Aufgabensammlung zur Funktionentheorie: Band 1 Aufgaben zur elementaren Funktionentheorie [6. Aufl. Reprint 2019] 9783111613727, 9783111237886

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SAMMLUNG

G Ö S C H E N

BAND

877

AUFGABENSAMMLUNG ZUR F U N K T I O N E N T H E O R I E von

PROF. DE. KONRAD

KNOPPf

ehem. Professor xler M a t h e m a t i k an (1er U n i v e r s i t ä t T ü b i n g e n

I

AUFGABEN ZUR ELEMENTAREN

FUNKTIONENTHEORIE

Sechste

Auflage

W A L T E R DE GRUYTER & CO. vormals G--J. Göscben^sche V e r l a g s h a n d l u n g • J . G u i t c n i a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g • G e o r g R e i m e r • K a r l J . T r ü b n e r • V e i t & Comp.

B E R L I N 19G2

Die

Gesamtdarstellung

umfaßt

folgende

Bände:

I. A u f g a b e n zur e l e m e n t a r e n F u n k t i o n e n t h e o r i e (Slg. Bd. 877) II.

Aufgaben Bd. 878)

zur

höheren

Funktionentheorie

(Slg.

Göschen Göschen

© Copyright 190-2 by W a l t e r de G r u y t e r et Co., vormal» G. J . Göschen'sehe V e r l a g s h a n d l u n g / J . G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g / Georg Keimer / Karl J . T r ü b n e r / Veit & Comp., Berlin \V :i0, G e n t h i n e r Str. 13. Alle Rechte, einschl. (1er R e c h t e der H e r s t e l l u n g v o n P h o t o k o p i e n u n d Mikrofilmen, v o n der V c r l a g s h a n d l u n g v o r b e h a l t e n . — A r c h i v - N ' r . 7713623. D r u c k : I.indcmann l.iideckc, Berlin SO :!«. - Printed in G e r m a n y .

Inhaltsverzeichnis. Vorbemerkungen L Kapitel. Grundlegende Begriffe. § 1. Die komplexen Zahlen und ihre Darstellung in der Ebene § 2. Punktmengen. Wege und Gebiete . . II. Kapitel. Zahlenfolgen und anendliche Reihen. § 3. Grenzwerte von Zahlenfolgen. Unendliche Reihen mit konstanten Gliedern § 4. Konvergenzeigenschaften der Potenzreihen III. Kapitel. Funktionen einer komplexen Veränderlichen. § 6. Grenzwerte von Funktionen. Stetigkeit und Differenzierbarkeit . . . . . § 6. Einfache Eigenschaften der elementaren Funktionen IV. Kapitel. Integralsätze. § 7. Der Integralbegriff § 8. Cauchysche Integralsätze und Integralformeln V. Kapitel. Reihenentwicklungen. § 9. Reihen mit veränderlichen Gliedern. Gleichmäßige Konvergenz § 10. Potenzreihenentwicklungen § 11. Verhalten von Potenzreihen auf dem Rande des Konvergenzkreises . . . . VI. KapiteL Konforme Abbildungen. §12. Lineare Funktionen. Stereographische Projektion §13. Spezielle (nicht lineare) Abbildungsaufgaben einfacher Art

Seite

4 7l) 9

13

45 l ) 48

64

16

19

66

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73

26

83

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88

30 32

92 99

34

108

37

114

42

124

*) Dia in der ersten Spalt« angegebene Seiteoiahl beliebt sieh auf dit A u f g a b e n , die in der «weiten angegebene aal die L t H o n g e n .

Vorbemerk ungen. Bei der Auswahl der Aufgaben dieser kleinen Sammlung habe ich mich streng an die in der „Sammlung Göschen" vorhandenen funktionentheoretischen Bändchen gehalten, nämlich 1. K o n r a d K n o p p , Elemente der Funktionentheorie, 5. Auflage, 1959; 2. K o n r a d K n o p p , Funktionentlieorie I, Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen, 10. Auflage, 1961; 3. K o n r a d K n o p p , Funktionentheorie II, Anwendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie. 10. Auflage, 19(>2; 4. L u d w i g B i e b e r b a c h , Einführung in die konforme Abbildung, 5. Auflage, 1956. Von dem darin behandelten Stoffgebiet wird aber vorläufig nur der kleinere Teil benutzt, so daß das zweite meiner Bändchen fast gar nicht und dasjenige von Bieberbach nur in geringem Maße als Grundlage dient. Diese finden in dem II. Teil dieser Aufgabensammlung, Aufgaben zur höheren Kunktionentlieorie, 5. Aufl.. 1959, Sammlung Göschen Nr. 878, entsprechende Berücksichtigung. Wesentlich schien es mir, nur wirkliche Übungsaufgaben zu bringen, also nur solche, die zur Klärung und Beherrschung des dort behandelten Stoffes dienen, ohne sachlich er-

Vorbemerkungen.

6

heblich darüber hinauszugehen. Denn keinesfalls wollte ich eine nur in die F o r m einer Aufgabensammlung gekleidete Ergänzung jener Bändchen bringen. Daher bezieht eich auch die Mehrzahl der Aufgaben auf die grundlegenden Dinge, vor allem also auf das Stoffgebiet der „Elemente" und meines ersten Bändchens, dessen Disposition im großen und ganzen auch jetzt wieder benutzt wurde. Für den Gebrauch der Aufgabensammlung ist noch die Beachtung der folgenden Bemerkungen von Nutzen: 1. Auf die obengenannten vier Bändchen wird kurz durch Elem, K I, K II und Bi verwiesen unter Angabe von Paragraph oder Seite, die sich stets auf die obengenailnten Auflagen der Bändchen beziehen. 2. Viele- von den späteren Aufgaben setzen zur Lösung Vorausgegangenes voraus. Falls besonders darauf verwiesen wird, geschieht es durch Angabe von Paragraph und Nummer der Aufgabe. Bei Aufgaben desselben Paragraphen wird nur die Nummer genannt. 3. Aufgaben, die — im Rahmen dieses Bändchens — als etwas schwieriger anzusehen sind, sind durch ein Sterneben (*) kenntlich gemacht. 4. Nicht nachdrücklich genug kann empfohlen werden, sich Figurenskizzen zu allen Aufgaben zu machen, bei denen dazu nur irgend Anlaß ist. 5. In der Bezeichnung sind durchgehend die folgenden Regeln eingehalten worden: a) Beliebig gegebene komplexe Zahlen (oder Punkte) sind mit z 0 , z l t . . . , w0, wlt . . a , b , . . . bezeichnet, komplexe Variable mit z, £, . . . , w, . . . Nur in § 13 sind auch Variable mit zlt z 2 , . . . bezeichnet. 7 , a, . . . sollen die zu 2, a , . . . konjugierten Zahlen bedeuten. b) Beliebig gegebene reelle Zahleil werden mit x0, xi, ..., • • • bezeichnet. «&>> 2/i> • • •>"> • • •> v0>

6

Vorbemerkungen.

E s wird 2 = x + iy = r (cosgp + i singp), w = u + iv gesetzt, wenn reeller und imaginärer Teil, und 3 ( 2 ) , B e t r a g und Arcus, | z | und arc 2, besonders zu bezeichnen sind. c) D u r c h r, q, ö, e, . . . sollen stets positive, durch k, m, n, p, . . . im allgemeinen g a n z e positive Zahlen bezeichnet werden. d) G e b i e t e werden mit großen deutschen, R ä n d e r und W e g e mit kleinen deutschen B u c h s t a b e n bezeichnet: 8

3, p,

...

Endlich sei zur E r g ä n z u n g und Vertiefung hingewiesen auf die große und ausgezeichnete funktionentheoretische Aufgabensammlung v o n G. P ö l y a und G. S z e g ö , A u f g a b e n und Lehrsätze aus der Analysis, B a n d I u n d I I , Berlin 1925; 2.. unveränderte A u f l a g e 1954.

E r s t e r Teil. A u f g a b e n . I. K a p i t e l .

Grundlegende Begriffe. § 1. Die komplexen Zahlen und ihre Darstellung in der Ebene. (Eiern, § § 1 - 2 2 ; K I , § 1 - 2 . ) 1. Es sei 20 eine von 0 verschiedene komplexe Zahl. Welche komplexe Zahl entspricht dem Spiegelbild von 20 a) am Nullpunkte, b) an der Achse des Reellen, c) an der Achse des Imaginären, d) an der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten, e) an der Winkelhalbierenden des 2. Quadranten? 2. Es ist stets

®| + | y | ) = | « | = |ar| + | y | . v 2 3. Welches ist der geometrische Ort aller Punkte t für die a)|e|=s2:

b)|«|>2;

d) 0 ^ 3 i ( i z ) < 2 n ; 2

1) 3(* ) = « ( = 0 ) ; h) I « s — 11 = 0 ;

c) 9 t ( « ) i £ j ;

e) 31(3«) = « ( § 0 ) ; g) | — « 1 ^ 1 ; 1 i) < d , d>

0;

8

I. Kap.: Grundlegende Begriffe.

k) m)

z —1

z 7 + T

= 0;

n) | |2—

4. W a n n liegen 3 P u n k t e zlt ^Man

;

' M r + r

z + 1

betrachte

den

z2,

I

= 1?

z 3 in gerader L i n i e ?

Differenzenquotienten

—

—

5. W a n n liegen 4 P u n k t e Zj, z2, z3, zi auf einem K r e i s e ? / 2 z z z \ 1 ( Man b e t r a c h t e das Doppelverhältnis — i.. j : V ¿2 — Zg 2g — ' 6. E s ist stets | z1 + z2 ¡2 + j z1 — z 2 J2 = 2 (j z1 f + | z2 |2). Welchen geometrischen S a t z liefert diese G l e i c h u n g ? 7. W e l c h e r P u n k t z teilt die S t r e c k e z 1 . . . z 2 im Verhältnis ¿ j : ?. 2 , (/] + / a + 0 ) ? 8. E i n Dreieck h a t die E c k e n z x , z 2 , z 3 . W o liegt sein S c h w e r p u n k t , wenn a ) in jede E c k e dieselbe Masse X , b ) in die" E c k e n der Reihe nach die Massen Aj, ^ gelegt w e r d e n ? Man zeige zu b ) r e i n a r i t h m e t i s c h , daß für positive Massen ^ der S c h w e r p u n k t stets im Innern des Dreiecks liegt. 9. Man zeige, daß der S c h w e r p u n k t des aus den mit den Massen X2, . . . , lk belegten P u n k t e n z1, z 2 , . . . , zk bestehenden liegt.

S y s t e m s in

z =

i- • + h + h +

•••+h

10. F ü r 3 P u n k t e z2, z3 sei zx + h + 23 = 0 und j Zj j = | z 2 = | z31 = 1 . B e h a u p t u n g : z x , z 2 , z 3 ist ein dem Einheitskreise einbeschriebenes gleichseitiges Dreieck. 11. I s t Zj + z2 + z 3 + z4 = 0 und | gx | = j z, | = j Zg | = | 1 = 1, so bilden die 4 P u n k t e z ein dem Einheitskreise einbeschriebenes R e c h t e c k .

§ 2. Punktmengen.

Wege und Gebiete.

9

12. Wann sind die Dreiecke z t z2 z3 und z[ z$ einander (gleichsinnig) ähnlich? (Man betrachte die Differenzenquotienten, s. Aufgabe 4.) *13. Es sei | i j | < 1 und | zt ] < 1. Dann gibt es eine nur von2j und z2 abhängige positive Konstante K = K(z1, z2) derart, daß für jedes z, das dem Dreieck + 1 , z3 angehört und von -+-1 verschieden ist, stets Ii —

K l —Ul bleibt, mag z dem Punkte 1 sonst so nahe kommen, „ . 1+1 1— i wie es will. — Man bestimme für zl = —-—, z2 = —-— den kleinsten Wert der Konstanten K . § 2. Punktmengen.

Wege und Gebiete.

(Eiern, § § 2 3 - 2 5 ; K I, § 3 - 4 . )

1. Die Menge alle* Wurzeln aller algebraischen Gleichungen der Form a0z" + a^"-1 + • • • + «n—I z + a„ = 0, bei denen die ar komplexe g a n z e Zahlen sind [d. h. 3R(a,,) und ¡ 3 ( ° v ) sollen reelle ganze Zahlen sein], ist abzählbar. Man gebe eine Abzahlung an. 2. Die Menge aller Zahlen z — x + iy mit rationalen x und y ist abzählbar. Man führe eine bestimmte Abzahlung durch. ^ • 3. Die Menge der Zahlen z = 1 (m und n positivm n ganz) ist abzählbar. Man ordne sie zu einer Zahlenfolge. 4. Man bestimme die untere Grenze tx, die obere Grenze ß , den unteren Limes l und den oberen Limes u für folgende reelle Punktmengen und gebe jedesmal an, ob die betreffende Zahl zur Menge gehört oder nicht:

10

I. K a p . :

Grundlegende

Begriffe.

a) Die rationalen Zahlen, deren Quadrat ä l 10 ist unü deren Nenner eine gerade Zahl ist. b) Die Zahlen der Form ( l ± ^ C)

.

