Aufgabensammlung zur Funktionentheorie: Band 2 Aufgaben zur höheren Funktionentheorie [7. Aufl. Reprint 2019] 9783111364964, 9783111007816

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Aufgabensammlung zur Funktionentheorie von

Prof. Dr. Konrad Knopp f ehem. Professor der Mathematik an der Universität Tübingen

ii

Aufgaben zur höheren Funktionentheorie Siebente Auflage

Sammlung Göschen Band 878

Walter de Gruyter & Co • Berlin 1971 vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung • J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . Trübner • Veit & Comp.

© Copyright 1971 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung / J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung / Georg Reimer / Karl J . Trübner / Veit & Comp., Berlin 30. — Alle Rechte, einschließlich der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, vom Verlag vorbehalten. — Bruck: Lindemann & Lüdecke, Berlin 36. — Printed in Germany

ISBN 3 11 003573 1

Inhaltsverzeichnis. Vorbemerkungen I. Kapitel. Weitere Aufgaben zu I, Kap. 1—6 1 § 1. Grundlegende Begriife § 2. Zahlenfolgen und unendliche Reihen . § 3. Funktionen einer komplexen Verändei liehen § 4. Integralsätze § B. Reihenentwicklungen II. Kapitel. Singulare Stellen. § 6. Die Laurentsche Entwicklung . . . . § 7. Die verschiedenen Arten singulärer Stellen § 8. Residuensatz, Nullstellen und Pole. . III. Kapitel. Ganze und meromorphe Funktionen. § 9. Unendliche Produkte. Weierstraßscher Produktsatz § 10. Ganze Funktionen §11. Teilbruchreihen. Mittag-Lefflerscher Satz § 12. Meromorphe Funktionen IV. Kapitel. Periodische Funktionen. § 13. Einfach-periodische Funktionen . . . . §14. Doppelt-periodische Funktionen . . . . V. Kapitel. Analytische Fortsetzung. § 16. Verhalten von Potenzreihen • auf dem Rande des Konvergenzkreises § 16. Analytische Fortsetzung von Potenzreihen § 17. Analytische Fortsetzung beliebig gegebener Funktionen VI. Kapitel. Mehrdeutige Funktionen und Riemannsche Flächen. § 18. Mehrdeutige Funktionen im allgemeinen § 19. Mehrdeutige, insbesondere algebraische Funktionen VII. Kapitel. Konforme Abbildung. § 20. Begriff und allgemeine Theorie . . . . §21. Besondere Abbildungsaufgaben

Seite

52) 6 9 10 12 13 15 17 20

24 25 28

29 30 32 34 36 38 40 41 44

1

) e. Vorbemerkungen. *) Die In der ersten Spalte angegebene Seltenzahl bezieht sich auf die A u f g a b e n , die in der iweiten angegebene auf die L ö s u n g e n . 1*

Vorbemerkungen. Auch in diesem zweiten Teil der Aufgabensammlung zur Funktionentheorie — auf den ersten Teil wird kurz mit „I" unter Angabe von Kapitel, Seite oder Paragraph und Aufgabe, auf den vorliegenden zweiten Teil nur durch Angabe von Seite oder Paragraph und Aufgabe verwiesen — habe ich mich streng an die in der Sammlung Göschen vorhandenen funktionentheoretischen Bändchen gehalten. Sie werden wie bisher zitiert, doch beziehen sich die Zitate auf die folgenden inzwischen erschienenen neuen Auflagen: I =

A u f g a b e n s a m m l u n g zur Funktionentheorie, I. Teil: A u f g a b e n zur elementaren F u n k t i o n e n t h e o r i e , 4. Auflage, 1947. Klein. = K n o p p , Kiemente der Funktionentlieorie, 3. Auflage, 1947. KI = K n o p p , Funktionentlieorie I, 7. Auflage, 1947. K II = K n o p p , Funktionentlieorie II, 7. Auflage, 1947. Bi

=

B i e b e r b a c h , Einführung in die konforme Abbildung, 3. Auflage, 1937. Auch diesmal handelt es sich in der Hauptsache nur um Übungsaufgaben, durch die der Gedankenkreis der genannten Bändchen nicht wesentlich überschritten wird. Nur innerhalb dieses Rahmens, nicht in irgendeinem absoluten Sinne, ist die Einteilung in elementare und h ö h e r e Funktionentheorie gemeint. Die jetzigen Aufgaben lehnen sich in der Hauptsache an die letzten Kapitel von K I, sowie an K II und Bi an. Für die Benutzung sind weiterhin die Vorbemerkungen zu I maßgebend. — Mit der Verteilung der Sternchen (*) zur Bezeichnung der schwierigeren Aufgaben ist, dem jetzigen höheren Niveau entsprechend, etwas sparsamer umgegangen worden.

