Partielle Differentialgleichungen in der mathematischen Physik [Reprint 2021 ed.] 9783112528341, 9783112528334

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S. G. M I C H L I N PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IN DER MATHEMATISCHEN PHYSIK

MATHEMATISCHE L E H R B Ü C H E R UND MONOGRAPHIEN

HERAUSGEGEBEN VON DER AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN DER DDR Z E N T R A L I N S T I T U T F Ü R M A T H E M A T I K UND M E C H A N I K I. A B T E I L U N G

MATHEMATISCHE L E H R B Ü C H E R BAND 30

PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IN DER MATHEMATISCHEN P H Y S I K VON

S. G. MICHLIN

AKADEMIE-VERLAG 19 7 8

•

BERLIN

S. G. MICHLIN

PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN INDER MATHEMATISCHEN PHYSIK In deutscher Sprache herausgegeben von Prof. Dr. rer. nat. habil. S. P R Ö S S D O R F

Mit 56 Abbildungen

A K A D E M I E - V E R L A G - B E R L I N 19 7 8

Diese Erstveröffentlichung erfolgt in Zusammenarbeit mit dem Autor in deutscher Sprache Deutsche Übersetzung: Dr. sc. BERND SLLBERMANN, K a r l - M a r x - S t a d t

Erschienen im Akademie-Verlag, 108 Berlin, Leipziger Straße 3 - 4 © Akademie-Verlag Berlin 1978 Lizenznummer: 202 • 100/428/78 Gesamtherstellung: V E B Druckerei „Thomas Müntzer", 582 Bad Langensalza Bestellnummer: 762 372 3 (6311) • LSV 1064 Printed in GDR D D R 68, - M

VORWORT

D a s vorliegende Buch stellt eine Erweiterung von Vorlesungen dar, die der Verfasser im Laufe der letzten J a h r e vor Mathematikstudenten der Leningrader Universität gehalten hat. Der Verfasser ist der grundsätzlichen Auffassung, daß ein Lehrgang über partielle Differentialgleichungen einerseits eng mit den klassischen Gleichungen und Problemen der mathematischen Physik verknüpft sein soll, andererseits aber die Ideen u n d Methoden der Funktionalanalysis in ihm breit genutzt werden müssen. I n h a l t u n d Aufbau dieses Buches (so scheint es zumindest dem Verfasser) entsprechen dieser Auffassung. I m besonderen erfolgt die Darlegung f ü r Gleichungen mit einer beliebigen Anzahl von Variablen, hauptsächlicher Gegenstand der Untersuchungen sind jedoch die drei klassischen Typen von Gleichungen der mathematischen P h y s i k : die elliptischen, parabolischen und hyperbolischen Gleichungen; dabei werden die wichtigsten Vertreter dieser Gleichungstypen — die LAPLACE-Gleichung, die Wärmeleitungsgleichung und die Wellengleichung — am stärksten berücksichtigt. D a s Buch besteht aus einer kleinen Einführung und vier Teilen unterschiedlichen Umfanges. I n der Einführung werden die Aufgaben des Buches formuliert und einige Hinweise über die im Buch gebräuchlichen Begriffe, Bezeichnungen usw. gegeben. Der aus acht Kapiteln bestehende Teil I „Ergänzende Fragen der Analysis" enthält den notwendigen Apparat der Theorie partieller Differentialgleichungen: Parameterintegrale (Kap. 1); Mittelfunktionen, verallgemeinerte Ableitungen, S o B O L E W S c h e R ä u m e (Kap. 2 — 4); die Variationsmethode f ü r positiv-definite Probleme (Kap. 5 — 6); Elemente der Theorie singulärer Integrale und singulärer Integralgleichungen (Kap. 7-8). Der Teil I I „Allgemeines über partielle Differentialgleichungen" enthält die Kapitel 9 bis 11. I m Kapitel 9 erfolgt die Klassifizierung der partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung nach Typen, werden Randwertprobleme und das CAUOHYSche Problem formuliert, wird der Begriff der Korrektheit des Problems eingeführt. I m Kap. 10 werden die Charakteristiken und mit ihnen verknüpfte Fragen untersucht sowie die G E E E N s c h e n Formeln aufgestellt. I m K a p . 11 wird der Begriff der verallgemeinerten Lösung einer Differentialgleichung eingeführt, werden Elemente der Theorie verallgemeinerter Funktionen dargestellt und die singulären Lösungen der drei wichtigsten Gleichungen der mathematischen Physik — der LAPLACE-Gleiehung, der Wärmeleitungsgleichung und der Wellengleichung — ermittelt. Der dem Umfang nach größte Teil I I I ist den elliptischen Differentialgleichungen gewidmet. Hier bricht der Verfasser mit Traditionen, nach denen es üblich war, das Studium mit den hyperbolischen Gleichungen zu beginnen. Der Grund ist darin zu suchen, daß man parabolische und hyperbolische Differentialgleichungen (zumindest

VI

Vorwort

lokal) als abstrakte gewöhnliche Differentialgleichungen bezüglich der Zeit betrachten kann, die die unbekannte Funktion außerdem unter dem Symbol eines elliptischen Operators enthalten. Daraus leitet der Verfasser ab, daß es günstiger ist, das Studium mit den elliptischen Gleichungen zu beginnen. Teil I I I zerfällt faktisch in zwei Abschnitte: In den K a p . 12—18 wird die LAPLACE-Gleiehung, in den K a p . 19—21 werden allgemeine elliptische Differentialgleichungen studiert. Wir wenden uns nunmehr ausführlicher dem Inhalt des.Teils I I I zu. I m Kap. 12 werden die wichtigsten Eigenschaften harmonischer Funktionen studiert, wird der Potentialbegriff eingeführt und werden die Eigenschaften des Volumenpotentials untersucht; die Ergebnisse des Teils I ermöglichen, letztere Untersuchungen mit der notwendigen Vollständigkeit durchzuführen. Im Kap. 13 werden das DIRICHLETSChe und das NEUMANNscheProblem formuliert, und es werden die entsprechenden Unitätssätze bewiesen. Ferner werden die PoissoNschen Formeln für das Innen- und Außengebiet der Kugel sowie eine Reihe von Folgerungen aus diesen Formeln hergeleitet. Das Kap. 14 ist der Theorie der Kugelfunktionen in Räumen beliebiger Dimension gewidmet. E s wird der Zusammenhang zwischen den Kugelfunktionen und den LEGENDRESchen und T S C H E B YSGHEFFSchen Polynomen hergestellt. E s werden die wichtigsten Eigenschaften der Kugelfunktionen ermittelt, ihre Vollständigkeit in verschiedenen Metriken wird bewiesen und die Abhängigkeit der Konvergenzgeschwindigkeit der Entwicklung nach Kugelfunktionen von den Differentialeigenschaften der zu entwickelnden Funktion geklärt. I m Kap. 1 5 werden einige einfache Fälle betrachtet, in denen sich das D I R I C H L E T sche und NEUMANNsche Problem elementar lösen lassen. I m Kap. 16 sind die wichtigsten Elemente der Potentialtheorie dargelegt, im K a p . 17 werden die Integralgleichungen hergeleitet und studiert, in die mittels der Potentialtheorie das DmiOHLETsche und NEUMANNsche Problem überführt werden. E s wird die Integralgleichung aufgestellt, die das DmiOHLETsche Problem für das Außengebiet vollständig löst. Ferner wird eine Reihe von Spezialfällen untersucht. Das Kap. 18 ist der Lösung und der Untersuchung des Problems der Richtungsableitung in der zweidimensionalen Ebene mittels singulärer Integralgleichungen gewidmet; der Fall einer größeren Anzahl von Variablen wird kurz gestreift. I m K a p . 19 wird die Konstruktion schwacher Lösungen des DmiCHLETschen und NEUMANN sehen Problems für eine beliebige selbstadjungierte nicht ausgeartete elliptische Differentialgleichung zweiter Ordnung angegeben, für die diese Probleme positiv-definit sind. Außerdem werden Gleichungen höherer Ordnung und Gleichungssysteme betrachtet. Auf der Grundlage der Theorie verallgemeinerter Funktionen wird die GREENsche Funktion untersucht. I m K a p . 20 wird das Spektrum des D I R I C H L E T schen und NEUMANNschen Problems studiert; die erhaltenen Resultate werden zur Konstruktion der Lösung dieser Probleme im Falle einer nicht selbstadjungierten Gleichung zweiter Ordnung benutzt. I m K a p . 21 wird bewiesen, daß die schwachen Lösungen des K a p . 19 unter hinreichend allgemeinen Bedingungen auch starke Lösungen sind. Teil I V (Kap. 2 2 — 2 8 ) ist den nicht stationären Gleichungen gewidmet. Hauptsächlicher Untersuchungsgegenstand sind die Wärmeleitungs- und die Wellengleichung. Die allgemeinen Eigenschaften dieser Gleichungen und ihrer Lösungen werden in den Kap. 2 2 und 2 3 studiert. I m Kap. 2 4 wird für diese Gleichungen mittels der F O U R I E R -

Vorwort

VII

sehen Methode die gemischte Aufgabe gelöst; die Begründung der erhaltenen Lösung wird ausführlich durchgeführt. Das CAUCHYsche Problem wird im K a p . 25 für die Wärmeleitungsgleichung, im K a p . 26 für die Wellengleichung gelöst und studiert. I n beiden Fällen wird die Lösung auf zwei Wegen erhalten: mittels der FouBiER-Transformation und mittels der singulären Lösung. I m K a p . 27 wird die Potentialtheorie für nicht stationäre Gleichungen entwickelt; mit ihrer Hilfe wird die gemischte Aufgabe mit inhomogenen Randbedingungen gelöst. I m schwierigeren Fall der Wellengleichung beschränken wir uns auf das Problem für den Halbraum; im Falle der Wärmeleitungsgleichung gelingt es, die Lösung für ziemlich allgemeine Ränder zu erhalten. I m K a p . 28 wird schließlich die Eindeutigkeit und Existenz der Lösung des CAUCHYSchen Problems für die Wellengleichung mit variablen Koeffizienten, die nur von den Koordinaten abhängen, bewiesen; es wird darauf verwiesen, daß diese Methode auch auf die Wärmeleitungsgleichung anwendbar ist. Bei der Erstellung des vorliegenden Buches hat der Verfasser teilweise sein vorangegangenes Buch „Lehrgang der mathematischen Physik" ( „ N a u k a " , Moskau 1968)1) benutzt. Der Autor dankt Herrn Prof. V. G. MAZJA für die wesentliche Hilfe bei der Darlegung der Einbettungssätze für den Grenzexponenten (§§ 7, 8, K a p . 4). Leningrad, Juni 1976

*) Deutsche Übersetzung: Akademie-Verlag, Berlin 1972.

