Aufgabensammlung zur Funktionentheorie: Band 2 Aufgaben zur höheren Funktionentheorie [6. Aufl. Reprint 2019] 9783111364971, 9783111007823

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

878

AUFGABENSAMMLUNG ZUR FUNKTIONENTHEORIE von

PROF.

DR. K O N R A D

KNOPP

ein. o. Professor d e r M a t h e m a t i k an der Universität

Tübingen

n AUFGABEN ZUR HÖHEREN

FUNKTIONENTHEORIE

Sechste Auflage.

WALTER DE GRUYTER & CO. v o r m a l s G . J. G ö s c h e n ' s c h e V e r l a g s h a n d l u n g • J. G u t t e n t a g , Verlagsbuchhandlung • G e o r g Reimer • Karl J . T r ü b n e r • Veit & C o m p .

BERLIN

1964

© Copyright 1964 by Walter de Gruyter & Co., vormals 6. J. Göschen'ache Verlagshandlung — J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — Karl J . Trübner — Veit & Comp., Berlin 30. — Alle Reche , einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, vom Verlag vorbehalten. — Archiv-Nr. 7713 644. — Druck : Lindemann & Lüdecke, Berlin 36. Printed in Germany.

Inhaltsverzeichnis. Vorbemerkungen I. Kapitel. Weitere Aufgaben zu I, Kap. 1—61). § 1. Grundlegende Begriffe § 2. Zahlenfolgen und unendliche Reihen . . § 3. Funktionen einer komplexen Veränderlichen § 4. Integralsätze § 6. Reihenentwicklungen II. Kapitel. Singulare Stellen. § 6. Die Laurentsche Entwicklung § 7. Die verschiedenen Arten siugulärer Stellen § 8. Residuensatz, Nullstellen und P o l e . . . III. Kapitel. Ganze und meromorphe Funktionen. § 9. Unendliche Produkte. Weierstraßscher Produktsatz § 10. Ganze Funktionen §11. Teilbruchreihen. Mittag-Lefflerscher Satz § 12. Meromorphe Funktionen IV. Kapitel. Periodische Funktionen. § 13. Einfach-periodische Funktionen . . . . § 14. Doppelt-periodische Funktionen . . . . V. Kapitel. Analytische Fortsetzung. §15. Verhalten von Potenzreihen-auf dem Rande des Konvergenzkreises §16. Analytische Fortsetzung von Potenzreihen § 17. Analytische Fortsetzung beliebig gegebener Funktionen VI. Kapitel. Mehrdeutige Funktionen und Riemannsche Flächen. § 18. Mehrdeutige Funktionen im allgemeinen § 19. Mehrdeutige, insbesondere algebraische Funktionen VII. Kapitel. Konforme Abbildung. § 20. Begriff und allgemeine Theorie . . . . §21. Besondere Abbildungsaufgaben

4

Seite

6») 6 9 10 12 13 15 17 20 24 25 28 29 30 32 34 36 38 40 41 44

>) ». Vorbemerkungen. *) Die In der ersten Spalte angegebene Seitenzahl bezieht sieb auf die A u f g a b e n , die in der zweiten angegebene auf die L O s u n g e n . 1*

Vorbemerkungen. Auch in diesem zweiten Teil der Aufgabensammlung zur Funktionentheorie — auf den ersten Teil wird kurz mit „I unter Angabe von Kapitel, Seite oder Paragraph und Aufgabe, auf den vorliegenden zweiten Teil nur durch Angabe von Seite oder Paragraph und Aufgabe verwiesen — habe ich mich streng an die in der Sammlung Göschen vorhandenen funktionentheoretischen Bändchen gehalten. Sie werden wie bisher zitiert, doch beziehen sich die Zitate auf die {olgenden inzwischen erschienenen neuen Auflagen: I =

A u f g a b e n s a m m l u n g zur F u n k t i o n e n t h e o r i e , I. Teil: A u f g a b e n zur elementaren F u n k t i o n e n t h e o r i e , 4. Auflage, 1947. Elem. = K n o p p , Elemente d e r F u u k t i o n e n t i i e o r i e , 3. Auflage, 1947. KI = K n o p p , F u n k t i o n e n t h e o r i e I, 7. Auflage, 1947. K II = K n o p p , F u n k t i o n e n t h e o r i e II, 7. Auflage, 1947. Bi

=

B i e b e r b a c h , Einführung in die konforme Abbildung, 3. Auflage, 1937. Auch diesmal handelt es sich in der Hauptsache nur um Übungsaufgaben, durch die der Gedankenkreis der genannten Bändchen nicht wesentlich überschritten wird. Nur innerhalb dieses Rahmens, nicht in irgendeinem absoluten Sinne, ist die Einteilung in elementare und h ö h e r e Funktionentheorie gemeint. Die jetzigen Aufgaben lehnen sich in der Hauptsache an die letzten Kapitel von K I, sowie an K II und Bi an. Für die Benutzung sind weiterhin die Vorbemerkungen zu I maßgebend. — Mit der Verteilung der Sternchen (*) zur Bezeichnung der schwierigeren Aufgaben ist, dem jetzigen höheren Niveau entsprechend, etwas sparsamer umgegangen worden.

Erster Teil.

Aufgaben. I. K a p i t e l

Weitere Aufgaben zu I, Kap. 1—5. § 1. Grundlegende Begriffe. 1. Es seien k Punkte zv z 2 , . . z k in der Ebene der komplexen Zahlen gegeben, und es seien a ^ a j , . . ., n + l \

n=0 n=0 folgt für jedes positiv-ganze q die Konvergenz der Reihe n=0

00 00 2. Aus den beiden unendlichen Reihen 21 a n und £ bn n=0

bilde man durch die Festsetzung cn

=

ein dritte Reihe

a0bn

00

+

«!&„_!

H

fr

a„60

cn. Dann gelten die 3 Sätze: n=0

n=0

§ 2. Zahlenfolgen und unendliche Reihen.

7

a) Wenn die beiden ersten Reihen absolut konvergieren und die Summen A bzw. B haben, so konvergiert auch die dritte und hat die Summe C = AB. b) Für die Gültigkeit der Behauptung des Satzes a) ist es hinreichend, wenn von den beiden ersten Reihen nur die eine absolut, die andere wenigstens bedingt konvergiert.

c) Falls alle drei Reihen konvergieren (wenn auch nur bedingt), so besteht zwischen ihren Summen A, B und C jedenfalls die Beziehung AB = C. OD

3. Ist 2 konvergent, so konvergieren auch stets die n-0 beiden Reihen X , Ä«i+2a2H b na„ a) 0,,+ £ M(W + 1 ) B =i 00

1

M

b)

««+ 1 K + - - - +

> »

und haben dieselbe Summe wie £ a n . oo 4. Die Reihe T

ft=0

j

— r r — konvergiert für k e i n reelles a.

n=lnl oo

5. Die Reihe £

+ ,a 1

, ,. ,

konvergiert für jedes reelle

«4=0. 6. Für welche z gilt die durch formale Entwicklung von (1 — l) z entstehende Gleichung

*7. Man zeige, daß für | z \ < 1 die folgenden Identitäten bestehen:

8

L Kapitel. Weitere Aufgaben zu I, Kap. 1—5.

log (! + *•), !«I < l. *8. Ist f(z) =

00

a„zn eine Potenzreihe mit dem Kon-

71=0

vergenzradius r > 0 , ist (bn) eine Zahlenfolge, für die

strebt, und ist hierbei | ß | < r, so strebt e,i _ «o6» + aiK-i

-I

H «A

m-

*9. Es seien x und ß zwei positive Zahlen mit der Summe 1. Es werde bei gegebenem z0 mit SROO^O ß gesetzt, so daß auch SR (*:,) ^ 0 ist, und allgemein für n ^ ß

1

Z„ = 0, t n -+ — 1, falls m(So) < 0, war.

Für SR («0) = 0 ist die Folge sinnlos oder divergent.

10. Im Anschluß an § 1, Aufg. 1 und I, § 3, Aufg. 6, zeige man folgendes: Es sei (z„) eine beliebige beschränkte Zahlenfolge und Ä der kleinste konvexe Bereich, der alle ihre Häufungspunkte £ enthält. Ist dann die Folge (zi) wie in I, § 3, Aufg. 6 aus der Folge (z„) hergeleitet, und sind

§ 3. Funktionen einer komplexen Veränderlichen.

