Elemente der Funktionentheorie [4. Aufl. Reprint 2019] 9783111369389, 9783111012353

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S A M M L U N G G Ö S C H E N B A N D 1109

Elemente der Fiinktionentiieorie Von

Prof. Dr. Konrad Knopp em. o. Professor der Mathematik an der Universität Tübingen

M i t 25

Figuren

Vierte Auflage

W a l t e r de G r u y t e r & Co. vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung J. Guttentag. Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer . Karl I. T r ü b n e r . Veit & Comp.

Berlin 1955

Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopieil und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten

Copyright 1955 by WALTER DE G R U Y T E R & CO. Berlin W 35, Centhiner Str. 13

Archiv-Nr. 1 1 1 1 09 D r u c k : Omnitypie-Gesellschaft Leopold Zechnall, Stuttgart Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis. Erster Abschnitt.

Die

komplexen

Zahlen und ihre Darstellung.

geometrische

Seite 1. Kapitel. Grundlagen. § 1. Einleitung 8 8 § 2. Das System der reellen Zahlen 8 3. Punkte und Vektoren der Ebene 13 2. Kapitel. D a s S y s t e m der k o m p l e x e n Z a h l e n u n d die G a u ß s c h e Zahlenebene. § 4. Geschichtliches ; 19 § 5. Einführung der komplexen Zahlen. Bezeichnungen 21 26 § 6. Gleichheit und Ungleichheit § 7. Addition und Subtraktion 26 28 § 8. Multiplikation und Division § 9. Abgeleitete Kegeln. Potenzen 31 § 10. Das System der komplexen Zahlen als Erweiterung des Systems der reellen Zahlen 32 § 11. Trigonometrische Darstellung der komplexen Z a h l e n . . . . 34 § 12. Geometrische Darstellung von Multiplikation und Division 37 § 13. Ungleichungen und Beträge.. Beispiele 39 3. Kapitel. D i e R i e m a n n s c h e Z a h l e n k u g e l . § 14. Die stereographiBChe Projektion 41 § IS. Die Riemannsche Zahlenkugel. Der Punkt oo. Beispiele 45 Zweiter Abschnitt.

Lineare Funktionen und Kreisverwandtschaft. 4. Kapitel. A b b i l d u n g d u r c h l i n e a r e F u n k t i o n e n . J 16. Abbildung durch ganze lineare Funktionen $ 17. Abbildung durch die Funktion w = — z $ 18. Abbildung durch beliebige lineare Funktionen 5. Kapitel. N o r m a l f o r m e n u n d b e s o n d e r e l i n e a r e Abbildungen. $ 19. Die Gruppeneigenschaft der linearen 'Abbildungen § 20. Fixpunkte und Normalfonnen § 21. Besondere lineare Abbildungen. Doppelverh<nisse . . . . § 22. Weitere Beispiele 1*

48 51 67

59 61 65 68

4

Inhaltsverzeichnis. Dritter Abschnitt.

Mengen und Folgen. 6. Kapitel.

Potenzreihen.

Punkt- und Zahlenmengen.

Seite

§ 23. Punktmengen { 24. Reelle Zahlenmengen § 25. Der Bolzano-Weierstraßeche Satz

7. Kapitel.

Zahlenfolgen.

Unendliche

71 73 76

Reihen.

§ 26. Zahlenfolgen mit komplexen Gliedern § 27. Zahlenfolgen mit reellen Gliedern 5 28. Unendliche Reihen

Kapitel.

77 81 88

Potenzreihen.

§ 29. Der Konvergenzkreis § 30. Das Rechnen mit Potenzreihen

89 92

Vierter Abschnitt.

Analytische Funktionen lind konforme Abbildung. 9. Kapitel. F u n k t i o n e n lichen. § § § § §

31. 32. 33. 34. 35.

einer k o m p l e x e n

Veränder-

Begriff der Funktion einer komplexen Veränderlichen... Grenzwerte von Funktionen Stetigkeit Differenzierbarkeit Eigenschaften der durch Potenzreihen dargestellten Funktionen

10. Kapitel. A n a l y t i s c h e F u n k t i o n e n und Abbildung.

95 96 99 100 102

konforme

{ 36. , Analytische Funktionen § 37. Konforme Abbildung

106 108

Fünfter Abschnitt.

Die elementaren Funktionen. 11. Kapitel. Potenz und Wurzel. Die r a t i o n a l e n Funktionen. § 38. Potenz und Wurzel | 39. Die ganzen rationalen Funktionen § 40. Die gebrochenen rationalen Funktionen

111 115 116

12. Kapitel. Die E x p o n e n t i a l f u n k t i o n , die trigonomet r i s c h e n und die h y p e r b o l i s c h e n F u n k t i o n e n . $41. § 42. $ 43. § 44.

Die Die Die Die

Exponentialfunktion Funktionen cosz und Sinz Funktionen tgz und ctgz hyperbolischen Funktionen

118 124 128 181

Inhaltsverzeichnis. — Literatur.

5 Seite

13. Kapitel. Der Logarithmus, die z y k l o m e t r i s c h e n F u n k t i o n e n und die Binomialreihe. § 45. Der Logarithmus S 48. Die zyklometrischen Funktionen i 47. Die Binomialreihe und die allgemeine Potenz

Register

132 136 139

i. Der Arcus einer komplexen Zahl ist also, wie die zweite Polarkoordinate, unendlich vieldeutig. Alle seine Werte unterscheiden sich aber nur um ganzzahlige Vielfache von 2ji, sind „mod 271 untereinander kongruent". Denjenigen Wert des Arcus, der der Bedingung — n < < p ^ + ä genügt, nennt man den H a u p t w e r t des Arcus von a. Von zwei komplexen Zahlen sagt man, daß sie d e n s e l b e n Arcus haben, falls die beiden Arcus mod 27t kongruent sind oder also deren Hauptwerte übereinstimmen. Der absolute Betrag einer komplexen Zahl ist eine reelle, nicht negative Zahl; er ist nur dann gleich Null, wenn es sich um die komplexe Zahl (0,0), also um die Null handelt. F ü r diese Zahl sieht man den Arcus als nicht definiert. oder als unbestimmt an. Der Zusammenhang zwischen den kartesischen Koordinaten ( « , « ' ) und den Polarkoordinaten (q, 93) einer von (0,0) verschiedenen komplexen Zahl a wird gemäß § 3 durch die Formeln (3)

= / « « + * ' * , C 0 S 9 > = — = , sin , TJ = Q' sin q> ist, so haben wir zusammenfassend in -_ x _ y m r _ 5 V ~1 +x*+yt' ~l+x*+y*' die Formeln, die uns aus den Koordinaten x, y eines Punktes P der Ebene die räumlichen Koordinaten f , rj, £ des Bildpunktes P' liefern. Aus ihnen folgt sofort n e

(2)

'

