Funktionentheorie: Band 2 Anwendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie [10. Aufl. Reprint 2019] 9783111370873, 9783111013923

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

703

FUNKTIONENTHEORIE l'KOF.

l)li. K O N R A D

K N O P P

t

e h e m . Professor der M a t h e m a t i k uo «1er Universität Tübingen

ii A N W E N D U N G E N DER

UND

W E I T E R F Ü H R U N G

A L L G E M E I N E N

T H E O R I E

Zehnte Auflage

Mit 7 Figuren

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung • J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J. Trübner • Veit & Comp. B E R L I N

1962

Die Gesamtdarstellung umfaßt folgende Bände von Prof. Dr. Konrad Knopp: Elemente der Funktionentheorie (Bd. 1109) Funktionentheorie: I: Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen (Bd. 668) II: Anwendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie (Bd. 703) Aufgabensammlung zur Funktionentheorie: I: Aufgaben zur elementaren Funktionentheorie (Bd. 877) I I : Aufgaben zur höheren Funktionentheorie (Bd. 878)

© Copyright 1962 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J . Göschen'sehe Verl'agshandlung / J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung / Georg Reimer / Karl J . Trübner / Veit & Comp., Berlin W 30, Genthiner Str. 13. Alle Rechte, einsclil. der Rechte m , F« I ^ \1 +• i /-+.(«) I ) • • • ( 1 + I T,(») I) ^ el 'm+iWI + +1'»(*)l < 21) ist, so gilt für die Glieder der eben erhaltenen Reihe (vom zweiten ab) die Abschätzung | P, | = | P , _ , | • | f.{t) | < 2 | fr(z) | . Mit I U( z ) I ist daher auch die neue Reihe (6) in ©' gleichmäßig konvergent und folglich die dadurch definierte Funktion F m (e) eine im Innern von &', insbesondere also in z 0 reguläre Funktion. Sie ist dort auch von 0 verschieden, denn nach (5) ist in ©' für n 2g m lf„+1(z)l 1 , so daß kein Faktor von Fm gleich 0 sein kann. Mit Fm(z) ist wegen f(z)=(l + f1(z))---(l +f

m

(z))F

m

(z)

auch f(z) in jedem inneren Punkte z von regulär und kann in einem solchen nur dann verschwinden, wenn einer der vorangestellten Faktoren verschwindet; und die Ordnung einer solchen Nullstelle ist dann in der Tat gleich der Summe der Ordnungen, mit denen diese Faktoren daselbst verschwinden. Entsprechend dem weiteren Inhalt des Satzes 3 in I, § 19, läßt sich auch hier über die Ableitung von f(z) eine Aussage machen; doch wählt man — da die gewöhnliche Ableitung eines Produktes aus vielen Faktoren unübersichtlich X1 + ••• = e*. ') Für* 2 0 (Ja «ogar fflr alle reellen x) ist 1 + x S 1 + x +—

§ 2. Beweis des Weiers traßschen Produktsatzes.

19

wird — dabei vorteilhafter die sog. logarithmische Ableitung 1 ). Über sie gilt der Satz 8. Unter den Voraussetzungen des Satzes 7 ist an jeder Stelle z aus - oo für alle hinreichend großen v z T < | und also "•(k ist und die Reihe somit sicher absolut konvergiert, *) Dazu beschreibe man etwa um 0 die Kreise mit 1,2, 3 , . . . und ordne die Punkte nach den aufeinanderfolgenden Kreisringen, diejenigen (nur endlich vielen), die In demselben Hinge liegen, dabei nach irgendeinem Gesichtspunkt anordnend. ') Oft werden schon kleinere Zahlen ausreichen. ') Für Jede natürliche Zahl a Ist stets i

< 1.

1. Kapitel. Ganze Funktionen.

22

Hat man die Zahlen k, dieser Bedingung gemäß in sonst beliebiger, aber fortan festbleibender Weise gewählt, so werden wir nun beweisen, daß das Weierstraßsche Produkt gn . f

j

(l — - j

+

-

+

T

y

&

""

eine ganze Funktion G0(z) mit den verlangten Eigenschaften darstellt 1 ). (Hier ist aber, falls der Nullpunkt nicht zu den vorgeschriebenen Nullstellen gehört (s.o.), dervordem Produkt stehende Faktor z"» fortzulassen; desgleichen soll, falls eine der Zahlen k, = 0 ist, der entsprechende Exponentialfaktor fortgelassen werden.) Der Beweis dieser Behauptung ist nun ganz einfach: Wir setzen, um die entwickelten Sätze über Produkte anwenden zu können, die Faktoren unseres unendlichen Produktes = 1 + f,(z) und haben nach Satz 7 lediglich zu beweisen, daß für die dadurch erklärten Funktionen

a.

