Funktionentheorie: Band 1 Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen [13. Aufl. 1976] 9783110837391, 9783110070514

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Funktionentheorie i Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen von

Konrad Knopp f

13. Auflage mit 8 Figuren

w DE

G

1976

Walter de Gruyter • Berlin • New York

SAMMLUNG GÖSCHEN 2125

Dr. Konrad Knopp f ehem. o. Professor der Mathematik an der Universität Tübingen Die Gesamtdarstellung umfaßt folgende Bände: Elemente der Funktionentheorie Funktionentheorie: I: Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen II: Anwendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie (Bd. 703) Aufgabensammlung zur Funktionentheorie: I: Aufgaben zur elementaren Funktionentheorie II: Aufgaben zur höheren Funktionentheorie ClP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Knopp, Konrad Funktionentheorie. — Berlin, New York : de Gruyter. 1. Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen. — 13. Aufl. — 1976. (Sammlung Göschen ; 2125) ISBN 3-11-007051-0 © Copyright 1976 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung, J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung, Georg Reimer, KarlJ. Trübner, Veit 8c Comp., 1 Berlin 30 — Alle Rechte, insbesondere das Recht der Vervielfältigung und Verbreitung sowie der Übersetzung, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form (durch Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Verlages reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden — Printed in Germany — Reproduktion und Druck: Mercedes-Druck, 1 Berlin 61 —• Bindearbeiten: Lüderitz & Bauer, Buchgewerbe-GmbH, 1 Berlin 61

Inhaltsverzeichnis Erster Abschnitt

Grandlegende Begriffe 1. Kapitel. Zahlen und P u n k t e § § § §

1. 2. 3. 4.

Vorkenntnisse Zahlenebene und Zahlenkugel Punkt- und Zahlenmengen Wege, Gebiete, Kontinuen

7 8 11 20

2. Kapitel. F u n k t i o n e n einer k o m p l e x e n V e r ä n d e r l i c h e n | § §

5. Begriff der allgemeinsten (eindeutigen) Funktion einer komplexen Veränderlichen 6. Stetigkeit und DifTerenzierbarkeit 7. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen . . .

27 29 35

Zweiter Abschnitt

Integralsätze 3. Kapitel. D a s Integral einer s t e t i g e n F u n k t i o n § 8. Definition des bestimmten Integrals § 9. Existenzbeweis f ü r das bestimmte Integral § 10. Berechnung bestimmter Integrale § 11. Einfache Integralsätze

39 40 44 49

4. Kapitel. Der Cauchysche I n t e g r a l s a t z § 12. Formulierung des IntegralsatzeB § 13. Beweis des Hauptsatzes § 14. Einfache Folgerungen und Erweiterungen

51 53 58

5. Kapitel. Die C a u c h y s c h e n I n t e g r a l f o r m e l n § 15. Die Hauptformel § 16. Integralformeln f ü r die Ableitungen

64 65

Dritter Abschnitt

Reihen und Reihenentwicklungen analytischer Funktionen 6. Kapitel. R e i h e n mit v e r ä n d e r l i c h e n Gliedern 5 17. Konvergenzbercich § 18. Gleichmäßige Konvergenz $ 19. Gleichmäßig konvergente Reihen analytischer Funktionen

69 73 75

4

Inhaltsverzeichnis

7 Kapitel. D i e E n t w i c k l u n g a n a l y t i s c h e r in P o t e n z r e i h e n

Funktionen

J 20. Entwickliingssatz lind Identitätssatz für Potenzreihen . . § 21. Der Identitätssatz für analytische Funktionen . . . .

80 87

8. Kapitel. A n a l y t i s c h e F o r t s e t z u n g u n d v o l l s t ä n d i g e Definition der a n a l y t i s c h e n F u n k t i o n § 22. Das Prinzip der analytischen Fortsetzung 93 § 23. Die elementaren Funktionen 97 § 24. Fortsetzung durch Potenzreihen und vollständige Definition der analytischen Funktion 99 § 25. Der Monodromiesatz 107 § 26. Beispiele mehrdeutiger Funktionen 109 9. Kapitel. G a n z e t r a n s z e n d e n t e

