Reihenentwicklungen in der mathematischen Physik 9783111499895, 9783111133829

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Reihenentwicklungen in der mathematischen Physik Von Dr. Josef Lense o. ö. Professor der Technischen Hochschule München

Mit 48 Abbildungen

Dritte, verbesserte Auflage

W a l t e r de G r u y t e r & Co. vormals 6 . J . Göschen'sche Verlagshandlung / J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung Georg Reimer / Karl J . Trübner / Veit & Comp.

Β e r l i n W 35 1953

Alle Rechte, insbesondere das Übersetzungsrecht und einschl. der Rechte der Herstellung von Fhotokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten.

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W A L T E R D E G R U Y T E R & CO. vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung · Georg Reimer . Karl J . Trübner . Veit & Comp. Berlin W 35, Genthiner Straße 13

Archiv-Nr. 12 0752 Satz und D r u c k : VE Β Deutsche Wertpapier-Druckerei, Leipzig (111/18/185) Amt für Literatur und Verlagswesen Berlin 722/128/50.

Vorwort zur ersten Auflage Ziel dieses Buches ist, die bei den wichtigsten Reihenentwicklungen der mathematischen Physik verwendeten Funktionen eingehender in ihren wesentlichen Eigenschaften zu behandeln, soweit die betreffenden Reihen nicht Potenz- oder Fouriersche Reihen sind. Es kommen also in erster Linie Bessel-, Kugel- und Lamesche Funktionen in Betracht, daneben auch wegen ihrer Anwendungen in der Wellenmechanik Laguerresche und Hermitesche Funktionen. Alle schließen sich wegen ihrer Orthogonalitätseigenschaften unmittelbar an die Fourierschen Reihen an. Es gibt gewiß viele ausgezeichnete Darstellungen über jede einzelne dieser Funktionsklassen, doch sind sie gewöhnlich so umfangreich, daß sich der Leser nur mit großen Schwierigkeiten über die wesentlichen Eigenschaften der betreffenden Funktion ein Bild machen kann. Diese werden daher in den ersten vier Abschnitten des vorliegenden Buches ausführlich behandelt. Dabei habe ich mich mit Rücksicht auf die physikalischen Anwendungen immer auf das reelle Gebiet beschränkt, ausgenommen die Besseischen Funktionen. Während nämlich alle erwähnten Funktionen, die in der Physik verwendet werden, im wesentlichen Polynome, also in ihrem funktionentheoretischen Verhalten leicht zu übersehen sind, ist dies bei den Besseischen Funktionen nicht der Fall. Hier sind schon die einfachsten dieser Funktionen ganze transzendente Funktionen. Sie werden daher in vollster Allgemeinheit für komplexe Veränderliche und Zeiger behandelt, wodurch man gleich einen allgemeinen Überblick über ihr funktionentheoretisches Verhalten gewinnt. Die für die Anwendung wichtigen Fälle ergeben sich dann durch Aussonderung. Die Darstellung schließt sich hauptsächlich an W a t s o n (vgl. S. 35), im ersten Abschnitt an Courant (vgl. S. 12) an. Warum nicht auch die Kugelfunktionen in ähnlicher Weise behandelt werden, hat darin seinen Grund, daß sie im wesentlichen hypergeometrische Funktionen sind und die Theorie dieser Funktionen nicht vorausgesetzt wird, während sich die für physikalische Anwendungen wichtigen Fälle reeller Veränderlicher und ganzzahliger positiver Zeiger leicht ohne eine derartige Theorie entwickeln lassen. Es wird daher auch nicht auf die Legendreschen Kugelfunktionen zweiter Art eingegangen. Ähnlich liegen die Verhältnisse bei den Lameschen Funktionen. Hier ist die Behandlung im Anschluß an Hob son (vgl. S. 98) und im Gegensatz zu P o i n c a r e (vgl. S. 133) so gehalten, daß die Kenntnis der elliptischen Funktionen entbehrt werden kann, doch mußte die Darstellung bei Hob son und P o i n c a r e in einigen Punkten vervollständigt werden, um volle Strenge zu erzielen. Der fünfte Abschnitt bringt das Wichtigste über asymptotische Reihen im Anschluß an K n o p p (vgl. S. 152), der sechste die wesentlichen Eigenschaften der Gammafunktion mit Rücksicht darauf, daß im zweiten Abschnitt verschiedene Eigenschaften dieser Funktion gebraucht werden, die in den ι

3

gewöhnlichen Lehrbüchern der Differential- und Integralrechnung und Funktionentheorie meistens nicht behandelt werden, und die Theorie der Gammafunktion nicht vorausgesetzt werden soll. Am nächsten kommt dem Buch wohl das erwähnte Werk von C o u r a n t , doch da dieses infolge seiner ganz anderen Zielrichtung über die in den Abschnitten 4—6 behandelten Dinge fast gar nichts bringt, dürfte auch das vorliegende Buch daneben in Ehren bestehen. An mathematischen Kenntnissen setzt es Vertrautheit mit den Grundlehren der Funktionentheorie und Differentialgleichungen voraus. Von besonderen Funktionen ist nur eine genaue Kenntnis der sogenannten elementaren Transzendenten, d. h. also im wesentlichen des Logarithmus im komplexen Gebiet erforderlich. Häufig verwendet wird die Integration im Komplexen. Um dem hierin ungeübten Leser die Sache zu erleichtern, sind immer die einzelnen Schritte möglichst ausführlich angegeben. Gelegentlich wird einmal der sogenannte Sturmsche Satz aus der Lehre von den Gleichungen verwendet. Um die Integraleigenschaften der Kugel- und Lameschen Funktionen abzuleiten und die Randwertaufgaben für Kugel und Ellipsoid zu lösen, werden die grundlegenden Sätze der Potentialtheorie benützt. Das Buch ist in sechs Abschnitte, jeder Abschnitt in Ziffern eingeteilt. Von den Formeln sind nur jene mit Nummern bezeichnet, auf die im Text verwiesen wird. Ihre Bezifferung beginnt in jeder Ziffer von neuem. Bei Verweisen auf Formeln anderer Ziffern werden diese angegeben. So bedeutet ζ. B. (3) Gleichung (3) derselben Ziffer, (2, 3) Gleichung (3) der Ziffer 2 desselben Abschnittes, (I, 2, 3) Gleichung (3) der Ziffer 2 des ersten Abschnittes, (I, 2) Ziffer 2 des ersten Abschnittes. Definitionen und Lehrsätze sind durch gesperrten Druck hervorgehoben. Die Niederschrift des Manuskriptes hat meine Frau besorgt, die Abbildungen Herr Dr. N i k o l gezeichnet. Bei der Durchsicht des Manuskriptes stand mir Herr Dr. W i n k l e r mit wertvollen Ratschlägen zur Seite. Die Korrekturen haben die Herren Prof. Dr. S a u e r , Privatdozent Dr. D u s c h e k , Dr. B a i e r , Dr. L e h r , Dr. N i k o l und meine Frau mitgelesen. Ihnen allen sei hier mein herzlicher Dank für ihre treue Hilfe ausgesprochen. M ü n c h e n , im Juli 1933.

J . Lense.

