Funktionentheorie: Band 2 Anwendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie [11. Aufl. Reprint 2019] 9783111683621, 9783111296630

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

703

FUNKTIONENTHEORIE P R O F . 1)R. K O N R A D K N O P P

+

ehem. Professor der Mathematik an der Universität Tübingen

ii

ANWENDUNGEN

UND

WEITEKFÜHRÜNG

DER ALLGEMEINEN

THEORIE

Elfte Auflage

Mit 7 Figuren

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals G. J . Göschm'sche Verlagshandlung • J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J. Trübner • Veit & Comp.

BERLIN

1965

Die Gesamtdarstellung umfaßt folgende Bände von Prof. Dr. Konrad Knopp: Elemente der Funktionentheorie (Bd. 1109) Funktionentheorie: I: Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen (Bd. 668) II: Anwendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie (Bd. 703) Aufgabensammlung zur Funktionentheorie: I: Aufgaben zur elementaren Funktionentheorie (Bd. 877) II: Aufgaben zur höheren Funktionentheorie (Bd. 878)

© Copyright 1 9 6 5 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J. Göedien'Bdie Verlagshandlung / J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung / Georg Reimer / Karl J. Trubner / Veit & Comp., Berlin 3 0 . — Alle Rechte, eiaachließlidi der Rechte der Herstellung von Photokopien and Mikrofilmen, vom Verlag vorbehalten. — Archiv-Nr. 7 7 1 3 6 4 2 . — Druck: Lindemann & Lüdecke, Berlin 36. Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis. Seite 6

Einleitung Erster Abschnitt.

Eindeutige Funktionen. 1. Kapitel. G a n z e F u n k t i o n e n . § 1. Der Weierstraßsche Produktsatz 5 2. Beweis des Weierstraßschen Produktsatzes § 3. Beispiele zum WeierstraBechen ProduktBatze

8 13 25

2. Kapitel. M e r o m o r p h e F u n k t i o n e n . § 4. Der Mittag-Lefflersche Teilbruchsatz § 5. Beweis des Mittag-Lefflerschen Satzes i 6. Beispiele zum Mittag-Lefflerschen Satze

34 38 41

3. Kapitel. P e r i o d i s c h e F u n k t i o n e n . I 7. Die Perioden analytischer Funktionen 5 8. Einfach-periodische Funktionen § 9. Doppelt-periodische, insbesondere elliptische Funktionen

63 60 67

Zweiter Abschnitt.

Mehrdeutige Funktionen. 4. Kapitel. W u r z e l u n d L o g a r i t h m u s . i 10. Vorläufiges Uber mehrdeutige Funktionen und Kiemannsche Flächen

r, Die Rlemannachen Flächen für yz und logz

$ 11. S 12. Die Rlemannschen Flächen » = /(z—Oi) (z — o.). . - (z — at)

für

die

Funktionen

83 80 98

6. Kapitel. A l g e b r a i s c h e F u n k t i o n e n . S 13. Problemstellung i 14. Stetigkeit und DlSerenzlerbarkeit der Wurzeln { 15. Die algebraische Funktion

103 105 110

6. Kapitel. D a s a n a l y t i s c h e G e b i l d e . S 16. Die monogene analytische Funktion § 17. Die Rlemannsche Fläche i 18. Das analytische Gebilde Register

118 122 125 128

K n o p p , Funktionentheorie. II.

1

Literatur F ü r die hier behandelten Teile der Funktionentheorie, sowie zur Wetterf ü h r u n g und Vertiefung des Studiums Bind außer den In „ I " genannten Werken Ober die allgemeine Theorie (insbesondere denen von L. B i e b e r b a c h , C. C a r a t h é o d o r y , O. D o e t s c h , W. F . O s g o o d sowie den Cours d'analyse von É . G o u r s a t , C J o r d a n und É . P i e a r d ) noch die folgenden zu nennen: É . B o r e l , Leçons sur les fonctions entières. 2. Aufl. Paris 1021. É . B o r e l , Leçons sur les fonctions méromorphes. Paris 1903. H . B u r k h a r d t , Funktionentheoretische Vorlesungen. Zweiter Teil: Elliptische Funktionen. 3. Aufl. (hrsgeg. v. G. F a b e r ) . Berlin und Leipzig 1920. C. C a r a t h é o d o r y , Funktionentheorie I I , Basel 1960. P. D l e n e s , The Taylor Serles, Oxford 1931. B . F r l c k e , Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen. I. Teil, Leipzig 1016, I I . Teil, Leipzig 1922. P . A p p e l und K. O o u r s a t , Théorie des fonctions algébriques et de leurs intégrales. 2. Aufl., 2 B i n d e , Paris 1930. F . L ö s c h und F. S c h o b l i k , Die Fakult&t (Gammafunktion) und verwandt* Funktionen, Leipzig 1951. B . N e v a n l l n n a , Eindeutige analytische Funktionen.2. Aufl., Springer-Verlag 1953. E . C. T l t c h m a r s h , The theory of funetions, Oxford 1932. E . 0 . T l t c h m a r s h , The Zeta-Functlon of Riemann, Cambridge 1030. F . T r i c o m i , Funzloni analltlche. Bologna 1036. F . T r i c o m i , Funzloni ellltlche. Bologna 1037. H . W e y l , Die Idee der Blemannschen Fläche, 23. Aull., B. G. Teubner, Stuttgart 1954. E . T. W h i t t a k e r und G. N. W a t s o n , Acourse of modern analysls. i . Aufl. Cambridge 1927 Die Anwendungen der Funktionentheorie behandeln: J . H e l n o l d , Theorie und Anwendung der Funktionen einer komplexen Veränderlichen, München 1949. B . B o t h e , F . O l l e n d o r f f und K . P o h l h a u s e n , Funktionentheorie und Ihre Anwendungen in der Technik. Berlin 1031.

Einleitung. In dem einführenden Bändchen „Elemente der Funktionentheorie" und im ersten Teil dieser Funktionentheorie1) wurden die Grundlagen der allgemeinen Theorie der Funktionen gelegt und die sog. elementaren Funktionen (Elem., 5. Abschn.) eingehender behandelt. Daneben wurden aber auch schon zwei besondere Klassen von Funktionen, die rationalen (I, § 35) und die ganzen Funktionen (I, § 27 u. 28), näher betrachtet. Solche mehr ins Einzelne und tiefer gehenden Untersuchungen von Funktionenklassen sollen jetzt in den Vordergrund treten. Dabei wird sich zeigen, daß die Unterscheidung von eindeutigen und mehrdeutigen Funktionen, die schon in I, § 24, S. 104/6 bei dem Versuch einer vollständigen Erklärung des Begriffs der analytischen Funktionen angedeutet wurde, durchaus grundlegend ist. Sie soll daher für die ganze folgende Darstellung maßgebend sein. Aus diesen beiden Hauptklassen greifen wir wieder einige besonders charakteristische und wichtige Typen von Funktionen heraus. Da uns Vollständigkeit in dem engen Rahmen dieses Büchleins versagt bleibt, ist eine gewisse Willkür hierbei unvermeidlich. Doch werden wir dieser Gefahr am ehesten entgehen, wenn wir von den elementaren Funktionen (den ganzen und gebrochenen rationalen Funktionen, von e*, sin«, und deren Umkehrungen) als den wichtigsten ausgehen und das Wesentliche und Allgemeingesetzliche an ihren Haupteigenschaften zu erkennen suchen*). 1) „ E l e m e n t e der F u n k t i o n e n t h e o r i e " , 5. Aull. Berlin 1950. Sammlung Göschen Nr. 1109. — . . F u n k t i o n e n t h e o r i e " E r s t e r T e i l : Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen, 10. Aufl., Berlin 1961. Sammlung Göschen Nr. 668. — I m folgenden werden diese Bändchen kurz mit „ E l e m . " bzw. „ I " unter Angabe von Kapitel oder Paragraph zitiert. ' ) Es kann sich Im folgenden durchaus nur um eine Auswahl handeln. Oer Leser möge darum den Inhalt dieses Bündchens nicht dem der Funkt ionentheorle gleichsetzen.

1*

6

Einleitung.

Die g a n z e n r a t i o n a l e n F u n k t i o n e n (Elera., § 39), in vielem die einfachsten und durchsichtigsten Funktionen, sind „rein funktionentheoretisch" dadurch charakterisiert (I, S. 139), daß sie in der ganzen Ebene regulär sind und im Punkt ) Die fertige Formel s. u. S. 22. *) Soll die zu bildende ganze Funktion gar keine Nullstellen 1 laben, •o ist der Faktor fortzulassen, d. h. durch 1 zu ersetzen, — also doch auch durch eine ganze Funktion mit den vorgeschriebenen Nullstellen.

§ 2. Beweis des WeierstraBschen Produktsatzes.

13

Häufungsstelle. Nach dem Weierstraßschen Satze wird man daher eine andre ganze Funktion G0(z) bilden können, deren Nullstellen nach Lage und Ordnung genau dieselben sind, — und zwar in Form eines Produktes, welches sie erkennen läßt. Dann ist aber nach Satz 2, wenn h 0 (z) eine passende ganze Funktion bedeutet, notwendig G(z) = eM*)G0(z), womit in der Tat eine P r o d u k t d a r s t e l l u n g der vorgelegten ganzen Funktion G(z) gewonnen wäre, aus der ihre Nullstellen nach Lage und Ordnung abgelesen werden können. — Wie behauptet, wären damit die beiden Feststellungen (A) und (6) über ganze rationale Funktionen Wort für Wort auf beliebige ganze Funktionen übertragen. Dem nun allem noch fehlenden Beweis des Weierstraßschen Produktsatzes ist der nächste Paragraph gewidmet. Aufgaben:

ist eine ganze Funktion ohne Nullstellen

(Beweis?). Nach Satz 1 kann sie also auf die Form e*(,> gebracht werden. Wie hat man h(z) hierzu zn wählen? 2. costz und 1 haben nach Lage und Ordnung dieselben Nullstellen (Beweis?). Nach Satz 2 geht also die zweite aus der ersten durch Hinzufügung eines Faktors der Form e* hervor. Wie hat man h(z) hierzu zu wählen?

§ 2. Beweis des Weierstraßschen Produktsatzes. 1. U n e n d l i c h e P r o d u k t e . Die den Bedingungen des Weierstraßschen Satzes genügende ganze Funktion wird, wie schon angedeutet, in Form eines Produktes — und zwar im allgemeinen eines unendlichen Produktes — aufgestellt werden. Wie bei den unendlichen Reihen wollen wir dabei auch aus der Lehre von den u n e n d l i c h e n P r o d u k t e n mit konstanten Faktoren die einfachsten Tatsachen als bekannt voraussetzen. Da diese indessen nicht so allgemein bekannt zu sein pflegen, und um doch für das Weitere eine feste Grundlage zu haben, lassen

1. Kapitel. Ganze Funktionen.

14

wir ganz kurz die wichtigsten Erklärungen und Sätze, deren wir bedürfen, ohne Beweis folgen1). Erkl&rnng 1. Das unendliche Produkt 00

(1)

« l • «J • • • « , • • • = 1 7 U, ,

V— l bei dem die Faktoren beliebige komplexe Zahlen bedeuten, soll dann und nur dann (eigentlich) konvergent heißen, wenn von einem Index an — etwa für alle v > m — kein Faktor verschwindet und Venn lim (u m+ , • um+1 • • • un) n-t-a vorhanden ist und einen endlichen und von 0 verschiedenen Wert hat. Bezeichnet man Uesen mit Um, so wird die offenbar von m unabhängige Zahl U = u1.ut---umUm als Wert des unendlichen Produktes, (1) angesehen1). Für solche konvergenten unendlichen Produkte gelten die leicht zu beweisenden Sätze: Satz 1. Ein konvergentes Produkt hat dann und nur dann den Wert 0, wenn einer seiner Faktoren verschwindet. Satz 2. Das unendliche Produkt (1) ist dann und nur dann konvergent, wenn sieh nach Wahl eines beliebigen e > 0 ein Index n 0 so bestimmen läßt, daß für alle n > n„ und alle r 2; 1 stets I «»+i'"»+. •••«n+r — 1 I < e

bleibt (Elem. § 26, Satz 1, und I, § 3, Satz 4). Da auf Grund dieses Satzes (man setze r — 1 und n + 1 = v) notwendig lim u, = 1 sein muß, setzt man die Faktoren u, des Pro') Ausgeführt« Beweise findet man in meinem I, S. 5 genannten Lehrbuch „Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen", 4. Aufl. Berlin 1047, Springer-Verlag, sowie In meiner dort ebenfalls genannten H. v. Mangoldtschen „Einführung in die höhere Mathematik", Bd. II *) In Anlehnung an die entsprechende Erklärung bei unendlichen Reihen könnt« man geneigt sein, das Produkt (1) schon immer dann konvergent mit dem Werte V zu nennen, wenn lim (u, - u , . . . u„) = 17 n— Ist. Dann wäre aber ersichtlich Jedes Produkt konvergent und Immer mit dem Werte 0, bei dem nur ein einziger Faktor verschwindet; desgleichen wäre z. B. auch Jedes Produkt konvergent und auch i m m e r mit dem Werte 0, bei dem für alle v > m stets | u, | g » < 1 bleibt. Um diese Fälle auszuschließen. benutzt man zweckmäßiger die obige Erklärung und erinnert — falls nötig— durch den Zusatz,,eigentlich" an die dabei gemachte Einschränkung.

§ 2. Beweis des Weierstraßschen Produktsatzes.

