Elemente der Funktionentheorie [8. Aufl. Reprint 2019] 9783111369358, 9783110035742

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Elemente der Funktionentheorie von

Prof. Dr. Konrad Knopp f ehem. o. Professor d e r M a t h e m a t i k an d e r U n i v e r s i t ä t T ü b i n g e n

Mit 23 Figuren

A c h t e Auflage

Sammlung Göschen Band 1109

Walter de Gruyter & Co • Berlin 1971 v o r m a l s G. J . Göschen'sche Verlagshandlung • J . G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g • Georg Reimer • K a r l J . T r ü b n e r • Veit & Comp.

© Copyright 1971 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung — J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — Karl J . Trübner — Veit & Comp., Berlin 30. — Alle Rechte, einschließlich der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Druck: Lindemann & Lüdecke, Berlin 36. — Printed in Germany.

ISBN 3 11 003574 X

Inhaltsverzeichnis. Erster Abschnitt.

Die

komplexen

Zahlen und ihre Darstellung.

geometrische

Seite 1. Kapitel. Grundlagen. 6 § 1. Einleitung § 2. Das SyBtem der reellen Zahlen 8 13 § 3. Funkte und Vektoren der Ebene 2. Kapitel. D a s S y s t e m der k o m p l e x e n Z a h l e n u n d die Gaußsche Zahlenebene. § 4. Geschichtliches 19 § 5. Einführung der komplexen Zahlen. Bezeichnungen . . . . 21 i 6. Gleichheit und Ungleichheit 26 § 7. Addition und Subtraktion 26 28 5 8. Multiplikation und Division § 9. Abgeleitete Begeln. Potenzen 31 § 10. Das System der komplexen Zahlen als Erweiterung des SyBtems der reellen Zahlen 32 § 11. Trigonometrische Darstellung der komplexen Zahlen 34 § 12. Geometrische Darstellung von Multiplikation und Division 37 § 13. Ungleichungen und Betr&ge.. Beispiele 39 3. Kapitel. D i e R i e m a n n s c h e Z a h l e n k u g e l . | 14. Die stereographische Projektion 41 § 15. Die Biemannsche Zahlenkugel. Der Punkt a>. Beispiele 45 Zweiter Abschnitt.

Lineare Funktionen und Kreisverwandtschaft. 4. Kapitel. A b b i l d u n g d u r c h l i n e a r e F u n k t i o n e n . § 16. Abbildung durch ganze lineare Funktionen § 17. Abbildung durch die Funktion u> = — z

§ 18. Abbildung durch beliebige lineare Funktionen 5. Kapitel. N o r m a l f o r m e n u n d b e s o n d e r e l i n e a r e Abbildungen. § 19. Die GruppeneigenBchaft der linearen Abbildungen § 20. Fixpunkte und Normalformen § 21. Besondere lineare Abbildungen. Doppelverh<nisse . . . . J 22. Weitere Beispiele 1*

48 51 57

59 61 65 68

4

Inhaltsverzeichnis. Dritter Abschnitt.

Mengen und Folgen. 6. Kapitel.

Potenzreihen.

Punkt- und Zahlenmengen.

Seite 71 73 76

§ 23. Punktmengen i 24. Beeile Zahlenmengen § 25. Der Bolzano-Weierstraßsche Satz

7. Kapitel.

Zahlenfolgen.

Unendliche

Reihen. 77 81 88

§ 26. Zahlenfolgen mit komplexen Gliedern § 27. Zahlenfolgen mit reellen Gliedern § 28. Unendliche Bethen

Kapitel.

Potenzreihen.

5 29. Der Konvergenzkreis § 30. Das Bechnen mit Fotenzreihen

89 92

Vierter Abschnitt.

Analytische Funktionen und konforme Abbildung. 9. Kapitel. Funktionen lichen. § 31. § 32. % 33. § 34. $ 35.

einer komplexen

Veränder-

Begriff der Funktion einer komplexen Veränderlichen... 95 Grenzwerte von Funktionen 96 Stetigkeit 99 Differenzierbarkelt 100 Eigenschafben der durch Potenzreihen dargestellten Funktionen 102

10. Kapitel. Analytische Funktionen und Abbildung.

konforme

i 36. Analytische Funktionen S 37. Konforme Abbildung

106 108

Fünfter Abschnitt.

Die elementaren Funktionen. 11. Kapitel. Potenz und Wurzel. Die rationalen Funktionen. 5 38. Potenz und Wurzel § 39. Die ganzen rationalen Funktionen § 40. Die gebrochenen rationalen Funktionen

111 115 116

12. Kapitel. Die E x p o n e n t i a l f u n k t i o n , die trigonometrischen und die hyperbolischen Funktionen. S § { §

41. 42. 43. 44.

Die Exponentialfunktion Die Funktionen cosz und Sinz Die Funktionen tgz und ctg z Die hyperbolischen Funktionen

118 124 128 181

Inhaltsverzeichnis. — Literatur.

5

Seite 13. Kapitel. Der L o g a r i t h m u s , die z y k l o m e t r i s c h e n F u n k t i o n e n und die B i n o m i a l r e i h e . | 45. Der Logarithmus 132 f 46. Die zyklometrischen Funktionen 136 | 47. Die Btnomlalrelhe und die allgemeine Potens 139 Register i«

Literatur. B e h n k e , i f . , u n d F. S o m m e r : Theorie der a n a l y t i s c h e n F u n k t i o n e n einer k o m p l e x e n V e r ä n d e r l i c h e n . 2. Aufl. Berlin, H e i d e l b e r g u. G ö t t i n g e n 19Ö2. B i e b e r b a c h , L . : E i n f ü h r u n g in die F u n k t i o u e n t h c o r i e . 3. Aufl. S t u t t g a r t 1959. B u r k h a r d t , H . : F u n k t i o n e n t h e o r e t i a c h e Vorlesungen. Neu hrsg. v o n G. F a b e r . Bd. I, 1: Algebraische Analysis; Bd. I, 2 : E i n f ü h r u n g in die T h e o r i e der a n a l y t i s c h e n F u n k t i o n e n einer k o m p l e x e n V e r ä n d e r l i c h e n . Berlin u. Leipzig 1920/21. t ' n r a t h e o d o r y , C.: F u n k t i o n e n t h e o r i e . Bd. I, Basel 1950. D i n g h a s , A . : Vorlesungen ü b e r F u n k t i o n e n t h e o r i e . Berlin, H e i d e l b e r g u. G ö t t i n g e n lttttl. H e f f t e r , L . : B e g r ü n d u n g der F u n k t i o n e n t h e o r i e auf alten u n d n e u e n W e g e n . 2. Aufl., Berlin, H e i d e l b e r g u. G ö t t i n g e n i 9 6 0 . H o r n i c h , H . : L e h r b u c h der F u n k t i o n e n t h e o r i e . W i e n 1950. H u r w i t z , A., u n d R. C o u r a n t : Vorlesungen ü b e r allgemeine F u n k t i o n e n theorie u n d elliptisehe F u n k t i o n e n . 3 - A u f l . , Berlin, Heidelberg u. G ö t t i n g e n 1929. J v n e s e r , FT.: F u n k t i o n e n t h e o r i e . G ö t t i n g e n 1958. K n o p p , K . : Theorie u n d A n w e n d u n g der u n e n d l i c h e n Keihen. 4. A u f l . , Berlin, H e i d e l b e r g u. G ö t t i n g e n 1947. M a n g o l d t , Li. v., u n d K . K n o p p : E i n f ü h r u n g in die h ö h e r e M a t h e m a t i k . Bd. .1, 12. Aufl., S t u t t g a r t 1962; B d . I I , 11. Aufl., S t u t t g a r t 1962. N i e l s e n , X . : E l e m e n t e der F u n k t i o n e n t h e o r i e , Leipzig 1911. l ' r i n g s h e i m , A., u n d G. F a b e r : Algebraische Analysis. E n z y k l o p ä d i e d . m a t h . W i s s e n s c h a f t e n . Bd. I I , C, 1. Leipzig 1909.

Inhaltsverzeichnis. — Literatur.

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Seite 13. Kapitel. Der L o g a r i t h m u s , die z y k l o m e t r i s c h e n F u n k t i o n e n und die B i n o m i a l r e i h e . | 45. Der Logarithmus 132 f 46. Die zyklometrischen Funktionen 136 | 47. Die Btnomlalrelhe und die allgemeine Potens 139 Register i«

Literatur. B e h n k e , i f . , u n d F. S o m m e r : Theorie der a n a l y t i s c h e n F u n k t i o n e n einer k o m p l e x e n V e r ä n d e r l i c h e n . 2. Aufl. Berlin, H e i d e l b e r g u. G ö t t i n g e n 19Ö2. B i e b e r b a c h , L . : E i n f ü h r u n g in die F u n k t i o u e n t h c o r i e . 3. Aufl. S t u t t g a r t 1959. B u r k h a r d t , H . : F u n k t i o n e n t h e o r e t i a c h e Vorlesungen. Neu hrsg. v o n G. F a b e r . Bd. I, 1: Algebraische Analysis; Bd. I, 2 : E i n f ü h r u n g in die T h e o r i e der a n a l y t i s c h e n F u n k t i o n e n einer k o m p l e x e n V e r ä n d e r l i c h e n . Berlin u. Leipzig 1920/21. t ' n r a t h e o d o r y , C.: F u n k t i o n e n t h e o r i e . Bd. I, Basel 1950. D i n g h a s , A . : Vorlesungen ü b e r F u n k t i o n e n t h e o r i e . Berlin, H e i d e l b e r g u. G ö t t i n g e n lttttl. H e f f t e r , L . : B e g r ü n d u n g der F u n k t i o n e n t h e o r i e auf alten u n d n e u e n W e g e n . 2. Aufl., Berlin, H e i d e l b e r g u. G ö t t i n g e n i 9 6 0 . H o r n i c h , H . : L e h r b u c h der F u n k t i o n e n t h e o r i e . W i e n 1950. H u r w i t z , A., u n d R. C o u r a n t : Vorlesungen ü b e r allgemeine F u n k t i o n e n theorie u n d elliptisehe F u n k t i o n e n . 3 - A u f l . , Berlin, Heidelberg u. G ö t t i n g e n 1929. J v n e s e r , FT.: F u n k t i o n e n t h e o r i e . G ö t t i n g e n 1958. K n o p p , K . : Theorie u n d A n w e n d u n g der u n e n d l i c h e n Keihen. 4. A u f l . , Berlin, H e i d e l b e r g u. G ö t t i n g e n 1947. M a n g o l d t , Li. v., u n d K . K n o p p : E i n f ü h r u n g in die h ö h e r e M a t h e m a t i k . Bd. .1, 12. Aufl., S t u t t g a r t 1962; B d . I I , 11. Aufl., S t u t t g a r t 1962. N i e l s e n , X . : E l e m e n t e der F u n k t i o n e n t h e o r i e , Leipzig 1911. l ' r i n g s h e i m , A., u n d G. F a b e r : Algebraische Analysis. E n z y k l o p ä d i e d . m a t h . W i s s e n s c h a f t e n . Bd. I I , C, 1. Leipzig 1909.

