Reihenentwicklungen in der mathematischen Physik [2., wesentl. umgearb. Aufl. Reprint 2020] 9783111507538, 9783111140377

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Reihenentwicklungen in der mathematischen Physik Von

Dr. Josef Lense o. 5. Professor der Technischen Hochschule München

Mit 4 8 Abbildungen

Zweite, wesentlich umgearbeitete Auflage

W a l t e r de G r u y t e r & Co. v o r m a l s O. J . G ö s c h e n ' s e h e V e t l a g s l i a n d l u n g J. O u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g - O e o r g Reimer — Karl J. T r ü b n e r — Veit & Comp.

Berlin

W 35

1947

Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten

Archiv-Nr. 12 0747 Satz und Druck: Dieterichsche Univ.- Buchdruckerei W. Fr. Kaestner in Oöttingen

Vorwort zur ersten Auflage. Ziel dieses Buches ist, die bei den wichtigsten Reihenentwicklungen der mathematischen Physik verwendeten Funktionen eingehender in ihren wesentlichen Eigenschaften zu behandeln, soweit die betreffenden Reihen nicht Potenz- oder Fouriersche Reihen sind. Es kommen also in erster Linie Bessel-, Kugel- und Lamésche Funktionen in Betracht, daneben auch wegen ihrer Anwendungen in der Wellenmechanik Laguerresche und Hermitesche Funktionen. Alle schließen sich wegen ihrer Orthogonalitätseigenschaften unmittelbar an die Fourierschen Reihen an. Es gibt gewiß viele ausgezeichnete Darstellungen über jede einzelne dieser Funktionsklassen, doch sind sie gewöhnlich so umfangreich, daß sich der Leser nur mit großen Schwierigkeiten über die wesentlichen Eigenschaften der betreffenden Funktion ein Bild machen kann. Diese werden daher in den ersten vier Abschnitten des vorliegenden Buches ausführlich behandelt. Dabei habe ich mich mit Rücksicht auf die physikalischen Anwendungen immer auf das reelle Gebiet beschränkt, ausgenommen die Besseischen Funktionen. Während nämlich alle erwähnten Funktionen, die in der Physik verwendet werden, im wesentlichen Polynome, also in ihrem funktionentheoretischen Verhalten leicht zu übersehen sind, ist dies bei den Besseischen Funktionen nicht der Fall. Hier sind schon die einfachsten dieser Funktionen ganze transzendente Funktionen. Sie werden daher in vollster Allgemeinheit für komplexe Veränderliche und Zeiger behandelt, wodurch man gleich einen allgemeinen Überblick über ihr funktioneritheoretisches Verhalten gewinnt. Die für die Anwendung wichtigen Fälle ergeben sich dann durch Aussonderung. Die Darstellung schließt sich hauptsächlich an W a t s o n (vgl. S. 35), im ersten Abschnitt an C o u r a n t (vgl. S. 12) an. Warum nicht auch die Kugelfunktionen in ähnlicher Weise behandelt werden, hat darin seinen Grund, daß sie im wesentlichen hypergeometrische Funktionen sind und die Theorie dieser Funktionen nicht vorausgesetzt wird, während sich die für physikalische Anwendungen wichtigen Fälle reeller Veränderlicher und ganzzahliger positiver Zeiger leicht ohne eine derartige Theorie entwickeln lassen. Es wird daher auch nicht auf die Legendreschen Kugelfunktionen zweiter Art eingegangen. Ähnlich liegen die Verhältnisse bei den Laméschen Funktionen. Hier ist die Behandlung im Anschluß an H o b s o n (vgl. S. 98) und im Gegensatz zu P o i n c a r é (vgl. S. 133) so gehalten, daß die Kenntnis der elliptischen Funktionen entbehrt werden kann, doch mußte die Darstellung bei H o b s o n und P o i n c a r é in einigen Punkten vervollständigt werden, um volle Strenge zu erzielen. Der fünfte Abschnitt bringt das Wichtigste über asymptotische Reihen im Anschluß an K n o p p (vgl. S. 152), der sechste die wesentlichen Eigenschaften der Gammafunktion mit Rücksicht darauf, daß im zweiten Abschnitt verschiedene Eigenschaften dieser Funktion gebraucht werden, die in den ge-

VI

Vorwort. — Inhaltsverzeichnis.