A« die Reihe (4)

—1

=

z imi

in j e d e m beschränkten Gebiete gleichmäßig konvergiert. Denn dann darf für das Gebiet @ jenes Satzes die ganze Ebene genommen werden, und es wäre nach ihm das unendliche Produkt und folglich auch G0(z) eine ganze Funktion; und der zweite Teil jenes Satzes 7 liefert dann mit Rücksicht auf die Form der Faktoren von G0(z) sofort weiter, daß G0(z) auch die verlangten Eigenschaften besitzt. Die gleichmäßige Konvergenz der Reihe (4) im Kreise mit Ä um 0 (R > 0 beliebig, aber fortan fest) ergibt sich nun folgendermaßen: ') Die In der eckigen Klammer stehenden ExponentlalgrCBen m a c h e n das Produkt konvergent, welohes ohne dieselben Im allgemeinen divergent sein würde. Man nennt sie deshalb die k o n v e r g e n z e r t e u g e n d e n F a k t o r e n .

§ 2. Beweis des Weierstraßschen Produktsatzes.

23

Da die Reihe (3) auch für e = B konvergiert und da 2v-> oo strebt, so kann m so groß gewählt werden, daß für alle v > m *»+x

(5)

< \

und auch

R

-—- < \

bleibt. Ersetzen wir dann für den Augenblick — durch u, z

v

kr durch k und ocv durch « , so hat für v > m das v-te Glied der Reihe (4) die Form nit

i l « | < * und | • \k+1 I + I -37 I + . . . = « I » I — 1. | 4> |

24

1- Kapitel. Ganze Funktionen.

und dies ist wieder, da für x^Q

stets ex— 1 iS xex ist 1 ),

^ 2 » | u |*+1 W *+1 < 6« | u f+i, letzteres, weil der Exponent von e nach (5) kleiner als 1 ist. Man hat also für alle hinreichend großen v und alle | z | iS R «*»+!. R k+i | f,(z) | < 6 « , sS 6 « , z, z. Dies sind aber positive Zahlen, deren Summe — so waren ja die Zahlen kv gewählt worden — konvergiert. Nach dem Weierstraßschen Konvergenzsatz in I, §18 ist also JS \ fv(z) | im Kreise mit R um 0 gleichmäßig konvergent und somit der Weierstraßsche Produktsatz vollständig bewiesen. Aufgaben: 1. Man führe die Beweise der Sätze 1—6 genau durch. 2. Es soll die Konvergenz und der Wert der folgenden Produkte mit konstanten Faktoren festgestellt werden: a)

-

rim

n=2

3. Bs soll das Konvergenzgebiet der folgenden Produkte festgestellt werden:

OD a) J~J (1 —2"); »-=l d)

J l

—

OD b) f f ( 1 + z * 1 ) ; »="0

CD C) f j n=»

1-i);

, wenn hierin p alle Primzahlen durchläuft;

00

e) f

j

(1 + cn2), wenn 2c„ eine absolut konvergente Reihe ist •

n-i

4. Man beweise die Formeln »1

/

X

X*

\

§ 3. Beispiele zum Weierstraßschen Produktsatze.

b) 7 7 ( 1 + z i n )

=

r

i -

25

(vgl. 3b).

5. Welche Werte haben die Koeffizienten ¡i n rechter Hand in der Gleichung

in der p wieder die Primzahlen durchlaufen soll? 6. Ist 2lt z a , . . z n , . . . irgendeine Zahlenfolge, die gegen oo strebt, so ist, falls alle z n 4= 0 sind,

für jedes z konvergent. — Welche kleineren Zahlen k„ kann man daher beim Beweise des Weierstraßschen Produktsatzes an Stelle der im Text benutzten stets wählen? 7. Man beweise folgende Übertragung des Weierstraßschen Produktsatzes auf das Gebiet des Einheitskreises: z t , z 2 , . . . , z n . . . sei einebeliebigeFolgeverschiedenerinnerhalb des Einheitskreises gelegener Punkte, die i n n e r h a l b des Einheitskreises keinen Häufungspunkt haben (sondern also nur auf dessen Peripherie), und es sei « j . c t j , . . . , a „ , . . . eine Folge beliebiger positiver ganzer Zahlen. Dann läßt sich stets eine Funktion f(z) konstruieren — und zwar in einer dem Weierstraßschen Produkt genau analogen Form — , die im Einheitskreise regulär ist und die dort genau an den Stellen zn Nullstellen der Ordnung = 1, tu' = t .

