Differentialgleichungen der Physik 9783111680439, 9783111294230

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SAMMLUNG GÖSCHEN BAND

1070

Differentialgleichungen ber Phyiik Von

Dr. Fritz Sauter Professor an der Universität

Güttingen

Mit 16 Figuren

Zweite A u f1a g e

W a l t e r

de

G r u y t e r

&

Co.

vormals G . J. G ö s c h e n ' s c h e V e r l a g s h a n d l u n g • J. G u t t e n t a g , Verlagsb u c h h a n d l u n g • G e o r g R e i m e r • Karl J . T r i i t i n e r • Veit & C o m p .

Berlin

1950

Alle R e c h t e , i n s b e s o n d e r e das von der V e r l a g s h a n d l u n g

Übersetzungsrecht, vorbehalten

Archiv-Nr. 111070 Druok von Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35 Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis § 1. Einleitung I. Gewöhnliche Differentialgleichungen der Mechanik • • • • §2. Allgemeine Übersicht § 3. Die freie elastische Schwingung § 4. Gekoppelte Schwingungen § 5. Erzwungene Schwingungen §6. Die allgemeine lineare Differentialgleichung mit einer unabhängigen Veränderlichen § 7. Der unharmonische Oszillator § 8. Weitere Beispiele zur Integration dtr Bewegungsgleichungcn a) Bewegung eines Körpers im homogenen Schwerefeld b) Bewegung eines geladenen Ttilchens im homogenen Magnetfeld c) Bewegung im Coulombfeld II. Partielle Differentialgleichungen der Wellenphysik • • • • §9. Problemstellungen A. Eindimensionale Probleme § 10. Die Differentialgleichung der homogenen Saite und ihr allgemeines Integral § 11. Die Eigenschwingungen einer homogenen Saite • § 12. Die schwingende Saite bei vorgegebenem Anfangszustand • • § 13. Die unendlich lange Saite § 14. Wärmeleitungsprobleme § 16. Der lineare harmonische Oszillator in der Wellenmechanik § 16. Die Hermiteschen Polynome und Orthogonalfunktionen B. Mehrdimensionale Probleme 1 8's § 17. Die Gleichung ¿ls = ^ ^

Seite

6 7 7 8 13 17

22 25 30 30 32 34 36 36 38 38 43 46 60 66 60 66 70

in cartesischen Koordi-

naten a) Ein Wärmeleitungsproblem b) Die rechteckige Membran § 18. Umformung von As auf krummlinige Koordinaten § 19. Die Gleichung ¿js = 1 8"s — in Zylinderkoordinaten l*

70 72 73 75 78

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Inhaltsverzeichnis

Seite

1 dH § 2 0 . Die Gleichung As =

in räumlichen

Polar-

koordinaten § 21. Die gewöhnlichen K u g e i f u h k t i o n e n § 22. Die zugeordnete*! K u g e l f u n k t i o n e n § 23. Die BesSelfünktionen § 2 4 . Beispiele zu den Z y l i n d e r f u n k t i e r e n ä) Die Eigenschwingungen einer kreisfoimigen Membran b ) Die Streuung von Seh?.llwellen an h a r t e n Kugeln c) Zylinderwellen § 2 5 . Die Laguerreschen Polynome C. Inhomogene Differentialgleichungen § 26. Die Potentialgleichung A0 = — 4tiq § 27. Die Potentialgleichung A0 — i ^

-

111 112 116 119 123 123

= — ing • • 127.

D. N ä h e r u n g s v e r f a h r e n § 28. S t ö r u n g s r e t h i r a n g bei kontinuierlichem Eigenwertspektrum § 29. Stöiungsreuhiiung bei diskreten einfachen Eigenwerten § 3 0 . Störungsrechiiung bei e n t a r t e t e n Eigenwertproblemen Literaturverzeichnis Register

