Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen: Aus: Funktionentheorie, 1. [Reprint 2012 ed.] 9783111376462, 9783111018416

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

668

FUNKTIONENTHEORIE von

P R O F . DR. K O N R A D

KNOPPf

ehem. o. Professor der M a t h e m a t i k an der U n i v e r s i t ä t Tübingen

GRUNDLAGEN DER A L L G E M E I N E N DER A N A L Y T I S C H E N

THEORIE

FUNKTIONEN

E l f t e Auflage Mit 8 Figuren

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals G. J. Göechen'eche Verlagehandlung · J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung · Georg Reimer • Karl J. Trübner · Veit & Comp.

BERLIN

1965

Die Gesamtdarstellung umfaßt folgende Bände von Prof. Dr. Konrad Knopp: Elemente der Funktionentheorie (Bd. 1109) Funktionentheorie : I : Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen (Bd. 668) I I : Anwendungen und Wetterführung der allgemeinen Theorie (Bd. 703) Aufgabensammlung zur Funktionentheorie: I : Aufgaben zur elementaren Funktionentheorie (Bd. 877) I I : Aufgaben zur höheren Funktionentheorie (Bd. 878)

© Copyright 1961 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J . GöschenVche Verlagshandlung — J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — Karl J i Trübner — Veit & Comp,, Berlin 30. — Alle Kechte, einschl. der Eechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 7 713 641. Satz und Druck: Walter de Gruyter & Co., Berlin 3D. — Printed in Germany.

Inhaltsverzeichnis Erster Abschnitt

Grundlegende Begriffe 1. K a p i t e l . Z a h l e n u n d P u n k t e § 1. Vorkenntnisse § 2. Zahlenebene und Zahlenkugel § 3. Punkt- und Zahlenmengen § 4. Wege, Gebiete, Kontinuen

7 8 11 20

2. K a p i t e l . F u n k t i o n e n e i n e r k o m p l e x e n V e r ä n d e r l i c h e n § 5. Begriff der allgemeinsten (eindeutigen) Funktion einer komplexen Veränderlichen 27 § 6. Stetigkeit und Differenzierbarkeit 29 § 7. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen . . . 35 Zweiter Abschnitt

Integralsätze 3. K a p i t e l . D a s I n t e g r a l e i n e r s t e t i g e n F u n k t i o n § 8. Definition des bestimmten Integrals § 9. Existenzbeweis f ü r das bestimmte Integral § 10. Berechnung bestimmter Integrale § 11. Einfache Integralsätze

39 40 44 49

4. K a p i t e l . D e r C a u c h y s c h e I n t e g r a l s a t z § 12. Formulierung des Integralsatzes § 13. Beweis des Hauptsatzes § 14. Einfache Folgerungen und Erweiterungen

51 53 58

Ö.Kapitel. D i e C a u c h y s c h e n I n t e g r a l f o r m e l n § 15. Die Hauptformel § 16. Integralformeln f ü r die Ableitungen

64 65

Dritter Abschnitt

Reihen und Reihenentwicklungen analytischer Funktionen 6. K a p i t e l . R e i h e n m i t v e r ä n d e r l i c h e n G l i e d e r n § 17. Konvergenzbereich § 18. Gleichmäßige Konvergenz § 19. Gleichmäßig konvergente Reihen analytischer Funktionen

69 73 75

4

Inhaltsverzeichnis

7. K a p i t e l . D i e E n t w i c k l u n g a n a l y t i s c h e r F u n k t i o n e n in P o t e n z r e i h e n § 20. Entwicklungssatz und Identitätssatz f ü r Potenzreihen . . § 21. Der Identitätssatz für analytische Funktionen . . . .

80 87

8. Kapitel. A n a l y t i s c h e F o r t s e t z u n g u n d v o l l s t ä n d i g e D e f i n i t i o n der a n a l y t i s c h e n F u n k t i o n § 22. Daa Prinzip der analytischen Fortsetzung 93 § 23. Die elementaren Funktionen 97. § 24. Fortsetzung durch Potenzreihen und vollständige Definition der analytischen Funktion 99 § 25. Der Monodromiesatz 107 § 26. Beispiele mehrdeutiger Funktionen 109 9. K a p i t e l . G a n z e t r a n s z e n d e n t e § 27. Erklärungen § 28. Verhalten f ü r große | 2 |

Funktionen 113 114

Vierter Abschnitt

Von den singulärcn Stellen 10. K a p i t e l . D i e L a u r e n t s c h e E n t w i c k l u n g § 29. Die Entwicklung § 30. Erläuterungen und Beispiele 11. K a p i t e l . § 31. § 32. § 33. § 34. § 35. Register

118 120

Die verschiedenen Arten singulärer Stellen Wesentlich und außerwesentlich singulare Stellen oder Pole 123 Verhalten analytischer Funktionen im Unendlichen . . 127 Der Residuensatz 130 Umkehrung analytischer Funktionen 136 Die rationalen Funktionen 138 142

Literatur Die f ü r die Funktionentheorie grundlegenden Arbeiten von C a u c h y , l l i e m a n n und W e i e r s t r a ß findet man in deren gesammelten Werken: A u g u s t i n C a u c h y , Oeuvres complètes, Paris(Gauthicr-Viilars) 1882 bis 1921. B e r n h a r d l l i e m a n n , Gesammelte mathematische "Werke, 2. Aufl., Leipzig 1802, Nachträge 1902. K a r l W e i e r s t r a ß , Mathematische Werke, Berlin 1 8 9 4 - 1 9 2 7 . An neueren zusammenfassenden Darstellungen seien genannt: H. B e h n k e und F. S o m m e r , Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen, 2. Aufl. Berlin und Heidelberg 1962. L. B i e b e r b a c h , Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. I : Elemente der Funktionentheorie, 4. Aufl., Leipzig 1934. Bd. I I : Moderne Funktionentheorie, 2. Aufl., Leipzig 1931. L. B i e b e r b a c h , Einführung in die Funktionentheorie, 3. Auflage, Stuttgart 1959. H. B u r k h a r d t , Funktionentheoretische Vorlesungen, Bd. I hrsg. von G. F a b e r , Berlin 1920/21. C. C a r a t h é o d o r y , Funktionentheorie I, 2. Aufl. Basel 1960. A. D i η g h a s , Vorlesungen über Funktionentheorie, Berlin, Heidelberg u n d Göttingen 1961. G. D o e t s c h , Funktionentheorie. (Bildet Kap. 15 von E . P a s c a l , Itepertorium der höheren Analysis, 1. Band, 2. Teilband, 2. Aufl., Leipzig 1927.) É. G o u r s a t , Cours d'analyse mathématique, Bd. I I , 7. Aufl., Paris 1949. J . H a d a m a r d , La série de Taylor et son prolongement analytique (Coll. Scientia) 2. Aufl. hrsg. von S. Mandelbrojt, Paris 1926. H. H o r n i c h , Lehrbuch der Funktionentheorie, Wien 1950. C. J o r d a n , Cours d'analyse, Bd. I, 3. Aufl., Paris 1909. H . K n e s e r , Funktionentheorie, Göttingen 1953. Κ. K n o p p , Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 4. Aufl., Berlin und Heidelberg 1947. H. v. M a n g o l d t und K . K n o p p , Einführung in die höhere Mathematik, Bd. I I , 10. Aufl., Stuttgart 1956; Bd. I I I , 10. Aufl., Leipzig 1957. D. M e n c h o f f , Le9 conditions de monogénéité (Actualités scientifiques et industrielles, No. 329), Paris 1936. W. F. O s g o o d , Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. I, 5. Aufl.,Leipzig 1928. É . P i c a r d , Traité d'analyse, Bd. I I , 3. Aufl., Paris 1926. Daneben sei auf die E n z y k l o p ä d i e d e r m a t h e m a t i s c h e n W i s s e n s c h a f t e n , Leipzig 1898ff. hingewiesen, deren Teilbände II, 2 und II, 3 (Leipzig 1901 bis 1927) größtenteils der Funktionentheorie gewidmet sind.

Erster Abschnitt

Grundlegende Begriffe 1. Kapitel. Zahlen und Punkte § 1. Vorkenntnisse Wir setzen voraus, daß der Leser mit der Lehre von den reellen Zahlen und mit den Grundlagen der auf ihr aufgebauten reellen Analysis (Infinitesimalrechnung oder Differential- und Integralrechnung) und mit denen der analytischen Geometrie vertraut ist. In welchem Ausmaße dies für das Verständnis der nachfolgenden Darstellung erforderlich ist, findet der Leser in den ersten Paragraphen der „Elem." 1 ) genauer ausgeführt. Wir setzen weiter voraus, daß der Leser auch mit dem übrigen Inhalt der „Elem." im großen und ganzen vertraut ist. Wir nehmen also an, daß er die gewöhnlichen komplexen Zahlen kennt, daß er mit ihnen rechnen kann und daß er weiß, wie die Gesamtheit dieser Zahlen 2 ) den Punkten oder Vektoren einer Ebene oder den (vom „Nordpol" verschiedenen) Punkten einer Kugel umkehrbar eindeutig zugeordnet werden kann und wie dadurch jede rechnerische Betrachtung geometrisch veranschaulicht und jede geometrische Betrachtung rechnerisch verfolgt werden kann (Elem., I. Abschn.). Wir nehmen ebenso an, daß er die unendlichen Zahlenfolgen und damit die unendlichen Reihen mit komplexen Gliedern und den Begriff der Funktion eines komplexen Argumentes schon in der Hauptsache kennt und mit der Anwendung des Grenzbegriffes bei beiden, also auch mit 1 ) Durch „ E l e m . " verweisen wir auf unser Bändchen „Elemente der Funktionentheorie", Sammlung Göschen Nr. 1109, 6. Aufl., Berlin 1963. 2 ) Wenn im folgenden von „Zahlen" gesprochen wird, so sind darunter immer die (gewöhnlichen) komplexen Zahlen zu verstehen, es sei denn, daß das Gegenteil ausdrücklich gesagt wird.

8

1. Kapitel. Zahlen und Punkte

dem Begriff der Stetigkeit und Differenzicrbarkeit der genannten Funktionen vertraut ist (Elem., III. u. IV. Abschn.), und endlich, daß er das Wichtigste über die sogenannten elementaren Funktionen weiß (Elem., II. u. V. Abschn.). Um den Leser aber instand zu setzen, selbst zu beurteilen, inwieweit diese Voraussetzungen bei ihm erfüllt sind, und um zugleich einen festen Boden für die nachfolgende G r u n d legung der a l l g e m e i n e n T h e o r i e der a n a l y t i s c h e n F u n k t i o n e n zu gewinnen, sollen in diesem und dem nachfolgenden Kapitel die für die jetzigen Zwecke wichtigsten Dinge aus den „Elem." kurz zusammengefaßt und in einigem ergänzt werden. § 2. Zahlcnebeno und Zahlcnkugcl Die komplexen Zahlen lassen sich umkehrbar eindeutig den Punkten einer durch ein rechtwinkliges Achsenkreuz orientierten Ebene zuordnen, die man dann kurz als „die (Gaußsche oder komplexe) Zahlenebene" oder noch kürzer als „die z-Ebene" bezeichnet : Jeder komplexen Zahl z = x + iy ordnet man denjenigen Punkt zu, dessen Abszisse gleich dem reellen Teil χ = 9î(z) und dessen Ordinate gleich dem imaginären Teil y = $ (ή = 9Î(— it) ist 1 ). Infolge dieser Festsetzung entspricht jeder komplexen Zahl ζ genau ein Punkt der ε-Ebene und umgekehrt jedem Punkt dieser Ebene genau eine komplexe Zahl. Die Ausdrücke „Punkt" und „Zahl" können daher ohne Furcht vor Mißverständnissen als vollkommen gleichbedeutend gebraucht werden. Wir werden also im folgenden ζ. B. von „dem Punkt i j / 3 " oder von „dem ' ) Kleine lateinische oder griechische (gelegentlich a u c h d e u t s c h e ) B u c h s t a b e n k ö n n e n im f o l g e n d e n i m m e r k o m p l e x e Zahlen b e d e u t e n , wenn d a s Gegenteil aus d e m Z u s a m m e n h a n g n i c h t eindeutig h e r v o r g e h t . Doch werden X, y und s p ä t e r ö f t e r Μ, v u n d ξ, η gern f ü r den reellen bzw. i m a g i n ä r e n Teil, also f ü r reelle Zahlen, v o r b e h a l t e n . — Zuweilen wird a u c h iy ( n i c h t y allein) als d e r i m a g i n ä r e Teil v o n ζ bezeichnet. Verwechslungen sind s t e t s d u r c h d e n Z u s a m m e n h a n g ausgeschlossen.

§ 2. Zahlenebene und Zahlenkugel

9

Abstand zweier Zahlen" oder „dem Dreieck mit den Ecken 2j, z2, z 3 " usw. sprechen dürfen. Sind r und φ die Polarkoordinaten des Punktes z, so heißt r der ( a b s o l u t e ) B e t r a g und φ der A r c u s von z, in Zeichen: | ζ \ = r, arc ζ = φ. Aus dieser Äquivalenz von P u n k t und Zahl ergeben sich folgende einfache Tatsachen, deren besondere Hervorhebung noch nützlich ist: a) Der Abstand eines Punktes ζ vom Nullpunkt ist = | ζ | ; der Abstand zweier P u n k t e zx u n d z2 voneinander ist — I z i ~~ z i I = I z ì — ζ ι I· Die Z a h l z2 — z 1 wird durch den Vektor veranschaulicht, der von dem P u n k t e z 1 zum Punkte z2 führt. Es ist stets IZ1 ± h 1 ^

I ζ ι I + I z21

und

IZ1 ±

2

21 ^

II Z11 -

I

Ii-

b) Durch | ζ | = 1 ist die Kreislinie mit dem Radius 1 um den P u n k t 0, die Peripherie des sog. E i n h e i t s k r e i s e s , charakterisiert, d. h. alle Zahlen z, f ü r die | ζ \ — 1 ist, sind P u n k t e dieser Peripherie und umgekehrt. c) Durch I 2 — z 0 | < r ist ebenso die Fläche des Kreises mit dem Radius r um z0 ausschließlich seiner Peripherie (seines R a n d e s ) charakterisiert 1 ). d) Durch | ζ + ii ] 3 ebenso die Fläche des Kreises mit dem Radius 3 um — 4 i, einschließlich seines Randes. e) Durch | ζ — ζλ \ > R ebenso der Teil der z-Ebene, der außerhalb des Kreises mit dem Radius R um zx liegt. Î) Durch 9 î ( e ) > 0 ebenso die „ r e c h t e " H a l b e b e n e , d. h. der Teil der z-Ebene, der bei der üblichen Orientierung des Achsenkreuzes rechts von der Achse des Imaginären liegt, ausschließlich dieses ihres Randes. Durch Q(z) Sï 0 ebenso die „ o b e r e " Halbebene einschließlich ihres Randes. ') Nur wenn die Unterscheidung von K r e i s l i n i e und K r e i s f l ä c h e sich von selbst versteht oder unwesentlich ist, bezeichnet man beide als K r e i s .

10

1. Kapitel. Zahlen und Punkte

g) Durch 0 < r < | z — z0\-Ebene: Die Stetigkeit bedeutet, kurz gesagt, daß benachbarten Punkten in der ε-Ebene auch benachbarte Punkte in der w-Ebene entsprechen, und die Differenzierbarkeit, daß die A b b i l d u n g k o n f o r m ist (s. Elem., I V . Abschnitt, 10. Kap.). Ist eine Funktion an jeder Stelle eines Gebietes differenzierbar, so sagt man kurz, sie sei in d i e s e m G e b i e t e d i f f e r e n z i e r b a r . Die Ableitung ist dann wiederum eine in diesem Gebiete definierte Funktion f'(z). Die in Gebieten differenzierbaren Funktionen sind es nun, auf die am E n d e des vorigen Paragraphen schon hingewiesen 3

K n o p p , Funktionentheorie. I .

34

2. Kapitel. Funktionen einer komplexen Veränderlichen

wurde und die sich als sehr bedeutsam erweisen werden. Wir heben sie darum durch eine besondere Bezeichnung hervor: Erklärung. Eine i n einem Gebiete © erklärte und dort überall differenzierbare Funktion wird eine in 0. 2. Sind die in der vorigen Aufgabe definierten Funktionen in gewissen Punkten differenzierbar? Sind es die Funktionen f(z) = Ι ζ I,

f(z) = 3l(z),/(z) = arc 2?

§ 7. Die Cauchy-Riemanuschen Differentialgleichungen

35

3. Die Funktion f(z) sei innerhalb eines Kreises fî (allgemeiner: im Innengebiet eines geschlossenen, doppelpunktfreien Weges (£) stetig und nehme in jedem Randpunkt ζ einen Randwert /(£) an. Man zeige, daß diese Randwerte /(£) eine längs S (bzw. (S) stetige Funktion bilden. § 7. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen Um zu erkennen, was die Forderung der Differenzierbarkeit von f(z) = u + iv an der Stelle ζ — ξ + ίη für die beiden Funktionen u(x, y) und v(x, y) bedeutet, erinnern wir zunächst an den Begriff der (vollständigen) Differenzierbarkeit einer reellen Funktion u(x,y) der reellen Veränderlichen χ und y an einer Stelle (ξ, η), an der und in deren Umgebung sie definiert ist: u(x,y) heißt in (ξ, η) v o l l s t ä n d i g d i f f e r e n z i e r b a r , wenn für alle dem Betrage nach hinreichend kleinen (reellen) h und k mit konstanten Zahlen ocj und 0 gegeben, so bestimme man fc0 und alle ρ 1. Hiernach ist aber (s. § 3, Satz 4) lim Sk vorhanden. Setzt man diesen Grenzwert = J, so gilt nun endlich der am Ende von § 6 behauptete Satz. Ist ε > O gegeben und δ = δ (ε) gemäß II bestimmt, so gilt für jedwede S-Summe Sh, bei der nur die Längen aller Wegteilchen < δ sind, die Beziehung (5) \8.-J\ ι 0 für jeden anderen ganzzahligen Wert von m. A u f g a b e n . 1. Man berechne das letzte Integral auch für den Fall, daß a) ! ein Quadrat ist, dessen Mittelpunkt in z0 liegt und dessen Seiten den Achsen parallel sind; b) ! eine Ellipse ist, deren Mittelpunkt in z0 liegt und deren Achsen denen der Koordinaten parallel sind. i 2. Man berechne f | ζ \ dz, indem man den Weg —t a) geradlinig, b) längs der linken, c) längs der rechten Hälfte des Einheitskreises nimmt. § 11. E i n f a c h e Integralsätzo Die folgenden einfachen Sätze, bei denen der fehlende Integrand stets /(?) dz lauten soll, gehen fast unmittelbar aus der Summendefinition des Integrals hervor: S a t z 1. Ζ ζ· Ζ' 7 + 7 = t + 7 < Ζ, Ζ 2„ d. h. die Summe von Integralen längs auf einander folgender Wegstücke ist gleich dem Integral längs des Gesamtweges. Bei dem rechten Integral bedeutet die Wegangabe ! + T, daß von z0 längs t nach Ζ und weiter längs ΐ nach Z' zu gehen ist. Ebenso ist ζ ζ· ζ 7 = 7 + 7 . ζ,, 4 Knopp, Funktioncntheorie. I.

ζ,

ζ·

50

3. Kapitel. Das Integral einer stetigen Funktion

wenn ¿ zwischen z0 und Ζ auf ϊ gewählt wird und ! dadurch in f j und ϊ2 zerlegt wird. Satz 2. ζ z„ z0

ζ

d. h. wenn längs desselben Weges einmal in der einen, das andere Mal in der entgegengesetzten Richtung integriert wird, so sind die Resultate entgegengesetzt gleich. Bezeichnet man den Weg in der einen Orientierung mü !, in der andern mit — !, so kann man auch kürzer schreiben - ( / = - ϊ/ oder »/ + - « / = 1 + = 0, was man kurz so ausdrücken kann: Wenn über dasselbe Wegstück hin- und herintegriert wird, so ist der Integralwert gleich 0. Satz 3·

« , . tjcf(z)dz

t

=

«. - , . C-t¡f{z)dz,

d. h. ein konstanter Faktor des Integranden darf vor das Integralzeichen gesetzt werden. Satz 4. l / ( / i ( s ) +Λ(ζ)) dz = «/Λ(β) dz + l f f 2 ( z ) dz. In Worten : Das Integral einer Summe zweier (oder mehrerer, aber endlich vieler) Funktionen ist gleich der Summe der Integrale über die einzelnen Summanden. Kurz: Eine Summe (endlich vieler Funktionen) darf gliedweise integriert werden. Für die im folgenden sehr häufig auftretenden A b s c h ä t zungen ist schließlich der folgende Satz besonders wichtig:

Satz 5. Es ist I «//(*)

Ar |5S Ml,

wenn M eine obere Schranke der Werte von \f(z)\ längs ! bedeutet und wenn ! die Länge l hat.