» " » (^¿T-

d)

n ± ~ . n

c)

.

f

±

*) m

e) h) i)

n

/I

'

1\«+»

\ m

m

n

1 + (-!)» +

k) Die Menge aller derjenigen Zahlen, deren jede als (unendlicher)Dezimalbruchso geschrieben werden kann, daß er mit „0, . . . " anfängt und dann nur ungerade Ziffern (also auch nicht die Ziffer 0) enthält. *5. Man beweise, daß bei dem letzten Beispiel der vorigen Aufgabe j e d e r Punkt der Menge ein Häufungspunkt dersefben ist. oi

6. Wenn « bzw. ß nicht zur Menge gehören, so ist — X bzw. ß = f i . J

) Bei b) bis i) sollen n und m beliebige natürlich

Zahlen bedeuten.

§ 2. Punktmengen.

Wege und Gebiete.

H

7. Ist die durch die Beziehung | z | + 9t(z) ^ 1 definierte Menge beschränkt ? Welches Gebiet erfüllen ihre Punkte ? 8. Man gebe Mengen a n : a) b)

1 m

1

i n

,

alle

Häufungspunkte

der

folgenden

(m und n natürliche Zahlen)

|z| 0 , d) die Menge aus Aufgabe 2 , e) alle nicht reellen z aus dem Innern des Einheitskreises. * 9 . Ist die Menge in Aufgabe 4 k abgeschlossen? 10. Jeder nicht selbst zur Menge gehörige Häufungspunkt ist ein Randpunkt derselben. 11. Jeder zu M gehörige Randpunkt £ einer Menge M ist Häufungspunkt der Menge M' aller nicht zu M gehörigen Punkte (der sogenannten Komplementärmenge von M). 12. Die Gesamtheit R der Randpunkte einer Menge M bildet selbst stets eine abgeschlossene Menge. *13. Sind M' und M" zwei abgeschlossene Mengen ohne gemeinsamen Punkt, von denen wenigstens die eine — etwa M' — beschränkt ist, so gibt es eine positive Zahl d, so daß der Abstand eines Punktes z' aus M' von einem Punkte z" aus M" stets ist. Und unter allen diesen Zahlen d gibt es eine größte d0. 14. Man zeige, daß kein Stück der stetigen Kurve

streckbar ist, wenn es den Nullpunkt enthält.

12

I. Kap.: Grundlegende Begriffe.

15. Aus der oberen Halbebene [^j(z) > 0] schließe man alle Punkte aus, die auf den Loten von der Länge 1 liegen, welche man auf der reellen Achse in den dort gelegenen Punkten 0 und ± —, (n = 1, 2, 8, . . . ) errichtet hat. n Bilden die verbleibenden Punkte M ein Gebiet? Welches sind die Randpunkte von M ? Ist speziell — ein Randu punkt? Auf welchem Wege kann man von dem zu M gehörigen Punkte z0 = 2 + i nach—-gelangen, wenn dieser

i

Weg, von—abgesehen, ganz im Innern von M liegen soll? u

16. Ist die durch die Gleichungen z = z ( = j für 1 & / > 0 nach Hinzunahme des Punktes z = 0 (dem Parameterwert t = 0 entsprechend) definierte Spirale S ein Weg, der s1=z(l) mit z0 = 0 verbindet? *17. Man beweise, daß der einfache Zusammenhang eines Gebietes auch folgendermaßen definiert werden kann: Ein Gebiet © heißt einfach-zusammenhängend, falls die Menge der Randpunkte des stereographischen Bildes von © zusammenhängend ist. (Eine abgeschlossene Menge heißt dabei zusammenhängend, wenn sie nicht in zwei abgeschlossene Teilmengen ohne gemeinsames Element zerlegt werden kann.) 18. Ist das in Aufgabe 15 definierte Gebiet einfachzusammenhängend ? 19. Ein einfach-zusammenhängender (schlichter) Bereich © auf der Kugel, der 2 Punkte der K u g e l nicht enthält, enthält u n e n d l i c h viele Punkte der Kugel nicht.

§ 3. Grenzwerte von Zahlenfolgen.

13

IL Kapitel.

Zahlenfolgen nnd anendliche Reihen. § 3 . Grenzwerte von Zahlenfolgen. Unendliche Reihen mit konstanten Gliedern. (Elem, §§ 2 6 - 3 0 ; K I, § 3 . ) 1. Zi, Zg, . . . , z„, . . . sei eine beliebige Punktfclge. £ ein Häufungspunkt derselben. Man zeige, daß man aus der Folge der z„ stets eine T e i l f o l g e z\, zh, . . . so herausheben kann, daß z„ ->• £ konvergiert. 2. Aus z„ ->- £ folgt stets, daß auch ,

z1 + z8 + • •. + Z« ^

r

strebt. Gilt dies auch für £ = oo ? 3. Aus z„ —> £ folgt stets, daß auch

j _

=

J V l + (P, -

Piz1+ptzt + ... + p„ zH Vi + Vt + • • • + Vn PQ % + • • • + ( P . ~ P . - l )

r

P„ strebt, wenn die p, irgendwelche p o s i t i v e Zahlen sind, für die P„ = (Px + V%+ . . . + ? • ) - » - + < » strebt. 4. Aus zB —>- £ folgt stets, daß auch

r = Mi + ••• +bnzn h + h + ••• + K _ B1z1 + (B, - B J t, + . . . + (Bn - Bn—l) Sn Bn

r

^

strebt, wenn die br irgendwelche k o m p l e x e Zahlen sind,

14

II. Kap.: Zahlenfolgen und unendliche Reihen.

für die die Zahlen 3 „ =

+ ^ J^4".^'4" , für alle I h I + I h | + • • • - r | o„| n oberhalb einer festen positiven Zahl ß liegen und

(l 6 xl + l * , i l + " - + I M ) - ) - + 0 0

strebt-

5. Aus z„ —>- 0 folgt stets, daß auch die Zahlen Zn = InlZl + «n222 + • • • +

0

streben, falls die aKx des Schemas an • 0 für jedes feste p. 8. Aus z„ —y £ folgt stets, daß auch die Zahlen «»=

2~n

streben. 9. Es strebe i'n -> 0 und zu der Folge (*J) gebe es eine Konstante M, so daß | z'[ | + | z'i | + ... + | % | ^ M bleibt für alle w. Dann bilden auch die Zahlen J jr

,

j _tt

.

.

j

Ii

Zn = «1*7. + « 2 « n - l + • • • + 2n«l eine Nullfolge. „ D 00 10. Eine unendliche ßeihe £ c n ist dann und nur dann n=0 konvergent, wenn bei b e l i e b i g e r Wahl der ganzen positiven Zahlen ply pt, ..., pn, . . . stets Tn = ( c B + i + e B + ? + . . . + C/i+Pb) - > 0 strebt. 11. Sind a,,, Oj, Oj, . . . und b0, bt, ... zwei ganz beliebige Zahlenfolgen und wird a0+ a1+ ... + an = s« gesetzt (n = 0 , 1 , . . . ) , so ist für beliebiges n § 5 0 und beliebiges y g l n+ P ^ a

y

n+ p b , = £ s , , ( b

»=n+l

l

, ~ - b ,

+ 1

)

—

r=n+l

(Abcische partielle Summation.)

snbn+1

+

s

n + p

b

n + p + 1

.

16

II. Kap.: Zahlenfolgen und unendliche Reihen.

m 12. £ a n sei irgendeine (konvergente oder divergente) n=0 unendliche Reihe, es werde a0 + (ri) = der Anzahl der zu n teilerfremden ganzen Z a h l e n d « ;

;

w+i

e){a2i

={f;

oder =

gesetzt wird.

\yjfc.

oder

J fc! (logfc)"

2. Genügen die Glieder der Reihe ,Za„zJ einer Bedingung einer der beiden Formen a) | a„z0n | < Kn'c, b) | a0 + a^ + ... + anz% \ < Kn" für zwei feste (d. h. von n unabhängige) positive Zahlen Ii und k, so ist J£anzn für jedes z absolut konvergent, für das | z | < | z01 ist. 3. £ a n z n habe den Konvergenzradius r und £ a ' n z n den Radius r \ Welchen Radius haben die Reihen 2{an+a'n)z\ 2{a,-a'n)z», 2an-a'nz», (Bei der letzten müssen natürlich alle a'„ 4= 0 angenommen werden.) 4.

Welchen g

">

J£a„z

n

Radius

haben

J£ann\zn,

die Reihen wenn

J£annpzn,

derjenige

von

gleich r > 0 ist?

*5. In welchen Randpunkten ihres Konvergenzkreises ist die Potenzreihe ® „ sriz n n= l

konvergent, in welchen nicht? K n o p p , Aufgabensammlung z. Funktionentheorie.

I.

18

II. Kap.: Zahlenfolgen und unendliche Reihen.

6. J£a„z n habe den Radius r und sei in einem speziellen R a n d p u n k t e z0 des Konvergenzkreises a b s o l u t konvergent. Behauptung: 2 a , n z n konvergiert absolut und gleichmäßig für alle \ 7. Es sei f eine ganze positive Zahl. In welchen Randpunkten ihres Konvergenzkreises ist die Potenzreihe ¡aP 22p * p + i r + i r + konvergent, in welchen nicht? 8. Die Koeffizienten a 2 , . . . der Potenzreihe 2 , a n z n seien reell und monoton abnehmend mit dem Grenzwerte 0. Man beweise, daß a) ihr Radius r mindestens = 1 ist; b) sie, falls r — 1 ist, sicher in allen von + 1 verschiedenen Randpunkten des Konvergenzkreises konvergiert. 9. Die Behauptungen der Aufgabe 8 bleiben auch bestehen, wenn die an komplex sind, —»- 0 streben, und wenn | an — an+ 11 konvergiert. 10. Wie ändern sich die Antworten in Aufgabe 8 b und 9, wenn dort r > 1 ist ? 11. J£a„z n habe den Radius r, 2 b n z n den Radius q. Welchen Radius R hat die Reihe £c„ z", wenn c„ = a0 bn + • • • + M o gesetzt wird ? *12. Die Potenzreihe w = /(z) = a0 + a^z — z 0 ) + ^ ( a — z0 ) 2 + ... habe einen Konvergenzradius r > 0; die Potenzreihe den positiven Radius R. Aus oo w — w0 = (a0 — m>0) -f- 2 an( 3 — Z0)n leite man durch n=l wiederholtes Multiplizieren die Reihen für (w — w 0 ) k ,

§ 5. Grenzw. v. Funktionen. Stetigkeit u. Differenzierbarkeit. 19

fe = 2 , 3 , . . . , her, setze sie in die Reihe für W ein und ordne nach Potenzen von ( z — z 0 ), was

n —

O

liefern möge. Für welche z ist diese Reihe sicher konvergent, für welche sicher divergent ? Ist f ü r die ersteren W = g(f(z)) ? Was läßt sich allgemein über ihren Radius aussagen ? *13. Ist w = /(?) = a0 + axz + a 2 2 2 + . . . und hierin o n 4= 0, so läßt

sich

auch

W = — = -r—- in w

eine

f(z)

Potenzreihe b + b z + b z + . . . entwickeln. Man gebe Rekursionsformeln zur Berechnung der bn an und bestimme eine untere Schranke für den Radius von 2b,¡e . 14. Im Anschluß an Aufgabe 5 bilde man eine Potenzreihe mit dem Radius 1, die in genau p vorgeschriebenen Randpunkten des Einheitskreises divergiert, in allen anderen konvergiert. **15. Läßt sich eine Potenzreihe £ a z mit r = 1 angeben, die in allen Randpunkten des Einheitskreises außer in z = + 1 divergiert, in z = + 1 aber konvergiert'? 0

t

z

2

n

n

n

III. K a p i t e l .

Funktionen einer komplexen Veränderlichen. § 5. Grenzwerte von Funktionen. Stetigkeit und Differenzierbarkeit. (Elem, §§ 31—35; K I, §§ 5—7.) 1. Man untersuche die folgenden beiden Funktionen in bezug auf ihre Stetigkeit: a) j(z) = 0 f ü r z = 0 und für alle diejenigen z, f ü r die | z | eine irrationale Zahl ist, dagegen f(z) = — , wenn

20

HI. Kap.: Funktionen einer komplexen Veränderlichen. «

121 =: ~ rational ist und p und q hierbei ganze, positive, teilerfremde Zahlen bedeuten. b)/(e) = 0 für 2 = 0, /(«) = s i n £ für 2 = r ( c o s # + * s i n # ) und r > 0 . Man stelle bei beiden Funktionen £enau fest, in welchen Punkten der Ebene sie stetig, in welchen sie unstetig sind. 2. Ist f{z) stetig in £ und strebt z„—>-so strebt

*. = /(«•)-»•/(£).

3. Ist umgekehrt eine in £ und Umgebung definierte Funktion /(z) so beschaffen, daß für jede Zahlenfolge z„, die —>• £ strebt und jener Umgebung angehört, sich die Folge der zugehörigen Funktionswerte wn — f(zn) als konvergent erweist mit dem Grenzwerte / ( £ ) , so i s t f(z) in £ stetig, j 4. Ist die Funktion /(2) = -1 — 2 im I n n e r n des Einheitskreises s t e t i g ?

