Elemente der Funktionentheorie [9. Aufl. Reprint 2019] 9783110838930, 9783110077797

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Elemente der Funktionentheorie von

Konrad Knopp

Neunte Auflage

Mit 23 Figuren

w DE

G 1978

Walter de Gruyter • Berlin • New York

SAMMLUNG GÖSCHEN 2124

Dr. Konrad Knopp f ehem. o. Professor der Mathematik an der Universität Tübingen

CIP-Kurztitelaufnahme

der Deutschen

Bibliothek

Knopp, Konrad

Elemente der Funktionentheorie. — 9. Aufl. — Berlin, New York: de Gruyter, 1978. (Sammlung Göschen; Bd. 2124) ISBN 3-11-007779-5 © Copyright 1978 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung, J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung, Georg Reimer, Karl J . Trübner, Veit & Comp., 1000 Berlin 30 — Alle Rechte, insbesondere das Recht der Vervielfältigung und Verbreitung sowie der Übersetzung, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form (durch Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Verlages reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden — Printed in Germany — Reproduktion und Druck: Mercedes-Druck GmbH, 1 Berlin 61 — Bindearbeiten: Lüderitz & Bauer, Buchgewerbe-GmbH, 1 Berlin 61

Inhaltsverzeichnis. Erster Abschnitt.

Die

komplexen

1. Kapitel. 8 § i

Zahlen und ihre Darstellung.

geometrische Seite

Grundlagen. 1. 2. 3.

Einleitung DSB System der reellen Zahlen Punkte und Vektoren der Ebene

6 8 13

2. Kapitel. Das S y s t e m der k o m p l e x e n Zahlen die Gaußsche Zahlenebene.

und

§ § § § S § §

4. Geschichtliches 19 5. Einführung der komplexen Zahlen. Bezeichnungen 21 6. Gleichheit und Ungleichheit 26 7. Addition und Subtraktion 26 8. Multiplikation und Division 28 9. Abgeleitete Regeln. Potenzen 31 10. Das System der komplexen Zahlen als Erweiterung des Systems der reellen Zahlen 32 $ 1 1 . Trigonometrische Darstellung der komplexen Zahlen 34 5 12. Geometrische Darstellung von Multiplikation und Division 37 39 $ 13. Ungleichungen und Beträge.- Beispiele

3. Kapitel. § 14. § 15.

Die R i e m a n n s c h e Zahlenkugel. Die stereographische Projektion Die Riemannsche Zahlenkugel. Der Punkt OB. Beispiele

41 43

Zweiter Abschnitt.

Lineare Funktionen und Kreisverwandtschaft. 4. Kapitel.

Abbildung durch lineare

Funktionen.

§ 16.

Abbildung durch ganze lineare Funktionen

§ 17.

Abbildung durch die Funktion m> = y

51

§18.

Abbildung durch beliebige lineare Funktionen

67

5. Kapitel. N o r m a l f o r m e n u n d b e s o n d e r e Abbildungen. $ J § S

48

lineare

19. Die Gruppeneigenschaft der linearen Abbildungen 20. Fixpunkte und Normalformen 21. Besondere lineare Abbildungen. Doppelverh<nisse 22. Weitere Beispiele 1*

69 61 65 68

4

Inhaltsverzeichnis. Dritter Abschnitt.

Mengen und Folgen. 6. Kapitel.

Potenzreihen.

P u n k t - und Z a h l e n m e n g e n .

Seite

§ 23. Punktmengen { 24. Reelle Zahlenmengen § 25. Der Bolzano-Weierstraßsche Satz

7. Kapitel. § 26. § 27. 5 28.

Kapitel. § 29. § 30.

Zahlenfolgen.

71 73 76

Unendliche

Reihen.

Zahlenfolgen mit komplexen Gliedern Zahlenfolgen mit reellen Gliedern Unendliche Seihen

77 81 88

Potenzreihen. Der Konvergenzkreis Das Rechnen mit Potenzreihen

8g 02

Vierter Abschnitt.

Analytische Funktionen und konforme Abbildung. 9. Kapitel. Funktionen lichen. § § 5 | §

31. 32. 33. 34. 35.

einer

komplexen

Veränder-

Begriff der Funktion einer komplexen Veränderlichen... 95 Grenzwerte von Funktionen 96 Stetigkeit... 99 Differenzierbarkeit 100 Eigenschaften der durch Potenzreihen dargestellten Funktionen 102

10. Kapitel. A n a l y t i s c h e Abbildung.

Funktionen

und

konforme

{ 36. Analytische Funktionen $ 37. Konforme Abbildung

106 108

Fünfter Abschnitt.

Die elementaren Funktionen. 11. Kapitel. P o t e n z und W u r z e l . D i e r a t i o n a l e n F u n k tionen. § 38. Ü 39. § 40.

Potenz und Wurzel Die ganzen rationalen Funktionen Die gebrochenen rationalen Funktionen

111 115 116

12. Kapitel. D i e E x p o n e n t i a l f u n k t i o n , die t r i g o n o m e t r i s c h e n und die h y p e r b o l i s c h e n F u n k t i o n e n . { | $ §

41. Die Exponentialfunktion 42. Die Funktionen cosz und Sinz 43. Die Funktionen t g z und ctgz 44. Die hyperbolischen Funktionen

118 124 128 131

Inhaltsverzeichnis. — Literatur.

5 Seite

13. Kapitel. Der L o g a r i t h m u s , die z y k l o m e t r i s c h e n F u n k t i o n e n und die B i n o m i a l r e i h e . | 46. Der Logarithmus i M. Die zyklometrlaehen Funktionen ( 47. Die Binomialreihe und die allgemeine Potenx

Register

132 ISA 138

U2

Literatur. b e h n k e , H., u n d F. S o m m e r : Theorie der analytischen F u n k t i o n e n einer k o m p l e x e n Veränderlichen. 2. Aufl. Berlin, Heldelberg u. Göttingen 1962. B i e b e r b a c h , L . : KinfUhrung in die F u n k t i o n c n t h c o r i e . :!. Aufl. S t u t t g a r t 1959. Burkhardt, H . : F u n k t i o n e n t h e o r e t i s c h e Vorlesungen. Neu hrsg. von 0 . F a b e r . Bd. I, 1: Algebraische Analysls; Bd. I, 2: E i n f a h r u n g in die T h e o r i e der a n a l y t i s c h e n F u n k t i o n e n einer k o m p l e x e n V e r ä n d e r l i c h e n . Berlin u. Leipzig 1920/21. t ' a r a t h n u l u r y , ('.: F u n k t i o n e n t h e o r i e , lld. 1, Basel 1950. D i n g h a s , A . : Vorlesungen ü b e r F u n k t i o n e n t h e o r i e . Berlin, Heidelberg u. G ü t t i n g e n 1901. H e f f t e r , L . : B e g r ü n d u n g der F u n k t i o n e n t h e o r i e auf alten u n d neuen Wegen. 2. Aufl., Berlin, Heidelberg u. K ö t t i n g e n 1960. H o r n i c h , H . : L e h r b u c h der F u n k t i o n e n t h e o r i e . Wien 1950. H u r w i t z , A., u n d R. C o u r a n t : Vorlesungen über allgemeine F u n k t i o n e n theorie u n d elliptische F u n k t i o n e n . 3. Aufl., Berlin, Heidelberg u. G ö t t i n g e n 1929. K n e s e r , Ff.: F u n k t i o n e n t h e o r i e . G ö t t i n g e n 1958. K n o p p , K . : Theorie u n d A n w e n d u n g der u n e n d l i c h e n Reihen. 4. Aufl., Berlin, H e i d e l b e r g u. G ö t t i n g e n 1947. M a n g o l d t , II. v., u n d K . K n o p p : E i n f ü h r u n g in die höhere M a t h e m a t i k . Bd. 1, 12. Aufl., S t u t t g a r t 1962; Bd. I I , 11. Aufl., S t u t t g a r t 1962. N i e l s e n , N . : Kiemente der F u n k t i o n e n t h e o r i e , Leipzig 1911. l ' r i n g s h e i m , A., u n d G. F a b e r : Algebraische Analysis. E n z y k l o p ä d i e d . m a t h . W i s s e n s c h a f t e n . Bd. I I , 0, 1 Leipzig 1909.

Erster Abschnitt.

Die komplexen Zahlen und ihre geometrische Darstellung. 1. Kapitel.

Grundlagen.

§ 1. E i n l e i t u n g . Unter dem Namen „ F u n k t i o n e n t h e o r i e " faßt man all die Untersuchungen zusammen, die sich ergeben, wenn man die Fragestellungen und Methoden der reellen Analysis (d. h. der gewöhnlichen Differential- und Integralrechnung und der mit diesen zusammenhängenden Gebiete) auf den Fall zu übertragen versucht, daß man für alle auftretenden Zahlengrößen (Konstante, unabhängige und abhängige Veränderliche) komplexe Zahlen zuläßt, also Zahlen von der Form a -f 6 / — 1. Solche Untersuchungen drängten sich schon früh bei verschiedenen Problemen der reellen Analysis ganz von selbst auf und sind zugleich mit der Überwindung dieser im Laufe der Jahrhunderte erst zaghaft, bald mit immer schönerem Erfolge durchgeführt worden (Näheres s. § 4). Heute bildet die Funktionentheorie eines der ausgedehntesten und wichtigsten Gebiete der höheren Mathematik. In diesen „ E l e m e n t e n der Funktionentheorie" soll nur das Einfachste, aber für den weiteren Ausbau der Theorie Wichtigste x ) behandelt werden. Dazu gehört zunächst eine Einführung in das System der komplexen Zahlen und das Rechnen mit diesen. Dazu gehört ferner die Übertragung ') Dieser Ausbau findet sich dargestellt In den beiden Bändchen des Verfassers: Funktionentheorie, Erster Teil: Grundlagen der allgemeinen Theorie ilrr mmIviisi-hcii b'utiklinm-ii. III. Anflüge llMil. Summluug (löschen Nr. «IM, und Funktionentheorie, Zweiter Teil: Anwendung und Weiterführung der all"i nniinii Theorie, 1(1. Anfinge 1D(>2, Sammlung (löschen Nr. 70^. Diese B&ndchen werden im folgenden kurz als „ F k t t h . I " und „ F k t t h . I I " zitiert.