Vorwort zur zweiten Auflage Infolge der immer wachsenden Bedeutung der in diesem Buche behandelten Funktionen für die mathematische Physik ist die Nachfrage nach dem Werke in den letzten Jahren größer geworden. In der hier vorliegenden zweiten Auflage nahm ich die Gelegenheit wahr, um gewisse Ergänzungen vorzunehmen, die sich im Lauf der Zeit als notwendig herausgestellt hatten. Die beiden Abschnitte über asymptotische Reihen und Gammafunktion sind nunmehr an die Spitze gestellt, da ihr Inhalt in den übrigen Teilen gebraucht wird. Im Abschnitt über asymptotische Reihen sind die Ziffern über die Grundrechnungsarten und das Differenzieren und Integrieren bei solchen Reihen als für das Folgende nicht wichtig fortgelassen, dafür ein Satz 4

über die Nullstellen der B e r n o u l l i s c h e n Polynome und das Verfahren von W i r t i n g e r für die näherungsweise Berechnung bestimmter Integrale eingeschoben. Der Abschnitt über die Gammafunktion wird jetzt durch die Produktdarstellung des Sinus eingeleitet, sonst sind in ihm nur einige kleine Änderungen und Umstellungen vorgenommen. Hierauf folgt fast unverändert der Abschnitt über Orthogonalfunktionen, nur vermehrt um zwei Ziffern über T s c h e b y s c h e f f s c h e Polynome. Völlig neu geschrieben sind die beiden folgenden Abschnitte über Β e s s e Ische und Kugelfunktionen. Im einleitenden Teil des vierten Abschnittes über die geschichtliche Entwicklung der B e s s e i schen Funktionen wird die Verwendung dieser Funktionen bei den Schwingungen einer Kette und Membran sowie in der Wärmeleitung behandelt. Die N e u m a n n s e h e n Funktionen werden eingehender berücksichtigt. Neu aufgenommen sind die S o m m e r f e l d s c h e Integraldarstellung und die D e b y e schen asymptotischen Formeln für die Besseischen und H a n k e i s c h e n Funktionen, die Integrale von A i r y , L i p s c h i t z und W e b e r . Der Abschnitt über Kugelfunktionen wurde ergänzt durch die Integraldarstellungen der L e g e n d r e s c h e n Polynome von L a u r e n t , J a c o b i , M e h l e r und D i r i c h l e t , durch ihre asymptotische Darstellung und den Zusammenhang der L e g e n d r e s c h e n mit den B e s s e i s c h e n Funktionen. Ferner sind neu aufeiR genommen die Reihenentwicklungen von eizcoa 9 und -Γ-Q sowie die L e g e n d r e iΚ sehen Funktionen zweiter Art. Im Abschnitt über die L a m e s c h e n Funktionen beschränken sich die Änderungen auf einige wenige Stellen. Wie die erste, so enthält auch die zweite Auflage keine Tafeln der behandelten Funktionen. In dieser Hinsicht sei der Leser auf folgende Tafelwerke hingewiesen: F. E m d e , Tafeln elementarer Funktionen, Leipzig und Berlin 1940, B. G. Teubner; E. J a h n k e u. F . E m d e , Funktionentafeln mit Formeln und Kurven, 3. Aufl., Leipzig und Berlin 1938, B. G. Teubner; K . H a y a s h i , Tafeln der Besseischen, Theta-, Kugel- und anderer Funktionen, Berlin 1930, J . Springer; K. H a y a s h i , Fünfstellige Funktionentafeln (Kreis-, zyklometrische, Exponential-, Hyperbel-, Kugel-, Besseische, elliptische Funktionen; Thetanullwerte, natürlicher Logarithmus, Gammafunktion u. a. m. nebst einigen häufig vorkommenden Zahlenwerten), Berlin 1930, J . Springer. Als Formelzusammenstellung käme in Betracht: W. M a g n u s u. F. O b e r h e t t i n g e r , Formeln und Sätze für die speziellen Formeln der mathematischen Physik, Berlin 1943, Springerverlag. Das Buch ist wieder in sechs Abschnitte, jeder Abschnitt in Ziffern eingeteilt. Von den Formeln sind nur jene mit Nummern bezeichnet, auf die im Text verwiesen wird. Ihre Bezifferung beginnt in jeder Ziffer von neuem. Bei Verweisen auf Formeln anderer Ziffern werden diese angegeben. So bedeutet ζ. B. (3) Gleichung (3) derselben Ziffer, (2, 3) Gleichung (3) der Ziffer 2 desselben Abschnittes, (I, 2, 3) Gleichung (3) der Ziffer 2 des ersten Abschnittes, (I, 2) Ziffer 2 des ersten Abschnittes. Ziffernbezeichnungen ohne römische Ziffer beziehen sich auf Ziffern desselben Abschnittes. Definitionen und Lehr5

sätze sind durch gesperrten Druck hervorgehoben. Der Leser wird gebeten, beim Gebrauch des Buches die Berichtigungen und Zusätze auf S. 221 zu beachten. An mathematischen Kenntnissen werden die Grundlehren der Funktionentheorie und Differentialgleichungen vorausgesetzt. Herr Dr. E. L e h r hat die Abbildungen für die Drucklegung gezeichnet und den Abschnitt über die Besseischen Funktionen im Manuskript gelesen, meine Frau die Reinschrift der neu zu schreibenden Teile des Buches besorgt und die Korrekturen mitgelesen. Ihnen beiden sei hier mein herzlicher Dank ausgesprochen. Wie ich erfahren habe, konnte das Buch in seiner ersten Auflage manchem theoretischen Physiker ein erwünschtes Hilfsmittel für seine Arbeiten sein. Möge diese freundliche Aufnahme auch der verbesserten und erweiterten zweiten Auflage beschieden sein. München, im Juni 1947.

J . Lense.

Vorwort zur dritten Auflage Daß schon fünf Jahre nach Erscheinen der zweiten Auflage eine dritte notwendig wird, ist ein Zeichen dafür, daß durch das Buch eine Lücke in der Literatur ausgefüllt wird. Die dritte Auflage unterscheidet sich nicht wesentlich von der zweiten. Es wurde die Gelegenheit benützt, sämtliche bekannt gewordenen Druck- und Schreibfehler zu verbessern. Ferner wurden neben kleinen Textänderungen manche Beweise vereinfacht und einige Ziffern umgestellt. Herr Dipl.-Phys. H. H o c h m u t h und meine Frau haben die Korrekturen mitgelesen. Ich spreche ihnen meinen herzlichen Dank aus ebenso wie dem Verlag, der bereitwillig wie bei den früheren Auflagen meine Wünsche erfüllt hat. Möge auch die dritte Auflage des Buches dieselbe freundliche Aufnahme finden wie die beiden anderen. München, im November 1952.

6

J . Lense.