Erster Abschnitt.

Die komplexen Zahlen und ihre geometrische Darstellung. 1. Kapitel. Grundlagen. § 1. Einleitung. Unter dem Namen „ F u n k t i o n e n t h e o rie" faßt man all die Untersuchungen zusammen, die sich ergeben, wenn man die Fragestellungen und Methoden der reellen Analysis (d. h. der gewöhnlichen Differential- und Integralrechnung und der mit diesen zusammenhängenden Gebiete) auf den Fall zu übertragen versucht, daß man für alle auftretenden Zahlengrößen (Konstante, unabhängige und abhängige Veränderliche) komplexe Zahlen zuläßt, also Zahlen von der Form 0 + 6 — 1. Solche Untersuchungen drängten sich schon früh bei verschiedenen Problemen der reellen Analysis ganz von selbst auf und sind zugleich mit der Überwindung dieser im Laufe der Jahrhunderte erst zaghaft, bald mit immer schönerem Erfolge durchgeführt worden (Näheres s. § 4). Heute bildet die Funktionentheorie eines der ausgedehntesten und wichtigsten Gebiete der höheren Mathematik. In diesen „ E l e m e n t e n der Funktionentheorie" soll nur das Einfachste, aber für den weiteren Ausbau der Theorie Wichtigste 1 ) behandelt werden. Dazu gehört zunächst eine Einführung in das System der komplexen Zahlen und das Rechnen mit diesen. Dazu gehört ferner die Übertragung ') Dieser Ausbau findet »Ich dargestellt In den beiden Bündchen des Verfassers: Funktionentheorie, Erster Teil: Grundlagen der allgemeinen Theorie der iinalvtischrn Funktionen, tu. Aufing« 11MH. Kammlung Göschen Nr. 6«*, und Funktionentheorie, Zweiter Teil: Anwendung und Weiterführung der all"inn'iiicn Theorie, 10. Auflage liMW, Sammlung Müschen Nr. 703. Diese B&ndchen werden Im folgenden k u « als „ F k t t h . I " und „ F k t t h . I I " iltlert.

§ 1. Einleitung.

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des Begriffes der Zahlenmengen, des Grenzbegriffes und der eng damit zusammenhängenden Dinge, insbesondere der Lehre von den unendlichen Reihen, auf den Fall komplexer Größen oder, wie man kurz sagt, „ins Komplexe". Weiter gehört dazu die Übertragung des Begriffes der Funktion und ihrer wichtigsten Eigenschaften auf den Fall, daß unabhängige und abhängige Veränderliche komplex sind. In Verbindung mittlem Grenzbegriff liefert dies die Grundlagen einer Differentialrechnung der Funktionen einer komplexen Veränderlichen. Schließlich gehört dazu ein genaueres Studium der sogenannten elementaren Funktionen, also der rationalen, insbesondere der linearen Funktionen, der Exponentialfunktion, der trigonometrischen und einiger anderer Funktionen sowie von deren Umkehrungen, also des Logarithmus und der zyklometrischen Funktionen. Die Übertragung der Integralrechnung ins Komplexe dagegen rechnet man nicht zu den Elementen der Funktionentheorie. Wie wir sehen werden (s. 2. u. 3. Kap.), läßt sich das Rechnen mit den komplexen Zahlen und lassen sich weiterhin alle eben angedeuteten Untersuchungen noch eindrucksvoller als im „Reellen" in einer Z a h l e n e b e n e oder auf einer Z a h l e n k u g e l veranschaulichen. Dies bildet dann den Inhalt des Teiles unserer Theorie, den man als „ g e o m e t r i s c h e F u n k t i o n e n t h e o r i e " bezeichnet. Aus dem Gesagten geht hervor, daß zum Verständnis dieses Büchleins eine Kenntnis der Grundlagen der reellen Analysis und der Elemente der analytischen Geometrie insofern unentbehrlich ist, als nach dem Vorbild der reellen Analysis die Übertragung ins Komplexe durchgeführt wird und zur Veransehaulichung einfache geometrische Dinge benutzt werden. Um hierfür einen festen Ausgangspunkt zu haben, soll im folgenden § 2 das Wichtigste über das System der reellen Zahlen, das das Fundament für den Aufbau der reellen Analysis bildet, und soll in § 3 das

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1. Kapitel. Grundlagen.

Grundsätzliche über den Aufbau der analytischen Geometrie gesagt werden. § 2. Das System der reellen Zahlen. Das System der reellen Zahlen setzen wir, was seinen praktischen Gebrauch anlangt, natürlich als bekannt voraus. Wegen ihrer grundsätzlichen Bedeutung sollen aber die wesentlichen Gedanken, die zu seinem Aufbau führen, hier kurz dargelegt werden. Den Ausgangspunkt aller Betrachtungen über Zahlen bildet die Folge der n a t ü r l i c h e n Zahlen 1, 2, 3 , . . . und die beiden „Verknüpfungen" derselben, die als A d d i t i o n und M u l t i p l i k a t i o n bezeichnet werden. Das Bedürfnis, diese beiden „umzukehren", zwingt alsbald zur Einführung der 0 (Null) und der negativen Zahlen und schließlich zu der der gebrochenen Zahlen. Die Gesamtheit der ganzen und gebrochenen, positiven oder negativen Zahlen und der Null nennt man das System der (reellen) r a t i o n a l e n Zahlen. Mit diesen Zählen, die jetzt kurz durch einen lateinischen Buchstaben bezeichnet werden sollen, kann man nach bestimmten Regeln rechnen, die man als die Grundgesetze der Arithmetik bezeichnet. Es sind die folgenden, bei denen unter „Zahlen" zunächst nur die eben genannten rationalen Zahlen zu verstehen sind: I. Grundgesetze der Gleichheit und Anordnung. 1. Die Zahlen bilden eine geordnete Menge, d, h. zwisclten irgend zweien von ihnen, etwa u und b, besteht stets eine und nur eine der drei Beziehungen a b ' ) Gelesen: a kleiner als b, a gleich b, a größer als 6; a > b ist nur eine andere Schieibweise für b < a. — Die Negationen dieser drei Beziehungen schreibt man so: größer oder gleich b, a mindestens gleich b, a nicht kleiner als 6). a + ft (a ungleich b). a ä b (a kleiner oder gleich b, a höchstens gleich 6, a nicht gröBer als b).

§ 2. Das System der reellen Zahlen.

9

Diese Anordnung gehorcht weiter den Gesetzen: 2. Es ist stets a— a. 3. Aus a—b folgt b= a. 4. Aus a=b und b — c folgt a — c. 5. Aus a^b und b 2 ist. Man sagt nun, durch diese Klasseneinteilung oder diesen Dedekindschen Schnitt (9t 19t') im Bereich der rationalen Zahlen werde die „irrationale" Zahl erfaßt, deren Quadrat gleich 2 ist, und setzt geradezu (9t 19t') = /2~. Daß aber eine solche Klasseneinteilung eine Zahl definiert oder gar eine Zahl ist, kann nicht anders bewiesen werden als folgendermaßen: Man betrachtet die Gesamtheit aller nur denkbaren K l a s s e n e i n t e i l u n g e n der rationalen Zahlen in zwei (nicht leere) Klassen 9t und 91', die wie eben der Forderung genügen, daß j e d e Zahl der Klasse 91 kleiner ist als j e d e Zahl der K l a s s e 9t', und zeigt, daß diese Dedekindschen S c h n i t t e (9119t') solche „anderen Dinge" sind, die bei geeigneten Festsetzungen über die Bedeutung der Zeichen = , < , + und • wieder unseren sämtlichen Grundgesetzen genügen. Wie hierzu diese Festsetzungen zu treffen sind und wie der genannte Nachweis erbracht werden kann, soll hier natürlich nicht ausgeführt, sondern als bekannt angesehen werden 1 ); der Weg dazu drängt sich bei Veranschaulichung der Dinge auf der Zahlengeraden ganz von selbst auf. Bezeichnet man aber jetzt diese Klasseneinteilungen kurz mit einem kleinen lateinischen Buchstaben, setzt etwa (9t | 9 t ' ) = a usw., und nennt sie Zahlen, so gelten unter diesen Vereinbarungen ausnahmslos unsere sämtlichen Grundgesetze. Die so gewonnenen Dinge sind also Zahlen; sie bilden in ihrer Gesamtheit das System der reellen Zahlen. Bei der Deutung auf der Zahlengeraden (s. § 3) zeigt sich überdies, daß ein Teil der reellen Zahlen mit den bisherigen rationalen Zahlen zusammenfällt, ein anderer nicht. In diesem Sinne bildet das System der reellen Zahlen eine E r w e i t e r u n g des Systems der rationalen Zahlen. Die nicht rationalen unter den reellen Zahlen nennt man irrational. ') Vgl. die S. 5 genannten Werke des Verfassers.

§ 3. Punkte und Vektoren der Ebene.

13

Mit der Bildung des Systems der reellen Zahlen ist nun ein gewisser Abschluß erreicht. Denn es läßt sich zeigen, daß es weder ein anderes (von dem erhaltenen System der reellen Zahlen in irgendeinem wesentlichen Sinne verschiedenes) noch auch ein umfassenderes System von irgendwelchen Dingen gibt, das — wie man auch die Bedeutung der Zeichen = , < , + und • festsetzen mag — allen unseren Grundgesetzen genügt. Die hiermit angedeuteten Sätze bezeichnet man als den Einzigkeit»- bzw. Vollständigkeitssatz für das System der reellen Zahlen. Eine abermalige Klasseneinteilung im System der reellen Zahlen führt nicht zu neuen Dingen, sondern immer wieder zu einer (schon vorhandenen) reellen Zahl. Macht man also im Bereich der reellen Zahlen einen Dedekindschen Schnitt, d.h. teilt man alle reellen Zahlen derart in zwei (nicht leere) Klassen 21 und 2f, daß jede Zahl a aus 21 kleiner ist als jede Zahl a' aus 2T, so gilt der folgende oft als Dedek i n d s c h e r H a u p t s a t z bezeichnete Stetigkeitssatz für die reellen Zahlen: Satz. Em solcher Dedekindscher Schnitt im Bereich der reellen Zählen definiert stets eine und nur eine reelle Zahl s, die „Schnittzahl", derart, daß jedes a^s, jedes a'^zs ist. Die Schnittzahl s selbst kann zu 21 oder zu 21' gehören, je nach dem einteilenden Gesichtspunkt. Jede Zahl unterhalb s dagegen gehört m 2t, jede Zahl oberhalb s zu 21'. § 3. Punkte und Vektoren der Ebene. Von den Grundbegriffen der analytischen Geometrie brauchen wir im folgenden nur das Allereinfachste und allgemein Bekannte. Wir beschränken uns daher auf die Darlegung der für ihren Aufbau grundsätzlich wichtigen Dinge. In bekannter Weise lassen sich zunächst die rationalen Zahlen als Punkte einer Zahlengeraden veranschaulichen, d. h. einer beliebigen (waagerecht gedachten) Geraden, auf

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1. Kapitel. Grundlagen.