Ist sie dort gleichmäßig stetig? i_

5. In 0 < 121 < 1 sei /(«) = e I gesetzt. Ist diese Funktion dort stetig? Ist sie gleichmäßig stetig? 6. Es werde für 121 > 0

m»-^. fcW_«w fcw-isac

m - 1w+

M

m - W .

gesetzt, und für % — 0 werde allen fünf Funktionen der Wert 0 beigelegt. Welche dieser Funktionen ist (speziell in 2 = 0) stetig, welche nicht ? 7. Man ersetze bei den vorigen fünf Funktionen 91(2) durch 3 ( 2 ) und beantworte dieselben Fragen.

§ 5. Grenzw. v. Funktionen. Stetigkeit u. Differenzierbarkeit. 21 *8. Die F u n k t i o n }(z) sei f ü r |z] < 1 ( n i c h t f ü r definiert und dort nicht n u r stetig, sondern sogar gleichmäßig stetig. Dann ist f ü r jede gegen einen R a n d p u n k t £ des Einheitskreises konvergierende Folge von P u n k t e n z„ aus seinem Innern l i m / ( z „ ) vorhanden und h a t einen n-> + oo nur von £ abhängigen Wert. (Man sagt, f(z) n e h m e eindeutig bestimmte R a n d w e r t e an.) *9. Man zeige im Anschluß an die vorige Aufgabe, d a ß die dort definierten R a n d w e r t e eine längs der Peripherie des Einheitskreises stetige F u n k t i o n bilden. 10. Sind die F u n k t i o n e n in den Aufgaben 1 u n d 5 in irgendwelchen P u n k t e n differenzierbar? In welchen? — Man prüfe jede einzelne dieser F u n k t i o n e n u n d f ü h r e die Beweise genau durch. 11. Man stelle d a s Bestehen d e r C a u c h y - R i e m a n n s c h e n und der L a p l a c e s c h e n Differentialgleichungen a n den elementaren Funktionen a) z, z z " ( « > 2, g a n z ) ; b) e s l o g z ; c) sin 2, cos z, tg z, c t g z; d) a r e sin z, a r c tg z fest. 12. Man beweise — u n t e r Vermeidung jeder Trennung in Reelles und Imaginäres —, daß, wenn in einem Gebiete © überall f { ¿ ) — 0 ist, dort /(z) = const. sein m u ß . *13. U n t e r Voraussetzung der Existenz und Stetigkeit von f'(z) in | z — f | < q beweise man den Satz: Sind (zn) und (z'n) irgend zwei Punktfolgen, die - >- £ streben und ist f ü r jedes n stets z'n =)= z„, so strebt

m-m

22 III. Kap.: Funktionen einer komplexen Veränderlichen. Anleitung: Man setze f (z) =

(x, y) und wende den ersten Mittelwertsatz an. *14. Ist /(z) in | z — £ | < q differenzierbar und /'(z) dort stetig, so ist /(z) in| z — £ < (> g l e i c h m ä ß i g differenzierbar, d. h. nach Wahl von £ > 0 läßt sich eine Zahl 8 > 0 so angeben, daß für jedes z in | z — £ | = und jedes dortige z', für das | z' — z | < ö ist, stets /(»)— f(z) _

f ,( s )


1 + x\ b) ex< c)

1

+

1

. 1

x

~

, falls x

K l ;

s

< 1 — e~

x r

d) x < e — 1 < e) 1 + x > e ^ ,

< x, falls X > — 1; x

, falls x < + 1;

falls x > — 1;

xP

x

f) e > — r für jedes ganze p §2 0 , falls x > 0; p\

g)

ex

>

+

h) e~* < 1

- j j >

ex+y

,

falls

x

> 0 und

falls 0 < x < 1 . f z V 4. Für j e d e s z strebt(1H ) e*.

y >

0;

§ 6. Einfache Eigenschaften der elementaren Funktionen.

23

5. Ist die Folge (z n ) konvergent mit dem Grenzwert so strebt ( l +

e\

6. Mail beweise, daß die Gleichung Losungen z = hat, (7c = 0 , ± 1 , 7. Man beweise die Gleichung . pz* =

ez — 1 nur die ± 2 , ...).

(>zi 4- z>

durch direktes Ausmultiplizieren der linksstehenden Reihen. 8. Wie kann die Periodizität von e* direkt aus der E x ponentialreihe abgelesen werden? 9. E s bewege sich z auf einem von 0 ausgehenden Halbstrahle ( a r c i = const.) ins Unendliche. F ü r welche Richtungen desselben ist lime 2 vorhanden, für welche n i c h t ? 10. Wie verhält sich z + ez bei den in der vorigen Aufgabe betrachteten Bewegungen von z ? 11. E s bewege sich z auf einem der vier Äste der Hyperbel xy= 1 ins Unendliche. Welche der vier Grenzwerte lim ez sind dabei vorhanden ? 12. Es bewege sich z auf einem der beiden Äste der Parabel y = x- ins Unendliche. Ist auf einem von ihnen lim ez vorhanden? 13. Man beweise die Gleichungen cos^i +

~2) =

cosZj cos z 2 — sin 2, • sinz 2

sin(Zj +

z2) =

sine x cosz 2 +

cos 2 2 +

sin 2 z =

cos z 1 sinz 2

1

durch Ausmultiplizieren der betreffenden Reihen. 14. Auf welchen Linienzügen der z-Ebene sind die Funktionen e', cosz, sine reell, auf welchen rein imaginär?

24 III. Kap.: Funktionen einer komplexen Veränderlichen. 15. Wie berechnet man ez, cos«, sin2 am bequemsten? Welche Werte haben speziell (auf drei Dezimalen) e2 + ', cos (5 — %), sin(l — 5 t)? 16. Welche Lösungen in der 2-Ebene haben die Gleichungen s i n 2 = 1000, COS2=21,

flin2=5t, C 0 8 2 = 4 + 3»,

sin2=l—i. C0S2 = 5 ?

17. Man bestimme die Koeffizienten a0 bis as der Entwicklung von sin z tg 2 = = a 0 + = arc sin z die Formel dw

darc sin«

di

dz

1 j/i_22

unter Berücksichtigung der Vieldeutigkeit der Funktionen links und rechts korrekt bewiesen werden. 21. Welche Beziehung besteht zwischen a) arc sin 2 und log z, b) arctg2 und log2? 22. Was bedeutet t' ? was • a\ letzteres für « 4 = 0 ? 23. Inwieweit ist die Beziehung dz" = aza~1dz auch bei komplexem a richtig? Welche Bedeutung muß man den unendlich vieldeutigen Funktionen rechts und links beilegen ?

§ 7. Der Integralbegriff.

25

24. Die Funktionen ©in« = haben

ez — e~ z s 2

, '

1

=

e* + e—2 2

6ehr ähnliche Eigenschaften wie sin z und cos z.

Man untersuclie diese und stelle insbesondere fest, daß a) b) c) d)

© o i ^ — ©in 2 2 = 1, (©in z)' = Gof z, (Gof z)f = ©in z ist, beide Funktionen die primitive Periode 2 n i haben, die Additionstheoreme S i n (zt + zt) = Eof (2, + z2) =

©in zi Eof z.t + Eof ®o[ Zi 6o( z, + ©in

zt S i n za zt ©in

gelten. 25. L ä n g s welcher Linienzüge sind die in der vorigen Aufgabe definierten Funktionen ©in z und (Jof z reell ?

IV. K a p i t e l .

Integralsätze. § 7. Der Integralbegriff. (K I, § § 8 - 1 1 . )

1. Man berechne J\z\dz,

indem man den Weg a) ge-

— »

radlinig, b) längs der linken, c) längs der rechten Hälfte des Einheitskreises nimmt. 2. Man berechne

indem man für L

a) den einmal positiv von + 1 nach + 1 umlaufenen Einheitskreis. b) die geradlinige Strecke von z1 nach z2, c) den einmal positiv umlaufenen Kreis mit r um z 0 nimmt.

26

IV. Kap.: Integralsätze.

3. Man berechne (ohne Benutzung des Cauchyschen Integralsatzes) das Integral f(z

(L)

— z0)mdz,

(m = 0 , g a n z ) ,

für den Fall, daß a) L ein Quadrat ist, dessen Mittelpunkt in z0 liegt und dessen Seiten zu den Achsen parallel sind; b) L eine Ellipse ist, deren Mittelpunkt in z0 liegt und deren Achsen denen der Koordinaten parallel sind, — dies jedoch nur für gerade m und für m = — 1 . 4. Man berechne das Integral —i

+ i bei dem |/T den Haupt wert der Quadratwurzel bedeuten soll, a) längs der oberen, b) längs der unteren Hälfte des Einheitskreises. *5. Man berechne das Integral

längs jedes der folgenden vier Wegstücke: L x : geradlinig von Q > 0 nach r > Q, L2: von + r längs | z \ = r durch die obere Halbebene nach — r , L3: geradlinig von — r nach — Q , L 4 : von — Q längs \z\ = Q durch die obere Halbebene nach *6. a) Welchen Grenzwert hat das Integral längs in Aufgabe 5, wenn man r y + oo streben läßt ?

Lt

§ 7. Der Integralbegriff.

27

b) Welchen Grenzwert hat das Integral Ji längs L 4 in Aufgabe 5, wenn man q —>- 0 abnehmen läßt ? * Anleitung: Man addiere 7rt in der Form ijl-dt zu J 4 und zeige, daß das neue Integral —>• 0 strebt, o 7. Die Funktion/(2) sei außerhalb des Kreises ¡2 — z0 \ — r0 stetig. Es bezeichne M(r) das Maximum von | /(z) | für alle | z — z01 = r > r 0 und für r — >- + 00 strebe rAi(r)—»-0. Dann ist auch

Jim_(*')ff{z)dz=

0,

wenn Kr die Peripherie | z — z01 = r oder einen Teilbogen derselben bedeutet. 8. Ist /(z) für alle 0 < | z — j < r 0 stetig — in z0 selbst darf eine Unstetigkeit liegen — und ist, wenn M(r) das Maximum von /(z) längs |z — z01 = r < r0 bedeutet, lim rM(r) = 0, r—> 0 so ist auch / lim < )ff{z)dz = 0, r—>- 0 wenn jetzt Kr die Peripherie | z — z01 = r < r 0 oder einen Bogen derselben bedeutet. 9. Es bedeute L denjenigen Radius des Einheitskreises, dessen Richtungswinkel = « ist. Für welche Werte von a hat das Integral ~

w

, d. h. = c - * i o g n

(logn^O),

zn

zn

1

z"

coswz n*

_ '

anzn

_

(—1)"

_

V - z

+ n '

22" 1—B

2

1

Zn

sinnz ( — l)»w (z +

n)logn'

2" Z

2

+1

(Die Reihe a) ist eine spezielle die Reihen b), d), e) und f) sind 2. Man untersuche, ob bzw. Konvergenzgebietes die Reihen m ä ß i g konvergieren.

D i r i c h l e t s c h e Reihe, L a m b e r t s c h e Reihen.) in welchem Teile ihres in Aufgabe 1 g l e i c h -

§ 9. Reihen mit verändert. Gliedern. Gleichm. Konvergenz.

31

3. Wenn J£fn(z) in © gleichmäßig-absolut konvergiert (d.h. wenn dort fn(z) | gleichmäßig konvergiert) und wenn die Funktionen fn(z) in © regulär sind, so konvergiert auch 2fn(z) in jedem abgeschlossenen Teilgebiet von © gleichmäßig-absolut. 4. Die Funktionen /„(z) und h„(z) seien für n = 0,1,2,... in einem Gebiete © regulär und es werde zur Abkürzung /«(«) + /i(*) + • • • + /»(«) = sn(z) gesetzt (n = 0,1, 2,...). Wenn dann in © a) der Grenzwert lim sn (z) • h„ 4.1(2) gleichmäßig vorhanden ist und oo" -> " G0 " b) die Reihe ^ s „ ( z ) \hn(z) — A n + 1 ( z ) ]

gleichmäßig

n= 0

konvergiert, so ist in © auch die Reihe ! > ( * ) • K{z) n= 0

gleichmäßig konvergent. 5. Man zeige, daß die Voraussetzungen der Aufgabe 4 insbesondere erfüllt sind, wenn es eine Zahl K gibt, so daß | «„(z) 15s X bleibt für alle 2 in © und alle n, und wenn die Funktionen hn(z) positive, mit wachsendem n m o n o t o n 0 abnehmende Konstanten sind: h n (z) = a„, «n—1 = " » - > • 0. 6. Man beweise mit Hilfe der Sätze der vorigen Aufgaben, daß ® ( in jedem beschränkten Teilgebiet der HalbebeneSR(g)S; (5>0 gleichmäßig konvergiert. 7. Man beweise mit Hilfe derselben Sätze, daß, wenn eine sog. Dirichletsche Reihe, d.h. eine Reihe der Form 00

"Vi*

Z j n n=l

V. Kap.: Reihenentwicklungen.

32

für z — z0 konvergiert oder aucli nur beschränkte Teilsummen hat, sie in jedem beschränkten Teilgebiet der Halbebene 9i (z) (z 0 ) + < 5 , ( d > 0) g l e i c h m ä ß i g konvergiert. 8. Man zeige, daß die folgenden Reihen zwei getrennte Konvergenzgebiete © j und © 2 haben, in denen sie ganz verschiedene analytische Funktionen darstellen: *a\

y i

>Zj„ n=

U Ä

1 — z» '

!

