Mathematik für Physiker - Band 1 - Analysis und Lineare Algebra [1, 2 ed.] 3527280774

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Prof. Dr Gerhard Berendt Prof. Dr Evelyn Weimar-Wood~ Freie LJnl\ersitiil Berlin Fachbereich Mathematik Arnimallee 1 - 6 1000 Berlin 33

Da~ vorliegende Werk \\urde sorgfiiltig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren. Herausgeber und Verlag für die Richtigkeit von Angaben. Him\ei~~n und Ratschliigen sO\\ie für eventuelle Druckfehler keine Haftung.

1. Auflage 1983 2.. bearbeitete Auflage 1990

Lektorat. Walter Greulich Herstellerische Betreuung: Dipl.-Ing. (FH) Hans ]örg Maier

Cl P-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek: Berendl. Gerhard: Mathematik für Physiker Gerhard Berendt. bel) n Weimar. - Weinheirn: VCH. NE: Weimar. belyn: Bd. 1 Analysis und lineare Algebra. - 2.. bearb. Aufl. - 1990. ISBN 3-527-2g077-4

(

VCH Verlagsgesellschaft mbH. 0-6940 Weinheim (Federal Repuhlic of German) I. 1990

Gedruckt auf siiurefreiem Papier Alle Rechte. insbesondere die der Übersetzung in andere Sprachen. vorbehalten. Kein Teil diese~ Buches darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgende:ner I--orm - durch Photo kopie. Mikro\erfilmung oder Irgendein anderes Verfahren - reproduziert oder in eine von Maschinen. insbesondere von Datemerarbeitung~­ maschinen. verwendbare Sprache übertragen oder übersetzt \\erden. Die Wiedergabe von Warenbezeichnungen. Handelsnamen oder sonstigen Kennzeichen in diesem Buch berechtigt nicht zu der Annahme. dal.l diese \ on jedermann frei benutzt \\erden dürfen. Vielmehr kann es ,ich auch dann um eingetragene Warenzeichen oder sonstige gesetzlich geschützte Kennzeichen handeln. \\enn sie nicht eigen~ ab solche markiert sind. All righb resened lincluding those of translation into other languagesl. No part of this book nw) be reprllduced in an; form - b) phlltoprinting. microfilm. or an) other means -' nor transmilted or translated into a machine language \\ithout \\ rillen permission from the publishers. Registered name~. trademarks. etc. used 111 this booL e\en \\hen not specificall) marked as such. are not to be considered unprotected b) la\\ Satz und Druck: Krebs-Gehlen Druckerei GmbH & Co. KG. 0-6944 Hemsbach Buchbinder' J. Schüffer GmbH & Co. KG. 0-6711< Grünstadt Printed in the hderal Republic of German)

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ISBN 3-527-2g0n-4

Vorwort zur zweiten Auflage Das zwei bändige Werk "Mathematik für Physiker" wurde in der zweiten Auflage von den Druckfehlern und inhaltlichen Mängeln befreit, die den Autoren bis zum Zeitpunkt der Neuauflage bekannt wurden. Darüber hinaus wurden an zwei Stellen kleine Ergänzungen eingefügt, nämlich in Kapitel 2 des ersten Bandes ein Abschnitt über das "klassische" Lösungsverfahren für lineare Gleichungen, den Gaußsehen Algorithmus in seiner einfachsten Form und in Kapitel 3 des gleichen Bandes ein kurzer Abriß der Trapezregel als einem der ältesten Verfahren zur numerischen Integration. Auf weitergehende Änderungen wurde angesichts der unveränderten Zielsetzung des Werkes bewußt verzichtet. Da die Elimination von Druckfehlern und die Verbesserung von Formulierungen Teile eines kontinuierlichen dynamischen Prozesses sind, würden sich der Verlag und die Verfasser über Bemerkungen zu Fehlern lind Vorschläge zur Verbesserung der Darstellung nach wie vor freuen. Berlin. im Sommer 1989 Gerhard Berendt Evelyn Weimar-Woods

Vorwort zur ersten Auflage Seit mehr als 10 Jahren wird an der Freien Universität Berlin ein spezieller Mathematikkurs für Physiker und Studierende anderer Nebenfächer angeboten. Er umfaßt zur Zeit 6 Semesterwochenstunden (SWS) Vorlesung plus 6 SWS Übungen in den ersten beiden Semestern und 2 SWS Vorlesung plus 2 SWS Übungen in den bei den folgenden Semestern. An der Einführung, Gestaltung und Durchführung dieses Kurses waren und sind wir intensiv beteiligt. Dieser Band "Mathematik für Physiker Analysis und Lineare Algebra" behandelt ausführlich den Stoff der ersten bei den Semester. Als Grundlage dienten die Vorlesungsmanuskripte von E. W. Fragt man Physiker und Mathematiker, wie eine "Mathematik für Physiker" aussehen soll, so reicht die Skala der Antworten von einer Art Rezeptsammlung, die in knapper und einsatzbereiter Form das notwendige Handwerkszeug bereitstellt, bis hin zu einer mathematisch strengen und modernen Darstellung, die sich von einer "Mathematik für Mathematiker" höchstens durch einige Auslassungen und Ergänzungen unterscheidet. brauchbaren Wir haben uns daher bemüht, einen - wie wir hoffen Komprorniß zu finden, ohne jedoch auf mathematische Strenge mehr als unbedingt erforderlich zu verzichten. Mathematische Begriffe und

Inhalt Vorbereitung, Zahlen ................................ .