4. Kapitel. § 12. Formulierung des Integralsatzes

51

Auch der Beweis dieser Formel ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Integrals : Es war

v— l

also ist 1 1 ^ Σ ι * - Vi IIm I^ Μ Σ ι* - Vi I · v= l v=l Die jetzt rechts stehende Summe ist ihrer Bedeutung nach die Länge des in die Kurve ϊ eingezeichneten Sehnenpolygons mit den Ecken z0, zlt z 2 , . . . , Ζ ; sie ist also l für jedes n. Es ist somit für jedes S¡ und also auch |J |

MZ, w. z. b. w.

So folgt ζ. B. ohne jede Rechnung für das erste Beispiel des § 10:

Γ/τ ^

1·2π =

2π,

da für jeden Punkt ζ des Einheitskreises ! stets | ζ | = 1 und da dessen Länge = 2 π ist. Aufgabe. Im Anschluß an die Aufgabe des § 9 zeige man, daß ist.

Ι7»ώ|^ι/|/(*)|

\dz\

4. Kapitel. Der Cauchysche Integralsatz § 12. Formulierung des Integralsatzes Nach der Definition des Integrales einer Funktion komplexen Argumentes hängt seinWert nicht nur (wie der des reellen Integrales) von den Integrationsgrenzen z0 und Ζ ab, sondern sehr wesentlich noch von dem Wege !, der sie verbindet (vgl.

52

4. Kapitel. Der Cauchysche Integralsatz

§ 10, Beispiel 2). Es gilt nun — unter soglcich zu nennenden Voraussetzungen — der für die ganze Funktionentheorie g r u n d l e g e n d e S a t z , daß eine solche Abhängigkeit vom Wege n i c h t besteht, wenn die Funktion nicht nur, wie bisher angenommen, stetig, sondern auch differenzierbar ist, d. h. es gilt der folgende nach seinem Entdecker als Cauchyscher Integralsatz bezeichnete

Hauptsatz der Funktionenthcorie E r s t e F o r m : Es sei die Funktion w = j(z) in einem, einfachzusammenhängenden Gebiete © regulär, und es seien z0 und Ζ zwei (innere) Punkte von ©. Dann hat das Integral

im dz längs jedes von z0 nach Ζ führenden und ganz in © verlaufenden Integrationsweges denselben Wert. Aus dieser ersten Form des Satzes folgt sofort eine zweite : Ein g e s c h l o s s e n e r W e g ® wird durch zwei seiner Punkte, z0 und Z, in zwei Wegstücke und f 2 zerlegt, die von z0 nach Ζ führen, einmal im Sinne der Orientierung von 6 , das andere Mal im entgegengesetzten Sinne. Wegen f j + (—f 2 ) = Ë und nach der ersten Form des Satzes ist nun nach § 11, Satz 1 und 2 Uf _ f•/ oder «./ + " f . / = « / = 0. Aus der ersten Form ergibt sich also die folgende Zweite F o r m : Ist f(z) in dem Gebiete % regulär, so ist

einfach-zusammenhängenden

« ; / ( « ) & = o, wenn E einen beliebigen (nicht notwendig doppelpunktfreien), geschlossenen, in 6) liegenden Weg bedeutet. Geht man umgekehrt von der zweiten Fassung aus, so folgt aus ihr sofort die erste ; denn sind f x und f 2 zwei beliebige

§ 13. Beweis des Hauptsatzes

53

von z0 nach Ζ führende Wege, so bilden, wenn man — ! a an f j anhängt, diese zusammen einen geschlossenen (wenn auch nicht immer doppclpunktfreien) Weg, so daß dann 0 = '·/-'./, d . h . »·/ = V ist. Es genügt daher, den Hauptsatz in der zweiten Form zu beweisen, was im folgenden Paragraphen geschehen soll, und zwar in 3 Stufen: zunächst für den Fall, daß S ein Dreieck; dann, daß G ein beliebiges Polygon; endlich, daß ß ein beliebiger geschlossener Weg ist. Durch die Beispiele 3 und 4 des § 10 haben wir den Cauchyschen Satz schon für zwei spezielle Funktionen, nämlich f(z) = 1 und f(z) = z, bewiesen, indem dort gezeigt wurde, daß für einen beliebigen geschlossenen Weg β ®/(fe = 0 und sf ζ dz = 0 ist. § 13. Beweis des Hauptsatzes I. T e i l : 6 ist ein in © liegendes Dreieck Man zerlege φ durch Parallelen zu den Seiten in vier kongruente Tcildreiecke 2)', 2). Dann ist, wenn die Integrationswege stets im mathematisch positiven Sinne durchlaufen werden: ®j" = S'J· S"J ®"'J 2>(4)J · denn indem über den Hand der 4 Teildreiecke integriert wird (vgl. Fig. 1, in der die die Orientierung angebenden Pfeile i n n e r h a l b jedes der Teildreiecke eingezeichnet sind), wird über die 3 Hilfslinien hin- und herintegriert (vgl. § 11, 2), so daß sich deren Einfluß von selbst eliminiert. Unter den 4 Integralen rechter Hand muß nun eines sein — sein Weg

4. Kapitel. Der Cauchysche Integralsatz

54 werde mit

bezeichnet —, für das I » / I ^ 4 I ®ι/ I ist, denn es kann nicht der Betrag jedes der Integrale kleiner als ein Viertel des Ganzen sein. Auf das Teildreieck kann man nun genau dieselbe Überlegung anwenden : es wird seinerseits wenigstens ein Teildreieck © 2 besitzen, für das

also

I ®·/ I / I,

I a 11 < ; 421 ®„j ι ist. Fährt man weiter fort, so ergibt sich eine Folge von Dreiecken SD, ® 2 , . . . , ® „ , . . . , die alle untereinander ähnlich sind, deren jedes ganz im vorhergehenden liegt, von diesem ein Viertel ist, und so, daß für η — 1, 2 , . . . |®/|^4»|®»/| ist. Nach dem Einschachtelungssatz gibt es einen und nur einen Punkt z0, der allen ©„ gemeinsam ist und also auch in Qb liegt. Es sei nun ε eine beliebig kleine positive Größe. Da f(z) in z0 eine Ableitung besitzt, läßt sich (s. § 6, I I , 1. Form) ó > 0 so bestimmen, daß für a l l e ζ mit 0 < | ζ — z 0 1 < O ζ' —

Ζ

\

ist, wenn nur ¿ Φ ζ hinreichend dicht an ζ liegt. Da ζ ein innerer Punkt von & ist, so liegt auch eine gewisse Umgebung von ihm noch ganz in Qb ; auf diese denken wir uns den Punkt z' beschränkt. Dann ist nach § 11, Satz 1 ζ

und hierin darf der Weg nach Voraussetzung beliebig, also etwa geradlinig angenommen werden1). Alsdann kann aber m

-

m

+

v ®

gesetzt werden, wobei, da die Funktion ja stetig ist, für alle ζ auf der Strecke z... z' \ η ( ζ ) \ < ε

ist, wofern nur die Umgebung des Punktes z, auf die wir z' beschränkt haben, klein genug genommen wird. Dann ist aber =

V

- z ) f ( z ) +

f

v

% ,

Ζ

woraus nach § 11, Satz 5 \ F { ¿ ) - F ( z ) - { ¿ - z ) M \ < * \ ¿

und also die Behauptung selbst folgt. ') Denn aus den Voraussetzungen folgt sofort, daß das Integral über f(z) zwischen i r g e n d zwei Funkten aus © unabhängig Tom Wege ist, falls dieser nur ganz in © liegt.

§ 14. Einfache Folgerungen und Erweiterungen

63

Z u s a t z . Die Voraussetzungen des Satzes 3 sind sicher dann erfüllt, wenn (55 einfach zusammenhängend und f(z) in © regulär ist: Jede in einem einfach zusammenhängenden Gebiete reguläre Funktion besitzt dort also eine Stammfunktion, und eine solche läßt sich durch das in Satz 3 angegebene Integral (1) darstellen. — In § 16, Satz 4 wird übrigens gezeigt werden, daß die in Satz 3 verlangte Unabhängigkeit des Integrals (1) vom Wege n u r d a n n eintritt, wenn f(z) in © regulär ist. Es sind also n u r die regulären Funktionen, welche Stammfunktionen besitzen. ζ άζ

/

ι

- ζ ist nach diesem Satze eine reguläre Funktion

in jedem einfach-zusammenhängenden Gebiete, das den Punkt 1, aber nicht den Punkt 0 enthält, also ζ. B. in der „rechten" Halbebene (vgl. § 2, f).

7. Aus diesem Satze folgt nun, dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung entsprechend, der Satz 4. Ist f(z) in dem einfach zusammenhängenden Gebiete © regulär und F(z) eine Stammfunktion zu f(z) in so ist stets (2)

¡'f(z)dz = F(z1)-F(z0), *0 falls die Punkte z0 und zx und der Integrationsweg in & liegen. Nach Satz 3, Zusatz und nach § 7, Satz 3 können sich das Integral (1) und die jetzige Stammfunktion F(z) höchstens um eine additive Konstante unterscheiden: Jf{z) dz = F(z) + c. Für z = z0 ergibt sich, daß c = — F(z0) sein muß, und für 2 = 0! erhält man dann die Gleichung (2).

64

6. Kapitel. Die Cauchyschen Integralformeln

5. Kapitel. Die Cauchyschen Integralformeln § 15. Dio nauptformcl Als wichtigste Folgerung aus dem Integralsatz beweisen wir n u n die C a u c h y s c h o I n t e g r a l f o r m e l : S a t z . Ist /(?) in dem (beliebigen) Gebiele & regulär, so gilt für jeden in (33 gelegenen geschlossenen doppelpunktfreien, positiv orientierten Weg G, dessen Innengebiet ganz zu © gehört, und für jeden in diesem Imengebiet gelegenen Punkt ζ die Formel1)

Dieser Satz besagt: Wenn man von einer F u n k t i o n n u r weiß, daß sie in einem Gebiete & regulär ist, und wenn man ihre Werte längs eines geschlossenen (einfachen) Weges G in (5) kennt, der keinen nicht zu & gehörigen P u n k t umschließt, so folgen daraus mit Notwendigkeit ihre Werte im Innern von G. Wie aus dieser Interpretation hervorgeht, ist der Satz außerordentlich merkwürdig und zeigt, daß die Werte einer regulären Funktion durch ein sehr starkes inneres Band miteinander v e r k n ü p f t sind, derart, daß die Werte längs des Randes diejenigen im Innern von G vollständig mitbestimmen. E t w a s Ähnliches ist ersichtlich bei den in § 5 definierten allgemeinsten und darum willkürlichsten Funktionen nicht möglich. Spätere Sätze werden zeigen, daß die genannte Bindung noch viel weiter geht. B e w e i s . E s ist

m«

1 β Γ ΚΟ 2πί

m*

1 e Γ 2πί

m

') Mao beachte, daß hier C die Integratonsveränderiiche ist und daß ζ als konstant anzusehen ist.

§ 16. Integralformeln für die Ableitungen

65

Nach § 11, Satz 3 und § 14, Satz 1 (Beispiel) ist der erste Summand J1 = j(z). In dem zweiten J2 darf nun nach § 14, Satz 1 der Weg G durch jeden anderen den Punkt ζ umschließenden Weg, ζ. B. durch einen kleinen Kreis ! mit dem Mittelpunkt ζ ersetzt werden, so daß

^¿l'ñ-í^ ist. Wählt man nun bei gegebenem ε > 0 den Radius ρ von ! so klein, daß für jeden Punkt ζ von ! 1/(0-/(2) l < Ê ist, was wegen der Stetigkeit von /(£) sicher möglich ist, so ist nach § 11,5 =

d . h . J , = 0.

Also ist, wie behauptet, ¿ Y S « - / « ·

§ IG. Integralformeln für die Ableitungen Ist ! ein beliebiger Weg und φ (ζ) eine l ä n g s desselben definierte und dort stetige Funktion, so hat das Integral « für jedes nicht auf f gelegene z einen bestimmten Wert, definiert also in den nicht zu ! gehörigen Punkten eine eindeutige Funktion f(z). Von dieser gilt sogar der Satz 1. Die durch (1) definierte Funktion f(z) ist in jedem Gebiete das keinen Punkt von f enthält, regulär, und für ihre Ableitung gilt dort die Formel 5

K n o p p , Funktlonentheorie.

I.

66

6. Kapitel. Die Cauchyschen Integralformeln

0,

Ist aber die Folge (1) nach rechts nicht beschränkt, so ist r = 0. Es ist also c) r = 0, wenn μ = + oo ist. Bei sinngemäßer Deutung ist also stets

_ ~ μ ~~ — η ' lim 1/1 an\

§ 17. Konvergenzbereich

71

n

Für \ ζ — z0\ r ist sie divergent. (Cauchy-Hadamardscher Satz.) Beweis. Schreibt man ζ statt ζ — z 0 , so sieht man, daß es genügt, z0 = 0 anzunehmen. 1) Ist nun 0 i S μ < + σο, so ist offenbar (2)

lim j/| anzn\ = lim | ζ | · ]/| α„ | = μ [ 0 |.

(Denn nach Voraussetzung ist bei gegebenem ε > 0 und ζ =(= 0 von der Doppelgleichung η μ - ε/\ζ\ 0 ist, für alle | ζ | < l/μ. Im Falle μ > 0 ist aber, wieder nach dem Wurzelkriterium, _ Σ α η ζ η divergent, sobald \z\~> l/μ ist. 2)

Im Falle μ = + oo ist für jedes ζ Φ 0 auch η lim }/| α„2η I = + σο, was man ebenso leicht beweist, wie die bei (2) gemachte Aussage. Also ist 2 ¡ a n z n für jedes ζ Φ 0 divergent. Über das Konvergenzverhalten der Reihe in den R a n d p u n k t e n des Konvergenzkreises sagt der Satz nichts aus. Es ist auch von Fall zu Fall verschieden: Σ z n ist in keinem, zn zn Σ — ι in allen, Σ — m gewissen (aber nicht allen) Randpunkten 1 ) konvergent. ') Für alle drei Reihen ist r = 1.

72

6. Kapitel. Reihen mit veränderlichen Gliedern

Sind die fn(z) komplizierterer Natur, so ist die Feststellung des genauen Konvergenzbereiches meist mit Schwierigkeiten verknüpft. In jedem Falle aber ist die Summe einer Reihe Σ fn(z) für jeden Punkt ihres Konvergenzbereiches eine bestimmte Zahl, ist also (vgl. § 5) eine für alle Punkte von SDÌ definierte Funktion /(?)• Die unendliche Reihe ist die Zuordnungsvorschrift, durch die nach § 5 eine Funktion definiert sein sollte. Man sagt: Die R e i h e s t e l l t i n ÜDl die F u n k t i o n f(z) d a r oder f(z) l ä ß t s i c h d o r t in die R e i h e e n t w i c k e l n ; 00

^

z . B . Σ z n stellt im Einheitskreis die Funktion - — dar, n=o ι—ζ oder diese ist dort in jene Potenzreihe entwickelbar. Da wir die regulären Funktionen schon als besonders wertvoll erkannt haben, so entsteht die Frage: Wann stellt eine Reihe eine solche reguläre Funktion dar? Um hierauf eine allgemeine Antwort geben zu können, bedürfen wir des Begriffs der g l e i c h m ä ß i g e n K o n v e r g e n z , den wir im folgenden Paragraphen entwickeln wollen. Aufgaben: 1. Man bestimme den Konvergenzradius der PotenzCO reihe Σ

wenn

n=l

gesetzt wird. 2. Man bestimme den Konvergenzbereich von Σ

CO

n=l

«) fni2) = ^ .

Ä/.(«)=

d. h. = e -

1 Io

S " (log η ^

fn (ζ), wenn 0),

CT

gesetzt wird. Man bestimme also den Konvergenzbereich der Reihen

oo ^

eo

2n

§ 18. Gleichmäßige Konvergenz .

73

§ 18. Gleichmäßige Konvergenz Besitzt die Reihe Σ fn(z) den Konvergenzbereich 2JÏ, so heißt dies : Ist z1 ein beliebiger Punkt aus 3JÎ, so läßt sich, wenn ε > 0 gegeben ist, eine Zahl = w1(e) so bestimmen, daß I /n+l(2i) + /»+2(Zi) + · · · + fn+pih) I < ε ist für alle η n t und alle p ^ l . Wählt man einen anderen Punkt z2 aus 3)}, so ist entsprechend n2 bestimmbar, usw. Nachdem ε gegeben ist, entspricht also jedem Punkt ζ aus 9JI eine solche ganze Zahl n2 = ηζ(ε), derart, daß ein beliebig langes Stück der für dies ζ angesetzten Reihe, das hinter dem n2-ten Gliede beginnt, absolut genommen < ε ist. Die Größe von nz, das man sich bei gegebenem ε und ζ möglichst klein genommen denke, ist sozusagen ein Maß für die Schnelligkeit der Konvergenz: ist n2 sehr groß, so konvergiert die Reihe langsam in dem Punkte z, ist es klein, so konvergiert sie schnell. Gibt es nun eine Zahl N, die größer ist als alle Zahlen n„ die den Punkten ζ aus ÜÜÍ entsprechen, so würde dies bedeuten: wenn η Ν und ρ ig 1 beliebig sind, so ist I /κ+ι(ζ) + /.+.(«) + · · · + /„+„(*) I < ε für jeden Punkt 2 in Sil; denn η ist ja nun auch größer als jedes einzelne n2. Das eben genannte Maß für die Konvergenz ließe sich' also in gleicher Weise für alle Punkte von 3JI angeben. Man sagt dann kurz: die Reihe konvergiert gleichmäßig in SDÌ. Wir haben also die folgende Erklärung. Die Reihe Σ /„ (z) konvergiert gleichmäßig im Bereiche TO1), wenn sich nach Wahl von ε > 0 eine (nur von ε und nicht von ζ abhängende) positive ganze Zahl Ν = Ν (ε) l ) V o n einer g l e i c h m ä ß i g e n K o n v e r g e n z k a n n also i m m e r nur in u n e n d l i c h e n P u n k t m e n g e n Uft (besonders in G e b i e t e n ) , nie in einzelnen P u n k t e n gesprochen werden. — Man b e a c h t e , d a ß es m i t der obigen E r k l ä r u n g verträglich i s t , d a ß e n d l i c h v i e l e der F u n k t i o n e n fp(z) i n 9JÏ n i c h t b e s c h r ä n k t sind, wie ζ. B . bei der R e i h e 1 / j + 2 + î ' + · • · in O < | g e < 1.

6. Kapitel. Reihen mit veränderlichen Gliedern

74

so angeben läßt, daß für alle ζ in 2JÎ (1)

n^N,

alle

ρ S; 1 und

I /n + l(2) + /„ +2 (z) + · · · + /n+pOO | < ε

alle «t.

