Elliptische Funktionen und Modulformen (Masterclass) (German Edition) 3540493247, 9783540493242

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Koecher · Krieg Elliptische Funktionen und Modulformen

Max Koecher · Aloys Krieg

Elliptische Funktionen und Modulformen Zweite, überarbeitete Auflage Mit 26 Abbildungen

123

Prof. Dr. Max Koecher † Prof. Dr. Aloys Krieg Lehrstuhl A für Mathematik Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen Templergraben 55 52062 Aachen E-mail: [email protected] Internet: http://www.mathA.rwth-aachen.de

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Mathematics Subject Classification (2000): 11F11, 11F25, 11F27, 11F66, 30B50, 33E05

ISBN 978-3-540-49324-2 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN 978-3-540-63744-8 1. Aufl. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998, 2007 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Text und Abbildungen wurden mit größter Sorgfalt erarbeitet. Verlag und Autor können jedoch für eventuell verbliebene fehlerhafte Angaben und deren Folgen weder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung übernehmen. Umschlaggestaltung: WMXDesign GmbH, Heidelberg Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Satz: Reproduktionsfertige Vorlage des Autors Gedruckt auf säurefreiem Papier 175/3100YL - 5 4 3 2 1 0


      9       :     (    :   ;(    !     : ;       <;'     (  

 

=          ' 4 8'
      ?@ '  5  A  ##6  


    

 :        @    *  5         BB+B2          ' $ 

@  
 ! *  0* 12B23      (      $'  0C(35 'D'   0 3  A'   0
 3      !   ( :     ' 8          :   <;  8    '
 5  A  12B2    :  8  (     ,    
    *!   ' E  F   5         @     4     $        *  4    * 
   ;  ' $        : (  5   *  ))  @  
     <  : *  )   * 4      (   G '    8             ( 2# $

#

,  ;  2  ∅ = E ⊂ Ω \ {0}   ( M '    ,;  0 

max{|ω| ; ω ∈ E}

:=

2

An+1 (Ω) − An (Ω) ≤

  n ≥ δ'


π · [(n + 1 + δ)2 − (n − δ)2 ] ≤ c2 n vol Ω 

c1 :=

|ω|−α

0=ω∈Ω,|ω|≤δ+1

   0: '    R1226S )T5 "'1#3 



|ω|−α ≤ c1 +

ω∈E

(An+1 (Ω) −An (Ω))n−α ≤ c1 + c2

∞ 

n1−α =: C < ∞ .

n=1

n∈N,δ 1.

n=1

8     05 / ' H  0  Im τ 5 

K ⊂ C×H |Im z| ≤ 1/ε (z, τ ) ∈ K $

#

τ +1 2

  

|eπin

2 τ +2πinz

∞ 

|≤1+2·

e−πn

2 ε+2πn/ε

≥ ε

+Ω



< ∞.

n=1

n∈Z

 :       *   1   ' 9     8  *    073  ,; ' 2 $

#

." ; 3

 1  K  H 
 


H*1

,


 
 H.'
  i

Di,r := {z ∈ H ; |z, i| ≤ r},

r > 0.

   D*     z → |z, i|     *  K 
  r ' 2
  D*    ):;?8 ;   0I3 :  0 

   2  2 2sy 1 + s2 er − 1 . (u − x)2 + v − y = , s= r 2 2 1−s 1−s e +1

063

F  0     5 -         ' ." - 
 (wk )k≥1


 H   z ∈ H    

(|z, wk |)k≥1 ,
 0  # 

,
+ 

(wk )k≥1

0  τ ∈ H  D    : Pos (2; R)

   0   ' 4 τ = x + iy

 1 #  :D   ϕ   K  $    :      a b ∈ K ; |b + c| ≤ a ≤ d , |b − c| ≤ 1 , det Z ≥ 1 . ϕ(F × F) = Z =  1        '

c

d

! 2   / )    D   (  @      5 (  4   !    ; E   **  
   **   ' $  ;  (  Γ = SL(2; Z) 
   **  Λ  E   ** : Γ'  ""*  % E+  ,  ∆ ;  1 ) − 1 < x < 0} 