Inhaltsverzeichnis Seite

Einleitung 1. Reihenentwicklung. Annäherung durch Polynome 2. Fouriersche Reihen. Orthogonalfunktionen

11 11 12

I. Abschnitt. Asymptotische Seihen 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Asymptotische Reihen Bernoullische Polynome Nullstellen der Bernoullischen Polynome Berechnung der Bernoullischen Polynome Eulersche Summenformel Abschätzung des Restgliedes Eulersche Konstante Näherungsweise Berechnung bestimmter Integrale

14 16 20 23 24 25 26 28

II. Abschnitt, tiammainnktion 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Produktdarstellung des Sinus Definition Produktdarstellungen Fynktionalgleichungen Integraldarstellungen Asymptotische Entwicklung Nullstellen der Ableitung Zielwerte Konforme Abbildung Betafunktion

31 33 34 36 38 40 43 45 46 48

III. Abschnitt. Orthogonalfnnktionen 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Definition. Normierung Orthogonalisierung Besseische Ungleichung. Vollständigkeitsbeziehung. Konvergenz im Mittel . . Laguerresche Funktionen Eigenschaften der Laguerreschen Funktionen Hermitesche Funktionen Eigenschaften der Hermiteschen Funktionen Tschebyscheffsche Polynome Eigenschaften der Tschebyscheffschen Polynome

50 51 52 54 57 58 59 61 62

IV. Abschnitt. Besseische Funktionen 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Schwingungen einer Kette Schwingungen einer Membran Wärmeleitung Besseische Differentialgleichung Erste Hankeische Integraldarstellung Besseische Funktionen Poissonsche Integraldarstellung Zweite Hankeische Integraldarstellung Hankeische Funktionen Neumannsche Funktionen

63 64 65 66 68 70 71 72 74 76 7

Seite

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33.

Vollständige Lösung der Besseischen Differentialgleichung 78 Rekursionsformeln 79 Zylinderfunktionen 80 Erweiterung der Hankeischen Integraldarstellungen 83 Asymptotische Darstellungen 86 Abschätzung des Restgliedes 88 Sommerfeldsche Integraldarstellung 91 Erweiterung des Gültigkeitsbereiches 93 Airysche Integrale 95 Ganzzahlige Zeiger 98 Sattelpunktsverfahren 101 Asymptotische Entwicklung der Hankeischen und Besseischen Funktionen für große Werte des Zeigers und der Veränderlichen 106 Integrale über Zylinderfunktionen 110 Integrale von Lipschitz und Weber 112 Nullstellen der Zylinderfunktionen 115 Nullstellen der Besseischen Funktionen 116 Nullstellen der Ableitung 117 Reelle Nullstellen der Besseischen Funktionen 118 NulLteilen mit großem absoluten Betrag 119 Imaginäre Nullstellen 120 Elliptische Planetenbewegung 122 Zielwerte der Besseischen Funktionen 124 Konforme Abbildung durch die Besseischen Funktionen 125 V. Abschnitt.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Kugelfunktionen

a) R ä u m l i c h e K u g e l f u n k t i o n e n Potentialfunktionen. Laplacesche Differentialgleichung. Randwertaufgaben . . 126 Dreifach orthogonale Flächensysteme 127 Räumliche Polarkoordinaten 129 Räumliche Kugelfunktionen 130 Ganze rationale räumliche Kugelfunktionen 131 Kugelflächenfunktionen 132 b) Z o n a l e K u g e l f u n k t i o n e n

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

Zonale Kugelfunktionen Legendresche Polynome Entwicklung in eine Fouriersche Reihe Rekursionsformeln Berechnung der Koeffizienten der Legendreschen Polynome Integraldarstellungen Nullstellen Asymptotische Darstellung

15. Entwicklung von

132 133 135 135 136 138 142 142 146

η

16. Entwicklung von ™ Κ 17. Nachweis der absoluten Konvergenz der Reihen

148 150

c) Z u g e o r d n e t e F u n k t i o n e n 18. 19. 20. 21. 22.

8

Zugeordnete Legendresche Funktionen Integraldarstellung der zugeordneten Legendreschen Funktionen Integraleigenschaiten der Legendreschen Funktionen Entwicklung von ξη nach Legendreschen Polynomen Entwicklung von e i z c o a 6

152 153 156 158 160

Seite

d) Legendresche F u n k t i o n e n z w e i t e r Art 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.

Legendresche Funktionen zweiter Art Reihenentwicklung für die Legendreschen Funktionen zweiter Art Integraldarstellung der Legendreschen Funktionen zweiter Art Zusammenhang zwischen den Legendreschen Funktionen erster und zweiter Art Rekursionsformeln für die Legendreschen Funktionen zweiter Art Bestimmung des Polynomrestes der Legendreschen Funktionen zweiter Art . Zugeordnete Legendresche Funktionen zweiter Art Näherungsweise Berechnung bestimmter Integrale Fehlerabschätzung

32. 33. 34. 35. 36. 37.

Laplacesche Kugelfunktionen Additionstheorem Integraleigenschalten der Laplaceschen Kugelfunktionen Erste Randwertaufgabe für die Kugel Zweite Randwertaufgabe für die Kugel Dritte Randwertaufgabe für die Kugel

161 163 165 166 167 167 169 170 172

e) K u g e l f l ä c h e n f u n k t i o n e n 174 176 178 179 180 181

VI. Abschnitt. Lam&che Funktionen 1. Elliptische Koordinaten 2. Konfokale Mittelpunktsflächen zweiter Ordnung 3. Lam6sche Funktionen 4. Lam6sche Funktionen erster Art 5. Lam6sche Funktionen zweiter Art 6. Lam6sche Funktionen dritter Art 7. Lamesche Funktionen vierter Art 8. Lamesche Differentialgleichung 9. Lam6sche Funktionen zweiter Gattung 10. Zusammenhang mit den Kugelfunktionen 11. Abgeplattetes Drehellipsoid 12. Verlängertes Drehellipsoid 13. Anzahl der linear unabhängigen Lameschen Funktionen 14. Einfachheit der Nullstellen 15. Realität der Nullstellen 16. Integraleigenschaften 17. Reihenentwicklungen 18. Erste Randwertaufgabe für das Ellipsoid 19. Potential des Ellipsoids Namen- und Sachverzeichnis

182 184 185 187 188 190 191 192 193 194 196 198 200 201 203 205 207 208 210 214

9

Einleitung 1. Reihenentwicklung. Annäherung durch Polynome. Die Reihenentwicklung einer Funktion einer reellen Veränderlichen f(x) in einem bestimmten Intervall führt zu folgender Frage: Gegeben sei eine Folge von Funktionen der Veränderlichen χ • • ·> χ der Fall. Es folgt hiernach, wenn wir η > χ wählen, xn

+l

wo 0 < # < 1 ist. Es ist aber praktisch unmöglich, für große χ hieraus den Wert e~x zu berechnen. Ist ζ. Β. χ = 1000, so ist das tausendste Glied ^Q3000 > 10432 nach (II, 6, 10). Die theoretische Konvergenz der Reihe nützt hier für die praktische Berechnung gar nichts. Gerade umgekehrt liegen die Verhältnisse bei der Reihe

°° 71= 0

nl (—1)" — . a

"

nl

Sie divergiert, weil lim — = + oo ist. (Da nämlich die Reihe für e~x Μ -f oo £ Xn konvergiert, ist lim — = 0.) Hat man aber für eine Funktion f (x) die „ - + oo n l Entwicklung n mI (1)

/ ( * ) = 2 ( - ! ) " -x ; ; ' + * . ( * ) m=0

Rn(x)

=

( - i r ^ i ^ i

(0 0,997 und die Summe ihrem ' °° 1 absoluten Betrag nach kleiner als Σ —3 < 0,203. Aber auch der Zähler ist B=2 n positiv. Um das einzusehen, gehen wir von der Ungleichung log 2 · cos 4 π ε i6

™ log η

aus, deren Richtigkeit wir nachher gleich beweisen werden. Aus ihr folgt , „ , ~ lnra ™ lnw ln2-cos47T8 > 2 7~Ti > Σ Γ"\5ϊ

cos

in 7t

\ 2ηττε)

" ( τ Γ und daraus die Behauptung. Die verwendete Ungleichung kann man so beweisen: log 2-cos 47tε > 0,01886 wegen 0 < : ε < Ξ 16 ferner ist J J ^ + ^ „•f3 η n* 13 wenn η wächst und 3 ist.