1

T ^ r

c> W ) + m

= | •+ ¿ ( i h r - I M

[

~ J - V - T ) .

j + n— 1

J

Dabei seien in c) f^z) und ft(z) irgendwelche analytische Funktionen-, die für |z|< 1 + ( 0 ) , §

regulär sind.

1 0 . Potonzreihenentwicklungen. (K I, §§ 2 0 - 2 6 . )

1. Man berechne die ersten fünf Potenzreihenentwicklung £ a n z n für « j a) e

,

d ) l o g ( l + e')>

Koeffizienten

der

b) s i n , 1 — z

c) «(«*) ,

e) ]/cösz,

f)

e"inz.

*2. Man stelle die vollständige Potenzreihenentwicklung J £ a n z " für die folgenden Funktionen auf: a) l o g ( a - f y a 2 + 2 a ) ,

wenn hierin a > 0

ist und

y « 2 + za für kleine | z | denjenigen Wert bedeutet, der für z = 0 zu o wird,

§ 10.

b) Y (

l 0 g

Potenzreihencatwicklungen.

T^l) '

1

^

C)

d) (arc tge) • log(l + z1),

33

e) sinaz

und

z

^ cös7'

h

)l0gc0S2-

cos 2 z,

ez

V e +

T'

k) sin2 z 3. Man entwickle die folgenden Funktionen in eine Potenzreihe £ a „ ( z — z 0 ) n : ^ ¿ • ¿ T n=l

fÜI

+

2>

far

"iZizhr n —

2» =

1

c) £ g ) { n ) —

— für «o = 0 ,

wenn gp(l) = 1 ist

n= I

und g>(n) für n > 1 die Anzahl derjenigen natürlichen Zahlen < n bedeutet, die zu n teilerfremd sind, also für n = 2, 3, 4, 5, 6 die Werte 1, 2, 2, 4, 2, . . . hat. 4. Ist /(z) in dem einfach zusammenhängenden Gebiete © regulär (und nicht konstant), so umschließt jeder dort verlaufende geschlossene Weg C nur endlich viele a-Stellen, d. h. Lösungen der Gleichung j(z) = a. 5. Gibt es eine im Nullpunkt reguläre analytische Funktion, die in den Punkten z = — , (n = 1, 2, 3 , . . . ) der Reihe nach die Werte a) 0, 1, 0, 1, 0, 1, . . . 1 „ 1 „ 1 LN b ) 0,

0,

0,

n

...

K n o p p , Aufgabensammlung t. FunktiooeDtheori®.

I.

2

34

V. Kap.:

, 1 T'

C)

1_ 1 2 ' ¥'

„ 1 2 d) - g , j ,

Reihenentwicklungen.

_1_ T'

3 -j,

£ 1_ 6"' 6"'

4

- annimmt?

G. Im Punkte habe f(z) eine Nullstelle tx. ter Ordnung. Welches Verhalten hat die Funktion z

F0(z) =

jf(z)dz

in e0 ? Welches Verhalten hat dort die Funktion z

F1(t) =

[f(e)iz, Zl

wenn z1 in einer Umgebung von z0 liegt, in der /(z) eindeutig und regulär ist und wenn auch die Integrationswege in dieser Umgebung verlaufen? 7. Warum darf man nicht sagen, daß z = 0 eine Nullstelle hat ? ^ *8. Die Potenzreihe f(z) = ^anzn habe )l=0 Radius r. Es soll eine untere Schranke für Betrag der von 0 verschiedenen Nullstellen f(z) angegeben werden. § 11. Verhalten von Potenzreihen auf des Konvergenzkreises.

/(z)=]/z

in

den positiven den absoluten der Funktion

dorn

Rande

(K I, § § 1 7 - 1 9 . )

(Die Aufgaben § 4, Nr. 5—9, 14 und 15 bezogen sich schon auf das Verhalten von Potenzreihen auf dem Rande des Konvergenzkreises.)

§ 11. Potenzreihen auf d. Hände d. Konvergenzkreises.

35

1. Man zeige an Beispielen, daß eine Potenzreihe a) in jedem, b) in keinem Randpunkte, c) in einigen, aber nicht allen Randpunkten konvergieren kann. 2. In welchen Randpunkten ihres Konvergenzkreises konvergieren die Reihen oo _ 00 g2n a) V ( _ l ) » _ , b) V ( — l ) » - i

n-y» C)

V ( _ i ) » i — 00

•3. / (z)=n = 0

d)

— ?

habe den Radius r > 0 und Koeffi-

zienten, die von einer Stelle an reell und positiv sind. Man zeige durch Entwicklung der Funktion f(z) um den Mittelpunkt z0 = + -i- r , daß der Randpunkt

= + r eine

singulare Stelle für /(«) ist. *4. Man zeige mit Hilfe des Satzes der vorigen Aufgabe (oder im Anschluß an K I, § 24), daß die Potenzreihen a) ¿ 2 " ' , b) j r z ( 2 n ) , c) n=0 n=0 n= 0 00 ^« +2 d) > — —— — über ihren Konvergenzkreis 6 ¡ " „ ( 2 " + 2) (2" -f 1) hinaus nicht fortsetzbar sind, wenn bei c) die Exponenten g0,

n=1

zn

z" b)

' W - Z i + i K n=l

2»

36

V. Kap.: Reihenentwicklungen.

im Einheitskreise definierten und dort regulären Funktionen sind über dessen Rand hinaus nicht fortsetzbar. (Vgl. §9, A u f g a b e l b und c.) *6. Die Potenzreihe > z" konvergiert in n n= 1 allen Kandpunkten ihres Konvergenzkreises | z | = 1, jedoch in allen nur bedingt. Hierbei bedeutet [ ^ n ] die größte ganze Zahl 5 1 } ' « . (Anleitung: Man beweise direkt die Konvergenz in z = ' + 1 , sodann unter Benutzung von § 3, Aufgabe 14 die Konvergenz in den übrigen Randpunkten von |.z | = 1 . ) 7. Die Reihe h(z) — 2bnzn habe den Radius r = 1, es sei b„ > 0 und divergent. Es soll gezeigt werden, daß für reelle gegen + 1 wachsende x lim h(x) = + oo X— >- + 1

ist.

8. Es sei £ a n konvergent. Man beweise in Anlehnung an den Satz aus § 9, Aufgabe 4, daß die Potenzreihe 2 i a n z n auf der (reellen) Strecke gleichmäßig konvergiert. *9. Mit Benutzung von § 1, Aufgabe 13, beweise man für die Reihe aus Aufgabe 8 weiter, daß sie sogar in jedem Dreieck zx z 2 1 gleichmäßig konvergiert, dessen Ecken z, und z2 im Innern des Einheitskreises liegen. *10. Was folgt aus den Sätzen der beiden vorigen Aufgaben für den Grenzwert lim ( J £ a „ z n ) ? Genauer: Bei welchen Annäherungen von z an + 1 ist dieser Grenzwert sicher vorhanden und welchen Wert hat er ? (Abelscher Grenzwertsatz.)

§ 12. Lineare Funktionen. Stereographische Projektion.

37

VI. Kapitel.

Konforme Abbildungen. § 12. Lineare Funktionen. Stenographische Projektion. (Elena, §§ 1 6 - 2 2 u. § 3 7 ; Bi, §§ 1 - 5 . ) 1. Wo liegt- bei der linearen Abbildung 3 z + 5 i,

a) w =

b) w =

y (z + 3),

d) w — zo - a(z — z0) c) w = a z + b, der Fixpunkt und welche Drehstreckung um ihn bedeutet sie? 2. Das Dreieck — ( 0 , l , i ) der «-Ebene ist dem Dreieck = ( — 1, — i, + 1 ) der «.'-Ebene gleichstimmig ähnlich. Sie lassen sich also durch eine ganze lineare Funktion aufeinander abbilden. Man gebe eine solche an. Ist diese eindeutig bestimmt? 3. Jede im großen gleichstimmig ähnliche Abbildung läßt sich durch eine passende ganze lineare Funktion w — az + b vermitteln. 4. In welche Figuren gehen die folgenden bei einer Spiegelung am Einheitskreise über, d. h. beim Übergang 1 , von z zu — r a) Der Kreis b)

»

.»

:—II 1

Z

—

= 1

2

»i I» i ! = ' , d) „ „ I z — *o I = i ! > 0 . e) ii „ !>1. „ . + y*) + ßx + yy + l , c) der Punkte 3?(z) > 0 , = 0 , < 0 ,

§ 12. Lineare Funktionen.

Stereographische Projektion.

39

d) der Punkte 3(2) > 0 , = 0 , < 0 , e) der Kreise ; z; = const., f) der Nullstrahlen arc z = const. ? 7. Welche gegenseitige Lag« haben auf d e r K u g e l die Bilder a) zweier entgegengesetzter Zahlen z und —z, b) zweier konjugierter Zahlen z und T, c) zweier zum Einheitskreis spiegelbildlicher Zahlen z und

, 2

1 d) zweier reziproker Zahlen s und —, z e) zweier zum Einheitskreis spiegelbildlicher Figuren ? 8. Was liefert, stereographisch auf die K u g e l übertragen, a) eine Schar paralleler Geraden, b) eine Spiegelung an der x-Achse, c) eine Spiegelung an der y-Achse, d) eine Spiegelung am Einheitskreise, e) ein beliebiges geradliniges Dreieck ? 9. Was liefert oder liefern, stereographisch auf d i e E b e n e übertragen, a) ein Halbmeridian von der Länge X, ein Breitenkreis von der Breite ß, b) zwei diametrale Punkte der Kugel, c) die größten Kugelkreise, d) ein gewöhnliches sphärisches Drcieck, e) der sphärische Mittelpunkt M0 eines Kreises Ii der Kugel, f) die Schar größter Kugelkreise durch einen Kugelpunkt P, g) der Punkt mit der geographischen Breite ß und der Länge ¿7

40

VI. Kap.: Konforme Abbildungen.

*10. Wenn man vom M i t t e l p u n k t unserer Kugel Strahlen nach den Punkten der Ebene zieht, so wird hierdurch umkehrbar-eindeutig jedem (eigentlichen) Punkt der Ebene ein Punkt der südlichen Halbkugel zugeordnet, a) Man stelle diese Projektion der Ebene auf die Halbkugel analytisch dar. b) Ist sie winkeltreu — überall oder an einigen Stellen ? c) Ist sie maßstabstreu — überall oder an einigen Stellen? 11. Man gebe die allgemeinste lineare Funktion mit den (getrennten) Fixpunkten und an. az -+- 6 12. Welche lineare Funktion w — z,, z*3 r führt e„ 1 cz + d der Reihe nach in tc,, «>2, wz über? (Die Punkte z sind paarweise getrennt, ebenso die P u n k t e w.) 13. In der ¿-Ebene ist ein Kreis Kz gegeben und zwei in bezug auf ihn spiegelbildliche Punkte z1 und z2. Durch die Abbildung w

^ a ^ — ftc^o erhält man als cz + d Bild einen Kreis Kw und zwei Punkte w1 und w2. Man beweise, daß und u>2 Spiegelbilder von einander bezüglich Ka sind. 14. Man bilde den Einheitskreis | z | 3g 1 so auf den Kreis ] w — 1 1 1 linear ab, daß die Punkte 0 und 1 des ersten in die Punkte - - und 0 des zweiten übergehen. — Ist die abbildende lineare Funktion eindeutig bestimmt? *15. Man gebe die allgemeinste lineare Abbildung an, die die obere Halbebene in sich überführt. 16. Man bilde das Innere des Einheitskreises so auf die obere Halbebene ab, daß die Randpunkte 1, i, —1 des ersteren in die Randpunkte 0. 1, oo der letzteren übergehen. Was wird dabei aus dem Büschel der Radien des

§ 12. Lineare Funktionen. Stereographische Projektion. 41 Einheitskreises ? Speziell aus den nach + 1, + i, — 1, — i gehenden R a d i e n ? 17. Man bilde das Ä u ß e r e des Einheitskreises so auf die r e c h t e Halbebene ab, daß die Randpunkte + 1, — i , — 1 des ersteren in die Randpunkte t, 0, — i der letzteren übergehen. Was wird dabei aus dem Büschel der Nullstrahlen (d. h. der Strahlen arc z = const., j z | 1) ? Was aus den Kreisen | z j = r > 1 ? *18. Welche Form hat die allgemeinste lineare Abbildung des Innern des Einheitskreises auf sich s e l b s t ? *19. Welche linearen Abbildungen liefern für die (der Ebene durch stereographische Projektion gemäß der Vorbemerkung zu Aufgabe 6 — 9 entsprechende) Zahlenkugel eine D r e h u n g dieser K u g e l ? 20. In der z-Ebene sind zwei nicht konzentrische Kreise : j 2 — zl\ = rl und Kt: | z — z2 \ = r2 gegeben, deren Ränder keinen gemeinsamen Punkt haben. Lassen sich — und wie ? und auf wieviel Arten ? — K1 und Kz durch eine lineare Abbildung in zwei k o n z e n t r i s c h e Kreise Kl und K'2 um w = 0 als Mittelpunkt überführen? Welcher Punkt der z-Ebene wird dabei zum gemeinsamen Mittelpunkt der Kreise Kl und K£? a z b 21. Hat die lineare Abbildung w = zwei secz d trennte Fixpunkte Cj und C 2 , so läßt sie sich auf die Form bringen: t

bei der, falls oder c 2 = o o ist, die entsprechenden Differenzen durch 1 zu ersetzen sind. Hat sie nur den einen (doppelt zählenden) F i x p u n k t £ 0 , so läßt sie sich auf die Form i i y = W — ?o

2

F~ — £o

+

b

'

42

VI. K a p . :

Konforme Abbildungen.

bringen, falls C0 im Endlichen liegt. Ist £ 0 = 0 0 , so handelt es sich um die Translation w = z + b. — Man beweise diese Behauptungen und leite daraus her, was aus den Kreisbüscheln durch und £ 2 bzw. durch f 0 und den dazu orthogonalen Büscheln wird. az 4- b y , a d — &c4=0> cz + d beliebig gewählt und es werde nun für

*22. Die lineare Funktion w = sei gegeben, z 0 v =

0 , 1 , 2, . . .