Funktionen

i 27. Erklärungen § 28. Verhalten für große | 11

113 114

Vierter Abschnitt

Von den singulären Stellen 10. Kapitel. D i e L a u r e n t s c h e E n t w i c k l u n g $ 29. Die Entwicklung § 30. Erläuterungen und Beispiele 11. Kapitel. § 31. § 32. § 33. § 34. § 35. Register

118 120

Die verschiedenen A r t e n singulärer Stellen Wesentlich und außerwesentlich singulare Stellen oder Pole 123 Verhalten analytischer Funktionen im Unendlichen . . 127 Der Residucnsatz 130 Umkehrung analytischer Funktionen 136 Die rationalen Funktionen 138 142

Literatur Die f ü r die Funktionentheorie grundlegenden Arbeiten von C a u c h y , R i e m a n n und W e i e r s t r a ß findet man in deren gesammelten Werken: A u g u s t i n C a u c h y , Oeuvres complètes, Paris (Gauthier-Villars) 1882 bis 1921. B e r n h a r d R i e m a n n , Gesammelte mathematische Werke, 2. Aufl., Leipzig 1892, Nachträge 1902. K a r l W e i e r s t r a ß , Mathematische Werke, Berlin 1894 — 1927. An neueren zusammenfassenden Darstellungen seien genannt: H. B e h n k e und F. S o m m e r , Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen, 2. Aufl. Berlin und Heidelberg 19C2. L. B i e b ^ T b a c h , Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. I : Elemente der Funktionentheorie, 4. Aufl., Leipzig 1934. Bd. I I : Moderne Funktionentheorie, 2. Aufl., Leipzig 1931. L. B i e b e r b a c h , Einführung in die Funktionentheorie, 3. Auflage, Stuttgart 1959. H. B u r k h a r d t , Funktionentheoretische Vorlesungen, Bd. I hrsg. von G. F a b e r , Berlin 1920/21. C. C a r a t h é o d o r y , Funktionentheorie I, 2. Aufl. Basel 19C0. A. D i n g h a s , Vorlesungen über Funktionentheorie, Berlin, Heidelberg und Göttingen 19C1. G. D o e t s c h , Funktionentheorie. (Bildet Kap. 15 von E . P a s c a l , Repertorium der höheren Analysis, 1. Band, 2. Teilband, 2. Aufl., Leipzig 1927.) É. G o u r s a t , Cours d'analyse mathématique, Bd. I I , 7. Aufl., Paris 1949. J . H a d a m a r d , La série de Taylor et son prolongement analytique (Coll. Scientia) 2. Aufl. hrsg. von S. Mandelbrojt, Paris 192C. H. H o r n i c h , Lehrbuch der Funktionentheorie, Wien 1950. C. J o r d a n , Cours d'analyse, Bd. I, 3. Aufl., Paris 1909. H. K n e s e r , Funktionentheorie, Göttingen 1953. K. K n o p p , Theorie und Aswendung der unendlichen Reihen, 4. Aufl., Berlin und Heidelberg 1947. H. v. M a n g o l d t und K . K n o p p , Einführung in die höhere Mathematik, Bd. II, 10. Aufl., Stuttgart 1956; Bd. I I I , 10. Aufl., Leipzig 1957. D. M e n c h o f f , Les conditions de monogénéité (Actualités scientifiques et industrielles, Ko. 329), Paris 1936. W. F. O s g o o d , Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. I, 5. Aufl., Leipzig 1928. É. P i c a r d , Traité d'analyse, Bd. II, 3. Aufl., Paris 1920. Daneben sei auf die E n z y k l o p ä d i e d e r m a t h e m a t i s c h e n W i s s e n s c h a f t e n , Leipzig 1898ff. hingewiesen, deren Teilbände II, 2 und II, 3 (Leipzig 1901 bis 1927) größtenteils der Funktionentheorie gewidmet sind.