E r s t e r Teil.

Aufgaben. I. Kapitel Weitere Aufgaben zu I, Kap. 1—5. § 1. Grundlegende Begriffe. 1. Es seien k Punkte zv z2 zk in der Ebene der komplexen Zahlen gegeben, und es seien «z,..., n *9. E s

h ffl„J0

in

seien «

Summe 1.

r, so strebt

und ß

•m

zwei positive Zahlen mit

E s werde bei gegebenem z0 mit

der

9t(io) 1,

b) \'{z — 1) (« — 2) für | z | > 2, c>

( z - a ) ( z -

b

)

fÜr

0 < l « K i « l < | f ,

d) dieselle Funktion für | z | > h. e) log 7 — für | z | > 1 1—z in ihre Laurentsche Reihe. 4. Es Sei g(z) =

CD

anzn eine ganze Funktion von z,

71 = 0

00 ff(z)dz Z,

und F&) = « > / f(z)dz, 2i (! und Z!=f= z0 in S), in der Umgebung von z0 eindeutig und regulär, und wie verhalten sie sich in solchem Falle in z0? 7. Es sei I ein beliebiger beschränkter Weg (geschlossen oder offen) und R eindeutig und, von z = oo etwa abgesehen, auch regulär. Unter welchen Bedingungen ist dort auch die Funktion F(z)=vjmd: 2-i

§ 8. Residuensatz, Nullstelleu und Pole.

17

eindeutig und regulär, wenn z 0 und I in |z| > R liegen? Und was folgt aus dem Verhalten von f(z) ift oo über dasjenige von F(z) in oo? 9. Man beweise den Riemannschen Satz K I , § 32, Satz 3 ohne Benutzung der Laurentschen Entwicklung direkt mit Hilfe der Darstellung

in der und ® 2 zwei passende Kreise um z 0 bedeuten und z im Ringgebiete zwischen beiden liegt. 10. Man beweise den Casorati-Weierstraßschen Satz „\f(e) — c\1 = 1 V=1 2 Aul.: Es ist f(z) = (1 + qz) f(q z), woraus sich durch Koeffizientenvergleich Bekursionsformeln ergeben. C) n (1 + cnz) ( l + - ) = Dvz", n=l \ Z/ v= f ä l l s t | cn I konvergiert; —

OD

§ 9. Unendliche Produkte. Weierstraßscher Produktsatz. 23 w / fl,2«—1\ +00 *d) F(z) = n (1 + i 2 " - 1 * ) 1 + = £ B,r, n-l V Z I oo falls U | < 1 ; Anl.: Es ist F(z) — qzF(q2z), woraus sich durch Koeffizientenvergleich wieder Rekursionsformeln für die B, ergeben, vermöge deren Bv sich durch B0 ausdrücken lassen. Es wird Br = q'' • B0. Aus q"' • B0 = A, + AtA,+1 + • • •, was wie bei c) erhalten wird, ergibt sich schließlich B0 durch B0 =

A,

lim — r—>00 q

os 1 *e) IJ (1 — zn). Anl.: Man ersetze in d) z durch — z n-l und q durch z2, \ z | < 1. 10. Aus dem sin-Produkt leite man her: a) = + b) 11. Man stelle Produktentwicklungen für die folgenden ganzen Funktionen auf: a) e* — 1; b) & — e*1; c) cos m ; d) sin nz — sin7K0;

e) cos 712 — cos 7iz0.

*12. Man beweise die folgende Übertragung des Weierstraßschen Produktsatzes auf das Gebiet des Einheitskreises : zv zg,..., z B , . . . sei eine beliebige Folge verschiedener innerhalb des Einheitskreises gelegener Punkte, die i n n e r h a l b des Einheitskreises keinen Häufungspunkt haben (sondern also nur auf dessen Peripherie), und es sei -0 strebt. n 7. Genügt z = x + iy der Bedingung — 1, y 2 , so ist

ml

wobei A eine feste (von z unabhängige) positive Konstante bedeutet. *8. Man entwickle die Riemannsche f-Funktion für die Umgebung der Stelle + 2 in eine Potenzreihe n= ü

und beweise die Beziehung 1. Was folgt hieraus über den Charakter der Stelle + 1 für die f-Funktion ? 9. Man zeige, daß für die in der vorigen Aufgabe definierten Vorzahlen bn die Abschätzung

gilt, in der A eine von n unabhängige Konstante bedeutet. Was folgt hieraus über die genauere Natur der Stelle + 1 für die f-Funktion? IV. K a p i t e l .