>' + i

2

^ gesetzt. zv

az,+

b TT

czv +

d

=

Man untersuche die entstehende Punktfolge z 0 ,

z2, . . . ,

entscheide

insbesondere,

ob sie konvergiert

oder nicht und ob sie aus unendlich vielen verschiedenen Punkten besteht oder nicht.

§ 13.

Spezielle (nicht lineare) Abbildungsaufgaben einfacher Art 1 ). (Klein, § § 3 8 — 4 7 ; Bi, § § 7 . 8 und 11—15:)

1. Man veranschauliche die durch w = e' vermittelte Abbildung des Periodenstreifens — n < ^ ( e ) 5 1 + it der Funktion ez auf die w-Ebene durch Angabe der Bilder der Strecken 9?(z) = const. und der Geraden Qi(z) = const. 2. Man veranschauliche die durch vd — sin z vermittelte Abbildung des Periodenstreifens —7r < (2) + f der Funktion sin z auf die 10-Ebene durch Angabe der Bilder der Geraden SR (2) = const. und der Strecken 3 ( z ) = const. 3. Man

veranschauliche ebenso die Abbildung des TT 71 Streifens — — < 3 1 ( g ) ^ + — d u r c h die Funktion tgz. *) E s ist unbedingt erforderlich, 6ich von der Aufgabe sowohl wie von der Lösung durch ein« sorgfältige Skizze eine deutliche Vorstellung zu verschaffen.

§ 13. Spezielle Abbildungsaufgabftn einfacher Art

43

4. Man gebe die Bilder der in Aufgabe 1 genannten Strecken und Geraden bei der Abbildung durch die Funktion _ e' — e- * w = an. ®,n 2 = 2 1 5. Auf

welches

Gebiet

wird

durch

w = zH

der z außerhalb des Einheitskreises liegende Teil der eigentlichen Ebene, also das zweifach-zusammenhängende Gebiet 1 < | z ! < + oo abgebildet ? ^ 6. Auf welches Gebiet wird durch w — z -| der in z Null „punktierte" Einheitskreis, also das zweifach zusammenhängende Gebiet 0 < j z | < 1 abgebildet ? — Wie sieht das Bild der in Null „punktierten" eigentlichen Ebene 0 < j z j < + oo aus ? j 7. Auf welches Gebiet wird durch w = z-1 z der in der oberen Halbebene gelegene abgeschlossene Teil a) des Kreisringes 1 s | z | 2 , b) des Kreisringes - y 1z 1 1 , 1 c) der d u r c h — -s|jz 3 ( z ) i £ 0 gegebene halbe Ring abgebildet ? ^ 8. Auf welches Gebiet wird durch u> — z -j a) der JJ. z Winkelraum I z I M 1 , 0 ^ arcz — , b ) der volle Winkel3 räum Osatcs s - , c) der Winkelraum I z l l s l , 3 ' TT TT — „ 5 5 arcz s - f — abgebildet ?

100 9. Das Äußere

der Ellipse

j z — 2| + |2 + 2| =

soll auf den Einheitskreis abgebildet werden.

—

^Man be-

nutze die in den vorangehenden Aufgaben deutlich gewordenen Eigenschaften der Abbildung durch

+

44

VI. Kap.: Konforme Abbildungen.

TT 10. Der Kreissektor 0 ^ a r c 2 S — s o l l auf den Einheitskreis abgebildet werden. 11. Auf den Einlieitskreis der w-Ebene soll a) das den beiden Kreisen 121 1, 2 — 1 1 = 1 gemeinsame Kreisbogenzweieck, b) der Halbkreis |«|== 1, g - 0 abgebildet werden. *12. Das sichelförmige Gebiet, das den beiden 1 • „ , — gemeinsam ist, soll auf 2 den Einheitskreis abgebildet werden. , *13. Es soll der Halbstreifen — — ^ 3 1 ( 2 ) — , Gebieten ¡ 2 1 1 ,

2

—

U

u

u

8(z) = 0 auf den Einheitskreis der w-Ebene abgebildet werden. *14. Es soll das (den Nullpunkt enthaltende) Innere der Parabel ^ ( ) / 2 ) = « > 0 auf den Einheitskreis abgebildet werden. *15. Es ist a

) |löge|^sjlog(l — 2 ) j e nachdem |2j =

d . h . 5R(2) = ~2 ist, b) |log«|g log ist, und

I

, je nachdem

|l—z|,

[2—l|s§l

I z 1 C) j l o g ( l — 2)1=1 log — - — , je nachdem |2|=1 ist,

falls in allen Fällen log den Hauptwert des Logarithmus bedeutet. *16. In welchen Gebieten der 2-Ebene ist nach der vorigen Aufgabe einer der drei Werte | log? |, | log (1 — 2) |, 2— 1 log kleiner als die beiden andern, wenn log wieder 2 den Hauptwert des natürlichen Logarithmus bedeutet?

Zweiter T e i l

Lösungen. I. K a p i t e l .

Grundlegende Begriffe. § 1. Die komplaxen Zahlen und ihre Darstellung in der Ebene. 1. a) — z 0 , b) z 0 , c) —• 7 0 , d) t'7 0 , e) — iJ0. 2. Die rechte Hälfte wird ebenso wie die linke durch Quadrieren verifiziert. 3. e) und f) eine Hyperbel bzw. (für « = 0) ein Geradenpaar; Beweis: setze z = x + iy. g) und h) Lemniskaten; Beweis: I z2 — z I ist = | z | • | z — 1!, also gleich dem Produkt der Abstände des Punktes z von 0 und von + 1 , ebenso ist | z8 — II das Produkt der Abstände des Punktes z von + 1 und von — 1 . k) Die rechte Halbebene einschließlich Rand; denn der Abstand des Punktes z von -f 1 soll nicht größer sein als sein Abstand von — 1 . 1) und m) sogenannte Apollonische Kreise; denn das Verhältnis der Abstände des Punktes z von zwei festen Punkten bestimmt den geometrischen Ort. n) Die Mittelsenkrechte auf der Strecke z1 . . . z2 . 4. Dann und nur dann, wenn der Differenzenquotient reell ist, denn die Richtung des Zählers (d. h. die von e3 nach z,) muß gleich oder entgegengesetzt der des Nenners (d. h. der von z, nach z,) sein.

46

Grundlegende Begriffe.

I. Kap.:

5. Dann und nur dann, wenn das Doppelverhältnis reell 2

g;

ist, denn arc —

ist (in ganz bestimmtem Sinne ge-

messen) der Winkel bei z3 im Viereck z1z2z3zi. Analog Zi — Z, arc — — . Nach dem Peripheriewinkelsatz dürfen sich Z

2

Z

i

beide nur um ein ganzzahliges Vielfaches von n unterscheiden. 6. Man setze z = x -(- iy. — Im Parallelogramm ist die Quadratsumme der Diagonalen gleich der doppelten Quadratsumme zweier Nachbarseiten. I. Z — 8.

a) h

r

h + ±

T

.

b

)

2

c) man

zeige bei 7., daß für positive Aj, der Punkt z z w i s c h e n Zj und z2 liegt, und wende dies zweimal an. 9. Durch Induktion aus 7. und 8. 10. Mit z3 liegt auch — z3 = zx + z2 auf dem Einheitskreise. Sollen aber zly z2 und z1 + z2 auf dem Einheitskreise liegen, so ist der bei 0 gelegene Winkel des von 2 0, zlt z2, z1 -f z2 gebildeten Rhombus notwendig ö

Oder: Fügt man die Vektoren Zj, z 2 , z:i aneinander, so bilden sie ein geschlossenes gleichseitiges Dreieck. Daraus ersieht man sofort die Unterschiede der Arcusse der drei Punkte z. I I . Aus 2X + z2 = — (z3 + 24) folgt, daß die beiden Rhomben 0, z1, z 2 , z1 + z2 und 0, z 3 , z 4 , z3 + z4 bezüglich 0 Spiegelbilder sind. 12. Dann und nur dann, wenn die Differenzenquotienten einander gleich sind; denn vergleicht man deren Beträge

§ 1. Komplexe Zahlen und ihre Darstellung in der Ebene. 47 und Arcusse für sich, so liefert dies genau den ersten Ähnlichkeitssatz. 13. Es sei r < 1 , aber == j [ und ^ j zt j. Dann ist für I i — z' 1 + r alle \z\sr zunächst - — — ¡ - L ^ = K,. Jetzt ' 1 — | z\ 1 — r legen wir von -f- 1 aus an den Kreis j z \ = r die Tangenten bis zu ihren Berührungspunkten und betrachten die z, die in dem von + 1 und den Berührungspunkten gebildeten Dreieck liegen. Haben dessen bei + 1 mündende Seiten die Länge r1 = ]/1 — r 2 und ist der dortige Winkel = 2 9>o > 9>o < i n » so ist rl = cos§p0, und alle von 4 - 1 selbst verschiedenen Punkte z des genannten Dreiecks lassen sich in der Form z = l—£(cos$p + isin$p) mit 0 < £ ^ c o s g p 0 u n d | g> 131 g>0 schreiben. Man sieht nun leicht, daß für diese z |1 —1z\f 2 - Ka , 1 — \z\ cosgp0 d. h. also

1 — )/l -

^ 2?cosg>

— - — cosgp0

ist; denn diese Ungleichung besagt, daß —2^>cosgü + g l — p cos £>0 + —

^s

cos8gp0 sein soll. Dies wird aber sotort

als richtig erkannt, wenn man die linke Seite dadurch vergrößert, daß man in ihr g> durch 0 mit der angegebenen Eigenschaft. I s t d0 die (sicher endliche) obere Grenze aller d, so hat d0 auch noch dieselbe Eigenschaft und ist mithin das größte aller d. 14. Sind Elt 2 12/1 = 1 = — — -

Eit

. . . die Stellen der Kurve, für die

ist, Nlt

Ns,

. . . die Stellen, wo y =

0,

62

I. Kap.: Grundlegende Begriffe.

x — — ist, k — 1, 2, . . . so ist der einbeschriebene k Sehnenzug Nlc—1EkNk

größer als die doppelt genommene

Ordinate von Ek, also > 2 • uK 2— J. > "r • ^a K K divergiert, so kann jedem Bogen der Kurve, der den Nullpunkt enthält, ein Sehnenzug einbeschrieben werden, dessen Länge eine beliebig gegebene Zahl übersteigt. 15. M ist ein Gebiet. Denn jedes z0 = % + iy0 mit y0 > 0, das nicht auf den ausgeschlossenen Loten liegt, hat entweder ein y0 > 1 oder ein

mit z0 4=0 und + ± — • n Im ersten Falle umschließt der Kreis |z — 1 < y0 — 1, im zweiten der Kreis \z — « 0 ! 3 ( z i). > 3 (z2) und > 1 ist, und verbinde diese dann horizontal. — Alle reellen Punkte und alle auf den ausgeschlossenen Loten gelegenen Punkte sind Bandpunkte; i ein Randpunkt (denn andere gibt es nicht. Speziell ist — er gehört nicht zu M , aber in jeder Nähe von ihm liegen %

Punkte von M). — Dieser Randpunkt - - ist ein „unerreichbarer" Randpunkt. Denn sind z' und z" irgend zwei Punkte %

aus M, die von — um weniger als J entfernt sind und deren

§ 2. Punktmengen. Wege und Gebiete.

