Funktionentheorie: Band 1 Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen [12. Aufl. Reprint 2019] 9783111723372, 9783111018409

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Funktionentheorie voll

Prof. Dr. Konrad Knopp f e h e m . o. Professor d e r M a t h e m a t i k an d e r U n i v e r s i t ä t T ü b i n g e n

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Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen

Zwölfte Auflage m i t 8 Figuren

Sammlung Göschen Band 668

Walter de Gruyter & Co • Berlin 1970 v o r m a l s G. J . Göschen'sche Verlagshandlung • J . G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g • Georg Reimer • K a r l J . T r ü b n e r • Veit & Comp.

Die Gesamtdarstellung umfaßt folgende Bände: E l e m e n t e der F u n k t i o n e n t h e o r i e (Bd. 1109) Funktionentheorie: I : Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen (Bd. 668) I I : Anwendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie (Bd. 703) A u f g a b e n s a m m l u n g zur Funktionentheorie: I : Aufgaben zur elementaren Funktionentheorie (Bd. 877) I I : Aufgaben zur höheren Funktionentheorie Bd. 878)

© Copyright 1970 by Walter de Gruyter |irlH'

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0) charakterisiert? Welche F l ä c h e n s t ü c k e werden durch dieselben Beziehungen charakterisiert, wenn in ihnen das Gleichheitszeichen d u r c h < , > , s j oder ersetzt wird? 2. Welche gegenseitige Lage haben in der Ebene oder auf der Kugel die Punkte a) z und — z; b) z und z 1 ) ; c) z und — z; d) z und — ; Z

e) z und — ; Z

f) z und — — ? 2

§ 3. F u n k t - und Zahlenmengcn Sondert man aus der Gesamtheit aller (komplexen) Zahlen nach einem bestimmten Gesichtspunkt endlich oder unendlich viele heraus, so bilden diese eine Z a h l e n m e n g e , die entsprechenden Punkte eine P u n k t m e n g e . Auch die Ausdrücke „Punktmenge" und „Zahlenmenge" werden als völlig gleichbedeutend angesehen. Eine solche Menge SUJ sieht man als gegeben oder definiert an, wenn ihre Erklärung (der aussondernde Gesichtspunkt) so gefaßt ist, daß für jede Zahl nur ') Durch z wird die zu z konjugierte komplexe Zahl bezeichnet (s. Elem., § 5).

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1. Kapitel. Zahlen und Punkte

genau eine der beiden Möglichkeiten besteht, daß sie zur Menge oder nicht zur Menge gehört. Da die sie veranschaulichende Punktmenge 9R in der komplexen Zahlenebene gelegen ist, so spricht man auch von „ebenen Mengen". Die Zahlen (Punkte) der Menge werden ihre Elemente genannt. Liegen alle Punkte einer solchen Menge auf einer und derselben Geraden, so nennt man sie auch eine lineare Menge. Ist die Gerade insbesondere die reelle Achse, so haben wir die reellen Mengen vor uns. Wir setzen voraus, daß der Leser mit diesen wie auch mit den ebenen Punktmengen im allgemeinen bekannt ist (Elem., IIL Abschn., 6. Kap.). Auch die Lehre von den Zahlenfolgen und den unendlichen fieihen, insbesondere von den Potenzreihen, muß der Leser in den Hauptzügen kennen (Elem., III. Abschn., 7. u. 8. Kap.). In den genannten Kapiteln der Elemente finden sich auch viele Beispiele zu den hier besprochenen Dingen. Jede geometrische Figur liefert eine Punktmenge, jede Punktmenge kann als geometrische Figur angesehen werden. Bei den reellen Mengen war besonders der Begriff der unteren bzw. oberen Grenze wichtig und der Satz, daß jede reelle, nicht leere Menge eine eindeutig bestimmte untere und ebenso eine eindeutig bestimmte obere Grenze besitzt. In dieser Allgemeinheit gilt der Satz allerdings nur, wenn man auch die Zeichen — and + oo als untere bzw. obere Grenze zuläßt. Andernfalls gilt er nur, wenn die Menge „nach links" bzw. „nach rechts beschränkt" ist. Ebenso wichtig war der Begriff des unteren bzw. oberen Limes (1™. hm, kleinster bzw. größter Hänfungspunkt) einer (unendlichen) Menge und der Satz, daß auch diese Werte durch die Menge eindeutig bestimmt sind. Auf weitere Einzelheiten soll indessen bei den reellen Mengen nicht wieder eingegangen werden. Bei den ebenen Punktmengen, die uns jetzt vor allem angehen, unterscheidet man ebenfalls zwischen beschränkten und

§ 3. Punkt- und Zahlenmengen

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nicht beschränkten Mengen: Eine Menge 2Ji heißt bes c h r ä n k t , wenn alle ihre Punkte in eine Figur von endlichen Ausmaßen (z. B. in einen Kreis) eingeschlossen werden können, schärfer: wenn es eine positive Zahl K gibt, so daß für alle Punkte z der Menge