1.1 1 .1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.1.6 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5

Vorbereitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Menge fN der natürlichen Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abbildungen........................................ Relationen .......................................... Ungleichungen....................................... Beweismethoden .....................................

Reelle Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

1 1 2 7 8 9 10

Natürliche (positive ganze) Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Negative ganze Zahlen, Null. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Rationale Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Reelle Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Potenzen, \Vurzeln, Logarithmen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

14 14 15 17 20 28

1.3

Die Topologie der Menge IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.3.1 Einige topologische Grundbegriffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.3.2 Topologische Eigenschaften der Menge IR . . . . . . . . . . . . . . ..

30 30 35

1.4 Folgen und Reihen ................................... 1.4.1 Folgen reeller Zahlen ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.4.2 Unendliche Reihen ...................................

37 38 42

1.5

Komplexe Zahlen ....................................

48

2

Vektorräume endlicher Dimension ..................... .

51

2.1

2.3 2.4

Vektoren im Vektorräume endlicher Dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Lineare Abbildungen ................................. A1atrizen, Determinanten, Lineare Gleichungssysteme . . . ..

51 59 71

3

Analysis einer reellen Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 116

3.1

Funktionen. Stetigkeit. Funktionen-, insbesondere Potenzreihen 116

2.2

85 2.4.1 Matrizen ........................................... , 85 2.4.2 Determinanten....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96 2.4.3 Lineare Gleichungssysteme ............................ 107

3.1.1 Funktionen .......................................... 116 3.1.2 Stetigkeit ............................................ 120 3.1.3 Potenzreihen ......................................... 130

3.2

Differentiation ....................................... 141 3.2.1 Die Ableitung von Funktionen ........................... 141 3.2.2 Differentiation von Funktionen-, speziell Potenzreihen ....... 152 3.2.3 Ableitungen höherer Ordnung. Taylorreihen .............. , 154 Integration .......................................... 163 3.3.1 Definition des bestimmten Riemann-Integrals .............. 163

3.3

VIII

Inhalt

3.3.2 Das Lebesgue-Integral 3.3.3 Eigenschaften des bestimmten Riemann-Integrals ........ , 3.3.4 Das unbestimmte Riemann-Integral. Der Hauptsatz der Integralrechnung ., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.3.5 Spezielle Integrationsmethoden ......................... 3.3.6 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

168 171 174 179 184

4

Analysis mehrerer reellen Veränderlicher. Vektoranalysis . .. 189

4.1

Topologie des

4.2

4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4

f: [Rn --10 fR n > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Stetigkeit ........................................... Partielle Ableitungen ................................. Extremwerte ........................................ Integration ..........................................

192 193 195 209 215

4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3

f: fR --10 [Rn n > 1 ................................... Kurven ............................................. Kurvenintegrale (Linienintegrale) ....................... Vektorfunktionen ....................................

225 225 227 237

4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4

f: [Rn

--10 [Rn n > 1 .................................. Gebietstransformationen. Funktionaldeterminante ........ Vektorfelder. Gradient, Divergenz, Rotation ............. Krummlinige orthogonale Koordinaten ................. , Integralsätze ........................................

241 241 248 257 268

5

Euklidische und unitäre Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 289

5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3

Vektorräume mit Skalarprodukt . ....................... Funktionenräume .................................... Skalarprodukt ....................................... Orthogonale Polynomsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

289 289 293 299

5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3

Approximation in euklidischen (unitären) Räumen . ....... Vollständige Funktionensysteme ........................ Distributionen. Diracsche 8-Funktion ................... Vollständigkeit der orthogonalen Polynomsysteme ........

302 302 310 319

[Rn

n > 1 ............................. 189

5.3 Fourierreihen. Fourierintegral .......................... 324 5.3.1 Fourierreihen ....................................... 324 5.3.2 Fourierintegral ...................................... 334 5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4

Lineare Operatoren in euklidischen (unitären) Räumen . . . .. Symmetrische (hermitische) Matrizen .................... Orthogonale (unitäre) Transformationen ................ Tensoren ........................................... Eigenwerte. Eigenvektoren. Diagonalisierung .............

