Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung: Eine Einführung (Masterclass) (German Edition) 3540725172, 9783540725176

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Waldmann Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung

Stefan Waldmann

Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung Eine Einführung

Mit 32 Abbildungen

123

HD Dr. Stefan Waldmann Fakultät für Mathematik und Physik Physikalisches Institut Albert-Ludwigs-Universität Hermann Herder Straße 3 79104 Freiburg E-mail: [email protected]

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Mathematics Subject Classification (2000): 53D05, 53D17, 53D20, 53D55, 81S10

ISBN 978-3-540-72517-6 Springer Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Text und Abbildungen wurden mit größter Sorgfalt erarbeitet. Verlag und Autor können jedoch für eventuell verbliebene fehlerhafte Angaben und deren Folgen weder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung übernehmen. Umschlaggestaltung: WMXDesign GmbH, Heidelberg Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Satz: Datenerstellung durch den Autor unter Verwendung eines Springer TEX-Makropakets Gedruckt auf säurefreiem Papier 175/3180YL - 5 4 3 2 1 0

F¨ ur Sonja, Richard, Silvia und Viola

Vorwort

Dieses Buch entstand aus einem – anfangs bei weitem nicht so ausf¨ uhrlich geplanten – Vorlesungsskript zu einer zweisemestrigen Vorlesung u ¨ ber Poisson¨ Geometrie und Deformationsquantisierung mit w¨ochentlichen Ubungen, die ich in Freiburg am Physikalischen Institut im Wintersemester 2003/2004 und im Sommersemester 2004 und dann wieder im Wintersemester 2006/2007 und Sommersemester 2007 hielt. Die Zielgruppe dieser Veranstaltung waren Physik- und Mathematikstudenten im Hauptstudium. Mein wesentliches Ziel bei diesen Vorlesungen und nun auch bei diesem Buch war es, eine koh¨ arente Darstellung der klassischen Mechanik (in Form von symplektischer und Poisson-Geometrie) und ihrer Quantisierung (in Form von Deformations¨ quantisierung) zu geben, da meiner Uberzeugung nach eine klassische physikalische Theorie ohne Blick auf ihre Quantisierung ebenso unvollst¨andig sein muß wie eine quantentheoretische Theorie ohne das genaue Wissen um die klassischen Urspr¨ unge. An der Entstehung dieses Buches haben mir viele Kollegen und Freunde mit Rat und Tat beigestanden, es sei ihnen an dieser Stelle daher herzlich gedankt: vor allem Martin Bordemann, Nikolai Neumaier und Hartmann R¨ omer verdanke ich viele Diskussionen zur Differentialgeometrie, mathematischen Physik und insbesondere zur Deformationsquantisierung, welche auf die eine oder andere Art in diesem Buch mit eingeflossen sind. Thomas Strobl m¨ ochte ich besonders f¨ ur seine wichtigen Kommentare und Hinweise zur Quantisierung danken. Martin Schlichenmaier und Gerd Rudolph geb¨ uhrt ebenfalls großer Dank f¨ ur ihre zahlreichen Verbesserungsvorschl¨age und Kommentare. Juan-Pablo Ortega sei f¨ ur hilfreiche Erkl¨ arungen zur Bl¨atterungstheorie gedankt. Den Freiburger Diplomanden und Doktoranden Florian Becher, Svea Beiser, Michael Carl, Jakob Heller, Hans-Christian Herbig, Stefan Jansen, Frank Keller und Stefan Weiß m¨ ochte ich herzlich f¨ ur ihre Kommentare und das eifrige Korrekturlesen danken. Den H¨ orerinnen und H¨orern meiner Vor¨ lesung sei ebenfalls f¨ ur die vielen Kommentare insbesondere zu den Ubungen gedankt. Weiter m¨ ochte ich Julius Wess ganz besonders f¨ ur die Ermutigung danken, dieses Buch zu schreiben, auch wenn es urspr¨ unglich etwas anders

VIII

Vorwort

geplant war. Ebenfalls danke ich Herrn Prof. Wolf Beiglb¨ock f¨ ur seine Kommentare zu den ersten Versionen des Manuskripts. Schließlich m¨ochte ich den Damen und Herren vom Springer-Verlag f¨ ur ihre Unterst¨ utzung bei der Umsetzung dieses Buchprojekts danken. Der gr¨ oßte Dank geb¨ uhrt aber sicherlich meinen Kindern Silvia, Richard und Sonja, die mit viel Geduld lange Abwesenheiten meinerseits ertrugen, und meiner Frau Viola, die mir jederzeit Diskussionspartner, St¨ utze und Inspiration bei der Entstehung dieses Buches war.

Freiburg, Mai 2007

Stefan Waldmann

Inhaltsverzeichnis

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1

Aspekte der Hamiltonschen Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Analytische Aspekte der Hamiltonschen Mechanik . . . . . . . . . . . 1.2 Geometrische Aspekte der Hamiltonschen Mechanik . . . . . . . . . 1.2.1 Geometrische Eigenschaften von Fl¨ ussen . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Hamiltonsche Fl¨ usse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Die symplektische Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Algebraische Aspekte der Hamiltonschen Mechanik . . . . . . . . . . 1.3.1 Observable und Zust¨ ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Die Poisson-Klammer und die Zeitentwicklung . . . . . . . . 1.4 Warum Geometrische Mechanik“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ” 1.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 10 12 12 13 15 16 16 20 21 22

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Differentialgeometrische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Karten und Atlanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Tangentialvektoren und das Tangentenb¨ undel . . . . . . . . . 2.1.3 Vektorfelder, Fl¨ usse und Lie-Klammern . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Vektorb¨ undel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 B¨ undelkarten und erste Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Konstruktionen von Vektorb¨ undeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Algebraische Strukturen f¨ ur Schnitte von Vektorb¨ undeln 2.2.4 Kovariante Ableitungen und Kr¨ ummung . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Orientierung und α-Dichtenb¨ undel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Kalk¨ ul auf Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Tensorfelder und Lie-Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Multivektorfelder und die Schouten-Nijenhuis-Klammer 2.3.4 Integration auf Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29 30 30 35 41 45 46 50 54 60 63 72 72 75 82 87 92

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Inhaltsverzeichnis

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Symplektische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.1 Symplektische Mannigfaltigkeiten als Phasenr¨aume . . . . . . . . . . 105 3.1.1 Definitionen und erste Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.1.2 Hamiltonsche Vektorfelder und Poisson-Klammern . . . . . 108 3.1.3 Das Darboux-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.2 Beispiele von symplektischen Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . 118 3.2.1 Kotangentenb¨ undel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.2.2 Von Lagrangescher zu Hamiltonscher Mechanik . . . . . . . 130 3.2.3 Fast-Komplexe Strukturen und K¨ahlerMannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 3.3 Impulsabbildungen und Phasenraumreduktion . . . . . . . . . . . . . . 151 3.3.1 Lie-Gruppen und Gruppenwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . 152 3.3.2 Impulsabbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 3.3.3 Die Marsden-Weinstein-Reduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 3.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

4

Poisson-Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 4.1 Poisson-Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 4.1.1 Poisson-Klammern und Poisson-Tensoren . . . . . . . . . . . . . 211 4.1.2 Hamiltonsche und Poisson-Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . 215 4.1.3 Beispiele von Poisson-Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . 218 4.1.4 Symplektische Bl¨ atterung und das Splitting-Theorem . . 225 4.1.5 Poisson-Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 4.2 Lie-Algebroide und Poisson-Kohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 4.2.1 Lie-Algebroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 4.2.2 Poisson-Kohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 4.2.3 Die fundamentale und die modulare Klasse . . . . . . . . . . . 253 4.2.4 Formale Poisson-Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 4.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

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Quantisierung: Erste Schritte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 5.1 Die Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 5.1.1 Klassische Mechanik und Quantenmechanik im Vergleich283 5.1.2 Quantisierung und klassischer Limes . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 5.2 Kanonische Quantisierung f¨ ur polynomiale Funktionen . . . . . . . 292 5.2.1 Das Groenewold-van Hove-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 5.2.2 Ordnungsvorschriften: Standard- und Weyl-Ordnung . . . 299 5.2.3 Wick-, Anti-Wick- und κ ˜-Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 5.2.4 Die ersten Sternprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 5.3 Symbolkalk¨ ul f¨ ur Pseudodifferentialoperatoren . . . . . . . . . . . . . . 314 5.3.1 Integralformeln und Pseudodifferentialoperatoren . . . . . . 315 5.3.2 Integralformeln f¨ ur die Sternprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . 324 5.3.3 Asymptotische Entwicklungen und ihre Konvergenz . . . . 331 5.3.4 Asymptotische Entwicklung und klassischer Limes . . . . . 336 5.4 Geometrische Verallgemeinerung: Kotangentenb¨ undel . . . . . . . . 337

Inhaltsverzeichnis

XI

5.4.1 Standardgeordnete Quantisierung auf T ∗ Q . . . . . . . . . . . 338 5.4.2 κ-Ordnung und Sternprodukte auf T ∗ Q . . . . . . . . . . . . . . 347 5.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 6

Formale Deformationsquantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 6.1 Sternprodukte auf Poisson-Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . 372 6.1.1 Ziele und Erwartungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 6.1.2 Die Definition von Sternprodukten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 6.1.3 Existenz und Klassifikation von Sternprodukten . . . . . . . 380 6.2 Algebraische Deformationstheorie nach Gerstenhaber . . . . . . . . 386 6.2.1 λ-Adische Topologie und der Banachsche Fixpunktsatz . 389 6.2.2 Die Gerstenhaber-Klammer und der Hochschild-Komplex393 6.2.3 Formale Deformationen assoziativer Algebren . . . . . . . . . 402 6.2.4 Eine formale assoziative Deformation . . . . . . . . . . . . . . . . 410 6.2.5 Das Hochschild-Kostant-Rosenberg-Theorem . . . . . . . . . . 413 6.3 Kalk¨ ul mit Sternprodukten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 6.3.1 Inverse, Exponential- und Logarithmusfunktion . . . . . . . 419 6.3.2 Derivationen von Sternprodukten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 6.3.3 Automorphismen von Sternprodukten . . . . . . . . . . . . . . . . 429 6.3.4 Zeitentwicklung und die Heisenberg-Gleichung . . . . . . . . 433 6.3.5 Spurfunktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 6.4 Die Fedosov-Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 6.4.1 Das formale Weyl-Algebrab¨ undel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 6.4.2 Die Fedosov-Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 6.4.3 Die Fedosov-Taylor-Reihe und das Fedosov-Sternprodukt464 6.4.4 Die Fedosov-Klasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 6.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

7

Zust¨ ande und Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 7.1 Zust¨ ande als positive Funktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486 7.1.1 Geordnete Ringe, Pr¨ a-Hilbert-R¨aume und ∗ -Algebren . . 487 7.1.2 Positivit¨ atsbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 7.1.3 Positive Funktionale in der Deformationsquantisierung . 501 7.1.4 Die KMS-Bedingung und thermodynamische Zust¨ande . 507 7.1.5 Positive Deformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512 7.2 Darstellungen und GNS-Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 7.2.1 Elementare Darstellungstheorie einer ∗ -Algebra . . . . . . . 518 7.2.2 Die allgemeine GNS-Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 7.2.3 GNS-Darstellungen in der Deformationsquantisierung . . 525 7.2.4 Deformation und klassischer Limes von ∗ -Darstellungen 537 7.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544

XII

A

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Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . 551 A.1 Zerlegungen der Eins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551 A.2 Algebraische Definition von Differentialoperatoren . . . . . . . . . . . 556 A.3 Differentialoperatoren der Algebra C ∞ (M ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 560 A.4 Algebraische Definition von Multidifferentialoperatoren . . . . . . . 566 A.5 Multidifferentialoperatoren auf Schnitten von Vektorb¨ undeln . . 573

Kommentiertes Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601

Einleitung

In diesem Lehrbuch der mathematischen Physik soll eine koh¨arente Darstellung der Poisson-Geometrie und der Deformationsquantisierung erreicht werden. Das Buch gliedert sich daher in zwei große Teile, den der klassischen Mechanik und den der Quantenmechanik. Beide Teil sind jedoch inhaltlich eng verzahnt und nehmen Bezug aufeinander, nicht zuletzt um die Problematik der Quantisierung zu verdeutlichen: ohne genaue Kenntnis der klassischen Situation bleibt Quantisierung ein leerer Begriff. Die Quantentheorie ist andererseits ohne R¨ uckgriff auf klassische Begriffe in weiten Teilen nicht interpretierbar, so daß der Quantisierung und dem klassischen Limes eine Schl¨ usselrolle beim Verst¨ andnis der Quantentheorie zukommt. Dar¨ uberhinaus lassen sich viele Konstruktionen und Begriffe in der klassischen Mechanik nur im Hinblick auf ihre quantentheoretischen Analoga vollst¨andig verstehen und motivieren. Daher ist es das erkl¨ arte Ziel dieses Buches, die klassische Mechanik gemeinsam mit ihrer Quantisierungstheorie zu beschreiben und daf¨ ur die angemessenen mathematischen Techniken zu entwickeln. Hier beschreitet das vorliegende Buch nicht nur den u ¨ blichen Weg eines Lehrbuchs der Mathematik, es wird vielmehr versucht, die physikalische Motivation, Interpretation und Bedeutung der einzelnen mathematischen Strukturen klar herauszustellen. Gerade durch diese koh¨ arente Darstellung soll der engen Verbindung von Physik und Mathematik im Bereich der Mechanik und Quantisierungstheorie Rechnung getragen werden.

Klassische Mechanik. . . Die klassische Mechanik besitzt viele mathematische Formulierungen und gilt nicht zuletzt deshalb als eine der bestverstandenen physikalischen Theorien, weil je nach konkreter Situation verschiedene, bestens angepaßte Techniken zur Verf¨ ugung stehen. Aber auch auf konzeptueller Ebene ist die klassische Mechanik diejenige physikalische Theorie, die der Anschauung und damit der Interpretation am wenigsten Probleme bereitet.

2

Einleitung

Im Hinblick auf die angestrebte Quantisierung gilt es eine geeignete Auswahl unter den mathematischen Formulierungen zu treffen, die im vorliegenden Buch auf die Hamiltonsche Formulierung der klassischen Mechanik fallen wird. Diese erweist sich zum einen als besonders nahe an der Quantenmechanik, was sie attraktiv f¨ ur Quantisierungstheorien macht, zum anderen ¨offnet der Hamiltonsche Zugang die T¨ uren zu einer geometrischen Beschreibung der Mechanik mit Hilfe der symplektischen Geometrie und der Poisson-Geometrie. An dieser Stelle sollte jedoch nicht verschwiegen werden, daß die klassische Mechanik mehr Ph¨ anomene bereit h¨ alt also die, die mit der Hamiltonschen Formulierung angemessen beschrieben werden k¨onnen, insbesondere seien hier dissipative Systeme, bei denen die Energieerhaltung verletzt ist, und Systeme mit stochastischen Einfl¨ ussen genannt. Der wesentliche Aspekt der Hamiltonschen Mechanik, welcher sich in der symplektischen Geometrie wie auch der Poisson-Geometrie wiederfindet, ist ja gerade die Energieerhaltung: Die fundamentalen Hamiltonschen Gleichungen q(t) ˙ =

∂H (q(t), p(t)) ∂p

und

p(t) ˙ =−

∂H (q(t), p(t)) ∂q

f¨ ur gesuchte Kurven q, p : −→ n bei gegebenen Anfangsbedingungen q(0) = q0 und p(0) = p0 zu einer vorher festgelegten Hamilton-Funktion H beschreiben eine Dynamik, so daß die Funktion H selbst immer eine Erhaltungsgr¨ oße ist. Entscheidend hierf¨ ur ist das vielleicht wichtigste Minuszeichen der mathematischen Physik in den Hamiltonschen Gleichungen sowie die Tatsache, daß partielle Ableitungen vertauschen, sofern H von der Klasse C 2 ist, was immer angenommen werden soll. Diese Antisymmetrie in den Hamiltonschen Gleichungen unter Vertauschung von Orten q und Impulsen p wird nun zum grundlegenden Prinzip in der symplektischen Geometrie: Gegenstand der symplektischen Geometrie sind Mannigfaltigkeiten mit einer antisymmetrischen nichtausgearteten Bilinearform ω auf jedem Tangentialraum, der symplektischen Form. Ganz anders verh¨ alt es sich beispielsweise mit der Riemannschen Geometrie, wo die Symmetrie eines Skalarprodukts als Ausgangspunkt genommen wird, um symmetrische Bilinearformen zu betrachten. W¨ ahrend nun die Hamiltonsche Mechanik auf dem einfachsten Phasenraum 2n im wesentlichen durch symplektische lineare Algebra beschrieben werden kann, ben¨ otigt man im allgemeinen geometrischen Kontext eine Integrabilit¨atsbedingung, die Geschlossenheit der symplektischen Form. Diese gestattet es letztlich, die aus dem 2n bekannte Poisson-Klammer von Funktionen  n   ∂f ∂g ∂f ∂g − {f, g} = ∂q k ∂pk ∂pk ∂q k k=1

auch geometrisch zu verallgemeinern, so daß die algebraischen Eigenschaften beibehalten werden k¨ onnen: Antisymmetrie (erneut das wichtigste Minuszeichen) und Jacobi-Identit¨ at. Daß es sich bei der Geschlossenheit tats¨achlich um eine Integrabilit¨ atbedingung handelt, ist gerade die Aussage des Darboux-

Einleitung

3

Theorems: es lassen sich auf jeder symplektischen Mannigfaltigkeit lokale Koordinaten finden, so daß die Hamiltonschen Gleichungen und die PoissonKlammer die obige einfache Gestalt annehmen. Es stellt sich nun die Frage, warum sich insbesondere auch Physiker mit symplektischer Geometrie besch¨ aftigen sollten, wo doch die relevanten“ me” chanischen Systeme bequem mit dem Phasenraum 2n beschrieben werden k¨ onnen. Hier gibt es mindestens zwei Antworten: zum einen sind auch mechanische Systeme mit Zwangsbedingungen relevant, welche im einfachsten Fall zu Phasenr¨ aumen f¨ uhren, die mathematisch durch das Kotangentenb¨ undel eines geometrisch nicht-trivialen Konfigurationsraumes beschrieben werden. Globale Effekte, wie sie in diesem Fall beispielsweise bei einem geladenen Teilchen im magnetischen Feld eines (hypothetischen) magnetischen Monopols auftreten, zeigen, daß eine rein lokale Sicht der Dinge wesentliche physikalische Ph¨ anomene u ¨bersehen muß. Zum anderen, und dies ist vermutlich der fundamentalere Grund, treten bei mechanischen Systemen mit Symmetrien bei der Beschreibung der reduzierten Phasenr¨aume, wo also bestimmte Erhaltungsgr¨ oßen, die Komponenten einer Impulsabbildung, in ihren Werten fixiert wurden, symplektischen Mannigfaltigkeiten auf, welche eine nahezu generische Komplexit¨ at aufweisen k¨ onnen, auch wenn das urspr¨ ungliche System den trivialen Phasenraum 2n besaß. Der Schritt von der symplektischen Geometrie zur allgemeineren PoissonGeometrie ist dagegen vergleichsweise leicht zu verstehen, insbesondere im Hinblick auf die angestrebte Quantisierung. Es ist letztlich nicht die Geometrie, welche f¨ ur ein mechanisches System ausschlaggebend ist, sondern die algebraische Beschreibung der Observablen mit Hilfe der Poisson-Algebra der Funktionen auf dem Phasenraum, welche geometrischen Strukturen der Phasenraum selbst auch immer haben mag. Fordert man daher nur die Existenz einer Poisson-Klammer f¨ ur die Funktionen, so erh¨alt man als zugrundeliegende geometrische Struktur einen Poisson-Tensor auf dem Phasenraum, der nun im Gegensatz zum symplektischen Fall auch ausgeartet sein darf. Auf diese Weise erh¨ alt man dann eine willkommene Verallgemeinerung der symplektischen Geometrie, die immer noch die relevanten algebraischen Strukturen bereith¨ alt, die bei der Quantisierung von N¨ oten sind, aber nun neue Beispielklassen und Ph¨ anomene erm¨ oglicht. Als erstes wichtiges Strukturmerkmal von Poisson-Mannigfaltigkeiten erh¨ alt man das Resultat, daß sie sich auf kanonische Weise in immersierte symplektische Untermannigfaltigkeiten zerbl¨attern, wobei die Bl¨ atterung im allgemeinen singul¨ ar und damit sehr kompliziert ist. Eines der wichtigsten Beispiele f¨ ur eine Poisson-Mannigfaltigkeit ist der Dualraum g∗ einer Lie-Algebra g, auf dem es eine kanonische lineare PoissonStruktur gibt. Dieses Beispiel erlaubt es zugleich, Poisson-Geometrie als eine Verallgemeinerung von Lie-Algebratheorie zu sehen. Mit diesem Beispiel erweist sich Poisson-Geometrie als u utzlich beim Verst¨andnis von Sym¨ beraus n¨ metrien: die Impulsabbildung eines Hamiltonschen Systems mit Symmetrie ist eine Poisson-Abbildung J : M −→ g∗ , womit Poisson-geometrische Methoden auch Einzug in die symplektische Geometrie halten. Dar¨ uberhinaus liefern

4

Einleitung

Poisson-Mannigfaltigkeiten erste Beispiele f¨ ur Lie-Algebroide, die ihrerseits ebenfalls zur Verallgemeinerung von Symmetriekonzepten herangezogen werden k¨ onnen. Die beiden letzten Aspekte von Poisson-Geometrie zeigen klar das Potential dieser Konzepte auch jenseits von Anwendungen in der geometrischen Mechanik.

. . . und ihre Quantisierung ¨ Die fundamentale physikalische Konstante, die den Ubergang von klassischer Physik zu Quantenphysik kontrolliert, ist das Plancksche Wirkungsquantum  = 1.05457168 × 10−34 Js der physikalischen Dimension Wirkung. Bei der Beschreibung eines physikalisches System muß mit Quanteneffekten gerechnet werden, wenn typische Gr¨ oßen des Systems der Dimension Wirkung von der Gr¨ oßenordnung  sind, und es ist leider sehr schwer zu sagen, was nun typischen Gr¨ oßen“ sein sollen, die in Relation zu  gesetzt werden m¨ ussen. ” Eine Theorie der Quantisierung soll nun diese Vorstellungen genauer fassen und mathematisch pr¨ azisieren. W¨ ahrend es bei der mathematischen Modellierung klassischer mechanischer Systeme einen großen Konsens gibt, welche Situation welche Beschreibung erfordert, zeigt sich das Bild deutlich weniger einheitlich, wenn es um ¨ den Ubergang von klassischer Physik zur Quantenphysik geht. Abgesehen von Zug¨ angen zur Quantenphysik, die die Notwendigkeit und N¨ utzlichkeit einer Quantisierung g¨anzlich negieren, gibt es sehr viele konkurrierende Methoden der Quantisierung, wie etwa die sogenannte kanonische Quantisierung, gruppentheoretische Techniken, Pfadintegralquantisierung, geometrische Quantisierung und eben Deformationsquantisierung, um nur einige –ohne jeden Anspruch auf Vollst¨andigkeit– zu nennen. Bevor man nun die Diskussion um die richtige“ Quantisierung beginnt, sollte man zun¨achst klarstellen, daß Quan” tisierung von einem physikalischen Standpunkt aus ein im wesentlichen irrelevantes Problem darstellt: nach allem, was zur Beziehung von klassischer Physik und Quantenphysik bekannt ist, handelt es sich bei der Quantentheorie um die fundamentalere und universellere Beschreibung der Natur, womit letztere sowieso schon quantisiert“ ist. Das eigentliche physikalische und auch ” ungleich schwierigere Problem ist es, zu erkl¨ aren, wieso in einer reinen Quantenwelt in gewissen Bereichen u berhaupt eine klassische Beschreibung m¨oglich ¨ und sinnvoll ist. Ein konzeptuell klares Verst¨ andnis dieses klassischen Limes ist sicherlich noch nicht erreicht, geht es dabei doch um sehr viel mehr als die bloße Rechtfertigung gewisser N¨ aherungen: das Auftreten einer deterministischen klassischen Mechanik aus einer indeterministischen Quantenmechanik r¨ uhrt letztlich an den fundamentalen Fragen zur Interpretation der Quantenmechanik selbst. In diesem Lichte l¨ aßt sich der Wunsch nach einer Quantisierung als ein sehr viel bescheidenerer erkennen: gesucht werden Kandidaten f¨ ur ein mathematisches Modell der Quantentheorie unter Benutzung der Vorkenntnis der

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5

klassischen Beschreibung, auch wenn klar ist, daß es letztlich nur eine physikalisch richtige Beschreibung geben wird. Quantisierung l¨aßt sich daher als pragmatischer Zugang zu einer mathematischen Modellierung eines Quantensystems verstehen, f¨ ur welches das Aufstellen einer a priori quantentheoretischen Beschreibung zu schwierig und unzug¨ anglich ist. Ohne auf einen detaillierten Vergleich der einzelnen Quantisierungsmethoden einzugehen, dies erforderte sicherlich ein eigenst¨andiges Lehrbuch, lassen sich doch folgende Charakteristika erkennen: da es sich bei der Quantisierung mathematisch gesehen um ein recht schlecht gestelltes Problem handelt, sind zun¨ achst die klassischen Voraussetzungen zu kl¨aren und einzugrenzen. Je besser das klassische System bekannt ist und je genaueres Vorwissen u ¨ ber es benutzt werden kann, desto spezifischere Resultate kann man von einer Quantisierung erwarten. Im Idealfall l¨ aßt sich so eine (und damit die) quantentheoretische Beschreibung gewinnen. Der Preis daf¨ ur ist jedoch, daß unter Umst¨ anden eben sehr viele, stark beispielabh¨angige Informationen benutzt werden m¨ ussen und so allgemeine Aussagen u ¨ber das Verh¨altnis von klassischer Physik zu Quantenphysik kaum m¨ oglich sind. Dies hingegen w¨are das Ziel einer Quantisierungstheorie, die von einer m¨oglichst generischen klassischen Situation ausgeht, etwa von einer symplektischen oder gar PoissonMannigfaltigkeit, und anschließend damit Kandidaten f¨ ur die entsprechende Quantentheorie zu konstruieren sucht. F¨ ur diesen, ebenfalls extremen Standpunkt gilt entsprechend, daß sich kaum erwarten l¨aßt, einen eindeutigen Kandidaten zu finden. Vielmehr wird man sich begn¨ ugen m¨ ussen, die vielen Kandidaten in sinnvoller Weise zu klassifizieren. Erst durch anschließende Spezialisierung der klassischen Ausgangssituation wird sich die Wahl eingrenzen lassen. Es ist klar, daß beide Extreme ihre Vor- und Nachteile besitzen: f¨ ur eine relevante Anwendbarkeit in der Physik muß der Weg zu Ende gegangen werden, was f¨ ur eine Ber¨ ucksichtigung aller zur Verf¨ ugung stehenden Information spricht. Umgekehrt erlaubt nur eine einigermaßen generische klassische Situation eine vern¨ unftige Axiomatisierung und damit Mathematisierung des Quantisierungsvorhabens. Die Deformationsquantisierung und damit der Gegenstand des zweiten großen Teils dieses Buches ist sicherlich eine derjenigen Quantisierungsmethoden, die mit sehr geringen Voraussetzungen auf klassischer Seite auskommt. Die grundlegende Motivation bezieht die Deformationsquantisierung aus folgender Beobachtung: F¨ ur den trivialen Phasenraum 2n ist die Quantentheorie bekannt und l¨ aßt sich beispielsweise im Schr¨odingerschen Bild realisieren: Der relevante Hilbert-Raum der Zustandsvektoren ist der Raum der quadratintegrablen Wellenfunktionen L2 ( n , dn x), und die Observablen werden durch typischerweise unbeschr¨ ankte Operatoren in L2 ( n , dn x) beschrieben. Die fundamentalen Observablen sind die u ¨blichen Orts- und Impulsoperatoren und deren Polynome. Nach Wahl einer Ordnungsvorschrift lassen sich den klassischen Polynomen in Orts- und Impulskoordinaten nun entsprechende Polynome der nicht l¨ anger kommutativen Orts- und Impulsoperatoren zuord-

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Einleitung

nen. Mathematisch gesehen f¨ uhrt dies zu einem (vollst¨andigen) Symbolkalk¨ ul f¨ ur Differentialoperatoren mit glatten Koeffizienten, wobei die Symbole also durch glatte Funktionen auf 2n beschrieben werden, die in den Impulsen polynomial sind. Mit Hilfe dieser Quantisierungsabbildung l¨aßt sich nun das nichtkommutative Operatorprodukt der Differentialoperatoren auf die Symbole zur¨ uckziehen, und man erh¨ alt so die ersten Beispiele f¨ ur das fundamentale Objekt in der Deformationsquantisierung, ein Sternprodukt. W¨ahlt man beispielsweise als Ordnungsvorschrift die Weylsche Symmetrisierungsvorschrift, so erh¨ alt man das Weyl-Sternprodukt  r r   ∞  1 i  r ∂rf ∂rg (−1)r−s s r−s s r−s , f Weyl g = s r! 2 ∂q ∂p ∂p ∂q r=0 s=0 wobei die vermeintlich unendliche Reihe abbricht, da f , g in den Impulsen polynomial sind. Es sind nun genau die Eigenschaften von solchen konkret gewonnenen Sternprodukten, welche verallgemeinert und axiomatisiert werden k¨ onnen: In nullter Ordnung des Planckschen Wirkungsquantums  ist Weyl gerade das punktweise, kommutative Produkt f g, in erster Ordnung liefert der Weyl -Kommutator die Poisson-Klammer i{f, g}, die h¨oheren Ordnungen schließlich bestehen aus Bidifferentialoperatoren, so daß Weyl insgesamt assoziativ ist. Da es sich bei Weyl um ein isomorphes Abbild der u ¨blichen Operatormultiplikation handelt, enth¨ alt Weyl per constructionem die selbe Information wie die u ¨ bliche Formulierung der Quantenmechanik mit Operatoren in L2 ( n , dn x). Um nun die Eigenschaften von Weyl zu axiomatisieren, gilt es zun¨achst folgendes Problem zu bew¨ altigen: auf einer generischen symplektischen oder gar Poisson-Mannigfaltigkeit gibt es keine ausgezeichnete Funktionenklasse, ur die den in den Impulsen polynomialen Funktionen auf 2n entspricht. F¨ beliebige glatte Funktionen ist Weyl aber sicher nicht konvergent und daher nur als eine formale Potenzreihe in  zu verstehen. In einem ersten Schritt betrachtet man daher nur solche formalen Sternprodukte, dann allerdings ist eine allgemeine Definition f¨ ur Poisson-Mannigfaltigkeiten unmittelbar klar:  ist eine assoziative Multiplikation f¨ ur die formalen Reihen C ∞ (M )[[λ]], wobei der formale Parameter λ in konvergenten Situationen  entspricht, derart daß in nullter Ordnung von λ die punktweise Multiplikation und in erster Ordnung im Kommutator die Poisson-Klammer erhalten wird. Einer der großen Vorz¨ uge der Deformationsquantisierung ist, daß sowohl die Existenz allgemein f¨ ur Poisson-Mannigfaltigkeiten gesichert als auch die Klassifikation von Sternprodukten gut verstanden ist. Die verbleibenden Schwierigkeiten sind trotzdem zahlreich. So m¨achtig die allgemeinen Existenzund Klassifikationss¨ atze auch sind, so schwierig ist es, konkrete Formeln und explizite Beispiele anzugeben. Viele dieser wenigen werden jedoch in diesem Buch eingehend diskutiert. Weiter ist der formale Charakter der Sternprodukte physikalische sicherlich unbefriedigend und muß in einem weiteren Schritt u ultige Aus¨ berwunden werden. Hier zeigt sich, daß es nur wenige allgemein g¨

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sagen gibt, vielmehr h¨ angt die L¨ osung des Konvergenzproblems sehr spezifisch von den betrachteten Beispielen ab und ist dann mitunter auch sehr technisch. Die physikalische Interpretation der so erhaltenen Sternproduktalgebren, sieht man von den Konvergenzproblemen einmal ab, ist die der Observablenalgebra der Quantentheorie. Es ist einer der wesentlichen Z¨ uge der Deformationsquantisierung, die Observablenalgebra als das prim¨are Objekt der Quantentheorie zu verstehen und als zweiten Schritt daraus die Zust¨ande sowie Hilbert-Raumdarstellungen abzuleiten. Dieser zweite Schritt sollte in seiner Bedeutung jedoch nicht untersch¨ atzt werden, da f¨ ur eine vollst¨andige quantenmechanische Beschreibung sicherlich auch ein angemessener Begriff f¨ ur Zust¨ ande vorhanden sein muß. In der Deformationsquantisierung, wie auch in anderen Zug¨ angen zur Quantentheorie, die auf der Observablenalgebra basieren, bedient man sich dabei der positiven Funktionale als Zust¨ande, ganz analog zur Vorgehensweise f¨ ur C ∗ - oder allgemeiner O∗ -Algebren. Eine kleine Schwierigkeit ist jetzt jedoch, daß zun¨ achst ein geeigneter Positivit¨atsbegriff im Rahmen der formalen Potenzreihen gefunden werden muß. Ist dies aber erreicht, so lassen sich auch die weiteren Konzepte der Theorie der C ∗ - und O∗ -Algebren u ¨ bertragen und insbesondere Darstellungen konstruieren.

Zum Gebrauch dieses Buches Als ein Lehrbuch der mathematischen Physik richtet sich dieses Buch vor allem an Studenten und Studentinnen der Mathematik und Physik, welche sich bereits im Hauptstudium befinden. Des weiteren mag das Buch als koh¨arente Darstellung der Poisson-Geometrie und der Deformationsquantisierung und damit als Nachschlagewerk oder auch als Grundlage f¨ ur Vorlesungen und Seminare zu diesem Thema dienen. Es wird stillschweigend vorausgesetzt, daß der Leser oder die Leserin neben den Grundvorlesungen in Mathematik (Analysis und (multi-)lineare Algebra) und Physik (vor allem theoretische Mechanik) auch u ¨ ber ein solides Grundwissen in der Quantenmechanik verf¨ ugt. Vorwissen in Differentialgeometrie ist hingegen nicht erforderlich, da alle ben¨ otigten Konzepte und Techniken teilweise zwar knapp aber doch vollst¨ andig entwickelt werden. Das Buch kann und will jedoch ein Lehrbuch zur Differentialgeometrie nicht ersetzen, so daß f¨ ur etliche Beweise und weiterf¨ uhrendes Material auf entsprechende Lehrb¨ ucher zur¨ uckgegriffen werden sollte. Dar¨ uberhinaus ist eine gewisse Vertrautheit mit elementaren Begriffen der Algebra und der mengentheoretischen Topologie sicherlich n¨ utzlich. Die wichtigste Voraussetzung ist jedoch sicherlich wie immer das Interesse am Gegenstand der Betrachtungen. ¨ Zum Abschluß jedes Kapitels findet sich ein Abschnitt mit Ubungsaufgaben, denen eine zentrale Bedeutung zukommt: zum einen l¨aßt sich wohl kein Gebiet der mathematischen Physik erlernen und verstehen, wenn man nicht Hand anlegt und eine bestimmte Menge an Rechnungen selbst durchf¨ uhrt. Zum ¨ anderen beinhalten die teilweise ausf¨ uhrlichen und umfangreichen Ubungen

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erg¨ anzendes Material wie auch Details zu Beweisen, die im Haupttext nicht ¨ ausgef¨ uhrt werden. Es gibt zwar keine expliziten L¨osungen zu den Ubungen, jedoch sind sie mit zahlreichen Hinweisen und Anleitungen versehen, so daß einer erfolgreichen Bearbeitung nichts im Wege stehen sollte. Das Literaturverzeichnis gliedert sich in zwei Teile, zum einen gibt es eine nach Kapiteln geordnete kommentierte Sammlung von Verweisen auf ¨ Lehrb¨ ucher und einzelne Ubersichtsartikel, welche gerade Studentinnen und Studenten als erste Anlaufstelle zum Weiterlesen dienen sollten. Das eigentliche Literaturverzeichnis ist alphabetisch geordnet und die Verweise im Haupttext beziehen sich auf diesen Teil. Hier findet sich eine F¨ ulle von Originalarbeiten, welche jedoch trotzdem notwendigerweise unvollst¨andig bleiben muß. Dieser Teil ist daher eher f¨ ur die fortgeschrittenere Leserschaft gedacht, die einzelne, speziellere Aspekte recherchieren will. Das Ende eines Beweises wird mit dem Symbol  , ein Teilabschnitt eines Beweises mit  gekennzeichnet. Neue Begriffe, Bezeichnungen und Notationen werden sowohl in abgesetzten Definitionen als auch direkt im laufenden Text erkl¨art. Dar¨ uberhinaus werden folgende Konventionen allgemein benutzt: Die nat¨ urliche Zahlen beginnen mit {1, 2, . . .} und 0 = ∪ {0}. Wie in der Differentialgeometrie u ¨blich wird die Einsteinsche Summenkonvention verwendet: u ¨ ber doppelt vorkommende (Koordinaten-) Indizes ist automatisch zu summieren. Unter glatten Funktionen werden unendlich oft stetig differenzierbare Funktionen verstanden, was synonym zur Bezeichnung C ∞ verwendet wird. Allgemeiner steht C k f¨ ur k-mal stetig differenzierbar und C ω f¨ ur reell-analytisch. DieBezeichnung V • soll andeuten, daß der Vektorraum V gradiert ist, also V = k∈ V k , wobei die Summe auch u ¨ ber Teilmengen von laufen kann. Entsprechend bedeutet φ : V • −→ W •+ , daß die lineare Abbildung φ homogen vom Grade ist,









i

ur alle k. In einer Aufz¨ ahlung bedeutet a1 , . . . , ∧, . . . , an , also φ(V k ) ⊆ W k+ f¨ daß ai nicht auftritt. Schließlich bezeichnet δij das Kronecker-Symbol und ijk den total antisymmetrischen -Tensor, also ijk = sign(ijk) falls ijk eine Permutation von 123 ist und 0 sonst. Die Tensorprodukte ⊗ sind meistens oder zu verstehen, gelegentlich wird der Grundring auch explizit u ¨ ber angegeben, um Mißverst¨ andnissen vorzubeugen. Jeder wissenschaftliche Text gr¨ oßeren Umfangs enth¨alt zweifellos und unweigerlich Fehler verschiedener Natur. Bekannte Fehler und deren Korrekturen sowie weitere Informationen zur Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung, Links zum Thema, weitere Hinweise zu den Aufgaben sowie aktualisierte Literaturangaben finden sich im Internet unter:



http://idefix.physik.uni-freiburg.de/~stefan/

1 Aspekte der Hamiltonschen Mechanik

Die klassische Mechanik ist aus mehrerlei Gr¨ unden diejenige physikalische Theorie, welche als Vorbild f¨ ur jeden anderen Zweig der Physik dienen sollte. Zum einen bietet sie die am besten verstandene Begrifflichkeit: Die Zuordnung von physikalischen Ph¨ anomenen und mathematischen Modellen ist nirgends so gut verstanden wie in der klassischen Mechanik, weshalb sich in diesem Aspekt jede andere physikalische Theorie an der Mechanik messen lassen muß. Zum anderen ist die klassische Mechanik Ausgangspunkt f¨ ur vielerlei ¨ Verallgemeinerungen: Der Ubergang von endlich vielen zu unendlich vielen Freiheitsgraden f¨ uhrt ins Reich der Feldtheorie und der statistischen Physik, ¨ der Ubergang von klassischer Physik zur Quantenphysik wird in den folgenden Kapiteln noch eingehend studiert werden. Ziel dieses Kapitels ist es, die wohlbekannte Hamiltonsche Mechanik im 2n zu wiederholen, siehe beispielsweise [11, 140, 171], und eine Formulierung bereitzustellen, die sich auf geometrischere Situationen verallgemeinern l¨aßt. Der Konfigurationsraum eines klassischen Hamiltonschen Systems ist von der Form n mit (verallgemeinerten) Ortskoordinaten x1 , . . . , xn . Der zugeh¨ orige Phasenraum ist dann 2n mit den induzierten kanonischen Koordinaten q 1 , . . . , q n , p1 , . . . , pn , wobei q 1 , . . . , q n die Ortskoordinaten und p1 , . . . , pn die dazu kanonisch konjugierten Impulskoordinaten sind. Die Dynamik eines Hamiltonschen Systems ist durch die Angabe einer (reellwertigen) Hamilton-Funktion H : 2n −→ festgelegt: Gesucht werden die L¨ osungen der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen q(t) ˙ =

∂H (q(t), p(t)) ∂p

und

p(t) ˙ =−

∂H (q(t), p(t)) ∂q

zu vorgegebenen Anfangsbedingungen q(0) = q0 und p(0) = p0 . Hier und im folgenden werden gelegentlich die Koordinatenindizes unterdr¨ uckt, solange der Kontext klar ist.

10

1 Aspekte der Hamiltonschen Mechanik

1.1 Analytische Aspekte der Hamiltonschen Mechanik Die Hamiltonschen Gleichungen sind gew¨ ohnliche Differentialgleichungen erster Ordnung, also von der Form x˙ i (t) = X i (x(t))

f¨ ur

i = 1, . . . , d,

(1.1)

wobei X i ∈ C ∞ ( d ) vorgegebene reellwertige Funktionen sind und d = 2n gilt. Im allgemeinen besitzen solche (gekoppelten) Differentialgleichungen zu gegebenen Anfangsbedingungen x(0) = x0 ∈ d eine eindeutige maximale L¨ osung, auch Integralkurve oder Flußlinie genannt: Sei X i ∈ C ∞ (

Satz 1.1.1 (Picard-Lindel¨ of, lokale Version). i = 1, . . . , d und x0 ∈ d vorgegeben. Dann gilt:

d

) f¨ ur

i.) Es existiert eine auf einem offenen Intervall I um 0 definierte glatte Kurve x:I ⊆

−→

d

,

(1.2)

ullt. Sind x und x L¨osungen zur selben welche (1.1) l¨ost und x(0) = x0 erf¨  Anfangsbedingung x(0) = x0 = x (0), so gilt x(t) = x (t) auf I ∩ I  . ii.) Sei Ix0 das maximale Intervall, auf dem die L¨osungskurve mit Anfangsbedingung x0 definiert ist. Dann ist  Ix0 × {x0 } ⊆ × d (1.3) U= x0 ∈d

eine offene Umgebung von {0} × iii.) Die Abbildung

d

in

×

d

.

Φ : U  (t, x0 ) → Φ(t, x0 ) = x(t) ∈

d

,

(1.4)

welche der Anfangsbedingung x0 und der Zeit t den Wert der zugeh¨origen L¨osungskurve zur Zeit t zuordnet, ist glatt. iv.) F¨ ur alle x0 ∈ d und alle t, s ∈ mit (t, x0 ), (s, x0 ), (t + s, x0 ) ∈ U gilt Φ(t, Φ(s, x0 )) = Φ(t + s, x0 ) = Φ(s, Φ(t, x0 ))

und

Φ(0, x0 ) = x0 . (1.5)

Einen Beweis f¨ ur diesen Satz findet man in jedem Lehrbuch zu gew¨ohnlichen Differentialgleichungen. Der Beweis folgt im wesentlichen direkt aus dem Banachschen Fixpunktsatz, siehe beispielsweise [1, Thm. 2.1.2]. Bemerkung 1.1.2 (Flußabbildung). i.) Die Abbildung Φ heißt Flußabbildung oder auch Fluß der Differentialgleichung (1.1). Eine Differentialgleichung der Form (1.1) heißt auch (lokales) dynamisches System. Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen sind also ein spezielles dynamisches System.

1.1 Analytische Aspekte der Hamiltonschen Mechanik

11

ii.) Gilt U = × d , ist der Fluß also f¨ ur jede Anfangsbedingung f¨ ur alle Zeiten definiert, so heißt der Fluß vollst¨andig, siehe auch Abbildung 1.1. In der klassischen Mechanik treten sowohl vollst¨andige als auch unvollst¨ andige Fl¨ usse auf: der harmonische Oszillator hat einen vollst¨andigen Fluß, das Kepler-System hat einen unvollst¨andigen Fluß, siehe auch Aufgabe 1.1 sowie Aufgabe 1.3. iii.) Der Satz ist ebenfalls richtig, nach den offensichtlichen Modifikationen, falls die Funktionen X i und damit die Differentialgleichung (1.1) nur auf einem offenen Teil W ⊆ d definiert sind. iv.) Die Glattheit von Φ heißt insbesondere, daß der Wert einer L¨osung x(t) sowohl glatt von der Zeit als auch glatt von den Anfangsbedingungen abh¨ angt.

U

IR Ix

0

x0

IR

d

Abb. 1.1. Die Umgebung U f¨ ur einen unvollst¨ andigen Fluß

Im folgenden betrachten wir haupts¨ achlich vollst¨andige Fl¨ usse. Ansonsten muß man sich auf einen kleinen offenen Bereich W von d um einen gegebenen Punkt x0 einschr¨ anken, um f¨ ur alle Anfangsbedingungen in W den Fluß f¨ ur eine gewisse Zeit t > 0 definiert zu haben. Man definiert Φt :

d

−→

d

,

Φt (x) = Φ(t, x).

(1.6)

Dann gilt offenbar Φ0 = id sowie

und Φt ◦ Φs = Φt+s d Φt = X ◦ Φt . dt

(1.7) (1.8)

Folgerung 1.1.3. Sei Φt ein (vollst¨andiger) Fluß. i.) Die Abbildung t → Φt ist eine Einparametergruppe von Diffeomorphismen Φt : d −→ d und es gilt Φ−1 t = Φ−t . ii.) Umgekehrt definiert jede (glatte) Einparametergruppe von Diffeomorphismen {t → Φt }t∈ via (1.8) eine gew¨ohnliche Differentialgleichung der Form (1.1), deren Fluß sie ist.

12

1 Aspekte der Hamiltonschen Mechanik

Es besteht also eine eineindeutige Korrespondenz zwischen Differentialgleichungen der Form (1.1) und Einparametergruppen von Diffeomorphismen. Die Definition einer erhaltenen Gr¨ oße ist in der gesamten Mechanik und weit dar¨ uber hinaus von fundamentaler Bedeutung: Zum einen n¨ utzen sie beim praktischen L¨ osen der Bewegungsgleichungen, zum anderen sind Erhaltungsgr¨ oßen, wie wir noch im Detail sehen werden, untrennbar mit Symmetrien verkn¨ upft. Hier nun also die wohlbekannte Definition. Definition 1.1.4 (Erhaltungsgr¨ oße). Eine (glatte) Erhaltungsgr¨oße f f¨ ur (1.1) ist eine Funktion f ∈ C ∞ ( d ) mit f ◦ Φt = f

(1.9)

f¨ ur alle t. Mit anderen Worten: der Wert von f bei x h¨angt nur von der (eindeutigen) L¨ osungskurve durch x, nicht aber vom Punkt auf der L¨osungskurve ab. Offenbar ist dies zur infinitesimalen Charakterisierung d 

Xi

i=1

∂f =0 ∂xi

(1.10)

aquivalent. Durch Ableitung von (1.9) nach t bei t = 0 erh¨alt man offenbar ¨ (1.10). Umgekehrt liefert (1.10) unter Verwendung der Einparametergruppeneigenschaft von Φt auch (1.9).

1.2 Geometrische Aspekte der Hamiltonschen Mechanik Wir wollen nun die analytische Beschreibung auf geometrischere Weise deuten. Da der Fluß Φt eines dynamischen Systems eine Einparametergruppe von Diffeomorphismen ist, liegt es nahe, die Eigenschaften dieser Abbildung von einem geometrischen Standpunkt aus zu studieren. 1.2.1 Geometrische Eigenschaften von Fl¨ ussen Ein dynamisches System x˙ i (t) = X i (x(t)),

i = 1, . . . , d,

(1.11)

l¨ aßt sich als glattes Vektorfeld X:

d

−→

d

(1.12)

auffassen. Eine L¨ osungskurve x(t) von (1.11) ist somit eine Kurve in d , die an jedem Punkt tangential an das vorgegebene Vektorfeld X ist, siehe Abbildung 1.2. Dies legt folgende intuitive Interpretation nahe: Das Vektorfeld X

1.2 Geometrische Aspekte der Hamiltonschen Mechanik

X

13

x(t)

Abb. 1.2. Vektorfeld und Flußlinie

kann als Geschwindigkeitsvektorfeld“ einer Fl¨ ussigkeit“ aufgefaßt werden. ” ” Die L¨ osungskurven sind dann die Trajektorien von kleinen Testteilchen, welche in der Fl¨ ussigkeit treiben. Daher auch der Name Flußabbildung“ und ” Flußlinie“. ” Auch wenn man die Flußabbildung in vielen F¨allen nicht explizit bestimmen kann, so lassen sich anhand des geometrischen Bildes bestimmte Eigenschaften zumindest qualitativ verstehen. Dabei sind insbesondere folgende Fragestellungen und Eigenschaften von Interesse: • • • •

Volumenerhaltender Fluß, entspricht einer inkompressiblen Fl¨ ussigkeit. Fixpunkte entsprechen X(m) = 0. Attraktoren/Repelloren. Geschlossene Bahnen.

Diese Fragestellungen sind der Ausgangspunkt zur qualitativen Analyse dynamischer Systeme, siehe beispielsweise [275, Kap. 9] sowie [1, Part III] und [11]. 1.2.2 Hamiltonsche Fl¨ usse Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen liefern ein spezielles dynamisches System, welches wir nun im Lichte der vorangegangenen Diskussion n¨aher betrachten wollen. Das zugeh¨ orige Hamiltonsche Vektorfeld ist durch   ∂H ∂p (q, p) XH (q, p) = (1.13) − ∂H ∂q (q, p) gegeben. Das Vektorfeld XH kann man als Schiefgradient“ von H auffassen: ” Mit der Matrix   0 (1.14) Ω0 = − 0





14

1 Aspekte der Hamiltonschen Mechanik

gilt XH = Ω0 ∇H,

(1.15)

wobei ∇H den u ¨blichen Gradienten von H bezeichnet. Das Minuszeichen in (1.14), also die Antisymmetrie der Matrix Ω0 stellt in gewisser Hinsicht das wichtigste Minuszeichen in der mathematischen Physik dar. Die Fl¨ ussigkeit“ eines Hamiltonschen Vektorfeldes ist inkompressibel, es ” gilt n¨ amlich der Satz von Liouville: Satz 1.2.1 (Liouville). Ein Hamiltonsches Vektorfeld XH ist divergenzfrei. Damit ist ein Hamiltonscher Fluß volumenerhaltend. Beweis. Der Beweis erfolgt durch elementares Nachrechnen, denn die Divergenz ist durch     2n n  k   ∂ ∂H ∂H ∂XH ∂ = − =0 div XH = ∂xk ∂q k ∂pk ∂pk ∂q k k=1

k=1

 

gegeben.

Bemerkung 1.2.2. In Dimension 2n = 2 ist umgekehrt jedes divergenzfreie Vektorfeld Hamiltonsch. In h¨ oheren Dimensionen 2n ≥ 4 gilt diese Umkehrung allerdings nicht mehr: es gibt divergenzfreie Vektorfelder und damit volumenerhaltende Fl¨ usse, die nicht Hamiltonsch sind. Ein Hamiltonscher Fluß erh¨ alt mehr als nur das Volumen. Er erh¨alt auch die Matrix Ω0 in folgendem Sinne: Proposition 1.2.3. Sei Φt der Hamiltonsche Fluß eines Hamiltonschen Vekur alle t und torfeldes XH und sei D Φt die Jacobi-Matrix von Φt . Dann gilt f¨ x ∈ 2n T T (D Φt ) ◦ Ω0 ◦ (D Φt ) = Ω0 = (D Φt ) ◦ Ω0 ◦ (D Φt ) . (1.16) x

x

x

x

Beweis. Mit Hilfe der Kettenregel und der Bewegungsgleichung (1.8) erh¨alt man aus (1.15) die Beziehung d (D Φt ) x = Ω0 ◦ D2 H Φt (x) ◦ (D Φt ) x , (1.17) dt wobei D2 H die (symmetrische) Hesse-Matrix der Hamilton-Funktion H ist. Da Ω0T = −Ω0 , folgt aus (1.17) leicht, daß  d

T (D Φt ) x ◦ Ω0 ◦ (D Φt ) x = 0. (1.18) dt Da Gleichung (1.16) f¨ ur t = 0 sicherlich richtig ist, folgt mit (1.18) die Aussage auch f¨ ur t = 0. Die zweite Gleichheit in (1.16) folgt durch Invertieren der   ersten mit Ω0−1 = Ω0T = −Ω0 und (D Φt )−1 = (D Φ−t ). Bemerkung 1.2.4. Diese recht technisch scheinende Proposition besitzt eine konzeptuell viel klarere Deutung im Rahmen der symplektischen Geometrie, welche wir in Kapitel 3 kennenlernen werden.

1.2 Geometrische Aspekte der Hamiltonschen Mechanik

15

1.2.3 Die symplektische Form Die Matrix Ω0 kann auch dazu verwendet werden, eine Bilinearform zu definieren. F¨ ur Vektoren X, Y ∈ 2n definiert man ω0 (X, Y ) = X, Ω0 Y  .

(1.19)

Entsprechend kann man ω0 (X, Y ) f¨ ur Vektorfelder X, Y auf definieren und erh¨ alt eine Funktion ω0 (X, Y ) ∈ C ∞ ( 2n ).

2n

punktweise

Lemma 1.2.5. Die Bilinearform ω0 erf¨ ullt folgende Eigenschaften: i.) ω0 ist antisymmetrisch: ω0 (X, Y ) = −ω0 (Y, X). ur alle Y impliziert X = 0. ii.) ω0 ist nichtausgeartet: ω0 (X, Y ) = 0 f¨ ¨ Aquivalent dazu ist die Aussage, daß die Abbildung :X∈

2n

→ X  ∈ (

2n ∗

)

(1.20)

ein Vektorraumisomorphismus ist, wobei X  (Y ) = ω0 (X, Y ).  

Beweis. Klar.

Definition 1.2.6 (Kanonische symplektische Form). Die Zweiform ω0 heißt kanonische symplektische Form auf 2n . Eine Matrix A ∈ M2n ( ) heißt symplektisch, falls (1.21) ω0 (AX, AY ) = ω0 (X, Y ), und infinitesimal symplektisch, falls ω0 (AX, Y ) + ω0 (X, AY ) = 0 f¨ ur alle X, Y ∈

2n

(1.22)

.

Proposition 1.2.7 (Die symplektische Gruppe und ihre Lie-Algebra). Bez¨ uglich der kanonischen symplektischen Form ω0 gilt: i.) Die Menge der symplektischen Matrizen Sp2n ( ) = {A ∈ M2n ( ) | A symplektisch}

(1.23)

ist eine topologisch abgeschlossene Untergruppe von GL2n ( ). ii.) Die Menge der infinitesimal symplektischen Matrizen sp2n ( ) = {A ∈ M2n ( ) | A infinitesimal symplektisch}

(1.24)

ist eine Lie-Unteralgebra von gl2n ( ). Beweis. Der Beweis erfolgt durch direktes Verifizieren der Gruppen- beziehungsweise der Lie-Algebrenaxiome. Die topologische Abgeschlossenheit folgt aus der Stetigkeit der Bedingung (1.21), siehe auch Aufgabe 1.5.  

16

1 Aspekte der Hamiltonschen Mechanik

Bemerkung 1.2.8. Die symplektische Zweiform kann als antisymmetrisches Analogon zu einem Euklidischen Skalarprodukt ·, · auf 2n gesehen werden. Dann entsprechen die symplektischen Matrizen gerade den orthogonalen Matrizen, also den Isometrien des Skalarprodukts ·, ·. ur alle t und x Satz 1.2.9. Sei Φt ein Hamiltonscher Fluß. Dann ist D Φt x f¨ eine symplektische Matrix. Beweis. Der Beweis erfolgt durch Nachrechnen mittels Proposition 1.2.3, Gleichung (1.16).   Im Hinblick auf Bemerkung 1.2.8 zeigt sich hier bereits ein drastischer Unterschied zu einem Euklidischen Skalarprodukt ·, ·: Ein Diffeomorphismus Φ, f¨ ur den D Φ x f¨ ur alle x ∈ d eine Isometrie bez¨ uglich ·, · ist, ist selbst eine affine Euklidische Transformation, also eine Drehspiegelung mit einer Verschiebung. Dagegen gibt es nach Satz 1.2.9 viel mehr Diffeomorphismen, f¨ ur welche D Φ x die symplektische Form ω0 erh¨alt.

1.3 Algebraische Aspekte der Hamiltonschen Mechanik Im Hinblick auf die Quantentheorie, welche in erster Linie eine algebraische Theorie ist, wollen wir hier eine Formulierung der klassischen Mechanik bereitstellen, welche ebenso algebraische Eigenschaften in den Vordergrund stellt. Zudem sollen die wichtigen Begriffe Observable“ und Zustand“ auch f¨ ur die ” ” klassische Mechanik detailliert vorgestellt werden. 1.3.1 Observable und Zust¨ ande Die reinen Zust¨ande eines klassischen mechanischen Systems entsprechen Punkten im zugeh¨ origen Phasenraum, da durch Angabe aller Orts- und Impulskoordinaten eines Teilchens/Systems sein Zustand bereits eindeutig charakterisiert wird. Die Observablen des Systems sind physikalisch zumindest prinzipiell realisierbare Meßvorschriften, welche in einem reinen Zustand einen eindeutigen Erwartungswert besitzen. Dabei k¨ onnen bestimmte Eigenschaften eines physikalischen Systems offenbar durch verschiedene Meßvorschriften erfaßt werden, man kann beispielsweise den Abstand zweier Teilchen auf verschiedene Weise messen. Daher wollen wir die zugeh¨orige Observable“ als die ” ¨ Aquivalenzklasse der entsprechenden Meßvorschriften auffassen. Dies liefert zwar noch keine im mathematischen Sinne axiomatische Definition einer Observablen, stellt aber vom physikalischen Standpunkt aus eine gute Arbeitsdefinition dar. Insbesondere ist diese Sichtweise f¨ ur klassische wie quantenmechanische Systeme gleichermaßen g¨ ultig.

1.3 Algebraische Aspekte der Hamiltonschen Mechanik

17

Da die Zust¨ ande in der klassischen Mechanik eindeutig durch die Ortsund Impulskoordinaten der betrachteten Teilchen bestimmt sind, sind Observablen Funktionen der Orts- und Impulskoordinaten und damit Funktionen auf dem Phasenraum. Die m¨oglichen Meßwerte sind dann der Wertevorrat der Funktion. Hier gibt es verschiedene Optionen f¨ ur die Funktionenklasse, beispielsweise i.) ii.) iii.) iv.) v.)

Polynomiale Funktionen Pol( 2n ), Analytische Funktionen C ω ( 2n ), Glatte Funktionen C ∞ ( 2n ), eventuell mit kompaktem Tr¨ager C0∞ ( 2n ), Stetige Funktionen C( 2n ), eventuell mit kompaktem Tr¨ager C0 ( 2n ), Integrierbare Funktionen wie beispielsweise Lp ( 2n ) oder L∞ ( 2n ),

und viele mehr. Neben den Regularit¨ atsforderungen lassen sich auch Bedingungen an das Wachstumsverhalten im Unendlichen stellen. Welche Klasse angemessen ist, h¨ angt typischerweise vom konkreten Problem ab. Zum einen sollte die Klasse nicht zu klein sein, um bestimmte wichtige Observablen, wie beispielsweise die Hamilton-Funktion selbst und wichtige Erhaltungsgr¨ oßen, zu enthalten, zum anderen sollte sie nicht zu groß sein, um noch physikalisch realisierbaren Meßvorschriften zu entsprechen. F¨ ur unsere Zwecke wird daher die Wahl meistens auf die glatten Funktionen fallen, eventuell mit Bedingungen an den Tr¨ ager oder das Wachstumsverhalten im Unendlichen. Wichtig ist auch der Wertebereich: i.) Reellwertige Funktionen, ii.) Komplexwertige Funktionen, iii.) Vektorwertige Funktionen mit Werten in einem (reellen oder komplexen) Vektorraum.  k¨onnen sicher Vektorwertige Funktionen wie beispielsweise der Drehimpuls L auf die ersten beiden F¨ alle zur¨ uckgef¨ uhrt werden, indem man entsprechende Komponenten der Vektoren betrachtet. Die komplexwertigen Funktionen scheinen zun¨ achst auch ein Spezialfall davon zu sein, bieten aber in Hinblick auf die Quantenmechanik eine entscheidende zus¨atzliche Struktur, die komplexe Konjugation. Daher werden wir als Observablen komplexwertige Funktionen verwenden. Im eigentlichen Sinne observabel sind aber nur die reellwertigen Funktionen (1.25) f = f. ¨ Diese Uberlegungen f¨ uhren zu folgender Definition: Definition 1.3.1 (Klassische Observablenalgebra). Die Observablenalgebra eines klassischen mechanischen Systems ist die ∗ -Algebra C ∞ ( 2n ) der komplexwertigen glatten Funktionen auf dem Phasenraum. Observable sind Elemente f ∈ C ∞ ( 2n ) mit f = f . Dazu ist noch folgende Definition einer ∗ -Algebra u ¨ ber

 nachzutragen:

18

1 Aspekte der Hamiltonschen Mechanik



Definition 1.3.2 (∗ -Algebra). Eine ∗ -Algebra u ist ein Vektorraum ¨ber uber mit einem -bilinearen assoziativen Produkt (a, b) → ab und einer ¨ ∗ -Involution a → a∗ , also einem -antilinearen, involutiven Antiautomorphismus. Ausgeschrieben bedeutet dies







(za + wb)∗ = za∗ + wb∗ , f¨ ur a, b ∈ A und z, w ∈

(a∗ )∗ = a

und

(ab)∗ = b∗ a∗

(1.26)

.

Bemerkung 1.3.3. Es ist klar, daß C ∞ ( 2n ) auf kanonische Weise eine ∗ Algebra in diesem Sinne ist: Das assoziative Produkt von C ∞ ( 2n ) ist einfach das punktweise Produkt von Funktionen und damit insbesondere auch kommutativ. Die ∗ -Involution ist die punktweise komplexe Konjugation. Die Erwartungswerte einer Observablen f ∈ C ∞ ( 2n ) in einem reinen Zustand x ∈ 2n sind dann einfach durch die Auswertung Ex (f ) = f (x)

(1.27)

bei x gegeben. Die Varianz ist definitionsgem¨aß Varx (f ) = Ex (f 2 ) − Ex (f )2 = Ex ((f − Ex (f ))2 ), womit in einem reinen Zustand insbesondere f¨ ur alle f ∈ C ∞ ( Varx (f ) = 0

(1.28) 2n

) (1.29)

gilt. In der klassischen Mechanik erh¨ alt man in einem reinen Zustand also immer scharfe Meßwerte“ f¨ ur alle Observablen, ganz im Gegensatz zur ” Quantenmechanik. Um statistische Mechanik betreiben zu k¨onnen, ben¨otigt man auch gemischte Zust¨ande, welche durch Dichtefunktionen  auf 2n beschrieben werden. Dieses Konzept l¨ aßt sich folgendermaßen algebraisch verallgemeinern und vereinfachen: Definition 1.3.4 (Positive Funktionale und Zust¨ ande). Sei A eine ∗ Algebra ¨ uber . Ein lineares Funktional ω : A −→ heißt positiv, falls





ω(a∗ a) ≥ 0 f¨ ur alle a ∈ A. Besitzt A ein Einselement zudem ω( ) = 1.

(1.30)

, so heißt ω ein Zustand, falls



(1.31)

Die Zahl Eω (a) = ω(a) heißt Erwartungswert von a im Zustand ω.

(1.32)

1.3 Algebraische Aspekte der Hamiltonschen Mechanik

19

Bemerkung 1.3.5. Die Erwartungswertfunktionale Ex (f ) = f (x) = δx (f ) von C ∞ ( 2n ) sind offenbar positiv und normiert, also Zust¨ande im Sinne der Definition 1.3.4. Ist  ≥ 0 eine stetige Funktion, so ist auch f (x)(x)d2n x (1.33) E (f ) =

2n

ein positives Funktional, sofern man durch Bedingungen an das Wachstum im Unendlichen sicherstellt, daß das Integral konvergiert. Umgekehrt gilt folgender nicht-trivialer Satz: Satz 1.3.6 (Rieszscher Darstellungssatz). Jedes positive Funktional ω : C ∞ ( 2n ) −→ ist von der Form ω(f ) = f dμ (1.34)



mit einem positiven Borel-Maß μ mit kompaktem Tr¨ager. Einen detaillierten Beweis findet man beispielsweise in [279, Thm. 2.14] und die Formulierung f¨ ur glatte Funktionen findet man in [57, App. B]. Bemerkung 1.3.7 (Reine und gemischte Zust¨ande von C ∞ (

2n

)).

i.) Je nach Anwendung haben die Maße keinen kompakten Tr¨ager, beispielsweise f¨ ur den thermischen Zustand mit Temperatur T (x) =

1 −βH(x) e Z

(1.35)

1 aus der statistischen Mechanik, wobei β = kT die inverse Temperatur, k die Boltzmann-Konstante und Z die kanonische Zustandssumme ist. In diesem Fall ist das zugeh¨ orige Funktional nur auf einer geeigneten ∗ ∞ 2n Unteralgebra von C ( ) definiert, etwa auf C0∞ ( 2n ). ii.) Die Varianz ist genauso definiert wie in (1.28). Jetzt gilt aber Varω (f ) = 0 f¨ ur alle f genau dann, wenn ω = δx ein reiner Zustand war. Im allgemeinen gilt Varω (f ) ≥ 0. iii.) Von allen positiven Funktionalen von C ∞ ( n ), also allen positiven BorelMaßen mit kompaktem Tr¨ ager, sind typischerweise keineswegs alle physikalisch auch relevant: Physikalisch realisierbare Zust¨ande besitzen gewisse Regularit¨ atseigenschaften, welche u ¨ber die eines Borel-Maßes hinausgehen, aber mathematisch recht schwer zu fassen sind und vom physikalischen Kontext abh¨ angen. Aus diesem Grunde sollte man die Definition 1.3.4 eines Zustandes als eine gewisse Idealisierung betrachten, welche die Situation erheblich vereinfacht.

Diesen algebraischen Zugang zum Zustandsbegriff in der klassischen Mechanik werden wir an verschiedenen Stellen wieder aufgreifen und auch auf die Quantenmechanik u ¨bertragen, siehe insbesondere Abschnitt 7.1.

20

1 Aspekte der Hamiltonschen Mechanik

1.3.2 Die Poisson-Klammer und die Zeitentwicklung Die kanonische Poisson-Klammer auf 2n erweist sich als die zentrale algebraische Struktur, mit deren Hilfe die gesamte Hamiltonsche Mechanik formuliert werden kann. Definition 1.3.8 (Kanonische Poisson-Klammer). F¨ ur f, g ∈ C ∞ ( 2n ) ist die kanonische Poisson-Klammer durch  n   ∂f ∂g ∂g ∂f − k (1.36) {f, g} = ∂q k ∂pk ∂q ∂pk k=1

definiert. Proposition 1.3.9. F¨ ur die kanonische Poisson-Klammer gilt i.) ii.) iii.) iv.) v.) vi.)

{f, g} ∈ C ∞ ( 2n ) f¨ ur f, g ∈ C ∞ ( 2n ). {·, ·} ist -bilinear. {f, g} = −{g, f } (Antisymmetrie). {f, gh} = {f, g}h + g{f, h} (Leibniz-Regel). {f, {g, h}} = {{f, g}, h} + {g, {f, h}} (Jacobi-Identit¨at). {f, g} = {f , g} (Realit¨at).



Beweis. Der Beweis erfolgt durch einfaches Nachrechnen.

 

Diese Eigenschaften der kanonischen Poisson-Klammer werden uns im weiteren noch oft begegnen, womit die folgende Definition gut motiviert sein sollte: Definition 1.3.10 (Poisson-Algebra). Eine assoziative, kommutative Algebra A ¨ uber mit einer -bilinearen und antisymmetrischen Klammer {·, ·} : A × A −→ A, welche die Leibniz-Regel und die Jacobi-Identit¨at erf¨ ullt, ullt die Poissonheißt Poisson-Algebra. Ist A zudem eine ∗ -Algebra und erf¨ Klammer die Realit¨atsbedingung, so heißt A Poisson-∗ -Algebra.





Die Relevanz der kanonischen Poisson-Klammer liegt in ihrer Bedeutung f¨ ur die Zeitentwicklung: Ist Φt der Hamiltonsche Fluß zu einer HamiltonFunktion H, so definiert man f¨ ur f ∈ C ∞ ( 2n ) die Hamiltonsche Zeitentwicklung f (t) durch f (t) = f ◦ Φt = Φ∗t f. (1.37) Die Abbildung Φ∗t : C ∞ ( Fluß Φt .

2n

) −→ C ∞ (

2n

) heißt auch pull-back mit dem

Satz 1.3.11 (Hamiltonsche Zeitentwicklung). Sei Φt der Hamiltonsche Fluß zu H ∈ C ∞ ( 2n ). i.) Φ∗t ist ein ∗ -Automorphismus von C ∞ (

2n

), d.h.

Φ∗t (zf + wg) = zΦ∗t f + wΦ∗t g, Φ∗t (f g) = (Φ∗t f )(Φ∗t g),

(1.38) (1.39)

Φ∗t f = Φ∗t f .

(1.40)

1.4 Warum Geometrische Mechanik“ ”

21

ii.) Φ∗t ist eine Poisson-Abbildung, d.h. Φ∗t {f, g} = {Φ∗t f, Φ∗t g}.

(1.41)

iii.) Es gelten die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen d ∗ Φ f = {Φ∗t f, H}. dt t

(1.42)

iv.) Es gilt die Energieerhaltung Φ∗t H = H.

(1.43)

v.) Eine Observable f ist genau dann Erhaltungsgr¨oße Φ∗t f = f , wenn {f, H} = 0. vi.) Sind f und g Erhaltungsgr¨oßen, so ist auch {f, g} eine Erhaltungsgr¨oße. Beweis. Der erste Teil ist trivial. F¨ ur den zweiten Teil rechnet man zun¨achst die Identit¨ at {f, g} = ∇f, Ω0 ∇g f¨ ur die Poisson-Klammer nach. Mit der Kettenregel findet man dann ∇(Φ∗ f ) = (D Φt )T ◦ (∇f ) , t

Φt

womit aus (1.16) die Gleichung (1.41) leicht folgt. F¨ ur den dritten Teil verwendet man zun¨achst (1.8) sowie (1.15), womit unter Verwendung des zweiten Teiles d ∗ Φ f = Φ∗t {f, H} = {Φ∗t f, Φ∗t H} dt t folgt. Damit folgt zun¨ achst (1.43), da trivialerweise {H, H} = 0. Dies liefert dann auch (1.42). Der f¨ unfte Teil ist mit den bereits erzielten Resultaten klar und der letzte folgt aus der Jacobi-Identit¨ at der Poisson-Klammer.   Bemerkung 1.3.12. Als Fazit erh¨ alt man also folgende Struktur: Ein klassisches mechanisches System wird durch seine Observablenalgebra A, eine ande sind die positiven FunktioPoisson-∗-Algebra, charakterisiert. Die Zust¨ nale auf A, und die Zeitentwicklung ist eine Einparametergruppe von Poisson∗ -Automorphismen von A mit infinitesimalem Erzeuger H ∈ A.

1.4 Warum Geometrische Mechanik“ ” Die Geometrie von Phasenr¨ aumen ist in physikalisch interessanten F¨allen komplizierter als 2n , weshalb eine geometrisch formulierte Mechanik erforderlich wird. Die vorangegangene Diskussion legt nahe, daß dies m¨oglich ist. Folgende Beispiele und Situationen seien hier genannt:

22

1 Aspekte der Hamiltonschen Mechanik

A Systeme mit Zwangsbedingungen Insbesondere Zwangsbedingungen Zα ∈ C ∞ ( n ) an die Konfigurationen, also holonome und skleronome Zwangsbedingungen der Form ur Zα (x1 , . . . , xn ) = 0 f¨

α = 1, . . . , k ≤ n

(1.44)

spielen in der klassischen Mechanik eine wichtige Rolle. Solche Zwangsbedingungen definieren eine Untermannigfaltigkeit Q ⊆ n von zul¨assigen Konfigurationen. Die erlaubten Geschwindigkeiten sind dann notwendigerweise tangential an Q. Allein um beschreiben zu k¨onnen, was unter tangential“ zu verstehen ist, ben¨ otigt man bereits differentialgeometri” sche Konzepte. Gesucht ist dann die Hamiltonsche Mechanik f¨ ur eine solche Situation. B Systeme mit Symmetrien Das Ausnutzen von Erhaltungsgr¨ oßen beziehungsweise Festlegen derselben auf numerische Werte verringert effektiv die Zahl der Freiheitsgrade. Auch wenn man mit dem geometrisch trivialen Phasenraum 2n startet, liefert diese Phasenraumreduktion“ im allgemeinen niedrigdimensionale” re Phasenr¨ aume mit komplizierterer Geometrie. Eine genaue Formulierung im Rahmen der symplektischen Geometrie werden wir in Abschnitt 3.3 finden. C Systeme mit Eichfreiheitsgraden Typischerweise treten solche Systeme erst f¨ ur unendlich viele Freiheitsgrade, also Feldtheorien, auf. Dann ist aber jede physikalisch relevante fundamentale Feldtheorie von dieser Form: die allgemeine Relativit¨atstheorie, die Elektrodynamik, das Standardmodell der Teilchenphysik, etc. Die echten“ physikalischen Freiheitsgrade sind diejenigen modulo Eich” ” transformationen“. Die resultierenden Quotientenr¨aume haben dann im allgemeinen eine komplizierte Geometrie. Feldtheorien haben nat¨ urlich noch andere Schwierigkeiten, die von der unendlichen Zahl der Freiheitsgrade kommen, insbesondere funktionalanalytische Probleme vielf¨ altiger Natur. Trotzdem sind endlichdimensionale Modelle, also klassische mechanische Systeme, gute Spielzeugmodelle“, ” bei denen man zumindest diejenigen Schwierigkeiten und Effekte studieren kann, die ihre Ursache in der komplizierten Geometrie haben. Bemerkenswerterweise sind die mathematischen Techniken zur Beschreibung dieser Situation in weiten Bereichen die selben wie bei der Phasenraumreduktion, wohingegen die physikalische Interpretation eine v¨ollig andere ist.

1.5 Aufgaben Aufgabe 1.1 (Hamiltonsche Fl¨ usse). Betrachten Sie folgende drei (eindimensionale) Hamiltonsche Systeme: •

Das freie Teilchen mit Hamilton-Funktion H(q, p) =

p2 2m .

1.5 Aufgaben p2 2m

•

Der freie Fall mit Hamilton-Funktion H(q, p) =

•

Der harmonische Oszillator mit Hamilton-Funktion H(q, p) = 1 2 2 2 mω q .

23

+ mgq. p2 2m

+

i.) Berechnen und zeichnen Sie die jeweiligen Hamiltonschen Vektorfelder. ii.) Berechnen Sie explizit die jeweiligen Flußabbildungen und zeichnen Sie exemplarisch Flußlinien in das Phasenraumdiagramm von Teil i.). iii.) Sind die Fl¨ usse vollst¨ andig? Wenn ja, weisen Sie die Eigenschaft einer Einparametergruppe explizit nach. iv.) Geben Sie mit einer kurzen Begr¨ undung ein Beispiel f¨ ur ein Hamiltonsches System, dessen Fluß unvollst¨ andig ist. Aufgabe 1.2 (Lie-Algebren). In dieser Aufgabe sei an die elementaren Eigenschaften einer Lie-Algebra erinnert: Sei g ein Vektorraum u ¨ ber , wobei f¨ ur uns meistens oder sein wird, im allgemeinen aber ein beliebiger K¨ orper der Charakteristik ungleich 2 sein darf. Dann heißt g Lie-Algebra, wenn g mit einer bilinearen Abbildung, der Lie-Klammer, [·, ·] : g × g −→ g versehen ist, welche antisymmetrisch ist, [ξ, η] = −[η, ξ], und die JacobiIdentit¨ at [ξ, [η, χ]] = [[ξ, η], χ] + [η, [ξ, χ]] (1.45)







f¨ ur alle ξ, η, χ ∈ g erf¨ ullt. Sind g und h Lie-Algebren, heißt eine lineare Abbildung φ : g −→ h Lie-Algebrahomomorphismus, oder auch kurz Morphismus von Lie-Algebren, falls φ Klammern auf Klammern abbildet, also φ([ξ, η]) = [φ(ξ), φ(η)] f¨ ur alle ξ, η ∈ g. Ein Untervektorraum h ⊆ g heißt Lie-Unteralgebra, wenn h unter Klammern abgeschlossen ist, also [ξ, η] ∈ h ur f¨ ur alle ξ, η ∈ h. Ein Untervektorraum h ⊆ g heißt Lie-Ideal, falls [ξ, η] ∈ h f¨ alle ξ ∈ h und η ∈ g. i.) Zeigen Sie, daß die Verkettung von Lie-Algebrahomomorphismen wieder ein Lie-Algebrahomomorphismus ist. Zeigen Sie weiter, daß die Nullabbildung immer ein Morphismus von Lie-Algebren ist. ii.) Zeigen Sie, daß ein Lie-Ideal immer eine Lie-Unteralgebra ist. iii.) Zeigen Sie, daß der Kern eines Lie-Algebrahomomorphismus ein Lie-Ideal und das Bild eine Lie-Unteralgebra ist.

iv.) Sei h ⊆ g ein Lie-Ideal. Zeigen Sie, daß der Quotientenvektorraum g h auf kanonische Weise eine Lie-Algebra wird, so daß die Projektion π : g −→

g h ein Morphismus von Lie-Algebren ist. Aufgabe 1.3 (Poisson-Klammern im Kepler-System). Betrachten Sie das 3-dimensionale Kepler-System mit Hamilton-Funktion 2

H( q , p) =

 p α − , 2m q

(1.46)

wobei q =  q  der Betrag von q und α > 0 die Kopplungskonstante ist. Der Konfigurationsraum ist entsprechend 3 \ {0}, und der Phasenraum ist ( 3 \ {0}) × 3 .

24

1 Aspekte der Hamiltonschen Mechanik

Weiter sei  q , p) =  L( q × p

(1.47)

der Drehimpuls und 1  q  ( M q , p) = + L × p (1.48) q αm der Lenz-Runge-Vektor, beide aufgefaßt als vektorwertige Funktionen auf dem Phasenraum mit Komponenten Li und Mi , i = 1, 2, 3. Berechnen Sie folgende Poisson-Klammern {Li , H},

{Mi , H},

{Li , Lj },

{Mi , Lj },

{Mi , Mj },

(1.49)

 und M  Erhaltungsgr¨oßen des Kepler-Systems sind. und zeigen Sie so, daß L Zeigen Sie weiter, daß die Li bez¨ uglich der Poisson-Klammern eine LieUnteralgebra bilden. Bilden auch die Mi eine Lie-Unteralgebra? Aufgabe 1.4 (Symplektische Vektorr¨ aume und das lineare DarbouxTheorem). Sei V ein reeller m-dimensionaler Vektorraum und ω : V ×V −→ eine antisymmetrische Bilinearform. Dann heißt (V, ω) symplektischer Vektorraum mit symplektischer Form ω, falls die Bilinearform ω nichtausgeartet ist. Sei W ⊆ V ein Untervektorraum. Dann ist das ω-orthogonale Komplement W ⊥ von W als ur alle w ∈ W } W ⊥ = {v ∈ V | ω(v, w) = 0 f¨

(1.50)

definiert. Eine lineare Abbildung zwischen zwei symplektischen Vektorr¨aumen ur φ : (V, ω) −→ (V  , ω  ) heißt symplektisch, wenn ω  (φ(v), φ(w)) = ω(v, w) f¨ alle v, w ∈ V . Gilt zudem, daß φ ein Isomorphismus ist, so heißt φ Symplektomorphismus. i.) Zeigen Sie, daß ein symplektischer Vektorraum notwendigerweise gerade Dimension m = 2n hat. ii.) Zeigen Sie, daß ω genau dann symplektisch ist, wenn  : V −→ V ∗ mit v  = ω(v, ·) ein Isomorphismus ist. iii.) Zeigen Sie, daß W ⊥ ein Untervektorraum ist. Zeigen Sie weiter, daß W ⊥ ⊆ U ⊥ , falls U ⊆ W , und daß W ⊆ W ⊥⊥ . Gilt auch W = W ⊥⊥ ? Bestimmen Sie dazu dim W ⊥ in Abh¨ angigkeit von dim W . Vorsicht: Es gilt im allgemeinen nicht, daß W + W ⊥ = V . Vielmehr kann W ∩ W ⊥ = {0} sein. iv.) Zeigen Sie induktiv, daß es eine Basis e1 , . . . , en , f1 , . . . , fn von V gibt, so daß ω(ei , ej ) = 0, ω(fi , fj ) = 0 und ω(ei , fj ) = δij gilt. v.) Zeigen Sie, daß (V, ω) zu 2n , versehen mit der Standardsymplektik ω0 , symplektomorph ist, es also einen Symplektomorphismus von (V, ω) nach ( 2n , ω0 ) gibt. Aufgabe 1.5 (Die symplektische Gruppe und ihre Lie-Algebra). Betrachten Sie 2n mit der Standardsymplektik ω0 . Sei weiterhin Sp2n ( ) die symplektische Gruppe und sp2n ( ) die symplektische Lie-Algebra.

1.5 Aufgaben

25

i.) Zeigen Sie, daß Sp2n ( ) eine topologisch abgeschlossene Untergruppe von GL2n ( ) ist und daß sp2n ( ) eine Lie-Unteralgebra von gl2n ( ) ist. Hinweis: Formulieren Sie die Frage zun¨ achst mit Hilfe der Matrix Ω0 . ii.) Zeigen Sie: Ist t → A(t) ∈ GL2n ( ) eine glatte Kurve mit Werten in ˙ Sp2n ( ) und A(0) = , so gilt A(0) ∈ sp2n ( ). Ist umgekehrt X ∈ ur alle t ∈ . sp2n ( ), so gilt etX ∈ Sp2n ( ) f¨ iii.) Zeigen Sie, daß Sp2n ( ) sogar eine Untergruppe von SL2n ( ) ist. Hinweis: Zeigen Sie zun¨ achst, daß  Ω0 (v1 , . . . , v2n ) = sign(σ)ω0 (vσ(1) , vσ(2) ) · · · ω0 (vσ(2n−1) , vσ(2n) )



σ∈S2n

(1.51) ein von Null verschiedenes Vielfaches der Determinantenfunktion det ist. iv.) Zeigen Sie, daß Sp2 ( ) = SL2 ( ) und sp2 ( ) = sl2 ( ). Aufgabe 1.6 (Das Tensorprodukt). Seien V , W nicht notwendigerweise endlichdimensionale Vektorr¨ aume u ¨ber einem K¨orper . Zeigen Sie folgenden Satz:



 

Satz. Es gibt einen Vektorraum V ⊗ W zusammen mit einer -bilinearen Abbildung ⊗ : V × W −→ V ⊗ W derart, daß es f¨ ur jede andere -bilineare Abbildung φ : V × W −→ U in einen weiteren -Vektorraum U eine eindeutig bestimmte -lineare Abbildung Φ : V ⊗ W −→ U gibt, so daß





V ×W ⊗

V ⊗W

φ

Φ

(1.52)

U

kommutiert. Anleitung:



i.) Betrachten Sie den Vektorraum M = [V × W ], also die lineare H¨ ulle von Basisvektoren ev,w , welche durch Paare (v, w) ∈ V × W indiziert werden (dieser Vektorraum ist wirklich sehr groß). Sei ι : V × W −→ M die (keineswegs lineare!) Abbildung (v, w) → ev,w . Zeigen Sie dann, daß durch  : M  ev,w → φ(v, w) ∈ U eine wohldefinierte lineare die Festlegung Φ ◦ι = φ Abbildung gegeben ist, welche eindeutig durch die Eigenschaft Φ bestimmt ist. ii.) Definieren Sie weiter einen Untervektorraum M0 ⊆ M, welcher durch Vektoren der Form αev,w − eαv,w , αev,w − ev,αw , ev+v ,w − ev,w − ev ,w und ev,w+w − ev,w − ev,w aufgespannt wird, wobei α ∈ und v, v  ∈ V , w, w ∈ W beliebig sind (auch M0 ist wirklich sehr groß). Zeigen Sie

 0 ) = 0. Damit ist Φ  auch auf dem Quotientenraum M M0 dann, daß Φ(M wohldefiniert und liefert eine lineare Abbildung



26

1 Aspekte der Hamiltonschen Mechanik

 Φ : M M0  [X] → Φ(X) ∈ U. (1.53)

iii.) Bezeichnet π : M −→ M M0 die kanonische Projektion, so ist π◦ι bilinear. iv.) Zeigen Sie, daß V ⊗ W = M M0 und ⊗ = π ◦ ι den Anforderungen des Satzes gen¨ ugen. Jedes solche Paar (V ⊗ W, ⊗) heißt (ein) Tensorprodukt von V und W .  W, ⊗)  ein weiteres Tensorprodukt, so gibt es einen v.) Zeigen Sie: Ist (V ⊗  eindeutigen Isomorphismus I : V ⊗ W −→ V ⊗W mit der Eigenschaft, daß V ×W e ⊗

⊗

V ⊗W

I

 V ⊗W

(1.54)

kommutiert. Daher ist das Tensorprodukt von V und W eindeutig bis auf einen eindeutigen Isomorphismus bestimmt, und man spricht von dem Tensorprodukt V ⊗ W . Betrachten Sie nun zwei endlichdimensionale Vektorr¨aume V , W . Mit Bil(V ∗ × W ∗ , ) seien die Bilinearformen auf V ∗ × W ∗ mit Werten in bezeichnet.







vi.) Zeigen Sie, daß Bil(V ∗ × W ∗ , ) zusammen mit der Abbildung ⊗ : V × W −→ Bil(V ∗ × W ∗ , ) ein und damit das Tensorprodukt (V ⊗ W, ⊗) ist, wobei die Bilinearform v ⊗ w auf V ∗ × W ∗ durch



(v ⊗ w)(α, β) = α(v)β(w),

α ∈ V ∗, β ∈ W ∗

(1.55)

definiert ist. Benutzen Sie zum Beweis Basen von V und W sowie die zugeh¨ origen dualen Basen von V ∗ und W ∗ . Damit erweist sich die obige Definition des Tensorprodukts als eine Verallgemeinerung des Tensorprodukts von endlichdimensionalen Vektorr¨ aumen. Bemerkung: Die obige Konstruktion des Tensorprodukt l¨aßt sich auf offensichtliche Weise auch f¨ ur mehrere Faktoren“ V1 , . . . , Vk verallgemeinern und ” liefert ein Tensorprodukt V1 ⊗ · · · ⊗ Vk . Dann erf¨ ullt das Tensorprodukt die u atseigenschaften, wie man diese vom endlichdimensiona¨ blichen Assoziativit¨ len Tensorprodukt her kennt. Wir werden allerdings auch unendlichdimensionale Vektorr¨ aume und deren Tensorprodukte ben¨otigen, deshalb ist die etwas allgemeinere Konstruktion hier vorgestellt worden. Nachlesen kann man das Ganze beispielsweise in [219, Kapitel XVI] oder [127, Abschnitt 6.3]. Aufgabe 1.7 (Tensorprodukte und Abbildungen). Seien V , V  , V  , aume und seien lineare Abbildungen φ : V −→ V  W , W  und W  Vektorr¨  und ψ : W −→ W sowie φ : V  −→ V  und ψ  : W  −→ W  vorgegeben.

1.5 Aufgaben

27

i.) Zeigen Sie, daß es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung φ ⊗ ψ : V ⊗ W −→ V  ⊗ W  gibt, welche (φ ⊗ ψ)(v ⊗ w) = φ(v) ⊗ ψ(w)

(1.56)

erf¨ ullt. Zeigen Sie (φ ⊗ψ  )◦(φ⊗ψ) = (φ ◦φ)⊗(ψ  ◦ψ) sowie

idV ⊗ idW = idV ⊗W . (1.57)

ii.) F¨ ur α ∈ (V  )∗ definiert man den pull-back φ∗ α ∈ V ∗ durch (φ∗ α)(v) = α(φ(v)).

(1.58)

Der pull-back φ∗ : (V  )∗ ⊗ · · ·⊗(V  )∗ −→ V ∗ ⊗ · · ·⊗V ∗ ist als φ∗ ⊗ · · ·⊗φ∗ im Sinne von Teil i.) definiert. Zeigen Sie: (φ ◦ φ)∗ = φ∗ ◦ (φ )∗

und

(idV )∗ = idV ∗ ⊗···⊗V ∗ .

(1.59)

Aufgabe 1.8 (Algebren und Derivationen). Sei A eine assoziative Algebra u ¨ber , also ein -Vektorraum mit einer -bilinearen assoziativen Verkn¨ upfung A × A −→ A, der Algebra-Multiplikation.







i.) Zeigen Sie, daß die Multiplikation mit einer linearen Abbildung μ : A ⊗ A −→ A identifiziert werden kann und daß A genau dann assoziativ ist, wenn μ ◦ (μ ⊗ id) = μ ◦ (id ⊗μ) (1.60) gilt. Sei mit τ : A ⊗ A −→ A ⊗ A die kanonische Flip-Abbildung bezeichnet, also τ (a ⊗ b) = b ⊗ a. Wie k¨ onnen Sie die Kommutativit¨at von μ formulieren? ii.) Sei D : A −→ A eine Derivation, also eine lineare Abbildung mit D(ab) = D(a)b + aD(b). Sei weiter Φ : A −→ A ein Algebrahomomorphismus, also eine lineare Abbildung mit Φ(ab) = Φ(a)Φ(b). Formulieren Sie diese Bedingungen auf ¨ aquivalente Weise mit Hilfe von μ. iii.) Zeigen Sie, daß der Kommutator [a, b] = ab − ba = ad(a)b

(1.61)

die Algebra zu einer Lie-Algebra macht. Zeigen Sie weiter, daß jede Linearkombination und der Kommutator zweier Derivationen wieder eine Derivation ist und folgern Sie, daß die Derivationen Der(A) von A eine Lie-Algebra bilden. iv.) Eine Derivation D heißt innere Derivation, wenn D = ad(a) f¨ ur ein a ∈ A. Zeigen Sie, daß die inneren Derivationen InnDer(A) von A einen Untervektorraum von Der(A) bilden, so daß f¨ ur eine beliebige Derivation D und eine innere Derivation D = ad(a) immer [D , ad(a)]

∈ InnDer(A) gilt. Zeigen Sie so, daß der Quotient OutDer(A) = Der(A) InnDer(A) der ¨außeren Derivationen in kanonischer Weise (wie?) zu einer Lie-Algebra wird.

28

1 Aspekte der Hamiltonschen Mechanik

Aufgabe 1.9 (Isotrope, Lagrangesche und koisotrope Unterr¨ aume). Sei (V, ω) ein symplektischer Vektorraum der Dimension 2n. Ein Teilraum W ⊆ V heißt • • • •

isotrop, falls W ⊆ W ⊥ , Lagrangesch, falls W = W ⊥ , koisotrop, falls W ⊥ ⊆ W , symplektisch, falls W ∩ W ⊥ = {0}.

Der sportliche Ehrgeiz bei dieser Aufgabe besteht darin, einen unabh¨angigen Beweis f¨ ur das lineare Darboux-Theorem zu finden und dabei auch noch etwas Neues zu lernen. Die Aufgabe 1.4, Teil iv.) soll also nicht verwendet werden. Die Idee ist im wesentlichen aus [234, Sect. 1.2]. i.) Zeigen Sie, daß W genau dann isotrop ist, wenn W ⊥ koisotrop ist. Zeigen Sie, daß W genau dann symplektisch ist, falls ω eingeschr¨ankt auf W symplektisch ist. ii.) Zeigen Sie, daß jeder symplektische Vektorraum einen Lagrangeschen Teilraum besitzt, indem Sie mit einem isotropen Teilraum starten und diesen maximal vergr¨ oßern, so daß er noch isotrop ist. Folgern Sie so, daß jeder isotrope Unterraum in einem (nicht notwendigerweise eindeutigen) Lagrangeschen Unterraum enthalten ist. aume von V . Zeigen Sie, daß es dann iii.) Seien W1 , . . . , Wr Lagrangesche Teilr¨ einen weiteren Lagrangeschen Teilraum W0 gibt, welcher W0 ∩ Wj = {0} f¨ ur alle j = 1, . . . , r erf¨ ullt. ullt. Hinweis: Sei W0 ein isotroper Teilraum, welcher W0 ∩ Wj = {0} erf¨ Solch einen Teilraum gibt es immer (warum?). Zeigen Sie: ist W0 maximal mit dieser Eigenschaft (also in keinem isotropen Unterraum enthalten, der alle Wj transversal schneidet), so ist W0 Lagrangesch. iv.) Seien nun W1 und W2 zwei transversale Lagrangesche Unterr¨aume von V , deren Existenz nach ii.) und iii.) garantiert ist. Es gilt also insbesondere W1 ⊕ W2 = V (warum?). Zeigen Sie, daß die Einschr¨ankung von ω auf W1 × W2 nichtausgeartet ist und daher einen Isomorphismus W1∗ ∼ = W2 induziert. Zeigen Sie, daß eine Basis e1 , . . . , en von W1 und die zugeh¨orige duale Basis von W1∗ mit diesem Isomorphismus eine Basis f1 , . . . , fn von W2 liefert, so daß e1 , . . . , en , f1 , . . . , fn eine Darboux-Basis von (V, ω) ist. v.) Zeigen Sie damit: F¨ ur zwei symplektische Vektorr¨aume (V, ω) und (V  , ω  ) der selben Dimension mit jeweils zwei transversalen Lagrangeschen Unterr¨ aumen Wi ⊂ V und Wi ⊆ V  , i = 1, 2, gibt es einen linearen Symplektomorphismus φ : V −→ V  , so daß φ(Wi ) = Wi , i = 1, 2. vi.) Zeigen Sie, daß es f¨ ur einen k-dimensionalen isotropen Unterraum W eine Darboux-Basis e1 , . . . , en , f1 , . . . , fn gibt, so daß W = span{e1 , . . . , ek }. vii.) Sei nun W koisotrop. Zeigen Sie, daß es einen Lagrangeschen Unterraum L ⊆ W gibt. W¨ ahlen Sie einen Lagrangeschen Unterraum L transversal ahlen Sie nun auf geeignete Weise eine zu L und sei U = W ∩ L . W¨ Basis von U , L und L, um eine Darboux-Basis zu erhalten, so daß W = span{e1 , . . . , en , f1 , . . . , fn−k }, wobei k = codim(W ).

2 Differentialgeometrische Grundlagen

In diesem Kapitel stellen wir kurz die f¨ ur uns wesentlichen Grundlagen der Differentialgeometrie zusammen, wobei wir zum Teil auf die Beweise verzichten oder diese nur skizzieren werden. So erhalten wir das R¨ ustzeug f¨ ur alle weiteren Betrachtungen in der geometrischen Mechanik. Weiterf¨ uhrende Techniken und Resultate der Differentialgeometrie werden bei Bedarf sp¨ater sowie in den Aufgaben diskutiert werden. Wir ben¨ otigen einige elementare Begriffe der mengentheoretischen Topologie: Ein topologischer Raum (M, M) ist eine Menge M zusammen mit einer Topologie M, also einer Menge M von Teilmengen von M , den offenen Teilmengen, derart, daß ∅, M ∈ M und daß beliebige Vereinigungen und endliche Durchschnitte von offenen Mengen wieder offen sind. Dann heißt eine Teilmenge A ⊆ M abgeschlossen, falls M \ A offen ist. Der topologische Abschluß U cl einer Teilmenge U ⊆ M ist die kleinste abgeschlossene ˚ einer Teilmenge Teilmenge von M , welche U enth¨ alt. Der offene Kern U U ⊆ M ist die gr¨ oßte offene Menge, welche in U enthalten ist. Eine Abbildung f : (M, M) −→ (N, N) heißt stetig, wenn die Urbilder offener Teilmengen von N wieder offen in M sind. Eine bijektive stetige Abbildung f : (M, M) −→ (N, N) heißt Hom¨ oomorphismus, wenn auch f −1 stetig ist. In diesem Falle heißen die topologischen R¨ aume M und N hom¨oomorph. Ein topologischer Raum heißt Hausdorffsch, wenn es zu je zwei Punkten x1 = x2 in M zwei offene Mengen O1 , O2 ∈ M gibt, so daß xi ∈ Oi und O1 ∩ O2 = ∅. Ein topologischer Raum erf¨ ullt das zweite Abz¨ahlbarkeitsaxiom, wenn es abz¨ ahlbar viele offene Mengen {On }n∈ gibt, so daß jede andere offene Menge durch Vereinigung von diesen On ’s erhalten werden kann. Ein ¨ topologischer Raum heißt kompakt, wenn es zu jeder offenen Uberdeckung eine endliche Teil¨ uberdeckung gibt. Weiter heißt M zusammenh¨angend, falls M nicht als disjunkte Vereinigung zweier offener Mengen geschrieben werden kann. Diese Grundbegriffe der mengentheoretischen Topologie werden im folgenden als bekannt vorausgesetzt. Weiteres findet man beispielsweise in [179, 199, 270].

30

2 Differentialgeometrische Grundlagen

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten werden nun topologische R¨aume mit bestimmten, zus¨atzlichen Strukturen und Eigenschaften sein, welche nicht nur einen Begriff von Stetigkeit sondern auch von Differenzierbarkeit erlauben. Wir werden zun¨ achst die elementaren Eigenschaften von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten vorstellen und in einem zweiten Schritt Vektorb¨ undel u ¨ ber differenzierbaren Mannigfaltigkeiten betrachten. Im drittem Abschnitt werden wir schließlich den Tensor- und Formenkalk¨ ul auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten einf¨ uhren. Eine gut verst¨ andliche Einf¨ uhrung ist beispielsweise in [180,275] zu finden. Weiterf¨ uhrende Darstellungen und Lehrb¨ ucher zur Differentialgeometrie sind zahlreich, als Auswahl sei [1, 220, 235] erw¨ ahnt.

2.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten Grundlegend f¨ ur die Definition einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist der Begriff der lokalen Karte und der lokalen Koordinatensysteme. Diese gestatten, in konsistenter Weise von Differenzierbarkeit auf einem topologischen Raum zu sprechen, und erlauben eine intrinsische Definition und Konstruktion von Tangentialvektoren, ohne sich den zugrundeliegenden topologischen ussen. Raum als in einen großen N eingebettet vorstellen zu m¨ 2.1.1 Karten und Atlanten



Im folgenden ist M ein topologischer Raum und n ∈ 0 . Die Definition einer Karte ist unmittelbar durch die Anschauung motiviert, lokale Koordinaten f¨ ur die Punkte in M einf¨ uhren zu wollen. Definition 2.1.1 (Karte). Eine n-dimensionale Karte f¨ ur M ist eine offene Teilmenge U ⊆ M zusammen mit einer Abbildung x : U −→ V ⊆ n , so daß V offen ist, x bijektiv ist und x sowie x−1 stetig sind. Bemerkung 2.1.2 (Karten und Koordinaten). i.) Ist p ∈ M und (U, x) eine Karte mit p ∈ U , so nennen wir (U, x) eine Karte um p. Gilt x(p) = 0, so heißt die Karte (U, x) um p zentriert. Durch aßt sich offenbar eine um p zentrierte geeignete Verschiebungen im n l¨ Karte finden. ii.) Es wird nicht verlangt, daß V zusammenh¨angend oder gar zusammenziehbar ist. Es sei daran erinnert, daß eine offene Teilmenge V ⊆ n (im glatten Sinne) zusammenziehbar heißt, falls es eine bijektive glatte Abbildung f : V −→ B1 (0) auf den offenen Einheitsball im n gibt, so daß auch f −1 glatt ist. iii.) Die Komponenten x1 , . . . , xn der Kartenabbildung x heißen auch lokale Koordinaten. Eine Karte heißt auch lokales Koordinatensystem. Die Werte x1 (p), . . . , xn (p) heißen daher auch die lokalen Koordinaten des Punktes p ∈ U bez¨ uglich der Karte (U, x).

2.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

31

x IRn

U M

V

x −1 Abb. 2.1. Eine Karte

Oft wird auch x−1 anstelle von x angegeben, wie beispielsweise f¨ ur die Polarkoordinaten x(r, ϕ) = r cos ϕ

und y(r, ϕ) = r sin ϕ.

(2.1)

Hier ist der topologische Raum der 2 , und das Inverse der Kartenabbildung geht von V = + × (0, 2π) nach U = 2 \ [0, +∞). Offenbar sind die Polarkoordinaten stetig, bijektiv und haben eine stetige Umkehrabbildung auf dem angegebenen Bereich U . Oft wird die explizite Angabe der Definitionsbereiche der Karten unterdr¨ uckt. In diesen F¨ allen erschließt sich U beziehungsweise V typischerweise aus der Forderung nach maximaler G¨ ultigkeit der in Definition 2.1.1 gew¨ unschten Eigenschaften. , x  Seien nun zwei Karten (U, x) und (U ) von M gegeben. Dann ist U ∩ U  offen, eventuell leer. Falls U ∩ U nicht leer ist, liefert die Abbildung  ) −→ x ) x  ◦ x−1 : x(U ∩ U (U ∩ U (2.2) e x(U∩U)

eine bijektive, stetige Abbildung mit stetigem Inversen x ◦ x −1 xe(U∩Ue ) . Diese , x Abbildung heißt Kartenwechsel von der Karte (U, x) zur Karte (U ). Die folgende Definition formalisiert die Vorstellung, daß wir f¨ ur jeden Punkt p der Mannigfaltigkeit eine lokale Karte mit zugeh¨ origen lokalen Koordinaten um p w¨ unschen. Definition 2.1.3 (Atlas und differenzierbare Struktur). Ein n-dimensionaler Atlas A f¨ ur M ist eine Menge von n-dimensionalen Karten , x )} , so daß die Kartenbereiche M ganz ¨ uberdecken, also M = {(U α α α∈I  U . Ein Atlas A heißt differenzierbar, wenn f¨ u r je zwei Karten (U, x) α α∈I   und (U , x ) in A entweder U ∩ U = ∅ oder der Kartenwechsel x  ◦ x−1 x(U∩U) e differenzierbar ist. Eine differenzierbare Struktur f¨ ur M ist ein maximaler differenzierbarer Atlas. Bemerkung 2.1.4 (Differenzierbare Atlanten). i.) F¨ ur einen differenzierbaren Atlas sind also alle Kartenwechsel Diffeomor−1 differenzierbar sind. Diese phismen, da sowohl x  ◦ x−1 als auch x ◦ x

32

2 Differentialgeometrische Grundlagen

U

x IR

n

~ U

~ x ° x −1

IR

M

n

~ x ~ V

V e, x Abb. 2.2. Der Kartenwechsel von (U, x) nach (U e)

Vertr¨ aglichkeit wird es erlauben, konsistent von Differenzierbarkeit“ auf ” M zu sprechen. k ii.) Man kann differenzierbar“ auch durch C mit k ∈ , also k-mal stetig ” ur uns ist differenzierbar, oder durch C ω , also reell-analytisch, ersetzen. F¨ aber im wesentlichen nur die C ∞ -Version relevant. iii.) Man beachte, daß zur Definition einer differenzierbaren Struktur f¨ ur M nur der (bekannte) Differenzierbarkeitsbegriff im n verwendet wird. iv.) Ein differenzierbarer Atlas A legt bereits einen maximalen differenzierbaren Atlas fest, indem man alle mit A vertr¨aglichen Karten noch hinzunimmt. Diese sind dann automatisch auch untereinander vertr¨aglich (warum?). In der Praxis kann man sich daher darauf beschr¨anken, einen m¨ oglichst kleinen differenzierbaren Atlas anzugeben, um eine differenzierbare Struktur festzulegen.



Wir k¨ onnen nun die zentrale Definition der Differentialgeometrie formulieren: Definition 2.1.5 (Differenzierbare Mannigfaltigkeit). Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension n ist ein topologischer HausdorffRaum, welcher dem zweiten Abz¨ahlbarkeitsaxiom gen¨ ugt, zusammen mit einer n-dimensionalen differenzierbaren Struktur. Zur Vereinfachung werden wir im folgenden nur von einer Mannigfaltigkeit“ ” sprechen. Daß die Hausdorff-Eigenschaft sinnvoll und n¨ utzlich ist, sollte unmittelbar einsichtig sein, auch wenn es Gebiete in der Differentialgeometrie gibt, in denen diese Forderung eine unn¨ otige Einschr¨ankung bedeutet. Die Bedeutung des zweiten Abz¨ ahlbarkeitsaxioms ist nicht unmittelbar zu ersehen, stellt aber letztlich sicher, daß die differenzierbaren Mannigfaltigkeiten nicht zu groß“ werden. Eine wichtige Konsequenz wird die Existenz einer ” Zerlegung der Eins sein, welche ein wichtiges technisches Hilfsmittel in der Differentialgeometrie darstellt. Die Details hierzu finden sich in Anhang A.1.

2.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

33

Beispiel 2.1.6 (Differenzierbare Mannigfaltigkeiten). i.)

ii.) iii.)

iv.) v.)

mit dem globalen Koordinatensystem id : n −→ n ist eine ndimensionale Mannigfaltigkeit, ebenso jede offene Teilmenge von n . Jeder reelle n-dimensionale Vektorraum ist ebenfalls eine Mannigfaltigkeit: nach Wahl einer Basis e1 , . . . , en erh¨alt man eine globale Karte x → (x1 , . . . , xn ), wobei x = xi ei . Diese Karte ist um den Ursprung zentriert. Analog wird jeder endlichdimensionale reelle affine Raum zu einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Jede offene Teilmenge einer Mannigfaltigkeit ist wieder eine Mannigfaltigkeit der selben Dimension. Die n-Sph¨ are n = {x ∈ n+1 | x = 1} mit den beiden Koordinatensystemen, die man aus der stereographischen Projektion vom Nordpol beziehungsweise S¨ udpol aus erh¨ alt, ist eine Mannigfaltigkeit. Eine einfache Rechnung zeigt, daß der Kartenwechsel glatt ist, siehe auch Aufgabe 2.2. Der n-Torus n = 1 × · · · × 1 mit den Koordinatensystemen, die von den beiden Karten der 1 kommen, ist auch eine Mannigfaltigkeit. Ganz allgemein ist das Kartesische Produkt M × N auf kanonische Weise eine (m + n)-dimensionale Mannigfaltigkeit, wenn M und N Mannigfaltigkeiten der Dimensionen m und n sind. n











W¨ ahrend i.) (und im allgemeinen auch ii.)) nichtkompakte Mannigfaltigkeiten sind, sind n und n kompakt. Wann immer man in der Mathematik neue Objekte definiert, will man auch u ¨ber Abbildungen zwischen ihnen reden, welche die vorhandenen charakterisierenden Strukturen ber¨ ucksichtigen. Im Falle von Mannigfaltigkeiten will man also von glatten Abbildungen sprechen.





Definition 2.1.7 (Differenzierbare Abbildung). Seien M und N Mannigfaltigkeiten und sei φ : M −→ N eine stetige Abbildung. Dann heißt φ differenzierbar (auch: glatt, C ∞ ) bei p ∈ M , wenn es eine Karte (U, x) um p , x und eine Karte (U ) um φ(p) gibt, so daß die Abbildung x ◦φ◦x−1 x(φ−1 (U)∩U) e differenzierbar ist. Weiter heißt φ differenzierbar (auch: glatt, C ∞ ), wenn φ bei allen Punkten von M differenzierbar ist. Die Menge der glatten Abbildungen von M nach N wird mit C ∞ (M, N ) bezeichnet. Bemerkung 2.1.8 (Differenzierbarkeit).  ) offen in M und somit i.) Da φ als stetig angenommen wurde, ist φ−1 (U −1  m ist auch x(φ (U ) ∩ U ) offen in . Damit ist x  ◦ φ ◦ x−1 x(φ−1 (U)∩U) e eine n -wertige Funktion auf einer offenen Teilmenge von m , f¨ ur die man den u ¨ blichen Differenzierbarkeitsbegriff verwenden kann, siehe auch Abbildung 2.3. ii.) Da Kartenwechsel Diffeomorphismen sind, gilt die Eigenschaft, daß x ◦ differenzierbar ist, auch in allen anderen Paaren von φ ◦ x−1 x(φ−1 (U)∩U) e Karten, wenn sie einmal in einem Kartenpaar gilt.

34

2 Differentialgeometrische Grundlagen

U

M

p

φ N

~ U

φ (p)

x

x~ ~ x ( φ(p))

x(p)

~ V

x~ ° φ ° x −1

~ V

Abb. 2.3. Zur Definition von Differenzierbarkeit bei p.

Von besonderer Bedeutung sind nat¨ urlich die glatten Funktionen, also die glatten Abbildungen von M in die reellen oder komplexen Zahlen. Diese werden einfach mit C ∞ (M ) bezeichnet, bzw. mit C ∞ (M, ) oder C ∞ (M, ), wenn man sich festlegen will, ob die Werte in oder in liegen sollen. Offenbar ist C ∞ (M, ) ein reeller Vektorraum und C ∞ (M, ) ein komplexer Vektorraum. Wie u ¨ blich hat man die Unterr¨aume der Funktionen mit kompaktem Tr¨ager , die mit C0∞ (M ) bezeichnet werden. Hier ist der Tr¨ager einer glatten Funktion als



supp f = {p ∈ M | f (p) = 0}cl ⊆ M





(2.3)

definiert, wobei cl den topologischen Abschluß in M bezeichnet. Es ist klar, daß C ∞ (M, ) bzw. C ∞ (M, ) sogar assoziative, kommutative Algebren (¨ uber bzw. ) mit Eins sind und daß C0∞ (M ) in beiden F¨allen ein Ideal in C ∞ (M ) ist.





ur glatte Bemerkung 2.1.9 (Fr´echet-Topologie von C ∞ (M )). Wie bereits f¨ Funktionen auf einer offenen Teilmenge V ⊆ n kann man ein System von Halbnormen f¨ ur C ∞ (M ) definieren, bez¨ uglich dessen C ∞ (M ) ein Fr´echetoder Raum wird. Ein Fr´echet-Raum ist hierbei ein Vektorraum V u ¨ ber mit abz¨ ahlbar vielen Halbnormen {p }∈ , welcher bez¨ uglich der durch diese Halbnormen festgelegten (lokal konvexen) Topologie vollst¨andig ist: Jede ¨ Cauchy-Folge hat einen Grenzwert in V . Ublicherweise fordert man zudem, daß die Topologie Hausdorffsch ist, Folgen also eindeutige Grenzwerte besitzen. Wir skizzieren kurz die Konstruktion der Halbnormen f¨ ur C ∞ (M ): Man betrachtet alle Kompakta K ⊆ M , welche in Kartenbereichen U enthalten sind. Dann definiert man zu solch einem Kompaktum K, einer entsprechenden Karte (U, x) und ∈ 0 die Halbnorm





2.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

 ∂ (f ◦ x−1 ) , pK,U,x, (f ) = max i1 (x(p)) p∈K,i1 ,...,i ∂x · · · ∂xi

35

(2.4)

wobei wir die partiellen Ableitungen in V = x(U ) ⊆ n verwenden. Das System aller dieser Halbnormen definiert dann eine Topologie, welche sich als Fr´echet-Topologie f¨ ur C ∞ (M ) herausstellt. Die Details hierzu sind beispielsweise in [169] zu finden. Wir werden diese analytischen Eigenschaften von achst nicht weiter ben¨otigen. C ∞ (M ) jedoch im folgenden zun¨ Der lokale Begriff des Diffeomorphismus verallgemeinert sich nun leicht auch auf Mannigfaltigkeiten: Definition 2.1.10 (Diffeomorphismus). Eine glatte Abbildung φ : M −→ N heißt Diffeomorphismus, falls φ bijektiv ist und φ−1 ebenfalls glatt ist. In diesem Fall heißen M und N diffeomorph. Sind M und N diffeomorph, so bezeichnet man mit Diffeo(M, N ) die Menge der Diffeomorphismen von M nach N und entsprechend mit Diffeo(M ) die Gruppe der Diffeomorphismen von M . 2.1.2 Tangentialvektoren und das Tangentenb¨ undel Um einen sinnvollen Begriff f¨ ur Tangentialvektoren zu finden, der nicht auf eine Einbettung in einen großen N Bezug nimmt, sondern intrinsisch“ de” finiert ist, bieten sich drei M¨ oglichkeiten an: • • •

Algebraische Definition: Richtungsableitung“. ” Kinematische Definition: Tangente an eine Kurve“. ” Physikalische Definition: ein Tangentialvektor ist ein Tangentialvektor, ” wenn er sich wie ein Tangentialvektor transformiert“.

Alle drei M¨ oglichkeiten sind a ¨quivalent und gleichermaßen wichtig. Wir verwenden die erste zur Definition, werden aber sp¨ater unbek¨ ummert zwischen den verschiedenen Sichtweisen wechseln. Dazu ben¨otigen wir zuerst den Begriff des Funktionenkeims“: ” Definition 2.1.11 (Funktionenkeim). Eine lokal definierte, glatte Funktion um p ∈ M ist eine glatte Funktion f ∈ C ∞ (U ), wobei U ⊆ M eine offene Teilmenge mit p ∈ U ist. Zwei lokale Funktionen (f, U ) und (g, V ) um p heißen ¨aquivalent, wenn es eine offene Umgebung W ⊆ U ∩ V von p gibt, so daß (2.5) f W = g W . ¨ Eine Aquivalenzklasse von lokalen Funktionen bei p heißt Funktionenkeim, die Menge der Funktionenkeime bei p wird mit Cp∞ bezeichnet. Offenbar ist Cp∞ ein reeller Vektorraum, ja sogar eine assoziative, kommutative Algebra mit Eins. Ist U ⊆ M eine offene Umgebung von p, so ist die Einschr¨ ankung

36

2 Differentialgeometrische Grundlagen

C ∞ (U )  f → [f ] ∈ Cp∞

(2.6)

ein Algebrenhomomorphismus. Im allgemeinen ist dieser nicht injektiv, aber man kann zeigen, daß (2.6) surjektiv ist, indem man eine Abschneidefunktion um p verwendet. Dies zeigt, daß die Algebra der Funktionenkeime Cp∞ letztlich nicht von der umgebenden Mannigfaltigkeit M abh¨angt, sondern bereits durch eine beliebig kleine offene Umgebung von p festgelegt ist. Die Auswertung bei p (2.7) δp : Cp∞  [f ] → f (p) ∈ liefert ein wohl-definiertes lineares Funktional auf Cp∞ (warum?). Wenn keine ¨ Verwechslung m¨oglich ist, schreiben wir einfach f f¨ ur die Aquivalenzklasse ∞ von f in Cp . Definition 2.1.12 (Tangentialraum). Ein Tangentialvektor vp bei p ist eine lineare Abbildung (2.8) vp : Cp∞ −→ mit der Eigenschaft vp (f g) = vp (f )g(p) + f (p)vp (g).

(2.9)

Die Menge aller Tangentialvektoren bei p heißt Tangentialraum Tp M . Offenbar gilt f¨ ur eine lokal konstante Funktion f um p immer vp (f ) = 0. Da die Bedingung (2.9) linear in vp ist, ist der Tangentialraum ein reeller Vektorraum. Die weitere Struktur von Tp M wird nun durch folgenden Satz gekl¨ art, wobei wir von nun an die Summenkonvention benutzen: Satz 2.1.13. Sei M eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit und p ∈ M . Sei weiter (U, x) eine Karte um p. i.) Die Abbildungen ∂ ∂(f ◦ x−1 ) ∞ : C  f → ∈ p ∂xi p ∂xi x(p)

(2.10)

mit i = 1, . . . , n bilden eine Basis von Tp M . Insbesondere ist dim Tp M = ∂ gilt n. F¨ ur vp ∈ Tp M mit vp = vpi ∂x i p

vpi = vp (xi ),

(2.11)

wobei xi als lokale Funktion um p aufgefaßt wird. , x ii.) Ist (U ) eine weitere Karte um p, so transformieren sich die Komponenten vpi von vp ∈ Tp M mit der Jacobi-Matrix des Koordinatenwechsels, genauer ∂( xj ◦ x−1 ) vpj = vpi . (2.12) ∂xi x(p)

2.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

37

iii.) Ist γ : (−, ) −→ M eine glatte Kurve durch p = γ(0), so definiert d f¨ ur f ∈ Cp∞ (2.13) γ(0)f ˙ = (f ◦ γ) dt t=0 einen Tangentialvektor. Mit γ i (t) = xi ◦ γ(t) gilt ∂ γ(0) ˙ = γ˙ i (0) i . (2.14) ∂x p ∂ ¨ Beweis. Zun¨ achst ist klar, daß ∂x f nur von der Aquivalenzklasse von f i p −1 ∂(f ◦x ) ∞ angt, da nur von der Gestalt von f in einer beliebig in Cp abh¨ ∂xi x(p) ∂ kleinen offenen Umgebung von x(p) abh¨ angt. Weiter ist klar, daß ∂x linear i p ∂ ist und die Derivationseigenschaft (2.9) erf¨ ullt. Damit ist ∂xi p also tats¨achlich ein Tangentialvektor. ad i.) Sei nun vp ∈ Tp M beliebig und f eine lokale Funktion. Dann gibt es lokale Funktionen fi mit f (q) = f (p) + (xi (q) − xi (p))fi (q) f¨ ur q nahe genug bei p, wobei xi wieder die lokale Koordinatenfunktion bezeichnet, und ∂(f ◦ x−1 ) fi (p) = . ∂xi x(p) Dies ist gerade der Anfang der Taylor-Entwicklung mit Restglied, insbesondere liefert 1  ∂(f ◦ x−1 )

t(x(q) − x(p)) + x(p) dt fi (q) = i ∂x 0 eine explizite Form f¨ ur die fi . Also gilt wegen vp (const ) = 0 und (xi − i x (p)) p = 0 die Gleichung vp (f ) = vp (xi )fi (p) = vp (xi ) Damit gilt also

∂(f ◦ x−1 ) . ∂xi x(p)

∂ vp = vp (xi ) i , ∂x p ∂ ein Erzeugendensystem von Tp M bilden. womit die Tangentialvektoren ∂x i p Offenbar sind sie auch linear unabh¨ angig, was man durch Anwenden auf die lokalen Funktionen xi sieht. ad ii.) Dies ist einfach die Kettenregel, die wir in einer hinreichend kleinen Umgebung um p, wo der Kartenwechsel eben definiert ist, anwenden k¨onnen: ∂(f ◦ x−1 ) vp (f ) = vpi ∂xi x(p)

38

2 Differentialgeometrische Grundlagen

∂(f ◦ x −1 ) ∂( x ◦ x−1 )j ∂ xj ∂xi x e(p) x(p) −1 j ∂( x◦x ) ∂ = vpi f. ∂xi xj xe(p) x(p) ∂    = vpi

epj v

ad iii.) Offenbar ist γ(0)f ˙ wohl-definiert auf Cp∞ , da wieder nur die Gestalt von f auf einer beliebig kleinen offenen Umgebung von p bekannt sein muß. Die Linearit¨ at und Derivationseigenschaft sind ebenfalls offensichtlich, womit γ(0) ˙ tats¨ achlich ein Tangentialvektor ist. Gleichung (2.14) ist dann eine einfache   Rechnung, indem man γ(0) ˙ auf xi anwendet und (2.11) verwendet. Bemerkung 2.1.14. Teil ii.) liefert die physikalische“ Definition, w¨ahrend ” Teil iii.) die kinematische“ Definition liefert. Einen sch¨onen und detaillierte” ren Vergleich findet man beispielsweise in [180, Kap. 2]. Da jeder Punkt p ∈ M nun seinen eigenen Tangentialraum hat, kann man die Gesamtheit aller Tangentialr¨ aume betrachten. Man definiert  TM = Tp M, (2.15) p∈M

wobei die Vereinigung als disjunkte Vereinigung zu verstehen ist (etwas anderes ist auch nicht sinnvoll). Jedes Element in T M ist also Element vp ∈ Tp M in einem bestimmten Tangentialraum an einem bestimmten Punkt p ∈ M . Daher hat man eine Projektion π : T M  vp → p ∈ M.

(2.16)

Satz 2.1.15. Die Menge T M ist auf kanonische Weise eine 2n-dimensionale Mannigfaltigkeit, wobei jede Karte (U, x) von M eine Karte (T U, T x = (q, v)) von T M induziert, n¨amlich  Tp M ⊆ T M (2.17) TU = p∈U

und

 T x = (q, v) : T U  vp → q 1 (vp ), . . . , q n (vp ), v 1 (vp ), . . . , v n (vp ) ∈ x(U )× n , (2.18) wobei q i (vp ) = xi (p) und v i (vp ) = vp (xi ). Damit wird insbesondere π : T M −→ M glatt. Beweis. Die topologische Struktur von T M wird dadurch erkl¨art, daß man Urbilder (unter T x) und deren endliche Durchschnitte und beliebige Vereiniur alle Karten (U, x) der gungen von offenen Teilmengen in T x(T U ) ⊆ 2n f¨

2.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

39

differenzierbaren Struktur von M als offen erkl¨art. Dann ist es leicht nachzurechnen, daß (2.18) tats¨ achlich Karten definiert und daß die Kartenwechsel glatt sind. Dies folgt unmittelbar aus der Glattheit der Kartenwechsel von x nach x . Die Hausdorff-Eigenschaft sowie das zweite Abz¨ahlbarkeitsaxiom kann man ebenfalls leicht einsehen. Die Abbildung π in den Koordinaten (T U, T x) f¨ ur T M und (U, x) f¨ ur M ist gerade die Projektion auf die ersten n Koordinaten und damit sicherlich glatt. Somit erh¨ alt man aus einem differenzierbaren Atlas von M einen differenzierbaren Atlas von T M .   Die Konstruktion der Mannigfaltigkeit T M aus einer gegebenen Mannigfaltigkeit M wird uns weiterhin begleiten und ist von fundamentaler Wichtigkeit in der gesamten Differentialgeometrie. Definition 2.1.16 (Tangentenb¨ undel). Die Mannigfaltigkeit T M mit der Projektion π : T M −→ M (2.19) heißt Tangentenb¨ undel von M . Satz 2.1.17. Sei φ : M −→ N eine glatte Abbildung. i.) Dann definiert (Tp φ(vp ))f = vp (f ◦ φ)

f¨ ur

∞ f ∈ Cφ(p)

(2.20)

ur alle p ∈ M und vp ∈ Tp M . einen Tangentialvektor Tp φ(vp ) ∈ Tφ(p) N f¨ Die Abbildung (2.21) Tp φ : Tp M −→ Tφ(p) N ist linear. ii.) Sind (U, x) und (V, y) Koordinaten um p und φ(p), so gilt   ∂(y j ◦ φ ◦ x−1 ) ∂ i ∂ . Tp φ vp i = vpi ∂x p ∂xi x(p) ∂y j φ(p)

(2.22)

iii.) Ist γ : (−, ) −→ M eine glatte Kurve durch γ(0) = p, so gilt . Tp φ(γ(0)) ˙ = (φ ◦ γ) (0). (2.23) iv.) Die Abbildung T φ : T M −→ T N mit T φ Tp M = Tp φ ist glatt und es gilt die Kettenregel T idM = idT M

und

T (φ ◦ ψ) = T φ ◦ T ψ.

(2.24)

Die Abbildung T φ heißt auch Tangentialabbildung von φ. Beweis. ad i.) Zun¨ achst ist klar, daß Tp φvp tats¨achlich ein wohl-definierter Tangentialvektor ist, denn f ◦ φ ist eine lokal definierte Funktion um p, deren ∞ ¨ ¨ von f in Cφ(p) abh¨angt. Aquivalenzklasse in Cp∞ nur von der Aquivalenzklasse

40

2 Differentialgeometrische Grundlagen

Die Linearit¨ ats- und Derivationseigenschaft sind offensichtlich, womit Tp φvp ∈ Tφ(p) N . Die Linearit¨ at der Abbildung (2.21) ist auch klar. ad ii.) Nach Definition rechnet man die behauptete Eigenschaft einfach nach, indem man die Kettenregel verwendet und auf einer hinreichend kleinen Umgebung von φ(p) beziehungsweise p die Karte (V, y) einschiebt“ ”   −1 ∂ ∂(f ◦ φ ◦ x ) Tp φ vpi i f = vpi ∂x p ∂xi x(p) −1 ∂(f ◦ y ◦ y ◦ φ ◦ x−1 ) = vpi ∂xi x(p) −1 j ∂(f ◦ y ) ∂(y ◦ φ ◦ x−1 ) = vpi ∂y j ∂xi y(φ(p)) x(p) j −1 ∂(y ◦ φ ◦ x ) ∂ = vpi f. ∂xi x(p) ∂y j φ(p) ad iii.) Dies rechnet man ebenso mit Hilfe der Definition direkt nach, Tp φ(γ(0))f ˙ = γ(0)(f ˙ ◦ φ) =

d . (f ◦ φ ◦ γ) = (φ ◦ γ) (0)f, dt t=0

da ja φ ◦ γ : (−, ) −→ N eine Kurve durch φ(p) ist. ad iv.) Mit (2.22) folgt die Differenzierbarkeit von T φ unmittelbar, explizit gilt mit den Karten (T U, T x) beziehungsweise (T V, T y) sowie der Abk¨ urzung φi = y i ◦ φ ◦ x−1   −1 i ∂ T y ◦ T φ ◦ (T x) = Ty ◦ Tφ v ∂xi p T x(vp )   ∂φj ∂ = T y vi i ∂x p ∂y j φ(p)   ∂φ1 ∂φn = φ1 , . . . , φn , v i i , . . . , v i i , ∂x ∂x x(p) wobei T x(vp ) = (x1 , . . . , xm , v 1 , . . . , v m ). Damit folgt die Glattheit, da ja angigkeit von den Koordinaten v 1 , . . . , v m y ◦ φ ◦ x−1 glatt ist und die Abh¨ sowieso linear und damit glatt ist. Die Abbildung T φ sieht also in Koordinaten so aus, daß f¨ ur die ersten m Koordinaten die Abbildung φ verwendet wird und f¨ ur die zweiten m Koordinaten die Jacobi-Matrix von φ, beides in den jeweiligen Koordinaten. Die Kettenregel ist v¨ollig banal, denn (Tp (φ ◦ ψ)vp )f = vp (f ◦ φ ◦ ψ) = (Tp ψ(vp ))(f ◦ φ) = (Tψ(p) φ(Tp ψ(vp )))f, sowie (T id(vp ))f = vp (f ◦ id) = vp (f ) = (idT M vp )f.  