§ 1. E i n l e i t u n g .

7

des Begriffes der Zahlenmengen, des Grenzbegriffes und der eng damit zusammenhängenden Dinge, insbesondere der Lehre von den unendlichen Reihen, auf den Fall komplexer Größen oder, wie man kurz sagt, „ins Komplexe". Weiter gehört dazu die Übertragung des Begriffes der Funktion und ihrer wichtigsten Eigenschaften auf den Fall, daß unabhängige und abhängige Veränderliche komplex sind. In Verbindung mit dem Grenzbegriff liefert dies die Grundlagen einer Differentialrechnung der Funktionen einer komplexen Veränderlichen. Schließlich gehört dazu ein genaueres Studium der sogenannten elementaren Funktionen, also der rationalen, insbesondere der linearen Funktionen, der Exponentialfunktion, der trigonometrischen und einiger anderer Funktionen sowie von deren Umkehrungen, also des Logarithmus und der zyklometrischen Funktionen. Die Übertragung der Integralrechnung ins Komplexe dagegen rechnet man nicht zu den Elementen der Funktionentheorie. Wie wir sehen werden (s. 2. u. 3. Kap.), läßt sich das Rechnen mit den komplexen Zahlen und lassen sich weiterhin alle eben angedeuteten Untersuchungen noch eindrucksvoller als im „Reellen" in einer Z a h l e n e b e n e oder auf einer Z a h l e n k u g e l veranschaulichen. Dies bildet dann den Inhalt des Teiles unserer Theorie, den man als „ g e o m e t r i s c h e F u n k t i o n e n t h e o r i e " bezeichnet. Aus dem Gesagten geht hervor, daß zum Verständnis dieses Büchleins eine Kenntnis der Grundlagen der reellen Analysis und der Elemente der analytischen Geometrie insofern unentbehrlich ist, als nach dem Vorbild der reellen Analysis die Übertragung ins Komplexe durchgeführt wird und zur Veranschaulichung einfache geometrische Dinge benutzt werden. Um hierfür einen festen Ausgangspunkt zu haben, soll im folgenden § 2 das Wichtigste über das System der reellen Zahlen, das das Fundament für den Aufbau der reellen Analysis bildet, und soll in § 3 das

8

1. Kapitel. Grundlagen.

Grundsätzliche über den Aulbau der analytischen Geometrie gesagt werden. § 2. Das System der reellen Zahlen. Das System der reellen Zahlen setzen wir, was seinen praktischen Gebrauch anlangt, natürlich als bekannt voraus. Wegen ihrer grundsätzlichen Bedeutung sollen aber die wesentlichen Gedanken, die zu seinem Aufbau führen, hier kurz dargelegt werden. Den Ausgangspunkt aller Betrachtungen über Zahlen bildet die Folge der n a t ü r l i c h e n Zahlen 1, 2, 3 , . . . und die beiden „Verknüpfungen" derselben, die als A d d i t i o n und M u l t i p l i k a t i o n bezeichnet werden. Das Bedürfnis, diese beiden „umzukehren", zwingt alsbald zur Einführung der 0 (Null) und der negativen Zahlen und schließlich zu der der gebrochenen Zahlen. Die Gesamtheit der ganzen und gebrochenen, positiven oder negativen Zahlen und der Null nennt man das S y s t e m der (reellen) r a t i o n a l e n Zahlen. Mit diesen Zählen, die jetzt kurz durch einen lateinischen Buchstaben bezeichnet werden sollen, kann man nach bestimmten Regeln rechnen, die man als die Grundgesetze der Arithmetik bezeichnet. Es sind die folgenden, bei denen unter „Zahlen" zunächst nur die eben genannten rationalen Zahlen zu verstehen sind: I. Grundgesetze der Gleichheit und Anordnung. 1. Die Zahlen lüden eine geordnete Menge, d. h. zwischen irgend zweien von ihnen, etwa a und b, besteht stets eine und nur eine der drei Beziehungen ab x). >) Gelesen: a kleiner als b, a gleich b, a größer als b\ a>b andere Schreibweise für b < a. — Die Negationen dieser drei schreibt man so: a ä > (a größer oder gleich b, a mindestens gleich b, a nicht a + 6 (o ungleich b). a S b (a kleiner oder gleich b, a höchstens gleich b, a nicht,

Ist nur eine Beziehungen kleiner als b). größer als b).

§ 2. Das System der reellen Zahlen.

9

Diese Anordnung gehorcht weiter den Gesetzen: 2. Es ist stets a= a. 3. Aus a = b folgt b= a. 4. Aus a = b und b — c folgt a — c. 5. Aus a^b und b < c oder aus a 0 nennt man positiv, alle Zahlen < 0 negativ. Wenn eine Zahl = 0 ist, sagt man auch, sie „verschwindet". II. Grundgesetze der Addition. 1. Je zwei Zahlen a und b kann man addieren; das Zeichen (a -+- b) oder a-$-b bedeutet stets wieder eine bestimmte Zahl, die Summe von a und b. — Diese Summenbildung gehorcht weiter den Gesetzen; 2. Aus o = a' und b — b' folgt a + b= a' + b'. („Gleiches zu Gleichem addiert gibt Gleiches.") 3. Es ist stets a-\-b=b a. (Kommutationsgesetz.) 4. Es ist stets (a + b) + c= a + (b + c). (Assoziationsgesetz.) 5. Aus a) Oder man l&Bt a und b von demselben Punkte ausgehen; c Ist dann die von diesem Punkte ausgehende Diagonale des durch a und 6 bestimmten Parallelogramms (s. Flg. 2 b).

18

1. Kapitel. Grundlagen.

eindeutig auch den ersten Richtungswinkel

insbesondere bei Anwendung auf geometrische Fragen (s. § 3) > als sehr viel leistungsfähiger erwiesen als das System der rationalen Zahlen: Das System der reellen Zahlen konnte umkehrbar eindeutig auf die Punkte oder Vektoren einer Geraden abgebildet werden und das Rechnen mit den reellen Zahlen konnte als ein Rechnen mit den Punkten oder Vektoren der Geraden gedeutet werden. Diese Aüffassung drängt nun förmlich dazu, gegenüber den neuen, in § 4 besprochenen ») C. F. G a u ß , Gätttngische gelehrte Anzeigen vom 23. April 1831. Werke Bd. 2, S. 107—178.

22

2. Kapitel. Das System der komplexen Zahlen.

Unmöglichkeiten den Versuch zu wagen, ein Rechnen mit den Punkten und Vektoren der Ebene (s. § 3) zu erklären und 80 ein System von Elementen zu schaffen, dem die aufgedeckten Unzulänglichkeiten des Systems der reellen Zahlen nicht mehr anhalten. Nach § 3 ist ein solcher Versuch gleichbedeutend mit dem, ein Rechnen mit Zahlenpaaren zu erklären. Das erste geschieht in der Sprache und den Darstellungen der Geometrie, das zweite in denen der Arithmetik. Wir werden im folgenden s t e t s b e i d e s n e b e n e i n a n d e r benutzen, und zwar werden wir die arithmetische Fassung bei allen grundsätzlichen Begriffen und Erklärungen wegen ihrer logischen Reinheit voranstellen, während die geometrische Form durch ihre anschauliche Kraft das Verständnis und den Überblick erleichtern soll. Wir betrachten also die Gesamtheit aller geordneten Paare aus zwei reellen Zahlen: (a,«'), (ß,ß'),...1). Anschaulich gefaßt betrachten wir also die Gesamtheit aller Punkte oder diejenige aller Vektoren einer gemäß § 3 mit einem Koordinatenkreuz versehenen Ebene. Es wird sich zeigen, daß wir mit diesen Dingen bei geeigneten Festsetzungen über die Bedeutung vuu Gleichheit und Ungleichheit, Addition und Multiplikation werden r e c h n e n können, und zwar im wesentlichen genau wie mit den reellen Zahlen. Es wird sich also zeigen, daß diese Dinge als Z a h l e n angesehen werden können (s. § 2, S. 11). Vorbehaltlich dieses Nachweises wollen wir sie schon jetzt Zahlen, und zwar k o m p l e x e Z a h l e n nennen und mit einem kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnen, also etwa («,«')=

a,

(ß,ß')=b,...

setzen und wollen a, b,... zugleich auch als Zeichen für die die Zahlenpaare (a, « ' ) , (ß,ß'),... veranschaulichenden Punkte ' ) Da w k die kleinen lateinischen Buchstaben a , b , . . . uns für die Jetzt zu schaffenden komplexen Zahlen vorbehalten wollen, Bollen in diesem und den folgenden Paragraphen bis § 15 die reellen Zahlen mit kleinen griechischen Buchstaben bezeichnet werden.