341 342 347 355 365

Zitate .............................................. 381 Register ............................................ 383

2

I Vorbereitung, Zahlen

Aus gegebenen Mengen kann man neue Mengen durch sog. Produktbildung erhalten: Das kartesische Produkt A X B zweier Mengen A und B ist durch A

Kartesisches Produkt Geordnetes Paar

X

B : = (x, y) I x

E

A, Y

E

BJ

definiert. A X B besteht also aus allen geordneten Paaren von Elementen aus A und B; geordnet deshalb, weil das erste Element des Paares stets aus A, das zweite stets aus Bist. Beispiel: Sei A A x B

=

[1,3,5], B [0,2), so folgt [(1,0), (1,2), (3.0), (3.2), (5.0), (5.2):

und BxA [(0,1), (0,3), (0,5), (2,1), (2,3), (2,5») Mithin ist i. a. A x B *- B x A.

Kardinalzahl

Unter der Kardinalzahl einer Menge versteht man die Anzahl der Elemente dieser Menge. Enthält die Menge nur endlich viele Elemente, so läßt sich die Kardinalzahl einfach durch Abzählen ermitteln; bei Mengen mit unendlich vielen Elementen unterscheidet man abzählbar unendliche und überabzählbar unendliche Mengen (vgl. dazu Abschn. 1.1.3). 1.1.2 Die Menge rN der natürlichen Zahlen

Das Zahlensystem der Mathematik baut auf der Grundmenge rN der natürlichen Zahlen auf: [1,2,3,4, ... }

Natürliche Zahlen rN

Peano-Axiome

Diese Menge, die uns vom Zählen her vertraut ist, läßt sich auch aus einigen wenigen, unmittelbar einsichtigen und voneinander unabhängigen Grundannahmen, sog. Axiomen, herleiten (wir sagen dazu, rN wird axiomatisch eingeführt). Dazu dient das Axiomensystem von Peano: Die Menge der natürlichen Zahlen wird definiert durch (i)

1 ist eine natürliche Zahl.

(ii) Jede natürliche Zahl n besitzt einen Nachfolger n + •

(iii) Es gibt keine natürliche Zahl n mit n + = 1. (iv) Gilt für zwei natürliche Zahlen die Relation n = m , so folgt n = m. (v) Enthält eine Teilmenge A der natürlichen Zahlen die Zahl 1 und zu jeder N. Zahl nE A auch deren Nachfolger n +, so ist A Insbesondere die Eigenschaft (v) des Peanoschen Systems wird als Prinzip der "vollständigen Induktion" - oder als "Schluß von n auf n + 1" - in der Beweistechnik ausgiebig benutzt (v gl. hierzu Abschn. 1.1.6).

Mit n als einer natürlichen Zahl und beliebigen Zahlen a und b läßt sich allgemein der Ausdruck (a + b berechnen (zum Beweis vgl. Abschn. 1.1.6). Man erhält den binomischen Lehrsatz:

r

Zitate

Erster Teil Richard Courant: Differential- und Integralrechnung lIlI. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York Karl-Peter Grotemeyer: Topologie. BI-Hochschultaschenbuch 836 Rolf Lingenberg: Lineare Algebra. BI-Hochschulskript 828/828a Mangoldt-Knopp: Einführung in die höhere Mathematik I/IV. Verlag Hirzel, Stuttgart Erich Martensen: Analysis II 11I. BI-Hochschultaschenbücher 832*, 833*, 834a Karl Strubecker: Einführung in die höhere Mathematik I/lI. Verlag Oldenbourg, München, Wien

Zweiter Teil Karl-Peter Grotemeyer: Analytische Geometrie. Sammlung Göschen, 65/65a

Dritter Teil Georg Aumann: Höhere Mathematik I/lI. BI-Hochschulskript 717/717a, 7181718a Bronstein-Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Deutscher Verlag, Zürich Karl-Peter Grotemeyer: Topologie. BI-Hochschultaschenbuch 836 Erich Martensen: Analysis IIII. BI-Hochschultaschenbücher 832*, 833*, 834a Francis Scheid: Theory and Problems on Numerical Analysis. Schaum's Outline Series, Mc Graw Hill, New York, Toronto, London Shilov-Gurevich: Integral, Measures, and Derivative. A Unified Approach. Prentice Hall, Englewood Cliffs W. Smirnow: Lehrgang der höheren Mathematik I1V. Verlag der Wissenschaften, Berlin

Vierter Teil Richard Courant: Differential- und Integralrechnung I/lI. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York Erwin Madelung: Die mathematischen Hilfsmittel des Physikers. SpringerVerlag, Berlin, Heidelberg, New York Erich Martensen: Analysis IIIII. BI -Hochschultaschenbücher 832*, 833 *, 834a W. Smirnow: Lehrgang der höheren Mathematik I/V. Verlag der Wissenschaften, Berlin Murray R. Spiegel: Advanced Calculus. Schaum's Outline Series, Mc Graw Hill, New York, Toronto, London