der man zwei verschiedene Punkte 0 und E als Null- und Einheitspunkt, kurz als 0 und 1, gewählt hat, 1 rechts von 0. Daß die rationalen Zahlen eine geordnete Menge bilden, wird dadurch bildhaft anschaulich. Die in § 2 zusammengefaßten Betrachtungen lehren nun zunächst, daß hierbei zwar jeder rationalen Zahl genau ein Punkt — wir nennen ihn kurz einen rationalen Punkt — entspricht, daß aber nicht jeder Punkt der Geraden Bild einer rationalen Zahl ist. Es entspricht aber jedem Dedekindschen Schnitt im Bereich der rationalen Zahlen ein solcher für die rationalen Punkte: Sie wefden in zwei (nicht leere) Klassen und 9t' derart eingeteilt, daß jeder Punkt a aus 2t links von jedem Punkt a' aus 3t' liegt. Die Anschauung verlangt hier gebieterisch, daß es dann stets einen Punkt s auf der Geraden gibt, der die beiden Klassen trennt, d. h. daß für alle a und o' immer af^sf^a' ist. Die ausdrückliche Anerkennung dieser Tatsache bildet den Inhalt des CantorDedekindschen Axioms: Jeder Schnitt im Bereich der rationalen Punkte definiert einen ganz bestimmten Punkt der Geraden, der die beiden Klassen des Schnittes trennt. Das heißt aber nichts anderes, als daß jeder reellen Zahl genau ein Punkt der Geraden als Bild entspricht und umgekehrt. In diesem Sinne ist das System der reellen Zahlen umkehrbar eindeutig den Punkten der Zahlengeraden zugeordnet. Der am Ende des vorigen Paragraphen aufgeführte S t e t i g k e i t s s a t z besagt bei dieser Abbildung: Teilt man alle Punkte der Zahlengeraden irgendwie in zwei nicht leere Klassen derart, daß jeder Punkt der ersten Klasse links von jedem Punkt der zweiten Klasse liegt, so gibt es stets genau einen Punkt, der beide Klassen trennt. Diese Abbildung der reellen Zahlen auf die Punkte einer Geraden bildet die Grundlage der analytischen Geometrie. Statt die reellen Zahlen durch die Punkte der Zahlengeraden

§ 3. Punkte und Vektoren der Ebene.

15

zu veranschaulichen, ist es manchmal vorteilhafter, es durch die gerichteten Strecken, die Vektoren, auf dieser Geraden zu tun: Als Bild der reellen Zahl a sieht man die gerichtete Strecke an, die von 0 nach dem Punkt a führt oder jede a n d e r e S t r e c k e , die die gleiche L ä n g e und die gleiche R i c h t u n g wie die eben g e n a n n t e h a t . Die Zahl a heißt umgekehrt die Koordinate des veranschaulichenden Vektors. Denkt man sich bei a eine Pfeilspitze, bei 0 eine Fiederung an die Strecke gezeichnet, so fliegen die die positiven Zahlen veranschaulichenden Vektoren nach rechts, die anderen nach links. Der Zahl 0 entspricht der N u l l v e k t o r , der keine Länge und keine (bestimmte) Richtung hat. Veranschaulicht die Abbildung der reellen Zahlen auf die Punkte der Geraden die O r d n u n g der reellen Zahlen besonders eindringlich, so ist die Abbildung der Zahlen durch die Vektoren besser geeignet, ihre Verknüpfungen zu veranschaulichen: Der A d d i t i o n entspricht das A n e i n a n d e r f ü g e n der Vektoren (vgl. S. 17 und §7). Die D i f f e r e n z b — a wird durch den Vektor veranschaulicht, der von dem Punkte a zu dem Punkte b führt-. Die M u l t i p l i k a t i o n von a mit der positiven Zahl b bedeutet die S t r e c k u n g des der Zahl a entsprechenden Vektors im Verhältnis 1 :b (vgl. § 12). Ist b negativ, so wird überdies die Richtung des erhaltenen Vektors umgedreht. Entsprechend wird die Div i s i o n veranschaulicht. Der Übergang zu den Grundlagen der analytischen Geometrie der Ebene erfordert nun keine neuen grundsätzlichen Erwägungen mehr: Man legt in die Ebene zwei Zahlengeraden oder Achsen, von denen die zweite aus der ersten hervorgeht, indem man diese um den Nullpunkt im m a t h e m a t i s c h p o s i t i v e n Sinne, d.h. im Gegensinn des Uhrzeigers, um einen rechten Winkel dreht. Ein Punkt P der Ebene ist dann umkehrbar eindeutig dujch seine (senkrechten) Projektionen P' und P" auf die erste bzw. zweite

16

1. Kapitel. Grundlagen.

Achse bestimmt (vgl. Fig. 1), diese Projektionen sind wiederum eindeuP" tig durch ihre Koordinaten x bzw. y festgelegt. Jedem Punkt ent__ spricht so genau ein g e o r d n e t e s P' Zahlenpaar (x, y), d. h. ein Zahlenpaar, bei dem auf die Eeihenfolge r 8,1' der beiden Zahlen zu achten ist, — und umgekehrt jedem solchen Zahlenpaar genau ein Punkt. In diesem Sinne wird also die Gesamtheit aller Punkte unserer Ebene durch die Gesamtheit aller Zahlenpaare (a;, y) geliefert, diese durch jene veranschaulicht. Daß Paar der Zahlen x, y nennt man bekanntlich die (rechtwinkligen) kartesischen Koordinaten des dargestellten Punktes. In der Ebene ist es — in viel höherem Maße als auf der Geraden — für die Anwendung zweckmäßig, neben den Punkten die V e k t o r e n , d.h. gerichtete Strecken zu betrachten. Man sagt von zwei gerichteten Strecken (die Eichtung denken wir uns wieder durch Spitze und Fiederung verdeutlicht), daß sie denselben Vektor darstellen, wenn sie die gleiche Länge und die gleiche Eichtung haben, während man sonst von der Lage in der Ebene absieht. Solche Vektoren bezeichnet man mit kleinen deutsehen Buchstaben: a, b , . . . ; man nennt sie z w e i d i m e n s i o n a l im Gegensatz zu den zuvor auf der Geraden eingeführten eindimensionalen Vektoren. Projiziert man einen Vektor a auf die beiden Achsen, so erhält man auf diesen je einen (eindimensionalen) Vektor, die man als die K o m p o n e n t e n des Vektors a bezeichnet. Sie veranschaulichen (auf ihrer Zahlengeraden) je eine reelle Zahl, die K o o r d i n a t e n von a. Jedem Vektor entspricht so ein (geordnetes) Zahlenpaar (x, y). Da auch umgekehrt jedem solchen Zahlenpaar ein (eindimensionaler) Vektor auf jeder der Achsen entspricht und diese rückwärts sich als die Pro-

§ 3. Punkte und Vektoren der Ebene.

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jektionen genau eines Vektors o der Ebene auffassen lassen, so können wir sagen: Die Gesamtheit aller Vektoren der Ebene wird durch die Gesamtheit aller Zahlenpaare (x, y) geliefert, diese durch jene veranschaulicht. Dem Zahlenpaar (0,0) entspricht der Nullvektor, der keine Länge und keine (bestimmte) Richtung hat. Denkt man sich alle Vektoren der Ebene von einem und demselben Punkte ausgehend, so nennt man sie ortsgebunden. Gehen sie insbesondere vom Ursprung (0, 0)aus, so nennt man sie Radiivektoren. Die Spitze des Radiusvektors (a;, y) liegt dann offenbar gerade im Punkte (x, y). Vom Parallelogramm der Kräfte her ist es jedem geläufig, zwei Vektoren n und 6 aneinander zu fügen, d. h. den Anfang des zweiten auf die Spitze des ersten zu legen. Der Vektor c, der von der Fiederung des ersten zur by Spitze des zweiten führt (s. Fig. 2a), veranschaulicht dann die Resultante der durch „ „. ,

,

Fig. 2».

Fig. 2b.

die beiden ersten veranschaulichten Kräfte 1 ). Man spricht hier von geometrischer oder Vektoraddition und schreibt kurz a + b = c. Sind (a, a'), (6, &'), (c, c') die Koordinatenpaare dieser drei Vektoren, so ist bekanntlich a -f b = e, a' + b' = c'. Neben den kartesischen Koordinaten benutzt man in der Ebene noch die sogenannten Polarkoordinaten: Ein Punkt P der Ebene bestimmt auch eindeutig seinen (nicht negativen1) Abstand q vom Nullpunkt und im wesentlichen >) Oder man l£Bt a und 6 von demselben Punkte ausgehen; c ist dann die von diesem Punkte ausgehende Diagonale des durch a und b bestimmten Parallelogramms (s. Flg. 2 b).

18

1. Kapitel. Grundlagen.

eindeutig auch den ersten Richtungswinkel

) Diese Bezeichnung hat sich seit der Uitte des 17. Jahrhunderts eingebürgert. Im Gegensatzjsu ihnen wurden alle gewöhnlichen Zahlen r eelle Zahlen genannt. Eine solche Gegenüberstellung von reell und I m a g i n ä r findet sich wohl zuerst in der berühmten „Geometrie" von Bescartes (Leyden 1637).

§ 6. Einführung der komplexen Zahlen. Bezeichnungen.

21

werden, wurde schon gegen Ende des 17. und im Laufe des 18. Jahrhunderts, insbesondere von L. E u l e r (1708—1783) gefunden. Aber erst um die Wende des 18. Jahrhunderts begann man hier ganz klar zu sehen. Eine Abhandlung des Landmessers Caspar Wessel aus dem Jahre 1797 und ebenso eine solche von J.-R. A r g a n d aus dem Jahre 1806, in denen eine Lösung des Rätsels gegeben wurde, fanden zunächst keine Beachtung. Nicht anders ging es ähnlichen Versuchen einiger weiterer Mathematiker. Erst als C. F. Gauß 1831, unabhängig von seinen Vorgängern, dieselben Auffassungen entwickelte war die Zeit für das volle Verständnis dieser Dinge reif geworden. In kurzer Zeit, insbesondere durch die rein arithmetisch gehaltene Darstellung von W. R. H a m i l t o n aus dem Jahre 1837 — die Arbeiten der vorher genannten Mathematiker stellten die Dinge in geometrischem Gewände dar —, war alles geheimnisvolle und rätselhafte an jenen „sinnlosen Ausdrücken" verschwunden, die heute auf Grund einer geklärten Einstellung zu den Grundlagen unserer Wissenschaft keinerlei begriffliche oder tatsächliche Schwierigkeiten mehr machen.

§ 5. Einführung der komplexen Zahlen. Bezeichnungen. Das System der reellen Zahlen hatte sich in vieler Hinsicht > insbesondere bei Anwendung auf geometrische Fragen (s. § 3) > als sehr viel leistungsfähiger erwiesen als das System der rationalen Zahlen: Das System der reellen Zahlen konnte umkehrbar eindeutig auf die Punkte oder Vektoren einer Geraden abgebildet werden und das Rechnen mit den reellen Zahlen konnte als ein Rechnen mit den Punkten oder Vektoren der Geraden gedeutet werden. Diese Aüffassung drängt nun förmlich dazu, gegenüber den neuen, in § 4 besprochenen ') C. F. Q a u ß , Göttlngische gelehrte Anzeigen vom 23. April 1831. Werk« Bd. 2, S. 167—178.