Erster Abschnitt

G r u n d l e g e n d e Begriffe 1. Kapitel. Zahlen und Punkte § 1. Vorkenntnisse Wir setzen voraus, daß der Leser mit der Lehre von den reellen Zahlen und mit den Grundlagen der auf ihr aufgebauten reellen Analysis (Infinitesimalrechnung oder Differential- und Integralrechnung) und mit denen der analytischen Geometrie vertraut ist. In welchem Ausmaße dies für das Verständnis der nachfolgenden Darstellung erforderlich ist, findet der Leser in den ersten Paragraphen der „Elem." 1 ) genauer ausgeführt. Wir setzen weiter voraus, daß der Leser auch mit dem übrigen Inhalt der „Elem." im großen und ganzen vertraut ist. Wir nehmen also an, daß er die gewöhnlichen komplexen Zahlen kennt, daß er mit ihnen rechnen kann und daß er weiß, wie die Gesamtheit dieser Zahlen 2 ) den Punkten oder Vektoren einer Ebene oder den (vom „Nordpol" verschiedenen) Punkten einer Kugel umkehrbar eindeutig zugeordnet werden kann und wie dadurch jede rechnerische Betrachtung geometrisch veranschaulicht und jede geometrische Betrachtung rechnerisch verfolgt werden kann (Elem., I. Abschn.). Wir nehmen ebenso an, daß er die unendlichen Zahlenfolgen und damit die unendlichen Reihen mit komplexen Gliedern und den Begriff der Funktion eines komplexen Argumentes schon in der Hauptsache kennt und mit der Anwendung des Grenzbegriffes bei beiden, also auch mit ' ) D u r c h „ E l e m . " verweisen wir auf unser B ü n d c h e n „ l i l e m e n t e d e r F u n k t i o n e n t h e o r i e " , S a m m l u n g Göschen Kr. 1109, 0. Aufl., Berlin 1903. ' ) W e n n i m f o l g e n d e n von „ Z a h l e n " gesprochen wird, so sind d a r u n t e r immer die (gewöhnlichen) k o m p l e x e n Zahlen zu v e r s t e h e n , es sei d e n n , d a ß das Gegenteil a u s d r ü c k l i c h gesagt wird.

8

1. Kapitel. Zahlen und Punkte

dem Begriff der Stetigkeit und Differenzierbarkeit der genannten Funktionen vertraut ist (Elem., III. u. IV. Abschn.), und endlich, daß er das Wichtigste über die sogenannten elementaren Funktionen weiß (Elem., II. u. V. Abschn.). Um den Leser aber instand zu setzen, selbst zu beurteilen, inwieweit diese Voraussetzungen bei ihm erfüllt sind, und um zugleich einen festen Boden für die nachfolgende G r u n d l e g u n g der a l l g e m e i n e n T h e o r i e der a n a l y t i s c h e n F u n k t i o n e n zu gewinnen, sollen in diesem und dem nachfolgenden Kapitel die für die jetzigen Zwecke wichtigsten Dinge aus den „Elem." kurz zusammengefaßt und in einigem ergänzt werden. § 2. Zahlenebene und Zahlenkugel Die komplexen Zahlen lassen sich umkehrbar eindeutig den Punkten einer durch ein rechtwinkliges Achsenkreuz orientierten Ebene zuordnen, die man dann kurz als „die (Gaußsche oder komplexe) Zahlenebene" oder noch kürzer als „die z-Ebene" bezeichnet: Jeder komplexen Zahl z = x + iy ordnet man denjenigen Punkt zu, dessen Abszisse gleich dem reellen Teil at = 9ft(z) und dessen Ordinate gleich dem imaginären Teil y = 3(z) = iz) ist 1 ). Infolge dieser Festsetzung entspricht jeder komplexen Zahl z genau' ein Punkt der z-Ebene und umgekehrt jedem Punkt dieser Ebene genau eine komplexe Zahl. Die Ausdrücke „Punkt" und „Zahl" können daher ohne Furcht vor Mißverständnissen als vollkommen gleichbedeutend gebraucht werden. Wir werden also im folgenden z. B. von „dem Punkt i j / 3 " oder von „dem ') Kleine lateinische oder griechische (gelegentlich auch deutsche) Buchstaben können im folgenden immer komplexe Zahlen bedeuten, wenn d a s Gegenteil aus d e m Zusammenhang nicht eindeutig hervorgeht. Doch werden i , y und später öfter u, v und r¡ gern für den reellen bzw. Imaginären Teil, also für reelle Zahlen, vorbehalten. — Zuweilen wird auch iy (nicht y allein) als der Imaginäre Teil von z bezeichnet. Verwechslungen sind stets durch den Zusammenhang ausgeschlossen.