S. MICHLIN

INHALTSVERZEICHNIS

Einführung § 1. D e r G e g e n s t a n d des L e h r g a n g e s § 2. Einige Definitionen u n d Bezeichnungen TEIL I

ERGÄNZENDE

FRAGEN

DER

ANALYSIS

Kapitel 1. Parameterintegrale § 1. § 2. § 3. § 4.

Gleichmäßig k o n v e r g e n t e I n t e g r a l e Kugelkoordinaten I n t e g r a l o p e r a t o r e n m i t schwacher S i n g u l a r i t ä t I n t e g r a l o p e r a t o r e n m i t schwacher S i n g u l a r i t ä t ( F o r t s e t z u n g )

. .

Kapitel 2. Mittelfunktionen § 1. D e r M i t t e l u n g s k e r n § 2. M i t t e l f u n k t i o n e n § 3. K o n v e r g e n z der Mittelfunktionell Kapitel 3. Verallgemeinerte Ableitungen § § § § §

1. 2. 3. 4. 5.

D e r Begriff der verallgemeinerten A b l e i t u n g Die e i n f a c h s t e n E i g e n s c h a f t e n der verallgemeinerten A b l e i t u n g G r e n z w e r t e i g e n s c h a f t e n der verallgemeinerten A b l e i t u n g e n D e r F a l l einer u n a b h ä n g i g e n Veränderlichen Ü b e r eine E i g e n s c h a f t von F u n k t i o n e n , die eine verallgemeinerte erste A b l e i t u n g besitzen § 6. A b l e i t u n g e n v o n I n t e g r a l e n m i t schwacher S i n g u l a r i t ä t

Kapitel 4. Die SoBOLE\vschen Räume § 1. Die D e f i n i t i o n der S0B0LEWschen R ä u m e § 2. D i e S o B O L E w s c h e I n t e g r a l i d e n t i t ä t

§ § § § § §

3. 4. 5. 6. 7. 8.

Einbettungssätze Die Ü b e r t r a g u n g auf allgemeinere Gebiete Ä q u i v a l e n t e N o r m e n in W ^ Die U n g l e i c h u n g e n v o n F R I E D R I C H S u n d P O I N C A R E Ü b e r die F o r t s e t z u n g von F u n k t i o n e n D e r E i n b e t t u n g s s a t z f ü r den G r e n z e x p o n e n t e n

Kapitel 5. Positiv-definite Operatoren § 1. D e r Begriff des q u a d r a t i s c h e n F u n k t i o n a i s § 2. P o s i t i v - d e f i n i t e O p e r a t o r e n

36 38

X

Inhaltsverzeichnis

§ 3. Der energetische R a u m § 4. Das Energiefunktional und sein Minimumproblem § 5. Die verallgemeinerte Lösung § 6. Ü b e r die Separabilität des energetischen R a u m e s § 7. Die Erweiterung eines positiv-definiten Operators § 8. Das einfachste R a n d w e r t p r o b l e m für die gewöhnliche lineare Differentialgleichung § 9. Ein allgemeineres Minimumproblem für das quadratische F u n k t i o n a l . . . . § 10. Der F a l l eines nur positiven Operators Kapitel 6. Das Eigenspektrum eines positiv-definiten Operators

75 81 83 86 88 91 96 98 100

§ 1. Der Begriff des Eigenspektrums eines Operators . . . 100 § 2. Eigenwerte und Eigenelemente eines symmetrischen Operators 101 § 3. Das verallgemeinerte Eigenspektrum eines positiv-definiten Operators 102 § 4. Die Variationsfassung des Eigenwertproblems 104 § 5. Der Satz über den kleinsten E i g e n w e r t 107 § 6. E i n Satz über das diskrete S p e k t r u m 109 § 7. Die Entwicklung nach dem Eigenspektrum eines positiv-definiten Operators . 111 §

8. D a s S T ü R M - L i o u v i L L E s c h e P r o b l e m

112

§ 9. Einige Elementarfalle § 10. Das Mini-Max-Prinzip § 1 1 . Über das W a c h s t u m der Eigenwerte beim STURM-LioirviLLEschen P r o b l e m .

116 119 .122

Kapitel 7. Gleichungen in BANACH-Räumen und eindimensionale singulare Integralgleichungen 124 § 1. Einige Grundbegriffe

124

§ 2. Die NoETHERschen S ä t z e

125

§ § § § § §

127 129 131 135 140 141

3. 4. 5. 6. 7. 8.

Sätze über die S t a b i l i t ä t des I n d e x Das Symbol Das CAUCHYsche singulare Integral Der CAUCHYsche Operator im R a u m L 2 ( r ) Das S y m b o l und die Regularisierung des singulären Operators Die B e r e c h n u n g des I n d e x des singulären Operators

Kapitel 8. Elemente der

Theorie mehrdimensionaler singulärer Integralgleichungen

§ 1. Einige Eigenschaften der FouRiER-Transformation § 2. Definition und Existenzbedingungen für das singuläre I n t e g r a l § 3 . Der Satz von G I R A U D § 4. Die FouRiER-Transformierte des singulären K e r n s § 5. Singuläre Integrale in L 2 § 6. Über die Differentiation von Integralen mit schwacher Singularität

144 144 148 150

154 158 161

TEIL II

ALLGEMEINES

ÜBER

PARTIELLE

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

Kapitel 9. Differentialgleichungen und Randwertaufgaben § § § § §

1. 2. 3. 4. 5.

D e r Differentialausdruck und die Differentialgleichung Die Klassifizierung der Differentialgleichungen zweiter Ordnung Randbedingungen und R a n d w e r t a u f g a b e n D a s CAircHYsche P r o b l e m Existenz-, Eindeutigkeits- und Korrektheitsprobleme bei R a n d w e r t a u f g a b e n

167 167 169 172 176 . 178

Inhaltsverzeichnis

XI

Kapitel 10. Charakteristiken. Die kanonische F o r m . Die GREENSchen Formeln . . . .

185

§ 1. T r a n s f o r m a t i o n der unabhängigen Veränderlichen § 2. Charakteristiken. Die Beziehung zwischen den CAtrCHYschen Anfangswerten auf der Charakteristik § 3. T r a n s f o r m a t i o n der Differentialgleichungen zweiter Ordnung a u f die kanonische Form § 4. D e r F a l l zweier u n a b h ä n g i g e r Veränderlicher § 5. F o r m a l a d j u n g i e r t e Differentialausdrücke § 6. Die GBEENschen Formeln § 7. Differentialausdrücke höherer Ordnung

185 186 189 190 192 193 196

Kapitel 11. Verallgemeinerte Lösungen von Differentialgleichungen

198

§ § § §

198 200 202

1. 2. 3. 4.

L o k a l summierbare verallgemeinerte Lösungen Distributionen und verallgemeinerte F u n k t i o n e n Verallgemeinerte F u n k t i o n e n endlicher Ordnung Verallgemeinerte Lösungen aus der K l a s s e der verallgemeinerten Singuläre Lösungen § 5. Die singulare Lösung der LAPLAOE-Gleichung § 6. Die singulare Lösung der Wärmeleitungsgleichung § 7. Die singulare Lösung der Wellengleichung

Funktionen. 203 204 207 209

TEIL III

GLEICHUNGEN

VOM

ELLIPTISCHEN

TYP

Kapitel 12. LAPLACE-Gleichung und harmonische Funktionen

215

§ 1. Grundbegriffe 215 § 2. Variablensubstitution im LAPLACE-Operator 217 § 3. Die Integraldarstellung für F u n k t i o n e n der K l a s s e 6'( 2 ) und für harmonische Funktionen 221 § 4. D e r Potentialbegriff 223 § 5. Die Eigenschaften des Volumenpotentials 225 § 6. D e r Mittelwertsatz 228 § 7. D a s Maximumprinzip 230 § 8. Teilräume harmonischer F u n k t i o n e n 232 § 9. Ü b e r t r a g u n g auf Gleichungen mit variablen Koeffizienten 235 K a p i t e l 1 3 . D a s D i m c H L E T S c h e u n d das JiEt'MANNSche P r o b l e m

241

§ 1. Aufgabenstellung § 2. U n i t ä t s s ä t z e für die LAPLAOE-Gleichung § 3. Die Lösung des DntiCHLETschen Problems für die Kugel § 4 . D e r S a t z von L I O T J V I L L E § 5. Das DnticHLETsche Problem für das Außengebiet der Kugel § 6. D a s V e r h a l t e n der Ableitungen einer harmonischen F u n k t i o n im Unendlichen § 7. H e b b a r e Singularitäten harmonischer F u n k t i o n e n

241 242 247 252 253 254 255

Kapitel 14. Kugelfunktionen

258

§ § § § § §

1. 2. 3. 4. 5. 6.