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2. Kapitel. Das System der komplexen Zahlen.

Unmöglichkeiten den Versuch zu wagen, ein Rechnen mit den Punkten und Vektoren der Ebene (s. § 3) zu erklären und so ein System von Elementen zu schafien, dem die aufgedeckten Unzulänglichkeiten des Systems der reellen Zahlen nicht mehr anhaften. Nach § 3 ist ein solcher Versuch gleichbedeutend mit dem, ein Rechnen mit Zahlenpaaren zu erklären. Das erste geschieht in der Sprache und den Darstellungen der Geometrie, das zweite in denen der Arithmetik. Wir werden im folgenden s t e t s beides n e b e n e i n a n d e r benutzen, und zwar werden wir die arithmetische Fassung bei allen grundsätzlichen Begriffen und Erklärungen wegen ihrer logischen Reinheit voranstellen, während die geometrische Form durch ihre anschauliche Kraft das Verständnis und den Überblick erleichtern soll. Wir betrachten also die Gesamtheit aller geordneten Paare aus zwei reellen Zahlen: («,«'), (ß, ß'), • • • 1 ). Anschaulich gefaßt betrachten wir also die Gesamtheit aller Punkte oder diejenige aller Vektoren einer gemäß § 3 mit einem Koordinatenkreuz versehenen Ebene. Es wird sich zeigen, daß wir mit diesen Dingen bei geeigneten Festsetzungen über die Bedeutung von Gleichheit und Ungleichheit, Addition und Multiplikation werden r e c h n e n können, und zwar im wesentlichen genau wie mit den reellen Zahlen. Es wird sich also zeigen, daß diese Dinge als Z a h l e n angesehen werden können (s. § 2, S. 11). Vorbehaltlich dieses Nachweises wollen wir sie schon jetzt Zahlen, und zwar k o m p l e x e Zahlen nennen und mit einem kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnen, also etwa

(«,«')=

a,

(ß,ß')=b,...

setzen und wollen a , b , . . . zugleich auch als Zeichen für die die Zahlenpaare ( « , « ' ), {ß,ß'), • • • veranschaulichenden Punkte ') Da wir die kleinen lateinischen Buchataben a , b , . . . uns für die jetzt zu schaffenden komplexen Zahlen vorbehalten wollen, sollen in diesem und den folgenden Paragraphen bis § 15 die reellen Zahlen mit kleinen griechischen Buchstaben bezeichnet werden.

§ 6. Einfühlung der komplexen Zahlen. Bezeichnungen.

23

oder Vektoren der Ebene gebrauchen. Komplexe Zahlen sind also nichts anderes als geordnete Paare reeller Zahlen oder Punkte oder Vektoren der Ebene, für die eine Gleichheit, eine Addition und eine Multiplikation in bestimmter (in den §§6—8 ausgeführter) Weise erklärt sind. Die Ebene, in der wir uns diese Punkte und Vektoren gezeichnet denken, nennt man die E b e n e der komplexen Zahlen, auch die Gaußsche Zahlenebene oder kurz die Zahlenebene. Aus historischen Gründen und wegen der Zusammenhänge, die die folgenden Paragraphen nbch genauer aufdecken werden, bezeichnet man die erste der beiden (kartesischen) Koordinaten des Punktes o als den reellen Teil, die zweite als den i m a g i n ä r e n Teil der komplexen Zahl a und schreibt dafür (1) SR («) = «, 3(«) = «'Demgemäß bezeichnet man die erste der beiden Koordinatenachsen als die reelle Achse, die zweite als die imaginäre Achse, deren Hälften man auch als die positiven bzw. n e g a t i v e n H a l b a c h s e n unterscheidet. Durch jede der Achsen wird die Ebene in zwei Halbebenen zerlegt, die man gemäß ihrer Lage als obere und u n t e r e bzw. linke und r e c h t e Halbebene unterscheidet. Den Koordinatenanfangspunkt, also den Punkt oder das Zahlenpaar (0,0) bzw. den Nullvektor, nennt man kurz denPunkt 0 oder den Nullpunkt der Ebene. Diejenigen komplexen Zahlen, deren darstellende Punkte auf der reellen Achse liegen und deren Vektoren ihr also parallel sind, nennt man kurz reell, alle übrigen nicht reell oder irreell; diejenigen, für die der darstellende Punkt auf der imaginären Achse liegt (bzw. der Vektor ihr parallel ist), nennt man rein imaginär 1 ). Die erste der beiden (gemäß § 3 eingeführten) Polark o o r d i n a t e n des Punktes a oder also die Länge des Vektors a, die wir mit Q bezeichnen wollen, nennt man den (absoluten) ') Durch die Ausführungen des § 10 werden diese letzten Bezeichnungen, wie schon betont, noch besser verständlich werden.

24

2. Kapitel. Das System der komplexen Zahlen.

Betrag der komplexen Zahl a, die zweite tp, die die Richtung des Vektors a angibt, ihren Arcus oder ihr Argument, in Zeichen (2) | a | = q, arc a= — 0 s — ¿0 — i , z—t (D z r r = ö = z — i : ö + l oder die gesuchte Abbildung. Für jedes reelle z wird | w | = 1, wie man leicht verifiziert. Durch die inverse Funktion , = - 0 ist m i n d e s t e n s ein x- y ' . 2. Wie auch e > 0 gewählt wird, es ist m i n d e s t e n s ein x > y ' — e. — Über sie gilt der analog zu beweisende

§ 24. Reelle Zahlenmengen.

75

Satz 2. Jede nach rechts beschränkte (nicht leere) Menge 2R besitzt eine bestimmte obere Grenze y' = fin 2R. Eine beiderseits beschränkte Menge besitzt also eine bestimmte untere und eine bestimmte obere Grenze. Beide Zahlen brauchen nicht selbst Punkte der Menge zu sein. Ist eine Menge nach links nicht beschränkt, so sagt man auch, ihre untere Grenze sei —oo; ist sie nach rechts nicht beschränkt, so sagt man entsprechend, ihre obere Grenze sei + o o . Wir können jetzt im Reellen den schon in § 23 genannten B o l z a n o - W e i e r s t r a ß s c h e n Satz beweisen. Der Beweis verläuft ganz ähnlich wie der eben durchgeführte: Man teile wieder die Gesamtheit aller reellen Zahlen in zwei Klassen 3t, 21'. In die Klasse 21 tue man jede Zahl a, links von der keine oder höchstens endliclr viele Punkte der Menge liegen : h ö c h s t e n s e n d l i c h viele x 6 . In 83' tun wir alle Zahlen V, für die dies nicht der Fall ist. Diese Einteilung (83 | 83') ist offenbar ein Schnitt. Er definiere die reelle Zahl »7. D a n n i s t f = £ + ein H ä u f u n g s p u n k t v o n 372. Denn ist e > 0 beliebig gegeben, so gehört r\ + e zur Klasse 83'; es gibt also einen c'-Streifen um £ mit 0 < e' < e, so daß in ihm n u r e n d l i c h viele 2 der Menge einen imaginären Teil 3 (2) > »7 + £ haben. Da aber 77—e zu 83 gehört, gibt es dort u n e n d l i c h v i e l e 2 mit 3K 2 ) > rj—s. Daher liegen unendlich viele 2 der Menge in dem Rechteck i — e ' < 8 t ( « ) < { + e', tj — e < 3 ( * ) < i f + e,also auch unendlich viele in der quadratischen £-Ümgebung von C, w. z. b. w.

7. Kapitel. §

26.

Zahlenfolgen. Unendliche Reihen.

Zahlenfolgen mit komplexen

Gliedern.

Wird durch eine eindeutige Vorschrift jeder natürlichen Zahl 1 , 2 , 3 , . . . je eine bestimmte komplexe Zahl 2j, z2, z 3 , . . . zugeordnet, so entsteht eine Zahlenfolge, die man kurz mit (2») oder (zv s 2 , . . . ) bezeichnet. Die zn heißen ihre G l i e d e r . Die Werte der Glieder brauchen nicht von-

78

7. Kapitel. Zahlenfolgen. Unendliche Iteihen.

einander verschieden zu sein. Oft stellt man noch ein „nulltes" Glied z0 als Anfangsglied voran. Einfache B e i s p i e l e sind die folgenden: 1. (an), d. h. die Folge der Zahlen 1, a, a2, ...,an,..., bei der a eine gegebene Zahl ist. 2.

d. h. die Folge der Zahlen 1, \n/

..., 2 3

3. Die Folge (zn) mit s 0 = 1, 2X = ¿,

. . .,

1

).

n = |

(3„_ 1 + 0„_ 2 )

für « 2. Die den Zahlen zn entsprechenden Punkte bilden eine Punktfolge. Tritt ein und derselbe P u n k t mehrfach bzw. unendlich oft in der Folge auf, so „zählt er" mehrfach bzw. unendlich oft. Ist umgekehrt 3J£ eine (unendliche) Punktmenge und kann man die P u n k t e derart mit zv z2,... bezeichnen, daß dabei j e d e r P u n k t von 2J1 eine Nummer erhält, so heißt 9Ji eine abzählbare Punktmenge. Die Mengen SKL SJlg, 2Jl4 und 3RS in § 23 sind abzählbar, und 2J?e sind es nicht. (Auf den Beweis dieser Behauptung soll hier nicht eingegangen werden.) Bei den Punktmengen setzten wir selbstverständlich voraus, daß je zwei ihrer Elemente verschieden sind; bei den Gliedern einer beliebigen Folge braucht dies nicht der Fall zu sein. Wir können daher auch sagen: Eine Zahlenfolge ist eine abzählbare (und in bestimmter Weise abgezählte) Punktmenge, bei der aber zugelassen wird, daß ein und derselbe P u n k t mehrmals oder sogar unendlich oft gezählt wird. Die bei den Punktmengen eingeführten Bezeichnungen übertragen sich daher sinngemäß auf Zahlenfolgen. Als H ä u f u n g s p u n k t oder Häufungswert einer Folge (z n ) wird man daher eine Zahl £ bezeichnen, wenn bei jedem e > 0 unendlich viele z„ in der e-Umgebung von £ liegen, ') Bei dieser Folge ist es schon wegen der Form des Gliedes selbstverständlich, daß der Anfangswert nicht n * 0, sondern n = 1 sein soll. Ähnliches ist im folgenden öfter zu beachten.

§ 26. Zahlenfolgen mit komplexen Gliedern.