382

Zitate

Fünfter Teil Byron-Fuller: Mathematics of Classical and Quantum Physics I/II. AddisonWesley, Reading Richard Courant: Differential- und Integralrechnung I/II. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York Arthur Erdelyi (Editor): Higher Transcendental Functions I/Ill. Mc Graw Hill, New York, Toronto, London E. M. de lager: Theory of Distributions, 2. Kapitel aus Mathematics Applied to Physics. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York R. Rothe: Höhere Mathematik I/III. Teubner, Leipzig W. Smirnow: Lehrgang der höheren Mathematik I/V. Verlag der Wissenschaften, Berlin Francesco G. Tricomi: Vorlesungen über Orthogonalreihen. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York

Register Abbildung 7f. - ,bijektive 7, 78 ff. ,eineindeutige 7, 78 ff. ,injektive 7, 78 ff. - , Komposition von 8 ,lineare 71 ff. ,multilineare 97 ,surjektive 7, 78 ,Umkehr- 8 abelsch 19 abgeschlossen 27, 308 ff. abgeschlossene Menge 34, 190 Ableitung 142 ff., 237 - von elementaren transzendenten Funktionen 153 f. ,n-te 154ff. , partielle 197 ff. von Potenzreihen 153 ,Richtungs- 254 - der Umkehrfunktion 151 f. Absolutbetrag 20f. absolute Konvergenz 44 - - eines uneigentlichen Integrals 188 Abzählbarkeit der rationalen Zahlen 20 abzählbar unendlich 8 Addition von Matrizen 93 - Vektoren 51 f. adjungien 105 f. äquivalent 9 Äquivalenzklasse 9 -relation 9 äußeres Produkt 53 f. äußerer Punkt 32, 190 Aleph Null 8 Algebra 82 f., 92 -, Fundamentallemma der 120 algebraische Funktion 120 Struktur 18 f. Zahlen 120 allgemeine Lösung 109, 111 Algorithmus. Gaußscher 114 alternierende Reihe 45 antihermitisch 86 antisymmetrisch 86 -, total 57 Approximation von Vektoren 305 f. Approximationssatz, Weierstraßscher 319 ff. Austauschsatz 65 Automorphismus 80, 92 axialer Vektor 361 f. Basis 56, 62, 298 - ,duale 83 f. bedingte Konvergenz 44 - - eines uneigentlichen Integrals 188

beschränkte Folge 40 - Funktion 117 - Menge 34, 36, 190 Besselsche Ungleichung 306 bestimmtes Riemann-Integral 164ff. Betrag 20 f., 49 f., 52 - von komplexen Zahlen 50 - - reellen Zahlen 20 Vektoren 52 Beweis, direkt 10 ,indirekter 11 ,Widerspruchs- 11 f. bijektiv 7, 78 ff. Bild einer linearen Abbildung 75 Binomialkoeffizienten 3 Binomischer Lehrsatz 3 Binormale 240 Bogenelement 229ff., 260f., 265, 266 Bogenlänge 230 Bolzano- Weierstraß, Satz von 37, 190 C 48ff. Cn 289 C OO 289f. Cauchy-Folge 22ff., 38 ff. charakteristisches Polynom 367 Cramersche Identität 56 - Regel 112 f. D 312 Darstellung der GL(n,IK) 92 Determinante 97 ff. , Entwicklung der 101 f. - ,Funktional- 242 ff. - einer Matrix 98 ff. -, Unter- 100, 104 Dezimalform reeller Zahlen 26 ö-Funktion 315 ff. ö-Funktional 311 ff. Diagonalisierung 370 ff., 375 ff. - ,simultane 377 f. dicht 27 dichte Menge 34 Differential 148 f. - -operator 144, 150, 199f., 359 - -quotient 148 - ,totales 201 Differenz von Mengen differenzierbare Funktion 143 ff., 202 differenzierbar, einseitig 143 Differenzierbarkeit 142ff., 202, 237 Dimension eines Vektorraums 61 f. direkter Beweis 10 direkte Summe 67 f. Dirichletsche Bedingung 330, 336 disjunkt 1