Sätze sind durch gesperrten Druck hervorgehoben. Der Leser wird gebeten,, beim Gebrauch des Buches die Berichtigungen und Zusätze auf S. 221 zu beachten. An mathematischen Kenntnissen werden die Grundlehren der Funktionentheorie und Differentialgleichungen vorausgesetzt. Herr Dr. E. L e h r hat die Abbildungen für die Drucklegung gezeichnet und den Abschnitt über die B e s s e Ischen Funktionen im Manuskript gelesen, meine Frau die Reinschrift der neu zu schreibenden Teile des Buches besorgt und die Korrekturen mitgelesen. Ihnen beiden sei hier mein herzlicher Dank ausgesprochen. Wie ich erfahren habe, konnte das Buch in seiner ersten Auflage manchem theoretischen Physiker ein erwünschtes Hilfsmittel für seine Arbeiten sein. Möge diese freundliche Aufnahme auch der verbesserten und erweiterten zweiten Auflage beschieden sein.

Inhaltsverzeichnis. Einleitung 1. Reihenentwicklung. Annäherung durch Polynome . 2. Fouriersche Reihen. Orthogonalfunktionen . . . 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Seite 1 1 2

1. Abschnitt. Asymptotische Reihen. Asymptotische Reihen Bernoullische Polynome Nullstellen der Bernoullischen Polynome . . . Berechnung der Bernoullischen Polynome . . . Eulersche Summenformel Abschätzung des Restgliedes Eulersche Konstante Näherungsweise Berechnung bestimmter Integrale .

5 6 11 14 16 17 17 19

II. Abschnitt. Gammafnnktion. Produktdarstellung des Sinus Definition ProduktdarsteUungen . . Funktionalgleichungen . . Integraldarstellungen . . Asymptotische Entwicklung Nullstellen der Ableitung . Zielwerte Konforme Abbildung . . Betafunktion . . . .

22 24 26 27 30 31 34 36 37 40

III. Abschnitt. Orthogronalfunktionen. Definition. Normierung Orthogonalisierung Besseische Ungleichung. Vollständigkeitsbeziehung. Konvergenz im Mittel Laguerresche Funktionen Eigenschaften der Laguerreschen Funktionen Hermitesche Funktionen Eigenschaften der Hermiteschen Funktionen . Tschebyscheffsche Polynome Eigenschaften der Tschebyscheffschen Polynome

42 43 44 46 49 50 51 53 54

VI

Vorwort. — Inhaltsverzeichnis.

Sätze sind durch gesperrten Druck hervorgehoben. Der Leser wird gebeten,, beim Gebrauch des Buches die Berichtigungen und Zusätze auf S. 221 zu beachten. An mathematischen Kenntnissen werden die Grundlehren der Funktionentheorie und Differentialgleichungen vorausgesetzt. Herr Dr. E. L e h r hat die Abbildungen für die Drucklegung gezeichnet und den Abschnitt über die B e s s e Ischen Funktionen im Manuskript gelesen, meine Frau die Reinschrift der neu zu schreibenden Teile des Buches besorgt und die Korrekturen mitgelesen. Ihnen beiden sei hier mein herzlicher Dank ausgesprochen. Wie ich erfahren habe, konnte das Buch in seiner ersten Auflage manchem theoretischen Physiker ein erwünschtes Hilfsmittel für seine Arbeiten sein. Möge diese freundliche Aufnahme auch der verbesserten und erweiterten zweiten Auflage beschieden sein.

Inhaltsverzeichnis. Einleitung 1. Reihenentwicklung. Annäherung durch Polynome . 2. Fouriersche Reihen. Orthogonalfunktionen . . . 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

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1. Abschnitt. Asymptotische Reihen. Asymptotische Reihen Bernoullische Polynome Nullstellen der Bernoullischen Polynome . . . Berechnung der Bernoullischen Polynome . . . Eulersche Summenformel Abschätzung des Restgliedes Eulersche Konstante Näherungsweise Berechnung bestimmter Integrale .