15

duktes gewöhnlich = 1 + c„, so daß es sich statt um (1) um Produkte der Form (2)

na+cy)

handelt. Für diese ist also 0 eine notwendige Konvergenzbedingung (die aber keineswegs hinreicht!). — Ferner benutzen wir die Erklärung 2. Das Produkt (2) soll absolut konvergent genannt werden, ivenn n a + ie, i) r—l konvergiert1). — Es gilt dann weiter der Satz 3. Die absolute Konvergenz ist hinreichend für die gewöhnliche Konvergenz; oder: Aus der Konvergenz von IT (1+ | er |) folgt diejenige von J7(l + e,). Aid Grund dieses Satzes wird es für unsere Zwecke genügen, Konvergenzkriterien für absolut konvergente Produkte zu besitzen. Für diese gelten die die Konvergenzfrage vollständig erledigenden beiden Sätze: Satz 4. Das Produkt 11(1 + yf) mit y r 5 0 ist dann und nur dann konvergent, wenn die Reihe Ey, konvergiert. Satz 5. Damit 27(1 + cr) absolut konvergiert, ist es notwendig und hinreichend, daß ¿c, absolut konvergiert*). Ähnlich wie bei Reihen gilt auch der Satz 6. Verändert man in einem absolut konvergenten Produkte die Reihenfolge der Faktoren in ganz beliebiger Weise, so bleibt es konvergent und zwar mit demselben Weiie. Anders ausgedrückt: Für absolut konvergente unendliche Produkte (aber auch nur für diese) gilt das Kommutaiionsgesetz uneingeschränkt. Das Assoziationsgesetz wiederum gilt zwar für alle konvergenten Produkte, jedoch nicht uneingeschränkt. Vielmehr gilt hier der Satz 8 a. Bei jedem konvergenten Produkt darf man in beliebiger Weise aufeinanderfolgende Faktoren durch eine Klammer zu einem ') Die zunächst n&herliegende Definition- ,,i7u, soll absolut konvergent hellten, wenn n \ u r \ konvergiert" int unzweckmiBtg, da Ja dann Jedes konvergente Produkt zugleich absolut konvergieren würde. • / •) Hicrnacli Ist z. B. J J I I j ) fflr Jeden Wert. von 2 absolut konvergent,

»-1

da die Reihe 2 1 —j

*

= I * |* 2 - y konvergiert.

1. Kapitel. Ganze Fraktionen.

16

einzigen Faktor zusammenfassen. Dagegen darf man solche Klammern nur dann weglassen, wenn das dadurch entstehende neue Produkt konvergent ausfällt.

Neben diesen Produkten mit konstanten Faktoren bedürfen wir noch — ganz entsprechend den Betrachtungen in I, Kap. 6 — solcher Produkte, deren Faktoren Funktionen einer komplexen Veränderlichen z sind, und die wir darum in der Form

(3)

n(i+m)

»=>1 schreiben wollen. Ganz analog den dortigen Festsetzungen bezeichnen wir als K o n v e r g e n z g e b i e t eines solchen Produktes die Menge ©1 aller derjenigen Punkte z, die erstlich zum Definitionsbereich aller f,(z) gehören, und für die zweitens das Produkt (3) konvergent ist1). Da hiernach das Produkt für jedes z aus 9R einen bestimmten Zahlenwert liefert, so sagen wir wie damals: das Produkt stellt in ffi eine bestimmte (eindeutige) Funktion dar. Für unsere funktionentheoretischen Zwecke ist es nun wieder (vgl. I, § 19, Satz 3) besonders wichtig, brauchbare Bedingungen kennen zu lernen, unter denen ein solches Produkt im Konvergenzgebiet eine a n a l y t i s c h e F u n k t i o n darstellt. Für uns ausreichend ist der folgende fv(z),... eine unendliche Folge Satz 7. Es sei f^(z),..., von Funktionen; es existiere ein Gebiet ®, in dem alle diese CO

Funktionen regulär sind, und es sei 2

| f (z) | in jedem korn1 v pakten Teilgebiet desselben (vgl. I, S. 76) gleichmäßig konvergent. Dann ist das Produkt (3) im ganzen Gebiet © konvergent und stellt eine dort reguläre Funktion f(z) dar. Diese hat überdies nach Satz 1 in denjenigen Punkten von © — und nur in diesen — eine Nullstelle, in denen mindestens einer der OD

') Z. B. für J J

,

— I s t uach der vorletzten Fußnote das Konvergenz-

gebiet die ganze ¿-Kbenc.

§ 2. Beweis des Weierstraßschen Produktsatzes.

17

Faktoren = 0 ist. Und die Ordnung einer solchen Nullstelle ist gleich der Summe der Ordnungen, mit denen diese Faktoren1) daselbst verschwinden. Beweis. Ist z0 ein beliebiger Punkt von ©, so bezeichne ©' eine abgeschlossene Kreisscheibe um z0, die einschließlich ihres Bandes in ® liegt. Dann genügt es zu zeigen, daß das Produkt (3) in Ob' konvergiert und daß es dort eine Funktion darstellt, die in z0 regulär ist und über deren etwaiges Verschwinden in 20 die weitere Behauptung des Satzes gilt. Da nun in mit 11 U(z) I auch J | f,(z) | v—l >»•?»+1 für jedes m 0 gleichmäßig konvergiert, so ist nach Satz 5 zunächst jedenfalls das Produkt

(4)

n (i + /,(*))

»—TO+l in absolut konvergent und stellt dort also eine gewisse Funktion dar, die Fm(z) heißen möge. Die Zahl m soll nun hierbei so gewählt werden — was nach I, § 18 geschehen stets kann —, daß für alle nSi m, alle rSi 1 und alle z aus (5) | fn+1(z) | + | fn+t(z) | + • • • + | fn+r(z) | < \ bleibt. Dann ist Fm(z) sogar eine im Innern von reguläre und von 0 verschiedene Funktion. Denn es ist, wenn wir zur Abkürzung für n > m setzen,

h (1 + fr(z)) = P„ und Pm — Q »=m+1

Fm(z) = lim P B n-* = l i m [ ( P „ + l - P m ) + ( P m + 1 - P m + 1 ) + • • - + ( P n - P n - J ], n—»•oo ') Bs kommen, wie ans dem Beweis hervorgehen wird, nur endlich viele der Faktoren In Betracht.

18

1. Kapitel. Ganze Funktionen. (6)

Fm(z)=

2 »=m+i womit Fm(z) durch eine unendliche Reihe dargestellt ist. Nun führen uns die Sätze aus I, § 19 rasch zum Ziel. Denn da für n > m \P„\^(l + \fm+1(z)\)--(1 + |/„(«) |) ^

el

/ m + iWI + •••+!/»I < e * < 2 1 )

ist, so gilt für die Glieder der eben erhaltenen Reihe (vom zweiten ab) die Abschätzung i = i p _ I • i m i < 21 uz) i . Mit Jü I /r(z) I ist daher auch die neue Reihe (6) in gleichmäßig konvergent und folglich die dadurch definierte Funktion Fm(z) eine im Innern von insbesondere also in z0 reguläre Funktion. Sie ist dort auch von 0 verschieden, denn nach (5) ist in ©' für n m also für v

m+ 1

\ fn+1(z) I < i ,

so daß kein Faktor von Fm gleich 0 sein kann. Mit Fm(z) ist wegen m = (1 + •••(! + Uz)) • Fm(z) auch f(z) in jedem inneren Punkte z von regulär und kann in einem solchen nur dann verschwinden, wenn einer der vorangestellten Faktoren verschwindet; und die Ordnung einer solchen Nullstelle ist dann in der Tat gleich der Summe der Ordnungen, mit denen diese Faktoren daselbst verschwinden. Entsprechend dem weiteren Inhalt des Satzes 3 in I, § 19, läßt sich auch hier über die Ableitung von f(z) eine Aussag» machen; doch wählt man — da die gewöhnliche Ableitung eines Produktes aus vielen Faktoren unübersichtlich ') Für* £ 0 (Ja sogar ffiralle reellen x) tat 1 + x S 1 + x + — + — =

| 2. Beweis des Weierstraßschen Produktsatzes.

19

wird — dabei vorteilhafter die sog. logarithmische Ableitung 1 ). Über sie gilt der Satz 8« Urtier den Voraussetzungen des Satzes 7 ist an jeder Stelle z aus an der f(z) 4= 0 ist, m

CJÖ _ 1 /v(3) / « ~ .=1 1 + f»W d. h. die rechtsstehende Reihe ist für jedes solche z konvergent und liefert die logarithmische Ableitung von f(z). 10

Beweis: Ist z eine bestimmte Stelle der genannten Art und das Teilgebiet ©' so gewählt, daß z noch in seinem Innern liegt, so ist zunächst (SS f ' { z ) K{z) I U f(z) 1 Da nun aber die Reihe (6) in ist nach I, § 19, Satz 3

1

£(«) | 1 + /m(2) FmW gleichmäßig konvergiert, so

Kn(z) =

i (p;-p;_1) = iimp;, r—m+l n—>aa wenn P'n die Ableitung von P„ bedeutet. Folglich ist, da F„, (z) und für « > m alle P„ nicht 0 sind, F'm(z) _ P' ,._ / , , fi® = 1S l i m ^n = l i m f | | £(«> ) Pn n-o» Vi + fn+1(z) 1 + fn(z)l T - K(z) ¿•L,1 + U z ) ' woraus sich in Verbindung mit (8) die Behauptung ergibt. Uber die gewonnene Reihe gilt noch der . =

') D. h. die gewöhnliche Ableitung dividiert durch die ursprüngliche Funktion. Ist ¥(t) = g,{t).. . gkU) und sind alle Faktoren In z, dlflerencierbar und + 0, so iat

*"(».) _ !>.'(».) U, (z.) + . .. + «t IIA',) g,(t,) tiU»)

Die logarithmische Ableitung eines Produktes ist also gleich der Summe der logarithmischen Ableitungen der Faktoren, falls diese + 0 sind.

20

1. Kapitel. Ganze Funktionen.

Satz 9. Die Reihe (7) konvergiert absolut und gleichmäßig in jedem kompakten Teilgebiete ©" von ©, das keine Nullstelle von f(z) enthält, und darf dort also erneut beliebig oft gliedweis differenziert werden. Beweis: Da nun keiner der Faktoren (1 -f- f,(z)) in ©" verschwinden kann, so bleibt der Betrag eines jeden sogar oberhalb einer noch positiven Schranke1), die y, heißen möge. Da diese für alle v >m (s. o.) sicher ist, so gibt es eine positive Zahl y derart, daß für alle v stets y» iS y > 0 ist. Dann ist also für alle v und alle z in ©" m < j - \ m 1 + U») Aus dem Beweise des Satzes 3 in I, § 19, S. 79 (vgl. auch die dortige Aufgabe 2) folgt aber, daß 2 \ f', (z) | in gleichmäßig konvergiert. Nach der letzten Abschätzung gilt dasselbe dann auch für die Reihe (7). 2. B e w e i s des W e i e r s t r a ß s c h e n P r o d u k t s a t z e s . Sind nur endlich viele Punkte z1, ,zt mit den Ordnungenöc^Oj, vorgeschrieben, so liefert schon das Produkt (i) (z - ztf* (z • • • (z - zky» eine Lösung des Problems, so daß dieser Fall sofort erledigt ist. Sind aber unendlich viele Punkte als Nullstellen vorgeschrieben, so kann man nicht ganz so einfach vorgehen, da das entsprechend angesetzte Produkt im allgemeinen sinnlos sein würde; und dies würde auch dann noch der Fall sein, wenn man im Hinblick auf die nun behandelten unendlichen Produkte statt (1) das Produkt

Kfvr-Kr

' ) D e n n 1.(1 + I J j ) | e r r e i c h t , a l s s t e t i g e F u n k t i o n , i h r e u n t e r e illeftft k a n n a l s o i n 2(Z) — 0) in durchlaufen. Inder ersten Summe rechts durchl&uft also (2v) a l l e geraden, In der zweiten ( 2 » — 1) a l l e u n g e r a d e n ganzen Zahlen, in beiden zusammen also wieder genau a l l e ganzen Zahlen. Wegen der abBOlnten Konvergenz der Reihen kommt es auf die Beihenfolge der Glieder nicht an.

§ 3. Beispiele zum Weierstraßschen Produktsatze.

29

auf dem Kreise um 0 mit dem Radius 1, t bzw. 2, so ist nach dem Prinzip vom Maximum (s. I, § 20, Satz 5) Af, g J / , ^ M t , nach (8) aber zugleich 4 M

t

^ M

1

+ M

i

.

Hiernach muß 4Mt S 2Af, sein, was Af s = 0, also h'0'(z) = 0, und somit h^z) = const — c' zur Folge hat. Nach (2) ist dann aber c

1

- x c t g n i - j - 2 ,

2i

Vertauscht man hier z mit — z, so erkennt man, daß e' = — c , also e' = 0 ist. Demnach sind auch h„(z) und eV*) konstant, also sinjt« = e • 2 • f f

— ^jj.

r = 1

Dividiert man nun durch z und läßt z gegen 0 rücken, so erhält man schließlich c = ji1). Es ist also — gültig für alle z — OD

SlllJtz

= " * - / 7 ( l - J )

die gesuchte P r o d u k t d a r s t e l l u n g der sin-Funktion. 2. Beispiel: Die Weierstraßsche ' , tu', — tu + tu', — tu, — tu—to', — tu', tu — Ol', 2tu, 2 t o + tu', 2ai+ 2ct>',..., und in dieser nun festbleibenden Reihenfolge bezeichnen wir die Punkte mit 20, 2 t , . . . . Dann wollen wir zunächst zeigen, daß die Reihe

§ 3. Beispiele zum Weiers traßschen Produktsatze.

31

für jedes z absolut konvergiert. — Numeriert man die Parallelogramme, längs deren wir die Gitterpunkte abzuzählen hatten, der Größe nach als ltes, 2 t e s , . . . , so liegen allgemein auf dem p-ten von ihnen genau 8 p von unseni Gitterpunkten, deren Beträge zudem iä -PH sind, wenn man mit H die kleinere der beiden Höhen des „ F u n d a m e n t a l p a r a l l e l o g r a m m s " mit den Ecken 0 , c o , a i + tu', ui bezeichnet. Zur Reihe

y

—

liefern also die Punkte des p-ten

Parallelogramms einen Beitrag, der

8 H,3

ist. Da aber ^T* — konvergier!, so ist auch die vorgelegte Reihe für jedes 0 absolut konvergent. Es genügt daher, im Weierstraßschen Produkt alle k , — 2 zu nehmen, und man hat in 00 A

M

—

N

\t

L

i-i).*

+

L

(J.V'

«uj

bei der angegebenen Bedeutung der zt eine ganze Funktion mit den verlangten Eigenschaften. — In der Weierstrafischen Theorie der elliptischen Funktionen wird diese Funktion die zum Periodenpaare (u>, o i ) gehörige Sigmafunktioir genannt und mit A(Z) = , J tu') bezeichnet. Wegen der absoluten Konvergenz des Produktes kommt es (s. § 2, Satz 6) auf die Reihenfolge der Faktoren gar nicht mehr an, und man darf daher ohne weitere Fixierung der Reihenfolge der Gitterpunkte schreiben: A{Z | £ tu, i O = X

'

.