D e r B e g r i f f der Kugelfunktionen 258 Die Differentialgleichung der Kugelfunktionen 261 Hilfskonstruktionen und einige Hilfssätze 262 D e r Operator 0 § 8. Der F a l l C(x) = 0 § 9. Das NEUMANNsche Problem mit der inhomogenen Randbedingung § 10. Elliptische Differentialgleichungen höherer Ordnung und Gleichungssysteme § 1 1 . Das DiRiCHLETsche P r o b l e m für ein unbeschränktes Gebiet

339 343 347 349 351 353 358 360 363 366 368

XIII

Inhaltsverzeichnis Kapitel 20. Das Spektrum des DraicHLETSchen und des PiEUMANN'schen Problems § 1. § 2. § 3. § 4. §5. § 6. § 7.

.

.371

Ein Einbettungssatz Das Spektrum des DiRiCHLETschen Problems für das beschränkte Gebiet . . . . Einige Elementarfälle Die Wachstumsordnung der Eigenwerte Das Spektrum des NEUMANNschen Problems für ein beschränktes Gebiet . . . . Nicht selbstadjungierte Gleichungen Das DiRiCHLETSohe und das NEUMANNsche Problem für eine nicht selbstadjungierte Gleichung

371 372 373 375 379 379 382

Kapitel 21. Starke Lösungen

384

§ 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6.

384 387 388 393 394 396

Die Lösung der LAPLACE-Gleichung für das Parallelepiped Das P r o d u k t der schwachen Lösung mit einer glatten Funktion Starke Lösungen in beliebigen Gebieten Inhomogene Randbedingungen Der F a l l eines hinreichend glatten Randes Elliptische Systeme TEIL IV

NICHT STATIONÄRE

GLEICHUNGEN

Kapitel 22. Die Wärmeleitungsgleichung § 1. Die Wärmeleitungsgleichung und ihre Charakteristiken § 2. Das Maximumprinzip § 3. Das CAUCHYsehe Problem und das gemischte Problem § 4. Eindeutigkeitssätze § 5. Abstrakte Funktionen einer reellen Veränderlichen § 6. Die schwache Lösung des gemischten Problems

405 405 406 408 410 412 413

Kapitel 28. Die Wellengleichung

416

§ 1. Der Begriff der Wellengleichung § 2. Das gemischte Problem und seine schwache Lösung § 3. Die Wellengleichung mit konstanten Koeffizienten. Das CAUCHYsehe Problem. Der charakteristische Kegel § 4. Der Eindeutigkeitssatz für das CAUCHYsehe Problem. Das Abhängigkeitsgebiet § 5. Die Erscheinung der Wellenausbreitung

416 417 420 421 424

Kapitel 24. Die FoURiERSche Methode

426

§ § § § § § § § § §

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Die FotTRiERsche Methode für die Wärmeleitungsgleichung 426 Die Begründung der Methode 427 Die Korrektheit des gemischten Problems für die Wärmeleitungsgleichung . . 4 3 1 Über die Stabilisierung der Lösung 432 Über die Existenz der klassischen Lösung. Ein Spezialfall 434 Der Fall des nicht selbstadjungierten elliptischen Teils 436 Die FouRiERsche Methode für die Wellengleichung 439 Die Begründung der Methode für die homogene Gleichung 441 Die Begründung der Methode für homogene Anfangsbedingungen 444 Die Saitenschwingungsgleichung. Bedingungen für die Existenz der klassischen Lösung 445

Kapitel 25. Das CAUCHYsehe Problem für die Wärmeleitungsgleichung

448

§ 1. Die Herleitung der PoissoNschen Formel § 2 . Eine andere Herleitung der PoissoNschen Formel

448 451

Inhaltsverzeichnis

XIV

§ 3. Die Begründung der Poissonschen Formel § 4. Die unendliche Geschwindigkeit der Wärmeübertragung

454 457

Kapitel 26. Das CAUCHYsehe Problem für die Wellengleichung

458

§ 1. Die Anwendung der FouRiER-Transformation § 2. Die Anwendung der singulären Lösung § 3. Der F a l l einer ungeraden Anzahl von Koordinaten. Die verallgemeinerte HOFFsche Formel § 4. Die hintere Wellenfront § 5. Die Begründung der KmcHHOFFschen Formel § 6. Der Fall einer geraden Anzahl von Koordinaten § 7. Die Saitenschwingungsgleichung § 8. Über die Korrektheit des CAtrcHYschen Problems

458 460 KIRCH-

464 466 468 470 472 473

Kapitel 27. Die Potentiale nicht stationärer Gleichungen

474

§ § § § § §

474 477 480 484 489 493

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Wärmepotentiale Die Integralgeichung der gemischten Probleme. Der Fall eines konvexen Randes Der Fall einer LjAPtnsrow-Fläche Wellenpotentiale Grenzwertsätze für Wellenpotentiale Gemischte Probleme für den Halbraum

Kapitel 28. Das CAicHYSche Problem für die Wellengleichung mit variablen Koeffizienten 495 § 1. Die energetische Ungleichung und der Eindeutigkeitssatz § 2. Der Existenzsatz § 3. Über das CAUCHYsehe Problem für hyperbolische Gleichungen

495 500 504

Literaturverzeichnis

512

Sachverzeichnis

516

EINFÜHRUNG

§ 1. Der Gegenstand des Lehrganges Die Theorie der partiellen Differentialgleichungen entwickelte sich über lange Zeiträume hinweg vornehmlich als Theorie von Gleichungen der mathematischen Physik, die ein Teil der allgemeinen Theorie der partiellen Differentialgleichungen ist. Obwohl in den letzten Jahrzehnten große Erfolge bei der Entwicklung einer allgemeinen Theorie erreicht wurden, nimmt die mathematische Physik bis heute in dieser Theorie einen außerordentlich wichtigen Platz ein. Das vorliegende Buch ist hauptsächlich Fragen gewidmet, die den Problemen der mathematischen Physik näher stehen. Die Bezeichnung „mathematische Physik" selbst weist darauf hin, daß dieser Teil der Theorie der Differentialgleichungen aus der Betrachtung einiger einfacher und wichtiger physikalischer Probleme entstanden ist. Wir wollen einige von ihnen nennen. 1. Die Wellerigleichung. Wir nehmen an, daß die Ruhelage einer Saite mit der x-Achse übereinstimmt und die Schwingung derselben in der vertikalen Ebene erfolgt. Auf Grund irgendwelcher Ursachen sei die Saite aus dem Gleichgewichtszustand gebracht worden. Eine solche Ursache kann z. B. ein auf die Saite erfolgter Stoß sein. Dabei ändert die Saite ihre ursprüngliche Form; jeder Punkt der Saite erfährt einen gewissen Ausschlag. Der Einfachheit halber wollen wir annehmen, u

Abb. 1

daß der Ausschlag senkrecht zur «-Achse und ständig in ein und derselben x, «-Ebene erfolgt (s. Abb. 1). Die Ordinate u liefert dann die Abweichung der Saite von der Ruhelage. Offensichtlich ist u eine Funktion zweier Veränderlicher — des Punktes x und der Zeit t: u = u(x, t). Wir setzen voraus, daß die Saite homogen ist, einen konstanten Querschnitt besitzt und daß zur Zeit t > 0 auf die Saite keinerlei äußere Kräfte einwirken; außerdem soll die Saite nicht dehnbar sein und keinen Widerstand gegen Biegung besitzen. Dann kann man zeigen, daß die Funktion u der linearen partiellen Differentialgleichung 82u 8 genügt.

1 o2u (1)

2

Einführung

Dabei bedeutet a eine von den physikalischen Eigenschaften der Saite abhängige konstante Größe. Gleichung (1) beschreibt die tatsächlichen Vorgänge genähert und ist nur im Falle kleiner Ausschläge der Saite anwendbar. Sie heißt Wellengleichung mit zwei unabhängigen Veränderlichen oder Saitenschwingungsgleichung. Schwierige physikalische Probleme führen auf Differentialgleichungen, die mit Gleichung (1) eine gewisse Ähnlichkeit besitzen, aber von komplizierterer Gestalt sind.

So werden die Transversalschwingungen einer dünnen Membran, welche in der Ruhelage ein Gebiet der x, t/-Ebene einnimmt (s. Abb. l a ) , unter entsprechenden Voraussetzungen durch folgende partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung beschrieben: 82w

82w

=

1 82w

a

=

consfc -

Gleichung (2) heißt Wellengleichung mit drei unabhängigen Veränderlichen oder Membranschwingungsgleichung. Ähnlich wie die Saitenschwingungsgleichung beschreibt auch Gleichung (2) nur kleine Schwingungen der Membran. Die Wellengleichung mit vier unabhängigen Veränderlichen hat die Gestalt 82w 8Ö2 +

82u

82w dz*

1 82w '

(3)

Diese Gleichung bestimmt z. B . das Geschwindigkeitsfeld eines schwingenden Gases, wenn man voraussetzt, daß die Geschwindigkeiten der Gasteilchen klein sind und außerdem ein Potential besitzen; letzeres bedeutet, daß eine Funktion u existiert derart, daß für den Geschwindigkeitsvektor v eines Gasteilchens die Beziehung v = grad u gilt. 2. Die Wärmeleitungsgleichung. Wir betrachten einen homogenen festen Körper und stellen uns vor, daß ein gewisser Teil seiner Oberfläche erhitzt wird. Dann entsteht in diesem Körper ein Temperaturfeld, wobei die Temperatur im Körper offensichtlich von Punkt zu Punkt verschieden ist und sich außerdem noch mit der Zeit ändert. Folglich ist die Temperatur u eine Funktion der unabhängigen Veränderlichen x, y, z, t: u = u{x, y, z, t) . Man kann nun beweisen, daß diese Funktion eine partielle Differentialgleichung der Form 82w 82w 82w 8M •8^ erfüllt.