2.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

41

Bemerkung 2.1.18 (Der Tangentialfunktor). Mit etwas mehr high-tech“ kann ” man diese Resultate, insbesondere (2.24), auch folgendermaßen verstehen: Mannigfaltigkeiten und glatte Abbildungen bilden Objekte und Morphismen einer Kategorie Mf. Dann ist die Zuordnung T : M → T M f¨ ur Objekte und T : (φ : M −→ N ) → (T φ : T M −→ T N ) f¨ ur Morphismen ein (kovarianter) Funktor T von Mf nach Mf. Diese funktoriellen Aspekte der Differentialgeometrie werden beispielsweise in [202] zum zentralen Gegenstand der Betrachtungen gemacht. Da die Tangentialabbildung an jedem Punkt eine lineare Abbildung ist, kann man vom Rang der Tangentialabbildung an jedem Punkt sprechen. Interessant sind nun die beiden extremen F¨ alle, daß die Tangentialabbildung punktweise surjektiv beziehungsweise injektiv ist: Definition 2.1.19 (Submersion und Immersion). Sei φ : M −→ N eine ur alle p ∈ M surjektiv (injektiv), so heißt φ glatte Abbildung. Ist dann Tp φ f¨ Submersion (Immersion). Diffeomorphismen sind offenbar sowohl Submersionen als auch Immersionen. 2.1.3 Vektorfelder, Fl¨ usse und Lie-Klammern Nachdem das Tangentenb¨ undel T M erkl¨ art ist, kann man die lokalen Vorstellungen von Vektorfeldern wie in Abschnitt 1.2.1 leicht auf Mannigfaltigkeiten u ¨ bertragen. Definition 2.1.20 (Vektorfeld). Eine glatte Abbildung X : M −→ T M mit π ◦X = idM heißt Vektorfeld. Die Menge aller Vektorfelder wird mit Γ∞ (T M ) bezeichnet. Entsprechend definiert man auch lokale Vektorfelder X : U ⊆ M −→ T U ⊆ T M , die nur auf einer offenen Teilmenge U von M erkl¨art sind. Die Bedeutung der Bedingung π ◦ X = idM ist, daß ein Vektor X(p) des Vektorfeldes X : M −→ T M am richtigen“ Tangentialraum, n¨amlich dem ” zum Fußpunkt p, angeheftet ist, siehe auch Abbildung 2.4. urlicher Proposition 2.1.21. Die Menge der Vektorfelder Γ∞ (T M ) ist in nat¨ Weise ein Modul ¨ uber der Algebra C ∞ (M ), via (αX + βY )(p) = αX(p) + βY (p)

(2.25)

(f X)(p) = f (p)X(p),

(2.26)

und wobei α, β ∈

∞

∞

, X, Y ∈ Γ (T M ), p ∈ M und f ∈ C (M ).

Der Beweis ist offensichtlich.

42

2 Differentialgeometrische Grundlagen

Tp M p Tq M

q

X(p)

X(q)

M

Abb. 2.4. Der Vektor X(p) eines Vektorfeldes X ist bei p angeheftet, also im Tangentialraum Tp M von p.

Beispiel 2.1.22. Sei (U, x) eine Karte von M , dann sind die Abbildungen U  ∂ ∂ p → ∂x ∈ Tp M offenbar glatt. Also definieren sie lokale Vektorfelder ∂x i i. p Jedes Vektorfeld X ist lokal von der Form ∂ X U = X i i ∂x

(2.27)

mit eindeutig bestimmten, lokal definierten glatten Funktionen X i ∈ C ∞ (U ). Vektorfelder definieren schon im lokalen Fall eine gew¨ohnliche Differentialgleichung, deren L¨ osung eine Kurve in M ist. Global formuliert sich dies folgendermaßen: Definition 2.1.23 (Integralkurve). Eine Kurve γ : I ⊆ −→ M heißt Integralkurve durch γ(0) = p f¨ ur das Vektorfeld X ∈ Γ∞ (T M ), falls γ(t) ˙ = X(γ(t)).

(2.28)

In lokalen Koordinaten bedeutet dies gerade γ˙ i (t) = X i (γ 1 (t), . . . , γ n (t)),

(2.29)

womit (2.28) also eine gew¨ ohnliche Differentialgleichung ist, deren L¨osbarkeit durch den Satz 1.1.1 von Picard-Lindel¨ of garantiert wird. So erh¨alt man durch ¨ die lokale Uberlegung und anschließendes Zusammenkleben“ der L¨osungen ” u ¨ ber die Geltungsbereiche der jeweiligen Karten hinweg folgenden Satz, siehe auch Abbildung 2.5: Satz 2.1.24 (Picard-Lindel¨ of, globale Version). Sei X ∈ Γ∞ (T M ) ein Vektorfeld. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte maximale offene Umgebung U ⊆ ×M von {0}×M mit einer eindeutigen glatten Abbildung Φ : U −→ M derart, daß Φ(0, p) = p und d Φ(t, p) = X(Φ(t, p)) dt

(2.30)

2.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

43

~ U

U γ x

M x~ ~ V

V

~ x°γ

x° γ

Abb. 2.5. Zusammenkleben lokaler L¨ osungskurven aufgrund der Eindeutigkeit der ¨ L¨ osung bei gegebenen Anfangsbedingungen im Uberlappgebiet.

f¨ ur alle (t, p) ∈ U. Es gilt Φ(t, Φ(s, p)) = Φ(t + s, p),

(2.31)

wann immer Φ auf den angegebenen Punkten erkl¨art ist. Wie schon im d nennt man Φ den Fluß von X und Φ heißt vollst¨andig, falls U = × M , die L¨ osungen also zu allen Anfangsbedingungen f¨ ur alle Zeiten definiert sind. Ist der Fluß vollst¨ andig, so ist Φt = Φ(t, ·) eine Einparametergruppe von Diffeomorphismen von M . Vektorfelder besitzen noch eine weitere Interpretation, n¨amlich als Derivationen der Algebra C ∞ (M ), siehe auch Aufgabe 1.8. Definition 2.1.25 (Derivation). Sei A eine assoziative Algebra und D : A −→ A eine lineare Abbildung. Dann heißt D Derivation, falls D(ab) = D(a)b + aD(b).

(2.32)

Die Menge aller Derivationen von A bezeichnen wir mit Der(A). Satz 2.1.26. Die Vektorfelder Γ∞ (T M ) sind kanonisch in linearer Bijektion zu den Derivationen von C ∞ (M ) mittels (Xf )(p) = X(p)f.

(2.33)

Man schreibt auch X(f ) = Xf oder LX f = Xf,

(2.34)

und nennt den Operator LX die Lie-Ableitung der Funktion f in Richtung des Vektorfelds X.

44

2 Differentialgeometrische Grundlagen

Beweis (Skizze). Zun¨ achst ist klar, daß LX eine Derivation ist. Dies rechnet man unmittelbar mit Hilfe der Derivationseigenschaft eines Tangentialvektors (2.9) nach. Damit erh¨ alt man sofort, daß X → LX eine injektive (warum?) lineare Abbildung in die Derivationen von C ∞ (M ) ist. Schwieriger ist die Surjektivit¨ at. Hierzu muß man zun¨ achst zeigen, daß sich eine beliebige Derivation D von C ∞ (M ) auf offene Teilmengen einschr¨anken l¨aßt, also eine Derivation DO von C ∞ (O) f¨ ur alle offenen Teilmengen O liefert. Dies ist der eigentliche und nichttriviale Schritt. Anschließend kann man mit einem lokalen Argument uhren diese Details in einer Karte die genau Form von DO bestimmen. Wir f¨ hier nicht aus, sondern verweisen auf Anhang A.3, Korollar A.3.8.   Da im allgemeinen der Kommutator [D1 , D2 ] = D1 ◦ D2 − D2 ◦ D1 zweier Derivationen wieder eine Derivation ist, kann man aus zwei Vektorfeldern X, Y ein neues Vektorfeld konstruieren: Definition 2.1.27 (Lie-Klammer). Die Lie-Klammer [X, Y ] von X, Y ∈ Γ∞ (T M ) ist das eindeutig bestimmte Vektorfeld mit L[X,Y ] = [LX , LY ] .

(2.35)

Satz 2.1.28. Die Lie-Klammer [·, ·] von Vektorfeldern erf¨ ullt folgende Eigenschaften f¨ ur alle f ∈ C ∞ (M ) und X, Y, Z ∈ Γ∞ (T M ): i.) ii.) iii.) iv.)

[·, ·] ist bilinear. [X, Y ] = −[Y, X] (Antisymmetrie). [X, [Y, Z]] = [[X, Y ], Z] + [Y, [X, Z]] (Jacobi-Identit¨at). [X, f Y ] = f [X, Y ] + X(f )Y (Leibniz-Regel).  

Beweis. Der Beweis erfolgt durch einfaches Nachrechnen. ∂ j ∂ In lokalen Koordinaten gilt mit X = X i ∂x i und Y = Y ∂xj die Gleichung

  j ∂ ∂X j i i ∂Y [X, Y ] = X − Y , i i ∂x ∂x ∂xj

(2.36)

was man entweder mittels der Definition oder mit Satz 2.1.28 leicht nachpr¨ uft. Satz 2.1.28 besagt insbesondere, daß die Lie-Klammer von Vektorfeldern wirklich eine Lie-Klammer ist und Γ∞ (T M ) so zu einer Lie-Algebra wird. Eine weitere ¨aquivalente Formulierung f¨ ur die Lie-Ableitung erh¨alt man u ¨ ber den Fluß Φt von X. Ganz allgemein definieren wir: Definition 2.1.29 (pull-back). Sei φ : M −→ N eine glatte Abbildung. Dann ist der pull-back von Funktionen auf N mit φ als φ∗ f = f ◦ φ ∈ C ∞ (M ) erkl¨art.

(2.37)

2.2 Vektorb¨ undel

45

Bemerkung 2.1.30 (Algebrahomomorphismen von C ∞ (M )). Der pull-back φ∗ : C ∞ (N ) −→ C ∞ (M ) ist offenbar linear und erf¨ ullt φ∗ (f g) = (φ∗ f )(φ∗ g),

(2.38)

ist also ein Algebrahomomorphismus. Weiter gilt (φ ◦ ψ)∗ = ψ ∗ ◦ φ∗

und

id∗M = idC ∞ (M) .

(2.39)

Man kann nun sogar zeigen, daß jeder Algebrahomomorphismus von C ∞ (N ) nach C ∞ (M ) von dieser Form ist (Milnor’s Exercise [236]). Insbesondere sind alle Algebraautomorphismen von C ∞ (M ) pull-backs mit Diffeomorphismen von M , siehe etwa [144, 245] f¨ ur einen neueren Zugang. Proposition 2.1.31. Sei X ∈ Γ∞ (T M ) und sei Φt der (vollst¨andige) Fluß von X. Dann gilt d LX f = Φ∗t f (2.40) dt t=0 und (2.41) LX ◦ Φ∗t = Φ∗t ◦ LX . Beweis. Beide Behauptungen sind einfache Rechnungen, welche unmittelbar aus der Definition und der Einparametergruppeneigenschaft von Φt folgen.   Insbesondere gilt f¨ ur alle t die Gleichung d ∗ Φ f = Φ∗t LX f = LX Φ∗t f, dt t

(2.42)

was unmittelbar aus den beiden Gleichungen (2.40) und (2.41) folgt. Daher schreibt man auch symbolisch Φ∗t = et LX “. ”

(2.43)

Abschließend bemerken wir noch folgendes Resultat, welches eine geometrische Interpretation der Lie-Klammer von Vektorfeldern liefert. Einen Beweis findet man beispielsweise in [235, Cor. 3.15]. Satz 2.1.32. Seien X, Y ∈ Γ∞ (T M ) mit Fl¨ ussen Φt und Ψs . Dann gilt [X, Y ] = 0 genau dann, wenn Φt ◦ Ψs = Ψs ◦ Φt f¨ ur alle t, s.

2.2 Vektorbu ¨ndel Das Tangentenb¨ undel π : T M −→ M ist der Prototyp eines Vektorb¨ undels. Sowohl in differentialgeometrischen und auch in physikalischen Anwendungen werden aber auch andere Vektorfelder“ als nur solche mit Werten in den ”

46

2 Differentialgeometrische Grundlagen

Tangentialvektoren ben¨ otigt. Beispiele sind Felder mit Werten in bestimmten Tensorr¨ aumen, die man aus den Tangentialr¨ aumen gewinnt, aber auch Spinorfelder in Yang-Mills-Theorien. Diese Beispiele rechtfertigen es, die allgemeine Theorie der Vektorb¨ undel hier zumindest in ihren Ans¨atzen zu entwickeln. Vektorb¨ undel sollen folgende Situation axiomatisch fassen und verallgemeinern: Auf einer Mannigfaltigkeit M will man Felder mit Werten in einem bestimmten Vektorraum V betrachten, also Abbildungen M −→ V . Da ein endlichdimensionaler Vektorraum selbst eine Mannigfaltigkeit ist, kann man problemlos von C ∞ (M, V ) als dem Raum aller glatten V -wertigen Felder auf M sprechen. Wir ben¨ otigen jedoch eine geringf¨ ugig allgemeinere Definition. 2.2.1 B¨ undelkarten und erste Eigenschaften Im folgenden sei π : E −→ M eine surjektive glatte Abbildung zwischen zwei Mannigfaltigkeiten der Dimensionen N + n und n, und V sei ein N dimensionaler reeller Vektorraum. Definition 2.2.1 (B¨ undelkarte). Eine B¨ undelkarte (U, ϕ) von π : E −→ M mit typischer Faser V ist eine offene Teilmenge U ⊆ M zusammen mit einem Diffeomorphismus ϕ : π −1 (U ) ⊆ E −→ U × V , so daß ϕ

π −1 (U ) ⊆ E

U ×V pr1

π

U

(2.44)

kommutiert. Hier ist pr1 : U × V −→ U die Projektion auf den ersten Faktor. Eine B¨ undelkarte heißt auch lokale Trivialisierung. Beim Begriff der B¨ undelkarte ist etwas Vorsicht geboten, da es in der Differentialgeometrie auch andere B¨ undel“ als nur Vektorb¨ undel gibt. Daher sollte man eigentlich von ” einer Vektorb¨ undelkarte“ sprechen. Wir werden aber im folgenden keine an” deren B¨ undel ben¨ otigen, so daß dies hier eine unn¨otige Verkomplizierung der Sprechweise darstellte. Definition 2.2.2. Zwei B¨ undelkarten (U1 , ϕ1 ) und (U2 , ϕ2 ) von π : E −→ M heißen vertr¨aglich, wenn die Abbildung ϕ2 ◦ ϕ−1 : (p, v) → (p, ϕ21 (p)v) (2.45) 1 (U1 ∩U2 )×V

auf (U1 ∩ U2 ) × V linear in v ∈ V ist. Da ϕ1 und ϕ2 Diffeomorphismen sind, ist ϕ21 (p) : V −→ V bijektiv, also ein linearer Isomorphismus f¨ ur jedes p ∈ U1 ∩ U2 . Diesen p-abh¨angigen Isomorphismus kann man daher auch als glatte Abbildung ϕ21 : U1 ∩ U2 −→ GL(V ) ¨ auffassen. Dann heißt ϕ21 Ubergangsmatrix .

(2.46)

2.2 Vektorb¨ undel

47

E UxV Ep φ

π p

U

M

pr1 U

Abb. 2.6. Eine B¨ undelkarte liefert eine lokale Trivialisierung

Definition 2.2.3 (Vektorb¨ undel). i.) Ein Vektorb¨ undelatlas ist eine Menge von paarweise  miteinander vertr¨aglichen B¨ undelkarten {(Uα , ϕα )}α∈I , so daß M = α∈I Uα . ii.) Ein Vektorb¨ undel ist eine glatte Abbildung π : E −→ M vom Totalraum E auf die Basis M zusammen mit einem (maximalen) Vektorb¨ undelatlas. Wie schon bei einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit kann man einen gegebenen Vektorb¨ undelatlas durch Hinzunahme aller vertr¨aglicher B¨ undelkarten zu einem maximalen Atlas ausbauen. Der Name Vektorb¨ undel“ rechtfertigt sich durch die Beobachtung, daß ” f¨ ur jeden Punkt p ∈ M die Faser u ¨ ber p, also Ep = π −1 ({p}) ⊆ E ein zu V isomorpher Vektorraum ist. Die Wohl-Definiertheit der Vektorraumstruk¨ tur folgt unmittelbar daraus, daß die Ubergangsmatrix ϕ21 zwischen je zwei B¨ undelkarten linear ist. Entsprechend nennt man die Dimension der Fasern Ep auch die Faserdimension des Vektorb¨ undels. Ein Vektorb¨ undel mit eindimensionaler Faser heißt dann auch Geradenb¨ undel . Beispiel 2.2.4 (Das Tangentenb¨ undel). Das Tangentenb¨ undel π : T M −→ M einer Mannigfaltigkeit M ist ein Vektorb¨ undel. Ist n¨amlich (U, x) eine Karte von M , so ist ϕ : π −1 (U ) = T U ⊆ T M  vp → (p, vp (x1 ), . . . , vp (xn )) ∈ U ×

n

(2.47)

undelkarte im Sinne von Definition 2.2.1. Die Vermit x = (x1 , . . . , xn ) eine B¨ tr¨ aglichkeit verschiedener solcher B¨ undelkarten folgt leicht aus dem Transfor¨ mationsverhalten (2.12). Insbesondere sind die Ubergangsmatrizen gerade die Jacobi-Matrizen der Koordinatenwechsel. Beispiel 2.2.5 (Das triviale Vektorb¨ undel). Sei V ein reeller Vektorraum, dann undel mit typischer Faser ist π : E = M × V −→ M mit π = pr1 ein Vektorb¨ V , wobei (M, id) eine globale B¨ undelkarte also bereits ein Vektorb¨ undelatlas ist.

48

2 Differentialgeometrische Grundlagen

Beispiel 2.2.6 (M¨obius-Band). Das wohlbekannte M¨obius-Band, siehe Abbildung 2.7 sowie Aufgabe 2.12, l¨ aßt sich auf naheliegende Weise als nichttriviales Vektorb¨ undel u ¨ ber 1 mit eindimensionaler reeller Faser auffassen.



Abb. 2.7. Das M¨ obius-Band als nichttriviales Vektorb¨ undel u ¨ber

1

.

Beispiel 2.2.7 (Eingeschr¨anktes Vektorb¨ undel). Ist π : E −→ M ein Vektorb¨ undel und U ⊆ M eine offene Teilmenge, so k¨onnen wir nur diejenigen Fasern betrachten, die an Punkten aus U angeheftet sind, also E U = π −1 (U ). Dann ist π E|U : E U −→ U ein Vektorb¨ undel u ¨ber U . Proposition 2.2.8. Sei π : E −→ M ein Vektorb¨ undel mit Vektorb¨ undelatlas ¨ ur die Ubergangsmatrizen die Kozyklusidentit¨at {(Uα , ϕα )}α∈I . Dann gilt f¨ ϕαβ = ϕ−1 βα

und

ϕαβ ◦ ϕβγ ◦ ϕγα = idV ,

(2.48)

auf dem Durchschnitt der jeweiligen Definitionsbereiche. ¨ Beweis. Dies folgt unmittelbar aus der Definition der Ubergangsmatrizen und −1 ◦ ϕ ◦ ϕ ◦ ϕ der Beobachtung, daß f¨ ur die B¨ undelkarten offenbar ϕα ◦ ϕ−1 β γ◦ γ β = id gilt.   ϕ−1 α ¨ Bemerkung 2.2.9. Hat man umgekehrt eine offene Uberdeckung {Uα }α∈I von ¨ M gegeben und sind auf den Uberlappgebieten Uα ∩ Uβ , sofern sie nicht leer sind, GL(V )-wertige glatte Funktionen ϕαβ gegeben, welche (2.48) erf¨ ullen, so l¨ aßt sich aus diesen Daten ein Vektorb¨ undel mit typischer Faser V u ¨ ber ¨ M konstruieren, so daß die Ubergangsmatrizen gerade die ϕαβ sind, siehe beispielsweise [235, Sect. 6]. Ganz analog zur Definition von Vektorfeldern, die Werte in den Tangentialr¨ aumen annehmen, definiert man nun E-wertige Vektorfelder, welche in der Differentialgeometrie vorzugsweise Schnitte genannt werden: Definition 2.2.10 (Schnitte). Sei π : E −→ M ein Vektorb¨ undel. Eine glatte Abbildung

2.2 Vektorb¨ undel

s : M −→ E

mit

π ◦ s = idM

49

(2.49)

heißt Schnitt von E oder E-wertiges Vektorfeld. Die Menge der Schnitte von ∞ E wird mit Γ (E) bezeichnet. Analog definiert man die lokalen Schnitte ∞ ur eine offene Teilmenge U ⊆ M . Γ (E U ) f¨ F¨ ur das triviale Vektorb¨ undel E = M × V erh¨alt man gerade die V -wertigen Abbildungen auf M Γ∞ (M × V ) ∼ (2.50) = C ∞ (M, V ) und damit die urspr¨ ungliche Vorstellung von Vektorfeldern mit Werten in einem Vektorraum V . In Analogie zu Proposition 2.1.21 erh¨alt man allgemein, daß auch Γ∞ (E) ein C ∞ (M )-Modul ist: Proposition 2.2.11. Die Schnitte Γ∞ (E) eines Vektorb¨ undels π : E −→ M sind in nat¨ urlicher Weise ein C ∞ (M )-Modul. Bemerkung 2.2.12. Da wir im folgenden sowohl reellwertige als auch komplexwertige Funktionen betrachten, sollte man bei der Formulierung von Proposition 2.2.11 zumindest einmal etwas Vorsicht walten lassen: Die Schnitte Γ∞ (E) eines reellen Vektorb¨ undels sind ein C ∞ (M, )-Modul. F¨ ur ein komplexes Vektorb¨ undel π : E −→ M (mit offensichtlicher Definition) sind die Schnitte Γ∞ (E) sogar ein C ∞ (M, )-Modul. Im folgenden werden wir nur von Vektorb¨ undeln“ und Funktionen“ sprechen, sofern aus dem Zusam” ” menhang klar ist, ob man im reellen oder komplexen Kontext arbeitet. Wir werden in Abschnitt 3.2.3 nochmals auf diese Problematik zur¨ uckkommen.



Ein spezieller Schnitt in jedem Vektorb¨ undel ist der Nullschnitt , der jedem p ∈ M den Nullvektor 0p ∈ π −1 ({p}) = Ep zuordnet. Auf diese Weise erh¨alt man also eine injektive glatte Abbildung ιE : M  p → 0p ∈ E.

(2.51)

Bemerkung 2.2.13. Ist (U, ϕ) eine B¨ undelkarte von π : E −→ M und w¨ahlt man in der typischen Faser V eine Basis e1 , . . . , eN , so liefert dies lokale Schnitte von E, definiert auf U , indem man f¨ ur p ∈ U eα (p) = ϕ−1 (p, eα ),

α = 1, . . . , N,

(2.52)

setzt. Diese sind an jedem Punkt linear unabh¨angig und spannen Ep auf. Ist daher s ∈ Γ∞ (E) ein anderer Schnitt, eventuell auch nur lokal auf U definiert, so gibt es eindeutig bestimmte lokale Funktionen sα ∈ C ∞ (U ) derart, daß s(p) = sα (p)eα (p)

(2.53)

f¨ ur p ∈ U . Dies entspricht den lokalen Ausdr¨ ucken eines Tangentialvektorfeldes im Beispiel 2.1.22. Umgekehrt liefern solche lokale Basisschnitte eine lokale Trivialisierung, indem man punktweise die Koeffizienten bez¨ uglich der Basisschnitte zusammen mit dem Fußpunkt als B¨ undelkarte verwendet.

50

2 Differentialgeometrische Grundlagen

Die folgende Definition verallgemeinert den Begriff einer linearen Abbildung zwischen Vektorr¨ aumen auf die Situation von Vektorb¨ undeln: Definition 2.2.14 (Vektorb¨ undelmorphismus). Seien πE : E −→ M und πF : F −→ N zwei Vektorb¨ undel. Eine glatte Abbildung Φ : E −→ F heißt Vektorb¨ undelmorphismus, falls Φ fasertreu, also Fasern auf Fasern abbildet, und faserweise linear ist. Proposition 2.2.15. Sei Φ : E −→ F ein Vektorb¨ undelmorphismus. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte glatte Abbildung φ : M −→ N , so daß E

Φ

πE

M

F πF

φ

N

(2.54)

kommutiert. Ist insbesondere Φ ein Vektorb¨ undelisomorphismus, so ist φ ein Diffeomorphismus. Beweis. Sei p ∈ M . Dann wird Ep in irgendeine Faser Fp abgebildet, wobei p ∈ N . Dies definiert eine eindeutige Abbildung φ : p → p , so daß (2.54) kommutiert. Offenbar ist φ = πF ◦ Φ ◦ ιE , also ist φ glatt.   Bemerkung 2.2.16. Zwei Vektorb¨ undel u ¨ber M heißen isomorph, wenn es einen Vektorb¨ undelisomorphismus Φ gibt, der zudem φ = idM erf¨ ullt. Dies ist eine etwas sch¨ arfere Version von Isomorphismus, als Definition 2.2.14 zun¨achst nahelegt. Ein Vektorb¨ undel heißt trivial (trivialisierbar), wenn es zum trivialen Vektorb¨ undel M × V isomorph ist. Ein solcher Isomorphismus heißt dann auch globale Trivialisierung. Zum Schluß erw¨ ahnen wir ohne Beweis noch folgenden Satz, welcher die Trivialit¨ at von Vektorb¨ undeln zumindest lokal immer garantiert: Satz 2.2.17. Sei E −→ M ein Vektorb¨ undel und U ⊆ M eine offene zusammenziehbare Teilmenge. Dann ist das auf U eingeschr¨ankte Vektorb¨ undel E U −→ U trivial. 2.2.2 Konstruktionen von Vektorb¨ undeln In der linearen Algebra werden aus endlichdimensionalen Vektorr¨aumen neue konstruiert, indem man zu direkten Summen, Tensorprodukten, Dualr¨aumen, etc. u ¨ bergeht, siehe beispielsweise die Aufgaben 1.6, 1.7 und 2.1. Diese Konstruktionen lassen sich auf Vektorb¨ undel u ¨ bertragen, indem man sie zun¨achst faserweise f¨ ur die Fasern der B¨ undel durchf¨ uhrt und anschließend wieder richtig zusammenklebt“. ” undel u Im folgenden sind also πi : Ei −→ M , i = 1, 2, . . . Vektorb¨ ¨ ber M mit typischen Fasern Vi . Dann sind folgende kanonische Konstruktionen relevant:

2.2 Vektorb¨ undel

i.) Die direkte Summe (oder Whitney-Summe) E1 ⊕ E2 Als Menge definiert man den Totalraum als  E1,p ⊕ E2,p , E1 ⊕ E2 =

51

(2.55)

p∈M

mit der offensichtlichen kanonischen Projektion πE1 ⊕E2 : E1 ⊕ E2 −→ M . undelkarten, so definiert man auf U1 ∩ U2 die Sind (U1 , ϕ1 ) und (U2 , ϕ2 ) B¨ B¨ undelkarte ϕ1 ⊕ ϕ2 durch

 ϕ1 ⊕ ϕ2 : v1,p ⊕ v2,p → p, pr2 ◦ ϕ1 (v1,p ) ⊕ pr2 ◦ ϕ2 (v2,p ) , (2.56) wobei pr2 : Ui × Vi −→ Vi die entsprechende Projektion auf den zweiten Faktor ist. Damit erh¨ alt man einen Vektorb¨ undelatlas f¨ ur E1 ⊕ E2 . Offenbar addieren sich die Faserdimensionen. Analog verf¨ahrt man f¨ ur mehrere Summanden und es gilt auf die u ¨ bliche kanonische Weise E1 ⊕ (E2 ⊕ E3 ) ∼ = E1 ⊕ E2 ⊕ E3 ∼ = (E1 ⊕ E2 ) ⊕ E3 und

E1 ⊕ E2 ∼ = E2 ⊕ E1 .

ii.) Das Tensorprodukt E1 ⊗ E2 Hier definiert man  E1 ⊗ E2 = E1,p ⊗ E2,p

(2.57) (2.58)

(2.59)

p∈M

mit den Vektorb¨ undelkarten

 ϕ1 ⊗ ϕ2 : v1,p ⊗ v2,p → p, pr2 ◦ ϕ1 (v1,p ) ⊗ pr2 ◦ ϕ2 (v2,p ) .

(2.60)

Wie beim Tensorprodukt von endlichdimensionalen Vektorr¨aumen multiplizieren sich auch hier die Faserdimensionen. Weiter gilt die Assoziati” vit¨ at“ und Bilinearit¨ at“ bez¨ uglich der direkten Summe bis auf kanonische ” Isomorphismen: E1 ⊗ (E2 ⊗ E3 ) ∼ = E1 ⊗ E2 ⊗ E3 ∼ = (E1 ⊗ E2 ) ⊗ E3 , ∼ E2 ⊗ E1 , E1 ⊗ E2 = E1 ⊗ (E2 ⊕ E3 ) ∼ = (E1 ⊗ E2 ) ⊕ (E1 ⊗ E3 ).

(2.61) (2.62) (2.63)

∗

iii.) Das duale Vektorb¨ undel E Hier ist  Ep∗ E∗ =

(2.64)

p∈M

mit den B¨ undelkarten ϕ∗ : αp →

   T −1 p, (pr2 ◦ ϕ) p (αp ) .

(2.65)

52

2 Differentialgeometrische Grundlagen

T Hier ist (pr2 ◦ϕ) p : V ∗ −→ Ep∗ die transponierte Abbildung zu (pr2 ◦ϕ) p : undel oder Ep −→ V . Von besonderer Bedeutung wird das Kotangentialb¨ auch Kotangentenb¨ undel T ∗ M von M sein, welches als das zu T M duale B¨ undel definiert ist. Die Vertr¨ aglichkeit mit direkter Summe und Tensorprodukten ist wie gewohnt (2.66) (E1 ⊕ E2 )∗ ∼ = E1∗ ⊕ E2∗ und

(E1 ⊗ E2 )∗ ∼ = E1∗ ⊗ E2∗ .

iv.) Das Homomorphismenb¨ undel Hom(E1 , E2 ) Der Totalraum ist  Hom(E1,p , E2,p ), Hom(E1 , E2 ) =

(2.67)

(2.68)

p∈M

und die B¨ undelkarten sind    −1 Hom(ϕ1 , ϕ2 ) : Ap → p, (pr2 ◦ ϕ2 ) p ◦ Ap ◦ (pr2 ◦ ϕ1 ) p .

(2.69)

Dann gelten die u aglichkeiten mit ⊕, ⊗ und ∗ . Insbesondere ¨blichen Vertr¨ gilt (2.70) Hom(E1 , E2 ) ∼ = E1∗ ⊗ E2 . Von besonderer Bedeutung ist auch das Endomorphismenb¨ undel End(E) = Hom(E, E) ∼ = E∗ ⊗ E

(2.71)

eines Vektorb¨ undels. v.) Kern- und Bildb¨ undel ker Φ und im Φ Ist Φ : E −→ F ein Vektorb¨ undelmorphismus f¨ ur zwei Vektorb¨ undel E −→ M und F −→ N u ¨ber φ : M −→ N , so kann man punktweise den Kern und das Bild von Φ Ep mit p ∈ M betrachten. Ist der Rang : Ep −→ Fφ(p) konstant, also nicht von p der linearen Abbildung Φ Ep

abh¨ angig, so definiert ker Φ =



ker Φ Ep ⊆ E

(2.72)

p∈M

ein Untervektorb¨ undel von E. Ist zudem φ ein Diffeomorphismus, so definiert auch das punktweise gebildete Bild  im Φ = im ΦEφ−1 (p) ⊆ F (2.73) p∈N

ein Untervektorb¨ undel von F . F¨ ur den (nun eher offensichtlichen) Begriff eines Untervektorb¨ undels sowie die Konstruktion der entsprechenden B¨ undelkarten f¨ ur ker Φ und im Φ verweisen wir auf [54, Kap. 3].

2.2 Vektorb¨ undel

53

vi.) Das Quotientenb¨ undel E F Ist E −→ M ein Vektorb¨ undel mit einem Untervektorb¨ undel F −→ M , so ist auch das punktweise gebildete Quotientenb¨ undel 

E F = Ep Fp (2.74) p∈M

ein Vektorb¨ undel u undelkarten sollte auch ¨ ber M . Die Konstruktion der B¨ in diesem Fall klar sein. Die punktweise definierte Projektion Ep −→ undelhomomorphismus u Ep Fp definiert dann einen Vektorb¨ ¨ ber der Identit¨ at idM . vii.) Das Annihilatorb¨ undel F ann Sei F ⊆ E ein Untervektorb¨ undel eines Vektorb¨ undels. Dann betrachtet man punktweise die Annihilatorr¨ aume Fpann ⊆ Ep∗ , welche durch ur alle vp ∈ Fp } Fpann = {αp ∈ Ep∗ | αp (vp ) = 0 f¨ definiert sind. Dann ist das Annihilatorb¨ undel F ann von F  F ann = Fpann ⊆ E ∗

(2.75)

(2.76)

p∈M

ein Untervektorb¨ undel von E ∗ . Durch Kombination der obigen Konstruktionen erh¨alt man weitere neue Vektorb¨ undel. Als wichtigste Beispiele seien folgende genannt: r s ∗ E⊗ E mit r, s ∈ 0 . Als Konventii.) Die Tensorpotenzen Tsr (E) = on setzt man hierbei T00 (E) = M × oder T00 (E) = M × , je nachdem, ob E komplex oder reell ist. ii.) Das Grassmann-Algebrab¨ undel





Λ• (E) =

∞ 

Λk (E),

(2.77)

k=0

k E bezeichnet und wobei Λk (E) die antisymmetrischen k-Tensoren in wie immer Λ0 (E) = M × bzw. Λ0 (E) = M × . Die direkte Summe ist in Wirklichkeit endlich, da Λk (E) = M × {0}, sobald k gr¨oßer als die Faserdimension N ist. iii.) Das symmetrische Algebrab¨ undel



S• (E) =

∞ 

Sk (E),

(2.78)

k=0

k wobei Sk (E) die symmetrischen k-Tensoren in E bezeichnet. Diese direkte Summe ist nicht endlich, S• (E) ist also ein Vektorb¨ undel mit unendlichdimensionaler Faser. Das f¨ allt streng genommen nicht unter unsere

54

2 Differentialgeometrische Grundlagen

Definition von Vektorb¨ undel, aber wir werden sehen, daß die Definition von glatten Schnitten aufgrund der direkten Summe kein Problem darstellt. F¨ ur jedes feste k hingegen ist Sk (E) −→ M ein Vektorb¨ undel mit endlicher Faserdimension. Bemerkung 2.2.18. Alle diese Konstruktionen lassen sich von einem funktoriellen Standpunkt aus einheitlich und etwas systematischer verstehen, siehe [235, Sect. 6] sowie [202, Sect. 6] Als letzte Konstruktion sei das Zur¨ uckziehen von Vektorb¨ undeln genannt. Hier betrachtet man ein Vektorb¨ undel πF : F −→ N und eine glatte Abbildung φ : M −→ N . Dann definiert man das mit φ zur¨ uckgezogene Vektorb¨ undel πφ# F : φ# F −→ M durch φ# F =



(φ# F )p

mit

(φ# F )p = Fφ(p)

(2.79)

p∈M

und verwendet folgende B¨ undelkarten: Zu einer B¨ undelkarte (V, ψ) f¨ ur F ist φ−1 (V ) = U offen in M und   ϕ : πφ−1 p, (pr2 ◦ ψ) φ(p) (vp ) (2.80) # F (U )  vp → liefert eine lokale Trivialisierung. Die Fasern von φ# F erh¨alt man also dadurch, daß man die Fasern vom Bildpunkt φ(p) bei p ”anheftet“. Offenbar gilt mit Φ (φ# F )p = id(φ# F ) = idFφ(p) , daß φ# F

Φ

π φ# F

M

F πF

φ

N

(2.81)

ein kommutierendes Diagramm ist und daß Φ ein Vektorb¨ undelmorphismus ist. Vorsicht ist bei (2.81) jedoch geboten, denn Φ ist zwar faserweise ein Vektorraumisomorphismus, jedoch im allgemeinen keineswegs ein Vektorb¨ undelisomorphismus, da weder alle Fasern von F erreicht werden m¨ ussen (φ nicht surjektiv) oder bestimmte Fasern mehrfach erreicht werden (φ nicht injektiv). 2.2.3 Algebraische Strukturen f¨ ur Schnitte von Vektorb¨ undeln Wir wollen nun untersuchen, welche algebraischen Strukturen die Schnitte von Vektorb¨ undeln erben, wenn die obigen Konstruktionen durchgef¨ uhrt wurden. Die Beweise f¨ ur die folgenden Resultate bestehen in langweiligen und einfachen Rechnungen, was ohne große M¨ uhen geschieht.

2.2 Vektorb¨ undel

55

i.) Direkte Summe: F¨ ur si ∈ Γ∞ (Ei ), i = 1, 2, definiert man s1 ⊕ s2 ∈ ∞ Γ (E1 ⊕ E2 ) punktweise durch (s1 ⊕ s2 )(p) = s1 (p) ⊕ s2 (p).

(2.82)

Damit erh¨ alt man einen Isomorphismus Γ∞ (E1 ⊕ E2 ) ∼ = Γ∞ (E1 ) ⊕ Γ∞ (E2 ).

(2.83)

ii.) Tensorprodukt: F¨ ur si ∈ Γ∞ (Ei ), i = 1, 2, definiert man s1 ⊗ s2 ∈ ∞ Γ (E1 ⊗ E2 ) punktweise durch (s1 ⊗ s2 )(p) = s1 (p) ⊗ s2 (p).

(2.84)

Das Tensorprodukt ist damit offenbar assoziativ und bilinear. iii.) Nat¨ urliche Paarung: Sei s ∈ Γ∞ (E) und α ∈ Γ∞ (E ∗ ), dann definiert man die nat¨ urliche Paarung α, s = α(s) als C ∞ -Funktion auf M punktweise durch (α(s))(p) = α(p)(s(p)). (2.85) Offenbar gilt α(s) ∈ C ∞ (M ), und α(s) ist linear in α und in s. iv.) Anwenden von Homomorphismen: Sei s ∈ Γ∞ (E1 ) ein Schnitt und A ∈ Γ∞ (Hom(E1 , E2 )). Dann definiert man A(s) ∈ Γ∞ (E2 ) punktweise durch (A(s))(p) = A(p)(s(p)) (2.86) und erh¨ alt so eine lineare Abbildung A : Γ∞ (E1 ) −→ Γ∞ (E2 ).

(2.87)

Bemerkung 2.2.19. Alle diese Operationen sind sogar C ∞ (M )-linear bez¨ uglich der Modulstrukturen als C ∞ (M )-Moduln, es gilt also beispielsweise (f s1 ) ⊗ s2 = f (s1 ⊗ s2 ) = s1 ⊗ (f s2 ) f¨ ur f ∈ C ∞ (M ). Durch Kombination der faserweisen Operationen erh¨alt man insbesondere folgende algebraische Strukturen f¨ ur die Vektor- und Tensorfelder. F¨ ur die entsprechenden punktweisen Konstruktionen sei auf Aufgabe 2.1 verwiesen. i.) Die Tensoralgebra T • (E) =

∞ 

T k (E)

mit

T k (E) = Γ∞ (T k (E))

(2.88)

k=0

ist eine assoziative Algebra mit Einselement 1 ∈ T 0 (E) = C ∞ (M ) bez¨ uglich des punktweisen Tensorprodukts von Schnitten. ii.) Die Grassmann-Algebra Ω• (E ∗ ) =

∞  k=0

Ωk (E ∗ ) mit

Ωk (E ∗ ) = Γ∞ (Λk E ∗ )

(2.89)

56

2 Differentialgeometrische Grundlagen

ist eine assoziative, superkommutative Algebra mit Eins bez¨ uglich des punktweise erkl¨ arten ∧-Produkts von Schnitten. Explizit ist α ∧ β ∈ Γ∞ (Λk+ E ∗ ) f¨ ur α ∈ Γ∞ (Λk E ∗ ) und β ∈ Γ∞ (Λ E ∗ ) durch (α ∧ β) p (s1 , . . . , sk+ )



 1  = (−1)σ α p sσ(1) , . . . , sσ(k) β p sσ(k+1) , . . . , sσ(k+) k! ! σ∈Sk+

(2.90) definiert, wobei si ∈ Ep , i = 1, . . . , k + . Die behaupteten Eigenschaften a) ∧ ist bilinear, b) ∧ ist assoziativ, also α ∧ (β ∧ γ) = (α ∧ β) ∧ γ, c) ∧ ist superkommutativ, also α ∧ β = (−1)k β ∧ α, d) α ∧ 1 = α = 1 ∧ α, k¨ onnen punktweise u uft werden, siehe Aufgabe 2.1 sowie [145]. Da¨ berpr¨ mit k¨ onnen also die bekannten Eigenschaften des ∧-Produkts f¨ ur endlichdimensionale Vektorr¨ aume u ¨ bernommen werden. Es sei abermals betont, daß ∧ sogar C ∞ (M )-bilinear ist, es gilt also (f α) ∧ β = f (α ∧ β) = α ∧ (f β) ∞

(2.91) ∗

∞

f¨ ur f ∈ C (M ), was auch aus (b) und (c) sowie Ω (E ) = C (M ) folgt. Ist nun s ∈ Γ∞ (E) ein Vektorfeld, dann kann man die Einsetzderivation i(s) punktweise erkl¨ aren, (i(s)α) p (s2 , . . . , sk ) = α p (s(p), s2 , . . . , sk ), s2 , . . . , sk ∈ Ep . (2.92) 0

So erh¨ alt man eine (k − 1)-Form i(s)α ∈ Γ∞ (Λk−1 E ∗ ). Es gelten die u ¨ blichen Rechenregeln, wie man sie von der linearen Algebra kennt, siehe ebenfalls Aufgabe 2.1 und [145]: a) i(s) : Ω• (E ∗ ) −→ Ω•−1 (E ∗ ) ist C ∞ (M )-linear. b) i(s) ist eine Antiderivation i(s)(α ∧ β) = i(s)α ∧ β + (−1)k α ∧ i(s)β.

(2.93)

c) Einsetzderivationen antikommutieren i(s1 ) i(s2 ) + i(s2 ) i(s1 ) = 0,

(2.94)

insbesondere gilt i(s) i(s) = 0. iii.) Die symmetrische Algebra S• (E ∗ ) =

∞ 

Sk (E ∗ )

mit Sk (E ∗ ) = Γ∞ (Sk E ∗ )

(2.95)

k=0

ist eine assoziative, kommutative Algebra mit Eins bez¨ uglich des punktweise erkl¨ arten ∨-Produkts von Schnitten. Auch hier ist ∨ sogar C ∞ (M )bilinear und man hat Einsetzderivationen i(s) f¨ ur s ∈ Γ∞ (E), mit entsprechenden algebraischen Identit¨ aten analog zur Grassmann-Algebra, nur ohne Vorzeichen.

2.2 Vektorb¨ undel

57

Manchmal werden wir simultan Ω• (E ∗ ) und S• (E ∗ ) verwenden, dann bezeichnen wir die antisymmetrischen Einsetzderivationen“ mit ia (s) und die sym” ” metrischen“ mit is (s). • ∗ Die symmetrische Algebra S (E ) besitzt noch eine weitere Interpretation, welche wir nun diskutieren wollen. Wir beginnen mit folgender Definition, welche eine spezielle Funktionenklasse auf einem Vektorb¨ undel auszeichnet: Definition 2.2.20 (Polynomiale Funktionen). Sei π : E −→ M ein Vek∞ torb¨ undel. Dann heißt fk ∈ C (E) polynomial (in den Fasern) vom Grade ur alle p ∈ M . Die polynomialen Funktionen k ∈ 0 , falls f E ∈ Pol (Ep ) f¨



p

vom Grade k werden mit Polk (E) bezeichnet, und wir setzen •

Pol (E) =

∞ 

Polk (E) ⊆ C ∞ (E).

(2.96)

k=0

Da jede Faser Ep ein Vektorraum ist, ist es offenbar wohl-definiert, von Polynomen auf Ep bez¨ uglich dieser Vektorraumstruktur zu sprechen. Lemma 2.2.21. Die polynomialen Funktionen Pol• (E) auf E bilden eine gradierte Unteralgebra von C ∞ (E) und es gilt Pol0 (E) = π ∗ C ∞ (M ). Beweis. Der Beweis ist unmittelbar klar.

(2.97)  

Um die polynomialen Funktionen Pol• (E) auf E besser charakterisieren zu k¨ onnen, ben¨ otigen wir das Euler-Vektorfeld von E. Wir betrachten folgende Abbildung (2.98) Φ : × E  (t, vp ) → Φt (vp ) = et vp ∈ E. Offenbar definiert Φt eine glatte Einparametergruppe von Diffeomorphismen von E, ja sogar von Vektorb¨ undelautomorphismen u ¨ ber der Identit¨at, da π ◦ Φt = π und Φt sicherlich faserweise linear ist. Daher ist Φt der Fluß eines Vektorfelds: Definition 2.2.22 (Euler-Vektorfeld). Sei π : E −→ M ein Vektorb¨ undel. Dann heißt das durch d (2.99) ξ(vp ) = Φt (vp ) dt t=0 definierte Vektorfeld ξ ∈ Γ∞ (T E) das Euler-Vektorfeld von E. Da Φt nach Konstruktion der Fluß von ξ ist, besitzt das Euler-Vektorfeld einen vollst¨ andigen Fluß. Wir wollen nun einige lokale Ausdr¨ ucke f¨ ur ξ und auch f ∈ Pol• (E) gewinnen. Dazu w¨ahlen wir eine geeignete offene Teilmenge U ⊆ M mit lokal auf U definierten Basisschnitten e1 , . . . , eN von E wie in Bemerkung 2.2.13.

58

2 Differentialgeometrische Grundlagen

Dann bezeichnen wir mit e1 , . . . , eN die entsprechenden lokalen dualen Basisschnitte von E ∗ . Diese definieren lineare Koordinatenfunktionen auf E durch die nat¨ urliche Paarung (2.100) sα (vp ) = eα (p), vp  , welche wir ebenfalls in Bemerkung 2.2.13 bereits verwendet haben. Es handelt sich bei s1 Ep , . . . , sN Ep gerade um die linearen Koordinaten auf der Faser Ep bez¨ uglich der Vektorraumbasis e1 (p), . . . , eN (p). Weiter verwenden wir die durch ∂ d (v = + te (p)) (2.101) p α ∂sα vp dt t=0 definierten lokalen Vektorfelder. Diese sind tangential an die Fasern und entsprechend den Koordinatenvektorfeldern zu den linearen Koordinaten, wenn wir sie auf eine Faser einschr¨ anken. Dies rechtfertigt die Bezeichnung (2.101). Satz 2.2.23. Sei π : E −→ M ein Vektorb¨ undel und e1 , . . . , eN ∈ Γ∞ (E U ) lokal auf einer offenen Teilmenge U ⊆ M definierte Basisschnitte mit indu zierten linearen Koordinatenfunktionen s1 , . . . , sN ∈ C ∞ (E U ). Dann gilt: i.) Lokal gilt f¨ ur das Euler-Vektorfeld ξ

= sα E|U

∂ . ∂sα

(2.102)

ii.) F¨ ur f ∈ C ∞ (E) gilt genau dann f ∈ Polk (E), falls Lξ f = kf.

(2.103)

 iii.) F¨ ur f ∈ C ∞ (E) gilt genau dann f ∈ Polk E U , falls lokal 1 f E|U = π ∗ fα1 ···αk sα1 · · · sαN k!

(2.104)

mit gewissen, in den Indizes α1 , . . . , αk total symmetrischen Funktionen fα1 ···αk ∈ C ∞ (U ). iv.) Die Abbildung J : S• (E ∗ ) −→ Pol• (E) (2.105) mit J(F )(vp ) =

1 Fp (vp , . . . , vp ) k!

(2.106)

f¨ ur F ∈ Sk (E ∗ ) ist ein Isomorphismus von gradierten Algebren. Beweis. Der erste Teil ist eine einfache Auswertung der Definition (2.99) in den lokalen Koordinaten, womit sich auch die Bezeichnung Euler-Vektorfeld“ ” erkl¨ art. Der zweite Teil kann faserweise u uft werden, da ξ offenbar tan¨ berpr¨ gential an die Faser ist. Auf Ep f¨ ur p ∈ M ist (2.103) Dank (2.102) aber eine bekannte Charakterisierung von homogenen Polynomen vom Grad k auf dem

2.2 Vektorb¨ undel

59

Vektorraum Ep . Der dritte Teil ist ebenfalls klar, da die sα gerade die linearen Koordinaten auf Ep bez¨ uglich der Basis e1 (p), . . . , eN (p) sind. Der vierte Teil l¨ aßt sich ebenfalls faserweise beziehungsweise punktweise in M u ufen, so ¨ berpr¨ daß Aufgabe 2.1 zur Anwendung kommt.   Auf diese Weise erhalten wir nun die bereits angek¨ undigte Interpretation der symmetrischen Algebra S• (E ∗ ) als die polynomialen Funktionen Pol• (E). Man beachte, daß in der lokalen Formel (2.104) die lokalen Koeffizientenfunktionen fα1 ···αk von f ∈ Polk (E) gerade den Koeffizienten des Tensorfeldes F ∈ Sk (E ∗ ) bez¨ uglich der dualen Basisschnitte e1 , . . . , eN entsprechen, wobei J(F ) = f . Nach Bemerkung 2.2.19 sind alle oben genannten algebraischen Strukturen beziehungsweise u auf den Schnitten nicht nur (multi-) linear u ¨ ber ¨ ber sondern sogar u ¨ ber C ∞ (M ). Ist umgekehrt eine C ∞ (M )-(multi-) lineare Verkn¨ upfung auf Schnitten gegeben, so handelt es sich dabei um ein Tensorfeld in folgendem Sinne:



Satz 2.2.24. Seien πi : Ei −→ M , i = 1, . . . , k und π : F −→ M Vektorb¨ undel ¨ uber M und sei A : Γ∞ (E1 ) × · · · × Γ∞ (Ek ) −→ Γ∞ (F )

(2.107)

eine C ∞ (M )-multilineare Abbildung, also A(s1 , . . . , f si , . . . , sk ) = f A(s1 , . . . , sk )

(2.108)

f¨ ur f ∈ C ∞ (M ) und si ∈ Γ∞ (Ei ), i = 1, . . . , k. Dann gibt es ein eindeutig  ∈ Γ∞ (E ∗ ⊗ · · · ⊗ E ∗ ⊗ F ), so daß im Sinne der bestimmtes Tensorfeld A 1 k punktweisen nat¨ urlichen Paarung  1 , . . . , sk ). A(s1 , . . . , sk ) = A(s Beweis. Den Beweis erbringen wir in Anhang A.5, Satz A.5.1.

(2.109)  

Die letzte Bemerkung bezieht sich auf die Schnitte eines zur¨ uckgezogenen B¨ undels. Sei also π : F −→ N ein Vektorb¨ undel und φ : M −→ N eine uckgezogenen Schnitt glatte Abbildung. F¨ ur s ∈ Γ∞ (F ) definiert man den zur¨ # ∞ # φ s ∈ Γ (φ F ) durch (φ# s)(p) = s(φ(p)) ∈ Fφ(p) = (φ# F )p .

(2.110)

Dadurch erh¨ alt man eine lineare Abbildung

welche

φ# : Γ∞ (F ) −→ Γ∞ (φ# F ),

(2.111)

φ# (f s) = (φ∗ f )(φ# s)

(2.112)

#

erf¨ ullt. Im allgemeinen ist φ weder surjektiv noch injektiv.

60

2 Differentialgeometrische Grundlagen

2.2.4 Kovariante Ableitungen und Kr¨ ummung Nachdem mit Satz 2.2.24 jede C ∞ (M )-lineare Operation auf Schnitten durch ein geeignetes Tensorfeld beschrieben werden kann, wollen wir nun Schnitte auch ableiten“ k¨ onnen. Intrinsisch geht das im allgemeinen nicht, man ” ben¨ otigt vielmehr eine zus¨atzliche Struktur: Definition 2.2.25 (Kovariante Ableitung). Sei π : E −→ M ein Vektorb¨ undel. Eine kovariante Ableitung (auch: Zusammenhang) ∇ f¨ ur E ist eine bilineare Abbildung ∇ : Γ∞ (T M ) × Γ∞ (E) −→ Γ∞ (E)

(2.113)

mit den Eigenschaften i.) ∇f X s = f ∇X s ii.) ∇X (f s) = X(f )s + f ∇X s f¨ ur f ∈ C ∞ (M ), X ∈ Γ∞ (T M ) und s ∈ Γ∞ (E). Wegen ii.) ist ∇ kein Tensorfeld mehr, der Schnitt s wird nun wirklich“ ” in Mannigfaltigkeitsrichtung abgeleitet. Trotzdem ist ∇ noch eine lokale Operation (2.114) supp(∇X s) ⊆ supp X ∩ supp s, wobei der Tr¨ager von Vektorfeldern im offensichtlichen Sinne definiert ist. Der Beweis folgt direkt aus der Funktionenlinearit¨at in X und der Leibniz-Regel in s, siehe Anhang A.5, Beispiel A.5.6. Diese Lokalit¨at erlaubt es nun, ∇ auch auf lokalen Schnitten auszuwerten. Sei also e1 , . . . , eN eine lokale Basis von Schnitten von E, definiert auf einer geeigneten offenen Umgebung U ⊆ M . Dann gilt (2.115) ∇X eα = Aβα (X)eβ , mit gewissen lokalen Funktionen Aβα (X) ∈ C ∞ (U ). Da ∇ im Γ∞ (T M )Argument sogar C ∞ (M )-linear ist, muß nach Satz 2.2.24 die Matrix A = (Aβα ) auch C ∞ (M )-linear in X sein. Also sind die Aβα lokale Einsformen Aβα ∈ Γ∞ (T ∗ U ).

(2.116)

Diese Einsformen heißen auch Zusammenhangseinsformen. Offenbar charak terisieren sie ∇ lokal. F¨ ur einen beliebigen (lokalen) Schnitt s ∈ Γ∞ (E U ) gilt mit s = sα eα dann ∇X s = X(sα )eα + sα Aβα (X)eβ .

(2.117)

Umgekehrt liefert die Angabe von N 2 lokalen Einsformen Aβα offenbar einen zumindest lokal definierten Zusammenhang, indem man (2.117) zur Definition erhebt. Daß es auch global, also nicht nur auf einer kleinen Umgebung U ⊆ M , einen Zusammenhang gibt, zeigt folgender Satz:

2.2 Vektorb¨ undel

61

Satz 2.2.26. F¨ ur jedes Vektorb¨ undel π : E −→ M existieren kovariante Ableitungen. F¨ ur je zwei kovariante Ableitungen ∇ und ∇ ist die Differenz 

S ∇−∇ (X)s = ∇X s − ∇X s

(2.118)



ein Tensorfeld S ∇−∇ ∈ Γ∞ (T ∗ M ⊗ End(E)). Umgekehrt liefert zu jedem Tensorfeld S ∈ Γ∞ (T ∗ M ⊗ End(E)) und zu einer fest gew¨ahlten kovarianten Ableitung ∇ die Formel ∇X s = ∇X s − S(X)s

(2.119)

eine neue kovariante Ableitung. Beweis. Der Existenzbeweis verwendet eine Zerlegung der Eins und die lokale Existenz, indem man die lokalen Zusammenhangseinformen einfach mit Hilfe der Zerlegung der Eins zusammenklebt, siehe auch Satz A.1.7. Der Rest ist eine einfache Rechnung, siehe Aufgabe 2.13.   Bemerkung 2.2.27. Die Zusammenh¨ ange bilden also einen affinen Raum u ¨ ber dem unendlichdimensionalen Vektorraum Γ∞ (T ∗ M ⊗ End(E)). Anders als partielle Ableitungen brauchen kovariante Ableitungen in verschiedene Richtungen“ X, Y ∈ Γ∞ (T M ) nicht zu vertauschen, selbst dann ” nicht, wenn [X, Y ] = 0. Dieses Ph¨ anomen wird durch folgende Definition erfaßt: Definition 2.2.28 (Kr¨ ummung). Sei ∇ eine kovariante Ableitung f¨ ur π : E −→ M . Dann ist der Kr¨ ummungstensor R ∈ Γ∞ (Λ2 T ∗ M ⊗ End(E)) von ∇ durch (2.120) R(X, Y )s = ∇X ∇Y s − ∇Y ∇X s − ∇[X,Y ] s definiert. Nach Satz 2.2.24 ist R tats¨ achlich ein Tensor vom angegebenen Typ, da (2.120) in jedem Argument C ∞ (M )-linear ist, was eine leichte Rechnung zeigt. Lokal l¨ aßt sich R aus den Zusammenhangseinsformen berechnen, es gilt 

R(X, Y )eα = X(Aβα (Y )) − Y (Aβα (X)) − Aβα ([X, Y ]) + [A(X), A(Y )]βα eβ . (2.121) Die lokalen Zweiformen Rβα (X, Y ) = X(Aβα (Y )) − Y (Aβα (X)) − Aβα ([X, Y ]) + [A(X), A(Y )]βα (2.122) heißen lokale Kr¨ ummungszweiformen. Bemerkung 2.2.29 (Kovariante Ableitungen in der Feldtheorie). Die lokalen Formeln f¨ ur die kovariante Ableitung (2.117) sowie f¨ ur die Kr¨ ummungszweiform (2.121) legen nahe, die lokalen Zusammenhangseinsformen als Eichpotentiale einer Eichfeldtheorie zu deuten, wobei die Materiefelder die Schnitte

62

2 Differentialgeometrische Grundlagen

von E sind. Dann sind die Kr¨ ummungszweiformen gerade die Feldst¨arken der Eichpotentiale. In der Tat lassen sich die u ¨ blichen Modelle der Teilchenphysik auf diese Weise geometrisch deuten, was wir hier jedoch nicht weiter vertiefen wollen, siehe aber etwa [82, 83, 248, 302]. Des weiteren ist die Kr¨ ummung auch die zentrale Gr¨ oße in der Allgemeinen Relativit¨atstheorie, siehe auch Bemerkung 3.2.23. Als n¨ achstes zeigen wir, wie kovariante Ableitungen und die kanonischen Konstruktionen von Vektorb¨ undeln zusammenpassen. Im folgenden seien also E −→ M und F −→ M Vektorb¨ undel mit Zusammenh¨angen ∇E und ∇F . i.) Die direkte Summe ∇E⊕F f¨ ur E ⊕ F erkl¨art man durch F ∇E⊕F (s ⊕ t) = ∇E X s ⊕ ∇X t. X

(2.123)

ii.) Das Tensorprodukt ∇E⊗F f¨ ur E ⊗ F erkl¨art man durch F (s ⊗ t) = ∇E ∇E⊗F X s ⊗ t + s ⊗ ∇X t. X

(2.124)

∗

iii.) Den dualen Zusammenhang ∇E f¨ ur E ∗ erkl¨art man durch  ∗ 

E  ∇E X α (s) = X(α(s)) − α ∇X s .

(2.125)

iv.) Schließlich erkl¨ art man den Zusammenhang ∇Hom(E,F ) f¨ ur Hom(E, F ) durch  

E  Hom(E,F ) ∇X A (s) = ∇F (2.126) X (A(s)) − A ∇X s . Eine einfache Rechnung zeigt, daß dies tats¨ achlich kovariante Ableitungen f¨ ur die angegebenen Vektorb¨ undel definiert, siehe auch Aufgabe 2.13 f¨ ur weitere Konstruktionen mit Zusammenh¨ angen. Zum Abschluß betrachten wir den wichtigen Spezialfall des Tangentenb¨ undels. Ist ∇ eine kovariante Ableitung f¨ ur T M , so k¨onnen wir f¨ ur zwei Vektorfelder X, Y ∈ Γ∞ (T M ) sowohl ∇X Y als auch ∇Y X berechnen. Man beachte, daß dies tats¨ achlich nur f¨ ur das Tangentenb¨ undel m¨oglich ist. Da ∇X Y in Y eine Leibniz-Regel erf¨ ullt, in X dagegen nicht, betrachtet man die antisymmetrische Version ∇X Y − ∇Y X, welche nun in beiden Argumenten eine Leibniz-Regel analog zur Lie-Klammer erf¨ ullt. Dies motiviert folgende Definition: Definition 2.2.30 (Torsionstensor). Sei ∇ eine kovariante Ableitung f¨ ur T M . Dann heißt Tor(X, Y ) = ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ]

(2.127)

der Torsionstensor der kovarianten Ableitung ∇. Gilt Tor = 0, so heißt ∇ torsionsfrei. In der Tat rechnet man leicht nach, daß Tor funktionenlinear in beiden Argumenten ist, womit erneut Satz 2.2.24 zur Anwendung kommt und die Torsion ein Tensor (2.128) Tor ∈ Γ∞ (Λ2 T ∗ M ⊗ T M ) ist, siehe auch Aufgabe 2.14.

2.2 Vektorb¨ undel

63

2.2.5 Orientierung und α-Dichtenb¨ undel Wir erinnern zun¨ achst an den Begriff der α-Dichte auf einem reellen Vektorraum, bevor wir dies auf Vektorb¨ undel verallgemeinern, siehe auch [16, App. A] oder [235, Sect. VI.8]. Definition 2.2.31 (α-Dichten). Sei V ein n-dimensionaler reeller Vektorraum und α ∈ . Eine Abbildung



μ : V × · · · × V −→   



(2.129)

n-mal

heißt α-Dichte, falls f¨ ur alle v1 , . . . , vn ∈ V und A ∈ End(V ) μ(Av1 , . . . , Avn ) = |det(A)|α μ(v1 , . . . , vn )

(2.130)

gilt, wobei konventionsgem¨aß 0α = 0 gesetzt wird. Die Menge aller α-Dichten auf V wird mit |Λn |α V ∗ bezeichnet. F¨ ur α = 1 schreiben wir auch kurz |Λn |1 V ∗ = |Λn |V ∗ . Analog definiert man f¨ ur reelles α auch reellwertige α-Dichten, womit unsere Notation nicht ganz konsequent ist. Da wir aber haupts¨achlich den komplexen Fall betrachten, ignorieren wir diese marginalen Schwierigkeiten in unserer Notation. Lemma 2.2.32. Sei V ein n-dimensionaler reeller Vektorraum. i.) Ist μ ∈ |Λn |α V ∗ , und sind v1 , . . . , vn ∈ V linear abh¨angig, so gilt μ(v1 , . . . , vn ) = 0. ii.) |Λn |α V ∗ ist ein eindimensionaler komplexer Vektorraum. iii.) Ist μ ∈ |Λn |α V ∗ und ν ∈ |Λn |β V ∗ , so ist das punktweise Produkt μν eine (α + β)-Dichte μν ∈ |Λn |α+β V ∗ . Dies induziert einen kanonischen Isomorphismus |Λn |α V ∗ ⊗ |Λn |β V ∗  μ ⊗ ν → μν ∈ |Λn |α+β V ∗ .

(2.131)

iv.) Ist μ ∈ |Λn |α V ∗ , so definiert μ(v1 , . . . , vn ) = μ(v1 , . . . , vn ) eine α-Dichte μ ∈ |Λn |α V ∗ und μ → μ ist ein antilinearer Isomorphismus ∼ =

|Λn |α V ∗ −→ |Λn |α V ∗ .

(2.132)

v.) Ist μ ∈ |Λn |α V ∗ , so definiert μ∗ ∈ |Λn |−α V mit μ∗ (e1 , . . . , en ) = μ(e1 , . . . , en )

(2.133)

einen kanonischen Isomorphismus |Λn |α V ∗ ∼ = |Λn |−α V,

(2.134)

wobei e1 , . . . , en eine Basis von V und e1 , . . . , en die zugeh¨orige duale Basis von V ∗ ist.

64

2 Differentialgeometrische Grundlagen

Beweis. Der erste Teil ist klar, da 0α = 0 und vi = Aei mit einer Basis e1 , . . . , en von V und einer linearen Abbildung A ∈ End(V ) mit det(A) = 0. F¨ ur den zweiten Teil seien μ, ν ∈ |Λn |α V ∗ und z, w ∈ gegeben. Dann gilt f¨ ur v1 , . . . , vn ∈ V und A ∈ End(V )



(zμ + wν)(Av1 , . . . , Avn ) = z|det(A)|α μ(v1 , . . . , vn )+w|det(A)|α ν(v1 , . . . , vn ) = |det(A)|α (zμ + wν)(v1 , . . . , vn ), womit zμ + wν wieder eine α-Dichte ist und daher |Λn |α V ∗ ein komplexer Vektorraum wird. Weiter ist μ durch den Wert auf einer Basis e1 , . . . , en bereits eindeutig bestimmt, da μ auf linear abh¨angigen Vektoren 0 ist und f¨ ur eine andere Basis f1 , . . . , fn gilt μ(f1 , . . . , fn ) = μ(Ae1 , . . . , Aen ) = |det(A)|n μ(e1 , . . . , en ), mit dem durch fi = Aei eindeutig bestimmten Basiswechsel A ∈ Gl(V ). Dies zeigt, daß |Λn |α V ∗ eindimensional ist. F¨ ur den dritten Teil gilt (μν)(Av1 , . . . , Avn ) = μ(Av1 , . . . , Avn )ν(Av1 , . . . , Avn ) = |det(A)|α |det(A)|β μ(v1 , . . . , vn )ν(v1 , . . . , vn ) = |det(A)|α+β (μν)(v1 , . . . , vn ), womit μν ∈ |Λn |α+β V ∗ . Da offenbar μν = 0 f¨ ur μ = 0 = ν, folgt die Surjektivit¨ at von (2.131). Die Injektivit¨ at folgt aus Dimensionsgr¨ unden, was den dritten Teil zeigt. Der vierte Teil ist klar, da |det(A)|α = |det(A)|α , weil |det(A)| ∈ reell ist. Die Isomorphie (2.132) ist ebenfalls klar. F¨ ur den f¨ unften Teil verwendet man zun¨ achst, daß durch die Festlegung der f¨ ur eine Basis e1 , . . . , en tats¨achlich eine α-Dichte Zahl μ(e1 , . . . , en ) ∈ μ ∈ |Λn |α V ∗ eindeutig festgelegt wird, da f¨ ur jede andere Basis genau eine invertierbare Abbildung A mit fi = Aei existiert. Damit ist μ∗ als (−α)Dichte wohl-definiert. Es bleibt zu zeigen, daß μ∗ nicht von der Wahl der Basis e1 , . . . , en abh¨ angt. Ist daher fi = Aei , so gilt f¨ ur die dualen Basen f i = (AT )−1 ei , womit folgt, daß



μ∗ (f 1 , . . . , f n ) = |det((AT )−1 )|−α μ(e1 , . . . , en ) = |det(A)|α μ(e1 , . . . , en ) = μ(f1 , . . . , fn ), womit die Definition von μ∗ nicht von der gew¨ahlten Basis abh¨angt. Die Isomorphie (2.134) ist klar.   Bemerkung 2.2.33 (α-Dichten). i.) Ist α ∈ reell, so liefert μ → μ einen antilinearen involutiven Automorphismus |Λn |α V ∗ −→ |Λn |α V ∗ und man kann von einer reellen α-Dichte μ = μ sprechen. Dar¨ uberhinaus folgt f¨ ur μ = μ = 0, daß μ(e1 , . . . , en ) f¨ ur eine und damit f¨ ur alle Basen e1 , . . . , en entweder positiv oder negativ ur reelles α immer ist. Dies ist nach Definition (2.130) klar, da |det(A)|α f¨ ≥ 0 ist. Daher kann man f¨ ur alle reellen α von einer positiven α-Dichte sprechen. Die 1-Dichten bezeichnen wir einfach als Dichten.

2.2 Vektorb¨ undel

65

ii.) Ist α, β reell, so ist das Produkt von reellen α- und β-Dichten eine reelle (α + β)-Dichte, ebenso f¨ ur positive Dichten. iii.) Eine 0-Dichte ist eine konstante Funktion auf der Menge der Basen. Der Zusammenhang von n-Formen und Dichten l¨aßt sich folgendermaßen formulieren. Hierzu ist zun¨ achst die Wahl einer Orientierung von V notwendig: Wir erinnern daran, daß zwei Basen e1 , . . . , en und f1 , . . . , fn von V gleich orientiert heißen, falls det(A) > 0 f¨ ur den Basiswechsel fi = Aei gilt. Dies ¨ definiert eine Aquivalenzrelation auf der Menge der Basen von V mit genau ¨ ¨ zwei Aquivalenzklassen. Die Wahl einer dieser Aquivalenzklassen entspricht ¨ dann der Wahl einer Orientierung. Die Basen dieser Aquivalenzklasse heißen dann positiv orientiert, die der anderen entsprechend negativ orientiert. Eine ur eine n-Form ω ∈ Λn V ∗ heißt positiv orientiert, falls ω(e1 , . . . , en ) > 0 f¨ und damit alle positiv orientierten Basen e1 , . . . , en von V . Eine n-Form ω ist demnach entweder gleich 0, positiv oder negativ orientiert. Daher erh¨alt man eine alternative und a ¨quivalente Beschreibung der Orientierung von V durch die Angabe einer von Null verschiedenen n-Form ω ∈ Λn V ∗ . Lemma 2.2.34 (α-Dichten und n-Formen). Sei V ein n-dimensionaler reeller Vektorraum. i.) Sei ω ∈ Λn V ∗ (oder in Λn V ∗ = Λn V ∗ ⊗

), dann definiert

|ω|α (v1 , . . . , vn ) = |ω(v1 , . . . , vn )|α ur z ∈ eine α-Dichte |ω|α ∈ |Λn |α V ∗ und es gilt |zω|α = |z|α |ω|α f¨ ii.) Sei V orientiert und μ ∈ |Λn |V ∗ eine Dichte. Dann definiert ωμ (v1 , . . . , vn ) = det(A)μ(e1 , . . . , en )

(2.135)

. (2.136)

eine (komplexe) n-Form ωμ ∈ Λn V ∗ , wobei e1 , . . . , en eine positiv orientierte Basis ist und A ∈ End(V ) durch vi = Aei festgelegt ist. Die Zuordnung (2.137) |Λn |V ∗  μ → ωμ ∈ Λn V ∗ ist ein linearer Isomorphismus, der nur von der Orientierung aber nicht von der Wahl der positiv orientierten Basis abh¨angt. Positive Dichten werden auf positiv orientierte n-Formen abgebildet, und f¨ ur positive Dichten gilt |ωμ | = μ. Beweis. Der erste Teil ist eine einfache Verifikation. F¨ ur den zweiten Teil m¨ ussen wir zun¨ achst zeigen, daß ωμ multilinear und antisymmetrisch ist. Dies ist aber klar, da die Determinante det(·) bez¨ uglich der Spalten und Zeilen diese Eigenschaft besitzt. Damit ist ωμ ∈ Λn V ∗ . Offenbar ist (2.136) linear und injektiv, also aus Dimensionsgr¨ unden auch bijektiv. Sei nun eine andere positiv orientierte Basis f1 , . . . , fn gegeben mit Bei = fi . Dann gilt det(B) > 0 und deshalb

66

2 Differentialgeometrische Grundlagen

μ(f1 , . . . , fn ) = |det(B)|μ(e1 , . . . , en ) = det(B)μ(e1 , . . . , en ). W¨ ahlen wir nun die f1 , . . . , fn f¨ ur die Definition von ωμ , so gilt f¨ ur vi = Afi ωμ (v1 , . . . , vn ) = det(A)μ(f1 , . . . , fn ) = det(A) det(B)μ(e1 , . . . , en ) = det(AB)μ(e1 , . . . , en ), womit gezeigt ist, daß die Definition (2.136) nicht von der Wahl der positiv orientierten Basis abh¨ angt, da ja vi = ABei . Ist weiter μ > 0 eine positive ur jede positiv orientierte Dichte, so gilt ωμ (e1 , . . . , en ) = μ(e1 , . . . , en ) > 0 f¨ Basis e1 , . . . , en . Also ist ωμ positiv orientiert. Schließlich gilt |ωμ |(v1 , . . . , vn ) = |det(A)μ(e1 , . . . , en )| = |det(A)|μ(e1 , . . . , en ) = μ(v1 , . . . , vn ),  

da μ > 0. Damit ist das Lemma gezeigt.

Dieses Lemma rechtfertigt unsere Bezeichnungen f¨ ur α-Dichten, wobei wir einen gewissen Notationsmißbrauch bei der Unterscheidung von komplexwertigen und reellen α-Dichten im Falle reeller α in Kauf nehmen. Wir kommen nun zu den geometrischen Verallgemeinerungen. Sei dazu ein reelles Vektorb¨ undel π : E −→ M der reellen Faserdimension k vorgegeben. ur p ∈ M den Raum der α-Dichten |Λk |α Ep∗ . Dann definiert jede Faser Ep f¨ Deren Vereinigung ist dann das B¨ undel der α-Dichten  |Λk |α Ep∗ , (2.138) |Λk |α E ∗ = p∈M

wobei wir lokale Trivialisierungen auf folgende Weise erhalten: Sei (U, ϕ) eine Vektorb¨ undelkarte von E im Sinne von Definition 2.2.1. Seien weiter e1 , . . . , ek ∈ Γ∞ (E U ) die entsprechenden lokalen Basisschnitte ei (p) = ϕ−1 (p, ei ), wobei ei ∈ k die kanonische Basis ist. Dann definiert man f¨ ur k α k ∗ μp ∈ |Λk |α Ep∗ die α-Dichte μϕ ∈ |Λ | ( ) p μϕ v1 , . . . , vk ) = |det(A)|α μp (e1 (p), . . . , ek (p)) = μp (v1 , . . . , vk ), p ( wobei v1 , . . . , vk ∈ Somit wird

k

(2.139)

und A = (v1 , . . . , vk ) sowie vi = Aei (p) = ϕ−1 (p, vi ).

−1 ϕ k α |ϕ|α : π|Λ k |α E ∗ (U )  μp → (p, μp ) ∈ U × |Λ | (

k ∗

)

(2.140)

eine Vektorb¨ undelkarte, und glatte Kartenwechsel von E induzieren glatte Kartenwechsel des α-Dichtenb¨ undels |Λk |α E ∗ . Proposition 2.2.35. Sei π : E −→ M ein reelles Vektorb¨ undel der Faserdimension k. Dann ist |Λk |α E ∗ −→ M ein komplexes Vektorb¨ undel mit eindiundel und jede positive mensionaler Faser. Zudem ist |Λk |α E ∗ ein triviales B¨

2.2 Vektorb¨ undel

67

Dichte μ ∈ Γ∞ (|Λk |E ∗ ) (also μp > 0 f¨ ur alle p ∈ M ) liefert eine Trivialisierung, da durch α μα p (v1 , . . . , vk ) = |μp (v1 , . . . , vk )|

f¨ ur

v1 , . . . , vk ∈ Ep

(2.141)

ein nirgends verschwindender Schnitt μα ∈ Γ∞ (|Λk |α E ∗ ) definiert ist. undel ist, wird durch die Beweis. Daß |Λk |α E ∗ −→ M ein komplexes Vektorb¨ lokalen Trivialisierungen (2.140) erreicht. Eine leichte Rechnung zeigt, daß die Kartenwechsel glatt sind. Wir zeigen nun zun¨ achst, daß es immer eine positive undelatlas Dichte μ ∈ Γ∞ (|Λk |E ∗ ) gibt. Sei dazu ein lokal endlicher Vektorb¨ {(Ui , ϕi )}i∈I von E gegeben und sei {χi }i∈I eine dazu untergeordnete, lokal endliche Zerlegung derEins, siehe Anhang A.1. Es gilt also χi ∈ C ∞ (M ) mit supp χi ⊆ Ui und i χi = 1, wobei die Summe lokal endlich ist. Weiter k¨ onnen wir 0 ≤ χi ≤ 1 annehmen. Sei nun μi auf Ui durch (i)

(i)

μi (v1 , . . . , vk ) = |det(v1 , . . . , vk )| (i)

definiert, wobei v = ϕi (v ) ∈ k und = 1, . . . , k. Dies ist die eindeutig bestimmte, auf Ui glatte Dichte mit μi (e1 , . . . , ek ) p = 1 f¨ ur p ∈ Ui und die lokalen Basisschnitte e1 , . . . , ek , welche durch die Vek torb¨ undelkarte (Ui , ϕi ) festgelegt sind. Es ist also μi ∈ Γ∞ |Λk |E ∗ Ui und daher ist χi μi ∈ Γ∞ (|Λk |E ∗ ) eine global definierte glatte Dichte mit supp(χi μi ) ⊆ Ui

und

χi μi ≥ 0.

Da die χi lokal endlich sind, ist  χi μi ∈ Γ∞ (|Λk |E ∗ ) μ= i

eine wohl-definierte glatte Dichte. Nun gilt f¨ ur linear unabh¨angige v1 , . . . , vk ∈ Ep  (i) (i) μp (v1 , . . . , vk ) = χi (p) det(v1 , . . . , vk ) , i

wobei die Summe nun nur u u r die p ∈ Ui gilt. Da ¨ ber diejenigen i l¨auft, f¨  (i) (i) aber f¨ ur diese Indizes bereits i χi (p) = 1 gilt und da det(v1 , . . . , vk ) > 0 gilt, folgt, daß μp (v1 , . . . , vk ) > 0 ist. Damit ist μ eine u ¨ berall positive Dichte und somit ein nirgends verschwindender Schnitt von |Λk |E ∗ , womit dieses B¨ undel global trivialisiert wird. Sei nun μ > 0 eine solche positive Dichte. und p ∈ M die Abbildung (2.141) definiert, indem Dann ist f¨ ur alle α ∈ man den eindeutigen positiven Logarithmus von μp (v1 , . . . , vk ) > 0 verwendet. α Somit erh¨ alt man eine glatte Abbildung p → μα p und offenbar ist μp = 0 ein k α ∗ undel nirgends verschwindender Schnitt. Also ist auch |Λ | E ein triviales B¨ und (2.141) liefert eine Trivialisierung.  



68

2 Differentialgeometrische Grundlagen

Bemerkung 2.2.36. Auch wenn die B¨ undel |Λk |α E ∗ −→ M alle trivial sind, so sind sie nicht kanonisch trivialisiert. Die Trivialisierung aus Proposition 2.2.35 h¨ angt von der nichtkanonischen Wahl einer positiven Dichte μ > 0 ab. Ausnahme bilden die 0-Dichten von Ep : Diese sind einfach konstante Funktionen auf den Basen von Ep und somit nur Funktionen von p, womit kanonisch Γ∞ (|Λk |0 E ∗ ) ∼ = C ∞ (M )

(2.142)

gilt. Die Wahl einer nirgends verschwindenden α-Dichte μ0 ∈ Γ∞ (|Λk |α E ∗ ) liefert einen Isomorphismus Γ∞ (|Λk |α E ∗ )  μ →

μ ∈ C ∞ (M ) μ0

(2.143)

von C ∞ (M )-Moduln. Als n¨ achstes wollen wir auch Lemma 2.2.34 auf Vektorb¨ undel verallgemeinern. Hier zeigt sich, daß dies nicht immer m¨ oglich ist, sondern nur, falls wir das Vektorb¨ undel auf konsistente Weise orientieren k¨onnen. Proposition 2.2.37. Sei π : E −→ M ein reelles Vektorb¨ undel der Faserdimension k. Dann ist ¨aquivalent: ur alle i.) Es gibt einen Vektorb¨ undelatlas {(Uα , ϕα )}α∈I von E, so daß f¨ ¨ α, β ∈ I mit Uα ∩ Uβ = ∅ die Ubergangsmatrizen   (2.144) det ϕαβ p > 0 f¨ ur alle p ∈ Uα ∩ Uβ erf¨ ullen. ii.) Das Vektorb¨ undel Λk E ∗ −→ M ist trivial. ur alle p ∈ M . iii.) Es gibt eine k-Form ω ∈ Γ∞ (Λk E ∗ ) mit ωp = 0 f¨ Beweis. Da das B¨ undel Λk E ∗ eindimensionale Fasern besitzt, ist es genau dann trivial, wenn es einen nirgends verschwindenden Schnitt gibt, womit die zweite und dritte Aussage ¨ aquivalent sind. Sei also zun¨achst {(Uα , ϕα )}α∈I ein Atlas mit (2.144). Sei weiter μ ∈ Γ∞ (|Λk |E ∗ ) eine positive Dichte. Ist nun p ∈ M und v1 , . . . , vk ∈ Ep eine Basis, so nennen wir sie positiv orientiert bez¨ uglich des Atlases {(Uα , ϕα )}α∈I , (α) ¨ falls die Ubergangsmatrix vi = Aei (p) f¨ ur ein α mit p ∈ Uα eine positive (α) (α) Determinante det(A) > 0 besitzt, wobei e1 , . . . , ek ∈ Γ∞ (E U ) die durch die B¨ undelkarte (Uα , ϕα ) festgelegten lokalen Basisschnitte sind, siehe Bemerkung 2.2.13. Aufgrund von (2.144) ist dies tats¨achlich unabh¨angig von α und somit wohl-definiert. Wir definieren dann ωp ∈ Λk Ep∗ durch ωp (v1 , . . . , vk ) = μp (v1 , . . . , vk ) > 0 f¨ ur positiv orientierte Basen v1 , . . . , vk ∈ Ep . Dadurch ist ωp offenbar festgelegt und liefert einen glatten Schnitt ω ∈ Γ∞ (Λk E ∗ ), welcher Dank μp > 0 offenbar nirgends verschwindet.

2.2 Vektorb¨ undel

69

Sei umgekehrt ω ∈ Γ∞ (Λk E ∗ ) ein nirgends verschwindender Schnitt, und sei {(Uα , ϕ α )}α∈I ein Vektorb¨ undelatlas mit entsprechenden lokalen Basis(α) (α) schnitten e1 , . . . , ek , wobei wir ohne Einschr¨ankung annehmen d¨ urfen, angend sind. Dann gilt f¨ ur alle p ∈ Uα entweder daß alle Uα zusammenh¨ (α) (α) (α) (α) e1 (p), . . . , ek (p)) > 0 oder ωp ( e1 (p), . . . , ek (p)) < 0, da ω nirgends ωp ( verschwindet und stetig ist. Im zweiten Fall vertauschen wir die Reihenfolge (α) (α) von e1 und e2 und erhalten so eine neue Karte und insgesamt einen Vek(α) (α) ur alle α ∈ I torb¨ undelatlas {(Uα , ϕα )}α∈I mit ωp (e1 (p), . . . , ek (p)) > 0 f¨ und p ∈ Uα . Aus dem Transformationsverhalten von k-Formen unter Basiswechsel folgt dann sofort (2.144).   Wir w¨ ahlen eine der drei ¨ aquivalenten Charakterisierungen zur Definition der Orientierbarkeit von Vektorb¨ undeln: Definition 2.2.38 (Orientierbarkeit). Ein reelles Vektorb¨ undel π : E −→ M mit k-dimensionaler Faser heißt orientierbar, falls Λk E ∗ −→ M trivial ist. Sei also nun π : E −→ M orientierbar. Dann heißen zwei nirgends verschwindende k-Formen ω, ω  ∈ Γ∞ (Λk E ∗ ) gleich orientiert, falls die eindeutig bestimmte Funktion f ∈ C ∞ (M ) mit ω = f ω  u ¨ berall positiv ist f > 0. Analog nennen wir zwei Vektorb¨ undelatlanten {(Uα , ϕα )}α∈I und β , ϕ β )}β∈J mit der Eigenschaft (2.144) gleich orientiert, falls der At{(U β , ϕ β )}β∈J immer noch die Eigenschaft (2.144) belas {(Uα , ϕα )}α∈I ∪ {(U sitzt. Der Beweis von Proposition 2.2.37 zeigt nun, daß es sich hierbei um aquivalente Konzepte handelt. Weiterhin ist klar, daß es sich bei gleich ori¨ ” ¨ entiert“ in beiden F¨ allen um eine Aquivalenzrelation handelt. Dies liefert nun, analog zur Definition einer Orientierung eines Vektorraums, folgende Definition: Definition 2.2.39 (Orientierung). Sei π : E −→ M ein orientierbares reelles Vektorb¨ undel mit k-dimensionaler Faser. Eine Orientierung von E ist ¨ die Wahl einer Aquivalenzklasse von gleich orientierten k-Formen, oder dazu undelatlanten. ¨aquivalent, von gleich orientierten Vektorb¨ Bemerkung 2.2.40 (Orientierbarkeit und Orientierung). i.) Ist M zusammenh¨ angend, so besitzt ein orientierbares reelles Vektorb¨ undel aus Stetigkeitsgr¨ unden offenbar genau zwei Orientierungen. In diesem Fall k¨ onnen wir also nach Wahl einer Orientierung von positiv und negativ orientierten k-Formen, Vektorb¨ undelkarten, und Basisschnitten sprechen. Im allgemeinen Fall gibt es 2N Orientierungen bei N Zusammenhangskomponenten. ii.) Die Orientierbarkeit ebenso wie die Orientierung vertr¨agt sich gut mit direkten Summen und Tensorprodukten, sowie mit Dualisieren und Zur¨ uckziehen von Vektorb¨ undeln. Dies sieht man unmittelbar an den in Ab¨ schnitt 2.2.2 konstruierten Ubergangsfunktionen. Man beachte jedoch, daß Unterb¨ undel im allgemeinen nicht orientierbar zu sein brauchen, wie das n¨ achste Beispiel zeigt.

70

2 Differentialgeometrische Grundlagen

Beispiel 2.2.41. Ein reelles Geradenb¨ undel L −→ M ist offenbar genau dann orientierbar, wenn es trivial ist. Somit ist das M¨obius-Band, siehe Abbildung 2.7, nicht orientierbar. Man beachte, daß das M¨obius-Band als Unundels u terb¨ undel eines trivialen 2 -B¨ ¨ ber 1 angesehen werden kann, siehe auch Aufgabe 2.12.



Nach der Wahl einer Orientierung k¨ onnen wir nun Lemma 2.2.34 auf orientierte Vektorb¨ undel verallgemeinern: Proposition 2.2.42. Sei π : E −→ M ein orientiertes Vektorb¨ undel. Der punktweise Vektorraumisomorphismus (2.137) liefert einen Vektorb¨ undelisomorphismus (2.145) |Λk |E ∗ ∼ = Λk E ∗ und damit einen C ∞ (M )-linearen Isomorphismus Γ∞ (|Λk |E ∗ )  μ → ωμ ∈ Γ∞ (Λk E ∗ ).

(2.146)

Beweis. Da die Wahl der Orientierung von E glatt vom Fußpunkt abh¨angt, liefert die punktweise Definition von (2.136) eine glatte k-Form ωμ . Da (2.146) punktweise einen Isomorphismus liefert, folgt (2.145) und so auch (2.146).   Umgekehrt k¨onnen wir f¨ ur jedes Vektorb¨ undel π : E −→ M aus einer kForm ω ∈ Γ∞ (Λk E ∗ ) immer eine nicht-negative α-Dichte |ω|α ∈ Γ0 (|Λk |E ∗ ) bilden, welche im allgemeinen jedoch nur noch stetig aber nicht l¨anger glatt ist. Die m¨ oglichen Nullstellen von ω k¨ onnen dies verhindern. Wir wollen nun beschreiben, wie man α-Dichten kovariant ableiten kann. ur E −→ M und sei e1 , . . . , ek eine Sei dazu ∇E eine kovariante Ableitung f¨ lokale Basis von Schnitten von E auf U ⊆ M . Dann sind durch r ∇E X e = A (X)er

(2.147)

die Zusammenhangseinsformen von ∇E bez¨ uglich der lokalen Basis e1 , . . . , ek festgelegt, wobei X ∈ Γ∞ (T M ). Man definiert nun f¨ ur eine α-Dichte μ ∈ Γ∞ (|Λk |α E ∗ ) lokal  A (X)μ(e1 , . . . , ek ) (2.148) (∇α X μ)(e1 , . . . , ek ) = X(μ(e1 , . . . , ek )) − α 

k α ∗  ∞ und setzt dies zu einer lokal definierten α-Dichte ∇α |Λ | E U fort. Xμ ∈ Γ Proposition 2.2.43. Sei ∇E eine kovariante Ableitung f¨ ur E −→ M . i.) Die Definition von ∇α h¨angt nicht von der Wahl der lokalen Basisschnitte e1 , . . . , ek ab und definiert deshalb eine globale kovariante Ableitung ∇α f¨ ur das α-Dichtenb¨ undel |Λk |α E ∗ −→ M . F¨ ur α = 0 gilt ∇0X = LX mit der Identifikation (2.142).

2.2 Vektorb¨ undel

71

ii.) F¨ ur μ ∈ Γ∞ (|Λk |α E ∗ ) und ν ∈ Γ∞ (|Λk |β E ∗ ) gilt

α 

β  ∇α+β X (μν) = ∇X μ ν + μ ∇X ν .

(2.149)

Ist μ > 0 eine positive Dichte, so gilt α α−1 1 ∇α ∇X μ, X μ = αμ

(2.150)

wobei μα die durch (2.141) festgelegte α-Dichte ist. ummungstensor von ∇E , so iii.) Ist RE ∈ Γ∞ (End(E) ⊗ Λ2 T ∗ M ) der Kr¨ α ∞ gilt f¨ ur den Kr¨ ummungstensor R ∈ Γ (End(|Λk |α E ∗ ) ⊗ Λ2 T ∗ M ) ∼ = Γ∞ (Λ2 T ∗ M ) Rα = −α trEnd(E) RE , (2.151) wobei wir verwenden, daß End(|Λk |α E ∗ ) auf kanonische Weise ein triviales Vektorb¨ undel ist. Mit Hilfe der lokalen Kr¨ ummungszweiformen (RE )r E von ∇ gilt f¨ ur die Kr¨ ummungszweiform  (RE ) (X, Y ), (2.152) Rα (X, Y ) = −α 

∞

wobei X, Y ∈ Γ (T M ). Wenn keine Verwechslung m¨oglich ist, schreiben wir ∇ anstelle von ∇α . Beweis. Der erste Teil wird durch Nachrechnen bewiesen: Sei also e˜i = Φji ej ˜ ) eine weitere lokale Basis von Schnitten auf U ˜ mit mit Φji ∈ C ∞ (U ∩ U ˜ = ∅. Dann gilt f¨ U ∩U ur die lokalen Zusammenhangseinsformen A˜ji bez¨ uglich der e˜1 , . . . , e˜k A˜ji (X) = (Φ−1 )jk LX Φki + (Φ−1 )jk Akr (X)Φri , siehe auch Aufgabe 2.13. Wir zeigen nun zun¨ achst, daß f¨ ur die Ableitung der Determinante von Φ LX |det(Φ)| = |det(Φ)| tr(Φ−1 LX Φ)

(∗)

gilt. Da auf einer Zusammenhangskomponente von U entweder det(Φ) > 0 oder det(Φ) < 0 gilt, k¨ onnen wir in (∗) den Betrag getrost weglassen und die Gleichung (∗∗) LX det(Φ) = det(Φ) tr(Φ−1 LX Φ) betrachten. Diese Gleichung ist aber ganz allgemein f¨ ur die Ableitung einer Determinante g¨ ultig, sofern Φ invertierbar ist. Am einfachsten sieht man dies wohl mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz f¨ ur die Determinante, siehe auch Aufgabe 5.10. Damit rechnet man die Unabh¨ angigkeit von der Wahl der Basis direkt nach, denn mit der Invertierbarkeit der Matrix Φ gilt (∇α e1 , . . . , e˜k ) X μ)(˜

72

2 Differentialgeometrische Grundlagen

= LX (μ(˜ e1 , . . . , e˜k )) − αA˜ (A)μ(˜ e1 , . . . , e˜k ) α = LX (|det(Φ)| μ(e1 , . . . , ek )) − αA˜ (X)|det(Φ)|α μ(e1 , . . . , ek )   = α|det(Φ)|α−1 LX |det(Φ)| − αA˜ (X)|det(Φ)|α μ(e1 , . . . , ek ) + |det(Φ)|α LX (μ(e1 , . . . , ek ))

 (∗) = |det(Φ)|α LX (μ(e1 , . . . , ek )) − αA (X)μ(e1 , . . . , ek ) , wobei wir im letzten Schritt das Transformationsgesetz der lokalen Zusammenhangseinsformen verwendet haben. Daher ist die Basisunabh¨angigkeit gezeigt. Daß ∇α nun tats¨achlich eine kovariante Ableitung definiert, ist leicht zu sehen, da (2.148) in X funktionenlinear und in μ derivativ ist. Damit ist der erste Teil gezeigt. Der zweite Teil folgt durch einfaches Nachrechnen mit Hilfe der lokalen Formel. F¨ ur den dritten Teil bemerken wir zun¨achst, daß f¨ ur ein beliebiges Geradenb¨ undel L −→ M das Endomorphismenb¨ undel End(L) −→ M kanonisch trivial ist, da id ∈ Γ∞ (End(L)) einen nirgends verschwindenden Schnitt liefert und die Faser eindimensional ist. Daher ist der Kr¨ ummungstensor einer kovarianten Ableitung f¨ ur ein Geradenb¨ undel einfach eine Zweiform RL ∈ Γ∞ (End(L) ⊗ Λ2 T ∗ M ) ∼ = Γ∞ (Λ2 T ∗ M ). Die Beziehung (2.151) beziehungsweise (2.152) rechnet man dann mit Hilfe der lokalen Formeln einfach nach.  

2.3 Kalku ¨l auf Mannigfaltigkeiten F¨ ur die kanonisch definierten Vektorb¨ undel T M und T ∗ M sowie ihre Tensorb¨ undel gibt es nat¨ urliche Operationen“, welche u ¨ ber die rein tensoriellen ” hinausgehen. Diese Tensoranalysis, die auch an vielen Stellen in der mathematischen Physik zum Einsatz kommt, wollen wir nun vorstellen. 2.3.1 Tensorfelder und Lie-Ableitung Im folgenden betrachten wir das Tangentenb¨ undel T M −→ M sowie das dazu duale Kotangentenb¨ undel T ∗ M −→ M und deren Tensorpotenzen. Zur Abk¨ urzung setzen wir Tsr (M ) = Γ∞ (T · · ⊗ T M ⊗ T ∗ M ⊗ · · · ⊗ T ∗ M)  M ⊗ · r-mal

(2.153)

s-mal

und nennen Tensorfelder S ∈ Tsr (M ) s-fach kovariante und r-fach kontravariante Tensoren, wobei r, s ≥ 0. Die Stellung der Indizes ist Konvention und wird in der Literatur zum Teil auch entgegengesetzt verwendet.

2.3 Kalk¨ ul auf Mannigfaltigkeiten

73

Definition 2.3.1 (pull-back). Sei φ : M −→ N eine glatte Abbildung und sei ω ∈ Tr (N ) ein r-fach kovarianter Tensor. Dann ist der pull-back φ∗ ω von ω mit φ durch (φ∗ ω) p (v1 , . . . , vr ) = ω φ(p) (Tp φ(v1 ), . . . , Tp φ(vr )) (2.154) erkl¨art, wobei p ∈ M und v1 , . . . , vr ∈ Tp M . Proposition 2.3.2. Es gilt φ∗ ω ∈ Tr (M ) und φ∗ : Tr (N ) −→ Tr (M ) ist linear. Weiter gilt φ∗ (ω ⊗ μ) = φ∗ ω ⊗ φ∗ μ (2.155) sowie

id∗M = idTr (M)

und

(φ ◦ ψ)∗ = ψ ∗ ◦ φ∗ .

(2.156)

Beweis. Das ist im wesentlichen die Kettenregel (2.24) sowie einfaches Nachrechnen.   Bemerkung 2.3.3. Damit wird also der pull-back von Funktionen (2.37) auf beliebige kovariante Tensorfelder verallgemeinert. Man beachte jedoch den uckgezogenen Unterschied des pull-backs φ∗ ω ∈ Γ∞ (T r (T ∗ M )) und des zur¨ undel φ# T r (T ∗ N ) Schnitts φ# ω ∈ Γ∞ (φ# T r (T ∗ N )). Im allgemeinen sind die B¨ und T r (T ∗ M ) nicht einmal isomorph. Kontravariante Tensorfelder lassen sich dagegen nicht so ohne weiteres zur¨ uckziehen. Dies geht vielmehr nur, wenn φ ein Diffeomorphismus ist: Definition 2.3.4. Sei φ : M −→ N ein Diffeomorphismus und S ∈ Tsr (N ) ein r-fach kontravarianter und s-fach kovarianter Tensor. Dann definiert man den pull-back φ∗ S mit φ durch (φ∗ S) p (v1 , . . . , vs , α1 , . . . , αr )

 (2.157) = S φ(p) Tp φ(v1 ), . . . , Tp φ(vs ), α1 ◦ (Tp φ)−1 , . . . , αr ◦ (Tp φ)−1 f¨ ur p ∈ M , v1 , . . . , vs ∈ Tp M und α1 , . . . , αr ∈ Tp∗ M . ∗ N wirklich eine Einsform am richtigen Punkt Offenbar ist αi ◦ (Tp φ)−1 ∈ Tφ(p) φ(p), so daß (2.157) tats¨ achlich wohl-definiert ist.

Proposition 2.3.5. Sei φ : M −→ N ein Diffeomorphismus und S ∈ Tsr (N ). Dann gilt φ∗ S ∈ Tsr (M ) und φ∗ : Tsr (N ) −→ Tsr (M )

(2.158)

ist eine lineare Bijektion mit Inversem

Weiter gilt und

(φ∗ )−1 = (φ−1 )∗ .

(2.159)

φ∗ (S ⊗ S  ) = φ∗ S ⊗ φ∗ S 

(2.160)

id∗M = idTsr (M)

und

(φ ◦ ψ)∗ = ψ ∗ ◦ φ∗ .

(2.161)

74

2 Differentialgeometrische Grundlagen

Beweis. Auch f¨ ur diese Proposition ben¨ otigt man letztlich nur ein bißchen lineare Algebra. Die Glattheit von φ∗ S ist klar, siehe auch Aufgabe 2.6.   uglich des Man nennt φ∗ = (φ∗ )−1 = (φ−1 )∗ auch den push-forward bez¨ Diffeomorphismus φ. Der pull-back φ∗ ebenso wie der push-forward ist mit der nat¨ urlichen Paarung vertr¨ aglich. Es gilt φ∗ (S(X1 , . . . , Xs , α1 , . . . , αr )) = (φ∗ S)(φ∗ X1 , . . . , φ∗ Xs , φ∗ α1 , . . . , φ∗ αr ) (2.162) f¨ ur X1 , . . . , Xs ∈ Γ∞ (T N ) und α1 , . . . , αr ∈ Γ∞ (T ∗ N ). Da der Fluß Φt zu einem Vektorfeld X ∈ Γ∞ (T M ) zumindest auf einer kleinen offenen Umgebung um jeden Punkt U f¨ ur kleine Zeiten t definiert ist und dann einen Diffeomorphismus liefert, kann man die Lie-Ableitung von beliebigen Tensorfeldern wie folgt definieren: Definition 2.3.6 (Lie-Ableitung). Sei Φt der (lokale) Fluß eines Vektorfeldes X ∈ Γ∞ (T M ) und S ∈ Tsr (M ) ein Tensor. Dann definiert man die Lie-Ableitung LX S von S in Richtung X durch d (2.163) LX S = Φ∗t S . dt t=0 Satz 2.3.7. Seien X, Y, Xi ∈ Γ∞ (T M ) Vektorfelder, αj ∈ Γ∞ (T ∗ M ) Einsformen, S, S  ∈ T•• (M ) Tensorfelder und Φt der Fluß von X. Dann gilt: i.) LX : Tsr (M ) −→ Tsr (M ) ist linear. ii.) LX f = X(f ) stimmt mit der zuvor erkl¨arten Lie-Ableitung von Funktionen u ¨berein und (2.164) LX Y = [X, Y ]. iii.) LX vertauscht mit dem zugeh¨origen Fluß LX ◦ Φ∗t = Φ∗t ◦ LX .

(2.165)

iv.) LX ist eine Derivation bez¨ uglich des Tensorprodukts LX (S ⊗ S  ) = (LX S) ⊗ S  + S ⊗ (LX S  ).

(2.166)

v.) L : X → LX ist eine Lie-Algebrendarstellung [LX , LY ] = L[X,Y ] .

(2.167)

vi.) LX ist derivativ bez¨ uglich der nat¨ urlichen Paarung LX (S(X1 , . . . , Xs , α1 , . . . , αr )) = (LX S)(X1 , . . . , Xs , α1 , . . . , αr ) s  + S(X1 , . . . , LX Xi , . . . , Xs , . . . , α1 , . . . , αr ) +

i=1 r  j=1

S(X1 , . . . , Xs , α1 , . . . , LX αj , . . . , αr ).

(2.168)

2.3 Kalk¨ ul auf Mannigfaltigkeiten

75

vii.) LX ist vertr¨aglich mit Diffeomorphismen Ψ : M −→ N LX ◦Ψ ∗ = Ψ ∗ ◦ L(Ψ −1 )∗ X .

(2.169)

Beweis. Teil i.) ist klar und Teil ii.) ist auch klar f¨ ur Funktionen. F¨ ur Vektorfelder muß man hier wirklich etwas rechnen, siehe beispielsweise [235, Sect. 3.13]. Teil iii.) folgt aus der Einparametergruppeneigenschaft von Φt . Teil iv.) erh¨ alt man durch Ableiten nach t von (2.160) mit φ = Φt bei t = 0. Teil v.) ist nach Definition f¨ ur Funktionen und Vektorfelder erf¨ ullt. F¨ ur andere Tensorfelder folgt das Resultat aus der Derivationseigenschaft iv.) sowie aus vi.). Diese Aussage erh¨ alt man wieder leicht durch Ableiten von (2.162). Der letzte Teil vii.) folgt, wenn man die Einparametergruppe Ψ ◦ Φt ◦ Ψ −1 auf N betrachtet, dann muß man (2.169) nur f¨ ur Funktionen u ufen, um das ¨berpr¨   richtige“ Vektorfeld, n¨ amlich (Ψ −1 )∗ X zu identifizieren. ” Bemerkung 2.3.8. Man kann alternativ und v¨ollig a¨quivalent zu (2.163) die ur Lie-Ableitung von Tensorfeldern auch dadurch erkl¨aren, daß man LX f¨ Funktionen und Vektorfelder wie bisher erkl¨ art und dies derivativ“ fortsetzt, ” also via (2.166) und (2.168). Dann sind die Aussagen des Satzes einigermaßen offensichtlich, jedoch die Gleichheit (2.163) muß mit einigen Schwierigkeiten bewiesen werden. 2.3.2 Differentialformen Die Differentialformen verallgemeinern in gewisser Hinsicht die Funktionen auf einer Mannigfaltigkeit und spielen entsprechend eine zentrale Rolle. In einer eher heuristischen Weise werden Differentialformen an vielen Stellen in der Physik gebraucht, so beispielsweise in der ph¨anomenologischen Thermodynamik, wo die Energieerhaltung dE = T dS − pdV + μdN als eine Gleichung zwischen Einsformen verstanden werden kann. In der Maxwellschen Elektrodynamik lassen sich die Feldst¨ arken und deren Potentiale ebenfalls als Zweiund Einsformen interpretieren, wie wir dies noch genauer sehen werden. Definition 2.3.9 (Differentialformen). Die Algebra der Differentialformen (oder Grassmann-Algebra) einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit ist die assoziative, superkommutative Algebra   n ∞  

k ∗  • ∞ ∞ k ∗ Γ Λ T M =Γ Λ T M , (2.170) Ω (M ) = k=0

k=0

wobei wie immer Ω0 (M ) = C ∞ (M ) gesetzt wird. Da wir mit Ω• (E) in Abschnitt 2.2.2 auch die Grassmann-Algebra eines Vektorb¨ undels bezeichnet haben, ergibt sich hier eventuell ein Notationskonflikt, falls E = T ∗ M . Beide Bezeichnungen sind jedoch gebr¨auchlich, die jeweilige Bedeutung sollte immer aus dem Zusammenhang klar werden.

76

2 Differentialgeometrische Grundlagen

Ist M eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit, so bezeichnet man die nFormen Γ∞ (Λn T ∗ M ) auch als Volumenformen. Die Motivation hierf¨ ur ist, daß f¨ ur einen n-dimensionalen Vektorraum V der eindimensionale Vektorraum der n-Formen Λn V ∗ gerade durch die Determinantenfunktion aufgespannt wird, siehe auch Abschnitt 2.3.4. Bis jetzt haben wir folgende Operationen auf Ω• (M ) erkl¨art: i.) Das ∧-Produkt, welches die assoziative, superkommutative Algebrastruktur definiert. ur X ∈ ii.) Die Einsetzderivationen iX = i(X) : Ω• (M ) −→ Ω•−1 (M ) f¨ Γ∞ (T M ), welche Antiderivationen bez¨ uglich des ∧-Produkts vom Grad −1 sind. iii.) Die pull-backs φ∗ : Ω• (N ) −→ Ω• (M ), da der pull-back die Antisymmetrie von kovarianten Tensorfeldern offenbar nicht zerst¨ort und sich somit auf anken l¨ aßt. Ein pull-back ist immer ein Algebramorphismus Ω• (M ) einschr¨ bez¨ uglich des ∧-Produkts φ∗ (α ∧ β) = (φ∗ α) ∧ (φ∗ β),

(2.171)

da dies f¨ ur ⊗ richtig ist und φ∗ mit dem Antisymmetrisieren in (2.90) vertauscht. iv.) Die Lie-Ableitungen LX : Ω• (M ) −→ Ω• (M ), welche sich ebenfalls auf antisymmetrische Tensoren einschr¨ anken und Derivationen vom ∧Produkt liefern LX (α ∧ β) = LX α ∧ β + α ∧ LX β,

(2.172)

was man entweder durch Ableiten von (2.171) f¨ ur φ = Φt oder direkt aus der Derivationseigenschaft von LX bez¨ uglich ⊗ erh¨alt. Ziel dieses Abschnitts ist es nun, eine weitere kanonische Operation auf den Differentialformen Ω• (M ) zu konstruieren, n¨ amlich das deRham Differential d : Ω• (M ) −→ Ω•+1 (M ). Wir beginnen mit dem Differential einer Nullform, also einer Funktion: Definition 2.3.10 (Differential). Sei f ∈ C ∞ (M ). Das Differential df ∈ Ω1 (M ) ist die Einsform, welche durch df p (vp ) = vp (f ) vp ∈ Tp M (2.173) eindeutig bestimmt ist. Anders ausgedr¨ uckt: Ist X ∈ Γ∞ (T M ) ein Vektorfeld, so ist df durch df (X) = X(f ) = LX f (2.174) eindeutig bestimmt. Offenbar ist df p nur vom Funktionenkeim von f bei p abh¨ angig, daher ist das Differential ein lokales Konzept auf M .

2.3 Kalk¨ ul auf Mannigfaltigkeiten

77

∂ Bemerkung 2.3.11. Ist (U, x) eine lokale Karte, so bilden die Vektorfelder ∂x i, i = 1, . . . , n, an jedem Punkt p ∈ U eine Basis von Tp M . Umgekehrt sind die Differentiale dxi , i = 1, . . . , n, der lokalen Koordinatenfunktionen an jedem Punkt p eine Basis von Tp∗ M , denn es gilt   ∂ ∂xi (2.175) dxi p = = δji , j ∂x p ∂xj p

womit dx1 , . . . , dxn sogar als die duale Basis von Bez¨ uglich dieser Basis gilt offenbar df =

∂ ∂ ∂x1 , . . . , ∂xn

∂(f ◦ x−1 ) i dx . ∂xi

identifiziert ist.

(2.176)

Bemerkung 2.3.12. Bei einem Koordinatenwechsel transformieren sich die Baaß sisvektoren dxi von Tp∗ M gem¨ ∂( xi ◦ x−1 ) dxj p , d xi p = j ∂x x(p)

(2.177)

 ∩ U . Dies folgt entweder aus (2.176) f¨ sofern p ∈ U ur f = x i oder aus dem ∂ entsprechenden Transformationsverhalten der dualen Basis ∂x i nach (2.12). Bemerkung 2.3.13. Da die dxi p eine Basis von Tp∗ M f¨ ur alle p ∈ U bilden, erh¨ alt man auch induzierte Basen f¨ ur die ¨ außeren Potenzen Λk Tp∗ M durch   i1 (2.178) dx ∧ · · · ∧ dxik 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n . aßt sich also als Jede (lokale) k-Form ω ∈ Ωk (U ) l¨  ω= ωi1 ···ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik

(2.179)

1≤i1 0 erfordern. In Abschnitt 2.2.5 haben wir gesehen, daß f¨ ur orientierbare und orientierte Vektorb¨ undel die Dichten zu den Formen maximalen Grades isomorph sind. Daher k¨ onnen wir auch n-Formen integrieren, sofern das Tangentenb¨ undel orientierbar ist. Diese wichtige Situation motiviert folgende Definition: Definition 2.3.42 (Orientierbarkeit und Orientierung). Eine Mannigfaltigkeit M heißt orientierbar, wenn ihr Tangentenb¨ undel π : T M −→ M orientierbar ist. In diesem Fall ist eine Orientierung von M eine Orientierung des Tangentenb¨ undels. Ist M nun orientiert, so gibt der allgemeine Isomorphismus aus Proposition 2.2.42 einen C ∞ (M )-linearen Isomorphismus Γ∞ (|Λn |T ∗ M ) ∼ = Γ∞ (Λn T ∗ M ),

(2.224)

n ∗ welcher es gestattet, auch n-Formen ω ∈ Γ∞ 0 (Λ T M ) zu integrieren, indem man ω= μ (2.225) M

M

n ∗ Γ∞ 0 (|Λ |T M )

setzt, wobei μ ∈ diejenige eindeutig bestimmte Dichte mit ω = ωμ ist. F¨ ur die Integration von n-Formen gilt dann der wichtige Satz von Stokes dω = ι∗ ω. (2.226) M n−1 ∗ Γ∞ T M) 0 (Λ

∂M

Hier ist ω ∈ eine (n − 1)-Form und ι : ∂M −→ M der (m¨ oglicherweise nichtleere) glatte Rand von M . Da wir bisher noch nicht definiert haben, was Mannigfaltigkeiten mit Rand sind, wollen wir den Satz von Stokes nicht weiter diskutieren, eine ausf¨ uhrliche Darstellung findet man

90

2 Differentialgeometrische Grundlagen

beispielsweise in [180]. F¨ ur unsere Mannigfaltigkeiten ohne Rand folgt insbesondere dω = 0. (2.227) ∞

M ∗

F¨ ur α-Dichten μ ∈ Γ (|Λ | T M ) lassen sich weitere kanonische Operationen definieren: der pull-back und die Lie-Ableitung. Da f¨ ur μ ∈ |Λn |α W ∗ und eine lineare Abbildung φ : V −→ W zwischen reellen Vektorr¨aumen der selben Dimension n die Definition n α

(φ∗ μ)(v1 , . . . , vn ) = μ(φ(v1 ), . . . , φ(vn ))

(2.228)

offenbar eine α-Dichte φ∗ μ ∈ |Λn |α V ∗ definiert, verhalten sich α-Dichten wie kovariante Tensorfelder. Dies erlaubt eine Definition von pull-back und LieAbleitung analog zu den Definitionen aus Abschnitt 2.3.1. Im folgenden haben M und N immer dieselbe Dimension n. Ist dann φ : M −→ N eine glatte Abbildung, so definiert

mit

φ∗ : Γ∞ (|Λn |α T ∗ N )  μ → φ∗ μ ∈ Γ∞ (|Λn |α T ∗ M )

(2.229)

(φ∗ μ) p (v1 , . . . , vn ) = μ φ(p) (Tp φ(v1 ), . . . , Tp φ(vn ))

(2.230)

eine glatte α-Dichte φ∗ μ. Ist weiter X ∈ Γ∞ (T M ) ein Vektorfeld mit lokalem Fluß Φt , so definiert man die Lie-Ableitung LX μ durch d (2.231) LX μ = Φ∗t μ. dt t=0 Folgende Rechenregeln erh¨ alt man mit den u ¨blichen Argumenten analog zu Abschnitt 2.3.1. Lemma 2.3.43. Sei φ : M −→ N glatt und α, β ∈

.

i.) Der pull-back φ∗ : Γ∞ (|Λn |α T ∗ N ) −→ Γ∞ (|Λn |α T ∗ M ) ist eine wohldefinierte lineare Abbildung und es gilt φ∗ (μν) = (φ∗ μ)(φ∗ ν)

(2.232)

f¨ ur μ ∈ Γ∞ (|Λn |α T ∗ N ) und ν ∈ Γ∞ (|Λn |β T ∗ N ). ii.) Ist φ eine Submersion, so ist f¨ ur eine positive Dichte η ∈ Γ∞ (|Λn |T ∗ N ) ∗ die Dichte φ η wieder positiv und es gilt (φ∗ η)α = φ∗ η α .

(2.233)

iii.) Es gilt (φ ◦ ψ)∗ = ψ ∗ ◦ φ∗ und id∗ = id. iv.) Ist φ ein Diffeomorphismus, so gilt φ∗ μ = μ

(2.234)

M n ∗ f¨ ur alle μ ∈ Γ∞ 0 (|Λ |T N ).

N

2.3 Kalk¨ ul auf Mannigfaltigkeiten

91

v.) Ist X ∈ Γ∞ (T M ) ein Vektorfeld, so gilt LX (μν) = (LX μ)ν + μ(LX ν)

und

LX (η α ) = αη α−1 LX η (2.235)

f¨ ur μ ∈ Γ∞ (|Λn |α T ∗ M ), ν ∈ Γ∞ (|Λn |β T ∗ M ) und eine positive Dichte η ∈ Γ∞ (|Λn |T ∗ M ). vi.) Ist X ∈ Γ∞ (T M ) ein Vektorfeld, so gilt LX μ = 0 (2.236) M n ∗ f¨ ur alle μ ∈ Γ∞ 0 (|Λ |T M ).

Beweis. Die ersten drei Teile lassen sich leicht punktweise nachpr¨ ufen. Der vierte Teil ist die globale Version von Proposition 2.3.40 und dr¨ uckt erneut die Koordinatenunabh¨ angigkeit der Integration aus. Nachgepr¨ uft wird dies ebenfalls mit der Transformationsformel f¨ ur den Variablenwechsel beim Integrieren. Der f¨ unfte Teil folgt durch Ableiten von (2.232) und (2.233) f¨ ur φ = Φt bei t = 0. Der letzte Teil folgt durch Ableiten von (2.234), ebenfalls   f¨ ur φ = Φt bei t = 0. Die Lie-Ableitung erlaubt es nun, f¨ ur eine positive Dichte μ > 0 eine Divergenz von Vektorfeldern zu definieren. Sei X ∈ Γ∞ (T M ), dann ist LX μ ∈ Γ∞ (|Λn |T ∗ M ) wieder eine Dichte und damit ein Funktionenvielfaur alle p ∈ M und der Vektorraum der Dichten bei p ches von μ, da μ p > 0 f¨ eindimensional ist. Dies motiviert folgende Definition: Definition 2.3.44 (Divergenz). Sei μ ∈ Γ∞ (|Λn |T ∗ M ) eine positive Dichte μ > 0 und X ∈ Γ∞ (T M ) ein Vektorfeld. Die durch die Gleichung LX μ = divμ (X)μ

(2.237)

eindeutig bestimmte Funktion divμ (X) ∈ C ∞ (M ) heißt Divergenz von X bez¨ uglich μ. Die Eigenschaften der Divergenz sowie die Abh¨angigkeit von divμ von der (nicht kanonischen) Wahl von μ kl¨ art folgendes Lemma: Lemma 2.3.45. Sei μ ∈ Γ∞ (|Λn |T ∗ M ) eine positive Dichte μ > 0. Dann gilt divμ (f X) = f divμ (X) + X(f )

(2.238)

f¨ ur alle f ∈ C ∞ (M ) und X ∈ Γ∞ (T M ) und X → divμ (X) ist linear. Ist μ ˜ eine weitere positive Dichte, so gilt μ ˜ = eg μ mit einer eindeutig bestimmten reellwertigen Funktion g ∈ C ∞ (M ) und divμ˜ (X) = divμ (X) + X(g).

(2.239)

92

2 Differentialgeometrische Grundlagen

Beweis. Wir zeigen zun¨ achst eine n¨ utzliche lokale Formel. Sei dazu (U, x) eine lokale Karte von M und sei Φt der (lokale) Fluß von X, wobei X U =  k ∂ k X ∂xk . Mit   ∂ ∂Φkt ∂ Tp Φt = ∂xi ∂xi p ∂xk f¨ ur p ∈ U und t klein genug, damit Φt (p) ∈ U , folgt   k     ∂ ∂Φt ∂ ∂ ∂ ∗ (Φt μ) ,..., n . , . . . , n = det μ ∂x1 p ∂x p ∂xi p ∂x1 ∂x p Φt (p) Die Ableitung bei t = 0 liefert dann zwei der Ableitung der De ∂ Beitr¨a∂ge:den terminante und den der Funktion μ ∂x . Es gilt daher unter 1 , . . . , ∂xn Φt (p) Verwendung von Φ0 (p) = p sowie Tp Φt t=0 = id  ∂  ∂ d (Φ∗t μ) , . . . , dt t=0 ∂x1 p ∂xn p p  k      ∂  ∂Φt d ∂ ∂ ∂ μ = det , . . . , + L , . . . , μ X dt t=0 ∂xi p ∂x1 ∂xn ∂x1 ∂xn p p   n      k  ∂Φ ∂ ∂ ∂ ∂ d t μ = (p) μ , . . . , + L , . . . , X dt t=0 ∂xk ∂x1 ∂xn ∂x1 ∂xn p p k=1

=

n  ∂X k k=1

∂xk

(p)μ



∂ ∂x

1

,...,

∂ ∂x

n

   + LX μ p

∂ ∂x

1

,...,

∂ ∂x

n

 , p

wobei wir wieder die Rechenregeln f¨ ur die Ableitung einer Determinante wie auch im Beweis von Proposition 2.2.43 benutzt haben. Also folgt die lokale Formel   ∂ ∂    ∂ k  ∂μ , . . . , n ∂x ∂ ∂ ∂ ∂X ∂x1 μ , . . . , n divμ (X) = μ , . . . , n + Xk . 1 1 k k ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x (2.240) Aus dieser Gleichung folgt (2.238) sofort. Weiter ist klar, daß f¨ ur zwei positive Dichten μ und μ ˜ die Funktion f = μ ˜ /μ ∈ C ∞ (M ) ebenfalls positiv ist. Damit besitzt f einen eindeutigen glatten reellen Logarithmus g = g ∈ C ∞ (M ), wour die Multimit μ ˜ = eg μ folgt. Aus dieser Darstellung und der Leibniz-Regel f¨ plikation einer Dichte mit einer Funktion in (2.235) folgt die Beziehung (2.239) direkt.  

2.4 Aufgaben Aufgabe 2.1 (Grassmann-Algebra und Symmetrische Algebra). Sei  V ein -Vektorraum und T k (V ) = k V = V ⊗ · · · ⊗ V die k-te Tensorpotenz   



von V sowie T 0 (V ) =

 und

k-mal

2.4 Aufgaben

T • (V ) =

∞ 

T k (V ).

93

(2.241)

k=0

Elemente T in T • (V ) mit T ∈ T k (V ) heißen homogene Tensoren vom Grad k. Man definiert die lineare Gradabbildung deg : T • (V ) −→ T • (V ) durch deg T k (V ) = k idT k (V ) f¨ ur k ∈ 0 . Also ist T genau dann homogen vom Grade k, wenn deg T = kT .



i.) Zeigen Sie, daß das Tensorprodukt ⊗ den Vektorraum T • (V ) zu einer assoziativen Algebra mit Eins macht, wobei man α ⊗ v = αv = v ⊗ α f¨ ur α ∈ und v ∈ V setzt und die u ¨ bliche Assoziativit¨at von ⊗ verwendet. Zeigen Sie weiter, daß deg eine Derivation ist. ii.) Zeigen Sie, daß durch lineare Fortsetzung von



σ  (v1 ⊗ · · · ⊗ vk ) = vσ(1) ⊗ · · · ⊗ vσ(k)

(2.242)

eine Darstellung der symmetrischen Gruppe Sk auf T k (V ) definiert wird. Zeigen Sie weiter, daß A t k =

1  sign(σ)σ  k!

und

Sym k =

σ∈Sk

1  σ k!

(2.243)

σ∈Sk

∞ k Projektoren ∞ in T (V ) sind. Zeigen Sie so, daß auch A t = k=0 A t k und Sym = k=0 Sym k mit A t 0 = id = Sym 0 Projektoren sind. iii.) Sei nun Λ(V ) = A t(T • (V )) und S(V ) = Sym(T • (V )). Zeigen Sie, daß Λ• (V ) =

∞ 

Λk (V )

mit Λk (V ) = A t k (T k (V ))

(2.244)

Sk (V )

mit Sk (V ) = Sym k (T k (V )).

(2.245)

k=0

und S• (V ) =

∞  k=0

Definieren Sie entsprechend den antisymmetrischen und symmetrischen ankung von deg auf Λ• (V ) und S• (V ). Grad dega und degs als die Einschr¨ k iv.) Definieren Sie f¨ ur v ∈ Λ (V ) und w ∈ Λ (V ) beziehungsweise p ∈ Sk (V )  und q ∈ S (V ) das ∧-Produkt beziehungsweise das ∨-Produkt durch v∧w =

(k + )! A t(v ⊗ w) k! !

und

p∨q =

(k + )! Sym(p ⊗ q). (2.246) k! !

und setzen Sie es zu einer bilinearen Verkn¨ upfung auf Λ• (V ) beziehungs• • weise S (V ) fort. Zeigen Sie, daß Λ (V ) beziehungsweise S• (V ) dadurch zu einer assoziativen, superkommutativen (bzw. kommutativen) Algebra mit Eins wird.

94

2 Differentialgeometrische Grundlagen

Hinweis: Zeigen Sie zun¨ achst, daß f¨ ur σ ∈ Sk und id ∈ S die Permutation σ × id ∈ Sk+ das selbe Signum wie σ besitzt. Zeigen Sie weiter, daß A t k+ ◦(σ × id) = sign(σ) A t k+ . Folgern Sie so, daß A t k+ ◦(A t k ⊗ id) = A t k+ = A t k+ ◦(id ⊗ A t  ). Verwenden Sie dieses Resultat um die Assoziativit¨ at von ∧ zu zeigen, indem Sie zun¨achst A t(A t (T ) ⊗ S) = A t(T ⊗ S) = A t(T ⊗ A t(S)) f¨ ur beliebige Tensoren T und S zeigen. Die Verteilung der Fakult¨aten in (2.246) ist dabei essentiell. Verfahren Sie analog f¨ ur ∨. v.) Zeigen Sie, daß dega beziehungsweise degs Derivationen von ∧ beziehungsweise von ∨ sind. vi.) Sei nun dim V = n < ∞ und sei e1 , . . . , en eine Basis von V . Welche Dimensionen haben dann Λk (V ) und Sk (V ). Geben Sie jeweils eine Basis an. Welche Dimension hat Λ• (V ) und S• (V )? vii.) Sei wieder dim V = n < ∞. Mit [x1 , . . . , xn ] werde die Polynomalgebra in n Variablen u ¨ ber bezeichnet. Zeigen Sie, daß es einen eindeutig bestimmten Algebraisomorphismus





∼ =



J : S• (V ) −→ [x1 , . . . , xn ]

(2.247)

mit J(ei ) = xi und J(1) = 1 gibt. viii.) Sei wieder dim V = n < ∞ und sei V ∗ der Dualraum zu V . Sei Pol• (V ∗ ) die assoziative, kommutative gradierte Algebra der polynomialen -wertigen Funktionen auf V ∗ . Zeigen Sie, daß es einen eindeutig bestimmten, kanonischen und mit den Gradierungen vertr¨aglichen Algebraisomorphismus ∼ = (2.248) S• (V ) −→ Pol• (V ∗ )



gibt, welcher v ∈ V ⊆ S• (V ) die lineare Funktion V ∗  α → α(v) ∈ zuordnet. K¨ onnen Sie den Beweis f¨ uhren, ohne eine Basis zu w¨ahlen?



Die Algebra Λ• (V ) heißt ¨außere Algebra oder Grassmann-Algebra von V . Die Algebra S• (V ) heißt symmetrische Algebra von V , siehe beispielsweise [145]. Aufgabe 2.2 (Die stereographische Projektion). Betrachten Sie die 2Sph¨ are im 3 , definiert durch   2 = p ∈ 3  p = 1 , (2.249)





versehen mit der von 3 induzierten Topologie. Offene Teilmengen von 2 sind also diejenigen Teilmengen, die sich als Schnitt von 2 mit einer offenen Teilmenge von 3 schreiben lassen. Betrachten Sie dann die stereographische udpol S = (0, 0, −1) ∈ Projektion vom Nordpol N = (0, 0, 1) ∈ 2 und vom S¨ 2 aus, siehe Abbildung 2.8.







i.) Gegen Sie den (maximalen) Definitionsbereich und den Bildbereich der stereographischen Projektion an und berechnen Sie explizit die Koorp) und xN ( p) in Abh¨ angigkeit der kartesischen Koordinaten dinaten yS ( p ∈ 2 ⊆ 3 . Offenbar sind sowohl xN als auch yS stetig. p1 , p2 , p3 von 



2.4 Aufgaben

95

N p

yS ( p ) xN (p )

S2 RS

RN S

Abb. 2.8. Die stereographische Projektion

ii.) Bestimmen Sie die Umkehrabbildungen von xN und yS explizit. Hier ist 2 es hilfreich, die Abk¨ urzung RN = (x1N )2 + (x2N )2 und entsprechend RS2 = (yS1 )2 + (yS2 )2 zu verwenden. iii.) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich des Kartenwechsels xN ◦ yS−1 sowie yS ◦ x−1 N an und zeigen Sie, daß der Kartenwechsel glatt, ja sogar reell-analytisch ist. Damit wird 2 zu einer differenzierbaren (bzw. sogar reell-analytischen) Mannigfaltigkeit. iv.) Schreiben Sie die Koordinaten der Nordpolkarte als zN = x1N + ix2N und identifizieren Sie 2 ∼ onnen Sie durch geeignete Redefinition der = . K¨ S¨ udpolkarte erreichen, daß der Kartenwechsel holomorph wird? Auf diese Weise wird 2 sogar zu einer komplexen Mannigfaltigkeit.









