Aufgabensammlung zur Funktionentheorie: Band 1 Aufgaben zur elementaren Funktionentheorie [5. Aufl. Reprint 2019] 9783111364957, 9783111007809

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

877

AUFGABENSAMMLUNG ZUR FUNKTIONENTHEORIE von

P R O F . DR. K O N R A D

KNOPP

cm. o. Professor der Mathematik an der Universität Tübingen

I

AUFGABEN ZUR E L E M E N T A R E N

FUNKTIONENTHEORIE

Fünfte Auflage

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals G. J . Göscben'sche Verlagshandlung • J . Guitentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • K a r l J . T r ü b n e r • Veit & Comp. B E R L I N

1957

© Copyright 1067 by Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35, Genthiner Str. 13. Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagahandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 1108 77. Druck: Lindemann & Lüdecke, Berlin SO36. — Printed In Germany.

Inh alts Verzeichnis. Vorbemerkungen I Kapitel. Grundlegende Begriffe. § 1. Die komplexen Zahlen und ihre Darstellung in der Ebene § 2. Punktmengen. Wege und Gebiet« . . IL Kapitel. Zahlenfolgen und unendliche Reihen. § 3. Grenzwerte von Zahlenfolgen. Unendliche Reihen mit konstanten Gliedern § 4. Konvergenzeigenschaften der Potenzreihen III. Kapitel. Funktionen einer komplexen Veränderlichen. § 6. Grenzwerte von Funktionen. Stetigkeit und Differenzierbarkeit § 6. Einfache Eigenschaften der elementaren Funktionen IV. Kapitel: Integralsätze. § 7. Der Integralbegriff § 8. Cauchysche Integralsätze und Integralformeln V. Kapitel. Reihenentwicklungen. § 9. Reihen mit veränderlichen Gliedern. Gleichmäßige Konvergenz § 10. Potenzreihenentwicklungen §11. Verhalten von Potenzreihen auf dem Rande des Konvergenzkreises . . . . VI. Kapitel Konforme Abbildungen. §12. Lineare Funktionen. Stereographische Projektion §13. Spezielle (nicht lineare) Abbildungsaufgaben einfacher Art

4

Seit«

71) 9

451) 48

13

64

16

69

19

66

22

73

26

83

28

88

30 32

92 99

34

108

37

114

42

124

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V orbemerk ungen. Bei der Auswahl der Aufgaben dieser kleinen Sammlung habe ich mich streng an die in der „Sammlung Göschen" vorhandenen funktionentheoretischen Bändchen gehalten, nämlich 1. K o n r a d K n o p p , Elemente der Funktionentheorie, 4. Auflage, 1955; 2. K o n r a d K n o p p , Funktionentheorie I, Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen, 9. Auflage, 1957; 3. K o n r a d K n o p p , Funktionentheorie II, Anwendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie. 8./9. Auflage, 1955; 4. L u d w i g B i e b e r b a c h , Einführung in die konforme Abbildung, 5. Auflage, 1956. Von dem darin behandelten Stoffgebiet wird aber vorläufig nur der kleinere Teil benutzt, so daß das zweite meiner Bändelten fast gar nicht und dasjenige von Bieberbach nur in geringem Maße als Grundlage dient. Diese finden in dem II. Teil dieser Aufgabensammlung, Aufgaben zur höheren Funktionentheorie, 4. Aufl., 1949, Sammlung Göschen Nr. 878, entsprechende Berücksichtigung. Wesentlich schien es mir, nur wirkliche Übungsaufgaben zu bringen, also nur solche, die zur Klärung und Beherrschung des dort behandelten Stoffes dienen, ohne sachlich er-

Vorbemerkungen.

ß

heblich darüber hinauszugehen. Denn keinesfalls wollte ich eine nur in die F o r m einer Aufgabensammlung gekleidete Ergänzung jener Bändchen bringen. Daher bezieht sich auch die Mehrzahl der Aufgaben auf die grundlegenden Dinge, vor allem also auf das Stoffgebiet der „Elemente" und meines ersten Bändchens, dessen Disposition im großen und ganzen auch jetzt wieder benutzt wurde. Für den Gebrauch der Aufgabensammlung ist noch die Beachtung der folgenden Bemerkungen von Nutzen: 1. Auf die obengenannten vier Bändchen wird kurz durcli Elem, K I, K 11 und Bi verwiesen unter Angabe von Paragraph oder Seite, die sich stets auf die obengenannten Auflagen der Bändchen beziehen. 2. Viele von den späteren Aufgaben setzen zur Lösung Vorausgegangenes voraus. Falls besonders darauf verwiesen wird, geschieht es durch Angabe von Paragraph und Nummer der Aufgabe. Bei Aufgaben desselben Paragraphen wird nur die Nummer genannt. 3. Aufgaben, die — im Rahmen dieses Bändchens — als etwas schwieriger anzusehen sind, sind durch ein Sterneben (*) kenntlich gemacht. 4. Nicht nachdrücklich genug kann empfohlen werden, sich Figurenskizzen zu allen Aufgaben zu machen, bei denen dazu nur irgend Anlaß ist. 5. In der Bezeichnung sind durchgehend die folgenden Regeln eingehalten worden: a) Beliebig gegebene komplexe Zahlen (oder Punkte) sind mit z 0 , zx, .. .,w0,u>lt ..., a, b, . . . bezeichnet, komplexe Variable mit z, ..., w, « , . . . Nur in § 13 sind auch Variable mit zlt z2, . . . bezeichnet. 7 , a , . . . sollen die zu z, a, . . . konjugierten Zahlen bedeuten. b) Beliebig gegebene reelle Zahlen werden mit x0, xlt ..., 4/o< 2/i> • • •>"(>. • • •> vo< ••; -f- t singo), ia = u + iv gesetzt, wenn reeller und imaginärer Teil, SR(z) und 3(2), Betrag und Arcus, | z | und arcz, besonders zu bezeichnen sind. c) Durch r, Q, ä, e, . . . sollen stets positive, durch k, TO, n , p, . . . im allgemeinen ganze positive Zahlen bezeichnet werden. d) G e b i e t e werden mit großen deutschen, Ränder und Wege mit kleinen deutschen Buchstaben bezeichnet: ©, S3 S, p, ... Eine Ergänzung zu denjenigen Kapiteln, deren Aufgaben sich auf Zahlenfolgen und unendliche Reihen beziehen, bildet weiter das in der „Sammlung Göschen" erschienene Bändchen von H. F a l c k e n b e r g , Komplexe Reihen nebst Aufgaben über reelle und komplexe Reihen, Neudruck 1945. Endlich sei zur Ergänzung und Vertiefung hingewiesen auf die große und ausgezeichnete funktionentheoretische Aufgabensammlung von G. P o l y a und G. Szegö, Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, Band I und II, Berlin 1925; 2., unveränderte Auflage 1954.

E r s t e r Teil. Aufgaben. I. Kapitel. Grundlegende Begriffe. § 1. Die komplexen Zahlen und ihre Darstellung in der Ebene. (Elem, §§ 1 - 2 2 ; K I , § 1 - 2 . ) 1. Es sei z0 eine von 0 verschiedene komplexe Zahl. Welche komplexe Zahl entspricht dem Spiegelbild von z0 a) am Nullpunkte, b) an der Achse des Reellen, c) an der Achse des Imaginären, d) an der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten, e) an der Winkelhalbierenden de9 2. Quadranten? 2. Es ist stets - T 7 = - ( | * H - | y | ) S | « | s | i p | + | y | . 1

a

3. Welches ist der geometrische Ort aller Punkte t für die »)M=§2; d) 0

b)|«|>2;

SR(iz) < 2n ;

h) | e* — 11 = « > 0 ;

e)«(«)S-|-;

e) 5R(z*) = * ( § 0 ) ;

i)

1

< d, d > 0 ;

8

I. Kap.: Grundlegende Begriffe. k) m)

g —1 2+ 1 « + i

g —1

Sil;

g+

= « > 0 ;

4. Wann liegen 3 Punkte z l t z. r Man

betrachte

den

l =

1?

z3 in gerader Linie?