79

wenn also für u n e n d l i c h viele n (1) ist. Doch ist jetzt zu beachten, daß ein Wert £, der unendlich oft in der Folge (z„) auftritt, auch als ein Häufungswert der Folge anzusehen ist. Der B o l z a n o - W e i e r s t r a ß s c h e Satz sagt dann: Jede beschränkte Zahlenfolge (z„) hat mindestens einen Häufungswert Von besonderem Interesse ist der Fall, daß sie n u r einen Häufungswert hat. Dann gilt die Beziehung (1) f ü r alle h i n r e i c h e n d g r o ß e n W e r t e von n. Hierfür sagt man auch kurz, dies gilt f ü r fast alle n oder für alle n von einer Stelle ab, etwa für alle « > w 0 = no(e) 1 ). In diesem Falle nennt man £ den Grenzwert der Folge (zn) und schreibt dafür l i m z B = £ oder z„-»-£ mit oder ohne den Zusatz „für n->- + oo". Von der Zahlenfolge selbst sagt man, sie sei konvergent mit dem Grenzwert £ oder sie strebe gegen £. Die notwendige und hinreichende Bedingung für das Eintreten dieses Falles nennt das A l l g e m e i n e Cauchysche Konvergenzprinzip: Satz 1. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Folge z0, z,, z 2 , . . . einen Grenzwert hat, ist diese: Bei beliebig gegebenen e > 0 gibt es stets eine Zahl w0 = »0 (e), so daß für alle n > w0 und alle p > 0 (2) 1*+» — 2 » l < e ausfäüt. (Kürzer: Fast alle zn müssen einen Abstand < e voneinander haben.) Beweis. 1. Strebt z » - ^ , so ist bei gegebenem e > 0 für n > » 4 ( e ) | z»—£| < i e , also für alle n>n1 und alle p > 0 ') Lettteres, well die Stelle n„ von der ab die Bexlehnng (1) «füllt Ist von der Wahl von e abhängt.

80

7. Kapitel. Zahlenfolgen. Unendliche Reihen.

I 2»+p — I = I (?n+p — 0 — (2» —C) I < £ , — letzteres nach § 11 (2). Die Bedingung ist also notwendig. 2. Ist umgekehrt (2) erfüllt, so ist die Folge (z„) beschränkt. Denn wählt man etwa e = 1, so entspricht dieser Wahl von 6 ein nv so daß für alle n > I*» — ^ J c l und also | z „ | < | z B l | + l ist. Die größte der Zahlen IzJ, | z 2 | , . . . , | |, |z n J + 1 ist also eine Schranke für die Menge. Nach dem BolzanoWeierstraßschen Satz hat also (z„) mindestens einen Häufungspunkt f . Hätte sie nun noch einen zweiten Häufungspunkt C'4=C, so wäre — f | eine positive Zahl, 3 und es lägen unendlich viele z„ in der e-Umgebung von f , unendlich viele andere in der e-Umgebung von £". Oberhalb j e d e r Zahl n0 gäbe es also noch ein n und ein w-f-p, so daß | zn+p—zB | > s wäre, entgegen der Voraussetzung. Also ist f der einzige Häufungspunkt. Bei beliebigem e > 0 gilt daher | zB — £ | < e für fast alle n, es strebt z„->- w. z. b. w. Jede Zahlenfolge, die n i c h t konvergiert, wird divergent genannt. Konvergiert eine Zahlenfolge gegen 0, zB-> 0, so nennt man sie eine Nullfolge. Über das Rechnen mit konvergenten Zahlenfolgen gelten die folgenden einfachen, aber wichtigen Sätze, die genau wie im Reellen bewiesen werden: Satz 2. Strebt die Folge ?„->•£, die Folge z'n-*C' und sind c, c' zwei beliebige komplexe Zählen, so ist auch die Folge (w„) mit den Gliedern wn = czn-\-c'z'n konvergent, und es strebt Satz 3. Unter denselben Voraussetzungen wie beim vorigen Satz ist auch die Folge (wn) mit den Gliedern wn = znzB konvergent, und es strebt «?„->•££'. Satz 4. Strebt sind alle z„ =f= 0 und ist auch £ =)= 0»

§ 2T. Zahlenfolgen mit reellen Gliedern.

81

so ist auch die Folge (wn) mit den Gliedern wn= — konvergent, und es strebt wn-+ —. Satz 5. Strebt zn-»£ und ist (z„) eine Teüfolge1) der Folge («„), so strebt auch § 27. Zahlenfolgen mit reellen Gliedern. Sind alle Glieder einer Zahlenfolge reell, so nennt man sie kurz eine reelle Zahlenfolge. Da diese als Sonderfall unter den „komplexen" Zahlenfolgen enthalten sind, so sind die Betrachtungen des vorigen Paragraphen auch für diese reellen Zahlenfolgen (x n ) gültig. Im Anschluß an § 24 ergeben sich hier aber einige weitere Einzelheiten: Eine nach links beschränkte Zahlenfolge (x„) hat eine wohlbestimmte untere Grenze y, die durch die beiden Bedingungen charakterisiert ist, daß kein xn < y, aber bei beliebigem e > 0 mindestens ein < y + e ist. Entsprechendes gilt für die obere Grenze y'. Ebenso hat sie einen wohlbestimmten unteren Limes /u, in Zeichen liminf xn = fi oder lim fj,, der die beiden Bedingungen erfüllt, daß bei jedem e > 0 höchstens endlich viele xn n 0 in der Differenz s^ — s„ die Glieder CQ, c1( . . . , cm sämtlich fort, und es bleiben nur endlich viele Glieder stehen, deren Summe wegen (9) sicher < s ist. Für n > n 0 ist also | s'n —s„ | < e. Es strebt (s'n—sB)-> 0 und folglich s'n = s„+(s^—s„) s, d. h. auch ist konvergent und hat die Summe s. Ebenso ist mit £ |cB| auch £ \ c ' n \ konvergent, also absolut konvergent. 2a. Ist 2cn absolut konvergent, so ist auch jede Teilreihe iS vo < vi < • • • )> absolut kon• • • +c"„+ • • • ' vergent. 3. Es seien jetzt J£cn und Hc'n irgend zwei unendliche Reihen. Wir bilden die Produkte ctc'i, (fc = 0,1, 2 , . . . , Z = 0 , 1 , 2 , . . . ) , je eines Gliedes der ersten mit je einem Gliede der zweiten Reihe. Diese Produkte kann man in der mannigfachsten Weise zu einer einfachen Folge (p n ) anordnen. Dazu ordne man die Produkte zunächst wie bei einer Determinante ') Ohne Bewela sei hinzugefügt, daß fOr Reihen, die nur bedingt konvergieren, dieser Satz n i c h t gilt.

§ 28. Unendliche Reihen.

87

(fc= Zeilennummer, l = Spaltennummer) an: "o^c ••• c c (10) i o< cicy ••• ^Cj, C2C2> • • • Die Anordnung nach Schräglinien erhält man dann, indem man die Produkte hinschreibt, für die k + i der Reihe nach die Werte 0 , 1 , 2 , . . . hat, jede Schräglinie etwa von oben nach unten durchlaufend. Die Anordnung nach Quadraten bekommt man, indem man die diesen Schräglinien entsprechenden Quadrate der Reihe nach heranzieht, d. h. die Produkte, für die Tc und Z = 0, ^ 1, ^ 2 , . . . sind. Jede so erhaltene Reihe S p n heißt eine Produktreihe der beiden Reihen H c n und Von diesen gilt: Sind die Reihen und 2 c'n leide absolut konvergent und sind s und s' ihre Summen, so ist auch jede Produktreihe derselben absolut konvergent und hat die Summe ss'. Beweis. Es ist offenbar IpoI + N + • • • + \Pn\ ^ (kol + • • •+kwl) (Kl + • • • +141), wenn nur m groß genug genommen wird. Die Folge der Teilsummen von 2i |pB| ist also beschränkt und folglich £ p n absolut konvergent. Wegen 2. hat also jede Produktreihe dieselbe Summe S, da sie voneinander nur Umordnungen sind. Bedeutet aber (pn) insbesondere die Anordnung nach Quadraten, so ist (c0 + h + '' • + c») K + ci + • • • + e'n) = Po + Vi H b P(«+i)*-iFür n-»-oo folgt hieraus (unter Benutzung der Sätze 3 und 5 aus § 26) 8= ss'. 4. Faßt man bei einer konvergenten unendlichen Reihe mit der Summe s aufeinanderfolgende Glieder in beliebiger Weise durch eine Klammer zu je einem neuen Gliede zusammen, bildet also etwa die Reihe

88

7. Kapitel. Zahlenfolgen. Unendliche Reihen.

(c0 + c i +

1" c t.) + ( f *.+i H H c*,) + («*,+i H h ct.) H , deren Glieder nun C0, Clt... heißen mögen, so sägt man, 2 i C n sei aus 2!e n durch Assoziation der Glieder entstanden. Darüber gilt: Ist J£ch konvergent und = s, so ist auch jede daraus durch Assoziation der Glieder entstehende Reihe 2Cn konvergent und hat dieselbe Summe s. — Denn die Folge der Teilsummen von 2 G n ist offenbar eine Teilfolge der Folge der Teilsummen von 2dCn. Ist 2cn absolut konvergent, so ist es ersichtlich auch scn. 5. Eine solche Assoziation von Gliedern hat man besonders oft bei der nach Schräglinien angeordneten Produktreihe zweier Beihen cn und JJci, zu bilden. Faßt man die in derselben Schräglinie stehenden Produkte durch eine Klammer zusammen, bildet also die Beihe (11)

\(c0c'n

+ C lC ;_! + • • • + C n c£,

so nennt man diese das Cauchysche P r o d u k t der gegebenen Reihen. Aus den beiden letzten Sätzen folgt: Das Cauchysche Produkt zweier absolut konvergenter Reihen ist wieder absolut konvergent, und es gilt die Gleichung

1\ ) ( l / ) .

(12) i ( c 0 c ; + . . . + c n c ' 0 ) = ( n—O \»-=0 tn' \f>—o ny Beispiele für diese Dinge enthält das nächste Kapitel und der ganze 5. Abschnitt. Ohne Beweis sei endlich noch der folgende etwas weitergehende Satz hinzugefügt, dessen Beweis, wie der aller vorangehenden Sätze, genau der gleiche ist wie im Beeilen: 6. Es sei, ähnlich wie bei (10), eine unendliche Matrix der Form c c oo o2 ' (13)

M = i

£ l11 Cjo 2i

§29. Der Konvergenzkreis.

89

vorgelegt. Ordnet man ihre Elemente irgendwie zu einer einfachen Folge (c„) und ist c„ absolut konvergent, so sind auch alle „Zeilenreihen" (14)

(&= 0 , 1 , 2 , . . . ) ,

und alle „Spaltenreihen" (15)

Jfti=fl„

(1=0,1,2,...),

i=0

absolut konvergent. Das gleiche gilt von den Reihen £ Z * und und es ist (16) K '

2 z t-o

k

=

Jsr,= i-o

2cn.

(Cauchyscher Doppelreihensatz.)

8. Kapitel. § 29.

Der

Potenzreihen. Konvergenzkreis.

Für die Funktionentheorie sind besonders diejenigen Reihen 2!cn von Bedeutung, für die c„ die Form a„(z— z0)M hat, also die Reihen (1)

J,an(z-z0)n=

«0+ai(2-2o)

+ • • • + ayt(z-z0)n+

• • •.