Bemerkung: Auch die h¨ oheren Sph¨ aren n , n ≥ 3 lassen sich so zu differenzierbaren (bzw. reell-analytischen) Mannigfaltigkeiten machen, allerdings l¨ aßt sich f¨ ur n = 2, 6 nicht mehr erreichen, daß die Kartenwechsel holomorph art, aber das ist eine andere Geschichte. . . sind. Bei 6 ist es nicht ganz gekl¨



Aufgabe 2.3 (Der Satz vom konstanten Rang). Sei φ : M −→ N glatt. Dann definiert man den Rang von φ bei p ∈ M als rangp (φ) = rang(Tp φ),

(2.250)

wobei rang(Tp φ) den Rang der linearen Abbildung Tp φ : Tp M −→ Tφ(p) N bezeichnet. i.) Zeigen Sie, daß der Rang lokal nicht kleiner wird: Ist rangp (φ) = k, so gibt ur alle q ∈ U . es eine offene Umgebung U ⊆ M von p mit rangq (φ) ≥ k f¨ Hinweis: Berechnen Sie den Rang in Koordinaten und nutzen Sie die Stetigkeit der Determinante! ii.) Zeigen Sie folgenden Satz vom konstanten Rang: Satz (Satz vom konstanten Rang). Sei p ∈ M so, daß rang(φ) auf einer offenen Umgebung von p konstant gleich k ist. Dann gibt es Karten (U, x) von M um p und (V, y) von N um φ(p) derart, daß x(p) = 0 und y(φ(p)) = 0 sowie

96

2 Differentialgeometrische Grundlagen

y ◦ φ ◦ x−1 : x(U )  (x1 , . . . , xm ) → (x1 , . . . , xk , 0, . . . , 0) ∈ y(V ). (2.251) Anleitung (nach [54, Satz 5.4]): Zeigen Sie zun¨achst, daß man sich auf den Fall M ⊆ m , N ⊆ n , jeweils offen, sowie φ(0) = 0 beschr¨anken kann. Zeigen Sie weiter, daß man nach Umsortieren der Koordinaten j rang( ∂φ ∂xi )i,j=1,...,k = k annehmen kann. Betrachten Sie dann neue Koordinaten im Urbildraum und im Bildraum, welche folgendermaßen definiert werden: Sei χ : (x1 , . . . , xm ) → (φ1 (x), . . . , φk (x), xk+1 , . . . , xm ) = (z 1 , . . . , z m ). Zeigen Sie zun¨ achst mit Hilfe des Satzes von der Umkehrfunktion, daß auf einer gen¨ ugend kleinen offenen Umgebung von 0 ∈ m die Abbildung χ ein Diffeomorphismus ist und betrachten Sie dann ψ = φ◦ χ−1 . Berechnen i Sie die Jacobi-Matrix von ψ und zeigen Sie, daß ∂ψ ur i = k + ∂z j = 0 f¨ ur i = k + 1, . . . , n, 1, . . . , n. Setzen Sie y˜i = y i − ψ i (y 1 , . . . , y k , 0, . . . , 0) f¨ und betrachten Sie weiter die Abbildung η : (y 1 , . . . , y n ) → (y 1 , . . . , y k , y˜k+1 , . . . , y˜n ) und zeigen Sie, daß auch η auf einer gen¨ ugend kleinen Umgebung von 0 ∈ n ein Diffeomorphismus ist. Betrachten Sie dann Φ = η ◦ φ ◦ χ−1 . Aufgabe 2.4 (Untermannigfaltigkeiten und regul¨ are Werte). Sei N ⊆ M eine Teilmenge einer Mannigfaltigkeit M . Eine Karte (U, x) um p ∈ N von M heißt Untermannigfaltigkeitskarte f¨ ur N der Dimension n ≤ m, falls x(U ∩ N ) ⊆

n

× {0} ⊆

m

(2.252)

offen ist. Hier wird × {0} in und das Bild aufgefaßt als Teilmenge in der u ¨blichen Weise als Unterraum von m aufgefaßt, siehe Abbildung 2.9. Gibt es zu jedem Punkt p ∈ N eine Untermannigfaltigkeitskarte um p, so heißt N Untermannigfaltigkeit von M . Die Zahl codim(N ) = m − n heißt Kodimension von N in M . Der Tangentialraum Tp N von p an N ist ein Untervektorraum von Tp M , den man beispielsweise dadurch erh¨alt, daß man nur solche Tangentialvektoren an M nimmt, die sich als Tangentialvektoren von Kurven in N schreiben lassen. Sei φ : M −→ N eine glatte Abbildung. Ein Punkt w ∈ N heißt regul¨arer Wert von φ, wenn f¨ ur alle Punkte p ∈ φ−1 ({w}) die Abbbildung Tp φ surjektiv ist. Insbesondere ist w ein regul¨ arer Wert, wenn w nicht im Bild liegt. n

n

i.) Zeigen Sie, daß eine Untermannigfaltigkeit N eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit ist, indem Sie die Untermannigfaltigkeitskarten dazu verwenden, um einen Atlas f¨ ur N zu konstruieren. ii.) Sei w ∈ N ein regul¨ arer Wert von φ : M −→ N und sei φ−1 ({w}) ⊆ M nicht leer. Zeigen Sie, daß dann φ−1 ({w}) eine Untermannigfaltigkeit uckt durch die von M ist. Was ist die Dimension von φ−1 ({w}), ausgedr¨ Dimensionen von M und N ? Hinweis: Verwenden Sie den Satz vom lokal konstanten Rang.

2.4 Aufgaben

x

97

m−n

U N M

n

Abb. 2.9. Untermannigfaltigkeitskarte

iii.) Zeigen Sie daß folgende Teilmengen von N Untermannigfaltigkeiten sind und geben Sie die Dimensionen an: (a) Die Sph¨ aren n ⊆ n+1 . 2 (b) Die invertierbaren n × n Matrizen GLn ( ) ⊆ n . (c) Die speziellen invertierbaren n × n Matrizen SLn ( ). (d) Die speziell orthogonalen Matrizen SO(n) sowie die speziellen pseudoorthogonalen Matrizen SO(n, m) bez¨ uglich des Skalarprodukt η = diag(+1, . . . , +1, −1, . . . , −1) der Signatur (n, m). (e) Die unit¨aren Matrizen U(n) und die speziellen unit¨aren Matrizen SU(n). (f) Die symplektischen Matrizen Sp2n ( ). Hinweis: Finden Sie geeignete Abbildungen, so daß obige Teilmengen die Urbilder eines regul¨ aren Wertes sind.



Aufgabe 2.5 (Lie-Ableitung und a ¨ußere Ableitung). Sei H ∈ C ∞ (M ), ∞ ∗ ∞ 2 ∗ α ∈ Γ (T M ) und ω ∈ Γ (Λ T M ). Weiter seien X, Y, Z ∈ Γ∞ (T M ). Zeigen Sie mit Hilfe von Satz 2.2.24, daß durch die rechten Seiten folgender Gleichungen tats¨achlich Differentialformen definiert werden und daß sie mit den linken Seiten u ¨bereinstimmen: (LX α)(Y ) = X(α(Y )) − α([X, Y ]) (LX ω)(Y, Z) = X(ω(Y, Z)) − ω([X, Y ], Z) − ω(Y, [X, Z])

(2.253) (2.254)

(dH)(X) = X(H)

(2.255)

(dα)(X, Y ) = X(α(Y )) − Y (α(X)) − α([X, Y ])

(2.256)

(dω)(X, Y, Z) = X(ω(Y, Z)) + Y (ω(Z, X)) + Z(ω(X, Y )) − ω([X, Y ], Z) − ω([Y, Z], X) − ω([Z, X], Y )

(2.257)

98

2 Differentialgeometrische Grundlagen

Aufgabe 2.6 (Pull-back und push-forward von Vektorfeldern). Sei φ : M −→ N ein Diffeomorphismus. Sei weiterhin X ∈ Γ∞ (T M ) und Y ∈ Γ∞ (T N ). Bestimmen Sie explizit und punktweise den push-forward φ∗ X von X sowie den pull-back φ∗ Y von Y mit Hilfe der Tangentialabbildung Tp φ. Aufgabe 2.7 (Surjektive Submersionen). Betrachten Sie eine surjektive Submersion π : M −→ M  . i.) Zeigen Sie, daß es f¨ ur jeden Punkt p ∈ M  eine offene Umgebung U ⊆ M  und eine glatte Abbildung σ : U −→ M mit π ◦ σ = idU gibt. Hinweis: Satz vom lokal konstanten Rang, Aufgabe 2.3. ii.) Zeigen Sie, daß eine Abbildung φ : M  −→ N in eine weitere Mannigfaltigkeit N genau dann glatt ist, wenn φ ◦ π : M −→ N glatt ist. Bemerkung: Dieses Kriterium f¨ ur die Glattheit von Abbildungen wird sich als sehr wichtig f¨ ur den Fall erweisen, daß M  = M/G der Quotientenraum einer netten (beispielsweise freien und eigentlichen) Gruppenwirkung einer Lie-Gruppe G auf M ist, siehe dazu auch Abschnitt 3.3.1. Aufgabe 2.8 (φ-verwandte Vektorfelder). Im allgemeinen kann man mit einer beliebigen glatten Abbildung φ : M −→ N Vektorfelder weder von M nach N noch zur¨ uck transportieren. Aus diesem Grunde nennt man Vektorfelder X ∈ Γ∞ (T M ) und Y ∈ Γ∞ (T N ) φ-verwandt (oder φ-bezogen), wenn punktweise (2.258) Tp φ (Xp ) = Yφ(p) f¨ ur alle p ∈ M gilt. Man schreibt in diesem Fall auch X ∼φ Y . i.) Begr¨ unden Sie, warum man bei gegebenem X durch die linke Seite von (2.258) im allgemeinen kein Vektorfeld auf N definieren kann. ii.) Zeigen Sie, daß f¨ ur X ∼φ Y und X  ∼φ Y  und α, β ∈

sowie

αX + βX  ∼φ αY + βY 

(2.259)

[X, X  ] ∼φ [Y, Y  ]

(2.260)

gilt. Hinweis: Es gen¨ ugt, die Definition eines Tangentialvektors und die punktweise Definition von T φ zu verwenden. Aufgabe 2.9 (Das Poincar´ e-Lemma). Sei ξ ∈ Γ∞ (T n ) das EulerVektorfeld ξ(x) = x, wobei hier wie im folgenden der Tangentialraum Tx n bei x mit n identifiziert werde. Sei weiter α : × n −→ n definiert durch α : (t, x) → α(t, x) = αt (x) = tx.

(2.261)

2.4 Aufgaben

99

i.) Berechnen Sie den Fluß zu ξ und zeigen Sie so, daß 1 d ∗ αt = α∗t Lξ dt t

(2.262)

f¨ ur t = 0. Da die linke Seite offenbar auch f¨ ur t = 0 definiert ist, liefert dies eine Fortsetzung der rechten Seite f¨ ur t = 0. Hinweis: Es gen¨ ugt, Funktionen zu betrachten, da die ¨außere Ableitung mit jedem pull-back vertauscht. Somit kann man das u ¨ bliche Argument mit den lokalen Erzeugenden der Differentialformen anwenden. ur alle t und zeigen Sie ii.) Berechnen Sie Tx αt f¨ 1 ∗ αt (iξ ω) (· · · ) = tk−1 ω (x, · · · ). t x tx

(2.263)

Da die rechte Seite auch f¨ ur t = 0 definiert ist, liefert dies eine Fortsetzung der linken Seite f¨ ur t = 0. iii.) Definieren Sie nun den Homotopie-Operator h : Ωk ( n ) −→ Ωk−1 ( n ) durch 1 1 ∗ h(ω) = αt (iξ ω)dt (2.264) 0 t und zeigen Sie, daß

hdω + dhω = ω − α∗0 ω.

(2.265)

Die Integration ist so zu verstehen, daß man zuerst punktweise auf k − 1 Tangentialvektoren auswertet und dann die verbleibende t-abh¨angige Funktion integriert. Hinweis: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und CartanFormel. iv.) Bestimmen Sie α∗0 ω und berechnen Sie so die deRham-Kohomologie von n in allen Formengraden. Zeigen Sie so das Poincar´e-Lemma und insbesondere Korollar 2.3.26.  ∈ Γ∞ (T 3 ) ein Vektorfeld im Aufgabe 2.10 (div-rot-grad im 3 ). Sei A ∂ 3 i  mit Komponenten A(x) = A (x)ei , wobei ei = ∂x i die Koordinaten1 vektorfelder der kanonischen globalen Koordinaten x , x2 , x3 sind. Durch die Definition A(x) = Ai (x)dxi mit Ai (x) = Ai (x) (2.266)  eine Einsform A ∈ Γ∞ (T ∗ k¨ onnen Sie jedem Vektorfeld A ∞

3

3

) zuordnen.

i.) Zeigen Sie, daß die Zuordnung (2.266) eine C ( )-lineare Bijektion ist.  eine Finden Sie eine entsprechende Bijektion, die jedem Vektorfeld B Zweiform B zuordnet. Dies ist (nur) in drei Dimensionen m¨oglich. Finden Sie weiter eine m¨ oglichst kanonische“ C ∞ ( 3 )-lineare Bijektion von ” ∞ 3 ∞ 3 ∗ 3 ). Hier bestehen gewisse Freiheiten bei der Wahl C ( ) und Γ (Λ T von Vorzeichen.

100

2 Differentialgeometrische Grundlagen

ii.) Zeigen Sie, daß der Gradient grad f einer Funktion f unter den obigen Bijektionen gerade dem Differential df entspricht. W¨ahlen Sie die Vorzei gerade der ¨außeren Ableitung chen geschickt, so daß die Rotation rot A  der ¨ dA und ebenso die Divergenz div B außeren Ableitung dB entspricht. Folgern Sie so, daß div ◦ rot = 0

und

rot ◦ grad = 0.

(2.267)

iii.) Zeigen Sie, daß jedes auf 3 glatte rotationsfreie Vektorfeld ein Gradientenfeld und jedes glatte divergenzfreie Vektorfeld die Rotation eines anderen Vektorfeldes ist. Benutzen Sie die explizite Homotopie h aus Auf explizit ein Vektorpotential A  zu gabe 2.9, um zu einem Magnetfeld B konstruieren. Aufgabe 2.11 (Polynomiale Differentialformen). Betrachten Sie einen n-dimensionalen reellen Vektorraum V als differenzierbare Mannigfaltigkeit und die Differentialformen Ω• (V ) auf V . Sei weiter e1 , . . . , en eine Basis von V und e1 , . . . , en die duale Basis von V ∗ . i.) Zeigen Sie, daß als

-gradierte C ∞(V )-Moduln auf kanonische Weise Ω• (V ) ∼ = C ∞ (V ) ⊗ Λ• (V ∗ )

(2.268)

∞

gilt, wobei die C (V )-Modulstruktur der rechten Seite einfach durch Multiplikation im ersten Tensorfaktor gegeben ist, indem Sie Tensoren in Λ• (V ∗ ) als konstante Differentialformen auf V interpretieren. ii.) Eine Differentialform ω ∈ Ωk (V ) heißt polynomial, wenn die Koeffizientenfunktionen von ω bez¨ uglich der kanonischen Basis ei1 ∧· · ·∧eik polynomial sind. Diese Definition h¨ angt offenbar nicht von der Wahl der Basis von V ab (warum?). Die polynomialen Differentialformen seien mit Ω•pol (V ) bezeichnet. Zeigen Sie, daß unter obigem Isomorphismus (2.268) gilt, daß Ω•pol (V ) ∼ = S• (V ∗ ) ⊗ Λ• (V ∗ ),

(2.269)

wobei der erste Grad der rechten Seite dem Polynomgrad entspricht. Zeigen Sie, daß dem ∧-Produkt der Differentialformen folgendes Produkt (f ⊗ α)(g ⊗ β) = (f ∨ g) ⊗ (α ∧ β)

(2.270)

in S• (V ∗ ) ⊗ Λ• (V ∗ ) entspricht, wobei f, g ∈ S• (V ∗ ), α, β ∈ Λ• (V ∗ ) und (2.270) bilinear fortgesetzt sei. Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 2.1, Teil viii.). iii.) Zeigen Sie, daß sich der Operator δ(f ⊗ α) = is (ei )f ⊗ ei ∧ α

(2.271) •

∗

•

linear zu einem basisunabh¨ angigen Operator δ : S (V ) ⊗ Λ (V ∗ ) −→ •−1 ∗ •+1 ∗ ullt. Zeigen Sie weiter, daß δ S (V ) ⊗ Λ (V ) fortsetzt und δ 2 = 0 erf¨ eine Superderivation des Produkts (2.270) vom antisymmetrischen Grad +1 ist. Welchem Operator entspricht δ unter dem Isomorphismus (2.269)?

2.4 Aufgaben

101

iv.) Definieren Sie analog den Operator δ ∗ (f ⊗ α) = ei ∨ f ⊗ ia (ei )α,

(2.272)

und zeigen Sie, daß δ ∗ eine Superderivation vom antisymmetrischen Grad −1 ist und (δ ∗ )2 = 0 erf¨ ullt. Betrachten Sie weiter die Grad-Derivationen degs und dega , welche durch lineare Fortsetzung von degs (f ⊗ α) = kf ⊗ α

und

dega (f ⊗ α) = f ⊗ α

festgelegt sind, wobei f ⊗ α ∈ Sk (V ∗ ) ⊗ Λ (V ∗ ). v.) Zeigen Sie, daß δδ ∗ + δ ∗ δ = degs + dega .

(2.273)

(2.274)

als Projektion auf den Anteil vi.) Definieren Sie σ : S• (V ∗ ) ⊗ Λ• (V ∗ ) −→ mit symmetrischem und antisymmetrischem Grad 0. Definieren Sie weiter den Operator δ −1 durch lineare Fortsetzung von  0 falls k = 0 = −1 δ (f ⊗ α) = (2.275) 1 ∗ k+ δ (f ⊗ α) falls k + = 0, wobei degs f = kf und dega α = α. Zeigen Sie damit die Gleichung δδ −1 + δ −1 δ + σ = id,

(2.276)

und folgern Sie das Poincar´e-Lemma f¨ ur polynomiale Differentialformen: Ist ω eine geschlossene polynomiale -Form mit > 0, so gibt es eine polynomiale ( − 1)-Form μ mit dμ = ω. vii.) Vergleichen Sie (2.276) mit der Homotopie h in Aufgabe 2.9 unter Verwendung des Isomorphismus (2.269). Aufgabe 2.12 (Das M¨ obius-Band). Basteln Sie aus einem langen und schmalen Streifen Papier ein M¨ obius-Band.



i.) Interpretieren Sie dieses als Geradenb¨ undel u ¨ber 1 und zeichnen Sie den Nullschnitt ein. Zeichnen Sie ebenfalls die Fasern ein und machen Sie sich so klar, wieso das M¨ obius-Band ein nichttrivales Geradenb¨ undel ist. ii.) Benutzen Sie nun einige kreisf¨ ormige Papierscheiben, deren Durchmesser gleich der Breite des M¨ obius-Bandes ist, und schneiden Sie jene l¨angs eines Radius ein. Stecken Sie sie auf das M¨ obius-Band und visualisieren Sie so, daß das M¨ obius-Band als Unterb¨ undel eines trivialen Vektorb¨ undels mit 1 ber aufgefaßt werden kann. Zeichnen Sie schließtypischer Faser 2 u ¨ lich das punktweise in 1 gebildete orthogonale Komplement des M¨obiusBandes in dem 2 -B¨ undel ein und argumentieren Sie so, daß das Komplement selbst wieder ein M¨ obius-Band ist. iii.) Fassen Sie nun das M¨ obius-Band als eine nichtkompakte zweidimensionale Mannigfaltigkeit auf. Zeichnen Sie in Ihr Modell die Definitionsbereiche von zwei Karten ein, so daß diese einen Atlas bilden.





102

2 Differentialgeometrische Grundlagen

iv.) Argumentieren Sie graphisch mit Ihrem Modell, daß das M¨obius-Band als Mannigfaltigkeit nicht orientierbar ist. Zeichnen Sie hierzu in Ihrem Atlas die Koordinatenlinien ein und argumentieren Sie, wieso es keine Redefinition der Karten gibt, welche eine positive Jacobi-Determinante des Kartenwechsels erm¨ oglicht. Aufgabe 2.13 (Der zur¨ uckgezogene Zusammenhang). Betrachten Sie zun¨ achst ein Vektorb¨ undel F −→ N u ¨ber N mit Faserdimension k und eine glatte Abbildung φ : M −→ N . Sei weiter E = φ# F −→ M das mit φ nach M zur¨ uckgezogene Vektorb¨ undel. Sei nun eine kovariante Ableitung ∇F ∞ f¨ ur F gegeben. Sind eα ∈ Γ (F V ), α = 1, . . . k, auf V ⊆ N definierte, lokale Basisvektorfelder von F , so sind die Zusammenhangseinsformen Aβα ∈ Γ∞ (T ∗ V ) durch (2.277) ∇X eα = Aβα (X)eβ definiert. Umgekehrt liefert die Vorgabe von Zusammenhangseinsformen Aβα auf V lokal einen Zusammenhang (wie?). i.) Bestimmen Sie das Transformationsverhalten der Zusammenhangseinsformen unter einem Basiswechsel“. ” Anleitung: Seien also e˜γ ∈ Γ∞ (F V˜ ), γ = 1, . . . , k auf V˜ definierte, lokale Basisvektorfelder mit auf V˜ definierten Zusammenhangseinsformen A˜δγ . Zeigen Sie zun¨ achst, daß es eine Matrix von lokal auf V ∩ V˜ definierten γ Funktionen Φα ∈ C ∞ (V ∩ V˜ ) mit eα = Φγα e˜γ gibt, wobei die Matrix (Φγα ) invertierbar ist. Zeigen Sie so, daß Aβα (X) = (Φ−1 )βγ (dΦγα )(X) + (Φ−1 )βδ A˜δγ (X)Φγα

(2.278)

gilt, was man kurz in Matrixschreibweise als ˜ A = Φ−1 (dΦ) + Φ−1 AΦ

(2.279)

schreibt. ii.) Zeigen Sie umgekehrt, daß die Angabe von lokalen Einsformen Aβα auf V bez¨ uglich von Basisvektorfeldern eα einen globalen Zusammenhang definiert, falls die V ’s ganz N u ¨berdecken und die A’s sich bei Basiswechsel gem¨ aß (2.279) transformieren. iii.) Betrachten Sie nun die Kr¨ ummungszweiformen B(X, Y )βα , welche durch R(X, Y )eα = B(X, Y )βα eβ ,

(2.280)

definiert werden, wobei R ∈ Γ∞ (Λ2 T ∗ N ⊗End(F )) den Kr¨ ummungstensor von ∇ darstellt. Zeigen Sie, daß die Kr¨ ummungszweiformen Bαβ durch die Zusammenhangseinsformen Aβα und deren Differentiale ausgedr¨ uckt werden k¨ onnen (2.281) Bαβ = dAβα + Aβγ ∧ Aγα , also kurz B = dA + A ∧ A. Zeigen Sie so die Bianchi-Identit¨at

2.4 Aufgaben

dB = [B, A],

103

(2.282)

wobei der Matrixkommutator bez¨ uglich des ∧-Produkts zu nehmen ist. iv.) Betrachten Sie nun das zur¨ uckgezogene B¨ undel. Zeigen Sie, daß die zur¨ uckgezogenen Schnitte φ# eα auf φ−1 (V ) lokale Basisvektorfelder von φ# F bilden und dr¨ ucken Sie den Basiswechsel zwischen φ# eα und φ# e˜γ durch die Matrix Φ aus. v.) Zeigen Sie, daß die Definition α # α ∗ β # ∇# Y s = (L Y s )φ eα + s (φ Aα )(Y )φ eβ ,

Y ∈ Γ∞ (T M ) (2.283) lokal einen Zusammenhang ∇# auf U = φ−1 (V ) von E = φ# F definiert, wobei s = sα φ# eα die lokale Darstellung eines beliebigen Schnittes bez¨ uglich der zur¨ uckgezogenen Basisvektorfelder φ# eα ist. Betrachten Sie explizit einen Basiswechsel und zeigen Sie so, daß ∇# tats¨achlich global erkl¨ art ist, also nicht von der Wahl der lokalen Basisvektorfelder eα abh¨angt uckgezogenen und somit einen global erkl¨ arten Zusammenhang ∇# , den zur¨ # Zusammenhang, von φ F definiert. vi.) Berechnen Sie die Zusammenhangseinsformen und die Kr¨ ummungszweiformen des zur¨ uckgezogenen Zusammenhangs bez¨ uglich der zur¨ uckgezogenen Basisvektorfelder. Was f¨ allt auf? mit

Aufgabe 2.14 (Torsion und torsionsfreie Zusammenh¨ ange). Sei ∇ eine kovariante Ableitung f¨ ur das Tangentenb¨ undel T M und Tor(X, Y ) = ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ] die Torsion von ∇. Seien weiter in einer lokalen Karte (U, x) die Christoffel-Symbole Γijk von ∇ durch ∇

∂ ∂xi

∂ ∂ = Γijk k ∂xj ∂x

(2.284)

definiert. i.) Zeigen Sie, daß die Torsion von ∇ ein Tensorfeld Tor ∈ Γ∞ (Λ2 T ∗ M ⊗T M ) ist, indem Sie Satz 2.2.24 verwenden. ii.) Bestimmen Sie die Koeffizientenfunktionen Tijk des Torsionstensors in Abh¨ angigkeit der Christoffel-Symbole. Welche Eigenschaft der ChristoffelSymbole kennzeichnet also eine torsionsfreie kovariante Ableitung?  X Y = ∇X Y − 1 Tor(X, Y ) eine torsionsfreie kovariante iii.) Zeigen Sie, daß ∇ 2 Ableitung ist. iv.) Sei nun ∇ torsionsfrei. Setzen Sie ∇ wie u undel u ¨ blich auf alle Tensorb¨ ¨ ber M fort und betrachten Sie insbesondere die antisymmetrischen Differentialformen. Zeigen Sie, daß dxi ∧ ∇

∂ ∂xi

α = dα

(2.285)

f¨ ur alle α ∈ Γ∞ (Λ• T ∗ M ), indem Sie die Derivationseigenschaften beider Seiten ausnutzen und die Identit¨ at auf Funktionen und Einsformen nachpr¨ ufen.

104

2 Differentialgeometrische Grundlagen

v.) Zeigen Sie: Ist ∇ torsionsfrei und ω ∈ Γ∞ (Λ• T ∗ M ) eine kovariant konstante Differentialform ∇ω = 0, so ist ω geschlossen. vi.) Sei R der Kr¨ ummungstensor eines torsionsfreien Zusammenhangs ∇. Zeigen Sie die (erste) Bianchi-Identit¨at R(X, Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0 f¨ ur X, Y, Z ∈ Γ∞ (T M ).

(2.286)

3 Symplektische Geometrie

In der symplektischen Geometrie werden die f¨ ur die Hamiltonsche Mechanik relevanten Eigenschaften des Phasenraumes 2n geometrisch gedeutet und entsprechend verallgemeinert. Dazu werden wir in diesem Kapitel zun¨achst die Grundlagen der symplektischen Geometrie diskutieren und allgemeine symplektische Mannigfaltigkeiten als Phasenr¨aume betrachten. Der zentrale Begriff ist dabei die symplektische Form, aus dem alle weiteren Begriffe wie Hamiltonsche Vektorfelder und Poisson-Klammern erhalten werden. Das Darboux-Theorem wird schließlich zeigen, daß jede symplektische Mannigfaltigkeit zumindest lokal so aussieht wie unser Beispiel 2n . In einem zweiten Abschnitt diskutieren wir die f¨ ur die Physik besonders wichtigen Beispiele. Zuerst sind dabei die Kotangentenb¨ undel mit ihrer kanonischen symplektischen Struktur zu nennen. Diese erfahren ihre physikalische Deutung als Phasenr¨ aume von Teilchen, die sich in einem beliebigen Konfigurationsraum bewegen. Hier l¨ aßt sich die Beziehung von Lagrangescher und Hamiltonscher Mechanik auf einfache geometrische Weise verstehen. Die zweite große Beispielklasse sind die K¨ ahler-Mannigfaltigkeiten, welche sp¨ater insbesondere in der Quantisierung besondere Aufmerksamkeit verdienen. Abschließend diskutieren wir in diesem Kapitel die Beziehungen von Symmetrien und Erhaltungsgr¨ oßen in der Hamiltonschen Mechanik, wobei der Begriff der symplektischen Gruppenwirkung und der Impulsabbildung im Vordergrund stehen werden. So erh¨ alt man zum einen eine geometrische Version des wohlbekannten Noether-Theorems, zum anderen einen ersten Zugang zur Theorie der Phasenraumreduktion. Als weiterf¨ uhrende Literatur seien vor allem [1, 11, 72, 149, 221, 231, 259, 275, 301] genannt.

3.1 Symplektische Mannigfaltigkeiten als Phasenr¨ aume Der Begriff der symplektischen Mannigfaltigkeit verallgemeinert die symplektische Struktur ω0 des Phasenraumes 2n und stellt die Geometrie, die der Hamiltonschen Mechanik zugrundeliegt, in ein klareres Licht.

106

3 Symplektische Geometrie

3.1.1 Definitionen und erste Eigenschaften Wir beginnen mit dem grundlegenden Begriff einer symplektischen Mannigfaltigkeit: Definition 3.1.1 (Symplektische Mannigfaltigkeit). Eine symplektische Mannigfaltigkeit ist eine Mannigfaltigkeit M mit einer punktweise nichtausgearteten geschlossenen Zweiform ω ∈ Γ∞ (Λ2 T ∗ M ), der symplektischen Form. Unser bisheriges Beispiel eines Phasenraums, n¨amlich 2n , ist mit der kanonischen symplektischen Form ω0 = dq i ∧ dpi offenbar eine symplektische Mannigfaltigkeit. Die Bedeutung der Geschlossenheit von ω, also dω = 0,

(3.1)

wird im Laufe dieses Abschnitts klar werden. Als erste Motivation f¨ ur (3.1) mag die Tatsache dienen, daß im fundamentalen Beispiel 2n die kanonische symplektische Form ω0 konstant also insbesondere geschlossen ist, siehe Definition 1.2.6. Der Begriff konstant“ ist geometrisch nat¨ urlich nur in Bezug ” auf die globale Karte von 2n sinnvoll. Bemerkung 3.1.2. Notwendigerweise ist dim M = 2n gerade. Trotzdem gibt es 2n-dimensionale Mannigfaltigkeiten, die keine symplektische Form zulassen. Definition 3.1.3 (Symplektomorphismus). Ein Diffeomorphismus φ : M −→ N zwischen zwei symplektischen Mannigfaltigkeiten (M, ω) und (N, ω  ) heißt symplektisch (kanonische Transformation, Symplektomorphismus), falls φ∗ ω  = ω.

(3.2)

Es ist klar, daß die symplektischen Diffeomorphismen M −→ M eine Gruppe bilden. Diese wird als Symplektomorphismengruppe Sympl(M ) bezeichnet. Die infinitesimale Version von (3.2) liefert den Begriff des symplektischen Vektorfeldes: Definition 3.1.4. Ein Vektorfeld X ∈ Γ∞ (T M ) heißt symplektisch, falls LX ω = 0.

(3.3)

Proposition 3.1.5. Die symplektischen Vektorfelder bilden eine Lie-Unteralgebra von Γ∞ (T M ). Ist Φt der Fluß von X ∈ Γ∞ (T M ), so ist X genau dann symplektisch, wenn Φt : M −→ M f¨ ur alle t symplektisch ist. Beweis. Es gilt L[X,Y ] ω = LX LY ω − LY LX ω = 0, also ist [X, Y ] wieder symplektisch. Damit folgt die erste Behauptung. Weiter gilt f¨ ur symplektisches X d ∗ Φ ω = Φ∗t LX ω = 0, dt t ur also Φ∗t ω = Φ∗0 ω = ω. Ist umgekehrt Φ∗t symplektisch, so gilt also Φ∗t ω = ω f¨ alle t und damit d d LX ω = Φ∗t ω = ω = 0. dt t=0 dt t=0  

3.1 Symplektische Mannigfaltigkeiten als Phasenr¨ aume

107

Der Satz von Liouville aus Abschnitt 1.2.2 l¨aßt sich folgendermaßen verallgemeinern: Proposition 3.1.6 (Satz von Liouville). Sei (M, ω) eine 2n-dimensionale symplektische Mannigfaltigkeit. Dann ist die 2n-Form Ω = ω ∧ · · · ∧ ω ∈ Γ∞ (Λ2n T ∗ M )

(3.4)

n-mal

eine nirgends verschwindende Volumenform, womit M orientierbar ist. Ist X ein symplektisches Vektorfeld beziehungsweise φ ∈ Sympl(M ) ein Symplektomorphismus, so gilt LX Ω = 0

beziehungsweise

φ∗ Ω = Ω.

(3.5) Beweis. Die Volumenform Ω p ist genau dann ungleich Null, wenn ω p nicht ausgeartet ist. Dies wird (implizit) in Aufgabe 1.5, Teil iii.), gezeigt und folgt auch leicht aus dem linearen Darboux-Theorem in Aufgabe 1.4. Mit   den u ur LX und φ∗ ist (3.5) offensichtlich. ¨ blichen Rechenregeln f¨ Definition 3.1.7 (Liouville-Volumenform). Die Volumenform Ω = ω ∧ · · ·∧ω auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit heißt Liouville-Volumenform. Da symplektische Mannigfaltigkeiten also immer orientierbar sind, verwenden wir die Liouville-Volumenform, um (M, ω) zu orientieren. In der Literatur sind auch andere Vorfaktoren bei der Definition von Ω gebr¨auchlich. Da ω nicht ausgeartet ist, l¨ aßt sich punktweise aus einem Vektorfeld X eine Einsform X  bilden, indem man analog zu Lemma 1.2.5 X  = iX ω

(3.6)

definiert. Dies liefert eine C ∞ (M )-lineare Abbildung  : Γ∞ (T M ) −→ Γ∞ (T ∗ M ),

(3.7)

welche sogar eine Bijektion ist, da ω nicht ausgeartet ist. Die Umkehrabbildung von  wird mit : Γ∞ (T ∗ M ) −→ Γ∞ (T M )

(3.8)

bezeichnet. In lokalen Koordinaten x1 , . . . , x2n gilt also mit ω=

1 ωij dxi ∧ dxj 2

(3.9)

und X = X k ∂x∂ k die Beziehung X  = X k ωkj dxj .

(3.10)

108

3 Symplektische Geometrie

Die Indizes von X k werden also mit der Matrix ωkj heruntergezogen“. Mit ” ω ij wird die zu ωjk inverse Matrix bezeichnet, also ω ij ωjk = δki .

(3.11)

F¨ ur eine Einsform α = αi dxi folgt entsprechend α = αi ω ij

∂ . ∂xj

(3.12)

Da das Hoch- und Runterziehen punktweise geschieht, erh¨alt man Vektorb¨ undelhomomorphismen zwischen den Vektorb¨ undeln T M und T ∗ M u ¨ ber der Identit¨ at idM , welche die entsprechenden Abbildungen zwischen den Schnitten gem¨ aß Abschnitt 2.2.3 induzieren. Wir fassen zusammen: Proposition 3.1.8. Sei (M, ω) symplektisch. Dann sind die Abbildungen  : T M −→ T ∗ M

: T ∗ M −→ T M

und

(3.13)

zueinander inverse Vektorb¨ undelisomorphismen, welche die zueinander inversen C ∞ (M )-linearen Isomorphismen  : Γ∞ (T M ) −→ Γ∞ (T ∗ M )

und

: Γ∞ (T ∗ M ) −→ Γ∞ (T M )

(3.14)

induzieren. Bemerkung 3.1.9. Die Isomorphismen  und heißen auch musikalische Isomorphismen. F¨ ur ihre Definition und auch die folgenden gibt es (leider) zahllose Vorzeichenkonventionen. Die obige entspricht der aus [1]. Weitere Eigenschaften der musikalischen Isomorphismen werden in Aufgabe 3.2 diskutiert. 3.1.2 Hamiltonsche Vektorfelder und Poisson-Klammern Wie schon im 2n wollen wir nun zeigen, wie sich aus einer Hamilton-Funktion H ∈ C ∞ (M ) auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit (M, ω) ein Vektorfeld gewinnen l¨ aßt, das Hamiltonsche Vektorfeld, mit dessen Hilfe dann die Hamiltonsche Zeitentwicklung formuliert werden soll. Es zeigt sich, daß auch in diesem geometrischen Rahmen die Funktionen C ∞ (M ) eine Poisson-Klammer besitzen, mit deren Hilfe die Zeitentwicklung ebenfalls beschrieben werden kann. Wir beginnen mit der Definition des Hamiltonschen Vektorfeldes: Definition 3.1.10 (Hamiltonsches Vektorfeld). Sei (M, ω) symplektisch und H ∈ C ∞ (M ). Das durch die Bedingung iXH ω = dH

(3.15)

eindeutig festgelegte Vektorfeld XH ∈ Γ∞ (T M ) heißt Hamiltonsches Vektorfeld zur Hamilton-Funktion H. Das Tripel (M, ω, XH ) heißt Hamiltonsches System. Der Fluß Φt zu XH heißt Hamiltonscher Fluß oder Hamiltonsche Zeitentwicklung zu H.

3.1 Symplektische Mannigfaltigkeiten als Phasenr¨ aume

109

Bemerkung 3.1.11 (Hamiltonsche Vektorfelder). achlich eindeutig durch (3.15) bei.) Da ω nicht ausgeartet ist, ist XH tats¨ stimmt. Es gilt offenbar XH = (dH) . ii.) Ist M zusammenh¨ angend und H, H  ∈ C ∞ (M ) mit XH = XH  , so gilt  dH = dH und daher H  = H + const . Die Hamilton-Funktion zu einem Hamiltonschen Vektorfeld ist also bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt. Interpretiert man wie u ¨ blich die Hamilton-Funktion als Energiefunktion, so entspricht dies gerade der Freiheit bei der Wahl des Energienullpunkts. ¨ iii.) Es ist eine kleine Ubung, zu zeigen, daß diese Definitionen im Fall 2n , ω0 ) die in Abschnitt 1.2 bereits definierten Begriffe reproduzieren. ( Bis jetzt wurde die Geschlossenheit von ω nicht benutzt; die obigen Definitionen nehmen nur auf die Nichtausgeartetheit von ω Bezug. Dies ¨andert sich im folgenden Satz: Satz 3.1.12. Sei (M, ω) symplektisch. i.) Ein Hamiltonsches Vektorfeld XH ist symplektisch LXH ω = 0.

(3.16)

ii.) Jedes symplektische Vektorfeld ist lokal Hamiltonsch. iii.) Die Lie-Klammer von zwei symplektischen Vektorfeldern X, Y ist Hamiltonsch (3.17) i[X,Y ] ω = −d(ω(X, Y )), n¨amlich mit Hamilton-Funktion −ω(X, Y ). iv.) Ein Vektorfeld X ∈ Γ∞ (T M ) ist genau dann symplektisch, wenn LX XH = [X, XH ] = XLX H

(3.18)

f¨ ur alle H ∈ C ∞ (M ). v.) Ein Diffeomorphismus φ : M −→ M ist genau dann symplektisch, wenn φ∗ XH = Xφ∗ H

(3.19)

f¨ ur alle H ∈ C ∞ (M ). Beweis. Mit dem in Kapitel 2 entwickelten Kalk¨ ul l¨aßt sich dieser Satz koordinatenfrei beweisen: ad i.) LXH ω = iXH dω + d iXH ω = 0 + ddH = 0. ad ii.) Sei X symplektisch. Dann gilt 0 = LX ω = iX dω +d iX ω = d iX ω. Also ist iX ω ∈ Ω1 (M ) geschlossen und nach dem Poincar´e-Lemma (Satz 2.3.25) lokal exakt, also von der Form iX ω U = dH mit H ∈ C ∞ (U ). Damit ist aber X U = XH . Global muß dies jedoch nicht notwendigerweise der Fall sein. ad iii.) Sei LX ω = 0 = LY ω. Dann gilt mit der Cartan-Formel und dω = 0 die Gleichung

110

3 Symplektische Geometrie

i[X,Y ] ω = LX iY ω − iY LX ω = (d iX + iX d) iY ω − 0 = −d(ω(X, Y )) + iX (d iY + iY d)ω − iX iY dω = −d(ω(X, Y )) + iX LY ω − 0 = −d(ω(X, Y )) + 0, womit (3.17) bewiesen ist. ad iv.) Die Hamiltonschen Vektorfelder spannen an jedem Punkt p ∈ M den Tangentialraum Tp M auf, da die Einsformen dH f¨ ur H ∈ C ∞ (M ) den Ko∗ ∗ tangentialraum Tp M aufspannen und : Tp M −→ Tp M ein Vektorraumisomorphismus ist. Daher gen¨ ugt es, Identit¨ aten f¨ ur Formen auf Hamiltonschen Vektorfeldern nachzupr¨ ufen. Von dieser Argumentation werden wir im folgenden gelegentlich Gebrauch machen, ohne dies jedesmal zu erw¨ahnen. Wir berechnen f¨ ur beliebiges Y (LX ω)(XH , Y ) = X(ω(XH , Y )) − ω([X, XH ], Y ) − ω(XH , [X, Y ]) = X(dH(Y )) − ω([X, XH ], Y ) − (dH)([X, Y ]) = (LX dH)(Y ) + (dH)([X, Y ]) − ω([X, XH ], Y ) − (dH)([X, Y ]) = (d LX H)(Y ) − (i[X,XH ] ω)(Y ) = (iXLX H ω)(Y ) − (i[X,XH ] ω)(Y ) = ω(XLX H − [X, XH ], Y ). Damit folgt die Behauptung, da ω nichtausgeartet und Y beliebig ist. ad v.) Im wesentlichen ist dies die globale Version von Teil iv.). Es gilt φ∗ (ω(XH , Y )) = (φ∗ ω)(φ∗ XH , φ∗ Y ) und andererseits φ∗ (ω(XH , Y )) = φ∗ (dH(Y )) = (dφ∗ H)(φ∗ Y ) = ω(Xφ∗ H , φ∗ Y ), also insgesamt

ω(Xφ∗ H , φ∗ Y ) = (φ∗ ω)(φ∗ XH , φ∗ Y )

f¨ ur alle Vektorfelder Y ∈ Γ∞ (T M ) und H ∈ C ∞ (M ). Ist nun φ∗ ω = ω, so folgt φ∗ XH = Xφ∗ H , da ω nichtausgeartet ist. Ist umgekehrt φ∗ XH = Xφ∗ H f¨ ur alle H, so gilt φ∗ ω = ω, da die Hamiltonschen Vektorfelder an jedem Punkt den Tangentialraum aufspannen.   Bemerkung 3.1.13 (Satz von Liouville). Da Hamiltonsche Vektorfelder symplektisch sind, gilt f¨ ur sie und ihre Fl¨ usse insbesondere der Liouvillesche Satz, also LXH Ω = 0 beziehungsweise Φ∗t Ω = Ω. Fundamental f¨ ur die physikalische Interpretation einer symplektischen Mannigfaltigkeit M als Phasenraum ist die Poisson-Klammer von M .

3.1 Symplektische Mannigfaltigkeiten als Phasenr¨ aume

111

Definition 3.1.14 (Poisson-Klammer). Sei (M, ω) symplektisch. Dann ist die Poisson-Klammer {f, g} von f, g ∈ C ∞ (M ) durch {f, g} = ω(Xf , Xg )

(3.20)

definiert. Den Namen Poisson-Klammer“ tr¨ agt (3.20) zu Recht. Zum einen zeigt ” man leicht, daß (3.20) im Fall ( 2n , ω0 ) tats¨achlich die kanonische PoissonKlammer aus Definition 1.3.8 reproduziert. Im allgemeinen zeigt folgender Satz, daß (3.20) alle Eigenschaften der kanonischen Poisson-Klammer besitzt. Hierbei ist es durchaus illustrativ, den differentialgeometrischen Beweis mit den wenig erhellenden Rechnungen in lokalen Koordinaten wie etwa in [140] zu vergleichen. Satz 3.1.15. Sei (M, ω) symplektisch. i.) Die Poisson-Klammer (3.20) macht C ∞ (M ) zu einer Poisson-Algebra. Es gilt (3.21) {f, g} = (df )(Xg ) = Xg f sowie [Xf , Xg ] = −X{f,g} .

(3.22)

ii.) Ein Vektorfeld X ∈ Γ∞ (T M ) ist genau dann symplektisch, wenn LX {f, g} = {LX f, g} + {f, LX g}

(3.23)

f¨ ur alle f, g ∈ C ∞ (M ). iii.) Ein Diffeomorphismus φ : M −→ M ist genau dann symplektisch, wenn φ∗ {f, g} = {φ∗ f, φ∗ g}

(3.24)

f¨ ur alle f, g ∈ C ∞ (M ). Beweis. Wieder erfolgt der Beweis durch einfaches und koordinatenfreies Nachrechnen: ad i.) Antisymmetrie und Bilinearit¨ at von (3.20) sind klar, ebenso {f, g} ∈ C ∞ (M ). Die Gleichung (3.21) folgt direkt aus der Definition 3.1.10 von Xf . Damit folgt auch unmittelbar die Leibniz-Regel in jedem Argument von {·, ·}, da Xg beziehungsweise Xf Derivationen von C ∞ (M ) sind. Gleichung (3.22) ist eine einfache Konsequenz von (3.18), denn [Xf , Xg ] = XLXf

g

= Xdg(Xf ) = −X{f,g} .

Damit folgt {f, {g, h}} = X{g,h} f = −[Xg , Xh ]f

112

3 Symplektische Geometrie

= −Xg Xh f + Xh Xg f = −Xg {f, h} + Xh {f, g} = −{{f, h}, g} + {{f, g}, h}, also die Jacobi-Identit¨ at. ad ii.) Sei X ∈ Γ∞ (T M ) und f, g ∈ C ∞ (M ). Dann gilt X{f, g} = X(ω(Xf , Xg )) = (LX ω)(Xf , Xg ) + ω([X, Xf ], Xg ) + ω(Xf , [X, Xg ]).

(∗)

Andererseits gilt dX(f ) = d LX f = LX df = LX iXf ω = iXf LX ω + iLX Xf ω, und ausgewertet auf dem Vektorfeld Xg liefert dies die Beziehung {X(f ), g} = (dX(f ))(Xg ) = (LX ω)(Xf , Xg ) + ω([X, Xf ], Xg ).

(∗∗)

Nach Vertauschen von f und g sowie unter Verwendung der Antisymmetrie von ω liefern (∗) und (∗∗) schließlich die Beziehung X{f, g} − {X(f ), g} − {f, X(g)} = −(LX ω)(Xf , Xg ).

(3.25)

Da die Hamiltonschen Vektorfelder punktweise jeden Tangentialraum aufspannen, folgt die Behauptung. ad iii.) Sei nun φ : M −→ M ein Diffeomorphismus. Ist φ symplektisch, so gilt φ∗ Xf = Xφ∗ f nach (3.19) und damit φ∗ {f, g} = φ∗ ((df )(Xg )) = (dφ∗ f )(φ∗ Xg ) = (dφ∗ f )(Xφ∗ g ) = {φ∗ f, φ∗ g}, also (3.24). Ist umgekehrt (3.24) g¨ ultig f¨ ur alle f, g ∈ C ∞ (M ), so folgt ω(Xφ∗ f , Xφ∗ g ) = {φ∗ f, φ∗ g} = φ∗ {f, g} = (φ∗ df )(φ∗ Xg ) = (dφ∗ f )(φ∗ Xg ) = ω(Xφ∗ f , φ∗ Xg ), also ω(Xφ∗ f , Xφ∗ g − φ∗ Xg ) = 0. Damit folgt Xφ∗ g = φ∗ Xg , da ω nichtausgeartet ist und die Hamiltonschen Vektorfelder Xf punktweise jeden Tangentialraum aufspannen. Aufgrund von Satz 3.1.12 ist dies aber gleichbedeutend   mit φ∗ ω = ω. Als geometrisches Analogon und Verallgemeinerung von Satz 1.3.11 erh¨alt man folgende Struktur f¨ ur die Hamiltonsche Zeitentwicklung: Folgerung 3.1.16. Ist (M, ω, XH ) ein Hamiltonsches System auf (M, ω) mit Hamilton-Funktion H ∈ C ∞ (M ), so liefern die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen (3.26) γ(t) ˙ = XH (γ(t))

3.1 Symplektische Mannigfaltigkeiten als Phasenr¨ aume

113

eine Einparametergruppe von symplektischen Diffeomorphismen, die Hamiltonsche Zeitentwicklung Φt : M −→ M , so daß f¨ ur eine beliebige Observable f ∈ C ∞ (M ) d ∗ Φ f = {Φ∗t f, H} (3.27) dt t gilt. Insbesondere ist H selbst eine Erhaltungsgr¨oße und f ist genau dann erhalten, wenn {f, H} = 0. Mit f und g ist auch {f, g} erhalten. Weiter ist der pull-back (3.28) Φ∗t : C ∞ (M ) −→ C ∞ (M ) eine Einparametergruppe von Poisson-Automorphismen. Beweis. Es ist bereits gezeigt worden, daß Φt eine Einparametergruppe von symplektischen Diffeomorphismen ist, siehe Satz 3.1.12, Teil i.) und Proposition 3.1.5. Nach Satz 3.1.15, Teil iii.) ist Φ∗t eine Einparametergruppe von Poisson-Automorphismen von C ∞ (M ). Gleichung (3.27) folgt mit (2.163) und d ∗ (2.165) sofort, denn dt Φt f = LXH Φ∗t f = {Φ∗t f, H}. Damit folgt insbesondere d ∗ d ∗ ∗ ∗ ∗ dt Φt H = 0, da dt Φt H = Φt L XH H = Φt {H, H} = 0. Da Φt ein PoissonAutomorphismus ist, folgt aus (3.27) auch, daß f genau dann erhalten ist, wenn {f, H} = 0. Die Jacobi-Identit¨ at liefert sofort, daß {f, g} erhalten ist, sofern f und g erhalten sind.   3.1.3 Das Darboux-Theorem n Bis jetzt ist M = 2n mit ω0 = i=1 dq i ∧ dpi unser einziges Beispiel einer symplektischen Mannigfaltigkeit. Bevor wir im n¨achsten Abschnitt eine F¨ ulle von Beispielen diskutieren werden, zeigt das Darboux-Theorem, daß lokal jede symplektische Mannigfaltigkeit (M, ω) so aussieht wie eine offene Teilmenge von ( 2n , ω0 ). Um diesen Satz beweisen zu k¨onnen, ben¨otigt man einige Eigenschaften von zeitabh¨angigen Vektorfeldern und ihren Zeitentwicklungen, welche auch von unabh¨ angigem Interesse sind. Definition 3.1.17 (Zeitabh¨ angiges Vektorfeld). Ein zeitabh¨angiges Vektorfeld auf M ist eine glatte Abbildung X : J × M −→ T M, wobei J ⊆

(3.29)

ein offenes Intervall ist, so daß π ◦ X = pr2 ,

(3.30)

wobei pr2 : J × M −→ M die Projektion ist. F¨ ur (t, p) ∈ J × M schreibt man X(t, p) = Xt (p) ∈ Tp M.

(3.31)

Eine lokale Integralkurve γ : I ⊆ J −→ M von X ist eine Kurve mit γ(t) ˙ = X(t, γ(t)). Hier ist I ⊆ J ein offenes Teilintervall.

(3.32)

114

3 Symplektische Geometrie

Man kann die zeitabh¨ angige gew¨ ohnliche Differentialgleichung (3.32) immer auf eine zeitunabh¨ angige zur¨ uckf¨ uhren, f¨ ur deren L¨osungstheorie man dann den Satz von Picard-Lindel¨ of zu Rate ziehen kann. Dies erreicht man durch Hinzunahme eines weiteren Parameters, wie dies auch schon im lokalen Fall von zeitabh¨angigen Differentialgleichungen im n u ¨ blich ist. Proposition 3.1.18. Sei X : J × M −→ T M ein zeitabh¨angiges Vektorfeld und sei X ∈ Γ∞ (T (J × M )) das durch   ∂ X(t, p) = (3.33) , X(t, p) ∂t t definierte (zeitunabh¨angige) Vektorfeld. Dann gilt: i.) Eine Kurve γ : I −→ M ist genau dann Integralkurve von X mit γ(t0 ) = p0 , wenn (3.34) γ(t) = pr2 ◦ Φt−t0 (t0 , p0 ), wobei Φ der Fluß zu X und pr2 : J × M −→ M die Projektion auf den zweiten Faktor ist. ii.) Zu jeder Anfangszeit t0 ∈ J und jeder Anfangsbedingung p0 ∈ M existiert eine eindeutig bestimmte, auf It0 ,p0 definierte, maximale L¨osung von (3.32) von der Form (3.34). iii.) Es existiert eine offene Umgebung U ⊆ J × J × M von ΔJ × M , wobei ΔJ = {(s, s) ∈ J × J | s ∈ J} die Diagonale ist, derart, daß die Abbildung Φ : U −→ M mit Φ(t, t0 , p0 ) = γ(t) mit γ(t0 ) = p0 glatt ist. Es gilt Φ(t, t0 , p0 ) = pr2 ◦ Φt−t0 (t0 , p0 ),

(3.35)

und daher gilt f¨ ur Φt,t0 (p0 ) = Φ(t, t0 , p0 ) die Zeitentwicklungsgleichung Φt,s ◦ Φs,t0 (p0 ) = Φt,t0 (p0 )

und

Φt,t = idM ,

(3.36)

sofern die Abbildungen auf den angegebenen Punkten erkl¨art sind. Beweis. Wir zeigen, wie man aus Integralkurven von X solche von X gewinnt und umgekehrt. Sei t → Φt (t0 , p0 ) die Integralkurve von X durch (t0 , p0 ), wobei t, t0 derart gew¨ ahlt seien, daß die Integralkurve definiert ist. Dann gilt also d Φ (t , p ) = X(Φ t 0 0 t (t0 , p0 )). Seien Φt (t0 , p0 ) = (τ (t), p(t)) die beiden Kompodt nenten gem¨ aß J ×M . Mit der Zerlegung (3.33) von X erh¨alt man also folgende Gleichungen als ¨aquivalent zur urspr¨ unglichen Zeitentwicklungsgleichung τ˙ (t) = 1

mit τ (0) = t0

und p(t) ˙ = X(τ (t), p(t))

mit

p(0) = p0 .

Die erste Gleichung hat die triviale L¨ osung τ (t) = t + t0 , so daß p(t) ˙ = X(t + t0 , p(t)) gilt. Die Definition γ(t) = p(t − t0 ) = pr2 ◦ Φt−t0 (t0 , p0 ) liefert

3.1 Symplektische Mannigfaltigkeiten als Phasenr¨ aume

115

dann eine und damit die eindeutige maximale L¨osung von Gleichung (3.32) zur richtigen Anfangsbedingung und Anfangszeit. Ist umgekehrt γ(t) eine solche L¨ osung, dann l¨ aßt sich entsprechend die L¨osungskurve zu X rekonstruieren, indem man die obigen Schritte in der umgekehrten Reihenfolge durchl¨ auft. Damit hat man das Problem vollst¨andig auf den zeitunabh¨angigen Fall zur¨ uckgef¨ uhrt und kann Satz 2.1.24 anwenden.   Bemerkung 3.1.19. Ist X zeitunabh¨ angig, so liefert die obige Proposition das bereits bekannte Resultat aus Satz 2.1.24, wobei der Fluß Φt mit der Zeitentwicklung Φt,t0 u ¨ ber Φt−t0 = Φt,t0 zusammenh¨angt und letztere nur von der Differenz t− t0 abh¨ angt. Im allgemeinen Fall h¨angt Φt,t0 (p) aber nicht nur von der Differenz t − t0 sondern eben getrennt von t und von der Anfangszeit t0 ab. Daher erh¨ alt man auch keine Einparametergruppe von Diffeomorphismen, sondern nur eine Zeitentwicklungsidentit¨ at der Form (3.36). Umgekehrt erh¨ alt man aus einer beliebigen glatten Kurve Φt von Diffeomorphismen mit Φ0 = idM ein zeitabh¨ angiges Vektorfeld Xt . Glattheit soll hier bedeuten, daß Φ : J × M −→ M mit Φ(t, p) = Φt (p) glatt ist. Man definiert Xt durch

 d Φt+s Φ−1 (p) (3.37) X(t, p) = . t ds s=0 Diese Definition h¨ angt nun im allgemeinen wirklich von t ab, außer Φt ist eine Einparametergruppe. Wegen Φ0 = idM ist s → γ(s) = Φt+s (Φ−1 t (p))

(3.38)

eine glatte Kurve durch γ(0) = p, welche auch glatt von p abh¨angt. Daher ist X(t, p) ∈ Tp M wohl-definiert, und X h¨ angt glatt von t und p ab. Proposition 3.1.20. Sei Φt : M −→ M eine im obigen Sinne glatte Kurve von Diffeomorphismen von M mit Φ0 = idM . Dann definiert (3.37) ein glattes zeitabh¨angiges Vektorfeld und die Zeitentwicklung Φt,t0 von X ist durch Φt,t0 (p) = Φt (Φ−1 t0 (p))

(3.39)

gegeben. Beweis. Es gen¨ ugt zu zeigen, daß (3.39) die richtige Differentialgleichung erf¨ ullt. Zun¨ achst gilt wie gew¨ unscht Φt,t (p) = p. Weiter gilt d d −1 −1 Φt (Φ−1 Φ (p)) = (Φ ◦ Φ ◦ Φ (p)) = X(t, Φt (Φ−1 t+s t t0 t t0 t0 (p))), dt ds s=0 womit t → Φt (Φ−1 osungskurve von X t0 (p)) eine und damit die eindeutige L¨   zur richtigen Anfangsbedingung f¨ ur t = t0 ist.

116

3 Symplektische Geometrie

Bemerkung 3.1.21. Die Aussage, daß Vektorfelder in 1 : 1-Korrespondenz zu glatten Einparametergruppen von Diffeomorphismen stehen, verallgemeinert sich also dahingehend, daß zeitabh¨ angige Vektorfelder in 1 : 1-Korrespondenz zu glatten Kurven von Diffeomorphismen mit Φ0 = idM stehen. Das folgende technische Lemma zeigt den Zusammenhang zwischen dem pullback mit Φt und der Lie-Ableitung in Richtung Xt f¨ ur festes t. Der Einfachheit wegen formulieren wir nur den Fall von Differentialformen. Lemma 3.1.22. Sei Φt eine glatte Kurve von Diffeomorphismen mit Φ0 = id und sei Xt das zugeh¨orige zeitabh¨angige Vektorfeld. Dann gilt f¨ ur ω ∈ Ω• (M ) und alle t d ∗ Φ ω = Φ∗t LXt ω. (3.40) dt t Beweis. Da Φ∗t ein Automorphismus von ∧ und LXt eine Derivation ist, gen¨ ugt es wieder, (3.40) f¨ ur die lokalen Erzeugenden von Ω• (M ) zu zeigen, also f¨ ur Funktionen und exakte Einsformen. Da aber zudem die ¨außere Ableitung ugt es, (3.40) sogar nur f¨ ur Funktionen mit Φ∗t sowie mit LXt vertauscht, gen¨ allein zu zeigen. Zun¨ achst gilt d d ∗ (Φt f )(p) = f (Φt+s (p)) . dt ds s=0 Da der Tangentialvektor an die Kurve t → Φt (p) gerade durch Xt (Φt (p)) gegeben ist, folgt weiter d ∗ (Φ f )(p) = Xt (Φt (p))f = (Xt f )(Φt (p)) = (Φ∗t LXt f )(p), dt t womit die Behauptung gezeigt ist.

 

Bemerkung 3.1.23. Im allgemeinen zeitabh¨ angigen Fall gilt Φ∗t LXt = LXt Φ∗t im Gegensatz zum zeitunabh¨ angigen Fall (2.165). Mit diesem R¨ ustzeug k¨ onnen wir das Darboux-Theorem beweisen. Der folgende Beweis stammt von Weinstein [317] und basiert auf einer Arbeit von Moser [244]. Satz 3.1.24 (Darboux-Theorem). Sei (M, ω) eine 2n-dimensionale symplektische Mannigfaltigkeit und p ∈ M . Dann existiert eine offene Umgebung U ⊆ M von p und eine offene Umgebung V ⊆ 2n sowie ein Symplektomorphismus ∼ = ϕ : (U, ω U ) −→ (V, ω0 V ). (3.41) Beweis. Da die Aussage des Satzes lokal ist, gen¨ ugt es zu zeigen, daß jede symplektische Form ω auf 2n zu ω0 lokal symplektomorph ist. Da je zwei konstante symplektische Formen zueinander linear symplektomorph sind, siehe Aufgabe 1.4, gen¨ ugt es zu zeigen, daß ω zu einer konstanten symplektischen Form lokal symplektomorph ist.

3.1 Symplektische Mannigfaltigkeiten als Phasenr¨ aume

117

Sei also ω auf U ⊆ 2n mit 0 ∈ U vorgegeben, und sei ω0 diejenige konstante symplektische Form, welche durch ω0 (x) = ω(0) f¨ ur x ∈ U festgelegt ist. Dann stimmen ω und ω0 offenbar f¨ ur x = 0 u unden ¨ berein. Aus Stetigkeitsgr¨ ist ωt = ω0 + t(ω − ω0 ) f¨ ur alle t ∈ [0, 1] zumindest auf einer eventuell kleineren Umgebung U  von 0 nichtausgeartet, also symplektisch, da ωt offenbar geschlossen ist. Gesucht wird nun eine glatte Kurve von Diffeomorphismen Φt , welche f¨ ur t ∈ [0, 1] auf einer eventuell noch kleineren Umgebung von 0 definiert sind, so daß Φ0 = id und Φ∗t ωt = ω0 (∗) f¨ ur alle t ∈ [0, 1]. Dann w¨ are insbesondere Φ∗1 ω1 = ω0 und ω1 stimmt ja gerade mit ω u are Φ1 der gesuchte Symplektomorphismus ϕ von ω ¨berein. Somit w¨ nach ω0 . Um Φt zu finden, stellt man eine Differentialgleichung f¨ ur Φt auf, von deren L¨ osbarkeit man sich dann zu u ¨ berzeugen hat. Da dω = 0 = dω0 findet man nach dem Poincar´e-Lemma auf einer eventuell kleineren Umgebung U  von 0 eine Einsform ψ ∈ Ω1 (U  ) mit dψ = ω − ω0 und ψ(0) = 0, da man sonst die konstante Einsform ψ(0) von ψ abziehen k¨onnte, ohne dψ = ω − ω0 zu verletzen. Angenommen, man h¨ atte nun Φt mit (∗) gefunden, dann g¨alte mit Lemma 3.1.22 0=

d ∗ Φ ωt dt t

= Φ∗t LXt ωt +

d ωt dt

 (∗∗)

= Φ∗t (iXt dωt + d iXt ωt + ω − ω0 ) = Φ∗t (d (iXt ωt + ψ)) , orige zeitabh¨ angige Vektorfeld ist. Da ωt symplektisch wobei Xt das zu Φt geh¨ ist, ist nach Vorgabe von ψ durch die Gleichung iXt ωt + ψ = 0 tats¨ achlich ein zeitabh¨ angiges Vektorfeld Xt definiert. Da ψ(0) = 0 ist, gilt ur alle t. Nach Proposition 3.1.18 besitzt Xt eine Zeitentzudem Xt (0) = 0 f¨ wicklung Φt , welche wegen Xt (0) = 0 den Ursprung 0 fest l¨aßt. Daher bildet Φt f¨ ur alle t ∈ [0, 1] eine eventuell abermals verkleinerte Umgebung von 0 diffeomorph auf eine t-abh¨ angige Umgebung von 0 ab. R¨ uckw¨arts gelesen zeigt achlich die gew¨ unschte Eigenschaft hat und die Rechnung (∗∗), daß Φt tats¨ daher ist Φ1 der gesuchte Symplektomorphismus.   Mit anderen Worten, eine symplektische Mannigfaltigkeit sieht lokal so aus wie unser Standardbeispiel ( 2n , ω0 ). Es gibt also, ganz anders als in der Riemannschen Geometrie, keine lokalen Invarianten in der symplektischen

118

3 Symplektische Geometrie

Geometrie. Symplektische Geometrie ist also lokal gesehen trivial, interessant wird symplektische Geometrie daher von einem globalen Standpunkt aus betrachtet. Ein lokaler Symplektomorphismus wie in (3.41) ist offenbar insbesondere eine Karte. Derartige Karten heißen auch Darboux-Karten und die zugeh¨ origen Koordinaten heißen Darboux-Koordinaten oder auch kanonische Koordinaten. Das Darboux-Theorem besagt also, daß es zu jeder symplektischen Mannigfaltigkeit einen Atlas aus Darboux-Karten gibt. Mit diesem Satz ist also endg¨ ultig der Kontakt zur Hamiltonschen Mechaur den 2n f¨ ur die nik im 2n hergestellt. Insbesondere gelten die Formeln f¨ Poisson-Klammer, das Hamiltonsche Vektorfeld, die Bewegungsgleichungen etc. auf jeder symplektischen Mannigfaltigkeit, sofern man lokale DarbouxKoordinaten verwendet. Von praktischer Bedeutung ist Satz 3.1.24 jedoch nur bedingt. Die Konstruktion von Darboux-Koordinaten ist ja reichlich inexplizit gewesen. In konkreten Beispielen wird man daher entweder direkt Darboux-Koordinaten vorliegen haben oder aber andere, geometrischere Techniken verwenden m¨ ussen.

3.2 Beispiele von symplektischen Mannigfaltigkeiten In diesem Abschnitt werden wir nun aufzeigen, wie sich zwei große Beispielklassen von symplektischen Mannigfaltigkeiten, die Kotangentenb¨ undel und die K¨ ahler-Mannigfaltigkeiten, erschließen lassen. Jedes Kotangentenb¨ undel T ∗ Q besitzt eine kanonische symplektische Struktur und erlaubt die Interpretation als Impulsphasenraum eines Teilchens, welches sich im Konfigurationsraum Q bewegt. Nachdem wir die grundlegenden Eigenschaften von Kotangentenb¨ undeln vorgestellt haben, werden wir diese Aussage rechtfertigen, indem wir eine geometrische Formulierung der Lagrange-Mechanik und der Legendre-Transformation geben. Die K¨ ahler-Mannigfaltigkeiten werden uns Beispiele liefern, welche u undel hinausgehen und in der ¨ber Kotangentenb¨ Quantisierungstheorie eine besondere Rolle spielen. 3.2.1 Kotangentenb¨ undel Kotangentenb¨ undel stellen die f¨ ur die Physik wichtigste Beispielklasse von symplektischen Mannigfaltigkeiten dar. Sei also Q eine Mannigfaltigkeit, der undel von Konfigurationsraum, und sei π : T ∗ Q −→ Q das Kotangentenb¨ Q, der Phasenraum zum Konfigurationsraum Q. Punkte in Q werden durch q ∈ Q bezeichnet, Punkte in T ∗ Q sind Einsformen αq ∈ Tq∗ Q auf dem Tangentialraum Tq Q bei q ∈ Q. Sind x1 , . . . , xn lokale Koordinaten auf U ⊆ Q, so sind die induzierten lokalen Koordinaten auf T ∗ U ⊆ T ∗ Q durch q i (αq ) = xi (q) = xi ◦ π(αq ) und

(3.42)

3.2 Beispiele von symplektischen Mannigfaltigkeiten

 pi (αq ) = αq

 ∂ ∂xi q

119

(3.43)

f¨ ur i = 1, . . . , n definiert. Wie schon beim Tangentenb¨ undel T Q liefert ein Atlas von Q auf diese Weise einen Atlas von T ∗ Q. Definition 3.2.1 (Kanonische Einsform). Die kanonische Einsform θ0 ∈ Γ∞ (T ∗ (T ∗ Q)) auf T ∗ Q ist durch



 wαq = αq Tαq π(wαq ) (3.44) θ0 αq

definiert, wobei αq ∈ Tq∗ Q und wαq ∈ Tαq (T ∗ Q). Da π den Kotangentialraum Tq∗ Q bei q auf q ∈ Q projiziert, bildet Tαq π den Tangentialraum Tαq (T ∗ Q) auf den Tangentialraum Tq Q ab. Daher l¨aßt sich f¨ ur wαq ∈ Tαq (T ∗ Q) die Einsform αq tats¨ achlich auf Tαq π(wαq ) anwenden und θ0 ist wohl-definiert. Daß θ0 glatt von αq abh¨ angt, folgt aus der Glattheit von π. In lokalen Koordinaten erh¨ alt man folgenden Ausdruck f¨ ur θ0 , der ebenfalls zeigt, daß θ0 glatt ist: Lemma 3.2.2. Seien x1 , . . . , xn lokale Koordinaten auf U ⊆ Q und q 1 , . . . , q n , p1 , . . . , pn die induzierten lokalen Koordinaten auf T ∗ U ⊆ T ∗ Q. Dann gilt θ0 = pi dq i , (3.45) T ∗U

womit θ0 insbesondere glatt ist. Beweis. Allgemein ist jede Einsform θ ∈ Γ∞ (T ∗ (T ∗ Q)) lokal von der Form θ = βi dq i + γ i dpi , ∂ wobei βi = θ( ∂q∂ i ) und γ i = θ( ∂p ) lokale Funktionen sind. Wir berechnen f¨ ur i ∞ f ∈ C (U )    ∂ ∂

∂ −1 f ◦ x (f ◦ π) = ◦ x ◦ π Tαq π f = ∂q i αq ∂q i ∂q i αq αq −1 j −1 ∂(f ◦ x ) ∂(f ◦ x ) ∂q = , = ∂xj ∂xi x(q) ∂q i αq x(q)



also Tαq π

∂ ∂q i αq

F¨ ur die verbleibenden Basisvektoren  Tαq π

∂ ∂pi αq

 f=



∂ ∂pi

=

∂ . ∂xi q

erhalten wir

 ∂

∂ f ◦ x−1 ◦ x ◦ π (f ◦ π) = ∂pi ∂pi αq αq

(3.46)

120

3 Symplektische Geometrie

=

∂q j ∂(f ◦ x−1 ) = 0, ∂xj x(q) ∂pi αq 

also Tαq π

∂ ∂pi αq



Daher gilt    ∂  ∂ = αq θ0 = pi (αq ) ∂q i αq ∂xi q αq

= 0.

und θ0

(3.47)  αq

∂ ∂pi αq

 = 0,  

womit (3.45) folgt.

Definition 3.2.3 (Kanonische Zweiform). Die kanonische Zweiform ω0 ∈ Γ∞ (Λ2 T ∗ (T ∗ Q)) auf T ∗ Q ist durch ω0 = −dθ0

(3.48)

definiert. Satz 3.2.4. Sei Q eine Mannigfaltigkeit und π : T ∗ Q −→ Q ihr Kotangentenb¨ undel. i.) (T ∗ Q, ω0 ) ist eine (exakte) symplektische Mannigfaltigkeit. ii.) Jede lokale Karte (U, x) f¨ ur Q liefert eine Darboux-Karte (T ∗ U, (q, p)) f¨ ur ∗ (T Q, ω0 ), denn lokal gilt ω0 ∗ = dq i ∧ dpi . (3.49) T U

Beweis. Dies folgt unmittelbar aus der lokalen Gestalt (3.45) von θ0 .

 

Um die symplektische Geometrie von T ∗ Q genauer zu untersuchen, betrachtet man speziellere Funktionen auf T ∗ Q als allgemeine glatte Funktionen. Da die Fasern von T ∗ Q u ¨ ber jedem Punkt q ∈ Q Vektorr¨aume Tq∗ Q sind, ist es wohl-definiert, von glatten Funktionen f : T ∗ Q −→ (oder ) zu sprechen, welche polynomial in den Fasern (also in den Impulsen) sind. Offenbar sind alle physikalisch relevanten Observablen typischerweise polynomial in den Impulsen. Dies werden wir im n¨ achsten Abschnitt noch im Detail zu diskutieren haben. Wir werden also nun die polynomialen Funktionen Pol• (T ∗ Q) genauer betrachten, wobei wir auf unsere allgemeinen Ergebnisse aus Abschnitt 2.2.3 zur¨ uckgreifen k¨ onnen. Dabei hatte sich insbesondere das Euler-Vektorfeld als hilfreich erwiesen.



Definition 3.2.5 (Liouville-Vektorfeld). Das durch iξ ω0 = −θ0

(3.50)

eindeutig festgelegte Vektorfeld ξ ∈ Γ∞ (T (T ∗ Q)) auf T ∗ Q heißt LiouvilleVektorfeld.

3.2 Beispiele von symplektischen Mannigfaltigkeiten

121

Satz 3.2.6. Sei π : T ∗ Q −→ Q das Kotangentenb¨ undel von Q. i.) Das Liouville-Vektorfeld ξ ist konform-symplektisch, also L ξ ω0 = ω0

und sogar

L ξ θ0 = θ0 .

(3.51)

ii.) F¨ ur f, g ∈ C ∞ (T ∗ Q) gilt Lξ {f, g} = −{f, g} + {Lξ f, g} + {f, Lξ g}.

(3.52)

iii.) In induzierten lokalen Darboux-Koordinaten gilt ξ

T ∗U

= pi

∂ , ∂pi

(3.53)

womit das Liouville-Vektorfeld ξ mit dem Euler-Vektorfeld des Vektorb¨ undels π : T ∗ Q −→ Q ¨ ubereinstimmt. iv.) Eine Funktion f ∈ C ∞ (T ∗ Q) ist genau dann in Polk (T ∗ Q), wenn Lξ f = kf . v.) Die polynomialen Funktionen Pol• (T ∗ Q) bilden eine Poisson-Unteralgebra von C ∞ (T ∗ Q) und es gilt   Polk (T ∗ Q), Pol (T ∗ Q) ⊆ Polk+−1 (T ∗ Q). (3.54) Beweis. Der erste Teil folgt aus Lξ θ0 = iξ dθ0 + d iξ θ0 = − iξ ω0 − d iξ iξ ω0 = θ0 und aus dem Vertauschen von Lie-Ableitung und ¨außerer Ableitung d. F¨ ur den zweiten Teil benutzt man (3.25) aus dem Beweis zu Satz 3.1.15. Damit folgt die Behauptung sofort aus dem ersten Teil. Mit den Koordinatenausdr¨ ucken f¨ ur θ0 und ω0 ist (3.53) ebenfalls offensichtlich. Damit folgt aber mit Satz 2.2.23 der dritte Teil. Der vierte Teil ist nach den allgemeinen Resultaten aus Satz 2.2.23 auch klar. Der f¨ unfte Teil folgt damit direkt aus dem zweiten.   Bemerkung 3.2.7. Physikalisch interpretiert z¨ahlt“ die Lie-Ableitung Lξ be” z¨ uglich des Liouville-Vektorfeldes die Impulsdimensionen“. Insbesondere ver” ringert die Poisson-Klammer nach (3.52) die Impulsdimension um eins, was nach der lokalen Form (1.36) offensichtlich ist und mit (3.52) seine globale Formulierung findet. Dies ist jedoch eine Besonderheit von Kotangentenb¨ undeln, da es auf einer allgemeinen symplektischen Mannigfaltigkeit kein konform-symplektisches Vektorfeld geben muß. Die Existenz eines konformsymplektischen Vektorfeldes ist ja nach der Cartan-Formel gleichbedeutend mit der Exaktheit von ω, was beispielsweise f¨ ur kompakte symplektische Mannigfaltigkeiten nie der Fall sein kann. Selbst wenn ω exakt ist, muß es keine physikalisch ausgezeichnete Wahl f¨ ur ein konform-symplektisches Vektorfeld geben.

122

3 Symplektische Geometrie

Der kanonische Isomorphismus von gradierten Algebren aus Satz 2.2.23 J : S• (T Q) −→ Pol• (T ∗ Q)

(3.55)

induziert in diesem speziellen Fall eine Poisson-Klammer f¨ ur S• (T Q), welche mit der Gradierung im Sinne von (3.54) vertr¨aglich ist. Es gilt also   k (3.56) S (T Q), S (T Q) ⊆ Sk+−1 (T Q) f¨ ur alle k, . Diese l¨ aßt sich nun sehr einfach bestimmen: Proposition 3.2.8. Seien X, Y ∈ Γ∞ (T Q) Vektorfelder auf Q und f ∈ C ∞ (Q). Dann gilt {J(X), J(Y )} = −J([X, Y ]). (3.57) und

{J(X), π ∗ f } = −π ∗ (LX f ).

(3.58)

Damit ist die Poisson-Klammer auf S• (T Q) gerade die negative Lie-Klammer von Vektorfeldern, die auf kanonische Weise zu einer Poisson-Klammer fortgesetzt wird. Beweis. Der einfachste Beweis vermutlich im schlichten Nachrechnen besteht ∂ = Y j ∂ j . Dann gilt in Koordinaten. Sei also X U = X i ∂x i und Y ∂x U   j j ∗ i ∂Y i ∂X J([X, Y ]) = π X −Y pj ∂xi ∂xi U ∂(pk π ∗ X k ) ∂(pj π ∗ Y j ) ∂(pj π ∗ Y j ) ∂(pk π ∗ X k ) − ∂pi ∂q i ∂pi ∂q i = {pj π ∗ Y j , pk π ∗ X k } = −{J(X), J(Y )} . =

U

Die zweite Gleichung (3.58) ist mit den lokalen Ausdr¨ ucken trivial. Damit folgt aber auch die letzte Behauptung, da S• (T Q) von S0 (T Q) = π ∗ C ∞ (Q) und S1 (T Q) = Γ∞ (T Q) lokal erzeugt wird und eine Poisson-Klammer durch die Werte auf den lokalen Erzeugern eindeutig bestimmt ist.   Bemerkung 3.2.9. Vergleicht man den Beweis und das Resultat dieser Proposition mit der Konstruktion der Schouten-Nijenhuis-Klammer in Satz 2.3.33 so ergibt sich folgende u ¨ berraschende Interpretation von ·, ·: Wir k¨onnen die Schouten-Nijenhuis-Klammer offenbar als eine ungerade Super-PoissonKlammer interpretieren. Demnach w¨ are die Gerstenhaber-Algebra X• (Q) als die Algebra der polynomialen Funktionen auf dem Superkotangentenb¨ undel“ ” von Q zu interpretieren. F¨ ur uns ist dies nichts weiter als eine Analogie, welche helfen kann, die Schouten-Nijenhuis-Klammer zu interpretieren. Man kann dies jedoch in der Theorie der Supermannigfaltigkeiten pr¨azisieren, siehe etwa [93, 211].

3.2 Beispiele von symplektischen Mannigfaltigkeiten

123

Zum vorl¨ aufigen Abschluß unserer Betrachtungen zu Kotangentenb¨ undeln werden wir noch zwei Typen von Diffeomorphismen von T ∗ Q n¨aher studieren: die Punkttransformationen und die Fasertranslationen. Wir beginnen mit den Punkttransformationen: Definition 3.2.10 (Punkttransformation). Sei φ : Q −→ Q ein Diffeomorphismus. Dann ist der Kotangentiallift T ∗ φ : T ∗ Q −→ T ∗ Q durch (T ∗ φ(αq ))(vq ) = αq (Tq φ(vq ))

(3.59)

definiert, wobei q  = φ(q). Die zu φ geh¨orende Punkttransformation ist durch ∗

T∗ φ = φT = T ∗ φ−1 : T ∗ Q −→ T ∗ Q

(3.60)

definiert. ∗

Der Name Punkttransformation“ r¨ uhrt daher, daß φT von einer Transfor” mation der Punkte des Konfigurationsraumes kommt. Man beachte die unterschiedliche Bedeutung von ∗ im pull-back φ∗ und dem Kotangentiallift T ∗ φ beziehungsweise der Punkttransformation T∗ φ. Die Eigenschaften von Punkttransformationen kl¨ art folgender Satz: Satz 3.2.11. Seien φ : Q −→ Q und ψ : Q −→ Q Diffeomorphismen. Sei X ∈ Γ∞ (T Q) ein Vektorfeld auf Q mit (lokalem) Fluß φt . i.) T ∗ φ ist ein Vektorb¨ undelisomorphismus von T ∗ Q nach T ∗ Q l¨angs φ−1 . Es gilt (3.61) φ ◦ π ◦ T ∗φ = π und

T ∗ φ ◦ ι ◦ φ = ι, 

(3.62) 

wobei π und π die B¨ undelprojektionen und ι und ι die Nullschnitte sind. ii.) Es gilt (3.63) T ∗ (ψ ◦ φ) = T ∗ φ ◦ T ∗ ψ und T ∗ idQ = idT ∗ Q und somit auch T∗ φ = (T ∗ φ)−1 ,

T∗ (ψ ◦ φ) = T∗ ψ ◦ T∗ φ

und

T∗ idQ = idT ∗ Q . (3.64)

iii.) Ein Diffeomorphismus Φ : T ∗ Q −→ T ∗ Q ist genau dann der Kotangentiallift Φ = T ∗ φ eines Diffeomorphismus φ : Q −→ Q , wenn Φ∗ θ0 = θ0 .

(3.65)

iv.) T ∗ φ und ebenso T∗ φ sind Symplektomorphismen. v.) Der Hamiltonsche Fluß Φt zur Hamilton-Funktion J(X) ∈ Pol1 (T ∗ Q) ist durch (3.66) Φt = T∗ φt gegeben. Das Hamiltonsche Vektorfeld XJ(X) ist π-verwandt zu X, es gilt also (3.67) T π ◦ XJ(X) = X ◦ π.

124

3 Symplektische Geometrie

Beweis. ad i.) Daß T ∗ φ ein Vektorb¨ undelisomorphismus l¨angs φ−1 ist, folgt unmittelbar aus der Definition und der Beobachtung, daß T∗ φ das Inverse ist. Sei αq ∈ Tq∗ Q vorgegeben. Dann ist T ∗ φ(αq ) definitionsgem¨aß eine Einsform auf Tq Q, wobei φ(q) = q  . Also gilt π(T ∗ φ(αq )) = φ−1 (q  ) = φ−1 (π  (αq )) und somit (3.61). Ist umgekehrt q ∈ Q, so ist 0φ(q) ∈ Tφ(q) Q und daher T ∗ φ(0φ(q) ) ∈ Tq Q. Da aber T ∗ φ faserweise linear ist, folgt (3.62). Diese Eigenschaften gelten allgemein f¨ ur jeden Vektorb¨ undelmorphismus l¨angs eines vorgegebenen Diffeomorphismus φ beziehungsweise φ−1 . ad ii.) Dies ist eine Folgerung zur Definition und der Kettenregel (2.24). ad iii.) & iv.) Wir zeigen zun¨ achst, daß T ∗ φ die kanonische Einsform erh¨alt. ∗   Wie vorher sei αq ∈ Tq Q und wαq ∈ Tαq (T ∗ Q ). Dann gilt (T ∗ φ)∗ θ0

αq

(wαq ) = θ0

 T ∗ φ(αq )

 Tαq (T ∗ φ)(wαq )

  = T ∗ φ(αq ) TT ∗ φ(αq ) π Tαq (T ∗ φ)(wαq )   = αq Tπ(T ∗ φ(αq )) φ TT ∗ φ(αq ) π Tαq (T ∗ φ)(wαq )   = αq Tαq (φ ◦ π ◦ T ∗ φ) (wαq )   = αq Tαq π  (wαq ) = θ0 (wαq ). αq

Damit ist die eine Richtung von (3.65) gezeigt. Sei nun Φ : T ∗ Q −→ T ∗ Q ein Diffeomorphismus mit Φ∗ θ0 = θ0 . Damit gilt zun¨achst, daß Φ∗ ω0 = ω0 , womit Φ auch symplektisch ist. Dies zeigt insbesondere Teil iv.). Es gilt iΦ∗ ξ ω0 = Φ∗ (iξ Φ∗ ω0 ) = Φ∗ (iξ ω0 ) = −Φ∗ θ0 = −θ0 = iξ ω0 , womit Φ∗ ξ = ξ  aus der Nichtausgeartetheit von ω0 folgt. Da das LiouvilleVektorfeld gerade das Euler-Vektorfeld ist, ist sein Fluß durch (2.98) bestimmt. Insbesondere folgt, daß die Punkte von Q, aufgefaßt als Nullpunkte in T ∗ Q unter dem Fluß von ξ invariant sind. Andererseits zeigt Φ∗ ξ = ξ  , daß Φ Integralkurven von ξ  auf Integralkurven von ξ abbildet, also insbesondere Fixpunkte des Flusses auf Fixpunkte abbildet. Dies liefert eine eindeutig bestimmte bijektive Abbildung φ−1 : Q −→ Q, welche glatt ist, da φ−1 aus der Einschr¨ ankung einer glatten Abbildung Φ auf eine Untermannigfaltigkeit ι (Q ) ⊆ T ∗ Q entsteht. Es bleibt also nur noch zu zeigen, daß T ∗ φ = Φ gilt. Zun¨ achst zeigen wir, daß Φ Fasern auf Fasern abbildet. Da Φ Flußlinien von ξ  auf Flußlinien von ξ abbildet, folgt, daß Φ(et αq ) von der Form et βq mit einem bestimmten βq ∈ Tq∗ Q ist. Da Φ stetig ist, folgt  t

t

0q = lim e βq = lim Φ(e α ) = Φ t→−∞

t→−∞

q

 t

lim e α

t→−∞

q

= Φ(0q ) = 0φ−1 (q ) .

3.2 Beispiele von symplektischen Mannigfaltigkeiten

125

Es gilt also q = φ−1 (q  ) und damit Φ(αq ) ∈ Tφ∗−1 (q ) Q f¨ ur alle αq ∈ Tq∗ Q . Somit ist Φ fasertreu und es gilt π ◦ Φ = φ−1 ◦ π  . Sei nun wαq ∈ Tαq (T ∗ Q ) vorgegeben. Dann gilt     wαq αq Tαq π  (wαq ) = θ0 αq   ∗ wαq = (Φ θ0 ) αq   Tαq Φ(wαq ) = θ0 Φ(αq )   = Φ(αq ) TΦ(αq ) π Tαq Φ(wαq )   = Φ(αq ) Tαq (π ◦ Φ)(wαq )   = Φ(αq ) Tαq (φ−1 ◦ π  )(wαq )   = Φ(αq ) Tπ (αq ) φ−1 Tαq π  (wαq )   = (T ∗ φ−1 )(Φ(αq )) Tαq π  (wαq ) . Da nun die Tangentialabbildung T π  von π  punktweise surjektiv ist, siehe (3.46), folgt, daß αq = T ∗ φ−1 (Φ(αq )) und damit Φ = T ∗ φ wie gew¨ unscht. ad v.) Nach dem bisher Gezeigten ist T∗ φt eine Einparametergruppe von symplektischen Diffeomorphismen, weshalb LY =

d (T∗ φt )∗ dt t=0

ein symplektisches Vektorfeld Y auf T ∗ Q definiert. Wir wollen zeigen, daß Y mit dem Hamiltonschen Vektorfeld XJ(X) zur Hamilton-Funktion J(X) u achst folgt aus (T∗ φt )∗ θ0 = θ0 , daß LY θ0 = 0. Daher ist ¨ bereinstimmt. Zun¨ Y das Hamiltonsche Vektorfeld zur Hamilton-Funktion θ0 (Y ), denn 0 = LY θ0 = d iY θ0 + iY dθ0 = d(θ0 (Y )) − iY ω0 . Es bleibt also θ0 (Y ) = J(X) zu zeigen. Dazu berechnen wir f¨ ur f ∈ C ∞ (Q) ∗ und αq ∈ Tq Q (Tαq π(Yαq ))f = Yαq (f ◦ π) =

d d (f ◦ π ◦ T∗ φt (αq )) = (f ◦ φt (q)) dt dt t=0 t=0

= Xq f. Also projiziert Y auf X. Es gilt T π ◦ Y = X ◦ π, womit die Vektorfelder Y und X π-verwandt sind, siehe auch Aufgabe 2.8 zum Begriff der π-Verwandtschaft ∂ von Vektorfeldern. Sei also X U = X i ∂x i in lokalen Koordinaten (U, x) und ∂ i ∂ entsprechend Y T ∗ U = Y ∂qi + Yi ∂pi in den induzierten lokalen Koordinaten

126

3 Symplektische Geometrie

(T ∗ U, (q, p)). Mit (3.46), (3.47) und der π-Verwandtschaft folgt, daß Y i (αq ) = X i (q) und damit θ0 (Y )(αq ) = pi (αq )Y i (αq ) = pi (αq )X i (q) = J(X)(αq )  

wie gew¨ unscht.

Bemerkung 3.2.12 (Universelle Impulsabbildung). F¨ ur X ∈ Γ∞ (T Q) heißt 1 ∗ die Hamilton-Funktion J(X) ∈ Pol (T Q) auch Impuls zu X. Die Abbildung J : Γ∞ (T Q) −→ Pol1 (T ∗ Q)

(3.68)

heißt auch universelle Impulsabbildung des Kotangentenb¨ undels T ∗ Q. Beispiel 3.2.13 (Linearer Impuls und Drehimpuls). Sei Q = Pi =

∂ ∂xi

3

und (3.69)

sowie

∂ (3.70) ∂xk f¨ ur i = 1, 2, 3. Dann ist das Vektorfeld Pi gerade der infinitesimale Erzeuger der linearen Translation in i-Richtung und Li ist der infinitesimale Erzeuger der Drehung um die i-te Koordinatenachse. Mit anderen Worten, die Fl¨ usse zu Pi beziehungsweise zu Li sind die entsprechenden Einparametergruppen von Translationen und Drehungen. Dies sieht man elementar. Nun gilt f¨ ur die zugeh¨ origen Impulse“ im Sinne von Bemerkung 3.2.12 ” (3.71) J(Pi ) (q,p) = pi = Pi (q, p) Li = kij xj

und

J(Li ) (q,p) = kij xj pk = Li (q, p).

(3.72)

Man erh¨ alt also gerade die Komponenten des linearen Impulses P und des  Weitere Details werden wir in Abschnitt 3.3.2 und in AufgaDrehimpulses L. be 3.25 diskutieren. Wir kommen nun zur zweiten Klasse von Diffeomorphismen von T ∗ Q, den Fasertranslationen: Definition 3.2.14 (Fasertranslation). Sei A ∈ Γ∞ (T ∗ Q) eine Einsform auf Q. i.) Der vertikale Lift Av ∈ Γ∞ (T (T ∗Q)) von A ist das durch Av (αq ) = bestimmte Vektorfeld.

d (αq + tA(q)) dt t=0

(3.73)

3.2 Beispiele von symplektischen Mannigfaltigkeiten

Tq*Q

A(q) q

127

T*Q

TA (Q)

Q

Abb. 3.1. Der Konfigurationsraum Q als Nullschnitt von T ∗ Q und sein Bild unter der Fasertranslation um eine Einsform A

ii.) Die Fasertranslation um A ist der Diffeomorphismus TA (αq ) = αq + A(q)

(3.74)

von T ∗ Q. Bemerkung 3.2.15 (Vertikale Lifts und Fasertranslationen). Daß der vertikale Lift Av und die Fasertranslation TA tats¨ achlich wohl-definiert sind, liegt daran, daß die Fasern von T ∗ Q Vektorr¨aume sind. Offenbar ist das Vektorfeld Av ein vertikales Vektorfeld in dem Sinne, daß T π(Av ) = 0.

(3.75)

Die Fasertranslation TA ist ein Diffeomorphismus mit Inversem T−A und der Eigenschaft (3.76) π ◦ TA = π. Dies wird auch durch Abbildung 3.1 illustriert. F¨ ur verschiedene Einsformen A, B ∈ Γ∞ (T ∗ Q) und s, t ∈ gilt offenbar [Av , B v ] = 0

(3.77)

TtA ◦ TsB = TtA+sB = TsB ◦ TtA ,

(3.78)

sowie ∗

da die faserweise Addition in T Q kommutativ und distributiv ist. Insbesondere ist t → TtA eine Einparametergruppe von Diffeomorphismen von T ∗ Q und es gilt d TtA (αq ) , Av (αq ) = (3.79) dt t=0 womit TtA der vollst¨ andige Fluß von Av ist.

128

3 Symplektische Geometrie

Weiter sei hier noch angemerkt, daß die Definition einer Fasertranslation und des zugeh¨ origen vertikalen Lifts auch f¨ ur ein beliebiges Vektorb¨ undel sinnvoll ist. Es gelten auch in diesem Fall die analogen Beziehungen zwischen Fasertranslationen und vertikalen Lifts. Eine genauere Ausformulierung findet sich in den Aufgaben 5.15 und 5.20. Der n¨ achste Satz dagegen benutzt die symplektische Struktur eines Kotangentenb¨ undels: Satz 3.2.16. Sei A ∈ Γ∞ (T ∗ Q) eine Einsform auf Q. i.) Es gilt und damit ii.) Es gilt

T∗A θ0 = θ0 + π ∗ A

(3.80)

T∗A ω0 = ω0 − π ∗ dA.

(3.81)

L Av θ0 = π ∗ A

und

LAv ω0 = −π ∗ dA.

(3.82)

iii.) Der vertikale Lift Av beziehungsweise die Fasertranslation TA ist genau dann symplektisch, wenn A geschlossen ist dA = 0.

(3.83)

iv.) Lokal gilt mit A U = Ai dxi Av

T ∗U

= (π ∗ Ai )

∂ ∂pi

(3.84)

und somit θ0 (Av ) = 0,

iAv ω0 = −π ∗ A

und

[ξ, Av ] = −Av .

(3.85)

v.) Der vertikale Lift Av ist genau dann Hamiltonsch, wenn A = dS exakt ist mit S ∈ C ∞ (Q). In diesem Fall ist Av = −Xπ∗S .

(3.86)

alt man durch Nachrechnen Beweis. ad i.) Mit π ◦ TA = π erh¨



 wαq = θ0 Tαq TA (wαq ) (T∗A θ0 ) αq TA (αq )

 Tαq TA (wαq ) = θ0 αq +A(q)

 = (αq + A(q)) Tαq +A(q) π Tαq TA (wαq )

 = (αq + A(q)) Tαq (π ◦ TA )(wαq ) = αq (Tαq π(wαq )) + A(q)(Tαq π(wαq )) = θ0 (wαq ) + (π ∗ A) (wαq ), αq

αq

3.2 Beispiele von symplektischen Mannigfaltigkeiten

129

womit (3.80) gezeigt ist. Gleichung (3.81) folgt dann aus der Vertauschbarkeit von ¨ außerer Ableitung mit pull-backs. ad ii.) Da TtA gerade der Fluß zu Av ist, folgt (3.82) durch Ableiten von (3.80) beziehungsweise (3.81) bei t = 0. ad iii.) Anhand von (3.81) beziehungsweise (3.82) ist dies offensichtlich. ad iv.) Sei f ∈ C ∞ (T ∗ Q), dann gilt lokal d Av (αq )f = f (αq + tA(q)) dt t=0 ∂f ∂q i (αq + tA(q)) ∂f ∂pi (αq + tA(q)) = i + ∂q αq ∂t ∂pi αq ∂t t=0 t=0 ∂f =0+ Ai (q), ∂pi αq woraus die lokale Darstellung (3.84) folgt. Damit kann man die u ¨brigen Behauptungen leicht nachpr¨ ufen. Alternativ dazu erh¨alt man ein globales Argument auf folgende Weise: Zun¨ achst folgt iAv θ0 = 0 direkt aus der Definition von θ0 und (3.75). Damit gilt dann iAv ω0 = − iAv dθ0 = − LAv θ0 + d iAv θ0 = − LAv θ0 = −π ∗ A. Die Behauptung [ξ, Av ] = −Av gilt allgemein, siehe Aufgabe 5.15, Teil v.). ad v.) Mit iAv ω0 = −π ∗ A folgt sofort, daß Av genau dann Hamiltonsch ist, wenn π ∗ A exakt ist. Dies ist aber genau dann der Fall, wenn A selbst exakt ist. Gilt n¨ amlich π ∗ A = df mit f ∈ C ∞ (T ∗ Q), so folgt aus ι∗ π ∗ A = (π ◦ ι)∗ A = id∗Q A = A, daß ι∗ df = dι∗ f = A, womit A selbst exakt ist. Ist also A = dS mit S ∈ C ∞ (Q), so folgt aus iAv ω0 = −π ∗ A = −π ∗ dS = −dπ ∗ S auch (3.86).   Bemerkung 3.2.17. Ist H ∈ C ∞ (T ∗ Q) eine Hamilton-Funktion, die nur von den Orten, aber nicht von den Impulsen abh¨ angt, also von der Form H = π ∗ S mit S ∈ C ∞ (Q) ist, so ist das Hamiltonsche Vektorfeld gerade durch −(dS)v gegeben, und der Hamiltonsche Fluß ist T−tdS und damit vollst¨andig. Die Fasertranslation um eine Einsform A ∈ Γ∞ (T ∗ Q) hat eine nat¨ urliche physikalische Interpretation. Einsformen A auf dem Konfigurationsraum Q  f¨  welche der Zweiform entsprechen Vektorpotentialen A ur Magnetfelder B, B = dA entsprechen. F¨ ur Q = 3 ist dies in der Tat die geometrische For = rot A,  und die resultierende Geschlossenheit dB = 0 von mulierung von B  = 0, siehe Aufgabe 2.10. B ist gerade die Maxwell-Gleichung div B Sei also Q der Konfigurationsraum eines geladenen Teilchens mit Ladung e und B ∈ Γ∞ (Λ2 T ∗ Q) ein Magnetfeld mit Vektorpotential A ∈ Γ∞ (T ∗ Q), also B = dA. Ist nun H ∈ C ∞ (T ∗ Q) die Hamilton-Funktion des Teilchens bei abgeschaltetem“ Magnetfeld, so liefert HA = T∗−eA H die richtige Hamilton” Funktion bei angeschaltetem“ Magnetfeld. Explizit gilt ”

130

3 Symplektische Geometrie

HA (αq ) = (T∗−eA H)(αq ) = H(T−eA (αq )) = H(αq − eA(q)).

(3.87)

Die neue Hamilton-Funktion HA geht aus H durch minimale Kopplung hervor, also dadurch, daß man alle Impulse pi durch pi − eAi (q) ersetzt. Es zeigt sich, daß HA im Falle eines freien Teilchens im 3 tats¨achlich die richtige Bewegungsgleichung liefert, welche durch die Lorentz-Kraft bestimmt wird. Man kann die minimale Kopplung aber auch anders interpretieren, n¨amlich so, daß man die Hamilton-Funktion beibeh¨ alt aber die symplektische Form andert. Es gilt folgender Satz: ¨ Satz 3.2.18 (Minimale Kopplung). Sei B ∈ Γ∞ (Λ2 T ∗ Q) eine exakte Zweiform auf Q mit B = dA und A ∈ Γ∞ (T ∗ Q), und sei H ∈ C ∞ (T ∗ Q) eine Hamilton-Funktion. Dann ist das Hamiltonsche System (T ∗ Q, ω0 , HA ) mit HA = T∗−eA H ¨aquivalent zum Hamiltonschen System (T ∗ Q, ω0 − eπ ∗ B, H) via T−eA . Beweis. Offenbar ist T−eA ein Diffeomorphismus von T ∗ Q mit T∗−eA H = HA (nach Definition) und T∗−eA (ω0 − eπ ∗ B) = ω0 + eπ ∗ dA − eπ ∗ B = ω0 , da T∗−eA π ∗ = π ∗ aufgrund von π ◦ T−eA = π.

 

Bemerkung 3.2.19 (Magnetische Monopole). Der Satz impliziert insbesondere, daß ω0 − eπ ∗ B wieder eine symplektische Form ist. Dies gilt nicht nur f¨ ur exaktes B sondern auch, falls B nur geschlossen ist. In diesem Fall gibt es eventuell kein (globales) Vektorpotential A mit dA = B, und man spricht von einem magnetischen Monopol. Die Formulierung der minimalen Kopplung ahrend die Formulierung mittels mittels (T ∗ Q, ω0 , HA ) scheitert deshalb, w¨ (T ∗ Q, ω0 − eπ ∗ B, H) nach wie vor sinnvoll ist und die richtigen“ Bewegungs” ¨ gleichungen liefert. Lokal ist der Ubergang zu HA nat¨ urlich immer m¨oglich, wie das Poincar´e-Lemma zeigt, siehe auch Aufgabe 3.4. 3.2.2 Von Lagrangescher zu Hamiltonscher Mechanik Das Tangentenb¨ undel T Q eines Konfigurationsraumes Q ist die Mannigfaltigkeit aller m¨ oglichen Geschwindigkeitsvektoren von Kurven in Q und wird daher auch als Geschwindigkeitsphasenraum bezeichnet, w¨ahrend T ∗ Q der Impulsphasenraum ist. Wir wollen nun den Zusammenhang von Lagrangescher Mechanik und Hamiltonscher Mechanik genauer untersuchen. 2 Die u q, v ) = 12 m v  ist eine positiv defini¨ bliche kinetische Energie T ( te homogene quadratische Funktion der Geschwindigkeiten v . Dies l¨aßt sich geometrisch folgendermaßen formulieren: Definition 3.2.20 (Kinetische Energie). Eine Funktion T ∈ C ∞ (T Q) heißt kinetische Energie, falls T Tq Q f¨ ur alle q ∈ Q eine homogene, positiv definite Quadratform ist.

3.2 Beispiele von symplektischen Mannigfaltigkeiten

131

Bemerkung 3.2.21. Da Tq Q ein Vektorraum ist, ist es wohl-definiert, von einer (homogenen) Quadratform zu sprechen. Positiv definit heißt dann einfach T (vq ) > 0 f¨ ur

vq = 0q .

(3.88)

Wir betrachten wieder die Unteralgebra der in den Fasern polynomialen glatten Funktionen Pol• (T Q) auf dem Vektorb¨ undel T Q. Eine kinetische Energie ist also eine Funktion T ∈ Pol2 (T Q) mit T (vq ) > 0 f¨ ur vq = 0q . Nach Satz 2.2.23 entspricht T daher ein symmetrisches kovariantes Tensorfeld g ∈ Γ∞ (S2 T ∗ Q) auf Q mit der Eigenschaft, daß ur gq (vq , vq ) > 0 f¨

vq = 0q ,

(3.89)

wobei T (vq ) = 12 gq (vq , vq ). Umgekehrt liefert jedes solche Tensorfeld g eine kinetische Energie. Offenbar wird jeder Tangentialraum Tq Q mittels gq zu einem Euklidischen Vektorraum verm¨ oge vq , wq q = gq (vq , wq ).

(3.90)

Umgekehrt wird durch die Wahl eines glatt vom Fußpunkt q abh¨angenden Skalarprodukts ·, ·q auf jedem Tangentialraum Tq Q ein solches Tensorfeld g ∈ Γ∞ (S2 T ∗ Q) definiert. Diese Struktur ist auch weit jenseits der geometrischen Mechanik derart wichtig, daß sie einen eigenen Namen verdient. Tats¨achlich ist unsere Interpretation von Tensorfeldern g vom Typ (3.89) als kinetische Energie eher exotisch und sicherlich nicht die urspr¨ ungliche. Definition 3.2.22 (Riemannsche Metrik). Ein symmetrisches kovarianur alle vq = 0q heißt tes Tensorfeld g ∈ Γ∞ (S2 T ∗ Q) mit gq (vq , vq ) > 0 f¨ Riemannsche Metrik f¨ ur Q. Falls g nichtausgeartet aber indefinit ist, heißt g Pseudo-Riemannsche Metrik. Ist bei einer Pseudo-Riemannschen Metrik g die Signatur von gq an jedem Punkt (+, −, · · · , −), so heißt g Lorentz-Metrik. In einer lokalen Karte (U, x) ist eine (Pseudo-) Riemannsche Metrik g durch 1 g U = gij dxi ∨ dxj 2

(3.91)

mit gewissen lokalen Funktionen gij ∈ C ∞ (U ) gegeben. Die symmetrische ur jeden Punkt p ∈ U nichtausgeartet und im RiemannMatrix (gij (p)) ist f¨ schen Fall sogar positiv definit. Das Inverse dieser Matrix wird u ¨ blicherweise mit (g ij ) bezeichnet, wobei also g ij gjk = δki auf U gilt. Es ist physikalisch sehr plausibel, daß es f¨ ur die Bewegung eines Teilchens auch eine kinetische Energie geben sollte. Tats¨achlich l¨aßt sich zeigen, daß es auf jeder Mannigfaltigkeit eine Riemannsche Metrik gibt, siehe Satz A.1.7. Bemerkung 3.2.23. Die Riemannsche Geometrie befaßt sich mit dem Studium von Riemannschen Mannigfaltigkeiten (M, g), siehe beispielsweise [235,

132

3 Symplektische Geometrie

Chap. V], [100, 133, 220] und die Literaturverweise dort. Lorentz-Mannigfaltigkeiten bilden den Ausgangspunkt und die mathematische Arena der Allgemeinen Relativit¨atstheorie, siehe beispielsweise [290, 295, 302]. Wir werden hier jedoch einen bescheidenen Standpunkt einnehmen und nur die von uns ben¨ otigten Anfangsgr¨ unde der (Pseudo-) Riemannschen Geometrie diskutieren. In den Aufgaben 3.7, 3.8 und 3.10 werden wir weitere Aspekte der Riemannschen Geometrie vom Standpunkt der Hamiltonschen Mechanik aus diskutieren. Wir kommen nun zur zentralen Funktion in der Lagrangeschen Formulierung der Mechanik: Definition 3.2.24 (Lagrange-Funktion). Eine potentielle Energie U ∈ C ∞ (T Q) ist eine Funktion U ∈ Pol0 (T Q), also von der Form U = π ∗ V mit V ∈ C ∞ (Q). Die zu einer kinetischen Energie T ∈ Pol2 (T Q) und einer potentiellen Energie U ∈ Pol0 (T Q) geh¨orende Lagrange-Funktion L ∈ C ∞ (T Q) ist durch L=T −U (3.92) definiert. Bemerkung 3.2.25. Allgemein heißt jede Funktion L ∈ C ∞ (T Q) LagrangeFunktion. Der f¨ ur die Physik wichtigste Fall ist sicherlich der, in dem L die Form (3.92) besitzt. Es gibt jedoch auch dar¨ uber hinausgehende Beispiele. Es gilt also nun, die Euler-Lagrange-Gleichungen als Bewegungsgleichungen der Lagrangeschen Mechanik auch geometrisch zu formulieren und die Beziehung zur Hamiltonschen Mechanik zu verstehen. Wir beginnen mit folgendem Begriff der Faserableitung, der die geometrische Formulierung der Legendre-Transformation erm¨ oglichen: Definition 3.2.26 (Faserableitung). Sei L ∈ C ∞ (T Q) gegeben. Dann ist die Faserableitung L : T Q −→ T ∗ Q (3.93)



durch



( L(vq ))(wq ) =

d L(vq + twq ) dt t=0

(3.94)

definiert. Lemma 3.2.27. Sei L ∈ C ∞ (T Q).







i.) Es gilt L(vq ) ∈ Tq∗ Q, also insbesondere πT ∗ Q ◦ L = πT Q , und L : T Q −→ T ∗ Q ist glatt. ii.) Sei (U, x) eine Karte f¨ ur Q und (T U, (q, v)) beziehungsweise (T ∗ U, (q, p)) die induzierten Karte f¨ ur T Q beziehungsweise T ∗ Q. Dann gilt ∂L ∂L i L(vq ) = dx also p ( L(v )) = (3.95) . i q ∂v i vq ∂v i vq q





3.2 Beispiele von symplektischen Mannigfaltigkeiten



133

Beweis. Zun¨ achst ist zu zeigen, daß ( L(vq ))wq tats¨achlich linear von wq abh¨ angt. Nach der Kettenregel ist dies aber klar. Damit ist L(vq ) also eine Einsform auf Tq Q, womit auch der Fußpunkt von L(vq ) mit dem von vq u ¨ bereinstimmt. Die Glattheit folgt aus der lokalen Darstellung, welche man wie folgt nachrechnet d ( L(vq ))(wq ) = L(vq + twq ) dt t=0 ∂L ∂q i (vq + twq ) ∂L ∂v i (vq + twq ) = i + i ∂q vq ∂t ∂v vq ∂t t=0 t=0 ∂L i = 0 + i v (wq ) ∂v vq ∂L = dxi (wq ), ∂v i vq







 

womit auch (3.95) gezeigt ist.

Beispiel 3.2.28. Sei T ∈ Pol2 (T ∗ Q) die kinetische Energie zur Riemannschen Metrik g und U eine potentielle Energie. Dann gilt f¨ ur L = T − U

L(vq ) = gq (vq , ·) = vq ,

(3.96)

g

undelisowobei g : T Q −→ T ∗ Q der durch g induzierte musikalische Vektorb¨ morphismus (analog zum symplektischen Fall in Bemerkung 3.1.9) ist. Man rechnet n¨ amlich nach, daß



L(vq )(wq ) = dtd L(vq +twq ) t=0 = dtd 12 gq (vq +twq , vq +twq ) t=0 = gq (vq , wq ),

(3.97) da gq bilinear ist und die potentielle Energie U nur vom Fußpunkt abh¨angt.



Offenbar ist in diesem Beispiel die Faserableitung L ein Diffeomorphismus T Q −→ T ∗ Q, da die Riemannsche Metrik g ja nichtausgeartet ist. Dies motiviert folgende allgemeine Definition: Definition 3.2.29 (Hyperregul¨ are Lagrange-Funktion). Eine Lagrange-Funktion L ∈ C ∞ (T Q) heißt hyperregul¨ar, falls L ein Diffeomorphismus ist.



Ist γ : I −→ Q eine glatte Kurve, so ist γ˙ : I  t → γ(t) ˙ ∈ Tγ(t) Q

(3.98)

eine glatte Kurve in T Q und es gilt πT Q ◦ γ˙ = γ. Ist umgekehrt c : I −→ T Q eine glatte Kurve in T Q, so ist zwar

(3.99)

134

3 Symplektische Geometrie

γ = πT Q ◦ c : I −→ Q

(3.100)

eine glatte Kurve in Q, aber im allgemeinen gilt γ(t) ˙ =

d πT Q ◦ c(t) = Tc(t) πT Q (c(t)) ˙ = c(t). dt

(3.101)

Es ist also sicher nicht jede Kurve in T Q von der Form (3.98). Dies motiviert folgende Begriffsbildung: Definition 3.2.30 (Gleichung zweiter Ordnung). Ein Vektorfeld X ∈ Γ∞ (T (T Q)) auf T Q definiert eine Gleichung zweiter Ordnung auf Q, falls T πT Q ◦ X = idT Q .

(3.102)

Lemma 3.2.31. Ein Vektorfeld X ∈ Γ∞ (T (T Q)) definiert genau dann eine Gleichung zweiter Ordnung auf Q, wenn f¨ ur jede Integralkurve c : I −→ T Q von X d (πT Q ◦ c) = c (3.103) dt gilt. Beweis. Mit (3.101) gilt (3.103) genau dann, wenn f¨ ur alle Integralkurven c c(0) = Tc(0) πT Q (c(0)) ˙ = Tc(0) πT Q ◦ X ◦ c(0) gilt. Also muß T πT Q ◦ X = idT Q gelten, da ja die Anfangsbedingungen c(0) ∈ T Q beliebig sind. Die Umkehrung folgt analog.   Nun k¨ onnen wir die Euler-Lagrange-Gleichungen geometrisch formulieren: Definition 3.2.32. Sei L ∈ C ∞ (T Q) eine Lagrange-Funktion. i.) Die Funktion E ∈ C ∞ (T Q)



E(vq ) = ( L)(vq )vq − L(vq )

(3.104)

heißt Energie zu L. ii.) Die geschlossene Zweiform



ωL = ( L)∗ ω0 ∈ Γ∞ (Λ2 T ∗ (T Q))

(3.105)

heißt Lagrange-Zweiform zu L. Entsprechend definiert man die LagrangeEinsform durch θL = ( L)∗ θ0 ∈ Γ∞ (T ∗ (T Q)). iii.) Ein Vektorfeld XE ∈ Γ∞ (T (T Q)) mit



iXE ωL = dE heißt Lagrangesches Vektorfeld zu L.

(3.106)

3.2 Beispiele von symplektischen Mannigfaltigkeiten

135

Offenbar gilt immer ωL = −dθL ,

(3.107)

aber ωL braucht nicht symplektisch zu sein. Daher ist die Existenz von XE wie in (3.106) im allgemeinen keineswegs gesichert. Selbst wenn es ein XE mit (3.106) gibt, braucht es nicht eindeutig bestimmt zu sein. Dieser Fall ist f¨ ur die Physik von constraints durchaus von Bedeutung, soll jedoch hier nicht weiter vertieft werden, siehe hierzu etwa [95, 167, 292]. Im Falle einer hyperregul¨aren Lagrange-Funktion, also insbesondere f¨ ur L = T − U mit T und U wie gehabt, ist die Situation viel einfacher: Satz 3.2.33 (Euler-Lagrange-Gleichungen). Sei L ∈ C ∞ (T Q) eine Lagrange-Funktion. i.) Es gilt

θL

vq

 wvq =

L(πT (T Q) wv )(Tv πT Q (wv )) q

q

(3.108)

q

und lokal in einer induzierten Karte (T U, (q, v)) gilt θL ωL

= TU

= TU

∂L i dq ∂v i

(3.109)

∂2L ∂2L dq i ∧ dq j + i j dq i ∧ dv j . i j ∂v ∂q ∂v ∂v

(3.110)

Insbesondere ist ωL genau dann symplektisch, falls an jedem Punkt vq ∈ T Q die zweite Faserableitung 2 L von L (Definition analog zu ) nichtausgeartet ist, also lokal  2  ∂ L det = 0. (3.111) ∂v i ∂v j vq





ii.) Ist L hyperregul¨ar, so ist ωL symplektisch und das Lagrangesche Vektorfeld XE existiert, ist eindeutig und definiert eine Gleichung zweiter Ordnung auf Q. iii.) Sei L hyperregul¨ar. Eine Kurve c : I −→ T Q ist genau dann eine Integralkurve von XE , falls die Fußpunktkurve γ = πT Q ◦ c lokal die EulerLagrange-Gleichungen   d ∂L ∂L (γ(t)) ˙ − i (γ(t)) ˙ = 0, i = 1, . . . , n, (3.112) i dt ∂v ∂q erf¨ ullt und c = γ. ˙ Beweis. Der Beweis zum ersten Teil erfolgt durch einfaches Nachrechnen mit Hilfe der Definition von und (3.95). Der zweite Teil benutzt folgendes Lemma:



136

3 Symplektische Geometrie

Lemma 3.2.34. Ein Vektorfeld X ∈ Γ∞ (T (T Q)) definiert genau dann eine Gleichung zweiter Ordnung, wenn in lokalen Koordinaten (T U, (q, v)) X

(q, v) = v i

TU

∂ ∂ + X2i (q, v) i i ∂q ∂v

(3.113)

mit lokalen Funktionen X2i ∈ C ∞ (T U ). Beweis (von Lemma 3.2.34). Zum Beweis wertet man die Bedingung T πT Q ◦ X = idT Q auf den lokalen Basisvektorfeldern ∂q∂ i und ∂v∂ i aus. Analog zum Fall des Kotangentenb¨ undels gilt     ∂ ∂ ∂ und T π = = 0, Tvq πT Q v T Q q ∂q i vq ∂xi q ∂v i vq 

woraus (3.113) leicht folgt, siehe auch Aufgabe 3.9.

Es bleibt nun zu zeigen, daß die lokale Gestalt von XE tats¨achlich so beschaffen ist, daß XE eine Gleichung zweiter Ordnung definiert. Diese Rechnung, sowie auch die verbleibende Rechnung zum dritten Teil, wird in Aufgabe 3.9 besprochen.   Bemerkung 3.2.35. Im hyperregul¨ aren Fall, also insbesondere f¨ ur L = T − U , sind die u ¨blichen Euler-Lagrange-Gleichungen also die lokale Version der Bewegungsgleichungen (3.114) c(t) ˙ = XE ◦ c(t), wobei das Lagrangesche Vektorfeld XE das Hamiltonsche Vektorfeld zur uglich der symplektischen Struktur ωL Hamilton-Funktion E ∈ C ∞ (T Q) bez¨ ist.



Diese Beobachtung legt nahe, die Faserableitung L dazu zu verwenden, ein ¨ aquivalentes Hamiltonsches System direkt auf T ∗ Q zu definieren, was in der Tat m¨ oglich ist: Satz 3.2.36 (Legendre-Transformation). Sei L ∈ C ∞ (T Q) eine hyperregul¨are Lagrange-Funktion und sei



H = E ◦ ( L)−1 ∈ C ∞ (T ∗ Q)

(3.115)

die Legendre-Transformierte von L. Dann gilt: i.) Das Hamiltonsche System (T Q, ωL, E) ist zum Hamiltonschen System (T ∗ Q, ω0 , H) via L : T Q −→ T ∗ Q ¨aquivalent. ii.) L bildet Integralkurven von XE in T Q bijektiv auf Integralkurven von XH in T ∗ Q ab, und die Fußpunktkurven in Q von entsprechenden Integralkurven stimmen ¨ uberein.





3.2 Beispiele von symplektischen Mannigfaltigkeiten



137

Beweis. Der erste Teil ist klar, da L : T Q −→ T ∗ Q nach Definition von ωL ein Symplektomorphismus ist und E = ( L)∗ H. Insbesondere folgt daraus, daß XE und XH L-verwandt sind, sogar

( L)∗ XH = XE





und ( L)∗ XE = XH .

ur c˜(t) = Sei nun c : I −→ T Q eine Integralkurve von XE , dann gilt f¨ nach der Kettenregel





L ◦ c(t)



˙ = Tc(t) L ◦ XE ◦ c(t) = XH ( Lc(t)) = XH (˜ c(t)). c˜˙(t) = Tc(t) L ◦ c(t) Die Umkehrung folgt analog. In der Tat sind ganz allgemein die Integralkurven von φ-verwandten Vektorfeldern immer in Bijektion via φ. F¨ ur die Fußpunktkurven gilt



γ˜ (t) = πT ∗ Q ◦ c˜(t) = πT ∗ Q ◦ L ◦ c(t) = πT Q ◦ c(t) = γ(t),



da πT ∗ Q ◦ L = πT Q , womit die Fußpunktkurven u ¨ bereinstimmen.

 

Bemerkung 3.2.37. Umgekehrt kann man f¨ ur eine hyperregul¨are HamiltonFunktion mittels der entsprechenden Faserableitung H (Definition analog zu L) von Hamiltonscher zu Lagrangescher Mechanik wechseln.





Beispiel 3.2.38. Sei T ∈ Pol2 (T Q) die kinetische Energie zur Riemannschen Metrik g und U = πT∗ Q V ∈ Pol0 (T Q) eine potentielle Energie. Dann gilt mit Beispiel 3.2.28 E =T +U (3.116) und entsprechend ˜, H = T˜ + U

(3.117)

˜ = π ∗ ∗ V und g −1 das zu g inverse wobei T˜(αq ) = 12 gq−1 (αq , αq ) und U T Q −1 ∞ 2 kontravariante Tensorfeld g ∈ Γ (S T Q) bezeichnet. Wir schließen diesen Abschnitt mit einer Bemerkung zur kr¨aftefreien Bewegung in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit. Definition 3.2.39 (Geod¨ ate). Sei g eine (Pseudo-) Riemannsche Metrik auf Q. Eine Kurve γ in Q heißt Geod¨ate bez¨ uglich g, falls die Kurve c = γ˙ in T Q eine Integralkurve von XE mit L = T = E ist, also eine L¨osung zur kr¨aftefreien Bewegung. Diese etwas eigent¨ umliche Definition einer Geod¨aten liefert tats¨achlich die u bliche Definition: ¨ Satz 3.2.40 (Geod¨ atengleichung). Sei g eine (Pseudo-) Riemannsche Metrik auf Q. Dann ist eine Kurve γ in Q genau dann eine Geod¨ate bez¨ uglich g, falls lokal in einer Karte (U, x) f¨ ur γ i (t) = xi (γ(t)) γ¨ k (t) + Γijk (γ(t))γ˙ i (t)γ˙ j (t) = 0

(3.118)

138

3 Symplektische Geometrie

gilt, wobei Γijk

1 = g k 2



∂gi ∂gj ∂gij + − ∂xj ∂xi ∂x



∈ C ∞ (U )

(3.119)

die lokalen Christoffel-Symbole von g sind und (g k ) die zu (gij ) inverse Matrix 1 i bezeichnet und g U = 2 gij dx ∨ dxj .



Beweis. Mit den lokalen Ausdr¨ ucken f¨ ur L, XE und T ist die Verifikation ¨ von (3.118) in lokalen Koordinaten eine leichte Ubung, siehe Aufgabe 3.10.   Weitere Details zur Hamiltonschen Sichtweise“ in der Riemannschen Geo” metrie werden in den Aufgaben 3.7, 3.8 und 3.10 besprochen. 3.2.3 Fast-Komplexe Strukturen und K¨ ahler-Mannigfaltigkeiten Eine zweite große Beispielklasse von symplektischen Mannigfaltigkeiten mit Extrastruktur“ bilden die K¨ahler-Mannigfaltigkeiten. Wir beginnen mit eini” ¨ gen Uberlegungen zu komplexen Mannigfaltigkeiten, siehe etwa [146,177,201, 325] f¨ ur Details. Definition 3.2.41 (Fast-komplexe Struktur). Eine fast-komplexe Struktur auf M ist ein Tensorfeld J ∈ Γ∞ (End(T M )) mit der Eigenschaft J 2 = − id .

(3.120)

Eine Mannigfaltigkeit M mit einer fast-komplexen Struktur J heißt fastkomplexe Mannigfaltigkeit. Eine glatte Abbildung φ : (M, J) −→ (M  , J  )

(3.121)

T φ ◦ J = J  ◦ T φ.

(3.122)

heißt fast-holomorph, falls

In (3.122) werden J und J  als faserweise lineare Diffeomorphismen J : T M  vp → Jp (vp ) ∈ T M

(3.123)

verstanden. Bemerkung 3.2.42. Ist (M, J) eine fast-komplexe Mannigfaltigkeit, so ist also auf jedem Tangentialraum Tp M eine lineare fast-komplexe Struktur Jp : Tp M −→ Tp M vorgegeben. Insbesondere folgt, daß dim M = 2n gerade ist, siehe Aufgabe 3.5.

3.2 Beispiele von symplektischen Mannigfaltigkeiten

139

Definition 3.2.43 (Komplexe Mannigfaltigkeit). Eine komplexe Mannigfaltigkeit M der komplexen Dimension n ist eine differenzierbare (reelle) Mannigfaltigkeit der reellen Dimension 2n, welche einen holomorphen Atlas {(Uα , zα )} besitzt, so daß es also lokale glatte Karten



∼ =

(3.124) zα : Uα −→ zα (Uα ) = Vα ⊆ n mit der Eigenschaft gibt, daß zβ ◦ zα−1 zα (Uα ∩U ) f¨ ur alle α, β holomorph ist. β Eine Abbildung φ : M −→ N zwischen zwei komplexen Mannigfaltigkeiten heißt holomorph, falls φ in lokalen holomorphen Karten holomorph ist. Sind also zα = (zα1 , . . . , zαn ) und zβ = (zβ1 , . . . , zβn ) Koordinaten auf Uα und Uβ mit Uα ∩Uβ = ∅, so gelten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ∂(xkβ ◦ zα−1 ) ∂xjα

−

∂(yβk ◦ zα−1 ) ∂yαj

=0=

∂(xkβ ◦ zα−1 ) ∂yαj

+

∂(yβk ◦ zα−1 ) ∂xjα

(3.125)

f¨ ur alle k, j = 1, . . . , n genau dann, wenn der Kartenwechsel zβ ◦ zα−1 holomorph ist. Hier bezeichnet xkα den Realteil von zαk und yαk entsprechend den Imagin¨ arteil von zαk , etc. Es gilt also zαk = xkα + iyαk . Beispiel 3.2.44 (Komplexe Mannigfaltigkeiten).



i.) Jede offene Teilmenge von n ist eine komplexe Mannigfaltigkeit der komplexen Dimension n. Allgemeiner ist jede offene Teilmenge einer komplexen Mannigfaltigkeit wieder eine komplexe Mannigfaltigkeit der selben Dimension. ii.) Die 2-Sph¨ are 2 besitzt mittels den stereographischen Projektionen vom Nordpol und S¨ udpol aus einen holomorphen Atlas und ist daher eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit der komplexen Dimension 1, siehe Aufgabe 2.2. iii.) Allgemeiner betrachtet man in n+1 \ {0} die Menge der komplexen n , welcher sich Strahlen. Dies definiert den komplex-projektiven Raum als eine komplexe n-dimensionale Mannigfaltigkeit erweist. Es gilt dann 1 ∼ 2 = , siehe auch Aufgabe 3.27.











Proposition 3.2.45. Seien M , M  komplexe Mannigfaltigkeiten. i.) Sei (Uα , zα ) eine holomorphe Karte. Die durch     ∂ ∂ ∂ ∂ und Jα Jα = =− k k k k ∂xα ∂yα ∂yα ∂xα

(3.126)

lokal auf Uα definierte fast-komplexe Struktur Jα ist unabh¨angig von der holomorphen Karte und definiert daher eine kanonische fast-komplexe Struktur J ∈ Γ∞ (End(T M )).

140

3 Symplektische Geometrie

ii.) Eine glatte Abbildung φ : M −→ M  ist genau dann holomorph, falls φ fast-holomorph bez¨ uglich der kanonischen fast-holomorphen Strukturen J und J  ist, also T φ ◦ J = J  ◦ T φ. Beweis. Aus dem Transformationsverhalten von Koordinatenvektorfeldern nach Satz 2.1.13 und aus (3.125) folgt, daß f¨ ur je zwei holomorphe Karten (Uα , zα ) und (Uβ , zβ ) auf Uα ∩ Uβ die Gleichheit Jα = Jβ gilt. Diese Rech¨ nung sei als eine einfache Ubung gestellt. Damit folgt aber der erste Teil, da ur den zweiten Teil zeigt man, daß (3.122) lokal dazu offenbar Jα2 = − id. F¨ a ullt ¨quivalent ist, daß die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erf¨ sind, φ also holomorph ist. Die Rechnung ist ebenfalls einfach und benutzt nur die lokale Form der Tangentialabbildung aus Satz 2.1.15.   Es stellt sich also die Frage, ob eine fast-komplexe Struktur J auf einer reellen Mannigfaltigkeit nicht vielleicht von einer komplexen Mannigfaltigkeitsstruktur von M kommt. Dies ist im allgemeinen nicht so, aber es l¨aßt sich eine einfache notwendige und hinreichende Bedingung formulieren: Definition 3.2.46 (Nijenhuis-Torsion). Sei A ∈ Γ∞ (End(T M )), und seien X, Y ∈ Γ∞ (T M ). Dann ist die Nijenhuis-Torsion NA von A durch NA (X, Y ) = [AX, AY ] − A[AX, Y ] − A[X, AY ] + A2 [X, Y ]

(3.127)

definiert. Man rechnet leicht nach, daß NA (X, Y ) = −NA (Y, X) und daß NA funktionenlinear ist, siehe Aufgabe 3.11. Daher ist nach Satz 2.2.24 die NijenhuisTorsion ein Tensorfeld vom Typ NA ∈ Γ∞ (Λ2 T ∗ M ⊗ T M ).

(3.128)

Satz 3.2.47 (Newlander-Nirenberg-Theorem). Sei (M, J) eine fastkomplexe Mannigfaltigkeit. Dann gilt, daß M genau dann eine komplexe Mannigfaltigkeit mit zugeh¨origer kanonischer fast-komplexer Struktur J ist, falls NJ = 0.

(3.129)

Beweis. Die Notwendigkeit von (3.129) l¨ aßt sich leicht nachpr¨ ufen, da NJ ein Tensor ist und (3.129) daher lokal in einer holomorphen Karte gepr¨ uft werden kann. Mit (3.126) ist dies aber eine triviale Rechnung, da ja alle Koordinatenvektorfelder Lie-kommutieren. Die Umkehrung dagegen ist ein h¨ochst nichttrivialer Satz, siehe beispielsweise die Diskussion in [201, App. 8].   Eine fast-komplexe Struktur J mit NJ = 0 heißt auch integrabel oder einfach komplexe Struktur . Der große Vorteil der Bedingung (3.129) liegt darin, daß NJ = 0 lokal in einer Karte durch einfaches Berechnen von Ableitungen von J gepr¨ uft werden kann, da NJ ja ein Tensor ist.