§ 5. Einführung der komplexen Zahlen. Bezeichnungen.

23

oder Vektoren der Ebene gebrauchen. Komplexe Zahlen sind also nichts anderes als geordnete Paare reeller Zahlen oder Punkte oder Vektoren der Ebene, für die eine Gleichheit, eine Addition und eine Multiplikation in bestimmter (in den §§6—8 ausgeführter) Weise erklärt sind. Die Ebene, in der wir uns diese Punkte und Vektoren gezeichnet denken, nennt man die E b e n e der komplexen Zahlen, auch die Gaußsche Zahlenebene oder kurz die Zahlenebene. Aus historischen Gründen und wegen der Zusammenhänge, die die folgenden Paragraphen nbeh genauer aufdecken werden, bezeichnet man die erste der beiden (kartesischen) Koordinaten des Punktes a als den reellen Teil, die zweite als den i m a g i n ä r e n Teil der komplexen Zahl a und schreibt dafür (l) «(«) = «, 3(«) = «'. Demgemäß bezeichnet man die erste der beiden Koordinatenachsen als die reelle Achse, die zweite als die imaginäre Achse, deren Hälften man auch als die positiven bzw. n e g a t i v e n Halbachsen unterscheidet. Durch jede der Achsen wird die Ebene in zwei Halbebenen zerlegt, die man gemäß ihrer Lage als obere und u n t e r e bzw. linke und r e c h t e Halbebene unterscheidet. Den Koordinatenanfangspunkt, also den Punkt oder das Zahlenpaar (0,0) bzw. den NulJvektor, nennt man kurz den P u n k t 0 oder den Nullpunkt der Ebene. Diejenigen komplexen Zahlen, deren darstellende Punkte auf der reellen Achse liegen und deren Vektoren ihr also parallel sind, nennt man kurz reell, alle übrigen nicht reell oder irreell; diejenigen, für die der darstellende Punkt auf der imaginären Achse liegt (bzw. der Vektor ihr parallel ist), nennt man rein imaginär 1 ). Die erste der beiden (gemäß § 3 eingeführten) Polark o o r d i n a t e n des Punktes a oder also die Länge des Vektors a, die wir mit Q bezeichnen wollen, nennt man den (absoluten) ') Durch die Ausführungen des f 10 werden diese letzten Bezeichnungen, wie schon betont, noch besser verständlich werden.

24

2. Kapitel. Das System der komplexen Zahlen.

Betrag der komplexen Zahl a, die zweite . Der Arcus einer komplexen Zahl ist also, wie die zweite Polarkoordinate, unendlich vieldeutig. Alle seine Werte unterscheiden sich aber nur um ganzzahlige Vielfache von 2TT, sind „mod 2n untereinander kongruent". Denjenigen Wert des Arcus, der der Bedingung —n <

).

Nach § 11, ( 8 ) ist dann (2)

o= —

und

y>= — (f.

w hat also den r e z i p r o k e n Betrag und den e n t g e g e n g e s e t z t e n Arcus wie z. Den Übergang von z zu w vollzieht man daher vorteilhaft in zwei Schritten: 1 ) den Übergang von einem Punkte z zu demjenigen Punkte z', der den g l e i c h e n Arcus, aber den r e z i p r o k e n Betrag hat; und 2 ) den Übergang von dem erhaltenen Punkte z' zu demjenigen Punkte w, der den g l e i c h e n Betrag aber den e n t g e g e n g e s e t z t e n Arcus hat.

52

4. Kapitel. Abbildung durch lineare Funktionen.

Der z w e i t e Schritt ist besonders leicht zu übersehen, er bedeutet den Übergang von einer Zahl zur konjugierten, also einfach eine Spiegelung an der reellen Achse in der Ebene bzw. an der Ebene des Nullmeridians auf der Kugel. Der erste Schritt, bei dem vom Punkte z mit den Polarkoordinaten q,(p zu demjenigen Punkte z' übergegangen werden soll, für dessen Polarkoordinaten q', q>' die Gleichungen (3)

q' — —

und

aih + Mi\ c d) \c2 d2J dj VCjtti + daCj, c2b1-\-d2d1) abgelesen werden können 1 ). Durch Zusammensetzung zweier linearer Abbildungen J = ^(z), w = l 2 ( j ) entsteht also wieder eine lineare Abbildung (4) l(*)=k(li(e))=kh(')Wenn und l 2 nicht degenerieren, so tut es auch l nicht, denn nach dem Multiplikationssatz der Determinanten oder durch einfaches Ausrechnen findet man, daß ai a2 b2 a b h e2 d2 c d also wieder =j= 0 ist. Diese Zusammensetzung oder „symbolische Multiplikation" linearer Funktionen ist, wie man ebenfalls leicht nachrechnet, assoziativ, d. h. es ist (5) (kk)hZu jeder Funktion gibt es auch eine inverse; denn zu (3) ist nach § 18 ( 5 ) die Funktion — dz + b w— cz — a invers. Man bezeichnet sie mit mengesetzt ergibt sie die Identität: ii-1(z) = r der das Koeffizientenschema

entspricht 2 ). sagen:

1

(2).

Mit l(z) zusam-

!(«)=«,

U

Auf Grund dieser Feststellungen können wir

l ) E s werden die Z e i l e n der voranstehenden Matrix mit den Spalten der nachfolgenden „komponiert", d. h. es wird die Summe der Produkte der entsprechenden Elemente von beiden gebildet, — ganz wie bei der Multiplikation von Determinanten. ' ) Oder (Q J ) mit a * 0.

§ 20. Fixpunkte und Normalformen.

61

Satz. Die linearen Abbildungen bilden eine Gruppe, •wenn die Zusammensetzung der linearen Funktionen als Gruppenmultiplikation benutzt wird. Die Identität ist die Einheit der Gruppe, inverse Funktionen sind inverse Elemente. § 20. Fixpunkte und Normalformen. Schon in § 17 sprachen wir von Fixpunkten einer Abbildung. Darunter sollen Punkte verstanden werden, die mit ihrem Bild zusammenfallen. Soll dies für einen Punkt z bei der Abbildung (1)

» = _ r _ = i ( * ) cz d der Fall sein, so muß für ihn az + b- = z oder cz2 — (a — d)z — 6 = 0 (2 ) cz -f- d sein. Da dies eine quadratische Gleichung für z ist, deren Koeffizienten nur dann sämtlich verschwinden, wenn die Abbildung die Identität ist (a = d =(= 0, b — c = 0), so haben wir sofort den Satz 1. Eine von der Identität verschiedene lineare Abbildung hat höchstens zwei Fixpunkte. — Weiß man also von einer linearen Abbildung, daß sie mindestens drei Fixpunkte hat, so muß sie die Identität sein. Ist c =(= 0, die Abbildung also eine gebrochene lineare, so liegen beide Fixpunkte (die natürlich auch zusammenfallen können) im Endlichen. Ist c = 0, handelt es sich also um eine ganze lineare Abbildung, so liegt mindestens einer der Fixpunkte in oo (das ging schon aus § 16 hervor). Ist überdies a — d (aber b =f= 0), so handelt es sich um die Translation, bei der nur der Punkt oo festbleibt. Wir haben also als Ergänzung zum vorigen Satz den Satz 2. Der Punkt oo ist dann und nur dann Fixpunkt, wenn die lineare Abbildung gdnz ist; er ist dann und nur

62

5. Kapitel. Normalformen und besondere lineare Abbildungen.

dann Aer einzige Fixptmkt, wenn es sich um eine Translation handelt. Durch Benutzung der Fixpunkte kann man sich einen noch lebendigeren Einblick in das Wesen der linearen Abbildung verschaffen. 1) Ist zunächst (3) w = az + b eine von der Translation verschiedene ganze lineare Abbildung (a + 1), so hat sie außer dem Punkt oo den im Endlichen gelegenen Fixpunkt

Mit seiner Benutzung kann die Abbildung (3) auf die Form (5) u>.— C = a{z— £) gebracht und daher folgendermaßen gedeutet werden: Man führe mit der z-Ebene zunächst die Translation z — £ aus (sie schiebt den Punkt £ nach Null). Man mache nun vom Nullpunkt aus die Drehstreckung (o) und bringe endlich durch eine Translation den Punkt 0 wieder-nach Oder also: Die Abbildung (3) bedeutet einfach eine Drehstreckung (a) mit dem Fixpunkt £ als Zentrum I Damit ist sie vollkommen übersichtlich geworden. Insbesondere zeigt sich, daß das Büschel der Geraden durch £ und die Schar der konzentrischen Kreise um £ je als Ganzes in sich übergehen, bei einer reinen Drehung (| a | = 1) jeder der Kreise einzeln für sich, bei einer reinen Streckung (a > 0) jede der Geraden einzeln für sich. 2) Es sei jetzt c + 0, so daß beide Fixpunkte, wir nennen sie Ci und £ s , im Endlichen liegen. Es sei überdies £,=)= f , . Dann folgt aus der Kreisverwandtschaft sofort: Das Büschel der Kreise durch und Ca geht als Ganzes in sich über (Fig. 16). Folgendermaßen erhalten wir darüber noch genauere Auskunft: Durch die Abbildung P1 16

§ 20. Fixpunkte und Normalformen.