$

ηίΐ3

\ < 0,01119, weil ^ «3 η

abnimmt,

4. F ( i , k) = Σ Ι " 1 ? 2" < 0 für alle reellen wt=i (2 «Ο * 5. Β ζ ( χ ) * (

1 _

J =

0,2113

Δ

+ ^

hat

•••'Bi{x)

zwischen 0 und J die Nullstelle =

^ ' r 2

+

i-wo[m

s^»

1

|2= ^™

1 1

= 0,2403 . . . (man erhält sie durch die ' 4 |/30 Substitution a; = ω + £ ; dabei ist ξ2 < ξι und 0 < £ — ξ4 < ^ .

die Nullstelle f , = J —

22

(— l) f c _ 1 F (x, k) für alle positiven Nun beachten wir, daß B2k (χ) = 02ft _1—^ Α 7t ganzzahligen k ist. Zufolge 2., 3. und 5. wachsen daher die zwischen 0 und £ gelegenen Nullstellen von B2k (x) stetig mit wachsendem k für k^z 2. Weil sie \ wegen 4. nicht überschreiten können, haben sie zufolge 1. den Grenzwert \ für k -*• + oo. Damit ist der Satz bewiesen. » 1 Bei dem Beweis wurden Teilsummen der Reihe Ύ — gebraucht. Um n=i n3 diese Summe zu berechnen, hat man ihre Reste abzuschätzen. Es ist oo J κ—ι J = Σ ~k Σ —j, + RN-1 > 1=

also

° ° 1 1 Σ η" η=Λτ Ν"

00 1 1 1 1 ,o -\T\k + Ν /ο Λ T\k + ·•· = -τητ:τ (2 N)k (3 Ν)" Ν* 1 η" Σ ~ϊ >

/ °° ι \η=ι nk

oder daher

Ν—ι ι\ „"ti «V

» 1 „=1 η*

2f-l Ι oo 1 Σ ι kΧ ^ - ' - ΐ ) 2" 4 = «~1 n η= 1 jy—ι J Ρ

η=1 W JV»-1 — 1

Mit Hilfe dieser Abschätzungen ergibt sich Σ ηΛ3 = 1,20205690 η=ι 4. Berechnung der Bernoullischen Polynome. Es möge hier eine Formel für die Bernoullischen Polynome angegeben werden, deren Richtigkeit leicht durch den Schluß von η auf η + 1 einzusehen ist, nämlich Bu(x) = ±j(x + B)n. n! Dabei ist die Potenz symbolisch zu verstehen, d. h. man hat sie nach dem binomischen Lehrsatz auszurechnen und dann Bk durch die Bernoullische Zahl Bk zu ersetzen. Die Formel ist richtig, denn sie stimmt für η = 0,1. Ferner ist die Beziehung (2, 2) erfüllt und die Integrationskonstante richtig jß gewählt, denn B„(0) = —f in Übereinstimmung mit (2, 4). Aus (1) folgt auch (1)

eine Rekursionsformel für die Bernoullischen Zahlen. Es ist nämlich für η ^ 2 wegen £„(1) — £„(0) = 0 (2)

(5 + l ) " - 5 " = 0 . 23

Aus dieser Formel (2) folgern wir (3) e(B + l ) t _ e B l =

t

.

Diese Gleichung ist so zu verstehen, daß die Potenz von e in die bekannte Potenzreihe entwickelt und hierauf immer Bk durch Bk ersetzt wird. Nun ist e ( B + 1 ) t = eBt-el. Denn die Beziehung ist richtig, wenn Β als Unbestimmte vorausgesetzt wird. Ordnet man dann beide Seiten der Gleichung nach Potenzen von B, so sind die Koeffizienten gleich hoher Potenzen von Β einander gleich und daher besteht die Beziehung auch, wenn Bk durch Bk ersetzt wird. Wir können also schreiben eBt(ei — 1)= t, oder wenn wir noch mit ext multiplizieren und die eben gemachte Überlegung wiederholen, = text> e(B + *)t(ei_ daher nach (1) nl

e

n =o

—1

Man g e w i n n t also die B e r n o u l l i s c h e n P o l y n o m e als K o e f f i z i e n t e n der P o t e n z e n von t in der E n t w i c k l u n g fpX t °° ^ S U * ) ? . ν ί η—0 Die singulären Stellen dieser Funktion sind die Nullstellen des Nenners, t = 0 ausgeschlossen, also t = 2 ηπϊ(η — . . . ) . Die Reihe konvergiert daher für 11 | < 2 π, und zwar gleichmäßig für jeden Wert von χ in einem beliebig großen Kreis. Für χ = 0 ergeben sich die Bernoullischen Zahlen nach (2, 4) als Koeffizienten der Potenzen von t in der Reihenentwicklung t

00

tn

5. Eulersche Summenformel. / (x) sei samt allen auftretenden Ableitungen stetig in den Intervallen, die im folgenden betrachtet werden. Durch teilweise Integration erhält man gemäß Ziffer 2 und 3 für k— 0, 1, 2, . . . i+1 fc+1 k+1 f f(x)dx = j f(x)B'1(x)dx = i [ f ( k ) + f(k + 1)]-f B1(x)f'(x)dx, k k lc daher m m—1 m (1) J f ( x ) d x = ^[f(0) +/(«)]+ Σ f{k) - f B1(x)f'(x)dx, 0 0 ferner m m (2) / B1(x)f'(x)dx = [B2(x)f'(x)%-f B2(x)f"(x)dx 0 0 m = Bt (0) [/' (m) - /' (0)] - [2?3 (x) f" (*)£ + /BS (x) /"' (x) d χ ο = Σ^(0)[/!"-" le=1 24

(m) - /

H/(0)+/(»)] C0)3 +

(2w

D +2)!/(2"+2>

m)

(0 ist, erhalten wir m wii>+1 2 W = —TT + i m * i=l f-Γ ί

Β i!

mV~x

Β +TTP(p ΊΙ

(P ~ 2 ) m P " 3 + · · · ·

Die Reihe bricht mit der ersten oder zweiten Potenz von m ab. Wegen B1 = — £ und B3 = Bs= · · · = 0 ist daher m-1 t=ι

ι

m2>+i +

(P +

W + (P *

W"1

+

ρ + 1

oder nach der Bezeichnung von (4, 1) 1» + 2" Η

1

+ (m — l)p = ——[(» φ + 1 Ρ

+ B f

+ l

—

Bp+1].