3.2 Beispiele von symplektischen Mannigfaltigkeiten

141

Bevor wir nun den Begriff einer K¨ ahler-Mannigfaltigkeit definieren k¨onnen, ben¨ otigen wir einige genauere Aussagen u ¨ ber komplexwertige Differentialformen und Vektorfelder. Man betrachtet dazu das komplexifizierte Tangentenb¨ undel (3.130) T M = T M ⊗ ,



welches das Tensorprodukt (im Sinne von Vektorb¨ undeln) des reellen Tangentenb¨ undels mit dem trivialen Vektorb¨ undel M × mit reell zweidimensionaler typischer Faser ist. Die Faser von T M am Punkt p ∈ M ist also der komplexifizierte Tangentialraum Tp M ⊗ . Als reelles Vektorb¨ undel hat T M nun (2 dim M )-dimensionale, als komplexes Vektorb¨ undel (dim M )-dimensionale Fasern. Ebenso wie T M komplexifiziert man auch das Kotangentenb¨ undel







T∗ M = T ∗ M ⊗

,

(3.131)

sowie die anderen, daraus abgeleiteten Tensorb¨ undel. Die Fasern von T∗ M sind dann als der komplexe Dualraum vom komplexifizierten Tangentialraum aufzufassen, also   T∗ M p = α : T M p −→ α ist -linear . (3.132)





In jedem komplexifizierten reellen Vektorb¨ undel E⊗ weise komplexe Konjugation, definiert durch

 hat man die punkt-

v ⊗ z → v ⊗ z = v ⊗ z,

(3.133)



wobei v ∈ Ep und z ∈ . Dann wird (3.133) ein -linearer, involutiver und -antilinearer Vektorb¨ undelautomorphismus. Angewandt auf das Tangentenb¨ undel und die daraus abgeleiteten Vektorb¨ undel erh¨alt man also folgendes Bild:





das komplexifizierte TangenProposition 3.2.48. Sei T M = T M ⊗ tenb¨ undel einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit und entsprechend T rs T M die komplexen Tensorb¨ undel.



i.) Komplexe Vektorfelder X ∈ Γ∞ (T M ) sind in linearer Bijektion zu linearen Derivationen der komplexwertigen Funktionen C ∞ (M, ), und es gilt X(f ) = X(f ). (3.134)



ii.) Das komplexe Tensorb¨ undel T rs T M ist kanonisch isomorph zur Komplexifizierung des reellen Tensorb¨ undels Tsr T M . iii.) Die komplexe Konjugation von Tensorfeldern ist vertr¨aglich mit der nat¨ urlichen Paarung, d.h. f¨ ur S ∈ Γ∞ (T rs T M ) und X1 , . . . , Xs ∈ Γ∞ (T M ), α1 , . . . , αr ∈ Γ∞ (T∗ M ) gilt S(X1 , . . . , Xs , α1 , . . . , αr ) = S(X1 , . . . , Xs , α1 , . . . , αr ).

(3.135)

142

3 Symplektische Geometrie

iv.) Jedes komplexe Tensorfeld S ∈ Γ∞ (T rs T M ) l¨aßt sich eindeutig in Realund Imagin¨arteil zerlegen, S = S1 + iS2 , mit S1 , S2 ∈ Γ∞ (Tsr T M ). v.) Die Operationen LX , d, iX , ·, · etc. werden -multilinear fortgesetzt. Dann gilt LX S = LX S, (3.136)



dα = dα

iX α = iX α,  Y, Z = Y , Z ,

wobei X ∈ Γ∞ (T M ), S ∈ Γ∞ (Λ• T M ).

und

(3.137)



Γ∞ (T rs T M ),

(3.138)

α ∈ Γ∞ (Λ• T∗ M ) und Y, Z ∈

Beweis. Die elementare Verifikation wird in Aufgabe 3.6 besprochen.

 

Bemerkung 3.2.49 (Reelle und komplexe deRham-Kohomologie). Im Hinblick auf die Bezeichnungen aus Definition 2.3.22 sollten wir bei Differentialformen nun etwas mehr Sorgfalt walten lassen. Deshalb schreiben wir nun auch Z k (M, ) beziehungsweise Z k (M, ), um zu betonen, daß wir reelle oder komplexwertige geschlossene k-Formen betrachten. Entsprechend schreiben wir B k (M, ) und B k (M, ). F¨ ur die resultierenden deRham-Kohomologien zeigt man nun leicht, daß







H•dR (M, ) ∼ = H•dR (M,

) ⊕ iH•dR (M,

)∼ = H•dR (M,

)⊗

,

(3.139)

indem man eine komplexe Differentialform in ihren Real- und Imagin¨arteil zerlegt. Die obigen Aussagen sind noch f¨ ur beliebige Mannigfaltigkeiten g¨ ultig. Interessant wird es, wenn M eine fast-komplexe Struktur J besitzt. Da eine -lineare Abbildung J : V −→ V mit J 2 = − id immer komplex diagonalisierbar ist mit Eigenwerten ±i und



v(1,0) =

1 (v − iJ(v)) 2

und v(0,1) =

1 (v + iJ(v)) 2

(3.140)

die entsprechende Zerlegung v = v(1,0) +v(0,1) in die (±i)-Eigenvektoren liefert, induziert eine fast-komplexe Struktur auf M eine Zerlegung von T M in zwei komplexe Unterb¨ undel: Proposition 3.2.50. Sei (M, J) eine fast-komplexe Mannigfaltigkeit der reellen Dimension 2n. i.) Das komplexifizierte Tangentenb¨ undel T M ist die direkte Summe der Eigenraumb¨ undeln von J zu den Eigenwerten ±i T M = T M (1,0) ⊕ T M (0,1) ,

(3.141)

wobei punktweise v = v(1,0) +v(0,1) und v(1,0) und v(0,1) wie in (3.140). Die Eigenraumb¨ undel T M (1,0) und T M (0,1) sind komplexe Vektorb¨ undel der komplexen Dimension n.

3.2 Beispiele von symplektischen Mannigfaltigkeiten

143

ii.) Die Zerlegung (3.141) induziert eine Zerlegung T∗ M = T∗ M (1,0) ⊕ T∗ M (0,1) ,

(3.142)

wobei T∗ M (1,0) das zu T M (1,0) und T∗ M (0,1) das zu T M (0,1) duale B¨ undel ist. iii.) Die Zerlegungen (3.141) und (3.142) induzieren Zerlegungen aller Tensorb¨ undel. Speziell f¨ ur das Grassmann-B¨ undel erh¨alt man  (r,s) Λ T∗ M (3.143) Λk T∗ M = r+s=k

mit Λ T∗ M = Λr T∗ M (1,0) ⊗ Λs T∗ M (0,1) . (r,s)

Der Beweis ist offensichtlich. Definition 3.2.51. Sei (M, J) eine fast-komplexe Mannigfaltigkeit. i.) Ein Vektorfeld X ∈ Γ∞ (T M ) heißt vom Typ (1, 0) beziehungsweise von Typ (0, 1), falls X ∈ Γ∞ (T M (1,0) ) beziehungsweise X ∈ Γ∞ (T M (0,1) ).  ∞ k ∗ Λ T M heißt vom Typ (r, s), wobei k = ii.) Eine Differentialform  α∈Γ 

r + s, falls α ∈ Γ∞ Λ T∗ M . Die Projektion auf Λ T∗ M wird mit (r,s)

(r,s)

π (r,s) : Λk T∗ M −→ Λ T∗ M (r,s)

(3.144)

bezeichnet.

  (r,s) Sei nun α ∈ Γ∞ Λ T∗ M , dann kann α lokal als Summe von (r + s) Einsformen der Form α = β1 ∧ · · · ∧ βr ∧ γ1 ∧ · · · ∧ γs (3.145)



 geschrieben werden, wobei βi ∈ Γ∞ T∗ M (1,0) und γj ∈ Γ∞ T∗ M (0,1) Einsformen vom Typ (1, 0) beziehungsweise (0, 1) sind. Anwenden der ¨außeren Ableitung d liefert in dα aufgrund der Leibniz-Regel neben den Termen dβi und dγj mindestens (r − 1) Einsformen βi und (s − 1) Einsformen γj . Daher sind die m¨ oglichen Typen, die in dα auftreten k¨onnen, Einschr¨ankungen unterworfen: Insgesamt erh¨ alt man, daß dα Beitr¨age von (k + 1)-Formen mit Typ (r − 1, s + 2), (r, s + 1), (r + 1, s) und (r + 2, s − 1) enthalten kann. F¨ ur eine komplexe Mannigfaltigkeit wird die Situation sehr viel einfacher, da nur 2 der a priori 4 M¨ oglichkeiten tats¨ achlich auftreten. Um dies sehen zu k¨ onnen, ben¨ otigen wir aber noch einige lokale Ausdr¨ ucke in lokalen holomorphen Koordinaten. Sei also (U, z) eine holomorphe Karte einer komplexen Mannigfaltigkeit (M, J). Dann definiert man die lokalen komplexen Vektorfelder     ∂ ∂ 1 ∂ 1 ∂ ∂ ∂ = − i = + i und (3.146) ∂z k 2 ∂xk ∂y k 2 ∂xk ∂y k ∂z k

144

3 Symplektische Geometrie

sowie die lokalen komplexen Einsformen dz k = dxk + idy k

und

dz k = dxk − idy k = dz k ,

(3.147)

wobei z k = xk + iy k die u ¨bliche Zerlegung in Real- und Imagin¨arteil der Koordinatenfunktionen ist. Offenbar ist (3.147) konsistent mit unserer u ¨brigen Notation, da die ¨ außere Ableitung ja -linear fortgesetzt ist und daher dz k beziehungsweise dz k tats¨ achlich die Differentiale der komplexen Koordinatenfunktionen z k beziehungsweise z k sind.



Proposition 3.2.52. Sei (M, J) eine komplexe Mannigfaltigkeit und (U, z) eine lokale holomorphe Karte. i.) Die Vektorfelder und es gilt

∂ ∂z k

und

∂ ∂z k

sind vom Typ (1, 0) beziehungsweise (0, 1) ∂ ∂ = k. ∂z k ∂z

ii.) Es gilt     ∂ ∂ k k k dz = δ = dz ∂z  ∂z 

(3.148) 

 ∂ und dz = 0 = dz . ∂z  (3.149) Damit sind die Vektorfelder ∂z∂k lokale Basisfelder von T U (1,0) und entsprechend sind die ∂z∂ k lokale Basisfelder von T U (0,1) . Die Einsformen dz k beziehungsweise dz k bilden dann die entsprechenden dualen Basisfelder von T∗ U (1,0) und T∗ U (0,1) . iii.) Eine lokale Funktion f ∈ C ∞ (U, ) ist genau dann holomorph in U , wenn k

∂ ∂z 





k



∂ f = 0 f¨ ur alle k = 1, . . . , n. (3.150) ∂z k   (r,s) iv.) Jede k-Form α ∈ Γ∞ Λ T∗ M vom Typ (r, s) mit r + s = k l¨aßt sich als 1 α α U = dz k1 ∧ · · · ∧ dz kr ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dz s (3.151) r!s! k1 ...kr 1 ...s mit eindeutig bestimmten Funktionen αk1 ...kr 1 ...s ∈ C ∞ (U ), antisymmetrisch in k1 , .. . , kr und antisymmetrisch in 1 , . . . , s , darstellen.  (r,s) ∗ ∞ Λ T M wie in (3.151) gilt lokal v.) F¨ ur α ∈ Γ 1 ∂αk1 ...kr 1 ...s k0 dα U = dz ∧ dz k1 ∧ · · · ∧ dz kr ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dz s r!s! ∂z k0 (−1)r ∂αk1 ...kr 1 ...s k1 + dz ∧ · · · ∧ dz kr ∧ dz 0 ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dz s . r!s! ∂z 0 (3.152)   (r+1,s) ∗ (r,s+1) ∗ Damit gilt also insbesondere dα ∈ Γ∞ Λ T  M ⊕ Λ T M .

3.2 Beispiele von symplektischen Mannigfaltigkeiten

145

Beweis. Den ersten Teil erh¨ alt man durch konkretes Nachrechnen, etwa     ∂ ∂ ∂ i ∂ ∂ 1 1 ∂ J J − i + = i k. = = k k k k k ∂z 2 ∂x ∂y 2 ∂y 2 ∂x ∂z und analog f¨ ur ∂z∂ k . Da ∂x∂ k und ∂y∂ k reelle Vektorfelder sind, ist (3.148) offensichtlich. Den zweiten Teil rechnet man ebenfalls elementar nach, beispielsweise     ∂ ∂ ∂ 1 1 1 k k k − i  = δk + 0 + 0 + δk = δk dz = (dx + idy ) ∂z  2 ∂x ∂y 2 2 und analog f¨ ur die u ¨ brigen Kombinationen. Die weiteren Behauptungen folgen dann einfach aus den Gleichungen (3.149). F¨ ur den dritten Teil findet man, daß die Bedingung (3.150), aufgespaltet in Real- und Imagin¨arteil von f , gerade die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen sind. Daher folgt die Behauptung. F¨ ur den vierten Teil verwendet man, daß die dz k und dz  lokale Basisfelder der Einsformen vom Typ (1, 0) beziehungsweise (0, 1) sind. Damit folgt die lokale Darstellung (3.151) sofort. Der f¨ unfte Teil folgt ebenfalls durch eine einfache Rechnung und d2 = 0, wobei die partiellen Ableitungen“ nach ” z k0 beziehungsweise z 0 als Anwendung der Vektorfelder ∂z∂k0 beziehungsweise ∂ zu verstehen sind.   ∂z 0 Die lokale Gestalt von α gem¨ aß (3.151) sowie die von dα nach (3.152) zeigt, daß von den a priori vier m¨ oglichen Beitr¨agen in dα auf einer komplexen Mannigfaltigkeit nur zwei tats¨ achlich auftreten. Dies erlaubt folgende Definition: Definition 3.2.53 (Dolbeault-Operator). Sei (M, J) eine komplexe Mannigfaltigkeit. Die Zerlegung (3.152) liefert eine Zerlegung der ¨außeren Ableitung d in zwei Operatoren (3.153) d = ∂ + ∂, (r+1,s) (r,s+1) wobei ∂ = ⊕∞ ◦ d ◦ π (r,s) und ∂ = ⊕∞ ◦d◦ k=0 ⊕r+s=k π k=0 ⊕r+s=k π (r,s) π . Der Operator ∂ heißt Dolbeault-Operator.

In lokalen holomorphen Koordinaten (U, z) sind ∂α und ∂α gerade durch die beiden Beitr¨ age in (3.152) gegeben, also 1 ∂αk1 ...kr 1 ...s k0 ∂α U = dz ∧ dz k1 ∧ · · · ∧ dz kr ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dz s (3.154) r!s! ∂z k0 und (−1)r ∂αk1 ...kr 1 ...s k1 ∂α U = dz ∧· · · ∧dz kr ∧dz 0 ∧dz 1 ∧· · · ∧dz s . (3.155) r!s! ∂z 0 Satz 3.2.54 (Dolbeault-Komplex). Sei (M, J) eine komplexe Mannigfaltigkeit. Dann gilt

146

3 Symplektische Geometrie

∂α = ∂ α und ∂2 = 0 = ∂

2

sowie

(3.156) ∂∂ = −∂∂.

(3.157)

∞

Eine lokale Funktion f ∈ C (U ) ist in U genau dann holomorph, falls ∂f = 0.

(3.158)

Beweis. Anhand der lokalen Formeln (3.154) und (3.155) ist (3.156) klar. 2 Wegen d2 = 0 folgt auch ∂ 2 +∂ +∂∂ +∂∂ = 0. Da aber aufgrund der direkten Summe (3.143) die Resultate in jeweils verschiedenen disjunkten Teilr¨aumen liegen, muß (3.157) gelten. Aus der lokalen Form (3.150) folgt unmittelbar (3.158).   Nachdem komplexe Mannigfaltigkeiten erkl¨art sind, will man nun nach symplektischen Mannigfaltigkeiten suchen, welche auf eine kompatible Weise auch komplex sind. Hier ist folgende Definition naheliegend: Definition 3.2.55. Sei (M, ω) eine symplektische Mannigfaltigkeit und J eine fast-komplexe Struktur auf M . Dann heißt J kompatibel mit ω, falls g(X, Y ) = ω(X, JY )

(3.159)

mit X, Y ∈ Γ∞ (T M ) eine Riemannsche Metrik g auf M definiert. Satz 3.2.56. Auf jeder symplektischen Mannigfaltigkeit existieren kompatible fast-komplexe Strukturen. Beweis. Nach Satz A.1.7 k¨ onnen wir eine Riemannsche Metrik g auf M ausw¨ ahlen. Dann definiert gp (vp , wp ) = ωp (vp , Ap wp ) einen invertierbaren linearen Endomorphismus Ap ∈ End(Tp M ). Offenbar ist A : p → Ap ein glatter Schnitt A ∈ Γ∞ (End(T M )), da sowohl g als auch ω glatt sind. Dies sieht man in einer lokalen Karte, wo g = 12 gij dxi ∨ dxj und ω = 12 ωij dxi ∧dxj . Dann gilt mit der inversen Matrix ω ij zu ωij die Gleichung Aji = ω jr gri , womit A glatt ist, da sowohl die Koeffizienten gij als auch die Koeffizienten ω ij lokale glatte Funktionen sind. Mit der Polarzerlegung (bez¨ uglich g) von A gilt √ A = J|A|, wobei |A| = AT A die eindeutig bestimmte, positive Wurzel von AT A ist und AT der bez¨ uglich g transponierte Endomorphismus ist. Da die Wurzel eines invertierbaren Endomorphismus wieder glatt und ebenfalls invertierbar ist, sind |A| ∈ Γ∞ (End(T M )) und J ∈ Γ∞ (End(T M )) ebenfalls glatt und invertierbar. Im

3.2 Beispiele von symplektischen Mannigfaltigkeiten

147

√ allgemeinen w¨ are AT A nur stetig, nicht aber glatt. Durch eine punktweise durchgef¨ uhrte Rechnung folgt schließlich, daß J 2 = − id und [A, |A|] = [A, J] = [|A|, J] = 0, siehe Aufgabe 3.5. Daher definiert g˜(X, Y ) = g(|A|−1/2 X, |A|−1/2 Y ) = ω(X, JY ) eine neue, glatte Riemannsche Metrik g˜ sowie eine fast-komplexe Struktur J, so daß J kompatibel mit ω wird.   In der Tat zeigt der obige Beweis sogar mehr, da ja |A| und J = A|A|−1 glatt von A abhingen. Dies l¨ aßt sich folgendermaßen nutzen: Satz 3.2.57. Sei (M, ω) eine symplektische Mannigfaltigkeit. Sei gt eine glatte Kurve von Riemannschen Metriken (Im offensichtlichen Sinne, also g : I × M −→ T M sei glatt mit π ◦ g = pr2 und gt = g(t, ·) sei eine Riemannsche Metrik f¨ ur alle t ∈ I). Dann liefert die obige Konstruktion eine glatte Kurve Jt von kompatiblen fast-komplexen Strukturen auf M . Sind umgekehrt zwei fast-komplexe Strukturen J0 und J1 auf M vorgegeben, dann lassen sie sich durch eine auf [0, 1] stetige und in (0, 1) glatte Kurve Jt von kompatiblen fast-komplexen Strukturen verbinden. Beweis. Da die Abbildung At mit gt (X, Y ) = ω(X, At Y ) glatt von t abh¨angt, gilt dies auch f¨ ur |At | und Jt = At |At |−1 . Dies zeigt die erste Aussage. Sind umgekehrt J0 und J1 vorgegeben und sind g0 und g1 die zugeh¨origen Riemannschen Metriken, so ist auch gt = tg1 + (1 − t)g0 eine Riemannsche Metrik (warum?), die offenbar glatt von t ∈ (0, 1) und stetig von t ∈ [0, 1] abh¨angt. Auf diese Kurve wendet man den ersten Teil nun an.   Es folgt insbesondere, daß der Raum aller kompatiblen fast-komplexen Strukturen nicht nur weg-zusammenh¨ angend sondern sogar kontrahierbar ist, da dies f¨ ur den Raum aller Riemannschen Metriken gilt. Bemerkung 3.2.58. Ist J kompatibel mit ω, so folgt durch eine einfache Rechnung ω(JX, JY ) = ω(X, Y ) (3.160) g(JX, JY ) = g(X, Y )

(3.161)

ω(JX, Y ) = −ω(X, JY )

(3.162)

g(JX, Y ) = −g(X, JY )

(3.163)

Auch wenn es immer eine kompatible fast-komplexe Struktur J auf (M, ω) gibt, ist diese im allgemeinen nicht integrabel. Man kann sogar symplektische Mannigfaltigkeiten konstruieren, f¨ ur die es keine integrable kompatible fastkomplexe Struktur J gibt, siehe beispielsweise die Diskussion in [317, Sect. 2]. Dies motiviert nun die Definition einer K¨ahler-Mannigfaltigkeit :

148

3 Symplektische Geometrie

Definition 3.2.59 (K¨ ahler-Mannigfaltigkeit). Eine K¨ahler-Mannigfaltigkeit (M, ω, J, g) ist eine symplektische Mannigfaltigkeit (M, ω) mit integrabler kompatibler fast-komplexer Struktur J und zugeh¨origer Riemannscher Metrik g. Bemerkung 3.2.60. Nach dem Newlander-Nirenberg-Theorem 3.2.47 ist M mittels J also insbesondere eine komplexe Mannigfaltigkeit. Damit stehen die durchaus sehr m¨ achtigen Werkzeuge der komplexen Differentialgeometrie zur Verf¨ ugung. Insbesondere k¨ onnen wir von holomorphen Karten Gebrauch machen. Gleichzeit k¨ onnen wir aber auch die Resultate der Riemannschen Geometrie zum Einsatz bringen, da (M, g) auch eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist. Damit ist insbesondere mit dem Levi-Civita-Zusammenhang, siehe Aufgabe 3.7, bez¨ uglich g ein Zusammenhang ∇ ausgezeichnet, den man auf einer K¨ ahler-Mannigfaltigkeit dann den K¨ahler-Zusammenhang nennt, siehe Aufgabe 3.14. Die K¨ ahler-Geometrie befindet sich also im Schnittpunkt dreier differentialgeometrischer Disziplinen, der komplexen Differentialgeometrie, der symplektischen Geometrie und der Riemannschen Geometrie. Beispiel 3.2.61 (K¨ahler-Mannigfaltigkeiten).



uglich der kanonischen symplektischen i.) Jede offene Teilmenge in n ist bez¨ Form ω0 auf n ∼ = 2n und der kanonischen (fast-) komplexen Struktur ahler-Mannigfaltigkeit. Es gilt J0 eine K¨       ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , , , g0 = δij , g0 = 0, und g0 = δ ij , ∂q i ∂q j ∂q i ∂pj ∂pi ∂pj (3.164) womit die zugeh¨ orige K¨ ahler-Metrik g0 also gerade die u bliche Euklidische ¨ (flache) Metrik auf 2n ist. In diesem Fall sind die kanonischen DarbouxKoordinaten auch orthonormale Koordinaten und gleichzeitig die Realund Imagin¨ arteile der kanonischen holomorphen Koordinaten. Im allgemeinen ist dies jedoch keineswegs zu erreichen. ii.) Die 2-Sph¨ are 2 mit der komplexen Struktur aus der stereographischen Projektion und der kanonischen Volumenform als symplektische Form ist eine kompakte K¨ ahler-Mannigfaltigkeit, siehe Aufgabe 2.2 und 3.12. n als kompakte Ebenso erweisen sich die komplex-projektiven R¨aume K¨ ahler-Mannigfaltigkeiten, siehe auch Aufgabe 3.28. iii.) Allgemeiner ist jede zweidimensionale symplektische Mannigfaltigkeit eine K¨ ahler-Mannigfaltigkeit, siehe Aufgabe 5.11.







Da eine K¨ ahler-Mannigfaltigkeit (M, ω, J, g) insbesondere eine komplexe Mannigfaltigkeit ist, besitzt M einen holomorphen Atlas. Von diesen holomorphen Koordinaten k¨ onnen wir also Gebrauch machen, um einige lokale Ausdr¨ ucke f¨ ur ω und g zu finden. Es zeigt sich, daß hier die holomorphen Koordinaten f¨ ur bestimmte Probleme sehr viel n¨ utzlicher sind als DarbouxKoordinaten. Zun¨ achst erweitert man ω und g aber, wie schon erw¨ahnt, auf

3.2 Beispiele von symplektischen Mannigfaltigkeiten

149

-bilineare Weise auf das komplexifizierte Tangentenb¨undel. Daher faßt man ω und g als reelle Schnitte

 ω = ω ∈ Γ∞ Λ2 T∗ M ,

 g = g ∈ Γ∞ S2 T∗ M

(3.165)

in den komplexifizierten B¨ undeln auf. Satz 3.2.62. Sei (M, ω, J, g) eine K¨ahler-Mannigfaltigkeit und (U, z) eine lokale holomorphe Karte von M . i.) Lokal gilt i ω U = ωk dz k ∧ dz  2

und

1 g U = ωk dz k ∨ dz  2

(3.166)

mit lokalen Funktionen ωk ∈ C ∞ (U ), wobei die Matrix (ωk ) Hermitesch, also ωk = ωk , und invertierbar ist. ii.) Die symplektische Form ω ist vom Typ (1, 1) und erf¨ ullt ∂ω = 0 = ∂ω.

(3.167)

k iii.) Bezeichnet (ω k ) die zu (ωk ) inverse Matrix (mit ω k ωm = δm und entk  sprechend ω ωkm = δm ), so gilt   ∂f ∂ 2 ∂f ∂ − Xf = ω k (3.168) i ∂z k ∂z  U ∂z  ∂z k

  2 k ∂f ∂g ∂f ∂g −  k . {f, g} = ω i ∂z k ∂z  U ∂z ∂z

und

(3.169)

Es gilt also insbesondere {z k , z  } = 0 = {zk , z  } und {z k , z  } = 2i ω k . Beweis. Lokal bilden die {dz k , dz  }k,=1,...,n und die { ∂z∂k , ∂z∂  }k,=1,...,n zueinander duale Basisvektorfelder von Einsformen beziehungsweise Vektorfeldern. Daher kann man alle Tensorfelder bez¨ uglich dieser Basen darstellen, und es verbleibt die Aufgabe, die entsprechenden Koeffizienten zu finden. ad i.) Jede Zweiform ω l¨ aßt sich als ω=

i i i ωk dz k ∧ dz  + ωk dz k ∧ dz  + ωk  dz k ∧ dz  2 2 2

(∗)

schreiben. Da die Vektorfelder ∂z∂k vom Typ (1, 0) sind, gilt mit (3.160)          ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ω , , = −ω J , J = −ω = 0. ∂z k ∂z  ∂z k ∂z  ∂z k ∂z  Analog zeigt man, daß ω auf zwei Vektorfeldern vom Typ (0, 1) verschwindet. Daher verbleiben von den m¨ oglichen Koeffizienten in (∗) nur die ωk ,

150

3 Symplektische Geometrie

womit Gleichung (3.166) f¨ ur ω gezeigt ist. Da ω = ω reell ist und die komplexe Konjugation mit der nat¨ urlichen Paarung (3.135) vertr¨aglich ist, folgt aus (3.148), daß die Koeffizienten ωk tats¨ achlich eine Hermitesche Matrix bilden. Die Nichtausgeartetheit von ω ist dann gleichbedeutend mit der Invertierbarkeit der Matrix (ωk ). Mit derselben Argumentation findet man, daß auch g auf zwei Vektorfeldern vom Typ (1, 0) beziehungsweise auf zwei Vektorfeldern vom Typ (0, 1) verschwindet, indem man (3.161) verwendet. F¨ ur den verbleibenden Beitrag gilt        ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 1 i gk = g ,  =ω ,J ,  = −i ωk , = −iω  k k k 2 ∂z ∂z ∂z ∂z ∂z 2 ∂z womit in der Tat gk = ωk folgt und der erste Teil bewiesen ist. ad ii.) Nach der lokalen Form ist ω offensichtlich vom Typ (1, 1). Daher ist ∂ω eine 3-Form vom Typ (2, 1) und ∂ω ist eine 3-Form vom Typ (1, 2). Da aber d = ∂ + ∂ und dω = 0, folgt ∂ω = 0 = ∂ω, da die Summe in (3.143) direkt ist. ad iii.) Lokal gilt f¨ ur eine Funktion ∂f k ∂f dz +  dz  df = k ∂z U ∂z und entsprechend f¨ ur ihr Hamiltonsches Vektorfeld ∂ ∂ Xf = Xfk k + Xf  . ∂z U ∂z Einsetzen von Xf in ω liefert nach einem einfachen Koeffizientenvergleich mit df die lokale Darstellung (3.168). Die Gleichung f¨ ur die Poisson-Klammer   {f, g} = df (Xg ) folgt damit unmittelbar. Der K¨ ahler-Zusammenhang als Levi-Civita-Zusammenhang der K¨ahlerMetrik erh¨ alt nicht nur diese sondern auch die symplektische K¨ahler-Form und die komplexe Struktur. Dar¨ uber hinaus verschwinden viele der ChristoffelSymbole in holomorphen Koordinaten: Satz 3.2.63 (K¨ ahler-Zusammenhang). Sei (M, ω, J, g) eine K¨ahler-Mannigfaltigkeit und ∇ der K¨ahler-Zusammenhang. Sei weiter (U, z) eine lokale holomorphe Karte. i.) Es gilt ∇ω = 0

und

∇J = 0.

(3.170)

ii.) F¨ ur die komplexen Christoffel-Symbole des K¨ahler-Zusammenhangs bez¨ uglich der holomorphen Koordinaten gilt ∂ωkt m = ωmt Γk ∂z 

und

∂ωkt = ωkm Γmt , ∂z 

und alle anderen Kombinationen verschwinden.

(3.171)

3.3 Impulsabbildungen und Phasenraumreduktion

151

iii.) Die einzigen nichtverschwindenden Komponenten des Kr¨ ummungstensors sind durch     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ n n R , = R und R , m = Rmk   k m n k mk ∂z ∂z ∂z ∂z ∂z ∂z ∂z ∂z n (3.172) n n gegeben und es gilt Rmk = −Rmk . Beweis. Hier ist ∇ wie immer auf alle Tensorb¨ undel fortgesetzt. Der Beweis ist Gegenstand der Aufgaben 3.13 und 3.14.  





Beispiel 3.2.64. Sei M = n (oder eine offene Teilmenge in n ) mit kanonischer symplektischer Struktur ω0 und komplexer Struktur J0 und entsprechender kanonischer Euklidischer Riemannscher Metrik g0 wie in Beispiel 3.2.61. Dann gelten folgende Formeln, siehe auch Aufgabe 3.6, i k dz ∧ dz k 2 n

ω0 =

1 k dz ∨ dz k , 2 n

und

k=1

g0 =

 ∂f ∂ ∂f ∂ − , ∂z k ∂z k ∂z k ∂z k k=1  n  2  ∂f ∂g ∂f ∂g {f, g} = − , i ∂z k ∂z k ∂z k ∂z k k=1 2 i n

Xf =

(3.173)

k=1



(3.174)

(3.175)

2 k (3.176) δ . i Da der K¨ ahler-Zusammenhang gerade die flache kovariante Ableitung auf n ist, verschwinden alle Christoffel-Symbole sowie der Kr¨ ummungstensor. Die Vertauschungsrelationen (3.176) k¨ onnen als klassisches Analogon zu den Vertauschungsrelationen der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren in der Quantenmechanik angesehen werden. Damit werden K¨ahler-Mannigfaltigkeiten also diejenigen Phasenr¨ aume, auf denen man auf geometrische Weise ¨ von Erzeugern und Vernichtern sprechen kann. Dies wird beim Ubergang zur Quantentheorie eine zus¨ atzliche und sehr n¨ utzliche Eigenschaft darstellen. {z k , z  } = 0 = {zk , z  }

und {z k , z  } =



3.3 Impulsabbildungen und Phasenraumreduktion Symmetrien sind in der Physik von fundamentaler Bedeutung, nicht nur deshalb, weil sie uns erlauben, konkrete Beispiele faktisch auch zu l¨osen, sondern auch, weil sie in vielen Bereichen der Physik schlichtweg die Grundlage der Theoriebildung darstellen. Um im Rahmen der klassischen Mechanik den Symmetriebegriff genauer fassen zu k¨ onnen, ben¨otigt man den Begriff der LieGruppe und der Gruppenwirkung, welcher weit u ¨ ber die Mechanik hinaus fundamentale Bedeutung in der mathematischen Physik besitzt. Darauf aufbauend l¨ aßt sich dann die infinitesimale Version einer Gruppenwirkung definieren,

152

3 Symplektische Geometrie

mit deren Hilfe das Noether-Theorem in seiner Hamiltonschen Form formuliert wird. Systematisches Eliminieren von Freiheitsgraden kann man durch Ausnutzen von Erhaltungsgr¨ oßen erreichen, was auf die Marsden-WeinsteinReduktion und ihre vielen Varianten f¨ uhren wird. Die wesentlichen Referenzen f¨ ur diesen Abschnitt sind beispielsweise in den B¨ uchern [1,87,108,231,259] zu ¨ finden. Eine sch¨one historische Ubersicht bietet [232]. 3.3.1 Lie-Gruppen und Gruppenwirkungen In diesem Abschnitt werden wir die Anf¨ ange der Theorie der Lie-Gruppen und ihrer Wirkungen vorstellen. Ein großer Teil der Beweise ist Gegenstand der Aufgaben, insbesondere der Aufgaben 3.17, 3.18, 3.19, 3.20, 3.21 sowie 3.23, 3.24 und 3.26. F¨ ur die u ¨ brigen Beweise von anderen S¨atzen muß auf die Literatur verwiesen werden. Als weiterf¨ uhrende Literatur zur Theorie der Lie-Gruppen und ihrer Gruppenwirkungen seien vor allem [1, 108, 163, 166, 231, 235, 289, 316] genannt. Definition 3.3.1 (Lie-Gruppe). Eine Lie-Gruppe G ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer Gruppenstruktur, so daß die Gruppenmultiplikation μ : G × G −→ G (3.177) und die Inversenabbildung glatt sind. Mit g : G  h → gh ∈ G

und

rg : G  h → hg ∈ G

(3.178)

werden die Diffeomorphismen der Links- und Rechtsmultiplikationen mit festen Gruppenelementen g ∈ G bezeichnet. Ein Vektorfeld X ∈ Γ∞ (T G) heißt linksinvariant, falls ∗g X = X (3.179) f¨ ur alle g ∈ G gilt. Das Einselement von G wird mit e bezeichnet. Man kann mit dem Satz von der Umkehrfunktion zeigen, daß bei glatter Multiplikation μ die Inversenabbildung notwendigerweise selbst auch glatt ist, siehe beispielsweise [235, Cor. 4.3]. Satz 3.3.2. Sei G eine Lie-Gruppe der Dimension n. i.) F¨ ur jeden Tangentialvektor ξ ∈ Te G existiert genau ein linksinvariantes Vektorfeld X ξ ∈ Γ∞ (T G) mit X ξ (e) = ξ

n¨amlich

X ξ (g) = Te g (ξ).

(3.180)

Die Abbildung ξ → X ist linear. ii.) Die Lie-Klammer zweier linksinvarianter Vektorfelder ist wieder linksinvariant. Damit wird durch   ur ξ, η ∈ Te G [ξ, η] = X ξ , X η (e) f¨ (3.181) ξ

eine Lie-Algebrastruktur auf Te G induziert. Man nennt g = (Te G, [·, ·]) die Lie-Algebra der Lie-Gruppe G.

3.3 Impulsabbildungen und Phasenraumreduktion

153

iii.) Jedes linksinvariante Vektorfeld X ξ hat einen vollst¨andigen Fluß Φξt und ur alle g ∈ G und t ∈ . es gilt Φξt ◦ g = g ◦ Φξt f¨ iv.) F¨ ur jedes ξ ∈ g ist die Kurve t → exp(tξ) = Φξt (e) = Φtξ 1 (e)

(3.182)

eine glatte Einparameteruntergruppe in G. Es gilt also exp(tξ) exp(sξ) = exp((t + s)ξ) f¨ ur t, s ∈

und

exp(0) = e

(3.183)

und ξ ∈ g. Weiter gilt d exp(tξ) = ξ, dt t=0

(3.184)

und jede glatte Einparameteruntergruppe in G ist von dieser Form. v.) Die Exponentialabbildung exp : g  ξ → exp(ξ) ∈ G

(3.185)

ist glatt und erf¨ ullt T0 exp = idg . Daher gibt es eine offene Umgebung U ⊆ g von 0 und eine offene Umgebung V ⊆ G von e, so daß exp U : U −→ V ⊆ G (3.186) ein Diffeomorphismus ist. Beweis. Der Beweis findet sich in jedem Lehrbuch u ¨ber Lie-Gruppen und wird in Aufgabe 3.17 besprochen.   Bemerkung 3.3.3 (Lie-Gruppen).





i.) Alle g¨ angigen Matrixgruppen wie GLn ( ), GLn ( ), SLn ( ), SLn ( ), SO(n, m), U(n), SU(n), Sp2n ( ) sind Lie-Gruppen bez¨ uglich ihrer Untermannigfaltigkeitsstruktur als Untermannigfaltigkeiten von GLN ( ), mit N passend gew¨ ahlt. Ihre Lie-Algebren sind die entsprechenden LieUnteralgebren gln ( ), gln ( ), sln ( ), sln ( ), so(n, m), u(n), su(n), sp2n ( ) von glN ( ) bez¨ uglich des Kommutators als Lie-Klammer. Die Exponentialabbildung ist dabei immer die u ¨ bliche exp-Funktion von Matrizen, siehe Aufgaben 3.18, 3.19 und 3.20. ii.) Im allgemeinen ist die Exponentialabbildung exp : g −→ G weder injektiv noch surjektiv. Es gilt jedoch, daß Elemente der Form exp(ξ) die Zusammenhangskomponente des Einselements multiplikativ erzeugen. Die Exponentialabbildung liefert auch den Fluß der linksinvarianten Vektorfelder: Der Fluß zu X ξ ist durch die Rechtsmultiplikation rexp(tξ) mit exp(tξ) gegeben, was man direkt aus dem dritten Teil des Satzes erh¨alt. iii.) Jede zusammenh¨ angende abelsche Lie-Gruppe ist von der Form G ∼ = k × n−k , wobei die Gruppenmultiplikation durch Addition in k und Multiplikation der komplexen Phasen eiϕ in = 1 ⊆ gegeben ist.







 



154

3 Symplektische Geometrie

iv.) Analog zu den linksinvarianten Vektorfeldern lassen sich beliebige linksinvariante Tensorfelder konstruieren. Diese sind eindeutig durch ihren Wert bei e ∈ G bestimmt und k¨ onnen nach Vorgabe dieses Wertes durch Links” translation“ desselben global gewonnen werden. Von besonderem Interesse werden linksinvariante Einsformen und Volumenformen sein. Ebenso gibt es nach Wahl eines Skalarprodukts auf g immer eine linksinvariante Riemannsche Metrik auf G, siehe auch Abbildung 3.2. v.) Ist e1 , . . . , en ∈ g eine Basis von g, so sind die linksinvarianten Vektorfelder X1 = X e1 , . . . , Xn = X en an jedem Punkt g ∈ G linear unabh¨angig. Ist weiter e1 , . . . , en ∈ g∗ = Te∗ G die duale Basis, so sind die linksinvarianten Einsformen θ1 , . . . , θn mit θk (e) = ek an jedem Punkt g ∈ G linear unabh¨ angig und {X1 (g), . . . , Xn (g)}

und {θ1 (g), . . . , θn (g)}

(3.187)

ur alle g ∈ G. Damit bilden zueinander duale Basen von Tg G und Tg∗ G f¨ kann jeder Tangentialvektor vg ∈ Tg G als vg = v i Xi (g) mit v i = θi g (vg ) ∈ (3.188) geschrieben werden, was eine globale Vektorb¨ undelkarte f¨ ur T G liefert T G  vg → (g, v i ei ) ∈ G × g.

(3.189)

TG ∼ = G × g und genauso T ∗ G ∼ = G × g∗ .

(3.190)

Es gilt daher

Damit sind die Vektorb¨ undel T G und T ∗ G triviale Vektorb¨ undel, ebenso alle h¨ oheren Tensorb¨ undel. Insbesondere ist (3.189) nicht von der Wahl der Basis in g abh¨ angig sondern kanonisch, siehe auch Aufgabe 3.26.

Te l g ξ

G

Te G

e

lg

X ξ (g) g Tg G

Abb. 3.2. Linkstranslationen und linksinvariante Vektorfelder

3.3 Impulsabbildungen und Phasenraumreduktion

155

Definition 3.3.4 (Lie-Gruppenmorphismus). Ein Morphismus von LieGruppen ist ein glatter Gruppenmorphismus φ : H −→ G.

(3.191)

Dies definiert die Kategorie der Lie-Gruppen. Satz 3.3.5. Seien G und H Lie-Gruppen und sei φ : H −→ G ein glatter Gruppenmorphismus. i.) Es gilt φ ◦ expH = expG ◦ Te φ.

(3.192)

Te φ : h −→ g

(3.193)

ii.) Die Abbildung ist ein Homomorphismus von Lie-Algebren. iii.) Die Zuordnung G → g und (φ : H −→ G) → (Te φ : h −→ g) liefert einen kovarianten Funktor von der Kategorie der Lie-Gruppen in die Kategorie der endlichdimensionalen reellen Lie-Algebren.  

Beweis. Der Beweis ist Gegenstand der Aufgabe 3.20.

Bemerkung 3.3.6 (Lies III. Theorem). Ein nichttrivialer Satz (Lies III. Theorem) besagt, daß jede endlichdimensionale reelle Lie-Algebra g tats¨achlich die Lie-Algebra einer bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten, zusammenh¨angenden und einfach-zusammenh¨ angenden Lie-Gruppe G ist, siehe beispielsweise [108, Sect. 1.14] f¨ ur einen neuen Zugang zu dieser Aussage. Es sei hier daran erinnert, daß ein topologischer Raum M einfach-zusammenh¨angend genannt wird, wenn sich jede geschlossene stetige Kurve in M auf stetige Weise zu einem Punkt zusammenziehen l¨ aßt. Sei M eine Menge. Eine Symmetrie“ von M mit Symmetriegruppe“ G ” ” zu haben, bedeutet, daß die Gruppe G auf der Menge M wirkt“. F¨ ur Man” nigfaltigkeiten und Lie-Gruppen wird diese naive Vorstellung durch folgende Begriffsbildung genauer gefaßt: Definition 3.3.7 (Gruppenwirkung). Sei M eine Mannigfaltigkeit und G eine Lie-Gruppe. Eine Linkswirkung (Wirkung von links) von G auf M ist eine glatte Abbildung Φ : G × M −→ M (3.194) mit Φ(e, p) = p

und

Φ(g, Φ(h, p)) = Φ(gh, p)

(3.195)

f¨ ur alle g, h ∈ G und p ∈ M . Analog definiert man eine Rechtswirkung.

156

3 Symplektische Geometrie

Fixiert man das Gruppenelement g in (3.194), so schreibt man auch Φg : M  p → Φg (p) = Φ(g, p) ∈ M.

(3.196)

Insbesondere ist die Abbildung Φg ein Diffeomorphismus mit Inversem Φ−1 g = Φg−1 und es gilt Φe = idM und Φg ◦ Φh = Φgh . (3.197) Manchmal schreibt man auch einfach g · p = Φg (p),

(3.198)

wenn klar ist, um welche G-Wirkung es sich handelt. Analog bezeichnet man mit Φp : G  g → Φp (g) = Φ(g, p) ∈ M (3.199) die Abbildung, wo in (3.194) der Punkt p ∈ M fixiert ist. Offenbar ist Φp ebenfalls eine glatte Abbildung. Die folgenden Begriffe dienen nun dazu, eine Gruppenwirkung n¨ aher zu charakterisieren: Definition 3.3.8. Sei Φ : G × M −→ M eine G-Wirkung. i.) Die Bahn (Orbit) durch p ∈ M ist als G · p = {Φg (p) ∈ M | g ∈ G} = Φp (G) ⊆ M

(3.200)

definiert. ii.) Die Isotropiegruppe (Standgruppe, Stabilisatorgruppe) von p ∈ M ist durch Gp = {g ∈ G | Φg (p) = p} = Φ−1 p ({p})

(3.201)

definiert. iii.) Die Wirkung heißt transitiv, falls es nur eine Bahn gibt, also G · p = M . Die Wirkung heißt effektiv (treu), falls Φg = idM nur f¨ ur g = e. Die Wirkung heißt frei, falls Gp = {e} f¨ ur alle p ∈ M , also kein Φg außer Φe einen Fixpunkt hat. Von besonderem Interesse, nicht nur in der Quantenmechanik, sind die Wirkungen einer Gruppe auf einem Vektorraum, welche zudem mit der linearen Struktur vertr¨ aglich sind: Definition 3.3.9 (Lie-Gruppendarstellung). Sei V ein (reeller, endlichdimensionaler) Vektorraum. Eine (glatte) Darstellung von G auf V ist eine (glatte) G-Wirkung Φ auf V , so daß alle Φg : V −→ V lineare Abbildungen sind. Bemerkung 3.3.10. F¨ ur Lie-Gruppen und ihre Wirkungen gen¨ ugt es oft, eine geringere Differenzierbarkeit als C ∞ zu fordern. Es folgt aus C 2 gleich C ∞ oder sogar C ω , siehe beispielsweise die Diskussion in [108, 235, 316].

3.3 Impulsabbildungen und Phasenraumreduktion

157

Beispiel 3.3.11 (Gruppenwirkungen und Bahnen). Wir betrachten die LieGruppe 1 , welche wir durch Rotation um die z-Achse auf der 2-Sph¨are 2 wirken lassen. Die Bahnen dieser glatten Wirkung sind zum einen der Nordund der S¨ udpol, zum anderen die Breitenkreise, siehe auch Abbildung 3.3. Hier gibt es also zwei Typen von Bahnen, die Fixpunkte N und S, sowie die Breitenkreise. Ein etwas komplizierteres Beispiel erh¨alt man auf dem Torus 2 , welchen man am einfachsten durch Paare von komplexen Phasen (eiϕ1 , eiϕ2 ) beschreibt. Durch die Vorschrift







×

2  (t, (eiϕ , eiϕ )) 1

2

→ (ei(ϕ1 +t) , ei(ϕ2 +αt) )

(3.202)

erh¨ alt man f¨ ur jedes α ∈ eine glatte -Wirkung. Ist nun α irrational, so liegt jede Bahn dicht in 2 , siehe Abbildung 3.4.



Um eine G-Wirkung Φ : G × M −→ M zu verstehen, muß man offenbar zum einen verstehen, welche Bahnen G · p ⊆ M auftreten, und zum anderen, wie die Gruppe auf den Bahnen wirkt. Nach Definition einer Bahn G · p ist die eingeschr¨ ankte G-Wirkung auf G · p transitiv. Daher beschreibt man die Wirkung auf der Bahn durch Angabe der Isotropiegruppe Gp . Die Struktur

N

S S

2

S

1

2

S Abb. 3.3. Bahnen in der 2-Sph¨ are bez¨ uglich der Drehungen um die z-Achse und der zugeh¨ orige Bahnenraum

T

2

...

...

Abb. 3.4. F¨ ur irrationale Steigung“ wickeln sich die Bahnen dicht um den Torus ”

158

3 Symplektische Geometrie

des Bahnenraums beschreibt man dadurch, daß man alle Punkte einer Bahn identifiziert. Man definiert also p ∼ p

falls

p = Φg (p),

f¨ ur ein g ∈ G,

(3.203)

  ¨ aquivalent ist. Die Menge der Aquivalenzklassen was

zu p ∈ G·p oder p ∈ G·p ¨ M ∼ wird mit M G bezeichnet und auch Quotientenraum M modulo G ¨ genannt. Die Projektion auf die Aquivalenzklassen wird mit

π : M −→ M G (3.204)

bezeichnet. Der Quotientenraum M G wird auf kanonische Weise zu einem

topologischen Raum, mittels der Quotiententopologie: Man erkl¨art U ⊆ M G f¨ ur offen, falls π −1 (U ) ⊆ M offen ist. Dies ist die feinste Topologie f¨ ur M G, so daß π stetig ist. Soweit die gute Nachricht. Das Komplizierte an der Quotiententopologie ist, daß viele sch¨one Eigen schaften, die M besitzt, f¨ u r M G verloren gehen k¨onnen. Im allgemeinen ist

M G beispielsweise nicht einmal Hausdorffsch, wie etwa f¨ ur die -Wirkung auf dem Torus aus Beispiel 3.3.11. Selbst wenn M G Hausdorffsch ist, ist

keineswegs klar, daß M G selbst wieder eine Mannigfaltigkeit ist und daß π eine glatte (m¨ oglichst submersive) Abbildung ist. Als Beispiel betrachte man erneut die 1 -Wirkung auf 2 , deren Quotientenraum topologisch zum abgeschlossenen Intervall [0, 1] hom¨ oomorph und damit keine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist, siehe Abbildung 3.3. Wir m¨ ussen also weitergehende Annahmen an die Wirkung stellen, um einen guten“ Quotienten zu erhalten. ” Zun¨ achst betrachten wir nur die Gruppe G selbst und Untergruppen in G. Hierf¨ ur ben¨ otigen wir folgenden Satz, der auch von unabh¨angigem Interesse ist.





Satz 3.3.12 (Abgeschlossene Untergruppe). Sei H ⊆ G eine algebraische Untergruppe einer Lie-Gruppe G. Ist H = H cl topologisch abgeschlossen in G, so ist H eine Untermannigfaltigkeit von G und damit insbesondere eine Lie-Gruppe. Beweis (nach [235, Thm. 5.5]). Als Kandidaten f¨ ur die Lie-Algebra h von H definiert man folgende Teilmenge h = {γ(0) ˙ |γ:

−→ H ⊆ G, γ(0) = e} ⊆ g

der Lie-Algebra g von G, also gerade die Tangentialvektoren bei e an Kurven durch e, die ganz in H verlaufen. Das erste Ziel ist es, zu zeigen, daß h ein Untervektorraum von g ist. Dazu ben¨ otigen wir folgendes Lemma: Lemma 3.3.13. Seien g, h ∈ G und vg ∈ Tg G, wh ∈ Th G. Dann gilt T(g,h) μ(vg , wh ) = Tg rh (vg ) + Th g (wh ).

(3.205)

3.3 Impulsabbildungen und Phasenraumreduktion

159

Beweis. Mit irg , ig : G −→ G × G werden die Rechts- und Linkseinsetzungen irg (h) = (g, h) und ig (h) = (h, g) bezeichnet. Dann gilt (vg , wh ) = Tg ih (vg ) + Th irg (wh ). Da weiter μ ◦ ih (g) = gh = rh (g) und μ ◦ ig (h) = gh = g (h) gilt, folgt

 T(g,h) μ(vg , wh ) = T(g,h) μ ◦ Tg ih (vg ) + Th irg (wh ) = Tg (μ ◦ ih )(vg ) + Th (μ ◦ irg )(wh ) = Tg rh (vg ) + Th g (wh ).  Seien nun γ1 , γ2 : −→ G mit γi (t) ∈ H und γi (0) = e, sowie t1 , t2 ∈ vorgegeben. Dann gilt f¨ ur alle t ∈ , daß γ(t) = γ1 (tt1 )γ2 (tt2 ) ∈ H und γ(0) = e, da ja H als Untergruppe vorausgesetzt ist. Es gilt d (γ1 (tt1 )γ2 (tt2 )) dt t=0 d = μ (γ1 (tt1 ), γ2 (tt2 )) dt t=0   d d = T(e,e) μ γ (tt ), γ (tt ) 1 1 2 2 dt t=0 dt t=0

γ(0) ˙ =

= T(e,e) μ (t1 γ˙ 1 (0), t2 γ˙ 2 (0)) = Te re (t1 γ˙ 1 (0)) + Te e (t2 γ˙ 2 (0)) = t1 γ˙ 1 (0) + t2 γ˙ 2 (0), da re = idG = e . Damit folgt aber t1 γ˙ 1 (0)+t2 γ˙ 2 (0) = γ(0) ˙ ∈ h, womit gezeigt ist, daß h ein Untervektorraum von g ist. Als n¨achstes zeigen wir, daß h = {ξ ∈ g | exp(tξ) ∈ H f¨ ur alle t ∈

},

(∗)

wobei offenbar ⊇“ gilt. Sei also ξ = γ(0) ˙ ∈ h mit γ(t) ∈ H und sei ” η(t) = exp−1 (γ(t)) ∈ g, was zumindest f¨ ur kleine t wohl-definiert ist, da exp ein lokaler Diffeomorphismus ist und γ(0) = e. Dann gilt ξ=

d d γ(t) exp(η(t)) = = T0 exp(η(0)) ˙ = η(0), ˙ dt dt t=0 t=0

da T0 exp = idg . Demnach ist η( n1 ) zumindest f¨ ur große n ∈ und es gilt   1 η(0) ˙ = lim nη . n→∞ n Dann gilt mit tn =

1 n

und ξn = nη( n1 )

 wohl-definiert

160

3 Symplektische Geometrie

ξn −→ η(0) ˙ =ξ

und

     1 1 exp(tn ξn ) = exp η =γ ∈ H, n n

zumindest f¨ ur diejenigen großen n, so daß γ( n1 ) in der Exponentialkarte liegt. Sei nun t ∈ vorgegeben und mn ∈ , so daß mn tn −→ t, also beispielsweise mn ∈ ( ttn − 1, ttn ] ∩ . Damit gilt auch mn tn ξn −→ tξ und daher mit der Stetigkeit der exp-Abbildung





exp(tξ) = lim exp(mn tn ξn ) = lim (exp(tn ξn ))mn , n→∞

n→∞

da exp eine Einparametergruppe liefert und mn ganzzahlig gew¨ahlt ist. Nun ist aber exp(tn ξn ) = γ( n1 ) ∈ H und H ist eine Untergruppe. Daher ist auch exp(tn ξn )mn ∈ H. Da H aber zudem abgeschlossen ist, folgt, daß der Grenzwert der Folge exp(tn ξn )mn ebenfalls in H liegt. Damit ist also exp(tξ) ∈ H und (∗) ist gezeigt. Wir betrachten nun einen zu h komplement¨aren Unterraum k ⊆ g, so daß also k ⊕ h = g. Dann gibt es eine offene Umgebung W ⊆ k von 0 mit der Eigenschaft exp(W ) ∩ H = {e}. (∗∗) Um dies zu zeigen, nehmen wir an, (∗∗) sei falsch. Dann gibt es eine Folge ur alle n ∈ . Sei nun · 0 = ηn ∈ k mit ηn −→ 0, so daß exp(ηn ) ∈ H f¨ eine Norm auf g (welche ist egal, da alle Normen sowieso ¨aquivalent sind). Sei weiter ηn ∈ k, ξn = ηn 



womit also ξn  = 1. Daher gibt es in der kompakten Sph¨are mit Radius 1 bez¨ uglich der Norm · in g einen H¨ aufungspunkt ξ von ξn , so daß eine Teilfolge von ξn gegen ξ konvergiert. Wir denken uns diese Teilfolge bereits ausgew¨ ahlt, so daß also ξn −→ ξ. Da aber ξn ∈ k und k ⊆ g als Untervektorraum abgeschlossen ist, folgt ξ ∈ k. Nun gilt aber exp(ηn  ξn ) = exp(ηn ) ∈ H, und ηn  −→ 0, so daß mit dem selben Argument wie zum Beweis von (∗) folgt, daß auch exp(tξ) ∈ H f¨ ur alle t ∈ und damit ξ ∈ h nach (∗). Da aber k ∩ h = {0} folgt ξ = 0, womit ein Widerspruch zu ξ = 1 erreicht ist. Daher folgt (∗∗). Wir verwenden die Aufspaltung g = h ⊕ k und (∗∗), um eine Karte f¨ ur H zu konstruieren. Dazu betrachtet man die Abbildung ϕ : g = h ⊕ k  (ξ, η) → exp(ξ) exp(η) ∈ G. Es gilt offenbar ϕ(0) = e und mit Lemma 3.3.13   T0 ϕ = T0 μ ◦ (exp h × exp k )   = T(e,e) μ ◦ T0 exp h × T0 exp k = Te re ◦ T0 exp h + Te e ◦ T0 exp k

3.3 Impulsabbildungen und Phasenraumreduktion

161

= T0 exp h + T0 exp k = T0 exp = idg . Damit ist also T0 ϕ = idg , und ϕ ist ein lokaler Diffeomorphismus. Es gibt also offene Umgebungen der Null W ⊆ k und V ⊆ h und eine offene Umgebung U ⊆ G von e, so daß ∼ = ϕ : V × W −→ U ein Diffeomorphismus ist. Nach (∗∗) k¨ onnen wir W so w¨ahlen, daß exp(W ) ∩ H = {e}. Weiter gilt nach der Konstruktion von h, daß exp(h) ⊆ H, womit exp(V ) ⊆ H ∩ U . Sei nun h ∈ H ∩ U vorgegeben. Dann gibt es eindeutig bestimmte (ξ, η) ∈ V × W mit exp(ξ) exp(η) = h, da ϕ ein Diffeomorphismus ist. Da aber exp(ξ) ∈ H, weil H eine Untergruppe ist, folgt exp(η) ∈ H. Nach (∗∗) ist dies aber nur f¨ ur exp(η) = e und damit η = 0 m¨oglich, da auch exp ein Diffeomorphismus ist (eventuell muß man V, W, U noch etwas kleiner w¨ahlen). Damit ist aber h = exp(ξ) mit einem eindeutig bestimmten ξ ∈ V f¨ ur alle h ∈ H ∩ U . Somit ist exp V : V −→ H ∩ U also eine bistetige Bijektion. Also ist ϕ−1 : U −→ V × W eine Untermannigfaltigkeitskarte f¨ ur H ∩ U ⊆ U um den Punkt e ∈ H. Durch Linkstranslation ur h ∈ H erh¨alt man dann aus dieser Karte mit dem Diffeomorphismus h f¨ eine Untermannigfaltigkeitskarte von H um jedes vorgegebene h ∈ H. So wird H zu einer Untermannigfaltigkeit von G. Insbesondere ist h ⊆ g tats¨achlich die Lie-Algebra von H als Lie-Untergruppe von G.   Folgerung 3.3.14. Sei G eine Lie-Gruppe. i.) Sei H ⊆ G eine Untergruppe. Dann ist H cl ⊆ G ebenfalls eine Untergruppe und daher sogar eine Untermannigfaltigkeit und Lie-Gruppe. ii.) Ist Φ : G × M −→ M eine G-Wirkung auf einer Mannigfaltigkeit M , so ist f¨ ur jedes p ∈ M die Isotropiegruppe Gp ⊆ G eine abgeschlossene Untergruppe und daher selbst eine Lie-Gruppe. iii.) Jede abgeschlossene Untergruppe H = H cl ⊆ GLn ( ) ist eine Lie-Gruppe. Solche Lie-Gruppen heißen Matrix-Lie-Gruppen. Alle Gruppen aus Bemerkung 3.3.3, Teil i.) sind offenbar von dieser Form, was einen neuen Beweis liefert, daß es sich um Lie-Gruppen handelt. Es gibt aber auch Lie-Gruppen, die keine Matrix-Lie-Gruppen sind. Beweis. Die erste Aussage folgt direkt aus der Stetigkeit der Gruppenmultiplikation. Der zweite Teil ist ebenfalls klar, da Gp das Urbild einer abgeschlossenen Teilmenge von M unter einer stetigen Abbildung ist, n¨amlich Gp = Φ−1   p ({p}). Der dritte Teil ist klar.

Wir kommen nun zur Frage zur¨ uck, ob der Quotient M G f¨ ur eine GWirkung eine Mannigfaltigkeit ist. Diese l¨ aßt sich f¨ ur eigentliche und freie

162

3 Symplektische Geometrie

Gruppenwirkungen positiv beantworten. Wir beginnen mit folgender Definition: Definition 3.3.15 (Eigentliche Wirkung). Eine stetige Abbildung Φ : M −→ M  zwischen topologischen R¨aumen M, M  heißt eigentlich, falls f¨ ur jede kompakte Teilmenge K  ⊆ M  auch K = Φ−1 (K  ) eine kompakte Teilmenge von M ist. Eine G-Wirkung Φ : G × M −→ M heißt eigentlich, falls die Abbildung Φ : G × M  (g, p) → (Φg (p), p) ∈ M × M

(3.206)

eine eigentliche Abbildung ist. Zur Erinnerung: Nicht jede stetige Abbildung ist eigentlich. Im allgemeinen sind die Bilder von kompakten Teilmengen unter stetigen Abbildungen wieder kompakt, nicht aber deren Urbilder. Bemerkung 3.3.16. Ist die Gruppe G kompakt, so ist jede (stetige) G-Wirkung Φ eigentlich. Ist n¨ amlich K ⊆ M × M kompakt, so gibt es kompakte Teilmen−1 ge K1 , K2 ⊆ M mit K ⊆ K1 × K2 . Damit ist aber Φ (K) ⊆ G × K2 in einem Kompaktum enthalten. Da das Urbild eines Kompaktums aber immer abgeschlossen ist und jede abgeschlossene Teilmenge eines Kompaktums −1 selbst kompakt ist, folgt, daß Φ (K) kompakt ist. Daher ist Φ eigentlich. F¨ ur kompakte Lie-Gruppen sind die folgenden Theoreme also trivialerweise anwendbar. Proposition 3.3.17. Sei Φ : G × M −→

M eine eigentliche G-Wirkung. Dann ist die Quotiententopologie von M G Hausdorffsch.

Beweis (nach [1, Prop. 4.1.19]). Angenommen, M G ist nicht Hausdorffsch mit zwei Punkten [x] = [y], welche nicht getrennt werden k¨onnen. F¨ ur je zwei offene Teilmengen [x] ∈ U x und [y] ∈ U y gilt also U x ∩ U y = ∅. Seien nun Unx und Uny offene Umgebungen von x und y in M , welche eine (abz¨ahlbare) Umgebungsbasis von x beziehungsweise y bilden. In einer Karte kann man beispielsweise die offenen Kugeln um x mit Radius n1 nehmen. Dann ist Φg (Unx ) und ebenso Φg (Uny ) wieder offen, da Φg ein Diffeomorphismus ist. Daher sind auch   Φg (Unx ) und Wny = Φg (Uny ) Wnx = g∈G

g∈G

offen in M und enthalten x beziehungsweise y. Dar¨ uberhinaus sind Wnx und Wny invariant unter der G-Wirkung. Damit sind Vnx = π(Wnx )

und Vny = π(Wny )

offen in M G, da n¨ amlich π −1 (Vnx ) = Wnx und π −1 (Vny ) = Wny offen in M −1 sind. In der Tat, π (Vnx ) besteht aus all den Punkten p ∈ M mit π(p) ∈ aquivalent zu einem Punkt p in Wnx oder p = Φg (p ). π(Wnx ). Daher ist p ¨

3.3 Impulsabbildungen und Phasenraumreduktion

163

Damit ist p aber bereits in Wnx enthalten. Da nach Voraussetzung Vnx ∩Vny = ∅, gibt es ein [zn ] ∈ Vnx ∩ Vny . Sei nun xn ∈ Wnx ein Repr¨asentant f¨ ur [zn ] und genauso yn ∈ Wny . Es gibt also Gruppenelemente gn , hn ∈ G mit Φgn (xn ) = zn = Φhn (yn ). Da die Unx und Uny Umgebungsbasen von x und y bilden, folgt zum einen xn −→ x sowie yn −→ y. Zum anderen gilt yn = Φh−1 (xn ) = n gn −1 Φkn (xn ) mit kn = hn gn ∈ G. Da sowohl xn als auch yn konvergente Folgen sind, liegen die Punkte yn ∈ K1 und xn ∈ K2 in kompakten Teilmengen K1 , K2 von M . Damit liegt aber auch (yn = Φkn (xn ), xn ) ∈ K1 × K2 in −1 einer kompakten Teilmenge. Da Φ eigentlich ist, ist Φ (K1 × K2 ) ⊆ G × M kompakt, und da (yn , xn ) = Φ(kn , xn ) gilt, folgt, daß die Gruppenelemente kn alle in einem Kompaktum K3 ⊆ G liegen. Nach Auswahl einer konvergenten Teilfolge (die wir uns ohne Einschr¨ ankung als bereits gew¨ahlt denken k¨onnen) folgt, daß kn −→ k ∈ G konvergiert. Dann folgt aber aus der Stetigkeit von Φ, daß y = lim yn = lim Φkn (xn ) = Φk (x). n→∞

n→∞

Also sind x und y a ¨quivalent und daher [x] = [y], was einen Widerspruch zur Annahme darstellt.   Ist die Gruppenwirkung nicht nur

eigentlich, sondern auch noch frei, erh¨alt man einen guten“ Quotienten M G: ” Satz 3.3.18 (Freie und eigentliche Wirkung). Sei Φ : G×M −→ M eine eigentliche und freie G-Wirkung einer Lie-Gruppe G auf einer Mannigfaltig keit M . Dann besitzt M G eine eindeutig bestimmte differenzierbare

Struktur, so daß f¨ ur jeden Punkt in M G eine offene Umgebung U ⊆ M G und ein Diffeomorphismus τ : π −1 (U )  p → (π(p), χ(p)) ∈ U × G

(3.207)

mit der Eigenschaft τ (Φg (p)) = (π(p), gχ(p))

existiert. Die Topologie von M G ist die Quotiententopologie und

π : M −→ M G

(3.208)

(3.209)

ist eine surjektive Submersion. Beweis (nach [108, Thm. 1.11.4]). Sei p ∈ M und Φp : G −→ M die Abbildung Φp (g) = Φ(g, p). Das Bild von Φp ist dann gerade die Bahn G · p durch p. Zuerst zeigt man, daß die Tangentialabbildung Te Φp injektiv ist. Ist n¨amlich Te Φp (ξ) = 0, so gilt d d Φexp(tξ) (p) = Φexp((t+s)ξ) (p) dt ds s=0 d Φexp(tξ) Φexp(sξ) (p) = ds s=0

164

3 Symplektische Geometrie

d Φexp(sξ) (p) ds s=0 d = Tp Φexp(tξ) ◦ Φp (exp(sξ)) ds s=0 = Tp Φexp(tξ) ◦ Te Φp (ξ) = 0. = Tp Φexp(tξ) ◦

ur alle t ∈ . Da die G-Wirkung frei Daher ist Φexp(tξ) (p) = p konstant f¨ ist, folgt aber exp(tξ) = e f¨ ur alle t ∈ . Durch Ableiten bei t = 0 erh¨alt man schließlich ξ = 0, womit Te Φp wie behauptet injektiv ist. Insbesondere ist dim G = dim g ≤ dim M = dim Tp M eine notwendige Voraussetzung f¨ ur eine freie Wirkung.  ⊆ M eine (kleine) Untermannigfaltigkeit von M mit p ∈ U , Sei nun U   so daß der Tangentialraum Tp U von U bei p ein Komplement zu Te Φp (g) darstellt. Lokal gibt es eine solche Untermannigfaltigkeit immer: Man w¨ahlt beispielsweise eine Karte um p, so daß die ersten (dim g)-Koordinaten dem Untervektorraum Te Φp (g) entsprechen. Dann erkl¨art man diese Karte zu einer Untermannigfaltigkeitskarte f¨ ur eine Untermannigfaltigkeit, welche durch die verbleibenden dim M −dim g Koordinaten beschrieben wird. Dies l¨aßt sich durch eine einfach Rotation um den Punkt p in einer beliebigen Karte errei zu einer Untermannigfaltigkeit U chen. Nach eventuellem Verkleinern von U  kann man annehmen, daß f¨ ur alle p ∈ U Tp U ⊕ Te Φp (g) = Tp M

(∗)

gilt. Dies folgt aus Stetigkeitsgr¨ unden. Insbesondere kann man U diffeomorph zu einer (dim M −dim g)-dimensionalen offenen Kugel in dim M−dim g w¨ahlen, siehe auch Abbildung 3.5. Der Untervektorraum Te Φp (g) hat die folgende Interpretation als Vektorraum aller Tangentialvektoren von Kurven durch p, die ganz in der Bahn G · p verlaufen. Dies deutet bereits an, daß Te Φp (g) als Tangentialraum an die Bahn G · p interpretiert werden kann, auch wenn wir noch nicht wissen, ob G · p u ¨ berhaupt eine Untermannigfaltigkeit von M ist. Insofern kann (∗)

U

Tp U p

G.p’

p’

Vp Vp’

G .p

Tp’U Abb. 3.5. Die Konstruktion der Untermannigfaltigkeit U mit Vp = Te Φp (g)

3.3 Impulsabbildungen und Phasenraumreduktion

165

also so interpretiert werden, daß U eine Untermannigfaltigkeit von M ist, die transversal zu allen Bahnen G · p mit p ∈ U liegt, siehe Abbildung 3.5. Da U jede Bahn zumindest lokal um p nur einmal schneidet, was noch zu zeigen ist, liegt es nahe, U als lokale Karte vom Quotientenraum M G zu verwenden. Es gilt also, diese geometrische Vorstellung, die Abbildung 3.5 nahelegt, zu pr¨ azisieren. Wir betrachten die Abbildung Ψ : G × U  (g, p ) → Φ(g, p ) ∈ M , also die Einschr¨ ankung von Φ auf die Untermannigfaltigkeit G × U ⊆ G × M . Damit ist Ψ auf jeden Fall glatt und bei (e, p ) ∈ G × U gilt, daß T(e,p ) Ψ : g × Tp U −→ Tp M bijektiv ist. In der Tat, sei t → p (t) ∈ U eine Kurve in U durch p , so gilt Ψ (e, p (t)) = p (t) und daher   d  T(e,p ) Ψ (e, p (t)) = p˙  (0) ∈ Tp U. dt t=0 Auf diese Weise erh¨ alt man unter T(e,p ) Ψ also zun¨achst alle Vektoren in Tp U in bijektiver Weise. Andererseits gilt f¨ ur festes p ∈ U und ξ ∈ g Ψ (exp tξ, p ) = Φp (exp(tξ)), womit T(e,p ) Ψ auf Tangentialvektoren an G ebenfalls injektiv ist, da Te Φp injektiv ist. Dank der direkten Summe in (∗) ist T(e,p ) Ψ damit insgesamt injektiv und aus Dimensionsgr¨ unden bijektiv. Als n¨ achstes berechnet man die Tangentialabbildung von Ψ f¨ ur beliebige Punkte (g, p ) ∈ G × U . Da Φ eine G-Wirkung ist, gilt Ψ (g, p ) = Φ(g, p ) = Φ(g, Φ(e, p )) = Φg (Ψ (e, p )), so daß nach der Kettenregel T(g,p ) Ψ = Tp Φg ◦ T(e,p ) Ψ . Da Φg ein Diffeomorur alle (g, p ) ∈ G × U . phismus ist, ist mit T(e,p ) Ψ auch T(g,p ) Ψ bijektiv f¨ Daher ist Ψ ein lokaler Diffeomorphismus auf das Bild Ψ (G × U ). Der entscheidende Schritt besteht nun darin zu zeigen, daß Ψ auf G × U mit einer eventuell nochmals verkleinerten Untermannigfaltigkeit U sogar injektiv und damit wirklich ein Diffeomorphismus auf das Bild ist. Man muß also folgende Situation ausschließen: In der Abbildung 3.6 ist Ψ zwar lokal um p injektiv, l¨ aßt man aber alle Elemente g ∈ G zu, kann man q ∈ Ψ (G×U ) auf zwei Weisen erreichen, n¨ amlich als q = Ψ (e, q) = Ψ (g, p) f¨ ur ein geeignetes großes“ g ∈ G. ” Die Eigentlichkeit von Φ garantiert nun, daß man U klein genug w¨ahlen kann, so daß dies schließlich nicht mehr passieren kann. Bildlich gesprochen durchst¨ oßt die Bahn G · p die Untermannigfaltigkeit U eben nur selten“ genug. ” H¨ auften sich dagegen diese Durchstoßpunkte um p, so k¨onnte man U nicht geeignet verkleinern. Sei also Ψ auf keiner offenen Umgebung von p ∈ U injektiv. Dann gibt es ur alle n und Folgen (gn , xn ) und (hn , yn ) in G × U mit (gn , xn ) = (hn , yn ) f¨ xn −→ p, yn −→ p sowie Φgn (xn ) = Ψ (gn , xn ) = Ψ (hn , yn ) = Φhn (yn ).

166

3 Symplektische Geometrie

p

G .p

q U Abb. 3.6. Zur Nichtinjektivit¨ at der Abbildung Ψ

Insbesondere gilt gn = hn f¨ ur alle n, da sonst xn = Φgn−1 hn (yn ) impliziert, daß auch xn = yn also (gn , xn ) = (hn , yn ). Sei also kn = gn−1 hn = e. Da nun Φkn (yn ) = xn −→ p ebenso wie yn −→ p konvergiert, ist die Folge Φ(kn , yn ) = (Φkn (yn ), yn ) in einem Kompaktum in M × M enthalten. Damit folgt, daß auch die Folge (kn , yn ) in einem Kompaktum in G×M enthalten ist, da Φ eine eigentliche G-Wirkung ist. Es gibt also eine konvergente Teilfolge ankung bereits ausgew¨ahlt denken. Daher von kn , welche wir uns ohne Einschr¨ gilt kn −→ k und deshalb p = lim xn = lim Φkn (yn ) = Φk (p). n→∞

n→∞

Da die G-Wirkung frei ist, folgt k = e. Daher gibt es also Folgen (e, xn ) −→ (e, p) und (kn , yn ) −→ (e, p) mit (e, xn ) = (kn , yn ) aber Ψ (e, xn ) = xn = Φkn (yn ) = Ψ (kn , yn ). Damit kann Ψ also auf keiner Umgebung von (e, p) ∈ G × U injektiv sein, was ein Widerspruch zur lokalen Injektivit¨at von Ψ ist. Also ist Ψ auf G × U mit eventuell verkleinertem U injektiv.

Damit ist die Abbildung p ∈ U → G · p ∈ M G injektiv. Somit kann man durch U eine lokale Karte f¨ ur M G erkl¨aren. Insbesondere ist ja Bild von U unter π eine in der G×U ∼ = π −1 (π(U )) ⊆ M offen, womit das Quotiententopologie offene Teilmenge von M G ist. Es bleibt also zu zeigen, daß die Kartenwechsel“ glatt sind und daß man tats¨achlich eine Abbildung ” τ der Form (3.207) findet. Es gilt Φg (Ψ (h, p)) = Φg (Φh (p)) = Φgh (p) = Ψ (gh, p) also Φg ◦ Ψ = Ψ ◦ ( g × idU ). Daher gilt f¨ ur die zu Ψ inverse Abbildung Ψ −1 ◦ Φg−1 = ( g−1 × idU ) ◦ Ψ −1 . Wir setzen τ = Ψ −1 mit τ (p ) = (π(p ), χ(p )) ∈ U × G. Dann folgt die   ¨ Aquivarianzeigenschaft τ (Φg (p )) = (idU × g ) ◦ τ (p ) = (π(p ur

), gχ(p )) wie f¨ (3.207) gew¨ unscht. Da wir die Differenzierbarkeit in M G gerade durch die Untermannigfaltigkeit U ⊆ M erkl¨ aren wollen, wird τ ein Diffeomorphismus. Ebenso folgt aus der Diffeomorphismeneigenschaft von Ψ beziehungsweise τ ,

3.3 Impulsabbildungen und Phasenraumreduktion

167

U’

G.p’ U0

U

U0’

G .p

Abb. 3.7. Der Kartenwechsel von U nach U  entlang der Bahnen

daß die Projektion π auf U eine Submersion ist. Es bleibt also nur noch zu zeigen, daß die Kartenwechsel“ glatt sind. ” Seien also p, p ∈ M vorgegeben und U, U  Untermannigfaltigkeiten wie oben konstruiert, so daß Ψ : G × U −→ V ⊆ M und Ψ  : G × U  −→ V  ⊆ M Diffeomorphismen sind, wobei Ψ (g, x) = Φg (x) und Ψ  (g, x ) = Φg (x ) mit x ∈ U und x ∈ U  . Sei weiterhin π(V ) ∩ π(V  ) = ∅, so daß es also mindestens eine Bahn gibt, in Abbildung 3.7 ist das beispielsweise G·p , die sowohl U also auch U  trifft. Daher ist also V ∩ V  = ∅ und somit offen. Weil V = π −1 (π(V )) und ebenso V  = π −1 (π(V  )), folgt, daß auch π(V ) ∩ π(V  ) = π(V ∩ V  ) offen ist. Es ist daher zu zeigen, daß es offene Untermannigfaltigkeiten U0 ⊆ U und U0 ⊆ U  gibt, welche diffeomorph sind, so daß Ψ (G × U0 ) = V ∩ V  = Ψ  (G × U0 ).

(∗∗)

Der Diffeomorphismus U0 −→ U0 ist dann der Kartenwechsel. Abbildung 3.7 legt nahe, daß es einen solchen Diffeomorphismus geben sollte, indem man einfach von U0 aus den Bahnen folgt, bis man auf U0 trifft. Tats¨achlich ist dies auch der Fall. Da Ψ ebenso wie Ψ  ein Diffeomorphismus und V ∩ V  offen −1 ist, folgt, daß Ψ −1 (V ∩ V  ) und Ψ  (V ∩ V  ) offen in G × U beziehungsweise  in G × U sind. Da mit p ∈ V ∩ V  auch Φg (p) ∈ V ∩ V  gilt, folgt aus der ¨ Aquivarianzbedingung (3.208), daß Ψ −1 (V ∩ V  ) ⊆ G × U invariant unter der −1 Linksmultiplikation mit g ∈ G im ersten Argument ist, ebenso f¨ ur Ψ  (V ∩ V  ). Damit gibt es aber offene Teilmengen U0 ⊆ U beziehungsweise U0 ⊆ U  −1 mit Ψ −1 (V ∩ V  ) = G × U0 beziehungsweise Ψ  (V ∩ V  ) = G × U0 , womit  (∗∗) erreicht ist. Da U0 und U0 jede Bahn in V ∩ V  genau einmal schneiden, zeigt dies, daß Ψ −1 (U0 ) von der Form (χ(y), y) ∈ G × U0 ist. Die Abbildung χ : U0 −→ G ist glatt und injektiv, da Ψ glatt ist. Also ist U0  y → Φχ(y) (y) ∈ U0 ebenfalls glatt und bijektiv. Durch Vertauschen der Rolle von U und U  erh¨ alt man schließlich, daß diese Abbildung ein Diffeomorphismus ist. Damit ist der Satz schließlich gezeigt.   Bemerkung 3.3.19 (Hauptfaserb¨ undel). Bei der obigen Struktur handelt es sich um ein Hauptfaserb¨ undel . Wir werden diesen Aspekt jedoch nicht wei-

168

3 Symplektische Geometrie

ter ben¨ otigen, daher verweisen wir auf die Literatur, insbesondere auf [235, Chap. VI] und [202, Chap. III]. Der Satz erweist sich aus vielerlei Gr¨ unden als sehr n¨ utzlich. Wir diskutieren nun einige Anwendungen, siehe auch Aufgabe 3.27. Beispiel 3.3.20. Die G-Wirkung auf G durch Linksmultiplikationen ist frei und eigentlich: Es ist klar, daß : G × G −→ G eine Gruppenwirkung ist. Gilt g (h) = h, so folgt g = e, womit frei ist. Da die Abbildung : G×G −→ G×G −1 mit (g, h) = (gh, h) ein Diffeomorphismus ist, folgt, daß (K) ⊆ G × G f¨ ur jedes kompakte

K ⊆ G × G wieder kompakt ist. Daher ist eigentlich. Der Quotient G G ist in diesem Fall nat¨ urlich nur ein Punkt und daher ist

π : G −→ G G trivialerweise eine surjektive Submersion. Interessanter ist die Situation, wenn man nicht G sondern nur eine (abgeschlossene) Untergruppe H von G auf G durch Linksmultiplikationen wirken l¨ aßt. Dies liefert eine große Klasse von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, die homogenen R¨aume: Konventionsbedingt betrachtet man hier die Rechtswirkung durch Rechtsmultiplikation, wof¨ ur der Satz 3.3.18 nach trivialer Umformulierung selbstverst¨ andlich genauso g¨ ultig ist. Proposition 3.3.21. Sei H = H cl eine abgeschlossene Untergruppe einer Lie-Gruppe G, welche durch Rechtsmultiplikationen auf G wirkt. Dann ist die H-Wirkung auf G frei und eigentlich, womit

π : G −→ G H (3.210)

eine surjektive Submersion auf G H liefert. Beweis. Nach Satz 3.3.18 m¨ ussen wir nur noch zeigen, daß H frei und eigentlich wirkt. Da bereits G frei wirkt, wirkt jede Untergruppe auch frei. Sei also K ⊆ G × G kompakt und r −1 (K) ⊆ H × G. Da rG −1 (K) ⊆ G × G (bez¨ uglich der gesamten Rechtsaktion rG von ganz G auf G) kompakt ist, folgt, daß auch (H × G) ∩ rG −1 (K) = r −1 (K) kompakt ist, da H abgeschlossen ist. Also ist r eigentlich.   Definition 3.3.22 (Homogener

Raum). Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit M von der Form M = G H mit einer Lie-Gruppe G und einer abgeschlossenen Untergruppe H heißt homogener Raum.

Folgerung 3.3.23. Sei G H ein homogener Raum. Dann definiert g  [g] = [g  g]

(3.211)

f¨ ur [g] ∈ G H und g  ∈ G eine glatte Linkswirkung von G auf G H, welche transitiv ist. Die Isotropiegruppe G[g] von [g] ∈ G H ist die abgeschlossene Untergruppe gHg −1 ⊆ G. Daher sind alle Isotropiegruppen isomorph.

3.3 Impulsabbildungen und Phasenraumreduktion

169

Beweis. Zun¨ achst ist (3.211) wohl-definiert, da Links- und Rechtsmultiplikationen vertauschen. Weiter ist (3.211) glatt, da die Abbildung auf dem Niveau

von G glatt ist und π : G −→ G H eine surjektive Submersion ist, siehe Aufgabe 2.7. Die Transitivit¨ at ist auch klar, da G auf sich transitiv wirkt. Schließlich gilt g  [g] = [g] genau dann, wenn g  g = gh mit h ∈ H, also g  = ghg −1 .   Wir betrachten nun eine allgemeine G-Wirkung auf M . Da die Isotropiegruppe

Gp eines Punktes p ∈ M eine abgeschlossene Untergruppe von G ist, ist G Gp ein homogener Raum. Die Abbildung Φp : G  g → Φp (g) = Φg (p) ∈ G · p

(3.212)

ist per definitionem surjektiv und faktorisiert zu einer bijektiven Abbildung

p : G Gp  [g] → Φg (p) ∈ G · p, (3.213) Φ −1   denn

Φg (p) = Φg (p) gilt genau dann, wenn g g ∈ Gp , also [g] = [g ] ∈ G Gp . Wir haben also folgendes kommutatives Diagramm

G π

G Gp

Φp

G·M ⊆ M ep Φ

.

(3.214)

Diese Beobachtung hilft, die Struktur der Bahnen einer G-Wirkung zu kl¨aren: Proposition 3.3.24. Sei Φ eine G-Wirkung auf M und p ∈ M . Die Abbildung

p : G Gp −→ M Φ (3.215)

p p (G Gp ) = G · p. Ist Φ eigentlich, so ist Φ ist eine injektive Immersion mit Φ sogar eine Einbettung, und die Bahn G · p ist eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von M . p ◦ π = Φp auch Φ p glatt, da Beweis. Da Φp : G −→ M glatt ist, ist mit Φ π eine surjektive Submersion ist, siehe Aufgabe 2.7. Es bleibt also zu zeigen, p eine Immersion ist, da die Injektivit¨ daß Φ at ja schon gezeigt wurde. Sei also

m¨ u ssen wir zun¨ achst eine handlichere Form f¨ ur [g] ∈ G Gp gegeben. Dann

 den Tangentialraum T[g] G Gp finden. Zun¨achst betrachten wir Gp , dann gilt (3.216) Te Gp = {ξ ∈ g | exp(tξ) ∈ Gp }, da Gp ⊆ G eine abgeschlossene Untergruppe ist und daher ι : Gp −→ G ein injektiver Morphismus von Lie-Gruppen ist. Daher kann man Satz 3.3.5 mit den Gleichungen (3.192) und (3.193) zur Anwendung bringen. Wir hatten

170

3 Symplektische Geometrie

dies auch schon im Beweis von Proposition 3.3.21 gesehen. Die Bedingung exp(tξ) ∈ Gp ist ¨ aquivalent zu Φexp(tξ) (p) = p oder eben Φp (exp(tξ)) = p f¨ ur alle t. Damit folgt d d exp(tξ) = Te Φp (ξ). 0 = Φp (exp(tξ)) = Te Φp dt t=0 dt t=0 Gilt umgekehrt Te Φp (ξ) = 0, so ist d d d Φp (exp(tξ)) = Φ(exp(tξ) exp(sξ), p) = Φexp(tξ) ◦ Φexp(sξ) (p) dt ds s=0 ds s=0 = Tp Φexp(tξ) (Te Φp (ξ)) = 0. Daher ist Φp (exp(tξ)) = Φp (e) = p konstant und folglich exp(tξ) ∈ Gp . Also gilt Te Gp = {ξ ∈ g | Te Φp (ξ) = 0} = ker Te Φp . p ◦ π = Φp zun¨ Damit folgt aber aus Φ achst p ◦ Te π = Te Φp , T[e] Φ p injektiv ist, da der Kern von Te π und weil Te π surjektiv ist, folgt, daß T[e] Φ gerade Te Gp ist und Te Gp mit dem Kern von Te Φp u ¨ bereinstimmt. Damit ist

 Φp also zumindest beim Punkt [e] ∈ G Gp immersiv. Die anderen Punkte

erreicht man nun durch folgendes Homogenit¨atsargument“. Sei [g] ∈ G Gp ” beliebig. Dann gilt p ([g]) = Φp (g) = Φ(g, p) = Φg ◦ Φp (e) = Φg ◦ Φ p ([e]) Φ und daher

p = Tp Φg ◦ T[e] Φ p . T[g] Φ

Da aber Tp Φg bijektiv ist, weil Φg ein Diffeomorphismus ist, folgt, daß auch p injektiv ist. Dies zeigt die erste Aussage. T[g] Φ Sei also Φ nun zudem eine eigentliche G-Wirkung. Wir m¨ ussen also zeip nicht nur injektiv und immersiv ist, sondern Φ −1 gen, daß Φ : G · p −→ p

 G Gp ebenfalls stetig ist. Dann ist Φp ein Hom¨oomorphismus und mit dem Satz u ussen wir ¨ ber die Umkehrfunktion ein Diffeomorphismus. Daher m¨ p eine abgeschlossene Abbildung ist, da dann die nur noch zeigen, daß Φ Hom¨ oomorphismuseigenschaft allgemein folgt, siehe etwa [270, Satz 22.28].

p (A) ⊆ G · p. Sei weiter Sei also A ⊆ G Gp abgeschlossen und A = Φ xn ∈ G·p eine gegen x ∈ M konvergente Folge mit entsprechender Urbildfolge −1 yn = Φ p (xn ). Da xn ∈ G·p, gibt es eine Folge gn ∈ G mit xn = Φgn (p). Dann liegen die Punkte (xn , p) in einem Kompaktum in M × M , da xn −→ x konvergiert. Also liegen auch die Punkte (gn , p) in einem Kompaktum in G × M , da die Wirkung eigentlich ist. Somit gibt es eine konvergente Teilfolge von ahlt denken. Daher gilt gn −→ g, womit gn , welche wir uns bereits ausgew¨

3.3 Impulsabbildungen und Phasenraumreduktion

171

x = limn xn = limn Φgn (p) = Φg (p) ∈ G · p. Damit ist die Bahn G · p ⊆ M p ([gn ]) = xn und selbst abgeschlossen. Da Φp (gn ) = Φgn (p) = xn , folgt Φ

daher yn = [gn ]. Also konvergieren auch die yn −→ y ∈ G Gp und da die yn in A mit A abgeschlossen liegen, gilt y ∈ A. Somit gilt x = limn xn = p (yn ) = Φ p (y) ∈ Φ p (A) = A . Daher ist A ⊆ M abgeschlossen und limn Φ deshalb auch abgeschlossen in der abgeschlossenen Teilmenge G · p. Dies zeigt, p eine abgeschlossene Abbildung und damit ein Hom¨oomorphismus auf daß Φ das Bild ist.   Zusammen mit Proposition 3.3.21 folgt, daß f¨ ur eine transitive G-Wirkung

auf M die Mannigfaltigkeit M diffeomorph zum homogenen Raum G Gp ist, wobei Gp die Isotropiegruppe eines beliebigen Punktes p ∈ M ist. Alle Isotropiegruppen sind zueinander konjugiert. Die G-Wirkung auf M stimmt dann mit der kanonischen G-Wirkung auf G Gp u ¨ berein. Wir kommen nun zur infinitesimalen Version einer G-Wirkung. Wenn eine Lie-Gruppe durch Diffeomorphismen auf M wirkt, so soll eine Lie-Algebra entsprechend durch Vektorfelder auf M wirken“. Um diese Vorstellung zu ” pr¨ azisieren, starten wir zun¨ achst mit einer G-Wirkung Φ : G × M −→ M . Sei dann ξ ∈ g und t → exp(tξ) die zugeh¨ orige Einparametergruppe in G. Damit wird (3.217) t → Φexp(tξ) eine glatte Einparametergruppe von Diffeomorphismen von M . Diese entspricht aber gerade dem Fluß eines Vektorfeldes: Definition 3.3.25 (Fundamentales Vektorfeld). Sei Φ : G × M −→ M eine G-Wirkung auf M . Das durch d ξM (p) = Φexp(tξ) (p) (3.218) dt t=0 f¨ ur p ∈ M und ξ ∈ g festgelegte Vektorfeld heißt fundamentales Vektorfeld (auch: infinitesimaler Erzeuger) der G-Wirkung zu ξ ∈ g. Bemerkung 3.3.26. Aus dem Beweis von Proposition 3.3.24 folgt insbesondere, daß der Tangentialraum an die immersierte Untermannigfaltigkeit G · p ⊆ M durch Tp (G · p) = {ξM (p ) | ξ ∈ g} (3.219) beschrieben werden kann, was anschaulich auch unmittelbar klar ist, siehe Abbildung 3.8. Proposition 3.3.27. Sei Φ : G × M −→ M eine G-Wirkung auf M . Dann ist (3.220) g  ξ → ξM ∈ Γ∞ (T M ) ein Antihomomorphismus von Lie-Algebren. Es gilt also, daß (3.220) linear ist und daß [ξM , ηM ] = −[ξ, η]M (3.221) f¨ ur alle ξ, η ∈ g.

172

3 Symplektische Geometrie

ξM p’

Φexp(tξ)(p’)

Tp’ G . p

G. p

Abb. 3.8. Der Tangentialraum bei p an die Bahn G · p

Beweis. Der Beweis wird mit Hilfe der adjungierten Darstellung konzeptuell etwas klarer in den Aufgaben 3.23 und 3.24 besprochen, siehe auch Proposition 3.3.50. Hier geben wir eine direkte Herleitung, welche implizit nat¨ urlich von der adjungierten Darstellung Gebrauch macht. Wir zeigen zun¨achst die Linearit¨ at von (3.220). Sei also ξ ∈ g. Dann gilt d Φexp(tξ) (p) dt t=0 d = Φ(exp(tξ), p) dt t=0   d = T(e,p) Φ exp(tξ), 0 dt t=0

ξM (p) =

= T(e,p) Φ(ξ, 0),

(∗)

womit (3.220) linear ist, da die Tangentialabbildung linear ist. Um die zweite Gleichung zu zeigen, betrachten wir

∗  Φg ηM (p) = TΦg (p) Φ−1 g (ηM (Φg (p))) d = TΦg (p) Φ−1 Φexp(sη) (Φg (p)) g ds s=0 d = TΦg (p) Φ−1 Φexp(sη)g (p) g ds s=0

 d = Φg−1 Φexp(sη)g (p) ds s=0 d = (p) Φ −1 ds s=0 g exp(sη)g  d −1 = T(e,p) Φ g exp(sη)g, 0 ds s=0   d −1 = (p). (∗∗) g exp(sη)g ds s=0 M

3.3 Impulsabbildungen und Phasenraumreduktion

173

f¨ ur η ∈ g und g ∈ G. Die Kurve g −1 exp(sη)g geht f¨ ur s = 0 durch e und definiert daher u ¨ ber ihren Tangentialvektor ein Lie-Algebraelement. Tats¨achlich ist diese Kurve ja sogar eine Einparametergruppe. Wir betrachten nun den Fall g = exp(tξ) und berechnen die Ableitung sowohl nach t als auch nach s, jeweils bei 0. Dazu verwenden wir, daß der Fluß Φξt des linksinvarianten Vektorfeldes X ξ zu ξ ∈ g durch die Rechtsmultiplikation mit exp(tξ) gegeben ist und mit allen Linksmultiplikationen vertauscht, siehe Satz 3.3.2 und Bemerkung 3.3.3. Es gilt d d exp(−tξ) exp(sη) exp(tξ) dt t=0 ds s=0 d d = rexp(tξ) ◦ exp(−tξ) (exp(sη)) dt t=0 ds s=0   d d η = Texp(−tξ) rexp(tξ) exp(−tξ) ◦ Φs (e) dt t=0 ds s=0   d d η = Texp(−tξ) rexp(tξ) Φs (exp(−tξ)) dt t=0 ds s=0   d η −1 = Texp(−tξ) rexp(−tξ) Xexp(−tξ) dt t=0  ∗  d Φξ−t X η (e) = dt t=0 = − (LX ξ X η ) (e) = −[ξ, η].

(∗∗∗)

Diese beiden Rechnungen kombinieren sich nun folgendermaßen   d Φ∗exp(tξ) ηM (p) dt t=0    d (∗∗) d = exp(−tξ) exp(sξ) exp(tξ), 0 T(e,p) Φ dt t=0 ds s=0   d d (∗∗∗) = T(e,p) Φ exp(−tξ) exp(sη) exp(tξ), 0 dt t=0 ds s=0

[ξM , ηM ] (p) =

= T(e,p) Φ (−[ξ, η], 0) (∗)

= −[ξ, η]M (p).

Damit ist die Proposition bewiesen.

 

Diese Beobachtung motiviert folgende Definition einer infinitesimalen GWirkung beziehungsweise einer g-Wirkung, wenn g eine (reelle) Lie-Algebra ist. Definition 3.3.28 (Lie-Algebrawirkung). Sei g eine endlichdimensionale Lie-Algebra ¨ uber , und sei M eine Mannigfaltigkeit. Eine Lie-Algebrawirkung von g auf M ist eine lineare Abbildung

174

3 Symplektische Geometrie

ϕ : g −→ Γ∞ (T M ),

(3.222)

[ϕ(ξ), ϕ(η)] = −ϕ([ξ, η]).

(3.223)

so daß Mit anderen Worten, ϕ ist ein Antihomomorphismus von Lie-Algebren. Der Wechsel von Homomorphismus zu Antihomomorphismus ist trivial, da ϕ genau dann ein Antihomomorphismus ist, wenn −ϕ ein Homomorphismus ist. Daher ist die (seltsame) Bedingung (3.223) nur eine (sehr praktische) Konvention, siehe auch Aufgabe 3.22. Die Aussage von Proposition 3.3.27 l¨ aßt sich somit auf folgende Weise umformulieren: Folgerung 3.3.29. Jede G-Wirkung Φ auf M liefert ¨ uber ϕ : g  ξ → ϕ(ξ) = ξM ∈ Γ∞ (T M )

(3.224)

eine g-Wirkung ϕ der Lie-Algebra g von G. Es stellt sich also die berechtigte Frage, inwieweit die infinitesimale g-Wirkung ϕ die G-Wirkung Φ bereits festlegt beziehungsweise ob Φ aus ϕ (re-) konstruiert werden kann. In bestimmten Situationen ist dies tats¨achlich m¨oglich, wie folgendes Theorem von Palais zeigt: Satz 3.3.30 (Palais). Sei ϕ : g −→ Γ∞ (T M ) eine g-Wirkung auf M , so daß f¨ ur alle ξ ∈ g das Vektorfeld ϕ(ξ) einen vollst¨andigen Fluß hat. Sei weiter G die (bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte) zusammenh¨angende und einfachzusammenh¨angende Lie-Gruppe mit Lie-Algebra g. Dann gibt es eine eindeutig uglich Φ. bestimmte G-Wirkung Φ von G auf M , so daß ϕ(ξ) = ξM bez¨ d Die Notwendigkeit der Bedingung ist leicht einzusehen, da ξM = dt Φ t=0 exp(tξ) immer einen vollst¨ andigen Fluß hat, n¨ amlich Φexp(tξ) . F¨ ur einen Beweis sei auf [235, Thm. 14.12] verwiesen. Wir schließen diesen Abschnitt mit einigen Bemerkungen zum Spezialfall einer (glatten) G-Darstellung. Sei also V ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum und Φ : G × V −→ V eine G-Darstellung auf V . Das fundamentale Vektorfeld ξV ∈ Γ∞ (T V = V × V ) ist daher an jedem Punkt ein Element in V . Weiter ist ξV (v) im Argument v linear, da Φg linear ist. Daher k¨onnen wir ξV mit einer linearen Abbildung ξV ∈ End(V ) identifizieren, wobei wie immer Tv V = V verwendet wird. Definition 3.3.31 (Lie-Algebradarstellung). Sei g eine (reelle) Lie-Algebra und V ein (reeller) Vektorraum. Eine Darstellung ϕ von g auf V ist ein Lie-Algebrenhomomorphismus ϕ : g −→ End(V ),

(3.225)

wobei End(V ) die ¨ ubliche, durch den Kommutator gegebene Lie-Algebrastruktur tr¨agt.

3.3 Impulsabbildungen und Phasenraumreduktion

175

Proposition 3.3.32. Sei G eine zusammenh¨angende und einfach-zusammenh¨angende Lie-Gruppe mit Lie-Algebra g und sei V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Jede glatte G-Darstellung Φ von G auf V liefert uber ϕ(ξ) = ξV eine g-Darstellung ϕ von g auf V . Umgekehrt l¨aßt sich je¨ de g-Darstellung ϕ von g auf V zu einer eindeutig bestimmten glatten GDarstellung Φ integrieren. Beweis. Man rechnet direkt nach, daß mit den obigen Identifikationen ϕ tats¨ achlich eine g-Darstellung liefert, siehe auch Aufgabe 3.22. Ist umgekehrt eine g-Darstellung gegeben, so ist t → etϕ(ξ) der vollst¨andige Fluß zu ξV , insbesondere ist der Fluß selbst wieder eine lineare Abbildung. Daher k¨onnen wir den Satz von Palais anwenden und erhalten eine glatte G-Wirkung. Da diese f¨ ur kleine“ Gruppenelemente eine Darstellung ist und jedes Gruppenelement ” endliches Produkt von kleinen“ Elementen ist, folgt, daß die Wirkung insge” samt eine Darstellung ist.   Einige fundamentale Beispiele wie die adjungierte und koadjungierte Darstellung von G werden in Aufgabe 3.23 besprochen. Die folgende Bemerkung zeigt, daß die Voraussetzungen an die Lie-Gruppe in Proposition 3.3.32 im allgemeinen nicht fallen gelassen werden k¨ onnen. Bemerkung 3.3.33. Ist die Gruppe nicht zusammenh¨angend und nicht einfachzusammenh¨ angend, so ist das Integrationsproblem“ schwieriger: Bekann” termaßen haben SU(2) und SO(3) isomorphe Lie-Algebren su(2) ∼ = so(3), aber nur SU(2) ist einfach-zusammenh¨ angend, w¨ahrend SO(3) nicht einfachzusammenh¨ angend ist. Dies zeigt man etwa durch Angabe eines expliziten Diffeomorphismus SU(2) ∼ = 3 . Daraus resultiert, daß nur diejenigen so(3)Darstellungen zu ganzzahligem Spin“ sich zu SO(3)-Darstellungen integrie” ren lassen, w¨ ahrend der allgemeine Fall nur eine Darstellung von SU(2) liefert. Als weiteres Beispiel sei die Lorentz-Gruppe L(1,3) = O(1, 3) genannt, welche in 4 Zusammenhangskomponenten SO(1, 3), SO(1, 3) , SO(1, 3) , zerf¨allt, wobei und die Raum- und Zeitspiegelung sind. Ob SO(1, 3) nun zu einer gegebenen Darstellung von SO(1, 3), also der eigentlichen, orthochronen Lorentz-Gruppe auch eine der gesamten Lorentz-Gruppe geh¨ort, kann nicht mit Lie-algebraischen Methoden entschieden werden. Diese beiden f¨ ur die Physik fundamentalen Beispiele werden in großem Detail in [163, 291] diskutiert.













3.3.2 Impulsabbildungen In diesem Abschnitt werden wir untersuchen, wie Symmetrien eines Hamiltonschen Systems zu formulieren sind und wie sie Erhaltungsgr¨oßen liefern. Auf diese Weise wird die Aussage des Noetherschen Theorems in einem geometrischen Kontext bewiesen. Die Relevanz folgender Definition ist dabei naheliegend.

176

3 Symplektische Geometrie

Definition 3.3.34. Sei (M, ω) eine symplektische Mannigfaltigkeit und Φ : G × M −→ M eine glatte G-Wirkung. Dann heißt die G-Wirkung symplektisch, falls (3.226) Φ∗g ω = ω f¨ ur alle g ∈ G. Analog heißt eine g-Wirkung ϕ : g −→ Γ∞ (T M ) symplektisch, falls (3.227) Lϕ(ξ) ω = 0 f¨ ur alle ξ ∈ g. Die folgende Aussage ist mit den bekannten Rechenregeln f¨ ur Lie-Ableitung und pull-back offensichtlich. Proposition 3.3.35. Sei (M, ω) symplektisch und G eine zusammenh¨angende Lie-Gruppe mit Lie-Algebra g. Sei Φ : G × M −→ M eine G-Wirkung mit zugeh¨origer g-Wirkung ϕ. Dann ist Φ genau dann symplektisch, wenn ϕ symplektisch ist. Beweis. Ist Φ symplektisch, so erh¨ alt man durch Ableiten von Φ∗exp(tξ) ω = ω nach t bei t = 0, daß auch ϕ symplektisch ist. Da andererseits Φexp(tξ) der Fluß zu ξM = ϕ(ξ) ist, folgt aus Lϕ(ξ) ω = 0 direkt Φ∗exp(tξ) ω = ω f¨ ur alle t. Da nun jedes Gruppenelement endliches Produkt von kleinen“ Gruppenelementen ” ur alle g ∈ G symplektisch ist.   ist, folgt, daß Φg f¨ Wir wollen nun die Frage pr¨ azisieren, wann eine symplektische Gruppenwirkung Erhaltungsgr¨oßen liefert. Dazu wollen wir zun¨achst erreichen, daß die symplektischen Vektorfelder ξM f¨ ur alle ξ ∈ g sogar Hamiltonsch sind und nicht nur symplektisch. Wir suchen daher f¨ ur jedes ξ ∈ g eine Funktion J(ξ) ∈ C ∞ (M ) mit XJ(ξ) = ξM . (3.228) Sei nun e1 , . . . , en ∈ g eine Basis. Dann gilt f¨ ur beliebiges ξ ∈ g mit ξ = ξ i ei die Gleichung ξM = ξ i (ei )M , da ξ → ξM ja linear ist. Daher erwarten wir XJ(ξ) = ξM = ξ i (ei )M = ξ i XJ(ei ) = Xξi J(ei ) , womit es also eine Konstante c(ξ) ∈ mit J(ξ) = ξ i J(ei ) + c(ξ) (3.229) gibt (falls M nicht zusammenh¨ angend ist, kann c(ξ) auf jeder Zusammenhangskomponente einen anderen Wert annehmen). Dies zeigt aber, daß wir ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit J(ξ) als linear in ξ annehmen d¨ urfen. ur eine Basis e1 , . . . , en Genauer gilt sogar, daß, falls wir J(ei ) mit (3.228) f¨ von g finden, J(ξ) = ξ i J(ei ) (3.230) ur alle eine in ξ lineare Funktion J(ξ) ∈ C ∞ (M ) definiert, welche (3.228) f¨ ξ ∈ g erf¨ ullt. Dies motiviert folgende Definition einer Impulsabbildung:

3.3 Impulsabbildungen und Phasenraumreduktion

177

Definition 3.3.36 (Impulsabbildung). Sei Φ : G × M −→ M eine symplektische G-Wirkung. Eine glatte Abbildung J : M −→ g∗

(3.231)

heißt Impulsabbildung f¨ ur Φ, falls f¨ ur alle ξ ∈ g XJ(ξ) = ξM ,

(3.232)

wobei J(ξ) ∈ C ∞ (M ) als punktweise nat¨ urliche Paarung J(ξ)(p) = J(p), ξ zu verstehen ist. Sind J1 und J2 Impulsabbildungen f¨ ur dieselbe G-Wirkung, so ist J1 (ξ) − ur jedes ξ ∈ g eine konstante Funktion auf M . Hier und im folJ2 (ξ) = μ(ξ) f¨ genden ist es zweckm¨ aßig, M als zusammenh¨angend anzunehmen, anderenfalls ¨ gelten diese Uberlegungen entsprechend f¨ ur jede Zusammenhangskomponente separat. Daher gibt es also ein μ ∈ g∗ mit J1 − J2 = μ = const.

(3.233)

Bevor wir nun die Frage nach der Existenz einer Impulsabbildung zu einer gegebenen G-Wirkung n¨ aher diskutieren, zeigen wir die sicherlich wichtigste Konsequenz f¨ ur die klassische Mechanik: Satz 3.3.37 (Noether-Theorem). Sei Φ : G×M −→ M eine symplektische G-Wirkung mit Impulsabbildung J : M −→ g∗ . Ist H ∈ C ∞ (M ) eine Ginvariante Hamilton-Funktion, so ist f¨ ur jedes ξ ∈ g die Funktion J(ξ) ∈ C ∞ (M ) eine Erhaltungsgr¨oße bez¨ uglich der Zeitentwicklung von H. Beweis. Die G-Invarianz bedeutet Φ∗g H = H f¨ ur alle g ∈ G. Daher gilt f¨ ur alle ξ ∈ g die Gleichung 0=

d H = LξM H = LXJ(ξ) H = {H, J(ξ)}, Φ∗ dt t=0 exp(tξ)

womit der Satz bewiesen ist.

 

Bemerkung 3.3.38 (Erhaltungsgr¨oßen und Symmetrien). i.) Ist G zusammenh¨ angend, so gilt auch die Umkehrung: eine HamiltonFunktion H ist G-invariant, falls alle J(ξ) Erhaltungsgr¨oßen sind. ii.) Aufgrund der Linearit¨ at von ξ → J(ξ) gibt es h¨ochstens dim g viele unabh¨ angige Erhaltungsgr¨ oßen. iii.) Der obige Satz zeigt also, daß Symmetrien und Erhaltungsgr¨oßen f¨ ur symplektische G-Wirkungen mit Impulsabbildung letztlich ein und dasselbe sind. Daher kann man Satz 3.3.37 zu Recht als geometrische Verallgemeinerung des wohlbekannten Noether-Theorems der Hamiltonschen Mechanik ansehen.

178

3 Symplektische Geometrie

Eine wichtige Beispielklasse bilden wieder die Kotangentenb¨ undel. Hier betrachtet man Symmetrien des Konfigurationsraumes Q, also eine G-Wirkung φ : G × Q −→ Q

(3.234)

und deren Lift zu einer symplektischen G-Wirkung auf T ∗ Q durch Φ : G × T ∗ Q −→ T ∗ Q,

Φg = T∗ φg .

(3.235)

Nach Satz 3.2.11, Teil ii.) ist Φ in der Tat eine G-Wirkung auf T ∗ Q, welche sogar exakt symplektisch ist, also Φ∗g θ0 = θ0 f¨ ur alle g ∈ G erf¨ ullt. Es zeigt sich, daß in dieser Situation immer eine Impulsabbildung existiert, die universelle Impulsabbildung aus Bemerkung 3.2.12: Satz 3.3.39. Sei φ : G × Q −→ Q eine G-Wirkung auf Q. Die entsprechende geliftete G-Wirkung Φ : G × T ∗ Q −→ T ∗ Q durch Punkttransformationen besitzt eine kanonische Impulsabbildung, n¨amlich J : g  ξ → J(ξ) = J(ξQ ) ∈ Pol1 (T ∗ Q).

(3.236)

Es gilt zudem {J(ξ), J(η)} = J([ξ, η]). (3.237) d Beweis. Sei ξQ = dt φ das fundamentale Vektorfeld zu ξ auf Q. Dann t=0 exp(tξ) ist nach Satz 3.2.11, Teil v.) der Hamiltonsche Fluß zu J(ξQ ) gerade durch die Punkttransformation T∗ φexp(tξ) gegeben. Daher ist Φexp(tξ) tats¨achlich der Hamiltonsche Fluß zur Hamilton-Funktion J(ξQ ) = J(ξ). Weiter ist ξ → J(ξ) offenbar linear, womit J eine Impulsabbildung ist. Nach Proposition 3.2.8 und Proposition 3.3.27 gilt {J(ξ), J(η)} = {J(ξQ ), J(ηQ )} = −J ([ξQ , ηQ ]) = +J ([ξ, η]Q ) = J([ξ, η]), womit auch (3.237) gezeigt ist.

 

Als n¨ achstes wollen wir die Obstruktionen f¨ ur die Existenz einer Impulsabbildung zu einer gegebenen symplektischen G-Wirkung bestimmen. Folgendes Lemma ist eine kleine Umformulierung von bisherigen Resultaten: Lemma 3.3.40. Sei (M, ω) symplektisch. Ein Vektorfeld X ist genau dann symplektisch, wenn iX ω geschlossen ist, und Hamiltonsch, wenn iX ω exakt ist. Damit erh¨ alt man unmittelbar folgendes Kriterium f¨ ur die Existenz einer Impulsabbildung: Proposition 3.3.41. Sei Φ : G × M −→ M eine symplektische G-Wirkung auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit (M, ω). Es existiert genau dann eine Impulsabbildung J : M −→ g∗ f¨ ur Φ, falls es eine Basis e1 , . . . , eN von g gibt, so daß i(e )M ω exakt ist f¨ ur alle = 1, . . . , N .

3.3 Impulsabbildungen und Phasenraumreduktion

179

Folgerung 3.3.42. Sei Φ : G × M −→ M eine symplektische G-Wirkung. Dann sind folgende Bedingungen hinreichend f¨ ur die Existenz einer Impulsabbildung: i.) H1dR (M ) = {0}. ii.) [g, g] = g (Lie-Algebren mit dieser Eigenschaft heißen vollkommen). Beweis. Der erste Teil ist klar, da mit H1dR (M ) = {0} jedes symplektische Vektorfeld Hamiltonsch ist. Der zweite Teil folgt aus der Beobachtung, daß die Lie-Klammer symplektischer Vektorfelder Hamiltonsch ist, siehe Satz 3.1.12, Teil iii.). Sei also e1 , . . . , eN eine Basis von g und seien ξ,i und η,i mit  [ξ,i , η,i ] e = gegeben. Dann gilt (e )M = − ist.



i

i [(ξ,i )M , (η,i )M ],

womit (e )M Hamiltonsch  

Die kanonische Impulsabbildung f¨ ur Punkttransformationen von T ∗ Q, al∗ so nach T Q geliftete G-Wirkungen auf Q, besitzt eine weitere Eigenschaft, n¨ amlich {J(ξ), J(η)} = J([ξ, η]). (3.238) Damit ist ξ → J(ξ) ein Homomorphismus von Lie-Algebren g −→ C ∞ (M ) in die Poisson-Algebra C ∞ (M ). Wir wollen nun untersuchen, ob dies immer der Fall ist beziehungsweise die Obstruktionen daf¨ ur bestimmen. Um diese genauer fassen zu k¨ onnen, ben¨ otigen wir die (skalare) Lie-Algebrenkohomologie von g. Definition 3.3.43 (Chevalley-Eilenberg-Operator). Sei g eine (reelle, endlichdimensionale) Lie-Algebra und C • (g, ) = Λ• g∗ die GrassmannAlgebra ¨ uber g∗ . Dann definiert man den Chevalley-Eilenberg-Operator δCE : C • (g, durch (δCE α)(ξ0 , . . . , ξk ) =



) −→ C •+1 (g,

)

(3.239)

  j i (−1)i+j α [ξi , ξj ], ξ0 , . . . , ∧, . . . , ∧, . . . , ξk , (3.240)

i 0. Dann gibt es n Vektorfelder X1 , . . . , Xn ∈ Γ∞ (T n ) mit Tr¨ager in BR (0), welche bei 0 linear unabh¨angig sind und [Xi , Xj ] = 0

(4.46)

f¨ ur alle i, j = 1, . . . , n erf¨ ullen. Der Beweis des Lemmas nach [45] wird in Aufgabe 4.5 und 4.6 besprochen. Insbesondere kann man annehmen, daß Xi (0) = ei , womit die Definition π=

1 ij π Xi ∧ Xj 2 p

offenbar ein Bivektorfeld mit kompaktem Tr¨ ager in BR (0) ist. Die Eigenschaft π, π = 0 folgt nun unmittelbar aus (4.46), womit die Proposition bewiesen ist.   Poisson-Quotienten Sei (M, π) eine Poisson-Mannigfaltigkeit, auf der eine Lie-Gruppe G mit einer Wirkung Φ : G × M −→ M von links wirkt. Die Wirkung heißt PoissonWirkung, falls f¨ ur alle g ∈ G (4.47) Φ∗g π = π gilt. Dies stellt die offensichtliche Verallgemeinerung einer symplektischen GWirkung dar. Insbesondere gilt Φ∗g {f, h} = {Φ∗g f, Φ∗g h}

(4.48)

f¨ ur alle f, h ∈ C ∞ (M ) und g ∈ G. Proposition 4.1.22. Sei (M, π) eine Poisson-Mannigfaltigkeit und Φ : G × M −→ M eine Poisson-Wirkung einer Lie-Gruppe G auf M . Ist Φ eigentlich und frei, so ist der Quotient M G eine Poisson-Mannigfaltigkeit mit einer durch (4.49) {pr∗ f, pr∗ g}M = pr∗ {f, g}M/G eindeutig bestimmten Poisson-Struktur πM/G . Hier bezeichnet pr : M −→

M G die Projektion. Beweis. Der Beweis ist denkbar einfach. Man u ¨berlegt sich zun¨achst leicht, ∞ daß eine Funktion F ∈ C (M ) genau dann von der Form F = pr∗ f mit

∞ f ∈ C (M G) ist, wenn F eine G-invariante Funktion ist: sicherlich ist F = pr∗ f eine G-invariante Funktion. Ist umgekehrt F invariant unter G,

so ist f (pr(p)) = F (p) eine wohl-definierte Funktion auf M G. Die Glattheit von f folgt, da pr unter der Voraussetzung einer freien und eigentlichen Wirkung eine surjektive Submersion ist, siehe Satz 3.3.18, womit Aufgabe 2.7 zur Anwendung kommen kann. Damit ist also zun¨achst allgemein gezeigt, daß

4.1 Poisson-Mannigfaltigkeiten

C ∞ (M )G = pr∗ C ∞ (M G).

225

(4.50)

Hier bezeichnet C ∞ (M )G die G-invarianten Funktionen auf M . Aus (4.48) folgt aber sofort, daß die invarianten Funktionen eine Poisson-Unteralgebra sind, siehe auch Aufgabe 3.30. Somit wird auch C ∞ (M G) zu einer PoissonAlgebra, indem man pr∗ zu einem Poisson-Algebraisomorphismus erkl¨art. Da mit ist M G aber eine Poisson-Mannigfaltigkeit und die so erhaltene PoissonStruktur ist offenbar durch (4.49) eindeutig festgelegt.   Betrachtet man insbesondere eine symplektische Mannigfaltigkeit (M, ω) mit einer symplektischen G-Wirkung, so erh¨alt man im allgemeinen keine

symplektische Mannigfaltigkeit M G. Dies wird in Aufgabe 3.26 und Aufgabe 4.9 am Beispiel des Kotangentenb¨ undels T ∗ G und der kanonischen GWirkung durch Punkttransformationen gezeigt. 4.1.4 Symplektische Bl¨ atterung und das Splitting -Theorem Dieser Abschnitt erl¨ autert (im wesentlichen ohne Beweise), wie eine PoissonMannigfaltigkeit kanonisch in symplektische Untermannigfaltigkeiten verschiedener Dimension zerbl¨ attert“ wird. Die zentralen Begriffe hierzu sind ” die einer singul¨ aren Distribution und einer singul¨aren Bl¨atterung. Da die Beweise der folgenden Aussagen technisch und lang sind, sei auf die Literatur verwiesen, insbesondere auf [235, Sect. 3.18–3.25 und Thm. S3.5]. Mit Xloc (M ) werden die auf offenen Teilmengen von M definierten glatten Vektorfelder bezeichnet. Ein Element X ∈ Xloc (M ) definiert also zun¨achst einen Definitionsbereich U ⊆ M , so daß X ∈ Γ∞ (T U ). Definition 4.1.23 (Glatte Distribution). Sei M eine Mannigfaltigkeit. i.) Eine Distribution E auf M ist eine Teilmenge E ⊆ T M mit π(E) = M , so daß Ep = π −1 ({p}) ⊆ Tp M f¨ ur alle p ∈ M ein Untervektorraum ist. ii.) Eine Distribution E ⊆ T M heißt glatt, falls es zu jedem Punkt p ∈ M lokal um p definierte Vektorfelder X1 , . . . , Xk ∈ Xloc (M ) gibt, so daß Ep von X1 (p ), . . . , Xk (p ) f¨ ur alle p in einer offenen Umgebung U von p aufgespannt wird. Mit XE ⊆ Xloc (M ) wird die Teilmenge aller lokal deur alle Punkte p finierten Vektorfelder X bezeichnet, so daß X(p) ∈ Ep f¨ im Definitionsbereich von X gilt. iii.) Eine glatte Distribution E heißt regul¨ar, falls dim Ep konstant ist. Anderenfalls heißt E singul¨ar. Bemerkung 4.1.24 (Regul¨are und singul¨are Distributionen). i.) In der Definition einer glatten Distribution wird nicht verlangt, daß die lokalen Vektorfelder X1 , . . . , Xk auf U punktweise linear unabh¨angig sind. Dies l¨ aßt sich im f¨ ur uns interessanten Fall einer singul¨aren Distribution im allgemeinen auch nicht erreichen.

226

4 Poisson-Geometrie

ii.) Wenn E glatt ist, so findet man auch global definierte Vektorfelder, welche E punktweise aufspannen: Seien X1 , . . . , Xk auf U ⊆ M definierte glatte Vektorfelder mit der Eigenschaft, daß Ep = span{X1 (p), . . . , Xk (p) | p ∈ U }. Sei weiter χ eine Abschneidefunktion mit χ(p0 ) = 1 und supp χ ⊂ U , wobei p0 ∈ U ein fest gew¨ ahlter Punkt ist. Dann spannen die global erkl¨ arten Vektorfelder χX1 , . . . , χXk ∈ Γ∞ (T M ) die Distribution E auf einer im allgemeinen kleineren offenen Umgebung von p0 auf. Da man aber solche Vektorfelder X1 , . . . , Xk und eine offene Umgebung U f¨ ur jeden Punkt der Mannigfaltigkeit finden kann, folgt die Behauptung. Trotzdem ist es manchmal vorteilhaft, nur auf einer offenen Umgebung definierte Vektorfelder zu verwenden. iii.) Eine regul¨ are Distribution E ist dasselbe wie ein Untervektorb¨ undel von T M . Man erh¨ alt eine Untervektorb¨ undelkarte auf folgende Weise: Sei p0 ∈ M vorgegeben und seien X1 , . . . , Xk lokal um p0 definierte Vektorfelder, welche Ep f¨ ur p ∈ U  aufspannen. Ist die Faserdimension der Distribution k, so kann man k Vektorfelder ausw¨ahlen, welche bei p0 linear unabh¨ angig sind und Ep0 immer noch aufspannen. Da die lineare Unabh¨ angigkeit eine stetige Bedingung ist, sind diese k Vektorfelder auch auf einer eventuell kleineren Umgebung U linear unabh¨angig. Da aber die Bilder in Ep liegen und Ep konstante Dimension k hat, spannen sie Ep nach wie vor auf, f¨ ur alle p ∈ U . Wir k¨onnen daher annehmen, daß ahlt ist. Durch Hinzunahme von k = k  und U = U  bereits richtig“ gew¨ ” n−k lokalen Vektorfeldern erh¨ alt man, wieder auf einer eventuell kleineren Umgebung, Basisvektorfelder X1 , . . . , Xk , Xk+1 , . . . , Xn von T U . Dann ist durch ϕ : T U −→ U × n mit v → (π(v), v 1 , . . . , v k , v k+1 , . . . , v n ), wobei v = v i Xi (π(v)), eine glatte Untervektorb¨ undelkarte von E definiert. Dies erreicht man nach Voraussetzung um jeden Punkt p0 . Das f¨ ur die Poisson-Geometrie entscheidende Beispiel ist durch das Bild eines Vektorb¨ undelhomomorphismus gegeben. Allgemein hat man folgende Aussage, welche das Bildb¨ undel aus Abschnitt 2.2.2 verallgemeinert: Proposition 4.1.25. Sei F −→ M ein Vektorb¨ undel und φ : F −→ T M ein Vektorb¨ undelhomomorphismus (¨ uber der Identit¨at id : M −→ M ). Dann ist E = im φ ⊆ T M

(4.51)

eine glatte Distribution, welche genau dann regul¨ar ist, wenn φ konstanten Rang hat. Beweis. Sei p ∈ M und seien e1 , . . . , eN lokale Basisschnitte von F , definiert auf einer offenen Umgebung U ⊆ M von p. Dann sind die Abbildungen φ ◦ e1 , . . . , φ ◦ eN glatte, auf U definierte Schnitte von T U , denn πT M ◦ φ = πF , da φ ein Vektorb¨ undelhomomorphismus u ¨ ber der Identit¨at ist. Weiter wird ur alle p ∈ U von den Schnitten φ◦e1 , . . . , φ◦eN aufgespannt, da E p = φ(Fp ) f¨ φ F  linear ist und die Vektoren e1 (p ), . . . , eN (p ) eine Basis von Fp bilden. p

4.1 Poisson-Mannigfaltigkeiten

227

Somit hat man die ben¨ otigten lokalen glatten Schnitte gefunden, die E zu einer glatten Distribution machen. Da dim Ep = rang φ Fp f¨ ur alle p ∈ M , folgt auch die zweite Behauptung.   Das folgende Beispiel zeigt, wieso im allgemeinen singul¨are Distributionen in der Poisson-Geometrie eine Rolle spielen: Beispiel 4.1.26 (Singul¨are Distribution einer Poisson-Mannigfaltigkeit). F¨ ur eine Poisson-Mannigfaltigkeit (M, π) ist im ⊆ T M eine glatte, im allgemeinen singul¨ are Distribution auf M , wobei : T ∗ M −→ T M der durch π induzierte Vektorb¨ undelhomomorphismus ist. Definition 4.1.27 (Involutive und integrable Distributionen). Sei E eine glatte Distribution auf M . i.) Eine Integralmannigfaltigkeit (N, ι) von E ist eine zusammenh¨angende immersierte Untermannigfaltigkeit ι : N %→ M von M , so daß Tp ι(Tp N ) = Eι(p)

(4.52)

f¨ ur alle p ∈ N . ii.) E heißt integrabel, falls es durch jeden Punkt p ∈ M eine Integralmannigfaltigkeit gibt. iii.) E heißt involutiv, falls E von einer Teilmenge V ⊆ XE aufgespannt wird, so daß f¨ ur X, Y ∈ V auch [X, Y ] ∈ V gilt, wobei die Lie-Klammer [X, Y ] entsprechend auf dem Durchschnitt der jeweiligen Definitionsbereiche von X und Y erkl¨art ist. Man kann nun zeigen, daß wenn p ∈ M u ¨ berhaupt in einer Integralmannigfaltigkeit liegt, dann auch in einer eindeutig bestimmten maximalen Integralmannigfaltigkeit, dem Blatt durch p. Weiter kann man zeigen, daß sich die Bedingung an eine Integralmannigfaltigkeit, immersiert zu sein, versch¨arfen l¨aßt, indem man initiale Untermannigfaltigkeiten betrachtet, siehe [235, Def. 2.14 und Thm. 3.22]. Der folgende nichttriviale Satz von Stefan und Sussman zeigt, unter welchen Umst¨ anden eine Distribution integrabel ist: Satz 4.1.28 (Stefan-Sussman-Theorem). Sei E eine glatte Distribution, welche von einer involutiven Teilmenge V ⊆ XE aufgespannt wird. Gilt dann, daß die Faserdimensionen von E l¨angs der Flußlinien von Vektorfeldern in V konstant sind, so ist E integrabel. Einen Beweis einschließlich einer weiterf¨ uhrenden Diskussion findet man beispielsweise in [235, Thm. 3.25]. Man beachte, daß die Flußlinien von Vektorfeldern in XE immer innerhalb eines bestimmten Blattes verlaufen. Die Idee ist daher, das Blatt durch p auszusch¨ opfen, indem man allen m¨oglichen Flußlinien von Vektorfeldern in XE folgt, die in p starten. Ist insbesondere E regul¨ ar, so sind die Faserdimensionen u ¨ berhaupt konstant. Daher ist die Involutivit¨ at bereits hinreichend f¨ ur die Integrabilit¨at. Dies ist der klassische Satz von Frobenius, siehe beispielsweise [235, Sect. 3.27] und [316, Thm. 1.60]:

228

4 Poisson-Geometrie

Korollar 4.1.29 (Frobenius-Theorem). Ist E eine regul¨are Distribution, so ist E genau dann integrabel, wenn E involutiv ist. Das Frobenius-Theorem besagt dar¨ uberhinaus, daß man angepaßte Koordinatensysteme um jeden Punkt p finden kann, so daß p ∈ U ⊆ M mit einer Karte (U, (x, y)), so daß lokal die Bl¨ atter durch y = const beschrieben werden, siehe auch Abbildung 4.2. Global kann durchaus ein Blatt N zu verschiedenen Werten von y in die Karte zur¨ ucklaufen“. ”

(x, y)

y

p

N U

M

x Abb. 4.2. Eine Bl¨ atterungskarte

Eine integrable Distribution E liefert also eine Zerlegung von M in immersierte Untermannigfaltigkeiten, die Bl¨atter. Eine derartige Zerlegung heißt auch Bl¨atterung von M . Im allgemeinen ist die Dimension der Untermannigfaltigkeiten nicht konstant, siehe Abbildung 4.3.

Blatt durch p

Ep p Ep’ p’

Blätter niedrigerer Dimension

Abb. 4.3. Eine (singul¨ are) Bl¨ atterung

4.1 Poisson-Mannigfaltigkeiten

229

Beispiel 4.1.30. Sei X ∈ Γ∞ (T M ) ein Vektorfeld mit Fluß Φt und Ep der von X(p) ∈ Tp M erzeugte Untervektorraum. Das definiert offenbar eine glatte Distribution. Besitzt X Nullstellen, so ist E singul¨ar. Im allgemeinen ist E involutiv, da trivialerweise [X, X] = 0 gilt und somit V = {X} gew¨ahlt werden kann. Weiter gilt allgemein Φ∗t X = X, so daß die Faserdimension von E l¨angs der Flußlinien von X konstant ist, also entweder 0 bei den Nullstellen von X, die den Fixpunkten von Φt entsprechen, oder 1 an den Stellen mit X(p) = 0. Nach Satz 4.1.28 ist E daher integrabel. Dies sieht man selbstverst¨andlich auch direkt, da die Integralmannigfaltigkeiten von E gerade die Flußlinien beziehungsweise Fixpunkte von Φt sind, siehe Abbildung 4.4. Am Beispiel des irrationalen Flusses auf dem Torus sieht man auch, daß Integralmannigfaltigkeiten im allgemeinen nicht eingebettete Untermannigfaltigkeiten sein k¨ onnen. Das Stefan-Sussman-Theorem impliziert in diesem Sinne insbesondere den Satz von Picard-Lindel¨ of.

