Funktionentheorie: Band 2 Anwendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie [8./9. Aufl. Reprint 2019] 9783111615127, 9783111239217

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Sammlung

Göschen

Band

703

Funktionentheorie Von P r o f . Dr. K o n r a d Knopp em. o. Professor der Mathematik an der Universität Tübingen

Zweiter Teil Anwendungen und Wetterführung der allgemeinen Theorie

Mit 7 Figuren 8./9. Auflage

W a l t e r

de

G r u y t e r

&

Co.

vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung • J. Guttentag,Verlagsbuchhandlung • Georg Keimer • Karl J.Trübner - Veit & Comp. Berlin 1955

Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten

Copyright 1955 by W A L T E R DE G R U Y T E R & CO. Berlin W 35, Genthiner Str. 13

Archiv'Nr. 11 07 03 Druck: Omnitypie-Gesellschaft Leopold Zechnall, Stuttgart Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis. Seite 6

Einleitung Erster Abschnitt.

Eindeutige Funktionen. 1. Kapitel. G a n z e F u n k t i o n e n . § 1. Der Weierstraßsche Produktsatz § 2. Beweis des Weierstraßschen Produktsatzea § 3. Beispiele zum Welerstraßschen Produktsatze

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2. Kapitel. M e r o m o r p h e F u n k t i o n e n . § 4. Der Mittag-Lefflersche TeilbruchBatz § 5. Beweis des Mittag-Lefflerschen Satzes § 6. Beispiele zum Mittag-Lefflerschen Satze

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3. Kapitel. P e r i o d i s c h e F u n k t i o n e n . § 7. Die Perioden analytischer Funktionen 5 8. Einfach-periodische Funktionen § 9. Doppelt-periodische, insbesondere elliptische Funktionen

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Zweiter Abschnitt.

Mehrdeutige Funktionen. 4. Kapitel. W u r z e l u n d L o g a r i t h m u s . | 10. Vorläufiges über mehrdeutige Funktionen und Riemannsche Flächen $ 11. Die Riemannschen Flächen für yz und logz § 12. Die Riemannschen Flächen für die tv = )/(z—o,) (z — eine Lösung des Problems, wenn hierin h(z) eine völlig beliebige g a n z e Funktion bedeutet. ') Dies gilt auch f ü r ganze rationale Funktionen „ohne Nullstellen", d. h. solche O-ten Grades (also die von 0 verschiedenen Konstanten), f ü r die die Produktdarstellung nur aus dem Faktor am( -- a0 U) bestehen würde. — F ü r die Konstante 0 dagegen gelten unsere Betrachtungen natürlich nicht mehr. •) Natürlich dürfen f ü r eine ganze rationale Funktion nur e n d l i c h viele Nullstellen vorgeschrieben werden. a ) D. h. die Funktion soll in genau vorgeschriebenen l'unkter, Nullstellen von genau vorgeschriebener Ordnung haben, — u n d in a l l e n ü b r i g e n P u n k t e n + 0 sein.

10

]. Kapitel. Ganze Funktionen.

Die letzte Antwort ist aber auch schon die a l l g e m e i n s t e Lösung des Problems, d. h. es ist (bei beliebigem ganzem h(z)) nicht nur e ^ stets eine ganze Funktion ohne Nullstellen, sondern es läßt sich auch umgekehrt jede solche Funktion in der Form darstellen. Wir sagen dafür kürzer: Satz 1. Bedeutet h(z) eine beliebige ganze Funktion, so ist die allgemeinste ganze Funktion ohne Nullstellen1). Beweis: Wir haben nur noch zu zeigen, daß, wenn g(z) = a 0 + djZ + OjZ2 -f azs? + • • • eine gegebene ganze Funktion ohne Nullstellen ist, eine andre ganze Funktion h(z) = b0 + btz + • • • angegeben werden kann, so daß eM*) = g(z) ¡st. Nun ist wegen g(z) 4= 0 insbesondere a 0 = g(0) =j= 0, und es kann daher b0 so gewählt werden, daß eb>= a0 ist; denn e3 nimmt jeden von 0 verschiedenen Wert an (Elem. § 41, 6). Ferner ist aus demselben Grunde-^-: 9(z)

eine überall reguläre, also ganze Funktion. Da dasselbe von g' (z) gilt, so ist auch

eine ganze Funktion, die neue Reihe also beständig konvergent. Letzteres gilt dann auch von der Reihe z n = b0 + b1z+-+ bn*»+--, die somit eine ganze Funktion h(z) darstellt. Mit ihr ist aber ' ) Bei Benutzung der mehrdeutigen Funktion log erscheint dieser Satz fast trivial. Denn ist g{z) eine ganze Funktion, die stets 4* 0 ist, so ist h(z) = l o g g ( z ) , z . B . durch die Festsetzung, daß A(O) der Hauptwert von logp(O) sein soll, eine ebenfalls in einer gewissen Umgebung des Nullpunktes reguläre Funktion von z. Ihre dortige Entwicklung h(z) — 6, + bLz + b,z' + • • • h a t also einen positiven Konvergenzradius. Dieser muß aber (auf Grund von I , S 24, Satz 1 oder § 25) + 00 sein, da log g(z) nur da singulär sein k a n n , wo wo g(z) singulär oder = 0 ist, also nirgends im Endlichen.

§ t. Der Weierstraßsche Produktsatz.

H

g(z) = eW. Denn g(z)e~^ hat die Ableitung (g' — g • h')e-h, die wegen h' = g'/g, g =j= 0, überall = 0 ist. Daher ist g,-t~h konstant und zwar, wie man für z = 0 erkennt, gleich 1, w. z. b. w . 1 ) . Nachdem wir so unsere Aufgabe für den Fall, daß g a r k e i n e Nullstellen vorgeschrieben sind, schon vollständig gelöst haben, ist es leicht zu sehen, inwieweit eine ganze Funktion überhaupt durch ihre Nullstellen bestimmt ist. Sind nämlich G0(z) und G(z) zwei ganze Funktionen, die in ihren Nullstellen nach Lage und Ordnung übereinstimmen, so ist (vgl. I, § 21, Satz 4) der Quotient beider wieder eine ganze Funktion, jedoch o h n e Nullstellen. G(z) und G0(z) unterscheiden sich also (vgl. die Feststellung (B)) höchstens durch eine multiplikativ hinzutretende ganze Funktion ohne Nullstellen; und umgekehrt ändert das Hinzutreten einer solchen zu G0(z) offenbar nichts an der Lage und Ordnung der Nullstellen. In Verbindung mit Satz 1 drücken wir dies so aus: Satz 2. Ist G0(z) eine gegebene ganze Funktion, so ist. wenn h{z) eine beliebige ganze Funktion bedeutet,