Differenzenquotienten

-)

5. Wann liegen 4 Punkte Zj, z 2 , z 3 , z 4 auf einem Kreise? Z, — 2, . JZ,i — g ^ X [Man betrachte das Doppelverhältnis • g. ' g. — g. V 6. E s ist stets | gj + g212 + | gj — g2 2(K Welchen geometrischen Satz liefert diese Gleichung? 7. Welcher Punkt z teilt die Strecke zx . . . g2 im Verhältnis (Ax + l 2 =|= 0)? 8. Ein Dreieck hat die Ecken z l t g 2 , g 3 . Wo liegt sein Schwerpunkt, wenn a) in jede Ecke dieselbe Masse X, b) in die Ecken der Reihe nach die Massen vlj, ^ gelegt werden? Man zeige zu b) r e i n a r i t h m e t i s c h , daß für positive Massen A x , ^ der Schwerpunkt stets im Innern des Dreiecks liegt. 9. Man zeige, daß der Schwerpunkt des aus den mit den Massen A x , . . . , fa belegten Punkten z l t z 2 , . . . , z k

bestehenden Systems in 2 = + + ••• + liegt. ^ + ** + '' • + l k 10. F ü r 3 Punkte z x , g 2 , g3 sei z x + z 2 + g 3 = 0 und | z11 = | g 2 j = j g31 = 1 . Behauptung: z 1 , g 2 , gj ist ein dem Einheitspreise einbeschriebenes gleichseitiges Dreieck. 11. Ist zi + g 2 + g3 + zt = 0 und | z11 = | g21 = | g31 = | g41 = 1, so bilden die 4 Punkte z ein dem Einheitskreise einbeschriebenes Rechteck.

§ 2. Punktmengen.

Wege und Gebiete.

9

12. Wann sind die Dreiecke z1 z2 z3 und z[ einander (gleichsinnig) ähnlich? (Man betrachte die Differenzenquotienten, s. Aufgabe 4.) *13. Es sei | z11 < 1 und | zt | < 1. Dann gibt es eine nur von zl und z2 abhängige positive Konstante K = K(zx, z2) derart, daß für jedes z, das dem Dreieck -f 1, zl, z3 angehört und von + 1 verschieden ist, stets I I \K 1-1*1 bleibt, mag 2 dem Punkte -f 1 sonst so nahe kommen, „ , 1+ i 1— i wie es will. — Man bestimme für zx — —-—, — —-— den kleinsten Wert der Konstanten K. § 2. Punktmengen. Wege und Gebiete. (Elem, §§ 23—25; K I. § 3—4.) 1. Die Menge alle); Wurzeln aller algebraischen Gleichungen der Form o,«" + ... + a „ _ i 2 + a„ = 0 , bei denen die a, komplexe g a n z e Zahlen sind [d. h. 8R(a,) und sollen reelle ganze Zahlen sein], ist abzähl ar. Man gebe eine Abzählung an. 2. Die Menge aller Zahlen z = x + iy mit rationalen x und y ist abzählbar. Man führe eine bestimmte Abzählung durch. y i 3. Die Menge der Zahlen z — 1 (»1 und n positivm n ganz) ist abzählbar. Man ordne sie zu einer Zahlenfolge. 4. Man bestimme die untere Grenze oc, die obere Grenze ß , den unteren Limes l und den oberen Limes u für folgende reelle Punktmengen und gebe jedesmal an, ob die betreffende Zahl zur Menge gehört oder nicht:

10

I. Kap.: Grundlegende Begriffe.

a) Die rationalen Zahlen, deren Quadrat g i 10 ist und deren Nenner eine gerade Zahl ist. b) Die Zahlen der Form ( l ± )

>1

"

II

II

i

d)

i,

.1

ii

n

» ±

®) ii

II

ii

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C

f) '

"

^ j ' n

" i"j • m /I

\

.

n' , l\m

+ n

h)

II

ii

II

II

rfc~~ ± ~~ • m n

i)

„

„

„

„

l +

(—1)"

n k) Die Menge aller derjenigen Zahlen, deren jede als (unendlicher)Dezimalbruchso geschrieben werden kann, daß er mit „0, . . . " anfängt und dann nur ungerade Ziffern (also auch nicht die Ziffer 0) enthält. *5. Man beweise, daß bei dem letzten Beispiel der vorigen Aufgabe j e d e r Punkt der Menge ein Häufungspunkt derselben ist. 6. Wenn es. bzw. ß nicht zur Menge gehören, so ist k — l bzw. ß = fl . >) Bei b) b i s i) rollen n u n d m beliebige n a t ü r l i c h

Zahlen b e d e u t e n .

§ 2. Punktmengen. Wege und Gebiete.

11

7. Ist die durch die Beziehung | s | + 81(3) 1 definierte Menge beschränkt? Welches Gebiet erfüllen ihre Punkte? 8. Man gebe alle Häufungspunkte der folgenden Mengen an: 1 i a) 1 , (m und « natürliche Zahlen) m n b)Mof d) die Menge aus Aufgabe 2 , e) alle nicht reellen z aus dem Innern des Einheitskreises. *9. Ist die Menge in Aufgabe4k abgeschlossen? 10. Jeder nicht selbst zur Menge gehörige Häufungspunkt ist ein Randpunkt derselben. 11. Jeder zu M gehörige Eandpunkt £ einer Menge M ist Häufungspunkt der Menge M' aller nicht zu M gehörigen Punkte (der sogenannten Komplementärmenge von M). 12. Die Gesamtheit R der Randpunkte einer Menge M bildet selbst stets eine abgeschlossene Menge. *13. Sind M' und M" zwei abgeschlossene Mengen ohne gemeinsamen Punkt, von denen wenigstens die eine — etwa M' — beschränkt ist, so gibt es eine positive Zahl d, so daß der Abstand eines Punktes z' aus M' von einem Punkte«" aus M" stets g i ist. Und unter allen diesen Zahlen d gibt es eine größte d0. 14. Man zeige, daß kein Stück der stetigen Kurve

I

assin—, x 4= 0 x ^

0 für x = 0

streckbar ist, wenn es den Nullpunkt enthält.

12

I. Kap.: Grundlegende Begriffe.

15. Aus der oberen Halbebene [$(2) > 0] schließe man alle Punkte1 aus, die auf den Loten von der Länge 1 liegen, welche man auf der reellen Achse in den dort gelegenen Punkten 0 und + — , (n = 1, 2, 3, . . . ) errichtet hat. n Bilden die verbleibenden Punkte M ein Gebiet ? Welches sind die Randpunkte von M?

Ist speziell —ein Rand-

punkt? Auf welchem Wege kann man von dem zu M gehörigen Punkte z0 = 2 + i nach-^-gelangen, wenn dieser i

Weg, von—abgesehen, ganz im Innern von M liegen soll? ¿1

16. Ist die durch die Gleichungen z = z(t) = r (/)e1>l'i) 1 mit r — e ' , gp = y für 1 / > 0 nach Hinzunahme des Punktes 2 = 0 (dem Parameterwert t = 0 entsprechend) definierte Spirale S ein Weg, der z1 = 2(1) mit z0 = 0 verbindet ? *17. Man beweise, daß der einfache Zusammenhang eines Gebietes auch folgendermaßen definiert werden kann: Ein Gebiet © heißt einfach-zusammenhängend, falls die Menge der Randpunkte des stereographischen Bildes von © zusammenhängend ist. (Eine abgeschlossene Menge heißt dabei zusammenhängend, wenn sie nicht in zwei abgeschlossene Teilmengen ohne gemeinsames Element zerlegt werden kann.) 18. Ist das in Aufgabe 15 definierte Gebiet einfachzusammenhängend ? 19. Ein einfach-zusammenhängender (schlichter) Bereich © auf der Kugel, der 2 Punkte der K u g e l nicht enthält, enthält u n e n d l i c h viele Punkte der Kugel nicht.

§3, Grenzwerte von Zahlenfolgen.

13

IL KapiteL

Zahlenfolgen nnd unendliche Reihen. § 3. Grenzwerte von Zahlenfolgen. Unendliche Reihen mit konstanten Gliedern. (Eiern, § § 2 6 - 3 0 ; K I, § 3.)

1. z1, z t , . . . , z„, . . . sei eine beliebige Punktfolge. £ ein Häufungspunkt derselben. Man zeige, daß man aus der Folge der e„ stets eine Teilfolge z\, ¿¿, . . . BO herausheben kann, daß z„ — £ konvergiert. 2. Aus z„ —»- £ folgt stets, daß auch , zt + gg + • • • + g» Z* = >- £ n strebt. Gilt dies auch für £ = oo? 3. Aus «,,—>-£ folgt stets, daß auch ¿n_Vi*i

+ Vt*t+

••• +

V«*n

Pi + Vt + • • • + Pix _

P i h + (P, - P J fr + . •. + ( > . - P n - i ) g » p«

r

strebt, wenn die p, irgendwelche positive Zahlen sind, für die P„ = (p1 + p s + . . . + p„) + oo strebt. 4. Aus eH —£ folgt stets, daß auch

_B1zl

t_

~l" b1 +

+ (Bt-B1)zt

+

. . . + bnzn b t + . . . + b n . . . + (Bn-Ba-i)g, Bn

r

^

strebt, wenn die b, irgendwelche komplexe Zahlen sind,

14

II. Kap.: Zahlenfolgen und unendliche Reihen.

+ , für alle |»l| + |t>a| + • • • T |»n| n oberhalb einer festen positiven Zahl ß liegen und (IM + l J « l + ••• + I M ) - * - + b„ ist, bn—0 strebt und (s„) beschränkt ist, oder wenn b) stets &„__! > b„ > « i s t und J£an konvergiert, oder wenn c) bn —v 0 strebt, \ b„ — | konvergiert und (»„) beschränkt ist. *14. Es seien die Teil6ummen s„ der Reihe 2 a n so beschaffen, daß die Folge

beschränkt

ist,

und

die positiven Faktoren bn mögen monoton und so ->- 0 abnehmen, daß auch noch 0 strebt und daß ]/«(&„—&„+i) konvergiert. Dann ist 2Za n b n konvergent.