Abb. 4.4. Ein hyperbolischer Fixpunkt

Wir kommen nun zum Fall einer Poisson-Mannigfaltigkeit (M, π) zur¨ uck. Die glatte Distribution aus Beispiel 4.1.26 stellt sich dabei als integrabel heraus: Satz 4.1.31 (Symplektische Bl¨ atterung). Sei (M, π) eine Poisson-Mannigfaltigkeit. Dann gilt: i.) Die Hamiltonschen Vektorfelder spannen die glatte Distribution im ⊆ T M auf. ii.) im ist involutiv und integrabel. iii.) Jedes Blatt L ⊆ M tr¨agt eine kanonische symplektische Struktur ωL , welche durch (4.53) ωL p (Xf (p), Xg (p)) = {f, g}(p) uglich wohl-definiert ist, wobei Xf , Xg die Hamiltonschen Vektorfelder bez¨ π zu Funktionen f, g ∈ C ∞ (M ) sind. Beweis. Die Differentiale df von Funktionen f ∈ C ∞ (M ) spannen lokal um jeden Punkt die Kotangentialr¨ aume auf. Nach Definition von im spannen

230

4 Poisson-Geometrie

daher die Vektorfelder (df ) = Xf lokal um jeden Punkt die Distribution im auf. Dies zeigt den ersten Teil. Da die Teilmenge aller Hamiltonschen Vektorfelder offenbar involutiv ist, nach [Xf , Xg ] = −X{f,g} , ist die Distribution involutiv. Um die Integrabilit¨ at zu zeigen, verwenden wir das Stefan-Sussman Kriterium. Wir m¨ ussen also zeigen, daß die Dimension von im l¨angs der Flußlinien von Hamiltonschen Fl¨ ussen konstant ist. Dies folgt aber direkt aus der Tatsache, daß Hamiltonsche Fl¨ usse insbesondere Poisson-Diffeomorphismen ur den Hasind. Zun¨ achst ist klar, daß dim(Tp∗ M ) = rang πp ist. Nun gilt f¨ miltonschen Fluß Φt zur Hamilton-Funktion f ∈ C ∞ (M ) aber Φ∗t π = π. Daher gilt f¨ ur alle t, f¨ ur die der (eventuell unvollst¨andige) Fluß definiert ist,

 −1 πp (αp , βp ) = (Φ∗t π)p (αp , βp ) = πΦt (p) αp ◦ TΦt (p) Φ−1 . t , βp ◦ TΦt (p) Φt ein linearer Isomorphismus ist, folgt rang πp = rang πΦt (p) f¨ ur Da TΦt (p) Φ−1 t alle t. Damit kann Satz 4.1.28 angewandt werden und im ist integrabel. Eine Poisson-Mannigfaltigkeit zerbl¨ attert also in immersierte Untermannigfaltigkeiten. Sei nun ιL : L %→ M ein solches Blatt dieser Bl¨atterung und sei p ∈ L. Da nach Identifikation mittels Tp ιL der Tangentialraum Tp L nach Definition eines Blattes gerade (Tp∗ M ) ist, gibt es also f¨ ur jeden Tangentialvektor vp ∈ Tp L eine Darstellung als Xf (p) mit einer Funktion f . Es ist also zu zeigen, daß (4.53) wohl-definiert ist und daß ωL tats¨achlich symplektisch ist. Sei also f, f  und g, g  ∈ C ∞ (M ) mit Xf (p) = Xf  (p) sowie Xg (p) = Xg (p). Dann gilt {f, g}(p) = df p (Xg (p)) = df p (Xg (p)) = {f, g  }(p) = −dg  p (Xf (p)) = −dg  p (Xf  (p)) = {f  , g  }(p), womit (4.53) wohl-definiert ist. Die Bilinearit¨ at von ωL p ist klar. Sei ein Tan ur alle Xg (p) gegeben. Dann gentialvektor Xf (p) mit ωL p (Xf (p), Xg (p)) = 0 f¨ gilt {f, g}(p) = 0 f¨ ur alle g und damit dg p (Xf (p)) = 0 f¨ ur alle g. Da aber die ∗ Differentiale dg p den Kotangentialraum Tp M aufspannen, folgt Xf (p) = 0. Da ιL : L %→ M eine injektive Immersion ist, k¨onnen wir mittels Tp ιL den Tangentialraum Tp L als Untervektorraum von Tp M identifizieren, und daher verschwindet Xf (p) auch als Tangentialvektor an L. Dies zeigt die Nichtausgeartetheit. F¨ ur die Geschlossenheit von ωL verwenden wir die Vektorfelder Xf , Xg und Xh , welche alle tangential an L sind, also Vektorfelder auf L liefern. Dann gilt nach Definition (dωL )(Xf , Xg , Xh ) = Xf (ωL (Xg , Xh )) + Xg (ωL (Xh , Xf )) + Xh (ωL (Xf , Xg )) − ωL ([Xf , Xg ], Xh ) − ωL ([Xg , Xh ], Xf ) − ωL ([Xh , Xf ], Xg ) = {f, {g, h}} + {g, {h, f }} + {h, {f, h}} + {{f, g}, h} + {{g, h}, f } + {{h, f }, g} = 0.

4.1 Poisson-Mannigfaltigkeiten

231

Bei der Rechnung haben wir mit einigem Notationsmißbrauch Tangentialvektoren in T L mit ihren Bildern unter der Tangentialabbildung T ιL in T M identifiziert. Da nun aber die Vektorfelder Xf , Xg , Xh an jedem Punkt den Tangentialraum an L aufspannen, folgt die Geschlossenheit.   Bemerkung 4.1.32. Sei (M, π) eine Poisson-Mannigfaltigkeit und ιL : L %→ M ein symplektisches Blatt. i.) Ist {·, ·}L die Poisson-Klammer zur symplektischen Form ωL auf L, so gilt {ι∗L f, ι∗L g}L = ι∗L {f, g}

(4.54)

f¨ ur alle f, g ∈ C ∞ (M ), siehe Aufgabe 4.8. ii.) Ist f ∈ H0π (M ) eine Casimir-Funktion auf M , so ist ι∗L f konstant, denn zum einen spannen die dι∗L g = ι∗L dg jeden Kotangentialraum auf, da ja Tp ι : Tp L %→ Tp M injektiv ist und damit (Tp ιL )∗ : Tp∗ M → Tp∗ L surjektiv ist. Zum anderen gilt 0 = ι∗L {f, g} = {ι∗L f, ι∗L g} = −(dι∗L g)(Xι∗L f ), womit das auf L gebildete Hamiltonsche Vektorfeld Xι∗L f verschwindet. Da L aber symplektisch und zusammenh¨ angend ist, folgt ι∗L f = const. Zu jeder Casimir-Funktion liegen die symplektischen Bl¨atter also immer in einer bestimmten Niveaufl¨ ache. iii.) Wir k¨ onnen die Aussage von Bemerkung 4.1.14 insofern versch¨arfen, als daß wir nun die symplektischen Bl¨ atter als verallgemeinerte, klassische Superauswahlregeln ansehen, da nach Konstruktion der symplektischen Bl¨ atter ein Hamiltonscher Fluß nie aus einem solchen Blatt herausf¨ uhren kann. Dies liefert offenbar eine im allgemeinen feinere Unterteilung des gesamten Phasenraums M als die Casimir-Funktionen durch ihre Urbildmengen zu bestimmten Werten. Beispiel 4.1.33 (Symplektische Bl¨atter in so(3)∗ ). Wir betrachten so(3) = wobei die Lie-Algebrastruktur bez¨ uglich der Standardbasis durch [ei , ej ] = kij ek

3

,

(4.55)

beschrieben wird. Da das Euklidische Skalarprodukt rotationsinvariant ist, k¨ onnen wir mit seiner Hilfe die Lie-Algebra mit ihrem Dualraum identifizieren. Die resultierende lineare Poisson-Klammer auf 3 wie in Abschnitt 4.1.3 ist daher explizit durch {f, g}(x) = xk kij

∂f ∂g (x) (x) ∂xi ∂xj

(4.56)

gegeben. Eine leichte Rechnung zeigt, daß x2 eine Casimir-Funktion ist. Daher liegen die symplektischen Bl¨ atter innerhalb der Niveaufl¨achen von 2 x , also innerhalb des Ursprungs beziehungsweise der konzentrischen 2Sph¨ aren um den Ursprung. Da π(x) f¨ ur x = 0 nicht identisch verschwindet, m¨ ussen die symplektischen Bl¨ atter mindestens zweidimensional sein. Damit folgt aber insgesamt, daß die symplektischen Bl¨atter mit den Sph¨aren

232

4 Poisson-Geometrie

ubereinstimmen, denn sie m¨ ussen offenbar offene Teilmengen der Sph¨aren ent¨ halten und die Rotationsinvarianz liefert, daß sie mit der jeweiligen ganzen Sph¨ are u ussen. Ausnahme bleibt der Ursprung 0, welcher ¨ bereinstimmen m¨ ein nulldimensionales symplektisches Blatt darstellt. Die symplektische Form, die durch (4.53) auf den Sph¨ aren definiert wird, stimmt bis auf ein radiusabh¨ angiges Vielfaches mit der symplektischen Struktur u ¨ berein, welche in Aufgabe 3.12 diskutiert wird. In Aufgabe 4.7 wird dieses Beispiel in einen gr¨ oßeren Zusammenhang gestellt werden. Wir schließen diesen Abschnitt mit Weinsteins Splitting-Theorem, welches lokal die Form einer Poisson-Mannigfaltigkeit beschreibt: Satz 4.1.34 (Splitting -Theorem). Sei (M, π) eine Poisson-Mannigfaltigkeit und p ∈ M . Dann existiert eine um p zentrierte Karte (U, (q, p, y)) mit (q, p, y) = (q 1 , . . . , q n , p1 , . . . , pn , y 1 , . . . , y  ), so daß n   ∂ ∂ 1  ij ∂ ∂ ∧ + ϕ (y) i ∧ j π (q, p, y) = i ∂q ∂pi 2 i,j=1 ∂y ∂y U i=1

(4.57)

mit ϕij (0) = 0. F¨ ur einen Beweis verweisen wir auf [73, Thm. 4.2] sowie auf [107] f¨ ur eine detailliertere Diskussion verschiedener Normalformentheoreme in der PoissonGeometrie. Letztlich beinhaltet dieses Theorem die selbe Aussage wie Satz 4.1.31, da aus (4.57) das symplektische Blatt L durch p zumindest lokal durch die Bedingung y 1 = · · · = y  = 0 beschrieben wird. Die auf L induzierte symplektische Form ist in dieser Untermannigfaltigkeitskarte dann einfach die kanonische symplektische Form in den Koordinaten (q, p). Lokal kann also eine Poisson-Mannigfaltigkeit als Kartesisches Produkt einer symplektischen Mannigfaltigkeit und einer Poisson-Mannigfaltigkeit mit einer an einem Punkt verschwindenden Poisson-Klammer geschrieben werden. In der Tat gilt lokal in den Koordinaten von Satz 4.1.34       ∂ ∂ ∂ 1 ∂ 1 (4.58) ϕij i ∧ j , ϕrs r ∧ s = 0, 2 i,j=1 ∂y ∂y 2 r,s=1 ∂y ∂y da π, π = 0, die Koordinatenvektorfelder alle ·, ·-kommutieren und die Funktionen ϕij nicht von den Koordinaten (q, p) abh¨angen. Das Splitting-Theorem kann auch als eine nichtlineare Verallgemeinerung von Proposition 4.1.17 gesehen werden, wo wir die Normalform von konstanten Poisson-Strukturen diskutiert haben. Angewandt auf eine symplektische Mannigfaltigkeit liefert das Splitting-Theorem gerade wieder das DarbouxTheorem.

4.1 Poisson-Mannigfaltigkeiten

233

4.1.5 Poisson-Abbildungen Da wir an der Funktionenalgebra C ∞ (M ) als der Poisson-Algebra der Observablen interessiert sind, ist es naheliegend, f¨ ur verschiedene Poisson-Mannigfaltigkeiten (M1 , π1 ) und (M2 , π2 ) Poisson-Algebrahomomorphismen ϕ : C ∞ (M2 ) −→ C ∞ (M1 )

(4.59)

zu betrachten, also lineare Abbildungen ϕ mit den beiden Eigenschaften ϕ(f g) = ϕ(f )ϕ(g)

(4.60)

ϕ({f, g}2 ) = {ϕ(f ), ϕ(g)}1

(4.61)

f¨ ur alle f, g ∈ C ∞ (M2 ). Im Falle komplexwertiger Funktionen verlangen wir zudem noch ϕ(f ) = ϕ(f ). Auf diese Weise erh¨alt man ganz allgemein unabh¨ angig davon, ob die Poisson-Algebra eine Funktionenalgebra ist, die gute und naheliegende Definition eines Morphismus f¨ ur Poisson-Algebren. Dies definiert die Kategorie der Poisson-Algebren Poisson beziehungsweise der ur den Fall C ∞ (M ) die LiPoisson-∗-Algebren ∗ Poisson. Es zeigt sich, daß f¨ nearit¨ at von ϕ zusammen mit (4.60) bereits impliziert, daß ϕ der pull-back mit einer glatten Abbildung Φ : M1 −→ M2 ist (Milnor’s Exercise, siehe Bemerkung 2.1.30). Dies motiviert folgende Definition, welche die PoissonDiffeomorphismen verallgemeinert: Definition 4.1.35 (Poisson-Abbildung). Seien (M1 , π1 ) und (M2 , π2 ) zwei Poisson-Mannigfaltigkeiten und sei Φ : M1 −→ M2 eine glatte Abbildung. Dann heißt Φ Poisson-Abbildung, falls Φ∗ {f, g}2 = {Φ∗ f, Φ∗ g}1

(4.62)

f¨ ur alle f, g ∈ C ∞ (M2 ). Poisson-Abbildungen sind also die geometrische Version von Poisson-Algebrahomomorphismen. Bevor wir uns den Beispielen zuwenden, geben wir zun¨achst einige ¨aquivalente Umformulierungen. Zwei beliebige k-fach kontravariante Tensorfelder X1 ∈ Γ∞ (T k T M1 ) und X2 ∈ Γ∞ (T k T M2 ) heißen Φ-verwandt, falls   (4.63) (Tp Φ ⊗ · · · ⊗ Tp Φ) X1 p = X2 Φ(p) f¨ ur alle p ∈ M1 gilt. Dies verallgemeinert den Begriff von Φ-verwandten Vektorfeldern, wie er in Aufgabe 2.8 diskutiert wird. F¨ ur einen Diffeomorphismus Φ gilt, daß X1 genau dann Φ-verwandt zu X2 ist, falls Φ∗ X1 = X2 gilt, was unmittelbar aus der Definition folgt. Da im allgemeinen aber kein push-forward oder pull-back von kontravarianten Tensorfeldern definiert werden kann, stellt die obige Relation eine nichttriviale Erweiterung f¨ ur glatte Abbildungen Φ dar, die keine Diffeomorphismen zu sein brauchen.

234

4 Poisson-Geometrie

Satz 4.1.36 (Poisson-Abbildungen). Sei Φ : (M1 , π1 ) −→ (M2 , π2 ) eine glatte Abbildung zwischen zwei Poisson-Mannigfaltigkeiten. Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent: i.) Die Abbildung Φ ist eine Poisson-Abbildung. ii.) Die Hamiltonschen Vektorfelder XΦ1 ∗ f und Xf2 sind f¨ ur alle f ∈ C ∞ (M2 ) Φ-verwandt. iii.) Die Poisson-Tensoren π1 und π 2 sind Φ-verwandt. ur alle p ∈ M1 . iv.) Es gilt Tp Φ ◦ 1 p ◦ (Tp Φ)∗ = 2 Φ(p) f¨ Beweis. Wir zeigen i.) ⇒ ii.) ⇒ iii.) ⇒ iv.) ⇒ i.) . Sei also zun¨achst {Φ∗ f, Φ∗ g}1 = Φ∗ {f, g}2 . Dann gilt f¨ ur alle p ∈ M1   df Φ(p) Xg2 Φ(p) = (df (Xg2 )) Φ(p) = Φ∗ (df (Xg2 ))(p) = (Φ∗ {f, g}2 )(p) = {Φ∗ f, Φ∗ g}1 (p)   = (dΦ∗ f ) p XΦ1 ∗ g p   = (Φ∗ df ) p XΦ1 ∗ g p    = df Φ(p) Tp Φ XΦ1 ∗ g p . ∗ Da die df Φ(p) den Kotangentialraum TΦ(p) M2 aufspannen, folgt Xg2 Φ(p) =   Tp Φ XΦ1 ∗ g p , also ii.). Mit ii.) gilt   π2 Φ(p) , df Φ(p) = Xf2 Φ(p)   = Tp Φ XΦ1 ∗ f p    = Tp Φ π1 p , (dΦ∗ f ) p    , (Φ∗ df ) p = Tp Φ π1 p    = Tp Φ π1 p , df Φ(p) ◦ Tp Φ      , df Φ(p) , = (Tp Φ ⊗ Tp Φ) π1 p wobei die letzte Gleichung ganz allgemein f¨ ur Tensorprodukte von Abbildun∗ gen gilt. Damit folgt iii.). Wir nehmen nun iii.) an. Sei also α ∈ TΦ(p) M2 . Dann gilt Tp Φ ◦ 1 p ◦ (Tp Φ)∗ α = Tp Φ ◦ 1 p (α ◦ Tp Φ)   = Tp Φ π1 p ( , α ◦ Tp Φ)

4.1 Poisson-Mannigfaltigkeiten

235

   = (Tp Φ ⊗ Tp Φ) π1 p ( , α) = π2 p ( , α) = α2 , womit iv.) folgt. Schließlich zeigt man unter der Annahme von iv.), daß   {Φ∗ f, Φ∗ g}1 (p) = (dΦ∗ f ) p XΦ1 ∗ g p    = (Φ∗ df ) p (dΦ∗ g) 1 p    = df Φ(p) Tp Φ (dΦ∗ g)1 p     = df Φ(p) Tp Φ (dg ◦ Tp Φ) 1 p   = df Φ(p) (dg)2 Φ(p)   = df Φ(p) Xg2 Φ(p) = (Φ∗ {f, g}) (p), also i.).

 

Bemerkung 4.1.37 (Die Poisson-Kategorie). Da die Hintereinanderausf¨ uhrung von Poisson-Abbildungen wieder eine Poisson-Abbildung ist, was unmittelbar aus der Definition folgt, und die Identit¨at idM : (M, π) −→ (M, π) ebenfalls eine Poisson-Abbildung ist, folgt, daß die Poisson-Abbildungen die Morphismen einer Kategorie sind: Als Objekte nimmt man Poisson-Mannigfaltigkeiten und als Morphismen die Poisson-Abbildungen. Diese PoissonKategorie PoissonMf ist in vielerlei Hinsicht reichhaltiger als ihr symplektisches Analogon, da es nun nicht nur sehr viel mehr Objekte sondern auch mehr Morphismen zwischen den Objekten gibt. Offenbar ist es genau diese Kategorie, welche uns interessieren sollte, da sie gerade die klassischen Observablenalgebren mit ihren Poisson-Algebrahomomorphismen beschreibt. Die Zuordnung (M, π) → (C ∞ (M ), {·, ·}) und (Φ : (M1 , π1 ) −→ (M2 , π2 )) → (Φ∗ : C ∞ (M2 ) −→ C ∞ (M1 )) liefert dann einen kontravarianten Funktor PoissonMf −→ Poisson. Wir kommen nun zu den Beispielen. Das wichtigste Beispiel sind ad∗ aquivariante Impulsabbildungen: ¨ Proposition 4.1.38. Sei Φ : G × M −→ M eine symplektische G-Wirkung auf (M, ω) und J : M −→ g∗ eine Impulsabbildung f¨ ur Φ. Dann ist ¨aquivalent: i.) J ist ad∗ -¨aquivariant, also {J(ξ), J(η)} = J([ξ, η]) f¨ ur alle ξ, η ∈ g. ii.) J ist eine Poisson-Abbildung bez¨ uglich der kanonischen linearen PoissonStruktur auf g∗ , also {J ∗ f, J ∗ g}M = J ∗ {f, g}g∗

236

4 Poisson-Geometrie

∗ Beweis. Sei p ∈ M und die Impulsabbildung wollen sei ad -¨aquivariant. Dann ∗ wir zeigen, daß (Tp J ⊗ Tp J)(πM p ) = πg∗ J(p) . Sei also ξ, η ∈ TJ(p) g∗ = g

gegeben und J(ξ), J(η) ∈ Pol1 (g∗ ) die entsprechenden linearen Funktionen achst J ∗ J(ξ) = J(ξ). Mit der u auf g ∗ . Dann gilt zun¨ ¨blichen Identifikation dJ(ξ) α = ξ folgt weiter    (Tp J ⊗ Tp J) πM p dJ(ξ) J(p) , dJ(η) J(p)   = πM p (Tp J)∗ dJ(ξ) J(p) , (Tp J)∗ dJ(η) J(p)   = πM p (J ∗ dJ(ξ)) p , (J ∗ dJ(η)) p   = πM dJ ∗ J(ξ) , dJ ∗ J(η) p

∗

p

p

∗

= {J J(ξ), J J(η)}M (p) = J([ξ, η])(p) = {J(ξ), J(η)}g∗ (J(p))   = πg∗ J(p) dJ(ξ) J(p) , dJ(η) J(p) . Da ξ, η beliebig sind, folgt nach Satz 4.1.36, daß J eine Poisson-Abbildung ist. Sei also umgekehrt J eine Poisson-Abbildung und ξ, η ∈ g∗ . Dann liefert die Definition von J(ξ) die Gleichung J ∗ ({J(ξ), J(η)}g∗ ) (p) = J ∗ (J([ξ, η])) (p) = J([ξ, η])(p). Andererseits gilt {J ∗ J(ξ), J ∗ J(η)}M (p) = {J(ξ), J(η)}M (p), womit J eine aquivariante Impulsabbildung ist.   ad∗ -¨ Neben den Impulsabbildungen gibt es aber auch noch weitere wichtige Beispiele, die wir schon in anderen Zusammenh¨angen gesehen haben: Beispiel 4.1.39 (Poisson-Abbildungen). i.) Sei Φ : G × M −→ M eine eigentliche und freie Poisson-Wirkung von G auf (M, π) und sei (M G, πM/G ) der zugeh¨orige Poisson-Quotient. Dann ist die Quotientenabbildung

pr : (M, π) −→ (M G, πM/G ) (4.64) eine Poisson-Abbildung, siehe Proposition 4.1.22, Gleichung (4.49). Die Poisson-Struktur πM/G f¨ ur M G war ja gerade durch diese Bedingung definiert. ii.) Sei (M, π) eine Poisson-Mannigfaltigkeit und ιL : L %→ M ein symplektisches Blatt. Dann zeigt Bemerkung 4.1.32, Gleichung (4.54), daß die symplektische Struktur ωL auf L gerade so beschaffen ist, daß ιL eine Poisson-Abbildung ist.

4.2 Lie-Algebroide und Poisson-Kohomologie

237

iii.) Eine Poisson-Abbildung zwischen zwei symplektischen Mannigfaltigkeiten ist notwendigerweise eine Submersion, siehe Aufgabe 3.1. F¨ ur allgemeine Poisson-Mannigfaltigkeiten braucht dies nicht der Fall zu sein, wie die bisherigen Beispiele, insbesondere ii.), demonstrieren. Hier gibt es also viel mehr interessante“ Morphismen. ” Von besonderem Interesse sind Poisson-Abbildungen zwischen PoissonMannigfaltigkeiten, wo die eine Mannigfaltigkeit symplektisch ist. Die symplektischen Bl¨ atter ebenso wie die Impulsabbildungen sind Beispiele hierf¨ ur. Definition 4.1.40 (Symplektische Realisierung). Eine Poisson-Abbildung φ : (N, ω) −→ (M, π) mit (N, ω) symplektisch heißt symplektische Realisierung von (M, π). Nichttriviale symplektische Realisierungen erh¨alt man dann durch folgenden Satz von Weinstein und Karasev, siehe beispielsweise [73, Thm. 6.3]: Satz 4.1.41 (Surjektive submersive symplektische Realisierungen). Jede Poisson-Mannigfaltigkeit besitzt eine surjektive submersive symplektische Realisierung. Die Frage, ob es sogar eine vollst¨andige surjektive submersive symplektische Realisierung gibt, siehe Aufgabe 4.11 f¨ ur den Begriff einer vollst¨andigen Poisson-Abbildung, konnte erst k¨ urzlich umfassend beantwortet werden. Im allgemeinen gibt es Obstruktionen, welche in [86] detailliert charakterisiert werden. Bemerkung 4.1.42. Ist φ : (N, ω) −→ (M, π) eine surjektive submersive symplektische Realisierung von (M, π), so ist φ∗ : C ∞ (M ) −→ C ∞ (N )

(4.65)

ein injektiver Poisson-Algebrahomomorphismus. Man kann die Observablenalgebra C ∞ (M ) also als eine Unteralgebra von C ∞ (N ) auffassen, wobei letztere eben eine symplektische Poisson-Klammer ist. Dies liefert eine weitere Interpretation von Poisson-Mannigfaltigkeiten, n¨ amlich als (bestimmte) PoissonUnteralgebren von symplektischen Observablenalgebren. Es ist jedoch nicht ur symplektisches (N, ω) von dieser jede Poisson-Unteralgebra von C ∞ (N ) f¨ Form. Die polynomialen Funktionen auf 2n bilden ein Gegenbeispiel.

4.2 Lie-Algebroide und Poisson-Kohomologie In diesem Abschnitt diskutieren wir die Grundlagen der Theorie der LieAlgebroide mit einigen Beispielen, siehe beispielsweise [73, 216, 224, 238] f¨ ur weiterf¨ uhrende Literatur, um als die f¨ ur uns wichtigste Anwendung die Poisson-Kohomologie definieren zu k¨ onnen. Diese wird insbesondere in der formalen Deformationstheorie von Poisson-Strukturen und sp¨ater auch in der

238

4 Poisson-Geometrie

Deformationsquantisierung eine zentrale Rolle spielen. Die globale Theorie der Lie-Algebroide ist die Theorie der Lie-Gruppoide, auf welche hier nicht eingegangen werden kann. Wir verweisen stattdessen auf die ausf¨ uhrlichen Darstellungen in [73, 194, 224, 238] sowie die dort angegebene Literatur. 4.2.1 Lie-Algebroide Lie-Algebroide verallgemeinern zum einen Lie-Algebren, indem man die Strukturkonstanten punktabh¨ angig“ macht, zum anderen verallgemeinern sie das ” Tangentenb¨ undel T M −→ M . Dazu betrachtet man ein beliebiges (reelles) Vektorb¨ undel E −→ M u ¨ber einer Mannigfaltigkeit M . Man will nun aus den Schnitten Γ∞ (E) von E in sinnvoller Weise Tangentialvektorfelder, also Schnitte von T M konstruieren, so daß die wesentlichen Eigenschaften von ur Γ∞ (E) nachgebildet werden. Dies motiviert folgende Definition: Γ∞ (T M ) f¨ Definition 4.2.1 (Lie-Algebroid). Ein Lie-Algebroid ¨ uber M ist ein Vektorb¨ undel E −→ M zusammen mit einer Lie-Klammer [·, ·]E f¨ ur Γ∞ (E) und einem Vektorb¨ undelhomomorphismus  : E −→ T M , der Ankerabbildung, so daß folgende Leibniz-Regel [s, f t]E = f [s, t]E + ((s)f )t

(4.66)

f¨ ur s, t ∈ Γ∞ (E) und f ∈ C ∞ (M ) gilt. Hier und im folgenden bezeichnet (s) ∈ Γ∞ (T M ) den Schnitt  ◦ s von T M . Die folgenden noch recht trivialen Beispiele illustrieren in gewisser Weise die extremen“ F¨ alle eines Lie-Algebroids. Etwas kompliziertere und interessan” tere Beispiele werden wir sp¨ ater noch sehen: Beispiel 4.2.2 (Lie-Algebroide I). i.) Das Tangentenb¨ undel T M −→ M ist selbst ein Lie-Algebroid mit Anker  = idT M und der u ur Γ∞ (T M ). Dieser Fall soll¨blichen Lie-Klammer f¨ te durch den Begriff des Lie-Algebroids ja insbesondere verallgemeinert werden. Wir werden das Tangentenb¨ undel immer mit dieser kanonischen Lie-Algebroidstruktur versehen. ii.) Ist die Ankerabbildung  = 0, so ist die Lie-Klammer [·, ·]E funktionenlinear, also nach Satz 2.2.24 ein Tensorfeld. In diesem Fall ist also jede Faser Ep von E eine Lie-Algebra mit einer durch [·, ·]E induzierten LieAlgebrastruktur. Diese Lie-Algebrastruktur h¨angt glatt vom Fußpunkt p ∈ M ab, ist aber nicht notwendigerweise isomorph f¨ ur verschiedene Fußpunkte. Man erh¨ alt so ein B¨ undel von Lie-Algebren. iii.) Ist M = {pt} ein Punkt, so ist E −→ {pt} ein Vektorraum und eine Lie-Algebroidstruktur ist einfach eine Lie-Algebrastruktur auf E. Folgende einfache Beobachtung zeigt, daß die Ankerabbildung automatisch ein Homomorphismus von Lie-Algebren ist:

4.2 Lie-Algebroide und Poisson-Kohomologie

239

Proposition 4.2.3. Sei E −→ M ein Lie-Algebroid. Dann gilt ([s, t]E ) = [(s), (t)]

(4.67)

f¨ ur s, t ∈ Γ∞ (E). Beweis. Es gilt f¨ ur s, t, u ∈ Γ∞ (E) und f ∈ C ∞ (M ) [[s, t]E , f u]E = f [[s, t]E , u]E + ( ([s, t]E ) f )u und andererseits mit Hilfe der Jacobi-Identit¨ at und Leibniz-Regel f¨ ur [·, ·]E [[s, t]E , f u]E = [s, [t, f u]E ]E + [[s, f u]E , t]E = [s, f [t, u]E + ((t)f )u]E + [f [s, u]E + ((s)f )u, t]E = f [[s, t]E , u]E + ([(s), (t)] f ) u. Daraus folgt also, da (s) und (t) Vektorfelder sind und der Kommutator von Lie-Ableitungen der Lie-Klammer von Vektorfeldern entspricht, daß ur alle u ∈ Γ∞ (E). Da wir aber lokal u = 0 (([s, t]E )f ) u = ([(s), (t)] f ) u f¨ erreichen k¨ onnen, muß bereits ([s, t]E )f = [(s), (t)] f gelten. Damit folgt die Behauptung.   Diese Beobachtung erlaubt es uns, ein weiteres Beispiel f¨ ur Lie-Algebroide in die Liste mit aufzunehmen: Beispiel 4.2.4 (Lie-Algebroide II). iv.) Sei E −→ M ein Lie-Algebroid mit injektivem Anker  : E −→ T M . Dann kann man E als Untervektorb¨ undel E ⊆ T M betrachten und Proposition 4.2.3 zeigt, daß Γ∞ (E) unter der u ¨ blichen Lie-Klammer von Vektorfeldern abgeschlossen ist, also eine Lie-Unteralgebra von Γ∞ (T M ) liefert. Damit ist E ⊆ T M ein involutives Untervektorb¨ undel und somit, da der Rang sowieso konstant ist, integrabel. Umgekehrt ist nat¨ urlich jede involutive regul¨ are Distribution genau von dieser Form, so daß involutive regul¨ are Distributionen besonderen F¨ allen von Lie-Algebroiden entsprechen, eben jenen mit injektivem Anker. Allgemein erh¨ alt man immer eine singul¨ are aber involutive Distribution als Bild von  gem¨ aß Proposition 4.2.3. Folgerung 4.2.5. Sei E −→ M ein Lie-Algebroid ¨ uber M mit Anker . Dann ist (E) ⊆ T M eine involutive, im allgemeinen singul¨are Distribution. Es zeigt sich, siehe beispielsweise [73, Sect. 16.1], daß (E) sogar integrabel ist, also eine im allgemeinen singul¨ are Bl¨ atterung von M in immersierte Untermannigfaltigkeiten liefert. Man nennt diese Bl¨atter auch die Bahnen des Lie-Algebroids. Da Lie-Algebroide in gewisser Hinsicht das Tangentenb¨ undel ersetzen, kann man versuchen, die u ur Multivektor¨ blichen, kanonischen Strukturen f¨ felder und Differentialformen auch f¨ ur ein Lie-Algebroid nachzubauen. Da die

240

4 Poisson-Geometrie

Konstruktion der ¨ außeren Ableitung d und der Schouten-Nijenhuis-Klammer ·, · rein algebraisch ist, ist dies tats¨ achlich m¨ oglich. Weiter hatten wir in Proposition 3.2.8 gesehen, daß die Lie-Klammer von Vektorfeldern vollst¨andig in der kanonischen, symplektischen Poisson-Mannigfaltigkeit T ∗ Q kodiert ist, da {J(X), J(Y )} = −J([X, Y ]) und ebenso {J(X), π ∗ f } = −π ∗ LX f f¨ ur alur ein le X, Y ∈ Γ∞ (T Q) und f ∈ C ∞ (Q) gilt. Dies legt nahe, daß auch f¨ allgemeines Lie-Algebroid E auf dem dualen Vektorb¨ undel E ∗ −→ M eine Poisson-Struktur existiert, welche ihrerseits E als Lie-Algebroid charakterisiert. Der folgende Satz zeigt, daß dies in der Tat der Fall ist: Satz 4.2.6. Sei π : E −→ M ein Vektorb¨ undel ¨ uber M . Dann sind folgende Aussagen beziehungsweise Strukturen ¨aquivalent: i.) E ist ein Lie-Algebroid mit Lie-Klammer [·, ·]E und Anker . ii.) Γ∞ (Λ• E) ist eine Gerstenhaber-Algebra mit dem assoziativen Produkt ∧ und einer Gerstenhaber-Klammer ·, ·E . iii.) Γ∞ (Λ• E ∗ ) ist eine differentielle gradierte Algebra mit einem Differential dE bez¨ uglich ∧ vom Grad +1. iv.) E ∗ ist eine Poisson-Mannigfaltigkeit mit einer Poisson-Klammer {·, ·}E , so daß   Polk (E ∗ ), Pol (E ∗ ) ⊆ Polk+−1 (E ∗ ), (4.68) f¨ ur alle k, ∈

E

0.

Die Beziehungen zwischen den einzelnen Strukturen sind dabei folgende, jeweils ausgedr¨ uckt durch die Lie-Algebroidstrukturen [·, ·]E und : •

Die Gerstenhaber-Klammer ·, ·E ist durch f, sE = −(s)f = − s, fE ,

•

s, tE = [s, t]E , (4.69) sowie die kanonische Fortsetzung auf Γ∞ (Λ• E) mittels der Super-LeibnizRegel festgelegt. Das Differential dE ist durch (dE α)(s0 , . . . , sk ) =

k 

f, gE = 0

und

  i (−1)i (si ) α(s0 , . . . , ∧, . . . , sk )

i=0

+



  j i (−1)i+j α [si , sj ]E , s0 , . . . , ∧, . . . , ∧, . . . , sk

i 0 wird C0∞ (Q) gem¨aß Bemerkung 2.3.41 mittels des Skalarprodukts φψμ (5.181) φ, ψ = Q

zu einem Pr¨ a-Hilbert-Raum. Um nun das Adjungierte von Std (f ) bez¨ uglich (5.181) berechnen zu k¨ onnen, ben¨ otigen wir zun¨achst folgendes Lemma: Lemma 5.4.17. Sei ∇ eine torsionsfreie kovariante Ableitung auf Q und μ ∈ Γ∞ (|Λn |T ∗ Q) eine positive Dichte. Dann definiert α(X) =

∇X μ μ

(5.182)

eine Einsform α ∈ Γ∞ (T ∗ Q) und es gilt tr R = −dα,

(5.183)

wobei (tr R)(X, Y ) = tr(Z → R(X, Y )Z) die Spur des Kr¨ ummungstensors R von ∇ ist.

5.4 Geometrische Verallgemeinerung: Kotangentenb¨ undel

349

Beweis. Zun¨ achst ist klar, daß f¨ ur jedes X ∈ Γ∞ (T Q) durch (5.182) eine glatte Funktion α(X) definiert wird, da μ eine positive Dichte ist und somit μ−1 eine positive (−1)-Dichte ist. Weiter ist α(X) im Argument X sogar C ∞ (Q)-linear, da die kovariante Ableitung diese Eigenschaft besitzt. Es folgt, daß α eine Einsform ist. F¨ ur (5.183) rechnet man nach, daß R1 (X, Y )μ = ∇X ∇Y μ − ∇Y ∇X μ − ∇[X,Y ] μ = ∇X (α(Y )μ) − ∇Y (α(X)μ) − α([X, Y ])μ = X(α(Y ))μ + α(Y )α(X)μ − Y (α(X))μ − α(X)α(Y )μ − α([X, Y ])μ = (dα)(X, Y )μ, ummungstensor des induzierten wobei R1 wie in Proposition 2.2.43 der Kr¨ Zusammenhangs auf 1-Dichten ist. Andererseits gilt nach dieser Proposition   allgemein R1 (X, Y ) = −(tr R)(X, Y ), womit (5.183) gezeigt ist. Definition 5.4.18. Ein torsionsfreier Zusammenhang heißt unimodular, falls tr R = 0. Proposition 5.4.19 (Unimodulare Zusammenh¨ ange). i.) Der Levi-Civita-Zusammenhang ∇ einer (Pseudo-) Riemannschen Metrik g ist unimodular. F¨ ur die Riemannsche Volumendichte gilt sogar ∇μg = 0.

(5.184)

ii.) Gibt es bez¨ uglich einer torsionsfreien kovarianten Ableitung ∇ eine kovariant konstante positive Dichte, so ist ∇ unimodular. iii.) Ist ∇ unimodular, so gibt es genau dann eine kovariant konstante positive ur eine positive Dichte μ die Einsform α exakt ist. In Dichte μ∇ , wenn f¨ diesem Fall ist α f¨ ur jedes μ exakt und f¨ ur zusammenh¨angendes Q gibt es bis auf konstante Vielfache genau eine kovariant konstante positive Dichte μ∇ . Beweis. Der erste Teil wird in Aufgabe 5.10 gezeigt. Der zweite Teil ist klar nach Lemma 5.4.17. F¨ ur den dritten Teil w¨ ahlt man eine positive Dichte μ. Dann ist jede andere positive Dichte von der Form eg μ mit einer reellwertigen Funktion g ∈ C ∞ (Q). Gilt nun ∇X μ = α(X)μ, so folgt ∇X (eg μ) = eg dg(X)μ + eg α(X)μ = (dg + α)(X)μ. Damit ist eg μ genau dann kovariant konstant, wenn dg = −α gilt. Dies ist genau dann m¨ oglich, wenn α exakt ist. Ist dies f¨ ur ein μ der Fall, so auch f¨ ur alle anderen positiven Dichten, da sich α gerade um einen exakten Term andert, wenn man zu einer anderen positiven Dichte u ¨ ¨ bergeht. Sei nun sowohl μ als auch eg μ kovariant konstant, dann gilt X(g) = 0, womit g und somit   auch eg lokal konstant sind.

350

5 Quantisierung: Erste Schritte

Im unimodularen Fall l¨ aßt sich also insbesondere dann eine kanonische Wahl f¨ ur μ treffen, wenn H1dR (Q) = {0} ist, da dann ja jede geschlossene Einsform exakt ist und somit eine (im wesentlichen) eindeutige, kovariant konstante positive Dichte existiert. Im allgemeinen ist α = 0, was sich beim partiellen Integrieren von Ableitungen bez¨ uglich des Skalarprodukts ·, · aus (5.181) bemerkbar machen wird. uglich des SkalarproUm nun den adjungierten Operator von Std (f ) bez¨ dukts (5.181) berechnen zu k¨ onnen, ben¨ otigen wir noch das Analogon des Operators Δ aus (5.19). Lemma 5.4.20. Sei ∇ eine torsionsfreie kovariante Ableitung auf Q mit uglich einer lokalen Karte (U, x) von Q. Seien Christoffel-Symbolen Γijk bez¨ weiter (T ∗ U, (q, p)) die induzierten lokalen B¨ undelkoordinaten von T ∗ Q. Dann ist der Operator Δ T ∗ U =

k  ∂2

 ∂ ∂2 ∗ + p π + π ∗ Γiji Γij k i ∂q ∂pi ∂pi ∂pj ∂pj

(5.185)

unabh¨angig von der Karte (U, x) und somit ein global definierter Differentialoperator zweiter Ordnung Δ : C ∞ (T ∗ Q) −→ C ∞ (T ∗ Q),

(5.186)

[Lξ , Δ] = − Δ

(5.187)

welcher erf¨ ullt. Beweis. Die Koordinatenunabh¨ angigkeit von Δ ist eine l¨angere aber einfache Rechnung, welche wir hier nicht explizit vorf¨ uhren wollen, siehe Aufgabe 5.18. Gleichung (5.187) ist nach der lokalen Formel (5.185) aber offensichtlich.   Die Aussage von Gleichung (5.187) liefert insbesondere, daß Δ die polynomialen Funktionen in den Impulsen Pol(T ∗ Q) wieder auf solche abbildet, wobei (5.188) Δ : Pol• (T ∗ Q) −→ Pol•−1 (T ∗ Q). Bemerkung 5.4.21. Die Koordinatenunabh¨ angigkeit von Δ l¨aßt sich auch so verstehen, daß Δ bis auf einen Faktor der Laplace-Operator zur Pseudourlichen PaaRiemannschen Metrik g ∇ auf T ∗ Q ist, welche man aus der nat¨ ∗ ∗ Ver (T Q) = ker T π ⊆ T (T Q) und der rung der Vertikalr¨ aume Tq∗ Q ∼ = αq αq αq ∇ ∗ ∗ ∼ uglich des ZusammenHorizontalr¨ aume Tq Q = Horαq (T Q) ⊆ Tαq (T Q) bez¨ hangs ∇ erh¨ alt. Dieser Aspekt wird jedoch im folgenden keine Rolle spielen, so daß wir f¨ ur die genauen Definitionen und die entsprechenden Beweise auf die Literatur [42–44,252,310,330] sowie auf Aufgabe 5.15 und 5.18 verweisen.

5.4 Geometrische Verallgemeinerung: Kotangentenb¨ undel

351

Wir kommen nun zum entscheidenden Satz von Neumaier, welcher es gestattet den adjungierten Operator zu Std (f ) in voller Allgemeinheit zu berechnen: Satz 5.4.22 (Neumaier). Sei ∇ eine torsionsfreie kovariante Ableitung auf Q mit zugeh¨origer standardgeordneter Quantisierung Std , und sei μ ∈ Γ∞ (|Λn |T ∗ Q) eine positive Dichte, μ > 0, mit zugeh¨origem Skalarprodukt f¨ ur ur f ∈ Pol(T ∗ Q) und φ, ψ ∈ C0∞ (Q) die Gleichung C0∞ (Q). Dann gilt f¨ % & φ, Std (f )ψ = Std (N 2 f )φ, ψ (5.189) mit dem Neumaier-Operator 

N = e 2i (Δ +F(α))

(5.190)

mit Δ wie in (5.185) und α wie in (5.182). Beweis. Zun¨ achst ist zu bemerken, daß N : Pol(T ∗ Q) −→ Pol(T ∗ Q) tats¨ achlich ein wohl-definierter linearer Isomorphismus ist, da Δ und auch F(α) den Impulsgrad um eins verringern und somit nur endlich viele Terme der Exponentialreihe beitragen. F¨ ur den Beweis von (5.189) gen¨ ugt es offenbar, nur solche φ, ψ zu betrachten, deren Tr¨ ager in einem Kartenbereich liegt. Den allgemeinen Fall erh¨ alt man dann durch eine entsprechende Zerlegung der Eins. Lokal besteht (5.189) in einer technisch aufwendigen partiellen Integration im Stile der aus Lemma 5.2.9, wobei nun jedoch Ableitungen von μ sowie Kr¨ ummungsterme ber¨ ucksichtigt werden m¨ ussen. F¨ ur diese technischen Details sei auf [42–44, 252] verwiesen.   Das Bemerkenswerte, insbesondere in Hinblick auf die nichttriviale partielle Integration, welche zu (5.189) f¨ uhrt, ist, daß sich der adjungierte Differentialoperator Std (f )† so einfach aus Std (f ) beziehungsweise f berechnen l¨ aßt, und dies zudem in v¨ olliger Analogie zum flachen Fall. Bemerkung 5.4.23. Ist μ sogar kovariant konstant, also beispielsweise f¨ ur den Levi-Civita-Zusammenhang ∇ und das Riemannsche Volumen μg einer (Pseudo-) Riemannschen Metrik g, so gilt 

N = e 2i Δ ,

(5.191)

wie bereits im flachen Fall T ∗ n in Abschnitt 5.2.2. Im allgemeinen vertauschen Δ und F(α) jedoch nicht, womit sich die Exponentialfunktion nicht auf einfache Weise faktorisieren l¨ aßt, siehe jedoch Aufgabe 5.13. Da Std (f )† diese einfache Form besitzt, liegt es nahe, die Weyl-Ordnung und allgemeiner die κ-Ordnung aus Abschnitt 5.2.2 auch auf diesen Fall zu verallgemeinern:

352

5 Quantisierung: Erste Schritte

Definition 5.4.24 (κ-Ordnung). Seien ∇ und μ wie zuvor. Dann definiert man die κ-Ordnung f¨ ur κ ∈ κ : Pol• (T ∗ Q) −→ DiffOp(Q)

(5.192)

κ (f ) = Std (Nκ f )

(5.193)

Nκ = e−iκ(Δ +F(α)) .

(5.194)

durch mit 1 2

Der Fall κ = wird als Weyl-Ordnung Weyl (auch Weyl-Darstellung oder Schr¨odinger-Darstellung in Weyl-Ordnung) und κ = 1 als Antistandardordnung Std bezeichnet. Da weiter Std und damit auch alle κ-Ordnungen κ lineare Isomorphismen zwischen den klassischen Observablen Pol(T ∗ Q) und den Differentialoperatoren DiffOp(Q) sind, k¨ onnen wir erneut das Produkt von DiffOp(Q) ur Pol(T ∗ Q). zur¨ uckziehen und erhalten somit Sternprodukte κ f¨ Definition 5.4.25 (κ-geordnetes Sternprodukt). Seien ∇ und μ wie ur Funktionen zuvor. Dann definiert man das κ-geordnete Sternprodukt κ f¨ f, g ∈ Pol(T ∗ Q) durch f κ g = κ −1 (κ (f ) κ (g)) .

(5.195)

Der Fall κ = 0 wird als standardgeordnetes Sternprodukt Std , der Fall κ = 12 als Weyl-geordnetes Sternprodukt Weyl und der Fall κ = 1 als antistandardgeordnetes Sternprodukt Std bezeichnet. Die Beziehungen zwischen κ , κ und Nκ sind nun v¨ollig analog zu denen im flachen Fall T ∗ n . Wir stellen sie trotzdem nochmal zusammen: Satz 5.4.26 (κ-Geordnetes Sternprodukt auf T ∗ Q, I). Seien ∇ und μ wie zuvor. Dann gilt: ur den Veki.) Das κ-geordnete Sternprodukt κ ist ein assoziatives Produkt f¨ ur alle κ zum standardgeordneten Sternprotorraum Pol(T ∗ Q), welches f¨ dukt Std isomorph ist, wobei f κ g = Nκ−1 (Nκ f Std Nκ g)

(5.196)

ein Isomorphismus ist. ii.) Die κ-geordnete Quantisierung κ ist eine Darstellung von (Pol(T ∗ Q), κ ), es gilt (5.197) κ (f κ g) = κ (f ) κ (g). iii.) F¨ ur die komplexe Konjugation gilt f κ g = g 1−κ f sowie

(5.198)

κ (f )† = 1−k (f ), ∗

(5.199) ∗

womit f → f eine -Involution f¨ ur Weyl und Weyl eine -Darstellung ist.

5.4 Geometrische Verallgemeinerung: Kotangentenb¨ undel

353

Der Beweis ist klar und erfolgt ausschließlich unter Benutzung der algebraischen Identit¨ aten f¨ ur κ , κ und Nκ wie bereits im flachen Fall. Die Vertr¨ aglichkeit der κ-Ordnung mit den physikalischen Impulsdimensionen beschreibt man am besten mit Hilfe des Homogenit¨atsoperators H=

∂ + Lξ . ∂

(5.200)

Proposition 5.4.27 (Homogenit¨ at). Der Operator Nκ , die κ-geordnete Darstellung sowie das κ-geordnete Sternprodukt sind homogen im Sinne, daß



[H, Nκ ] = 0,

(5.201)

∂ψ ∂ (κ (f )ψ) = κ (Hf )ψ + κ (f ) ∂ ∂

(5.202)

H(f κ g) = Hf κ g + f κ Hg.

(5.203)

und Beweis. Der Beweis folgt zun¨ achst f¨ ur Std aus Bemerkung 5.4.11. Daß Nκ mit  (Δ +F(α)) offenbar mit H vertauscht. H vertauscht, ist klar, da der Exponent 2i Damit folgt aber sofort auch (5.202). Mit Hilfe der Injektivit¨at von κ und der Darstellungseigenschaft erh¨ alt man dann auch (5.203).   Wir bestimmen nun die κ-Darstellung einiger f¨ ur die Physik besonders wichtigen Observablen: Bemerkung 5.4.28. Sei V ∈ C ∞ (Q) eine Funktion der Ortsvariablen und sei X ∈ Γ∞ (T Q) ein Vektorfeld mit zugeh¨ origem linearen Impuls J(X) ∈ Pol1 (T ∗ Q). Dann gilt (5.204) κ (π ∗ V ) = V κ (J(X)) = −i LX −iκ divμ (X).

(5.205)

Die erste Gleichung ist offensichtlich. Die zweite l¨aßt sich leicht mit Hilfe der lokalen Formeln f¨ ur Δ, Std und divμ zeigen. Bemerkung 5.4.29. Ist g eine (Pseudo-) Riemannsche Metrik und w¨ahlt man den Levi-Civita-Zusammenhang ∇ sowie das Riemannsche Volumen μg zur ur die κ-geordnete Quantisierung der Konstruktion von κ und κ , so gilt f¨ kinetischen Energie T (αq ) = 12 gq−1 (αq , αq ) aus Abschnitt 3.2.2 die Gleichung κ (T ) = −

2 Δg , 2

(5.206)

orende Laplace-Operator ist, siehe Aufgabe 5.12. wobei Δg der zur Metrik g geh¨ Insgesamt gilt also f¨ ur die Quantisierung einer typischen Hamilton-Funktion H = T + U mit kinetischer Energie T und potentieller Energie U = π ∗ V in diesem Fall

354

5 Quantisierung: Erste Schritte

2 Δg +V, (5.207) 2 was offenbar den u ¨ blichen Hamilton-Operator in der Quantenmechanik auf geometrische Weise verallgemeinert. Man beachte jedoch, daß verschiedene andere Quantisierungsvorschriften hier geringf¨ ugig andere Ergebnisse liefern, wobei typischerweise noch Beitr¨ age des Kr¨ ummungsskalars auftreten, siehe etwa [195–197, 305]. κ (H) = −

Als letzten Schritt wollen wir die Sternprodukte κ wieder als Potenzreihen in  schreiben und die Eigenschaften der entsprechenden bilinearen Operatour den flachen Fall getan ren Cr diskutieren, wie wir das bereits in Satz 5.2.24 f¨ haben. Es gilt folgender Satz: ur alle κ ∈ Satz 5.4.30 (κ-Geordnete Sternprodukte auf T ∗ Q, II). F¨ ist das κ-geordnete Sternprodukt κ von der Form f κ g =

∞ 

r Cr (f, g),

(5.208)

r=0

wobei die bilinearen Abbildungen Cr : Pol(T ∗ Q) × Pol(T ∗ Q) −→ Pol(T ∗ Q)

(5.209)

folgende Eigenschaften besitzen: i.) Es gilt die Assoziativit¨atsbedingung k  r=0

ii.) iii.) iv.) v.)

Cr (Ck−r (f, g), h) =

k 

Cr (f, Ck−r (g, h))

(5.210)

r=0

f¨ ur alle k und f, g, h ∈ Pol(T ∗ Q). C0 (f, g) = f g. C1 (f, g) − C1 (g, f ) = i{f, g}. 1 κ f = f = f κ 1. Cr ist ein Bidifferentialoperator der Ordnung r in jedem Argument.

W¨ ahrend die ersten Eigenschaften leicht nachzurechnen sind, ist es die letzte Eigenschaft v.), welche sich als schwierig erweist: das Problem ist, daß die Cr nur auf den in den Impulsen polynomialen Funktionen definiert sind und deshalb a priori durchaus unendlich viele Impulsableitungsordnungen in einem onnten, da dies auf Polynomen ja wohl-definierte Abbildungen Cr auftreten k¨ liefert. F¨ ur einen detaillierten Beweis sowie eine weiterf¨ uhrende Diskussion dieser Sternprodukte und ihrer Darstellungen verweisen wir auf [42–44, 252, 310] sowie auf die Aufgaben 6.2, 6.3 und 6.9. Bemerkung 5.4.31 (H¨ormander-Symbole auf Kotangentenb¨ undeln). Der Vollst¨ andigkeit wegen sei auch erw¨ ahnt, daß es f¨ ur Kotangentenb¨ undel ebenfalls

5.5 Aufgaben

355

den Begriff der H¨ ormander-Symbole gibt, da die Impulsrichtungen nach wie vor Vektorr¨ aume sind. Ebenso gibt es eine wohlformulierte Theorie der Pseudodifferentialoperatoren auf den Wellenfunktionen C0∞ (Q), welche man durch geeignetes Zusammenkleben der lokalen Theorie erh¨alt. Details hierzu sind etwa in [172] sowie in den dort angef¨ uhrten Literaturangaben zu finden. Es gibt aber auch einen globalen Symbolkalk¨ ul f¨ ur Pseudodifferentialoperatoren, der auf die Wahlen eines torsionsfreien Zusammenhangs ∇, einer positiven Dichte μ > 0 sowie einer technisch notwendigen Abschneidefunktion χ zur¨ uckgreift. Damit l¨ aßt sich zeigen, daß die Formeln f¨ ur Nκ und κ ebenso wie im flachen Fall asymptotische Entwicklungen f¨ ur  −→ 0 der zugeh¨ origen Integralformeln sind. Wir bemerken aber, daß f¨ ur Polynour Details me Pol(T ∗ Q) diese asymptotischen Formeln bereits exakt sind. F¨ sei auf [42, 194, 264, 265, 267, 282, 326, 327] verwiesen.

5.5 Aufgaben Aufgabe 5.1 (Geometrische Quantisierung: Pr¨ aquantisierung). Sei (M, ω) eine symplektische Mannigfaltigkeit. i.) Zeigen Sie, daß die Abbildung f → Q(1) (f ) = −iXf eine Lie-Algebrauglich der Lie-Klammer i{·, ·} darstellung von C ∞ (M ) auf C0∞ (M ) bez¨ ist. Hier ist also die Korrespondenz (5.4) exakt erf¨ ullt. ii.) Zeigen Sie Q(1) (const ) = 0. Argumentieren Sie mit Hilfe der Unsch¨arferelationen zwischen Orten und Impulsen, wieso diese Eigenschaft zu einer physikalisch unbrauchbaren Quantisierung f¨ uhrt. Daher ist Q(1) also zu verwerfen. iii.) Betrachten Sie als zweiten Versuch die Abbildung f → Q(2) (f ) = −iXf + f , wobei f als Multiplikationsoperator auf C0∞ (M ) wirke. Zeigen Sie, daß zwar Q(2) (1) = id gilt, daß aber Q(2) keine Lie-Algebradarstellung ist. Daher ist auch Q(2) keine L¨ osung. iv.) Sei nun eine Einsform θ ∈ Γ∞ (T ∗ M ). Betrachten Sie dann Qθ (f ) = −iXf + θ(Xf ) + f.

(5.211)

Zeigen Sie, daß Qθ genau dann eine Lie-Algebradarstellung wird, wenn dθ = ω gilt. Hinweis: Aufgabe 2.5 und Satz 3.1.15. Nicht auf jeder symplektischen Mannigfaltigkeit ist ω eine exakte Zweiform, auf einer kompakten ist dies beispielsweise nie der Fall. Da man trotzdem an einer Quantisierung interessiert ist, gilt es, Q geeignet zu modifizieren. v.) Sei π : L −→ M ein komplexes Geradenb¨ undel u ¨ber M und ∇ eine kovariante Ableitung f¨ ur L. Definieren Sie dann Q∇ (f ) = −i∇Xf + f

(5.212)

356

5 Quantisierung: Erste Schritte

als Operator auf Γ∞ ummungszweiform von ∇. Fin0 (L). Sei R die Kr¨ den Sie dann eine Beziehung zwischen R und ω, so daß Q∇ eine LieAlgebradarstellung wird. Ist Q∇ treu? vi.) Sei nun ∇ ein weiterer Zusammenhang auf L und θ(X) = ∇X − ∇X . Berechnen Sie die Differenz R − R . K¨ onnen Sie, falls ∇ die Kr¨ ummungs ullt, ∇ so w¨ ahlen, daß Q∇ die Bedingung aus bedingung f¨ ur Q∇ nicht erf¨ Teil v.) doch erf¨ ullt. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis kohomologisch. vii.) Diskutieren Sie die Vertr¨ aglichkeit der Quantisierung mit der assoziativen Struktur der klassischen Observablen C ∞ (M ). Vergleichen Sie hierzu insbesondere Q∇ (f g) mit Q∇ (f )Q∇ (g). Bemerkung: Die Existenz eines Geradenb¨ undels L mit einem Zusammenhang ∇, welcher der Bedingung aus Teil v.) gen¨ ugt, ist eine topologische Bedingung an [ω] ∈ H2dR (M, ), welche geringf¨ ugig schw¨acher als die Exaktheit [ω] = 0 ist. Diese Pr¨aquantenbedingung ist das Analogon der Integralit¨ atsbedingung f¨ ur das Vektorpotential beim Aharonov-Bohm-Effekt f¨ ur Zweiformen anstelle von Einsformen, siehe Bemerkung 6.3.26. Aufgabe 5.2 (Geometrische Quantisierung: Polarisierung). Sei (M, ω) eine symplektische Mannigfaltigkeit und π : L −→ M ein Geradenb¨ undel mit Zusammenhang ∇, so daß die Pr¨ aquantenbedingung aus Aufgabe 5.1 erf¨ ullt a-Hilbert-Raum der ist. Das Problem bei der Interpretation von Γ∞ 0 (L) als Pr¨ Quantenmechanik ist, daß die Wellenfunktionen“ noch von zu vielen Varia” blen abh¨ angen: in einer Darboux-Karte h¨ angt ein Schnitt ψ ∈ Γ∞ 0 (L) eben sowohl von den q’s als auch von den p’s ab. Daher versucht man eine geeignete Auswahl zu treffen. Eine reelle Polarisierung ist eine involutive glatte Distribution L ⊆ T M derart, daß an jedem Punkt Lp ⊆ Tp M ein Lagrangescher Unterraum ist. i.) Zeigen Sie, daß eine reelle Polarisierung immer regul¨ar und integrabel ist, also ein Unterb¨ undel von T M definiert. Zeigen Sie weiter, daß die Bl¨atter von L (im allgemeinen nur immersierte) Lagrangesche Untermannigfaltigkeiten sind. Hier heißt eine Untermannigfaltigkeit L Lagrangesch, falls ur jeden Punkt p ∈ L ein Lagrangescher Untervektorraum Tp L ⊆ Tp M f¨ ist. ii.) Sei X, Y ∈ Γ∞ (L) ⊆ Γ∞ (T M ). Zeigen Sie, daß R(X, Y ) = 0 f¨ ur die Kr¨ ummung des Zusammenhangs ∇. uglich L, wenn ∇X ψ = 0 Sei nun ψ ∈ Γ∞ (L). Dann heißt ψ polarisiert bez¨ f¨ ur alle X ∈ Γ∞ (L). Dies bedeutet anschaulich, daß ψ konstant“ l¨angs der ” Lagrangeschen Bl¨ atter von L ist. Eine Funktion f ∈ C ∞ (M ) heißt quantisierbar, wenn Q(f )ψ polarisiert ist, f¨ ur alle lokal definierten Schnitte ψ, welche polarisiert sind. iii.) Zeigen Sie, daß die quantisierbaren Observablen eine Lie-Unteralgebra von C ∞ (M ) bilden.

5.5 Aufgaben

357

iv.) Zeigen Sie, daß es lokal immer nichttriviale polarisierte Schnitte von L gibt. Hinweis: W¨ahlen Sie eine geeignete Trivialisierung von L und zerbl¨attern Sie M in die Lagrangeschen Bl¨ atter gem¨ aß des Frobenius-Theorems Korollar 4.1.29. Definieren Sie dann ψ lokal konstant l¨angs der Bl¨atter unter Benutzung einer Bl¨ atterungskarte. ur alle lokal defiv.) Zeigen Sie, daß f quantisierbar ist, falls ∇[X,Xf ] ψ = 0 f¨ nierten X ∈ Γ∞ (L) und alle lokalen polarisierten Schnitte ψ. Hinweis: Hier ben¨ otigen Sie die Pr¨ aquantenbedingung. vi.) Zeigen Sie, daß f genau dann quantisierbar ist, wenn f¨ ur alle X ∈ Γ∞ (L) ∞ auch LXf X ∈ Γ (L) gilt, also Xf die Polarisierung erh¨alt. vii.) Betrachten Sie den Fall M = T ∗ Q. Zeigen Sie, daß die vertikale Polarisierung L = Ver(T ∗ Q) = ker T π ⊆ T (T ∗Q) tats¨achlich eine reelle Polarisierung ist und bestimmen Sie die Lagrangeschen Bl¨atter. viii.) Zeigen Sie in diesem Fall, daß die einzigen quantisierbaren Funktionen auf T ∗ Q von der Form f = π ∗ u + J(X) mit u ∈ C ∞ (Q) und X ∈ Γ∞ (T Q) sind. Bemerkung: Mit der Wahl einer Polarisierung beginnen die Probleme in der geometrischen Quantisierung: die Existenz hinreichend vieler quantisierbarer Funktionen ist alles andere als gesichert, im Gegenteil, es m¨ ussen meist ¨ erhebliche Anstrengungen und ad-hoc Uberlegungen angestellt werden, um die relevanten Observablen zu quantisieren. Nach diesem ersten Einblick in die geometrische Quantisierung sei f¨ ur ein weiteres Studium auf die Literatur verwiesen [328]. Aufgabe 5.3 (Der Bargmann-Fock-Raum). Betrachten Sie den Bargmann-Fock-Raum HBF der quadratintegrablen anti-holomorphen Funktionen 1 − zz bez¨ uglich des Gaußschen Maßes dμ = 2π e 2 dzdz, wobei dzdz das auf u ¨ bliche Lebesgue-Maß auf bezeichnet





i.) Zeigen Sie, daß die Vektoren ek (z) = √

1 zk (2)k k!

mit k ∈

0 ein Ortho-

normalsystem in HBF bilden, indem Sie zur Integration Polarkoordinaten verwenden. ii.) Definieren Sie f¨ ur k ∈ 0 und R ≥ 0 die Funktion 1 R 2k+1 − r2 ck (R) = r e 2 dr (5.213)  0



und zeigen Sie, daß ck streng monoton wachsend ist. Bestimmen Sie limR−→∞ ck (R). iii.) Sei nun φ ∈ HBF . Zeigen Sie unter Verwendung des Satzes von der monotonen Konvergenz und der gleichm¨ aßigen Konvergenz der Taylor-Reihe auf jedem Kompaktum die Gleichung ∞  1 ∂ k φ 2 (5.214) φ, φBF = lim k! ∂z k (0) ck (R). R−→∞ k=0

358

5 Quantisierung: Erste Schritte

iv.) Benutzen Sie nun die Eigenschaften von ck (R), um abermals mittels des Satzes von der monotonen Konvergenz auch die verbleibende Summation in (5.214) mit dem Grenz¨ ubergang R −→ ∞ zu vertauschen. Zeigen Sie damit f¨ ur φ ∈ HBF 2 ∞  (2)k ∂ k φ φ, φBF = (0) . (5.215) k! ∂zk k=0 v.) Zeigen Sie f¨ ur φ ∈ HBF |φ(z)| ≤ e

|z|2 4

φBF ,

(5.216)

und folgern Sie somit die Stetigkeit aller δ-Funktionale auf HBF . Hinweis: Schreiben Sie φ(z) als konvergente Taylor-Reihe und verwenden Sie zur Absch¨ atzung die Cauchy-Schwartz-Ungleichung. uglich ·BF . Zeigen vi.) Betrachten Sie nun eine Cauchy-Folge φn ∈ HBF bez¨ Sie, daß φn auf jedem Kompaktum gleichm¨aßig konvergiert und daher gegen eine anti-holomorphe Funktion φ strebt. Zeigen Sie nun φ ∈ HBF und folgern Sie so die Abgeschlossenheit von HBF in L2 ( , dμ). Hinweis: Benutzen Sie, daß φn bez¨ uglich ·BF gegen eine quadratintegrable Funktion ψ konvergiert. Weiter k¨onnen Sie benutzen, daß damit eine Teilfolge existiert, welche fast u ¨ berall punktweise gegen ψ konvergiert. Folgern Sie dann ψ = φ fast u ¨ berall. vii.) Zeigen Sie nun mit Verwendung des Satzes von der majorisierten Konvergenz und der gleichm¨ aßigen Konvergenz der Taylor-Reihe auf Kompakta, daß 7 (2)k ∂ k φ (0). (5.217) ek , φBF = k! ∂z k Folgern Sie damit und aus Teil iv.), daß {ek }k∈0 eine Hilbert-Basis ist. Berechnen Sie dann das Skalarprodukt φ, ψBF explizit, und zeigen Sie so die Gleichung (5.40).



Aufgabe 5.4 (Ordnungsvorschriften). Wir betrachten die polynomialen Funktionen Pol( 2n ) beziehungsweise die in den Impulsen polynomialen ˜-geordnete QuantisieFunktionen Pol(T ∗ n ) sowie deren κ-geordnete und κ rungen. i.) Sei φ, ψ ∈ C0∞ ( n ) und f ∈ Pol(T ∗% n ). Zeigen Sie & durch eine explizite partielle Integration φ, Std (f )ψ = Std (N 2 f )φ, ψ , indem Sie zun¨achst i1 ir ∞ n Funktionen der Form f (q, p)  = χ(q)p · · · p mit χ ∈ C ( ) betrach ten. Hier ist N = exp 2i Δ wie in (5.19). ii.) Zeigen Sie durch explizite Berechnung mit Hilfe der Leibniz-Regel die Gleichheit Std (f ) = Std (N 2 f ) f¨ ur die antistandardgeordnete Quantisierung. ur f ∈ Pol( 2n ) iii.) Zeigen Sie analog die Gleichung Wick (f ) = Wick (S 2 f ) f¨ ˜ wie in (5.49). mit S = exp(Δ)

5.5 Aufgaben

359

iv.) Finden Sie eine explizite Formel f¨ ur Wick analog zu (5.77), indem Sie zum ¨ einen die Aquivalenztransformation S und zum anderen die Darstellung Wick benutzen. Aufgabe 5.5 (Sternprodukte von Exponentialfunktionen I). Betrachten Sie das κ-geordnete Sternprodukt κ auf 2n sowie die Funktionen eαβ (q, p) = eαq+βp . Hier bezeichnen q ∈ n die Ortskoordinaten und p ∈ ( dinaten. Entsprechend gilt α ∈ ( n )∗ und β ∈ n .

(5.218) n ∗

) die Impulskoor-

i.) Bestimmen Sie die physikalischen Dimensionen von α und β, so daß eαβ wohl-definiert ist. ii.) Berechnen Sie eαβ Std eγδ . iii.) Berechnen Sie Nκ eαβ . iv.) Berechnen Sie eαβ κ eγδ . Die so erhaltenen Relationen heißen auch Weyl-Relationen. Aufgabe 5.6 (Vollst¨ andige Symmetrisierung). Definieren Sie f¨ ur Polynome [q, p] in q und p die Quantisierung durch vollst¨andige Symmetrisierung



W (q n pm ) =

1 (n + m)!



Aσ(1) · · · Aσ(n+m) ,

(5.219)

σ∈Sn+m

wobei A1 = · · · = An = Q und An+1 = · · · = An+m = P die Orts- und Impulsoperatoren sind. Definieren Sie weiter f¨ ur Buchstaben A, B die Summe oglichen Worte mit n Kopien von A und m Kopien wn,m (A, B) u ¨ber alle m¨ von B, also etwa w1,2 (A, B) = ABB + BAB + BBA. n!m! i.) Zeigen Sie W (q n pm ) = (n+m)! wn,m (Q, P ). ii.) Zeigen Sie die Rekursionsformel

wn+1,m (A, B) = Awn,m (A, B) + Bwn+1,m−1 (A, B).

(5.220)

iii.) Zeigen Sie nun durch Induktion nach k die Gleichung (A + B)k =

k 

w,k− (A, B).

(5.221)

=0

iv.) Sei α, β ∈

. Folgern Sie aus (5.221) die Identit¨at

 k W (αq + βp)k = (αQ + βP ) .

(5.222)

v.) Folgern Sie damit, im Sinne von formalen Reihen in α und β, W (eαq+βp ) = eαQ+βP . vi.) Zeigen Sie W = Weyl . Benutzen Sie hierzu Aufgabe 5.5.

360

5 Quantisierung: Erste Schritte

Literatur: [50, Thm. 6] Aufgabe 5.7 (A-Geordnete Sternprodukte). Sei (V, ω) ein symplektischer Vektorraum und e1 , . . . , e2n eine Basis. Die Koeffizienten der symplektischen Form seien ωij = ω(ei , ej ) und die inverse Matrix werde wie u ¨blich mit ω ij bezeichnet mit der Konvention ω ij ωjk = δki . Definieren Sie weiter den Operator Λ = ω ji

∂ ∂ ⊗ j : Pol• (V ) ⊗ Pol• (V ) −→ Pol• (V ) ⊗ Pol• (V ) i ∂x ∂x

(5.223)

wobei x1 , . . . , x2n die durch die Vektorraumbasis e1 , . . . , e2n induzierten linearen Koordinaten auf V sind. i.) Zeigen Sie, daß Λ von der gew¨ ahlten Basis unabh¨angig ist. Ist e1 , . . . , e2n sogar eine Darboux-Basis, so gilt Λ = P − P ∗ , wobei P und P ∗ die Operatoren aus (5.60) sind. ii.) Zeigen Sie, daß i (5.224) f Weyl g = μ ◦ e 2 Λ f ⊗ g ein Sternprodukt f¨ ur Pol• (V ) liefert, welches nach Wahl einer DarbouxBasis mit dem Weyl-Moyal-Sternprodukt (5.66) u ¨ bereinstimmt. Auf diese Weise folgt, daß Weyl nicht von der gew¨ahlten Darboux-Basis abh¨angt, sondern intrinsisch auf (V, ω) definiert ist, ganz im Gegensatz zu κ f¨ ur κ = 12 .



Betrachten Sie nun eine symmetrische -wertige Bilinearform A auf V ∗ , welche in Koordinaten die Koeffizienten Aij = A(ei , ej ) habe. Die Bilinearform A kann durchaus ausgeartet sein. Man definiert den Operator ΔA = Aij

∂2 : Pol• (V ) −→ Pol• (V ) ∂xi ∂xj

(5.225)

sowie PA = Aij

∂ ∂ ⊗ j : Pol• (V ) ⊗ Pol• (V ) −→ Pol• (V ) ⊗ Pol• (V ) ∂xi ∂x

(5.226)

iii.) Zeigen Sie, daß die Definition von ΔA und PA nicht von der Wahl der Basis abh¨ angen. iv.) Zeigen Sie die Identit¨ at ΔA ◦μ = μ ◦ (ΔA ⊗ id +2PA + id ⊗ ΔA ) . v.) Sei NA = exp( ΔA ). Zeigen Sie, daß

 f A g = NA NA−1 f Weyl NA−1 g

(5.227)

(5.228)

ein Sternprodukt definiert, welches die kanonische Poisson-Klammer quantisiert. Geben Sie eine explizite Formel analog zu (5.65) an.

5.5 Aufgaben

361

vi.) Zeigen Sie, daß alle Sternprodukte κ und κ˜ von dieser Form sind und bestimmen Sie die zugeh¨ orige Bilinearformen Aκ und Aκ˜ . Aufgabe 5.8 (Sternprodukte von Exponentialfunktionen II). Analog zu Aufgabe 5.5 betrachten wir nun die κ ˜-geordneten Sternprodukte auf n und die Exponentialfunktionen



eαβ (z, z) = eαz+βz f¨ ur α, β ∈

(5.229)

n und αz = αk z k etc.

i.) Berechnen Sie eαβ Wick eγδ . ii.) Berechnen Sie S κ˜ eαβ . iii.) Berechnen Sie eαβ κ˜ eγδ . Aufgabe 5.9 (Sternprodukte von Exponentialfunktionen III). Betrachten Sie wie in Aufgabe 5.7 einen symplektischen Vektorraum (V, ω) mit dem kanonischen Weyl-Moyal-Sternprodukt und einer -wertigen symmetrischen Bilinearform A auf V ∗ . Seien weiter ΔA , PA und NA die Operatoren wie in Aufgabe 5.7 und A das entsprechende A-geordnete Sternprodukt. Dann betrachten wir die Exponentialfunktionen



eα (x) = eα(x) ,

(5.230)

urlich mit x ∈ V gepaart wird. wobei α ∈ V ∗ nat¨ i.) Berechnen Sie eα Weyl eβ . ii.) Berechnen Sie ΔA eα sowie NA eα . iii.) Berechnen Sie eα A eβ . Aufgabe 5.10 (Die Riemannsche Volumendichte). Betrachten Sie eine n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) mit der zugeh¨origen Riemannschen Volumendichte μg ∈ Γ∞ (|Λn |T ∗ M ). Der Levi-Civita-Zusammenhang ∇ induziert nach Abschnitt 2.2.5 einen Zusammenhang f¨ ur das Dichtenb¨ undel |Λn |T ∗ M , welcher auch mit ∇ bezeichnet sei.



i.) Sei A ∈ GLn ( ) eine invertierbare Matrix. Zeigen Sie folgende Gleichung ∂ det(A) = det(A)aji , ∂aij

(5.231)

wobei aij die Matrixeintr¨ age der zu A inversen Matrix seien. Hinweis: Es gibt (mindestens) zwei Strategien: einmal kann man den Laplaceschen Entwicklungssatz f¨ ur die Determinante bem¨ uhen. Zum anderen kann man von der Gleichung det(eB ) = etr B Gebrauch machen, und verwenden, daß alle invertierbaren Matrizen endliche Produkte von Matrizen der Form eB sind.

362

5 Quantisierung: Erste Schritte

ii.) Zeigen Sie, daß μg in einer Karte (U, x) lokal als μg = det(g)|dx1 ∧ · · · ∧ dxn |

(5.232)

geschrieben werden kann, wobei g = (gij ) die Matrix der Koeffizienten der Riemannschen Metrik bez¨ uglich der Koordinaten x und |dx1 ∧ · · · ∧ dxn | ∂ diejenige lokal definierte Dichte ist, welche auf den Basisvektorfelder ∂x 1, ∂ . . . , ∂xn an jedem Punkt in U den Wert 1 annimmt. iii.) Zeigen Sie, daß die Riemannsche Volumendichte μg bez¨ uglich des LeviCivita-Zusammenhangs kovariant konstant ist, also ∇X μg = 0

(5.233)

f¨ ur alle X ∈ Γ∞ (T M ). Am einfachsten ist vermutlich eine Rechnung in lokalen Koordinaten. iv.) Nehmen Sie nun weiter an, daß M orientierbar und orientiert ist. Dann ist die Riemannsche Volumenform definiert als diejenige positive Volumenform Ωg ∈ Γ∞ (Λn T ∗ M ) mit |Ωg | = μg . Zeigen Sie, daß auch diese kovariant konstant ist, indem Sie zuerst einen lokalen Ausdruck f¨ ur Ωg finden. Aufgabe 5.11 (Zweidimensionale K¨ ahler-Mannigfaltigkeiten). Betrachten Sie eine zweidimensionale symplektische Mannigfaltigkeit (M, ω). i.) Zeigen Sie, daß es eine Riemannsche Metrik g auf M gibt, f¨ ur welche die Riemannsche Volumenform Ωg durch ω gegeben ist. Hinweis: Betrachten Sie zun¨ achst eine beliebige Riemannsche Metrik g˜ ˜g . Da M zweidimensional ist, gilt Ω ˜ g = ω mit zugeh¨ origer Volumenform Ω mit einer eindeutig bestimmten positiven Funktion . Reskalieren Sie nun g˜ geeignet. ii.) Definieren Sie f¨ ur diese Riemannsche Metrik g einen Endomorphismus J ∈ Γ∞ (End(T M )) durch g(X, Y ) = ω(X, JY ). Zeigen Sie durch eine explizite Rechnung in lokalen Koordinaten, siehe auch Aufgabe 5.10, daß J eine fast-komplexe Struktur ist. iii.) Zeigen Sie, daß (M, ω, J, g) eine K¨ ahler-Mannigfaltigkeit ist. Hinweis: Aufgabe 3.13 und 5.10. Aufgabe 5.12 (Der Laplace-Operator). Sei ∇ ein torsionsfreier Zusammenhang auf Q. Sei weiter (U, x) eine lokale Karte und Γijk die ChristoffelSymbole von ∇. i.) Bestimmen Sie die zweite und dritte kovariante Ableitung D2 f und D3 f einer Funktion explizit in den lokalen Koordinaten (U, x) von Q. Sei nun g eine Pseudo-Riemannsche Metrik und ∇ der Levi-Civita-Zusammenhang von g. Dann ist der Laplace-Operator Δg definiert durch Δg = −

2 Std (T ), 2

(5.234)

5.5 Aufgaben

363

wobei Std die standardgeordnete Darstellung bez¨ uglich des Zusammenhangs ∇ und T (αq ) = 12 g −1 (αq , αq ) die kinetische Energie ist. ii.) Berechnen Sie Δg f in lokalen Koordinaten und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der gewohnten Definition des Laplace-Operators im Euklidischen Raum n . iii.) F¨ ur ein Vektorfeld X ∈ Γ∞ (T Q) definiert man die Riemannsche Divergenz durch div(X) = divμg (X), wobei μg die Riemannsche Volumendichte ist. Bestimmen Sie div(X) in lokalen Koordinaten unter Benutzung von (5.232). iv.) F¨ ur eine Funktion f ∈ C ∞ (Q) definiert man den Gradient durch grad f = (df )g ∈ Γ∞ (T Q), wobei g der durch g induzierte musikalische Isomorphismus ist. Bestimmen Sie grad f in lokalen Koordinaten und zeigen Sie Δg f = div(grad f ).

(5.235)

Diese Gleichung stellt die in der Riemannschen Geometrie u ¨ bliche Definition von Δg dar. v.) Benutzen Sie nun die Riemannsche Volumendichte, um die κ-Ordnung zu definieren. Zeigen Sie dann, daß f¨ ur alle κ κ (T ) = Std (T ) = −

2 Δg , 2

(5.236)

indem Sie benutzen, daß ∇ der Levi-Civita-Zusammenhang zu g ist. Berechnen Sie dazu Δ T unter Verwendung von (3.119), wobei Δ der Operator (5.185) ist. Aufgabe 5.13 (Eine Faktorisierung des Neumaier-Operators). Der Neumaier-Operator Nκ = exp(−iκ(Δ +F(α))) aus (5.194) h¨angt sowohl von der Wahl des Zusammenhangs als auch von der Wahl der Dichte ab. Es soll nun eine geeignete Faktorisierung gefunden werden, um diese beiden Einfl¨ usse getrennt diskutieren zu k¨ onnen, siehe [42, Lem. 3.6]. i.) Zeigen Sie f¨ ur γ ∈ S• (T ∗ Q) die Gleichung [Δ, F(γ)] = F(Dγ).

(5.237)

Hinweis: Zeigen Sie (5.237) durch eine elementare Rechnung in Koordinaten zun¨ achst f¨ ur Funktionen und Einsformen. Benutzen Sie dann die Tatsache, daß ad(Δ) = [Δ, ·] eine Derivation in der Algebra aller Differentialoperatoren, F ein Algebrahomomorphismus und D eine Derivation der Algebra S• (T ∗ Q) ist, um (5.237) f¨ ur allgemeines γ zu zeigen. ii.) Sei A eine assoziative Algebra mit Einselement u ¨ ber und A, B ∈ A[[λ]]. Zeigen Sie exp(λA)B exp(−λA) = exp(λ ad(A))(B). (5.238) iii.) Zeigen Sie folgendes algebraisches Lemma:

364

5 Quantisierung: Erste Schritte

Lemma. Sei A eine assoziative Algebra mit Einselement ¨ uber und sei B ⊆ A eine kommutative Unteralgebra. Erf¨ ullt Δ ∈ A[[λ]] die Bedingung ad(Δ)B[[λ]] ⊆ B[[λ]], so gilt f¨ ur alle B ∈ B[[λ]] und t ∈ die Gleichung  λ ad(Δ)  e − id exp (λ(Δ + tB)) = exp t (B) exp (λΔ) . (5.239) ad(Δ) Hinweis: Zeigen Sie zun¨ achst allgemein die Differentialgleichung d λ(Δ+tB) id −e−λ ad(Δ+tB) e (B), = eλ LΔ+tB dt ad(Δ + tB)

(5.240)

welche im Sinne formaler Potenzreihen in λ wohl-definiert ist. Hier bezeichnet LA die Linksmultiplikation in A mit A. Zeigen Sie weiter ad(Δ + tB)k B = ad(Δ)k B und vereinfachen Sie (5.240) entsprechend. Zeigen Sie nun, daß (5.239) die eindeutige L¨ osung von (5.240) mit der korrekten Anfangsbedingung ist. iv.) Zeigen Sie nun die Faktorisierung des (formalen) Neumaier-Operators    exp(−iκλD) − id α exp (−iκλ Δ) . exp (−iκλ(Δ +F(α))) = exp F D (5.241) Aufgabe 5.14 (Zusammenhangsabbildung und der horizontale Lift). Betrachten Sie ein Vektorb¨ undel π : E −→ M mit einer kovarianten Ableitung ∇. Sei weiter I ein offenes Intervall um 0 und s : I −→ E eine glatte Kurve. Mit c = π ◦ s bezeichnen wir dann die zugeh¨ orige Fußpunktkurve. Schließlich seien (U, x) lokale Koordinaten auf M um c(0) und e1 , . . . , ek ∈ Γ∞ (E U ) lokale Basisschnitte von E. Die lokalen Zusammenhangseinsformen seien dann mit Aα β bezeichnet. i.) Betrachten Sie das zur¨ uckgezogene Vektorb¨ undel c# E −→ I mit dem entsprechenden zur¨ uckgezogenen Zusammenhang ∇# . Fassen Sie t → s(t) als ein Vektorfeld s ∈ Γ∞ (c# E) auf und zeigen Sie β ∇#∂ s(t) = s˙ α (t)eα (c(t)) + Aα ˙ (t)eα (c(t)). β (c(t))s

(5.242)

∂t

ii.) Folgern Sie nun, daß die Zusammenhangsabbildung (auch: Konnektor ) K : T E  s(0) ˙ → ∇#∂ s(t) t=0 ∈ E (5.243) ∂t

wohl-definiert ist, wobei s(t) eine beliebige Kurve ist, welche den Tangentialvektor s(0) ˙ repr¨ asentiert. Zeigen Sie weiter, daß K die Faser Ts E linear auf die Faser Eπ(s) abbildet. iii.) Betrachten Sie nun auf π −1 (U ) die lokalen Koordinaten q 1 = x1 ◦ π, . . . , q n = xn ◦ π und s1 , . . . , sk . Zeigen Sie

5.5 Aufgaben

 K

   ∂ ∂ α = A sβ (s)eα (π(s)) β ∂q i s ∂xi π(s) 

und K

∂ ∂sα s

365

(5.244)

 = eα (π(s)),

(5.245)

und folgern Sie, daß K faserweise surjektiv ist. iv.) Betrachten Sie nun auch die Tangentialabbildung T π : T E −→ T M der B¨ undelprojektion und zeigen Sie, daß T π(s(0)) ˙ und K(s(0)) ˙ den selben Fußpunkt in M besitzen. Daher k¨ onnen Sie die Produktabbildung K × T π auch als Abbildung K ⊕ T π : T E −→ E ⊕ T M auffassen. Berechnen Sie explizit     ∂ ∂ (K ⊕ T π) und (K ⊕ T π) , ∂q i s ∂sα s

(5.246)

(5.247)

und zeigen Sie so, daß K ⊕ T π faserweise ein linearer Isomorphismus ist. Ist K ⊕ T π ein Diffeomorphismus? Die Zusammenhangsabbildung erlaubt nun folgende Definition: Man definiert den Horizontalraum Hors (E) ⊆ Ts E bei s ∈ E als das Urbild von Tπ(s) M unter dem linearen Isomorphismus K ⊕ T π : Ts E −→ Eπ(s) ⊕ Tπ(s) M . Entsprechend definiert man den horizontalen Lift vph s von vp ∈ Tp M an den Punkt s ∈ Ep als das Urbild von vp unter K ⊕ T π. Ist schließlich X ∈ Γ∞ (T M ) ein Vektorfeld, so definiert man den horizontalen Lift X h ∈ Γ∞ (T E) punktweise h h durch X (s) = X(π(s)) s . v.) Bestimmen Sie explizit die lokale Gestalt des horizontalen Lifts vph s f¨ ur ∂ vp = vpi ∂x i ∈ Tp M . Zeigen Sie mit Hilfe dieses lokalen Ausdrucks, daß der horizontale Lift X h eines glatten Vektorfeldes X ∈ Γ∞ (T M ) selbst wieder glatt ist. vi.) Sei X ∈ Γ∞ (T M ) und f ∈ C ∞ (M ). Zeigen Sie T π(X h ) = X ◦ π

und

(f X)h = π ∗ f X h .

(5.248)

Aufgabe 5.15 (Horizontal- und Vertikalb¨ undel). Sei π : E −→ M ein Vektorb¨ undel und ∇ ein Zusammenhang. i.) Zeigen Sie, daß das Horizontalb¨ undel  Hor(E) = Hors (E) ⊆ T E

(5.249)

s∈E

ein glattes Unterb¨ undel von T E ist, wobei die Horizontalr¨aume wie in Aufgabe 5.14 definiert sind. Was ist die Faserdimension von Hor(E)?

366

5 Quantisierung: Erste Schritte

ii.) Definieren Sie das Vertikalb¨ undel durch Ver(E) = ker T π und zeigen Sie, daß TE ∼ (5.250) = Hor(E) ⊕ Ver(E). Sei s ∈ Γ∞ (E) ein Schnitt, dann definiert man den vertikalen Lift sv ∈ Γ∞ (T E) punktweise durch d (vp + ts(p)) sv v = (5.251) p dt t=0 f¨ ur vp ∈ Ep . Dies verallgemeinert offenbar unsere Definition 3.2.14. iii.) Zeigen Sie, daß die horizontalen Lifts X h von Vektorfeldern X ∈ Γ∞ (T M ) zusammen mit den vertikalen Lifts sv von Vektorfeldern s ∈ Γ∞ (E) faserweise ganz T E aufspannen. iv.) Zeigen Sie folgende Identit¨ aten f¨ ur die Lie-Klammern von horizontalen und vertikalen Lifts [X h , Y h ] = [X, Y ]h − (J(R(X, Y ) · ))v , v

(5.252)

[X h , sv ] = (∇X s)

(5.253)

[sv , s˜v ] = 0,

(5.254)

und v

wobei (J(R(X, Y ) · )) folgendermaßen zu interpretieren ist: Der Kr¨ ummungstensor R von ∇ ist nach Einsetzen von X und Y ein Schnitt des Endomorphismenb¨ undels R(X, Y ) ∈ Γ∞ (End(E)). Unter Verwendung von ∗ ∼ End(E) = E ⊗ E k¨ onnen wir den E ∗ -Anteil mittels der kanonischen Abbildung J zu einer in den Fasern linearen Funktion auf E erkl¨aren. Der verbleibende E-Anteil wird dann vertikal geliftet. Am einfachsten ist vermutlich eine Rechnung in lokalen Koordinaten. ur alle X ∈ Γ∞ (T M ) und v.) Zeigen Sie Lξ X h = 0 und Lξ sv = −sv f¨ ∞ ∞ s ∈ Γ (E), wobei ξ ∈ Γ (T E) das Euler-Vektorfeld auf E sei. Bemerkung: Die Kr¨ ummung von ∇ erweist sich nach (5.252) als Obstruktion daf¨ ur, daß der horizontale Lift ein Morphismus von Lie-Algebren ist. Aufgabe 5.16 (Lift von Zusammenh¨ angen). Betrachten Sie erneut ein Vektorb¨ undel π : E −→ M u ummungs¨ ber M mit Zusammenhang ∇E mit Kr¨ ur das tensor RE sowie einen torsionsfreien Zusammenhang ∇M auf M , also f¨ Tangentenb¨ undel, mit Kr¨ ummungstensor RM . Es soll nun aus diesen Daten ur das Tangentenb¨ undel ein torsionsfreier Zusammenhang ∇Lift auf E, also f¨ von E konstruiert werden. Seien X, Y ∈ Γ∞ (T M ), s, s˜ ∈ Γ∞ (E), dann definiert man

M h 1

v h ∇Lift − (5.255) J(RE (X, Y ) · ) , X h Y = ∇X Y 2

E v v ∇Lift (5.256) X h s = ∇X s und h ∇Lift ˜v = 0 = ∇Lift sv s sv X .

(5.257)

5.5 Aufgaben

367

i.) Zeigen Sie unter Verwendung von Aufgabe 5.15, daß ∇Lift einen torsions¨ freien Zusammenhang auf E definiert. Uberlegen Sie sich zun¨achst, daß ∇Lift u ¨berhaupt einen Zusammenhang definiert und zeigen Sie anschließend die Torsionsfreiheit. ii.) Sei nun ξ das Euler-Vektorfeld auf E. Zeigen Sie dann die Homogenit¨at des Zusammenhangs ∇Lift Lift Lift Lξ (∇Lift V W ) = ∇Lξ V W + ∇V (Lξ W )

(5.258)

f¨ ur beliebige Vektorfelder V, W ∈ Γ∞ (T E) auf E. Hinweis: Warum gen¨ ugt es, (5.258) f¨ ur horizontale und vertikale Lifts zu zeigen? α i iii.) Seien Γijk die Christoffel-Symbole von ∇M und Aα β = Aβi dx die Zusamuglich lokaler menhangseinsformen von ∇E bez¨ Koordinaten (U, x) auf M und lokaler Basisschnitte e1 , . . . , ek ∈ Γ∞ (E U ). Bestimmen Sie dann die Christoffel-Symbole von ∇Lift in Abh¨ angigkeit der Γijk und Aα uglich βi bez¨ −1 der lokalen Koordinaten auf π (U ), welche durch die Koordinaten x und die linearen Koordinaten s1 , . . . , sk bestimmt sind. Wie ¨außert sich die Homogenit¨ at (5.258) von ∇Lift ? Hinweis: Zeigen Sie zun¨ achst ∂ = ∂q i



∂ ∂xi

h

β + π ∗ (Aα βi )s

∂ . ∂sα

(5.259) k

α

Bezeichnen Sie die Christoffel-Symbole von ∇Lift dann mit Γqqi qj , Γqsi qj , etc. Benutzen Sie nun (5.255), (5.256) und (5.257). Aufgabe 5.17 (Taylor-Entwicklung in Normalkoordinaten). Sei ∇ eine torsionsfreie kovariante Ableitung auf M und p ∈ M . Seien weiter lineare Koordinaten v 1 , . . . , v n auf Tp M gew¨ ahlt und V ⊆ Tp M eine offene Umgebung von 0p , so daß die Exponentialabbildung expp auf U ein Diffeomorphismus auf das Bild U = expp (V ) ist, siehe auch Aufgabe 3.10. Die lokalen Koordinaten xi = v i ◦ exp−1 uglich p , i = 1, . . . , n, auf U heißen Normalkoordinaten um p bez¨ uglich der Normalkoor∇. Mit Γijk bezeichnen wir die Christoffel-Symbole bez¨ dinaten (U, x). i.) Sei nun v ∈ Tp M und γ(t) = expp (tv) die zugeh¨orige Geod¨ate durch p. Zeigen Sie, daß die Geod¨ atengleichung in diesen Koordinaten Γijk (γ(t))v i v j = 0

(5.260)

lautet. ii.) Folgern Sie Γijk (p) = 0. Warum gilt trotzdem im allgemeinen Γijk (q) = 0 f¨ ur p = q ∈ U ? iii.) Folgern Sie weiter durch sukzessives Ableiten der Geod¨atengleichung nach t, daß am Punkt p

368

5 Quantisierung: Erste Schritte

∂ k Γik+1 ik+2 dxi1 p ∨ · · · ∨ dxik+2 p = 0 i i 1 k ∂x · · · ∂x p

(5.261)

f¨ ur alle k ≥ 0. iv.) Zeigen Sie nun mit der Rekursionsformel aus dem Beweis von Lemma 5.4.8, daß f¨ ur ψ ∈ C ∞ (M ) in den Normalkoordinaten (U, x) um p Dk ψ p =

∂xi1

∂kψ dxi1 ∨ · · · ∨ dxik . i p p p k · · · ∂x

(5.262)

Folgern Sie so, daß die (formale) Taylor-Entwicklung eD ψ bez¨ uglich ∇ von ψ am Punkte p in Normalkoordinaten um p mit der (formalen) TaylorEntwicklung von ψ in diesen Koordinaten u ¨ bereinstimmt. Aufgabe 5.18 (Indefinite Metrik auf T ∗ Q). Betrachten Sie ein Kotangentenb¨ undel π : T ∗ Q −→ Q u ¨ ber einem Konfigurationsraum Q mit torsionsfreiem Zusammenhang ∇. Wie u ur ¨ blich, induziert ∇ auch Zusammenh¨ange f¨ alle Tensorb¨ undel u ur T ∗ Q. ¨ber Q, insbesondere f¨ i.) Sei αq ∈ Tq∗ Q. Zeigen Sie, daß der Vertikalraum Verαq (T ∗ Q) auf nat¨ urliche Weise zum Horizontalraum Horαq (T ∗ Q) dual ist, wobei horizontale Lifts immer bez¨ uglich ∇ zu verstehen sind. ii.) Nutzen Sie diese nat¨ urliche Dualit¨ at, um auf T ∗ Q eine Pseudo-Riemann∇ sche Metrik g zu definieren: setzen Sie g ∇ (X h , Y h ) = 0 = g ∇ (β v , γ v ) und g ∇ (X h , β v ) = π ∗ (β(X))

(5.263)

f¨ ur X, Y ∈ Γ∞ (T Q) und β, γ ∈ Γ∞ (T ∗ Q), und zeigen Sie, daß g ∇ eine Pseudo-Riemannsche Metrik der Signatur (n, n) ist, wenn dim(Q) = n. uniii.) Sei (U, x) eine lokale Karte f¨ ur Q und (T ∗ U, (q, p)) die induzierte B¨ delkarte. Berechnen Sie die Koeffizienten gqi qj , gqi pj und gpi pj von g ∇ in diesen Koordinaten explizit unter Verwendung der Christoffel-Symbole von ∇. iv.) Zeigen Sie, daß f¨ ur X, Y ∈ Γ∞ (T Q) und β, γ ∈ Γ∞ (T ∗ Q) durch v S(X h , Y h ) αq = (αq (R( · , X)Y + R( · , Y )X)) αq (5.264) und S(X h , β v ) = S(β v , X h ) = S(β v , γ v ) = 0 ∞

∗

∗

(5.265)

∗

ein Tensorfeld S ∈ Γ (S T (T Q) ⊗ T (T Q)) definiert wird. v.) Sei ∇g der Levi-Civita-Zusammenhang zur Metrik g ∇ und ∇Lift der geliftete Zusammenhang gem¨ aß Aufgabe 5.16, wobei wir f¨ ur T ∗ Q immer den durch ∇ induzierten Zusammenhang verwenden. Zeigen Sie 2

1 ∇gV W = ∇Lift V W + S(V, W ) 2

(5.266)

f¨ ur alle V, W ∈ Γ∞ (T (T ∗Q)). Hinweis: Hier ist vermutlich wieder einmal eine konkrete Rechnung in Koordinaten die schnellste M¨ oglichkeit.

5.5 Aufgaben

369

vi.) Bestimmen Sie Lξ S und zeigen Sie so, daß im Sinne von (5.258) auch ∇g ein homogener Zusammenhang auf T ∗ Q ist. vii.) Bestimmen Sie den Laplace-Operator auf T ∗ Q bez¨ uglich der Metrik g0 und vergleichen Sie mit (5.185). Aufgabe 5.19 (Symplektischer Zusammenhang auf T ∗ Q). Betrachten Sie erneut ein Kotangentenb¨ undel π : T ∗ Q −→ Q u ¨ ber einem Konfigurationsraum Q mit torsionsfreiem Zusammenhang ∇. Den gelifteten Zusammenhang auf T ∗ Q bezeichnen wir wie schon in Aufgabe 5.16 und 5.18 mit ∇Lift . ur i.) Bestimmen Sie θ0 (X h ), θ0 (β v ), ω0 (X h , Y h ), ω0 (X h , β v ) und ω0 (β v , γ v ) f¨ X, Y ∈ Γ∞ (T Q) und β, γ ∈ Γ∞ (T ∗ Q). ii.) Berechnen Sie ∇Lift ω0 . Hinweis: Verwenden Sie wieder horizontale und vertikale Lifts und zeigen h h Sie, daß der einzige nichtverschwindende Term (∇Lift X h ω0 )(Y , Z ) ist. iii.) Verwenden Sie das Tensorfeld S aus Aufgabe 5.18, und addieren Sie ein geeignetes Vielfaches von S zu ∇Lift , um einen torsionsfreien Zusammenhang ∇ω zu erhalten, f¨ ur welchen ∇ω ω = 0. Vergleichen Sie ∇ω mit ∇g . iv.) Zeigen Sie, daß auch ∇ω ein homogener Zusammenhang im Sinne von (5.258) ist. Aufgabe 5.20 (Vertikale Lifts von Tensorfeldern). Sei π : E −→ M ein reelles Vektorb¨ undel der Faserdimension N . i.) Zeigen Sie, daß der vertikale Lift von Schnitten s ∈ Γ∞ (E) zu Schnitten sv ∈ Γ∞ (T E) sich zu einem injektiven Algebramorphismus v

: Γ∞ (T • (E)) −→ Γ∞ (T • (Ver(E))) ⊆ Γ∞ (T • (T E))

(5.267)

bez¨ uglich des ⊗-Produkts fortsetzt, wobei man f v = π ∗ f f¨ ur f ∈ C ∞ (M ) = Γ∞ (T 0 (E)) setzt. ii.) Ist der vertikale Lift surjektiv auf Γ∞ (T • (Ver(E)))? iii.) Sei ξ ∈ Γ∞ (T E) das Euler-Vektorfeld auf E. Zeigen Sie, daß ein vertikales kontravariantes Tensorfeld X ∈ Γ∞ (T k (Ver(E))) auf E genau dann ein vertikaler Lift ist, wenn Lξ X = −kX gilt. iv.) Seien nun e1 , . . . , eN ∈ Γ∞ (E U ) lokale Basisschnitte auf einer offenen Teilmenge U ⊆ M . Zeigen Sie, daß X ∈ Γ∞ (T k (Ver(E))) auf π −1 (U ) als X π−1 (U) = X α1 ···αk evα1 ⊗ · · · ⊗ evαk (5.268) geschrieben werden kann. Charakterisieren Sie einen vertikalen Lift anhand der lokalen Funktionen X α1 ···αk . v.) Allgemein nennt man ein vertikales kontravariantes Tensorfeld X ∈ Γ∞ (T k (Ver(E))) polynomial in Faserrichtung vom Grad , falls Lξ X = ( − k)X gilt. Rechtfertigen Sie diese Bezeichnung durch eine alternative Charakterisierung in der lokalen Darstellung (5.268).

370

5 Quantisierung: Erste Schritte

 ∈ Γ∞ (S E ∗ ⊗ T k (E)). Definieren Sie nun ein vertikales kontravi.) Sei nun X variantes Tensorfeld X ∈ Γ∞ (T k (Ver(E))) durch v   (v, . . . , v) , (5.269) X(v) = X π(v)  einsetzen indem Sie v ∈ Eπ(v) in den symmetrischen E ∗ -Anteil von X und den verbleibenden E-Anteil vertikal liften. Zeigen Sie, daß dies eine Bijektion zwischen Γ∞ (S E ∗ ⊗T k (E)) und den vertikalen kontravarianten Tensorfeldern auf E liefert, die polynomial in Faserrichtung vom Grad sind.

6 Formale Deformationsquantisierung

Ausgehend von den Eigenschaften der Sternprodukte Std , Weyl und Wick aus den Abschnitten 5.2.4 und 5.4.2 wollen wir eine allgemeine Definition eines Sternprodukts auf einer beliebigen Poisson-Mannigfaltigkeit geben. Da es jetzt im allgemeinen keine ausgezeichnete Poisson-Unteralgebra von C ∞ (M ) geben wird, muß man entweder weitere Informationen und Strukturen, wie beispielsweise Symmetrien hinzunehmen, um eine Unteralgebra auszuzeichnen, oder aber mit der Poisson-Algebra C ∞ (M ) vorlieb nehmen. Letztere M¨oglichkeit stellt physikalisch eine nicht unerhebliche Idealisierung der relevanten Observablen dar, ist aber letztlich die einzige M¨ oglichkeit, generische, beispielunabh¨ angige Aussagen treffen zu k¨ onnen. Verwendet man also C ∞ (M ), so zeigen die expliziten Formeln in Abschnitt 5.2.4, daß die Sternprodukte nur noch als formale Potenzreihen in  definiert werden k¨onnen. Dies ist der Ausgangspunkt der formalen Deformationsquantisierung, da in diesem Rahmen die Eigenschaften von Std , Weyl und Wick leicht verallgemeinert werden k¨onnen. Die anschließenden Fragen nach Existenz und Klassifikation sind mittlerweile im allgemeinsten Fall gut verstanden und beantwortet. Die mathematische Theorie, die hinter der Deformationsquantisierung auf Poisson-Mannigfaltigkeiten steht, ist die Theorie formaler assoziativer Deformationen von Gerstenhaber, welche wir mit einigen Details diskutieren wollen. Anschließend widmet sich dieses Kapitel dem Kalk¨ ul mit Sternprodukten, wobei wir insbesondere die Hamiltonsche Zeitentwicklung diskutieren werden. Einen besonders sch¨onen und geometrischen Beweis f¨ ur die Existenz von Sternprodukten liefert die Konstruktion von Fedosov. Zusammen mit Kontsevichs Formalit¨atstheorem ist dieser Beweis nun Grundlage f¨ ur Sternprodukte auf allgemeinen PoissonMannigfaltigkeiten, auch wenn Fedosovs urspr¨ ungliche Idee nur f¨ ur den symplektischen Fall anwendbar ist. Da mit seiner Methode auch die Klassifikation von Sternprodukten verstanden wird, werden wir diese Konstruktion detailliert vorstellen. Insgesamt erh¨ alt man so ein recht klares und gut verstandenes Bild der quantenmechanischen Observablenalgebra in der Deformationsquantisierung.

372

6 Formale Deformationsquantisierung

6.1 Sternprodukte auf Poisson-Mannigfaltigkeiten In diesem Abschnitt werden wir die Grundlagen der Deformationsquantisierung diskutieren, wobei wir im wesentlichen auf die zum Teil sehr aufwendigen und technischen Beweise verzichten wollen. Einige werden wir jedoch im Laufe der folgenden Abschnitte noch besprechen. In diesem Abschnitt sei vielmehr ¨ der Schwerpunkt auf die physikalische Interpretation und auf eine Ubersicht u ur weiterf¨ uhrende historische Anmerkungen zur ¨ ber die Resultate gelegt. F¨ Entwicklung der Deformationsquantisierung sowie eine F¨ ulle an Referenzen ¨ seien hier die Ubersichtsartikel [98, 153, 320] erw¨ahnt. 6.1.1 Ziele und Erwartungen Will man die Eigenschaften der Sternprodukte aus Satz 5.2.24 beziehungsweise Satz 5.4.30 axiomatisch fordern, so stellt sich unmittelbar folgendes Problem. Auf einer allgemeinen Poisson-Mannigfaltigkeit (M, π) gibt es keine ausgezeichnete Poisson-Unteralgebra A von Funktionen, die zumindest in be” stimmte Richtungen“ polynomiales Verhalten besitzen. Polynome sind eben kein invariantes Konzept unter beliebigen Kartenwechseln, und in den bisher betrachteten F¨ allen wie den Kotangentenb¨ undeln T ∗ Q war eine zus¨atzliche ∗ ur verantwortlich, daß man geometrisch eine Struktur, n¨ amlich M = T Q, daf¨ Unteralgebra von polynomialen“ Funktionen auszeichnen und charakterisie” ren konnte. Kann man dies also im allgemeinen nicht, so sind die zu erwartenden Sternprodukte aber nicht l¨ anger wohl-definiert, da die Reihen in  aus Bidifferentialoperatoren Cr bestehen, deren Differentiationsordnung mit r anw¨ achst. In den von uns betrachteten F¨ allen war die Differentiationsordnung gerade exakt gleich der Potenz von . Nach dem Borel-Lemma k¨onnen so daß an eiwir daher aber immer zwei Funktionen f, g ∈ C ∞ (M  ) finden, r nem vorher festgelegten Punkt p ∈ M die Reihe ∞ r=0  Cr (f, g) in  nur Konvergenzradius 0 besitzt. Damit k¨ onnen solche Produkte nie auf allen glatten Funktionen C ∞ (M ) als konvergente Reihe definiert sein. Eine a¨hnliche Einschr¨ ankung erhalten wir auch f¨ ur die Integralformeln aus Abschnitt 5.3.2. ur spezielle FunktionenBereits im Fall M = 2n sind diese Formeln nur f¨ klassen definiert, welche ein bestimmtes Wachstumsverhalten im Unendlichen besitzen m¨ ussen. Auch bei dieser Charakterisierung handelt es sich offenbar um kein geometrisches Konzept, so daß auch hier eine Verallgemeinerung auf beliebige Mannigfaltigkeiten nicht ohne weiteres erreichbar scheint. Ein Ausweg ist daher, die Sternprodukte  als formale Potenzreihen in  anzusehen. Dadurch werden im Fall M = 2n die Sternprodukte aus Abschnitt 5.2.4 zu wohl-definierten Multiplikationen f¨ ur C ∞ ( 2n )[[]], deren Eigenschaften aus Satz 5.2.24 abgelesen werden k¨onnen. W¨ahrend mathematisch dieser Trick“ keinerlei Probleme verursacht, ist er physikalisch jedoch h¨ochst ” nichttrivial: die Plancksche Konstante  ist eben kein formaler Parameter sondern eine Naturkonstante mit einem festen Wert ungleich Null. Das Konvergenzproblem ist dadurch also keineswegs gel¨ost, sondern nur auf sp¨ater

6.1 Sternprodukte auf Poisson-Mannigfaltigkeiten

373

verschoben. Selbst wenn es gelingt, solche formalen Sternprodukte  zu finden, und es stellt sich heraus, daß zumindest dies der Fall sein wird, so muß anschließend immer noch eine konvergente Unteralgebra“ gefunden werden. ” Es scheint also, daß das Problem, eine spezielle Funktionenklasse innerhalb ∞ von C (M ) auszuzeichnen, um quantisieren zu k¨onnen, innerhalb der Deformationsquantisierung nicht gel¨ ost wird. Physikalisch kann man dies mit der zu großen Idealisierung der klassischen Observablen als C ∞ (M ) interpretieren. Damit stellt sich nun um so mehr die Frage, wie solche formalen Sternprodukte nun zu bewerten sind. Zum einen haben wir gesehen, daß die formalen urlicher Weise auftreten, wenn wir die InReihen schon im Fall M = 2n in nat¨ tegralformeln asymptotisch f¨ ur  −→ 0 entwickeln. Man kann also hoffen, daß es tats¨ achlich eine konvergente Version auf einer entsprechenden Unteralgebra gibt, deren asymptotische Entwicklung die formalen Produkte liefert. Andererseits k¨ onnen wir direkt nach Konvergenzkriterien suchen, nachdem wir die formale Version der quantenmechanischen Observablenmultiplikation gefunuhrt dies recht zwanglos zu den Funktionen den haben. Im Fall M = 2n f¨ Pol( 2n ) oder gar zu Pol(T ∗ n ), f¨ ur welche das Konvergenzproblem trivial gel¨ ost werden kann. Insbesondere liefert hier die formale Multiplikation nach Ersetzung des formalen Parameters durch den tats¨achlichen Wert von  bereits die exakte Produktstruktur der quantenmechanischen Observablen und nicht nur eine asymptotische Version. Die angestrebte Strategie wird daher sein, ein formales Sternprodukt f¨ ur alle glatten Funktionen C ∞ (M ) zu finden und anschließend durch die Forderung nach Konvergenz eine Unteralgebra auszuzeichnen. Wie das Beispiel in [21] zeigt, ist dies zumindest nicht ganz hoffnungslos. Auf diese Weise kann man hoffen, daß man auf jeden Fall alle interessanten Vorschl¨ age f¨ ur eine Quantenobservablenalgebra ber¨ ucksichtigt, denn wenn eine bestimmte Konstruktion nicht einmal im formalen Rahmen m¨ oglich ist, so ist schwer vorstellbar, daß sie sich in einem sehr viel restriktiveren, konvergenten Rahmen besser verh¨ alt. Ein weiterer Vorteil dieser Herangehensweise wird sein, daß man den Zeitpunkt, zu dem man Konvergenz in  fordert, dem Problem und der Fragestellung anpassen kann. Letztlich m¨ ussen aus physikalischer Sicht ja nur die tats¨ achlich beobachtbaren Gr¨ oßen wie die Erwartungswerte und Spektralwerte konvergent in  sein. Dieser sehr minimalistische Ansatz ist sicher¨ lich nicht von besonderer Asthetik durchdrungen, bietet aber zun¨achst eine gr¨ oßtm¨ ogliche Flexibilit¨ at. Abschließend k¨ onnen wir zusammenfassen, daß der Gebrauch von formalen Potenzreihen in  unausweichlich scheint, wenn man sich nicht bereits auf klassischer Seite auf eine geeignetere Poisson-Unteralgebra von C ∞ (M ) festlegen kann oder will. Dann bleibt die anschließende Frage nach Konvergenz der formalen Sternprodukte allerdings bestehen und kann selbst als Auswahlverfahren f¨ ur spezielle Funktionenklassen in C ∞ (M ) herangezogen werden. Unsere bisherigen Beispiele zeigen, daß dies unter Benutzung zus¨atzlicher Strukturen auf dem klassischen Phasenraum m¨ oglich ist und die physikalisch vern¨ unftigen Quantisierungen liefert. Nebenbei sei bemerkt, daß auch in anderen Zug¨angen

374

6 Formale Deformationsquantisierung

zur Quantenmechanik und vor allem zur Quantenfeldtheorie mit dem Auftreten von formalen Reihen entweder in  oder in einer Kopplungskonstanten gerechnet werden muß. Dar¨ uberhinaus ist typischerweise nicht klar, geschweige denn einfach zu entscheiden, ob die Reihen tats¨achlich konvergieren. Um die formalen Potenzreihen von tats¨ achlich konvergenten Ausdr¨ ucken zu unterscheiden, verwenden wir f¨ ur den formalen Parameter ein anderes Symbol, λ, anstelle von , und reservieren  f¨ ur den von Null verschiedenen Wert der Planckschen Konstanten. Die Konvention ist dabei, den formalen Parameter ohne weitere Vorfaktoren durch  zu ersetzen, sobald die Konvergenz gesichert ist λ ←→ . (6.1) In der Literatur sind auch andere Konventionen f¨ ur den formalen Parameter . u ¨ blich, wie beispielsweise ν = iλ oder ν = iλ 2 6.1.2 Die Definition von Sternprodukten Nach unserer vorangegangenen Diskussion ist folgende Definition eines formalen Sternprodukts nach Bayen, Flato, Frønsdal, Lichnerowicz und Sternheimer [17] nun gut motiviert: Definition 6.1.1 (Formales Sternprodukt). Sei (M, π) eine PoissonMannigfaltigkeit. Ein formales Sternprodukt  f¨ ur (M, π) ist eine [[λ]]bilineare Multiplikation



 : C ∞ (M )[[λ]] × C ∞ (M )[[λ]] −→ C ∞ (M )[[λ]] der Form f g =



∞ 

λr Cr (f, g)

(6.2)

(6.3)

r=0

mit -bilinearen Abbildungen Cr : C ∞ (M ) × C ∞ (M ) −→ C ∞ (M ), welche auf die ¨ ubliche Weise [[λ]]-bilinear fortgesetzt werden, so daß  folgende Eigenschaften besitzt: i.) ii.) iii.) iv.)



 ist assoziativ. C0 (f, g) = f g. C1 (f, g) − C1 (g, f ) = i{f, g}. 1  f = f = f  1.

Bemerkung 6.1.2 (Sternprodukte).





i.) Man kann leicht zeigen, daß f¨ ur zwei -Vektorr¨aume V und W eine [[λ]]lineare Abbildung Φ : V [[λ]] −→ W [[λ]] notwendigerweise von der Form Φ=

∞  r=0

λr Φr

(6.4)

6.1 Sternprodukte auf Poisson-Mannigfaltigkeiten

375



mit -linearen Abbildungen Φr : V −→ W ist. Es gilt also kanonisch Hom[[λ]] (V [[λ]], W [[λ]]) ∼ = Hom (V, W )[[λ]].

(6.5)

Ein analoges Resultat gilt auch f¨ ur multilineare Abbildungen. Daher ist die Form (6.3) eines Sternprodukts bereits eine Konsequenz der [[λ]]Bilinearit¨ at, siehe etwa [92, Prop. 2.1] sowie Aufgabe 6.1. ii.) Die Assoziativit¨ at f  (g  h) = (f  g)  h ist Ordnung f¨ ur Ordnung in λ zu ugt es, die Assoziativit¨at erf¨ ullen. Aufgrund der [[λ]]-Multilinearit¨at gen¨ nur f¨ ur Funktionen f ∈ C ∞ (M ) ⊆ C ∞ (M )[[λ]] zu zeigen. Damit wird die Assoziativit¨ atsbedingung ¨ aquivalent zur Bedingung





k  r=0

Cr (f, Ck−r (g, h)) =

k 

Cr (Ck−r (f, g), h)

(6.6)

r=0



f¨ ur alle k ∈ 0 und f, g, h ∈ C ∞ (M ). Die Assoziativit¨atsbedingung ist die entscheidende nichttriviale Bedingung, da es sich um eine quadratische Gleichung in den Operatoren Cr handelt. Wir werden diese Gleichung noch eingehend studieren. iii.) Die beiden Bedingungen ii.) und iii.) in Definition 6.1.1 liefern wieder die naive Version des Korrespondenzprinzips aus (5.3) und (5.4). ur iv.) Die Bedingung iv.) bedeutet offenbar, daß Cr (1, ·) = 0 = Cr (·, 1) f¨ alle r ≥ 1. Die konstante Funktion 1 ist daher nicht nur klassisch sondern auch quantenmechanisch das Einselement der Observablenalgebra. Es zeigt sich, daß diese Forderung nicht wesentlich sondern leicht zu erf¨ ullen ist. Somit sei sie hier getrost in die Definition mit aufgenommen. ur M = 2n die Offenbar erf¨ ullen die Sternprodukte Std , Weyl , Wick etc. f¨ Erfordernisse der Definition, wenn man in den konkreten Formeln wie beispielsweise (5.65) die Plancksche Konstante  durch den formalen Parameter λ ersetzt. Da diese konkreten Beispiele aber dar¨ uberhinaus weitere Eigenschaften besitzen, k¨ onnen wir diese verwenden, um die Definition 6.1.1 weiter zu spezialisieren: Definition 6.1.3 (Spezielle Sternprodukte). Sei  ein formales Sternprodukt f¨ ur (M, π). i.)  heißt lokal, falls die Abbildungen Cr lokal sind, also supp Cr (f, g) ⊆ supp f ∩ supp g.

(6.7)

ii.)  heißt differentiell, falls die Abbildungen Cr Bidifferentialoperatoren sind. iii.)  heißt nat¨ urlich [156] (oder auch: vom Vey-Typ), falls f¨ ur alle r die Abbildung Cr ein Bidifferentialoperator der Ordnung r in jedem Argument ist.

376

6 Formale Deformationsquantisierung

iv.)  heißt Hermitesch (beziehungsweise auch: symmetrisch [18]), falls die komplexe Konjugation eine ∗ -Involution von  ist, also f  g = g  f,

(6.8)

wobei konventionsgem¨aß im Hinblick auf (6.1) λ=λ

(6.9)

gesetzt wird. v.)  heißt vom Weyl-Typ, falls  Hermitesch ist und Cr (f, g) = (−1)r Cr (g, f ).

(6.10)

Nach dem Peetre-Theorem, siehe Bemerkung 5.4.6, sind lokale Sternprodukte lokal differentiell und nat¨ urliche Sternprodukte immer differentiell und damit ¨ lokal. Nach den Uberlegungen in Anhang A k¨onnen wir solche Sternprodukte daher immer auf offene Teilmengen U ⊆ M einschr¨anken und erhalten Produkte U f¨ ur C ∞ (U )[[λ]], welche die entsprechenden Eigenschaften von  = M erben. Wir werden diese Einschr¨ ankungen im folgenden jedoch einfach mit  bezeichnen, um die Notation zu entlasten. Ein Sternprodukt  vom Weyl-Typ l¨ aßt sich auch so charakterisieren: Schreibt man r ∞   iλ Mr (f, g), (6.11) f g = 2 r=0

r also Cr = 2i Mr , so ist  genau dann vom Weyl-Typ, wenn die Operatoren Mr reell sind Mr (f, g) = Mr (f , g) (6.12) und Mr (f, g) = (−1)r Mr (g, f )

(6.13)

erf¨ ullen. Dies ist eine offensichtliche Umformulierung. Manche Autoren f¨ ugen der Definition eines Sternprodukts vom Weyl- oder auch Vey-Typ noch die Bedingung hinzu, daß das f¨ uhrende Symbol des Bidifferentialoperators Mr gem¨ aß Satz A.5.2 durch die r-te Potenz des Poisson-Tensors gegeben ist. Wir schließen uns dieser zus¨ atzlichen Bedingung jedoch nicht an. Beispiel 6.1.4 (Sternprodukte). Von den bisher gefundenen Sternprodukten κ und κ˜ auf M = 2n sind alle nat¨ urlich, aber nur Weyl und die κ˜ sind auch Hermitesch. Vom Weyl-Typ ist allein das Weyl-Moyal-Sternprodukt Weyl , was man leicht an der expliziten Form (5.66) sieht. Die weiteren Eigenschaften von Std , Std sowie Wick und Wick lassen sich auf folgende Weise verallgemeinern, indem man zus¨atzliche Strukturen der Poisson-Mannigfaltigkeit ber¨ ucksichtigt:

6.1 Sternprodukte auf Poisson-Mannigfaltigkeiten

377

Definition 6.1.5 (Standardgeordnetes Sternprodukt [43, 265]). Sei π : T ∗ Q −→ Q ein Kotangentenb¨ undel mit der kanonischen Poisson-Struktur. Ein Sternprodukt  f¨ ur T ∗ Q heißt vom standardgeordneten Typ, falls π ∗ ψ  f = π ∗ ψf

(6.14)

f¨ ur alle ψ ∈ C ∞ (Q) und f ∈ C ∞ (T ∗ Q). Analog definiert man Sternprodukte vom antistandardgeordneten Typ. Definition 6.1.6 (Sternprodukt vom Wick-Typ [48]). Sei (M, ω, J) eine K¨ahler-Mannigfaltigkeit. Ein Sternprodukt  f¨ ur (M, ω, J) heißt vom WickTyp, falls f¨ ur jede offene Teilmenge U ⊆ M und jede lokale holomorphe Funktion f ∈ O(U ), jede lokale antiholomorphe Funktion g ∈ O(U ) und jede glatte Funktion h ∈ C ∞ (U ) h  f = hf

und

g  h = gh

(6.15)

gilt. Entsprechend definiert man Sternprodukte vom Anti-Wick-Typ. Sternprodukte vom Wick-Typ und Anti-Wick-Typ nennt man auch Sternprodukte mit Trennung der Variablen [184]. Dies ist dadurch motiviert, daß unter der zus¨ atzlichen Annahme, daß  differentiell ist,  genau dann vom Wick-Typ ist, wenn in jeder lokalen holomorphen Karte (U, z) von M die Bidifferentialoperatoren Cr von der Form  Cr (f, g) = Cri1 ···ik j1 ···j U

k,

∂z i1

∂kf ∂ g j i 1 k · · · ∂z ∂z · · · ∂z j

(6.16)

sind, wobei Cri1 ···ik j1 ···j ∈ C ∞ (U ). Man u ¨ berzeuge sich davon, daß diese Trennung der Variablen“ auf einer K¨ ahler-Mannigfaltigkeit tats¨achlich ein ” wohl-definiertes Konzept ist, also in jeder lokalen holomorphen Karte richtig ist, sobald die Cr in einem holomorphen Atlas von der Form (6.16) sind. Den Anti-Wick-Typ erh¨ alt man dann durch Ableitung in die z-Richtungen“ ” im ersten Argument und entsprechend in z-Richtungen“ im zweiten Ar” ¨ gument. Man beachte, daß man die Aquivalenz der beiden Charakterisierungen von Sternprodukten vom Wick-Typ nur unter Verwendung der Assoziativit¨at erh¨ alt, siehe [48, Thm. 4.7]. Zu Sternprodukten auf K¨ahlerMannigfaltigkeiten gibt es eine Vielzahl von weiterf¨ uhrenden Arbeiten und Beispielen [68–71, 103, 104, 141, 153, 187, 190–192, 253, 255, 285–287]. Eine ¨ ahnliche Trennung der Variablen besitzen die Sternprodukte vom (anti-)standardgeordneten Typ. Sind sie zudem differentiell, so schreibt sich undelkarte (T ∗ U, (q, p)) von T ∗ Q als Cr lokal in einer B¨ Cr (f, g)

T ∗U

=

 k,k ,



···j Cr ij11···i   k i1 ···ik

∂kf ∂ k + g ∂pi1 · · · ∂pik ∂pi1 · · · ∂pik ∂q j1 · · · q j (6.17)

378

6 Formale Deformationsquantisierung

···j mit lokalen Funktionen Cr ij11···i   k i ···i 1

k

∈ C ∞ (T ∗ U ). Wieder gilt, daß unter

Wechsel der B¨ undelkarte (T ∗ U, (q, p)) die Form des Bidifferentialoperators erhalten bleibt. Beim antistandardgeordneten Typ wird entsprechend die zweite Funktion nur in Impulsrichtung differenziert. Man beachte jedoch, daß es geometrisch nicht wohl-definiert ist, zu sagen, daß die zweite Funktion g in (6.17) nur in Ortsrichtung differenziert wird. Dies ersieht man leicht aus dem Transformationsverhalten der partiellen Ableitungen ∂q∂ i gem¨aß (5.169) unter Kartenwechseln. Unn¨ otig zu betonen, daß Std aus Abschnitt 5.4.2 vom standardgeordneten Typ, Std entsprechend vom antistandardgeordneten Typ und Wick vom WickTyp und Wick vom Anti-Wick-Typ sind. Die κ-geordneten Sternprodukte auf T ∗ Q, welche wir in Abschnitt 5.4.2 diskutiert haben, stehen Dank Proposition 5.4.27 nun Pate f¨ ur folgende Definition eines homogenen Sternprodukts: Definition 6.1.7 (Homogenes Sternprodukt [91]). Sei π : T ∗ Q −→ Q ein Kotangentenb¨ undel mit kanonischer Poisson-Struktur und sei ξ das ∂ Liouville-Vektorfeld. Ein Sternprodukt  heißt homogen, falls H = λ ∂λ + Lξ eine Derivation von  ist. Einige allgemeine Eigenschaften homogener Sternprodukte werden in den Aufgaben 6.2, 6.3 sowie 6.9 diskutiert. Da wir bereits f¨ ur den Fall M = 2n verschiedene Sternprodukte gefunden haben, kann man nicht erwarten, daß die Definition 6.1.1 ein eindeutiges Sternprodukt  f¨ ur eine gegebene Poisson-Mannigfaltigkeit festlegt. Auch die zus¨ atzlichen Eigenschaften aus Definition 6.1.3 sind daf¨ ur noch lange nicht restriktiv genug. Daher ben¨ otigt man eine vern¨ unftige Vergleichsm¨oglichkeit f¨ ur Sternprodukte, welche durch folgende Beobachtung nahegelegt wird: Proposition 6.1.8. Sei  ein Sternprodukt f¨ ur (M, π). Weiter seien lineare ur r ≥ 1 gegeben. Dann Abbildungen Sr : C ∞ (M ) −→ C ∞ (M ) mit Sr 1 = 0 f¨ gilt f¨ ur ∞  λr Sr : C ∞ (M )[[λ]] −→ C ∞ (M )[[λ]], (6.18) S = id + r=1

daß die Definition

f  g = S −1 (Sf  Sg)

(6.19)

ebenfalls ein Sternprodukt  f¨ ur (M, π) liefert. Ist  lokal (differentiell) und alle Sr ebenfalls, so ist  auch lokal (differentiell). Ist  Hermitesch und Sr f = Sr f , so ist auch  Hermitesch. Beweis. Zun¨ achst ist klar, daß S als formale Potenzreihe tats¨achlich invertierbar ist, da die nullte Ordnung in λ invertierbar ist. Daher definiert  ein [[λ]]-bilineares assoziatives Produkt, welches eine zu  isomorphe Algebrastruktur f¨ ur  C ∞ (M )[[λ]] liefert, da S per definitionem ein Isomorphismus ist. ∞ Sei nun  = r=0 λr Cr . Dann gilt



6.1 Sternprodukte auf Poisson-Mannigfaltigkeiten

f  g = S −1 (Sf  Sg)

 −1

= (id +λS1 + · · · )

∞ 

379

 λr Cr ((id +λS1 + · · · ) f, (id +λS1 + · · · ) g)

r=0

= f g − λS1 (f g) + λC1 (f, g) + λS1 (f )g + λf S1 (g) + · · · , womit C0 = C0 und C1 (f, g) = C1 (f, g) − S1 (f g) + S1 (f )g + f S1 (g).

(6.20)

Da die Multiplikation von Funktionen kommutativ ist, sieht man, daß der antisymmetrische Teil von C1 mit dem von C1 u ¨bereinstimmt, also gilt auch C1 (f, g) − C1 (g, f ) = i{f, g}. Schließlich gilt nach Voraussetzung S1 = 1 und somit f  1 = f = 1  f . Damit ist  ein Sternprodukt. Sind nun alle Cr lokale (oder differentielle) Operatoren und ebenso alle Sr , so sind auch die Cr lokal (oder differentiell), da sie durch Linearkombinationen von Hintereinanderausf¨ uhrungen der Cr und Sr gewonnen werden. Die genaue (und nichttriviale) Kombinatorik ist dabei unerheblich. Ist schließlich  Hermitesch und S reell, so folgt sofort, daß  auch Hermitesch ist. In diesem   Fall ist S ein ∗ -Isomorphismus. Bemerkung 6.1.9 (Eindeutigkeit von Sternprodukten). i.) Diese Proposition zeigt insbesondere, daß es unendlich viele Sternprodukte gibt, sobald man auch nur ein Sternprodukt gefunden hat. Auch die Einschr¨ ankung auf differentielle und Hermitesche Sternprodukte liefert immer noch unendlich viele M¨ oglichkeiten. ii.) Startet man mit einem nat¨ urlichen Sternprodukt , so muß man die Differentiationsordnung von Sr nur geeignet beschr¨anken, um wieder ein nat¨ urliches Sternprodukt zu erhalten. Explizit k¨onnen wir jedes S immer als S = eλT mit T = T0 + λT1 + · · · und Tr : C ∞ (M ) −→ C ∞ (M ) schreiben, da S nach Voraussetzung in nullter Ordnung mit id beginnt. In der Tat lassen sich die Abbildungen Tr aus S1 , . . . , Sr−1 durch geeignete algebraische Kombinationen gewinnen und umgekehrt. Es gilt beispielsweise aßt sich nun zeigen, daß f¨ ur ein nat¨ urliches Sternprodukt S1 = T0 . Es l¨  das Sternprodukt  ebenfalls nat¨ urlich ist, falls die Differentiationsochstens r + 1 ist, siehe [156]. Somit kann man aus ordnung von Tr h¨ einem nat¨ urlichen Sternprodukt ebenfalls gleich unendlich viele weitere nat¨ urliche Sternprodukte konstruieren. iii.) Im Fall M = 2n haben wir bereits gesehen, daß alle Sternprodukte κ und κ˜ durch derartige Operatoren verkn¨ upft waren, n¨amlich durch Nκ und S κ˜ , siehe Abschnitt 5.2.4. Da sich diese Sternprodukte aufgrund der verschiedenen Wahlen der Ordnungsvorschrift unterschieden, kann man Proposition 6.1.8 als eine abstrakte Wahl einer anderen Ordnungsvorschrift deuten, ohne daß wir eine Operatordarstellung“ w¨ahlen mußten. ” Insbesondere f¨ uhrt uns diese Proposition sehr drastisch vor Augen, wie nicht-eindeutig die Wahl einer Ordnungsvorschrift tats¨achlich ist.

