Partielle Differentialgleichungen der Geometrie und der Physik 2: Funktionalanalytische Lösungsmethoden (Masterclass) (German Edition) 3540231072, 9783540231073

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Sauvigny Partielle Differentialgleichungen der Geometrie und der Physik 2

Friedrich Sauvigny

Partielle Differentialgleichungen der Geometrie und der Physik Funktionalanalytische Lösungsmethoden Unter Berücksichtigung der Vorlesungen von E. Heinz

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Prof. Dr. Friedrich Sauvigny Brandenburgische Technische Universität Cottbus Fakultät 1, Lehrstuhl Mathematik, inbes. Analysis Universitätsplatz 3/4 03044 Cottbus, Deutschland e-mail: [email protected]

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Mathematics Subject Classification (2000): 35, 30, 31, 45, 46, 49, 53

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Vorwort zu Band 2 - Funktionalanalytische L¨ osungsmethoden

Mit dem nun vorliegenden zweiten Teil Funktionalanalytische L¨osungsmetho” den“ setzen wir unser Lehrbuch Partielle Differentialgleichungen der Geome” trie und der Physik“ fort. Aus beiden Gebieten werden wir zentrale Fragestellungen wie etwa Kr¨ ummungsgleichungen oder Eigenwertprobleme behandeln. Mit dem Titel unseres Lehrbuchs wollen wir auch den reinen und angewandten Aspekt der Partiellen Differentialgleichungen hervorheben. Es stellt sich heraus, daß der L¨ osungsbegriff in der Theorie partieller Differentialgleichungen sich st¨ andig erweitert. Dabei verlieren die klassischen Konzepte jedoch nicht an Bedeutung. Neben der n-dimensionalen Theorie wollen wir hier ebenso die zweidimensionale Theorie pr¨ asentieren. Wir werden die Differentialgleichungen mit der Kontinuit¨atsmethode, der Variationsmethode oder der Topologischen Methode l¨osen. Die Kontinuit¨atsmethode erscheint vom geometrischen Standpunkt besonders geeignet, zumal sie die Stabilit¨ at der L¨ osung untersucht. Die Variationsmethode ist auch vom physikalischen Standpunkt sehr attraktiv, stellt aber schwierige Regularit¨atsfragen an die schwache L¨ osung. Die Topologische Methode kontrolliert die L¨ osungsgesamtheit w¨ ahrend einer Deformation des Problems, und sie ist ebenso wie die Variationsmethode nicht angewiesen auf die Eindeutigkeit. In Kapitel VII werden i.a. nichtlineare Operatoren im Banachraum behandelt. Auf der Grundlage des Brouwerschen Abbildungsgrades aus Kapitel III beweisen wir in § 1 den Schauderschen Fixpunktsatz, und wir erg¨anzen den Banachschen Fixpunktsatz. Mittels Approximation erkl¨aren wir dann in § 2 den Leray-Schauderschen Abbildungsgrad im Banachraum und weisen dessen Fundamentaleigenschaften in § 3 nach. In diesem Teil ber¨ ucksichtigen wir die Vorlesung [H4] meines akademischen Lehrers, Herrn Prof. Dr. E. Heinz in G¨ ottingen. Wir gehen dann u ¨ber zu linearen Operatoren im Banachraum, und mit dem Abbildungsgrad zeigen wir den fundamentalen L¨osbarkeitssatz von F. Riesz. Zum Abschluß beweisen wir mit dem Zornschen Lemma den Hahn-Banachschen Fortsetzungssatz (vgl. [HS]).

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Vorwort zu Band 2 - Funktionalanalytische L¨ osungsmethoden

In Kapitel VIII u ¨ber Lineare Operatoren im Hilbertraum transformieren wir in § 1 die Eigenwertprobleme von Sturm-Liouville und H. Weyl f¨ ur Differentialoperatoren in Integralgleichungsprobleme. Dann betrachten wir in § 2 schwach singul¨ are Integraloperatoren und beweisen einen Satz von I. Schur u ¨ber iterierte Kerne. In § 3 vertiefen wir die Ergebnisse aus Kapitel II, § 6 u ¨ ber den Hilbertschen Raum und vervollst¨ andigen abstrakt den Pr¨a-Hilbertraum. Mit beschr¨ ankten linearen Operatoren im Hilbertraum befassen wir uns in § 4: Fortsetzungssatz, Adjungierte und Hermitesche Operatoren, HilbertSchmidt-Operatoren, Inverse Operatoren, Bilinearformen und der Satz von Lax-Milgram werden vorgestellt. In § 5 wird die Transformation von FourierPlancherel als unit¨ arer Operator auf dem Hilbertraum L2 (Rn ) studiert. Vollstetige bzw. kompakte Operatoren werden in § 6 im Zusammenhang mit schwacher Konvergenz untersucht. Als Beispiel geben wir die Operatoren mit endlicher Quadratnorm an. Der L¨ osbarkeitssatz von Fredholm u ¨ ber Operatorgleichungen im Hilbertraum wird auf die entsprechende Aussage von F. Riesz im Banachraum zur¨ uckgef¨ uhrt. Wir spezialisieren dann diese Ergebnisse auf schwach singul¨ are Integraloperatoren. Mit Variationsmethoden wird in § 7 der Spektralsatz von F. Rellich u ¨ber vollstetige, Hermitesche Operatoren bewiesen. Dann wenden wir uns in § 8 dem Sturm-Liouvilleschen Eigenwertproblem zu und entwickeln die auftretenden Integralkerne nach den Eigenfunktionen. Nach Ideen von H. Weyl behandeln wir in § 9 das Eigenwertproblem f¨ ur die Schwingungsgleichung in Gebieten des Rn mit der Integralgleichungsmethode. Auch in diesem Kapitel profitieren wir von einer Vorlesung von Professor Dr. E. Heinz (vgl. [H3]). Insbesondere zum Studium der Eigenwertprobleme empfehlen wir das klassische Lehrbuch [CH] von R. Courant und D. Hilbert, welches den Weg auch in die moderne Physik gewiesen hat. Wir haben uns in die Funktionalanalysis anhand von Problemen u ¨ ber Differentialoperatoren der Mathematischen Physik leiten lassen (vgl. [He1] und [He2]). Der u ¨ bliche Lehrstoff zur Funktionalanalysis ist den Kapiteln II §§ 6-8, VII und VIII zu entnehmen. Dar¨ uber hinaus haben wir auch die L¨osbarkeit nichtlinearer Operatorgleichungen im Banachraum behandelt. Zum Spektralsatz f¨ ur unbeschr¨ ankte, selbstadjungierte Operatoren verweisen wir auf die Literatur. In unserem Lehrbuch werden wir nun mit funktionalanalytischen Methoden direkt klassische L¨ osungen f¨ ur Rand- und Anfangswertprobleme linearer und nichtlinearer partieller Differentialgleichungen konstruieren. Mit a-prioriAbsch¨ atzungen bez¨ uglich der H¨ oldernorm sichern wir die Existenz von L¨osungen in klassischen Funktionenr¨ aumen. In Kapitel IX, §§ 1-3 folgen wir i. w. dem Buch von I. N. Vekua [V] und l¨osen mit der Integralgleichungsmethode das Riemann-Hilbertsche Randwertproblem. Unter Benutzung der Vorlesung [H6] stellen wir in §§ 4-7 die Schaudersche Kontinuit¨ atsmethode zur Behandlung von Randwertaufgaben linearer

Vorwort zu Band 2 - Funktionalanalytische L¨ osungsmethoden

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elliptischer Differentialgleichungen in n Ver¨ anderlichen vor. Hierzu erbringen wir die Schauderschen Absch¨ atzungen. In Kapitel X u osungen elliptischer Differentialgleichungen pro¨ ber schwache L¨ fitieren wir von den Grundlehren [GT] chapter 7 und 8 von D. Gilbarg und N. S. Trudinger. Hier empfehlen wir auch das Lehrbuch [Jo] von J. Jost und die Monographie [E] von L. C. Evans. Wir f¨ uhren Sobolevr¨ aume in § 1 ein und behandeln die Einbettungss¨atze in § 2. Nachdem wir in § 3 die Existenz schwacher L¨ osungen etabliert haben, zeigen wir mit der Moserschen Iterationsmethode in § 4 die Beschr¨anktheit schwacher L¨ osungen. Dann untersuchen wir in §§ 5-7 die H¨olderstetigkeit schwacher L¨ osungen im Innern und am Rand. Indem wir uns auf interessante Teilklassen konzentrieren, k¨ onnen wir einleuchtend die Beweismethoden pr¨asentieren. Dann wenden wir in § 8 die Resultate auf Gleichungen in Divergenzform an. In Kapitel XI, §§ 1-2 legen wir zun¨ achst Grundlagen aus der Differentialgeometrie (siehe [BL]) und der Variationsrechnung. Dann behandeln wir die Charakteristikentheorie nichtlinearer hyperbolischer Differentialgleichungen in zwei Ver¨ anderlichen (vgl. [CH], [G], [H5]) in § 3 und l¨osen in § 4 das Cauchysche Anfangswertproblem mit dem Banachschen Fixpunktsatz. In § 6 pr¨asentieren wir H. Lewys Beweis des Bernsteinschen Analytizit¨atstheorems. Hier m¨ochten wir auch auf P. Garabedians Monographie [G] hinweisen. Auf der Grundlage von Kapitel IV u ¨ber verallgemeinerte analytische Funktionen aus dem Band 1 behandeln wir in Kapitel XII nichtlineare elliptische ¨ Systeme. Zu Beginn dieses Kapitels geben wir einen Uberblick u ¨ber die dort behandelten Resultate. Nach dem J¨ agerschen Maximumprinzip aus § 1 entwickeln wir die Theorie in §§ 2-5 aus der grundlegenden Arbeit von E. Heinz [H7] u ¨ ber nichtlineare elliptische Systeme. Im Zentrum steht hier ein Existenzsatz f¨ ur nichtlineare elliptische Systeme, der mit dem Leray-Schauderschen Abbildungsgrad gewonnen wird. In §§ 6-10 wenden wir die Ergebnisse auf differentialgeometrische Probleme an. Hier f¨ uhren wir mit einer nichtlinearen Kontinuit¨ atsmethode konforme Parameter in eine nichtanalytische Riemannsche Metrik ein. Die notwendigen a-priori-Absch¨atzungen haben wir direkt bis zum Rand erbracht. Schließlich l¨ osen wir das Dirichletproblem f¨ ur die nichtparametrische Gleichung vorgeschriebener mittlerer Kr¨ ummung mit der Uniformisierungsmethode. Zu diesem Kapitel studiere man auch [DHKW], insbesondere chapter 7, von U. Dierkes und S. Hildebrandt, wo die Theorie der Minimalfl¨ achen pr¨ asentiert wird. Mittels nichtlinearer elliptischer Systeme kann aber auch die Monge-Amp`eresche Differentialgleichung behandelt werden, welche nicht mehr quasilinear ist. Diese Theorie wurde von H. Lewy, E. Heinz und F. Schulz (vgl. [Sc]) entwickelt zur Behandlung des Weylschen Einbettungsproblems. Das Lehrbuch Partielle Differentialgleichungen der Geometrie und der Phy” sik“ ist entstanden aus Vorlesungen, welche ich seit dem Wintersemester 1992/93 an der Brandenburgischen Technischen Universit¨at in Cottbus hal-

viii

Vorwort zu Band 2 - Funktionalanalytische L¨ osungsmethoden

te. Diese Monographie ber¨ ucksichtigt die Vorlesungen von Herrn Prof. Dr. E. Heinz, die ich als Student in G¨ ottingen von 1971 bis 1978 kennenlernen durfte. Als Assistent in Aachen von 1978 bis 1983 habe ich die eleganten Vorlesungszyklen von Herrn Prof. Dr. G. Hellwig sch¨atzen gelernt. Herr Prof. Dr. S. Hildebrandt hat seit meinem Forschungsaufenthalt 1989/90 in Bonn mit f¨ orderndem Interesse stets meine Lehrt¨atigkeit begleitet. Ihnen allen gilt immer mein ganz herzlicher Dank! F¨ ur die Ausarbeitung von Kapitel IX danke ich Herrn Dipl.-Math. Matthias Bergner recht herzlich. Herr Dr. Frank M¨ uller hat in ausgezeichneter Weise die weiteren Kapitel bearbeitet und das gesamte TEX-Manuskript erstellt. F¨ ur seine unsch¨ atzbare wissenschaftliche Hilfe bin ich ihm von Herzen dankbar. Dem Springer-Verlag danke ich sehr herzlich f¨ ur die vertrauensvolle Zusammenarbeit. Cottbus, im September 2004

Friedrich Sauvigny

Inhaltsverzeichnis von Band 2: Funktionalanalytische L¨ osungsmethoden

VII Operatoren im Banachraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §1 Fixpunkts¨ atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §2 Der Leray-Schaudersche Abbildungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 §3 Fundamentaleigenschaften des Abbildungsgrades . . . . . . . . . . . 17 §4 Lineare Operatoren im Banachraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 §1 Verschiedene Eigenwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 §2 Integralgleichungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 §3 Der abstrakte Hilbertraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 §4 Beschr¨ ankte lineare Operatoren im Hilbertraum . . . . . . . . . . . . 61 §5 Unit¨ are Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 §6 Vollstetige Operatoren im Hilbertraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 §7 Spektraltheorie vollstetiger Hermitescher Operatoren . . . . . . . 99 §8 Das Sturm-Liouvillesche Eigenwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . 105 §9 Das Weylsche Eigenwertproblem f¨ ur den Laplaceoperator . . . . 112 IX

Lineare elliptische Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 123 §1 Die Differentialgleichung ∆φ + p(x, y)φx + q(x, y)φy = r(x, y) 123 §2 Die Schwarzsche Integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 §3 Das Riemann-Hilbertsche Randwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . 131 §4 Potentialtheoretische Absch¨ atzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 §5 Die Schaudersche Kontinuit¨ atsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 §6 Existenz- und Regularit¨ atss¨ atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 §7 Die Schauderschen Absch¨ atzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

X

Schwache L¨ osungen elliptischer Differentialgleichungen . . . 179 §1 Sobolevr¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 §2 Einbettung und Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 §3 Existenz schwacher L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

x

Inhaltsverzeichnis von Band 2

§4 §5 §6 §7 §8 XI

Beschr¨ anktheit schwacher L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 H¨ olderstetigkeit schwacher L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Schwache potentialtheoretische Absch¨atzungen . . . . . . . . . . . . . 216 Randverhalten schwacher L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Gleichungen in Divergenzform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Nichtlineare partielle Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . 233 §1 Die Fundamentalformen und Kr¨ ummungen einer Fl¨ache . . . . . 233 §2 Zweidimensionale parametrische Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 §3 Quasilineare hyperbolische Differentialgleichungen und Systeme zweiter Ordnung (Charakteristische Parameter) . . . . 245 §4 Das Cauchysche Anfangswertproblem f¨ ur quasilineare hyperbolische Differentialgleichungen und Systeme zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 §5 Die Riemannsche Integrationsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 §6 Das Bernsteinsche Analytizit¨ atstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

XII Nichtlineare elliptische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 §1 Maximumprinzipien f¨ ur das H-Fl¨ achensystem . . . . . . . . . . . . . . 273 §2 Gradientenabsch¨ atzungen f¨ ur nichtlineare elliptische Systeme 280 §3 Globale Absch¨ atzungen f¨ ur nichtlineare Systeme . . . . . . . . . . . 292 §4 Das Dirichletproblem f¨ ur nichtlineare elliptische Systeme . . . . 295 §5 Verzerrungsabsch¨ atzungen f¨ ur ebene elliptische Systeme . . . . . 303 §6 Eine Kr¨ ummungsabsch¨ atzung f¨ ur Minimalfl¨achen . . . . . . . . . . . 311 §7 Globale Absch¨ atzungen f¨ ur konforme Abbildungen bez¨ uglich einer Riemannschen Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 uhrung konformer Parameter in eine Riemannsche Metrik 323 §8 Einf¨ §9 Die Uniformisierungsmethode bei quasilinearen elliptischen Differentialgleichungen und das Dirichletproblem . . . . . . . . . . . 329 §10 Ein Ausblick auf das Plateausche Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

Inhaltsverzeichnis von Band 1 Grundlagen und Integraldarstellungen

I

Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten §1 Der Weierstraßsche Approximationssatz §2 Parameterinvariante Integrale und Differentialformen §3 Die ¨ außere Ableitung von Differentialformen §4 Der Stokessche Integralsatz f¨ ur Mannigfaltigkeiten §5 Der Gaußsche und der Stokessche Integralsatz §6 Kurvenintegrale §7 Das Poincar´esche Lemma §8 Die Coableitung und der Laplace-Beltrami-Operator

II

Grundlagen der Funktionalanalysis §1 Das Daniellsche Integral mit Beispielen §2 Fortsetzung des Daniell-Integrals zum Lebesgue-Integral §3 Meßbare Mengen §4 Meßbare Funktionen §5 Das Riemannsche und Lebesguesche Integral auf Quadern §6 Banach- und Hilbertr¨ aume §7 Die Lebesgueschen R¨ aume Lp (X) §8 Beschr¨ ankte lineare Funktionale auf Lp (X) und schwache Konvergenz

III

Der Brouwersche Abbildungsgrad mit geometrischen Anwendungen §1 Die Umlaufszahl §2 Der Abbildungsgrad im Rn §3 Geometrische Existenzs¨ atze §4 Der Index einer Abbildung §5 Der Produktsatz §6 Die S¨atze von Jordan-Brouwer

xii

Inhaltsverzeichnis von Band 1

IV

Verallgemeinerte analytische Funktionen §1 Die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung §2 Holomorphe Funktionen im Cn §3 Geometrisches Verhalten von holomorphen Funktionen in C §4 Isolierte Singularit¨ aten und der allgemeine Residuensatz §5 Die inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung §6 Pseudoholomorphe Funktionen §7 Konforme Abbildungen §8 Randverhalten konformer Abbildungen

V

Potentialtheorie und Kugelfunktionen §1 Die Poissonsche Differentialgleichung im Rn §2 Die Poissonsche Integralformel mit ihren Folgerungen §3 Das Dirichletproblem f¨ ur die Laplacegleichung im Rn §4 Die Theorie der Kugelfunktionen: Fourierreihen §5 Die Theorie der Kugelfunktionen in n Variablen

VI

Lineare partielle Differentialgleichungen im Rn §1 Das Maximumprinzip f¨ ur elliptische Differentialgleichungen §2 Quasilineare elliptische Differentialgleichungen §3 Die W¨ armeleitungsgleichung §4 Charakteristische Fl¨ achen ur n = 1, 3, 2 §5 Die Wellengleichung im Rn f¨ ur n ≥ 2 §6 Die Wellengleichung im Rn f¨ §7 Die inhomogene Wellengleichung und ein Anfangsrandwertproblem §8 Klassifikation, Transformation und Reduktion partieller Differentialgleichungen

VII Operatoren im Banachraum

Wir wollen nun Methoden aus der nichtlinearen Funktionalanalysis bereitstel¨ len. In diesem Kapitel bauen wir auf die Uberlegungen aus Kapitel II §§ 6-8.

§1 Fixpunkts¨ atze Definition 1. Ein Banachraum B ist ein linearer, normierter, vollst¨andiger (unendlich dimensionaler) Vektorraum ¨ uber dem K¨orper R. Beispiel 1. Sei Ω ⊂ Rn offen, 1 ≤ p < +∞, B := Lp (Ω). Es ist f ∈ Lp (Ω) genau dann, wenn f : Ω → R meßbar ist und
|f (x)|p dx < +∞ Ω

gilt. Zu f ∈ B erkl¨ aren wir die Norm 
f  :=

 p1 |f (x)| dx . p

Ω

B ist ein Lebesguescher Raum. Im Fall p = 2 erhalten wir einen Hilbertraum mit dem Skalarprodukt
(f, g) := f (x)g(x) dx. Ω

Beispiel 2. (Hilbertscher Folgenraum p ) Sei x = (x1 , x2 , x3 , . . .) eine Folge. Es gilt x ∈ p f¨ ur 1 ≤ p < +∞ genau dann, wenn ∞  i=1

|xi |p < +∞

2

VII Operatoren im Banachraum

richtig ist. Mit der Norm x :=

 ∞

|xi |

p

 p1

i=1

wird p zum Banachraum. Offenbar gilt p ⊂ Lp ((0, +∞)). x2

x4

x1

0

x3

1

2

x5

3

..............

4

5

Beispiel 3. (Sobolevr¨aume) Seien k ∈ N, 1 ≤ p < +∞ und Ω ⊂ Rn offen. Der Raum   ur alle |α| ≤ k B = W k,p (Ω) := f : Ω → R : Dα f ∈ Lp (Ω) f¨ mit der Norm f W k,p (Ω) :=

 


 p1 |D f (x)| dx , α

p

f ∈ B,

|α|≤k Ω

ist ein Banachraum. Dabei bezeichnet α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Nn0 einen Multiindex, und wir haben |α| :=

n 

αi ∈ N0 := N ∪ {0}

i=1

gesetzt. Hierzu verweisen wir auf Kapitel X, § 1. Beispiel 4. Schließlich betrachten wir die klassischen R¨aume C k (Ω), k = 0, 1, 2, 3, . . . , auf einem beschr¨ ankten Gebiet Ω ⊂ Rn . Es ist f ∈ C k (Ω) genau dann, wenn  sup |Dα f (x)| < +∞ gilt. Dabei bezeichnet α ∈ ist unter der Norm

x∈Ω

|α|≤n

Nn0

wieder einen Multiindex. Der Raum B := C k (Ω)

f C k (Ω) :=

 |α|≤k

mit Dα f (x) :=

1 ∂xα 1

∂ |α| f (x), n . . . ∂xα n

sup |Dα f (x)| x∈Ω

α ∈ Nn0 ,

vollst¨ andig, stellt also einen Banachraum dar.

N0 := N ∪ {0},

§1 Fixpunkts¨ atze

3

Definition 2. Eine Teilmenge K ⊂ B im Banachraum B nennen wir konvex, wenn mit x, y ∈ K und λ ∈ [0, 1] auch λx + (1 − λ)y ∈ K erf¨ ullt ist. Bemerkungen: 1. Ist K abgeschlossen, so ist K genau dann konvex, wenn gilt: x, y ∈ K

⇒

1 (x + y) ∈ K. 2

2. F¨ ur eine konvexe Menge K gilt: Sind x1 , . . . , xn ∈ K und λi ≥ 0, i = ahlt, so folgt 1, . . . , n, mit λ1 + . . . + λn = 1 gew¨ n 

λi xi ∈ K.

i=1

Definition 3. Eine Teilmenge E ⊂ B heißt pr¨akompakt, wenn jede Folge {xn }n=1,2,... ⊂ E eine Cauchyfolge als Teilfolge enth¨alt. Ist zus¨atzlich die ur n → ∞ in B Menge E abgeschlossen, d.h. aus {xn }n∈N ⊂ E mit xn → x f¨ folgt x ∈ E, so nennen wir die Menge E kompakt. Beispiel 5. Sei E ⊂ B eine abgeschlossene und beschr¨ankte Teilmenge eines endlich dimensionalen Teilraumes von B. Dann liefert der Weierstraßsche H¨ aufungsstellensatz, daß E kompakt ist. Beispiel 6. In unendlich dimensionalen Banachr¨aumen ist eine beschr¨ankte, abgeschlossene Teilmenge nicht notwendig kompakt: F¨ ur k ∈ N betrachten wir im Raum 2 die Menge der Folgen xk := (δkj )j=1,2,... , wobei δkj das ur k ∈ N und Kronecker-Symbol bezeichnet. Offenbar gilt xk  = 1 f¨ √ xk − xl  = 2 (1 − δkl ) f¨ ur alle k, l ∈ N. Somit ist {xk }k=1,2,... keine pr¨ akompakte Menge. Beispiel 7. Eine beschr¨ ankte Menge in C k (Ω) ist kompakt, wenn wir zus¨atzlich einen Stetigkeitsmodul f¨ ur die k-ten Ableitungen angeben k¨onnen: Betrachte ⎧ ⎫ f C k (Ω) ≤ M ; ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ k α α  ϑ E := f ∈ C (Ω) : |D f (x) − D f (y)| ≤ M |x − y| ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ f¨ ur alle x, y ∈ Ω, |α| = k mit k ∈ N0 , M, M  ∈ (0, +∞) und ϑ ∈ (0, 1]. Mit dem Satz von Arzel`a-Ascoli stellt man leicht fest, daß E ⊂ B := C k (Ω) kompakt ist. Definition 4. Eine auf der Teilmenge E ⊂ B im Banachraum B erkl¨arte Abbildung F : E → B nennen wir stetig, falls aus xn → x f¨ ur n → ∞ in E folgt

4

VII Operatoren im Banachraum

F (xn ) → F (x)

f¨ ur

n→∞

in

B.

Wir nennen F vollstetig (oder auch kompakt), falls zus¨atzlich F (E) ⊂ B pr¨akompakt ist, d.h. f¨ ur alle {xn }n=1,2,... ⊂ E gibt es eine Teilfolge {xnk }k ⊂ {xn }n , so daß {F (xnk )}k=1,2,... Cauchyfolge in B ist. Hilfssatz 1. Sei K eine pr¨akompakte Teilmenge des Banachraumes B. Dann existieren f¨ ur alle ε > 0 endlich viele Elemente w1 , . . . , wN ∈ K mit N = ¨ N (ε) ∈ N, so daß die Uberdeckungseigenschaft K ⊂

N (ε) 



x ∈ B : x − wj  ≤

j=1

ε 2

erf¨ ullt ist. Beweis: Wir w¨ ahlen w1 ∈ K und sind bereits fertig, falls  ε K ⊂ x ∈ B : x − w1  ≤ 2 gilt. Anderenfalls gibt es ein w2 ∈ K mit w2 − w1  > 2ε , und wir betrachten die Kugeln  ε f¨ ur j = 1, 2. x ∈ B : x − wj  ≤ 2 W¨ urden diese K noch nicht u ¨ berdecken, so gibt es ein w3 ∈ K mit w3 −wj  > ε f¨ u r j = 1, 2. Wenn das Verfahren nicht abbrechen w¨ urde, k¨onnen wir eine 2 Folge {wj }j=1,2... ⊂ K so finden, daß wj − wi  >

ε 2

f¨ ur

i = 1, . . . , j − 1

richtig ist. Dies widerspricht aber der Pr¨ akompaktheit von K.

q.e.d.

Hilfssatz 2. Sei K eine pr¨akompakte Menge in B. Dann gibt es zu jedem ε > 0 endlich viele Elemente w1 , . . . , wN ∈ K mit N = N (ε) ∈ N und stetige Funktionen ti = ti (x) : K → R ∈ C 0 (K) mit ti (x) ≥ 0

und

N 

ti (x) = 1

in

K,

i=1

so daß gilt

 N     ≤ε t (x)w − x i i  

f¨ ur alle

x ∈ K.

i=1

Beweis: Wir w¨ ahlen {w1 , . . . , wN } ⊂ K gem¨ aß Hilfssatz 1. Erkl¨aren wir die stetige Funktion ϕ(τ ) : [0, +∞) → [0, +∞) gem¨aß

 ϕ(τ ) :=

§1 Fixpunkts¨ atze

ε − τ, f¨ ur 0 ≤ τ ≤ ε f¨ ur ε ≤ τ < +∞

0,

5

,

so folgt N 

ϕ(x − wj ) ≥

j=1

ε 2

f¨ ur alle x ∈ K.

Die Funktionen ti (x) :=

ϕ(x − wi ) , N  ϕ(x − wj )

x ∈ K,

i = 1, . . . , N,

j=1

sind also wohldefiniert, und wir bemerken ti ∈ C 0 (K, [0, 1])

N 

und

ti (x) = 1 f¨ ur alle x ∈ K.

i=1

Nun k¨ onnen wir absch¨ atzen     N     N  x −   ti (x)wi  =  ti (x)(x − wi )   i=1

i=1

≤

N 

ti (x)x − wi 

i=1

≤

N 

f¨ ur alle x ∈ K.

ti (x)ε = ε

i=1

Dies ist die behauptete Ungleichung.

q.e.d.

Hilfssatz 3. Sei E ⊂ B abgeschlossen und F : E → B vollstetig. Zu jedem ε > 0 existieren dann N = N (ε) ∈ N Elemente w1 , . . . , wN ∈ F (E) und N stetige Funktionen Fj : E → R, j = 1, . . . , N , mit Fj (x) ≥ 0

und

N 

Fj (x) = 1,

x ∈ E,

j=1

derart daß

  N    F (x) − Fj (x)wj   ≤ε j=1

erf¨ ullt ist.

f¨ ur alle

x∈E

6

VII Operatoren im Banachraum

Beweis: Die Menge K := F (E) ⊂ B ist pr¨ akompakt. Nach Hilfssatz 2 gibt es zu jedem ε > 0 Elemente w1 , . . . , wN ∈ F (E) und nichtnegative stetige Funktionen ti = ti (x), x ∈ K, mit t1 (x) + . . . + tN (x) = 1 in K, so daß gilt   N     x − t (x)w i i ≤ ε 

f¨ ur alle x ∈ K.

i=1

Setzen wir also Fi (x) := ti (F (x)), x ∈ E, so folgt bereits die Behauptung. q.e.d. Wir betrachten nun das Einheitssimplex  Σn−1 :=

x∈R

n

: xi ≥ 0 f¨ ur i = 1, . . . , n,

n 

 xi = 1

i=1

und dessen Projektion auf die Ebene Rn−1 × {0} ⊂ Rn σn−1 :=

  n−1  x ∈ Rn−1 : xi ≥ 0 f¨ ur i = 1, . . . , n − 1, xi ≤ 1 . i=1

n=3

Σ2 σ2

Wir bemerken noch   n−1  n Σn−1 = (x1 , . . . , xn ) ∈ R : xn = 1 − xi mit (x1 , . . . , xn−1 ) ∈ σn−1 . i=1

Hilfssatz 4. (Brouwerscher Fixpunktsatz f¨ ur das Einheitssimplex) Jede stetige Abbildung f : Σn−1 → Σn−1 hat einen Fixpunkt. Beweis: 1. Zu der gegebenen Abbildung f = (f1 , . . . , fn ) : Σn−1 → Σn−1 erkl¨aren wir durch  n−1   gi (x) = gi (x1 , . . . , xn−1 ) := fi x1 , . . . , xn−1 , 1 − xj j=1

§1 Fixpunkts¨ atze

7

f¨ ur i = 1, . . . , n eine Abbildung g(x) = (g1 (x), . . . , gn−1 (x)) : σn−1 → σn−1 . Nun ist ein Punkt η = (η1 , . . . , ηn−1 ) ∈ σn−1 genau dann Fixpunkt der Abbildung g : σn−1 → σn−1 , wenn der Punkt  n−1   ηi ∈ Σn−1 η1 , . . . , ηn−1 , 1 − i=1

Fixpunkt der Abbildung f : Σn−1 → Σn−1 ist. 2. Wir betrachten die in 1. definierte Abbildung g = (g1 , . . . , gn−1 ) : σn−1 → σn−1 . Hiermit verbunden sind die Funktionen  hi = hi (x1 , . . . , xn−1 ) := gi (x21 , . . . , x2n−1 ), i = 1, . . . , n − 1, die auf der Kugel   K := (x1 , . . . , xn−1 ) ∈ Rn−1 : x21 + . . . + x2n−1 ≤ 1 erkl¨ art sind. Nach dem Brouwerschen Fixpunktsatz f¨ ur die Kugel (Satz 2 aus Kap. III, § 3) hat die stetige Abbildung h = (h1 , . . . , hn−1 ) : K → K einen Fixpunkt ξ = (ξ1 , . . . , ξn−1 ) ∈ K, d.h. es gilt h(ξ) = ξ. Somit folgt 2 ) = ξi2 gi (ξ12 , . . . , ξn−1

f¨ ur

i = 1, . . . , n − 1.

2 ) ∈ σn−1 erhalten wir schließlich einen Fixpunkt der Mit η := (ξ12 , . . . , ξn−1 Abbildung g : σn−1 → σn−1 mit g(η) = η. q.e.d.

Satz 1. (Fixpunktsatz von Schauder) Sei A ⊂ B eine abgeschlossene, konvexe Teilmenge des Banachraumes B. Dann besitzt jede vollstetige Abbildung F : A → A einen Fixpunkt ξ ∈ A, d.h. es gilt F (ξ) = ξ. Beweis: 1. Wir wenden Hilfssatz 3 auf die vollstetige Abbildung F an: Zu jedem ε > 0 existieren N = N (ε) ∈ N Elemente {w1 , . . . , wN } ⊂ F (A) ⊂ A und N nicht negative stetige Funktionen Fj : A → R, j = 1, . . . , N , mit F1 (x) + . . . + FN (x) = 1 in A, so daß folgendes gilt:   N (ε)    F (x) − Fj (x)wj   ≤ε

f¨ ur alle x ∈ A.

j=1

Wir betrachten nun die stetige Funktion g(λ) = (g1 (λ1 , . . . , λN ), . . . , gN (λ1 , . . . , λN )) : ΣN −1 → ΣN −1 mit

8

VII Operatoren im Banachraum

gj (λ1 , . . . , λN ) := Fj

 N

 λi wi ,

j = 1, . . . , N.

i=1

Nach Hilfssatz 4 gibt es ein λ ∈ ΣN −1 mit g(λ) = λ. Also folgt Fj

 N

 = λj

λi wi

f¨ ur

j = 1, . . . , N.

i=1

2. Nach 1. besitzt die Abbildung N (ε)

Fε (x) :=



Fj (x)wj

j=1

den Fixpunkt ξε :=

N 

λi wi .

i=1

ur alle x ∈ A folgt also F (ξε ) − ξε  ≤ ε. Wir Wegen F (x) − Fε (x) ≤ ε f¨ lassen nun ε die Nullfolge ε = n1 , n = 1, 2, . . ., durchlaufen und erhalten so eine Punktfolge {ξn }n=1,2,... mit F (ξn ) − ξn  ≤

1 , n

n = 1, 2, . . .

Da F (A) pr¨ akompakt ist, gibt es eine Teilfolge mit F (ξnk ) → ξ(k → ∞), und da A abgeschlossen ist, folgt ξ ∈ A. Somit erhalten wir ξ − ξnk  ≤ F (ξnk ) − ξnk  + ξ − F (ξnk ) → 0

f¨ ur

k → ∞.

Zusammen mit der Stetigkeit von F folgt schließlich ξ = lim F (ξnk ) = F ( lim ξnk ) = F (ξ). k→∞

k→∞

q.e.d.

Als Anwendung von Satz 1 beweisen wir den Satz 2. (Leraysche Eigenwertaufgabe) Es sei K(s, t) : [a, b] × [a, b] → (0, +∞) ein stetiger, positiver Integralkern. Dann besitzt die Integralgleichung
b K(s, t)x(t) dt = λx(s),

a ≤ s ≤ b,

a

mindestens einen positiven Eigenwert λ und eine zugeh¨orige nichtnegative, stetige Eigenfunktion x(s) ≡ 0.

§1 Fixpunkts¨ atze

9

Beweis: Wir w¨ ahlen den Banachraum B := C 0 ([a, b]) mit der Norm x := max |x(s)| a≤s≤b

und betrachten die in B abgeschlossene, konvexe Teilmenge  A :=


b

0

x = x(s) ∈ C ([a, b]) : x(s) ≥ 0 in [a, b],

 x(s) ds = 1 .

a

Ferner betrachten wir die Abbildung F : A → A erkl¨art durch
b K(s, t)x(t) dt F (x) :=

a

,




b 
b

x ∈ A.

K(s, t)x(t) dt ds a

a

Mit Hilfe des Satzes von Arzel`a-Ascoli zeigt man, daß F : A → A vollstetig ist. Nach dem Schauderschen Fixpunktsatz existiert ein ξ ∈ A mit F (ξ) = ξ. Somit folgt 
b 
b  
b K(s, t)ξ(t) dt = a

s ∈ [a, b].

K(s, t)ξ(t) dt ds ξ(s), a

a

Also ist ξ die gesuchte Eigenfunktion zum Eigenwert
b 
b λ := a

 K(s, t)ξ(t) dt ds ∈ (0, +∞). q.e.d.

a

Sowohl im Brouwerschen als auch im Schauderschen Fixpunktsatz wird nur die Existenz eines Fixpunktes nachgewiesen, i.a. ist dieser aber nicht eindeutig bestimmt. Der nun folgende Banachsche Fixpunktsatz liefert neben der Existenz eines Fixpunktes auch dessen Eindeutigkeit. Ferner werden wir die stetige Abh¨ angigkeit des Fixpunktes vom Parameter zeigen. De facto wird schon der Existenzsatz f¨ ur gew¨ ohnliche Differentialgleichungen bei der sukzessiven Approximation mit dem Banachschen Fixpunktsatz bewiesen. Definition 5. Die Schar der Operatoren Tλ : B → B, 0 ≤ λ ≤ 1, heißt kontrahierend, falls es ein θ ∈ [0, 1) so gibt, daß Tλ (x) − Tλ (y) ≤ θx − y

f¨ ur alle

x, y ∈ B

und

λ ∈ [0, 1]

erf¨ ullt ist. F¨ ur jedes feste x ∈ B sei die Kurve {Tλ (x)}0≤λ≤1 in B stetig. Ist T := Tλ : B → B f¨ ur 0 ≤ λ ≤ 1 konstant, so nennen wir den Operator T kontrahierend.

10

VII Operatoren im Banachraum

Satz 3. (Banachscher Fixpunktsatz) Sei die Schar der Operatoren Tλ : B → B, 0 ≤ λ ≤ 1, auf dem Banachraum B kontrahierend. Dann gibt es zu jedem λ ∈ [0, 1] genau ein xλ ∈ B mit Tλ (xλ ) = xλ , also einen Fixpunkt von Tλ . Ferner ist die Kurve [0, 1] λ → xλ ∈ B stetig. Beweis: 1. Wir erkl¨ aren zun¨ achst yλ := Tλ (0), 0 ≤ λ ≤ 1, und setzen  := max yλ  ∈ (0, +∞). 0≤λ≤1

 Auf der Kugel Br := {x ∈ B : x ≤ r} vom Radius r := 1−θ ∈ (0, +∞) im Banachraum B betrachten wir die Schar der Abbildungen

Tλ : Br → Br ,

0 ≤ λ ≤ 1.

Es gilt n¨ amlich f¨ ur x ∈ Br Tλ (x) ≤ Tλ (x) − Tλ (0) + Tλ (0) ≤ θx + yλ  ≤ θr +   +  = r. ≤θ 1−θ 2. F¨ ur n = 0, 1, 2, . . . betrachten wir die Iterierten (n)

xλ := Tλn (0) = Tλ ◦ . . . ◦ Tλ (0).    n−mal (0)

(1)

Offenbar ist xλ = 0 und xλ = yλ f¨ ur 0 ≤ λ ≤ 1. Ferner gilt (n+1)

xλ

(n+1)

= xλ

(0)

− xλ =

n  n      (k+1) (k) xλ = Tλk+1 (0) − Tλk (0) . − xλ k=0

k=0

Wir k¨ onnen nun absch¨ atzen Tλk+1 (0) − Tλk (0) ≤ θTλk (0) − Tλk−1 (0) ≤ . . . ≤ θk Tλ (0) − Tλ0 (0) = θk yλ , Somit hat die Reihe

∞  

0 ≤ λ ≤ 1,

k = 0, 1, 2, . . .

 Tλk+1 (0) − Tλk (0)

k=0

die konvergente Majorante

∞  k=0

θk yλ , und es existiert der Grenzwert

§2 Der Leray-Schaudersche Abbildungsgrad (n+1)

xλ := lim xλ n→∞

∞  

=

(k+1)

Tλ

11

 (k) (0) − Tλ (0) ∈ Br .

k=0

3. Der kontrahierende Operator Tλ : B → B ist stetig. Es folgt also     (n+1) (n) (n) = Tλ lim xλ = Tλ (xλ ) xλ = lim xλ = lim Tλ xλ n→∞

n→∞

n→∞

f¨ ur 0 ≤ λ ≤ 1. Daß mit Tλ auch der Fixpunkt xλ stetig von λ ∈ [0, 1] abh¨ angt, sieht man wie folgt ein: Seien λ1 , λ2 ∈ [a, b] gew¨ahlt. Dann haben wir xλ1 − xλ2  = Tλ1 (xλ1 ) − Tλ2 (xλ2 ) ≤ Tλ1 (xλ1 ) − Tλ1 (xλ2 ) + Tλ1 (xλ2 ) − Tλ2 (xλ2 ) ≤ θxλ1 − xλ2  + Tλ1 (xλ2 ) − Tλ2 (xλ2 ) beziehungsweise xλ1 − xλ2  ≤

1 Tλ1 (xλ2 ) − Tλ2 (xλ2 ). 1−θ

4. Wir zeigen zum Schluß noch die Eindeutigkeit des Fixpunktes. Dazu betrachten wir zwei Elemente xλ , x ˜λ ∈ B mit xλ = Tλ (xλ ),

x ˜λ = Tλ (˜ xλ ).

Dann folgt aus der Kontraktionsbedingung xλ − x˜λ  = Tλ (xλ ) − Tλ (˜ xλ ) ≤ θxλ − x ˜λ  und somit xλ − x ˜λ  = 0 bzw. xλ = x ˜λ f¨ ur λ ∈ [0, 1].

q.e.d.

Bemerkung: H¨ angt die Operatorenschar Tλ sogar differenzierbar vom Parameter λ ∈ [0, 1] ab, so kann man wie in Teil 3 des obigen Beweises auch die differenzierbare Abh¨ angigkeit des Fixpunktes vom Parameter ableiten.

§2 Der Leray-Schaudersche Abbildungsgrad Im folgenden bezeichnen wir Abbildungen zwischen Banachr¨aumen B mit f : B → B,

x → f (x).

Sei B ein endlich dimensionaler Banachraum mit 1 ≤ dim B = n < +∞. Ferner bezeichne Ω ⊂ B eine beschr¨ ankte, offene Menge und g : Ω → B eine stetige Abbildung mit der Eigenschaft 0 ∈ / g(∂Ω). Wir wollen im folgenden aren. den Abbildungsgrad δB (g, Ω) erkl¨

12

VII Operatoren im Banachraum

Ist {w1 , ..., wn } ⊂ B eine Basis von B, so betrachten wir die Koordinatenabbildung ψ = ψw1 ...wn (x) := x1 w1 + . . . + xn wn ,

x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn .

Offenbar gilt ψ : Rn → B, und die Umkehrabbildung ψ −1 : B → Rn existiert. uck. Dazu setzen wir Wir ziehen nun die Abbildung g : Ω → B auf den Rn zur¨ Ωn := ψ −1 (Ω),

∂Ωn = ψ −1 (∂Ω),

Ω n = ψ −1 (Ω)

und betrachten die Abbildung gn := ψ −1 ◦ g ◦ ψ |Ω n

mit

0∈ / gn (∂Ωn ).

Wie in Kap. III, § 2 k¨ onnen wir der stetigen Abbildung gn : Ωn → Rn den Abbildungsgrad d(gn , Ωn ) zuordnen. Definition 1. Sei der endlich dimensionale Banachraum B mit n = dim B ∈ N gegeben, und Ω ⊂ B sei eine beschr¨ankte, offene Menge. Ferner sei die / g(∂Ω) gegeben. Dann erkl¨aren wir den stetige Abbildung g : Ω → B mit 0 ∈ Abbildungsgrad δB (g, Ω) := d(gn , Ωn ). Dabei haben wir gn := ψ −1 ◦ g ◦ ψ |Ω n mit Ωn := ψ −1 (Ω) gesetzt, und ψ : Rn → B bezeichnet eine beliebige Koordinatenabbildung. Wir haben noch die Unabh¨ angigkeit der Definition von der gew¨ahlten Basis zu zeigen: Sei {w1∗ , ..., wn∗ } eine weitere Basis von B mit der Koordinatenabbildung ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ψ ∗ (x∗ ) = ψw ∗ Rn → B ∗ (x1 , ..., xn ) = x1 w1 + . . . + xn wn : 1 ...wn

und der Inversen ψ ∗−1 : B → Rn . Auf Ωn∗ := ψ ∗−1 (Ω) erkl¨aren wir dann die Abbildung 0∈ / gn∗ (∂Ωn∗ ). gn∗ := ψ ∗−1 ◦ g ◦ ψ ∗ |Ω ∗ , n

Definition 1 ist nun sinnvoll wegen Hilfssatz 1. Es gilt d(gn∗ , Ωn∗ ) = d(gn , Ωn ). Beweis: Die Abbildung χ := ψ −1 ◦ ψ ∗ : Rn → Rn ist linear und nichtsingul¨ ar, und wir bemerken ψ ∗ = ψ◦χ. Ferner gilt χ(Ωn∗ ) = Ωn , und wir berechnen gn∗ = ψ ∗−1 ◦ g ◦ ψ ∗ = (ψ ◦ χ)−1 ◦ g ◦ (ψ ◦ χ) = χ−1 ◦ (ψ −1 ◦ g ◦ ψ) ◦ χ = χ−1 ◦ gn ◦ χ

auf Ωn∗ .

Nun gibt es eine Folge von Abbildungen gn,ν : Rn → Rn ∈ C 1 (Rn , Rn ) mit den folgenden Eigenschaften (vgl. Kap. III, § 4):

§2 Der Leray-Schaudersche Abbildungsgrad

13

(a) Es gilt gn,ν (x) → gn (x) f¨ ur ν → ∞ glm. auf Ω n . (b) F¨ ur alle ν ≥ νo hat die Gleichung x ∈ Ωn,

gn,ν (x) = 0, (µ)

nur endlich viele L¨ osungen {xν }µ=1,...,pν mit der Jacobischen Jgn,ν (x(µ) ν ) = 0

f¨ ur

µ = 1, . . . , pν .

∗ F¨ ur die Abbildung gn,ν := χ−1 ◦ gn,ν ◦ χ gilt dann ∗ gn,ν (x) → gn∗ (x)

∗

ν → ∞ glm. auf Ω n .

f¨ ur ∗

(µ)

(µ)

∗ Die Nullstellen gn,ν (y) = 0, y ∈ Ω n , sind offenbar χ−1 (xν ) =: yν µ = 1, . . . , pν , und wir berechnen (µ) ∗ Jgn,ν (yν(µ) ) = (det χ−1 ) · Jgn,ν (x(µ) ν ) · det χ = Jgn,ν (xν ),

f¨ ur

µ = 1, . . . , pν .

Mit Satz 3 aus Kap. III, § 4 folgt f¨ ur alle ν ≥ ν0 die Identit¨at d(gn,ν , Ωn ) =

pν 

sgn Jgn,ν (x(µ) ν )

µ=1

=

pν 

∗ sgn Jgn,ν (yν(µ) )

µ=1 ∗ = d(gn,ν , Ωn∗ ).

Der Grenz¨ ubergang ν → ∞ liefert die Behauptung.

q.e.d.

Durch Zur¨ uckziehen auf den Rn erhalten wir sofort die nachfolgenden Hilfss¨atze 2-5 aus entsprechenden Aussagen von Kap. III. Hilfssatz 2. Sei gλ : Ω → B mit a ≤ λ ≤ b eine Schar stetiger Abbildungen, welche gλ (x) → gλ0 (x) f¨ ur λ → λ0 glm. auf Ω erf¨ ullen. Weiter gelte gλ (x) = 0 f¨ ur alle x ∈ ∂Ω und λ ∈ [a, b]. Dann ist δB (gλ , Ω) = const

auf

[a, b].

ur alle x ∈ ∂Ω. Ferner gelte Hilfssatz 3. Sei g : Ω → B stetig und g(x) = 0 f¨ δB (g, Ω) = 0. Dann gibt es ein z ∈ Ω mit g(z) = 0. Hilfssatz 4. Seien Ω1 , Ω2 beschr¨ankte, offene, disjunkte Teilmengen von B, und sei Ω := Ω1 ∪ Ω2 erkl¨art. Weiter bezeichne g : Ω → B eine stetige ur i = 1, 2. Dann gilt Abbildung mit 0 ∈ / g(∂Ωi ) f¨ δB (g, Ω) = δB (g, Ω1 ) + δB (g, Ω2 ).

14

VII Operatoren im Banachraum

Hilfssatz 5. Auf der offenen, beschr¨ankten Teilmenge Ω ⊂ B sei die stetige Funktion g : Ω → B gegeben. Weiter sei Ω0 ⊂ Ω eine offene Menge mit der Eigenschaft g(x) = 0 f¨ ur alle x ∈ Ω \ Ω0 . Dann gilt δB (g, Ω) = δB (g, Ω0 ). Sei B ein Banachraum und Ω ⊂ B eine offene, beschr¨ankte Teilmenge. Weiter bezeichne B  einen endlich dimensionalen Teilraum von B mit ΩB := Ω ∩B  = ∅. Die Menge ΩB ist offen und beschr¨ ankt in B  , und es gilt ∂ΩB ⊂ ∂Ω ∩ B  ,

Ω B ⊂ Ω ∩ B  .

Mit der stetigen Abbildung f : Ω → B  assoziieren wir die Abbildung ϕf (x) := x − f (x),

x ∈ Ω.

F¨ ur alle Banachr¨ aume B  ⊃ B  gilt dann ϕf (Ω ∩ B  ) ⊂ B  . Hilfssatz 6. Seien die Banachr¨aume B  ⊂ B  ⊂ B mit 0 < dim B  ≤ dim B  < +∞ gegeben. F¨ ur die offene, beschr¨ankte Menge Ω ⊂ B gelte ΩB = Ω∩B  = ∅. Die stetige Abbildung f : Ω → B  habe die assoziierte Abbildung ϕf (x) := x−f (x), x ∈ Ω, welche f¨ ur alle x ∈ ∂Ω ϕf (x) = 0 erf¨ ulle. Dann gilt δB (ϕf , ΩB ) = δB (ϕf , ΩB ). Beweis: Wegen ∂ΩB ⊂ ∂Ω und ∂ΩB ⊂ ∂Ω sind die angegebenen Abbildungsgrade erkl¨ art. O. E. k¨ onnen wir dim B  > dim B  annehmen. Wir w¨ ahlen eine Basis {w1 , ..., wn } ⊂ B  von B  und erweitern diese zu einer Basis {w1 , ..., wn , wn+1 , . . . , wn+p } ⊂ B  von B  mit einem p ∈ N. Schreiben wir nun die Abbildung ϕf : B  → B  in den zur Basis {w1 , . . . , wn+p } geh¨ origen Koordinaten, so erhalten wir die Abbildung ϕ :=   oge ϕf |B : B → B verm¨  x1 − f1 (x1 , . . . , xn , xn+1 , . . . , xn+p ), . . .   x1 , . . . , xn , xn+1 , . . . , xn+p → xn − fn (x1 , . . . , xn , xn+1 , . . . , xn+p ),  xn+1 , . . . , xn+p . Die eingeschr¨ ankte Abbildung ϕ := ϕf |B : B  → B  erscheint dann in den Koordinaten x1 , . . . , xn wie folgt:

§2 Der Leray-Schaudersche Abbildungsgrad

15

(x1 , . . . , xn ) → (x1 − f1 (x1 , . . . , xn , 0, . . . , 0), . . . , xn − fn (x1 , . . . , xn , 0, . . . , 0)). ◦

◦

Nun hat ϕ eine Nullstelle x = (x1 , . . . , xn , 0, . . . , 0) genau dann, wenn ϕ ◦ ◦ eine Nullstelle x = (x1 , . . . , xn ) hat, und es gilt Jϕ (x ) = Jϕ (x ) bzw. sgn Jϕ (x ) = sgn Jϕ (x ). Durch Summation u ¨ber alle Nullstellen erhalten wir schließlich δB (ϕf , ΩB ) = δB (ϕf , ΩB ).

q.e.d.

Definition 2. Sei Ω eine beschr¨ankte, offene Menge in B und B  ein linearer Teilraum von B mit 1 ≤ dim B  < +∞ und ΩB := Ω ∩ B  = ∅. Ferner sei f : Ω → B  stetig und ϕf (x) = x − f (x) = 0

f¨ ur alle

x ∈ ∂Ω.

Dann setzen wir δB (ϕf , Ω) := δB (ϕf , ΩB ). Wir zeigen noch die Unabh¨ angigkeit von der Wahl des endlich dimensionalen Unterraumes B  . Sei B  ⊂ B mit 1 ≤ dim B  < +∞ und Ω ∩ B  = ∅ ein weiterer Unterraum von B. Wir setzen B ∗ := B  ⊕ B  , so daß gilt B  ⊂ B ∗ , B  ⊂ B ∗ . Hilfssatz 6 liefert dann δB (ϕf , ΩB ) = δB∗ (ϕf , ΩB∗ ) = δB (ϕf , ΩB ). ¨ Wir wollen nun den Ubergang zu vollstetigen Abbildungen f : B → B vollziehen. Hilfssatz 7. Sei A ⊂ B abgeschlossen, f : A → B sei vollstetig, und es gelte ϕf (x) = x − f (x) = 0

f¨ ur alle

x ∈ A.

Dann gibt es ein ε > 0, so daß ϕf (x) ≥ ε f¨ ur alle x ∈ A gilt. Beweis: W¨ are die Behauptung falsch, so gibt es eine Folge {xn }n=1,2,... ⊂ A mit f¨ ur n → ∞. ϕf (xn ) = xn − f (xn ) → 0 Da f (A) pr¨ akompakt ist, gibt es eine Teilfolge {xnk }k=1,2,... mit f (xnk ) → x∗ ∈ B f¨ ur k → ∞. Also folgt xnk − x∗  ≤ xnk − f (xnk ) + f (xnk ) − x∗  → 0 bzw. xnk → x∗ ∈ A f¨ ur k → ∞, denn A ist abgeschlossen. Dies liefert schließlich ϕf (x∗ ) = x∗ − f (x∗ ) = lim (xnk − f (xnk )) = 0 k→∞

im Widerspruch zur Voraussetzung ϕf = 0 in A. Hilfssatz 3 aus § 1 entnehmen wir den folgenden

q.e.d.

16

VII Operatoren im Banachraum

Hilfssatz 8. Sei Ω ⊂ B eine beschr¨ankte, offene Menge, und f : Ω → B sei vollstetig. Dann gibt es zu jedem ε > 0 einen linearen Teilraum Bε mit 0 < dim Bε < +∞ und Ω ∩ Bε = ∅ sowie eine stetige Abbildung fε : Ω → Bε mit der Eigenschaft fε (x) − f (x) ≤ ε

f¨ ur alle

x ∈ Ω.

Beweis: Mit den in § 1, Hilfssatz 3 erkl¨ arten Funktionen Fj (x), x ∈ Ω, j = 1, . . . , N , und den Elementen w1 , . . . , wN ∈ B w¨ahlen wir fε (x) :=

N 

Fj (x)wj . q.e.d.

j=1

Definition 3. Sei Ω ⊂ B eine beschr¨ankte, offene Menge, und f : Ω → B ulle 0 ∈ ϕf (∂Ω). sei vollstetig. Die assoziierte Funktion ϕf (x) = x − f (x) erf¨ Dann heißt g : Ω → Bg ⊂ B zul¨assige Approximation von f , wenn folgende Bedingungen erf¨ ullt sind: (a) g ist stetig. (b) F¨ ur den Unterraum Bg gelte 1 ≤ dim Bg < +∞ und Ω ∩ Bg = ∅. (c) Es gilt die Ungleichung sup g(x) − f (x) < inf ϕf (x). x∈Ω

x∈∂Ω

Hilfssatz 9. Die Abbildung f : Ω → B erf¨ ulle die Voraussetzungen von Definition 3 und g : Ω → Bg bzw. h : Ω → Bh seien zwei zul¨assige Approximationen von f . Dann gilt δB (ϕg , Ω) = δB (ϕh , Ω). Beweis: Wir setzen B ∗ := Bg ⊕ Bh . Damit gilt δB (ϕg , Ω) := δBg (ϕg , ΩBg ) = δB∗ (ϕg , ΩB∗ ) und entsprechend δB (ϕh , Ω) = δB∗ (ϕh , ΩB∗ ). Wir betrachten nun die Schar von Abbildungen   χλ (x) = x − λg(x) + (1 − λ)h(x) , x ∈ Ω, λ ∈ [0, 1]. Setzen wir noch η := inf ϕf (x) > 0, so k¨ onnen wir absch¨atzen x∈∂Ω

χλ (x) − ϕf (x) = λ(g(x) − f (x)) + (1 − λ)(h(x) − f (x)) ≤ λg(x) − f (x) + (1 − λ)h(x) − f (x) 0 f¨ ur alle x ∈ ∂Ω und alle λ ∈ [0, 1], und Hilfssatz 2 liefert δB∗ (χλ , ΩB∗ ) = const auf [0, 1]. Wir erhalten dann δB (ϕg , Ω) = δB∗ (χ1 , ΩB∗ ) = δB∗ (χ0 , ΩB∗ ) = δB (ϕh , Ω).

q.e.d.

§3 Fundamentaleigenschaften des Abbildungsgrades

17

Definition 4. Ω ⊂ B sei beschr¨ankt und offen, und f : Ω → B bezeichne eine vollstetige Abbildung mit ϕ(x) = x − f (x) = 0 f¨ ur alle x ∈ ∂Ω. Ferner sei g : Ω → Bg eine zul¨assige Approximation von f . Dann nennen wir δB (ϕf , Ω) := δB (ϕg , Ω) den Leray-Schauderschen Abbildungsgrad von (ϕf , Ω) bzgl. x = 0.

§3 Fundamentaleigenschaften des Abbildungsgrades Wir fassen zun¨ achst noch einmal zusammen: Sei Ω ⊂ B eine beschr¨ankte, offene Menge und f : Ω → B vollstetig, so daß gilt ϕf (x) = x − f (x) = 0

f¨ ur alle x ∈ ∂Ω.

Dann haben wir den Abbildungsgrad von ϕf durch die folgende Gleichungskette erkl¨ art: δB (ϕf , Ω) = δB (ϕg , Ω) = δBg (ϕg , Ω ∩ Bg ) = d(ϕn , Ωn ). Dabei bezeichnet g eine zul¨ assige Approximation, n = dim Bg , Ωn ist das Bild von Ω ∩ Bg unter einer beliebigen Koordinatenabbildung ψ −1 und ϕn = ψ −1 ◦ ϕg ◦ ψ|Ω n . Satz 1. (Homotopiesatz) Sei Ω ⊂ B offen, beschr¨ankt, und es sei fλ : Ω → B, λ ∈ [a, b], eine Schar von Abbildungen mit folgenden Eigenschaften: (a) F¨ ur alle λ ∈ [a, b] ist fλ : Ω → B vollstetig. (b) Zu jedem ε > 0 gibt es ein δ = δ(ε) > 0, so daß f¨ ur alle x ∈ Ω folgendes gilt: fλ1 (x) − fλ2 (x) ≤ ε

f¨ ur alle

λ1 , λ2 ∈ [a, b]

|λ1 − λ2 | ≤ δ.

mit

(c) F¨ ur alle x ∈ ∂Ω und alle λ ∈ [a, b] gilt ϕfλ (x) = x − fλ (x) = 0. Dann ist δB (ϕfλ , Ω) = const. Beweis: Sei λ0 ∈ [a, b] beliebig gew¨ ahlt. Dann gibt es ein ε > 0 mit ϕfλ0 (x) ≥ ε f¨ ur alle x ∈ ∂Ω. Wir konstruieren eine zul¨assige Approximation g : Ω → Bg ⊂ B von fλ0 mit g(x) − fλ0 (x) ≤

ε 4

f¨ ur alle x ∈ Ω.

Somit gibt es ein δ = δ(ε), so daß f¨ ur alle λ ∈ [a, b] mit |λ − λ0 | ≤ δ gilt g(x) − fλ (x) ≤ g(x) − fλ0 (x) + fλ0 (x) − fλ (x) ≤

ε , 2

x ∈ Ω.

18

VII Operatoren im Banachraum

Andererseits haben wir f¨ ur |λ − λ0 | ≤ δ ϕfλ (x) ≥ ϕfλ0 (x) − ϕfλ (x) − ϕfλ0 (x) ≥

3ε , 4

x ∈ ∂Ω.

Also ist g eine zul¨ assige Approximation f¨ ur alle λ ∈ [a, b] mit |λ − λ0 | ≤ δ, und es folgt δB (ϕfλ , Ω) = δB (g, Ω)

f¨ ur alle λ : |λ − λ0 | ≤ δ.

Ein Fortsetzungsargument liefert schließlich δB (ϕfλ , Ω) = const auf [a, b]. q.e.d. Satz 2. (Existenzsatz) Sei Ω ⊂ B beschr¨ankt und offen. Die Abbildung f : Ω → B sei vollstetig, und es gelte f¨ ur alle x ∈ ∂Ω. ϕf (x) = x − f (x) = 0 Schließlich sei δB (ϕf , Ω) = 0 erf¨ ullt. Dann hat die Gleichung ϕf (x) = 0 eine L¨osung x ∈ Ω, d.h. die Abbildung x → f (x) besitzt in Ω einen Fixpunkt. Beweis: Wir betrachten eine Folge zul¨ assiger Approximationen gn : Ω → Bgn von f mit 1 sup gn (x) − f (x) ≤ . n x∈Ω Es folgt dann 0 = δB (ϕf , Ω) = δBgn (ϕgn , Ω ∩ Bgn ),

n ≥ n0 .

Nach Hilfssatz 3 aus § 2 gibt es nun eine Folge xn ∈ Ω ∩Bgn , n = n0 , n0 +1, . . ., mit 0 = ϕgn (xn ) = xn − gn (xn ). Somit erhalten wir xn − f (xn ) = xn − gn (xn ) + gn (xn ) − f (xn ) ≤

1 , n

n ≥ n0 ,

und daher inf ϕf (x) = inf x − f (x) = 0.

x∈Ω

x∈Ω

Nach § 2, Hilfssatz 7 existiert nun ein x0 ∈ Ω mit ϕf (x0 ) = x0 − f (x0 ) = 0. q.e.d. Definition 1. Ω ⊂ B bezeichne eine beschr¨ankte, offene Menge und f : Ω → B eine vollstetige Abbildung mit der assoziierten Abbildung ϕf (x) = x − f (x), ur beliebige x ∈ Ω. Ferner sei G ⊂ B \ ϕf (∂Ω) ein Gebiet. Dann setzen wir f¨ z∈G δB (ϕf , Ω, z) = δB (ϕf , Ω, G) := δB (ϕf −z , Ω).

§3 Fundamentaleigenschaften des Abbildungsgrades

19

Betrachtet man die Schar von Abbildungen ft (x) = f (x) − z(t) mit dem stetigen Weg z(t) : [0, 1] → G, so liefert Satz 1 die Unabh¨angigkeit von der Auswahl des Punktes z ∈ G. Nun ist es m¨ oglich, einen Produktsatz wie im Rn abzuleiten, was wir hier aber nicht ausf¨ uhren wollen. Stattdessen werden wir die Indexsummenformel (vgl. Satz 1 aus Kap. III, § 4) auf vollstetige Abbildungen zwischen Banachr¨aumen verallgemeinern. Hilfssatz 1. Sei Ω ⊂ B beschr¨ankt, offen und f : Ω → B vollstetig. Ferner ur alle x ∈ Ω \ Ω0 . bezeichne Ω0 ⊂ Ω eine offene Teilmenge mit ϕf (x) = 0 f¨ Dann gilt δB (ϕf , Ω) = δB (ϕf , Ω0 ). Beweis: Es gilt ∂Ω ⊂ Ω \ Ω0 und ∂Ω0 ⊂ Ω \ Ω0 und somit ϕf (x) = 0

f¨ ur alle x ∈ ∂Ω ∪ ∂Ω0 .

Hilfssatz 7 aus § 2 liefert ferner ϕf (x) ≥ ε > 0

f¨ ur alle x ∈ Ω \ Ω0 ,

da Ω \ Ω0 abgeschlossen ist. Sei nun g : Ω → Bg ⊂ B eine zul¨assige Apur alle x ∈ Ω. Dann proximation mit Ω0 ∩ Bg = ∅ und g(x) − f (x) ≤ 2ε f¨ folgt ϕg (x) ≥ ϕf (x) − ϕf (x) − ϕg (x) ≥

ε 2

f¨ ur alle x ∈ Ω \ Ω0 .

Zusammen mit Hilfssatz 5 aus § 2 erhalten wir δB (ϕf , Ω) = δBg (ϕg , Ω ∩ Bg ) = δBg (ϕg , Ω0 ∩ Bg ) = δB (ϕf , Ω0 ). q.e.d. Hilfssatz 2. Seien die Mengen Ω1 , Ω2 ⊂ B beschr¨ankt, offen und disjunkt, · und sei Ω := Ω1 ∪ Ω2 erkl¨art. Dann gilt δB (ϕf , Ω) = δB (ϕf , Ω1 ) + δB (ϕf , Ω2 ). Beweis: Sei g : Ω → Bg ⊂ B eine zul¨ assige Approximation von f mit Ωi ∩Bg = ∅ f¨ ur i = 1, 2. Dann sind g|Ω i zul¨ assige Approximationen von f |Ω i , und nach Hilfssatz 4 aus § 2 gilt δB (ϕf , Ω) = δBg (ϕg , Ω ∩ Bg ) = δBg (ϕg , Ω1 ∩ Bg ) + δBg (ϕg , Ω2 ∩ Bg ) = δB (ϕf , Ω1 ) + δB (ϕf , Ω2 ).

q.e.d.

20

VII Operatoren im Banachraum

Definition 2. Sei U = U (z) ⊂ B eine offene Umgebung von z und f : U (z) → B vollstetig. F¨ ur die assoziierte Abbildung gelte ϕf (x) = 0

in U (z) \ {z}

und

ϕf (z) = 0.

Dann erkl¨aren wir den Index i(ϕf , z) := δB (ϕf , K)

mit

K := {x ∈ B : x − z < ε} ⊂⊂ U (z).

Satz 3. (Indexsummenformel) Sei f : Ω → B vollstetig. Ferner besitze die Gleichung ϕf (x) = 0 genau p paarweise verschiedene L¨osungen z1 , . . . , zp ∈ Ω. Dann gilt δB (ϕf , Ω) =

p 

i(ϕf , zν ).

ν=1

Beweis: Zu hinreichend kleinem ε > 0 betrachten wir die paarweise disjunkten Kugeln ν = 1, . . . , p. Kν := {x ∈ Ω : x − zν  < ε}, Wir wenden Hilfssatz 1 und Hilfssatz 2 mit Ω0 :=

p 

Kν ⊂ Ω an:

ν=1

δB (ϕf , Ω) = δB (ϕf , Ω0 ) =

p 

δB (ϕf , Kν ) =

ν=1

p 

i(ϕf , zν ).

ν=1

q.e.d.

Wir erhalten nun zusammenfassend den Satz 4. (Leray-Schauderscher Fundamentalsatz) Sei Ω ⊂ B eine beschr¨ankte, offene Menge im Banachraum B und fλ : Ω → B, a ≤ λ ≤ b, eine Schar von Abbildungen mit folgenden Eigenschaften: (a) F¨ ur alle λ ∈ [a, b] ist fλ : Ω → B vollstetig. (b) Zu jedem ε > 0 gibt es ein δ = δ(ε) > 0, so daß f¨ ur alle x ∈ Ω folgendes gilt: fλ1 (x) − fλ2 (x) ≤ ε

f¨ ur alle

λ1 , λ2 ∈ [a, b]

mit

|λ1 − λ2 | ≤ δ.

(c) F¨ ur alle x ∈ ∂Ω und alle λ ∈ [a, b] gilt ϕfλ (x) = x − fλ (x) = 0. (d) F¨ ur ein spezielles λ0 ∈ [a, b] hat die Gleichung ϕfλ0 (x) = x − fλ0 (x) = 0, x ∈ Ω, endlich viele L¨osungen z1 , . . . , zp , p ∈ N, mit p 

i(ϕfλ0 , zν ) = 0.

ν=1

ur jedes λ ∈ [a, b] mindestens Dann hat die Gleichung ϕfλ (x) = 0, x ∈ Ω, f¨ eine L¨osung. Bemerkung: In Kapitel XII werden wir mit Satz 4 die Existenz von L¨osungen nichtlinearer elliptischer Systeme nachweisen.

§4 Lineare Operatoren im Banachraum

21

§4 Lineare Operatoren im Banachraum Seien {Bj ,  j } f¨ ur j = 1, 2 zwei Banachr¨ aume. Dann k¨onnen wir in Bj , j = 1, 2, mit Hilfe der jeweiligen Norm  j offene Mengen erkl¨aren. Im folgenden betrachten wir lineare, stetige Operatoren T : B1 → B2 . Ein Operator T heißt linear, falls T (αx+βy) = αT (x)+βT (y)

f¨ ur alle x, y ∈ B1

und alle α, β ∈ R (1)

erf¨ ullt ist. Der Operator T ist stetig genau dann, wenn T beschr¨ankt ist, bzw. wenn gilt T x2 T  := sup < +∞. (2) x∈B1 x1 x=0

Wir notieren zun¨ achst den Satz 1. (Prinzip der offenen Abbildung) Der lineare, stetige Operator T : B1 → B2 sei surjektiv. Dann ist T eine offene Abbildung, d.h. das Bild jeder offenen Menge ist offen. Beweis: Der Beweis wird mit Methoden der mengentheoretischen Topologie erbracht. Wir verweisen hierzu auf [HS], pp. 39-41 (Satz 9.1) und pp. 21-22 (Lemma 4.1 und Satz 4.3). Aus Satz 1 folgt sofort der Satz 2. (Satz vom inversen Operator) Der lineare, stetige Operator T : B1 → B2 sei bijektiv. Dann ist T −1 : B2 → B1 stetig. Statten wir die Menge B = B1 × B2 mit der Norm  (x, y) := x21 + y22 , (x, y) ∈ B = B1 × B2 , aus, so wird B zu einem Banachraum. Folglich haben wir in B offene Mengen erkl¨ art. Wir definieren nun den Graphen von T : B1 → B2 als   (3) graph (T ) := (x, T x) ∈ B1 × B2 : x ∈ B1 . Satz 3. (Satz vom abgeschlossenen Graphen) F¨ ur einen linearen Operator T : B1 → B2 gilt: T ist genau dann stetig, wenn graph (T ) in B1 × B2 abgeschlossen ist.

22

VII Operatoren im Banachraum

Beweis: ⇒“ Wir betrachten eine Folge {xn }n=1,2,... ⊂ B1 mit xn → x ∈ B1 f¨ ur ” n → ∞. Da T stetig ist, folgt lim T xn = T ( lim xn ) = T x

n→∞

n→∞

und somit lim (xn , T xn ) = (x, T x) ∈ graph (T ).

n→∞

Also ist graph (T ) abgeschlossen. ⇐“ Sei nun graph (T ) ⊂ B1 × B2 abgeschlossen. Dann stellt der Graph einen ” Banachraum dar. Die Projektion π : graph (T ) → B1 ,

(x, T x) → x

ist bijektiv, linear und stetig, und nach Satz 2 ist auch π −1 : B1 →graph (T ) stetig. Da nun offenbar auch die Projektion  : B1 × B2 → B2 ,

(x, y) → y

stetig ist, folgt die Stetigkeit von T =  ◦ π −1 : B1 → B2 .

q.e.d.

Wir w¨ ahlen nun B1 = B2 = B und betrachten lineare, stetige Operatoren T : B → B. Diese sind offenbar genau dann injektiv, wenn ker T := T −1 (0) nur aus {0} besteht. M. H. des Leray-Schauderschen Abbildungsgrades wollen wir nun ein Kriterium f¨ ur die Surjektivit¨ at von T beweisen. Im folgenden bezeichnen wir die offenen Kugeln in B mit   0 < r < +∞. Br := x ∈ B : x < r , Deren Rand wird durch ∂Br = {x ∈ B : x = r} beschrieben. Definition 1. Der lineare Operator K : B → B heißt kompakt bzw. vollstetig, ullt ist. falls f¨ ur ein r ∈ (0, +∞) die Bedingung K(∂Br ) ist pr¨akompakt“ erf¨ ” Bemerkungen: 1. Die Definition ist unabh¨ angig von r ∈ (0, +∞). 2. Ein kompakter Operator ist beschr¨ ankt, also stetig. Somit ist die Definition f¨ ur lineare Operatoren ¨ aquivalent zu der in § 1, Definition 4 gegebenen. Definition 2. Mit dem vollstetigen Operator K : B → B assoziieren wir den Fredholmoperator T x := x − Kx = (IdB − K)(x),

x ∈ B.

(4)

§4 Lineare Operatoren im Banachraum

23

Von fundamentaler Bedeutung zur L¨ osung linearer Operatorgleichungen im Banachraum ist nun der Satz 4. (F. Riesz) Sei K : B → B ein vollstetiger Operator auf dem Banachraum B mit dem assoziierten Fredholmoperator T x := (IdB − K)(x) = x − Kx,

x ∈ B.

Weiter sei die Implikation T x = 0,

x∈B

⇒

x=0

wahr, d.h. der Kern von T besteht nur aus dem Nullelement. Dann ist die Abbildung T : B → B bijektiv, und es existiert der inverse Operator T −1 : B → B zu T , welcher auf B beschr¨ankt ist. Insbesondere hat dann f¨ ur alle y ∈ B die Operatorgleichung T x = y,

x ∈ B,

genau eine L¨osung. Beweis: F¨ ur beliebiges r ∈ (0, +∞) betrachten wir T x = x − Kx, x ∈ Br . Nach Voraussetzung gilt T x = 0

f¨ ur alle x ∈ ∂Br .

Gem¨ aß Hilfssatz 7 aus § 2 finden wir also ein ε > 0, so daß T x ≥ εr

f¨ ur alle x ∈ ∂Br

(5)

richtig ist. Zu vorgegebenen y ∈ B betrachten wir nun die Schar der Operatoren Tλ x := T x − λy, x ∈ Br , 0 ≤ λ ≤ 1. (6) W¨ ahlen wir r hinreichend groß, so folgt f¨ ur alle x ∈ ∂Br und alle λ ∈ [0, 1] Tλ x ≥ T x − λy ≥ εr − y > 0. F¨ ur λ = 0 hat die Gleichung Tλ x = 0, x ∈ Br , genau eine L¨osung, n¨amlich x = 0, vom Index i(T, 0) = 0. Nach dem Leray-Schauderschen Fundamentalsatz ur jedes λ ∈ [0, 1] mindestens eine hat dann die Gleichung Tλ x = 0, x ∈ Br , f¨ L¨ osung. Insbesondere finden wir also f¨ ur λ = 1 ein x ∈ Br mit T x = y. Da y beliebig gew¨ ahlt war, ist damit T : B → B surjektiv. Die Injektivit¨at von T folgt sofort aus ker T = {0}. Schließlich impliziert die Ungleichung

24

VII Operatoren im Banachraum

T x ≥ εx

f¨ ur alle x ∈ B

amlich noch die Beschr¨ anktheit von T −1 , n¨ T −1 y ≤

1 y ε

f¨ ur alle y ∈ B.

q.e.d.

Einen linearen Operator F : B → R nennt man lineares Funktional auf dem Banachraum B. Zum Abschluß dieses Kapitels beweisen wir den Satz 5. (Fortsetzungssatz von Hahn-Banach) Sei L ein Unterraum des Banachraumes B und f : L → R eine lineare, stetige Abbildung mit |f (x)| f  := sup . x∈L x x=0

Dann gibt es ein stetiges, lineares Funktional F : B → R mit F (x) = f (x) f¨ ur alle x ∈ L und F  = f . Definition 3. Sei L ⊂ B ein Unterraum eines Banachraumes B. Eine Funktion p = p(x) : L → R nennen wir superlinear (auf L), wenn p(λx) = λp(x)

f¨ ur alle

x∈L

λ ∈ [0, +∞)

und alle

(7)

und p(x + y) ≤ p(x) + p(y)

f¨ ur alle

x, y ∈ L

(8)

gilt. Hilfssatz 1. Unter den Voraussetzungen von Satz 5 ist die Funktion   x ∈ B, p(x) := inf f  x − y + f (y) , y∈L

(9)

superlinear in B, und es gilt p(x) ≤ f  x,

x ∈ B;

p(x) ≤ f (x),

x ∈ L.

Beweis: Zun¨ achst bemerken wir   p(x) := inf f  x − y + f (y) y∈L

≥ inf

y∈L

  f (y) + f  y − f  x

≥ −f  x > −∞,

x ∈ B.

Wir weisen nun (7) nach: F¨ ur λ = 0 gilt   p(0 x) = inf f  y + f (y) = 0 = 0 p(x) y∈L

f¨ ur alle x ∈ B.

(10)

§4 Lineare Operatoren im Banachraum

25

F¨ ur λ ∈ (0, +∞) berechnen wir p(λx) = inf

y∈L

= inf

y∈L

  f  λx − y + f (y)   f  λx − λy + f (λy)

= λ inf

y∈L

  f  x − y + f (y) f¨ ur alle x ∈ B.

= λp(x)

Nun ermitteln wir (8): Seien x, z ∈ B beliebig gew¨ahlt. Dann gibt es zu jedem ε > 0 Elemente y1 , y2 ∈ L, so daß gilt p(x) ≥ f  x − y1  + f (y1 ) − ε, p(z) ≥ f  z − y2  + f (y2 ) − ε. Damit k¨ onnen wir wie folgt absch¨ atzen   p(x + z) = inf f  x + z − y + f (y) y∈L

≤ f  x + z − (y1 + y2 ) + f (y1 + y2 )   ≤ f  x − y1  + z − y2  + f (y1 + y2 )     = f  x − y1  + f (y1 ) + f  z − y2  + f (y2 ) ≤ p(x) + p(z) + 2ε. Der Grenz¨ ubergang ε → 0 liefert also die Superlinearit¨at von p(x). Wir zeigen nun noch (10): W¨ahlt man in der Definition von p(x) speziell y = 0, so folgt   x ∈ B. p(x) = inf f  x − y + f (y) ≤ f  x + f (0) = f  x, y∈L

Entsprechend liefert die Wahl y = x ∈ L die Ungleichung   x ∈ L. p(x) = inf f  x − y + f (y) ≤ f (x), y∈L

Dies vervollst¨ andigt den Beweis.

q.e.d.

Wir betrachten nun die Menge der in L superlinearen Funktionen   F := S(L) := p : L → R : p ist superlinear in L . Diese ist bez¨ uglich der Relation p, p˜ ∈ S(L) :

p ≤ p˜

⇔

p(x) ≤ p˜(x) f¨ ur alle x ∈ L

(11)

26

VII Operatoren im Banachraum

halbgeordnet im folgenden Sinne: p ≤ p;

p ≤ p˜, p˜ ≤ pˆ ⇒ p ≤ pˆ;

p ≤ p˜, p˜ ≤ p ⇒ p = p˜.

(12)

Eine Teilmenge E ⊂ F nennen wir total-geordnet, falls f¨ ur je zwei Elemente p, p˜ ∈ E entweder p ≤ p˜ oder p˜ ≤ p gilt. Das Element p∗ ∈ F nennen wir untere Schranke von E, falls p∗ ≤ p

f¨ ur alle p ∈ E

(13)

richtig ist. Hilfssatz 2. Jede total-geordnete Teilmenge E ⊂ S(L) besitzt eine untere Schranke p∗ = p∗ (E) ∈ S(L). Beweis: Es sei E = {pi }i∈I ⊂ S(L) eine total-geordnete Teilmenge. Wir w¨ahlen x ∈ L, p∗ (x) := inf pi (x), i∈I

als untere Schranke und zeigen, daß p∗ eine superlineare Funktion ist. Dazu gen¨ ugt es offenbar, die Ungleichung (8) nachzuweisen. Seien x, y ∈ L beliebig gew¨ ahlt. Dann gibt es zu jedem ε > 0 einen Index j ∈ I, so daß gilt p∗ (x) ≥ pj (x) − ε. Entsprechend finden wir einen Index k ∈ I, so daß p∗ (y) ≥ pk (y) − ε richtig ist. Da nun aber entweder pj ≥ pk oder pk ≥ pj in L gelten muß, sind beide Ungleichungen sogar mit dem gleichen Index, sagen wir j ∈ I, erf¨ ullt. Somit folgt p∗ (x + y) = inf pi (x + y) ≤ pj (x + y) i∈I

≤ pj (x) + pj (y) ≤ p∗ (x) + p∗ (y) + 2ε. Der Grenz¨ ubergang ε → 0 liefert dann die Behauptung.

q.e.d.

Definition 4. In einer halbgeordneten Menge F nennen wir p ∈ F ein minimales Element von F , falls die Implikation p˜ ∈ F

mit

p˜ ≤ p

⇒

p˜ = p

(14)

richtig ist; es gibt also keine echt kleineren Elemente zu p. Hilfssatz 3. p ∈ S(L) ist genau dann ein minimales Element von S(L), wenn p : L → R linear ist.

§4 Lineare Operatoren im Banachraum

27

Beweis: ⇐“ Sei p(x) : L → R linear. Ferner sei p˜(x) ∈ S(L) mit p˜ ≤ p gew¨ahlt, es ” gelte also p˜(x) ≤ p(x) f¨ ur alle x ∈ L. Dann folgt aber unmittelbar p˜ = p. W¨ urde n¨ amlich ein y ∈ L mit p˜(y) < p(y) existieren, so folgt 0 = p˜(y − y) ≤ p˜(y) + p˜(−y) < p(y) + p(−y) = p(y − y) = 0. ⇒“ Zu festem a ∈ L betrachten wir die Funktion ”   pa (x) := inf p(x + ta) − tp(a) , t≥0

x ∈ L.

(15)

Offenbar gilt pa (x) ≤ p(x), x ∈ L. Ferner haben wir f¨ ur λ > 0   pa (λx) = inf p(λx + ta) − tp(a) t≥0

  = inf p(λx + λta) − λtp(a) t≥0

  = λ inf p(x + ta) − tp(a) t≥0

= λpa (x),

x ∈ L.

F¨ ur λ = 0 ist diese Identit¨ at trivial erf¨ ullt. ugt: Seien x, y ∈ L Wir zeigen nun, daß pa (x) auch der Ungleichung (8) gen¨ gew¨ ahlt. Wie im Beweis von Hilfssatz 1 w¨ahlen wir Punkte t1 ≥ 0 und t2 ≥ 0, in denen die Infima pa (x) bzw. pa (y) bis auf ein ε > 0 approximiert werden. Dann folgt   pa (x + y) = inf p(x + y + ta) − tp(a) t≥0

≤ p(x + y + (t1 + t2 )a) − (t1 + t2 )p(a)     ≤ p(x + t1 a) − t1 p(a) + p(y + t2 a) − t2 p(a) ≤ pa (x) + pa (y) + 2ε, und der Grenz¨ ubergang ε → 0 liefert (8). Die Funktion pa (x), x ∈ L, ist somit superlinear. Da andererseits p(x) ein minimales Element in S(L) ist, folgt   p(x) ≤ pa (x) = inf p(x + ta) − tp(a) ≤ p(x + a) − p(a) t≥0

bzw. p(x) + p(a) ≤ p(x + a) ≤ p(x) + p(a) Also ist p : L → R linear.

f¨ ur alle x, a ∈ L. q.e.d.

28

VII Operatoren im Banachraum

Aus der Mengenlehre ben¨ otigen wir noch den Hilfssatz 4. (Lemma von Zorn) In der halbgeordneten Menge F gebe es f¨ ur jede total-geordnete Teilmenge E ⊂ F eine untere Schranke. Dann gibt es in F ein minimales Element. Wir kommen nun zum Beweis von Satz 5: Unter den Voraussetzungen von Satz 5 betrachten wir die superlineare Funktion p(x) aus Hilfssatz 1 und erkl¨aren die halbgeordnete Menge   F := p˜ ∈ S(B) : p˜ ≤ p . Nach Hilfssatz 2 hat jede total-geordnete Teilmenge E ⊂ F eine untere Schranke. Wegen Hilfssatz 4 gibt es in F ein minimales Element F : B → R, welches gem¨ aß Hilfssatz 3 eine lineare Funktion ist. Wegen (10) erhalten wir f¨ ur alle x∈B F (x) ≤ p(x) ≤ f  x und −F (x) = F (−x) ≤ f   − x = f  x, also |F (x)| ≤ f  x. Somit folgt F  = f . Da nun f¨ ur alle x ∈ L die Ungleichung F (x) ≤ p(x) ≤ f (x) erf¨ ullt ist und f : L → R linear ist, ermitteln wir F (x) = f (x) aus Hilfssatz 3.

f¨ ur alle x ∈ L q.e.d

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

§1 Verschiedene Eigenwertprobleme Wir untersuchen zun¨ achst die Aufl¨ osung linearer Gleichungssysteme: Zu gegebener Matrix A = (aij )i,j=1,...,n ∈ Rn×n betrachten wir die Abbildung x → Ax : Rn → Rn und das Gleichungssystem n 

aik xk = yi ,

i = 1, . . . , n,

bzw.

Ax = y

k=1

ur alle mit gegebener rechter Seite y = (y1 , . . . , yn )t . Das System Ax = y ist f¨ y ∈ Rn genau dann l¨ osbar, wenn die homogene Gleichung Ax = 0 nur die triviale L¨ osung x = 0 besitzt. Es folgt dann x = A−1 y. Wir bemerken, daß der Begriff der Determinante hierbei nicht ben¨ otigt wird. In Satz 4 aus Kapitel VII, § 4 (Satz von F. Riesz) haben wir diese L¨osbarkeitstheorie auf lineare Operatoren im Banachraum u ¨ bertragen: Sei B ein reeller Banachraum und K : B → B ein linearer, vollstetiger Operator mit dem assoziierten Operator T x := x − Kx, x ∈ B. Falls die Implikation Tx = 0

⇒

x=0

wahr ist, so hat f¨ ur alle y ∈ B die Gleichung T x = y,

x ∈ B,

genau eine L¨ osung. Wir betrachten nun die Hauptachsentransformation Hermitescher Matrizen: ur alle Sei A = (aik )i,k=1,...,n ∈ C n×n eine Hermitesche Matrix, d.h. aik = aki f¨ i, k = 1, . . . , n. Dann besitzt A ein vollst¨ andiges, orthonormiertes System von Eigenvektoren ϕ1 , . . . , ϕn ∈ C n mit den reellen Eigenwerten λ1 , . . . , λn ∈ R, d.h.

30

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

Aϕi = λi ϕi ,

i = 1, . . . , n,

und es gilt (ϕi , ϕk ) = δik ,

i, k = 1, . . . , n.

Dabei haben wir (x, y) := x · y gesetzt. Bezeichnet ξi := (ϕi , x) die i-te Komponente von x ∈ Cn bez. (ϕ1 , . . . , ϕn ), das heißt t

x=

n 

ξi ϕi ,

i=1

dann folgt

n 

Ax =

ξi Aϕi =

n 

i=1

λi ξi ϕi .

i=1

Wir erkl¨ aren die Diagonalmatrix ⎛ ⎞ λ1 0 . . . 0 . ⎜ 0 . . . . . . .. ⎟ n×n ⎟ Λ := ⎜ ⎝ ... . . . . . . 0 ⎠ ∈ R 0 . . . 0 λn und die unit¨ are Matrix U −1 := (ϕ1 , . . . , ϕn ) ∈ C n×n . Nun haben wir die Darstellung x = U −1 ξ mit ξ = (ξ1 , . . . , ξn )t und somit ξ = U x. Es folgt also U ◦ A ◦ U −1 ◦ ξ = U ◦ A ◦ x = U ◦ U −1 ◦ Λ ◦ ξ = Λ ◦ ξ bzw. die unit¨are Transformation Λ = U ◦ A ◦ U −1 . t

Nun gilt U −1 = U ∗ = U . Wir berechnen damit die Transformation der zugeh¨ origen Hermiteschen Form   n n n   aik xi xk = (x, Ax) = (ϕi , x)ϕi , (ϕj , x)λj ϕj i=1

i,k=1

=

n 

j=1

(ϕi , x)(ϕj , x)λj δij

i,j=1

=

n  i=1

|(ϕi , x)|2 λi =

n 

λi |ξi |2 .

i=1

In dem vorliegenden Kapitel wollen wir entsprechende S¨atze f¨ ur Operatoren im Hilbertraum herleiten und durch Spezialisierung auf Integraloperatoren Eigenwertprobleme bei gew¨ ohnlichen und partiellen Differentialgleichungen behandeln.

§1 Verschiedene Eigenwertprobleme

31

Beispiel 1. Der Definitionsbereich   D := u = u(x) ∈ C 2 [0, π] : u(0) = 0 = u(π) und der Differentialoperator Lu(x) := −u (x),

x ∈ [0, π],

f¨ ur

u∈D

seien gegeben. F¨ ur welche λ ∈ R hat das Eigenwertproblem Lu(x) = λu(x),

0 ≤ x ≤ π,

u ∈ D,

(1)

eine nichttriviale L¨ osung u ∈ D, d.h. u ≡ 0? λ = 0: Wir haben u (x) = 0 f¨ ur x ∈ [0, π], also u(x) = ax + b mit Konstanten a, b ∈ R. Die Randbedingungen an u liefern 0 = u(0) = b und 0 = u(π) = aπ + b = aπ. Es folgt also u(x) ≡ 0,

x ∈ [0, π].

Deshalb ist λ = 0 kein Eigenwert von (1). λ < 0: Mit λ = −k 2 , k ∈ (0, +∞), schreiben wir (1) in der Form u (x) − k 2 u(x) = 0,

x ∈ [0, π].

Offenbar bildet {ekx , e−kx } ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung. Beachten wir u(0) = 0, so folgt u(x) = Aekx + Be−kx = A(ekx − e−kx ) = 2A sinh(kx). Wegen u(π) = 0 erhalten wir schließlich u(x) ≡ 0,

x ∈ [0, π].

Also gibt es keinen negativen Eigenwert λ < 0 von (1). λ > 0: Sei nun λ = k 2 mit einem k ∈ (0, +∞). Dann schreibt sich (1) als u (x) + k 2 u(x) = 0,

x ∈ [0, π],

und mit {cos(kx), sin(kx)} finden wir ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung und daher die allgemeine L¨osung u(x) = A cos(kx) + B sin(kx),

x ∈ [0, π].

Aus 0 = u(0) = A folgt u(x) = B sin(kx), x ∈ [0, π], und der Randbedingung 0 = u(π) = B sin(kπ) entnehmen wir noch k ∈ N. Daraus ergeben sich die Eigenwerte λ = k 2 von (1) zu den Eigenfunktionen uk (x) = sin(kx),

x ∈ [0, π],

k = 1, 2, . . .

32

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

Beispiel 2. Es sei das Gebiet   G := x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : xi ∈ (0, π), i = 1, . . . , n = (0, π)n ⊂ Rn gegeben. Auf dem Definitionsbereich   D := u ∈ C 2 (G) ∩ C 0 (G) : u|∂G = 0 erkl¨ aren wir den Differentialoperator Lu(x) := −∆u(x) = −

n  ∂2 u(x), ∂x2i i=1

x ∈ G.

Wir betrachten das Eigenwertproblem Lu(x) = λu(x),

x ∈ G,

(2)

f¨ ur u ∈ D und λ ∈ R. Zu dessen L¨ osung machen wir den Separationsansatz u(x) = u(x1 , . . . , xn ) := u1 (x1 ) · u2 (x2 ) · . . . · un (xn ),

x ∈ G.

Die Differentialgleichung (2) wird dann zu −

n 

u1 (x1 )·. . .·ui−1 (xi−1 )ui (xi )ui+1 (xi+1 )·. . .·un (xn ) = λu1 (x1 )·. . .·un (xn )

i=1

beziehungsweise −

n  u (xi ) i

i=1

ui (xi )

= λ,

x ∈ G.

Wir w¨ ahlen nun ui (xi ) := sin(ki xi ) mit ki ∈ N, i = 1, . . . , n, und folgern −

n  u (xi ) i

i=1

ui (xi )

=

n 

ki2 = λ ∈ (0, ∞).

i=1

Als L¨ osungen des Eigenwertproblems (2) ergeben sich also u(x1 , . . . , xn ) := sin(k1 x1 ) · . . . · sin(kn xn )

und

λ = k12 + . . . + kn2

f¨ ur k1 , . . . , kn ∈ N. Nach der Normierung  2  n2 uk1 ,...,kn (x1 , . . . , xn ) := sin(k1 x1 ) · . . . · sin(kn xn ), π erhalten wir mit dem skalaren Produkt
(u, v) := u(x1 , . . . , xn )v(x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxn , G

x ∈ G,

u, v ∈ D,

(3)

§1 Verschiedene Eigenwertprobleme

33

das orthonormierte System von Funktionen (uk1 ...kn , ul1 ...ln ) = δk1 l1 · . . . · δkn ln Wegen

k1 , . . . , kn , l1 , . . . , ln ∈ N.

f¨ ur

(4)

Luk1 ...kn = (k12 + . . . + kn2 )uk1 ...kn

und

uk1 ...kn 2L2 (G) := (uk1 ...kn , uk1 ...kn ) = 1

f¨ ur alle k1 . . . kn ∈ N folgt sup u∈D, u =1

Lu ≥

sup k1 ...kn ∈N

Luk1 ...kn  =

sup (k12 + . . . + kn2 ) = +∞. (5)

k1 ...kn ∈N

Somit ist L = −∆ : L2 (G) → L2 (G) ein unbeschr¨ankter Operator auf dem Hilbertraum L2 (G). Von besonderem Interesse ist die Frage: Sind die oben angegebenen Funktioandig? Ist also eine willk¨ urliche Funktion in nen {uk1 ...kn }k1 ...kn =1,2,... vollst¨ eine solche Funktionenreihe entwickelbar? Wir betrachten nun das Sturm-Liouvillesche Eigenwertproblem: Die Zahlen c1 , c2 , d1 , d2 ∈ R mit c21 + c22 > 0, d21 + d22 > 0 seien vorgegeben. Als Definitionsbereich w¨ ahlen wir den linearen Raum   D := f ∈ C 2 ([a, b], R) : c1 f (a) + c2 f  (a) = 0 = d1 f (b) + d2 f  (b) , wobei −∞ < a < b < +∞ feste Zahlen sind. Zu den Funktionen p = p(x) ∈ C 1 ([a, b], (0, +∞)) und q = q(x) ∈ C 0 ([a, b], R) erkl¨aren wir den SturmLiouville-Operator 

Lu(x) := − (p(x)u (x)) + q(x)u(x),

x ∈ [a, b],

f¨ ur

u ∈ D.