83 89 97 103 111

131 131 136 138 1 4 6

§ 1. Einleitung Die folgenden Ausführungen sollen weder eine allgemeine Theorie der gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichungen noch eine Ableitung der in der theoretischen Physik vorkommenden Differentialgleichungen oder eine Diskussion ihrer Lösungen geben. Ersteres ist Aufgabe einer rein mathematischen Darstellung, letzteres ist in jedem Lehrbuch der theoretischen Physik zu finden. Hier soll vielmehr nur die Brücke geschlagen werden von der reinen Theorie der Differentialgleichungen zu ihrer praktischen Anwendung in der Physik. Daher werden alle prinzipiellen Erörterungen über Existenz von Lösungen, über Lage und Häufigkeit von Eigenwerten und dgl. weggelassen und nur solche Fragen behandelt, die für die praktische Integration von Differentialgleichungen von Bedeutung sind. Dabei wird trotz der erstrebten Kürze der Darstellung auf möglichst große Strenge in der mathematischen Beweisführung Wert gelegt, wenn auch der Raummangel an manchen Stellen die ausführliche Wiedergabe eines Beweises verbietet. Die Darstellung geht fast durchweg von konkreten physikalischen Problemen aus, und an Hand dieser Beispiele werden dann die verschiedenen Lösungsmethoden entwickelt. Aus der Vielzahl der in der theoretischen Physik vorkommenden Differentialgleichungen muß naturgemäß eine Auswahl getroffen werden. Zur Behandlung kommen daher nur die wichtigsten und typischen Differentialgleichungen, wie die Schwingungsgleichung der Mechanik, die Wellengleichungen der Akustik, Optik und Wellenmechanik, die Potentialgleichung und die Warmeleitungsgleichüng. Es handelt sich hierbei durchweg um lineare Differentialgleichungen. Nichtlineäre Gleichungen, wie sie etwa in der Hydrodynamik vorkommen, bleiben außer Betracht, zumal Lösungen für sie bisher nur in einer verschwindenden Zahl von Fällen bekannt sind. Ferner sollen die Vektorgleichungen der Elektrodynamik unbesprochen

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Einleitung

bleiben, da sie durch geeignete Umformung stets den Übergang zu skalaren Potentialgleichungen erlauben. Wer die Vektoranalysis soweit beherrscht, um mit den Maxwellgleichungen rechnen zu können, wird leicht diesen Weg gehen können. Überhaupt soll hier von der Verwendung der Vektorrechnung abgesehen werden, da ihre Entwicklung zu viel Kaum beanspruchen würde. Auch sonst wird an mathematischen Kenntnissen so wenig als möglich vorausgesetzt. Außer der Beherrschung der Differential- und Integralrechnung sowie der einfachsten Reihen wird so gut wie nichts verlangt. Im besonderen wird auf jede Verwendung der Funktionentheorie verzichtet, trotzdem sie oft die Durchrechnung erleichtern und die Darstellung vereinfachen würde. Da man aber hier fast durchweg auch ohne Funktionentheorie auskommt, soll die Darstellung der an sich schon nicht ganz leichten Materie nicht noch durch Verwendung einer im allgemeinen nicht sehr geläufigen Methode belastet werden. Das Ziel der folgenden Darstellung besteht nicht nur darin, dem Leser die verschiedenen I n t e g r a t i o n s m e t h o d e n im Prinzip verständlich zu machen, sondern ihm darüber hinaus an der Vielzahl von Beispielen auch ein bestimmtes Maß von R e c h e n t e c h n i k zu vermitteln. Stößt doch der mathematische Physiker jeden Moment auf Schwierigkeiten rechentechnischer Art, die nur durch ein gediegenes, fast handwerkmäßiges Können auf diesem Gebiet überwindbar sind. Und dieses Können kann nur durch ausdauernde eigene Beschäftigung mit Problemen dieser Art und durch fortgesetztes eigenes Üben an selbstgewählten Beispielen errungen werden, keinesfalls aber nur durch die Lektüre eines noch so guten Lehrbuches über diesen Gegenstand. Den Leser zum eigenen Erarbeiten des Könnens auf diesem Gebiet anzuregen und ihm bei den ersten Schritten auf diesem Wege Hilfestellung zu geben, ist mit der Zweck der folgenden Ausführungen.

Allgemeine Übersicht

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I. Gewöhnliche Differentialgleichungen der Mechanik § 2. Allgemeine Übersicht Die Mechanik der Massenpunkte und der starren Körper wird beherrscht von den sog. B e w e g u n g s g l e i c h u n g e n , welche die Beschleunigung der Punkte oder Körper mit den auf sie wirkenden Kräften verknüpfen. Diese Bewegungsgleichungen sind gewöhnliche Differentialgleichungen II. Ordnung in den Koordinaten des betrachteten Systems mit der Zeit als unabhängiger Veränderlichen. Denn die Beschleunigungen, gleichgültig ob lineare oder Winkelbeschleunigungen, sind stets die zweiten Ableitungea der jeweiligen Koordinaten nach der Zeit, während die Kräfte nur von den Koordinaten und der Zeit und evtl. (bei Reibungskräften oder magnetischen Kräften) noch von den Geschwindigkeiten, also den ersten Ableitungen der Koordinaten nach der Zeit, abhängen. Bei einem mechanischen System von f Freiheitsgraden handelt es sich demnach um ein System von f simultanen gewöhnlichen Differentialgleichungen II. Ordnung. Die Hauptaufgabe der Mechanik besteht in der Bestimmung der Bewegung des betrachteten Körpers oder mechanischen Systems bei vorgegebenen Kräften, d. h., mathematisch gesprochen, in der Integration der Bewegungsgleichungen. Daß diese Aufgabe zu einer eindeutigen Lösung führt, wenn man die A n f a n g s l a g e des Systems und seine A n f a n g s g e s c h w i n d i g k e i t , also die Werte aller f Koordinaten und Geschwindigkeiten zu einem bestimmten Zeitpunkt vorgibt, ist für den Physiker selbstverständlich, kann aber auch rein rechnerisch gezeigt werden. Denn zur Bestimmung der Zeitabhängigkeit einer Koordinate benötigt man bei Anwendung der Taylorreihe neben dem Wert dieser Koordinate für einen bestimmten Zeitpunkt t0 auch die Werte aller ihrer Ableitungen für t0; letztere folgen aber mit Ausnahme der ersten Ableitung, die eben auch vorgegeben werden muß, aus den Bewegungsgleichungen und deren zeitlichen Ableitungen. Während also die Vorgabe von 2/ Anfangswerten der Koordinaten und Geschwindigkeiten zur eindeutigen Bestimmung der Lösung erforderlich und ausreichend ist, so muß doch be-