6. Abschätzung des Restgliedes. H a t fi2k) (x) im I n t e r v a l l 0 0 und x—v+oo f o r t w ä h r e n d zu- o d e r a b n e h m e n d n a c h N u l l s t r e b e n . Jede der Ableitungen hat also ein festes Zeichen, insbesondere haben Ableitungen, deren Ordnungen sich um zwei unterscheiden, dasselbe Zeichen. Weil B2n+l (x) nach Ziffer 2 für ganzzahliges k spiegelbildlich zum Punkt (k-\-\, 0) ist, gilt *+i *+i | / k

B2

n+

! (X) / »+1> (X) d X | > | /

4+i

l+l

ß2

(χ) μ* -+1) (X) d X |,

n+1

n+i ( z ) / < 2 n + 1 ) ( x ) dx hat daher wegen der Periodizität von i

Bin+i(x)

dasselbe Zeichen wie B2n+1(x) fi2n+1) (x) im Intervall 0 somit auch oo * + l R n , weil Rn= Σ J « + ι ( χ ) / ( 2 n + 1 ) ( x ) dx ist. Ebenso sieht man daraus, Jfc-0 k daß Rn 4? 0 ist. Weil aber das Zeichen von Bin+i (x) in dem genannten Intervall mit η abwechselt, das von / (2n+1) (x) dagegen nicht, wechseln auch die Zeichen der Restglieder mit n. Nun kann man ebenso schließen wie früher und erhält dasselbe Ergebnis. T. Eulersche Konstante. Wir setzen in der Formel (5, 4) f(x) = — — und ®+ 1 erhalten (x) dx

daher 00

m

(2)

1

lim m —• + oo

Γ B,(x)

dx

also 1

f

Bl{x)dx

Es ist ( 7 > 0 , denn nach (2) ist 0=

lim l + i m ->· + oo

+

ifc+l

Ix)' 26

···

+ — - l n ( » m

+

l)

+

lim In m ^ m + oo

und jedes Glied dieser Summe ist positiv. C b e z e i c h n e t man als E u l e r sche 1 ) K o n s t a n t e . Um C bequem berechnen zu können, formen wir das Integral in (2) um. Es ist fc+l fc+i

r B1(x)dx_ r f χ—k— \ dx 2 J (x + l) ~~ J k {x + l) 2 k +1

*+l

χ d+ χ 1 = In

k+2 i + 1

dx (x + 1)2

(i +

l)(*+2) 2 (k + 2)

somit 0=4

1

+k=ι 2 Jfe + 1

4

\

1 2(k + l)(k + 2)

1

k+ 1/

Ferner ist = vf_J — ) = U ++11 _ kk ++ 2,2/ 2' i t i (k + 1) 1(k++ 2)2) Ä \k CO

ϊ Τ Ι

+ 1 η

hiermit, wenn wir Sn =

(

1

- ϊ ΐ ι

=

-

Σ

1

setzen,

2). 0=l-i(Ä2-l)-13CSs-l) Auf 10 Dezimalstellen ergibt sich (7 = 0,5772156649. Wir formen jetzt noch das Integral in (3) durch teilweise Integration um. Es ist

σο

(4)

(χ) dx f h J (x (z + 1)2

BA0) | o, f Bt(x)dx ( » + l) 2 ^ ' J + l)3 00

BA 0) + 31 Γ Β * ( χ ) ά χ - J (tn + l) 2 (s + 1)« m £12k(m

B2k + -Rn. + 1)»*

») L. E u l e r Petrop. Comm. 7-(1734/35 [40]), S. 156 oder Werke (1) 14, S. 94. 2 ) L. E u l e r , Petrop. Acta 5 (1781 [85]), S. 49 oder Werke (1) 15, S. 573.

27

dabei ist

oo Ρ = (2n)\] ,ο Μ Γ Rn »»

oo

Βζ»{χ)Λχ (8 + 1 ) , . +

g 3;)dig i_- (/g9 „» +, mη , j Γ T »^»++l ij (i l H T· nt

Da / (x) die Voraussetzungen erfüllt, die wir bei der Abschätzung von i?„ in Ziffer 6 gemacht haben, können wir dieselben Überlegungen anstellen und erhalten i?„ = - — _ ( O < 0 < 1 ) . Die R e i h e (4) i s t ein (2 w + 2) (m + 1) n + B e i s p i e l für eine a s y m p t o t i s c h e R e i h e . Denn lim

\B2k\ ——'——

=

.. hm

(2 4 — 1)1

= 4- oo

nach (2, 5) und (II, 6,10). Die Reihe divergiert somit. Ferner ist lim (m + l) 2 m-+ + oo = 0 für alle festen n, d. h. (4) ist eine asymptotische Reihe (x in Ziffer 1 ist hier durch ( m + l) 2 zu ersetzen). 8. Näherungsweise Berechnung bestimmter Integrale. f (x) sei samt allen auftretenden Ableitungen stetig in den Intervallen, die im folgenden beb trachtet werden. Wir suchen f f(x)dx dadurch näherungsweise zu berechnen, a daß wir dieses Integral durch eine homogene lineare Funktion derjenigen Werte ersetzen, welche die Funktion f (x) an passend gewählten, zwischen a und b gelegenen Stellen annimmt. Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit statt des Intervalls (a, b) das Intervall (0,1) zugrunde legen. Setzen wir nämlich x= a + (b — a) t, so entspricht jedem Wert von t im Intervall 0 t 1 umkehrbar eindeutig ein Wert von χ im Intervall a^Lx^h. Ferner seien cx < c2 < · · · < cm zwischen 0 und 1 gelegen, wobei gegebenenfalls c1 mit 0 und cm mit 1 zu1 sammenfallen kann. Wir wollen also f f(x)dx angenähert durch ο m 2 Αμ f (ΰμ) ersetzen, daher 1

J ο

f(x)dx=

rn Σ

^

schreiben. Die βμ und Αμ denken wir uns so gewählt, daß Rn = 0 ist, wenn / (x) ein Polynom in χ ist, das den w-ten Grad nicht erreicht. Wenn wir / (x) nach dem Taylorschen Satz entwickeln, erhalten wir (2)

f(x) = f(0) + xf

X2 a;»—1 (0) + _ /" (0) + · · · + , ^ / < - » (0) zi (n — 1)! X V

28

0

daher, wenn wir diese Formel auf / / (i) dt statt auf / (x) anwenden und im ο letzten Glied teilweise integrieren, λ·2

X

/

ο

f (t) dt =

xf

(0) +

O;3 /' (0) + -

γΤί /" (0)+ .. · + -

/ < - « (0)

χ +

—, f / ( » > ( t ) ( x - t ) » d t . nl J

ο

Soll En = 0 sein, sobald / (x) irgendein Polynom ist, das den w-ten Grad nicht erreicht, so muß nach (1) /(0) + £ / ' ( 0 ) + · · ·

=

Σ

*=1

(0)

n!

/ ( 0 ) + βμ /' (0) Η- · · · +

Αμ

(w — 1 ) !