§ 2. Zahlenebene und Zahlenkugel

9

Abstand zweier Zahlen" oder „dem Dreieck mit den Ecken z2, z 3 " usw. sprechen dürfen. Sind r und

0 immer noch unendlich viele z der Menge gibt, für die |2- £| -00

und sagt, die Zahlenfolge zv z2,. . ., z„,. . . k o n v e r g i e r e g e g e n d e n G r e n z w e r t £. Eine notwendige und hinreichende Bedingung für das Eintreten dieses Falles liefert das Allgemeine Cauchysche Konvergenzprinzip (s. Elem., §26): Satz 4. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Folge zv z2,..zn,... einen Limes hat, ist diese: Jedem beliebig gegebenen e> 0 läßt sich eine Zahl n0 = n0(s) so zuordnen, daß für alle n > n0(e) und alle p > 0 I zn+p

ist1).

— z

n I
H = ai + H + • • •' n = («1 + «2 H + «»). • • •

z

') Gilt f ü r eine Menge ( m a n s a g t a u c h : R a u m ) von Dingen — hier also f ü r die G e s a m t h e i t der komplexen Zahlen z — ein Satz der obigen F o r m , so n e n n t m a n den R a u m dieser Dinge v o l l s t ä n d i g . Das Cauchysche Konvergenzprinzip ist also der A u s d r u c k f ü r die V o l l s t ä n d i g k e i t des R a u m e s der k o m p l e x e n Zahlen. 2*

20

1. Kapitel. Zahlen und Punkte

oder die Produkte =

ßj, 2 2

=

®l '

2>

"

fl

zn =

" a2 '

• " •'

(öj • a 2 • • • a „ ) , . . .

gebildet werden, so bezeichnet man solche Zahlenfolgen auch kurz mit 00

2 an

n= 1

bzw.

00

IJ «n

n= 1

und spricht von einer „ u n e n d l i c h e n R e i h e " mit den Gliedern an bzw. von einem „ u n e n d l i c h e n P r o d u k t " mit den Faktoren an. Die zn heißen deren „ T e i l s u m m e n " bzw. „ T e i l p r o d u k t e " . Mit dem Gebrauch der unendlichen Reihen muß der Leser vertraut sein (s. Elem., 7. u. 8. Kap.). Aufgaben.

1. Ist die durch die Beziehung

\z\ +

3t(2) ^

1

definierte Menge beschränkt? Welchen Teil der Ebene erfüllen die Punkte dieser Menge ? 2. Man beweise, daß jede nur aus isolierten Punkten bestehende Menge abzählbar ist. 3. Man beweise die unter 1 0 , 1 1 und ] 2 gemachten Aussagen, daß die dortigen Werte „ a n g e n o m m e n " werden. 4. Man zeige: J e d e r nicht zu einer Menge 9Jt gehörige Häufungspunkt von 2Jt ist ein Randpunkt derselben, und jeder nicht zu ÜJt gehörige Randpunkt ist ein Iläufungspunkt von 9R. 5. Man zeige: Die Gesamtheit der Randpunkte einer Menge bildet selbst eine abgeschlossene Menge.

§ 4. Wege, Gebiete, Kontinuen Wie unter den reellen Punktmengen die offenen und abgeschlossenen Intervalle besonders wichtig waren, sind es in der Ebene die W e g e , G e b i e t e und K o n t i n u e n , die wir nun genau definieren wollen. 1. Sind x(t) und y(t) im Intervall txf^tf^ß stetige (reelle) Funktionen von i, so ist

§ 4. Wege, Gebiete, Kontinuen

(1)

* = x(t),

21

y = y(t)

die Parameterdarstellung einer s t e t i g e n K u r v e 1 ) . Setzt man x -f iy = z, also x(l) + iy(l) = z(t), so kann die Darstellung kürzer (2)

2 = 2(i),

geschrieben werden. Eine stetige Kurve ist durch diese ihre Darstellung von selbst o r i e n t i e r t : Von den zu zwei Paranieterwerten < t2 gehörigen Punkten z(£x) und z(i 2 ) soll der erste als der „früher durchlaufene" gelten, — auch wenn z(t2) — z ^ ) , der zugehörige Punkt also ein Doppel- oder mehrfacher Punkt sein sollte. Die Punkte z(l) mit t1 0 beliebig gewählt, so läßt sich stets ein doppelpunktfreies geschlossenes Polygon p angeben, das in © so verläuft, daß ff1 im Innengebiet von £ liegt, daß jeder Punkt von p einen Abstand < e von ff' und jeder Randpunkt von & einen Abstand (J erreicht werden, daß 9t im Außengebiet von J) liegt.