§ 4. Konvergenzeigenschaften der Potenzreihen. (lilem, §§ 2 9 - 3 0 ; K I, §§ 17-19.) 1. Man bestimme den Konvergenzradius der Potenz00 reihe ^ « „ z * 1 , wenn . n= 1 1 a)a„ = -n,

=n,

1 = - ,

„ =»P,

);

Cn + ix\ %

§ 4. Konvergenzeigenschaften der Potenzreihen.

17

n" n" \ nj d) a„ = tr(n) = der Anzahl der Teiler von n , = g>(n) = der Anzahl der zu n teilerfremden ganzen Zahlen JL^

IT (logfc)* gesetzt wird. 2. Genügen die Glieder der Reihe JZanz% einer Bedingung einer der beiden Formen a) | anz9 \n 0 ist? *5. In welchen Randpunkten ihres Konvergenzkreises ist die Potenzreihe . •^—l z n— 1 konvergent, in welchen nicht? Knopp, Aulg&bensammlung z. Funktionentheorie. I.

18

II. Kap.: Zahlenfolgen und unendliche Reihen.

6. 2,a n z n habe defi Radius r und sei in einem speziellen Randpunkte z0 des Kenvergenzkreises a b s o l u t konvergent. Behauptung: £ a n z n konvergiert absolut und gleichmäßig für alle = r. 7. Es sei p eine ganze positive Zahl. In welchen Randpunkten ihres Konvergenzkreises ist die Potenzreihe

konvergent, in welchen nicht? 8. Die Koeffizienten . . . der Potenzreihe J£a„z n seien reell und monoton abnehmend mit dem Grenzwerte 0. Man beweise, daß a) ihr Radius r mindestens = 1 ist; b) sie, falls r = 1 ist, sicher in allen von + 1 verschiedenen Randpunkten des Konvergenzkreises konvergiert. 9. Die Behauptungen der Aufgabe 8 bleiben auch bestehen, wenn die an komplex sind, —>- 0 streben, und wenn j a„ — an.(_i| konvergiert. 10. Wie ändern sich die Antworten in Aufgabe 8 b und 9, wenn dort r > 1 ist ? 11. J£a„z" habe den Radius r, den Radius q. Welchen Radius R hat die Reihe £c„ z", wenn Cn = 0 ; die Potenzreihe W = g(w) = A0 + — v>0) + — v>0)2 + ... den positiven Radius R. Aus 6

CO

w — u>0 = (a0 — u>0) -f- £ an (s — «„)" leite man durch n = l die Reihen für (u> — u> )"!, wiederholtes Multiplizieren 0

§ 5. Grenzw. v. Funktionen. Stetigkeit u. Dißerenzierbarkeit. 19 k = 2, 3 , . . . , her, setze sie in die Reihe f ü r W ein und ordne nach Potenzen von ( z — z 0 ), was W = ^ b

n

( z - z

0

)

n

n = 0

liefern möge. F ü r welche z ist diese Reihe sicher konvergent, f ü r welche sicher divergent ? Ist f ü r die ersteren W = g(f( z )) ? Was läßt sich allgemein über ihren Radius aussagen ? *13. Ist w — /(?) = o 0 + a y z + a 2 z 2 + . . . und hierin 1 a f t =f=0, so läßt sich auch W — — = -T—- in eine w

0

}(z)

Potenzreihe 6 0 + b1z -f 5 2 z 2 -j- . . . entwickeln. Man gebe Rekursionsformeln zur Berechnung der bn an und bestimme eine untere Schranke f ü r den Radius von ZbH zn. 14. Im Anschluß an Aufgabe 5 bilde man eine Potenzreihe mit dem Radius 1, die in genau p vorgeschriebenen Randpunkten des Einheitskreises divergiert, in allen anderen konvergiert. **15. Läßt sich eine Potenzreihe ^an2n mit r = 1 angeben, die in allen Randpunkten des Einheitskreises außer in z — + 1 divergiert, in z = + 1 aber konvergiert ? III. Kapitel.

Funktionen einer komplexen Veränderlichen. § 5. Grenzwerte von Funktionen. Stetigkeit und Differenzierbarkeit. (Elem, § § 3 1 - 3 5 ; K I , § § 5 - 7 . ) 1. Man untersuche die folgenden beiden Funktionen in bezug auf ihre Stetigkeit: a) f(z) = 0 f ü r z = 0 und f ü r alle diejenigen z, f ü r die | z | eine irrationale Zahl ist, dagegen f(z) = —, wenn

20

HI. Kap.: Funktionen einer komplexen Veränderlichen.

121 =

v

rational ist und p und q hierbei ganze, positive,

teilerfremde Zahlen bedeuten. b)/(?) = 0 für 2 = 0, /(«) = sin£ für 2 = r (cos# + i sin£) und r > 0 . Man stelle bei beiden Funktionen ßenau fest, in welchen Punkten der Ebene sie stetig, in welchen sie unstetig sind. 2. Ist f(z) stetig in £ und strebt z„—>so strebt

*. = /(*)"•/«).

3. Ist umgekehrt eine in £ und Umgebung definierte Funktion /(z) so beschaffen, daß für jede Zahlenfolge 2„, die —>- £ strebt und jener Umgebung angehört, sich die Folge der zugehörigen Funktionswerte wn = f(zn) als konvergent erweist mit dem Grenzwerte /(£), so ist f(z) in £ stetig, 1 4. Ist die Funktion f(z) = 1 — 2 im Innern des Einheitskreises stetig? Ist sie dort gleichmäßig stetig? i_ 5. In 0 < | z | < l sei /(z) = e 1*1 gesetzt. Ist diese Funktion dort stetig? Ist sie gleichmäßig stetig? 6. Es werde für | « 1 > 0

, M- J ^ L

i (A j2 j

«M

f

M_M

|2 j

gesetzt, und für z = 0 werde allen fünf Funktionen der Wert 0 beigelegt. Welche dieser Funktionen ist (speziell in 2 = 0) stetig, welche nicht ? 7. Man ersetze bei den vorigen fünf Funktionen 91(2) durch 3(2) und beantworte dieselben Fragen.

§ 6. Grenzw. v. Funktionen. Stetigkeit u. Differenzierbarkeit. 21 *8. Die Funktion j(z) sei für | z | < 1 ( n i c h t für | z | ^ 1) definiert und dort nicht nur stetig, sondern sogar gleichmäßig stetig. Dann ist für jede gegen einen Randpunkt £ des Einheitskreises konvergierende Folge von Punkten zn aus seinem Innern lim/(z„) vorhanden und hat einen n->- + oo nur von f abhängigen Wert. (Man sagt, f(z) nehme eindeutig bestimmte R a n d w e r t e an.) *9. Man zeige im Anschluß an die vorige Aufgabe, daß die dort definierten Randwerte eine längs der Peripherie des Einheitskreises stetige Funktion bilden. 10. Sind die Funktionen in den Aufgaben 1 und 5 in irgendwelchen Punkten differenzierbar? In welchen? — Man prüfe jede einzelne dieser Funktionen und führe die Beweise genau durch. 11. Man stelle das Bestehen der Cauchy-Riemannschen und der Laplaceschen Differentialgleichungen an den elementaren F u n k t i o n e n a) z, z*, z'1 ( n > 2, g a n z ) ; b) e', l o g * ; c) sin z, cos e, tg z, c t g z; d) are sin z, a r c tg z fest: 12. Man beweise — unter Vermeidung jeder Trennung in Reelles und Imaginäres — , daß, wenn in einem Gebiete © überall j'(z) = 0 ist, dort /(«) = const. sein muß. *13. Unter Voraussetzung der Existenz und Stetigkeit von f'(z) in | z — f | < q beweise man den S a t z : Sind (z„) und (z'„) irgend zwei Punktfolgen, die —>• £ streben und ist für jedes n stets z'„=$= z„, so strebt

22

HI. Kap.: Funktionen einer komplexen Veränderlichen.