Hilfssatz 1. L : D → C 0 ([a, b], R) ist ein linearer, symmetrischer Operator, das heißt L(αu + βv) = αLu + βLv

f¨ ur alle

u, v ∈ D,

α, β ∈ R,

und
b a


b     Lu(x) v(x) dx u(x) Lv(x) dx =

f¨ ur alle

u, v ∈ D.

a

Beweis: Die Linearit¨ at ist klar. Wir berechnen f¨ ur u, v ∈ D vLu − uLv = v(−(pu ) + qu) − u(−(pv  ) + qv)  d  p(x)(u(x)v  (x) − u (x)v(x)) , = dx

x ∈ [a, b].

(6)

34

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

Es folgt somit
b

&b % (vLu − uLv) dx = − p(x)(u(x), u (x)) · (−v  (x), v(x))t = 0. a

a

Denn wegen u, v ∈ D sind die Vektoren (u(x), u (x)) und (v(x), v  (x)) parallel f¨ ur x = a bzw. x = b. q.e.d. Wir untersuchen nun das Eigenwertproblem Lu = λu, Setzen wir

u ∈ D.

(7)


b (u, v) :=

u(x)v(x) dx

f¨ ur

u, v ∈ D,

a

so erhalten wir in § 8 parallel zu Beispiel 1 ein orthonormiertes System von Eigenfunktionen uk (x) ∈ D

mit (uk , ul ) = δkl ,

k, l ∈ N,

und Luk = λk uk ,

k = 1, 2, . . .

Wir erwarten wegen Beispiel 1 das asymptotische Verhalten −∞ < λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 ≤ . . . → +∞

(8)

f¨ ur die Eigenwerte. Somit ist L ein unbeschr¨ ankter Operator. Wir werden die Entwicklung ∞  ck uk (x) mit ck = (uk , f ) f (x) = k=1

f¨ ur alle f ∈ D herleiten. Zun¨ achst machen wir die Voraussetzung 0: Die Gleichung Lu = 0, u ∈ D, hat nur die triviale L¨osung u ≡ 0. ' Der Bereich D ist bez¨ uglich der Norm u := (u, u), u ∈ D, nicht vollst¨andig und der Operator L ist i.a. unbeschr¨ ankt, so daß mit dem o.a. Satz von F. Riesz nicht abstrakt die Inverse L−1 gebildet werden kann. Unter der Voraussetzung 0 werden wir aber die Inverse m.H. der Greenschen Funktion des SturmLiouville-Operators K(x, y) konstruieren. Haben wir dieses durchgef¨ uhrt, so wird (7) ¨ aquivalent umgeformt in das Eigenwertproblem f¨ ur den beschr¨ankten amlich Operator L−1 , n¨ L−1 u =

1 u, λ

u ∈ D.

(9)

§1 Verschiedene Eigenwertprobleme

35

Zur Konstruktion der Inversen betrachten wir die gew¨ohnliche Differentialgleichung 

Lu(x) = − (p(x)u (x)) + q(x)u(x) = −p(x)u (x) − p (x)u (x) + q(x)u(x)

(10)

a ≤ x ≤ b.

= f (x),

Die homogene Gleichung Lu = 0 besitzt ein Fundamentalsystem α = α(x), β = β(x) mit Lα(x) ≡ 0 ≡ Lβ(x) in [a, b]. Wir konstruieren eine L¨ osung von (10) mittels Variation der Konstanten u(x) = A(x)α(x) + B(x)β(x),

a ≤ x ≤ b,

(11)

unter der Nebenbedingng A (x)α(x) + B  (x)β(x) = 0.

(12)

Mit Hilfe von (12) berechnen wir u (x) = A(x)α (x) + B(x)β  (x) und u (x) = A(x)α (x) + B(x)β  (x) + A (x)α (x) + B  (x)β  (x). Zusammen mit Formel (11) ergibt sich   Lu(x) = A(x)Lα(x) + B(x)Lβ(x) − p(x) A (x)α (x) + B  (x)β  (x) = f (x) beziehungsweise   −p(x) A (x)α (x) + B  (x)β  (x) = f (x),

a ≤ x ≤ b.

(13)

a ≤ x ≤ b,

(14)

Machen wir nun den Ansatz A (x) = β(x)k(x),

B  (x) = −α(x)k(x),

mit einer stetigen Funktion k = k(x), x ∈ [a, b], so wird (12) erf¨ ullt, und (13) wird zu −p(x) {β(x)α (x) − α(x)β  (x)} k(x) = f (x),

a ≤ x ≤ b.

Hilfssatz 2. Es gilt p(x){α(x)β  (x) − α (x)β(x)} =const in [a, b].

(15)

36

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

Beweis: Wenden wir (6) auf u = α(x) und v = β(x) an, so folgt  d  0= in [a, b]. p(x) (α(x)β  (x) − α (x)β(x)) dx

q.e.d.

Wir w¨ ahlen nun α = α(x) und β = β(x) als L¨osungen der homogenen Gleichung Lu = 0 so, daß folgendes gilt:   in [a, b] (16) p(x) α(x)β  (x) − α (x)β(x) ≡ 1 und

c1 β(a) + c2 β  (a) = 0 = d1 α(b) + d2 α (b).

(17)

Hierzu l¨ osen wir die Anfangswertprobleme Lα = 0 in [a, b], und Lβ = 0 in [a, b],

α (b) = −d1

α(b) = d2 , β(a) =

1 c2 , M

β  (a) = −

1 c1 , M

wobei wir M = 0 so bestimmen, daß     1 p(a) α(a)β  (a) − α (a)β(a) = − p(a) c1 α(a) + c2 α (a) = 1 M erf¨ ullt ist, d.h. wir w¨ ahlen   M = −p(a) c1 α(a) + c2 α (a) . Die Aussage M = 0 entnehmen wir dem folgenden Hilfssatz 3. {α, β} bildet ein Fundamentalsystem. Beweis: W¨ are die Behauptung falsch, so gibt es ein µ = 0 mit der Eigenschaft a ≤ x ≤ b.

α(x) = µβ(x),

Wegen (17) folgt α ∈ D, und Voraussetzung 0 liefert α ≡ 0, also einen Widerspruch. q.e.d. Aus (15) und (16) erhalten wir nun k(x) = f (x)

in [a, b],

(18)

und (14) liefert
x A(x) =


b β(y)f (y) dy + const,

a

Zusammenfassend ergibt sich der

B(x) =

α(y)f (y) dy + const. x

(19)

§1 Verschiedene Eigenwertprobleme

37

Satz 1. Die Sturm-Liouville-Gleichung Lu = f , u ∈ D, zu der rechten Seite f ∈ C 0 ([a, b]) wird durch die Funktion
x


b β(y)f (y) dy + β(x)

u(x) = α(x) a


b α(y)f (y) dy =

x

K(x, y)f (y) dy (20) a

gel¨ost. Mit Hilfe des Fundamentalsystems {α, β} von Lu = 0, f¨ ur das (16) und (17) gelte, wird dabei die Greensche Funktion des Sturm-Liouville-Operators wie folgt erkl¨art:  α(x)β(y), a ≤ y ≤ x K(x, y) = (21) β(x)α(y), x ≤ y ≤ b. Beweis: Aus der obigen Herleitung ist ersichtlich, daß die Funktion u(x) aus (20) die Differentialgleichung Lu = f erf¨ ullt. Weiter folgt
b α(y)f (y) dy,

u(a) = β(a)




b



u (a) = β (a)

a

α(y)f (y) dy, a

und wegen (17) haben wir 




b

c1 u(a) + c2 u (a) = (c1 β(a) + c2 β (a))

α(y)f (y) dy = 0. a

Ebenso ermitteln wir
b β(y)f (y) dy,

u(b) = α(b)

u (b) = α (b)

a


b β(y)f (y) dy a

und d1 u(b) + d2 u (b) = (d1 α(b) + d2 α (b))


b β(y)f (y) dy = 0. a

q.e.d.

Dem Satz 1 entnehmen wir sofort den Satz 2. Unter der Voraussetzung 0 sind die beiden folgenden Aussagen ¨aquivalent: I. u ∈ D mit u ≡ 0 gen¨ ugt Lu = λu.
b 1 II. u ∈ D mit u ≡ 0 gen¨ ugt ur a ≤ x ≤ b. K(x, y)u(y) dy = u(x) f¨ λ a

38

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

Wir wenden uns nun dem Eigenwertproblem der n-dimensionalen Schwingungsgleichung zu: Sei G ⊂ Rn ein beschr¨ anktes Dirichletgebiet, d.h. f¨ ur alle stetigen Funktionen g = g(x) : ∂G → R ist das Dirichletproblem u = u(x) ∈ C 2 (G) ∩ C 0 (G), ∆u(x) = 0

(22)

in G,

u(x) = g(x)

auf ∂G

l¨ osbar (vgl. Kap. V, § 3). Die weitere Voraussetzung, daß n¨amlich G den Bedingungen des Gaußschen Satzes gem¨ aß § 5 in Kap. I gen¨ ugt, werden wir in § 9 mit Hilfssatz 1 eliminieren. Wir k¨ onnen dann die Greensche Funktion des Laplace-Operators f¨ ur das Gebiet G wie folgt angeben: ⎧ 1 ⎪ ⎪ log |y − x| + h(x, y), n=2 ⎨− 2π H(x, y) = (23) 1 1 ⎪ ⎪ + h(x, y), n ≥ 3 ⎩ (n − 2)ωn |y − x|n−2 f¨ ur (x, y) ∈ G ⊗ G := {(ξ, η) ∈ G × G : ξ = η}. Dabei ist ∆y h(x, y) = 0 in G und ⎧ 1 ⎪ ⎪ log |y − x|, n=2 ⎨ 2π (24) h(x, y) = 1 1 ⎪ ⎪ , n ≥ 3 ⎩− (n − 2)ωn |y − x|n−2 f¨ ur x ∈ G und y ∈ ∂G erf¨ ullt. Ferner bezeichnet ωn die Oberfl¨ache der Einheitssph¨ are im Rn . Aufgrund von Kapitel V, § 1 und § 2 kann eine L¨osung des Problems u = u(x) ∈ C 2 (G) ∩ C 0 (G), −∆u(x) = f (x)

in

u(x) = 0 auf ∂G dargestellt werden in der Form
u(x) = H(x, y)f (y) dy,

G,

x ∈ G.

(25)

(26)

G

Zur Herleitung von (26) betrachten wir das Gebiet Gε := {y ∈ G : |y−x| > ε} f¨ ur kleine ε > 0. Der Gaußsche Satz liefert
  H(x, y)∆u(y) − u(y)∆y H(x, y) dy Gε


 H(x, y)

= ∂G




− y:|y−x|=ε

 ∂u ∂H (y) − u(y) (x, y) dσ(y) ∂ν ∂ν

 H(x, y)

 ∂u ∂H (y) − u(y) (x, y) dσ(y). ∂ν ∂ν

§1 Verschiedene Eigenwertprobleme

Somit folgt f¨ ur ε ↓ 0
− H(x, y)f (y) dy = lim






 1 1−n (2 − n)r dσ(y) (n − 2)ωn

u(y)

ε↓0

G

39

r=|y−x|=ε

= − lim



ε↓0




1

 u(y) dσ(y)

εn−1 ωn r=|y−x|=ε

= −u(x)

f¨ ur alle x ∈ G,

falls n ≥ 3 gilt (entsprechend f¨ ur n = 2). Wir weisen nun die Symmetrie der Greenschen Funktion nach, n¨amlich H(x, y) = H(y, x)

(x, y) ∈ G ⊗ G.

f¨ ur alle

(27)

Dazu w¨ ahlen wir x, y ∈ G mit x = y fest und betrachten im Gebiet   Gε := z ∈ G : |z − x| > ε und |z − y| > ε die Funktionen p(z) := H(x, z) und q(z) := H(y, z), z ∈ Gε . Der Gaußsche Satz liefert f¨ ur ε ↓ 0

 ∂p ∂q  q −p dσ(z) 0 = lim (q∆p − p∆q) dz = lim ε↓0 ε↓0 ∂ν ∂ν Gε




= − lim ε↓0

∂Gε

 ∂p ∂q  q −p dσ(z) − lim ε↓0 ∂ν ∂ν

|z−x|=ε




 ∂p ∂q  q −p dσ(z) ∂ν ∂ν

|z−y|=ε

= q(x) − p(y) = H(y, x) − H(x, y)

f¨ ur alle x, y ∈ G mit

x = y.

Wir zeigen nun eine Wachstumsbedingung f¨ ur die Greensche Funktion H(x, y): Zu ε > 0 erkl¨ aren wir die harmonische Funktion ⎧ 1 |y − x| ⎪ ⎪ − (1 + ε) log , n=2 ⎨ 2π d Wε (x, y) := 1+ε ⎪ ⎪ ⎩ |y − x|2−n , n≥3 (n − 2)ωn mit d := diam G. Wir betrachten die Funktion Φε (x, y) := Wε (x, y) − H(x, y) und w¨ ahlen δ > 0 so klein, daß Φε (x, y) ≥ 0

f¨ ur alle y : |y − x| = δ

und alle y ∈ ∂G

erf¨ ullt ist. Wenden wir das Maximumprinzip auf die harmonische Funktion Φε (x, .) in dem Gebiet Gδ := {y ∈ G : |x − y| > δ} an, so folgt Φε (x, y) ≥ 0 in Gδ bzw.

40

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

H(x, y) ≤ Wε (x, y)

f¨ ur alle ε > 0.

Wir erhalten ⎧ 1 |y − x| ⎪ ⎪ log , n=2 ⎨− 2π d 0 ≤ H(x, y) ≤ 1 ⎪ ⎪ ⎩ |y − x|2−n , n ≥ 3 (n − 2)ωn f¨ ur alle (x, y) ∈ G ⊗ G, und somit die Wachstumsbedingung |H(x, y)| ≤

const |x − y|α

f¨ ur alle

(x, y) ∈ G ⊗ G

(28)

mit α := n − 2 < n. Definition 1. Sei G ⊂ Rn ein beschr¨anktes Gebiet mit n ∈ N, und α ∈ [0, n) sei gew¨ahlt. Eine Funktion K = K(x, y) ∈ C 0 (G ⊗ G, C) nennen wir singul¨aren Kern der Ordnung α, in Zeichen K ∈ Sα (G, C), falls es eine Konstante c ∈ [0, +∞) so gibt, daß |K(x, y)| ≤

c |x − y|α

f¨ ur alle

(x, y) ∈ G ⊗ G

(29)

erf¨ ullt ist. Wir nennen den Kern K ∈ Sα (G, C) Hermitesch, falls K(x, y) = K(y, x)

f¨ ur alle

(x, y) ∈ G ⊗ G

(30)

richtig ist. Die reellen Kerne geh¨oren zur Klasse Sα (G) := Sα (G, R). Ein Kern K ∈ Sα (G) ist genau dann Hermitesch, wenn er im folgenden Sinne symmetrisch ist: K(x, y) = K(y, x)

f¨ ur alle

(x, y) ∈ G ⊗ G.

(31)

Wir fassen nun unsere Betrachtungen u ¨ber die n-dimensionale Schwingungsgleichung zusammen im folgenden Satz 3. Sei G ⊂ Rn , n = 2, 3, . . ., ein Dirichletgebiet, das den Bedingungen des Gaußschen Satzes gen¨ ugt, und der Definitionsbereich   D := u = u(x) ∈ C 2 (G) ∩ C 0 (G) : u(x) = 0 f¨ ur alle x ∈ ∂G sei erkl¨art. Dann sind die beiden folgenden Aussagen ¨aquivalent: I. u ∈ D mit u ≡ 0 l¨ost die Differentialgleichung −∆u(x) = λu(x) f¨ ur ein λ ∈ R.

in

G

§1 Verschiedene Eigenwertprobleme

II. u ∈ D mit u ≡ 0 l¨ost die Integralgleichung
1 H(x, y)u(y) dy = u(x) λ

in

41

G

G

f¨ ur ein λ ∈ R \ {0}. Dabei ist die Greensche Funktion H(x, y) des LaplaceOperators f¨ ur das Gebiet G ein symmetrischer, reeller, singul¨arer Kern der Regularit¨atsklasse Sn−2 (G). Wir betrachten nun singul¨are Integraloperatoren: Auf dem beschr¨ankten Gebiet G ⊂ Rn , n ∈ N sei ein singul¨ arer Kern K = K(x, y) ∈ Sα (G, C) der Ordnung α ∈ [0, n) gegeben. Wir erkl¨ aren auf dem Definitionsbereich (  Es existiert ein c ∈ [0, +∞) 0 D := u(x) : G → C ∈ C (G, C) : mit |u(x)| ≤ c f¨ ur alle x ∈ G =: Cb0 (G, C) = C 0 (G, C) ∩ L∞ (G, C) den Integraloperator K : D → C 0 (G, C) vermittels
Ku(x) := K(x, y)u(y) dy, x ∈ G,

mit u ∈ D.

G

Offenbar ist K : D → C 0 (G, C) ein linearer Operator. Satz 4. Sei der Kern K = K(x, y) ∈ Sα (G, C) mit α ∈ [0, n) Hermitesch. Dann gelten die folgenden Aussagen: a) Ist u ∈ D eine Eigenfunktion des zugeh¨origen Integraloperators, d.h. u ≡ 0 und Ku = λu mit λ ∈ C, so folgt λ ∈ R. b) Sind ui ∈ D mit Kui = λi ui , i = 1, 2, zwei Eigenfunktionen zu den Eigenwerten λ1 = λ2 , so folgt (u1 , u2 ) = 0. Dabei ist
(u, v) := u(x)v(x) dx f¨ ur u, v ∈ D G

erkl¨art. Beweis: a) Sei u ∈ D\{0} eine L¨ osung von Ku = λu mit einem λ ∈ C, d.h.
λu(x) = K(x, y)u(y) dy, x ∈ G. G

42

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

Multiplikation der Gleichung mit u(x) und anschließende Integration u ¨ ber G bez. x ergibt

λ(u, u) = K(x, y)u(x)u(y) dx dy ∈ R. G G

Da auch das Skalarprodukt (u, u) ein reeller Ausdruck ist, muß λ reell sein. b) Seien ui ∈ D mit Kui = λi ui , i = 1, 2, f¨ ur λ1 = λ2 gegeben. Dann folgt wegen λ1 , λ2 ∈ R λ1 (u1 , u2 ) = (λ1 u1 , u2 ) = (Ku1 , u2 ) = (u1 , Ku2 ) = (u1 , λ2 u2 ) = λ2 (u1 , u2 ) bzw. (λ1 − λ2 )(u1 , u2 ) = 0 und daher (u1 , u2 ) = 0. F¨ ur alle u, v ∈ D gilt n¨ amlich

(Ku, v) = G







K(x, y)u(y) dy v(x) dx = K(x, y)u(y)v(x) dx dy

G




K(y, x)v(x)u(y) dx dy =

= G G

G

G G


 u(y) K(y, x)v(x) dx dy G

= (u, Kv).

q.e.d.

§2 Integralgleichungsprobleme In § 1 haben wir Eigenwertprobleme bei Differentialgleichungen ¨aquivalent umgeformt in sogenannte Integralgleichungen erster Art
K(x, y)u(y) dy = µu(x), x ∈ G, (1) G

mit singul¨ aren Kernen K = K(x, y). Wie bei der Schwingungsgleichung sei nun G ⊂ Rn ein beschr¨ anktes Dirichletgebiet, das den Voraussetzungen des Gaußschen Satzes gen¨ ugt, mit der Greenschen Funktion H = H(x, y) ∈ ur die Einheitskugel B := {x ∈ Sn−2 (G) des Laplace-Operators. Speziell f¨ Rn : |x| < 1} erhalten wir als Greensche Funktion im Fall n = 2 G(ζ, z) := und im Fall n ≥ 3

) 1 − zζ ) 1 ) ) log) ), 2π ζ −z

(ζ, z) ∈ B ⊗ B,

(2)

G(x, y) :=

1 (n − 2)ωn



§2 Integralgleichungsprobleme

1 − |y − x|n−2

1 ) ) |x|n−2 )y −

43

(

)n−2 ,

x ) |x|2 )

(x, y) ∈ B⊗B. (3)

Wir betrachten nun das Dirichletproblem u = u(x) ∈ C 2 (G) ∩ C 0 (G), n  ∆u(x) + bi (x)uxi (x) + c(x)u(x) = f (x),

x ∈ G,

(4)

i=1

x ∈ ∂G.

u(x) = 0,

Hierbei nehmen wir an, daß die Funktionen bi (x), i = 1, . . . , n, c(x) und f (x) H¨older-stetig in G sind. Wir u uhren die Gleichung (4) wie folgt in eine ¨ berf¨ Integralgleichung: Indem wir schreiben −∆u(x) =

n 

bi (x)uxi (x) + c(x)u(x) − f (x) =: g(x),

x ∈ G,

(5)

i=1

k¨ onnen wir wie bei der Schwingungsgleichung folgern
n   bi (y)uxi (y) + c(y)u(y) − f (y) dy u(x) = H(x, y) i=1

G

beziehungsweise
 n   (H(x, y)c(y)) u(y) + (H(x, y)bi (y)) uxi (y) dy u(x) − i=1




G

=−

H(x, y)f (y) dy

(6) f¨ ur alle x ∈ G.

G

Wir differenzieren (6) nach xj , j = 1, . . . , n, durch und erhalten die weiteren n Gleichungen
 n       Hxj (x, y)c(y) u(y) + Hxj (x, y)bi (y) uxi (y) dy uxj (x) − i=1




G

=−

Hxj (x, y)f (y) dy,

(7) x ∈ G,

j = 1, . . . , n.

G

Setzen wir noch K00 (x, y) := H(x, y)c(y), Kj0 (x, y) := Hxj (x, y)c(y), f¨ ur i, j = 1, . . . , n und

K0i (x, y) := H(x, y)bi (y), Kji (x, y) := Hxj (x, y)bi (y)

44

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum


f0 (x) := −


H(x, y)f (y) dy,

fj (x) := −

G

Hxj (x, y)f (y) dy G

f¨ ur j = 1, . . . , n, so folgt der Satz 1. Die L¨osung u = u(x) von (4) wird u uhrt in das System Fredholm¨ berf¨ scher Integralgleichungen
 n Kji (x, y)ui (y) dy = fj (x), x ∈ G, j = 0, . . . , n, (8) uj (x) − G i=0

ur i = 1, . . . , n. Dabei mit den Funktionen u0 (x) := u(x) und ui (x) := uxi (x) f¨ ur i, j = 0, . . . , n reell (aber sind die singul¨aren Kerne Kji (x, y) ∈ Sn−1 (G) f¨ im allgemeinen nicht symmetrisch). Bemerkung: Im Spezialfall n = 2, G = B, b1 (x) ≡ 0 ≡ b2 (x) in B kann man das Problem u = u(z) ∈ C 2 (B) ∩ C 0 (B), ∆u(z) + c(z)u(z) = f (z), u(z) = 0,

z ∈ B,

(9)

z ∈ ∂B,

u uhren in die Fredholmsche Integralgleichung ¨ berf¨

) 1 − zζ ) ) 1 − zζ ) 1 1 ) ) ) ) log ) log ) u(z)− )c(ζ)u(ζ) dζ = − )f (ζ) dζ, 2π ζ −z 2π ζ −z B

z ∈ B.

B

(10) Man nennt (10) auch Integralgleichung zweiter Art. Wir bemerken, daß der auftretende Integralkern im allgemeinen nicht symmetrisch ist. F¨ ur die im folgenden benutzten Lp -R¨ aume verweisen wir auf Kapitel II, § 7. ahlen wir einen singul¨aren Kern Auf dem beschr¨ankten Gebiet G ⊂ Rn w¨ K = K(x, y) ∈ Sα (G, C) mit α ∈ [0, n). Auf dem Definitionsbereich   D := f : G → C ∈ C 0 (G) : sup |f (x)| < +∞ x∈G

betrachten wir den zugeh¨ origen Integraloperator
Kf (x) := K(x, y)f (y) dy, x ∈ G,

f¨ ur

f ∈ D.

(11)

G

 n W¨ahlen wir nun ein p ∈ 1, α , so gibt es wegen § 1, Definition 1 eine Konstante C = C(c, α, n, p) ∈ (0, +∞) mit der Eigenschaft
|K(x, y)|p dy ≤ C f¨ ur alle x ∈ G. (12) G

§2 Integralgleichungsprobleme

45

n Ist nun q ∈ ( n−α , +∞) der konjugierte Exponent zu p mit 1p + 1q = 1, so liefert die H¨ oldersche Ungleichung aus Kap. II, § 7, Satz 1 f¨ ur alle f ∈ D die Absch¨ atzung
|Kf (x)| ≤ |K(x, y)||f (y)| dy G

≤




|K(x, y)| dy p

 p1 


G

|f (y)|q dy

 1q

(13)

G

1

≤ C p f Lq (G)

f¨ ur alle x ∈ G.

Dabei bezeichnet f p = f Lp(G) :=




 p1 |f (x)|p dx ,

1 ≤ p < +∞,

G

die Lp -Norm auf dem Banachraum (vgl. Kap. II, § 6 und § 7)   Lp (G) := f : G → C meßbar : f Lp(G) < +∞ . F¨ uhren wir weiter die C 0 -Norm f C 0 (G) := sup |f (x)|,

f ∈ D,

x∈G

ein, so liefert (13) die Absch¨ atzung Kf C 0(G) ≤ Cf Lq (G)

f¨ ur alle f ∈ D

(14)

mit einer Konstanten C ∈ (0, +∞). Somit ist K : D → C 0 (G) ein beschr¨ ankter linearer Operator, wobei D mit der Lq (G)-Norm ausgestattet ist (vgl. Kap. II, § 6, Definitionen 6 und 7, Satz 3). Wie in Kap. II, § 8, Satz 1 k¨onnen wir nun K fortsetzen zu K : Lq (G) → C 0 (G)

(15)

auf den Banachraum Lq (G). Da n¨ amlich C0∞ (G) ⊂ D dicht liegt in Lq (G), q gibt es zu jedem f ∈ L (G) eine Folge {fj }j=1,2,... ⊂ C0∞ (G)

mit

f − fj Lq (G) → 0 (j → ∞).

Wir erkl¨ aren dann Kf := lim Kfj j→∞

Insgesamt erhalten wir den

in C 0 (G).

(16)

46

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

Satz 2. Der Integraloperator K : D → C 0 (G) mit dem singul¨aren Kern K ∈ n Sα (G) und α ∈ [0, n) ist f¨ ur jedes q ∈ ( n−α , +∞) gem¨aß (16) eindeutig fortsetzbar zu dem beschr¨ankten, linearen Operator K : Lq (G) → C 0 (G) mit Kf C 0(G) ≤ C(q)f Lq (G)

f¨ ur alle

f ∈ Lq (G).

(17)

Dabei ist C = C(q) ∈ (0, +∞) eine Konstante. Bemerkung: Falls n ≥ 3, dann ist die Greensche Funktion des Laplaceopera tors H = H(x, y) aus Sn−2 (G), d.h. α = n − 2 und q ∈ n2 , +∞ . Somit ist der assoziierte singul¨ are Integraloperator H : Lq (G) → C 0 (G) ur n > 3 ist H aber f¨ ur n = 3 auch auf dem Hilbertraum L2 (G) erkl¨art. F¨ nicht auf L2 (G) fortsetzbar. Zu α ∈ [0, n), β ∈ [0, n) seien K = K(x, y) ∈ Sα (G, C), L = L(y, z) ∈ Sβ (G, C) zwei singul¨ are Kerne mit den zugeh¨ origen Integraloperatoren
Kf (x) := K(x, y)f (y) dy, x ∈ G; f ∈ D,
G Lf (y) :=

(18) L(y, z)f (z) dz,

y ∈ G;

f ∈ D.

G

Mit dem Satz von Fubini aus Kapitel II, § 5 berechnen wir nun f¨ ur alle f ∈ D und alle x ∈ G: ) 
) L(y, z)f (z) dz ) K ◦ Lf (x) = K x


=

G


 K(x, y) L(y, z)f (z) dz dy

G

G





=

K(x, y)L(y, z)f (z) dz dy G G





= G




 K(x, y)L(y, z) dy f (z) dz

G

M (x, z)f (z) dz = Mf (x),

=

(19)

x ∈ G.

G

Dabei haben wir als Produktkern
M (x, z) = K(x, y)L(y, z) dy, G

(x, z) ∈ G ⊗ G.

(20)

§2 Integralgleichungsprobleme

47

Hilfssatz 1. Es gilt M = M (x, z) ∈ C 0 (G ⊗ G, C). Beweis: Sei (x0 , z 0 ) ∈ G ⊗ G, d.h. x0 , z 0 ∈ G und x0 = z 0 . Zu hinreichend kleinem 0 < δ < 14 |x0 − z 0 | erkl¨ aren wir die Mengen   Bδ := y ∈ G : |y − x0 | ≤ 2δ oder |y − z 0 | ≤ 2δ und

  Gδ := G\Bδ = y ∈ G : |y − x0 | > 2δ und |y − z 0 | > 2δ .

Zu vorgegebenem ε > 0 gibt es wegen K ∈ Sα und L ∈ Sβ ein δ = δ(ε) > 0 mit der Eigenschaft
|K(x, y)L(y, z)| dy ≤ ε (21) Bδ

f¨ ur alle x, z ∈ G mit |x − x0 | ≤ δ, |z − z 0 | ≤ δ. Weiter gibt es ein η ∈ (0, δ] so, daß ) ) ) ) (22) )K(x, y)L(y, z) − K(x0 , y)L(y, z 0 )) ≤ ε f¨ ur alle y ∈ Gδ und x, z ∈ G mit |x − x0 | ≤ η, |z − z 0 | ≤ η. Wir erhalten insgesamt die Absch¨ atzung
) ) ) ) 0 0 |M (x, z) − M (x , z )| ≤ )K(x, y)L(y, z) − K(x0 , y)L(y, z 0 )) dy Gδ

+


) ) ) ) )K(x, y)L(y, z) − K(x0 , y)L(y, z 0 )) dy

Bδ

≤ ε|G| + 2ε f¨ ur alle x, z ∈ G mit |x − x0 | ≤ η, |z − z 0 | ≤ η. Somit folgt M = M (x, z) ∈ C 0 (G ⊗ G). q.e.d. Hilfssatz 2. Falls α + β < n gilt, so folgt M ∈ S0 (G, C). Beweis: Wir haben nur die Beschr¨ anktheit von M zu zeigen. Ohne Einschr¨ ankung k¨ onnen wir α > 0 und β > 0 annehmen. F¨ ur (x, z) ∈ G ⊗ G sch¨atzen wir mit der H¨ olderschen Ungleichung wie folgt ab:

1 1 dy |M (x, z)| ≤ |K(x, y)||L(y, z)| dy ≤ c1 c2 α |x − y| |y − z|β G

G


≤ c1 c2 G

1 dy |x − y|α+β

α 
 α+β

G

1 dy |y − z|α+β

≤ c1 c2 C f¨ ur alle (x, z) ∈ G ⊗ G.
1 dy < +∞, denn α + β < n. Dabei ist C := sup |x − y|α+β x∈G G

β  α+β

q.e.d.

48

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

Hilfssatz 3. Falls α + β > n gilt, folgt M ∈ Sα+β−n (G, C). Beweis: Wir setzen R := diam G ∈ (0, +∞), und zu x, z ∈ G mit x = z erkl¨ aren wir δ := |x − z| ∈ (0, R). Wir berechnen

1 1 |M (x, z)| ≤ |K(x, y)||L(y, z)| dy ≤ c · dy |x − y|α |y − z|β G

G




1 1 dy + c |x − y|α |y − z|β

=c y∈G |y−x|≤ 12 δ




1 1 dy |x − y|α |y − z|β

y∈G

1 2 δ≤|y−x|≤2δ




1 1 dy. α |x − y| |y − z|β

+c y∈G |y−x|≥2δ

mit einer Konstante c ∈ (0, +∞). atzen wir ab F¨ ur y ∈ G mit |y − x| ≤ 12 δ sch¨ 1 1 |y − z| ≥ |z − x| − |x − y| ≥ δ − δ = δ. 2 2 F¨ ur y ∈ G mit |y − x| ≥ 2δ folgt 1 1 |y − z| ≥ |y − x| − |x − z| = |y − x| − δ ≥ |y − x| − |y − x| = |y − x|. 2 2 Damit erhalten wir |M (x, z)| ≤

c 1 β ( 2 δ) +

y:|y−x|≤ 12 δ




c ( 12 )β

c ≤ 1 β ( 2 δ) +







1 dy |y − z|β

y:|y−x|≤2δ

1 dy |y − x|α+β

y:|y−x|≥2δ


y:|y−x|≤ 12 δ

c ( 12 )β

c 1 dy + 1 α α |y − x| ( 2 δ)




1 c dy + 1 α |y − x|α ( 2 δ)




1 dy |y − z|β

y:|y−z|≤3δ

1 dy. |y − x|α+β

y:|y−x|≥2δ

(23) Wir substituieren nun y = x + ξ,

dy = ωn n−1 d,

1  ∈ (0, δ), ξ ∈ S n−1 , 2

§2 Integralgleichungsprobleme

49

und berechnen 1


y:|y−x|≤ 12 δ

1 dy = |y − x|α =

1


2 δ
2 δ −α n−1 ωn d = ωn n−α−1 d 0

ωn n−α

& 12 δ % n−α = 0

(24)

0

ωn  1 n−α δ . n−α 2

Analog ergibt sich


ωn 1 dy = (3δ)n−β . |y − z|β n−β

(25)

y:|y−z|≤3δ

Schließlich ermitteln wir mit obiger Substitution noch


1 dy = ωn |y − x|α+β

y:|y−x|≥2δ

= ωn =

+∞
−α−β n−1 d 2δ

% &+∞ 1 n−α−β n − (α + β) 2δ

(26)

ωn (2δ)n−α−β . α+β−n

Insgesamt erhalten wir aus (23), (24), (25) und (26) die Absch¨atzung |M (x, z)| ≤ c =

 1 −α ω  1 n−α−β ω 2n−α ωn  n−α−β n n + 3n−β + δ 2 n−α 2 n−β α+β−n

C(n, α, β) |x − z|α+β−n

f¨ ur alle x, z ∈ G mit

x = z.

Also folgt M ∈ Sα+β−n (G, C).

(27) q.e.d.

¨ Wir fassen unsere Uberlegungen zusammen zum Satz 3. (I. Schur) Zu α ∈ [0, n), β ∈ [0, n) seien K = K(x, y) ∈ Sα (G, C), L = L(y, z) ∈ Sβ (G, C) singul¨are Kerne mit den zugeh¨origen Integraloperatoren K, L. Dann ist auch
f ∈ D, K ◦ Lf (x) = M (x, z)f (z) dz, x ∈ G, G

ein singul¨arer Integraloperator, wobei f¨ ur den Produktkern
(x, z) ∈ G ⊗ G, M (x, z) = K(x, y)L(y, z) dy, G

50

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

die folgende Regularit¨atsaussage gilt:  falls S0 (G, C), M = M (x, y) ∈ Sα+β−n (G, C), falls

α+β n

.

Satz 4. (Iterierte Kerne) Sei K = K(x, y) ∈ Sα (G, C) mit 0 < α < n ein singul¨arer Kern mit dem zugeh¨origen Integraloperator K. Dann gibt es eine nat¨ urliche Zahl k = k(K) ∈ N und einen Kern L = L(x, y) ∈ S0 (G, C) mit dem zugeh¨origen Integraloperator L, so daß folgendes gilt: Kk f = Lf

f¨ ur alle

f ∈ D.

Beweis: Wir w¨ ahlen β ∈ (α, n) so, daß β =

m n m+1

f¨ ur alle m ∈ N

richtig ist. Dann folgt β + m(β − n) = 0

f¨ ur alle m ∈ N.

Wir betrachten nun die iterierten Kerne mit Hilfe des Satzes von I. Schur: K ∈ Sα ⊂ Sβ ,

K 2 = K ◦ K ∈ Sβ+β−n = Sβ+1(β−n) ,

K 3 = K ◦ K ◦ K ∈ Sβ+2(β−n) ,

...,

Kk = K . . ◦ K ∈ Sβ+(k−1)(β−n) .  ◦ . k

Bestimmen wir die Zahl k ∈ N so, daß β + (k − 2)(β − n) > 0

und

β + (k − 1)(β − n) < 0

erf¨ ullt ist, dann folgt {β + (k − 2)(β − n)} + β = β + (k − 1)(β − n) + n < n. Satz 3 liefert somit K k ∈ S0 (G, C).

q.e.d.

Ausblick auf die Behandlung des Eigenwertproblems der n-dimensionalen Schwingungsgleichung (Weylsches Eigenwertproblem): Wie in Satz 3 aus § 1 betrachten wir auf dem Definitionsbereich   D0 := u = u(x) ∈ C 2 (G) ∩ C 0 (G) : u(x) = 0 auf ∂G das Eigenwertproblem der n-dimensionalen Schwingungsgleichung −∆u(x) = λu(x),

x ∈ G;

u ∈ D0 \ {0},

λ ∈ R.

(28)

In § 9 zeigen wir λ > 0. Dann ist (28) u uhrbar in die singul¨are Integral¨ berf¨ gleichung

§3 Der abstrakte Hilbertraum


Hu(x) :=

H(x, y)u(y) dy =

1 u(x), λ

x ∈ G,

51

(29)

G

mit dem singul¨ aren Kern H = H(x, y) ∈ Sn−2 (G), der symmetrisch ist. Mit Satz 4 w¨ ahlen wir nun ein k ∈ N so, daß
Hk u = Ku = K(x, y)u(y) dy, u ∈ D0 , G

ullt ist. Das Eigenwertproblem (29) mit einem Kern K = K(x, y) ∈ S0 (G) erf¨ wird u uhrt in ¨berf¨ Ku = Hk u =

1 u(x), λk

x ∈ G.

(30)

Wir k¨ onnen nun K : Lq (G) → C 0 (G) gem¨ aß Satz 2 f¨ ur jedes q > 1 fortsetzen und erhalten mit (30) ein Eigenwertproblem auf dem Hilbertraum L2 (G) ⊂ Lq (G) falls q ∈ (1, 2]. Es reicht also im folgenden aus, Eigenwertprobleme f¨ ur Operatoren im Hilbertraum zu untersuchen.

§3 Der abstrakte Hilbertraum ¨ Wir vertiefen nun die Uberlegungen aus § 6 in Kapitel II. Postulat (A): H ist ein linearer Raum, d.h. H ist eine additiv geschriebene Abelsche Gruppe mit 0 als neutralem Element: x, y ∈ H ⇒ x + y ∈ H,

x = 0 ∈ H.

Weiter gibt es in H eine Skalarmultiplikation, d.h. mit λ ∈ C und x ∈ H ist λx ∈ H erf¨ ullt, und es gelten die Vektorraumaxiome. Postulat (B): In H ist ein inneres Produkt H×H → C (x, y) → (x, y)H mit den folgenden Eigenschaften erkl¨ art: (a) (x, αy)H = α(x, y)H f¨ ur alle x, y ∈ H und α ∈ C (b) (x, y)H = (y, x)H f¨ ur alle x, y ∈ H (Hermitescher Charakter) ur alle x1 , x2 , y ∈ H (c) (x1 + x2 , y)H = (x1 , y)H + (x2 , y)H f¨ (d) (x, x)H ≥ 0 f¨ ur alle x ∈ H und (x, x)H = 0 ⇔ x = 0 (positive Definitheit)

52

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

Postulat (C): Zu jeder nat¨ urlichen Zahl n ∈ N gibt es n linear unabh¨angige Elemente x1 , . . . , xn ∈ H, d.h. α1 , . . . αn ∈ C,

n 

⇒

αi xi = 0

α1 = . . . = αn = 0.

i=1

Definition 1. Wenn f¨ ur H die Postulate (A), (B), (C) erf¨ ullt sind, so ist H ein Pr¨a-Hilbertraum. Beispiel 1. Sei G ⊂ Rn eine beschr¨ ankte, offene Menge und   H := f : G → C ∈ C 0 (G) : sup |f (x)| < +∞ . x∈G

Mit dem inneren Produkt




(f, g) :=

f (x)g(x) dx,

f, g ∈ H ,

(1)

G 

wird H zu einem Pr¨ a-Hilbertraum. ur das innere Produkt (. , .) die folSatz 1. Im Pr¨a-Hilbertraum H gelten f¨ genden Rechenregeln: a) F¨ ur alle x, y, y1 , y2 ∈ H , α ∈ C gilt (αx, y) = α(x, y),

(x, y1 + y2 ) = (x, y1 ) + (x, y2 ).

Also ist (. , .) antilinear in der ersten und linear in der zweiten Komponente. b) Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung ist erf¨ ullt: ' ' |(x, y)| ≤ (x, x) (y, y) f¨ ur alle x, y ∈ H . ' c) Mit x := (x, x), x ∈ H , wird H zu einem normierten Raum, d.h. es gilt x = 0 ⇔ x = 0, x + y ≤ x + y λx = |λ|x

f¨ ur alle

f¨ ur alle

x − y ≥ | x − y |

x, y ∈ H ,

x ∈ H , λ ∈ C, f¨ ur alle

x, y ∈ H .

d) Das innere Produkt ist stetig in H im folgenden Sinne: Gilt xn → x (n → ∞)

mit

{xn }n=1,2,... ⊂ H

und

x ∈ H

yn → y (n → ∞)

mit

{yn }n=1,2,... ⊂ H

und

y ∈ H ,

und

so folgt (xn , yn ) → (x, y) (n → ∞). ullt ist. Dabei bedeutet xn → x (n → ∞), daß xn − x → 0 (n → ∞) erf¨

§3 Der abstrakte Hilbertraum

53

Beweis: a) Wir berechnen (αx, y) = (y, αx) = α(y, x) = α(x, y) und (x, y1 + y2 ) = (y1 + y2 , x) = (y1 , x) + (y2 , x) = (y1 , x) + (y2 , x) = (x, y1 ) + (x, y2 ). b) und c) entnimmt man Kapitel II, § 6, genauer dem Satz 1 und dessen Beweis sowie der Bemerkung im Anschluß an Definition 1. d) Folgende Absch¨ atzung f¨ uhrt zur Behauptung: |(xn , yn ) − (x, y)| ≤ |(xn , yn ) − (xn , y)| + |(xn , y) − (x, y)| = |(xn , yn − y)| + |(xn − x, y)| ≤ xn yn − y + xn − xy → 0 (n → ∞). q.e.d. Postulat (D): H ist vollst¨ andig, d.h. zu jeder Folge {xn }n=1,2,... ⊂ H mit xn − xm  → 0 (n, m → ∞) existiert ein x ∈ H mit lim xn − x = 0.

n→∞

Definition 2. Wenn H die Postulate (A), (B), (C), (D) erf¨ ullt, so nennen wir H einen Hilbertraum. Bemerkung: Mit der in Satz 1 c) angegebenen Norm wird der Hilbertraum H zu einem Banachraum. Definition 3. Der Hilbertraum H heißt separabel, falls zus¨atzlich das folgende Postulat (E) erf¨ ullt ist: Postulat (E): Es gibt eine Folge {xn }n=1,2,... ⊂ H, die in H dicht liegt; d.h. f¨ ur alle x ∈ H und alle ε > 0 gibt es ein n ∈ N mit der Eigenschaft x − xn  < ε. Beispiel 2. Der Hilbertsche Folgenraum ∞    |xk |2 < +∞ l2 := x = (x1 , x2 , . . .) ∈ C × C × . . . : k=1

mit dem inneren Produkt (x, y) :=

∞  k=1

ist ein separabler Hilbertraum.

xk yk

∈ C

54

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

Beispiel 3. Sei G ⊂ Rn eine beschr¨ ankte offene Menge, und
  L2 (G) := f : G → C meßbar : |f (x)|2 dx < +∞ G

bezeichne den Lebesgueraum der quadratintegrablen Funktionen mit dem inneren Produkt
f¨ ur f, g ∈ L2 (G). (f, g) := f (x)g(x) dx G

Dann ist H = L2 (G) ein separabler Hilbertraum. Der in Beispiel 1 notierte Pr¨a-Hilbertraum H liegt dicht in H (vgl. hierzu Kapitel II, § 7). ¨ ¨ Ahnlich wie beim Ubergang von Q zu R beweisen wir mit Ideen von David Hilbert den Satz 2. (Hilbertscher Fundamentalsatz) Jeder Pr¨a-Hilbertraum H l¨aßt sich zu einem Hilbertraum H erg¨anzen, so daß H in H dicht liegt. Wir nennen H die abstrakte Vervollst¨andigung von H . Falls H das Postulat (E) erf¨ ullt, so ist die abstrakte Vervollst¨andigung H ein separabler Hilbertraum. Beweis: Sei H ein Pr¨ a-Hilbertraum. Wir betrachten dann die Cauchyfolgen {fn }n=1,2,... ⊂ H und {gn }n=1,2,... ⊂ H und nennen diese ¨aquivalent, falls fn − gn → 0 (n → ∞) erf¨ ullt ist. Nun setzen wir  H :=

f=

[fn ]n=1,2,...

:

¨ zur [fn ] ist die Aquivalenzklasse Cauchyfolge {fn }n=1,2,... ⊂ H

( .

Offenbar gilt f¨ ur f = [fn ]n ∈ H und g = [gn ]n ∈ H die Aussage [fn ]n = [gn ]n

⇔

fn − gn  → 0 (n → ∞).

Zu Postulat (A): Wir definieren auf H wie folgt eine Vektorraumstruktur: Zu α, β ∈ C und f = [fn ]n ∈ H, g = [gn ]n ∈ H setzen wir αf + βg := [αfn + βgn ]n . ¨ Das Nullelement entspricht der Aquivalenzklasse aller Nullfolgen aus H : 0 = [fn ]n

mit

{fn }n=1,2,... ⊂ H

und fn  → 0 (n → ∞).

§3 Der abstrakte Hilbertraum

55

Zu Postulat (B): F¨ ur Elemente f = [fn ]n ∈ H und g = [gn ]n ∈ H definieren wir das innere Produkt (f, g) := lim (fn , gn ). n→∞

Wegen      |(fn , gn ) − (fm , gm )| ≤ |(fn − fm , gn )| + |(fm , gn − gm )|    ≤ fn − fm gn  + fm gn − gm  → 0 (n, m → ∞)

existiert der oben angegebene Grenzwert. Man pr¨ uft leicht nach, daß das so definierte innere Produkt das Postulat (B) erf¨ ullt. * die Menge aller f ∈ H mit f = [f  , f  , . . .] Zu Postulat (C) und (E): Sei H    * isomorph zueinander, und somit ist H und f ∈ H . Dann sind H und H * dicht in H: Ist n¨amlich f = [fn ]n ∈ H, so in H eingebettet. Nun ist H   * und erkennen , fm , . . .] ∈ H setzen wir f˜m = [fm  f − f˜m  = lim fn − fm  → 0 (m → ∞). n→∞

Offenbar ist Postulat (C) auch f¨ ur H g¨ ultig. Gen¨ ugt H zus¨atzlich dem Postulat (E), so gilt dieses auch f¨ ur H. Zu Postulat (D): Sei {fn }n=1,2,... ⊂ H mit fn − fm  → 0 (n, m → ∞) * dicht in H liegt, gibt es eine Folge {f˜n }n=1,2,... ⊂ H * mit gew¨ ahlt. Da H 1 fn − f˜n  ≤ , n

n = 1, 2, . . .

Dabei ist f˜n = [fn , fn , . . .] mit fn ∈ H . Wir setzen nun f := [fn ]n=1,2,... und zeigen, daß f ∈ H und f − fn  → 0 (n → ∞) richtig ist. Zun¨achst sch¨ atzen wir ab  fn − fm  = f˜n − f˜m  ≤ f˜n − fn  + fn − fm  + fm − f˜m 

≤

1 1 + fn − fm  + n m

→ 0 (n, m → ∞).

Nun gilt 1 f − fm  ≤ f − f˜m  + f˜m − fm  ≤ f − f˜m  + , m   und wegen f˜m = [fm , fm , . . .] und f = [f1 , f2 , . . .] folgt  f − f˜m  = lim fn − fm  ≤ εm n→∞

56

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

mit Zahlen εm > 0, m ∈ N, f¨ ur die εm → 0 (m → ∞) gilt. Insgesamt erhalten wir somit f − fm  ≤ εm +

1 → 0 (m → ∞). m

q.e.d.

Bemerkung: Den Pr¨ a-Hilbertraum H aus Beispiel 1 k¨onnen wir mit Hilfe von Satz 2 abstrakt vervollst¨ andigen zu einem Hilbertraum H. Wir k¨onnen aber andigen zum Hilbertraum auch H konkret vervollst¨
  2 L (G, C) := f : G → C meßbar : |f (x)|2 dx < +∞ G

mit dem in (1) angegebenen inneren Produkt. Definition 4. Eine Folge von Elementen {ϕ1 , ϕ2 , . . .} ⊂ H in einem Pr¨aHilbertraum H nennen wir orthonormiert, falls (ϕi , ϕj ) = δij

f¨ ur alle

i, j ∈ N

richtig ist. Wir nennen das orthonormierte System {ϕk }k=1,2,... vollst¨andig, kurz ein v.o.n.S., wenn f¨ ur jedes f ∈ H die Vollst¨andigkeitsrelation f 2 =

∞ 

|(ϕk , f )|2

(2)

k=1

erf¨ ullt ist. Diese Definition wird gerechtfertigt durch den folgenden Satz, dessen Beweis wir den Hilfss¨ atzen 1 und 2 sowie Satz 5 aus § 6 in Kapitel II entnehmen. Satz 3. Sei {ϕk }k=1,2,... ⊂ H ein orthonormiertes System. Dann gilt f¨ ur alle f ∈ H die Besselsche Ungleichung ∞ 

|(ϕk , f )|2 ≤ f 2 .

(3)

k=1

F¨ ur ein f ∈ H gilt die Gleichung ∞ 

|(ϕk , f )|2 = f 2

(4)

k=1

genau dann, wenn

N      lim f − (ϕk , f )ϕk  = 0

N →∞

k=1

(5)

§3 Der abstrakte Hilbertraum

57

richtig ist. Letztere Aussage bedeutet, daß f ∈ H durch die Fourier-Reihe ∞ 

(ϕk , f )ϕk

k=1

bzgl. der Konvergenz in der Hilbertraumnorm  ·  dargestellt wird. Beispiel 4. Bei den Fourierreihen und den Kugelfunktionen in § 4 bzw. § 5 von Kapitel V erhalten wir jeweils ein v.o.n.S. in den entsprechenden Hilbertr¨aumen. Satz 4. Ein orthonormiertes System {ϕk }k=1,2,... im Pr¨a-Hilbertraum H ist genau dann vollst¨andig, wenn aus (ϕk , x) = 0, k = 1, 2, . . ., mit x ∈ H die Identit¨at x = 0 folgt. Beweis: ⇒“ Seien x ∈ H und (ϕk , x) = 0 f¨ ur alle k ∈ N. Dann liefert die Vollst¨andig” keitsrelation ∞  2 |(ϕk , x)|2 = 0 x = k=1

bzw. x = 0 und somit x = 0 ∈ H . ur das aus (ϕk , x) = 0 f¨ ur ⇐“ Sei {ϕk }k=1,2,... ein orthonormiertes System, f¨ ” alle k ∈ N sofort x = 0 folgt. F¨ ur beliebige y ∈ H setzen wir x := y −

∞ 

(ϕk , y)ϕk

k=1

und berechnen 

(ϕl , x) = (ϕl , y) − ϕl ,

∞ 

 (ϕk , y)ϕk = (ϕl , y) − (ϕl , y) = 0

k=1

f¨ ur alle l ∈ N. Somit ergibt sich x = 0 beziehungsweise y=

∞ 

(ϕk , y)ϕk .

k=1

Also ist nach Satz 3 das System {ϕk }k=1,2,... ⊂ H vollst¨andig. q.e.d. Satz 5. Sei H ein separabler Hilbertraum. a) Dann gibt es ein v.o.n.S. {ϕk }k=1,2,... ⊂ H. b) F¨ ur zwei beliebige Elemente x, y ∈ H gilt die Parsevalsche Gleichung (x, y) =

∞  k=1

(ϕk , x)(ϕk , y).

(6)

58

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

c) H ist isomorph zum Raum l2 verm¨oge der Abbildung Φ : H → l2 , Durch x=

x → (x1 , x2 , . . .) ∞ 

xk ϕk

mit

mit

xk := (ϕk , x).

(x1 , x2 , . . .) ∈ l2

k=1

wird die zu Φ inverse Abbildung gegeben. Beweis: a) Da H separabel ist, gibt es eine Folge {g1 , g2 , . . .} ⊂ H, die in H dicht liegt. Indem wir aus {g1 , g2 , . . .} die linear abh¨angigen Funktionen eliminieren, konstruieren wir ein System von linear unabh¨angigen Funktionen {f1 , f2 , . . .} in H mit der folgenden Eigenschaft: Bezeichnen [g1 , . . . , gn ] und [f1 , . . . , fp ] die von den Elementen g1 , . . . , gn bzw. f1 , . . . , fp , n, p ∈ N, aufgespannten C-linearen R¨ aume, so gilt [g1 , . . . , gn ] ⊂ [f1 , . . . , fp ]

f¨ ur alle p ≥ n ≥ 1.

(7)

Nun wenden wir auf {fk }k=1,2... das Orthonormalisierungsverfahren von E. Schmidt an: ϕ1 :=

1 f1 , f1  fn −

ϕ2 :=

f2 − (ϕ1 , f2 )ϕ1 , f2 − (ϕ1 , f2 )ϕ1 

...,

n−1 

(ϕj , fn )ϕj

j=1

ϕn :=  , n−1    (ϕj , fn )ϕj  fn −

n = 1, 2, . . .

j=1

Offenbar gilt (ϕj , ϕk ) = δjk f¨ ur j, k = 1, 2, . . . und [g1 , . . . , gn ] ⊂ [ϕ1 , . . . , ϕp ]

f¨ ur alle p ≥ n ≥ 1.

(8)

Sind nun f ∈ H und ε > 0 vorgegeben, so gibt es ein n ∈ N mit f − gn  ≤ ε. Wegen (8) finden wir p ≥ n Zahlen c1 , . . . , cp ∈ C mit p      ck ϕk  ≤ ε. f − k=1

Aufgrund der Minimaleigenschaft der Fourierkoeffizienten (vgl. Kap. II, § 6, Folgerung zu Hilfssatz 1) k¨ onnen wir n bzw. p noch so w¨ahlen, daß p      (ϕk , f )ϕk  ≤ ε f − k=1

f¨ ur alle ε > 0

§3 Der abstrakte Hilbertraum

59

erf¨ ullt ist. F¨ ur ε ↓ 0 folgt somit f=

∞ 

(ϕk , f )ϕk ,

k=1

und {ϕk }k=1,2,... ist ein v.o.n.S. b) F¨ ur zwei Elemente x, y ∈ H mit den Darstellungen x=

∞ 

(ϕk , x)ϕk ,

y=

k=1

∞ 

(ϕl , y)ϕl

l=1

berechnen wir das Skalarprodukt (x, y) = lim

n 

n→∞

= lim

n→∞

= lim

n→∞

=

∞ 

(ϕk , x)ϕk ,

k=1 n 

n 

 (ϕl , y)ϕl

l=1

(ϕk , x)(ϕl , y)(ϕk , ϕl )

k,l=1 n 

(ϕk , x)(ϕk , y)

k=1

(ϕk , x)(ϕk , y).

k=1

c) Hierzu ist nichts mehr zu zeigen.

q.e.d.

Definition 5. Wir nennen M ⊂ H einen linearen Teilraum des Hilbertraumes H, falls f¨ ur beliebige f, g ∈ M und α, β ∈ C αf + βg ∈ M gilt. Ein linearer Teilraum M ⊂ H heißt abgeschlossen, wenn f¨ ur jede Cauchyfolge {fn }n=1,2,... ⊂ M die Aussage f := lim fn ∈ M n→∞

richtig ist. F¨ ur einen linearen Teilraum M ⊂ H bezeichnen wir mit  ( Es gibt eine Cauchyfolge {fn }n=1,2,... ⊂ M M := f ∈ H : mit f = limn→∞ fn die Abschließung von M. Beispiel 5. Der Raum C0∞ (G) =: M ⊂ H := L2 (G) ist ein nicht abgeschlossener, linearer Teilraum, und es gilt M = H.

60

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

Definition 6. H ist ein unit¨arer Raum, wenn zus¨atzlich zu den Postulaten (A) und (B) das folgende Postulat (C’) erf¨ ullt ist. Postulat (C’): Mit einem n ∈ N gilt dim H = n. Bemerkungen: 1. In einem n-dimensionalen unit¨ aren Raum H gibt es n linear unabh¨angige Elemente {f1 , . . . , fn }, und jedes g ∈ H ist darstellbar in der Form g=

n 

ck f k

mit

c1 , . . . , cn ∈ C.

k=1

2. Ein unit¨ arer Raum H besitzt eine orthonormierte Basis {ϕ1 , . . . , ϕn }, n = dim H, mit der Eigenschaft f=

n 

(ϕk , f )ϕk

f¨ ur alle f ∈ H.

k=1

3. Jeder unit¨ are Raum H ist isomorph zum Cn , n = dim H, ausgestattet mit dem Skalarprodukt (x, y) :=

n 

xk yk ,

x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ C.

k=1

4. Jeder unit¨ are Raum ist vollst¨ andig. Mit den Definitionen 5 und 6 beweist man leicht den Satz 6. Sei H ein Hilbertraum und M ein abgeschlossener, linearer Teilraum von H. Dann ist M entweder selbst ein Hilbertraum oder ein unit¨arer Raum. Wenn H separabel ist, so gilt dieses auch f¨ ur M. Definition 7. Sei M ein linearer Teilraum von H. Dann ist mit   ur alle f ∈ M M⊥ := g ∈ H : (g, f ) = 0 f¨ der Orthogonalraum von M in H erkl¨art. Bemerkung: Wegen der Stetigkeit des Skalarproduktes ist M⊥ ⊂ H abgeschlossen. Aus Kapitel II, § 6, Satz 2 u ¨ bernehmen wir nun den Beweis von Satz 7. (Projektionssatz) Sei M ein abgeschlossener, linearer Teilraum in H. Dann l¨aßt sich jedes x ∈ H eindeutig in der Form x = x1 + x2 mit x1 ∈ M und x2 ∈ M⊥ darstellen. Man schreibt H = M ⊕ M⊥ .

§4 Beschr¨ ankte lineare Operatoren im Hilbertraum

61

Wir notieren noch den Satz 8. Sei M ein linearer Teilraum in einem Hilbertraum H. Es liegt M genau dann dicht in H, wenn folgende Implikation richtig ist: ϕ ∈ H : (f, ϕ) = 0 f¨ ur alle f ∈ M

⇒

ϕ = 0.

(9)

Beweis: Der Projektionssatz liefert die orthogonale Zerlegung H = M ⊕ M⊥ . Nun liegt M genau dann dicht in H, wenn M = H, also M⊥ = {0} richtig ist. Dies ist aber gerade die Aussage der Implikation (9). q.e.d.

§4 Beschr¨ ankte lineare Operatoren im Hilbertraum Definition 1. Auf dem Hilbertraum H ist die Abbildung A : H → C ein beschr¨anktes lineares Funktional, wenn die folgenden Bedingungen erf¨ ullt sind: a) A(αf + βg) = αAf + βAg f¨ ur alle f, g ∈ H und α, β ∈ C, b) |Af | ≤ cf  f¨ ur alle f ∈ H mit einer Konstante c ∈ [0, +∞). Nach Kapitel II, § 6, Definitionen 6 bis 8 und Satz 3 sind f¨ ur ein lineares Funktional die folgenden drei Aussagen ¨ aquivalent: (i) A ist beschr¨ ankt, (ii) A ist in einem Punkt stetig, (iii) A ist in allen Punkten des Hilbertraumes stetig. Wir erkl¨ aren mit A :=

sup x∈H, x ≤1

|Ax| =

sup x∈H, x =1

|Ax| < +∞

die Norm des beschr¨ankten linearen Funktionals A. In Kapitel II, § 6, Satz 4 haben wir die folgende Aussage bewiesen: Satz 1. (Darstellungssatz von Fr´ echet-Riesz) Jedes beschr¨ankte lineare Funktional A : H → C auf einem Hilbertraum H l¨aßt sich in der Form Af = (g, f )

f¨ ur alle

f ∈H

(1)

mit einem eindeutig bestimmten erzeugenden Element g ∈ H darstellen. Definition 2. Sei D ein linearer Teilraum des Hilbertraumes H. Ein linearer Operator T ist eine Zuordnung T : D → H mit der Eigenschaft T (c1 u1 +c2 u2 ) = c1 T (u1 )+c2 T (u2 )

f¨ ur alle

u1 , u2 ∈ D

und

c1 , c2 ∈ C.

62

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

Definition 3. Ein linearer Operator T : D → H heißt beschr¨ankt, wenn es ein c ∈ [0, +∞) so gibt, daß T u ≤ cu

f¨ ur alle

u∈D

(2)

erf¨ ullt ist. Die Norm von T ist dann erkl¨art als T  :=

sup u∈D, u=0

T u = sup T u = sup T u. u u∈D, u ≤1 u∈D, u =1

(3)

Bemerkung: Das Beispiel 2 in § 1 zeigt mit T := −∆ einen unbeschr¨ankten Operator. Definition 4. Seien DT , DT zwei lineare Teilr¨aume des Hilbertraumes H. Dann heißt die Abbildung T* : D → H T

die Fortsetzung des beschr¨ankten linearen Operators T : DT → H, wenn a) DT ⊂ DT , b) T*u = T u f¨ ur alle u ∈ DT richtig ist. Wir schreiben T ⊂ T*. Es reicht f¨ ur beschr¨ ankte Operatoren aus, sie auf einem dichten Teilraum des Hilbertraumes zu definieren, gem¨ aß dem Satz 2. (Fortsetzungssatz) Sei T : D → H ein beschr¨ankter linearer Operator, und der lineare Teilraum D ⊂ H liege dicht im Hilbertraum H. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte beschr¨ankte Fortsetzung T* ⊃ T mit DT = H und T* = T . Beweis: 1. Wir definieren T* : H → H wie folgt: Sei f ∈ H, so gibt es eine Folge {fn }n=1,2,... ⊂ DT mit fn → f (n → ∞) in H. Nun ist {T fn }n=1,2... eine Cauchy-Folge in H wegen T fn − T fm = T (fn − fm ) ≤ T fn − fm  → 0 (n, m → ∞). Es existiert also der Grenzwert lim T fn , und wir setzen n→∞

T*f := lim T fn , n→∞

f ∈ H.

Diese Definition ist eindeutig: Ist n¨ amlich {fn }n=1,2,... ⊂ DT eine weitere  Folge mit fn → f (n → ∞) in H, so beachten wir T fn −T fn  ≤ T fn −fn  ≤ T  (fn − f  + f − fn ) → 0 (n → ∞). Schließlich bemerken wir noch T*f = T f f¨ ur alle f ∈ DT .

§4 Beschr¨ ankte lineare Operatoren im Hilbertraum

63

2. Nun ist T* :=

sup f ∈H, f ≤1

T*f  =

sup f ∈DT , f ≤1

T*f  =

sup f ∈DT , f ≤1

T f  = T 

richtig. Weiter ist T* : H → H linear. Denn f¨ ur zwei Elemente f = lim fn , n→∞

aus H

g = lim gn n→∞

mit {fn }n ⊂ DT und {gn }n ⊂ DT gilt f¨ ur beliebige α, β ∈ C wegen der Stetigkeit von T* die Gleichung T*(αf + βg) = T*( lim (αfn + βgn )) = lim (α T fn + β T gn ) n→∞

n→∞

= α lim T fn + β lim T gn = α T*f + β T*g. n→∞

n→∞

3. Sind T+, T* : H → H zwei Fortsetzungen von DT auf H, so gilt (T* − T+)(f ) = 0

f¨ ur alle f ∈ DT .

Da DT ⊂ H dicht liegt und (T* − T+) : H → H stetig ist, folgt (T* − T+)(f ) = 0

f¨ ur alle f ∈ H

und somit T* = T+.

q.e.d.

Satz 3. Sei T : H → H ein beschr¨ankter linearer Operator im Hilbertraum H. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten linearen Operator T ∗ : H → H so, daß (T f, g) = (f, T ∗ g)

f¨ ur alle

f, g ∈ H

(4)

richtig ist. Es gilt T ∗  = T 

und

T ∗∗ = T,

d.h. die Operation ∗ ist involutorisch. Definition 5. Der Operator T ∗ heißt die Adjungierte zu T . Definition 6. Ein beschr¨ankter linearer Operator H heißt Hermitesch, wenn H ∗ = H gilt, d.h. (Hx, y) = (x, Hy)

f¨ ur alle

x, y ∈ H.

Beweis von Satz 3: -Eindeutigkeit: Seien T1 , T2 zwei Adjungierte zu T, so liefert (4) (f, T1 g) = (T f, g) = (f, T2 g)

f¨ ur alle f, g ∈ H

ur alle f, g ∈ H und somit T1 = T2 . bzw. (f, (T1 − T2 )g) = 0 f¨

64

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

-Existenz: Zu einem festen g ∈ H betrachten wir das beschr¨ankte lineare Funktional Ag (f ) := (g, T f ), f ∈ H. Dieses ist beschr¨ ankt durch |Ag (f )| ≤ gT f  ≤ (gT )f 

f¨ ur alle f ∈ H.

Nach dem Darstellungssatz von Fr´echet-Riesz gibt es zu jedem g ∈ H ein g ∗ ∈ H mit der Eigenschaft (g, T f ) = Ag (f ) = (g ∗ , f )

f¨ ur alle f ∈ H.

Wir setzen nun T ∗ g := g ∗ . Offenbar erf¨ ullt die so erkl¨arte Abbildung T ∗ : H → H die Eigenschaft (4). -Linearit¨at: Seien g1 , g2 ∈ H und c1 , c2 ∈ C. Wir berechnen mit (4) (T ∗ (c1 g1 + c2 g2 ), f ) = (c1 g1 + c2 g2 , T f ) = c1 (g1 , T f ) + c2 (g2 , T f ) = c1 (T ∗ g1 , f ) + c2 (T ∗ g2 , f ) = (c1 T ∗ g1 + c2 T ∗ g2 , f )

f¨ ur alle f ∈ H.

-Beschr¨anktheit: Zun¨ achst beachten wir (T f, g) = (f, T ∗ g) = (T ∗∗ f, g)

f¨ ur alle f, g ∈ H.

Also ist T involutorisch. Mit (4) erhalten wir die Absch¨atzung (f, T ∗ g) ≤ T f g ≤ T f g

f¨ ur alle f, g ∈ H.

Insbesondere f¨ ur f = T ∗ g haben wir also T ∗ g2 ≤ T T ∗gg beziehungsweise T ∗ g ≤ T g,

d.h.

T ∗ ≤ T .

Da T involutorisch ist, folgt auch T  = T ∗∗  ≤ T ∗ . Also ist insgesamt T  = T ∗  richtig. Beispiel 1. Sei   Q := x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : |xj | ≤ R f¨ ur j = 1, . . . , n

q.e.d.

§4 Beschr¨ ankte lineare Operatoren im Hilbertraum

65

ein W¨ urfel im Rn mit der Kantenl¨ ange 2R ∈ (0, +∞). Wir betrachten dann einen Hilbert-Schmidt-Integralkern K = K(x, y) : Q × Q → C ∈ L2 (Q × Q, C). Wegen




(5)

|K(x, y)|2 dx dy < ∞

Q×Q

gibt es eine Nullmenge N ⊂ Q, so daß f¨ ur alle x ∈ Q \ N die Funktion y → K(x, y) auf Q meßbar ist und
|K(x, y)|2 dy < ∞ Q

erf¨ ullt ist. Weiter gilt


 |K(x, y)|2 dy dx = Q

Q

|K(x, y)|2 dx dy =: K2 < ∞

Q×Q

nach dem Satz von Fubini-Tonelli. F¨ ur f ∈ L2 (Q, C) erkl¨aren wir den HilbertSchmidt-Operator ⎧
⎪ ⎨ K(x, y)f (y) dy, x ∈ Q \ N . (6) Kf (x) = Q ⎪ ⎩ 0, x∈N Die H¨ oldersche Ungleichung liefert f¨ ur alle x ∈ Q \ N 
 |Kf (x)|2 ≤ |K(x, y)|2 dy f 2 , Q

und Integration u ¨ber x ∈ Q ergibt

 |Kf (x)|2 dx ≤ |K(x, y)|2 dx dy f 2 = K2 f 2 Q

Q×Q

beziehungsweise Kf  ≤ Kf 

f¨ ur alle f ∈ L2 (Q, C).

(7)

Wir erhalten also den Satz 4. Der Hilbert-Schmidt-Operator K : H → H aus (6) mit dem Integralkern (5) ist ein beschr¨ankter linearer Operator auf dem Hilbertraum H = L2 (Q, C), und es gilt K ≤ K.

66

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

Bemerkungen: 1. Die singul¨ aren Kerne K = K(x, y) ∈ Sα (G, C)

mit

α ∈ [0, n)

erzeugen spezielle Hilbert-Schmidt-Operatoren. Die f¨ ur diese speziellen Operatoren geltenden Aussagen aus § 2, Satz 3 und Satz 4 werden sp¨ater f¨ ur Regularit¨atsaussagen u osungen der Integralgleichung verwen¨ber die L¨ det. 2. Der Kern K ∗ (x, y) := K(y, x) ∈ L2 (Q × Q, C) erzeugt den zum Hilbert-Schmidt-Operator K adjungierten Operator K∗ . 3. Der Operator K ist genau dann Hermitesch, wenn K(x, y) = K(y, x) fast u ullt ist. ¨ berall in Q × Q erf¨ Wir wollen nun die Inverse eines linearen Operators untersuchen. Definition 7. Sei T : DT → H ein linearer Operator auf der Teilmenge DT ⊂ H des Hilbertraumes H mit dem Wertebereich WT := T (DT ) ⊂ H. Außerdem sei die Abbildung x → T x,

x ∈ DT ,

injektiv. Dann ist durch f = T −1 g die Inverse T −1 : WT → DT ⊂ H des Operators T erkl¨art, falls T f = g gilt. Wir bemerken DT −1 = WT ,

WT −1 = DT .

Wir erhalten sofort den Satz 5. Der Operator T −1 : WT → DT ist linear und existiert genau dann, wenn die Gleichung T x = 0, x ∈ DT , nur die triviale L¨osung x = 0 besitzt. Satz 6. (O. Toeplitz) Sei T : H → H ein beschr¨ankter linearer Operator in dem Hilbertraum H. Dann besitzt T genau dann eine in H erkl¨arte beschr¨ankte Inverse T −1 : H → H, wenn die folgenden Bedingungen erf¨ ullt sind: a) F¨ ur alle x ∈ H gilt T x ≥ dx mit einem d ∈ (0, +∞). b) Die homogene Gleichung T ∗ x = 0 hat nur die triviale L¨osung x = 0. Beweis:

§4 Beschr¨ ankte lineare Operatoren im Hilbertraum

67

⇒“ Es existiere die beschr¨ ankte Inverse T −1 : H → H. Dann gibt es ein ” c > 0 mit T −1 x ≤ cx f¨ ur alle x ∈ H, so daß f¨ ur x := T f folgt 1 f . c Also ist mit d := 1c die Bedingung a) erf¨ ullt. Ist z ∈ H eine L¨ osung von T ∗ z = 0, so folgt T f  ≥

(T x, z) = (x, T ∗ z) = (x, 0) = 0

f¨ ur alle x ∈ H.

Insbesondere f¨ ur x = T −1 z ergibt sich z = 0. ⇐“ Wir zeigen zun¨ achst, daßWT ⊂ H abgeschlossen ist: Sei {yn }n=1,2,... ⊂ ” WT eine beliebige Folge mit yn → y (n → ∞) in H. Wir setzen yn = T xn , n = 1, 2, . . ., und erhalten mit a) die Ungleichung xn − xm  ≤

1 yn − ym  → 0 (m, n → ∞). d

Somit folgt xn → x (n → ∞), und da T stetig ist T x = T ( lim xn ) = lim T xn = lim yn = y ∈ WT . n→∞

n→∞

n→∞

Also ist WT abgeschlossen in H, und wir haben die orthogonale Zerlegung H = WT ⊕ WT⊥ . Sei nun z ∈ WT⊥ . Dann erhalten wir 0 = (z, T x) = (T ∗ z, x)

f¨ ur alle x ∈ H

bzw. T ∗ z = 0. Bedingung b) liefert also z = 0 und daher H = WT , d.h. T ist surjektiv. Die Injektivit¨ at von T folgt sofort aus a). Damit existiert T −1 und ist gem¨ aß a) beschr¨ ankt mit T −1  ≤

1 . d

q.e.d.

Bemerkung: Ist H : H → H ein beschr¨ ankter Hermitescher Operator mit Hx ≥ dx

f¨ ur alle x ∈ H

mit einem d ∈ (0, +∞), so existiert nach Satz 6 die beschr¨ankte Inverse H −1 : H → H. Satz 7. Sei T : H → H ein beschr¨ankter linearer Operator in dem Hilbertraum H. Außerdem sei die beschr¨ankte Inverse T −1 : H → H erkl¨art. Dann hat auch T ∗ eine in H erkl¨arte beschr¨ankte Inverse (T ∗ )−1 . Es gilt (T −1 )∗ = (T ∗ )−1 .

68

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

Beweis: Nach Voraussetzung gilt T −1 x ≤ cx

f¨ ur alle x ∈ H.

Setzen wir in die Beziehung (T x, y) = (x, T ∗ y)

f¨ ur alle y ∈ H

speziell x = T −1 y ein, so folgt y2 ≤ T −1yT ∗y ≤ cyT ∗y beziehungsweise 1 y f¨ ur alle y ∈ H. c Weiter entnehmen wir Satz 3 und der Beziehung T ∗y ≥

(T ∗ )∗ f = T ∗∗ f = T f, daß mit (T ∗ )∗ f = 0 auch f = 0 gilt. Nach Satz 6 existiert also die Inverse (T ∗ )−1 : H → H, und es gilt

(T ∗ )−1  ≤ T −1 .

Seien nun f, g ∈ H beliebig gew¨ ahlt. Dann erhalten wir mit x = T −1 f und ∗ −1 y = (T ) g die Beziehung (f, (T ∗ )−1 g) = (T x, y) = (x, T ∗ y) = (T −1 f, g) = (f, (T −1 )∗ g). Also gilt (T ∗ )−1 = (T −1 )∗ .

q.e.d.

Ist im Hilbertraum H ein abgeschlossener, linearer, nichtleerer Teilraum M ⊂ H gegeben, so liefert der Projektionssatz H = M ⊕ M⊥ . Wegen f = f1 + f2 ∈ H

mit

f1 ∈ M, f2 ∈ M⊥

ist folgende Definition eines Projektors P sinnvoll: P :H→M

verm¨ oge f = f1 + f2 → P f := f1 .

Wir beachten P f 2 = f1 2 ≤ f 2

f¨ ur alle f ∈ H

und P f  = f 

f¨ ur alle f ∈ M.

Daher folgt f¨ ur die Norm des Projektors

§4 Beschr¨ ankte lineare Operatoren im Hilbertraum

69

P  = 1. Ferner bemerken wir P 2f = P ◦ P f = P f

bzw. P 2 = P

in H

und schließlich (P f, g) = (f1 , g1 + g2 ) = (f1 , g1 ) = (f1 + f2 , g1 ) = (f, P g)

f¨ ur alle f, g ∈ H,

das heißt P = P ∗ . Definition 8. Ein beschr¨ankter linearer Operator P : H → H ist ein Projektionsoperator oder ein Projektor, wenn folgendes gilt: a) P ist Hermitesch, d.h. P = P ∗ ; b) P 2 = P . Satz 8. Sei P : H → H ein Projektor. Dann ist die Menge   M := g ∈ H : g = P f mit f ∈ H ein abgeschlossener linearer Teilraum in H. Es gilt f = P f + (f − P f ) ∈ M ⊕ M⊥ . Beweis: 1. Wir zeigen, daß M = P (H) abgeschlossen ist: Sei {gn }n=1,2,... ⊂ M eine Folge mit gn → g (n → ∞) in H. Wegen gn = P fn mit fn ∈ H folgt P gn = P 2 fn = P fn = gn . Da P stetig ist, folgt P g = g, also ist g ∈ M. 2. Seien nun f ∈ H und f1 := P f , f2 := f − P f , so folgt f1 ∈ M. Weiter gilt f¨ ur alle h ∈ M (f2 , h) = (f − P f, h) = (f − P f, P h) = (P f − P 2 f, h) = 0. Somit ist f2 = f − P f ∈ M⊥ richtig.

q.e.d.

Bemerkung: In einem Hilbertraum H sei ein linearer Teilraum M ⊂ H gegeben. Die Folge {ϕj }j=1,2,... bilde ein v.o.n.S. in M. Dann gilt PM f =

j0 

(ϕj , f )ϕj ,

f ∈ H,

j=1

mit einem j0 ∈ N ∪ {∞}. In der Physik wird die Energie eines Systems mit Hilfe von Bilinearformen gemessen. Diesen sind dann lineare Operatoren zugeordnet.

70

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

Definition 9. Eine komplexwertige Funktion B(. , .) : H × H → C heißt Bilinearform, falls B(f, c1 g1 + c2 g2 ) = c1 B(f, g1 ) + c2 B(f, g2 )

f¨ ur alle

f, g1 , g2 ∈ H

B(c1 f1 + c2 f2 , g) = c1 B(f1 , g) + c2 B(f2 , g)

f¨ ur alle

f1 , f2 , g ∈ H

(8)

und alle c1 , c2 ∈ C gilt. Die Bilinearform heißt Hermitesch, falls B(f, g) = B(g, f )

f¨ ur alle

f, g ∈ H

(9)

f, g ∈ H

(10)

richtig ist, und wir nennen B symmetrisch, falls B(f, g) = B(g, f )

f¨ ur alle

gilt. F¨ ur reellwertige Bilinearformen sind (9) und (10) ¨aquivalent. B heißt beschr¨ankt, falls eine Konstante c ∈ [0, +∞) mit der Eigenschaft |B(f, g)| ≤ cf g

f, g ∈ H

f¨ ur alle

(11)

existiert. Eine Hermitesche Bilinearform heißt strikt positiv-definit, falls es eine Konstante c ∈ (0, +∞) gibt, so daß B(f, f ) ≥ cf 2

f¨ ur alle

f ∈H

(12)

erf¨ ullt ist. Bemerkungen: 1. Man nennt (12) auch Koerzivit¨atsbedingung. 2. Mit einem beschr¨ ankten linearen Operator T : H → H erhalten wir in B(f, g) := (T f, g),

f, g ∈ H,

eine Bilinearform. Diese ist beschr¨ ankt wegen |B(f, g)| ≤ T f g ≤ T f g,

f, g ∈ H.

Ist T Hermitesch, so ist auch die Bilinearform Hermitesch, denn es gilt B(f, g) = (T f, g) = (f, T g) = (T g, f ) = B(g, f ),

f, g ∈ H.

Wir wenden uns nun der umgekehrten Frage zu. Satz 9. (Darstellungssatz f¨ ur Bilinearformen) Zu jeder beschr¨ankten Bilinearform B = B(f, g), f, g ∈ H, gibt es genau einen beschr¨ankten linearen Operator T : H → H, so daß B(f, g) = (T f, g)

f¨ ur alle

f, g ∈ H

richtig ist. Ist B Hermitesch, so ist auch T Hermitesch.

(13)

§4 Beschr¨ ankte lineare Operatoren im Hilbertraum

71

Beweis: F¨ ur ein festes f ∈ H ist g ∈ H,

Lf (g) := B(f, g),

ein beschr¨ anktes lineares Funktional auf H. Nach dem Darstellungssatz von Fr´echet-Riesz gibt es ein f ∗ ∈ H mit der Eigenschaft (f ∗ , g) = B(f, g) = Lf (g)

f¨ ur alle g ∈ H.

(14)

Nun ist f ∗ eindeutig durch f bestimmt, und wir setzen T f := f ∗ ,

f ∈ H.

1. Der Operator T : H → H ist linear, denn wir berechnen (T (c1 f1 + c2 f2 ), g) = B(c1 f1 + c2 f2 , g) = c1 B(f1 , g) + c2 B(f2 , g) = c1 (T f1 , g) + c2 (T f2 , g) = (c1 T f1 + c2 T f2 , g) f¨ ur alle f1 , f2 , g ∈ H und alle c1 , c2 ∈ C. 2. Da die Bilinearform B(f, g) = (T f, g) beschr¨ankt ist, folgt |(T f, g)| ≤ cf g woraus wir mit g =

Tf

T f

f¨ ur alle f, g ∈ H,

die Ungleichung

T f  ≤ cf 

f¨ ur alle f ∈ H

ablesen. Somit haben wir T  ≤ c < +∞. 3. Wenn B Hermitesch ist, dann gilt (T f, g) = B(f, g) = B(g, f ) = (T g, f ) = (f, T g)

f¨ ur alle f, g ∈ H.

T ist also Hermitesch.

q.e.d.

Satz 10. (Lax-Milgram) Sei B : H × H → C eine Hermitesche Bilinearform, welche gem¨aß |B(f, g)| ≤ c+ f g

f¨ ur alle

f, g ∈ H

(15)

beschr¨ankt ist und die Koerzivit¨atsbedingung B(f, f ) ≥ c− f 2

f¨ ur alle

f ∈H

(16)

erf¨ ullt. Dabei sind 0 < c− ≤ c+ < +∞ gew¨ahlt worden. Dann gibt es einen beschr¨ankten Hermiteschen Operator T : H → H mit T  ≤ c+ und B(f, g) = (T f, g)

f¨ ur alle

f, g ∈ H.

(17)

Dieser besitzt eine beschr¨ankte Inverse T −1 : H → H, welche Hermitesch ist und f¨ ur die gilt 1 T −1  ≤ − . c

72

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

Beweis: Nach Satz 9 gibt es einen Hermiteschen Operator T : H → H mit T  ≤ c+ und der Eigenschaft (17). Zusammen mit (16) ergibt sich c− f 2 ≤ B(f, f ) = (T f, f ) ≤ T f f  beziehungsweise

T f  ≥ c− f 

f¨ ur alle f ∈ H

f¨ ur alle f ∈ H.

(18)

Nach dem Satz von Toeplitz hat dann T eine beschr¨ankte Inverse T −1 : H → H, die nach Satz 7 Hermitesch ist. Schließlich folgt aus (18) T −1  ≤

1 . c−

q.e.d.

Bemerkungen: 1. Die S¨ atze 9 und 10 bleiben f¨ ur reelle Bilinearformen richtig, wenn wir Hermitesch“ durch symmetrisch“ ersetzen. ” ” 2. Satz 10 bildet die Grundlage f¨ ur die schwache L¨osbarkeit elliptischer Differentialgleichungen.

§5 Unit¨ are Operatoren Definition 1. Seien H und H zwei Hilbertr¨aume mit den Skalarprodukten (x, y) und (x, y) . Dann heißt der lineare Operator V : H → H isometrisch, falls folgendes gilt: (V f, V g) = (f, g)

f¨ ur alle

f, g ∈ H.

(1)

Bemerkungen: 1. F¨ ur einen isometrischen Operator V : H → H berechnen wir   V f − V g 2 = V (f − g) 2 = V (f − g), V (f − g) = (f − g, f − g) = f − g2

(2)

f¨ ur alle f, g ∈ H.

Damit folgt aus f = g auch V f = V g, d.h. V ist injektiv. 2. V ist beschr¨ ankt, denn wegen ' ' V f  = (V f, V f ) = (f, f ) = f  f¨ ur alle f ∈ H haben wir V  = 1.

(3)

§5 Unit¨ are Operatoren

73

3. Es gilt DV = H f¨ ur den Definitionsbereich eines isometrischen Operators V , und der Wertebereich WV ⊂ H ist abgeschlossen. Ist n¨amlich gn = V fn ∈ WV ,

n = 1, 2, . . . ,

eine Folge mit gn → g (n → ∞), so ist {fn }n=1,2,... ⊂ H wegen (2) eine Cauchyfolge: fn − fm 2 = gn − gm  2 → 0 (n, m → ∞). Somit folgt fn → f ∈ H (n → ∞) und weiter g = lim gn = lim V fn = V ( lim fn ) = V f n→∞

n→∞

n→∞

∈ WV ,

denn V ist stetig. Folglich ist WV ⊂ H abgeschlossen. 4. Ist dim H = dim H < +∞, so folgt aus der Injektivit¨at die Surjektivit¨at. F¨ ur unendlich dimensionale Hilbertr¨ aume H und H gilt dies jedoch nicht, wie das folgende Beispiel zeigt. Beispiel 1. Wir betrachten den sogenannten Shift-Operator im Hilbertschen Folgenraum H := l2 =: H : V : H → H , (x1 , x2 , . . .) → (0, . . . , 0, x1 , x2 , . . .). Offenbar ist V isometrisch, aber nicht surjektiv. Definition 2. Ein isometrischer Operator V : H → H heißt unit¨ar, wenn V : H → H surjektiv ist, d.h. V (H) = H . Bemerkung: F¨ ur einen unit¨ aren Operator U : H → H existiert U −1 : H → H, und es gilt wegen (1) (U −1 f, U −1 g) = (U ◦ U −1 f, U ◦ U −1 g) = (f, g)

f¨ ur alle f, g ∈ H . (4)

Somit ist auch die Inverse U −1 unit¨ ar. Definition 3. Es seien H, H zwei Hilbertr¨aume mit den Skalarprodukten (x, y), (x, y) , und T , T  seien zwei lineare Operatoren in H bzw. H . Dann heißen T , T  unit¨ar ¨aquivalent, wenn es einen unit¨aren Operator U : H → H gibt mit der Eigenschaft T  = U ◦ T ◦ U −1 . (5) Satz 1. Ein beschr¨ankter linearer Operator V : H → H ist genau dann unit¨ar, wenn V∗◦V =V ◦V∗ =E (6) richtig ist. Dabei bezeichnet E : H → H den identischen Operator.

74

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

Beweis: ⇒“ Zun¨ achst bemerken wir, daß V : H → H genau dann isometrisch ist, ” wenn (V ∗ ◦ V f, g) = (V f, V g) = (f, g) = (Ef, g) beziehungsweise

f¨ ur alle f, g ∈ H

V∗◦V =E

richtig ist. Ist nun V unit¨ ar, so existiert V −1 : H → H. Aus der letzten Beziehung ∗ folgt daher V = V −1 und damit auch V ◦ V ∗ = E. ⇐“ Sei nun f¨ ur V : H → H die Identit¨ at (6) erf¨ ullt. Dann folgt V −1 = V ∗ . ” Insbesondere ist V also surjektiv und wegen (f, g) = (V ∗ ◦ V f, g) = (V f, V g)

f¨ ur alle f, g ∈ H

auch isometrisch.

q.e.d.

Wir wollen nun das Theorem von Fourier-Plancherel beweisen (vgl. Kapitel ¨ VI, § 3, Satz 1). Zun¨ achst f¨ uhren wir einen Ubergang von der Fourierreihe zum Fourierintegral durch: F¨ ur ein beliebiges c > 0 gibt   1 π √ e− c ikx k∈Z 2c ein vollst¨ andig orthonormiertes System von Funktionen im Intervall [−c, +c] an. Die Vollst¨ andigkeitsrelation liefert f¨ ur alle f ∈ L2 ([−c, +c], R) ∩ C00 ((−c, +c), R) die Identit¨ at
+c +∞ )
+c )2  1 π ) ) 2 |f (x)| dx = ) √ e c ikx f (x) dx) 2c k=−∞

−c

−c

+∞ 

=

k=−∞

Wir setzen 1 g(x) := √ 2π und xk =

π ck

1 )) ) 2c


+c )2 π ) e c iky f (y) dy ) .

−c


+c eixy f (y) dy,

x ∈ R,

−c

f¨ ur k ∈ Z. Wir erhalten dann xk − xk−1 =

π c

und

§5 Unit¨ are Operatoren

1 )) ) 2c

75


+c )2 )2 π 1 ))√ π ) ) e c iky f (y) dy ) = ) 2πg(xk )) = |g(xk )|2 = |g(xk )|2 (xk − xk−1 ) 2c c

−c

f¨ ur alle k ∈ Z. Somit folgt f¨ ur alle c > 0 die Identit¨at
+c +∞  |f (x)|2 dx = |g(xk )|2 (xk − xk−1 ), k=−∞

−c

und der Grenz¨ ubergang c → +∞ liefert +∞ +∞

2 |f (x)| dx = |g(x)|2 dx. −∞

(7)

−∞

Wir erwarten, daß der Operator 1 T f (x) := √ 2π

+∞
eixy f (y) dy,

x ∈ R,

(8)

−∞

unit¨ ar auf L2 (R) ist. Allgemeiner erkl¨ aren wir im Rn den Fourierschen Integraloperator
1 T f (x) = √ n ei(x·y) f (y) dy, x ∈ Rn , (9) 2π n R

und zeigen, daß T : L2 (Rn ) → L2 (Rn ) unit¨ ar ist. Zun¨ achst berechnen wir T aus (8) explizit f¨ ur die Treppenfunktionen  1, a ≤ x ≤ b . ϕa,b (x) = ϕ(a, b, x) = 0, x < a oder x > b

(10)

Wir ermitteln 1 T ϕa,b (0) = √ 2π

+∞
b−a ei 0 y ϕa,b (y) dy = √ 2π

(11)

−∞

und f¨ ur x = 0 1 T ϕa,b (x) = √ 2π

+∞

b 1 ixy e ϕa,b (y) dy = √ eixy dy 2π

−∞

a

1 eibx − eiax 1 % eixy &y=b . =√ = √ ix 2π ix y=a 2π

(12)

76

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

Hilfssatz 1. F¨ ur die Cauchyschen Hauptwerte +∞ +∞  
−ε ihx

1 e −1 eihx − 1 eihx − 1 1 1 − dx := lim dx + dx ψ(h) = ε↓0 π x2 π x2 π x2 −∞

−∞

+ε

gilt ψ(h) = −|h|,

h ∈ R.

Beweis: F¨ ur beliebiges h ≥ 0 betrachten wir die holomorphe Funktion 1 + ihz + 12 (ihz)2 + . . . − 1 eihz − 1 = z2 z2 ih + ..., z ∈ C \ {0}. = z

f (z) :=

(13)

Zu 0 < ε < R < +∞ betrachten wir das Gebiet   Gε,R := z ∈ C : ε < |z| < R, Re z > 0 mit dem Rand in positiver Orientierung [−R, −ε] ∪ Kε ∪ [+ε, +R] ∪ KR = ∂Gε,R . Dabei sind der Halbkreis KR : z = Reiϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π, und der negativ durchlaufene Halbkreis −Kε : z = εeiϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π, erkl¨ art worden. Da f in Gε,R holomorph ist, liefert der Cauchysche Integralsatz f¨ ur alle 0 < ε < R < +∞ die Identit¨ at
0= ∂Gε,R


−ε


+R ihx eihx − 1 e −1 f (z) dz = dx + dx x2 x2 +ε −R

ihz e −1 eihz − 1 dz − dz. + z2 z2 KR

−Kε

Mit Hilfe von (13) berechnen wir nun


 ih eihz − 1 + . . . dz = lim dz = lim lim ε↓0 ε↓0 ε↓0 z2 z −Kε

−Kε


π = lim ε↓0

0

(14)

ih iεeiϕ dϕ = −hπ. εeiϕ

−Kε

ih dz z (15)

§5 Unit¨ are Operatoren

77

Weiter ermitteln wir


e

−1 dz = z2

ihz

KR

 
π exp ih(cos ϕ + i sin ϕ)R − 1 R2 e2iϕ

0

i = R


π

iReiϕ dϕ

  e−iϕ eihR cos ϕ e−hR sin ϕ − 1 dϕ

0

und sch¨ atzen f¨ ur alle R > 0 wie folgt ab:
π )
eihz − 1 ) 1 ) ) dz ) ≤ 1 · {1 · e−hR sin ϕ + 1} dϕ ) z2 R 0

KR

≤ Somit folgt


lim

R→+∞ KR

2π → 0 (R → +∞). R

eihz − 1 dz = 0 z2

f¨ ur alle h ≥ 0.

(16)

Vollziehen wir in (14) den Grenz¨ ubergang ε ↓ 0 und R ↑ +∞, so erhalten wir mit Hilfe von (15) und (16) die Identit¨ at +∞
eihx − 1 dx + hπ 0= − x2 −∞

beziehungsweise ψ(h) = −h

f¨ ur alle h ≥ 0.

(17)

Mit Hilfe der Substitution y = −x berechnen wir weiter  ψ(−h) = lim ε↓0

 = lim ε↓0

1 π 1 π


−ε −∞ +∞


1 eih(−x) − 1 dx + x2 π

 eih(−x) − 1 dx x2

ε

eihy − 1 1 dy + y2 π

ε

= ψ(h)

+∞



−ε −∞

eihy − 1 dy y2



f¨ ur alle h ∈ R.

Wir erhalten schließlich aus (17) die Identit¨ at ψ(h) = −|h|

f¨ ur alle h ∈ R.

q.e.d.

78

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

Hilfssatz 2. Bez¨ uglich des L2 (R, C)-Skalarproduktes gilt  0, falls − ∞ < a < b ≤ c < d < +∞ (T ϕa,b , T ϕc,d) = . b − a, falls − ∞ < a = c < b = d < +∞

(18)

Beweis: Mit Hilfe von (12) berechnen wir +∞
1 (e−ibx − e−iax )(eidx − eicx ) (T ϕa,b , T ϕc,d) = − dx 2π x2 −∞

+∞
ei(d−b)x − ei(c−b)x − ei(d−a)x + ei(c−a)x 1 = − dx. 2π x2 −∞

Falls −∞ < a < b ≤ c < d < +∞ erf¨ ullt ist, so folgt mit Hilfssatz 1  1 ψ(d − b) − ψ(c − b) − ψ(d − a) + ψ(c − a) 2  1 b − d + c − b + d − a + a − c = 0. = 2

(T ϕa,b , T ϕc,d) =

Falls −∞ < a = c < b = d < +∞ gilt, so erhalten wir +∞
1 1 − ei(c−b)x − ei(d−a)x + 1 − dx 2π x2 −∞  1 1 = − ψ(c − b) + ψ(d − a) = − {c − b + a − d} 2 2 1 = − {2a − 2b} = b − a. q.e.d. 2

(T ϕa,b , T ϕc,d) =

Sei der Quader   Q := x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : aα ≤ xα ≤ bα f¨ ur α = 1, . . . , n im Rn gegeben. Wir zerlegen das Intervall [aα , bα ] in (1) (mα ) = bα aα = x(0) α < xα < . . . < xα

und setzen

f¨ ur

α = 1, . . . , n,

(kα ) α −1) , xα ] Iα(kα ) = [x(k α

ur k = f¨ ur 1 ≤ kα ≤ mα und α = 1, . . . , n. Schließlich erkl¨aren wir f¨ (k1 , . . . , kn ) ∈ Nn mit 1 ≤ kα ≤ mα noch (k1 )

I (k) = I1

× . . . × In(kn ) ⊂ Rn .