63

(6)

die Ci nach 0 und C2 nach oo bringt, wird das Büschel der Fig. 16 auf das Geradenbüschel der Fig. 17, die Kreise durch 0 und oo, abgebildet. Hierbei liege das erste in der 2-, das zweite in der j-Ebene. Denken wir uns aber das erste in der tu-, das zweite in einer tu-Ebene, so wird analog durch (7)

=!„(„,) «" sa die Fig. 16 auf die Fig. 17 abgebildet. Wegen der Gruppeneigenschaft der linearen Punktionen 8 ist hierdurch und durch die Ab' bildung (1) eine lineare Abbildung der 3- auf die W-Ebene vermittelt, nämlich die Abbildung (8) » = i„n-l(a). Da diese aber 0 und 00 zu Fixpunkten hat, ist es nach 1) eine Drehstreckung mit dem Zentrum 0, hat also die einfache Form to = aj, wo a eine gewisse komplexe Zahl bedeuten soll. Mit Benutzung der Fixpunkte kann also (1) auf folgende Normallorm gebracht werden _ ft g - C i (9) w =

Den Wert von a findet man sofort, Indem man 2 = 00 setzt, was w = — liefert. c

Es ist also

a — cii 0 = Die durchgeführte Betrachtung lehrt aber gleich noch mehr: Da es zum Geradenbüschel der Fig. 17 eine Schar von Orthogonalkreisen gibt, nämlich die Schar der Kreise um 0, so gibt es auch in Fig. 16 zu dem Büschel der „Kreise durch Cj und £ s " eine Schar von Orthogonalkreisen, die wir kurz die Schar der „Kreise um Ci und nennen wollen. Auch diese Schar, also die vollständige Fig. 16, geht bei der Abbildung (1) als Ganzes in sich über. Wir können darüber hinaus noch genauer sagen: a) Ist | 0 | = 1, so ist tu = a§ eine reine Drehung, und folglich geht'jeder der Kreiße der zweiten Schar als Ganzes in sich über, (10)

64

6. Kapitel. Normalformen und besondere lineare Abbildungen.

während die der ersten Schar unter sich vertauscht werden. Die Abbildung (1) heißt dann elliptisch. b) Ist a positiv-reell, so ist es gerade umgekehrt. Die Abbildung (1) heißt dann hyperbolisch. c) Ist |aj ^ 1 und a nicht positiv-reell, so heißt die Abbildung loxodromisch. Man erhält sie, indem man die Schritte a) und b) nacheinander ausführt*). 3) Es sei jetzt wieder c #= 0, aber nun Ca = Ci- D' e Abbildung heißt dann parabolisch 2 ). Die Gesamtheit aller Kreise durch den Fixpunkt — wir nennen ihn £ — geht als Ganzes in sich über. Eine Schar von Kreisen durch f , die dort eine gemeinsame Tangente haben (s. Fig. 18), bleibt ebenfalls als Ganzes ungeändert. Dies und weitere Einzelheiten erkennt Flg. 1 8 man wieder deutlicher, wenn man den Fixpunkt (aus der z-Ebene und aus der w-Ebene) durch die Hilfsabbildungen (11)

bzw.

=

nach oo wirft. Die genannten Kreise gehen dann in die Geraden der Ebene über, bei gemeinsamer Tangente in eine Schar von Parallelen. Wieder sind j- und lü-Ebene linear aufeinander abgebildet. Da hierbei aber oo der einzige Fixpunkt ist, so gehen sie durch eine T r a n s l a t i o n to = j + b auseinander hervor. Im parabolischen Falle kann also (1) auf die Form

(12)

+ (, _L_= _L_ z—Q

w—C

gebracht werden. Und weil z -- oo und w = — zusammengehören, muß ') Benutzt man die Hilfsebene der Fig. 17, so kann man die einzelnen Schritte noch genauer verfolgen. *) Bei den g a n z e n linearen Abbildungen gebraucht man natürlich dieselben Bezeichnungen: Ist sie eine Translation, so heißt sie p a r a b o l i s c h ; ist sie eine Drehstreckung aus dem Fixpunkt (vgl. (5)), so heißt sie l o x o d r o m i s c h , bei reiner Streckung h y p e r b o l i s c h und bei reiner Drehung e l l i p t i s c h .

§ 21. Besondere lineare Abbildungen. Doppelverhältnisse. (13) v

b=

'

65

r

a — cC

sein. Die Schar von Kreisen in der s-Ebene durch die dort eine gemeinsame Tangente haben, geht durch (11) in eine Schar von Parallelen der j-Ebene über. Diese bleibt bei der Translation (b) als Ganzes ungeändert und führt also vermöge (11) zu der Ausgangsschar zurück.

§ 21.

Besondere lineare Abbildungen. Doppelverhältnisse. Das Wichtigste von allem bisherigen bleibt der Satz 1 des § 18, insbesondere also, daß durch lineare Abbildungen Kreise immer auf Kreise abgebildet werden. Es soll nun genauer untersucht werden, in welcher Weise dies geschieht. Wir beweisen dazu zunächst den Satz 1. Drei gegebene getrennte Punkte zi,z2,z3 können stets durch eine und nur eine lineare Abbildung w— l (z) in drei vorgeschriebene getrennte Punkte wv w2, w3 übergeführt werden1). Beweis. Die Gleichung (1)

W — w1 w — w3

w2 — w1 w2 — w3

z — z1 z — z3

z2 — 2j z2-

definiert eine ganz bestimmte lineare Funktion w = l (z). Denn links steht eine lineare Funktion von w, rechts eine solche von z. Nennen wir sie (w) und Z2 (z), so ist w=l(z)= r 1 h(z)Gemäß § 18 (4) ist dabei zu vereinbaren, daß man, wenn einer der Punkte zv oder wv der Punkt oo ist, den Quotienten derjenigen beiden Differenzen, die ihn enthalten, durch 1 zu ersetzen hat. Diese Funktion w— l(z) leistet aber das Verlangte. Denn l2(z) hat für z = zlt z2, z3 der Reihe nach die Werte 0 , 1 , oo, und ^ (w) erhält diese Werte wiederum für w = wv w2, w3. Also ist l (z„) = w„ *) Unter den Funkten zv und u y (v = l" 2, 3) darf auch )e einmal der Punkt oo auftreten. K n o p p , Elemente der Funktionentheorie. 3

66 6. Kapitel. Normalformen und besondere lineare Abbildungen ( v = l , 2, 3). Leistet die lineare Funktion w—L[z) das gleiche, so hat die lineare Funktion L~1l(z) offenbar die drei getrennten Fixpunkte zv z2, z3, ist also nach § 20, Satz 1 die Identität. Also ist L (z) = l (z). Damit ist alles bewiesen. Durch drei in bestimmter Reihenfolge gegebene (getrennte) Punkte ist nun eine orientierte Kreislinie (bezw. oine orientierte Gerade) eindeutig bestimmt. Aus Satz 1 folgt also sofort weiter der Satz 2. Eine gegebene orientierte Kreislinie der z-Ebene oder -Kugel kann stets auf eine und nur eine Weise auf eine gegebene orientierte Kreislinie der w-Ebene so abgebildet werden, daß dabei drei gegebene Punkte des z-Kreises in drei gegebene Punkte des w-Kreises übergehen, wofern auf beiden Kreisen die Punkte im Sinne der Orientierung aufeinander folgen. Die Zahlenkugel wird durch eine Kreislinie in zwei Kugelkappen zerlegt. Wir wollen diejenige als „ d a s I n n e r e " des Kreises bezeichnen, die zur L i n k e n der Orientierung liegt, die andere als „ d a s Ä u ß e r e " des Kreises — und wollen die entsprechende Vereinbarung auch auf die Ebene übertragen 1 ). Da nun die Abbildung der Vollkugeln durch lineare Funktionen umkehrbar eindeutig und überdies winkeltreu ist, so folgt jetzt in Ergänzung zu Satz 2: Satz 3. Die in Satz 2 genannte lineare Funktion bildet das Innere des z-Kreises umkehrbar eindeutig auf das Innere des w-Kreises ab. Ebenso natürlich auch das Äußere des ersten auf das Äußere des zweiten. Die hierdurch festgestellte Eigenschaft der linearen Funktionen, daß, wenn sie zwei orientierte Kreislinien aufeinander abbilden, sie auch deren Innengebiete (und ebenso deren Außengebiete) umkehrbar-eindeutig aufeinander abbilden, nennt man ihre Gebietstreue. ') Wird also z. B. die imaghi&re Achse von unten nach oben orientiert, so ist die linke Halbebene dau Innere, die rechte das Äußere.