Man nennt sie Potenzreihen mit dem „Mittelpunkt" Zg und den „Koeffizienten" an. Man denkt sich z0 und die a^ gegeben, und die erste Frage lautet: Für welche z ist die gegebene Reihe konvergent, für welche nicht? B e i s p i e l e . 1. z0 = 0, alle o„ = 1. Das liefert die sogenannte geometrische Reihe 2+ + - + zB + - - - . n>=0 Nach dem Majoranten-, Wurzel- oder Quotientenkriterium erkennt man, daß diese Reihe für | z | < 1 absolut konvergiert. Für I z | ^ 1 ist sie divergent, da dann die Folge der Glieder nicht gegen 0 strebt. Die geometrische Reihe ist also genau im Innern des Einheitskreises absolut konvergent, sonst divergent. Da für | s | < 1 überdies zn->- 0 strebt, so streben die Teilsummen (2)

90

8. Kapitel. Potenzreihen. 1 — 2

1—2

1—Z

1— Z

Im Innern des Einheitskreises stellt also die geometrische Reihe die lineare Funktion —^— dar: 1—s 2. Die Potenzreihe

»!=•

1

*

ò n „_i » ist, wie man ebenso leicht feststellt, für alle z der offenen Kreisscheibe I 3 — 11 < 1 absolut konvergent. Für die a miti z — 11 > 1 ist sie divergent. Die Frage der Konvergenz in den Randpunkten | z — 11 = 1 lassen wir offen. 3. Die Potenzreihe

w

1 +>+

g + ... + 5 + . . . - i 5

ist, wie das Quotientenkriterium sofort lehrt, für alle z absolut konvergent; man nennt sie darum beständig konvergent. Näheres über diese Reihe im 12. Kapitel. 4. Die Potenzreihe ¿ n n f kann für kein 2 + 0 konvergieren da die Glieder der Reihe für ein z 4= 0 keine Nullfolge bilden. Eine solche Potenzreihe heißt nirgends konvergent. Duich diese Beispiele ist schon das typische Verhalten beliebiger Potenzreihen aufgedeckt. Wir beweisen darüber den Hauptsatz. Ist JSaJz — z0)n eine Potenzreihe, die weder beständig, noch nirgends konvergent ist, so gibt es eine bestimmte positive Zahl r derart, daß die Reihe in allen Punkten der offenen Kreisseheibe | z — z0\ r jedoch divergiert. In den Randpunkten |z — ZQ| = r kann sie konvergieren oder auch divergieren1). Den Kreis | e — < r nennt man daher kurz den Konvergenzkreis, seinen Radius den Konvergenzradins der i] Diese P u n k t e werden meist, diejenigen mit J z — z 0 | > r stets außer acht gelassen.

§ 29. Der Konvergenzkreis.

91

Reihe. Ist sie beständig konvergent, so setzt man r = + oo, ist sie nirgends konvergent, r = 0. Wir erbringen den Beweis, indem wir zugleich zeigen: Znsatz. Der Konvergemradius der Potenzreihe 2 an(z—z0)n hat den Wert (5)

r

Oder genauer:

=

I l t l -

lim|/K| n Wird lim /|o»| = fi gesetzt, so ist r = —, j"

=+oo

je nachdem 0 < fj, < . + oo, jx —- 0

oder

=0,

oder

=+oo

ist. — Für jedes feste z=)= z„ ist nämlich n

Hm ¡/\an (z-z0)»\ = Ist also 0
t(z— z 1 ) i , wofern £>* die in (4) angegebene Bedeutung hat. Der angeführte Satz aus § 28

§ 36. Durch Potenzreihen dargestellte Funktionen.

105

würde also unmittelbar die behauptete Gleichung (6)

/(z) =

¿ b ^ z - z . f

beweisen, falls die Voraussetzungen zur Anwendung jenes Satzes erfüllt sind. Das ist aber der Fall. Denn ersetzt man in dem erhaltenen Schema alle Elemente durch ihre Beträge, so ist die n-te Zeilensumme = | an | [| zt | + | z — \ ]". Die Summe über diese Zeilensummen, also die Reihe i n K I [ K I + |z-2il]B n«-0 ist aber noch konvergent, wenn nur | zx \ + | z — z1 \ < r oder | z — z1 | < r — | zl | ist. Damit ist aJles bewiesen, einschließlich des Zusatzes, daß die Entwicklung (6) einen Radius f j r — \zx\ hat. Satz 4. Die durch (2) dargestellte Funktion ist an jeder (inneren) Stelle z1 ihres Konvergenzkreises stetig. B e w e i s . In einer Umgebung von z i wird /(z) auch durch die Reihe (6), also wieder durch eine Potenzreihe dargestellt. Da diese nach Satz 1 eine in ihrem Mittelpunkt zx stetige Funktion darstellt, so ist /(z) in z l stetig. Satz 5. Die durch (2) dargestellte Funktion ist an jeder Stelle z1 ihres Konvergenzkreises differenzierbar, und die dortige Ableitung kann durch gliedweise Differentiation gewonnen werden, d. h. es ist (7) / ' ( a ) = i n a n z n r l = 1 (» + I K + ^ i n=l

n=0

B e w e i s . Nach (6) ist z — z1 Hieraus folgt, da die rechts stehende Potenzreihe eine in zx stetige Funktion darstellt, unmittelbar die Behauptung: /'(z,)= l ( n + l)aB+iz?.

106 10. Kapitel. Analytische Funktionen und konforme Abbildung. Satz 6. Die durch (2) dargestellte Funktion ist an jeder Stelle zx ihres Konvergenzkreises beliebig oft differenzierbar wnd es ist für k = 1, 2, 3 , . . . /»>(«,) = k\bk = i (n + 1) (« + 2) • • • (n + *) n—O oder, übersichtlicher geschrieben, (8)

l / ^ b ^ l ^ i ^ a ^ .

Beweis. Für jedes | z | < r ist nach Satz 5 /'(*) =

l(n+l)an+1z". 71=0 Die Ableitung /' (z) wird also wieder durch eine Potenzreihe mit demselben Radius dargestellt. Nach demselben Satz 5 ist also /" (z) = i ; ( n + 1) (» + 2) an+2z",

usw.

Setzt man schließlich die in (8) erhaltenen Werte für in die Reihe (6) ein, so erhält man die sogen. Taylorsche Reihe, d. h. den Satz 7. Die durch (2) dargestellte Funktion läßt sich für eine Umgebung jedes (inneren) Punktes zl ihres Konvergenzkreises durch die Potenzreihe

darstellen. — Die bedeutsamsten Beispiele zu diesen Sätzen bringt der V. Abschnitt.

10. Kapitel. Analytische Funktionen und konforme Abbildung. § 36. Analytische Funktionen. Während die vorangehenden Dinge eine genaue Übertragung der entsprechenden Betrachtungen im Reellen dar-

§ 36. Analytische Funktionen.

107

stellen, tritt nach Einführung der Differenzierbarkeit ein tiefgehender Unterschied zwischen den Funktionen reellen und denen komplexen Argumentes auf: Während bei Funktionen f(x) einer reellen Veränderlichen aus der Tatsache, daß sie differenzierbar ist, gar nichts über die etwaigen höheren Ableitungen zu folgen braucht — die erste Ableitung /' (a;) braucht bekanntlich nicht wiederum differenzierbar, ja nicht einmal stetig zu sein —, zeigt sich bei Funktionen /(z) einer komplexen Veränderlichen, daß aus der Existenz einer ersten Ableitung ganz von selbst die E x i s t e n z aller h ö h e r e n Abl e i t u n g e n folgt. Genauer formuliert, gilt der Satz. Wenn eine Funktion f(z) in einem Gebiete erklärt ist und wenn sie dort eine Ableitung /' (z) hat, so besitzt sie dort auch alle höheren Ableitungen f" (z), / " ' ( z ) , . . . . (Unter einem G e b i e t e versteht man dabei eine offene und z u s a m m e n h ä n g e n d e Punktmenge, d.h. eine offene Punktmenge, bei der man je zwei ihrer Punkte durch einen Streckenzug verbinden kann, der ganz in der Punktmenge verläuft.) Diesen Satz können wir hier nicht beweisen. Er liegt ziemlich tief und kann erst bei weiterem Ausbau der Funktionentheorie mit Hilfe ihrer Integralrechnung bewiesen werden '). Er läßt es aber verständlich erscheinen, daß man die in Gebieten differenzierbaren Funktionen mit einem besonderen Namen belegt hat: Erklärung. Eine in einem Gebiete diflerenzierbare Funktion f(z) wird eine dort reguläre analytische (oder auch nur: reguläre, oder nur: analytische) Funktion genannt. Das betreffende Gebiet ¡wißt ein Regularitätsgebiet der Funktion. Von jedem einzelnen Punkte desselben sagt man, daß die Funktion in ihm regulär sei. Die rationalen Funktionen sind in der ganzen Ebene, von der die Nullstellen ihres Nenners ausgeschlossen sind, regulär. ') Vgl. F k t t h . I , § 19.

1 0 8 10. Kapitel. Analytisch« Funktionen und konforme Abbildung Jede Potenzreihe stellt im Innern ihres Konvergenzkreises eine analytische Funktion dar; dieser ist ein Regularitätagebiet für die dargestellte Funktion.

§ 37. Konforme Abbildung. Den Verlauf einer reellen Funktion y — f{x) einer reellen Veränderlichen kann man sich in bekannter Weise durch ihr geometrisches Bild in einer zy-Ebene veranschaulichen. Bei einer Funktion komplexen Argumentes w= f(z) ist etwas Entsprechendes nicht ohne weiteres möglich, da z und w je zwei Koordinaten haben. Man behilft sich dadurch, daß man z w e i Ebenen, eine z-Ebene und eine w-Ebcne, benutzt. In der ersten markiert man den Punkt z, in der zweiten den ihm durch die Funktion zugeordneten Punkt w = f ( z f ) . Dadurch wird jedem Punkt des Definitionsbereiches 9JI von f(z) ein Bildpunkt ir zugeordnet, kurz: D e r B e r e i c h ä)i w i r d in d i e w - E b e n e a b g e b i l d e t . Für die linearen Funktionen ist uns diese Abbildung schon vertraut (s. II. Abschnitt). Wir wollen jetzt für beliebige Funktionen w = f(z) feststellen, was den Eigenschaften der Stetigkeit und der Diöerenzierbarkeit bei der Abbildung entspricht. Die S t e t i g k e i t einer Funktion w = / (2) an einer Stelle £ ist sehr leicht geometrisch zu deuten. Die zweite Form der in § 33 gegebenen Erklärung besagt offenbar dies: Wenn man um den Bildpunkt c 0 = / ( £ ) des Punktes £ einen (beliebig kleinen) Kreis mit dem Radius e > 0 beschreibt, so kann stets ein so kleiner Kreis (sein Radius heiße ó) um den Punkt £ beschrieben werden, daß die Bilder a l l e r P u n k t e dieses Kreises um £ in dem gewählten Kreise um a> liegen. Das Bild iß liegt also in v o r g e s c h r i e b e n e r Nähe v o n « , wenn nur der Originalpunkt z in h i n r e i c h e n d e r Nähe von £ liegt. In ') Oder: Man. denkt Bich im Punkte z der z-Ebene den Funktionswert uj — /(z) „angeheftet", den Punkt 2 zum „ T r ä g e r " des Funktionswerte«w gemacht, das Deflnltionagebiet mit Funktionswerten ,, he legt"

§37. Konforme Abbildung.