380

6 Formale Deformationsquantisierung

Da es bereits im 2n sehr schwer ist, gute physikalische Argumente f¨ ur die Wahl einer speziellen Ordnungsvorschrift und damit eines Sternprodukts zu finden, liefert folgende Definition eine sehr grobe Unterteilung der Sternprodukte bis auf die Wahl einer Ordnungsvorschrift“: ” ¨ Definition 6.1.10 (Aquivalenz von Sternprodukten). Zwei Sternprour (M, π) heißen ¨aquivalent, falls es eine formale Reihe dukte   und  f¨ ∞ S = id + r=1 λr Sr mit linearen Abbildungen Sr : C ∞ (M ) −→ C ∞ (M ) gibt, so daß (6.21) f  g = S −1 (Sf  Sg) und S1 = 1 ¨ f¨ ur alle f, g ∈ C ∞ (M )[[λ]] gilt. Eine derartige Abbildung heißt auch Aquivalenztransformation. F¨ ur lokale (differentielle, nat¨ urliche, Hermitesche) Stern¨ produkte definiert man entsprechend lokale (differentielle, nat¨ urliche, ∗ -) Aqui¨ valenz, wenn die Aquivalenztransformation zus¨atzlich lokal (differentiell, na¨ t¨ urlich im Sinne von Bemerkung 6.1.9, ii.), reell) ist. Die Menge der Aquivalenzklassen wird dann mit Def(M, π) beziehungsweise mit Def loc (M, π), Def diff (M, π) und Def ∗ (M, π) bezeichnet. Insbesondere wird es interessant sein, zu sehen, ob und unter welchen Umst¨ anden es Quantisierungen gibt, welche sich um mehr“ als nur die Wahl ” einer Ordnungsvorschrift unterscheiden, also im Sinne von Definition 6.1.10 in¨aquivalente Sternprodukte liefern. Es ist einer der großen Vorz¨ uge der Deformationsquantisierung, diese Frage u ¨ berhaupt in einem wohl-definierten Rahmen stellen zu k¨onnen. Dar¨ uberhinaus ist, wie wir noch sehen werden, eine vollst¨ andige Klassifikation von Sternprodukten m¨oglich. Bemerkung 6.1.11. Da es sich zeigen wird, daß alle bekannten Konstruktionen von Sternprodukten differentielle Sternprodukte liefern, meistens sogar nat¨ urliche, werden wir von nun an nur differentielle Sternprodukte betrach¨ ten und entsprechend auch differentielle Aquivalenztransformationen, ohne dies jedes mal explizit zu erw¨ ahnen. Dies scheint im Hinblick auf die Diskussion in Abschnitt 5.3.3 ebenfalls aus physikalischer Sicht vern¨ unftig zu sein. 6.1.3 Existenz und Klassifikation von Sternprodukten Die Frage nach der Existenz von (differentiellen) Sternprodukten auf beliebigen Poisson-Mannigfaltigkeiten erweist sich aufgrund der Assoziativit¨atsbedingung (6.6) als ein u ¨ beraus nichttriviales Problem, dessen umfassende L¨ osung erst 1997 durch Kontsevich gegeben wurde. Zuvor betrachtete man den sehr viel einfacheren symplektischen Fall (M, ω). Hier ist die Existenz, anders als im Poisson-Fall, zumindest lokal immer gesichert. Man kann eine Darboux-Karte w¨ahlen und in diesen lokalen Koordinaten beispielsweise das Weyl-Moyal-Sternprodukt verwenden. Um aber der globalen Geometrie eines nichttrivialen Phasenraums gerecht zu werden, gen¨ ugt eine derartige lokale Quantisierung selbstverst¨andlich nicht.

6.1 Sternprodukte auf Poisson-Mannigfaltigkeiten

381

Daher steht man in diesem Zugang vor dem Problem, die verschiedenen, lokal in Darboux-Karten definierten Sternprodukte zu einem global definierten Sternprodukt zusammenzukleben. Da aber keines der lokalen Sternprodukte invariant unter der gesamten Gruppe von Symplektomorphismen ist, was letztlich eine integrierte“ Version des Groenewold-van Hove-Theorems dar” stellt, ist es keineswegs klar, daß dieses Zusammenkleben tats¨achlich gelingt. Eine detaillierte kohomologische Analyse von Neroslavski und Vlassov zeigt, daß die Obstruktionen verschwinden, falls die dritte deRham-Kohomologie H3dR (M ) trivial ist [249]. Cahen und Gutt zeigten sp¨ater, daß allgemein auf Kotangentenb¨ undeln parallelisierbarer Konfigurationsr¨aume, wo also T Q und damit T ∗ Q triviale Vektorb¨ undel u ¨ ber Q sind, immer Sternprodukte existieren [65]. Dies wurde von DeWilde und Lecomte auf beliebige Kotangentenb¨ undel ausgedehnt [91] und noch im selben Jahr gelang diesen Autoren der erste allgemeine Existenzbeweis f¨ ur Sternprodukte auf symplektischen Mannigfaltigkeiten [90], siehe auch [92]. Der Beweis basiert auf eingehenden ¨ kohomologischen Uberlegungen, die sp¨ ater noch erheblich vereinfacht werden konnten, siehe auch [154]. Einen unabh¨angigen und sehr viel geometrischeren Beweis gab Fedosov [115–117], der allerdings lange unbeachtet geblieben ist und erst mit seiner Arbeit [119] allgemein bekannt wurde. Wir werden diese Konstruktion in Abschnitt 6.4 noch eingehend studieren. Einen dritten Beweis f¨ ur den symplektischen Fall gaben Omori, Maeda und Yoshioka [257]. Es zeigt sich, daß die Fedosov-Konstruktion automatisch nat¨ urliche Sternprodukte vom WeylTyp liefert, also insbesondere auch Hermitesche Sternprodukte [48], siehe auch [253]. Wir fassen daher diese Resultate zusammen: Satz 6.1.12 (Existenz von Sternprodukten, symplektischer Fall). Auf jeder symplektischen Mannigfaltigkeit existieren (nat¨ urliche, Hermitesche) Sternprodukte. Im Fall von Kotangentenb¨ undeln konnte Pflaum zeigen, daß es immer Sternprodukte vom standardgeordneten Typ gibt [265, 267]. Unabh¨angig davon konstruierten Bordemann, Neumaier und Waldmann mittels einer leicht modifizierten Fedosov-Konstruktion ebenfalls standardgeordnete Sternprodukte f¨ ur Kotangentenb¨ undel [43,44]. Es zeigt sich, daß das in Abschnitt 5.4.2 konstruierte Sternprodukt Std mit jenem standardgeordneten Sternprodukt aus [43, 44] u ¨ bereinstimmt. Auf die gleiche Weise erh¨alt man auch antistandardgeordnete Sternprodukte auf Kotangentenb¨ undeln. Alle so konstruierten Sternprodukte sind homogen, wobei bereits die in [91] konstruierten Sternprodukte ebenfalls homogen und vom Weyl-Typ sind. F¨ ur K¨ ahler-Mannigfaltigkeiten gibt es eine F¨ ulle von Beispielen und Konstruktionen unterschiedlichster Art, welche zu Sternprodukten f¨ uhren, die sich dann als solche vom Wick- oder Anti-Wick-Typ erweisen. Hier sei vor allem auf die grundlegenden Arbeiten von Berezin [22–24] verwiesen. Spezielle Beispiele finden sich in den Arbeiten von Cahen und Gutt [64], Moreno und Ortega-Navarro [239–243], Bordemann et. al. [38, 39] sowie bei

382

6 Formale Deformationsquantisierung

Karabegov [185, 186, 189]. Durch asymptotische Entwicklung der BerezinToeplitz-Quantisierung erhielten Cahen, Gutt und Rawnsley Sternprodukte f¨ ur eine große Klasse von K¨ ahler-Mannigfaltigkeiten inklusive detaillierter Konvergenzeigenschaften [64, 68–71, 153]. F¨ ur allgemeine kompakte K¨ahlerMannigfaltigkeiten, die einer bestimmten topologischen Bedingung gen¨ ugen (die symplektische Form ist quantisierbar im Sinne der geometrischen Quantisierung, siehe auch Aufgabe 5.1) konnten Bordemann, Meinrenken und Schlichenmaier in [41] die Asymptotik der Berezin-Toeplitz-Quantisierung genau bestimmen und so Sternprodukte konstruieren, siehe auch die Folgearbeiten [285–287]. Schließlich konnte Karabegov ohne Verwendung asymptotischer Methoden durch Zusammenkleben von lokal in holomorphen Karten definierten Sternprodukten vom Wick-Typ zeigen, daß es immer Sternprodukte mit Trennung der Variablen gibt [184]. Einen weiteren Beweis daf¨ ur lieferten Bordemann und Waldmann [48, 309], ebenfalls mit einer an die K¨ahler-Geometrie angepaßten Fedosov-Konstruktion. F¨ ur einen Vergleich beider Konstruktionen sei auf Karabegovs Arbeit [190] verwiesen. Eine weitere ausf¨ uhrliche Darstellung der Sternprodukte vom Wick-Typ und Anti-Wick-Typ findet sich bei Neumaier [253, 255], wo es sich zeigt, daß die Sternprodukte vom Wick-Typ oder Anti-Wick-Typ notwendigerweise nat¨ urlich sind. Die Beziehung zu den asymptotischen Methoden wurde von Karabegov und Schlichenmaier in [192] gekl¨ art. Wir k¨ onnen also auch f¨ ur diese spezielleren Situationen eine allgemeine Existenzaussage formulieren: Satz 6.1.13. Auf jedem Kotangentenb¨ undel existieren (nat¨ urliche, homogene) Sternprodukte vom (anti-) standardgeordneten Typ und auf jeder K¨ahlerMannigfaltigkeit existieren nat¨ urliche Sternprodukte vom (Anti-)Wick-Typ. Im Gegensatz zu den Sternprodukten vom (anti-) standardgeordneten Typ gibt es Hermitesche Sternprodukte vom (Anti-) Wick-Typ. Eine weitere Verallgemeinerung des Konzepts der Trennung der Variablen findet sich in Donins Arbeit [105]. Neben diesen allgemeinen Existenzaussagen gibt es auch eine große Anzahl von expliziten Beispielen und Konstruktionen von Sternprodukten in verschiedenen speziellen Situationen. Es f¨ uhrte hier sicher zu weit, eine notwendigerweise unvollst¨ andige Liste aufzustellen. Abgesehen von der recht expliziten Konstruktion der κ-geordneten Sternprodukt auf T ∗ Q in Abschnitt 5.4 sei daher auf die Aufgaben 6.4, 6.6, 6.7 und 6.8 verwiesen, in denen zumindest einige der expliziten Konstruktionen jenseits von Kotangentenb¨ undeln vorgestellt werden. Nachdem der symplektische Fall also gut verstanden und die Existenz von Sternprodukten gesichert ist, stellt sich die Frage nach dem allgemeinen Fall von Poisson-Mannigfaltigkeiten. Dabei handelt es sich keineswegs um eine rein mathematische Fragestellung, vielmehr haben wir in Kapitel 4 zahlreiche Beispiele und Gr¨ unde kennengelernt, weshalb Poisson-Geometrie nicht nur in klassischen mechanischen Systemen sondern auch dar¨ uberhinaus eine wichtige

6.1 Sternprodukte auf Poisson-Mannigfaltigkeiten

383

Rolle in der mathematischen Physik spielt. Deshalb ist eine Ausdehnung der Resultate zur Deformationsquantisierung auf diesen allgemeinen Fall physikalisch durchaus von Interesse. Die Schwierigkeit, Sternprodukte f¨ ur allgemeine Poisson-Strukturen zu finden, besteht nun, ganz anders als im symplektischen Fall, bereits darin, das Problem lokal zu l¨ osen. Es gibt eben keine lokale Normalform“, wie das ” Darboux-Theorem eine f¨ ur den symplektischen Fall bereitstellt. Die lokale Charakterisierung aus dem Splitting-Theorem 4.1.34 gilt ja insbesondere nur ur jede Poissonpunktweise. So war es lange unklar, ob es bereits im n f¨ Struktur ein Sternprodukt gibt, von den Schwierigkeiten des anschließenden Globalisierens durch Zusammenkleben ganz abgesehen. Das erste nichttriviale Beispiel f¨ ur ein Sternprodukt wurde von Gutt [151] erbracht und zeigt, daß lineare Poisson-Strukturen im n , also die PoissonMannigfaltigkeit g∗ mit einer Lie-Algebra g und der dazugeh¨origen linearen Poisson-Struktur auf g∗ , tats¨ achlich im Sinne der Deformationsquantisierung immer quantisiert werden k¨ onnen. Unabh¨ angig davon und in einem v¨ollig anderen Kontext wurde dieses Beispiel auch von Drinfel’d in der Theorie der Quantengruppen diskutiert, siehe beispielsweise [81, 198, 228]. Dieses Beispiel ist insofern von besonderer Wichtigkeit, als wir gesehen haben, daß eine Impulsabbildung J zu einer gegebenen Hamiltonschen Symmetrie gerade eine Poisson-Abbildung J : M −→ g∗ ist, womit die Quantisierbarkeit von g∗ unmittelbar mit der Quantisierbarkeit klassischer Symmetrien verkn¨ upft ist. Abgesehen von einigen durchaus interessanten speziellen Beispielen blieb es aber unklar, ob sich allgemeine Poisson-Strukturen auf n immer quantisieren lassen, bis Kontsevich 1997 seine nun ber¨ uhmte Formalit¨atsvermutung aus [204] bewiesen hat [203,206], welche insbesondere die Existenz von Sternprodukten zu beliebigen Poisson-Strukturen auf beliebigen Mannigfaltigkeiten impliziert. Die so erhaltenen Sternprodukte sind ebenfalls nat¨ urlich und k¨ onnen Hermitesch gew¨ ahlt werden, weshalb wir also folgenden Satz formulieren k¨ onnen: Satz 6.1.14 (Existenz von Sternprodukten, Poisson-Fall). Auf jeder Poisson-Mannigfaltigkeit existieren (nat¨ urliche, Hermitesche) Sternprodukte. Kontsevichs urspr¨ unglicher Beweis im n basiert auf einer graphentheoretischen Beschreibung aller in Frage kommenden Bidifferentialoperatoren, wobei jedem Graph eines bestimmten Typs ein spezieller Bidifferentialoperator zugeordnet wird. Dieser Schritt ist noch sehr einfach zu verstehen und hilft letztlich nur, die Bidifferentialoperatoren in geeigneter Weise durchzunumerieren. Der eigentlich nichttriviale Schritt besteht dann darin, jedem Graphen ebenfalls ein Gewicht“, also eine reelle Konstante zuzuordnen, so daß die ” Bidifferentialoperatoren gem¨ aß ihrer Gewichte aufsummiert ein assoziatives Produkt ergeben. Die Interpretation der Graphen als Feynman-Graphen eines speziellen quantenfeldtheoretischen Modells, des Poisson-Sigma-Modells von Schaller und Strobl [284], liefert die Definition der Gewichte gem¨aß der Feynman-Regeln f¨ ur dieses Modell. Dieser Zusammenhang wurde sp¨ater von

384

6 Formale Deformationsquantisierung

Cattaneo und Felder im Detail diskutiert [74]. Die Definition der Gewichte mit all ihren Vorzeichen wurde ausf¨ uhrlich von Arnal, Manchon und Masmoudi diskutiert [10]. Die Ausdehnung von n auf eine beliebige Mannigfaltigkeit erweist sich anschließend als vergleichsweise einfach. Eine sehr sch¨one, auf Kontsevichs Formalit¨ atstheorem im n aufbauende Konstruktion der Globalisierung des Sternprodukts, welche an die Fedosov-Konstruktion angelehnt ist, wurde von Cattaneo, Felder und Tomassini gegeben [79], siehe auch Dolgushevs Arbeit [101]. Einen weiteren und konzeptionell g¨anzlich verschiedenen Beweis der Formalit¨ atsvermutung gab Tamarkin unter Benutzung operadischer Techniken, siehe [205, 299]. Nachdem die Frage nach der Existenz von Sternprodukten und daher die Frage nach der Konstruierbarkeit der quantenmechanischen Observablenalgebra im Rahmen der formalen Deformationsquantisierung in voller Allgemeinheit positiv beantwortet ist, greifen wir nun die Klassifikationsfrage auf. Da nach Proposition 6.1.8 mit einem Sternprodukt auch gleich unendlich viele ¨ konstruiert werden k¨ onnen, ist zun¨ achst die Klassifikation bis auf Aquivalenz im Sinne von Definition 6.1.10 zu diskutieren. Hier wurde ebenfalls zuerst der symplektische Fall betrachtet. Bereits vor dem ersten Existenzbeweis war klar, daß die zweite deRham-Kohomologie als ¨ Quelle m¨ oglicher Obstruktionen f¨ ur die Aquivalenz auftritt. Proposition 6.1.15. Ist (M, ω) eine symplektische Mannigfaltigkeit, und gilt H2dR (M ) = {0}, so sind je zwei Sternprodukte auf M ¨aquivalent. ¨ Dieser durch rein kohomologische Uberlegungen von Lichnerowicz [223] und Gutt [150] gefundene Satz hat bereits eine weitreichende physikalische Konsequenz. Da nach dem Poincar´e-Lemma, siehe Satz 2.3.25, die zweite deRhamKohomologie von 2n trivial ist, folgt, daß im 2n alle Sternprodukte zueinander ¨ aquivalent sind. Mit anderen Worten, Deformationsquantisierungen auf dem 2n unterscheiden sich nur durch die Wahl einer Ordnungsvorschrift. Es gibt in diesem Fall also keine exotischen“ Quantisierungen. ” Korollar 6.1.16. Bis auf die Wahl einer (verallgemeinerten) Ordnungsvorschrift ist die Quantisierung auf 2n eindeutig. Weiter sind auf einer beliebigen symplektischen Mannigfaltigkeit Sternprodukte zumindest immer lokal ¨ aquivalent, womit sich die m¨ogliche Nicht¨aquivalenz als ein globaler Effekt erweist. Die Frage nach einer tats¨ achlichen Klassifikation im Falle nichttrivialer zweiter deRham-Kohomologie H2dR (M ) = {0} blieb lange unbeantwortet, bis schließlich mit der Fedosov-Konstruktion eine Methode gefunden wurde, ¨ die Aquivalenzklassen von Sternprodukten zu parametrisieren. Insbesondere zeigen so Nest und Tsygan [250, 251], Deligne [89], Bertelson, Cahen und Gutt [27] und Weinstein und Xu [324] folgenden Satz: Satz 6.1.17 (Klassifikation von symplektischen Sternprodukten). ¨ Auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit (M, ω) sind die Aquivalenzklassen von Sternprodukten in Bijektion zu den formalen Potenzreihen H2dR (M, )[[λ]].



6.1 Sternprodukte auf Poisson-Mannigfaltigkeiten

385

Man kann diese Aussage noch weiter versch¨arfen, indem man zeigt, daß jedes Sternprodukt  auf kanonische Weise eine charakteristische Klasse c() als Element [ω] + H2dR (M, )[[λ]] (6.22) c() ∈ iλ definiert, so daß  genau dann zu  a ¨quivalent ist, wenn c() = c( ) gilt. Hier [ω] 2 betrachtet man iλ + HdR (M, )[[λ]] als affinen Raum mit Ursprung [ω] ¨ ber iλ u dem Vektorraum H2dR (M, )[[λ]]. Die Wahl der Normierung der charakteristischen Klasse c() ist dabei Konvention und unterscheidet sich durchaus je nach Autor in der Literatur. Wir verweisen hier insbesondere auf die sch¨one Arbeit von Gutt und Rawnsley [154] sowie die Arbeiten von Neumaier [253, 254]. Im Zusammenhang mit der Fedosov-Konstruktion werden wir auf die charakteristische Klasse c() wieder zur¨ uckkommen und Satz 6.1.17 beweisen.







Bemerkung 6.1.18 (Klassifikation und magnetische Monopole). Im Fall M = T ∗ Q erlaubt die charakteristische Klasse c() eine einfache physikalische Deutung. Zun¨ achst gilt allgemein, daß der pull-back mit π beziehungsweise mit dem Nullschnitt ι : Q −→ T ∗ Q zueinander inverse Isomorphismen ι∗

−) H•dR (T ∗ Q) * H•dR (Q) − ∗ π

(6.23)

in der deRham-Kohomologie definieren. Dies folgt letztlich analog zum Beweis des Poincar´e-Lemmas. Somit ist die zweite deRham-Kohomologie von ur Repr¨asentanten von Klassen in T ∗ Q kanonisch durch die von Q gegeben. F¨ der zweiten deRham-Kohomologie von Q, also f¨ ur geschlossene Zweiformen auf Q, haben wir in Bemerkung 3.2.19 eine einfache physikalische Interpretation gefunden: Eine solche Zweiform B ∈ Γ∞ (Λ2 T ∗ Q) entspricht einem außeren Magnetfeld, in dem sich ein geladenes Teilchen, dessen Kinematik ¨ durch T ∗ Q beschrieben wird, bewegt. Ist insbesondere [B] = 0, so liegt ein magnetischer Monopol vor. Dies f¨ uhrt auf die physikalische Interpretation der charakteristischen Klasse als den magnetischen Monopolgehalt eines ¨außeren Magnetfeldes, in dessen Gegenwart quantisiert wird. Satz 6.1.17 besagt in dieser Interpretation, daß zwei Quantisierungen genau dann bis auf die Wahl einer verallgemeinerten Ordnungsvorschrift u ¨ bereinstimmen, wenn der magnetische Monopolgehalt des ¨ außeren Magnetfeldes u ¨bereinstimmt. Eine genaue Ausf¨ uhrung der Argumente f¨ uhrt hier zu weit, weshalb auf die Originalarbeiten von Bordemann et. al. [42] verwiesen sei. Man beachte jedoch, daß f¨ ur die Konstruktion der Observablenalgebra zu nichttrivialem Monopolgehalt keinerlei Diskretisierung der Monopolladung, wie dies im Diracschen Zugang [94] vorhergesagt wird, von N¨ oten ist. Diese Diskretisierung ( Quantisierung der ” Monopolladung“) wird erst durch die Darstellung beziehungsweise durch die Darstellbarkeit der Observablenalgebra erzwungen, siehe [42,58,315]. Die charakteristische Klasse c() stellt somit insbesondere eine erste der besagten robusten“ Eigenschaften der Quantisierung im Sinne unserer Diskussion in ” Abschnitt 5.1.2 dar.

386

6 Formale Deformationsquantisierung

Im allgemeinen Fall von Poisson-Mannigfaltigkeiten folgt aus dem Formalit¨ atstheorem nicht nur die Existenz sondern gleichermaßen auch die Klassifi¨ kation von Sternprodukten bis auf Aquivalenz. Ohne auf die weiteren Details einzugehen, hierf¨ ur sei auf die Originalarbeiten von Kontsevich verwiesen, k¨ onnen wir folgenden Satz formulieren: ¨ Satz 6.1.19 (Klassifikation im Poisson-Fall). Die Aquivalenzklassen von Sternprodukten auf einer Poisson-Mannigfaltigkeit (M, π0 ) sind in Bijektion ¨ zu den Aquivalenzklassen von formalen Deformationen π = π0 + λπ1 + · · · ∈ ∞ 2 Γ (Λ T M )[[λ]] des Poisson-Tensors π0 modulo formalen Diffeomorphismen, im Sinne von Definition 4.2.40. Bemerkung 6.1.20. Das letztliche Problem bei dieser Aussage ist, daß die klassische Seite, also die formalen Poisson-Tensoren modulo formalen Diffeomorphismen im allgemeinen eine extrem unzug¨ angliche und kompliziert zu charakterisierende Menge darstellen. Dies haben wir in Abschnitt 4.2.4 erahnen k¨ onnen. Insbesondere ist dies im allgemeinen kein affiner Raum wie im symplektischen Fall. Im Fall, daß π0 jedoch symplektisch ist, haben wir in Satz 4.2.55 gesehen, daß die formalen Deformationen von π0 gerade den formalen Deformationen der zugeh¨ origen symplektischen Form ω0 durch geschlossene Zweiformen modulo exakter Zweiformen entsprechen. Damit erhalten wir aus Satz 6.1.19 im Spezialfall einer symplektischen Mannigfaltigkeit tats¨achlich Satz 6.1.17, wie dies nat¨ urlich aus Konsistenzgr¨ unden auch zu erwarten ist.

6.2 Algebraische Deformationstheorie nach Gerstenhaber Um die Resultate, Schwierigkeiten und Techniken in der Deformationsquantisierung besser verstehen zu k¨ onnen, wollen wir nun die zugrundeliegende mathematische Theorie der formalen Deformationen von assoziativen Algebren nach Gerstenhaber diskutieren [134–139]. Dies wird insbesondere eine weitere Interpretation des Quantisierungsproblems liefern. Die Problemstellung ist dabei folgende: Sei A eine assoziative Algebra u ¨ ber einem K¨ orper oder einem kommutativen Ring mit Multiplikation



μ0 : A ⊗ A  a ⊗ b → μ0 (a ⊗ b) = ab ∈ A.

  



(6.24)

F¨ ur unsere Zwecke ist meistens = oder . Es wird im folgenden zweckm¨ aßig sein, zumindest ⊆ anzunehmen. Auf jeden Fall wollen wir, daß ein Einselement 1 = 0 besitzt und daß 2 = 0 in gilt, da sonst im folgenden viele der interessanten Vorzeichen trivial werden. Gesucht ist dann eine neue assoziative Multiplikation μ, welche von einem Parameter λ abh¨ angen und f¨ ur λ −→ 0 die Multiplikation μ0 liefern soll. In





6.2 Algebraische Deformationstheorie nach Gerstenhaber

387

diesem rein algebraischen Rahmen ist es offenbar nur sinnvoll, eine formale Abh¨ angigkeit von λ zu betrachten. Man sucht also μ = μ0 + λμ1 + λ2 μ2 + · · ·

(6.25)

mit μr ∈ Hom (A ⊗ A, A), so daß Ordnung f¨ ur Ordnung in λ die Gleichung μ(μ(a ⊗ b) ⊗ c) = μ(a ⊗ μ(b ⊗ c))

(6.26)

f¨ ur alle a, b, c ∈ A[[λ]] gilt, wobei wir uns wie immer die Abbildungen μr auf [[λ]]-lineare Weise fortgesetzt denken. Nach Bemerkung 6.1.2 ist jede [[λ]]bilineare Multiplikation auf A[[λ]] von dieser Form. F¨ ur das neue Produkt μ schreiben wir auch a  b = μ(a ⊗ b). (6.27)





Die zentrale Definition von Gerstenhabers Deformationstheorie ist also folgende: Definition 6.2.1 (Formale assoziative Deformationen). Sei A eine assoziative Algebra ¨ uber mit assoziativer Multiplikation μ0 : A ⊗ A −→ A.





i.) Eine [[λ]]-bilineare assoziative Multiplikation μ f¨ ur A[[λ]] heißt formale assoziative Deformation von μ0 , wenn μ in nullter Ordnung von λ mit μ0 ubereinstimmt. ¨ ii.) Zwei formale assoziative Deformationen μ und μ ˜ von μ0 heißen ¨aquivalent, falls es einen [[λ]]-linearen Isomorphismus Φ : (A[[λ]], μ) −→ (A[[λ]], μ ˜) gibt, der in nullter Ordnung von λ die Identit¨at auf A ist. iii.) Entsprechend definiert man assoziative Deformationen bis zur Ordnung k ¨ und deren Aquivalenz bis zur Ordnung k. ∞ Offenbar liefert jede [[λ]]-lineare Abbildung Φ = id + r=1 λr Φr eine zu μ aquivalente formale assoziative Deformation, indem man Φ zu einem Isomor¨ phismus erkl¨ art. Dies haben wir f¨ ur Sternprodukte bereits in Proposition 6.1.8 gesehen. Eine formale assoziative Deformation μ, welche zu μ0 a¨quivalent ist, heißt auch trivial. Diese Definition f¨ uhrt nun auf eine sehr allgemeine physikalische Fragestellung, siehe insbesondere [17, 18, 98]: Ist in einer physikalischen Theorie eine bestimmte algebraische Struktur von zentraler Bedeutung, so muß diese Struktur in ihren Details aus experimentellen Daten bestimmt werden. Diese sind aber mit unvermeidlichen Meßfehlern behaftet, womit sich die Frage stellt, ob geringf¨ ugig andere gemessene Parameter zu einer im wesentlichen gleichen (isomorphen) Struktur f¨ uhren, die Theorie also stabil“ (auch rigide“ oder ” ” ¨ starr“) gegen¨ uber kleinen Anderungen der fundamentalen Strukturkonstan” ” ten“ ist, oder ob diese Stabilit¨ at nicht gegeben ist. Im letzteren Fall ist die Theorie aus physikalischer Sicht eher unbrauchbar und man sollte entweder gute strukturelle Gr¨ unde anf¨ uhren k¨ onnen, warum die gemessenen Werte der Strukturkonstanten“ tats¨ achlich diese nichtgenerischen, speziellen Werte be” sitzen sollen, oder man sollte die Deformierbarkeit ernst nehmen und zu einer entsprechend stabileren Theorie wechseln.





388

6 Formale Deformationsquantisierung

¨ Diese recht allgemeine Uberlegung zum Wesen einer stabilen physikalischen Theorie sei nun am Beispiel der Galilei-Gruppe illustriert. Das Transformationsgesetz beim Wechsel der inertialen Bezugssysteme muß letztlich experimentell bestimmt werden, was einer Messung“ der Strukturkonstan” ten der zur Transformationsgruppe geh¨ orenden Lie-Algebra gleichkommt. Hier nimmt man also an, daß die Wechsel des Bezugssystems durch 6 Parameter f¨ ur Drehungen und Boosts in glatter Weise beschrieben werden, so daß eine LieGruppe vorliegt. Man erh¨ alt so zun¨ achst die Lie-Algebra der Galilei-Gruppe. Diese erweist sich aber innerhalb der 6-dimensionalen Lie-Algebren als nicht ” stabil“ und kann insbesondere in die Lie-Algebra der Lorentz-Gruppe deformiert werden, in diesem Falle sogar auf glatte Weise, wobei der Deformationsparameter die Rolle von 1c spielt. Die anderen m¨oglichen Deformationen lassen sich aus physikalischen Gr¨ unden mehr oder weniger plausibel ausschließen. Somit steht man vor der Frage, ob man seinen nichtrelativistischen Messungen vertraut und den instabilen“ Fall der Galilei-Gruppe beibeh¨alt, oder aber ” zum physikalisch plausibleren weil stabilen Fall der Lorentz-Gruppe wechseln will. Das Experiment bevorzugt letztlich und bekanntermaßen die spezielle Relativit¨ atstheorie. Man beachte, daß diese Stabilit¨atsanalyse offenbar zumindest ein Indiz f¨ ur die spezielle Relativit¨ atstheorie liefert, welches logisch unabh¨ angig von den u ¨ blichen Herleitungen“ der speziellen Relativit¨atstheorie ” ist, siehe beispielsweise [278, 291]. Eine ¨ ahnliche Diskussion haben wir auch f¨ ur die Poisson-Strukturen in Abschnitt 4.2.4 gef¨ uhrt, wo wir, physikalisch interpretiert, die Stabilit¨at der kinematischen Beschreibung eines Teilchens untersuchten. Die Untersuchung der dynamischen Stabilit¨ at eines Systems ist ein großer Zweig der Theorie der dynamischen Systeme. Hier wird untersucht, wie sich die Dynamik qualitativ und quantitativ ver¨ andert, wenn die Hamilton-Funktion oder allgemeiner das die Zeitentwicklung erzeugende Vektorfeld gest¨ort“ wird. Im symplektischen ” Fall erh¨ alt man weitreichende Aussagen aus dem KAM-Theorem, siehe beispielsweise die Diskussion (Hamiltonscher) dynamischer Systeme in [1,11,275]. Beispiel 6.2.2 (Stabilit¨at der Observablenalgebra). Die Poisson-Algebra der glatten Funktionen C ∞ ( 2n ) mit der kanonischen symplektischen PoissonKlammer besitzt nach Satz 4.2.55 eine stabile Poisson-Struktur, da diese symplektisch ist und H2dR ( 2n ) = {0}. Als assoziative Algebra hingegen ist C ∞ ( 2n ) nicht stabil, da C ∞ ( 2n ) sehr wohl nichttriviale assoziative Deformationen wie beispielsweise das Weyl-Moyal-Sternprodukt besitzt. Es kommt also sehr darauf an, in welchem Rahmen man die Frage nach Stabilit¨at stellt. Als Fazit l¨ aßt sich sagen, daß eine physikalische Theorie immer in einem vorher festgelegten strukturellen Rahmen auf ihre Stabilit¨at hin untersucht werden sollte. Offenbar ist es dabei von entscheidender Bedeutung, den Rahmen, innerhalb dessen man auf Stabilit¨ at untersucht, genau festzulegen. Hierf¨ ur muß es letztlich u ¨ bergeordnete physikalische Argumente geben, denn faßt man den Rahmen weiter, k¨ onnen vormals stabile Theorien zu instabilen

6.2 Algebraische Deformationstheorie nach Gerstenhaber

389

werden und nichttriviale Deformationen zulassen. Faßt man ihn umgekehrt zu eng, so erscheinen Theorien als stabil, und man kann neue physikalische Effekte deshalb u ¨bersehen. Letztlich kann man die Physikgeschichte mit einiger Berechtigung so interpretieren, daß vermeintlich stabile Theorien irgendwann zu Widerspr¨ uchen mit dem Experiment gef¨ uhrt haben und in einem gr¨oßeren Rahmen als deformierbar befunden wurden und deshalb durch weiter gefaßte Theorien ersetzt wurden. Wir wollen diesen Gesichtspunkt jedoch nicht seiner selbst wegen vertiefen, sondern wenden uns im folgenden konkret der Deformationstheorie assoziativer Algebren zu. Das erkl¨ arte Ziel der Deformationstheorie assoziativer Algebren ist es nun, Techniken daf¨ ur bereitzustellen, welche es erm¨oglichen, die Existenz und Klassifikation von assoziativen Deformationen zu untersuchen. In gewisser Hinsicht sind die dabei auftretenden Probleme universell genug, um auch die Deformationstheorie anderer algebraischer Strukturen, wie beispielsweise die von Lie-Algebren, zu begr¨ unden und zu formulieren. 6.2.1 λ-Adische Topologie und der Banachsche Fixpunktsatz Wir wollen nun zun¨ achst ein weiteres Hilfsmittel diskutieren, welches sp¨ater erlauben wird, die Frage nach rekursiver L¨ osbarkeit von Gleichungen Ordnung f¨ ur Ordnung in einem formalen Parameter leichter zu entscheiden. Wir betrachten wieder einen Modul V u ¨ber einem kommutativen Ring .



Definition 6.2.3 (Ordnung, λ-adische Bewertung und Metrik). Sei V ein -Modul. Die Ordnung o(v) von v ∈ V [[λ]] ist als  6 ∞  r λ vr (6.28) o(v) = min k vk = 0 wobei v = k∈0



r=0

definiert, beziehungsweise o(0) = +∞. Die λ-adische Bewertung ϕ : V [[λ]] −→

 ist dann durch

ϕ(v) = 2−o(v)

(6.29)

definiert, wobei ϕ(0) = 2−∞ = 0 gesetzt wird. Die λ-adische Metrik ist schließlich als (6.30) d(v, w) = ϕ(v − w) = 2−o(v−w) definiert. Die Bezeichnung Bewertung“ hat ihren Ursprung in der Theorie der be” werteten K¨ orper, siehe beispielsweise [219, Chap. XII], kann aber leicht auf unsere Situation u ¨bertragen werden. Die entscheidenden Eigenschaften der λ-adischen Bewertung und Metrik faßt folgende Proposition zusammen:

390

6 Formale Deformationsquantisierung



Proposition 6.2.4 (λ-Adische Topologie). Sei V ein Modul ¨ uber . i.) Die Ordnung o(·) besitzt die Eigenschaften o(v) = o(−v), o(v) = +∞ ⇐⇒ v = 0, und o(v + w) ≥ min(o(v), o(w)) (6.31) f¨ ur alle v, w ∈ V [[λ]]. ii.) Die λ-adische Metrik d ist eine Ultrametrik, es gilt d(v, w) = 0 ⇐⇒ v = w

(6.32)

d(v, w) = d(w, v) ≥ 0

(6.33)

d(v, w) ≤ max (d(v, u), d(u, w))

(6.34)

f¨ ur alle v, w, u ∈ V [[λ]]. iii.) V [[λ]] ist ein vollst¨andiger metrischer Raum und die Polynome V [λ] in λ mit Koeffizienten in V sind dicht in V [[λ]]. iv.) Versieht man [[λ]] ebenfalls mit der λ-adischen metrischen Topologie, so wird V [[λ]] ein topologischer [[λ]]-Modul. Die auf V ⊆ V [[λ]] induzierte Topologie ist diskret. v.) Eine [[λ]]-multilineare Abbildung







Φ : V1 [[λ]] × · · · × Vn [[λ]] −→ W [[λ]]

(6.35)

ist stetig in der λ-adischen Topologie. vi.) Ist v0 , v1 , . . . ∈ V eine Folge, so konvergiert die Reihe lim

n→∞

n 

r

λ vr =

r=0

∞ 

λr vr

(6.36)

r=0

im Sinne der λ-adischen Topologie. Beweis. Die Eigenschaften der Ordnung pr¨ uft man elementar nach, womit auch unmittelbar folgt, daß d eine Ultrametrik ist. F¨ ur den dritten Teil betrachten wir eine Folge (v (n) ) ∈ V [[λ]] mit v (n) =

∞ 

λr vr(n) .

r=0

Ist die Folge eine Cauchy-Folge, so gibt es f¨ ur jedes k ∈ mit der Eigenschaft   d v (n) , v (m) < 2−k

0 eine Zahl Nk ∈ 0 (∗)

f¨ ur alle v (n) und v (m) mit n, m ≥ Nk . Ohne Einschr¨ankung k¨onnen wir Nk ≥ (N ) Nk f¨ ur k ≥ k  annehmen. Wir definieren nun wk = vk k und behaupten, daß  ∞ r w = r=0 λ wr ein und damit der Grenzwert der Folge ist. Dies ist aber klar: sei ε > 0 vorgegeben und k ∈ 0 so groß gew¨ahlt, daß 2−k < ε. Dann gilt



6.2 Algebraische Deformationstheorie nach Gerstenhaber

391

(n)

f¨ ur n ≥ Nk , daß die ersten k Ordnungen vr mit 0 ≤ r ≤ k f¨ ur alle solchen n die selben sein m¨ ussen. Dies besagt gerade die Eigenschaft (∗). Also gelten (n) (N ) ur 0 ≤ r ≤ k. Damit f¨ ur alle n ≥ Nk die Gleichungen vr = vr k = wk f¨ (n) −k folgt aber d(v , w) ≤ 2 < ε und somit die Vollst¨andigkeit. Die Stetigkeit der Addition und Multiplikation mit Skalaren in [[λ]] folgt nun aus einem einfachen Abz¨ ahlen der Ordnungen. So zeigt man auch allgemein den f¨ unften Teil. Der letzte Teil ist nach Definition der Metrik ebenfalls klar.  



Die λ-adische Topologie, welche durch die Metrik d induziert wird, eignet sich wenig f¨ ur eine λ-adische Analysis“, da die Topologie sehr fein ist. Die ” auf V induzierte Topologie ist nach Teil iv.) die diskrete Topologie, womit also jede vormals eventuell vorhandene Topologie auf V ignoriert wird. Es handelt sich bei der λ-adischen Topologie daher um ein algebraisches Konzept, denn letztlich werden nur in geschickter Weise die Ordnungen von λ gez¨ahlt. Trotzdem ist die topologische Sichtweise sehr n¨ utzlich, wie wir dies nun in den folgenden Anwendungen illustrieren wollen. Wir erinnern zun¨ achst an den Banachschen Fixpunktsatz. Sei dazu (M, d) ein metrischer Raum und φ : M −→ M eine Abbildung. Dann heißt φ kontrahierend, falls es ein 0 ≤ q < 1 gibt, so daß d(φ(x), φ(y)) ≤ qd(x, y)

(6.37)

f¨ ur alle x, y ∈ M . Die Abbildung φ ist daher Lipschitz-stetig mit einer Lipschitz-Konstante q < 1. Ist M zudem vollst¨andig, so gilt der wohlbekannte Banachsche Fixpunktsatz: Proposition 6.2.5 (Banachscher Fixpunktsatz). Sei φ : M −→ M eine kontrahierende Abbildung eines vollst¨andigen metrischen Raums in sich. Dann besitzt φ genau einen Fixpunkt x∞ = φ(x∞ ), welcher durch Iteration x∞ = limn→∞ φn (x) bei beliebigem Startwert x ∈ M gewonnen werden kann. Die N¨ utzlichkeit der λ-adischen Topologie besteht nun unter anderem darin, daß kontrahierende Abbildungen auf einfachste Weise charakterisiert werden k¨ onnen:



Lemma 6.2.6. Sei V ein -Modul. Eine Abbildung φ : V [[λ]] −→ V [[λ]] ist genau dann kontrahierend bez¨ uglich der λ-adischen Metrik d, falls es ein 0 < k ∈ ∪ {+∞} gibt, so daß



o(φ(v) − φ(w)) ≥ k + o(v − w)

(6.38)

f¨ ur alle v, w ∈ V [[λ]]. In diesem Fall ist q = 2−k eine Lipschitz-Konstante f¨ ur φ. Der Beweis ist elementar, trotzdem ist das Lemma sehr n¨ utzlich, da die Bedingung (6.38) oftmals unmittelbar einsichtig ist. Eine Anwendung des Banachschen Fixpunktsatzes besteht dann meist darin, eine Gleichung Ordnung f¨ ur Ordnung in λ l¨ osen zu wollen. Wir geben ein Beispiel aus der formalen Deformationstheorie, welches f¨ ur Sternprodukte Anwendung finden wird:

392

6 Formale Deformationsquantisierung







Proposition 6.2.7. Sei A eine assoziative -Algebra mit ⊆ ∞ und sei (A[[λ]], ) eine assoziative Deformation von A. Sei T = id + r=1 λr Tr : A[[λ]] −→ A[[λ]] eine [[λ]]-lineare Abbildung, welche wir immer als T = exp(λD) mit einer eindeutig bestimmten [[λ]]-linearen Abbildung D = D0 + λD1 + · · · : A[[λ]] −→ A[[λ]] schreiben k¨onnen. Die Abbildung T ist genau dann ein -Automorphismus, wenn D eine -Derivation ist.





Beweis (nach [58, Lem. 5]). Zun¨ achst ist klar, daß D eine wohl-definierte in nullter Ordnung von λ die Identit¨at ist und daher die Logarithmusreihe ∞  s  ∞ ∞   (−1)s+1  r r λD = log T = log id + λ Tr = λ Tr (∗) s r=1 s=0 r=1

[[λ]]-lineare Abbildung liefert, da T

eine wohl-definierte formale Potenzreihe darstellt. Dies l¨aßt sich insbesondere sch¨ on mit Hilfe der λ-adischen Topologie zeigen, indem man die Konvergenz der Reihe (∗) im Sinne der λ-adischen Topologie pr¨ uft. Die Koeffizienten von D lassen sich aus denen von T bestimmen und es gilt beispielsweise D0 = T1 . Ein direkter Beweis der Derivationseigenschaft von D Ordnung f¨ ur Ordnung ist m¨ oglich, aber unn¨ otig kompliziert, da sowohl von der Reihe (∗) als auch vom deformierten Produkt viele h¨ ohere Ordnungen zusammenkommen m¨ ussen, um die Derivationseigenschaft in einer gegebenen Ordnung zeigen zu k¨onnen. Wir w¨ ahlen daher einen anderen Weg: Wir definieren eine [[λ]]-bilineare Abbildung E durch



E(a, b) = D(a  b) − D(a)  b − a  D(b), so daß E also gerade den Defekt der Derivationseigenschaft beschreibt. Durch eine einfache Induktion nach k findet man die Gleichung Dk (a  b) =

k   k−1   (k) k crst Dr (E(Ds a, Dt b)), D a  Dk− b + r,s,t=0 =0

(k)



wobei die Konstanten crst ∈ keine λ-Potenzen enthalten und prinzipiell rekursiv bestimmt werden k¨ onnen. Die genaue Form ist jedoch unerheblich. Wir berechnen nun T (a  b) und erhalten T (a  b) =

∞  λk k=0

k!

Dk (a  b)

∞ k   ∞ k−1   λk  k λk  (k) r = c D (E(Ds a, Dt b)) D a  Dk− b + k! k! r,s,t=0 rst k=0

=0

= T (a)  T (b) +

k=0

∞  k=0

k

λ k!

k−1  r,s,t=0

(k)

crst Dr (E(Ds a, Dt b)),

6.2 Algebraische Deformationstheorie nach Gerstenhaber

393

womit T genau dann ein -Automorphismus ist, wenn die zweite Reihe verschwindet. Der Term k = 0 tr¨ agt dabei noch nichts bei, der Term k = 1 liefert gerade λE. Also gilt, daß T genau dann ein -Automorphismus ist, wenn E(a, b) = −

∞ k−1  λk−1  k=2

k!

(k)

crst Dr (E(Ds a, Dt b))

(∗∗)

r,s,t=0

gilt. Diese Gleichung k¨ onnen wir nun als eine Fixpunktgleichung E = φ(E) f¨ ur E ∈ Hom[[λ]] (A[[λ]] × A[[λ]], A[[λ]]) = Hom (A × A, A)[[λ]] interpretieren, wobei der Operator φ durch die rechte Seite von (∗∗) definiert wird. Offenbar erh¨ oht φ die Ordnung um mindestens 1, so daß mit der Linearit¨ at von φ folgt, daß φ kontrahierend ist. Andererseits ist, da φ linear ist, 0 ein Fixpunkt und somit der einzige Fixpunkt. Dies zeigt, daß T genau dann ein -Automorphismus ist, falls E = 0, also D eine -Derivation ist.   Man beachte, daß im Beweis an keiner Stelle verwendet wurde, daß  eine assoziative Multiplikation ist. Folglich ist die Aussage nach wie vor richtig, wenn  beispielsweise eine Lie-Klammer ist. Korollar 6.2.8. Zwei Hermitesche Sternprodukte  und  sind genau dann -¨aquivalent, wenn sie ¨aquivalent sind.

∗

Beweis. Der Beweis wird in Aufgabe 7.6 gezeigt. 6.2.2 Die Gerstenhaber-Klammer und der Hochschild-Komplex Um die Bedingung (6.6) beziehungsweise (6.26) der Assoziativit¨at einer formalen Deformation einer assoziativen Algebra (A, μ0 ) besser verstehen zu k¨ onnen, ben¨ otigen wir den Hochschild-Komplex von A. Wir folgen in diesem Abschnitt im wesentlichen Gerstenhabers Darstellung in [134]. Es gibt mittlerweile durchaus leistungsf¨ ahigere Techniken, den Hochschild-Komplex mit seinen Strukturen zu beschreiben, wie etwa die Formulierung mit Hilfe ¨ von Koalgebren, siehe [40, App. A] f¨ ur eine Ubersicht. Wir w¨ahlen trotzdem den elementaren Zugang von [134] nicht zuletzt deshalb, um die dort erbrachte Leistung zu w¨ urdigen. ein kommutativer Ring Sei also A zun¨ achst nur ein -Modul, wobei sei und der Einfachheit wegen ⊆ gelte. Dann betrachtet man die multilinearen Abbildungen mit Werten in A ⎧ ⎪ {0} n < 0, ⎪ ⎪ ⎨ A n = 0, (6.39) C n (A, A) = 

⎪Hom A ⊗ · · · ⊗ A, A n > 0, ⎪ ⎪    ⎩

  



n−mal



394

6 Formale Deformationsquantisierung



wobei wir wie immer -lineare Abbildungen A⊗· · ·⊗A −→ A mit den entsprechenden -multilinearen Abbildungen identifizieren, siehe auch Aufgabe 1.6. Weiter betrachten wir die direkte Summe  C • (A, A) = C n (A, A). (6.40)



n∈

Die Bezeichnung C • (A, A) legt bereits nahe, daß man anstelle von A auch einen anderen -Modul M als Wertebereich der multilinearen Abbildungen verwenden kann. Auf diese Weise erh¨ alt man dann C • (A, M). Da wir im folgenden jedoch immer nur A benutzen werden, schreiben wir auch einfach C • (A) = C • (A, A), um die Notation etwas zu entlasten, siehe auch Aufgabe 6.5. Es wird sich als zweckm¨ aßig erweisen, einen um eins nach unten verschobenen Grad anstelle des Tensorgrades n in (6.40) zu verwenden. Wir definieren daher f¨ ur φ ∈ C • (A)



deg φ = n ⇐⇒ φ ∈ C n+1 (A).

(6.41)

Insbesondere haben Algebraelemente a ∈ A = C 0 (A) den Grad −1 und lineare Abbildungen A −→ A den Grad 0. Die bilinearen Abbildungen, welche wir sp¨ ater als Kandidaten f¨ ur Multiplikationen verwenden wollen, haben den Grad +1. Seien nun φ ∈ C n+1 (A) und ψ ∈ C m+1 (A) gegeben. Dann definiert man die Einsetzung von ψ in φ nach der i-ten Stelle als (φ ◦i ψ)(a0 , . . . , an+m ) = φ (a0 , . . . , ai−1 , ψ(ai , . . . , ai+m ), ai+m+1 , . . . , an+m ) , (6.42) wobei i = 0, . . . , n = deg φ und a0 , . . . , an+m ∈ A. Somit erh¨alt man ein Element φ ◦i ψ ∈ C n+m+1 (A). Dies zeigt insbesondere, daß ◦i homogen bez¨ uglich des deg-Grades ist, also deg(φ ◦i ψ) = deg φ + deg ψ

(6.43)

f¨ ur alle i = 0, . . . , deg φ. Man setzt ◦i bilinear auf ganz C • (A) fort, indem man φ ◦i ψ = 0 setzt, sobald i > deg φ. Die Einsetzung von ψ ∈ C 0 (A) = A in φ ist einfach die Einsetzung des Algebraelements ψ an die entsprechende Stelle von φ. Die Einsetzung von ψ ∈ C 1 (A) = End (A) in φ ∈ C 1 (A) ist die Hintereinanderausf¨ uhrung der Endomorphismen φ ◦0 ψ = φ ◦ ψ. Mit den richtigen Vorzeichen verziert definieren wir nun eine Linearkombination aller m¨oglichen Einsetzungen von ψ in φ als φ◦ψ =

deg φ

(−1)i deg ψ φ ◦i ψ,

(6.44)

i=0

wobei wir (6.44) f¨ ur homogene Elemente vom Grad deg φ beziehungsweise deg ψ verwenden und anschließend bilinear auf alle Elemente von C • (A)

6.2 Algebraische Deformationstheorie nach Gerstenhaber

395

fortsetzen. Insbesondere verallgemeinert (6.44) die u ¨ bliche Hintereinanderausf¨ uhrung von Endomorphismen φ, ψ ∈ C 1 (A) = End (A). Dann ist ◦ ebenso wie die einzelnen ◦i gradiert bez¨ uglich des deg-Grades deg(φ ◦ ψ) = deg φ + deg ψ.

(6.45)

Das Produkt ◦ ist weder assoziativ noch kommutativ, es gilt vielmehr folgende Identit¨ at, welche jedoch immer noch hinreichend daf¨ ur ist, daß der gradierte ◦-Kommutator eine Super-Lie-Klammer ist:



Satz 6.2.9 (Gerstenhaber-Klammer). Sei A ein -Modul und seien φ, ψ, χ ∈ C • (A) homogene Elemente. i.) Es gilt ⎧ ⎪ ⎨(φ ◦j χ) ◦i+deg χ ψ (φ ◦i ψ) ◦j χ = φ ◦i (ψ ◦j−i χ) ⎪ ⎩ (φ ◦j−deg ψ χ) ◦i ψ

j i + deg ψ.

(6.46)

ii.) Es gilt (φ ◦ ψ) ◦ χ − φ ◦ (ψ ◦ χ) = (−1)deg ψ deg χ ((φ ◦ χ) ◦ ψ − φ ◦ (χ ◦ ψ)) . (6.47) iii.) Der Superkommutator [φ, ψ] = φ ◦ ψ − (−1)deg φ deg ψ ψ ◦ φ

(6.48)

ist superantisymmetrisch und erf¨ ullt die Super-Jacobi-Identit¨at bez¨ uglich des deg-Grades, womit (C • (A), deg, [·, ·]) eine Super-Lie-Algebra wird. Beweis. Seien φ, ψ und χ als homogene Elemente der Grade n, m, und k gegeben. Dann gilt f¨ ur a0 , . . . , an+m+k ∈ A ((φ ◦i ψ) ◦j χ) (a0 , . . . , an+m+k ) = (φ ◦i ψ)(a0 , . . . , aj−1 , χ(aj , . . . , aj+k ), aj+k+1 , . . . , an+m+k ) φ (a , ..., a , ψ(a , ..., a ), ..., a , χ(a , ..., a ), ..., a

0 i−1 i i+m j−1 j j+k n+m+k ) φ (a , ..., a , ψ (a , ..., a , χ(a , ..., a ), ..., a ) , ..., an+m+k ) = 0 i−1 i j−1 j j+k i+m+k φ (a0 , ..., aj−1 , χ(aj , ..., aj+k ), ..., ai+k−1 , ψ(ai+k , ..., ai+k+m ), ..., an+m+k )  ((φ ◦j−m χ) ◦i ψ) (a0 , . . . , an+m+k ) j > i + m, = (φ ◦i (ψ ◦j−i χ)) (a0 , . . . , an+m+k ) i ≤ j ≤ i + m, ((φ ◦j χ) ◦i+k ψ) (a0 , . . . , an+m+k ) j < i.

Somit ist der erste Teil gezeigt. Man beachte, daß diese Rechenregeln unter nochmaliger Anwendung und der Vertauschung der Rollen von ψ und χ konsistent sind. F¨ ur den zweiten Teil berechnen wir unter Verwendung des ersten Teils f¨ ur die Terme mit i ≤ j ≤ i + m

396

6 Formale Deformationsquantisierung

(φ ◦ ψ) ◦ χ − φ ◦ (ψ ◦ χ) n+m 

=

(−1)jk (φ ◦ ψ) ◦j χ −

j=0

(−1)i(m+k) φ ◦i (ψ ◦ χ)

i=0

n+m n 

=

n 

(−1)jk+im (φ ◦i ψ) ◦j χ −

j=0 i=0 n  i−1 

=

(−1)im+jk (φ ◦i ψ) ◦j χ +

n 

(−1)im+jk φ ◦i (ψ ◦j−i χ) −

i=0 j=i

=

n+m 

(−1)im+jk (φ ◦i ψ) ◦j χ

i=0 j=i+m+1

n i+m  

n  i−1 

(−1)im+ik+jk φ ◦i (ψ ◦j χ)

i=0 j=0

i=0 j=0

+

n  m 

+

i=0 j=0

(−1)im+ik+jk φ ◦i (ψ ◦j χ)

i=0 j=0

(−1)im+jk (φ ◦i ψ) ◦j χ +

i=0 j=0 n  m 

n  m 

n 

n+m 

(−1)im+jk (φ ◦i ψ) ◦j χ

i=0 j=i+m+1



 (−1)im+jk−ik − (−1)im+ik+jk (φ ◦i ψ) ◦j χ,    =0

womit wir die wichtige Identit¨ at (φ ◦ ψ) ◦ χ − φ ◦ (ψ ◦ χ) =

n 



i=0

0≤j 0 einmal partiell bez¨ uglich der lokalen Koordinaten. vii.) Folgern Sie nun, daß ein homogenes Sternprodukt auf T ∗ Q stark geschlossen ist, siehe auch [44, Sect. 8]. Aufgabe 6.4 (Sternprodukte f¨ ur vertikale Poisson-Strukturen). Sei π : E −→ M ein reelles Vektorb¨ undel der Faserdimension N .

476

6 Formale Deformationsquantisierung

i.) Zeigen Sie, daß die vertikalen Multivektorfelder Γ∞ (Λ• Ver(E)) eine Gerstenhaber-Unteralgebra aller Multivektorfelder Γ∞ (Λ• T E) auf E bilden. Hinweis: Benutzen Sie die lokale Form von vertikalen Multivektorfeldern gem¨ aß Aufgabe 5.20. ii.) Zeigen Sie, daß auch die in Faserrichtung polynomialen vertikalen Multivektorfelder eine Gerstenhaber-Unteralgebra von Γ∞ (Λ• T E) bilden. Bestimmen Sie den Polynomgrad von X, Y , wenn X, Y ∈ Γ∞ (Λ• Ver(E)) polynomial vom Grad 1 und 2 sind. ur X, Y ∈ Γ∞ (Λ• E). Folgern Sie, daß f¨ ur θ ∈ iii.) Zeigen Sie X v , Y v  = 0 f¨ ∞ 2 Γ (Λ E) der vertikale Lift θv ∈ Γ∞ (Λ2 Ver(E)) eine vertikale PoissonStruktur auf E ist. iv.) Seien e1 , . . . , eN ∈ Γ∞ (E U ) lokal auf einer offenen Teilmenge U ⊆ M definierte Basisschnitte, so daß θ U = 12 θαβ eα ∧ eβ mit lokal definierten Funktionen θαβ ∈ C ∞ (M ). Definieren Sie dann lokal auf π −1 (U ) das formale Sternprodukt iλ

f g = μ◦e2

π ∗ θ αβ Levα ⊗ Lev

β

(f ⊗ g)

(6.264)

f¨ ur f, g ∈ C ∞ (π −1 (U ))[[λ]]. Zeigen Sie, daß  eine wohl-definierte assoziative Deformation von θv liefert. Zeigen Sie weiter, daß  nicht von der Wahl der Basisschnitte abh¨ angt und daher ein kanonisch gegebenes global auf E erkl¨ artes Sternprodukt f¨ ur die Poisson-Struktur θv ist. Aufgabe 6.5 (Bimoduln und Hochschild-Kohomologie). Seien A und B assoziative Algebren u ¨ber einem Ring und M ein -Modul. Dann heißt M ein (B, A)-Bimodul, wenn es zwei -bilineare Multiplikationsvorschriften



B × M −→ M und





M × A −→ M

(6.265)

gibt, welche M zu einem B-Linksmodul, also b · (b · m) = (bb ) · m, und einem A-Rechtsmodul, also (m · a) · a = m · (aa ) machen, so daß zudem (b · m) · a = b · (m · a) f¨ ur alle b ∈ B, a ∈ A und m ∈ M gilt. Ist sogar B = A, so spricht man einfach von einem A-Bimodul. Ist A weiterhin sogar kommutativ, so heißt ein A-Bimodul M symmetrisch, falls a · m = m · a gilt. i.) Zeigen Sie, daß f¨ ur ein Vektorb¨ undel π : E −→ M die Schnitte Γ∞ (E) ∞ ∞ zu einem (Γ (End(E)), C (M ))-Bimodul werden. Sei weiter E = L ein Geradenb¨ undel. Zeigen Sie, daß die Identifikation Γ∞ (End(L)) = C ∞ (M ) die Schnitte Γ∞ (L) zu einem symmetrischen C ∞ (M )-Bimodul macht. ii.) Sei nun φ : M −→ M eine glatte Abbildung. Definieren Sie dann f¨ ur die undel L die getwistete LinksmultipliSchnitte s ∈ Γ∞ (L) eines Geradenb¨ kation mit Funktionen f durch f · s = φ∗ (f )s. Zeigen Sie, daß auch damit Γ∞ (L) zu einem C ∞ (M )-Bimodul wird. Ist dieser noch symmetrisch? iii.) F¨ ur einen Differentialoperator D ∈ DiffOp(M ) und f, g ∈ C ∞ (M ) definieren Sie einen neuen Operator f · D · g : C ∞ (M ) −→ C ∞ (M ) durch (f · D · g)(h) = f D(gh).

(6.266)

6.5 Aufgaben

477

Zeigen Sie durch eine explizite Betrachtung in lokalen Koordinaten, daß f · D ·g wieder ein Differentialoperator ist und bestimmen Sie seine Ordnung. Zeigen Sie weiter, daß DiffOp(M ) so zu einem C ∞ (M )-Bimodul wird. Ist dieser Bimodul symmetrisch? Hinweis: Ein allgemeines Argument wird in Anhang A.4 diskutiert. Betrachten Sie nun die n-linearen Abbildungen C n (A, M) mit Werten in einem A-Bimodul M, analog zu (6.39) und setzen Sie C • (A, M) =

∞ 

C n (A, M),

(6.267)

n=0

wobei C 0 (A, M) = M gesetzt wird. Dies verallgemeinert C • (A, A) auf die offensichtliche Weise. iv.) Machen Sie sich zun¨ achst klar, daß es keine einfachen Analoga des Gerstenhaber-Produkts ◦ und der Gerstenhaber-Klammer [·, ·] gibt. Zeigen Sie, daß jedoch das Hochschild-Differential δ explizit durch (6.53) definiert werden kann, wenn man die Bimodulmultiplikationen geeignet verwendet. v.) Zeigen Sie dann explizit, daß δ 2 = 0 gilt. Hier ben¨otigen Sie alle Eigenschaften der Bimodulmultiplikationen. Damit k¨onnen Sie also die Hochschild-Kohomologie HH• (A, M) von A mit Werten im A-Bimodul M definieren. vi.) Interpretieren Sie die Bedeutung der nullten und ersten HochschildKohomologie von A mit Werten in einem A-Bimodul M. Aufgabe 6.6 (Eine assoziative kommutative Deformation). Betrachten Sie die Funktionen A = C ∞ ( ) oder auch auf einem Teilintervall I ⊆ . Analog kann man auch die ganz algebraische Situation der Algebra [x] der Polynome in einer Unbekannten x betrachten. Sei weiter eα (x) = eαx mit α∈ .





i.) Sei D ein k-Differentialoperator f¨ ur A. Zeigen Sie, daß D durch die Werte D(eα1 , . . . , eαk ) mit α1 , . . . , αk ∈ bereits eindeutig bestimmt ist. ¨ Hinweis: Uberlegen Sie sich zun¨ achst, daß D durch seine Werte auf allen Monomen in x bestimmt ist. Wie k¨ onnen Sie dann diese aus den Werten D(eα1 , . . . , eαk ) einfach rekonstruieren? Betrachten Sie f¨ ur f, g ∈ C ∞ ( )[[λ]] folgendes, offenbar kommutatives Produkt ∞  λr r ∂ r f ∂ r g x f g = . (6.268) r! ∂xr ∂xr r=0





ii.) Zeigen Sie, daß [x][λ] eine Unteralgebra (¨ uber [λ]) bez¨ uglich  ist. Damit l¨ aßt sich  auch in der rein algebraischen Situation diskutieren. iii.) Berechnen Sie eα  eβ und benutzen Sie dieses Ergebnis, um die Assoziativit¨ at von  zu zeigen.

478

6 Formale Deformationsquantisierung

iv.) Argumentieren Sie mit dem Hochschild-Kostant-Rosenberg-Theorem, daß  zur undeformierten Multiplikation ¨ aquivalent ist. ¨ Es soll nun explizit eine Aquivalenztransformation S zum undeformierten Pro¨ dukt gefunden werden, also S(f g) = Sf Sg. Die Aquivalenztransformation S soll eine formale Reihe von Differentialoperatoren sein, welche mit id beginnt. ˆ v.) Zeigen Sie, daß S durch S(α) = e−α Seα eindeutig bestimmt. Zeigen Sie, daß Sˆ in jeder Ordnung von λ eine glatte Funktion von x und ein Polynom in α ist. vi.) Werten Sie die Bedingung an S auf f = eα und g = eβ aus, und zeigen Sie so, daß Sˆ die Funktionalgleichung ˆ ˆ S(β) ˆ S(λαβ + α + β)eλαβ = S(α)

(6.269)

ˆ f¨ ur alle α, β erf¨ ullt. Warum ist T (α) = λ1 ln S(α) eine wohl-definierte formale Potenzreihe in λ? Bestimmen Sie die zu (6.269) ¨aquivalente Funktionalgleichung f¨ ur T . vii.) Leiten Sie die Funktionalgleichung f¨ ur T nach α und nach β ab, um eine gew¨ ohnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung f¨ ur T bez¨ uglich der Variablen γ = α + β + λαβ zu erhalten, wobei x und λ die Rolle von Parametern spielen. viii.) Zeigen Sie, daß die allgemeinste L¨ osung dieser Differentialgleichung in der Variablen γ von der Form T (γ) =

xB xγ x λC + e ln(1 + γλ) − λ2 λ λ

(6.270)

ist, wobei C und B von x und λ abh¨ angige Integrationskonstanten sind. Zeigen Sie, daß (6.270) nur dann eine wohl-definierte formale Potenzreihe in λ liefert, so daß Sˆ = eλT die Funktionalgleichung (6.269) erf¨ ullt, falls B = 0 gew¨ ahlt wird. Damit ist also das Symbol Sˆ explizit gefunden. Wir setzen D = eλC . Insbesondere liefert C = 0 also D = 1 eine L¨ osung. ix.) Zeigen Sie Sx = Dx, indem Sie eine geeignete Ableitung von Sˆ bestimmen. x.) Zeigen Sie x  xr = xr+1 + rλxr und folgern Sie durch Induktion Sxr =

r−1
0.

(7.2)

r=r0

Entsprechend definiert man negative Elemente in

[[λ]].

Es zeigt sich, daß diese Definition einen physikalisch tragf¨ahigen Zustandsbegriff f¨ ur die formale Deformationsquantisierung liefert. Eine m¨ogliche Motivation f¨ ur die Definition 7.1.1 liefert folgendes triviale Lemma: Lemma 7.1.2 (Asymptotische Positivit¨ at). Sei f ∈ C ∞ (I) mit I = eine glatte reellwertige Funktion, welche eine asymptotische Ent(0, ) ⊂ wicklung f (t) ∼ fˆ ∈ [[λ]] f¨ ur t −→ 0+ besitzt, so daß fˆ = 0. Dann gilt fˆ > 0 genau dann, wenn es ein 0 < δ ≤  mit f (0,δ) > 0 gibt. Der Beweis ist offensichtlich und folgt direkt aus der Definition einer asymptotischen Entwicklung. Man beachte jedoch, daß aus der Positivit¨at von fˆ im Sinne von (7.2) nicht f > 0 auf ganz (0, ) geschlossen werden kann. Man kann Dank Lemma 7.1.2 also nur von einer asymptotischen Positivit¨at f¨ ur atsbegriff von [[λ]] induziert. t −→ 0+ sprechen, welche den Positivit¨ Interpretiert man formale Potenzreihen in λ nun als asymptotische Entwicklungen von Funktionen von  f¨ ur  −→ 0+ , wie wir dies in der Deformationsquantisierung tun wollen, so liefert die Positivit¨at im Sinne von Definition 7.1.1 sicherlich ein notwendiges Kriterium f¨ ur die Positivit¨at im konvergenten Fall. Hinreichend wird es jedoch im allgemeinen nicht sein. Es stellt sich also nun die berechtigte Frage, ob diese zwar wohl-motivierte jedoch trotzdem rein mathematische Definition von Positivit¨at f¨ ur das Quantisierungsproblem im Rahmen der Deformationsquantisierung physikalisch von Interesse ist. Zu zeigen, daß dies tats¨ achlich der Fall ist, wird nun Gegenstand dieses Abschnitts sein. 7.1.1 Geordnete Ringe, Pr¨ a-Hilbert-R¨ aume und ∗ -Algebren Wir werden nun die Definition 7.1.1 in einen etwas weiteren algebraischen Kontext stellen, der es uns erlauben wird, die konvergenten wie auch die formalen Versionen von Sternprodukten gleichermaßen und mit gleichen Techniken zu behandeln. Insbesondere sind die folgenden Aussagen auch f¨ ur den anwendbar. Die zentrale Definition ist dabei K¨ orper der reellen Zahlen die eines geordneten Ringes, in leichter Verallgemeinerung eines geordneten K¨ orpers [219, Chap. XI §1]:

488

7 Zust¨ ande und Darstellungen

Definition 7.1.3 (Geordneter Ring). Ein geordneter Ring (R, P) ist ein assoziativer, kommutativer Ring mit Eins (ungleich 0) zusammen mit einer Teilmenge P ⊂ R, derart, daß R = −P ∪˙ {0} ∪˙ P

(disjunkte Vereinigung)

(7.3)

P · P ⊆ P.

(7.4)

und P+P⊆P

sowie

Die Elemente in P heißen positiv. Ein Element a ∈ R ist also entweder positiv, gleich 0, oder negativ, also a ∈ −P. Wir k¨ onnen die disjunkte Vereinigung (7.3) nun dazu verwenden, eine Ordnungsrelation < auf R zu definieren, indem man a < b f¨ ur b − a ∈ P schreibt. Entsprechend verwendet man die Symbole >, ≤ und ≥. Schließlich definiert man |a| = a, falls a ≥ 0 und |a| = −a, falls a < 0 und erh¨alt so eine Betragsfunktion. Bemerkung 7.1.4 (Geordnete Ringe). i.) In einem geordneten Ring R gilt a2 ≥ 0. Es gilt genau dann a2 = 0, wenn a = 0. Dies erh¨ alt man aus der einfachen Fallunterscheidung a ∈ P oder ullt. a ∈ −P, da a = 0 offenbar trivialerweise a2 ≥ 0 erf¨ ii.) In einem geordneten Ring R gilt 1 = 12 > 0 und damit auch n = 1 + · · · + 1 > 0. Also besitzt R Charakteristik Null. Gleichbedeutend gilt, daß als geordneter Unterring in jedem geordneten Ring enthalten ist. iii.) Ein geordneter Ring R besitzt keine Nullteiler, denn aus ab = 0 folgt a = 0 oder b = 0, was man durch eine leichte Fallunterscheidung sieht. Daher ˆ von R u ˆ als k¨ onnen wir immer zum Quotientenk¨orper R ¨ bergehen, wobei R ¨ Menge der Aquivalenzklassen formaler Br¨ uche ab mit a, b ∈ R und b = 0  definiert ist, wobei ab ∼ ab gilt, falls es c, c ∈ R \ {0} mit ca = c a und cb = c b gibt. Durch die u ¨ bliche Definition von Summe und Produkt von ˆ ein K¨ Br¨ uchen wird R orper, welcher selbst wieder geordnet ist, indem man ˆ definiert, falls es Repr¨ ˆ⊂R ˆ durch a ∈ P asentanten mit a, b ∈ P gibt. Die P b ˆ via a → a ist dann ordnungserhaltend. nat¨ urliche Ringinklusion R %→ R 1 iv.) Die Betragsfunktion erf¨ ullt die u ¨ blichen Eigenschaften, insbesondere die Dreiecksungleichung. Dies beweist man wie auch schon f¨ ur die reellen Zahlen.



Definition 7.1.5 (Archimedische Ordnung). Ein geordneter Ring R existiert, so daß heißt Archimedisch geordnet, falls f¨ ur a, b > 0 ein n ∈ na > b.



Wir kommen nun zu den Beispielen: Beispiel 7.1.6 (Geordnete Ringe). i.)

 ist der kleinste geordnete Ring und in jedem anderen enthalten. Der Quotientenk¨orper von  ist .

7.1 Zust¨ ande als positive Funktionale

ii.) iii.)

489

 und

sind Archimedisch geordnete Ringe (sogar K¨orper). [[λ]] ist ein geordneter Ring verm¨ oge der Definition 7.1.1. Offenbar ist [[λ]] nicht Archimedisch geordnet, da λ > 0 aber nλ < 1 f¨ ur alle n ∈ . Der Quotientenk¨ orper ist in diesem Fall der K¨orper der formalen LaurentReihen 6  ∞  r , (7.5) ((λ)) = a = λ a r N ∈ , ar ∈





r=N

wobei Addition und Multiplikation in ((λ)) analog zur Addition und Multiplikation von formalen Potenzreihen definiert sind. Man beachte, daß a ∈ ((λ)) zwar unendlich viele, von Null verschiedene positive Ordnungen von λ aber nur endlich viele negative Ordnungen besitzen darf. Man u ¨ berzeugt sich leicht davon, daß anderenfalls die Multiplikation nicht l¨ anger wohl-definiert w¨ are. Daß ((λ)) tats¨achlich der Quotientenk¨orper von [[λ]] ist, wird in Aufgabe 7.1 gezeigt. iv.) Allgemein gilt, daß f¨ ur einen geordneten Ring R auch R[[λ]] mit der analogen Definition wie f¨ ur [[λ]] wieder geordnet ist. Aus diesem Grunde paßt das Konzept des geordneten Rings sehr gut zur formalen Deforma¨ tionstheorie, da man beim Ubergang zu formalen Potenzreihen nicht die Kategorie wechseln muß. Bemerkung 7.1.7 (Topologie eines geordnetes Rings). Ist R ein geordneter Ring, so lassen sich wie f¨ ur die reellen Zahlen auch -Umgebungen definieren: F¨ ur , a ∈ R mit  > 0 definiert man die offene -Kugel B" (a) = {b ∈ R | |a − b| < }. Diese offenen -Kugeln liefern dann die Basis einer Topologie f¨ ur die Menge R. Bez¨ uglich dieser ist R dann ein topologischer Ring, die Addition und Multiplikation sind stetige Abbildungen. F¨ ur den Fall R[[λ]] ist diese Topologie gerade die λ-adische Topologie. Nachdem wir mit dem Begriff des geordneten Rings einen u ¨ bergeordneten und [[λ]] gefunden Rahmen zur Beschreibung der Positivit¨ atsbegriffe in haben, ben¨ otigen wir auch noch einen Ersatz f¨ ur die komplexen Zahlen. Dies ist nun einfach: zu einem geordneten Ring R betrachten wir die Ringerweiterung (7.6) C = R(i) mit i2 = −1, also C = R × R als Menge mit i = (0, 1) und der u ¨ blichen komponentenweisen Addition und Multiplikation unter Verwendung der Relation i2 = −1. Dann ist C wieder ein assoziativer und kommutativer Ring mit Eins, welcher R mittels der kanonischen Ringeinbettung R %→ C durch a → (a, 0) umfaßt. F¨ ur z = (a, b) ∈ C schreiben wir wie u ¨ blich z = a + ib und nennen a den Realteil und b den Imagin¨ arteil von z. Die komplexe Konjugation z = a + ib → z = a − ib

(7.7)

ist dann ein involutiver R-linearer Ringautomorphismus von C und z ∈ C ist genau dann reell, wenn z = z. Weiter gilt zz ∈ R und

490

7 Zust¨ ande und Darstellungen

zz = a2 + b2 ≥ 0.

(7.8)

Es gilt genau dann zz = 0, wenn z = 0. Insgesamt folgt, daß auch C nullteilerfrei ist und Charakteristik Null besitzt. Somit k¨onnen wir auch zu C den ˆ bilden und es gilt dann C ˆ ∼ ˆ Quotientenk¨ orper C auf kanonische Weise. = R(i) Im Fall von formalen Potenzreihen R = [[λ]] gilt offenbar C = [[λ]]. Im folgenden werden wir also einen geordneten Ring R mit zugeh¨origer Ringerweiterung C als fest gew¨ ahlt voraussetzen. F¨ ur die Deformationsquantisierung sind R = oder [[λ]] und somit C = oder [[λ]] von Interesse. Es k¨ onnen jedoch auch etwas allgemeinere formale Reihen als nur formale Potenzreihen zum Einsatz kommen, wie beispielsweise ((λ)), siehe auch die Diskussion in [50, 281]. Wir k¨ onnen nun beginnen, die bekannte Theorie der Hilbert-R¨aume u ¨ ber auch f¨ ur die allgemeinere Situation C = R(i) mit einem geordneten Ring R zu entwickeln, indem wir versuchen, alle Definitionen und Resultate auch in diesem rein algebraischen Rahmen wiederzufinden. Dies kann sicherlich nicht f¨ ur alle Ergebnisse m¨ oglich sein, da in unserem Fall keine analytischen Techniken zur Verf¨ ugung stehen, also nur algebraische Konzepte u ¨ bernommen werden k¨ onnen. Wir beginnen mit folgender Definition:









Definition 7.1.8 (Pr¨ a-Hilbert-Raum). Sei H ein C-Modul und ·, · : H× H −→ C eine Abbildung. Dann heißt ·, · inneres Produkt, falls i.) φ, zψ + wχ = z φ, ψ + w φ, χ, ii.) φ, ψ = ψ, φ f¨ ur alle φ, ψ, χ ∈ H und z, w ∈ C gilt. Ein inneres Produkt heißt nichtausgeartet, falls φ, ψ = 0 f¨ ur alle ψ ∈ H impliziert, daß φ = 0 gilt. Ein inneres Produkt heißt positiv semi-definit, falls φ, φ ≥ 0 und positiv definit, falls φ, φ > 0 f¨ ur φ = 0. Ein C-Modul mit einem positiv definiten inneren Produkt heißt Pr¨a-Hilbert-Raum ¨ uber C. Den Ausartungsraum von ·, · bezeichnen wir mit ur alle ψ ∈ H}. H⊥ = {φ ∈ H | ψ, φ = 0 f¨

(7.9)

Ein positiv definites inneres Produkt ist offenbar nichtausgeartet. F¨ ur ein positiv semi-definites inneres Produkt gilt auch die Umkehrung, was man anhand der Cauchy-Schwarz-Ungleichung sieht: Zun¨achst ben¨otigen wir folgendes Lemma, das f¨ ur C = wohlbekannt ist.





Lemma 7.1.9. Sei a, b, b , c ∈ C und sei p(z, w) = azz + bzw + b zw + cww ≥ 0

(7.10)

f¨ ur alle z, w ∈ C. Dann gilt a ≥ 0,

c ≥ 0,

b = b

(7.11)

sowie bb ≤ ac.

(7.12)

7.1 Zust¨ ande als positive Funktionale

491

Beweis. Mit z = 0 beziehungsweise w = 0 folgt sofort a ≥ 0 und c ≥ 0. Durch Auswerten von p(1, 1) ≥ 0 und p(i, 1) ≥ 0 folgt b = b . Um die Ungleichung (7.12) zu zeigen, betrachtet man zun¨ achst den Fall a = 0 = c. Dann folgt mit ur alle z, was nur f¨ ur b = 0 m¨oglich w = b die Ungleichung bb(z + z) ≥ 0 f¨ ist, womit (7.12) folgt. Sei also beispielsweise a > 0. Dann gilt mit w = a und   z = −b die Ungleichung −bba + ca2 ≥ 0 und damit ebenfalls (7.12). Korollar 7.1.10 (Cauchy-Schwarz-Ungleichung). Sei H ein C-Modul mit positiv semi-definitem inneren Produkt ·, ·. Dann gilt f¨ ur alle φ, ψ ∈ H die Cauchy-Schwarz-Ungleichung φ, ψ ψ, φ ≤ φ, φ ψ, ψ

(7.13)

und damit

(7.14) H⊥ = {φ ∈ H | φ, φ = 0}.

⊥ Es folgt, daß durch [φ], [ψ] = φ, ψ f¨ ur [φ], [ψ] ∈ H H ein positiv definites inneres Produkt wohl-definiert wird und somit H H⊥ zu einem Pr¨a-HilbertRaum wird. Beweis. Zum Beweis von (7.13) betrachtet man zφ + wψ, zφ + wψ ≥ 0 f¨ ur ⊥ gerade durch z, w ∈ C und verwendet Lemma 7.1.9. Damit folgt aber, daß H

achlich zum Pr¨a-Hilbert-Raum u (7.14) gegeben ist. Somit wird H H⊥ tats¨ ¨ ber C.   Da C im allgemeinen kein K¨ orper zu sein braucht, kann es durchaus sein, daß es f¨ ur einen C-Modul M ein Element φ ∈ M und ein z ∈ C gibt, so daß zφ = 0 gilt, aber weder φ noch z selbst Null sind. Diesen Effekt nennt man Torsion. F¨ ur einen Pr¨ a-Hilbert-Raum H u ¨ber C kann dies jedoch nicht sein, da zφ, zφ = zz φ, φ gilt und C nullteilerfrei ist. Daher sind Pr¨a-HilbertR¨ aume immer torsionsfrei. Eine wichtige Konstruktion mit Pr¨ a-Hilbert-R¨aumen ist die orthogonale direkte Summe: Lemma 7.1.11 (Direkte Summe von Pr¨ a-Hilbert-R¨ aumen). Sei Λ eine Indexmenge und seien {Hλ }λ∈Λ Pr¨a-Hilbert-R¨aume u ¨ber C. Dann ist  H= Hλ (7.15) λ∈Λ

mit (φλ )λ∈Λ , (ψλ )λ ∈Λ  =



φλ , ψλ λ

(7.16)

λ∈Λ

ein Pr¨a-Hilbert-Raum ¨ uber C, die orthogonale direkte Summe der Hλ . Beweis. Da H die direkte Summe der Hλ ist, besitzt die Summe in (7.16) immer nur endlich viele von Null verschiedene Summanden. Somit ist das innere Produkt wohl-definiert. Die verbleibenden Eigenschaften pr¨ uft man nun leicht nach.  

492

7 Zust¨ ande und Darstellungen

Beispiel 7.1.12 (Pr¨a-Hilbert-R¨aume). i.) Der Ring C wird mit z, w = zw zu einem  Pr¨a-Hilbert-Raum. Entsprechend wird Cn und allgemein C(Λ) = λ∈Λ Cλ mit Cλ = C nach Lemma 7.1.11 zu einem Pr¨ a-Hilbert-Raum. F¨ ur (zλ )λ∈Λ , (wλ )λ ∈Λ ∈ C(Λ) gilt  z λ wλ . (7.17) (zλ )λ∈Λ , (wλ )λ ∈Λ  = λ∈Λ

ii.) Die formalen Reihen von glatten Funktionen mit kompaktem Tr¨ager uglich C0∞ (Q)[[λ]] werden bez¨ f, g = fg μ (7.18)



Q

ein Pr¨ a-Hilbert-Raum u ¨ber [[λ]], wobei μ > 0 eine positive Dichte ist. Dies verallgemeinert unser Beispiel (2.222) aus Bemerkung 2.3.41. iii.) Ganz allgemein gilt f¨ ur einen Pr¨ a-Hilbert-Raum H u ¨ber C, daß H[[λ]] ein Pr¨ a-Hilbert-Raum u ¨ber C[[λ]] wird, sofern man das innere Produkt C[[λ]]-sesquilinear fortsetzt. Wir kommen nun zu einer der wichtigsten Klassen von Abbildungen zwischen Pr¨ a-Hilbert-R¨ aumen. F¨ ur den Fall komplexer Hilbert-R¨aume hat man die stetigen linearen Abbildungen, welche mit den beschr¨ankten linearen Abbildungen u ¨bereinstimmen. Diese topologische Charakterisierung ist zwar im Prinzip auch f¨ ur Pr¨ a-Hilbert-R¨ aume m¨ oglich, liefert in den von uns anvisierten Beispielen aber keine interessanten“ Abbildungen. Vielmehr ist folgende ” Klasse von Bedeutung, welche rein algebraisch definiert werden kann: Definition 7.1.13 (Adjungierbare Abbildungen). Seien H1 , H2 Pr¨aHilbert-R¨aume ¨ uber C und A : H1 −→ H2 eine Abbildung. Dann heißt A adjungierbar, falls es eine Abbildung A∗ : H2 −→ H1 gibt, so daß Aφ, ψ2 = φ, A∗ ψ1

(7.19) ∗

f¨ ur alle φ ∈ H1 und ψ ∈ H2 . In diesem Fall heißt A adjungierte Abbildung zu A und die Menge der adjungierbaren Abbildungen von H1 nach H2 wird mit B(H1 , H2 ) bezeichnet. Wir setzen B(H) = B(H, H). Das folgende Lemma ist nun leicht zu beweisen und verallgemeinert die wohlbekannte Situation von Hilbert-R¨ aumen: Lemma 7.1.14. Seien H1 , H2 , H3 Pr¨a-Hilbert-R¨aume ¨ uber C und A, B : H1 −→ H2 sowie C : H2 −→ H3 adjungierbare Abbildungen. Dann sind A, B, C lineare Abbildungen, und die adjungierten Abbildungen A∗ , B ∗ , C ∗ sind eindeutig bestimmt und ebenfalls linear. F¨ ur z, w ∈ C ist zA + wB, CA, und A∗ adjungierbar, und es gilt (zA + wB)∗ = zA∗ + wB ∗ , ∗

Es gilt id ∈ B(H) mit id = id.

(CA)∗ = A∗ C ∗

sowie

(A∗ )∗ = A.

(7.20)

7.1 Zust¨ ande als positive Funktionale

493

Beweis. Die Linearit¨ at von A sowie die Eindeutigkeit von A∗ erh¨alt man unter Verwendung der Nichtausgeartetheit der Skalarprodukte. Die u ¨brigen Aussagen verifiziert man durch elementares Nachrechnen.   Die Bezeichnung B(H1 , H2 ) ist nicht zuf¨ allig: im Falle komplexer HilbertR¨ aume gilt n¨ amlich der (nichttriviale) Satz, daß adjungierbare Operatoren gerade die beschr¨ ankten Operatoren sind: Satz 7.1.15 (Hellinger-Toeplitz-Theorem). Seien H1 , H2 Hilbert-R¨aume uber . Dann ist A : H1 −→ H2 genau dann adjungierbar, falls A ein linearer ¨ und stetiger Operator ist.



Beweis. Die Vollst¨ andigkeit ist hier wesentlich. F¨ ur einen Beweis sei beispielsweise auf [280, p. 117] verwiesen.   Das Lemma 7.1.14 l¨ aßt sich nun auf folgende Weise interpretieren: Da die Verkn¨ upfung von Abbildungen immer assoziativ ist und id ∈ B(H), k¨onnen wir B(H1 , H2 ) als die Morphismen zwischen den Pr¨a-Hilbert-R¨aumen H1 und uber C definieren. H2 ansehen und so die Kategorie der Pr¨a-Hilbert-R¨aume ¨ Diese bezeichnen wir als PreHilbert(C). Es gibt aber noch eine zweite Klasse von wichtigen Operatoren auf Pr¨aHilbert-R¨ aumen: Definition 7.1.16. Seien H1 , H2 Pr¨a-Hilbert-R¨aume und φ ∈ H2 , ψ ∈ H1 . Dann definiert man die lineare Abbildung Θφ,ψ : H1 −→ H2 durch Θφ,ψ χ = φ ψ, χ1

(7.21)

f¨ ur χ ∈ H1 und nennt Θφ,ψ einen Operator vom Rang eins. Linearkombinationen von Operatoren vom Rang eins heißen Operatoren mit endlichem Rang, deren Gesamtheit wir mit F(H1 , H2 ) bezeichnen. Weiter setzen wir F(H) = F(H, H). Wir k¨ onnen nun an die Definition 1.3.2 einer ∗ -Algebra u ¨ ber und dies auch f¨ ur Algebren u ¨ber C verallgemeinern:

 erinnern

Definition 7.1.17 (∗ -Algebra). Eine ∗ -Algebra A ¨ uber C ist eine assoziative Algebra ¨ uber C mit einer ∗ -Involution ∗ : A −→ A, also einem involutiven C-antilinearen Antiautomorphismus. Ein Morphismus von ∗ -Algebren ist ein Algebrahomomorphismus φ : A −→ B mit φ(a∗ ) = φ(a)∗ . Ein ∗ -Ideal J ⊆ A ist ein unter der ∗ -Involution abgeschlossenes Ideal. Auf diese Weise erh¨ alt man die Kategorie der ∗ -Algebren ¨ uber C, welche ∗ wir mit alg bezeichnen wollen. Die Unterkategorie derjenigen ∗ -Algebren, die zudem ein Einselement besitzen, wird mit ∗ Alg bezeichnet, wobei wir nun auch fordern, daß die Morphismen Φ( A ) = B erf¨ ullen. Die Eigenschaften von B(H) und F(H) lassen sich nun folgendermaßen zusammenfassen:





494

7 Zust¨ ande und Darstellungen

Proposition 7.1.18. Seien H1 , H2 und H3 Pr¨a-Hilbert-R¨aume ¨ uber C. Dann gilt F(H1 , H2 ) ⊆ B(H1 , H2 ). (7.22) Die Operatoradjunktion Bijektion mit

∗

: B(H1 , H2 ) −→ B(H2 , H1 ) ist eine C-antilineare F(H1 , H2 )∗ = F(H2 , H1 ).

(7.23)

Weiter gilt B(H2 , H3 ) · F(H1 , H2 ), F(H2 , H3 ) · B(H1 , H2 ) ⊆ F(H1 , H3 ).

(7.24)

Insbesondere ist B(H) eine ∗ -Algebra mit Eins, und F(H) ⊆ B(H) ist ein -Ideal.

∗

∗ Beweis. Sei φ ∈ H2 und ψ ∈ H1 . Dann gilt offenbar, daß Θφ,ψ = Θψ,φ adjungierbar ist, womit (7.22) folgt. Daß ∗ eine antilineare Bijektion liefert, ist nach (7.20) klar, ebenso folgt (7.23). F¨ ur (7.24) rechnen wir nach, daß

AΘφ,ψ χ = A(φ ψ, χ1 ) = Aφ ψ, χ1 = ΘAφ,ψ χ f¨ ur alle A ∈ B(H2 , H3 ). Die andere Reihenfolge zeigt man analog. Mit der Linearit¨ at von A folgt dann (7.24). Daß B(H) eine ∗ -Algebra mit Eins ist, folgt unmittelbar aus Lemma 7.1.14. Die ∗ -Idealeigenschaft von F(H) folgt aus (7.23) und (7.24).   Im allgemeinen ist F(H) ein echtes ∗ -Ideal, da beispielsweise id ∈ F(C(Λ) ), sobald Λ unendlich ist. Die Proposition zeigt insbesondere, daß B(H1 , H2 ) sehr viele Operatoren umfaßt. Die f¨ ur komplexe Hilbert-R¨ aume u ¨ blichen Begriffe von unit¨aren, isometrischen und Hermiteschen Operatoren sowie von Orthogonalprojektoren u ortlich auf B(H) und allgemein auf Algebraelemente ¨ bertragen sich nun w¨ einer ∗ -Algebra A: Ein Algebraelement u ∈ A einer ∗ -Algebra mit Eins heißt isometrisch, falls u∗ u = und unit¨ar falls u∗ u = = uu∗ . Weiter heißt a ∈ A Hermitesch, falls a∗ = a und normal , falls a∗ a = aa∗ . Ein Orthogonalprojektor p ∈ A ist ein Element mit p2 = p = p∗ . Wir kommen nun zu einigen Beispielen, welche wir im folgenden immer wieder aufgreifen werden:





Beispiel 7.1.19 (∗ -Algebren). i.) Unsere urspr¨ ungliche Motivation waren die Sternproduktalgebren: F¨ ur ein Hermitesches Sternprodukt  ist (C ∞ (M )[[λ]], ,¯) eine ∗ -Algebra u ¨ ber [[λ]]. ii.) Wie wir in Abschnitt 5.4.2 gesehen haben, sind die Differentialoperatoren DiffOp(Q) mit glatten Koeffizienten auf einer Mannigfaltigkeit Q eine ∗ -Algebra, sobald man eine positive glatte Dichte μ > 0 w¨ahlt, um die Operatoradjunktion durch partielle Integration“ zu definieren. Nach ”



7.1 Zust¨ ande als positive Funktionale

495

Wahl einer torsionsfreien kovarianten Ableitung ist DiffOp(Q) ∗ -isomorph zur konvergenten Unteralgebra“ (Pol(T ∗ Q)[], Weyl ,¯) der Sternprodukt” algebra (C ∞ (T ∗ Q)[[λ]], Weyl ,¯), wobei der ∗ -Isomorphismus gerade durch die Schr¨ odinger-Darstellung in Weyl-Ordnung Weyl gegeben ist. iii.) F¨ ur n ∈ ist Mn (C) durch die u ¨ bliche Definition der Matrixmultiplikaur die ∗ -Involution eine ∗ -Algebra u tion und (zij )∗ = (zji ) f¨ ¨ ber C. Es gilt Mn (C) ∼ = B(Cn ) = F(Cn ). iv.) Allgemein wird Mn (A) f¨ ur jede ∗ -Algebra A zu einer ∗ -Algebra, indem man das Produkt durch   (7.25) (aij )(bkl ) = aij bjk



j

und die ∗ -Involution durch (aij )∗ = (a∗ji )

(7.26)

definiert. v.) Sind A und B ∗ -Algebren u ¨ ber C, so ist ihr Tensorprodukt A⊗C B verm¨oge der Definitionen (a ⊗ b)(a ⊗ b ) = aa ⊗ bb

und (a ⊗ b)∗ = a∗ ⊗ b∗

(7.27)

und deren (anti-) linearen Erweiterungen auf beliebige Tensoren eine ∗ Algebra. In diesem Sinn ist Mn (A) ∼ = Mn (C) ⊗ A. 7.1.2 Positivit¨ atsbegriffe Wir k¨ onnen nun positive Funktionale f¨ ur ∗ -Algebren u ur ¨ber C definieren, um f¨ den Fall von Sternproduktalgebren ein physikalisches Zustandskonzept zu eta¨ blieren. Folgende Definition ist nach unseren vorangegangenen Uberlegungen gut motiviert: uber C. Ein lineares Definition 7.1.20 (Zustand). Sei A eine ∗ -Algebra ¨ Funktional ω : A −→ C heißt positiv, falls ω(a∗ a) ≥ 0

(7.28)



f¨ ur alle a ∈ A. Besitzt A zudem ein Einselement , so heißt ω Zustand, falls zus¨atzlich ω( ) = 1 gilt.



Die folgende Cauchy-Schwarz-Ungleichung ist fundamental f¨ ur das weitere Vorgehen sowie f¨ ur die physikalische Interpretation. Lemma 7.1.21 (Cauchy-Schwarz-Ungleichung). Sei A eine ∗ -Algebra und ω : A −→ C ein positives lineares Funktional. Dann gilt ω(a∗ b) = ω(b∗ a)

(7.29)

496

7 Zust¨ ande und Darstellungen

sowie die Cauchy-Schwarz-Ungleichung ω(a∗ b)ω(a∗ b) ≤ ω(a∗ a)ω(b∗ b)

(7.30)

f¨ ur alle a, b ∈ A. Besitzt A zudem ein Einselement, so gilt insbesondere ω(a∗ ) = ω(a),

(7.31)



und ω( ) = 0 impliziert ω = 0. Beweis. Zum Beweis betrachtet man p(z, w) = ω((za + wb)∗ (za + wb)) ≥ 0 f¨ ur z, w ∈ C und verwendet Lemma 7.1.9. Setzt man b = = b∗ in (7.29), so ur alle a.   folgt (7.31), und aus (7.30) folgt mit ω( ) = 0 auch ω(a) = 0 f¨





Bemerkung 7.1.22. Dieses Lemma erlaubt es, die Zahl ω(a) als Erwartungswert der Observablen a im Zustand“ ω zu interpretieren, da a → ω(a) nun ” alle gew¨ unschten Eigenschaften eines Erwartungswerts aufweist. Der Erwartungswert eines Quadrats“ a∗ a ist positiv, der eines observablen Elements“ ” ” a = a∗ ist reell. Schließlich ist die Varianz





Varω (a) = ω(a∗ a) − ω(a)ω(a) = ω ((a − ω(a) )∗ (a − ω(a) )) ≥ 0



(7.32)

Dank der Normierung ω( ) = 1 immer gr¨ oßer gleich 0. Allgemein besitzt die Kovarianzmatrix





Covω (ai , aj ) = ω ((ai − ω(ai ) )∗ (aj − ω(aj ) ))

(7.33)

f¨ ur a1 , . . . , an ∈ A eine Positivit¨ atseigenschaft, welche (7.32) verallgemeinert. Dies werden wir in Folgerung 7.1.28 sehen.



ˆ sogar Bemerkung 7.1.23. Ist A eine ∗ -Algebra mit Einselement und R = R ein geordneter K¨orper, so k¨ onnen wir ein (nichttriviales) positives Funktional ω immer normieren, um einen Zustand zu erhalten. Da wir immer zum Quotientenk¨ orper u onnen, ist es also keine wesentliche Einschr¨ankung, ¨bergehen k¨ Zust¨ ande anstelle von positiven Funktionalen zu betrachten. Andererseits gibt es durchaus ∗ -Algebren ohne Eins, welche interessante“ positive Funktionale ”  mit Eins einbetbesitzen, die, wenn man A in eine gr¨ oßere ∗ -Algebra A  erlauben. Solche tet, keine Fortsetzung zu einem positiven Funktional auf A positive Funktionale k¨ onnen also nicht zu Zust¨anden normiert werden.



Beispiel 7.1.24 (Positive Funktionale). i.) Sei p ∈ M . Dann ist das δ-Funktional δp bei p ein positives lineares Funktional (7.34) δp : C ∞ (M )  f −→ f (p) ∈ ,



und damit ein Beispiel f¨ ur ein positives Borel-Maß mit kompaktem Tr¨ager. Offenbar ist δp sogar ein Zustand. Besitzt M die physikalische Interpretation eines Phasenraumes in der klassischen Mechanik, so entspricht der (mathematische) Zustand δp dem (physikalischen) Zustand, daß das System die durch p ∈ M festgelegten verallgemeinerten Orte und Impulse besitzt.

7.1 Zust¨ ande als positive Funktionale

ii.) Sei μ ∈ Γ∞ (|Λn |T ∗ Q) eine positive Dichte auf Q. Dann ist f −→ fμ

497

(7.35)

Q

ein positives lineares Funktional auf der ∗ -Algebra C0∞ (Q), welches im allgemeinen keine Fortsetzung auf C ∞ (Q) erlaubt, falls Q nicht kompakt ist. iii.) Sei H ein Pr¨ a-Hilbert-Raum und ψ ∈ H. Dann ist A → ψ, Aψ ein positives lineares Funktional auf B(H), welches ein Zustand ist, sofern ψ, ψ = 1 gilt. iv.) Ist ω : A −→ C ein positives lineares Funktional und b ∈ A, so ist auch ωb : A  a −→ ωb (a) = ω(b∗ ab) ∈ C

(7.36)

ein positives lineares Funktional von A. v.) Sind ω1 , ω2 : A −→ C positive lineare Funktionale und c1 , c2 > 0, so ist die konvexe Kombination ω = c1 ω 1 + c2 ω 2

(7.37)

ebenfalls ein positives lineares Funktional. Sind insbesondere ω1 , ω2 sogar Zust¨ ande, so ist ω wieder ein Zustand, falls c1 + c2 = 1. Die positiven linearen Funktionale bilden daher einen konvexen Kegel im Dualraum A∗ , welcher zudem unter den Operationen (7.36) abgeschlossen ist. Wir k¨ onnen nun die positiven linearen Funktionale dazu verwenden, auch positive Algebraelemente in A zu definieren: Die Motivation f¨ ur die folgende Definition ist dabei sehr einfach, da eine Observable a als positiv gelten soll, wenn sie nur positive Erwartungswerte ω(a) besitzt, ihre Positivit¨at kann also nachgemessen“ werden. ” Definition 7.1.25 (Positive Algebraelemente). Sei A eine ∗ -Algebra uber C. Dann heißt a ∈ A positiv, falls f¨ ur alle positiven linearen Funktio¨ nale ω : A −→ C ω(a) ≥ 0 (7.38) gilt. Ein Element der Form a=

n 

αi a∗i ai ∈ A

(7.39)

i=1

mit 0 < αi ∈ R und ai ∈ A heißt algebraisch positiv. Die positiven Elemente von A werden mit A+ , die algebraisch positiven Elemente mit A++ bezeichnet.

498

7 Zust¨ ande und Darstellungen

Bemerkung 7.1.26 (Positive Algebraelemente). i.) Zun¨ achst gilt offenbar A++ ⊆ A+ , wobei die Inklusion im allgemeinen echt ist. Es gibt bemerkenswerte Ausnahmen: Ist A eine C ∗ -Algebra u ¨ ber , so zeigt man mit Hilfe des Spektralkalk¨ uls, daß a ∈ A+ genau dann gilt, wenn es ein b = b∗ mit a = b2 gibt. Jedes positive Element besitzt √ dar¨ uberhinaus sogar eine eindeutige positive Quadratwurzel a ∈ A+ mit √ 2 a = a , siehe beispielsweise [216, Chap. I, Thm. 1.3.3]. ii.) Die gesamte Terminologie lehnt sich stark an die Begriffsbildungen in der Theorie der C ∗ -Algebren, oder etwas allgemeiner, der Operatoralgebren an. Hierf¨ ur sei auf die u ¨ bliche Literatur wie beispielsweise [52,53,181,182, 216, 283, 288] verwiesen. iii.) Die positiven und algebraisch positiven Elemente bilden konvexe Kegel in A, welche zudem unter den Operationen



a −→ b∗ ab

(7.40)

f¨ ur alle b ∈ A abgeschlossen sind, also b∗ A++ b ⊆ A++

und b∗ A+ b ⊆ A+ .

(7.41)

Dies folgt unmittelbar aus der Definition und (7.36). Es gibt nun auch verallgemeinerte Begriffe von Positivit¨ at, welche man auf die Auswahl derartiger Kegel basieren l¨ aßt, siehe beispielsweise die Diskussion in [288] und [314] f¨ ur einen weiterf¨ uhrenden Vergleich. iv.) Ein lineares Funktional ω : A −→ C ist nun genau dann positiv, wenn ω(a) ≥ 0 f¨ ur alle a ∈ A+ . Beispiel 7.1.27 (Positive Matrizen). Betrachten wir A = C, so ist klar, daß die positiven Elemente von C gerade C+ = {z ∈ C | z = z ≥ 0}

(7.42)

sind. F¨ ur die Matrizen Mn (C) erh¨ alt man folgendes Bild: Die positiven Funktionale ω : Mn (C) −→ C lassen sich alle als ω(A) = tr(A)

(7.43)

mit  = ∗ ∈ Mn (C) schreiben, wobei  die Eigenschaft z, z ≥ 0

(7.44)

f¨ ur alle z ∈ Cn besitzt. Mit anderen Worten,  ist eine Dichtematrix . Als n¨ achstes zeigt man, daß A ∈ Mn (C) genau dann positiv ist, also tr(A) ≥ 0 f¨ ur alle Dichtematrizen  erf¨ ullt, wenn A selbst eine Dichtematrix ist, also ullt. Man beachte, daß dies eine z, Az ≥ 0 und damit insbesondere A = A∗ erf¨ nichttriviale Aussage ist, siehe beispielsweise [57, App. A]. Damit erh¨alt man also die gew¨ unschte Charakterisierung von positiven Matrizen A ∈ Mn (C)+

7.1 Zust¨ ande als positive Funktionale

499

durch die Bedingung (7.44). Insbesondere folgt, daß tr(AB) ≥ 0 f¨ ur A, B ∈ Mn (C)+ . Man beachte jedoch, daß im allgemeinen Mn (C)+ = Mn (C)++ gilt, ˆ ein K¨ sofern C nur ein Ring ist. Ist C = C orper, so gilt die Gleichheit, siehe auch Aufgabe 7.4. Wir k¨ onnen nun die bereits angek¨ undigte Positivit¨at der Kovarianzmatrix formulieren: Folgerung 7.1.28 (Positivit¨ at der Kovarianzmatrix). Sei ω : A −→ C ein Zustand einer ∗ -Algebra A mit Eins. Sei weiter C = (cij ) ∈ Mn (C) mit cij = Covω (ai , aj ) die Kovarianzmatrix bez¨ uglich a1 , . . . , an ∈ A. Dann gilt C ∈ Mn (C)+ . Beweis. Sei z ∈ Cn . Dann gilt  z, Cz = z i Covω (ai , aj )zj i,j 

 ∗ = ω (zi (ai − ω(ai ) )) (zj (aj − ω(aj ) )) i,j  ∗  ∗  ≥ 0, =ω zi (ai − ω(ai ) ) zj (aj − ω(aj ) ) i

 



j



da ω positiv ist. Nach dem Kriterium aus Beispiel 7.1.27 folgt die Positivit¨at der Kovarianzmatrix C.   Bemerkung 7.1.29 (Unsch¨arferelationen). Ganz allgemein lassen sich die Unsch¨ arferelationen auf die bekannte Weise aus der Positivit¨at eines Zustands herleiten. Sei ω : A −→ C ein Zustand. Dann gilt f¨ ur die Varianz zweier Obarferelation servablen a = a∗ , b = b∗ ∈ A die Unsch¨ 4 Varω (a) Varω (b) ≥ ω ([a, b]) ω ([a, b]),

(7.45)

was man unmittelbar aus der Positivit¨ at von ω folgert, siehe Aufgabe 7.3. Damit liefert ganz allgemein die Nichtkommutativit¨at der Observablenalgebra A untere Schranken f¨ ur die Varianz der Meßwerte bei einer Messung einer Observablen a ∈ A in einem Zustand ω. Da die Positivit¨ at von Funktionalen und Algebraelementen eine zentrale Rolle in der gesamten Theorie der ∗ -Algebren und somit insbesondere in der Quantenphysik spielt, stellt sich die Frage nach strukturerhaltenden Abbildungen, welche nicht notwendigerweise ∗ -Homomorphismen sind, sondern nur die Positivit¨ atsstrukturen ber¨ ucksichtigen. uber Definition 7.1.30 (Positive Abbildungen). Seien A, B ∗ -Algebren ¨ C und φ : A −→ B eine lineare Abbildung. Dann heißt φ positiv, falls φ(A+ ) ⊆ B+ .

(7.46)

Weiter heißt φ vollst¨andig positiv, falls die Abbildungen φ(n) : Mn (A) −→ Mn (B) mit φ(n) : (aij ) → (φ(aij )) (7.47) f¨ ur alle n positiv sind.

500

7 Zust¨ ande und Darstellungen

Proposition 7.1.31. Sei φ : A −→ B eine lineare Abbildung zwischen zwei ∗ -Algebren. Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent: i.) φ ist positiv. ur alle positiven ii.) φ∗ ω = ω◦φ : A −→ C ist ein positives lineares Funktional f¨ linearen Funktionale ω : B −→ C. iii.) φ(A++ ) ⊆ B+ . Weiter gelten folgende Aussagen: i.) Jeder ∗ -Homomorphismus φ : A −→ B ist vollst¨andig positiv. ii.) Jedes positive Funktional ω : A −→ C ist vollst¨andig positiv. iii.) Die Hintereinanderausf¨ uhrung von (vollst¨andig) positiven Abbildungen ist wieder (vollst¨andig) positiv. iv.) Sind 0 < βi ∈ R und ai ∈ A, bi ∈ B mit i = 1, . . . , n, und sind φi : A −→ B (vollst¨andig) positive Abbildungen, so definiert φ(a) =

n 

βi b∗i φi (a∗i aai )bi

(7.48)

i=1

eine (vollst¨andig) positive Abbildung φ. Damit bilden die (vollst¨andig) positiven Abbildungen einen konvexen Kegel in HomC (A, B). Beweis. F¨ ur den ersten Teil zeigen wir iii.) ⇒ ii.) ⇒ i.) ⇒ iii.). Sei also φ(A++ ) ⊆ B+ und sei ω : B −→ C ein positives lineares Funktional. Dann gilt f¨ ur a ∈ A (φ∗ ω)(a∗ a) = ω(φ(a∗ a)) ≥ 0, da φ(a∗ a) ∈ B+ . Also ist φ∗ ω positiv. Sei nun φ∗ ω ein positives lineares Funktional von A f¨ ur alle positiven linearen Funktionale ω : B −→ C. Sei ur alle positiven ω und weiter a ∈ A+ . Dann gilt 0 ≤ (φ∗ ω)(a) = ω(φ(a)) f¨ daher φ(a) ∈ B+ , womit φ positiv ist. Sei schließlich φ positiv, also φ(A+ ) ⊆ B+ . Da A++ ⊆ A+ , folgt trivialerweise φ(A++ ) ⊆ B+ . Dies zeigt den ersten Teil der Proposition. Jeder ∗ -Homomorphismus φ bildet A++ in B++ ab, ist also positiv. Da die Definition φ(n) : Mn (A) −→ Mn (B) ebenfalls wieder einen ∗ Homomorphismus liefert, ist φ auch vollst¨ andig positiv. Ist nun ω ein positives Funktional, so gilt f¨ ur A ∈ Mn (A)  ω (n) (A∗ A) = (ω((A∗ A)ij )) = (ω(a∗ki akj )) k

und daher nach der Charakterisierung positiver Matrizen gem¨aß Beispiel 7.1.27 . /  z, ω (n) (A∗ A)z = z i ω(a∗ki akj )zj k,i,j  = ω((zi aki )∗ (zj akj )) k,i,j ∗     ≥0 = ω zi aki zj akj k

i

j

7.1 Zust¨ ande als positive Funktionale

501

f¨ ur alle z ∈ Cn , womit ω vollst¨ andig positiv ist. Die Hintereinanderausf¨ uhrung von (vollst¨ andig) positiven Abbildungen ist offensichtlich wieder (vollst¨andig) positiv. Der letzte Teil ist nach (7.41) ebenfalls klar.   Wir geben noch zwei Beispiele von vollst¨ andig positiven Abbildungen, welche keine ∗ -Homomorphismen sind: Beispiel 7.1.32 (Positive Abbildungen). Sei A eine ∗ -Algebra u ¨ ber C. i.) Die Spur tr : Mn (A) −→ A tr(A) =

n 

aii ,

wobei A = (aij ),

(7.49)

i=1

ist eine vollst¨ andig positive Abbildung, aber im allgemeinen kein Homomorphismus, siehe Aufgabe 7.5. ii.) Die Abbildung τ : Mn (A) −→ A mit τ (A) =

n 

aij

∗

-

(7.50)

i,j=1

ist ebenfalls vollst¨ andig positiv, siehe auch Aufgabe 7.5.



ur positive AbEs gibt jedoch bereits f¨ ur A = M2 ( ) einfache Beispiele f¨ bildungen, welche nicht vollst¨ andig positiv sind, siehe beispielsweise [182, Ex. 11.5.15] Bemerkung 7.1.33. Das Studium vollst¨ andig positiver Abbildungen ist von großer Aktualit¨ at Dank der Anwendungen in der Quantenoptik, der Quanteninformationstheorie und vor allem der Quantenkryptographie. Wir verweisen hierf¨ ur beispielsweise auf [276] und dortige Referenzen. 7.1.3 Positive Funktionale in der Deformationsquantisierung Nachdem wir die allgemeine Begriffsbildung vorerst abgeschlossen haben, k¨ onnen wir uns den positiven Funktionalen in der Deformationsquantisierung zuwenden. Hier sind vor allem folgende Beispiele von Interesse: Positivit¨ at des δ-Funktionals Wir betrachten M = 2n mit dem Weyl-Moyal-Sternprodukt Weyl sowie das δ-Funktional bei 0. Ist nun H(q, p) = 12 (q 2 + p2 ) die Hamilton-Funktion des isotropen harmonischen Oszillators, so rechnet man leicht nach, daß H Weyl H = H 2 − Damit gilt mit H = H

λ2 . 4

(7.51)

502

7 Zust¨ ande und Darstellungen

δ0 (H Weyl H) = −

λ2 0 gilt. Daher ist bereits die nullte Ordnung von μ(f  f ) echt positiv, und μ(f  f ) > 0 folgt. Sei also f0 μ = 0. Wir argumentieren nun in einer lokalen Karte, was nach der Lokalit¨ at des Sternprodukts zul¨ assig ist. Angenommen, es g¨abe einen Punkt p in dieser Karte, so daß es eine partielle Ableitung von f0 mit

506

7 Zust¨ ande und Darstellungen

∂ r f0 (p)μ(p) = 0 · · · ∂xir

∂xi1

g¨ abe. Dann w¨ are dies auch aufgrund der Stetigkeit von μ und f0 auf einer offenen Umgebung U von p der Fall und daher w¨are diese partielle Ableitung auf einer offenen Teilmenge ungleich Null. Daher kann f0 aber auf dieser offenen Teilmenge nicht identisch verschwinden, womit es eine (eventuell kleinere) offene Teilmenge V ⊆ U gibt, so daß f0 (p ) = 0 und μ(p ) = 0 f¨ ur p ∈ V . Daher folgt f0 μ = 0 auf dieser offenen Teilmenge, womit ein Widerspruch zur Annahme f0 μ = 0 erreicht ist. Also gilt auch f¨ ur alle partiellen Ableitungen in lokalen Koordinaten ∂ r f0 μ=0 ∂xi1 · · · ∂xir und entsprechend auch f¨ ur f0 . Daher folgt aber auch, daß Cr (f0 , g)μ = 0 = ur alle g und alle r, da  lokal ist. Somit tr¨agt f0 in μ(f  f ) nicht Cr (g, f0 )μ f¨ bei und die Positivit¨ at wird allein von f − f0 = λf1 + · · · entschieden. Eine leichte Induktion nach der Ordnung von f zeigt dann die Behauptung.   Bemerkung 7.1.38. W¨ ahrend die Proposition die Existenz von sehr vielen positiven Funktionalen f¨ ur allgemeine Hermitesche Sternprodukte zeigt, ist jedoch Vorsicht geboten, wenn die Dichte μ nicht l¨ anger stetig ist. Insbesondere l¨aßt sich der Beweis nicht l¨ anger aufrecht erhalten, wenn μ distributionsartig“ ” ist, wie dies f¨ ur das δ-Funktional und das Schr¨odinger-Funktional der Fall ist. Wie wir in (7.52) gesehen haben, ist die Integration bez¨ uglich einer solchen distributionsartigen Dichte, n¨ amlich δp , im allgemeinen nicht positiv. Wir kommen nun zu der kanonischen Spur eines Sternprodukts  auf einer zusammenh¨ angenden symplektischen Mannigfaltigkeit (M, ω). Hier haben wir folgendes Resultat, welches die Positivit¨ at der Spur (7.61) des Weyl-MoyalProdukts verallgemeinert: Satz 7.1.39 (Positivit¨ at der kanonischen Spur). Sei (M, ω) symplektisch und zusammenh¨angend, und sei  ein Hermitesches Sternprodukt auf (M, ω). Dann ist die kanonische Spur tr bez¨ uglich  ein treues positives Funktional. Beweis. Da  Hermitesch ist, gibt es zu einer zusammenziehbaren Darboux ¨ Karte (O, x) immer sogar eine lokale ∗ -Aquivalenztransformation TO von  O zum lokalen Weyl-Moyal-Produkt Weyl auf O, siehe Korollar 6.2.8. Damit folgt aber sofort, daß tr ein reelles Funktional ist, also tr(f ) = tr(f ) "f¨ ur alle f ∈ C0∞ (M )[[λ]]. Da die unterste Ordnung durch die Integration f → M f Ω bez¨ uglich der Liouville-Volumenform gegeben ist, folgt die Positivit¨at ebenso wie die Treue von tr sofort aus Proposition 7.1.37.   Bemerkung 7.1.40 (Positivit¨at von Spurfunktionalen). Sei (M, π) eine PoissonMannigfaltigkeit mit Hermiteschem Sternprodukt . Aufgrund der F¨ ulle der Spurfunktionale ist die Situation hier erheblich komplizierter:

7.1 Zust¨ ande als positive Funktionale

507



i.) Ist τ0 : C0∞ (M ) −→ eine reelle Poisson-Spur, welche sich zu einem ∞ Spurfunktional τ = r=0 λr τr deformieren l¨aßt, so gibt es auch eine reelle Deformation: Das Funktional f → τ (f ) = τ (f ) ist n¨amlich immer noch ein [[λ]]-lineares Spurfunktional, da  Hermitesch ist, welches τ0 quantisiert. Daher ist 12 (τ + τ ) ein Spurfunktional, welches nun reell ist und τ0 quantisiert. ii.) Im allgemeinen scheint es sehr schwierig zu sein, die Positivit¨at eines reellen Spurfunktionals τ garantieren zu k¨ onnen, da die Poisson-Spur τ0 typischerweise nun auch Integrationen u ¨ ber Untermannigfaltigkeiten beinhaltet, womit die Schwierigkeiten aus Bemerkung 7.1.38 zum Tragen kommen. Wie wir in Satz 7.1.57 noch sehen werden, k¨onnen wir zwar eine Deformation τ˜ eines klassisch positiven Funktionals τ0 finden, welche bez¨ uglich  positiv ist, aber es ist im allgemeinen keineswegs klar, ob dies mit der Spureigenschaft vertr¨ aglich ist. F¨ ur einige positive Resultate im Falle M = g∗ sei auf [30, Sect. 5] sowie [315, Cor. 5.9] verwiesen.



7.1.4 Die KMS-Bedingung und thermodynamische Zust¨ ande Thermodynamische Zust¨ ande werden im kanonischen Zugang durch das Gibbsˆ ein selbstadjungierFunktional beschrieben, siehe etwa [277, Kap. 10]. Ist H ˆ ter Hamilton-Operator in einem Hilbert-Raum, so daß e−β H f¨ ur ein gewisses β > 0 ein Spurklasseoperator ist, dann wird der zur Zeitentwicklung bez¨ uglich ˆ und zur inversen Temperatur β = 1 geh¨orende thermodynamische ZuH kT stand durch das Gibbs-Funktional   1  −β Hˆ  tr e A = tr H,β (7.67) EH,β ˆ (A) = ˆ A Z beschrieben, wobei H,β = ˆ

ˆ 1 −β H Ze

die entsprechende Dichtematrix und Z =

ˆ

tr e−β H die kanonische Zustandssumme ist. Das klassische Analogon wurde in Bemerkung 1.3.7, Teil i.) bereits vorgestellt. Im allgemeineren C ∗ -algebraischen Zugang zur Quantentheorie, wie beispielsweise zur Quantenfeldtheorie oder Vielteilchentheorie [52, 53, 158, 303, 304], ist die Zeitentwicklung aber nicht l¨ anger durch eine Schr¨odinger-Gleiˆ gegeben, sondern vielmehr direkt als chung und einen Hamilton-Operator H eine stark stetige Einparametergruppe von ∗ -Automorphismen αt der Observablenalgebra A realisiert. Daher wird eine alternative Charakterisierung thermodynamischer Zust¨ ande zu gegebenem β gesucht. Dies wird nun durch folgende KMS-Bedingung, nach Kubo [213] und Martin und Schwinger [233], erreicht, siehe insbesondere Haag, Hugenholtz und Winnink [159] f¨ ur diese Formulierung sowie [52,53,158,303,304]: Ein Zustand μ einer C ∗ -Algebra A heißt KMS-Zustand zur Zeitentwicklung αt und inversen Temperatur β > 0, falls es zu a, b ∈ A eine stetige Funktion Fab : Sβ = {z ∈ | 0 ≤ Im(z) ≤ β} −→ gibt, welche innerhalb des Streifens Sβ holomorph ist und f¨ ur alle t ∈ die KMS-Bedingung





508

7 Zust¨ ande und Darstellungen

Fab (t) = μ(αt (a)b)

sowie Fab (t + iβ) = μ(bαt (a))

(7.68)

erf¨ ullt. Diese Bedingung ersetzt die naivere Vorstellung, daß μ(αt (a)b) = μ(bαt+iβ (a))

(7.69)

gelten soll, was so sicherlich nicht wohl-definiert ist, da eine Komplexifizie” achst alles andere als evident ist. rung“ der Zeitentwicklung αt zun¨ Neben verschiedenen anderen Motivationen dieser zun¨achst wenig anschaulichen Bedingung wie beispielsweise Stabilit¨at [160, 161] und Passivit¨at [269] der Zust¨ ande, siehe auch [52,53,158,304], kann man mit Hilfe des Funktionalkalk¨ uls f¨ ur selbstadjungierte Operatoren leicht zeigen, daß das GibbsFunktional (7.67) tats¨ achlich diese Bedingung erf¨ ullt. Bemerkung 7.1.41. Eine Interpretation von (7.68) beziehungsweise (7.69) ist die, daß ein KMS-Zustand fast“ ein Spurfunktional ist und die inverse Tem” peratur gerade den Defekt der Spureigenschaft beschreibt. F¨ ur β = 0, also unendlich hohe Temperatur T ist (7.68) beziehungsweise (7.69) gerade die Spurbedingung. Um nun die KMS-Bedingung in der Deformationsquantisierung formulieren zu k¨ onnen, beachtet man zun¨ achst, daß das Plancksche Wirkungsquantum  in (7.68) beziehungsweise (7.69) explizit auftritt. Da die Verwendung funktionentheoretischer Methoden nach Ersetzung  → λ nicht l¨anger angemessen erscheint, suchen wir einen direkten Weg, (7.69) zu interpretieren: Hier hilft es nun tats¨ achlich, daß die Kombination iλβ und nicht etwa iβ auftritt. Eine Komplexifizierung der Zeitentwicklung soll also nur f¨ ur infinitesimalen“ ” Imagin¨ arteil geschehen. Dies ist nach Satz 6.3.30 durchaus m¨oglich. Sei im folgenden D ∈ Der() gew¨ ahlt, wobei das Poisson-Vektorfeld X0 in D0 = LX0 reell sei und einen vollst¨ andigen Fluß Φt habe, so daß die Zeitentwicklung At gem¨ aß Satz 6.3.30 definiert ist. Dann definieren wir die komplexifizierte Zeitentwicklung durch At+iλβ = At ◦ eiλβD .

(7.70)

Dies erscheint deshalb sinnvoll, da mit Satz 6.3.30 sofort At+iλβ ◦ At +iλβ  = At+t +iλ(β+β  ) f¨ ur alle t, t , β, β  ∈ [14, 15, 46, 47]:

(7.71)

folgt. Wir k¨ onnen daher folgende Definition geben

Definition 7.1.42 (Formale KMS-Bedingung). Sei  ein Sternprodukt auf einer Poisson-Mannigfaltigkeit (M, π) und D ∈ Der(). Sei weiter μ : C0∞ (M )[[λ]] −→ [[λ]] ein [[λ]]-lineares Funktional und β ∈ .





i.) Dann erf¨ ullt μ die statische formale KMS-Bedingung zur Zeitentwicklung D und inversen Temperatur β, falls f¨ ur alle f ∈ C0∞ (M )[[λ]] und g ∈ C ∞ (M )[[λ]] 

(7.72) μ(f  g) = μ g  eiλβD (f ) .

7.1 Zust¨ ande als positive Funktionale

509

ii.) Besitzt X0 zudem einen vollst¨andigen Fluß, so erf¨ ullt μ die dynamische formale KMS-Bedingung zur Zeitentwicklung D und inversen Temperatur β, falls f¨ ur alle f ∈ C0∞ (M )[[λ]] und g ∈ C ∞ (M )[[λ]] und alle t ∈ μ (At (f )  g) = μ (g  At+iλβ (f )) .

(7.73)

iii.) Ist μ zudem ein positives Funktional, so heißt μ statischer beziehungsweise dynamischer formaler KMS-Zustand. Bemerkung 7.1.43 (KMS-Bedingung). Ohne Positivit¨atsforderung ist die Menge der [[λ]]-linearen Funktionale, welche die formale (statische oder dynamische) KMS-Bedingung erf¨ ullen, ein [[λ]]-Modul. Betrachtet man dagegen die KMS-Zust¨ ande, so bilden diese einen konvexen Kegel.





Interessant ist wie immer der klassische Limes der KMS-Bedingungen. Hier erh¨ alt man in unterster nichttrivialer Ordnung folgendes Resultat:



Lemma 7.1.44. Sei  ein ur (M, π). Sei weiter ein [[λ]]∞Sternprodukt f¨ lineares Funktional  μ = r=0 λr μr : C0∞ (M )[[λ]] −→ [[λ]] sowie eine Deri∞ vation D = LX0 + r=1 λr Dr ∈ Der() und β ∈ gegeben.



i.) Erf¨ ullt μ die statische formale KMS-Bedingung, so gilt μ0 ({f, g} − βg LX0 f ) = 0

(7.74)

f¨ ur alle f ∈ C0∞ (M ) und g ∈ C ∞ (M ). ii.) Besitzt X0 einen vollst¨andigen Fluß Φt und erf¨ ullt μ die dynamische formale KMS-Bedingung, so gilt μ0 ({Φ∗t f, g} − βg LX0 Φ∗t f ) = 0 f¨ ur alle f ∈ C0∞ (M ), g ∈ C ∞ (M ) und t ∈

(7.75)

.

Beweis. Der Beweis besteht in einem einfachen Auswerten der untersten nichttrivialen Ordnungen von (7.72) beziehungsweise (7.73).  



Lineare Funktionale μ0 : C0∞ (M ) −→ , welche die Bedingung (7.74) beziehungsweise (7.75) erf¨ ullen, heißen entsprechend statische beziehungsweise dynamische klassische KMS-Funktionale zur Zeitentwicklung bez¨ uglich X0 und zur inversen Temperatur β. Diese Bedingungen wurden im Rahmen klassischer thermodynamischer Modelle [6,131,132] sowie im Rahmen der PoissonGeometrie [14, 15, 321] studiert. Das folgende Lemma vereinfacht die Situation insofern, als es uns gestattet, nur noch die statische KMS-Bedingung zu diskutieren, siehe auch [46]: Lemma 7.1.45. Besitzt das Poisson-Vektorfeld X0 einen vollst¨andigen Fluß, so ist sowohl die formale als auch die klassische dynamische KMS-Bedingung zur entsprechenden statischen KMS-Bedingung ¨aquivalent.

510

7 Zust¨ ande und Darstellungen

Beweis. Die dynamische KMS-Bedingung impliziert die statische, indem man t = 0 setzt. Nach unserer Definition von At+iλβ liefert die statische KMSBedingung auch die dynamische.   Im folgenden betrachten wir daher nur die statische KMS-Bedingung und sprechen einfach von der KMS-Bedingung. F¨ ur eine Hamiltonsche Zeitentwicklung kl¨ art der folgende Satz die Struktur der KMS-Funktionale sowohl klassisch als auch f¨ ur Sternprodukte, siehe [46, Thm. 4.1]: ∞ Satz 7.1.46 (KMS-Funktionale). Sei H = r=0 λr Hr ∈ C ∞ (M )[[λ]] und  ein Sternprodukt f¨ ur (M, π).





i.) Ein [[λ]]-lineares Funktional μ : C0∞ (M )[[λ]] −→ [[λ]] erf¨ ullt genau dann die statische formale KMS-Bedingung zur inversen Temperatur β und der Zeitentwicklung bez¨ uglich H, falls μ ˜(f ) = μ(Exp(βH)  f ) ein Spurfunktional definiert. erf¨ ullt genau dann die ii.) Ein -lineares Funktional μ0 : C0∞ (M ) −→ statische klassische KMS-Bedingung zur inversen Temperatur β und der ˜0 (f ) = μ0 (eβH0 f ) eine Poisson-Spur Zeitentwicklung bez¨ uglich H0 , falls μ definiert. iii.) Ist  zudem Hermitesch und H = H reell, so ist μ beziehungsweise μ0 genau dann positiv, wenn μ ˜ beziehungsweise μ ˜0 positiv ist.