§5 Unit¨ are Operatoren



Ist ϕI (k) (x) =

79

1, x ∈ I (k) 0, x ∈ Rn \ I (k)

die charakteristische Funktion der Menge I (k) und entsprechend  (k ) 1, x ∈ Iα α ϕI (kα ) (x) = f¨ ur α = 1, . . . , n, (k ) α 0, x ∈ R \ Iα α so folgt ϕI (k) (x) = ϕI (k1 ) (x1 ) · . . . · ϕI (kn ) (xn ), Wir berechnen nun 1

T ϕI (k) (x) = √ n 2π +∞ 


= −∞

x ∈ Rn .

n

1

(19)


ei(x·y) ϕI (k) (y) dy Rn

eix1 y1 √ ϕI (k1 ) (y1 ) dy1 2π 1



+∞ 


·... · −∞

eixn yn √ ϕ (kn ) (yn ) dyn 2π In

 (20)

= T ϕI (k1 ) (x1 ) · . . . · T ϕI (kn ) (xn ). n

1

F¨ ur zul¨ assige k = (k1 , . . . , kn ) und l = (l1 , . . . , ln ) gilt (T ϕI (k) , T ϕI (l) )
   T ϕI (k1 ) (x1 ) · . . . · T ϕI (kn ) (xn ) T ϕI (l1 ) (x1 ) · . . . · T ϕI (ln ) (xn ) dx = n

1

n

1

Rn

= (T ϕI (k1 ) , T ϕI (l1 ) ) · . . . · (T ϕI (kn ) , T ϕI (ln ) ) 1

=

(k ) |I1 1 |

n

1

n

· . . . · |In(kn ) | δk1 l1 · . . . · δkn ln

= |I (k) | δk1 l1 · . . . · δkn ln 

und somit (T ϕI (k) , T ϕI (l) ) =

|I (k) |, k = l 0,

.

k = l

(21)

Dabei haben wir (kα ) α −1) |Iα(kα ) | = xα − x(k α

und

(k1 )

|I (k) | = |I1

| · . . . · |In(kn ) |

gesetzt. Insgesamt erhalten wir den Hilfssatz 3. Sei ϕk := ϕI (k) mit k = (k1 , . . . , kn ) und 1 ≤ kα ≤ mα f¨ ur α = 1, . . . , n gew¨ahlt. Dann ist

80

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

T ϕk ∈ L2 (Rn ) erf¨ ullt, und es gilt (T ϕk , T ϕl ) = (ϕk , ϕl )

f¨ ur alle zul¨assigen

k, l.

(22)

Wir betrachten nun den linearen Teilraum D ⊂ L2 (Rn ) der Treppenfunktionen im Rn . Das sind alle Funktionen f , f¨ ur die folgendes gilt: n 1. Außerhalb eines Quaders Q ⊂ , R(k)ist f (x) = 0 richtig. des Quaders wie oben, und wir haben 2. Es gibt eine Zerlegung Q = I k

die Darstellung f (x) =



ck ϕk

k

mit ck ∈ C und ϕk := ϕI (k) . Hilfssatz 4. F¨ ur alle f, g ∈ D gilt (T f, T g) = (f, g). Beweis: Wir w¨ ahlen einen Quader Q ⊃ supp (f )∪ supp (g) und finden eine kanonische Unterteilung von Q, so daß   ck ϕk , g= dl ϕl f= k

l

erf¨ ullt ist. Damit folgt     ck T ϕk , dl T ϕl ck dl (T ϕk , T ϕl ) = (T f, T g) = k

=



l

k,l

ck dl (ϕk , ϕl ) = (f, g). q.e.d.

k,l

Wir betrachten nun den Integraloperator
1 e−i(x·y) f (y) dy, Sf := √ n 2π n

f ∈ D,

R

und bemerken Sf = T f , 2

f ∈ D.

(23)

ankter Operator ist, ist dieses auch f¨ ur Da T : D → L (R ) ein linearer beschr¨ S der Fall. Weiter ist S isometrisch wegen n

(Sf, Sg) = (T f , T g) = (T f , T g) = (f , g) = (f, g) f¨ ur alle f, g ∈ D.

§5 Unit¨ are Operatoren

81

Zwischenbehauptung: Es gilt f¨ ur alle f, g ∈ D.

(T f, g) = (f, Sg) Beweis: Wir berechnen




(T f, g) = Q

1 √ n 2π


1 = √ n 2π
= Q




 e−i(x·y) f (y) dy g(x) dx

Q

e−i(x·y) f (y)g(x) dy dx

Q×Q

 1
 f (y) √ n e−i(x·y) g(x) dx dy 2π Q

= (f, Sg). Zusammenfassend erhalten wir den Hilfssatz 5. Sei D die Menge aller Treppenfunktionen im Rn . Dann sind T, S : D → L2 (Rn ) isometrisch, und S ist zu T adjungiert, d.h. (T f, T g) = (f, g) = (Sf, Sg)

(24)

(T f, g) = (f, Sg)

(25)

und f¨ ur alle f, g ∈ D. Nun liegt D ⊂ L2 (Rn ) dicht, d.h. zu jedem f ∈ L2 (Rn ) gibt es eine Folge {fk }k=1,2,... ⊂ D

mit

fk − f L2 (Rn ) → 0 (k → ∞).

Somit k¨ onnen wir die beschr¨ ankten Operatoren T, S von D auf L2 (Rn ) wie folgt eindeutig fortsetzen: T f := lim T fk , k→∞

Sf := lim Sfk . k→∞

(26)

Die Relationen (24) und (25) liefern S ◦ T = T ∗ ◦ T = E = S∗ ◦ S = T ◦ S und es folgt S◦T =E=T ◦S

auf D,

auf L2 (Rn ).

Also ist T : L2 (Rn ) → L2 (Rn ) ein unit¨ arer Operator mit T ∗ = S = T −1 .

(27)

82

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

Wir wollen nun noch eine direkte Darstellung von T und S aus (26) herleiten. Hierzu w¨ ahlen wir zun¨ achst   f ∈ L20 (Rn ) := g ∈ L2 (Rn ) : supp (g) ⊂ Rn ist kompakt . Zu f ∈ L20 (Rn ) gibt es eine Folge {fk }k=1,2,... ⊂ D mit supp (f ), supp (fk ) ⊂ Q,

k = 1, 2, . . . ,

wobei Q ⊂ Rn ein fester Quader ist und f − fk L2 (Q) → 0 (k → ∞) gilt. Wir erhalten f¨ ur alle x ∈ Rn die Absch¨ atzung

) ) ) 1 )) 1 ) ) ) i(x·y) f (y) dy ) = √ n ) ei(x·y) (fk (y) − f (y)) dy ) )T fk (x) − √ n e 2π 2π Q

≤√ ≤√ und damit

1 2π 1 2π

Q


|fk (y) − f (y)| dy

n

(28)

Q

' |Q|fk − f L2 (Q) → 0 (k → ∞) n


  1   T fk (x) − √ n ei(x·y) f (y) dy  2 n → 0 (k → ∞). L (R ) 2π

(29)

Q

Daraus folgt zusammen mit (26)
  1   T f (x) − √ n ei(x·y) f (y) dy  2 n L (R ) 2π Q


  1   ≤ T f − T fk L2 (Rn ) + T fk (x) − √ n ei(x·y) f (y) dy  2 n L (R ) 2π Q

→ 0 (k → ∞). F¨ ur alle f ∈ L20 (Rn ) ist somit 1

T f (x) = √ n 2π


ei(x·y) f (y) dy

f.¨ u. im Rn

(30)

Q

richtig. F¨ ur ein beliebiges f ∈ L2 (Rn ) w¨ ahlen wir eine Folge von Quadern Q1 ⊂ Q2 ⊂ . . .

mit

∞  n=1

Q k = Rn

§6 Vollstetige Operatoren im Hilbertraum



und setzen fk (x) =

f (x), x ∈ Qk 0,

x ∈ Rn \ Q k

83

.

ullt, und (26) liefert Damit ist fk − f L2 (Rn ) → 0 (k → ∞) erf¨
1 T f = lim T fk = l.i.m. √ n ei(x·y) f (y) dy, k→∞ 2π

(31)

Qk

Sf = lim Sfk k→∞

1 = l.i.m. √ n 2π




e−i(x·y) f (y) dy.

(32)

Qk

Dabei bedeutet l.i.m. den Limes bez. k → ∞ im quadratischen Mittel, also in der L2 (Rn )-Norm. ¨ Wir fassen die Uberlegungen zusammen zum Satz 2. (Fourier-Plancherel) Gem¨aß (31) existiert der Fouriersche Integraloperator T : L2 (Rn ) → L2 (Rn ) und ist unit¨ar. Ebenso ist der adjungierte Integraloperator aus (32) S : L2 (Rn ) → L2 (Rn ) unit¨ar, und es gilt S ◦T =T ◦S =E

auf

L2 (Rn ).

§6 Vollstetige Operatoren im Hilbertraum David Hilbert verdankt man den folgenden Konvergenzbegriff: Definition 1. Im Hilbertraum H heißt die Folge {xn }n=1,2,... ⊂ H schwach konvergent gegen ein x ∈ H, in Zeichen xn  x (n → ∞), wenn lim (xn , y) = (x, y)

n→∞

f¨ ur alle

y∈H

erf¨ ullt ist. Beispiel 1. Sei {ϕi }i=1,2,... ein orthonormiertes System im Hilbertraum H, so gilt   √ ϕi − ϕj  = (ϕi − ϕj , ϕi − ϕj ) = (ϕi , ϕi ) + (ϕj , ϕj ) = 2 f¨ ur alle i, j ∈ N mit i = j. Somit ist {ϕi }i=1,2,... keine Cauchyfolge bez. der Hilbertraumnorm. Nach der Besselschen Ungleichung gilt jedoch f¨ ur alle f ∈ H ∞  |(ϕi , f )|2 ≤ f 2 < +∞, i=1

84

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

und es folgt f¨ ur alle f ∈ H.

lim (ϕi , f ) = 0 = (0, f )

i→∞

Wir erhalten also ϕi  0 (i → ∞) und beachten noch 0 ≤ lim inf ϕi  = 1. i→∞

Satz 1. (Prinzip der gleichm¨ aßigen Beschr¨ anktheit) Auf dem Hilbertraum H sei eine Folge von beschr¨ankten linearen Funktionalen ur jedes f ∈ H eine Konstante An : H → C, n ∈ N, derart gegeben, daß f¨ cf ∈ [0, +∞) existiert mit der Eigenschaft |An f | ≤ cf ,

n = 1, 2, . . .

(1)

Dann gibt es eine Konstante α ∈ [0, +∞), so daß An  ≤ α

f¨ ur alle

n∈N

(2)

richtig ist. Beweis: 1. Sei A : H → C ein beschr¨ anktes lineares Funktional mit |Af | ≤ c

f¨ ur alle f ∈ H

mit f − f0  ≤ ε;

dabei sind f0 ∈ H, ein ε > 0 und eine Konstante c ≥ 0 gew¨ahlt. Dann gilt A ≤

2c . ε

Setzen wir n¨ amlich x := 1ε (f − f0 ), so folgt x ≤ 1 und ) 1 )1  2c 1 ) ) |Af | + |Af0 | ≤ |Ax| = ) Af − Af0 ) ≤ ε ε ε ε beziehungsweise A ≤ 2c ε . 2. Ist die Behauptung (2) falsch, so k¨ onnen wir mit Hilfe von Teil 1 des Beweises und der Stetigkeit der Funktionale {An }n eine Folge von Kugeln   n ∈ N, Σn := f ∈ H : f − fn  ≤ εn , mit Σ1 ⊃ Σ2 ⊃ . . . und εn ↓ 0 (n → ∞) sowie eine Indexfolge 1 ≤ n1 < n2 < . . . so konstruieren, daß |Anj x| ≥ j

f¨ ur alle x ∈ Σj

und alle j = 1, 2, . . .

richtig ist. Offenbar f¨ uhrt (3) auf einen Widerspruch zu (1).

(3) q.e.d.

§6 Vollstetige Operatoren im Hilbertraum

85

Satz 2. (Schwaches Konvergenzkriterium) Sei die Folge {xn }n=1,2,... ⊂ H in einem Hilbertraum so gegeben, daß f¨ ur alle y ∈ H der Grenzwert lim (xn , y) n→∞

existiert. Dann ist die Folge {xn }n beschr¨ankt und schwach konvergent gegen ein x ∈ H, das heißt xn  x (n → ∞). Beweis: Wir betrachten die beschr¨ ankten linearen Funktionale An (y) := (xn , y),

y ∈ H,

ur n = 1, 2, . . . Da nach Voraussetzung f¨ ur mit den Normen An  = xn  f¨ alle y ∈ H lim An (y) =: A(y) n→∞

existiert, gibt es wegen Satz 1 eine Konstante c ∈ [0, +∞) mit xn  = An  ≤ c f¨ ur alle n ∈ N. Es folgt A ≤ c, und nach dem Darstellungssatz von Fr´echetRiesz gibt es f¨ ur das beschr¨ ankte lineare Funktional A genau ein x ∈ H mit A(y) = (x, y),

y ∈ H.

Wir erhalten lim (xn , y) = lim An (y) = A(y) = (x, y)

n→∞

n→∞

f¨ ur alle y ∈ H

beziehungsweise xn  x (n → ∞).

q.e.d.

Wenn wir auch nach Beispiel 1 aus einer beschr¨ankten Folge im Hilbertraum i.a. keine normkonvergente Teilfolge ausw¨ ahlen k¨onnen, so gilt aber der folgende fundamentale (vgl. Kap. II, § 8, Satz 7 f¨ ur H = L2 (X)) Satz 3. (Hilbertscher Auswahlsatz) Jede beschr¨ankte Folge {xn }n=1,2,... ⊂ H in einem Hilbertraum H enth¨alt eine schwach konvergente Teilfolge {xnk }k=1,2,... . Beweis: 1. Da die Folge {xn }n=1,2,... beschr¨ ankt ist, gibt es eine Konstante c ∈ [0, +∞), so daß xn  ≤ c,

n = 1, 2, . . . ,

(4)

richtig ist. Wegen |(x1 , xn )| ≤ cx1  (1)

f¨ ur alle n ∈ N (1)

finden wir eine Teilfolge {xn }n ⊂ {xn }n , so daß lim (x1 , xn ) existiert. n→∞ Wegen

86

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

|(x2 , x(1) n )| ≤ cx2 

f¨ ur alle n ∈ N

(2) {xn }n

(1)

⊂ {xn }n , f¨ ur die der Grenzwert gibt es eine weitere Teilfolge (2) lim (x2 , xn ) existiert. Die Fortsetzung dieses Verfahrens liefert eine Ketn→∞ te von Teilfolgen (2) (k) {xn }n ⊃ {x(1) n }n ⊃ {xn }n ⊃ . . . ⊃ {xn }n ,

so daß

lim (xi , x(k) n )

n→∞

existiert f¨ ur i = 1, . . . , k. Gem¨ aß dem Cantorschen Diagonalverfahren (k) ur alle i ∈ N die Folge verwenden wir die Folge xk  := xk . Dann ist f¨  {(xi , xk )}k=1,2,... konvergent. Bezeichnen wir mit M den linearen Teilraum aller endlichen Linearkombinationen N (x)

x=



αi xi ,

αi ∈ C,

N (x) ∈ N,

i=1

so existiert

lim (x, xk  )

k→∞

f¨ ur alle x ∈ M.

(5)

2. Gehen wir nun u ¨ber zu dem abgeschlossenen linearen Teilraum M ⊂ M ⊂ H, so existiert auch der Grenzwert lim (y, xk  )

k→∞

f¨ ur alle y ∈ M.

(6)

Man kann n¨ amlich das beschr¨ ankte lineare Funktional A(y) := lim (xk  , y) = lim (y, xk  ), k→∞

k→∞

y ∈ M,

stetig auf den Abschluß M fortsetzen. Nach dem Projektionssatz ist jedes ⊥ y ∈ H darstellbar als y = y1 + y2 mit y1 ∈ M und y2 ∈ M . Hieraus folgt die Existenz von lim (y, xk  ) = lim (y1 + y2 , xk  ) = lim (y1 , xk  )

k→∞

k→∞

k→∞



f¨ ur alle y ∈ H. Somit ist die Folge {xk }k=1,2,... in dem Hilbertraum H schwach konvergent. q.e.d. Bemerkungen zur schwachen Konvergenz: 1. Falls xn → x (n → ∞) stark konvergent ist, d.h. lim xn − x = 0,

n→∞

ur beliebige so ist xn  x (n → ∞) auch schwach konvergent. Denn f¨ y ∈ H gilt |(xn , y) − (x, y)| = |(xn − x, y)| ≤ xn − xy → 0 (n → ∞).

§6 Vollstetige Operatoren im Hilbertraum

87

2. Die Norm ist unterhalbstetig bez. schwacher Konvergenz, das heißt xn  x (n → ∞)

⇒

lim inf xn  ≥ x, n→∞

xn , x ∈ H,

f¨ ur einen reellen Hilbertraum H. Es gilt n¨ amlich xn 2 − x2 = (xn , xn ) − (x, x) = (xn − x, xn + x) = (xn − x, xn − x) + 2(x − xn , x),

n = 1, 2, . . . ,

und somit lim inf xn 2 − x2 = lim inf xn − x2 + 2 lim inf (x − xn , x) ≥ 0 n→∞

n→∞

n→∞

beziehungsweise lim inf xn  ≥ x. n→∞

3. Aus xn  x (n → ∞) und yn → y (n → ∞) folgt (xn , yn ) → (x, y) (n → ∞). Denn wir haben die Absch¨ atzung |(xn , yn ) − (x, y)| = |(xn , yn ) − (xn , y) + (xn , y) − (x, y)| ≤ |(xn , yn − y)| + |(xn − x, y)| ≤ yn − yxn  + |(xn − x, y)| → 0 (n → ∞). Definition 2. Eine Teilmenge Σ ⊂ H eines Hilbertraumes heißt pr¨akompakt, wenn jede Folge {yn }n=1,2,... ⊂ Σ eine stark konvergente Teilfolge {ynk }k=1,2,... ⊂ {yn }n enth¨alt, d.h. lim ynk − ynl  = 0.

k,l→∞

Definition 3. Ein linearer Operator K : H1 → H2 heißt vollstetig bzw. kompakt, wenn die Menge   Σ := y = Kx : x ∈ H1 mit x1 ≤ r ⊂ H2 mit einem gewissen r ∈ (0, +∞) pr¨akompakt ist. Dies bedeutet, jede Folge {xn }n=1,2,... ⊂ H1 mit xn 1 ≤ r, n ∈ N, enth¨alt eine Teilfolge {xnk }k=1,2,... so, daß {Kxnk }k=1,2,... ⊂ H2 stark konvergiert. Bemerkungen: 1. In Definition 3 gen¨ ugt es r = 1 zu w¨ ahlen. 2. Ein vollstetiger linearer Operator K : H1 → H2 ist beschr¨ankt. W¨are das n¨ amlich nicht der Fall, so existiert eine Folge {xn }n=1,2,... ⊂ H1 mit xn 1 = 1, n ∈ N, und Kxn 2 → +∞. Wir k¨ onnen also aus {Kxn }n=1,2,... keine konvergente Teilfolge in H2 ausw¨ ahlen, was im Widerspruch zu Definition 3 steht.

88

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

Satz 4. Sei K : H1 → H2 ein linearer Operator zwischen den Hilbertr¨aumen H1 und H2 . Der Operator K ist genau dann vollstetig, wenn f¨ ur jede schwach konvergente Folge xn  x (n → ∞) in H1 die Aussage Kxn → Kx (n → ∞)

in

H2

folgt. Also ist K genau dann vollstetig, wenn jede schwach konvergente Folge uberf¨ uhrt wird. in H1 in eine stark konvergente Folge in H2 ¨ Beweis: ⇐“ Sei {xn }n=1,2,... ⊂ H1 eine Folge mit xn 1 ≤ 1, n ∈ N. Nach dem ” Hilbertschen Auswahlsatz gibt es eine Teilfolge {xnk }k=1,2,... ⊂ {xn }n mit in H1 . xnk  x (k → ∞) Nach Voraussetzung ist ynk → Kx (k → ∞) f¨ ur ynk := Kxnk , k = 1, 2, . . ., erf¨ ullt. Somit ist K : H1 → H2 vollstetig. ⇒“ Sei nun K vollstetig und {xn }n=1,2,... ⊂ H1 eine Folge mit xn  x = 0, ” (n → ∞). Wir haben dann Kxn → Kx = 0 (n → ∞) in H2 zu zeigen: W¨ are letztere Aussage falsch, so gibt es ein d > 0 und eine Teilfolge {xn  }n ⊂ {xn }n mit Kxn   ≥ d > 0

f¨ ur alle n ∈ N.

Da K vollstetig ist, gibt es eine weitere Teilfolge {xn  }n ⊂ {xn  }

mit Kxn  → y (n → ∞).

Somit erhalten wir in 0 < d2 ≤ (y, y) = lim (y, Kxn  ) = lim (K ∗ y, xn  ) = (K ∗ y, 0) = 0 n→∞

n→∞

einen Widerspruch.

q.e.d.

Bemerkungen zu vollstetigen Operatoren: 1. Ist K : H → H ein beschr¨ ankter linearer Operator mit einem endlichdimensionalen Wertebereich WK := K(H), so ist K vollstetig. 2. Sind T1 : H1 → H2 und T2 : H2 → H3 zwei beschr¨ankte lineare Operatoren, und T1 oder T2 ist vollstetig, dann ist auch der Operator T := T2 ◦ T1 : H1 → H3 vollstetig. Denn ist z.B. T1 vollstetig, so wird die schwach konvergente Folge xn  x (n → ∞) in H1 in die stark konvergente Folge T1 xn → T1 x uhrt. Da T2 stetig ist, folgt (n → ∞) in H2 u ¨ berf¨ T xn = T2 ◦ T1 xn → T2 ◦ T1 x = T x (n → ∞)

in H3 .

§6 Vollstetige Operatoren im Hilbertraum

89

3. Genau dann ist K : H → H auf dem Hilbertraum H vollstetig, wenn K ∗ : H → H vollstetig ist. Beweis: Sei K : H → H vollstetig, so ist auch K ◦ K ∗ vollstetig. F¨ ur eine beliebige Folge {xn }n=1,2,... ⊂ H

mit

xn  ≤ 1, n ∈ N,

gibt es eine Teilfolge {xnk }k=1,2,... , so daß{K ◦ K ∗ xnk }k in H stark konvergiert. Es folgt K ∗ xnk − K ∗ xnl 2 = K ∗ (xnk − xnl )2   = K ∗ (xnk − xnl ), K ∗ (xnk − xnl )   = K ◦ K ∗ (xnk − xnl ), xnk − xnl ≤ K ◦ K ∗ (xnk − xnl )xnk − xnl  → 0 (k, l → ∞). Somit konvergiert {K ∗ xnk }k=1,2,... in H, und K ∗ ist vollstetig. Die Umkehrung folgt aus K = (K ∗ )∗ . 4. Sei A : H → H ein vollstetiger, Hermitescher, linearer Operator auf dem Hilbertraum H. Dann ist die assoziierte Bilinearform (x, y) ∈ H × H,

α(x, y) := (Ax, y) = (x, Ay),

stetig bez. schwacher Konvergenz, das heißt mit xn  x (n → ∞) und yn  y (n → ∞) in H gilt α(xn , yn ) → α(x, y) (n → ∞). Beweis: Dies folgt sofort aus der Bemerkung 3 zur schwachen Konvergenz in Verbindung mit Satz 4. Definition 4. Sei H ein separabler Hilbertraum mit zwei v.o.n.S. ϕ = {ϕi }i=1,2,... ,

ψ = {ψi }i=1,2,... .

Der lineare Operator T : H → H hat eine endliche Quadratnorm, falls . . ∞ N (T ; ϕ, ψ) := / |(T ϕi , ψk )|2 < +∞ i,k=1

richtig ist. Hilfssatz 1. Sei T : H → H ein linearer Operator wie in Definition 4 mit N (T ; ϕ, ψ) < +∞. Dann folgt .∞ . T  ≤ N (T ; ϕ, ψ) = / T ϕi 2 . (7) i=1

90

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

Beweis: Zun¨ achst ist N (T ; ϕ, ψ)2 =

∞ 

|(T ϕi , ψk )|2 =

∞  ∞  i=1

i,k=1

Mit f=

∞ 

∞   |(T ϕi , ψk )|2 = T ϕi 2 .

k=1

i=1

ci ϕi ∈ H

i=1

folgt Tf =

∞ 

ci T ϕi

i=1

und somit T f  ≤

∞ 

|ci |T ϕi .

i=1

Wir erhalten dann .∞ .∞ . . |ci |2 / T ϕi 2 = f N (T ; ϕ, ψ) T f  ≤ / i=1

f¨ ur alle f ∈ H

i=1

und somit T  ≤ N (T ; ϕ, ψ).

q.e.d.

Hilfssatz 2. Seien ϕ = {ϕi }i=1,2,...,

ϕ = {ϕi }i=1,2,... ,

ψ = {ψi }i=1,2,... ,

ψ  = {ψi }i=1,2,...

vollst¨andig orthonormierte Systeme in H, so gilt N (T ; ϕ, ψ) = N (T ; ϕ , ψ  ) =: N (T ). Weiter ist N (T ) = N (T ∗ ) richtig. Beweis: Wir berechnen N (T ; ϕ, ψ)2 =

∞ 

|(T ϕi , ψk )|2 =

=

∞ 

=

∞  i,k=1

|(T ∗ ψk , ϕi )|2

i,k=1

T ∗ ψk 2 =

k=1

∞ 

|(ψk , T ϕi )|2 =

i,k=1

=

T ϕi 2

i=1

i,k=1 ∞ 

∞ 

∞ 

|(T ∗ ψk , ϕi )|2

i,k=1

|(ψk , T ϕi )|2 =

∞  i,k=1

|(T ϕi , ψk )|2 = N (T ; ϕ , ψ  ).

§6 Vollstetige Operatoren im Hilbertraum

Obiger Identit¨ at entnehmen wir auch N (T ) = N (T ∗ ).

91

q.e.d.

Hilfssatz 2 besagt, daß die Quadratnorm unabh¨angig von den gew¨ahlten vollst¨ andig orthonormierten Systemen ist. Beispiel 2. Auf dem Quader   ur i = 1, . . . , n Q := x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : ai ≤ xi ≤ bi f¨ sei der Kern K = K(x, y) : Q × Q → C ∈ L2 (Q × Q, C) mit
|K(x, y)|2 dx dy < +∞

(8)

Q×Q

gegeben. Wie in Beispiel 1 aus § 4 erkl¨ aren wir den Hilbert-Schmidt-Operator
f¨ ur fast alle x ∈ Q. Kf (x) := K(x, y)f (y) dy Q

Gem¨ aß Satz 4 aus § 4 ist K : L2 (Q) → L2 (Q) ein beschr¨ankter linearer Operator mit K ≤ KL2(Q×Q) . Behauptung: Der Hilbert-Schmidt-Operator K hat die endliche Quadratnorm -
. . |K(x, y)|2 dx dy < +∞. (9) N (K) = / Q×Q

Beweis: Sei {ϕi (x)}i=1,2,... ein v.o.n.S. in L2 (Q), so setzen wir
ψi (x) = K(x, y)ϕi (y) dy = Kϕi (x) f.¨ u. in Q f¨ ur i = 1, 2, . . . Q

Wir berechnen ∞ 

∞ )
)2  ) ) |ψi (x)| = ) K(x, y)ϕi (y) dy ) 2

i=1

i=1

=

Q

)2
) ) )(K(x, ·), ϕi )) = |K(x, y)|2 dy,

∞ )  i=1

Q

und der Satz von Fubini liefert

∞ ∞
 2 2 |K(x, y)| dx dy = |ψi (x)| dx = |ψi (x)|2 dx Q i=1

Q×Q

=

∞  i=1

i=1 Q

Kϕi 2 = N (K)2 .

q.e.d.

92

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

Von zentraler Bedeutung ist nun der Satz 5. Auf dem separablen Hilbertraum H sei T : H → H ein linearer Operator mit endlicher Quadratnorm N (T ) < +∞. Dann ist T : H → H vollstetig. Beweis: Sei fn  f = 0 (n → ∞) schwach konvergent. Ist {ϕi }i=1,2,... ein v.o.n.S. in H, so haben wir die Darstellung fn =

∞ 

cin ϕi

i=1

mit lim ci n→∞ n und

∞ 

=0

f¨ ur

|cin |2 ≤ M 2

i = 1, 2, . . .

f¨ ur

(10)

n = 1, 2, . . .

(11)

i=1

Nach Hilfssatz 1 ist T : H → H stetig, so daß folgt T fn =

∞ 

cin T ϕi

i=1

und N ∞          cin T ϕi  +  cin T ϕi  T fn ≤  i=N +1

i=1

.  N ∞   .  . . ∞   i i 2 / ≤ cn T ϕi  + |cn | / T ϕi 2 . i=1

i=1

i=N +1

Mit Hilfe von (11) erhalten wir also .  N   . ∞   T fn ≤  cin T ϕi  + M / T ϕi 2 ,

n = 1, 2, . . .

(12)

i=N +1

i=1

Wir w¨ ahlen nun zu vorgegebenem ε > 0 ein N = N (ε) ∈ N so groß, daß .  . ∞ M/ T ϕi 2 ≤ ε i=N +1

ausf¨ allt. Wegen (10) k¨ onnen wir dann ein n0 = n0 (ε) ∈ N so w¨ahlen, daß (ε)  N   i cn T ϕi  ≤ ε  i=1

f¨ ur alle n ≥ n0

§6 Vollstetige Operatoren im Hilbertraum

93

erf¨ ullt ist. Insgesamt erhalten wir T fn  ≤ 2ε

f¨ ur alle n ≥ n0

zu gegebenem ε > 0 und somit T fn → 0 (n → ∞).

q.e.d.

Bemerkung: Gem¨aß Satz 5 sind insbesondere die Hilbert-Schmidt-Operatoren vollstetig. Definition 5. Ist K : H → H ein vollstetiger Operator auf dem Hilbertraum H, so nennen wir T := E − K : H → H mit T x := Ex − Kx = x − Kx,

x ∈ H,

den zugeh¨origen Fredholmoperator. Wir beweisen nun mit dem Satz von F. Riesz den bedeutenden Satz 6. (Fredholm) Sei K : H → H ein vollstetiger linearer Operator auf dem Hilbertraum H mit dem zugeh¨origen Fredholmoperator T := E − K. Dann gelten die folgenden Aussagen: i) F¨ ur die Kerne

  NT := x ∈ H : T x = 0

von T und

  NT ∗ := x ∈ H : T ∗ x = 0

von T ∗ = E − K ∗ gilt ω := dim NT = dim NT ∗ ∈ N0 = N ∪ {0}.

(13)

ii) Die Operatorgleichung x − Kx = T x = y,

x ∈ H,

(14)

ist f¨ ur y ∈ H genau dann l¨osbar, wenn y ∈ NT⊥∗ ist, also (y, z) = 0

f¨ ur alle

z ∈ NT ∗

(15)

erf¨ ullt ist. iii) Falls ω = 0 gilt, existiert die beschr¨ankte Inverse T −1 : H → H. Beweis: 1. Wir zeigen zun¨ achst dim NT < +∞. W¨ are das nicht der Fall, so existiert ein orthonormiertes System {ϕi }i=1,2,... mit 0 = T ϕi = ϕi − Kϕi ,

i = 1, 2, . . .

94

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

Da K vollstetig ist, gibt es eine Teilfolge {ϕij }j=1,2,... ⊂ {ϕi }i mit ϕij → ϕ (j → ∞) in H. Dies widerspricht aber der Aussage √ ϕi − ϕj  = 2 f¨ ur alle i, j ∈ N mit i = j. Also ist dim NT ∈ N0 . Da mit K auch K ∗ vollstetig ist, gilt ebenso dim NT ∗ ∈ N0 . Wir zerlegen nun H in die abgeschlossenen linearen Teilr¨aume H = NT⊥ ⊕ NT .

(16)

Weiter nehmen wir an dim NT ≤ dim NT ∗ . Denn w¨ are das nicht der Fall, k¨ onnten wir T durch T ∗ ersetzen und T ∗ ∗∗ durch T = T . Schließlich setzen wir WT := T (H) und

WT ∗ := T ∗ (H).

2. Nun gilt y ∈ WT⊥ genau dann, wenn 0 = (y, T x) = (T ∗ y, x)

f¨ ur alle x ∈ H

∗

richtig ist, also T y = 0 beziehungsweise y ∈ NT ∗ . Somit folgt NT ∗ = WT⊥

bzw. WT = NT⊥∗ .

(17)

Insbesondere ist der Wertebereich von T abgeschlossen in H. Seien nun {ϕ1 , . . . , ϕd } ⊂ NT eine orthonormierte Basis in NT und {ψ1 , . . . , ψd∗ } ⊂ NT ∗ eine orthonormierte Basis in NT ∗ mit 0 ≤ d ≤ d∗ < +∞. Wir modifizieren T zu einem Fredholmoperator Sx := T x −

d 

(ϕi , x)ψi ,

x ∈ H.

(18)

i=1

Offenbar ist wegen (16) und (17) f¨ ur den Kern von S   NS = x ∈ H : Sx = 0 = {0} richtig. Nach dem Satz von F. Riesz aus Kapitel VII, § 4, Satz 4 ist dann S : H → H surjektiv. Hieraus folgt d∗ = d und somit dim NT = dim NT ∗ . Weiter ist T : NT⊥ → NT⊥∗ umkehrbar. Im Spezialfall ω = dim NT = dim NT ∗ = 0 existiert nach dem oben genannten Satz von F. Riesz die beschr¨ankte Inverse auf dem gesamten Hilbertraum H. q.e.d.

§6 Vollstetige Operatoren im Hilbertraum

95

Bemerkung: Satz 6 gilt insbesondere f¨ ur lineare Operatoren K : H → H auf dem separablen Hilbertraum H mit endlicher Quadratnorm N (K) < +∞. Wir k¨ onnen dann die Dimension des Kerns von T gem¨aß dim NT ≤ N (K)2

(19)

absch¨ atzen. Ist n¨amlich {ϕ1 , . . . , ϕd } ein orthonormiertes System in NT , so erweitern wir dieses zu einem v.o.n.S. {ϕi }i=1,2,... in H und erhalten N (K)2 =

∞ 

Kϕi 2 ≥

i=1

=

d 

d 

Kϕi 2

i=1

ϕi 2 = d = dim NT .

i=1

Wir notieren nun unsere Ergebnisse speziell f¨ ur Hilbert-Schmidt-Operatoren im folgenden Satz 7. (D. Hilbert - E. Schmidt) Auf dem Quader Q = [a1 , b1 ] × . . . × [an , bn ] sei der Integralkern K = K(x, y) : Q × Q → C ∈ L2 (Q × Q) gegeben. Dann gilt f¨ ur die linearen Teilr¨aume von L2 (Q)
N : K(x, y)f (y) dy = f (x), f ∈ L2 (Q), Q

N∗ :




K ∗ (x, y)ψ(y) dy = ψ(x),

ψ ∈ L2 (Q),

Q

mit K ∗ (x, y) := K(y, x), (x, y) ∈ Q × Q, die Aussage
dim N = dim N ∗ ≤ |K(x, y)|2 dx dy < +∞. Q×Q

F¨ ur ein vorgegebenes f (x) ∈ L2 (Q) ist die Integralgleichung
u(x) − K(x, y)u(y) dy = f (x), u ∈ L2 (Q), Q

genau dann l¨osbar, wenn
f (x)ψ(x) dx = 0 Q

erf¨ ullt ist.

f¨ ur alle

ψ ∈ N∗

(20)

96

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

Beweis: Der Hilbert-Schmidt-Operator
Kf (x) := K(x, y)f (y) dy,

f ∈ L2 (Q),

Q

hat die endliche Operatornorm -
. . N (K) = /

|K(x, y)|2 dx dy < +∞.

Q×Q

Er ist also gem¨ aß Satz 5 vollstetig und hat den adjungierten Operator
f ∈ L2 (Q). K∗ f (x) := K ∗ (x, y)f (y) dy, Q

Wir k¨ onnen somit dem Satz 6 und der anschließenden Bemerkung die Aussagen entnehmen. q.e.d. In dem beschr¨ ankten Gebiet G ⊂ Rn betrachten wir die schwach singul¨aren Kerne K = K(x, y) ∈ Sα (G, C) aus § 1, Definition 1 mit α ∈ [0, n) und ihre zugeh¨origen Integraloperatoren
x ∈ G, Kf (x) := K(x, y)f (y) dy, (21) G f ∈ D := C 0 (G, C) ∩ L∞ (G, C).

f¨ ur

Hilfssatz 3. Sei K = K(x, y) ∈ Sα (G, C) mit den Eigenschaften
|K(x, y)| dy ≤ M, x ∈ G, G




(22) |K(x, y)| dx ≤ N,

y ∈ G,

G

gegeben. Dann ist K : H → H von D auf den Hilbertraum H = L2 (G, C) fortsetzbar, und es gilt √ K ≤ M N . Beweis: F¨ ur beliebige f, g ∈ D sch¨ atzen wir wie folgt ab:

§6 Vollstetige Operatoren im Hilbertraum

97

)

 ) ) ) |(g, Kf )| = ) g(x) K(x, y)f (y) dy dx) G


≤

G

|K(x, y)||g(x)||f (y)| dx dy G⊗G






=

  1 1 |K(x, y)| 2 |g(x)| |K(x, y)| 2 |f (y)| dx dy

G⊗G

≤




2

|K(x, y)||g(x)| dx dy

G⊗G


=

|g(x)|2

G




 12 


|K(x, y)||f (y)|2 dx dy

 12

G⊗G


 12 
  12 |K(x, y)| dy dx |f (y)|2 |K(x, y)| dx dy 

G

G

G

-
-
. . √ √ . . ≤ M N / |g(x)|2 dx/ |f (y)|2 dy = M N gf . G

G

Somit ist K : H → H erkl¨ art mit K ≤ Sei

√ MN.

q.e.d.

⎧ 0≤t≤1 ⎪ ⎨ 0, Θ(t) := t − 1, 1 ≤ t ≤ 2 ⎪ ⎩ 1, 2≤t

erkl¨ art, so betrachten wir zu K = K(x, y) ∈ Sα (G, C) und δ ∈ (0, δ0 ) die stetigen Kerne  |x − y|  , (x, y) ∈ G × G, (23) Kδ (x, y) := K(x, y) Θ δ mit den zugeh¨ origen Integraloperatoren Kδ . Nach Satz 5 ist f¨ ur alle δ ∈ (0, δ0 ) der Operator Kδ : H → H vollstetig, und mit Hilfssatz 3 stellen wir leicht fest, daß Kδ − K → 0 (δ → 0).

(24)

richtig ist. Die Vollstetigkeit von K ersehen wir aus dem folgenden Hilfssatz 4. Auf dem Hilbertraum H sei die Folge von vollstetigen Operatoren Aj : H → H, j = 1, 2, . . ., gegeben, die gem¨aß Aj − A → 0 (j → ∞) gegen den beschr¨ankten linearen Operator A : H → H konvergieren. Dann ist A : H → H vollstetig. Beweis: Sei {xk }k=1,2,... ⊂ H eine Folge mit xk  ≤ 1 f¨ ur alle k ∈ N, so gibt es (1) (1) eine Teilfolge {xk }k ⊂ {xk }k , so daß {A1 xk }k=1,2,... ⊂ H konvergiert. Wei(2) (1) (2) terhin gibt es eine Folge {xk }k ⊂ {xk }k , so daß {A2 xk }k ⊂ H konvergiert.

98

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

Wir w¨ ahlen so sukzessive Teilfolgen (1)

(2)

{xk } ⊃ {xk } ⊃ . . . (k)

aus und gehen zu der Diagonalfolge xk := xk , k = 1, 2, . . ., u ¨ber. Wir zeigen, daß dann auch {Axk }k=1,2,... in H konvergiert: Zun¨achst sch¨atzen wir ab Axk − Axl  ≤ Axk − Aj xk  + Aj xk − Aj xl  + Aj xl − Axl  ≤ A − Aj xk  + Aj xk − Aj xl  + Aj − Axl .

(25)

Zu einem vorgegebenen ε > 0 w¨ ahlen wir nun j ∈ N so groß, daß A−Aj  ≤ ε richtig ist. Ferner w¨ ahlen wir ein N = N (ε) ∈ N, so daß gilt Aj xk − Aj xl  ≤ ε

f¨ ur alle k, l ≥ N.

Wir erhalten dann aus (25) die Ungleichung Axk − Axl  ≤ 2ε + ε = 3ε

f¨ ur alle k, l ≥ N (ε).

Somit konvergiert {Axk }k=1,2,... in H.

q.e.d.

Satz 8. (Schwach singul¨ are Integralgleichungen) Auf dem beschr¨ankten Gebiet G ⊂ Rn sei der schwach singul¨are Kern K = K(x, y) der Klasse Sα (G, C) mit α ∈ [0, n) und dem Integraloperator K gegeben. Dann ist f¨ ur die Nullr¨aume
K(x, y)ϕ(y) dy = ϕ(x), x ∈ G; ϕ ∈ D N : ∗

G


K(x, y)ψ(x) dx = ψ(y), y ∈ G;

N :

ψ∈D

G

die Aussage dim N = dim N ∗ < +∞ erf¨ ullt. Die Integralgleichung
u(x) − K(x, y)u(y) dy = f (x), x ∈ G; u ∈ D,

(26)

G

ist zu einem vorgegebenen f ∈ D genau dann l¨osbar, wenn gilt
ψ(x)f (x) = 0 f¨ ur alle ψ ∈ N ∗ .

(27)

G

Beweis: Wegen Hilfssatz 4 ist der Integraloperator K : H → H vollstetig, und der Fredholmsche Satz 6 kann im Hilbertraum H = L2 (G, C) angewendet werden. Zu zeigen bleibt, daß (26) in D l¨ osbar ist. Sei also u ∈ H eine L¨osung der Integralgleichung Eu − Ku = f (28)

§7 Spektraltheorie vollstetiger Hermitescher Operatoren

99

mit der stetigen rechten Seite f ∈ D. Nach dem Satz von I. Schur u ¨ ber iterierte Kerne (§ 2, Satz 4) gibt es ein k ∈ N, so daß Kk = L mit einem Kern L = L(x, y) ∈ S0 (G, C) richtig ist. Nach Satz 2 aus § 2 ist Lu ∈ D erf¨ ullt. Nun erhalten wir mit (28) die Identit¨ at Eu − Lu = Eu − Kk u = (E + K + . . . + Kk−1 )f =: g.

(29)

Gem¨ aß § 2, Satz 2 gilt E+K+. . .+K : D → D und somit g ∈ D. Schließlich folgt u = g + Lu ∈ D. q.e.d. k−1

§7 Spektraltheorie vollstetiger Hermitescher Operatoren Zun¨ achst betrachten wir das folgende Beispiel 1. Auf dem Hilbertraum H = L2 ((0, 1), C) mit dem inneren Produkt
1 f, g ∈ H,

f (x)g(x) dx,

(f, g) = 0

erkl¨ aren wir den linearen Operator Af (x) := xf (x), Wegen 2


1

2

x ∈ (0, 1);

f = f (x) ∈ H.


1

x f (x)f (x) dx ≤

Af  = 0

|f (x)|2 dx = f 2

0

ist A beschr¨ ankt mit A ≤ 1. Weiter ist A symmetrisch, denn es gilt
1 xf (x)g(x) dx = (f, Ag)

(Af, g) =

f¨ ur alle f, g ∈ H.

0

Wir behaupten nun, daß A keinen Eigenwert besitzt. Aus Af = λf folgt n¨ amlich (x − λ)f (x) = 0 f.¨ u. in (0, 1) und damit f (x) = 0 f.¨ u. in (0, 1) beziehungsweise f = 0 ∈ H. Satz 1. Sei A : H → H ein vollstetiger Hermitescher Operator auf dem Hilbertraum H. Dann gibt es ein ϕ ∈ H mit ϕ = 1 und ein λ ∈ R mit |λ| = A, so daß gilt Aϕ = λϕ. Somit ist +A oder −A Eigenwert von A. Weiter haben wir die folgende Absch¨atzung: |(x, Ax)| ≤ |λ|(x, x) f¨ ur alle x ∈ H. (1)

100

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

Beweis: 1. Zun¨ achst zeigen wir A =

sup x∈H, x =1

|(Ax, x)|.

(2)

Der Absch¨ atzung |(Ax, x)| ≤ Ax x ≤ A x2 = A f¨ ur alle x ∈ H mit x = 1 entnehmen wir sofort sup x∈H, x =1

|(Ax, x)| ≤ A.

Um die umgekehrte Ungleichung zu beweisen, w¨ahlen wir ein beliebiges α ∈ [0, +∞), so daß gilt |(Ax, x)| ≤ αx2

f¨ ur alle x ∈ H.

F¨ ur beliebige f, g ∈ H berechnen wir (A(f + g), f + g) − (A(f − g), f − g) = 2{(Af, g) + (Ag, f )} = 4 Re(Af, g) und damit 4| Re(Af, g)| ≤ |(A(f + g), f + g)| + |(A(f − g), f − g)| ≤ α{f + g2 + f − g2 } = 2α{f 2 + g2 }. Wir ersetzen nun

0 f=

y x, x

0 g=e

iϕ

x y y

mit geeignetem ϕ ∈ [0, 2π), so daß folgt   y x 2 2 4|(Ax, y)| ≤ 2α x + y = 4αx y x y beziehungsweise |(Ax, y)| ≤ αx y

f¨ ur alle x, y ∈ H.

Speziell f¨ ur y = Ax ergibt sich Ax2 ≤ αx Ax

bzw.

Ax ≤ αx

f¨ ur alle x ∈ H, also A ≤ α. Wir erhalten somit  ( |(Ax, x)| ≤ αx2 sup |(Ax, x)| = inf α ∈ [0, +∞) : ≥ A. f¨ ur alle x ∈ H x∈H, x =1

§7 Spektraltheorie vollstetiger Hermitescher Operatoren

101

2. Wir betrachten nun das Variationsproblem A =

|(Ax, x)| = sup |(Ax, x)| x2 x∈H\{0} x∈H, x =1

(3)

sup

und nehmen o.E. A = 0 an. Sei {xn }n=1,2,... ⊂ H eine Folge mit xn  = 1 f¨ ur alle n ∈ N und mit |(Axn , xn )| → A (n → ∞). Dann gibt es eine Teilfolge {xn }n=1,2,... ⊂ {xn }n=1,2,... und ein x ∈ H mit x ≤ 1, so daß xn  x (n → ∞) und (Axn , xn ) → λ ∈ {−A, A} richtig ist. Da die Bilinearform (y, z) → (Ay, z) schwach stetig ist, folgt 0 = λ = lim (Axn , xn ) = (Ax, x), n→∞

also x = 0. Nun gilt x = 1, denn w¨ are x < 1, so erhalten wir |(Ax, x)| |λ| = A > x2 1 im Widerspruch zu (3). 3. Wir nehmen nun o.E. λ = +A an, und x ∈ H mit x = 1 sei die in Teil 2 des Beweises gefundene L¨ osung des Variationsproblems (3). Wir haben also (Ax, x) = λx2 . F¨ ur ein beliebiges y ∈ H gibt es dann ein ε0 = ε0 (y) > 0, so daß f¨ ur alle ε ∈ (−ε0 , ε0 ) gilt (A(x + εy), x + εy) ≤ λ(x + εy, x + εy) beziehungsweise (Ax, x) + ε{(Ax, y) + (Ay, x)} ≤ λx2 + ελ{(x, y) + (y, x)} + o(ε). Hieraus folgt ε Re(Ax − λx, y) ≤ o(ε), also Re(Ax − λx, y) ≤ o(1) f¨ ur alle y ∈ H. Somit muß Re(Ax − λx, y) = 0

f¨ ur alle y ∈ H

erf¨ ullt sein und insbesondere Ax = λx.

q.e.d.

102

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

Satz 2. (Spektralsatz von F. Rellich) Vorgelegt sei ein vollstetiger Hermitescher Operator A : H → H auf dem Hilbertraum H, und es gelte A = 0. Dann gibt es ein endliches oder abz¨ahlbar unendliches System von orthonormierten Elementen {ϕi }i=1,2,... in H, so daß folgendes gilt: a) Die ϕi sind Eigenelemente zu den Eigenwerten λi ∈ R mit A = |λ1 | ≥ |λ2 | ≥ |λ3 | ≥ . . . > 0, d.h. es gilt Aϕi = λi ϕi ,

i = 1, 2, . . .

Falls {ϕi }i unendlich ist, haben wir das asymptotische Verhalten lim λi = 0.

i→∞

b) F¨ ur alle x ∈ H gelten die Darstellungen   Ax = λi (ϕi , x)ϕi und (x, Ax) = λi |(ϕi , x)|2 . i=1,2,...

i=1,2,...

Bemerkung: Dieser Satz gilt auch in nichtseparablen Hilbertr¨aumen. Falls {ϕi }i=1,...,N endlich ist, reduzieren sich die Reihen auf Summen. Beweis von Satz 2: Wegen A > 0 gibt es nach Satz 1 ein ϕ1 ∈ H mit ϕ1  = 1, f¨ ur das gilt λ1 ∈ {−A, +A}, Aϕ1 = λ1 ϕ1 , und wir haben |(Ax, x)| ≤ |λ1 |(x, x)

f¨ ur alle x ∈ H.

Wir nehmen nun an, wir h¨ atten bereits m ≥ 1 orthonormierte Eigenelemente ϕ1 , . . . , ϕm mit den zugeh¨ origen Eigenwerten λ1 , . . . , λm ∈ R gefunden, und diese erf¨ ullen die Eigenschaft a). Wir betrachten dann den vollstetigen Hermiteschen Operator Bm x = Ax −

m 

λi (ϕi , x)ϕi .

i=1

1.Fall: Es gilt Bm = 0. Dann haben wir die Darstellung Ax =

m  i=1

λi (ϕi , x)ϕi .

§7 Spektraltheorie vollstetiger Hermitescher Operatoren

103

2.Fall: Es gilt Bm = 0. Nach Satz 1 gibt es ein ϕ ∈ H mit ϕ = 1, so daß Bm ϕ = λϕ, also m  Aϕ − λi (ϕi , ϕ)ϕi = λϕ i=1

mit |λ| = Bm  > 0 erf¨ ullt ist. Multiplikation mit ϕk , k ∈ {1, . . . , m}, von links liefert λ(ϕk , ϕ) = (ϕk , Aϕ) − λk (ϕk , ϕ) = (Aϕk , ϕ) − λk (ϕk , ϕ) = λk (ϕk , ϕ) − λk (ϕk , ϕ) = 0,

k = 1, . . . m.

Somit ist auch das System {ϕ1 , . . . , ϕm , ϕ} orthonormiert, und wir setzen ϕm+1 := ϕ und λm+1 := λ = 0. Nun gilt |λm+1 | ≤ |λm |. Da n¨amlich nach Konstruktion die Absch¨ atzung |(x, Bm x)| ≤ |λm |(x, x)

f¨ ur alle x ∈ H

erf¨ ullt ist, erhalten wir f¨ ur x = ϕm+1 |λm | ≥ |(ϕm+1 , Bm ϕm+1 )| = |(ϕm+1 , λm+1 ϕm+1 )| = |λm+1 |. Wir nehmen nun an, daß das oben beschriebene Verfahren nicht abbricht. Da {ϕi }i orthonormiert ist, gilt ϕi  0 (i → ∞), und die Vollstetigkeit von A liefert |λi | = Aϕi  → 0 (i → ∞). Schließlich erhalten wir wegen Bm  = |λm+1 | die Aussage m      λi (ϕi , ·)ϕi  = |λm+1 | → 0 (m → ∞) A −

(4)

i=1

und somit Ax =

∞ 

λi (ϕi , x)ϕi ,

x ∈ H.

i=1

Also sind alle y = Ax, x ∈ H, in der Form ∞  y= (ϕi , y)ϕi i=1

darstellbar, d.h. das System {ϕi }i=1,2,... ist in W A = A(H) vollst¨andig. q.e.d. Satz 3. Auf dem separablen Hilbertraum H sei der Hermitesche Operator A : H → H mit endlicher Quadratnorm N (A) < +∞ und mit A = 0 erkl¨art. A besitze ein abz¨ahlbar unendliches System von orthonormierten Eigenelementen

104

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

{ϕi }i=1,2,... und Eigenwerten {λi }i=1,2,... mit den Eigenschaften a) und b) aus Satz 2. Wir setzen An f := Af −

n 

λi (ϕi , f )ϕi ,

n = 1, 2, . . .

i=1

Dann ist die Folge der Quadratnormen ∞ 

N (An )2 =

λ2i ,

n = 1, 2, . . .

i=n+1

eine Nullfolge. Beweis: Wegen N (A) < +∞ ist A : H → H vollstetig, und nach Satz 2 gilt die Darstellung y=

∞ 

f¨ ur alle y ∈ WA .

(ϕi , y)ϕi

i=1

Wir haben die Zerlegung H = W A ⊕ NA . Denn y ∈ NA beziehungsweise Ay = 0 gilt genau dann, wenn 0 = (Ay, x) = (y, Ax)

f¨ ur alle x ∈ H

⊥ erf¨ ullt ist, das heißt NA = WA .

Sei nun {ψi }i=1,2,... ein v.o.n.S. in NA . Dann ist {ϕi }i ∪ {ψi }i ein v.o.n.S. in H. Damit berechnen wir N (A)2 =

∞ 

Aϕi 2 +

i=1

∞ 

Aψi 2 =

i=1

∞ 

λ2i < +∞

i=1

und schließlich N (An )2 =

∞ 

An ϕi 2 +

i=1

∞  i=1

An ψi 2 =

∞  i=n+1

λ2i → 0 (n → ∞). q.e.d.

Wir spezialisieren nun die S¨ atze 2 und 3 auf Hilbert-Schmidt-Operatoren und erhalten sofort den Satz 4. (Spektralsatz von D. Hilbert und E. Schmidt) Auf dem Quader Q ⊂ Rn , n ∈ N, sei K = K(x, y) : Q × Q → C ∈ L2 (Q × Q) ein Integralkern mit
|K(x, y)|2 dx dy > 0

Q×Q

und mit

§8 Das Sturm-Liouvillesche Eigenwertproblem

K(y, x) = K(x, y)

f¨ ur fast alle

(x, y) ∈ Q × Q.

105

(5)

Dann gibt es ein endliches oder abz¨ahlbar unendliches System von Eigenfunktionen {ϕi (x)}i=1,2,... ⊂ L2 (Q, C) mit zugeh¨origen Eigenwerten {λi }i=1,2,... ⊂ R, so daß die Integral-Eigenwert-Gleichung
K(x, y)ϕi (y) dy = λi ϕi (x) f¨ ur fast alle x ∈ Q (6) Q

mit i = 1, 2, . . . erf¨ ullt ist. F¨ ur die Eigenwerte gilt |λ1 | ≥ |λ2 | ≥ . . . > 0

und

lim λi = 0.

i→∞

(7)

Weiter haben wir die Beziehungen


|K(x, y)|2 dx dy =

Q×Q

∞ 

λ2i < +∞

(8)

i=1

und


n ∞ )2 )   ) ) λi ϕi (x)ϕi (y)) dx dy = λ2i → 0 (n → ∞). )K(x, y) − i=1

Q×Q

(9)

i=n+1

§8 Das Sturm-Liouvillesche Eigenwertproblem Wir ben¨ otigen im folgenden den Satz 1. (Eigenwertproblem f¨ ur schwach singul¨ are Integraloperatoren) Auf dem beschr¨ankten Gebiet G ⊂ Rn sei der schwach singul¨are Kern K = K(x, y) ∈ Sα (G, C) mit α ∈ [0, n) gegeben, und es gelte K(x, y) ≡ 0 und f¨ ur alle (x, y) ∈ G ⊗ G. K(x, y) = K(y, x) Den zugeh¨origen Integraloperator bezeichnen wir mit K und erkl¨aren als Definitionsbereich   D := f ∈ C 0 (G, C) : sup |f (x)| < +∞ . x∈G

Behauptungen: Dann gibt es ein endliches oder abz¨ahlbar unendliches orthonormiertes System {ϕi }i∈I ⊂ D und Eigenwerte λi ∈ R \ {0}, i ∈ I, so daß
K(x, y)ϕi (y) dy = λi ϕi (x), x ∈ G, i ∈ I, (1) G

106

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

erf¨ ullt ist. Falls I = {1, 2, . . .} abz¨ahlbar unendlich ist, haben wir lim λi = 0,

(2)

i→∞

und es kann jedes g = Kf mit f ∈ D im quadratischen Mittel gem¨aß
) n )2  ) ) lim gi ϕi (x)) dx = 0 )g(x) − n→∞

(3)

i=1

G

approximiert werden. Dabei haben wir
gi := ϕi (x)g(x) dx,

i ∈ I,

(4)

G

f¨ ur die Fourierkoeffizienten gesetzt. Wird zus¨atzlich α ∈ [0, n2 ) vorausgesetzt, so kann g = Kf mit f ∈ D in die gleichm¨aßig konvergente Reihe g(x) =

∞ 

gi ϕi (x),

x ∈ G,

(5)

i=1

entwickelt werden. Beweis: Wie im Beweis von Satz 8 aus § 6 ausgef¨ uhrt wurde, ist K : H → H auf dem Hilbertraum H = L2 (G, C) vollstetig, und es gilt die Regularit¨atsaussage Eu − Ku = v

mit u ∈ H und v ∈ D

⇒

u ∈ D.

(6)

Nach dem Rellichschen Spektralsatz aus § 7, Satz 2 besitzt K ein endliches oder abz¨ ahlbar unendliches System von orthonormierten Eigenfunktionen {ϕi }i=1,2,... ⊂ H. Dann gilt f¨ ur alle i = 1, 2, . . .
K(x, y)ϕi (y) dy = λi ϕi (x), x ∈ G, G

mit |λ1 | ≥ |λ2 | ≥ . . . > 0 und mit λi → 0 (i → ∞), falls es unendlich viele Eigenfunktionen gibt. Nach der Regularit¨atsaussage (6) folgt ϕi ∈ D, i = 1, 2, . . . Ferner gilt f¨ ur g = Kf mit beliebigem f ∈ D im Hilbertraum die Identit¨ at   g = Kf = λi (ϕi , f )ϕi = (Kϕi , f )ϕi i=1,2,...

=



(ϕi , Kf )ϕi =

i=1,2,...

i=1,2,...



(ϕi , g)ϕi

i=1,2,...

beziehungsweise (3) mit den in (4) erkl¨ arten Fourierkoeffizienten gi . Falls zus¨ atzlich α ∈ [0, n2 ) vorausgesetzt wird, ist K : L2 (G) → C 0 (G) nach Satz 2 aus § 2 ein beschr¨ ankter linearer Operator mit

§8 Das Sturm-Liouvillesche Eigenwertproblem

Kf C 0 (G) ≤ Cf L2 (G)

107

f¨ ur alle f ∈ D.

Somit wird die im Hilbertraum H = L2 (G, C) konvergente Reihe  (ϕi , f )ϕi i=1,2,...

durch K in die gleichm¨ aßig konvergente Reihe     λi (ϕi , f )ϕi = K (ϕi , f )ϕi = g i=1,2,...

i=1,2,...

u uhrt. ¨ berf¨

q.e.d.

Satz 2. (Entwicklungssatz f¨ ur Integralkerne) Sei K = K(x, y) : G × G → C ein Hermitescher Integralkern der Klasse ur den zugeh¨origen Integraloperator S0 (G, C), welcher auf G × G stetig ist. F¨ K gelte (f, Kf ) ≥ 0 f¨ ur alle f ∈ D. (7) Dann haben wir in jedem Kompaktum Γ ⊂ G die gleichm¨aßig konvergente Reihendarstellung K(x, y) =

∞ 

λi ϕi (x)ϕi (y),

(x, y) ∈ Γ × Γ.

(8)

i=1

Beweis: 1. Wir zeigen zun¨ achst, daß K(x, x) ≥ 0

f¨ ur alle x ∈ G

(9)

erf¨ ullt ist. Hierzu verwenden wir eine Funktion ϕ = ϕ(y) : Rn → [0, +∞) ∈ 0 C (Rn ) mit
ϕ(y) = 0, |y| ≥ 1, und ϕ(y) dy = 1. Rn

Zu beliebigem δ > 0 betrachten wir die approximativen Punktmassen um x∈G  1 1 fδ (y) := n ϕ (y − x) , y ∈ Rn . δ δ Einsetzen von fδ ∈ D in (7) liefert

108

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum



0 ≤ (fδ , Kfδ ) =

fδ (y)K(y, z)fδ (z) dy dz Rn Rn





=

K(x, x)fδ (y)fδ (z) dy dz Rn

Rn



(K(y, z) − K(x, x))fδ (y)fδ (z) dy dz

+ Rn

Rn



(K(y, z) − K(x, x))fδ (y)fδ (z) dy dz.

= K(x, x) + Rn

Rn

Da der zweite Anteil auf der rechten Seite f¨ ur δ → 0 verschwindet, folgt (9). 2. Wir zeigen nun die Richtigkeit von 0≤

∞ 

λi |ϕi (x)|2 ≤ K(x, x) < +∞

f¨ ur alle x ∈ G.

(10)

i=1

Wir erkl¨ aren den Integralkern KN (x, y) := K(x, y) −

N 

λi ϕi (x)ϕi (y)

i=1

mit dem zugeh¨ origen Integraloperator KN . Letzterer erf¨ ullt (f, KN f ) =

∞ 

λi |(ϕi , f )|2 ≥ 0

f¨ ur alle f ∈ D.

i=N +1

Aus Teil 1 des Beweises erhalten wir KN (x, x) ≥ 0 f¨ ur alle x ∈ G beziehungsweise N  K(x, x) ≥ λi ϕi (x)ϕi (x), x ∈ G, i=1

f¨ ur alle N ∈ N, woraus (10) folgt. 3. Sei nun x ∈ G fest gew¨ ahlt. Dann k¨ onnen wir f¨ ur beliebiges ε > 0 .  .  ∞  . ∞ . ∞ 2 / |λi ϕi (x)ϕi (y)| ≤ λi |ϕi (x)| / λi |ϕi (y)|2 i=N +1

i=N +1

i=N +1

' ≤ ε K(y, y) ≤ ε · const,

y ∈ G,

f¨ ur alle N ≥ N0 (ε) absch¨ atzen. Also gilt f¨ ur jedes feste x ∈ G: Die Reihe

Φ(y) :=

∞ 

λi ϕi (x)ϕi (y) konvergiert gleichm¨aßig in G.

i=1

(11)

§8 Das Sturm-Liouvillesche Eigenwertproblem

109

4. Gem¨ aß Satz 4 aus § 7 haben wir die Beziehung K(x, y) =

∞ 

λi ϕi (x)ϕi (y)

(12)

i=1

ur beliebiges x ∈ G und f ∈ C00 (G) erhalten wir im L2 (G × G, C)-Sinne. F¨ mit (11) und (12) die Identit¨ at
 N


K(x, y)f (y) dy = lim

N →∞

G

i=1

G

=


 ∞ G

 λi ϕi (x)ϕi (y) f (y) dy

 λi ϕi (x)ϕi (y) f (y) dy.

i=1

Hieraus folgt
 ∞   λi ϕi (x)ϕi (y) f (y) dy = 0 K(x, y) −

f¨ ur alle f ∈ C00 (G).

i=1

G

Da K ∈ C 0 (G × G) gilt und die Reihe im Integranden stetig in y ∈ G ist, haben wir die punktweise Identit¨ at K(x, y) =

∞ 

f¨ ur alle x, y ∈ G.

λi ϕi (x)ϕi (y)

(13)

i=1

5. Speziell f¨ ur x = y entnehmen wir (13) K(x, x) =

∞ 

λi |ϕi (x)|2 ,

x ∈ G,

i=1

und die Reihe konvergiert nach dem Satz von Dini gleichm¨aßig in jedem Kompaktum Γ ⊂ G. Schließlich erhalten wir f¨ ur beliebiges ε > 0 und geeignetes N ≥ N0 (ε) die Ungleichung .  ∞ ∞ )  ) .  . ∞ ) ) . 2 / λi ϕi (x)ϕi (y)) ≤ λi |ϕi (x)| / λi |ϕi (y)|2 ≤ ε2 ) i=N +1

i=N +1

i=N +1

f¨ ur alle (x, y) ∈ Γ × Γ .

q.e.d.

Satz 3. (Sturm-Liouvillesches Eigenwertproblem) Zu a, b ∈ R mit a < b und den Koeffizientenfunktionen p = p(x) ∈ C 1 ([a, b], (0, +∞)), betrachten wir den Sturm-Liouville-Operator

q = q(x) ∈ C 0 ([a, b], R)

110

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

Lu(x) := −(p(x)u (x)) + q(x)u(x),

x ∈ [a, b],

mit L : C 2 ([a, b], C) → C 0 ([a, b], C). Ferner erkl¨aren wir die reellen Randoperatoren Bj : C 2 ([a, b], C) → C, j = 1, 2, gem¨aß

und

B1 u := c1 u(a) + c2 u (a)

mit

c21 + c22 > 0

B2 u := d1 u(b) + d2 u (b)

mit

d21 + d22 > 0

sowie den Definitionsbereich   D := u ∈ C 2 ([a, b], C) : B1 u = 0 = B2 u . Behauptungen: Dann gibt es eine Folge {λi }i=1,2,... ⊂ R von Eigenwerten mit −∞ < λ1 ≤ λ2 ≤ . . . und lim λi = +∞ i→∞

und Eigenfunktionen {ϕi }i=1,2,... ⊂ D mit den folgenden Eigenschaften: a) Es gilt
b Lϕi = λi ϕi ,

f¨ ur alle

i, j ∈ N,

f¨ ur alle

f ∈D

ϕi (x)ϕj (x) dx = δij a

und die Identit¨at ∞ )
b )2
b  ) ) ) ϕi (x)f (x) dx) = |f (x)|2 dx i=1

a

a

ist erf¨ ullt. b) Jedes g ∈ D l¨aßt sich wie folgt in eine im Intervall [a, b] gleichm¨aßig konvergente Reihe entwickeln:

g(x) =

∞ 


b gi ϕi (x),

x ∈ [a, b],

i=1

mit

gi :=

ϕi (x)g(x) dx,

i ∈ N.

a

ur alle i ∈ N, so konvergiert die Reihe c) Gilt λi = 0 f¨ ∞  1 ϕi (x)ϕi (y), λ i=1 i

(x, y) ∈ [a, b] × [a, b],

gleichm¨aßig gegen die Greensche Funktion K von L mit den Randbedingungen B1 = 0 = B2 .

§8 Das Sturm-Liouvillesche Eigenwertproblem

111

¨ Beweis: Wir schließen an die Uberlegungen aus § 1 zum Sturm-Liouvilleschen Eigenwertproblem an. 1. Alle Eigenwerte von L sind reell. Da die Koeffizientenfunktionen p und q reell sind, erhalten wir aus Hilfssatz 1 in § 1 durch Trennung in Real- und Imagin¨ arteil die Aussage
b


b Lu(x)v(x) dx =

a

u(x)Lv(x) dx

f¨ ur alle u, v ∈ D.

(14)

a

Wir berechnen
b


b

2

|ϕi (x)| dx =

λi a


b Lϕi ϕi dx

λi ϕi (x)ϕi (x) dx = a

a


b


b ϕi Lϕi dx =

= a

ϕi λi ϕi dx a


b = λi

|ϕi (x)|2 dx,

i=1,2,. . .

a

Somit folgt f¨ ur alle i ∈ N.

λi = λi

2. Wir zeigen nun, daß die Folge der Eigenwerte nach unten beschr¨ankt ist. Hierzu betrachten wir die Klasse der zul¨ assigen Funktionen   D0 := u = u(x) ∈ C 2 ([a, b], C) : u(a) = 0 = u(b) . osung von Lu = λu, so folgt Ist u ∈ D0 L¨ λ ≥ q∗ := inf q(x).

(15)

a≤x≤b

Mittels partieller Integration berechnen wir n¨amlich
b


b

2

|u(x)| dx = λ

λ a


b Lu(x)u(x) dx

u(x)u(x) dx = a

a


b   = p(x)|u (x)|2 + q(x)|u(x)|2 dx a


b ≥ q∗ a

|u(x)|2 dx.

112

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

Wir zeigen nun indirekt, daß L auf D h¨ ochstens zwei Eigenwerte kleiner als q∗ hat. Angenommen es gibt drei Eigenfunktionen ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ∈ D mit Lϕi = λi ϕi ,

i = 1, 2, 3,

λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 < q∗ .

und

Dann k¨ onnen wir Zahlen α1 , α2 , α3 ∈ C mit |α1 |2 + |α2 |2 + |α3 |2 = 1 so finden, daß 3  v := αi ϕi ∈ D0 i=1

erf¨ ullt ist. Wegen (15) folgt nun
b


b

2

|v(x)| dx ≤

q∗ a

Lv(x) v(x) dx = a

=

a


b  3 a


b  3

2

= λ3

3  

i=1

2

λi |αi | |ϕi (x)| dx ≤ λ3

i=1


b

λi αi ϕi

 αj ϕj dx

j=1


b  3 a

|αi |2 |ϕi (x)|2 dx

i=1

|v(x)|2 dx.

a

Wir erhalten λ3 ≥ q∗ im Widerspruch zu λ3 < q∗ . 3. Nennen wir λ1 ∈ R den nach Teil 2 des Beweises existenten kleinsten Eigenwert von L auf D, so erhalten wir mit * := L − λ1 E + E L ˜ k ≥ 1, k = 1, 2, . . . einen Sturm-Liouville-Operator mit den Eigenwerten λ Nach § 1, Satz 1 existiert f¨ ur L auf D eine symmetrische Greensche Funktion K = K(x, y), (x, y) ∈ [a, b] × [a, b], der Klasse C 0 ([a, b] × [a, b], R). Beachten wir nun Satz 2 aus § 1 und verwenden wir f¨ ur die dort angegebene Integralgleichung den obigen Satz 1, so erhalten wir eine Folge von Eigenfunktionen {ϕi }i=1,2,... ⊂ D mit Lϕi = λi ϕi ,

i ∈ N,

und

λ1 ≤ λ2 ≤ . . . → +∞.

Den obigen S¨ atzen 1 und 2 k¨ onnen wir nun alle Behauptungen entnehmen. q.e.d.

§9 Das Weylsche Eigenwertproblem fu ¨r den Laplaceoperator Wir ben¨ otigen die folgende Verallgemeinerung des Gaußschen Satzes, welche keine Regularit¨ atsforderungen an den Rand des Gebietes stellt:

§9 Das Weylsche Eigenwertproblem f¨ ur den Laplaceoperator

113

Hilfssatz 1. I. Sei G ⊂ Rn ein beschr¨anktes Gebiet, in welchem die N ∈ N0 paarweise disjunkten Kugeln   j = 1, 2, . . . , N, Kj := x ∈ Rn : |x − x(j) | ≤ rj , mit den Radien rj > 0 und den Mittelpunkten x(j) enthalten sind. Wir setzen G := G \ {x(1) , . . . , x(N ) }

G := G \

und

N 

Kj .

j=1

Den topologischen Abschluß der Menge G bezeichnen wir mit G . II. F¨ ur zwei Funktionen u, v ∈ C 2 (G ) ∩ C 0 (G ) gelte
  |∆u(x)| + |∆v(x)| dx < +∞. u|∂G = 0 = v|∂G ; G

Behauptung: Dann ist die Identit¨at
(v∆u + ∇v · ∇u) dx = −




N 

v

j=1 |x−x(j) |=rj

G

∂u dΩj ∂νj

(1)

erf¨ ullt. Hierbei ist νj die ¨außere Normale an Kj , und dΩj bezeichnet das ur j = 1, . . . , N . Oberfl¨achenelement auf {x : |x − x(j) | = rj } = ∂Kj f¨ Aus Hilfssatz 1 folgt sofort der Hilfssatz 2. Unter den Voraussetzungen von Hilfssatz 1 gilt die Greensche Identit¨at
(v∆u − u∆v) dx = −

N 




 ∂u ∂v  v dΩj . −u ∂νj ∂νj

(2)

j=1 |x−x(j) |=rj

G

Beweis von Hilfssatz 1: 1. Wir nehmen zun¨ achst an, daß zus¨ atzlich zu den Voraussetzungen v ∈ ullt ist und betrachten das Vektorfeld f = v∇u. Der Gaußsche C00 (G) erf¨ Satz liefert dann die Identit¨ at
(v∆u + ∇v · ∇u) dx = − G

N 


v

j=1 |x−x(j) |=rj

∂u dΩj . ∂νj

(3)

Eine beliebige Funktion v ∈ C 2 (G )∩C 0 (G ) approximieren wir nun durch Folgen {vk }k=1,2,... wie folgt:

114

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

Sei {wk (t)}k=1,2,... ⊂ C ∞ (R, [0, 1])) eine Funktionenfolge mit der Eigenschaft ⎧ 1 ⎪ ⎨ 1, |t| ≥ k , k = 1, 2, . . . wk (t) = ⎪ ⎩ 0, |t| ≤ 1 2k F¨ ur die Funktionen
t ϕk (t) :=

wk (s) ds,

t ∈ R,

0

gilt dann ϕk (0) = 0,

ϕk (t) = wk (t),

k = 1, 2, . . . ,

und wir k¨ onnen absch¨ atzen )
t ) 2 ) ) |ϕk (t) − t| = ) (wk (s) − 1) ds) ≤ , k

k = 1, 2, . . .

0

Wir erkl¨ aren nun die Folge vk (x) := ϕk (v(x)),

x ∈ G ,

k = 1, 2, . . .

(4)

und beachten |vk (x) − v(x)| = |ϕk (v(x)) − v(x)| ≤

2 → 0 (k → ∞) k

f¨ ur alle x ∈ G beziehungsweise vk (x) → v(x) (k → ∞)

gleichm¨aßig in

G .

(5)

2. Wir zeigen nun, daß   E := x ∈ G : v(x) = 0, ∇v(x) = 0 eine Lebesguesche Nullmenge ist. Dazu sei z ∈ E beliebig gew¨ahlt. F¨ ur hinreichend kleines ε > 0 ist dann  E ∩ {x ∈ G : |x − z| < ε ein Graph und somit eine Lebesguesche Nullmenge, wie man dem Satz u urfel¨ ber implizite Funktionen entnimmt. Wir sch¨opfen G durch eine W¨ zerlegung aus. Zu jedem z ∈ E erhalten wir einen hinreichend kleinen W¨ urfel z ∈ W ⊂ G , so daß W ∩ E eine Lebesguesche Nullmenge ist. Nun ist E abz¨ ahlbare Vereinigung solcher Mengen W ∩E, und die σ-Additivit¨at des Lebesguemaßes liefert die Behauptung.

§9 Das Weylsche Eigenwertproblem f¨ ur den Laplaceoperator

115

3. Nun gilt f¨ ur alle x ∈ G \ E ∇vk (x) = ϕk (v(x))∇v(x) = wk (v(x))∇v(x) → ∇v(x) (k → ∞), also nach 2. f.¨ u. in G . Wir gehen in (3) mit v = vk
(vk ∆u + ∇vk · ∇u) dx = −

N 


vk

j=1 |x−x(j) |=rj

G

∂u dΩj , ∂νj

k ∈ N,

zur Grenze k → ∞ u ¨ ber und erhalten

v(x)∆u(x) dx + lim (∇vk (x) · ∇u(x)) dx k→∞ G

G

=−

N 




v(x)

j=1 |x−x(j) |=rj

∂u(x) dΩj . ∂νj

(6)

Setzen wir v(x) = u(x) in (6) ein und beachten ∇vk (x) = wk (u(x))∇u(x), so folgt





u(x)∆u(x) dx + lim

k→∞ G

G

=−

N 

wk (u(x))|∇u(x)|2 dx




u(x)

j=1 |x−x(j) |=rj

Der Fatousche Satz liefert nun
|∇u(x)|2 dx < +∞ und ebenso G

(7)

∂u(x) dΩj . ∂νj




|∇v(x)|2 dx < +∞.

(8)

G

Wegen |∇vk (x) · ∇u(x)| = |wk (v(x))| |∇v(x) · ∇u(x)| ≤

1 (|∇u(x)|2 + |∇v(x)|2 ), 2

x ∈ G ,

haben wir also eine integrable Majorante f¨ ur den Grenzwert in (6). Mit dem Lebesgueschen Konvergenzsatz folgt die behauptete Identit¨at (1). q.e.d. ¨ Wir setzen nun die Uberlegungen aus § 1 u ¨ ber das Eigenwertproblem der ndimensionalen Schwingungsgleichung fort: Sei G ⊂ Rn ein beschr¨anktes Dirichletgebiet. Auf dem linearen Raum

116

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

  E := u = u(x) ∈ C 2 (G) ∩ C 0 (G) : u|∂G = 0 betrachten wir das Weylsche Eigenwertproblem −∆u(x) = λu(x),

x ∈ G,

mit

u ∈ E \ {0} und λ ∈ R.

(9)

Hilfssatz 3. F¨ ur alle Eigenwerte λ von (9) gilt λ > 0. Beweis: Sei u ∈ E \ {0} eine L¨ osung von (9) zum Eigenwert λ ∈ R. Dann gilt

|∆u(x)| dx = |λ| |u(x)| dx < +∞, G

G

und Anwendung von Hilfssatz 1 mit v = u liefert


2 |∇u(x)| dx = − u(x)∆u(x) dx = λ |u(x)|2 dx G

beziehungsweise

G


λ = G


G

|∇u(x)|2 dx > 0. |u(x)|2 dx q.e.d.

G

Bemerkung: In der letzten Formel erscheint der Rayleighquotient. Wir notieren im folgenden nicht extra den Fall n = 2 und verwenden f¨ ur n = 3, 4, . . . die Greensche Funktion H(x, y) =

1 1 + h(x, y), (n − 2)ωn |y − x|n−2

(x, y) ∈ G ⊗ G.

(10)

Eine L¨ osung u von (9) liegt offenbar im Raum   D := u = u(x) ∈ C 0 (G) : sup |u(x)| < +∞ = C 0 (G) ∩ L∞ (G) x∈G

und gen¨ ugt dem Integralgleichungsproblem
u(x) = λ H(x, y)u(y) dy, x ∈ G, mit u ∈ D \ {0} und λ ∈ R. G

(11) Letztere Aussage k¨ onnen wir mit den obigen Hilfss¨atzen 1 und 2 wie in § 1 herleiten (vergleiche den dortigen Satz 3). Bereits nachgewiesen haben wir auch die Symmetrie der Greenschen Funktion H = H(x, y) ∈ Sn−2 (G), 0 ≤ H(x, y) = H(y, x),

(x, y) ∈ G ⊗ G.

Wir wollen nun zeigen, daß eine L¨ osung u von (11) auch (9) l¨ost.

(12)

§9 Das Weylsche Eigenwertproblem f¨ ur den Laplaceoperator

Hilfssatz 4. Sei u = u(x) ∈ D gegeben und
v(x) := H(x, y)u(y) dy,

117

x ∈ G,

G

erkl¨art. Dann folgt v ∈ C 0 (G) und v|∂G = 0. Beweis: Mit der Funktion ⎧ 0≤t≤1 ⎪ ⎨ 0, Θ(t) = t − 1, 1 ≤ t ≤ 2 ⎪ ⎩ 1, 2≤t erkl¨ aren wir den stetigen Integralkern Hδ (x, y) := H(x, y)Θ = Θ

 |x − y| 

 |x − y|  δ

F¨ ur alle δ > 0 ist dann

δ

 1 |y − x|2−n + h(x, y) , (n − 2)ωn

δ > 0.




vδ (x) :=

Hδ (x, y)u(y) dy,

x ∈ G,

G

stetig in G, und es gilt vδ |∂G = 0. Weiter haben wir f¨ ur alle x ∈ G
)  )  ) ) |x − y| − 1) |H(x, y)| |u(y)| dy |vδ (x) − v(x)| ≤ )Θ δ G
c ≤ dy ≤ γ(δ) → 0 (δ ↓ 0). |y − x|n−2

(13)

y:|y−x|≤2δ

Somit folgt vδ (x) → v(x) (δ ↓ 0)

gleichm¨aßig in G

0

und daher v ∈ C (G) und v|∂G = 0.

q.e.d.

Hilfssatz 5. Sei u eine L¨osung von (11). Dann folgt u ∈ C 2 (G), und es gilt −∆u(x) = λu(x),

x ∈ G.

Beweis: Zu einem beliebigen z ∈ G w¨ ahlen wir ein ε > 0 so klein, daß die Inklusion   Kε (z) := x ∈ Rn : |x − z| ≤ ε ⊂ G erf¨ ullt ist. Aus der Integralgleichung (11) folgt dann

118

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum




1 1 u(y) dy (n − 2)ωn |y − x|n−2 Kε (z)

1 1 u(y) dy + h(x, y)u(y) dy +λ (14) (n − 2)ωn |y − x|n−2 G G\Kε (z)
◦ 1 1 =λ u(y) dy + ψz,ε (x), x ∈Kε (z) . n−2 (n − 2)ωn |y − x|

u(x) = λ

Kε (z)

◦

Hier ist ψz,ε (x) harmonisch in Kε (z). Wir k¨ onnen nun (14) einmal (aber nicht zweimal!) differenzieren und erhalten mit Hilfe des Gaußschen Satzes
  1 1 ∇x u(y) dy + ∇ψz,ε (x) ∇u(x) = λ n−2 (n − 2)ωn |y − x| Kε (z)
  1 1 ∇y u(y) dy + ∇ψz,ε (x) = −λ (n − 2)ωn |y − x|n−2 Kε (z)
 u(y)  1 dy = −λ ∇y (n − 2)ωn |y − x|n−2 Kε (z)
(15) 1 ∇u(y) +λ u(y) dy + ∇ψ (x) z,ε (n − 2)ωn |y − x|n−2 Kε (z)
1 u(y) = −λ ν(y) dΩ(y) (n − 2)ωn |y − x|n−2 ∂Kε (z)
1 ∇u(y) +λ dy + ∇ψz,ε (x) (n − 2)ωn |y − x|n−2 Kε (z)

◦

f¨ ur alle x ∈Kε (z). Dabei ist ν(y) die ¨ außere Normale an Kε (z) und dΩ(y) das Oberfl¨ achenelement auf ∂Kε (z). Wir entnehmen (15) die Aussage u ∈ C 2 (G),

(16)

denn z ∈ G konnte beliebig gew¨ ahlt werden. Differenzieren wir (15) nochmals, w¨ahlen x = z und berechnen ε ↓ 0, so folgt  
 1 u(y) )) ∇x ν(y) dΩ(y) ∆u(z) = lim − λ ) ε↓0 (n − 2)ωn |y − x|n−2 x=z ∂K (z) 
ε   1 ∇u(y) )) (17) + lim λ dy ∇x ) ε↓0 (n − 2)ωn |y − x|n−2 x=z Kε (z)

= −λu(z) + 0 = −λu(z)

f¨ ur alle z ∈ G.

q.e.d.

§9 Das Weylsche Eigenwertproblem f¨ ur den Laplaceoperator

119

¨ Wir fassen unsere Uberlegungen zusammen zum Hilfssatz 6. Es l¨ost u das Eigenwertproblem (9) genau dann, wenn u das Eigenwertproblem (11) l¨ost. Satz 1. (H. Weyl) Auf jedem beschr¨ankten Dirichletgebiet G ⊂ Rn , n = 2, 3, . . ., besitzt der Laplaceoperator ein v.o.n.S. von Eigenfunktionen ϕk ∈ E, k = 1, 2, . . ., das heißt k = 1, 2, . . . , (18) −∆ϕk (x) = λk ϕk (x), x ∈ G, und f¨ ur die Eigenwerte gilt 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 ≤ . . . → +∞.

(19)

¨ Beweis: Aquivalent zu (9) betrachten wir das Integral-Eigenwert-Problem (11),
1 H(x, y)u(y) dy = µu(x), x ∈ G, µ= , λ G

mit dem symmetrischen, schwach singul¨ aren Kern H(x, y) aus (12). Die Aussagen des Satzes k¨ onnen wir nun § 8, Satz 1 entnehmen. q.e.d. Bemerkungen: onnen wir jede Funktion f ∈ E sogar gleichm¨aßig nach 1. Im R2 und R3 k¨ den Eigenfunktionen des Laplaceoperators entwickeln. 2. F¨ ur den kleinsten Eigenwert λ1 auf dem beschr¨ankten Gebiet G ⊂ Rn gilt
|∇ϕ(x)|2 dx λ1 (G) =

inf




G

ϕ∈W01,2 (G)∩G0 (G), ϕ=0

.

(20)

|ϕ(x)|2 dx

G

Wir verweisen hierzu auf die Sobolevr¨ aume in § 1 und § 2 von Kapitel X. Aus (20) ersieht man sofort die Monotonieeigenschaft des kleinsten Eigenwertes ⇒ λ1 (G) ≥ λ1 (G∗ ). (21) G ⊂ G∗ Mit einem Regularit¨ atssatz f¨ ur schwache L¨ osungen der Laplacegleichung zeigt man die strikte Monotonieeigenschaft G ⊂⊂ G∗

⇒

λ1 (G) > λ1 (G∗ ).

Wir verweisen hierzu auf [CH], Band II, Kapitel VI.

(22)

120

VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum

3. Vergleicht man hinreichend regul¨ are Gebiete G ⊂ Rn mit der inhaltsglein chen Kugel K ⊂ R , d.h. es gilt |K| = |G|, so folgt λ1 (G) ≥ λ1 (K).

(23)

Gleichheit tritt nur dann ein, wenn G bereits eine Kugel im Rn ist. Dieser Satz von Faber und Krahn beruht auf der isoperimetrischen Ungleichung im Rn und wurde bereits von Rayleigh in seinem Buch Theory of the ” sound“ vermutet. F¨ ur den Fall n = 2 verweisen wir auf ¨ E. Krahn: Uber eine von Rayleigh formulierte Minimaleigenschaft des Kreises. Mathematische Annalen, Bd. 94 (1924), S. 97-100. 4. Ist ϕ ∈ E eine L¨ osung von (9) zum Eigenwert λ ∈ R, so gilt λ = λ1

⇔

ϕ(x) = 0 f¨ ur alle x ∈ G.

(24)

Somit ist die Eigenfunktion zum kleinsten Eigenwert λ1 nullstellenfrei in G. ¨ 5. Uber die Eigenfunktionen zu h¨ oheren Eigenwerten und insbesondere ihre Knotengebiete liegen kaum Ergebnisse vor (vergleiche [CH]). 6. Statten wir das Gebiet G ⊂ Rn mit der elliptischen Riemannschen Metrik ds2 =

n 

gij (x) dxi dxj

i,j=1

aus, so kann man auch das Eigenwertproblem des Laplace-BeltramiOperators n n  1  ∂ ' ∂  ∆= ' g(x) g ij (x) (25) ∂xj g(x) i=1 ∂xi j=1 otigen dann die Greenbehandeln ((g kl )kl = (gij )−1 ij , g =det(gij )). Wir ben¨ sche Funktion f¨ ur elliptische Operatoren in Divergenzform, die wiederum schwach singul¨ ar ist. Hierzu verweisen wir auf M. Gr¨ uter, K. O. Widman: The Green function for uniformly elliptic equations. Manuscripta mathematica, Bd. 37 (1982), S. 303-342. 7. Auch f¨ ur den kleinsten Eigenwert der Operatoren (25) sind S¨atze vom Faber-Krahn-Typ richtig; man siehe hierzu G. Polya: Isoperimetric inequalities, Princeton University Press, 1944 und C. Bandle: Isoperimetric inequalities in Mathematical Physics, Pitman, 1984. 8. F¨ ur die Spektraltheorie unbeschr¨ ankter Operatoren verweisen wir auf das Kapitel IV: Selbstadjungierte Operatoren im Hilbertraum“ in der Mono” graphie

§9 Das Weylsche Eigenwertproblem f¨ ur den Laplaceoperator

121

H. Triebel: H¨ohere Analysis. Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1972. Ein einfacher Beweis des Spektralsatzes f¨ ur selbstadjungierte Operatoren wurde gegeben von H. Leinfelder: A geometric proof of the spectral theorem for unbounded selfadjoint operators. Mathematische Annalen, Bd. 242 (1979), S. 8596.

IX Lineare elliptische Differentialgleichungen

Zun¨ achst f¨ uhren wir in § 1 Randwertprobleme von elliptischen Differentialgleichungen in zwei Variablen auf ein Riemann-Hilbertsches Randwertproblem zur¨ uck. Letzteres l¨ osen wir in § 2 und § 3 mit der Integralgleichungsmethode von I. N. Vekua. Dann leiten wir in § 4 potentialtheoretische Absch¨atzungen f¨ ur die L¨ osungen der Poissongleichung her. Zur Verwendung in Kapitel XII beweisen wir entsprechende Ungleichungen f¨ ur L¨osungen der inhomogenen Cauchy-Riemann-Gleichung. F¨ ur elliptische Differentialgleichungen in n Variablen l¨ osen wir in § 5 und § 6 das Dirichletproblem mit der Kontinuit¨atsmethode im klassischen Funktionenraum C 2+α (Ω). Die hierzu notwendigen Schauderabsch¨ atzungen leiten wir im letzten Paragraphen her.

§1 Die Differentialgleichung ∆φ + p(x, y)φx + q(x, y)φy = r(x, y) Im einfach-zusammenh¨ angenden Gebiet Ω ⊂ C haben wir die beschr¨ankten Koeffizientenfunktionen p = p(x, y), q = q(x, y), r = r(x, y) ∈ C 0 (Ω, R), und wir betrachten den Differentialoperator L := ∆ + p(x, y)

∂ ∂ + q(x, y) . ∂x ∂y

(1)

Wir setzen 1 a = a(z) := − (p(x, y) + iq(x, y)), 4

z = x + iy ∈ Ω,

und bemerken 1 ∂ ∂  ∂ = −i , ∂z 2 ∂x ∂y

∂ 1 ∂ ∂  = +i . ∂z 2 ∂x ∂y

(2)

124

IX Lineare elliptische Differentialgleichungen

F¨ ur beliebige Funktionen φ = φ(x, y) ∈ C 2 (Ω, R) berechnen wir  1 1 Lφ(x, y) = ∆φ(x, y) + pφx + qφy 4 4  1 1  = φzz + Re (p + iq) (φx − iφy ) 2 2

(3)

= φzz − 2Re{a(z)φz (z)} = φzz − aφz − aφz

in Ω.

Dabei bezeichnen wir den Real- bzw. Imagin¨arteil einer komplexen Zahl z mit Re z bzw. Im z. Wir betrachten L¨ osungen f∗ = f∗ (z) ∈ C 1 (Ω, C\{0}) der Differentialgleichung ∂ f∗ (z) − a(z)f∗ (z) = 0 in Ω. ∂z Diese haben die Form  −1

a(ζ)  dξ dη , z ∈ Ω, f∗ (z) = F∗ (z) exp π ζ −z

(4)

(5)

Ω

mit einer beliebigen holomorphen Funktion F∗ : Ω → C\{0} und dem Cauchyschen Integraloperator

−1 a(ζ) dξ dη, z ∈ Ω (ζ = ξ + iη). (6) TΩ [a](z) := π ζ−z Ω

Hierbei verweisen wir auf § 5 in Kapitel IV. Wir betrachten nun die assoziierte Gradientenfunktion f (z) :=

2i φz (z), f∗ (z)

z ∈ Ω.

(7)

Mit der Koeffizientenfunktion b(z) := −

1 ∂  ∂ 1 f∗ (z) , f ∗ (z) = − f∗ (z) ∂z f ∗ ∂z

z ∈ Ω,

(8)

berechnen wir   −2i ∂  2i 1 ∂ ∂ f (z) − b(z)f (z) = φz (z) + φz (z) f ∗ (z) ∂z ∂z f∗ (z) f∗ (z) ∂z f ∗ (z)   2i 2i  ∂ 2i  1 ∂ f∗ φz − = φzz − 2 f ∗ φz f∗ f∗ ∂z f∗ f ∗ ∂z   2i φzz − aφz − aφz = f∗ =

i 2f∗ (z)

Lφ(x, y),

z = x + iy ∈ Ω. (9)

§1 Die Differentialgleichung ∆φ + p(x, y)φx + q(x, y)φy = r(x, y)

125

Satz 1. a) Gen¨ ugt φ = φ(x, y) ∈ C 2 (Ω) der Differentialgleichung Lφ(x, y) = r(x, y) in Ω, so gen¨ ugt ihre assoziierte Gradientenfunktion (7) der Differentialgleichung i ∂ f (z) − b(z)f (z) = r(z) =: c(z), ∂z 2f∗ (z)

z ∈ Ω.

(10)

b) Haben wir umgekehrt eine L¨osung f ∈ C 1 (Ω, C) von (10) im einfach zusammenh¨angenden Gebiet Ω ⊂ C, so erhalten wir mit dem reellen Kurvenintegral
z φ(x, y) := 2Re

1 f∗ (ζ)f (ζ) dζ, 2i

z ∈ Ω,

(11)

z0

eine L¨osung der Differentialgleichnung Lφ(x, y) = r(x, y) in Ω. Dabei ist z0 ∈ Ω beliebig gew¨ahlt. Beweis: a) folgt aus der Identit¨ at (9). b) Zun¨ achst erhalten wir aus (8) die Differentialgleichung ∂ f∗ (z) + b(z) f∗ (z) = 0, ∂z

z ∈ Ω.

Ferner ist das Kurvenintegral aus (11) unabh¨angig vom gew¨ahlten Weg ist. Ist n¨ amlich G ⊂⊂ Ω ein beliebiges Normalgebiet, so folgt mit dem Gaußschen Satz in komplexer Form


  1 f∗ (z)f (z) dx dy f∗ (ζ)f (ζ) dζ = Re Re 2i z G ∂G

  ∂ ∂ ( f∗ )f + ( f )f∗ dx dy = Re ∂z ∂z G

  i − b(z)f∗ f + b(z)f f∗ + r(z) dx dy = 0 . = Re 2 G

Weiter gilt 1 φ(z) = 2i


z   f∗ (ζ)f (ζ) dζ − f∗ (ζ) f (ζ) dζ ,

z ∈ Ω,

z0

woraus sich

1 f∗ (z)f (z), z ∈ Ω, 2i ergibt. Die G¨ ultigkeit von Lφ = r(x, y) in Ω liefert die Identit¨at (9). φz (z) =

(12) q.e.d.

