Mathematik für Physiker - Band 2 - Funktionentheorie, gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen [2, 2 ed.] 3527280782

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Vorwort zur zweiten Auflage Das zweibändige Werk ,.Mathematik für Physiker" wurde in der zweiten Auflage von den Druckfehlern und inhaltlichen Mängeln befreit, die den Autoren bis zum Zeitpunkt der Neuauflage bekannt wurden. Darüber hinaus wurden an zwei Stellen kleine Ergänzungen eingefügt, nämlich in Kapitel 2 des ersten Bandes ein Abschnitt über das "klassische" Lösungsverfahren für lineare Gleichungen, den Gaußsehen Algorithmus in seiner einfachsten Form, und in Kapitel 3 des gleichen Bandes ein kurzer Abriß der Trapezregel als einem der ältesten Verfahren zur numerischen Integration. Auf weitergehende Änderungen wurde angesichts der unveränderten Zielsetzung des Werkes bewußt verzichtet. Da die Elimination von Druckfehlern und die Verbesserung von Formulierungen Teile eines kontinuierlichen dynamischen Prozesses sind, würden sich der Verlag und die Verfasser über Bemerkungen zu Fehlern und Vorschläge zur Verbesserung der Darstellung nach wie vor freuen. Berlin, im Sommer 1989 Gerhard Berendt Evelyn Weimar-Woods

Vorwort zur ersten Auflage Der 2. Band der "Mathematik für Physiker" schließt sich didaktisch und inhaltlich unmittelbar an den 1. Band an. Da er aber thematisch in sich abgeschlossen ist, wendet er sich gleichermaßen an diejenigen Leser, die mit dem 1. Band nicht vertraut sind, aber Kenntnisse in Analysis und Linearer Algebra besitzen. Wiederum stellten wir uns die Aufgabe, einen brauchbaren Kompromiß zu finden zwischen mathematischer Strenge und ausführlichen Beweisen auf der einen und leichter Lesbarkeit für den Nichtmathematiker sowie Kürze der Darstellung und Anwendungsorientiertheit auf der anderen Seite. Die Marginalien am Rand sollen der Orientierung dienen und beim Nachschlagen behilflich sein. Als Grundlage dienten - wie auch beim 1. Band ~- die Vorlesungsmanuskripte von E. W. für den viersemestrigen :Zyklus "Mathematik für Physiker" an der Freien Universität Berlin. Allerdings können dort in den vier Semesterwochenstunden, die für den in diesem Band enthaltenen Stoff zur Verfügung stehen, die partiellen Differentialgleichungen überhaupt nicht behandelt werden, und auch die restlichen Gebiete lassen sich nur in äußerst geraffter Form darstellen. In diesem Buch haben wir daher die Chance genutzt, die Themen in dem für Studierende der Physik wünschenswerten Mindestumfang zu behandeln. Im Kapitel über Funktionentheorie gehen wir ausführlich auf Aspekte der Mehrdeutigkeit ein. Die wesentlichen Sätze (zum Beispiel Cauchys

Inhalt Die Kapitel 1 - 5 bilden den Inhalt von Band 1

6

Funktionentheorie

.

1

6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3

Komplexe Funktionen Komplexe Zahlen Komplexe Funktionen. Stetigkeit Mehrdeutige Funktionen. Riemannsche Blätter

. . . .

1 1

8 14

.

23

. .

23 29

6.3 Integration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6.3.1 Kurvenintegrale. Cauchys Integralsatz 6.3.2 Cauchys Integralformel

31 31 43

6.4 Reihenentwicklung. Residuensatz .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6.4.1 Taylor-Reihe. Laurent-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Residuensatz

53 53 68

Differentiation 6.2 6.2.1 Analytische Funktionen. Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen 6.2.2 Singularitäten

6.5

Konforme Abbildungen

.

80

7

Gewöhnliche Differentialgleichungen. Spezielle Funktionen

.

93

7.1

Einleitung

.

93

. 96 7.2 Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung . 96 7.2.1 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung . 103 7.2.2 Lösungsmethoden 7.2.3 Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen 1. Ordnung. Gewöhnliche Differentialgleichungen n-ter Ordnung . 114

7.3 Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen n-ter Ordnung 7.3.1 Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen n-ter Ordnung 7.3.2 Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen 1. und 2. Ordnung 7.3.3 Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 7.3.4 Systeme von linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 1. und 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 7.4

Randwertprobleme bei gewöhnlichen linearen

7.4.1 7.4.2 7.4.3 7.4.4

Differentialgleichungen 2. Ordnung Allgemeines Randwertproblem. Lösbarkeit Sturm-Liouvillesches Eigenwertproblem Greensehe Funktion des Randwertproblems Spezielle Funktionen

. 121 . 121 . 128 . 144 . 163 . . . . .