+

8^+87=*87'

* =

const'

W

§ 1. Der Gegenstand des Lehrganges Der durch den Ausdruck

82w

82w

3

82«

definierte Operator heißt gewöhnlich LAPLACE-Operator und wird mit dem Symbol A bezeichnet: 8% 8% öaw = 8z2 + ify» + 8z2 ' Gleichung (4) läßt sich somit auch in der Form 8u Aw (4 = *¥ '> schreiben: Gleichung (4) [oder (4')] heißt Wärmeleitungsgleichung. Sie ist eine lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung. Diese Gleichung war bereits E U L E E bekannt, sie wird aber häufiger mit dem Namen F O U B I E B in Zusammenhang gebracht. 3. Die Laplace-GIeichmig. Betrachtet man den stationären Wärmeleitungsprozeß, dann ist u eine Funktion der Ortskoordinaten und von der Zeit unabhängig: u = u{x, y, z). Gleichung (4) nimmt jetzt folgende Gestalt an: 82 u

82m

82«

oder AM = 0 .

(5')

Gleichung (5) [oder (5')] heißt LATijACE-Gleichung; sie stellt eine lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung dar. In den oben behandelten Beispielen wurden wir immer auf eine lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung geführt. Mit diesen Gleichungen sind allerdings die Anwendungen der mathematischen Physik keineswegs erschöpft. Für die Anwendungen in der Physik sind viele lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung von Interesse. Nicht selten führen Aufgaben aus der Geometrie und der Physik auf nichtlineare partielle Differentialgleichungen sowie auch auf Systeme von Differentialgleichungen (s. unten). Die oben genannten Differentialgleichungen — die Wellen-, die Wärmeleitungs- und die LAPLACE-Gleichung — entsprechen verschiedenen physikalischen Problemen, sie sind aber auch aus mathematischer Sicht verschieden. Sie sind nämlich Vertreter der drei wichtigsten Typen von partiellen Differentialgleichungen: des hyperbolischen, des parabolischen und des elliptischen Typs. Man muß jedoch betonen, daß mit diesen drei Typen die Mannigfaltigkeit der partiellen Differentialgleichungen nicht erschöpft ist. Über weitere Typen partieller Differentialgleichungen wird später, im Kap. 9, noch kurz einiges ausgeführt werden. In den oben angeführten Beispielen (1) —(5) überstieg die Zahl der unabhängigen Variablen, in Übereinstimmung mit dem physikalischen Sinn des Problems, nicht die Zahl vier; im weiteren werden wir partielle Differentialgleichungen mit einer beliebigen Anzahl von unabhängigen Variablen studieren. 2

Michlin

Einführung

4

Wir nennen noch einige weitere Beispiele von partiellen Differentialgleichungen und von Systemen solcher Gleichungen. 4. Die biharmonische Gleichung A2u = A(Au) = f(x).

(6)

Für Anwendungen (z. B . in der Elastizitätstheorie) ist die biharmonische Gleichung mit zwei unabhängigen Variablen besonders wichtig; ausführlich geschrieben nimmt sie die Gestalt 84w 8% 84w an. Eine bestimmte Rolle spielt in den Anwendungen auch die allgemeinere polyharmonische Gleichung Anu = AA ... Au = f(x). (7) n mal

5. Die Schwingungsgleichung eines homogenen isotropen und elastischen Körpers (im dreidimensionalen Fall) hat die Gestalt 0ZM Q g^- = p Au + (A + fi) grad div u + f(x, t).

(8)

Hierbei sind u der Vektor der elastischen Verschiebungen, / der Vektor der Volumenkräfte, q die Dichte des elastischen Mediums, X und ¡x die LAMESchen Konstanten. Wenn durch u, und /J; j = 1, 2, 3, entsprechend die Komponenten der Vektoren u und / bezeichnet werden und mit x1; x2, x3 die cartesischen Koordinaten des Punktes x, so kann man die Gleichung (8) als ein System von drei skalaren Gleichungen 82Wj 80 Q-^

= fi Au, + (A + p) — + fi(x, t),

1, 2, 3,

schreiben; hierbei wurde

8M2 8«3 8« j 0 = div « = — + — + — 8xx ax2 ox3 gesetzt. Wenn u nicht von t abhängt, so erhält man die vektorielle Gleichung der statischen Elastizitätstheorie H Au + (A + /i) grad div u + f(x) = 0 ,

(9)

die dem System der drei skalaren Gleichungen

80

fi Au, + (A + p) — + /,(*) = 0 ,

j=

1, 2, 3,

äquivalent ist. Alle oben aufgezählten Gleichungen und Systeme sind linear. Wir führen noch einige Beispiele von nichtlinearen Gleichungen und von Systemen solcher Gleichungen an. 6. Die Gleichung der minimalen Oberfläche 82« 1

+

6x2

2

8m du 82w dz dy 8a; 8y

+

I +

l

8 2u

8 ^ = °


t

%—

—- (Xj, ... ,

X], Xj....

, Xm)

Nach Formel (4) gilt U(xh) -

U{x)

'inj»-

y)

dy.

Infolge der Voraussetzungen des Satzes ist die Funktion f(x, y) summierbar auf D x G. Nach dem Satz von F U B I N I ist diese Funktion für fast alle x e D auf der Menge [x, xh] x G summierbar. Für diese x kann man, wiederum nach dem Satz von F U B I N I , die Integrationsreihenfolge ändern: 1

h

h

*

o {a Nach einem bekannten Satz von L E B E S G U E existiert für fast alle i c ö der Grenzwert für die rechte Seite dieser Identität, und dieser ist gleich

Der Satz ist bewiesen.

ff(*,y)dy. o

(*)

bü Bemerkung. Die Behauptung über die Existenz der Ableitung - — und die Formel OXj (5) ist auf jeden Fall für die Punkte x € D richtig, für die das Integral (*) stetig ist. Wenn im besonderen die Funktion f(x, y) den Bedingungen des Satzes 1.1.1 genügt, 8Z7 dXj ; diese kann nach besitzt das Integral (3) fast überall in D die stetige Ableitung — Formel (5) berechnet werden. Wir wenden uns nunmehr einem Spezialfall zu. Sei w{x) = / u{y) co{x, y) dy , (6) G

§ 1. Gleichmäßig konvergente Integrale

13

wobei u(y) auf G summierbar ist, die Funktion co(x, y) und alle ihre Ableitungen nach den Koordinaten des Punktes x e D und der Ordnung 0 stetig ist. Sei D eine derartige beschränkte und abgeschlossene Menge des Halbraumes z > 0 im Räume (x, y, z), daß für (x, y,z) € D das entsprechende Gebiet K (Abb. 2) in G enthalten ist. Wir beweisen U e C{D). Dazu führen wir neue Variable | = x - f zß(l — t ) cos &, 7] = y + Z£(l — t) sin & , £ — zx (10)

14

1. Parameterintegrale

ein, die das Parallelepiped Q'- 0 @ 1, 0 ^ ^ 2jt, 0 ^ r 5S 1 durchlaufen. Die Funktionaldeterminante der Transformation (10) ist gleich z3( 1 — t ) 2 q ; somit ergibt sich

jACOBische

U{x,

wobei v(x

y

z)—

f A*

ggC1

+

~

T

c o s

)

z2V(x,

y, z) =

z

g(1

y +

y, z) ,

-

T

)

s i n

>2

z x

) gl1

-

T

)

d

e

d

T

ist. Es genügt, V e C(D) zu beweisen. Wir beweisen, daß das Integral (11) auf D gleichmäßig konvergiert. Ist (x, y, z) € D, so ist offenbar der Integrand in D summierbar. Sei g eine Menge vom Maße /ig < 8. Mit Q0 und Qx bezeichnen wir die Teile des Parallelepipedes Q, auf denen entsprechend 0 < q < 1 — 8 und 1 — 8 < q < 1 gelten. Der Einfachheit halber bezeichnen wir den Zähler im Integral (11) mit 0 vor. Wenn g eine Teilmenge von 0 ist, gilt in Analogie ' A (x, y)

Qiy) dy ^

j

J

^

^

p

.