Beweis. Sei f ∈ C0∞ (M )[[λ]] und g ∈ C ∞ (M )[[λ]] gegeben, dann gilt mit (7.72) und Satz 6.3.4, Teil v.) μ ˜ (f  g) = μ (Exp(βH)  f  g) 

 i = μ g  eiβλ λ ad(H) Exp(βH)  f = μ (g  f  Exp(βH)) (∗)

= μ (Exp(βH)  g  f  Exp(βH)  Exp(−βH))

=μ ˜(g  f ),

 wobei wir in (∗) benutzen, daß μ(f ) = μ eβ ad(H) f gilt, was mit g = 1 direkt aus (7.72) folgt. Also ist μ ˜ ein Spurfunktional. Ist umgekehrt μ ˜ eine Spur, so rechnet man sofort nach, daß f → μ(f ) = μ ˜(Exp(−βH)  f ) die statische KMS-Bedingung erf¨ ullt. Dies zeigt den ersten Teil. Der zweite   folgt analog. Der dritte Teil folgt nun ebenfalls leicht, da Exp(βH) = Exp β2 H    Exp β2 H , womit  μ(f ) = μ ˜ Exp



β H 2



  f  Exp

β H 2



7.1 Zust¨ ande als positive Funktionale

511

nach Beispiel 7.1.24, Gleichung (7.36) positiv ist, falls μ ˜ positiv ist. Da  β Exp 2 H invertierbar ist, folgt auch die Umkehrung. Den klassischen Fall zeigt man genauso.   Damit ist die Existenz und Klassifikation von KMS-Funktionalen ¨aquivalent zur Existenz und Klassifikation von Spurfunktionalen, sofern die Zeitentwicklung Hamiltonsch ist. F¨ ur den symplektischen Fall ergibt dies zusammen mit Satz 6.3.42 und der Nichtausgeartetheit der Spur nach Bemerkung 6.3.43 sofort folgendes Resultat [46]: Korollar 7.1.47 (Existenz und Eindeutigkeit des KMS-Funktionals). Sei  ein Sternprodukt auf einer zusammenh¨angenden symplektischen Mannigfaltigkeit und H ∈ C ∞ (M )[[λ]]. Dann gibt es zu β ∈ bis auf Normierung genau ein formales KMS-Funktional, n¨amlich μ(f ) = tr (Exp(−βH)  f ) ,

(7.76)

wobei tr das kanonische Spurfunktional aus Satz 6.3.42 ist. Ist  Hermitesch und H = H, so ist μ positiv und treu. Bemerkung 7.1.48 (Phasen¨ uberg¨ange). Die Existenz verschiedener KMS-Zust¨ ande zur selben Temperatur wird physikalisch als Koexistenz verschiedener thermodynamischer Phasen gedeutet [158]. Das Korollar besagt daher, daß es in dieser Situation nur eine thermodynamische Phase und damit keine Phasen¨ uberg¨ ange gibt. Physikalisch ist dies nicht weiter verwunderlich, da eine endlichdimensionale symplektische Mannigfaltigkeit eben nur endlich viele Freiheitsgrade beschreibt, Phasen¨ uberg¨ ange aber nur im thermodynamischen Limes f¨ ur unendlich viele Freiheitsgrade erwartet werden. Der folgende Satz zeigt nun, daß im symplektischen Fall zu einer symplektischen aber nicht Hamiltonschen Zeitentwicklung keine nichttrivialen KMSFunktionale existieren [46, Thm. 4.2]: Satz 7.1.49. Sei (M, ω) eine zusammenh¨angende ∞ symplektische Mannigfaltigkeit mit Sternprodukt . Sei weiter X = r=0 λr Xr ∈ Γ∞ (T M )[[λ]] ein symplektisches Vektorfeld mit X0 = X0 . Sei weiter μ ein formales KMSFunktional zur inversen Temperatur β = 0 und Zeitentwicklung bez¨ uglich D = λi δiX ω . Gilt dann μ = 0, so ist X sogar Hamiltonsch. Beweis. Sei μ = 0. Die Derivation D = λi δiX ω ist nach Satz 6.3.18 lokal qua¨ siinner. Wir w¨ ahlen daher eine offene Uberdeckung {Oα }α∈I durch zusam∞ r (r) menh¨ angende Oα sowie lokale Funktionen Hα ∈ r=0 λ Hα ∈ C ∞ (Oα )[[λ]] (0) (0) ein mit Hα = Hα und DOα = i ad(Hα ). Dann ist μα = μ ∞ λ

C0 (Oα )[[λ]]

formales KMS-Funktional zur inversen Temperatur β und Zeitentwicklung bez¨ uglich DOα . Nach Korollar 7.1.47 folgt also μ(f ) = μα (f ) = cα tr (Exp(−βHα )  f )

(∗)

512

7 Zust¨ ande und Darstellungen

f¨ ur f ∈ C0∞ (Oα )[[λ]]. F¨ ur Oα ∩ Oα =  ∅ folgt daher cα Exp(−βHα ) = cβ Exp(−βHα ) Oα ∩Oα

Oα ∩Oα

,

(∗∗)

da die kanonische Spur nichtausgeartet ist, siehe Bemerkung 6.3.43. Ist nun ur alle anderen f¨ ur ein Oα die Konstante cα von der Ordnung λk , so auch f¨ Oβ , da die -Exponentiale invertierbar sind und M zusammenh¨angend ist. (0) ur alle α in nullter Daher k¨ onnen wir annehmen, daß cα = cα + · · · ∈ [[λ]] f¨ Ordnung bereits nichttrivial ist, da μ = 0. Da weiter in nullter Ordnung die -Exponentialfunktionen Exp(−βHα ) reell und positiv sind, k¨onnen wir ohne (0) Einschr¨ ankung annehmen, daß alle cα > 0 positiv sind. Damit folgt aus (∗) und der Realit¨ at der Hα in nullter Ordnung nach Satz 6.3.4, Teil vii.)



Hα Oα ∩O

α

+

1 1 ln cα = Hα Oα ∩O  + ln cα . α β β

Damit definiert H Oα = Hα + β1 ln cα eine globale Funktion H ∈ C ∞ (M )[[λ]] mit λi ad(H) = D. Es folgt, daß X = XH Hamiltonsch ist.   Bemerkung 7.1.50. Eine analoge Aussage f¨ ur allgemeine Poisson-Mannigfaltigkeiten ist typischerweise nicht m¨ oglich: Ist π = 0 die triviale PoissonStruktur und  das punktweise Produkt, so ist zu einem Vektorfeld X0 ∈ ein klassiΓ∞ (T M ) und β = 0 ein lineares Funktional μ0 : C0∞ (M ) −→ sches (und damit formales) KMS-Funktional, falls μ0 (g LX0 f ) = 0 f¨ ur alle g ∈ C ∞ (M ) und f ∈ C0∞ (M ). Man kann sich nun leicht nichttriviale Beispiele f¨ ur X0 und μ0 u ¨berlegen. Die Quantenversion erscheint im allgemeinen erheblich komplizierter, so daß es eine interessante aber offene Frage ist, welche klassischen KMS-Funktionale quantisiert werden k¨onnen.



7.1.5 Positive Deformationen Das Ph¨ anomen, daß nicht alle positiven Funktionale der klassischen Observablenalgebra C ∞ (M ) automatisch positive Funktionale f¨ ur die quantenmechanische Observablenalgebra (C ∞ (M )[[λ]], ) sind, soll nun n¨aher untersucht werden. Wir beginnen dabei mit folgender allgemeinen Situation: Sei A eine ∗ -Algebra u ¨ ber C und  eine formale C[[λ]]-bilineare assoziative Multiplikation f¨ ur A[[λ]], so daß (a  b)∗ = b∗  a∗ (7.77) f¨ ur alle a, b ∈ A[[λ]]. Analog zu dem spezielleren Fall von Sternprodukten nennen wir eine solche Deformation einer ∗ -Algebra Hermitesch. Im Prinzip kann uglich man auch zulassen, daß die ∗ -Involution von A zu einer ∗ -Involution bez¨  deformiert wird, wir werden diese geringf¨ ugig allgemeinere Situation aber nicht weiter verfolgen, siehe auch [57, Sect. 8 & 9]. ¨ Die folgende technische Proposition erleichtert nun das Uberpr¨ ufen der Positivit¨ at von C[[λ]]-linearen Funktionalen ω : A[[λ]] −→ C[[λ]], da die Positivit¨ at nur auf Elementen in A ⊆ A[[λ]] gepr¨ uft werden muß [44, Lem. A.5]:

7.1 Zust¨ ande als positive Funktionale

513

Proposition 7.1.51. Sei  eine Hermitesche Deformation einer ∗ -Algebra A uber C und sei ω : A[[λ]] −→ C[[λ]] ein C[[λ]]-lineares Funktional. Dann ist ω ¨ genau dann positiv bez¨ uglich , wenn ω(a∗0  a0 ) ≥ 0

(7.78)

f¨ ur alle a0 ∈ A. Beweis. Offenbar impliziert at von ω insbesondere ω(a∗0  a0 ) ≥ 0 ∞die Positivit¨ f¨ ur a0 ∈ A. Sei also a = r=0 λr ar ∈ A[[λ]] ein beliebiges Element. Gilt dann ω(a∗0  a0 ) = 0, so liefert nach der Cauchy-Schwarz-Ungleichung (7.30) weder ω(a∗0  ak ) noch ω(a∗k  a0 ) einen Beitrag in ω(a∗  a), siehe auch Lemma 7.2.12. Daher k¨ onnen wir ohne Einschr¨ ankung ω(a∗0 a0 ) > 0 annehmen. Wir betrachten nun α = ω(a∗0  a0 ), β = ω(a∗0  a1 ), β  = ω(a∗1  a0 ) und γ = ω(a∗1  a1 ). Dann liefert die eingeschr¨ ankte Positivit¨ at (7.78) die Ungleichung 0 ≤ ω ((z0 a0 + w0 a1 )∗  (z0 a0 + w0 a1 )) = z 0 z0 α + z 0 w0 β + z0 w 0 β  + w 0 w0 γ (∗) f¨ ur alle z0 , w0 ∈ C. Wie im Beweis von Lemma 7.1.9 folgt durch geeignete Wahl von z0 und w0 sofort β  = β sowie α, γ ≥ 0. Seien nun o(α), o(β) und o(γ) die jeweiligen Ordnungen von α, β und γ, sowie r = min(o(α), o(β), o(γ)). Dann liefert (∗) die Ungleichung αr γr ≥ βr β r

(∗∗)

nach Definition der Ringordnung von R[[λ]], indem man w0 = αo(α) ∈ C und z0 = −β o(β) ∈ C in (∗) einsetzt und die unterste Ordnung von 0 ≤ β o(β) βo(β) α − αo(α) β o(β) β − αo(α) βo(β) β + β o(β) βo(β) γ betrachtet. Die Ungleichung (∗∗) bedeutet aber gerade αγ ≥ ββ in C[[λ]] und daher insbesondere o(α), o(γ) ≤ o(β). Mit αγ ≥ ββ folgt nun aber f¨ ur beliebiges z, w ∈ C[[λ]] die Ungleichung ω((za0 + wa1 )∗ (za0 + wa1 )) ≥ 0, also insbesondere auch f¨ ur z = 1 und w = λ. Induktiv erh¨alt man, daß f¨ ur alle Polynome in λ  N ∗  N    r r ω λ ar λ ar ≥0 (∗∗∗) r=0



r=0

gilt. Da nun ein [[λ]]-lineares Funktional in der λ-adischen Topologie stetig ist, siehe Proposition 6.2.4, Teil v.), und die Ordnungsrelation ≥ in R[[λ]] mit der λ-adischen Topologie vertr¨ aglich ist, siehe Bemerkung 7.1.7, folgt die ubergang N −→ ∞.   Positivit¨ at ω(a∗  a) ≥ 0 aus (∗∗∗) durch den Grenz¨

514

7 Zust¨ ande und Darstellungen

Bemerkung 7.1.52. Diese Proposition kann man insbesondere heranziehen, um die Positivit¨ at der Funktionale in Abschnitt 7.1.3 schnell zu beweisen, da hierzu nur noch die Betrachtung von Funktionen f ∈ C ∞ (M ) ohne h¨ohere Potenzen von λ n¨ otig ist. Wir wollen nun die Positivit¨ at im Sinne der Ringordnung von R[[λ]] genauer betrachten. Sei also ω : A[[λ]] −→ C[[λ]] ein C[[λ]]-lineares Funktional, welches positiv bez¨ uglich der Hermiteschen Deformation  ist. Da ω notwendigerweise von der Form ω=

∞ 

λr ωr

mit ωr : A −→ C

(7.79)

r=0

ur Ordnung in λ ist, k¨ onnen wir die Bedingung ω(a∗  a) ≥ 0 Ordnung f¨ auswerten. Es gilt also 0 ≤ ω(a∗  a) = ω0 (a∗ a) + λ (ω0 (C1 (a∗ , a)) + ω1 (a∗ a)) + · · · ,

(7.80)

wobei wir zun¨ achst a ∈ A betrachten. Aus naheliegenden Gr¨ unden nennen wir das C-lineare Funktional ω0 : A −→ C den klassischen Limes von ω und bezeichnen ihn auch als (7.81) ω0 = cl(ω) = ω λ=0 . Wir werden diese Abbildung cl auchin anderen Situationen verwenden, wie ∞ beispielsweise f¨ ur Observablen a = r=0 λr ar ∈ A[[λ]], wo cl(a) = a0 ∈ A gilt. Aus der konkreten Form (7.80) ersehen wir folgende Eigenschaft des klassischen Limes von positiven Funktionalen: Lemma 7.1.53. Sei ω : A[[λ]] −→ C[[λ]] ein positives C[[λ]]-lineares Funkuber C. Dann ist tional einer Hermiteschen Deformation einer ∗ -Algebra A ¨ der klassische Limes cl(ω) : A −→ C ein positives C-lineares Funktional der undeformierten Algebra A. Beweis. W¨ are cl(ω) nicht positiv, so g¨ abe es ein a ∈ A mit cl(ω)(a∗ a) < 0. ∗   Damit kann ω(a  a) aber nicht mehr positiv sein. Bemerkung 7.1.54. Eine Umkehrung der obigen Aussage ist offensichtlich nicht so einfach m¨ oglich: die Positivit¨ at des klassischen Limes ω0 = cl(ω) garantiert im allgemeinen nicht die Positivit¨ at von ω. Das δ-Funktional mit  = Weyl ist ein Gegenbeispiel. Der Grund ist leicht zu sehen. Ist n¨amlich a ∈ A derart, daß ω0 (a∗ a) = 0, so wird die Positivit¨at von ω(a∗  a) in der n¨ achst h¨ oheren Ordnung entschieden. Hier steht aber ω0 (C1 (a∗ , a))+ ω1 (a∗ a). Im allgemeinen kann u atseigenschaften von C1 (a∗ , a) wenig ¨ber die Positivit¨ gesagt werden. F¨ ur Sternprodukte ist C1 ein Bidifferentialoperator, womit in C1 (a∗ , a) Ableitungen von a auftreten, u ¨ ber deren Vorzeichen nichts bekannt ist. Daher muß ω1 die eventuelle Nichtpositivit¨at von ω0 (C1 (a∗ , a)) kompensieren, so daß insgesamt die erste Ordnung in ω(a∗ a) zumindest nicht negativ

7.1 Zust¨ ande als positive Funktionale

515

ist. Ist die erste Ordnung ebenfalls Null, so wiederholt sich das Problem in den h¨ oheren Ordnungen. Aus dieser Beobachtung l¨ aßt sich nun leicht folgende Fragestellung ableiten: Ist (A[[λ]], ) eine Hermitesche Deformation von A und ist ω0 : A −→ C ein positives Funktional, gibt es dann Quantenkorrekturen“ ω1 , ω2 , . . . , so ” daß ω = ω0 + λω1 + λ2 ω2 + · · · ein positives C[[λ]]-lineares Funktional von (A[[λ]], ) wird? Eine einfache Antwort scheint nicht m¨oglich, insbesondere hat man es bei der Bedingung ω(a∗  a) ≥ 0 mit einem rekursiven System von Ungleichungen zu tun, was vermutlich eine kohomologische Herangehensweise analog zu den Techniken aus Abschnitt 6.2 ausschließt. Die Wichtigkeit dieser Fragestellung rechtfertigt daher folgende Definition [55, 61]: Definition 7.1.55 (Positive Deformation). Sei (A[[λ]], ) eine Hermiuber C. Dann heißt (A[[λ]], ) eine tesche Deformation einer ∗ -Algebra A ¨ positive Deformation von A, wenn sich jedes positive C-lineare Funktional ω0 : A −→ C von A in ein positives C[[λ]]-lineares Funktional ω : A[[λ]] −→ C[[λ]] deformieren l¨aßt, also mit cl(ω) = ω0 . Weiter heißt die Deformation vollst¨andig positiv, falls auch Mn (A[[λ]], ) f¨ ur alle n eine positive Deformation von Mn (A) ist. Das folgende (triviale) Beispiel zeigt, daß nicht jede Hermitesche Deformation positiv ist: Beispiel 7.1.56 (Nichtpositive Deformation). Sei (A, μ,∗ ) eine ∗ -Algebra u ¨ ber C, so daß es ein positives Funktional ω0 = 0 gibt. Dann ist (A[[λ]], λμ,∗ ) eine Hermitesche Deformation der ∗ -Algebra (A, μ0 = 0,∗ ). F¨ ur (A, μ0 = 0,∗ ) ist offenbar jedes C-lineare Funktional φ positiv, da mit der Nullmultiplikation immer φ(μ0 (a∗ , a)) = 0 gilt. Andererseits ist λμ keine positive Deformation, da −ω0 nicht positiv bez¨ uglich λμ ist. Gl¨ ucklicherweise sind Hermitesche Sternprodukte immer positive, ja sogar vollst¨ andig positive Deformationen. Daß im allgemeinen die Quantenkorrekturen ω1 , ω2 , . . . notwendig sind, um die Positivit¨at von ω = ω0 + λω1 + · · · zu garantieren, zeigt bereits das δ-Funktional bez¨ uglich des Weyl-MoyalSternprodukts. Daher handelt es sich bei folgendem Satz um eine nichttriviale Aussage: Satz 7.1.57 (Vollst¨ andige Positivit¨ at von Sternprodukten). Auf jeder Poisson-Mannigfaltigkeit ist jedes Hermitesche Sternprodukt eine vollst¨andig positive Deformation. Beweis. Wir werden den Beweis nur f¨ ur den sehr viel einfacheren symplektischen Fall f¨ uhren. Der allgemeine Fall einer Poisson-Mannigfaltigkeit erfordert zus¨ atzliche Anstrengungen, siehe [61, 315]. Zun¨ achst benutzen wir das Wick-Sternprodukt Wick auf 2n ∼ = n , welches offenbar eine positive Deformation ist, da hierf¨ ur sogar der klassische Limes direkt, ohne Quantenkorrekturen, positiv bez¨ uglich Wick ist. Dies ist



516

7 Zust¨ ande und Darstellungen

gerade die Aussage von Proposition 7.1.34. Weiter sieht man analog, daß Wick auch vollst¨ andig positiv ist. Sei nun  ein beliebiges Hermitesches Sternprodukt auf 2n , dann existiert nach Proposition 6.1.15 und Korollar 6.2.8 eine ∞ ∗ ¨ -Aquivalenztransformation S = id + r=1 λr Sr zum Wick-Sternprodukt, also (∗) S(f  g) = Sf Wick Sg und S(f ) = S(f ) ur Funktionen f ∈ f¨ ur f, g ∈ C ∞ ( 2n )[[λ]]. Entsprechend gilt (∗) auch f¨ C ∞ ( 2n , Mk ( ))[[λ]] = Mk (C ∞ ( 2n ))[[λ]] mit Werten in den k×k-Matrizen, wobei die kanonische Fortsetzung von S auf Matrizen nun S(f ∗ ) = S(f )∗ erf¨ ullt. Damit sind  und Wick also ∗ -isomorph. Ist nun ω0 : C ∞ ( 2n ) −→ ein positives lineares Funktional bez¨ uglich der klassischen Algebrastruktur, so ist nach Proposition 7.1.34 auch ω0 : (C ∞ ( 2n )[[λ]], Wick ) −→ [[λ]] positiv. Damit ist aber auch ω = ω0 ◦ S : (C ∞ ( 2n )[[λ]], ) −→ [[λ]] positiv und es gilt ω = ω0 + λω0 ◦ S1 + · · · ,









womit cl(ω) = ω0 . Analog verf¨ ahrt man f¨ ur matrixwertige Funktionen, womit Satz 7.1.57 f¨ ur symplektische Sternprodukte auf 2n gezeigt ist. Den Fall einer allgemeinen symplektischen Mannigfaltigkeit erh¨alt man nun durch Zusammenkleben“. Wir w¨ ahlen einen lokal endlichen Darboux” Atlas {Uα }α∈I mit einer untergeordneten quadratischen Zerlegung der Eins χα ∈ C ∞ (M ) der Form  χ2α = 1, und χα = χα , (∗∗) α

sowie supp χα ⊆ Uα , siehe Anhang A.1. Sei weiter Sα eine auf C ∞ (Uα )[[λ]] ¨ definierte ∗ -Aquivalenztransformation zu einem auf Uα lokal definierten WickSternprodukt α . Sei schließlich ω0 : C ∞ (M ) −→ positiv. Dann ist



f → ω0 (Sα (χα  f  χα )) = ωα (f ) wohl-definiert, da supp(χα  f  χα ) ⊆ Uα , da  lokal ist und somit die Anwendung von Sα wohl-definiert ist. Weiter ist ωα positiv, denn  



 ωα (f  f ) = ω0 Sα χα  f  f  χα = ω0 Sα (f  χα ) α Sα (f  χα ) ≥ 0, da bez¨ uglich des lokalen Wick-Sternprodukts α das Funktional ω0 positiv ist. Man beachte, daß supp(f  χα ) ⊆ Uα . Nun betrachtet man   ωα (f ) = ω0 (Sα (χα  f  χα )) . ω(f ) = α

α

 Zun¨ achst ist ω(f ) auch bei unendlicher α wohl-definiert, da die  Summe Summe lokal endlich ist und daher α Sα (χα  f  χα ) eine wohl-definierte globale Funktion in C ∞ (M )[[λ]] darstellt. Als konvexe Kombination der pouglich . Schließlich ist der klassische Limes sitiven ωα ist auch ω positiv bez¨

7.2 Darstellungen und GNS-Konstruktion

517

von ω durch cl(ω) = ω0 gegeben, wobei man Sα = id + · · · und (∗∗) verwendet. Der matrixwertige Fall bereitet keine weiteren Schwierigkeiten, womit der Satz f¨ ur symplektische Mannigfaltigkeiten bewiesen ist. Da die Globalisierung offenbar nicht l¨ anger davon abh¨angt, daß  von einer symplektischen Poisson-Klammer kommt, ist dieser Schritt auch im allgemeinen Poisson-Fall durchf¨ uhrbar. Hier muß lediglich noch der lokale Fall f¨ ur M = n gezeigt werden, der jetzt allerdings erheblich schwieriger ist, da nun kein Wick-Sternprodukt“ mehr zur Verf¨ ugung steht. Der Beweis be” ur den allgemeinen Poisson-Fall als ruht darauf, daß man (C ∞ ( n )[[λ]], ) f¨ ∗ -Unteralgebra einer Wick-Sternproduktalgebra (C ∞ ( 2n )[[λ]], Wick )“ rea” lisiert, wobei die Verdopplung der Freiheitsgrade nur zum Preis von formalen Impulsvariablen m¨ oglich ist. F¨ ur Details sei auf [61, 315] verwiesen.   Bemerkung 7.1.58 (Positivit¨at des Wick-Sternprodukts). Man beachte, daß Wick als entscheidendes Hilfsmittel in den Beweis eingeht. Eine direkte Konstruktion der Quantenkorrekturen ω1 , ω2 , . . . scheint nicht einfach, da diese einer erheblichen Willk¨ ur und Vieldeutigkeit unterliegen: Ist beispielsweiseein beliebiger ∗ -Automorphismus von (C ∞ (M )[[λ]], ) der Form Φ = ∞ id + r=1 λr Φr gegeben, und ist ω eine Deformation von ω0 , so ist auch ∗ Φ ω = ω ◦ Φ eine Deformation von ω0 . Weiter k¨onnen zu einer gegebenen oheren Ordnungen von λ zus¨atzlich positive [[λ]]Deformation ω von ω0 in h¨ lineare Funktionale ω  addiert werden, ohne die Positivit¨at oder den klassischen Limes zu st¨ oren. Somit unterstreicht dieser Satz also die Bedeutung des Wick-Sternprodukts und insbesondere die Relevanz der Proposition 7.1.34.



Bemerkung 7.1.59 (Klassischer Limes und Zust¨ande). Der Satz 7.1.57 besitzt eine einfache, wenn auch wichtige physikalische Interpretation: Jeder klassische Zustand ist klassischer Limes eines Quantenzustandes. Da wir die Quantentheorie als die fundamentalere Theorie ansehen, ist diese Aussage aus physikalischen Gr¨ unden nicht nur plausibel sondern schlichtweg notwendig, um diese These der fundamentaleren Theorie“ aufrecht zu erhalten: G¨abe es ” Zust¨ ande eines klassischen Systems, die nicht der klassische Limes von Quantenzust¨ anden w¨ aren, so k¨ onnte die Quantentheorie schlecht die umfassendere Beschreibung sein, da sie nicht alle klassischen Ph¨anomene als Grenzwert liefern k¨ onnte. Man beachte jedoch, daß es keineswegs klar ist, wie man allgemein den klassischen Limes von Quantenzust¨ anden zu definieren hat. Die Deformationsquantisierung bietet hier zumindest den Vorteil, einen klaren konzeptuellen Rahmen zu geben, innerhalb dessen sich die Aussage, daß jeder klassische Zustand der klassische Limes eines Quantenzustandes ist, beweisen l¨aßt. Inwieweit sich diese Definition als physikalisch sinnvolle Version eines klassischen Limes von Zust¨ anden erweist, bleibt weiteren Untersuchungen vorbehalten.

7.2 Darstellungen und GNS-Konstruktion Wie bereits in Abschnitt 5.1 dargelegt, ist f¨ ur eine auf einer abstrakten Observablenalgebra A basierende Quantentheorie neben der Identifikation von

518

7 Zust¨ ande und Darstellungen

Zust¨ anden mit (bestimmten) normierten positiven linearen Funktionalen eine weitere Struktur n¨ otig, um das Superpositionsprinzip realisieren zu k¨onnen. Die Zust¨ ande m¨ ussen mit Vektorzust¨ anden in einem Darstellungsraum H der Observablenalgebra A identifiziert werden, wobei die Observablen als Operatoren auf H dargestellt werden. Um die positiven Funktionale dann als Erwartungswerte in Vektorzust¨ anden schreiben zu k¨onnen, ben¨otigt man ein positiv definites inneres Produkt auf H, womit H ein Pr¨a-Hilbert-Raum wird. Die Vollst¨andigkeit von H ist hierf¨ ur noch nicht erforderlich, sondern wird letztlich nur f¨ ur den noch ausstehenden Spektralkalk¨ ul ben¨otigt. Da dieser aber sowieso (noch) nicht f¨ ur den rein algebraischen Rahmen von formalen Sternprodukten zur Verf¨ ugung steht, m¨ ussen und werden wir uns in der formalen Deformationsquantisierung mit einem Pr¨ a-Hilbert-Raum begn¨ ugen. Man kann dies jedoch auch als einen Vorteil ansehen, da bereits Pr¨a-Hilbert-R¨aume u ¨ ber mehr Struktur tragen k¨ onnen, welche beim Vervollst¨andigen verwischt“ wird. ” Auf jeden Fall ist die Theorie der Operatoralgebren f¨ ur uns Motivation und Richtschnur.



7.2.1 Elementare Darstellungstheorie einer ∗ -Algebra Da wir mit einem geordneten Ring R u ¨ ber den Begriff positiv definiter innerer Produkte auf C-Moduln und damit u ugen ¨ ber Pr¨a-Hilbert-R¨aume verf¨ und da die adjungierbaren Operatoren B(H) auf einem Pr¨a-Hilbert-Raum H eine ∗ -Algebra u ¨ber C bilden, liegt es nahe, eine abstrakt gegebene ∗ Algebra A mit den konkreten ∗ -Algebren B(H) zu vergleichen, indem man ∗ -Homomorphismen A −→ B(H) studiert. Dies motiviert unabh¨angig von ¨ unseren vorangegangenen physikalischen Uberlegungen zum Superpositionsprinzip folgende Definition: Definition 7.2.1 (∗ -Darstellung). Sei A eine ∗ -Algebra u ¨ ber C. Eine ∗ Darstellung π von A auf einem Pr¨a-Hilbert-Raum H ist ein ∗ -Homomorphismus π : A −→ B(H). (7.82) ur jedes ψ ∈ H das Ist nun π eine ∗ -Darstellung von A auf H, so ist f¨ lineare Funktional (7.83) ωψ (a) = ψ, π(a)ψ ur alle a ∈ A. Da positiv, denn ωψ (a∗ a) = ψ, π(a∗ a)ψ = π(a)ψ, π(a)ψ ≥ 0 f¨ nun komplexe Superpositionen von Vektoren in H gebildet werden k¨onnen, hat man das angestrebte Ziel erreicht, sofern man aus physikalischen Gr¨ unden ur zu fineine ∗ -Darstellung als die relevante auszeichnen kann. Kriterien hierf¨ den und mathematisch zu formulieren ist alles andere als einfach. Aus diesem Grund werden wir nun einige elementare Begriffe der Darstellungstheo¨ rie vorstellen, die es erlauben, eine grobe Ubersicht u ¨ ber die zu erwartenden Ph¨ anomene zu erlangen.

7.2 Darstellungen und GNS-Konstruktion

519

Definition 7.2.2 (Darstellungstheorie). Seien (H1 , π1 ) und (H2 , π2 ) zwei ∗ -Darstellungen von A. i.) Ein Intertwiner (Verschr¨ankungsoperator) T von (H1 , π1 ) nach (H2 , π2 ) ist eine Abbildung T ∈ B(H1 , H2 ) mit T π1 (a) = π2 (a)T

f¨ ur alle

a ∈ A.

(7.84)

ii.) Die ∗ -Darstellungen (H1 , π1 ) und (H2 , π2 ) heißen unit¨ar ¨aquivalent, falls es einen unit¨aren Intertwiner T : (H1 , π1 ) −→ (H2 , π2 ) gibt. iii.) Die Kategorie ∗ -rep(A) aller ∗ -Darstellungen von A auf Pr¨a-HilbertR¨aumen ¨ uber C mit Intertwinern als Morphismen heißt Darstellungstheorie von A. Diese Gesamtheit aller ∗ -Darstellungen wird auch als Theorie der Superauswahlregeln bezeichnet. Bemerkung 7.2.3 (Intertwiner). i.) Ist T ein Intertwiner, so ist T ∗ ∈ B(H2 , H1 ) ebenfalls ein Intertwiner, denn T ∗ π2 (a) = (π2 (a)∗ T )∗ = (π2 (a∗ )T )∗ = (T π1 (a∗ ))∗ = π1 (a∗ )∗ T ∗ = π1 (a)T ∗ . Weiter bilden Linearkombinationen von Intertwinern wieder Intertwiner, da (7.84) eine in T lineare Bedingung ist. ii.) Die Intertwiner bilden tats¨ achlich die Morphismen einer Kategorie, da offenbar die Hintereinanderausf¨ uhrung von Intertwinern wieder einen Intertwiner liefert. ¨ ¨ iii.) Die unit¨ are Aquivalenz von ∗ -Darstellungen ist eine Aquivalenzrelation. ∗ Ist umgekehrt (H1 , π1 ) eine -Darstellung und H2 ein Pr¨a-Hilbert-Raum, so daß es eine unit¨ are Abbildung U : H1 −→ H2 gibt, so ist π2 (a) = U π1 (a)U −1

(7.85)

ar ¨ aquivalente ∗ -Darstellung von A. Daher ist es vern¨ unftig, eine zu π1 unit¨ ¨ -Darstellungen von A nur bis auf unit¨ are Aquivalenz zu betrachten.

∗

Die folgenden Begriffe charakterisieren, wie nichttrivial eine ∗ -Darstellung ist: Definition 7.2.4. Sei (H, π) eine ∗ -Darstellung von A. i.) (H, π) heißt treu, falls π : A −→ B(H) injektiv ist. ii.) (H, π) heißt nichtausgeartet, falls π(a)ψ = 0 f¨ ur alle a ∈ A impliziert, daß ψ = 0 gilt. iii.) (H, π) heißt stark nichtausgeartet, falls π(A)H = H gilt, also f¨ ur jedes ψ ∈ H Vektoren φi ∈ H und Observablen ai ∈ A gefunden werden k¨onnen, so daß ψ = π(a1 )φ1 + · · · + π(an )φn . iv.) (H, π) heißt zyklisch mit zyklischem Vektor Ω ∈ H, falls π(A)Ω = H, also jedes ψ ∈ H von der Form ψ = π(a)Ω mit einem a ∈ A ist. Es gelten nun folgende Beziehungen zwischen diesen Begriffen:

520

7 Zust¨ ande und Darstellungen

Lemma 7.2.5. Sei (H, π) eine ∗ -Darstellung von A. i.) Ist (H, π) stark nichtausgeartet, so ist (H, π) auch nichtausgeartet. ii.) Ist (H, π) zyklisch, so ist (H, π) stark nichtausgeartet. iii.) Besitzt A ein Einselement ∈ A, so ist P = π( ) ∈ B(H) ein Projektor P = P ∗ = P 2 und es gilt





H = P H ⊕ (id −P )H.

(7.86)

Bez¨ uglich dieser orthogonalen Summe ist π(a) f¨ ur jedes a ∈ A blockdia gonal und es gilt π(a) (id −P )H = 0. iv.) Besitzt A ein Einselement ∈ A, so ist π π()H eine stark nichtausgeartete ∗ -Darstellung von A auf π( )H und   (7.87) ker π = ker π π()H .







v.) Besitzt A ein Einselement ∈ A, so ist jede nichtausgeartete ∗ -Darstellung auch stark nichtausgeartet. Dies ist genau dann der Fall, wenn π( ) = id gilt.



Beweis. Sei (H, π) stark ur alle a ∈ A, nnichtausgeartet und sei π(a)ψ = 0 f¨ dann k¨ onnen wir ψ = i=1 π(ai )φi schreiben, so daß . /  ψ, ψ = π(ai )φi , ψ = φi , π(a∗i )ψ = 0, i

i

womit ψ = 0 folgt. Also ist (H, π) nichtausgeartet. Der zweite Teil ist trivial. Die Algebra A habe nun ein Einselement. Dann gilt f¨ ur P = π( ) offenbar P 2 = π( )2 = π( 2 ) = π( ) = P und P ∗ = π( )∗ = π( ∗ ) = π( ) = P , womit P ein Projektor ist und daher H in die orthogonale direkte Summe (7.86) zerf¨ allt. Weiter gilt π(a) = π( a ) = π( )π(a)π( ) = P π(a)P , womit von den m¨ oglichen vier Komponenten von π(a) bez¨ uglich der Zerlegung (7.86) nur die erste von Null verschieden ist. Damit ist der dritte Teil gezeigt. Der vierte Teil ist klar. Ist schließlich (H, π) eine ∗ -Darstellung von A mit Einselement, welche nichtausgeartet ist, so folgt unmittelbar π( )φ = φ, also π( ) = id. Damit ist aber (H, π) stark nichtausgeartet.  











 





 



Dieses Lemma zeigt also, daß im Falle einer ∗ -Algebra mit Einselement jede ∗ -Darstellung auf kanonische Weise in eine stark nichtausgeartete und eine Nulldarstellung zerf¨ allt. Da letztere nicht sonderlich interessant ist, betrachtet man von Anfang an stark nichtausgeartete ∗ -Darstellungen. Auch wenn im allgemeinen Fall einer ∗ -Algebra ohne Einselement eine nichtausgeartete ∗ -Darstellung im allgemeinen keineswegs stark nichtausgeartet zu sein braucht, interessiert man sich hier vor allem f¨ ur die stark nichtausgearteten. Dies motiviert folgende Definition: Definition 7.2.6. Die Unterkategorie von ∗ -rep(A) der stark nichtausgearteten ∗ -Darstellungen von A auf Pr¨a-Hilbert-R¨aumen wird mit ∗ -Rep(A) bezeichnet.

7.2 Darstellungen und GNS-Konstruktion

521

Die Zerlegung (7.86) des Darstellungsraumes in zwei Unterr¨aume, welche jeweils unter der Darstellung stabil sind, besitzt nun folgende Verallgemeinerung: Lemma 7.2.7. Ist Λ eine beliebige Indexmenge und sind {(Hλ , πλ )}λ∈Λ ∗ Darstellungen von A, so ist auf der orthogonalen direkten Summe H =  ∗ λ∈Λ Hλ eine -Darstellung π durch 

π(a) =

πλ (a)

(7.88)

λ∈Λ

ur alle λ ∈ Λ gelte. gegeben, wobei also π(a) H = πλ (a) f¨ λ

Der Beweis ist offensichtlich. Die so erhaltene ∗ -Darstellung (H, π) heißt orthogonale direkte Summe der ∗ -Darstellungen {(Hλ , πλ )}λ∈Λ . Ist (H, π) =  ∗ λ∈Λ (Hλ , πλ ) eine orthogonale direkte Summe von -Darstellungen, so vertauscht der Orthogonalprojektor Pλ auf Hλ mit allen Darstellern Pλ π(a) = π(a)Pλ

(7.89)

f¨ ur alle a ∈ A. Gilt umgekehrt, daß es einen Orthogonalprojektor P ∈ B(H) gibt, so daß P π(a) = π(a)P f¨ ur alle a ∈ A gilt, so folgt, daß die Darstellung ∗ ) und (H, π) zur direkten orthogonalen Summe der -Darstellungen (P H, π PH ((id −P )H, π (id −P )H ) unit¨ ar ¨ aquivalent ist. Es gilt also folgendes einfache Lemma: Lemma 7.2.8. Eine ∗ -Darstellung (H, π) ist genau dann zu einer (nichttrivialen) direkten orthogonalen Summe von ∗ -Darstellungen unit¨ar ¨aquivalent, wenn es (nichttriviale) Orthogonalprojektoren in B(H) gibt, die mit allen π(a) f¨ ur a ∈ A vertauschen. Aus diesem Grunde ist man daran interessiert, etwas u ¨ ber die Gr¨oße der Kommutante einer Darstellung zu erfahren: Definition 7.2.9 (Kommutante). stellung (H, π) von A ist durch

Die Kommutante π(A) einer ∗ -Dar-

π(A) = {T ∈ B(H) | T π(a) = π(a)T f¨ ur alle a ∈ A} ⊆ B(H)

(7.90)

definiert. Damit stimmt die Kommutante also gerade mit dem Raum der Selbstin” tertwiner“ u ¨berein. Man beachte, daß wir hier T ∈ B(H) und nicht etwa T ∈ EndC (H) fordern. Folgerung 7.2.10 (Kommutante). i.) Die Kommutante π(A) einer ∗ -Darstellung von A auf H ist eine Unteralgebra mit Einselement idH von B(H).

∗

-

522

7 Zust¨ ande und Darstellungen

ii.) Ist die Kommutante π(A) von (H, π) trivial, so ist (H, π) nicht zu einer nichttrivialen direkten orthogonalen Summe von ∗ -Darstellungen unit¨ar ¨aquivalent. Bemerkung 7.2.11. Im allgemeinen kann es jedoch sehr wohl passieren, daß die Kommutante zwar nichttrivial ist, also mehr Elemente als C id aber keine nichttrivialen Orthogonalprojektoren enth¨ alt. Daher ist die Umkehrung im allgemeinen falsch, da f¨ ur die Zerlegbarkeit einer ∗ -Darstellung die Existenz von Orthogonalprojektoren in π(A) relevant ist. In bestimmten Situationen ist f¨ ur C = eine Umkehrung m¨ oglich, wobei hierf¨ ur typischerweise einige Elemente des Spektralkalk¨ uls herangezogen werden m¨ ussen, siehe beispielsweise [52, 181, 182, 288] f¨ ur eine weiterf¨ uhrende Diskussion.



7.2.2 Die allgemeine GNS-Konstruktion Wir wollen nun die Gel’fand-Naimark-Segal-Konstruktion einer ∗ -Darstellung aus einem positiven linearen Funktional vorstellen. Urspr¨ unglich wurde diese Konstruktion als Verallgemeinerung der Fock-Raum-Konstruktion im Rahmen der Darstellungstheorie der C ∗ -Algebren eingef¨ uhrt und dann schnell auf beliebige ∗ -Algebren u ¨ bertragen, siehe beispielsweise [52,181,182,288]. ¨ber u Die Konstruktion erweist sich als v¨ ollig algebraisch, so daß sie auch in unserem Fall von ∗ -Algebren u ¨ ber C = R(i) mit einem beliebigen geordneten Ring R m¨ oglich ist. Dies erlaubt eine anschließende Anwendung in der Deformationsquantisierung. Wir betrachten im folgenden eine ∗ -Algebra A u ¨ber C und ein positives lineares Funktional ω : A −→ C.



Lemma 7.2.12. Sei ω : A −→ C ein positives lineares Funktional. Dann ist Jω = {a ∈ A | ω(a∗ a) = 0}

(7.91)

ein Linksideal von A und es gilt genau dann a ∈ Jω , falls ω(a∗ b) = 0 f¨ ur alle b ∈ A. Beweis. Dies ist eine einfache Konsequenz der Cauchy-Schwarz-Ungleichung (7.30). Wir zeigen zun¨ achst, daß die quadratische Bedingung ω(a∗ a) = 0 ur alle b ∈ A ¨aquivalent ist. Mit (7.30) zur linearen Bedingung ω(a∗ b) = 0 f¨ impliziert ω(a∗ a) = 0 aber sofort ω(a∗ b) = 0 f¨ ur alle b. Die Umkehrung ist trivial. Weiter gilt mit ω(a∗ b) = ω(b∗ a), daß ω(a∗ a) = 0 genau dann gilt, wenn ω(b∗ a) = 0 f¨ ur alle b. Dies ist eine C-lineare Bedingung an a, womit Jω ein C-Untermodul von A ist. Sei schließlich a ∈ Jω und b ∈ A beliebig. Dann gilt f¨ ur alle c ∈ A die Gleichung ω(c∗ ba) = 0, womit ba ∈ Jω . Somit ist Jω ein Linksideal.   Definition 7.2.13 (Gel’fand-Ideal). Sei ω : A −→ C ein positives lineares Funktional. Dann heißt das Linksideal Jω das Gel’fand-Ideal von ω.

7.2 Darstellungen und GNS-Konstruktion

523

Mit dieser Definition sehen wir, daß ein positives Funktional genau dann treu ist, wenn Jω = {0} gilt, siehe (7.64). Wir k¨ onnen nun den Quotienten

(7.92) Hω = A Jω als C-Modul betrachten. Da Jω ein Linksideal von A ist, wird Hω auf kanonische Weise zu einem A-Linksmodul verm¨ oge der Multiplikationsvorschrift πω (a)ψb = ψab ,

(7.93)

¨ von b in Hω bezeichnet. wobei a, b ∈ A und ψb ∈ Hω die Aquivalenzklasse Desweiteren besitzt Hω ein wohl-definiertes inneres Produkt ψa , ψb ω = ω(a∗ b).

(7.94)

Daß ·, ·ω wohl-definiert ist, folgt abermals aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung in Form von Lemma 7.2.12. Die erforderliche C-Sesquilinearit¨at ist offensichtlich. Weiter ist ·, ·ω sogar positiv definit, denn ψa , ψa ω = ω(a∗ a) ≥ 0

(7.95)

und ψa , ψa ω = ω(a∗ a) = 0 genau dann, wenn a ∈ Jω und daher ψa = 0. Damit wird Hω zu einem Pr¨ a-Hilbert-Raum. Schließlich ist die Linksmodulstruktur πω : A −→ EndC (Hω ) sogar eine ∗ -Darstellung, denn es gilt ψb , πω (a)ψc ω = ω(b∗ ac) = ω((a∗ b)∗ c) = πω (a∗ )ψb , ψc ω .

(7.96)

Somit k¨ onnen wir auf einfache Weise eine ∗ -Darstellung (Hω , πω ) aus jedem positiven linearen Funktional ω : A −→ C konstruieren. Hat die Algebra A sogar ein Einselement , so gibt es einen ausgezeichneten Vektor ψ ∈ Hω . Diesen bezeichnet man auch mit Ωω = ψ . Nun gilt, daß ψa = ψa = πω (a)ψ = πω (a)Ωω , (7.97)



so daß die ∗ -Darstellung (Hω , πω ) zyklisch und Ωω ein zyklischer Vektor ist. Schließlich gilt Ωω , πω (a)Ωω ω = ω(a), (7.98) womit wir das positive lineare Funktional als Erwartungswertfunktional bez¨ uglich des Vektorzustandes Ωω ∈ Hω in der ∗ -Darstellung (Hω , πω ) identifiziert haben. Damit schließt sich also der Kreis und der Anschluß an die u ¨ bliche Formulierung der Quantenmechanik ist erreicht: Zust¨ande im Sinne von positiven Funktionalen sind Erwartungswertfunktionale bez¨ uglich Vektorzust¨ anden in einer ∗ -Darstellung. Definition 7.2.14 (GNS-Darstellung). Sei ω : A −→ C ein positives lineares Funktional. Dann heißt die ∗ -Darstellung (Hω , πω ) die GNSDarstellung von ω. Besitzt A ein Einselement, so wird der kanonische zyklische Vektor Ωω ∈ Hω Vakuumsvektor genannt.

524

7 Zust¨ ande und Darstellungen

Bemerkung 7.2.15. Die Bezeichnung Vakuumsvektor“ f¨ ur Ωω und entspre” chend Vakuumserwartungswert“ f¨ ur ω(a) = Ωω , πω (a)Ωω ω ist durch die ” urspr¨ ungliche Anwendung der GNS-Konstruktion in der Quantenfeldtheorie achlich die Rolle des Vakuums spielt. Entsprechend motiviert, wo Ωω tats¨ kann man die Zyklizit¨ at der GNS-Darstellung so interpretieren, daß durch Anwenden aller Observablen a ∈ A jeder Zustand erreicht werden kann, womit die πω (a) die Interpretation von Erzeugungsoperatoren“ erhalten, falls ” πω (a)Ωω = 0. Bemerkenswerterweise charakterisiert die Eigenschaft (7.98) f¨ ur eine ∗ ¨ Algebra mit Einselement die GNS-Darstellung bis auf unit¨are Aquivalenz: Satz 7.2.16 (Eindeutigkeit der GNS-Darstellung). Sei ω : A −→ C ein positives lineares Funktional und A besitze ein Einselement. Sei weiter (H, π, Ω) eine zyklische ∗ -Darstellung von A mit der Eigenschaft ω(a) = Ω, π(a)Ω .

(7.99)

Dann ist durch U : Hω −→ H mit U ψa = π(a)Ω

(7.100)

ein unit¨arer Intertwiner von (Hω , πω , Ωω ) nach (H, π, Ω) gegeben. Beweis. Wir zeigen zun¨ achst, daß U wohl-definiert ist. Gilt n¨amlich c ∈ Jω , so folgt U ψa+c = π(a)Ω + π(c)Ω und π(c)Ω, π(c)Ω = ω(c∗ c) = 0 nach Voraussetzung (7.99). Also gilt π(c)Ω = 0, womit U wohl-definiert und offenbar linear ist. Weiter gilt U ψa , U ψb  = π(a)Ω, π(b)Ω = Ω, π(a∗ b)Ω = ω(a∗ b) = ψa , ψb ω , was zeigt, daß U isometrisch und daher injektiv ist. Die Surjektivit¨at von U folgt, da Ω nach Voraussetzung zyklisch ist. Also ist U unit¨ar, U −1 = U ∗ , und insbesondere U ∈ B(Hω , H). Schließlich gilt U πω (a)ψb = U ψab = π(ab)Ω = π(a)π(b)Ω = π(a)U ψb ,  

so daß U ein Intertwiner ist.

Bemerkung 7.2.17 (GNS-Konstruktion). Die GNS-Konstruktion besitzt viele Verallgemeinerungen und auch Spezialisierungen. Ist A beispielsweise eine uber ), so folgt allgemein, daß πω (a) sogar beschr¨ankt ist und C ∗ -Algebra (¨ ! ω von Hω fortgesetzt daher auf kanonische Weise auf die Vervollst¨ andigung H werden kann. Damit erh¨ alt man die eigentliche“ GNS-Konstruktion einer ∗ ” Darstellung auf einem Hilbert-Raum einer C ∗ -Algebra durch beschr¨ankte Operatoren, siehe beispielsweise [52,88]. F¨ ur ∗ -Algebren u ¨ber l¨aßt sich ebenfalls mehr als nur die obigen algebraischen Resultate sagen, wobei hier die Frage nach der (wesentlichen) Selbstadjungiertheit der einzelnen πω (a) f¨ ur a = a∗ besonderes Interesse verdient, ebenso wie die Frage, wie sich die jeweiligen Definitionsbereiche der selbstadjungierten Erweiterungen der πω (a) zueinander verhalten, siehe beispielsweise [288].





7.2 Darstellungen und GNS-Konstruktion

525

Folgendes einfache Lemma betrachtet den Fall, daß das Funktional ω nicht auf ganz A definiert ist, sondern nur auf einem ∗ -Ideal B ⊆ A. Lemma 7.2.18. Sei B ⊆ A ein ∗ -Ideal und ω : B −→ C ein positives lineares Funktional mit GNS-Darstellung (Hω = B Jω , πω ). Dann ist Jω ⊆ B ⊆ A auch in A ein Linksideal, womit die GNS-Darstellung πω eine kanonische Fortsetzung zu einer ∗ -Darstellung πω : A −→ B(Hω ) auf Hω besitzt. Beweis. Es gen¨ ugt zu zeigen, daß Jω auch in A ein Linksideal ist. Sei also b ∈ Jω und a ∈ A. Dann ist ab ∈ B, da B ein Ideal ist. Deshalb gilt ω((ab)∗ (ab)) = ω(b∗ a∗ ab) und ω(b∗ a∗ ab)ω(b∗ a∗ ab) ≤ ω(b∗ b)ω((a∗ ab)∗ (a∗ ab)) = 0, wobei die Verwendung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung legitim ist, da auch a∗ ab ∈ B, also ab ∈ Jω .   Beispiel 7.2.19. Wir betrachten einen Pr¨ a-Hilbert-Raum H u ¨ ber C und einen Einheitsvektor ψ ∈ H, also ψ, ψ = 1. Dann ist nach Beispiel 7.1.24, iii.) durch ωψ (A) = ψ, Aψ ein positives Funktional von B(H) gegeben. Das Gel’fand-Ideal ist Jψ = {A ∈ B(H) | Aψ = 0}. Nun zeigt man leicht, daß die GNS-Darstellung πψ von B(H) auf Hψ = B(H) Jψ bez¨ uglich ωψ zur definierenden Darstellung unit¨ ar ¨ aquivalent ist: Durch U : Hψ  ψA → Aψ ∈ H wird ein unit¨ arer Intertwiner gegeben. Hier ist einzig die Surjektivit¨at etwas schwieriger; man benutzt aber, daß man jeden Vektor φ ∈ H als φ = Θφ,ψ ψ schreiben kann. 7.2.3 GNS-Darstellungen in der Deformationsquantisierung Die GNS-Darstellungen zu den positiven Funktionalen aus Abschnitt 7.1.3 lassen sich explizit bestimmen und f¨ uhren auf bekannte Darstellungen. Die GNS-Darstellung zum δ-Funktional



Wir beginnen mit dem Wick-Sternprodukt Wick auf n , f¨ ur welches das δFunktional δp bei p ∈ n positiv ist. Aus (7.54) folgt unmittelbar, daß das Gel’fand-Ideal von δp durch + , ∂rf ∞ n Jp = f ∈ C ( )[[λ]] ∀rin 0 , ∀i1 , . . . , ir : (p) = 0 (7.101) ∂z i1 · · · ∂z ir







gegeben ist. Um die GNS-Darstellung expliziter bestimmen zu k¨onnen, ist es zweckm¨ aßig, eine Multiindexschreibweise analog zu der von Bemerkung 5.3.1 zu verwenden. F¨ ur K = (k1 , . . . , kn ), L = ( 1 , . . . , n ) ∈ n0 schreiben wir kurz



∂ |K+L| ∂ |K+L| = . ∂(z 1 )k1 · · · ∂(z n )kn ∂(z 1 )1 · · · ∂(z n )n ∂z K ∂z L Entsprechend verwenden wir z K z L .

(7.102)

526

7 Zust¨ ande und Darstellungen

Lemma 7.2.20. Das Wick-Sternprodukt Wick auf f Wick g =

n l¨aßt sich als

∞  (2λ)|K| ∂ |K| f ∂ |K| g K! ∂z K ∂z K K=0

(7.103)

schreiben. ¨ Beweis. Sei r ≥ 0. Eine einfache kombinatorische Uberlegung zeigt dann n  r! ∂ r f ∂ r g  ∂rf ∂rg = , i K K i i 1 K! ∂z ∂z ∂z 1 · · · ∂z r ∂z · · · ∂z ir i ,...,i =1 |K|=r 1

r

 

womit Gleichung (7.103) aus (5.77) folgt.

Wir betrachten nun folgenden formalen Bargmann-Fock-Raum, wobei wir anstelle antiholomorpher Funktionen formale Potenzreihen in den antiholomorphen Koordinaten verwenden: Definition 7.2.21 (Formaler Bargmann-Fock-Raum). Der dul HBF = [[y 1 , . . . , yn ]][[λ]] mit dem

[[λ]]-Mo-



(7.104)

∂rφ ∂rψ (0) (0) ∂yk1 · · · ∂y kr ∂yk1 · · · ∂y kr

(7.105)

[[λ]]-wertigen Skalarprodukt

φ, ψBF =

∞  (2λ)r r=0

r!

 k1 ,...,kr

heißt formaler Bargmann-Fock-Raum. Im Hinblick auf Satz 5.2.12 stellt dies offenbar eine gute Analogie zum echten“ ” Bargmann-Fock-Raum HBF dar. Man beachte, daß das Skalarprodukt eine wohl-definierte formale Potenzreihe in [[λ]] liefert und HBF zu einem Pr¨aHilbert-Raum u onnen wir ·, ·BF auch als ¨ ber [[λ]] macht. Offenbar k¨





φ, ψBF =

∞  (2λ)|K| ∂ |K| φ ∂ |K| ψ (0) (0) K! ∂yK ∂yK

(7.106)

K=0

schreiben. Wir bezeichnen den GNS Pr¨ a-Hilbert-Raum zu δp mit Hp und die entsprechende GNS-Darstellung von (C ∞ ( n )[[λ]], Wick ) auf Hp mit πp . Dann kl¨ art der folgende Satz die Struktur der GNS-Darstellung zum δ-Funktional vollst¨ andig auf [50, Prop. 5]:



Satz 7.2.22 (Formale Bargmann-Fock-Darstellung). Sei p ∈

n .

i.) Die formale z-Taylor-Entwicklung um p τ p (f ) =

∞  1 ∂ |K| f (p)y K K! ∂z K

(7.107)

K=0

induziert eine wohl-definierte unit¨are Abbildung τ p : Hp  ψf → τ p (f ) ∈ HBF .

(7.108)

7.2 Darstellungen und GNS-Konstruktion

527

n )[[λ]]

ii.) Es gilt f¨ ur f ∈ C ∞ (

p (f ) = τ p πp (f )τ −1 p ∞  ∂ r+s f (2λ)r ∂r = . (p) y1 · · · y s k1   k k 1 s r!s! ∂z 1 · · · ∂z r ∂z · · · ∂z ∂y · · · ∂y kr r,s=0 (7.109) Beweis. Es gilt offenbar genau dann f ∈ Jp , wenn τ p (f ) = 0. Damit ist τ p auch auf dem Quotienten Hp wohl-definiert und injektiv. Mit Hilfe des BorelLemmas f¨ ur Funktionen mehrerer Variablen, siehe Bemerkung 5.3.34, folgt die Surjektivit¨ at. Seien nun f, g ∈ C ∞ ( n )[[λ]] gegeben, dann gilt

 ψf , ψg p = δp f Wick g



=

∞  (2λ)|K| ∂ |K| f ∂ |K| g (p) (p) K! ∂z K ∂z K K=0

= τ p (ψf ), τ p (ψg )BF , ar ist. Um p (f ) explizit zu bestimwomit τ p isometrisch und insgesamt unit¨ men, zeigen wir zun¨ achst folgende Homomorphismuseigenschaft der formalen z-Taylor-Entwicklung. Es gilt ∞  1 ∂ |K| K τ p (f g) = (f g) y K! ∂z K p K=0 ∞ K    1  K ∂ |L| f ∂ |K−L|g = (p)y L (p)y K−L L K−L L ∂z K! ∂z K=0 L=0  ∞  ∞   1 ∂ |K| f  1 ∂ |L| g = (p)y K (p)y L K! ∂z K L! ∂z L K=0 L=0 = τ p (f )τ p (g),



wobei wir die kanonische Produktstruktur von [[y 1 , . . . , y n ]][[λ]] als Potenzreihenring verwenden, um das Produkt der Taylor-Reihen zu definieren. F¨ ur eine Variable hatten wir dies bereits in Proposition 4.2.38 gesehen. Damit gilt nun τ p (πp (f )ψg ) = τ p (ψf Wick g )   ∞  (2λ)|K| = τ p ψ ∂ |K| f ∂ |K| g K! ∂z K ∂z K K=0     ∞  ∂ |K| f (2λ)|K| = τp τ p ψ ∂ |K| g K! ∂z K ∂z K K=0 ∞  ∞  (2λ)|K|  1 ∂ |K+L| f ∂ |K| L = (p)y τ p (ψg ), L K K! L! ∂z ∂z ∂yK K=0 L=0

528

7 Zust¨ ande und Darstellungen

wobei wir zudem verwenden, daß   ∂ |K| τ p ψ ∂ |K| g = τ p (ψg ) ∂yK ∂z K gilt. Das zeigt schließlich (7.109), da wir analog zu Lemma 7.2.20 die Multiindexschreibweise wieder durch die in (7.109) ersetzen k¨onnen.   Insbesondere erhalten wir f¨ ur p = 0 das formale Analogon der BargmannFock-Darstellung in Wick-Ordnung Wick aus Abschnitt 5.2.3. Da in Abschnitt 5.2.3 diese urspr¨ unglich dazu genutzt wurde, Wick zu konstruieren, schließt sich nun der Kreis: Alternativ zur Konstruktion von Wick aus Wick kann man auch mit Wick beginnen und auf systematische Weise mittels der GNS-Konstruktion Wick konstruieren. Bemerkung 7.2.23 (Koh¨arente Zust¨ande). Das Resultat von Satz 7.2.22 legt nahe, die Translationsinvarianz von Wick dazu zu verwenden, die GNSDarstellungen an verschiedenen Punkten p ∈ n zu identifizieren. Eine genauere Analyse zeigt jedoch, daß es im Rahmen der formalen Deformationsur quantisierung keinen unit¨ aren Intertwiner zwischen (Hp , πp ) und (Hq , πq ) f¨ p = q gibt. In einem geeigneten konvergenten Rahmen dagegen ist dies m¨oglich und liefert die physikalische Interpretation der δ-Funktionale als koh¨arente Zust¨ande, siehe [20, 21].



Bemerkung 7.2.24. Wie bereits in Satz 6.1.13 beziehungsweise in Bemerkung 6.4.25 erw¨ ahnt, gibt es auf jeder K¨ ahler-Mannigfaltigkeit ebenfalls Sternprodukte vom Wick-Typ, welche durch eine modifizierte Fedosov-Konstruktion gewonnen werden k¨ onnen. Es zeigt sich auch hier, daß die δ-Funktionale positiv sind, ohne daß Quantenkorrekturen n¨ otig sind. Die entsprechende GNSDarstellung erweist sich dann in lokalen holomorphen Koordinaten um diesen Punkt als ein Analogon der Bargmann-Fock-Darstellung mit dem einzigen Unterschied, daß anstelle der formalen (z, z)-Taylor-Entwicklung der darzustellenden Observable wie in (7.109) die Fedosov-Taylor-Reihe zum Einsatz kommt. Details hierzu findet man in [50, Sect. 7]. Die GNS-Darstellung zum Schr¨ odinger-Funktional Als n¨ achstes Beispiel betrachten wir das Schr¨odinger-Funktional ω aus Defiundel eines Konfigunition 7.1.36. Sei also π : T ∗ Q −→ Q das Kotangentenb¨ rationsraums Q, ∇ eine torsionsfreie kovariante Ableitung auf Q und μ eine positive Dichte. Diese Daten bestimmen nach Satz 5.4.30 die κ-geordneten Sternprodukte κ und insbesondere das Hermitesche Weyl-geordnete Sternprodukt Weyl . Hier folgen wir der Konvention aus Abschnitt 7.1.3 und fassen die Sternprodukte als formale Sternprodukte auf allen glatten Funktionen C ∞ (T ∗ Q)[[λ]] auf. Das folgende Lemma liefert eine weitere Beziehung f¨ ur die zu κ geh¨orende κ-geordnete Darstellung, welche wir ebenfalls im Sinne formaler Potenzreihen auffassen, siehe auch (5.68) f¨ ur den flachen Fall.

7.2 Darstellungen und GNS-Konstruktion

529

Lemma 7.2.25. Sei φ ∈ C ∞ (Q)[[λ]] und f ∈ C ∞ (T ∗ Q)[[λ]]. Dann gilt κ (f )φ = ι∗ (Nκ f Std π ∗ φ) ,

(7.110)

wobei Nκ = exp(−iκλ(Δ + F(α))) der formale Neumaier-Operator gem¨aß Definition 5.4.24 ist. Beweis. Es gilt zum einen Std (f )1 = ι∗ f , was anhand der Definition (5.165) offensichtlich ist. Damit folgt mit ι∗ π ∗ φ = φ Std (f )φ = Std (f ) Std (π ∗ φ)1 = Std (f Std π ∗ φ)1 = ι∗ (f Std π ∗ φ) , da Std eine Darstellung ist. Mit der Definition κ (f ) = Std (Nκ f ) folgt (7.110) f¨ ur alle κ.   Nach dieser Vor¨ uberlegung k¨ onnen wir das Gel’fand-Ideal und die GNSDarstellung zu ω bez¨ uglich Weyl leicht bestimmen. Mit Proposition 7.1.35, Gleichung (7.59), sieht man sofort, daß   Jω = f ∈ C0∞ (T ∗ Q)[[λ]] ι∗ N f = 0 (7.111) gilt. Dies liefert unmittelbar folgende Charakterisierung der GNS-Darstellung (Hω , πω ) von ω. Wir w¨ ahlen zun¨ achst eine Abschneidefunktion χ ∈ C ∞ (T ∗ Q) derart, daß χ in einer kleinen offenen Umgebung des Nullschnitts ι(Q) konstant 1 ist und f¨ ur jedes kompakte K ⊆ Q supp χ ∩ π −1 (K) ⊆ T ∗ Q

(7.112)

ebenfalls kompakt ist. Solche Abschneidefunktionen gibt es sicherlich, da wir beispielsweise eine Riemannsche Metrik g auf Q w¨ahlen k¨onnen und die beiden abgeschlossenen Teilmengen A1 = {αq ∈ T ∗ Q | gq−1 (αq , αq ) ≤ 1} und A2 = {αq ∈ T ∗ Q | gq−1 (αq , αq ) ≥ 2}

(7.113)

gem¨ aß des C ∞ -Urysohn-Lemmas, siehe Korollar A.1.5, trennen k¨onnen, siehe auch Abbildung 7.2. F¨ ur die GNS-Darstellung zu ω k¨onnen wir erstmals Lemma 7.2.18 zum Einsatz bringen: Da das Funktional ω auf dem (echten) ∗ -Ideal C0∞ (T ∗ Q)[[λ]] definiert ist, setzt sich die GNS-Darstellung von (C0∞ (T ∗ Q)[[λ]], Weyl ) auf Hω kanonisch zu einer ∗ -Darstellung der Algebra onnen wir nun explizit bestimmen, (C ∞ (T ∗ Q)[[λ]], Weyl ) auf Hω fort. Diese k¨ siehe [44, Thm. 4.3] und [50, Thm. 6]: Satz 7.2.26 (Formale Schr¨ odinger-Darstellung). Sei ω das Schr¨odingerFunktional zu μ und sei χ eine Abschneidefunktion wie oben. i.) Die Abbildung U : Hω  ψf → ι∗ N f ∈ C0∞ (Q)[[λ]]

(7.114)

530

7 Zust¨ ande und Darstellungen

T *Q

A2

Q A1

Abb. 7.2. Die Abschneidefunktion χ.

ist wohl-definiert und unit¨ar, wobei C0∞ (Q)[[λ]] mit dem durch μ definierten Skalarprodukt versehen sei. Die inverse Abbildung U −1 ist U −1 : C0∞ (Q)[[λ]]  φ → ψχπ∗ φ ∈ Hω .

(7.115)

ii.) F¨ ur die GNS-Darstellung πω gilt U πω (f )U −1 = Weyl (f ).

(7.116)

Beweis. Aus (7.111) folgt sofort, daß U wohl-definiert und injektiv ist. Ist weiter φ ∈ C0∞ (Q)[[λ]], so ist χπ ∗ φ ∈ C0∞ (T ∗ Q)[[λ]] und ι∗ N (χπ ∗ φ) = φ, da nur die Ableitungen am Nullschnitt eine Rolle spielen und χ dort in einer offenen Umgebung konstant 1 ist. Damit ist aber U −1 die zu U inverse Abbildung und von der Wahl der Abschneidefunktion χ unabh¨angig. Sei schließlich φ, φ ∈ C0∞ (Q)[[λ]], dann gilt mit Proposition 7.1.35   & % −1 U φ, U −1 φ ω = ω (χπ ∗ φ) Weyl (χπ ∗ φ ) = ι∗ N (χπ ∗ φ)ι∗ N (χπ ∗ φ ) μ Q φφ μ = Q

= φ, φ μ , womit U −1 und so auch U isometrisch sind. Sei schließlich f ∈ C ∞ (T ∗ Q)[[λ]] beliebig und φ ∈ C0∞ (Q)[[λ]], dann gilt mit Lemma 7.2.25 U πω (f )U −1 φ = U πω (f )ψχπ∗ φ = U ψf Weyl (χπ∗ φ) = ι∗ N (f Weyl (χπ ∗ φ)) = ι∗ (N f Std N (χπ ∗ φ)) = ι∗ (N f Std N π ∗ φ)

7.2 Darstellungen und GNS-Konstruktion

531

= ι∗ (N f Std π ∗ φ) = Weyl (f )φ, wobei wir benutzen, daß Dank ι∗ die Funktion χ nicht beitr¨agt und N π ∗ = π ∗ gilt, da die nichttrivialen Ordnungen in N mindestens einmal in Impulsrichtung differenzieren.   Bis auf die kanonische Identifikation mittels U ist die GNS-Darstellung zum Schr¨ odinger-Funktional ω gerade die formale Schr¨odinger-Darstellung. Da diese urspr¨ unglich in Abschnitt 5.4.2 dazu verwendet wurde, um Weyl zu konstruieren, liegt hier also die gleiche Situation wie beim Wick-Sternprodukt vor: wir k¨ onnen auch vom Sternprodukt ausgehen und in systematischer Weise die Darstellung konstruieren. Bemerkung 7.2.27. Die obige GNS-Konstruktion l¨aßt nun einige Verallgemeinerungen zu, welche es gestatten, auch physikalisch kompliziertere Umst¨ande korrekt zu beschreiben. So k¨ onnen beispielsweise durch minimale Kopplung auch geladene Teilchen in ¨ außeren Magnetfeldern beschrieben werden. Dabei h¨ angen die relevanten Sternprodukte nur vom Magnetfeld, also einer exakten Zweiform B ab, w¨ ahrend die Darstellung expliziten Gebrauch vom Vektor¨ potential A mit dA = B macht. Die Frage nach der unit¨aren Aquivalenz der Darstellungen zu verschiedenen Vektorpotentialen bei gleichem Magnetfeld f¨ uhrt dann auf den Aharonov-Bohm-Effekt. Schließlich lassen sich auch Sternprodukte zu nicht-exaktem, sondern nur noch geschlossenem Magnetfeld B betrachten, welche physikalisch gesehen zu magnetischen Monopolen geh¨ oren. Eine Darstellung analog zur Schr¨ odinger-Darstellung gibt es im allgemeinen aber nicht, es sei denn, das Magnetfeld erf¨ ullt die Diracsche Quantisierungsbedingung f¨ ur die magnetischen Ladungen. F¨ ur die weiteren Details hierzu sei auf [42] verwiesen. Bemerkung 7.2.28 (WKB-Entwicklung). Indem man die Integration u ¨ ber Q geringf¨ ugig in das Kotangentenb¨ undel verschiebt und beispielsweise u ¨ ber das Bild eines Differentials dS : Q −→ T ∗ Q einer Funktion S ∈ C ∞ (Q) integriert, l¨ aßt sich die bekannte WKB-Entwicklung ebenfalls in der Deformationsquantisierung wiederfinden, siehe hierzu [42, 44, 49] sowie [16, 110, 112] f¨ ur eine Diskussion der WKB-Entwicklung in einem geometrischen Rahmen. Die GNS-Darstellung zu einem KMS-Funktional Als letztes Beispiel aus der Deformationsquantisierung betrachten wir das KMS-Funktional zu einer Hamilton-Funktion H = H ∈ C ∞ (M )[[λ]] und inversen Temperatur β ∈ , also die Funktionale μKMS (f ) = tr (Exp(−βH)  f )

(7.117)

f¨ ur f ∈ C0∞ (M )[[λ]]. Wir beschr¨ anken uns hier auf den symplektischen Fall, so daß tr immer die kanonische und positive Spur ist, womit (7.117) das bis auf

532

7 Zust¨ ande und Darstellungen

Normierung eindeutige KMS-Funktional zu H und β darstellt. Die Resultate dieses Abschnitts sind in [46, 47, 310, 311] zu finden. Wir wissen aus Korollar 7.1.47, daß μKMS sogar treu ist. Damit ist das Gel’fand-Ideal JKMS = {0}, und der GNS-Darstellungsraum ist

 HKMS = C0∞ (M )[[λ]] mit f, gKMS = tr Exp(−βH)  f  g . (7.118) Schließlich ist die GNS-Darstellung von C ∞ (M )[[λ]] gerade durch die Linksmultiplikationen gegeben, also πKMS (f )g = Lf (g) = f  g,

(7.119)

wobei wir wie auch schon bei der Schr¨ odinger-Darstellung Lemma 7.2.18 zum Einsatz bringen, um die GNS-Darstellung vom ∗ -Ideal C0∞ (M )[[λ]] auf die ganze Algebra C ∞ (M )[[λ]] auszudehnen. Wir nennen die GNS-Darstellung zum KMS-Funktional μKMS kurz die KMS-Darstellung. Anders als die formale Schr¨ odinger-Darstellung Weyl besitzt die KMS-Darstellung πKMS eine große nichttriviale Kommutante. Wir bezeichnen mit Rf (g) = g  f

(7.120)

die Rechtsmultiplikation von g ∈ HKMS mit f und setzen

sowie

AL = L (C ∞ (M )[[λ]]) ⊆ B(HKMS )

(7.121)

AR = R (C ∞ (M )[[λ]]) ⊆ End[[λ]] (HKMS ).

(7.122)

Dann gilt folgende Aussage: Proposition 7.2.29. Sei f ∈ C ∞ (M )[[λ]]. Dann gilt: i.) Rf ∈ B(HKMS ) mit R∗f = RExp(−βH)f Exp(βH) .

(7.123)

ii.) F¨ ur die Kommutanten gilt AL = AR und AR = AL . aß (7.123) tats¨achlich der zu Rf Beweis. Wir zeigen zun¨ achst, daß R∗f gem¨ adjungierte Operator ist. Seien also g, h ∈ HKMS gegeben, dann gilt g, Rf (h)KMS = tr (Exp(−βH)  g  h  f ) = tr (Exp(−βH)  Exp(βH)  f  Exp(−βH)  g  h)   = tr Exp(−βH)  g  Exp(−βH)  f  Exp(βH)  h / . , = RExp(−βH)f Exp(βH) (g), h KMS

womit der erste Teil gezeigt ist. F¨ ur den zweiten Teil bemerken wir zun¨achst, daß AR ⊆ AL und AL ⊆ AR gilt, da Links- und Rechtsmultiplikationen in einer

7.2 Darstellungen und GNS-Konstruktion

533

assoziativen Algebra vertauschen. Um die Gleichheit zu zeigen, ben¨otigen wir ˚n+1 ⊆ Kn+1 ⊆ lokale Einselemente wie in Anhang A.1. Sei also · · · ⊆ Kn ⊆ K · · · eine Folge aussch¨ opfender Kompakta von M , und seien χn ∈ C0∞ (M ) mit χn Kn = 1 sowie supp χn ⊆ Kn+1 gegeben. Sei nun A : HKMS −→ HKMS eine [[λ]]-lineare Abbildung, welche mit allen Linksmultiplikationen vertauscht. Ist dann g ∈ C0∞ (M ), so gilt f¨ ur n groß genug g  χn = g = χn  g und somit



A(g) = A(g  χn ) = g  A(χn ). Ist nun k ≥ 1 so gilt χn  χn+k = χn , da supp χn ⊆ Kn+1 ⊆ Kn+k und χn+k auf Kn+k konstant 1 ist. Also folgt A(χn ) = A(χn  χn+k ) = χn  A(χn+k ) Mit χn Kn = 1 folgt daher A(χn ) Kn = A(χn+k ) Kn , so daß die Definition f K = A(χn ) K n

n

eine globale und wohl-definierte Funktion f ∈ C ∞ (M )[[λ]] liefert. Nun ist leicht zu sehen, daß A = Rf , was AL = AR zeigt. Die Gleichheit AR = AL folgt analog.   Ist M kompakt, so gilt 1 ∈ C0∞ (M )[[λ]] und das Argument f¨ ur den zweiten Teil wird trivial, da wir sofort A = RA(1) erhalten. In einem n¨ achsten Schritt wollen wir die Beziehung von AL und AR n¨aher betrachten, wobei wir uns an der operatoralgebraischen Tomita-TakesakiTheorie orientieren, siehe etwa [52, 182] und [158, Sect. V.2] sowie [304, Sect. II.3.2] f¨ ur eine Diskussion der Anwendungen in der algebraischen Quantenfeldtheorie und Thermodynamik. Wir verwenden die dort u ¨ blichen Bezeichnungen. Zun¨ achst definieren wir einen antilinearen Operator S : HKMS  f → f ∈ HKMS .

(7.124)

Man beachte, daß in einem allgemeinen GNS-Darstellungsraum die Abbildung ψa → ψa∗ keineswegs wohl-definiert ist, dazu m¨ ußte das Gel’fand-Ideal unter der ∗ -Involution invariant sein, w¨ are damit also ein ∗ -Ideal. Es stellt sich heraus, daß S bez¨ uglich ·, ·KMS einen adjungierten Operator F besitzt, wobei wir nun das Adjungieren im Sinne antilinearer Operatoren verstehen m¨ ussen. Eine leichte Rechnung zeigt   f, SgKMS = tr Exp(−βH)  Exp(−βH)  f  Exp(βH)  g ,

(7.125)

womit der zu S adjungierte Operator F durch F f = Exp(−βH)  f  Exp(βH)

(7.126)

534

7 Zust¨ ande und Darstellungen

gegeben ist. Es gilt also f, SgKMS = F f, gKMS .

(7.127)

Damit k¨ onnen wir den sogenannten modularen Operator Δ auf HKMS definieren, Δf = F Sf = Exp(−βH)  f  Exp(βH) = LExp(−βH) RExp(βH) (f ). (7.128) Da sowohl S als auch F antilinear sind, ist Δ wieder ein linearer Operator. Lemma 7.2.30. F¨ ur den modularen Operator Δ gilt: i.) Δ = Δ∗ ∈ B(HKMS ). ii.) F¨ ur alle z ∈ [[λ]] k¨onnen wir Δz durch



Δz = LExp(−βzH) RExp(βzH)

(7.129)

definieren, so daß Δ0 = id,

Δz Δw = Δz+w

(Δz )∗ = Δz .

und

(7.130)

iii.) Δ ∈ B(HKMS )++ . Beweis. Der erste Teil folgt einfach aus der Definition von Δ sowie (7.127), denn f, ΔgKMS = f, F SgKMS = Sf, SgKMS = F Sf, gKMS = Δf, gKMS . Der zweite Teil folgt sofort aus den Eigenschaften der Exponentialfunktion Exp sowie der Tatsache, daß Links- und Rechtsmultiplikationen vertauschen.   Damit ist auch der dritte Teil klar, da Δ = Δ1/2 Δ1/2 . Mit Hilfe des modularen Operators Δ k¨ onnen wir nun folgenden antilinearen Operator (7.131) Jf = SΔ−1/2 f = LExp(− β H) RExp( β H) f 2

2

definieren. Man nennt J die modulare Konjugation. Lemma 7.2.31. F¨ ur die Operatoren S, F , Δ und J gelten folgende Relationen: (7.132) S 2 = F 2 = J 2 = id, S = JΔ1/2 , 1/2

JΔ

(7.133)

−1/2

J =Δ ∗

J =J =J

−1

.

,

(7.134) (7.135)

Beweis. Der Nachweis ist bei allen Identit¨ aten eine einfache Rechnung mittels der expliziten Formeln. Man beachte, daß in (7.135) der adjungierte Operator von J wieder im Sinne von antilinearen Operatoren zu verstehen ist.  

7.2 Darstellungen und GNS-Konstruktion

535

Die Gleichung (7.133) l¨ aßt sich auch als Polarzerlegung des antilinearen Operators S in einen antiunit¨ aren Operator J und einen positiven Operator Δ1/2 verstehen. In der operatoralgebraischen Tomita-Takesaki-Theorie benutzt man nun den positiven Operator Δ, um die modulare Gruppe, also eine unit¨are Einparametergruppe, mit Hilfe des Spektralkalk¨ uls f¨ ur selbstadjungierte Operatoren it β durch Ut = Δ zu definieren. In unserem Zugang ist dies problematischer, da das Plancksche Wirkungsquantum aus Dimensionsgr¨ unden im Nenner des Exponenten steht, womit eine einfache Ersetzung  ↔ λ im Rahmen formaler Potenzreihen zun¨ achst unm¨ oglich ist. Um nun Ut dennoch interpretieren zu k¨ onnen, beachtet man, daß der Logarithmus ln Δ = −β ad(H) von Δ ein wohl-definierter Endomorphismus von HKMS ist. Dies erlaubt es, Ut als die L¨ osung der Differentialgleichung i i d Ut f = ln ΔUt f = − ad(H)Ut f dt λβ λ

(7.136)

zu suchen. Als Differentialgleichung ist (7.136) nun aber im Rahmen formaler Potenzreihen wohl-definiert, da λi ad(H) die u ¨bliche quasiinnere Derivation und (7.136) bis auf das Vorzeichen gerade die Heisenbergsche Bewegungsgleichung aus Abschnitt 6.3.4 ist. andigen Fluß, ist also das KMS-Funktional Besitzt nun H0 einen vollst¨ μKMS sogar ein dynamisches KMS-Funktional, so hat (7.136) nach Satz 6.3.30 eine eindeutige L¨ osung, n¨ amlich Ut = A−t , wobei At die Zeitentwicklung zu H ist. In diesem Fall nennen wir Ut entsprechend die modulare Gruppe. Das Vorzeichen erkl¨ art sich daraus, daß wir die Elemente in HKMS = C0∞ (M )[[λ]] nun als Zust¨ ande und nicht l¨ anger als Observablen interpretieren. Lemma 7.2.32. Ist μKMS sogar ein dynamisches KMS-Funktional und Ut die modulare Gruppe, so gilt: i.) Ut ist unit¨ar f¨ ur alle t ∈ . ur alle t, t ∈ . ii.) U0 = id und Ut Ut = Ut+t f¨ iii.) Ut Δz = Δz Ut f¨ ur alle t ∈ und z ∈ [[λ]].



Beweis. Der zweite Teil ist eine unmittelbare Konsequenz aus Satz 6.3.30. Der dritte Teil folgt damit auch, da Δ = e−β ad(H) mit der Zeitentwicklung zu λi ad(H) vertauscht, siehe auch (7.71). Wir m¨ ussen also nur zeigen, daß Ut bez¨ uglich ·, ·KMS unit¨ ar ist. Dies ist aber auch klar, denn

 Ut f, Ut gKMS = tr Exp(−βH)  Ut f  Ut g



 = tr Ut Exp(−βH)  f  g 

= tr Exp(−βH)  f  g = f, gKMS , da zum einen H invariant unter der Zeitentwicklung Ut ist und zum anderen die Spur invariant unter allen Zeitentwicklungen ist.  

536

7 Zust¨ ande und Darstellungen

Wir k¨ onnen nun das Analogon des Tomita-Takesaki-Theorems, siehe etwa [52, Sect. 2.5], f¨ ur symplektische Sternproduktalgebren formulieren: Satz 7.2.33 (Tomita-Takesaki-Theorem). Sei (M, ) eine symplektische Mannigfaltigkeit mit Hermiteschem Sternprodukt. Sei weiter H = H ∈ sowie μKMS das zugeh¨orige KMS-Funktional. Dann C ∞ (M )[[λ]] und β ∈ gilt: i.) Die modulare Konjugation J induziert einen bijektiven antilinearen ∗ Algebraisomorphismus AL  Lf → J Lf J = RExp(− β H)f Exp( β H) ∈ AR = AL , 2

(7.137)

2

womit AL antilinear ∗ -isomorph zur Kommutante AL wird. ii.) F¨ ur alle z ∈ [[λ]] liefert der modulare Operator Δ einen Automorphismus (7.138) AL  Lf → Δz Lf Δ−z ∈ AL .



iii.) Ist μKMS sogar ein dynamisches KMS-Funktional, so liefert die modulare ur alle t einen ∗ -Automorphismus Gruppe Ut f¨ AL  Lf → Ut Lf U−t ∈ AL .

(7.139)

Beweis. Zun¨ achst gilt J Lf JJ Lg J = J Lf Lg J = J Lf g J, sowie . / . / g, J Lf JhKMS = J ∗ g, Lf JhKMS = Lf Jg, Jh = J ∗ Lf Jg, h KMS KMS . / = J Lf Jg, h , KMS

womit (7.137) ein antilinearer Algebrahomomorphismus ist, welcher mit der -Involution vertr¨ aglich ist. Die Gleichung J Lf J = RExp(− β H)f Exp( β H) ist 2 2 schließlich eine einfache Rechnung mit Hilfe der expliziten Formeln f¨ ur J. ur den zweiten Damit ist J Lf J ∈ AR und (7.137) ist ein Isomorphismus. F¨ Teil benutzen wir die Eigenschaften der Exponentialfunktion ∗

Δz Lf Δ−z = LExp(−zβH) RExp(zβH) Lf LExp(zβH) RExp(−zβH) = LExp(−zβH) Lf LExp(zβH) ∈ AL , sowie die Tatsache, daß Rechts- und Linksmultiplikationen vertauschen. Insbesondere ist die Konjugation mit Δz sogar ein innerer Automorphismus von ur den dritten Teil bemerken wir, daß mit der AutomorphismuseigenAL . F¨ schaft von Ut bez¨ uglich  sogar die Gleichung Ut Lf U−t = LUt f ∈ AL gilt.   Bemerkung 7.2.34 (Tomita-Takesaki-Theorie). Was f¨ ur unsere Situation wie eine einfache algebraische Spielerei erscheint, ist in der operatoralgebraischen Situation ein h¨ ochst nichttriviales Theorem: dies beginnt damit, daß die Operatoren S, F und Δ im allgemeinen unbeschr¨ankt sind, womit der Spektralkalk¨ ul zur Definition von Δz und J herangezogen werden muß. Desweiteren

7.2 Darstellungen und GNS-Konstruktion

537

ist in den interessanten Situationen die Konjugation mit Δz ein ¨außerer Automorphismus, welcher dann eine wichtige Kenngr¨oße von AL darstellt. Wir sehen hiervon tats¨ achlich nur eine sehr einfache Version, siehe auch [311] sowie [52, 53, 84, 158, 304] f¨ ur die Anwendungen der echten“ Tomita-Takesaki” Theorie. Wir schließen unsere Betrachtungen mit einem Resultat, welches von der u ¨ blichen Situation [297] in (nichttrivialen) Quantentheorien im thermodynamischen Limes erheblich abweicht, siehe [311, Prop. 5.2]: Satz 7.2.35. Seien H, H  ∈ C ∞ (M )[[λ]] reellwertig und β, β  ∈ . Dann sind die GNS-Darstellungen zu den KMS-Funktionalen μKMS und μKMS bez¨ uglich ur f ∈ C0∞ (M )[[λ]] (H, β) und (H  , β  ) unit¨ar ¨aquivalent, wobei f¨ U f = RExp(− β H)Exp(− β H  ) f 2

(7.140)

2

  , πKMS ) ist. ein unit¨arer Intertwiner von (HKMS , πKMS ) zu (HKMS



 Beweis. Als [[λ]]-Modul gilt bereits HKMS = C0∞ (M )[[λ]] = HKMS und die  Darstellungen sind in beiden F¨ allen πKMS (f ) = Lf = πKMS (f ). Daher ist U ein bijektiver Intertwiner, da U als Rechtsmultiplikation mit allen Linksmultiplikationen vertauscht. Es bleibt also nur zu zeigen, daß U isometrisch und damit adjungierbar mit U ∗ = U −1 ist. Dies rechnet man aber leicht nach, denn es gilt

  U f, U gKMS = tr Exp(−β  H  )  U f  U g  β   β   H   Exp − H = tr Exp(−β  H  )  Exp 2 2  β   β     f  g  Exp − H  Exp H 2

2 = tr Exp(−βH)  f  g

= f, gKMS aufgrund der Spureigenschaften sowie der Rechenregeln f¨ ur Exp.

 

7.2.4 Deformation und klassischer Limes von ∗ -Darstellungen F¨ ur eine ∗ -Algebra A u ¨ ber C = R(i) ist es ohne weitere Detailinformation nahezu unm¨ oglich, etwas nichttriviales u ¨ ber ihre Darstellungstheorie ∗ -Rep(A) zu sagen: die Situation ist schlicht zu allgemein. Interessanter wird es, wenn wir zu einer ∗ -Algebra A eine Hermitesche Deformation A = (A[[λ]], ) be¨ trachten, welche wir nun als ∗ -Algebra u ¨ ber C[[λ]] = R[[λ]](i) auffassen. Uber die einzelnen Darstellungstheorien ∗ -Rep(A) beziehungsweise ∗ -Rep(A) l¨aßt sich typischerweise nach wie vor wenig sagen, wohl aber u ¨ ber die Beziehung von ∗ -Rep(A) und ∗ -Rep(A). Dies wollen wir nun diskutieren, wobei wir im wesentlichen [57, 312] folgen.

538

7 Zust¨ ande und Darstellungen





Zun¨ achst betrachten wir einen beliebigen Ring und einen -Modul M. Dann ist M[[λ]] in gewohnter Weise ein [[λ]]-Modul, und wir k¨onnen einen klassischen Limes als Abbildung



cl : M[[λ]] −→ M 

durch cl

∞ 

(7.141)

 r

λ mr

= m0

(7.142)

r=0

definieren, wobei wie immer mr ∈ M. Sei nun allgemeiner M ein beliebiger Modul u ¨ber [[λ]], der nicht notwendigerweise von der Form M[[λ]] ist. Dann

ist λM ⊂ M ein [[λ]]-Untermodul, womit der Quotientenmodul M λM ebenfalls ein [[λ]]-Modul wird. Es gilt offenbar f¨ ur alle m ∈ M und z =  ∞ r r=0 λ zr ∈ [[λ]] z[m] = [zm] = z0 [m]. (7.143)

Insbesondere wirken die positiven λ-Potenzen alle trivial auf M λM, womit der Quotientenmodul Torsion besitzt. In diesem Lichte betrachtet liefert die speziellere Situation M = M[[λ]] gerade

M λM ∼ (7.144) = M,

  



wobei der kanonische Isomorphismus durch > =∞  r λ mr = [m] → cl(m) = m0

(7.145)

r=0



gegeben ist. Daraus ersehen wir zwei Dinge: zum einen ist auch M ein [[λ]]Modul, bei dem alle positiven λ-Potenzen trivial wirken, zum anderen ist der Kern von cl gerade λM[[λ]]. Aufgrund der trivialen Identifikation (7.145) werden wir auch in der allgemeinen Situation die Quotientenabbildung M −→

M λM als klassischen Limes bezeichnen. Gleichung (7.143) liest sich dann als cl(zm) = cl(z)cl(m), (7.146)



was erneut zum Ausdruck bringt, daß cl ein Homomorphismus von [[λ]]Moduln ist. Sei nun A eine ∗ -Algebra u ¨ber C = R(i) und A = (A[[λ]], ) eine Hermitesche Deformation von A. Als Beispiel denken wir nat¨ urlich an A = C ∞ (M ) und ein Hermitesches Sternprodukt . In diesem Fall liefert der klassische Limes einen ∗ -Homomorphismus: Lemma 7.2.36. Sei A = (A[[λ]], ) eine Hermitesche Deformation einer ∗ Algebra A ¨ uber C = R(i). Dann ist der klassische Limes cl : A −→ A ein ∗ -Homomorphismus.

(7.147)

7.2 Darstellungen und GNS-Konstruktion

Beweis. at ist klar nach (7.146). Seien also a = ∞ Die C[[λ]]-Linearit¨ b = r=0 λr br ∈ A gegeben. Dann gilt

539

∞ r=0

λr ar ,

cl(a  b) = cl(a0 b0 + · · · ) = a0 b0 = cl(a)cl(b) und sowieso cl(a∗ ) = cl(a∗0 ) = a∗0 = cl(a)∗ .

 

Wir k¨ onnen im Rahmen einer formalen Deformationsquantisierung also immer vom klassischen Limes einer Quantenobservablen sprechen. Die Aussage des Lemmas ist dann eine Umformulierung der Ideen in (5.1), (5.2) und (5.3) aus Abschnitt 5.1.2. Wir wollen nun auch von anderen Gr¨ oßen den klassischen Limes bilden: f¨ ur positive Funktionale haben wir dies ja bereits in Abschnitt 7.1.5 diskutiert. Um nun eine Beziehung zwischen ∗ -Rep(A) und ∗ -Rep(A) herzustellen, wollen wir den klassischen Limes einer ∗ -Darstellung definieren. Es zeigt sich, daß der naive klassische Limes einer ∗ -Darstellung (H, π) von A im allgemeinen keine ∗ -Darstellung von A liefert: Zwar ist H λH ein A-Modul, was man leicht

sehen kann, aber auf H λH gibt es im allgemeinen kein nichtausgeartetes Cwertiges Skalarprodukt. Deshalb m¨ ussen wir unsere klassische Limesabbildung f¨ ur Pr¨ a-Hilbert-R¨ aume leicht modifizieren [57, Lemma 8.2]: Definition 7.2.37. Sei H ein Pr¨a-Hilbert-Raum u ¨ber C[[λ]]. Dann definiert man (7.148) H0 = {φ ∈ H | cl(φ, φ) = 0}. Lemma 7.2.38. Sei H ein Pr¨a-Hilbert-Raum ¨ uber C[[λ]]. Dann gilt: i.) H0 = {φ ∈ H | ∀ψ ∈ H : cl(ψ, φ) = 0} ist ein C[[λ]]-Untermodul von H. ii.) Es gilt λH ⊆ H0 .

iii.) Der Quotientenmodul cl(H) = H H0 wird durch cl(φ), cl(ψ) = cl(φ, ψ)

(7.149)

¨ zu einem Pr¨a-Hilbert-Raum u ¨ ber C, wobei cl(φ) ∈ cl(H) die Aquivalenzklasse von φ ∈ H bezeichnet. Beweis. F¨ ur den ersten Teil m¨ ussen wir offenbar nur noch die Inklusion ⊆ zeigen. Sei also φ ∈ H0 und ψ ∈ H gegeben und a=

∞  r=0

λr ar = φ, φ , b =

∞  r=0

λr br = φ, ψ und c =

∞ 

λr cr = ψ, ψ .

r=0

Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung φ, ψ ψ, φ ≤ φ, φ ψ, ψ in C[[λ]] folgt dann sofort b0 b0 ≤ a0 c0 . Da aber a0 = 0 nach Voraussetzung, folgt b0 = 0, was den ersten Teil zeigt. Der zweite Teil ist klar. F¨ ur den dritten Teil m¨ ussen wir zun¨ achst zeigen, daß (7.149) wohl-definiert ist. Dies ist mit dem ersten Teil aber klar. Weiter erf¨ ullt (7.149) die n¨otige C-Sesquilinearit¨at und es gilt cl(φ), cl(φ) = cl(φ, φ) ≥ 0. Schließlich ist (7.149) definitionsgem¨aß nichtausgeartet.  

540

7 Zust¨ ande und Darstellungen

Im allgemeinen ist H0 tats¨ achlich echt gr¨ oßer als λH, so daß der klassische Limes f¨ ur Pr¨ a-Hilbert-R¨ aume gem¨ aß Lemma 7.2.38 sich vom naiven klassischen Limes unterscheidet. Die Konstruktion des klassischen Limes cl(H) erweist sich als kompatibel mit adjungierbaren Abbildungen [57, Lemm 8.3]: Lemma 7.2.39. Seien Hi , i = 1, 2, 3, Pr¨a-Hilbert-R¨aume u ¨ber C[[λ]] und A ∈ B(H1 , H2 ) sowie B ∈ B(H2 , H3 ). Dann gilt: i.) A ((H1 )0 ) ⊆ (H2 )0 , womit cl(A) : cl(H1 ) −→ cl(H2 )

(7.150)

durch cl(A)cl(φ) = cl(Aφ) eine wohl-definierte C-lineare Abbildung ist. ii.) cl(A) ∈ B(cl(H1 ), cl(H2 )), und A → cl(A) ist C-linear. iii.) cl(A∗ ) = cl(A)∗ und cl(BA) = cl(B)cl(A). Beweis. F¨ ur den ersten Teil betrachten wir φ ∈ (H1 )0 und ψ ∈ H2 . Dann gilt nach Lemma 7.2.38, Teil i.) cl(ψ, Aφ2 ) = cl(A∗ ψ, φ1 ) = 0, also Aφ ∈ (H2 )0 . Damit ist die Wohl-Definiertheit von cl(A) sowie die Linearit¨ at von A → cl(A) ebenfalls klar. Den dritten Teil rechnet man nun leicht auf Repr¨ asentanten nach.   Bemerkung 7.2.40 (Klassischer Limesfunktor). Die Resultate der beiden Lemmas lassen sich nun auch so interpretieren, daß der klassische Limes einen Funktor cl : PreHilbert(C[[λ]]) −→ PreHilbert(C) (7.151) liefert. Beispiel 7.2.41 (Klassischer Limes von Pr¨a-Hilbert-R¨aumen). i.) Sei H ein Pr¨a-Hilbert-Raum u ¨ ber C. Dann k¨onnen wir das Skalarprodukt C[[λ]]-sesquilinear auf H = H[[λ]] fortsetzen, wie wir dies schon in Beispiel 7.1.12 gesehen haben, womit H zu einem Pr¨a-Hilbert-Raum u ¨ ber C[[λ]] wird. Dann gilt offenbar H0 = λH = λH[[λ]]

und

cl(H) ∼ =H

(7.152)

auf kanonische Weise. F¨ ur die adjungierbaren Operatoren A ∈ B(H1 , H2 ) mit H1 = H1 [[λ]] und H 2 = H2 [[λ]] erhalten wir aufgrund ihrer C[[λ]] ∞ Linearit¨ at zun¨ achst A = r=0 λr Ar mit gewissen C-linearen Abbildungen Ar ∈ HomC (H1 , H2 ). Man sieht nun sofort cl(A) = A0 , womit A0 ∈ B(H1 , H2 ). Da die Skalarprodukte von H1 und H2 in diesem Fall aber nur die trivialen Fortsetzungen sind, folgt auch A0 ∈ B(H1 , H2 ) und somit induktiv auch Ar ∈ B(H1 , H2 ). Insgesamt gilt daher auf kanonische Weise B(H1 , H2 ) ∼ (7.153) = B(H1 , H2 )[[λ]].

7.2 Darstellungen und GNS-Konstruktion

541

ii.) Wir betrachten erneut den formalen Bargmann-Fock-Raum HBF , siehe Definition 7.2.21. Ist nun φ ∈ HBF , so gilt  ∞   (2λ)|K| ∂ |K| φ ∂ |K| φ cl (φ, φ) = cl (0) (0) = cl(φ(0)φ(0)), K! ∂yK ∂y K K=0 (7.154) womit sofort folgt, daß cl(HBF ) via (7.155) cl(HBF )  cl(φ) → φ λ=0,y=0 ∈





kanonisch zu isomorph ist. Dieses Beispiel zeigt, daß es sehr wohl Pr¨aHilbert-R¨ aume H gibt, f¨ ur die der Untermodul H0 echt gr¨oßer ist als λH. Wir k¨ onnen nun auch von ∗ -Darstellungen den klassischen Limes bilden, wobei wir nicht einfach den Funktor modulo λ“ benutzen, sondern die etwas ” verfeinerte Version f¨ ur Pr¨ a-Hilbert-R¨ aume [57, Prop. 8.5]: Satz 7.2.42 (Klassischer Limes von ∗ -Darstellungen). Sei A eine ∗ Algebra u ¨ber C = R(i) mit einer Hermiteschen Deformation A = (A[[λ]], ), und seien (H, π), (H1 , π 1 ) und (H2 , π 2 ) ∗ -Darstellungen von A. Dann gilt: i.) Sei a ∈ A. Dann wird durch cl(π)(a) = cl(π(a))

(7.156)

eine ∗ -Darstellung cl(π) von A auf cl(H) definiert. ii.) Ist T ∈ B(H1 , H2 ) ein Intertwiner von (H1 , π 1 ) nach (H2 , π 2 ), so ist cl(T ) ein Intertwiner von (cl(H1 ), cl(π 1 )) nach (cl(H2 ), cl(π 2 )). iii.) Ist (H, π) stark nichtausgeartet, so ist auch (cl(H), cl(π)) stark nichtausgeartet. iv.) Der klassische Limes ist funktoriell cl : ∗ -rep(A) −→ ∗ -rep(A)

(7.157)

und liefert einen Funktor cl : ∗ -Rep(A) −→ ∗ -Rep(A)

(7.158)

Beweis. Zun¨ achst wissen wir cl(π)(a) ∈ B(cl(H)) nach Lemma 7.2.39, Teil ii.). Nach Lemma 7.2.39, Teil iii.) ist a → cl(π)(a) ein ∗ -Homomorphismus, da ja π eine ∗ -Darstellung von A ist und cl(a  b) = ab. Dies zeigt den ersten Teil. Da T ein Intertwiner ist, gilt zun¨ achst cl(T ) ∈ B(cl(H1 ), cl(H2 )) und cl(T )cl(π)(a) = cl(T )cl(π(a)) = cl(T π(a)) = cl(π(a)T ) = cl(π(a))cl(T ) = cl(π)(a)cl(T ),

542

7 Zust¨ ande und Darstellungen

womit cl(T ) tats¨ achlich ein Intertwiner ist. F¨ ur den dritten Teil betrachten wir φ ∈ H. Dann gibt es a1 , . . . , an ∈ A und ψ 1 , . . . , ψ n ∈ H mit φ = π(a1 )ψ 1 + · · · + π(an )ψ n , da π stark nichtausgeartet ist. Das Bilden des klassischen Limes hiervon liefert den dritten Teil. Der vierte Teil ist klar.   Bemerkung 7.2.43 (Deformation von ∗ -Darstellungen). Da wir von einer ∗ Darstellung von A immer einen klassischen Limes bilden k¨onnen, stellt sich also die Frage, ob auch umgekehrt jede ∗ -Darstellung von A so erhalten werden kann. Wir wollen also zu einer gegebenen ∗ -Darstellung (H, π) ∈ ∗ -Rep(A) von A eine Deformation (H, π) ∈ ∗ -Rep(A) finden, so daß deren klassischer Limes zu (H, π) unit¨ ar ¨ aquivalent ist. Man kann das Problem sogar noch weiter versch¨ arfen, indem man fordert, daß sogar H = H[[λ]] gelten soll. Hier kann man jedoch leicht Gegenbeispiele angeben, wo diese restriktivere Forderung nicht zu erf¨ ullen ist, sich das Deformationsproblem aber sehr wohl mit einem anderen Pr¨ a-Hilbert-Raum H l¨ osen l¨ aßt, siehe etwa [312, Lemma 1]. Die Frage nach der Deformierbarkeit allgemeinerer Moduln (ohne Skalarprodukte) f¨ ur Sternproduktalgebren wurde von Bordemann im Zusammenhang mit einer Quantisierung der Phasenraumreduktion im Detail diskutiert, siehe [35] sowie die Arbeiten von Cattaneo und Felder [76, 77]. Wir schließen unsere allgemeine Diskussion nun mit einer Betrachtung von spezielleren ∗ -Darstellungen, den GNS-Darstellungen [312, Thm. 1]: Satz 7.2.44 (Klassischer Limes einer GNS-Darstellung). Sei A = uber C = R(i) und (A[[λ]], ) eine Hermitesche Deformation einer ∗ -Algebra A ¨ ω : A −→ C[[λ]] ein positives Funktional mit klassischem Limes ω0 = cl(ω). Dann ist der klassische Limes (cl(Hω ), cl(π ω )) der GNS-Darstellung von A zu ω auf kanonische Weise zur GNS-Darstellung (Hω0 , πω0 ) von A zu ω0 mittels des Intertwiners U : cl(Hω )  cl(ψ a ) → ψcl(a) ∈ Hω0

(7.159)

unit¨ar ¨ aquivalent, wobei a ∈ A. Beweis. Wir m¨ ussen zun¨ achst zeigen, daß U wohl-definiert ist. Sei also b ∈ J ω im Gel’fand-Ideal. Dann gilt mit ω(b∗ b) = 0 entsprechend auch ω0 (b∗0 b0 ) = 0. Damit folgt aber ψcl(b) = 0 und U ist wohl-definiert. Die Linearit¨at von U ist klar, ebenso die Surjektivit¨ at, da cl : A −→ A surjektiv ist. Weiter gilt & % ψcl(a) , ψcl(b) ω0 = ω0 (cl(a)∗ cl(b)) = cl (ω(a∗  b)) = cl (ψ a , ψ b ω ) = cl (ψ a ) , cl (ψ b )cl(Hω ) . Also ist U isometrisch und damit insgesamt unit¨ar. Schließlich ist U ein Intertwiner, denn U cl(π ω )(a)cl(ψ b ) = U cl (π ω (a)ψ b ) = U cl (ψ ab ) = ψcl(ab) = ψa cl(b) = πω0 (a)ψcl(b) = πω0 (a)U cl (ψ b ) .  

7.2 Darstellungen und GNS-Konstruktion

543

Bemerkung 7.2.45. Zur Vorsicht sei gesagt, daß die Beziehung der beiden Gel’fand Ideale Jω und Jω0 im allgemeinen sehr kompliziert ist. Es gilt im allgemeinen keineswegs Jω ∼ = Jω0 [[λ]]. Typischerweise ist Jω echt kleiner, da oheren Ordnungen zus¨atzliche Bedingungen die Bedingung ω(a∗  a) = 0 in h¨ zu ω0 (a∗0 a0 ) = 0 liefern kann. Der Satz l¨ aßt sich nun dazu benutzen, das in Bemerkung 7.2.43 angesprochene Deformationsproblem zumindest in gewissen F¨allen zu l¨osen [312, Prop. 1]: Proposition 7.2.46. Sei A = (A[[λ]], ) eine positive Deformation einer ∗ Algebra A mit Einselement u ¨ber C = R(i). Dann besitzt jede ∗ -Darstellung (H, π) von A, welche als direkte Summe von zyklischen ∗ -Darstellungen geschrieben werden kann, eine Deformation (H, π) in eine ∗ -Darstellung von A. Beweis. Da der Funktor cl offenbar mit direkten Summen von ∗ -Darstellungen vertr¨ aglich ist, gen¨ ugt es, eine zyklische ∗ -Darstellung zu betrachten. Diese ist nach Satz 7.2.16 aber unit¨ ar ¨ aquivalent zu einer GNS-Darstellung bez¨ uglich eines positiven Funktionals ω0 von A. Nach Voraussetzung existiert nun eine Deformation ω von ω0 , und die GNS-Darstellung von A zu ω liefert die gew¨ unschte ∗ -Darstellung.   Zum Abschluß kommen wir nun zu den bekannten drei Beispielen aus der Deformationsquantisierung. Hier ist vor allem die formale Bargmann-FockDarstellung interessant [312]: Beispiel 7.2.47 (Klassischer Limes der Bargmann-Fock-Darstellung). Wie bereits in Beispiel 7.2.41, Teil ii.) gezeigt, gilt cl(HBF ) ∼ = , versehen mit dem kanonischen Skalarprodukt z, w = zw. Der klassische Limes der Darstellung Wick ist dann f¨ ur f ∈ C ∞ ( n ) einfach durch





cl(Wick )(f ) = f (0) id

(7.160)

gegeben. Hier sieht man sehr gut, daß der klassische Limes im allgemeinen sehr viel Information verliert. Man sieht so auch, daß das Gel’fand-Ideal des δ-Funktionals im deformierten Kontext echt kleiner sein kann als das klassische Gel’fand-Ideal. Beispiel 7.2.48 (Klassischer Limes der Schr¨odinger-Darstellung Weyl ). F¨ ur das Schr¨ odinger-Funktional ω = ω0 erhalten wir klassisch Jω0 = {f ∈ C0∞ (Q) | ι∗ f = 0},

(7.161)

und die klassische GNS-Darstellung ist einfach die Multiplikation mit ι∗ f auf C0∞ (Q), versehen mit der Pr¨ a-Hilbert-Raumstruktur (2.222). Hier gilt nun tats¨ achlich Jω ∼ = Jω0 [[λ]] als Untermoduln von C0∞ (Q)[[λ]], da der NeumaierOperator N gerade einen solchen Isomorphismus liefert.

544

7 Zust¨ ande und Darstellungen

Beispiel 7.2.49 (Klassischer Limes einer KMS-Darstellung). F¨ ur ein KMSFunktional μKMS wie in Abschnitt 7.1.4 gilt schließlich klassisch wie auch in der Deformationsquantisierung, daß cl(μKMS ) und μKMS treue Funktionale sind. Daher sind beide GNS-Darstellungen durch Linksmultiplikationen gegeben. Man beachte jedoch, daß der Pr¨ a-Hilbert-Raum HKMS = C0∞ (M )[[λ]] zwar als [[λ]]-Modul zu cl(HKMS )[[λ]] isomorph ist, das Skalarprodukt aber im allgemeinen nichttrivial von λ abh¨ angt.



7.3 Aufgaben



Aufgabe 7.1 (Formale Laurent-Reihen). Betrachten Sie einen K¨orper sowie die formalen Potenzreihen [[λ]]. ∞ i.) Zeigen Sie mit Hilfe der geometrischen Reihe, daß a = k=0 λr ar ∈ [[λ]] genau dann invertierbar ist, wenn a0 = 0. ii.) Zeigen Sie, daß die formalen Laurent-Reihen ((λ)) einen K¨orper bilden. Hinweis: Schwierig ist allein zu zeigen, daß jedes Element a ∈ ((λ)) \ {0} invertierbar ist. Schreiben Sie hierzu a als ein Produkt a = λk b mit geeignetem k ∈ und diskutieren Sie die Invertierbarkeit von b. iii.) Zeigen Sie zun¨ achst, daß die formalen Potenzreihen [[λ]] nullteilerfrei sind. Damit existiert also der Quotientenk¨orper von [[λ]]. Zeigen Sie nun, daß ((λ)) auf kanonische Weise zum Quotientenk¨orper von [[λ]] isomorph ist. orper. Zeigen Sie, daß dann auch ((λ)) iv.) Sei nun sogar ein geordneter K¨ auf kanonische Weise geordnet ist (wie?) und die Inklusion ⊆ ((λ)) ordnungserhaltend ist. v.) Ist ((λ)) Archimedisch geordnet?











 







  



Aufgabe 7.2 (Hochschild-Kohomologie einer ∗ -Algebra). Sei (A, μ) eine ∗ -Algebra u ur φ ∈ C n (A) ¨ ber C = R(i) mit einem geordneten Ring R. F¨ und a1 , . . . , an ∈ A definiert man φ∗ (a1 , . . . , an ) = (φ(a∗n , . . . , a∗1 ))∗ .

(7.162)

Eine Hochschild-Kokette φ heißt Hermitesch, falls φ∗ = φ, und entsprechend Anti-Hermitesch, falls φ∗ = −φ, siehe auch [55]. i.) Interpretieren Sie die (Anti-) Hermitizit¨ at von φ ∈ C n (A) f¨ ur n = 0, 1. ∗ n ii.) Zeigen Sie φ ∈ C (A). Zeigen Sie weiter, daß φ → φ∗ involutiv und C-antilinear ist. iii.) Zeigen Sie f¨ ur φ, ψ ∈ C • (A) durch eine explizite Rechnung (φ ◦ ψ)∗ = (−1)deg ψ deg φ φ∗ ◦ ψ ∗ . iv.) Zeigen Sie μ∗ = μ, und berechnen Sie so (δφ)∗ .

(7.163)

7.3 Aufgaben

545

v.) Zeigen Sie, daß δφ f¨ ur Hermitesches beziehungsweise Anti-Hermitesches φ ∈ C n (A) wieder Hermitesch beziehungsweise Anti-Hermitesch ist, je nach dem ob n ungerade oder gerade ist. Definieren Sie damit die nte Hermitesche Hochschild-Kohomologie HHnherm (A) als die Hermiteschen Hochschild-Kozykeln in C n (A) modulo der Kor¨ander der Form δψ mit ψ = ψ ∗ , falls n gerade, beziehungsweise ψ = −ψ ∗ , falls n ungerade ist. vi.) Nehmen Sie nun an, daß 12 ∈ R. Zeigen Sie dann, daß sich φ ∈ C n (A) eindeutig in einen Hermiteschen und einen Anti-Hermiteschen Teil zerlegen l¨ aßt und daß diese Zerlegung einen kanonischen R-linearen Isomorphismus HH• (A) ∼ = HH•herm (A) ⊕ iHH•herm (A)

(7.164)

liefert. vii.) Formulieren und beweisen Sie das Analogon zu Satz 6.2.19 f¨ ur die Situation einer Hermiteschen Deformation. Aufgabe 7.3 (Unsch¨ arferelationen). Sei A eine ∗ -Algebra mit Eins u ¨ ber C = R(i) mit einem geordneten Ring R und ω : A C ein Zustand, also ein normiertes positives lineares Funktional auf A. Zeigen Sie die Unsch¨arferelation (7.165) 4 Varω (a) Varω (b) ≥ ω([a, b])ω([a, b]), f¨ ur alle Hermiteschen a, b ∈ A. Aufgabe 7.4 (Positive Matrizen). Sei R ein geordneter Ring und C = R(i) mit i2 = −1. Die Matrizen Mn (C) seien mit der u ¨ blichen ∗ -Algebrastruktur versehen. Weiter bezeichne e1 , . . . , en die kanonische Basis von Cn und ·, · onnen also Mn (C) mit B(C) idendas kanonische Skalarprodukt auf Cn . Wir k¨ tifizieren. i.) Zeigen Sie, daß jedes lineare Funktional ω : Mn (C) −→ C als ω(A) = tr(A) mit einer eindeutig bestimmten Matrix  ∈ Mn (C) geschrieben werden kann. Zeigen Sie, daß ω genau dann reell ist, wenn  = ∗ . Zeigen Sie weiter, daß ω genau dann positiv ist, wenn v, v ≥ 0 f¨ ur alle v ∈ Cn . Matrizen mit dieser Eigenschaft nennt man Dichtematrizen. ˆ der Quotientenk¨ ii.) Sei C orper von C. Zeigen Sie, daß  ∈ Mn (C) genau dann ˆ eine Dichtematrix ist. eine Dichtematrix ist, wenn  ∈ Mn (C) ˆ Hinweis: Benutzen Sie die ordnungserhaltende Einbettung R ⊆ R. iii.) Zeigen Sie, daß eine Hermitesche Matrix A ∈ Mn (C) genau dann positiv ist, wenn A eine Dichtematrix ist. ˆ Hinweis: Benutzen Sie folgendes Ergebnis [178, Thm. 6.19]:  ∈ Mn (C) ˆ mit pi ≥ 0 und eine Basis ist genau dann eine Dichtematrix, wenn es pi ∈ R ˆ n mit vi , vj  = pi δij gibt. Hierf¨ ˆ v1 , . . . , vn von C ur ist entscheidend, daß C ++ ˆ ein K¨orper ist. Zeigen Sie damit, daß  ∈ Mn (C) f¨ ur eine Dichtematrix  ∈ Mn (C). Benutzen Sie nun die Spureigenschaft. iv.) Folgern Sie, daß tr(AB) ≥ 0 f¨ ur A, B ∈ Mn (C)+ .

546

7 Zust¨ ande und Darstellungen

ˆ ++ gilt. v.) Zeigen Sie weiter, daß f¨ ur A ∈ Mn (C)+ sogar A ∈ Mn (C) Literatur: [57, App. A] Aufgabe 7.5 (Vollst¨ andig positive Abbildungen). Betrachten Sie eine -Algebra A u ¨ ber C = R(i) mit einem geordneten Ring R.

∗

i.) Zeigen Sie, daß auch die A-wertigen Matrizen Mn (A) eine ∗ -Algebra u ¨ ber C bilden, indem man die u bliche Multiplikation von Matrizen benutzt und ¨ (aij )∗ = (a∗ji ) setzt. ii.) Sei B eine weitere ∗ -Algebra u ¨ber C. Zeigen Sie, daß dann deren Tensorprodukt A ⊗C B ebenfalls eine ∗ -Algebra ist. Zeigen Sie weiter, daß auf kanonische Weise A ⊗C Mn (C) ∼ = Mn (A) gilt. iii.) Betrachten Sie nun die Spur tr : Mn (A) −→ A und zeigen Sie, daß tr vollst¨ andig positiv ist. Hinweis: Zeigen Sie zun¨ achst tr(A∗ A) ∈ A++ f¨ ur alle A ∈ Mn (A). Wie k¨ onnen Sie dann auf die vollst¨ andige Positivit¨at schließen? iv.)  Zeigen Sie analog, daß auch die Abbildung τ : Mn (A) −→ A mit τ (A) = andig positiv ist. i,j aij vollst¨ ¨ ¨ Betrachten Sie eine ∗ Aufgabe 7.6 (Aquivalenz und ∗ -Aquivalenz). Algebra A u ¨ ber C = R(i), wobei ⊆ R gelte. Seien weiter  und  zwei Hermitesche Deformationen von A. Zeigen Sie, daß diese genau dann ¨aquivalent sind, wenn sie ∗ -¨aquivalent sind. Anleitung nach [58, Cor. 4]: Offenbar ist nur eine Richtung nichttrivial. ¨ Sei S eine Aquivalenz, also S(ab) = Sa Sb. Dann definiert a† = S −1 ((Sa)∗ ) ∗ eine -Involution ur  und es gilt a† = T a∗ mit einer C-linearen Abbildung ∞ r f¨ T = id + r=1 λ Tr . Benutzen Sie nun Proposition 6.2.7 und zeigen Sie, daß ¨ ST 1/2 die gew¨ unschte ∗ -Aquivalenz ist.



Aufgabe 7.7 (Positive Funktionale und Deformationen). Betrachten Sie die formalen Potenzreihen A = [[z, z]] in zwei Variablen z und z.



i.) Zeigen Sie, daß A eine kommutative komplexe ∗ -Algebra bez¨ uglich der u ¨ blichen Multiplikation von formalen Potenzreihen und z ∗ = z wird. ur a = ii.)  Zeigen Sie, daß das δ-Funktional bei z = 0, also δ(a) = a00 f¨ k  k, ak z z ein positives Funktional von A ist.



Betrachten Sie nun ein positives lineares Funktional ω : A −→ , wobei etwas anderes als -Linearit¨ at offenbar nicht sinnvoll ist. Sei k ≥ 1, und setzen Sie c = ω(z k ). Sei weiter H = zz.



iii.) Zeigen Sie mit Hilfe der Cauchy-Schwartz-Ungleichung cc ≤ ω(H k ) und

k 2n  2n k 2n f¨ ur alle n. durch Induktion (cc) ≤ ω(H ) ≤ ω (H ) iv.) Nehmen Sie nun an, daß c = 0 und betrachten Sie folgende Algebraelemente N  1 k 2n aN = ∈A (7.166) H (cc)2n n=0

7.3 Aufgaben



v.) vi.) vii.)

viii.)

547



f¨ ur N ∈ 0 ∪ {+∞}. Betrachten Sie nun N ∈ 0 , und zerlegen Sie a∞ = aN + bN . Zeigen Sie, daß aN ∈ A++ und bN sich als ein Quadrat eines Hermiteschen Elements cN schreiben l¨aßt. Somit ist also a∞ ∈ A++ positiv. Folgern Sie nun ω(a∞ ) ≥ N f¨ ur alle N und schließen Sie aus diesem ur alle k ≥ 1. Widerspruch zun¨ achst ω(H k ) = 0 = ω(H) sowie ω(z k ) = 0 f¨ Folgern Sie nun mit Hilfe der Cauchy-Schwartz-Ungleichung ω(z k z  ) = 0 f¨ ur alle k + ≥ 1. Sei nun a ∈ A ein beliebiges Algebraelement mit δ(a) = 0. Schreiben Sie a = zb + zc mit gewissen b, c ∈ A und zeigen Sie mit Hilfe der CauchySchwartz-Ungleichung, daß ω(a) = 0 gilt. Folgern Sie, daß δ der einzige Zustand der Algebra A ist.

Betrachten Sie nun A[[λ]] als ∗ -Algebra u ¨ ber len Wick-Sternprodukt Wick .

[[λ]], versehen mit dem forma-

¨ ix.) Uberlegen Sie sich, daß Wick auf A[[λ]] tats¨achlich wohl-definiert ist und eine Hermitesche Deformation liefert. x.) Zeigen Sie, daß Wick eine positive Deformation ist und bestimmen Sie die GNS-Darstellung zum Funktional δ. xi.) Zeigen Sie, daß diese Darstellung treu ist, und folgern Sie, daß die Algebra ande besitzt, in dem Sinne, daß es f¨ ur jedes (A[[λ]], Wick ) viele“ Zust¨ ” Hermitesche Element a = a∗ = 0 einen Zustand ω mit ω(a) = 0 gibt. Aufgabe 7.8 (Eine positive Deformation). Den konzeptionellen Rahmen f¨ ur die Positivit¨ at des Wick-Sternprodukts erh¨alt man aus folgender allgemei¨ nen Uberlegung [55]: Sei (A, μ0 ) eine ∗ -Algebra u ¨ber C = R(i) mit einem geordneten Ring R, so daß ⊆ R. Seien weiter D1 , . . . , Dn ∈ Der(A).



i.) Zeigen Sie, daß Dk∗ ∈ Der(A) unter Benutzung von Aufgabe 7.2. Nehmen Sie nun an, daß alle Derivationen Dk und D∗ untereinander vertauschen und betrachten Sie die formale Deformation μ = μ0 ◦ eλ

Pn k=1

∗ Dk ⊗Dk

(7.167)

von μ0 , welche nach Satz 6.2.37 assoziativ ist. ii.) Zeigen Sie, daß μ eine Hermitesche Deformation von μ0 ist. iii.) Berechnen Sie μ(a∗ ⊗ a) f¨ ur a ∈ A explizit und folgern Sie so, daß μ eine utzlich. positive Deformation von μ0 ist. Hier ist Proposition 7.1.51 n¨ iv.) Zeigen Sie, daß μ sogar eine vollst¨ andig positive Deformation ist. Aufgabe 7.9 (Der Kern einer ∗ -Darstellung). Betrachten Sie eine ∗ Algebra A mit Eins u ¨ber C = R(i), wobei R ein geordneter Ring sei.



i.) Sei ω : A −→ C ein positives lineares Funktional mit GNS-Darstellung πω . Zeigen Sie

548

7 Zust¨ ande und Darstellungen

ker πω =

?

?

Jωb =

b∈A

ker ωb ,

(7.168)

b∈A

wobei ωb das positive lineare Funktional wie in (7.36) und Jωb das Gel’fand-Ideal von ωb bezeichnet. Hinweis: Zeigen Sie f¨ ur die zweite Gleichung zuerst, daß a ∈ ker ωb f¨ ur alle b impliziert, daß ω(c∗ ab) = 0 f¨ ur alle b, c, indem Sie geeignet polarisieren. ii.) Zeigen Sie ker πω ⊆ Jω ⊆ ker ω. Hier ben¨otigen Sie das Einselement von A. iii.) Sei nun (H, π) eine beliebige ∗ -Darstellung und ωψ das positive lineare Funktional aus (7.83) f¨ ur ψ ∈ H. Zeigen Sie ? ? ? ker πωψ = Jωψ = ker ωψ . (7.169) ker π = ψ∈H

ψ∈H

ψ∈H

Hinweis: Benutzen Sie erneut eine geeignete Polarisierung. Literatur: [56].



Aufgabe 7.10 (Das minimale Ideal). Sei A eine ∗ -Algebra mit Eins u ¨ ber C = R(i), wobei R ein geordneter Ring sei. Ein ∗ -Ideal J ⊆ A heißt abgeschlossen, falls es eine ∗ -Darstellung (H, π) von A mit ker π = J gibt. 5 i.) Zeigen Sie, daß der beliebige Durchschnitt ι∈I Jι von abgeschlossenen ∗ -Idealen wieder abgeschlossen ist. Insbesondere ist der Durchschnitt Jmin (A) aller abgeschlossenen ∗ -Ideale wieder abgeschlossen. Man nennt Jmin (A) das minimale Ideal von A. Hinweis: Betrachten Sie die direkte Summe von ∗ -Darstellungen. ii.) Benutzen Sie Aufgabe 7.9, und zeigen Sie ? ? ? ker πω = Jω = ker ω, (7.170) Jmin (A) = ω

iii.) iv.) v.) vi.)

vii.) viii.)

ω

ω

wobei die Durchschnitte u ¨ ber alle positiven linearen Funktionale von A laufen. Bestimmen Sie das minimale Ideal von B(H). Sei B eine weitere ∗ -Algebra mit Eins und Φ : A −→ B ein ∗ -Homomorphismus (mit Φ( A ) = B ). Zeigen Sie, daß Φ(Jmin (A)) ⊆ Jmin (B). Zeigen Sie, daß A genau dann eine treue ∗ -Darstellung besitzt, wenn Jmin (A) = {0} gilt. Zeigen Sie, daß A genau dann eine treue ∗ -Darstellung besitzt, wenn es zu jedem von Null verschiedenen Hemiteschen Element a = a∗ = 0 ein positives lineares Funktional ω mit ω(a) = 0 gibt. Sei a ∈ A ein Element mit a∗ a = 0. Zeigen Sie a ∈ Jmin (A). Sei a ein normales Element mit ak = 0 f¨ ur ein k ∈ . Zeigen Sie a ∈ Jmin (A).







7.3 Aufgaben

549

ix.) Betrachten Sie die ∗ -Algebra B = A Jmin (A). Zeigen Sie, daß Jmin (B) = {0}. Zeigen Sie weiter, daß A und B die gleiche Darstellungstheorie besitzen, also die Kategorien ∗ -Rep(A) und ∗ -Rep(B) ¨aquivalent sind. Hinweis: Betrachten Sie den kanonischen ∗ -Homomorphismus pr : A −→ B und transportieren Sie damit ∗ -Darstellungen. x.) Interpretieren Sie diese Ergebnisse physikalisch. Welche Anforderungen an eine Observablenalgebra sollte man stellen, und welche Observablen“ ” sind durch physikalische Messungen u ¨berhaupt beobachtbar? Literatur: [56], in [288] werden ∗ -Algebren u ¨ ber halbeinfach genannt.

 mit

Jmin (A) = {0} ∗ -

Aufgabe 7.11 (Indefinite GNS-Konstruktion). Betrachten Sie erneut eine ∗ -Algebra A u ¨ ber C = R(i). Betrachten Sie ein lineares Funktional ω : A −→ C mit der Eigenschaft ω(a∗ b) = ω(b∗ a). ur alle b genau dann gilt, wenn i.) Zeigen Sie f¨ ur a ∈ A, daß ω(b∗ a) = 0 f¨ ω(a∗ b) = 0 f¨ ur alle b. Die Menge der Elemente a mit dieser Eigenschaft bezeichnet man mit Jω . ii.) Zeigen Sie, daß Jω ein Linksideal in A ist.

ur ψa , ψb ∈ Hω = A Jω iii.) Zeigen Sie, daß die Definition ψa , ψb ω = ω(a∗ b) f¨ ¨ wohl-definiert ist, wobei ψa die Aquivalenzklasse von a bezeichnet. iv.) Zeigen Sie, daß ·, ·ω linear im zweiten Argument ist und ψa , ψb ω = ψb , ψa  sowie ψa , ψa  ∈ R erf¨ ullt. Zeigen Sie weiter, daß ·, ·ω nichtausgeartet ist. In diesem Sinne ist Hω ein pseudo Pr¨a-Hilbert-Raum. v.) Zeigen Sie analog zu Lemma 7.1.14, daß die bez¨ uglich ·, ·ω adjungierbaren Operatoren B(Hω ) auf Hω eine ∗ -Algebra mit Einselement bilden. vi.) Zeigen Sie, daß die induzierte A-Linksmodulstruktur, welche wir mit πω (a)ψb = ψab bezeichnen, einen ∗ -Homomorphismus πω : A −→ B(Hω ) liefert.

A Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten

In diesem Anhang stellen wir einige technischere Aspekte der Differentialgeometrie zusammen, welche oft nur unzureichend in den Lehrb¨ uchern zu finden sind. Da f¨ ur die Deformationsquantisierung Multidifferentialoperatoren von entscheidender Bedeutung sind, wollen wir hier insbesondere einen algebraischen Zugang vorstellen, welcher in vielerlei Hinsicht dem schnelleren Zugang aus Definition 5.4.3 u ¨ berlegen ist.