9

dabei alle Transformationskoeffizienten a„x sS 0, so enthält ff auch alle Häufungspunkte f der Folge (z'n). § 3. Funktionen einer komplexen Veränderlichen. 1. a) Kann eine für [ z j < 1 definierte stetige Funktion komplexen Argumentes so beschaffen sein, daß sie nur im Nullpunkt differenzierbar ist? — b) Kann eine in einem Gebiete stetige Funktion f(z) dort ausschließlich längs gewisser Linienzüge differenzierbar sein? *2. Kann eine in einem Gebiete © definierte Funktion f(z) so beschaffen sein, daß sie in überall dicht gelegenen Punkten von © differenzierbar und gleichzeitig in anderen überall dicht gelegenen Punkten von © n i c h t differenzierbar ist? 3. Kann eine in einem Gebiete (3 definierte und dort differenzierbare Funktion f(z) in einem Teilgebiete von @ überall reell sein oder allgemeiner einen konstanten reellen oder einen konstanten imaginären Teil oder einen konstanten Arcus oder einen konstanten absoluten Betrag haben? 4. Die Funktion f(z) sei in J z | < 1 differenzierbar und ihre Ableitung f'(z) sei dort beschränkt. Dann nimmt f(z) längs j z | = 1 stetige Randwerte an, und diese bilden mit f(z) zusammen eine in | z i ^ 1 gleichmäßig stetige Funktion. (Vgl. hierzu I, § 5, Aufg. 8 und 9.) 5. Es ist ]'x -f- iy - ±

+ f

+ x) + t/4(j7*2

+ f

}

wenn für \Jx + iß der nicht negative Wert genommen wird und wenn für y ^ 0 die Vorzeichen der beiden (großen) Wurzeln in der geschweiften Klammer so gewählt werden, daß das Produkt dieser Wurzelwerte dasselbe Vorzeichen wie y hat. 1

10

I. Kapitel. Weitere Aufgaben zu I, Kap. 1—6.

6. Welche Inkonsequenz gegenüber anderweitigen F e s t setzungen über Potenzen liegt daxin, daß unter e* allgeoo 2 n mein die Summe der Reihe 2 — verstanden wird? n=o n ! f — Y 7. a) Welche Grenzwerte hat die Funktion e u — z ' , wenn m a n sich aus dem Innern des Einheitskreises geradlinig dem P u n k t e + 1 n ä h e r t ? (---Y b) Wie verhält sich e y i ~ z j , wenn man sich längs der Peripherie | z | = 1 dem P u n k t e + 1 n ä h e r t ? 8. a) Die Funktion z" ist dann und nur dann eindeutig, wenn a eine reelle ganze Zahl ist. b) D e r Hauptwert der F u n k t i o n z' bleibt für alle z der E b e n e seinem B e t r a g e nach unterhalb einer festen K o n stanten. 9. Der für | z | < 1 reguläre Zweig der F u n k t i o n f(z) = (1 — z f , der in z = 0 gleich + 1 ist, hat einen absoluten B e t r a g , der für | z | < 1 zwischen zwei festen positiven Zahlen liegt. * 1 0 . W i e verhält sich die F u n k t i o n z 3 « - * 1 0 « ' * , in der l o g z den Hauptwert bedeuten soll, wenn sich z aus der (abgeschlossenen) rechten Halbebene her geradlinig gegen 0 bewegt? § 4.

Integralsätze.

1. a) K a n n ein rektifizierbarer W e g so beschaffen sein, daß er in einem oder in unendlich vielen seiner P u n k t e k e i n e Tangente b e s i t z t ? * b ) K a n n er in überall dicht auf ihm gelegenen P u n k t e n oder gar in allen k e i n e T a n g e n t e besitzen? * 2 . Der rektifizierbare W e g f sei durch die Parameterdarstellung * -

I . V — 1

J

stets vorhanden ist (s. K I, § 9). 4. Ist f(z) eine längs des Weges f stetige Funktion von z, so ist stets \*fmdz\^vj\f(z)\\dz\, wenn das rechtsstehende Integral im Sinne der vorigen Aufgabe (mit F(z) = [ f(z) |) verstanden wird. 5. Wie hängt das in Aufg. 3 definierte Integral mit den Kurvenintegralen O f U(x, y)ds

und

/ F ( j , y)ds

zusammen, wenn F(z)— U(x, y) + iV(x, y) gesetzt wird? G. Man beweise den in I, § 5, Aufg. 13 formulierten Satz ohne Zerlegung in Reelles und Imaginäres durch Benutzung der Cauchyschen Integralformeln. 7.* Die Funktion F(z, t) sei definiert, sobald z in einem Gebiete© und zugleich t auf einem Wege f der «-Ebene liegt, der a mit b verbindet. Für alle diese Wertepaare sei überdies F(z, t) beschränkt, etwa | F(z, t) | < M. Wenn dann F(z, t) a) für jedes feste t auf f eine in 0 reguläre Funktion von z ist und

12

I. Kapitel. Weitere Aufgaben' zu I, Kap. 1—5.

b) für jedes feste z aus © eine längs I stetige Funktion von t ist, so wird durch V f F ( z , t)'dt =

f(z)

a

eine innerhalb © reguläre Funktion von z definiert, für deren Ableitung die Darstellung gilt: m =
/ a

f'z(Z, t)dt.

[Anl.: Man betrachte das Integral

ss»/{ « / ? ! ? « } * in dem eine kleine Peripherie um z bedeutet, und wende die Methoden aus K I, § IG an.] § 5. Reihenentwicklungen. 1. Es sei © ein abgeschlossenes, beschränktes Gebiet. Die Reihe

CD

fn(z) sei gleichmäßig konvergent in einer gen=0 wissen Umgebung eines jeden Punktes.z 0 von ©, soweit sie zu © gehört. Dann ist die Reihe in © gleichmäßig konvergent. 2. Man beweise den Satz K I, § 19, Satz 3, ohng Hilfe des Satzes von' Morera, etwa auf Grund der Cauchyschen Integralformel und der Sätze K I, § 16. 3. Im Anschluß an K I, '§ 19, Satz 3, zeige man, daß, wenn neben der Reihe JHfn{z) auch die Reihe | f„(z) | in jedem ©' gleichmäßig konvergiert, dieser Satz 3 dahin verschärft werden kann, daß auch die Reihen | | bei festem p in jedem ©' noch gleichmäßig konvergieren. 4. Die Funktionen f0(z), f ^ z ) , . . . seien in © regulär und

00

n-0

fn(z) = F(z) sei in jedem abgeschlossenen Teilgebiet

§ 6. Reihenentwicklungen.

13

von © gleichmäßig konvergent, aber F(z) nicht identisch gleich 0. Dann sind die innerhalb von © gelegenen Nullstellen von F(z) identisch mit den dort gelegenen Häufungsstellen der Nullstellen der Abschnitte Sn(z) = W) + • • • + 5. Die Potenzreihe f(t) = (1 -

«)-' =

i ( - 1 ) " ( " *) >i—0 \« /

«z). =

J 6nz" n=0

ist für | ä | < 1 konvergent und es ist dort | /"(a) | < Man zeige überdies, daß

ji e 2.

strebt.

i 6. Der Hauptwert der Funktion (1 + z) 2 ist in der Umgebung des Nullpunktes regulär. Man stelle den Anfang der zugehörigen Potenzreihenentwicklung auf. *7. Im Anschluß an die Aufgabe I, § 10, l a stelle man die vollständige Potenzreihenentwicklung der Funktion f(z) —

=

J cnzn n—0 auf und zeige, daß für positive « die Vorzahlen cn eine Abschätzung der Form Ln — e 2 / ^ ( 1 + *„) gestatten, in der die e n eine Nullfolge bilden. II. K a p i t e l .

Singulare Stellen. § 6. Die Laurentsche Entwicklung. 1. In dem von dem geschlossenen doppelpunktfreien Wege begrenzten Gebiete liege der geschlossene doppel-

II. Kapitel. Singulare Stellen.

14

punktfreie Weg In dem Ringgebiete © zwischen beiden sei f(z) eindeutig und regulär. Dann kann gesetzt werden, wenn f x (z) eine innerhalb und ft{z) eine außerhalb ® a (einschließlich oo) reguläre Punktion bedeutet. Durch diese Zerlegung von f(z) sind überdies die Funktionen f^z) und f2(z) bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt. 2. Man erweitere den Satz der vorigen Aufgabe f ü r den Fall, daß mehrere geschlossene Wege ® 3 , . . . , ff«, (m > 2) umschließt, die einander nicht treffen noch umschließen, und daß nun f(z) in demjenigen Gebiete als eindeutig und regulär vorausgesetzt wird, das innerhalb ffj, aber außerhalb eines jeden der Wege ff,...., liegt. 3. Man entwickle die Funktion i

a) e ' - ^ f ü r \ z\

>1,

b) 1 / ( 2 - 1 ) (z -

2) f ü r | z j > 2,

(z — a)(z — b)

fÜf

» < H < M < 1 * ! .

d) dieselle Funktion für \ z \ > b. e) l o g ^ f ü r

|z|>l

in ihre Laurentsche Reihe. 4. Es Sei CD

g(z) = 2! a n2" eine ganze Funktion von z, n=0 00

/«

7" ? fi

16

II. Kapitel. Singulare Stellen.

4. Man beweise die Tatsache, daß c z keine Nullstellen besitzt, mit Hilfe des Satzes 2 in K I, § 33. 5. Welche wesentliche Verschiedenheit besteht zwischen dem Verhalten der reellen Funktion

y — I e " * ' für 3=4= 0, [0 für x = 0 und der Funktion komplexen Arguments w = e 2° in der Nähe des Nullpunktes? 6. Die Funktion f(z) habe in z0 einen Pol ß teT Ordnung ( ß ^ 1) und sei sonst in dem Kreise ft um z0 regulär. Unter welchen Bedingungen sind die Funktionen

F0(z) -

j f ( z ) d z und F J z ) = / f(z)dz,

z,

r, (! und 2x=t= 20 in Jl), in der Umgebung von z0 eindeutig und regulär, und wie verhalten sie sich in solchem Falle in z 0 ? 7. Es sei I ein beliebiger beschränkter Weg (geschlossen oder offen) und R eindeutig und, von z = oo etwa abgesehen, auch regulär. Unter welchen Bedingungen ist dort auch die Funktion

F{z)^jmd: z«

§ 8. Residuensatz, Nullstellen und Pole.

17

eindeutig und regulär, wenn z 0 und I in | z | > R liegen ? Und was folgt aus dem Verhalten von f(z) ift oo über dasjenige von F(z) in oo? 9. Man beweise den Riemannschen Satz K I , § 32, Satz 3 ohne Benutzung der Laurentschen Entwicklung direkt mit Hilfe der Darstellung

in der und ® 2 zwei passende Kreise um zü bedeuten und 2 im Ringgebiete zwischen beiden liegt. 10. Man beweise den Casorati-Weierstraßschen Satz „| f(z) — e | < e " (s. K I , §28, Satz 5), indem man die entgegengesetzte Annahme

f(z) — c

< -" e

mit

Hilfe

des nach der vorigen Aufgabe bewiesenen Riemannschen Satzes als unzulässig dartut. *11. Die Funktion w = f(z) habe in z0 eine wesentlich singulare Stelle; dann gibt es in jeder Nähe jeder komplexen Zahl c eine andre Zahl a, so daß f(z) in der Umgebung von z 0 unendlich viele «-Stellen hat. § 8. Residuensatz, Nullstellen u n d Pole 1. Mit Hilfe des Satzes von Rouchö in K II, § 11, S. 97, beweise man den Fundamentalsatz der Algebra, indem man cp(z) = a0 + axzH

(- a^z"-1

u n d f(z) = anz", (au=h 0),

setzt und für E einen Kreis mit hinlänglich großem Radius wählt. 2. Der Satz „Wenn die ganze r a t i o n a l e Funktion g(z) lauter reelle Wurzeln hat, so hat auch ihre Ableitung g'(z) lauter reelle Wurzeln" (vgl. § 1, Aufg. 3) gilt n i c h t für ganze transzendente Funktionen. Man belege diese Behauptung durch ein Beispiel. Knopp,

Fucktlouentlieorie.

IT.

18

II. Kapitel. Singulare Stellen. 3. Man bestimme die Residuen von a)

sin

z

in z = kn,k — 0, ± 1, ± 2,...,

%-l)(«-g)»i'

t g =

c)

™

{ z - z ^ i z - z ^

Zl

+

l u i

'd,=8

u n d

+

kn,

e)

Zl

'

+

8

'

( a = h

m

-

1

ganz), i

7t

d) tg z in 2 = Zfc => — + f)

JL

e*—1

in

z

= + 1,

—

i g) - — - in

ez

z =

in

z

= 0,

2km.

4. Die Funktion f(z) habe in z0 eine Nullstelle a t ? r Ordnung. Welches ist das Residuum von

•» -

in 20, wenn 95(2) eine beliebige in z0 reguläre Funktion bedeutet? Wie lautet die Antwort, wenn f(z) in z0 einen Pol ß* T Ordnung hat? 5. Im Anschluß an die vorige Aufgabe bestimme man den Wert und die Bedeutung der Integrale 1 (G> r f'(z) 1 (®) r f'(n) 2m

J

z'j de f(z)

und

2m

I J ^

w(z)'-^ / V a) J — dz, falls © der Kreis | z | = 1 ist, b) f tCTizdz, falls © der Kreis | z | = n, n = 1, 2, 3,..., ist, o

(ffi)

r

/

m dz, (z — z1)(z — z2)...(z — zt)

falls © der Kreis | z | = R ist und unter der Annahme, daß die z, voneinander verschieden und alle | zv | < R sind und daß f(z) in | z | Ä eindeutig und regulär ist. 8. Es sei R(x) = "o +

•

l0+\x-\

• • + «m*m eine ratio-

f-bks*

nale Funktion mit reellen Vorzahlen, deren Nenner für keinen reellen Wert von x verschwindet, während der Grad des Nenners den des Zählers um mindestens zwei Einheiten übertrifft (am=t=0, 0, k 2 i m + 2). Dann ist das reelle Integral +»

f R(x)dx OD

konvergent und gleich 2jii mal der Summe 8 der ßesiduen der in der oberen Halbebene gelegenen Pole von R(z). 9. Im Anschluß an I, § 7, Aufg. 6 und 6 zeige man, daß ?sin a; , ti

J= J dx = 5 x 2

ist.

Anl.: Das erste und dritte der dortigen Integrale er-

geben zusammen

20

ITT. Kapitel. Ganze und meromorphe Funktionen. 'r

sin x zi I —— d.c. J x

'10. Unter Verwertung des reellen Integrals J e-l'dt 0 y. = i f e - " u ~ *du = i r (J) = \ ]/n (s. K I T , § 6, 3. ö Heispl., (6)) berechne man die Fresnelschen Integrale / c o s ( t 2 ) d t = / s i n (P)dl = /" , ü o ^ \ 2 indem man die ganze Funktion e—über den geschlossenen Weg 6 integriert, der von 0 geradlinig nach + Ä, von hiei in längs | z | = R zum Punkte zy— Re 4 und von hier geradlinig zurück, nach 0 führt. (Man läßt dann B ^ + oo streben.) III. K a p i t e l . Ganze und meromorphe F u n k t i o n e n . § 9. Unendliche Produkte. Weierstraßscher Froduktsatz. 1. Es soll die Konvergenz und der Wert der folgenden Produkte mit konstanten Faktoren festgestellt werden:

a)

k

1

t +

• ® n3 _ 1 0 )

Ä i ? + i

:

;

2

5

T "4

n2

+1

" s r - -

2. Die reellen Zahlen &n sollen für jedes n = 1 , 2 , 3 , . . . der Bedingung 0 < < 1 genügen, sonst aber ganz beliebig sein. Dann ist die Reihe

§9. Unendliche Produkte. Wcicrstraßscher Produktsatz. 2 1

•• • • + w i - • • • ( ! +• • • s t e t s konvergent. 3. Der Satz 4 in K II, § 2, soll a) mit, b) ohne Benutzung der Exponentialfunktion bewiesen werden. 4. Es sei | a n |2 konvergent. Dann sind die beiden Bcihen und 2 log (1 + a n), bei denen alle an 4= — 1 angenommen sind und unter log der Hauptwert verstanden werden soll, entweder beide konvergent oder beide divergent. Im ersten Falle ist die Konvergenz entweder bei beiden eine absolute oder bei beiden eine bedingte. 5. Es soll das Gebiet der absoluten Konvergenz der folgenden Produkte mit veränderlichen Gliedern festgestellt werden: a) I I ( 1 - Z " ) ;

b) / n i + z 2 ");

n=l

n=0

OD

05

c) tt=0 J J (1 + cnz),

wenn M=0 ^ | c„ [ konvergiert;

wenn hierin p alle Primzahlen durchläuft. 6. F ü r | 21 < 1 ist a ) (1 + z) (1 + «») (1 + * « ) (1 + « • ) . . . =

J — ;

I — z

(Vgl. K II, § 2, Satz 6.) 7. Die Funktionen fn(z), n = 1 , 2 , . . . , seien im Kreise | z | < r regulär u n d ^ | fn(z) | sei in jedem kleineren Kreise | z | ^ q < r gleichmäßig konvergent, so daß (nach K II, § 2, Satz 7)

F(z) = n (1 + /»(*)) = n-1

¿-0

22

III. Kapitel. Ganze und meroinorphe Funktionen,

eine für | z | < r reguläre Funktion ist. Setzt man nun /„(z)= l a ( / V , also F(z)

=

2

A#l

=

f [

a• oo. Es ist dann sinngemäß zu sagen, daß f(z) an jenem Ende einen Pol besitze. Wie ist unter diesen Umständen die Ordnung eines solchen Poles zu definieren ? 6. Eine jede der in Aufg. 3 genanntun Funktionen f(z) nimmt im Streifen (einschließlich seiner Enden) jeden Wert, auch den Wert oo, bei richtiger Zählung gleich oft an. 7. Eine Funktion mit der primitiven Periode + 1 gehört dann und nur dann zu der in Aufg. 3 genannten Klasse von Funktionen, wenn sie im Streifen, einschließlich seiner Enden, keine andern Singularitäten als Pole besitzt. § 14. Doppelt-periodische Funktionen. 1. Es sei das durch das primitive Periodenpaar ai, co bestimmte Periodengitter einer doppelt-periodischen Funk-

§ 14. Doppelt-periodische Funktionen.