 Fϑ   !      Γϑ   +, τ   M τ, M ∈ Γϑ  M = ±E " * Fϑ "   τ = M τ = i   M = ±J  > 3 Λ         Γϑ  :  Λ  Γϑ & 7 * {E}, {±E}  {±E, ±J}   !) =

1I

  

  % 

n ∈ Z , n ≥ 2 : +  Γ0 [n]  /     5      4" # −1 ;   8 (mod n)  0 n  "   / Γ0 [n] & 5      3  6  Γ0 [n] #      1 * −E, T   JT n J −1 *" # n = 1, 2, 3  4  3 p   9*  :  J, J −1 T k J, k = 0, 1, . . . p−1 "  LC  8E   A &  &   Γ  Γ0 [p] 1   3 *     Γ0 [p] @ 3 p   9*  :  {τ ∈ H ; |x| ≤ p/2, |τ − n| ≥ 1 )  0 = n ∈ Z, |n| ≤ p/2}  !      Γ0 [p]   ΓN [2] # *   1 * M 2 , M ∈ Γ  ΓN [2] # *   1 * LM L−1 M −1 " L, M ∈ GL(2; Z)   a b ∈ Γ; a ≡ d ≡ 1(mod n), c ≡ 0(mod n)}    6  * "   Γ1 [n] := { c d ? 3

) n > 1 & 2   Γ  1  [Γ : Γ1 [n]] : I  &  *  Γ[n]   GL(2; Q)   SL(2; R) & 7 *       Γ"  Γ1 [n2 ]     : 1  {τ ∈ H ; |τ − 1| ≥ 1, |τ + 1| ≥ 1}   !      +    { n1 01 ; n ∈ Z} = !)    

 1   



Λ



 

Γ

Λ := Λ ∪ (−E)Λ Γ[3]  Γ "  





8 /   C  2 (

&    1 *
0  6   α   β "    :  f ∗

f ∈ Mk k ≡ 0 (mod 6)  !) f ∈ Sk  3

 

|f (τ )| ≤ α · e−βy √ ρ = 12 (1 + i 3) 5

 

r∈Q

)  

τ ∈H

f (i) = 0"

 



lim f (r + iy) = 0. y↓0

!)

f ∈ Mk " f ∈ / Sk " k > 0

 

r∈Q



lim |f (r + iy)| = ∞. y↓0



y ≥ γ.

k ≡ 0 (mod 4)"

 

f (ρ) = 0"

 

1"2

 5  

 3     #     8 *   ;
      *4



 013 G (τ ) := (mτ + n)  k ≥ 3 ;  




−k

k

m,n

1

∞ (2πi)k  k−1 · m · Qk,m (τ ) · e2πimw , τ, w ∈ H. (k − 1)! m=1

&   8



Rk,m (τ ) :=

(ατ 2 + 2βτ + γ)−k , S =



α

β

β

γ



, τ ∈ H"

S∈Sym(2;Z),detS=−m

   & &E/- 5  Rk,m      !)  D 

S ∈ Sym(2; R)

 S

8

:= {M t SM ; M ∈ Γ}



Rk (τ ; S) := (

α β β γ

k



Vk = K(j  )k/2 

1 &   5   )

Mk

(ατ 2 + 2βτ + γ)−k

∆

k >1

&  

, τ ∈ H"

§1

Rk (·, S) ∈ S2k 

 

§2

  & #  :  

  L#    +# 

  

!)

)∈S

   & &E/- 5  @ !)  