§ 21. Besondere lineare Abbildungen. Doppelverhältnisse. 67 Beispiele für diese und die weiterhin genannten Abbildungen folgen in § 22. Die eigentümlichen in (1) auftretenden Ausdrücke nennt man Doppelverhältnisse. Es gilt genauer die Erklärung. Sind zx, z2, z3, z4 vier getrennte Punkte der Kugel, so soll der Atisdruck (2) 3

2

'3

ais ihr Doppelverhältnis bezeichnet werden. Liegt einer der Punkte in oo, so tritt die oben gemachte Vereinbarung in Kraft Aus dem Beweis des Satzes 1 folgt nun unmittelbar der Satz 4. Das Doppelverhältnis von vier Punkten bleibt linearen Abbildungen gegenüber invariant. — Das soll heißen: Gehen die vier Punkte z„ durch die Abbildung w — l(z) in die Punkte wv, (v = 1, 2, 3, 4), über, so ist Z)(w 1 w 2 w 3 w 4 )= DfoZüZgZ^. Da nämlich w = i(z) das leistet, was in Satz 1 gefordert ist, so ist es die durch (1) gegebene Funktion. Da sie auch z4 in wt überführt, so liefert (1) für z= z4, w= wi unmittelbar die Behauptung. Statt durch drei Punkte der Peripherie kann man einen orientierten Kreis auch durch einen Punkt derselben und durch ein Paar in bezug auf den Kreis spiegelbildlicher Punkte geben. Das liefert im Anschluß an Satz 1 den Satz 5. Ein orientierter z-Kreis kann stets auf eine und nur eine Weise auf einen orientierten to-Kreis so abgebildet werden, daß dabei ein gegebener Randpunkt z, und ein gegebener innerer Punkt z0 des z-Kreises in entsprechend gelegene vorgeschriebene Punkte wl und w0 übergehen. ') Die Reihenfolge der vier Punkte ist hierbei nicht sehr wesentlich, doch muß die einmal gewählte natürlich festgehalten werden. Permutiert man die vier Punkte auf alle möglichen Arten, so erhält man nicht 24 verschiedene Werte des Doppelverhältnisses, sondern höchstens 6. Ist einer der Werte

1 y'. 2. Wie auch e > 0 gewählt wird, es ist m i n d e s t e n s ein x>y' — e. — Über sie gilt der analog zu beweisende

§ 24. Reelle Zahlenmengen.

75

Satz 2. Jede nach rechts beschränkte (nicht leere) Menge 2JI besitzt eine bestimmte obere Grenze y' — fin 9Ji. Eine beiderseits beschränkte Menge besitzt also eine bestimmte untere und eine bestimmte obere Grenze. Beide Zahlen brauchen nicht selbst Punkte der Menge zu sein. Ist eine Menge nach links nicht beschränkt, so sagt man auch, ihre untere Grenze sei —oo; ist sie nach rechts nicht beschränkt, so sagt man entsprechend, ihre obere Grenze sei + oo. Wir können jetzt im Reellen den schon in § 23 genannten Bolzano-Weierstraßschen Satz beweisen. Der Beweis verläuft ganz ähnlich wie der eben durchgeführte: Man teile wieder die Gesamtheit aller reellen Zahlen in zwei Klassen 21, 21'. In die Klasse 81 tue man jede Zahl a, links von der keine oder höchstens endlich viele Punkte der Menge liegen: h ö c h s t e n s endlich viele x f i ' — e, wie auch die positive Zahl e gewählt werden mag. Es ist ersichtlich stets FI ^ ¡JL . Beide Punkte brauchen nicht zur Menge zu gehören. Sie heißen zusammen die H a u p t l i m i t e s der Menge. Ist eine Menge nach links nicht beschränkt, so bezeichnet man — oo als ihren unteren Limes; ebenso + oo als ihren oberen Limes, wenn sie nach rechts nicht beschränkt ist. Ist schließlich die Menge zwar nach rechts, aber nicht nach links beschränkt und hat sie im Endlichen ü b e r h a u p t k e i n e n Häufungspunkt, so wird man sinngemäß — oo auch als ihren lim sup und in dem „spiegelbildlichen" Falle -f oo als ihren lim inf ansprechen. Die Menge der reellen Zahlen, die zwischen zwei reellen Zahlen a und b, (a < b), liegen — sie erfüllen eine Strecke der Zahlengeraden —, nennt man das Intervall a.. .b. Es heißt a b g e s c h l o s s e n oder o f f e n , je nachdem die Endpunkte ihm zugerechnet werden oder nicht. Das erstere bezeichnet man mit < a , das zweite mit ( a , b).

§ 25.

Der Bolzano-Weierstfaßsche Satz.

Gestützt auf den B o l z a n o - W e i e r s t r a ß s c h e n S a t z im Reellen (§ 24) können wir ihn nun auch im Komplexen beweisen. Es sei also 3R eine beschränkte unendliche Punktmenge in der ¿-Ebene. Dann können wir folgendermaßen einen Häufungspunkt £ derselben aufzeigen: Die reelle Menge der Zahlen x= 91 (z), (z in 2W), ist e n t weder wieder eine beschränkte unendliche (reelle) Menge und hat dann nach § 24 mindestens einen Häufungspunkt f ,

§ 26. Zahlenfolgen mit komplexen Gliedern.

77

o d e r sie ist endlich. Dann muß es aber unter ihren endlich vielen Elementen mindestens eines geben, es heiße so daß für unendlich viele z der Menge Üi(2) = £ ist. In jedem Falle gibt es also eine reelle Zahl f , so daß bei j e d e m e > 0 für unendlich viele z der Menge I — e 0 beliebig gegeben, so gehört rj + e zur Klasse 83'; es gibt also einen e'-Streifen um f mit 0 < e' < E, so daß in ihm n u r e n d l i c h viele 2 der Menge einen imaginären Teil > ij-j- e haben. Da aber rj—e zu 33 gehört, gibt es dort u n e n d l i c h v i e l e z mit 3(2) > rj—e. Daher liegen unendlich viele z der Menge in dem Rechteck £ — « ' < « ( « ) < £ + e\ 1? — e < 3 ( * X » ? + e , also auch unendlich viele in der quadratischen e-Umgebung von w. z. b. w.

7. Kapitel.

Zahlenfolgen. Unendliche Reihen.

§ 26. Zahlenfolgen mit komplexen Gliedern. Wird durch eine eindeutige Vorschrift jeder natürlichen Zahl 1 , 2 , 3 , . . . je eine bestimmte komplexe Zahl 2j, z2, z3,... zugeordnet, so entsteht eine Zahlenfolge, die man kurz mit (zn) oder (zv z2,...) bezeichnet. Die zn heißen ihre G l i e d e r . Die Werte der Glieder brauchen nicht von-

78

7. Kapitel. Zahlenfolgen. Unendliche Reihen.

einander verschieden zu sein. Oft stellt man noch ein „nulltes" Glied z0 als Anfangsglied voran. Einfache Beispiele sind die folgenden: 1. (a n), d . h . die Folge der Zahlen 1, a , a 2 , . . . , a n , . . . , bei der a eine gegebene Zahl ist. 2. f - V d. h. die Folge der Zahlen 1, i \nj

3. Die Folge (zj für

n

2 mit z 0 = 1, zt = i, zn =

. . . , i

. . .,

M.

n

(?n_1 + zn_2)

S 2.

Die den Zahlen z„ entsprechenden Punkte bilden eine Punktfolge. Tritt ein und derselbe Punkt mehrfach bzw. unendlich oft in der Folge auf, so „zählt er" mehrfach bzw. unendlich oft. Ist umgekehrt SR eine (unendliche) Punktmenge und kann man die Punkte derart mit zv z2,... bezeichnen, daß dabei jeder Punkt von SJi eine Nummer erhält, so heißt 3JJ eine abzahlbare Punktmenge. Die Mengen SWx, 9Jl4 und 9K6 in § 23 sind abzählbar, 3tJi3 und 2J?6 sind es nicht. (Auf den Beweis dieser Behauptung soll hier nicht eingegangen werden.) Bei den Punktmengen setzten wir selbstverständlich voraus, daß je zwei ihrer Elemente verschieden sind; bei den Gliedern einer beliebigen Folge braucht dies nicht der Fall zu sein. Wir können daher auch sagen: Eine Zahlenfolge ist eine abzählbare (und in bestimmter Weise abgezählte) Punktmenge, bei der aber zugelassen wird, daß ein und derselbe Punkt mehrmals oder sogar unendlich oft gezählt wird. Die bei den Punktmengen eingeführten Bezeichnungen übertragen sich daher sinngemäß auf Zahlenfolgen. Als Häufungspunkt oder Häufungswert einer Folge (z„) wird man daher eine Zahl f bezeichnen, wenn bei jedem e > 0 unendlich viele z„ in der e-Umgebung von £ liegen, l ) Bei dieser Folge ist es schon wegen der Form des Gliedes selbstverständlich, daß der Anfangswert nicht n 0, sondern n — 1 sein soll. Ähnliches ist im folgenden öfter zu beachten.

§ 26. Zahlenfolgen mit komplexen Gliedern.

79

wenn also für unendlich viele n (1) l*„-CI n 0 = n„(e) 1 ). In diesem Falle nennt man £ den Grenzwert der Folge (z„) und schreibt dafür lim zB = £ oder z„->-£ mit oder ohne den Zusatz „für n-* + oo". Von der Zahlenfolge selbst sagt man, sie sei konvergent mit dem Grenzwert £ oder sie strebe gegen £. Die notwendige und hinreichende Bedingung für das Eintreten dieses Falles nennt das Allgemeine Cauchysche Konvergenzprinzip: Satz 1. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Folge z0, z,, z 2 , . . . einen Gremmrt hat, ist diese: Bei beliebig gegebenen E > 0 gibt es stets eine Zahl n0 = N0 (E), so daß für alle n > n0 und alle p > 0 (2) | zn+p — z» I < e ausfäüt. (Kürzer: Fast alle zn müssen einen Abstand < e voneinander haben.) Beweis. 1. Strebt z„-*-£, so ist bei gegebenem e > 0 für « > ^ ( 6 ) also für alle n>n^

IZn — i !