Periodische Funktionen. § 18. Einfach-periodische Funktionen. 1. Eine (nicht konstante) eindeutige analytische Funktion kann nicht die Perioden 1 und |/2 haben. 2. Eine (nicht konstante) rationale Funktion kann nicht periodisch sein.

30

IV. Kapitel. Periodische Funktionen.

3. Hat f(z) die primitive Periode 1 (es ist f(z) dann sicher keine Konstante) und zeigt f(z) ein gewisses Verhalten, wenn z so oo rückt, daß dabei 3(z)-> + oo (oder — — oo) strebt, so sagt man kurz, daß f(z) jenes Verhalten am o b e r e n (bzw. u n t e r e n ) E n d e des Periodenstreifens zeige. Für die Funktionen f(z) der in K II, § 8, S. 65. definierten Klasse gilt, dann der S a t z : Ist f(z) im Periodenstreifen regulär, so kann es nicht an beiden Enden beschränkt bleiben. 4. Bleibt eine der in der vorigen Aufgabe genannten Funktionen f(z) am oberen (unteren) Ende des Perioden streifens beschränkt, so strebt f(z) dort sogar einem bestimmten Grenzwerte zu. Es ist dann sinngemäß zu sagen, daß f(z) an jenem Ende des Streifens diesen Wert annehme. Wie ist unter diesen Umständen die O r d n u n g zu definieren, mit der f(z) an einem Streifenende den Wert a annimmt? 5. Bleibt eine der in Aufg. 3 genannten Funtionen f{z) am oberen (unteren) Ende des Streifens nicht beschränkt, so strebt f(z) dort ->- oo. Es ist dann sinngemäß zu sagen, daß f(z) an jenem Ende einen Pol besitze. Wie ist unter diesen Umständen die Ordnung eines solchen Poles zu definieren ? 6. Eine jede der in Aufg. 3 genanntun Funktionen f(z) nimmt im Streifen (einschließlich seiner Enden) jeden Wert, auch den Wert oo, bei richtiger Zählung gleich oft an. 7. Eine Funktion mit der primitiven Periode + 1 gehört dann und nur dann zu der in Aufg. 3 genannten Klasse von Funktionen, wenn sie im Streifen, einschließlich seiner Enden, keine andern Singularitäten als Pole besitzt. § 14. Doppelt-periodische F u n k t i o n e n . 1. Es sei das durch das primitive Periodenpaar oj, w bestimmte Periodengitter einer doppelt-periodischen Funk-

§ 14. Doppelt-periodische Funktionen.

31

tiou vorgelegt. Man gebe sämtliche primitiven Periodenpaare an. 2. Sind z1,zl,..., zk die Nullfitellen oder allgemeiner die c-Stellen einer elliptischen Funktion f(z) im Periodenparallelogramm, eine jede so oft gesetzt, wie es ihre Vieli'achheit verlangt; sind Clt C 2 ,..., Ct ebenso die Pole, so ist — g l e i c h einer Periode der Funktion. 3. Ist f(z) eine ungerade elliptische Funktion und w eine ihrer Perioden, so ist Ja» entweder eine Nullstelle oder ein Pol von f(z), und zwar notwendig von ungerader Ordnung. 4. Auf welches Gebiet der w-Ebene wird das Fundamentalparallelogramm eines durch (w, co') bestimmten Parallelo—z grammnetzes der z-Ebene durch w = e m abgebildet? Und auf welches tiebiet der Streifen, der aus dem Fundamentalparallelogramm durch die Translationen (k' w'j entsteht? 5. Jede eindeutige Funktion f(z) mit der primitiven Periode co kann nach K II, § 8, Satz 1, als eindeutige Funke tz — tion 9?(£) von f = e a aufgefaßt werden. Was bedeutet es dann für , \co') auf dem Bande des Fundamentalparallelogramms und auf dessen Mittellinien reell. Auf welches tiebiet der «J-Ebene wird in diesem Falle das Fundamentalparallelogramm durch w = p(z | fro, fco') abgebildet? Anl.: Man untersuche den Werteverlauf von p(z) auf dem Rande des bei 0 liegenden Viertels des Fundamentalparallelogramms. *8. Für die Summen