Da die Reihe in ζ konvergieren soll und man also ρ über alle Grenzen wachsen lassen darf, so folgt, daß für alle ζ in 3JÎ und alle n ^ Ν der Betrag eines jeden „Restes" (2)

I Rn(z) I = I Σ U(z) I rg ε v=n+1 bleibt, wenn die Reihe in SDÌ gleichmäßig konvergiert. 00

Hiernach ist ζ. Β. Σζη in seinem Konvergenzbereiche B=0 (dem Einheitskreise) n i c h t gleichmäßig konvergent, denn 00 z»+l Σ zv = — kann, was auch η sei, sogar beliebig groß r=n+J 1—2 gemacht werden, wenn man nur ζ auf der Strecke 0 . . . 1 dicht genug bei 1 wählt. Dies Beispiel lehrt zugleich, daß eine Potenzreihe in ihrem ganzen Konvergenzkreise n i c h t gleichmäßig zu konvergieren braucht. Dagegen gilt der Satz 1. Eine Potenzreihe konvergiert gleichmäßig in jedem, zum Konvergenzkreise konzentrischen kleineren Kreise. — Die Gleichmäßigkeit der Konvergenz kann also nur in der Nähe des Randes gestört sein. Beweis. Σan(z — z0)n habe den Radius r > 0; es sei 0 < ρ < r und ζ ein beliebiger Punkt, für den | ζ — z0 | ^ ρ ist; dann ist n+p

ι Σ φ ν=η+1

- zoy I 0 eine Zahl Ν so angeben, daß für alle η ^ , Ν und alle K + i I ρη+1 + · · · + K + P l ( ? n + P < e ist. Für alle | ζ — zg | ρ, alle η~2ι Ν und alle p^. 1 ist dann ebenfalls I a»+i(e - *o)n+1 + · · · + - 2 0 ) n+p I < £· w. z. b. w. Allgemein gilt das folgende sog. Majorantenkriterium, das auch als Weierstraßscher Konvergenzsatz bezeichnet wird: Satz 2. Sind die positiven Zahlen y 0 , γν ..., γη,... so beschaffen, daß für alle ζ eines Teiles 2JÌ' des Konvergenzbereichs der Reihe Σ fn(z) ist und daß

(« = 0 , 1 , 2 , . . . )

\tn(ß)\^Y„ 00

η—O

konvergiert, so ist Σ fn(z) in W gleichmäßig konvergent. Der Beweis ist ganz analog wie in dem eben gegebenen speziellen Falle. A u f g a b e n : 1. Man untersuche die in § 17, Aufgabe 2 gegebenen Reihen auf die Gleichmäßigkeit der Konvergenz hin. 2. Man beweise, daß die Potenzreihe Σ s c h l o s s e n e n Konvergenzkreise | z|

CO 2n

»= ι

—» in ihrem

abge-

1 gleichmäßig konvergiert.

§ 19. Gleichmäßig konvergente Reihen analytischer Funktionen Wir machen nun die weitere Voraussetzung, daß die sämtlichen Funktionen fn(z) analytische Funktionen sind; dann werden wir zeigen, daß auch die durch die Reihe dargestellte Funktion analytisch ist. Genauer:

76

6· Kapitel. Reihen mit veränderlichen Gliedern

Es sei f0(z), h{z),... eine unendliche Folge von Funktionen, die sämtlich in ein und demselben Gebiet © regulär sind, und die Reihe Σί„(ζ) sei auf jeder kompakten Teilmenge ©' von ©*) g l e i c h m ä ß i g konvergent. Dann gelten die folgenden drei Sätze: Satz 1. Die Reihe Xfn{z) stellt eine in © stetige Funktion F{z) dar. Satz 2. Es konvergiert jede durch gliedweise Integration längs eines Weges l in © entstehende Reihe und liefert das entsprechende Integral von F{z)\ in Zeichen: 00

(1)

Σ '/fn(z) dz ist konvergent und = 'f F(z) dz. n=0

Satz 3. Es ist F(z) eine in © reguläre Funktion, und es konvergiert uberall in © jede durch p-malige gliedweise Differentiation entstehende Reihe — und sogar gleichmäßig auf jeder kompakten Teilmenge ©' von © — und liefert dort die entsprechende Ableitung von F(z)\ in Zeichen: Für festes ρ = 0,1, 2 , . . . ist (2)

Σ f%\z) in © konvergent und 71=0

=

F(P>(2)·

Beweise: 1. ε > 0 und z0 in © seien gegeben. Dann genügt es zu zeigen, daß I F(z) - F(z0) I = I rU(e) - Ifn(z0)

\ < 3ε

ist für alle hinreichend nahe an z0 gelegenen ζ aus ©. Dazu wählen wir zunächst eine abgeschlossene Kreisscheibe ©' um z0, die ganz in © liegt. Nach § 18 ist dann Ν so bestimmbar, daß, wenn allgemein l ) Ii. Ii. also: auf jeder abgeschlossenen und beschränkten Teilmenge QV von IS, deren Punkte also sämtlich im Innern des Gebietes ® liegen.

§ 19. Gleichmäßig konvergente Reihen analytischer Funktionen 77 Σίν{ζ) = Φ )

und

v = 0

Σ

/v(z) = r„(z)

v = n + 1

gesetzt wird, für alle ζ in 11>(«)| i g e ist. Beschränkt man dann ζ auf eine so kleine, in %' gelegene Umgebung von z0, daß für alle dort gelegenen ζ I s

( z )

N

-

s

s

(z0) I < ε

ist, — da sN(z) als Summe von e n d l i c h vielen stetigen Funktionen selbst stetig ist, so ist eine solche Umgebung sicher bestimmbar —, so ist wirklich I F ( z )

-

F ( z

0

)

I ^

I M z )

< ε + ε

+

S j i

( z

0

)

I +

= 3ε,

ε

I r

N

{ z )

| +

|

|

w. ζ. b. w.

2. Da F(z) sich somit als eine in © stetige Funktion erwiesen hat, so ist das in der zweiten Behauptung auftretende Integral über F(z) jedenfalls vorhanden. Nun ist f eine kompakte Teilmenge v o n © und27/„(z) also auf f gleichmäßig konvergent. Daher kann bei gegebenem ε > 0 ein Ν so bestimmt werden, daß für alle η > Ν und alle ζ auf ! stets | rn(z) \ f ist. Nach § 11, Satz 4 ist dann zunächst (für jedes n) f F ( z )

l

dz

=

t f s

( z ) dz

n

+

* f r

n

( e )

dz

und nach demselben Satze weiter * f s

n

( z ) dz

=

V / o ω

d z

+

7 / i ( z ) dz

+

• · ·

+

< / / « ( * )

d z .

Folglich ist für jedes w > Ν ! * / F ( e ) d

z

-

Σ v =

^

U z )

dz

| = | i/r,(«)

d z \ ^ e - l ,

U

wenn l die Länge des Weges ϊ bezeichnet. Da aber εΐ durch geeignete Wahl von ε beliebig klein gemacht werden kann, so bedeutet dies genau, daß die Behauptung (1) gilt.

78

6. Kapitel. Reihen mit veränderlichen Gliedern

Man erkennt nachträglich, daß es bei den Sätzen 1 und 2 genügt, die fn(z) als stetig vorauszusetzen, und bei Satz 2 dann weiter nur, daß _Z7„(z) längs des Weges ! gleichmäßig konvergiert. In Erweiterung von § 11, Satz 4 kann man also insbesondere den Satz aussprechen: Satz 2a. Auch eine unendliche Reihe (stetiger Funktionen) darf gliedweise integriert werden, wenn nur die Reihe längs des Integrationsweges gleichmäßig konvergiert. 3. Es sei z0 ein beliebiger Punkt von Dann genügt es zu zeigen, daß F(z) in z0 regulär ist. Dazu wählen wir eine abgeschlossene Kreisscheibe um z0, die noch ganz in © liegt. Ist dann 6 ein beliebiger innerhalb & ' liegender geschlossener Weg, so ist Σfn(z) längs S gleichmäßig konvergent, nach 2. also W )

dz = ^(ΣΜζ))

άζ = Σ «//„(«) dz,

also = 0, denn jeder Summand ist nach dem Cauchysehen Integralsatze einzeln = 0. Nach dem Moreraschen Satze (§ 16, Satz 4) ist daher F(z) innerhalb insbesondere also in z0 regulär. Für die nun sicher vorhandene p-te Ableitung , F ( p ) ( 2 o ) hat man aus demselben Grunde wie eben, wenn (5 jetzt etwa eine innerhalb liegende Kreislinie um z0 bedeutet,

'»w-âVffi^«

-¿¿'/^"-¿vv·

womit der zweite Teil des Satzes 3 bewiesen ist. Ist nun © " eine Kreisscheibe um z0, die wiederum innerhalb S liegt, und ist der Abstand zwischen (5 und gleich ρ ( > 0), so ergibt sich für jedes ζ von © " aus der leicht verständlichen Abschätzung

§ 19. Gleichmäßig konvergente Reihen analytischer Funktionen 79

daß Σ a u f ©" sogar gleichmäßig konvergiert. Um jeden Punkt ζ von © gibt es also eine Kreisscheibe auf der diese Reihe gleichmäßig konvergiert. Nach dem Heine-Borelschen Satze (§ 3, Satz 3) folgt hieraus sofort, daß sie auch auf jeder kompakten Teilmenge von © gleichmäßig konvergiert. (Vgl. hierzu noch die nachstehende Aufgabe 2.) A n w e n d u n g auf P o t e n z r e i h e n : Es sei /„(z) = an(z — z0)n, (w = 0,1, 2 , . . . ) , so daß Σ{η(ζ) zu der Potenzreihe Σan(z - z0)n wird. Ist ihr Konvergenzradius r > 0, so kann ihr Konvergenzkreis I ζ — z0 I < r als das Gebiet © genommen werden. Denn jede kompakte Teilmenge von (SJ liegt für passendes ρ mit 0 < ρ < r in dem Kreise | ζ — z01 SS ρ, und die Potenzreihe ist also (wegen § 18, Satz 1) auf jeder solchen Teilmenge von © gleichmäßig konvergent. Also gilt der Satz 6. Eine Potenzreihe Σαη(ζ — z0)n stellt im Innern des Konvergenzkreises eine dort reguläre Funktion f(z) dar-, deren Ableitungen erhält man durch gliedweise Differentiation der Potenzreihe, und diese abgeleiteten Potenzreihen haben denselben Konvergenzradius wie die gegebene: αο

/(p)(z) = Σ η (η - 1) · · · (η - p + 1) αη{ζ - ζ0)η~Ρ GO

= H (η + 1) (η + 2) · · · (η + ρ) αη+ρ(ζ - ζ0)'ι» η=0

ist für I ζ — ζ0 I < r konvergent. Speziell ist fi» W = Ρ ! «„

- ¿

W = ¿

7

( C ^

«.

80

7. K a p i t e l . E n t w i c k l u n g a n a l y t . F u n k t i o n e n in P o t e n z r e i h e n

wenn 6 die Peripherie | ζ — ε01 = ρ bedeutet. Aus der letzten Formel folgt noch — wir schreiben η statt ψ — die nützliche Cauchyschc Abschätzungsformel I

, = Ak n=ü

CO Σ Ak (z - 20)*

4=0

¿fe mindestens für | ζ — z0 | < r konvergente wicklung von F(z) für eine Umgehung von z^).

Potenzreihenent-

B e w e i s : Nach § 1 9 , Satz 3 ist F(z) für \z~z0\ 0).

Ist in dieser Umgebung nicht überall f(z) = /(z0) = a0, so ist unter den auf a0 folgenden Koeffizienten mindestens einer 1 ) I), h. man d a r f u n t e r den g e m a c h t e n V o r a u s s e t z u n g e n die u n e n d l i c h vielen P o t e n z r e i h e n gliedweise addieren. 2 ) D . h . einen W e r t , dessen B e t r a g > allen W e r t e n v o n | / ( z ) | in einer U m g e b u n g v o n z t wäre.

86

7. Kapitel. Entwicklung analyt. Funktionen in Potenzreihen

von 0 vorschieden. Es sei am (m Dann setzen wir mit Α 0 α0 =

A e'", a

m

= A'e'"' (A' >

0),

1) der erste dieser Art.

ζ -

z

0

=

q é * (0 < ρ
g sein muß. Da g beliebig war, so besagt dies: Bei radialer Annäherung an z0 wächst | f(z) I über alle Grenzen; z0 kann also kein Stetigkeitspunkt sein, w. z. b. w. 2. Der andere extreme Fall, daß die Potenzreihe nach a l l e n Seiten hin über den Konvergenzkreis hinaus fortsetzbar wäre, kann nicht eintreten. Denn es gilt liier der wichtige Satz 1. Auf dem Rande des Konvergenzkreises einer Potenzreihe liegt für die durch sie definierte Funktion mindestens eine singulare Stelle der oben genannten Art. B e w e i s . Die Behauptung besagt, daß, wenn rx der (wahre) Konvergenzradius von (1) ist, auf dem Rande des Konvergenzkreises mindestens eine Stelle ζ liegt, über die hinaus nicht fortgesetzt werden kann. Wir zeigen dies, indem wir beweisen: Wenn über j e d e n Randpunkt ζ des Kreises I ζ — zx I = rx hinaus fortgesetzt werden kann, so ist n i c h t der wahre Konvergenzradius von (1). Wenn nämlich über jeden Randpunkt ζ von ® fortgesetzt werden kann, so gibt es auch um jeden einen Kreis S j (sein Radius heiße ρς), in den hinein /χ(ζ) fortgesetzt werden kann. Die Belegung dieser Kreise mit Funktionswerten kann sich gegenseitig nicht stören, d. h. wenn zwei dieser Kreise ein gemeinsames Stück haben, so müssen die Werte der Fortsetzungen von f^z) in diese Kreise hinein in dem gemeinsamen Teil nach dem Identitätssatz übereinstimmen, da dieser gemeinsame Teil seinerseits zu einem Teile in ® liegt, wo die Belegungen j a gewiß dieselben sind. Nach dem Heine-Borelschen Satz genügen nun endlich viele der Kreise um den ganzen Rand von ® zu überdecken. Diese endlich vielen Kreise bedecken aber (zusammen mit ein Kreisgebiet um zv dessen Radius r > ^ ist. Nach dem Entwicklungssatz muß dann (1) mindestens in diesem größeren Kreise konvergieren, d. h. r x ist nicht der wahre Konvergenzradius, w. z. b. w. 3. Man sagt, daß man ein (etwa in Gestalt der Potenzreihe Σan{z — za)n gegebenes) Funktionselement l ä n g s e i n e s

104

8. Kapitel. Analytische Fortsetzung

W e g e s ! fortsetzt, wenn der Weg in z0 beginnt und man nun die neuen Mittelpunkte immer auf diesem Wege, genauer auf dem Stück des Weges wählt, das zwischen dem zuletzt benutzten Mittelpunkt und seinem ersten Treffpunkt mit dem Eande des zugehörigen Konvergenzkreises liegt. Dabei kann es vorkommen, daß man mit der benutzten Kreiskette jeden vor einem gewissen Punkte ζ gelegenen Punkt des Weges nach endlich vielen Schritten in das Innere eines der Konvergenzkreise einfängt, ζ selbst aber nicht. Dann heißt ζ ein für die Fortsetzung längs ! singulärer Punkt der betrachteten Funktion. Denkt man sich so ein gegebenes Element längs aller möglichen Wege fortgesetzt, so werden alle betroffenen Punkte von selbst in zwei Klassen eingeteilt: die r e g u l ä r e n und die s i n g u l ä r e n , d. h. in die, die (bei gewissen Wegen) in das Innere eines neuen Konvergenzkreises einbezogen werden können, und die, bei denen dies nicht möglich ist. Jedem sich auf einem bestimmten Wege als regulär erweisenden Punkte z wird ein bestimmter Funktionswert w zugeordnet. Hiernach kann man, vorbehaltlich weiterer Erläuterungen, etwa sagen: Erklärung. Unter der durch ein gegebenes Funktionselement definierten (vollständigen) analytischen Funktion versteht man die Gesamtheit der lei dem beschriebenen Fortsetzungsverfahren sich als regulär erweisenden Punkte, ein jeder belegt mit dem ihm zugeordneten Funktionswert. Die Gesamtheit der regulären Punkte z nennt man das E x i s t e n z - oder das R e g u l a r i t ä t s g e b i e t dieser analytischen Funktion, die Gesamtheit der zugeordneten Werte w ihren W e r t e v o r r a t . Im Hinblick auf das allmähliche Hervorwachsen der analytischen Funktion aus einem Elemente spricht man auch von dem a n a l y t i s c h e n G e b i l d e , das also alle regulären z. jedes mit dem ihm zugeordneten Funktionswerte w behaftet,

§ 24. Fortsetzung durch Potenzreihen

105

umfaßt. Die analytische F u n k t i o n ist recht eigentlich das innere Band, das jedes ζ mit seinem w verbindet. Diese nun ziemlich vollständige Erklärung enthält dennoch einige L ü c k e n :

Fig. 8

a) E s werden noch Festsetzungen zu treffen sein, um das Verhalten einer Funktion im Unendlichen bezeichnen zu können. Das ist einfach und wird in § 32 geschehen. b) Es kann sich folgender Umstand ereignen: Wenn man nach mehrmaligem Fortsetzen mit dem neuen Kreis wieder in den ersten hineinragt — in Fig. 8 ragt der f ü n f t e der neuen Kreise wieder in den ursprünglichen mit dem schraffierten Segmente hinein 1 ) —, so können durch die *) Der F i g u r liegt die A n n a h m e z u g r u n d e , d a ß der u r s p r ü n g l i c h e K o n vergenzkreis der E i n h e i t s k r e i s ist, d a ß auf i h m u n d in seiner weiteren U m g e b u n g 2 = 1 der einzige s i n g u l a r e P u n k t ist u n d d a ß die F o r t s e t z u n g l ä n g s des (gestrichelten) Kreises | ζ — 1 | = 1 i m p o s i t i v e n Sinne h e r u m e r f o l g t .

106

8. Kapitel. Analytische Fortsetzung

neue Potenzreihe den wieder eingefangenen Punkten des alten Konvergenzkreises (ihr Gebiet ist in der Figur schraffiert) wieder die nämlichen Funktionswerte w zugeordnet werden, mit denen sie schon behaftet sind, — oder aber neue Funktionswerte. Im ersten Falle nennt man die Funktion e i n d e u t i g (in dem Gebiete, durch das fortgesetzt worden ist), andernfalls m e h r d e u t i g . Sie heißt schlechthin e i n d e u t i g , wenn sie sich bei keiner Fortsetzung als mehrdeutig erweist. c) Es wäre sogar denkbar — und k a n n tatsächlich eintreten —, daß ein innerer (also regulärer) Punkt des ersten Konvergenzkreises sich bei der eben beschriebenen Kückkehr in diesen nunmehr als singular erweist. Die Eigenschaft eines Punktes der Ebene, regulär oder singulär zu sein, kann also wie in 3. ausgeführt, davon abhängen, auf welchem Wege ί oder durch welche Kette von Kreisen man an ihn herankommt. Wegen einer genaueren Untersuchung der sich aus b) und c) ergebenden Konsequenzen muß auf den II. Teil dieser Funktionentheorie verwiesen werden 1 ). Doch soll im nächsten Paragraphen ein Satz bewiesen werden, der besagt, daß unter gewissen besonders häufig auftretenden Bedingungen der unter b) beschriebene Umstand sicher n i c h t eintritt. Und im darauf folgenden sollen die beiden einfachsten Beispiele mehrdeutiger Funktionen kurz behandelt werden. oo 2n A u f g a b e . Die Potenzreihe 2 1 ~

n=i

hat den Einheitskreis zum

^

Konvergenzkreise. Man zeige durch Entwicklung in eine neue Potenzreihe mit z1 = \ als Mittelpunkt, daß der Punkt 1 ein singulärer Punkt der durch die Reihe im Einheitskreise dargestellten Funktion ist. (Trotzdem ist die Reihe für ζ = 1 konvergent!!) Funktionentheorie II, Anwendung und Weiterführung der allgemeinen Theorie (Sammlung Göschen Nr. 703), 8. u. 9. Auflage, Berlin 1955.