384

Register

Distribution 313 ff. - ,reguläre 313 ff. - ,singuläre 313 ff. Divergenz 254ff., 263, 265, 266, 284ff. einer Folge 39 Doppelintegral 223 f. Drehung 352 ff. Dreibein, begleitendes 239f. , orthonormales rechtshändiges 56 Dreiecksungleichung 31, 295 f. duale Basis 83 f. Dualraum 83 f. Durchschnitt von Mengen e 26,42 Eigenfunktionen, uneigentliche 369 -vektor 366 ff. -wert 366 ff. Eindeutigkeit 109, 111 eineindeutig 7, 78 ff. einfache Kurve 226 einfach zusammenhängend 269 einseitig differenzierbar 143 einseitiger Limes 125 Einsteinsche Summen-Konvention 363 elementare transzendente Funktion 136 ff. - - Funktionen, Ableitung von 153 f. Endomorphismus 71 ff. Endomorphismenring 82 Entfernung 31, 189 Entwicklung der Determinante 101 f. Entwicklungssatz, Graßmannscher 55 Epsilontik 23 Erzeugendensystem 64 ff. euklidischer Raum 294 ff. Eulersche Zahl e 26, 42 Exponentialfunktion 136 ff. Extremwert 117,162, 209ff. Extremwerte unter Nebenbedingungen 212 ff. Faktor, integrierender 205 -raum 70f. Fakultät 3 Faltungssatz 339 Feld, Vektor- 248ff. Flächenberechnung 236 Flächenintegral 277 Folge 21ff., 38 ff. , beschränkte 40 , Cauchy- 22 ff., 38 ff. - ,monotone 41 Folgen vom Typ ö 315 ff. Fourierintegral 335 ff. Fourierkoeffizienten 306, 327 Fourierreihe 327 ff. freier Vektor 51 Frenetsche Formeln 240 Fubini, Satz von 219 f.

Fundamentallemma der Algebra 120 Funktion 115 ff. - , Ableitung einer 142ff. - , algebraische 120 ,beschränkte 117 ,ö- 315 ff. ,differenzierbare 143 ff., 202 , elementare transzendente 136 ff. , Exponential- 136 ff. Funktionen, Gleichheit von 292 Funktion, gleichmäßig stetige 130, 195 Funktionen, Hyperbel- 140 Funktion, implizite 205 ff., 245 , Logarithm us- 138 f. ,Maß- 170 , Mehrdeutigkeit 116 ,monotone 117 f. ,rationale 120 - , Stamm- 174 ff. - ,stetige 123 ff., 194 f. - , stückweise stetig 126 ,Test- 312 ,transzendente 120 ,trigonometrische 139 ,Umkehr- 118f. , Vektor- 237f. - ,zyklometrische 139 f. Funktional 83 f., 310 ff. -, ö- 311 ff. -determinante 242 ff. Funktionenraum 289 ff. -reihen 131 ff. , Konvergenz von 131 ff. , gleichmäßige Konvergenz von 131 ff. ganze Zahlen 16 f. Gauß, Satz von 273, 282ff. Gaußseher Algorithmus

114

Gebiet 191 f. , einfach zusammenhängend 269 , mehrfach zusammenhängend 269 Gebietsintegral 223 f. Gebietstransformation 241 ff. geometrische Reihe 44 geschlossene Kurve 226 glatt 144 ,stückweise 144 Gleichheit von Funktionen 292 gleichmäßige Konvergenz 131,217 gleichmäßig stetige Funktion 130, 195 Gleichung, Parsevaische 307, 329, 332, 339 - , Säkular- 367 Gleichungssystem, lineares 107 ff. -, lineares, homogenes 107ff. -, -, inhomogenes 107, 110 ff. GL(n,IK) 83, 92 , Darstellung der 92

Register Gradient 200, 249ff., 263, 265, 266, 359 Graph 116 Graßmannscher Entwicklungssatz 55 Greenscher Satz 284 Grenze, obere 36 -, untere 36 Grenzwert 24 Gruppe 19 ,abelsche 19 -, Halb- 82 ,kommutative 19

von Potenzreihen 174 Integrationsgrenzen, variable integrierender Faktor 205 Intervallschachtelung 36 invers 105 f. Inversion 5 irrationale Zahlen 26 Isometrie 348 f. Isomorphismus 80 iterierter Limes 194

Häufungspunkt 33ff., 40, 190 Halbgruppe 82 harmonische Reihe 43 Hauptachsentransformation 376f. Hauptsatz der Integralrechnung 177 Hauptwert 116 eines Integrals 18n Heine-Borel, Satz von 35 hermitisch 86 - konjugiert 86 - konjugierter Operator 343 hermitischer Operator 344 Hilbertraum 308 f. homogenes lineares Gleichungssystem Homomorphismus 71 ff. Hyperbelfunktionen 140

Kardinalzahl 2 Kern einer linearen Abbildung 75 Kettenregel 15Of., 208 Körper 19 Kombination 4 f. Kommutativ 19 kompakte Menge 35, 190 komplexe Zahlen 48 ff. Komponenten von Vektoren 57 ff. Komposition von Abbildungen 8 konjugiert-komplexe Zahl 50 kontravariante Indizes 363 f. Konvergenz 24f., 33, 38f., 190 , absolu te 44 f. -, bedingte 44 f. - von Funktionenreihen 131 ff. ,gleichmäßige 131, 217 -kriterium von Weierstraß 132 - im Mittel 293 -radius 135 Koordinaten, krummlinige 259 ff. , orthogonale krummlinige 260ff. - ,Polar- 265 f. -transformation 356 f. ,Zylinder- 261 f., 265 kovariante Indizes 363 f. Kriterium, Konvergenzkriterium von Weierstraß 132 ,Majoranten- 42, 47 - ,Quotienten- 46 -, Wurzel- 47 Kroneckersymbol 57 krummJinige Koordinaten 259 ff. Kurve 226 ff. ,Bogenlänge 230 ,einfache 226 ,geschlossene 226 - ,Parameterdarstellung 226 Kurvenintegral 228 ff.