126

IX Lineare elliptische Differentialgleichungen

Satz 2. (P. Hartman, A. Wintner) Die nichtkonstante Funktion φ = φ(x, y) ∈ C 2 (Ω) gen¨ uge der homogenen, elliptischen Differentialgleichung Lφ(x, y) = 0,

(x, y) ∈ Ω.

(13)

Dann hat der Gradient von φ h¨ochstens isolierte Nullstellen in Ω, und in jeder Nullstelle z0 ∈ Ω gilt die asymptotische Entwicklung φz (z0 + ζ) = c ζ n + o(|ζ|n ),

ζ → 0.

(14)

Dabei ist n ∈ N, c = c1 + ic2 ∈ C\{0}, und o(|ζ|n ) gibt eine Funktion ψ = ψ(ζ) : C\{0} → C an mit der Eigenschaft lim

ζ→0 =

|ψ(ζ)| =0. |ζ|n

Weiter hat φ in z0 das sattelpunktf¨ormige Verhalten   2 rn+1 c1 cos(n + 1)ϕ − c2 sin(n + 1)ϕ + o(rn+1 ) φ(z0 + reiϕ ) = φ(z0 ) + n+1 (15) f¨ ur r → 0+. Also nimmt φ in z0 weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum an. Beweis: Der Identit¨ at (12) entnehmen wir 1 f∗ (z)f (z), z ∈ Ω, 2i wobei f∗ durch (5) erkl¨ art ist und f der Differentialgleichung φz (z) =

∂ f (z) = b(z)f (z), z ∈ Ω, (16) ∂z gen¨ ugt. Also ist f pseudoholomorph (vgl. Kap. IV, § 6), und wir erhalten die Entwicklung ζ → 0, φz (z0 + ζ) = c ζ n + o(|ζ|n ), mit c = c1 + ic2 ∈ C\{0} und n ∈ N in einer Nullstelle z0 von φz . Weiter gilt
r d iϕ φ(z0 + eiϕ ) d φ(z0 + re ) − φ(z0 ) = d 0


r = 0

d φ(x0 +  cos ϕ, y0 +  sin ϕ) d d


r  =

 φx (. . .) cos ϕ + φy (. . .) sin ϕ d

0


r =2 0

  Re φz (z0 + eiϕ )eiϕ d,

§1 Die Differentialgleichung ∆φ + p(x, y)φx + q(x, y)φy = r(x, y)

127

und Einsetzen der asymptotischen Entwicklung (14) von φz liefert schließlich φ(z0 + reiϕ ) − φ(z0 )
r   = 2 Re cn ei(n+1)ϕ d + o(rn+1 ) 0

 rn+1  + o(rn+1 ) = 2Re (c1 + ic2 )(cos(n + 1)ϕ + i sin(n + 1)ϕ) n+1  2  c1 cos(n + 1)ϕ − c2 sin(n + 1)ϕ rn+1 + o(rn+1 ) = n+1 f¨ ur r → 0+.

q.e.d.

Sei nun Ω ⊂ C ein einfach zusammenh¨ angendes Gebiet, welches als Rand eine regul¨ are C 2 -Kurve im folgenden Sinne besitze: ∂Ω : z = ζ(t) : [0, T ] → ∂Ω ∈ CT2 (R, C) mit |ζ  (t)| ≡ 1, 0 ≤ t ≤ T.

(17)

Hierbei ist ζ  (t), 0 ≤ t ≤ T , die Tangente an ∂Ω, und wir haben   CT2 (R, C) := g ∈ C 2 (R, C) : g ist periodisch zur Periode T erkl¨ art. Ferner stelle ν(t) := −iζ  (t), 0 ≤ t ≤ T , die ¨außere Normale an ∂Ω dar. Wir schreiben nun ein stetiges Einheitsvektorfeld γ(t) = α(t) + iβ(t) ∈ CT0 (R, R2 )

mit |γ(t)| ≡ 1, t ∈ R,

auf ∂Ω und eine Funktion χ = χ(t) ∈ CT0 (R, R) vor. Wir betrachten die folgende Poincar´esche Randwertaufgabe φ = φ(x, y) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω), Lφ(x, y) = r(x, y)

in Ω,

(18)

φx (ζ(t))α(t) + φy (ζ(t))β(t) = χ(t),

0 ≤ t ≤ T.

Bemerkungen: 1. Im Fall γ(t) = ν(t), 0 ≤ t ≤ T , geht die Randbedingung in die Neumannsche Randbedingung ∂ φ(ζ(t)) = χ(t), ∂ν

0 ≤ t ≤ T,

(19)

u ¨ ber. 2. Im Fall γ(t) = ζ  (t), 0 ≤ t ≤ T , wird die Randbedingung in die Dirichletsche Randbedingung ∂ φ(ζ(t)) = χ(t), ∂t

0 ≤ t ≤ T,

128

IX Lineare elliptische Differentialgleichungen

beziehungsweise
t φ(ζ(t)) = φ(ζ(0)) +

0 ≤ t ≤ T,

χ(τ ) dτ, 0

u uhrt. Hierbei haben wir ¨ berf¨
T χ(τ ) dτ = 0

(20)

0

zu fordern. F¨ ur die assoziierte Gradientenfunktion f (z) = wir nun

2i f∗ (z) φz (z),

χ(t) = φx (ζ(t))α(t) + φy (ζ(t))β(t) 1 2 = 2Re φz (ζ(t))γ(t) 1 2) = Re − if∗ (z)γ(z)f (z) )z=ζ(t) ,

z ∈ Ω, ermitteln

0 ≤ t ≤ T.

Erkl¨ aren wir die Funktion g(z) := if∗ (z) γ(z), so finden wir f¨ ur f die Randbedingung   Re g(ζ(t))f (ζ(t)) = χ(t),

z ∈ ∂Ω,

0 ≤ t ≤ T.

(21)

(22)

Zusammen mit Satz 1 erhalten wir den Satz 3. a) Ist φ eine L¨osung des allgemeinen Randwertproblems (18), so l¨ost die assoziierte Gradientenfunktion f = f (z) :=

2i φz (z) ∈ C 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω) f∗ (z)

das Riemann-Hilbertsche Randwertproblem (10), (22). b) L¨ost f = f (z) ∈ C 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω) das Riemann-Hilbertsche Randwertproblem (10), (22), so erhalten wir mit dem reellen Kurvenintegral (11) eine L¨osung des allgemeinen Randwertproblems (18). Nun ist das Riemann-Hilbertsche Randwertproblem ∂ f (z) − b(z)f (z) = c(z), z ∈ Ω, ∂z 1 2 Re g(z)f (z) = χ(z), z ∈ ∂Ω,

(23)

invariant unter konformen Abbildungen. Nach dem Riemannschen Abbildungssatz k¨ onnen wir also im folgenden Ω als Einheitskreisscheibe w¨ahlen (vgl. Kap. IV, § 7 und § 8).

§2 Die Schwarzsche Integralformel

129

§2 Die Schwarzsche Integralformel Auf der Einheitskreisscheibe B := {z = x + iy ∈ C : |z| < 1} mit dem Rand ∂B = {eiϕ : 0 ≤ ϕ ≤ 2π} und dem Außengebiet A := {z ∈ C : |z| > 1} wollen wir in diesem Abschnitt Randwertprobleme f¨ ur holomorphe Funktionen l¨ osen. Wir beginnen mit dem wichtigen Satz 1. (Plemelj) Sei F : ∂B → C eine H¨older-stetige Funktion, d.h. ϕ → F (eiϕ ) definiere eine 2π-periodische H¨older-stetige Funkion. Dann stellen die Cauchyschen Hauptwerte 3 1 F (ζ) dζ, z ∈ ∂B, H(z) := lim ε→0+ 2πi ζ−z ζ∈∂B |ζ−z|≥ε

eine stetige Funktion dar. Weiter weist die Funktion 3 F (ζ) 1 dζ, z ∈ B ∪ A, G(z) := 2πi ζ −z ζ∈∂B

das folgende Randverhalten an der Kreislinie ∂B auf: 1 lim G(z) = H(z0 ) + F (z0 ) 2

f¨ ur alle

z0 ∈ ∂B

(1)

1 lim G(z) = H(z0 ) − F (z0 ) 2

f¨ ur alle

z0 ∈ ∂B.

(2)

z→z0 z∈B

und

z→z0 z∈A

Bemerkung: Die Funktion G ist also sowohl in B als auch in A stetig bis auf die Kreislinie fortsetzbar. Sie hat dort allerdings einen Sprung der Gr¨oße F (z0 ), z0 ∈ ∂B. Beweis: Die Stetigkeit der Cauchyschen Hauptwerte ist mit den Argumenten aus Hilfssatz 3 in Kapitel IV, § 4 nachzuweisen. F¨ ur ein festes z0 ∈ ∂B erkl¨aren wir Γε := {z ∈ ∂B : |z − z0 | > ε} sowie Sε− := {z ∈ B : |z − z0 | = ε} und ur alle z ∈ B\{0} gilt nun Sε+ := {z ∈ A : |z − z0 | = ε}. F¨   3 F (ζ) − F z z  1 3 1 1 |z| dζ + F dζ G(z) = 2πi ζ −z |z| 2πi ζ −z ∂B

∂B

 3 F (ζ) − F  z 
 z  1 
1 1 1 |z| dζ + F dζ + dζ = 2πi ζ −z |z| 2πi ζ−z ζ −z ∂B

Γε

Sε+

f¨ ur alle hinreichend kleinen ε > 0. Wir erhalten dann f¨ ur ein z0 ∈ ∂B

130

IX Lineare elliptische Differentialgleichungen

lim G(z) = z→z 0

z∈B

3

F (ζ) − F (z0 ) dζ ζ − z0 ∂B  

1 1 1 +F (z0 ) dζ + dζ 2πi ζ − z0 ζ − z0 1 2πi

Sε+

Γε

f¨ ur alle ε > 0. Mit ε → 0+ folgt  

1 F (ζ) − F (z0 ) 1 1 lim G(z) = lim dζ + F (z ) dζ + F (z0 ) 0 z→z0 ε→0+ 2πi ζ − z0 ζ − z0 2 z∈B  = lim

ε→0+

Γε

1 2πi




Γε

F (ζ) dζ ζ − z0

Γε

 +

1 F (z0 ) 2

1 F (z0 ), 2 also (1). Durch eine analoge Rechnung erh¨ alt man (2), indem man die Integrale u ¨ber Sε− ersetzt. ¨ ber Sε+ durch entsprechende Integrale u q.e.d. = H(z0 ) +

Satz 2. (Schwarzsche Integralformel) Sei φ : ∂B → R eine H¨older-stetige, reellwertige Funktion, und das Schwarzsche Integral 1 F (z) := 2π


2π 0

eiϕ + z φ(eiϕ ) dϕ, eiϕ − z

|z| < 1,

(3)

sei erkl¨art. Dann ist die holomorphe Funktion F stetig auf die abgeschlossene Einheitskreisscheibe B fortsetzbar, und die Funktion Re F (z) : B → R nimmt die Randwerte φ an, d.h. es gilt lim Re F (z) = φ(z0 )

z→z0 z∈B

z0 ∈ ∂B.

f¨ ur alle

Beweis: 1. Wir setzen F fort zu 1 F (z) := 2π


2π 0

eiϕ + z φ(eiϕ ) dϕ, eiϕ − z

z ∈ B ∪ A,

und erhalten die Spiegelungsbedingung 1 F (z) = 2π =−


2π 0

1 2π

e−iϕ + z 1 φ(eiϕ ) dϕ = −iϕ e −z 2π


2π 0

eiϕ + eiϕ −

1 z 1 z


2π 1 0

φ(eiϕ ) dϕ = −F

z 1 z

+ eiϕ φ(eiϕ ) dϕ − eiϕ

1 z

,

z ∈ (B\{0}) ∪ A.

(4)

§3 Das Riemann-Hilbertsche Randwertproblem

131

2. Weiter gilt f¨ ur alle z ∈ B ∪ A die Identit¨ at F (z) =


2π

1 2π

0

eiϕ + z 1 φ(eiϕ ) dϕ = eiϕ − z 2πi

3

dζ ζ +z φ(ζ) . ζ −z ζ

∂B

Beachten wir noch z − ζ + 2ζ 1 2 z+ζ = =− + , ζ(ζ − z) ζ(ζ − z) ζ ζ −z so k¨ onnen wir berechnen

F (z) =

1 2πi

3 

−

1 2  + φ(ζ) dζ ζ ζ −z

∂B

=−

1 2πi

3 φ(ζ)

∂B

=−

1 2π

3

1 dζ + ζ πi

φ(ζ) dζ ζ −z

∂B


2π φ(eiϕ ) dϕ + 0

1 πi

3

φ(ζ) dζ, ζ −z

z ∈ B ∪ A.

∂B

Nach dem Plemeljschen Satz ist F stetig auf ∂B fortsetzbar, und es gilt 1 lim F (z) = − z→z0 2π z∈B 1 lim F (z) = − z→z0 2π z∈A


2π φ(eiϕ ) dϕ + 0


2π

1 πi

3 ∂B

1 φ(e ) dϕ + πi

3

iϕ

0

∂B

φ(ζ) dζ + φ(z0 ), ζ − z0

z0 ∈ ∂B,

φ(ζ) dζ − φ(z0 ), ζ − z0

z0 ∈ ∂B.

Dabei sind unter den hier angegebenen Integralen

4

(5) . . . die Cauchyschen

∂B

Hauptwerte gem¨ aß Satz 1 zu verstehen. Wir erhalten schließlich f¨ ur alle z0 ∈ ∂B die Identit¨ at %  1 & 5 6 1 1 F (z) − F lim lim = φ(z0 ). F (z) + Re F (z) = F (z) = lim z→z0 0 0 2 z→z 2 z→z z z∈B z∈B z∈B q.e.d.

§3 Das Riemann-Hilbertsche Randwertproblem Wir betrachten nun das folgende Riemann-Hilbertsche Randwertproblem: Zu gegebener H¨ older-stetiger Koeffizientenfunktion b = b(z) ∈ C 0 (B, C) gen¨ uge die Funktion

132

IX Lineare elliptische Differentialgleichungen

f = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) ∈ C 1 (B, C) ∩ C 0 (B, C) der homogenen Differentialgleichung: ∂ f (z) − b(z)f (z) = 0, ∂z

z ∈ B.

(1)

Weiter sei die H¨ older-stetige Richtungsfunktion a = a(z) = α(x, y) + iβ(x, y) : ∂B → ∂B gegeben, die α2 (z) + β 2 (z) = 1 f¨ ur alle z ∈ ∂B erf¨ ulle. Der Index n ∈ Z des Riemann-Hilbert-Problems gibt an, wie oft das Richtungsfeld a den Nullpunkt uml¨ auft. Wir k¨ onnen daher annehmen, daß a(z) = z n eiφ(z) ,

z ∈ ∂B,

(2)

mit einer H¨ older-stetigen Funktion φ : ∂B → R richtig ist. Weiter schreiben wir die H¨ older-stetige Funktion χ : ∂B → ∂B vor und fordern die RiemannHilbertsche Randbedingung   α(z)u(z) + β(z)v(z) = Re a(z)f (z) = χ(z), z ∈ ∂B. (3) Wir wollen nun das Riemann-Hilbertsche RWP (1), (3) f¨ ur den Index n ≥ −1 mit der Integralgleichungsmethode von I. N. Vekua l¨osen. Besonders wichtig ist der Fall n = −1, zumal wir damit nach § 1, Satz 3 ein gemischtes Randwertproblem f¨ ur lineare elliptische Differentialgleichungen l¨osen k¨onnen - insbesondere unter Dirichlet- und Neumann-Randbedingungen. Gem¨ aß Satz 2 aus § 2 betrachten wir die auf B stetige und in B holomorphe Funktion φ(z) + iψ(z) = F (z) :=

1 2π


2π 0

eiϕ + z φ(eiϕ ) dϕ, eiϕ − z

|z| < 1,

(4)

und beachten lim φ(z) = φ(z0 )

z∈B z→z0

f¨ ur alle z0 ∈ ∂B.

(5)

Durch Multiplikation von (3) mit eψ(z) , z ∈ ∂B, erhalten wir ¨aquivalent  f (z)  η(z) := eψ(z) χ(z) = Re eψ(z) e−iφ(z) n z  e−iF (z) f (z)  f¨ ur alle z ∈ ∂B. = Re zn

(6)

Multiplizieren wir nun die Differentialgleichung (1) mit der holomorphen Funktion

§3 Das Riemann-Hilbertsche Randwertproblem

e−iF (z) = eψ(z) e−iφ(z) = 0,

133

z ∈ B,

so ergibt sich die ¨ aquivalente Differentialgleichung    ∂  −iF (z) e f (z) − b(z)e−2iφ(z) e−iF (z) f (z) = 0, ∂z

z ∈ B.

(7)

¨ Durch den Ubergang f (z) → e−iF (z) f (z) erhalten wir als Randbedingung aus (6) die kanonische Riemann-Hilbert-Randbedingung Re

 f (z)  zn

z ∈ ∂B.

= χ(z),

(8)

Wir haben also das RWP (1), (8) zu l¨ osen, welches wir in ein Integralgleichungsproblem umformen werden. Wir erhalten folgendes Riemann-HilbertRandwertproblem in der Normalform: f = f (z) ∈ C 1 (B, C) ∩ C 0 (B, C), ∂ f (z) − b(z)f (z) = 0 in B, ∂z  f (z)  Re = χ(z) auf ∂B. zn

(9)

Wie u ¨ blich bezeichne 1 TB [g](z) := − π



B

g(ζ) dξ dη, ζ −z

z∈B

(ζ = ξ + iη),

den Cauchyschen Integraloperator. F¨ ur n = 0, 1, 2, . . . betrachten wir den Riemann-Hilbert-Operator der Ordnung n



z 2n+1 g(ζ) g(ζ) 1 Vn g(z) := − dξ dη − dξ dη π ζ −z π 1 − zζ B

B

 

g(ζ) 1 dξ dη = TB [g](z) − z 2n − π ζ − z1 

B

 1  , = TB [g](z) − z 2n TB [g] z

z ∈ B.

Die Substitution ζ= liefert

1 , γ

γ = α + iβ ∈ A := C\B,

dξ dη =

1 dα dβ |γ|4

(10)

134

IX Lineare elliptische Differentialgleichungen

z 2n+1 Vn g(z) = TB [g](z) − π



A

z 2n+1 = TB [g](z) − π

g( γ1 )   dα dβ 1 − z γ1 γ γγ 2



g

= TB [g](z) + z mit g˜(ζ) :=

1 ζζ

2

g

ζ

1 2 ζζ

ζ −z

A 2n+1

1

(11)

z ∈ B,

TA [˜ g ](z),

1 , ζ

dξ dη

ζ ∈ A.

(12)

Wir beachten

∂ Vn g(z) = g(z) in B, ∂z (13)  V g(z)  n =0 auf ∂B, Re zn was sofort aus (10) folgt. Wir k¨ onnen nun das Riemann-Hilbert-Problem f = f (z) ∈ C 1 (B, C) ∩ C 0 (B, C), ∂ f (z) = 0 in ∂z  f (z)  = χ(z) Re zn

B,

(14)

auf ∂B

explizit mit Hilfe des Schwarzschen Integrals wie folgt l¨osen: Φ(z) =

zn 2πi


χ(ζ) ∂B

n−1   ζ + z dζ + iγz n + αk (z k − z 2n−k ) + iβk (z k + z 2n−k ) , ζ −z ζ k=0

(15) mit den 2n + 1 reellen Konstanten α0 , . . . , αn−1 , β0 , . . . βn−1 , γ. Damit k¨onnen wir das RWP (9) ¨ aquivalent u uhren in die Integralgleichung ¨berf¨ f (z) − Vn [bf ](z) = Φ(z),

z ∈ B,

(16)

mit der rechten Seite Φ(z) aus (15). Der lineare Integraloperator f → Vn [bf ] ist vollstetig im Hilbertraum H = L2 (B, C), da der auftretende Kern schwach singul¨ ar ist. Weiter ist nach Satz 8 aus § 6 im Kapitel VIII eine L¨osung f ∈ H der Integralgleichung (16) in der Klasse D := C 0 (B, C) ∩ L∞ (B, C). Wir ben¨ otigen den Hilfssatz 1. (Vekua) Sei n ∈ {0, 1, 2, . . .} und f ∈ H l¨ose die Integralgleichung f − Vn [bf ] = 0. Dann folgt f = 0.

§3 Das Riemann-Hilbertsche Randwertproblem

135

Beweis: Sei f eine L¨ osung der Integralgleichung f − Vn [bf ] = 0. Dann folgt 1 f (z) + π



B

z 2n+1 b(ζ)f (ζ) dξ dη = − ζ −z π





b(ζ)f (ζ) dξ dη, 1 − zζ

B

z ∈ B. (17)

Die rechte Seite von (17) ist in B holomorph und auf B stetig. Das Integral auf der linken Seite ist in ganz C stetig, verschwindet in ∞ und ist im Außengebiet ur z ∈ ∂B multiplizieren wir beide Seiten von (17) A = C\B holomorph. F¨ mit 1 dz , t ∈ B, 2πi z − t und integrieren l¨ angs ∂B. Der Cauchysche Integralsatz und die Cauchysche Integralformel liefern 1 2πi

3

t2n+1 f (z) dz = − z−t π



B

∂B

b(ζ)f (ζ) dξ dη. 1 − tζ

(18)

Wir entwickeln nun beide Seiten nach Potenzen von t um 0 und erhalten 3 f (z)e−ikθ dθ = 0 f¨ ur k = 0, 1, . . . , 2n (19) ∂B

¨ von Bers und Vekua haben wir die mit z = eiθ . Nach dem Ahnlichkeitsprinzip Darstellung f (z) = ψ(z)ep(z) , z ∈ B; (20) dabei ist ψ in B holomorph und p(z) = −

1 π



 zg(ζ)  g(ζ) − dξ dη, ζ − z 1 − ζz

f g=b , f

(21)

B

erkl¨ art. Wegen Im p(z) = 0 auf ∂B erhalten wir mit (20) die Randbedingung Re

 ψ(z)  zn

=0

auf ∂B

(22)

f¨ ur die holomorphe Funktion ψ. Nun folgt ψ(z) =

2n 

ck z k ,

(23)

k=0

wobei die komplexen Konstanten c0 , c1 , . . . , c2n die Bedingungen c2n−k = −ck , erf¨ ullen. Also finden wir

k = 0, 1, . . . , n,

(24)

136

IX Lineare elliptische Differentialgleichungen

f (z) =

2n 

 ck z k ep(z) ,

z ∈ B.

(25)

k=0

Setzen wir (25) in (19) ein, so folgt 2n 




z k z −l ep(z) dθ = 0,

ck

k=0

l = 0, 1, . . . , 2n,

(26)

∂B

und somit ck = 0 f¨ ur k = 0, 1, 2, . . . , 2n. Es ist n¨amlich die Gramsche Determinante des Systems linear unabh¨ angiger Funktionen 1

z k e 2 p(z) ,

k = 0, 1, 2, . . . , 2n,

mit Im p(z) = 0 auf ∂B verschieden von Null. Der Darstellung (25) entnehmen wir somit f = 0. q.e.d. Satz 1. F¨ ur die Indizes n = 0, 1, 2, 3, . . . hat das Riemann-Hilbertsche Randwertproblem (9) eine (1+2n)-dimensionale L¨osungsmenge. Beweis: Wir verwenden die Integralgleichung (16) und Hilfssatz 1. Nach Satz 8 aus § 6 im Kapitel VIII kann man f¨ ur alle rechten Seiten Φ aus (15) die Integralgleichung in der Klasse der stetigen Funktionen l¨osen. Wir erhalten somit eine (2n+1)-dimensionale L¨ osungsschar von (9). q.e.d. Wir wollen nun das Riemann-Hilbert-Problem (9) zum Index n = −1 l¨osen. Mit einer L¨ osung f von (9) gehen wir u ¨ber zur stetigen Funktion z ∈ B,

g(z) := zf (z),

(27)

welche das folgende Riemann-Hilbert-Problem zum Index 0 l¨ost: 0=

6 6 ∂ 5 z 5 ∂ zf (z) − b(z) g(z) − c(z)g(z) zf (z) = ∂z z ∂z

χ(z) = Re g(z)

˙ in B,

(28)

auf ∂B.

Hierbei haben wir B˙ := B\{0} und c(z) :=

z b(z), z

˙ z ∈ B,

ugt demnach der Integralgleigesetzt. Die Funktion g(z) = zf (z), z ∈ B, gen¨ chung
1 ζ + z dζ + iγ zf (z) − V0 [czf ](z) = χ(ζ) 2πi ζ −z ζ ∂B

beziehungsweise

§3 Das Riemann-Hilbertsche Randwertproblem

zf (z) − V0 [zbf ](z) =




1 2πi

χ(ζ) z dζ + ζ πi

∂B




∂B

χ(ζ) dζ + iγ, ζ(ζ − z)

137

z ∈ B, (29)

mit einem γ ∈ R. Wir entwickeln nun

) ) 1 ) ) V0 [zg]) = − g(ζ) dξ dη + zW[g]) , π z z

z ∈ B,

(30)

B

mit



 ) 1 g(ζ) ζ g(ζ)  ) + dξ dη, W[g]) := − π ζ − z 1 − zζ z

z ∈ B.

B

Es gilt n¨ amlich −

1 π



g(ζ) dξ dη − B

z π



 g(ζ) ζ g(ζ)  dξ dη + ζ −z 1 − zζ B

1 =− π



 ζg(ζ) zζ g(ζ)  dξ dη. + ζ −z 1 − zζ B

Setzen wir (30) in (29) ein, so ergibt sich die Integralgleichung
1 χ(ζ) f (z) − W[bf ](z) = dζ πi ζ(ζ − z) ∂B  (31) 


1 1 χ(ζ) 1 dζ − + iγ + b(ζ)f (ζ) dξ dη . z 2πi ζ π B

∂B

Damit wir eine stetige L¨ osung von (31) erhalten, muß


1 χ(ζ) 1 dζ − b(ζ)f (ζ) dξ dη 0 = iγ + 2πi ζ π ∂B

B

erf¨ ullt sein. Wir haben dann die Integralgleichung
χ(ζ) 1 f (z) − W[bf ](z) = dζ, πi ζ(ζ − z)

z ∈ B,

∂B

zu l¨ osen. Wir betrachten jetzt den Integraloperator W[g](z) = −

1 π



 g(ζ) g(ζ)  dξ dη, + 1 ζ −z −z ζ B

Mit Hilfe der Substitution

(32)

z ∈ B.

(33)

138

IX Lineare elliptische Differentialgleichungen

ζ=

1 , γ

γ = α + iβ ∈ A,

dξ dη =

1 dα dβ |γ|4

erhalten wir 1 W[g](z) = TB [g](z) − π



g 1  1 1 γ dα dβ γ − z γ γγ 2 A

 

g 1 12 1 ζ ζζ = TB [g](z) − π ζ −z

1 ζ

dξ dη

(34)

A

= TB [g](z) + TA mit g˜(ζ) :=

1 ζζ

2g

% g˜ & (z), z

1 , ζ

z ∈ B,

ζ ∈ A.

(35)

Hilfssatz 2. (Vekua) Sei f ∈ H eine L¨osung von f − W[bf ] = 0, so folgt f = 0. Beweis: Wir erkl¨ aren die Kernfunktion K(z, ζ) :=

ζ 1 − zζ

f¨ ur

z, ζ ∈ B

(36)

und berechnen K ∗ (z, ζ) := K(ζ, z) =



z z  = . 1 − ζz 1 − zζ

(37)

F¨ ur beliebige Funktionen f, g ∈ C 0 (B, C) ermitteln wir

  f (z)W[g](z) + g(z)V0 [f ](z) dz B

1 =− π





 f (z) B

B

g(ζ) f (ζ)  + g(z) dz dζ ζ−z ζ−z





  1 f (z)K(z, ζ)g(ζ) + g(z)K(ζ, z) f (ζ) dz dζ − π B B  



2 = − Re f (z)K(z, ζ)g(ζ) dz dζ. π B

(38)

B

Hierbei ist nat¨ urlich dz = dx dy und dζ = dξ dη gemeint. Substituieren wir nun in der Kommutatorrelation (38) die Funktionen f → bg und g → bf , so erhalten wir f¨ ur beliebige Funktionen f, g ∈ C 0 (B, C) die Identit¨at



 Im

§4 Potentialtheoretische Absch¨ atzungen

139

    b(z)g(z) f (z) − W[bf ](z) + b(z)f (z) g(z) − V0 [bg](z) dx dy = 0.

B

(39) osung von f − W[bf ] = 0, so folgt Ist f ∈ C 0 (B, C) eine L¨

  Im b(z)f (z) g(z) − V0 [bg](z) dx dy = 0 f¨ ur alle g ∈ C 0 (B, C). B

(40) Mit Hilfe von Satz 1 bestimmen wir nun zur rechten Seite ib(z)f (z) die L¨osung g ∈ C 0 (B, C) der Integralgleichung g(z) − V0 [bg](z) = ib(z)f (z),

z ∈ B.

Einsetzen in (40) liefert 



|b(z)|2 |f (z)|2 dx dy = |b(z)|2 |f (z)|2 dx dy. 0 = Im i B

(41)

B

Wir erhalten b(z)f (z) ≡ 0 bzw. f (z) = W[bf ](z) ≡ 0

in B.

q.e.d.

Satz 2. Zum Index n = −1 hat das Riemann-Hilbertsche Randwertproblem (9) eine L¨osung genau dann, wenn die Bedingung (32) erf¨ ullt ist. Beweis: Man verwende wieder Satz 8 aus § 6 im Kapitel VIII und Hilfssatz 2. q.e.d. Bemerkung: Auch f¨ ur den Fall der Indizes n = −2, −3, . . . ist das RiemannHilbert-Problem l¨ osbar, wenn man (−n) geeignete Integralbedingungen stellt. Wir verweisen hierbei auf I. N. Vekuas Buch [V] Kap. IV, § 7, Abschnitt 3.

§4 Potentialtheoretische Absch¨ atzungen Wir bauen nun auf die Ergebnisse aus Kapitel V, § 1 und § 2 u ¨ber die Poissonsche Differentialgleichung auf. F¨ ur die Einheitskugel B := {x ∈ Rn : |x| < 1} k¨onnen wir explizit die Greensche Funktion angeben, ) y−x ) 1 ) ) φ(y; x) = log ) falls n = 2 (1) ), y ∈ B, x ∈ B, 2π 1 − xy und φ(y; x) = y ∈ B,

1 (2 − n)ωn x ∈ B,



1 1 − n−2 |y − x|n−2 (1 − 2(x · y) + |x|2 |y|2 ) 2

falls

n ≥ 3.

 , (2)

140

IX Lineare elliptische Differentialgleichungen

Ausgangspunkt ist die Poissonsche Integralformel aus Satz 2 im Kap. V, § 2: Eine L¨ osung u von u = u(x) = u(x1 , . . . , xn ) ∈ C 2 (B) ∩ C 0 (B), ∆u(x) = f (x), mit der rechten Seite

(3)

x ∈ B,

f = f (x) ∈ C 0 (B)

(4)

gen¨ ugt der Poissonschen Integraldarstellung

|y|2 − |x|2 1 u(x) = u(y) dσ(y) + φ(y; x)f (y) dy, ωn |y − x|n |y|=1

x ∈ B. (5)

|y|≤1

Frage I: F¨ ur welche rechten Seiten f : B → R und welche Randwerte u : ∂B → R k¨ onnen wir das Dirichletproblem der Poissongleichung l¨osen? Frage II: Unter welchen Bedingungen ist uxi xj (x), x ∈ B, stetig auf B fortsetzbar f¨ ur i, j = 1, . . . , n? Falls u Nullrandwerte auf ∂B besitzt, haben wir nur das singul¨are Integral u ¨ ber B in (5) zu betrachten. Definition 1. Sei Ω ⊂ Rn ein Gebiet, und im folgenden sei jeweils α ∈ (0, 1). Dann geh¨ort die stetige Funktion f : Ω → R zur Regularit¨atsklasse C α (Ω), falls es eine Konstante b ∈ (0, +∞) gibt, so daß |f (x) − f (y)| ≤ b|x − y|α

f¨ ur alle

x, y ∈ Ω

(6)

gilt. Hilfssatz 1. (E. Hopf ) F¨ ur n = 2, 3, . . . sei Ω ⊂ Rn ein beschr¨anktes Gebiet und   Ω ⊗ Ω := (x, y) ∈ Ω × Ω : x = y . Gegeben sei die symmetrische Kernfunktion φ(y; x) = φ(x; y) : Ω ⊗ Ω → R mit den Wachstumsbedingungen  a log |y − x|, falls n = 2 , (7) |φ(y; x)| ≤ a|y − x|2−n , falls n ≥ 3 und

|φxi (y; x)| ≤ a|y − x|1−n , |φxi xj (y; x)| ≤ a|y − x|−n ,

(8) i, j = 1, . . . , n.

Dabei ist a ∈ (0, +∞) eine Konstante. Weiter geh¨oren die Funktionen

§4 Potentialtheoretische Absch¨ atzungen


Φi (x) :=

φxi (y; x)dy,

x ∈ Ω,

mit

141

i = 1, . . . , n

Ω

zur Klasse C 1 (Ω). Schließlich betrachten wir zur Funktion f ∈ C α (Ω) das Parameterintegral
F (x) := φ(y; x)f (y) dy, x ∈ Ω. (9) Ω

Dann ist F (x) ∈ C 2 (Ω) erf¨ ullt, und es gilt
Fxi (x) = φxi (y; x)f (y) dy,

x ∈ Ω,

(10)

Ω

sowie




Fxi xj (x) =

  φxi xj (y; x) f (y) − f (x) dy + f (x)Φixj (x),

x ∈ Ω.

(11)

Ω

Beweis: Das Integral (9) ist absolut konvergent wegen (7). Wegen (8) k¨onnen wir von F (x) den Differenzenquotienten bilden und haben eine konvergente Majorante. Die Identit¨ at
Fxi (x) = φxi (y; x)f (y) dy, x ∈ Ω, f¨ ur i = 1, . . . , n Ω

erhalten wir dann mit dem Konvergenzsatz f¨ ur uneigentliche Riemannsche Integrale. Da wir dieses Integral nicht direkt nochmals differenzieren d¨ urfen denn es bleibt nicht absolut konvergent - betrachten wir f¨ ur festes x0 ∈ Ω die Umformung
  Fxi (x) = φxi (y; x) f (y) − f (x0 ) dy + f (x0 )Φi (x), x ∈ Ω. Ω

Nun konvergiert wiederum der Differenzenquotient
  Fxi xj (x0 ) = φxi xj (y; x0 ) f (y) − f (x0 ) dy + f (x0 )Φixj (x0 ) Ω

f¨ ur alle x0 ∈ Ω, denn das Integral hat die konvergente Majorante |y −x0 |−n+α . q.e.d.

142

IX Lineare elliptische Differentialgleichungen

Hilfssatz 2. (Hopfsche Absch¨ atzungen) Sei Ω ⊂ Rn ein beschr¨anktes, konvexes Gebiet, auf welchem der singul¨are Kern K(x, y) : Ω ⊗ Ω → R ∈ C 1 (Ω ⊗ Ω) mit den Wachstumsbedingungen |K(x, y)| ≤ n 

a , |x − y|n

|Kxi (x, y)| ≤

i=1

a |x − y|n+1

(12) f¨ ur

(x, y) ∈ Ω ⊗ Ω

erkl¨art sei. Weiter sei f = f (x) ∈ C α (Ω) gegeben mit |f (x ) − f (x )| ≤ b|x − x |α

f¨ ur alle

x , x ∈ Ω.

(13)

Dabei sind a, b ∈ (0, +∞) und α ∈ (0, 1) feste Konstanten. Dann gelten f¨ ur
  F (x) := K(x, y) f (y) − f (x) dy, x ∈ Ω, Ω

die Absch¨atzungen |F (x)| ≤ M0 (α, n, diam(Ω))ab,

x ∈ Ω,

(14)

und ) )
) )     ) F (x ) − F (x ) + f (x ) − f (x ) · K(x , y) dy )) ≤ M1 (α, n)ab|x − x |α ) y∈Ω |y−x |≥3|x −x |

(15) f¨ ur alle x , x ∈ Ω. Beweis: 1. F¨ ur x ∈ Ω gilt


|F (x)| ≤

|K(x, y)| |f (y) − f (x)| dy Ω




≤ ab

|y − x|−n+α dy

Ω

≤ M0 (α, n, diam(Ω))ab. 2. Wir setzen δ := |x − x | und berechnen f¨ ur beliebige x , x ∈ Ω

§4 Potentialtheoretische Absch¨ atzungen

143

F (x ) − F (x )

      = K(x , y) f (y) − f (x ) dy − K(x , y) f (y) − f (x ) dy Ω




=

Ω

|y−x |≤3δ




+

=

+




  K(x , y) f (y) − f (x ) dy −

  K(x , y) f (y) − f (x ) dy

|y−x |≥3δ




  K(x , y) f (y) − f (x ) dy − 

|y−x |≤3δ




  K(x , y) f (y) − f (x ) dy

|y−x |≤3δ

|y−x |≥3δ







  K(x , y) f (y) − f (x ) dy − 

  K(x , y) f (y) − f (x ) dy

|y−x |≤3δ

   K(x , y) − K(x , y) f (y) − f (x ) dy

|y−x |≥3δ

  + f (x ) − f (x )




K(x , y) dy

|y−x |≥3δ

  =: I1 + I2 + I3 + f (x ) − f (x )




K(x , y) dy.

|y−x |≥3δ

(16) Somit folgt )
)    ) F (x ) − F (x ) + f (x ) − f (x ) )

) ) K(x , y) dy ) ≤ |I1 | + |I2 | + |I3 |.

|y−x |≥3δ

(17) 3. Wegen (12) k¨ onnen wir I1 wie folgt absch¨ atzen:

a  α b|y − x | dy ≤ ab |I1 | ≤ |y − x |n |y−x |≤3δ

|y−x |≤4δ


4δ = ab


4δ r

α−n n−1

r

rα−1 dr = ωn

ωn dr = ab ωn

0

=

|y − x |α−n dy

0

ab % α &4δ r α 0

(18)

ab ωn 4α ab ωn  (4δ)α = |x − x |α . α α

Entsprechend finden wir |I2 | ≤

3α ab ωn  |x − x |α . α

4. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ist

(19)

144

IX Lineare elliptische Differentialgleichungen

K(x , y) − K(x , y) =

n 

Kxi (ζ, y)(xi − xi )

i=1

mit einem ζ = x + t(x − x ) ∈ Ω und t ∈ (0, 1) erf¨ ullt. F¨ ur |y − x | ≥ 3δ  folgt |y − x | ≥ 2δ und somit |y − ζ| ≥ |y − x | − |x − ζ| ≥ |y − x | − |x − x | ≥

1 |y − x | . 2

Wegen (12) erhalten wir f¨ ur alle y ∈ Ω mit |y − x | ≥ 3δ die Ungleichung |K(x , y) − K(x , y)| ≤ |x − x |

n 

|Kxi (ζ, y)|

i=1

≤ aδ

1 |y − ζ|n+1

≤ aδ2n+1

(20)

1 . |y − x |n+1

Einsetzen in I3 liefert dann
|I3 | ≤ |K(x , y) − K(x , y)| |f (y) − f (x )| dy |y−x |≥3δ

≤2

n+1




ab δ

|y − x |−n−1+α dy

|y−x |≥3δ




|y − x |−n−1+α dy

≤ 2n+1 ab δ

|y−x |≥2δ

≤2

n+1

+∞
ab δ r−n−1+α ωn rn−1 dr 2δ

=2

n+1

+∞
ωn ab δ rα−2 dr 2δ

6+∞ 5 = 2n+1 ωn ab δ rα−1 2δ =

1 α−1

2n+α 2n+1 ωn ab δ(2δ)α−1 = ωn ab δ α 1−α 1−α

beziehungsweise |I3 | ≤

2n+α ωn ab|x − x |α . 1−α

(21)

§4 Potentialtheoretische Absch¨ atzungen

145

5. Aus (17)-(19) und (21) erhalten wir nun eine Konstante M1 = M1 (α, n), so daß die Absch¨ atzung (15) erf¨ ullt ist. q.e.d. F¨ ur eine Funktion f ∈ C α (Ω) in einem Gebiet Ω ⊂ Rn erkl¨aren wir die Gr¨oßen f Ω 0 := sup |f (x)|, x∈Ω

f Ω 0,α :=

sup

x ,x ∈Ω x =x

|f (x ) − f (x )| , |x − x |α

(22)

Ω Ω f Ω α := f 0 + f 0,α .

Mit der Norm (22) wird C α (Ω) zu einem Banachraum. Weiter zeigt man f¨ ur Ω Ω f, g ∈ C α (Ω) leicht die Ungleichung f gΩ α ≤ f α gα . Im Funktionenraum   C 2+α (Ω) := u ∈ C 2 (Ω) : uxi xj ∈ C α (Ω) f¨ ur i, j = 1, . . . , n definieren wir die Gr¨ oßen uΩ 0 := sup |u(x)|, x∈Ω

uΩ 1 := sup

n 

|uxi (x)|,

x∈Ω i=1 n 

uΩ 2 := sup

(23) |uxi xj (x)|,

x∈Ω i,j=1

Ω Ω Ω Ω uΩ 2+α := u0 + u1 + u2 + u2,α .

Dabei ist noch uΩ 2,α :=

n  |uxi xj (x ) − uxi xj (x )| |x − x |α x ,x ∈Ω i,j=1

sup

x =x

gesetzt worden. Mit der Norm (23) wird C 2+α (Ω) zu einem Banachraum. Mit   C∗2+α (Ω) := u ∈ C 2+α (Ω) : u|∂Ω = 0 bezeichnen wir den abgeschlossenen Unterraum von C 2+α (Ω) der Funktionen mit Nullrandwerten. Wir beweisen nun den Satz 1. Sei f ∈ C α (B) gegeben. Dann geh¨ort die Funktion
u(x) := φ(y; x)f (y) dy, x ∈ B, |y|ε

 f (ζ) dξ dη , (ζ − z)2

z ∈ B.

Dann wenden wir auf den Vekuaschen Integraloperator ΠB [f ] die Hopfschen Absch¨ atzungen aus Hilfssatz 2 an. q.e.d.

§5 Die Schaudersche Kontinuit¨ atsmethode ¨ Wir setzen nun die Uberlegungen aus Kapitel VI, § 1 fort und erkl¨aren den Differentialoperator L(u) :=

n 

 ∂2u ∂u + bi (x) + c(x)u(x) = f (x), ∂xi ∂xj ∂xi i=1 n

aij (x)

i,j=1

x ∈ Ω.

Voraussetzung C1 : Die L¨ osung u(x) von L(u) = f ist aus C 2+α (Ω). Es gilt u(x) = 0 auf ∂Ω. Voraussetzung C2 : : Die Koeffizienten aij (x), bi (x), c(x) mit i, j = 1, . . . , n ur alle x ∈ Ω reell, sind aus C α (Ω). Außerdem ist die Matrix (aij (x))i,j=1,...,n f¨ symmetrisch und positiv definit. Voraussetzung C3 : : F¨ ur jeden Punkt ξ ∈ ∂Ω gibt es eine positive Zahl  = (ξ) und eine Funktion G(x) ∈ C 2+α ({x ∈ Rn : |x − ξ| < }, R) mit n 

Gxi (x)2 > 0 f¨ ur |x − ξ| < ,

G(ξ) = 0,

i=1

so daß

    Ω ∩ x ∈ Rn : |x − ξ| <  = x ∈ Rn : |x − ξ| < , G(x) < 0

152

IX Lineare elliptische Differentialgleichungen

richtig ist - d.h. kurz ∂Ω ∈ C 2+α . Weiter sei Ω ⊂ Rn ein beschr¨anktes Gebiet. Voraussetzung C4 : : Es gilt c(x) ≤ 0 f¨ ur alle x ∈ Ω. Wir ben¨ otigen das folgende tiefliegende Resultat, das wir in § 7 beweisen wollen: Satz 1. (Schauderabsch¨ atzungen) Seien die Voraussetzungen C1 , C2 , C3 erf¨ ullt. Außerdem gelte n 

aij Ω α +

n 

i,j=1

und m

2

n  i=1

Ω bi Ω α + cα ≤ H

i=1

λ2i

≤

n 

aij (x)λi λj ≤ M

i,j=1

2

n 

λ2i

i=1

f¨ ur alle λ = (λ1 , . . . , λn ) ∈ Rn sowie x ∈ Ω mit den Konstanten H > 0 und 0 < m ≤ M < +∞. Dann k¨onnen wir ein θ = θ(α, n, m, M, H, Ω) so bestimmen, daß   Ω Ω Ω Ω Ω (1) uΩ 1 + u2 + u2,α ≤ θ u0 + f 0 + f 0,α erf¨ ullt ist. In Verallgemeinerung von Satz 1 aus § 4 folgt hieraus der Satz 2. Zus¨atzlich zu den Voraussetzungen von Satz 1 gelte Voraussetzung C4 . Dann gibt es eine feste positive Zahl θ = θ(α, n, m, M, H, Ω), so daß die apriori-Absch¨atzung Ω (2) uΩ 2+α ≤ θf α f¨ ur alle L¨osungen u ∈ C 2+α (Ω) des Dirichletproblems L(u) = f u=0

in auf

Ω,

∂Ω

(3)

gilt. Beweis: Nach Satz 1 aus § 1 in Kapitel VI gilt Ω uΩ 0 ≤ γf 0

mit einer Konstanten γ = γ(Ω, m, M ). Zusammen mit der Schauderabsch¨atzung erhalten wir dann (2). q.e.d. Im folgenden ben¨ otigen wir noch die

§5 Die Schaudersche Kontinuit¨ atsmethode

153

Voraussetzung C0 : F¨ ur alle f ∈ C α (Ω) hat die Gleichung ∆u = f eine 2+α L¨osung u ∈ C∗ (Ω). Bemerkung: Nach Satz 1 aus § 4 ist (C0 ) f¨ ur die Einheitskugel Ω = B erf¨ ullt. Wir werden sp¨ ater (C3 )⇒(C0 ) zeigen, und somit diese Voraussetzung eliminieren. Satz 3. (Kontinuit¨ atsmethode) Unter den Voraussetzungen C0 , C2 , C3 , C4 sei auf dem Gebiet Ω der Differentialoperator L gegeben. Dann hat f¨ ur alle f ∈ C α (Ω) das Randwertproblem L(u) = f u=0

in auf

Ω,

(4)

∂Ω

genau eine L¨osung u ∈ C∗2+α (Ω). Beweis: Sei 0 ≤ τ ≤ 1, so erkl¨ aren wir die Operatorschar n 

 ∂2u ∂u Lτ (u) := aij (x, τ ) + bi (x, τ ) + c(x, τ )u ∂x ∂x ∂x i j i i,j=1 i=1 n

mit aij (x, τ ) := τ aij (x) + (1 − τ )δij , bi (x, τ ) := τ bi (x),

i, j = 1, . . . , n,

i = 1, . . . , n,

c(x, τ ) := τ c(x), das heißt wir setzen Lτ = (1 − τ )∆ + τ L. Nach Satz 2 haben wir die a-prioriAbsch¨ atzung τ ∈ [0, 1], (5) u2+α ≤ θf α , f¨ ur alle L¨ osungen des Dirichletproblems Lτ (u) = f in B und u ∈ C∗2+α (Ω). Ω Dabei meinen wir ab jetzt u2+α := uΩ 2+α und f α := f α bei festem 2+α Gebiet Ω. Wir gehen nun von einer L¨ osung u = uτ0 ∈ C∗ (Ω) von Lτ0 (u) = f aus f¨ ur ein beliebiges τ0 ∈ [0, 1]. Wegen (C0 ) ist dieses f¨ ur τ0 = 0 m¨oglich, und wir beachten Lτ (u) = f mit

⇐⇒ Lτ0 (u) = Mτ (u) + f     Mτ = Lτ0 − Lτ (u) = (τ − τ0 ) ∆ − L (u).

(6)

aren sukzessiv die Approximationsfolge {uk }k=0,1,... Wir setzen u0 ≡ 0 und erkl¨ durch Lτ0 (uk ) = Mτ (uk−1 ) + f, k = 1, 2, . . . (7) Ausgehend von der Aussage

154

IX Lineare elliptische Differentialgleichungen

 Aτ0 :

F¨ ur jedes f ∈ C α (Ω) hat die Differentialgleichung osung uτ0 ∈ C∗2+α (Ω) Lτ0 (u) = f eine L¨

,

(8)

uglich der wollen wir die Konvergenz der Folge {uk }k=0,1,... ⊂ C∗2+α (Ω) bez¨ ur beliebiges u ∈ C∗2+α (Ω) gilt zun¨achst  · 2+α -Norm untersuchen. F¨ Mτ (u)α = |τ − τ0 | (∆ − L)uα ≤ |τ − τ0 |η(H)u2+α

(9)

mit einer Konstanten η = η(H). Aus (7) ermitteln wir Lτ0 (uk − uk−1 ) = Mτ (uk−1 − uk−2 ),

k = 2, 3, . . .

(10)

Die Schauderabsch¨ atzung (5) liefert nun zusammen mit (9) die Ungleichung uk − uk−1 2+α ≤ θMτ (uk−1 − uk−2 )α

(11)

≤ |τ − τ0 |θ η(H)uk−1 − uk−2 2+α , W¨ahlen wir also |τ − τ0 | ≤

1 2θ η(H) ,

uk − uk−1 2+α ≤

uk − uk−1 2+α ≤ und schließlich

+∞ 

so folgt

1 uk−1 − uk−2 2+α , 2

sowie

k = 2, 3, . . .

u1 2+α , 2k−1

k = 2, 3, . . . ,

k = 2, 3, . . . ,

uk − uk−1 2+α < +∞.

k=1

Also konvergiert |τ − τ0 | ≤ bzw.

1 2θ η(H)

+∞  k=1

(uk − uk−1 ) im Banachraum C∗2+α (Ω). F¨ ur alle τ mit

gibt es somit ein uτ ∈ C∗2+α (Ω) mit Lτ0 (uτ ) = Mτ (uτ ) + f Lτ (uτ ) = f .

1 ur alle |τ − τ0 | ≤ 2ϑ η(H) richtig. Nach endlich Somit ist die Aussage (Aτ ) f¨ vielen Schritten sehen wir dann die Aussage (A1 ) ein. q.e.d.

Auch das folgende tiefliegende Resultat werden wir in § 7 beweisen: Satz 4. (Innere Schauderabsch¨ atzungen) ullen die Koeffizienten von L die VorausIm beschr¨ankten Gebiet Ω ⊂ Rn erf¨ setzung C2 und die Ungleichungen n  i,j=1

aij Ω α +

n  i=1

Ω bi Ω α + cα ≤ H

§5 Die Schaudersche Kontinuit¨ atsmethode

und m2

n  i=1

λ2i ≤

n 

aij (x)λi λj ≤ M 2

i,j=1

n 

155

λ2i

i=1

f¨ ur alle λ ∈ R und alle x ∈ Ω mit Konstanten H > 0 und 0 < m ≤ M < +∞. Die Funktion u = u(x) ∈ C 2+α (Ω) ∩ C 0 (Ω) sei eine L¨osung der Differentialgleichung L(u) = f in Ω n

mit der rechten Seite f ∈ C α (Ω). Schließlich betrachten wir zu hinreichend kleinem d > 0 die Menge   Ωd := x ∈ Ω : dist(x, ∂Ω) > d . Dann gibt es ein κ = κ(α, n, m, M, H, d), so daß   Ωd Ωd Ω Ω Ω d uΩ 1 + u2 + u2,α ≤ κ u0 + f 0 + f 0,α

(12)

richtig ist. Bemerkung : u ∈ C 2+α (Ω) bedeutet hier, daß f¨ ur jede kompakte Teilmenge ullt ist. Θ ⊂ Ω die Aussage u ∈ C 2+α (Θ) erf¨ Satz 5. Unter den Voraussetzungen C0 , C2 , C3 , C4 sei auf dem Gebiet Ω der Differentialoperator L gegeben. Dann hat f¨ ur alle f ∈ C α (Ω) und alle stetigen Funktionen g : ∂Ω → R das Dirichletproblem L(u) = f u=g

in auf

Ω,

(13)

∂Ω

genau eine L¨osung in der Regularit¨atsklasse C 2+α (Ω) ∩ C 0 (Ω). Beweis: Wir konstruieren eine Folge von Polynomen {gn }n=1,2,... , die auf ∂Ω gleichm¨ aßig gegen g(x) konvergieren. Nun l¨ osen wir f¨ ur n = 1, 2, . . . die Probleme un ∈ C 2+α (Ω), L(un ) = f un = gn

(14)

in Ω, auf ∂Ω.

Hierzu konstruieren wir mit Satz 3 eine Folge {vn }n=1,2,... ⊂ C∗2+α (Ω) mit L(vn ) = f − L(gn ) =: fn ∈ C α (Ω) vn = 0

auf ∂Ω.

in Ω,

(15)

Offenbar l¨ osen dann un := vn + gn die Randwertprobleme (14) f¨ ur n = 1, 2, . . . Wegen L(um − un ) = 0 in Ω und (C4 ) liefert das Maximumprinzip

156

IX Lineare elliptische Differentialgleichungen

un − um Ω 0 ≤ max |gn (x) − gm (x)| → 0 (m, n → ∞) x∈∂Ω

un Ω 0 ≤ const,

(16)

n = 1, 2, . . .

F¨ ur jedes hinreichend kleine d > 0 erhalten wir nun mit der inneren Schauderabsch¨ atzung Ωd Ωd d un − um Ω 1 + un − um 2 + un − um 2,α

≤ κ(d)un − um Ω 0 → 0 (m, n → ∞). Setzen wir also x ∈ Ω,

u(x) := lim un (x), n→∞

so gilt un → u (n → ∞) in C 2+α (Θ) f¨ ur jede kompakte Teilmenge Θ ⊂ Ω. Somit geh¨ ort u zur Klasse C 0 (Ω) ∩ C 2+α (Ω) und ist die eindeutige L¨osung von (13). q.e.d.

§6 Existenz- und Regularit¨ atss¨ atze Wir wollen zun¨ achst die Voraussetzung C0 eliminieren. Definition 1. Zwei beschr¨ankte Gebiete Ω1 , Ω2 ⊂ Rn sind C 2+α -diffeomorph, falls es eine bijektive Abbildung y = y(x) : Ω 1 → Ω 2 ∈ C 2+α (Ω 1 ) mit der Um∂(y1 ,...,yn ) = 0 kehrabbildung x = x(y) : Ω 2 → Ω 1 ∈ C 2+α (Ω 2 ) gibt, die dann ∂(x 1 ,...,xn ) n 2+α ullt. Falls Ω zur Einheitskugel B ⊂ R C -diffeomorph ist, sprein Ω 1 erf¨ chen wir von einer C 2+α -Kugel. Wir ben¨ otigen nun den Satz 1. (Rekonstruktionslemma) In der C 2+α -Kugel Ω ⊂ Rn erf¨ ullen die Koeffizienten des Differentialoperators L die Voraussetzungen C2 und C4 . Dann gibt es zu allen rechten Seiten f ∈ C α (Ω) und Randwerten g ∈ C 0 (∂Ω) eine L¨osung u = u(x) der Regularit¨atsklasse C 2+α (Ω) ∩ C 0 (Ω) des Dirichletproblems L(u) = f u=g

in auf

Ω,

∂Ω.

(1)

Falls zus¨atzlich f¨ ur einen Randpunkt ξ ∈ ∂Ω und ein  > 0 mit Ω(ξ, ) := {x ∈ Ω : |x − ξ| < } die Randbedingung g(x) = 0 erf¨ ullt ist, so folgt

f¨ ur alle

x ∈ ∂Ω ∩ ∂Ω(ξ, )

u ∈ C 2+α (Ω(ξ, r))

f¨ ur alle hinreichend kleinen 0 < r < .

(2) (3)

§6 Existenz- und Regularit¨ atss¨ atze

157

Beweis: 1. Da Ω C 2+α -diffeomorph zu B ist, gibt es einen C 2+α -Diffeomorphismus y = (y1 (x), . . . yn (x)) ∈ C 2+α (Ω) von Ω auf B mit der inversen Abbildung x = (x1 (y), . . . , xn (y)) ∈ C 2+α (B). Sei u(x) = u˜(y(x)), x ∈ Ω, erkl¨art, so folgt u xi =

n 

u ˜ yk

k=1

u xi xj =

n 

∂yk , ∂xi ∂yk ∂yl  ∂ 2 yk + u ˜ yk . ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj n

u˜yk yl

k,l=1

k=1

Wir erhalten f¨ ur alle y ∈ B: L(u)|x=x(y) =

n 

aij uxi xj +

i,j=1

=

+

aij

i,j=1

n   n  k=1

) ) bi uxi + cu )

i=1

n   n  k,l=1

n 

x=x(y)

∂yk ∂yl )) u ˜y y ) ∂xi ∂xj x=x(y) k l  ∂yk )) ∂ 2 yk + bi u˜y ) ∂xi ∂xj ∂xi x=x(y) k i=1 n

aij

i,j=1

(4)

+c|x=x(y)u˜(y) =:

n 

a ˜kl (y)˜ u yk yl +

k,l=1

n 

˜bk (y)˜ uyk + c˜(y)˜ u.

k=1

Nach Satz 1 aus § 4 ist auf B die Voraussetzung C0 erf¨ ullt, und wir k¨onnen das Dirichletproblem (1) in B mit Satz 5 aus § 5 l¨osen. Aufgrund des Transformationsverhaltens der Koeffizienten in (4), n¨amlich a ˜kl (y), ˜bk (y) ∈ C α (B), 0 ≥ c˜(y) ∈ C α (B),

k, l = 1, . . . , n, (5)

k¨ onnen wir nun das Dirichletproblem (1) auch auf Ω behandeln. 2. Wir kontrollieren nun die Konstruktion im Beweis von Satz 5 aus § 5: Unter der Zusatzvoraussetzung (2) approximieren wir g gleichm¨aßig auf ∂Ω durch eine Folge {gk }k=1,2,... von Polynomen. Mit der Gl¨attungsfunktion  0, 0 ≤ t ≤ 12 Θ(t) := ∈ C ∞ (R) 1, 1 ≤ t < +∞ betrachten wir

158

IX Lineare elliptische Differentialgleichungen

g˜k (x) := gk (x)Θ

 |x − ξ|  , 

x ∈ Rn ,

k = 1, 2, . . .

Wir beachten g˜k (x) → g(x) (k → ∞) gleichm¨aßig auf ∂Ω und g˜k (x) = 0

f¨ ur alle x ∈ Rn

mit

|x − ξ| ≤

1 . 2

(6)

Wie im Beweis von Satz 5 in § 5 existiert eine L¨osung uk ∈ C 2+α (Ω), L(uk ) = f uk = g˜k

(7)

in Ω, auf ∂Ω.

Verwenden wir nun eine Interpolation der Schauderabsch¨atzungen aus Satz 1 und 4 in § 5 (vgl. § 7), so erhalten wir f¨ ur beliebiges 0 < r < 12  die Absch¨ atzung Ω(ξ,r)

uk − ul 1

Ω(ξ,r)

+ uk − ul 2

Ω(ξ,r)

+ uk − ul 2,α Ω(ξ, 12 )

≤ ϑuk − ul 0

≤ ϑuk − ul Ω 0

(8)

gk (x) − g˜l (x)| → 0 (k, l → ∞). ≤ ϑ sup |˜ x∈∂Ω

Somit folgt u(x) := lim uk (x) ∈ C 2+α (Ω) ∩ C 0 (Ω) ∩ C 2+α (Ω(ξ, r)) k→∞

f¨ ur alle 0 < r
0 sei die Funktion G = G(x) ∈ C 2+α ({x ∈ Rn : |x − ξ| < }) gegeben mit der Eigenschaft G(ξ) = 0 und ∇G(x) = 0 f¨ ur alle x mit |x − ξ| < . Dann gibt es eine C 2+α -Kugel   D ⊂ x ∈ Rn : |x − ξ| < , G(x) < 0 , deren Rand

   ∂D ∩ {x ∈ Rn : |x − ξ| <  = x ∈ Rn : |x − ξ| <  , G(x) = 0

(9)

ullt. f¨ ur ein 0 <  <  erf¨ ¨ Beweis: Ubungsaufgabe. Satz 2. (Existenzsatz) Unter den Voraussetzungen C2 , C3 , C4 sei auf dem Gebiet Ω der Differentialoperator L gegeben. Dann hat f¨ ur alle f ∈ C α (Ω) und alle g : ∂Ω → R ∈ 0 C (∂Ω) das Dirichletproblem

§6 Existenz- und Regularit¨ atss¨ atze

L(u) = f u=g

in auf

Ω,

∂Ω

159

(10)

genau eine L¨osung in der Regularit¨atsklasse C 2+α (Ω) ∩ C 0 (Ω). Beweis: Wir haben nur die Voraussetzung C0 in Satz 5 aus § 5 zu eliminieren. Sei f ∈ C α (Ω), so betrachten wir im Fall n ≥ 3 die Funktion
f (y) 1 v(x) := dy, x ∈ Ω. (11) (2 − n)ωn |y − x|n−2 Ω

Wir ermitteln

v ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω), ∆v(x) = f (x)

in

Ω.

(12)

Nun l¨ osen wir wie in Kap. V, § 3 mit der Perronschen Methode das Randwertproblem w ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω), (13)

∆w = 0

in Ω,

w = −v

auf ∂Ω.

Dann ist die Funktion u(x) := v(x) + w(x), x ∈ Ω, eine L¨osung des Randwertproblems ∆u(x) = f (x) in Ω, (14) u=0 auf ∂Ω. Indem wir mit Hilfe von Satz 1 die L¨ osung u lokal im Innern und auch mit Hilfssatz 1 am Rand rekonstruieren, erhalten wir u ∈ C 2+α (Ω). Hierzu verweisen wir auf die nachfolgenden Beweise von Satz 3 und Satz 4. q.e.d. Satz 3. (Innere Regularit¨ at) Im Gebiet Ω ⊂ Rn sei der Differentialoperator L unter der Voraussetzung C2 und die rechte Seite f ∈ C α (Ω) gegeben. Dann geh¨ort eine L¨osung u ∈ C 2 (Ω) der Differentialgleichung L(u) = f

in

Ω

(15)

zur Regularit¨atsklasse C 2+α (Ω). ˜ = f˜ in Beweis: Wegen (15) gen¨ ugt u ∈ C 2 (Ω) der Differentialgleichung L(u) Ω mit ˜ L(u) :=

n  i,j=1

 ∂2u ∂u + bi (x) , ∂xi ∂xj ∂xi i=1 n

aij (x)

f˜ := f − cu ∈ C α (Ω).

160

IX Lineare elliptische Differentialgleichungen

Da nun L˜ der Voraussetzung C4 gen¨ ugt, k¨ onnen wir mit Hilfe von Satz 1 die L¨ osung wie folgt rekonstruieren: Zu ξ ∈ Ω und hinreichend kleinem  > 0 betrachte D := {x ∈ Rn : |x − ξ| < } ⊂⊂ Ω. Es gibt eine L¨osung v ∈ C 2+α (D) ∩ C 0 (D) von ˜ L(v) = f˜ in D, (16) v=u auf ∂D. Nach dem Maximumprinzip folgt u(x) ≡ v(x) in D und somit u ∈ C 2+α (D). q.e.d. Unter der Voraussetzung C3 k¨ onnen wir ∂Ω als (n − 1)-dimensionale Mannigfaltigkeit der Klasse C 2+α auffassen. Es ist damit m¨oglich, Randfunktionen urlicher Weise zu definieren. Sehr einfach zeigt g : ∂Ω → R ∈ C 2+α (∂Ω) in nat¨ man den Hilfssatz 2. Sei g : ∂Ω → R ∈ C 2+α (∂Ω) gegeben. Dann gibt es zu jedem ξ ∈ ∂Ω und hinreichend kleinem ε > 0 eine Funktion h = h(x1 , . . . , xn ) ∈ C 2+α ({x ∈ Rn : |x − ξ| ≤ ε}) mit h = g auf ∂Ω ∩ {x ∈ Rn : |x − ξ| ≤ ε}. Satz 4. (Randregularit¨ at) Unter den Voraussetzungen C2 und C3 sei in dem Gebiet Ω ⊂ Rn der Differentialoperator L gegeben. Zur Randfunktion g ∈ C 2+α (∂Ω) und zur rechten Seite f ∈ C α (Ω) sei u eine L¨osung des Dirichletproblems u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω), L(u) = f u=g

in auf

(17)

Ω,

∂Ω.

Dann folgt u = u(x) ∈ C 2+α (Ω). Beweis: 1. Es sei ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ ∂Ω beliebig gew¨ ahlt. Wir betrachten die Funktion 2 w(x) := e−µ(x1 −ξ1 ) > 0 im Rn mit noch zu fixierendem µ > 0. Wegen 2

wx1 = −2µ(x1 − ξ1 )e−µ(x1 −ξ1 ) , 1 2 2 wx1 x1 = 4µ2 (x1 − ξ1 )2 − 2µ e−µ(x1 −ξ1 ) erhalten wir Lw|x=ξ = −2µa11 (ξ) + c(ξ) < 0 f¨ ur hinreichend großes µ > 0. W¨ ahlen wir nun  > 0 hinreichend klein, so folgt Lw(x) ≤ 0,

w(x) > 0

f¨ ur alle x ∈ Ω

mit

|x − ξ| ≤ .

(18)

Gem¨ aß § 1 aus Kapitel VI k¨ onnen wir durch den Produktansatz u(x) = w(x)v(x) erreichen, daß der Differentialoperator f¨ ur v die Voraussetzung ullt. Also k¨ onnen wir im folgenden zus¨atzlich (C4 ) fordern. C4 erf¨

§6 Existenz- und Regularit¨ atss¨ atze

161

2. Nach Hilfssatz 2 k¨ onnen wir lokal g : ∂Ω → R um den Punkt ξ zu einer Funktion h ∈ C 2+α ({x ∈ Rn : |x − ξ| ≤ }) fortsetzen. Nun w¨ahlen wir eine C 2+α -Kugel D gem¨ aß Hilfssatz 1, so daß   D ⊂ x ∈ Rn : |x − ξ| ≤  ∩ Ω erf¨ ullt ist. Die Funktion v(x) := u(x) − h(x) ∈ C 2+α (D) ∩ C 0 (D) gen¨ ugt Lv(x) = Lu(x) − Lh(x) = f (x) − Lh(x),

x ∈ D.

(19)

Dabei geh¨ ort die rechte Seite von (19) zur Klasse C α (D). Weiter gilt v(x) = 0 f¨ ur alle x ∈ ∂Ω(ξ,  ) ∩ ∂Ω mit hinreichend kleinem  > 0; hier haben wir   Ω(ξ,  ) := x ∈ Ω : |x − ξ| <  erkl¨ art. Indem wir nun mit Hilfe von Satz 1 die L¨osung v auf D wie im Beweis von Satz 3 rekonstruieren, erhalten wir v ∈ C 2+α (Ω(ξ,  ))

(20)

f¨ ur ein 0 <  <  < . Da ξ ∈ ∂Ω beliebig gew¨ahlt war, folgt u ∈ C 2+α (Ω). q.e.d. Bemerkung: Da der Beweis von Satz 4 lokal ist wie in Satz 1 beschrieben, k¨ onnen wir damit auch einen lokalen Regularit¨ atssatz beweisen. Wir kommen nun zum Ziel der Theorie, n¨ amlich Satz 5. (Fundamentalsatz f¨ ur elliptische Differentialoperatoren) Unter den Voraussetzungen C2 und C3 sei der Differentialoperator L auf dem Gebiet Ω gegeben, und es gelte Das homogene Problem L(u) = 0 in Ω, u = 0 auf ∂Ω, u ∈ C 2 (Ω) hat nur die triviale L¨osung u ≡ 0.

(21)

F¨ ur alle f ∈ C α (Ω) und g ∈ C 2+α (∂Ω) hat dann das Randwertproblem u ∈ C 2+α (Ω), L(u) = f u=g

in auf

Ω,

∂Ω

genau eine L¨osung. Beweis: Wir betrachten den reduzierten Differentialoperator L0 (u) :=

n  i,j=1

 ∂2u ∂u + bi (x) ∂xi ∂xj ∂xi i=1 n

aij (x)

(22)

162

IX Lineare elliptische Differentialgleichungen

und l¨ osen mit Hilfe von Satz 2 und 4 das Dirichletproblem u0 ∈ C 2+α (Ω), L0 (u0 ) = 0 u0 = g

(23)

in Ω, auf ∂Ω.

osen wir dann das Problem (22) mit Zu gegebener rechter Seite f ∈ C α (Ω) l¨ dem Ansatz u = u0 + u1 , u1 ∈ C∗2+α (Ω). (24) F¨ ur u1 finden wir dann die Bedingung f = L(u) = L(u0 + u1 ) = L0 (u0 + u1 ) + c(u0 + u1 ) = L0 (u0 ) + L0 (u1 ) + cu0 + cu1 = L0 (u1 ) + cu0 + cu1 beziehungsweise −1 −1 2+α ˜ (Ω). u1 + L−1 0 (cu1 ) = L0 (f ) − L0 (cu0 ) = f ∈ C∗

(25)

Auf dem Banachraum   B := u : Ω → R ∈ C 2 (Ω) : u = 0 auf ∂Ω mit der Norm Ω Ω u := uΩ 0 + u1 + u2 ,

betrachten wir den linearen Operator 5 6 c(x)u(x) , K(u) := −L−1 0

u ∈ B,

u ∈ B.

(26)

Die Schauderabsch¨ atzung liefert  −1 5 6Ω  c(x)u(x) 2+α ≤ ϑcuΩ K(u) ≤ K(u)Ω 2+α = L0 α ˜ ≤ ϑcΩ α u = ϑu,

(27)

u ∈ B.

Somit ist K ein beschr¨ ankter, linearer Operator auf dem Banachraum B, der nach dem Satz von Arzel`a-Ascoli vollstetig ist. Wegen (21) hat die homogene Gleichung u + L−1 u ∈ B, (28) 0 (cu) = 0, nur die triviale L¨ osung u ≡ 0. Nach dem Satz von F. Riesz aus Kapitel VII, § 4 besitzt somit f¨ ur jede rechte Seite f˜ ∈ B die Operatorgleichung u − K(u) = f˜,

u ∈ B,

(29)

genau eine L¨ osung. Mit Hilfe von Satz 4 erhalten wir so die gesuchte Funkugt. Damit l¨ost u = u0 + u1 schließlich das tion u1 ∈ C∗2+α (Ω), die (25) gen¨ Dirichletproblem (22). q.e.d.

§7 Die Schauderschen Absch¨ atzungen

163

§7 Die Schauderschen Absch¨ atzungen Zu ξ ∈ Rn und R > 0 betrachten wir die Menge   B = B(ξ, R) := x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : |x − ξ| < R, xn > 0 . Mit x = (x1 , . . . , xn ) setzen wir x∗ = (x1 , . . . , xn−1 , −xn ). Sei   E := x ∈ Rn : xn = 0 , so definieren wir f¨ ur n ≥ 3 die Greensche Funktion auf dem Halbraum xn > 0   1 1 1 . φ(x, y) := − (n − 2)ωn |y − x|n−2 |y − x∗ |n−2 Offenbar gilt φ(x, y) = 0 f¨ ur alle y ∈ E. Wir erkl¨ aren nun die Funktionenklasse   C∗2+α (B) := u ∈ C 2+α (B(ξ, R)) : u(x) = 0 f¨ ur alle x ∈ ∂B(ξ, R) ∩ E . Hilfssatz 1. Sei u ∈ C∗2+α (B), so gilt f¨ ur alle x ∈ B
 ∂u ∂φ(x, y)  φ(x, y) (y) − u(y) u(x) = dσ(y) − ∂ν ∂ν |y−ξ|=R yn ≥0


φ(x, y)∆u(y) dy. |y−ξ|≤R yn ≥0

Beweis: Zun¨ achst gilt nach dem Gaußschen Satz
  φ(x, y)∆u(y) − u(y)∆y φ(x, y) dσ(y) B(ξ,R) |y−x|>ε


 φ(x, y)

= ∂B




+

∂u ∂φ  − u(y) dσ(y) ∂ν ∂ν

 φ(x, y)

∂u ∂φ  − u(y) dσ(y) ∂ν ∂ν

|y−x|=ε

f¨ ur alle ε > 0 und x ∈ B. Wegen u ∈ C∗2+α (B) liefert der Grenz¨ ubergang ε ↓ 0

 ∂u ∂φ  u(x) = φ −u dσ(y) − φ(x, y)∆u(y) dy. ∂ν ∂ν |y−ξ|=R yn ≥0

|y−ξ|0

q.e.d.

Bemerkungen: 1. Es ist wichtig, daß u auf einem ebenen Randst¨ uck verschwindet. Beim Zusammenziehen f¨ ur ξ ∈ E und R ↓ 0 geht dieses dann in sich u ¨ ber. Halbkugeln sind besonders bedeutend.

164

IX Lineare elliptische Differentialgleichungen

2. H¨ atten wir eine Greensche Funktion f¨ ur den Fall der Halbkugel B = B(ξ, R) mit ξ ∈ E zur Verf¨ ugung, k¨ onnten wir wie in § 4 potentialtheoretische Absch¨atzungen bis an den Rand ∂B ∩ E herleiten. 3. Um aber die Greensche Funktion f¨ ur die Halbkugel zu konstruieren, m¨ ussen wir mit der Poissonschen Integralformel das Dirichletproblem f¨ ur die Kugel l¨ osen. Von eben dieser L¨ osung wissen wir aber noch nicht, daß deren Ableitungen in B stetig sind. Hilfssatz 2. Die Funktion u ∈ C∗2+α (B) gen¨ uge der Poissonschen Differenur x ∈ B und tialgleichung ∆u = f in B mit f ∈ C α (B). Dann gelten f¨ i, j = 1, . . . , n die Gleichungen
 ∂φxi xj (x, y)  ∂u φxi xj (x, y) (y) − u(y) uxi xj (x) = dσ(y) ∂ν ∂ν |y−ξ|=R yn ≥0




−f (x)ψxi xj (x, R) −

  φxi xj (x, y) f (y) − f (x) dy.

B

Hierbei erkl¨aren wir
ψ(x, R) :=

  ∂( 1 y 2 ) 1 ∂φ 1 (x, y) dσ(y) − x2n . φ(x, y) 2 n − yn2 ∂ν 2 ∂ν 2

|y−ξ|=R yn ≥0

Beweis: In der Integraldarstellung von Hilfssatz 1 k¨onnen wir das Oberfl¨achenintegral zweimal differenzieren. Das problematische Volumenintegral
x ∈ B, F (x) = φ(x, y)f (y) dy, B

ist zun¨ achst nur einmal differenzierbar,
Fxi (x) = φxi (x, y)f (y) dy, x ∈ B,

f¨ ur

i = 1, . . . , n.

B

Setzen wir in Hilfssatz 1 die Funktion u(x) := und ∆u(x) = 1 im Rn ein, so folgt



φ(x, y)dy =

B

mit u(x) = 0 f¨ ur x ∈ E

  ∂( 12 yn2 ) 1 2 ∂φ 1 − yn (x, y) dσ(y) − x2n φ(x, y) ∂ν 2 ∂ν 2

|y−ξ|=R yn ≥0

= ψ(x, R), Somit geh¨ ort die Funktion

1 2 2 xn

x ∈ B.

§7 Die Schauderschen Absch¨ atzungen


Φi (x) :=

φxi (x, y) dy = ψxi (x, R),

165

x ∈ B,

B

zur Klasse C 1 (B), und der Hilfssatz 1 aus § 4 von E. Hopf liefert
  Fxi xj (x) = φxi xj (x, y) f (y) − f (x) dy + f (x)ψxi xj (x, R),

x ∈ B,

B

f¨ ur i, j = 1, . . . , n.

q.e.d.

uge ∆u(x) = f (x) Hilfssatz 3. Die Funktion u = u(x) ∈ C∗2+α (B(ξ, 1)) gen¨ in B(ξ, 1) mit f ∈ C α (B). Dann gibt es eine Konstante C = C(n, α), so daß   B(ξ, 1 ) B(ξ, 1 ) B(ξ,1) B(ξ,1) B(ξ,1) B(ξ,1) + u1 + f 0 + f 0,α u2 2 + u2,α 2 ≤ C(α, n) u0 gilt. Beweis: F¨ ur festes i, j ∈ {1, . . . , n} betrachten wir die Funktionen
  ∂φxi xj ∂u g(x) := φxi xj (x, y) (y) − u(y) (x, y) dσ(y), ∂ν ∂ν |y−ξ|=1 yn ≥0

h(x) := f (x)ψxi xj (x, 1),
  F (x) := φxi xj (x, y) f (y) − f (x) dy,

x ∈ B(ξ, 1).

B(ξ,1)

Nach Hilfssatz 2 gilt uxi xj (x) = g(x) − h(x) − F (x),

x ∈ B(ξ, 1).

(1)

Wir ermitteln zun¨ achst B(ξ, 12 )

g0

B(ξ, 12 )

+ g0,α

  B(ξ,1) B(ξ,1) . ≤ C1 (α, n) u0 + u1

(2)

Weiter gilt B(ξ, 12 )

h0

B(ξ, 12 )

+ h0,α

B(ξ, 12 )

= hα

B(ξ, 12 )

= f · ψxi xj (·, 1)α B(ξ, 1 )

B(ξ, 1 )

≤ ψxi xj (·, 1)α 2 f α 2   B(ξ,1) B(ξ,1) . + f 0,α ≤ C2 (α, n) f 0

(3)

Zur Absch¨ atzung von F (x) verwenden wir Hilfssatz 2 aus § 4, n¨amlich B(ξ,1)

|F (x)| ≤ C3 (α, n)f 0,α

,

x ∈ B(ξ, 1),

(4)

166

IX Lineare elliptische Differentialgleichungen

und die Hopfsche Absch¨ atzung ) )   )F (x ) − F (x ) + f (x ) − f (x ) )




) ) φxi xj (x , y) dy ))

y∈B(ξ,1) |y−x |≥3|x −x | B(ξ,1)

≤ C4 (α, n)f 0,α

|x − x |α

(5)

f¨ ur alle x , x ∈ B(ξ, 1).

Mit dem Gaußschem Integralsatz zeigt man die gleichm¨aßige Beschr¨anktheit der Cauchyschen Hauptwerte )
) ) ) 1  ) ≤ C5 ) φ (x , y) dy f¨ ur alle x ∈ B(ξ, ) und δ > 0. (6) xi xj ) ) 2 y∈B(ξ,1) |y−x |≥δ

Zusammen mit (5) folgt nun 2 1 B(ξ,1) |F (x ) − F (x )| ≤ C4 (α, n) + C5 f 0,α |x − x |α  1 und x ∈ B(ξ, 1). f¨ ur alle x ∈ B ξ, 2 Den Ungleichungen (4) und (7) entnehmen wir   B(ξ, 1 ) B(ξ, 1 ) B(ξ,1) F 0 2 + F 0,α 2 ≤ C3 (α, n) + C4 (α, n) + C5 f 0,α .

(7)

(8)

Aus (1)-(3) und (8) erhalten wir f¨ ur i, j = 1, . . . , n die Ungleichung B(ξ, 12 )

uxi xj 0

B(ξ, 1 )

+ uxi xj 0,α 2   B(ξ,1) B(ξ,1) B(ξ,1) B(ξ,1) ˜ , ≤ C(α, n) u0 + u1 + f 0 + f 0,α

und die gesuchte Absch¨ atzung folgt.

q.e.d.

Mit einem Skalierungsargument zeigen wir nun den Satz 1. Sei u = u(x) ∈ C∗2+α (B(ξ, R)) mit ξ ∈ Rn und R > 0 eine L¨osung von ∆u(x) = f (x), x ∈ B(ξ, R). Dann gilt B(ξ, 1 R) u2 2

  B(ξ,R) B(ξ,R) B(ξ,R) u0 f 0 u1 B(ξ,R) α + + R f 0,α ≤ C(α, n) + R2 R 1

und B(ξ, 12 R)

u2,α

  B(ξ,R) B(ξ,R) B(ξ,R) u0 u1 f 0 B(ξ,R) ≤ C(α, n) + + + f  . 0,α R2+α R1+α Rα

§7 Die Schauderschen Absch¨ atzungen

167

ξ Beweis: Wir wenden  Hilfssatz  3 auf die Funktion v(y) := u(Ry) , y ∈ B( R , 1),

der Klasse C∗2+α B( Rξ , 1) an und erhalten ξ 1 B( R ,2)

v2

B( ξ , 1 )

+ v2,αR 2   B( ξ ,1) B( ξ ,1) B( ξ ,1) B( ξ ,1) . ≤ C(α, n) v0 R + v1 R + g0 R + g0,αR

(9)

Ferner berechnen wir vyi (y) = R uxi (Ry),

i = 1, . . . , n,

2

vyi yk (y) = R uxi xk (Ry),

i, k = 1, . . . , n, ξ  y∈B ,1 , R

∆v(y) = R2 f (Ry) =: g(y), und beachten ξ B( R ,1)

vl

B(ξ,R)

= Rl ul

,

ξ 1 B( R ,2)

vl

B(ξ, R 2 )

= Rl ul

,

l = 0, 1, 2.

Schließlich notieren wir die Identit¨ aten B( ξ , 12 )

v2,αR

B(ξ, R 2 )

= R2+α u2,α

ξ B( R ,1)

= R2 f 0

ξ B( R ,1)

= R2+α f 0,α

g0

g0,α

B(ξ,R)

,

,

B(ξ,R)

.

Damit erhalten wir aus (9) die Ungleichung B(ξ, R 2 )

B(ξ, R )

R2 u2

+ R2+α u2,α 2   B(ξ,R) B(ξ,R) B(ξ,R) B(ξ,R) . ≤ C(α, n) u0 + Ru1 + R2 f 0 + R2+α f 0,α

Hieraus folgen die behaupteten Absch¨ atzungen.

q.e.d.

Wir gehen nun zu elliptischen Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten u ¨ ber. Zur Vorbereitung beweisen wir den Hilfssatz 4. Sei A = (aij )i,j=1,...,n eine reelle, symmetrische, positiv-definite Matrix, welche m2

n  i=1

ξi2 ≤

n  i,j=1

aij ξi ξj ≤ M 2

n 

ξi2

f¨ ur alle

ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ Rn

i=1

mit Konstanten 0 < m ≤ M < +∞ erf¨ ulle. Dann gibt es eine reelle Matrix ur j = 1, . . . , n − 1 und tnn > 0, so daß T = (tij )i,j=1,...,n mit tnj = 0 f¨

168

IX Lineare elliptische Differentialgleichungen

T ◦ A ◦ T∗ = E gilt. Weiter gelten die Dilatationsabsch¨atzungen M −1 |x| ≤ |T x| ≤ m−1 |x|, sowie

x ∈ Rn ,

m|y| ≤ |T −1 y| ≤ M |y|,

y ∈ Rn .

Beweis: Da A eine reelle, symmetrische Matrix ist, gibt es eine orthogonale Matrix B mit B ◦ B ∗ = E = B ∗ ◦ B, so daß B ◦ A ◦ B ∗ = Λ =: diag(λ1 , . . . , λn ) ur i = 1, . . . , n wird. zur Diagonalmatrix mit den Eigenwerten λi ∈ [m2 , M 2 ] f¨ Wir multiplizieren nun die Matrixgleichung von links und rechts mit der Ma−1/2 −1/2 trix Λ−1/2 := diag(λ1 , . . . , λn ) und erhalten mit C := Λ−1/2 ◦ B die Identit¨ at E = Λ−1/2 ◦ B ◦ A ◦ B ∗ ◦ (Λ−1/2 )∗ = C ◦ A ◦ C ∗ . Wir multiplizieren nun diese Gleichung mit einer beliebigen orthogonalen Matrix D und erhalten mit T := D ◦ C die Identit¨at E = D ◦ C ◦ A ◦ C ∗ ◦ D∗ = T ◦ A ◦ T ∗ . ullt wird. Wir w¨ ahlen nun D so, daß tnj = 0 (j = 1, . . . , n − 1) und tnn > 0 erf¨ Nun folgt T = D ◦ Λ−1/2 ◦ B mit den orthogonalen Matrizen B und D und −1/2 der Diagonalmatrix Λ−1/2 mit den Diagonalelementen λi ∈ [M −1 , m−1 ] f¨ ur i = 1, . . . , n. Hieraus ergibt sich die Absch¨atzung M −1 |x| ≤ |T x| ≤ m−1 |x|,

x ∈ Rn ,

und mit x = T −1 y die zweite Dilatationsabsch¨ atzung M −1 |T −1 y| ≤ |y| ≤ m−1 |T −1 y|,

y ∈ Rn .

q.e.d.

Satz 2. Die reelle, symmetrische Matrix A = (aij )i,j=1,...,n erf¨ ulle m2

n 

n 

ξi2 ≤

i=1

i,j=1

aij ξi ξj ≤ M 2

n 

ξi2 ,

ξ ∈ Rn ,

i=1

mit den Konstanten 0 < m ≤ M < +∞. Die Funktion u = u(x) ∈ C∗2+α (B(ξ, R)) l¨ose die Differentialgleichung L(u)|x :=

n  i,j=1

aij

∂2u (x) = f (x), ∂xi ∂xj

x ∈ B(ξ, R).

Dann gibt es eine Konstante C = C(α, n, m, M ) ∈ (0, +∞), so daß m B(ξ, M

u2

R 2 )

 B(ξ,R) B(ξ,R)  u0 u1 B(ξ,R) B(ξ,R) ≤ C f 0 + Rα f 0,α + + R2 R

§7 Die Schauderschen Absch¨ atzungen

169

und m B(ξ, M

u2,α

R 2 )

 ≤C

B(ξ,R)

f 0 Rα

B(ξ,R) 

B(ξ,R)

B(ξ,R)

+ f 0,α

+

u0 R2+α

+

u1 R1+α

g¨ ultig ist. Beweis: Zur Matrix A verwenden wir die Transformation y = T x gem¨aß Hilfssatz 4. Wegen yn = tnn xn haben wir T :

{x ∈ Rn : xn = 0} ↔ {y ∈ Rn : yn = 0}, {x ∈ Rn : xn > 0} ↔ {y ∈ Rn : yn > 0}.

Ferner gelten die Inklusionen    m  R  R ⊂ B T ξ, , T B ξ, 2M 2M  R ⊂ T (B(ξ, R)). B T ξ, M

(10) (11)

m Ist n¨ amlich y ∈ T (B(ξ, 2M R)) richtig, so folgt

|T −1 (y − T ξ)| = |T −1 y − ξ|
0 betrachten wir die Menge Ωd := {x ∈ Ω : dist(x, ∂Ω) > d}. Mit x0 ∈ Ωd und R = d wenden wir Satz 3 in der Kugel B = B(x0 , d) ⊂ Ω an und erhalten   Ω C˜ sup |u(x)| + f Ω 0 + f 0,α ≥ A1 + A2 + A2,α x∈Ω

≥d

n 

|uxi (x0 )| + d2

i=1

+

|uxi xj (x0 )|

i,j=1

n  d 2+α 

2

n 

|uxi xj (x ) − uxi xj (x )|   |x − x |α i,j=1 x ,x ∈B(x0 ,d/2) sup

x =x

f¨ ur alle x0 ∈ Ωd . Somit folgt   Ωd Ωd Ω Ω Ω d uΩ 1 + u2 + u2,α ≤ C(. . . , d) u0 + f 0 + f 0,α .

q.e.d.

§7 Die Schauderschen Absch¨ atzungen

177

Erf¨ ullt das Gebiet Ω die Voraussetzung C3 , so gibt es zu jedem Randpunkt x0 ∈ ∂Ω eine Halbumgebung Ω0 , welche so auf eine Halbkugel B(ξ, R) mit ξ ∈ E = {x ∈ Rn : xn = 0} abgebildet werden kann, daß B(ξ, R) ∩ E auf ∂Ω ∩ ∂Ω0 abgebildet wird. Diese Abbildung stellt einen Diffeomorphismus von B(ξ, R) auf Ω0 der Klasse C 2+α dar. Die Differentialgleichung L(u) = f transformiert sich dann wie im Beweis von Satz 1 aus § 6 in eine elliptische Differentialgleichung auf der Halbkugel mit Nullrandwerten auf E. Die im Beweis von Satz 1 aus § 6 dann ben¨ otigte Schauderabsch¨atzung k¨onnen wir mit Hilfe obiger Transformation dem Satz 3 entnehmen. Wir geben schließlich den Beweis von Satz 1 aus § 5: Nach obigen Ausf¨ uhrungen gibt es zu jedem x0 ∈ ∂Ω eine Umgebung Ω0 := Ω ∩ B(x0 , ε0 ) mit ε0 > 0, so daß   Ω0 Ω0 Ω Ω Ω 0 ˜ uΩ 1 + u2 + u2,α ≤ C u0 + f 0 + f 0,α gilt. Da ∂Ω kompakt ist, reichen endlich viele solcher Umgebungen Ωj , j = ¨ 1, . . . , N , zur Uberdeckung von ∂Ω aus. Wir erhalten dann   Ω Ω Ωj Ω Ω u1 j + u2 j + u2,α ≤ C˜ uΩ 0 + f 0 + f 0,α

f¨ ur

j = 1, . . . , N.

W¨ahlen wir nun d > 0 hinreichend klein, so erhalten wir insgesamt die Schauderabsch¨ atzung Ωd Ωd Ωd Ω Ω uΩ 1 + u2 + u2,α ≤ |u1 + u2 u2,α

+

N   Ω Ω Ωj  u1 j + u2 j + u2,α j=1

   Ω Ω ˜ + C(d) ˜ uΩ ≤ CN 0 + f 0 + f 0,α   Ω Ω ≤ C uΩ 0 + f 0 + f 0,α mit einer Konstanten C = C(α, n, m, M, H, Ω) ∈ (0, +∞).

q.e.d

Wir haben somit alle in § 5 und § 6 bereits verwendeten Schauderabsch¨atzungen hergeleitet.

X Schwache L¨ osungen elliptischer Differentialgleichungen

In diesem Kapitel betrachten wir zun¨ achst die Sobolevr¨aume in § 1 und beweisen den Sobolevschen Einbettungssatz und den Rellichschen Auswahlsatz in § 2. Dann befassen wir uns in § 3 mit der Existenz schwacher L¨osungen. Mit der Moserschen Iterationsmethode zeigen wir in § 4 die Beschr¨anktheit schwacher L¨ osungen. In § 5 weisen wir die H¨ olderstetigkeit schwacher L¨osungen mit Hilfe der schwachen Harnackschen Ungleichung von J. Moser nach. Den hierzu notwendigen Regularit¨ atssatz von John und Nirenberg werden wir in § 6 herleiten. Schließlich untersuchen wir in § 7 die Randregularit¨at schwacher L¨ osungen. Dann wenden wir in § 8 die Resultate auf Gleichungen in Divergenzform an.

§1 Sobolevr¨ aume Sei Ω ⊂ Rn eine beschr¨ ankte offene Menge. Dann liegt f¨ ur 1 ≤ p < +∞ der Raum C0∞ (Ω) dicht in Lp (Ω). Wir wollen nun einen Raum W k,p (Ω) von k-mal schwach differenzierbaren Funktionen konstruieren, deren Ableitungen im Lp (Ω) liegen. urlicher Weise das Funktional Sei f ∈ Lp (Ω), so ordnen wir f in nat¨
Af (ϕ) := f (x)ϕ(x) dx, ϕ ∈ C0∞ (Ω),

(1)

Ω

zu. Ist α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Nn0 , N0 := N ∪ {0}, ein Multiindex mit |α| := α1 + . . . + αn ∈ N0 , so betrachten wir die Funktionale
Af,α (ϕ) := (−1)|α| f (x)∂ α ϕ(x) dx, ϕ ∈ C0∞ (Ω); (2) Ω

dabei bedeutet

180

X Schwache L¨ osungen elliptischer Differentialgleichungen

∂ α ϕ(x) :=

1 ∂xα 1

∂ |α| ϕ(x), n . . . ∂xα n

x ∈ Ω,

die entsprechende partielle Ableitung von ϕ. Es gilt dann Af,0 = Af . Ist f ∈ C |α| (Ω), so liefert eine |α|-malige partielle Integration
  ∂ α f (x) ϕ(x) dx, Af,α (ϕ) = ϕ ∈ C0∞ (Ω),

(3)

Ω

da wegen ϕ ∈ C0∞ (Ω) die bei der partiellen Integration auftretenden Randintegrale verschwinden. Ist f¨ ur 1 ≤ q < +∞ das gem¨ aß (2) definierte lineare Funktional Af,α in der Lq (Ω)-Norm beschr¨ ankt auf C0∞ (Ω), so k¨ onnen wir dieses auf Lq (Ω) fortsetzen. Nach dem Rieszschen Darstellungssatz gibt es ein g ∈ Lp (Ω) mit q ∈ (1, +∞], so daß p = q−1
Af,α (ϕ) = g(x)ϕ(x) dx = Ag (ϕ) f¨ ur alle ϕ ∈ C0∞ (Ω) (4) Ω

erf¨ ullt ist. Wegen (3) ist die folgende Definition sinnvoll. Definition 1. Seien 1 ≤ p ≤ +∞ sowie α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Nn0 ein Multiindex und f ∈ Lp (Ω). Dann heißt g(x) := Dα f (x) ∈ Lp (Ω) die α-te schwache partielle Ableitung von f, falls

|α| g(x)ϕ(x) dx = (−1) f (x)∂ α ϕ(x) dx f¨ ur alle Ω

ϕ ∈ C0∞ (Ω)

(5)

Ω

gilt. Bemerkungen: 1. Erf¨ ullen g1 , g2 ∈ Lp (Ω) mit p > 1 die Identit¨at (5), so erhalten wir

g1 (x)ϕ(x) dx = Af,α (ϕ) = g2 (x)ϕ(x) dx f¨ ur alle ϕ ∈ C0∞ (Ω). Ω

Ω −1

−1

F¨ ur q ∈ [1, +∞) und p + q = 1 folgt daraus
(g1 − g2 )(x)ϕ(x) dx = 0 f¨ ur alle ϕ ∈ Lq (Ω). Ω

§1 Sobolevr¨ aume

181

Wegen Kap. II, § 8 Satz 2 ist 0 = A(g1 −g2 )  = g1 − g2 p richtig, und es folgt g1 = g2 in Lp (Ω) bzw. g1 = g2 f.¨ u. in Ω. Auch wenn die schwache Ableitung nur in L1 (Ω) existiert, so ist sie in diesem Raum eindeutig bestimmt. 2. Ist f ∈ C |α| (Ω), so folgt ∂ α f (x) = Dα f (x) in Ω aus Relation (3). Definition 2. Seien k ∈ N0 und 1 ≤ p ≤ +∞. Dann erkl¨aren wir den Sobolevraum   W k,p (Ω) := f ∈ Lp (Ω) : Dα f ∈ Lp (Ω), |α| ≤ k mit der Sobolevnorm ⎛ f W k,p (Ω) := f k,p,Ω := ⎝




⎞ p1 |Dα f (x)|p dx⎠ .

