Einführung in die Theorie der elliptischen Funktionen und deren Anwendungen [Reprint 2019 ed.] 9783486777918, 9783486777901

Citation preview

E I N F Ü H R U N G IN DIE T H E O R I E DER E L L I P T I S C H E N F U N K T I O N E N UND D E R E N ANWENDUNGEN VON

Dr. phil. ERNST G R A E S E R DOZENT AN DER UNIVERSITÄT GOTTINGEN

MIT 49

ABBILDUGNEN

MÜNCHEN VERLAG

VON

1950

R.OLDENBOURG

Copyright 1950 by R. Oldenbourg, Mönchen. Satz und Druck: C. Brägel & Sohn, Ansbaoh. Buchbinderarbeiten : Gebhardt, Ansbach.

Vorwort. Dieses Buch soll ein kurzes Lehrbuch für Studenten der Universitäten und Technischen Hoohschulen sein, das in leicht lesbarer, moderner Darstellung möglichst weit in die Lehre von den elliptisohen Punktionen und ihren Anwendungen auf Geometrie (konforme Abbildung) und Physik (Potentialströmungen) einführt. Anwendungen auf Algebra und Zahlentheorie sind als zu weit abliegend beiseite gelassen worden. Grundkenntnisse aus der Funktionentheorie werden zwar vorausgesetzt, aber es wird im Verlaufe der Darstellung immer wieder sehr ausführlich auf die als bekannt anzunehmenden funktionentheoretisohen Grundlagen hingewiesen, damit der Leser Lücken in seinem Wissen ausfüllen kann. An manohen Stellen sind die mathematischen Entwicklungen breit angelegt, um das Eindringen in die Theorie zu erleichtern. Aus demselben Grunde werden auch Zwischenrechnungen mit genügender Ausführlichkeit gebracht. Möge dieses Buch den Studierenden eine wesentliche Hilfe sein! Göttingen, im August 1960. Ernst Graeser

Inhaltsverzeichnis. Seite

Einleitung A. Perioden eindeutiger analytischer Funktionen

7 9

B. Allgemeine Eigenschaften elliptischer Funktionen

12

C. Additiver Aufbau der elliptischen Funktionen 1. Weierstraßsche ^»-Funktion

17 17

2. Eigenschaften der p -Funktion

20

a. Unitätssatz b. Konstruktion de* ^-Funktion

a. b. c. d.

Potenzreihenentwicklung Verhalten an den Halbgitterpunkten Differentialgleichung der ^-Funktion Koeffizientenproblem

a. b. c. d.

Hauptteile ohne Glieder erster Ordnung Hauptteile mit nur Gliedern erster Ordnung, f-Funktion Legendresche Relation Hauptteile sind gegeben

18 18

20 21 22 24

3. Allgemeinste elliptische Funktion mit gegebenen Polen und Hauptteilen 26

D. Multiplikativer Aufbau der elliptischen Funktionen 4. Allgemeine Bedingungen 5. Die 0-Funktion

26 27 28 29

. . . . .

a. Herstellung der ff-Funktion b. Verhalten der ff-Funktion bei Periodenaddition

30 30 33

33 34

6. Konstruktion elliptischer Funktionen mit vorgeschriebenen Nullund Unendliohkeitsstellen und vorgegebenen Ordnungszahlen (Vielfachheiten) 35 7. Anwendungen 38 a. Multiplikative Darstellung von £>(z) — p(v) b. Direkte Ableitung von ß(z) — «j

8. Nebensigmafunktionen

38 39

41

a. Verhalten der Nebensigmafunktionen bei Periodenaddition b. Verhalten der Nebensigmafunktionen bei Addition von halben Perioden . c. Normierungen

41 42 42

d. Verhalten von

(z) usw. bei Periodenaddition

43

e. Verhalten von — (z) usw. bei Periodenaddition °3

43

von selber mitgelieferten Periodenpunkte m 2 | ein weiterer Periodenpunkt läge, so hätten wir sofort Perioden von kleinerem absoluten Betrage als | 2 a» | im Widerspruch zur Annahme, daß 2 (o bereits die kleinste Periode ist. Treten außer m 2 ot mit m — 0, ± 1 , ± 2 , ± 3, . . . keine weiteren Perioden auf, so haben wir es mit einer einfach periodischen Funktion zu tun. Wir nehmen jetzt an, daß außer m 2 o noch andere Perioden vorhanden sind. Um jeden Periodenpunkt m 2 w können wir einen Kreis vom Radius 1

) (2 — a)k verschwindet nur bei a, und der zweite Faktor hat in geeignet gewählter Nähe der Stelle a einen Wert, der gewünscht wenig von 1 verschieden ist.