< i e ,

und alle p > 0

') Letzteres, weil die Stelle n„, von der ab die Bexiehnng (1) erfüllt ist von der Wahl von e abhingt.

80

7. Kapitel. Zahlenfolgen. Unendliche Keihen.

I Zn+p — ? » l = I ( ? „ + p — 0 — — C ) | < e , — letzteres nach § 11 (2). Die Bedingung ist also notwendig. 2. Ist umgekehrt (2) erfüllt, so ist die Folge (z n ) beschränkt. Denn wählt man etwa e = 1, so entspricht dieser Wahl von e ein nv so daß für alle n > ^ I *» — I < 1 »nd also | zn | < | eni | -f 1 ist. Die größte der Zahlen ¡ z j , | z 2 | , . . . , | z B l _i|, |z n i | + 1 ist also eine Schranke für die Menge. Nach dem BolzanoWeierstraßschen Satz hat also (z n ) mindestens einen Häufungspunkt Hätte sie nun noch einen zweiten Häufungspunkt C'=f-C, so wäre e = — CI eine positive Zahl, o und es lägen unendlich viele z„ in der e-Umgebung von £, unendlich viele andere in der e-Umgebung von Oberhalb j e d e r Zahl n0 gäbe es also noch ein n und ein n-f-p, so daß | zn+p—zn | > e wäre, entgegen der Voraussetzung. Also ist £ der einzige Häufungspunkt. Bei beliebigem e > 0 gilt daher I zn ~~ C I < £ für fast alle n, es strebt z„-+ w. z. b. w. Jede Zahlenfolge, die n i c h t konvergiert, wird divergent genannt. Konvergiert eine Zahlenfolge gegen 0, zn->-0, so nennt man sie eine Nullfolge. Über das Rechnen mit konvergenten Zahlenfolgen gelten die folgenden einfachen, aber wichtigen Sätze, die genau wie im Reellen bewiesen werden: Satz 2. Strebt die Folge zn-> die Folge z'n-+t' und sind c, c' zwei beliebige komplexe Zahlen, so ist auch die Folge (wn) mit den Gliedern wn = C2n + c'z'n konvergent, und es strebt + e'C. Satz 3. Unter denselben Voraussetzungen wie beim vorigen Satz ist auch die Folge (wn) mit den Gliedern wn— znz'n konvergent, und. es strebt icn->-CC'. Satz 4. Streit sind alle zn =j= 0 und ist auch£ =f= 0,

§ 2T. Zahlenfolgen mit reellen Gliedern.

81

so ist auch die Folge (wn) mit den Gliedern wn = — konvergent, z« und es strebt «'„-»• — . Satz 6. Strebt z„—C und ist (z^) eine Teilfolge1) der Folge (zn), so strebt auch

§ 27. Zahlenfolgen mit reellen Gliedern. Sind alle Glieder einer Zahlenfolge reell, so nennt man sie kurz eine reelle Z a h l e n f o l g e . Da diese als Sonderfall unter den „komplexen" Zahlenfolgen enthalten sind, so sind die Betrachtungen des vorigen Paragraphen auch für diese reellen Zahlenfolgen (x n ) gültig. Im Anschluß an § 24 ergeben sich hier aber einige weitere Einzelheiten: Eine nach links beschränkte Zahlenfolge (x„) hat eine wohlbestimmte u n t e r e Grenze y, die durch die beiden Bedingungen charakterisiert ist, daß k e i n xn < y, aber bei beliebigem e > 0 m i n d e s t e n s ein x„ < y -j- e ist. Entsprechendes gilt für die o b e r e G r e n z e y'. Ebenso hat sie einen wohlbestimmten unteren Limes /u, in Zeichen lim inf xn = fi oder lim X* — [i, der die beiden Bedingungen erfüllt, daß bei jedem e > 0 höchstens endlich viele xn n0 und alle p > 0 (4) | C n+ 1 + 2H b Cn+p I < £ ausfällt. Aus diesem Satze folgen sofort die beiden folgenden: Satz 2. Bei einer konvergenten Reihe 2 cn bilden die

84

7. Kapitel. Zahlenfolgen. Unendliche Beihen.

Glieder eine NuUfolge: cn-+ 0. Denn für p = 1 besagt (4;, daß von einer Stelle ab | cn+11 < e ist. Satz 3. Wenn die Reihe cn | (die positive reelle Glieder hat) konvergiert, so ist auch die Reihe cn konvergent. Denn es ist ja stets (s. § 13,1) k»+l + C»+2 H H cn+p\ ^ |c„+l| + |cn+2| H b |c„+p|. Alle diese Dinge sind formal die gleichen wie im Reellen. Auch die absolute Konvergenz wird ebenso erklärt: Erklärung. Eine Reihe 2cn heißt absolut konvergent, wenn die Reihe c„| konvergiert. Ist JjCn konvergent, 2\en\ dagegen nicht, so wird 2cn genauer bedingt (oder „nur bedingt") konvergent genannt. Durch diese Erklärung und den Satz 3 ist die Frage nach der absoluten Konvergenz von Reihen mit komplexen Gliedern vollständig auf eine Konvergenzfrage für Reihen mit positiven reellen Gliedern zurückgeführt. Wir können daher ohne weiteres die folgenden wichtigen Kriterien für die absolute Konvergenz einer Reihe J£cn mit komplexen Gliedern formulieren, da es sich bei ihnen einfach um die als bekannt anzusehenden Konvergenzkriterien für die reelle Reihe Z\cn\ handelt. I. K o n v e r g e n z k r i t e r i e n für die a b s o l u t e K o n vergenz von R e i h e n mit k o m p l e x e n Gliedern: 1. Zcn ist dann und nur dann absolut konvergent, wenn die Folge der reellen, monoton wachsenden Zahlen On= |c 0 l + l c i H + |e«l beschränkt ist. — Die weiteren Kriterien haben nur hinreichenden Charakter. Aus 1 folgt zunächst unmittelbar das sogenannte Vergleichs- oder Majorantenkriterium: 2. Ist 2yn eine konvergente Reihe mit reellen positiven Gliedern und ist \cn\^yn für fast aUe n, so ist die Reihe Zcn absolut konvergent. — Für die Anwendung besonders wichtig sind endlich die beiden folgenden:

§28. Unendliche Reihen. y
1 ist oder wenn lim = A > 1 ist. (6) 4. J£cn ist absolut konvergent, wenn für ein festes positives y < 1 von einer Stelle ab n n (7) V K l ig y< 1 ist oder wenn lim ]/ | c„ | = ^ < 1 isi Dagegen ist 2 c„ divergent, wenn für unendlich viele n (8) ^ I cn I ^ 1 oder wenn lim j/ | cn | = X > 1 ist. Denn in beiden Fällen bilden die r„ keine Nullfolge. — Die Kriterien 3. nennt man Quotientenkriterien, die Kriterien 4. Wurzelkriterien. II. Auch die Regeln für das Rechnen mit konvergenten Reihen sind formal die gleichen wie im Reellen und folgen wie diese aus den entsprechenden Regeln für das Rechnen mit konvergenten Zahlenfolgen: 1. Sind cn und 2 c«' zwei konvergente Reihen mit den Summen s und s' und sind c und c' zwei beliebige komplexe Zahlen, so ist auch die Reihe 2 sowie die ohne Klammern

(ccn + c'c;) angesetzte Reihe

cc0+c'c'{i+cc1+Cc'1+cc2+

. . .

konvergent und beide haben die Summe cs+c's'. (Beweis nach § 26, Satz 2 und § 28, Satz 2.) Man sagt, daß man konvergente

86

7. Kapitel. Zahlenfolgen. Unendliche Reihen.

Reihen g l i e d w e i s e m i t e i n e r K o n s t a n t e n m u l t i p l i z i e r e n und daß man sie g l i e d w e i s e a d d i e r e n d a r f . Ist (k n ) eine Folge natürlicher Zahlen, in der jede natürliche Zahl (evtl. auch die 0) ein- und nur einmal vorkommt, so nennt man die Reihe J£c'n mit c„ = cln eine Umordnung der Reihe cn. Über diese gilt 2. Ist die Reihe 21 cn absolut konvergent mit der Summe s, so ist auch jede Umordnung JE c„ derselben absolut konvergent und hat dieselbe Summe s1). B e w e i s . Wird e > 0 beliebig gegeben, so läßt sich nach Voraussetzung m so wählen, daß für jedes p (9) |- 0 und folglich s'n = s n ) ~> s, d. h. a u c h 2 1 c'„ ist konvergent und hat die Summe s. Ebenso ist mit 2 K l auch 2\c' n \ konvergent, also 2c'n absolut konvergent. 2a. Ist 2Jcn absolut konvergent, so ist auch jede Teilreihe c,o+cVi+ • • • +cv„+ • • • ' (0 = vo < vi < • • • )• absolut konvergent. 3. Es seien jetzt 21 cn und 2c'n irgend zwei unendliche Reihen. Wir bilden die Produkte ctc'u ( 4 = 0 , 1 , 2 , . . . , 1 = 0 , 1 , 2 , . . . ) , je eines Gliedes der ersten mit je einem Gliede der zweiten Reihe. Diese Produkte kann man in der mannigfachsten Weise zu einer einfachen Folge (pn) anordnen. Dazu ordne man die Produkte zunächst wie bei einer Determinante ' ) Ohne Beweis Bei hinzugefügt, daß fflr Reihen, die nur bedingt konvergieren, dieser Satz n i c h t gilt.