Anleitung: Man setze f(e) =

differenzierbar und /' (z) dort stetig, so ist/(z) in | z— = g l e i c h m ä ß i g differenzierbar, d. h. nach Wahl von e > 0 läßt sich eine Zahl d > 0 so angeben, daß für jedes z in | z — £ | s q' und jedes dortige z', für das |z' — z \ < 8 ist, stets /(O-/M ,z — z

,

m

< e

ausfällt.

§ 6. Einfache Eigenschaften der elementaren Funktionen. (Elem, §§ 38—47; K I, § 23.)

1. Für 0 < | z | < 1 ist stets -}|z| 1 + x; b) e* < -r-^—, falls x < 1; c)

x

1

~

x

< 1 — tr" < x, falls x > — 1;

1+3 d) x < e 1 — 1
e xp

T

+

* i

,

2

falls

, falls x < + 1; x >

—

1;

f) e* > — r für jedes ganze p ^ 0 , falls x > 0; pI

g)

ex >

( (1

+

h) e~* < 1

_£JL.

—J > e x+»

, falls

x

> 0 und

falls 0 < x < 1 . / zV 4. Für j e d e s z s t r e b t i l H ) —>- e*.

y >

0;

§ 6. Einfache Eigenschaften der elementaren Funktionen.

23

5. Ist die Folge (z„) konvergent mit dem Grenzwert f , so strebt ( l + 6. Man beweise, daß die Gleichung e* = 1 nur die Lösungen z=2kni hat, (k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ) . 7. Man beweise die Gleichung e1'— e2'+2« durch direktes Ausmultiplizieren der linksstehenden Reihen. 8. Wie kann die Periodizität von e1 direkt aus der Exponentialreihe abgelesen werden? 9. Es bewege sich z auf einem von 0 ausgehenden Halbstrahle (arcz = const.) ins Unendliche. Für welche Richtungen desselben ist vorhanden, für welche nicht? 10. Wie verhält sich z + e* bei den in der vorigen Aufgabe betrachteten Bewegungen von 2? 11. Es bewege sich z auf einem der vier Äste der Hyperbel xy=l ins Unendliche. Welche der vier Grenzwerte lim e* sind dabei vorhanden ? 12. Es bewege sich 2 auf einem der beiden Äste der Parabel y — x2 ins Unendliche. Ist auf einem von ihnen lim e z vorhanden? 13. Man beweise die Gleichungen cos(2X + zz) = cos zx cos ¿2 — sinz t • sin«2 sin (z1 + 22) = sinej cos22 + cos sin22 COS22 + s i n 2 2 =

1

durch Ausmultiplizieren der betreffenden Reihen. 14. Auf welchen Linienzügen der 2-Ebenc sind die Funktionen ei, cos2, sinz reell, auf welchen rein imaginär?

24

III. Kap.: Funktionen einer komplexen Veränderlichen.

15. Wie berechnet man e*, cos«, sing am bequemsten? Welche Werte haben speziell (auf drei Dezimalen) «* + •, cos (5 — t), sin (1 — 6i) ? 16. Welche Lösungen in der z-Ebene haben die Gleichungen sine = 1000, sinz = 5t, sinz = 1 — cosz = 2 » , cosz=4+3ti, cosz=6? 17. Man bestimme die Koeffizienten a 0 bis o6 der Entwicklung von 81112 tgz = — — = a 0 + «jZ + «jZ» + 03z3 + a 4 z 4 + a6z® + . . . cosz durch Ausdividieren der Reihen für sinz und cosz. 18. Inwieweit ist die Gleichung cosz = ]/l — sinaz für beliebige z richtig? 19. Für | z — 11 ^ Q < 1 ist für den Hauptwert des Logarithmus | l o g z | ^ . *20. Es soll für die Funktion w = arc sin z die Formel du>

0 und Koeffin=0 zienten, die von einer Stelle an reell und positiv sind. Man zeige durch Entwicklung der Funktion /(z) um den Mittelpunkt «0 = +

r, daß der Bandpunkt z1 = +r eine u singulare Stelle für /(«) ist. *4. Man zeige mit Hilfe des Satzes der vorigen Aufgabe (oder im Anschluß an K I , § 24), daß die Potenzreihen a) J > f l I , n= 0 d)

2 j

b) J > ( * n ) , n=0

( 2 " + 2 ) ( 2 " + 1)

flber

c)

Ü,ren

n=0

Konvergenzkreis

hinaus nicht fortsetzbar sind, wenn bei c) die Exponenten g0, z" konvergiert in n= 1 allen R a n d p u n k t e n ihres Konvergenzkreises | z \ — 1 , jedoch in allen nur bedingt. Hierbei bedeutet [ | / n ] die größte ganze Zahl s l ]/«. (Anleitung: Man beweise direkt die Konvergenz in z = + 1 , sodann unter Benutzung von § 3, Aufgabe 14 die Konvergenz in den übrigen Randpunkten von | z | = 1 . ) 7. Die Reihe h(z) = J£b„zn habe den Radius r = l , es sei b„ > 0 und Jibn divergent. Es soll gezeigt werden, daß f ü r reelle gegen -f 1 wachsende x lim h(x) = + oo «—>- + i

ist.

8. Es sei £ a n konvergent. Man beweise in Anlehnung an den Satz aus § 9, Aufgabe 4, daß die Potenzreihe 2 a n z n auf der (reellen) Strecke gleichmäßig konvergiert. *9. Mit Benutzung von § 1, Aufgabe 13, beweise man für die Reihe aus Aufgabe 8 weiter, daß sie sogar in jedem Dreieck zx z21 gleichmäßig konvergiert, dessen Ecken z, und z 2 im Innern des Einheitskreises liegen. *10. Was folgt aus den Sätzen der beiden vorigen Aufgaben f ü r den Grenzwert lim ( £ a n z n ) ? Genauer: Bei welchen Annäherungen von z an + 1 ist dieser Grenzwert sicher vorhanden und welchen Wert hat er ? (Abelscher Grenzwertsatz.)

§ 12. Lineare Funktionen.

Stereographische

Projektion.

37

VI. K a p i t e l .

Konforme Abbildungen. § 12. Lineare Funktionen. Stenographische Projektion. (Elem, §§ 1 6 - 2 2 u. §37; Bi, §§ 1 - 5 . ) 1. Wo liegt bei der linearen Abbildung a) to = 3 z + 5 i,

b) w = y (* + 3),

d) w — z0 • a(z— z0) c) w = a z + 6, der Fixpunkt und welche Drehstreckung um ihn bedeutet sie? 2. Das Dreieck Jt = (0,1, i) der z-Ebene ist dem Dreieck 4W — (— 1, — i, + 1 ) der «'-Ebene gleichstimmig ähnlich. Sie lassen sich also durch eine ganze lineare Funktion aufeinander abbilden. Man gebe eine solche an. Ist diese eindeutig bestimmt? 3. Jede im großen gleichstimmig ähnliche Abbildung läßt sich durch eine passende ganze lineare Funktion w = az + b vermitteln. 4. In welche Figuren gehen die folgenden bei einer Spiegelung am Einheitskreise über, d. h. beim Übergang 1 , von z z u - ? a) Der Kreis b)

c) d) e ) f) g) h)

f-l| =1. 1 i 1 .. » 2 - 2 | = 4' *| = r , „ „ = i 'Ol! > o , „ „ I « — Z0 | 2 = ! „ «(** + y1) + ßx + yy + tx' = 0 , die Gerade 9*(2) = 1, die Gerade 91(2) = « ( g | 0 ) , die Schar der Parallelen zur Winkelhalbierenden des ersten Quadranten,

VI. Kap.: Konforme Abbildungen.

38 i) k) 1) m) n) o) p) q)

die Schar der Parallelen zur Strecke 0 . . . z0 (=f= 0), das Büschel aller Strahlen durch z0 =J= 0 , das Bündel aller Kreise durch z 0 , das Büschel aller Kreise durch z0 und zlt das geradlinige Dreieck zl z2 z3 , die Parabel y2— 2p x = 0 , die Hyperbel xi — yi —1 = 0 , die Parabel y — x2 = 0 .