=

* _ J L ,

, - J L ,

=

(C + 1, d.h. (!,»/, für den umgekehrten Zusammenhang. Betrachten wir nun in der Ebene einen Kreis oder eine Gerade, so heißt das, daß wir alle Punkte (x, y) der Ebene ins Auge fassen, für die eine Gleichung der Form (3) + i sin 99), w = a (cos ip + i sin y>). Nach § 11, (8) ist dann (2)

' die Gleichungen (3)

q' = —

und

= ag eine reine Drehung, und folglich geht jeder der Kreiße der zweiten Schar als Ganzes in sich über,

64

6. Kapitel. Normalformen und besondere lineare Abbildungen.

während die der ersten Schar unter sich vertauscht werden. Die Abbildung (1) heißt dann elliptisch. b) Ist a positiv-reell, so ist es gerade umgekehrt. Die Abbildung (1) heißt dann hyperbolisch. c) Ist |aj ^ 1 und a nicht positiv-reell, so heißt die Abbildung loxodromisch. Man erhält sie, indem man die Schritte a) und b) nacheinander ausführt 1 ). 3) Bs sei jetzt wieder e == | 0, aber nun t 2 = Cv Die Abbildung heißt dann parabolisch 2 ). Die Gesamtheit aller Kreise durch den ' Fixpunkt — wir nennen ihn f — geht als Ganzes in sich über. Eine Schar von Kreisen durch die dort eine gemeinsame Tangente haben (s. Fig. 18), bleibt ebenfalls als Ganzes ungeändert. Dies und weitere Einzelheiten erkennt pjg 1 8 man wieder deutlicher, wenn man den Fixpunkt (aus der «-Ebene u n d aus der «o-Ebene) durch die Hilfsabbildungen (11)

0j

=

„ bzw. tt> = ——r

z—t

W

— t,

nach oo wirft. Die genannten Kreise gehen dann in die Geraden der Ebene über, bei gemeinsamer Tangente in eine Schar von Parallelen. Wieder sind }- und w-Ebene linear aufeinander abgebildet. Da hierbei aber oo der einzige Fixpunkt ist, so gehen sie durch eine T r a n s l a t i o n h > = ä + b auseinander hervor. Im parabolischen Falle kann also (1) auf die Form (12)

w-C

z - Z

+ b

gebracht werden. Und weil z = oo und w = y zusammengehören, muß >) Benutzt man die Hilfsebene der Fig. 17, so kann man die einzelnen Schritte noch genauer verfolgen. a ) Bei den ganzen linearen Abbildungen gebraucht man natürlich dieselben Bezeichnungen: Ist sie eine Translation, so heißt sie parabolisch; ist Bieeine Drehstreckung aus dem Fixpunkt (vgl. (5)), so heißt sie loxodromisch, bei reiner Streckung hyperbolisch und bei reiner Drehung elliptisch.

§ 21. Besondere lineare Abbildungen. Doppelverhältnisse. 6 5 (13) sein. Die Schar von Kreisen in der z-Ebene durch f, die dort eine gemeinsame Tangente haben, geht durch (11) in eine Schar von Parallelen der j-Bbene über. Diese bleibt bei der Translation (b) als Ganzes ungeändert und führt also vermöge (11) zu der Ausgangsschar zurück.

§ 21 Besondere lineare Abbildungen. Doppelverhältnisse. Das Wichtigste von allem bisherigen bleibt der Satz 1 des § 18, insbesondere also, daß durch lineare Abbildungen Kreise immer auf Kreise abgebildet werden. E s soll nun genauer untersucht werden, in welcher Weise dies geschieht. Wir beweisen dazu zunächst den Satz 1 . Drei gegebene getrennte Punkte 24, z2, z3 können stets durch eine und, nur eine lineare Abbildung w = l(z) in drei vorgeschriebene getrennte Punkte wv w2, w3 übergeführt werdenJ). Beweis. Die Gleichung (1)

W — W! wi — wl

z — zlzi

w — w3 ' w2 — wz

z — z3' z2 — z3

— zt

definiert eine ganz bestimmte lineare Funktion u> — l(z). Denn links steht eine lineare Funktion von w, rechts eine solche von z. Nennen wir sie (w) und i 2 (2), so ist w — l ( z ) = IT"1 ig(2). Gemäß § 18 (4) ist dabei zu vereinbaren, daß man, wenn einer der Punkte z„ oder wr der Punkt 00 ist, den Quotienten derjenigen beiden Differenzen, die ihn enthalten, durch 1 zu ersetzen hat. Diese Funktion w=l(z) leistet aber das Verlangte. Denn l2(z) hat für z = z l5 z2, z 3 der Keihe nach die Werte 0 , 1 , 0 0 , und (w) erhält diese Werte wiederum für w—w1,wi,w3. Also ist l (z„) = w„ ') Unter den Funkten z t und w r (» = 1,2,3) darf auch Je einmal der Funkt od auftreten. K n o p p , Elemente der Funkttonentheorle. 5

66 5. Kapitel. Normalformen und besondere lineare Abbildungen ( v = l , 2, 3). Leistet die lineare Funktion w — L(z) das gleiche, so hat die lineare Punktion L~ll(z) offenbar die drei getrennten Fixpunkte z1: z2, z3, ist also nach § 20, Satz 1 die Identität. Also ist L(z) = l(z). Damit ist alles bewiesen. Durch drei in bestimmter Reihenfolge gegebene (getrennte) Punkte ist nun eine orientierte Kreislinie (bezw. eine orientierte Gerade) eindeutig bestimmt. Aus Satz 1 folgt also sofort weiter der Satz 2. Eine gegebene orientierte Kreislinie der z-Ebene oder -Kugel kann stets auf eine und nur eine Weise auf eine gegebene orientierte Kreislinie der w-Ebene so abgebildet werden, daß dabei drei gegebene Punkte des z-Krmes in drei gegebene Punkte des w-Kreises iiiergehen, wofern auf beiden Kreisen die Punkte im Sinne der Orientierung aufeinander folgen. Die Zahlenkugel wird durch eine Kreislinie in zwei Kugelkappen zerlegt. Wir wollen diejenige als „ d a s I n n e r e " des Kreises bezeichnen, die zur L i n k e n der Orientierung liegt, die andere als „ d a s A u ß e r e " des Kreises — und wollen die entsprechende Vereinbarung auch auf die Ebene übertragen J ). Da nun die Abbildung, der Vollkugeln durch lineare Funktionen umkehrbar eindeutig und überdies winkeltreu ist, so folgt jetzt in Ergänzung zu Satz 2: Satz 3. Die in Satz 2 genannte lineare Funktion bildet das Innere des z-Kreises umkehrbar eindeutig auf das Innere des w-Kreises ab. Ebenso natürlich auch das Äußere des ersten auf das Äußere des zweiten. Die hierdurch festgestellte Eigenschaft der linearen Funktionen, daß, wenn sie zwei orientierte Kreislinien aufeinander abbilden, sie auch deren Inneugebiete (und ebenso deren Außengebiete) umkehrbar-eindeutig aufeinander abbilden, nennt man ihre Gebietstreue. ') Wird also z. B. die imaginäre Achse von unten nach oben orientiert, so ist die linke Halbebene das Innere, die rechte das Äußere.