1

J~J' 1

|7l \L

KA> +

*

\

Jk>

HT»'R

+ MW

+

Z (KM +

*'«/)

wenn hierin fc und k' unabhängig voneinander alle ganzen Zahlen ^

0 durchlaufen, doch ohne dabei g l e i c h z e i t i g 0 sein zu dürfen.

An diese letzte Einschränkung soll der Akzent am Produktzeichen erinnern. 3 . Beispiel. Endlich soll noch eine ganze Funktion konstruiert werden, die für z0 = 0 sowie für zx = — 1, ¿ 2 = — 2 , . . . ,

1. Kapitel. Ganze Funktionen.

32

2, = — aber an keiner anderen Stelle, je eine Nullstelle erster Ordnung hat. Hier genügt es ersichtlich wieder, alle k t = 1 zu nehmen, so daß man in (4)

öxw=»-/7

(i+i)

sofort eine Funktion mit den verlangten Eigenschaften hat, aus der die allgemeinste nun wieder durch Hinzufügung eines Faktors der Form e*') hervorgeht (s. § 1, Satz 2). Diese Funktion steht mit der Eulerschen Gammafunktion in nächster Beziehung, die für reelle Argumente dem Leser von der Integralrechnung her bekannt sein wird. Sie wurde von L. Euler für beliebige Komplexe 2 mit SR (2) > 0 durch das Integral +« (6) y(3) = / e-«! hat. E u l er gab die durch (6), Gauß die durch (6) erklärte Funktion als Lösung an. In § 6 werden wir zeigen, daß beide völlig identisch sind. Hier soll zunächst nur die Existenz des von Gauß benutzten Grenzwertes in (6) bewiesen und die Beziehung der durch ihn dargestellten Funktion r(z) zu der in (4) eingeführten Funktion ö1(2) geklärt werden. Dazu hat man nur den reziproken Wert des in Rede stehenden Ausdrucks in der Form

33

§ 3. Beispiele zum Weientraßschen Produktsatze.

oder im Hinblick auf (4) in der Fonn (l

+

« v i

i-

...

+

+

JL_iog»)i n /

zu schreiben. Denn nun ist sofort klar, daß unser Ausdruck mit w-» -f- oo, und zwar für jedes g, gegen den Wert der ganzen Funktion

m-

•nbfi-

strebt, die aus der Lösung (4) unseres letzten Beispiels durch Hinzufügung des Faktors e*

«+» e' ixix l , i I — > ——. i + 1 »lno nn J x »+1

l » +— »+1

>

l »

r J

ix x

I — > 0.

Setzt man die hier in der Mitte stehende Differenz 0 < V« < strebt also

-

n

1 i ^+

(V. + V. + . . . +

Al

V l

»°

S v n - c konvergent mit 0 < C < 1. Es

> = (i +

-I + • • • + ¡ ¿ - J l

n 1 r ix wegen — —»• 0 und J — = logn strebt also auch

. c.

ff

-

c;

34

2. Kapitel. Meromorphe Funktionen.

Grenzwert in dem behaupteten Umfange vorhanden. Er definiert also eine eindeutige analytische Funktion, nämlich den reziproken Wert der ganzen Funktion K(z). (Weiteres darüber s. § 6,3. Beispiel.) A u f g a b e n : 1. Man leite aus dem sin-Produkt die Werte der folgenden drei Produkte her: 2 2 4 4 6 6 a) rr - s • t • t • ' • •> (Wallissches Produkt). 1 a o o 0 i , 1 1 1 ^ 10 10 14 ' 1 3 6 7 ' 9 ' 11 13 " 2 4 8 10 14 16 9 C) " 3 3 9 ' 9 ' 16 15 " 2. Man stelle die Produktentwicklungen für die folgenden ganzen Funktionen auf: a) e*—1; b) ez—e*«; c) sin«—sinz 0 ; d) cosz—cosz 0 . 3. Man zeige, daß es ganze Funktionen gibt, die an beliebig vorgeschriebenen Stellen z lt 2 a , . . , z „ , . . . , die sich nur nirgends im Endlichen häufen sollen, beliebig vorgeschriebene Werte w 1 , w i i . . . , « ) „ , . . annehmen.

2. Kapitel. Meromorphe Funktionen. §4. Der Mittag-Lefflersche Teilbruchsatz. Die gebrochenen rationalen Funktionen sind rein funktionentheoretisch vollständig durch die Sätze I, § 35, 1—3 charakterisiert. Wir lösen die darin ausgesprochenen Grundeigenschaften derselben, ähnlich wie im vorigen Kapitel, in die beiden Feststellungen auf: (A) Für jede (gebrochene) rationale Funktion gibt es eine sog. Teilbruchzerlegung,die ihre Pole mü dm zugehörigen Hauptteilen erkennen läßt. Ist etwa f0(z) die gegebene rationale Funktion, sind Zj, 2 2 , . . • , z* deren Pole mit den zugehörigen Hauptteilen a« a 0 beliebig gewählt und m > \/2R , so ist die von v — m + 1 an genommene Reihe in | z | ^ Ä ersichtlich gleichmäßig konvergent1), womit die Behauptung schon bewiesen. — Wir bilden weiterhin die den Beispielen des § 3 entsprechenden meromorphen Funktionen. 1. Beispiel: ctg tcz. Die reellen Gitterpunkte sollen Pole erster Ordnung mit dem Residuum -f 1 werden, abo mit den Hauptteilen ') Denn f ü r v > m ist dort

j

1

I

i l — v' \ ~

I R

. ^

1 _ 2 — -J »• _ 7"'

2. Kapitel. Meromorphe Funktionen.

42

1 (s0 = 0, a—z t Hier ist für v = 1,2, 3 , . . . KW

= fi,

=

K(Z)

= — /x).

:

und es genügt nun alle n , = 1, also 9M

=

T

—

zu nehmen; denn es ist dann für alle hinreichend großen v (nämlich für alle v > 4ß) und alle | z | g R

also kleiner als die Glieder einer ersichtlich konvergenten Reihe mit positiven Gliedern. Nach der Schlußbemerkung des vorigen Paragraphen hat man daher bei beliebigem ganzen G(z) in

Z

' \[2— V '

V +

+

l Z+V

Z+ V

die allgemeinste Funktion der verlangten Art. Auch die Funktion ctg jrz hat (s. I, § 31, Beisp. 3) in den Punkten 0, ± 1, r t 2 , . . . Pole erster Ordnung. Ist n einer von ihnen, so ist das Residuum in demselben 1 (z—n) cos nz = U m (z—n) [(—1)"+ • • Um —i 71 z-^n om «« z->n (—l)n7l(z — n) H wie man aus der angedeuteten Reihenentwicklung für die Umgebung des Punktes z = n sofort abliest. Die Funktion n ctg nz fällt daher unter die soeben konstruierten Funktionen M(z). Wir sind damit von einer ganz anderen Seite her zu der Formel (2) des § 3 gelangt. Die noch unbestimmt gebliebene ganze Funk-

§ 6. Beispiele zum Mittag-Lefflerscheil Satze.

43

tion 0(2), die dort h'B(z) hieß, ist auch liier aus der Lage und der Natur der Pole allein nicht zu ermitteln. Zu ihrer Bestimmung müßten wie dort besondere Eigenschaften der in Rede stehenden Funktion herangezogen werden. Doch hatten wir auf dem Wege zur Bestimmung des Produktes für sin m schon gefunden, daß hh(z) oder also G'(z) = 0 zu setzen ist, und daß also

die T e i l b r u c h z e r l e g u n g d e r F u n k t i o n ctg ist. S . B e i s p i e l : D i e W e i e r s t r a ß s c h e p - F u n k t i o n . Im Anschluß an § 3, Beispiel 2, soll nun eine meromorphe Funktion konstruiert werden, die in den dort beschriebenen und numerierten Gitterpunkten ev = km + k'to je einen Pol z w e i t e r Ordnung mit dem Hauptteil (v = 0 , 1 , 2 , . . . ) , also dem Residuum 0 hat. Für v = 1 , 2 , 3 , . . . ist dann

hi)'

und es genügt nun wieder, alle n, = 1, also für g„(z) das erste Glied dieser Entwicklung zu nehmen. Denn es ist dann 1 1 = (TITiJa" jf

2z2r—z*

:

und folglich bei beliebigem K > 0 für alle | z | ^ ß und alle hinreichend großen v (nämlich sobald | z, j > 2 R )

Dies ist aber das allgemeine Glied einer (nach § 3. Beispl. 2) konvergenten Reihe mit positiven Gliedern. Also haben wir in

1

11

eine meromorphe Funktion der verlangten Art, aus der sich die allgemeinste sofort ergibt. —

44

2. Kapitel. Meroraorphe Funktionen.

In der Weierstraßschen Theorie der elliptischen Funktionen wird diese Funktion M0(z) die zum Periodenpaare (co, w') gehörige P e - F u n k t i o n genannt und mit p(z) =p(ar| ¿ 0 r(k+ 1) = k r(k) = k(k— l)jT(fc— 1) = • • • = fcir(l); und daß ,T(1) = 1 ist, liest man unmittelbar aus der Gaußschen Erklärung ab. (4) Für jedes z ist

z

lim

46

2. Kapitel. Meromorphe Funktionen. l l m

r(, + n

+

1

) =

1

n-»ao »I» Beweis: Die Gaußsche Erklärung besagt, daß für n->-oo n!n* ( 2 + n)"(2 + n — l ) . . - ( z + 1 ) 2 - i » strebt. Der Nenner ist hier aber, wie man durch (n-f l)-malige Anwendung der Funktionalgleichung findet, = F(z + n + 1), — was dann die Behauptung ergibt.

(5) Für jedes nichi ganzzahlige z ist r (v* ) r (v i . ' ' sin jie Beweis: Nach der Gaußschen Erklärung ist der reziproke Wert der linken Seite 2(2+ !)••• (2 + n) (1 — z) (2 — Z ) . . . ( W + 1 — 2) = lim

n\n*

— Um

nln1-'

'

W+ 1 — 2

j—r L

sin«2

>•=1

(6) Es ist

,

_

r(i) = + ^ . Beweis: Für 2 = | liefert (6): [.T(i)]1 = n , woraus sofort die Behauptung folgt, da r(h) aus der Gaußschen Definition als positiv abgelesen wird. Dieses eigentümliche Ergebnis kann auch so geschrieben werden "JJ^

/-

oder, wie eine ganz leichte Umformung ergibt: 1 • 3 • 5 . • • (2w — 1) 1 2 . 4 . 6 . T . (2n) ~ wenn durch das Zeichen „" angedeutet wird, daß der Quotient beider Seiten für n-> oo den Grenzwert 1 hat, daß beide Seiten also, wie man zu sagen pflegt, „ a s y m p t o t i s c h g l e i c h " sind. — Die linke Seite ist hier nichts anderes als der Koeffizient von e" in der binomischen Reihe

§ 6. Beispiele mm Mittag-Lefflerschen Satze.

47

1 Daher ist (tt) inhaltlich gleichbedeutend mit der Aussage Vn / ynn Endlich kann man dafür auch schreiben: n 2 2 4 4 2k 2k 1 3 3 6 '"2k — 1 2fc + 1 " '' 2 in welcher Form sich unser Ergebnis mit dem sogen. Wallisschen Produkt als identisch erweist, das sich auch aus dem sin-Produkt sofort für z — J ergibt. (Vgl. hierzu $ 3, Aufg. 1 a.) (7) Das Residuum in den durch (1) festgestellten Polen — v, (t> = 0 , 1 , 2 , . . . ) , ist

Beweis: Seiner Bedeutung nach wird das Residuum eines Poles erster Ordnung in z = — v durch den Grenzwert lim ( 2 + v) r(z) Z—+—r erhalten. Nach (2) ist aber /"•(«+v-fl) m = • T(«+l) i(z+l )...(«+*)' so daß bei z-*—v ni) (—i) r (2+ V ) m - (— y) (— » + 1) • • • (— 2) (— 1) = H l 1 strebt, w. z. b. w. (8) T(i) ist im Streifen 1 g SR(z) < 2 beschränkt. Beweis: Mit z = x4- iy ist in 1 ^ x< 2 n!»* I . n!n* z(z + 1 ) . . . (z + n) | ~ x(x + 1 ) . . . (x + n) Für n->-oo folgt hieraus, daß LT(z) | g F(x) g M ist, wenn M das Maximum von r(x) auf der Strecke 1 :S x iS 2 bedeutet. (9) Die Funktionalgleichung (2) zusammen mit der Eigenschaft (8) ist im wesentlichen charakteristisch für die r-Funktion. Genauer: Wenn eine Funktion f(z) in dem Streifen 1 g 91(2) g 2 regulär und beschränkt ist und wenn sie f&r den Streifen 2 g SR (z) ^ 3 durch

48

2. Kapitel. Meroraorphe Funktionen.

(») f(z + 1) = zf(z), (1 g '»(«) S 2), erklärt wird, so ist f(z) e /(1) • r(z), speziell = r(z), wenn f( 1) = 1 ist. B e w e i s : Durch (a), also durch Uz) = (2-1) f(z-1) ist in 2 ^ JR(i) g 3 eine dort reguläre Funktion ^ erklärt. Wogen (a) gilt längs 81(2) = 2 für sie, daß f^z) = f(z) ist. Daher ist fi die analytische Fortsetzung von f in den Streifen 2 g SR(z) g 3 ; denn beide Funktionen sind in einer Umgebung eines jeden Punktes z0 mit 9}(z0) = 2 regulär und stimmen dort längs 81(2) = 2 überein. Entsprechend ist die durch « « ) = ( 2 - 1 ) h ( 2 - l ) in 3 ^ 91(2) s£ 4 erklärte Funktion ft dort regulär und eine Fortsetzung von flt also auch von f. So fortschließend erkennt man, daß f(s) in die ganze Halbebene 9t(z) > 1 fortsetzbar und in ihr regulär ist. Umgekehrt folgt aus -

1} = fc + " + 1) • " ' 2 ( 2 + 1 ) . . . ( 2 + v)' daß, vom Punkte 2 = — v abgesehen, f(z) auch im Streifen —v g 81(2) < — (v—1) regulär ist und daß in 2 = —v (vgl. den Beweis von (7)) ein Pol erster Ordnung mit dem Residuum Kz +

R >

« 1 ) liegt, (P = 0 , 1 , 2 , . . . ) . Somit sind die beiden Funktionen f{z + 1) und zf(z) für alle 24= 0, — 1 , . . . regulär. Da sie längs 91(2) = 2 übereinstimmen, sind sie identisch, d. h. (a) gilt für die genannten 2. Daher ist M - m • r(z) = g(z) eine ganze Funktion, die ebenfalls der Gleichung (a) genügt, für die also (b) g( 2 + 1) = zg(z) ist. Daher ist auch g(z) • g( 1—2) = s(z) eine ganze Funktion. Diese ist periodisch mit der Periode 2. Denn es ist s(2 + 1) = g(z + 1) • g(—z) = zg(z) g(—z) = —g(.*) • (—zg(—z)) = —g(z) • g(l—z) = —s(2), also i(2 + 2) = - i ( 2 + 1) = 5(2). Überdies ist s(z) auch beschränkt. Denn zunächst ist g(z) in den beiden Halbstreifen 0 ^ i g 1, beschränkt. Denn nach (b) und ( 8 ) ist dort

§ 6. Beispiele zum Mittag-Lefflerschen Satze.

