Funktionentheorie: Band 2 Anwendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie [13. Aufl. Reprint 2019] 9783110864045, 9783110085167

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Funktionentheorie ii Anwendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie von

Konrad Knopp f

13. Auflage mit 7 Figuren

w DE

G

1981

Walter de Gruyter • Berlin . New York

SAMMLUNG GÖSCHEN 2126

Dr. Konrad Knopp f ehem. o. Professor der M a t h e m a t i k an der Universität Tübingen

Die Gesamtdarstellung u m f a ß t folgende B ä n d e : E l e m e n t e der F u n k t i o n e n t h e o r i e Funktionentheorie: I : Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen I I : Anwendungen und W e i t e r f ü h r u n g der allgemeinen Theorie Aufgabensammlung zur Funktionentheorie: I : Aufgaben zur elementaren F u n k t i o n e n t h e o r i e I I : Aufgaben zur höheren F u n k t i o n e n t h e o r i e CII'-Kurztitelaufnahme

der Deutschen

Bibliothek

Knopp, Konrad Funktionentheorie. — Berlin, New York : de Gruyter. 2. Anwendungen und W e i t e r f ü h r u n g der allgemeinen Theorie. — 13. Aufl. — 1981. ( S a m m l u n g Göschen; 2126) I S B N 3-11-008516X

© Copyright 1976 by W a l t e r de G r u y t e r & Co., vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung, J . G u t t e n t a g , Verlagabuchhandlung, Georg Reimer, K a r l J . T r ü b n e r , Veit & Comp., 1 Berlin 30 — Alle Rechte, insbesondere d a s R e c h t der Vervielfältigung u n d V e r b r e i t u n g sowie der Übersetzung, vorbehalten. Kein Teil des W e r k e s darf in irgendeiner F o r m (durch Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) o h n e schriftliche G e n e h m i g u n g der Verlages r e p r o d u z i e r t oder u n t e r V e r w e n d u n g elektronischer Systeme v e r a r b e i t e t , vervielfältigt oder verbreitet werden — P r i n t e d in G e r m a n y — R e p r o d u k t i o n und D r u c k : Mercedes-Druck, 1 Berlin 61 — B i n d e a r b e i t e n : Berliner Buchbinderei W ü b b e n & Co., 1 Berlin 42

Inhaltsverzeichnis. Sette &

Einleitung

Erster Abschnitt.

Eindeutige Funktionen. 1. Kapitel. G a n z e $ j §

1. 2. 3.

Funktionen.

Der WeierstraBsche P r o d u k t s a t z Beweis de« Weierstraßschen P r o d u k t s a t z e s Beispiele z u m Weier6tra0schen P r o d u k t s a t z e

2. Kapitel. M e r o m o r p h e § $ 5

4. !>. 6.

§ 5 §

7. 8. 9.

Funktionen.

Der Mittag-Lefflersche Teilbruchsatz Beweis des Mittag-LefflerBehen Satzes Beispiele z u m Mittag-Lefflerschen Satze

3. Kapitel. P e r i o d i s c h e

8 13 25 34 38 41

Funktionen.

Die Perioden a n a l y t i s c h e r F u n k t i o n e n Einfach-periodische F u n k t i o n e n Doppelt-periodische, insbesondere elliptische F u n k t i o n e n

53 90 67

Zweiter Abschnitt.

Mehrdeutige Funktionen. 4. Kapitel. W u r z e l u n d § 10. $ 11. 5 12. «• =

6. Kapitel. A l g e b r a i s c h e $ 13. $ 14. § 15.

Logarithmus.

Vorläufiges Uber m e h r d e u t i g e F u n k t i o n e n und R i e m a n n s c h e Fliehen r, Die R l e m a n n s c h e n F l ä c h e n f ü r y z u n d l o g ; Die Rlemannschen Flächen für die Funktionen o,) (z — a , ) . . . (z — a i )

1

80 98

Funktionen.

Problemstellung Stetigkeit u n d Dlfferenzlerbarkeit der Wurzeln Die algebraische F u n k t i o n

6. Kapitel. D a s a n a l y t i s c h e I 16. § 17. $ 18. Register

83

103 105 110

Gebilde.

Die monogene a n a l y t i s c h e F u n k t i o n Die R l e m a n n s c h e F l ä c h e Da» analytische Gebilde

118 122 126 129

Literatur Fttr die hier behandelten Teile der Funktionentheorie, sowie zur Wetterführung und Vertiefung des Studiums sind auBer den in ,,I" genannten Werken Ober die allgemeine Theorie (insbesondere denen von L. B i e b e r b a c h , C. C a r a t h é o d o r y , 0 . D o e t s c h , W. F. Osgood sowie den Cours d'analyse von É. G o u r s a t , C. J o r d a n und É. P i c a r d ) noch die folgenden zu nennen: É. B o r é l , Leçons sur les fonctions entières. 2. Aufl. Paris 1921. É . B o r e l , Leçons sur les fonctions méromorphes. Paris 1903. H. B u r k h a r d t , Funktionentheoretische Vorlesungen. Zweiter Teil: Elliptische Funktionen. 3. Aufl. (hrsgeg. v. G. F a b e r ) . Berlin und Leipzig 1920. C. C a r a t h é o d o r y , Funktionentheorie II, Basel i960. P. D i e n e s , The Taylor Series, Oxford 1931. R. F r l c k e , Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen. I. Teil, Leipzig 1916, II. Teil, Leipzig 1922. F. A p p e l und E. G o u r s a t , Théorie des fonctions algébriques et de leurs intégrales. 2. Aufl., 2 Bände, Paris 1930. T. Lösch und F. S c h o b l i k , Die Fakultät (Gammafunktion) und verwandte Funktionen, Leipzig 1051. R. N e v a n l i n n a , Eindeutige analytische Funktionen.2. Aufl., Springer-Verlag 1953. E. C. T i t c h m a r s h , The theory of funetions, Oxford 1932. E. C. T i t c h m a r s h , The Zeta-Functlon of Riemann, Cambridge 1930. F. T r i c o m i , Funzloni analitiche. Bologna 1936. F. T r i c o m i , Funzloni ellitiche. Bologna 1937. H. W e y l , Die Idee der Riemannschen Fläche, 23. Auil., B. (i. Tcubner, Stuttgart 1954. E. T. W h i t t a k e r und G. N. W a t s o n , Acourse of modern analysls. 4. Aufl. Cambridge 1927. Die Anwendungen der Funktionentheorie behandeln: J. H e i n o l d , Theorie und Anwendung der Funktionen einer komplexen Veränderlichen, München 1949. R. R o t h e , F. O l l e n d o r f f und K. P o h l h a u s e n , Funktionentheorie und ihre Anwendungen in der Technik. Berlin 1931.

Einleitung. In dem einführenden Bändchen „Elemente der Funktionentheorie" und im ersten Teil dieser Funktionentheorie 1 ) wurden die Grundlagen der allgemeinen Theorie der Funktionen gelegt und die sog. elementaren Funktionen (Elem., 5. Abschn.) eingehender behandelt. Daneben wurden aber auch schon zwei besondere Klassen von Funktionen, die rationalen (I, § 35) und die ganzen Funktionen (I, § 27 u. 28), näher betrachtet. Solohe mehr ins Einzelne und tiefer gehenden Untersuchungen von Funktionenklassen sollen jetzt in den Vordergrund treten. Dabei wird sich zeigen, daß die Unterscheidung von eindeutigen und mehrdeutigen Funktionen, die schon in I. § 24, S. 104/6 bei dem Versuch einer vollständigen E r k l ä r u n g des Begriffs der analytischen Funktionen angedeutet wurde, durchaus grundlegend ist. Sie soll daher für die ganze folgende Darstellung maßgebend sein. Aus diesen beiden Hauptklassen greifen wir wieder einige besonders charakteristische und wichtige Typen von Funktionen heraus. D a uns Vollständigkeit in dem engen Rahmen dieses Büchleins versagt bleibt, ist eine gewisse Willkür hierbei unvermeidlich. Doch werden wir dieser Gefahr am ehesten entgehen, wenn wir von den elementaren Funktionen (den ganzen und gebrochenen rationalen Funktionen, von e*, sin2, und deren Umkehrungen) als den wichtigsten ausgehen und das Wesentliche und Allgemeingesetzliche an ihren Haupteigenschaften zu erkennen suchen 2 ). ') „ E l e m e n t e der F u n k t i o n e n t h e o r i e " , 5. Aufl. Berlin 1959. Sammlung Göschen Nr. 1109. — . . F u n k t i o n e n t h e o r i e " E r s t e r T e i l : Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen F u n k t i o n e n , 10. Aufl., Berlin 1961. Sammlung Göschen Nr. 668. — I m folgenden werden- diese B ä n d c h c n kurz mit „ E l e m . " bzw. „ I " unter Angabe von K a p i t e l oder Paragraph zitiert. *) E s kann »ich Im folgenden durchaus nur um eine Auswahl handeln. Her Leser möge darum den Inhalt dieses Bändchens nicht dem der Funktionentheorie gleichsetzen.

6

Einleitung.

Die g a n z e n r a t i o n a l e n F u n k t i o n e n (Elem., § 39), in vielem die einfachsten und durchsichtigsten Funktionen, sind „rein funktionentheoretisch" dadurch charakterisiert (I, S. 139), daß sie in der ganzen Ebene regulär sind und im P u n k t oo einen Pol haben. Läßt tnan die letztere Eigenschaft außer acht, so gelangt man zu der allgemeineren Klasse dergan zen F u n k t i o n e n , der die rationalen und transzendenten als Sonderfälle angehören und die also allein durch die Eigenschaft, in der ganzen Ebene (ausseid, oo) regulär zu sein, charakterisiert sind. Sie erschienen uns in I. § 29 auch deshalb als die einfachsten, weil ihre für einen beliebigen Mittelpunkt angesetzte Potenzreihenentwieklung in der ganzen Ebene konvergiert und also die Funktion darstellt. Da dann von analytischer Fortsetzung gar nicht mehr die Rede ist, sind sie eindeutig; und sie sind in ihrer Gesamtheit identisch mit der Gesamtheit aller beständig konvergenten Potenzreihen der Form OD g(z)

£

anz"

n= 0 und erscheinen auch so als eine unmittelbare Verallgemeinerung der ganzen rationalen Funktionen. Wir wollen im ersten Kapitel an diese Funktionen mit der Frage herantreten: Welche der Grundeigenschaften der ganzen rationalen Funktionen besitzt auch noch die übergeordnete Klasse der ganzen Funktionen und welche nicht? Die g e b r o c h e n e n r a t i o n a l e n F u n k t i o n e n (Elem. § 40) sind nach I, § 35, Satz 1 und 2 rein funktionentheoretisch dadurch vollständig charakterisiert, daß sie in der ganzen Ebene und im Punkt oo keine andern Singularitäten haben als Pole. Läßt man auch hier die letzte auf den Punkt oo bezügliche Eigenschaft außer acht, so gelangt man wieder zu einer allgemeineren Funktionenklasse, den sog. m e r o m o r p h e n F u n k t i o n e n , die nun allein durch die Eigenschaft, in der ganzen Ebene (ausschl. oo) keine anderen Singularitäten als Pole zu haben, charakterisiert sind.