§ 21. Besondere lineare Abbildungen. Doppelverhältnisse. 67

Beispiele für diese und die weiterhin genannten Abbildungen folgen in § 22. Die eigentümlichen in (1) auftretenden Ausdrücke nennt man Doppelverhältnisse. Es gilt genauer die Erkläriing. Sind zv z2, z3, z4 vier getrennte Punkte der Kugel, so soll der Atisdruck (2)

»4

»3

»2

3

oZs ihr Doppelverhältnis bezeichnet werden. Liegt einer der Punkte in oo , so tritt die oben gemachte Vereinbarung vn Kraft1). Aus dem Beweis des Satzes 1 folgt nun unmittelbar der Satz 4. Das DoppelverhäÜnis von vier Punkten bleibt linearen Abbildungen gegenüber invariant. — Das soll heißen: Gehen die vier Punkte z, durch die Abbildung w = l(z) in die Punkte w„ (v = 1, 2,3, 4), über, so ist Z ) ( w 1 « ; 2 w 3 w 4 ) = D(Z 1 2 2 Z 3 Z 4 ).

Da nämlich w= l(z) das leistet, was in Satz 1 gefordert ist, so ist es die durch (1) gegebene Funktion. Da sie auch z t in w4 überführt, so liefert (1) für z— zt, w= wt unmittelbar die Behauptung. Statt durch drei Punkte der Peripherie kann man einen orientierten Kreis auch durch einen Punkt derselben und durch ein Paar in bezug auf den Kreis spiegelbildlicher Punkte geben. Das liefert im Anschluß an Satz 1 den Satz 5. Ein orientierter z-Kreis kann stets auf eine und nur eine Weise auf einen orientierten w-Kreis so abgebildet werden, daß dabei ein gegebener Randpunkt z1 und ein gegebener innerer Punkt z0 des z-Kreises in erdsprechend gelegene vorgeschriebene Punkte w1 und wa übergehen. *) Die Reihenfolge der vier Punkte tat hierbei nicht sehr wesentlich, doch muß die einmal gewählte natürlich festgehalten werden. Permutlert man die vier Funkte auf alle möglichen Arten, so erhält man nicht 24 verschiedene Werte des Doppelverh<nisses, sondern höchstens 6. Ist einer der Werte = 0 ist m i n d e s t e n s ein x < y + e. Diese Zahl y heißt die untere Grenze der Menge (abgekürzt: fin inf, d. h. finis inferior, oder fin). Wir beweisen also den Satz 1. Jede nach links beschränkte (nicht leere) Menge SR besitzt eine wohlbestimmte untere Grenze y = fin 9K. Beweis. Man teilt die Gesamtheit aller reellen Zahlen in zwei Klassen 31, 91'. In die Klasse 9t tut man alle reellen Zahlen a, für die kein x < o, in die Klasse 91' dagegen jede Zahl a', für die m i n d e s t e n s ein x 0 gewählt wird, es ist m i n d e s t e n s ein x >y' — e. — Über sie gilt der analog zu beweisende

§ 24. Beeile Zahlenmengen.

75

Satz 2. Jede nach rechts beschränkte (nicht leere) Menge SR hesittt eine bestimmte obere Grenze y' = fin 3R. Eine beiderseits beschränkte Menge besitzt also eine bestimmte untere und eine bestimmte obere Grenze. Beide Zahlen brauchen nicht selbst Punkte der Menge zu sein. Ist eine Menge nach links nicht beschränkt, so sagt man auch, ihre untere Grenze sei —oo; ist sie nach rechts nicht beschränkt, so sagt man entsprechend, ihre obere Grenze sei + o o . Wir können jetzt im Reellen den schon in § 23 genannten Bolzano-Weierstraßschen Satz beweisen. Der Beweis verläuft ganz ähnlich wie der eben durchgeführte: Man teile wieder die Gesamtheit aller reellen Zahlen in zwei Klassen 21, 91'. In die Klasse 21 tue man jede Zahl a, links von der keine oder höchstens endlich viele Punkte der Menge liegen: h ö c h s t e n s endlich viele x < a. In die Klasse 91' tue man jede Zahl a', links von der unendlich viele Zahlen der Menge liegen: u n e n d l i c h viele x / j , ' — e , wie auch die positive Zahl e gewählt werden mag. Es ist ersichtlich stets H iS fj,'. Beide Punkte brauchen nicht zur Menge zu gehören. Sie heißen zusammen d i e H a u p t l i m i t e s d e r Menge. Ist eine Menge nach links nicht beschränkt, so bezeichnet man —oo als ihren unteren Lünes; ebenso + o o als ihren oberen Limes, wenn sie nach rechts nicht beschränkt ist. Ist schließlich die Menge zwar nach rechts, aber nicht nach links beschränkt und hat sie im Endlichen überhaupt keinen Häufungspunkt, so wird man sinngemäß — oo auch als ihren lim sup und in dem „spiegelbildlichen" Falle + oo als ihren liminf ansprechen. Die Menge der reellen Zahlen, die zwischen zwei reellen Zahlen a und b, (a < b), liegen — sie erfüllen eine Strecke der Zahlengeraden —, nennt man das Intervall a.. .b. Es heißt abgeschlossen oder offen, je nachdem die Endpunkte ihm zugerechnet werden oder nicht. Das erstere bezeichnet man mit , das zweite mit (a, b).

% 25.

Der Bolzano-Weierstraßsche Satz.

Gestützt auf den Bolzano-Weierstraßschen Satz im Reellen (§ 24) können wir ihn nun auch im Komplexen beweisen. Es sei also 3K eine beschränkte unendliche Punktmenge in der z-Ebene. Dann können wir folgendermaßen einen Häufungspunkt £ derselben aufzeigen: Die reelle Menge der Zahlen x== 9t(z), (z in 2R), ist entweder wieder eine beschränkte unendliche (reelle) Menge und hat dann nach § 24 mindestens einen Häufungspunkt

§26. Zahlenfolgen mit komplexen Gliedern.