53

Abszissen für kein n b e i d e zwischen — und liegen, n n+ 1 so ist jeder sie verbindende, in M verlaufende Weg länger als Es kann also keine streckbaren Kurven geben, die von z0 innerhalb M nach —- führen. 16. Ja, denn S ist ein Jordansches Kurvenstück (S ist ein stetiges und ein eindeutiges Bild der Strecke 1 t S : 0) und besitzt eine Länge, die sich elementar berechnen läßt und = — V2 ist. e ' 17. Es sei © einfach zusammenhängend nach der Definition dieser Aufgabe und zunächst beschränkt. Dann ist ® auch gemäß K I. S. 25. einfach zusammenhängend. Denn gäbe es einen in © verlaufenden geschlossenen Weg, der Punkte von ©', der Komplementärmenge von & (s. Aufgabe 11), einschlösse, so würden die vom Wege umschlossenen Punkte aus für sich eine abgeschlossene Menge bilden. zerfiele also in mindestens zwei abgeschlossene Teilmengen ohne gemeinsames Element. Ist umgekehrt eine solche Zerlegung möglich, so kann man den Weg so wählen, daß genau eine dieser Teilmengen von ihm umschlossen wird. — Ähnlich schließt man im allgemeinen Falle, indem man sich auf der Kugel bewegt. 18. Ja, denn die Randpunkte bilden eine zusammenhängende (abgeschlossene) Menge. 19. Jeder geschlossene Weg, der die beiden Punkte trennt, muß mindestens einen nicht zu ® gehörigen Punkt enthalten, denn er könnte nur dann ganz in © verlaufen, wenn © mehrfach-zusammenhängend wäre.

IL Kap.: Zahlenfolgen und unendliche Reihen.

64

II. Kapitel.

Zahlenfolgen nnd unendliche Reihen. § 3. Grenzwert« von Zahlenfolgen. Unendliche Reihen mit konstanten Gliedern. 1. Nach der Definition des Häufungspunktes liegt im Gebiete 0 < |z — £ | < 1 mindestens ein z n , etwa z„t. Im Gebiete

0 < | z — £ | < i liegt ebenso mindestens a' ein z„ mit n > n 1 , etwa z„,. Allgemein liegt für v g 2 im Gebiete 0 < | z — £ | < - - mindestens ein z„ mit w > n v _ i , etwa z ^ . Die Folge der z'r — z„r leistet offenbar das Verlangte. 2. Beweis wörtlich wie bei Aufgabe 3 (s. u.), wenn dort alle pn = 1 gesetzt werden. — Für f = oo ist der Satz falsch, denn z. B. für Z2*_ j = — = 2Ä; — 1, k= 1, 2, ..., also für die Folge 1, — 1 , 3 , — 3 , 6 , —5, . . . ist C = °°> während die Folge der z'n, nämlich die Folge 1, 0, 1, 0, 1, 0, . . . keinen Grenzwert hat. — Im Reellen, wo das Symbol 00 stets ein bestimmtes Vorzeichen hat, ist der Satz richtig: Sind die z n reell und strebt z„ -> + 00 bzw. — oo, so streben auch die «*-»• + 00 bzw. — oo. 3. Ist C = 0,

so

läßt

sich

nach Wahl

von

e>0

ein m so wählen, daß j z r | < 4 - bleibt für alle v > m , u sodann

wegen

P n -> + 00 ein n 0 > m so groß,

daü für n > n 0 stets bleibt.

| p1 zx + • . . . + P* zm \: P„
0. Also konvergiert, da A n £ wegen der 3. Bedingung—>- £ strebt, auch «!,—>w. z. b. w. — Für bp f » = l , 2 , ... —r—, {„ erhält man np b1+b2+...

+ bl

den Satz aus Aufgabe 4; sind die by positiv reell, den au3 Aufgabe 3; sind speziell alle by — 1, den aus Aufgabe 2. 7. a) Aus den Voraussetzungen folgt zunächst Aufgabe 2 liefert nun die Behauptung. b) Es ist 2„

= *n(*'l- P +

*!,'-1 ( 4 -„ P +

...+z'l{z'n-

?')

n Der zweite Summand strebt hier nach Voraussetzung und auf Grund von Aufgabe 2 gegen und der erste Summa,nd gegen 0, wie man sofort sieht, wenn man in Aufgabe 5 a n p —

Zn—P+1 setzt, — Zahlen, die wegen der

Beschränktheit der Folge (z") sicher die dortigen Bedingungen 1. und 2. erfüllen, c) Der Beweis geht ähnlich wie eben unter b): Es ist «» = K l % (A - n + a,n2 (4 - £ ' ) + • • • + a»» «i & - £ ' ) ] + + a„,»-i4'+ Hier strebt wieder der erste Summand —>- 0, wie aus Aufgabe 5 sich ergibt, wenn man für die dortigen Zahlen anp die jetzigen Werte anp Z n _ p + i nimmt, die wegen der Beschränktheit der Zahlenfolge (z") zugleich mit den anp die dortigen Bedingungen 1. und 2. erfüllen. Der zweite Summand aber strebt —>• • nach Aufgabe 6, wie man sofort erkennt, wenn man die dortigen Zahlen anp durch die jetzigen Zahlen a n i „ _ p + i ersetzt, die wegen 4. die Bedingung 3. von Aufgabe 6 erfüllen.

§ 3. Grenzwerte v. Zahlenfolg. Reihen mit konst. Gliedern. 8. Beweis

nach

Aufgabe 6 für anp =

(") .

¿t

57 Die

erforderlichen Bedingungen 1., 2. und 3. sind erfüllt, und zwar 1. wegen (£) < n?, 2. mit M = 1 und 3. wegen (D + G ) +

... +

0 = 2 « — 1 .

9. Da ¿^ ->• 0 strebt, g a b e 5 nur anp

hat man,

=

zum Beweise,

in A u f -

zu setzen.

10. a) W e n n die Reihe konvergiert, so läßt sich nach Wahl von e > 0 ein n0 so angeben, daß für jedes n > w0 und für j e d e s p | c n + l + "n + 2 +

••• +

+


n0 ist dann speziell | Tn | < e, so daß Tn 0 streben muß. Die Bedingung ist also notwendig zur Konvergenz. b) Strebt umgekehrt für jede Wahl der pn stets T„—> 0, so muß 2 c n konvergieren. Denn wäre die Reihe divergent, so hieße dies, daß es eine spezielle Zahl £ 0 > 0 gäbe, derart daß oberhalb jeder noch so großen Zahl » 0 immer noch (also unendlich oft) zwei Zahlen n und n + p lägen, für die 1 . , |_ | cn + 1 ~r • • • "T 0 streben. Also muß £cn doch konvergieren. 11. Der Beweis ergibt sich sofort, wenn man linker Hand a, = s,, — s , _ ! setzt (für v—O natürlich nur a 0 = s 0 ) und die Glieder mit demselben s, sammelt. 12. Es ist nach Aufgabe 11 n

+ Pn

»+r>„ ^ s , ( b

» = n-(-l

»= n+ l

¥

— l ,

+ 1

) - - [ s , X

+ l

— s

n + V n

b

n + P n + l

] .

58

Ii. Kap.: Zahlenfolgen und unendliche Reihen.

Unter Benutzung von Aufgabe 10 liefern nun die Voraussetzungen sofort T „ - > - 0, wie die natürlichen Zahlen v n auch gewählt sein mögen. J£a„b„ m u ß also, wieder nach Aufgabe 10, konvergieren. 13. Bei a) folgt aus 6„ _ x > b„ 0, daß 2 (b„ — bn +1) absolut konvergiert. Da die s„ beschränkt sein sollen, so konvergiert auch J£sn(b„— bn , und es strebt smbn sowie snbn + i — v 0 . Bei b) strebt bn jedenfalls gegen einen Grenzwert - b0 — a 0 v=0 strebt, so ist — K + i) u n d wegen der Beschränktheit der s„ auch 2£s„(b n — 6 n + i) absolut konvergent. Bei c) strebt snbn + i •>- 0 and mit J£(bn — + ist wegen der Beschränktheit der s„ auch £ s n ( b n — i n + i ) absolut konvergent. 14. Man h a t genau wie bei Aufgabe 11: "+ P n+P J £ a , . b , . = ^ s v ( b , — b r + 1 ) — s„Z>„ + i + s„ + p 5 n + p _). 1 , *=n+1 »=n+1 I2 > a v = n -}-1

! == K ( 2 f t = n4-l + Vn+

pbn+J1+1}

-

b,+o+fiibK+i .

Auf Grund der Voraussetzungen k a n n daher nach Wahl n+p

von £ > 0 ein n„ so bestimmt werden, daß ¡ ^ a A ] < e »=n+l Also ist JZa„b„ bleibt f ü r alle n> % u n d alle p a l . konvergent.

§ 4. Konvergenzeigenschaften der Potenzreihen.

§ 4.

59

Konvergenzeigenschaften der Potenzreihen.

1. a) Für alle fünf Reihen ist r = 1; b ) r = + o°> ' ' = 1 . »"=0; c) r = erregen f

>• - ^ j , n

n

\

r = 0 (weilYa n ~ — ist, also ->- + o° strebtJ,

r — e ^weil ^

=

—

->- y strebt^,

n — (loff n)' r = 1 (weil J/o„ = e B —>- e° = 1 strebt); d) r = 1 , weil für n 2 stets 2 :g t (n) s n , r = 1 , weil stets 1 (n) iE n ; j n 2 * + !_ e ) r = — , weil iimyan = lim y 3fc = ist;

V stets l g ^ g n ' ; r = 0 , weil lim y«„ " r = 1, weil 2H+1 = lim V(logfc)* = + oo ist. = # < 1 , also I an z n 2. a) Ist | z < | z01, so ist 3

z

< K • nk •

;

die Reihe

•

ist

für & < 1 aber konvergent; b) bei der jetzigen Voraussetzung ist

K 2 S l = I K + ••• + a n 0 ist u n e n d l i c h o f t y | a n | > — — e und von einer r » i Stelle an s t e t s f |a{,| < — + e , also unendlich oft 1 r

«»

i

?-

,

+«

>•

so daß

E

r

i

® «»

r

sein muß. — Man zeige an Beispielen, daß in den beiden r letzten Fällen wirklich R > rr' bezw. < -¡- sein kann. r n 4, Die beiden ersten Reihen haben (wegen y n —>- l ) denselben Radius wie 2 a n z n , die dritte ist beständig / » i konvergent (weil von einer Stelle an stets ]/ |a„j < + e ist und y»! ->- -f oo strebt, also lim | / | ~

| = 0 i s t j . Die

letzte Reihe ist n i r g e n d s konvergent, wenn r < + oo

§ 4. Konvergenzeigenschaften der Potenzreihen.

61

( 1 ist (denn es ist dann unendlich oft |/| an | > e und es r \ n \ strebt y«T—y + o o ) ; ist r = + oo, so läßt sich keine n

allgemeingültige Antwort geben. 5. In z = + 1 ist die Reihe bekanntlich divergent. In allen anderen Randpunkten des Konvergenzkreises aber ist die Reihe konvergent. Beweis: Ist | z | = l , aber 2 + + 1 , so ist 1 — zn+l 2 11 + 8 + . . . + *»! = 1—2 - |1 — z\ Die Teilsummen der Reihe £ z n sind also (für dieses festzuhaltende z) beschränkt. Die Faktoren - - nehmen monon 1 ton zu 0 ab; also ist — z n nach § 3, Aufgabe 13a n konvergent. 6. Nach Voraussetzung ist £ | a„2g | = £ [ a„ | r" konvergent. Nach Wahl von e > 0 läßt sich also w0 so angeben, daß für alle n > n 0 und alle k & 1 stets ¡a B + 1 | r « + > + ! a n + 2 | r » + 2 + . . . + | a n + t | r " + * < £ bleibt.

Für alle | z \ ^ r ist dann von selbst ebenfalls | a B + 1 « " + i | + . . . + I «„ +fc2" +

für alle n > n 0 und alle k der Behauptung.

1.

| < e,

Das ist aber der Inhalt

7. Da die zu untersuchende Reihe aus der in Aufgabe 5 behandelten dadurch entsteht, daß man dort z durch zp ersetzt, so ergibt sich sofort: Unsere Reihe hat den Radius 1 und ist in allen Randpunkten z des Einheitskreises konvergent, in denen z? + + 1 ist, dagegen divergent, wo zp == + 1 ist, d. h. also in den Ecken des dem Einheits-

62

II. Kap.: Zahlenfolgen und unendliche Reihen.

kreise einbeschriebenen regulären p-Ecks, dessen eine Ecke in + 1 liegt. 8. a) Da von einer Stelle an |o„| 0 u m z0 ein so kleiner Kreis legen, daß für alle P u n k t e 2 desselben, für die i z I rational und = — ist, 1 ' ' ? q>— ausfällt. D a n n ist für alle P u n k t e dieses Kreises E

| / ( 2 ) — f{zg) i < e . Ebenso, falls z„ = 0 . Ist dagegen | z01 P 1 rational u n d = — u n d wird 0 < e < — gewählt, so liegen Knopp,

Aufgabensammlung z. Funktiouenthcorie.

1.

