Elliptische Funktionen, Teil 1: Theorie der elliptischen Funktionen aus analytischen Ausdrücken entwickelt [Reprint 2019 ed.] 9783111562872, 9783111191720

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S a m m l u n g

Schubert

X X X

Elliptische Funktionen von

Dr. Karl Boehm Professor an der Universität Heidelberg

Erster Teil

Theorie der elliptischen Funktionen aas analytischen Ausdrücken entwickelt

Mit 11 Figuren im Text Neudruck

W a l t e r d e G r u y t e r 1, l">l, um den absoluten Betrag der Differenz St'i- — Str unter eine beliebig vorgeschriebene Größe e' herabzudrücken, indem man e und 1

fÜr

~ 2 ' n

T < 1

n=r+1

'

•

Für jedes n > 1 gilt die Reihenentwickelung

1

n'

2n 2

n

n* \ 2

1 + >-'• v ' hn h

3 ns 3w

' hn»" 2 ^

'

/

also, wenn die Klammergröße mit a^ bezeichnet wird, (42) ' (43)

l

0 g

( ^ ± l ) = I - 4 ; \ n j n n 2

, ^ < 1 + 1 + ... + ^

+

. . . - - ^ ,

ebenso ergibt sich

worin eine Größe bezeichnet, deren Modul die Ungleichung erfüllt , , » +2 1 w 45 «1 < — — < -r1 n

n — 1

Durch Fortsetzung des Verfahrens gelangen wir zu dem Resultat:

(46)

H n + p — i1

F( n>

V) f

10

Kapitel I.

Einfache und zweifache Summen und Produkte.

w2

(W +

1

(n + 1) n 1 (48) | £ ( » , p ) | < » — 1 in2 Da die Beihe —

(49)

1 +

- (d'*- + d"*) (2 hn -

1)

Fig. 1.

sein muß, woraus nachstehende Ungleichungen folgen: (77) (78)

2 « d' +
|d|2[tf+ ( Ä - Ä 0 ) * ] ,

wenn

(81)

U

=

< + % ? __ \u\, 0

u"
ft M - ( ' - « T F i T f f ) ( ' - m

)

•-

• (' -

är)

gesetzt wird. Was nun zunächst den ersten Bestandteil Pi(u) betrifft, so geht dieser für l = oo, nach der in Nr. 3 gegebenen Definition, in ein absolut konvergentes Produkt über, da die Eeihen n = co (8)

n=l

n=l

1

1

konvergieren; wir setzen daher (9)

lim[ Pl ( M )] = o(u) = u f j (l -

und richten unser Augenmerk auf den anderen Faktor p2 (u). In dieser Absicht stützen wir uns auf eine Identität, welche sich mit Benutzung der Exponentialreihe gewinnen läßt, und für jedes positive ganzzahlige m gilt: (10)

V 2/ m 2II 2 r wären wir durch die entsprechenden Schlüsse zu demselben Resultate gelangt. Demnach haben wir stets (16)

lim [P+ r (u)l = o(m) • lim l.rt,r=o

Nr. 19. Definition der Punktion o(u).

49

und es ist damit unser Satz auch in seiner zweiten Aussage bewiesen*). Setzen wir, wie in Nr. 11, (35) und (36), fest, daß lim ( - ) = 1 sein soll, so konvergiert das Proi,r = o o \ f 7

dukt (4) selbst gegen die Funktion o(u), welche in Formel (9) durch ein für jedes endliche u gleichmäßig konvergierendes einstrahliges Produkt dargestellt erscheint. Wie wir uns in Nr. 11 bei der Definition der Funktion £t(u) von der Bestimmung über die Art der Summenbildung frei machen konnten, indem wir von der Definition (38) zu (38 a) übergingen, d. h. von jedem Gliede der Summe (27) ein konstantes Glied subtrahierten, so können wir auch hier die Festsetzung über den Grenzwert des Verhältnisses l: r überflüssig machen, indem wir jeden Faktor des Produktes (4) mit einer gewissen Größe multiplizieren. Bildet man nämlich statt (4) das Produkt (17)

=

n= —l 60 erhält man statt (5) die Gleichung (18) G±» r («)-Pi(«) •«.(«), worin px(w) dieselbe Bedeutung hat wie in (6), während 1

^ H l

(19)i

{

(

'

zu setzen ist.