∈ S2k  :   (6J*   Rk,m (τ )

§3

  :  *   2(

  #     $  
χ   γ > 1


0∗3

−s

|f (s) · y | · |ds| ≤ 2C · y

−σ


∞ 2C · y −σ . · (1 + t)−γ dt = γ−1 0

(σ)

   )    :         4     ) : ]]0, ∞[[ ' 3 9  #"$  ) ; 


f (s) · y −s ds = 0

∂R

 -   *     R      {s ∈ C ; σ > χ}' <     : 073 : (   ia )     D   ;   !

    a → ∞, b → ∞' $ ∨ ∧  


f (s) · y −s ds =

(α)




f (s) · y −s ds.

0 χ

(β)

3
 : (  (∗)' 3     : 3   D*!    M ' 9 3    χ < α < σ = Re s < β f ∗ (s) 0


∞

α

∨ −ib

β

∧

>

' "% ) (

0

f ∗ (y)y s0−1 dy

0

=

............................................................................................. ... ..... ..... .... .... .... ... .... .... .... .... .... .... ... .... ..... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... ..... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. ...........................................................................................

1 2πi


1 0

  




 
∞
1    s −1 −s f (s)y −s ds y s0−1 dy +  f (s)y ds y 0 dy . 2πi 

1

(α)

(β)

  0∗3       4k


∞

∞ 

|αf (m)| ·

m=1

e−2πmy y σ−1 dy < ∞.

0

9  ;     )   0B3   k k


∞


1 [f (iy) − αf (0)] · y

Df (s) =

s−1

[f (iy) − αf (0)] · y s−1 dy

dy +

1

0


∞


∞ [f (iy) − αf (0)] · y s−1 dy +

= 1

1


∞


∞ [f (iy) − αf (0)] · y

=

[f (i/y) − αf (0)] · y −s−1 dy

1


∞

+ αf (0) ·

s−1

[f (iy) − αf (0)] · ik y k−s−1 dy

dy + 1



 ik y k−s−1 − y −s−1 dy

1


∞ =

 dy  + αf (0) · [f (iy) − αf (0)] · y s + ik y k−s y

1



 1 ik − , s−k s

 03' $  f (iy) − α (0) = O (e )   [[1, ∞[[    )))'1'I'      ,  : 03  
-    0: ' - - R122"T5 '1'73  ; 4    -  @     C  <' f

−2πy

I

  
1 

+  6, 

  03  i = 1       4     063' D (s)  *    : 

  D   s = k  s = 0'   70I3      2k

f

Df (s) = (2π)s ·

1 · Df (s). Γ(s)

  Γ(s)   ,  s = 0     D   

 1 5  ; D (s) (  03   ,  s = 0    ,  05    8 <   ,  5  α = O(m )' 4   f : H → C  0"3 *'    8     013  σ ≥ χ + ε, ε > 05  < 5   D ∈ B    7  03' ,; 7     J  σ > χ

1  1 0∗3 2πi D(s)y ds = α Γ(s)(2πmy) ds = f (iy) − α , · 2πi

 +
'!   
 k  $

#

f

0

χ+ε

m

χ

∞

−s

−s

m

m=1

(σ)

0

(σ)

(   @    : ,   )    ,; :  -   :  ; 0: ' '   R1225 ))T5 2'1I3   ' 9      )  1 I := 2πi




D(s)y

−s

................................................................................................................................................................ ... ..... ..... .... .... .... ... .... .... ... .... ..... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... ..... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. ................................................................................................................................................................

ds

∨

∂R

   *:      *!       R5   D  0  χ 

' % ) ( −k

1 + 2πi

(b)




D(s)y −s ds.

(−a)

9 0∗3    ,  : 03  f (iy)'       ,  : 03 : (    073
   0∗3%
α0 (iy)−k +

1 2πi

i−k D(k − s)y −s ds = α0 (iy)−k +

1 2πi

(−a)

ik D(s)y s−k ds (k+a)

= (iy)

−k

· f (i/y).

!