107 ff.

i, imaginäre Einheit 50 Identität, Cramersche 56 imaginäre Einheit i 50 Imaginärteil 50 implizite Funktion 205 ff., 245 indirekter Beweis 11 Indizes kontravariante 363 f. - kovariante 363 f. Induktion, vollständige 13 f. Infimum 36 inhomogenes lineares Gleichungssystem 107, 110 ff. injektiv 7, 78 ff. innerer Punkt 32, 190 inneres Produkt 53 Integrabilitätsbedingungen 204 f., 279 ff. Integral, bestimmtes Riemann-Integral 164 ff. , Doppel- 223 f. , Flächen- 277 ,Fourier- 335 ff. - ,Gebiets- 223 f. , Hauptwert eines 187f. - , Kurven- 228 ff. -, Lebesgue- 170 f. ,Linien- 228 ff. , unbestimmtes Riemann-Integral 176ff. - ,uneigentliches 185 ff. - -sätze 268 ff. Jntegralion. numeri:-.che 184 . partielle 181 f.

221 f.

.J ; ... : 63 ff. Lagrangesche Multiplikatoren 213 ff. Laplaceoperator 256 f., 263, 265, 266 Lebesgue-Integral 170 f. Lemma, Riemann-Lebesgue 336 I'Hospital, Regel von 162

385

386

Register

Limes 24 - ,einseitiger 125 - inferior 37, 40 - ,iterierter 194 - superior 37, 40 linear abhängig 56 lineare Abbildung, bijektive 78 ff. -, Bild 75 - ,injektive 78 ff., 90 ,Kern 75 ,Matrixschreibweise 96 ,Rang 75 -, reguläre 78ff.,92f. - -, surjektive 78 - von Vektor räumen 71 ff. linearer Operator 342 ff. lineares Gleichungssys tem 107 ff. ,homogenes 107 ff. ,inhomogenes 107, 110ff. linear unabhängig 56, 61 ff., 298 ff. Linienintegral 228 ff. Lösung, allgemeine 109, 111 - ,triviale 108 Logarithmus 29 f., 138 f. Lorentztransformation 355 L(V) 71 ff., 92 L(V,V') 71 ff., 91 Majoranten-Kriterium 42, 47 Maß, äußeres 170 -funktion 170 ,inneres 170 Null, Punktmengen vom 168 Matrix 86 ff. ,adjungierte 105 f. -, antihermitische 86 -, antisymmetrische 86 - , Determinante einer 98 ff. -, hermitische 86 , her mi tisch konjugierte 86 ,inverse 105 f. - , nicht singuläre 92 f. -, Rang 87 ff. -, reguläre 92 f. -, Spaltenrang 87 - ,symmetrische 86 ,transponierte 86 ,Zeilenrang 87 Matrixschreibweise linearer Abbildungen Matrizen, Addition 93 - ,Multiplikation 94 f. -, - mit Skalaren 93 Maximum 117, 162, 209ff. Mehrdeutigkeit bei Funktionen 116 mehrfach zusammenhängend 269 Menge 1 ff. ,abgeschlossene 34, 190

,beschränkte 34, 36, 190 ,dichte 34 Mengen, disjunkte 1 Menge, kompakte 35, 190 -, leere 1 ,offene 34, 190 , Teilmenge 1 Mengen, Differenz ,Durchschnitt 1 -, Vereinigung 1 metrischer Raum 30 ff., 190 - Tensor 364 f. metrische Struktur 20 Minimum 117, 162, 209ff. Minkowskiraum 296 f. Mittelwertsatz der Differentialrechnung - Integralrechnung 171 ff. - -, zweiter 173 monotone Folge 41 - Funktion 117 f. multilineare Abbildung 97 Multiplikation von Matrizen 94f. mit Skalaren 93 - Vektoren mit Skalaren 52 Multiplikatoren, Lagrangesche 213 ff.

156 f., 208

rN 2ff., 14ff. Nabla 200 natürliche Zahlen 2ff., 14 f. Nebenbedingungen, Extremwerte unter 212ff. Nebenklasse 69 ff. negative ganze Zahlen 15 ff. Norm 52f, 60, 190,291 -, positiv definite 296 Normale 240, 253 normaler Operator 374 normierter Vektorraum 60, 190, 291 Null, die Zahl 15 numerische Integration 184

0(1)

144 ff. 144 O(n) 355 obere Grenze 36 Obersumme 165 offene Menge 34, 190 Operator, Differential- 144, 150, 199f., 359 ,hermitischer 344 , hermitisch konjugierter 343 ,linearer 342 ff. ,normaler 374 ,orthogonaler 350 - ,Projektions- 75 ff. - ,symmetrischer 344 ,unitärer 350 Ordnungs relation 8 orthogonal 297 f. orthogonale krummlinige Koordinaten 260 ff.