-

o

t

I

- ™ ] ^ " ) ^

'

"

«

1

-

^

}

Aus (11) folgt dann

OT=i+1 X ' *) Wenn der reelle Bestandteil des Quotienten ~ negativ ist, konvergiert die Größe (15), und damit das Produkt (4), unter der Annahme r . lim £ = 0 J,r = ooL t i gegen den Grenzwert Null. Diese Möglichkeit aber hat für uns kein Interesse. B o e h m , Elliptische Funktionen I.

4

50

Kapitel III.

Gewisse zweistrahlige Produkte.

dieses Produkt kommt, wie wir vorhin gesehen haben, für hinreichend großes l und jedes r > l dem Werte 1 beliebig nahe, und wir haben also, ohne eine Beziehung zwischen r und 1 festzusetzen, (21)

lim [Q+'(t»)] = Um &>,(«)] =

r, Z=oo

1 = oo

o(u).

Sofern wir nur festhalten, daß die in geschweifte Klammern eingeschlossenen Faktoren bei der Produktbildung nicht auseinander gerissen werden dürfen, ist das unendliche Produkt

n= — oo

'

'

absolut und unabhängig von der Art der Produktbildung konvergent*); während die Grenzwerte des Produktes (3), auch wenn sie existieren, sich durch verschiedene Faktoren voneinander unterscheiden, je nach der Art, in welcher die Produktbildung ausgeführt wurde. Wir haben also in (22) eine zweite Darstellung der Funktion px(«) und können setzen: (9a)

lim[ Pl («)] = o(u) = u f j

{(l - ¿ j

• «» " } .

— OO

Dieser Übergang von (9) zu (9 a) ist wiederum nur ein besonderer Fall eines umfassenden Theorems, welches von Weierstraß **) aufgestellt worden ist. Zusammenhang der Funktion o(u) mit den im vorhergehenden Kapitel definierten Funktionen.

20. In der vorhergehenden Nummer haben wir die Funktion o(u) direkt durch ihre Produktdarstellung definiert. Wir hätten auch, von der Funktion f,(w) ausgehend, durch Integration zu der Funktion o(u) gelangen können; *) A n m e r k u n g . Die absolute Konvergenz des Produktes(22) kann man auch direkt nachweisen, indem man die Faktoren —

j

auf

Form 1 -f- v„ bringt.

**) Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen. Weierstraß, Mathematische Werke, Berlin 1895. Bd. 2.

Nr. 20. Zusammenhang zwischen O(M) und '£,(«).

51

die Sätze, welche für die Integration gleichmäßig konvergenter Funktionalreihen gelten, hätten dann die für die Produkte (4) und (17) angestellten Konvergenzbetrachtungen entbehrlich gemacht. Wir wollen nun nachträglich diesen wichtigen Zusammenhang der Punktionen f,(w) und o(u) aufdecken, indem wir die Funktion £,(w) — — von der u unteren Grenze u — 0 bis zu einer variablen oberen Grenze u integrieren, auf einem Integrationswege, welcher keinen der Punkte (23) w= +r/7 (r = l , 2 , . . . ) berührt. ßehen wir von der in II, (38 a) gegebenen Form aus, so erhalten wir: °° 0 oder, indem wir unter dem Summenzeichen n durch — n ersetzen: « (25)

f ( f l W - l ) du =2^1og{(l • e^T} . •J n = —oo 0 Diese Eeihe muß für jedes u des Bereiches Su (vgl. Nr. 10 u. f.) konvergent sein, da wir sie durch Integration aus einer in 8„ gleichmäßig konvergierenden Reihe erhalten haben; machen wir nun von der Formel n=+oo / n=+oo \ (26) ^ lOgfl, - log [ I J * n ) n= -oo \n= -oo / Gebrauch, welche stets gilt, wenn die links stehende Eeihe konvergiert, so erhalten wir mit Rücksicht auf (9 a): u

4*

52

Kapitel HL

Gewisse zweistrahlige Produkte.

Wenn wir von der Darstellung II, (38 b) ausgehen und diese mit der Formel (9) des gegenwärtigen Kapitels verbinden, so ergibt sich in derselben Weise

(28)

o0

n= l

Es ist also: (29)

o(m) = m - e°

d^faM)

m

=

;

i . 2 . . . . . (Ä _ 1). (-1)»" 1 • gh(u), vgl. II, (46)

Analytischer Charakter der Funktion o(m) , Ihre Nnllstellen.