I2

! 9   %    


  )  κ ,  




013

∞ 

∞ 

! *4



γm · m−s



γm :=

m=1







αd βm/d

d|m

!" Re s > κ#

  (  (       *:     d : m   ' $

#  D  : ;(    :              ∞

A(s) · B(s) =

αν βµ · (νµ)−s , Re s > κ,

ν,µ=1

     '
         νµ = m ;   

 05 ;  ( !  ' 4 τ = iy   4   013 *: 

 F '    8  *  03 k + 1

ζ(2s + 2 − 2k) ·

∞ 

Re s > k + 1

αf (m2 ) · m−s =

 −1 . 1 − αf (p2 )p−s + αf (p2 )pk−1−2s − p3k−3−3s p



ζ(s + 1 − k) ·

∞ 

αf (m2 ) · m−s =

m=1

= * 

µ



αf (1) = 1



m=1

 !)

  

2

∞ 

αf (m)2 · m−s .

m=1

  E! & "   )  m, n ≥ 1 αf (mn) =



µ(d) · αf (m/d) · αf (n/d) .

d|(m,n)

"I

+  6, 

  
1 

 !) 7

m≥1



(m) Df (s)

:=

∞ 

 αf (mn) · n

=

−s

n=1

> !) 7

sE5 

m≥1

*



 k−1−s 

µ(d)αf (m/d) d

· Df (s).

d|m (m)

Df

(s)

    !*      & B

 ,    9     

ik

s=k

  8

m  µ(d) (2π) αf (0) · · αf . (k − 1)! d d k

d|m

∞ −s δk (n) := #{(g1 , . . . , gk ) ∈ Zk ; g12 + . . . + gk2 = n}   ζk (s) :=  n=1 δk (n) · n :  ζ1 (s) = 2ζ(2s) :   E8 ζk (s)  ) Re s > k/2  &   ζk (s) *       sE5              9  s = k/2   8  5  ζk (0) = −1   ζk (−n) = 0 ) n = 1, 2, . . .   1 ξk (s) := π −s Γ(s)ζk (s)    * " ξk (s) − s−k/2 − 1s   *     ? 3

 ! &   ξk ( 2 − s) = ξk (s) ∞ −s  0 ?  ζ2 (s) = 4ζ(s) · " # n=1 χ(n) · n k

χ

 E 

 &  4 

   4 (


  E8 G2  000?   *"     E8  8π2 ζ(s)ζ(s − 1)  1       (

 1      &    *    

G2 (−1/τ ) = τ 2 G2 (τ ) − 2πiτ

 3 * 000?  @ +  !

(αm )m≥0

! & 

∞ 

g(τ ) :=

 

(βm )m≥0 "

αm · e2πimτ

 

 , 

h(τ ) :=

m=0

5 

∞ 

C   #  " #

βm · e2πimτ .

m=0

√ g(τ ) = (−i nτ )−k · h(−1/nτ ),

: *  ! &



Dg (s) :=

2π √ n

−s

· Γ(s) ·

∞ 

n ∈ N.

αm · m−s

m=1

    !*   

sE5 "   α0 β0 − Dg (s) − s−k s

  *      ! &  

Dg (k − s) = Dh (s). 10)∗

3

χ





Df (s, χ) :=

∞ 

   4  &  n, f ∈ Mk (Γ0 [n])  

χ(m) · αf (m) · m−s



#

Df (s, χ) :=

m=1

: 

Df (s, χ)

  *  5 B 

ε∈C

Df (k − s, χ) = ε · Df (s, χ).