Einleitung.

7

Tm zweiten Kapitel wollen wir an diese Funktionen, die sich auch als eindeutig erweisen werden, mit der analog zu formulierenden Frage herantreten wie soeben. Die funktionentheoretisch interessanteste Eigenschaft der Funktionen e*, sinz, u. a. ist ihre Periodizität. Wir werden im dritten Kapitel diese ihre Eigenschaft, losgelöst von der besonderen Natur jener Funktionen, rein funktionentheoretisch näher untersuchen. Wir gelangen so zu den Klassen der einfach-, und der d o p p e l t - p e r i o d i s c h e n F u n k t i o n e n . Innerhalb der letzteren treffen wir dann insbesondere die e l l i p t i s c h e n F u n k t i o n e n an. — Mit diesen Typen aus dein Reich der eindeutigen Funktionen müssen wir uns genug sein lassen. Bei den m e h r d e u t i g e n F u n k t i o n e n wird es sich vor allem darum handeln müssen, den Begriff derselben klar herauszuschälen, was in I, § 24 noch nicht möglich war, und eine deutliche Anschauung von dem Wesen der Melirdeutigkeit zu geben. Das gelingt im vierten Kapitel durch eine sehr einfache, aber eben deshalb als besonders genial zu bewertende Hilfsvorstellung, die R i e m a n n s c h e n F l ä c h e n . An den einfachsten mehrdeutigen Funktionen, wie

p

yz, log2, ]J(z — aj (2 — flü)-1- -(z — rtt), wird die Bildung dieser Flächen erläutert und im fünften Kapitel eine besonders wichtige und darum auch besonders gut durchforschte Klasse von melirdeutigen Funktionen ausführlicher behandelt: die a l g e b r a i s c h e n F u n k t i o n e n . Unter Zuhilfenahme des hierbei gewonnenen Begriffs der a l g e b r a i s c h e n S i n g u l a r i t ä t e n werden endlich im sechsten Kapitel die Lücken, die unsere in I, S. 104/6 gegebene Definition der vollständigen analytischen Funktion bzw. des analytischen Gebildes noch hatte, ausgefüllt und damit der Begriff des a n a l y t i s c h e n Gebildes in seiner vollen Allgemeinheit gewonnen, — dieser wunderbare, von allem An

8

1. Kapitel. Ganze Funktionen.

fang im Mittelpunkt unserer Betrachtungen stehende, doch keineswegs im ersten Anlauf zu bezwingende Begriff, der zu den schönsten und tiefsten in den gesamten mathematischen Wissenschaften gehört.

Erster Abschnitt.

Eindeutige Funktionen. 1. Kapitel. Ganze Funktionen. § 1. Der Weierstraßsche Produktsatz. Die wichtigste funktionentheoretische Eigenschaft der ganzen rationalen Funktionen findet im Fundamentalsatz der Algebra (Elem. § 39 u. I, S. 115 und 140) ihren Ausdruck: Jede {nicht konstante) ganze rationale Funktion besitzt NuMstellen. Da z. B. e* (wegen e* e~z — 1) keine Nullstellen hat, so scheint unsere oben formulierte Fragestellung sogleich zur Unfruchtbarkeit verurteilt. Doch werden wir bei näherem Eingehen auf den Kern der Sache bald sehen, daß dem nicht so ist. Ist nämlich 0o(2) = a o + a \ z H 1( m ^ l , a„,4=0)

»

eine beliebige, nicht konstante ganze rationale Funktion, so folgt aus dem Fundamentalsatz der Algebra genauer, daß g0(z) in der Form (1)

g0(z) = am(z — ej*

(z — ej»

•••(z — ztf*

dargestellt werden kann, wenn zl, z2,... ,zk die sämtlichen untereinander verschiedenen Nullstellen von g0(z) und , i x 2 , . . . , oct deren Ordnungen bedeuten. — Wir drücken dies so aus:

§ 1. Der Weierstraßsche Produktsatz.

9

(A) Für jede ganze rationale Funktion gibt es eine Produktdarstellung, die ihre Nullstellen nach Lage und Ordnung erkennen läßt1). Aus ihr liest man sofort weiter ab, daß jede andre ganze rationale Funktion g(z), die dieselben Nullstellen in derselben Ordnung hat, sich von g0(z) nur durch den Faktor am unterscheiden kann; und ferner, daß man diesen Nullstellen jede Lage und jede Ordnung geben kann, m. a. W.: (B) Es lassen sich stets ganze rationale Funktionen bilden, deren Nullstellen nach Lage und Ordnung vorgeschrieben sind2). — und zwar in Form eines Produktes, das diese Nulls teilen erkennen läßt. Aus einer Funktion dieser Art geht die allgemeinste durch Hinzufügung eines willkürlichen von 0 verschiedenen Faktors hervor („durch eine multiplikativ hin zutretende ganze rationale Funktion ohne Nullstellen"). Deutet man durch diese beiden Feststellungen (A) und (B) den Inhalt des Fundantentalsatzes der Algebra, so werden wir sehen, daß sich dies Wort für Wort auf beliebige ganze Funktionen übertragen läßt. Dazu legen wir uns zunächst, als grundlegend für das folgende, die der zweiten Feststellung entsprechende Aufgabe vor. nämlich zu untersuchen, ob und wie man ganze Funktionen mit vorgeschriebenen Nullstellen 3 ) bilden kann, und inwieweit dadurch eine ganze Funktion bestimmt ist. Soll die zu bildende ganze Funktion gar keine Nullstellen besitzen, so ist z. B. die Konstante 1 oder die Funktion e 1 oder e z ' oder allgemeiner e A(l) eine Lösung des Problems, wenn hierin h(z) eine völlig beliebige g a n z e Funktion bedeutet. ') Dies gilt auch f ü r ganze rationale Funktionen , .ohne Nullst eilen", d. h. solche 0-ten Grades (also die von 0 verschiedenen Konstanten), f ü r die die Produktdarstellung nur aus dem Faktor a 0 + 0) bestehen würde. — Für die Konstante 0 dagegen gelten unsere Betrachtungen natürlich nicht mehr. ') Natürlich dürfen f ü r eine ganze rationale Funktion nur e n d l i c h viele Nullstellen vorgeschrieben werden. ' ) D. h. die Funktion soll in genau vorgeschriebenen Punkten Nullstellen von genau vorgeschriebener Ordnung liahnn, — u n d in a l l e n ü b r i g e n P u n k t e n + 0 sein.

]. Kapitel. Ganze Funktionen.

10

Die letzte Antwort ist aber auch schon die a l l g e m e i n s t e Lösung des Problems, d. h. es ist (bei beliebigem ganzem h(z)) nicht nur eA stets eine ganze Funktion ohne Nullstellen, sondern es läßt sich auch umgekehrt jede solche Funktion in der Form e*'» darstellen. Wir sagen dafür kürzer: Satz 1. Bedeutet h(z) eine beliebige ganze Funktion, so ist die allgemeinste ganze Funktion ohne Nullstellen1). B e w e i s : Wir haben nur noch zu zeigen, daß, wenn g(z) — a0 + + + «3Z3 4- • • • eine gegebene ganze Funktion ohne Nullstellen ist, eine andre ganze Funktion h(z) = b0 + \z 4- • ' ' angegeben werden kann, so daß e^z) = g(z) ist. Nun ist wegen g(z) 4= 0 insbesondere a 0 = g(0) 4= 0, und es kann daher b0 so gewählt werden, daß eb'= a0 ist; denn e* nimmt jeden von 0 verschiedenen Wert an (Elem. § 41, 6). Ferner ist aus demselben

Grunde-^-

eine überall reguläre, also ganze Funktion. Da dasselbe von g'(z) gilt, so ist auch ^

= c0 4 v

eine ganze Funktion, die neue gent. Letzteres gilt dann auch c i „ K + e0z + - z 1 4 l = b0 + blz+---

4 V

2

4 • • •

Reihe also beständig konvervon der Reihe cn 1 ••4 — 4- • • • n + bn*> + ---,

die somit eine ganze Funktion h(z) darstellt. Mit ihr ist aber ' ) Bei B e n u t z u n g der m e h r d e u t i g e n F u n k t i o n log erscheint dieser Satz f a s t trivial. Denn ist g(z) eine ganze F u n k t i o n , die s t e t s + 0 i s t , so ist A(z) = log 7(2), z. B. durch die F e s t s e t z u n g , d a ß A(O) der H a u p t w e r t von logy(O) sein soll, eine ebenfalls In einer gewissen U m g e b u n g des N u l l p u n k t e s reguläre F u n k t i o n von z. I h r e dortige Kntwicklung h(z) — b, + btz + b,z' + • • • h a t also einen positiven Konvergenzradius. Dieser m u ß aber (auf Q r u n d von 1, i 24, Satz 1 oder 5 25) + o o sein, d a log g(z) nur d a singul&r sein k a n n , wo wo g(z) singul&r oder = 0 i s t , also nirgends im Endlichen.

§ 1. Der Weierstraßsche Produktsatz.