21. Aus der Darstellung (29) erkennt man, daß die Funktion o(u) in der Umgebung jedes endlichen Wertes von u regulär ist; denn die Funktion u

(32)

Z(u)=j'(si(u)-^du o

hat, wie £,(«)

, keine anderen kritischen Stellen als u die Werte (23); in der Umgebung einer solchen Stelle ist aber (33) Z{u) = log ( l + 5ß(W vll), wo — vJJ) eine nach Potenzen von u — vll schreitende reguläre Entwicklung bezeichnet, also (34)

e 2 « = (l - ^ j f ) •

= &(« -

vll)

fort-

Nr. 21—23.

Eigenschaften der Funktion o(u).

53

ebenfalls eine nach Potenzen von u — vli fortschreitende konvergente Potenzreihe*). Daraus folgt: Die Funktion o(u) hat in der ganzen unendlichen Ebene den Charakter einer ganzen Funktion, sie ist unbeschränkt holomorph. Die durch (34) gegebene Entwickelung beginnt mit der ersten Potenz von u — vil ; Z(u) hat keine anderen Unendlichkeitsstellen, folglich keine anderen Nullsteilen als die Werte (23). Demnach können wir, auf Grund der Formel (29), das Ergebnis feststellen: Die Funktion o(u) hat für die Werte (35) « = 0, u = +vU (»=1,2,...) einfache Nullstellen, und sie hat keine anderen Nullstellen. Für u = 0 ist (36)

u Die Funktion o(m) ist eine ungerade Funktion.

22. Die Funktion o(u) ist eine ungerade Funktion, d. h. (37) o(-M) = — o(«) . Dies ergibt sich unmittelbar aus einer der Darstellungen (9) oder (9 a), sowie auch durch Integration aus (30), wenn zur Bestimmung der Integrationskonstanten die in (36) niedergelegte Tatsache benutzt wird. Periodizität.

23. Die Funktion o(u) geht bei Vermehrung des Argumentes um die Größe +TI in —o(u) über: (38) o(« ± n) = —o(u) . *) Nach dem in der Fußnote zu S. 37 abgeleiteten Resultate haben wir zu setzen

V

iu

2/7*

0(m) = u • e n* = U

u3

in» •

—I - -i m ^ 2

n*

u —

54

Kapitel III.

Gewisse zweistrahlige Produkte.

Diese Eigenschaft können wir ebenfalls unmittelbar aus der Produktdarstellung (da) entnehmen; wir können aber auch von der Formel (30) ausgehen und zunächst schließen:

(40)

o(u±H)

=

k-o(u);

zur Bestimmung der Konstanten k setzen wir u — +

~ ii

und benutzen die Identität (37); es ergibt sich k = — 1 , w. z. b. w. Durch wiederholte Anwendung von (38) findet man: Die Funktion o(u) ist periodisch mit der Periode +2/7. Homogeneltät. 24. Aus der Produktdarstellung der Funktion o(ti) oder aus ihrem Zusammenhange mit der Funktion ^(u), welche nach Nr. 15 homogen vom Grade —1 ist, entnimmt man, daß (41)

o{ku, XII) = X-o{u,

II)

sein muß, wenn X eine beliebige Konstante bedeutet. Wir sprechen dieses ßesultat so aus: Als Funktion zweier Variablen, des Argumentes u und des Parameters II, ist die Funktion o{u) oder o(u, H) homogen vom ersten Grade. Im besonderen ist also (42)

0(u,II) = ^ .

0

(£u,

ü).

Eine Darstellung der Funktion o(n — a ) .

25. Infolge der Identität

Nr. 24—26.

mm-^m

ist für jedes ft

(44)

Eigenschaften der Funktion o(u).

n=+i .

n= + £

55

)

U Ci + w/7. n=+h 1 +

n n

und daher auf Grund der Definition (9): (45)

o (u — /Va)I A MI

o(-a)

r n= +i r

^{liK^rn)}'

Eine besondere Eigenschaft.