5. Man beantworte die Fragen der Aufgabe 4 für eine Spiegelung an einem beliebigen festen Kreise | z — a | = Q . ^Zwei Punkte z und z' heißen Spiegelbilder an diesem Kreise, wenn arc (z' — a) — arc (z — a)

und

| z' — a \ • \ z — a |

V o r b e m e r k u n g zu A u f g a b e 6—9. Die stenographische Projektion der Kugel auf die Ebene (Elem, § 14) werde, wie üblich, ausgeführt: Eine Kugel vom D u r c h m e s s e r 1 wird so auf die «-Ebene gelegt, daß sie diese im Nullpunkt berührt. Man führe nun für die Punkte auf der Kugel die geographischen Ortsbezeichnungen ein— Südpol ( = Nullpunkt), Nordpol ( = Punkt oo), Äquator, Breite (vom 7t

7t

Südpol mit — — bis zum Nordpol mit + —

,

Länge (Nullmeridian = Bild der positiven x-Achse) usw. — und beantworte die folgenden Fragen unter Benutzung dieser geographischen Ortsbezeichnungen. 6. Wo liegen auf der K u g e l die Bilder a) der Punkte + 1 , + i, —1, —i, z—x-\-iy, b) der Punkte |z| < 1, |«| = 1, \z\> 1, c) der Punkte SR(z) > 0, = 0, < 0,

§ 12.

Lineare Funktionen.

Stereographische Projektion.

39

d) der Punkte > 0, = 0 , < 0 , e) der Kreise | z [ = const., f) der Nullstrahlen arc z — const. ? 7. Welche gegenseitige Lage haben auf der Kugel die Bilder a) zweier entgegengesetzter Zahlen z und — z , b) zweier konjugierter Zahlen z und 7 , o) zweier zum Einheitskreis spiegelbildlicher Zahlen z und i , * 1 d) zweier reziproker Zahlen z und — , z

e) zweier zum Einheitskreis spiegelbildlicher Figuren ? 8. Was liefert, stereographisch auf die Kugel abertragen, a) eine Schar paralleler Geraden, b) eine Spiegelung an der x-Achse, c) eine Spiegelung an der «/-Achse, d) eine Spiegelung am Einheitskreise, e) ein beliebiges geradliniges Dreieck? 9. Was liefert oder liefern, stereographisch auf die E b e n e übertragen, a) ein Halbmeridian von der Länge >L, ein Breitenkreis von der Breite ß, b) zwei diametrale Punkte der Kugel, c) die größten Kugclkreise, d) ein gewöhnliches sphärisches Dreieck, e) der sphärische Mittelpunkt M0 eines Kreises Ii der Kugel, f) die Schar größter Kugelkreise durch einen Kugelpunkt P, g) der Punkt mit der geographischen Breite ß und der Länge A?

40

VI. Kap.: Konforme Abbildungen.

*10. Wenn man vom M i t t e l p u n k t unserer Kugel Strahlen nach den Punkten der Ebene zieht, so wird hierdurch umkehrbar-eindeutig jedem (eigentlichen) Punkt der Ebene ein Punkt der südlichen Halbkugel zugeordnet, a) Man stelle diese Projektion der Ebene auf die Halbkugel analytisch dar. b) Ist sie winkeltreu — überall oder an einigen Stellen ? c) Ist sie maßstabstreu — überall oder an einigen Stellen? 11. Man gebe die allgemeinste lineare Funktion mit den (getrennten) Fixpunkten und £2 an. az 4- & 12. Welche lineare Funktion w = — - führt z,, z,, z3 cz -(- d der Reihe nach in w y , w2, w3 über? (Die Punkte z sind paarweis getrennt, ebenso die Punkte w.) 13. In der «-Ebene ist ein Kreis Kz gegeben und%wei in bezug auf ihn spiegelbildliche Punkte z1 und z2. Durch die Abbildung w =

az

^ a d — Je =fc 0 erhält man als ez + d Bild einen Kreis Kw und zwei Punkte und w2. Man beweise, daß w l und u>2 Spiegelbilder von einander bezüglich Kw sind. 14. Man bilde den Einheitskreis | z \ ^ 1 so auf den Kreis | w — 11 ^ 1 linear ab, daß die Punkte 0 und 1 des ersten in die Punkte -i- und 0 des zweiten übergehen. — ¿t Ist die abbildende lineare Funktion eindeutig bestimmt? *15. Man gebe die allgemeinste lineare Abbildung an, die die obere Halbebene in sich überführt. 16. Man bilde das Innere des Einheitskreises so auf die obere Halbebene ab, daß die Randpunkte 1, i, —1 des ersteren in die Randpunkte 0, 1, oo der letzteren übergehen. Was wird dabei aus dem Büschel der Radien des

§ 12. Lineare Funktionen. Stereographische Projektion. 41 Einheitskreises ? Speziell aus den nach + 1, + t, — 1, — i gehenden Radien? 17. Man bilde das Ä u ß e r e des Einheitskreises so auf. die r e c h t e Halbebene ab, daß die Randpunkte + 1, — t , — 1 des ersteren in die Randpunkte t, 0, — i der letzteren übergehen. Was wird dabei aus dem Büschel der Nullstrahlen (d. h. der Strahlen arc z — const., | z | ¡g 1) ? Was aus den Kreisen j z \ = r > 1 ? *18. Welche Form hat die allgemeinste lineare Abbildung des Innern des Einheitskreises auf sich selbst? *19. Welche linearen Abbildungen liefern für die (der Ebene durch stereographische Projektion gemäß der Vorbemerkung zu Aufgabe 6—9 entsprechende) Zahlenkugel eine D r e h u n g dieser Kugel? 20. In der z-Ebene sind zwei nicht konzentrische Kreise .Ki: | z — a, | = r, und K2: | z — z21 = r2 gegeben, deren Ränder keinen gemeinsamen Punkt haben. Lassen sich — und wie ? und auf wieviel Arten ? — Kl und Kt durch eine lineare Abbildung in zwei k o n z e n t r i s c h e Kreise K l und K i um w = 0 als Mittelpunkt überführen? Welcher Punkt der z-Ebene wird dabei zum gemeinsamen Mittelaz + b punkt der Kreise K[ und Iii? 21. Hat die lineare Abbildung w — r zwei ge8 cz d ° trennte Fixpunkte und C s , so läßt sie sich auf die Form bringen: , _ r w _ r (vgl. Aufg. 11), u> 4 = bei der, falls oder c 2 = oo ist, die entsprechenden Differenzen durch 1 zu ersetzen sind. Hat sie nur den einen (doppelt zählenden) Fixpunkt f 0 , so läßt sie sich auf die Form i i y = r~ + y v — Co 2 — Co

42

VI. Kap.: Konforme Abbildungen.

bringen, falls £ 0 im Endlichen liegt. Ist £ 0 = oo, so handelt es sich um die Translation w = z + b. — Man beweise diese Behauptungen und leite daraus her, was aus den Kreisbüscheln durch und £ 2 bzw. durch f 0 und den dazu orthogonalen Büscheln wird. az -+- b •22. Die lineare Funktion w = r , a d — 6c4=0, cz + d sei gegeben, z0 beliebig gewählt und es werde nun f ü r v = 0,1,2, ... azv+b Zv + l = TT czv+d gesetzt. Man untersuche die entstehende Punktfolge z0, zv z2, . . . , entscheide insbesondere, ob sie konvergiert oder nicht und ob sie aus unendlich vielen verschiedenen P u n k t e n besteht oder nicht.

§ 13. Spezielle (nicht lineare) Abbildnngsaufgaben einfacher Art1). (Riem, §§ 38—47; Bi, §§ 7, 8 und 11—15.) 1. Man veranschauliche die durch w = e* vermittelte Abbildung des Periodenstreifens — n < 3(z) ^k + n der Funktion ez auf die ic-Ebene durch Angabe der Bilder der Strecken $R(z) = const. und der Geraden 3 ( 2 ) = const. 2. Man veranschauliche die durch w = sin z vermittelte Abbildung des Periodenstreifens — n < 9R(z) ^ + 7r der Funktion sin z auf die w-Ebene durch Angabe der Bilder der Geraden 9R(z) = const. und der Strecken 3(z) = const. 3. Man veranschauliche ebenso die Abbildung des TT 7T Streifens — — < SR (z)^. + — durch die Funktion tg z. ' ) Es ist unbedingt erforderlich, Bich von der Aulgabe sowohl wie von der Ltf»ung durch eine sorgfältige Skizze eine deutliche Vorstellung zu venchaifen.

§ 13. Speziell« Abbildungsaufgabftn einfacher Art

43

4. Man gebe die Bilder der in Aufgabe 1 genannten Strecken und Geraden bei der Abbildung durch die Funktion — ©tn z — w an. 2 5. Auf

welches

Gebiet

wird

durch

w = 2 -|

der z außerhalb des Einheitskreises liegende Teil der eigentlichen Ebene, also das zweifach-zusammenhängende Gebiet 1 < | z | < + oo abgebildet ? j 6. Auf welches Gebiet wird durch tc = 2 -| der in z Null „punktierte" Einheitskreis, also das zweifach zusammenhängende Gebiet 0 < j 21 < 1 abgebildet ? — Wie sieht das Bild der in Null „punktierten" eigentlichen Ebene 0 < j 2 j < -{- 00 aus ? ^ 7. Auf welches Gebiet wird durch w = z 2 der in der oberen Halbebene gelegene abgeschlossene Teil a) des Kreisringes

z b ) des Kreisringes — 1 c) der durch — ^ | z | ^ 2 , 3(z) 0 gegebene halbe Ring abgebildet ? ^ 8. Auf welches Gebiet wird durch u> — z a) der Winkelraum 121 ^ 1 , 0 ^

arc« g — , b) der volle Winkelo

räum

O^jarc 2 3§—,

c) der

—

arce ^ + 4 - abgebildet ?

