Aufg.7). Man formuliere den hiermit angedeuteten Satz und beweise ihn. 4. Man löse mit den nunmehr entwickelten Mitteln nochmals die Aufgabe 3 in § 3. § 6. Beispiele z u m Mittag-Lefflerschen Satze. Ähnlich wie beim Weierstraßschen Satze sind auch hier gelegentlich die „konvergenzerzeugenden Summanden" gv(z) gar nicht notwendig; dann wird die zu bildende Funktion natürlich besonders einfach. Sollen z.B. die Punkte 0, 1, 4, . . . , y 2 , . . . Pole erster Ordnung mit den Hauptteilen

z— v 00

5

werden, so ist schon So

*. 0 beliebig gewählt und m > j/2 R , so ist die von v = m + 1 an genommene Reihe in | z | ig R ersichtlich gleichmäßig konvergent1), womit die Behauptung schon bewiesen. — Wir bilden weiterhin die den Beispielen des § 3 entsprechenden meromorphen Funktionen. 1. Beispiel: ctg nx. Die reellen Gitterpunkte solleil Pole erster Ordnung mit dem Residuum + 1 werden, also mit den Hauptteilen ') Denn für v > m ißt dort

42

2. Kapitel. Meromorpho Funktionen. K(z)

' 2 R) I /,„(*)

9r(«)

I— |

|2(|

|_

Ä). < | ,„ |»(i I * v I)' -

I

P'

Dies ist aber das allgemeine Glied einer (nach § 3. Beispl. 2) konvergenten Reihe mit positiven Gliedern. Also haben wir in 00

M

» =

- ? + 2 * (2— .'„)* v, 01) gehörige Pe-Funktion genannt und mit p(z) =p(z \ i r ( 2 ) - (— v) (— » + 1) • . . (— 2) (— 1) ~ V strebt, w. z. b. w. (8) r\z) ist im Streifen 1 g 91(2) < 2 beschränkt. Beweis: Mit z = x+ iy ist in 1 g x < 2 nln* I _ n!n* z(z + 1 ) . . . (8+ n) | _ x(x+ 1 ) . . . (*+ »)' Für n-* oo folgt hieraus, daB I r(z) \ g f ( i ) 1 fortsetzbar und in ihr regulär ist. Umgekehrt folgt aus

_{{z +

_

+*+

* " ' 2(2 + 1 ) . . . (2 + V)' daß, vom Punkte 2 = — v abgesehen, f(z) auch im Streifen —»> g 91(2) < — (v—1) regulär ist und daß in z = —v (vgl. den Beweis von (7)) ein Pol erster Ordnung mit dem Residuum 1 W

f( 1) liegt, (v = 0 , 1 , 2, . . .). Somit sind die beiden Funktionen f(z + 1) und zf(z) für alle 2 4= 0, —1, . . . regulär. Da sie längs 91(2) = 2 übereinstimmen, sind sie identisch, d. h. (a) gilt für die genannten 2. Daher ist m-m. m = + 3 J (n + t)*+*

• und also (c)

i(z)

2(2 + 1)

31

«

= i

i^-r-i

+

_ L _ i

-J

i

[{(,+

i)_i]_

2(2+1) (2+2)

31

^ f ¿J J »-1 0

t'dt

(n+t)'+*'

Und die ganz entsprechenden Erwägungen wie soeben lehren, daß £(z) auch in der Halbebene 91(2) > — 2 keine andere Singularität hat als den Pol erster Ordnung in + 1 mit dem Hauptteil - — j . Hieraach ist nun hinreichend deutlich, wie man die Regu•) Daß C(z)—

1

eine t r a n s z e n d e n t e ganze Funktion ist, folgt z. B .

so: Aus der Reihe für C(z) liest man sofort ab, daO Um ((z) = 1 Ist. Wlre also unsere Differenz eine r a t i o n a l e ganze Funktion, so w&re sie I d e n t i s c h — 1, also CU) -

1+

1

DaO dies aber falsch Ist, sieht man schon für 1 = 2 .

§ 7. Die Perioden analytischer Funktionen. larität von f(z)

—- in

der Halbebene 9i{z)

53 >—(fr+1)

Z — 1

beweist, wenn diejenige in der Halbebene iR(z) > — k,(k = 2,3,...) schon bewiesen ist. Damit ist dann die Richtigkeit aller unserer Behauptungen über £(z) erkannt 1 ). A u f g a b e n : 1. Man stelle die Mittag-Lefflersche Teilbruchzerlegung für folgende meromorphe Funktionen her: a b c > ^ > > 71 COSJ Z 1 ;; e) e*— 1 ' e* -f 1 cosz—sin? ler Funk 2. Die Folge der Funktionen £.(*> = n! n 1 2(2+ l ) . . . ( 8 + n ) ist in jedem beschränkten, abgeschlossenen Gebiete, das keinen der Punkte 0,— 1, — 2 , . . . enthält, g l e i c h m ä ß i g konvergent. 3. Es seien z T und z2 zwei von 0, —1, — 2 , . . . verschiedene Punkte. Man bestimme l i m Zitei + 1) • • • (gt + ») »->00 "2 4. Man führe die im Text skizzierte Herleitung des Weierstraßschen Satzes aus dem Mittag-Lefflerschen in allen Einzelheiten durch. 5. Man zeige, daß die /"-Funktion auch durch die Eigenschaften (S) und (4) des Textes im wesentlichen charakterisiert ist. Ge(1

)

n a u e r : Wenn eine in 1 ^

-SC 2 reguläre Funktion f(z) dort die

Gleichung (a) erfüllt und wenn für jedes dortige z A 2 +w »n + 1) = 1 „_+„ '

ist, so ist f(z)=^r{z). 6. Im Anschluß an § 2, Aufg. 4a zeige man, daß die Riemannsche ^-Funktion in der Halbebene Sft(z) > 1 keine Nullstellen hat.