26. Wenn die Variable u in der Weise ins Unendliche geht, daß der reelle Bestandteil der Größe u'+iu" v'+iv" = W + i II" innerhalb endlicher Grenzen variiert, während die Größe v" positive oder negative unendlich große Werte annimmt, so strebt die Funktion o(u, II) in beiden Fällen einem unendlich großen Grenzwerte zu. Wir unterlassen es, diesen Satz zu beweisen, da wir keinen Gebrauch von ihifi machen werden. Seine Richtigkeit wird sich mittelbar im nächsten Kapitel, Nr. 38 ergeben, wo der Zusammenhang der Funktion o(u) mit der Exponentialfunktion aufgedeckt werden wird. Viertes Kapitel. Grnndzüge einer allgemeinen Theorie der einfach periodischen Funktionen. Einleitung.

27. Die im zweiten und dritten Kapitel behandelten analytischen Ausdrücke umfassen die gesamte Theorie der t r i g o n o m e t r i s c h e n F u n k t i o n e n . Die wichtigste Eigenschaft der Funktionen und o(u), welche wir aus ihren Darstellungsformen ablesen konnten, war die

56

Kapitel TV. Einfach periodische Funktionen.

Periodizität. Indem wir den Begriff der Periodizität entwickeln und die Resultate mit den analytischen Ausdrücken jener Funktionen in Verbindung bringen, werden wir die volle Bedeutung des in den vorhergehenden Kapiteln niedergelegten Formelmaterials ans Licht setzen können. Erste Hälfte: Arithmetische Betrachtungen über Kongruenzen komplexer Zahlen. Definition der Kongruenz.

28. Es seien | (1)

n=n'+in"

1 6 = 6'

+i0"

zwei komplexe Größen, deren Quotient keine reelle Zahl sein soll. Da (2)

(II' + i II") (6' - i 6") 11 6 ~ 9'2 + 6"2 n'6' + n"&" 0'2 Q"2

. n'6" -

— t - Q'2

n"e' ß"2

ist, so muß notwendig die Größe (3)

A = II'O" —

II"6',

welche wir das Moment der Größen II, 9 nennen, von Null verschieden sein, damit der imaginäre Bestandteil des Quotienten

u

nicht verschwindet; umgekehrt kann

man schließen: wenn A eine nicht verschwindende positive oder negative Zahl ist, so hat der Quotient

einen nicht 6

verschwindenden negativen oder positiveD Bestandteil. Jeder komplexe Wert u = u ' + i u " läßt sich linear und homogen mit reellen Koeffizienten a, b durch zwei gegebene komplexe Größen 77,6 von nicht verschwindendem Momente ausdrücken; denn die Gleichung (4)

u =

an+b6

Nr. 28. Arithmetische Betrachtungen.

57

ist befriedigt, wenn die beiden reellen Gleichungen J w ' = a i 7 ' + 6 0' es sind; notwendige und hinreichende Bedingung für deren Auflösbarkeit ist aber, daß ihre Determinante, welche nichts anderes ist als das Moment A der Größen II, 9, von Null verschieden sei. Jede reelle Zahl läßt sich schreiben als Summe einer positiven oder negativen ganzen Zahl und einer positiven Zahl, welche kleiner als die Einheit ist; also a = l.

(* = 1 , 2 , . . . . v)

(»i) Um bei den folgenden Betrachtungen nicht fortwährend auf die mögliche Vieldeutigkeit Rücksicht nehmen zu müssen, wenden wir das in der Funktionentheorie übliche Verfahren der Zerschneidung an: Wir führen in der «-Ebene von allen Unstetigkeitspunkten aus, deren Residuen Bk< j von Null verschieden sind, Querschnitte bis in die Unendlichkeit und statuieren, daß kein Integrationsweg einen Querschnitt kreuzen dürfe. Dabei haben wir darauf zu achten, daß die Ebene zusammenhängend bleibt,

Nr. 43. Integrale einfach periodischer Funktionen.