Man kann eine Zahl ö > 0 derart wählen, daß für [ig < 8 der rechte Teil dieser Ungleichung kleiner als s wird; die Bedingung b), § 1 ist ebenfalls erfüllt und das Integral (1) konvergiert gleichmäßig. Wir fixieren jetzt in G einen beliebigen Punkt x0 und bestimmen eine Menge g{x0, rj) in Übereinstimmung mit den Bedingungen des Satzes 1.1.1. Dazu wählen wir eine 7] offene Menge g^rj) so aus, daß fig^rj) < — und die Funktion Q(y) auf G \ g^rj) stetig ist. Die Menge G \ g^f]) ist abgeschlossen, somit ist die Funktion fj{y) auf ihr auch gleichmäßig stetig. Sei g2{pc0, rj) die Kugel mit dem Mittelpunkt in x0 und dem Radius rj\ T]

(

TO — 1 ; nach Formel (2.10) gilt fig2(x0, rj) = — . Nunmehr setzen wir gfro, v) = 9i(v) u ^(«0. •>])• D a n n g ilfc v) < V- Wenn y auf der Menge G \ g(x0, rj) variiert und der Punkt x hinreichend nahe bei x0 liegt ^wenn z.B. \x — xQ\

— j , so

ist der Integrand im Integral (1) gleichmäßig stetig bezüglich der Gesamtheit der Veränderlichen x und y. Dies liefert die gleichmäßige Stetigkeit der erwähnten Funktion in x0 bezüglich y e G \ g(x0, rf). Nach Satz 1.1.1 ist die durch das Integral (1") definierte Funktion u(x) stetig in G. Aus dem Bewiesenen ist ersichtlich, daß der Operator K den Raum LP(G) in G(G) abbildet. Formel (3) zeigt daß dieser Operator beschränkt ist und seine Norm die Größe 1^1 Hm~Xp" iIp' NQ = N (4) m — Xp nicht übersteigt. Wir zeigen jetzt, daß der betrachtete Operator vollstetig ist. Sei M eine in LP(G) beschränkte Menge von Funktionen: Vß € M, II^HP sS C = const. Die Ungleichung (3) liefert die Beschränktheit der Menge MK\ Vw € KM, ||«||c(G) = CNQ. Wir beweisen, daß die Funktionen dieser Menge gleichgradig stetig sind. F ü r jede beliebige Zahl rj > 0 erhalten wir mittels der HöLDEßschen Ungleichung | u{x + Ax) - u(x) | =

^

lidi


+ 1 , ... , | m so ein, daß sie für / rg s durch die ersten s Gleichungen aus (12) und für j > s durch die Gleichungen x

i = /ij(Si> £2> -

. I.) +

fi

(14)

bestimmt werden. Man überprüft leicht, daß für die JACOBische Funktionaldeterminante dieser Transformation X2> ••• > Xm) m

i, s» - , u

=

X2, ... , Xs) s v . . . , ts)

gilt und sie deshalb auf Gx nicht verschwindet; wenn der Durchmesser dieser Menge hinreichend klein ist, kann immer angenommen werden, daß die hier eingeführte Transformation eineindeutig ist. Für das Weitere ist es wichtig, daß durch diese Transformation die Menge g' auf eine Menge d' abgebildet wird, die in der Ebene | s + 1 = = | s + 2 = ••• = Im = 0 liegt. Wir bezeichnen noch mit D1 das Bild der Menge Glt das durch die erwähnte Abbildung vermittelt wird. Die Transformation selbst werden wir so schreiben: x = /(!), die inverse Transformation f = F(x). Wir setzen jetzt u(x) — u^x) + u2(x), wobei «*(®)= f e W — ^ — d y - ,

4=1,2.

(15)

Gk Gilt x € g' und y e G2, so ist der Kern A(x, y) r~l beschränkt. Dies liefert l«.(*)| ^ C f |ß(y)| dy^Cf | e (y)| d y = CWqW, ^ C'||e||p ; g2 g hierbei sind C und C' gewisse Konstanten. Wenn wir diesen Ausdruck über g' in der g-ten Potenz integrieren, ergibt sich / \u2(x)\«dx ^ C"Hell« , 9'

C" = const.

Wir wenden uns nun der Funktion u^x) zu. Sei y = f(t]). Wir setzen || — Dann ist R= |F(y) - F(x)| = |J(x) (;y - z)|;

(16) =

R.

24

1. Parameterintegrale

hier ist J die jAOOBische Funktionalmatrix der Transformation | = F(x) und x ein gewisser Punkt des Intervalls, das x und y verbindet. Die Matrix J ist auf Gx beschränkt, und deshalb gilt offensichtlich R ^ er, c = const. Die Funktion u^ix) kann als

#

(17)

—em)*v

dargestellt werden. Der Zähler des unter dem Integral (17) stehenden Bruches ist beschränkt, und dieses Integral weist eine schwache Singularität auf. Die Mannigfaltigkeit d' ist eine ebene Mannigfaltigkeit, und nach Satz 1.3.2 ergibt sich

ß

K(/(f))|* dfx...

= \ 0 ,

r

0; (1)

Die Eigenschaft 2 ist offensichtlich. Die Eigenschaft 3 ist erfüllt, wenn wir CÄ =

i ^ \ \a \ ^ / Hy)\p co„(r) dy | / coh(r) Ayl'*' ß In J da auf Grund der Eigenschaft ß

/ wh(r) dy —

ist. Durch Integration I Wl?

2 des

= / K W ß

f

cüA(r) dy coh(r) dy , ß

r + W W ] 1 , P (3) definiert. Anstelle von (3) kann man jede ihr äquivalente Norm einführen. Über die Anwendung des Raumes W^ mit nicht ganzzahligem k siehe Kapitel 19; in den folgenden Paragraphen dieses Kapitels werden nur ganzzahlige k betrachtet. Den Begriff des Raumes W® kann man auch auf den Fall übertragen, in dem Funktionen betrachtet werden, die nicht in einem Gebiet des euklidischen Raumes gegeben sind, sondern auf einer hinreichend glatten Mannigfaltigkeit. Wir nehmen an, daß diese als Vereinigung einer endlichen Anzahl von Teilmannigfaltigkeiten der gleiN

chen Dimension dargestellt werden kann: r = (J N < oo, und jede der Teilj= l mannigfaltigkeiten .Tj kann eineindeutig und umkehrbar stetig auf ein Gebiet D¿ des euklidischen Raumes EM mittels einer Abbildung £ = cp^x) e R, x € EM) abgebildet werden, die auf D ? [&]-mal stetig differenzierbar ist. Wir schreiben u e wenn U((pj) 6 Wf\D,), j = 1, 2 , . . . , N, gilt. Die Norm in Wf(D kann z. B . durch die Formel N

IMI (/ m, so ist W ( £ \ Q ) vollstetig in C{Q) eingebettet. B e w e i s . Sei a ( x ) eine beliebige Funktion aus W { £ \ Q ) . Den ersten und zweiten Summanden in der SoBOLEWschen Integralidentität (2.7) bezeichnen wir entsprechend mit «i = \ \ u und v2 = V 2 u . Der Operator V 1 bildet offenbar W { £ \ Q ) in C ( ü ) ab; er ist endlichdimensional und die in ihn eingehenden Funktionale sind beschränkt, deshalb ist der Operator V1 vollstetig. Den zweiten Summanden in der Formel (2.7) schreiben wir in der Gestalt reA

/

r Í2

(x

v) +f

D ° u ( y ) d y ,

(1)

die Konstante e wählen wir positiv und so klein, daß p(k — e) > m gilt. Wenn wir [ r ^ A ^ x , y ) ] y = x = 0 setzen, wird der Zähler unter jedem der Integrale (1) stetig in Q x Q. Wenn wir A = m — k + e setzen, finden wir Xp' < m. Nach Satz 1.3.1 ist «2 t C(ü) und V2 vollstetig als Operator von in C(Q). Mithin istw = (wt + w2)€ 6 C(ü), und der Raum W^ ist nach Definition in C(Q) eingebettet. Offenbar ist der Einbettungsoperator gleich V — V1 + V2 und somit als Summe zweier vollstetiger Operatoren vollstetig.

50

4. Die S 0 B 0 L E W s c h e n R ä u m e

Aus der Vollstetigkeit des Einbettungsoperators folgt seine Beschränktheit: Ist pk > m, so existiert eine Konstante ß derart, daß IMIc ^ ß\H\v,k

(2)

gilt, hier bedeutet ||-[|c die Norm in C(Q). Satz 4.3.2. Es seien pk m der Raum W^\Q) in C(Ü) eingebettet ist. Wir beweisen die Vollstetigkeit dieser Einbettung. Es sei M eine in der Norm von W^\Q) beschränkte Menge. Dann ist, wie Formel (1.1) unmittelbar zeigt, diese Menge auch für beliebiges j in der Norm des Raumes 5

Michlin

4. Die SoBQLEWschen R ä u m e

52

W^iQ)) beschränkt. Nach Satz 4.3.1 ist die Einbettung von W f i Q j in C(Qj) vollstetig. Deshalb existiert in M eine Folge {utl}, die auf Qx gleichmäßig konvergiert. Als Teil der Menge M ist diese Folge in TF'u\\p,k_l = ß1i\\Dru\\1+ Z \\Dß+^\\P\-, ß1 = const. (2) l |/3| =k-l f Auf Grund des Satzes4.3.3 hat die Beziehung |(D''m||1 ^ ß2 |M|j>,*> ßz = const, Gültigkeit. Außerdem ist \ß\=t-i H=t Wenn wir dies in die Formel (2) einsetzen, finden wir und schließlich

W&u^ir)

^ ßi(ßt + 1) IHlp.i

\lyu\ ^ C\\u\\Pjk;

C = ß1(ßi + 1) \r\llp'.