§ 28. Unendliche Reihen.

87

(k = Zeilennummer, l— Spaltennummer) an: C C 0 0! C0C1> C0C2' • • • /jq^

CxCQ, ClCy

CJCJ, . . .

^2^2' • • • Die A n o r d n u n g nach S c h r ä g l i n i e n erhält man dann, indem man die Produkte hinschreibt, für die k + l der Reihe nach die Werte 0,1, 2 , . . . hat, jede Schräglinie etwa von oben nach unten durchlaufend. Die A n o r d n u n g nach Q u a d r a t e n bekommt man, indem man die diesen Schräglinien entsprechenden Quadrate der Reihe nach heranzieht, d. h. die Produkte, für die k u n d Z = Ot ^ 1, SS 2,. . . sind. Jede so erhaltene Reihe 21 p„ heißt eine Produktreihe der beiden Reihen 21 cn und 21c'n. Von diesen gilt: Sind die Reihen 21 e„ und 21 c'n beide absolut konvergent und sind s und s' ihre Summen, so ist auch jede Produktreihe derselben absolut konvergent und hat die Summe ss'. Beweis. Es ist offenbar IPol + IPll + • • • + |p„| ^ ( i g + • • • + \Cm\) (Kl + • • • + 141), wenn nur m groß genug genommen wird. Die Folge der Teilsummen von 2 |p n | ist also beschränkt und folglich 21 pn absolut konvergent. Wegen 2. hat also jede Produktreihe dieselbe Summe S, da sie voneinander nur Umordnungen sind. Bedeutet aber (pn) insbesondere die Anordnung nach Quadraten, so ist (Co + «1 + • • • + *„) (ei + cj + • • • + C'n) = Po + Vi H h ZWD'-iFür n-+co folgt hieraus (unter Benutzung der Sätze 3 und 5 aus § 26) 5 = ss'. 4. Faßt man bei einer konvergenten unendlichen Reihe 21c,, mit der Summe s aufeinanderfolgende Glieder in beliebiger Weise durch eine Klammer zu je einem neuen Gliede zusammen, bildet also etwa die Reihe

88

7. Kapitel. Zahlenfolgen. Unendliche Beihen.

(c0 + Ci H

h ct.) + (c to+ i H h c»,) + («t.+i ^ h ct.) H , deren Glieder nun C0, Clt... heißen mögen, so sägt man, J £ C n sei aus 2 c n durch Assoziation der Glieder entstanden. Darüber gilt: Ist 2 cn konvergent und = s, so ist auch jede daraus durch Assoziation der Glieder entstehende Reihe 2 Cn konvergent und hat dieselbe Summe s. — Denn die Folge der Teilsummen von 2dC n ist offenbar eine Teilfolge der Folge der Teilsummen von 2 c n . Ist Z c n absolut konvergent, so ist es ersichtlich auch 2Cn. 5. Eine solche Assoziation von Gliedern hat man besonders oft bei der nach Schräglinien angeordneten Produktreihe zweier Reihen 2 cn und 21 c'n zu bilden. Faßt man die in derselben Schräglinie stehenden Produkte durch eine Klammer zusammen, bildet also die Reihe (11)

2 ( v ; + c i c ; _ ! + ••• + cnc'Q), n=0 so nennt man diese das Cauchysche Produkt der gegebenen Reihen. Aus den beiden letzten Sätzen folgt: Das Cauchysche Produkt zweier absolut konvergenter Reihen ist wieder absolut konvergent, und es gilt die Gleichung (12) 2:(c0c^ + cic'n-i + • • • + e«c'0)= ( l c

n

) ( lc'n)

Beispiele für diese Dinge enthält das nächste Kapitel und der ganze 5. Abschnitt. Ohne Beweis sei endlich noch der folgende etwas weitergehende Satz hinzugefügt, dessen Beweis, wie der aller vorangehenden Sätze, genau der gleiche ist wie im Reellen: 6. Es sei, ähnlich wie bei (10), eine unendliche Matrix der Form ' coo ^02 (13)

( < * ) c= ( 2 ! 20

21

°22

• •

.

§29. Der Konvergenzkreis.

89

vorgelegt. Ordnet man ihre Elemente irgendwie zu einer einfachen Folge (c„) und ist J £ c n absolut konvergent, so sind auch alle „Zeilenreihen" (14)

(«5=0,1,2,...),

und alle „Spaltenreihen" Äe»= i =0

(15)

8

*>

(1=0,1,2,...),

absolut konvergent. Das gleiche gilt von den Reihen 2 Z j und JE Si, und es ist (16)

Jz» =

V

Jfif,=

' i-0 I=-0 (Cauchyscher Doppelreihensatz.)

8. Kapitel.

2c

n

.

Potenzreihen.

§ 29. Der Konvergenzkreis. Für die Funktionentheorie sind besonders diejenigen Reihen J£c„ von Bedeutung, für die c„ die Form an(z— z 0 ) n hat, also die Reihen 2'an{z-z0)n=

(1)

a

0

+ a ^ e - e j + • • • + an(z-z0)n+

• • •.

Man nennt sie Potenzreihen mit dem „Mittelpunkt" Zq und den „Koeffizienten" an. Man denkt sich z0 und die a* gegeben, und die erste Frage lautet: Für welche z ist die gegebene Reihe konvergent, für welche nicht ? B e i s p i e l e . 1. z 0 = 0, alle a„ = 1. Das liefert die sogenannte geometrische Reihe (2)

21 « n s

n=0

1 + 2 + e* + • • • + zn + • • • .

Nach dem Majoranten-, Wurzel- oder Quotientenkriterium erkennt man, daß diese Reihe für | z | < 1 absolut konvergiert. Für j a | ^ 1 ist sie divergent, da dann die Folge der Glieder nicht gegen 0 strebt. Die geometrische Reihe ist also genau im Innern des Einheitskreises absolut konvergent, sonst divergent. Da für | z | < 1 überdies 0 strebt, so streben die Teilsummen

90

i

8. Kapitel Potenzreihen. + g - t -... + 8 " =

1

— 8 " + 1 = _L_ —

-

JL.

1—£ 1—2 1—2 1—3 Im Innern des Einheitskreises stellt also die geometrische Reihe die lineare Funktion

— — dar: -2 1 —2

= T=rz-

(I«I 0 ein d = 0 so zugeordnet werden kann, daß für alle z mit 0 < |2 — £ | < < 5 stets m - m • OD < e z-C ausfällt. 3) Es existiert eine Zahl co', so daß für j e d e dem Definitionsbereich von /(z) entnommene und gegen £ strebende Zahlenfolge (zn), deren Glieder alle 4= £ sind, die Folge der Differenzenquotienten Wn — 0) co T strebt. ') Bei den letzten drei Bezeichnungen muß die Stelle z = ( dann noch hinzugefügt werden oder aus dem Zusammenhang heraus bekannt sein.

§ 34. Differenzierbarkeit.

101

Da diese Erklärung der Differenzierbarkeit formal genau dieselbe ist wie im Reellen und weil das Rechnen mit Zahlenfolgen und Grenzwerten sich genau wie dort vollzieht, so ist auch der Beweis für die folgenden Grundregeln der Differentialrechnung genau der gleiche wie im Reellen: Sind die beiden Funktionen fl (z) und f2 (z) an der Stelle £ difierenzierbar, so ist auch I. die Funktion f (z) = c^iz) + c2f2{z) an der Stelle £ difierenzierbar, und es ist

f'(o=e1m+c2m;

II. die Funktion /(z) = fx{z) • f2(z) an der Stelle £ differenzierbar, und es ist f(C)=/i(C)/.(C) +

III. die Funktion f{z) =

/i(z)

/i(CÄ);

an der Stelle £ differen-

zierbar, falls fx (£) =)= 0 ist, und es ist

/i(C)/;(£)-/2(£)/i(£)

(/i(C))2 B e i s p i e l e . 1) Ist f(z) identisch = c, so ist offenbar an jeder Stelle n f ) = 0. 2 ) Ist f(z) = z, so folgt ebenso unmittelbar aus der Erklärung, daß an jeder Stelle = 1 ist. 3) Durch wiederholte Anwendung der Regel II folgt jetzt: Für jeden natürlichen Exponenten k und an jeder Stelle f ist dz 4 ) Nun folgt weiter durch Anwendung der Regeln I—III, daß auch die Ableitung einer rationalen Funktion an jeder Stelle existiert, an der ihr Nenner nicht verschwindet, und daß sie nach denselben Regeln errechnet wird wie im Reellen. So hat z. B. die lineare Funktion

\ an der Stelle £ 4= — — die Ableitung cz + d c ad — bc

aZ

K-M)

2

'

Ist der Definitionsbereich 3K einer Funktion f(z) offen (s. § 23) und ist /(z) an j eder Stelle z desselben difierenzierbar,

102 9. Kapitel. Funktionen einer komplexen Veränderlichen. so ist /'(«) wiederum eine in 9J? definierte Funktion, die man kurz die Ableitung von f(z) in 9K nennt. Ist diese erneut in 3JI differenzierbar, so erhält man die z w e i t e A b l e i t u n g /" (z) von j(z) in SR, und entsprechend gelangt man zu den A b l e i t u n g e n h ö h e r e r O r d n u n g . Die rationalen Funktionen haben Ableitungen jeder Ordnung. Ihr Definitionsbereich ist die ganze Ebene, aus der die Stellen ausgeschlossen sind, wo der Nenner der Funktion verschwindet. Ist / j (2) eine Funktion mit dem Definitionsbereich 3)?! und liegen alle Werte dieser Funktion in dem Definitionsbereich einer zweiten Funktion / 2 (z), so kann man die

mittelbare Funktion

/(«)=/.(/i(«)) bilden, deren Definitionsbereich wiederum SER1 ist. Für ihre Differentiation gilt wie im Reellen die sogen. Kettenregel iv. ra=/i(/i(i))-/;(o, falls die „innere" Funktion ^(2) an der Stelle £ und die „äußere" Funktion ft(z) an der Stelle £ i = f1(C) differenzierbar ist.