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Gewöhnliche Differentialgleichungen der Mechanik

tont werden, daß im allgemeinen nicht 2f beliebige physikalische Größen vorgegeben werden können, um eine eindeutige Lösung zu erhalten. Man erkennt dies leicht an einem Beispiel, etwa an der Wurfbewegung einer Kugel im Schwerefeld der Erde. Sieht man von der Drehung der Kugel um ihren Mittelpunkt ab, so wird die Bewegung durch drei Raumkoordinaten beschrieben (f = 3). Bei Vorgabe von Ort und Geschwindigkeit für i = 0 ist die Bewegung eindeutig bestimmt. Gibt man aber statt dieser 6 Größen z. B. die drei Koordinaten des Anfangsortes und den Betrag der Anfangsgeschwindigkeit, aber an Stelle ihres Höhen- und Seitenwinkels die Höhe und Entfernung der Kugel vom Abschußort für einen bestimmten Zeitpunkt t > 0 vor, so ist trotz Vorgabe von 6 Größen die Bewegung teils unter-, teils überbestimmt; denn einerseits bleibt bei dieser Problemstellung der Seitenwinke] der Wurfbahn völlig unbestimmt, andrerseits kann die Kugel bei zu kleiner Anfangsgeschwindigkeit das vorgeschriebene Ziel überhaupt nicht erreichen. Für die Integration der Bewegungsgleichungen lassen sich, wie auch bei der Ausführung gewöhnlicher Integrale, keine allgemein anwendbaren Regeln angeben. In bestimmten Spezialfällen ist es möglich, ohne genaue Kenntnis der Kräfte einige der 2f Integrationen der Bewegungsgleichungen auszuführen. Wir wollen jedoch hier nicht die in allen Lehrbüchern der theoretischen Mechanik gegebenen Ableitungen für die Erhaltungssätze des Impulses", des Drehimpulses und der Energie wiederholen, sondern uns sofort der Behandlung einiger typischer Bewegungsvorgänge zuwenden. § 3. Die freie clastischo Schwingung Als wichtigsten Bewegungstyp der Mechanik betrachten wir zunächst die S c h w i n g u n g e n von mechanischen Systemen. Im einfachsten Fall der freien eindimensionalen elastischen Schwingung eines Körpers erhält man als Bewegungsgleichung eine homogene lineare Differentialgleichung vom Typ w

a

w

+ 1

>ti

+ M

= 0-

Die freie clastischc Schwingung

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Bei einer geradlinigen Oszillation bedeutet s die Entfernung des Körpers aus der Ruhelage, a seine Masse, — es die rückds

treibende elastische Kraft 1 ) und — l j t eine der Geschwindigkeit proportionale Reibungskraft. Bei Drehbewegungen entspricht s dem Drehwinkel, und die Begriffe Masse und Kraft sind durch die Begriffe Trägheitsmoment und Drehmoment zu ersetzen. Auf eine Gleichung vom Typ (3,1) wird man übrigens auch bei elektrischen Schwingungskreisen geführt. Dann tritt an die Stelle von s die elektrische Stromstärke J,a bedeutet die Selbstinduktion L, b den Ohmschen Widerstand R und c die reziproke Kapazität 1 ¡C. Die Gleichung (3,1) läßt sich durch den Ansatz (3, 2)

s = 4ac, also bei großer Dämpfung, sind beide k-Werte reell und negativ1). (3,4) stellt dann eine Bewegung dar, welche höchstens ein Maximum von s besitzt und danach monoton abklingt. Ist jedoch b2 < 4ac, also die Dämpfung klein, so kann man (3, 6) in der Form (3,7)

k lt 2 = — q ± t'co

mit

5

e = 2a


der Schwingungsamplitude