Winkelraum

100

9. Das Äußere der Ellipse \e — 21 - f 12 + 21 =

—

soll auf den Einheitskreis abgebildet werden. (Man benutze die in den vorangehenden Aufgaben deutlich gewordenen Eigenschaften der Abbildung durch v o =

44

VI. Kap.: Konforme Abbildungen.

10. Der Kreissektor O ^ a r c z g — s o l l auf den Einheitskreis abgebildet werden. 11. Auf den Einheitskreis der w-Ebene soll a) das den beiden Kreisen 12 j s i 1, |z — 11 SU 1 gemeinsame Kreisbogenzweieck, b) der Halbkreis |«| s 1 , abgebildet werden. *12. Das sichelförmige Gebiet, das den beiden i=- — gemeinsam ist, soll auf u den Einheitskreis abgebildet werden. ^ *13. Es soll der Halbstreifen — s S R ( e ) — , u u Gebieten I z I ^

1,

S ( 2 ) = 0 auf den Einheitskreis der w-Ebene abgebildet werden. *14. Es soll das (den Nullpunkt enthaltende) Innere der Parabel :g(J/2) = a > 0 auf den Einheitskreis abgebildet werden. *15. Es ist a ) j l o g ^ j ^ g j l o g ( l — z ) | , je nachdem — d.h.

91(2)ist, ¿i 2— 1 log b) |logc| je nachdem | z — 1 [ = 1 ist, und z— 1 log c) |log(l—e)| , je nachdem |«|=1 ist, falls in allen Fällen log den Hauptwert des Logarithmus bedeutet. *16. In welchen Gebieten der z-Ebene ist nach der vorigen Aufgabe einer der drei Werte | log« |, | log (1 — z) [, 2—1 log kleiner als die beiden andern, wenn log wieder den Hauptwert des natürlichen Logarithmus bedeutet?

Zweiter T e i l

Lösungen. I. Kapitel.

Grundlegende Begriffe. § 1. Die komplexen Zahlen und ihre Darstellung in der Ebene. 1. a) — z 0 , b) «o, " c) — 7 0 , d ) » 7 0 , e) —t'7 0 . 2. Die rechte Hälfte wird ebenso wie die linke durch Quadrieren verifiziert. 3. e) und f) eine Hyperbel bzw. (für tx = 0) ein Geradenpaar; Beweis: setze z = x + iy. g) und h) Lemniskaten; Beweis: | zs — z j ist = | z | • | z — 11, also gleich dem Produkt der Abstände des Punktes z von 0 und von + 1 , ebenso ist ] z* — 11 das Produkt der Abstände des Punktes z von + 1 und von — 1 . k) Die rechte Halbebene einschließlich Rand; denn der Abstand des Punktes z .von + 1 soll nicht größer sein als sein Abstand von — 1 . 1) und m) sogenannte Apollonische Kreise; denn das Verhältnis der Abstände des Punktes z von zwei festen Punkten bestimmt den geometrischen Ort. n) Die Mittelsenkrechte auf der Strecke zx . . . z 2 . 4. Dann und nur dann, wenn der Differenzenquotient reell ist, denn die Richtung des Zählers (d. h. die von Zj nach z,) muß gleich oder entgegengesetzt der des Nenners (d. h. der von zi nach zt) sein.

46

I. Kap.: Grundlegende Begriffe. 5. Dann und nur dann, wenn das Doppelverhältnis reell

ist, denn arc — — — ist (in ganz bestimmtem Sinne gemessen) der Winkel bei z3 im Viereck z^ z^ z^ . Analog Z • •- 2 arc — . Nach dem Peripheriewinkelsatz dürfen sich z i — zi beide nur um ein ganzzahliges Vielfaches von n unterscheiden. 6. Man setze z = x-\- iy. — Im Parallelogramm ist die Quadratsumme der Diagonalen gleich der doppelten Quadratsumme zweier Nachbarseiten. 7. z • 8. a )

~f" ,

b)

^

+

C)

man

zeige bei 7., daß für positive Aj, der Punkt z z w i s c h e n z1 und z2 liegt, und wende dies zweimal an. 9. Durch Induktion aus 7. und 8. 10. Mit z3 liegt auch — z3 = zx -f z2 auf dem Einheitskreise. Sollen aber z1, z2 und z1 + z2 auf dem Einheitskreise liegen, so ist der bei 0 gelegene Winkel des von 2 0, gj, Z.J, -f z2 gebildeten Rhombus notwendig =—n. ü Oder: Fügt man die Vektoren z r , z 2 , z s aneinander, so bilden sie ein geschlossenes gleichseitiges Dreieck. Daraus ersieht man sofort die Unterschiede der Arcusse der drei Punkte z. 11. Aus zx + z2 = — (z3 + z4) folgt, daß die beiden Rhomben 0, elt z2, z1 + z2 und 0, z3, z4> z3 + z4 bezüglich 0 Spiegelbilder sind. 12. Dann und nur dann, wenn die Differenzenquotienten einander gleich sind; denn vergleicht man deren Beträge

§ 1. Komplexe Zahlen und ihre Darstellung in der Ebene. 47 und Arcusse für sich, bo liefert dies genau den ersten Ähnlichkeitssatz. 13. Es sei r < 1, aber ^ | zx und ^ | z, |. Dann ist für 1 + r 11 z alle ! z1 r zunächst ^ =K1. Jetzt l-|z|— 1 — r legen wir von + 1 aus an den Kreis | z | = r die Tangenten bis zu ihren Berührungspunkten und betrachten die z, die in dem von + 1 und den Berührungspunkten gebildeten Dreieck liegen. Haben dessen bei + 1 mündende Seiten die Länge = y 1 — r a und ist der dortige Winkel = 2 9°q1 > 9>o < i * > so ist = cos g?0, und alle von + 1 selbst verschiedenen Punkte 2 des genannten Dreiecks lassen sich in der Form z = l — q (cos

| = 2 iLzii-c "i—i—r = 1 —|z| cosgp0

d. h. also

Ao,

«

9

1 — y i — 2^0089) + ^»

™99>o

ist; denn diese Ungleichung besagt, daß — 2 p cos g> -fg — q cos 9>0 + ^ C* coa*g>Q sein soll. Dies wird aber soiort als richtig erkannt, wenn man die linke Seite dadurch vergrößert, daß man in ihr g> durch g>Q und Q2 durch Q cos 0 i n \ 'Z — Z | < ^u mindestens ein Punkt zx von R. In | g — z11 < liegt aber mindestens ein Punkt z 0 ¿I

aus M. Also liegt z 0 in \z — Z\ 0 mit der angegebenen Eigenschaft geben, so hieße dies: Für jedes n ließe sich ein Paar von Punkten z'„ und z" (z'„ aus M\ z" aus M") finden, für die I z'n — z" I = — ist-

Jeder Häufungswert £

n der z'n — ein solcher ist sicher vorhanden, weil M' beschränkt sein sollte — wäre hiernach auch Häufungswert der z". £ müßte also zugleich zu M' und M" gehören, gegen die Annahme. Also gibt es ein d > 0 mit der angegebenen Eigenschaft. Ist d0 die (sicher endliche) obere Grenze aller d, so hat d0 auch noch dieselbe Eigenschaft und ist mithin das größte aller d. 14. Sind Elt E2, . . . die Stellen der Kurve, für die 2 |yj = g = ist, Nlt Ns, ... die Stellen, wo y = 0,

I. Kap.: Grundlegende Begriffe.

52

1

x = — ist, k = 1, 2, . . . , so ist der einbeschriebene k Sehnenzug Nt—tE/cNt größer als die doppelt genommene Ordinate von Ek,

also > 2 •

divergiert, so kann jedem Bogen der Kurve, der den Nullpunkt enthält, ein Sehnenzug einbeschrieben werden, dessen Länge eine beliebig gegebene Zahl übersteigt. 15. M ist ein Gebiet. Denn jedes e0 = Xg + iy0 mit y0 > 0, das nicht auf den ausgeschlossenen Loten liegt, hat entweder ein yt > 1 oder ein y0

1 mit x0=)=0 und =}= ± — •

Im ersten Falle umschließt der Kreis | z — s0 \ S ( z i ) . > 3 (¿2) UI) d > 1 ist, und verbinde diese dann horizontal. — Alle reellen Punkte und alle auf den ausgeschlossenen Loten gelegenen Punkte sind Randpunkte; i andere gibt es nicht. Speziell ist — ein Randpunkt (denn u er gehört nicht zu M , aber in jeder Nähe von ihm liegen Punkte von M). — Dieser Randpunkt

ist ein „unerreich¿1 barer" Randpunkt. Denn sind 2' und 2" irgend zwei Punkte 1 um weniger als J entfernt sind und deren aus M , die von —

§ 2. Punktmengen. Wege und Gebiete.