3. Kapitel.

Periodische Funktionen.

§ 7. Die Perioden analytischer Funktionen. Erklärung. Eine analytische Funktion wird periodisch genannt, wenn es eine von 0 verschiedene Zahl w gibt, so daß

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3. Kapitel. Periodische Funktionen.

für jedes z ihres Regularitälsbereiches stets auch z + o> dazugehört und (1) f(z + ä>) = f(z) ist. Jede solche Zahl m heißt dann eine Periode von f(z). Unter den elementaren Funktionen sind e* und die trigonometrischen Funktionen periodisch, t g z h a t z . B. die Periode — l n \ doch sind auch 13n und 2it Perioden von t g z .

Um uns auf das Wichtigste zu beschränken, wollen wir weiterhin voraussetzen, daß f(z) bis auf isolierte singulare Stellen in der ganzen Ebene eindeutig und regulär ist (es kommen also insbesondere ganze und meromorphe Funktionen in Betracht); andererseits soll sich f(z) nicht auf eine Konstante reduzieren, weil sonst die Gleichung (1) trivial wäre. Ersetzt man in (1) z durch z + oi, so sieht man, daß mit auch 2cü eine Periode der Funktion ist, und allgemeiner gilt, wie man ebenso leicht erkennt, der Satz 1. Summe und Differenz zweier Perioden einer Funktion sind wieder Perioden derselben1), mit ¿3 sind auch alle Zahlen ria> und mit ä> und m auch alle Zahlen nw + n'&>' Perioden, wenn n und n' irgendwelche ganze Zahlen = 0 bedeuten. Wir denken uns nun die allen Perioden einer Funktion entsprechenden Punkte (die sog. „Periodenpunkte") in der Ebene markiert. Dann gilt zunächst der wichtige Satz 2. Die Menge der Periodenpunkte einer eindeutigen Funktion hat keine Häufungsstelle im Endlichen. B e w e i s : Andernfalls lägen nämlich in ihrer Nähe unendlich viele Periodenpunkte, also auch solche, die einen beliebig kleinen Abstand ( = Betrag der Differenz) voneinander haben. Nach Satz 1 gäbe es dann Perioden mit beliebig kleinem absoluten Betrage, und man könnte eine Folge a^, c ö 2 , . . . von ') Ist /(*) periodisch, so rechnet man auch die Zahl 0 zu Ihren Perloden; •lieft ist hier und im folgenden zu beachten.

§ 7. Die Perioden analytischer Funktionen.

55

Perioden angeben, für die 0 strebte. Ist nun aber z0 eine beliebige reguläre Stelle von f(z) und f(z0) = a, so wäre für jedes » = 1,2, 3 , . . . f(z0 + £>») = f(z0) - o, was bedeuten würde, daß in jeder Nähe von z0 noch a-Stellen lägen. Dies ist aber nach I, § 21, Satz 1 (und Fußnote) unmöglich, da ja f{z) nicht konstant sein sollte. — Den hiermit bewiesenen Satz kann man auch so formulieren: Satz 3. Eine eindeutige Funktion kann nicht beliebig kleine Perioden haben. Aus diesen eine erste Orientierung gebenden Sätzen können wir nun sogleich wichtige Folgerungen ziehen: f(z) habe die Periode ¿5; die Zahlen nw, die nach Satz 1 dann gleichfalls Perioden sind, liegen sämtlich auf der Ge-

Fig. 2.

raden g, die durch 0 und noch welche. Dort kann es aber (wegen Satz 2) nur endlich viele geben, so daß eine zunächst bei 0 liegt. Diese wollen wir m nennen, und falls zwischen 0 und m keine weitere Periode liegt, a> — ¿5 setzen. Dann gilt der Satz 4. Jede auf g gelegene Periode hat die Form nu>, (w = 0 , ± l , ± 2 , . . . ) . Beweis: Nach Satz 1 sind alle Zahlen n « Perioden; gäbe es außer ihnen auf g noch eine weitere, so hätte diese die Form noo + &w, (0 < # < 1); dann wäre aber auch d. h. ein zwischen 0 und a> auf g gelegener Punkt eine Periode, entgegen der Annahme, daß a> der zunächst bei 0 gelegene Periodenpunkt auf g sein sollte. — Hiernach ist a> durch ¿5 völlig auf g bis auf das (unwesentliche) Vorzeichen bestimmt. Man nennt« und ebenso—o> eine primitive Periode von f(z). Es hat t g i z. B. die Periode