3

66 HI. Kap.: Funktionen einer komplexen Veränderlichen. in jeder N ä h e von z 0 P u n k t e z, f ü r die |/(?) — /(z)|> 6 ist, nämlich alle dortigen z mit irrationalem \ z\. b) f(z) ist in allen P u n k t e n der Ebene stetig, außer f ü r z—O. Denn in j e d e r Nähe von z=0 ist f(z) aller reellen W e r t e zwischen — 1 u n d + 1 fähig. F ü r e < 1 ist also die Stetigkeitsbedingung in keiner Umgebung des Nullpunktes erfüllt. Ist z0 4= 0 , arc z0 = &0 , so ist also < e f ü r alle z des Winkelraumes [ & — -9-01 < £, also sicher f ü r alle z eines Kreises um z 0 . 2. Die B e h a u p t u n g ist eine fast unmittelbare Folge der Definition der Stetigkeit: Ist £ > 0 gegeben, so läßt sich 0 so bestimmen, daß f ü r alle ] z — £ | < ö stets | /(z) — /(£) | < e ist. Wegen z n — £ gehören zu diesen z aber alle z„ f ü r n > n 0 , wenn n0 passend gewählt wird. Also ist f ü r n > «o stets j /(z„) — /(£) | < e , es strebt also Wn -»• f(t) (vgl. Elem, § 33, 3). 3. Wäre /(z) nicht stetig in so gäbe es ein spezielles e 0 > 0 derart, d a ß sich in j e d e r Umgebung von £ ein P u n k t z finden würde, f ü r den | / ( z ) — / ( £ ) | 1 5 £0 ist. N ü t z t man dies f ü r die kreisförmigen Umgebungen mit den Radien 1, -5-1 -5-» • • • aus und nennt die P u n k t e der Reihe nach Z o z 1 , z 2 , . . . (für die also |z„ — £ | < — und | / ( z „ ) — / ( f ) | l 5 i b ist), so h a t man entgegen der Annahme eine Punktfolge (z„), die —»- £ strebt, f ü r die aber die Folge /(z„) nicht —>- /(£) konvergiert. ^ 4. F ü r jedes j z | < 1 ist stetig, also überall im J. z Innern des Einheitskreises. Die Stetigkeit ist aber keine gleichmäßige. Denn denkt m a n sich u m jedes z mit 111 < 1 den größtmöglichen Kreis beschrieben, f ü r dessen

§5. Grenzwerte V.Funktionen. Stetigkeit u.Differenzierbarkeit. 67 Punkte z' (soweit für sie | z' | < 1 ist) stets | f ( z ' ) — f ( z ) [ < 1 bleibt, so ist die untere Grenze der Radien Qz dieser Kreise s= 0 .

Denn für z — 1

ist Qz =

il

V n/ n2 5. Da in dem Gebiete 0 < | z \ < 1 nirgends | z | = 0 ist, so ist die Funktion dort stetig. — Sie ist dort aber auch g l e i c h m ä ß i g stetig. Denn setzen wir noch /(0) = 0 , so ist f ( z ) auch noch in 0 stetig (Beweis?), und da /(z) auch in 0 < 121 < 2 stetig ist, so ist f ( z ) z. B . in dem a b g e s c h l o s s e n e n Gebiete | z | 3 l l stetig, also dort auch gleichmäßig stetig (nach K I , § 6 , S.31). Um so mehr gilt dies für das Teilgebiet 0 < | z \ < 1 . 6. Der Nenner von f1 ist nirgends 0 , die Nenner der anderen Funktion sind nur in 0 gleich 0 . Da im übrigen Zähler und Nenner aller Funktionen in der ganzen Ebene stetig sind, so ist in der ganzen Ebene, / 2 bis / s in allen z =|= 0 stetig. In 2 = 0 k ö n n e n diese Funktionen unstetig sein. / 2 und / 4 sind es auch; denn nähert man sich längs der z-Achse von rechts der Stelle Ö, so haben sie beide den Grenzwert 1, nähert man sich aber der Stelle 0 längs der y-Achse von oben, so haben sie die Grenzwerte 0 bzw. — 1. Dagegen sind f 3 und f b auch in 0 stetig. Denn wegen ist |/,(e)|s|gt(8)|=i;e|

und

¡/5(2)|^|3R^)|s|2p 0 streben also beide Funktionen - v 0 = / 3 (0) = / & ( 0 ) . 7. Die Antworten sind dieselben; die Beweise analog. 8. Die gleichmäßige Stetigkeit bedeutet, daß man nach Wahl von e > 0 ein S > 0 60 angeben kann, daß für i r g e n d z w e i dem Innern des Einheitskreises entnommene 3

68

III. Kap.: Funktionen einer komplexen Veränderlichen.

Werte z und z", deren Abstand j z" — z' | < ö ist, auch der Unterschied der Funktionswerte I /(z") — /(z') | < e ist. Strebt nun z n - > £ (während alle [ zn | < 1 sind), so läßt sich n 0 so angeben, daß für w > n 0 stets | z„ — £ | < ~ d ist. Ist dann n und n' > n 0 , so ist j z n ' — z „ | < < 5 , und also |/(z,,)_/(z„)| 0 gegeben und d so bestimmt wie in Aufgabe 8. Sind dann und f " zwei Randpunkte, für die — | < d ist, und sind /(£') und / ( £ " ) die zugehörigen | Randwerte, so ist | / ( £ " ) — / ( £ ' ) j ^ e. Denn sind z'„ und z" zwei Punktfolgen, die — y bzw. streben und auf den dorthin führenden Radien kongruente Lage haben, so ist stets | /(z") — f(z'n) | < £ (nach Voraussetzung). F ü m - > - oo ergibt sich hieraus die eben behauptete Beziehung und damit die (gleichmäßige) Stetigkeit der Randwerte längs | z | = 1. — Setzt man für | z | = 1 nun /(z) gleich dem dortigen Randwerte, so ist /(z) eine in dem abgeschlossenen Gebiete | z | ^ l stetige Funktion. 10. a) /(z) aus Aufgabe 1 a ist nirgends differenzierbar. Denn als Stellen der Differenzierbarkeit kommen nur Stetigkeitsstellen in Betracht. Also nur z0 = 0 oder ein z0 mit irrationalem | z01. In jeder Nähe von z0 = 0 liegen aber

§5. Grenzwertev. Funktionen. Stctigkeitu.Differenzierbarkeit. 69 Punkte z, für die f(z) = 0 ist und auch solche, für die / ( z ) = - z ist, nämlich die z mit irrationalem \z\ und die reellen z== — , n

Also ist der Differenzenquotient DU,

=

jeder Nähe von z 0 = 0 sowohl des Wertes 0

—

i

n

z0)

als auch des Wertes 1 fähig; / ' (0) ist also nicht vorhanden. — Ist [ z01 > 0 und irrational, so ist für alle z vom gleichen V Betrage D(z, z 0 ) = 0 ; für ein z mit \z = — ist dagegen 1 1 1 D(z, 2 0 ) . Wählt man hier z auf demselben q z — z0 Nullstrahl wie z0, so ist IP — ? I

11

Bekanntlich aber kann man, wenn y eine irrationale Zahl ist, die natürlichen Zahlen p und q so wählen, daß ¡ p — qy \ so klein ist, als man will. Da hiernach D(z, z0) beliebig großer Werte fähig ist (in jeder Nähe von z 0 ), so kann /'(z 0 ) nicht existieren, kann auch nicht einmal oo sein, weil D(z, z0) in jeder Nähe von z 0 auch = 0 sein kann. b) f(z) aus l b ist n i r g e n d s differenzierbar a u ß e r in d e n v o n 0 v e r s c h i e d e n e n P u n k t e n der imaginären Achse. Beweis: Ist z 0 4= 0 u n d nähert sich ihm z längs desselben Nullstrahles, so strebt D(z, z0) - > - 0 ; nähert sich z—?~z0 längs des Kreises |z| = |z0|, so strebt D{z, z 0 ) —>- c o s 9 0 , (& 0 = arcz 0 ). Als Punkte, in denen die Ableitung existiert, kommen hiernach höchstens die rein imaginären z 0 =)= 0 in B e t r a c h t (denn z„ = 0 scheidet als Unstetigkeitspunkt ohnehin aus). Hier ist f'(z0) = 0 . Denn setzt man arcz = # =

~ — r¡, so ist für alle dicht bei z 0 u

70

HI. Kap.: Funktionen einer komplexen Veränderlichen.

gelegenen z ersichtlich \z — z01 ^ | z01 • sin rj, also | D (z, z0) | = ~ r —
• 0 selber 0 strebt. I*I 11. Der Beweis ergibt sich ganz unmittelbar durch Berech nung der partiellen Ableitungen von u = u (x, y) = 91 (f(z)) und v — v(x,y) = 3 \ ( f (z)) nach x und y. 12. Zwei beliebige Punkte aus © kann man durch einen ganz in @ liegenden Polygonzug verbinden. Daraus ersieht man zunächst, daß es zu zeigen genügt, daß /(z) in den Endpunkten irgendeiner in @ liegenden Strecke denselben Wert hat. Ist nun S eine solche Strecke von der Länge l mit den Endpunkten f und £" und e > 0 eine gegebene Größe, so läßt sich um jeden Punkt z' von da /' (z') existiert, eine so kleine Umgebung abgrenzen, daß für alle Punkten" derselben e z —z (xj, yj,) — gp(gn, y») — iil> (xn, yn) (K ~ Xn) + i (yi — yn) «MS, ij) - H ^ M S , l ) strebt. Wir beweisen dies für den reellen Teil des Ausdrucks. Dieser ist gleich [»(gj.yi) — y » ) ]

( K — *«) + (xi — xn )a +w

— •»>>(*«,y»)] (y; —y«) —y«)'

Wendet man hier auf die in den eckigen Klammern stehenden Differenzen den ersten Mittelwertsatz an und beachtet, daß die auftretenden partiellen Ableitungen an der Stelle (£, rj) stetig sind, so kann man die beiden Summanden des Zählers setzen

bzw.

= [(y (S, IJ) + ß') (yi — yn)] (y; — yn),

wobei die vier Größen - 0 streben u n d f ü r deren Differenzenquotienten doch die Ungleichungen m

-

m 2 n

,,, ,

— I (M

gelten würden. Ist Z ein Häufungspunkt der z„, so kann man eine Teilfolge (£„) aus den zn auswählen, für die ->- Z strebt. Ist (£[,) die entsprechende Teilfolge aus den z'„, so strebt auch £'„—>-Z, aber es wäre für alle n I/(&)-/(&) w v I bn Sn

r , r . I K'sn)

Tatsächlich strebt aber dieser Ausdruck nach Aufgabe 13 gegen | f'(Z) — /'(Z) j = 0. Also muß die Behauptung der Aufgabe 14 doch richtig sein.

§ 6. Einlache Eigenschaften der elementaren Funktionen.

§ 6.

73

Einfache Eigenschaften der elementaren Funktionen.

1. Es ist, falls 0 < ¡ 2 | < 1 ist, 1«'—1l = l 3 l { 1 + - ^ y +

••• | = ( e — l ) | a | < ~ | 2 |

und

U! 2 + . . •, was einerseits u: í 12 I I ZI2 \ = ¡g|í 1 + J—L + L -f ... j

2. Es ist | ez — 1 1 1 « | + = el*l — 1,

/+

andererseits +

\ ^

. . . J = |«| e Wist.

'

3. a) Die Funktion f(x) = ex — (1 + x) verschwindet für x = 0 und hat für x > 0 die positive Ableitung ex — 1. Also ist /(x) > 0 für x > 0. Für x < 0 ist auch f'(x) < 0 . Also muß f(x) auch für negative x positiv gewesen sein. b) Ist mit a) gleichbedeutend, falls 1 — x positiv ist. (Man nehme die reziproken Werte und setze — x = x'.) c) Die rechte Hälfte der Ungleichung gilt sogar für alle x, da sie mit a) gleichbedeutend ist; die linke Hälfte ist mit b) gleichbedeutend. Man hat beidemal nur x durch — x zu ersetzen. d) Besagt dasselbe wie c). e) Besagt dasselbe wie b); man hat dort nur x durch x zu ersetzen. 1+ x f) Folgt sofort aus der Exponentialreihe, deren Glieder hier positiv sind.

74

III. Kap.: Funktionen einer komplexen Veränderlichen.

g) Die linke Hälfte nach a), die rechte nach e), indem x man beidemal x durch — ersetzt. x x3 h) Es ist e — 1 = 1 — — (2 — x) — j y (4 — x) — . . . ¿t 41 < l - | f 2 - x ) < l - | .

4. Der klassische Beweis gilt fast wörtlich auch für komplexe 2: Es sei z irgendeine komplexe Zahl mit j z | r und e > 0. Dann wählen wir p so groß, daß fP+l

(p + l)l

,-P + i

+

£

, + ••• C - ö (p + 2)1 ^ 2

Da nun für n > 2

und hier die Koeffizienten jedes Gliedes 2T, v = 2, 3 , . . kleinere positive echte Bräche sind als bei dem ent2S

2"

sprechenden Gliede i n l + z + — - } - . . . + — + . . . , so ist

Da hier p festliegt, so strebt f ür n - > + oo die rechte Seite gegen 0 +

C € - = — und ist also für alle n > n0 > p kleiner ¿t u

§6. Einfache Eigenschaften der elementaren Funktionen. 75 e.