5 6 11 14 16 17 17 19

II. Abschnitt. Gammafnnktion. Produktdarstellung des Sinus Definition ProduktdarsteUungen . . Funktionalgleichungen . . Integraldarstellungen . . Asymptotische Entwicklung Nullstellen der Ableitung . Zielwerte Konforme Abbildung . . Betafunktion . . . .

22 24 26 27 30 31 34 36 37 40

III. Abschnitt. Orthogronalfunktionen. Definition. Normierung Orthogonalisierung Besseische Ungleichung. Vollständigkeitsbeziehung. Konvergenz im Mittel Laguerresche Funktionen Eigenschaften der Laguerreschen Funktionen Hermitesche Funktionen Eigenschaften der Hermiteschen Funktionen . Tschebyscheffsche Polynome Eigenschaften der Tschebyscheffschen Polynome

42 43 44 46 49 50 51 53 54

Inhaltsverzeichnis. IV. Abschnitt. Besseische Funktionen. Schwingungen einer Kette Schwingungen einer Membran Wärmeleitung Besseische Differentialgleichung Erste Hankeische Integraldarstellung Besseische Funktionen Poissonsche Integraldarstellung Zweite Hankeische Iütegraldarstellung Hankeische Funktionen Neumannsche Funktionen Vollständige Lösung der Besseischen Differentialgleichung Rekursionsformeln Zylinderfunktionen Erweiterung der Hankeischen Integraldarstellungen Asymptotische Darstellungen Abschätzung des Restgliedes Sommerfeldsche Integraldarstellung Erweiterung des Gültigkeitsbereiches Airysche Integrale Ganzzahlige Zeiger Sattelpunkts verfahren • Asymptotische Entwicklung der Hankeischen und Besseischen für große Werte des Zeigers und der Veränderlichen . . 23. Integrale über Zylinderfunktionen 24. Integrale von Lipschitz und Weber 25. Nullstellen der Zylinderfunktionen 26. Nullstellen der Besseischen Funktionen I 27. Nullstellen der Ableitung 28. Reelle Nullstellen der Besselsuhen Funktionen 29. Nullstellen mit großem absoluten Betrag 30. Imaginäre Nullstellen 31. Elliptische Planetenbewegung 32. Zielwerte der Besseischen Funktionen 33. Konforme Abbildung durch die Besseischen Funktionen

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.

VII

.

.

.

.

.

Funktionen . . .

Seite 55 . 5 7 57 59 60 63 64 65 68 70 72 75 76 77 81 83 86 89 92 94 98

103 107 109 112 114 115 . 116 117 118 120 122 123

. '.

V. Abschnitt. Kugelfanktionen. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

a) R ä u m l i c h e K u g e l f u n k t i o n e n Potentialfunktionen. Laplacesche Differentialgleichung. Randwertaufgaben Dreifach orthogonale Flächensysteme Räumliche Polarkoordinaten Räumliche Kugelfunktionen Ganze rationale räumliche Kugelfunktionen Kugelflächenfunktionen

124 125 127 128 130 131

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

b) Z o n a l e K u g e l f u n k t i o n e n Zonale Kugelfunktionen Legendresche Polynome Entwicklung in eine Fouriersche Reihe Rekursionsformeln Berechnung der Koeffizienten der Legendreschen Pplynome . Integraldarstellungen Nullstellen Asymptotische Darstellung

131 132 133 134 135 137 142 143

.

c) Z u g e o r d n e t e F u n k t i o n e n 15. Zugeordnete Legendresche Funktionen 16. Integraldarstellung der zugeordneten Legendreschen Funktionen .

.

146 148

y m 17. 18. 19. 20. 21.

Inhaltsverzeichnis. Seite . 151 . 153 .155 . 156 .159

Integraleigenschaften der Legendreschen Funktionen . Entwicklung von nach Legendreschen Polynomen . Entwicklung von e«

( » + 1)! '

wo 0 < & < 1 ist. Es ist aber praktisch unmöglich, für große x hierauB den Wert e—2 zu berechnen. Ist z. B. x = 1000, so ist das tausendste Glied jg3000 > 10 432 nach (II, 6,10). Die theoretische Konvergenz der Reihe nützt 1000! hier für die praktische Berechnung gar nichts. 00

n!