(6)

|α|≤k Ω

Bemerkungen: 1. Eine ¨ aquivalente Norm ist f k,p :=



Dα f p ;

|α|≤k

es gibt also Konstanten 0 < c1 ≤ c2 < +∞ mit c1 f k,p ≤ f k,p ≤ c2 f k,p

f¨ ur alle f ∈ W k,p (Ω).

2. Mit der in Definition 2 angegebenen Norm ist der Raum W k,p (Ω) ein Banachraum. p liefern die Vor¨ uberlegungen 3. F¨ ur 1 < p ≤ +∞ und q = p−1   W k,p (Ω) = f ∈ Lp (Ω) : Af,α ∈ (Lq (Ω))∗ , |α| ≤ k . (7) Dabei bezeichnet (Lq (Ω))∗ den stetigen Dualraum von Lq (Ω). 4. Im Falle p = 2 erhalten wir die Hilbertr¨ aume H k (Ω) := W k,2 (Ω) mit dem Skalarprodukt (f, g)H k (Ω) :=




Dα f (x)Dα g(x) dx,

f, g ∈ H k (Ω).

|α|≤k Ω

5. Man zeigt sofort die Linearit¨ at der schwachen Ableitung: Seien c, d ∈ R, α ein Multiindex aus Nn0 und f, g aus W k,p (Ω), so gilt Dα (cf + dg) = cDα f + dDα g.

182

X Schwache L¨ osungen elliptischer Differentialgleichungen

Wir wollen nun einen Gl¨ attungsprozeß vorstellen, den man K. Friedrichs verdankt. Sei  ∈ C ∞ (Rn ) die Gl¨ attungsfunktion    c exp |x|21−1 , |x| < 1 , (x) = 0 , |x| ≥ 1 mit der Eigenschaft


(x) dx = 1. Rn

Dabei ist c > 0 geeignet zu w¨ ahlen. Eine Funktion u(x) ∈ Lp (Ω), 1 ≤ p ≤ +∞, n setzen wir auf den R fort zu  u(x) , x ∈ Ω . u(x) = 0 , x ∈ Rn \ Ω Satz 1. (Friedrichs) Sei 1 ≤ p ≤ +∞. Jeder Funktion u(x) ∈ Lp (Ω) und jedem h > 0 ordnen wir die regularisierte Funktion 
 x−y uh (x) := h−n  u(y) dy, x ∈ Rn , h Rn

zu. Dann ist die Abbildung u → uh linear von Lp (Rn ) in Lp (Rn ), und es gilt uh p ≤ up

f¨ ur alle

h > 0,

u ∈ Lp (Rn ).

Beweis: Die Linearit¨ at der Zuordnung u → uh ist offensichtlich. Wir m¨ ussen die Normabsch¨ atzung nachweisen. Die Transformationsformel, die nach Approximation auch f¨ ur L1 -Funktionen gilt, liefert 
 x−y uh (x) = h−n  u(y) dy h
Rn = (z)u(x − hz) dz (8) Rn


(z)u(x − hz) dz

= |z|≤1

f¨ ur alle h > 0. Es folgt mit der H¨ olderschen Ungleichung f¨ ur 1 < p < +∞ und p−1 + q −1 = 1
1 1  p (z)|u(x − hz)| q (z) dz |uh (x)| ≤ |z|≤1

8 p1 7


7
(z)|u(x − hz)| dz

≤

p

|z|≤1

8 1q (z) dz

|z|≤1

§1 Sobolevr¨ aume

beziehungsweise

183




|uh (x)|p ≤

(z)|u(x − hz)|p dz

f¨ ur alle x ∈ Rn .

|z|≤1

Integration mit Hilfe des Satzes von Fubini liefert (auch f¨ ur p = 1) 8 7


p p |uh (x)| dx ≤ (z)|u(x − hz)| dz dx Rn

x∈Rn


= |z|≤1

7


|z|≤1

7
(z)

8 |u(x − hz)|p dx dz

x∈Rn

87
|u(x)| dx p

= Rn

8 (z) dz .

|z|≤1

Somit folgt uh p ≤ up

f¨ ur alle u ∈ Lp (Rn ),

h > 0,

1 ≤ p < +∞.

F¨ ur p = ∞ erh¨ alt man |uh (x)| ≤ u∞ und somit uh ∞ ≤ u∞ .

q.e.d.

Satz 2. (Friedrichs) Wir haben die folgenden Aussagen: 1. F¨ ur u(x) ∈ C00 (Ω) gilt sup |u(x) − uh (x)| −→ 0

f¨ ur

x∈Rn

h→0+.

2. F¨ ur u ∈ Lp (Ω) mit 1 ≤ p < +∞ folgt u − uh p −→ 0

f¨ ur

h→0+.

Beweis: 1. Sei u ∈ C00 (Ω), so existiert zu jedem ε > 0 ein δ > 0, so daß f¨ ur alle x, y ∈ Rn mit |x − y| ≤ δ die Absch¨ atzung |u(x) − u(y)| ≤ ε g¨ ultig ist. Mit (8) erhalten wir
|uh (x) − u(x)| ≤ (z)|u(x − hz) − u(x)| dz |z|≤1

≤ε

f¨ ur alle

0 < h ≤ δ(ε),

x ∈ Rn .

Es folgt somit sup |uh (x) − u(x)| −→ 0

x∈Rn

f¨ ur

h→0+.

184

X Schwache L¨ osungen elliptischer Differentialgleichungen

2. Sei u ∈ Lp (Ω) mit 1 ≤ p < +∞. Nach Kapitel II, § 7 Satz 6 gibt es zu vorgegebenem ε > 0 eine Funktion v ∈ C00 (Ω) mit u − vp ≤ ε. Wir w¨ ahlen nun mit Teil 1 ein h0 (ε) > 0 so klein, daß v − vh p ≤ ε

f¨ ur alle

0 < h ≤ h0 (ε)

richtig ist. Damit erhalten wir f¨ ur alle 0 < h ≤ h0 (ε) die Ungleichung u − uh p ≤ u − vp + v − vh p + vh − uh p ≤ 2u − vp + v − vh p ≤ 3ε, ur h → 0+. wobei wir Satz 1 benutzt haben. Also folgt u − uh p → 0 f¨ q.e.d. Wir wollen nun die Vertauschbarkeit von schwacher Differentiation und Gl¨attungsoperation beweisen. Satz 3. (Friedrichs) ur ε > 0 bezeichnet Sei f ∈ W k,p (Ω) durch f ≡ 0 auf Rn \ Ω fortgesetzt. F¨
 1 x − y fε (x) := n f (y) dy, x ∈ Rn ,  ε ε Rn

ur alle α ∈ Nn0 , die regularisierte Funktion der Klasse C ∞ (Ω). Dann gilt f¨ n |α| ≤ k, und alle ε mit 0 < ε < dist (x, R \ Ω) die Identit¨at ∂ α fε (x) = (Dα f )ε (x), Beweis: Wir berechnen ∂ α fε (x) =

1 εn


∂xα  Rn |α|

= (−1)

=

1 εn


 Rn

x ∈ Ω.

x − y  f (y) dy ε

1 εn


∂yα  Rn

x − y  f (y) dy ε

x − y  Dα f (y) dy = (Dα f )ε (x). ε q.e.d.

Satz 4. (Meyers-Serrin) F¨ ur 1 ≤ p < +∞ liegt der lineare Teilraum C ∞ (Ω) ∩ W k,p (Ω) dicht im Raum W k,p (Ω). Beweis: Wir w¨ ahlen offene Mengen Ωj ⊂ Rn , j ∈ N0 , mit ∅ = Ω0 ⊂ Ω1 ⊂ Ω2 ⊂ . . . ⊂ Ω

und

Ωj ⊂ Ωj+1 ,

j ∈ N0 ,

§1 Sobolevr¨ aume

so daß gilt

∞ 

185

Ωj = Ω.

j=1

Weiter sei Ψj ∈ C0∞ (Ω) eine dem Mengensystem {Ωj+1 \ Ωj−1 }j=1,2,... untergeordnete Zerlegung der Eins, das heißt supp Ψj ⊂ Ωj+1 \ Ωj−1

∞ 

und

Ψj (x) = 1,

x ∈ Ω.

j=1

Zu vorgegebenem ε > 0 w¨ ahlen wir εj > 0, so daß εj < dist (Ωj+1 , ∂Ω) sowie (Ψj f )εj − (Ψj f )W k,p (Ω) ≤ ε 2−j richtig ist. Dieses ist m¨ oglich aufgrund von Satz 2 und Satz 3. Nun gilt g(x) :=

∞ 

(Ψj f )εj (x) ∈ C ∞ (Ω)

j=1

und weiter  ∞  ∞     (Ψ f ) − (Ψ f ) g − f W k,p (Ω) =  j εj j   j=1

≤

∞ 

j=1

W k,p (Ω)

(Ψj f )εj − (Ψj f )W k,p (Ω) ≤

j=1

Da f ∈ W k,p (Ω), folgt auch g ∈ W k,p (Ω).

∞  ε = ε. 2j j=1

q.e.d.

Nach diesem Satz k¨ onnen wir den Sobolevraum W k,p (Ω) als Vervollst¨andigung der Funktionenmenge C ∞ (Ω) unter der Sobolevnorm  · W k,p (Ω) verstehen. ache im Rn , so kann man nachweisen, daß dann Ist ∂Ω eine glatte C 1 -Hyperfl¨ ∞ sogar der Raum C (Ω) dicht im Sobolevraum W k,p (Ω) liegt. Es liegt jedoch nur im Falle k = 0 und p < +∞ der Raum C0∞ (Ω) dicht in W k,p (Ω) = Lp (Ω). F¨ ur k > 0 erhalten wir den Sobolevraum W0k,p (Ω) mit schwachen ” Nullrandwerten“. Definition 3. Seien k ∈ N und 1 ≤ p ≤ +∞, so erkl¨aren wir den Sobolevraum (  Es gibt eine Folge {fl }l=1,2,... ⊂ C0∞ (Ω) k,p k,p . W0 (Ω) := f ∈ W (Ω) : ur l → ∞ mit f − fl W k,p (Ω) → 0 f¨ Wir wollen uns im folgenden auf die Sobolevr¨aume W 1,p (Ω) und W01,p (Ω) konzentrieren. Sei ei := (δ1i , . . . , δni ) ∈ Rn mit i ∈ {1, . . . , n} ein Einheitsvektor. F¨ ur ein beliebiges x ∈ Ω und ε mit 0 < |ε| < dist (x, Rn \ Ω) betrachten wir den Differenzenquotienten in Richtung ei , n¨amlich

186

X Schwache L¨ osungen elliptischer Differentialgleichungen

f (x + εei ) − f (x) . ε Wir k¨ onnen nun die Sobolevfunktionen wie folgt charakterisieren: i,ε f (x) :=

Satz 5. Seien 1 < p < +∞ und f ∈ Lp (Ω), so sind die folgenden Aussagen ¨aquivalent: i) Es ist f ∈ W 1,p (Ω). ii) Es gibt eine Konstante C ∈ [0, +∞), so daß f¨ ur alle offenen Mengen Θ ⊂ Ω mit Θ ⊂ Ω und alle ε mit 0 < |ε| < dist (Θ, Rn \ Ω) sowie alle i ∈ {1, . . . , n} gilt i,ε f Lp (Θ) ≤ C. Beweis: 1. Wir beweisen zun¨ achst die Richtung i) ⇒ ii)“. ” Seien i ∈ {1, . . . , n}, f ∈ C ∞ (Ω) ∩ W 1,p (Ω) und Θ ⊂ Ω, so berechnen wir f¨ ur alle 0 < |ε| < dist (Θ, Rn \ Ω) 1 f (x + εei ) − f (x) = i,ε f (x) = ε ε


ε 0

∂ f (x + tei ) dt. ∂xi

Wir erhalten unter Benutzung der H¨ olderschen Ungleichung f¨ ur alle x ∈ Θ die Absch¨ atzung ⎛ ε ⎞p
) ) 1 ∂ ) ) |i,ε f (x)|p ≤ p ⎝ 1) f (x + tei )) dt⎠ ε ∂xi 0


ε ) )p ε ) ∂ ) ≤ p f (x + tei )) dt ) ε ∂xi p q

0

1 = ε


ε ) )p ) ∂ ) f (x + tei )) dt. ) ∂xi 0

Man beachte, daß 1 ∈ Lq (Ω) sowie p−1 + q −1 = 1 gilt. Nach dem Satz von Fubini folgt ⎞ ⎛

ε
1 ⎝ |Dei f (x + tei )|p dx⎠ dt |i,ε f (x)|p dx ≤ ε Θ


0

Rn

|Dei f (x)|p dx.

= Rn

Wir erhalten also mit dem Satz von Meyers-Serrin i,ε f Lp (Θ) ≤ f W 1,p (Ω) =: C .

§1 Sobolevr¨ aume

187

2. Es verbleibt ii) ⇒ i)“ zu zeigen. ” F¨ ur i ∈ {1, . . . , n}, Θ ⊂ Ω und ε mit 0 < |ε| < dist (Θ, Rn \ Ω) gilt i,ε f Lp (Θ) ≤ C. Nach Kap. II, § 8 Satz 7 gibt es eine Folge εk ↓ 0 und ein gi ∈ Lp (Ω), so daß

ϕ(x)i,εk f (x) dx −→ ϕ(x)gi (x) dx f¨ ur alle ϕ ∈ C0∞ (Ω) Rn

Rn

richtig ist. Nun beachten wir

  i,−εk ϕ(x) f (x) dx ϕ(x)i,εk f (x) dx = − Rn


Rn

−→ −

f (x)

Rn

f¨ ur k → ∞ und damit

∂ − f (x) ϕ(x) dx = ϕ(x)gi (x) dx ∂xi Rn

(9)

∂ ϕ(x) dx ∂xi

f¨ ur alle ϕ ∈ C0∞ (Ω).

Rn

Insgesamt folgt also i,εk f

Lp (Ω)

# Dei f = gi ∈ Lp (Ω),

und damit f ∈ W 1,p (Ω). Um die Identit¨ at (9) einzusehen, integrieren wir i,εk (ϕ(x)f (x))    1  ϕ(x + εk ei ) − ϕ(x) f (x + εk ei ) + ϕ(x) f (x + εk ei ) − f (x) = εk )    ) 1 + ϕ(x)i,εk f (x) ϕ(y) − ϕ(y − εk ei ) f (y) )) = εk y=x+εk ei  ) ) + ϕ(x)i,εk f (x). = f (y)i,−εk ϕ(y) ) y=x+εk ei

Dies vervollst¨andigt den Beweis.

(10) q.e.d.

Bemerkung: Sind f ∈ W 1,p (Ω) und {i,εk f }k=1,2,... die Folge der Differenzenquotienten mit εk ↓ 0 schwach konvergent, so entnimmt man dem obigen Beweis i,εk f # Dei f in Lp (Ω), i = 1, . . . , n. Diese Tatsache erkl¨ art den Begriff schwache Ableitung“. ”

188

X Schwache L¨ osungen elliptischer Differentialgleichungen

Satz 6. (Schwache Produktregel) Seien f, g ∈ W 1,p (Ω) ∩ L∞ (Ω) mit 1 < p < +∞. Dann folgt h := f g ∈ W 1,p (Ω) ∩ L∞ (Ω), und es gilt Dα h = f Dα g + gDα f,

α ∈ Nn0 ,

|α| = 1.

Beweis: Seien ϕ ∈ C0∞ (Ω) und ε > 0 hinreichend klein gew¨ahlt. Dann liefert die zweimalige Anwendung der Identit¨ at (10) die Gleichung     + ϕ(x)i,ε h(x) i,ε ϕ(x)h(x) = h(y)i,−ε ϕ(y) y=x+εei

  = h(y)i,−ε ϕ(y)

y=x+εei

  +ϕ(x) f (y)i,−ε g(y)

y=x+εei

  = h(y)i,−ε ϕ(y)

 + g(x)i,ε f (x) (11)

y=x+εei

  +ϕ(x)g(x)i,ε f (x) + ϕ(y)f (y)i,−ε g(y)

y=x+εei

   + ϕ(y − εei ) − ϕ(y) f (y)i,−ε g(y)

.

y=x+εei

Da f, g ∈ W 1,p (Ω) sind, gibt es nach Satz 5 und Kap. II, § 8 Satz 7 eine Nullfolge εk ↓ 0, so daß i,εk f (x) # Dei f (x)

i,−εk g(x) # Dei g(x)

und

in Lp (Ω)

richtig ist. Aus (11) erhalten wir durch Integration mit Hilfe der Transformationsformel

0 = h(x)i,−εk ϕ(x) dx + ϕ(x)g(x)i,εk f (x) dx Ω

Ω







ϕ(x)f (x)i,−εk g(x) dx +

+ Ω

 ϕ(x − εk ei ) − ϕ(x) f (x)i,−εk g(x) dx.

Ω

Der Grenz¨ ubergang k → ∞ liefert


∂ ei 0 = h(x) ϕ(x) dx + ϕ(x)g(x)D f (x) dx + ϕ(x)f (x)Dei g(x) dx ∂xi Ω

f¨ ur alle ϕ ∈ |α| = 1.

Ω

C0∞ (Ω).

Ω

Hieraus folgt D h = f D g + gDα f f¨ ur alle α ∈ Nn0 mit α

α

q.e.d.

§1 Sobolevr¨ aume

189

Satz 7. (Schwache Kettenregel) Auf der beschr¨ankten, offenen Menge Ω ⊂ Rn sei die Funktion f ∈ W 1,p (Ω)∩ L∞ (Ω), 1 < p < +∞, erkl¨art. Weiter sei die Funktion g : R → R ∈ C 1 gegeben. Dann geh¨ort auch h := g ◦ f zur Klasse W 1,p (Ω) ∩ L∞ (Ω), und es gilt   Dα h(x) = g  f (x) Dα f (x), x ∈ Ω, (12) f¨ ur alle α ∈ Nn0 mit |α| = 1. Beweis: 1. Ist g(y) = y m , m ∈ N, so zeigen wir induktiv die G¨ ultigkeit der Kettenregel. F¨ ur m = 1 ist die Aussage klar. Wir schließen unter Verwendung von Satz 6 von m auf die Richtigkeit der Aussage f¨ ur m + 1, d.h.     Dα (f (x))m+1 = Dα f (x)(f (x))m   = (Dα f (x))(f (x))m + f (x)Dα (f (x))m = (Dα f (x))(f (x))m + f (x)m(f (x))m−1 Dα f (x) = (m + 1)(f (x))m Dα f (x) = g  (f (x))Dα f (x). 2. Ist nun g(y) =

m 

ak y k ,

ak ∈ R,

k = 0, . . . , m,

k=0

ein beliebiges Polynom, so folgt m m       ak Dα (f (x))k = kak (f (x))k−1 Dα f (x) Dα g(f (x)) = k=0

k=0

= g  (f (x))Dα f (x). 3. Ist g : R → R ∈ C 1 beliebig, so gibt es nach dem Weierstraßschen Approximationssatz eine Folge von Polynomen gk , k = 1, 2, . . . , die zusammen mit ihren ersten Ableitungen gk lokal gleichm¨aßig auf R konvergieren. Nach Teil 2 gilt f¨ ur die Funktionen hk := gk (f ) ∈ W 1,p (Ω) ∩ L∞ (Ω) die Relation Dα hk (x) = gk (f (x))Dα f (x)

f¨ ur alle α ∈ Nn0 ,

|α| = 1.

Hieraus folgt f¨ ur alle ϕ ∈ C0∞ (Ω) die Gleichung

gk (f (x))(Dα f (x))ϕ(x) dx = (Dα hk (x))ϕ(x) dx Ω

Ω |α|


hk (x)Dα ϕ(x) dx

= (−1)

Ω

190

X Schwache L¨ osungen elliptischer Differentialgleichungen

f¨ ur alle |α| = 1. Der Grenz¨ ubergang k → ∞ liefert

g  (f (x))(Dα f (x))ϕ(x) dx = (−1)|α| h(x)∂ α ϕ(x) dx Ω

Ω

f¨ ur alle ϕ ∈ C0∞ (Ω). Somit folgt Dα h = g  (f )Dα f ∈ Lp (Ω), |α| = 1. q.e.d. Gen¨ ugt g : R → R einer Lipschitzbedingung |g(y1 ) − g(y2 )| ≤ C |y1 − y2 |

f¨ ur alle y1 , y2 ∈ R,

und gilt f ∈ W 1,p (Ω), so zeigt man mit Hilfe von Satz 5, daß dann auch h := g ◦ f zur Klasse W 1,p (Ω) geh¨ ort. Es gilt n¨amlich ) ) ) g(f (x + εei )) − g(f (x)) ) ) ) ≤ C |f (x + εei ) − f (x)| = C|i,ε f (x)| |i,ε h(x)| = ) ) ε |ε| f¨ ur alle x ∈ Ω und 0 < |ε| < dist {x, Rn \ Ω}. Zum Nachweis der Kettenregel ben¨ otigt man die f.¨ u.-Differenzierbarkeit der absolut stetigen Funktion g. Wir wollen nun einen wichtigen Spezialfall dieser Aussage direkt beweisen. Satz 8. (Verbandseigenschaft) Sei f ∈ W 1,p (Ω), 1 < p < +∞. Dann geh¨oren die folgenden Funktionen f + (x) := max {f (x), 0},

f − (x) := −min {f (x), 0}, |f |(x) := |f (x)|, ⎧ ⎪ ⎨ −c, f (x) ≤ −c f−c,+c(x) := f (x), −c < f (x) < +c ⎪ ⎩ +c, +c ≤ f (x)

zum Sobolevraum W 1,p (Ω), und es gilt   Df, falls f > 0 0, falls f ≥ 0 + − Df = , Df = , 0, falls f ≤ 0 −Df, falls f < 0 ⎧ ⎪ ⎨ Df, falls f > 0 falls f = 0 , D|f | = 0, ⎪ ⎩ −Df, falls f < 0

 Df−c,+c =

Df, falls − c < f < +c 0,

sonst

.

(13) Dabei bezeichnet Df = (De1 f, . . . , Den f ) den schwachen Gradienten von f . Beweis: 1. Wegen f − = (−f )+ , |f | = f + + f − sowie f−c,+c = (2c − (f − c)− )+ − c reicht es aus, die Funktion f + zu untersuchen.

§1 Sobolevr¨ aume

191

2. Sei also f ∈ W 1,p (Ω), 1 < p < +∞. Dann geh¨ort auch f + zu Lp (Ω), und f¨ ur den Differenzenquotienten gilt ) ) ) ) + ) f (x + εei ) − f + (x) ) ) f (x + εei ) − f (x) ) )≤) ) = |i,ε f (x)| |i,ε f + (x)| = )) ) ) ) ε ε f¨ ur alle x ∈ Ω und alle 0 < |ε| < dist {x, Rn \ Ω}. Nach Satz 5 geh¨ort dann auch f + zu W 1,p (Ω). 3. Sei die Funktion  y, y > 0 g(y) := 0, y ≤ 0 gegeben, die wir f¨ ur alle δ > 0 durch die C 1 -Funktionen ' y 2 + δ 2 − δ, y > 0 gδ (y) := 0, y≤0 mit der Ableitung

⎧ ⎨' y , y>0  y2 + δ2 gδ (y) = ⎩ 0, y≤0

approximieren. Offenbar gilt f¨ ur alle δ > 0 0 ≤ gδ (y) ≤ g(y),

0≤



gδ (y)

≤

1, y > 0 0, y ≤ 0

,

und wir beachten gδ (y) ↑ 1 (δ ↓ 0) f¨ ur alle y > 0. 4. Ist nun f ∈ W 1,p (Ω), so betrachten wir f¨ ur alle ε > 0 die regularisierte Funktion fε ∈ C ∞ (Ω). Wir differenzieren die C 1 (Ω)-Funktion x ∈ Ω,

hε,δ (x) := gδ (fε (x)), und erhalten

∂ α hε,δ (x) = gδ (fε (x))∂ α fε (x) = gδ (fε (x))(Dα f )ε (x) f¨ ur alle α ∈ Nn0 mit |α| = 1. F¨ ur eine beliebige Testfunktion ϕ ∈ C0∞ (Ω) folgt nun

 α gδ (fε (x))(D f )ε (x)ϕ(x) dx = (∂ α hε,δ (x))ϕ(x) dx Ω

Ω |α|


hε,δ (x)∂ α ϕ(x) dx

= (−1)

Ω |α|




gδ (fε (x))∂ α ϕ(x) dx

= (−1)

Ω

f¨ ur alle α ∈

Nn0

mit |α| = 1.

192

X Schwache L¨ osungen elliptischer Differentialgleichungen

5. Wegen fε → f und (Dα f )ε → Dα f f¨ ur ε → 0 in Lp (Ω) gibt es nach dem Lebesgueschen Auswahlsatz eine Teilfolge εk ↓ 0, so daß fεk → f und (Dα f )εk → Dα f f.¨ u. in Ω richtig sind. Wir erhalten mit dem Lebesgueschen Konvergenzsatz f¨ ur εk ↓ 0 die Identit¨at

gδ (f (x))(Dα f (x))ϕ(x) dx = (−1)|α| gδ (f (x))∂ α ϕ(x) dx Ω

Ω

f¨ ur alle ϕ ∈


C0∞ (Ω).

Der Grenz¨ ubergang δ → 0+ liefert
α |α| (D f (x))ϕ(x) dx = (−1) f (x)∂ α ϕ(x) dx

x∈Ω:f (x)>0

x∈Ω:f (x)>0

= (−1)|α|




f + (x)∂ α ϕ(x) dx.

Ω

Wir erhalten schließlich



α +

D f (x) =

Dα f (x), f > 0 0,

f ≤0

. q.e.d.

§2 Einbettung und Kompaktheit Wir beginnen mit dem fundamentalen Satz 1. (Sobolevscher Einbettungssatz) Seien Ω ⊂ Rn , n ≥ 3, eine offenenpbeschr¨ankte Menge und 1 ≤ p < n. Dann ist der Sobolevraum W01,p (Ω) ⊂ L n−p (Ω) stetig in den angegebenen Lebesgueraum eingebettet; das heißt es gibt eine Konstante C = C(n, p) ∈ (0, +∞), so daß np ≤ CDf Lp(Ω) f¨ ur alle f ∈ W01,p (Ω) (1) f  n−p L

(Ω)

gilt. Dabei ist Df := (De1 f, . . . , Den f ) ∈ Lp (Ω) × . . . × Lp (Ω) der schwache Gradient. Beweis: (L. Nirenberg) 1. Nach Definition 3 aus § 1 reicht es aus, die Ungleichung (1) f¨ ur alle otigen wir die verallgemeinerte f ∈ C0∞ (Ω) nachzuweisen. Hierzu ben¨ H¨oldersche Ungleichung, die man induktiv sofort aus der H¨olderschen Ungleichung herleitet. Seien m ∈ N, m ≥ 2, und p1 , . . . , pm ∈ (1, ∞) −1 ur alle fj ∈ Lpj (Ω) mit j = 1, . . . , m mit p−1 1 + . . . + pm = 1. Dann gilt f¨ die Ungleichung
f1 (x) . . . fm (x) dx ≤ f1 Lp1 (Ω) . . . fm Lpm (Ω) . (2) Ω

§2 Einbettung und Kompaktheit

193

2. Wir weisen nun die Ungleichung (1) zun¨ achst f¨ ur den Fall p = 1 nach. F¨ ur alle x ∈ Rn gilt wegen f ∈ C0∞ (Ω)
xi Dei f (x1 , . . . , xi−1 , t, xi+1 , . . . , xn ) dt.

f (x) = −∞

Daraus folgt


xi |f (x)| ≤

+∞
|D f | dt ≤ |Dei f | dxi , ei

−∞

und somit

−∞

7 |f (x)|

n n−1

≤

1 8 n−1 +∞ n
9 |Dei f | dxi .

i=1−∞

Diese Ungleichung integrieren wir sukzessiv u ¨ber x1 , . . . , xn und wenden jedesmal die verallgemeinerte H¨ oldersche Ungleichung mit p1 = . . . = pm = n − 1, m = n − 1, an. Wir erhalten +∞
n |f (x)| n−1 dx1 −∞

1 1 7
8 n−1 8 n−1 +∞ +∞ n 7
+∞
9 ≤ |De1 f | dx1 |Dei f | dxi dx1

−∞ i=2

−∞

−∞

1 1 8 n−1 7
8 n−1 7
+∞ +∞
+∞ n 9 e1 ei ≤ |D f | dx1 |D f | dxi dx1 .

i=2

−∞

−∞−∞

Entsprechende Integration u ¨ ber x2 , . . . , xn liefert 7


|f (x)|

n n−1

dx ≤

1 8 n−1

n
9

|Dei f | dx

,

i=1 Rn

Rn

beziehungsweise 7 n f  n−1 ≤

n
9 i=1 Rn

1 ≤ √ n




Ω

f¨ ur alle f ∈

C0∞ (Ω).

8 n1 |D f | dx ei

1 ≤ n


7 n Ω

1 |Df | dx = √ Df 1 n

i=1

8 |D f | dx ei

(3)

194

X Schwache L¨ osungen elliptischer Differentialgleichungen

3. Sei nun 1 < p < n. Wir setzen |f |γ , γ > 1, in (3) ein und erhalten mit der H¨ olderschen Ungleichung und p−1 + q −1 = 1
)
) 1 γ ) ) n  |f |γ  n−1 ≤ √ |f |γ−1 |Df | dx )D|f |γ ) dx = √ n n Ω Ω (4) γ γ−1 ≤ √  |f | q Df p , n beziehungsweise

γ f γγn ≤ √ f γ−1 (γ−1)q Df p . n−1 n

W¨ ahlen wir jetzt γ := so ergibt sich

np − p (n − 1)p = , n−p n−p

γn np = (γ − 1)q = . n−1 n−p

Wir erhalten schließlich γ np ≤ √ f  n−p Df p n Mit

f¨ ur alle f ∈ C0∞ (Ω).

np − p C := √ n(n − p)

folgt die Behauptung.

q.e.d.

Satz 2. (Stetige Einbettung) Seien die Voraussetzungen von Satz 1 mit p > n erf¨ ullt. Dann gibt es eine Konstante C = C(n, p, |Ω|) ∈ (0, +∞), so daß f C 0(Ω) := sup |f (x)| ≤ CDf Lp(Ω)

f¨ ur alle

f ∈ C0∞ (Ω)

(5)

x∈Ω

richtig ist. Somit folgt W01,p (Ω) $→ C 0 (Ω), d.h. dieser Sobolevraum ist stetig in C 0 (Ω) eingebettet. Beweis: 1. Haben wir die Ungleichung bereits f¨ ur offene, beschr¨ankte Mengen Ω ⊂ Rn mit dem Maß |Ω| = 1 bewiesen, so erhalten wir hieraus die angegebene 1 Ungleichung mit der Transformation y = x |Ω|− n , x ∈ Ω. Im folgenden k¨ onnen wir also |Ω| = 1 voraussetzen. 2. Wir verwenden die Ungleichung (4) und erhalten mit n :=

n p > p := , n−1 p−1

δ :=

n ∈ (1, ∞) p

§2 Einbettung und Kompaktheit

195

f¨ ur alle γ ∈ (1, ∞) die Absch¨ atzung √   n|f |γ  γ−1   p .  Df p   ≤ γ|f | n √

n γ−1

Df γ−1 p

Daraus folgt nach Multiplikation mit

 √  √ γ  γ−1      n|f | n|f |     ≤γ  .  Df p      Df  p n p

√ n

Df p |f |,

Setzen wir nun g :=

so finden wir

g γ n ≤ γg γ−1p

f¨ ur alle γ > 1,

also γ−1 gγn γ ≤ γgγ−1 p (γ−1) ≤ γgp γ .

Das bedeutet schließlich 1

1− 1

gn γ ≤ γ γ gp γ γ

f¨ ur alle γ > 1.

3. Wir setzen nun γ := δ ν , ν = 1, 2, . . . , in die obige Ungleichung ein und erhalten −ν −ν gn δν ≤ δ νδ g1−δ (6) n δ ν−1 . Aus (3), |Ω| = 1 und der H¨ olderschen Ungleichung entnehmen wir √ n Df 1 gn = f n ≤ ≤ 1. Df p Df p Weiter folgt mit |Ω| = 1 und der H¨ olderschen Ungleichung, daß die Folge gn δν , ν = 0, 1, 2, . . . , schwach monoton w¨achst. Somit ist entweder gn δν ≤ 1 f¨ ur alle ν, oder es gibt ein λ > 0 mit gn δν ≤ 1 f¨ ur alle ν ≤ λ, gn δν > 1 f¨ ur alle ν > λ. Im zweiten Fall erhalten wir f¨ ur µ > λ aus der obigen Rekursionsformel (6) die Absch¨atzung gn δµ ≤ δ



µ ν=λ+1

νδ −ν

−(λ+1)

g1−δ n δ λ

≤δ



∞ ν=1

νδ −ν

=: c ∈ R.

In jedem Fall folgt gL∞ (Ω) ≤ c und daher c f L∞ (Ω) ≤ √ Df p n Dieses ist die Behauptung.

f¨ ur alle f ∈ C0∞ (Ω). q.e.d.

Will man Eigenwertprobleme bei partiellen Differentialgleichungen mit direkten Variationsmethoden behandeln, so ben¨ otigt man den

196

X Schwache L¨ osungen elliptischer Differentialgleichungen

Satz 3. (Auswahlsatz von Rellich-Kondrachov) Sei Ω ⊂ Rn , n ≥ 3, eine konvexe offene beschr¨ankte Menge. Sei weiter 1 ≤ np p < n erf¨ ullt. Dann ist f¨ ur alle 1 ≤ q < n−p und alle s ∈ [0, +∞) die Menge   K := f ∈ W01,p (Ω) ∩ Lq (Ω) : f W 1,p (Ω) ≤ s ⊂ Lq (Ω) kompakt, das heißt f¨ ur jede Folge {fk }k=1,2,... ⊂ K gibt es eine Teilfolge {fkl }l=1,2,... und ein f ∈ Lq (Ω) mit der Eigenschaft lim fkl − f Lq (Ω) = 0.

l→∞

Bemerkungen: 1. Diesen Satz fand Rellich 1930 f¨ ur die Hilbertr¨aume W01,2 (Ω) $→ L2 (Ω). Der allgemeine Fall wurde sp¨ ater von Kondrachov untersucht. 2. Der Banachraum {B1 ,  · 1 } sei stetig in den Banachraum {B2 ,  · 2 } eingebettet. Wir nennen B1 kompakt in B2 eingebettet, wenn die Injektionsabbildung I1 : B1 → B2 kompakt ist, das heißt beschr¨ankte Mengen akompakte Mengen in B2 . Dabei ist eine in B1 werden abgebildet auf pr¨ Menge A ⊂ B2 pr¨akompakt, wenn jede Folge {fk }k=1,2,... ⊂ A eine in alt. Der obige Satz sagt demnach aus, daß B2 konvergente Teilfolge enth¨ W01,p (Ω) kompakt in Lq (Ω) eingebettet ist. Beweis von Satz 3: 1. Sei {fk }k=1,2,... ⊂ K eine beliebige Folge. Wir k¨onnen dann u ¨ bergehen zu einer Folge {gk }k=1,2,... ⊂ C0∞ (Ω) mit der Eigenschaft gk − fk W 1,p (Ω) ≤ 1 ugt f¨ ur alle k ∈ N der Ungleichung k . Diese Folge gen¨ gk W 1,p (Ω) ≤ 1 + s.

(7)

Gelingt es uns, aus der Folge {gk }k=1,2,... eine in L1 (Ω) konvergente Teilahlen, so ist auch die Folge {fkl }l=1,2,... in L1 (Ω) folge {gkl }l=1,2,... auszuw¨ konvergent wegen gk − fk L1 (Ω) ≤ cgk − fk W 1,p (Ω) ≤

c . k

2. Um nun zu zeigen, daß die Folge {fkl }l=1,2,... sogar in Lq (Ω) mit 1 < q < np n−p konvergiert, verwenden wir die folgende Interpolationsungleichung: Sei 1 ≤ p ≤ q ≤ r mit

1 q

=

λ p

+

(1−λ) r ,

f q ≤ f λp f 1−λ r

λ ∈ [0, 1], so haben wir f¨ ur alle f ∈ Lr (Ω).

(8)

Der Beweis dieser Interpolationsungleichung erfolgt mit Hilfe der H¨olderschen Ungleichung. Unter Beachtung von

§2 Einbettung und Kompaktheit

(1 − λ)q λq + = p r

1=



p λq



−1 +

r (1 − λ)q

197

−1

erhalten wir n¨ amlich 7
f q = Ω

7
≤

8 1q |f |λq |f |(1−λ)q dx 8 λp 7
8 1−λ r r |f | dx |f | dx p

Ω

Ω

= f λp f 1−λ . r W¨ ahlen wir nun ein λ ∈ (0, 1) mit der Eigenschaft so folgt aus Satz 1

1 q

= λ + (1 − λ) n−p np ,

λ 1−λ f q ≤ f λ1 f 1−λ np ≤ f 1 (CDf p ) n−p

f¨ ur alle f ∈ W01,p (Ω). Daher gilt * k − fkm λ1 −→ 0 fkl − fkm q ≤ Cf l

f¨ ur

l, m → ∞.

Somit ist {fkl }l=1,2,... in Lq (Ω) konvergent, wenn {gkl }l=1,2,... in L1 (Ω) konvergiert. 3. Es bleibt noch aus der Folge {gk }k=1,2,... ⊂ C0∞ (Ω) eine in L1 (Ω) konvergente Teilfolge auszuw¨ ahlen. Hierzu betrachten wir zu beliebigem ε ∈ (0, 1] die Funktionenfolge 

 x−y 1  gk (y) dy = (z)gk (x − εz) dz ∈ C0∞ (Θ) gk,ε (x) := n ε ε Rn

mit

Rn

  Θ := x ∈ Rn : dist (x, Ω) < 1 .

F¨ ur jedes feste ε ∈ (0, 1] ist die Funktionenfolge {gk,ε }k=1,2,... gleichm¨aßig beschr¨ ankt und gleichgradig stetig, denn f¨ ur alle x ∈ Θ gilt 
 x−y 1 C0  |gk,ε (x)| ≤ n |gk (y)| dy ≤ n sup (z) ε ε ε |z|≤1 Rn

und

198

X Schwache L¨ osungen elliptischer Differentialgleichungen

|Dgk,ε (x)| ≤

1 εn+1

 )
) ) ) )D x − y ) |gk (y)| dy ) ) ε

Rn

≤ ε−(n+1) sup |D(z)| |z|≤1

≤


|gk (y)| dy Rn

C0 sup |D(z)|. εn+1 |z|≤1

4. Nach dem Satz von Arzel` a-Ascoli gibt es zu jedem ε > 0 eine Teilfolge {gkl ,ε }l=1,2,... von {gk,ε }k=1,2,... , die in Ω gleichm¨aßig konvergiert. Wir 1 setzen nun εm = m , m = 1, 2, . . ., und konstruieren mit dem Cantorschen Diagonalverfahren eine Teilfolge {gkl }l=1,2,... von {gk }k=1,2,... mit der Eigenschaft, daß f¨ ur jedes feste m ∈ N die Folge {gkl ,εm }l=1,2,... gleichm¨aßig in Ω konvergiert. 5. F¨ ur alle x ∈ Ω gilt
|gk (x) − gk,ε (x)| ≤ (z)|gk (x) − gk (x − εz)| dz |z|≤1


ε


≤ |z|≤1

woraus sich

|Dgk (x − tz)| dtdz,

(z) 0





|gk (x) − gk,ε (x)| dx ≤ ε Ω

|Dgk (x)| dx ≤ C1 ε Ω

f¨ ur alle k ∈ N ergibt. Nun erh¨ alt man f¨ ur beliebiges ε > 0 die Absch¨atzung gkl1 − gkl2 L1 (Ω) ≤ gkl1 − gkl1 ,εm L1 (Ω) + gkl1 ,εm − gkl2 ,εm L1 (Ω) +gkl2 ,εm − gkl2 L1 (Ω) ≤ (2C1 + |Ω|)ε

f¨ ur alle l1 , l2 ≥ l0 (ε).

Hierzu w¨ ahlt man zun¨ achst m = m(ε) ∈ N hinreichend groß und dann l1 , l2 ≥ l0 (ε, m(ε)) =: l0 (ε). Damit ist {gkl }l=1,2,... eine Cauchy-Folge in L1 (Ω), die nach Satz 3 aus Kap. II, § 7 einen Grenzwert in L1 (Ω) besitzt. q.e.d.

§3 Existenz schwacher L¨ osungen Von nun an setzen wir f¨ ur die Raumdimension generell n ≥ 3 voraus. Unter angemessenen Regularit¨ atsvoraussetzungen betrachten wir auf der offenen

§3 Existenz schwacher L¨ osungen

199

beschr¨ ankten Menge Ω ⊂ Rn eine L¨ osung v = v(x) : Ω → R der folgenden elliptischen Differentialgleichung in Divergenzform Lv(x) :=

n  i,j=1

 ∂  ∂ aij (x) v(x) + c(x)v(x) = f (x), ∂xj ∂xi

x ∈ Ω,

(1)

unter Dirichletschen Randbedingungen v(x) = g(x),

x ∈ ∂Ω.

(2)

ur Denken wir uns die Randwerte g = g(x) auf Ω fortgesetzt, so erhalten wir f¨ u(x) := v(x) − g(x), x ∈ Ω, das Dirichletproblem −

n  i,j=1

 ∂  ∂ aij (x) u(x) − c(x)u(x) ∂xj ∂xi n   ∂  ∂ aij (x) ((x) , = −f (x) + c(x)g(x) + ∂xj ∂xi i,j=1

(3) x ∈ Ω,

unter Nullrandbedingungen u(x) = 0,

x ∈ ∂Ω.

Wir erkl¨ aren nun die Bilinearform 
  n ei ej B(u, v) := aij (x)D u(x)D v(x) − c(x)u(x)v(x) dx Ω

(4)

(5)

i,j=1

und die Linearform 
 n   ei ej − f (x) + c(x)g(x) v(x) − F (v) := aij (x)D g(x)D v(x) dx. (6) i,j=1

Ω

Hierbei bezeichnet Dei wieder die schwache Ableitung in Richtung ei = (δ1i , . . . , δni ), i = 1, . . . , n. Multiplizieren wir (3) mit einer Testfunktion ϕ = ϕ(x) ∈ C0∞ (Ω), so liefert der Gaußsche Satz die Differentialgleichung (3) in schwacher Form B(u, ϕ) = F (ϕ)

f¨ ur alle ϕ ∈ C0∞ (Ω)

(7)

unter Nullrandbedingungen (4). Wir machen nun folgende Voraussetzungen an die Koeffizienten der Differentialgleichung: aij (x) ∈ L∞ (Ω)

f¨ ur

i, j = 1, . . . , n,

aij (x) = aji (x) f.¨ u. in Ω f¨ ur i, j = 1, . . . , n, n  1 2 |ξ| ≤ aij (x)ξi ξj ≤ M |ξ|2 f.¨ u. in Ω f¨ ur alle ξ ∈ Rn M i,j=1

(8)

200

X Schwache L¨ osungen elliptischer Differentialgleichungen

und 0 ≤ −c(x) f.¨ u. in Ω,

cL∞ (Ω) ≤ N

(9)

mit Konstanten M ∈ [1, +∞) und N ∈ [0, +∞). Wir arbeiten im Hilbertraum H := W01,2 (Ω) mit dem skalaren Produkt 

 n  ei ei Du(x)·Dv(x) dx = (u, v)H := D u(x)D v(x) dx, u, v ∈ H. Ω

Ω

i=1

(10) Nach dem Sobolevschen Einbettungssatz ist die induzierte Norm 
uH :=

 12 |Du(x)|2 dx ,

u ∈ H,

Ω

¨aquivalent zu der in § 1, Definition 2 angegebenen Norm von W 1,2 (Ω). Von der rechten Seite und der Randbedingung fordern wir nun f (x) ∈ L2 (Ω)

und

g(x) ∈ W 1,2 (Ω).

(11)

Dann ist F (v) aus (6) ein beschr¨ anktes, lineares Funktional auf H. Genauer gibt es eine Konstante b = b(f L2 (Ω) , gW 1,2 (Ω) , M, N ) ∈ [0, +∞) mit der Eigenschaft |F (v)| ≤ bvH

f¨ ur alle v ∈ H.

(12)

Nach dem Darstellungssatz von Fr´echet-Riesz im Hilbertraum H gibt es dann ein w ∈ H mit f¨ ur alle v ∈ H. (13) (w, v)H = F (v) Im Spezialfall aij (x) = δij f¨ ur i, j = 1, . . . , n und c(x) = 0 f.¨ u. in Ω haben wir so bereits eine L¨ osung u = w der schwachen Differentialgleichung (7) gefunden. Wir betonen, daß der o.a. Darstellungssatz in Kapitel II, § 6 mit direkten Variationsmethoden bewiesen wurde. Im allgemeinen Fall, wenn die Koeffizienten den Bedingungen (8) und (9) gen¨ ugen, betrachten wir die in (5) erkl¨ arte symmetrische Bilinearform B(u, v) f¨ ur u, v ∈ H. Diese ist beschr¨ ankt und koerziv, d.h. es gibt Konstanten c± = c± (M, N ) mit 0 < c− ≤ c+ < +∞, so daß die Ungleichungen |B(u, v)| ≤ c+ uH vH und

B(u, u) ≥ c− u2H

f¨ ur alle u, v ∈ H f¨ ur alle u ∈ H

(14) (15)

erf¨ ullt sind. Nach dem Satz von Lax-Milgram (vgl. Kap. VIII, § 4 Satz 10) gibt es einen beschr¨ ankten, symmetrischen Operator T : H → H mit T  ≤ c+ ,

§3 Existenz schwacher L¨ osungen

welcher eine beschr¨ ankte Inverse T −1 : H → H mit T −1  ≤ daß folgendes gilt:

1 c−

besitzt, so

f¨ ur alle u, v ∈ H.

B(u, v) = (T u, v)H

201

(16)

Auch dieser Existenzsatz beruht auf direkten Variationsmethoden. Die schwache Differentialgleichung (7) wird also zu (T u, v)H = F (v) = (w, v)H

f¨ ur alle v ∈ H.

(17)

Mit u := T −1 w ∈ H erhalten wir dann eine L¨ osung der schwachen Differentialgleichung (7). Satz 1. Unter den Voraussetzungen (8) und (9) an die Koeffizienten hat die schwache Differentialgleichung (7) f¨ ur alle Daten (11) genau eine L¨osung u ∈ H. Beweis: Haben wir zwei L¨ osungen u1 , u2 von (7), so gen¨ ugt u = u1 − u2 ∈ H der schwachen Differentialgleichung f¨ ur alle ϕ ∈ H.

B(u, ϕ) = 0

(18)

Setzen wir speziell ϕ = u ein, so folgt 0 = B(u, u) ≥

1 M




|Du(x)|2 dx

Ω

u. in und somit u(x) ≡const in Ω. Wegen u ∈ W01,2 (Ω) erhalten wir u ≡ 0 f.¨ Ω und somit u1 = u2 . q.e.d. Wir eliminieren nun die Vorzeichenbedingung in (9) und verlangen statt dessen nur cL∞ (Ω) ≤ N. (19) c(x) ∈ L∞ (Ω), Um jetzt die Gleichung (7) zu l¨ osen, betrachten wir zu σ ∈ R die transferierte Bilinearform 
 n   ei ej Bσ (u, v) := aij (x)D u(x)D v(x) + σ − c(x) u(x)v(x) dx (20) Ω

i,j=1

und die identische Bilinearform


u(x)v(x) dx

I(u, v) :=

(21)

Ω

f¨ ur u, v ∈ H. Die Gleichung (7) erscheint dann in der ¨aquivalenten Form Bσ (u, ϕ) − σI(u, ϕ) = F (ϕ)

f¨ ur alle ϕ ∈ H.

(22)

202

X Schwache L¨ osungen elliptischer Differentialgleichungen

Wir w¨ ahlen nun σ ∈ R so groß, daß σ − c(x) ≥ 0

f.¨ u. in Ω

(23)

erf¨ ullt ist und die Bilinearform Bσ (u, v) koerziv wird. Wir ben¨otigen noch den Hilfssatz 1. Die Abbildung K : H → H mit (Ku, v)H = I(u, v)

f¨ ur alle

u, v ∈ H

(24)

ist vollstetig. Beweis: Sei {uk }k=1,2,... ⊂ H eine Folge mit uk H ≤const f¨ ur alle k ∈ N. Wir betrachten dann die stetigen linearen Funktionale Tk := I(uk , ·) : H → R ∈ H∗ ,

k = 1, 2, . . .

Nach dem Darstellungssatz von Fr´echet-Riesz gibt es f¨ ur jedes k ∈ N genau ein vk =: Kuk ∈ H, so daß I(uk , ·) = Tk (·) = (vk , ·)H = (Kuk , ·)H erf¨ ullt ist. Nach dem Auswahlsatz von Rellich-Kondrachov k¨onnen wir zu einer Teilfolge {ukl }l=1,2,... von {uk }k=1,2,... mit ukl − ukm L2 (Ω) → 0 (l, m → ∞) u ¨ bergehen. Es folgt Kukl − Kukm H = Tkl − Tkm  ≤ cukl − ukm L2 (Ω) → 0 (l, m → ∞). Somit ist K : H → H vollstetig.

q.e.d.

Mit den Darstellungen (13), (16) und (24) formen wir (22) f¨ ur σ aus (23) ¨aquivalent um, (Tσ u, ϕ)H − σ(Ku, ϕ)H = (w, ϕ)H

f¨ ur alle ϕ ∈ H.

(25)

Setzen wir nun ϕ = Tσ−1 v in diese Gleichung ein, so folgt (u, v)H − σ(Tσ−1 ◦ Ku, v)H = (Tσ−1 w, v) beziehungsweise



f¨ ur alle v ∈ H

 IdH − σTσ−1 ◦ K u = Tσ−1 w

(26)

(27)

mit dem vollstetigen Operator Tσ−1 ◦K : H → H. Nach dem Satz von Fredholm (vgl. Kap. VIII, § 6 Satz 6) ist somit der Nullraum   N := u ∈ H : B(u, v) = 0 f¨ ur alle v ∈ H (28)

§4 Beschr¨ anktheit schwacher L¨ osungen

endlich dimensional mit dem Orthogonalraum   ur alle v ∈ N . N ⊥ := u ∈ H : (u, v)H = 0 f¨

203

(29)

W¨ahlen wir die rechte Seite f und die Randbedingung g aus (11) so, daß ihre Darstellung w aus (13) die Bedingung Tσ−1 w ∈ N ⊥

(30)

erf¨ ullt, so hat die schwache Differentialgleichung (7) eine L¨osung u ∈ H. Wir erhalten also den Satz 2. Unter den Voraussetzungen (8) und (19) ist der L¨osungsraum N der homogenen Gleichung aus (28) endlich dimensional. Zu Daten (11), f¨ ur die die Linearform (6) eine Darstellung w aus (13) derart besitzt, daß Tσ−1 w ∈ ullt ist, hat die schwache Differentialgleichung (7) N ⊥ mit σ ∈ R aus (23) erf¨ eine L¨osung u ∈ H.

§4 Beschr¨ anktheit schwacher L¨ osungen ¨ Wir setzen die Uberlegungen aus § 3 fort und zitieren die dortigen Ergebnisse mit dem Zusatz *. Wir betrachten die Bilinearform B(u, v) aus (5*) mit den Koeffizienten (8*) und (19*). Mit der Moserschen Iterationsmethode beweisen wir den Satz 1. (Stampacchia) Es gibt eine Konstante C = C(M, N, n, |Ω|) ∈ (0, +∞), so daß f¨ ur jede schwache L¨osung u ∈ H := W01,2 (Ω) der elliptischen Differentialgleichung B(u, v) = 0

f¨ ur alle

v∈H

(1)

die Absch¨atzung uL∞ (Ω) ≤ CuL2(Ω)

(2)

richtig ist. Beweis: 1. Wir orientieren uns am Beweis von Satz 2 aus § 2. Haben wir die Ungleichung (2) bereits f¨ ur offene beschr¨ ankte Mengen Ω ⊂ Rn mit dem Maß |Ω| = 1 bewiesen, so erhalten wir den allgemeinen Fall durch die Transformation 1 x ∈ Ω. (3) y = |Ω|− n x, Die Koeffizienten der schwachen Differentialgleichung h¨angen dann zus¨atzlich von |Ω| ab. Wir setzen also im folgenden |Ω| = 1 voraus, und die Norm up := uLp(Ω) wird schwach monoton steigend in 1 ≤ p ≤ ∞ nach der H¨ olderschen Ungleichung.

204

X Schwache L¨ osungen elliptischer Differentialgleichungen

2. Zu beliebigem K ∈ (0, +∞) betrachten wir die Funktion ⎧ u(x) ≥ K ⎪ ⎨ K, u ¯(x) := u(x), −K < u(x) < K ⎪ ⎩ −K, u(x) ≤ −K

(4)

der Klasse W01,2 (Ω) ∩ L∞ (Ω). Zum Exponenten β ∈ [+1, +∞)

(5)

setzen wir die Testfunktionen x ∈ Ω,

v(x) := u ¯(x)β ,

(6)

in die schwache Differentialgleichung (1) ein. Zusammen mit dem Sobolevschen Einbettungssatz erhalten wir dann
c(x)u(x)¯ u(x)β dx Ω

=β


 n Ω

 aij (x)D u¯(x)D u ¯(x) u ¯(x)β−1 dx ei

ej

i,j=1

4β = (β + 1)2


 n Ω

aij (x)D

ei

 u ¯(x)

1 2 (β+1)

 D

ej

 u ¯(x)

1 2 (β+1)

 dx

i,j=1

  1 2 4β   ≥ D u¯ 2 (β+1)  2 M (β + 1) 2 ≥

 1 (β+1) 2 4β u  n . ¯2 2 2 2 n−2 M (β + 1) C(n, 2) (7)

3. F¨ ur alle β ∈ [+1, +∞) und K ∈ (0, +∞) folgt β+1 2 ¯ uβ+1 n (β+1) ≤ βM N C(n, 2) uβ+1 ,

(8)

n−2

ullt ist. Vollf¨ uhren wir nun in (8) den Grenz¨ uberinsofern u ∈ Lβ+1 (Ω) erf¨ gang K → +∞ und setzen wir δ :=

n ∈ (+1, +∞) n−2

und

Γ := M N C(n, 2)2 ∈ [0, +∞),

so finden wir die Iterationsungleichung ' √ β+1 uδ(β+1) ≤ β+1 β + 1 Γ uβ+1 f¨ ur alle β ∈ [+1, +∞) falls

u ∈ Lβ+1 (Ω).

(9)

§4 Beschr¨ anktheit schwacher L¨ osungen

205

4. Unter Beachtung von u ∈ L2 (Ω) starten wir die Iteration mit β = 1 und erhalten √ √ 2 2 u2δ ≤ 2 Γ u2. (10) Wir w¨ ahlen dann β ∈ (1, +∞), so daß β + 1 = 2δ gilt und entnehmen (9) die Ungleichung √ √ √ √ 2δ 2δ 2 2 2δ 2 Γ Γ u2 . (11) u2δ2 ≤ Fortsetzung des Verfahrens liefert f¨ ur alle k ∈ N u2δk

 k−1   k−1 9 2δ√ 9 2δ√ j j j ≤ 2δ Γ u2

 √  (

1 j δ)

 √  (

1 j δ)

j=0

k−1

=

2

j=0

∞

≤

2

j=0



j=0

 k−1 9

k−1  √ j δ−j √  ( δ1 )j δ Γ j=0 u2



(12)



j=0

∞

∞

√  j( 1δ )j √  ( 1δ )j δ j=0 Γ j=0 u2 .

F¨ ur k → +∞ erhalten wir schließlich die gew¨ unschte Absch¨atzung uL∞ (Ω) ≤ C(M, N, n, |Ω|)u2 .

(13) q.e.d.

Wir wollen nun schwache L¨ osungen des Dirichletproblems durch ihre Randwerte absch¨ atzen. In der Bilinearform (5*) verlangen wir c(x) = 0

f.¨ u. in Ω,

(14)

und wir erhalten die Dirichlet-Riemann-Bilinearform 
 n ei ej aij (x)D u(x)D v(x) dx R(u, v) := Ω

(15)

i,j=1

mit den Koeffizienten aus (8*). Von der Randfunktion fordern wir g = g(x) ∈ W 1,2 (Ω) ∩ C 0 (Ω).

(16)

atzung) Satz 2. (L∞ -Randabsch¨ Sei u = u(x) ∈ W 1,2 (Ω) eine schwache L¨osung der Differentialgleichung R(u, v) = 0

f¨ ur alle

v∈H

(17)

mit den schwachen Randwerten u − g ∈ W01,2 (Ω).

(18)

Dann folgt µ := inf g(y) ≤ u(x) ≤ sup g(y) =: ν y∈∂Ω

y∈∂Ω

f¨ ur fast alle

x ∈ Ω.

(19)

206

X Schwache L¨ osungen elliptischer Differentialgleichungen

¨ Beweis: Da das Problem translationsinvariant ist, k¨onnen wir durch den Ubergang u(x) → u(x) − µ immer µ = 0 voraussetzen. Wir zeigen nun u(x) ≥ 0

f.¨ u. in Ω.

(20)

W¨are (20) n¨ amlich verletzt, so betrachten wir die nichtverschwindende Funktion  u(x), u(x) < 0 − u (x) := (21) 0, u(x) ≥ 0 der Klasse W01,2 (Ω). Einsetzen in (17) liefert mit 0 = R(u, u− ) > 0

(22)

einen Widerspruch. Somit ist (20) erf¨ ullt. Wegen der Translationsinvarianz k¨onnen wir ebenso ν = 0 erreichen und den zweiten Teil der Ungleichung (19) durch die Spiegelung u(x) → −u(x) auf die Behauptung (20) zur¨ uckf¨ uhren. q.e.d. Bemerkung: F¨ ur weitere L∞ -Absch¨ atzungen verweisen wir auf [GT] 8.5.

§5 H¨ olderstetigkeit schwacher L¨ osungen Die Ergebnisse aus § 3 zitieren wir mit * und die aus § 4 mit **. Mit   Kr (y) := x ∈ Rn : |x − y| ≤ r bezeichnen wir die abgeschlossenen Kugeln vom Radius r ∈ (0, +∞) um den Mittelpunkt y ∈ Rn . Wir betrachten wieder die Bilinearform B(u, v) aus (5*) mit den Koeffizienten (8*), (19*). Mit der Moserschen Iterationsmethode zeigen wir nun den tiefliegenden Satz 1. (Mosersche Ungleichung) Sei u = u(x) ∈ W 1,2 (Ω) ∩ L∞ (Ω) mit u(x) ≥ 0 f.¨ u. in Ω eine L¨osung der schwachen Differentialgleichung B(u, v) = 0

f¨ ur alle

v ∈ H.

(1)

Dann gibt es eine Konstante C = C(M, N r2 , n) ∈ (0, +∞), so daß die Integralmittel ¨ uber alle Kugeln K4r (y) ⊂ Ω die folgende Ungleichung erf¨ ullen,

1 − u(x) dx := u(x) dx ≤ C inf u(x). (2) |K2r (y)| x∈Kr (y) K2r (y)

K2r (y)

§5 H¨ olderstetigkeit schwacher L¨ osungen

207

Bemerkungen: urlich 1. F¨ ur eine Funktion u(x) ∈ W 1,2 (Ω) ∩ L∞ (Ω) ekl¨art man nat¨   1 2 inf u(x) := inf c ∈ R : x ∈ Ω : u(x) ≤ c ist keine Nullmenge . (3) x∈Ω

2. Falls Ω ⊂ Rn ein Gebiet ist, liefert Satz 1 das Prinzip der eindeutigen Fortsetzung: Eine nichtnegative L¨ osung von (1) verschwindet auf Ω, falls es einen Punkt y ∈ Ω und ein r0 > 0 so gibt, daß gilt inf

x∈Kr (y)

u(x) = 0

f¨ ur alle Kugeln Kr (y) ⊂ Ω

mit

0 < r < r0 .

Beweis von Satz 1: 1. Wir w¨ ahlen r0 = r0 (n) > 0 so, daß |K3r0 (y)| = 1

(4)

erf¨ ullt ist. F¨ ur alle 0 < r ≤ 3r0 wird dann die .Lp(Kr (y)) -Norm monoton steigend in 1 ≤ p ≤ +∞. Sei nun y ∈ Ω fest gew¨ahlt, so daß K4r0 (y) ⊂ Ω richtig ist. Wir zeigen dann zun¨ achst die Absch¨atzung (2) mit r = r0 und beweisen den allgemeinen Fall anschließend mit einem Skalierungsargument. F¨ ur meßbare Funktionen v = v(x) : Ω → R mit 0 < ε ≤ v(x) ≤

1 ε

f.¨ u. in Ω

(5)

bei festem ε > 0 erkl¨ aren wir f¨ ur alle p ∈ R und alle 0 < r ≤ 3r0 die positiv-homogene Funktion 
 p1 p v(x) dx . (6) vp,Kr (y) := Kr (y)

F¨ ur p ≥ 1 erhalten wir die vertraute Lp -Norm, und wir beachten lim vp,Kr (y) =

p→−∞

lim

 : 

p→−∞

 =  1

Kr (y)

1 −p 1 v(x)

1

v L∞ (Kr (y))

1  −p dx

(7) 1 = sup Kr (y)

1 v

= inf v. Kr (y)

Mit η = ηr, (x) : Ω → R ∈ W 1,∞ (Ω) f¨ ur 0 < r +  ≤ 3r0 bezeichnen wir die st¨ uckweise lineare, radialsymmetrische Annulierungsfunktion mit den Eigenschaften ⎧ x ∈ Kr (y) ⎪ ⎨ = 1, (8) η(x) ∈ [0, 1], x ∈ Kr+ (y) \ Kr (y) ⎪ ⎩ = 0, x ∈ Ω \ Kr+ (y)

208

X Schwache L¨ osungen elliptischer Differentialgleichungen

und

1 f.¨ u. in Ω. (9)  2. In die schwache Differentialgleichung (1) setzen wir nun die folgende Testfunktion ein, v(x) := η(x)2 u ¯(x)β , x ∈ Ω, (10) |Dη(x)| ≤

mit u¯(x) := u(x) + ε,

x ∈ Ω,

(11)

− 1 < β < 0.

(12)

und den Exponenten −∞ < β < −1

und

In (11) ist dabei ε > 0 fest gew¨ ahlt. Es gilt v ∈ W01,2 (Ω), und wir berechnen
c(x)u(x)¯ u (x)β η(x)2 dx Ω

=β


 n


  n Ω

=

ej

i,j=1

Ω

+2

 aij (x)D u ¯(x)D u ¯(x) u ¯(x)β−1 η(x)2 dx ei

 aij (x)D u ¯(x)D η(x) u ¯(x)β η(x) dx ei

ej

i,j=1

4β (β + 1)2


 n i,j=1

Ω

4β − (β + 1)2

    1 1 ¯(x) 2 (β+1) η(x) Dej u¯(x) 2 (β+1) η(x) dx aij (x)Dei u


 n

 aij (x)D η(x)D η(x) u ¯(x)β+1 dx ei

ej

i,j=1

Ω


  n  4β  + 2− aij (x)Dei u ¯(x)Dej η(x) u¯(x)β η(x) dx β+1 i,j=1 Ω

=

4β (β + 1)2


 n i,j=1

Ω

4 − (β + 1)2


 n Ω

−4

    1 1 ¯(x) 2 (β+1) η(x) Dej u¯(x) 2 (β+1) η(x) dx aij (x)Dei u

β−1 (β + 1)2

ej

i,j=1


 n Ω

 aij (x)D η(x)D η(x) u ¯(x)β+1 dx ei

   1 1 aij (x)Dei u ¯(x) 2 (β+1) dx. ¯(x) 2 (β+1) η(x) Dej η(x) u

i,j=1

(13)

§5 H¨ olderstetigkeit schwacher L¨ osungen

209

Wir erhalten dann f¨ ur alle β ∈ (−∞, −1) ∪ (−1, 0) die Ungleichung
 n Ω

=

aij (x)D

ei

 u ¯(x)

1 2 (β+1)

   1 ej (β+1) 2 η(x) D u¯(x) η(x) dx

i,j=1


 1 1 (1 + β) 1 + c(x)u(x)¯ u(x)β η(x)2 dx 4 β Ω

 + 1−


 n 1 β Ω

+

1 β


  n

   1 1 (β+1) ej 2 ¯(x) aij (x)D u η(x) D η(x) u ¯(x) 2 (β+1) dx ei

i,j=1

 aij (x)Dei η(x)Dej η(x) u¯(x)β+1 dx

i,j=1

Ω


 1 1 ≤ (1 + β) 1 + c(x)u(x)¯ u(x)β η(x)2 dx 4 β Ω

+


 n 1 2

    1 1 ¯(x) 2 (β+1) η(x) Dej u ¯(x) 2 (β+1) η(x) aij (x)Dei u dx

i,j=1

Ω



1 1 2 1 + 1− + β 2 β


  n Ω

 aij (x)D η(x)D η(x) u¯(x)β+1 dx. ei

ej

i,j=1

(14) Schließlich ergibt sich die Absch¨ atzung
 n Ω

    1 1 ¯(x) 2 (β+1) η(x) aij (x)Dei u¯(x) 2 (β+1) η(x) Dej u dx

i,j=1


 1 1 c(x)u(x)¯ u (x)β η(x)2 dx ≤ (1 + β) 1 + 2 β 1  + 1+ 2 β 


 Ω

Ω n 

(15)

 aij (x)D η(x)D η(x) u¯(x)β+1 dx ei

ej

i,j=1

f¨ ur alle β ∈ (−∞, −1) ∪ (−1, 0). 3. Wir wenden nun den Sobolevschen Einbettungssatz mit p = 2 an. Es sei n ] gew¨ ahlt, und wir setzen weiterhin 0 < r +  ≤ 3r0 voraus. δ ∈ (1, n−2 Unter Beachtung der Definition von η erhalten wir dann f¨ ur alle β ∈ (−∞, −1) ∪ (−1, 0) die folgende Absch¨ atzung,

210

X Schwache L¨ osungen elliptischer Differentialgleichungen




 1δ  1 2 |¯ u(x)|δ(β+1) dx = u¯ 2 (β+1) η L2δ (Kr )

¯ uβ+1 δ(β+1),Kr = Kr

 1 (β+1) 2 2n ≤ u ¯2 η  n−2 L

≤ M C(n, 2)2

(Ω)

  1 2 ≤ C(n, 2)2 D u¯ 2 (β+1) η L2 (Ω)


 n Ω

 1   1  aij Dei u¯ 2 (β+1) η Dej u ¯ 2 (β+1) η dx

i,j=1

 )  1 1 )) 1 M ) uβ+1 |1 + β|)1 + )N + 1 + 2 2 ¯ β+1,Kr+ . 2 β β  (16) 4. In Teil 8 des Beweises bestimmen wir ein p0 = p0 (M, N, n) > 0 und eine Konstante C0 = C0 (M, N, n) > 0, so daß gilt ≤ M C(n, 2)2



¯ up0 ,K3r0 ≤ C0 ¯ u−p0 ,K3r0 .

(17)

n Wir w¨ ahlen nun δ ∈ (1, n−2 ] und ν ∈ N0 , so daß

δ j p0 ∈ (0, 1)

f¨ ur

j = 0, . . . , ν − 1,

δ ν p0 ∈ (1, +∞)

(18)

richtig ist. F¨ ur j = 0, . . . , ν betrachten wir die Kugeln Kj ⊂ Ω mit den Radien j := 3r0 − j rν0 . Formel (16) liefert dann eine Konstante *+ (M, N, n) > 0, so daß *+ = C C *+ ¯ uδj−1 p0 ,Kj−1 ¯ uδj p0 ,Kj ≤ C

f¨ ur

j = 1, . . . , ν

(19)

erf¨ ullt ist. Durch ν-fache Iteration ergibt sich hieraus die Absch¨atzung uδν p0 ,Kν ≤ C+ (M, N, n)¯ up0 ,K3r0 . ¯ uL1 (K2r0 ) ≤ ¯ 5. F¨ ur alle β ≤ −1 − p0 und δ := ¯ uβ+1 δ(β+1),Kr

n n−2 2

≤ M C(n, 2) ≤



(20)

entnehmen wir (16) die Ungleichung  1 2M |β + 1|N + 2 ¯ uβ+1 β+1,Kr+ 2 

*− (M, N, n)|β + 1| C ¯ uβ+1 β+1,Kr+ 2

*− = C *− (M, N, n) > 0 beziehungsweise mit einer Konstante C ¯ uβ+1,Kr+

*  1 C− (M, N, n)|β + 1| |β+1| ≤ ¯ uδ(β+1),Kr , 2

insofern wir 0 < r +  ≤ 3r0 voraussetzen. W¨ahlen wir nun

(21)

§5 H¨ olderstetigkeit schwacher L¨ osungen

j := 3r0 − 2r0

j  1 , 2l

211

j = 0, 1, 2, . . . ,

l=1

so liefert (21) die Iterationsungleichung δ−j

* p0 (δ j p0 ) ¯ u−δj p0 ,Kj ≤ C −

δ−j p0

 22j  δp−j 0

r02

¯ u−δj+1 p0 ,Kj+1

(22)

f¨ ur j = 0, 1, 2, . . . Hieraus ergibt sich die Absch¨atzung ¯ u−p0 ,K3r0







    k ( δ1 )j  √  k j( 1δ )j  √  k ( 1δ )j p0 p0 p0 * ≤ δ j=0 p0 j=0 C− j=0





( k  k ( 1 )j  p√  j( 1δ )j  p −2 j=0 δ 0 0 j=0 · 4 r0 ¯ u−δk+1 p0 ,Kk+1 ≤ C− (M, N, n)¯ u−δk+1 p0 ,Kk+1 ,

(23)

k = 0, 1, 2, . . .

F¨ ur k → ∞ folgt schließlich ¯ u−p0 ,K3r0 ≤ C− (M, N, n) inf u ¯(x).

(24)

x∈Kr0

6. Aus (20), (17) und (24) ergibt sich ¯ uL1 (K2r0 ) ≤ C+ ¯ up0 ,K3r0 ≤ C+ C0 ¯ u−p0 ,K3r0 ≤ C+ C0 C− inf u ¯(x). x∈Kr0

Setzen wir C = C(M, N, n) := C+ C0 C− und beachten die Unabh¨angigkeit dieser Konstante von ε > 0, so folgt f¨ ur ε → 0+ die Ungleichung uL1 (K2r0 ) ≤ C(M, N, n) inf u(x). x∈Kr0

(25)

Dies impliziert die Mosersche Ungleichung (2) f¨ ur den Fall r = r0 mit r0 = r0 (n) > 0 aus (4). Sind y ∈ Ω und r > 0 mit K4r (y) ⊂ Ω gew¨ahlt, so gehen wir von u u ¨ ber zu r  r  0 y . (26) x , x ∈ K4r0 u (x) := u r0 r ◦

Die Funktion u = u (x) gen¨ ugt dann in K4r0 ( rr0 y) einer schwachen Differentialgleichung (1) mit Koeffizienten aij ∈ L∞ (K4r0 ( rr0 y)) wie in (8*) und   r  N r2 0 c ∈ L∞ K4r0 y , cL∞ (K4r0 ( rr0 y)) ≤ 2 . r r0 Die obige Argumentation liefert also die Ungleichung

212

X Schwache L¨ osungen elliptischer Differentialgleichungen

u L1 (K2r ( r0 y)) ≤ C(M, N r2 , n) inf r u (x) r 0 x∈Kr0 ( r0 y ) beziehungsweise r0n rn




u(x) dx ≤ C(M, N r2 , n)

K2r (y)

inf

x∈Kr (y)

u(x).

Damit ist der Satz vollst¨ andig bewiesen, wenn wir (17) gezeigt haben. 7. Hierzu ermitteln wir aus der schwachen Differentialgleichung eine Wachstumsbedingung f¨ ur das Dirichletintegral. Mit der Annulierungsfunktion η(x) aus (8) f¨ ur  = r und mit u ¯(x) aus (11) setzen wir die Testfunktion v(x) := η(x)2 u ¯(x)−1 ,

x ∈ Ω,

(27)

(dies ist v aus (10) f¨ ur β = −1 !) in die Gleichung (1) ein. Wir erhalten
c(x)u(x)¯ u(x)−1 η(x)2 dx Ω

=−


 n


 n Ω

=−

     ¯(x) Dej log u ¯(x) η(x)2 dx aij (x)Dei log u

0 (5) Ω∩Kr (x)

mit einer Konstanten L ∈ [0, +∞) erf¨ ullt ist. Bemerkung: Offenbar gilt Lp (Ω) ⊂ M p (Ω) f¨ ur 1 ≤ p ≤ +∞. Wegen Punkt 7 im Beweis von Satz 1 aus § 5 wollen wir uns auf die Klasse M n (Ω) konzentrieren. Hilfssatz 2. Sei f ∈ M n (Ω) und

1 n

< µ ≤ 1 erf¨ ullt. Dann gilt

|Vµ f (x)| ≤ (2R)nµ−1

n−1 L nµ − 1

f.¨ u. in

Ω.

Beweis: F¨ ur festes x ∈ Ω betrachten wir die Funktion
Φ(r) := |f (y)| dy, 0 < r < 2R,

(6)

(7)

Ω∩Kr (x)

mit der Ableitung






|f (y)| dσ(y).

Φ (r) =

(8)

Ω∩∂Kr (x)

Wir erhalten dann f¨ ur fast alle x ∈ Ω die Absch¨atzung
|Vµ f (x)| ≤ |y − x|nµ−n |f (y)| dy Ω


2R nµ−n = r 0


2R |f (y)| dσ(y) dr = rnµ−n Φ (r) dr




0

Ω∩∂Kr (x)

5 62R = rnµ−n Φ(r) 0+ − (nµ − n)


2R rnµ−n−1 Φ(r) dr 0

≤ (2R)

nµ−n

n−1

L(2R)


2R + n(1 − µ) rnµ−n−1 Lrn−1 dr

 = L (2R)nµ−1 + n(1 − µ) = L(2R)nµ−1 also (6).

0

1 5 nµ−1 62R  r 0 nµ − 1

n−1 , nµ − 1 q.e.d.

218

X Schwache L¨ osungen elliptischer Differentialgleichungen

Hilfssatz 3. F¨ ur Funktionen f ∈ M n (Ω) haben wir die Absch¨atzung  
) ) γ ) ) exp V 1 f (x) dx ≤ C(n, γ)Rn (n − 1)L n

(9)

Ω

f¨ ur jedes γ ∈ (0, 1e ) mit einer Konstanten C = C(n, γ) > 0. Beweis: F¨ ur k = 1, 2, . . . beachten wir 1

1

1

1

1

|x − y|1−n = |x − y|n( nk −1) k |x − y|n( nk + n −1)(1− k ) . Mit der H¨ olderschen Ungleichung ergibt sich ) ) )V 1 f (x)) n  
 1 1 1 1 1 1 1 |x − y|n( nk −1) k |f (y)| k |x − y|n( nk + n −1)(1− k ) |f (y)|1− k dy ≤ Ω




1 n( nk −1)

|x − y|

≤

|f (y)| dy

 k1 


Ω

1 1 n( nk +n −1)

|x − y|

|f (y)| dy

1− k1

Ω

beziehungsweise   ) ) )V 1 f (x))k ≤ V 1 |f |(x) V 1 ( + n nk n

f¨ ur alle x ∈ Ω

und

1 nk

k−1 |f |(x) )

(10)

k = 1, 2, . . .

Mit Hilfssatz 1 und 2 sch¨ atzen wir nun f¨ ur k = 1, 2, . . . wie folgt ab,
k−1
 ) ) )V 1 f (x))k dx ≤ sup V 1 1 |f |(x) 1 |f |(x) dx V nk ( + ) n x∈Ω

Ω

n

nk

Ω

≤ (2R)

k−1 k

1 2k−1 k−1 1 k(n − 1) L k ωn (2R) k f L1(Ω)

≤ 2R k k (n − 1)k−1 Lk−1 ωn LRn−1 1 2k ωn Rn (n − 1)L k k . =2 n−1 Somit erhalten wir  
k ) ) k γ 1 )V 1 f (x)) dx ≤ 2 ωn Rn (γk) k! (n − 1)L n n−1 k!

f¨ ur

k = 0, 1, 2, . . .

Ω

(11) Summation u ¨ ber k = 0, 1, 2, . . . liefert  
∞  ) ) γ (γk)k ωn n ) ) V n1 f (x) dx ≤ 2 R . exp (n − 1)L n−1 k! Ω

k=0

§6 Schwache potentialtheoretische Absch¨ atzungen

219

∞  Mit dem Quotientenkriterium u ufen wir die Konvergenz der Reihe ak ¨ berpr¨ (γk)k k=0 f¨ ur ak := k! :

1 2k+1  γ(k + 1) k! ak+1 1 k k→∞ = = γ 1 + −→ γe < 1. ak (k + 1)!(γk)k k Wir finden also eine Konstante C = C(n, γ) ∈ (0, +∞) mit  
) ) γ ) ) exp V 1 f (x) dx ≤ C(n, γ)Rn . (n − 1)L n Ω

q.e.d.

Hilfssatz 4. Sei u = u(x) ∈ W 1,1 (Ω). Setzen wir
1 u0 := u(x) dx, |Ω| Ω

so gilt die Ungleichung n ) ) )u(x) − u0 ) ≤ 2 nκn




|x − y|1−n |Du(y)| dy;

(12)

Ω

dabei bezeichnet κn das Volumen der n-dimensionalen Einheitskugel. Beweis: Wegen dem Satz von Meyers-Serrin gen¨ ugt es, die Ungleichung (12) ur x, y ∈ Ω beachten f¨ ur Funktionen u = u(x) ∈ C 1 (Ω)∩W 1,1 (Ω) zu zeigen. F¨ wir |x−y|
y−x d u(x + rζ) dr mit ζ := . u(x) − u(y) = − dr |y − x| 0

Wir integrieren bez¨ uglich y u ¨ ber Ω und erhalten   |Ω| u(x) − u0 = −


 |x−y|
Ω

0

Nun erkl¨ aren wir die L1 (Rn )-Funktion  |Du(x)|, v(x) := 0,

 d u(x + rζ) dr dy. dr

x∈Ω x ∈ Ω

.

d u(x + rζ)| ≤ |Du(x + rζ)| erhalten wir dann die Absch¨atzung Wegen | dr

220

X Schwache L¨ osungen elliptischer Differentialgleichungen

) ) )u(x) − u0 ) ≤ 1 |Ω| ≤

1 |Ω|

1 = |Ω|



 |x−y| ) ) )Du(x + rζ)) dr dy 0

Ω


∞




 v(x + rζ) dr dy

0

K2R (x)




∞ 


v(x + rζ) dy dr. 0

K2R (x)

Wir f¨ uhren Polarkoordinaten ein gem¨ aß y = x + ζ und erhalten f¨ ur festes r ∈ (0, +∞)



v(x + rζ) dy =

K2R (x)

 
2R v(x + rζ)n−1 d dσ(ζ) 0

|ζ|=1 n

=

(2R) n


v(x + rζ) dσ(ζ)

|ζ|=1

und somit

n ) ) )u(x) − u0 ) ≤ (2R) n|Ω|


∞ 
0

 v(x + rζ) dσ(ζ) dr.

(13)

|ζ|=1

Schreiben wir nun z = x + rζ, dz = |x − z|n−1 dr dσ(ζ) und beachten die Definition von v, so entnehmen wir (13) schließlich
2n |x − z|1−n |Du(z)| dz. |u(x) − u0 | ≤ nκn Ω q.e.d. Wir fassen unsere Ergebnisse zusammen zum Satz 1. (John-Nirenberg) uge der Wachstumsbedingung Die Funktion u = u(x) ∈ W 1,1 (Ω) gen¨
|Du(x)| dx ≤ Lrn−1 f¨ ur alle y ∈ Ω, r > 0

(14)

Ω∩Kr (y)

mit einer Konstante L > 0. Dann gibt es f¨ ur jedes γ ∈ (0, 1e ) eine Konstante C = C(n, γ) > 0, so daß  
) nκn γ )) ) u(x) − u0 dx ≤ C(n, γ)Rn exp (15) 2n (n − 1)L Ω

erf¨ ullt ist.

§7 Randverhalten schwacher L¨ osungen

221

Beweis: Wegen (14) geh¨ ort f (x) := |Du(x)|, x ∈ Ω, zur Morreyschen Klasse M n (Ω). Nach Hilfssatz 4 gilt ferner nκn |u(x) − u0 | ≤ V n1 f (x), 2n

x ∈ Ω.

Hilfssatz 3 liefert dann die gew¨ unschte Absch¨ atzung (15).

q.e.d.

Bemerkung: Fordert man in (14) ein h¨ oheres Wachstum, so kann man direkt auf H¨ olderstetigkeit schließen. Zu diesem Satz von C. B. Morrey verweisen wir auf [GT] 7.9, Theorem 7.19 oder [Jo] 8.1, Satz 8.1.3 und Korollar 8.1.6. Diese Aussagen werden verwandt, um Regularit¨ at der L¨osungen von Variationsproblemen zu zeigen.

§7 Randverhalten schwacher L¨ osungen ¨ Wir setzen die Uberlegungen aus § 5 fort und ben¨otigen hierzu die folgende Variante der Moserschen Ungleichung. Satz 1. (Trudinger) u. in Ω eine schwache Sei u = u(x) ∈ W 1,2 (Ω) ∩ L∞ (Ω) mit u(x) ≥ 0 f.¨ L¨osung der Differentialgleichung R(u, v) = 0

f¨ ur alle

v ∈ H := W01,2 (Ω)

(1)

mit der in Formel (15) aus § 4 angegebenen Dirichlet-Riemann-Bilinearform R(u, v). Zu y ∈ ∂Ω und r > 0 gelte ferner u ∈ C 0 (∂Ω ∩ K4r (y)), und wir setzen & % u(x) . m ∈ 0, inf ∂Ω∩K4r (y)

Dann gibt es eine Konstante C = C(M, n) ∈ (0, +∞), so daß f¨ ur die Fortsetzungsfunktion  m, x ∈ K4r (y) \ Ω m w(x) = [u] (x) := (2) inf{u(x), m}, x ∈ Ω die Absch¨atzung
− w(x) dx := K2r (y)

1 |K2r (y)|


w(x) dx ≤ C K2r (y)

inf

x∈Kr (y)

w(x)

(3)

richtig ist. Beweis: Wir haben nur den Fall m > 0 zu betrachten und u ¨bertragen den Beweis von Satz 1 in § 5 auf diese Situation. Hierzu erkl¨aren wir die Menge

222

X Schwache L¨ osungen elliptischer Differentialgleichungen

  Ω m := x ∈ Ω : u(x) < m . Da u gem¨ aß § 5, Satz 2 in Ω stetig ist, stellt Ω m eine offene Menge dar. Im m Fall Ω ∩ K4r (y) = ∅ haben wir nichts zu zeigen. Anderenfalls erkl¨aren wir zu festem ε > 0 die positive Funktion w(x) ¯ :=

1  w(x) + ε), m+ε

x ∈ K4r (y) ∪ Ω,

(4)

welche in Ω m der schwachen Gleichung R(w, ¯ v) = 0

f¨ ur alle v ∈ W01,2 (Ω m )

(5)

f¨ ur alle x ∈ K4r (y) \ Ω m .

(6)

gen¨ ugt. Ferner gilt w(x) ¯ =1

In die schwache Differentialgleichung (5) setzen wir mit den Potenzen β ∈ (−∞, 0) die folgenden Testfunktionen ein,   v(x) := w(x) ¯ β − 1 η(x)2 ∈ W01,2 (Ω m ).

(7)

(8)

Hierbei ist η = η(x) wie im Beweis von Satz 1 aus § 5 erkl¨art. Wir erhalten nun 
 n ej aij (x)Dei w(x)D ¯ w(x) ¯ w(x) ¯ β−1 η(x)2 dx −β Ωm

=2

i,j=1


 n

   ¯ β − 1 η(x) dx aij (x)D w(x)D ¯ η(x) w(x) ei

ej

i,j=1

Ωm


;  n

0. Es sei u = u(x) ∈ W 1,2 (Ω) ∩ L∞ (Ω) ∩ C 0 (∂Ω ∩ Kr0 (y)) eine L¨osung der schwachen Differentialgleichung (1), f¨ ur welche wir die Randoszillation σ(r) := osc u(x), 0 < r ≤ r0 , (12) x∈∂Ω∩Kr (y)

erkl¨aren. Dann gibt es Konstanten C = C(M, n, β) ∈ (0, +∞) und α = α(M, n, β) ∈ (0, 1), so daß die folgende Absch¨atzung gilt,  r α osc u ≤ C osc u + σ(r0 ), 0 < r ≤ r0 . (13) Ω∩Kr (y) r0 Ω∩Kr0 (y) Beweis: 1. Wir bezeichnen die Mengen Kr = Kr (y), Ωr := Ω ∩ Kr (y), (∂Ω)r := oßen ∂Ω ∩ Kr (y) und verwenden die Gr¨ M4 = sup u, Ω4r

m4 = inf u, Ω4r

M1 = sup u, Ωr

m1 = inf u. Ωr

In der Kugel K4r wenden wir Satz 1 auf die in Ω4r nichtnegativen Funktionen M4 − u(x) und u(x) − m4 an, wobei wir noch M := sup u, (∂Ω)4r

m := inf u (∂Ω)4r

224

X Schwache L¨ osungen elliptischer Differentialgleichungen

setzen. Wir erhalten f¨ ur alle 0 < r ≤ 14 r0 die Absch¨atzungen β(M4 − M ) ≤ (M4 − M )

|K2r \ Ω| |K2r |


≤ − [M4 − u(x)]M4 −M dx

(14)

K2r

≤ C(M4 − M1 ) und β(m − m4 ) ≤ (m − m4 )

|K2r \ Ω| |K2r |


≤ − [u(x) − m4 ]m−m4 dx

(15)

K2r

≤ C(m1 − m4 ). Addition von (14) und (15) liefert β(M4 − m4 ) − β(M − m) ≤ C(M4 − m4 ) − C(M1 − m1 ) beziehungsweise  β β M 1 − m1 ≤ 1 − (M4 − m4 ) + (M − m), C C also osc u ≤ γ osc u + (1 − γ)σ(4r), Ωr

0 0 hinreichend klein w¨ ahlen und dann ein δ(ε) > 0 so angeben, daß die Absch¨ atzung osc

Ω∩Kr (y)

u≤ε

f¨ ur alle

0 < r ≤ δ(ε)

(22)

realisiert wird.

§8 Gleichungen in Divergenzform Wenn man im Sobolevraum Minima von Energiefunktionalen mit direkten Variationsmethoden konstruiert, erh¨ alt man schwache L¨osungen von Gleichungen in Divergenzform. Genauer nehmen wir ein Vektorfeld  ∗ A(p) = A1 (p), . . . , An (p) : Rn → Rn ∈ C 1+α (Rn ) (1) mit α ∈ (0, 1), dessen Jakobimatrix ∂A(p) :=

 ∂Aj ∂pk

 (p)

, j,k=1,...,n

p ∈ Rn ,

(2)

symmetrisch ist und die Elliptizit¨ atsbedingung n  1 2 ∂Aj |ξ| ≤ (p)ξj ξk ≤ M |ξ|2 M ∂pk j,k=1

f¨ ur alle ξ, p ∈ Rn

(3)

226

X Schwache L¨ osungen elliptischer Differentialgleichungen

mit einer Konstante M ∈ [1, +∞) erf¨ ullt. Wir betrachten nun schwache L¨osungen u = u(x) ∈ W 1,2 (Ω) (4) der Differentialgleichung   divA Du(x) = 0

in Ω,

also starten wir mit der Integralrelation
1 2 ∇ϕ(x) · A(Du(x)) dx = 0

(5)

f¨ ur alle ϕ ∈ C0∞ (Ω).

(6)

Ω

Wir verwenden den Differenzenquotienten ∆i,ε ϕ(x) :=

ϕ(x + εei ) − ϕ(x) ε

(7)

in Richtung ei mit hinreichend kleinem ε = 0 aus § 1, und rechnen damit wie in den Beweisen von Satz 5 und 6. Setzen wir (7) in (6) ein, so folgt

2 2 1 1 0= ∇(∆i,ε ϕ(x)) · A(Du(x)) dx = − ∇ϕ(x) · ∆i,ε A(Du(x)) dx. (8) Ω

Ω

Wir berechnen  1  A Du(x + εei ) − Du(x) ε 
1    ∂A Du(x) + t[Du(x + εei ) − Du(x)] dt ∆i,ε Du(x) =

∆i,ε A(Du(x)) =

0

(9)

und erkl¨ aren die symmetrische Matrix
1 Bε (x) :=

  ∂A Du(x) + t[Du(x + εei ) − Du(x)] dt,

x ∈ Ω,

(10)

0

mit der gleichm¨ aßigen Elliptizit¨ atsbedingung 1 2 |ξ| ≤ ξ ◦ Bε (x) ◦ ξ ∗ ≤ M |ξ|2 M

f¨ ur alle ξ ∈ Rn , x ∈ Ω, |ε| ≤ ε0 . (11)

Kombination von (8), (9), (10) liefert mit
 2 1 ∇ϕ(x) ◦ Bε (x) ◦ D ∆i,ε u(x) dx 0= Ω

f¨ ur alle ϕ ∈ C0∞ (Ω)

(12)

§8 Gleichungen in Divergenzform

227

eine schwache, gleichm¨ aßig elliptische Differentialgleichung f¨ ur den Differenzenquotienten ∆i,ε u(x). Nach Satz 2 aus § 5 von de Giorgi-Nash gen¨ ugt dieser einer H¨ olderbedingung unabh¨ angig von ε. Der Grenz¨ ubergang ε → 0+ liefert nun (13) u ∈ C 1+µ (Ω) f¨ ur ein hinreichend kleines µ ∈ (0, 1). Wir betrachten dann die Koeffizientenmatrix   B(x) := ∂A Du(x) , x ∈ Ω, (14) ubergang ε → 0+ in (12) liefert f¨ ur die partiellen der Klasse C µ (Ω). Der Grenz¨ Ableitungen uxi (x), i = 1, . . . , n, die folgende schwache Differentialgleichung in Divergenzform
2 1 0= f¨ ur alle ϕ ∈ C0∞ (Ω) (15) ∇ϕ(x) ◦ B(x) ◦ Duxi (x) dx Ω

mit H¨ older-stetigen Koeffizienten. Die h¨ ohere Regularit¨at von u zeigen wir durch lokale Rekonstruktion. Satz 1. Wir schreiben die Randwerte ψ : ∂K → R ∈ C 1+µ (∂K) auf dem Rand der offenen Kugel K ⊂⊂ Ω vor. Dann hat zu obigem Vektorfeld (1)-(3) das Dirichletproblem v = v(x) ∈ C 2+µ (K) ∩ C 0 (K) ∩ W 1,2 (K),   divA Dv(x) = 0 in Ω, v(x) = ψ(x)

auf

(16)

∂Ω

eine L¨osung. Beweis: + utzfunktionen η− (x) : Rn → R 1. In jedem Punkt x0 ∈ ∂K gibt es lineare St¨ mit + (x0 ) = ψ(x0 ) und η−

η− (x) ≤ ψ(x) ≤ η + (x) f¨ ur alle x ∈ ∂K, wobei   + f¨ ur alle x0 ∈ ∂K (x0 )| ≤ C ψC 1+µ (∂K) |Dη−

(17)

erf¨ ullt ist. Dann ermitteln wir f¨ ur die L¨ osung v ∈ C 1 (K) von (16) die Ungleichung |Dv(x0 )| ≤ C f¨ ur alle x0 ∈ ∂K (18) aus der Inklusion η− (x) ≤ v(x) ≤ η + (x),

x ∈ K.

(19)

Diese folgt wiederum aus (17) nach dem Maximumprinzip, angewandt auf die quasilineare, elliptische Gleichung

228

X Schwache L¨ osungen elliptischer Differentialgleichungen n   ∂Aj  Dv(x) vxj xk (x) = 0, ∂pk

x ∈ K.

(20)

j,k=1

Nun gen¨ ugen auch die Ableitungen vxi in K der schwachen elliptischen Differentialgleichung (15) und sind somit dem Maximumprinzip unterworfen:   (21) |Dv(x)| ≤ C ψC 1+µ (∂K) , x ∈ K. 2. Wenn wir unser Randwertproblem (16) f¨ ur die Randwerte ψ : ∂K → R ∈ C 2+µ (∂K) gel¨ ost haben, approximieren wir die vorgegebene Funktion ψ durch eine Folge ψk → ψ in C 1+µ (∂K) (k → ∞). Die zugeh¨ origen L¨ osungen vk von (16) sind wegen(21) gleichgradig stetig. aßig konvergenten Teilfolge u Man kann also zu einer in K gleichm¨ ¨ bergehen, deren Grenzfunktion v die Ungleichung |Dv(x)| ≤ C,

x ∈ K,

(22)

erf¨ ullt. Wegen der o.a. inneren H¨ olderabsch¨atzung f¨ ur Dv k¨onnen wir n¨ amlich u ¨ ber die Differentialgleichung (20) mit den inneren Schauderabsch¨ atzungen erreichen, daß die Folge f¨ ur jede offene Menge Θ ⊂⊂ K in C 2+µ (Θ) konvergiert. Also geh¨ ort die Grenzfunktion zur Klasse C 2+µ (K) ∩ C 0 (K) ∩ W 1,2 (K). 3. Es bleibt das Dirichletproblem (16) zu C 2+µ -Randwerten ψ zu l¨osen. Hierzu m¨ ussen wir mittels Satz 2 aus § 7 eine globale H¨olderabsch¨atzung f¨ ur den Gradienten der L¨ osung ermitteln. Ein Resultat von O. Ladyzhenskaya und N. Uraltseva (siehe [GT] Theorem 13.2) liefert DvC µ (K) ≤ C(ψC 2 (∂K) )

(23)

f¨ ur ein µ ∈ (0, 1). Diese Absch¨ atzung erh¨ alt man aus den H¨older-stetigen ur die Randwerten von vxi und der schwachen Differentialgleichung (15) f¨ Ableitungen. Geht man mit dieser Ungleichung in die quasilineare Differentialgleichung (20) ein, so liefern die globalen Schauderabsch¨atzungen f¨ ur eine Folge von Randwerten ψk → ψ

in C 2+µ (∂K) (k → ∞)

vk → v

in C 2+µ (K) (k → ∞)

die Aussage

f¨ ur die zugeordneten L¨ osungen des Randwertproblems (16).