Dies bedeutet aber, daß > —r Y=0 ist für w — v + o o . Das ist aber die Behauptung. — Übrigens ist hier sogar bewiesen worden, daß die Konvergenz von

+

e* in jedem beschränkten Gebiete

eine g l e i c h m ä ß i g e ist. 5. Es werde r so gewählt, daß alle |z„| < - r sind, also auch | £ 12= r ist. Dann hat die Lösung von Aufgabe 4 gelehrt, daß nach Wahl von e > 0 ein n 0 so gewählt werden kann, daß für n > n0

< ist für a l l e \ z \ ^ r .

Insbesondere ist für diese n

Wird nun weiter m > n„ so gewählt, daß für n > m stets \e'n —

e>\ m stets

= arc sin« eine der Lösungen der Gleichung s i n w = z . Also ist (vgl. Aufgabe 16) e«» = iz + )'l — z 2 oder

w — — »log (iz + ]/l — z 2 ) .

K n o p p , Aufgabensammlung z. Funktionentheorie.

I.

82

HI. Kap.: Funktionen einer komplexen Veränderlichen. gta — < r i w «»»

b) Ebenso i daß

ist. 22. »•= e»'og» = e tenz t' hat also nur reelle positive Werte, unter denen n

« 2 der Hauptwert ist. Ebenso ist ah = e& 0 strebt also Jt + ni —> 0, J 4 —»- — ni. 7. Da die Länge des Integrationsweges irr ist, SOiSt

\ (

K

- ) j m d e \ ^ 2 n r . M ( r ) ,

nach K I, S. 50, Satz 5, und strebt also ->-0, da r- M.(r) -»-0 streben soll. 8. Beweis wörtlich wie bei der vorigen Aufgabe. 9. Hat der Radius die Amplitude oc, so ist z = te'a, t— 0 . . . 1, zu setzen, was für das Integral die Darstellung i 1, r — t (cos a — t sin u) . 1 Cosa-— . isina J =

e>»Je o

1

dt

=

e,aJe o

'

-e

' d l

§ 7. Der Integralbegrift

87

k

n

u

u

liefert. Ist also cos« > 0, d. h. — — < « < + - - , so ist das (bei 0 uneigentliche) Integral absolut konvergent. Ist cos« < 0, d. h. + ^ < a
0, so hat der reelle Teil des vom Faktor eia befreiten Integrals die Form 1

J"eT

+

OD

c o s ^ r f / = J e « c o s ( c ' r ) ^ - , (c' =

.

o 1 Da es nun beliebig weit rechts gelegene Intervalle für r gibt, in denen cos(e'r)^-^- ist und deren Länge die feste 2 71 Länge hat, bo kann dies letzte Integral nicht kon3 vergieren. 10. Ganz ähnlich wie bei Aufgabe 9 zeigt man, daß es zur Konvergenz der Integrale notwendig und hinreichend ist, daß a) cos2« & 0 , b) c o s p « i s O , « also in gewissen leicht angebbaren Intervallen gelegen ist. 11. Hier versagt die Summendefinition des Integrals. Man definiert das Integral so: 'Es sei z,, z 2 , . . . , z „ , . . . eine beliebige auf L liegende und b konvergierende 2

88

IV. Kap.:

Integralsätze.

Punktfolge, deren Glieder sämtlich =j= 6 sind. Dann hat für jedes n

Jn=jf(z)dz a einen bestimmten Sinn. Wenn dann für jede Wahl der Punktfolge (z„) die Folge der Jn konvergent ausfällt, so zeigt man sofort, daß (J„) bei jeder Wahl der z„ demselben Grenzwerte zustrebt (vgl. §5, Aufg. 8). Man sagt dann, das uneigentliche Integral

h

(L)Jf(z)

dz sei vorhanden.

a

Der erhaltene Grenzwert wird als W e r t jenes uneigentlichen Integrals angesehen. 12. Ganz analog wie bei der vorigen Aufgabe: Man wählt eine auf L gelegene und —>- oo strebende Punktfolge (z„) und sagt von dem in Rede stehenden uneigentlichen Integrale, es sei vorhanden (oder konvergent), wenn für jede Wahl der z„ die Folge der zugehörigen Integralwerte

Jn ~ff(z) dz a

konvergiert. Da diese dann wieder bei jeder Wahl der zn demselben Grenzwerte J zustreben müssen, so wird dies J als der W e r t jenes uneigentlichen Integrales angesehen. § 8. Cauchysche Integralsätze und Integralformeln. 1. Statt der in § 7, Aufgabe 3, benutzten Wege wird nach dem Cauchyschen Integralsatz ein Kreis | z — z0 J = r genommen. Dann liefert die K I, S. 48/49, durchgeführte Rechnung, daß die Integrale = 0 bzw. = 2 ni sind, je nachdem m 4= — 1 oder m — — 1 ist.

§8. Cauchysche Integralsitze und Integralformeln. 2. Vermöge ^

= -1- ( _ L -

- j L )

89

zerlegen

6ich die Integrale in je zwei einfachere, deren jedes die Werte 0 oder 2ni haben kann. Man erhält die Resultate a) jt,

b) — jr,

c) 0.

3. Es sei z0 nicht auf L gelegen und q SO klein gewählt, daß auch alle z mit | z — z01 ^ q nicht auf L liegen. Dann ist für ein solches z M

-

m

_

(L)

2 ni

f - 0 für z—> za. Das ist aber der Inhalt der Behauptung. 4. F ü r v = 1 ist die Behauptung bei der vorigen Aufgabe bewiesen. Nimmt man die Behauptung für v — 1 schon als bewiesen an, so genügt es zu zeigen, daß / (z) \ = 1 ist. V. Kapitel.

Reihenentwicklungen. § 9. Reiften mit veränderlichen Gliedern. mäßige Konvergenz. 1. a) Wegen | n* | = n ^

Gleich-

ist die Reihe für 31(0) > 1

absolut konvergent. Ist jetzt SJtfo) < 1 und wäre konvergent, so müßte nach §3, Aufgabe 13 c, auch

§ 9. Reihen mit verändert. Gliedern. Gleichm. Konvergenz. =

konvergieren,

93

denn die Glieder der

dortigen Reihe £ \ b n — K + i \ sind hier J _ L _ _ _ _ J s J J f 1 !1 In1-2' ( n + l ) 1 - » ' ~ n6 \\

1 N1 li)

+

"

wenn SR(l — = 0 e x > 1 + x, also

also

log(l +

log(l + x)
1 setze man

a

v

"z

~

v«

a.M

woraus wegen 1 : | z ] < 1 wieder die Konvergenz folgt. — Ist aber ¿ a „ divergent, so kann die Reihe ¿f,,(z) für •

«

I

I

ein 2 t mit konvergent, Reihe ^

w - •^

> 1 nicht konvergieren. Denn wäre so wäre erst recht ^ ""

(wegen

Q

—"

1

1 < | zx |) die

konvergent, also auch die Differenz

beider, d. h. £ a , n , entgegen der Annahme. F ü r ein | z | < 1 ist die Reihe dann und nur dann konvergent, wenn J£a,„zn konvergiert, so daß das Konvergenzgebiet

§ 9. Reihen mit verändert. Gliedern. Gleichm. Konvergenz.

95

von J£/„(z) mit dem der Potenzreihe J£a„zn identisch ist, wofern man wieder von den Randpunkten | z | = 1 absieht. g) Die Reihe ist bekanntlich für reelle z konvergent. Dagegen für kein z mit Denn ist z = x+iy mit t/4=0, so ist sin nz = ——7- (e'nx-nv 2i

— e—inx + nv),

also | s i n n z | & i ( e n l i ' l — e— n lft), ¿t so daß

SU1WZ

mit wachsendem n nicht —> 0 strebt. n h) Die Reihe ist wegen | cosnz | =§ 1 für jedes reelle z, dagegen aus ganz ähnlichen Gründen wie bei g) für kein z mit ^(z) ^ 0 konvergent. 1) Die Reihe ist für jedes «4=— —2, . . . konvergent, denn es ist (-1)z+ n

(-1)»+» z+ n+1

(z+n)(z + n + l )

n(n + l) ' sobald w > 21 z | ist. Hieraus folgt nun leicht die Konvergenz der vorgelegten Reihe, da f„(z) bei festem z gegen 0 strebt. k) Eine ganz ähnliche Betrachtung wie eben unter i) lehrt, daß (-!)"« (z + n) logn

( - l ) « + » ( » + l) ( z + n + 1 ) log(n + 1)

ist, falls z 4= — 1, — 2, . . . solche 2 konvergent, da

w log 2 »

Die Reihe ist daher für alle

—r—;— konvergiert und bei ¿—1 w log 8 « festem 2 wieder /„(«) — 0 strebt.

96

V. K a p . :

Reihenentwicklungen.

1) Wie bei b) und c). Hier ist 02 _L gi /1W+/.W+- + /»(«)=—

jS _L . . . _L22" + 1 - 2 -t on+1 1 — Z2 ^

was mit wachsendem n bei j z | < 1 gegen m) Hier ist -¿J.-/»(«)-/,W-...

2-2

strebt. z

- / « ( ^ ^ - p

was für ein ] z | ^ 1 keinem Grenzwert, für | z | > 1 aber dem Grenzwert 0 zustrebt. Die Reihe ist also für j z \ > 1 2 konvergent mit der Summe - — , für I z! ^ 1 divergent. z —-1 ' 2. Ist d •> 0, sonst beliebig, so ist die Reihe a) für 8t(«) Er 1 + d, b), c), d) und e) für | z | s s 1 — d, d) und e) überdies für | z j ^ 1 + 0 auch sn-hn +1 — 0 und zwar gleichmäßig in @ . Da ferner K(2) — An + i ( ? ) ] | ^ : K ( a „ — a n + i ) , so ist auch [A„(2) — A n + t ( z ) ] in © gleichmäßig konvergent. 6. Setzen wir in dem Satz der Aufgabe 4 f— 1)"

1

so ist die Reihe £ f „ ( z ) konvergent, also ihre Teilsummen s„ (z) beschränkt — und zwar gleichmäßig in der ganzen Ebene, weil fn(z) gar nicht von z abhängt. Dabei soll Knopp, Aufgabensammlung z. Punktionentheorie. I.

,

98

V. Kap.: Reihenentwicklungen.

e = | d sein.

Ferner ist (vgl. Aufgabe 1 a), wenn 31 (z) = Q

gesetzt wird und

ist,

e+g

, so daß dort

^n' ^n+1 gleichmäßig 0 strebt. Endlich ist, wenn z noch durch eine Bedingung der Form \z \ R beschränkt wird, IM*)-W*)I

(n+1) £+2

K -n\+e + e

i + i r - i

—n'+e

Die Reihe J£sn (z) [hn (z) — h„ + x (.?)] ist also für 9t ( z ) — C — 0 gleichmäßig konvergent. Somit ist 2fn{z)-K{z) oder

= ^

für | * | ^ B , für

\Z\^

R

>

8t(*)^0 gleichmäßig

konvergent. 7. Der Beweis ist ganz analog wie der eben durchgeführte. Man hat in dem Satz der Aufgabe 4 nur /,(•) = u n d

hn(z) =

- ± -

zu setzen. Die weiteren Schlüsse sind dann fast dieselben. 8. a) Die getrennten Konvergenzgebiete — nämlich | z ! < l und \ z \ > l — waren schon bei A u f g a b e l e festgestellt. Der Nachweis, daß die in beiden Gebieten dargestellten Funktionen in keinerlei analytischem Zusammenhang stehen, daß vielmehr jede von ihnen den Einheitskreis zur natürlichen Grenze hat, erfordert etwas tiefer gehende Hilfsmittel. b) Für 1z1 < 1 wird die Funktion 1, für j z | > 1 die Funktion 0 dargestellt. c) Nach b) wird hier für | z | < l die Funktion f1 (2), für | z | > 1 (aber < 1 + (z)) = c „ + CiZ+ + hergeleitet werden soll. Das kann durch direktes Ausrechnen von (" (z); w'" = ... f ü r z = 0 berechnet, wodurch man sofort c1, c 2 , . . . erhält. In allen speziellen Fällen werden sich aber besondere Erleichterungen für die Rechnung bieten, wie solche im folgenden angedeutet sind: 01 + !*+ ... _ fl./i! 1

a) e 1

= 1 + z4--z2H 2

1

k=0 b)

l

h

I

i _

= s

,

S l l

C 0 S

T = 7 =

( l

+

1 / 1

z3 H

'

• 1 = sin 1 • cos

z

6

24

n=l

z4 4 z 5 ++ ^ 120

v=l

.

'

_ f _ ) 2

2

- 2 ! ( i 3 7 ) z2 ,

z

,

1—z

' ,

• h cos 1 • sin

1 / 2

\

1—e

'

4

+ 4 ! ( I ^ ) - + 35 , 11

-

100

V. Kap.: Reihenentwicklungen.

_

z

5 + g2 j ^ ^ 6

1 1 5 e —... ^ 120

Z*J

^ 2

Setzt man also etwa sinl = a, cosl = y, so ist sin

= a + y t + (y -

c) e ( t , ) = e-e'-e**

1 «

-ee

~ ff) 2* +

y - aj e3

-z> •

(Hier kommt man durch direktes Differenzieren noch schneller zum Ziel.) d) log(l + e') hat als sukzessive Ableitungen e* . TTe*~' C — 4 e 2 ' +