Gerade umgekehrt liegen die Verhältnisse bei der Reihe 2 ( — 1)" — irn= 0 X Sie divergiert, weil

n\

lim n~*

+

— oo

=

+ oo j s t.

xn

e~x konvergiert, ist

lim — - = n-> + oo n • f(x) die Entwicklung (1)

f i x )

=

n 2

{

0.)

-

1

Hat man aber für eine Funktion

T

ny* ~

m=0

Rn

(x)

=

(Da nämlich die Reihe für

x

f

+

Rn{x)

X

( - 1)*»»

(0 < O
3C,k B,k (0).

daher Wir setzen

l

(4) Bn = n\Bn{ 0). D i e Z a h l e n Bn p f l e g t m a n a l s B e m o u l l i s c h e

Zahlen

zu be-

J a k o b B e r n o u l l i , Ars conjectandi, Basel 1713, S.96 oder Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften Nr. 107, S. 99 (Leipzig 1899).

10

!• Abschnitt. Asymptotische Reihen,

z e i c h n e n . S i e s i n d r a t i o n a l , w e i l B„(0) r a t i o n a l i s t . Es ist B 0 = 1, = 5 ^ = 0 oo 1 2 -je- konvergiert gleichmäßig bezüglich k für

n=i n

lim (1 + - ^ + - ^ + . . . ) = k-» + 00 also

lim B t i ( 0 ) = lc-> + 00

(Ä =

kT^.1,

1,2,8,...). daher ist

l,

0 und

(2 k)! lim | B J = lim ,k = +00. 71 «;-»• +00 * ft-> + oo (Die letzte Beziehung ergibt sich aus II, 6,10.) Für die ersten Bernoullischen Zahlen B2k erhält man (5)

R

_

d

_

J_ 6 '

D

4

L 30 '

~

691 2730 '

_ 43867 " — > 798

_ "

6

X 6 '

—

_ ti">

R

- J _ ~~ 42 ' D "

_

R _ 8 ~~

L 30 '

R

10

~

A 66 '

3617 510 '

—

174611 • 33o

~

Nach (1) ist (6)

|B,*(i)| 0, wenn wir teilweise integrieren, 1 1

fßn(x)Bn^k(x)dx = -fßnJrl(x)Bn+2k_t (x) dx 0

0 1

= JX+.O) Bn+tk_2 (x)dx 0

1

= (-l)kfBn+k(x)>dx 4= 0 1 und

fBn(x)Bn+ik„(x)dx = 0. 0

Denn führen wir in diesem Integral die Veränderliche u ein, so erhalten wir ein Polynom, das nur ungerade Potenzen von u enthält und zwischen — J. und + ^ z u integrieren ist. Ferner ist 1

fB0(x)Bn(x)dx = 0,

0

1

fB,(x)*dx = 1.

Nullstellen der Bernoullischen Polynome.

11

Die B e r n o u l l i s c h e n P o l y n o m e s i n d a l s o k e i n e o r t h o g o n a l e n F u n k t i o n e n im I n t e r v a l l 0 a: 1. Weil Bk{x) vom Ä-ten Grad in x ist, lassen sich die einzelnen Potenzen von x durch die Bk (x) ausdrücken, und zwar ist =

2

m = 0

amBm(x).

F e r n e r e r g i b t s i c h l e i c h t die l i n e a r e U n a b h ä n g i g k e i t d e r B e r n n o u l l i s c h e n P o l y n o m e , denn eine Identität 2 bmBm(x) = 0 bei bem = 0