87

d. h. daß man von jedem Werte von u zu jedem anderen gelangen bann, ohne einen Querschnitt zu überschreiten. Der Bequemlichkeit halber ziehen wir alle Querschnitte, welche durch kongruente Unstetigkeitspunkte gehen, parallel zueinander. In der zerschnittenen Ebene ist nun das Integral eine eindeutige Funktion, welche wir mit F^u) bezeichnen; nur in den Punkten der Querschnitte selbst nimmt sie zwei verschiedene Werte an, je nachdem die Variable sich diesen Punkten von dem einen oder von dem anderen „Ufer" her nähert. Es soll nun untersucht werden, wie sich diese Funktion verhält, wenn die Variable u um die Periode 77 wächst. u+n «„+n u+n (83) F,{u + II) =ff(0dC =JmdC+fmd£ ; «0 «0 «o+ // nun ist, vermöge der Periodizität von f(v), u+n u (84) fmdc^fmac^F^u)-, »o i n «o das Integral Mo+n (85) fmdC «0 aber hat, da nur Integrationswege in der zerschnittenen Ebene in Betrachtung zu ziehen sind, einen festen Wert, welchen wir mit r\ bezeichnen wollen. Es ergibt sich also für Fx{u) eine Funktionalgleichung (86)

Ft(u + 77) = J » +

v

,

aus welcher wir leicht die allgemeinere herleiten: (87)

Ft(u + m 77) = F^u) + mij ,

worin w eine beliebige positive oder negative ganze Zahl bedeutet. Um von der Funktion Fx{u) wieder zu der allgemeinen Funktion F(u) überzugehen, d. h. die Beschränkung des Integrationaweges aufzuheben, brauchen wir nur zu der rechten Seite von (86) eine lineare Funktion der Unstetig-

Kapitel IY.

88

Einfach periodische Funktionen.

keitsintegrale J t , J2, . . . , J „ mit ganzzaliligen zienten hinzuzufügen:

Koeffi-

(88)

.+myJ„.

F(u + m Il)=F(u)

+ mri+mlJ,

+ m2J2+

..

Das Ergebnis dieser Betrachtungen läßt sich in folgendem Satze zusammenfassen: Das Integral einer meromorphen einfach periodischen Funktion ist im allgemeinen eine unendlich vieldeutige Funktion von u, deren Werte für denselben Wert der Variablen um ganzzahlige Vielfache einer Reihe fester Größen J j , J2, ... unterschieden sind, und welche die Eigenschaft hat, um ein positives oder negatives ganzzahliges Vielfaches einer festen Größe »; zuzunehmen, wenn das Argument u um dasselbe ganzzahlige Vielfache der Periode II vermehrt wird. Man bezeichnet diese Grö ßc r\, in unserem Falle das Integral (85), als P e r i o d i z i t ä t s m o d u l der Funktion F(u). Wenn für eine spezielle Funktion f(u) das Integral (85) verschwindet, so ist F(v) eine periodische Funktion mit der Periode 77. Um die vorstehenden Betrachtungen an einem Beispiele zu erläutern, wählen wir die Funktion f(u) = f,(u) =

,

u F(«)

n

= log[o(w)|

l o g E + logain-^ 71

2

Unstetigkeitspunkte der Funktion |j(w) sind die Punkte « = 0 (mod77); die zugehörigen Eesiduen sind gleich 1, also ist _p(M) = f x {%) + 2 n i m , zu setzen. Ferner ist 3

IT

J^iQdC n

=7ii ,

wenn wir die in nebenstehender Figur angedeutete Zerschneidung zugrunde legen (die stark ausgezeichneten

Nr. 43. Integrale einfach periodischer Funktionen.

89

Querschnitte hat man sich in der Pfeilrichtung bis ins Unendliche verlängert zu denken). Alsdann darf nämlich das Integral 3n 2 f u o d c ¡1 t

auf dem in der Figur gezeichneten Halbkreis genommen werden. Auf Grund der Identität

ist aber der Wert des Integrals über dem Halbkreis gleich der Hälfte des über einen vollen Kreis mit dem Mittelerstreckten Integrals, punkte II und dem Radius Ci

d. h. gleich dem oben gegebenen Werte n i . Dies ist für unser Beispiel der Pcriodizitätsmodul. Wir haben also +

I l ) = J?1(u)

+

n i ,

F^u

+ m 77) = F^u)

+ m n i ,

F(u

-(- m 77) = F(v)

4- m n i + 2 m, n,i .

90

Kapitel V. Doppelreihen aus Partialbrüchen. F ü n f t e s Kapitel.