2π n



−s

· Γ(s) · Df (s). |ε| = 1

 

   " !#         ?   013 ϑ(τ ) =

2τ

eπim

, τ ∈ H,

m∈Z

 ? (     )))'$'7 (",
Q?   U ∈ Mat(n; Z)# 0:3 
-,,  U : Z → Z , g → Ug  ,7
# 0:3 
-,,  U : Z → Z , g → Ug   7
# t

−1

n

n

n

n

"6

       :  /  

$

#

@  )*  (i) ⇐⇒ (ii) ⇐⇒ (iv) 5 3 3

3 3 4

(v) =⇒ (vi) =⇒ (iii)

              8   ' 0:3 =⇒ 03% ) e , . . . , e   8 : Z 5     @   v , . . . , v ∈ Z  Uv = e 5 j = 1, . . . , n5  V = (v , . . . , v ) ∈ Mat(n; Z)  UV = E '        det U = ±1' 03 =⇒ 0:3%
 : (       1

1

n

n

n

n

j

j

1

U −1 =

n

1 U , det U

(    -    ;(' *   0   0 = g ∈ R ' Pos (n; R)    
  *: / 
;   Sym (n; R)' 4 1 ≤ m ≤ n  ;  + , E 03 S := S ∈ Sym (m; R) , E = E , 0 t

n

(m)

(m)

      m×m 8 : S '   J det S  m*
<    S #    /  T ⇐⇒ S − T ∈ Pos (n; R)'       Pos (n; R) = {S ∈ Sym (n; R) ; S > 0}'   4    0 ( 1/2

A ∈ GL(n; R)

013

S>T

⇐⇒

λS + R > λT + R

⇐⇒

S[A] > T [A].

$" " S, T ∈ Sym (n; R)  S > T   0 = G ∈ Mat(n, m; R) 

Sp S[G] > Sp T [G]. ,
 

 S[g] > T [g] !" 
0 = g ∈ Rn #

 $

#

   1 , 69  

,  G = (g , . . . , g )  g 1

m

r

= 0

Sp S[G] − Sp T [G] = Sp(S − T )[G] =

'   (  70"3 m 

(S − T )[gj ] ≥ (S − T )[gr ] > 0.

j=1

2


  - *: /
         *:  @    $  :    ' , 2 S ∈ Pos (n; R) ,
 
α, β ∈ R  
:
 !

' $

#
 (     0:3  XM : ;?,;  7    D > βE 5   V V = E  013    8  *  ' 2 $ ( $     S > βE

j

j

t

("& 

S ∈ Pos (n; R) , t ∈ R   m ≥ 1# 

 
'



{G ∈ Mat(n, m; Z) ; Sp(S[G]) ≤ t}
#

$

# F S ( 0  S > βE   D*'           
   

{G ∈ Mat(n, m; Z) ; Sp(Gt G) ≤ t/β}.

,   G = (g )5     8  *    νµ

Sp(Gt G) =

n  m 

2 gνµ .

ν=1 µ=1

 4    2 '    !  L    8   073    ' F     / : H  :     A'' #)$  9'A''  R1222T' )   /        %?H '? @   : .       9  - +

24

24

24


  µ(S) 0: ' 1'"0133     
 S ∈ Pos (n; Z)      J (  '    E    :     1'"   29  2   + 2 '
     ?  Θ(·; S) ∈ M , k = n/25  ,; '  "? Y;        + 1' (S, 0) = 1 , (S, 2m) = 0 , 1 ≤ m ≤     dim M = + 1  )))'I'1  k ≡ 0 (mod 4)   (    *  ;  )))''"' 2 $

#

n 24

k

k 12

k

k 12

$  5  
 S ∈ Pos (n; Z)  µ(S) = 2   + 2  !   (

 ' ) G   5     H        @   (V, σ)5   J G

 5 (   ; G
?
 !   5 ''   σ(g, g) ≥ 2 + 2   g ∈ G , g = 0' n 24

n 24

6B

   1 , 69  

8 *    
;   S , S H  L    ' 8

8

⊕ S8

' 9 ,; 6   %?

24


  3 k ≡ 0 (mod 4) , k ≥ 12 :      E8 Θ(τ ; S) * Z S ∈ Pos (2k; Z)   ZE1   Mk     R ∈ Pos (24; Z)        :  )  .&    E   Tn , n ≥ 1"   *,  E8<   3 Θ(τ ; L24 ) + (R,2n) Tn Θ(τ ; R) = σ11 (n) − (R,2n) 720 720 Θ(τ ; S8 ) 

  "     3 

!)

 3

Θ(τ ; R) &  5  *) Tn     (R, 2n) > 0 G∗k (τ ) ) k = 12, 16, 20  A  &    E8   S ∈ Pos (2k; Q)   q ∈ Z"    qS   qS −1     :      1 q 1 0 Θ(·, S)|k = Θ(·, S) , Θ(·; S)|k = Θ(·; S). 0 1 q 1

> 3

χϑ

n>1

   

= 1 

  000
 D  4  & 

: 

(4k)

ϑ

? : $ 

Γϑ 

= Θ(·; E ) ∈ M2k (Γϑ , χkϑ )     χ : Γ0 [4] → C , χ ac db := id−1 "    4k

4  & !)

k∈N



 !) 

m∈N

ϑ(2τ )2k = Θ(τ ; 2E (2k) ) ∈ Mk (Γ0 [4], χk ) 



(S8 , 2r) · (S8 , 2s) = 480 · σ7 (m) .

r+s=m

   0 e A ∈ Sym(16, Z)"  E = E (8) , A = −e ∈ Mat(8; Z)" S16 := 2E B At 4E  e = (1, . . . , 1)t ∈ Z7 , B = i−j "          D    7 1≤i,j∈7 5   (S16 , 2m) = 480 · σ7 (m) )  m ∈ N  : 1 B

!  7 4    1  

)    D     ,* ;      
< .  (   (  ' 4 k ≡ 0 (mod 4)    ?   ! ( 
    ?   ;      5   5 *: /  M    4 '  8 (  (       ?C*   '  #  "  "+"+" 4 q ∈ N  A, B ∈ Mat(n, m; Z) /    1  
+ (mod q)  1 013 A ≡ B (mod q) ⇐⇒ (A − B) ∈ Mat(n, m; Z)5 q (     

;  -  *  ' E  Q   @!   ;     4    A ≡ A (mod q) , B ≡ B (mod q) =⇒ AB ≡ A B (mod q)' 03

 +














   8  4  

62

    2 

F       5  -   : ; 5   
; 

    @     ;    

; (mod q) ;  ' , 
 q ∈ N   S = (sij ) ∈ Sym (n; Z) , n ≥ 2    q   s11 

!
  # 

,


'   U ∈ GL(n; Z)  

'   R ∈ Sym(n − 1; Z)    s11 0 S[U] ≡ (mod q). 0 R

$

#

  ggT(s , q) = 1   u ∈ Z  s '  8  *      11

2≤j≤n

j



U=

1 ut 0 E

11 uj

+ s1j ≡ 0 (mod q)





, ut = (u2 , . . . , un ).

2

) q   D ;      D;5    (  -     @       ' ("& 

p

 

 +   ∈ N   S ∈ Sym (n; Z)# 

,



 U ∈ GL(n; Z)  

 

   D   

S[U] ≡ D (mod p ).

,  n > 1  S = 0'   S  S , δ(S) = ggT(s )5  ;  5    $<  δ(S) = 1   ' )           : S   p  5  ( 8    ,;       ?   ;(   ! <  5   -  013   N O      ?     ' 3  "? Y;   : G   ;; '     4 n = 24  $ ; : 2   <    ?   0     h > 13    ,;' ,  15      5  0   Y;  : g     ' $    (g t g)−k .

ϕ(n; k) ≤ n · ϕ(n − 1; k) + 2n ·

g∈Nn

   E    ;(         
         

g t g = γ12 + . . . + γn2 ≥ n(γ12 · . . . · γn2 )1/n .

ϕ(n; k) ≤ n · ϕ(n − 1; k) + 2n n−k · ζ (2k/n)n .

  n/2'

2

 &+ 

   = 4   ")  

7#7

 :  ;:       F       ("& 
4

013  !" T ∈ Pos (n; R)   s ∈ C  Re s > n/2 ,  

  
 

073

ζ(T [U]; s) = ζ(T ; s)

!" 
U ∈ GL(n; Z)#

9 D* 1'I   ; T  β > 0  T > βE '       :  ;     '  XM : ;?,; 1'1   E      073' 2    F       :  , : 1'I0"3'  ;")  & +  &   :" 
    ?  '7 G  (    1013       F     0.


    y > 0

013   013   

|Θ(iy; T ) − 1| ≤ ϑ(iαy)n − 1.

 y ≥ 1. 9       ?  '7 ;(' )))'$'7073 ϑ(iαy) = (αy) · ϑ(i/αy) = O(y )  0 < y ≤ 1.
 013  n/2 (   D* :    5   n





∞

ξ(T ; s) =

e−πyT [g] · y s−1dy =

g∈Zn 0


∞ (Θ(iy; T ) − 1) · y s−1 dy. 0


   ,   y → 1/y  n/2
1 (Θ(iy; T ) − 1) · y s−1 dy +

ξ(T ; s) = 0

1


∞ (Θ (i/y; T ) − 1) · y

=


∞ (Θ(iy; T ) − 1) · y s−1dy

−s−1


∞ dy + (Θ(iy; T ) − 1) · y s−1dy .

1

1


   ?  '7  
∞ (Θ (i/y; T ) − 1) · y

−s−1


∞ dy =

1



 Θ(iy; T −1)y n/2 (det T )−1/2 − 1 · y −s−1dy

1


∞ =

(Θ(iy; T 1

−1

) − 1)(det T )

−1/2

y

n −s−1 2


∞ dy +



 y n/2 (det T )−1/2 − 1 y −s−1dy

1

 
∞ n (det T )−1/2 1 (Θ(iy; T −1) − 1) · (det T )−1/2 · y 2 −s−1 dy + = − . s − n/2 s 1

 &+ 

   = 4   ")  

7#"

      Re s > n/2    
∞

0I3

ξ(T ; s) = 1

  dy n (Θ(iy; T −1) − 1) · (det T )−1/2 · y 2 −s + (Θ(iy; T ) − 1) · y s y



+

(det T )−1/2 1 − s − n/2 s

 .

     D*    )   0I3   s ∈ C     ; 4  : s'      ,;       

     )     0I3'  :  9    : ζ(T ; s)  073      D    H?4   0


 C > 0   

03

|Ks (y)| ≤ C · e−y

!" 


y ≥ ε, |Re s| ≤ 1/ε.

" 7

 y > 0  s → Ks (y)



 +
  #

   *    

$

#


∞ s−1

2Ks (y) =

t

−(t+1/t)y/2

·e


1 dt +

1

ts−1 · e−(t+1/t)y/2 dt

0


∞ dt = (ts + t−s ) · e−(t+1/t)y/2 . t 1

$   K (y) = K s

1 |Ks (y)|·e ≤ 2


∞

y



−s (y)

Re s

t

' 4 y ≥ ε  Re s ≤ 1/ε  (  t + 1/t ≥ 2 −Re s

+t



−(t+1/t−2)y/2

·e


∞ dt ≤

1

t1/ε ·e−(t+1/t−2)ε/2 dt =: C .

1

    03   * : s → K (y)   
-!     0: ' - - R122"T5 '1'73' 2 s

     ;       ("& " s ∈ C s = 0, 1   
τ ∈ H  


073

"*:  

E(τ ; s) = 2ξ(2s) · y s + 2ξ(2 − 2s) · y 1−s 
+4 |n|s−1/2 σ1−2s (|n|) · y 1/2 · Ks−1/2 (2π|n|y) · e2πinx . n∈Z

7#2

 &+ 

   = 4   ")  

$

#

,  ;  1'   (   


−s

E(τ ; s) = π Γ(s) · =




y |mτ + n|2

m,n∈Z −s

2 −s s

π Γ(s)(n ) y +

n∈Z




= 2ξ(2s) · y s +





ts−1

m∈Z 0 ∞ 



= 2ξ(2s) · y +




y

= 2ξ(2s) · y + y

1/2



2 +m2 y 2 )/y

e−πt((mx+n)

s

dt

2

ts−1 Θmx,0 (it/y; 1)e−πtm y dt
∞

1/2

m∈Z s

π Γ(s)

y |mτ + n|2

n∈Z

m∈Z 0 s

 −s

m∈Z n∈Z

∞

= 2ξ(2s) · y s +

s

·

2

ts−3/2 Θ0,−mx (iy/t; 1)e−πtm y dt

0





∞

−2πimnx

·

e

m∈Z n∈Z

2 t+n2 /t)

ts−3/2 e−πy(m

dt,

0

(     ?  '7 : (  ' 9  
∞ s−3/2

t

−πym2 t

·e

dt = π

1/2−s

  1 Γ s− · y 1/2−s · |m|1−2s . 2

0

4 n = 0 : (     ,   t =


∞ s−3/2

t

−πy(m2 t+n2 /t)

·e

n r m

  ? 

mod4  ζ(E (4) ; s) = 8(1 − 22−2s ) · ζ(s) · ζ(s − 1)
 000 ζ(E (8) ; s) = 16(1 − 21−s + 24−2s ) · ζ(s) · ζ(s − 3)
 000  ζ(S8 ; s) = 240 · 2−s · ζ(s) · ζ(s − 3) 520 ζ(L24 ; s) = 65691 · 2−s · (ζ(s) · ζ(s − 11) − D∆∗ (s))
 0L 
 !)  m ≥ 2  (L24 , 2m) = 0 (mod 65 520)

π K3/2 (y) = 2y · e−y · (1 + y1 ) ) y > 0

= − 12 (Ks+1 (y) + Ks−1 (y)) ) y > 0   s ∈ C ∞ 2 π3 σ3 (n) · (2nπ + 1) · e−2πn  @ ζ(3) = π E(i; 2) − 45 − 2 n=1  3 T ∈ Pos (2; R) , s ∈ C , Re s > 1 !) n ≥ 1  Tn ζ(T ; s) d

 dy Ks (y)

3 * 0L  #D  !)   9* 

p

*#

n∈N



:=

ζ(T [At ]; s)




A∈Γ:Γn



Tp ζ(T ; s) = (1 + p1−2s ) · ζ(T ; s) , Tn ζ(T ; s) = σ1−2s (n) · ζ(T ; s) .  !)

n≥1

 

s∈C



Re (s) > 1   Tn E(τ ; s) := E(M τ ; s) = σ1−2s (n) · E(τ ; s). M∈Γ:Γn

T ∈ Pos (2; R)   ξ ∗ (T ; s) := (det T )s/2 π −s Γ(s) · ζ(T ; s) : ) ξ ∗ (T ; s)  ξ ∗ (T ; 1 − s) = ξ ∗ (T ; s) = 3 K = Q( d) , d < 0 ;  "    /E;   ' &,   :( √ 1 &  D   o  *, 8    * '  "  " o = Z + Z 2 (1 + d) √   D = d"   d ≡ 1 (mod 4)" *# o = Z + Z d   D = 4d   !) a ∈ C *   N (a) = aa = |a|2   ζo (s) := N (a)−s  : 8 &   )   3

! &   √

0=a∈o

Re (s) > 1   *     !*    sE5         9  s = 1   8 √2π  : ! & ξo (s) := |D|s/2 (2π)−s Γ(s) · ζo (s) ) −D  ! &  

ξo (1 − s) = ξo (s).

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