2. Kap. § 5. Begriff der Funktion einer kompl. Veränderlichen

27

2. Kapitel. Funktionen einer komplexen Veränderlichen § 5. Begriff der allgemeinsten (eindeutigen) Funktion einer komplexen Veränderlichen Ist SJt eine beliebige Punktmenge und kann z einen beliebigen Punkt derselben bedeuten, so heißt z eine (komplexe) V e r ä n d e r l i c h e (Variable) und SDt ihr V a r i a b i l i tätsbereich. Besteht nun eine V o r s c h r i f t , vermöge deren jedem Punkt z aus 9Ji ein bestimmter neuer Zahlenwert w zugeordnet wird, so heißt w eine (eindeutige) F u n k t i o n der (komplexen) V e r ä n d e r l i c h e n z\ in Zeichen w = /(«), indem „/" symbolisch für die irgendwie gegebene Zuordnungsvorschrift gesetzt wird. 9JI heißt der D e f i n i t i o n s b e r e i c h der Funktion und z das A r g u m e n t derselben. Die Gesamtheit der Werte w, die den Punkten z von 9Ji zugeordnet werden, nennt man den W e r t e v o r r a t der Funktion (auf W). Statt / sind aucli beliebige andere Zeichen statthaft; im folgenden werden F, g, h,

0 . 2. Sind die in der vorigen Aufgabe definierten Funktionen in gewissen Punkten differenzierbar? Sind es die Funktionen f(z) = | z |, /(z) = 9 } ( z ) , / ( z ) = a r c z ?

§ 7. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

35

3. Die Funktion f(z) sei innerhalb eines Kreises Ä (allgemeiner: im Innengebiet eines geschlossenen, doppelpunktfreien Weges £ ) stetig und nehme in jedem Randpunkt £ einen Randwert /(£) an. Man zeige, daß diese Randwerte /(£) eine längs Ä (bzw. ©) s t e t i g e Funktion bilden.

§ 7. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen Um zu erkennen, was die Forderung der Differenzierbarkeit von f(z) = u + iv an der Stelle £ = f + irj für die beiden Funktionen u(x, y) und v(x, y) bedeutet, erinnern wir zunächst an den Begriff der (vollständigen) Differenzierbarkeit einer reellen Funktion u(x,y) der reellen Veränderlichen x und y an einer Stelle (£, rj), an der und in deren Umgebung sie definiert ist: u(x,y) heißt in vollständig differenzierbar, wenn für alle dem Betrage nach hinreichend kleinen (reellen) h und Je mit konstanten Zahlen und aa (1)

u(f + h, T] + k) - u(£, rj) = axh + a2fc + Qxh + g2k

gesetzt werden kann und hierbei = Q1(h,k) und g2 — ß2(h, k) für (h, k) -* (0,0) ihrerseits — 0 streben. Ist u in (£, rj) vollständig differenzierbar, so ist u dort auch partiell differenzierbar, und es ist an der Stelle (£, rj), wie man für k = 0, h 0 bzw. h — 0, k-* 0 erkennt, ux = ocv ut = oc2. Die aufgeworfene Frage wird dann durch den folgenden Satz beantwortet: Satz 1. Die Funktion /(z) = u + iv ist dann und nur dann an der Stelle £ = f + irj, an der und in deren Umgebung sie erklärt ist, differenzierbar und hat dort die Ableitung c=oc + iß, wenn die Funktionen u = u(x, y) und v = v(x, y) an der Stelle (£, rj) vollständig differenzierbar sind und ihre partiellen Ableitungen dort die Werte (2) haben. 3*

ux =tx, uy = — ß, vx = ß, vy = tx

36

2. Kapitel. Funktionen einer komplexen Veränderlichen

Beweis. I. Ist /'(£) = c, so heißt dies (s. § 6, (6)), daß für alle dem Betrage nach hinreichend kleinen (komplexen) l = h + ik (3) f(C + l)-t(0 = cl + rl gesetzt werden kann und dabei r = r(l) eine Funktion bedeutet, die für 1-* 0 selbst ->-0 strebt. Setzt man r(l) — r(h + ik) = g(h, k) + ia(h, k) und zerlegt (3) in Realund Imaginärteil, so erhält man die beiden Gleichungen ... U

i + h, rj + k) — m(£, rj) =och — ßk + gh - ok, \ v(£ + h,rj +k) - «(£, rj) = ßh + ) I < o sein sollte, dem Betrage nach « r (| ei - z'o | + | 22 - e[ I + • • • + I 4