109

diesem Sinne (aber auch nur in diesem) darf man kurz sagen: Benachbarte Punkte der z-Ebene werden auf benachbarte Punkte der «¡-Ebene abgebildet; oder: Einer kleinen Bewegung von z entspricht auch eine kleine Bewegung des Bildes w. Hieraus folgt insbesondere: Ist /(z) an jeder Stelle eines Gebietes stetig, so hat jede in ihm gelegene stetige Kurve als Bild wiederum eine stetige Kurve 1 ). Etwas weniger einfach, aber von grundlegender Wichtigkeit ist die geometrische Deutung der Differenzierbarkeit. Wir erhalten sie auf folgende Weise: w= f(z) sei in einem Kreisgebiet ® mit dem Mittelpunkt £ erklärt und in £ differenzierbar. Die Ableitung /'(£) sei von 0 verschieden. Wir wollen weiter voraussetzen, daß zwei verschiedene Punkte z aus $ auch zwei verschiedene Bildpunkte w liefern 2 ), und wollen die weiteren Betrachtungen auf ® beschränken. Es sei nun 1 ein beliebiges von £ ausgehendes (orientiertes) Kurvenstück, das in £ eine (Halb-) Tangente t besitzt. Dann zeigen wir zunächst: Die Büdkwrve V hat im Büdpunkte &>=/(£) auch eine Tangente t', und diese erscheint gegen t um den Winkel arc f (£) im positivem Sinne gedreht. Beweis. Wir wählen auf f eine Punktfolge (wn) mit w„ — co, deren Glieder aber alle 4= o> sind (Fig. 20). Ist dann zn das Urbild zu w n , so liegt die Folge (?n) auf f, es strebt zn — aber ihre Glieder sind alle =j= £. Dar her strebt (s. § 34,3) Flg. 20. ') In besonderen Fällen kann diese degenerieren; E. B. wenn /(z) Identisch konstant ist. ') Bei dem weiteren Ausbau der Funktlonentbeorie wird gezeigt, dafi dies unter der Voraussetzung f ( t ) + 0 ganz von selbst der Fall ist, wenn der Radius von ft nicht zu groB ist. (Vgl. Fktth. I, $ 34.)

110 10. Kapitel. Analytische Funktionen und konforme Abbildung. (1)

¿n b und insbesondere (bei geeigneter Bestimmung der auftretenden Winkel) (2) arc («>„ — co) — arc (zn — arc /'(£). Die beiden Winkel linker Hand sind die ersten Richtungswinkel der Sekante von (o nach wn bzw. von £ nach zn. Weil nunf in £ eine Tangente haben soll, so strebt arc (zn — £) gegen den ersten Richtungswinkel dieser Tangente t, wenn n-+ oo rückt. Nennen wir ihn r und setzen arc /' (£) = „— co)->r + «. Das besagt aber gerade, daß auch !' eine Tangente hat und daß ihr erster Richtungswinkel = r + 0 noch die positiv-imaginäre Achse und zu der aufgeschnittenen u>-Ebene noch den „oberen" Rand hinzunimmt, die sich offenbar wiederum vermöge (2) umkehrbar eindeutig entsprechen. Die Winkeltreue ist aber im Nullpunkt gestört, da nach (3) die Winkel am Nullpunkt bei der Abbildung verdoppelt werden. Ganz ebenso erkennt man, daß auch die l i n k e Halbebene 9 t ( z ) < 0 , zu der die negativ-imaginäre Achse hinzugenommen sei (für deren Punkte also + ^ < 92 rg ^ u

ist), gleichfalls durch

u

(2) umkehrbar eindeutig auf die in genau derselben Weise wie eben aufgeschnittene und berandete «»-Ebene abgebildet wird und daß die Abbildung außer im Nullpunkt konform ist 1 ). Die v o l l e ZiEbene wird also in nun leicht zu übersehender Weise auf die doppelt bedeckte w-Ebene abgebildet, d . h . jedem z entspricht genau ein w, aber jedes w wird für genau zwei (entgegengesetzt gleiche) Werte von z erhalten, — mit Ausnahme des Wertes to = 0, der nur für 2 = 0 angenommen wird. Um diese doppelte Belegung der w-Ebene anschaulicher zu übersehen, denkt man sich zweckmäßig die beiden vorher erhaltenen aufgeschnittenen Exemplare der w-Ebene a u f e i n a n d e r gelegt. Heftet man dann die beiden Nullpunkte zusammen und fügt die Blätter „über Kreuz", d. h. den oberen Rand jedes Blattes mit dem unteren Rand des anderen zusammenfügend, aneinander*), so erhält man ein eigentümliches Gebilde, das man als die Rlemannsche F l i e h e der Funktion w = za bezeichnet. Auf ihr ist jeder von 0 verschiedene Punkt z w e i m a l (an aufeinanderliegenden Stellen), deT Nullpunkt aber nur genau e i n m a l vorhanden. Auf diese Riemannsche Fläche wird nun durch unsere Funktion w = 2S die (schlichte) z-Ebene umkehrbar-eindeutig und, von dem W i n d u n g s p u n k t e oder V e r z w e i g u n g s p u n k t e in 0 abgesehen, auch konform abgebildet. — Auf eine eingehendere Behandlung solcher Riemannscher Flächen kann hier aber nicht eingegangen werden. Näheres s. F k t t h . I unä II. l ) Wegen (—z) 2 z2 folgt dies natürlich auch unmittelbar ans dem zuvor Bewiesenen. a ) Das laßt sich nur In Gedanken ausführen, da bei einem materiellen Modell die Durchdringung der beiden Blätter nur unvollkommen realisierbar ist.

114 11. Kapitel. Potenz und Wurzel. Die rationalen Funktionen. Auch bei Benutzung kartesischer Koordinaten erhält man einen guten Einblick in die durch (2) vermittelte Abbildung. Setzt man z = x + iy, w — u + iv, so ist nach (2) (4) w = xz—y2, v=2xy. Hieraus ist zu entnehmen, daß die auf den Hyperbeln x2 — y2 = const gelegenen Punkte z in die auf den Geraden u = const-gelegenen übergehen. Ebönso gehen die Hyperbeln xy = const in die Geraden v = const über. Wegen der Winkeltreue der Abbildung schneidet jede Hyperbel der einen Schar eine jede der anderen Schar unter einem rechten Winkel. Ebenso leicht erkennt man aus (4), daß die Geraden x = const bzw. y = const der z-Ebene bei der Abbildung in zwei konfokale Parabelscharen mit dem Brennpunkt in 0 übergehen, die wiederum zueinander orthogonal sind. Die Abbildung durch die Funktion (1) mit A; > 2 ist bei Benutzung von Polarkoordinaten genau so leicht zu studieren wie im Falle k = 2. An die Stelle der Halbebene hat man nur einen Winkelraum von der Öffnung 2—j i und dem ScheitelK punkt in 0 zu setzen, und aus der doppelten Belegung der w-Ebene wird eine fc-fache. Auch bei Benutzung kartesischer Koordinaten entstehen keine grundsätzlichen Schwierigkeiten. Nur sind die den Hyperbeln und Parabeln entsprechenden Kurven für k > 2 nicht mehr so einfach; es sind algebraische Kurven fc-ter Ordnung. Da die Abbildung zwischen der schlichten 2-Ebene und der fe-fach überdeckten w-Ebene eine (vom Nullpunkt abgesehen) umkehrbar eindeutige ist, so können bei der ganzen Betrachtung ohne weiteres z und w vertauscht, d. h. w als der gegebene und z als der zugeordnete Wert betrachtet werden. Wir erhalten dann sofort: Bei gegebenem w =)= 0 gibt es genau k verschiedene Werte z, für die z* = w ist. Diese liegen sämtlich auf demselben Kreise

§39. Die ganzen rationalen Funktionen.

115

um den Nuttpunkt der z-Ebene und bilden dort die Ecken eines regelmäßigen k-Ecks. Jeden dieser Werte nennt man eine A-te Wurzel aus W, in lc Zeichen: « = y~w. Dieses Zeichen ist also — i m Gegensatz zu den im Reellen üblichen Festsetzungen — ein seinem Wesen nach m e h r d e u t i g e s , nämlich fc-deutiges S y m b o l . Unabhängig vom vorigen erkennt man dies so: Ist w = a (cos y> + i sin y>), z = g (COS

« e*'Bte z >+*>. Denn da die Reihe (1) für jedes z absolut konvergiert, so darf man die Reihen für e*> und e*> nach der Cauchyschen Regel multiplizieren (s. § 28). Das n-te Glied der Produktreihe wird dann gn-1 g ¿> ¿n zn en-y = _L J i 1J -I L_— . J j L _£ w! (n — 1)! 1! ^ (n — v)! v! ^ ^ n\ 1 1 q + f W+• •• + r ta-^+• •• + n\

=

(h

+ h)n

n! * Daher ist in der Tat n - 0 m! »=0 n! n-0 w! ' was die Behauptung (3) beweist. 2. Die Formel (3) setzt uns jetzt instand, die Werte von e* bei gegebenem z wirklich zu berechnen. Ist nämlich z = x + iy, so ist nach (3) e 2 = e*+»'y= ex • ew. Nach (2) ist naber auf Grund von § 28, II, 1 und 2a weiter 00 a „ \ CD , „2* CO . „2Jfc+l ; n=o w! i-o 1 (2A;)! t-o (2fc + l ) ! Hier stehen aber rechter Hand zwei reellePotenzreihen, deren Summen, wie aus der reellen Analysis bekannt ist, cos y bzw. sin y sind. Da man diese Werte sowie e 1 bei gegebenem x und y aus den üblichen logarithmisch-trigonometrischen Tafeln ablesen und also als bekannt ansehen kann, so ist durch die Formel

120

12. Kapitel. Die Exponentialfunktion.

(4) e « = « « + i » = ex{posy + i sinj») die numerische Berechnung von f in einlacher Weise ermöglicht. 3. Aus (4) lesen wir noch ab, daß (5) | e * | = e « « und arc (e*) = 3 ( s ) ist, und weiter, daß-man den Richtungsfaktor (s. § 11) einer komplexen Zahl nun in der einfacheren Form (6) cos q> + > sin = 1 sein muß. Ist aber

§ 41. Die Exponentialfunktion.