49

u n d da g(z) als ganze Funktion in dem Rechteck 0 5S x iS 1, | g 1 gewiß auch beschränkt ist, so gibt es eine Konstante K, so daß in 0 g fR(z) g 1 überall | g(z) | g K ist. Dann ist dort auch j ( l — z ) | g K u n d folglich

Wegen s(z + 1) = —s(z) gilt dies aber auch in 1 g 91(2) g 2 u n d wegen der Periodizität mit der Periode 2 sogar in der ganzen Ebene. Eine beschränkte ganze F u n k t i o n ist aber (s. I, § 28, S a t z 1) identisch konstant. Wegen fl(l) = 0 ist aber auch s(l) = 0, also 5(2) = 0 und daher auch 3(2) = 0 1 ), d. h. f{z) = 1) • w. z. b. w.

f(

r(z),

( 1 0 ) Die durch das Eulersche Integral in § 3, Beispl. 3, (5), für 9i(z) > 0 erklärte Funktion y(z) ist mit r(z) identisch. B e w e i s : Da offenbar y( 1) = 1 ist, genügt es zu zeigen, daß auch y(z) in 1 iS SR(«) g 2 regulär und beschränkt ist und der Funktionalgleichung (a) genügt. Die Regularität von y(z) in dem genannten Streifen beweist man leicht nach dem Muster von I, § 16. Die Beschränktheit folgt wie bei (8) aus der selbstverständlichen Abschätzung | y(z) | g y(x). Und daß y{z) die Gleichung (a) erfüllt, ist auch sofort zu sehen, weil y(z+

1 ) = f erH'dt = [— e-U*]™ + zf

e~H*-Ut =

zy(z)

ist.- Damit ist schon alles bewiesen 2 ). (11) Die Teilbruchzerlegitng der r-Funktion lautet

v=0 in der g0{z) eine ganze Funktion bedeutet. Der B e w e i s folgt unmittelbar aus ( 1 ) und ( 7 ) und dem Mittag-Lefflerschen Satz. ') Wie folgt diee aus «(2) s= 0? ») Den durch (9) und ( ! • ) gegebenen Beweis für die Identität von y(2) und A » ) verdanke Ich H. W i e l a n d t .

50

2. Kapitel. Meromorphe Funktionen.

4. Beispiel: Die Biemannsche ¿-Funktion. In der analytischen Zahlentheorie spielt eine Funktion eine grandlegende Rolle, deren wichtigste funktionentheoretische Eigenschaften von B. Riemann festgestellt worden sind. Verstehen wir, wie bisher, unter tl bei positivem t die (eindeutige) ganze Funktion e Il0Rt , in der log l seinen reellen Wert haben soll, so sind die Glieder der Reihe (vgl. I, § 17, Aufgabe 2a) 1 ganze Funktionen. In der abgeschlossenen Halbebene 1 1 -f 0 beliebig) bleiben die Beträge dieser Glieder n'SK,) - ¿i+d • Nach dem Weierstraßschen Konvergenzsatz ist die Reihe dort also gleichmäßig konvergent, und da 6 > 0 beliebig war, so besagt dies nach I, § 19, Satz 3, daß sie eine in der Halbebene 8t(z) > 1 reguläre Funktion darstellt. Diese ist es, die man als Riemannsche ¿-Funktion mit f(z) bezeichnet. Über sie beweisen wir den Satz. f (z) ist über den Rand 9t(«) — 1 der genannten Halbebene hinaus fortsetzbar und erweist sich als eine meromorphe Funktion mit dem einzigen Pole z = 1, zu dem der Hauptteil

gehört, z— 1 1 der diso ein Pol erster Ordnung mit dem"Residuum+ 1 ist ). 1. Schritt: Fortsetzung bis zur Geraden 9f(z) = 0. — Mit n~* sind auch —^-r — V . . , für n = 1 , 2 , . . . ganze Funktionen. nz_1 (« + l)* - 1 Da diese in z = 1 eine Nullstelle haben, so sind auch i »+i i [j i ]= r dt r dt z— 1 K"1 (» + 1 ) H J (n+t)'~J f •

n

ganze Funktionen. Für 5R(z) ¡ä 1 + (5 ist der Betrag des letzten Integrals (nach I, § 11, Satz 6) g w - 1 - 4 . Aus demselben Grunde wie vorhin ist also ') Etwa« anders ausgedrückt: Die Differenz C(i)— (transzendente) F u n k t i o n .

Ist eine g a n a e

§ G. Beispiele zum Mittag-Lefflerschen Satze.

51

f * fdt - 1 J ( « + « ) ' J 1 konvergent. Subtrahiert man dies von V

und beachtet, d&B

i ü i r r « »—1

1

' -

1

1 (n+ 1)»

r dt f tdt Z J (» + t)' ~ J (» + = l

ist,

SO ist /(2) = T(2). 6. Im Anschluß an § 2, Aufg. 4a zeige man, daß die Riemannsche {-Funktion in der Halbebene 91(2) > 1 keine Nullstellen hat.

3. Kapitel. Periodische Funktionen. § 7. Die Perioden analytischer Funktionen. Erklärung. Eine analytische Funktion wird periodisch genannt, wenn es eine von 0 verschiedene Zahl w gibt, so daß

54

3- Kapitel. Periodische Funktionen.

für jedes z ihres Begularitätsbereiches stets auch z + o> dazugehört und (1) f(z + a>) = f(z) ist. Jede solche Zahl ¿5 heißt dann eine Periode von f(z). Unter den elementaren Funktionen sind e* und die trigonometrischen Funktionen periodisch, tg? hat z. B. die Periode — 7?r; doch sind auch 13JI und 2 n Perioden von tg 2.

Um uns auf das Wichtigste zu beschränken, wollen wir weiterhin voraussetzen, daß f(z) bis auf isolierte singulare Stellen in der ganzen Ebene eindeutig und regulär ist (es kommen also insbesondere ganze und meromorphe Funktionen in Betracht); andererseits soll sich f(z) nicht auf eine Konstante reduzieren, weil sonst die Gleichung (1) trivial wäre. Ersetzt man in (1) z durch z + m\ so sieht man, daß mit und w auch alte Zahlen nä> + n'tä' Perioden, wenn n und n' irgendwelche ganze Zahlen ^ 0 bedeuten. Wir denken uns nun die allen Perioden einer Funktion entsprechenden Punkte (die sog. „Periodenpunkte") in der Ebene markiert. Dann gilt zunächst der wichtige Satz 2. Die Menge der Periodenpunkte einer eindeutigen Funktion hat keine Häufungsstelle im Endlichen. Beweis: Andernfalls lägen nämlich in ihrer Nähe unendlich viele Periodenpunkte, also auch solche, die einen beliebig kleinen Abstand ( = Betrag der Differenz) voneinander haben. Nach Satz 1 gäbe es dann Perioden mit beliebig kleinem absoluten Betrage, und man könnte eine Folge á ^ c ö 2 , . . . von ') I«t i(z) periodisch, so rechnet m a n a u c h die Zahl 0 En ihren P e r i o d e n ; (lief ist liier und im folgenden zu beachten.

§ 7. Die Perioden analytischer Funktionen.

55

Perioden angeben, für die (ön-* 0 strebte. Ist nun aber z0 eine beliebige reguläre Stelle von f(z) und f(z0) = a, so wäre für jedes n = 1 , 2 , 3 , . . . f(ao + «„) = f(z0) = a, was bedeuten würde, daß in jeder Nähe von z0 noch «-Stellen lägen. Dies ist aber nach I, § 21, Satz 1 (und Fußnote) unmöglich, da ja f(z) nicht konstant sein sollte. — Den hiermit bewiesenen Satz kann man auch so formulieren: Satz 3. Eine eindeutige Funktion kann nickt beliebig Meine Perioden haben. Aus diesen eine erste Orientierung gebenden Sätzen können wir nun sogleich wichtige Folgerungen ziehen: f(z) habe die Periode ¿5; die Zahlen neu, die nach Satz 1 dann gleichfalls Perioden sind, liegen sämtlich auf der Ge-

rt«. 2.

raden g, die durch 0 und ¿5 geht, und bilden dort eine Schar äquidistanter Punkte (s. Fig. 2). Läge nun auf g noch ein weiterer Periodenpunkt (z. B. tg z mit der Periode —In hat außer den Perioden — I n n noch die Periode 3n), so hätte dieser notwendig die Form näi + du), (w ganz, 0 < & < 1).

56

3. Kapitel. Periodische Funktionen.

Nach Satz 1 wäre dann auch #¿5 selbst eine Periode, d. h. wenn es außer den Perioden nco überhaupt noch weitere auf g gelegene gibt, so gibt es auch zwischen 0 und ¿j noch welche. Dort kann es aber (wegen Satz 2) nur endlich viele geben, so daß eine zunächst bei 0 liegt. Diese wollen wir tu nennen, und falls zwischen 0 und a> keine weitere Periode liegt, a> = ¿5 setzen. Dann gilt der Satz 4. Jede auf g gelegene Periode hat die Form nw, (* = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ) . Beweis: Nach Satz 1 sind alle Zahlen nco Perioden; gäbe es außer ihnen auf g noch eine weitere, so hätte diese die Form nco + (0 < ft < 1); dann wäre aber auch #a>, d. h. ein zwischen 0 und a> auf g gelegener Punkt eine Periode, entgegen der Annahme, daß OJ der zunächst bei 0 gelegene Periodenpunkt auf g sein sollte. — Hiernach ist co durch cö völlig auf g bis auf das (unwesentliche) Vorzeichen bestimmt. Man nenntw und ebenso—co eine primitive Periode von f(z). Es hat tgz z. B. die Periode w = — In; g ist hier also die Achse des Reellen. Zwischen 0 und — In liegen noch 6 weitere Perioden von tgz, nämlich —st, — 2 7 t , . . . , — 6 J I , unter denen — n die zunächst bei 0 gelegene ist. Also sind n und — n primit i v e P e r i o d e n von tgz, so daß alle auf g gelegenen (d.h. also hier: reellen) Perioden die Form nn haben.

Hat die Funktion außer den hiermit ermittelten Perioden neu keine weiteren, so heißt sie einfach-periodisch. Im anderen Falle liegen die Perioden nicht sämtlich auf einer Geraden, bilden vielmehr eine ebene Punktmenge. Dann gewinnen wir folgendermaßen eine Übersicht über dieselben: Da nach Satz 2 in jedem Kreise nur endlich viele P.eriodenpunkte liegen, so muß es einen k l e i n s t e n Kreis um 0 geben, auf dem eine oder mehrere (von 0 verschiedene) Perioden liegen (s. Fig. 3). Eine derselben nennen wir co; sie ist notwendig eine primitive Periode der Funktion, und auf der Geraden g durch 0 und co liegen genau die Perioden nco und

§ 7. Die Perioden analytischer Funktionen.

57

keine anderen. Diese denken wir uns nun für den Augenblick ausgelöscht. Dann wird es wieder einen kleinsten Kreis um 0 geben, auf dem eine oder mehrere der verbleibenden Perioden liegen. Wir wollen diejenige unter ihnen (es sind ja

Fig. 3.

sicher nur endlich viele) CD' nennen, die wir bei einem positiven Umlauf um diesen Kreis zuerst antreffen, wenn wir diesen Umlauf bei der von 0 über u> führenden Hälfte der Geraden g beginnen. Dann gilt der die Frage nach der Verteilung der Periodenpunkte schon vollständig erledigende Satz 5. Alle Periodenpunkte der Funktion sind in der Form

, , , enthalten.

r» = o , ± i , ± 2 , . . .

58

3- Kapitel. Periodische Funktionen.