Unsere Behauptung ist bewiesen. Außerdem ist offensichtlich, daß die Anzahl der Funktionale (1) gleich der Anzahl der verschiedenen Monome vom Grade k —1

§ 6. Die Ungleichungen von Friedrichs und Poincabé

55

ist und daß diese Funktionale nicht gleichzeitig auf einem von Null verschiedenen Polynom des Grades k verschieden von Null. Wir setzen nunmehr oo

=

£ k=1

•

(8)

In jeder beliebigen Kugel ist nur eine endliche Anzahl von Gliedern der Reihe (8) verschieden von Null. Hieraus folgt, daß in jedem beliebigen Punkt die Funktion y>(x) beliebig oft differenzierbar ist. Weil fernerhin jeder Punkt x € Em wenigstens in einem der Gebiete G,k) liegt, ist in jedem Punkt wenigstens eines der Glieder der Reihe (8)

§ 7. Über die Fortsetzung von Funktionen gleich Eins. Daraus folgt xpidx)

63

1. Nunmehr ist ersichtlich, daß die Funktionen + pt) = 0. E s gelte t" < t'. Mit bezeichnen wir den entsprechenden Punkt auf dem Strahl (11) und berechnen die Größe

£ - /(!") = & + t" - /(£«» + pt") = = 4 0 ) + t" - /(i < oo, ( 0 , 1 ) und r = 8Q € C . Die Funktionen P und Q setzen wir bei Erhaltung der Klasse auf Em fort und mittein die Fortsetzung. Dabei gilt im gesamten Raum 8-P» =

6xk

=

\Qxk)h'

dxk

\8xfc)h'

wobei P und Q die fortgesetzten Funktionen sind. Für Mittelfunktionen kann partiell integriert werden:

f

a

h

P . dx=~l^a (!£). dx+i~rP» «» C0S

dr

*

„ (8 P\ 8P 8P / 8 Q\ 8Q 8Q — ) = — und( — ¡ ¡h^ j [pxiejn &xk dxk \dxkJh ^° 8xk Qxk entsprechend in der Metrik von LV{Q) und Lp.{Q). Aus Satz 4.3.2 folgt, daß Ph ^ o " P = Nach Satz 2.3.3 gilt im Gebiet Ü :

= P in den Metriken von Lt(Q) und Lv(r) gilt; analog dazu gilt Qh j^To Q = Q in den Metriken von Lp,(Q) und Lp>(r). Wie man unschwer sieht, darf in der Formel (14) für h 0 unter dem Integralzeichen zum Grenzwert übergegangen werden. In der Tat, es gilt z. B.

|/ PhQh cos (v, xk) d r-JPQ r r + / |P|

-

Q\ dr

||Pfc -

cos (v, xk) 0 und 11 Qh — Q\\lp,{,d 0 ermittelt. Fernerhin ist die Größe HPH^r) e i n e Konstante und \\Qh\\ip,^r) konvergiert: |[QÄ||£j),(r) - > —>• \\Q\\ir.[ry Deshalb ist 11Qh\\Lp.(r) beschränkt. Aus dem Gesagten ist klar, daß der rechte Teil in der Formel (15) gegen Null konvergiert. Analog dazu werden die anderen Integrale in der Formel (14) untersucht. Indem wir in Formel (14) zum Grenzwert übergehen, wird ersichtlich, daß die Formel der partiellen Integration im besonderen ihre Gültigkeit behält, wenn P € W$\Q) und Q 6 1 < p < oo, gilt.

66

4. D i e S 0 B 0 L E W s c h e n R ä u m e

Satz 4.7.2. Es seien Q1 und ü2 Gebiete des Raumes Em, deren Durchschnitt nicht leer ist und für die € C(0,1), j = 1, 2, gilt. Sei ferner Q = Qt u Ü2. Wenn die Funktion u(x) fast überall in ü definiert ist und u € j = 1, 2, so ist u € W^iü). B e w e i s . Es genügt, den Fall k = 1 zu betrachten. Der allgemeine Fall ergibt sich dann leicht mittels Induktion. Mit r o bezeichnen wir den Teil des Randes 8Q lt der in ü2 enthalten ist, und mit Q0 den Durchschnitt Q1 n ü2. Es sei

•

(9)

Auf Grund des Satzes 4.7.1 setzen wir die Ableitung Dvu mit \y\ = k — 2 fort und erhalten analog zu oben lyl =k — 2

ql

' p mp Wir ersetzen hier p durch qT = und erhalten m —p

\ >

Für |y| < k — 2 folgt die letzte Ungleichung ebenfalls aus Satz 4.3.2, und wir gelangen zur Ungleichung INI

'w ^ c < 8 ) ! MI ^ C 0 . utOU) INI 2

73

wenn gilt (6)

«4=0

Diese Definition ist der folgenden äquivalent: Der symmetrische Operator A heißt positiv-definit, wenn eine Konstante y 2 > 0 existiert derart, daß die Ungleichung (Au, u) ^ y2|M|2

(7)

Definitheit. gilt. Diese Formel nennen wir Ungleichung der positiven Offensichtlich ist jeder positiv-definite Operator auch gleichzeitig positiv. Die Umkehrung gilt im allgemeinen nicht. Beispiel. Wir wollen beweisen, daß der Operator (3) —(4) positiv-definit ist. Nach der FitiEDRiCHSschen Ungleichung (s. Kap. 4, Formel (6.10)) ergibt sich

l l ||w||2 = f uz(x) da; sS / u'*(x) áx . o o Vergleicht man diese Beziehung mit der Formel (5), so erhalten wir die Ungleichung (Au, u) 2g ||w||2, welche unsere Behauptung zeigt. Die Konstante in der Ungleichung der positiven Definitheit kann in diesem Fall gleich Eins angenommen werden.

3. Es gibt Operatoren, die positiv, aber nicht positiv-definit sind. Um uns davon zu überzeugen, betrachten wir folgendes B e i s p i e l . Der Operator B werde durch die Formel Bu=

d2« - — ,

0 < x < oo ,

(8)

definiert. Wir betrachten B als Operator im HiLBBET-Raum L2(0, oo); als Definitionsgebiet D(B) nehmen wir die Menge derjenigen Funktionen, die folgenden Bedingungen genügen: 1. u g C ( 2 ) [0, oo); 2. u(0) = 0 ; 3. für jede Funktion u 6 D(B) existiert eine Zahl au derart, daß u(x) = 0 für x > au ist. Offenbar ist D(B) C L2(0, oo). Wir beweisen jetzt, daß der auf diese Weise definierte Operator B positiv, jedoch nicht positiv-definit ist. Als erstes zeigen wir, daß D(B) = L2(0, oo) gilt. Dazu genügt es zu beweisen, daß sich für eine beliebige Funktion

0 eine Funktion u 6 D(B) auffinden läßt derart, daß ||

0, für die gilt a

J

oo

(x) =

J

cp\x) dz < J .

y

0 , 0 ^ x ^ 0 , cp(x), 8\\ < "TT • Nach der Dreiecksungleichung ergibt sich jetzt J* II« - "Hl ^ llM - vi 1 + IIv - 9>ll < e , und unsere Behauptung ist bewiesen. Man beweist auch leicht, daß der Operator B symmetrisch ist: Es seien u, v e D(B), so daß also jede der Funktionen u und v die Bedingungen 1 bis 3 erfüllt. Wir bilden das bilineare Funktional oo

S

r u,v)=-

(B

J

v

d2« r - d x = - J

d2u v—dx.

0 0 Dabei sei N eine beliebige Zahl, die größer als au und auch größer als av ist; für x = N sind beide Funktionen u und v sowie sämtliche ihrer Ableitungen gleich Null. Partielle Integration ergibt dann N oo (Bu, v) = / u'(x) v'(x) dx = j u'(x) v'(x) da;. (9) o o Analog erhält man oo

und folglich

(.Bv, u) = / u'(x) v'(x) da; o {Bu, v) = (Bv, u) = (u, Bv) ,

d. h., B ist ein symmetrischer Operator. Wir beweisen jetzt, daß B ein positiver Operator ist. Auf Grund der Formel (9) gilt OO

{Bu, u) — f u2{x) da; ^ 0 . o

§ 3. Der energetische Raum

75

Wenn also {Bu, u) = 0 ist, dann gilt oo / w'2(x) dx = 0 , 0 und da der Integrand nicht negativ ist, muß u'(x) = 0 und folglich u(x) = const sein; wegen «(0) = 0 ist schließlich u(x) = 0. Der Operator B ist jedoch nicht positiv-definit. Um uns davon zu überzeugen, ^ (Bu, u) 1 müssen wir beweisen, daß die untere Grenze des Quotienten ~n—¡rr— gleich Null ist. IMI Wir betrachten die Funktionenfolge

i

x(n — x)3 ,

falls

0 ig x

0,

falls

n ,

x>n.

Wie man leicht sieht, gilt u„ e D(B). Wir berechnen jetzt die Norm von un. E s gilt oo n \\un\\2 = j ul(x) dx = J x2(n — x)6 da;. 0 0 Wir substituieren x — nt\ l ||Mfl||ü = n9 j t*(l - 0 ,

{un}

n - > oo .

Für ein ideales Element wurde nämlich eine solche Möglichkeit bereits oben festgestellt; ist dagegen u ein altes Element, so genügt es, u„ = u zu setzen. Offensichtlich ist un — Mm € D(A), und es gilt |un — um| - > 0

für

n, m

oo .

Wegen der Beziehung (3) zwischen der alten und der neuen Norm ist II«» — Mm|| 5S — \un — um\ , und die Folge { u n } konvergiert in sich im Sinne der alten Norm. Auf Grund der Vollständigkeit des Raumes H existiert dann ein Element u e H derart, daß gilt IK

-

Dieses Element u' ordnen wir nun dem Element u € HA zu. Wir beweisen zunächst die Eindeutigkeit des Elementes u . Nehmen wir an, wir würden an Stelle der Folge { « „ } c D(A) eine andere Folge {vn} c D(A) wählen, für die ebenfalls |u — vn\ 0 konvergiert. Durch Wiederholung der vorangegangenen Überlegungen gelangen wir zur Existenz eines Elementes v e H , für das gilt IK W i r zeigen, daß u = v ist. Auf Grund der Dreiecksungleichung gilt |un — vn\ = |(w„ — u) -

{vn — u)\ ^ |m„ -

u\ -f- \vn — u\

0 .

78

5. Positiv-definite Operatoren

Wegen ( u n — vn) 6 D(A)

ist II««. - «»II ^

K

- ®«l

•

Durch Grenzübergang für n oo erhalten wir \\u — v'\\ = 0, was zu beweisen war. Den Elementen u2 e H A mögen jetzt die Elementfolgen {Wj»} und { u 2 n } aus D(A) mit |«i - «i-I

0

>

K ~ «2*1

0

entsprechen. Ferner mögen den Elementen Mj und « 2 die Elemente u[ und u'2 des Raumes H zugeordnet sein. Für die Elemente « j und gilt dabei ||u{ — WjB| | 0 und ||«2 — m2„|| 0. Infolge der Dreiecksungleichung ergibt sich dann | ( A ^ + A2u2)

— (X^n

+ A2«2„)| =

I ^ K — M ln ) + X2(u2

—

^ 1*11 K - Mj«! + |A2| |u2 - U2n\ IK^mJ + A2%) -

u2n)\

0 ,

+ A2M2n)|| = H^wi - «!„) + A2(«2 - «2»)|| ^ ^

1 IK -

l»|l + W l|M2 - «2»||

M

0.