10

PERIODEN GITTER

[ 2 (o | zeichnen (Bild 1) und behaupten, daß im Innern dieser Kreise keine weiteren Periodenpunkte liegen; denn sonst gäbe es kleinere Perioden als 2 w. Alle weiteren Periodenpunkte müssen demnach von der gezeichneten Periodengeraden (m 2 b)) einen Abstand haben, der größer als die Höhe des mit der Seitenlänge | 2 a) | konstruierten gleichseitigen Dreiecks ist. Jeder weitere Periodenpunkt liefert eine zur bereits gezeichneten Periodengeraden parallele Periodengerade mit: wir können nämlich zu einem solchen Periodenwert alle Größen m 2 a> mit m = 0, ± 1, ± 2 , i 3 , . . . addieren und bekommen damit eine neue Periodengerade. Auch auf dieser Periodengeraden liegen die Periodenpunkte nur in Abständen | 2 ohne den Punkt 2 CD'. Wir können die genannten Punkte so charakterisieren:

In dem so definierten Fundamentalparallelogramm (es enthält keine kongruenten Stellen) nimmt die doppeltperiodische Funktion /(z) [/(z + 2 w) = — / ( z ) > / ( z + 2 «') = /(z)] ihre sämtlichen Werte bereits an. Denn die ganze Ebene ist mit einem Netz solcher Parallelogramme bedteckt, und in jedem derartigen Parallelogramm kann sich gemäß der doppelten Periodizität nur der Wertebereich wiederholen, der schon im Fundamentalparallelogramm vorliegt. Wir setzten von /(z) voraus, daß es sich um eine eindeutige Funktion handelt, wir wollen jetzt insbesondere annehmen, daß /(z) im Fundamentalparallelogramm — und damit in der vollen Ebene außer oo — als singulare Stellen nur Pole, also keine wesentlich singulare Stelle im Endlichen hat. Im Punkte oo muß eine wesentliche Singularität vorliegen, denn im Unendlichen häufen sich die Parallelogramme; deshalb wird in beliebiger Nähe des Punktes oo jeder beliebige, im Fundamentalparallelogramm überhaupt angenommene Wert unendlich oft angenommen; ein solches Unbestimmtheitsverhalten ist nur an einer wesentlich singulären Stelle möglich. Eindeutige Funktionen, die in der vollen Ebene außer oo bis auf Pole regulär sind, heißen meromorphe Funktionen, und wir definieren jetzt: Elliptische Funktionen sind, doppeltperiodische meromorphe Funktionen. Die Anzahl der im Fundamentalparallelogramm gelegenen Pole — unter richtiger Zählung ihrer Vielfachheit — nennen wir den Grad der betreffenden elliptischen Funktion oder auch ihre Ordnungszahl1). Wir wissen noch nicht, ob es überhaupt elliptische Funktionen gibt. Wir werden später die Existenz elliptischer Funktionen beweisen und diese Funktionen alle herstellen. Zunächst wollen wir — falls es elliptische Funktionen gibt — einige charakteristische, von Liouville gefundene Sätze nennen. Satz 1: Eine elliptische Funktion nullter Ordnung, d. h. ohne Pole, ist eine Konstante. Beweis: Wenn/(z) eine elliptische Funktion ohne Pole im Fundamentalparallelogramm ist, so ist sie auch in sämtlichen Parallelogrammen des Netzes regulär, d. h. in der ganzen Ebene regulär (zunächst ausschließlich !) Z. B. hat eine elliptische Funktion mit nur zwei Polen erster Ordnung im Fundamentalparallelogramm die Ordnung 2 und eine elliptische Funktion mit nur einem Fol dritter Ordnung im Fundamentalparallelogramm die Ordnung 3. 12