Beweis: Gäbe es außer diesen, die ja nach Satz 1 sicher Perioden sind, noch eine weitere, so müßte sie die Form ( n + 0 ) c o + (n' + 0')co', haben, bei der jedoch n i c h t g l e i c h z e i t i g •& und &' ganzzahlig (d. h. 0 oder 1) wären. Dann wäre aber auch ¿5 = 0co + 0'co' eine Periode; dieser Punkt würde aber in dem Parallelogramm mit den Ecken 0, co, co + to', co' liegen, ohne mit einer der Ecken zusammenzufallen. Nach dem Verfahren, durch das wir co und co' bestimmt haben, kann er sicher nicht in dem Dreieck 0, co,a>' liegen, müßte also in der anderen Hälfte des genannten Parallélogrammes liegen. Aber mit m würde auch w = — Parallelen zu g'. Hierdurch wird die ganze ELene in ein Netz von Parallelogrammen aufgeteilt, dessen Gitterpunkte genau die Periodenpunkte nco + n'co' sind. Denken wir uns d i e s e s Netz oder irgendein anderes gezeichnet, das aus j e n e m d u r c h eine b e l i e b i g e P a r a l l e l v e r s c h i e b u n g h e r v o r g e h t , so besagt die doppelte Periodizität der Funktion ersichtlich nichts anderes, als daß f(z) in k o n g r u e n t e n Punkten, d . h . jetzt: in Punkten, die in verschiedenen der Parallelogramme desselben Netzes kongruente Lage haben (deren Differenz also eine Periode ist), denselben Wert annimmt bzw. die gleiche Singularität aufweist. Ein jedes dieser Parallelogramme (also jedes Parallelogramm mit den Ecken a, a + o), a + a) + (o', a + oj'; a beliebig) nennt man ein (wohl auch: das) Periodenparallelogramm der Funktion f{z) und sagt, daß f{z) eine zu ihm gehörige doppelt-periodische Funktion sei.

68

3. Kapitel. Periodische Funktionen.

Um eine solche doppelt-periodische Funktion vollständig kennenzulernen, genügt es daher, sie „im Periodenparallelogramm" zu studieren, z. B. im sog. „Fundamentalparallelogramm" mit den Ecken 0, w, w + to', u / : Jedwede reguläre oder singuläre Eigenschaft, die die Funktion in einem Punkte 20 besitzt, hat sie in einer Schar von Punkten z0 + neu + n'u>', die die Gitterpunkte eines unserer Parallelogrammnetze bilden. Aus dieser Bemerkung ergibt sich sofort der Satz 1. Es gibt keine (nicht konstante) doppelt-periodische ganze Funktion. (Erster Liouvillescher Satz.) B e w e i s : Als ganze Funktion ist f(z) in jedem endlichen Gebiete beschränkt. Es gilt also für alle Punkte eines Periodenparellelogramms eine Beziehung der Form | f(z) \ K, wenn K eine geeignete Konstante bedeutet. Dann ist aber auch für alle anderen Punkte, also in der ganzen Ebene | f(z) \ K, woraus nach I, § 28, Satz 1 folgen würde, daß f(z) eine Konstante ist. Diesen trivialen Fall hatten wir aber ausgeschlossen. Eine (nicht konstante) doppelt-periodische Funktion hat also im Periodenparallelogramm mindestens eine singuläre Stelle. Nach der Art dieser singulären Stellen, die natürlich für jedes Parallelogramm dieselben sind, pflegt man die doppelt-periodischen Funktionen einzuteilen. Erklärung. Eine doppelt-periodische Funktion, die im. Periodenparallelogramm keine andern singulären Stellen hat als Pole1), oder also: eine meromorphe doppelt-periodische Funktion, wird eine zu diesem, Periodenparallelogramm gehörige elliptische Funktion genannt. Mit diesen allein wollen wir uns im folgenden weiter beschäftigen. Hier wäre vorerst die Frage berechtigt, ob es überhaupt solche Funktionen gibt 2 ); denn bisher ist uns keine begegnet. Da wir jedoch gleich nachher sehen werden, daß J ) Deren Anzahl igt dann dort notwendig endlich. *) Ihre Entdeckung, die auf N . H . A b e l und C. Q. J . J a c o b ! zurückgeht, ist ein sehr bedeutendes wissenschaftliches Ereignis gewesen.

§ 9. Doppelt-periodische, insbesondere elliptisch« Funktionen. 69 schon die in § 6, Beispiel 2, aufgestellte Funktion p(z) ein Beispiel für eine doppelt-periodische Funktion ist, wollen wir uns im Augenblick um die Existenzfrage noch nicht kümmern. Nach der Erklärung hat eine elliptische Funktion nur endlich viele Pole im Periodenparallelogramm. Will man diese abzählen, so muß man passende Festsetzungen über die Zugehörigkeit der Bänder zu demselben machen. Wir setzen fest: Zum P e r i o d e n p a r a l l e l o g r a m m m i t den E c k e n a, a + co, a + io + co', soll n u r der E e k p u n k t a u n d die b e i d e n v o n ihm a u s g e h e n d e n S e i t e n o h n e d e r e n a n d e r e E n d p u n k t e g e z ä h l t w e r d e n . Durch diese Festsetzung erreichen wir offenbar, daß zu jedem Punkt der Ebene immer ein und nur ein kongruenter Punkt in einem beliebigen der Periodenparallelogramme gelegen ist. Nun hat es einen eindeutigen Sinn, wenn man von den „im Periodenparallelogramm" gelegenen Polen einer elliptischen Funktion spricht. Darauf gründen wir die Erklärung. Die Summe der Ordnungen der im Periodenparallelogramm gelegenen Pole einer elliptischen Funktion wird als deren Ordnung bezeichnet. Der erste Liouvillesche Satz kann dann auch so ausgesprochen werden: Satz 1 a. Es gibt keine (nicht konstante) elliptische Funktion 0-ter Ordnung. Unmittelbar einleuchtend ist ferner für beliebige doppeltperiodischc Funktionen der Satz 2. Summe, Differenz, Produkt und Quotient zweier doppelt-periodischer Funktionen fr(z) und f2(z) mit dem primitiven Periodenpaar (co,a>') sowie die Ableitung einer solchen Funktim ist wieder periodisch mit den Perioden co und &>'. (Doch brauchen diese kein primitives Periodenpaar für die neue Funktion zu bilden-, auch kann diese konstant sein.) Sind fx und / j elliptisch, so ist es auch die neue Funktion. K n o p p , Funktlonentheorie. I I .

3

70

3. Kapitel. Periodische Funktionen.

Hat eine Gesamtheit von Funktionen die in diesem Satze genannte Eigenschaft, daß mit zweien-von ihnen auch deren Summe, Differenz, Produkt und Quotient wieder zu der Gesamtheit gehört, so sagt man, daß diese Funktionen einen K ö r p e r bilden. Mit dieser Ausdrucksweise können wir den Hauptteil des Satzes auch so aussprechen: Satz 2 a. Die zu ein und demselben Periodenparallelogranm gehörigen elliptischen Funktionen bilden einen Funktionenkörper. In Verbindung mit Satz 1 folgt hieraus sofort weiter: Satz 3. Haben zwei zu demselben Periodenparellelogramm gehörige elliptische Funktionen dort dieselben Pole mit denselben Hauptteilen, so unterscheiden sie sich nur um eine additive Konstante. — Denn ihre Differenz ist eine elliptische Funktion 0-ter Ordnung. Über die Residuen in den Polen gilt der wichtige Satz 4. Die Summe der Residuen der im Periodenparellelogramm1) einer' elliptischen Funktion f(z) gelegenen Pole ist stets = 0. (Zweiter Liouvillescher Satz.) Beweis: Nach I, § 33, Satz 1 wird die fragliche Summe, vom Faktor 2m abgesehen, durch das über den Rand des Parallelogramms im positiven Sinne zu erstreckende Integral / f ( z ) dz geliefert, wofern auf dem Rande selbst kein Pol gelegen ist. Sollte dies bei einer ersten Wahl des Periodenparallelogramms nicht der Fall sein, so kann man es sofort durch eine hinreichend kleine Parallelverschiebung (z. B. in der Richtung einer Diagonale) erreichen, die auf die jetzige Behauptung offenbar keinen Einfluß hat. Wir dürfen also annehmen, daß es schon von vornherein der Fall sei. Ist dann a der zu diesem Parallelogramm zu rechnende Endpunkt, so ist ') Wie der Beweis zeigen wird, ist es f ü r die Gültigkeit dieses Satzes nicht notwendig, daß w und w' ein p r i m i t i v e s Periodenpaar von !{z) bilden.

§ 9. Doppelt-periodische, insbesondere elliptische Funktionen.

71

a a+a> a-fo»-} a>' a -!-«>' ff(s)de = jf(z)dz + ff(z) statt 2, so wird es = i f ( z + a>') a also entgegengesetzt gleich dem ersten. Ebenso f ü h r t man den Beweis für das zweite und vierte Integral. Die Summe der Residuen ist also 0, w. z. b. w. Aus diesem Satz folgt sofort Satz 6. Es gibt keine elliptische Funktion erster Ordnung. B e w e i s : Sie könnte im Parallelogramm nur e i n e n Pol erster Ordnung haben. Ist sein Residuum = e, so wäre dort auch die Residuensumme = e; nach dem vorigen Satze wäre also c = 0, d. h. einen solchen Pol kann es gar nicht geben. Nach Satz 2 ist mit f(z) auch

fit)

eine elliptische Funkf{z) tion mit den Perioden OD und cü'. Wendet man auf diese Funktion unter Berücksichtigung der Beweise von I, § 33, Satz 1, 2 und 3 den vorhin bewiesenen Satz 4 an, so ergibt sich der Satz 6. Die Anzahl der im Periodenparallelogramm einer elliptischen Funktion gelegenen Nullstellen ist gleich der ihrer Pole, also gleich ihrer Ordnung. (Dritter Liouvillescher Satz.) Wendet man diesen Satz auf f(z) — a an, so erhält man endlich noch den folgenden, die Frage nach dem Wertevorrat einer elliptischen Funktion vollständig erledigenden Satz 7. Im Periodenparallelogramm nimmt eine elliptische Funktion m-ter Ordnung jeden Wert an, und einen jeden genau m-mal. 3»

72

3. Kapitel. Periodische Funktionen.

Nach diesen allgemeinen Betrachtungen wenden wir uns nun der tatsächlichen Aufstellung einiger elliptischer Funktionen und der Untersuchung ihrer wichtigsten Eigenschaften zu. Wie schon angedeutet, ist die in § 6, Beispiel 2 aufgestellte Funktion p(z) eine elliptische Funktion. Wir beweisen zunächst, daß ihre Ableitung es ist. Da diese Ableitung durch gliedweise Differentiation der p(z) darstellenden Reihe gebildet werden darf, hat man sofort

wofür man auch, da ja z0 den Nullpunkt bedeuten sollte, 00

1

1

schreiben darf, wenn in der letzten Reihe k und k' unabhängig voneinander alle ganzen Zahlen = 0 in irgendeiner Reihenfolge durchlaufen. Durchläuft nun aber k alle ganzen Zahlen = 0, so tut dies auch (k — 1). Setzt man also z + OJ statt z, so ist

tatsächlich genau dieselbe Reihe. Es ist also und genau ebenso erkennt man, daß p'{z + «/) = *>'(*) ist. Hiermit ist die doppelte Periodizität von p'(z) und damit die E x i s t e n z von doppelt-periodischen Funktionen überhaupt erwiesen. Wir können noch genauer zeigen, daß CD und W ein primitives Periodenpaar für p'(z) bilden, daß also die Zahlen z, = koj + k'o>' ihre sämtlichen Perioden sind. Ist nämlich

§ 9. Doppelt-periodische, insbesondere elliptische Funktionen.

73

oj irgendeine Periode von p' (z), so hat man p' (z + m) = p'(z) für jeden Punkt des Regularitätsbereiches von p' (z). Läßt man hierin 2 gegen einen der Gitterpunkte zv (d. h. also einen der Pole von p' (z)) heranrücken, so wird p'(z) und folglich auch p'(z + a>) unendlich groß. Jis muß also auch zr -f w ein Pol von p'(z), also selbst ein Gitterpunkt zß sein. Hiernach ist ü> = zß — zv, also ebenfalls von der Formfox>4- k'a/, w. z. b. w. Nach dieser Feststellung ergibt sich nun sehr leicht, daß auch p(z) selbst eine d o p p e l t - p e r i o d i s c h e F u n k t i o n mit demselben primitiven Periodenpaar ist. Denn nach dem soeben Bewiesenen hat man p'{z + (o) — p'(z) = 0, also p(z + w) — p(z) = c, wenn c eine gewisse Konstante bedeutet. Diese muß aber = 0 sein. Denn die in § 6 gewonnene Darstellung von p(z) lehrt zunächst, daß p(— z) = p(z) ist. In ihr sollten nämlich k und k' in irgendeiner Reihenfolge und unabhängig voneinander alle ganzen Zahlen durchlaufen, ohne jedoch gleichzeitig 0 sein zu dürfen. Die Buchstaben k und k' darf man daher ebensogut durch —k und — k ' ersetzen. Aus dieser Bemerkung folgt aber (wegen des Exponenten 2) sofort, daß auch der Wechsel'von z in — z keinen Einfluß auf den Wert der Reihe hat. p(z) ist also wirklich eine g e r a d e Funktion. Setzt man nun in p(z + cu) — p(z) = e den Wert 2= — ein, so ergibt sich, wie behauptet, P(f*>) — Pi— fcu) = 0 = e . Es ist also p(z + = p(z). Und da man genau ebenso erkennt, daß p(e + a') = p(t), so ist auch für p(z) die doppelte Periodizität bewiesen. Daß

74

3. Kapitel. Periodische Funktionen.

auch für diese Funktion w und co' ein p r i m i t i v e s Periodenpaar bilden, ergibt sich aus der entsprechenden Tatsache bei p'(z) und daraus, daß allgemein aus p(z+ m) = p(z) stets p' (z 4- w) = p' (2) folgt, d. h. daraus, daß p(z) keine andern Perioden haben kann, als p'{z). Da schließlich p(z) und p\(z) meromorphe Funktionen sind, so haben wir zusammenfassend den Satz 8. Es gibt doppelt-periodische, insbesondere elliptische Funktionen und zwar solche, die ein vorgeschriebenes primitives Periodenpaar besitzen. Die Weierstraßsche p-Funktion ist ein erstes Beispiel dafür. Diese ^-Funktion muß aus den verschiedensten Gründen als die einfachste elliptische Funktion angesprochen werden. Da es nämlich elliptische Funktionen 0-ter und 1-ter Ordnung nicht gibt, so kommen als einfachste nur diejenigen 2. Ordnung in Betracht. Unter ihnen wird man wieder diejenige als die einfachste ansehen, die im Parallelogramm genau einen Pol zweiter Ordnung — er heiße £ — mit dem möglichst einfachen Hauptteil - — h a t . Liegt dieser Pol beim Fun(2 — C)2 damentalparallelogramm noch in „der" Ecke f = 0, so werden wir gerade auf die Funktion p(z) geführt, — von einer nach Satz 3 allein noch in Frage kommenden additiven Konstanten abgesehen. Auch diese — an und für sich gleichgültige — Konstante ist denkbar einfach festgelegt: Um jeden ihrer Pole kann man nämlich die Funktion p(z) in eine Laurentsche Reihe entwickeln. Für die Umgebung des Nullpunktes hat diese die Form Pl?) = z\ 6 + "o + V 2 + C4Z4 + • • • x ) •

(1

\*

1

j j = — , und da p(z) schon als g e r a d e Fuuktiou erkannt war, können keine ungeraden Potenzen auftreten.