77

oder sie ist endlich. Dann muß es aber unter ihren endlich vielen Elementen mindestens eines geben, es heiße f, so daß für unendlich viele z der Menge 9t (z) = f ist. In jedem Falle gibt es also eine reelle Zahl f, so daß bei jedem e > 0 für unendlich viele z der Menge ist. Wir sagen kurz: In jedem e-Streifen um £ liegen unendlich viele z der Menge. Nun führen wir für die Ordinaten einen Dedekindschen Schnitt aus. Wir teilen alle reellen Zahlen in zwei Klassen 35, 33'. In 33 tun wir alle reellen Zahlen b mit der Eigenschaft: In jedem e-Streifen um | liegen unendlich viele 2 der Menge mit 3K2) > b. In SB' tun wir alle Zahlen V, für die dies nicht der Fall ist. Diese Einteilung (83 | 83') ist offenbar ein Schnitt. Er definiere die reelle Zahl rj. Dann ist f = £ + irj ein H ä u f u n g s p u n k t von 3)1. Denn ist s > 0 beliebig gegeben, so gehört rj + e zur Klasse 83'; es gibt also einen e'-Streifen um f mit 0 < e' < e, so daß in ihm nur endlich viele z der Menge einen imaginären Teil > t) + £ haben. Da aber r]—e zu S3 gehört, gibt es dort unendlich viele z mit >»?— Daher liegen unendlich viele z der Menge in dem Bechteck

i — e ' < » ( « ) < f + £',

rj — e < 3 ( « ) 0 gibt es stets eine Zahl n0 = n0 (e), so daß für alle n>n0 und alle p > 0 (2) |2»+j> — ausfallt. (Kürzer: Fast alle zn müssen einen Abstand < e voneinander haben.) Beweis. 1. Strebt z„-"£, so ist bei gegebenem e > 0 für « > % ( £ ) I 2»—£ I < i e . also für alle und alle p > 0 ') Letzteres, weil die Stelle n„ von der ab die Beziehung (1) erfüllt ist von der Wahl von e abhängt.

80

7. Kapitel. Zahlenfolgen. Unendliche Reihen.

I ¿n+p — I = I {Zn+p ~ C) — (*» ~ f ) | < £ , — letzteres nach § 11 (2). Die Bedingung ist also notwendig. 2. Ist umgekehrt (2) erfüllt, so ist die Folge (zn) beschränkt. Denn wählt man etwa e = 1, so entspricht dieser Wahl von e ein %, so daß für alle n > «j I 2» — I < 1 und also | zn | < | z„t | + 1 ist. Die größte der Zahlen |z x |, 10 2 1,..., | ? n i _i |, \zn,\ + 1 ist also eine Schranke für die Menge. Nach dem BolzanoWeierstraßschen Satz hat also (zB) mindestens einen Häufungspunkt f . Hätte sie nun noch einen zweiten Häufungspunkt C'=t=C. so wäre — £ \ eine positive Zahl, ö und es lägen unendlich viele zn in der e-Umgebung von f , unendlich viele andere in der e-Umgebung von £". Oberhalb j e d e r Zahl n0 gäbe es also noch ein n und ein w+p, so daß | zn+p—zn | > e wäre, entgegen der Voraussetzung. Also ist £ der einzige Häufungspunkt. Bei beliebigem e > 0 gilt daher | zn — £ | < e für fast alle n, es strebt f , w. z. b. w. Jede Zahlenfolge, die n i c h t konvergiert, wird divergent genannt. Konvergiert eine Zahlenfolge gegen 0, zn~* 0, so nennt man sie eine Nallfolge. Über das Rechnen mit konvergenten Zahlenfolgen gelten die folgenden einfachen, aber wichtigen Sätze, die genau wie im Reellen bewiesen werden: Satz 2. Strebt die Folge ?„->• f , die Folge z'n-> und sind c, c' zwei beliebige komplexe Zählen, so ist auch die Folge (wn) mit den Gliedern wn = czn-\- c' z'n konvergent, und es strebt V>n—eC + c'C. Satz 3. Unter denselben Voraussetzungen wie beim vorigen Satz ist auch die Folge (wn) mit den Gliedern wn = znz'n konvergent, und es strebt wn Satz 4, Strebt ?„->- sind alle zn 4= 0 und ist auch % 4= 0,

§ 27. Zahlenfolgen mit reellen Gliedern.

81

so ist auch die Folge (wn) mit den Gliedern wn= — konvergent, z n und es strebt w„-+ — . Satz 5. Strebt zn— £ und ist ( 4 ) eine Teilfolgex) der Folge («„), so strebt auch «¿-»C.

§ 27. Zahlenfolgen mit reellen Gliedern. Sind alle Glieder einer Zahlenfolge reell, so nennt man sie kurz eine reelle Zahlenfolge. Da diese als Sonderfall unter den „komplexen" Zahlenfolgen enthalten sind, so sind die Betrachtungen des vorigen Paragraphen auch für diese reellen Zahlenfolgen (x n ) gültig. Im Anschluß an § 24 ergeben sich hier aber einige weitere Einzelheiten: Eine nach links beschränkte Zahlenfolge (xn) hat eine wohlbestimmte u n t e r e Grenze y, die durch die beiden Bedingungen charakterisiert ist, daß k e i n xn < y, aber bei beliebigem e > 0 m i n d e s t e n s ein xn 1 ist.

4. £cn ist absolut konvergent, wenn für ein festes positives y < 1 von einer Stelle ab n n (7) V K l ^ y < 1 ist oder wenn lim ]/ [ e„ j = A < 1 ist. Dagegen ist cn divergent, wenn für unendlich viele n » n (8) V I e» I 1 wenn lim j/ | cn | = A > 1 ist. Denn in beiden Fällen bilden die c„ keine Nullfolge. — Die Kriterien 3. nennt man Quotientenkriterien, die Kriterien 4. Wurzelkriterien. II. Auch die Regeln für das Rechnen mit konvergenten Reihen sind formal die gleichen wie im Reellen und folgen wie diese aus den entsprechenden Regeln für das Rechnen mit konvergenten Zahlenfolgen: 1. Sind 2 en und 2 cn zwei konvergente Reihen mit dm Summen s und s' und sind c und e' zwei beliebige komplexe Zahlen, so ist auch die Reihe J! sowie die ohne Klammern

(ccn + e'e'n) angesetzte Raihe

cc 0 +c'cu+cc 1 +c'ci+cc 2 + • • • konvergent und beide haben die Summe cs+c's'. (Beweis nach § 26, Satz 2 und § 28, Satz 2.) Man sagt, daß man konvergente

86

7. Kapitel. Zahlenfolgen. Unendliche Reihen.

Reihen g l i e d w e i s e m i t e i n e r K o n s t a n t e n m u l t i p l i z i e r e n und daß man sie g l i e d w e i s e a d d i e r e n d a r f . Ist (kn) eine Folge natürlicher Zahlen, in der jede natürliche Zahl (evtl. auch die 0) ein- und nur einmal vorkommt, so nennt man die Reihe X c ' n mit c'n = cj n eine Umordnnng der Reihe 2 c n . Über diese gilt 2. Ist die Reihe ¿cn absolut konvergent mit der Summe s, so ist auch jede Umordnung c'n derselben absolut konvergent und hat dieselbe Summe s1). B e w e i s . Wird e > 0 beliebig gegeben, so läßt sich nach Voraussetzung m so wählen, daß für jedes p (9) l für z - + £ (zaufüöl) oder es sei (2) lim/(*) = «>, z-+C

wenn die eine oder andere der beiden folgenden Bedingungen

§ 32. Grenzwerte von Funktionen.

97

1

erfüllt i s t ) : 1) Nach Wahl von e > 0 läßt sich ein S = 8 (e) > 0 so angeben, daß für alle dem Definitionsbereich von f(z) angehörenden und der Bedingung 0 < | z — £ | < 1 ') Da bei den folgenden Bedingungen ein Funktionewert a n der Stelle z = t selbst gar nicht auftritt, so braucht /(z) in { selbst nicht deflniert zu sein. ') Wahrend im Beeilen die Ann&herung der Veränderlichen a n eine bestimmte SteUe nur von links oder rechts (oder von beiden Seiten) her erfolgen kann, kann Im Komplexen i bezw. z n v o n a l l e n S e i l e n her an die Stelle { herangehen. K n o p p , Elemente der Funktionentheorie. 7

9 8 9. Kapitel. Funktionen einer komplexen Veränderlichen. /IOO-«»!

und

/2(z)-cu2,

so strebt (4) / («) = c x / x (z) + c 2 /„ (z) o) x + Cj -Cj&ij. I L Unter denselben Voraussetzungen wie unter 1) strebt III. Unter denselben Voraussetzungen u n d w e n n oi 2 #=0, also auch /2(«)=}= 0 ist in 0 < \z — 1 [ < - a 0 = /(0), was die Stetigkeit von /(z) in 0 beweist. — Aus diesem Satze ergibt sich leicht der wichtige Identitätssatz für Potenzreihen: Satz 2. Sind die leiden Potenereihen ^anifi und beide für \z\) — arc(z„— £)-* arc /'(£). Die beiden Winkel linker Hand sind die ersten Richtungswinkel der Sekante von o> nach wn bzw. von £ nach zn. Weil nun f in £ eine Tangente haben soll, so strebt arc (z„ — £) gegen den ersten Richtungswinkel dieser Tangente t, wenn »- 1 denken. Wir wissen schon, daß eine solche Funktion in der ganzen Ebene stetig und differenzierbar, also analytisch ist und daß ihre Ableitung w' = kz*—1 ist. Die Ableitung ist also in der ganzen Ebene von 0 verschieden, außer im Nullpunkt. Die Funktion (1) vermittelt also von der z-Ebene eine überall konforme Abbildung, außer im Nullpunkt. Wir wollen diese Abbildung für den Fall k = 2, also die Abbildung durch die Funktion (2) w = z2 etwas genauer untersuchen. Wir zeigen zunächst: Durch (2) wird die (offene) rechte Halbebene umkehrbar eindeutig und ausnahmslos konform auf die längs der negativen reellen Achse aufgeschnittene w-Ebene abgebildet, d. h. auf die Gesamtheit der Punkte der w-Ebene, die von 0 und den negativ-reellen Punkten verschieden sind. Setzt man nämlich wie bisher | z | = Q und arc z— rp, so wird nach § 11 (5) (3) \w\ = f>2, a r c w = 2 cp. Durchläuft nun z den in der rechten Halbebene gelegenen 80 Halbkreis | z | = Q, — ? < 9? < + durchläuft w den 2 a im negativ-reellen Punkte aufgeschnittenen Vollkreis H = Q\ —71 < arc w < + 7t, und beide Kurven entsprechen sich umkehrbar eindeutig (Fig. 21). Läßt man hierbei Q alle Werte in 0 < Q < + oo durchlaufen, so durchläuft auch Q2 alle diese Werte und jeden genau einmal. Damit ist, da Fig. 21. die Ableitung unserer Funktion (2) in 9ft(z) > 0 nirgends verschwindet, die Be-

§38. Potenz und Wurzel.

113

hauptung schon bewiesen. Die umkehrbare Eindeutigkeit bleibt erhalten, wenn man zu der Halbebene JR (2) > 0 noch die positiv-imaginäre Achse und zu der aufgeschnittenen w-Ebene noch den „oberen" Rand hinzunimmt, die sich offenbar wiederum vermöge (2) umkehrbar eindeutig entsprechen. Die Winkeltreue ist aber im Nullpunkt gestört, da nach (3) die Winkel am Nullpunkt bei der Abbildung verdoppelt werden. Ganz ebenso erkennt man, daß auch die l i n k e Halbebene 9t(s) < 0 , zu der die negativ-imaginäre Achse hinzugenommen sei (für deren Punkte also + ^ < r£j ^ ist), gleichfalls durch a ¿1 (2) umkehrbar eindeutig auf die in genau derselben Weise wie eben aufgeschnittene und berandete to-Ebene abgebildet wird und daß die Abbildung außer im Nullpunkt konform ist 1 ). Die volle zJCbene wird also in nun leicht zu übersehender Weise auf die doppelt bedeckte w-Ebene abgebildet, d . h . jedem z entspricht genau ein «0, aber jedes w wird für genau zwei (entgegengesetzt gleiche) Werte von z erhalten, — mit Ausnahme des Wertes w = 0, der nur für 2 = 0 angenommen wird. Um diese doppelte Belegung der w-Bbene anschaulicher zu übersehen, denkt man sich zweckmäßig die beiden vorher erhaltenen aufgeschnittenen Exemplare der w-Ebene a u f e i n a n d e r gelegt. Heftet man dann die beiden Nullpunkte zusammen und fügt die Blätter „über Kreuz", d. h. den oberen Rand jedes Blattes mit dem unteren Rand des anderen zusammenfügend, aneinander »), so erhält man ein eigentümliches Gebilde, das man als die Rlemannsehe Fläche der Funktion w = z* bezeichnet. Auf ihr ist jeder von 0 verschiedene Punkt zweimal (an aufeinanderliegenden Stellen), der Nullpunkt aber nur genau einmal vorhanden. Auf diese Riemannsche Fläche wird nun durch unsere Funktion u>= z* die (schlichte) 2-Ebene umkehrbar-eindeutig und, von dem W i n d u n g s p u n k t e oder V e r z w e i g u n g s p u n k t e in 0 abgesehen, auch konform abgebildet. — Auf eine eingehendere Behandlung solcher Riemannscher Flächen kann hier aber nicht eingegangen werden. Näheres s. Fktth. I und II. ') Wegen (—z) 1 = z1 folgt dies natürlich auch unmittelbar ans dem zuvor Bewiesenen. ') Das ladt sich nur in Oedanken ausfahren, da bei einem materiellen Modell die Durchdringung der beiden Blätter nur unvollkommen realisierbar ist. K n o p p , Elemente der Funktionentheorie. 8

114

11. K&piteL Potenz und Wurzel. Die rationalen Funktionen.

Auch bei Benutzung kartesischer Koordinaten erhält man einen guten Einblick in die durch (2) vermittelte Abbildung. Setzt man z = x + iy, w=u-\-iv, so ist nach (2) (4) u= x2—y2, v=2xy. Hieraus ist zu entnehmen, daß die auf den Hyperbeln x2 — y2 — const gelegenen Punkte z in die auf den Geraden u — const gelegenen übergehen. Ebönso gehen die Hyperbeln xy = const in die Geraden v = const über. Wegen der Wilikeltreue der Abbildung schneidet jede Hyperbel der einen Schar eine jede der anderen Schar unter einem rechten Winkel. Ebenso leicht erkennt man aus (4), daß die Geraden x = const bzw. y — const der z-Ebene bei der Abbildung in zwei konfokale Parabelscharen mit dem Brennpunkt in 0 übergehen, die wiederum zueinander orthogonal sind. Die Abbildung durch die Funktion (1) mit fc > 2 ist bei Benutzung von Polarkoordinaten genau so leicht zu studieren wie im Falle k = 2. An die Stelle der Halbebene hat man 2n nur einen Winkelraum von der Öffnung — und dem ScheitelK punkt in 0 zu setzen, und aus der doppelten Belegung der w-Ebene wird eine fe-fache. Auch bei Benutzung kartesischer Koordinaten entstehen keine grundsätzlichen Schwierigkeiten. Nur sind die den Hyperbeln und Parabeln entsprechenden Kurven für k > 2 nicht mehr so einfach; es sind algebraische Kurven fc-ter Ordnung. Da die Abbildung zwischen der schlichten z-Ebene und der fc-fach überdeckten ic-Ebene eine (vom Nullpunkt abgesehen) umkehrbar eindeutige ist, so können bei der ganzen Betrachtung ohne weiteres z und w vertauscht, d. h. w als der gegebene und z als der zugeordnete Wert betrachtet werden. Wir erhalten dann sofort: Bei gegebenem w 4= 0 gibt es genau k verschiedene Werte z, für die w ist. Diese liegen sämtlich auf demselben Kreise

§ 39. Die ganzen rationalen Funktionen. um

d m

eines

N u l l p u n k t

regelmäßigen

der

z-Ebene

und

bilden

dort

116 die

Ecken

k - E c k s .

Jeden dieser Werte nennt man eine A-te Wurzel aas w, in ie

Zeichen: gssYTö- Dieses Zeichen ist also—im Gegensatz zu den im Reellen üblichen Festsetzungen — ein seinem Wesen nach mehrdeutiges, nämlich i-deutiges Symbol. Unabhängig vom vorigen erkennt man dies so: Ist w = a (cos ip + i sin rp), s = q (cos

, (aP 4= 0), dessen „Grad" p ^ l ist, läßt sich in genau p lineare Faktoren zerlegen, d. h. es gibt p (nicht notwendig verschiedene) Zahlen zv z2,..., zP, so daß (3)

g(z)=ap(z

— z1){z — z2)..-(z

— zp)

ist. — Außer den Beweisen, wie sie die Algebra liefert, gibt es mehrere rein funktionentheoretische, von denen drei in Fktth. I, § 28 u. 35, und Fktth. II, § 11 zu finden sind. Die verschiedenen unter den Zahlen z it z 2 , . . . , z p , die wir mit Ci, C2, • • £k> (1 = ^ = V) bezeichnen wollen, nennt man kurz die W u r z e l n oder N u l l s t e l l e n des Polynoms (2). Tritt Cr im ganzen «„-mal unter zv . . z p auf, (v = 1, 2,...,&), so sagt man, f„ sei eine Wurzel oder Nullstelle der O r d n u n g Es ist natürlich gesetzt, so sieht man nach (4) sofort, daß für (11) 2=log + 2*CT), ( f c | 0 , ganz), offenbar ez= w ist. Von den Werten (11) liegt aber genau einer in dem Fundamentalstreifen (10). Für einen anderen Wert z' dieses Streifens kann aber wegen der unter 5. gemachten Feststellung e2' nicht auch = w sein. 7. Da durch gliedweise Differentiation der Reihe (1) wiederum diese Reihe (1) hervorgeht, so ist für jedes z Insbesondere ist die Ableitung also überall von 0 verschieden, und folglich wird die ganze 2-Ebene durch die Funktion w — ez ausnahmslos konform abgebildet. 8. Diese Abbildung ist auch im einzelnen leicht zu über-

122

12. Kapitel. Die Exponentialfunktion.

sehen: Wir denken uns in dem Fundamentalstreifen (10) der Fig. 22 die Parallelgeraden zu den Rändern gezogen und von links nach rechts z ' • orientiert; ebenso denken wir uns die dazu 1p" senkrechten Strecken von Rand zu Rand gezogen und von unten nach oben orientiert. Fig. 22. Durchläuft z eine der erstgenannten Geraden von links nach rechts, so heißt dies, daß wir in z — x + iy den imaginären Teil y fest wählen und x alle reellen Zahlen wachsend durchlaufen lassen. Nach (5) hat dann der Bildpunkt w den festen Arcus y, liegt also auf dem Halbstrahl aus 0, der diesem Arcus entspricht, während sein Betrag e* die Werte von 0 nach + oo wachsend durchläuft. Der Bildpunkt durchläuft also den genannten Halbstrahl von 0 (ausschl.) nach oo (ausschl.); Strahl und Halbstrahl entsprechen sich umkehrbar-eindeutig. Durchläuft z eine der zu zweit genannten Strecken von unten nach oben, so heißt dies, daß wir x fest lassen und daß y die Werte von — n (ausschl.) bis + n (einschl.) durchläuft. Nach (5) hat dann w den festen Betrag e*, läuft also auf dem Kreise mit dem Radius e* um den Nullpunkt der «»-Ebene, und zwar genau einmal im positiven Sinne herum, bei der negativreellen Achse (ausschl.) beginnend bis zu dieser (einschl.) zurück. Es wird also insbesondere das Innere des Fundamentalstreif ens umkehrbar-eindeutig und ausnahmslos konform auf das Innere der längs der negativ-reellen Achse aufgeschnittenen ic-Ebene abgebildet. 9. Von besonderem Interesse für mannigfache Untersuchungen (s. § 43) ist noch die Aufgabe, die Funktion

1

(12)

§ 41. Die Exponentialfunktion.

123

in eine Potenzreihe mit dem Mittelpunkt 0 zu entwickeln. Nach § 30 ist dies jedenfalls für eine gewisse Umgebung des Nullpunkts möglich. Die Koeffizienten der gewonnenen Entwicklung bezeichnen B wir aus historischen Gründen mit —r, setzen also n! + + + . V ^ 213! Statt nun die Koeffizienten nach der allgemeinen Methode des § 30 zu berechnen, geht man hier und in allen analogen Fällen so vor: Nach (13) ist

(13)

1

+

(1 + | | + + • • • ) (1 + B,z + | | * + • • •) = 1, d. h. durch Ausmultiplikation der beiden links stehenden Potenzreihen muß sich eine Potenzreihe ergeben, deren konstantes Glied = 1 ist, deren übrige Koeffizienten sämtlich = 0 sind. Das liefert die unendlich vielen Gleichungen 1 Bn 1 Bn-l , = n 1! «! 2! («—1)1 «! 1! (M + i)l ' ( » = 1, 2 , . . . ) . Nach Multiplikation mit (n + 1 ) 1 erscheinen hier links die Binomialkoeffizienten der (n + l)-ten Potenz. Die Gleichungen lauten also 2 Bt + 1 =0 3 B2 + 3 B t + 1 =0 (14) 4 B 3 + 6 5 , + 4B X + 1 =0 5 Bt + 10 Ba + 10 B2 + 5 Bx + 1 = 0 aus denen sich der Reihe nach Bx = — Ba = B s = 0, Bt — — ^V, B* = 0, B, = ... ergibt. Diese Zahlen werden die Bernoullischen Zahlen genannt. Sie sind, wie die Rechnung zeigt, samtlich r a t i o n a l e Zahlen. Sie dürfen, da die Rechnung keinerlei grundsätzliche Schwierigkeiten macht, als „bekannt" angesehen werden. Außer B1 haben alle B„ mit ungeradem Index n den Wert 0. Es folgt dies (unter Anwendung des Satzes 2 in § 35) daraus, daß, wie man leicht nachprüft, 2 e> — 1- +' 2i eine gerade Funktion von z ist, d.h. für — z denselben Wert hat wie für z.