liebigem n würde bm = 0 für m — n, n — 1, n — 2, . . ., 0 nach sich ziehen: Weil nämlich Bn (x) gerade vom M-ten Grad in x ist, müßte b„ = 0 sein, damit x" wegfalle, dann aus denselben Gründen ön_, = 0, usw. 3. Nullstellen der Bernoullischen Polynome. Die Bernoullischen Polynome mit ungeradem Zeiger haben nach Ziffer 2 die drei Nullstellen 0 , ^ , 1 . Bi (x) bildet eine Ausnahme, denn wie aus seiner Definition hervorgeht, ist B,{0)=-b, B,(l) = $, die einzige Nullstelle i s t | . Man Bieht l e i c h t e i n , d a ß die B e r n o u l l i s c h e n P o l y n o m e B${x), Bs(x), . . . nur die N u l l s t e l l e n 0, 1 h a b e n . Hätte nämlich Blk+i(x) nicht nur eine Nullstelle zwischen 0 und 1, sondern mindestens deren zwei, a und b, (0 < a < b < 1), so hätte B 2k (x) als Ableitung von BJk+l (x) nach einem bekannten Satz der Differentialrechnung mindestens drei Nullstellen a, ß, y, die der Ungleichung 0 < t t < a < / 3 < 6 < y < l genügen. Die Ableitungß !i _ 1 (x) hätte dann sicher eine zwischen a und ß und eine zwischen ß und y liegende Nullstelle, also ebenso wie ß sjt+1 (z) zwei zwischen 0 und 1 gelegene Nullstellen. So könnten wir weiter schließen und würden zu dem Widerspruch gelangen, daß schließlich auch Bt (x) zwei zwischen 0 und 1 gelegene Nullstellen hat. Damit ist die Behauptung bewiesen. B2k(x) hat als Ableitung von Bik+t(x) nach dem eben benützten Satz der Differentialrechnung mindestens eine zwischen 0 und £ und eine zwischen | und 1 liegende Nullstelle, die wegen der in Ziffer 2 erkannten Symmetrieeigenschaft von Blk(x) spiegelbildlich zum Punkt Gj,0) liegen. Außer diesen Nullstellen hat Bik{x) einschließlich der Grenzen 0 und 1 keine weiteren. Hätte nämlich B,k (x) drei Nullstellen, so hätte ß j 4 i (x) mindestens zwei zwischen 0 und 1 liegende Nullstellen, im Widerspruch zu dem eben bewiesenen Satz. Die B e r n o u l l i s c h e n P o l y n o m e B2(x), B4(x), . . . h a b e n a l s o n u r zwei N u l l s t e l l e n , sie l i e g e n im I n n e r n d e s Int e r v a l l s (0,1) s p i e g e l b i l d l i c h zu s e i n e r Mitte. S ä m t l i c h e N u l l s t e l l e n d e r B e r n o u l l i s c h e n P o l y n o m e s i n d e i n f a c h , weil niemals gleichzeitig Bk{x) und Bk+l (x) verschwinden. Btk(x) hat seine größten und kleinsten Werte an den Stellen 0, 1, den Nullstellen von ß tt _,(a;). Bik{x) verläuft monoton zwischen 0 und hat also nach (2, 1) für gerades k die Gestalt der Abb. 3, für ungerades k die der Abb. 4 (ausgenommen k = 1, siehe Abb. 2). Die entsprechende Kurve hat nach (2, 2) zwei Wendepunkte an den Nullstellen von ß 2i _, (x). Btk+, (x) hat seinen größten und kleinsten Wert an den Nullstellen

I. Abschnitt. Asymptotische Reihen.

12

von Blk (x) und wächst in der Umgebung von x = 0, wenn B2k (0) > 0, nimmt dagegen ab, wenn B si (0) < 0 ist, hat daher für gerades k die Gestalt der Abb. 5, für ungerades die der Abb. 6. Wegen (2, 6) ist daher | B r t ( a O | ^ | B r t ( 0 ) | .

Abb. 4.

Für die Nullstellen der Bernoullischen Polynome gilt folgender Satz*): Die z w i s c h e n 0 u n d £ g e l e g e n e n N u l l s t e l l e n v o n Btk(x) n e h men mit w a c h s e n d e m k f o r t w ä h r e n d zu u n d h a b e n f ü r £->.4-00 den G r e n z w e r t Wir beweisen den Satz in mehreren Schritten. 4 i>, 1 \ Ä C 0 8 2nnx , 1.1 (x, k) = 2 7k konvergiert absolut und gleichmäßig für n n—1 alle reellen x und alle reellen k>l. für / c > 1.

Es ist also

lim

+ 00

Denn es ist

) J. Lense, Mh. Math. Phys. 41 (1934), S. 188—190.

Nullstellen der Bemoullischen Polynome.

13

= - 2 * Ü 8 m 2 ! l n X für k> 2. Denn die Reihe konverö* » — W = 1 liiert absolut und gleichmäßig für alle reellen x und alle rellen & > 2, weil 2.