/(»-»> (0)

sein. Da diese Gleichung für alle solchen Polynome gelten soll und / ( 0 ) , /' (0)» · · ·> τ — / ( " (n — 1)1

- 1 >

(0) die Koeffizienten dieser Polynome sind, so muß

(4)

2cV μ=1

l A

1 » = T

(*=l,2,...,n)

k

sein. Wie man m, die ομ und Αμ im besonderen wählen wird, vgl. ζ. Β. (V, 20). Es ergibt sich jetzt für eine beliebige Funktion f(x) aus (1)—(4) 1 nlJ

ι Γ

f

i n )

> m c 2 Αμ / 0

n

(x)dx.

Die Formel (6) gestattet uns nun ψη(χ) zu berechnen. ψη(χ) und seine Ableitung sind nämlich abteilungsweise stetige Funktionen, die an den Stellen .endliche Unstetigkeitssprünge haben können; y>n(x) läßt sich daher nach

29

den Sätzen der Einleitung im Intervall 0 sS χ ^ 1 in eine Fouriersche Reihe entwickeln: ψη (χ)

=

a "ττ + 2 (ak 2 h=i

cos

^ ^ 7t x + bk sin 2 k π χ),

wobei = 2 /

cos 2 lent dt

\

(7)

(* =

bk = 2 fy>„(t) sin 2 ο

0,1,2,...)

kntdt

ist. Die Koeffizienten dieser Reihe lassen sich aber aus den Fomieln (6) und (7) leicht berechnen, wenn man bedenkt, daß ψ„(χ) von /(x) nicht abhängt. Setzt man nämlich f{x)= xn in (6), so ergibt sich 1 / 1 Setzt man dagegen f{x) man 1 I = (— Ι ) " - 1 h ) eft Ϊ * = (-1)» 0fcJ

2 /C Je)

einmal gleich cos 2 kxx, 2

a

v

m cos 2 Αμ 2 sin μ=χ

m

2 Λ ,4=1

dann sin 2 knx,

für gerades n=

so erhält

2 φ und

sin

( - 2 * » « „ ) für ungerades η = 2 ρ + 1 , dacos

her mit Hilfe von (2, 1), wenn wir das Glied

a

um die Abhängigkeit von

η anzudeuten, mit ot„ bezeichnen, m

(8)

V« (*) = 1

daher

t für 0 ^ t je-'t*dt>j* t»- (l — -^J dt = n Jsn ο ο ο also schließlich nach (1) nl (3) Γ(ζ) > η» ——-. ζ (ζ + 1 ) · · · ( ζ + η)

(l —

s)*-1ds,

Aus (2) und (3) folgern wir

(5) hiermit

Γ (ζ) =

Diese Formel verwendete Aus (5) folgern wir

lim -f- 00 2 Gauß 1 )

Γ (ζ) = lim n-. + coz(z

1) · · · ( Z + ») ητ nl zur Definition der Gammafunktion. ( Z

+

^ + l ) , . . . (2 + i l - l )

also nach (I, 7, 2) ι v)

«=l\

W /

η-» + oo

2 — l\1 -*=i e n . »=i η W e i e r s t r a ß 2 ) zeigte, daß dieses Produkt für beschränkte ζ gleichmäßig konvergiert. Damit ist die Gültigkeit der Gleichung (6) nach den Regeln der analytischen Fortsetzung für alle ζ gesichert. Weil (6) nur eine Umformung v

von (5) ist, gilt daher auch (5) für alle z, die Nullstellen von ausgenommen. Zum Beweis vgl. Ziffer 7.

^

1 (2)

natürlich

!) C. F. Gauß, Gott. Comm. 2 (1812) oder Werke 3, S. 145. K. W e i e r s t r a ß , J . f. M. 51 (1856) oder Werke 1, S. 153.

s)

35

4. Funktionalgleichungen. Wenn wir in (2, 1) teilweise integrieren, erhalten wir Γ (z)

=

00

-ι ρ—'

t%

—

ο

1

-]

C

1 = — Γ(ζ ζ

e-trdt

ζ J

+

1),

also (1)

Γ ( ζ + 1) =

ζΓ(ζ)

(erste Funktionalgleichung der Gammafunktion). Nach (2, 1) ist ferner

(2)

Γ ( 1 ) = 1,

daher wegen (1) für alle positiven ganzzahligen η (3)

Γ(» +

1)=η!.

Den Formeln (3, 6) und (1, 3) entnehmen wir für 0 < ζ < 1 1

°°

•=

1

Γ ( 1 - ζ )

1

/

Π

(l -

—) e " \

„=i V

_ j j Λ

η

ζ2 \ _

(1+2) Γ ( 1 - 2 )

Γ

_\

sin 7t ζ

η* Ι

ηζ

oder nach (1) (4)

Γ ( ζ ) Γ ( 1 - ζ )

π

sin Ttz

Das ist die zweite Funktionalgleichung, der die Gammafunktion genügt; sie liefert für ζ = \ die schon E u l e r bekannte Formel (5)

Γ(1) = γη.

Das Vorzeichen der Wurzel muß nach (2, 1) positiv sein. Die Gammafunktion genügt noch einer dritten Funktionalgleichung, die von G a u ß 1 ) herrührt. Wir gelangen zu ihr auf folgende Weise: E s sei m eine positive ganze Zahl und G{z)

= r ( z ) r [ z

+

± - \ . . r l z ml \

+

m

m

X

Nach (3, 5) ist für positive 2 1

G(z)

=

n^

Hm

+ aa

—^

mz+ÜLzl,

η

z

2

V

m —1\ / + — m Γ -l (« + ! ) \

C. F. Gauß, Werke 3, S. 149. 36

2 (ζ + (n\)m

i-

m

, 1

1\ / m— 1 + — · · · * + » + ml \ m

=

l u n

η ->• +

mz (mz + 1) · · · (mz + mn + m — 1) ΪΓΊ oo mzι +m • 1 ~

η

Γ {mz) —

(»i!)m m f f l , " + 1 1

2

(mn)mz (mn)! (mz + 1) · · ·(mz + mn)'

lim n^ + 00mz

daher

r(mz) v

(6)

' =

m

m z

( ) 2

(mn)\(mz + mn-\- 1) · · · (mz + mn + m — 1)

lim η + co

—

—

-

m—1

η

(nl)m

2

—

!

-

mm{n+1)

m —1 mmz

=

l ii m • + oo

i( m / i rti/)t\i i η /t 2 —r— —

/I

l— im

m *z, + - ρ lχ\\

m-I1

/

mz +

erhalten

nach

··

[m

m — 1

= Kmmz,

wo

Κ —

U m

m +1 (m« — 1)1 η 2 . lim —r ist. „-. + CO (nl)mmmn zu bestimmen,

Κ

> A m

m

also g e m ä ß

setzen

wir

z =

—

und

m

>w/

\

m/

^

m—1

Produkt

2

m? =

TT

gewinnen

wir

auf

^ sin —

2 Es

ist

somit

m-ten

Einheitswurzeln

m —1 Σ ζ"*

daher

für

ζ =

=

=

. . . + 2

die

+

Gleichung

1 =

0

kni (k —

m

1,

m-ll m—\/ Π

X I *=1

i

2,

. . .,

m—

l ) z u

Lösungen.