0(1)

96

Register

orthogonale Polynomsysteme 302 -, Vollständigkeit 322 f. Transformation 351 ff. -, spezielle 351 ff. orthogonaler Operator 350 Orthogonalisierungsverfahren, Schmidtsches 300 f. Orthogonalsystem 298 ff. orthonormal 56 Orthonormalsystem 298 ff. ,abgeschlossenes 308 ff. ,vollständiges 307 f. Orts vektor 51 Paar, geordnetes 2 Parameterdarstellung 226 Parsevaische Gleichung 307, 329, 332, 339 Partialbruchzerlegung 182 f. Partialsummen 42 f. partielle Ableitung 197 ff. Integration 181 f. P ascalsches Dreieck 3 Peano-Axiome 2 Permutation 4 ff. polarer Vektor 361 Polarkoordinaten 265 f. Polynom 119 ,charakteristisches 367 Polynomsysteme, orthogonale 302 , -, Vollständigkeit 322 f. positiv definite Norm 296 Potenz 29 Potenzreihen 134 ff. , Ableitung von 153 , Integration von 174 Produkt, äußeres 53 f. ,inneres 53 ,kartesisches 2 Produktregel 149 f. Produkt, Skalar- 53, 293 ff. - ,Spat- 54 ff. -, Vektor- 53 f. Projektionsoperator 75 ff. Pseudotensor 358. 362f. Punkt, äußerer 32, 190 - ,Häufungspunkt 33 ff., 40, 190 - ,innerer 32, 190 -, Randpunkt 32, 190 - -mengen vom Maß Null 168 18ff. Quotientenkriterium 46 -regel 149 f. 27 f. 47, 189ff. Randpunkt 32, 190 Rang einer linearen Abbildung [R

[Rn

75

- Matrix 87 ff. rationale Funktion 120 Zahlen 18 ff. - -, Abzählbarkeit 20 Raum D 312 - ,Dual- 83 f. - ,euklidischer 294 ff. - ,Faktor- 70 f. ,Funktionen- 289 ff. ,Hilbert- 308 f. ,metrischer 30 ff., 190 - ,Minkowski- 296 f. S 312 - ,unitärer 294 ff. -, Vektor- 52,59ff. - , zusammenhängender topologischer 191, 269 Realteil 50 rechtshändig 56 reelle Zahlen 27 f. ,Dezimalform 26 ,Überabzählbarkeit 27 Regel, Cramersche 112f. -, Ketten- 15Of., 208 - von I'Hospital 162 ,Produkt- 149 f. ,Quotienten- 149 f. Simpsonsche 184 Trapez- 184 regulär 78 ff., 92 f. reguläre Distribution 313 ff. Reihe, alternierende 45 - ,Fourier- 327 ff. ,Funktionen- 131 ff. ,geometrische 44 ,harmonische 43 Reihen, Potenz- 134 ff. Reihe, Taylor- 160f.,209 - ,unendliche 43 ff. Relation 8 - ,Äquivalenzrelation 9 ,Ordnungsrelation 8 Restglied 158, 209 Richtungsableitung 254 Riemann-Integral, bestimmtes 164 ff. - ,unbestimmtes 176 ff. Riemann-Lebesgue-Lemma 336 Ring 82 - ,Endomorphismen- 82 Rolle, Satz von 155 f. Rotation 254 ff., 263, 265, 266, 285 ff. S 312 Säkulargleichung 367 Sattelpunkt 211 Satz, Austausch- 65 - , Binomischer Lehr- 3 - von Bolzano-Weierstraß

37, 190

387

388

Register

Satz. Faltungs- 339 \011 Fubini ~19f. \011 Gauß 273. 282ff. - , Graßmannscher Entwicklungs- 55 ,Greenscher 284 , Hauptsatz der Integralrechnung 177 von Heine-Borel 35 ,lntegral- 268 ff. - , Mittelwertsatz der Differentialrechnung 156f., 208 , Mittelwertsatz der Integralrechnung 171 ff. , zweiter Mittelwertsatz der Integralrechnung 173 - von Rolle 155 f. von Stokes 270ff., 277 ff. ,Vektorhomomorphie- 77 f. , Weierstraßscher Approximationssatz 319 ff. , Zwischenwert- 129 Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren 300 f. Schwarzsches Lemma 198 f. Schwarzsehe Ungleichung 10, 294 f. Signum 5f. Sim psol1schc Regel 185 simultane Diagonalisierung 377 f. singulär 92 f. singuläre Distribution 313 ff. Skalar 51, 357, 359 -produkt 53, 293 ff. SO(n) 355 Spaltenrang 87 Spatprodukt 54 ff. Spiegelung 352 ff. Spur eines Tensors 358 Stammfunktion 174ff. Stetigkeit 122ff., 193ff., 237 stetige Funktion 123 ff., 194 f. Stokes, Satz von 270 ff., 277 ff. Struktur, algebraische 18 f. - ,metrische :8 ,topologische 30ff., 189f. stückweise glatt 144 stetige Funktion 126 Substitution 179 ff., 246ff. Summe, direkte 67 f. zweier Unterräume 66f. Summenkonvention, Einsteinsehe 363 SU(n) 355 Supremum 36 surjektiv 7, 78 symmetrisch 86 symmetrischer Operator 344