53

Abszissen für kein n b e i d e zwischen — und liegen, 8 n «+1 so ist jeder sie verbindende, in M verlaufende Weg länger als Es kann also keine streckbaren Kurven geben, die i führen. von z0 innerhalb M nach — 16. Ja, denn S ist ein Jordansches Kurvenstück (S ist ein stetiges und eineindeutiges Bild der Strecke l ^ i ^ O ) und besitzt eine Länge, die sich elementar berechnen läßt und = — ]Í2 ist. e ' 17. Es sei © einfach zusammenhängend nach der Definition dieser Aufgabe und zunächst beschränkt. Dann ist (5) auch gemäß K I. S. 25. einfach zusammenhängend. Denn gäbe es einen in ® verlaufenden geschlossenen Weg, der Punkte von ©', der Komplementärmenge von © (s. Aufgabe 11), einschlösse, so würden die vom Wege umschlossenen Punkte aus ©' für sich eine abgeschlossene Menge bilden. ©' zerfiele also in mindestens zwei abgeschlossene Teilmengen ohne gemeinsames Element. Ist umgekehrt eine solche Zerlegung möglich, so kann man den Weg so wählen, daß genau eine dieser Teilmengen von ihm umschlossen wird. — Ähnlich schließt man im allgemeinen Falle, indem man sich auf der Kugel bewegt. 18. Ja, denn die Randpunkte bilden eine zusammenhängende (abgeschlossene) Menge. 19. Jeder geschlossene Weg, der die beiden Punkte trennt, muß mindestens einen nicht zu @ gehörigen Punkt enthalten, denn er könnte nur dann ganz in © verlaufen, wenn ö mehrfach-zusammenhängend wäre.

54

IL Kap.: Zahlenfolgen und nnendliche Reihen. II. K a p i t e l .

Zahlenfolgen and unendliche Reihen. § 3. Grenzwerte von Zahlenfolgen. Unendliche Reihen mit konstanten Gliedern. 1. Nach der Definition des Häufungspunktes liegt im Gebiete 0 < |z— < 1 mindestens ein z„, etwa z Bl . Im Gebiete 0 < | z — f | < -i- liegt ebenso mindestens ein zn mit n>n1,

etwa e„t. Allgemein liegt für v g 2 im

Gebiete 0 < !z—£l< — mindestens ein z„ mit n > n„_i, v etwa z^. Die Folge der z'v = z„r leistet offenbar das Verlangte. 2. Beweis wörtlich wie bei Aufgabe 3 (s. u.), wenn dort alle pn= 1 gesetzt werden. — Für £ = oo ist der Satz falsch, denn z. B. für ¿2 * - 1 = —Z2« = 2fc— 1, k— 1, 2, . also für die Folge 1, —1, 3, —3, 5, —5, . . . ist £ = oo, während die Folge der z'„, nämlich die Folge 1, 0, 1, 0, 1 , 0 , . . . keinen Grenzwert hat. — Im Reellen, wo das Symbol oo stets ein bestimmtes Vorzeichen hat, ist der Satz richtig: Sind die zn reell und strebt z„ -> + oo bzw. — oo, so streben auch die z« -*• + oo bzw. — oo. 3. Ist f = 0 ,

so läßt

sich nach Wahl von e > 0

ein m so wählen, daß | « r | < 4 - bleibt für alle u

sodann wegen P„ das für n>n0 bleibt.

v>m,

+ oo ein n0 > m so groß, daß

stets | p ^ + • . . . + p* zm | : Pn
w.z.b.w. — Für l„ («=1,2,... —, { „ erhält man np + &a + . . . + &, 1 1 ^ p = n den Satz aus Aufgabe 4; sind die b, positiv reell, den aus Aufgabe 3; sind speziell alle 6 „ = 1, den aus Aufgabe 2. 7. a) Aus den Voraussetzungen folgt zunächst «¡,-z"—>• Aufgabe 2 liefert nun die Behauptung. b) Es ist < (4 =

C) + « S - l ( 4 — D + n

••• + z"

-

£')

n Der zweite Summand strebt hier nach Voraussetzung und auf Grund von Aufgabe 2 gegen und der erste Summand gegen 0, wie man sofort sieht, wenn man in Aufgabe 5 a n p = ^ 2jj_ p 4-1 setzt, — Zahlen, die wegen der Beschränktheit der Folge («'„') sicher die dortigen Bedingungen 1. und 2. erfüllen. c) Der Beweis geht ähnlich wie eben unter b): Es ist = K 1 Zn (Z'l - H + «n2 1 (4 — £')+•• • Hier strebt wieder der erste Summand — >• 0, wie aus Aufgabe 5 sich ergibt, wenn man für die dortigen Zahlen anp die jetzigen Werte anp z"— p +1 nimmt, die wegen der Beschränktheit der Zahlenfolge (2") zugleich mit den a n p die dortigen Bedingungen 1. und 2. erfüllen. Der zweite Summand aber strebt —>. • nach Aufgabe 6, wie man sofort erkennt, wenn man die dortigen Zahlen a n p durch die jetzigen Zahlen «„,„_,,+1 ersetzt, die wegen 4. die Bedingung 3. von Aufgabe 6 erfüllen.

§ 3. Grenzwerte v. Zahlenfolg. Reihen mit konst. Gliedern. 8. Beweis nach Aufgabe 6 für anp=

(").

57 Die

erforderlichen Bedingungen 1., 2. und 3. sind erfüllt, und zwar 1. wegen (£) < «P, 2. mit M = 1 und 3. wegen

(7) + G)+ ... + C ) = 2 » - i . 9. Da ->• 0 strebt, hat man, zum Beweise, in Aufgabe 5 nur anp = C p n z u setzen.

10. a) W e n n die Reihe konvergiert, so läßt sich nach Wahl von e > 0 ein n^ so angeben, daß für jedes w > n 0 und für j e d e s p ] c n+l + en + 2 + • • • + C„ + p\ < E ausfällt. Für n> n0 ist dann speziell [ Tn \ < e, so daß Tn —> 0 streben muß. Die Bedingung ist also notwendig zur Konvergenz. b) Strebt umgekehrt für jede Wahl der p„ stets Tn —>- 0, so muß 2 c n konvergieren. Denn wäre die Reihe divergent, so hieße dies, daß es eine spezielle Zahl e 0 > 0 gäbe, derart daß oberhalb jeder noch so großen Zahl HQ immer noch (also unendlich oft) zwei Zahlen w und n + p lägen, für die i . . | __ |cn

+ l +

• • • +

e

n + p |=

£0

ausfiele. Da dies unendlich oft der Fall sein würde, so gäbe es also — entgegen der Voraussetzung — doch Folgen der Form Tn, die nicht—> Ostreben. Also muß ¿c„ doch konvergieren. 11. Der Beweis ergibt sich sofort, wenn man linker Hand a,,= s(. — s , _ i setzt (für v = 0 natürlich nur a 0 = s0) und die Glieder mit demselben s,. sammelt. 12. Es ist nach Aufgabe 11 n

+ Pn

= »=n+ l

»+"n

»=n+ l

— ,6,+l) — [ s A + 1 —V|-pn&/.+pfl+l].

58

IT. Kap.: Zahlenfolgen und unendliche Reihen.

Unter Benutzung von Aufgabe 10 liefern nun die Voraussetzungen sofort T „ — 0 , wie die natürlichen Zahleir p„ auch gewählt sein mögen. £anbn muß also, wieder nach Aufgabe 10, konvergieren. 13. Bei a) folgt aus & „ _ ! > & „ - > - 0 , daß £ ( b n — b H + 1) absolut konvergiert. Da die s„ beschränkt sein sollen, so konvergiert auch £sn(bn— 6 n + i ) , und es strebt snbn sowie sb6„-)-i 0. Bei b) strebt bn jedenfalls gegen einen Grenzwert < x 0 S a ; da auch (sB) konvergieren soll, so ist auch lim 8„6„+i vorn

handen. Da ferner £ (by —by + = i 0 — bn ->- b0 — o„ »=o strebt, so ist £(bn — bn+l) und wegen der Beschränktheit der s„ auch £s„(bn — & B +i) absolut konvergent. Bei c) strebt s„6„ + i ->- 0 und mit — &„+i) ist wegen der Beschränktheit der sn auch £sn (bn — 6 n + i ) absolut konvergent. 14. Man hat genau wie bei Aufgabe 11: n+ p

B

£arb,.