31

tion vorgelegt. Man gebe sämtliche primitiven Periodenpaare an. 2. Sind z1,zl,.. .,zk die Nullstellen oder allgemeiner die c-Stellen einer elliptischen Funktion f(z) im Periodenparallelogramm, eine jede so oft gesetzt, wie es ihre Vielfachheit verlangt; sind £v • • •> Ct ebenso die Pole, so ist J!zh—J^Cx gleich einer Periode der Funktion. 3. Ist f(z) eine u n g e r a d e elliptische Funktion und LO eine ihrer Perioden, so ist £.55 entweder eine Nullstelle oder ein Pol von f(z), und zwar notwendig von u n g e r a d e r Ordnung. 4. Auf welches Gebiet der w-Ebene wird das Fundamentalparallelogramm eines durch (co, w') bestimmten Parallelo2ni —z

grammnetze8 der «-Ebene durch w = e°> abgebildet? Und auf welches Gebiet der Streifen, der aus dem Fundamentalparallelogramm durch die Translationen (k' co') entsteht? 5. Jede eindeutige Funktion f(z) mit der primitiven Periode co kann nach K II, § 8, Satz 1, als eindeutige Funk2ni

—z m

tion 9?(£) von £ = e aufgefaßt werden. Wae bedeutet es dann für , \o>') auf dem Bande des Fundamentalparallelogramms und auf dessen Mittellinien reell. Auf welches Gebiet der w-Ebene wird in diesem Falle das Fundamentalparallelogramm durch w = p(z\ abgebildet? Anl.: Man untersuche den Werteverlauf von p(z) auf dem Bande des bei 0 liegenden Viertels des Fundamentalparallelogramms. *8. Für die Summen

32

V. Kapitel. Analytische Fortsetzung. s

n 77 : 7Ü,' — 3, 4, 5 , . . ., ujt {kco+koj )n beweise man die Relationen a) s.2m+1 = 0 f ü r m = 1, 2, 3 , . . .; b) s, = . 9. Die Funktion w = p(z \ \io, genügt (s. K II, § 9, Satz 9) der Differentialgleichung

n —

w'2 = 4iv3 — g2w — g3 mit g2 = 60 s 4 , g3 = 140 s 6 , wenn sn die in Aufg. 8 angegebene Bedeutung hat. Man zeige, daß die Wurzeln der kubischen Gleichung 4iv3 — gzw — g3 = 0 die Werte p(ioj), p(jO)'), p(i(co + « ' ) ) einander verschieden sind.

haben und von-

10. I m Anschluß an K II, § 9, Satz 10, und an Aufg. 2 zeige man, daß sich jede elliptische Funktion f(z) als „ c Quotient", d. h. mit Hilfe der zum gleichen Periodenparallelogramm gehörigen or-Funktion in der Form q(z — z,)g(g — Zj) •••a{z—

zk)

a(z — Cj a(z — f2) • • • a(z — darstellen läßt. V. K a p i t e l .

Analytische Fortsetzung. § 15. Verhalten von Potenzreihen auf dem Rande des Konvergenzkreises. 00

£ bnznhabe den Radius r = l . «=o divergent und sie stehe zu der Potenz-

1. Die Potenzreihe/¿(a) = es sei b n > 0 03

reihe f(z) — 2 anzn »=0

^n in der Beziehung, daß -—„

§ 15. Verhalten von Potenzreihen usw.

33

Dann gilt die Behauptung:J£a n z" hat einen Radius r' 3 : 1 , und wenn z radial + 1 strebt, so ist auch

*2. Gilt bzw. unter welchen zusätzlichen Bedingungen gilt der in der vorigen Aufgabe formulierte Satz auch noch, wenn sich die Variable wie bei I, § 11, Aufg. 9, in einem „Winkelraum" s, zt 1 bleibend, gegen + 1 bewegt ? 3. Mit Hilfe des in Aufg. 1 und 2 formulierten Satzes beweise man noch einmal den Abelschen Grenzwertsatz aus I, § 11, Aufg. 10,

indem man h(z) =

* und 1— z

f(z) = —— J?a„ 2" = Hsnzn, = ao + aH M„> i —z setzt. 4. Mit Hilfe des in Aufg. 1 und 2 formulierten Satzes beweise man die folgende Erweiterung des Abelschen Grenzwertsatzes: Haben die Vorzahlen a,t der Potenzreihe CD F(z) = £anzn die Eigenschaft, daß, wenn a0+ax + • • • + «n n=0 = s„ gesetzt wird, Sp + S H h 8, n + 1 strebt, so strebt auch F(z) -*• s, falls z in einem Winkelraum Zj&jl (vgl. Aufg. 2) gegen + 1 rückt. 5. Wenn z radial (oder, wie bei Aufg. 2, innerhalb eines Winkelraumes zt z, 1) gegen + 1 strebt, so strebt dabei a) ( 1 — z + z4 —z 9 + z 16

c)

1

^ - ( Z + ZP + ZP' + 1

° 1—z

0

2, ganzzahlig),

K n o p p . Funktionentheorie.

II.

ZP'+---)^~ l0gP

0

34

V. Kapitel. Analytische Fortsetzung.

d) (1 — z)P+! (2 + 2Pz2 + 3P22 H ) - i > + ]) (p > — 1, beliebig). OD 6. Die Potenzreihe f(z) = J£a„zn habe den Radius 1 und n=o sei in 2 = + 1 konvergent: a0 + a x + • • • + an = s„ s Ist diese Konvergenz so stark, daß noch |/« • (s„ — s) 0 strebt, so strebt (vgl. Aufg. 3) auch dann noch f(z) -»s, wenn, 2 innerhalb der Ellipse +

(0 + 1 strebt? 8. Die Funktion (1—z) • sin |log ^ ^ ^ j , bei der der log den Hauptwert bedeuten soll, läßt sich für | z | < 1 in eine Potenzreihe entwickeln. Man zeige, daß diese Reihe für | 2 | = 1 noch absolut konvergiert.

§ 16. Analytische Fortsetzung von Potenzreihen. 1. Es soll die Mehrdeutigkeit der durch die Potenzreihe

§ 16. Analytische Fortsetzung von Potenzreihen.

35

definierten Funktion dadurch festgestellt werden, daß man die Reihe im negativen Sinne um den Punkt + 1 herum bis zur Rückkehr nach 0 gemäß K I , § 24, analytisch fortsetzt — und zwar ohne irgendwelche Eigenschaften der durch definierten Funktion als bekannt vorauszusetzen. (Vgl. K I , S. 101, Fig.8.) — Anl.: Die Punkte zv z 2 , . . . wähle man auf dem Kreise | z — 11 = 1, und zwar in den Ecken des ihm einbeschriebenen regulären p-Ecks (p > 6), dessen eine Ecke in 0 liegt. Es ist dann z, = l — z v , v = 1, 2 , . . . , p, und die nach p Schritten gewonnene Entwicklung um zP = 0 unterscheidet sich nur dadurch von ^B(z), daß eine Konstante additiv hinzugekommen ist. Daß diese = 2m ist, findet man sofort, indem man p - > + oo streben läßt. 2. Von der Potenzreihe f(z) = £anzn weiß man, daß die durch sie dargestellte Funktion f(z) auf dem Rande des Konvergenzkreises nur eine singulare Stelle z0 hat, und daß diese ein Pol erster Ordnung ist. Es soll gezeigt werden, daß dann a

n+\

ZQ und also

a

p+1

den Radius der Potenzreihe, strebt. 3. Die Potenzreihe Man setze z = ^ ^

00

= X anzn+1 habe den Radius 1. n= 0

entwickle jedes Glied anzn+1

nach

Potenzen von £ und ordne die entstehende Doppelreihe nach Potenzen von £ zu der Potenzreihe ^ ( f ) . Wie lauten die Koeffizienten von und welchen Wert hat demgemäß, d. h. nach dem Cauchy-Hadamardschen Satze, der Radius derselben? (Vgl. hierzu §2, Aufg. 3b.) Wie läßt sich andrerseits der Radius von Sß, (£) aus den analytischen 2*

36

V. Kapitel. Analytische Fortsetzung.

Eigenschaften von f(z) ablesen? Welchen Wert hat er daher m i n d e s t e n s und welchen Wert h ö c h s t e n s ? 4. Wie lautet u n t e r den Bedingungen der vorigen Aufgabe die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die durch in j z | < 1 dargestellte Funktion f(z) in + 1 regulär ist? 5. Man zeige mit Hilfe der Betrachtungen der beiden vorangehenden Aufgaben, daß die durch die Reihen J(_l)n2»+1 und J (_l)»Üli n=0 «= o m+ 1 dargestellten Funktionen in + 1 regulär sind. 6. Mit Hilfe des nach Aufg. 4 aufzustellenden Kriteriums beweise man noch einmal den Satz aus I, § 11. Aufg. 3. 7. Man erweitere den in der vorangehenden Aufgabe nochmals behandelten Satz aus I, § 11, Aufg. 3 zu dem folgenden S a t z : H a t die Potenzreihe f(z)—£anzn den Radus 1 und gilt das Gleiche von der Potenzreihe 2 sind, so stellt die Reihe V

„toi — » eine für | 51 < 1 reguläre, aber über den Einheitskreis hinaus nicht fortsetzbare Funktion f(z) dar. (Vgl. I, § 11, Aufg. 4 und 5.) 4. Die Funktion f(z) sei in einer Umgebung des Nullpunktes regulär und es sei dort

(*)

f(2z) = 2f(z)-f'(z).

Dann ist f(z) über die ganze Ebene fortsetzbar, also eine ganze Funktion. (Vgl. f(z) — sin s.) — Welche Eigenschaft der rechten Seite von (*) ist für den Beweis dieser Behauptung allein wesentlich? 5. Die Funktion f(z) sei für > 0 regulär und genüge dort der Beziehung

(f)

f(z + l) = zf(z),

und es sei f(1) #= 0. Dann ist f(z) eine meroinorphc Funktion, deren einzige Pole in 0, — 1, — 2, . . . liegen und von der ersten Ordnung sind. — Welche Residuen hat dort f(z)? (Vgl. die Funktion *6. Man beweise folgende Ergänzung des Riemanuschen Satzes ( K I , § 32, Satz 3): Ist f(z) in © stetig und, von den Punktes eines in );

e) \fp(7y,

f)loge*;

g) log sinz;

.. sin l/z h) — 1!z

r & 4. Welche Werte kann das Integral J ^

haben,

wenn der in der schlichten «-Ebene verlaufende Weg in beliebiger Weise vom Punkte 0 unter Vermeidung der Punkte it: 1 z u einem bestimmten Punkte z0 (=|= ^ 1) fülirt? Dabei soll als Anfangswert der Wurzel (d. h. als ihr Wert im Anfangspunkte 0 des Weges) der Wert + 1 genommen werden. — Haben diese Integrale noch für z0 = i 1 oder für z0 — oo einen Sinn? (Anl.: Man benutze § 1, Aufg. 6, um die Wege auf einfachere zurückzuführen.) 5. Welchen Wert können die Integrale az f(zo) — u'o> f(zi) = wi- Um welchen "Winkel erscheint die Strecke w0w1 gegen die Strecke zazv gedreht? In welchem Verhältnis erscheint sie gestreckt? 2. Es habe f(z) in z0 einen Pol. Wann kann die Abbildung der Umgebung von z0 (einschließlich dieses Punktes) durch w = f(z) auf die Umgebung des Punktes w0 = 00 konform genannt werden ? Wie liegen die Dinge, wenn auch zi

42

VII. Kapitel. Konforme Abbildung.

z 0 = oo ist ? Und wie, wenn z0 = oo, aber w0 im Endlichen gelegen ist? *3. Die Funktion f(z) sei längs des geschlossenen doppelpunktfreien Weges ß und in dem von E umschlossenen Gebiete & regulär. Durch w = f(z) werde 6 auf den geschlossenen doppelpunktfreien Weg ein-eindeutig abgebildet (so daß, wenn z den Weg © einmal im positiven Sinne durchwandert, der Bildpunkt w den Weg auch einmal in bestimmtem Sinne durchläuft). Dann wird das abgeschlossene Gebiet © ein-eindeutig auf das abgeschlossene, von 6 ' umschlossene Gebiet © ' abgebildet, und die Abbildung der Innengebiete aufeinander ist konform. 4. Gilt der in der vorigen Aufgabe ausgesprochene Satz auch noch, falls die Kurve E' durch oo hindurchgeht ? Wie h a t man dabei die bisher vorausgesetzte Regularität von f(z) längs (5 zu formulieren? Gilt der Satz schließlich auch noch, falls E ebenfalls durch oo hindurchgeht? 5. Der beschränkte Weg ! liege einschließlich seiner E n d p u n k t e in einem Regularitätsbereich der F u n k t i o n w -= f(z); es sei l' das Bild von f in der w-Ebene. Ist !' wieder ein W e g ? Welche Länge h a t ]"? 6. Es sei f(z) f ü r | z | < r regulär und 0 < ß < r. Welchen Flächeninhalt J(Q) h a t das Bild Sl' der Kreisscheibe £ mit Q u m 0 ? Gilt die herzuleitende Formel auch noch, falls die Abbildung von S auf keine u m k e h r b a r eindeutige ist, falls also f'(z) auf ffi Nullstellen besitzt und S ' somit mehrblättrig ist? 7. Welchen Grenzwert h a t unter den Bedingungen der vorigen Aufgabe das Verhältnis der Flächen und ® f ü r Q ->• 0 ? Bleibt die Antwort auch richtig, falls f'(0) = 0 ist? (Flächenhaftes Vergrößerungsverhältnis.) 8. Die Funktion w = f(z) sei in \ z \ ^ r regulär. Man bestimme a) die Länge der Bildkurve der Peripherie | z | = r ;

5 '20. Begriff und allgemeine Theorie.

43

b) die Fläche des Bildes der Kreisscheibc [ z | ^ r; c) die Richtung der Tangente der Bildkurve von \z\=r in einem Punkte w = f(z), für den f'(z) =)= 0 ist; d) die Krümmung der Bildkurve von | z | = r in einem Punkte w = f(z), für den f'(z) =f= 0 ist. 9. Wie ändern sich die Antworten auf die Fragen a) bis d) der vorigen Aufgabe, wenn f(z) für | z | Sä r, einschließlich z = oo, regulär ist? *10. Es sei w = eine für | f | < 1 reguläre Funk tion, die das Innere dieses Einheitskreises ein-eindeutig auf das Gebiet © der w-Ebene abbildet. Es sei ) > 0.] 12. Was läßt sich unter den Bedingungen der vorigen Aufgabe über und | f(z) | aussagen ? 13. Die im Einheitskreis reguläre Funktion f(z) = o 0 +

0,

§21. Besondere Abbildungsaufgaben.

47

soll konform auf das Innere des Einheitskreises abgebildet werden. [Anl.: Man spiegele die Kardioide am Einheitskreise.] 10. Das Rechteck, dessen Ecken in den Punkten ± 2 ^ i liegen, soll auf den Einheitskreis abgebildet werden. (Vgl. hierzu § 14, Aufg. 7.) *11. Das gleichseitige Dreieck, dessen Ecken in den

1

i

Punkten 0, l i ä + ö " ' ^ liegen, soll auf die obere Halbä u ebene abgebildet werden. [Anl.: Man führe für das Integral f t 1 • ( 1 — t ) 3 dt Betrachtungen durch analog denen o in Bi, § 14.] *12. Die Integrale w

i tdt = AW = J

und

i dt = J pZTi

sind unendlich vieldeutig. Es soll durch geeignete Zerschneidung der Ebene ein eindeutiger Zweig abgetrennt werden und die Abbildung untersucht werden, die dann von der aufgeschnittenen Ebene durch diesen Zweig vermittelt wird. Die Zerschneidung ist so einzurichten, daß das Bild oinen schlichten (einblättrigen) Bereich ergibt. 13. Der Radius r = r(©;a) soll im Anschluß an §20, Aufg. 16, bestimmt werden, wenn © das Gebiet ist, das zwischen der Hyperbel xy = 1, a : > 0 , y>0 und den positiven Koordinatenachsen gelegen ist, und wenn

i a = « + —, 0, ist. 2a

14. Im Anschluß an § 20, Aufg. 16, denke man sich in jedem Punkte a von © ein Lot von der Länge r(@; a) errichtet. Was für eine Fläche bilden die Endpunkte dieser Lote, wenn ©

48

I. Kapitel. Weitere Aufgaben zu I, Kap. 1—5. a) der Kreis \ z - zn \ < R, b) die Halbebene Q(z) > 0, c) der Streifen 0 < 3 ( ? ) < T I ,

d) das in der vorigen Aufgabe genannte Gebiet ist?

Z w e i t e r Teil.

Lösungen. I. K a p i t e l .

Weitere Aufgaben zu I, Kap. 1—5. § 1. Grundlegende Begriffe. 1. Die Behauptung besagt, daß jede (abgeschlossene) Halbebene die z v z 2 , . . . , z t enthält, auch £ enthält. Ist § die Halbebene $R(z) S 0, so ist 9l(z„) ^ 0 , v = 1 , 2 , . . . , k, und also auch 9i(f) Si 0, die Behauptung also richtig. Jede andre Halbebene kann durch eine Translation und eine Drehung zur rechten Halbebene gemacht werden, d. h. es kann a und a( = ( - 1 ) - 1 , = «, = V — ,= p . Da der Nenner + 1 strebt, so liegt z„ für n > pt > p in also 2„, wegen z'n — z„ 0, für n > N in § 3 . Also kann außerhalb kein liegen. Also auch nicht außerhalb da ein solcher Punkt für hinreichend kleines e auch außerhalb § 3 läge. § 3 . Funktionen einer komplexen Veränderlichen. / ( * ) - / ( 0) 2— 0 2 In den Punkten z =j= 0 ist | z \ offenbar nicht differenzierbar. b) Ja. Beispiel: f(z) = 03(z))2. Denn ist z—x-\-iy und ist z„ = x0 reeU, so strebt für z-*z0 1. a) Ja. Beispiel: f(z) = [ z |2;

f(z)-f(2») z — zn | (x — Zo) -f iy | In nicht-reellen Punkten ist f(z) offenbar nicht differenzierbar. 2. Ja. Beispiel: f(z) — f(x + iy) 0, falls y irrational, = 1, falls y = 0 ist, 1 p

1

-z, falls y= — (p,q ganz und teilerfremd, p 4 = 0 , 5 > 0 ) . T

0 nur von y0 V abhängig). 1 " * -ji» Also strebt für z-*z0 der Differenzenquotient ->-0. Die Punkte z0 mit einem y0 der betrachteten Art liegen aber überall dicht in der Ebene (Beweis?). 3. Nein, außer wenn die Funktion sich auf eine Konstante reduziert. Denn ist in f(z) — u + iv etwa v in G1 konstant, so muß dort nach den Cauchy-Kiemannschen Differentialgleichungen auch u konstant sein. Also ist f(z) überhaupt konstant. Analog für u. — Durch Betrachtung von log f(z) führt man die weiteren Fragen auf die eben behandelte zurück. 4. Ist M eine Schranke für | f'(z) | in | z | < 1 und £ > 0, so ist für zwei innere Punkte z' und z" des EinheitsHat tp(y) = ky' + my + n ( * , ) » , « ganzzahlig, reell) die irrationalen (reellen) Wurzeln y» und !/i, so ist zunächst

1

Hieraus folgt (Beweis?), daß f ü r ein passendes, nur von k, m, n abhängiges

c>0 ist.

Ii

I

n

5 3. Funktionen einer komplexen Veränderlichen. kreises, die von einem Punkte £ mit | £ | g i —— entfernt sind, 2

57

1 um weniger

M

\m-m

^M-\z"—z'\ für den uv das Vorzeichen von y hat (wegen luv = y). Für y = 0 erx gibt die Formel i ]/x bzw. ± l> J e nachdem x > 0 oder < 0 ist, und für x = y — 0 eindeutig den Wert 0.

VW

6. Für nicht ganzzahlig-reelle Exponenten ist e* durch die Keihensumme eindeutig definiert, während für «4= e die Potenz az mehrdeutig ist. [—e)^ zweideutig. 7. a) Setzt man

71 . g-< |

N und k^ 1 ist. Das ist aber die Behauptung. 2. Ist z in © gegeben, so beschreibe man einen Kreis Si um z, dessen Peripherie ebenfalls noch ganz innerhalb @ 00

liegt.

Dann ist nach Voraussetzung J £ f n ( Q auf der abn-0 geschlossenen Kreisscheibe ® gleichmäßig konvergent. 00 f j [ \ Auf der Peripherie von ® ist dann auch X — gleichmäßig n = 0C — Z konvergent und = Nach K I, § 19. Satz 2, ist dann 2m

JQ — z

„=o2m

— z

n---o

Nach K I, § 16, definiert aber das linksstehende Integral eine innerhalb ft, also speziell in z reguläre Funktion. Also ist f(z) in © regulär. Und weiter ist nach diesem § 16 ArtM

(S)

f

M)

,,

- pi f

WC)

„

— letzteres, weil die benutzte Reihe auf der Peripherie von

§ 5. Reihenentwicklungen.

63

Ä bezüglich £ gleichmäßig konvergiert. Also konvergiert OD

2 f v \ z ) und ist = f(p\z).

Daß diese letzte Reihe sogar in

n=0

jedem 05' gleichmäßig konvergiert, folgt dann ebenso wie in K I , S. 75. 3. Es sei gegeben und E wie in K I , S. 75, gewählt. Ist dann e > 0 gegeben, so läßt sich n 0 so bestimmen, daß für n > w0, fcSi 1, £ auf © (*)

I fii+i (0

I+

I f»+t(Q

I+

• ••+

I f.+k(Q

I
0 die untere Grenze von | F(z) | auf dem Bande von ffi und wählen ein positives e < so kann man n 0 so bestimmen, daß für n > n0 und alle Z auf ® stets | s„(z)—F(z) ] < e und nach K I , § 19 gleichzeitig auch | Sn(z) — F (z) | < e ist. Dann ist erstlich längs ft | sn(z) | > l/i, das Integral (b) also vorhanden, und weiter die Differenz von (a) und (b) ihrem Betrage nach < 1 — F(z) sn(z) ' 2ji das Maximum auf dem Rande von ® genommen; also ^ £

2Ms e i — ,

wenn M eine obere Schranke von | F(z) | und | F'(z) \ auf $ bedeutet. Da hier e beliebig klein sein durfte und andrerseits die Differenz von (a) und (b) eine ganze Zahl ist, so muß sie gleich 0 sein. Also hat sn(z) für alle hinreichend großen n innerhalb ® genau so viele Nullstellen wie F(z) Damit sind die Behauptungen des Satzes bewiesen, einschließlich einer genaueren Angabe über die A n z a h l derNullstellen von s„(z) in der Nähe von 5. Bezüglich des ersten Teiles der Behauptungen vgl. § 3, Aufg. 9. — Ferner ist nbn = n

t(i + l)(t + 2)-- -(» + « - ! ) 1•2•3•

l«t.l = U +

1 + -

1 -I-

n—1

1 -!Dies strebt nach K II, § 3, 1. Beisp.,

(n — l)2/

65

§5. Reihenentwicklungen.

N2)

/sinjri\£t

[ÜTJ

/e*— /e» — e-*U [ 2n )

6. Es ist i I, (L + z) =e

—e

—e-e

•e

' _z_ , j? 22 1 +

— 7. Es ist

3 " 2! • 3 2

+

16

' 5760

2304

'

J" ,v+A

Es ist also c0 = 1 und für n ^ 1

Ist nun tx > 0, so wachsen bei festem n die Glieder yt(w), k = 1 , 2 , . . . , n, dieser Summe, solange y t + 1 (n) oder «M ist. Bezeichnet man also das Maximalglied mit /¿n, so wird es in der Summe für einen Index k = p erreicht, für den die Abschätzung Knopp, Aufgabensammlung II

66

II. Kapitel. Singulare Stellen. p = J / ü +

0(1)

gilt1). Wegen f/n ^ Oi npn ist nun logc n = legiwfl + OGog«). Ferner ist »I p 2 unsere Funktion also

i

= ± wenn

i

-CHt-JeM»"^)*

+ 2"

gesetzt wird. c)

1 (z —

a)(z —

b)

a —

b z —

1 a

b

1 a —

+

b

2 a2 a—6 d)

1 (z—a)(z—b)

+

6

a i 1 1 ? z2 + ¡5 + 7 + y + P + ¿3 +

1 b—a

b—a Ii

I

b2 — a*

1

b3—a3 ~Jt

') Des bequemeren Druckes wegen Ist } — a (?esetrt worden.

§ 6. Die Laurentsche Entwicklung:

69

e

) , gestattet für | z | > 1 keine Laurent-Ent1—z wicklung, da die Funktion dort nicht eindeutig ist. Setzt m a n — = z', so ist z —4 -log y^J'

=

log

^

+

log

1 r r ?

ein Ersatz für die fehlende Entwicklung. 4. In 0 < | z | < oo ist g(z) • y(z) regulär und wird dort durch die Reihe + o> 2 cnz" »— — OD dargestellt, in der für alle n § 0 en=

+ 00

2 a&k-v. l=—m

gesetzt ist. Hierbei sind alle a, und k , mit negativem Iudex = 0 zu setzen. (Wodurch ist die Konvergenz dieser Reihen gesichert? Vgl. hierzu die nächste Lösung.) 03 00 5. Sind und J j ßn irgend zwei absolut konvern=0 »1 = 1 00

gente Reihen (vgl. § 2, Aufg. 2a), so ist jede Reihe J%y n n= 0 konvergent, in der die yn irgendwelche der Produkte ocpßq, jedoch für verschiedene n nicht dasselbe dieser Produkte, bedeuten. Enthält ¿ y „ alle Produkte xpßv so ist ihr Wert =JÜ sondern auch die mit diesen cn als Koeffizienten angesetzte Reihe + o> OD

die somit die Laurent-Entwickluiig des Produktes liefert. (Daß die Reihen nach b e i d e n Seiten unendlich sind, macht keinen sachlichen Unterschied, da man ja auch jedes Glied mit negativem Index sich hinter das entsprechende mit positivem Index gestellt denken kann.)

=

+« ® / 1\ 2 C„2" = C 0 + 2 c n 2 » + - , n«= —od

oo

n - 1 c

n ht

\

2™/

gl

wenn c„ = c_„ = JZ — • —, n S i 0 gesetzt wird. i - o ( n + «)l kl § 7. Die verschiedenen Arten singulärer Stellen. ]. a) = (z2 + 4) e~z\ wesentlich singulär.

in jedem der beiden, in oo und Umgebung getrennt verlaufenden Blätter liegt ein Pol erster Ordnung. z2 z3 c) 1 — z — — + — H • •; wesentlich singulär.

§ 7. Die verschiedenen Al ten singul&rer Stellen.

71

d) und e) haben in oo keine isolierte singulare Stelle, fallen daher nicht unter die Klassifikation von K I , § 31. Der Punkt oo ist hier Häufungspunkt von Polen erster Ordnung. f) = 1 — i +

I

; regulär und = + 1 in oo .

g) Setzt man 1:2 = z\ so wird für | z | > 1, | z | < 1 . 1 . 2 ' 2' , 1 / 2' V» , also (vgl. I, § 10, lb) 2 2' Die Funktion ist also in oo regulär und hat dort eine Nullstelle erster Ordnung. h) und i) Hier ist oo wieder Häufungsstelle von Polen erster Ordnung. 2. a) = 1 + — + - i Z- + • • •; wesentlich singulär. 2

,, _ >~

2! 2

1 1 (z —1) + 3!(2 —l) 3

wesentlich ' singulär.

H

1— 1

. 1

Pol erster Ordnung mit dem Residuum — 1. d) sin z — cos z — j/2 sin (z —

=

72

II. Kapitel. Singulare Stellen.

Pol erster Ordnung mit dem Kesiduum £j/2. 3. Es hat fizizft wieder einen Pol ßUl Ordnung; f j f 2 ter einen Pol (ß — « ) Ordnung oder eine Nullstelle (« — ß)**' Ordnung oder eine reguläre Stelle mit von 0 verschiedenem Funktionswert, je nachdem ß > « , < ot oder = oc ist; £ eine Nullstelle (« + ßf" Ordnung; ~ einen Pol ( « + ßf" h h Ordnung. Beweise durch Ansetzen der Potenzreihen. 4. D a e2 eine ganze Funktion, so gibt es beliebig große Kreise ® um 0, f ü r die die Voraussetzungen des Satzes 2 in K I, §33, erfüllt sind. Die Anzahl der im Innern von ® liegenden Nullstellen ist =

J L («>/7fe = o. J 2m 5. Die reelle Funktion besitzt in x = 0 eine Nullstelle, sie ist dort differenzierbar, besitzt dort sogar Ableitungen jeder Ordnung, die alle den Wert 0 haben. Das Kurvenbild weist keinerlei irreguläres Verhalten bei x = 0 auf und ist höchstens dadurch bemerkenswert, daß die Berührung der Kurve und der ¡r-Achse in x = 0 eine bessere ist als die j e d e r Parabel y = x n . Die Funktion komplexen Argumentes w = e hat dagegen eine wesentlich singulare Stelle in z = 0, ist dort also weder stetig noch differenzierbar und die Funktion kommt in jeder Umgebung von 0 jedem Werte beliebig nahe. 6. F0{z) besitzt überhaupt kein Definitionsgebiet, da das bei z0 uneigentliche Integral wegen ß ^ 1 divergent ist. Da zur Bildung von F d i e Laurent-Entwicklung von f(z) gliedweis integriert werden darf, so erkennt man sofort,

§ 7. Die verschiedenen Arten singulärer Stellen.

73

daß Fi(z) dann und nur dann in der Umgebung von z0 eindeutig ist, wenn das Residuum von f(z) in z0 gleich 0, insbesondere also ß^2 ist. i\(z) hat dann in z0 einen Pol (ß — l ) t e r Ordnung. Ist das genannte Residuum = c =f= 0. so hat F^z) in z„ eine logarithmische Singularität; genauer: Fjfz) — c log (z — z 0 ) ist eindeutig in der Umgebung von z0 und hat in z0 einen Pol (ß — l ) t e t Ordnung (bzw. ist dort regulär, falls ß = 1 ist). 7. Da die Entwicklung

bei festem hinreichend großem z bezüglich £ längs f gleichmäßig konvergiert, so hat die außerhalb £ gültige LaurentEntwicklung von f(z) die Form — + - f + • • •• f(z) z z2 oo regulär und hat dort eine Nullstelle. 8. Für | e | > R sei f(z) =

+ 0O

2

n——oo

ist in

o.nzn. Da diese Entwick-

lung längs f gliedweis integriert werden darf und hierbei alle Summanden einen eindeutigen (d. h. von f unabhängigen) Wert liefern, außer

Jr so ist F(z) dann und nur dann eindeutig, wenn = 0 ist. Ist diese Bedingung erfüllt und hat f(z) in oo einen Pol ßta Ordnung, so hat F(z) einen solchen (ß + l ) t e r Ordnung; speziell einen Pol erster Ordnung, falls f(z) in oo regulär und 4= 0 ist. Hat f(z) in oo eine Nullstelle « , e r Ordnung ( R regulär und weist in 00 wiederum ein leicht anzugebendes Verhalten auf.

74

II. Kapitel. Singulare Stellen.

9. Es sei z0=t= oo und f(z) in der Umgebung von z 0 beschränkt. Da das zweite der in der Aufgabe hingeschriebenen Integrale für alle hinreichend kleinen Kreise Ä 2 denselben Wert hat (vgl. K I, S. 115, oben), so kann man zur Ermittlung dieses Wertes den Radius g von zu Null abnehmen lassen. Nun ist aber, wenn nur g < | z — z 0 1 ist und M eine Schranke für l f{C) \ bedeutet, 2ni

J : - z

w

' \ - 2 n

— z0[ — ß'

was mit Q zu 0 abnimmt. Daher ist dieses zweite Integral = 0 und f(z) gleich dem ersten Integral. Dieses definiert aber nach K I, § 16 eine innerhalb also speziell in z0 reguläre Funktion. Da diese für z =(= zg mit f(z) übereinstimmt, so ist f(z) in z0 regulär. Da umgekehrt eine in z 0 reguläre Funktion in einer Umgebung von z 0 beschränkt ist, so ist der erste Teil des Riemannschen Satzes für z0=\= oo bewiesen. Der Fall z 0 = oo wird durch die Transformation z — — auf den Fall z 0 = 0 zurückgeführt. Die beiden andern z Teile des Riemannschen Satzes ergeben sich nun wieder unmittelbar aus der Definition eines Poles bzw. einer wesentlich singulären Stelle als einer Stelle, bei deren Annäherung die Funktion bestimmt unendlich bzw. völlig unbestimmt wird. 10. Gesetzt, es gäbe eine Stelle z0, eine Zahl c und ein e > 0, so daß in einer Umgebung von z 0 (von z 0 selbst abgesehen) f(z) eindeutig und regulär, aber stets | f(z) — c | e wäre, so wäre dort auch

— eindeutig und regulär und e M ~ bliebe dort beschränkt. Nach dem Riemannschen Satz müßte dann z0 eine reguläre Stelle dieser Funktion sein. Daher hätte dort f(z) entgegen der Annahme eine reguläre Stelle oder einen Pol.

75

§ 8. Residuensatz, Nullstellen und Pole. 00

11. Da die Beweise für z0 = oo und z0 =j= ganz analog verlaufen, genügt es, den ersten Fall zu betrachten. Es sei dann c eine beliebige komplexe, e eine beliebig kleine und R eine beliebig große positive Zahl. Der Kreis mit e um c heiße E, der mit £ um 0 heiße Ä. Dann gibt es nach Casorati-Weierstraß ein z1 außerhalb so daß f(Zj) = innerhalb E liegt. Um z1 können wir einen Kreis fij und um cx einen Kreis Ex derart beschreiben, daß alle Werte in E t von f(z) innerhalb angenommen werden (vgl. Bi, S. 6, sowie K I , § 84). denken wir uns dabei so klein, daß er ganz innerhalb E liegt und so, daß er ganz außerhalb Ä liegt. Nun gibt es ein | z21 > 2R, so daß f(z¡¡) = e2 innerhalb Ei liegt. Um z2 beschreiben wir S 2 und um c2 den Kreis E 2 , so daß alle Werte in E 2 von f(z) in Ä2 angenommen werden. Überdies liege E 2 ganz innerhalb Ei und ®2 ganz außerhalb ® und Nun gibt es ein | z3 | > 3 R, so daß K h ) = c s innerhalb E 2 liegt, usw. Es gibt mindestens einen Punkt a, der allen Kreisen E, E^ E2, E3, . . . gemeinsam ist. Die Gleichung f(z) = a hat dann mindestens je eine Lösung in ® lt $2> . . . , also unendlich viele Lösungen außerhalb fi, w. z. b. w. (Die Kreise Stv ... zeichne man in der z-Ebene, die Kreise E, Ej, . . . in einer w-Ebene). § 8. Residuensatz, Nullstellen und Pole. „ „

.

M_,

a„

L E s i s t

gesetzt wird, (v = 0 , 1 , . . . , n — 1). Für | z | > 1 ist daher 1 groß genug gewählt wird. Dies R kann nach K I, § 28, Satz 2, überdies so groß gewählt werden, daß außerhalb des Kreises I z I = R und auf seinem Rande das

76

II. Kapitel. Singulare Stellen.

Polynom a0 + a^z + • • • + anzn sicher keine Nullstelle mehr hat. Auf die Kreislinie | z | = R ist nun der in der Aufgabe genannte Satz anwendbar. Da f(z) = a„zn in | z | < R offenbar nur die n-fache Nullstelle 0 hat, so hat f(z) + (p(z) = a0 + «i« + • • • + a«2B in | z | < R auch genau n Nullstellen und sonst keine weiteren. 2. ze* oder (z2 — 1) e?z, falls e nicht reell. 3. Hat f(z) in z0 einen Pol e r s t e r Ordnung, so ist das dortige Kesiduum == lim (z — z0) f(z). Andernfalls muß man die Laurent-Entwicklung aufstellen, um das Residuum zu erhalten.

Residuum = — 1. Z

Residuum Co) = lim 7 2

— 2,

— ¿J)"*' a

—= r

a

—.

§ 8. Residuensatz, Nullstellen und Pole.

,

1

f) ^ - ' = 1

+

e) e '

6

1 1

77

Residuum = 1.

Residuum = 1.

1 —e*

4. Aus M«o) + p ' W • (2 — *) + • • •]

+

abzulesen. Residuum = fe0, p S g l .

Also konvergiert

n-0 6. Es sei 1^(2) die nach dem Weierstraßschen Produktsatz zu konstruierende Funktion, die in den zv je eine Nullstelle erster Ordnung hat. Dann ist W'(zp) 4= 0. Es sei M(z) die nach dem Mittag-Lefflerschen Satz zu bildende Funktion, die in den z, Pole erster Ordnung mit dem Besiduum wv: W'(zr) hat. Dann ist g(z) — W(z) M(z) offenbar eine ganze Funktion, die das Verlangte leistet. 7. Man wähle die reellen rationalen Zahlen a, der Beihe nach so, daß 1) | ß | < 1, 2) | a0 + c^oc—ß \ < 1 , . . . , n) K + 0 ^ +

a , - ! « " - 1 —ß 1
0 g i b t . so daß für alle von -f-1 verschiedenen Punkte z dieses Drei-

108

V. Kapitel. Analytische Fortsetzung.

ecks | h(z) |: h(\ z y bleibt, so bleibt der Satz richtig. Denn es ist jetzt für die genannten z ^i\£oio\ h(z)

9

+ --- + \embm\

= 1

&(l'l)

e] +

2 /

h(\ z ]) |Ä(z)|

^ — • e für alle z des Dreiecks,

y

für die 1 — 0

3. h(z) = — = 2zn erfüllt nach I, § 1, Aufg. 13 1—z die in der vorigen Lösung formulierte Bedingung | A(z) | : h(\ z y. Also strebt bei Annäherung an + 1, sofern z in einem festen Dreieck ZjZ2l bleibt, /0) / £ „\ s„ » TTj. ==l 2anzn - lim - = 2 an. h(z) \n=0 / „^.o, 1 n=0 4. Aus F(z) = 1

(1-z)

2 anz" folgt — — F(z) = 2 snz" und n —0 1— Z n=0

V(z) = f(z) = 2

00

(s0 + «iH

h Sn)zn. Wendet man

auf diese Funktion f(z) und auf h(z) =

) den

Satz

aus Aufg. 2 an, so folgt bei einer im Innern des Dreiecks Zi z% 1 verlaufenden Annäherung von z an 1 : Ä(z) Denn es ist h(z) =

«-o»

n + 1

00

2 (n -f- l)z" und dies h(z) erfüllt nach n=0

I , § 1, Aufg. 13 die Bedingung ft(| z |): | h(z) | ^ alle z=)= + 1 des Dreiecks.

K2 für

§16. Verhalten von Potenzreihen usw.

109

5. a) Beweis nach Aufg. 4. Es ist s„ = 1 für (2m — 2)2 ^ n < (2w — l) a und s„ = 0 für (2ro — l ) 2 ^ n < (2m)8, m = 1 , 2 , . . . Daher strebt, wie man leicht nachrechnet. s 4- s + • • • -f- s 1 —— —, womit der Beweis schon vollendet. n+1 2 b) Erweitert man mit (1 — z ) - \ so kann die Funktion so geschrieben werden: i ( Q / n ] +1)*»

^)

^

Hz) Nach Aufg. 1 und 2 genügt es, in > 0, die Divergenz von a. 1 . / , IAC^) I , „ J/o»,-7—>• TT K71 und — — y zu beweisen. Nun ist o» 2 A(| z I) gewiß J» > 0 und a £ = n\n4 + 1 *» K f + 1) •••(* + »)' ni -\/n' so daß 2 b n divergiert und

=

i \/n

strebt. Überdies i s t ^ r zr = fi ^ 1 ,V nachl, §1, Aufg. 13 I H ) I \1 — I 2 1/ beschränkt. c) Erweitert man noch mit (1 — z) - 1 , so handelt es sich um

M +

••• +

«•«*+"-

,

wenn

an abzählt, wie viele der Zahlen p°, p 1 , . . . ^ n sind. Es ist log 71 also a. -f-1 und daher logp to 1+ J+...+1 "' 2 n

110

V. Kapitel. Analytische Fortsetzung.

womit nach Aufg. 1 und 2 der Beweis schon vollendet ist. Denn

b- — 1 + — 4- • • • H— ist > 0 , 2 n und es ist (s. I, § 1, Aufg. 13)

£tne» |

Sb„

11—«I l o g ( l - | « | ) ^ Ä 1 - | « | | log ( 1 - 2 ) 1

divergiert,

l0g

log

F 1'

wenn 1 — z = q (cos 95 + i sin

111 n

*) '

gesetzt. Nach K II, § 6, 3. Beispiel, (6), ist bn > 0 , und bn = -rLr, also £bn

|/5m

divergent. Nach Aufg. 1 strebt also

der zweite Faktor in (*) gegen 0. Es bleibt also zu zeigen, z\ für alle z =j= 1 in der in der Aufgabe genannten daß 'M Ellipse beschränkt bleibt. Es ist aber für diese z = x + iy l i - * | 2 = (l — x)a + y8 ^ ( i - s ) 2 + « a ( ! - * ' ) 1 —1*1

1 — Yx* +

Für x-* + 1 strebt dies -*

1—

(1 — x2)'

2a*

Also bleibt der Aus1 —or druck beschränkt für die genannten z. An Stelle der in der Aufgabe genannten Ellipse kann natürlich auch ein Kreis genommen werden, dessen Radius < 1 ist und der den Einheitakreis in + 1 von innen berührt. Wegen einer Vertiefung dieser Aufgabe vgl. F. Lösch, Mathemat. Zeitschrift 37 (1933), S. 85—89 und W. MeyerKönig, Mathemat. Zeitschrift 46 (1940), S. 571—590. 7. a) fj[z) ist eine gewöhnliche Potenzreihe mit dem Radius 1, die in z = + 1 konvergiert. Also ist nach dem Abelschen Grenzwertsatz (I, § 11, Aufg. 10) lim««) = 1 + + ! + ! - ! + + = s. (Bekanntlich ist s = | log2; Beweis?) Der Limes der Funktion für z -»- -f-1 stimmt also mit dem Werte der darstellenden Reihe für z — + 1 überein. b) Für | z | < 1 ist die Reihe für f2(z) absolut konvergent, darf also umgeordnet werden: m

= i ( - 1 ) " - 1 - = log (1 + z). n—1 fl

112

V. Kapitel. Analytische Fortsetzung.

Daher ist lim f2(z) = log 2. Der Wert der Reihe für 2 = + 1 ist aber wieder = s = f log 2, also von dem Limes der Funktion für z— + 1 verschieden. 8. Die vorgelegte Funktion ist

Der Entwicklungskoeffizient von z n ist gleich dem imaginären Teil von (— 1)"^

also seinem Betrage nach

kleiner als der Betrag dieses Binomialkoeffizienten. Dieser Betrag ist aber (vgl. § 5, Aufg. 5) für n > 2

Da für n—00 die Wurzel einem endlichen Grenzwert zustrebt (s. K II, § 2, Satz 4), so folgt hieraus die Behauptung.

§ 16. Analytische Fortsetzung von Potenzreihen. 1. Wegen *'(*) = £

1 = - ¿ j - i s t #(*> («) =

.

Demnach lautet die Entwicklung an der Stelle zx\ n - l « U — Z - J

U

—

Zx)

Wegen 11 — z1\ = l ist der Radius wieder = 1, so daß insbesondere z2 in das Innere des neuen Kreises fallt. — Wegen A W i z ^ U J L .

Jfiiifi

n -1

1 1—2

¿1 ¡z—z.\