11

g(z)= e**z\ Denn g(z)e-M-^ hat die Ableitung (g' — g • h')e-h, die wegen h' = g /g, g 4= 0, überall = 0 ist. Daher ist g • e~h konstant und zwar, wie man für z = 0 erkennt, gleich 1, w. z. b. w. 1 ). Nachdem wir so unsere Aufgabe für den Fall, daß g a r k e i n e Nullstellen vorgeschrieben sind, schon vollständig gelöst haben, ist es leicht zu sehen, inwieweit eine ganze Funktion überhaupt durch ihre Nullstellen bestimmt ist. Sind nämlich O0(z) und G(z) zwei ganze Funktionen, die in ihren Nullstellen nach Lage und Ordnung übereinstimmen, so ist (vgl. I, § 21, Satz 4) der Quotient beider wieder eine ganze Funktion, jedoch o h n e Nullstellen. G(z) und G0(z) unterscheiden sich also (vgl. die Feststellung (B)) höchstens durch eine multiplikativ hinzutretende ganze Funktion ohne Nullstellen; und umgekehrt ändert das Hinzutreten einer solchen zu G0(z) offenbar nichts an der Lage und Ordnung der Nullstellen. In Verbindung mit Satz 1 drücken wir dies so aus: Satz 2. Ist G0(z) eine gegebene ganze Funktion, so ixt, wenn h(z) eine beliebige ganze Funktion bedeutet, G(e) = t»M G0(z) die allgemeinste ganze Funktion, deren Nullslellen nach Lagt und Ordnung mit denen von G„(z) übereinstimmen. Hiernach bleibt nur noch die Frage zu erledigen, ob und wie man überhaupt eine ganze Funktion mit irgendwie vorgeschriebenen Nullstellen bilden kann. Ohne jede Einschränkung ist dies offenbar nicht möglich. Denn da eine ganze Funktion nirgends im Endlichen eine singuläre Stelle hat, so können nach 1, §21, Satz 1 in jedem endlichen Gebiete nur endlich viele Nullstellen derselben liegen. Die ') Der d u r c h g e f ü h r t e Beweis lehrt allgemeiner: Sind zwei Funktionen /(z) und /,(*) in einem Gebiete (J> e i n d e u t i g , r e g u l ä r u n d v o n 0 v e r s c h i e d e n u n d s t i m m e n d o r t ihre logarithniiarhen Ableitungen / ' : / und / i : / i Ulwrein. so unterscheiden sich beide höchstens um einen k o n s t a n t e n Kuktor, — der n a t ü r l i c h — 1 sein muU. lails / und f, an irgendeiner Stelle von (ii den gleichen Wert haben.

12

1. Kapitel. Ganze Funktionen.

vorgeschriebenen Punkte dürfen sich also nirgends im Endlichen häufen. Macht man aber lediglich diese in der Natur der Sache gelegene Einschränkung, so werden wir sehen, daß sich stets eine ganze Funktion der in Rede stehenden Art bilden läßt. Diese wird dabei (ähnlich wie in (1) für die ganzen rationalen Funktionen) in Form eines Produktes aufgestellt werden können, das die Lage und Ordnung ihrer Nullstellen erkennen läßt. Es gilt also folgender nach seinem Entdecker benannter Weierstraßscher Produktsatz. Wird irgendeine (endliche oder unendliche), sich nirgends im Endlichen häufende Punktmenge vorgeschrieben und wird jedem ihrer Punkte eine bestimmte positive ganze Zahl als Ordnung zugeordnet, so gibt es stets eine ganze Funktion, die genau an den vorgeschriebenen Punkten Nullstellen von der vorgeschriebenen Ordnung besitzt und sonst von 0 verschieden ist. Dieselbe läßt sich in Form eines Produktes aufstellen1), aus dem die Lage und die Ordnung der Nullstellen (ähnlich wie bei (1)) wieder abgelesen werden kann. Und ist G0(z) eine solche Funktion, so ist G(z) = eh^-G0(z) die allgemeinste den Bedingungen des Problems genügende Funktion, wenn hierin h(z) eine beliebige ganze Funktion bedeutet2). Sehen wir diesen grundlegenden Satz für den Augenblick einmal als bewiesen an, so folgt aus ihm sofort, daß auch die erste unserer beiden Feststellungen über ganze rationale Funktionen sich auf beliebige ganze Funktionen übertragen läßt. Ist nämlich G(z) eine beliebig vorgelegte ganze Funktion, so hat die Menge ihrer Nullstellen nirgends im Endlichen eine ') Die fertige Formel s. u. S. 22. ') Soll die zu bildende ganze Funktion gar keine Nulle teilen haben, ao ist der Faktor ü,(z) fortzulassen, d. h. durch 1 zu ersetzen, — also doch auch durch eine ganze Funktion mit. den vorgeschriebenen Nullstellen.

§ 2. Beweis des Weierstraßschen Produktsatzes.

13

Häufungsstelle. Nach dem Weierstraßschen Satze wird man daher eine andre ganze Funktion G0(z) bilden können, deren Nullstellen nach Lage und Ordnung genau dieselben sind, — und zwar in Form eines Produktes, welches sie erkennen läßt. Dann ist aber nach Satz 2, wenn h0(z) eine passende ganze Funktion bedeutet, notwendig womit in der Tat eine P r o d u k t d a r s t e l l u n g der vorgelegten ganzen Funktion G(z) gewonnen wäre, aus der ihre Nullstellen nach Lage und Ordnung abgelesen werden können. — Wie behauptet, wären damit die beiden Feststellungen (A) und ( B ) über ganze rationale Funktionen Wort für Wort auf beliebige ganze Funktionen übertragen. Dem nun allein noch fehlenden Beweis des Weierstraßschen Produktsatzes ist der nächste Paragraph gewidmet. Aufgaben: 1.

ist eine ganze Funktion ohne Nullstellen

(Beweis ?). Nach Satz 1 kann sie also auf die Form gebracht werden. Wie hat man h(z) hierzu zu wählen? 2. cosiz und + 1 haben nach Lage und Ordnung dieselben Nullstellen (Beweis?). Nach Satz 2 geht also die zweite aus der ersten durch Hinzufügung eines Faktors der Form e*W hervor. Wie hat man h(z) hierzu zu wählen?

§ 2. Beweis des Weierstraßschen Produktsatzes. 1. U n e n d l i c h e P r o d u k t e . Die den Bedingungen des Weierstraßschen Satzes genügende ganze Funktion wird, wie schon angedeutet, in Form eines Produktes — und zwar im allgemeinen eines unendlichen Produktes — aufgestellt werden. Wie bei den unendlichen Reihen wollen wir dabei auch aus der Lehre von den u n e n d l i c h e n P r o d u k t e n mit konstanten Faktoren die einfachsten Tatsachen als bekannt voraussetzen. Da diese indessen nicht so allgemein bekannt zu sein pflegen, und um doch für das Weitere eine feste Grundlage zu haben, lassen

1. Kapitel. Ganze Funktionen.

14

wir ganz kurz die wichtigsten Erklärungen und Sätze, deren wir bedürfen, ohne Beweis folgen1). Erklärung 1. Das unendliche Produkt (l)

•«,...«„..• =

OD 77«»v—l

bei dem die Faktoren beliebige komplexe Zahlen bedeuten, soll dann und nur dann (eigentlich) konvergent heißen, wenn von einein Index an — etwa für (die v > m — kein Faktor verschwindet und wenn lim (u m+1 • u m + , • • • un) oo

vorhanden ist und einen endlichen und von 0 verschiedenen Wert hat. Bezeichnet man diesen mit Um, so urird die offenbar von m unabhängige Zahl U = t^ • »t • • • um Um als Wert des unendlichen Produktes. (1) angesehen*). Für solche konvergenten unendlichen Produkte gelten die leicht zu beweisenden Sätze: Satz 1, Ein konvergentes Produkt hat dann und nur dann den Wert 0, wenn einer seiner Faktoren verschwindet. Satz 2. Das unendliche Produkt (1) ist dann und nur dann konvergent, wenn sieh nach Wahl eines beliebigen e >0 ein Index n, so bestimmen läßt, daß für alle n > w„ und alle r ä 1 stets l " » + i •«»+» ••••«»•+r — ! |
und tu' charakterisiert ist. t

j_v •

') Bis zur f ü n f t e n Auflage dieses Bündchens wurde ein anderer in sich Interessanter Weg zur Bestimmung von A„ (z) benutzt. Der obige wurde mir von H . W l e l a n d t mitgeteilt.

30

1- Kapitel. Ganze Funktionen.

Die in Elem. § 23 als 3Rt betrachtete Menge der Gitterpunkte ist ein Sonderfall der hier eingeführten; sie entspricht der Annahme at = 1, «/ = t.

Kg- l. Die Numerierung der Punkte können wir genau wie dort durchführen; den Quadraten entsprechen jetzt Parallelogramme, deren Rand in Fig. 1 gestrichelt ist. Ihre Folge beginnt daher mit 0 , w,

tu +

0.

x

hier in der Mitte stehende Differenz — y f l , so ist hiernach i — V Also ist Z y B = C konvergent mit 0 < C < 1. Es n+1/

/ 1 = ( i + T + • • • +

«

1

n 1 \ f dz „ — ¡ j - J i - c ; i

r dx

wegen ——• 0 und I — = log» strebt also auch

i

K n o p p , Funktlonentbeorle. I I .

2

2. Kapitel. Meromoiphe Funktionen.

34

Grenzwert in dem behaupteten Umfange vorhanden. Er definiert also eine eindeutige analytische Funktion, nämlich den reziproken Wert der ganzen Funktion K(z). (Weiteres darüber s. § 6, 3. Beispiel.) A u f g a b e n : 1. Man leite aus dem sin-Produkt die Werte der folgenden drei Produkte her: 2 2 4 4 6 6 , (Wallissches Produkt). T 3 3 5 5 7 2 2 6 6 10 10 14 b) 1 3 6 7 9 11 13 2 4 8 10 14 16 9 c) " 3 3 9 ' 9 16 1 5 " ' 2. Man stelle die Pröduktentwicklungen für die folgenden ganzen Funktionen auf: a) e*—1; b) e*—e*.; c) sine—sin2 0 ; d) cos2—cos2 0 . 3. Man zeige, daß es ganze Funktionen gibt, die an beliebig vorgeschriebenen Stellen z1, z 2 , . . , z „ , . . . , die sich nur nirgends im Endlichen häufen sollen, beliebig vorgeschriebene Werte u>1,w2i . . . , « ; „ , . . annehmen.

2. Kapitel. Meromorphe Funktionen. §4. Der Mittag-Lefflersche Teilbrachsatz. Die gebrochenen rationalen Funktionen sind rein funktionentheoretisch vollständig durch die Sätze I, § 35, 1—3 charakterisiert. Wir lösen die darin ausgesprochenen Grundeigenschaften derselben, ähnlich wie im vorigen Kapitel, in die beiden Feststellungen auf: (A) Für jede (gebrochene) rationale Funktion gibt es eine sog. Teilbruchzerlegung, die ihre Pole mit den zugehörigen Hauptteilen erkennen läßt. Ist etwa f0(z) die gegebene rationale Funktion, sind zv z 2 , . . . , zk deren Pole mit den zugehörigen Hauptteilen (1)

=

a ( '\

«

Z—Zv

(Z — Z,)2

(v = 1, 2 , . . . , k),

a 0 beliebig gewählt und m > |/2 ß , so ist die von v = w + 1 an genommene Reihe in | z | iS R ersichtlich gleichmäßig konvergent1), womit die Behauptung schon bewiesen. — Wir bilden weiterhin die den Beispielen des § 3 entsprechenden meromorphen Funktionen. 1. Beispiel: ctg 7t*. Die reellen Gitterpunkte sollen Pole erster Ordnung mit dem Residuum + 1 werden, also mit den Hauptteilen >) Denn für v > m tBt dort I 1 | *? 1• < * — •* ~ »" — 71

1 2 - —. — ^ »« r'

42

2. Kapitel. Meromorpho Funktionen. hv(z)

=

, (20 = 0,

Zj^ =

,

=

/ 1 konvergent. Subtrahiert man dies von

und beachtet, daß

i (»+l)z

»-1 i

_ r

J

dt {n+t)'

=

_

r *J

tdt ( n + 0

O 0 ist (wie man durch Teilintegration des Integrals sofort bestätigt), so hat man —

(a)

m

rechts

OD

x

2

7 (M +

stehenden

tdt t)*

Hiermit ist aber die in Rede stehende Fortsetzung schon geleistet. Um dies zu erkennen, braucht man mit Rücksicht auf die Form der beiden ersten Summanden rechts nur zu zeigen, daß der dritte Summand, oder auch nur, daß die neue Reihe rechter Hand eine für 3t(z) > 0 reguläre Funktion darstellt. Dies folgt aber aus ganz ähnlichen Erwägungen wie vorhin. Die Glieder der Reihe sind nämlich wieder ganze Funktionen (sie sind ja durch Subtraktion solcher entstanden!) und für Sft(e) 2: — 1 regulär, a u ß e r in z = 0. wo ein Pol erster O r d n u n g liegt. Wegen des vor der K l a m m e r stehenden F a k t o r s z ist also dieser d r i t t e S u m m a n d selbst eine f ü r 9t(z) > — 1 ausnahmslos reguläre F u n k tion. Das gilt auch j ü r den letzten S u m m a n d e n , denn die Glieder der neuen Reihe sind wieder ganze F u n k t i o n e n , die n u n schon f ü r 9R(2) > — 1 + ' ein primitives Periodenpaar einer doppeltperiodischen Funktion, so bilden auch die Zahlen

ojj = Ojw + a[a>',

u>2 = n^ut + a^w'

ein primitives Periodenpaar derselben, wenn a j , a 2 , (C beliebige reelle ganze Zahlen bedeutenderen Determinante a 1 a' 2 — «J u.2 1 ist. Und durch geeignete Wahl der Zahlen a kann man j e d e s primitive Perioden paar der Funktion erhalten.

§ 8. Einfach-periodische Funktionen. Die Periodizität einer einfach-periodischen Funktion kann man sich folgendermaßen anschaulich machen: Man ziehe

Fig. 4

durch einen beliebigen Punkt c von g, z. B. den Nullpunkt, irgendeine nicht mit g zusammenfallende Gerade g' (s. Fig. 4) und Parallelen zu ihr durch alle Punkte c -f- n yt) die Ordinaten der genannten Parallelen, so ist f(z) in dem ganzen durch charakterisierten, parallel zur Achse des Reellen laufenden Streifen 6 regulär. Daher ist '

+

a-f«

+

a fo>'

o+ ) o ( z ) .

Durch dieselben beiden Integrationsschritte erhält man als die Anfänge der Laurentschen Entwicklungen für die Umgebung des Nullpunktes aus derjenigen für p ( z ) : (3)

= ± +

+

° z a ( z ) = z + d 6 z s+ . . . ,

(4)

bei denen wir die leicht zu berechnenden Beiwerte b3 und i 6 und alle folgenden nicht zu kennen brauchen. J e t z t erkennt man nun auf Grund von (2), daß die Funktion

a(z — a)a(z -f- a) in der a eine beliebige von den Gitterpunkten verschiedene

ff t ') D a — (2) eine ungerade Funktion i s t , so erhält man f ü r z = — ¿ < u t

daß k l ~ ~~

'8t

UD
) ^ + * ; der P u n k t w liegt in dem durch eben diese Ungleichung charakterisierten Streifen der w-Ebene, der in der Breite 2 n symmetrisch zur Achse des Reellen liegt. Und aus z = e" liest man ab, daß auch jeder Punkt w dieses Streifens das Bild eines z 0 ist. Durch den Hauptwert von log; wird also die aufgeschnittene Ebene, ausschl. 0, umkehrbar-eindeutig, stetig und konform auf den genannten Streifen der «¿»-Ebene abgebildet. Die übrigen Werte von logz, deren Träger die andern Blätter sind, unterscheiden sich vom Hauptwert nur um einen Summanden der Form 2/«it mit ganzzahligem fc^O. Die zugehörigen P u n k t e w liegen also in den durch ( » —1)JI = loez wird die unendlich-vielblättrige Rienumnsche z-Ebene mit den beiden (ihr nicht zugerechneten) Verzweigungspunkten in 0 und oo umkehrbar eindeutig, stetig und konform auf die schlichte w-Ebene abgebildet. Oder: Auf der Riemannschen Fläche für logz steht jede komplexe Zahl (4= oo) an einer und nur einer Stelle angeheftet. Die S. 85/86 als Beispiele aufgeworfenen Fragen erledigen sich nun ganz leicht:

') Wir rechnen den oberen Band (arc » = + ») des Schnitte«, ausseht. 0, mit xur aufgeschnittenen Ebene hinzu, damit Jedes t + 0 genau einmal In Ihr Hegt. >) Es sind dort ersichtlich die P e r i o d e n s t r e i f e n der Funktion — Überhaupt Ist die lediglich in einem willkürlichen Summanden der Form 2faii bestehende Vieldeutigkeit von tc = logz genau die „Inverse" Erscheinung zu der einfachen Periodizität der Inversen Funktion i -- t">, die Ja 2ni zur primitiven Perlode hat.

V

-

§ 1 1 . Die Riemannschen Flächen für |/? und log z,

97

1. log g(z) ist folgendermaßen völlig eindeutig erklärt: die Wahl von logg(O) bedeutet, daß wir bei dem P u n k t g{0) eines beliebig zu wählenden, aber nun bestimmten Blattes der log-Fläche anfangen. Gehen wir nun von 0 nach einem Punkte z0 auf zwei Wegen f, und Ij, so bewegt sich der Wert der Funktion g von g(0) nach g(z0) auf zwei Wegen, die wegen g(z) 4= 0 weder durch 0 hindurchgehen, noch den Punkt 0 einschließen können, und die uns daher beide auf der log-Fläche zu ein und demselben ganz bestimmten Punkt eines ganz bestimmten Blattes führen. Dort steht der Funktionswert log 0 ) unterworfen. Ist dann oc in 1 a n fest gewählt, so läßt sich nach IVahl von e > 0 stets ein 8, > 0 so bestimmen, daß für | c01 < d„ I ci I 0 stets ein d > 0 so angeben, daß für jedes zl =)= zo aus Kreise Kt um z0 genau OC getrennte Wurzeln im Kreise mit E umw't,..., genau a(p) getrennte Wurzeln im Kreise mit e um P) «4 und genau a getrennte Wurzeln außerhalb des Kreises mit \/e um den Nullpunkt liegen. Beweis. Das e ist im Sinne des Satzes hinlänglich klein, wenn sich die genannten Kreise mit e um w'0,..., w(tp) gegenseitig ausschließen und sämtlich innerhalb des Kreises mit 1 /e um 0 liegen. Wird dann das d so bestimmt, daß es den Bedingungen des Satzes 2 für w0 = w'„,..., w[p) und zugleich denen des Satzes 3 genügt, und überdies so klein genommen, daß für alle z=\=z0m Kg sowohl D(z) =)= 0, als auch gm(z)0 ist, so erkennt man unmittelbar, daß die Behauptungen des Satzes richtig sind. Wir wollen nun weiter voraussetzen, daß z0 von den „kritischen Stellen" (s. § 13) verschieden ist, die Gleichung G(z0, w) = 0 also genau m getrennte (einfache) Wurzeln hat. Ist w0 eine bestimmte von ihnen, so kann nun nach Wahl eines genügend kleinen e > 0 ein ö > 0 so angegeben werden, daß für jedes zl aus Kt eine und nur eine Wurzel von G(zlt w)=0 in Ke liegt. Diese ist also eine eindeutige und stetige Funktion von z, die f0(z) heißen möge. Über diese gilt nun sogar der folgende Satz von der R e g u l a r i t ä t der W u r z e l n : Satz 5. Die soeben erklärte Funktion f0(z) ist eine in K» reguläre Funktion von z. Beweis. Es sei zx ein beliebiger Punkt innerhalb Kg und Zj + C ein benachbarter, gleichfalls noch in Kt gelegener Punkt. Es sei /„fe) = wx und /„fo + £) = v>t + co, so daß neben G(z 1 ,w 1 ) = 0 auch G(zl + f , w 1 - f t u ) = 0 ist und ') Die Ordnungen a sind nicht-negative ganze Zahlen mit der Summe m. — Wie die« alles für den Fall zu verstehen Ist, daS p oder eine der Ordnungen gleich 0 zu setzen lBt, ist ja ohne weiteres klar.

110

f). Kapitel. Algebraische Funktionen.

(wegen der Stetigkeit der Funktion f0(z)) mit £ - * 0 auch strebt. Unsere neue Behauptung besagt nun einfach, daß dabei i-*o £ c~*> C vorhanden ist. Nun ist aber, wenn man nach Potenzen von £ und cj ordnet: G(z, -f £, -f a>) = G(z1,w1)-f £• Gifo,«^) -+- to G^fo, m>J) + Gliedern, welche mindestens die Faktoren £ 2 , £ü> oder co2 enthalten. Hierbei bedeuten, wie üblich, G't(zl, Wj) und die nach 2 bzw. w allein genommenen (partiellen) Ableitungen von G(z,w) an der Stelle (2j, u\). Da die linke Seite und das erste Glied rechts = 0 sind, kann also 0 = ClGife, « , ) + P • £ + Q • tu] + o>[G£(*lf » i ) + Ä • eu] gesetzt werden, wenn mit P, Q, R zur Abkürzung gewisse ganze rationale Funktionen von £ und u> bezeiclmet werden. Hierin ist nun, da w, eine einlache Wurzel von G(z1, w) = 0 sein sollte, sicher G'w{z^ m ^ ^ 0, und wir können uns daher £ und mit ihm o> schon so klein denken, daß | Ä - t u | < \ Gi(zl,w^)\ ist. Dann ist aber die zweite eckige Klammer der letzten Gleichung 4= 0, und es folgt nun sofort, daß w fUz,) = \im% vorhanden und = — \) c~+o C Gw(z1, wr) ist. Damit ist unser Satz bewiesen und zugleich die dem Leser aus dem Reellen her bekannte Formel für die Ableitung unserer unentwickelten Funktion f 0 (z) gewonnen.

§ 15. Die algebraische Funktion. Die Sätze des vorigen Paragraphen haben nun folgende Lage geschaffen: Jedem nicht kritischen Punkt z0 der Ebene sind m verschiedene Werte zugeordnet, die sich in jedem hinreichend kleinen Kreise um einen solchen Punkt (kurz: „im

§ 16. Die algebraische Funktion.

111

Kleinen") zu m völlig getrennten eindeutigen und regulären Funktionselementen zusammenlassen lassen, die wir jetzt mit fi(2;2o).

Uz'-zo),-

••

Jm(z\z0)

bezeichnen wollen. Man mag sich Potenzreihen mit dorn Mittelpunkt z0 darunter vorstellen. Dann haben wir nun weiter zu zeigen, daß alle diese Elemente zu einer und derselben m-deutigen analytischen Funktion gehören. 1. Zunächst sieht man, daß jedes der Elemente unbehindert über die punktierte Ebene fortgesetzt werden kann. Ist nämlich irgendein Kreis, in dem sich eins unserer Elemente, etwa ^(z; z0) regulär verhält, und ist z t ein nicht-kritischer Randpunkt von so muß (wegen der Eindeutigkeit der Zusammenfassung im Kleinen) genau eins der Elemente ff,(z\zl),(ji= 1 , 2 , . . . , m ) , in dem innerhalb von gelegenen Teil der Umgebung von z l mit f^z; zQ) übereinstimmen, — womit die Möglichkeit, dies letztere fortzusetzen, schon dargetan ist. 2. Wir denken uns nun die kritischen Punkte a„ aiy..., aT durch einen einfachen, sich selbst nicht schneidenden Linienzug Sin irgendeiner Reihenfolge untereinander und mit dem Punkt \ > it 00 verbunden A. f und die Ebene ^ N . / \ / längs 2 aufgeN. / \ / >/ schnitten (vgl. \ j Fig. 7). Dann ar ** Flg 7 kann jedes der Elemente fß{z\ z0) unbehindert über die aufgeschnittene Ebene —wir wollen dieses einfach zusammenhängende Gebiet mit 6 ' bezeichnen — fortgesetzt werden. Ein jedes erzeugt also nach dem

112

5. Kapitel. Algebraische Funktionen.

Monodromiesatz(s. I,§ 25) eine in 6 ' e i n d e u t i g e und r e g u l ä r e Funktion, die wir der Reihe nach mitF^z), F2(z),. . . , Fm(z) bezeichnen wollen. Diese Funktionen, die offenbar von der Wahl der Ausgangsstelle z0 unabhängig sind, fassen dann „im Großen" den gesamten m-fachen Wertevorrat, dessen Träger die Punkte von 6 ' sind, zu m getrennten, in 6 ' eindeutigen und regulären Funktionen zusammen und genügen, für w eingesetzt, der algebraischen Gleichung G(z, vi) = 0 für jedes z in Und alles, was nun zu zeigen bleibt, ist, daß diese m Funktionen durch Fortsetzung über den Rand 2 von 6 ' sämtlich ineinander übergeführt werden können, — daß sie, kurz gesagt, die m. Zweige einer und derselben analytischen Funktion sind. Dazu untersuchen wir nun 3. das Verhalten der Funktionen in den kritischen Punkten und in 00: Es sei a einer der kritischen Punkte, St eine ihn umgebende Peripherie, die keine weiteren kritischen Punkte umschließt oder enthält, und z0 ein Punkt derselben. Dann kann man jedes der m Elemente /^(z; z0) längs ® (etwa im positiven Sinne) fortsetzen. Bei der Rückkehr zum Punkt z0 muß dann jedes dieser Elemente — wieder wegen der Eindeutigkeit bei der Zusammenfassung des Wertevorrats im Kleinen — in ein bestimmtes (aber im allgemeinen a n d e r e s ) von ihnen übergeführt worden sein; und natürlich niemals zwei verschiedene in ein und dasselbe, da ja sonst die umgekehrte Fortsetzung jenes letzte Element in zwei verschiedene verwandeln müßte. Die m Elemente erleiden also eine P e r m u t a t i o n . Wir denken uns die Numerierung so gewählt, daß /i in f 2 , /a in / 3 , . . . , f p _ x in f p und f p wieder in f t übergeht (1 ^ p^ m), daß also die ersten p Elemente einen Z y k l u s bilden1). ') Wenn bei einer Pennutation von m Dingen ein Teil deraelben in dieser Weise „ z y k l i s c h " miteinander vertauscht werden, so sagt man, dafi sie einen Z y k l u s bilden; und es gilt der einfache Satz: J e d e P e r m u t a t i o n l&ßt s i c h in Z y k l e n z e r l e g e n . — Ist z. B. m = 9 und werden die Ziffern 1, 2, 3 , 4 , 6 , 6 , 7, 8, 9 der Reihe nach in 3, 7, 5, 4, 1, 8, 9, 6 , 2 übergeführt, so bilden die Ziffern 1, 3, 5 und 2, 7, 9 Je einen dreigliedrigen, die Ziffern 6, 8 einen zweigliedrigen und die Ziffer 4 für sich einen eingliedrigen Zyklus.

§16. Die algebraische Funktion.

113

Dann geht speziell ^(z; z0) und somit auch F 1 (z), nach p-maliger Fortsetzung um a herum in sich selbst über. Setzen wir demgemäß ( z - a ) = (z')f und Fl(8) = F1(J> + a)= so ist in der Umgebung von z' = 0, von diesem Punkt selbst noch abgesehen, nicht nur r e g u l ä r , sondern auch eindeutig. Denn wenn die Variable z' den Nullpunkt einmal umwandert (d. h. ihr Arcus stetig um 2ti vermehrt wird), so umwandert (z')p den Nullpunkt, oder also z den Punkt o, genau p-mal, da der Arcus von z —a um 2jm vermehrt wird. Daher kann 9?1(z') für die Umgebung des Nullpunktes in eine Laurentsche Reihe entwickelt werden: n=—

so daß F^z) für die Umgebung des kritischen Punktes a eine Entwicklung der Form Fl{z)=

Z n - — QO

gestattet 1 ). Und wir behaupten nun weiter: In dieser Entwicklung treten nur endlich viele negative Potenzen auf. Beweis: Wenn gm(a) 4= 0 ist, wenn also G(a, w) — 0 zwar genau m, darunter aber m e n r f a c h e Wurzeln hat, so besagte der Satz von der Stetigkeit der Wurzeln, daß diese Wurzeln, auch an der Stellea noch stetig sind. Dann können also in der obigen Entwicklung g a r keine negativen Potenzen auftreten. Ist aber gm(a) = 0, etwa von der ?-ten Ordnung, so müssen wir anders verfahren. Wir können dann gm(z) ') Und man überzeugt sich leicht, daß diese eine Entwicklung die sämtlichen p Funktionen F,,F , Fp unseres p-gliedrlgen Zyklus darstellt, wenn n>an f ü r ftz — a seine j> Bedeutungen einsetzt. Wir werden jedoch von dleBer Bemerkung keinen Gebrauch zu machen haben.

114

6. Kapitel. Algebraische Funktionen.

— (z — a)« • hm(z) setzen, wo nun dann

4= 0 ist. Bilden wir

so rechnet man sofort nach, daß dies, wenn noch (z—ft)f w=v gesetzt wird, in der Form y>(z, v) = h0(z) + Äj(z) • v H 1- hm(e) • v» geschrieben werden kann, wenn h0, hy, . . g e e i g nete ganze rationale Funktionen von e bedeuten. Die Gleichung Y(Z, V) — 0 ist nun ersichtlich wieder irreduzibel, und für ihren höchsten Koeffizienten gilt überdies hj^a) 4= 0. Daher sind die Wurzeln dieser neuen Gleichung bei z = a stetig und gestatten also, wie in dem vorweg behandelten Falle gm(a) 0, eine Entwicklung der in Rede stehenden Form, in der jedoch gar keine negativen Potenzen auftreten. Wegen w = (z — a)~* • v folgt hieraus nun sofort, daß auch die Wurzeln der gegebenen Gleichung, also unsere Funktionen Fm(Z) in der Umgehung des kritischen Punktes z = a eine Entwicklung derselben Form gestatten und daß in dieser h ö c h s t e n s e n d l i c h viele (nämlich höchstens p • q) negative Potenzen auftreten können, w. z. b. w. Für die Stelle z = 00 verlaufen die Erwägungen ganz ähnlich; man hat nur allenthalben 1/z an die Stelle von z — a zu setzen und einen hinreichend großen Kreis als die den Punkt 00 umgebende Peripherie $ anzusehen. Diese Erwägungen, deren Einzelheiten sich hiernach jeder Belbst wird zurechtlegen können, lehren dann: Eine jede der Funktionen Fß(Z) gestattet für die Umgebung des Punktes 00 eine Entwicklung der Form U d W ' Y ,

D ^ P ^ M ) ,

N—CO

in der jedoch höchstens endlich viele negative Potenzen der p-ten Wurzel auftreten.

§16. Die algebraische Funktion.

115

Die kritischen Punkte, zu denen wir nun auch den Punkt oo rechnen wollen, haben sich also als Singularitäten von besonders einfacher Art zu erkennen gegeben. Wir benutzen dies zu folgender Erklärung. Verhält sich eine analytische Funktion in der Umgebung des Punktes a bzw. oo, von diesem selbst noch abgesehen, regulär, doch nicht notwendig eindeutig, und gestattet sie daselbst eine Erdwicklung der Form + 0» +0D 2J Cn(\f7=~a)n —oo

bzw.

n — —oo

2Jcn(\^)n,

in der jedoch nur endlich viele negative Potenzen der p-ten Wurzel auftreten, so soü diese Stelle eine algebraische Stelle heißen1). Auch sagtman, die Funktion habe dort den Charakter einer algebraischen Funktion. 4. Nun können wir endlich den Schlußstein setzen und beweisen, daß jede der m Funktionen FM(z) durch passende Fortsetzung über den Schnitt 2 hinaus in jede andre übergeführt werden kann. Dazu genügt es natürlich zu zeigen, daß F t in jedes andere Fh überführbar ist; denn kann man F1 in Fß u n d in F, überführen, so geht zunächst durch die umgekehrte Fortsetzung Fp in F1 und auf diesem Umweg weiter in Fr, also jedenfalls Fh in F, über. Gesetzt nun aber, Ft könnte n i c h t in jedes F^ übergeführt werden, so denken wir uns die Numerierung dieser Funktionen so, daß Fl zwar in Ft, F3,..., Ft, (k) = 0 mit der i r r e d n z i b l e n Gleichung 0(2, w) •= 0 f ü r alle z eines Gebietes eine Wurtel gemein, so ist g(z, tc) durch 0(2, w) teilbar, also g in bezug auf w von m i n d u s t e u s demselben Grade wie 0.

§ 15. Die algebraische Funktion.

117

konstruieren. Entsprechend den m Funktionen Fß(z) nehmen wir m Blätter, die alle längs 2 aufgschnitten sind und deren Punkte der Reihe nach die Werte der Funktionen Flt F2,... .,F„ tragen. Setzen wir nun eine dieser Funktionen über eins der Stücke des Schnittes £ fort, das zwei aufeinanderfolgende kritische Punkte verbindet, so geht jede der Funktionen Fß wieder in eine ganz bestimmte von diesen über. In der hierdurch völlig eindeutig geforderten Weise werden wir demgemäß die m Blätter längs des betrachteten Schnittstückes aneinanderheften1), wodurch dann dieses Schnittstück verschwindet. Denken wir uns das Entsprechende bei allen Schnittstücken (einschl. des nach oo führenden) durchgeführt, so verschwinden alle Ränder, und die Riemannsche Fläche der durch G(z, w) — 0 definierten algebraischen Funktion ist vollendet. Man hat sie noch geschlossener vor Augen, und es verschwindet die Ausnahmerolle des Punktes oo, wenn man von der Kugel ausgeht statt von der Ebene. Dann haben wir eine geschlossene m-blättrige Riemannsche Kugel vor uns, auf der nun jeder nichtkritische Punkt Träger eines und nur eines Funktionswertes ist. Endlich wollen wir auch noch die kritischen Punkte zu Trägern von Funktionswerten machen, was in naheliegender Weise so geschieht: Bei Fortsetzung um einen kritischen Punkt a herum (der auch oo sein darf) erfahren, wie wir sahen, die m Funktionen F ß eine bestimmte Permutation. Diese zerfällt in eine gewisse Anzahl, etwa l Zyklen, (1 l rn). Dann soll der Punkt a nur l- (nicht r»-)mal, .und zwar für alle in ein und demselben Zyklus zusammenhängenden Blätter zusammen nur einmal zur Fläche gezählt werden. Und jeder einzelne dieser übereinanderliegenden l Punkte a soll nun zum Träger des Wertes c 0 oder oo gemacht werden, je nachdem ') Hierbei können insbesondere einige B U t t e r „ s c h l i c h t " v e r l a u f e n , — wenn n&rallch die betreffende F u n k t i o n F ^ beim Uberachreiten des Schnittt« in sich selbst übergeht.

118

6. Kapitel. Das analytische Gebilde.

die ihm entsprechende E n t w i c k l u n g , die wir in 3. erhielten, mit dem konstanten Gliede e0 beginnt oder wirklich negative Potenzen aufweist1). Nachdem man solchergestalt den Wertevorrat noch erweitert hat, nennt man die Gesamtheit der Wertepaare (z, w), die aus den sämtlichen Punkten z unserer Riemannschen Kugel als erster Komponente und dem einem jeden eindeutig zugeordneten Funktionswert w als zweiter Komponente bestehen, das durch G(z, w) =0 definierte algebraische Gebilde. Seine weitere eingehende Untersuchung bildet den Gegenstand der Theorie der algebraischen Funktionen. A u f g a b e n : 1. Man beweise den auf S. 112, Fußn. 1 formulierten Satz. 2. Man mache sich in allen Einzelheiten den Bau der Riemannschen Flächen der durch a) w 3 — 1 — 3 = 0 , b) vß— 3w— z = 0 , c)

w

— 2= 0

definierten algebraischen Funktionen w von z klar. (Kritische Punkte; Zusammenhang der Blätter daselbst; Verhalten der Funktion in ihnen; Verteilung des Wertevorrats, usw.)

6. Kapitel. Das analytische Gebilde. § 16. Die monogene analytische Funktion. Wir sind nunmehr in der Lage, die in I, S. 104/6 gegebene, jedoch noch mit einigen Lücken behaftete Erklärung der vollständigen analytischen Funktion zu ergänzen und so unsern Betrachtungen wenigstens bezüglich des Hauptbegriffes, des der analytischen Funktion, einen gewissen Abschluß zu geben. Dazu knüpfen wir an die in § 10 abgebrochene Betrachtung an. ') Sind die l Zyklen der Reihe nach p,-, PtPj-glledrig, su liegen tltto in a genau! Verzwelgungvpunkte übereinander, die der Reihe nach p,-,p,pj-blSttrig sind (unter denen also insbesondere auch einblättrige, d.h.gewöhnliche Punkte auftreteil können), und diese als 1 verschiedene P u r k t e der Fliehe zu zählenden Verzweigungspunkte können natürlich Triper ganz verschiedelirr Tunktlonswerte sein.

§ 16. Die monogene analytische Funktion.

119

Wir gingen dort von einem gegebenen Funktionselement, etwa einer Potenzreihe, aus und setzten dieses so lange fort, als noch Möglichkeiten dazu offenstanden. Wir haben nun etwas genauer anzugeben, wie die Durchführung hiervon, gedacht werden soll. Denn wir werden im allgemeinen unendlich viele Potenzreihen nötig haben, ehe eine weitere Fortsetzung zu nichts Neuem mehr führt. Soll trotzdem ein konstruktives Verfahren angegeben werden, nach dem die Fortsetzung vollständig durchgeführt werden kann, so darf es sich nur aus a b z ä h l b a r vielen Schritten zusammensetzen. Das scheint aber zunächst nicht möglich zu sein; denn es scheint,'als müßte man, wenn man auch nur sämtliche Fortsetzungsmöglichkeiten der ersten Potenzreihe erschöpfen wollte, um jeden Punkt ihres Konvergenzkreises eine neue Entwicklung ansetzen. Das wären aber n i c h t - a b z ä h l b a r viele neue Potenzreihen. Nun überzeugt man sich jedoch ganz leicht, daß man bei einem Fortsetzungsprozeß — es sei etwa eine für den Mittelpunkt ZQ angesetzte Potenzreihe längs des Weges f nach £ fortzusetzen — nur solche neuen Potenzreihen zu benutzen braucht, deren Mittelpunkte r a t i o n a l e K o o r d i n a t e n haben1). Denn wenn die Fortsetzung längs f überhaupt möglich ist, so überdecken die dabei erforderlichen Konvergenzkreise mit den Mittelpunkten z0, zly..., z m_vz m = C (vgl-1, S. 90 und Fig. 6) ein Gebiet, von dessen Band der. Weg l einen positiven Abstand g hat. Benutzen wir nun statt zy, z2 , . . . irgendwelche r a t i o n a l e Mittelpunkte z[, z i , . . . , die von f höchstens den Abstand haben, so gelangt man ersichtlich auch nach C und mit demselben Funktionselement. Die rationalen Punkte bilden aber eine abzählbare Menge, und daraus läßt sich nun folgern, daß der gesamte Fortsetzungsprozeß eines Funktionselementes durch abzählbar viele Schritte vollendet werden kann. Denn aus der gegebenen ') Solche Punkte wollen wir kurz r a t i o n a l e P u n k t e nennen.

120

6. Kapitel. Das analytische Gebilde.

Potenzreihe gehen, wenn wir nur die rationalen Punkte ihres Konvergenzkreises zum Mittelpunkt der neuen Entwicklungen machen, nur abzählbar viele neue Potenzreihen hervor, etwa » ^Poa»• • •» Vo» > • • • • aus jeder von diesen gehen wieder höchstens abzählbar viele hervor, so daß wir auch im ganzen nur abzählbar viele neue Potenzreihen bekommen1), etwa ' ^ßw > • • •»Vi» i • • • • An diesen wiederholt sich dasselbe usw., so daß wir alles in allem abzählbar viele Folgen von abzählbar vielen Potenzreihen und somit im ganzen nur a b z ä h l b a r viele Potenzreihen e r h a l t e n , die nun endgültig mit Vi, bezeichnet werden mögen. Damit haben wir zunächst den Satz 1. Jeder Punkt z, der überhaupt auf irgendeinem Wege durch (Potenzreihen-)F ortsetzung von dem Ausgangselement 9ß0 aus in das Innere des Konvergenzkreises einer neuen Potenzreihe einbezogen werden kann, kann es unier ausschließlicher Benutzung von je endlich vielen Potenzreihen aus einer geeignet festgelegten Folge ^ , Sßa»• • • > V* »• • • von solchen. Hat man auf diese Art alle Fortsetzungsmöglichkeiten eines gegebenen Funktionselementes w = f{z) erschöpft, so ist das Ergebnis dies, daß die Umgebung eines jeden Punktes z0 der Ebene, der überhaupt einmal in das Innere eines der Konvergenzkreise der kommt, endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Belegungen mit Funktionswerten erhält, derart, daß jede einzelne Belegung eine in der Umgebung von z0 eindeutige und reguläre Funktion bildet. Es seien dies die Funktionen z0)> ¿¡(z; 2o) - • • • ') Daß abzählbar viele Folgen von ]e abzahlbar vielen Dingen wieder eine abzählbare Uenge bilden, war in Elem., §23 u. 26, durch das Beispiel der Oitt«rpunkt« der Ebene gezeigt worden.

§ 16. Die monogene analytische Funktion.