§ 9. Doppelt-periodische, insbesondere elliptische Funktionen.

75

Hierin hat aber die Konstante c0 den Wert 0, wie man sofort aus 1 ZJ (3-Z,)2 für 2 = 0 abliest. Diese „einfachste" elliptische Funktion spielt nun in der W e i e r s t r a ß s c h e n Theorie der elliptischen Funktionen1) eine ähnlich vorherrschende Rolle, wie die Exponentialfunktion in der der einfach-periodischen Funktionen. Nur an einigen Stichproben können wir diese Bedeutung der Funktion p{z) noch erläutern. Wir beweisen zunächst (vgl. § 8, Satz 5) den grundlegenden Satz 9. Die Funktion w = p(z) genügt der algebraischen Differentialgleichung 1. Ordnung

( l i ) =(*"')* =4«>3 in der g2 und g3 gewisse allein durch o> und io bestimmte Konstanten, die sog. „Invarianten der p-Funklion", bedeuten. In ihr tritt die unabhängige Variable nicht auf, und w' ist eine algebraische Funktion von w. ^ Beweis: Aus der eben erst benutzten Reihe für p{z) ^ folgt wegen 1 _ 1 2 2* (2 — 2„)2 2? + 4 + ' 2 i "1 nach dem Weierstraßschen Doppelreihensatz (I, § 20, Satz 3), wenn wir für den Augenblick zur Abkürzung (für n 2; 3)

2", "

setzen:

-

=

«

»)

l ) In der (älteren) J a c o b i s c h e n Theorie spielt eine Funktion die Rolle der ,.einfachsten", die im Periodenparallelogramm zwei getrennte Pole erster Ordnung mit (dann notwendig) entgegengesetzten Residuen hat. Sie liegen In den Mitten der zum FuudamentalParallelogramm gehörigen Seiten. «) Die Reihen sind nach S. 30/31 f ü r n ^ 3 absolut konvergent.

3. Kapitel. Periodische Funktionen.

76 =

¡2 +

2 s

3

z

+

+

+

ÖSgZ4 +

• • • .

Setzt man nun mit Weierstraß

und und beachtet, daß die s„ mit ungeradem Index = 0 sein müssen 1 ), so lautet der Anfang der gesuchten Entwicklung p{z

)

=

I

+

h

z

2

z2 20 Hieraus folgt nun weiter ¥ K >

z3

. & ^ + .... 28

10

7

Bildet man nun mit diesen Entwicklungen das Aggregat (z) - ^ ( z ) - g3), so liefert es zunächst nach Satz 2 wieder eine elliptische Funktion, die dieselben Perioden und keine andern Pole hat. Nun rechnet man aber sofort nach, daß bei ihrer für die Umgebung des Nullpunktes gültigen Entwicklung keine negativen Potenzen auftreten. Daher reduziert sich diese Funktion nach Satz l a auf eine Konstante, — und zwar auf die Konstante 0, da die Rechnung weiter zeigt, daß auch das konstante Glied in der Entwicklung fehlt. Es ist also, wie behauptet, ') Da je 2 G i t t e r p u n k t e des Netzes entgegengesetzt gleich sind, so heben sieh bei ungeradem n j e zwei S u m m a n d e n der Reihe f ü r /t n auf.

§ 9. Doppelt-periodische, insbesondere elliptische Funktionen. p'* =

77

_ gtp — g3

mit der oben angegebenen Bedeutung von g2 und g3. Dieses Ergebnis ist nach den mannigfachsten Richtungen hin bedeutungsvoll. Wir heben hier noch dies hervor: Durch die Gleichung y2 — (4:p> — g2x — g3) = 0 ist y als (mehrdeutige) Funktion von x, und x als ebensolche von y definiert. (x und y, und nachher t, sollen hier komplexe Veränderliche sein.) Sie sind algebraische Funktionen voneinander (Näheres hierüber im 5. Kap.); oder, wie man in Übertragung „reeller" Vorstellungen sagt: die Gleichung definiert eine a l g e b r a i s c h e K u r v e . Unser obiges Ergebnis lehrt nun, daß man in « = fK0,

y =

p'(t)

eine Parameterdarstellung dieser „Kurve" hat. Diesen Sachverhalt, daß man nämlich zwei e i n d e u t i g e Funktionen eines Parameters t gefunden hat, die genau dieselbe Kurve liefern wie die gegebene implizite Gleichung, durch die jede der Variablen x und y als m e h r d e u t i g e Funktion der andern definiert ist, drückt man auch dahin aus, daß man sagt, man habe die Kurve u n i f o r m i s i e r t . Hier wird also eine spezielle algebraische Kurve 3. Ordnung mit Hilfe der ^ - F u n k t i o n uniformisiert. Ein einfacherer Fall einer solchen Uniformisierung liegt vor, wenn man den „Kreis" x2 + y2 — 1 = 0 mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen in der Form x — cos t, y = sini darstellt. — Das hiermit angedeutete Uniformisierungsproblem spielt in der neueren Funktionentheorie eine wichtige Rolle; vgl. die Schlußbemerkung in § 18. Durch eine Differentialgleichung, wie die in Satz 9 auftretende, ist bekanntlich auch umgekehrt die ihr genügende Funktion wieder eindeutig bestimmt, sobald noch ein Paar zusammengehöriger Werte der Variablen bekannt sind. Für

78

3. Kapitel. Periodische Funktionen.

die p-Funktion ist z. B. z = 0 und w = oo ein solches Wertepaar; und man folgert daher aus = J/4W3 — gtw — g3, daß

W

und also w = p(z) die U m k e h r u n g oder die inverse Funktion der durch dies Integral definierten Funktion z = z(w) ist1). Ein solches Integral — allgemeiner jedes Integral, dessen Integrand eine rationale Funktion der Veränderlichen selbst und einer Quadratwurzel aus einer ganzen rationalen Funktion 3. oder 4. Grades derselben ist — nennt man ein elliptisches Integral (aus dem ziemlich äußerlichen Grunde, daß es zuerst bei der Berechnung des Ellipsenumfanges vorkam). In den Umkehrfunktionen solcher durch elliptische Integrale definierten Funktionen wurden von N. H. Abel und C. G. J. J a c o b i zum ersten Male doppelt-periodische Funktionen erkannt, denen sie darum den Namen „elliptische Funktionen" beilegten. Wir stellen uns als letztes Ziel, noch einen Satz zu beweisen, der uns in gewissem Sinne einen Überblick über die Gesamtheit aller elliptischen Funktionen gibt: Satz 10. Jede elliptische Funktion mit den Perioden CD und w' kann, wofern nur a>'/a> nicht reell ist, durch die Funktion p(z | \u), \ü)') und deren Anleitungen rational dargestellt werden2). •) Wir gingen von den Perioden w und a>' aus, konstruierten die zugehörige ^-Funktion und fanden für diese die obige Differentialgleichung, in der die In* Varianten ff, und g% allein durch to und m' bestimmt waren' Das sog. U m k e h r p r o b l e m besteht nun darin, zu entscheiden, ob umgekehrt g, und g, beliebig vorgeschrieben werden können, und ob dann stets die zu der obigen Integralfunktion z = z(w) Inverse Funktion eine p-Funktion lBt, deren Invarianten die vorgegebenen Größen g, und g, sind. •) Da0 umgekehrt Jede aus jp{z) und seinen Ableitungen rational aufgebaute Funktion eine elliptische Funktion mit den Perioden u> und u>" Ist ist nach Satz 2 selbstverständlich.

§ 9. Doppelt-periodische, insbesondere elliptische Funktionen.

79

Der B e w e i s gibt uns zugleich Gelegenheit, noch einige weitere .wichtige Eigenschaften unserer Funktionen kennen zu lernen: Aus p(z + w) = p(z + co ) --= p(z) folgt (vgl. S. 44) (1) £ ( * + «,) = £ ( * ) + ,,;

+

+

wenn mit r) und r j geeignete Konstanten bezeichnet werden 1 ). Und hieraus folgt weiter a(z + w) = c • eiza(z), a(z + tu') = e' ei'*o(z). Da auch er (z) eine ungerade Funktion ist, ergeben sich die neuen Konstanten wieder für z = — Ja>, und man erhält genauer i *(*+ < x < a

z* + y" — 3axy a

= 0 stellt

Ist y dreideutig.

Die

oberen der 3 Kurvenzüge sind bei x = a / i singul&r (der Differentialquotient Ist oo) und „hängen dort zusammen", der andere Kurveraug bleibt regulär

§ 10. Vorläufiges über mehrdeutige Funktionen.

#7

mehrdeutigen Funktion w = F(z)\ dieses sei längs des von z0 nach £ führenden Weges ! fortsetzbar. Dann landet man in £ mit einem ganz bestimmten der Funktionswerte F(£). Welcher dieser W e r t e ist es? Wir wollen vor der Hand eine nur flüchtige Vorstellung von der Überwindung dieser Schwierigkeiten geben; und erst nachdem wir in diesem und dem folgenden Kapitel einige Beispiele genauer behandelt haben, im letzten Kapitel eine allgemeine Antwort suchen. Das Funktionselement von dem wir ausgehen, darf als Potenzreihe angenommen werden. Ihren Konvergenzkreis denken wir uns aus dem Papier ausgeschnitten und seine Punkte zu Trägern der (eindeutigen) Funktionswerte des Elementes gemacht. Haben wir nun durch eine zweite Potenzreihe das Anfangselement fortgesetzt, so denken wir uns auch deren Konvergenzkreis ausgeschnitten und an der gehörigen Stelle auf die erste Scheibe aufgeklebt. (Wir erhalten dadurch ein Bild wie I, S. 101, Fig. 7b.) Die zusammengeklebten Teile waren dabei Träger derselben Funktionswerte und gelten demgemäß fortan als einfaches, einmal mit Werten belegtes Blatt. Gelingt uns eine neue Fortsetzung, so kleben wir die neue Scheibe in ganz entsprechender Weise auf, usw. Jede neue Scheibe wird an die vorangehende, aus der sie durch (von selbst stets eindeutige) Fortsetzung gewonnen wurde, in der beschriebenen Weise angeklebt. Kommen wir nun nach mehrmaligem Fortsetzen mit einem der neuen Kreise wieder auf altes Gebiet (also auf eine nicht unmittelbar vorangehende Kreisscheibe) hinauf (vgl. I, S. 105/6), so soll die neue Scheibe mit der alten dann und nur dann zusammengeklebt werden, wenn beide Träger derselben Funktionswerte sind, bzw. nur soweit, wie beide dieselben Funktionswerte tragen. Genauer: Sie sollen genau mit denjenigen Gebieten zusammengefügt werden, die dieselben Funktionswerte tragen. Einzelne P u n k t e mit den gleichen

88

4. Kapitel. Wurzel und Logarithmus.

Funktionswerten dürfen und sollen dabei außer Acht gelassen werden 1 ). Tragen sie aber verschiedene Funktionswerte, so lasse man sie unzusammengefügt übereinanderliegen. Die Ebene wird dann in diesem Teile von 2 Blättern überlagert, die Träger verschiedener — aber auf jedem Blatt völlig eindeutiger — Funktion swerte sind. Indem wir diese Vorschrift weiterhin stets beachten, denken wir uns unser Verfahren ohne Ende weiter fortgeführt, solange noch Möglichkeiten dazu offenstehen. Dann entsteht ein flächenartiges Gebilde, das aber die Ebene in mehreren, im allgemeiner sogar unendlich vielen „ B l ä t t e r n " bedeckt, die die mannigfachsten Formen haben und in der mannigfachsten Art untereinander verbunden sein können 2 ). Man nennt sie die R i e m a n n s c h e F l ä c h e der durch das Ausgangselement definierten mehrdeutigen Funktion w = F(z). Auf ihr ist der gesamte Wertevorrat von F(z) insofern völlig eindeutig ausgebreitet, als jeder Punkt jedes Blattes einen und nur einen Wert trägt. (Alle etwaigen freien Ränder oder R a n d p u n k t e eines Blattes dieser Fläche sind f ü r die Fortsetzungen, durch die das betreffende Blatt entstanden ist, singulär; Näheres s. u.) Erst wenn wir diese sehr allgemein gehaltenen Ausführungen an einigen durchsichtigen Beispielen werden erläutert haben, werden wir den Nutzen dieser Vorstellungsart voll erkennen können. Bemerkt sei nur noch, daß es natürlich unwesentlich ist, ob wir gerade mit Kreisscheiben fortsetzen oder mit irgendwelchen andern Gebieten, etwa in der I, S. 93 beschriebenen ') Ist die Funktion eindeutig, so füllen die zusammengefügten Kniescheiben nach und nach das ganze Existenzgebiet der Funktion genau einmal ans, und das so entstandene Blatt mit seinen angehefteten Funktionswerten veranschaulicht vollständig die Funktion. ') Bei dem Zusammenkleben wird es vorkommen, daS ein Blatt mit einem andern vereinigt werden soll, das durch dazwischenliegende von ihm getrennt ist. Das müssen wir uns dann geschehen denken, ohne die dazwischenliegenden BUtter zu schneiden, sozusagen ohne sie dabei anzurühren, was für die konkrete Ausführung natürlich unmöglich, für die rein gedankliche Konstruktion aber, um die es sich doch hier allein handelt, ohne jede Schwierigkeit ist.