/ (Cv), stets

-

ist, wenn lr die Länge des Teilchens z„_j • • • z„ bedeutet. Da das Entsprechende für jedes der n Teilchen der Zerlegung j gilt, so folgt, daß ist, wie behauptet. ' ) Das soll heißen: F ü r irgend zwei Punkte 2' und z", die auf demselben Teilchen des Weges liegen, ist stets |/(«") — l(z') | < a.

3. Kapitel. Das Integral einer stetigen Funktion

42

II. Wir zeigen jetzt, daß nach Wahl von e > 0 sich ein 0 den Radius q von ! so klein, daß für jeden Punkt f von ! i

m - mi< ^

ist, was wegen der Stetigkeit von /(£) sicher möglich ist, so ist nach § 11, 5 \Jt\^±k.j>2ne

= e, d.h. J2 = 0.

Also ist, wie behauptet,

§ 16. Integralformeln für die Ableitungen Ist ! ein beliebiger Weg und 0 eine Zahl N so angeben, daß für alle n ^ N und alle p ^ 1 ist. Für alle | z — z0 | iS g, alle n^ dann ebenfalls

N und alle

1 ist

I W 2 - %>n+1 + • • • + «„+„(* - *o)n+p I < e. w. z. b. w. Allgemein gilt das folgende sog. Majorantenkriterium, das auch als Weierstraßscher Konvergenzsatz bezeichnet wird: Satz 2. Sind die positiven Zahlen y0, yv ..., y„,. . . so beschaffen, daß für alle z eines Teiles W des IConvergembereichs der Reihe Z /„ (2) (n = 0 , 1 , 2 , . . . )

\fn(z)\^yn, ist und daß

00 n=0

konvergiert, so ist £ fn(z) in 2Ji' gleichmäßig

konvergent.

Der Beweis ist ganz analog wie in dem eben gegebenen speziellen Falle. A u f g a b e n : 1. Man untersuche die in § 17, Aufgabe 2 gegebenen Reihen auf die Gleichmäßigkeit der Konvergenz hin.

00 ¿n

2. Man beweise, daß die Potenzreihe £

— ; in ihrem

abge-

s c h l o s s e n e n Konvergenzkreise | z\ fS 1 gleichmäßig konvergiert.

§ 19. Gleichmäßig konvergente Reihen analytischer Funktionen Wir machen nun die weitere Voraussetzung, daß die sämtlichen Funktionen fn(z) analytische Funktionen sind; dann werden wir zeigen, daß auch die durch die Reihe dargestellte Funktion analytisch ist. Genauer:

76

6. Kapitel. Reihen mit veränderlichen Gliedern

Es sei f0(z), h(z),... eine unendliche Folge von Funktionen, die sämtlich in ein und demselben Gebiet © regulär sind, und die Reihe Efn{z) sei auf jeder kompakten Teilmenge © ' von ©*) g l e i c h m ä ß i g konvergent. Dann gelten die folgenden drei Sätze: Satz 1. Die Reihe Sfn{z) F(z) dar.

stellt eine in © stetige

Funktion

Satz 2. Es konvergiert jede durch gliedweise Integration längs eines Weges f in © entstehende Reihe und liefert das entsprechende Integral von F(z)\ in Zeichen: 00

(1)

21 ljfn{z)dz

n=0

ist konvergent und = '/F(z)

dz.

Satz 3. Es ist F(z) eine in © reguläre Funktion, und es konvergiert überall in © jede durch p-malige gliedweise Differentiation entstehende Reihe — und sogar gleichmäßig auf jeder kompakten Teilmenge ©' von 6) — und liefert dort die entsprechende Ableitung von F(z); in Zeichen: Für festes p = 0 , 1 , 2, . . . ist (2)

2 /(z) in © konvergent und = ¿ ^ ' ( z ) . n=0

Beweise: 1. e > 0 und z0 in © seien gegeben. Dann genügt es zu zeigen, daß | F(z) - F(z0) | = | Zfn{z)

- Zfn(z0)

| < 3e

ist für alle hinreichend nahe an z0 gelegenen z aus © . Dazu wählen wir zunächst eine abgeschlossene Kreisscheibe © ' um z0, die ganz in © liegt. Nach § 18 ist dann N so bestimmbar, daß, wenn allgemein ') ]). h. also: auf jeder abgeschlossenen und beschränkten Teilmenge ©' von 0 , deren Punkte also sämtlich im Innern des Gebietes @ liegen.