121

Den Punkt z0 machen wir dann zum Träger der Werte dieser Funktionen an der Stelle z — z 0 , die wir etwa mit w[l\ ... bezeichnen. Falls dabei derselbe Wert mehrfach auftritt, soll er entsprechend oft in z0 angetragen werden. Denken wir uns endlich die Zahlenpaare (z0, «£>), (z0, ), . . . für jedes z0 aufgestellt, das dem Innern mindestens eines der Konvergenzkreise der angehört, so bilden diese Zahlenpaare in ihrer Gesamtheit die durch das Ausgangselement erzeugte monogene analytische Funktion. Diese ist also durch folgenden Sachverhalt gegeben: 1. Jedem Punkt z der Ebene oder eines Teiles derselben sind endlich oder abzählbar unendlich viele Funktionswerte m/1) , w(t) , . . . zugeordnet (unter denen in beliebiger Weise auch gleiche vorkommen dürfen). 2. Ist (z0, w0) ein bestimmtes dieser Wertepaare, so lassen sich die sämtlichen Wertepaare (z, w), deren erste Komponente einer Umgebung von z0 angehört, zu endlich oder abzählbar unendlich vielen in z0 regulären Funktionen fv(z; z0) zusammenfassen. 3. Sind fy(z; z0) und /¿(z; Zj) zwei beliebige der so gebildeten Funktionen, so ist jede eine (natürlich nicht unmittelbare) analytische Fortsetzung der andern. 4. Entwickelt man irgendeins dieser Funktionselemente fr(z; z0) um einen rationalen Mittelpunkt in eine Potenzreihe, so erhält man eine der Potenzreihen Wir können demnach insbesondere die beiden folgenden Sätze aussprechen: Satz 2. Jeder irgendwie „im Kleinen" gegebene Wertevorrat1) erzeugt, wenn überhaupt, so nur genau eine wMbestimmte monogene analytische Funktion. ') d. h. jede Belegung eines wenn auch noch so kleinen Gebietes (oder auch nur eines Linienstückchens oder auch nur einer kompakten unendlichen Punktmenge) der z-Ebene mit w-Werten (.vgl. hierzu die Betrachtungen aus 1, S. »6—»7).

122

6. Kapitel. Das analytische Gebilde.

Satz 3. Die Menge der Funktionswerte, die eine mehrdeutige Funktion an einem Punkte z0 haben kann, ist endlieh oder abzahlbar unendlich. § 17. Die Riemannsche Fläche. Der Konstruktion der zu einer monogenen analytischen Funktion gehörigen Riemannschen Fläche nach dem in § 10 angedeuteten Verfahren steht nun nichts im Wege. Der Folge der entsprechend fügen wir die Scheiben ihrer Konvergenzkreise in der dort beschriebenen Weise, nötigenfalls also unter (gedanklicher) Durchdringung von zwischenliegenden Blättern, aneinander und gewinnen so die gewünschte Fläche1). Die Zusammenhangsverhältnisse können dabei natürlich sehr kompliziert werden. Sie können aber auch, wies dies die im 4. und 5. Kap. behandelten Beispiele zeigen, sehr klar und übersichtlich werden. Da die Riemannsche Fläche keinen Selbstzweck beansprucht, sondern nur eine Unterstützung der Vorstellung liefern soll, so wird man sie in allen den Fällen beiseitelassen, wo ihre Zusammenhangsverhältnisse so wenig übersichtlich sind, daß das Verfolgen der Funktionswerte auf der Fläche schwieriger wäre als bei der Funktion selbst. So ist es z. B. schon fraglich, ob für die Veranschaulichung des Verlaufs der Funktion w = arc sin z die zugehörige Fläche noch Vorteile bietet, obgleich sie etwa auf Grund der Formel w — arc sin z = — i log (iz + | / l — z 2 ), die man aus z — sin w —— ^i(eiui — e - d u r c h Auflösung nach w bekommt, ganz leicht zu konstruieren ist2). Aber z. B. bei der Umkehrung der Weierstraßschen a- oder ^-Funktion wird die >) Statt der Kreisscheiben darf man selbstverständlich aucli Irgendwelche anderen Gebiete nehmen, insbesondere solche m ö g l i c h s t g r o ß gewählten Gebiete, in denen sich ein Zweig der Funktion noch regulär verhält. So konnteil wir )a z. B. bei den algebraischen Funktionen sogleich die ganze aufgeschnittene Ebene nehmen. *) Um Übung in diesen Vorstellungen zu bekommen, ist es trotzdem ganz nützlich, sich in tiedanken diese Fläche aufzubauen.

§ 17. Die Riemannsche Fläche.

123

Konstruktion der zugehörigen Fläche kaum einen Vorteil mehr bieten. Daher empfiehlt es sich nicht, im allerallgemeinsten Fall die Bildung der Riemannschen Fläche weiter zu verfolgen, sondern man sehe von Fall zu Fall zu, ob ihre Konstruktion die Anschauung unterstützt oder nicht. Die wichtigsten Fälle brauchbarer Flächen haben wir in den vorangehenden beiden Kapiteln kennengelernt. Für den allgemeinen Fall genügt es zu wissen, d a ß für eine gegebene Funktion unter allen Umständen eine Riemannsche Fläche konstruiert werden kann, auf der ihre Werte eine e i n d e u t i g e Funktion des Ortes bilden, bei der also jeder Punkt z von so vielen (endlich oder abzählbar unendlich vielen) Blättern (s. u.) überlagert ist, als es verschiedene Elemente für die Umgebung dieses Punktes gibt; und weiter, daß diese Blätter in ganz bestimmter Weise zusammenhängen. Dies letztere soll besagen: Wenn man, von einem bestimmten Punkt z0 eines bestimmten Blattes ausgehend, irgendeinen bestimmten Weg beschreibt (genauer: einen Weg, dessen Projektion auf die gewöhnliche z-Ebene gegeben ist), so ist seine Verfolgung auf der Fläche völlig eindeutig, führt uns also zu einem ganz bestimmten Punkte eines ganz bestimmten Blattes, — wofern er nur nicht aus der Fläche heraustritt, wofern er also die singulären Randstellen der betretenen Blätter (s. u.) vermeidet. Wir sind nun endlich auch in der Lage, einige Begriffe scharf zu fassen, die wir schon viel benutzt haben: 1. Ein Blatt der Riemannschen Fläche erhält man, wenn man von irgendeiner unserer Kreisscheiben ausgehend bei dem oben beschriebenen Verfahren so lange, aber auch nur so lange, neue Scheiben (oder Teile von ihnen) anfügt, als man zu keiner mehrfachen Belegung der Ebene kommt. Der Begriff des Blattes ist also, wie wir hiernach besonders betonen, kein absoluter, hängt vielmehr von der Ausführung des eben beschriebenen Konstruktionsverfahrens ab. Doch hat es einen

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6. Kapitel. Das analytische Gebilde.

wohlbestimmten Sinn, von den verschiedenen Blättern zu sprechen, in denen ein spezieller P u n k t z 0 liegt: z 0 liegt in so vielen verschiedenen Blättern, als er innerer P u n k t von verschiedenen (d. h. in z0 und Umgebung nicht zusammengefügten) Kreisscheiben ist. — Die Gesamtheit der P u n k t e z, die ein und demselben Blatte angehören, bilden im Sinne von I, § 4 ein Gebiet. 2. Unter einem Z w e i g einer gegebenen (mehrdeutigen) analytischen Funktion F(z) versteht man jede durch die Belegung e i n e s Blattes der zugehörigen Riemannschen Fläche veranschaulichte und dort (bzw. in dem ihm nach 1. entsprechenden Gebiete) eindeutige analytische Funktion. 3. Unter einem F u n k t i o n s e l e m e n t einer analytischen Funktion F{z) versteht man die Darstellung irgendeines Zweiges oder auch nur eines Teiles desselben, insbesondere also jede der Potenzreihen und jede der in § 16 gebrauchten F u n k tionen fv(z\ ZQ) , — bei denen man sich die in Betracht kommende Umgebung von z g noch in mannigfacher Art abgegrenzt denken kann. 4. Auch der Begriff des singulären P u n k t e s ist, gleich dem des Zweiges oder Blattes, kein absoluter. Ein bestimmter P u n k t kann immer nur f ü r einen bestimmten Zweig oder ein bestimmtes Blatt als singulär oder regulär angesprochen werden (vgl. das Beispiel S. 86). Hierfür aber ist der Begriff ein völlig bestimmter. Denn das Gebiet, das durch die Gesamtheit der einem Blatte angehörigen Punkte z nach 1. erfüllt wird, ist mit einem Wertevorrat belegt, der nach 2. eine dort eindeutige analytische Funktion — den zu diesem Blatte gehörigen Zweig — bildet. F ü r diese aber zerfallen (vgl. I, § 24) die Randstellen des genannten Gebietes eindeutig in reguläre und singulare, d. h. in solche, bei denen die Fortsetzung über den R a n d möglich, und solche, bei denen sie unmöglich ist. A u f g a b e n : 1. Man mache sich in allen Einzelheiten den Bau der Riemannschen Flächen der Funktionen

§ 18. Das analytische Gebilde. a) b) klar. 2. lichen a)

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w = z", (a beliebig komplex), w = arc sinz (Vgl. § 15, Aufg.2c.) Man bilde eine Funktion, die den Einheitskreis zur natürGrenze hat, innerhalb des Einheitskreises aber genau zweideutig, b) unendlich-vieldeutig ist.

§ 18. Das analytische Gebilde. Wir haben noch eine letzte kleine Ergänzung vorzunehmen (ähnlich derjenigen, die wir am Schluß des § 15 bei den algebraischen Funktionen machten), durch die dann die Vorstellung einer vollständigen analytischen Funktion zu einer in jeder Beziehung abgeschlossenen werden wird. Bis jetzt ist die Sachlage die, daß der Wertevorrat, der in der Umgebung einer (von selbst: inneren) Stelle eines Blattes der Riemannschen Fläche sich angeheftet findet, ein dort reguläres Funktionselement bildet, während alle singulären Stellen der einzelnen Zweige (Blätter) vorläufig überhaupt nicht der Fläche zugerechnet werden sollten. Unter diesen singulären Punkten sind nun einige von so einfacher Art, daß es — auch noch aus mannigfachen anderen Gründen — vorteilhaft ist, sie sozusagen noch mit zu den regulären Punkten oder jedenfalls mit zur Fläche zu rechnen. Das sind, kurz gesagt, die algebraischen Singularitäten, also die folgenden Punkte: 1. Die Pole in einem B l a t t e , d. h. jede isolierte Randstelle z0 eines Blattes, für die sich der in der Umgebung angeheftete Wertevorrat in eine (gewöhnliche) Laurentsche Reihe mit nur endlich vielen negativen Potenzen entwickeln läßt 1 ). Einen solchen Punkt machen wir zum Träger des Wertes oo und nehmen zu den Zahlenpaaren der monogenen analytischen Funktion noch das Paar (z0, oo) hinzu. ') In einem andern Blatte kann z, sein nolil eine reguläre Stelle sein oder eine a n d e n geartete Singularität haben.

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6. Kapitel. Das analytische Gebilde.