§8 Gleichungen in Divergenzform

229

4. Mit einer nichtlinearen Kontinuit¨ atsmethode bei Deformation der Randwerte, wie wir sie in § 9 aus Kapitel XII f¨ ur die nichtparametrische Gleichung vorgeschriebener mittlerer Kr¨ ummung vorstellen werden, k¨onnen wir f¨ ur alle ψ ∈ C 2+µ (∂K) das Randwertproblem (16) l¨osen. Wie dort in Hilfssatz 4 gehen wir von einer L¨ osung v von (20) aus und l¨osen bei kleinen Randwerten mit dem Banachschen Fixpunktsatz die nichtlineare Differentialgleichung 0= = =

n   ∂Aj  Dv(x) + Dw(x) [vxj xk + wxj xk ] ∂pk

j,k=1 n %  j,k=1 n 

n &    ∂Aj  ∂Aj  Dv(x) + Dv(x) wxl + . . . [vxj xk + wxj xk ] ∂pk ∂pk ∂pl l=1

 ∂Aj  Dv(x) wxj xk ∂pk

j,k=1 n  

n 

l=1

j,k=1

+

vxj xk

 ∂Aj  Dv(x) wxl + . . . , ∂pk ∂pl

x ∈ K.

(24) Hier setzen wir zun¨ achst polynomiale Koeffizienten in der Differentialgleichung (20) voraus und bezeichnen mit . . . die superlinearen Terme in den partiellen Ableitungen von w. Wie in Satz 2 von § 9 aus Kapitel XII deformieren wir dann die triviale L¨ osung v = 0 in die L¨osung des gesuchten Dirichletproblems. Zu den vorgegebenen Koeffizienten l¨osen wir schließlich die Differentialgleichung durch geeignete Approximation. q.e.d. Wir erhalten nun den fundamentalen Satz 2. (Regularit¨ atssatz von de Giorgi) Eine schwache L¨osung u von (4) und (6) mit dem Vektorfeld (1)-(3) geh¨ort der Regularit¨atsklasse C 2+α (Ω) an. Beweis: In jeder Kugel K ⊂⊂ Ω rekonstruieren wir die L¨osung u zu den Randwerten ψ := u|∂K durch eine L¨ osung von (16) aus Satz 1. Mit der Gauß‘schen Energiemethode zeigt man leicht, daß auch das Randwertproblem (16) f¨ ur schwache L¨ osungen eindeutig bestimmt ist. Somit folgt u(x) = v(x)

in K,

also u ∈ C 2+µ (K). Durch nochmalige Rekonstruktion innerhalb der C 2 L¨osungen folgt u ∈ C 2+α (Ω). q.e.d.

230

X Schwache L¨ osungen elliptischer Differentialgleichungen

Bemerkungen: 1. Die Regularit¨ atsfragen stehen im Zentrum der modernen Variationsrechnung, insbesondere bei M. Giaquinta: Multiple integrals in the calculus of variations and nonlinear elliptic systems. Princeton University Press 1983. In diesem Zusammenhang empfehlen wir die sch¨one Darstellung in [Jo] 11.3 von J. Jost. 2. Mit den Methoden dieses Kapitels kann eine Theorie quasilinearer, elliptischer Differentialgleichungen in n Ver¨ anderlichen entwickelt werden wie im vorbildlichen Buch [GT] Part II von D. Gilbarg und N. Trudinger. 3. Wir wollen uns in den n¨ achsten Kapiteln den zweidimensionalen partiellen Differentialgleichungen zuwenden. Hier kann man sowohl im hyperbolischen als auch im elliptischen Fall die Gleichungen in eine Normalform u uhren und beide sind u ¨ berf¨ ¨ ber das Komplexe miteinander verbunden. F¨ ur die Anschauliche Geometrie ist die zweidimensionale Theorie von besonderer Bedeutung. Jetzt behandeln wir die Regularit¨atsfrage bei der Minimalfl¨achengleichung: Im beschr¨ ankten Gebiet Ω ⊂ Rn sei u = u(x) ∈ W 1,∞ (Ω) eine schwache L¨osung der nichtparametrischen Minimalfl¨ achengleichung in Divergenzform − 1  div{ 1 + |Du(x)|2 2 Du(x)} = 0

in Ω.

(25)

Wegen Du(x) ∈ L∞ (Ω) ist die Differentialgleichung (25) gleichm¨aßig elliptisch, und Satz 2 liefert u ∈ C 2+α (Ω). Da man in der Variationsrechnung aber die L¨ osungen in W 1,2 (Ω) leicht konstruieren kann, bleibt als zentrale Aufgabe DuL∞ (Ω) abzusch¨ atzen. Somit sind Gradientenabsch¨atzungen zu erbringen! Zu µ ∈ (0, 1) geben wir uns C 2+µ -Rand ∂Ω

ein beschr¨ anktes, konvexes Gebiet Ω ⊂ Rn mit und den Randwerten ψ : ∂Ω → R ∈ C 2+µ (∂Ω)

(26)

vor. Wir betrachten eine L¨ osung des Dirichletproblems ulle (25) u = u(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) erf¨ und die Randbedingung u(x) = ψ(x) f¨ ur welche wir die Rand-Gradientenabsch¨ atzung   |Du(x)| ≤ C ∂Ω, ψC 2+µ (∂Ω) ,

auf ∂Ω,

x ∈ ∂Ω,

ermitteln. Hierzu zeigen wir, daß die Tangentialebene an die Fl¨ache (x, u(x)),

x ∈ Ω,

(27)

(28)

§8 Gleichungen in Divergenzform

231

in jedem Randpunkt (x, u(x)), x ∈ ∂Ω, mit der St¨ utzebene an die Randmannigfaltigkeit einen Winkel bildet, dessen Betrag nach unten durch ein ω > 0 unabh¨ angig vom Punkt x ∈ ∂Ω abgesch¨ atzt werden kann. Dabei stelle man die Minimalfl¨ ache mit ihrer H¨ ohenfunktion v : Θ → [0, ∞) u utzebene dar, welche auch der - nun differenzierten - Minimal¨ ber der St¨ fl¨ achengleichung n    2 vxi vxj vxi xj (x) = 0 1 + |Dv(x)| ∆v(x) −

in Θ

(29)

i,j=1

gen¨ ugt. Mit dem Randpunktlemma von E. Hopf aus § 1 in Kapitel VI folgt dann die Behauptung (28). Das schwache Maximumprinzip, angewandt auf die Ableitungen uxi liefert nun   uC 1 (Ω) ≤ C ∂Ω, ψC 2+µ (∂Ω) . (30) Mit den in Abschnitt 3 und 4 des Beweises von Satz 1 angegebenen Methoden zeigt man schließlich die folgende Aussage, deren genauere Ausf¨ uhrung wir jedoch dem Leser u ¨ berlassen. Satz 3. (Jenkins, Serrin) Zu den Daten (26) gibt es genau eine L¨osung u ∈ C 2+µ (Ω) des Dirichletproblems (27) f¨ ur die Minimalfl¨achengleichung.

XI Nichtlineare partielle Differentialgleichungen

In diesem Kapitel betrachten wir geometrische partielle Differentialgleichungen, welche 2-dimensionale Fl¨ achen im Gleichgewichtszustand erf¨ ullen. Hierzu legen wir in § 1 die differentialgeometrischen Grundlagen. In § 2 ermitteln wir die Eulerschen Gleichungen 2-dimensionaler, parametrischer Funktionale. In § 3 pr¨ asentieren wir die Charakteristikentheorie quasilinearer hyperbolischer Differentialgleichungen, und § 4 ist der L¨ osung des Cauchyschen Anfangswertproblems mittels sukzessiver Approximation gewidmet. In § 5 behandeln wir die Riemannsche Integrationsmethode f¨ ur lineare hyperbolische Differentialgleichungen. Schließlich beweisen wir in § 6 das Bernsteinsche Analytizit¨atstheorem mit Ideen von H. Lewy.

§1 Die Fundamentalformen und Kru ¨mmungen einer Fl¨ ache Auf dem offenen Parameterbereich Ω ⊂ R2 betrachten wir die differentialgeometrisch regul¨are Fl¨ache x(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))∗ : Ω → R3 ∈ C 2 (Ω, R3 ), welche die Bedingung xu (u, v) ∧ xv (u, v) = 0

f¨ ur alle

(u, v) ∈ Ω

(1)

erf¨ ullt. Hier bezeichnet ∧ das a ¨ußere Produkt im R3 . Nun hat x die Normale N(u, v) := |xu ∧ xv (u, v)|−1 xu ∧ xv (u, v) : Ω → S 2 mit S 2 := {y ∈ R3 : |y| = 1} und den Tangentialraum   Tx(u,v) := y ∈ R3 : y · N(u, v) = 0 .

(2)

(3)

234

XI Nichtlineare partielle Differentialgleichungen

F¨ ur jeden Punkt (u, v) ∈ Ω erkl¨ aren wir die lineare Abbildung dx(u, v) :

R2

→ Tx(u,v) ,

du = xu (u, v) du + xv (u, v) dv dv

(4)

x∗ u = xu (u, v)∗ du + xv (u, v)∗ dv. x∗v

(5)

(du, dv) → (xu , xv ) · mit der adjungierten Abbildung dx(u, v)∗ :

(du, dv) → (du, dv) ·

Wir bemerken noch, daß aus 1 = N∗ · N folgt N∗ · Nu = 0 = N∗ · Nv

in

Ω.

(6)

Wir erhalten also eine weitere lineare Abbildung dN(u, v) :

R2

→ Tx(u,v) ,

(du, dv) → (Nu , Nv ) ·

du = Nu (u, v) du + Nv (u, v) dv dv

(7)

und deren adjungierte Abbildung dN(u, v)∗ :

(du, dv) → (du, dv) ·

N∗ u = Nu (u, v)∗ du + Nv (u, v)∗ dv. (8) N∗v

Wir erkl¨ aren nun drei quadratische Formen auf dem R2 , welche vom Punkt (u, v) ∈ Ω abh¨ angig sind. Die erste Fundamentalform wird gegeben durch I(u, v) := dx(u, v)∗ · dx(u, v) = x∗u · xu (u, v) du2 + 2x∗u · xv (u, v) du dv + x∗v · xv (u, v) dv 2

(9)

=: E(u, v) du2 + 2F (u, v) du dv + G(u, v) dv 2 , und die zweite Fundamentalform wird erkl¨ art als II(u, v) := −dx(u, v)∗ · dN(u, v) = −(x∗u · Nu ) du2 − (x∗u · Nv + x∗v · Nu ) du dv − (x∗v · Nv ) dv 2 = (N∗ · xuu ) du2 + 2(N∗ · xuv ) du dv + (N∗ · xvv ) dv 2 =: L(u, v) du2 + 2M (u, v) du dv + N (u, v) dv 2 . Hierbei haben wir verwendet, daß sich aus N∗ · xu = 0 = N∗ · xv ergibt −N∗u · xu = N∗ · xuu ,

−N∗u · xv = N∗ · xuv ,

Schließlich definieren wir die dritte Fundamentalform

etc.

(10)

§1 Die Fundamentalformen und Kr¨ ummungen einer Fl¨ ache

235

III(u, v) := dN(u, v)∗ · dN(u, v) = (N∗u · Nu ) du2 + 2(N∗u · Nv ) du dv + (N∗v · Nv ) dv 2 2

(11)

2

=: e(u, v) du + 2f (u, v) du dv + g(u, v) dv . Das Kr¨ ummungsverhalten einer Fl¨ ache wird bestimmt durch die Weingartenabbildung bzw. den Gestaltoperator W (u, v) := −dN(u, v) ◦ (dx(u, v))−1 : Tx(u,v) → Tx(u,v) .

(12)

F¨ ur festes (u, v) ∈ Ω bildet W (u, v) die Vektoren xu → −Nu und xv → −Nv ab. Geometrische Interpretation: Zu festem y ∈ Tx(u,v) betrachten wir eine Kurve x(t) := x(u(t), v(t)), −ε < t < ε, auf der Fl¨ ache x mit x(0) = x(u(0), v(0)) = x(u, v)

und

x (0) = y ∈ Tx(u,v) .

Wir gehen dann u ¨ ber zur Kurve N(t) := −N(u(t), v(t)), −ε < t < ε, mit der Tangente N (0) ∈ Tx(u,v) . Die Abbildung y = x (0) → N (0) =: −∇y N(u, v) : Tx(u,v) → Tx(u,v) bezeichnet man auch als covariante Ableitung von N in Richtung y. Da diese lineare Abbildung auf der Basis {xu , xv } mit der Weingartenabbildung u ¨ bereinstimmt, ist die Weingartenabbildung die negative covariante Ableitung der Normale N in Richtung des Tangentialvektors y. Somit ist die Weingartenabbildung invariant unter gleichsinnigen Parametertransformationen. Bez¨ uglich der Basis {xu , xv } im Tangentialraum Tx(u,v) wird W (u, v) beschrieben durch die symmetrische Matrix 8 7 −Nu · xu −Nu · xv . (13) −Nv · xu −Nv · xv Somit ist W (u, v) eine symmetrische Abbildung. Als solche hat sie zwei reelle Eigenwerte κj (u, v) zu den Eigenvektoren ej (u, v) ∈ Tx(u,v) mit |ej (u, v)| = 1 f¨ ur j = 1, 2. Wir nennen κj (u, v) die Hauptkr¨ ummungen zu den Hauptkr¨ ummungsrichtungen ej (u, v). Wir halten also fest W (u, v) ◦ ej (u, v) = κj (u, v)ej (u, v)

f¨ ur

j = 1, 2.

(14)

Sei nun y = cos ϑ e1 (u, v) + sin ϑ e2 (u, v), 0 ≤ ϑ ≤ 2π, ein beliebiger Tangentialvektor an x(u, v), so berechnen wir die quadratische Form Q(y) := (W (u, v) ◦ y) · y   = W (u, v) ◦ (cos ϑ e1 + sin ϑ e2 ) · (cos ϑ e1 + sin ϑ e2 ) = (cos ϑ κ1 e1 + sin ϑ κ2 e2 ) · (cos ϑ e1 + sin ϑ e2 ) = κ1 (u, v) cos2 ϑ + κ2 (u, v) sin2 ϑ.

236

XI Nichtlineare partielle Differentialgleichungen

Wir erhalten somit den Satz 1. (Eulersche Formel f¨ ur die Normalkr¨ ummung) Die Normalkr¨ ummung der Fl¨ache in Richtung y = cos ϑ e1 (u, v)+sin ϑ e2 (u, v) wird gegeben durch Q(y) = κ1 (u, v) cos2 ϑ + κ2 (u, v) sin2 ϑ.

(15)

ullt, so wird die Normalkr¨ ummung in Richtung Ist κ1 (u, v) ≤ κ2 (u, v) erf¨ e1 (u, v) minimiert und in Richtung e2 (u, v) maximiert. Definition 1. Einen Punkt x(u, v) der Fl¨ache x nennen wir Nabelpunkt, falls κ1 (u, v) = κ2 (u, v) erf¨ ullt ist. Definition 2. Wir erkl¨aren die Gaußsche Kr¨ ummung der Fl¨ache als (u, v) ∈ Ω.

K(u, v) := κ1 (u, v)κ2 (u, v) = det W (u, v),

(16)

Unter der mittleren Kr¨ ummung verstehen wir H(u, v) :=

 1 1 κ1 (u, v) + κ2 (u, v) = Sp W (u, v), 2 2

(u, v) ∈ Ω.

(17)

Bez¨ uglich der Basen {xu , xv }, {(1, 0), (0, 1)}, {xu , xv } wird die Weingartenabbildung beschrieben durch die Matrizen 7

L M M N

87

EF F G

8−1

1 = EG − F 2

7

L M

87

M N

G −F

8

−F E

.

(18)

Hieraus ergeben sich die Formeln K(u, v) =

LN − M 2 EG − F 2

(19)

und

1 GL − 2F M + EN . 2 EG − F 2 Zum Abschluß dieses Paragraphen zeigen wir noch den H(u, v) =

Satz 2. Zwischen den Fundamentalformen besteht die Beziehung 7 8 7 8 7 8 7 8 ef L M EF 00 − 2H +K = . f g M N F G 00

(20)

(21)

Beweis: Nach dem Satz von Hamilton-Cayley ist eine symmetrische Matrix Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms. Es folgt wegen der Symmetrie von W (u, v)

§2 Zweidimensionale parametrische Integrale

237

0 = W (u, v)∗ ◦ W (u, v) − 2H(u, v)W (u, v) + K(u, v) Id = (dN ◦ (dx)−1 )∗ ◦ dN ◦ (dx)−1 + 2HdN ◦ (dx)−1 + K Id = (dx∗ )−1 ◦ dN∗ ◦ dN ◦ (dx)−1 + 2HdN ◦ (dx)−1 + K Id. Wenden wir auf diese Gleichung die Operationen dx∗ ◦ und ◦dx an, so ergibt sich die Identit¨ at 0 = dN∗ ◦ dN + 2H dx∗ ◦ dN + K dx∗ ◦ dx = III(u, v) − 2H II(u, v) + K I(u, v), und (21) folgt.

q.e.d.

§2 Zweidimensionale parametrische Integrale Auf dem offenen Parametergebiet (u, v) ∈ Ω ⊂ R2 betrachten wir differentialgeometrisch regul¨ are Fl¨ achen     x = x(u, v) = x1 (u, v), x2 (u, v), x3 (u, v) = x(u, v), y(u, v), z(u, v) , (1) x : Ω → R3 ∈ C 3 (Ω) ur alle (u, v) ∈ Ω und mit |xu ∧ xv (u, v)| > 0 f¨

|xu ∧ xv (u, v)| du dv < +∞. Ω

Bezeichnet S 2 := {z ∈ R3 : |z| = 1} die Einheitssph¨are im R3 , so ist die Normale X an die Fl¨ ache x gegeben durch X(u, v) := |xu ∧ xv |−1 xu ∧ xv (u, v) : Ω → S 2 ∈ C 2 (Ω).

(2)

Wir betrachten eine Dichtefunktion F = F (x, p) = F (x1 , x2 , x3 ; p1 , p2 , p3 ),   F : R3 × R3 → R ∈ C 2 R3 × (R3 \ {0}) ∩ C 0 (R3 × R3 ), welche als positiv-homogen vom Grade 1 vorausgesetzt wird, d.h. F (x, λp) = λF (x, p)

f¨ ur alle λ > 0.

(3)

Aus (3) erhalten wir nach Differentiation bez¨ uglich λ f¨ ur λ = 1 Fp (x, p) · p∗ = F (x, p),

p ◦ Fpp (x, p) ◦ p∗ = 0

und aus Fx (x, λp) = λFx (x, p) folgt

f¨ ur

p = 0,

(4)

238

XI Nichtlineare partielle Differentialgleichungen

Fxp (x, p) ◦ p∗ = Fx (x, p)

f¨ ur

p = 0.

(5)

Hier haben wir abk¨ urzend Fp := (Fp1 , Fp2 , Fp3 ), Fpp := (Fpi pj )i,j=1,2,3 , etc. geschrieben. Wir erkl¨ aren nun das verallgemeinerte Fl¨achenintegral

A(x) = F (x(u, v), X(u, v))|xu ∧ xv (u, v)| du dv Ω





(6) F (x(u, v), xu ∧ xv (u, v)) du dv.

= Ω

Offenbar gilt f¨ ur einen beliebigen positiv-orientierten Diffeomorphismus f = f (α, β) = (u(α, β), v(α, β)) : Θ → Ω ∈ C 1 (Θ, R2 ) die Identit¨ at A(x) = A(x ◦ f ). Somit ist A ein parametrisches Funktional. Man kann zeigen, daß A aus (6) das allgemeinste zweidimensionale parameterinvariante Funktional im R3 darstellt. Beispiele: 1. F¨ ur F = F (x, p) := |p| ergibt sich der gew¨ohnliche Fl¨acheninhalt. 2. Im Falle 2H x · p, H ∈ R, F = F (x, p) = |p| + 3 erhalten wir das Funktional von E. Heinz

  2H |xu ∧ xv | + (x, xu , xv ) du dv, A(x) = 3

(7)

Ω

wobei wir wie u ¨blich (x, y, z) := x · (y ∧ z),

x, y, z ∈ R3 ,

f¨ ur das Spatprodukt gesetzt haben. In (7) ist H als Lagrange-Parameter aufzufassen. Man minimiert also den gew¨ohnlichen Fl¨acheninhalt unter der Nebenbedingung konstanten Volumens:

2H (x, xu , xv ) du dv = 1. 3 Ω

§2 Zweidimensionale parametrische Integrale

239

3. Haben wir schließlich F = F (x, p) = |p| + 2Q(x) · p, Q : R3 → R3 ∈ C 2 (R3 )

mit div Q(x) = H(x),

so finden wir das Funktional von S. Hildebrandt

   |xu ∧ xv | + 2 Q(x), xu , xv ) du dv. A(x) =

(8)

Ω

Hier minimiert man den gew¨ ohnlichen Fl¨ acheninhalt unter der Nebenbedingung konstanten gewichteten Volumens:

(Q(x), xu , xv ) du dv = 1. 2 Ω

Wir wollen nun die Eulerschen Gleichungen des verallgemeinerten Fl¨achenintegrals A ermitteln. Hierzu betrachten wir f¨ ur eine beliebige Testfunktion ϕ = ϕ(u, v) ∈ C0∞ (Ω) die normalvariierten Fl¨ achen x(u, v; t) := x(u, v) + tϕ(u, v)X(u, v) : Ω × (−ε, ε) → R3 .

(9)

F¨ ur hinreichend kleines ε > 0 bleiben diese differentialgeometrisch regul¨ar. Wir berechnen xu = xu + t(ϕX)u ,

xv = xv + t(ϕX)v , 2 1 xu ∧ xv = xu ∧ xv + t xu ∧ (ϕX)v + (ϕX)u ∧ xv + t2 (ϕX)u ∧ (ϕX)v . (10) Damit folgt

∂ ∂ A(x) = F (x, xu ∧ xv ) du dv ∂t ∂t Ω

  = Fx (x, xu ∧ xv ) · X ϕ du dv Ω





+ Ω

2 1 Fp (x, xu ∧ xv ) · xu ∧ (ϕX)v + (ϕX)u ∧ xv du dv





+2t

  Fp (x, xu ∧ xv ), (ϕX)u , (ϕX)v du dv.

Ω

Als Eulersche Gleichungen in schwacher Form erhalten wir

(11)

240

XI Nichtlineare partielle Differentialgleichungen

) ∂ ) A(x)) ∂t t=0

2 1 = Fx (x, X) · X ϕ |xu ∧ xv | du dv

0=

Ω

+



      Fp (x, X), xu , ϕX v + Fp (x, X), ϕX, xv u du dv Ω



     (Fp (x, X))v , xu , ϕX + (Fp (x, X))u , ϕX, xv du dv −

= Ω

+

Ω

2 1 X ◦ Fpx (x, X) ◦ X∗ ϕ |xu ∧ xv | du dv



     xu , Fpx (x, X) ◦ xv , X + Fpx (x, X) ◦ xu , xv , X ϕ du dv Ω



     + xu , Fpp (x, X) ◦ Xv , X + Fpp (x, X) ◦ Xu , xv , X ϕ du dv. Ω

(12) Wir setzen nun 2H(x, p) := div Fp (x, p) = Sp Fpx (x, p). (Sp Fpx bezeichnet die Spur der Matrix Fpx .) Damit gilt die parameterinvariante Gleichung       Fpx (x, X) ◦ xu , xv , X + xu , Fpx (x, X) ◦ xv , X + xu , xv , Fpx (x, X) ◦ X = 2H(x, X)(xu , xv , X). (13) Wir k¨ onnen also die schwache Eulersche Differentialgleichung (12) schreiben als

     Fpp (x, X) ◦ Xu , xv , X + xu , Fpp (x, X) ◦ Xv , X 0= (14) Ω  +2H(x, X)|xu ∧ xv | ϕ(u, v) du dv

f¨ ur alle ϕ ∈ C0∞ (Ω).

Als Eulersche Gleichung erhalten wir somit     0 = Fpp (x, X) ◦ Xu , xv , X + xu , Fpp (x, X) ◦ Xv , X +2H(x, X)|xu ∧ xv |

Diese Gleichung ist offenbar a ¨quivalent zu dem System 2 2 1 1 0 = Fpp (x, X) ◦ Xu ∧ xv + xu ∧ Fpp (x, X) ◦ Xv +2H(x, X)xu ∧ xv

(15)

in Ω.

in Ω.

(16)

§2 Zweidimensionale parametrische Integrale

241

Der Darstellung von W. Klingenberg im Buch Eine Vorlesung u ¨ ber Differen” tialgeometrie“, Abschnitt 3.6 folgend, f¨ uhren wir nun die Hauptkr¨ ummungslinien als Parameter u, v in die Fl¨ ache ein. Wir erhalten xu · xv = 0 = Xu · xv = Xv · xu , Xu = −κ1 xu ,

Xv = −κ2 xv

(17) in

Ω

aren wir noch die Gewichtsfaktoren mit den Hauptkr¨ ummungen κ1 , κ2 . Erkl¨   (18) 1 (u, v) := |xu ∧ xv |−1 Fpp (x, X) ◦ xu , xv , X und

  2 (u, v) := |xu ∧ xv |−1 xu , Fpp (x, X) ◦ xv , X ,

(19)

so geht (15) u ummungsgleichung ¨ber in die quasilineare Kr¨ 1 (u, v)κ1 (u, v) + 2 (u, v)κ2 (u, v) = 2H(x(u, v), X(u, v))

in Ω.

(20)

Die Gewichtsfaktoren 1 und 2 haben das gleiche positive (bzw. unterschiedliches) Vorzeichen, falls die Matrix Fpp (x, p) auf dem Orthogonalraum zu p positiv-definit (bzw. indefinit) ist. Satz 1. Die quasilineare Kr¨ ummungsgleichung (20) ist die Eulersche Gleichung des parametrischen Funktionals (6). Im Falle des Hildebrandtschen Funktionals (8) ist . 3 3  . 2 / F (x, p) = |p| + 2Q(x) · p = pk + 2 qk (x)pk k=1

k=1

mit div Q(x) = H(x). Wir berechnen Fpi = 0

pi 3 

k=1

+ 2qi (x), p2k

Fpi pj = 0

δij 3 

k=1

−0 p2k

pi pj 3 

k=1

3

p2k

f¨ ur i, j = 1, 2, 3. Die Gewichtsfaktoren werden also zu 1 (u, v) ≡ 1 ≡ 2 (u, v) in Ω und die Gleichung (20) reduziert sich auf  1 1 κ1 (u, v) + κ2 (u, v) = div Fp = div Q(x) = H(x) 2 2

in Ω.

(21)

Das System (16) erscheint in diesem Fall in der Form Xu ∧ xv + xu ∧ Xv + 2H(x)xu ∧ xv = 0 oder ¨ aquivalent

in Ω

(22)

242

XI Nichtlineare partielle Differentialgleichungen

−(X ∧ xv )u + (X ∧ xu )v = 2H(x)xu ∧ xv

in Ω.

(23)

Die Gleichung (23) wird besonders einfach, wenn wir konforme Parameter xu · xv = 0 = |xu |2 − |xv |2

in Ω

(24)

in die Fl¨ ache einf¨ uhren. Dann folgt n¨ amlich X ∧ xu = xv ,

X ∧ xv = −xu

in Ω.

(25)

Setzen wir schließlich (25) in (23) ein, so ergibt sich das H-Fl¨achensystem ∆x(u, v) = 2H(x)xu ∧ xv

in

Ω.

(26)

Zusammenfassend erhalten wir den Satz 2. (Rellich) Eine gem¨aß (24) konform parametrisierte Fl¨ache x = x(u, v) : Ω → R3 hat genau dann die vorgeschriebene mittlere Kr¨ ummung H = H(x), wenn sie dem H-Fl¨achensystem (26) gen¨ ugt. Bemerkung: Ist die Matrix Fpp (x, p) auf dem Orthogonalraum zu p positivdefinit, so k¨ onnen wir in eine gewichtete erste Fundamentalform konforme Parameter einf¨ uhren. Man erh¨ alt dann f¨ ur die Abbildung y(u, v) := (x(u, v), X(u, v)) : Ω → R6 ein elliptisches System der Form |∆y(u, v)| ≤ c|∇y(u, v)|2

in Ω.

Hierzu verweisen wir auf F. Sauvigny: Curvature estimates for immersions of minimal surface type via uniformization and theorems of Bernstein type. Manuscripta math. 67 (1990), 69-97. Sei nun Ω ⊂ R2 ein Gebiet und die Fl¨ ache x(x, y) := (x, y, ζ(x, y)),

(x, y) ∈ Ω,

(27)

als Graph u ¨ber der x, y-Ebene gegeben. Die Normale an die Fl¨ache x wird dann durch 1 X(x, y) := ' (−ζx , −ζy , 1), 1 + |∇ζ(x, y)|2 und das Oberfl¨ achenelement durch ' √ |xx ∧ xy | = 1 + |∇ζ(x, y)|2 =: gegeben. F¨ ur die Ableitungen erhalten wir

(x, y) ∈ Ω,

(28)

(29)

§2 Zweidimensionale parametrische Integrale

xx (x, y) = (1, 0, ζx (x, y)),

xy (x, y) = (0, 1, ζy (x, y))

243

(30)

und 1 Xx = √ (−ζxx , −ζxy , 0) + λ1 X,

1 Xy = √ (−ζxy , −ζyy , 0) + λ2 X

(31)

mit bestimmten Funktionen λ1 , λ2 . Setzen wir nun (30), (31) in (15) ein, so ergibt sich die Differentialgleichung ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞ −ζx −ζxx 0 0 = ⎝Fpp (x, X) ◦ ⎝−ζxy ⎠ , ⎝ 1 ⎠ , ⎝−ζy ⎠⎠ 0 1 ζy ⎞ ⎛ ⎞⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛ 1 −ζxy −ζx (32) + ⎝⎝ 0 ⎠ , Fpp (x, X) ◦ ⎝−ζyy ⎠ , ⎝−ζy ⎠⎠ 0 1 ζx ' 3 + 2H(x, X) 1 + |∇ζ(x, y)|2 = 0

in

Ω.

Dieses ist eine quasilineare Differentialgleichung der Form a(x, y, ζ(x, y), ∇ζ(x, y))ζxx + 2b(. . .)ζxy + c(. . .)ζyy + d(. . .) = 0

in Ω. (33)

Speziell f¨ ur das Hildebrandtsche Funktional erhalten wir ) ) ) ) ) −ζxx 0 −ζx ) ) 1 −ζxy −ζx ) ' ) ) ) ) 3 0 = )) −ζxy 1 −ζy )) + )) 0 −ζyy −ζy )) + 2H(x) 1 + |∇ζ(x, y)|2 ) 0 ζy 1 ) ) ζx 0 1 ) ' 3 = −(1 + ζy2 )ζxx + 2ζx ζy ζxy − (1 + ζx2 )ζyy + 2H(x) 1 + |∇ζ(x, y)|2 beziehungsweise Mζ := (1 + ζy2 )ζxx − 2ζx ζy ζxy + (1 + ζx2 )ζyy ' 3 = 2H(x) 1 + |∇ζ(x, y)|2 in Ω.

(34)

Satz 3. (Lagrange-Gauß) Der Graph z = ζ(x, y), (x, y) ∈ Ω, hat genau dann die vorgeschriebene mittlere Kr¨ ummung H = H(x, y, z), wenn ζ die nichtparametrische Gleichung vorgeschriebener mittlerer Kr¨ ummung (34) erf¨ ullt. Bemerkung: Im Falle H ≡ 0 erhalten wir die nichtparametrische Minimalfl¨ achengleichung Mζ(x, y) ≡ 0 in Ω.

244

XI Nichtlineare partielle Differentialgleichungen

Beispiel 1. Die Minimalfl¨ache von H. F. Scherk. Mit dem Ansatz z = ζ(x, y) = f (x) + g(y) suchen wir alle Minimalfl¨achen dieser Form mit der Eigenschaft ζ(0, 0) = 0, ∇ζ(0, 0) = 0. Einsetzen in die Minimalfl¨ achengleichung liefert 0 = (1 + ζy2 )ζxx − 2ζx ζy ζxy + (1 + ζx2 )ζyy 2 2 1 1 = 1 + (g  (y))2 f  (x) + 1 + (f  (x))2 g  (y)

in Ω.

Dieses ist ¨ aquivalent zu f  (x) g  (y) = − 1 + (f  (x))2 1 + (g  (y))2

in Ω.

Also muß gelten −

f  (x) g  (y) = a = , 1 + (f  (x))2 1 + (g  (y))2

a ∈ R,

und wir k¨ onnen o.E. a > 0 annehmen. Wir folgern dann a = −(arctan f  (x)) ,

arctan f  (x) = −ax + b

und mit b = 0 schließlich f  (x) = tan(−ax),

f (x) =

1 log cos(ax). a

Entsprechend erhalten wir 1 g(y) = − log cos(ay) a und somit ζ(x, y) = f (x) + g(y) =

1 cos ax log , a cos ay

a > 0.

Diese Fl¨ ache ist auf dem offenen Quadrat  π π , |y| < Ω := (x, y) ∈ R2 : |x| < 2a 2a erkl¨ art und nicht u ¨ ber dieses Gebiet hinaus fortsetzbar.

§3

Quasilineare hyperbolische Differentialgleichungen und Systeme

245

§3 Quasilineare hyperbolische Differentialgleichungen und Systeme zweiter Ordnung (Charakteristische Parameter) Sei z = ζ(x, y) : Ω → R ∈ C 3 (Ω) eine L¨ osung der quasilinearen Differentialgleichung Lζ(x, y) := a(x, y, ζ(x, y), ∇ζ(x, y))ζxx (x, y) + 2b(. . .)ζxy + c(. . .)ζyy +d(x, y, ζ(x, y), ∇ζ(x, y)) = 0

(1)

in Ω

auf dem Gebiet Ω ⊂ R2 . Dabei h¨ angen die Koeffizienten b und c von den gleichen Gr¨ oßen ab wie a. Im folgenden verwenden wir h¨aufig die Abk¨ urzungen z(x, y) := ζ(x, y), r(x, y) := ζxx (x, y),

p(x, y) := ζx (x, y),

q(x, y) := ζy (x, y),

s(x, y) := ζxy (x, y),

t(x, y) := ζyy (x, y)

in Ω. (2)

Haben wir eine L¨osung z = ζ(x, y) von (1) gegeben, so setzen wir a(x, y) := a(x, y, ζ(x, y), ∇ζ(x, y)), b(x, y) := b(x, y, ζ(x, y), ∇ζ(x, y)), c(x, y) := c(x, y, ζ(x, y), ∇ζ(x, y))

(3) in Ω

und erhalten die Differentialgleichung 0 = a(x, y)ζxx (x, y) + 2b(x, y)ζxy (x, y) + c(x, y)ζyy (x, y) +d(x, y, ζ(x, y), ∇ζ(x, y))

(4)

in Ω.

Wir nehmen nun an, daß die Differentialgleichung (4) hyperbolisch ist, das heißt in Ω (5) a(x, y)c(x, y) − b(x, y)2 < 0 ist erf¨ ullt. Man beachte, dass diese Bedingung sowohl von den Koeffizienten a(x, y, z, p, q), . . . als auch von der L¨ osung ζ und ihrem Gradienten ∇ζ abh¨ angt. Unser Ziel ist es nun, die Differentialgleichung (1) bzw. (4) in eine m¨oglichst einfache Form zu bringen. Dazu betrachten wir in einer Umgebung U(x0 , y0 ) ⊂ Ω die Variablentransformation ξ = ξ(x, y), η = η(x, y) ∈ C 2 (U(x0 , y0 )), ξ0 = ξ(x0 , y0 ), η0 = η(x0 , y0 ),

∂(ξ, η) = 0 in U(x0 , y0 ), ∂(x, y)

mit der Umkehrabbildung x = x(ξ, η), y = y(ξ, η) ∈ C 2 (U(ξ0 , η0 )). Wir berechnen

(6)

246

XI Nichtlineare partielle Differentialgleichungen

z = ζ(x, y) = z(ξ(x, y), η(x, y)), ζx = zξ ξx + zη ηx , ζxx =

zξξ ξx2

(x, y) ∈ U(x0 , y0 ),

ζy = zξ ξy + zη ηy ,

+ 2zξη ξx ηx + zηη ηx2 + zξ ξxx + zη ηxx

(7)

ζxy = zξξ ξx ξy + zξη (ξx ηy + ξy ηx ) + zηη ηx ηy + zξ ξxy + zη ηxy ζyy = zξξ ξy2 + 2zξη ξy ηy + zηη ηy2 + zξ ξyy + zη ηyy . Damit erhalten wir aus (4) die transformierte Differentialgleichung 0 = a(x, y)ζxx + 2b(x, y)ζxy + c(x, y)ζyy + d(x, y, ζ, ∇ζ) = A(x, y)zξξ + 2B(x, y)zξη + C(x, y)zηη + D(x, y, z, ∇z)

(8)

mit A(x, y) = a(x, y)ξx2 + 2b(x, y)ξx ξy + c(x, y)ξy2 =: Q(ξ, ξ), B(x, y) = a(x, y)ξx ηx + b(x, y)(ξx ηy + ξy ηx ) + c(x, y)ξy ηy =: Q(ξ, η), C(x, y) =

a(x, y)ηx2

+ 2b(x, y)ηx ηy +

c(x, y)ηy2

(9)

=: Q(η, η).

Die quadratische Form  Q(ξ, η) := (ξx , ξy ) ◦

a(x, y) b(x, y) b(x, y) c(x, y)

   η ◦ x ηy

(10)

heißt charakteristische Form der Differentialgleichung (4); wir setzen noch Q(ϕ) := Q(ϕ, ϕ). Die Beziehungen (9) k¨ onnen wir nun zusammenfassen zu         a(x, y) b(x, y) A(x, y) B(x, y) ξx ηx ξx ξy ◦ ◦ . (11) = ηx ηy ξy ηy b(x, y) c(x, y) B(x, y) C(x, y) Damit folgt insbesondere AC − B 2 =

 ∂(ξ, η) 2 ∂(x, y)

(ac − b2 ) < 0.

(12)

Also ist auch die transformierte Gleichung (8) hyperbolisch. Diejenigen Niveaukurven Γ : ϕ(x, y) =const, f¨ ur welche ) ) Q(ϕ) := Q(ϕ, ϕ) = (aϕ2x + 2bϕx ϕy + cϕ2y )) = 0 Γ

erf¨ ullt ist, sind die charakteristischen Kurven der hyperbolischen Differentialgleichung (4) (vgl. Kap. VI, § 4). W¨ ahlen wir die Parametertransformation ξ = ξ(x, y), η = η(x, y) so, daß gilt A(x, y) = Q(ξ) = 0,

C(x, y) = Q(η) = 0

in U(x0 , y0 ),

(13)

§3

Quasilineare hyperbolische Differentialgleichungen und Systeme

247

dann sind also die Kurven ξ(x, y) = const und η(x, y) = const charakteristische Kurven von (4). Der Beziehung (12) entnehmen wir die Identit¨at ) ) ' ) ∂(ξ, η) ) ) > 0, |B(x, y)| = b2 − ac )) (14) ∂(x, y) ) und (8) reduziert sich auf die hyperbolische Normalform )  ) 1 D(x, y, z, p, q) )) zξη (ξ, η) = − . x=x(ξ,η) 2B(x, y)

(15)

y=y(ξ,η)

Wir erinnern daran, daß das Einf¨ uhren charakteristischer Parameter ξ, η sich schon bei der 1-dimensionalen Wellengleichung ζxx − ζyy = 0 in Kap. VI, § 5 bew¨ ahrt hatte. Wir zeigen nun, daß eine lokale Parametertransformation (6) mit der Eigenschaft (13) existiert. Gehen wir in (11) zu den inversen Matrizen u ¨ber, so erhalten wir         1 1 C −B xξ yξ c −b xξ xη = ◦ ◦ . (16) xη yη yξ yη AC − B 2 −B A ac − b2 −b a Beachten wir noch (12), so folgt  ∂(x, y) 2 (C dξ 2 − 2B dξ dη + A dη 2 ) ∂(ξ, η)     2 ac − b C −B dξ = (dξ, dη) ◦ ◦ 2 −B A dη AC − B         xξ yξ c −b xξ xη dξ = (dξ, dη) ◦ ◦ ◦ ◦ xη yη yξ yη −b a dη     c −b dx = (dx, dy) ◦ ◦ −b a dy = c dx2 − 2b dx dy + a dy 2 . Wir erhalten also als Transformationsformel c(x, y) dx2 − 2b(x, y) dx dy + a(x, y) dy 2 =

  ∂(x, y) 2  C(x, y) dξ 2 − 2B(x, y) dξ dη + A(x, y) dη 2 . ∂(ξ, η)

(17)

Da sich die Koeffizientenmatrix bei einer Parametertransformation gem¨aß (11) transformiert, k¨ onnen wir durch eine Drehung der x, y-Ebene stets erreichen, daß (18) a(x, y)c(x, y) = 0 in U(x0 , y0 )

248

XI Nichtlineare partielle Differentialgleichungen

erf¨ ullt ist. Wir l¨ osen nun die Differentialgleichung 0 = a(x, y) dy 2 − 2b(x, y) dx dy + c(x, y) dx2   c b = a dy 2 − 2 dx dy + dx2 a a

(19)

= a(dy − λ+ dx)(dy − λ− dx) mit ±

λ :=

b±

√ b2 − ac . a

(20)

Da λ± ∈ C 2 (U(x0 , y0 )) sind, erhalten wir als L¨osungen der regul¨aren Differentialgleichung erster Ordung dy − λ+ dx = 0

(21)

die Niveaulinien η(x, y) = const einer Funktion η ∈ C 2 (U(x0 , y0 )). Ebenso finden wir die L¨ osungen von dy − λ− dx = 0

(22)

in der Form ξ(x, y) = const f¨ ur ξ ∈ C 2 (U(x0 , y0 )). Wegen λ+ (x0 , y0 ) = − λ (x0 , y0 ) sind die Vektoren (1, λ+ (x0 , y0 )) und (1, λ− (x0 , y0 )) linear unabh¨ angig. Da ∇ξ(x0 , y0 ) bzw. ∇η(x0 , y0 ) senkrecht auf diesen stehen, folgt   ∂(ξ, η) ξx ξy = det (23) = 0 in U(x0 , y0 ). ηx ηy ∂(x, y) Es existiert also auch die Umkehrabbildung x = x(ξ, η), y = y(ξ, η) ∈ C 2 (U(ξ0 , η0 )) in einer hinreichend kleinen Umgebung U(ξ0 , η0 ). L¨angs der ξKurve η(x, y) = const gilt (24) yξ − λ+ xξ = 0, und (17) entnehmen wir C(x, y) = Q(η) = 0. L¨angs der η-Kurve ξ(x, y) = const haben wir (25) yη − λ− xη = 0, und (17) liefert A(x, y) = Q(ξ) = 0. Wir erhalten also den Satz 1. (Lineare hyperbolische Differentialgleichungen) F¨ ur die hyperbolische Differentialgleichung mit linearem Hauptteil (4), (5) gibt es eine Variablentransformation (6) mit Q(ξ) = 0 = Q(η)

in

U(x0 , y0 ).

(26)

Die Differentialgleichung erscheint dann in der hyperbolischen Normalform (15) und die Parametertransformation x = x(ξ, η), y = y(ξ, η) gen¨ ugt dem System (24), (25) erster Ordnung.

§3

Quasilineare hyperbolische Differentialgleichungen und Systeme

249

Wir betrachten nun den Fall a = a(x, y, z), b = b(x, y, z), c = c(x, y, z) und somit λ± = λ± (x, y, z). Die charakteristischen Differentialgleichungen (24), (25) h¨ angen dann auch von der L¨ osung z = ζ(x, y) ab. Differenzieren wir (24) nach η und (25) nach ξ, so folgt + + + yξη − λ+ xξη = λ+ η xξ = λx xη xξ + λy yη xξ + λz zη xξ

(27)

beziehungsweise − − − yξη − λ− xξη = λ− ξ xη = λx xξ xη + λy yξ xη + λz zξ xη .

(28)

Da die Koeffizientenmatrix dieses linearen Gleichungssystems wegen λ+ = λ− nichtsingul¨ ar ist, k¨ onnen wir (27), (28) nach xξη , yξη aufl¨osen und erhalten den Satz 2. Eine quasilineare Differentialgleichung (1) mit den Koeffizienten a = a(x, y, z), b = b(x, y, z), c = c(x, y, z), die gem¨aß (5) hyperbolisch bez¨ uglich ihrer L¨osung z = ζ(x, y) ist, erscheint in den charakteristischen Parametern (24), (25) als System der Form xξη (ξ, η) = h(ξ, η, x(ξ, η), xξ (ξ, η), xη (ξ, η))

(29)

f¨ ur die vektorwertige Funktion x(ξ, η) := (x(ξ, η), y(ξ, η), z(ξ, η)). Wir wenden uns nun dem allgemeinen Fall zu a = a(x, y, z, p, q),

b = b(x, y, z, p, q),

c = c(x, y, z, p, q).

angen die charakteristischen Kurven von Da dann λ± = λ± (x, y, z, p, q) folgt, h¨ der L¨ osung z = ζ(x, y) und ihrem Gradienten ∇ζ(x, y) ab. Die Gleichungen (27), (28) werden dann zu + + + + yξη − λ+ xξη = λ+ x xη xξ + λy yη xξ + λz zη xξ + λp pη xξ + λq qη xξ

(30)

beziehungsweise − − − − yξη − λ− xξη = λ− x xξ xη + λy yξ xη + λz zξ xη + λp pξ xη + λq qξ xη .

(31)

Um ein vollst¨ andiges System zu erhalten, leiten wir nun noch zwei Differentialgleichungen erster Ordnung f¨ ur p = p(ξ, η), q = q(ξ, η) in den charakteristischen Parametern her: Sei z = ζ(x, y) eine gegebene L¨osung von (1). Die ugen dann den drei linearen Gleichungen zweiten Ableitungen ζxx , ζxy , ζyy gen¨ aζxx + 2bζxy + cζyy = −d dxζxx + dyζxy

= dp

(32)

dxζxy + dyζyy = dq. ¨ Wir verweisen auf die Uberlegungen in Kap. VI, § 4: Stellt man das Cauchysche Anfangswertproblem l¨ angs einer charakteristischen Kurve Γ ⊂ Ω

250

XI Nichtlineare partielle Differentialgleichungen

Lζ = 0

in Ω,

ζ(x, y) = f (x, y)

auf Γ,

(33) ∂ζ (x, y) = g(x, y) auf Γ, ∂ν so sind nicht alle zweiten Ableitungen ζxx , ζxy , ζyy durch L, f, g bestimmt. Da dp und dq l¨ angs einer Charakteristik bekannt sind, w¨are aber (32) nach osbar, falls die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich ζxx , ζxy , ζyy aufl¨ Null w¨ are. Also muß ) ) ) a 2b c ) ) ) 0 = )) dx dy 0 )) = a dy 2 − 2b dx dy + c dx2 (34) ) 0 dx dy ) l¨angs der Charakteristiken gelten, was wir bereits m.H. von (17) auf anderem Wege hergeleitet haben. Da andererseits das lineare Gleichungssystem (32) eine L¨ osung {ζxx , ζxy , ζyy } besitzt, muß ⎛ ⎞ a 2b c d Rang ⎝ dx dy 0 −dp ⎠ = 2 (35) 0 dx dy −dq l¨angs der Charakteristiken erf¨ ullt sein. Wir erhalten insbesondere ) ) ) a c d ) ) ) 0 = )) dx 0 −dp )) = a dy dp + c dx dq + d dx dy. ) 0 dy −dq )

(36)

Werten wir diese Gleichung l¨ angs der ξ-Charakteristik aus, so folgt nach Multiplikation mit (a dy dξ)−1 unter Verwendung von (21) die Gleichung 0 = pξ +

1 c dx d d qξ + xξ = pξ + λ+ λ− + qξ + xξ a dy a λ a

beziehungsweise d (37) pξ + λ− qξ + xξ = 0. a L¨angs der η-Charakteristik liefert (36) nach Multiplikation mit (a dy dη)−1 m.H. von (22) die Gleichung 0 = pη +

c dx d d 1 qη + xη = pη + λ+ λ− − qη + xη a dy a λ a

beziehungsweise d pη + λ+ qη + xη = 0. (38) a Schließlich erhalten wir aus der Differentialgleichung dz = p dx + q dy l¨angs der ξ-Charakteristik zξ − pxξ − qyξ = 0. (39) Wir beweisen nun den

§3

Quasilineare hyperbolische Differentialgleichungen und Systeme

251

Satz 3. (Hyperbolische Normalform f¨ ur quasilineare DGL) Die quasilineare Differentialgleichung (1), welche gem¨aß (5) hyperbolisch bez¨ uglich ihrer L¨osung z = ζ(x, y) ist, kann durch die lokale Parametertransformation (6) auf die charakteristischen Parameter ¨ aquivalent ¨ uberf¨ uhrt werden in das System erster Ordnung yξ − λ+ xξ = 0,

yη − λ− xη = 0,

d pξ + λ− qξ + xξ = 0, a

d pη + λ+ qη + xη = 0, a

(40)

zξ − pxξ − qyξ = 0. F¨ ur die Funktion y(ξ, η) := (x(ξ, η), y(ξ, η), z(ξ, η), p(ξ, η), q(ξ, η)) ergibt sich ein hyperbolisches System zweiter Ordnung yξη (ξ, η) = h(ξ, η, y(ξ, η), yξ (ξ, η), yη (ξ, η)),

(41)

wobei die rechte Seite quadratisch in den ersten Ableitungen xξ , yξ , . . . , pη , qη ist. Beweis: 1. Ausgehend von einer L¨ osung (40) wollen wir die G¨ ultigkeit der Differentialgleichung (1) zeigen. Zun¨ achst liefern die ersten beiden Gleichungen aus (40) wegen 

xξ xη yξ yη



 =

ξx ξy ηx ηy

−1

∂(x, y) = ∂(ξ, η)



ηy −ξy −ηx ξx



die Beziehungen ηx + λ+ ηy = 0,

ξx + λ− ξy = 0.

Somit folgt zxx = px = pξ ξx + pη ηx   d  d  = − λ− qξ + xξ ξx − λ+ qη + xη ηx a a = −(λ+ + λ− )(qξ ξx + qη ηx ) − λ+ λ− (qξ ξy + qη ηy ) − =−

d a

2b c d zyx − zyy − , a a a

woraus sich azxx + 2bzxy + czyy + d = 0 ergibt. 2. Differenzieren wir alle Gleichungen von (40), in denen nur ξ-Ableitungen vorkommen, nach η und umgekehrt, so erhalten wir

252

XI Nichtlineare partielle Differentialgleichungen

−λ+ xξη + yξη

= ...

−λ− xξη + yξη

= ...

d xξη a d xξη a

+ pξη + λ− qξη = . . .

(42)

+ pξη + λ+ qξη = . . .

−pxξη − qyξη + zξη

= ...

Auf der rechten Seite stehen nur quadratische Terme in den ersten Ableitungen von x, y, z, p, q. Wir fassen (42) als lineares Gleichungssystem in den Unbekannten xξη , yξη , zξη , pξη , qξη auf. Die Koeffizientenmatrix dieses Systems ist nichtsingul¨ ar wegen ) ) ) −λ+ 1 0 0 0 ) ) ) ) ) ) −λ− 1 0 0 0 ) ) ) ) ) d 2 −) ) 0 0 1 λ ) = −4 b − ac = 0. (43) ) a ) ) a2 ) ) d ) 0 0 1 λ+ )) ) a ) ) ) −p −q 1 0 0 ) Somit k¨ onnen wir das System (42) in der Form (41) aufl¨osen.

q.e.d.

§4 Das Cauchysche Anfangswertproblem fu ¨r quasilineare hyperbolische Differentialgleichungen und Systeme zweiter Ordnung Wir entnehmen dem Satz von d’Alembert (Kap. VI, § 5, Satz 1) die L¨osung des Cauchyschen Anfangswertproblems (kurz CAP) f¨ ur die eindimensionale Wellengleichung u = u(x, y) ∈ C 2 (R × R, R),
u(x, y) := uyy (x, y) − uxx (x, y) = 0 u(x, 0) = f (x),

∂ u(x, 0) = g(x) ∂y

in R × R,

(1)

f¨ ur alle x ∈ R,

n¨amlich
 1 x+y 1 u(x, y) = f (x + y) + f (x − y) + g(s) ds, 2 2 x−y

(x, y) ∈ R × R. (2)

§4

Das Cauchysche Anfangswertproblem

253

Hierbei m¨ ussen wir f ∈ C 2 (R) und g ∈ C 1 (R) voraussetzen. Da das Problem (1) gem¨ aß Satz 2 aus Kapitel VI, § 4 eindeutig l¨osbar ist, k¨onnen wir der d’Alembertschen L¨ osungsformel (2) die Regularit¨at der L¨osung ansehen: ur k = 0, 1, 2, . . . erf¨ ullt, so folgt f¨ ur (a) Ist f ∈ C 2+k (R) und g ∈ C 1+k (R) f¨ die L¨ osung u ∈ C 2+k (R × R). (b) Sind f und g in einer Kreisscheibe vom Radius 2R ∈ (0, +∞) in konvergente Potenzreihen entwickelbar, d.h. mit x = x1 + ix2 ∈ C gilt f (x) =

∞ 

k

ak x ,

g(x) =

k=0

∞ 

bk xk

f¨ ur

x∈C

mit |x| < 2R, (3)

k=0

so erhalten wir im Dizylinder ZR := {(x, y) ∈ C2 : |x| < R, |y| < R} mit x+y  1
1 g(s) ds, u(x, y) = f (x + y) + f (x − y) + 2 2

(x, y) ∈ ZR , (4)

x−y

eine in ZR holomorphe L¨ osung des CAP ∂2 ∂2 u(x, y) − u(x, y) = 0 in ZR , ∂y 2 ∂x2 ∂ u(x, 0) = g(x) f¨ ur alle x ∈ C u(x, 0) = f (x), ∂y

mit

|x| < R. (5)

Hierbei bedeuten

∂ ∂x

und

∂ ∂y

die komplexen Ableitungen.

Wir f¨ uhren nun eine Drehung um den Winkel − π4 aus mit der Abbildung 8     7     cos(− π4 ) − sin(− π4 ) 1 x ξ 1 1 x ◦ =√ = ◦ π π y η −1 1 y sin(− ) cos(− ) 2 4

bzw.

4

1 ξ = √ (x + y), 2

1 η = √ (y − x). 2

(6)

Aus der Wellengleichung erhalten wir m.H. von Formel (11) aus § 3 wie folgt die Koeffizienten der transformierten Differentialgleichung           1 1 A B 1 1 −1 0 1 −1 0 1 √ √ = ◦ ◦ = . (7) B C 0 1 1 0 2 −1 1 2 1 1 Bei dieser Drehung geht die x-Achse y = 0, auf welcher wir die Cauchydaten vorgeschrieben haben, u ¨ ber in die Nebendiagonale ξ + η = 0.

254

XI Nichtlineare partielle Differentialgleichungen

Der Vektor (0, 1) geht u ¨ ber in die Normale an die Nebendiagonale in Richtung des 1. Quadranten ν = √12 (1, 1). Somit wird das CAP (1) transformiert in das folgende CAP: u = u(ξ, η) ∈ C 2 (R2 , R), uξη (ξ, η) = 0

in R2 ,

√ u(ξ, −ξ) = f ( 2ξ)

f¨ ur

(8)

ξ ∈ R,

√  1  ∂ u(ξ, −ξ) := √ uξ (ξ, −ξ) + uη (ξ, −ξ) = g( 2ξ) ∂ν 2

f¨ ur

ξ ∈ R.

Entsprechend transformiert sich das Problem (5) im Falle von reellanalytischen f , g. ¨ Wir fassen unsere Uberlegungen zusammen zum Satz 1. F¨ ur vorgegebene Funktionen f = f (ξ) ∈ C 2 (R) und g = g(ξ) ∈ C 1 (R) hat das CAP (8) genau eine L¨osung u = u(ξ, η) ∈ C 2 (R2 ). Gilt f ∈ C 2+k (R) 2+k (R2 ). Sind und g ∈ C 1+k (R) mit einem k ∈ {0, 1, √ 2, . . .}, so folgt u ∈ C schließlich f und g in {ξ ∈ C : |ξ| < 2R} in eine konvergente Potenzreihe entwickelbar, so ist u = u(ξ, η) holomorph in ZR , die Differentialgleichung ∂2 u(ξ, η) = 0 ∂ξ ∂η

in

ZR

ist erf¨ ullt, und die Anfangsbedingungen in (8) gelten f¨ ur alle ξ ∈ C mit |ξ| < R. In § 3 haben wir eine quasilineare hyperbolische Differentialgleichung zweiter Ordnung in ein hyperbolisches System in Normalform u uhrt. Um also eine ¨ berf¨ L¨ osung des CAP f¨ ur die quasilineare Gleichung zu erhalten, l¨osen wir zun¨achst das folgende CAP: x = x(ξ, η) ∈ C 2+k (QR , Rn ),

QR := [−R, R] × [−R, R],

xξη (ξ, η) = h(ξ, η, x(ξ, η), xξ (ξ, η), xη (ξ, η)) x(ξ, −ξ) = f (ξ),

∂ x(ξ, −ξ) = g(ξ) ∂ν

f¨ ur

in QR ,

n ∈ N, (9)

ξ ∈ [−R, R]

f¨ ur Cauchydaten f = f (ξ) ∈ C 2+k (R, Rn ) und g = g(ξ) ∈ C 1+k (R, Rn ) und f¨ ur eine stetige rechte Seite h = h(ξ, η, x, p, q). Indem wir Satz 1 auf jede Komponentenfunktion anwenden, finden wir eine eindeutige L¨osung von y = y(ξ, η) ∈ C 2+k (R2 , Rn ), yξη (ξ, η) = 0 y(ξ, −ξ) = f (ξ),

in R2 , ∂ y(ξ, −ξ) = g(ξ), ∂ν

(10) ξ ∈ R.

§4

Das Cauchysche Anfangswertproblem

255

Gehen wir nun u ¨ ber zu ˜ (ξ, η) := x(ξ, η) − y(ξ, η), x   ˜ η, x ˜ , yη (ξ, η) + q ˜ , ˜, p ˜, q ˜ ) := h ξ, η, y(ξ, η) + x ˜ , yξ (ξ, η) + p h(ξ,

(11)

so wird (9) ¨ aquivalent transformiert in das CAP ˜=x ˜ (ξ, η) ∈ C 2+k (QR , Rn ), x ˜ η, x ˜ ξη (ξ, η) = h(ξ, ˜ (ξ, η), x ˜ ξ (ξ, η), x ˜ η (ξ, η)) x ˜ (ξ, −ξ) = 0 = x

∂ ˜ (ξ, −ξ) x ∂ν

f¨ ur

in

QR ,

(12)

ξ ∈ [−R, R].

Im folgenden unterdr¨ ucken wir * in (12) und formen (12) ¨aquivalent um in eine Integrodifferentialgleichung: Sei (x, y) ∈ QR mit x + y > 0 gew¨ahlt. Dann erkl¨ aren wir das charakteristische Dreieck zu (x, y) als   T (x, y) := (ξ, η) ∈ R2 : −x < −ξ < η < y ⊂ QR . Wir beschr¨ anken uns im folgenden auf den Teil von QR oberhalb der Nebendiagonalen. Eine L¨ osung unterhalb der Nebendiagonalen erh¨alt man in gleicher Weise, wenn man als charakteristisches Dreieck definiert   T (x, y) = (ξ, η) ∈ R2 : y < η < −ξ < −x . Auf die Pfaffsche Form ω = xη (ξ, η) dη − xξ (ξ, η) dξ,

(ξ, η) ∈ T (x, y),

wenden wir den Stokesschen Integralsatz an. Wir erhalten


2x(x, y) = xη dη − xξ dξ = d(xη dη − xξ dξ) ∂T (x,y)

T (x,y)





=2

xξη (ξ, η) dξ dη T (x,y)





=2

h(ξ, η, x(ξ, η), xξ (ξ, η), xη (ξ, η)) dξ dη T (x,y)

beziehungsweise

x(x, y) = h(ξ, η, x(ξ, η), xξ (ξ, η), xη (ξ, η)) dξ dη, T (x,y)

(x, y) ∈ QR . (13)

256

XI Nichtlineare partielle Differentialgleichungen

Haben wir umgekehrt eine L¨ osung der Integrodifferentialgleichung (13) gegeben, so folgt unmittelbar x(x, −x) = 0 f¨ ur alle x ∈ [−R, R]. Aus der Darstellung 
x 
y x(x, y) = h(ξ, η, x(ξ, η), xξ (ξ, η), xη (ξ, η)) dη dξ −y

−ξ

ermitteln wir die Gleichung
y xx (x, y) =

h(x, η, x(x, η), xξ (x, η), xη (x, η)) dη.

(14)

−x

ur alle x ∈ [−R, R]. Weiter Hieraus ergibt sich insbesondere xx (x, −x) = 0 f¨ liefert 
y 
x h(ξ, η, x(ξ, η), xξ (ξ, η), xη (ξ, η)) dξ dη x(x, y) = −x

−η

die Gleichung
x xy (x, y) =

h(ξ, y, x(ξ, y), xξ (ξ, y), xη (ξ, y)) dξ,

(15)

−y

ur x ∈ [−R, R]. Schließlich k¨onnen wir (14) und das impliziert xy (x, −x) = 0 f¨ nach y und (15) nach x differenzieren und erhalten insgesamt den Satz 2. Die Funktion x = x(x, y) der Klasse   Cxy (QR , Rn ) := y ∈ C 1 (QR , Rn ) : yxy = yyx existiert und ist stetig in QR l¨ost das CAP xxy (x, y) = h(x, y, x(x, y), xx (x, y), xy (x, y)) x(x, −x) = 0 =

∂ x(x, −x) ∂ν

f¨ ur

in

QR ,

x ∈ [−R, R]

(16)

genau dann, wenn x die Integrodifferentialgleichung (13) l¨ost. Wir stellen nun an die rechte Seite h = h(ξ, η, x, p, q) eine Lipschitzbedingung ˜, p ˜, q ˜ )| ≤ L|(x, p, q) − (˜ ˜, q ˜ )| |h(ξ, η, x, p, q) − h(ξ, η, x x, p f¨ ur alle

˜, p ˜, q ˜ ) ∈ Q R × Rn × Rn × Rn (ξ, η, x, p, q), (ξ, η, x

(17)

mit der Lipschitzkonstante L ∈ [0, +∞). Unter dieser Voraussetzung leiten wir f¨ ur den Integrodifferentialoperator

§4



I(x)(x, y) :=

Das Cauchysche Anfangswertproblem

h(ξ, η, x(ξ, η), xξ (ξ, η), xη (ξ, η)) dξ dη,

257

(x, y) ∈ QR ,

T (x,y)

eine Kontraktionsbedingung her: F¨ ur x, y ∈ C 1 (QR , Rn ) setzen wir ˆ (x, y) := I(x)(x, y), x

ˆ (x, y) := I(y)(x, y), y

(18)

(x, y) ∈ QR .

Wir k¨ onnen dann absch¨ atzen

) ) )h(ξ, η, x, xξ , xη ) − h(ξ, η, y, yξ , yη )) dξ dη ˆ (x, y)| ≤ |ˆ x(x, y) − y T (x,y)





) ) ) x(ξ, η) − y(ξ, η), xξ − yξ , xη − yη ) dξ dη

≤L T (x,y) x+y


≤L

|x + y − τ | φ(τ ) dτ 0

(19)

mit φ(τ ) :=

max

(ξ,η)∈T (x,y), ξ+η=τ

) ) ) x(ξ, η) − y(ξ, η), xξ − yξ , xη − yη ).

(20)

Weiter erhalten wir aus (14) die Ungleichung
y ˆ x (x, y)| ≤ |ˆ xx (x, y) − y −x

) ) )h(x, η, x(x, η), xξ , xη ) − h(x, η, y(x, η), yξ , yη )) dη


y

≤L

) ) ) x(x, η) − y(x, η), xξ − yξ , xη − yη ) dη

−x x+y


≤L

φ(τ ) dτ. 0

(21)

Ebenso zeigt man mit (15) die Absch¨ atzung x+y


ˆy (x, y)| ≤ L |ˆ xy (x, y) − y

φ(τ ) dτ. 0

Insgesamt liefern die Ungleichungen (19), (21) und (22) den

(22)

258

XI Nichtlineare partielle Differentialgleichungen

Satz 3. F¨ ur beliebige x, y ∈ C 1 (QR , Rn ) gilt in QR ) ) ) ) ˆ (x, y) − y ˆ (x, y), x ˆ x (x, y) − y ˆ x (x, y), x ˆ y (x, y) − y ˆ y (x, y) ) ) x x+y


≤L

(2 + |x + y − τ |)φ(τ ) dτ. 0

Wir erkl¨ aren noch die Menge   QR,S := (x, y, x, p, q) ∈ QR × Rn × Rn × Rn : |x|, |p|, |q| ≤ S , und beweisen den zentralen Satz 4. Sei die parameterabh¨angige rechte Seite h = h(x, y, x, p, q, λ) : QR,S × [λ1 , λ2 ] → Rn der Klasse C 1 (QR,S × [λ1 , λ2 ], Rn ) mit R > 0, S > 0 und −∞ < λ1 < λ2 < +∞ gegeben. Dann gibt es ein r ∈ (0, R], so daß f¨ ur alle λ ∈ [λ1 , λ2 ] das CAP x = x(x, y, λ) ∈ Cxy (Qr , Rn ), xxy (x, y, λ) = h(x, y, x(x, y, λ), xx (x, y, λ), xy (x, y, λ), λ) x(x, −x, λ) = 0 =

∂ x(x, −x, λ) ∂ν

f¨ ur

in

Qr , (23)

x ∈ [−r, r]

genau eine L¨osung hat. Weiter h¨angt die L¨osung wie folgt differenzierbar vom Parameter ab: x(x, y, λ) ∈ C 1 (Qr × [λ1 , λ2 ], Rn ). Beweis: 1. Wir halten zun¨ achst den Parameter λ ∈ [λ1 , λ2 ] fest und konstruieren eine L¨ osung x(x, y, λ) mit dem Banachschen Fixpunksatz. Dazu erkl¨aren wir den Banachraum   ∂ 1 n y(x, −x), x ∈ [−R, R] B := y ∈ C (QR , R ) : y(x, −x) = 0 = ∂ν ausgestattet mit der Norm y :=

sup (x,y)∈QR

) ) ) y(x, y), yξ (x, y), yη (x, y) ).

(24)

Wir setzen h : QR,S × [λ1 , λ2 ] → Rn auf QR × Rn × Rn × Rn × [λ1 , λ2 ] so fort, daß f¨ ur alle λ ∈ [λ1 , λ2 ] die Lipschitzbedingung (17) mit einer gemeinsamen Lipschitzkonstanten L ≥ 0 erf¨ ullt ist. Gem¨aß Satz 3 ist dann f¨ ur

§4

Das Cauchysche Anfangswertproblem

259

hinreichend kleines R > 0 der in (18) erkl¨ arte Integrodifferentialoperator I : B → B kontrahierend, d.h. es gibt ein θ ∈ [0, 1) mit I(x) − I(y) ≤ θx − y

f¨ ur alle x, y ∈ B.

(25)

Nach dem Banachschen Fixpunktsatz (siehe Kapitel VII, § 1, Satz 3) gibt es somit eine L¨ osung x = x(x, y, λ) ∈ B der Integrodifferentialgleichung

h(ξ, η, x(ξ, η, λ), xξ (ξ, η, λ), xη (ξ, η, λ), λ) dξ dη (26) x(x, y, λ) = T (x,y)

f¨ ur alle λ ∈ [λ1 , λ2 ]. Wie im Beweis von Satz 2 sehen wir schließlich, daß ur jedes λ ∈ [λ1 , λ2 ] richtig ist. x(x, y, λ) ∈ Cxy (QR , Rn ) f¨ 2. Wir zeigen nun, daß die L¨ osung f¨ ur hinreichend kleines R > 0 unabh¨angig von der Fortsetzung der rechten Seite h ist: Sei x eine L¨osung des CAP (23) zu festem λ ∈ [λ1 , λ2 ], so setzen wir

y(x, y) := I(0)(x, y) = h(ξ, η, 0, 0, 0, λ) dξ dη. T (x,y)

F¨ ur die Funktion ψ(t) :=

max

(x,y)∈QR , x+y=t

) ) ) x(x, y) − y(x, y), xξ − yξ , xη − yη )

entnehmen wir Satz 3 die Absch¨ atzung
t ψ(t) ≤ A

(ψ(τ ) + y) dτ

(27)

0

mit einer Konstante A > 0. Ein Vergleichssatz (siehe Hilfssatz 1 in § 5) liefert dann ψ(t) ≤ y(eAt − 1). W¨ ahlt man also R > 0 hinreichend klein, so ist (x(x, y), xξ (x, y), xη (x, y)) ∈ QR,S

f¨ ur alle

(x, y) ∈ QR

erf¨ ullt. ˜ zu den Pa˜=x ˜ (x, y, λ) 3. Haben wir nun zwei L¨ osungen x = x(x, y, λ) und x ˜ rametern λ und λ, so leiten wir wie im Beweis von Satz 3 eine Ungleichung der Form
t   ˜ dτ ψ(τ ) + ε(λ, λ) (28) ψ(t) ≤ A 0

f¨ ur die Funktion

260

XI Nichtlineare partielle Differentialgleichungen

ψ(t) :=

max

(x,y)∈QR , x+y=t

) ) ) x(x, y) − x ˜ ξ , xη − x ˜η ) ˜ (x, y), xξ − x

˜ → ε(λ, λ) = 0 f¨ ˜ erf¨ her. Dabei ist ε(λ, λ) ur λ → λ ullt. Mit dem o.a. Vergleichssatz folgt ˜ At − 1), (29) ψ(t) ≤ ε(λ, λ)(e was die stetige Abh¨ angigkeit der L¨ osung vom Parameter in der C 1 -Norm impliziert. Weiter liefert ε(λ, λ) = 0 die eindeutige L¨osbarkeit des CAP. 4. Um schließlich die differenzierbare Abh¨ angigkeit vom Parameter zu zeigen, betrachtet man wie bei gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen den Differenzenquotienten und geht in der Integrodifferentialgleichung zur Grenze u ¨ ber. q.e.d. Bemerkungen: 1. Die L¨ osung des CAP (23) konstruiert man durch sukzessive Approximation x(0) (x, y) := 0

in QR ,

  (j) x(j+1) (x, y) := dξ dη h ξ, η, x(j) (ξ, η), xξ , x(j) η

in QR , (30)

T (x,y)

f¨ ur j = 0, 1, 2, . . . 2. Setzt man h¨ ohere Regularit¨ at der rechten Seite h voraus, so ergibt sich entsprechend h¨ ohere Regularit¨ at der L¨ osungen. Dies gilt auch f¨ ur die Differenzierbarkeit der L¨ osungsschar bez¨ uglich des Parameters λ ∈ [λ1 , λ2 ]. Zum Beweis nutzt man eine Differenzenquotientenmethode, wie sie in Teil 4 des Beweises angedeutet wurde. Satz 5. Voraussetzungen: Die quasilineare Differentialgleichung 0 = a(x, y, ζ(x, y), ζx (x, y), ζy (x, y))ζxx + 2b(. . .)ζxy + c(. . .)ζyy +d(x, y, ζ(x, y), ζx (x, y), ζy (x, y)) = 0

in

(31)

Ω

mit den Koeffizienten a = a(x, y, z, p, q), . . . , d = d(x, y, z, p, q) ∈ C 2 (Ω × R × R × R, R) sei vorgelegt, und Ω ⊂ R2 sei eine offene Menge. Wir betrachten eine regul¨are Kurve Γ : x = x(t), y = y(t),

t ∈ [t0 − T, t0 + T ],

in

Ω

mit der H¨ohenfunktion f = f (t) ∈ C 3 ([t0 − T, t0 + T ], R) und der vorgeschriebenen Ableitung g = g(t) ∈ C 2 ([t0 − T, t0 + T ], R) in Richtung ihrer Normalen   1 ν = ν(t) := ' − y  (t), x (t) .  2  2 x (t) + y (t)

§4

Das Cauchysche Anfangswertproblem

261

L¨angs dieses Streifens sei die Differentialgleichung (31) hyperbolisch, d.h. es gilt a(t)c(t) − b(t)2 < 0 f¨ ur alle t ∈ [t0 − T, t0 + T ], wobei wir a(t) := a(x(t), y(t), f (t), p(t), q(t)) etc. mit ' x (t)f  (t) − x (t)2 + y  (t)2 y  (t)g(t) p(t) := , x (t)2 + y  (t)2 ' y  (t)f  (t) + x (t)2 + y  (t)2 x (t)g(t) q(t) := x (t)2 + y  (t)2 gesetzt haben. Schließlich bilde die Kurve Γ bez¨ uglich des Streifens eine nichtcharakteristische Kurve f¨ ur die Differentialgleichung (31), d.h. es sei c(t)x (t)2 − 2b(t)x (t)y  (t) + a(t)y  (t)2 = 0

f¨ ur alle

t ∈ [t0 − T, t0 + T ]

erf¨ ullt. Behauptung: Dann gibt es eine Umgebung Θ = Θ(x0 , y 0 ) des Punktes (x0 , y 0 ) := (x(t0 ), y(t0 )) und eine Funktion ζ = ζ(x, y) ∈ C 2 (Θ), welche das Cauchysche Anfangswertproblem a(x, y, ζ(x, y), ζx , ζy )ζxx + 2b(. . .)ζxy + c(. . .)ζyy + d(. . .) = 0 ζ(x(t), y(t)) = f (t),

∂ ζ(x(t), y(t)) = g(t) ∂ν

auf

in

Θ

Γ ∩Θ

(32) ∂ l¨ost; dabei bezeichnet ∂ν die Ableitung in Richtung der Normale ν an die Kurve Γ . Die L¨osung von (32) ist eindeutig bestimmt. Bemerkung: Man kann also lokal den vorgeschriebenen nichtcharakteristischen Streifen {Γ, f, g} erg¨ anzen zu einer L¨ osung der gegebenen Differentialgleichung. Beweis: Mit Hilfe von § 3, Satz 3 f¨ uhren wir in die Differentialgleichung (31) charakteristische Parameter (ξ, η) ein. Differenzieren wir dann das System erster Ordnung einmal durch, so erhalten wir ein System der Form yξη (ξ, η) = h(ξ, η, y(ξ, η), yξ (ξ, η), yη (ξ, η)).

(33)

Wegen a, b, c, d ∈ C 2 ist h aus C 1 bez¨ uglich y, xξ , yη . Aus den Cauchydaten (x(t), y(t), f (t), g(t)), t0 − T ≤ t ≤ t0 + T , berechnet man die Anfangsdaten f¨ ur y. Da hier ξ =const und η =const die charakteristischen Kurven sind, kann man durch eine Transformation ξ → ϕ(ξ), η → ψ(η) erreichen, daß die nichtcharakteristische Kurve Γ in die Kurve ξ + η = 0 u ¨bergeht. Mit Satz 1 k¨ onnen wir nun zu homogenen Anfangswerten u ¨bergehen, und mit Satz 4 l¨osen wir das CAP f¨ ur das System (33). Durch Resubstitution erhalten wir dann eine L¨ osung des CAP (32) (vgl. Beweis zu § 3, Satz 3). Die Eindeutigkeit folgt schließlich aus der entsprechenden Aussage f¨ ur das System (33). q.e.d.

262

XI Nichtlineare partielle Differentialgleichungen

§5 Die Riemannsche Integrationsmethode In diesem Paragraphen wollen wir uns mit linearen hyperbolischen Differentialgleichungen befassen. W¨ ahrend wir in § 4, Satz 5 nur lokale L¨osbarkeit zeigen konnten, werden wir hier die globale L¨ osbarkeit des linearen CAP sichern. Zur Bequemlichkeit des Lesers stellen wir zuvor die folgende Aussage bereit: Hilfssatz 1. (Vergleichssatz) Die stetige Funktion f : [ξ−h, ξ+h] → [0, +∞) gen¨ uge der Integralungleichung
x f (x) ≤ A

  f (t) + ε |dt|

f¨ ur alle

x ∈ [ξ − h, ξ + h]

ξ

mit Konstanten A > 0 und ε ≥ 0. Dann gilt f¨ ur alle x ∈ [ξ − h, ξ + h] die Absch¨atzung ∞    Ak |x − ξ|k . 0 ≤ f (x) ≤ ε eA|x−ξ| − 1 = ε k! k=1

Beweis: Wir setzen M := max{f (x) : ξ − h ≤ x ≤ ξ + h} und zeigen durch vollst¨ andige Induktion f (x) ≤ ε

n  Ak k=1

k!

|x − ξ|k + M

An |x − ξ|n , n!

x ∈ [ξ − h, ξ + h].

Aus der Integralungleichung erhalten wir n¨ amlich f (x) ≤ M A|x − ξ| + εA|x − ξ|

f¨ ur alle x ∈ [ξ − h, ξ + h],

so daß der Fall n = 1 gesichert ist. Gilt nun obige Absch¨atzung f¨ ur ein n ∈ N, so finden wir
x f (x) ≤ εA|x − ξ| + A

f (t) |dt| ξ


x   n Ak An |x − ξ|k + M |x − ξ|n |dt| ≤ εA|x − ξ| + A ε k! n! ξ

k=1

n  Ak+1 An+1 |x − ξ|k+1 + M |x − ξ|n+1 = εA|x − ξ| + ε (k + 1)! (n + 1)! k=1

=ε

n+1  k=1

Ak An+1 |x − ξ|k + M |x − ξ|n+1 . k! (n + 1)!

§5 Die Riemannsche Integrationsmethode

Da nun

263

(A|x − ξ|)n+1 =0 n→∞ (n + 1)! lim

richtig ist, folgt durch Grenz¨ ubergang in obiger Absch¨atzung f (x) ≤ ε

∞  Ak k=1

k!

  |x − ξ|k = ε eA|x−ξ| − 1 . q.e.d.

Satz 1. Seien die Funktionen f = f (t) ∈ C02 (R) und g = g(t) ∈ C01 (R) gegeben. Weiter seien die Koeffizientenfunktionen a = a(x, y), b = b(x, y), c = c(x, y), d = d(x, y) aus der Klasse C01 (R2 ). Dann hat das CAP uxy (x, y) + aux (x, y) + buy (x, y) + cu(x, y) = d(x, y) u(x, −x) = f (x),

∂ u(x, −x) = g(x) ∂ν

genau eine L¨osung. Hierbei bezeichnet der Normalen ν = √12 (1, 1).

∂ ∂ν

f¨ ur

in

R2 ,

x∈R

(1)

wieder die Ableitung in Richtung

Beweis: Schreiben wir die Differentialgleichung in der Form uxy = h(x, y, u, ux, uy ) := d(x, y) − a(x, y)ux − b(x, y)uy − c(x, y)u, so gen¨ ugt h global einer Lipschitzbedingung wie in § 4, Formel (17) mit einer Lipschitzkonstanten L ∈ [0, +∞). F¨ ur eine L¨ osung u = u(x, y), die in einer Umgebung der Nebendiagonale x+y = 0 existiert, betrachten wir die Funktion ) ) ) ) φ(t) := max ) u(x, y) − v(x, y), ux (x, y) − vx (x, y), uy (x, y) − vy (x, y) ) x+y=t

mit v(x, y) := I(0)|(x,y) . Hierbei bezeichnet I den in § 4, Formel (18) erkl¨arten Integrodifferentialoperator. Wir erhalten aus Satz 3 in § 4 die Differentialungleichung
t φ(t) ≤ L

  (2 + T ) φ(τ ) + K dτ

f¨ ur alle

0 ≤ t ≤ T < +∞

0

mit einer Konstante K > 0. Hilfssatz 1 liefert die Absch¨atzung   φ(t) ≤ K eL(2+T )t − 1 f¨ ur alle 0 ≤ t ≤ T < +∞ beziehungsweise   φ(T ) ≤ K eL(2+T )T − 1

f¨ ur

0 ≤ T < +∞.

(2)

264

XI Nichtlineare partielle Differentialgleichungen

Somit bleibt die L¨ osung des CAP beschr¨ ankt in der C 1 -Norm, und das Verfahren der sukzessiven Approximation liefert global auf dem R2 eine L¨osung. q.e.d. Wir wollen nun eine Integraldarstellung f¨ ur die L¨osung des CAP (1) angeben. Diese Riemannsche Integrationsmethode entspricht der Darstellung der L¨osung der Poissongleichung durch die Greensche Funktion. Zum linearen Differentialoperator Lu(x, y) := uxy (x, y) + a(x, y)ux (x, y) + b(x, y)uy (x, y) + c(x, y)u(x, y) (3) betrachten wir den adjungierten Differentialoperator Mv(x, y) := vxy (x, y)−[a(x, y)v(x, y)]x −[b(x, y)v(x, y)]y +c(x, y)v(x, y). (4) Es stimmen L und M genau dann u ullt ist. ¨ berein, falls a ≡ 0 ≡ b erf¨ Hilfssatz 2. Es gilt v Lu − u Mv = (−vy u + auv)x + (vux + bvu)y .

(5)

Beweis: Wir berechnen v Lu = vuxy + avux + bvuy + cvu = (vux )y − vy ux + (avu)x − (av)x u + (bvu)y − (bv)y u + cvu = (vux + bvu)y + (−vy u + avu)x + uvxy − u(av)x − u(bv)y + ucv = (vux + bvu)y + (−vy u + avu)x + u Mv. q.e.d. Sei nun Γ ⊂ R2 eine abgeschlossene, regul¨ are, nichtcharakteristische Kurve f¨ ur die Differentialgleichung (1), d.h. Γ verl¨auft nirgends parallel zu den Koordinatenachsen. Wir k¨ onnen also eine stetige, bijektive Funktion ϕ = ϕ(x) : [x1 , x2 ] → R so angeben, daß gilt   Γ = (x, y) ∈ R2 : y = ϕ(x), x1 ≤ x ≤ x2   = (x, y) ∈ R2 : x = ϕ−1 (y), y2 ≤ y ≤ y1 mit y1 = ϕ(x1 ) und y2 = ϕ(x2 ). (Wir nehmen o.B.d.A. an y2 < y1 .) Weiter sei P = (x, y) ∈ Γ ein fester Punkt im Quadrat [x1 , x2 ] × [y2 , y1 ], von dem wir annehmen, daß er sich oberhalb von Γ befindet, d.h. y > ϕ(x). Dann erkl¨aren wir das charakteristische Dreieck   T (x, y) := (ξ, η) ∈ R2 : ϕ(x) < ϕ(ξ) < η < y . Ferner schreiben wir

§5 Die Riemannsche Integrationsmethode

265

Γ (x, y) := Γ ∩ ∂T (x, y). außere Normale an T (x, y), und wir Schließlich bezeichne ν = (ν1 , ν2 ) die ¨ setzen noch A := (ϕ−1 (y), y), B := (x, ϕ(x)) ∈ Γ . Mit dem Gaußschen Integralssatz integrieren wir nun (5) u ¨ber das Dreieck T (x, y) und erhalten

) ) dξ dη (v Lu − u Mv)) (ξ,η)

T (x,y)






=

 (−vy u + auv)ν1 + (vux + bvu)ν2 dσ

∂T (x,y)

=


  (−vy u + auv)ν1 + (vux + bvu)ν2 dσ

 AB




+


(−vy + av)u dη +

 BP

(ux + bu)v dξ  PA


  (−vy u + auv)ν1 + (vux + bvu)ν2 dσ =  AB




+


(−vy + av)u dη +

 BP

=


(−vx + bv)u dξ +

 PA


  (−vy u + auv)ν1 + (vux + bvu)ν2 dσ  AB




+

(uv)x dξ  PA


(−vy + av)u dη +

 BP

(−vx + bv)u dξ  PA

−u(P )v(P ) + u(A)v(A). 

Hierbei bezeichnet z.B. AB = Γ (x, y) den von A nach B durchlaufenen Teilbogen des Randes von T (x, y) zwischen den Punkten A und B. Definition 1. Die Funktion v(ξ, η) =: R(ξ, η; x, y) heißt Riemannsche Funktion, falls folgendes gilt: 1. v gen¨ ugt der Differentialgleichung Mv = 0 in T (x, y). 2. Wir haben v(x, y) = R(x, y; x, y) = 1. 
η   3. L¨angs BP gilt −vy + av = 0 bzw. v(x, η) = exp a(x, t) dt . y

266

XI Nichtlineare partielle Differentialgleichungen 

4. L¨angs P A gilt −vx + bv = 0 bzw. v(ξ, y) = exp


ξ

 b(t, y) dt .

x

K¨onnen wir eine Riemannsche Funktion angeben, so gilt der folgende Satz 2. (Riemannsche Integrationsmethode) Eine L¨osung der hyperbolischen Differentialgleichung Lu(ξ, η) = h(ξ, η) kann mit Hilfe ihrer Riemannschen Funktion R(ξ, η; x, y) wie folgt durch ihre Cauchydaten dargestellt werden: F¨ ur P = (x, y) gilt

R(ξ, η; P )h(ξ, η) dξ dη u(P ) = u(A)R(A; P ) − +


 

T (x,y)

(6)   − Rη (ξ, η; P )u(ξ, η) + auR ν1 + (Ruξ + bRu)ν2 dσ.

Γ (x,y)

Bemerkung: Es bleibt die Aufgabe, eine Riemannsche Funktion zu konstruieren.

§6 Das Bernsteinsche Analytizit¨ atstheorem Auf der Kreisscheibe B := {(u, v) : u2 + v 2 < 1} betrachten wir eine L¨osung   (1) x = x(u, v) = x1 (u, v), . . . , xn (u, v) : B → Rn ∈ C 3 (B, Rn ) des quasilinearen, elliptischen Systems ∆x(u, v) = F(u, v, x(u, v), xu (u, v), xv (u, v)),

(u, v) ∈ B.

(2)

In einer offenen Umbgebung O ⊂ R2+3n der Fl¨ache    F := u, v, x(u, v), xu (u, v), xv (u, v) : (u, v) ∈ B sei dabei die Funktion F : O → Rn

reellanalytisch.

(3)

In jedem Punkt z ∈ O k¨ onnen wir also F in ihren 2+3n Variablen lokal in eine Potenzreihe mit Koeffizienten aus dem Rn entwickeln; diese konvergiert dann auch in den komplexen Variablen u, v, z1 , . . . , zn , p1 , . . . , pn , q1 , . . . , qn ∈ C. Hierdurch erkl¨ aren wir die Fortsetzung F = F(u, v, z1 , . . . , zn , p1 , . . . , pn , q1 , . . . , qn ) : O → Cn ∈ C 1 (O, Cn )

(4)

der rechten Seite von (2) auf eine offene Menge O im C2+3n mit F ⊂ O, wobei wir auf eine Umbennung verzichten. F erf¨ ullt somit die 2 + 3n CauchyRiemann-Gleichungen

§6 Das Bernsteinsche Analytizit¨ atstheorem

267

Fu ≡ Fv ≡ Fz1 ≡ . . . ≡ Fzn ≡ Fp1 ≡ . . . ≡ Fpn ≡ Fq1 ≡ . . . ≡ Fqn ≡ 0 (5) in O. Unter der Voraussetzung (3) bzw. (4)-(5) wollen wir im folgenden zeigen, daß eine L¨ osung (1) von (2) in der Kreisscheibe B reellanalytisch ist. Dann gibt es eine offene Umgebung B ⊂ C2 von B, so daß die auf B fortgesetzte Funktion x(u, v) = (x1 (u, v), . . . , xn (u, v)) : B → Cn ∈ C 3 (B, Cn )

(6)

die Cauchy-Riemannschen Gleichungen ∂ ∂ xj (u, v) ≡ 0 ≡ xj (u, v), ∂u ∂v

(u, v) ∈ B,

f¨ ur

j = 1, . . . , n

(7)

beziehungsweise xu := (x1,u , . . . , xn,u ) ≡ 0 ≡ (x1,v , . . . , xn,v ) =: xv

in B

(8)

erf¨ ullt. Mit Ideen von H. Lewy werden wir die L¨osung (1) von (2) von B auf B analytisch fortsetzen, indem wir Anfangswertprobleme f¨ ur nichtlineare Differentialgleichungen in zwei Variablen l¨ osen. Gehen wir von einer solchen Fortsetzung auf Variablen (u, v) = (α + iβ, γ + iδ) ∈ B aus, so erscheint das System (2) in der Form xαα (u, v) + xγγ (u, v) = F(u, v, x, xα (u, v), xγ (u, v))

in

B.

(9)

Die Cauchy-Riemann-Gleichungen k¨ onnen wir schreiben als xβ (u, v) = ixα (u, v)

in B

(10)

xδ (u, v) = ixγ (u, v)

in

B.

(11)

und Dies impliziert die Laplace-Gleichungen xαα (u, v) + xββ (u, v) = 0

in B

(12)

xγγ (u, v) + xδδ (u, v) = 0

in B.

(13)

und Setzen wir (12) und (10) in (9) ein, so erhalten wir −xββ (u, v) + xγγ (u, v) = F(u, v, x, −ixβ , xγ )

in B,

(14)

und aus (13), (11) und (9) folgt xαα (u, v) − xδδ (u, v) = F(u, v, x, xα , −ixδ )

in

B.

(15)

F¨ ur die hyperbolischenGleichungen (14) und (15) l¨osen wir nun Anfangswertprobleme mit Anfangsgeschwindigkeiten, die durch (10) bzw. (11) gegeben sind. Wir erhalten so den

268

XI Nichtlineare partielle Differentialgleichungen

Satz 1. (Analytizit¨ atstheorem von S. Bernstein) Sei eine L¨osung x = x(u, v) des Differentialgleichungsproblems (1)-(2) mit der reellanalytischen rechten Seite (3) bzw. (4)-(5) gegeben. Dann ist x reellanalytisch in B. Beweis (H. Lewy): 1. Mit den oben eingef¨ uhrten Bezeichnungen gehen wir aus von einer L¨osung x = x(α, γ) : B → Rn ∈ C 3 (B, Rn ) des Differentialgleichunssystems xαα (α, γ) + xγγ (α, γ) = F(α, γ, x, xα (α, γ), xγ (α, γ))

in B.

(16)

Wir betrachten das Cauchysche Anfangswertproblem −xββ (α, β, γ) + xγγ (α, β, γ) = F(α, β, γ, x, −ixβ , xγ ) x(α, 0, γ) = x(α, γ) xβ (α, 0, γ) = ixα (α, γ)

in

in B  ,

B,

(17)

in B

zum Parameter α. Hierbei ist B  ⊂ R3 eine geeignete offene Menge mit B ⊂ B  . Gem¨ aß § 4 hat (17) eine lokal eindeutige L¨osung x = x(α, β, γ), da die charakteristischen Kurven der Differentialgleichung aus B herausf¨ uhren. Wir bemerken, daß die L¨ osung differenzierbar vom Parameter α abh¨ angt. Es sei nun u := α + iβ. Beachten wir noch Bemerkung 2 im Anschluß an Satz 4 aus § 4, so k¨ onnen wir den Operator 1 ∂ ∂  ∂ = +i ∂u 2 ∂α ∂β auf die Differentialgleichung in (17) anwenden. Wir erhalten dann f¨ ur die Funktion   y(α, β, γ) = y1 (α, β, γ), . . . , yn (α, β, γ) := xu (α, β, γ) das Differentialgleichungssystem −yββ (α, β, γ) + yγγ (α, β, γ) =

n  1 2 Fzj yj − iFpj yj,β + Fqj yj,γ

in B  .

j=1

(18) Offenbar ist wegen (17)  1 xα (α, 0, γ) + ixβ (α, 0, γ) 2  1 = xα (α, γ) + iixα (α, γ) = 0 2

y(α, 0, γ) =

richtig. Weiter berechnen wir mit (17) und (16)

(19) in B

§6 Das Bernsteinsche Analytizit¨ atstheorem

269

 1 xαβ (α, 0, γ) + ixββ (α, 0, γ) 2  1 = xαβ (α, 0, γ) + ixγγ (α, 0, γ) − iF(α, 0, γ, x, xα , xγ ) 2  1 = xαβ (α, 0, γ) − ixαα (α, γ) 2  1 ∂  xβ (α, 0, γ) − ixα (α, γ) = 0 = in B, 2 ∂α

yβ (α, 0, γ) =

also yβ (α, 0, γ) = 0

in

B.

(20)

Das homogene Cauchysche Anfangswertproblem (18)-(20) ist eindeutig l¨ osbar durch y(α, β, γ) ≡ 0 in B  , und es folgt xu (α, β, γ) ≡ 0 

in B  .

(21)

2

2. Wir setzen nun x von B auf B ⊂ C fort. Dazu l¨osen wir das Cauchysche Anfangswertproblem xαα (α, β, γ, δ) − xδδ (α, β, γ, δ) = F(α, β, γ, δ, x, xα , −ixδ )

in B,

in B  ,

x(α, β, γ, 0) = x(α, β, γ) xδ (α, β, γ, 0) = ixγ (α, β, γ)

in B  .