V. Kapitel. Analytische Fortsetzung.

32

s» = JS' kx

Tl

, ,,

(fc w + fc o j

« = 3, 4, 5 , . . . , )n

beweise man die Relationen a) = 0 für m = 1, 2, 3,. . .; b) 9. Die Funktion w = p(z | ^w') genügt (s. K II, § 9, Satz 9) der Differentialgleichung w'2

= 4w3 — g2w —

g3

mit g2 — 60 s4, g3 = 140 s9, wenn sn die in Aufg. 8 angegebene Bedeutung hat. Man zeige, daß die Wurzeln der kubischen Gleichung 4iv» — g2w — g3 =

0

die Werte p({a>), p ( j o j ' ) , p(i(oj + (»')) haben und voneinander verschieden sind. 10. Im Anschluß an K II, § 9, Satz 10, und an Aufg. 2 zeige man, daß sich jede elliptische Funktion f(z) als „crQuotient", d. h. mit Hilfe der zum gleichen Periodenparallelogramm gehörigen a-Funktion in der Form q(g - 2]) 0 und^6„ divergent und sie stehe zu der Potenz00 reihe

f(z) =

£ anzn n=0

in der Beziehung, daß -—• bn

g

strebt..

§ 15. Verhalten von Potenzreihen usw.

33

n

Dann gilt die Behauptung:J£a„z hat einen Radius / und wenn z radial + 1 strebt, so ist auch

m

1,

n

Hz)= 9' *2. Gilt bzw. unter welchen zusätzlichen Bedingungen gilt der in der vorigen Aufgabe formulierte Satz auch noch, wenn sich die Variable wie bei I, § 11, Aufg. 9, in einem „Winkelraum" zt zt 1 bleibend, gegen + 1 bewegt ? 3. Mit Hilfe des in Aufg. 1 und 2 formulierten Satzes beweise man noch einmal den Abcischen Grenzwertsatz aus I, § 11, Aufg. 10,

indem man h(z) — —^— und 1— z

f(z) = r^—j;an zn = JJs„zn, s„ = a 0 + «i H b X z setzt. 4. Mit Hilfe des in Aufg. 1 und 2 formulierten Satzes beweise man die folgende Erweiterung des Abelschen Grenzwertsatzes: 00 Haben die Vorzahlen a , der Potenzreihe F(z) — £anzn die Eigenschaft, daß, wenn i 0 + a i H \~an n=0 = s n gesetzt wird, s

o + Si H h sn « + 1 ~" S strebt, so strebt auch F(z) -* s, falls z in einem Winkelraum z1z2l (vgl. Aufg. 2) gegen + 1 rückt. 5. Wenn z radial (oder, wie bei Aufg. 2, innerhalb eines Winkelraumes zt zt 1) gegen + 1 strebt, so strebt dabei a) ( 1 — « + « « _ « •

+ + . . . ) - J ,

b ) / l ^ i (1 + * + ** + s» + • • •) - * Krc, c)

- - (z 4- zP + zP' + zP'

IotJ-

—z {p ^ 2, ganzzahlig), Knopp. Funktionentheorie. II.

)

1

L0GP

34

V. Kapitel. Analytische Fortsetzung, d) (1 — 0)?+! (z + 2P«2 + 3 H

) - / ' ( ? > + 1)

(p > — 1, beliebig). 00

6. Die Potenzreihe f(z) = ^ a n 2 n habe den Radius 1 lind n=o

sei in z = + 1 konvergent: a0 + a x + • • • + an — s„ s Ist diese Konvergenz so stark, daß noch )/n • (s B — s) -->• 0 strebt, so strebt (vgl. Aufg. 3) auch dann noch f(z) s, wenn, z innerhalb der Ellipse ¡b» + 4 = 1 , or. bleibend gegen + 1 rückt. 7. Die beiden Reihen & z*

(0 6), dessen eine Ecke in 0 liegt. Es ist dann M v z, = 1 — z , v = 1 , 2 , . . . , p, und die nach p Schritten gewonnene Entwicklung um z p = 0 unterscheidet sich nur dadurch von daß eine Konstante additiv hinzugekommen ist. Daß diese = 2ni ist, findet man sofort, indem man p ->• + °° streben läßt. 2. Von der Potenzreihe f(z) =£anzn weiß man, daß die durch sie dargestellte Funktion f(z) auf dem Rande des Konvergenzkreises nur e i n e singulare Stelle z0 hat, und daß diese ein Pol erster Ordnung ist. Es soll gezeigt werden, daß dann

«n , , «n • z 0 und also a «n+l j>+l den Radius der Potenzreihe, strebt. 3. Die Potenzreihe Man setze z = ^ ^

00

= £ a„zn+1 M=0

habe den Radius 1.

, entwickle jedes Glied a„zn+1

nach

Potenzen von £ und ordne die entstehende Doppelreihe nach Potenzen von £ zu der Potenzreihe ^ ( C ) . Wie lauten die Koeffizienten von und welchen Wert hat demgemäß, d. h. nach dem Cauchy-Hadamardschen Satze, der Radius derselben? (Vgl. hierzu §2, Aufg. 3b.) Wie läßt Bich andrerseits der Radius von (f) aus den analytischen 2*

36

V. Kapitel. Analytische Fortsetzung.

E i g e n s c h a f t e n von f(z) ablesen? Welchen W e r t h a t er dah e r m i n d e s t e n s u n d welchen W e r t h ö c h s t e n s ? 4. Wie l a u t e t u n t e r den Bedingungen der vorigen Aufgabe die notwendige u n d hinreichende Bedingung dafür, d a ß die d u r c h $ ( 2 ) in \ z \ < 1 dargestellte F u n k t i o n f(z) in + 1 regulär i s t ? 5. Man zeige m i t Hilfe der B e t r a c h t u n g e n der beiden vorangehenden Aufgaben, d a ß die durch die Reihen 00 » Z (— 1 ) " 2 n + 1 u n d 2 (— 1)" •«=0 tt—0 11 +1 dargestellten F u n k t i o n e n in + 1 regulär sind. 6. Mit Hilfe des nach Aufg. 4 aufzustellenden Kriteriums beweise m a n noch einmal den Satz aus I, § 11, Aufg. 3. 7. Man erweitere den in der vorangehenden A u f g a b e nochmals behandelten Satz aus I, § 11, Aufg. 3 zu dem folgenden S a t z : H a t die Potenzreihe f ( z ) = Z a n z n den Radus 1 u n d gilt das Gleiche von der Potenzreihe

e)

— «) (Z — ft) (2 — c ) ;

3

f) | / ( z — a,) (z — at) • • • (2 — ak), 3

s)

i->3;

10«>(«—»)(»—c),»>8.

2. Man konstruiere die Riemannschen Flächen für die folgenden Funktionen:

§ 19. Mehrdeutige, insbes. algebraische Funktionen. a)log(2 — a);

41

b) log(z — a)(z — b); d) iog(i + 0 . ] 12. Was läßt sich unter den Bedingungen der vorigen Aufgabe über $f(z) und | f(z) | aussagen? 13. Die im Einheitskreis reguläre Funktion f(z) = a 0 + axz + a 2 z 2 + • • • ist dort sicher s c h l i c h t , falls 2 I «41 + 31131 + • • • ist. Vgl. § 18, Aufg. 6.

I • • • (z — zk)"t,

0 gegeben, so kann man zunächst p so bestimmen, daß hier der zweite Summand < J s ist, und hierauf « > p so, daß auch der erste Summand < -|e ausfällt. o 9. D a die Gleichung £ = a £ + ^ nur die Lösungen ^ 1 h a t , so kommen als etwaige Grenzwerte nur diese beiden P u n k t e in B e t r a c h t . I s t nun zunächst 9t(z 0 ) = 0, so ist aucli 91(2,) = 0 oder z, = cd. Die P u n k t e z^z^, bleiben also auf der Achse des I m a g i n ä r e n oder sind oo. S i e k ö n n e n dalier nicht ->• ± 1 streben, so d a ß die F o l g e d i v e r g i e r e n muß. D a für 9i(z 0 ) < 0 die Verhältnisse ebenso liegen wie für 3l(z 0 ) > 0, so genügt es, weiterhin 9i(z 0 ) > 0 vorauszusetzen. W i r führen dann die Schar © der Kreise ein, deren Mittelpunkte auf der positiven Achse des Reellen liegen und den Einheitskreis orthogonal schneiden. Liegt 2 auf dem R a n d e des Kreises ffi von © , so liegt dort auch 1 ß — und folglich liegt z' = £, so strebt z' = a z + — o gegen £' = « £ +

Man könnte daher um £ einen so kleinen

Kreis ! beschreiben, daß er + 1 nicht enthält und daß für alle z desselben das zugehörige z' in demjenigen Kreis ® der Schar © liegt, der von I außen berührt wird. Liegt also zp in so liegt z p + 1 und folglich auch zp+2, Z j , + 3 , . . . in Daher kann £ nicht Häufungspunkt von (z„) sein. Also strebt + 1.

§3. Funktionen einer komplexen Veränderlichen.

55

10. Es genügt, zu zeigen, daß jede abgeschlossene Halbebene die alle f enthält, auch alle enthält. Dazu betrachte man noch die Halbebenen und £>3, die um Parallelstreifen von der Breite e, 2e und 3e (e > 0) über § hinausragen. Man wähle p so, daß für v > p die z, in liegen, und setze für n>p = a

np+lzp+l 4~ " ' ' 4~ a nn a m so daß z'n — z'n -* 0 strebt. Nach § 1, Aufg. 1, liegt a

np+i 4" ' ' ' 4" ®nn

für n > p.

ebenfalls in

Da der Nenner — 4 - 1 strebt, so liegt z„ für n > pt > p in also z'n, wegen z'n — zj,' 0, für n > N in !q3. Also kann außerhalb kein liegen. Also auch nicht außerhalb da ein solcher Punkt für hinreichend kleines e auch außerhalb läge. § 3 . Funktionen einer komplexen Veränderlichen. 1. a) Ja. Beispiel: f(z) = [z |2; « » ) - « 0) = | « l - 0 . z — 0

2

In den Punkten z =)= 0 ist | z | offenbar nicht differenzierbar. b) Ja. Beispiel: f(z) = (S(z))2. Denn ist z = x + iy und ist z0 = x0 reell, so strebt für z-*z 0 V2 | (x — x£

, , +

iy\

In nicht-reellen Punkten ist f(z) offenbar nicht differenzierbar. 2. Ja. Beispiel: f(z) = f(x + iy) 0, falls y irrational, = 1, falls y = 0 ist,

1

1

p

-z, falls y = — (p,q ganz und teilerfremd, p + 0 , < / > 0 ) . T

0, so ist für zwei innere Punkte z' und z" des Einheits') Hat f(y) = kyl + my + n (k, m, n ganzzahlig, reell) die irrationalen (reelicn) Wurzeln y» und Vi, 30 ist zunächst

Hieraus folgt (Beweis?), daß für ein passendes, nur von k,m,n abhängiges c>0

IP

ist.

Ii

I —

I i

e

S 3. Funktionen einer komplexen Veränderlichen.

57

kreises, die von einem Punkte £ mit | f [ ^ 1 um weniger £ als entfernt sind, t" Jf'(z)dz Damit sind die Voraussetzungen von I, § 5, Aufg. 8, erfüllt. Das Weitere ist daher durch I, § 5, Aufg. 8 und 9 beantwortet. yi

5. Setzt man ) f x ~ + i y = a + iv, so ist y2 — % 1 2UV — y }• a ^ S0 m2 + f 2 = yz* + y* (SS 0 zu nehmen!).

Hiernach ist u — ± Y ^ x 1 + iß + x) und v gleich demjenigen der beiden Werte ± Vl(V x 2 + V2 — x)> für den uv das Vorzeichen von y hat (wegen 2uv = y). Für y = 0 ergibt die Formel ± ]fx bzw. ± t]/| x |, je nachdem x > 0 oder < 0 ist, und für x — y = 0 eindeutig den Wert 0. 6. Für nicht ganzzahlig-reelle Exponenten ist e* durch die Reihensumme e i n d e u t i g definiert, während für e die Potenz a* m e h r d e u t i g ist.

Z. B. ist e^ eindeutig,

[—e)^ zweideutig. 7. a) Setzt man z — 1 = q (cos

p . ei(0+3 0 gegeben, so läßt sich n 0 so bestimmen, daß für n > w0, fcS: 1, £ auf 5 (*) I f n + 1 ( 0 I + I fn+t(0 I + • • ' + I fn+*(0 I < £ ausfällt. Dann ist aber auch für alle z in

— die Integrale rechterhand im Sinne von § 4, Aufg. 3, verstanden. Wegen (*) ist, wenn die (sicher positive) untere Grenze des Abstandes | £ — z | eines Punktes von © und eines Punktes von mit q und die Länge von 6 mit l bezeichnet wird, die letzte Summe

woraus die Behauptung folgt. 4. Liegt £ innerhalb ©, so läßt sich um £ ein so kleiner Kreis ® mit dem Radius Q beschreiben, daß seine Peripherie auch noch ganz innerhalb © liegt und daß in ihm und auf seinem Rande F(z) 4= 0 -ist, außer etwa in £ selbst. Nach K I, § 33, Satz 2, ist dann 1 fF'(z) je nachdem F(£) 4= 0 oder aber von der Ordnung « verschwindet. Von diesem Integral unterscheidet sich aber das Integral (b) 1 '

1

2m

m

m A J s„(e)

z

64

I. Kapitel. Weitere Aufgaben zu I, Kap. 1—6.

um beliebig wenig, wenn nur n groß genug ist. Denn bezeichnen wir mit [x > 0 die untere Grenze von | F(z) \ auf dem Rande von Ä und wählen ein positives e < \fi, so kann man n0 so bestimmen, daß für n>n0 und alle 2 auf stets | s„(z)—F(z) | < e und nach K I , § 19 gleichzeitig auch | Sn(z) — F(z) | < e ist. Dann ist erstlich längs ft1 | s„(z) | > \n, das Integral (b) also vorhanden, und weiter die Differenz von (a) und (b) ihrem Betrage nach 2»

Max

« I m «.wr das Maximum auf dem Rande von £ genommen; also ^

^

l' 2 i s t j / ( z - l ) ( z - 2 ) = ± z ( l — ( l - j J . Werden hier die Binomialentwicklungen genommen, so ist für | z | > 2 unsere Funktion also

= ± «b« —Ci + - — J + wenn /«l r i + 2 \nJ \n gesetzt wiid. 1 c) (z — a) (z — b)

- -

Cfl=

1 H -a

a—b 1

1 1 z

1 b—i a + b

1 1 2 6

7 1 a —b 1

d) (z—a)(z—b)

a2 « , 1 + '? P + 7 l b—a b—a

1 +

+ 2

2 z2 bi + p 2

b — ix

3

+

6 — a3

') Des bequemeren Druckes wegen ist i = a gesetzt worden.

§ 6. Die Laurentsche Entwicklung;

69

e

) log; gestattet für | z | > 1 keine Laurent-Ent1—z wicklung, da die Funktion dort nicht eindeutig ist. Setzt 1 m a n — = z , so ist z 1 — z' 2 -iog y^TZ' = l o e ') + l o e f n 7 /

x

i\

l

l

l

ein Ersatz für die fehlende Entwicklung. 4. In 0 < | z | < oo ist g(z) • y(z) regulär und wird dort durch die Reihe +< ®

£ Cn*fl » — — OD dargestellt, in der für alle n =

0

+ 00

c» =

k

2 a*k -f a({]z

1- a^z1)

ausmultipliziert und die Glieder mit zx sammelt. Nach dem Weierstraßschen Doppelreihensatz ( K I , § 20, Satz 3) ist

§ 9. Unendliche Produkte. Weierstraßscher Produktsatz. 83 nun, weil nach K II, S. 17/18 die Keihe P1 + (P2 — P x ) + • - • in | s | ^ q < r gleichmäßig konvergiert, bei festem A auch die Beihe 4 " + ( 4 2 ) - 4 x ) ) + • • • = lim Af> n—>oo konvergent und hat zum Werte den Koeffizienten Ax_ „ SinTTZ 7t2«2 ^Z 4 8. Es ist =1 5 - + Tön— +••• und 7t2 6 120 andererseits durch Ausmultiplizieren des Produkts nach der vorigen Aufgabe

=i-C#i>2+L#1L#+1^)

Es ist also

1 7C2 — = — und n=m2 6 00

y l ( y i L y l i y i L ^ A k* \n~1r+l nV n=2 « 2 U n fc2/ 120' Addiert man die beiden letzten Beihen gliedweise, so erhält L 1 1 \2 /, 1 1 \ ti4 60 4 4 4 T T, ist • . £2. — 1 = Tl Hiernach — —7t-— =7t—-. »•Tin4 36 60 90

9. a) C 0 = 1, Ci = J c„, C,'= J cxcA, .—1 ISkcA 00

c 3 = 1S*