Die beiden letzten Beziehungen bedeuten nun gerade, daß dem Element AJWJ + ?],

(Au, v„) — - {Au, v).

Durch Vergleich der rechten Seiten erhalten wir nun [u, »] = {Au, v) ,

ui D{A) ,

v e Ha .

(6)

Satz 5.3.2. Es sei A ein positiv-definiter Operator im H I L B E R T - Raum H. Dafür, daß das Element u e H dem energetischen Raum HA angehört, ist notwendig und hinreichend, daß eine Folge un e D{A) existiert, für die gilt |M. - u»| ^ ^ ^ 0 ,

||«B - u||

0.

(7)

Beweis. N o t w e n d i g k e i t . Sei u e HA. Da die Menge D{A) im Raum HÄ dicht ist, existiert eine Folge un € D{A), n — 1, 2, ... , mit \un — Als konvergente

80

5. Positiv-definite Operatoren

Folge ist sie in sich konvergent, und wir erhalten die erste der Beziehungen (7). Die zweite Beziehung ergibt sich aus der Ungleichung (3): II«« - «II ^ y K

- «U ^

0•

H i n l ä n g l i c h k e i t . Es sei jetzt die Bedingung (7) erfüllt. Da der Raum HÄ vollständig ist, existiert ein Element ü e H A , für das |un — u\A 0 gilt. Dann folgt aber aus der isomorphen Zuordnung, die beim Beweis des Satzes 5.3.1 hergestellt wurde, daß u = w und somit u e HA ist. 2. Als Beispiel wollen wir den energetischen Raum des Operators A aus § 2 auffinden. o Wir zeigen, daß in diesem Fall der Raum H A mengentheoretisch mit WQH0, 1) übereinstimmt; anders ausgedrückt, H A besteht aus den und nur aus den Funktionen, die folgende Eigenschaften besitzen: 1. Sie sind absolut stetig auf dem Segment [0, 1]; 2. ihre ersten Ableitungen sind auf diesem Segment quadratisch summierbar; 3. diese Funktionen verschwinden in den Punkten x = 0 und x = 1. Wie wir im § 2 gesehen haben, ist l [«> v\A = / u'(x) v'(x) da;, u, v e D(A). o Setzen wir hier v = u, so erhalten wir die Formel für die Norm: i \u\\ = J u\x) da;, u e D(A). (8) o 2.1. Es sei u ein beliebiges Element des Raumes HÄ. Nach dem Satz 5.3.2 ist u € L2(Q, 1), und es existiert eine Folge {«„} C D(A) derart, daß gilt II«» - «II

•

Diese Folge konvergiert also gegen das Element u und ist somit erst recht in sich konvergent, d. h. K

-

«-»lii^sr0-

Da aber u„ — um e D(A) ist und für diese Differenz die Formel (8) gilt, konvergiert l / (un(x) - um(x)Y da; ^ ^ 0 . o Die letzte Beziehung, der man auch noch die Gestalt geben kann, zeigt, daß die Folge der Ableitungen in der Metrik des Raumes L2{0, 1) in sich konvergiert. Da der Raum L2(0, 1) vollständig ist, existiert eine Funktion w e L 2 (0, 1) derart, daß gilt Die Beziehungen

I«« •0,

HliT^0' II u'„ — w\ I

•0

lassen zusammen mit dem Satz 2.3.1 den Schluß zu, daß die Funktion u{x) eine verallgemeinerte erste Ableitung u'{x) = w(x) besitzt; als Element des Raumes L2(0, 1)

§ 4. Das Energiefunktional und sein Minimumproblem

81

ist diese Ableitung auf dem Segment [0, 1] quadratisch summierbar. Aus dem Satz 2.4.1 folgt nun, daß die Funktion u(x) auf demselben Segment absolut stetig ist. Es bleibt noch zu zeigen, daß u(0) = w(l) = 0 ist. Nach Satz 4.3.1 ist der Raum TF^O, 1) stetig in 0[0, 1] eingebettet. Deshalb gilt |u(0) - «,(0)| ^ ||« - un\\c ^\ß\\u - un\\2A ( ß = const). Daraus folgt «(0) = 0. Analog wird w(l) = 0 bewiesen. o

2.2. Es sei nun u € W ^ O , 1). Wir beweisen, daß u € HA ist. Auf Grund des Satzes 5.3.2 genügt es, die Existenz einer Folge {«„} von Funktionen aus D(A) nachzuweisen, die die Eigenschaften (7) erfüllt. Die Funktion u(x) besitzt eine Ableitung u(x) aus L2((), 1). Wir entwickeln diese in eine FoiJBiEB-Reihe nach Kosinusfunktionen. Das freie Glied tritt in dieser Reihe nicht auf, da i a0 = J u'(x) dx = m(1) — u{0) = 0 ist. Es gilt somit u (x) =

ak cos knx . k=1 Die letzte Gleichung integrieren wir in den Grenzen von 0 bis x; da die Reihe im Mittel konvergiert, so läßt sie sich gliederweise integrieren. Unter Berücksichtigung von u(0) = 0 erhalten wir 00 ak u(x) = £ bk sin knx mit bk — — . k=1 Wir konstruieren jetzt die Funktionenfolge n u„(x) = £ bk sin knx . k=1 Offensichtlich ist un e D{A). Infolge der Konvergenz der FouEiEK-Reihe gilt Zu beweisen ist: |u„ — um| n wir n > m annehmen. Dann ist

I K - «II 0. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können

n £ bk sin knx . k=m +1 Für das Quadrat der Norm dieser Differenz un — um ergibt sich i u„(x) — um(x) =

K

- um|2 =

I £ ak cos knx) dx = — £ a\ ^ ^ ¿ j 0 . L k = m +1 J \4 = »» + l / 0 Damit ist gleichzeitig bewiesen, daß u e HA ist. § 4. Das Energiefunktional und sein Minimumproblem Es sei A ein positiv-definiter Operator im HiLBEET-Raum H und / ein vorgegebenes Element dieses Raumes. Das quadratische Funktional wollen wir Energiefunktional

F{u) = (Au, u) - 2(«, /) (1) des Operators A nennen. Offenbar gilt D(F) — D(A).

82

5. Positiv-definite Operatoren

Wir betrachten das Minimumproblem für das Energiefunktional auf der Menge D(A) und beweisen dabei folgenden Satz. Satz 5.4.1. Dafür, daß ein gewisses Element u0 e D(A) dem Energiefunktional seinen kleinsten Wert erteilt, ist notwendig und hinreichend, daß dieses Element der Gleichung Au0 = /

(2)

genügt. Ein solches Element ist eindeutig bestimmt. B e w e i s . N o t w e n d i g k e i t . Das Element u0 realisiere das Minimum des Funktionais (1). Mit r¡ bezeichnen wir ein beliebiges Element aus D(A) und mit t eine beliebige reelle Zahl. Dann ist F(u0 + tr¡) ^ F(u0) . (3) Wir fixieren das Element r¡. Die Ungleichung (3) liefert, daß die Funktion von t, die gleich F(u0 + tr¡) ist, im Punkte t = 0 ihr Minimum annimmt. In diesem Falle gilt dF(u 0 + trj)/dt\t=0 — 0, oder, wenn auf die quadratische Form {Au, u) die Formel (1.4) angewandt wird, ^ {F(u0)

+ 2t(Au0 -f,r¡)

+ t2(Arj, r¡)} |,_0 = 2(Au 0 - / , » ? ) = 0;

Wr¡ € D(A) . (4)

Die Beziehung (4) zeigt, daß das Element Au0 — f zu der in H dichten Menge D(A) orthogonal ist. Dann ist aber dieses Element gleich Null, was zu beweisen war. H i n l ä n g l i c h k e i t . Das Elementu 0 genüge derjGleichung (2). Wenn u ein beliebiges Element aus D(A) ist mit u 4= u0, so kann man u = u0 + r¡,r¡ 4= 0 setzen. Nach Formel (1.4) erhalten wir F(u) = F(u0) + {Ar¡, r¡) 4- 2(Au0 — f , r¡). Dieser Ausdruck nimmt infolge der Gleichung (2) die Gestalt F(u) = F(u0) + (At],r¡)

(5)

an. Weil A ein positiv-definiter Operator und r¡ 4= 0 ist, gilt (Ar¡, r¡) > 0 und folglich F(u) > F(u0). Dies bedeutet, daß das Funktional (1) im Punkt u0 sein Minimum annimmt. Es bleibt nur noch die Eindeutigkeit des Elementes u0 zu beweisen. Wir nehmen an, daß das Minimum des Funktionais F noch in einem anderen Element ux angenommen wird. Nach der soeben bewiesenen Ungleichung ist dann F(u^) > F(u0). Genauso läßt sich aber auch zeigen, daß F(u0) > FiUj) ist. Der erhaltene Widerspruch beweist, daß das Minimum des Funktionais (1) nur in einem Punkt angenommen werden kann. Wir bemerken, daß wir damit die Äquivalenz folgender Probleme nachgewiesen haben: Das Lösen der Gleichung Au = / und das Aufsuchen des Minimums des Energiefunktionais F(u) = (Au, u) - 2(u, f) . Ist eines dieser Probleme lösbar, so ist es auch das andere, und die Lösung eines dieser Probleme ist Lösung auch des anderen Problems. Die Existenz der Lösung dieser Probleme wurde allerdings durch den Satz 5.4.1 nicht bewiesen. Wie das folgende Beispiel zeigt, braucht eine Lösung auch gar nicht zu existieren. Es sei H = L2(0, 1), und in Gleichung (2) bedeute A den im § 2 betrachteten Operator. Die Gleichung Au = / zu lösen, bedeutet in unserem Beispiel folgendes: f(x) ist eine quadratisch summierbare Funktion; gesucht ist eine Funktion u(x), die den