2 kxi

[ζ —

e ™

2Jcai\ 2i»i\ «i » i m-l m^1 m-1 m-1 , _kxi kxi\ — e m ) = em i = i Π \e m — em J i=l (to — l ) j r i m - 1

=

Art:

1 m in-1 —1 j/

m

e

.

m

folgende

zm-l -(_ zm-2 +

die

m

\

(4)

7Fm-1t=Tx

hat

(2)

_ r ( J L ) r ( ± ) . . . W i ^ i Vwi/ \m/ \ m

K

Das

v

( -

2*)—» β

ä

-

Π

»Jι

,

m—1

sin —

m

=

2

m _ 1

Π

£Λ

7 sin

— .

m • 37

hiernach TT sin — = . . Das Vorzeichen der r und Κ = m iti 2m~1 l/m(2jr)m~l Wurzel muß nach (7) und (2, 1) positiv sein. (6) wird hiermit (8)

Γ(ζ)

=(2π)~*~ηι*-—Γ(ηιζ).

Die Gleichung war für m—2 schon L e g e n d r e bekannt. Man erhält dafür aus (5) und (8) (9)

2**~1Γ(ζ)Γ(ζ

+ \) =

Γ{\)Γ(2ζ).

Die Funktionalgleichungen (1), (4), (8), (9) gelten gemäß der analytischen Fortsetzung für alle Werte von z, für die jeweils beide Seiten analytische Funktionen von ζ sind. Aus (4) können wir schließen, d a ß Γ(ζ) k e i n e N u l l s t e l l e n h a t . Wäre nämlich α eine Nullstelle, so müßte 1 — α nach (4) Pol, daher 1 — α = — η (w = 0, 1, 2, . . .) nach Ziffer 1, also a = 1 + w sein. Das ist aber nach (3) unmöglich.

t i s t s o m i t e i n e g a n z e t r a n s z e n d e n t e F u n k t i o n von ζ Γ ( ζ) m i t den e i n f a c h e n N u l l s t e l l e n 0, —1, —2, . . . .

5. IntegraldarstelluDgen. Für die Definition von Γ(ζ) haben wir selbst eine Integraldarstellung gewählt; eine andere, im wesentlichen auf H a n k e l 1 ) zurückgehende erhalten wir in folgender Weise: Wir betrachten das Integral f ezr~z dt, erstreckt über den Integrationsweg C' der Abb. 7. Für τ~ζ soll der Hauptwert genommen werden, d . h . l n r sei reell für positive r , ferner sei ~ 5R(z) < 1. Mit den Zerlegungen τ = re*·ν und z = χ -\-iy hat man | τ~ζ | = r~x ev?, daher ist | e r r~ z | Irl® Abb ' in einer hinreichend kleinen Umgebung von τ = 0 für festes ζ beschränkt, somit kann man den Integrationsweg wegen χ < 1 um den Nullpunkt der r-Ebene zusammenziehen (L. S. 230). Vor der Umkreisung des Nullpunktes ist t = 0 ist; infolgedessen kann der kleine Kreis um den Nullpunkt auf diesen zusammengezogen werden (L. S. 230). Man hat also / e-^u-'du = (—e2*ia + 1) / e~au~zdu . -C G 39

Dabei bedeutet G den vom Nullpunkt ins Unendliche durchlaufenen Halbstrahl, der mit der positiven reellen Achse der ω-Ebene den Winkel α einschließt. Es ist demnach 1 e"iz — e~niz C u -=-— = —: e~ u~z du, Γ(ζ) 2 7ti J v ' β hiermit gemäß (4, 4) Γ( 1 — ζ) = / Q

e~uu-zdu

oder, wenn wir ζ durch 1 — ζ ersetzen, (3)

Γ(ζ)

= / e-^u^du,

wobei jetzt 3 ΐ ( ζ ) > 0 ist.

G

6. Asymptotische Entwicklung. In die Eulersche Summenformel (I, 5, 4) setzen wir /(i) = In (z + i) ein. Dann erhält man für ζ > 0 η η Σ hi ( z + k ) = f l n ( z + i ) « i < + i [ l n ( z + i i ) + l n z ] + f *=° ο 61 = (z + » + i ) In (z + n) - { z -

z +

t

η

η+ f ^ ^ . J ζ -+-1 ο In dieser Gleichung setzen wir ζ = 1, ziehen die so erhaltene Gleichung von der vorigen ab und subtrahieren noch von beiden Seiten (z — 1) In n. Dann erhält man — T — (, z — lI )Ml n w 1+ «

z

Jc=ο

+

k

= ( z - l ) ln(l + — ) + (l + » + \ η/

oder

In ζ -

η Γ B1 (t) dt + J T + t 0

η Γ

J

0

i)ln(l+^=i:)-(a-i)lnz \ η - f 1/ (t) dt t

ι+

.. . z z + l ) . . . ( 2 + ») hm In— \ n~t+1 n^ + co (» + !)!

0

0

daher nach (3, 5) oo

40

0

oo

0

Nach (I, 2) und (I, 3) ist £ 2 (0) = Β,(η) = (0

für z > 0 ist,

wechselt dieGammafunkt i o n e b e n f a l l s n a c h (4, 1) in den I n t e r v a l l e n ( — 1,0), ( - 2 , - 1 ) , ( - 3 , - 2 ) fortwährend das Zeichen, u n d zwar i s t sie im e r s t e n n e g a t i v , im z w e i t e n pos i t i v usw., h a t somit in i h n e n a b w e c h selnd Abb. 11 kleinste oder größte W e r t e , an der p o s i t i v e n N u l l s t e l l e v o n Γ'(χ) e i n e n k l e i n s t e n W e r t . Für diese größten und kleinsten Werte ergibt sich folgende Tafel 2 ): ») Ch. H e r m i t e , J . f. M. 91 (1881), S. 336. *) Die Werte sind entnommen aus K. H a y a s h i , Fünfstellige Funktionentafeln, Berlin 1930, S. 155.

44

Γ(χ)

+ + — +

+ 1,462 — 0,504 — 1,573 — 2,611

— 3,635

Γ(χ)

0,88560 3,54464 2,30241 0,88814 0,24513

+ + — +

1,129 0,283 0,435 1,126 4,080

Den Verlauf der Gammafunktionen im Reellen zeigt Abb. 11. 8. Zielwerte. Wenn eine Funktion von ζ einem Grenzwert zustrebt, falls sich ζ auf einer bestimmten stetigen Kurve dem Punkte oo unbegrenzt nähert, so nennt man diesen Grenzwert einen Z i e l w e r t der Funktion. Wir wollen die Zielwerte der Gammafunktion bestimmen, wenn ζ auf den in Ziffer 6 erwähnten Wegen ins Unendliche strebt. Wir setzen: (1)

ζ = χ + iy

= |ζ |e Γ { ζ )

= w = | w | e*v

und erhalten, wenn wir (6, 8) in den reellen und imaginären Teil spalten, (2)

In | w | = (| ζ | cos φ — J ) In | ζ | — | ζ | φ sin φ — | ζ | cos φ + η

mit

lim η = \ In (2 π) Z -*• oo

und (3)

rp = | ζ | In | ζ | sin φ + (| ζ | cos φ — \)φ

mit

— | ζ | sin φ + r

lim χ — 0 .