124

12. Kapitel. Die Exponentialfunktion.

§ 42. Die Funktionen cos z und sin z. Ganz entsprechende Erwägungen wie die zu Beginn des vorigen Paragraphen angestellten führen zwangsläufig dazu, die trigonometrischen Funktionen cos x und sin x für komplexe Argumente durch die Festsetzungen

(1)

co S * = l - f ? + f j -

+

...=Jo(-l)

und

zu d e f i n i e r e n . Da die beiden Reihen wie die Exponentialreihe beständig konvergieren, so sind hierdurch auch cos z und sinz als g a n z e F u n k t i o n e n erklärt, cos z ist eine g e r a d e , sin z eine u n g e r a d e Funktion, d. h. es ist für jedes z (3) cos (— z) = cos 2, sin (— z) = — sin z. Der schon in § 41,3 für reelle Argumente benutzte Zusammenhang zwischen unseren drei Reihen besteht nun oSenbar auch für komplexe Argumente, d. h. für jedes komplexe z gelten die sog. Eulerschen Formeln (4) etz aas cos z + i sin z, (o) c o s z —

e** + e"u

,

. eiz — e~lz sin« = — .

Zu ihrem Beweise braucht man nur für die auftretend en Funktionswerte die sie definierenden Potenzreihen einzusetzen, wodurch sich nach § 28, II, 1 auf beiden Seiten jeder der Gleichungen die gleiche Reihensumme ergibt. Wegen dieses überaus einfachen Zusammenhanges zwischen cos z u nd sin z auf der einen und e* auf der anderen Seite bieten die Untersuchungen von cosz und sinz keine neuen Schwierigkeiten. Alles ergibt sich sehr einfach aus den in § 41 festgestellten Tatsachen.

§ 42. Die Funktionen cos z und sin z.

125

1. Die aus dem Reellen her bekannten Additionstheoreme für die Funktionen cos und sin gelten auch im Komplexen, d. h. für beliebige komplexe Zahlen z1 und z2 ist stets cos («1 + «%) = eos «1 cos x% — sin «1 sin «g, sin («1 + = cos «1 sin z% + sin «1 cos . Denn nach (5) und § 41 (3) ist g—«1 e—«i cos (2, + z2) =-, woraus sich unter Benutzung von (4) sofort die erste der Formeln (6) ergibt. Ganz entsprechend beweist man die zweite. 2. Auch die aus dem Reellen her bekannten Periodizitätseigenschaften bleiben im Komplexen erhalten. Beide Funktionen haben, die (reelle) Periode 2n, d. h. es ist für jedes z cos (z + 2tz;) = cos z, sin (z + 2n) = sin z. Zum Beweise hat man nur bei den links stehenden Ausdrücken die eben bewiesenen Additionstheoreme anzuwenden und zu beachten, daß cos = 1, sin 2n — 0 ist. 3_ Da die in 1. und 2. festgestellten Tatsachen formal die gleichen sind wie im Reellen, so bleiben auch alle Folgerungen bestehen, die rein formal aus diesen Tatsachen gezogen werden können. Das ist aber der gesamte Formelapparat der sog. Goniometrie. Es gelten also z. B. die Formeln cos2 z + sin2 z= 1, cos 2 z = cos2 2 — sin2 2, sin 2 z = 2 cos z sin z, COS 2, cos ———, usw. 1 +1 CO 2S 2» = 2 cos *2 2 ungeändert für beliebige komplexe Argumente 2, zlt z2.

Es erübrigt sich, alle diese Formeln im einzelnen hinzuschreiben. 4. Auch die Berechnung der Funktionswerte cos z und sin 2 macht keine Schwierigkeiten. Denn für z = x + iy ist unter Benutzung von (5) und (4)

126

12. Kapitel. Die Exponentialfunktion. cos (x + iy)=~

(7)

ie**-« + e~2 genau eine Lösung z in dem Streifen — n + n. Nennt man sie zr bzw. za, so ist =f= z2 und cos z1 = cos zt— w. Eine dritte Stelle z, für die cos z = w wäre, kann es aber nach 6. nicht geben. — Für die Funktion sin z verläuft der Beweis ganz analog. 8. Durch gliedweise Differentiation der Reihen (1) und (2) ergibt sich wie im Reellen, daß für jedes z d cos z . d sin z ist. Die durch die Funktion w = cos z vermittelte Abbildung ist also überall konform außer an den Stellen kn; die durch w = sin z vermittelte Abbildung überall außer an den Stellen (2fe +

l)|-.

9. Die Einzelheiten dieser Abbildung ergeben sich aus den Formeln (7) und (8). (7.) lehrt z. B., daß bei der Abbildung durch w= cos z die Geraden bzw. Strecken, die zu den Rändern des Periodenstreifens parallel sind, in konfokale Hyperbeln bzw. Ellipsen übergehen. Die (sehr einfache) Ausführung des Beweises müssen wir dem Leser überlassen.

128.

12. Kapitel. Die Exponentialfunktion.

§ 43. Die Funktionen tg« und ctg z. Die Funktionen tg z und ctg z werden für komplexe Argumente wie im Reellen durch die Festsetzung sin ? cos z (1) tgz= , cte2=-— w ^ cos« ^ sin 2 definiert. Da cos z und sin z in der ganzen Ebene regulär sind, so ist es tg 2 überall da, wo cos 2 =(= 0 ist, also in der ganzen 7t

Ebene, mit Ausnahme der Punkte (2fc + 1) — . Ebenso ist

¿

ctg 2 in der ganzen Ebene regulär, außer an den Stellen Ten. Die weiteren Eigenschaften lassen sich leicht aus den uns nun bekannten Eigenschaften der Funktionen cos z und sin 2 bzw. ez ableiten: 1. Die Potenzreihenentwicklung beider Funktionen ergibt sich aus der in § 41,9 behandelten Divisionsaufgabe. Es ist cos 2 . + ,e 2fa + 1 2i (2) ctg2 = — — = % - rw- ! -, r=i—— 2u ! — - = » + - 2- 2 sin 2 e — er"" e — l e « —1 also nach § 41, 9 2 iz Bo Z ctg 2 = IZ + = w+ 1+ ^(2«) + izf +••: Weil nun

= —-i- ist und weil alle Bernoullischen Zahlen o

mit ungeradem Index verschwinden, ist /Q\ (3) z c t g * = l,

B¡í 2 + - . . . + ( - 1 ) - ^ B%k —x j - » tk +, ' • •

= 1 — — 22 — — 24 3 45

— 2® 945

.