V

-

§ 11. Die Riemannschen Flächen yz für und log z.

89

Art, wofern wir nur sonst an den getroffenen Verabredungen festhalten. A u f g a b e n : 1. Kann eine mehrdeutige Funktion in zwei übereinander liegenden Punkten ihrer Riemannschen Fläche denselben Wert haben? Kann sie in a l l e n Punkten der Umgebung zweier solcher Punkte denselben Wert haben? 2. Was für Funktionen (eindeutige oder mehrdeutige) werden durch die folgenden Formeln definiert: a)

j/?;

d)

b) |/cosz, cosj/z;

c) j/1 — sin 2 «;

e) ]/p(z)—ip(\o,)\

f) log(e*)?

§ 11. Die Riemannschen Flächen für [/«und log z. 1. Als die einfachste mehrdeutige Funktion kann man w = fit ansehen, die schon in Elem., § 38, kurz behandelt wurde. In I, §26, 2 sahen wir, daß die reelle für x > 0 definierte und dort positive Funktion ins Komplexe fortsetzbar ist. Für die Umgebung von + 1 z. B. wird diese Fortsetzung durch die binomische Reihe [ 1 + (0—1)]* = 1+ « * - ! ) - ^ ( , - 1 ) . +

-

^

( * - ! ) * - + ...

geliefert. Von diesem Element ausgehend, kann man die Fortsetzung in völlig eindeutiger Weise und ganz unbehindert ausführen, solange man die negative Achse des Reellen vermeidet. Für den im vorigen Paragraphen beschriebenen Bildungsprozeß der Riemannschen Fläche besagt dies: Durch Zusammenfügen von Bereichen können wir zunächst die ganze, nur längs der negativreellen Achse aufgeschnittene Ebene ausfüllen und ihre Punkte zu Trägern je eines, durch das gewählte Ausgangselement e i n d e u t i g bestimmten Wertes von ^z machen. Wir haben, so sagt man, aus dem gesamten Wertvorrat von w — ^z (bei dem jedes 0 + 0 zwei Werte trägt) einen in dem genannten Gebiete eindeutigenundregulären Zweig herausgeschnitten. Über die Ränder dieses Bereiches ist nun aber, da 0 die einzige singulare Stelle im Endlichen ist (über den Punkt oo, s. S. 93), noch eine weitere analoge Fortsetzung möglich. Setzen wir aber z. B. über den oberen Rand nach unten hin fort, so darf man nicht

90

4. Kapitel. Wurzel und Logarithmus.

mehr zusammenkleben, denn die Gebietsstücke, die von dem oberen Rand her in die untere Halbebene hineinragen, sind nun Träger a n d e r e r Funktionswerte, nämlich, wie wir wissen, der mit dem Faktor e*" Z m = —• 1 multiplizierten, also entgegengesetzten Werte zu denen, die dort schon angeheftet stehen. Die Ebene wird also von diesen Gebietsstücken ein zweites Mal überlagert 1 ), und da außer in 0 nirgends ein Hindernis für die Fortsetzung liegt, so wird diese zweite Überlagerung sich schließlich über die ganze Ebene (exkl. 0) bis zurück zur negativen Achse des Reellen ausdehnen, stets dabei mit den entgegengesetzten Werten wie vorher belegt. Dann ist die ganze Ebene von zwei Blättern bedeckt, die sich um den Nullpunkt nach Art einer Schraubenfläche in zwei Windungen herumziehen, und auf der der gesamte Wertevorrat von j/s genau einmal ausgebreitet liegt (vgl. Abb. 6a). Oben und unten hat die Fläche noch je einen längs der negativrig. 5». reellen Achse liegenden freien Rand, über den hinaus noch weiter fortgesetzt werden kann. Geschieht dies etwa wieder über den oben liegenden Rand hinaus in eine untere Halbebene hinein, so sind die angefügten Gebietsteile, die nun die Ebene ein drittes Mal überlagern würden, Träger von Werten, die erneut mit dem Faktor (—1) gegen die darunterliegenden muliig. 5b. tipliziert erscheinen; sie sind also Träger ders e l b e n Funktionswerte, wie in der unteren Halbebene des untersten Blattes. Wir bekommen daher k e i n d r i t t e s Blatt, ') Wir denken uns dies zweite Blatt etwa ü b e r dem eisten liegend.

r — § 11. Die Riemannschen Flächen für |/z und log z.

91

sondern müssen kurz gesagt die beiden freien Ränder, u n t e r D u r c hd r i n g u n g des d a z w i s c h e n l i e g e n d e n B l a t t e s , aneinanderheften (vgl. Abb. 6b). Dannistaber miteinem Schlage alles vollendet. Denn nun ist kein freier Rand mehr vorhanden und zu einer analytischen Fortsetzung keine Möglichkeit mehr da: wir haben die Riem a n n s c h e F l ä c h e der F u n k t i o n w = fa gewonnen, auf der der gesamte Wertevorrat dieser Funktion völlig eindeutig ausgebreitet liegt, jlz ist eine auf dieser Fläche e i n d e u t i g e Funktion des Ortes. Wenn man auf dieser Fläche von Punkt zu Punkt irgendwelche Wege geht, so bewegt man sich zwischen einem genau so eindeutigen Wertevorrat, wie im Falle einer eindeutigen Funktion 1 ). Ein (von 0 verschiedener) Punkt der Fläche ist nun aber nicht mehr durch z allein bestimmt; es gehört noch die Angabe des Blattes dazu, in dem er liegen soll. Da aber die Numerierung der beiden Blätter natürlich ganz belanglos ist, macht man es gewöhnlich so, daß man sich die Fläche mit ihrer Belegung irgendwie, aber in nun festbleibender Weise aufgebaut denkt. Dann ist ein Punkt derselben durch Angabe von z u n d des dort angehefteten Wertes von |fz nun eindeutig fixiert. Den Punkt 0 aber, um den herum die beiden Blätter zusammenhängen, nehmen wir nun nachträglich auch noch zur Fläche, zählen ihn jedoch nur e i n m a l ; wir machen ihn zum Träger des Wertes 0 und nennen ihn einen z w e i b l ä t t r i g e n V e r z w e i g u n g s p u n k t der Fläche (oder einen solchen 1. Ordnung). Dann bestätigt man noch leicht, daß jede komplexe Zahl w ein- und nur einmal an unserer Riemannschen Fläche angeheftet steht. In der Umgebung einer jeden von 0 verschiedenen Stelle bildet der dort angeheftete Wertevorrat eine eindeutige reguläre analytische Funktion. Dabei darf diese Umgebung soweit ausgedehnt werden, als sie noch einblättrig bleibt und also auch den Punkt 0 nicht enthält. Ist © ein solches Gebiet (z. B. der Kreis mit | z0 | ') Da man, nachdem das erste Blatt fertig war, statt von oben nach unten auch in umgekehrter Richtung oder in beiden zugleich hätte fortsetzen dürfen, so sieht man, daß Form und Lage der Durchdringungslinie beider Blätter ganz gleichgültig ist. Die Durchdringung ist sozusagen ü b e r h a u p t n i c h t d a , oder liegt jedenfalls nur in der Unvollkommenhcit unserer empirischen Raumanschauung. Wesentlich ist nur, daß die Windungsfläche die Eigentümlichkeit hat, daß an j e d e r von 0 verschiedenen Stelle zwei Blätter übereinander liegen und dal} sie uns von irgendeiner ihrer (von 0 verschiedenen) Stellen nach e i n m a l i g e r Umw&nderung des Nullpunktes a n die gleichbenannte Stelle des anderen Blattes und nach z w e i m a l i g e r Umwanderung des Nullpunktes wieder an die Ausgabestelle zurückzuführen vermag; an die dabei in unserer realen räumlichen Anschauung notwendige Durchdringung des dazwischenliegenden Blattes möge man gar nicht denken, man sehe völlig von ihr ab.

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4. Kapitel. Wurzel und Logarithmus.

um z0 in einem Blatt, oder die rechte Jialbebene eines Blattes, oder die längs der negativ-reellen Achse aufgeschnittene Ebene o. ä.), so sagt man, daß es mit seiner Belegung einen Zweig der Funktion darstellt. Bedeutet z. B. © den positiv umlaufenen Einlieitskreis und beginnt man bei + 1 mit der S. 89 entwickelten Bedeutung von |fi, so ist hiernach

+i 2. Ganz ähnlich liegen die Dinge bei der schon Elem., §38,cingeführten Funktion «i = yz, (p > 2). Die Ergebnisse von I, § 26, 2, lehren hier auf Grund ganz ähnlicher Betrachtungen, daß der Fortsetzungsprozeß nach zwei Umwindungen des Nullpunktes, wie er durch Fig. 5a veranschaulicht wurde, noch nicht vollendet ist. Setzt man über die offenen Ränder der bis dahin erhaltenen Fläche (etwa wieder über den obenliegenden Rand in die untere Halbebenc hirtein) fort, so wird eine dritte Überlagerung der Ebene notwendig, um den Wertevorrat unterzubringen, usw. Da die an die Punkte des zweiten Blattes angetragenen Werte sich von denen 2jtt des ersten durch den Faktor e p , die des dritten durch den 2)ri , 2jii 2— (p—i) — p , Faktor e p , . . . , die des p-ten durch den Faktor e unterscheiden, so zeigt sich erst nach dieser p-ten Überlagerung, daß eine erneute Fortsetzung über den genannten Rand hinaus in die untere Halbebene hinein zu keiner neuen Belegung derselben mehr führt. Sie führt vielmehr zu derselben Belegung, die schon auf dem untersten Blatt in der unteren Halbebene angeheftet steht. Daher werden wir den oberen Rand des p-ten Blattes, unter Durchdringung der dazwischenliegenden ( p — 1) Blätter, mit dem unteren Rand des ersten Blattes verschmelzen. Damit verschwindet aber jeder Rand, und der Fortsetzungsprozeß ist nun vollendet. Auf dieser p-blättrigen Riemannschen Fläche für die Funktion w = j/z ist deren gesamter Wertevorrat eindeutig ausgebreitet, und es gelten auch sonst alle Bemerkungen, die wir in dem vorbehandelten Sonderfalle p = 2 gemacht haben. Der Punkt 0 heißt ein p-blättriger Verzweigungspunkt (oder ein solcher von

§ 11. Die Riemannschen Flächen für yz und log z.

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der ( p — l)-ten Ordnung). Wir rechnen ihn, e i n m a l gezählt, nun noch nachträglich zur Fläche hinzu und machen ihn zum Träger des Wertes 0. Wir deuten noch kurz an, daß man genau dieselben Betrachtungen auch auf der Z a h l e n k u g e l (s. Elem., §14 u. 15, sowie I, §2) s t a t t auf der Z a h l e n e b e n e durchführen kann. Man kommt zu einer ganz entsprechenden 2- bzw. p-blättrigen Überlagerung der Kugel durch eine R i e m a n n s c h e K u g e l f l ä c h e . Das wird sich jeder selbst ohne Schwierigkeit zurechtlegen können: Man h a t sich nur p Kugelflächen, die alle längs eines und desselben Halbmeridians (etwa desjenigen, der der negativ-reellen Achse entspricht) aufgeschlitzt sind, ineinanderliegend zu denken. Heftet man dann den (von außen gesehen) linken Rand der innersten Kugelfläche an den rechten Rand der nächsten, den linken Rand dieser an den rechten der zweitnächsten usw., so bleibt schließlich nur der linke Rand der äußersten und der rechte Rand der innersten Kugelfläche frei. Diese h a t man endlich unter Durchdringung der dazwischenliegenden Kugelhüllen aneinanderzufügen, um die fertige p - b l ä t t r i g e R i e m a n n s c h e Z a h l e n k u g e l zu erhalten. Sie ist das genaue stereographische Bild der vorher aufgebauten p-blättrigen Riemannschen Zahlenebene. Der p-blättrige Verzweigungspunkt 0 kommt dabei in den Südpol und man findet — und darin besteht der Vorteil in der Benutzung der K u g e l —, daß der Nordpol, d. h. der P u n k t oo, ein P u n k t von ganz analoger Beschaffenheit, also auch ein p-blättriger Verzweigungspunkt ist: Wir haben eine p-blättrige Riemannsche Kugel mit zwei Verzweigungspunkten vor uns, von denen auf der Kugel keiner vor dem anderen bevorzugt ist. Entsprechend den bei 0 getroffenen Festsetzungen nehmen wir daher nachträglich auch den P u n k t oo noch zur Fläche hinzu, zählen ihn jedoch nur e i n m a l und machen ihn zum Träger des Wertes oo. Dann stellt man sofort fest, daß auf dieser Fläche j e d e komplexe Zahl w (einschl. 0 und oo) ein- und nur einmal angeheftet stehi. Den Einblick in eine solche Tatsache kann man oft dadurch lebendiger gestalten, daß man die in Elem., § 37 beschriebene und bei der Behandlung der elementaren Funktionen (s. Elem., 2. u. 5. Abschn.) viel verwendete Abbildung benutzt: S t a t t zum Studium einer Funktion w = f(z) die regulären P u n k t e z zu Trägern der Zahl w zu machen, stellt man neben die «-Ebene (oder z-Kugel) noch eine u;-Ebene (bzw. tu-Kugel) und markiert auf ihr den P u n k t iv = f(z), den man das B i l d von z vermöge f(z) als abbildender Funktion nennt. Auf Grund dieser Abbildung, von der wir schon

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4. Kapitel. Wurzel und Logarithmus.