§ 19. Gleichmäßig konvergente Reihen analytischer Funktionen 77 2U{z) >•=0

= s«(ß) und

2 f,(z) = r„(z) »= n+ l

gesetzt wird, f ü r a l l e z in

ist. Beschränkt man dann z au! eine so kleine, in Umgebung von z0, daß f ü r alle dort gelegenen z

gelegene

I SAr(z) - sN (z0) | < e ist, — da sN(z) als Summe von e n d l i c h vielen stetigen F u n k tionen selbst stetig ist, so ist eine solche Umgebung sicher bestimmbar —, so ist wirklich | F(e) - F(z0) | ^ | S*(z) - sN(z0) | + | rN(z) | + | rN(z0) | < e + e + e = 3e,

w. z. b. w.

2. Da F(z) sich somit als eine in © stetige Funktion erwiesen hat, so ist das in der zweiten Behauptung auftretende Integral über F(z) jedenfalls vorhanden. Nun ist f eine kompakte Teilmenge von © und Efn(z) also auf f gleichmäßig konvergent. Daher kann bei gegebenem e > 0 ein N so bestimmt werden, daß für alle n > N und alle z auf f stets | rn(z) | ^ e ist. Nach § 11, Satz 4 ist dann zunächst (für jedes n) '/F(z)

dz = f/sn(z)

dz + '/r„(z)

dz

und nach demselben Satze weiter '/«•(«) dz = N |«/ F(z) d z - 2 »//,(«) dz | = | '/ rn(z)

dz\^e-l,

v = 0

wenn l die Länge des Weges f bezeichnet. Da aber el durch geeignete Wahl von s beliebig klein gemacht werden kann, so bedeutet dies genau, daß die Behauptung (1) gilt.

78

6. Kapitel. Reihen mit veränderlichen Gliedern

Man erkennt nachträglich, daß es bei den Sätzen 1 und 2 genügt, die fn(z) als stetig vorauszusetzen, und bei Satz 2 dann weiter nur, daß J£fn(z) längs des Weges ! gleichmäßig konvergiert. In Erweiterung von § 11, Satz 4 kann man also insbesondere den Satz aussprechen: Satz 2a. Auch eine unendliche Reihe (stetiger Funktionen) darf gliedweise integriert werden, wenn nur die Reihe längs des Integrationsweges gleichmäßig konvergiert. 3. Es sei ZQ ein beliebiger Punkt von Dann genügt es zu zeigen, daß F(z) in z0 regulär ist. Dazu wählen wir eine abgeschlossene Kreisscheibe um z0, die noch ganz in & liegt. Ist dann ß ein beliebiger innerhalb liegender geschlossener Weg, so ist Zj n {z) längs (£ gleichmäßig konvergent, nach 2. also ff/F(*) 0), so ergibt sich für jedes z von aus der leicht verständlichen Abschätzung

§ 19. Gleichmäßig konvergente Reihen analytischer Funktionen 7 9

6 r n+r

n+r

/

21 /(„p)(z) = -p-. \ v=n+1 2 711 J daß Z f f i i z ) auf & " sogar gleichmäßig konvergiert. Um jeden Punkt z von @ gibt es also eine Kreisscheibe auf der diese Reihe gleichmäßig konvergiert. Nach dem Heine-Borelschen Satze (§ 3, Satz 3) folgt hieraus sofort, daß sie auch auf jeder kompakten Teilmenge von & gleichmäßig konvergiert. (Vgl. hierzu noch die nachstehende Aufgabe 2.) Anwendung auf P o t e n z r e i h e n : Es sei fn(z) = an(z — z0)n, (n = 0,1, 2 , . . . ) , so daß Zfn{z) zu der Potenzreihe Zan(z — z0)n wird. Ist ihr Konvergenzradius r > 0, so kann ihr Konvergenzkreis | z — z0 | < r als das Gebiet © genommen werden. Denn jede kompakte Teilmenge von © liegt für passendes q mit 0 < q < r in dem Kreise | z — z0 | 5g g, und die Potenzreihe ist also (wegen § 18, Satz 1) auf jeder solchen Teilmenge von (3 gleichmäßig konvergent. Also gilt der Satz 5. Eine Potenzreihe Han(z — z0)n stellt im Innern des Konvergenzkreises eine dort reguläre Funktion f(z) dar ; deren Ableitungen erhält man durch gliedweise Differentiation der Potenzreihe, und diese abgeleiteten Potenzreihen haben denselben Konvergenzradius wie die gegebene: f(p)(z) =