§ 25. Der Monodromiesatz

107

§ 25. Der Monodromiesatz Satz. Es sei © ein einfach zusammenhängendes Gebiet und f0(z) = Σαη(ζ — z0)n ein in dem Punkte z0 desselben reguläres Funktionselement. Wenn sich dann f0(z) von z0 aus längs eines jeden in & verlaufenden Weges fortsetzen läßt, so erzeugt die Fortsetzung eine in dem ganzen Gebiete © eindeutige und reguläre Funktion. Zum Beweise bemerken wir vorweg, daß jedes durch Fortsetzung gewonnene Element — wir benutzen dabei nur Potenzreihen — mindestens in dem größten Kreise um seinen Mittelpunkt konvergiert, der nicht aus © heraustritt. Denn auf seinem Rande liegt ja mindestens ein singulärer Punkt, der die Fortsetzung hindert. Ein solches Hindernis soll aber nach Voraussetzung im Innern von © nirgends vorhanden sein. — Wir haben nun offenbar nur zu zeigen: Wenn man f0(z) von z0 längs zweier verschiedener (in @ liegender) Wege ! x und f 2 nach z i fortsetzt, so erhält man in z1 beide Male dasselbe Element f^(z) = Zbn(z — Da nun, kurz gesagt, der Fortsetzungsprozeß vorwärts und rückwärts völlig eindeutig verläuft1), so kann man auch sagen: Wenn man f0(z) längs ^ von z0 nach z1 fortsetzt und das dort erhaltene Element f^z) längs i 2 zurück nach z0 fortsetzt, so erhält man in z0 wieder das Ausgangselement /0(z). Es genügt also zu zeigen, daß die Fortsetzung eines Elementes längs eines geschlossenen Weges zu diesem Element zurückführt. Dies beweisen wir indirekt, indem wir zeigen: Wenn die Fortsetzung eines Elementes längs eines in © liegenden geschlossenen Weges β n i c h t zu diesem Element zurückführt, so steht dies im Widerspruch zu der Voraussetzung, daß unsere Fortsetzungen längs j e d e s Weges in © möglich *) Man hat sich nur die aufeinanderfolgenden Mittelpunkte so gewählt zll denken, daß jeder im Konvergenzkreis um den vorangehenden u n d u m d e n n a c h f o l g e n d e n gelegen ist.

108

8. Kapitel. Analytische Fortsetzung

sein sollen. Bei der Fortsetzung längs E, etwa von £„ im positiven Sinne zurück nach ζ0, werden nun endlich viele Mittelpunkte ζ0, ζν ..., ζη auf dem Wege benötigt. Jeder liegt im Konvergenzkreis um den vorangehenden und nachfolgenden, wenn wir ihre Abstände kleiner gemacht haben als den Abstand des Weges Κ vom Rande des Gebietes. Ersetzt man daher β durch das Polygon p mit den Ecken C0, Cu · · · , Cm, so sind die Fortsetzungen längs E und p genau dieselben. Auch längs p würden also die Fortsetzungen nicht zum Ausgangselement zurückführen. Nun ist p entweder einfach oder p kann gemäß § 4, Hilfssatz 1, in einfache Teilpolygone und hin- und her durchlaufene Strecken zerlegt werden. Da die letzteren nicht stören, müßte auch schon der Umlauf um eines der einfachen Teilpolygone nicht zum Ausgangselement zurückführen 1 ). Durch weitere Teilungen dieses Polygons (durch innere Diagonalen) müßte man schließlich zu einem Dreieck kommen, längs dessen die Fortsetzung nicht zum Ausgangselement zurückführt. Teilt man dieses Dreieck wie beim Beweis des Cauchyschen Integralsatzes (s. Fig. 1) weiter, so kommt man zu einer Folge ineinander geschachtelter und auf einen Punkt ζ von © zusammenschrumpfender Dreiecke, längs deren die Fortsetzung nicht zum Ausgangselement zurückführt. Das kann aber nicht sein. Hat nämlich ζ den Abstand ρ vom Rande des Gebietes, so muß die Fortsetzung um ein Dreieck jener Folge sicher zum Ausgangselement zurückführen, sobald dessen Durchmesser < ^ ρ ist. Denn das ganze Dreieck liegt ja dann im Innern des Konvergenzkreises eines jeden der dabei benötigten Funktionselemente. Damit ist der Monodromiesatz bewiesen. ') Denn andernfalls würde auch der G e s a m t u m l a u f zum Ausgangselement zurückführen.

§ 26. Beispiele mehrdeutiger Funktionen

109

§ 26. Beispiele mehrdeutiger Funktionen Die wirkliche (rechnerische) Herstellung des ganzen analytischen Gebildes, also die Scheidung aller ζ in reguläre und singulare und die Zuordnung der Funktionswerte zu den regulären z, wird auf die in § 24 angegebene Methode im allgemeinen nicht durchführbar sein. Ihr Wert besteht darin, zunächst einen Einblick in das Wesen der Sache zu bekommen; sie hat also lediglich den Charakter eines Existenzbeweises. Die folgenden beiden Beispiele sollen zeigen, wie in den einzelnen Fällen ganz andere Mittel zum Ziele führen. 1. tu=/(z) = logz. Schon in § 14, 6 hatten wir gefunden, daß

/»=/¥

1 eine in der rechten Halbebene reguläre analytische Funktion ist, falls auch der Integrationsweg auf diese Halbebene beschränkt bleibt. Da für χ > 0 der natürliche Logarithmus durch logx=Jf 1 definiert werden kann, so erkennt man sogleich, daß /(z) die analytische Fortsetzung von log χ ins Komplexe ist, da für ζ = χ > 0 in der Tat /(z) = log χ ist. Welches ist der Existenzbereich von /(z) und welches ihr Werte Vorrat ? Das Integral (1) hat stets einen Sinn, wenn der Weg den Nullpunkt vermeidet. Ist also z1 =f= 0 ein beliebiger Punkt der Ebene und f t ein beliebiger, zunächst fester Weg von 1 nach z l t der den Zi Nullpunkt vermeidet, so hat das Integral J

- y einen eindeuti-

1 gen, festen Wert. Das von z1 bis zu einem beliebigen Punkt ζ einer Umgebung von s 1 (genauer: eines einfach zusammenhängenden Gebietes ©^ das z1 aber nicht den Nullpunkt enthält) genommene Integral ist nach dem Cauchyschen Satze unabhängig vom Wege, wenn dieser Weg in verläuft. Das von 1 längs ^ nach zx und

110

8. Kapitel. Analytische Fortsetzung

weiter längs irgendeines Weges in © j nach ζ genommene Integral definiert also (nach § 14, Satz 3) eine in reguläre Funktion fi(z). Wählt man statt des Weges ^ einen andern Weg f* von 1 nach z lt so unterscheidet sich die nun erhaltene und wieder in 65, reguläre Funktion f\(z) von f^z) höchstens um eine additive Konstante. Denn es ist ja ....

...

u h ^ i t f k

1 1 die unterscheidende Konstante ist also gleich dem längs des geschlossenen Weges ( Ï J — y genommenen Integral. Längs jeden geschlossenen (den Nullpunkt vermeidenden) Weges ( f j — y hat aber unser Integral einen der Werte 2 k n i , (k = 0, ± 1, dz 2 , . . . ) . Denn jeder solche von 1 ausgehende und dahin zurückkehrende geschlossene Weg ist, wie man sich auf Grund von § 4, Hilfssatz 1 leicht klar macht, nach dem Cauchyschen Satze gleichbedeutend mit einem Weg, der von 1 aus nach Ä-maliger Umlaufung des Einheitskreises (k = 0, ± 1 , . . . ) nach 1 zurückkehrt (vgl. § 10, Beisp. 1). Die so erhaltenen Funktionselemente sind nun sämtlich Fortsetzungen voneinander, insbesondere von der durch (1) gegebenen Funktion /(z), wenn auch bei dieser ζ und der Integrationsweg auf eine einfach zusammenhängende Umgebung ® 0 des Punktes 1 (ζ. B . auf die rechte Halbebene) beschränkt bleiben. Denn setzt man diese Funktion f(z) längs des Weges in das Gebiet hinein analytisch fort, so erhält man offenbar die oben erklärte Funktion ix(z). Alle so erhaltenen Elemente /1 (2) sind also Fortsetzungen ein und derselben Funktion f(z), sind also, da der Fortsetzungsprozeß vorwärts und rückwärts völlig eindeutig verläuft (vgl. § 25), auch Fortsetzungen voneinander,sind somitElemente einer einzigen analytischen Funktion F(z). Sie soll weiterhin mit log ζ bezeichnet werden. Diese ist aber nicht eindeutig. Denn ist der Weg (ÏÎ — !j) in dem besprochenen Sinne mit dem fc-mal umlaufenen Einheitskreis gleichbedeutend, so ist /î(2) = m

+

2kni,

wo nun k durch passende Wahl der Wege jeden der Werte 0, ± 1, rt 2 , . . . erhalten kann. So erhält man ζ. B . für log ( — 1) jeden der Werte log ( — 1) = ni + 2km,

(k = 0, ± 1, ±

2,...).

§ 2G. Beispiele mehrdeutiger Funktionen

111

Wir können also sagen: Die Funktion log 2 ist in der ganzen Ebene mit Ausnahme des Nullpunktes regulär, sie ist aber unendlich vieldeutig, doch so, daß alle Werte von log ζ aus einem derselben durch Hinzufügung von beliebigen ganzzahligen Vielfachen von 2πί hervorgehen. Jeden dieser unendlich vielen Werte von log ζ nennt man eine B e s t i m m u n g des log im Punkte 2. Für jedes einfach zusammenhängende, den Nullpunkt nicht enthaltende Gebiet ©j lassen sich diese Bestimmungen zu unendlich vielen in e i n d e u t i g e n u n d r e g u l ä r e n Funktionen zusammenfassen, die man als Zweige der mehrdeutigen Funktion log ζ bezeichnet. Zwei verschiedene in reguläre Zweige unterscheiden sich nur um ein additiv hinzukommendes ganzzahliges Vielfache von 2πί. Wählt man als ©χ die ganze Ebene ausschließlich der reellen Zahlen Sí 0 1 ), so nennt man den in ihr regulären Zweig, der in 1 den Wert 0 hat, den H a u p t w e r t von logz, alle übrigen Zweige dessen Nebenwerte. In § 20 hatten wir diesen Hauptwert für eine Umgebung von 1 in eine Potenzreihe entwickelt. Auch von dieser Potenzreihe als zuerst gegebenem Funktionselement ausgehend, würde man nach den allgemeinen Methoden des vorigen Paragraphen dieselben Eigenschaften von log ζ — wenn auch nicht so bequem — entwickeln können. Insbesondere kann man so direkt zeigen, daß, wenn man die eben genannte Potenzreihe ähnlich dem in Fig. 8 skizzierten Verfahren im positiven Sinne einmal um den Nullpunkt herum fortsetzt (die neuen Mittelpunkte etwa stets auf dem Einheitskreise wählend), man n i c h t mit dem Hauptwert in den Ausgangskreis zurückkehrt, sondern daß sich die Funktion s werte um 2πί vermehrt haben. Der Punkt 0 aber (und nur dieser) kann nicht innerer Punkt eines Regularitätsgebietes eines Zweiges von log ζ sein. Er wird darum als eine s i n g u l ä r e S t e l l e von log ζ bezeichnet und hier genauer als ein Verzweigungs- oder Windungspunkt; er ist u n e n d lich v i e l b l ä t t r i g oder von u n e n d l i c h h o h e r O r d n u n g . Die elementaren Eigenschaften der Funktion log ζ setzen wir als bekannt voraus (s. Elem., 13. Kap.) und betonen nur nochmals, daß die bei manchen Darstellungen ziemlich willkürlich erscheinende Vieldeutigkeit des log ζ eine w e s e n t l i c h e Eigenschaft dieser Funktion ist, die mit unbedingter N o t w e n d i g k e i t auf Grund des Fortsetzungsprinzips aus jedem ihrer Elemente — mag man es geben, wie man will — hervorwächst. Man nennt dies Gebiet d i e l ä n g s d e r n e g a t i v - r e e l l e n A c h s e „ a u f g e s c h n i t t e n e " Ebene.

112

8. Kapitel. Analytische Fortsetzung

Für jede der unendlich vielen Bestimmungen von log 2 ist eiog ζ o d e r e x p (log 2) = 2. IM

2. w = / ( z ) = |/« = z , / m Auch die reelle, für χ > 0 definierte und dort positive Funktion xllm ist ins Komplexe fortsetzbar. Denn mit log 2 ist auch f(z) = exp

log 2)

eine in der ganzen 0-Ebene mit Ausnahme des Nullpunktes reguläre, w e n n audh in der Umgebung des Nullpunktes nicht eindeutige Funktion. In jedem einfach-zusammenhängenden Gebiet © aber, das den Nullpunkt nicht enthält, etwa in der längs der negativreellen Achse aufgeschnittenen Ebene @ 1 , i s t ( s . l . ) jeder Zweig von log 2 eine eindeutige reguläre Funktion. Da dies insbesondere von dem Hauptwert gilt, den wir nun mit Log 2 bezeichnen wollen, so ist die in reguläre Funktion / 0 (2) = exp ( ^ L o g zj die gesuchte Fortsetzung der positiv-reellen Funktion xllm; ist/ 0 (x) = exp ^ - l o g x j = x . llm

demgemäß mit zltm

denn es

Die Funktion/(2) bezeichnen wir

m_ m oder j/2 ; f0(z) heißt der Hauptwert von

Nach dieser Definition erscheint die Funktion 2 1 / m zunächst als unendlich-vieldeutig; sie ist indessen nur m-deutig. Denn alle Werte von log 2 sind in log 2 = Log 2 + 2 k n i ,

(k = 0, ± 1, ± 2 , . . . ) ,

enthalten, so daß f(¿)

=

giim =

e x p

j

Log3

. exp

™

2k

=

exp

™

2k

.

/o(2)

ist. Der vor f0(z) stehende Faktor vermag aber nur m verschiedene Werte anzunehmen2), da zwei Werte von k, die sich nur um ein Vielfaches von m unterscheiden, ihm denselben Wert geben; und ' ) Au Stelle von e ' schreibt man häufig auch exp z. ! ) Es sind dies die m verschiedenen m-ten Einheitswurzeln,

da

ja

113

9. Kapitel. § 27. Erklärungen 1/m

die m Zweige von z unterscheiden sich hiernach nur durch feste Faktoren von dem Hauptzweig. Wir lassen k die Werte 0,1, 2 , . . . , m — 1 annehmen und erhalten demgemäß als Darstellungen der m Zweige: / i ( z ) = exp

2k

* 1 • exp ^

Logzj , k = 0,1, 2 , . . . ,

m—1.

Es hat sich also ergeben: 1) xVm ist ins Komplexe fortsetzbar. 2) Die dadurch eindeutig gekennzeichnete analytische Funktion z l l m ist in der ganzen Ebene außer in 0 regulär. 3) Sie ist jedoch m-deutig. Der Punkt Ö ist (vom Punkt oo abgesehen) der einzige und zwar wi-biättrige1) Verzweigungspunkt. Bei analytischer Fortsetzung um ihn multipliziert sich die Funktion mit einer wi-ten Einheitswurzel. Es ist stets (e1im)m = z. Die elementaren Eigenschaften der Funktion z l , m sehen wir wieder als bekannt an (s. Elem., 11. Kap.), so daß wir uns mit diesen kurzen Ausführungen über ihre analytische Natur begnügen können. A u f g a b e n . 1. Man entwickle den Hauptwert von z 1 , m für die Umgebung des Punktes 1 in eine Potenzreihe; speziell für m = 2. 2. Die allgemeine Potenz a z , in der a eine beliebige komplexe Konstante (4= 0 und φ 1 und üblicherweise auch φ e) bedeutet, wird durch die Festsetzung az = ez log « erklärt. Wo ist diese Funktion regulär ? Ist sie eindeutig oder mehrdeutig ? Kann hiernach az eindeutig sein ? Was bedeutet i' ?

9. Kapitel. Ganze transzendente Funktionen § 27. Erklärungen Nach den Entwicklungen des vorigen Kapitels erscheinen diejenigen Funktionen als die einfachsten, deren Potenzreihenentwicklung in der ganzen Ebene konvergiert; denn diese sind in der ganzen Ebene reguläre Funktionen und ihre Potenzreihenentwicklung, die wir nun in der Form ') Man nennt ihn auch von der ( m — l ) - t e n Ordnung, da für m = 2 offenbar die erste Stufe der Vieldeutigkeit auftritt. S

K n o p p , Funktionentheorie. I.

114

9. Kapitel. Ganze transzendente Funktionen

Σαηζη

w = f(z) = n=0

annehmen können, liefert für j e d e s ε den zugehörigen Funktionswert. Diese Funktionen sind infolgedessen auch notwendigerweise eindeutig. Man nennt sie kurz: ganze Funktionen — und unterscheidet sie in g a n z e t r a n s z e n d e n t e und g a n z e r a t i o n a l e Funktionen, je nachdem von den Entwicklungskoeffizienten an unendlich viele oder nur endlich viele von 0 verschieden sind. Die letzteren nennt man auch P o l y n o m e (s. Elem., § 39). Ist in ihnen am der letzte von O verschiedene Koeffizient, so heißt m der G r a d des P o l y n o m s 1 ) . Zu den ganzen transzendenten Funktionen gehören u. a. ez oder exp z, sin ζ und cos z. Die Sätze des folgenden Paragraphen sollen über das eigentümliche Verhalten dieser Funktionen belehren. — Hat f(z) für alle ζ ein und denselben Wert c, so ist f(z) zwar auch eine ganze Funktion (ein Polynom 0-ten Grades bzw. das Nullpolynom), stellt aber eine Degenerationsform derselben dar, für die die folgenden Sätze nicht gelten. § 28. Verhalten f ü r große | s | 1. Wir beginnen mit dem sogenannten Ersten Liouvilleschen Satz: Satz 1. Eine (nicht konstante) ganze Funktion ist außerhalb jedes Kreises noch beliebig großer Werte jähig·, d. h. wenn R und G beliebige (große) positive Zahlen sind, so gibt es Punkte z, für die \z\>Rund I f(z) I >G ist. Beweis. Wir beweisen den Satz in der gleichbedeutenden Form: Eine beschränkte2) ganze Funktion reduziert sich notSind a l l e Koeffizienten = 0, so spricht man von dem N u l l p o l y n o r a , dem man keinen bestimmten Grad gibt. *) Eine F u n k t i o n heißt in einem Gebiete beschränkt, wenn ihr dortiger Wertevorrat eine beschränkte Zahlenmenge bildet.

115

§ 28. Verhalten für große | ζ \

wendig auf eine Konstante. In der Tat, gibt es eine Konstante Μ, so daß I /(ζ) I ίΞ M gilt für alle z, so folgt aus der Cauchyschen Abschätzungsformel | an | Μ/ρ" sofort, daß fiir η = 1, 2 , . . . notwendig an — 0 sein muß. Denn für ρ darf jetzt jede beliebig große Zahl gesetzt werden. Also ist f(z)= a0. 2. Handelt es sich speziell um eine r a t i o n a l e ganze Funktion, so kann Satz Ì verschärft werden zu dem Satz 2. Ist f(z) eine ganze rationale Funktion m-ten Grades (m^S: 1) und G eine beliebige positive Zahl, so läßt sich R so angehen, daß für alle \ ζ \ > R stets | /(ζ) | > G ist. Beweis. Es ist f{z) = a0 + i^z -1 =

+

_μ α™-ι zw η am -ts -tJ

amzm _Lzm JÍ2 -t-

also wenn | ζ \ = r gesetzt wird : f(z) I ^ rm

n

ι _ I am-11 I r

I a0 γm

was, da am 4= 0, für alle hinreichend großen r größer als \\am\ rm, also > G, sogar > G r " - 1 , ist. 3. Aus diesen Sätzen ergibt sich ein sehr einfacher Beweis für den F u n d a m e n t a l s a t z der k l a s s i s c h e n A l g e b r a (vgl. Elem., § 39): Satz 3 . 1 s t j(z) eine ganze rationale Funktion m-ten Grades (m 1), so hat die Gleichung f(z) = 0 mindestens eine Lösung. Kürzer: f(z) besitzt Nullstellen. Beweis. Wäre stets /(ζ) Φ 0, so wäre auch j j ^ = g(z) eine ganze (nicht konstante) Funktion; also gäbe es nach dem Liouvilleschen Satz außerhalb jedes Kreises noch Punkte z, für die ζ. B. | ¡ / ( z ) | > l , also |/(z) | < 1 wäre — im Widerspruch zu dem eben bewiesenen Satz 2.