LIOUVII/LE-SÄTZE

des Punktes oo). Wir zeigen nun, daß/(z) im Fundamentalparallelogramm und damit überhaupt beschränkt ist. Wäre nämlich | f(z) | im Fundamentalparallelogramm nicht unter einer endlichen Schranke M gelegen, so gäbe es eine Punktfolge, für welche die Funktion /(z) über alle Grenzen wachsende absolute Beträge annehmen würde. In dem Konvergenzpunkt dieser Punktfolge müßte also von |/(z) | der Wert 00 angenommen werden im Gegensatz zu der Forderung, daß kein Pol vorhanden ist; f(z) ist also in der vollen Ebene beschränkt: | /(z) | -< M. Dann ist aber f(z) eine Konstante1). Satz 2: Es gibt keine elliptische Funktion erster Ordnung, also mit nur einem Pol I. Ordnung im Fundamentalparallelogramm. Beweis: b sei ein Pol I.Ordnung, der einzige Pol im Fundamentalparallelogramm2). Wir zeichnen um b einen ganz im Fundamentalparallelogramm liegenden Kreis und führen von einem seiner Peripheriepunkte einen Schnitt nach einem Randpunkt des Parallelogramms 2(u°~2+2CD' (Bild2beider Stelle 6 i ( ) - ^ e n t steht ein einfach zusammenhängender Bereich, der die Stelle b nicht mehr im Innern enthält. Das über den Rand dieses einfach zusammenhängenden Bereiches erstreckte Integral der Funktion f(z) verschwindet nach dem Cauchyschen Integralsatz, so daß wir schreiben können:

Bild2.

1 ) Da/(z) im abgeschlossenen Kreis vom Radius p um den Nullpunkt regulär ist, aßt sich nach der C a u c h y sehen Integralformel der Punktionswert an einer inneren Stelle z so ausdrücken:

/ (2) = g

d

c

• speziell im Nullpunkt: f (0) = ^ ¡ ( f ^ d f ' D i f f e r 6 n t i a t i o n

- rä&r^i« - ¿ i f ß ' « also, wenn wir { = pe'9> setzen: —— = n! [Maximum von |/(i)|]

(f>/(£) —ß27iijr'v

. Daraus folgt:

'p"ei»?'

"

| n!

2 jt = ~ . p kann aber beliebig große Werte haben,

demnach werden die Entwicklungskoeffizienten der Reihe m

=

m +

r n

z

.

+

m

z

,

+

...

+

mz„

+

...

unter jedem Kleinheitsgrad liegen, also Null sein, d. h. /(z) = / (0) = Konstante. *) Falls der Pol gerade auf dem Parallelogrammrand liegt, verschieben wir das Parallelogramm etwas, so daß sich der Pol im Inneren befindet (Bild 4). 13

ALLGEMEINE EIGENSCHAFTEN E L L I P T I S C H E R FUNKTIONEN

Schnittufer - « -

Die Integrale über die Schnittufer haben entgegengesetzt gleiche Werte, heben also einander auf, demnach bleibt £ f ( z ) dz = S f ( z ) dz . Paiallelogr.

Kiele

Das erste Integral können wir so schreiben: 2(0

2 6 ) + 2 tu'

2(0'

0

J / ( z ) d z - h f f ( : ) d z + f/(z)dz + J / ( z ) d s = 0 2 ui 2(0 + 2(0' 2u>' 2ü) U I) 2(o' =J/(z)dz + J f ( z + 2oj')dz + j f ( z ) d z + f f ( z + 2 2 tu' U 2M 2(0 U 0 = j f(z) dz - j f ( z ) d z + j f(z) dz — j f ( z ) dz = 0 . II u 2(u' 2(u' Demnach ergibt sich, daß das über den Kreis erstreckte Integral verschwindet. An der Stelle b gilt eine Entwicklung /(z) =

z Ö

Cc Kreit

+ Co + Cj (z — b) + c 2 ( z — b f + • • • ,

also ist

f* Kreis

Da das Integral der regulären Potenzreihe, über den Kreis erstreckt, nach dem Gauchyschen Integralsatz verschwindet, muß das erste Integral gleich Null sein, d. h.

^

( z — ¿0 == c—i 2

= O1) und daher c _ i = 0

im Widerspruch zu der Annahme eines Poles erster Ordnung bei b. Satz 3: Die Summe der Residuen einer elliptischen Funktion im Fundamentalparallelogramm ist Null. Beweis (analog wie bei Satz 2; Satz 2 ist ein Sonderfall dieses Satzes): Die Pole von f(z) mögen in den Stellen bu b2,. . ., bp, . . bm liegen. Wir konstruieren kleine einander nicht treffende, ganz im Fundamentalparallelogramm befindliche Kreise um die Stellen bfi und führen Schnitte, die einander und die Kreise nicht treffen, von den einzelnen Kreisperipherien 1 ) Der Logarithmus des absoluten Betrages ändert sich bei einem vollen Umlauf nicht, das Argument erfährt eine Änderung um 2 n.