Untersuchung gewisser aus Partialbrüchen gebildeter zweifach ausgedehnter Reihen. — Die Funktionen p(u) und S(w). Die Funktionen Sh(u), für h S; 3. 44. Der Gegenstand dieses Kapitels wird dem des zweiten analog sein. Wir werden wiederum Summen von unendlich vielen Partialbrüchen zu untersuchen haben. Aber diese Summen werden jetzt zweifach ausgedehnt sein, da wir eine zweifach unendliche Anzahl von Polen zugrunde legen. Als solche wählen wir nämlich die Punkte (1)

u = 0,

u — mll

-f nd ,

wo m und n alle positiven und negativen ganzen Zahlen durchlaufen, 17 und 6 zwei beliebige komplexe Größen mit nicht verschwindendem Momente (Nr. 28) bezeichnen. S a t z : Die Seihen

n = +oo m = +oo

(2)

für welche h ^ 3 ist, konvergieren absolut für jedes endliche u, mit Ausschluß der Werte (1), und zwar konvergieren sie gleichmäßig in jedem endlichen Bereiche Tu , welcher diese Werte nicht enthält.

Um diesen Satz zu beweisen, verfahren wir genau wie in Nr. 10: mn+nO= \m n

+ n 6>|

(mll'+nö') 2

+ i(mll"

+

n6"),

= (m II' + n 6'f + (m II" + n 6"f

= m 2 (/7' 2 + 77"*) + 2 m n ( i r e ' 4 - 77"6>") + n 2(9' 2 + 0" 2) ,

M)J

{II'6"-II"6y'__

Q'2

+

Q" 2

[m(n'd' + II" 6") + n(0' 2 + fl" 8)]* +

0'2

—

Nr. 44. Die Funktionen Zh(u) für h ^ 3 .

91

Und ganz ebenso

(4)

+

[njO'IT +

2

2 2

0"II") + m(77' + 77" )]

/7'2 + tj"2

F ü r ein Paar von Werten m , n , von welchen mindestens einer dem absoluten Betrage nach gleich der positiven ganzen Zahl fe ist, haben wir daher die Ungleichung

(5)

\mll+n0\^k-d,

wo ä die kleinste der beiden Größen

\A\ = |N'Q" — N"Q'| u n d 7

i~a\ \e\

bezeichnet.

/ H_e"2 +yö

J 1 \A\ 1 1

\n'G"-n"O'\

1 \n\ — +y/7'2 + n"*

Aus (3) folgt aber ferner I m 77 + n 9|2 < m2(77'2 -I- 77"2)

+ 2 |m| |n| 177'. n = +oc m = +oo

21

n=-oo

k

- +oo

Z'lmll+nd^^Zot,

m =-oo

k=

1

d. h. die Summe der Ausdrücke (9), erstreckt über alle ganzzahligen Indizes m, n , mit Ausschluß der Wertekombination m = 0, n = 0 , wird erhalten, indem man die Summe der Größen ak für alle von Null verschiedenen positiven ganzzahligen Werte des Index k bildet. Diese Summe konvergiert also auf Grund von (12), wenn die Beihe (15)

k=

+OQ

¿fc'-* i=l

konvergiert; sie divergiert dagegen auf Grund von (13), wenn die Beihe (15) divergiert. Ersteres ist der Fall, wenn h ^ 3 , letzteres, wenn Ä = 2 oder h — 1 . Wir haben also den Satz: Sind II, 6 zwei komplexe Größen, deren Moment von Null verschieden ist, so konvergiert die Summe (14) für h 3, während sie für h = 1 und h — 2 divergiert. Es sei nun ein endlicher Bereich Tu gegeben und M eine positive Größe, welche größer ist als alle Werte, die

Nr. 44. Die Funktionen SA(u) für A ^ 3.

93

j«| innerhalb des Bereiches annimmt; die Glieder der Reihe (2) können wir in zwei Klassen einteilen, je nachdem (16) ¡mU+nOj^M oder

(17)

\mll+ nd\ > M

ist; der größte Wert, welchen eine der beiden Zahlen \m\, |w| für ein Glied der ersten Klasse annehmen kann,

M

ist nicht größer als die größte in — enthaltene ganze

d

Zahl N ; denn sowie eine der Zahlen |w| oder |w| einen M ist, muß nach (5) Wert fc annimmt, welcher größer als — U

\mIT+nd\ ^kd> M werden; die Glieder der ersten Klasse sind daher in endlicher Anzahl vorhanden, und die Summe ihrer Moduln ist gewiß endlich; für die Glieder der zweiten Klasse ist

(18)