— — f ü r / c > 2 ist. — n —

tt*

Ist also F ( ^ , k ) =

Aus ähnlichen Gründen ist

0, so gilt für alle reellen k ^ . 2 00 In n 0 fc 2 — i r cos 2 w 3 i | n

_

d

n = 2

ft

*

® sin 2 n jt j; 2j — z a = i — w= 1 "

'

sobald der Nenner von Null verschieden ist. d.i.

3.

d K

> 0

für

l =

\

(0

2.

Es

ist

nämlich

In 2 « In w / n« • 2 n n sj - 5 s - C O S 4 » £ — 2J —5T COS 1 l 2 n = 3 00 dk ' Mt sin jr cos 2 e + 3t 2 „ > * > ( 2 w= 2 Der Nenner ist positiv, denn es ist cos 2ne > 0,997 und die Summe ihrem ab00 l soluten Betrag nach kleiner als V

00 I n n ® Iii« / nit 2 7-rTi" > S 7 ^ v * c o s h ö »= 3/M V^ w= 3

_2 w 3 t £ \ '

und daraus die Behauptung. Die verwendete Ungleichung kann man so beweisen: log 2 . cos 4 ic s -5—— > 0 , 0 1 8 8 6 wegen lb 00 logw log n , log 13 ferner ist 2 < 2 —V-H f^— «= 3 » w= 3 » ^

W

abnimmt, wenn n wächst und = 3 ist.

„

0 < i
• + oo mz -| —\ n * (nlf

m}

\

=

ml \ m) \ m/ m z(m z + 1)... (mz + mn + m — 1) lim 7YI .-s— •1 n + oo mz-\ n (ra!)~m" (n+' )

r(m,)= daher

. . r(mz) _ . .— G(Z)

(b) V

=

m

m.

11111

=

m

lim

(rnnTimny. mz(mz + l) ...{mz + mri) '

(mn)\(mz + mn+Y)...(mz+mn+m — 1) 5 tn~ 1 n-> + oo n 2 (n\) mrn m(n+" m—1

mz

{mn)\n

lim

2

(„ IV»

„_>-)_oo (n\) m = KmT,

llm

(

\m

+

M_ + 00\

*)-K. F. G a u ß , Werke 3, S. 149.

mz +1\ «

(

n

mz+m —1\

m +

"•

/

«

\

n

)

Funktionalgleichungen.

29

TO + 1 „ wo K =

(mn-1)!«

hm »->+00

m

„

ist.

Um K zu bestimmen, setzen wir z == — m

und erhalten nach (2)

J _ , r ( i ) r ( l ) . . . r ( t i ) Km \m/ \ttij \ m J

( 7 )

= also gemäß (4)

r ( i - — ) \ m)

_ , K m =

1

r ( i ) - - - r ( i i ) , \ ml \ m ) ~ 1 IT

m

.

sin

k%

k J i

•

m

Das Produkt gewinnen wir auf folgende A r t : die Gleichung zn-i

+ zm-' + --- + z + 1 = 2 kni

hat die m-ten Einheitswurzeln e Es ist daher m—1

somit für s = 1

(k =

m

1, 2, . . m — 1) zu Lösungen. 2 kni

m—1

2 * k=0

=

0

n (*-e Jb= 1

),

m

2fcn i tn— 1 m = n (1-e " ) k= 1 =

«im—i —- S le m — 1 m tk _ 1. .. , e f T (e Jfc = l

kn i m

(m — 1) 3r i =

( - 2 iT'-'e

=

2™"'

5

m

"

—e

~ 1 Fl

Uni m

sin

)

kn —

—1 frir n sin—, m k= l

m

~ 1 kn m 1 T l sin = = — ~ r und K = — — . Das Vorzeichen 1 m 2 \jm{2n)m~l der Wurzel muß nach (7) und ( 2 , 1 ) positiv sein. (6) wird hiermit m—1

hiernach

(8)

m

r(z)r(z

+ ±)...r(z + ^

!

)

=

( 2 x ) ~

m^-mtr(mz).

Die Gleichung war für m = 2 schon L e g e n d r e bekannt. Man erhält dafür

30

II- Abschnitt. Gammat'unktion.

aus (5) und (8)

222-' r{z)r(z +

(9)

= r{\) r{ 2 z).