Flg. 1.

Die Numerierung der Punkte können wir genau wie dort durchführen; den Quadraten entsprechen jetzt Parallelogramme, deren Rand in Fig. 1 gestrichelt ist. Ihre Folge beginnt daher mit 0, CU, 0) + o>', tu', — tu + tu', — tu, —tu — tu', — tu', tu — tu', 2tu, 2tu + tu', 2«u+ 2 I — I liefern also die Punkte des p-ten I I Parallelogramms einen Beitrag, der ist. Da aber ^

V

\ v h )

h3

p»

^ konvergiert, so ist auch die vorgelegte R«ihe

für jedes z absolut konvergent. Es genügt daher, im Weierstraßschen Produkt alle k„ = 2 zu nehmen, und man hat in 00 / \ — + — (— V G,W = , . / 7 l - i ) e * ' v—l bei der angegebenen Bedeutung der 2, eine ganze Funktion mit den verlangten Eigenschaften. — In der Weierstraßschen Theorie der elliptischen Funktionen wird diese Funktion die zum Periodenpaare (10, a>') gehörige Sigmafunktlon genannt und mit a(z) = , \ o') bezeichnet. Wegen der absoluten Konvergenz des Produktes kommt es (s. § 2, Satz 6) auf die Reihenfolge der Faktoren gar nicht mehr an, und man darf daher ohne weitere Fixierung der Reihenfolge der Gitterpunkte schreiben: a(z | i ') =

- . / ~ 7 ' /1l / 1 \

" \ J m + *'co' + T hat + kfat')

+ *'«.')

wenn hierin h und k' unabhängig voneinander alle ganzen Zahlen ^ 0 durchlaufen, doch ohne dabei gleichzeitig 0 sein zu dürfen. An diese letzte Einschränkung soll der Akzent am Produktzeichen erinnern. 3. Beispiel. Endlich soll noch eine ganze Funktion konstruiert werden, die für zB = 0 sowie für zl = — 1, z2 — — 2 , . . . ,

1. Kapitel. Ganze Funktionen.

32

z„ = — v , . . . , aber an keiner anderen Stelle, je eine Nullstelle erster Ordnung hat. Hier genügt es ersichtlich wieder, alle k„ = 1 zu nehmen, so daß man in (4)

G M = *•

f j

sofort eine Funktion mit den verlangten Eigenschaften hat, aus der die allgemeinste nun wieder durch Hinzufügung eines Faktors der Form e* hervorgeht (s. § 1, Satz 2). Diese Funktion steht mit der Eulergehen Gammafunktion in nächster Beziehung, die für reelle Argumente dem Leser von der Integralrechnung her bekannt sein wird. Sie wurde von L. Euler für beliebige Komplexe s mit SR(s) > 0 durch das Integral + 00

(6)

y(z) = /

e-H*~ldt

>

und von C. F. Gauß für alle 3 4= 0,—1, — 2 , . . . durch den Grenzwert {nz = e z k , g B mit positiv-reellem Logarithmus), erklärt. Sie ist nächst den elementaren Funktionen eine der wichtigsten Funktionen der Analysis. Bei den mannigfachsten Untersuchungen der reinen und angewandten Mathematik, von der Zahlentheorie bis zur theoretischen Physik, drängt sie sich herein, so daß eine genaue Kenntnis ihrer analytischen Eigenschaften unumgänglich nötig wird. Das erste Studium dieser Funktion ist auf das Problem zurückzuführen, die Folge der Fakultäten 0! (= 1), 1 1 , 2 ! , . . . zu i n t e r polieren, d.h. die Punkte (v, i>!) oder (wie man im Anschluß an Euler gewöhnlich schreibt) mit den Koordinaten x == v + 1, y=v\ (v = 0,1,2,...) durch eine möglichst einfache Kurve zu verbinden; oder also: eine möglichst einfache reelle Funktion y—F(x) der reellen Veränderlichen x anzugeben, die für x = v + 1 den Wert y = v 1 hat. E u l er gab die durch (5), Gauß die durch (6) erklärte Funktion als Lösung an. In § 6 werden wir zeigen, daß beide völlig identisch sind. Hier soll zunächst nur die Existenz des von Gauß benutzten Grenzwertes in (6) bewiesen und die Beziehung der durch ihn dargestellten Funktion r(z) zu der in (4) eingeführten Funktion Gj(z) geklärt werden. Dazu hat man nur den reziproken Wert des in Rede stehenden Ausdrucks in der Form