2. Die algebraischen Verzweigungspunkte, d. h. jede isolierte Randstelle eines der Blätter, um die herum endlich viele, etwa p ( > 1), bestimmte Blätter so zusammenhängen, wie im Nullpunkt der Flache für j/7, und für die folgende Bedingung erfüllt ist: Derauf diesen p Blättern in der Umgebung von z0 angeheftete Wertevorrat, der sich (vgl. S. 113) unter allen Umständen in eine Reihe der Form 2 J cn ( p r ^ )

H * — O D

entwickeln läßt, soll so beschaffen sein, daß hierbei gar keine v, oder nur endlich viele negative Potenzen von \ z — z0 auftreten. Einen solchen Punkt wollen wir für diese p Blätter zusammen einmal zur Fläche zählen und zum Träger des Wertes oo oder c0 machen, je nachdem bei der Entwicklung negative Potenzen auftreten oder nicht, und wollen entsprechend zu unsern Zahlenpaaren (z, w) noch einmal das Paar (z0, oo) bzw. (z0, c0) hinzunehmen. 3. Endlich wollen wir noch unter ganz entsprechenden Bedingungen den P u n k t oo hinzunehmen, nämlich kurz geBagt, wenn er sich, auf der Kugel angesehen, ebenso verhält, wie der Punkt z0 in den eben besprochenen Fällen; also w e n n entweder a) in der Umgebung des Punktes oo ein bestimmtes Blatt schlicht verläuft1) und der in ihm dort angeheftete Wertevorrat eine eindeutige reguläre Funktion bildet, deren dortige Laurentsche Entwicklung höchstens endlich viele negative Potenzen von (1/z) enthält; oder w e n n b) um den Punkt oo herum endlich viele, etwa p ( > l ) , bestimmte Blätter so zusammenhängen wie bei der Fläche ') D . h . da« betreffende Blatt enthält a l l e Punkte z, die außerhalb eines gewissen Kreises liegen.

§ 18. Das analytische Gebilde.

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P—

für |/z im Punkte , und wenn die (unter allen Umständen mögliche) Entwicklung des dort angehefteten Wertevorrats in eine Reihe der Form + 00

J ^ n f i M " n=—oo höchstens e n d l i c h v i e l e n^jative Potenzen von Y y l aufweist1). Im Falle a) sagt man, daß im Punkte oo ein gewöhnlicher Punkt, im FaJle b), daß dort ein p - b l ä t t r i g e r V e r z w e i g u n g s p u n k t liegt. In beiden Fällen soll er für die in Betracht gezogenen p Blätter zusammen g e n a u e i n m a l zur Fläche hinzugerechnet und zum Träger des Wertes oo oder e0 gemacht werden, je nachdem negative Potenzen bei den genannten Entwicklungen auftreten oder nicht. Zu unseren Zahlenpaaren nehmen wir demgemäß noch die Paare (oo, oo) bzw. (oo, c0) einmal hinzu. Von dem solchergestalt eigänzten Vorrat an Zahlenpaaren (z, w) sagt man nun, daß er das ( m o n o g e n e ) analytische Gebilde darstellt, das durch das Ausgangselement definiert ist 2 ). Zu der Menge unserer Funktionselemente f,(z; z0) hat man dann zweckmäßig noch die endlich oder abzählbar unendlich vielen Entwicklungen hinzuzunehmen, von denen wir eben in 1. bis 3. gesprochen haben. Dann hat man nun in der Menge aller dieser Funktionselemente oder in der Menge aller ') Die Fälle 1 und 3 a können natürlich auch all die Sonderfälle p = 1 von 2 nnd 3 b aufgefaBt werden. ') Ohne Beweis sei die Bemerkung hinzugefügt, daß aus einem dem Funktionselement w = t'z) entspringenden analytischen Gebilde (z, to) durch Vertauschung der beiden Komponenten eines jeden Zahlenpaares wieder ein monogenes analytisches. Gibilde (to, z) entsteht, welches man als das zu dem vorigen i n v e r s e G e b i l d e bezeichnet. Dieser durchsichtige tibergang von einer analytischen Funktion zu ihrer inversen Funktion würde sich nicht so einfach und klar formulieren lassen, wenn man die in diesem Paragraphen getroffeneu Ergänzungen nicht getroffen hätte. Ihre Zweckmäßigkeit Ist durch diese Tatsache allein schon .hinreichend belegt.

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unserer Zahlenpaare (z, w) in übersichtlicher Anordnung und vollständig d a s G e b i l d e vor sich, das aus einer beliebig gegebenen Potenzreihe oder einer sonstigen im Kleinen geltenden Darstellung einer regulären Funktion beim Fortsetzungsprozeß hervorwächst. Zum Abschluß sei noch hinzugefügt, daß die S. 77 erwähnte U n i f o r i n i s i e r u n g s t h e o r i e gewissermaßen das Bindeglied zwischen den beiden Hauptgegenständen unserer Untersuchungen, den eindeutigen und den mehrdeutigen Funktionen bildet. Denn in ihr wird der S a t z bewiesen, daß jede beliebige (mehrdeutige) a n a l y t i s c h e F u n k tion w = F ( z ) v o l l s t ä n d i g m i t H i l f e e i n d e u t i g e r Funktionen dargestellt (uniformisiert) werden k a n n ; und dies genauer in dem Sinne, daß es stets zwei eindeutige Funktionen z — z ( t ) und w = w f t ) der komplexen Veränderlichen t gibt mit der Eigenschaft, daß das Zahlenpaar (z, «>) = (z(i), w ( t ) ) die vollständige analytische Funktion w = F ( z ) liefert, wenn die Variable t einen gewissen Bereich ihrer Ebene durchläuft. (Allgemeines Uniformisierungstheorem von H. P o i n c a r é und P. Koebe.)

Register. Abbildung » 3 . — konforme 94. Abel, N. H. «8, 78. Ableitung, logarithmische 19. Absolute Konvergenz von Produkten IS. Additionstheoreme 65,81 Algebraische Additlonstheoreme 05, 81. — Beziehungen 66. — Differentialgleichungen 06, 75. — Funktionen 7, 103 bis 118. — Gebilde 118. — Kurven 77. — Singularitäten 7, 115 — Stellen 115. — Verzweigungspunkte 126.

Analytische Fortsetzung 83fT. — Gebilde 7, 118—128. Asymptotisch gleich 46. Blatt 123. C 33. Darstellung von Funktionen durch Produkte 16.

Differentialgleichung, algebraische 66, 75. Differenzler barkeit der Wurzeln 109. Diskrlminante 104.. Doppelt-periodische Funk' tionen 7, 58, 67 bis 83. BlgentUche Konvergenz 14. Eindeutige Funktionen 8 bis 83. Einfach - periodische Funktionen 7, 56, 60 bis 07.

Element einer Funktion 124. Elementare Funktionen 5 Elliptische Funktionen 7 07—83. Elliptisches Integral 78. Eulersche Gammafunktlon 32, 45—19. —s Integral 32. — Konstante 33. Exlatenzseblet 84. Faktoren, konvergenzer' zeugende 22. Flächen, ftiemannsche 83 bis 102, 122—124. Fundamentalparallelogramm 31, 68. Fundamentalsatz der Algebra 3, 98. Funktionalgleichung 45, Funktionen, algebraische 7, 103—118. — doppelt-periodische 7, 58, 67—83. — eindeutige 8—83. — einfach-periodische 7, 56, 60—67. — elementare 5. elliptische 7, 67—83

Gebilde, algebraisches 118. — analytisches 118 bis 128.

Geschlecht 101, 102. Gitterpunkte 29. Hauptteil 34fT. Integral, elliptisches 78. Invarianten der B-Funktion 75. Irreduzibel 104. Jacobi, C. G. J. 68, 75, 78. Kneser, H . 107. Koebe, P . 128. Konforme Abbildung 94. Kongruente Punkte 60f., 67. Konvergenz unendlicher Produkte 14. Konvergenzerzeugende Faktoren 22. — Summanden 41. Konvergenzgebiet unendlicher Produkte 16. Kurve, algebraische 77.

Laurentsche Entwicklungen H 3 f f . , 126 f. ganze 6, 8—33. Liouvillesche Sätze 68 bis mehrdeutige 7, 83 bis 71. 128. Logarithmische Ableitung — meromorphe 6, 34 bis "19. 53. Logarithmus 85—98. — monogene analytische 118—122. Mascheronische Kon— rationale 6. stante 33. Funktionselement 124. Mehrdeutige Funktionen 7, 83—128. Sammafunktlon 32, 33, Meromorphe Funktionen 6, 34—53. 45—49. Ganse Funktionen 6, 8 Mittag- LefTleracher Teilbruchsatz 34—51, 37. bis 33. Anwendungen 41 Ganze Funktionen ohne bis 53. NuUstellen 10. 68.

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Register.

Mittag-Leffleracher Teil- Produktsatz, Weierslraß- Teilbruchsatz s. Mittag bruchsatz, Beweis 38 scher, Beweis 20—24. Leffler. bis 41. Punkt, kongruenter 6 0 r , Teilbruchzerlegung 34. Monogene analytische «7. — meromorpher FunkFunktion 118—122. tionen 37 f. — regulärer 84. — von » c t g n z 41—43. — singularer 124. Ordnung einer elliptischen Punktierte Ebene 104. — von fp(i) 43—45. Funktion 69. Umkehrfunktion 78. Parallelogrammnetz 20, 67 f. Rationale Funktionen 6, Umkehrproblem 78. Umkehrung eines InteB-Funktion 43f., 72—83. 8, 0, 34, 35. grals 66, 78. Perioden analytischer — — von r 2 " ' * 62—66. Vnlformisierung 77,128. Funktionen 53—60. Regulärer Punkt 84. — primitive 56. Riemannsche Fläche 83 Verzweipunsspunktc 91 Periodenpaar 50. bis 102, 122—124. bis 95, 126. Perlodenpunkte 54. f ü r ]/z 89—92. Perlodenstreifen 60. v. d. Waerden, B. L. 107. P.Periodenverhältnis 59. Wallis' Produkt 34, 47. Periodische Funktionen — — f ü r \ z 92—94. Weierstraßsche Theorie f ü r log z 94—96 der elliptischen Funk53—83. tionen 75. Permutation 112. für y \ z - a , ) . . . ( i - u k ) —r Produktsatz 12, 22. Poincaré, H. 128. 98—102. Primitive Periode 56. — Kugelfläche 93, 95. Anwendungen 25 •—9 Periodenpaar 59. bis 34. — (-Funktion 44, 49 bis Produkt, Wallis' 34, 47. Beweis 20—24. 52. Produktdarstellung gan- Rouchi, E. 97, 107. — ¿-Funktion 44. zer Funktionen 9, 12f. Wert e. Produktes 14. Wielandt, H. 29, 49. — von sin m 26—29. Sigma- (a-) Funktion 29 Wurzel 83—102. — von o