(22) Die L¨ osung h¨angt differenzierbar von den Parametern β, γ ab, und h¨ohere Regularit¨ at folgt wieder wie in § 4. Wir betrachten zun¨achst die Funktion   y(α, β, γ, δ) = y1 (α, β, γ, δ), . . . , yn (α, β, γ, δ) := xu (α, β, γ, δ). Diese gen¨ ugt wegen (22) dem hyperbolischen System yαα (α, β, γ, δ) − yδδ (α, β, γ, δ) =

n  1 2 Fzj yj + Fpj yj,α − iFqj yj,δ in B j=1

(23) und erf¨ ullt wegen (21) die Anfangsbedingungen y(α, β, γ, 0) =

 1 xα (α, β, γ, 0) + ixβ (α, β, γ, 0) 2

= xu (α, β, γ) = 0 und

in

(24)

B

 1 xαδ (α, β, γ, 0) + ixβδ (α, β, γ, 0) 2  i = xαγ (α, β, γ) + ixβγ (α, β, γ) 2 ∂ in B  . = i xu (α, β, γ) = 0 ∂γ

yδ (α, β, γ, 0) =

(25)

270

XI Nichtlineare partielle Differentialgleichungen

Aus (23)-(25) folgt y(α, β, γ, δ) = 0 in B bzw. xu (α, β, γ, δ) ≡ 0

in B.

(26)

Schließlich untersuchen wir die Funktion   z(α, β, γ, δ) = z1 (α, β, γ, δ), . . . , zn (α, β, γ, δ) := xv (α, β, γ, δ), welche wegen (22) dem folgenden Differentialgleichungssystem gen¨ ugt: zαα (α, β, γ, δ) − zδδ (α, β, γ, δ) =

n  1 2 Fzj zj + Fpj zj,α − iFqj zj,δ

in B.

j=1

(27) Wir berechnen f¨ ur z die Anfangsbedingungen  1 xγ (α, β, γ, 0) + ixδ (α, β, γ, 0) 2  1 = xγ (α, β, γ) + iixγ (α, β, γ) = 0 2

z(α, β, γ, 0) =

(28) in B



und zδ (α, β, γ, 0) =

 1 xγδ (α, β, γ, 0) + ixδδ (α, β, γ, 0) 2

 1 xγδ (α, β, γ, 0) + ixαα (α, β, γ, 0) − iF(α, β, γ, 0, x, xα , xγ ) 2  1 = xγδ (α, β, γ, 0) − ixγγ (α, β, γ) 2  ∂ 1 = in B  , xδ (α, β, γ, 0) − ixγ (α, β, γ) = 0 ∂γ 2 (29) wobei wir (22) und (16) benutzt haben. Gleichung (16) gilt n¨amlich wegen (21) auch in B  . Aus (27)-(29) schließen wir nun z(α, β, γ, δ) ≡ 0 in B bzw. =

xv (α, β, γ, δ) ≡ 0

in B.

(30)

Wir haben also die L¨ osung x = x(α, γ) von (16) zu einer Funktion x = x(α, β, γ, δ) : B → Cn fortgesetzt, die wegen (26) und (30) holomorph in den Variablen u = α + iβ und v = γ + iδ ist. Somit ist x(α, γ) = x(α, β, γ, δ)|β=δ=0 reellanalytisch in α und γ.

q.e.d.

F¨ ur die im folgenden Beweis verwendeten Aussagen u ¨ ber holomorphe Abbildungen verweisen wir auf [GF] insbesondere Kapitel I, § 6 und § 7.

§6 Das Bernsteinsche Analytizit¨ atstheorem

271

Satz 2. Auf der offenen Menge Ω ⊂ R2 sei eine L¨osung z = ζ(x, y) ∈ C 3 (Ω, R) der nichtparametrischen H-Fl¨achen-Gleichung Mζ(x, y) := (1 + ζy2 )ζxx (x, y) − 2ζx ζy ζxy (x, y) + (1 + ζx2 )ζyy (x, y) 3

= 2H(x, y, ζ(x, y))(1 + |∇ζ(x, y)|2 ) 2

in

(31)

Ω

gegeben. H = H(x, y, z) sei in einer dreidimensionalen offenen Umgebung der Fl¨ache    F := x, y, ζ(x, y) : (x, y) ∈ Ω reellanalytisch. Dann ist die L¨osung z = ζ(x, y) : Ω → R reellanalytisch in Ω. ahlt und r > 0 so bestimmt, daß f¨ ur Beweis: Es sei (x0 , y 0 ) ∈ Ω beliebig gew¨ die Kreisscheibe   Br (x0 , y 0 ) := (x, y) ∈ R2 : (x − x0 )2 + (y − y 0 )2 < r2 ⊂⊂ Ω richtig ist. Wir f¨ uhren in die C 2 -Metrik ds2 = (1 + ζx2 ) dx2 + 2ζx ζy dx dy + (1 + ζy2 ) dy 2

in

Br (x0 , y 0 )

isotherme Parameter ein mittels der diffeomorphen Abbildung f (u, v) = (x(u, v), y(u, v)) : B → Br (x0 , y 0 ) ∈ C 3 (B). Die Funktion x(u, v) := (f (u, v), z(u, v)) ∈ C 3 (B, R3 )

(32)

mit z(u, v) := ζ ◦ f (u, v),

(u, v) ∈ B,

gen¨ ugt dem Rellichschen System ∆x(u, v) = 2H(x(u, v)) xu ∧ xv (u, v)

in B.

(33)

Nach Satz 1 ist x reellanalytisch in B und somit auch f : B → Br (x0 , y 0 ). Da Jf (u, v) = 0 in B erf¨ ullt ist, muß auch die Umkehrabbildung f −1 : 0 0 Br (x , y ) → B reellanalytisch sein. Also ist auch ζ(x, y) = z ◦ f −1 (x, y),

(x, y) ∈ Br (x0 , y 0 ),

(34)

reellanalytisch in Br (x0 , y 0 ) und, da (x0 , y 0 ) ∈ Ω beliebig gew¨ahlt werden kann, auch in ganz Ω. q.e.d. Bemerkungen: 1. F¨ ur das Einf¨ uhren konformer Parameter mit dem Uniformisierungssatz (vgl. Kap. XII, § 8) gibt es verschiedene Beweise z. B. F. Sauvigny: Introduction of isothermal parameters into a Riemannian metric by the continuity method. Analysis 19 (1999), 235-243.

272

XI Nichtlineare partielle Differentialgleichungen

2. F¨ ur beliebige quasilineare, reellanalytische, elliptische Differentialgleichungen in zwei Variablen hat F. M¨ uller das Bernsteinsche Analytizit¨atstheorem mit der in Satz 2 benutzten Uniformisierungsmethode bewiesen; man siehe hierzu: F. M¨ uller: – On the continuation of solutions for elliptic equations in two variables.Ann. Inst. H. Poincar´e - AN 19 (2002), 745-776. – Analyticity of solutions for semilinear elliptic systems of second order.Calc. Var. and PDE 15 (2002), 257-288. 3. Schließlich verweisen wir auf Hans Lewys Originalarbeit: H. Lewy: Neuer Beweis des analytischen Charakters der L¨osungen elliptischer Differentialgleichungen. Math. Annalen 101 (1929), 609-619.

XII Nichtlineare elliptische Systeme

Wir pr¨ asentieren in § 1 ein Maximumprinzip von W. J¨ager f¨ ur das H-Fl¨achensystem. In § 2 beweisen wir die fundamentale Gradientenabsch¨atzung von E. Heinz f¨ ur nichtlineare elliptische Differentialgleichungssysteme. Globale Absch¨ atzungen erbringen wir in § 3. Zusammen mit dem Leray-Schauderschen Abbildungsgrad k¨ onnen wir dann in § 4 einen Existenzsatz f¨ ur nichtlineare elliptische Systeme herleiten. F¨ ur das von F. Rellich gefundene System ∆x = 2Hxu ∧ xv wurde dieser 1954 von E. Heinz entdeckt. In § 5 beweisen wir eine innere Verzerrungsabsch¨ atzung f¨ ur ebene nichtlineare elliptische Systeme, die eine in § 6 bereitgestellte Kr¨ ummungsabsch¨atzung impliziert. In §§ 7-8 f¨ uhren wir konforme Parameter in eine Riemannsche Metrik ein und etablieren hierzu a-priori-Absch¨ atzungen bis zum Rand. Wir erl¨autern in § 9 die Uniformisierungsmethode f¨ ur quasilineare elliptische Differentialgleichungen und l¨ osen das Dirichletproblem f¨ ur die nichtparametrische Gleichung vorgeschriebener mittlerer Kr¨ ummung. Schließlich geben wir in § 10 einen Ausblick auf das Plateausche Problem f¨ ur Fl¨ achen konstanter mittlerer Kr¨ ummung.

§1 Maximumprinzipien fu achensystem ¨r das H-Fl¨ Es sei B := {w = u + iv ∈ C : |w| < 1} die Einheitskreisscheibe. Wir schreiben die Funktion H = H(w, x) : B × R3 → R ∈ C 0 (B × R3 , R)

(1)

mit den Schranken |H(w, x)| ≤ h0 , f¨ ur alle w ∈ B,

|H(w, x) − H(w, y)| ≤ h1 |x − y| x, y ∈ R3

(2)

vor und betrachten das Rellichsche H-Fl¨achensystem x = x(u, v) ∈ C 2 (B, R3 ) ∩ C 0 (B, R3 ), ∆x(u, v) = 2H(w, x(w)) xu ∧ xv ,

w ∈ B.

(3)

274

XII Nichtlineare elliptische Systeme

Gen¨ ugt eine L¨ osung von (3) zus¨ atzlich den Relationen |xu |2 = |xv |2 ,

xu · xv = 0

in B,

d.h. x ist eine konform parametrisierte Fl¨ ache, so hat x die vorgeschriebene mittlere Kr¨ ummung H = H(w, x(w)). Wir wollen von zwei geeigneten L¨osungen x, y von (3) ausgehen, und f¨ ur die Differenz z(w) := x(w) − y(w), w ∈ B, eine Ungleichung der Form sup |z(w)| ≤ C(h0 , h1 , . . .) sup |z(w)|

(4)

w∈∂B

w∈B

herleiten. Diese impliziert die eindeutige L¨ osbarkeit des Dirichletproblems f¨ ur (3) und dessen Stabilit¨ at unter St¨ orungen der Randwerte in der C 0 -Topologie. Der Spezialfall H ≡ 0: Seien x, y L¨ osungen von (3) mit H ≡ 0, so ist auch z(u, v) = x(u, v) − y(u, v) ∈ C 2 (B) ∩ C 0 (B) eine harmonische Funktion. Wir betrachten die Hilfsfunktion f (u, v) := |z(u, v)|2 = z(u, v) · z(u, v) = z(u, v)2 ,

(u, v) ∈ B,

(5)

und berechnen ∆f (u, v) = ∇ · ∇f (u, v) = ∇ · ∇(z · z)   = 2∇(z · ∇z) = 2 |∇z|2 + z · ∆z = 2|∇z(u, v)|2 ≥ 0

in

B.

∂ ∂ Hierbei haben wir ∇ = ( ∂u , ∂v ) und z · ∇z = (z · zu , z · zv ) ∈ R2 geschrieben. Das Maximumprinzip f¨ ur subharmonische Funktionen liefert

sup |z(w)| ≤ sup |z(w)|. w∈B

(6)

w∈∂B

Im allgemeinen Fall H ≡ 0 gehen wir aus von zwei L¨osungen x, y von (3) mit der Differenzfunktion z(u, v) = x(u, v)− y(u, v) und betrachten die gewichtete Abstandsfunktion von W. J¨ager 1  (7) φ(|x(u, v)|2 ) + φ(|y(u, v)|2 ) F (u, v) := |z(u, v)|2 exp 2 f¨ ur w = u + iv ∈ B. Hierbei bezeichnet φ = φ(t) : [0, M 2 ) → R ∈ C 2 ([0, M 2 ))

(8)

eine noch zu bestimmende Hilfsfunktion mit einem geeigneten M > 0. Offenbar k¨ onnen wir mit der Abstandsfunktion (7) nur kleine L¨osungen betrachten, die (9) |x(u, v)| < M, |y(u, v)| < M f¨ ur alle w = u + iv ∈ B

§1 Maximumprinzipien f¨ ur das H-Fl¨ achensystem

275

erf¨ ullen. Wir wollen nun φ so bestimmen, daß F einer Differentialungleichung gen¨ ugt, f¨ ur die das Maximumprinzip gilt. Zun¨ achst gilt % & 2 2 2 2 1 1 ∇e 2 (φ(x )+φ(y )) = e 2 (φ(x )+φ(y )) φ (x2 )(x · ∇x) + φ (y2 )(y · ∇y) , (10) und wir berechnen 1

∇F = e 2 (φ(x

2

)+φ(y2 ))



% & ∇(z2 ) + z2 φ (x2 )(x · ∇x) + φ (y2 )(y · ∇y)

beziehungsweise 1

e− 2 (φ(x

2

)+φ(y2 ))

% & ∇F = ∇(z2 ) + z2 φ (x2 )(x · ∇x) + φ (y2 )(y · ∇y) .

(11)

Wenden wir auf diese Identit¨ at ∇ an, so folgt der Hilfssatz 1. Die in (7) erkl¨arte Funktion F (u, v) gen¨ ugt in B der Differentialgleichung    1  1 2 2 2 2 LF := e− 2 (φ(x )+φ(y )) Fu + e− 2 (φ(x )+φ(y )) Fv u

& 1 % = ∆(z2 ) + z2 φ (x2 )∆(x2 ) + φ (y2 )∆(y2 ) 2 % & +2z2 φ (x2 )(x · ∇x)2 + φ (y2 )(y · ∇y)2

v

% & +2(z · ∇z) · φ (x2 )(x · ∇x) + φ (y2 )(y · ∇y) . Unser Ziel ist es nun φ so zu w¨ ahlen, daß LF ≥ 0 in B gilt. Zun¨achst beachten wir |∆x| ≤ 2|H| |xu ∧ xv | ≤ h0 |∇x|2 und erhalten ∆(x2 ) = 2(|∇x|2 + x · ∆x) ≥ 2(|∇x|2 − |x| |∆x|) ≥ 2|∇x|2 (1 − h0 |x|), ∆(y2 ) = 2(|∇y|2 + y · ∆y) ≥ 2(|∇y|2 − |y| |∆y|) ≥ 2|∇y|2 (1 − h0 |y|)

in B.

Hilfssatz 2. F¨ ur alle w ∈ B  := {ζ ∈ B | |z(ζ)| = 0} gilt ∆(z2 ) − 2

2  z · ∇z ≥ −(h20 + h1 )|z|2 (|∇x|2 + |∇y|2 ). |z|

(12)

276

XII Nichtlineare elliptische Systeme

Beweis: Es gilt ∆(z2 ) = 2(|∇z|2 + z · ∆z). Wir sch¨atzen ab )  ) |z · ∆z| = |z · (∆x − ∆y)| = )z · 2H(w, x)xu ∧ xv − 2H(w, y)yu ∧ yv ) ≤ 2|H(w, x)| |z · (xu ∧ xv − yu ∧ yv )| +2|H(w, x) − H(w, y)| |z| |yu ∧ yv | ≤ 2h0 |(z, zu , xv ) + (z, yu , zv )| + h1 |z|2 |∇y|2 ≤ 2h0 ≤

 |z ∧ z |  |z ∧ zv | u |xv | |z| + |yu | |z| + h1 |z|2 |∇y|2 |z| |z|

|z ∧ zu |2 |z ∧ zv |2 + + h20 |z|2 (|xv |2 + |yu |2 ) + h1 |z|2 |∇y|2 |z|2 |z|2

= |∇z|2 −

1 {(z · zu )2 + (z · zv )2 } |z|2

+h20 |z|2 (|xv |2 + |yu |2 ) + h1 |z|2 |∇y|2 . Vertauschen wir x und y und addieren beide Ungleichungen, so folgt 2|z · ∆z| ≤ 2|∇z|2 −

2 (z · ∇z)2 + h20 |z|2 (|∇x|2 + |∇y|2 ) |z|2

+h1 |z|2 (|∇x|2 + |∇y|2 ). Wir erhalten schließlich 1 ∆(z2 ) ≥ 2 2 (z · ∇z)2 − (h20 + h1 )|z|2 (|∇x|2 + |∇y|2 ). |z|

q.e.d.

Wir kombinieren nun die Hilfss¨ atze 1 und 2 mit Formel (12) und ermitteln   LF ≥ − (h20 + h1 ) + φ (x2 )(1 − h0 |x|) |z|2 |∇x|2 2    z · ∇z + − (h20 + h1 ) + φ (y2 )(1 − h0 |y|) |z|2 |∇y|2 + 2 |z|    |z| √  z · ∇z · φ (x2 )(x · ∇x) + φ (y2 )(y · ∇y) √ ++2 2 |z| 2   +2|z|2 φ (x2 )(x · ∇x)2 + φ (y2 )(y · ∇y)2 ≥ ψ(|x|)|z|2 |∇x|2 + ψ(|y|)|z|2 |∇y|2 1 − |z|2 |φ (x2 )(x · ∇x) + φ (y2 )(y · ∇y)|2 2   +2|z|2 φ (x2 )(x · ∇x)2 + φ (y2 )(y · ∇y)2 ,

§1 Maximumprinzipien f¨ ur das H-Fl¨ achensystem

277

also LF ≥ ψ(|x|)|z|2 |∇x|2 + ψ(|y|)|z|2 |∇y|2   +|z|2 (2φ (x2 ) − φ (x2 )2 )(x · ∇x)2 + (2φ (y2 ) − φ (y2 )2 )(y · ∇y)2 (13) mit der Hilfsfunktion ψ(t) := −(h20 + h1 ) + φ (t2 )(1 − h0 t),

t ∈ [0, M ).

(14)

In Formel (13) haben wir noch φ (t) ≥ 0 f¨ ur t ∈ [0, M 2 ) vorausgesetzt, und 2 wir bestimmen nun ein φ(t) : [0, M ) → R ∈ C 2 so, daß zus¨atzlich φ (t) ≥

1  2 φ (t) 2

in [0, M 2 )

gilt. Dies ist f¨ ur die Funktion φ(t) = −2 log(M 2 − t),

t ∈ [0, M 2 ),

mit φ (t) = 2(M 2 − t)−1 , φ (t) = 2(M 2 − t)−2 = 12 φ (t)2 f¨ ur t ∈ [0, M 2 ) offenbar richtig. Setzen wir dieses φ und die entsprechende Funktion ψ in (13) ein, so folgt LF ≥ ψ(|x|) |z|2 |∇x|2 + ψ(|y|) |z|2 |∇y|2 falls

|x| < M, |y| < M

in B, (15)

in B

richtig ist. Nun gilt f¨ ur alle t ∈ [0, M ) die Absch¨atzung ψ(t) = −(h20 + h1 ) + 2

 1 − h0 t − (M − t ) + 2 2 h0 + h1  2  h h2 + h1 2 h0 0 = 02 − 2 t + t M − t2 h20 + h1 h20 + h1  h2 2 − 2 0 2+ 2 − M2 (h0 + h1 ) h0 + h1   h2 + h1 2(h20 + h1 ) − h20 2 ≥ 02 − M = 0, M − t2 (h20 + h1 )2

h2 + h1 = 02 M − t2

falls



1 − h0 t M 2 − t2 2

2

' h20 + 2h1 M= h20 + h1

gew¨ ahlt wird. Wir erhalten somit den

(16)

278

XII Nichtlineare elliptische Systeme

Satz 1. (J¨ agersches Maximumprinzip) Die Funktion H = H(w, x) ∈ C 0 (B × R3 ) gen¨ uge den Ungleichungen (2) und x = x(u, v), y = y(u, v) seien zwei L¨osungen des H-Fl¨achensystems (3). Wir setzen F (u, v) :=

(M 2

|x(u, v) − y(u, v)|2 , − |x(u, v)|2 )(M 2 − |y(u, v)|2 )

(u, v) ∈ B.

(17)

Dabei gelte |x(u, v)| < M , |y(u, v)| < M f¨ ur alle (u, v) ∈ B mit ' h20 + 2h1 M= . h20 + h1 Behauptung: Dann gen¨ ugt F der linearen, elliptischen Differentialungleichung     LF := (M 2 − |x|2 )(M 2 − |y|2 )Fu + (M 2 − |x|2 )(M 2 − |y|2 )Fv u

≥ 0

in

v

B.

Satz 2. (Geometrisches Maximumprinzip von E. Heinz) Sei die Funktion x(u, v) = (x1 (u, v), . . . , xn (u, v)) : B → Rn ∈ C 2 (B) ∩ C 0 (B) eine L¨osung der Differentialungleichung |∆x(u, v)| ≤ a|∇x(u, v)|2 ,

(u, v) ∈ B.

(18)

Die Kleinheitsbedingung |x(u, v)| ≤ M,

(u, v) ∈ B,

(19)

sei erf¨ ullt, und es gelte aM ≤ 1

f¨ ur die Konstanten

a ∈ [0, +∞), M ∈ (0, +∞).

(20)

Behauptung: Dann folgt sup |x(u, v)| ≤

(u,v)∈B

sup (u,v)∈∂B

|x(u, v)|.

Beweis: Die Hilfsfunktion f (u, v) := |x(u, v)|2 , (u, v) ∈ B, gen¨ ugt der Differentialungleichung   ∆f (u, v) = 2 |∇x(u, v)|2 + x(u, v) · ∆x(u, v)   ≥ 2 |∇x(u, v)|2 − |x(u, v)| |∆x(u, v)|   ≥ 2 |∇x(u, v)|2 − a|x(u, v)| |∇x(u, v)|2 ≥ 2|∇x(u, v)|2 (1 − aM ) ≥ 0

in B.

§1 Maximumprinzipien f¨ ur das H-Fl¨ achensystem

279

Das Maximumprinzip f¨ ur subharmonische Funktionen liefert die Behauptung. q.e.d. Bemerkungen: 1. Ist |x(u, v)| ≡ M auf B, so folgt |x(u, v)| < M f¨ ur alle (u, v) ∈ B. 2. Satz 2 gilt insbesondere f¨ ur L¨ osungen des H-Fl¨achensystems (3) mit a = h0 . Satz 3. (J¨ agersche Absch¨ atzung) Die Funktion H = H(w, x) erf¨ ulle (1) und (2), und wir setzen ' h20 + 2h1 M := . h20 + h1 Weiter seien x, y zwei L¨osungen des H-Fl¨achensystems (3) mit |x(u, v)| ≤ M,

|y(u, v)| ≤ M

f¨ ur alle

(u, v) ∈ B.

(21)

Zus¨atzlich gelte xC 0 (∂B) := sup |x(w)| < M und yC 0 (∂B) < M . w∈∂B

Behauptung: Dann haben wir f¨ ur alle w ∈ B die Ungleichung x − y2C 0 (∂B) |x(w) − y(w)|2 ≤ . (M 2 − |x(w)|2 )(M 2 − |y(w)|2 ) (M 2 − x2C 0 (∂B) )(M 2 − y2C 0 (∂B) ) (22) Beweis: Wir wollen auf die Funktionen x und y das geometrische Maximumprinzip mit a = h0 anwenden. Dazu bemerken wir, daß aM ≤ 1 genau dann gilt, wenn h20 (h20 + 2h1 ) ≤1 (h20 + h1 )2 bzw. h40 + 2h20 h1 ≤ h40 + 2h20 h1 + h21 richtig ist, und letzteres ist offenbar immer erf¨ ullt. Satz 2 liefert also xC 0 (B) ≤ xC 0 (∂B) < M

und

yC 0 (B) ≤ yC 0 (∂B) < M.

Auf die Hilfsfunktion F (u, v) aus Satz 1 wenden wir nun das Hopfsche Maximumprinzip an und erhalten (22). q.e.d. Folgerung: Zus¨ atzlich zu den Voraussetzungen von Satz 3 seien die Ungleichungen xC 0 (∂B) ≤ M  < M

und

yC 0 (∂B) ≤ M  < M

erf¨ ullt. Dann gibt es eine Konstante k = k(M, M  ) > 0, so daß gilt

280

XII Nichtlineare elliptische Systeme

x − yC 0 (B) ≤ k(M, M  )x − yC 0 (∂B) .

(23)

Bemerkung: In der Originalarbeit von W. J¨ ager: Ein Maximumprinzip f¨ ur ein System nichtlinearer Differentialgleichungen.Nachr. Akad. Wiss. G¨ ottingen, II. Math. Phys. Kl. (1976), 157164 wird auch f¨ ur Systeme der Form ∆x(u, v) = F(u, v, x(u, v), ∇x(u, v)),

(u, v) ∈ B,

(24)

unter Strukturbedingungen an die rechte Seite ein Maximumprinzip hergeleitet. Spezialisiert auf das H-Fl¨ achensystem ergibt sich daraus eine quantitativ schw¨ achere Aussage.

§2 Gradientenabsch¨ atzungen fu ¨ r nichtlineare elliptische Systeme In einem Gebiet Ω ⊂ R2 betrachten wir L¨ osungen x = x(u, v) = (x1 (u, v), . . . , xn (u, v)) ∈ C 2 (Ω, Rn ) ∩ C 0 (Ω, Rn )

(1)

der Differentialungleichung (kurz DUGL) |∆x(u, v)| ≤ a|∇x(u, v)|2 + b

f¨ ur alle

(u, v) ∈ Ω

(2)

mit den Konstanten a, b ∈ [0, +∞). Mit M ∈ (0, +∞) stellen wir die Kleinheitsbedingung |x(u, v)| ≤ M f¨ ur alle (u, v) ∈ Ω (3) an die L¨ osung von (1), (2). Bemerkung: Sowohl das H-Fl¨ achensystem als auch lineare Systeme und die Poissongleichung werden mit der DUGL (2) erfaßt. Wir wollen |∇x(u, v)| sowohl im Innern von Ω als auch auf dem Rand - unter geeigneten Randbedingungen - nach oben absch¨atzen. Hilfssatz 1. Sei x = x(u, v) eine L¨osung von (1)-(3). Dann gen¨ ugt die Funktion f (u, v) := |x(u, v)|2 in Ω der DUGL ∆f (u, v) ≥ 2(1 − aM )|∇x(u, v)|2 − 2bM,

(u, v) ∈ Ω.

(4)

Beweis: Zun¨ achst gilt ∆f (u, v) = 2(|∇x(u, v)|2 + x · ∆x(u, v)) in Ω. Ferner ist wegen (2) die Ungleichung |x · ∆x(u, v)| ≤ aM |∇x(u, v)|2 + bM erf¨ ullt, und es folgt (4).

in Ω q.e.d.

§2 Gradientenabsch¨ atzungen f¨ ur nichtlineare elliptische Systeme

281

Hilfssatz 2. (Innere Energieabsch¨ atzung) Sei aM < 1 erf¨ ullt und ϑ ∈ (0, 1) gew¨ahlt. Weiter erf¨ ulle die Kreisscheibe BR (w0 ) := {w ∈ C : |w − w0 | < R} mit w0 ∈ Ω und R > 0 die Inklusion ur alle L¨osungen von (1)-(3) die Ungleichung BR (w0 ) ⊂ Ω. Dann gilt f¨

|∇x(u, v)|2 du dv BϑR (w0 )

 2πM 1 ≤ − log ϑ 1 − aM

 (5) πbM R2 sup |x(w) − x(w0 )| + . 2(1 − aM ) w∈∂BR (w0 )

Beweis: F¨ ur beliebige Funktionen φ ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) haben wir nach Satz 3 aus Kap. V, § 2 die Identit¨ at


  R 1 1 log ∆φ(w) du dv. φ(w) dσ(w) − φ(w0 ) = 2πR 2π |w − w0 | ∂BR (w0 )

BR (w0 )

F¨ ur φ(w) := |w − w0 |2 = (u − u0 )2 + (v − v0 )2 , w ∈ R2 , erhalten wir

  R 1 2 log 0=R − 4 du dv 2π |w − w0 |

(6)

BR (w0 )

beziehungsweise



log BR (w0 )

πR2 R du dv = . |w − w0 | 2

Setzen wir nun φ = f (u, v) = |x(u, v)|2 in (6) ein, so liefert Hilfssatz 1

  R 1 − aM bM R2 log |∇x(u, v)|2 du dv − π |w − w0 | 2 BR (w0 )





1 ≤ 2π

log BR (w0 )

1 = 2πR






 R ∆f (u, v) du dv |w − w0 |

 f (w) − f (w0 ) dσ(w)

∂BR (w0 )

1 ≤ 2πR




|x(w) − x(w0 )| |x(w) + x(w0 )| dσ(w) ∂BR (w0 )

≤ 2M Somit folgt

sup w∈∂BR (w0 )

|x(w) − x(w0 )|.

(7)

282

XII Nichtlineare elliptische Systeme



 log BR (w0 )

 R |∇x(u, v)|2 du dv |w − w0 |

2πM ≤ 1 − aM

πbM R2 sup . |x(w) − x(w0 )| + 2(1 − aM ) w∈∂BR (w0 )

Diese Ungleichung impliziert (5).

(8)

q.e.d.

Hilfssatz 3. (Rand-Energieabsch¨ atzung) Es gelte aM < 1, und ϑ ∈ (0, 1) sei gew¨ahlt. Die Kreisscheibe BR (w0 ) mit w0 ∈ R und R > 0 erf¨ ulle   BR (w0 ) ∩ Ω = w ∈ BR (w0 ) : Im w > 0 =: HR (w0 ). (9) Wir setzen ∂HR (w0 ) = CR (w0 ) ∪ IR (w0 ) mit   CR (w0 ) := w ∈ ∂BR (w0 ) : Im w ≥ 0 , IR (w0 ) := [w0 − R, w0 + R]. Dann gilt f¨ ur alle L¨osungen x ∈ C 1 (Ω) von (1)-(3), die der Randbedingung x(u, 0) = 0

f¨ ur alle

u ∈ IR (w0 )

gen¨ ugen, die Absch¨atzung

|∇x(u, v)|2 du dv HϑR (w0 )

≤

 πM 1 − log ϑ 1 − aM

sup w∈CR (w0 )

|x(w) − x(w0 )| +

 πbM R2 . 4(1 − aM )

(10)

Beweis: 1. Durch Spiegelung setzen wir x fort zu  x(u, v), w = u + iv ∈ HR (w0 ) ˆ (u, v) := x . x(u, −v), w ∈ BR (w0 ) \ HR (w0 )

(11)

ˆ (u, v) ist stetig in BR (w0 ) und gen¨ ugt in BR (w0 ) \ IR (w0 ) Die Funktion x der DUGL (2). Allerdings kann xv (u, v) auf IR (w0 ) eine Sprungstelle haben. Wir betrachten die Funktion φ(u, v) := |ˆ x(u, v)|2 ,

(u, v) ∈ BR (w0 ),

(12)

ullt. Weiter ermitteln wir welche in BR (w0 ) \ IR (w0 ) die DUGL (4) erf¨ φ ∈ C 1 (BR (w0 ))

und

φ(u, 0) = 0 = φv (u, 0) in IR (w0 ). 2

(13)

Wir zeigen nun, daß Formel (6) auch f¨ ur φ = |ˆ x| gilt. Fahren wir dann wie im Beweis von Hilfssatz 2 fort, so erhalten wir (5) f¨ ur die gespiegelte ˆ (w). Die Absch¨ Funktion x atzung (10) folgt dann aus Symmetriegr¨ unden.

§2 Gradientenabsch¨ atzungen f¨ ur nichtlineare elliptische Systeme

283

2. F¨ ur hinreichend kleine 0 < ε < ε0 erkl¨ aren wir die Mengen   Bε± := w ∈ C : 0 < ε < |w − w0 | < R, ±Im w > 0 und setzen r := |w − w0 | ∈ [0, R]. Im Punkt w0 verwenden wir die Greensche Funktion ψ(w) = ψ(u, v) =

R 1 log 2π |w − w0 |

1 (log R − log r), = 2π

(14)

w ∈ BR (w0 ) \ {w0 }.

Mit der Greenschen Formel berechnen wir f¨ ur 0 < ε < ε0



  R 1 log ∆φ(u, v) du dv = (ψ∆φ − φ∆ψ) du dv 2π |w − w0 | Bε±

Bε±


 ∂φ ∂ψ  ψ −φ = dσ. ∂ν ∂ν

(15)

∂Bε±

Mit den Randbedingungen (13), (14) f¨ ur φ und ψ folgt aus (15) durch Addition


 R 1 1 log ∆φ(u, v) du dv = φ(w) dσ(w) 2π |w − w0 | 2πR Bε+ ∪Bε−

−

∂BR (w0 )

1 2πε


φ(w) dσ(w) +

|w−w0 |=ε

1 2π




 log

R  ∂φ(w) dσ(w) ε ∂ν

|w−w0 |=ε

f¨ ur 0 < ε < ε0 . Wegen φ ∈ C 1 (BR (w0 )) liefert der Grenz¨ ubergang ε → 0+
1 φ(w) dσ(w) φ(w0 ) = 2πR ∂BR (w0 )

1 − 2π



 log

BR (w0 )

 R ∆φ(u, v) du dv. |w − w0 |

Wie in Teil 1 des Beweises beschrieben folgt nun die Behauptung. q.e.d. Mit den Hilfss¨ atzen 2 und 3 k¨ onnen wir die Oszillation von x nach dem Courant-Lebesgue-Lemma auf ausgew¨ ahlten Kreislinien absch¨atzen. Unter Verwendung der Wirtingeroperatoren 1 ∂ ∂  ∂ 1 ∂ ∂  ∂ = −i und = +i ∂w 2 ∂u ∂v ∂w 2 ∂u ∂v

284

XII Nichtlineare elliptische Systeme

betrachten wir die komplexe Ableitungsfunktion y(w) := xw (w),

w ∈ Ω.

(16)

Die DUGL (2) l¨ aßt sich schreiben als 4|xww (w)| ≤ 4a|xw (w)|2 + b beziehungsweise 1 |yw (w)| ≤ a|y(w)|2 + b 4

f¨ ur alle w ∈ Ω.

(17)

Mit den Oszillationsungleichungen werden wir nun das Cauchyintegral der komplexen Ableitungsfunktion y f¨ ur L¨ osungen von (2) absch¨atzen. Hilfssatz 4. Unter den Voraussetzungen von Hilfssatz 2 gibt es zu jedem ϑ ∈ (0, 1) ein λ = λ(ϑ) ∈ [ 14 , 12 ], so daß die Ableitungsfunktion y(w) = xw (w) einer L¨osung x(w) von (1)-(3) folgender Ungleichung gen¨ ugt:  ) 8 M 2 + 1 bM R2 )
) ) 1 1 y(w) 1 8 ) √ √ dw)) ≤ √ ) 2πi w − w0 log 4 1 − aM ϑ − log ϑ R (18) ∂BλϑR (w0 ) a b sup + ϑR |y(w)|2 + ϑR. 2 8 w∈BϑR (w0 ) Beweis: 1. F¨ ur beliebiges ϑ ∈ (0, 1) entnehmen wir Hilfssatz 2 die Absch¨atzung  -

√ . 2 M 2 + 8b M R2 π . 2 √ . (19) |∇x(u, v)| du dv ≤ √ / − log ϑ 1 − aM BϑR (w0 )

Nach dem Courant-Lebesgueschen Oszillationslemma (vgl. Satz 3 in Kapitel I, § 5) gibt es demnach ein λ = λ(ϑ) ∈ [ 14 , 12 ], so daß
∂BλϑR (w0 )

 M 2 + 8b M R2 4π 1 √ √ |dx(w)| ≤ √ log 4 − log ϑ 1 − aM

(20)

erf¨ ullt ist. 2. Wir setzen B := BλϑR (w0 ) und  := λϑR. Mit dem Gaußschen Satz in komplexer Form (siehe Kap. IV, § 4) berechnen wir

§2 Gradientenabsch¨ atzungen f¨ ur nichtlineare elliptische Systeme




∂B

y(w) dw − w − w0





∂B

∂B


=− ∂B

=−

dx(w) w − w0

xw (w) dw − w − w0

=

1 

285


∂B

xw (w) dw + xw (w) dw w − w0

xw (w) dw 1 =− w − w0 




xw (w) dw  w−w0

∂B




xw (w) dw 0 ( w−w  )

∂B

 =−



1 2




(w − w0 )xw dw ∂B

 

 1 ∂  = − 2 2i (w − w0 )xw (w) du dv  ∂w =

2i 2





B

(w − w0 )xww (w) du dv B

=

2i 2



(w − w0 )yw (w) du dv. B

3. Wir k¨ onnen nun absch¨ atzen ) )



) 1 ) 1 y(w) |dx(w)| )≤ 1 ) + dw |w − w0 ||yw (w)| du dv ) ) 2πi w − w0 2π |w − w0 | π2 ∂B

∂B

≤

1 2π

B




|dx(w)| +  sup |yw (w)| w∈B ∂B

 M 2 + 8b M R2 1 √ √ − log ϑ 1 − aM   b ϑR a sup |y(w)|2 + + 2 4 w∈B  M 2 + 8b M R2 8 1 √ √ ≤ √ ϑR log 4 1 − aM − log ϑ

4π 2 √ ≤ πϑR log 4

a b sup + ϑR |y(w)|2 + ϑR. 2 8 w∈BϑR (w0 )

q.e.d.

286

XII Nichtlineare elliptische Systeme

Hilfssatz 5. Unter den Voraussetzungen von Hilfssatz 3 betrachten wir die gespiegelte Gradientenfunktion  ixw (w), w ∈ HR (w0 ) z(w) := . (21) −ixw (w), w ∈ BR (w0 ) \ HR (w0 ) ugt der Diese geh¨ort zur Klasse C 0 (BR (w0 )) ∩ C 1 (BR (w0 ) \ IR (w0 )) und gen¨ DUGL |zw (w)| ≤ a|z(w)|2 +

b 4

f¨ ur alle

w ∈ BR (w0 ) \ IR (w0 ).

Weiter gibt es zu jedem ϑ ∈ (0, 1) ein λ = λ(ϑ) ∈ [ 14 , 12 ], so daß gilt  ) )
8 M 2 + 18 bM R2 ) ) 1 1 z(w) 1 ) √ √ dw)) ≤ √ ) 2πi w − w0 log 4 1 − aM ϑ − log ϑ R ∂BλϑR (w0 )

(22)

(23)

a b sup + ϑR |z(w)|2 + ϑR. 2 8 w∈BϑR (w0 )

Beweis: ˆ (u, v) und haben 1. Gem¨ aß (11) spiegeln wir x(u, v) zu x |∆ˆ x(u, v)| ≤ a|∇ˆ x(u, v)|2 +b

f¨ ur alle

(u, v) ∈ BR (w0 )\IR (w0 ). (24)

Wegen xu (u, 0) = 0 = Im z(u, 0) in IR (w0 ) ist die gem¨aß (21) definierte Funktion stetig in BR (w0 ). Ferner gilt  xw (w) = −iz(w), w ∈ HR (w0 ) ˆ w (w) = x , (25) xw (w) = iz(w), w ∈ BR (w0 ) \ H R (w0 ) und aus (24) folgt die Ungleichung (22). Ersetzen wir in Teil 1 des Beweises ˆ , so erhalten wir von Hilfssatz 4 noch x durch x 
M 2 + 8b M R2 4π 1 √ √ |dˆ x(w)| ≤ √ (26) log 4 − log ϑ 1 − aM ∂BλϑR (w0 )

mit einem λ = λ(ϑ) ∈ [ 14 , 12 ]. Das Courant-Lebesgue-Lemma ist n¨amlich ˆ - deren Ableitungen k¨onnen an IR (w0 ) einen auch auf die Funktion x Sprung aufweisen - anwendbar. ¨ 2. Wir folgen nun den Uberlegungen in Teil 2 des Beweises von Hilfssatz 4 und setzen zus¨ atzlich   B ± := w ∈ BλϑR (w0 ) : ±Im w > 0 ,   C ± := w ∈ ∂BλϑR (w0 ) : ±Im w ≥ 0 .

§2 Gradientenabsch¨ atzungen f¨ ur nichtlineare elliptische Systeme

Die Rechnung dort liefert  


iˆ xw (w) dˆ x(w) 1 dw − i = 2 (w − w0 )iˆ xw (w) dw . w − w0 w − w0  C±

C±

287

(27)

C±

xw (w) bei Ann¨ aherung von oben oder unten Da der Integrand (w − w0 )iˆ an IR (w0 ) einen Vorzeichenwechsel erf¨ ahrt , folgt



iˆ xw (w) −iˆ xw (w) dˆ x(w) dˆ x(w) dw + dw − i +i w − w0 w − w0 w − w0 w − w0 C+

C−

=

1 2

C+






C−

(w − w0 )iˆ xw (w) dw ∂B +

+

1 2




(w − w0 )(−i)ˆ xw (w) dw ∂B −

 

1 = 2 2i xww (w) du dv (w − w0 )iˆ  B+

 

1 + 2 2i xww (w) du dv (w − w0 )(−i)ˆ  =−

2 2





B−

(w − w0 )ˆ xww (w) du dv B+

2 + 2 



xww (w) du dv. (w − w0 )ˆ

B−

Beachten wir noch (25), so erhalten wir die Absch¨atzung )
) ) )

) ) ) 1 ) z(w) iˆ xw (w) −iˆ xw (w) )= 1 ) ) ) dw dw + dw ) ) ) 2πi ) w − w0 2π w − w0 w − w0 C+

∂BλϑR (w0 )

≤

1 2π


∂B

1 |dˆ x(w)| + |w − w0 | π2

C−



|w − w0 | |zw (w)| du dv. B

Wie in Teil 3 des Beweises von Hilfssatz 4 finden wir nun die Absch¨atzung (23). Dazu ersetzen wir die Funktion y durch z und verwenden (22) und die Oszillationsabsch¨ atzung (26). q.e.d. Bemerkung: Hilfssatz 5 bleibt unter entsprechenden Voraussetzungen g¨ ultig ur welf¨ ur Kreisscheiben mit einem Mittelpunkt w0 ∈ C und Im w0 > 0, f¨ ullt ist. Die in Hilfssatz che BR (w0 ) ∩ Ω = {w ∈ BR (w0 ) : Im w > 0} erf¨

288

XII Nichtlineare elliptische Systeme

3 bewiesene Absch¨ atzung des Dirichletintegrals ist n¨amlich (in leicht modifizierter Form) auch in dieser Situation richtig. Wir werden die Hilfss¨atze 3 und 5 im n¨ achsten Paragraphen nutzen, um eine globale C 1+α -Absch¨atzung herzuleiten. Satz 1. (Gradientenabsch¨ atzung von E. Heinz) Im beschr¨ankten Gebiet Ω ⊂ R2 sei eine L¨osung x = x(u, v) von (1)-(3) mit aM < 1 gegeben. Wir erkl¨aren δ(w) := dist {w, ∂Ω} = inf |ζ − w|, ζ∈C\Ω

w ∈ Ω,

und

d := sup δ(w). w∈Ω

Dann gibt es eine Konstante C = C(a, M, bd2 ), so daß die Ungleichung δ(w)|∇x(w)| ≤ C(a, M, bd2 )

f¨ ur alle

w∈Ω

(28)

erf¨ ullt ist. Beweis: 1. Wir nehmen zun¨ achst x = x(u, v) ∈ C 1 (Ω, Rn ) an und betrachten die stetige Funktion w ∈ Ω,

φ(w) := δ(w)|y(w)|,

(29)

mit y(w) = xw (w), w ∈ Ω. Diese nimmt wegen φ|∂Ω = 0 ihr Maximum in einem inneren Punkt w0 ∈ Ω an. Setzen wir R := δ(w0 ) > 0, so erhalten wir BR (w0 ) ⊂ Ω. F¨ ur beliebiges ϑ ∈ (0, 1) finden wir nach Hilfssatz 4 ein λ = λ(ϑ) ∈ [ 14 , 12 ], so daß ) )
) 1 ) y(w) c1 (a, M, bd2 ) bd2 √ R )) dw)) ≤ + 2πi w − w0 8 ϑ − log ϑ ∂BλϑR (w0 ) (30) a + ϑR2 sup |y(w)|2 2 w∈BϑR (w0 ) mit der Konstante

 8 M 2 + 18 bM d2 √ c1 (a, M, bd2 ) := √ log 4 1 − aM

richtig ist. Satz 1 aus Kap. IV, § 5 entnehmen wir auf der Kreisscheibe B := BλϑR (w0 ) vom Radius  := λϑR ∈ (0, R) die Integraldarstellung


y(w) 1 1 yw (w) y(w0 ) = dw − du dv. (31) 2πi w − w0 π w − w0 ∂B

B

Das erste Integral in (31) haben wir in (30) abgesch¨atzt. F¨ uhren wir Polarkoordinaten ein und beachten (17), so erhalten wir f¨ ur das zweite Integral in (31)

§2 Gradientenabsch¨ atzungen f¨ ur nichtlineare elliptische Systeme

289

)

)

) R yw (w) 1 R )) )≤ sup du dv du dv |y (w)| w ) π) w − w0 π w∈B |w − w0 | B

B

R b 1 a sup 2π ϑR ≤ |y(w)|2 + π 4 2 w∈BϑR (w0 ) ≤ aϑR2

(32)

1 |y(w)|2 + bd2 . 4 w∈BϑR (w0 ) sup

2. Aus (29)-(32) ergibt sich φ(w0 ) = δ(w0 )|y(w0 )| = R|y(w0 )| ≤

c1 (a, M, bd2 ) 3 2 3 √ sup |y(w)|2 + bd + aϑR2 8 2 ϑ − log ϑ w∈BϑR (w0 )

≤

 δ(w) 2 c1 (a, M, bd2 ) 3 2 3 √ |y(w)| sup + bd + aϑR2 8 2 ϑ − log ϑ w∈BϑR (w0 ) R − ϑR

≤

ϑ c1 (a, M, bd2 ) 3 2 3a √ + bd + 8 2 (1 − ϑ)2 ϑ − log ϑ

sup

φ(w)2 .

w∈BϑR (w0 )

Somit folgt f¨ ur alle ϑ ∈ (0, 1) die Ungleichung φ(w0 ) ≤

c1 (a, M, bd2 ) 3 2 3a ϑ √ φ(w0 )2 . + bd + 8 2 (1 − ϑ)2 ϑ − log ϑ

(33)

3. F¨ ur ϑ ∈ (0, 1) erkl¨ aren wir nun α(ϑ) :=

3a ϑ >0 2 (1 − ϑ)2

mit

lim α(ϑ) = 0

ϑ→0+

und c1 (a, M, bd2 ) 3 2 √ + bd > 0 8 ϑ − log ϑ

β(ϑ) :=

mit

lim β(ϑ) = +∞.

ϑ→0+

Wir ermitteln α(ϑ)β(ϑ) =

3ac1 (a, M, bd2 ) 9abd2 ϑ √ → 0, + 2(1 − ϑ)2 − log ϑ 16(1 − ϑ)2

ϑ→0+.

F¨ ur t := φ(w0 ) erhalten wir die Ungleichung α(ϑ)t2 − t + β(ϑ) ≥ 0

f¨ ur alle ϑ ∈ (0, 1).

¨ Aquivalent hierzu ist 2  1 − 4α(ϑ)β(ϑ) 1 ≥ t− 2α(ϑ) 4α(ϑ)2

f¨ ur alle ϑ ∈ (0, 1).

(34)

(35)

290

XII Nichtlineare elliptische Systeme

Es existiert nun ein ϑ0 = ϑ0 (a, M, bd2 ) ∈ (0, 1) mit 0 < 4α(ϑ)β(ϑ) ≤

3 4

f¨ ur alle ϑ ∈ (0, ϑ0 ],

(36)

woraus

' 1 f¨ ur alle ϑ ∈ (0, ϑ0 ] 1 − 4α(ϑ)β(ϑ) ≥ 2 folgt. Setzen wir ' 1 ± 1 − 4α(ϑ)β(ϑ) χ± (ϑ) := , ϑ ∈ (0, ϑ0 ], 2α(ϑ)

(37)

so liefert (35) f¨ ur jedes ϑ ∈ (0, ϑ0 ] die Alternative t ≤ χ− (ϑ)

oder

t ≥ χ+ (ϑ).

(38)

Da die Funktionen χ− (ϑ) < χ+ (ϑ), ϑ ∈ (0, ϑ0 ], stetig von ϑ auf (0, ϑ0 ] ullt ist, folgt abh¨ angen und lim χ+ (ϑ) = +∞ erf¨ ϑ→0+

t ≤ χ− (ϑ)

f¨ ur alle ϑ ∈ (0, ϑ0 ].

Wir erhalten t ≤ χ− (ϑ0 ) = χ− (ϑ0 (a, M, bd2 )) =:

1 C(a, M, bd2 ) 2

(39)

und somit sup δ(w)|∇x(w)| = 2 sup δ(w)|y(w)| = 2 sup φ(w) w∈Ω

w∈Ω

w∈Ω

= 2φ(w0 ) = 2t ≤ C(a, M, bd2 ). Dies ist die gesuchte Absch¨ atzung (28) im Falle x ∈ C 1 (Ω, Rn ). 2 0 4. Es sei nun x ∈ C (Ω) ∩ C (Ω). Dann wenden wir die Absch¨atzung (28) zun¨ achst auf der Menge   Ωε := w ∈ Ω : dist {w, ∂Ω} > ε f¨ ur 0 < ε < ε0 an und erhalten (δ(w) − ε)|∇x(w)| ≤ C(a, M, bd2 )

f¨ ur alle w ∈ Ωε

(40)

mit 0 < ε < ε0 . F¨ ur ε → 0+ folgt dann δ(w)|∇x(w)| ≤ C(a, M, bd2 )

f¨ ur alle w ∈ Ω.

q.e.d.

§2 Gradientenabsch¨ atzungen f¨ ur nichtlineare elliptische Systeme

291

Zu einer kompakten Menge K ⊂ C betrachten wir den linearen Raum   |∇x(w1 ) − ∇x(w2 )| 1+α n 1 n C (K, R ) := x ∈ C (K, R ) : sup < +∞ , |w1 − w2 |α w1 ,w2 ∈K w1 =w2

wobei α ∈ (0, 1) gew¨ ahlt ist. Statten wir diesen Raum mit der C 1+α -H¨oldernorm |∇x(w1 ) − ∇x(w2 )| (41) xC 1+α (K) := sup |x(w)|+ sup |∇x(w)|+ sup |w1 − w2 |α w∈K w∈K w1 ,w2 ∈K w1 =w2

aus, so wird C

1+α

(K, R ) zu einem Banachraum. Aus Satz 1 folgt nun der n

atzung) Satz 2. (Innere C 1+α -Absch¨ Sei eine L¨osung x = x(u, v) von (1)-(3) mit aM < 1 im beschr¨ankten Gebiet ur beliebiges ε > 0 betrachten wir die kompakte Menge Ω ⊂ R2 gegeben. F¨   Kε := w ∈ Ω : dist {w, ∂Ω} ≥ ε , und α ∈ (0, 1) sei beliebig gew¨ahlt. Dann gibt es eine Konstante C = C(a, M, b, d, ε, α) ∈ (0, +∞), so daß gilt xC 1+α (Kε ) ≤ C(a, M, b, d, ε, α).

(42)

Beweis: Zun¨ achst entnehmen wir (3) die Absch¨atzung sup |x(w)| ≤ M, w∈Kε

und Satz 1 liefert die Gradientenabsch¨ atzung 2C(a, M, bd2 ) f¨ ur alle w ∈ K ε2 . (43) ε Nach Kap. IV, § 5, Satz 1 haben wir f¨ ur alle w0 ∈ Kε die Darstellung


xw (w) xww (w) 1 1 dw − du dv, w∗ ∈ B ε2 (w0 ). xw (w∗ ) = 2πi w − w∗ π w − w∗ |∇x(w)| ≤

∂B ε (w0 )

B ε (w0 )

2

2

(44) Wegen (43) gen¨ ugt das erste Parameterintegral einer Lipschitzbedingung in angigen Lipschitzkonstante. Weiter ist B ε4 (w0 ) mit einer von a, M, bd2 , ε abh¨ wegen (43) sup |xww (w)| ≤ C1 (a, M, b, d, ε) < +∞ w∈K ε

2

richtig. Nach der Hadamardschen Absch¨ atzung (vgl. Kap. IV, § 4, Satz 7) erf¨ ullt dann das zweite Parameterintegral in B ε4 (w0 ) eine H¨olderbedingung abh¨ angig von a, M, b, d, ε, α. Wir erhalten somit aus (44) die Ungleichung |xw (w1 ) − xw (w2 )| ≤ C2 (a, M, b, d, ε, α)|w1 − w2 |α f¨ ur alle w1 , w2 ∈ K 34 ε ⊂ Ω. Insgesamt folgt die Absch¨ atzung (42).

(45) q.e.d.

292

XII Nichtlineare elliptische Systeme

§3 Globale Absch¨ atzungen fu ¨ r nichtlineare Systeme ¨ Wir setzen die Uberlegungen aus § 2 fort und zitieren diese Resultate mit dem Zusatz *. Auf der Einheitskreisscheibe E := {ζ = ξ + iη : |ζ| < 1} betrachten wir L¨ osungen des Problems x = x(ζ) = (x1 (ξ, η), . . . , xn (ξ, η)) ∈ C 2 (E, Rn ) ∩ C 1 (E, Rn ), |∆x(ξ, η)| ≤ a|∇x(ξ, η)|2 + b |x(ξ, η)| ≤ M x(ξ, η) = 0

f¨ ur alle

(ξ, η) ∈ E,

f¨ ur alle (ξ, η) ∈ E,

(1)

f¨ ur alle (ξ, η) ∈ ∂E

mit den Konstanten a, b ∈ [0, +∞) und M ∈ (0, +∞). Wir wollen |∇x| in E nach oben absch¨atzen und eine a-priori-Schranke f¨ ur xC 1+α (E) etablieren. Hierzu bilden wir E konform auf die obere Halbebene C+ := {w = u + iv : v > 0} ab mit Hilfe der folgenden M¨ obiustransformation (vgl. Kap. IV, § 7, Beispiel 1): ζ +i , ζ ∈ E; f : ∂E \ {i} ↔ R. (2) f (ζ) = iζ + 1 Wir erkl¨ aren den Strahl

)   ) S := ζ = −it ) 0 ≤ t ≤ 1 ⊂ E

und das Intervall

)   ) J := w = iv ) 0 ≤ v ≤ 1 ⊂ C+ .

Die Funktion f (iη) = i

1+η , 1−η

η ∈ [−1, 0],

(3)

bildet dann den Strahl S bijektiv auf das Intervall J ab. Die Umkehrabbildung von f bezeichnen wir mit ζ = g(w) : C+ → E, R → ∂E \ {i}, J → S.

(4)

Zu µ ∈ [0, 2π) betrachten wir nun die gedrehten Strahlen   Sµ := ζ˜ = eiµ ζ : ζ ∈ S und die Schar von konformen Abbildungen gµ (w) := eiµ g(w),

w ∈ C+ .

(5)

Offenbar gilt gµ : C+ ↔ E konform,

g µ : J ↔ Sµ

f¨ ur

0 ≤ µ < 2π.

(6)

§3 Globale Absch¨ atzungen f¨ ur nichtlineare Systeme

Setzen wir noch

293

  Ω + := w ∈ C+ : dist{w, J} < 1 ,

dann gibt es eine Konstante β ∈ (0, 1), so daß die Verzerrungsabsch¨atzung β ≤ |gµ (w)| ≤

1 β

f¨ ur alle w ∈ Ω +

und alle µ ∈ [0, 2π)

(7)

¨ richtig ist. Mit den Uberlegungen aus § 2 beweisen wir nun den Satz 1. (Globale C 1+α -Absch¨ atzung) Sei x = x(ξ, η) eine L¨osung von (1) mit aM < 1, und es sei α ∈ (0, 1) gew¨ahlt. Dann gibt es eine Konstante C = C(a, b, M, α), so daß gilt xC 1+α (E) ≤ C(a, b, M, α).

(8)

Beweis: 1. Mit der Methode von Satz 1* wollen wir |∇x| in E nach oben absch¨atzen. Wir betrachten hierzu die Funktion φ(ζ) := |xζ (ζ)| =

1 |∇x(ζ)|, 2

ζ ∈ E,

(9)

welche in einem Punkt ζ0 ∈ E ihr Maximum annimmt. Zu diesem Punkt ζ0 ∈ E gibt es ein µ ∈ [0, 2π) und einen Punkt w0 ∈ J ⊂ C+ ∪ R, so daß gµ (w0 ) = ζ0 richtig ist. Wir halten nun den Winkel µ fest und unterdr¨ ucken den Index. Mit der Abbildung (5) f¨ uhren wir in x = x(ξ, η) die neuen Parameter (u, v) ein und spiegeln x ◦ g(u, v) an der Achse v = 0:  x ◦ g(u, v), w = u + iv ∈ C+ ∪ R ˆ (u, v) := x . ˜ ∈ C : Im w ˜ < 0} x ◦ g(u, −v), w = u + iv ∈ C− := {w (10) Eine einfache Rechnung zeigt ˆ (u, v) ∈ C 2 (C+ ∪ C− ) ∩ C 1 (C+ ∪ R) ∩ C 0 (C), x x(u, v)| ≤ M, sup |ˆ

ˆ (u, 0) = 0 f¨ x ur alle u ∈ R,

u+iv∈C

|∆ˆ x(u, v)| ≤ a|∇ˆ x(u, v)|2 +

b β2

f¨ ur alle w = u + iv ∈ Ω + ∪ Ω − ,

(11) wobei wir noch Ω − := {w ∈ C w ∈ Ω + } gesetzt haben. Wir w¨ahlen nun R = 1 fest und ϑ ∈ (0, 1) beliebig. Wie in Hilfssatz 3* sch¨atzen wir dann die Energie

|∇ˆ x(u, v)|2 du dv

Bϑ (w0 )

ab. (Man beachte auch die Bemerkung im Anschluß an Hilfssatz 5*.)

294

XII Nichtlineare elliptische Systeme

2. Wir gehen nun u ¨ ber zur gespiegelten komplexen Ableitungsfunktion  iˆ xw (w), w ∈ B1 (w0 ) ∩ C+ (12) z(w) := −iˆ xw (w), w ∈ B1 (w0 ) ∩ C− aus Hilfssatz 5*. Diese ist stetig in B1 (w0 ) und gen¨ ugt der DUGL |zw (w)| ≤ a|z(w)|2 +

b 4β 2

f¨ ur alle w ∈ B1 (w0 ) \ R.

(13)

Die Integraldarstellung von Pompeiu-Vekua aus Kap. IV, § 5, Satz 1 gilt dann auch f¨ ur z, d.h. wir haben


z(w) zw (w) 1 1 dw − du dv (14) z(w0 ) = 2πi w − w0 π w − w0 ∂Bλϑ (w0 )

Bλϑ (w0 )

mit beliebigen ϑ, λ ∈ (0, 1). Zur Herleitung dieser Formel integriert man getrennt in C± ; da z stetig auf R ist, heben sich die Kurvenintegrale auf der reellen Achse gegenseitig weg. Nach Hilfssatz 5* gibt es ein λ = λ(ϑ) ∈ [ 14 , 12 ], so daß das Cauchyintegral von z wie folgt abgesch¨ atzt werden kann: ) )
) 1 ) c1 (a, b, M ) z(w) a b ) )≤ √ dw + ϑ sup |z(w)|2 (15) + ) 2πi ) w − w0 ϑ − log ϑ 8β 2 2 w∈Bϑ (w0 ) ∂Bλϑ (w0 )

mit der Konstante  8 M 2 + 8βb 2 M √ . c1 (a, b, M ) := √ log 4 1 − aM Wie in (32)* ermitteln wir aus der DUGL (13) die Ungleichung ) )

)1 ) b zw (w) ) du dv )) ≤ aϑ sup |z(w)|2 + 2 . )π w − w0 4β w∈Bϑ (w0 )

(16)

Bλϑ (w0 )

3. Wegen |z(w)| = |ˆ xw (w)| = |xζ ◦ g(w)||g  (w)|,

w ∈ C+ ∪ R,

entnehmen wir (7) die Ungleichung β|z(w)| ≤ φ(g(w)) ≤

1 |z(w)| β

f¨ ur alle w ∈ Bϑ (w0 ) ∩ C+ .

Aus (14)-(16) erhalten wir dann die Absch¨ atzung

(17)

§4 Das Dirichletproblem f¨ ur nichtlineare elliptische Systeme

φ(ζ0 ) = φ(g(w0 )) ≤

295

1 |z(w0 )| β

≤

c1 (a, b, M ) 3a 3b √ + + ϑ sup |z(w)|2 2β w∈Bϑ (w0 ) βϑ − log ϑ 8β 3

≤

c1 (a, b, M ) 3a 3b √ + 3ϑ sup φ(g(w))2 + 2β w∈Bϑ (w0 )∩C+ βϑ − log ϑ 8β 3

≤

c1 (a, b, M ) 3a 3b √ + 3 + 3 ϑφ(ζ0 )2 . 2β βϑ − log ϑ 8β

Wir haben also die Ungleichung φ(ζ0 ) ≤

c1 (a, b, M ) 3a 3b √ + 3 + 3 ϑφ(ζ0 )2 2β βϑ − log ϑ 8β

f¨ ur alle

0 < ϑ < 1. (18)

4. Wie in Teil 3 des Beweises von Satz 1* ermittelt man aus (18) eine Konstante C1 = C1 (a, b, M ), so daß sup |∇x(ζ)| = 2 sup φ(ζ) ≤ C1 (a, b, M )

ζ∈E

(19)

ζ∈E

erf¨ ullt ist. Wendet man auf xw die in E g¨ ultige Darstellungsformel (14) an, so findet man wie im Beweis von Satz 2* zu gegebenem α ∈ (0, 1) eine Konstante C2 = C2 (a, b, M, α), so daß |∇x(ζ1 ) − ∇x(ζ2 )| ≤ C2 |ζ1 − ζ2 |α

f¨ ur alle ζ1 , ζ2 ∈ E

(20)

g¨ ultig ist. Die Behauptung (8) entnehmen wir nun den Ungleichungen (19) und (20). q.e.d.

§4 Das Dirichletproblem fu ¨ r nichtlineare elliptische Systeme Seien α ∈ (0, 1) und M ∈ (0, +∞) gew¨ ahlt, so schreiben wir auf dem Rand der Einheitskreisscheibe B := {w = u + iv : |w| < 1} periodische Randwerte mit der Periode 2π vor, 2+α (R, Rn ), g = g(t) = (g1 (t), . . . , gn (t)) : R → Rn ∈ C2π

|g(t)| ≤ M

f¨ ur alle t ∈ R.

(1)

Wir interessieren uns f¨ ur das Dirichletproblem x = x(u, v) = (x1 (u, v), . . . , xn (u, v)) ∈ C 2+α (B, Rn ), ∆x(u, v) = F(u, v, x(u, v), ∇x(u, v)) |x(u, v)| ≤ M

f¨ ur alle

x(cos t, sin t) = g(t)

(u, v) ∈ B,

f¨ ur alle t ∈ R.

f¨ ur alle

(u, v) ∈ B,

(2)

296

XII Nichtlineare elliptische Systeme

Als rechte Seite F schreiben wir ein homogenes quadratisches Polynom in den ersten Ableitungen ∇x(u, v) = (x1u (u, v), . . . , xnu (u, v), x1v (u, v), . . . , xnv (u, v)) vor. Die Koeffizienten sollen H¨ olderstetig von u, v und Lipschitzstetig von x abh¨ angen und im Außenraum |x| ≥ M verschwinden. Genauer erkl¨aren wir die Funktion F(u, v, x; p, q) = (F1 (. . .), . . . , Fn (. . .)) : B × Rn × R2n × R2n → Rn , Fk (u, v, x; p, q) :=

2n 

fijk (u, v, x)pi qj ,

(3)

k = 1, . . . , n,

i,j=1

und verlangen mit den Konstanten K, L ∈ [0 + ∞) von den Koeffizienten fijk (w, x) = 0

f¨ ur alle w ∈ B

|fijk (w, x)| ≤ K

und x ∈ Rn

f¨ ur alle w ∈ B

mit

und x ∈ Rn

|x| ≥ M,

mit

|x| ≤ M,

˜ )| ≤ L{|w − w| ˜ |} |fijk (w, x) − fijk (w, ˜ x ˜ α + |x − x f¨ ur alle w, w ˜∈B

(4)

˜ ∈ Rn und x, x

mit i, j = 1, . . . , 2n und k = 1, . . . , n. Schließlich nutzen wir in (2) als rechte Seite F die Funktion F(u, v, x, p) := F(u, v, x; p, p),

(u, v) ∈ B,

x ∈ Rn ,

p ∈ R2n .

Alle in der Differentialgeometrie auftretenden elliptischen Systeme sind von der Form ∆x(u, v) = F(u, v, x(u, v); ∇x(u, v), ∇x(u, v)) = F(u, v, x(u, v), ∇x(u, v)),

(5)

(u, v) ∈ B.

Wir bemerken noch, daß f¨ ur festes (u, v, x) ∈ B × Rn die Abbildung (p, q) → F(w, x; p, q)

(6)

bilinear jedoch nicht notwendig symmetrisch ist. Mit einem a ∈ [0, +∞) fordern wir nun eine Wachstumsbedingung f¨ ur die rechte Seite F: . n  2n 2 2n  .  / bzw. fijk (w, x)pi pj ≤a p2i |F(w, x; p, p)| ≤ a|p|2 k=1

i,j=1

i=1

f¨ ur alle w ∈ B, x ∈ Rn , p = (p1 , . . . , p2n ) ∈ R2n . (7)

§4 Das Dirichletproblem f¨ ur nichtlineare elliptische Systeme

297

Bemerkungen: 1. Aus (3) und (4) kann man sicherlich eine Konstante a finden, so daß (7) erf¨ ullt ist. Man sollte diese jedoch optimieren. W¨ahrend n¨amlich K, L aus (4) nicht quantitativ in unser sp¨ ateres Existenzresultat eingehen werden, ist dieses f¨ ur a der Fall. 2. Ist aM ≤ 1 erf¨ ullt, so unterliegt eine L¨ osung x = x(u, v) von (2) dem geometrischen Maximumprinzip von E. Heinz sup |x(u, v)| ≤

(u,v)∈B

sup (u,v)∈∂B

|x(u, v)|.

(8)

Um (2) zu l¨ osen, gehen wir u ¨ ber zu Nullrandwerten. Dazu l¨osen wir mit potentialtheoretischen Methoden (vgl. Satz 5 in Kap. IX, § 6) das Randwertproblem y = y(u, v) ∈ C 2+α (B, Rn ), ∆y(u, v) = 0

f¨ ur alle (u, v) ∈ B,

y(cos t, sin t) = g(t)

(9)

f¨ ur alle t ∈ R.

Das Maximumprinzip f¨ ur harmonische Funktionen liefert sup |y(u, v)| ≤ M.

(10)

(u,v)∈B

Ist x eine L¨ osung von (2), so gehen wir u ¨ ber zur Differenzfunktion z(u, v) := x(u, v) − y(u, v),

(u, v) ∈ B,

(11)

welche im Raum

  ˜(u, v) ∈ C 2+α (B, Rn ) : ˜z(u, v) = 0 auf ∂B C∗2+α (B) := z

liegt. F¨ ur z erhalten wir folgende Differentialgleichung: ∆z(u, v) = ∆x(u, v) = F(u, v, x(u, v); ∇x(u, v), ∇x(u, v)) = F(u, v, y(u, v) + z(u, v); ∇y(u, v) + ∇z(u, v), ∇y(u, v) + ∇z(u, v)) = F(u, v, y(u, v) + z(u, v); ∇z(u, v), ∇z(u, v)) +F(u, v, y(u, v) + z(u, v); ∇y(u, v), ∇z(u, v)) +F(u, v, y(u, v) + z(u, v); ∇z(u, v), ∇y(u, v)) +F(u, v, y(u, v) + z(u, v); ∇y(u, v), ∇y(u, v)) =: G(u, v, z(u, v), ∇z(u, v))

f¨ ur alle (u, v) ∈ B.

(12) Also gen¨ ugt z(u, v) ∈ C∗2+α (B) einer inhomogenen Differentialgleichung mit quadratischem Wachstum im Gradienten. F¨ ur beliebiges ε > 0 ermitteln wir mit Hilfe von (7)

298

XII Nichtlineare elliptische Systeme

|∆z(u, v)| = |F(u, v, y(u, v) + z(u, v), ∇y(u, v) + ∇z(u, v)| ≤ a|∇y(u, v) + ∇z(u, v)|2   √ 1 ≤ a |∇y(u, v)|2 + 2 √ |∇y(u, v)| ε|∇z(u, v)| + |∇z(u, v)|2 ε  1 2 ≤ a(1 + ε)|∇z(u, v)| + a 1 + |∇y(u, v)|2 ε  1 sup |∇y(u, v)|2 ≤ a(1 + ε)|∇z(u, v)|2 + a 1 + ε (u,v)∈B (13) f¨ ur alle (u, v) ∈ B. Entscheidende Bedeutung hat nun der Hilfssatz 1. (A-priori-Absch¨ atzung) Seien α ∈ (0, 1) und a ∈ [0, +∞), M ∈ (0, +∞) mit 2aM < 1 gew¨ahlt. Dann ur alle L¨osungen des Problems gibt es eine Konstante C1 (a, M, α), so daß f¨ z = z(u, v) ∈ C 2 (B) ∩ C 1 (B), ∆z(u, v) = G(w, z(w), ∇z(w)) z(w) = 0

f¨ ur alle

f¨ ur alle

w ∈ B,

(14)

w ∈ ∂B

die folgende Absch¨atzung gilt: zC 1+α (B,Rn ) ≤ C1 (a, M, α).

(15)

Beweis: 1. Wir beweisen zun¨ achst die Aussage sup |z(w)| ≤ 2M.

(16)

w∈B

W¨ are dieses nicht der Fall, so existiert ein w0 ∈ B mit 2M < |z(w0 )| ≤ |y(w0 ) + z(w0 )| + |y(w0 )| ≤ |y(w0 ) + z(w0 )| + M beziehungsweise M < |y(w0 ) + z(w0 )|. Aus Stetigkeitsgr¨ unden gibt es nun eine Kreisscheibe B (w0 ) ⊂ B mit |y(w) + z(w)| ≥ M

f¨ ur alle w ∈ B (w0 ).

(17)

Wegen Voraussetzung (4) an die Koeffizienten fijk folgt ∆z(w) = F(w, y(w) + z(w); ∇y(w) + ∇z(w), ∇y(w) + ∇z(w)) = 0,

w ∈ B (w0 ).

Wir betrachten nun die Funktion

(18)

§4 Das Dirichletproblem f¨ ur nichtlineare elliptische Systeme

φ(w) := |z(w)|2 ,

w ∈ B (w0 ),

welche wegen   ∆φ(w) = 2 |∇z(w)|2 + z(w) · ∆z(w) = 2|∇z(w)|2 ≥ 0

299

(19)

in B (w0 )

subharmonisch ist. Ist w0 ∈ B so gew¨ ahlt, daß |z(w0 )| = sup |z(w)| w∈B

erf¨ ullt ist, so nimmt die subharmonische Funktion φ(w), w ∈ B (w0 ), in dem inneren Punkt w0 ihr Maximum an. Es folgt also φ(w) ≡ φ(w0 )

in B (w0 ).

(20)

Ein Fortsetzungsargument liefert schließlich φ(w) ≡ φ(w0 )

in B

im Widerspruch zu φ(w) = 0 auf ∂B. Somit ist (16) erf¨ ullt. 2. Formel (13) entnehmen wir die DUGL |∆z(u, v)| ≤ a(1 + ε)|∇z(u, v)|2 + b(ε), wobei wir

(u, v) ∈ B,

(21)

 1 b(ε) := a 1 + sup |∇y(u, v)|2 ε (u,v)∈B

gesetzt haben. W¨ ahlen wir ε > 0 so klein, daß a(1 + ε) 2M < 1 erf¨ ullt ist, so liefert Satz 1 aus § 3 wegen (16) und (21) die a-priori-Absch¨atzung (15). q.e.d. Wir formen nun (14) in eine Integralgleichung um. In dem Banachraum   B := x ∈ C 1 (B, Rn ) : x(w) = 0 auf ∂B , den wir mit der Norm  ·  :=  · C 1 (B,Rn ) ausstatten, erkl¨ aren wir zu N > 0 die Kugeln   BN := x ∈ B : x < N . F¨ ur 0 ≤ λ ≤ 1 betrachten wir die nichtlinearen Integraloperatoren (ζ = ξ +iη)

) 1 − wζ ) λ ) ) Vλ (z)|w := − w ∈ B. (22) log ) )G(ζ, z(ζ), ∇z(ζ)) dξ dη, 2π ζ −w B

Mit dem Leray-Schauderschen Abbildungsgrad werden wir eine L¨osung der nichtlinearen Integralgleichung z = V1 (z) konstruieren. Diese l¨ost dann (14), ¨ und nach dem Ubergang (11) erhalten wir eine L¨osung des Problems (2). Zun¨ achst ben¨ otigen wir den

300

XII Nichtlineare elliptische Systeme

Hilfssatz 2. F¨ ur jedes β ∈ (0, 1) bildet der Greensche Operator

) 1 − wζ ) 1 ) ) u(w) ∈ C 0 (B) → L(u)|w := − log ) )u(ζ) dξ dη, 2π ζ −w

w ∈ B,

B

den Raum C 0 (B) stetig auf den Raum   C∗1+β (B) := v(w) ∈ C 1+β (B) : v(w) = 0 f¨ ur alle w ∈ ∂B

(23)

ab. Es gibt also eine Konstante C2 (β), so daß gilt L(u)C 1+β (B) ≤ C2 (β)uC 0 (B)

f¨ ur alle

u ∈ C 0 (B).

(24)

Beweis: Man verwende potentialtheoretische Absch¨atzungen aus Kap. IX, § 4 ∂ L(u) die Hadamardsche Absch¨atzung und f¨ ur die komplexe Ableitung ∂w (vgl. Satz 7 in Kap. IV, § 4). q.e.d. Hilfssatz 3. Sei β ∈ (0, 1) beliebig gew¨ahlt. F¨ ur alle 0 ≤ λ ≤ 1 ist der nichtlineare Integraloperator Vλ : B → C∗1+β (B, Rn ) stetig und als Operator Vλ : B → B vollstetig. Beweis: Wir beachten zun¨ achst f¨ ur alle 0 ≤ λ ≤ 1 den Zusammenhang Vλ (z) = λL(G(·, z(·), ∇z(·))),

z ∈ B.

(25)

Auf der Kugel BN mit beliebigem N > 0 gen¨ ugt F(·, y + z, ∇y + ∇z, ∇y + ∇z) = G(·, z, ∇z),

z ∈ BN ,

(26)

wegen (4) in allen drei Komponenten einer Lipschitzbedingung mit einer von N abh¨ angigen Konstante. Somit gibt es eine Konstante C3 = C3 (K, L, N ), so daß gilt G(·, z, ∇z) − G(·, z˜, ∇˜ z)C 0 (B) ≤ C3 (K, L, N )z − ˜z f¨ ur alle z, z˜ ∈ BN .

(27)

Hilfssatz 2 liefert nun Vλ (z) − Vλ (˜ z)C 1+β (B) ≤ λC2 (β)C3 (K, L, N )z − ˜z f¨ ur alle z, z˜ ∈ BN .

(28)

Somit ist Vλ : BN → C∗1+β (B) stetig. Ferner entnehmen wir Hilfssatz 2 wegen (26) und (4) die Absch¨ atzung Vλ (z)C 1+β (B) ≤ λC2 (β)G(·, z, ∇z)C 0 (B) ≤ C4 (K, N, β), Also ist Vλ : B → B vollstetig. Mit topologischen Methoden beweisen wir nun den

z ∈ BN .

(29) q.e.d.

§4 Das Dirichletproblem f¨ ur nichtlineare elliptische Systeme

301

Satz 1. Es seien α ∈ (0, 1) und a ∈ [0, +∞), M ∈ (0, +∞) mit aM < 12 gew¨ahlt. Weiter seien die Randwerte g aus (1) vorgeschrieben, und die rechte Seite F sei wie in (3) erkl¨art und erf¨ ulle (4) sowie die Wachstumsbedingung (7). Dann existiert eine L¨osung x = x(u, v) des Dirichletproblems (2). Beweis: Als Radius der Kugel BN im Banachraum B w¨ahlen wir N := C1 (a, M, α) + 1 mit der Konstante C1 aus Hilfssatz 1. Wir betrachten die Schar von Operatoren Id − Vλ : BN → B,

z → z − Vλ (z),

0 ≤ λ ≤ 1.

(30)

F¨ ur λ = 0 hat die Abbildung eine Nullstelle, n¨amlich z = 0 ∈ B. Nach Hilfssatz 3 ist Vλ : BN → B f¨ ur jedes λ ∈ [0, 1] vollstetig. Ferner h¨angt Vλ stetig von λ ∈ [0, 1] ab. Wir zeigen nun, daß (Id − Vλ )(z) = 0

f¨ ur alle z ∈ ∂BN

und alle λ ∈ [0, 1]

(31)

richtig ist. W¨ are n¨ amlich z ∈ ∂BN eine Nullstelle von Id −Vλ mit einem λ ∈ [0, 1], so folgt (32) z = Vλ (z). Als L¨ osung dieser Integralgleichung erhalten wir eine L¨osung des Dirichletproblems z = z(u, v) ∈ C 2 (B) ∩ C 1 (B), ∆z(u, v) = λG(u, v, z(u, v), ∇z(u, v)), z(u, v) = 0,

(u, v) ∈ B,

(33)

(u, v) ∈ ∂B.

Ersetzen wir in (14) G(. . .) durch λG(. . .), so liefert Hilfssatz 1 die Ungleichung zC 1+α (B,Rn ) ≤ C1 (a, M, α) = N − 1 < N = zC 1 (B,Rn ) , also einen Widerspruch. Somit ist (31) erf¨ ullt. Nach dem Leray-Schauderschen Fundamentalsatz (vgl. Kap. VII, § 3) hat die Abbildung (30) f¨ ur jedes λ ∈ [0, 1] mindestens eine Nullstelle z = z(w). F¨ ur λ = 1 l¨ost diese das Dirichletproblem (14). Mit Satz 1 aus Kap. IX, § 4 folgt z ∈ C∗2+α (B, Rn ). Ist y = y(w) die L¨ osung von (9) , so erhalten wir mit x(u, v) = y(u, v) + z(u, v), (u, v) ∈ B, eine L¨ osung von (2). Die Eigenschaft sup |x(u, v)| ≤ M

(u,v)∈B

pr¨ uft man wie in Teil 1 des Beweises von Hilfssatz 1 leicht nach.

q.e.d.

Wir spezialisieren das Ergebnis nun auf das H-Fl¨achensystem aus § 1. F¨ ur die Randwerte g(t) aus (1) im Fall n = 3 betrachten wir das Dirichletproblem

302

XII Nichtlineare elliptische Systeme

x = x(u, v) = (x1 (u, v), x2 (u, v), x3 (u, v)) ∈ C 2+α (B, R3 ), ∆x(u, v) = 2H(u, v, x(u, v))xu ∧ xv (u, v) |x(u, v)| ≤ M

in B,

(34)

in B,

x(cos t, sin t) = g(t)

f¨ ur

t ∈ R.

Hierbei schreiben wir H = H(w, x) wie folgt vor: H = H(w, x) : B × R3 → R ∈ C α (B × R3 ) mit |H(w, x)| ≤ h0 , |H(w, x) − H(w, y)| ≤ h1 |x − y|, H(w, x) = 0,

w ∈ B,

x ∈ R3

mit

w ∈ B,

x, y ∈ R3 ,

|x| ≥ M. (35)

Setzen wir F(u, v, x(u, v), ∇x(u, v)) := 2H(u, v, x(u, v))xu ∧ xv (u, v), so erscheint die rechte Seite (3) in der Form F(u, v, x; p, q) := 2H(w, x)p ∧ q 



p = (p , p ) =

(p1 , p2 , p3 , p1 , p2 , p3 ),

mit

p, q ∈ R6 



q = (q , q ) =

und

(q1 , q2 , q3 , q1 , q2 , q3 ), (36)

Wir haben dann die Wachstumsbedingung |F(w, x; p, p)| ≤ 2|H(w, x)||p ∧ p | ≤ h0 (|p |2 + |p |2 ) = h0 |p|2 f¨ ur alle w ∈ B,

x ∈ R3 ,

p ∈ R6 .

(37)

Aus Satz 1 erhalten wir sofort den Satz 2. (E. Heinz, H. Werner, S. Hildebrandt) Im Falle h0 M < 12 hat das Dirichletproblem (34) mit den Randwerten (1) und der rechten Seite (35) eine L¨osung. Bemerkungen: 1. E. Heinz hat das Dirichletproblem (34) f¨ ur den Fall H ≡ const im Jahr 1954 mit der hier vorgestellten topologischen Methode gel¨ost. 2. H. Werner hat die Bedingung h0 M < 12 erzielt. 3. Von S. Hildebrandt wurde mit der Variationsmethode das Dirichletproblem (34) auch im Fall H = H(x) und f¨ ur h0 M < 1 gel¨ost. 4. Nach dem J¨agerschen Maximumprinzip aus § 1 ist das Dirichletproblem (34) in einer Kugel vom Radius ' h20 + 2h1 M := h20 + h1 eindeutig l¨ osbar. F¨ ur großes h1 liefert Satz 2 also eine Existenzaussage, ohne daß die Eindeutigkeit gesichert ist.

§5 Verzerrungsabsch¨ atzungen f¨ ur ebene elliptische Systeme

303

5. Gem¨ aß § 1, Satz 3 und dessen Folgerung ist unter den dort angegebenen Bedingungen das Dirichletproblem (34) stabil unter St¨orungen der Randwerte bez¨ uglich der C 0 (B, R3 )-Norm. Man kann so das Dirichletproblem (34) auch zu stetigen Randwerten l¨ osen. Wir notieren nun noch den Satz 3. Im Falle H(w, x) ≡ h0 oder H(w, x) ≡ −h0 mit h0 > 0 und 0 ur stetige g = g(t) ∈ C2π (R, Rn ) mit h0 M ≤ 12 hat das Dirichletproblem (34) f¨ 2+α (B, R3 )∩ |g(t)| ≤ M , t ∈ R, genau eine L¨osung in der Regularit¨atsklasse C 0 3 C (B, R ). Beweis: Man gl¨ attet die konstante Funktion H am Rand der Kugel |x| ≤ M so ab, daß sie f¨ ur |x| ≥ M verschwindet. Dann l¨ost man (34) zun¨achst f¨ ur C 2+α -Randwerte und approximiert gleichm¨ aßig die stetigen Randwerte g mit Hilfe von Satz 3 aus § 1 und Satz 2 aus § 2. q.e.d.

§5 Verzerrungsabsch¨ atzungen fu ¨ r ebene elliptische Systeme Wir beginnen mit dem wichtigen Satz 1. Zu R > 0 betrachten wir die Kreisscheibe BR := {w = u + iv ∈ C : |w| < R} und die pseudoholomorphe Funktion f (w) : BR → C ∈ C 1 (BR , C), f¨ ur die gilt w ∈ BR , (1) |fw (w)| ≤ M |f (w)|, mit einer Konstante M ∈ [0, +∞). Weiter gebe es eine Konstante K ∈ (0, +∞), so daß 0 < |f (w)| ≤ K, w ∈ BR , (2) erf¨ ullt ist. Schließlich sei r ∈ (0, R) gew¨ahlt. Dann gelten f¨ ur alle w ∈ Br die Ungleichungen R−r 2r |f (w)| ≤ K R+r e8MR |f (0)| R+r (3) und

2r

|f (w)| ≥ K − R−r e−

8M R(R+r) R−r

R+r

|f (0)| R−r .

Beweis: 1. Die Ungleichung (3) k¨ onnen wir umformen in ) ) R−r ) ) ) R+r ) ) f (w) ) ) ≤ e8MR ) f (0) ) ) , ) K ) ) K ) und (4) ist ¨ aquivalent zu

w ∈ Br ,

(4)

304

XII Nichtlineare elliptische Systeme R+r ) ) R−r ) ) ) ) f (w) ) 8M R(R+r) ) ) ≥ e− R−r ) f (0) ) ) , ) K ) ) K )

w ∈ Br .

Da mit f (w) auch die Funktion f (w) ullt, gen¨ ugt K die Ungleichung (1) erf¨ es die Absch¨atzungen (3), (4) f¨ ur den Fall K = 1 nachzuweisen. 2. Wir erkl¨ aren nun das Potential a(w) :=

fw (w) , f (w)

w ∈ BR ,

(5)

und beachten a∞ := sup |a(w)| ≤ M < +∞. w∈BR

Damit gen¨ ugt f der Differentialgleichung d f (w) = a(w)f (w), dw

w ∈ BR ,

(6)

und ist somit pseudoholomorph im Sinne von Kap. IV, § 6. Nach dem ¨ dort angegebenen Ahnlichkeitsprinzip von Bers und Vekua haben wir die Darstellungsformel f (w) = eψ(w) φ(w),

w ∈ BR ,

(7)

mit einer in BR holomorphen Funktion φ und der Funktion (ζ = ξ + iη)

1 a(ζ) ψ(w) := − (8) dξ dη, w ∈ BR . π ζ −w BR

Wir bemerken M |ψ(w)| ≤ π





1 M dξ dη ≤ 2π 2R = 4M R, |ζ − w| π

w ∈ BR ,

BR

und erhalten e−4MR ≤ |eψ(w) | ≤ e4MR ,

w ∈ BR .

(9)

Zusammen mit (2) und (7) ermitteln wir 0 < |φ(w)| = |e−ψ(w) | |f (w)| ≤ e4MR ,

w ∈ BR .

3. Wir betrachten nun die nichtnegative, harmonische Funktion χ(w) := 4M R − log |φ(w)| ≥ 0,

w ∈ BR .

Die Harnacksche Ungleichung (vgl. Satz 4 in Kap. V, § 2) liefert

(10)

§5 Verzerrungsabsch¨ atzungen f¨ ur ebene elliptische Systeme

R−r R+r χ(0) ≤ χ(w) ≤ χ(0), R+r R−r

w ∈ Br ,

305

(11)

f¨ ur r ∈ (0, R). Diese schreiben wir in die Form  R − r 4M R − log |φ(0)| R+r 8M Rr R−r log |φ(0)| + , w ∈ Br , = R+r R+r

(12)

 R + r 4M R − log |φ(0)| R−r 8M Rr R+r log |φ(0)| − , w ∈ Br . = R−r R−r

(13)

log |φ(w)| ≤ 4M R −

beziehungsweise log |φ(w)| ≥ 4M R −

Durch Exponentiation erhalten wir |φ(w)| ≤ e und

8M Rr R+r

|φ(w)| ≥ e−

R−r

|φ(0)| R+r ,

8M Rr R−r

w ∈ Br ,

R+r

|φ(0)| R−r ,

(14)

w ∈ Br .

(15)

4. Aus (7) und (9) ergibt sich e−4MR |φ(w)| ≤ |f (w)| ≤ e4MR |φ(w)|,

w ∈ BR .

(16)

Zusammen mit (14) folgt |f (w)| ≤ e4MR |φ(w)| ≤ e4MR e ≤ e4MR e

8M Rr R+r

8M Rr R+r

R−r

|φ(0)| R+r

e4MR R+r |f (0)| R+r R−r

R−r

= e8MR |f (0)| R+r ,

R−r

w ∈ Br ,

und somit die behauptete Ungleichung (3). Entsprechend ermitteln wir aus (16) und (15) |f (w)| ≥ e−4MR |φ(w)| ≥ e−4MR e− ≥ e−4MR e−

8M Rr R−r

R+r

und wir erhalten (4).

R+r

|φ(0)| R−r R+r

e−4MR R−r |f (0)| R−r

= e−8MR R−r |f (0)| R−r , R+r

8M Rr R−r

R+r

w ∈ Br , q.e.d.

306

XII Nichtlineare elliptische Systeme

Satz 2. (Heinzsche Ungleichung) Wir betrachten auf der Einheitskreisscheibe B := {w = u + iv ∈ C : |w| < 1} die ebene Abbildung z(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) ∈ C 2 (B, R2 ). Diese gen¨ uge der DUGL in B (17) |∆z(u, v)| ≤ a|∇z(u, v)|2 + b|∇z(u, v)| mit Konstanten a, b ∈ [0, +∞), erf¨ ulle |z(u, v)| ≤ m

in

B

(18)

mit einer Konstante m ∈ (0, +∞) und sei gem¨aß Jz (u, v) :=

∂(x, y) >0 ∂(u, v)

f¨ ur alle

(u, v) ∈ B

(19)

positiv orientiert. Schließlich sei am < 1 erf¨ ullt. Zu jedem r ∈ (0, 1) gibt es dann Konstanten C ± (a, b, m, r) > 0, so daß gilt C − (a, b, m, r)|∇z(0)|

1+3r 1−r

1−r

≤ |∇z(w)| ≤ C + (a, b, m, r)|∇z(0)| 1+3r ,

w ∈ Br . (20)

Beweis: 1. Zum Parameter λ ∈ (0, +∞) erhalten wir aus (17) die Absch¨atzung |∆z(u, v)| ≤ a|∇z(u, v)|2 + 2 λ|∇z(u, v)| b2 ≤ (a + λ )|∇z(u, v)| + 2 4λ 2

2

b 2λ

(21)

in B.

ullt ist. In der Wir w¨ ahlen λ = λ(a, m) > 0 so klein, daß (a + λ2 )m < 1 erf¨ Kreisscheibe BR vom Radius R := 1+r ∈ (r, 1) entnehmen wir § 2, Satz 1 2 die Absch¨ atzung |∇z(u, v)| ≤ C1 (a, b, m, r),

w ∈ BR .

Einsetzen in (17) liefert die lineare DUGL   |∆z(u, v)| ≤ aC1 (a, b, m, r) + b |∇z(u, v)| = C2 (a, b, m, r)|∇z(u, v)|

in BR .

(22)

(23)

2. Wir betrachten die Hilfsfunktion f (w) := xw (w) + iyw (w) : B → C und berechnen |f (w)|2 = f (w)f (w) = (xw + iyw )(xw − iyw ) = |xw |2 + |yw |2 − i(xw yw − xw yw )  1 i = |∇z(w)|2 − (xu − ixv )(yu + iyv ) − (xu + ixv )(yu − iyv ) 4 4 1 ∂(x, y) 1 in B. = |∇z(w)|2 + 4 2 ∂(u, v)

§5 Verzerrungsabsch¨ atzungen f¨ ur ebene elliptische Systeme

307

Wegen (19) folgt √ 1 2 |∇z(w)| < |f (w)| ≤ |∇z(w)|, 2 2

w ∈ B.

(24)

3. Aus (22)-(24) erhalten wir die Ungleichungen 1 1 |∆x(w) + i∆y(w)| = |∆z(w)| 4 4 1 ≤ C2 (a, b, m, r)|∇z(w)| 4 1 in BR ≤ C2 (a, b, m, r)|f (w)| 2

|fw (w)| =

(25)

√ √ 2 2 |∇z(w)| ≤ C1 (a, b, m, r) in BR . (26) 0 < |f (w)| ≤ 2 2 Die Funktion f (w) ist also in BR pseudoholomorph mit den Konstanten und

1 C2 (a, b, m, r), 2 √ 2 K = K(a, b, m, r) := C1 (a, b, m, r). 2 M = M (a, b, m, r) :=

Wegen

R−r R+r 2r

=

K − R−r e−

1−r 1+3r

und

8M R(R+r) R−r

R+r R−r

=

1+3r

1+3r 1−r

liefert nun Satz 1 die Absch¨atzung 1−r

2r

|f (0)| 1−r ≤ |f (w)| ≤ K R+r e8MR |f (0)| 1+3r

(27)

in Br . Mit Hilfe von (24) finden wir dann die behauptete Ungleichung (20) mit den a-priori-Konstanten C ± (a, b, m, r) > 0. q.e.d. In differentialgeometrischen Problemen ist die folgende Abbildungsklasse von großer Bedeutung: Definition 1. Zu Konstanten a, b ∈ [0, +∞) und N ∈ (0, +∞] bezeichnen wir mit Γ (B, a, b, N ) die folgende Klasse von Abbildungen: i) z(w) = (x(u, v), y(u, v)) : B → R2 ∈ C 2 (B) ∩ C 0 (B) bildet ∂B topologisch und positiv orientiert auf ∂B ab; ii) z ist nullpunkttreu, d.h. z(0) = (0, 0); iii) es ist ∂(x, y) >0 f¨ ur alle w = u + iv ∈ B; Jz (w) = ∂(u, v) iv) z gen¨ ugt der DUGL |∆z(u, v)| ≤ a|∇z(u, v)|2 + b|∇z(u, v)|

in

B;

308

XII Nichtlineare elliptische Systeme

v) f¨ ur das Dirichletintegral von z gilt

  D(z) := |zu (u, v)|2 + |zv (u, v)|2 du dv ≤ N. B

Bemerkungen: 1. Mit der Indexsummenformel stellt man leicht fest, daß z : B → B topologisch ist. 2. Im Falle N = +∞ fordert man keine Schranke an D(z). 3. Diese Abbildungsklasse wurde von E. Heinz studiert und bei differentialgeometrischen Problemen angewendet. 4. Lineare Systeme, also der Fall a = 0, wurden bereits von P. Berg behandelt. Wir beweisen nun den tiefliegenden Satz 3. (Verzerrungsabsch¨ atzung von E. Heinz) Die Parameter a, b ∈ [0, +∞), N ∈ (0, +∞) und r ∈ (0, 1) seien gew¨ahlt. Dann gibt es Konstanten 0 < Θ(a, b, N, r) ≤ Λ(a, b, N, r) < +∞, so daß f¨ ur jede Abbildung z = z(w) ∈ Γ (B, a, b, N ) die Ungleichung Θ(a, b, N, r) ≤ |∇z(w)| ≤ Λ(a, b, N, r)

f¨ ur alle

w ∈ Br

(28)

erf¨ ullt ist. Weiter ist der Stetigkeitsmodul der Abbildungen in B gem¨aß der u.a. Formel (29) abgesch¨atzt. Beweis: 1. Wir zeigen zun¨ achst die Zwischenbehauptung: F¨ ur alle z = z(w) ∈ Γ (B, a, b, N ) und δ ∈ (0, 14 ) gilt 0

|z(w1 ) − z(w0 )| ≤ 4

πN log 1δ

f¨ ur alle w0 , w1 ∈ B

mit

0

Wir k¨ onnen o.B.d.A. 4

(29) |w0 − w1 | ≤ δ.

πN 0 und Konstanten C ± (a, b, N, r) > 0. Beachten wir schließlich noch (39) so finden wir mit (41) eine Konstante Θ(a, b, N, r) > 0, so daß |∇z(w)| ≥ Θ(a, b, N, r)

f¨ ur alle w ∈ Br

(42)

f¨ ur beliebige z ∈ Γ (B, a, b, N ) richtig ist. Somit ist auch die Absch¨atzung nach unten in (28) bewiesen. q.e.d.

§6 Eine Kru atzung fu achen ¨mmungsabsch¨ ¨r Minimalfl¨ Auch f¨ ur die Abbildungsklasse Γ (B, a, b, +∞) ohne eine Schranke an das Dirichletintegral kann man Verzerrungsabsch¨ atzungen beweisen, insofern a ∈ ullt ist. Wir beschr¨ anken uns auf die Klasse Γ (B, 0, 0, +∞) der ein[0, 12 ) erf¨ eindeutigen harmonischen Abbildungen auf der Einheitskreisscheibe B und beginnen mit dem Hilfssatz 1. (Stetiges Randverhalten) Die harmonische Abbildung z = z(w) der Klasse Γ (B, 0, 0, +∞) erf¨ ulle |z(eiϕ ) − z(eiϑ )| ≤ ε

f¨ ur alle

mit einem ϑ ∈ [0, 2π), einem δ ∈ (0, Absch¨atzung

π 2)

z(reiϑ ) =

1 2π


π −π

f¨ ur alle

r ∈ (0, 1).

1 − r2 z(ei(ϑ+ϕ) ) dϕ |eiϕ − r|2

erhalten wir f¨ ur alle r ∈ (0, 1) 1 |z(re ) − z(e )| ≤ 2π iϑ


π

iϑ

1 = 2π

+

+

−π


−δ −π

1 2π 1 2π

1 − r2 |z(ei(ϑ+ϕ) ) − z(eiϑ )| dϕ |eiϕ − r|2 1 − r2 |z(ei(ϑ+ϕ) ) − z(eiϑ )| dϕ |eiϕ − r|2


δ −δ
π

δ

(1)

und mit einem ε > 0. Dann gilt die

4 (1 − r) sin2 δ Beweis: Aus der Poissonschen Integralformel |z(reiϑ ) − z(eiϑ )| ≤ ε +

ϕ ∈ [ϑ − δ, ϑ + δ]

1 − r2 |z(ei(ϑ+ϕ) ) − z(eiϑ )| dϕ |eiϕ − r|2 1 − r2 |z(ei(ϑ+ϕ) ) − z(eiϑ )| dϕ, |eiϕ − r|2

(2)

312

XII Nichtlineare elliptische Systeme

wobei wir noch 1 2π


π −π

1 − r2 dϕ = 1 |eiϕ − r|2

f¨ ur alle r ∈ (0, 1)

benutzt haben. Nun gilt |eiϕ − r| ≥ sin δ f¨ ur alle ϕ ∈ [−π, −δ] ∪ [δ, π] und alle r ∈ (0, 1). Zusammen mit (1) folgt 1 1 − r2 (1 − r)(1 + r) 2 · 2π + ε ≤ 2 +ε 2 2π sin δ sin2 δ 4 (1 − r) + ε f¨ ur alle r ∈ (0, 1). ≤ sin2 δ q.e.d.

|z(reiϑ ) − z(eiϑ )| ≤

Hilfssatz 2. Sei z = z(w) : B → B eine topologische Abbildung. Dann gibt es zu jedem n ∈ N ein ϑn ∈ [0, 2π), so daß gilt |z(eiϕ ) − z(eiϑn )| ≤

2π n

f¨ ur alle

ϕ ∈ [ϑn −

π π , ϑn + ]. n n

(3)

Beweis: Wir teilen den Kreis ∂B in n B¨ ogen σ1 , . . . , σn der gleichen L¨ange 2π n und bezeichnen mit γk := z(σk ), k = 1, . . . , n, ihre Bilder unter der topologischen Abbildung z. F¨ ur deren L¨ angen |γk | gilt offenbar |γ1 |+. . .+|γn | = 2π, so iϑn mit ϑn ∈ [0, 2π) daß ein m ∈ {1, . . . , n} existiert mit |γm | ≤ 2π n . Ist nun e der Mittelpunkt des Bogens σm , so ist (3) erf¨ ullt. q.e.d. Etwa 1952 bewies E. Heinz die folgende bemerkenswerte Aussage: Satz 1. Es gibt eine universelle Konstante Θ > 0, so daß f¨ ur jede eineindeutige harmonische Abbildung z = z(w) ∈ Γ (B, 0, 0, +∞) die Ungleichung |∇z(0)| ≥ Θ

(4)

erf¨ ullt ist. Beweis: Zu z ∈ Γ (B, 0, 0, +∞) und n ∈ N w¨ ahlen wir gem¨aß Hilfssatz 2 ein ϑn ∈ [0, 2π), so daß (3) richtig ist. Hilfssatz 1 liefert dann die Absch¨atzung |z(reiϑn ) − z(eiϑn )| ≤

4 2π + n sin2

π n

(1 − r)

f¨ ur alle r ∈ (0, 1).

(5)

Indem wir zun¨ achst n ∈ N hinreichend groß und dann r ∈ (0, 1) geeignet w¨ahlen, wird die rechte Seite in (5) kleiner gleich 12 , und es folgt |z(reiϑn )| ≥ |z(eiϑn )| − |z(reiϑn ) − z(eiϑn )| ≥

1 . 2

(6)

Wie in Teil 3 des Beweises von § 5, Satz 3 finden wir dann einen Punkt w∗ ∈ Br mit

§6 Eine Kr¨ ummungsabsch¨ atzung f¨ ur Minimalfl¨ achen

1 . 2 Mit der Heinzschen Ungleichung aus § 5, Satz 2 erhalten wir |∇z(w∗ )| ≥

1+3r

(7)

1+3r

|∇z(0)| ≥ C + (0, 0, 1, r)− 1−r |∇z(w∗ )| 1−r +

− 1+3r 1−r

≥ (2C (0, 0, 1, r))

313

(8)

=: Θ,

da r ∈ (0, 1) unabh¨ angig von z bestimmt wurde.

q.e.d.

Mit der Uniformisierungsmethode beweisen wir nun den Satz 2. (Kr¨ ummungsabsch¨ atzung von E. Heinz) Sei R ∈ (0, +∞) gew¨ahlt und BR := {z = x+iy ∈ C : |z| < R} erkl¨art. Dann gibt es eine universelle Konstante M ∈ (0, +∞), so daß f¨ ur alle L¨osungen der Minimalfl¨achengleichung z = ζ(x, y) ∈ C 2+α (BR , R),

α ∈ (0, 1),

Mζ(x, y) := (1 + ζy2 )ζxx − 2ζx ζy ζxy + (1 + ζx2 )ζyy = 0

(9) in

BR

die Absch¨atzung 1 M (10) R2 f¨ ur die Hauptkr¨ ummungen κj (0, 0), j = 1, 2, im Punkt y(0, 0) des Graphen y(x, y) := (x, y, ζ(x, y)), (x, y) ∈ BR , erf¨ ullt ist. κ1 (0, 0)2 + κ2 (0, 0)2 ≤

Beweis: 1. Mit dem Uniformisierungssatz (vgl. den nachfolgenden § 8) f¨ uhren wir isotherme Parameter in die Riemannsche Metrik ds2 := |yx |2 dx2 + 2(yx · yy ) dx dy + |yy |2 dy 2 = (1 + ζx2 ) dx2 + 2ζx ζy dx dy + (1 + ζy2 ) dy 2 ,

(x, y) ∈ BR ,

(11)

der Klasse C 1+α (BR ) ein. Mit der uniformisierenden Abbildung f (u, v) = x(u, v) + iy(u, v) : B → BR ∈ C 2+α (B, BR ), f (0, 0) = 0,

(12)

betrachten wir die Fl¨ ache x(u, v) = y ◦ f (u, v) = (f (u, v), ζ ◦ f (u, v)) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) (13) ugt den Differentialgleichungen der Klasse C 2+α (B, R3 ). Diese gen¨ ∆x(u, v) = 0

in B,

|xu | − |xv | = 0 = xu · xv

in B.

(14)

314

XII Nichtlineare elliptische Systeme

Insbesondere geh¨ ort die ebene Abbildung g(u, v) :=

1 f (u, v), R

(u, v) ∈ B,

(15)

der Klasse Γ (B, 0, 0, +∞) an. Satz 1 liefert nun |∇g(0, 0)| ≥ Θ beziehungsweise |∇f (0, 0)| ≥ ΘR (16) mit der universellen Konstante Θ > 0. 2. Die Normale an y(x, y) in Richtung e = (0, 0, 1) bezeichnen wir mit   1 − ζx (x, y), −ζy (x, y), 1 , Y(x, y) := ' 1 + |∇ζ(x, y)|2

(x, y) ∈ BR ,

und wir erkl¨aren X(u, v) := Y ◦ f (u, v), (u, v) ∈ B. Nach Satz 2 aus Kap. XI, § 1 ist dann die Abbildung   X : B → S + := z = (z1 , z2 , z3 ) ∈ R3 : |z| = 1, z3 > 0 (17) antiholomorph. Vom S¨ udpol (0, 0, −1) aus betrachten wir wir nun die stereographische Projektion σ = σ(z) : S + → B

konform.

(18)

Die Abbildung h(u, v) := σ ◦ X(u, v), (u, v) ∈ B, ist antiholomorph und somit harmonisch. Wir finden also eine Konstante Λ ∈ (0, +∞), so daß |∇X(0, 0)| ≤ Λ

(19)

erf¨ ullt ist. 3. Mit Hilfe der Betrachtungen aus Kap. XI, § 1 berechnen wir nun κ1 (0, 0)2 + κ2 (0, 0)2 = −2κ1 (0, 0)κ2 (0, 0) = −2K(0, 0) = 2|K(0, 0)| = 2

|Xu ∧ Xv (0, 0)| |xu ∧ xv (0, 0)|

=2

|∇X(0, 0)|2 |∇X(0, 0)|2 ≤ 2 |∇x(0, 0)|2 |∇f (0, 0)|2

≤2

Λ2 M = 2, Θ 2 R2 R

2

Λ wenn wir noch M := 2 Θ 2 setzen.

Als Folgerung aus Satz 2 erhalten wir den

q.e.d.

§7 Globale Absch¨ atzungen f¨ ur konforme Abbildungen

315

Satz 3. (S. Bernstein) Sei z = ζ(x, y) : R2 → R ∈ C 2+µ (R2 ), µ ∈ (0, 1), eine ganze L¨osung der Minimalfl¨achengleichung Mζ(x, y) = 0 in R2 . Dann gibt es Koeffizienten α, β, γ ∈ R, so daß ζ(x, y) = αx + βy + γ

im

R2

erf¨ ullt ist, das heißt ζ ist eine affin-lineare Funktion. Beweis: Betrachten wir in (10) den Grenz¨ ubergang R → +∞, so folgt κ1 (0, 0) = 0 = κ2 (0, 0). Da dieses in jedem Punkt des minimalen Graphen m¨oglich ist, erhalten wir κ1 (x, y) = 0 = κ2 (x, y)

im R2 .

Somit ist die Fl¨ ache y(x, y) = (x, y, ζ(x, y)), (x, y) ∈ R2 , eine Ebene.

(20) q.e.d.

Bemerkungen zu Satz 2 und Satz 3: 1. Die Kr¨ ummungsabsch¨ atzung in Satz 2 verdankt man: ¨ E. Heinz: Uber die L¨osungen der Minimalfl¨achengleichung. Nachr. Akad. Wiss. G¨ ottingen, Math.-Phys. Kl. (1952), 51-56. 2. Kr¨ ummungsabsch¨ atzungen f¨ ur parametrische Fl¨achen vorgeschriebener mittlerer Kr¨ ummung sind bewiesen in: F. Sauvigny: A priori estimates of the principle curvatures for immersions of prescribed mean curvature and theorems of Bernstein-type. Math. Zeitschrift 205 (1990), 567-582. 3. F¨ ur stabile L¨osungen der Eulerschen Gleichungen parametrischer, elliptischer Funktionale - also insbesondere f¨ ur relative Minima - hat S. Fr¨ohlich Kr¨ ummungsabsch¨ atzungen in seiner Dissertation hergeleitet. Man siehe hierzu: S. Fr¨ ohlich: Curvature estimates for µ-stable G-minimal surfaces and theorems of Bernstein-type. Analysis 22 (2002), 109-130.

§7 Globale Absch¨ atzungen fu ¨ r konforme Abbildungen bezu glich einer Riemannschen Metrik ¨ Wir erkl¨ aren die Einheitskreisscheibe E := {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : |x| < 1} in den Koordinaten (x1 , x2 ) und die Einheitskreisscheibe B := {w = u + iv ∈ C : |w| < 1} in den Koordinaten u + iv ∼ = (u, v). Auf E schreiben wir die Riemannsche Metrik ds2 = gjk (x1 , x2 ) dxj dxk = g11 (x1 , x2 ) (dx1 )2 + 2g12 (x1 , x2 ) dx1 dx2 + g22 (x1 , x2 ) (dx2 )2

(1)

316

XII Nichtlineare elliptische Systeme

vor. Dabei verwenden wir die Einsteinsche Summationskonvention und verlangen von den Koeffizienten gjk = gjk (x1 , x2 ) ∈ C 1+α (E, R) g12 (x1 , x2 ) = g21 (x1 , x2 ) sowie

in

f¨ ur

j, k = 1, 2;

(2)

E

1 2 |ξ| λ f¨ ur alle ξ = (ξ 1 , ξ 2 ) ∈ R2 und (x1 , x2 ) ∈ E λ|ξ|2 ≤ gjk (x1 , x2 )ξ j ξ k ≤

(3)

mit den Konstanten α, λ ∈ (0, 1). Hilfssatz 1. Die C 2 -diffeomorphe, positiv-orientierte Abbildung x = x(u, v) = (x1 (u, v), x2 (u, v))∗ : B → E ∈ C 2 (B, R2 ) ∩ C 0 (B, E) gen¨ uge den gewichteten Konformit¨ atsrelationen xju (u, v)gjk (x1 (u, v), x2 (u, v))xkv (u, v) = 0 xju (u, v)gjk (x1 , x2 )xku (u, v)

=

in

B,

xjv (u, v)gjk (x1 , x2 )xkv (u, v)

(4) in

B. (5)

Dann gen¨ ugt x dem nichtlinearen elliptischen System l (xju xku + xjv xkv ) = 0 ∆xl + Γjk

in

B;

l = 1, 2,

(6)

j, k, l = 1, 2,

(7)

wobei wir die Christoffelsymbole l Γjk :=

1 li g (gki,xj + gij,xk − gjk,xi ), 2

mit der inversen Matrix (g jk )j,k=1,2 := (gjk )−1 j,k=1,2 verwendet haben. Also ist x eine harmonische Abbildung von {B, (δjk )} in {E, (gjk )} mit der Einheitsmatrix (δjk )j,k=1,2 . Beweis: Die Gleichung (4) leiten wir nach v ab und die Gleichung (5) nach u: xjuv gjk xkv + xju gjk xkvv + xju gjk,xl xkv xlv = 0, 1 1 xjuv gjk xkv = xju gjk xkuu + xju gjk,xl xku xlu − xlu gjk,xl xjv xkv . 2 2 Setzen wir die zweite Gleichung in die erste ein, so erhalten wir 1 1 xju gjk ∆xk + xju gjk,xl xkv xlv + xju gjk,xl xku xlu − xlu gjk,xl xjv xkv = 0 2 2 beziehungsweise 1 xju gjk ∆xk + xju (gkj,xl + gjl,xk − glk,xj )(xku xlu + xkv xlv ) = 0. 2

§7 Globale Absch¨ atzungen f¨ ur konforme Abbildungen

317

Vertauschen wir in dieser Rechnung u und v, so ergibt sich analog 1 xjv gjk ∆xk + xjv (gkj,xl + gjl,xk − glk,xj )(xku xlu + xkv xlv ) = 0. 2 Da xu und xv linear unabh¨ angig sind, folgt 1 gjk ∆xk + (gkj,xl + gjl,xk − glk,xj )(xku xlu + xkv xlv ) = 0, 2

j = 1, 2.

Multiplikation mit der inversen Matrix (g ij ) liefert schließlich 1 δki ∆xk + g ij (gkj,xl + gjl,xk − glk,xj )(xku xlu + xkv xlv ) = 0, 2

i = 1, 2,

also i ∆xi + Γlk (xku xlu + xkv xlv ) = 0,

i = 1, 2.

q.e.d.

Zur Normierung der Abbildungsklasse vereinbaren wir x(0, 0) = (0, 0)∗ .

(8)

Weiter erkl¨ aren wir die positiv-definite Matrix G(x1 , x2 ) := (gjk (x1 , x2 ))j,k=1,2 : E → R2×2 .

(9) 1 2

Mit der Hauptachsentransformation bestimmen wir deren Wurzel G (x1 , x2 ), indem wir dies f¨ ur die positiven Eigenwerte tun. Damit berechnen wir  1 )2  2 ) 1 1 ) ) |G 2 (x(u, v))| |(xu , xv )| = ) G 2 (x(u, v)) ◦ xu , G 2 (x(u, v)) ◦ xv ) ) 1   )) ) (G 2 (x) ◦ xu )∗ 1 1 ) 2 (x) ◦ x , G 2 (x) ◦ x = )) ◦ G 1 u v ) (G 2 (x) ◦ xv )∗ ) ∗ ) ) xu ◦ G(x) ◦ xu , x∗u ◦ G(x) ◦ xv ) ) ) =) x∗v ◦ G(x) ◦ xu , x∗v ◦ G(x) ◦ xv ) 2 1 ∗ in B. xu ◦ G(x) ◦ xu + x∗v ◦ G(x) ◦ xv = 4 Es folgt also

 1 ∗ xu ◦ G(x) ◦ xu + x∗v ◦ G(x) ◦ xv 2 f¨ ur alle (u, v) ∈ B. Mit Hilfe von (3) erhalten wir nun 1

|G 2 (x(u, v))| |(xu , xv )| =

1 ∂(x1 , x2 ) λ2 |∇x(u, v)|2 ≤ ≤ 2 |∇x(u, v)|2 2 ∂(u, v) 2λ

f¨ ur alle

(10)

(u, v) ∈ B. (11)

F¨ ur r ∈ (0, 1) erkl¨ aren wir noch die Kreisscheiben Er := {x ∈ E : |x| < r}, Br := {w ∈ B : |w| < r} und die monotone Funktion γ(r) := max gjk C 1+α (Er ) , j,k=1,2

r ∈ (0, 1).

(12)

318

XII Nichtlineare elliptische Systeme

Satz 1. (Innere Absch¨ atzung) Bez¨ uglich der Metrik (1)-(3) sei x = x(u, v) : B → E ∈ C 2 (B) ∩ C 0 (B) ein gewichtet konformer, positiv-orientierter C 2 -Diffeomorphismus mit (4), (5), (8). Dann gibt es zu jedem r ∈ (0, 1) ein Θ = Θ(r, λ, γ( r+1 2 )) > 0 und ein Λ = Λ(r, λ, α, γ( r+1 )) < +∞, so daß 2 Jx (u, v) =

∂(x1 , x2 ) ≥Θ ∂(u, v)

(u, v) ∈ Br

f¨ ur alle

(13)

und xC 2+α (Br ,R2 ) ≤ Λ

(14)

erf¨ ullt ist. Ferner ist diese Abbildungsklasse gleichgradig stetig. ¨ Beweis: Wir folgen den Uberlegungen im Beweis von Satz 3 aus § 5. Wegen (11) erhalten wir zun¨ achst

2π ∂(x1 , x2 ) 2 du dv = 2 . (15) D(x) ≤ 2 λ ∂(u, v) λ B

Damit k¨ onnen wir wie in Teil 1 des o.a. Beweises den Stetigkeitsmodul in B absch¨ atzen. Aus (6), (7), (3) und (12) leiten wir f¨ ur beliebiges r ∈ (0, 1) die DUGL in B r+1 (16) |∆x(u, v)| ≤ a|∇x(u, v)|2 2

∈ (0, +∞) her. Dann sch¨atzen wir |∇x(u, v)| in Br+ε mit a = (ε > 0 hinreichend klein) nach oben a-priori ab und k¨onnen zu einer linearen DUGL u ¨ bergehen. Schließlich erhalten wir wegen (11) wie in Teil 3 und 4 des o.a. Beweises die Konstante Θ aus (13). Mit potentialtheoretischen Absch¨ atzungen folgt dann noch (14). q.e.d. a(λ, γ( r+1 2 ))

Mit den komplexen Ableitungen xjw =

1 j (x − ixjv ), 2 u

xjw =

1 j (x + ixjv ), 2 u

j = 1, 2,

schreiben wir die gewichteten Konformit¨atsrelationen nun in die komplexe Form in B. (17) xjw (u, v)gjk (x1 (u, v), x2 (u, v))xkw (u, v) = 0 Weiter bringen wir Gleichung (6) f¨ ur die harmonischen Abbildungen in die komplexe Form: 1 l j k (xw xw + xjw xkw ) = 0 xlww + Γjk 2

in

B;

l = 1, 2.

Aus der gewichteten Konformit¨ atsrelation erhalten wir leicht den

(18)

§7 Globale Absch¨ atzungen f¨ ur konforme Abbildungen

319

Hilfssatz 2. (Eliminationslemma) Es gibt Konstanten µ(λ) > 1 und 0 < µ1 (λ) ≤ µ2 (λ) < +∞, so daß f¨ ur alle gewichtet konformen Abbildungen (4),(5) bez. jeder Riemannschen Metrik (1)(3) die Ungleichungen 1 |x1 (w)| ≤ |x2w (w)| ≤ µ(λ)|x1w (w)|, µ(λ) w

w ∈ B,

(19)

sowie µ1 (λ)|x1w (w)|2 ≤

1 ∂(x1 , x2 ) ≤ |∇x(u, v)|2 ≤ µ2 (λ)|x1w (w)|2 , ∂(u, v) 2

w ∈ B, (20)

erf¨ ullt sind. Beweis: 1. Die gewichtete Konformit¨ atsrelation (17) liefert g11 (x1 , x2 )x1w x1w = −2g12 (x1 , x2 )x1w x2w − g22 (x1 , x2 )x2w x2w

in B.

Mit Hilfe von (3) ermitteln wir λ|x1w |2 ≤ |g11 | |x1w |2 ≤ 2|g12 | |x1w | |x2w | + |g22 | |x2w |2 = λ = 2 |x2 |  1 w 1 |x | + |x2w |2 ≤2 2 w λ λ λ λ 1 2 2 1 1 2 2 |xw | ≤ |xw | + + 2 λ λ2 λ =

λ 1 2 2 + λ2 2 2 |x | + |xw | 2 w λ3

beziehungsweise |x1w |2 ≤

4 + 2λ2 2 2 |xw | , λ4

w ∈ B.

4 + 2λ2 1 2 |xw | , λ4

w ∈ B,

Entsprechend finden wir |x2w |2 ≤

indem wir die gewichtete√ Konformit¨ atsrelation (17) nach g22 (x1 , x2 )x2w x2w 1 2 aufl¨ osen. Mit µ(λ) := λ2 4 + 2λ erhalten wir (19). 2. Wir sch¨ atzen nun ab   1 |∇x(u, v)|2 = 2 |x1w (w)|2 + |x2w (w)|2 2 ≤ 2(1 + µ(λ)2 )|x1w (w)|2 = µ2 (λ)|x1w (w)|2 ,

w ∈ B,

320

XII Nichtlineare elliptische Systeme

mit µ2 (λ) := 2(1 + µ(λ)2 ). Ferner finden wir mit Hilfe von (11)   ∂(x1 , x2 ) λ2 ≥ |∇x(u, v)|2 = 2λ2 |x1w (w)|2 + |x2w (w)|2 ∂(u, v) 2  1  1 |xw (w)|2 = µ1 (λ)|x1w (w)|2 , ≥ 2λ2 1 + µ(λ)2 mit µ1 (λ) := 2λ2 (1 +

1 µ(λ)2 )

w ∈ B,

> 0. Somit ist (20) gezeigt.

q.e.d.

Wir beweisen nun den bedeutenden Satz 2. (Globale Absch¨ atzung) Zu der Metrik ds2 aus (1)-(3) mit den Koeffizienten gjk (x1 , x2 ) ∈ C 1+α (E, R), j, k = 1, 2, betrachten wir den gewichtet konformen, positiv-orientierten C 2 Diffeomorphismus x = x(u, v) = (x1 (u, v), x2 (u, v))∗ : B → E ∈ C 2 (B, R2 ) ∩ C 1 (B, E)

(21)

aus (4), (5) und (8). Dann folgt x ∈ C 2+α (B, R2 ), und wir haben die a-prioriAbsch¨atzungen f¨ ur alle (u, v) ∈ B (22) Jx (u, v) ≥ Θ sowie xC 2+α (B,R2 ) ≤ Λ

(23)

mit den Konstanten Θ = Θ(λ, α, γ(1)) > 0 und Λ = Λ(λ, α, γ(1)) < +∞ und der in (12) erkl¨arten Funktion γ(r). Beweis: 1. Auf der Kreislinie ∂E betrachten wir das tangentiale Vektorfeld t(x1 , x2 ) := (−x2 , x1 )∗ : ∂E → R2 und das konstante Vektorfeld e = (1, 0)∗ . Ferner sei a(x1 , x2 ) = (a1 (x1 , x2 ), a2 (x1 , x2 ))∗ : ∂E → R2 ein Vektorfeld der L¨ ange 1 bzgl. ds2 , d.h. es gilt aj (x1 , x2 )gjk (x1 , x2 )ak (x1 , x2 ) = 1

auf ∂E.

(24)

Wir w¨ ahlen a(x1 , x2 ) so, daß dessen orientierter Winkel zum Tangentialvektor t(x1 , x2 ) in der Riemannschen Metrik mit dem Euklidischen Winkel zwischen e und t(x1 , x2 ) u ¨bereinstimmt. Mit b(x1 , x2 ) = (b1 (x1 , x2 ), b2 (x1 , x2 ))∗ : ∂E → R2 erkl¨ aren wir nun das Einheitsvektorfeld orthogonal zu a(x1 , x2 ) in der aß Riemannschen Metrik ds2 und gem¨

§7 Globale Absch¨ atzungen f¨ ur konforme Abbildungen

) 1 1 2 1 1 2 ) ) a (x , x ) b (x , x ) ) det (a(x1 , x2 ), b(x1 , x2 )) = )) 2 1 2 2 1 2 )) > 0 a (x , x ) b (x , x )

321

auf ∂E (25)

orientiert. F¨ ur die gewichtet konforme Abbildung x(u, v) erhalten wir dann die freie Randbedingung     xu (w), xv (w) = ν(w) a(x(w)), b(x(w)) , w ∈ ∂B, (26) mit einer Funktion ν(w) : ∂B → (0, +∞). Schließlich finden wir noch eine Funktion ϕ = ϕ(x1 , x2 ) : ∂E → R ∈ C 1+α (∂E), so daß       1 1 2 cos ϕ(x1 , x2 ) , − sin ϕ(x1 , x2 ) ∗0 a (x , x ) , b1 (x1 , x2 ) ◦ = a2 (x1 , x2 ) , b2 (x1 , x2 ) sin ϕ(x1 , x2 ) , cos ϕ(x1 , x2 ) ∗∗ (27) auf ∂E erf¨ ullt ist. 2. Wir verwenden nun die Schwarzsche Integralformel aus Satz 2 in Kap. IX, § 2, n¨ amlich 1 F (z) := 2π


2π 0

eit + z ϕ(eit ) dt, eit − z

z = x1 + ix2 ∈ E,

(28)

mit dem in Teil 1 erkl¨ arten ϕ ∈ C 1+α (∂E). Die Funktion F (z) ist holomorph in E, und man zeigt mit potentialtheoretischen Methoden (vgl. Satz 3 in Kapitel IX, § 4) F (z) ∈ C 1+α (E, C),

F C 1+α (E) ≤ C(α)ϕC 1+α (∂E) .

(29)

Weiter erf¨ ullt F die Randbedingung Re F (z) = ϕ(z)

f¨ ur alle z ∈ ∂E.

(30)

F¨ ur die Funktion f (z) := exp{iF (z)},

z ∈ E,

(31)

der Klasse C 1+α (E, C \ {0}) finden wir somit die Randbedingung f (z) = (z)eiϕ(z) ,

z ∈ ∂E,

(32)

z ∈ ∂E.

(33)

mit der positiven reellen Funktion (z) := e−Im F (z) ,

3. F¨ ur die Funktion y(w) := x1w (w)f (x(w)) : B → C ermitteln wir aus (32) die Randbedingung  1 1 xu (w) − ix1v (w) (x(w))eiϕ(x(w)) 2   (x(w))  1 xu (w) − ix1v (w) cos ϕ(x(w)) + i sin ϕ(x(w)) = 2

y(w) = x1w (w)f (x(w)) =

322

XII Nichtlineare elliptische Systeme

f¨ ur alle w ∈ ∂B, und mit (26), (27) folgt  (x(w))  1 xu (w) sin ϕ(x(w)) − x1v (w) cos ϕ(x(w)) 2  ν(w)(x(w))  1 = a (x(w)) sin ϕ(x(w)) − b1 (x(w)) cos ϕ(x(w)) 2

Im y(w) =

=0

f¨ ur alle w ∈ ∂B. (34)

Weiter berechnen wir yw = x1ww f (x1 , x2 ) + x1w fx1 (x1 , x2 )x1w + x1w fx2 (x1 , x2 )x2w

in B.

Zusammen mit (18), (19) und (29) erhalten wir die DUGL |yw (w)| ≤ a|y(w)|2 ,

w ∈ B,

(35)

mit einer Konstante a = a(λ, α, γ(1)) ∈ (0, +∞). 4. Wir transformieren wie in § 3 die Kreisscheibe E auf die obere Halbebene aß C+ mittels g : C+ → E und spiegeln gem¨  x ◦ g(w), Im w > 0 ˆ (w) = (ˆ x x1 (w), xˆ2 (w)) := . (36) x ◦ g(w), Im w < 0 Aus (15) folgt nun eine Wachstumsbedingung f¨ ur das Dirichletintegral von ˆ (w), wie sie in § 2, Hilfssatz 2 und 3 beschrieben ist. Hierzu verwenden wir x das Courant-Lebesgue-Lemma, sch¨ atzen mit der isoperimetrischen Ungleichung den Fl¨acheninhalt durch die L¨ ange der Randkurve ab und erhalten dann wegen (11) eine Wachstumsabsch¨ atzung f¨ ur das Dirichletintegral. ˆ (w) auf Wie in § 2, Hilfssatz 4 und 5 sch¨ atzen wir nun die Oszillation von x Kreisen im Innern ab. Mit den dort verwendeten Bezeichnungen erhalten wir


2 |Re (ˆ xjw (w) dw)| = |dˆ xj (w)| ≤ |dˆ x(w)| ∂Bλϑ (w0 )

∂Bλϑ (w0 )

C(λ) ≤ √ − log ϑ

∂Bλϑ (w0 )

(37)

f¨ ur j = 1, 2.

Nun gibt es von ds2 abh¨ angige Funktionen ± = ± (x1 , x2 ) : C+ → C \ R, so daß x(w))ˆ x1w (w) x ˆ2w (w) = ± (ˆ erf¨ ullt ist (vgl. Formel (5) und

|Re (ˆ x1w (w) dw)| + 2 2 ∂Bλϑ (w0 )

f¨ ur

w ∈C\R

mit

± Im w > 0 (38)

(6) in § 9). Somit folgt )  ± ) 2C(λ) )Re  (ˆ x(w)) xˆ1w (w) dw ) ≤ √ , − log ϑ

∂Bλϑ (w0 )

§8 Einf¨ uhrung konformer Parameter in eine Riemannsche Metrik

was




* C(λ) |ˆ x1w (w) dw| ≤ √ − log ϑ

323

(39)

∂Bλϑ (w0 )

impliziert. 5. Betrachten wir nun die gespiegelte Ableitungsfunktion  y ◦ g(w) = x1w (g(w))f (ˆ x(w)), Im w > 0 z(w) := , y ◦ g(w) = x1w (g(w))f (ˆ x(w)), Im w < 0

(40)

so ist z wegen der Randbedingung (34) stetig. Mit Hilfe von (39) und (29) erh¨ alt man dann eine Absch¨ atzung f¨ ur das Cauchyintegral von z(w) wie in § 2, Hilfssatz 4 und 5 angegeben. Mit der Methode von Satz 1 aus § 3 * α, β, γ(1)) < +∞, so daß finden wir nun wegen (35) eine Konstante Λ(λ, * α, β, γ(1)) yC 1+β (B) ≤ Λ(λ,

f¨ ur alle β ∈ (0, 1)

(41)

richtig ist. Beachten wir noch (19) und das System (6), so liefern potentialtheoretische Methoden xC 2+α (B,R2 ) ≤ Λ

(42)

mit einer a-priori-Konstante Λ = Λ(λ, α, γ(1)). Schließlich wenden wir auf die nichtverschwindende Funktion y(w), w ∈ B, den Satz 1 aus § 5 an. Mit den Beweismethoden von Satz 3 aus § 5 erhalten wir wegen (20) eine Konstante Θ = Θ(λ, α, γ(1)) > 0 mit Jx (u, v) ≥ Θ

f¨ ur alle (u, v) ∈ B.

Dies vervollst¨ andigt den Beweis des Satzes.

(43) q.e.d.

Bemerkung: Gilt f¨ ur die Riemannsche Metrik gjk (x1 , x2 ) = δjk in der Umgebung von ∂E, so k¨ onnen wir die Abbildung x spiegeln und auf den Einsatz der Schwarzschen Integralformel (28) verzichten.

§8 Einfu ¨ hrung konformer Parameter in eine Riemannsche Metrik ¨ Wir f¨ uhren die Uberlegungen aus § 7 fort und zitieren die dortigen Ergebnisse mit dem Zusatz *. In eine Metrik ds2 aus (1)*, (2)*, (3)* der Klasse C 1+α (E) wollen wir konforme Parameter einf¨ uhren, d.h. das System (4)*, (5)* der gewichteten Konformit¨ atsrelationen l¨ osen und die Metrik ds2 in die isotherme Form ds2 = σ(u, v)(du2 + dv 2 ) in B, σ(u, v) > 0 in B, (1)

324

XII Nichtlineare elliptische Systeme

u uhren. Dieses tun wir zun¨ achst f¨ ur Metriken ds2 , deren Koeffizienten in ¨ berf¨ 1+α der C (E)-Norm hinreichend wenig von einer isothermen Metrik dr2 = (x1 , x2 )δjk dxj dxk 1

2

(x , x ) : E → (0, +∞) ∈ C

in E, 1+α

(2)

(E),

abweichen. Wir erkl¨ aren das Oberfl¨ achenelement von ds2 1

g(x1 , x2 ) := (det G(x1 , x2 )) 2 ' = g11 (x1 , x2 )g22 (x1 , x2 ) − g12 (x1 , x2 )2

(3) in E.

Zur Vereinfachung der nachfolgenden Rechnungen setzen wir (x1 , x2 ) = (x, y) = z ∈ E und   a(x, y) b(x, y) 1 2 1 2 in E. (4) G(x , x ) = (gjk (x , x ))j,k=1,2 = b(x, y) c(x, y) Wir wollen nun einen positiv-orientierten Diffeomorphismus w(z) = u(x, y) + iv(x, y) : E → Ω ∈ C 2+α (E, C)

(5)

auf ein beschr¨ anktes, einfach zusammenh¨ angendes Gebiet Ω ⊂ C mit der Umkehrabbildung z = z(w) = x(u, v) + iy(u, v) : Ω → E ∈ C 2+α (Ω, C)

(6)

konstruieren, so daß die Metrik ds2 in die isotherme Form ds2 = σ(u, v)(du2 + dv 2 )

in Ω

(7)

u uhrt wird. Wir berechnen ¨ berf¨ ds2 = a dx2 + 2b dx dy + c dy 2 2 11 2 2 = a dx + 2ab dx dy + ac dy 2 a 21 2 11 = a dx + (b + ig) dy a dx + (b − ig) dy . a

(8)

Wir suchen nun eine komplexe, diffeomorphe Stammfunktion w = w(z) : E → Ω ∈ C 2+α (E, C), so daß a dx + (b + ig) dy = (z) dw

in E

(9)

mit einer Funktion  ∈ C 1+α (E, C \ {0}) richtig ist. Es folgt dann a dx + (b − ig) dy = (z) dw

in

und (8)-(10) liefern die gew¨ unschte isotherme Form

E,

(10)

§8 Einf¨ uhrung konformer Parameter in eine Riemannsche Metrik

1 |(z)|2  dw  dw = dw dw = λ(w)(du2 + dv 2 ) a a(z)

ds2 =

|(z(w))|2 : Ω → (0, +∞) ∈ C 1+α (Ω). λ(w) := a(z(w))

mit

325

(11)

Formel (9) ist ¨ aquivalent zu dem System (z)

∂ w(z) = a(z), ∂x

(z)

∂ w(z) = b(z) + ig(z) ∂y

in E

und damit auch zu 2

∂ ∂ ∂ w =  w − i w = a + g − ib, ∂z ∂x ∂y

2

∂ ∂ ∂ w =  w + i w = a − g + ib ∂z ∂x ∂y

in E,

beziehungsweise  1  ∂ w(z) = a(z) − g(z) + ib(z) , ∂z 2(z) 1 1 ∂ = w(z) 2(z) a(z) + g(z) − ib(z) ∂z

in E.

Setzen wir die zweite Beziehung in die erste ein, so erhalten wir schließlich die zu (9) ¨ aquivalente komplexe Gleichung a(z) − g(z) + ib(z) ∂ ∂ w(z) − w(z) = 0 ∂z a(z) + g(z) − ib(z) ∂z

in

E.

Wir erkl¨ aren nun q(z) :=

a(z) − g(z) + ib(z) , a(z) + g(z) − ib(z)

⇔

b(z) = 0, a(z) = c(z)

z ∈ E.

(12)

f¨ ur ein z ∈ E,

(13)

Es gilt q(z) = 0 und wir beachten

0

|q(z)| =

(a − g)2 + b2 = (a + g)2 + b2

= = 1−4

0

(a + g)2 + b2 − 4ag (a + g)2 + b2

ag ε

Nach dem o.a. Satz von I. N. Vekua gilt ΠE [f ] ≤ C2 (α)f ,

f ∈ B,

(20)

mit einer Konstante C2 (α) ∈ (0, +∞). Hilfssatz 4 in Kap. IV, § 5 entnehmen wir die Identit¨ aten ∂ {TE [f ](z)} = f (z), ∂z

∂ {TE [f ](z)} = ΠE [f ](z), ∂z

z ∈ E.

(21)

Zum Beweis von (20) wendet man Satz 4 aus Kap. IX, § 4 auf die Funktion ∂ at ∂z f an. Beachten wir die Identit¨
%∂ & f (ζ) 1 f (z) = ΠE [f ](z) − dζ, z ∈ E, TE 2 ∂ζ 2πi ζ (ζ − z) ∂E

aus Hilfssatz 5 in Kap. IV, § 5, so haben wir noch das Kurvenintegral in der atzen. Letzteres stellt eine holomorphe Funktion in C 1+α (E)-Norm abzusch¨ E dar, welche gem¨ aß Satz 1 aus Kap. IX, § 2 von Plemelj gewisse Cauchysche Hauptwerte u ¨ ber ∂E als Randwerte annimmt. Kontrollieren wir diese mit Hilfssatz 2 aus Kap. IX, § 4 und beachten dort den Satz 3, so k¨onnen wir das atzen und erhalten (20). VerwenKurvenintegral in der C 1+α (E)-Norm absch¨ den wir nun (21), so haben wir auch (18) gezeigt.

§8 Einf¨ uhrung konformer Parameter in eine Riemannsche Metrik

327

Zur L¨ osung der Beltramischen Differentialgleichung (15) machen wir nun den Ansatz von L. Ahlfors und I. N. Vekua W (z) = z + TE [f ](z),

z ∈ E,

f¨ ur

f ∈ B.

(22)

Setzen wir (22) in (15) ein, so berechnen wir mit Hilfe von (21) f¨ ur f ∈ B die Tricomische Integralgleichung f (z) − q(z)ΠE [f ](z) = q(z),

z ∈ E.

(23)

Wir betrachten nun den Operator Lf := q(z) + q(z)ΠE [f ](z),

z ∈ E,

f¨ ur

f ∈ B.

(24)

Insofern qC2 (α) < 1

(25)

richtig ist, wird der Operator L auf B kontrahierend, denn f¨ ur f1 , f2 ∈ B gilt wegen (20) die Ungleichung Lf1 − Lf2  = q ΠE [f1 − f2 ] ≤ q ΠE [f1 − f2 ]

(26)

≤ qC2 (α)f1 − f2 . Somit hat der Operator L : B → B unter der Voraussetzung (25) genau einen Fixpunkt f ∈ B mit Lf = f nach dem Banachschen Fixpunktsatz. Nun l¨ ost f ∈ B die Tricomische Integralgleichung (23). Mit W (z) aus (22) erhalten wir dann eine L¨ osung der Differentialgleichung (15), und wegen (18) gilt W ∈ C 2+α (E). Weiter entnehmen wir (20) und (25) die Absch¨atzung f  ≤

q 1 − qC2 (α)

(27)

f¨ ur den Fixpunkt f = Lf . Wegen (18) k¨ onnen wir also in (22) die C 2+α (E)Norm der durch TE [f ](z) verursachten St¨ orung der Identit¨at absch¨atzen. Setzen wir q hinreichend klein voraus, so ist demnach W (z) : E → Ω ∈ C 2+α (E, C)

(28)

ein positiv-orientierter Diffeomorphismus auf das Jordangebiet Ω ⊂ C mit dem C 2+α -Rand ∂Ω. Mit den Ergebnissen in Kap. IV, §§ 7-8 bilden wir nun Ω konform ab auf die Einheitskreisscheibe B mit der Abbildung X(w) : Ω → B, so daß X ◦ W (0) = 0 erf¨ ullt ist. Nach Satz 5 in Kap. IV, § 8 geh¨ort X −1 : B → 1,1 Ω zur Klasse C (B). Wegen Satz 2 aus § 7 folgt dann (X ◦ W )−1 = W −1 ◦ X −1 : B → E ∈ C 2+α (B, C), (X ◦ W )−1 (0) = 0. Wir erhalten insgesamt den

328

XII Nichtlineare elliptische Systeme

Satz 1. (Stabilit¨ atssatz f¨ ur konforme Abbildungen) Die Metrik ds2 aus (1)*, (2)*, (3)* erf¨ ulle in bezug auf eine Metrik (2) die Ungleichung j, k = 1, 2, (29) gjk − δjk C 1+α (E) < δ, mit einem hinreichend kleinen δ = δ(α, ) > 0. Dann gibt es einen gewichtet konformen Diffeomorphismus x(u, v) = (x1 (u, v), x2 (u, v)) ∈ C 2+α (B, E), welcher (4)*, (5)*, (8)* gen¨ ugt. Die Metrik ds2 erscheint dann in der isothermen Form (1). Mit einer nichtlinearen Kontinuit¨ atsmethode beweisen wir nun den Uniformisierungssatz, welcher f¨ ur die Differentialgeometrie, die Funktionentheorie und die Theorie partieller Differentialgleichungen zentrale Bedeutung hat. Schon C. F. Gauß konnte analytische Fl¨ achenst¨ ucke im Kleinen abbilden, w¨ahrend L. Lichtenstein differenzierbare Fl¨ achenst¨ ucke lokal abbilden konnte. Konforme Abbildungen im Großen wurden im analytischen Fall von P. Koebe konstruiert, w¨ ahrend im nichtanalytischen Fall C. B. Morrey, E. Heinz, L. Ahlfors und I. N. Vekua mit verschiedenen Methoden ¨ ahnliche Resultate erzielten. Satz 2. (Uniformisierungssatz) Zu jeder Riemannschen Metrik ds2 aus (1)*, (2)*, (3)* mit den Koeffizienten gjk ∈ C 1+α (E), j, k = 1, 2, gibt es einen Diffeomorphismus x = x(u, v) ∈ C 2+α (B, E) mit (4)*, (5)*, (8)*, welcher ds2 in die isotherme Form ds2 = σ(u, v)(du2 + dv 2 )

in

B

(30)

uberf¨ uhrt. mit dem Oberfl¨achenelement σ = σ(u, v) ∈ C 1+α (B, (0, +∞)) ¨ Beweis: Wir deformieren die Metrik ds2 in die Euklidische Metrik mittels (τ )

ds2 (τ ) := gjk (x1 , x2 ) dxj dxk (τ ) gjk (x1 , x2 )

in E,

:= (1 − τ )δjk + τ gjk (x1 , x2 ),

0 ≤ τ ≤ 1,

mit

(x1 , x2 ) ∈ E,

j, k = 1, 2. (31) F¨ ur τ = 0 ist die Metrik ds2 (0) = δjk dxj dxk schon isotherm. Mit Hilfe von Satz 1 k¨ onnen wir dann ein maximales τ ∗ ∈ (0, 1] finden, so daß alle Metriken 2 ds (τ ), 0 ≤ τ < τ ∗ , in die isotherme Form u uhrt werden k¨onnen. Mit ¨berf¨ Satz 2* sehen wir nun ein, daß auch die Metrik ds2 (τ ∗ ) in die isotherme Form u uhrt werden kann mit einem Diffeomorphismus x ∈ C 2+α (B, E) mit (4)*, ¨ berf¨ (5)*, (8)*. W¨ are nun τ ∗ < 1, so k¨ onnten wir nach Satz 1 auch die Metriken 2 ∗ ur τ ≤ τ < τ ∗ + ε mit hinreichend kleinem ε > 0 in die isotherme ds (τ ) f¨ Form bringen. Da aber τ ∗ ∈ (0, 1] maximal gew¨ahlt war, muß τ ∗ = 1 gelten. Folglich ist ds2 = ds2 (1) = gjk (x1 , x2 ) dxj dxk in der angegebenen Weise in die isotherme Form u uhrbar. ¨ berf¨ Wir notieren noch den

q.e.d.

§9 Uniformisierungsmethode und Dirichletproblem

329

Satz 3. Zu jeder Riemannschen Metrik ds2 aus (1)*, (2)*, (3)* gibt es einen C 2+α (B)-Diffeomorphismus x = x(u, v) mit (4)*, (5)*, (8)*, welcher diese in die isotherme Form ds2 = σ(u, v)(du2 + dv 2 )

in

B

(32)

mit dem Oberfl¨achenelement σ = σ(u, v) ∈ C 1+α (B, (0, +∞)) ¨ uberf¨ uhrt. Beweis: F¨ ur r ∈ (0, 1) f¨ uhre man in ds2 auf Er isotherme Parameter gem¨aß Satz 2 ein. Mit Satz 1* findet man dann durch Approximation eine L¨osung von (32). q.e.d. Bemerkung zu Satz 3: Man kann diesen Satz auch herleiten durch Approximation mit Metriken, die am Rand Euklidisch sind. In diesem Zusammenhang verweisen wir auf die Bemerkung zu Satz 2*.

§9 Die Uniformisierungsmethode bei quasilinearen elliptischen Differentialgleichungen und das Dirichletproblem Auf dem Jordangebiet Ω ⊂ R2 mit C 2+α -Rand ∂Ω betrachten wir die quasilineare elliptische Differentialgleichung a(x, y, z, p, q)r + 2b(x, y, z, p, q)s + c(x, y, z, p, q)t + d(x, y, z, p, q) = 0 in Ω mit

ac − b2 > 0. (1)

Hierbei haben wir die u urzungen ¨ blichen Abk¨ p = zx (x, y),

q = zy (x, y),

r = zxx (x, y),

s = zxy (x, y),

t = zyy (x, y) (2) f¨ ur die Ableitungen einer Funktion z = z(x, y) : Ω → R ∈ C2+α (Ω) verwendet. Unter entsprechenden Voraussetzungen f¨ uhren wir in die Metrik ds2 = c dx2 − 2b dx dy + a dy 2

(3)

isotherme Parameter ein mittels x + iy = f (w) = f (u, v) : B → Ω.

(4)

¨ Hierzu verwenden wir den Uniformisierungssatz aus § 8. Die Uberlegungen aus Kap. XI, § 3 k¨ onnen wir dann formal wiederholen, indem wir die charakteristischen Parameter ξ, η durch w, w ersetzen. Erkl¨aren wir die Gr¨oßen √ ) b ± i ac − b2 )) ± , (5) λ (u, v) := ) a x+iy=f (u,v)

330

XII Nichtlineare elliptische Systeme

so erhalten wir wie dort das der Differentialgleichung (1) assoziierte System erster Ordnung yw − λ+ xw = 0, d pw + λ− qw + xw = 0, a

yw − λ− xw = 0, d pw + λ+ qw + xw = 0, a

(6)

zw − pxw − qyw = 0 (mit z = z ◦ f (w) usw.). Da in den Gleichungen die Ableitungen nach w ∂ bzw. w nur gesondert auftreten, differenzieren wir die Gleichungen mit ∂w ∂ nach w und die Gleichungen mit ∂w nach w . Wir erhalten dann ein lineares Gleichungssystem f¨ ur xww , yww , zww , pww , qww , das wir wie in Kap. XI, § 3 nach diesen Gr¨ oßen aufl¨ osen k¨ onnen. F¨ ur die Funktion x(w) = x(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v), p(u, v), q(u, v))

in B

(7)

ergibt sich ein System ∆x(w) = Φ(x(u, v), xu (u, v), xv (u, v)),

w = u + iv ∈ B,

(8)

mit quadratischem Wachstum im Gradienten. Aussagen f¨ ur die Differentialgleichung (1) kann man nun u ¨ ber das System (8) in Verbindung mit den Gleichungen erster Ordnung (6) gewinnen. Absch¨atzungen f¨ ur die uniformisierende Abbildung f garantieren dann die Unabh¨angigkeit von der Parametrisierung. Es sei noch bemerkt, daß in den Arbeiten von F. M¨ uller, die wir in Kap. XI, § 6 zitiert haben, das System (8) durch reelle Differentiation aus der Differentialgleichung (1) gewonnen wird. Wir wollen nun mit der Uniformisierungsmethode das Dirichletproblem f¨ ur die nichtparametrische Gleichung vorgeschriebener mittlerer Kr¨ ummung l¨osen. aren wir die Kreisscheibe Zur Schranke 0 < h0 < +∞ erkl¨   Ω0 := (x, y) ∈ R2 : 4h20 (x2 + y 2 ) ≤ 1 und w¨ ahlen ein α ∈ (0, 1). Voraussetzung D1 : Das beschr¨ ankte Gebiet Ω ⊂ Ω0 habe eine regul¨are C 2+α -Jordankurve ∂Ω als Berandung, deren Kr¨ ummung κ(x, y) ≥ 2h0 f¨ ur alle (x, y) ∈ ∂Ω erf¨ ullt. Weiter sei (0, 0) ∈ Ω richtig. Voraussetzung D2 : Auf dem Kreiszylinder   Z := (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ Ω0 erkl¨ aren wir die mittlere Kr¨ ummung

§9 Uniformisierungsmethode und Dirichletproblem

331

H = H(x, y, z) : Z → R ∈ C 1+α (Z) mit den folgenden Eigenschaften: – Es gibt ein z0 ∈ R und ein H0 ∈ [−h0 , +h0 ], so daß die Bedingung H(x, y, z) = H0

f¨ ur alle (x, y, z) ∈ Z

z ≤ z0

mit

(9)

erf¨ ullt ist. – Es gilt ∂ H(x, y, z) ≥ 0 ∂z – Wir haben schließlich |H(x, y, z)| ≤ h0

f¨ ur alle (x, y, z) ∈ Z.

(10)

(x, y, z) ∈ Z.

(11)

f¨ ur alle

Gem¨ aß § 2 in Kapitel VI hat das folgende Problem h¨ochstens eine L¨osung. Definition 1. Zu stetiger H¨ohendarstellung g : ∂Ω → R ∈ C 0 (∂Ω, R) betrachten wir eine L¨osung z = ζ(x, y) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) des Dirichletproblems P(g) der nichtparametrischen Gleichung vorgeschriebener mittlerer Kr¨ ummung Mζ(x, y) := (1 + ζy2 )ζxx − 2ζx ζy ζxy + (1 + ζx2 )ζyy 3  = 2H(x, y, ζ(x, y)) 1 + |∇ζ(x, y)|2 2

(12) in

Ω

und ζ(x, y) = g(x, y)

f¨ ur alle

(x, y) ∈ ∂Ω.

(13)

Wir setzen noch gC 0 (∂Ω) :=

sup (x,y)∈∂Ω

|g(x, y)|.

Hilfssatz 1. (R. Finn) F¨ ur eine L¨osung ζ ∈ P(g) zu einer Randverteilung g ∈ C 0 (∂Ω, R) gelten die folgenden Absch¨atzungen 1 h0

(x, y) ∈ Ω;

(a)

|ζ(x, y)| ≤ gC 0 (∂Ω) +

(b)



'   1 + |∇ζ(x, y)|2 dx dy ≤ 3|Ω| + 2h0 |Ω| + |∂Ω| gC 0 (∂Ω) ;

f¨ ur alle

Ω

hierbei bezeichnen |Ω| und |∂Ω| den Fl¨acheninhalt von Ω bzw. die L¨ange von ∂Ω.

332

XII Nichtlineare elliptische Systeme

Beweis: (a) Wir betrachten die sph¨ arischen Graphen 0 1 ± η (x, y) := ±gC 0(∂Ω) ± − (x2 + y 2 ), h20

(x, y) ∈ Ω0 .

(14)

Diese gen¨ ugen den Differentialungleichungen  3 Mη ± (x, y) = ±2h0 1 + |∇η ± (x, y)|2 2 ≥ ≤

(15)

3  2H(x, y, η ± (x, y)) 1 + |∇η ± (x, y)|2 2

in Ω.

Leiten wir nun wie in § 2 aus Kapitel VI eine Differentialungleichung f¨ ur die Funktion φ(x, y) := ζ(x, y) − η ± (x, y) in Ω her und beachten (10), so liefert das Maximumprinzip η − (x, y) ≤ ζ(x, y) ≤ η + (x, y)

in Ω.

(16)

Hieraus folgt die Absch¨ atzung (a). ' √ := 1 + |∇ζ|2 ab. (b) Wir schreiben (12) in Divergenzform und k¨ urzen Wir erhalten     ∂ ζy ∂ ζx ζ √ +ζ √ = 2H(x, y, ζ)ζ ∂x ∂y und integrieren u ¨ ber das Gebiet Ω wie folgt:

2 ζ(x, y)H(x, y, ζ(x, y)) dx dy Ω



 = Ω


=

   

∂ |∇ζ|2 ∂ ζx ζy dx dy − ζ√ + ζ√ √ dx dy ∂x ∂y Ω







ζx 1 ζy √ ζ √ dy − √ dx − dx dy + √ dx dy. Ω

∂Ω

Ω

Wegen (a) k¨ onnen wir nun absch¨ atzen

' 1 + |∇ζ|2 dx dy


Ω

=

 



ζx 1 ζy ζ √ dy − √ dx + dx dy − 2 ζH(x, y, ζ) dx dy √

∂Ω

Ω

Ω

 1 h0 |Ω|, ≤ gC 0 (∂Ω) |∂Ω| + |Ω| + 2 gC 0(∂Ω) + h0 und auch (b) ist gezeigt.

q.e.d.

§9 Uniformisierungsmethode und Dirichletproblem

333

Mit Satz 3 aus § 8 f¨ uhren wir nun in den Graphen ζ ∈ P(g) konforme Parameter ein mit der uniformisierenden Abbildung f = f (u, v) : B → Ω ∈ C 2 (B) ∩ C 0 (B) diffeomorph, f (0, 0) = (0, 0). Dann ist

  x(u, v) := f (u, v), ζ(f (u, v)) ,

(u, v) ∈ B,

(17)

(18)

im folgenden Sinne eine H-Fl¨ ache. Definition 2. Eine nichtkonstante L¨osung des Systems ∆x(u, v) = 2H(x(u, v))xu ∧ xv (u, v)

in

|xu (u, v)|2 − |xv (u, v)|2 = 0 = xu · xv (u, v)

B, in

B

(19)

nennen wir eine H-Fl¨ache. Diese heißt verzweigungspunktfrei, falls E(u, v) := |xu ∧ xv (u, v)| > 0

f¨ ur alle

(u, v) ∈ B

richtig ist. Hilfssatz 2. F¨ ur die Normale X(u, v) ∈ C 2+α (B) an die verzweigungspunktfreie H-Fl¨ache x gilt mit den Bezeichungen aus Kap. XI, §1 die Differentialgleichung   ∆X(u, v) + 2 2EH(x)2 − EK − E(∇H(x) · X) X = −2E∇H(x) in B. (20) Beweis: Aus den Ableitungsgleichungen (vgl. [BL]) in konformen Parametern Xu = −

L M xu − xv , E E

Xv = −

M N xu − xv E E

ermitteln wir (X ∧ Xv )u − (X ∧ Xu )v = 2Xu ∧ Xv = 2

LN − M 2 xu ∧ xv = 2EKX E2

sowie X ∧ Xu = −Xv − 2H(x)xv ,

X ∧ Xv = Xu + 2H(x)xu .

Wegen 1 2 H(x(u, v)) u = ∇H(x) · xu , folgt

1

2 H(x(u, v)) v = ∇H(x) · xv

334

XII Nichtlineare elliptische Systeme

2EKX = (X ∧ Xv )u − (X ∧ Xu )v = Xuu + 2(∇H · xu )xu + 2Hxuu + Xvv + 2(∇H · xv )xv + 2Hxvv   = ∆X + 4EH 2 X + 2 (∇H · xu )xu + (∇H · xv )xv . (21) Wir entwickeln nun     xv xu xu xv + ∇H · + (∇H · X)X ∇H = ∇H · |xu | |xu | |xv | |xv | und erhalten (∇H · xu )xu + (∇H · xv )xv = E∇H − E(∇H · X)X.

(22)

Den Formeln (21) und (22) entnehmen wir die Differentialgleichung (20). q.e.d. Satz 1. (Graphenkompaktheit) Unter den Voraussetzungen (D1 ) und (D2 ) seien die Randverteilungen gk ∈ C 0 (∂Ω, R) f¨ ur k = 1, 2, . . . gegeben, zu denen jeweils eine L¨osung ζk ∈ P(gk ) existiere. Ferner konvergiere die Folge {gk }k=1,2,... gleichm¨aßig auf ∂Ω gegen g(x) := lim gk (x) ∈ C 0 (∂Ω, R). k→∞

Dann hat auch P(g) eine L¨osung ζ. Beweis: 1. Wie in (17)-(18) f¨ uhren wir mittels der uniformisierenden Abbildungen fk = fk (u, v) : B → Ω in die Graphen ζk konforme Parameter ein und erhalten die verzweigungspunktfreien H-Fl¨achen     (u, v) ∈ B. xk (u, v) := fk (u, v), ζk (fk (u, v)) =: fk (u, v), zk (u, v) , (23) Nach Hilfssatz 1 von R. Finn hat diese Folge ein gleichm¨aßig beschr¨anktes Dirichletintegral. Mit dem Courant-Lebesgue-Lemma in Verbindung mit dem geometrischen Maximumprinzip von E. Heinz zeigt man, daß die Funktionenfolge {xk }k=1,2,... gleichgradig stetig in B ist. Nach dem Satz von Arzel` a-Ascoli k¨ onnen wir eine auf B gleichm¨aßig konvergente Teilfolge ausw¨ ahlen, die wegen § 2, Satz 2 gegen eine H-Fl¨ache   x(u, v) = f (u, v), z(u, v) : B → R3 ∈ C 2 (B) ∩ C 0 (B) (24) konvergiert. 2. Da xk konform parametrisiert ist, k¨ onnen wir wie in Hilfssatz 2 aus § 7 die dritte Komponente eliminieren, d.h. |∇zk (u, v)|2 ≤ |∇fk (u, v)|2

in B

f¨ ur

k = 1, 2, . . .

(25)

§9 Uniformisierungsmethode und Dirichletproblem

335

Wir erhalten dann die Folge ebener Abbildungen fk (u, v) : B → Ω ∈ C 2 (B) ∩ C 0 (B) 2

|∆fk (u, v)| ≤ c1 |∇fk (u, v)|

in

diffeomorph, B,

(26)

fk (0, 0) = (0, 0), D(fk ) ≤ c2

f¨ ur

k = 1, 2, . . .

mit Konstanten c1 , c2 und dem Dirichletintegral D(fk ) von fk . Nach der Verzerrungsabsch¨ atzung von E. Heinz aus § 5 gibt es f¨ ur jedes r ∈ (0, 1) ein Θ(c1 , c2 , r) > 0, so daß in Br := {(u, v) ∈ B : u2 + v 2 < r2 } die Ungleichung |∇fk (u, v)| ≥ Θ(c1 , c2 , r)

f¨ ur alle (u, v) ∈ Br

(27)

erf¨ ullt ist. Hierbei haben wir im Beweis von Satz 3 aus § 5 das Bildgebiet B durch Ω zu ersetzen. Wegen (27) finden wir f¨ ur die Grenzabbildung |∇f (u, v)| > 0

in B,

(28)

und die H-Fl¨ache x aus (24) ist verzweigungspunktfrei. 3. F¨ ur die Normale X(u, v) an x(u, v) betrachten wir die Hilfsfunktion φ(u, v) := X(u, v) · e ≥ 0,

(u, v) ∈ B,

(29)

mit e := (0, 0, 1). Setzen wir   q(u, v) := 2 2EH(x)2 − EK − E(∇H(x) · X) , so liefert Hilfssatz 2 zusammen mit (10) die Differentialungleichung ∆φ(u, v) + q(u, v)φ(u, v) ≤ 0

in

B.

(30)

Multiplikation mit einer nichtnegativen Testfunktion liefert nach Integration die schwache Differentialungleichung

  ∇φ(u, v) · ∇ψ(u, v) − q(u, v)φ(u, v)ψ(u, v) du dv ≥ 0 (31) B f¨ ur alle ψ ∈ C0∞ (B)

mit ψ ≥ 0

in B.

Da der Beweis der Moserschen Ungleichung (vgl. Satz 1 aus Kap. X, § 5) auch f¨ ur L¨ osungen solcher Differentialungleichungen g¨ ultig bleibt, haben wir f¨ ur die Funktion φ das Prinzip der eindeutigen Fortsetzung zur Verf¨ ugung. Danach muß φ auf B verschwinden, insofern auch nur eine Nullstelle in B auftritt. Da aber φ ≡ 0 in B offenbar ausgeschlossen ist, folgt φ(u, v) > 0 f¨ ur alle (u, v) ∈ B

336

XII Nichtlineare elliptische Systeme

und schließlich Jf (u, v) :=

∂(x, y) >0 ∂(u, v)

in

B.

(32)

Somit ist f : B → Ω ein Diffeomorphismus der Klasse C 2 (B) ∩ C 0 (B), wenn wir noch folgendes beachten: Die Randabbildung f |∂B ist zun¨achst schwach monoton, kann aber keine Konstanzintervalle aufweisen. Sonst ¨ w¨ urde m.H. der Konformit¨ atsrelationen und dem Ahnlichkeitsprinzip urlich unm¨oglich ist. Mit leicht xw (w) ≡ 0 in B hergeleitet, was nat¨   (x, y) ∈ Ω, ζ(x, y) := z f −1 (x, y) , erhalten wir schließlich eine L¨ osung von P(g).

q.e.d.

Hilfssatz 3. (Geometrisches Maximumprinzip von S. Hildebrandt) Die Hilfsfunktion φ(u, v) := x(u, v)2 + y(u, v)2 , (u, v) ∈ B, zur H-Fl¨ache x(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) : B → Z erf¨ ullt die Differentialungleichung ∆φ(u, v) ≥ 0

in

B.

Beweis: Wir berechnen   ∆φ(u, v) = 2 |∇x|2 + |∇y|2 + x ∆x + y ∆y   = 2 |∇x|2 + |∇y|2 + 2H(x)(x, y, 0) · xu ∧ xv . Da x in konformen Parametern vorliegt, folgt |∇z|2 ≤ |∇x|2 + |∇y|2

in B

und somit |2H(x)(x, y, 0) · xu ∧ xv | ≤ 2h0

 1 1 |∇x|2 + |∇y|2 + |∇z|2 2h0 2

≤ |∇x|2 + |∇y|2 Insgesamt erhalten wir also ∆φ(u, v) ≥ 0 in B.

in B. q.e.d.

Mit einem fundamentalen Randregularit¨ atssatz von S. Hildebrandt, J. C. C. Nitsche, F. Tomi und E. Heinz zeigen wir nun den Satz 2. (Graphenregularit¨ at) Sei ζ ∈ P(g) eine L¨osung zur Randverteilung g ∈ C 2+α (∂Ω, R) unter den Voraussetzungen (D1 ) und (D2 ). Dann folgt ζ = ζ(x, y) ∈ C 2+α (Ω). Beweis: Wir betrachten wieder die H-Fl¨ ache x(u, v) = (f (u, v), ζ(f (u, v)), atsklasse C 2 (B) ∩ C 0 (B). Nach [DHKW] 7.3, Theo(u, v) ∈ B, der Regularit¨ ¨ rem 2 folgt x ∈ C 2+α (B). Uber die Jacobische der uniformisierenden Abbildung wissen wir bereits

§9 Uniformisierungsmethode und Dirichletproblem

Jf (u, v) > 0

in

337

B,

und wir wollen nun diese Ungleichung auch auf ∂B nachweisen. Sei w0 ∈ ∂B beliebig gew¨ ahlt und x0 := x(w0 ), y0 := y(w0 ) erkl¨art. Dann k¨onnen wir durch ullt eine Verschiebung des Gebietes Ω ⊂ Ω0 erreichen, daß (x0 , y0 ) ∈ ∂Ω0 erf¨ ist. Nach dem Hopfschen Randpunktlemma haben wir in Polarkoordinaten w = reiϑ f¨ ur die Hilfsfunktion φ aus Hilfssatz 3 die Ungleichung ) 1 ∂φ )) ) (33) 0< ) = (xxr + yyr )) . 2 ∂r w0 w0 Da φ(ϑ) := φ(cos ϑ, sin ϑ) in ϑ0 das Maximum annimmt, folgt ) 1 ∂φ )) ) 0= ) = (xxϑ + yyϑ )) . 2 ∂ϑ ϑ0 w0

(34)

In (33) lesen wir ab, daß w0 kein Verzweigungspunkt ist, |xϑ (w0 )|2 = |xr (w0 )|2 > 0.

(35)

Ferner gibt es ein K > 0, so daß zϑ2 ≤ K(x2ϑ + yϑ2 ). Aus (35) und (36) folgt

) ) 0 < (x2ϑ + yϑ2 + zϑ2 ))

beziehungsweise

w0

(36)

) ) ≤ (1 + K)(x2ϑ + yϑ2 ))

) ) (x2ϑ + yϑ2 ))

w0

> 0.

(37)

w0

Benutzen wir nun, daß die Abbildung f positiv orientiert ist, so finden wir wegen (34) ein λ > 0 mit xϑ (w0 ) = −λy(w0 ), Es folgt

) ) (xr yϑ − xϑ yr ))

w0

yϑ (w0 ) = λx(w0 ).

) ) = λ(xxr + yyr ))

>0 w0

beziehungsweise Jf (w0 ) > 0. 2+α

(B)-Diffeomorphismus, und die Funktion Also ist f : B → Ω ein C ζ(x, y) := z(f −1 (x, y)), (x, y) ∈ Ω, geh¨ ort zur Klasse C 2+α (Ω). q.e.d. Hilfssatz 4. (Graphenstabilit¨ at) Zur Randverteilung g ∈ C 2+α (∂Ω) sei ζ = ζ(x, y) ∈ P(g) eine L¨osung der Klasse C 2+α (Ω). Dann gibt es ein ε = ε(ζ) > 0, so daß f¨ ur alle Randverteilungen g˜ ∈ C 2+α (∂Ω) mit ˜ g − gC 2+α (∂Ω) ≤ ε das Problem P(˜ g ) l¨osbar ist.

338

XII Nichtlineare elliptische Systeme

Beweis: Durch St¨ orung mit einer Funktion η(x, y) ∈ C 2+α (Ω) l¨osen wir das Problem P(˜ g). Damit neben ζ auch ζ + η die Differentialgleichung (12) erf¨ ullt, ermitteln wir aus   0 = 1 + (ζy + ηy )2 (ζxx + ηxx ) − 2(ζx + ηx )(ζy + ηy )(ζxy + ηxy )   3 (38)   + 1 + (ζx + ηx )2 (ζyy + ηyy ) − 2H(x, y, ζ + η) 1 + |∇(ζ + η)|2 2 gem¨ aß dem Homogenit¨ atsgrad in η, ηx , . . . , ηyy die Differentialgleichung Lη(x, y) = φ(η)

in Ω.

(39)

Dabei ist Lη := (1 + ζy2 )ηxx − 2ζx ζy ηxy + (1 + ζx2 )ηyy +a(x, y)ηx + b(x, y)ηy + c(x, y)η ein linearer elliptischer Differentialoperator mit Koeffizienten, die von den angen. Wegen (10) haben wir c(x, y) ≤ 0 in Ω. Die Gr¨ oßen ζ, ζx , . . . , ζyy abh¨ rechte Seite ist quadratisch und von h¨ oherer Ordnung in η, ηx , . . . , ηyy und gen¨ ugt somit der Kontraktionsbedingung φ(η1 ) − φ(η2 )C α (Ω) ≤ C()η1 − η2 C 2+α (B) f¨ ur alle ηj ∈ C 2+α (Ω)

mit ηj C 2+α (Ω) ≤ 

und j = 1, 2.

(40)

Dabei ist C() → 0 f¨ ur  → 0+ richtig, und wir bemerken φ(0) = 0. Mit der Schaudertheorie aus § 6 in Kapitel IX k¨ onnen wir nun das lineare Problem Lη = ω η=ψ

in Ω, auf ∂Ω

(41)

zu jeder rechten Seite ω ∈ C α (Ω) und allen Randwerten ψ ∈ C 2+α (∂Ω) mit einem η ∈ C 2+α (Ω) eindeutig l¨ osen. F¨ ur Randwerte ψ ≡ 0 auf ∂Ω setzen wir   C∗2+α (Ω) := η ∈ C 2+α (Ω) : η = 0 auf ∂Ω ur die Einschr¨ankung von L auf den Raum und schreiben L0 := L|C∗2+α (Ω) f¨ 2+α C∗ (Ω). Dann ist der Operator ω = L0 (η) : C∗2+α (Ω) → C α (Ω),

(42)

invertierbar, und wir haben nach Satz 2 in § 5 aus Kapitel IX die Schauderabsch¨ atzung L−1 0 (ω)C 2+α (Ω) ≤ CωC α (Ω)

f¨ ur alle ω ∈ C α (Ω).

osen wir zun¨achst Zu den Randwerten ψC 2+α (∂Ω) ≤ ε l¨

(43)

§9 Uniformisierungsmethode und Dirichletproblem

Lη0 = 0

in Ω,

η0 = ψ

auf ∂Ω.

339

(44)

Hierbei m¨ ussen wir die L¨ osung durch ihre Randwerte in der C 2+α -Norm absch¨ atzen. Dazu sch¨ atzen wir zun¨ achst die L¨osung η0 (x, y) in der C 0 -Norm gegen ihre Randwerte ab gem¨ aß Satz 1 aus Kap. VI, § 1. Mit der Schaudertheorie aus Kap. IX, § 7 sch¨ atzen wir dann die L¨ osung in der C 2+α -Norm gegen ihre Randwerte ab. Dabei biegen wir lokal den Rand des Gebietes gerade und k¨onnen die Randwerte in den umgebenden Raum fortsetzen - ohne ihre C 2+α Norm zu vergr¨ oßern. Durch Subtraktion der erweiterten Randwerte erhalten wir eine inhomogene Differentialgleichung mit Nullrandwerten, u ¨ ber die wir unsere Schauderabsch¨ atzung gewinnen. Nun iterieren wir Lηk+1 = φ(ηk ) ηk+1 = ψ

in Ω,

(45)

auf ∂Ω

f¨ ur k = 0, 1, 2, . . . Mit Hilfe von (40) und (43) stellt man fest, daß die Folge {ηk }k=1,2,... im Banachraum C 2+α (Ω) gegen eine L¨osung η ∈ C 2+α (Ω) von (39) konvergiert, insofern wir ε > 0 hinreichend klein w¨ahlen. q.e.d. Satz 3. (Quasilineares Dirichletproblem) ur alle Randwerte g ∈ Unter den Voraussetzungen (D1 ) und (D2 ) hat f¨ C 0 (∂Ω, R) das Dirichletproblem P(g) f¨ ur die nichtparametrische Gleichung vorgeschriebener mittlerer Kr¨ ummung genau eine L¨osung. Beweis: Wegen der Bedingung (9) k¨ onnen wir einen sph¨arischen Graphen η(x, y) : Ω → R ∈ C 2+α (Ω) der mittleren Kr¨ ummung H0 finden, so daß die Differentialgleichung (12) zu den Randwerten f (x, y) := η(x, y),

(x, y) ∈ ∂Ω,

erf¨ ullt wird. Zu der Familie von Randwerten   gλ (x, y) := f (x, y) + λ g(x, y) − f (x, y) ,

(x, y) ∈ ∂Ω,

(46)

mit 0 ≤ λ ≤ 1 und g ∈ C 2+α (∂Ω, R) l¨ osen wir das Problem P(gλ ). F¨ ur λ = 0 ist das bereits erfolgt, und die L¨ osbarkeit ist nach Hilfssatz 4 eine offene ur alle und nach Satz 1 eine abgeschlossene Eigenschaft. Folglich ist P(gλ ) f¨ 0 ≤ λ ≤ 1 l¨ osbar und insbesondere P(g) hat eine L¨osung ζ ∈ C 2+α (Ω). Mit Satz 1 sehen wir dann sofort die L¨ osbarkeit des Dirichletproblems auch f¨ ur stetige Randwerte ein. Die Eindeutigkeit wurde bereits in § 2 von Kapitel VI gezeigt. q.e.d. Bemerkung: Der hier vorgeschlagene Zugang zum Dirichletproblem orientiert sich an der folgenden Arbeit: F. Sauvigny: Deformation of boundary value problems for surfaces with prescribed mean curvature. Analysis 21 (2001), 157-169.

340

XII Nichtlineare elliptische Systeme

§10 Ein Ausblick auf das Plateausche Problem Zu vorgegebenem M > 0 erkl¨ aren wir die Kugel   K := (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ M 2 . Hierin nehmen wir eine rektifizierbare Jordankurve Γ ⊂ K, auf welcher wir drei verschiedene Punkte pj ∈ Γ , j = 1, 2, 3, festlegen. Wir erkl¨aren die nichtleere Klasse zul¨assiger Funktionen ⎧ ⎫ x ∈ C 2 (B) ∩ C 0 (B) ∩ W 1,2 (B), ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ . Z(Γ ) := x = x(u, v) : B → K : x : ∂B → Γ schwach monoton, ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 2πi x(e 3 j ) = pj , j = 1, 2, 3 Neben dem verallgemeinerten Fl¨acheninhalt

  2H |xu ∧ xv | + A(x) := (x, xu , xv ) du dv 3

(1)

B

aus Kapitel XI, § 2 betrachten wir f¨ ur x ∈ Z(Γ ) das Heinzsche Energiefunktional

    4H |xu |2 + |xv |2 + (x, xu , xv ) du dv, E(x) := (2) 3 B

wobei wir H ∈

1 1 [− 2M , + 2M ]

annehmen. Zum Dirichletintegral

  D(x) := |xu |2 + |xv |2 du dv B

besteht dann die Beziehung 2 D(x) 3

f¨ ur alle x ∈ Z(Γ ).

(3)

2A(x) ≤ E(x)

f¨ ur alle x ∈ Z(Γ ),

(4)

E(x) ≥ Weiter beachten wir

wobei Gleichheit genau im Falle konformer Parametrisierung |xu | = |xv |,

xu · xv = 0

in

B

eintritt. Dies beruht auf der Ungleichung ' √ 1 EG − F 2 ≤ EG ≤ (E + G) 2 f¨ ur die Koeffizienten der ersten Fundamentalform dx2 = E du2 + 2F du dv + G dv 2 der Fl¨ ache. T. Rad´ o und C. B. Morrey verdankt man den

(5)

§10 Ein Ausblick auf das Plateausche Problem

341

Hilfssatz 1. (Fast-konforme Parameter) Seien x = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∈ Z(Γ ) und ε > 0 vorgegeben. Dann gibt es eine Parametertransformation f (α, β) : B → B topologisch, so daß die Fl¨ache y(α, β) := x ◦ f (α, β) ∈ Z(Γ ) zul¨assig ist und 1 E(y) ≤ A(y) + ε 2

(6)

erf¨ ullt ist. Beweis: Da der zweite Summand in 2A und E parameterinvariant (unter orientierungstreuen Umparametrisierungen) ist, m¨ ussen wir nur den Fall H = 0 betrachten. Zu δ > 0 erkl¨ aren wir   ˜ (u, v) = x(u, v), y(u, v), z(u, v); δu, δv : B → R5 x (7) mit der ersten Fundamentalform ˜=x ˜u · x ˜ u = E + δ2, E

˜u · x ˜ v = F, F˜ = x

˜=x ˜v · x ˜ v = G + δ2 G

und dem Oberfl¨ achenelement ˜ − F˜ 2 = EG − F 2 + δ 2 (E + G) + δ 4 > 0. E˜ G ˜ (u, v) isotherme Parameter Wir f¨ uhren nun gem¨ aß § 8 in die regul¨ are Fl¨ ache x ein durch die (positiv orientierte) Abbildung   f (α, β) = u(α, β), v(α, β) : B → B. Die Fl¨ ache     ˜ (α, β) := x ˜ ◦f (α, β) = x◦f (α, β), δf (α, β) = y(α, β), δf (α, β) : B → R5 y erf¨ ullt

˜α · y ˜ β = 0 = |˜ y yα |2 − |˜ yβ |2

in B,

und die Transformationsformel liefert

' 2 ˜G ˜ − F˜ 2 dα dβ D(y) + δ D(f ) = D(˜ y) = 2 E B



' =2 (EG − F 2 ) + δ 2 (E + G) + δ 4 du dv B





' √ 2 EG − F du dv + 2δ E + G du dv + 2πδ 2 . ≤2 B

B

(8) Zu vorgegebenem ε > 0 k¨ onnen wir also ein δ > 0 und eine zugeh¨orige Transformation f finden, so daß f¨ ur y = x ◦ f die Ungleichung (6) gilt. q.e.d.

342

XII Nichtlineare elliptische Systeme

Hilfssatz 2. (Minimaleigenschaft) Sei x(u, v) ∈ Z(Γ ) eine L¨osung des H-Fl¨achensystems ∆x(u, v) = 2H xu ∧ xv (u, v)

in

B

1 1 , + 2M ]. Dann gilt f¨ ur alle y(u, v) ∈ Z(Γ ) mit y(u, v) = x(u, v) f¨ ur H ∈ [− 2M auf ∂B die Ungleichung E(y) ≥ E(x). (9)

Beweis: Mit dem Gaußschen Integralsatz pr¨ uft man die folgende Identit¨at nach,

  4H  |∇z|2 + 3x + z, zu , zv du dv E(x + z) = E(x) + 3 (10) B f¨ ur alle z ∈ C0∞ (B, R3 ). Hierzu entwickeln wir

  |∇x|2 + 2∇(z · ∇x) + |∇z|2 − 2z · ∆x du dv E(x + z) = B

+

4H 3





  x + z, xu + zu , xv + zv du dv

B





= E(x) + B

4H + 3





|∇z|2 +

 (z, xu , xv ) + (x + z, xu , zv ) + (x + z, zu , xv ) du dv

B





= E(x) + B

4H + 3



 B

4H − 3





|∇z|2 +

 (zv , xu , z) + (zu , z, xv ) du dv





= E(x) + B





|∇z|2 +



 B

 4H (3x + z) · zu ∧ zv du dv 3

 (zv , x, z)u + (zu , z, x)v du dv

B

= E(x) +

 4H (x + z) · zu ∧ zv du dv 3

 (x + z, xu , z)v + (x + z, z, xv )u du dv

B

4H − 3

 4H (x + z) · zu ∧ zv − 4H(xu , xv , z) du dv 3

|∇z|2 +

 4H (3x + z) · zu ∧ zv du dv. 3

§10 Ein Ausblick auf das Plateausche Problem

343

Nach einem bekannten Approximationsprozeß k¨onnen wir z = y − x mit |x+z| ≤ M auf B in (10) einsetzen. Aus |H|M ≤ 12 folgt dann die Ungleichung (9). q.e.d. F¨ ur Fl¨ achen konstanter mittlerer Kr¨ ummung verdankt man E. Heinz den Satz 1. (Plateauproblem) Das Variationsproblem A(x) → Minimum,

x ∈ Z(Γ ),

(11)

1 1 besitzt f¨ ur H ∈ [− 2M , + 2M ] eine L¨osung x ∈ Z(Γ ), welche eine H-Fl¨ache mit Γ als Berandung darstellt.

Beweis: Wir erkl¨aren a :=

inf

x∈Z(Γ )

A(x) ∈ (0, +∞)

und w¨ ahlen eine Minimalfolge {xn }n=1,2,... ⊂ Z(Γ ) mit lim A(xn ) = a.

(12)

n→∞

Mit Hilfssatz 1 gehen wir u ¨ ber zu einer Folge {yn }n=1,2,... ⊂ Z(Γ ), die 1 1 E(yn ) ≤ A(xn ) + , 2 n

n = 1, 2, . . . ,

(13)

erf¨ ullt. Mit Satz 3 aus § 4 k¨ onnen wir die stetigen Randwerte von yn eindeutig durch eine L¨ osung des Rellichschen Systems erg¨anzen, ∆zn (u, v) = 2H (zn )u ∧ (zn )v (u, v) zn = yn

in B,

auf ∂B.

(14)

Hilfssatz 2 liefert zusammen mit (13) die Ungleichung 1 1 E(zn ) ≤ A(xn ) + , 2 n

n = 1, 2, . . .

(15)

aßig beschr¨anktes Dirichletintegral. Wegen (3) hat die Folge {zn }n ein gleichm¨ Nach dem Courant-Lebesgue-Lemma sind die Randwerte zn |∂B , n = 1, 2, . . ., gleichgradig stetig, und wir k¨ onnen nach dem J¨agerschen Maximumprinzip aßig konvergenten Teilfolge u aus § 1 zu einer auf B gleichm¨ ¨ bergehen. Gem¨aß § 2, Satz 2 finden wir eine Grenzfunktion z(u, v) ∈ Z(Γ ), welche ∆z(u, v) = 2H zu ∧ zv

in B

(16)

gen¨ ugt. Aus (15) erhalten wir wegen der Konvergenz in C 1 (B) die Ungleichung

344

XII Nichtlineare elliptische Systeme

a≤ und somit A(z) = H-Fl¨ ache.

1 2 E(z).

1 E(z) ≤ a ≤ A(z) 2

(17)

Also ist z konform parametrisiert und bildet eine q.e.d.

ur unsere H-Fl¨ache In jeder Kreisscheibe Br (w0 ) ⊂⊂ B mit w0 ∈ B besteht f¨ die Differentialungleichung |xww (w)| ≤ c|xw |

in Br (w0 )

(18)

¨ mit einem c = c(w0 , r) > 0. Nach dem Ahnlichkeitsprinzip von Bers und Vekua (vgl. § 6 in Kapitel IV) haben wir dann die asymptotische Darstellung   w → w0 . (19) xw (w) = a(w − w0 )n + o |w − w0 |n , Dabei ist n = n(w0 ) ∈ N∪{0} und a = a(w0 ) ∈ C3 \{0} richtig. Die Punkte w0 mit n(w0 ) ∈ N nennt man Verzweigungspunkte der H-Fl¨ache, welche wegen (19) isoliert sind. Dort ist die Fl¨ ache nicht im differentialgeometrischen Sinne regul¨ ar. Die Regularit¨ at von H-Fl¨ achen insbesondere am Rand wird in den wundersch¨ onen Grundlehren [DHKW] von U. Dierkes und S. Hildebrandt u ¨ ber Minimalfl¨ achen genau untersucht. Falls die Randkurve Γ analytisch ist, kann man die L¨ osung analytisch u ¨ ber den Rand hinaus als H-Fl¨ache fortsetzen gem¨ aß dem Resultat von F. M¨ uller: Analyticity of solutions for semilinear elliptic systems of second order. Calc. Var. and PDE 15 (2002), 257-288. Nach einem h¨ ochst aufwendigen Satz von Alt-Gulliver-Osserman kann man Verzweigungspunkte bei der L¨ osung des obigen Variationsproblems a posteriori ausschließen. Darum bleibt der Wunsch, das Variationsproblem (11) direkt in der Klasse   ur alle (u, v) ∈ B (20) Z ∗ (Γ ) := x ∈ Z(Γ ) : |xu ∧ xv (u, v)| > 0 f¨ zu l¨ osen. Schließlich empfehlen wir die sehr interessante Monographie von J. C. C. Nitsche: Vorlesungen ¨ uber Minimalfl¨achen. Grundlehren 199, Springer-Verlag, Berlin . . . , 1975. Im Fall H = 0 wurde das Plateauproblem von T. Rad´ o und J. Douglas unabh¨ angig voneinander gel¨ ost und sp¨ ater durch R. Courant ein Zugang mit dem Dirichletschen Prinzip geschaffen.

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Sachverzeichnis

C 2+α -Kugel 156 atzung f¨ ur schwache L∞ -Randabsch¨ L¨ osungen 205 Abbildung im Banachraum stetige 3 vollstetige (kompakte) 3 Abbildungsgrad von Leray-Schauder 17 Abbildungsklasse Γ (B, a, b, N ) 307 Adjungierte eines Operators 63 Assoziierte Gradientenfunktion 124 Auswahlsatz von Rellich-Kondrachov 196 Banachraum 1 Beltramische Differentialgleichung in komplexer Form 325 Bernsteinsches Analytizit¨ atstheorem 268 f¨ ur nichtparametrische H-Fl¨ achen 271 Besselsche Ungleichung 56 Bilinearform 70 beschr¨ ankte 70 Hermitesche 70 strikt positiv-definite 70 symmetrische 70 Cauchysches Anfangswertproblem f¨ ur hyperbolische Systeme 254–260 f¨ ur quasilineare hyperbolische Gleichungen 260

Charakteristisches Dreieck

255, 264

Darstellungssatz f¨ ur Bilinearformen 70 von Fr´echet-Riesz 61 Eigenwertproblem der n-dimensionalen Schwingungsgleichung 38, 50, 115 f¨ ur schwach singul¨ are Integraloperatoren 105 von Leray 8 von Sturm-Liouville 33, 109 von Weyl 50, 116 Einbettung kompakte 196 Entwicklungssatz f¨ ur Integralkerne 107 Eulersche Formel f¨ ur die Normalkr¨ ummung 236 Eulersche Gleichung 240 Existenzsatz f¨ ur lineare elliptische Gleichungen 158 f¨ ur schwache elliptische Differentialgleichungen 203 f¨ ur vollstetige Abbildungen 18 Fast-konforme Parameter 341 Fixpunktsatz von Banach 10 von Brouwer (f¨ ur das Einheitssimplex) 6 von Schauder 7

348

Sachverzeichnis

Fl¨ ache differentialgeometrisch regul¨ are 233 Fundamentalformen einer 234 Nabelpunkt einer 236 Normale einer 233 Fortsetzung eines Operators 62 Fortsetzungssatz f¨ ur dichte Teilr¨ aume 62 von Hahn-Banach 24 Fourier-Plancherelsches Integraltheorem 83 Fundamentalsatz f¨ ur elliptische Differentialoperatoren 161 Funktion superlineare 24 Funktional beschr¨ anktes lineares 61 lineares 24 von E. Heinz 238 von S. Hildebrandt 239 Gewichtete Abstandsfunktion von W. J¨ ager 274 Gewichtete Konformit¨ atsrelationen 316 Gleichung vorgeschriebener mittlerer Kr¨ ummung 243 Dirichletproblem 339 Graphen vorgeschriebener mittlerer Kr¨ ummung Kompaktheit 334 Oberfl¨ achenabsch¨ atzung von R. Finn 331 Regularit¨ at 336 Stabilit¨ at 337 Greensche Funktion des Laplace-Operators 38 des Sturm-Liouville-Operators 34 H-Fl¨ ache 333 Differentialgleichung f¨ ur die Normale 333 Verzweigungspunkte 344 verzweigungspunktfreie 333 H-Fl¨ achensystem 273 Harmonische Abbildung 316 Heinzsche Ungleichung 306 Hermitescher Integralkern 40

Hilbert-Schmidt-Integralkern 65 Hilbertraum 53 separabler 53 Hilbertscher Auswahlsatz 85 Hilbertscher Fundamentalsatz 54 Hilfssatz von E. Hopf 140 von Vekua 134, 138 Homotopiesatz 17 Hopfsche Absch¨ atzungen 142 Index 20 Indexsummenformel 20 Integralgleichung erster Art 42 Fredholmsche 44 zweiter Art 44 Integraloperator Cauchyscher 124, 326 Vekuascher 326 Inverse eines Operators 66 involutorisch 63 J¨ agersche Absch¨ atzung

279

Konforme Abbildung 316 Eliminationslemma 319 Globale Absch¨ atzung 320 Innere Absch¨ atzung 318 Stabilit¨ atssatz 328 Kr¨ ummung Gaußsche 236 Haupt- 235 Mittlere 236 Kr¨ ummungsabsch¨ atzung von E. Heinz 313 Lemma von Zorn 28 Leray-Schauderscher Fundamentalsatz 20 Linearer Teilraum 59 abgeschlossener 59 Abschließung 59 Maximumprinzip Geometrisches, von E. Heinz 278 Geometrisches, von S. Hildebrandt 336

Sachverzeichnis J¨ agersches 278 Menge halbgeordnete 26 kompakte 3 konvexe 3 pr¨ akompakte 3, 87 total-geordnete 26 Minimales Element einer halbgeordneten Menge 26 Minimalfl¨ ache von H. F. Scherk 244 Minimalfl¨ achengleichung 243 Morreysche Funktionenklasse 217 Mosersche Ungleichung 206

Operatorenschar kontrahierende 9 Orthogonalraum 60 Orthonormalsystem vollst¨ andiges 56

Nichtlineare elliptische Systeme A-priori-Absch¨ atzung 298 Dirichletproblem 295–302 atzung 293 Globale C 1+α -Absch¨ Gradientenabsch¨ atzung von E. Heinz 288 atzung 291 Innere C 1+α -Absch¨ Innere Energieabsch¨ atzung 281 Rand-Energieabsch¨ atzung 282 Norm eines linearen Funktionales 61 Sobolevnorm 181 Norm-Interpolation 170 Operator Fourierscher Integral- 75 Fredholm- 93 Hermitescher 63 Hilbert-Schmidt- 65, 95, 104 isometrischer 72 kontrahierender 9 linearer 21, 61 linearer beschr¨ ankter 62 linearer vollstetiger (kompakter) 87 mit endlicher Quadratnorm 89 Riemann-Hilbertscher 149 n-ter Ordnung 133 Rieszscher 216 singul¨ arer Integral- 41 stetiger 21 Sturm-Liouville- 33 unit¨ arer 73 Operatoren unit¨ ar ¨ aquivalente 73

349

22,

Parsevalsche Gleichung 57 Plateausches Problem 340–344 Pr¨ a-Hilbertraum 52 Prinzip der eindeutigen Fortsetzung 207 Prinzip der gleichm¨ aßigen Beschr¨ anktheit 84 Prinzip der offenen Abbildung 21 Projektionssatz 60 Projektor 69 Quasilineare elliptische Differentialgleichung 329 Quasilineare hyperbolische Differentialgleichung 245–252 Charakteristische Form 246 Charakteristische Kurven 246 Hyperbolische Normalform 247, 251 Quasilineare Kr¨ ummungsgleichung 241 Randbedingung Dirichletsche 127 Neumannsche 127 Randverhalten schwacher L¨ osungen 223 Randwertproblem Poincar´esches 127 Riemann-Hilbertsches 128, 131–139, 149 Index 132 Normalform 133 Regularit¨ atssatz von de Giorgi 229 Rekonstruktionslemma 156 Riemannsche Integrationsmethode 262–266 Riemannsche Funktion 265 Satz u ¨ ber u ¨ ber u ¨ ber u ¨ ber

Graphenkompaktheit 334 Graphenregularit¨ at 336 at 160 Randregularit¨ die Verbandseigenschaft 190

350

Sachverzeichnis

u at 159 ¨ ber innere Regularit¨ u ¨ ber iterierte Kerne 50 u are Integralglei¨ ber schwach singul¨ chungen 98 u ¨ ber stetige Einbettung 194 vom abgeschlossenen Graphen 21 vom inversen Operator 21 von de Giorgi - Nash 214 von F. Riesz 23 von Fourier-Plancherel 83 von Fredholm 93 von Friedrichs 182–184 von H. Weyl 119 von Hartman-Wintner 126 von Heinz-Werner-Hildebrandt 302 von Hilbert-Schmidt 95 von I. Schur 49 von Jenkins-Serrin 231 von John-Nirenberg 220 von Lagrange-Gauß 243 von Lax-Milgram 71 von Meyers-Serrin 184 von Moser 215 von O. Toeplitz 66 von Plemelj 129 von Privalov 150 von Rellich 242 von S. Bernstein 315 von Stampacchia 203 von Trudinger 221 Schauderabsch¨ atzungen 152, 163–177 Innere 154

Schaudersche Kontinuit¨ atsmethode 153 Schwache Kettenregel 189 Schwache Konvergenz im Hilbertraum 83 Schwache partielle Ableitung 180 Schwache potentialtheoretische Absch¨ atzungen 216–221 Schwache Produktregel 188 Schwaches Konvergenzkriterium 85 Schwarzsche Integralformel 130, 321 Singul¨ arer Kern 40 Sobolevraum 181, 185 Sobolevscher Einbettungssatz 192 Spektralsatz von F. Rellich 102 von Hilbert-Schmidt 104 Tricomische Integralgleichung Uniformisierungssatz 328 Unit¨ arer Raum 60 Untere Schranke einer total-geordneten Menge

327

26

Verallgemeinertes Fl¨ achenintegral 238 Verzerrungsabsch¨ atzung von E. Heinz 308 Vollst¨ andigkeitsrelation 56 Weingartenabbildung

235

Zul¨ assige Approximation einer vollstetigen Abbildung

16

Druck und Bindung: Strauss GmbH, Mörlenbach