116

9. Kapitel. Ganze transzendente Funktionen

( E i n e ganze t r a n s z e n d e n t e F u n k t i o n b r a u c h t keine Nullstellen zu besitzen; z. B. e* ist eine ganze F u n k t i o n ohne Nullstellen.) 4. H a n d e l t es sich dagegen bei d e m Liouvilleschen Satze u m eine t r a n s z e n d e n t e ganze F u n k t i o n , so k a n n er vers c h ä r f t werden z u m S a t z 4 . Ist f(z) eine ganze transzendente Funktion unä sind die Zahlen G > 0, R > 0 und m > 0 beliebig gegeben, so gilt es stets Punkte z, für die |z |> R und I f(z)\>G] ζ\m ist; d. h. f(z) wird in gewissen Punkten ζ außerhall· jedes Kreises größer als jede (noch so große) Potenz von | ζ \. B e w e i s . Auch diesen Satz beweisen wir wie den Satz 1 in der gleichbedeutenden F o r m : I s t f(z) eine ganze F u n k t i o n u n d gibt es zwei positive K o n s t a n t e n M u n d m, so d a ß f ü r alle ζ \ m \ £ M \ z r ist, so ist f(z) eine ganze r a t i o n a l e F u n k t i o n eines Grades 5S m. I n der T a t gilt j e t z t die A b s c h ä t z u n g j α„ | i g Μ η ~ η + 7 η f ü r alle ρ. Also m u ß a n = 0 sein f ü r η > m. 5. Aus allen diesen Sätzen ergibt sich n u n der m e r k w ü r d i g e Satz yon Casorati-Weicrstraß: S a t z 5 . Eine ganze transzendente Funktion kommt außerhalb jedes Kreises noch jedem Werte beliebig nahe. Oder in Zeichen : Wenn die komplexe Zahl c und die positiven Zahlen ε und R beliebig gegeben werden, so ist die Forderung I /(*) - C \ < e stets durch geeignete \ ζ \ > R erfüllbar1). B e w e i s , a) H a t f(z) u n e n d l i c h v i e l e c-Stellen, so können sie nach § 21, Satz 1, nicht alle im Kreise | ζ \ R liegen, so d a ß a u ß e r h a l b dieses Kreises sogar noch f(z) — c = 0 erfüllbar ist. ' ) Oder anders ausgedrückt: die Menge der von /(2) außerhalb des Kreises I ί I = R angenommenen Werte w liegt überall dicht in der w-Ebene, wie groß

auch Ii vorgeschrieben wild.

§ 28. Verhalten für große \z\

117

b) Besitzt /(z) k e i n e c-Stellen, so ist a u c h - , , - - - - - = f ^ z ) f(Z)

c

eine (nicht konstante) ganze Funktion, so daß es nach Satz 1 Punkte ζ mit | z | > R gibt, für die | / x (z) | > l / ε , d. h. I /(z) - c I < ε ist. c) H a t /(z) e n d l i c h viele e-Stellen, so mögen diese in zv z 2 , . . . , z& liegen und die Ordnungen ocv a 2 , . . < x k haben. Dann ist (s. § 21, Satz 4) /(3) ~C m=f(i) (z -

2 l )«.

(Z — Z2)(2/ε)·|ζ|™ für gewisse ζ außerhalb j e d e s Kreises erfüllbar. Hierin soll m = + a2 4- · · · + txt sein. Es ist dann also (1) Da

|/(z) - c l < " 2 aber für a l l e

| z | > Ä ! >

(2)

—

2m

hinreichend

großen

z, etwa für

alle

R

"

R x denken, daß für dieses ζ die Beziehungen (1) u n d (2) gelten, so daß also auch I m

- e \ < e

erfüllt ist. A u f g a b e : Man beweise den letzten Satz kürzer mit Hilfe der in den §§ 29 und 30 behandelten Laurentschen Entwicklung von

1 f(z)-c für große \ z \ .

118

10. Kapitel. Die Laurentsche Entwicklung Vierter Abschnitt

Von den singulären Stellen 10. Kapitel. Die Laurentsche Entwicklung § 29. Die Entwicklung Bisher haben wir ausschließlich die Funktionen in Bereichen untersucht, in denen sie sich regulär verhielten. Wir wollen jetzt den Fall näher betrachten, daß im Innern des Bereiches auch singuläre Stellen vorhanden sind; doch soll die Funktion in demselben eindeutig sein. — Um etwas Bestimmtes vor Augen zu haben, wollen wir annehmen, f(z) sei in einem konzentrischen Kreisringe um z0 eindeutig und regulär, während über ihr Verhalten außerhalb des größeren Kreises (mit r-¡) und innerhalb des kleineren Kreises (mit r 2 ; 0 r 2 < r j und auf deren Rändern nichts bekannt sein soll. Wir werden dann eine Entwicklung angeben, die f ü r jedes ζ im Ringe, f ü r das also r2 < | ζ — 20 | = ρ < rt ist, konvergiert und )(z) darstellt. Dazu wähle man zwei Radien und ρ2, f ü r die r

2 < Qi < Q < Qi < Η

ist. Die Kreise um z 0 mit diesen Radien seien und S 2 . Im Ringe zwischen diesen und auf seinem Rande ist dann f(z) regulär, da er ganz im Innern des ersten Ringes liegt. Man verbinde und (S2 durch zwei (etwa radiale) Hilfswege !' und !", die indessen nicht durch ζ gehen dürfen. Verfährt man nun genau wie in § 14, 4, so ergibt sich

«•»-¿7 wenn und 6 2 beide positiv orientiert sind. Nun ist aber (vgl. hierzu den Beweis des Satzes 1 in § 20) a) f ü r das erste Integral, da hier ζ ein P u n k t des Kreises S x ist:

119

§ 29. Die Entwicklung

1

1

J

=

ζ-Ζ ζ~ζ„ z—z„

eine Reihe, die wegen gleichmäßig konvergiert;

(2-*O)B

n^oU-to)"*1'

ρ

— < 1 für alle ζ auf

ζ —¡¡ο

Οι

b) für das zweite Integral, da hier ζ auf S 2 liegt: ι 1 — eine Reihe, die wegen

_

=

C-Zo

C — Zo

V

(C-^o)" )"+1'

nto(z-Zo

= — < 1 für alle ζ auf 6 2

gleichmäßig konvergiert. Setzt man diese speziellen Ent1 wicklungen von in die Integrale ein, so darf wegen ζ

z

der gleichmäßigen Konvergenz (bezüglich integriert werden, und man erhält "

+ +

i

1ι

{c,, rr /(ζ)

gliedweise

(z—zBr ^rdC

J _ e · r/(c)(cJ

ζ)

z0rdL

(z-z0r+>

α ζ

·

Setzt man nun zur Abkürzung

und 1 e,

-®· f m (t 2πί i J t W

J

(ζ — z0)~n+1

(η = 1, 2 , . . . ) ,

so hat man í {z) =

ε Y-W α< o) -~2πί

z

Σ

η=0

α „ ( 2 - 20)" +

Σα.η(ζ η=1

-

ζ0)~η,

- a ~

120

10. Kapitel. Die Laurentsche Entwicklung

wofür man auch kürzer /(*)=

la„(z-z0)" τι

—

χ

zu schreiben pflegt. Wir haben also eine Darstellung von f(z) als Summe einer aufsteigenden Potenzreihe Σ1 und einer absteigenden Potenz-

reihe ¿ 2 gewonnen. Beide konvergieren, wenn 2 im Innern

des Ringgebietes zwischen ^ und ® 2 liegt. Denn man erkennt nachträglich, daß die Werte der Koeffizienten an und a_„ von der Form der Integrationswege der sie definierenden Integrale (also von bzw. ρ 2 ) unabhängig sind: nach § 14, 1 darf statt bzw. (S2 jeder andere ganz im Ringgebiet zwischen und S 2 verlaufende geschlossene Weg gewählt werden, der f l 2 einmal positiv umläuft. Insbesondere darf für und G 2 beidemal d e r s e l b e Weg dieser Art genommen werden. Im Gegensatz zu Satz 1 in § 20 sind aber die an und a_„ jetzt nicht die Werte von Ableitungen unserer Funktion. Die gewonnene Reihe wird die Laurentsche Entwicklung von /(z) für das Ringgebiet genannt. § 30. Erläuterungen und Beispiele Um die Formel des vorigen Paragraphen recht zu verstehen, betrachten wir einzeln die durch die beiden Summen Σ1 und Σ2 dargestellten Funktionen: n=0 ist eine gewöhnliche Potenzreihe von ζ — z0, konvergiert also für a l l e ζ in und stellt eine dort reguläre Funktion dar. /2(z) =

= Σ α_ η (ζ — z0)~n n=l erweist sich ebenfalls sogleich als eine gewöhnliche Potenzreihe; man braucht nur

§ 30. Erläuterungen und Beispiele a_ n

121

= bn und (z - ZQ)-1 = z7

zu setzen. Dann ist nämlich

/»(β) =

ΣΙη*\ n= 1

Da Σ2 sicher für r 2 < | ζ — zg | < rx konvergiert, so konvergiert diese neue Reihe sicher für l A ^ K K i A i . also, da sie eine gewöhnliche Potenzreihe von z' ist, für alle I ζ' I < l / r 2 und stellt eine dort reguläre Funktion dar. Geht man zu 2zurück, so heißt dies : Σ 2 konvergiert für alle z, für die I 2 - 20 I > ist, d. h. überall a u ß e r h a l b Funktion von ζ dar.

2

r

und stellt eine dort reguläre

f(z) erscheint also zerlegt in eine innerhalb ñ j und eine außerhalb Jt'2 reguläre Funktion. Im Ringgebiet sind beide regulär. Hieraus und aus der sogleich hernach zu beweisenden Einzigkeit der Laurentschen Entwicklung folgt dann sofort, daß das genaue Konvergenzgebiet derselben der breiteste Ring ist, der aus dem bisherigen Ringe durch (konzentrisches) Zusammenschrumpfen des inneren Kreises und Ausdehnung des äußeren Kreises SÎ, gebildet werden kann und der noch frei von singulären Stellen ist, — der also mindestens je eine singuläre Stelle auf jedem der beiden Kreise besitzt. (Liegt innerhalb S 2 überhaupt keine singuläre Stelle, so würde hierbei das innere Gebiet und damit / 2 bzw. Σ2 ganz fortfallen!) Genau wie die Taylorsche Entwicklung ist auch die soeben gefundene Laurentsche die einzig mögliche. Denn hat man, für ein gemeinsames R i n g g e b i e t gültig, gleichzeitig

122

10. Kapitel. Dio Laurentsche Entwicklung CO

00

/(«)= Σ a^z-ztf \mà = Σ n=—to n=—»

cjz - z0)",

so folgt, indem man die beiden Entwicklungen mit (z — Zq)-*-1 multipliziert und über einen Kreis um z0 integriert, der ganz im Ringgebiet liegt und auf dem daher die entstehende Reihe bezüglich ζ gleichmäßig konvergiert:

2nia¡¡ = 2nicit, d. h. ak = ck, (i = 0, ± 1, ± 2 , . . .)· B e i s p i e l e . Man findet ohne Schwierigkeit die Entwicklungen:

1 «

eo

( 0 - 1) ( 0 - 2) =

jn

oo χ

2"«

(1 < I ζ I < 2), oder

=

CO 9 1 - 1 n=2

1

( 2 < |a| < oo).

2

Hier haben wir also zwei verschiedene Entwicklungen für d i e s e l b e Funktion ; doch bedeutet dies keinen Widerspruch gegen den eben bewiesenen Satz, da sie für v e r s c h i e d e n e R i n g g e b i e t e gelten. 00 2n m 2n+ 00 1 1 (2)

(0 < I a I < oo),

(1 < ι ί I < oo). Aufgabe.

Man entwickle die Funktionen:

exp ^

1

für I ζ | > 1

und

j/(a— 1) ( z - 2) für \z | > 2 in eine Laurentsche Reihe.

11. Kap. § 31. Wesentlich singulare Stellen und Pole

123

11. Kapitel. Die verschiedenen Arten singulärer Stellen § 31. Wesentlich und außcrwesentlich singulare Stellen oder Polo Besonderes Interesse verdient der Fall, daß im Innern von ®2 der Mittelpunkt z0 die einzige singulare Stelle von f(z) ist. Die Laurentsche Entwicklung (1)

/(z) = J « „ ( * - * „ ) » n=—to konvergiert dann für alle z, für die 0 < | ζ — z0 | < r1 ist, wo nun ? i ( > 0) die Entfernung von z0 bis zur nächstgelegenen singulären Stelle ist. z0 heißt in diesem Falle eine i s o l i e r t e s i n g u l a r e Stelle. Eine Entwicklung der Form (1) ist also stets in der Umgebung einer solchen isolierten Stelle möglich, falls f(z) dort eindeutig ist, und erlaubt eine genauere Untersuchung derselben. Schreibt man den absteigenden Teil der Entwicklung (1) wieder (s. o.) in der Form Σΐηζ'η, so erkennt man, daß er in diesem Falle eine g a n z e Funktion von z' darstellt. Je nachdem nun diese ganze Funktion eine ganze transzendente oder eine ganze rationale ist, je nachdem also der absteigende Teil der Entwicklung unendlich viele oder nur endlich viele Glieder (aber dann mindestens eines) hat, nennt man z0 eine w e s e n t l i c h oder a u ß e r w e s e n t l i c h s i n g u l ä r e Stelle. Im letzteren Falle nennt man z0 auch kürzer einen Pol. Ist dabei a_ m (»i5i 1) der letzte von 0 verschiedene Koeffizient, so heißt 20 ein Pol m-ter O r d n u n g ; durch Multiplikation mit (z — z0)m (aber keiner kleineren Potenz) geht dann f(z) in eine Funktion über, die in z0 und Umgebung regulär und in z0 von 0 verschieden ist, falls man sie in z0 durch den Grenzwert für z->- z0 erklärt. Die Bezeichnungen „Pol" und „wesentlich-singuläre Stelle" beziehen sich hiernach zunächst nur auf isolierte

124

11. Kapitel. Die verschiedenen Arten singulärer Stellen

singulare Stellen, in deren Umgebung die Funktion eindeutig ist. Den absteigenden Teil der Entwicklung der Funktion nennt man ihren H a u p t t e i l bei z0. Die folgenden Sätze zeigen den Unterschied im Charakter der beiden Arten singulärer Stellen: Satz 1. Hat f(z) in z0 einen Pol (ist also Σ2 = Σΐηζ'η

eine

ganze rationale Funktion von z') und ist G > 0 beliebig gegeben, so läßt sich δ > 0 so angehen, daß für alle 0 < | ζ — z0 | < 0 ist, d. h. für alle nahe bei z0 gelegenen ζ ist der Betrag von f(z) sehr groß; oder: lei der Annäherung an einen Pol wird die Funktion bestimmt unendlich. (Vgl. hierzu § 28, 2.) Beweis. Es sei z0 ein Pol α-ter Ordnung, also /( 2 ) =

+ · · · + «0 + «1 (« - «β) + · · •

(mit α _ α + 0 , δ» = α - « + \ ¡fe = 1, 2 , . . . ) . \ «-α / Man wähle nun δ so klein, daß ό" < | a_ a | / 2G und daß der Wert der geschweiften Klammer für alle | ζ — z0 | < δ absolut genommen > \ ausfällt, was sicher möglich, da es sich um eine Potenzreihe mit dem konstanten Gliede 1 handelt. Dann ist für alle 0 < | s — z0 | < δ w. z.b. w. 2. Dem C a s o r a t i - W e i e r s t r a ß s c h e n Satz 5 in § 28 entsprechend gilt hier der Satz 2. Hat f(z) in z0 eine wesentlich singuläre Stelle (ist also Σ2 = Σΐηζ'η eine ganze transzendente Funktion von z'), so

§ 31. Wesentlich singuläre Stellen und Pole

kommt f(z) in Oder genauer: zwei beliebige Punkte z, für

125

jeder Nähe von z0 jedem Werte noch beliebig nahe. Wenn c eine beliebige komplexe und δ und ε (kleine) positive Größen sind, so gibt es stets die I 3 — z01 < ó und I j(z) — e \ < ε

ist1). Beweis. Wir setzen, indem wir das konstante Glied zur zweiten Summe ziehen, co

œ

f(z) = Σ an{z - z0f + Σ a.n{z - z0)-« = n=l n=0

Ψι(ζ)

+ • ζ, zu erklären. ! ) Ein Pol 0-ter Ordnung ist dann zugleich eine Nullstelle 0-ter Ordnung, d. h. eine Stelle, an der /(z) regulär und + 0 ist.

§ 32. Verhalten analytischer Funktionen im Unendlichen

127

so ist lim j(z) für z - > z 0 vorhanden, und f(z) wird in z0 regulär, wenn f(z0) gleich diesem Grenzwert gesetzt wird. B e w e i s . I. Ist /(z) bei geeigneter Erklärung des Funktionswertes /(z 0 ) in z0 regulär, so ist /(z) gewiß in einer Umgebung von z0 beschränkt. II. Ist umgekehrt die Funktion /(z) in 0 < | ζ — z0 | < δ regulär, eindeutig und beschränkt, so ist sie sogar in z0 regulär. Denn sie kann in dem genannten Gebiete jedenfalls in eine Laurentsche Reihe CO

Σ an(zn=—co

z 0 )"

entwickelt werden; und wäre in dieser ein an mit —1 von 0 verschieden, so wäre /(z) nach den Sätzen 1 und 2 in keiner Umgebung von z0 beschränkt. Also sind alle diese an = 0 und /(z), wofern /(z 0 ) = a0 = lim /(z) für ζ gesetzt wird, in zn regulär 1 ). Auf die Untersuchung der nicht isolierten singulären Stellen und derjenigen, in deren Umgebung die Funktion nicht eindeutig ist (wie ζ = 0 bei log ζ und bei z" m ), soll hier nicht eingegangen werden. Wegen der letzteren vgl. die S. 106, Fußnote, genannte Funktionentheorie II, 4. Kap. A u f g a b e : Man verifiziere die Richtigkeit des Casorati-Weierstraßschen Satzes bei der Funktion exp (1/s), indem man ihre Werte untersucht, die sie auf den vom Nullpunkt ausgehenden Radien in der Nähe des Nullpunktes annimmt. — Man bestimme diejenigen Punkte z, in denen exp (1/z) = i ist. Was für eine Punktmenge bilden diese?

§ 32. Verhalten analytischer Funktionen im Unendlichen Unsere Definition der vollständigen analytischen Funktion (§ 24) hatte die Lücke, daß wir noch Festsetzungen treffen J ) War f{z) in z0 schon erklärt, aber von a„ verschieden, so spricht man von einer h e b b a r e n S i n g u l a r i t ä t , da sie dadurch behoben werden kann, daß man in Abänderung jener Erklärung /(z 0 ) = a0 setzt.

128

11. Kapitel. Die verschiedenen Arten singulare! Stellen

mußten, um das Verhalten einer Funktion im Unendlichen bezeichnen zu können. Wie soeben, beschränken wir uns auf den Fall, daß f(z) in der Umgebung des Punktes oo (s. § 2) eindeutig und regulär ist. E s sei demgemäß /(z) für | ζ | > R eindeutig und regulär. Setzt man dann ζ = 1/z', so ist die durch f(z) = f(l/z') = φ(ζ') für I ζ' I < 1/R definierte Funktion ψ(ζ') dort eindeutig und regulär, letzteres möglicherweise mit Ausnahme des Punktes ζ' = 0 selbst. Wir setzen nun einfach fest: E r k l ä r u n g . Der Funktion f(z) wird im Unendlichen dasjenige Verhalten zugeschrieben, das φ(ζ') in ζ' = 0 aufweist. Also im einzelnen: Nach unseren Voraussetzungen gestattet 11

und besitzt dort eine Nullstelle erster Ordnung. 2. Jede rationale Funktion, bei der der Grad k des Nenners größer oder gleich dem Grade m des Zählers ist, ist regulär in 2 = oo; /(oo) ist = 0 oder φ 0, je nachdem k> m oder = m ist. 3. Jede rationale Funktion, bei der k 0 stets eine so kleine Umgebung1) desselben abgrenzen, daß für alle Punkte derselben (d. h. also für alle | ζ \ > R, bei hinreichend großem R) stets | f(z) \ > G ist. Satz 2. Hat f(z) in oo eine wesentlich singulare Stelle, so gibt es nach Wahl der komplexen Zahl c und der positiven Zahlen ε und R stets Punkte z, für die ') Unter einer kleinen „Umgebung von co" hat man (s. § 2) das Außere eines großen Kreises (um 0) zu verstehen. 9

K n o p p , Funktionentheorie. I.

130

11. Kapitel. Die verschiedenen Arten singularer Stellen

ist.