Tangente 142, 238 ff. Tangentialebene 195 f., 202, 252 Taylor-Reihe 160f.,209 Taylorsche Formel 157ff., 209

Teilmenge 1 Tensor, metrischer 364 f. - ,Pseudo- 358, 362 f. r. Stufe 357 ff. , Spur 358 , total anti symmetrischer 57 - ,Verjüngung 358 Testfunktion 312 topologische Struktur 30ff., 189ff. totales Differential 201 total orthogonaler Unterraum 85 Transformation, Gebiets- 241 ff. ,Hauptachsen- 376 f. - ,Koordinaten- 356 f. - , Lorentz- 355 ,orthogonale 351 ff. , spezielle orthogonale 351 ff. transponiert 86 Transposition 6 transzendente Funktion 120 ,elementare 136 ff. Zahlen 120 Trape7fegel 1 trigonometrische Funktionen 139 triviale Lösung 108 Überabzählbarkeit der reellen Zahlen 27 f. überabzählbar unendlich 8 Überdeckung 35 Umgebung 32, 35, 190 Umkehrabbildung 8 Umkehrfunktion 118 f. , Ableitung der 151 f. U(n) 355 unbestimmter Ausdruck 161 f. unbestimmtes Riemann-Integral 176 ff. uneigentliche Eigenfunktionen 369 uneigentliches Integral 185 ff. , absolute Konvergenz eines 188 , bedingte Konvergenz eines ! 88 unendliche Reihe 43 ff. Ungleichung 9 f. ,Besselsehe 306 ,Dreiecksungleichung 31, 295 f. ,Schwarzsehe 10, 294 f. unitärer Operator 350 Raum 294ff. Unstetigkeitsstellen 1. Art 125 f. Unterdeterminante 100, 104 untere Grenze 36 Unterraum 63 ff. , total orthogonaler 85 Untersumme 165 Variable Integrationsgrenzen 221 f. Variablensubstitution 179 ff., 246f. Variation 5

Register Vektor 51ff., 357, 359 Vektoren, Addition 51 f. , Approximation von 305 f. Vektor, axialer 361 f. ,Betrag 52 Vektor, Eigen- 366ff. - ,freier 51 Vektoren, linear abhängige 60 - , linear unabhängige 61, 298 ff. Vektor, Multiplikation mit Skalaren Vektoren, orthogonale 297 f. Vektor, Orts- 51 ,polarer 361 -feld 248 ff. -funktion 237 f. - , Ableitung einer 237 -, Stetigkeit einer 237 -homomorphiesatz 77 f. -komponenten 57 ff. - -produkt 53 f. -raum, abstrakter 52, 59 ff. ,Basis 56, 62, 298 - ,Dimension 61 f. -, Erzeugendensystem 64 ff. - ,normierter 60, 190, 291 mit Skalarprodukt 289 ff. Vektorräume, Summe zweier 66 f. Vektorraum, Unterraum 63 ff. Vereinigung von Mengen 1 Verjüngung eines Tensors 358 vollständig 293, 307 ff. vollständige Induktion 13 f.

389

Vollständigkeit der orthogonalen Polynomsysteme 322f. Volumenelement 261, 265, 266 Weierstraß, Konvergenzkriterium von 132 Weierstraßscher Approximationssatz 319ff. Widerspruchsbeweis 11 f. Wurzel 29 -kriterium 47 -ziehen, babylonisches 26 52 16 f. Zahlen, algebraische 120 ,ganze 16f. ,irrationale 26 Zahl, komplexe 48 ff. ,Imaginärteil 50 ,Realteil 50 -, konjugiert-komplexe 50 Zahlen, natürliche 2 ff., 14 f. , negative ganze 15 ff. ,Null 15 ,rationale 18 ff. ,Abzählbarkeit 20 ,reelle 27f. ,Dezimalform 26 -, -, Überabzählbarkeit 27 f. - ,transzendente 120 Zeilenrang 87 zusammenhängend, einfach 269 ,mehrfach 269 zusammenhängender topologischer Raum Zwischenwertsatz 129 zyklometrische Funktionen 139 f. Zylinderkoordinaten 261 L, 265

191, 269