§ 5. Die verallgemeinerte Lösung

83

Bedingungen (2.4) genügt und eine stetige Ableitung besitzt, welche sich nur durch das Vorzeichen von f(x) unterscheidet. Das ist aber offenbar nicht erfüllbar, wenn die Funktion f(x) unstetig ist. Dasselbe Beispiel zeigt auch, daß das Problem lösbar werden kann, wenn man auf vernünftige Weise das Definitionsgebiet des Operators erweitert: I m Beispiel genügt es, in die Menge D(A) alle Funktionen mit absolut stetigen ersten und quadratisch summierbaren zweiten Ableitungen aufzunehmen; die Randbedingungen (2.4) sind natürlich beizubehalten. Wenn / e L2(0, 1) ist, dann besitzt jetzt die Gleichung Au = f eine Lösung. Diese Gleichung bedeutet nämlich, daß u(x) den Bedingungen (2.4) sowie der Differentialgleichung d2w " d * = f{X) genügt. Eine solche Funktion existiert, und sie ist gleich 1 u(x)

=

x f x

X (1 -

t) f ( t ) dt

+

(1 -

x) J t f { t ) d t . 0

Man p r ü f t leicht nach, daß diese Funktion in das erweiterte Definitionsgebiet unseres Operators eingeht. Einfacher und bequemer ist es allerdings, nicht das Definitionsgebiet des Operators A, sondern das Definitionsgebiet des entsprechenden Energiefunktionais zu erweitern. Damit werden wir uns im folgenden Paragraphen beschäftigen.

§ 5. Die verallgemeinerte Lösung Es sei A nach wie vor ein positiv-definiter Operator im HiLBERT-Raum H, f ein gegebenes Element dieses Raumes und F das entsprechende Energiefunktional F(u)

=

(Au,

u)

-

2(w,

/) .

(1)

Die Formel (1) erklärt das Funktional F auf der Menge D(A); man k a n n dieses Funktional aber leicht auf den gesamten energetischen R a u m H A erweitern. Dazu genügt es zu bemerken, daß (Au, u) = \u^A und folglich F(u) = \u\\ — 2(u, f ) (2) ist. I n Formel (2) ist der erste Summand auf der rechten Seite f ü r alle Elemente u 6 HA erklärt. Der zweite Summand ist definiert, wenn u€ H, also erst recht, wenn u e HÄ ist. J e t z t sieht man, daß sich mit Hilfe der Formel (2) das Funktional F auf dem ganzen energetischen R a u m H A definieren läßt. Wenden wir uns jetzt wieder unserem Beispiel d2« (2) Au = - — 2 , u eC [0, 1] , w(0) = m(1) = 0

dx

zu, so sehen wir, daß sich das Funktional F sowohl in der Form i l F(u)

7

Michlin

=

-

r d*u I u —

r dx

-

2 I

f u d x

84

6. Positiv-definite Operatoren

als auch in der Form 1 l F(u) = / u2 da; — 2 / f u d x o o angeben läßt. Dabei ist die zweite Schreibweise des Funktionais für alle Elemente u € H A verwendbar; sie erlaubt es auch, das Energiefunktional auf den gesamten energetischen Raum zu erweitern. Jetzt wollen wir das Minimum des Funktionais F nicht in D(A), sondern in HA suchen. Wir beweisen folgenden Satz. Satz 6.5.1. Im energetischen Raum existiert ein und nur ein Element, in dem das Energiefunktional sein Minimum annimmt. Nach der CAUCHYschen Ungleichung gilt IHMI/Ih (3) und auf Grund der Beziehung zwischen der alten und der neuen Norm (siehe Ungleichung (3.3)) ist INI^yHDaraus ergibt sich |(«,/)|^e|«|,

c = '-y-,

(4)

d. h., das Funktional (u, f) ist im Raum HÄ beschränkt. Nach dem bekannten Satz von R I E S Z existiert ein und nur ein Element « 0 e H Ä , für das gilt (u, /) = [u, w 0 ],

ueHA.

(5)

Mit Hilfe der Formel (5) können wir den Ausdruck für das Funktional F wie folgt umformen: F(u) = \u\2 — 2[«, w0] = [u, u] — 2[u, u0] + [u0, m0] — [w0, m0] = =

[U -

U0, U -

Uq\ -

[w0,

M0]

oder, noch einfacher, F(u) = |u-

u012 -

|«0|2

ueHA.

(6)

Aus Formel (6) wird jetzt offensichtlich, daß das Minimum des Funktionais F im Raum Ha in dem Element u — u0 und nur in diesem Element angenommen wird. Dabei gilt offenbar min F(u) = - \u0. (7) Der Satz ist damit bewiesen. Das Element u0 € HA, das das Minimum des Funktionais (2) realisiert, nennen wir verallgemeinerte Lösung der Gleichung Au = / . (8) Dabei kann der Fall eintreten, daß u0 e D(A) ist; dann ist auf Grund des Satzes 5.4.1 u0 eine gewöhnliche Lösung der Gleichung (8). Die verallgemeinerte Lösung kann man auch unabhängig von dem Minimumproblem für das Energiefunktional definieren. Die Gleichung (8) besitze eine Lösung u € D(A). Beide Seiten dieser Gleichung multiplizieren wir skalar mit einem beliebigen

§ 5. Die verallgemeinerte Lösung

85

Element rj € HA. Unter Berücksichtigung von Formel (3.6) finden wir, daß die Lösung u der Beziehung [u,rj] A = (/,»?); Vr)tHA, (5a) genügt, die sich nur durch die Schreibweise von der Beziehung (5) unterscheidet. Wenn umgekehrt ein Element u € D(A) der Beziehung (5a) genügt, so können wir diese wiederum mittels der Formel (3.6) in der Gestalt {Au — f,rj) = 0, V77 € HÄ, schreiben. Daraus ergibt sich Au = /. Somit sind die Gleichung (8) und die Beziehung (5 a) einander äquivalent. Nunmehr kann man die verallgemeinerte Lösung der Gleichung (8) als das Element des energetischen Raumes definieren, das die Beziehung (5 a) erfüllt. Offenbar sind die in diesem Paragraphen gegebenen Definitionen der verallgemeinerten Lösung äquivalent. Wir schätzen nun die Norm der verallgemeinerten Lösung ab. Wenn wir in (5) u = u0 setzen und danach die CAtrcHYSche Ungleichung anwenden, finden wir |w0|2 ^ ||/|| ||«0||. Nach der Ungleichung (3.3) gilt ||w0|| y 1 |w0|. Wenn wir dies in die oben niedergelegte Ungleichung einsetzen, finden wir für die energetische Norm der verallgemeinerten Lösung Kl ^

II/II-

(9)

Dieselbe Ungleichung (3.3) gestattet es, die Größe |w0| in der Beziehung (9) durch den kleineren Wert y ||w0|| zu ersetzen, und wir erhalten eine Abschätzung der Norm der verallgemeinerten Lösung im Ausgangsraum: I N I ^ ^[[/ll •

(io)

Wenn der energetische Raum separabel ist, dann läßt sich ein einfaches Verfahren angeben, nach dem man die verallgemeinerte Lösung der Gleichung (8) konstruieren kann. In einem separablen HiLBEBT-Raum existiert nämlich ein vollständiges abzählbares orthonormiertes System {co„}: f 0, [co,, CO*] = ö)k = | 1

#= k , k

j, k = 1, 2, ... .

Sei u0 die verallgemeinerte Lösung der Gleichung (8). Wir entwickeln diese in eine FouKEEK-Reihe nach dem System {a>*} : 00 «0 = L [uo> • k =1 Diese Reihe konvergiert in der energetischen Norm: Setzen wir n v\„11 ^ ||« - «'II + ||m' — YVll
n} enthält und folglich separabel ist. H i n l ä n g l i c h k e i t . Der Raum H sei separabel, und die abzählbare Folge {/„} sei in H vollständig. Wir konstruieren die Elemente cpn e HA, welche verallgemeinerte Lösungen der Gleichungen Aq>„ = /„ sind. Nach dem Hilfssatz 5.6.1 ist die Folge {(f n ) vollständig im Raum H A . Wir bilden jetzt die Elemente der Gestalt n X * > (4) k=1 wobei die ak rationale Zahlen sind. Die Menge dieser Elemente ist abzählbar; wir beweisen, daß sie dicht in HA ist.

88

6. Positiv-definite Operatoren

Wenn eine Zahl e > 0 und ein gewisses Element u e H A vorgegeben sind, dann lassen sich eine natürliche Zahl N > 0 und reelle Zahlen ak finden derart, daß e

k 0 und q(x) 0 ist. Da die Funktionen p(x) und q(x) auf dem Segment [a, 6] stetig sind, gelten die Ungleichungen

Po ^ P(x) ^Pi>

0

^ «(*) ^ Ii>

xz[a,b],

wobei p1 und qly genauso wie p0, positive Konstanten sind. Als Grundraum H wählen wir den Raum L2(a, b), und als Definitionsgebiet des Operators d / dw\ ÄU = (3) ~ di di) + 9{X) U{X) nehmen wir die Menge der Funktionen u(x), die folgenden Bedingungen genügen:

u e C