14

LIOUVILLE-SÄTZE

zum Parallelogramm (Bild 2 an der Stelle fyi). Es entstellt ein einfaoh zusammenhängender Bereich, in dem f(z) regtdär ist; das über seinen Band erstreckte Integral der Funktion f(z) verschwindet demnach; wir können schreiben: (jtf(z) dz + Integrale Parallelogr.

j

f(z) dz + j ?

über die Sehnittufer

^

= 1

(j)f(z)dz = 0 . Kreis um bu

Die Integrale über die Schnittufer haben paarweise entgegengesetzt gleiche Werte, heben einander also auf, das Integral über den Parallelogrammrand ist Null (wie beim Beweis von Satz 2 gezeigt wurde). Demnach muß die Summe der über die kleinen Kreise erstreckten Integrale verschwinden; d. h. wenn wir die Entwicklung an der Stelle b^ entsprechend einem Pol Ä^-ter Ordnung C—i _i) c—i = ( ^ v f c einsetzen:

f w

+

( * - 6 , V t +•

•

+

Kreis am bp

S + V

•^

«

+

"

'

••]*-•

Das Integral über die rechtsstehende reguläre Potenzreihenentwicklung verschwindet (Cauchysoher Integralsatz), das Integral über eine Potenz von z — bfi mit dem Exponenten — Xu, wobei Xfi eine ganze positive Zahl 2> 2, verschwindet ebenfalls1); daher bleibt m Q j m = 2 c i 2T.i = 0 2 ), d.h. Z — bP ur 'Kreleumt,.

— Residuen = 0 . j» - 1 Ist nur ein Pol erster Ordnung vorhanden, so muß das einzige vorhandene Residuum also verschwinden, d. h. es gibt gar nicht die Möglichkeit eines einzigen Poles erster Ordnung (das war der Inhalt von Satz 2). Satz 4: Für jede elliptische Funktion gilt im Fundamentalparallelogrmnm: Anzahl der Nullstellen = Anzahl der Pole bei richtiger Zählung der Vielfachheiten. Beweis: Es seien o 2 , . . ., Oy, . . ., a„ die Nullstellen von f(z) mit den Vielfachheiten klt k2, • • •, kv, . . ., kn (av Nullstelle fcv-ter Ordnung) und ') Z. B . ^

(z

Kreis um b

=

d _-2

= 0, da die Größe (z —ft)2 bei einem

Kreis um b

vollen Umlauf um b keine Änderung erfährt. 2 ) Überlegung wie beim Beweis von Satz2.

15

ALLGEMEINE EIGENSCHAFT»

LLIPTI8CHER FUNKTIONEN

blt b2, . . ., bp, . . ., bm die Pole v o n / ( z ) m i t den Vielfachheiten Ai, A2, . . Af., . • Am {bp Pol A/i-ter Ordnung). Wir bemerken zunächst, d a ß a u s / ( z + 2 a ) = /(z) und f(z + 2 &/) = /(») durch Differentiation folgt: / ' ( z + 2 « ) = / ' ( z ) und / ' ( z + 2 w') = /'(z); d a also die Ableitung einer elliptischen Funktion ebenfalls eine elliptisohe f'lz)

Funktion ist, stellt auch

eine elliptische Funktion dar.

Es gilt an der Nullstelle Oy m i t der Ordnung k v folgende Entwicklung: C * y ( z — fflv)*v +

/(Z) =

= Ckv (z — a

v

+ 1(z

Ckv

— ay^v+i

fv |l +

kvckv(z

=

• • -j und

-f 1) (z —Ov)*v + • • • =

| l + ^ ± l ( ^ + l)(J!_av)+ ••

— av?V-i

1 f l = z — wy /7 (z; av t +

• • •

(z — Oy) +

/ ' ( z ) = kvckv (z — ov)*v—1 + ckv + i(kv =

+

(* -

, demnach

fc

L

v

«v) +

C

2V

]=

®v)2 +

-

k =

Z

Oy

+

¿V

+

¿V