\mll+ n9\> M >\ü\

und daher \u\

(v 19)'

i| mT7 1 n /»I 11 -f 91 < e < 1 ,

wenn

^

(20>

£-

\m'n+n'0\

gesetzt wird, wobei m' und n' die Zahlen bedeuten, für welche \mII-\-nd\ den kleinsten Wert zweiter Klasse annimmt.

| u + m l l n 61 (21)

(22)

= \mll+n0\- 1\u + mll+n0\- h

>|to/7+»0|.(1-e),

mll+nO

ü2

ny

2

+ öl 2 '

wenn wir für die beiden Eeihen auf der rechten Seite dieselbe Summierungsweise wählen wie für die Eeihe auf der linken Seite. Werden nun wiederum die Glieder unserer Summe durch die Ungleichungen (16) und (17), d. h. durch die Forderungen (16a) \Ü\^M (17 a) |ß|>Ji in zwei Klassen eingeteilt, so ist für die Glieder zweiter Klasse: (19a)

^ < e < l

\o\

> 1—

(32)

u

u

e

2

2




n — —nx in=-mi

(42)

(43)

n = nt

n = no + l m = l

X Zß"2 i n=fio+l m = «=np m — — THQ -1

m = -1

n = -np -Im

n = —n3 m — - mx

n = -«om = ?n0 + l

x

= ml

Z Z * * » n= -nx m = 1 n — TQ i m = ml

z zß-*>

1 n = Wj 2 (44) ¿ " M ] , Z t » ^ n = -ni n = n0-t-l Die Zerlegung wird geometrisch veranschaulicht durch Figur 7, deren Sinn wohl ohne weiteres verständlich ist. Auf Grund der Identität n = — UQ —

[ m l l - t - n 6]~2 = [— m n - n Ö ] - 2 müssen die oben aufgeschriebenen Summen (41), (42), (43), (44) paarweise einander gleich sein, so daß wir also jeweils statt der Summe zweier nebeneinanderstehenden Summen das Doppelte der zuerst geschriebenen in Rechnung setzen können. Wenn wir nun die Zahlen m0 und n0 hinreichend groß wählen, ohne jedoch über ihr Verhältnis irgend eine Annahme zu machen, so können wir dadurch zunächst den Betrag der Summen (44) unter jede beliebig kleine positive Größe herabdrücken, da die Eeihe 2n~ 2 eine konvergente Reihe ist. Ferner können wir dadurch erreichen, daß in sämtlichen Summen (41), (42), (43) nur Glieder auftreten, für welche (45)

\Q\ = | m J 7 + nG\ > E

ist, wo H eine beliebig vorgeschriebene positive Zahl bedeutet. Diese Behauptung stützt sich auf die in Nr. 44 abgeleiteten Resultate, speziell auf die Ungleichung (5). Es soll nun allgemein die Summe m = at n = ß%

(46)

Z

m = oi

Z [

m J I

n = ßi

+

n

Ö]-2»

(«2 > « ! , & >

ßl)

Nr. 46. Die Doppelsumme 2 Z' Q~-.

99

von welcher (41), (42), (43) spezielle Fälle sind, berechnet werden unter der Voraussetzung, daß für alle ihre Glieder 8" i c

Ff ST 1

sil I

fr

sr *

1 if

>*>

V s?

g.«

**

>

£ piM

a>- i Y sf *

V

st

1

*

I

L< f

?

1

r

> f

die Ungleichung (45) erfüllt sei, und daß die beiden Quotienten ' IT kleiner seien als ein gewisser positiver echter Bruch ~ H ~

.

100

Kapitel V. Doppelreihen aus Partialbrüchen. Alsdann ist zunächst nach Nr. 4, (65) 1 [ml7+&0]*

(47)

1 ' [ m / 7 + ( A + l)0]2 « 4 / - 1 0 \ntn+

ßl 0

1

[mll+fcoy

m 7 7 + (ß2 +1) 0

• + em ,

wobei

(48)

km

w


2 + 1)77+^0 ^ 7 7 + ^ 0

ai77+(/?2 + l)0 («2 + 1 ) 7 7 + ^ + 1 ) 0

(50)

wobei

(52)

(53)

m=«2 y . ¿Lj m 7 7 + m = 0! m = aa 1

' i < - M ^ 1

(51)

e" < • 1

2 m = a,

\ n \

2 - \™n + (ß2 +