Da nun weiter t g « = ctg z — 2 ctg 2z ist, so folgt aus (3)

sofort die Entwicklung von tg 2:

§ 43. Die Funktionen tg z und ctg 2. (4)

tg S =

4.3

129

n . a 4- •. .• •.

Diese Potenzreihen haben sicher einen positiven Konvergenzradius. Dessen genauer Wert ergibt sich aber erst durch tiefergehende Betrachtungen; er ist = 7t für die Reihe (3), =

für die Reihe (4). (Vgl. Fktth. I, § 31.) u 2. Die formalen Eigenschaften, die in den Additionstheoremen und den übrigen goniometrischen Formeln zum Ausdruck kommen (z. B. in der eben zum Beweis von (4) benutzten), sind natürlich aus dem gleichen Grunde wie bei cos z und sin z dieselben wie im Reellen. Wir können daher darauf verzichten, diese Formeln im einzelnen hinzuschreiben. 3. Aus dem Additionstheorem folgt, daß auch die Periodizitätseigenschaften dieselben sind wie im Reellen; es ist für jedes z (5) t g ( z + J l ) = tgz, c t g ( z + 7 i ) = ctg z . Als P e r i o d e n s t r e i f e n pflegt man den Streifen 71 71 t2 < " « £ + T zu wählen. — Ähnlich wie bei cos z und sinz läßt sich auch hier genauer zeigen: Wenn t g z 1 = t g z 2 ist, so unterscheiden sich z1 und Zj nur um ein ganzzahliges Vielfaches von n, und das gleiche gilt für ctg z. Unsere Funktionen haben also an zwei verschiedenen Stetten dann und nur dann denselben Wert, toenn diese Stellen durch eine ein- oder mehrmalige Tramlaiion (71) auseinander hervorgehen. Denn sowohl aus tg z^ — tg Zj wie aus ctg Zj = ctg Zg folgt, daß sin (Zj — zx) = 0, also (s. § 42, 5) z2 — e 1 = hn sein muß. Knopp, Elemente der FnnkUonentheorle. 9

130

12. Kapitel. Die Exponentialfunktion. 7t

7t

4. In dem Periodenstreifen — — < 9R (z) gi + —- nehmen ¿t & ig z und ctg z jeden komplexen Wert, der von i i verschieden ist, genau einmal an\ die Werte ± i dagegen werden überhaupt nicht angenommen. Es genügt, dies für ctg z zu beweisen. Denn wegen tg z • ctg z = 1 ergibt sich dann die Behauptung für tgz ganz von selbst. Die Gleichung c t g z = ± t würde 2i nun nach (2) bedeuten, daß — - = 0 oder s= —2t sein 6

—

X

müßte. Das erste ist gewiß für keinen Wert von z möglich, und das zweite würde fordern, daß e2ü = 0 wäre, was auch niemals der Fall ist. Also ist stets ctg z 4= ± *» Ist aber w eine beliebige von ± i verschiedene Zahl, so bedeutet nach (2) die Gleichung ctg z = w, daß (6) t M oder « » = - X - , K ' e2**— 1 w— t sein soll. Da hier rechts ein bestimmter und überdies von 0 verschiedener Wert steht, so gibt es nach § 41,6 genau eine Zahl z' in —n < 3(z') < + n, für die e2" = "Llhl i s t. Also w— i JJ jjjr gibt es auch nur genau einen Wert z mit —— a < SR (z) ^ +¿t—, für den die zweite der Gleichungen (6) besteht, für den also ctg z = w ist. ö. Die Ableitungen unserer Funktionen ergeben sich natürlich einfach aus den Definitionsgleichungen (1). Es ist wie im Reellen 1 d tg z 1 d ctg z 2 dz cos z' dz sin 2 z' Da diese Ableitungen ersichtlich nirgends verschwinden, so ist die Abbildung, die durch unsere Funktionen vermittelt wird, an jeder Stelle, an der die Funktionen definiert sind,

§44. Die hyperbolischen Funktionen.

181

konform. Auf Einzelheiten dieser Abbildung wollen wir nicht eingehen.

§ 44. Die hyperbolischen Funktionen. Für mancherlei Anwendungen ist es zweckmäßig, neben den trigonometrischen Funktionen noch die sog. hyperbolischen Funktionen ©oj z, S i n z einzuführen 1 ). Sie werden durch die wiederum beständig konvergenten Potenzreihen

(1)

+ * + * +

(2)

f +

£ +

definiert, sind also gleichfalls g a n z e F u n k t i o n e n . Sie hängen mit cosz und sin z, wie die Beihendarstellungen zeigen, durch die einfachen Formeln (3) ©of z = cos (iz), ©in z— — i sin (iz) zusammen. Diese lehren, daß alle Eigenschaften der neuen Funktionen und der für sie gültige Formelapparat sehr ähnlich ausfallen wie bei cos z und sin z, so ähnlich, daß es sich fast erübrigt, alle Einzelheiten auszuführen. Wir heben darum nur das Wichtigste ohne Beweis hervor: 1. ®of z ist eine gerade, ©in z eine ungerade Funktion. 2. Es ist q Z _L_ g — 2

©of z = — - — ,

£ -

£ — Z

©in 2 = — - — ,

¿t

e* = 6of e + ©in z.

u

3. Die Additionstheoreme lauten: Eof (z, + z2) = 6of Zj Sof z2 + S i n z,Sin z 2 , ©in (zj + z2) = ßof ZjSin z2 + S i n 6of z 2 . ') Gelegentlich werden auch noch die Funktionen _ Sinz , CEofz I f l 2 = = - r - und

1.2. ..n

.

« + - • • •

x

ergeben, und deren Summe muß der Hauptwert von (6) (1 + z)« sein, — wofern nur die ausgeführte Umordnung im Sinne des § 30 erlaubt ist. Das ist aber gewiß der Fall, da die Exponentialreihe beständig konvergiert und die Reihe (4) für |z| < 1 konvergent bleibt, wenn alle ihre Summanden durch nicht mehr gelten, — nicht einmal in dem erweiterten Sinne, daß Jeder Wert, der einen Seite unter den Werten der anderen Seite enthalten ist. Vielmehr (teilt hier in beiden Gleichungen die linke Seite mehr Werte dar als die rechte.

§ 47. Die Binomialreihe und die allgemeine Potenz.

141

1

deren Beträge ersetzt werden ). Also stellt die Reihe (5) für alle [2] < 1 und beliebige komplexe