Die Funktionsgleichungen (1), (4), (8), (9) gelten gemäß der analytischen Fortsetzung für alle Werte von z, für die jeweils beide Seiten analytische Funktionen von z sind. Aus (4) können wir schließen, d a ß r(z) k e i n e N u l l s t e l l e n h a t . Wäre nämlich a eine Nullstelle, so müßte 1—a nach (4) Pol, daher 1—a = — n (n — 0, 1, 2, . . .) nach Ziffer 1, also a — 1-j-n sein. Das ist aber nach (3) unmöglich.

ist somit eine ganze t r a n s z e n d e n t e

F u n k t i o n v o n z m i t d e n e i n f a c h e n N u l l s t e l l e n 0, — 1,—2, . . . . B. Integraldarstellungen. Für die Definition von r{z) haben wir selbst eine Integraldarstellung gewählt; eine andere, im wesentlichen auf H a n k e l 1 ) zurückgehende erhalten wir in folgender Weise: Wir betrachten das Integral f e r r~z d r, erstreckt über den Integrationsweg C' der Abb. 7. Für t—* soll der Hauptwert genommen werden, d. h. In % sei reell für positive r, ferner sei 91(2) < 0 . Auf dem Kreis ist r = re*? daher der Betrag des Integrales nicht größer als

+ it / —

n

e

r cos w — a; In »• 4- v

1

=

- p r

\y\

X

wobei 0 ^

dt

J

t\*

t

arc ctg

X -r—r,

\y\

arc ctg j ^ y ^ at ist, also nach (2), (3), (4) F

B,

lim I — z l y l - ' + ooß'

(5)

f

lim

(t)dt +

=

0

t

^ ^^ =

für alle x und

für alle y des neuen Bereiches.

0

Die beiden Aussagen (5) können wir zusammenfassen in f

(6)

B.(t)dt

lim \ - f j — S-> 00 q 'Tl

=

0,

wenn sich z auf einem solchen Wege ins Unendliche entfernt, so daß der Abstand von der negativen X-Achse schließlich über alle Grenzen wächst. Nach ( 4 , 1 ) und ( 4 , 4 ) ist r(l - z) = - z T { - z \ daher r{z)r(-z) %

—

, somit für reelle y, da die Gammafunktion nach (2, 2) für

:

zsmnz

konjugiert komplexe Werte von z selbst konjugiert komplexe Werte annimmt, (7)

ir«y)| 0 hat und mit £->. + oo monoton gegen Null strebt. 7. Nullstellen der Ableitung. Wenn wir (3, 6) logarithmisch differenzieren, erhalten w i r 2 )

(2)

V ®

=

S

-JT^Y-

n = 0 \? + n)

Wir haben jetzt die vorgenommenen Operationen zu rechtfertigen. Die Reihe (2) konvergiert absolut und gleichmäßig, wenn wir die Punkte 2 = 0, — 1, —2, . . . durch hinreichend kleine Kreise vom Halbmesser q ausschließen. Denn dann ist

Da (2) durch gliedweise Differentiation aus (1) und (1) ebenso durch gliedweise logarithmische Ableitung aus (3, 6) entsteht, sind die Entwicklungen (2), (1) und (3,6) analytische Funktionen von z, wenn wir die Pole derGamma') L. B i e b e r b a c h , Lehrbuch der Funktionentheorie I, Leipzig u. Berlin 1921, S. 306—308. 2 ) K. F. Gauß, Werke 3, S. 152 und 159.

Nullstellen der Ableitung.

35

funktion ausschließen. Damit ist die Gültigkeit von (3,6) für alle Werte von z bewiesen und die gliedweise Differentiation gerechtfertigt. Nach ( 1 ) und Ziffer 2 hat ¥{z) dieselben Stellen wie r(z) zu einfachen Polen und ist sonst regulär; W{z) hat an diesen Stellen zweifache Pole und ist sonst ebenfalls regulär. Weil r(z) keine Nullstellen hat (vgl. Ziffer 4), fallen die Nullstellen von r'(z) mit denen von W (z) zusammen. Es ist 00 x+n 1 W{x + iy) = —C+ S + n = 0

n +1

(x + nf + y\

{x + iif + y»

also x + i y) =f= 0, wenn y -j= 0 ist, d. h. W(z) kann nur reelle Nullstellen haben.