§ 35.

Eigenschaften der durch Potenzreihen dargestellten Funktionen.

Es sei jetzt eine beliebige Potenzreihe (1)

a 0 + a 1 2 + a222 H

OD

=

^«„2"

n=0

v o r g e l e g t d e r e n Konvergenzradius r positiv (oder 00) ist. 2 ) In jedem inneren Punkte ihres Konvergenzkreises hat sie eine bestimmte Summe. Diese ist also eine in | z | < r durch die Potenzreihe definierte Funktion f(z). Von ihr sagt man auch, sie sei durch die Potenzreihe d a r g e s t e l l t oder in die Potenzreihe e n t w i c k e l t , und schreibt ') Wie schon in § 30 betont, bedeutet es keine Einschränkung, daß wir annehmen, daß der Mittelpunkt t s = 0 ist. Die nachfolgenden Satze 1 bis 7 selten also bei sinngemäner Änderung des Wortlautes auch für Funktionen tili- durch l'otenzreihen mit beliebigem Mittelpunkt ¿„ dargestellt werden. •) Die nirgends konvergenten Fotenzreihen werden nach wie vor ausgeschlossen.

§ 35. Durch Potcnzreihen dargestellte Funktionen. (2)

103

/(2)= i a n e « .

Die ersten Eigenschaften solcher durch Potenzreihen dargestellten Funktionen — diese Funktionen sind, wie der weitere Ausbau der Funktionentheorie lehrt, die allein wichtigen — werden durch die folgenden Sätze festgestellt: Satz 1. Die durch -(2) dargestellte Funktion ist in z— 0 stetig. Beweis. Wird g mit 0 < g < r beliebig gewählt, so ist oc

die Reihe ^ l o n l g " — 1 konvergent; ihre Summe heiße K. n=l

Sei min (?„) eine Nullfnlge, die dein I »efiiiitionsbereich + 4 t i ) , . . . , ^ (y> + 2{k — l ) ? t ) und k

nur durch diese. Also hat j/w f ü r w # 0 die k Werte i6) W

x + 2 i^p^cos r / V + 2 v n ,h i• s•i nV -—^ —^

V7t

\ j,v = n0,1, 1 o2 , . . . , Jk — i1.

k

t

/ 0 dagegen ist eindeutig = bezeichnet man denjenigen f ü r rp der Hauptwert von arc Weiter kann hier auf das eingegangen werden.

§ 39.

0 zu setzen. Als Hauptwert von der Werte (6), den man erhält, wenn w genommen und v = .0 gesetzt wird. — Studium der Wurzelfunktionen nicht

Die ganzen rationalen Funktionen.

Die genaue Untersuchung der ganzen r a t i o n a l e n F u n k t i o n e n oder, wie man kurz sagt, der Polynome, also der Funktionen der Form (1) w = a0 + atz + a^z2-] dpi?, ist der Hauptgegenstand der klassischen Algebra, auf die hier

116

11. Kapitel. Potenz und Wurzel. Die rationalen Funktionen.

natürlich nicht eingegangen wird. Doch soll wenigstens der Satz genannt werden, der in ihr eine besonders wichtige Stellung einnimmt und den man deswegen den Fundament a l s a t z der Algebra genannt hat. Die Möglichkeit, diesen Satz zu beweisen, ist es vor allem gewesen (vgl. § 4), die der allgemeinen Anerkennung der komplexen Zahlen den Weg bereitet hat. Fundamentalsatz der Algebra. (2)

g(z) = a0 + axz H

Jedes Polynom in z b apzp ,

(ap =(= 0),

dessen „Grad" p ^ l ist, läßt sich in genau p lineare Faktoren zerlegen, d. h. es gibt p (nicht notwendig verschiedene) Zahlen zx, z2,...,zp, so daß (3)

g{z)=ap(z

— z1)(z — z2)'"{z

— zp)

ist. — Außer den Beweisen, wie sie die Algebra liefert, gibt es mehrere rein funktionentheoretische, von denen drei in Fktth. I, § 28 u. 36, und Fktth. II, § 11 zu finden sind. Die verschiedenen unter den Zahlen zx, z 2 , . . . , zp, die wir mit CD C21 • • •> (1 = & = V) bezeichnen wollen, nennt man kurz die Wurzeln oder N u l l s t e l l e n des Polynoms (2). Tritt Cy im ganzen «„-mal unter zv . . ., zv auf, (v = 1, 2,..., fc), so sagt man, sei eine Wurzel oder Nullstelle der Ordnung «,. Es ist natürlich + + • • • + a* = p, und statt (3) können wir schreiben (4) g(z) = aP(z — t i f (z - C2f.' • • • {z - £*)"* • Diese Darstellung eines Polynoms nennt man seine Produkt-

darstellung. § 40. Die gebrochenen rationalen Funktionen. Eine rationale Funktion f{z) heißt gebrochen, wenn sie nicht als ganze rationale Funktion dargestellt werden kann. Sie läßt sich dann auf die Form

§ 40. Die gebrochenen rationalen Funktionen.

117

bringen, in der g{z) und h(z) Polynome sind und der Grad von g mindestens = 1 ist. Auch von diesen gebrochenen rationalen Funktionen soll hier nur ein Satz genannt werden, der S a t z von der T e i l b r u c h z e r l e g u n g der r a t i o n a l e n F u n k t i o n e n , der in der Algebra bewiesen zu werden pflegt, der in der Funktionentheorie aber erst nach weiterem Ausbau bewiesen werden kann. (s. Fktth. I, § 35). Eine rationale Funktion der besonders einfachen Form

bei der c 4= 0 und £ je eine komplexe und y eine natürliche Zahl bedeuten soll, nennt man einen Teilbrach. Mit dieser Bezeichnung gilt der Satz. Jede rationale Funktion läßt sich — und, im wesentlichen nur auf genau eine Weise — als Summe einer ganzen rationalen Funktion und endlich vieler Teilbrüche darstellen. Genauer: Handelt es sich um die rationale Funktion (1) und besitzt in ihr der Nenner g(z) die in § 39 (4) angegebene Produktdarstellung, so gibt es genau ein Polynom q(z) und genau p komplexe Zahlen c^, so daß f(z) die Darstellung C

11

,

C

12

«-Ci

(«-W

*-£,

{z-Uf

,

,

C

l cos — - — cos — - — , usw. 1 2 2 2 ungeändert für beliebige komplexe Argumente z, zv z2. Es erübrigt sich, alle diese Formeln im einzelnen hinzuschreiben. 4. Auch die B e r e c h n u n g der Funktionswerte cosz und sin z macht keine Schwierigkeiten. Denn für z = x + iy ist unter Benutzung von (5) und (4)

126

12. Kapitel. Die Exponentialfunktion. cos (a; + iy) = i {eix-i +

(7)

= cos a;

ey

e~ix+y)

+ e-y

e»

1 sin x

_

e-v

2

'

und entsprechend e" + e~* e" — e~" sin (a; + iy) — sin a; — f- i cos x . o u 5. Die aus dem Reellen her bekannten Nullstellen von cos z und sin z sind auch im Komplexen die einzigen. Soll nämlich c o s 2 = 0 sein, so muß nach (5) eiz= — " oder e242 = — 1 = e"» sein. Nach § 4 1 (9) ist also notwendig 2 ¿2 = 7ii + 2 km, d. h. (8)

Und soll sin z = 0 sein, so folgt analog, daß z = k n sein muß, (fc 1 0 , ganz). 6. Es ist genau dann cos z2 = cos zv wenn % = ± zl -f- Zkn ist, — also unter denselben Bedingungen wie im Reellen. ** sin Z l ^ kann näm¿1 u lieh diese Differenz nur dann gleich 0 sein, wenn (s. 5.) Z, + Z„— — - — - oder —^—~ '11 ganzzahligcs Vielfaches von n ist.

Wegen cos z s — cos zx = 2 sin

Zl

Entsprechend ergibt sich, daß dann und nur dann xin z2 = sin ist, vrnn z2 = Zj + 2 kji oder z2 = n — zx + 2 kn ist, — also wieder wie im Reellen. 7. Die Funktionen cos z und sin z nehmen in einem Periodenstreifen, etwa in dem Streifen (9) —7i , 1 - 3 s * . 1 * 3 * 5 zT . (5)

a r c sin z = z

4 — * —

2

3

—

2*4

5

—(-•••,

2• 4• 6

'

(M