\t\£K

ist. Liegen aber außerhalb jedes noch so großen Kreises um 0 noch Punkte von 9JI, so heißt 9Jt u n b e s c h r ä n k t oder nicht-beschränkt. Ein Punkt £ der Ebene heißt H ä u f u n g s p u n k t einer Menge SO?, wenn in jeder Umgebung von £ (s. § 2, h) immer noch unendlich viele Punkte z der Menge liegen, wenn es also bei (beliebig klein) gegebenem e > 0 immer noch unendlich viele 2 der Menge gibt, für die

|bene üblichen Reihenfolge.

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K n o p p , Kunktionentheoiie. I.

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1. Kapitel. Zahlen und Punkte

überdeckt,- während f ü r diese Punkte doch unendlich viele Kreise nötig sein sollten. Dies ist also nicht der Fall, der Satz muß vielmehr richtig sein. Ist eine Menge so beschaffen, daß man die zu ihr gehörigen Zahlen (Punkte) numerieren, d. h. derart der Reihe nach als 1-te, 2 - t e , . . . , n - t e , . . . oder als zlt z 2 , . . z n , . . . bezeichnen kann, daß hierdurch jedes Element eine bestimmte Nummer erhält, so heißt die Menge „ a b z ä h l b a r " . Ist dies nicht möglich, so heißt sie „ n i c h t a b z ä h l b a r " . (Vgl. Elem., 7. Kap., wo auch Beispiele vorkommen.) H a t man eine Abzahlung durchgeführt, so sagt man auch, man habe die Menge zu einer P u n k t - bzw. Z a h l e n f o l g e geordnet. Bei einer Punkt- bzw. Zahlenfolge läßt man aber im allgemeinen zu, daß dieselbe Zahl mehrfach, sogar unendlich oft, auftritt. Man definiert also ganz allgemein: Ist jeder natürlichen Zahl 1, 2 , . . , n , . . . in ganz beliebiger Weise je eine bestimmte (komplexe) Zahl zv z 2 , . . . , zn,... zugeordnet, so sagt man, daß diese Zahlen in der angegebenen Anordnung eine Z a h l e n f o l g e , die ihr entsprechenden Punkte eine P u n k t f o l g e bilden. Man bezeichnet sie kurz mit (z n ) und nennt die einzelnen Zahlen zn ihre „ G l i e d e r " . Es handelt sich hier also einfach um abzählbare und in bestimmter Weise abgezählte (durchnumerierte) Mengen — jedoch unter der besonderen Vereinbarung, daß Glieder mit verschiedener Kummer nicht notwendig verschieden zu sein brauchen. Ein und derselbe P u n k t ist dann also mehrfach oder gar unendlich oft als P u n k t der Folge zu betrachten; „er zählt mehrfach bzw. unendlich oft". Von dieser in ihrer Wirkung leicht zu überschauenden Festsetzung abgesehen gelten daher für Zahlen- und Punktfolgen die für beliebige Zahlen- und Punktmengen durchgeführten Betrachtungen. Insbesondere gelten die Sätze 1, 2 und 3 dieses Paragraphen, — man hat nur zu berücksichtigen, daß auf Grund der eben getroffenen Vereinbarungen ein Punkt der unendlich oft in einer Punktfolge

§ 3. Punkt- und Zahlenmengcn

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auftritt, auch ein Häufungspunkt derselben ist. £ heißt also genau dann ein Häufungspunkt der Folge (zn), wenn bei (beliebig klein) gegebenem e unendlich viele zn in der e-Umgebung von £ liegen, wenn für unendlich viele n also I - CI< £ ist. — Von besonderem Interesse ist der Fall, daß £ der e i n z i g e Häufungspunkt einer b e s c h r ä n k t e n Folge (z n ) ist. Dann gilt die letzte Beziehung für a l l e hinreichend großen n, also für f a s t a l l e n (oder alle n „von einer Stelle ab", etwa für alle n > n 0 = n 0 (e)), man nennt £ den „Limes" der Folge, schreibt zn -* £ für n -* oo oder lim z„ = £ n—»-OD

und sagt, die Zahlenfolge zx, z 2 , . . . , z „ , . . . k o n v e r g i e r e g e g e n d e n G r e n z w e r t £. Eine notwendige und hinreichende Bedingung für das Eintreten dieses Falles liefert das Allgemeine Cauchysche Konvergenzprinzip (s. Elem., § 26): Satz 4. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Folge zv z2,..., z„,... einen Limes hat, ist diese: Jedem, beliebig gegebenen e > 0 läßt sich eine Zahl n0 = n 0 (e) so zuordnen, daß für alle n > M0(e) und alle p > 0 I zn+p

z

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