Z-*· oo

Aus (2) folgt mit ε > 0 auf den erwähnten Wegen (4)

lim Γ(ζ) = oo Z-* 00

für

lim Γ{ζ) = 0

für

|φ J

ε, &

Ferner liefert (3) lim ψ = + oo

für

lim ψ = — oo

für — (π — ε) ψ2)+Κ(ψ2>

2 darstellen lassen, weil diese beiden als Orthogonalfunktionen linear unabhängig sind. Dann ließe sich Qi{x)i · · · ! welche man die z u r B e l e g u n g s f u n k t i o n p(x) g e h ö r i g e n P o l y n o m e nennt. Sie genügen bei passender Normierung den Beziehungen b

f P(x) Qm{x) Qn(x)dx ·a>

m =t= W I 0 1 für m = n. l

=

3. Besseische Ungleichung. Vollständigkeitsbeziehung. Konvergenz im Mittel. Wir nehmen jetzt an, die Folge (1, 1) sei orthogonalisiert und normiert, d. h. es gelten die Beziehungen ( 1 , 2 ) . f(x) sei eine im selben Intervall definierte stetige Funktion. Wir wollen für sie einen Näherungsausdruck von der Ger

stalt

γη ψη(χ) mit festem r derart finden, daß die Annäherung im Sinn n=ι der Methode der kleinsten Quadrate ein möglichst kleines mittleres Fehlerb quadrat Μ = J [f(x) — "Σ"γηψη{χ)Ύ^χ liefert. ä

n=l

Man hat für die yn die Zahlen c„ = (/, φη) zu setzen. Aus der Umformung (1)

Μ = Jf*(x)dx-2 a = ff*(x) a

Σϊηθη+ΣυΙ n=1

n=1

d x - i d »=1

+

n=1

Σ(7η-οη)2

folgt, daß tatsächlich Μ für γη = c„ seinen kleinsten Wert annimmt. Man nennt die Zahlen γ„ die ( F o u r i e r s c h e n ) E n t w i c k l u n g s k o e f f i z i e n t e n o d e r K o m p o n e n t e n v o n f(x) b e z ü g l i c h d e s O r t h o g o n a l s y s t e m s . Die gewöhnlichen Fourierschen Koeffizienten erhält man in dem besonderen Falle, daß die Folge (2, 1) als Orthogonalsystem zugrunde liegt. Aus der Gleichung (1) folgt, weil Μ ^>0 ist, für γ„ = c„ die Beziehung r 2c2n^Jf2(x)(ix. n=1 a Da die rechte Seite dieser Ungleichung von r nicht abhängt, die Ungleichung daher für jeden beliebigen Wert von r gilt, konvergiert die Reihe man erhält die Beziehung (2)

r n=1

a

oo

n= ι

und

P(x)dx.

Sie wird die B e s s e i s c h e U n g l e i c h u n g 1 ) genannt. Wenn es möglich ist, für jede stetige Funktion das kleinste mittlere Fehlerquadrat Jr [f(x) — Σ cn ψη(χ)Ύ d x durch passende Wahl von r unter jede α η—1 !) F. W. B e s s e l , Astr. Naohr. 6 (1828), S. 333—348.

52

noch so kleine positive Zahl herunterzudrücken, oder mit anderen Worten, jede τ stetige Funktion durch eine Linearkombination Σ ° " Φ η ( χ ) m i t genügend vielen n= 1 Gliedern im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate („im M i t t e l " , wie man sagt) beliebig genau darzustellen, so nennt man die Folge ( 1 , 1 ) ein vollständiges, normiertes, orthogonales Funktionensystem. Weil in diesem Fall Μ für genügend großes r und y„ = c„ beliebig klein gemacht werden kann, gilt statt (2), und zwar nur in diesem Fall, die Gleichung oo Σ

und, da auch f(x) + g(x) stetig ist und die Entwicklungskoeffizienten cn + dn = (/+ 9> ψη) hat, ebenso J(c„ n=l

+ 4)2

= (/ + ?, f + g).

Aus der letzten Gleichung aber folgt 00 (f + g, f + g) = (/> /) + 2(/, g) + (g, g) = Σ(°1 n=1 daher

+

4),

2

oo Σ^η={ί,9). »= 1

(4)

Die Gleichungen (3) und (4) sind infolgedessen gleichwertig, denn aus (4) folgt auch umgekehrt für f(x) = g(x) wieder (3). Wir sehen also, daß d i e A u s s a g e n 1. V o l l s t ä n d i g k e i t d e s O r t h o g o n a l s y s t e m s ψχ(χ), r lim f[/(x) r-^ + οοα

-Σ°·Ψ»(χ)? dx*

n2y = 0

XTx>

Für & =

Je TT Je 7Z (k = 0, 1, 2 , . . .·, ri), d. h. χ = cos , nimmt T„(x) η η

die

(— 1)* Werte _ 1 an. Wiche nun ein Polynom Qn (x) = xn + axxn~1 -f-· · · · + an mit reellen Koeffizienten im Intervall — 1 ι

, _i — J y ® ä,

daher schließlich die Differentialgleichung (1)

dx2

j ι

χ dx

j 1 — ( 2 « + l) 2 y = o. 2 4 x

4. Besseische Differentialgleichung. Wir sehen, daß wir in allen diesen Fällen (1, 1), (2, 5), (3, 1) auf eine Differentialgleichung der Gestalt (1)

d2w , 1 dw dz2" 7 ¥

, / \

v2\ 7 / m

=

gestoßen sind. Wir wollen diese Differentialgleichung, die man B e s s e i s c h e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g zu nennen pflegt, gleich ganz allgemein untersuchen, denken uns also w als Funktion der komplexen Veränderlichen ζ 66

und ν als komplexe Konstante. Wir setzen die Lösung in Form einer Potenzreihe an 10 =

-f

c0z·

+ c2za+2 Η

c1za+1

und vergleichen die Koeffizienten der niedrigsten Potenz von z, d. h. von z*~2. Man erhält α (α — 1) + α — ν2 = 0

oder

α = ± ν.

Wir entscheiden uns für einen der beiden Werte und sehen, daß der Faktor z" aus allen Gliedern der Reihe heraustritt. Wir können daher, indem wir mit H. H a n k e l 1 ) auf den zweiten Faktor die L a p l a c e s c h e U m f o r m u n g anwenden, die Lösung in der Gestalt b

w = z"/e i81i f(t) dt a

ansetzen. Damit erhalten wir b dw dz

b

= vz'~1 j eizt

f(t)

dt

+

iz' J eisttf{t)

a

dz8

a

b

•w

dt,

b

= v(v — l) z'~2 jei5i

/({)

b

dt + 2ivz'~1jeizt

dt — z ' J e i l t t 2 f ( t ) dt.

tf(t)

Dann ist d2 w z2 - — + (LZ

ζ

dw

\- (z2 — V2) w

(Χ Ζ

b

b

=

z » + 2 / e i z t ( 1 — t2) /(«) dt + (2v + 1) iz>+1 Je^'t

=

— iv+^ie^i

a

a

(\ — t2) ί

/ (t) dt

{t)fa

b +

ΐζ'+ι

J

e « |(2r + 1)

tf («) -

£.[(t2

-

1)

/ («)]}

dt.

a

Um diesen Ausdruck zum Verschwinden zu bringen, wählen wir zuerst / (