121

so folgt nach (4) bzw. (5), daß ex=l und zugleich cos y — 1, sin y = 0 sein muß. Das ist aber nur für x— 0, y — 2kn der Fall. Also ist notwendig (9') z2 — zx—2kni. Jeden Wert w, den die Exponentialfunktion w = e2 überhaupt annimmt, nimmt sie also schon in einem Parallelstreifen an, dessen Ränder durch die Translation 2ni auseinander hervorgehen. Man wählt gewöhnlich den Streifen (10) — TT < 3(2) gl +71 als einen solchen Fundamentalbereich der Funktion e2; der obere Rand wird hinzugerechnet, der .untere nicht. 6. In dem Fundamentalstreifen (10) nimmt die Exponentialfunktion jeden von 0 verschiedenen Wert w genau einmal an. Der Wert 0 aber wird nirgends angenommen. Das letztere ist nach (3) fast selbstverständlich; denn danach ist e? -e~z= e ° = 1. Also kann (nach § 8, Satz) ez nicht gleich 0 sein. Ist nun w =)= 0 und wird wie früher | w | = a, arc w — y> gesetzt, so sieht man nach (4) sofort, daß für (11) t = logff+ i(tp + 2kn), (k 1 0 , ganz), offenbar e* = w ist. Von den Werten (11) liegt aber genau einer in dem Fundamentalstreifen (10). Für einen anderen Wert z' dieses Streifens kann aber wegen der unter 5. gemachten Feststellung e?' nicht auch = w sein. 7. Da durch gliedweise Differentiation der Reihe (1) wiederum diese Reihe (1) hervorgeht, so ist für jedes z Insbesondere ist die Ableitung also überall von 0 verschieden, und folglich wird die ganze z-Ebene durch die Funktion w = e1 ausnahmslos konform abgebildet. 8. Diese Abbildung ist auch im einzelnen leicht zu über-

122

12. Kapitel. Die Exponentialfunktion.

sehen: Wir denken uns- in dem Fundamentalstreifen (10) der Fig. 22 die Parallelgeraden zu den Rändern gezogen und von links nach rechts orientiert; ebenso denken wir uns die dazu senkrechten Strecken von Rand zu Rand gezogen und von unten nach oben orientiert. Fig. 22. Durchläuft z eine der erstgenannten Geraden von links nach rechts, so heißt dies, daß wir in z = x + iy den imaginären Teil y fest wählen und x alle reellen Zahlen wachsend durchlaufen lassen. Nach (5) hat dann der Bildpunkt w den festen Arcus y, liegt also auf dem Halbstrahl aus 0, der diesem Arcus entspricht, während sein Betrag e? die Werte von 0 nach + oo wachsend durchläuft. Der Bildpunkt durchläuft also den genannten Halbstrahl von 0 (ausschl.) nach oo (ausschl.); Strahl und Halbstrahl entsprechen sich umkehrbar-eindeutig. Durchläuft z eine der zu zweit genannten Strecken von unten nach oben, so heißt dies, daß wir x fest lassen und daß y die Werte von —7i (ausschl.) bis + n (einschl.) durchläuft. Nach (5) hat dann w den festen Betrag e®, läuft also auf dem Kreise mit dem Radius e® um den Nullpunkt der wi-Ebene, und zwar genau einmal im positiven Sinne herum, bei der negativreellen Achse (ausschl.) beginnend bis zu dieser (einschl.) zurück. Es wird also insbesondere das Innere des Fundamentalstreifens umkehrbar-eindeutig und ausnahmslos konform auf das Innere der längs der negativ-reellen Achse aufgeschnittenen tc-Ebene abgebildet. 9. Von besonderem Interesse für mannigfache Untersuchungen (s. § 43) ist noch die Aufgabe, die Funktion z 1 (12)

§ 41. Die Exponentialfunktion.

123

in eine Potenzreihe mit dem Mittelpunkt 0 zu entwickeln. Nach § 30 ist dies jedenfalls für eine gewisse Umgebung des Nullpunkts möglich. Die Koeffizienten der gewonnenen Entwicklung bezeichnen B wir aus historischen Gründen mit —r, setzen also n1 = 1 + 2 ^ + 3?*» + . , . 1 21 £ + Ü - + . . . 2 1 3 ! Statt nun die Koeffizienten nach der allgemeinen Methode des § 3ü zu berechnen, geht man hier und in allen analogen Fällen so vor: Nach (13) ist (13)

1 +

(1 + |j

+ ~ + • • • ) (1 + Bxz + | j

+ • • •) =

1,

d. h. durch Ausmultiplikation der beiden links stehenden Potenzreihen muß sich eine Potenzreihe ergeben, deren konstantes Glied = 1 ist, deren übrige Koeffizienten sämtlich = 0 sind. Das liefert die unendlich vielen Gleichungen 1 Bn 1 ! w!

1 Bn-l 1 B. 1 2 ! (n — 1 ) 1 ' w! 1 ! (« + i ) l ' (» = 1, 2 , . . . ) . Nach Multiplikation mit (n + 1 ) I erscheinen hier links die Binomialkoeffizienten der (n 4- l)-ten Potenz. Die Gleichungen lauten also ' 2 Ö! + 1 = 0 3 Ba + 3 ^ + 1 = 0 (14) 4B3+ 6 B2 + 4 Bi + 1 = 0 5 B, + 10 B3 + 10 B a + 5 Bt + 1 = 0 aus denen sich der Reihe nach ß, = — ß a = ~h B3 = 0, B t = — -fa, Bt = 0, Bt = ... ergibt. Diese Zahlen werden die BernoulUschen Zahlen genannt. Sie sind, wie die Rechnung zeigt, sämtlich r a t i o n a l e Zahlen. Sie dürfen, da die Rechnung keinerlei grundsätzliche Schwierigkeiten macht, als „ b e k a n n t " angesehen werden. Außer Bt haben alle Bn mit ungeradem Index n den Wert 0. Es folgt dies (unter Anwendung des Satzes 2 in § 36) daraus, daß, wie man leicht nachprüft, e> — 1 ^ 2 eine g e r a d e Funktion von z ist, d . h . für — z denselben Wert hat wie für z.

124

12. Kapitel. Die Exponentialfunktion.

§ 42. Die F u n k t i o n e n cos z u n d sin z. Ganz entsprechende Erwägungen wie die zu Beginn des vorigen Paragraphen angestellten führen zwangsläufig dazu, die trigonometrischen Funktionen cos x und sin x für komplexe Argumente durch die Festsetzungen (!)

z* z* cos* = l - - + -

und

zu d e f i n i e r e n . Da die beiden Reihen wie die Exponentialreihe beständig konvergieren, bo sind hierdurch auch cos z und sinz als g a n z e F u n k t i o n e n erklärt, cose ist eine g e r a d e , sin z eine u n g e r a d e Funktion, d. h. es ist für jedes z (3) cos (— z) = cos 2, sin ( — z ) = — s i n z . Der schon in § 41,3 für reelle Argumente benutzte Zusammen-, hang zwischen unseren drei Reihen besteht nun offenbar auch für komplexe Argumente, d. h. für jedes komplexe z gelten die sog. Eulerschen Formeln (4) (5) cos *

e** = cos z + i sin QÍZ 0—i* , sin z

z, eiz — e~u 2Ï

Zu i h r e m Beweise b r a u c h t m a n n u r f ü r die a u f t r e t e n d e n Kunkt i n n s w e r t e die sie d e f i n i e r e n d e n P u t e n z r e i h e n e i n z u s e t z e n , wo-

durch sich nach § 28, II, 1 auf beiden Seiten jeder der Gleichungen die gleiche Reihensumme ergibt. Wegen dieses überaus einfachen Zusanmienha iiiieszw'ischen cos z u nd sin z auf der einen und e* auf der anderen Seite bieten die Untersuchungen von cos z und sin z keine neuen Schwierigkeiten. Alles ergibt sich sehr einfach aus den in § 41 festgestellten Tatsachen.

§ 42. Die Punktionen cos z und sin z.

125

1. Die aus dem Reellen her bekannten Additionstheoreme für die Funktionen cos und,, sin gelten auch im Komplexen, d. h. für beliebige komplexe Zahlen % und z2 ist stets cos («1 + z%) — cos «1 cos « j — sin zt sin z%, sin («1 + z%) — cos «1 sin «g + sin «1 cos z%. Denn nach (5) und § 41 (3) ist gizigiz, g—¿Zig —ii, , COS (Zj + Z2) = woraus sich unter Benutzung von (4) sofort die erste der Formeln (6) ergibt. Ganz entsprechend beweist man die zweite. 2. Auch die aus dem Reellen her bekannten Periodizitätseigenschaften bleiben im Komplexen erhalten. Beide Funktionen haben die (reelle) Periode 2n, d. h. es ist für jedes z cos (z + 2n) = cos z, sin (z + = sin z. Zum Beweise hat man nur bei den links stehenden Ausdrücken die eben bewiesenen Additionstheoreme anzuwenden und zu beachten, daß cos 27t = 1, sin 27t — 0 ist. 3^ Da die in 1. und 2. festgestellten Tatsachen formal die gleichen sind wie im Reellen, so bleiben auch alle Folgerungen bestehen, die rein formal aus diesen Tatsachen gezogen werden können. Das i s t a b e r der g e s a m t e F o r m e l a p p a r a t der sog. Goniometrie. Es gelten also z. B. die Formeln cos2 z + sin2 2 = 1 , cos 2 z— cos2 z — sin2 z, sin 2 z = 2 cos z sin z, COS Zj 1+ cos z2 —n2 cos

— cos — - — , u

usw.

u

ungeändert für beliebige komplexe Argumente z, zv z2. Es erübrigt sich, alle diese Formeln im einzelnen hinzuschreiben. 4. Auch die B e r e c h n u n g der Funktionswerte cosz und sin z macht keine Schwierigkeiten. Denn für z = x + iy ist unter Benutzung von (5) und (4)

126

12. Kapitel. Die Exponentialfunktion.

cos (x + iy) = i ( e " - " + fi-**-1-1') (7) und

— cos a;

ev

e-v

u

ey

i sin x

_

c-v u

,

entsprechend

sin (x + ty) — sin x e» + e~* 1-1 cos x e* — e-v . u 2t 5. Die aus dem Reellen her bekannten Nullstellen von cos z und sin z sind auch im Komplexen die einzigen. Soll nämlich c o s z = 0 sein, so muß nach (5) eu = — e - " oder e 2 f e = — 1 = «"* sein. Nach § 41 (9) ist also notwendig 2iz = ni+2kni, d.h. (8)

«=(2fc + l ) J . Und soll sin z = 0 sein, so folgt analog, daß z—kn

sein muß,

(fc 1 0 , ganz). 6. Es ist genau dann cos z% = cos zv wenn z, = i zx + 2hn ist, — also unter denselben Bedingungen wie im Beeilen. n . Z, + Zo . z, — z, , Wegen cos z 2 — cos zx = 2 sin • sin * kann namu u lieh diese Differenz nur dann gleich 0 sein, wenn (s. ö.) Z. 4 - Z.,Z, •--"• oder -'" ein ganzzahliges Vielfaches von n ist. Entsprechend

ergibt

sich,

daß

dann

und

nur

xin zz = sin z} ist, wenn 2a = z1 + 2 kn oder zi — n — z1 + 2kn ist, — also wieder wie im Beeilen. 7. Die Funktionen cos z und sin z nehmen in einem odenstreifen, etwa in dem Streifen (9)

dann

Peri-

—n