SM

J -5

ri4

-X

3

Abb. 11.

II. Abschnitt.

36

Gammafunktion.

Ferner ist wegen (3)

-

(Xi

(xt + n)(xt + n)

yP(x,) > W(x,) für xt > xt > 0, daher hat nach (I, 7) wegen « P ( l ) = — C < 0 , ! P ( 2 ) = 1 — C > 0 eine einzige positive Nullstelle. Sie liegt zwischen 1 und 2 und ist nach G a u ß t ) näherungsweise gleich 1,4616321 Nach (1) ist für alle genügend kleinen positiven e, wenn k eine nicht negative ganze Zahl bedeutet, W ( — k — e ) > 0 , W(—k — 1 + e) < 0 , ferner nach (3) T (a^) > W (xt) für — k > x± > x2 > — k — 1. W (x) nimmt daher im Intervall — k — 1 < a: < — k fortwährend von — oo bis + ZUj hat somit in diesem Intervall genau eine Nullstelle. Wegen (2) sind alle Nullstellen von ¥(z) einfach. F{z) h a t a l s o z w i s c h e n d e n P o l e n v o n r(z) auf d e r n e g a t i v e n r e e l l e n A c h s e je eine e i n f a c h e N u l l s t e l l e u n d a u ß e r d e m e i n e s o l c h e auf d e r p o s i t i v e n r e e l l e n A c h s e z w i s c h e n 1 u n d 2, s o n s t ü b e r h a u p t k e i n e N u l l s t e l l e n . Dieser Satz geht auf H e r m i t e 2 ) zurück. An diesen Stellen hat somit r (x) größte und kleinste Werte. Ihre absoluten Beträge nehmen zufolge (4,1) auf der negativen reellen Achse mit x fortwährend ab. W e i l n a c h (2,1) r(x) > 0 f ü r x > 0 i s t , w e c h s e l t d i e G a m m a f u n k t i o n e b e n f a l l s n a c h (4,1) in d e n I n t e r v a l l e n ( — 1 , 0 ) , (—2, —1), (—3, —2) f o r t w ä h r e n d d a s Z e i c h e n u n d z w a r ist sie im e r s t e n n e g a t i v , im z w e i t e n p o s i t i v usw., h a t s o m i t i n i h n e n a b w e c h s e l n d k l e i n s t e oder g r ö ß t e Werte, an der p o s i t i v e n N u l l s t e l l e v o n r'{x) e i n e n k l e i n s t e n W e r t . Für diese größten und kleinsten Werte ergibt sich folgende Tafel 3 ): r(x)

X

+ 1,462 - 0,504 - 1,573 -2,611 - 3,635

+ + +

0,88560 3,54464 2,30241 0,88814 0,24513

1 r(x)

+ 1,129 -0,283 + 0,435 - 1,126 + 4,080

Den Verlauf der Gammafunktionen im Reellen zeigt Abb. 11. 8. Zielwerte. Wenn eine Funktion von z einem Grenzwert zustrebt, falls sich z auf einer bestimmten stetigen Kurve dem Punkte oo unbegrenzt nähert, so nennt man diesen Grenzwert einen Z i e l w e r t der Funktion. Wir wollen die Zielwerte der Gammafunktion bestimmen, wenn z auf den in Ziffer 6 erwähnten Wegen ins Unendliche strebt. Wir setzen.

(1)

z = x-\-iy = \z\eif r(z) =w = \ w\ e'-v

') K.F. G a u ß , Gott. Comm. 2 (1812), S. 27 oder Werke 3, S. 147. *) Ch. H e r m i t e , J.f. M. 91 (1881), S.336. s ) Die Werte sind entnommen aus K. H a y a s h i , Fünfstellige Funktionentafeln, Berlin 1930, S. 155.

Konforme Abbildung.

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und erhalten, wenn wir (6,8) in den reellen und imaginären Teil spalten, (2)

(|2| cos q> —

ln|w| =

mit

I n \ z \ — \z\ (p sin (p — \z] cos

— \z\ In \z\ sin