»= n+ l

+ p

r=n+l n+ p

»= n+ l

— >, + 1) — s n & B + i +

sÄ+))6n+p+1,

n+p *= n + l

Auf Grund der Voraussetzungen kann daher nach Wahl n+p

von e > 0 ein n, so bestimmt werden, daß | bleibt für alle « > « j und alle p g l , konvergent.

r= n+ l

- e° = 1 s t r e b t ) ; d ) r = l , weil f ü r stets 2^«r(n) r = 1 , weil stets 1 2fc j n +J_ e ) r = — w e i l Iim]/a„= l i m y 3 f c = ]/3 y3 r — 1 , weil stets r = 0 , weil lim 2k+i = lim y(logfc)* = + oo ist. 2. a) I s t | z < | z 0 | , so ist i 2 < K nk-&n\

= £ < 1, die Reihe

f ü r & < 1 aber konvergent; b) bei der jetzigen Voraussetzung ist

so d a ß £anzn

also

^n,

ist; n Yan

\anzn\ ist

"

f ü r | z | < | z 0 | nach a) absolut konvergiert.

3. F ü r die beiden ersten Reihen k a n n m a n allgemein n u r die (selbstverständliche) Aussage machen, d a ß ihr Radius R mindestens gleich der kleineren der beiden

60

H. Kap.: Zahlenfolgen and unendliche Reihen.

r 4- r' — I r — r' LI Z a h l e n r u n d r ' , d.h. daß ß ^ — ' — ist. Im übrigen kann er jeden Wert haben, insbesondere R = + oo sein, z.B.

ist r = / = 1, nl aber für die erste Reihe R — + oo. — Für Jl a n a n 2" ist stets R ^ r r ' , denn für beliebigese>0ist von einer Stelle an

also

für an = 1, oj, = — 1 +

"

Für

1 — -f e', wo s' zugleich mit e klein ist. endlich ist notwendig

, denn für

e > 0 ist u n e n d l i c h o f t y | o „ | > - — « und von einer r » 1 Stelle an s t e t s y|a! n | < h e . also unendlich oft

r I «n

1 .

r

y

r

sein muß. — Man zeige an Beispielen, daß in den beiden f letzten Fällen wirklich R > rr' bezw. < — sein kann. r n_ 4. Die beiden ersten Reihen haben (wegen y«.—>-1) denselben Radius wie £anzn, die dritte ist beständig / » 1 konvergent (weil von einer Stelle an stets y | a „ | < - + e ist und y i i ->- + oo strebt, also lim | / J ~

j = 0 ist^. Die

letzte Reihe ist n i r g e n d s konvergent, wenn r
0 läßt sich also n 0 so angeben, daß für alle n > »?0 und alle k & 1 stets

¡an+i|r"+1 + ¡ a „ bleibt.

+ 2

| f + 2 + . . . + | an+k

| r»+* < e

Für alle | z \ s r ist dann von selbst ebenfalls |a„ + 12» + 1|+

... +

für alle n > n 0 und alle /c 1= 1 . der Behauptung.

\an+kzn+k\ n 0 , so ist \z„- — z„|
- £ strebt. Folglich ist auch der Grenzwert der Folge f f a ) , f(z\), f f o ) , /(«£), . . . vorhanden. Die beiden ersten Folgen sind aber Teilfolgen von dieser und haben also mit ihr, und also auch untereinander, denselben Grenzwert. 9. E s sei e > 0 gegeben und d so bestimmt wie in Aufgabe 8. Sind dann und zwei Randpunkte, für die | — | < d ist, und sind /(£') und / ( £ " ) die zugehörigen Randwerte, so ist | / ( £ " ) — /(£') | ^ e. Denn sind z'„ und z" zwei Punktfolgen, die — >bzw. streben und auf den dorthin führenden Radien kongruente Lage haben, so ist stets | f(z") — f(z'n) | < £ (nach Voraussetzung). F ü m - > - oo ergibt sich hieraus die eben behauptete Beziehung und damit die (gleichmäßige) Stetigkeit der Randwerte längs | z | = 1 . — Setzt man für | z | = 1 nun f(z) gleich dem dortigen Randwerte, so ist f(z) eine in dem abgeschlossenen Gebiete | z | ^ 1 stetige Funktion. 10. a) f(z) aus Aufgabe l a ist nirgends differenzierbar. Denn als Stellen der Differenzierbarkeit kommen nur Stetigkeitsstellen in Betracht. Also nur z„ = 0 oder ein z0 mit irrationalem | z 0 1. In jeder Nähe von z 0 = 0 liegen aber

§5. Grenzwerte v. Funktionen. Stotigkeitu.Differcnzierbarkeit. 69 Punkte 2, für die f(z) = 0 ist und auch solche, für die /(z) = - z ist, nämlich die z mit irrationalem | z | und die Also ist der Differenzenquotient D(z, z0)

reellen 2 = — . w =

f{g\

f/g \

— i n jeder Nähe von z 0 = 0 sowohl des Wertes 0 2—20 als auch des Wertes 1 fähig; /'(0) ist also nicht vorhanden. — Ist {201 > 0 und irrational, so ist für alle z vom gleichen V

Betrage D(z, 20) = 0; für ein z mit 2 = — ist dagegen q 1 1 D(z, 20) . Wählt man hier z auf demselben q

2

—20

Nullstrahl wie z0, so ist

Bekanntlich aber kann man, wenn y eine irrationale Zahl ist, die natürlichen Zahlen p und q so wählen, daß | p — qy | so klein ist, als man will. Da hiernach D(z,z0) beliebig großer Werte fähig ist (in jeder Nähe von 20), so kann /' (z0) nicht existieren, kann auch nicht einmal oo sein, weil D(z, ?0) in jeder Nähe von z0 auch = 0 sein kann. b) f(z) aus l b ist n i r g e n d s differenzierbar a u ß e r in d e n v o n 0 v e r s c h i e d e n e n P u n k t e n der imaginären Achse. Beweis: Ist z0 4= 0 und nähert sich ihm z längs desselben Nullstrahles, so strebt D(z, z0) ->- 0; nähert sich 2 —>• Zq längs des Kreises | 2 | = |2 0 |, so strebt ö(z, z0) —>- c o s # 0 , = arc2 0 ). Als Punkte, in denen die Ableitung existiert, kommen hiemach höchstens die rein imaginären z0 0 in Betracht (denn z0 = 0 scheidet als Unstetigkeitspunkt ohnehin aus). Hier ist /'(z 0 ) = 0. Denn setzt man arcz = & = — — rj, so ist für alle dicht bei z 0 a

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III. Kap.: Funktionen einer komplexen Veränderlichen.

gelegenen z ersichtlich j z—z01 ^ | z01 • sin rj, also | D (z,

|

g

} cos»^ ^ J ^ i i . < £ für alle hinreichend nahe bei z 0 | 1 - sintj |e 0 j gelegenen z. c) /(z) aus 6 ist für z 0 =f 0 nicht differenzierbar, da D ( e , i 0 ) = 0 ist, wenn |z| = |? 0 |, während, wenn t auf dem1 L selben Nullstrahl wie z» liegt, Z)(z, z 0 ) - > - , — ^ e l*ol strebt, was 4= 0 ist. In 0 dagegen existiert, falls /(0) = 0 gesetzt wird, /'(«) und ist = 0 , weil dann | D(z, z0) | 1 —L « « — r « '*' ist, was mit z ->- 0 selber —>- 0 strebt. IH 11. Der Beweis ergibt sich ganz unmittelbar durch Berechnung der partiellen Ableitungen von « = * ( * , y)== SR(/"(«)) und v — v(x,y) = 3 (f (z)) nach x und y. 12. Zwei beliebige Punkte aus ® kann man durch einen ganz in @ liegenden Polygonzug verbinden. Daraus ersieht man zunächst, daß es zu zeigen genügt, daß / ( z ) in den Endpunkten irgendeiner in © liegenden Strecke denselben Wert hat. Ist nun ä eine solche Strecke von der Länge l mit den Endpunkten £ und f ' und e > 0 eine gegebene Größe, so läßt sich um jeden Punkt z' von §, da /' (z') existiert, eine so kleine Umgebung abgrenzen, daß für alle Punkte z " derselben