$ 3. Beispiele zum Weierstraßschen Produktsatze.

33

oder im Hinblick auf (4) in der Form i + Y + -••+

.C

— logn)z

zu schreiben. Denn nun ist sofort klar, daß unser Ausdruck mit n - » + oo, und zwar für jedes z, gegen den Wert der ganzen Funktion K(z) =

eCzz

77 N)-

strebt, die aus der Lösung (4) unseres letzten Beispiels durch Hinzufügung des Faktors e*(z> mit h(z) = Cz hervorgeht. Dabei ist C die durch den Grenzwert lim

(7)

{ ( l

+

^

+

- + ^ ) - l o g » }

erklärte Eulersche oder Mascheronische Konstante, deren Zahlenwert = 0,577 216 664 9 . . . ist1). Da K(z) für z =)= 0, — 1, — 2 , . . . sicher von 0 verschieden ist, so ist also der Gaußsche ') DaS der Grenzwert (?) vorhanden ist, kann man folgendermaßen zeigen Für jedes » = 1, 2,. . . ist, wie auB der geometrischen Bedeutung des Integrals als Flächeninhalt sofort ersichtlich ist, n+i n+i 1 dx 1 1 1 f ** also > 1 I — > 0. n n +1 n J x n n Setzt man die hier in der Ultte stehende Differenz = yfl1 so Ist hiernach 0 < y_ < ( i—V Also Ist £Vn= C konvergent mit 0 < C < 1. Es * \ n n + 1/ strebt also

I

(Vi + V. + • n 1 r dz wegen — — 0 und J — = logn strebt also auch t

1

34

2. Kapitel. Meromorphe Funktionen.

Grenzwert in dem behaupteten Umfange vorhanden. Er definiert also eine eindeutige analytische Funktion, nämlich den reziproken Wert der ganzen Funktion K(z). (Weiteres darüber s. § 6,3. Beispiel.) Aufgaben: 1. Man leite aus dem sin-Produkt die Werte der folgenden drei Produkte her: 2 2 4 4 6 6 1 a) H i r n " ' (Wallissches Produkt). 2 6 6^ 10 10 14 3 6 7 ' 9 ' 11 13 " 2 4 8 10 14 16 c) 3 S 9 ' 9 ' 16 16 " 2. Man stelle die Pröduktentwicklungen für die folgenden ganzen Funktionen auf: a) e*—1; b) e*—e1«; c) sin«—sinz,; d) cos«—cosz0. 3. Man zeige, daß es ganze Funktionen gibt, die an beliebig vorgeschriebenen Stellen z lt z s , . . , z „ , . . . , die sich nur nirgends im Endlichen häufen sollen, beliebig vorgeschriebene Werte w u w 2 i . . . , « ; „ , . . annehmen. b)

2 1

2. Kapitel. Meromorphe Funktionen. §4. Der Mittag-Leffler sehe Teilbrnchsatz. Die gebrochenen rationalen Funktionen sind rein funktionentheoretisch vollständig durch die Sätze I, § 35, 1—3 charakterisiert. Wir lösen die darin ausgesprochenen Grundeigenschaften derselben, ähnlich wie im vorigen Kapitel, in die beiden Feststellungen auf: (A) Für jede (gebrochene) rationale Funktim gibt es eine sog. Teilbrucheerlegung, die ihre Pole mit den zugehörigen Hauptteilen erkennen läßt. Ist etwa f0(z) die gegebene rationale Funktion, sind z1,zi,...,zl deren Pole mit den zugehörigen Hauptteilen «W. a ( 'L a