A.1 Zerlegungen der Eins ¨ Wir beginnen mit einigen elementaren differentialtopologischen Uberlegungen, welche die Rolle des zweiten Abz¨ ahlbarkeitsaxioms illustrieren. F¨ ur eine weitergehende Diskussion sei auf [54] verwiesen. Lemma A.1.1. Sei M eine Mannigfaltigkeit. Dann gibt es abz¨ahlbar viele Punkte pn ∈ M mit entsprechenden, um pn zentrierten, lokalen Karten (Un , xn ), so daß B2 (0)cl ⊆ xn (Un ) und daß die offenen B¨alle x−1 n (B1 (0)) um uberdecken. pn ganz M ¨ Beweis. Zun¨ achst w¨ ahlen wir eine abz¨ ahlbare Basis On der Topologie von M , so daß also jede offene Teilmenge eine geeignete Vereinigung dieser On ist. Weiter w¨ ahlen wir um jeden Punkt p ∈ M eine zentrierte Karte (Up , xp ) mit der Eigenschaft, daß die abgeschlossene Kugel B2 (0)cl noch im Bildbereich xp (Up ) der Karte enthalten ist. Sei nun k ∈ . Dann gibt es ohne Einschr¨ankung mindestens einen Punkt p ∈ M mit Ok ⊆ x−1 are n¨amlich Ok in keiner p (B1 (0)): W¨ dieser offenen Kugeln enthalten, so w¨ are jede Kugel x−1 1 (0)) eine geeignete p (B Vereinigung der u ¨ brigen On mit n = k und daher M = n=k On , da ja die Kugeln x−1 ¨berdecken. Ein solches p (B1 (0)) zusammen trivialerweise ganz M u Ok k¨ onnten wir daher aus der obigen Liste der On streichen. Durch die Wahl der pk erreichen wir also, daß Ok ⊆ x−1 pk (B1 (0)) und somit insgesamt  Punkte −1 x (B (0)) = M .   1 k pk



552

A Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten

Das folgende Lemma zeigt, daß wir selbst eine nichtkompakte Mannigfaltigkeit durch kompakte Teilmengen aussch¨ opfen k¨onnen, siehe auch Abbildung A.1: Lemma A.1.2. Sei M eine Mannigfaltigkeit. Dann gibt es eine Folge von ˚n+1 f¨ ur alle n und Kompakta Kn ⊆ M mit den Eigenschaften, daß Kn ⊆ K  M = n Kn . Beweis. Wir w¨ ahlen gem¨ aß Lemma A.1.1 abz¨ahlbar viele Punkte pn ∈ M mit den entsprechenden Karten (Un , xn ), so daß B2 (0)cl ⊆ xn (Un ) noch im Bildbereich der Karte enthalten ist und die offenen Kugeln x−1 n (B1 (0)) ganz cl M u ¨berdecken. Dann u ¨berdecken die kompakten Kugeln x−1 n (B2−" (0) ) = −1 cl (xn (B2−" (0))) erst recht ganz M , sofern 0 <  < 1. Damit ist Kn =

n 

 cl 1 (0) B x−1 2− n k

k=1

 

aber eine Folge von Kompakta mit der gew¨ unschten Eigenschaft.

... K3 K 2

K1

M

Abb. A.1. Eine aussch¨ opfende Folge von Kompakta

Die Eigenschaft eines topologischen Raumes, abz¨ahlbare Vereinigung kompakter Teilmengen zu sein, nennt man auch σ-Kompaktheit. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind also Dank des zweiten Abz¨ahlbarkeitsaxioms immer σ-kompakt. Ist M selbst kompakt, so werden Lemma A.1.1 und Lemma A.1.2 trivial. Wir kommen nun zum zentralen Begriff dieses Abschnitts: Definition A.1.3 (Zerlegung der Eins). Eine Familie {χα }α∈I von glatten k ∈ , wenn Funktionen χα ∈ C ∞ (M ) heißt Zerlegung der Eins der Ordnung jeder Punkt p eine offene Umgebung Up besitzt, so daß χα = 0 f¨ ur alle bis



auf h¨ochstens endlich viele α ∈ I und  χkα = 1 α∈I

Up

(A.1)

A.1 Zerlegungen der Eins

553

¨ gilt. Ist {Oβ }β∈J eine offene Uberdeckung von M , so heißt eine Zerlegung ¨ der Eins {χα }α∈I der Uberdeckung {Oβ }β∈J untergeordnet, falls es f¨ ur jedes α ∈ I ein β ∈ J mit (A.2) supp χα ⊆ Oβ gibt. Eine Zerlegung der Eins der Ordnung k = 1 heißt auch einfach Zerlegung der Eins. Manchmal sind jedoch auch Zerlegungen der Eins h¨oherer Ordnung wie etwa quadratische Zerlegungen der Eins von Interesse. Da in der Definition die lokale Endlichkeit der Tr¨ ager gefordert wird, ist die Gleichung (A.1) auch bei beliebiger Indexmenge unproblematisch. Wir werden gelegentlich mit einigem Notationsmißbrauch die beiden Indexmengen I und J identifizieren. Letztlich ist dies insofern auch m¨ oglich, da wir zu gegebenem β auf jeden Fall χβ = 0 mit dazu nehmen k¨ onnen. Umgekehrt k¨ onnen wir verschiedene χα , deren Tr¨ager in einem Oβ liegen, aufsummieren, um so genau ein χβ zu erhalten. Um nun zeigen zu k¨ onnen, daß es immer eine untergeordnete Zerlegung der Eins gibt, ben¨ otigen wir einige Hilfsfunktionen, welche aus der elementaren Analysis wohlbekannt sind: Die Funktion  1 e− t t > 0 h(t) = (A.3) 0 t≤0 ist auf ganz

glatt und es gilt 0 ≤ h(t) ≤ 1. Die Funktionen g" (t) =

h(t) h(t) + h( − t)

(A.4)

sind f¨ ur alle  > 0 ebenfalls auf ganz glatt und es gilt g" (t) = 0 f¨ ur t ≤ 0 und g" (t) = 1 f¨ ur t ≥  sowie 0 ≤ g" (t) ≤ 1 f¨ ur alle t. Schließlich sind die Funktionen ϕr," : n −→ ϕr," (x) = 1 − g" (x − r)

(A.5)

ebenfalls glatt f¨ ur alle r,  > 0, wobei x die u ¨ bliche Norm bezeichnet. Es gilt 0 ≤ ϕr," (x) ≤ 1 sowie ϕr," (x) = 1 f¨ ur x ≤ r und ϕr," (x) = 0 f¨ ur x ≥ r + . Der Nachweis dieser Eigenschaften ist elementar. Mit Hilfe dieser Funktionen k¨ onnen wir nun zeigen, daß es zu jeder offenen ¨ Uberdeckung eine untergeordnete Zerlegung der Eins gibt: Satz A.1.4 (Zerlegung der Eins). Sei M eine Mannigfaltigkeit, und sei ¨ von M . Dann gibt es eine untergeordnete {Oβ }β∈J eine offene Uberdeckung Zerlegung der Eins {χα }α∈I der Ordnung k. Es kann sogar χα = χα mit 0 ≤ χα ≤ 1 sowie χα ∈ C0∞ (M ) und I abz¨ahlbar gew¨ahlt werden. Beweis. Wir konstruieren zun¨ achst einen geeigneten Atlas von M . Dazu ˚n+1 ⊆ · · · von Kompakta w¨ ahlen wir eine aussch¨ opfende Folge · · · ⊆ Kn ⊆ K

554

A Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten

˚n eine abgegem¨ aß Lemma A.1.2. Dann ist konstruktionsgem¨aß Kn+1 \ K schlossene Teilmenge des Kompaktums Kn+1 , also selbst kompakt. Weiter ist ˚n+2 \Kn−1 offen und enth¨ ˚n . Wir betrachten nun um p zentrierte K alt Kn+1 \ K ˚n+2 \ Kn−1 mit der Eigenschaft, daß B2 (0) noch im ur p ∈ K Karten (Up , xp ) f¨ ˚n+2 \Kn−1 und Up ⊆ Oβp f¨ ur ein geeigBildbereich der Karte ist, sowie Up ⊆ K ˚n kompakt netes βp . Offenbar gibt es zu jedem p eine solche Karte. Da Kn+1 \ K ˚ ist, u ¨ berdecken bereits endlich viele x−1 p (B1 (0)) das Kompaktum Kn+1 \ Kn . Eine Auswahl dieser endlich vielen Punkte bezeichnen wir mit pn,1 , . . . , pn,mn . Die zugeh¨ origen Karten seien mit (Un,1 , xn,1 ), . . . , (Un,mn , xn,mn ) bezeichnet. Die lokal definierte, glatte Funktion ϕn,i (p) = ϕ1, 12 (xn,i (p)) f¨ ur p ∈ Un,i hat ihren Tr¨ ager in x−1 n,i (B 32 (0)) ⊆ Un,i ⊆ Oβpn,i und kann daher zu einer globalen Funktion ϕn,i ∈ C ∞ (M ) fortgesetzt werden, indem man ϕn,i (p) = 0 f¨ ur p ∈ M \ Un,i setzt. Offenbar gilt 0 ≤ ϕn,i ≤ 1 und ϕn,i −1 = 1. Die Gesamtheit aller dieser Funktionen {ϕn,i }n,i hat nun xn,i (B1 (0))

˚n+2 \ folgende Eigenschaften: Die Tr¨ ager sind lokal endlich, da supp ϕn,i ⊆ K Kn−1 . Die lokal endliche Summe  ϕ= ϕkn,i n,i

ist u ¨berall echt positiv, da ϕn,i ≥ 0 und auf x−1 n,i (B1 (0)) konstant 1 ist, ˚ diese Kugeln das Kompaktum Kn+1 \ Kn u ¨berdecken und die Kn ganz M aussch¨ opfen. Daher sieht man leicht, daß die Funktionen 1 ϕn,i χn,i = √ k ϕ die gesuchte Zerlegung der Eins der Ordnung k liefern, welche {Oβ }β∈J untergeordnet ist. Die zus¨ atzlichen Eigenschaften sind per constructionem gegeben.   Wir notieren einige n¨ utzliche Folgerungen aus diesem Satz. Das erste Korollar ist eine versch¨ arfte Version des bekannten Urysohn-Lemmas aus der mengentheoretischen Topologie, siehe etwa [270, Kap. 7]. Korollar A.1.5 (C ∞ -Urysohn-Lemma). Seien A1 , A2 ⊆ M zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen von M . Dann gibt es eine Funktion χ ∈ C ∞ (M ) mit 0 ≤ χ ≤ 1 und (A.6) χ A1 = 1 sowie χ A2 = 0. Entsprechend gibt es disjunkte offene Teilmengen U1 , U2 ⊆ M mit Ai ⊆ Ui . Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit erf¨ ullt also das Trennungsaxiom T4 .

A.1 Zerlegungen der Eins

555

¨ Beweis. Man betrachte die offene Uberdeckung {M \ A1 , M \ A2 } von M und w¨ ahlt eine untergeordnete Zerlegung der Eins {χn }n∈ mit 0 ≤ χn ≤ 1. Dann setzt man  χn , χ=



n∈I

wobei I = {n ∈ | supp χn ⊆ M \ A2 }. Dies liefert die gew¨ unschte Funktion χ. Zur Trennung von A1 und A2 betrachtet man dann einfach die offenen Teilmengen U1 = χ−1 (( 34 , 1]) und U2 = χ−1 ([0, 14 )).   Korollar A.1.6 (Lokale Einselemente). Sei M eine Mannigfaltigkeit. Zu ˚n+1 ⊆ · · · von Kompakta von M jeder aussch¨opfenden Folge · · · ⊆ Kn ⊆ K existieren Funktionen χn ∈ C0∞ (M ) mit den folgenden Eigenschaften: i.) 0 ≤ χn ≤ 1, ii.) supp χn ⊆ Kn+1 , iii.) χn Kn = 1. Beweis. Zur Konstruktion wende man rekursiv Korollar A.1.5 auf A1 = Kn ˚n+1 an. und A2 = M \ K   Als eine weitere nichttriviale Anwendung betrachtet man ein reelles Vektorb¨ undel π : E −→ M u ¨ber M . Eine Fasermetrik ist eine glatt vom Fußpunkt p abh¨ angende symmetrische Bilinearform ·, ·p : Ep × Ep −→ , welche f¨ ur alle p ∈ M nichtausgeartet ist. Alternativ k¨onnen wir eine Fasermetrik als einen glatten Schnitt h ∈ Γ∞ (S2 E ∗ ) auffassen, welcher die Bilinearform durch hp (·, ·) = ·, ·p induziert. Satz A.1.7. Sei π : E −→ M ein reelles Vektorb¨ undel. Dann existiert f¨ ur E eine positiv definite Fasermetrik. Beweis. Wir w¨ ahlen einen Vektorb¨ undelatlas {(Uα , ϕα )}α∈I f¨ ur E und eine untergeordnete Zerlegung der Eins {χα }α∈I mit 0 ≤ χα ≤ 1. F¨ ur p ∈ Uα definiert man dann vp , wp α = pr2 ◦ ϕα (vp ), pr2 ◦ ϕα (wp )k , wobei auf der rechten Seite das kanonische, positiv definite Skalarprodukt auf k verwendet wird und pr2 ◦ ϕα (vp ) die Komponenten des Vektors vp bez¨ uglich der B¨ undelkarte ϕp darstellen. Die Faserdimension sei k. Offenbar ist ·, ·α auf Uα glatt vom Fußpunkt abh¨ angig und positiv definit. Dann setzt man  χα (p) vp , wp α , vp , wp p = α∈I

und zeigt leicht, daß dies eine u ¨ berall positiv definite und glatte Fasermetrik auf E darstellt.  

556

A Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten

Angewandt auf E = T M folgt, daß jede Mannigfaltigkeit eine Riemannsche Metrik besitzt. Man beachte jedoch, daß die positive Definitheit in Satz A.1.7 entscheidend ist: es gibt f¨ ur die Existenz von Fasermetriken mit anderer Signatur sehr wohl topologische Einschr¨ankungen an das B¨ undel E. Bemerkung A.1.8. F¨ ur ein komplexes Vektorb¨ undel definiert man analog eine Hermitesche Fasermetrik als eine positiv definite, glatt vom Fußpunkt abh¨ angige Sesquilinearform. Den Existenzbeweis kann man dann w¨ortlich u ¨ bernehmen.

A.2 Algebraische Definition von Differentialoperatoren Um einen systematischen Zugang zur Theorie der Multidifferentialoperatoren in der Differentialgeometrie zu erhalten, betrachten wir zun¨achst den Spezialfall von Differentialoperatoren, f¨ ur die wir eine rein algebraische Definition geben k¨ onnen. Im folgenden sei ein K¨orper der Charakteristik Null. Dar¨ uberhinaus sei A eine assoziative und kommutative -Algebra. Die Linksmultiplikation mit a ∈ A bezeichnen wir wie schon zuvor mit La (b) = ab. Besitzt die Algebra A kein Einselement, so werden bestimmte der folgenden Aussagen im allgemeinen falsch sein. Eine n¨ utzliche Verallgemeinerung von Algebren mit Einselement sind die Algebren mit lokalen Einselementen:







Definition A.2.1 (Lokale Einselemente). Eine assoziative -Algebra besitzt lokale Einselemente {eα }α∈I , falls es f¨ ur alle n ∈ und alle a1 , . . . , an ∈ A ein eα mit e α ai = ai = ai e α (A.7)



f¨ ur alle i = 1, . . . , n gibt. Offenbar besitzt jede Algebra mit Einselement auch lokale Einselemente, n¨ amlich { }. Namensgebend ist nun folgendes Beispiel aus der Differentialgeometrie:



Beispiel A.2.2 (Lokale Einselemente). Sei M eine Mannigfaltigkeit. Dann leisten die gem¨aß Korollar A.1.6 konstruierten Funktionen {χn }n∈ das gew¨ unschte f¨ ur die Algebra C0∞ (M ). Wir kommen nun zur (algebraischen) Definition von Differentialoperatoren: Definition A.2.3 (Differentialoperatoren). Sei A eine assoziative und kommutative -Algebra. Die Differentialoperatoren DiffOpk (A) ⊆ End (A) ur k < 0 der Ordnung k ∈ definiert man induktiv durch DiffOpk (A) = {0} f¨ und   DiffOpk (A) = D ∈ End (A) [D, La ] ∈ DiffOpk−1 (A) f¨ ur alle a ∈ A





(A.8) f¨ ur k ≥ 0.

A.2 Algebraische Definition von Differentialoperatoren

557

Da die Bedingungen linear sind, ist DiffOpk (A) f¨ ur alle k ein Unterraum von End (A): dies sieht man durch eine leichte Induktion nach der Ordnung k. Wir studieren nun einige allgemeine Eigenschaften von Differentialoperatoren.



Proposition A.2.4. Sei A eine assoziative und kommutative -Algebra. i.) F¨ ur alle k gilt DiffOpk (A) ⊆ DiffOpk+1 (A) womit DiffOp• (A) =

∞ 

DiffOpk (A) ⊆ End (A)

(A.9)

(A.10)

k=0

ein filtrierter Unterraum ist. ur alle a ∈ A. ii.) Es gilt id ∈ DiffOp0 (A) ebenso wie La ∈ DiffOp0 (A) f¨ iii.) Die Differentialoperatoren der Ordnung k sind auf nat¨ urliche Weise ein A-Bimodul, wobei man a · D · b f¨ ur D ∈ DiffOpk (A) und a, b ∈ A durch a · D · b = La D Lb

(A.11)

definiert. iv.) F¨ ur D ∈ DiffOpk (A) und D ∈ DiffOp (A) gilt DD ∈ DiffOpk+ (A),

(A.12)

womit DiffOp• (A) eine filtrierte Unteralgebra von End (A) ist. v.) Besitzt A lokale Einselemente, so ist A  a → La ∈ DiffOp0 (A)

(A.13)

ein injektiver Algebrahomomorphismus. Weiter gilt in diesem Fall f¨ ur D ∈ DiffOpk (A) und D ∈ DiffOp (A) [D, D ] ∈ DiffOpk+−1 (A).

(A.14)

Beweis. F¨ ur den ersten Teil gen¨ ugt es, k ≥ 0 zu betrachten. Sei daher D ∈ DiffOpk (A) mit k ≥ 0 gegeben. Dann gilt [D, La ] ∈ DiffOpk−1 (A) nach Definition. Ist k = 0, so bedeutet dies einfach [D, La ] = 0. Da aber 0 ∈ DiffOp0 (A), folgt D ∈ DiffOp1 (A). F¨ ur k > 0 folgt [D, La ] ∈ DiffOpk−1 (A) ⊆ DiffOpk (A) durch Induktion nach k, womit D ∈ DiffOpk+1 (A). Dies zeigt den ersten Teil. Der zweite Teil ist klar, da id mit allen Linksmultiplikationen vertauscht und somit id ∈ DiffOp0 (A). Da A kommutativ ist, folgt ebenfalls, daß alle Linksmultiplikationen untereinander vertauschen, womit La ∈ DiffOp0 (A) f¨ ur alle a ∈ A. F¨ ur den dritten Teil bemerken wir zun¨achst, daß (A.11) die kanonische Bimodulstruktur von End (A) ist. Daher ist also nur zu zeiuhrt gen, daß DiffOpk (A) unter diesen Bimodulmultiplikationen in sich u ¨ berf¨ wird. F¨ ur k < 0 ist das trivial, f¨ ur k = 0 vertauscht auch a · D · b mit allen Linksmultiplikationen, da A kommutativ ist. Sei also k > 0, so gilt

558

A Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten

[a · D · b, Lc ] = La [D, Lc ] Lb , da alle Linksmultiplikationen vertauschen. Durch Induktion nach k ist aber La [D, Lc ] Lb = a · [D, Lc ] · b ∈ DiffOpk−1 (A), womit a · D · b ∈ DiffOpk (A) folgt, was den dritten Teil zeigt. F¨ ur den vierten Teil k¨ onnen wir wieder k, ≥ 0 annehmen. Wir f¨ uhren einen Induktionsbeweis nach k + . Ist k = 0 = , so vertauscht sowohl D als auch D mit allen Linksmultiplikationen. Damit gilt aber auch [DD , La ] = 0, was den Induktionsanfang DD ∈ DiffOp0 (A) zeigt. Ist k + > 0, so gilt nach Induktionsannahme [DD , La ] = D[D , La ] + [D, La ]D ∈ DiffOpk+−1 (A), da [D, La ] ∈ DiffOpk−1 (A) und [D , La ] ∈ DiffOp−1 (A). Damit folgt aber DD ∈ DiffOpk+ (A) wie gew¨ unscht. Nun habe A lokale Einselemente. Dann ist die Injektivit¨at von a → La aber klar, da La (eα ) = a f¨ ur ein geeignetes lokales Einselement. F¨ ur die zweite Aussage betrachten wir zun¨achst k = 0 = und a ∈ A sowie eα mit eα a = a = aeα . Dann gilt [D, D ](a) = DD (La (eα )) − D D(Leα (a)) = D(aD (eα )) − D (eα D(a)) = D(a)D (eα ) − D (eα )D(a) = 0, womit DiffOp0 (A) eine kommutative Algebra ist. Sei nun k + > 0, dann gilt induktiv [[D, D ], La ] = [[D, La ], D ] + [D, [D , La ]] ∈ DiffOpk+−2 (A). Damit folgt aber auch der f¨ unfte Teil.   Im folgenden schreiben wir f¨ ur die Bimodulstruktur auch einfach aDb. Weiter beachte man, daß (A.14) ohne die Existenz lokaler Einselemente im allgemeinen falsch ist: Die Algebra mit trivialer Multiplikation ab = 0 bietet ein Gegenbeispiel, da hier DiffOp0 (A) = End (A) keineswegs kommutativ zu sein braucht. Der Fall der Differentialoperatoren erster Ordnung verdient besondere Aufmerksamkeit. Zun¨ achst ist klar, daß jede Derivation von A ein Differentialoperator erster Ordnung ist, denn f¨ ur D ∈ Der(A) gilt nach der Leibniz-Regel [D, La ](b) = D(ab) − aD(b) = LD(a) (b),

(A.15)

womit D ∈ DiffOp1 (A) gezeigt ist, da LD(a) ∈ DiffOp0 (A). Besitzt nun A lokale Einselemente, so l¨ aßt sich DiffOp1 (A) folgendermaßen zerlegen: Proposition A.2.5. Sei A eine assoziative und kommutative lokalen Einselementen. Dann gilt kanonisch DiffOp1 (A) = DiffOp0 (A) ⊕ Der(A),

-Algebra mit (A.16)

wobei D ∈ DiffOp1 (A) in D = D0 + d mit d(a) = D(a) − D(eα )a

und

D0 (a) = LD(eα ) (a)

(A.17)

f¨ ur alle a ∈ A zerlegt wird. Hier ist eα ein lokales Einselement mit eα a = a und eα D(a) = D(a).

A.2 Algebraische Definition von Differentialoperatoren

559

Beweis. Zun¨ achst ist zu zeigen, daß die Definition von D0 und d tats¨achlich wohl-definiert ist. Seien also eα und eβ lokale Einselemente mit eα a = a = eβ a sowie eα D(a) = D(a) = eβ D(a). Es ist klar, daß D(a) − D(eα )a = [D, La ](eα ) ahlen nun ein eγ mit eα eγ = eα sowie eβ eγ = eβ . Da und ebenso f¨ ur eβ . Wir w¨ [D, La ] ein Differentialoperator nullter Ordnung ist, gilt [D, La ](eα ) = [D, La ](Leα eγ ) = Leα [D, La ](eγ ) = D(a) − aD(eγ ) und genauso [D, La ](eβ ) = D(a) − aD(eγ ). Dies zeigt aber, daß d und D0 = D − d nicht von der Wahl des lokalen Einselements abh¨angen und daher wohldefiniert sind. Es bleibt zu zeigen, daß d eine Derivation und D0 ∈ DiffOp0 (A) ist. Letzteres ist klar, denn f¨ ur a, b ∈ A betrachten wir ein geeignetes lokales Einselement, womit D0 (La b) = LD(eα ) (La b) = La LD(eα ) (b) = La D0 (b). Entsprechend gilt d(ab) = D(ab) − D(eα )ab = [D, La ](eα b) + aD(b) − aD(eα )b = Lb [D, La ](eα ) + ad(b) = bd(a) + ad(b),  

womit gezeigt ist, daß d eine Derivation ist.

Da alle drei Vektorr¨ aume in (A.16) bez¨ uglich des Kommutators LieAlgebren sind, was man aus dem f¨ unften Teil von Proposition A.2.4 leicht sieht, ist (A.16) f¨ ur Algebren mit lokalen Einselementen eine semidirekte Summe (A.18) DiffOp1 (A) = DiffOp0 (A)  Der(A) von Lie-Algebren. Nach (A.14) wirkt die Lie-Algebra DiffOp1 (A) und damit auch die Lie-Unteralgebra Der(A) auf DiffOpk (A) f¨ ur jedes k. Dar¨ uberhinaus ist die direkte Summe in (A.16) auch mit der A-Linksmodulstruktur der drei Vektorr¨ aume vertr¨ aglich, da f¨ ur eine Derivation D auch aD eine Derivation ist. Hier geht die Kommutativit¨at von A erneut ein. Mit der A-Rechtsmodulstruktur ist (A.16) jedoch nicht l¨anger vertr¨aglich, da D ◦ La im allgemeinen keine Derivation mehr ist.



Bemerkung A.2.6. Besitzt A sogar ein Einselement , so gilt

und

DiffOp0 (A) ∼ =A

(A.19)

DiffOp1 ∼ = A ⊕ Der(A),

(A.20)



wobei die Identifikation in (A.19) u ¨ ber a → La mit Inversem D → D( ) gegeben ist. F¨ ur die h¨ oheren Differentialoperatoren existieren keine einfachen Zerlegungen analog zu denen in DiffOp1 (A).

560

A Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten

A.3 Differentialoperatoren der Algebra C ∞(M ) Wir betrachten nun den Fall A = C ∞ (M ). Da die glatten Funktionen eine Algebra mit Einselement sind, sind die Resultate von Abschnitt A.2 uneingeschr¨ ankt g¨ ultig, insbesondere gilt DiffOp0 (C ∞ (M )) ∼ = C ∞ (M ).

(A.21)

Wir wollen als erstes zeigen, daß sich Differentialoperatoren immer auf offene Teilmengen einschr¨ anken lassen. Dies ist der tats¨achlich nichttriviale Schritt bei der Charakterisierung von Differentialoperatoren von C ∞ (M ) und keineswegs selbstverst¨andlich. Wir ben¨ otigen zun¨ achst einige vorbereitende Resultate: Lemma A.3.1. Sei D : C ∞ (M ) −→ C ∞ (M ) eine lineare Abbildung. Gibt ¨ es dann eine offene Uberdeckung {Oα }α∈I von M und Differentialoperatoren {Dα }α∈I der Ordnung k, so daß (A.22) D(f ) = Dα (f ) Oα

Oα

f¨ ur alle α ∈ I und f ∈ C ∞ (M ), dann gilt D ∈ DiffOpk (C ∞ (M )). Beweis. Sei zun¨achst k = 0, womit Dα = Lgα mit gα ∈ C ∞ (M ) f¨ ur alle α. Sind dann f, h ∈ C ∞ (M ), so gilt D(Lh f ) O = Dα (Lh f ) O = h O gα O f O = (Lh Dα (f )) O α α α α α α = (Lh D(f )) Oα . Da die Oα aber ganz M u ¨ berdecken, folgt [D, Lh ] = 0 und somit D ∈ DiffOp0 (C ∞ (M )). Sei also k ≥ 1, dann gilt [D, Lh ](f ) O = D(hf ) O − h O D(f ) O = Dα (hf ) O − h O Dα (f ) O α α α α α α α = [Dα , Lh ](f ) Oα Da [Dα , Lh ] ∈ DiffOpk−1 (C ∞ (M )) k¨ onnen wir induktiv u ¨ ber k folgern, daß [D, Lh ] ∈ DiffOpk−1 (A). Damit ist aber D ∈ DiffOpk (C ∞ (M )), womit der Beweis erbracht ist.   Der entscheidende Punkt im Beweis ist offensichtlich die Vertr¨aglichkeit von Produktbildung von glatten Funktionen mit der Einschr¨ankung glatter Funktionen auf offene Teilmengen. Das n¨ achste Lemma zeigt, daß Differentialoperatoren immer lokal sind: Lemma A.3.2. Ist D ∈ DiffOpk (C ∞ (M )), so gilt supp D(f ) ⊆ supp f f¨ ur alle f ∈ C ∞ (M ).

(A.23)

A.3 Differentialoperatoren der Algebra C ∞ (M ) 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 p 000000000000 111111111111 χ 111111111111 000000000000 111111111111 supp f 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111

561

Abb. A.2. Die Abschneidefunktion χ.

Beweis. Ohne Einschr¨ ankung sei f ∈ C ∞ (M ) mit supp f = M und p ∈ M \ supp f gegeben. Daher gibt es nach Korollar A.1.5 eine Funktion χ ∈ C ∞ (M ) ur k = 0 mit χ supp f = 1 und χ(p) = 0, siehe Abbildung A.2. Da (A.23) f¨ trivialerweise erf¨ ullt ist, beweisen wir (A.23) durch Induktion nach k. Es gilt D(f ) p = D(χf ) p = [D, Lχ ](f ) p + (Lχ D(f )) p = 0, da [D, Lχ ] ∈ DiffOpk−1 (C ∞ (M )) nach Induktionsannahme lokal ist und χ(p) = 0. Damit folgt (A.23) durch Induktion.   Wir kommen nun zur angek¨ undigten Einschr¨ankbarkeit. Da sich eine Funktion f ∈ C ∞ (U ) auf einer offenen Teilmenge U ⊆ M im allgemeinen nicht zu einer Funktion F ∈ C ∞ (M ) fortsetzen l¨aßt, k¨onnen wir die Einschr¨ ankung DU von D auf C ∞ (U ) nicht durch DU (f ) = D(F ) U definieren. Trotzdem gilt folgende Proposition: Proposition A.3.3 (Einschr¨ ankbarkeit lokaler Operatoren). Sei D : C ∞ (M ) −→ C ∞ (M ) eine lokale lineare Abbildung. Dann gibt es zu jeder offenen Teilmenge U ⊆ M eine eindeutig bestimmte lokale lineare Abbildung ur offenes V ⊆ U DU : C ∞ (U ) −→ C ∞ (U ) derart, daß DM = D und f¨

 DU (f ) V = DV f V (A.24) f¨ ur alle f ∈ C ∞ (U ). Ist D ∈ DiffOpk (C ∞ (M )) sogar ein Differentialoperator, so folgt DU ∈ DiffOpk (C ∞ (U )) f¨ ur alle offenen Teilmengen U ⊆ M . Beweis. Wir zeigen zun¨ achst die Eindeutigkeit. Seien solche Abbildungen DU ˜ U f¨ und D ur jedes offene U ⊆ M gegeben. Dann betrachten wir eine offene cl χ ∈ C ∞ (M ) mit Teilmenge V ⊆ U mit V ⊆ U und eine Abschneidefunktion ∞ supp χ ⊆ U und χ V cl = 1. Sei nun f ∈ C (U ), dann gilt 



˜ U (f ) = D ˜V f = D ˜ V (χf ) = D ˜ M (χf ) = D(χf ) D V V V V V ˜ U (f ) auf und genauso f¨ ur DU . Damit stimmen die Funktionen DU (f ) und D allen derartigen V ⊆ U u ¨berein. Da letztere aber ganz U u ¨ berdecken, folgt die Eindeutigkeit. Wir zeigen nun die Existenz. Sei also U ⊆ M offen und O ⊆ U eine offene Teilmenge mit Ocl ⊆ U . Weiter sei χ wieder eine Abschneidefunktion wie oben. Dann definieren wir

562

A Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten

DU (f ) O = D(χf ) O

(∗)

f¨ ur f ∈ C ∞ (U ). Da χf ∈ C ∞ (M ) als globale glatte Funktion wohl-definiert ist, m¨ ussen wir nun zeigen, daß die rechte Seite von (∗) nicht von der Wahl ˜ und χ von O und χ abh¨ angt. Sei also O ˜ eine weitere Wahl. Dann gilt ˜ supp D((χ − χ)f ˜ ) ⊆ supp((χ − χ)f ˜ ) ⊆ M \ (O ∩ O), ˜ verschwindet. Damit folgt aber da χ − χ ˜ auf der offenen Teilmenge O ∩ O ˜ ) O∩O˜ . Dies zeigt, daß (∗) tats¨achlich eine auf ganz U D(χf ) O∩O˜ = D(χf wohl-definierte und offensichtlich auch glatte Funktion DU (f ) liefert. Wir behaupten nun, daß die so konstruierten Abbildungen die Eigenschaft (A.24) besitzen. Zun¨ achst ist klar, daß DM = D, da wir in diesem Fall O = M und χ = 1 w¨ ahlen k¨ onnen. Sei also V ⊆ U eine offene Teilmenge und O ⊆ V mit Ocl ⊆ V und χ ∈ C ∞ (M ) mit supp χ ⊆ V und χ Ocl = 1. Sei nun f ∈ C ∞ (U ). Dann stimmen die kanonischen Fortsetzungen von f V χ und f χ zu glatten Funktionen auf M u ¨ berein und entsprechend gilt



 DV f V O = D f V χ O = D(χf ) O = DU (f ) O . Da wiederum derartige O ganz V u ¨ berdecken, folgt (A.24). Sei nun D ∈ DiffOpk (C ∞ (M )). Ist k = 0, so ist D = Lg mit einer Funktion g ∈ C ∞ (M ), womit DU = Lg|U sofort folgt. Daher ist jedes DU ebenfalls ein Differentialoperator nullter Ordnung. Sei also k ≥ 1 und f, g ∈ C ∞ (U ). Dann ultige Wahl ist, womit gilt mit O und χ wie oben, daß auch O und χ2 eine g¨ DU (Lg f ) O − Lg DU (f ) O = D(χ2 gf ) O − g O D(χf ) O = [D, Lχg ](χf ) O + (χg) O D(χf ) O − g O D(χf ) O = [D, Lχg ](χf ) O , da χg O = g O . Da [D, Lχg ] ∈ DiffOpk−1 (C ∞ (M )), folgt [DU , Lg ](f ) O = onnen wir [D, Lχg ]U ∈ DiffOpk−1 (C ∞ (U )) fol[D, Lχg ]U (f ) O . Induktiv k¨ gern. Nach Lemma A.3.1 ist dann aber auch [DU , Lg ] ∈ DiffOpk−1 (C ∞ (U )), da die offenen Teilmengen O ganz U u ¨berdecken. Damit folgt aber DU ∈   DiffOpk (C ∞ (U )). Bemerkung A.3.4. Es folgt insbesondere, daß ein lokaler Operator D nicht nur eindeutige Einschr¨ ankungen DU auf offene Mengen besitzt, sondern sei¨ nerseits aus den Einschr¨ ankungen DUα f¨ ur eine offene Uberdeckung {Uα }α∈I rekonstruiert werden kann. Damit sind lokale Operatoren und insbesondere Differentialoperatoren bereits dadurch bestimmt, was ihre Einschr¨ankungen auf lokale Karten eines Atlanten sind. Wir k¨ onnen also nun die lokalen Formen von Differentialoperatoren in lokalen Koordinaten bestimmen. Der folgenden Satz zeigt, daß Differentialoperatoren lokal genau die gew¨ unschte Form besitzen:

A.3 Differentialoperatoren der Algebra C ∞ (M )

563

Satz A.3.5 (Lokale Form von Differentialoperatoren). Sei (U, x) eine lokale Karte von M und D ∈ DiffOpk (C ∞ (M )). Dann gibt es eindeutig ber i1 ···ir stimmte lokale Funktionen DU ∈ C ∞ (U ) f¨ ur r = 0, . . . , k, welche in den Indizes i1 , . . . , ir symmetrisch sind, so daß DU =

k  1 r i1 ···ir ∂r DU . r! ∂xi1 · · · ∂xir r=0

(A.25)

i1 ···i

k k F¨ ur r = k sind die Funktionen DU die lokalen Koeffizientenfunktionen eines globalen Tensorfeldes σk (D) ∈ Γ∞ (Sk T M ), also

1 k i1 ···ik ∂ ∂ ∨ ···∨ . σk (D) = DU k! ∂xi1 ∂xik U

(A.26)

Beweis. Wir beweisen den Satz erneut durch Induktion nach k, da offenbar der Fall k = 0 trivialerweise richtig ist. Sei also k ≥ 1. Dann betrachten wir zun¨ achst den Spezialfall, daß der Bildbereich der Karte konvex ist, also mit x, y auch tx + (1 − t)y im Bildbereich der Karte liegt, sofern t ∈ [0, 1]. Sei nun ahlt, dann gilt (Hadamards Trick) f¨ ur alle x in U x0 fest gew¨

1

d f (tx + (1 − t)x0 )dt dt

f (x) = f (x0 ) + 0



1

(xi − xi0 )

= f (x0 ) + 0 n 

= f (x0 ) +

∂f (tx + (1 − t)x0 )dt ∂xi

(xi − xi0 )gi (x)

i=1

mit glatten Funktionen gi ∈ C ∞ (U ). Insbesondere gilt

∂ r+1 f r (tx + (1 − t)x )t dt 0 i i · · · ∂x r ∂x x=x0 0 r+1 ∂ f 1 = (x0 ). r + 1 ∂xi1 · · · ∂xir ∂xi

∂ r gi (x0 ) = i ∂x 1 · · · ∂xir

1

∂xi1

Nun gilt  DU f = DU

f (x0 ) +

n 

 (x − i

i=1 n # 

= f (x0 )DU (1) +

xi0 )gi

$ DU , Lxi −xi0 (gi ) + (xi − xi0 )DU (gi )

i=1

= f (x0 )DU (1) +

n  i=1

[DU , Lxi ] (gi ) + (xi − xi0 )DU (gi ),

(∗)

564

A Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten

wobei wir hier mit xi die i-te Koordinatenfunktion bezeichnen und mit xi0 die konstante Funktion mit Funktionswert gleich der i-ten Koordinate des Punktes x0 . Die Linksmultiplikation Lxi0 vertauscht offenbar mit DU , da DU linear ist. Nun ist [DU , Lxi ] ein Differentialoperator der Ordnung k − 1, womit r ii1 ···ir es nach Induktionsannahme also Funktionen DU mit r = 0, . . . , k − 1 und k−1  1 ∂r r ii1 ···ir DU [DU , Lxi ] = r! ∂xi1 · · · ∂xir r=0 gibt. Daher folgt bei x = x0 mit (∗) und (xi − xi0 ) x=x0 = 0 n k−1   DU f x0 = f (x0 )DU (1) x0 + i=1 r=0

1 ∂ r+1 f r ii1 ···ir DU (x0 ) i1 (x0 ). (r + 1)! ∂x · · · ∂xir ∂xi

Da der Punkt x0 aber beliebig war, folgt die Behauptung, da die Eindeutigkeit trivialerweise folgt, indem man DU auf geeigneten Polynomen auswertet. Ist der Bildbereich der Karte nicht konvex, so zerlegt man ihn zun¨achst in kleine u ¨ berlappende konvexe offene Teilmengen, wo wir die obige Form finden. Ein Vergleich auf den Schnittmengen zeigt aber aufgrund der Eindeutigkeit, daß die Koeffizientenfunktionen sogar auf ganz U definiert sind, womit auch in diesem Fall die lokale Form (A.25) folgt. Dies zeigt den ersten Teil. Die zweite Behauptung folgt aber leicht aus dem Transformationsverhalten von partiellen Ableitungen unter Koordinatenwechsel und wurde bereits in Lemuhrende Symbol aus ma 5.4.4 diskutiert. Das Tensorfeld σk (D) ist gerade das f¨ Lemma 5.4.4.   Ist umgekehrt ein Operator D gegeben, der in einem Atlas lokal die Form (A.25) besitzt, so ist D ein Differentialoperator. Dies zeigt folgende Propositi¨ on, womit schließlich die Aquivalenz der Definition 5.4.3 mit der algebraischen Definition A.2.3 f¨ ur A = C ∞ (M ) gezeigt ist. Proposition A.3.6. Sei D : C ∞ (M ) −→ C ∞ (M ) eine lineare Abbildung und k ≥ 0. Gibt es dann einen Atlas, so daß f¨ ur jede lokale Karte (U, x) in diesem i1 ···ir ∈ C ∞ (U ) f¨ ur r = 0, . . . , k mit der Eigenschaft Atlas Funktionen DU k  ∂ r f U 1 i1 ···ir D Df U = (A.27) r! U ∂xi1 · · · ∂xir r=0 existieren, so ist D ∈ DiffOpk (C ∞ (M )). Beweis. Wir zeigen diese Behauptung nach k. F¨ ur

erneut durch Induktion 0 0 f U , womit sich DU als unabh¨angig von k = 0 gilt offenbar (Df ) U = DU 0 der Karte U erweist und eine global definierte glatte Funktion DU = D(1) 0 ∞ darstellt. Damit ist aber D = LD(1) ∈ DiffOp (C (M )). F¨ u r k ≥ 1 sieht man mit Hilfe der Leibniz-Regel leicht, daß ([D, Lg ]f ) U wieder von der Form (A.27) ist, jedoch h¨ ochstens k − 1 partielle Ableitungen von f enth¨alt. Daher folgt die Behauptung durch Induktion.  

A.3 Differentialoperatoren der Algebra C ∞ (M )

565

Zur weiteren Illustration betrachten wir als n¨achstes die Differentialoperatoren der Algebra C0∞ (M ). Aus der Lokalit¨at von Differentialoperatoren D ∈ DiffOp• (C ∞ (M )) gem¨ aß Lemma A.3.2 folgt sofort, daß D(f ) ∈ C0∞ (M ), ∞ falls f ∈ C0 (M ). Daher lassen sich Differentialoperatoren auf C0∞ (M ) einschr¨ anken. Da C0∞ (M ) eine Unteralgebra ist, folgt sofort, daß die Einschr¨ ankung von D ∈ DiffOpk (C ∞ (M )) auf C0∞ (M ) ebenfalls ein Differentialoperator der Ordnung k der Algebra C0∞ (M ) liefert. Die n¨achste Proposition zeigt nun, daß diese Zuordnung bijektiv ist: Proposition A.3.7. Sei D ∈ DiffOpk (C0∞ (M )). Dann existiert ein eindeutig ˆ ∈ DiffOpk (C ∞ (M )), so daß bestimmter Differentialoperator D ˆ ∞ D=D . (A.28) C (M) 0

ˆ ∈ DiffOpk (C ∞ (M )) ist durch seine Werte Beweis. Ein Differentialoperator D ∞ auf C0 (M ) offenbar bereits eindeutig bestimmt: dies folgt sofort aus der lokalen Form sowie der Tatsache, daß es zu festem k und p ∈ M immer eine Funktion f mit kompaktem Tr¨ ager gibt, deren Taylor-Entwicklung in einer lokalen Karte um p bis zur Ordnung k eine beliebig vorgegebene ist. Das Borel-Lemma ist hierzu nicht n¨ otig, der Beweis ist elementar, da k endlich ˆ bei p eindeutig ist. Damit l¨ aßt sich aber die Form der Koeffizienten von D bestimmen. Sei also D vorgegeben, dann ist D lokal, was man analog zu Lemma A.3.2 ˆ folgendermaßen. Sei O ⊆ M eine offene Teilmenge mit zeigt. Wir definieren D kompaktem Abschluß Ocl und χ ∈ C0∞ (M ) mit der Eigenschaft χ Ocl = 1. Die Existenz einer solchen Funktion χ zu gegebenem O l¨aßt sich durch eine einfache Versch¨ arfung von Korollar A.1.5 zeigen, indem man Ocl durch endlich viele offene Mengen U1 , . . . , Un u ¨ berdeckt, derart, daß Uicl selbst kompakt ist. cl Dann betrachtet man A1 = O und A2 = M \ (U1 ∪ · · · ∪ Un ) und w¨ahlt χ gem¨ aß Korollar A.1.5. Offenbar ist dann supp χ kompakt. Mit diesen Wahlen definieren wir f¨ ur f ∈ C ∞ (M ) ˆ ) = D(χf ) . D(f (∗) O O ˜ χ Da χf ∈ C0∞ (M ), k¨ onnen wir D tats¨ achlich anwenden. Ist nun O, ˜ eine alternative Wahl, so gilt aufgrund der Lokalit¨at von D die Beziehung ˜ da χ − χ supp(D((χ − χ)f ˜ )) ⊆ supp((χ − χ)f ˜ ) ⊆ M \ (O ∩ O), ˜ auf der offenen ˜ ˜ ) O∩O˜ , Teilmenge O ∩ O verschwindet. Damit folgt aber D(χf ) O∩O˜ = D(χf ˆ : C ∞ (M ) −→ C ∞ (M ) womit (∗) eine wohl-definierte lineare Abbildung D ist. ur k = 0 und O, χ wie oben Seien nun f, g ∈ C ∞ (M ), dann gilt f¨ 2 ˆ ˆ ) , D(gf ) O = D(χ gf ) O = D(Lχg χf ) O = Lχg D(χf ) O = g O D(f O ˆ aber mit Lg , da die offenen Teilmenda auch χ2 Ocl = 1. Damit vertauscht D ˆ ∈ DiffOp0 (C ∞ (M )). Sei nun k ≥ 1, gen O ganz M u ¨ berdecken. Also folgt D dann gilt

566

A Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten



 ˆ ˆ ) = D(χ2 gf ) − g D(χf ) D(gf ) − g D(f O O O O = D(Lχg χf ) O − (χg) O D(χf ) O = (D(Lχg χf ) − Lχg D(χf )) O    = [D, Lχg ](f ) . O

Da [D, Lχg ] ∈ DiffOpk−1 (C0∞ (M )) gilt, folgt durch Induktion nach k, daß ˆ Lg ] auf O mit einem Differentialoperator der Ordnung k−1 u [D, ¨ bereinstimmt. ˆ Lg ] ∈ DiffOpk−1 (C ∞ (M )) und somit Nach Lemma A.3.1 folgt, daß [D, ˆ ∈ DiffOpk (C ∞ (M )). Es bleibt zu zeigen, daß die Einschr¨ankung von D ˆ D auf Funktionen mit kompaktem Tr¨ ager wieder den Differentialoperator D liefert. Dies folgt aber sofort aus der Existenz lokaler Einselemente gem¨aß Beispiel A.2.2.   Diese Proposition zeigt also, daß die Differentialoperatoren von C ∞ (M ) und C0∞ (M ) letztlich die selben sind. Aus diesem Grunde schreiben wir auch gelegentlich DiffOp• (M ) = DiffOp• (C ∞ (M )) = DiffOp• (C0∞ (M )).

(A.29)

Wir k¨ onnen nun noch einige Konsequenzen der lokalen Charakterisierung von Differentialoperatoren geben. Insbesondere liefert Satz A.3.5 nun einen Beweis von Satz 2.1.26: Korollar A.3.8. F¨ ur die Differentialoperatoren erster Ordnung gilt: i.) σ1 (D) = 0 genau dann, wenn D ∈ DiffOp0 (M ). ii.) σ1 : Der(C ∞ (M )) = Der(C0∞ (M )) −→ Γ∞ (T M ) ist eine kanonische lineare Bijektion mit der inversen Abbildung L : Γ∞ (T M )  X → LX ∈ Der(C ∞ (M )).

(A.30)

Die lokale ForBeweis. Zun¨ achst gilt DiffOp1 (A) = A ⊕ Der(A) nach (A.20). mel f¨ ur σ1 (D) zeigt aber sofort den ersten Teil, womit σ1 Der(C ∞ (M)) injektiv ist. Da die Surjektivit¨ at trivial ist, folgt der zweite Teil.  

A.4 Algebraische Definition von Multidifferentialoperatoren Multidifferentialoperatoren verallgemeinern Differentialoperatoren in zweierlei Hinsicht: zum einen wollen wir mehr als nur ein Argument zulassen, wie dies beispielsweise f¨ ur die Hochschild-Koketten eines Sternprodukts notwendig ist. Zum anderen wollen wir die Gelegenheit nutzen, um auch andere Objek” te“ als nur Algebraelemente zu differenzieren“. Geometrisch sind wir hierbei ”

A.4 Algebraische Definition von Multidifferentialoperatoren

567

insbesondere an Schnitten von Vektorb¨ undeln interessiert, um Aussagen wie die ¨ außere Ableitung von k-Formen zu (k + 1)-Formen ist ein Differential” operator erster Ordnung“ treffen zu k¨ onnen. Der algebraische Rahmen wird nun durch folgende Definition festgelegt. Wir betrachten eine assoziative und kommutative Algebra A u ¨ ber einem K¨ orper der Charakteristik Null, welche typischerweise ein Einselement oder zumindest lokale Einselemente besitzen soll. Weiter betrachten wir A-Moduln E1 , . . . , EN und F, welche immer eine zugrundeliegende -Vektorraumstruktur besitzen m¨ ogen, die mit der A-Modulstruktur vertr¨aglich ist. Da A kommutativ ist, k¨ onnen wir jeden Linksmodul auch als Rechtsmodul und umgekehrt auffassen. Zudem k¨ onnen wir jeden Modul entsprechend auch als (A, A)Bimodul auffassen, was wir gelegentlich stillschweigend tun werden. Ein N -Differentialoperator (kurz: Multidifferentialoperator) mit Argumenten in E1 , . . . , EN und Werten in F wird dann eine -multilineare Abbildung







D : E1 × · · · × EN −→ F

(A.31)

mit noch n¨ aher zu spezifizierenden Eigenschaften sein. Insbesondere wollen wir die Differentiationsordnung in jedem einzelnen Argument z¨ahlen k¨ onnen, womit sich folgende Multiindexschreibweise anbietet: Wir betrachten K = (k1 , . . . , kN ), L = ( 1 , . . . , N ) ∈ N . Dann definieren wir K ≤ L, wenn ki ≤ i f¨ ur alle i = 1, . . . , N . Weiter bezeichnen wir mit ei ∈ N die kanonischen Basisvektoren, also den Multiindex mit 1 an i-ter Stelle und 0 sonst. Addition und Subtraktion von Multiindizes werden wie immer komponentenweise erkl¨art. F¨ ur K ≥ 0 definiert man weiter |K| = k1 + · · · + kN . Die -multilinearen Abbildungen D wie in (A.31) werden wir auf die u ¨ bliche Weise mit den -linearen Abbildungen Hom (E1 ⊗ · · · ⊗ EN , F) identifizieren, wobei ⊗ immer f¨ ur ⊗ steht. Dann bezeichnen wir mit









L(i) a : E1 ⊗ · · · ⊗ EN −→ E1 ⊗ · · · ⊗ EN

(A.32)

die Linksmultiplikation (im Sinne der Modulstruktur von Ei ) mit dem Algebraelement a ∈ A im i-ten Tensorfaktor Ei . Auf elementaren Tensoren gilt also L(i) a (s1 ⊗ · · · ⊗ sN ) = s1 ⊗ · · · ⊗ si−1 ⊗ asi ⊗ si+1 ⊗ · · · ⊗ sN ,

(A.33)

ur j = 1, . . . , N . Die Linksmultiplikation von Elementen in F wobei sj ∈ Ej f¨ mit a ∈ A bezeichnen wir einfach mit La . Die folgende Definition ist nun die naheliegende Verallgemeinerung von Definition A.2.3: Definition A.4.1 (Multidifferentialoperatoren). Seien E1 , . . . , EN und F Moduln u ¨ ber einer assoziativen und kommutativen -Algebra A. Dann definiert man die Multidifferentialoperatoren DiffOpK A (E1 , . . . , EN ; F) mit Argumenten in E1 , . . . , EN und Werten in F der Ordnung K ∈ N induktiv durch





DiffOpK A (E1 , . . . , EN ; F) = {0},

(A.34)

568

A Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten

falls es ein ki < 0 in K gibt, und  DiffOpK A (E1 , . . . , EN ; F) = D ∈ Hom (E1 ⊗ · · · ⊗ EN , F)

 K−ei ∀a ∈ A ∀i : La ◦D − D ◦ L(i) (E1 , . . . , EN ; F) , a ∈ DiffOpA

(A.35)

falls K ≥ 0. Da die Bedingungen jeweils linear sind, zeigt eine einfache Induktion nach |K|, daß die Multidifferentialoperatoren der Ordnung K ein Untervektorraum von Hom (E1 ⊗ · · · ⊗ EN , F) sind. Da wir A in nat¨ urlicher Weise als A-Modul auffassen k¨onnen, indem wir die Algebramultiplikation als Modulmultiplikation deuten, liefert Definition A.4.1 eine Verallgemeinerung von Definition A.2.3: Bemerkung A.4.2. Es gilt f¨ ur alle k ∈



DiffOpkA (A; A) = DiffOpk (A).

(A.36)

Die folgende Proposition zeigt nun, daß auch die Multidifferentialoperatoren filtriert sind und sich mit Elementen aus A multiplizieren lassen. Man beachte jedoch, daß es nicht mehr nur eine Rechtsmodulstruktur gibt, wie in Proposition A.2.4, sondern N im allgemeinen verschiedene, da wir jedes Argument mit Elementen aus A multiplizieren k¨onnen: uber A. Dann gilt: Proposition A.4.3. Seien E1 , . . . , EN und F Moduln ¨ i.) F¨ ur K ≤ L gilt L DiffOpK A (E1 , . . . , EN ; F) ⊆ DiffOpA (E1 , . . . , EN ; F),

(A.37)

womit DiffOp•A (E1 , . . . , EN ; F) =



DiffOpK A (E1 , . . . , EN ; F)

(A.38)

K≥0

ein filtrierter Unterraum von Hom (E1 ⊗ · · · ⊗ EN , F) ist. ii.) DiffOpK A (E1 , . . . , EN ; F) wird durch die Definition a · D = La ◦D

(A.39)

zu einem A-Linksmodul. Weiter liefert D ·(i) a = D ◦ L(i) a

(A.40)

eine A-Rechtsmodulstruktur, welche mit allen anderen ·(j) sowie mit ur i = j. (A.39) vertauscht. Im allgemeinen gilt D ·(i) a = D ·(j) a f¨

A.4 Algebraische Definition von Multidifferentialoperatoren

569

Beweis. F¨ ur den ersten Teil d¨ urfen wir K ≥ 0 annehmen, da die Aussage sonst trivial ist. Wir wollen zun¨ achst K+ei DiffOpK (E1 , . . . , EN ; F) A (E1 , . . . , EN ; F) ⊆ DiffOpA

(∗)

zeigen, wobei i = 1, . . . , N . Der allgemeine Fall (A.37) folgt daraus durch sukzessives Anwenden von (∗). Sei also K = 0 und D ∈ DiffOp0A (E1 , . . . , EN ; F) = 0 f¨ ur alle j = 1, . . . , N gilt. Dagegeben, womit also La ◦D − D ◦ L(j) a e −e ∈ DiffOpAi j (E1 , . . . , EN ; F) f¨ ur alher gilt aber auch La ◦D − D ◦ L(j) a le j = 1, . . . , N , womit D ∈ DiffOpeAi (E1 , . . . , EN ; F) folgt. Dies zeigt (∗) f¨ ur K = 0. Wir nehmen nun an, daß (∗) f¨ ur alle K ≥ 0 mit |K| = 0, . . . , κ − 1 g¨ ultig ist und wollen induktiv auf K mit |K| = κ schließen. (j) Sei also D ∈ DiffOpK A (E1 , . . . , EN ; F) gegeben. Dann gilt La ◦D − D ◦ La ∈ K−ej DiffOpA (E1 , . . . , EN ; F) und |K − ej | = κ − 1, so daß nach InduktionsanK+ei −ej nahme La ◦D − D ◦ L(j) (E1 , . . . , EN ; F). Dies impliziert aber a ∈ DiffOpA K+ei D ∈ DiffOpA (E1 , . . . , EN ; F), womit (∗) induktiv folgt und der erste Teil gezeigt ist. Den zweiten Teil zeigen wir ebenfalls durch Induktion nach κ = |K|, wobei wir wieder K ≥ 0 annehmen d¨ urfen. F¨ ur D ∈ DiffOp0A (E1 , . . . , EN ; F) gilt (j) Lb ◦(La ◦D) − (La ◦D) ◦ Lb = Lba ◦D − Lab ◦D = 0 ebenso wie (j)

(i) Lb ◦(D ◦ L(i) a ) − (D ◦ La ) ◦ Lb = Lba ◦D − Lab ◦D = 0,

f¨ ur alda A kommutativ ist. Damit ist sowohl La ◦D als auch D ◦ L(i) a le i = 1, . . . , N wieder ein Differentialoperator der Ordnung 0. Sei also die Behauptung f¨ ur alle K ≥ 0 mit |K| = 0, . . . , κ − 1 richtig, und sei D ∈ DiffOpK A (E1 , . . . , EN ; F) mit |K| = κ gegeben. Dann ist (j)

(j)

Lb ◦(La ◦D) − (La ◦D) ◦ Lb = La ◦(Lb ◦D − D ◦ Lb ) K−ej

ein Element in DiffOpA

(E1 , . . . , EN ; F), und (j)

(j)

(i) (i) Lb ◦(D ◦ L(i) a ) − (D ◦ La ) ◦ Lb = (Lb ◦D − D ◦ Lb ) ◦ La K−e

ist in DiffOpA j (E1 , . . . , EN ; F), da nach |K − ej | = κ − 1 die Induktionsannahme verwendet werden kann. Damit folgt aber auch der zweite Teil durch Induktion, da es klar ist, daß es sich um Modulstrukturen handelt.   Die Verkettung von Multidifferentialoperatoren liefert wieder Multidifferentialoperatoren, womit auch hier eine Verallgemeinerung von Proposition A.2.4 erreicht ist. Die genaue Bestimmung der resultierenden Ordnung ist jedoch etwas komplizierter:

570

A Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten (1)

(1)

(M)

(M)

Proposition A.4.4. Seien E1 , . . . , EN1 , . . . , E1 , . . . , ENM , F1 , . . . , FM und G Moduln u ¨ ber A. Sind   (i) (i) i E1 , . . . , ENi ; Fi (A.41) Di ∈ DiffOpK A und D ∈ DiffOpL A (F1 , . . . , FM ; G)

(A.42)

gegeben, so gilt (K1 +L1 ,...,KM +LM )

D ◦ (D1 ⊗ · · · ⊗ DM ) ∈ DiffOpA wobei Li = ( i , . . . , i ) ∈

N0

i

  (1) (M) E1 , . . . , ENM ; G , (A.43)

f¨ ur alle i = 1, . . . , M .

Beweis. Offenbar ist die Aussage nur wieder f¨ ur K1 , . . . , KM , L ≥ 0 von Interesse, womit wir zun¨ achst den Fall K1 = . . . = KM = L = 0 betrachten. In diesem Fall ist aber leicht zu sehen, daß D ◦ (D1 ⊗ · · · ⊗ DM ) mit jeder Linksmultiplikation La in der richtigen Weise vertauscht, womit (A.43) gilt. Nun betrachten wir κ = |K1 | + · · · + |KM | + |L| und zeigen (A.43) durch Induktion (i) bezeichnen wir die Linksmultiplikation im Ej -Argument, nach κ. Mit L(i)(j) a wobei i = 1, . . . , M und j = 1, . . . , Ni gilt. Dann folgt La ◦D ◦ (D1 ⊗ · · · ⊗ DM ) − D ◦ (D1 ⊗ · · · ⊗ DM ) ◦ L(i)(j) a   (i) = La ◦D − D ◦ La ◦ (D1 ⊗ · · · ⊗ DM )     + D ◦ D1 ⊗ · · · ⊗ La ◦Di − Di ◦ L(j) ⊗ · · · ⊗ D . M a L−ei Da La ◦D − D ◦ L(i) (F1 , . . . , FM ; G) und La ◦Di − Di ◦ L(j) a ∈ DiffOpA a ∈ Ki −ej (i) (i) ◦ DiffOpA (E1 , . . . , ENi ; Fi ), folgt durch Induktion, daß La ◦D − D ◦ L(i) a   (K1 +L1 ,...,Ki +Li ,...KM +LM ) (1) (M) (D1 ⊗ · · · ⊗ DM ) in DiffOpA E1 , . . . , ENM ; G mit  folgt induktiv, daß die Abbildung Li = ( i − 1, .. . , i − 1) ist. Ebenso  

⊗ · · · ⊗ DM einen MultidifferentialopeD◦ D1 ⊗ · · · ⊗ La ◦Di − Di ◦ L(j) a   (K1 +L1 ,...,Ki −ej +Li ,...,KM +LM ) (1) (M) E1 , . . . , ENM ; G liefert. Da rator in DiffOpA

aber (K1 + L1 , . . . , Ki + Li , . . . , KM + LM ) ≤ (K1 + L1 , . . . , Ki − ej + Li , . . . , KM + LM ) gilt, folgt mit der Filtrationseigenschaft (A.37), daß insgesamt La ◦D ◦ (D1 ⊗ · · · ⊗ DM ) − D ◦(D1 ⊗ · · · ⊗ DM ) ◦ L(i)(j) ein Element a (K +L ,...,Ki −ej +Li ,...,KM +LM ) (1) (M) E1 , . . . , ENM ; G f¨ ur alle i und j ist, in DiffOpA 1 1

womit (A.43) folgt.

 

Wir diskutieren nun einige Konsequenzen der Propositionen A.4.3 und A.4.4. H¨ aufig betrachten wir die Situation von Differentialoperatoren auf einem festen Modul E. Diese bezeichnen wir dann einfach mit

A.4 Algebraische Definition von Multidifferentialoperatoren

DiffOpkA (E) = DiffOpkA (E; E),

571

(A.44)

und setzen entsprechend DiffOp•A (E) =

∞ 

DiffOpkA (E) ⊆ End (E).

(A.45)

k=0

Wir erhalten somit unmittelbar folgende Verallgemeinerung von Proposition A.2.4: Korollar A.4.5. Sei E ein A-Modul. Dann ist DiffOp•A (E) eine filtrierte Unteralgebra von End (E) mit Einselement = idE . Es gilt La ∈ DiffOp0A (E). Ist der Modul nichtausgeartet, so ist a → La ein injektiver Algebramorphismus A −→ DiffOp0A (E).



Hier heißt ein A-Modul nichtausgeartet , wenn a · s = 0 f¨ ur alle a ∈ A impliziert, daß s = 0 gilt. F¨ ur Algebren mit Einselement treffen wir die (durchaus vern¨ unftige) Vereinbarung, daß wir nur Moduln E mit der Eigenschaft ·s = s betrachten, also L = idE . Diese sind dann immer nichtausgeartet. Ein triviales, wenn auch wichtiges Beispiel f¨ ur einen Bidifferentialoperator ist die Modulmultiplikation selbst:



Beispiel A.4.6. Sei E ein Modul u ¨ber A, dann ist die Modulmultiplikation μE : A × E −→ E μE (a, s) = a · s (A.46) ein Bidifferentialoperator der Ordnung 0 in beiden Argumenten (0,0)

μE ∈ DiffOpA

(A, E; E).

(A.47)

Dies folgt unmittelbar aus der Kommutativit¨at von A. Insbesondere ist die Algebramultiplikation μ : A × A −→ A ein Bidifferentialoperator nullter Ordnung auf A. Als letzte Konstruktion betrachten wir das Einsetzen von Modulelementen in einen Multidifferentialoperator. Sei D ∈ DiffOpK A (E1 , . . . , EN ; F) gegeahlt. Dann definiert man die multilineare Abbildung ben und s ∈ E fest gew¨ 

i (s)D : E1 × · · · ∧ · · · × EN −→ F mit N − 1 Argumenten durch (i (s)D) (s1 , . . . , s−1 , s+1 , . . . , sN ) = D(s1 , . . . , s−1 , s, s+1 , . . . , sN ), (A.48) ur i ∈ {1, . . . , − 1, + 1, . . . , N }. Die Abbildung D → i (s)D wobei si ∈ Ei f¨ ist offenbar linear und es gilt La ◦ i (s) = i (s) ◦ La sowie

(A.49)

572

A Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten

i (s) ◦

L(i) a

⎧ (i) ⎪ ⎨La ◦ i (s) = i (as) ⎪ ⎩ (i−1) La ◦ i (s)

i< i= i>

(A.50)



ur alle α, β ∈ f¨ ur alle a ∈ A. Schließlich gilt i (αs + βt) = α i (s) + β i (t) f¨ und s, t ∈ E . Die Einsetzungen an verschiedenen Stellen vertauschen. Folgende Proposition zeigt, daß i (s)D wieder ein Multidifferentialoperator ist, was man mit dem u ¨ blichen Induktionsbeweis u ¨ ber die totale Ordnung |K| leicht zeigt. Wir verzichten daher auf einen Beweis: Proposition A.4.7. Sei D ∈ DiffOpK A (E1 , . . . , EN ; F) und s ∈ E . Dann gilt ˆ

i (s)D ∈ DiffOpK A (E1 , . . . , E−1 , E+1 , . . . , EN ; F), ˆ = (k1 , . . . , k−1 , k+1 , . . . , kN ) ∈ wobei K

(A.51)

N −1.

Das einfache Beispiel A.4.6 sowie Proposition A.4.7 besitzen eine interes¨ sante und nichttriviale Anwendung, welche unsere Uberlegungen zur differentiellen Hochschild-Kohomologie aus Abschnitt 6.2.5 f¨ ur beliebige kommutative Algebren verallgemeinert: Satz A.4.8 (Differentielle Hochschild-Kohomologie). Sei A eine assoziative und kommutative -Algebra mit Einselement .





i.) Der differentielle Hochschild-Komplex • (A) = Cdiff

∞ 

k Cdiff (A) ⊆ C • (A)

(A.52)

k=0

mit



k Cdiff (A) = DiffOp•A A, . . . , A; A   

(A.53)

k-mal

ist bez¨ uglich des Gerstenhaber-Produkts ◦, der Gerstenhaber-Klammer [·, ·], des cup-Produkts ∪ und des Hochschild-Differentials δ abgeschlossen. • (A) insbesondere ein Unterkomplex von C • (A). Damit ist Cdiff ii.) Die differentielle Hochschild-Kohomologie   ker δ C • (A)  diff  HH•diff (A) = (A.54) im δ C •−1 (A) diff

wird auf nat¨ urliche Weise mit der Gerstenhaber-Klammer und dem cupProdukt zu einer Gerstenhaber-Algebra. iii.) Es gilt kanonisch (A.55) HH0diff (A) = HH0 (A) = A und HH1diff (A) = HH1 (A) = Der(A).

(A.56)

A.5 Multidifferentialoperatoren auf Schnitten von Vektorb¨ undeln

573

Beweis. Da die Gerstenhaber-Produkte ◦i aus Linearkombinationen von In” einandersteckungen“ gebildet werden, folgt der erste Teil unmittelbar aus den Propositionen A.4.4 und A.4.7 sowie Beispiel A.4.6 zusammen mit der Tatuckgef¨ uhrt sache, daß ◦, [·, ·], ∪, δ auf die elementaren Operationen ◦i zur¨ werden k¨ onnen. Der zweite Teil folgt analog zu Satz 6.2.18, da der Beweis ebenfalls rein kombinatorischer Natur ist und nur die elementaren Operationen ◦i verwendet. Der dritte Teil ist schließlich eine einfache Konsequenz aus Bemerkung A.2.6 und der Annahme, daß A kommutativ ist, womit alle Derivationen ¨ außere sind.  

A.5 Multidifferentialoperatoren auf Schnitten von Vektorbu ¨ndeln Wir wollen nun die algebraischen Resultate zu Multidifferentialoperatoren in die Differentialgeometrie u ¨ bertragen. Hierbei stellt sich zun¨achst die Frage, welche Moduln man betrachten m¨ ochte. Auch wenn es nicht der einzige interundeln essante Fall ist, werden wir uns auf die Schnitte Γ∞ (E) von Vektorb¨ E −→ M beschr¨ anken. Diese stellen eine große Klasse von Moduln u ¨ ber C ∞ (M ) dar, wie wir in Abschnitt 2.2 gesehen haben. Seien also πj : Ej −→ M mit j = 1, . . . , N und πF : F −→ M Vektorb¨ undel u ¨ ber M , welche entweder reell oder komplex sein m¨ogen, je nach dem, ob wir reell- oder komplexwertige Funktionen C ∞ (M ) betrachten. Um die Notation nicht unn¨ otig zu erschweren, schreiben wir f¨ ur K ∈ N kurz



K ∞ ∞ ∞ DiffOpK M (E1 , . . . , EN ; F ) = DiffOpC ∞ (M) (Γ (E1 ), . . . , Γ (EN ); Γ (F )) . (A.57) Als erstes Ergebnis erhalten wir die Lokalit¨at und Lokalisierbarkeit von Multidifferentialoperatoren. F¨ ur eine offene Teilmenge U ⊆ M k¨onnen Schnitankt werden und liefern Schnitte s U ∈ Γ∞ (E U ). Man te s ∈ Γ∞ (E) eingeschr¨ beachte jedoch, daß typischerweise nicht jeder Schnitt von E U eine solche Einschr¨ ankung ist: ein gegebener Schnitt s ∈ Γ∞ (E U ) kann im allgemeinen nicht zu einem Schnitt von E fortgesetzt werden. Diese Problematik haben wir f¨ ur Funktionen ja bereits gesehen.

Satz A.5.1 (Lokalit¨ at von Multidifferentialoperatoren). Seien Ej −→ M mit j = 1, . . . , N und F −→ M Vektorb¨ undel ¨ uber M . i.) Sei D : Γ∞ (E1 ) × · · · × Γ∞ (EN ) −→ Γ∞ (F ) eine multilineare Abbildung. Ist D lokal im Sinne, daß supp D(s1 , . . . , sN ) ⊆ supp s1 ∩ · · · ∩ supp sN

(A.58)

f¨ ur alle sj ∈ Γ∞ (Ej ) mit j = 1, . . . , N , so gibt es f¨ ur jede offene Teilmenge U ⊆ M eindeutig bestimmte multilineare Abbildungen DU : Γ∞ (E1 U ) × · · · × Γ∞ (EN U ) −→ Γ∞ (F U ) mit DM = D und

574

A Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten

DU (s1 , . . . , sN ) V = DV (s1 V , . . . , sN V ) (A.59) f¨ ur alle offenen Teilmengen V ⊆ U und sj ∈ Γ∞ (Ej U ). ii.) Ist D ∈ DiffOpK M (E1 , . . . , EN ; F ), so ist D lokal. iii.) D ∈ DiffOp0M (E1 , . . . , EN ; F ) l¨aßt sich kanonisch als ein Tensorfeld in ∗ ⊗ F ) auf fassen. Γ∞ (E1∗ ⊗ · · · ⊗ EN K ur alle offenen Teilmengen U iv.) Ist D ∈ DiffOpM (E1 , . . . , EN ; F ), so gilt f¨ (A.60) DU ∈ DiffOpK U (E1 U , . . . , EN U ; F U ). Beweis. Der erste Teil folgt im wesentlichen dem Beweis von Proposition A.3.3. Die Eindeutigkeit l¨ aßt sich wieder wie in Proposition A.3.3 mit Hilfe einer Abschneidefunktion zeigen: F¨ ur eine offene Teilmenge U ⊆ M und sj ∈ Γ∞ (Ej U ) betrachten wir eine offene Teilmenge O ⊆ U mit Ocl ⊆ U und eine Abschneidefunktion χ ∈ C ∞ (M ) mit supp χ ⊆ U und χ Ocl = 1. Dann definiert man DU (s1 , . . . , sN ) O = D(χs1 , . . . , χsN ) O . ˜ und χ Ist O ˜ eine andere Wahl, so gilt (χ − χ) ˜ O∩O˜ = 0, womit aufgrund der Lokalit¨ at und Multilinearit¨ at ˜ N ) O∩O˜ D(χs1 , . . . , χsN ) O∩O˜ = D(χs1 , . . . , χsN −1 , χs = · · · = D(χs ˜ 1 , . . . , χs ˜ N ) ˜ O∩O

folgt, was die Wohl-Definiertheit von DU liefert. Analog zeigt man auch, daß die Eigenschaft (A.59) gilt. Seien nun f¨ ur den zweiten Teil sj ∈ Γ∞ (Ej ) mit j = 1, . . . , N vorgegeben und p ∈ supp sj0 . Dann w¨ahlt man χ ∈ C ∞ (M ) mit χ supp sj = 1 und χ(p) = 0 und findet f¨ ur D ∈ DiffOp0M (E1 , . . . , EN ; F ), daß 0

D(s1 , . . . sN )(p) = D(s1 , . . . , χsj0 , . . . , sN )(p) = χ(p)D(s1 , . . . , sN )(p) = 0, womit (A.58) f¨ ur K = 0 folgt. Danach l¨ auft die Induktion u ¨ ber |K| wie in Lemma A.3.2. Im dritten Teil geht es also darum, den Beweis von Satz 2.2.24 nachzuholen, da die Multidifferentialoperatoren DiffOp0M (E1 , . . . , EN ; F ) nullter Ordnung gerade die C ∞ (M )-multilinearen Abbildungen sind. Seien dazu vj ∈ Ej p vorgegeben. Dann definieren wir ˜ p (v1 , . . . , vN ) = D(s1 , . . . , sN )(p), D wobei wir Schnitte sj ∈ Γ∞ (Ej ) mit sj (p) = vj w¨ahlen, was immer m¨oglich ist, wie man mit Hilfe einer lokalen Trivialisierung und einer entsprechenden ˜ p wohlAbschneidefunktion leicht einsieht. Wir m¨ ussen nun zeigen, daß D definiert ist, also nicht von der Wahl der Schnitte sj sondern nur von den angt. Da D multilinear ist, gen¨ ugt es, zu zeigen, Werten vj = sj (p) bei p abh¨ ˜ p (v1 , . . . , vN ) verschwindet. Sei also sj (p) = 0 f¨ daß mit vj = 0 auch D ur ein j. Man kann nun um p eine B¨ undelkarte mit lokalen Basisschnitten ej,α ∈

A.5 Multidifferentialoperatoren auf Schnitten von Vektorb¨ undeln

575

Γ∞ (Ej U ) w¨ ahlen, so daß sj U = sα j ej,α mit eindeutig bestimmten Funktionen ∞ sα ∈ C (U ) gilt. Insbesondere folgt mit sj (p) = 0 auch sα ur alle j j (p) = 0 f¨ α. Wir w¨ ahlen nun eine glatte Funktion χ ∈ C ∞ (M ) mit supp χ ⊆ U und χ(p) = 1. Dann sind die Funktionen χsα j auf ganz M als glatte Funktionen definiert, und entsprechend ist auch χej,α ∈ Γ∞ (Ej ) global definiert und glatt. ∞ at gilt nun Weiter gilt χ2 sj = (χsα j )(χej,α ). Mit der C (M )-Multilinearit¨ D(s1 , . . . , sN )(p) = χ2 (p)D(s1 , . . . , sN )(p) = D(s1 , . . . , χ2 sj , . . . , sN )(p) = D(s1 , . . . , (χsα j )(χej,α ), . . . , sN )(p) = (χsα j )(p)D(s1 , . . . , (χej,α ), . . . , sN )(p) = 0. ˜ tats¨ Dies zeigt aber, daß D achlich ein wohl-definiertes Tensorfeld vom angegebenen Typ ist. F¨ ur K = 0 ist der vierte Teil klar, da die Einschr¨ankung ˜ gegeben von D durch die entsprechende Einschr¨ ankung des Tensorfeldes D ist und daher wieder von der Ordnung 0 ist. Der Beweis f¨ ur K ≥ 0 folgt nun w¨ ortlich dem von Proposition A.3.3, wobei wir nun einen Induktionsbeweis u uhren.   ¨ ber |K| f¨ Wir wollen nun wieder die lokale Gestalt von Multidifferentialoperatoren bestimmen. Hierzu m¨ ussen wir aber, anders als im Fall von (Multi-) Differentialoperatoren auf Funktionen, auch lokale Darstellungen der Schnitte w¨ ahlen, da auf intrinsische Weise keine partielle Ableitung eines Schnittes wohl-definiert ist: man kann nur die Koeffizientenfunktionen bez¨ uglich lokaler Basisschnitte partiell in Koordinatenrichtung differenzieren. Abgesehen von diesem neuen Aspekt verl¨ auft der Beweis des folgenden Satzes analog zu dem von Satz A.3.5. Satz A.5.2 (Lokale Form von Multidifferentialoperatoren). Sei D ∈ DiffOpK M (E1 , . . . , EN ; F ). Sei weiter eine lokale Karte (U, x) von M gegeben ur j = 1, . . . , N sowie lokale, auf U definierte Basisschnitte {ej,α }α von Ej f¨ mit den zugeh¨origen dualen lokalen Basisschnitten {eα } von Ej∗ . α j

 R I1 ,...,IN ∞ i.) Dann gibt es eindeutig bestimmte lokale Schnitte DU F U , α1 ,...,αN ∈ Γ (j)

(j)

welche in jeder Indexgruppe Ij = (i1 , . . . , irj ) total symmetrisch sind, so daß DU (s1 , . . . , sN )  1 = R! 0≤R≤K

 I1 ,...,IN

R I1 ,...,IN DU α1 ,...,αN

1 ∂ r 1 sα 1 (1)

(1)

∂xi1 · · · ∂xir1

···

N ∂ r N sα N (N )

∂xi1

(N )

· · · ∂xirN (A.61)

 f¨ ur alle lokalen Schnitte sj ∈ Γ∞ Ej U , wobei sj = sα j ej,α die lokale Basisdarstellung der sj bezeichnet.

576

A Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten

K I1 ,...,IN ii.) F¨ ur R = K definieren die lokalen Schnitte DU α1 ,...,αN ein globales Tensorfeld, das f¨ uhrende Symbol

 ∗ ⊗F (A.62) σK (D) ∈ Γ∞ Sk1 T M ⊗ · · · ⊗ SkN T M ⊗ E1∗ ⊗ · · · ⊗ EN

durch 1 K I1 ,...,IN αN 1 ∂I ⊗ · · · ⊗ ∂IN ⊗ eα σK (D) U = 1 ⊗ · · · ⊗ eN ⊗ DU α1 ,...,αN , (A.63) K! 1 wobei ¨ uber alle auftretenden Koordinaten- und Basisindizes summiert wird und ∂ ∂ ∂Ij = ∨ ···∨ . (A.64) (j) (j) i ik ∂x 1 j ∂x Beweis. F¨ ur K = 0 ist dies gerade die lokale Darstellung des Tensorfeldes aus Satz A.5.1, so daß wir K ≥ 0 annehmen k¨ onnen. Auch wenn die Buchhaltung etwas schwieriger geworden ist, folgt der Beweis doch im wesentlichen dem von Satz A.3.5. Ohne Einschr¨ ankung betrachten wir wieder zun¨achst einen konvexen Bildbereich x(U ) der Karte. Weiter w¨ahlen wir x0 fest und schreiben die Koeffizientenfunktionen in der Form α i i α sα j (x) = sj (x0 ) + (x − x0 )gj,i (x) α mit gj,i ∈ C ∞ (U ) f¨ ur alle j = 1, . . . , N , so daß α ∂ r+1 sα ∂ r gj,i 1 j (x ) = (x0 ), 0 ∂xi1 · · · ∂xir r + 1 ∂xi1 · · · ∂xir ∂xi

(∗)

was nach Hadamards Trick gelingt. Mit der u ur ¨ blichen Induktionsannahme f¨ die Induktion nach |K| sind die Operatoren (j)

(j)

Sji = DU ◦ Lxi −xi − Lxi −xi0 ◦DU = DU ◦ Lxi − Lxi ◦DU 0

von der gew¨ unschten Form. Man beachte, daß die Linksmultiplikation mit der Konstanten xi0 mit D vertauscht, w¨ ahrend die Linksmultiplikation mit der urlich im allgemeinen nicht tut. Es gilt also Koordinatenfunktion xi dies nat¨ Sji (s1 , . . . , sN )  = 0≤R≤K−ej

1 R!



1 ,...,αN

I1 ,...,IN

1 ∂ r 1 sα 1

I1 ,...,IN

SjiR α

(1) i1

∂x

(1) ir1

· · · ∂x

···

N ∂ r N sα N (N ) i1

∂x

(N )

· · · ∂xirN

 I ,...,I mit entsprechenden lokalen Schnitten SjiR α1 ,...,αN ∈ Γ∞ F U . Wir berechnen 1 N nun DU (s1 , . . . , sN ) am Punkte x = x0 . Es gilt 

 α i i DU (s1 , . . . , sN )(x0 ) = DU sα 1 (x0 ) + g1,i (x − x0 ) e1,α , s2 , . . . , sN (x0 ) = sα 1 (x0 )D(e1,α , s2 , . . . , sN )(x0 )

A.5 Multidifferentialoperatoren auf Schnitten von Vektorb¨ undeln

577



 (1) (1) α + DU ◦ Lxi − Lxi −xi ◦DU g1,i e1,α , s2 , . . . , sN (x0 ) 0 

  α + Lxi −xi0 ◦DU g1,i e1,α , s2 , . . . , sN (x0 ) 

= sα 1 (x0 )DU (e1,α , s2 , . . . , sN )(x0 )

α  + S1i g1,i e1,α , s2 , . . . , sN (x0 ), da xi − xi0 bei x = x0 verschwindet. Iterativ erh¨alt man also DU (s1 , . . . , sN )(x0 ) =

N 

α

j−1 1 sα 1 (x0 ) · · · sj−1 (x0 )

j=1

 α × Sji e1,α1 , . . . , ej−1,αj−1 , gjij ej,αj , sj+1 , . . . , sN (x0 )

αN 1 + sα 1 (x0 ) · · · sN (x0 )DU (e1,α1 , . . . , eN,αN ) (x0 ).

Einsetzen der lokalen Form der Sji und Ber¨ ucksichtigung von (∗) liefert dann die gew¨ unschte Form des Operators DU am Punkt x0 . Da aber die Sji nicht von der Wahl des Punktes x0 abhingen, gilt die Darstellung f¨ ur alle x0 ∈ U , womit der Beweis von (A.61) erbracht ist. Das zeigt den ersten Teil durch Induktion nach |K|. Der zweite besteht im Nachrechnen, daß sich die Koeffizientenfunktionen f¨ ur R = K tats¨ achlich auf die gew¨ unschte Weise transformieren: Mit Lemma 5.4.4 sowie dem bekannten Transformationsverhalten der Koeffizientenfunktionen sα unter Wechsel der Basisschnitte eα ist dies aber eine einfache Rechnung.   Bemerkung A.5.3. Analog zu Proposition A.3.6 erh¨alt man auch die Um” kehrung“ dieses Satzes: eine Abbildung D, welche in einem Atlas bez¨ uglich einer Wahl von lokalen Basisschnitten lokal durch (A.61) beschrieben werden kann, ist ein Multidifferentialoperator der entsprechenden Ordnung. Der Beweis verl¨ auft hier, abgesehen vom etwas gr¨ oßeren buchhalterischen Aufwand, analog zu Proposition A.3.6, so daß wir auf eine detaillierte Ausf¨ uhrung verzichten. Wir kommen zum Abschluß nun zu einigen Beispielen, welche an verschiedenen Stellen bereits zur Anwendung kamen: ¨ Beispiel A.5.4 (Außere Ableitung). Die ¨ außere Ableitung d : Ω• (M ) −→ •+1 Ω (M ) ist ein Differentialoperator erster Ordnung. Dies folgt unmittelbar aus der Leibniz-Regel d(f α) = df ∧ α + f dα (A.65) f¨ ur f ∈ C ∞ (M ) und α ∈ Ω• (M ). Damit ist letztlich auch die Vorgehensweise im Beweis von Satz 2.3.14 gerechtfertigt, d in lokalen Koordinaten zu bestimmen. Ebenso sind die Operatoren ∂ und ∂ auf einer K¨ahler-Mannigfaltigkeit Differentialoperatoren der Ordnung 1.

578

A Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten

Beispiel A.5.5 (Schouten-Nijenhuis-Klammer). Mit Hilfe der Leibniz-Regel zeigt man analog, daß die Schouten-Nijenhuis-Klammer ein Bidifferentialoperator der Ordnung (1, 1) ist, also (1,1)

·, · ∈ DiffOpM

(Λ• T M, Λ• T M ; Λ•T M ) .

(A.66)

Insbesondere ist die Lie-Klammer von Vektorfeldern ein Bidifferentialoperator der Ordnung (1, 1). Beispiel A.5.6 (Kovariante Ableitung und Kr¨ ummung). Ist E −→ M ein Vektorb¨ undel, so ist eine kovariante Ableitung ∇ : Γ∞ (T M ) × Γ∞ (E) −→ Γ∞ (E) ein Bidifferentialoperator der Ordnung (0, 1), also in unserer Notation (0,1)

∇ ∈ DiffOpM (T M, E; E).

(A.67)

Dies folgt wieder unmittelbar aus der Funktionenlinearit¨at im ersten und der Leibniz-Regel im zweiten Argument gem¨ aß Definition 2.2.25. Entsprechend liefert Satz A.5.2 die Rechtfertigung daf¨ ur, daß ∇ auf lokalen Basisschnitten ausgewertet werden darf und so durch die lokalen Zusammenhangseinsformen festgelegt wird. Interessant ist nun der Kr¨ ummungstensor R(X, Y )s = ∇X ∇Y s−∇Y ∇X s− ahlen der Differentiationsordnungen gem¨aß ∇[X,Y ] s, welcher durch naives Abz¨ Proposition A.4.4 sowie mit Beispiel A.5.5 ein Tridifferentialoperator R ∈ (1,1,2) DiffOpM (T M, T M, E; E) ist. Hier sieht man, daß beim Bilden geeigneter Linearkombinationen der tats¨ achliche Differentiationsgrad niedriger ausfallen kann, als Proposition A.4.4 dies zun¨ achst liefert: Es gilt ja aufgrund der jeweiligen Leibniz-Regeln f¨ ur ∇ und die Lie-Klammer, daß R tensoriell in jedem Argument, also ein Tridifferentialoperator der Ordnung (0, 0, 0) ist. Die Potenzen der symmetrisierten kovarianten Ableitung D wie in Definition 5.4.1 liefern f¨ ur k, ∈ 0 schließlich Differentialoperatoren



Dk ∈ DiffOpkM (S T ∗ M ; S+k T ∗ M ).

(A.68)

Beispiel A.5.7 (Poisson-Klammer und Jacobiator). Schließlich zeigt man erneut unter Verwendung der Leibniz-Regel, daß die Poisson-Klammer ein Bidifferentialoperator der Ordnung (1, 1) ist. F¨ ur ein beliebiges Bivektorfeld π ist aß (4.6) ein Tridifferentialoperator der Ordnung dann der Jacobiator Jπ gem¨ (1, 1, 1), was ebenfalls aus der Leibniz-Regel f¨ ur Jπ folgt.

Kommentiertes Literaturverzeichnis

Literatur zu Kapitel 1 1.1 Honerkamp, J., R¨ omer, H.: Klassische Theoretische Physik. SpringerVerlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2. Auflage, 1989. Sch¨ ones Lehrbuch zur theoretischen Physik, insbesondere Kapitel 2 und 3 als Hintergrundwissen zur klassischen Mechanik.

Literatur zu Kapitel 2 2.1 Br¨ ocker, T., J¨ anich, K.: Einf¨ uhrung in die Differentialtopologie, Band 143 in Heidelberger Taschenb¨ ucher. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1990. Korrigierter Nachdruck. Hier finden sich weiterf¨ uhrende differentialtopologische Resultate mit detaillierten Beweisen. 2.2 J¨ anich, K.: Vektoranalysis. Springer-Verlag, Heidelberg, Berlin, New York, 4. Auflage, 2003. Sehr sch¨ one und p¨ adagogische Einf¨ uhrung in die Differentialgeometrie, insbesondere weitere Details zur Integrationstheorie. 2.3 Lang, S.: Fundamentals of Differential Geometry, Band 191 in Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1999. Einer der Klassiker. Sehr viel Hintergrundinformation, insbesondere auch zur Riemannschen Geometrie. 2.4 Michor, P.: Topics in Differential Geometry. Schr¨odinger Institute, Wien, 2001, erh¨altlich auf der homepage www.mat.univie.ac.at/~michor/. Dieses Skriptum war an vielen Stellen Vorlage und Inspiration. Uneingeschr¨ ankt empfehlenswert. 2.5 Querenburg, B. v.: Mengentheoretische Topologie. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 3. Auflage, 2001.

580

Kommentiertes Literaturverzeichnis

Sehr ausf¨ uhrliche Darstellung der mengentheoretischen Topologie, zum Nachschlagen einzelner Begriffe. 2.6 Wells, R. O.: Differential Analysis on Complex Manifolds, Band 65 in Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, 1980. Weiterf¨ uhrende Resultate zu komplexen Mannigfaltigkeiten und K¨ahlerGeometrie.

Literatur zu Kapitel 3 3.1 Abraham, R., Marsden, J. E.: Foundations of Mechanics. Addison Wesley Publishing Company, Reading, Mass., 2. Auflage, 1985. Sicherlich nach wie vor das Standardwerk in der geometrischen Mechanik. Sehr umfangreich und auch nicht ganz einfach. 3.2 Arnol’d, V. I.: Mathematical Methods of Classical Mechanics, Band 60 in Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2. Auflage, 1989. Einer der Klassiker zur klassischen Mechanik, insbesondere auch weiterf¨ uhrenden Resultate zur Dynamik und St¨orungstheorie. 3.3 Duistermaat, J. J., Kolk, J. A. C.: Lie Groups. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2000. Sehr moderne Darstellung der Theorie der Lie-Gruppen und ihrer Wirkungen, allerdings kein Anf¨ angerbuch. 3.4 Guillemin, V., Sternberg, S.: Symplectic techniques in physics. Cambridge University Press, Cambridge, U. K., 1984. Ebenfalls ein Klassiker. Bietet insbesondere auch Anwendungen der symplektischen Geometrie jenseits der klassischen Mechanik. 3.5 Hall, B. C.: Lie Groups, Lie Algebras, and Representations, Band 222 in Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2003. Sch¨ one Einf¨ uhrung in die Theorie der Lie-Gruppen und ihrer Darstellungstheorie, bezieht sich haupts¨ achlich auf Matrix-Lie-Gruppen. 3.6 Marsden, J. E., Ratiu, T. S.: Einf¨ uhrung in die Mechanik und Symmetrie. Springer-Verlag, New York, Heidelberg, 2000. Sch¨ one Darstellung der geometrischen Mechanik mit vielen weiterf¨ uhrenden Beispielen. 3.7 Meinrenken, E.: Symplectic Geometry. Department of Mathematics, University of Toronto, 2000. Vorlesungsskriptum, erh¨altlich auf der homepage www.math.toronto.edu/~mein/. Weiterf¨ uhrende Resultate zur symplektischen Geometrie. Zum Teil sehr elegante Beweise, aber nicht ganz einfach. 3.8 Ortega, J.-P., Ratiu, T. S.: Momentum Maps and Hamiltonian Reduction, Band 222 in Progress in Mathematics. Birkh¨auser, Boston, 2004. Weiterf¨ uhrende Literatur zur Phasenraumreduktion, kein Anf¨angerbuch.

Kommentiertes Literaturverzeichnis

581

Literatur zu Kapitel 4 4.1 Cannas da Silva, A., Weinstein, A.: Geometric Models for Noncommutative Algebras. Berkeley Mathematics Lecture Notes. AMS, 1999. Verschiedene Aspekte der Poisson-Geometrie und auch der Lie-Algebroidtheorie werden im Lichte der nichtkommutativen Geometrie diskutiert. Enth¨ alt auch eine kurze Einf¨ uhrung in die Deformationsquantisierung. 4.2 Dufour, J.-P., Zung, N. T.: Poisson Structures and Their Normal Forms, Band 242 in Progress in Mathematics. Birkh¨auser Verlag, Basel, Boston, New York, 2005. Fachmonographie zur Poisson-Geometrie mit Schwerpunkt auf den verschiedenen Normalformen. 4.3 Mackenzie, K. C. H.: General Theory of Lie Groupoids and Lie Algebroids, Band 213 in London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2005. Grundlegendes zur Theorie der Lie-Gruppoide und Lie-Algebroide. 4.4 Vaisman, I.: Lectures on the Geometry of Poisson Manifolds. Birkh¨auser Verlag, Basel, Boston, Berlin, 1994. Der Klassiker zur Poisson-Geometrie, enth¨alt auch kurze Bemerkungen zur Deformationsquantisierung.

Literatur zu Kapitel 5 5.1 Bates, S., Weinstein, A.: Lectures on the Geometry of Quantization. Berkeley Mathematics Lecture Notes 8, Berkeley, 1995. Diverse geometrische Aspekte zur Quantisierung ausgehend von der WKBEntwicklung. 5.2 Dirac, P. A. M.: Lectures on Quantum Mechanics. Belfer Graduate School of Science, Yeshiva University, New York, 1964. Einer der Klassiker zur Quantisierungstheorie in Gegenwart von constraints. 5.3 Landsman, N. P.: Mathematical Topics between Classical and Quantum Mechanics. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1998. Sehr detaillierte und sch¨ one Diskussion des Quantisierungsproblems, insbesondere der funktionalanalytischen Aspekte. Setzt einiges an Kenntnissen zu Operatoralgebren voraus. 5.4 Thirring, W.: Quantum Mathematical Physics. Atoms, Molecules and Large Systems. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2. Auflage, 2002. Grundlagen der Quantentheorie mit Schwerpunkt auf den funktionalanalytischen Aspekten. 5.5 Woodhouse, N. M. J.: Geometric Quantization. Clarendon Press, Oxford, 1992. Ein Standardwerk zur geometrischen Quantisierung.

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Kommentiertes Literaturverzeichnis

Literatur zu Kapitel 6 6.1 Bayen, F., Flato, M., Frønsdal, C., Lichnerowicz, A., Sternheimer, D.: Deformation Theory and Quantization. Ann. Phys. 111 (1978), 61–151. Die grundlegenden Definitionen und erste Resultate zu Sternprodukten. Schon aus historischen Gr¨ unden sollte dieser Artikel gelesen werden. 6.2 Fedosov, B. V.: Deformation Quantization and Index Theory. Akademie Verlag, Berlin, 1996. Die Konstruktion von Fedosov sowie der Beweis seines Index-Theorems, setzt allerdings einiges voraus. 6.3 Weinstein, A.: Deformation Quantization. Ast´erisque .227 (1995), Exp. No. 789, 5, 389–409. S´eminaire Bourbaki, Vol. 1993/94. ¨ Sch¨ oner, wenn auch etwas ¨ alterer Ubersichtsartikel.

Literatur zu Kapitel 7 7.1 Bratteli, O., Robinson, D. W.: Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics I: C ∗ - and W ∗ -Algebras. Symmetry Groups. Decomposition of States. Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 2. Auflage, 1987. Grundlagen der Theorie der Operatoralgebren mit Anwendungen in der Quantentheorie, zum Nachschlagen. 7.2 Schm¨ udgen, K.: Unbounded Operator Algebras and Representation Theory, Band 37 in Operator Theory: Advances and Applications. Birkh¨auser Verlag, Basel, Boston, Berlin, 1990. Fachmonographie zu Algebren von unbeschr¨ankten Operatoren, bietet Hintergrundwissen und Motivation f¨ ur die Darstellungstheorie. Kein Anf¨ angerbuch. 7.3 Waldmann, S.: States and Representation Theory in Deformation Quantization. Rev. Math. Phys. 17 (2005), 15–75. ¨ Ein Ubersichtsartikel zur Darstellungstheorie mit Schwerpunkt MoritaTheorie.

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Sachverzeichnis

Abbildung adjungierbare 492 antisymplektische 191 differenzierbare 33 eigentliche 162 fast-holomorphe 138 holomorphe 139 kontrahierende 391 positive 499 vollst¨ andig positive 499, 546 abgeleitete Klammer 213 ¨ Aquivalenztransformation 380, 403, 408 außere Ableitung 77, 243 ¨ als Differentialoperator 577 kovariante 454 a ¨ußere Algebra 92 affiner Raum 33 Aharonov-Bohm-Effekt 431, 531 Algebra 27, 43 der Differentialformen 75 der Differentialoperatoren 299 differentiell gradierte 240, 252 -gradierte 79 Algebraelement algebraisch positives 497 Hermitesches 494 isometrisches 494 normales 494 positives 497 unit¨ ares 494 ∗ -Algebra 18, 284, 286, 493 Allgemeine Relativit¨ atstheorie 131

Anker 238, 246 injektiver 239 Annihilatorb¨ undel 53, 276 Anti-Wick-Ordnung 305 Anti-Wick-Sternprodukt 311 Antiderivation 56 Antistandardordnung 302 auf Kotangentenb¨ undeln 352 Archimedische Ordnung 488 Assoziativit¨ atsbedingung 314, 354, 375, 397, 402 asymptotische Entwicklung 331, 355, 373 Laurent 332 Newton-Puiseux 332 asymptotische Positivit¨ at 487 Atlas 31 Darboux 118, 516 differenzierbarer 31 holomorpher 139 maximaler 31 Ausartungsraum 490 ∗ -Automorphismus 20, 429 Bahn 156, 169 koadjungierte 274 Tangentialraum 171 Bahnenraum 158 Baker-Campbell-Hausdorff-Reihe 408 Banachscher Fixpunktsatz 10, 391, 463 Bargmann-Fock-Darstellung 305 formale 526, 543 Bargmann-Fock-Raum 303, 304, 357

602

Sachverzeichnis

formaler 526, 541 Betragsfunktion 488 Bianchi-Identit¨ at 102, 103, 458 Bimodul 476 Bl¨ atterung 228 einer Poisson-Mannigfaltigkeit 229 eines Lie-Algebroids 239 Blatt 227 symplektisches 231, 236 Boltzmann-Konstante 19 Borel-Lemma 260, 332, 372, 448 Borel-Maß 19, 496, 502 B¨ undel von Lie-Algebren 238 B¨ undelkarte 46 Cartan-Formel 79 f¨ ur Multivektorfelder 84 Casimir-Funktion 218, 220, 231, 252 Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen 139 Cauchy-Schwarz-Ungleichung f¨ ur inneres Produkt 491 f¨ ur positives Funktional 495 Charakteristik Null 488 charakteristische Klasse 385, 473 Chevalley-Eilenberg-Differential 179, 243 Christoffel-Symbole 103, 138, 195, 342 constraints 188 cup-Produkt 400, 401 Darboux-Basis 28, 220 Darboux-Koordinaten 118, 148, 252, 380 Darboux-Theorem 113, 116, 232 lineares 24, 28, 220 Darstellung adjungierte 183, 203 anti-Wick-geordnete 305 antistandardgeordnete 302 einer Lie-Algebra 74, 175, 294 einer Lie-Gruppe 156 Irreduzibilit¨ at 294 κ-geordnete 302, 307, 309, 529 Integralformel 326 κ ˜ -geordnete 306 koadjungierte 183, 185, 203 Kommutante 294 Weyl-geordnete 301

Wick-geordnete 305 -Darstellung 518 Kern 547 Kommutante 521 nichtausgeartete 519 orthogonale direkte Summe 521 stark nichtausgeartete 519 treue 519 ¨ unit¨ are Aquivalenz 519 zyklische 519 Darstellungstheorie 519, 537, 549 Deformation siehe formale Deformation Poisson-Tensor siehe PoissonDeformation δ-Funktional 210, 496 Gel’fand-Ideal 525 GNS-Darstellung 526 Positivit¨ at 501 deRham Differential siehe ¨ außere Ableitung deRham-Kohomologie 80, 219, 247, 253 erste integrale 430 komplexe 142 zweite 270 Derivation 27, 43, 74, 558 außere 27, 399 ¨ innere 27, 285, 399 Kommutator 44 lokal innere 425 lokale 424 quasiinnere 424, 430, 452 Sternprodukt 423 außere 424 ¨ innere 424 symplektisches 428 ∗ -Derivation 424 Dichte 64 0-Dichte 65 1-Dichte siehe Dichte α-Dichte 63 positive 64 reelle 64 positive 66, 492, 497, 503 Dichtematrix 285, 437, 498, 507, 545 Diffeomorphismus 31, 35 formaler 262, 265, 386, 408 ∗

Sachverzeichnis symplektischer siehe Symplektomorphismus Differential 76, 240, 248, 252 Differentialform 75 Einsetzderivation 76 exakte 80, 142 geschlossene 80, 142 kovariant konstante 103 Lie-Ableitung 76 polynomiale 100, 447 ∧-Produkt 76 pull-back 76 vom Typ (r, s) 143 Differentialoperatoren 340, 494 algebraische Definition 342, 556 auf Modul 571 Bimodulstruktur 557 Einschr¨ ankung 561 erster Ordnung 566 Filtration 557 f¨ uhrendes Symbol 340, 564 lokale Form 563 Lokalit¨ at 560 differenzierbare Mannigfaltigkeit 32 differenzierbare Struktur 31 Distribution 225 einer Poisson-Mannigfaltigkeit 227 glatte 225 integrable 227 involutive 227, 239 regul¨ are 225, 239 singul¨ are 225, 239 Divergenz 14, 91, 99, 278 Dolbeault-Komplex 145 Dolbeault-Operator 145 als Differentialoperator 577 Drehimpuls 24, 126, 204 Dreiecksungleichung 488 Dynamik 10, siehe Zeitentwicklung klassische 284 quantenmechanische 285 Eichfreiheitsgrade 22, 282 Eichpotential 61 Einparametergruppe formale 262 glatte 152 unit¨ are 285, 535 von Automorphismen 434

603

von ∗ -Automorphismen 286 von Diffeomorphismen 11, 43 von Poisson-Automorphismen 112, 284 von Poisson-∗ -Automorphismen 21 von Poisson-Diffeomorphismen 215 von Symplektomorphismen 112 Einsetzderivation 56 antisymmetrische 57 f¨ ur Multivektorfelder 84 symmetrische 57 Einsetzung 394, 571 Einsform integrale 430 kanonische 119 linksinvariante 154 Endomorphismenb¨ undel 52 eines Geradenb¨ undels 72 Energie 134 kinetische 130, 338 potentielle 132 Quantisierung 353 Energieerhaltung 21, 112, 216, 277 Erhaltungsgr¨ oße 12, 21, 113, 177, 216, 218 Erwartungswert 18, 284, 285, 373, 496, 523 Erzeugungsoperator 151, 303, 304 Euler-Lagrange-Gleichungen 135, 196 Euler-Vektorfeld 57, 58, 98, 120, 196, 366, 447 Exponentialabbildung 153, 201, 343 eines Sprays 196 Faserableitung 132 Fasermetrik 555 Hermitesche 556 Fasertranslation 127 symplektische 128 fast-komplexe Struktur 138 integrable 140 kanonische 139 kompatible 146, 192 lineare 192 Fedosov-Derivation 462 Homotopie 465 Fedosov-Klasse 473 Fedosov-Konstruktion antisymmetrischer Grad 447

604

Sachverzeichnis

auf K¨ ahler-Mannigfaltigkeiten 469 auf Kotangentenb¨ undeln 469 faserweises Weyl-Moyal-Sternprodukt 449 faserweises Wick-Sternprodukt 469 formale Weyl-Algebra 449 formales Weyl-Algbrab¨ undel 452 λ-Grad 447 symmetrischer Grad 447 totaler Grad 447 Zentrum 451 Fedosov-Sternprodukt 467 ¨ Aquivalenz 470 Hermitesches 468 nat¨ urliches 467 Fedosov-Taylor-Reihe 466 Feynman-Graphen 383 Fixpunkt 156, 391 Fluß 10, 43, 74, 115 geod¨ atischer 196 Hamiltonscher 20, 22, 108 vollst¨ andiger 11, 43 volumenerhaltender 14 Flußlinie 10, 23 formale Deformation ¨ Aquivalenz 387, 403 ¨ Aquivalenzklassen 403 assoziative 387, 402, 408 eines positiven Funktionals 513 Hermitesche 512, 537 mit kommutierenden Derivationen 411 triviale 387 von ∗ -Darstellungen 542 formale Laurent-Reihen 489, 544 formale Potenzreihen 259 in  372 positive 487 formale Taylor-Reihe 261, 448 Formalit¨ atstheorem 383, 386, 418, 444 Fourier-Transformation 316 Fr´echet-Algebra 317, 318, 326 Fr´echet-∗ -Algebra 327 Fr´echet-Poisson-Algebra 317, 322 Fr´echet-Raum 34, 316, 321, 332 Frobenius-Theorem 228, 356 Funktion glatte 34 holomorphe 146

polynomiale 57, 58, 120, 300 Funktionenkeim 35, 76 Galilei-Gruppe 388 Gaußsches Maß 303, 357 Gel’fand-Ideal 522 Geod¨ ate 137, 197 Geod¨ atengleichung 137 geometrische Reihe 269 geordneter Ring 488 Geradenb¨ undel 47, 70, 72 kanonisches 199 Gerstenhaber-Algebra 82, 122, 212, 240, 401, 417 der Multivektorfelder 83, 252, 265 Gerstenhaber-Klammer 397, 401, 407 Gerstenhaber-Produkt 397 Geschwindigkeitsphasenraum 130 Gibbs-Funktional 507 Gleichung zweiter Ordnung 134, 135, 196 GNS-Darstellung 523 Eindeutigkeit 524 GNS-Konstruktion 524 indefinite 549 Gradient 99, 363 Graph 277 Grassmann-Algebra 55, 75, 92 Groenewold-van Hove-Eigenschaft 294 Groenewold-van Hove-Theorem 294, 429 Gruppenwirkung siehe Wirkung Hadamards Trick 563, 576 Halbdichte 88 Halbnorm 34, 316 Hamilton-Funktion 9, 20, 108, 215, 284, 433 G-invariante 177, 189 hyperregul¨ are 137 Quantisierung 353 Hamilton-Operator 285, 354 Hamiltonsche Bewegungsgleichungen 9, 21, 112, 433 Hamiltonsche Mechanik 9, 130 Hamiltonsches System 9, 108 harmonischer Oszillator 23, 190, 501 Hauptfaserb¨ undel 168 Heisenberg-Gleichung 433, 535

Sachverzeichnis Hellinger-Toeplitz-Theorem 493 Heß-Trick 454, 482 Hesse-Matrix 14 Hilbert-Basis 304 Hilbert-Raum 284, 324 intrinsischer 88 Hochschild-Differential 398, 407 Hochschild-Kohomologie 398, 407, 417 differentielle 414, 572 dritte 404 erste 399 Gerstenhaber-Algebra 401 Hermitesche 544 lokale 414 mit Werten in Bimodul 476 n.c.-differentielle 414 nullte 399 stetige 414 zweite 404 Hochschild-Kokette Antisymmetrisierung 414 differentielle 413 lokale 413 n.c.-differentielle 413 stetige 413 Hochschild-Komplex 393, 398, 407 differentieller 413, 572 lokaler 413 Maurer-Cartan-Element 408 n.c.-differentieller 413 stetiger 413 Hochschild-Kostant-RosenbergAbbildung 415 Hochschild-Kostant-RosenbergTheorem 417, 470 H¨ ormander-Symbole 320 auf Kotangentenb¨ undeln 354 Hom¨ oomorphismus 29 homogener Raum 168 Homogenit¨ atsoperator 353, 439 Homotopie 99, 449 Hopf-Faserung 190 Horizontalb¨ undel 365 horizontaler Lift 365, 469 Horizontalraum 365 Ideal abgeschlossenes 548 minimales 548

605

Immersion 41, 95, 227, 230 Impuls 126 Impulsabbildung 177 aquivariante 183, 184, 235 ad∗ -¨ aquivariante 184, 185, 187, 189 Ad∗ -¨ Existenz 179 kanonische 178 Quantisierung 383 universelle 126, 178 Impulsniveaufl¨ ache 185, 189 Impulsoperator 292, 316 Impulsphasenraum 130 Indextheorem 420, 443 infinitesimaler Erzeuger 171 inneres Produkt indefinites 549 nichtausgeartetes 490 positiv definites 490 positiv semidefinites 490 Integralkurve 10, 42, 113 Integralmannigfaltigkeit 227 Integration von Dichten 87 von Formen 89 Intertwiner 519, 524 ∗ -Involution 18, 283, 284, 493 Isotropiegruppe 156, 161, 169, 185, 187 Jacobi-Identit¨ at 20, 44, 112, 248, 271 Jacobiator 211 als Tridifferentialoperator 578 K¨ ahler-Mannigfaltigkeit 148, 198 zweidimensionale 362 K¨ ahler-Zusammenhang 148, 150, 198 Christoffel-Symbole 150, 198 Kr¨ ummungstensor 150, 198 KAM-Theorem 388 kanonische Quantisierung 292 kanonische Transformation siehe Symplektomorphismus kanonische Vertauschungsregeln 293 kanonische Zweiform 120 κ-Ordnung 302 asymptotische Entwicklung 334 auf Kotangentenb¨ undeln 352 Integralformel 319, 322 κ ˜ -Ordnung 306 Karte 30

606

Sachverzeichnis

Darboux 118, 120 Kartenwechsel 31 holomorpher 139 Jacobi-Determinante 87 Jacobi-Matrix 87 Kategorie der ∗ -Algebren 493 der ∗ -Darstellungen 519 der Lie-Algebren 155, 202 der Lie-Gruppen 155, 202 der Mannigfaltigkeiten 41 der Poisson-Algebren 233 der Poisson-∗ -Algebren 233 der Pr¨ a-Hilbert-R¨ aume 493 der stark nichtausgearteten ∗ Darstellungen 520 Kepler-System 23 Kettenregel 39 klassischer Limes 288, 306, 314, 405, 538 als ∗ -Homomorphismus 538 Bargmann-Fock-Darstellung 543 Bargmann-Fock-Raum 541 einer GNS-Darstellung 542 eines Funktionals 514 KMS-Darstellung 544 Schr¨ odinger-Darstellung 543 von ∗ -Darstellungen 541 von Observablen 514, 538 von Pr¨ a-Hilbert-R¨ aumen 539 klassischer Limesfunktor 540 KMS-Bedingung 507 dynamische 508 formale 508 klassische 509 statische 508 KMS-Darstellung 532 Kommutante 532 KMS-Funktional 507, 544 dynamisches 535, 536 formales 508 Existenz und Eindeutigkeit 511 GNS-Konstruktion 532 Kodimension 96 Kommutator 27, 287 komplex-projektiver Raum 190, 206 komplexe Struktur 140 Konfigurationsraum 9, 118, 300 Konjugation 183

Konnektor 364 konvexe Kombination 287, 497 konvexer Kegel 497, 498 Koordinaten 30 holomorphe 148, 303 kanonische 118 orthonormale 148 Korrespondenzprinzip 290, 314, 375, 405 Kotangentenb¨ undel 52, 72, 118, 178, 300 Kotangentiallift 123 kovariante Ableitung 60, siehe Zusammenhang als Bidifferentialoperator 578 f¨ ur α-Dichtenb¨ undel 70 symmetrisierte 339 als Differentialoperator 578 symplektische 454 torsionsfreie 62 Kovarianzmatrix 496 Positivit¨ at 499 kr¨ aftefreie Bewegung 137 Kr¨ ummungstensor 61 f¨ ur α-Dichtenb¨ undel 70 Kr¨ ummungszweiformen 61 Lagrange-Einsform 134 Lagrange-Funktion 132 hyperregul¨ are 133 Lagrange-Zweiform 134 Lagrangesche Mechanik 130 λ-adische Bewertung 389 λ-adische Metrik 389 λ-Euler-Derivation 439 Laplace-Operator 305, 350, 353, 362 Legendre-Transformation 136 Leibniz-Regel 20, 44, 82, 111, 211, 238, 315, 401, 577 Lenz-Runge-Vektor 24 Levi-Civita-Zusammenhang 195, 338 unimodular 349 Lie-Ableitung 44, 74, 243 in Richtung eines Multivektorfeldes 85 von α-Dichten 90 Lie-Algebra 23, 44, 83, 222, 243 differentiell gradierte 406 Kohomologie 406

Sachverzeichnis einer assoziativen Algebra 27 einer Lie-Gruppe 152, 200 Morphismus 23 symplektische 15, 24 unimodulare 257, 279 vollkommene 179 von Vektorfeldern 44 Lie-Algebrakohomologie 181, 247 Lie-Algebrawirkung 174 Lie-Algebroid 238 Bahnen 239 Differential 240 einer Poisson-Mannigfaltigkeit 248 einer Wirkung 277 Gerstenhaber-Klammer 240 Lie-Algebroidkohomologie 246 Lie-Algebroidmorphismus 244, 246 Lie-Bialgebroid 253 Lie-Gruppe 152 kompakte 162 Morphismus 155 Lie-Ideal 23 Lie-Klammer 23, 44, 152 als Bidifferentialoperator 578 von Vektorfeldern 44 Lies III. Theorem 155 Linksmultiplikation 152, 556 KMS-Darstellung 532 Linkswirkung 155 Liouville-Vektorfeld 120, 253, 345, 440 Liouville-Volumenform 107, 437, 443 Logarithmusreihe 392 lokale Einselemente 533, 555, 556 lokale Trivialisierung 46 Lorentz-Gruppe 175, 388 Lorentz-Kraft 130 Lorentz-Mannigfaltigkeit 131 Lorentz-Metrik 131 Magnetfeld 129, 431 magnetischer Monopol 130, 191, 385, 531 Mannigfaltigkeit 32 fast-komplexe 138 Kartesisches Produkt 33 komplexe 139 orientierbare 89, 255, 362 orientierte 89, 255, 362 symplektische 106

607

Orientierung 107 Marsden-Weinstein-Quotient 188 Marsden-Weinstein-Reduktion 187 Matrix-Lie-Gruppe 161 Maurer-Cartan-Element 408 ¨ Aquivalenz 410 Maurer-Cartan-Gleichung 408 Meßwerte klassische 17, 284 quantenmechanische 285 Wahrscheinlichkeitsverteilung klassische 284 quantenmechanische 285 Milnor’s Exercise 45, 233 minimale Kopplung 130, 191, 531 Minuszeichen wichtigstes 14 Modul 41, 49 nichtausgearteter 571 torsionsfreier 491 u ¨ ber [[t]] 260 modulare Gruppe 535, 536 modulare Konjugation 534, 536 modularer Operator 534, 536 M¨ obius-Band 48, 70, 101 Multidifferentialoperatoren algebraische Definition 567 Filtration 568 f¨ uhrendes Symbol 575 lokale Form 575 Lokalit¨ at 573 Modulstruktur 568 Ordnung 567 Verkettung 570 Multiindexschreibweise 315 Multivektorfelder 82, 407 Maurer-Cartan-Element 408 musikalischer Isomorphismus 15, 108, 133, 191, 250 formaler 269 Neumaier-Operator 351, 529 Faktorisierung 363 Newlander-Nirenberg-Theorem 140, 148 nichtkommutative Geometrie 209, 418 Nijenhuis-Torsion 140 Noether-Theorem 178 Normalkoordinaten 343, 367

608

Sachverzeichnis

Normalordnung Nullschnitt 49 Nullteiler 488

siehe Wick-Ordnung

observabel 17 Observablenalgebra klassische 17, 235, 283 Nichtkommutativit¨ at 499 quantenmechanische 284, 373, 485 Stabilit¨ at 388 offener Kern 29 Operator lokaler 60, 341, 561 mit endlichem Rang 493 Spurklasse 324, 437 stetiger 324 vom Rang eins 493 Operatoradjunktion 494 Operatorspur 437 Orbifolds 188 Orbit siehe Bahn Ordnung 389 Ordnungsproblem 293 Ordnungsvorschrift 379, 384 Orientierbarkeit 89 Orientierung 65, 89 Orthogonalprojektor 494 Ortsoperator 292, 316 Peetre-Theorem 341, 376, 416 Phasenraum 9, 118, 300 Phasenraumreduktion 188 Phasen¨ ubergang 511 Plancksche Konstante 285, 291, 374 Poincar´e-Lemma 81, 100, 384, 449 Poisson-Abbildung 21, 191, 233, 235, 236, 275, 276 vollst¨ andige 277 Poisson-Algebra 20, 111, 214 Poisson-Algebrahomomorphismus 233, 235, 237 Poisson-∗ -Algebra 20, 283 Poisson-Deformation 268 aquivalente 259 ¨ analytische 258 der trivialen Poisson-Struktur 268 einer symplektischen PoissonStruktur 270 formale 258, 259

glatte 258 stetige 258 triviale 259, 262 Poisson-Derivation 284 Poisson-Diffeomorphismus 215, 429 Poisson-Kategorie 235 Poisson-Klammer 283 als Bidifferentialoperator 578 Hochschild-Kozyklus 405 kanonische 20, 317, 322 mit kommutierenden Derivationen 412 symplektische 111, 214 Poisson-Kohomologie 219, 252 dritte 264 einer symplektischen Mannigfaltigkeit 253 erste 217 fundamentale Klasse 253, 440 Gerstenhaber-Algebrastruktur 252 modulare Klasse 256 nullte 218 zweite 268 Poisson-Mannigfaltigkeit 214, 240, 374 unimodulare 256, 444 zwei-dimensionale 222 Poisson-Quotient 224, 236, 276 Poisson-Sigma-Modell 209, 383 Poisson-Spur 256, 272, 438, 444, 507, 510 symplektische 438 Poisson-Struktur 214 Deformation siehe PoissonDeformation exakte 253, 440 formale 259, 265, 386, 408 ¨ Aquivalenz 262, 266, 268, 386 konstante 219 lineare 220, 222, 235, 248, 274 mit kompaktem Tr¨ ager 223 symplektische 219 triviale 214, 218 Poisson-Tensor siehe Poisson-Struktur Poisson-Unteralgebra 237 Poisson-Vektorfeld 215, 252, 427, 434 konformes 440 Poisson-Wirkung 224 freie und eigentliche 224, 236 Poisson-Zentrum 218, 298

Sachverzeichnis Polarisierung 356 Polarkoordinaten 31 Polarzerlegung 146, 535 positive Deformation 515 positive Matrix 498 positives Funktional 18, 286, 495 Deformation 513 klassischer Limes 514 treues 505, 523, 532 Pr¨ a-Hilbert-Raum 490, 518 orthogonale direkte Summe 491 Pr¨ aquantisierung 355 Pseudo-Riemannsche Metrik 131 Pseudodifferentialoperator 322, 355 pull-back 20 f¨ ur Diffeomorphismen 73 von α-Dichten 90 von Funktionen 44 von kovarianten Tensoren 73 Punkttransformation 123, 178 punktweises Produkt 18 push-forward 74 Quantisierung 288 Funktor 429 geometrische 88, 355, 356 von Symmetrien 429 Quotientenb¨ undel 53 Quotientenk¨ orper 488, 544 Quotientenmodul 538 Quotiententopologie 158 Hausdorffsche 162 Rang 95 Rechtsmultiplikation 152 Rechtswirkung 155 regul¨ arer Wert 96, 185 Ricci-Form 199 Riemannsche Geometrie 131 Riemannsche Metrik 131, 338 Existenz 556 linksinvariante 154 Riemannsche Volumendichte 348, 349, 361 Riemannsche Volumenform 361 Rieszscher Darstellungssatz 19, 486 Ringerweiterung 489 Rotation 99

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Satz vom konstanten Rang 95 Satz von Liouville 14, 107, 110 Satz von Palais 174 Satz von Picard-Lindel¨ of globale Version 42, 114, 229 lokale Version 10 Satz von Stokes 89 Schiefgradient 13 Schnitt 49 Anwenden von Homomorphismen 55 direkte Summe 55 lokaler 49 nat¨ urliche Paarung 55 Tensorprodukt 55 zur¨ uckgezogener 59 Schouten-Nijenhuis-Klammer 84, 122, 243, 407 als Bidifferentialoperator 578 Nat¨ urlichkeit 86 Schr¨ odinger-Darstellung 301, 352, 495 formale 529, 543 Schr¨ odinger-Funktional 504, 528, 543 Gel’fand-Ideal 529 GNS-Darstellung 529 Schr¨ odinger-Gleichung 433 Schursches Lemma 297 Schwartz-Funktion 315 semiklassischer Limes 336 Spektralkalk¨ ul 285 Spektralmaß 285 Spektralwert 285, 373, 420 Spektrum bez¨ uglich Sternprodukt 420 klassisches 284 quantenmechanisches 285 Sph¨ are 33, 94 Spin 289 splitting-Theorem 232, 383 Spray 196 Spurfunktional 330, 437, 507, 508, 510 Existenz 441 Normierung 441 positives 505, 506, 531 andig positives 501 vollst¨ Stabilisatorgruppe siehe Isotropiegruppe Stabilit¨ at 257, 387 Standardordnung 299, 300, 345

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Sachverzeichnis

auf Kotangentenb¨ undeln 343, 346 Homogenit¨ at 345 Integralformel 318 Standgruppe siehe Isotropiegruppe Stefan-Sussman-Theorem 227 stereographische Projektion 94 Sternprodukt 313 A-geordnetes 360 ¨ Aquivalenz 380 anti-Wick-geordnetes 311 antistandardgeordnetes 307, 309 auf Kotangentenb¨ undeln 352 Integralformel 327 Automorphismus 429 differentielles 375 Existenz 381–383 -Exponential 421, 436 Exponentialreihe 420 formales 374 f¨ ur lineare Poisson-Struktur 383 Hermitesches 375 vollst¨ andige Positivit¨ at 515 homogenes 378 Inverses 419 κ-geordnetes 307, 309 asymptotische Entwicklung 334 auf Kotangentenb¨ undeln 352, 529 Integralformel 325, 327 κ ˜ -geordnetes 311 Klassifikation 384, 386 -Logarithmus 423, 430 globaler 423 ¨ lokale Aquivalenz 384 lokales 375 mit Trennung der Variablen 377 nat¨ urliches 375 -Potenzen 423 Spektrum 420, 436 standardgeordnetes 307, 469 auf Kotangentenb¨ undeln 352 Integralformel 325 stark geschlossenes 443 vom Anti-Wick-Typ 377 vom antistandardgeordneten Typ 377 vom standardgeordneten Typ 377 vom Vey-Typ siehe nat¨ urliches vom Weyl-Typ 375 vom Wick-Typ 377, 470

Weyl-geordnetes 307, 309, 312, 503 auf Kotangentenb¨ undeln 352, 504, 528 Integralformel 325, 328 ∗ -Involution 310 Wick-geordnetes 311 Zentrum 427 Stone-von Neumann-Theorem 286 Strukturkonstanten 180, 221 Submersion 41, 95, 237 surjektive 98, 163, 187 Super-Jacobi-Identit¨ at 82, 395 Super-Leibniz-Regel 82 Super-Lie-Algebra 82, 395 Super-Lie-Klammer 82 Superauswahlregel 231, 519 klassische 218 Superderivation 79 Superkommutator 79 Superpositionsprinzip 287, 518 Symbol 321 f¨ uhrendes 340 standardgeordnetes 300 Symbolabbildung 300 Symbolkalk¨ ul globaler 355 κ-geordneter 322 Symmetrie 22, 155, 178 des Konfigurationsraums 178 Quantisierbarkeit 383 Symmetriegruppe 155 symmetrische Algebra 56, 58, 92 symmetrische Gruppe 92 symplektische Form 106 formale 270, 473 kanonische 15, 120 symplektische Gruppe 15, 24 symplektische Realisierung 237 Symplektomorphismengruppe 106 Symplektomorphismus 106, 109, 111, 116, 219 linearer 24, 28 Tangentenb¨ undel 39, 47, 238 komplexifiziertes 141 Tangentialabbildung 39 Tangentialfunktor 41 Tangentialraum 36 Tangentialvektor 36

Sachverzeichnis Taylor-Entwicklung 367 Taylor-Koeffizienten 331 Temperatur 19, 507 Tensor 92 kontravarianter 72 kovarianter 72 Tensoralgebra 55 Tensorfeld 72 Tensorprodukt 25 Tomita-Takesaki-Theorem 536 Topologie 29 Hausdorffsche 34 λ-adische 390, 489 lokal konvexe 34 topologischer Abschluß 29, 34 topologischer Raum 29 einfach-zusammenh¨ angend 155 Hausdorffscher 29, 32, 331 kompakter 29 σ-kompakt 552 Trennungsaxiom T4 554 zusammenh¨ angender 29 zweites Abz¨ ahlbarkeitsaxiom 29, 32, 551 topologischer Vektorraum 34, 331 Torsion 103, 491, 538 Torsionstensor 62 Torus 33 Tr¨ ager 34, 341 kompakter 34 Trivialisierung 50 ¨ Ubergangsmatrix 46 Kozyklusidentit¨ at 48 Ultrametrik 390 Unsch¨ arferelation 285, 291, 336, 499 Unsch¨ arferelationen 545 Untergruppe 158, 161 Untermannigfaltigkeit 96 koisotrope 276 Lagrangesch 356 Unterraum isotroper 28 koisotroper 28 Lagrangescher 28 symplektischer 28 Untervektorb¨ undel 52, 226 Urysohn-Lemma 425, 554

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Vakuumserwartungswert 524 Vakuumsvektor 523 Varianz 18, 284, 496 Vektorb¨ undel 47 Basis 47 Bildb¨ undel 52, 226 der α-Dichten 66 direkte Summe 51 duales 51 Faser 46, 47 Faserdimension 47 Grassmann-Algebra 53 Isomorphie 50 Kernb¨ undel 52 komplexifiziertes 141 orientierbares 69 Orientierung 69 symmetrische Algebra 53 Tensorpotenzen 53 Tensorprodukt 51 Totalraum 47 triviales 47, 50, 154 trivialisierbares 50 von Endomorphismen siehe Endomorphismenb¨ undel von Homomorphismen 52 Whitney-Summe 51 zur¨ uckgezogenes 54 Vektorb¨ undelatlas 47 Vektorb¨ undelmorphismus 50 Vektorfeld 12, 41 divergenzfreies 14 E-wertiges 49 fundamentales 171, 204 Hamiltonsches 13, 108, 178, 215, 284 konform-symplektisches 121, 254 Lagrangesches 134 linksinvariantes 152 lokales 41 modulares 256 symplektisches 106, 109, 111, 178, 219 Tr¨ ager 60 vertikales 127, 192 verwandtes 98, 123 vom Typ (0, 1) 143 zeitabh¨ angiges 113, 115 Vektorpotential 129, 431 Vektorzustand 523

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Sachverzeichnis

Vernichtungsoperator 151, 303, 304 Verschr¨ ankungsoperator 519 Verschwindungsideal 276 Vertikalb¨ undel 365 vertikaler Lift 126, 346, 469 Hamiltonscher 128 symplektischer 128 von Tensorfeldern 369 Vervollst¨ andigung 446 Vollst¨ andige Symmetrisierung siehe Weyl-Symmetrisierung Vollst¨ andigkeit 34, 390, 391 Volumenform 76, 222 linksinvariante 154 symplektische 107 Wellenfunktion 293 Weyl-Darstellung 301, 352 Weyl-Moyal-Sternprodukt 307, 380, 441, 445, 501, 505 Weyl-Ordnung 301, 495 auf Kotangentenb¨ undeln 352 Integralformel 320 Weyl-Relationen 359 Weyl-Symmetrisierung 301, 306, 359 Wick-Darstellung 305 Wick-Ordnung 303, 305 Wick-Sternprodukt 311, 502, 515, 526 Positivit¨ at 517 Wirkung effektive 156 eigentliche 162 eigentliche und freie 163, 187 freie 156 geliftete 178 stark Hamiltonsche 184, 187, 189 symplektische 176 transitive 156, 171

treue 156 WKB-Entwicklung

531

Zeitentwicklung 114, 177, 433, 434, 507, 535 Hamiltonsche 20, 108, 112, 216, 218 komplexifizierte 508 Zentrum 298, 399 Zerlegung der Eins 32, 61, 516, 552 quadratische 553 Zusammenhang 60 direkte Summe 62 dualer 62 f¨ ur Homomorphismen 62 homogener 366 Lift 366 symplektischer 369, 454, 482 Tensorprodukt 62 torsionsfreier 103, 455 unimodularer 349 zur¨ uckgezogener 102 Zusammenhangsabbildung 364 Zusammenhangseinsformen 60 zusammenziehbar 30 Zustand 18, 495 gemischter klassisch 18, 283 quantenmechanischer 285 koh¨ arenter 503, 528 reiner klassisch 16, 283 quantenmechanischer 284 thermodynamischer 19, 507 Zustandssumme 19, 507 Zwangsbedingungen 22 zyklische Kohomologie 418 zyklischer Vektor 519, 523