I 2I> R

und

I f(z) — c \ < ε

Satz 3. Ist /(z) eine in einer Umgehung von oo eindeutige und, von oo selbst noch abgesehen, reguläre Funktion, so kann diese dann und nur dann zu einer in oo regulären Funktion gemacht werden, wenn sie in einer Umgebung \ ζ | > R von oo beschränkt ist. Ist dies der Fall, so ist lim f(z) für z-* oo vorhanden, und /(s) wird in oo regulär, wenn /(oo) gleich diesem Grenzwert gesetzt wird. A u f g a b e . Was für eine Singularität haben die Funktionen

22 + 4 — - — ,

cos ζ — sin z,

ctg 2

im Punkte ζ = oo ?

§ 33. Der Rcsiduonsatz Ist f(z) in der Umgebung von z0 regulär, so ist nach dem Cauchyschen Satze ff(z)dz = 0, wenn eine kleine, den Punkt z0 umschließende Kurve 6 als Weg gewählt wird. Hat dagegen /(z) in z0 eine isolierte singulare Stelle, in deren Umgebung )(z) sonst eindeutig und regulär ist, so wird dasselbe Integral im allgemeinen von Null verschieden sein. Sein Wert läßt sich sofort angeben: Da f(z) für eine Umgebung von z0 (0 < | ζ — z01 < r) in eineLaurentsche Reihe entwickelt werden kann, so hat man nach § 29, wenn E im positiven Sinne durchlaufen wird, sofort die Beziehung

α»

¿7«^-«-,

Den Wert dieses Integrals oder also den Koeffizienten der ersten negativen Potenz in der Laurentschen Entwicklung

§ 33. Der Residuensatz

131 1

nennt man d a s R e s i d u u m Γνο η f(z) in 2ο ), und die obige Formel stellt in gewissem Sinne eine Erweiterung des Cauchysehen Satzes dar. Allgemeiner kann man den folgenden sog. Residuensatz beweisen : Satz 1. Die Funktion f(z) sei in dem (beliebigen) Gebiete © eindeutig und regulär. 1st- dann β ein doppelpunkljreier geschlossener, in ® liegender Weg, in dessen Innengebiet nur endlich viele (isolierte) singulare Stellen liegen, so ist 1 G [ f(z) dz — ί ^ ^umme Residuen von f(z) in den 2ni J ^ ' ~ 1 von & umschlossenen singulären Stellen. B e w e i s . Sind zx, z2,..., zm die genannten endlich vielen singulären Stellen und sind S 1 , ß 2 , · · · , ( £ « hinreichend kleine (positiv orientierte) Kreise um zx, z2,..., zm, so ist nach § 14, Satz 2 ®//(e) dz = G'J70) dz + e - / / ( 2 ) dz+ •·• + Zmft(z)

dz.

Hieraus ergibt sich nach Division durch 2 n i die Richtigkeit des Satzes, da dann rechts die fraglichen Residuen stehen. Dieser Residuensatz gestattet zahlreiche bedeutsame Anwendungen. Bei ihnen wird im allgemeinen das Residuum von der Laurentschen Entwicklung her bekannt sein und so der Wert des Integrals angegeben werden können. Plier können nur ein paar einfache Beispiele dazu gegeben werden. 1. Unter den Voraussetzungen des Residuensatzes werde ζ. B. angenommen, daß m = 0, d. h. f(z) in dem ganzen Innengebiet von 6 regulär ist und daß längs 6 überdies f(z) 4= 0 ist. Dann können nach § 21, Satz 1 von β nur endlich viele Nullstellen umschlossen werden. Es seien dies die Stellen zv z2,..., zm, deren Ordnung bezüglich oc2,.. .,ocm sein möge. Man pflegt eine Nullstelle «-ter Ordnung (ebenso einen Pol) als eine α-fache Nullstelle (bzw. Pol) anzusehen *) Hierbei soll z„ wieder im Endlichen gedacht werden. 9*

132

11. Kapitel. Die verschiedenen Arten singulärer Stellen

und demgemäß bei einer Abzählung «-mal zu zählen. Danach ist die Anzahl Ν der Nullstellen von f(z) innerhalb β

Ν = R gültige Laurentsche Entwicklung des Integranden beginnt mit

Da sie längs des Integrationsweges \ z \ = gleichmäßig konvergiert, so liest man aus ihr (auch ohne näheres über die Koeffizienten cn zu wissen) sofort ab, daß der Wert des Integrales = 2 n i m , also Ν = m ist: Eine ganze rationale Funktion m-ten Grades hat genau m Nullstellen (Wurzeln), wenn jede so oft gezählt wird, wie es ihre Ordnung verlangt.

Register Abbildung, k o n f o r m e 33 — stereographische 10 Abgeschlossene Gebiete 25 — Mengen 14 ff. Ableitung 32 — , höhere 68 Abschätzungsformel, Cauchysche 80 Absoluter Betrag 9 A b s t a n d 9, 15 Abzählbare Mengen 18 Analytische F o r t s e t z u n g 93 ff. — — d u r c h Potenzreihen 90 ff. — F u n k t i o n e n 34 — — vollständige Definition 99 ff. Analytisches Gebilde 104 Arcus 9 A r g u m e n t 27 α-Stelle 91 Aufgeschnitten 111 Außengebiet 26 Äußerer P u n k t 14 Außerwesentlich singulare Stelle 123 Behnke, H . 59 Bereich 25 Beschränkte Funktionen 114 B e s c h r ä n k t e Mengen 13 Bestimmte Integrale 39 ff. — —, B e r e c h n u n g derselben 44ff., 134 Bild 28 Bolzano-Weiers traßscher Satz 13 Casorati -Weierstraßscher Satz 116,124 Cauchy-Hadamardscher Satz 71 Cauohy-Riemannsche Differentialgleichungen 3 5 - 3 7

Cauchysche Abschätzungsformel 80 — Integralformeln 64ff. Cauchvscher Integralsatz 5Iff. U m k e h r u n g 68 — Residuensatz 131 ff. — — Anwendungen 131 ff. Cauchysches Konvergenzprinzip 19 cos ζ s. sin z. ctg ζ s. t g ζ. Darstellung von F u n k tionen d u r c h Reihen 72 Definitionsbereich 27 Differentialgleichung, Cauchy-Riemannsche 35-37 — Laplacesche 38 Differentialquotient 32 Differenzierbarkeit 29, 32-34 — vollständige 35 D o p p e l p u n k t f r e i 21, 22 Doppelreihensatz 84 Drehungssinn, m a t h e m a tisch-positiver 23, 47 Durchmesser 15 Durchschnitt 15 e 2 s. E x p o n e n t i a l f u n k t i o n E b e n e P u n k t m e n g e n 12 Eindeutige F u n k t i o n e n 27, 106 Einfache K u r v e n 21 Einfach-zusammenhängend 25 Einheitskreis 9 Einschachtelungssatz 16 Element einer F u n k t i o n 94 — — Menge 12 Elementare Funktionen 28, 98ff., 125, 126 Entwicklung analytischer F u n k t i o n e n in Potenzreihen 80 ff.

Entwicklung, L a u r e n t sche 118 ff. Existenzgebiet 104 exp 99, 112 E x p o n e n t i a l f u n k t i o n 28, 98, 129 F a s t alle 16, 19 Fortsetzung, analytische 93 ff. — reeller F u n k t i o n e n ins K o m p l e x e 97 F r e m d e Mengen 15 F u n d a m e n t a l s a t z der Algebra 115, 140 F u n k t i o n , allgemeinster Begriff einer 27 F u n k t i o n e n , analytische 34 — — ; Identitätssatz f ü r diese 87 ff. — b e s c h r ä n k t e 114 — eindeutige 27, 106 — elementare 28, 98ff., 125, 126 — ganze (rationale u n d transzendente) 113 ff., 125 — H o l o m o r p h e 34 — mehrdeutige 106, 109 ff. — nichtfortsetzbare 102 — rationale 28, 98, 115, 125, 129, 138 ff. — reguläre 34 — , U m k e h r u n g von 136ff. Ganze F u n k t i o n e n 113ff. Gaußsche E b e n e 8 Gebiete 25 Gebietsschachtelung 16 Gebietstreue 137 Gebilde, analytisches 104 Geschlossener Weg 22 — s Polygon 23 Gleichmäßige K o n v e r genz 73 ff. — Stetigkeit 31 Glieder einer Folge 18

Register Gliedweise Differentiation und Integration 50, 7 5 - 7 9 Grenze, natürliche 102 — untere u n d obere 12 Grenzwert 19

Konvergenzprinzip, allgemeinstes 19 Konvergenzradius 70 Konvergenzsatz, Weierstraßscher 75 Kreiskettenverfahren 90 Kreisfläche 9 Kreislinie 9 Kreisring 10 Kurve 21 Kurvenstück 21

Halbebene 9 Häufungspunkt 13 Hauptsatz der Funktionentheorie 52 ff. — — Differential- u. InLänge 21, 22 tegralrechnung 63 Laplacesche DifferentialHauptteil 124 gleichung 38 Hauptwert von log 2 111 Hauptwert von ζ1/™ 112 Laurentsche Entwicklung 118ff. Heine-Borelscher Satz 17 Hin- und Herintegrieren Leere Menge 14 Limes 19 50 — unterer und oberer 12 Holomorph 34 Lineare Funktion 28 Identitätssatz f ü r analy- Liouvillescher Satz 114 Logarithmus 99, 109 tische Funktionen 87 ff. — — Potenzreihen 80, Maximum von | / ( z ) | 86 82 —, Prinzip vom 86 Imaginärer Teil einer Mehrdeutige Funktionen Funktion 27 106, 109ff. Zahl 8 Mengen s. Punktmengen Monodromiesatz 107 Innerer P u n k t 14 Morerascher Satz 68 Integral, Bestimmtes 39 ff. Integralformeln, Caucliy- Natürliche Grenze 102 sche 64ff., 68 Nichtfortsetzbare FunkIntegralsatz, Cauchytionen 102 scher 51 ff. Nullstellen 91, 115, 132, Intervallschachtelung 16 140 Inverse Funktion 138 Isolierte P u n k t e 14 Offene Mengen 14 — singulare P u n k t e 123 Ordnung einer α-Stelle 92 — eines Poles 123 Jordanscher Kurvensatz 22 Pole 123, 129, 132 —s Kurvenstück 21 Pollard, S., 59 Polygon 23, 24 Kamke, E., 59 Polygonzug 23 Kettenregel 33 Polynom 114 Kompakt 14 Positiver Ilmlaufsinn 23, Komplementärmenge 13 47 Konform 33 Potenz, allgemeine 113 Kontinuum 26 Potenzreihen 70, 74, 79ff. Konvergenz 19 — Identitätssatz f ü r 80, 82 — gleichmäßige 73ff. Konvergenzbereich unPrinzip der analytischen endlicher Reihen 09 Fortsetzung 95 ff. Konvergenzkreis 70 — vom Maximum 86

143 Produkt, unendliches 20 Punkt, äußerer 14 — innerer 14 — isolierter 14 — regulärer 34, 104 — singulärer 101, 103f., 123 — und Zahl 8 — uneigentlicher 10 Punktfolge 18 Punktmengen 11 Punktmengen, abgeschlossene 14 ff. — abzählbare 18 — auf einer Geraden 12 — beschränkte 13 — fremde 15 — in der Ebene 12 — offene 14 — zusammenhängende 15, 25, 26 Rand 9 R a n d p u n k t 14, 31, 71, 86, 101 —, nicht erreichbarer 25 nationale Funktionen 28, 98, 115, 125, 129, 138ff. Reeller Teil einer Funktion 27 Zahl 8 Reguläre Funktionen 34 — Punkte 34, 104 Regularitätsgebiet 34, 104 Reihen analytischer Funktionen 75 ff. — , gleichmäßig konvergente 73 ff. — mit veränderlichen Gliedern 69 ff. — unendliche 20 Rektifizierbar 21 Residuensatz 131 ff. Residuum 131 Riemannscher Satz 126 — Zahlenkugel 10 Ringgebiet 59, 118ff. Schwankung einer Funktion 41 sin ζ und cos ζ 28, 96, 129 g i n ζ 28 Singulare P u n k t e s. Punkt

144

Register

Sommer, Γ. 59 I Überdeckung 16 Stammfunktion 61, 63 Umgebung 10, 14 Stereographische AbbilUmkehrung analytischer dung 10 Funktionen 136 Stetigkeit 2 9 - 3 1 Umlaufsinn 23, 47 — gleichmäßige 31 Unbeschränkt 13 — nach inneñ 31 Uneigentlicher P u n k t 10 — längs einer Kurve 31 Unendlich ferner P u n k t Streckbar 22 10, 127f. Streckenzug 21, 23 - e Reihe 20 - es P r o d u k t 20 Taylorsche Reihe 81 Transzendente FunkVflriabilitätsbereich 27 tionen 110 ff. Variable 27 Teilbrüche 140 Vektor 28 Teildarstellung einer Veränderliche 27 Vereinigungsmenge 15 Funktion 94 Verzweigungspunkt 111, Teilmenge 13 113 Teilprodukte 20 Teilsummen 20 vollständig differenziertg ζ und ctg ζ 126 bar 35

Weg 21 Wegstück 21 Weierstraßscher Doppelreihensatz 84 — Konvergenzsatz 75 Wertevorrat 27, 104 Wesentlich singulare Stellen 123, 128f. Windungspunkt 111, 113 Wurzel 99, 112 Zahl s. P u n k t Zahlenebene 8 Zahlenfolge 18 Ziihlenkugel 10 Zahlenmengen s. P u n k t mengen Zusammenhängend 15, 25, 26 Zweig 111

SAMMLUNG

GÖSCHEN

GESAMTVERZEICHNIS

Jeder Band DM 3,60 · Doppelband DM 5,80

Herbst 1964

WALTER D E G R U Y T E R & CO., B E R L I N 30

Inhaltsübersicht Biologie Botanik Chemie Deutsche Sprache u. Literatur Elektrotechnik Englisch Erd- u. Länderkunde . . . . Geologie Germanisch Geschichte Griechisch Hebräisch Hoch-u. Tiefbau Indogermanisch Kartographie Kristallographie Kunst Land- u. Forstwirtschaft . . Lateinisch Maschinenbau Mathematik

16 17 15 7 19 8 10 18 8 5 9 9 22 8 10 18 5 18 9 20 12

Mineralogie Musik Pädagogik Philosophie Physik Psychologie Publizistik Religion Romanisch Russisch Sanskrit Soziologie Statistik Technik Technologie Volkswirtschaft Vermessungswesen Wasserbau Zoologie Autoren register Bandnummernfolge

. . . .

18 5 4 3 14 4 10 4 8 9 9 4 10 19 16 10 21 22 17 31 24

Geisteswissenschaften Philosophie Elnfflhrung In die Philosophie von H. Leisegang f . 5. Auflage. 146 Seiten. 1963. (281) Hauptprobleme der Philosophie von G. Simmel f . 8., u n v e r ä n d e r t e Auflage. 177 Seiten. 1964. (500) Geschichte der Philosophie I : D i e g r i e c h i s c h e P h i l o s o p h i e von W.Capelle. 1. Teil. Von Thaies bis Leukippos. 2., erweiterte Auflage. 135 Seiten. 1953. (857) I I : D i e g r i e c h i s c h e P h i l o s o p h i e von W. Capelle. 2. Teil. Von der Sophistik bis zum Tode Piatons. 2., s t a r k erweiterte Auflage. 144 Seiten. 1953. (858) I I I : D i e g r i e c h i s c h e P h i l o s o p h i e von IV. Capelle. 3. Teil. Vom Tode Piatons bis zur Alten Stoa. 2., s t a r k erweiterte Auflage. 132 Seiten. 1954. (859) I V : D i e g r i e c h i s c h e P h i l o s o p h i e von W. Capette. 4. Teil. Von der Alten Stoa bis zum Eklektizismus im 1. J h . v. Chr. 2., s t a r k erweiterte Auflage. 132 Seiten. 1954. (863) V : D i e P h i l o s o p h i e d e s M i t t e l a l t e r s von J. Koch. In Vorbereitung. (826) V I : V o n d e r R e n a i s s a n c e b i s K a n t von K . Schilling. 234 Seiten. 1964. (394/394a) V I I : I m m a n u e l K a n t von G. Lehmann. In Vorbereitung. (536) V I I I : D i e P h i l o s o p h i e d e s 19. J a h r h u n d e r t s von G. Lehmann. 1. Teil. 151 Seiten. 1953. (571) I X : D i e P h i l o s o p h i e d e s 19. J a h r h u n d e r t s von 0 . Lehmann. 2. Teil. 168 Seiten. 1953. (709) X : D i e P h i l o s o p h i e i m e r s t e n D r i t t e l d e s 20. J a h r h u n d e r t s 1. Teil von G. Lehmann. 128 Seiten. 1957. (845) X I : D i e P h i l o s o p h i e i m e r s t e n D r i t t e l d e s 20. J a h r h u n d e r t s 2. Teil von G. Lehmann. 114 Seiten. I960. (850) Die geistige Situation der Zelt (1931) von K. Jaspers. 6., u n v e r ä n d e r t e r A b d r u c k der im Sommer 1932 bearbeiteten 5. Auflage. 211 Seit e n . 1964. (1000) Erkenntnistheorie von G. Kropp. 1. Teil: A l l g e m e i n e G r u n d l e g u n g . 143 Seiten. 1950. (807) Formale Logik von P . Lorenzen. 2., verbesserte Auflage. 165 Seiten. 1962. (1176/1 176a) Philosophisches Wörterbuch von M. Apel f . 5., völlig neubearbeitete Auflage von P . Ludz. 315 Seiten. 1958. (1031/1031 a) Philosophische Anthropologie. Menschliche Selbstdeutung in Geschichte und Gegenwart von M. Landmann. 2., durchgesehene Auflage. 223 Seiten. 1964. (156/156 a)

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GEISTESWISSENSCHAFTEN

Pädagogik, Psychologie, Soziologie Geschichte der Pädagogik von Herrn. Weimer. 16. Auflage von Heinz Weimer. 184 Seiten. 1964. ( 1 4 5 ) Therapeutische Psychologie. Ihr Weg durch die Psychoanalyse von W. M. Kranefeld't. Mit einer Einführung von C. 0 . Jung. 3. Auflage. 152 Seiten. 1956. ( 1 0 3 4 ) Allgemeine Psychologie von Tti. Erismann f . 4 Bände. 2., neubearbeitete Auflage. I : G r u n d p r o b l e m e . 146 Seiten. 1958. (831) I I : G r u n d a r t e n d e s p s y c h i s c h e n G e s c h e h e n s . 2 4 8 Seiten. 1959. (832/832 a) III: E x p e r i m e n t e l l e P s y c h o l o g i e und ihre Grundlagen. 1. Teil. 112 Seiten, 7 Abbildungen. 1962. ( 8 3 3 ) IV: E x p e r i m e n t e l l e P s y c h o l o g i e und ihre Grundlagen. 2. Teil. 199 Seiten, 20 Abbildungen. 1962. (834/834 a) Soziologie. Geschichte und Hauptprobleme von L. von Wiese. 7. Auflage. 175 Seiten. 1964. (101) Ideengeschichte der sozialen Bewegung des 19. und 20. J h . von W. Hofmann. 243 Seiten. 1962. (1205/1205a) Sozialpsychologie von P. R. Hofstätter. 2. Auflage. 186 Seiten, 18 Abbildungen. 1964. (104/104a) Psychologie des Berufs- und Wirtschaftslebens von W. Moed'e f . 190 Seiten, 48 Abbildungen. 1958. (851/851 a) Industrie- und Betriebssoziologie von R. Dahrendorf. 3. Auflage. 142 Seiten, 3 Figuren. 1964. ( 1 0 3 ) Wirtschaftssoziologie von F. Fürstenberg. 122 Seiten. 1961. ( 1 1 9 3 ) Einführung in die Sozialethik von H.-D. Wendland. 144 Seiten. 1963. (1203)

Religion Jesus von M. Dibelius f . 3. Auflage, mit einem Nachtrag von W. G' Kümmel. 140 Seiten. 1960. ( 1 1 3 0 ) Paulus von Al. Dibelius f . Nach dem Tode des Verfassers herausgegeben und zu Ende geführt von W. G. Kümmel. 3., durchgesehene Auflage. 156 Seiten. 1964. (1160) Luther von F. Lau. 151 Seiten. 1959. (1187) Melanchthon von R. Stupperich. 139 Seiten. 1960. ( 1 1 9 0 ) 7-wingli von F. Schmidt-Clausing. 1965. Im Druck ( 1 2 1 9 ) Einführung in die Konfessionskunde der orthodoxen Kirchen von K. Onasch. 291 Seiten. 1962. (1197/1197a) Geschichte des christlichen Gottesdienstes von W. Nagel. 215 Seiten. 1962. (1202/1202a) Geschichte Israels. Von den Anfängen bis zur Zerstörung des Tempels (70 n. Chr.) von E. L. Ehrlich. 158 Seiten, 1 Tafel. 1958. (231/231a) Römische Religionsgeschichte von F. Altheim. 2 Bände. 2., umgearbeit e t e Auflage. 1: G r u n d l a g e n u n d G r u n d b e g r i f f e . 116 Seiten. 1956. ( 1 0 3 5 ) I I : D e r g e s c h i c h t l i c h e A b l a u f . 164 Seiten. 1956. ( 1 0 5 2 )

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GEISTESWISSENSC HAFTEN Die Religion des Buddhismus v o n D. Schlingloff. 2 Bände. 1: D e r H e i l s w e g d e s M ö n c h t u r n s . 122 S e i t e n , 11 A b b i l d u n g e n , 1 K a r t e . 1962. (174) I I : D e r H e i l s w e g f ü r d i e W e l t . 129 S e i t e n , 9 A b b i l d u n g e n , 1 K a r t e . 1963. (770)

Musik M u s i k ä s t h e t i k v o n H. J. Moser. 180 S e i t e n . M i t z a h l r e i c h e n N o t e n b e i s p i e l e n . 1953. (344) Systematische Modulation v o n R. Hernried. 2. A u f l a g e . 136 S e i t e n . Mit z a h l r e i c h e n N o t e n b e i s p i e l e n . 1950. (1094) Der polyphone Satz v o n E. Pepping. 2 B ä n d e . I : D e r c a n t u s - f i r m u s - S a t z . 2. A u f l a g e . 2 2 3 S e i t e n . M i t z a h l r e i c h e n N o t e n b e i s p i e l e n . 1950. (1148) II: Ü b u n g e n im d o p p e l t e n K o n t r a p u n k t u n d im K a n o n . 137 S e i t e n . Mit z a h l r e i c h e n N o t e n b e i s p i e l e n . 1957. ( 1 1 6 4 / 1 1 6 4 a ) Allgemeine Musiklehre v o n H. J. Moser. 2., d u r c h g e s e h e n e A u f l a g e . 155 S e i t e n . M i t z a h l r e i c h e n N o t e n b e i s p i e l e n . 1955. ( 2 2 0 / 2 2 0 a ) Harmonielehre v o n H. J. Moser. 2 B ä n d e . I : 109 S e i t e n . Mit 120 N o t e n b e i s p i e l e n . 1954. (809) I I : In V o r b e r e i t u n g . (810) Die Musik des 19. Jahrhunderts v o n W. Oehlmann. 180 S e i t e n . 1953. (170) Die Musik des 20. Jahrhunderts v o n W. Oehlmann. 312 S e i t e n . 1961. ( 1 7 1 / 1 7 1 a) Technik der deutschen Gesangskunst v o n H. J. Moser. 3., d u r c h g e s e h e n e u n d v e r b e s s e r t e A u f l a g e . 144 S e i t e n , 5 F i g u r e n sowie T a b e l l e n u n d N o t e n b e i s p i e l e . 1954. ( 5 7 6 / 5 7 6 a ) Die Kunst des Dirigierens v o n H. W. von Wülfershausen f . 2., v e r m e h r t e A u f l a g e . 138 S e i t e n . Mit 19 N o t e n b e i s p i e l e n . 1954. (1147) Die Technik des Klavierspiels a u s d e m Geiste des m u s i k a l i s c h e n K u n s t w e r k e s v o n K. Schubert f . 3. A u f l a g e . 110 S e i t e n . M i t N o t e n b e i spielen. 1954.(1045)

Kunst Stilkunde v o n H. Weigert. 2 B ä n d e . 3., d u r c h g e s e h e n e u n d e r g ä n z t e Auflage. I : V o r z e i t , A n t i k e , M i t t e l a l t e r . 136 S e i t e n , 94 A b b i l d u n g e n . 1958. (80) I I : S p ä t m i t t e l a l t e r u n d N e u z e i t . 150 S e i t e n , 88 A b b i l d u n g e n . 1958. (781) Archäologie v o n A. Rumpf. 3 Bände. I : E i n l e i t u n g , h i s t o r i s c h e r Ü b e r b l i c k . 143 S e i t e n , 6 Abb i l d u n g e n , 12 T a f e l n . 1953. (538) I I : D i e A r c h ä o l o g e n s p r a c h e . Die a n t i k e n R e p r o d u k t i o n e n . 136 S e i t e n , 7 A b b i l d u n g e n , 12 T a f e l n . 1956. (539) I I I : I n V o r b e r e i t u n g . (540)

Geschichte E i n f ü h r u n g In die Geschichtswissenschaft v o n P. Kirn. A u f l a g e . 127 S e i t e n . 1963. (270)

4., d u r c h g e s e h e n e 5

GEISTESWTSSENSCHAFTEN Einführung in die Zeitgeschichte von Β. Scheurig. 101 Seiten. 1962. (1204) Zeitrechnung der römischen Kaiserzeit, des Mittelalters und der Neuzeit für die Jahre 1—2000 n. Chr. von H. Lietzmann f . 3. Auflage, durchgesehen von K. Aland. 130 Seiten. 1956. (1085) Kultur der Urzeit von F. Behn. 3 Bände. 4. Auflage der K u l t u r der Urzeit Bd. 1—3 von M. Hoernes. I : D i e v o r m e t a l l i s c h e n K u l t u r e n . (Die Steinzeiten Europas. Gleichartige K u l t u r e n in anderen Erdteilen.) 172 Seiten, 48 Abbildungen. 1950. (564) I I : D i e ä l t e r e n M e t a l i k u l t u r e n . (Der Beginn der Metailb e n u t z u r g , Kupfer- und Bronzezeit in Europa, im Orient und in Amerika.) 160 Seiten, 67 Abbildungen. 1950. (565) I I I : D i e j ü n g e r e n M e t a l l k u l t u r e n . (Das Eisen als K u l t u r metall, H a l l s t a t t - L a t è n e - K u l t u r in Europa. Das erste A u f t r e t e n des Eisens in den anderen Weltteilen.) 149 Seiten, 60 Abbildungen. 1950. (566) Vorgeschichte Europas von F. Behn. Völlig neue Bearbeitung der 7. Auflage der „Urgeschichte der Menschheit" von M. Hoernes. 125 Seiten, -17 Abbildungen. 1949. (42) Der Eintritt der Germanen in die Geschichte von J. Halter f . 3. Auflage, durchgesehen von H. Dannenbauer. 120 Seiten, 6 Kartenskizzen. 1957. (1117) Von den Karolingern zu den Staufern. Die altdeutsche Kaiserzeit (900—• 1250) von J. Haller f . 4., durchgesehene Auflage von H. Dannenbauer. 142 Seiten, 4 K a r t e n . 1958. (1065) Von den Staufern zu den Habsburgern. Auflösung des Reichs und E m p o r k o m m e n der L a n d e s s t a a t e n (1250—1519) von J. Haller f . 2., durchgesehene Auflage von H. Dannenbauer. 118 Seiten, 6 Kartenskizzen. 1960. (1077) Deutsche Geschichte im Zeitalter der Reformation, der Gegenreformation und des dreißigjährigen Krieges von F. Härtung. 2., durchgesehene Auflage. 128 Seiten. 1963. (1105) Deutsche Geschichte von 1648—1740. Politischer u n d geistiger Wiedera u f b a u von W. Treue. 120 Seiten. 1956. (35) Deutsche Geschichte von 1713—1806. Von der Schaffung des europäischen Gleichgewichts bis zu Napoleons H e r r s c h a f t von W. Treue. 168 Seiten. 1957. (39) Deutsche Geschichte von 1806—1890. Vom E n d e des alten bis zur Höhe des neuen Reiches von W. Treue. 128 Seiten. 1961. (893) Deutsche Geschichte von 1890 bis zur Gegenwart von W. Treue. In Vorbereitung. (894) Quellenkunde der Deutschen Geschichte Im Mittelalter (bis zur Mitte des 15. J a h r h u n d e r t s ) von K. Jacob f . 3 B ä n d e . I: E i n l e i t u n g . A l l g e m e i n e r Teil. Die Zeit der K a r o l i n g e r . 6. Auflage, b e a r b e i t e t von H. Hohenleulner. 127 Seiten. 1959. (279) I I : D i e K a i s e r z e i t (911—1250). 5. Auflage, neubearbeitet von H. Hohenleutner. 141 Seiten. 1961. (280) I I I : D a s S p ä t m i t t e l a l t e r (vom I n t e r r e g n u m bis 1500). Herausgegeben v o n F. Weden. 152 Seiten. 1952. (284)

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GEISTESWISSENSCHAFTEN Geschichte Englands von H. Preller. 2 Bände. I: b i s 1 8 1 5 . 3., stark umgearbeitete Auflage. 135 Seiten, 7 Stammtafeln, 2 Karten. 1952. (375) II: V o n 1 8 1 5 b i s 1 9 1 0 . 2., völlig umgearbeitete Auflage. 118 Seiten, 1 Stammtafel, 7 Karten. 1954. (1088) Römische Geschichte von F. AUheim. 4 Bände. 2., verbesserte Auflage. I: B i s z u r S c h l a c h t b e i P y d n a (168 v.Chr.). 124 Seiten. 1956. (19) II: B i s z u r S c h l a c h t b e i A c t i u m (31 v.Chr.). 129 Seiten. 1956. (677) III: B i s z u r S c h l a c h t a n d e r M i l v i s c h e n B r ü c k e ( 3 1 2 n . C h r . ) . 148 Seiten. 1958. (679) IV: B i s z u r S c h l a c h t a m Y a r m u k (636 n.Chr.). In Vorbereitung. (684) Geschichte der Vereinigten Staaten von Amerika von O. Graf zu StolbergWernigerode. 192 Seiten, 10 Karten. 1956. (1051/1051a)

Deutsche Sprache und Literatur Geschichte der Deutschen Sprache von H. Sperber. 4. Auflage, besorgt von W. Fleischhauer. 128 Seiten. 1963. (915) Deutsches Rechtschreibungswörterbuch von M. Gottschald f . 2., verbesserte Auflage. 219 Seiten. 1953. (200/200a) Deutsche Wortkunde. Kulturgeschichte des deutschen Wortschatzes von A. Schirmer. 4. Auflage von W. Mitzka. 123 Seiten. 1960. (929) Deutsche Sprachlehre von W. Hofstaetter. 10. Auflage. Völlige U m arbeitung der 8. Auflage. 150 Seiten. 1960. (20) Stimmkunde für Beruf, Kunst und Heilzwecke von H. Biehle. 111 Seiten. 1955. (60) Redetechnik. Einführung in die Rhetorik von H. Biehle. 2., erweiterte Auflage. 151 Seiten. 1961. (61) Sprechen und Sprachpflege (Die Kunst des Sprechens) von H. Feist. 2., verbesserte Auflage. 99 Seiten, 25 Abbildungen. 1952. (1122) Deutsches Dichten und Denken von der germanischen bis zur staufischen Zelt von H. Naumann f . (Deutsche Literaturgeschichte vom 5.—13. Jahrhundert.) 2., verbesserte Auflage. 166 Seiten. 1952. (1121) Deutsches Dichten und Denken vom Mittelalter zur Neuzelt von G. Müller (1270 bis 1700). 3., durchgesehene Auflage. 159 Seiten. In Vorbereitung. (1086) Deutsches Dichten und Denken von der Aufklärung bis zum Realismus (Deutsche Literaturgeschichte von 1700—1890) von K. Viëtor f . 3., durchgesehene Auflage. 159 Seiten. 1958. (1096) Deutsche Heldensage von H. Schneider. 2. Auflage, bearbeitet von i?. Wisniewski. 148 Seiten. 1964. (32) Der Nibelunge Nôt in Auswahl mit kurzem W ö r t e r b u c h von K. Langosch. 10., durchgesehene Auflage. 164 Seiten. 1956. (1) Kudrun und Dletrlch-Epen in Auswahl mit W ö r t e r b u c h von O. L. Jiriczek. 6. Auflage, bearbeitet von R. Wisniewski. 173 Seiten. 1957. (10) Wolfram von Eschenbach. Parzlval. Eine Auswahl mit A n m e r k u n g e n und W ö r t e r b u c h von H. Jantzen. 2. Auflage, bearbeitet von H. Kolb. 128 Seiten. 1957. (921)

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GEISTESWISSENSCHAFTEN Hartmann von Aue. Der arme Heinrich nebst einer Auswahl aus der „ K l a g e " , dem „Gregorius" und den Liedern (mit einem W ö r t e r verzeichnis) herausgegeben von F. Maurer. 96 Seiten. 1958. (18) Gottfried von Strassburg in Auswahl herausgegeben von F. Maurer. 142 Seiten. 1959. (22) Die deutschen Personennamen von M. Gottschald f . 2., verbesserte Auflage. 151 Seiten. 1955. (422) Althochdeutsches Elementarbuch. G r a m m a t i k und T e x t e von H. Naumann t und W. Betz. 3., verbesserte und v e r m e h r t e Auflage. 183 Seiten. 1962. ( l l l l / l l l l a ) Mittelhochdeutsche Grammatik von H. de Boor und R. Wisniewski. 4., verbesserte und ergänzte Auflage. 150 Seiten. 1964. (1108)

Indogermanisch, Germanisch Indogermanische Sprachwissenschaft von H. Krähe. 2 Bände. 4., übera r b e i t e t e Auflage. I : E i n l e i t u n g u n d L a u t l e h r e . 110 Seiten. 1962. (59) I I : F o r m e n l e h r e . 100 Seiten. 1963. (64) Gotisches E l e m e n t a r b u c h . G r a m m a t i k , T e x t e mit Übersetzung u n d E r l ä u t e r u n g e n von H. Hempel. 3., u m g e a r b e i t e t e Auflage. 166 Seit e n . 1962. (79/79 a) Germanische Sprachwissenschaft von H. Krähe. 2 Bände. I : E i n l e i t u n g u n d L a u t l e h r e . 5., ü b e r a r b e i t e t e Auflage. 149 Seiten. 1963. (238) I I : F o r m e n l e h r e . 5., verbesserte Auflage. 149 Seiten. 1964. (780) Altnordisches Elementarbuch. Schrift, Sprache, T e x t e mit Übersetzung und W ö r t e r b u c h von F. Ranke. 2., durchgesehene Auflage. 146 Seiten. 1949. (1115)

Englisch, Romanisch Altenglisches Elementarbuch. E i n f ü h r u n g , G r a m m a t i k , T e x t e mit Übers e t z u n g und W ö r t e r b u c h von M. Lehnert. 5., verbesserte Auflage. 178 Seiten. 1962. (1125) Historische neuenglische Laut- und Formenlehre von E. Ekwall. 3., d u r c h g e s e h e n e Auflage. 150 Seiten. 1956. (735) Englische Phonetik von H. Mutschmann f . 2. Auflage, bearbeitet von G. Scherer. 127 Seiten. 1963. (601) Englische Literaturgeschichte von F. Schubel. 4 Bände. I : D i e a l t - u n d m i t t e l e n g l i s c h e P e r i o d e . 163 Seiten. 1954. (1114) I I : V o n d e r R e n a i s s a n c e b i s z u r A u f k l ä r u n g . 160 Seiten. 1956. (1116) I I I : R o m a n t i k u n d V i k t o r i a n i s m u s . 160 Seiten. 1960.(1124) Beowulf von M. Lehnert. Eine Auswahl mit Einführung, teilweiser Übersetzung, Anmerkungen und etymologischem W ö r t e r b u c h . 3., v e r b e s s e r t e Auflage. 135 Seiten. 1959. (1135) Shakespeare von P. Meißner f . 2. Auflage, neubearbeitet von M. Lehnert. 136 Seiten. 1954. (1142)

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GEISTESWISSENSCHAFTEN Romanische Sprachwissenschaft von H. Lausberg. 4 Bände. I : E i n l e i t u n g u n d V o k a l i s m u s . 2., durchgesehene Auflage. 211 Seiten. 1963. (128/128a) I I : K o n s o n a n t i s m u s . 95 Seiten. 1956. (250) I I I : F o r m e n l e h r e . 1. Teil. 99 Seiten. 1962. (1199) I I I : F o r m e n l e h r e . 2. Teil. S. 99—260. 1962. (12Ó0/1200a) . I V : W o r t l e h r e . In Vorbereitung. (1208)

Griechisch, Lateinisch Griechische Sprachwissenschaft von W. Brandenstein. 3 Bände. I : E i n l e i t u n g , L a u t s y s t e m , E t y m o l o g i e . 160 Seiten. 1954. (117) I I : W o r t b i l d u n g u n d F o r m e n l e h r e . 192 Seiten. 1959. (118/ 118a) I I I : S y n t a x . In Vorbereitung. (924) Geschichte der griechischen Sprache. 2 Bände. I : B i s z u m A u s g a n g d e r k l a s s i s c h e n Z e i t von O. Hoffmann f . 3. Auflage, bearbeitet von A. Debrunner f . 156 Seiten. 1953. (111) II: G r u n d f r a g e n und G r u n d z ü g e des nachklassischen G r i e c h i s c h von A. Debrunner f . 144 Seiten. 1954. (114) Geschichte der griechischen Literatur von W. Nestle. 2 Bände. 3. Auflage, b e a r b e i t e t von W. Liebich. I : 144 Seiten. 1961.(70) I I : 149 Seiten. 1963. (557) Grammatik der neugriechischen Volkssprache von J. Katitsunakis. 3., wesentlich erweiterte und verbesserte Auflage. 196 Seiten. 1963. (756/756 a) Neugriechisch-deutsches.Gesprächsbuch von J. Kalitsunakis. 2. Auflage, b e a r b e i t e t von A. Steinmetz. 99 Seiten. 1960. (587) Geschichte der lateinischen Sprache von F. Stolz. 4. Auflage von A. Debrunner f . In Vorbereitung. (492) Geschichte der römischen Literatur von L. Bieler. 2 Bände. I : D i e L i t e r a t u r d e r R e p u b l i k . 160 Seiten. 1961. (52) I I : D i e L i t e r a t u r d e r K a i s e r z e i t . 133 Seiten. 1961. (866)

Hebräisch, Sanskrit, Russisch Hebräische Grammatik von G. Beer f . 2 Bände. Völlig neubearbeitet von R. Meyer. I : S c h r i f t - , L a u t - u n d F o r m e n l e h r e I. 3. Auflage. E t w a 224 Seiten. In Vorbereitung. (763/763a) I I : F o r m e n l e h r e II. S y n t a x und Flexionstabellen. 2. Auflage. 195 Seiten. 1955. (764/764a) Hebräisches Textbuch zu G. Beer-R. Meyer, Hebräische G r a m m a t i k von R. Meyer. 170 Seiten. 1960. (769/769 a) Sanskrit-Grammatik von M. Mayrhofer. 89 Seiten. 1953. (11~>8) Russische Grammatik von E. Berncker f . 6., verbesserte Auflage von M. Vasmer t. 155 Seiten. 1961. (66) Slavische Sprachwissenschaft von H. Bräuer. 2 Bände. I : E i n l e i t u n g , L a u t l e h r e . 221 Seiten. 1961. (1191/1191a) 9

GEISTESWISSENSCHAFTEN

Erd- und Länderkunde, Kartographie Afrika von F. Jaeger. Ein geographischer Überblick. 2 Bände. 3. Auflage. 1: D e r L e b e n s r a u m . 179 Seiten, 18 Abbildungen. In Vorbereit u n g . (910) I I : M e n s c h u n d K u l t u r . 155 Seiten, 6 Abbildungen. In Vorbereit u n g . (911) Australien und Ozeanien von H. J. Krug. 176 Seiten, 46 Skizzen. 1953. (319) Kartographie von V. Heissler. 213 Seiten, 125 Abb., 8 Anlagen. 1962. (30/30 a)

Volkswirtschaft, Statistik, Publizistik Allgemeine Betriebswirtschaftslehre von K. Mellerowicz. 4 Bände. 11., durchgesehene Auflage. I : 224 Seiten. 1961. (1008/1008a) I I : 188 Seiten. 1962. (1153/1153a) I I I : 260 Seiten. 1963. (1154/1154a) IV: 209 Seiten. 1963. (1186/1186a) Buchhaltung und Bilanz von E. Kosiol. 170 Seiten. 1964. (1213/1213a) Geschichte der Volkswirtschaftslehre von S. WenOt. 182 Seiten. 1961(1194) Allgemeine Volkswirtschaftslehre von A. Paulsen. 4 Bände. I : G r u n d l e g u n g , W i r t s c h a f t s k r e i s l a u f . 5., n e u b e a r b e i t e t e Auflage. 154 Seiten. 1964. (1169) I I : H a u s h a l t e , U n t e r n e h m u n g e n , M a r k t f o r m e n . 5., neub e a r b e i t e t e Auflage. 172 Seiten, 31 Abbildungen. 1964. (1170) I I I : P r o d u k t i o n s f a k t o r e n . 3., neubearbeitete u n d ergänzte Auflage. 198 Seiten. 1963. (1171) IV: G e s a m t b e s c h ä f t i g u n g , Konjunkturen. Wachstum. 3. Auflage. 174 Seiten. 1964.(1172) Allgemeine Volkswirtschaftspolitik von H. Ohm. 2 Bände. I : S y s t e m a t i s c h - T h e o r e t i s c h e G r u n d l e g u n g . 137 Seiten, 6 Abbildungen. 1962. (1195) II: D e r volkswirtschaftliche Gesamtorganismus als O b j e k t d e r W i r t s c h a f t s p o l i t i k . In Vorbereitung. (1196) Finanzwissenschaft von H. Kolms. 4 Bände. I : G r u n d l e g u n g , ö f f e n t l i c h e A u s g a b e n . 2., verbesserte Auflage. 162 Seiten. 1963. (148) II: E r w e r b s e i n k ü n f t e , G e b ü h r e n und Beiträge, Allg e m e i n e S t e u e r l e h r e . 2., verbesserte Auflage. 150 Seiten. 1964. (391) I I I : B e s o n d e r e S t e u e r l e h r e . 178 Seiten. 1962. (776) IV: Ö f f e n t l i c h e r Kredit. Haushaltswesen. Finanzausg l e i c h . 1964. I m D r u c k . (782)

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GEISTESWISSENSCHAFTEN Finanzmathematik von M. Nicolas. 192 Seiten, 11 Tafeln, 8 Tabellen u n d 72 Beispiele. 1959. (1183/1183a) Industrie- und Betriebssoziologie von R. Dahrendorf. ten, 3 Figuren. 1965. (103) Wirtschaftssoziologie von F. Fürstenberg.

3. Auflage. 142 Sei-

122 Seiten. 1961. (1193)

Psychologie des Berufs- und Wirtschaftslebens von W. Moede f . 190 Seiten, 48 Abbildungen. 1958. (851/851 a) Einführung In die Arbeitswissenschaft von H.H. A b b i l d u n g e n . 1964. (1212/1212a)

Hilf.

169 Seiten, 57

Allgemeine Methodenlehre der Statistik von J. Pfanzagl. 2 Bände. 2., n e u b e a r b e i t e t e Auflage. I: E l e m e n t a r e M e t h o d e n u n t e r b e s o n d e r e r Berücks i c h t i g u n g d e r A n w e n d u n g e n in d e n W i r t s c h a f t su n d S o z i a l w i s s e n s c h a f t e n . 251 Seiten, 42 Abbildungen. 1964. (746/746 a) II: H ö h e r e M e t h o d e n u n t e r b e s o n d e r e r B e r ü c k s i c h t i g u n g d e r A n w e n d u n g e n in N a t u r w i s s e n s c h a f t , M e d i z i n u n d T e c h n i k . 295 Seiten, 39 Abbildungen. 1965. I m Druck. (747/747a) Zeitungslehre von E. Dovifat. 2 Bände. 4., neubearbeitete Auflage. I: T h e o r e t i s c h e u n d r e c h t l i c h e G r u n d l a g e n — N a c h r i c h t u n d M e i n u n g — S p r a c h e u n d F o r m . 149 Seiten. 1962. (1039) II: R e d a k t i o n — D i e S p a r t e n : V e r l a g u n d Vertrieb, W i r t s c h a f t und T e c h n i k - Sicherung der öffentlichen A u f g a b e . 168 Seiten. 1962. (1040)

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Naturwissenschaften Mathematik Geschichte der Mathematik von J. E. Hofmann. 4 Bände. I: Von d e n A n f ä n g e n b i s z u m A u f t r e t e n v o n F e r m â t u n d D e s c a r t e s . 2., verbesserte u n d v e r m e h r t e Auflage. 251 Seiten. 1963. (226/226 a) II: Von F e r m â t u n d D e s c a r t e s bis zur E r f i n d u n g des C a l c u l u s und bis zum A u s b a u der neuen M e t h o d e n . 109 Seiten. 1957. (875) III: Von den A u s e i n a n d e r s e t z u n g e n um den Calculus b i s z u r f r a n z ö s i s c h e n R e v o l u t i o n . 107 Seiten. 1957. (882) IV: G e s c h i c h t e d e r M a t h e m a t i k d e r n e u e s t e n Z e i t von N. Stuloff. In Vorbereitung. (883) Mathematische Formelsammlung von F. O. Ringleb. 7., erweiterte Auflage. 320 Seiten, 40 Figuren. 1960. (51/51 a) Vierstellige Tafeln und Gegentafeln für logarithmisches und trigonometrisches Rechnen in zwei Farben zusammengestellt von H. Schubert und R. Haussner. 3., neubearbeitete Auflage von J. Erlebacli. 158 Seiten. 1960. (81) Fünfstellige Logarithmen mit mehreren graphischen Rechentafeln und häufig v o r k o m m e n d e n Zahlenwerten von A. Adler. 4. Auflage, ü b e r a r b e i t e t von J. Erlebach. 127 Seiten, 1 Tafel. 1962. (423) Arithmetik von P. B. Fischer f . 3. Auflage von H. Rohrbach. 152 Seiten, 19 Abbildungen. 1958. (47) Höhere Algebra von H. Hasse. 2 Bände. I: L i n e a r e G l e i c h u n g e n . 5., n e u b e a r b e i t e t e Auflage. 150 Seiten. 1963. (931) I I : G l e i c h u n g e n h ö h e r e n G r a d e s . 4., durchgesehene Auflage. 158 Seiten, 5 Figuren. 1958. (932) Aufgabensammlung zur höheren Algebra von H. Hasse u n d W. Klobe. 3., verbesserte Auflage. 183 Seiten. 1961. (1082) Elementare und klassische Algebra vom modernen Standpunkt von W. Krull. 2 Bände. I: 3., erweiterte Auflage. 148 Seiten. 1963. (930) I I : 132 Seiten. 1959. (933) Lineare Programmierung von H. Langen. E t w a 200 Seiten. 1964. (1206/1206 a) Algebraische Kurven una Flächen von W. Burau. 2 Bände. I: A l g e b r a i s c h e K u r v e n d e r E b e n e . 153 Seiten, 28 Abbild u n g e n . 1962. (435) I I : A l g e b r a i s c h e F l ä c h e n 3. G r a d e s und R a u m k u r v e n 3. und 4. Grades. 162 Seiten, 17 Abbildungen. 1962. (436/436a) E i n f ü h r u n g in die Zahlentheorie von A. Scholz f . Ü b e r a r b e i t e t und herausgegeben von B. Schoeneberg. 3. Auflage. 128 Seiten. 1961. (1131) Formale Logik von P. Lorenzen. 2., verbesserte Auflage. 165 Seiten. 1962. (1176/1176a) 12

NATURWISSENSCHAFTEN Topologie von W. Franz. 2 Bände. 1: A l l g e m e i n e T o p o l o g i e . 144 Seiten, 9 Figuren. 1960. (1181) I I : A l g e b r a i s c h e T o p o l o g i e . 130 Seiten. 1964. (1182/1182a) Elemente der Funktionentheorie von K. Knopp f . 6. Auflage. 144 Seiten, 23 Figuren. 1963. (1109) Funktionentheorie von K. Knopp f . 2 Bände. 11. Auflage. I: G r u n d l a g e n d e r a l l g e m e i n e n T h e o r i e d e r a n a l y t i s c h e n F u n k t i o n e n . 144 Seiten, 8 Figuren. 1964. (668) II: A n w e n d u n g e n u n d W e i t e r f ü h r u n g d e r a l l g e m e i n e n T h e o r i e . 130 Seiten, 7 Figuren. 1964. (703) Aufgabensammlung zur Funktionentheorie von K. Knopp f . 2 Bände. 6. Auflage. I: A u f g a b e n z u r e l e m e n t a r e n F u n k t i o n e n t h e o r i e . 135 Seiten. 1962. (877) I I : A u f g a b e n z u r h ö h e r e n F u n k t i o n e n t h e o r i e . 151 Seiten. 1964. (878) Differential- und Integralrechnung von M. Barner. (Früher Witting). 4 Bände. I: G r e n z w e r t b e g r i f f , D i f f e r e n t i a l r e c h n u n g . 2., durchgesehene Auflage. 176 Seiten, 39 Figuren. 1963. (86) Gewöhnliche Differentialgleichungen von G. Hoheisel. 7., neubearbeitete und erweiterte Auflage. 128 Seiten. 1964. Im Druck. (920) Partielle Differentialgleichungen von G. Hoheisel. 4., durchgesehene Auflage. 128 Seiten. 1960. (1003) Aufgabensammlung zu den gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen von G. Hoheisel. 4., neubearbeitete Auflage. 153 Seiten. 1964. (1059,1059a) Integralgleichungen von G. Hoheisel. 2., neubearbeitete und erweiterte Auflage. 112 Seiten. 1963. (1099) Mengenlehre von E. Kamke. 5. Auflage. 194 Seiten, 6 Figuren. 1965. (999/999 a) Gruppentheorie von L. Baumgartner. 4., erweiterte Auflage. 186 Seiten, 3 Tafeln. 1964. (837/837a) Ebene und sphärische Trigonometrie von G. Hessenberg f . 5. Auflage, durchgesehen von H. Kneser. 172 Seiten, 60 Figuren. 1957. (99) Darstellende Geometrie von W. Haack. 3 Bände. I: D i e w i c h t i g s t e n D a r s t e l l u n g s m e t h o d e n . G r u n d - u n d A u f r i ß e b e n f l ä c h i g e r K ö r p e r . 4., durchgesehene und ergänzte Auflage. 113 Seiten, 120 Abbildungen. 1963. (142) II: K ö r p e r m i t k r u m m e n B e g r e n z u n g s f l ä c h e n . K o t i e r t e P r o j e k t i o n e n . 3., durchgesehene Auflage. 129 Seiten, 86 Abbildungen. 1962. (143) III: A x o n o m e t r i e und P e r s p e k t i v e . 2., durchgesehene und ergänzte Auflage. 129 Seiten, 100 Abbildungen. 1962. (144) Analytische Geometrie von K. P. Grotemeyer. 3. Auflage. 218 Seiten, 73 Abbildungen. 1964. (65/65 a) Nichteuklidische Geometrie. Hyperbolische Geometrie der Ebene von R. Baldus f . Bearbeitet und ergänzt von F. Löbell. 4. Auflage. 158 Seiten, 75 Figuren. 1964. (970,970a) Differentialgeometrie von K. Strubecker. 3 Bände. I: K u r v e n t h e o r i e d e r E b e n e u n d d e s R a u m e s . 2., erweiterte Auflage. 253 Seiten, 45 Figuren. 1964. (1113/1113a) 13

NATURWISSENSCHAFTEN I I : T h e o r i e d e r F l ä c h e n m e t r l k . 195 Seiten, 14 Figuren. 1958. (1179/1179a) I I I : T h e o r i e d e r F l ä c h e n k r ü m m u n g . 254 Seiten, 38 Figuren. 1959. (1180/1180a) Variationsrechnung von L. Koschmieder. 2 Bände. 2., neubearbeitete Auflage. I : D a s f r e i e und g e b u n d e n e E x t r e m e i n f a c h e r G r u n d i n t e g r a l e . 128 Seiten, 23 Figuren. 1962. (1074) I I : Anwendung k l a s s i s c h e r V e r f a h r e n auf allgemeine F r a g e n des E x t r e m s . — Neuere unmittelbare V e r f a h r e n . In Vorbereitung. (1075) Einführung In die konforme Abbildung von L. Bieberbach. 5., erweiterte Auflage. 180 Seiten, 42 Figuren. 1956. (768/768a) Vektoren und Matrizen von S. Valentiner. 3. Auflage. (10., erweiterte Auflage der „Vektoranalysis"). Mit Anhang: Aufgaben zur Vektorrechnung von H. König. 206 Seiten, 35 Figuren. 1963. (354/354a) Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzüge der MaOtheorle von H. Bauer. 2 Bände. I : 151 Seiten. 1964. (1216/1216a) I I : In Vorbereitung. (1217) Versicherungsmathematik von F. Böhm. 2 Bände. I : E l e m e n t e der V e r s i c h e r u n g s r e c h n u n g . 3., vermehrt und verbesserte Auflage. Durchgesehener Neudruck. 151 Seiten 1953. (180) II: Lebensversicherungsmathematik. Einführung in die technischen Grundlagen der Sozialversicherung. 2., verbesserte und vermehrte Auflage. 205 Seiten. 1953. (917/917a) Finanzmathematik von M. Nicolas. 192 Seiten, 11 Tafeln, 8 Tabellen und 72 Beispiele. 1959. (1183/1183a) Kinematik von H. R. Müller. 171 Seiten, 75 Figuren. 1963. (584/584 a)

Physik Einführung In die theoretische Physik von W. Döring. 5 Bände. I : M e c h a n i k . 3., verbesserte Auflage. 123 Seiten, 25 Abbildungen. 1964. Im Druck. (76) I I : D a s e l e k t r o m a g n e t i s c h e F e l d . 2., verbesserte Auflage. 132 Seiten, 15 Abbildungen. 1962. (77) I I I : O p t i k . 2., verbesserte Auflage. 117 Seiten, 32 Abbildungen. 1963. (78) I V : T h e r m o d y n a m i k . 2., verbesserte Auflage. 107 Seiten, 9 Abbildungen. 1964. (374) V : S t a t i s t i s c h e M e c h a n i k . 114 Seiten, 12 Abbildungen. 1957. (1017) Mechanik deformierbarer Körper von M. Päsler. 199 Seiten, 48 Abbildungen. 1960. (1189/1189a) Atomphysik von K. Bechert, Ch. Gerthsen f und A. Flammersfeld. 7 Bände. 4., durchgesehene Auflage. I : A l l g e m e i n e G r u n d l a g e n . 1. Teil von A. Flammersfeld. 124 Seiten, 35 Abbildungen. 1959. (1009) I I : A l l g e m e i n e O r u n d l a g e n . 2. Teil von A.Flammersfeld. 112 Seiten, 47 Abbildungen. 1963. (1033)

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NATURWISSENSCHAFTEN I I I : T h e o r i e d e s A t o m b a u s . 1. Teil von K. Bechert. 148 Seiten, 16 Abbildungen. 1963. (1123/1123a) IV: T h e o r i e d e s A t o m b a u s . 2. Teil von K. Bechert. 170 Seiten, 14 Abbildungen. 1963. (1165/1165 a) Differentialgleichungen der Physik von F. Sauter. 3., durchgesehene und ergänzte Auflage. 148 Seiten, 16 Figuren. 1958. (1070) Physikalische Formelsammlung von G. Mahlert. Fortgeführt von K. Mahler. Neubearbeitet von H. Oraewe. 11. Auflage. 167 Seiten, 69 Figuren. 1963. (136) Physikalische Aufgabensammlung mit Ergebnissen von G. Mahler f . Fortgeführt von K. Mahler, Neubearbeitet von H.Graewe. 12. Auflage. 141 Seiten. 1964. (243)

Chemie Oeschlchte der Chemie in kurzgefaßter Darstellung von G. Lockemann. 2 Bände. 1: Vom A l t e r t u m b i s z u r E n t d e c k u n g d e s S a u e r s t o f f s . 2. Auflage. 142 Seiten, 8 Bildnisse. In Vorbereitung. (264) II: V o n d e r E n t d e c k u n g d e s S a u e r s t o f f s b i s z u r G e g e n w a r t . 151 Seiten, 16 Bildnisse. 1955. (265/265a) Anorganische Chemie von W. Klemm. 13. Auflage. 255 Seiten, 34 Abbildungen. 1964. (37/37 a) Organische Chemie von W. Schlenk. 9.. erweiterte Auflage. 273 Seiten, 16 Abbildungen. 1963. (38/38 a) Physikalische Methoden in der Organischen Chemie von G. Kresze. 2 Bände. I: 119 Seiten, 65 Abbildungen. 1962. (44) II: 164 Seiten. 1962. (45/45a) Allgemeine und physikalische Chemie von W. Schulze. 2 Bände. I: 5., durchgesehene Auflage. 139 Seiten, 10 Figuren. 1960. (71) I I : 5., verbesserte Auflage. 178 Seiten, 37 Figuren. 1961. (698/698a) Einfache Versuche zur allgemeinen und physikalischen Chemie von E. Dehn. 371 Versuche mit 40 Abbildungen. 272 Seiten. 1962. ( 1201 /1201 a) Molekülbau. Theoretische Grundlagen und Methoden der Strukturermittlung von W. Schulze. 123 Seiten, 43 Figuren. 1958. (786) Physikalisch-chemische Rechenaufgaben von E. Asmus. 3-, verbesserte Auflage. 96 Seiten. 1958. (445) Maßanalyse. Theorie und Praxis der klassischen und der elektrochemischen Titrierverfahren von G. Jander und K. F. Jahr. 10., erweiterte Auflage, mitbearbeitet von H. Knoll. 358 Seiten, 56 Figuren. 1963. (221/22la) Qualitative Analyse von H. Hofmann u. G. Jander. 2., durchgesehene und verbesserte Auflage. 308 Seiten, 5 Abbildungen. 1963. (247/247 a) Thermochemie von W. A. Roth f . 2., verbesserte Auflage. 109 Seiten, 16 Figuren. 1952. (1057)

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NATURWISSENSCHAFTEN Stöchlometrlsche Aufgabensammlung von W. Bahrit f und R. Scheer. Mit den Ergebnissen. 8., durchgesehene Auflage. 119 Seiten. 1964. (452) Elektrochemie von K. Vetter. 2 Bände. I: In Vorbereitung. (252) I I : In Vorbereitung. (253)

Technologie Die Chemie der Kunststoffe von K. Hamann, unter Mitarbeit von IV. Funke und H.D. Hermann. 143 Seiten. 1960. (1173) Warenkunde von K. Hassak und E. Beutel f . 2 Bände. I: A n o r g a n i s c h e W a r e n s o w i e K o h l e u n d E r d ö l . 8. Auflage. Neubearbeitet von A Kutzelnigg. 119 Seiten, 18 Figuren. 1958. (222) I I : O r g a n i s c h e W a r e n . 8. Auflage. Vollständig neubearbeitet von A. Kutzelnigg. 157 Seiten, 32 Figuren. 1959. (223) Die Fette und öle von Th. Klug. 6., verbesserte Auflage. 143 Seiten. 1961. (335) Die Seifenfabrikation von K. Braun f . 3., neubearbeitete und verbesserte Auflage von Th. Klug. 116 Seiten, 18 Abbildungen. 1953. (336) Thermische Verfahrenstechnik von H. Bock. 3 Bände. I: E i g e n s c h a f t e n u n d V e r h a l t e n d e r r e a l e n S t o f f e . 164 Seiten, 28 Abbildungen. 1963. (1209/1209a) II: F u n k t i o n u n d B e r e c h n u n g d e r e l e m e n t a r e n G e r ä t e . 195 Seiten, 54 Abbildungen. 1964. (1210/1210a) III: FHeßbilder, ihre F u n k t i o n und ihr Z u s a m m e n b a u aus G e r ä t e n . Im Druck.