wissen, d a ß sie s t e t i g und k o n f o r m ist, entspricht allen P u n k t e n , Kurven, Figuren, Gebieten der 2-Ebene oder 2-Kugel ein B i l d in der ««-Fläche und die A r t dieser A b b i l d u n g vermag eine sehr anschauliche Vorstellung von der N a t u r dieser F u n k t i o n zu vermitteln 1 ). Benutzen wir diese Vorstellung, so können wir unsere letzten P.Ergebnisse auch so aussprechen: Durch w = y2 wird, die zugehörige p-blättnge Riemannsche Kugel umkehrbar-eindeutig auf die schlichte (d. h. einblättrige) w-Kugel abgebildet. Jedem Punkt des einen Gebildes entspricht ein und nur ein Punkt des andern2). Die Abbildung ist überdies, von den Punkten 0 utid 00 abgesehen, durchweg konform. Beim Punkte 0 (und, bei zweckmäßiger Deutung, auch beim. Punkte 00) ist die Abbildung noch stetig; ein Winkel aber, dessen Scheitel in 0 oder 00 liegt, wird auf den pten Teil verkleinert. p3. Ganz ähnlich wie für w = yz b a u t sich auch die Fläche f ü r vo = l o g z a u f , da auch hier n n r O und 00 singulär sind (vgl. Eiern., § 45). Wir beginnen etwa mit dem bei + 1 regulären I l a u p t w e r t , also m i t dem Funktionselement. , (2 - l ) 2 L (2 - l ) 3 ^ ( z - 1 ) -2 + - _ - - _ + . . . . Es k a n n (vgl. I, § 26, 1) über die längs der negativ-reellen Achse aufgeschnittene z-Ebene unbehindert und eindeutig fortgesetzt werden. Wir erhalten so eine in diesem Gebiete eindeutige und reguläre F u n k t i o n , den H a u p t w e r t oder H a u p t z w e i g von log«ü b e r die Ränder des Schnittes können wir weiterhin forti>setzen. T u n wir es, wie bei yz, so gelangen wir zu einem zweiten ( ü b e r dem ersten zu denkenden) Blatte, dessen P u n k t e W e r t e tragen, die gegen die darunterliegenden u m 2 711 v e r m e h r t sind. Dasselbe t r i t t ein, wenn wir zu einem d r i t t e n B l a t t kommen usw. Die Bildung der Fläche schreitet also genau so f o r t , wie bei der f ü r pr yz, nur d a ß wir hier niemals zu E n d e kommen, d a j e d e s B l a t t Werte t r ä g t , die gegen die u n m i t t e l b a r darunterliegenden u m 2ni ') Das Studium der Eigenschaften dieser Abbildung und die Untersuchung der Funktionen auf Grund der durch sie vermittelten Abbildung bildet den Inhalt des Bändchens Nr 768 dieser Sammlung: L. B i e b e r b a c h , Einführung In die konforme Abbildung, 5. Aufl. 1956. ') Denkt man Bich jeden Punkt z der ¿-Flache mit seinem Bild v der »-Fläche durch einen unsichtbaren Faden verbunden, so bedeuten diese In Ihrer Gesamtheit Jenes „innere Band", von dem wir I, S. 106 sprachen.

r— t § 1J. Die Riemannschen Flächen für yz und log z.

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vermehrt erscheinen. Wir denken uns daher über jedem Blatt noch ein weiteres liegend, wodurch dann in der Vorstellung der Fortsetzungsprozeß nach oben hin vollendet, d. h. keiner darüber hinausgehenden Erweiterung mehr fähig ist. Nun ist noch der untere Rand des ersten Blattes frei und wir können über ihn hinaus (in die obere Halbebene hinein) fortsetzen. Das entstehende neue Blatt denken wir uns nun u n t e r dem ersten Blatte liegend; es trägt Werte, die gegen die darüberliegenden (Haupt-)Werte um 2.1t' vermindert erscheinen, — trägt also jedenfalls neue Werte. Und dieser immer wieder mögliche Fortsetzungsprozeß schafft nun auch nach unten hin ohne Ende neue Blätter mit neuen Belegungen. Denn jedes Blatt trägt Werte, die gegen die unmittelbar darüberliegenden um 2ni vermindert erscheinen. Denken wir uns demgemäß unter j e d e m Blatt noch ein weiteres liegend, so vollenden wir in unserer Vorstellung nun endgültig den Bildungsprozeß der Fläche, die nun nach keiner Richtung hin einer Erweiterung mehr fähig ist. Auf dieser unendlich-vielblättrigen Riemannschen Fläche ist nun der gesamte Wertevorrat von w = logz wieder völlig eind e u t i g ausgebreitet; logz ist auf ihr eine e i n d e u t i g e F u n k t i o n des Ortes. Führt man dieselbe Behandlung an der Kugel statt auf der Ebene aus — man hat sich unendlich viele Kugelhüllen ineinander gewunden zu denken —, so sieht man sofort, daß der Punkt oo (der Nordpol) genau von derselben Art ist, wie der Punkt 0. Wir haben eine u n e n d l i c h v i e l b l ä t t r i g e R i e m a n n s c h e K u g e l m i t zwei V e r z w e i g u n g s p u n k t e n u n e n d l i c h h o h e r O r d n u n g vor uns. Solche unendlich-vielblättrigen Verzweigungspunkte rechnet man n i e m a l s zur Fläche und macht sie n i e m a l s zu Trägern von Funktionswerten. Es erübrigt sich noch, ein paar Worte über die Verteilung des Wertevorrats von logz auf unserer Fläche zu sagen: auf dem ersten 2 Blatte sind die Hauptwerte von logz =

angetragen, d. h. die-

1 jenigen, bei denen der Integrationsweg ganz in der längs der negativreellen Achse aufgeschnittenen Ebene — dort aber beliebig — verläuft. Gehen wir etwa, um von + 1 nach z zu gelangen, zunächst längs der positiv-reellen Achse nach dem Punkte | z | und von hier längs des Kreises mit | z | um 0 auf dem kürzesten Wege nach z, so hat man

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4. Kapitel. Wurzel und Logarithmus. |z|

2

|z|

--JbJf-fr'b

arc2

1 |z| 1 0 = Log \z\ + tarc2, wobei Logl 21 den reellen Logarithmus der positiven Zahl | z | bedeuten und — n < arc2 s i + ji 1 ) genommen sein soll (vgl. Elem., § 45). Die Vieldeutigkeit von log2 erscheint hiernach als eine unmittelbare Folge der Vieldeutigkeit des Arcus einer komplexen Zahl. Der Hauptwert von w = logz genügt der Bedingung —7i < %(w) g + n ; der P u n k t w liegt in dem durch eben diese Ungleichung charakterisierten Streifen der te-Ebene, der in der Breite 2ji symmetrisch zur Achse des Reellen liegt. Und aus z = e" liest man ab, daß auch j e d e r Punkt w dieses Streifens das Bild eines 2 + 0 ist. Durch den Hauptwert von logz wird also die aufgeschnittene Ebene, ausschl. 0, umkehrbar-eindeutig, stetig und k o n f o r m auf den genannten Streifen der w-Ebene abgebildet. Die übrigen Werte von log2, deren Träger die andern Blätter sind, unterscheiden sich vom Hauptwert nur um einen Summanden der Form 2fort mit ganzzahligem feig0. Die zugehörigen P u n k t e w liegen also in den durch (2k— 1)n s—giu> — — g w — g dw

r

i

3

oder deutlicher deren Umkehrfunktionen w = sinz und v) = p(z) von so grundverschiedener Art sind, nämlich einfach- bzw. doppeltperiodisch. A u f g a b e n : 1. Man beweise den auf S. 99, Fußn. 2 formulierten Satz. Z, dz

/

y—i =- = r

haben, wenn

der Weg in beliebiger Weise von einem bestimmten der beiden Punkte 0 unter Vermeidung der Punkte ± 1 zu einem bestimmten ') Der von a3 ausgehende Schnitt führt nachoo oder nach a t , Je nachdem k = 3 oder = 4 ist, ') Um im Einklang mit den §5 8 und 9 zu bleiben, müssen wirhierdie Buchstaben z und w vertauschen. — Die obigen Wurzeln sind, von einem konstanten Faktor abgesehen, offenbar von dem behandelten Typus mit k = 2 und * •= 3.

§ 13.

103

Problemstellung.

der beiden P u n k t e z„ (=f= ± 1 ) f ü h r t ? — H a b e n diese I n t e g r a l e noch für z 0 = ± 1 und 2 0 = oo einen Sinn ? und welchen ?

5. Kapitel. Algebraische Funktionen. § 13. Problemstellung. Die bisher behandelten Beispiele mehrdeutiger Funktionen waren, außer log z, sämtlich a l g e b r a i s c h e F u n k t i o n e n . Man iiennt sie so, weil sie durch Auflösung einer algebraischen Gleichung entstehen, d. h. einer Gleichung der Form G(z, w) = 0, in der G eine ganze rationale Funktion von z und w bedeutet. Denkt man sich diese nach Potenzen von w geordnet, so kann man ihr die Gestalt geben G(z, w) = g0(z) + qx{z)

w + g^z)

w2 -\

h gm(z)

W",

in der die Beiwerte gv(z) ganze rationale Funktionen von z allein bedeuten und in ä 1 ist. Ist nun ein Funktionselement w = f(z) so beschaffen, daß es, für w in eine solche Gleichung eingesetzt, dieselbe i d e n t i s c h befriedigt, d.h. daß Ü{z,f(z)) — 0 ist für alle z eines gewissen Gebietes, so sagt man, f(z) sei ein Element einer durch G(z,w) — 0 definierten a l g e b r a i s c h e n F u n k t i o n . Ist m ^ 4, so kann man durch Auflösung der Gleichung die in Rede stehende Funktion explizit in die Hand bekommen und untersuchen. Für m > 4 ist das bekanntlich nicht mehr möglich. Dann entsteht aber gerade das Problem, ob durch eine solche Gleichung ü b e r h a u p t in ähnlicher Art eine Funktion definiert wird, ob oder unter welchen Bedingungen- sie genau eine Funktion liefert 1 ), von welcher Natur diese Funktion sein mag usw. ') Daß durch eine Gleichung mehrere Funktionen definiert werden können zeigt beiion ein so einfaches Beispiel wie w ' — z* 0, durrh dag offenbar zwei Funktionen gegeben werden. 4*

]04

5. Kapitel. Algebraische Funktionen.

Wir präzisieren zunächst die Voraussetzungen: Wir werden vor allem G ( z , w ) = 0 i r r e d u z i b e l annehmen dürfen, d. h. nicht in das Produkt zweier ganzer rationaler Funktionen derselben Art zerlegbar. Denn die Behandlung einer Gleichung der Form

.G1(z,w)Gi(z,w)= 0

kann offenbar vollständig durch die getrennte Behandlung der Gleichungen G x = 0 und G 2 = 0 ersetzt werden. Denken wir uns nun für z einen bestimmten Wert z„ eingesetzt, so haben wir eine numerische Gleichung für w vor 1 uns, die im allgemeinen m verschiedene Wurzeln w { *\..., haben wird. Eine Ausnahme tritt nur ein, wenn a) g m ( z o ) = 0 ist, da sich dann der Grad der Gleichung erniedrigt, und wenn b) G(z„, w) = 0 mehrfache Wurzeln hat. Aus der Algebra her müssen wir die Tatsache als bekannt ansehen, daß dieser letzte Fall dann und nur dann eintritt, wenn ein gewisser aus den Beiwerten der Gleichung ganz und rational gebildeter Ausdruck, die sog. D i s k r i m i n a n t e der Gleichung verschwindet; und ferner, daß diese Diskriminante, die wir mit D ( z ) bezeichnen wollen, bei irreduzibel vorausgesetztem G ( z , w ) nicht identisch verschwindet, sondern also eine ganze rationale Funktion von bestimmtem Grade ist. Die unter a) und b) genannten Ausnahmen können dann jedenfalls n u r f ü r endlich viele b e s o n d e r e W e r t e von 2 eintreten, die wir mit O j , . . . , o, bezeichnen und als „kritische Stellen" vorläufig von der Betrachtung ausschließen wollen. Dann können wir sagen: Für jedes von den kritischen Stellen verschiedene z = z 0 hat die Gleichung G ( z 0 , w ) = 0 stets genau w verschiedene Wurzeln w ( 0 ' \ ..., w ( 0 m \ zu deren Träger wir den Punkt z0 machen. Unser Ziel ist dann der

Satz. Der m-fache Werlevorrai, der den Punkten der (durch Ausschluß der av „ p u n k t i e r t e n " ) Ebene durch die Gleichung

§ 14. Stetigkeit und Differenzierbarkeit der Wurzeln.

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G(z, w)—0 zugeordnet wird, ist derjenige einer einzigen mdeutigen analytischen Funktion w — F(z). Oder kürzer: Durch G(z, w)= 0 wird genau eine in der punktierten Ebene reguläre m-deutige Funktion w — F(z) definiert. Die Punktionen, die auf solche Art sich definieren lassen, sind es, die man als algebraische Funktionen bezeichnet. Diesen Satz, der die Grundlage der Theorie der algebraischen Funktionen bildet, wollen wir in den beiden folgenden Paragraphen beweisen und darüber hinaus noch das Verhalten von F(z) in den kritischen Punkten, zu denen wir dann auch den Punkt oo zählen, betrachten. § 14. Stetigkeit und Differenzierbarkeit der Wurzeln. Wir zeigen zunächst, daß die Wurzeln von G(z, vi) = 0 in ganz bestimmtem Sinne stetig von dem gegeben gedachten z abhängen und beweisen dazu für beliebige Polynome in w die folgenden Sätze von der S t e t i g k e i t der Wurzeln: Satz 1. In dem Polynom n-ten Grades in w (n ^ l, ganz) (1) g(w) = c0 + c1w-j 1- 0) unterworfen. Ist dann 0 so bestimmen, daß für \ c01 < c i > • • - ca—i gegen 0 rücken. Da dies für « = 1 schon bewiesen ist, dürfen wir annehmen, daß es schon f ü r « — k( 0 ein 0 so klein, daß die Schranken yv yt,..., yx < e ausfallen, sobald die Beiwerte c0, c 1 , . . . , ihrem Betrage nach