00

2

n(n

co = ü(n n=0

- 1) • • • (n - p + 1) an(z + 1) (n + 2) • • • (n + p) an+p{z

= p! i (M + P ) an+p(z n=0 \ V I ist für \ z — z0\

A +±ÄQm>

|/(z0)|,

d. h. für alle auf einem bestimmten von z0 ausgehenden Radius hinreichend nahe bei z0 gelegenen Punkte z ist tatsächlich 1 /( 2 ) I > I /(?o) I - I s t a ber in der betrachteten Umgebung von z0 überall f(z) = /(z 0 ), so lehrt der im folgenden Paragraphen bewiesene Identitätssatz für analytische Funktionen, daß /(z) in © überall den Wert /(z 0 ) hat. Nur eine andre Fassung dieses Ergebnisses ist der folgende Satz, den man als das Prinzip vom Maximum bezeichnet: Satz 5. Das Maximum des Betrages einer in einem beschränkten und abgeschlossenen Gebiete regulären Funktion liegt stets auf dem Rande dieses Gebietes. A u f g a b e : Man entwickle die in § 17, Aufgabe 2 gegebenen Reihen in Potenzreihen mit dem Mittelpunkt z0 = 2 (für die erste) und z0 = 0 (für die zweite). ') D. h. wir wählen unter den von z 0 ausgehenden Radien einen bestimmten a u s .

§ 21. Der Identitätssatz für analytische Funktionen

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§ 21. Der Identitätssatz für analytische Funktionen Aus dem Cauchyschen Satze und der mit seiner Hilfe gewonnenen Taylorschen Entwicklung einer regulären Funktion lassen sich nun die wichtigsten Folgerungen ziehen, die uns das eigentliche Wesen der regulären analytischen Funktionen erst werden erkennen lassen. Um darauf hinzulenken, mögen folgende Vorbemerkungen Platz finden: Die Funktionen, die unter den in § 5 aufgestellten -allgemeinsten Funktionsbegriff fallen, sind so willkürlicher Art, daß aus ihrem Verhalten in e i n e m Teile ihres Definitionsgebietes SR gar nichts über das in einem a n d e r e n Teile desselben gefolgert werden kann. Ist etwa 9Ji die ganze z-Ebene und ist /(z) = 3i für | z | ^ 1, so folgt daraus nichts über die Werte der Funktion für | z | > 1, denn für diese kann ja eine ganz neue Zuordnungsvorschrift gegeben sein (vgl. das Beispiel S. 28). Anders ist es schon, wenn die Funktion stetig sein soll; dann m ü s s e n in dem letzten Beispiel die Werte von f(z) für nahe am Einheitskreise gelegene Punkte ihrerseits nahe bei 3 i gelegen sein. Es besteht also ein gewisser Zwang für die Funktion; die Funktionswert'e sind durch eine gewisse Gesetzmäßigkeit untereinander verbunden. Diese innere Gesetzmäßigkeit, die die Funktionswerte untereinander verknüpft und aus den Werten der Funktion in e i n e m Teil der z-Ebcne über die in den b e n a c h b a r t e n Teilen mehr oder weniger Genaues schließen läßt, — diese Gesetzmäßigkeit wird offenbar um so stärker, je speziellere Klassen von Funktionen man aus der Gesamtheit aller Funktionen aussondert. Ein Beispiel aus der Lehre der reellen Funktionen einer reellen Veränderlichen x mag dies deutlicher machen: Beschränkt man sich hier z. B. auf die Untersuchung der ganzen rationalen Funktionen 3. Grades (der Kurven 3. Ordnung) y =

«o

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