173

173 179 188 199

VIII

Inhalt

8

Partielle Differentialgleichungen

. 223

8.1 8.1.1 8.1.2 8.1.3

Einleitung Überblick Lösungsmethoden Lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Klassifikation

. 223 . 223 . 226

. 229

Elliptische Differentialgleichungen Laplace-Gleichung. Poisson-Gleichung Schwingungsgleichung Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung

. . . .

8.2 8.2.1 8.2.2 8.2.3

235 235 279 297

8.3

Hyperbolische Differentialgleichungen 8.3.1 Wellengleichung 8.3.2 Weitere hyperbolische Differentialgleichungen

. 310 . 310 . 362

Parabolische Differentialgleichungen 8.4.1 Wärmeleitungsgleichung

. 365 . 365

8.4

Zitate

383

Register

385

Zitate

Beispiel: Werden die Stabenden auf verschiedenen konstanten Temperaturen gehalten, so lauten die Randbedingungen u(O, t)

=

Itl

u(l, t)

=

t > O.

P2

Die Wärmeleitungsgleichung 0< x < I,

t> 0

mit den Randbedingungen u(O, t) = Itl

t>O

u(l, t) = 1t2

besitzt die stationäre Lösung

(:1;

=

0) 0
O.

Dann ergeben sich für die Lösung L11 der Wärmeleitungsgleichung homogene Randbedingungen, UI kann also durch Separation bestimmt werden.

Zitate Sechster Teil Konrad Knopp: Elemente der Funktionentheorie. Funktionentheorie I/lI. Sammlung Göschen 2124, 668, 703 H. Behnke, F. Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York Murray R. Spiegel: Complex Variables. Schaum's Outline Series, McGraw-Hill, New York, Toronto, London Ludwig Bieberbach: Einführung in die konformen Abbildungen. Sammlung Göschen 768/768a W. Smirnow: Lehrgang der höheren Mathematik 111, 2. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin

Siebenter Teil Byron-Fuller: Mathematics of Classical and Quantum Physics I. AddisonWesley, Reading Courant-Hilbert ; Methoden der Mathematischen Physik 1/11. Heidelberger

Taschenbücher 30/31, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York Arthur Erdelyi (Editor): Higher Transeendental Functions I/lU. McGraw Hili, New York, Toronto, London Siegfried Flügge: Mathematische Methoden der Physik I (Analysis). Hochschultext, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York

383

384

Zitate

Wolfgang Gröbner: Mathematik für Physiker / 6. Differentialgleichungen I. Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich Erich Martensen: Analysis IH. BI-Hochschultaschenbuch 834/834a Alexander Peyerimhoff: Gewöhnliche Differentialgleichungen I/H. Studientext, Akademische Verlagsgesellschaft, Frankfurt am Main W. Smirnow: Lehrgang der höheren Mathematik H; III, 2. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin M. G. Smith: Laplace Transform Theory. Van Nostrand Company, London, Princeton, Toronto Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Heidelberger Taschenbücher 110, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York

Achter Teil Abramowitz-Stegun: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, New York Bronstein-Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch, Thun, Frankfurt (Main) und BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig Budak, Samarskii, Tikhonov: A Collection of Problems on Mathematical Physics. Pergamon Press, Oxford, New York, Frankfurt Byron-Fuller: Mathematics of Classical and Quantum Physics H. AddisonWesley, Reading E. T. Copson: Partial Differential Equations. Cambridge University Press, Cambridge, New York Courant-Hilbert: Methoden der Mathematischen Physik 1/11. Heidelberger Taschenbücher 30/31, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York Arthur Erdelyi (Editor): Higher Transeendental Functions I/Ill. McGraw Hili, New York, Toronto, London G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung IH. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin Siegfried Flügge: Mathematische Methoden der Physik I (Analysis). Hochschultext, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York Karl-Peter Grotemeyer: Analytische Geometrie. Sammlung Göschen 65/65 a Günter Hellwig: Partial Differential Equations. Mathematische Leitfäden, Teubner, Stuttgart Georg Joos: Lehrbuch der theoretischen Physik. Akademische Verlagsgesellschaft, Frankfurt (Main) Koshlyakov, Smirnow, Gliner: Differential Equations of Mathematical Physics. North-Holland Publishing Company, Amsterdam Erwin Madelung: Die mathematischen Hilfsmittel des Physikers. SpringerVerlag, Berlin, Heidelberg, New York Albert Messiah: Quantum Mechanics 1. North-Holland Publishing Company, Amsterdam

Reed Simon: Methods of Modern Mathematical Physics III: Scattering Theory. Academic Press, New York, San Francisco, London W. Smirnow: Lehrgang der höheren Mathematik II; III, 2; IV. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin Tychonoff-Samarski: Differentialgleichungen der mathematischen Physik. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin