Physica status solidi: Volume 2, Number 7 1962 [Reprint 2021 ed.] 9783112495568, 9783112495551

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physica status solidi B o a r d of E d i t o r s P. A I G R A I N , Paris, S. A M E L I N C K X , Mol-Donk, W. D E K E Y S E R , Gent, W. F R A N Z , Münster, P. G Ö R L I C H , Jena, E. G R I L L O T , Paris, R. K A I S C H E W , Sofia, P. T. L A N D S B E R G , Cardiff, L. N É E L , Grenoble, A. P I E K A R A , Poznan, A. S E E G E R , Stuttgart, 0 . S T A S I W , Berlin, M. S T E E N B E C K , Jena, F. S T Ö C K M A N N , Karlsruhe, G. S Z I G E T I , Budapest, J. T A U C , Praha Editor-in-Chief P. G Ö R L I C H Advisory Board M. B A L K A N S K I , Paris, P. C. B A N B U R Y , Reading, M. B E R N A R D , Paris, W. B R A U E R , Berlin, W. C O C H R A N , Cambridge, R. C O E L H O , Fontenay-aux-Roses, H.-D. D I E T Z E , Aachen, J. D. E S H E L B Y , Birmingham, H. K. H E N I S C H , Reading, G. J A C O B S , Gent, J. J A U M A N N , Köln, E. K L I E R , Praha, E. K R O E N E R , Cambridge Mass., M. M A T Y À S , Praha, H. D. M E G A W , Cambridge, T. S. MOSS, Camberley, E. N A G Y , Budapest, E. A. N I E K I S C H , Jülich, L. P A L , Budapest, M. R O D O T , Bellevue/Seine, B. V. R O L L I N , Oxford, H. M. R O S E N B E R G , Oxford, R. V A U T I E R , Bellevue/Seine

Volume 2 • Number 7 to 12 1962

A K A D E M I E - V E R L A G -

B E R L I N

Subscriptions a n d orders f o r single copies should be addressed

to

A K A D E M I E - V E R L A G G m b H , Berlin W 8 , Leipziger S t r a ß e 3 — 4 or to B u c h h a n d l u n g K U N S T U N D W I S S E N , Erich Bieber, S t u t t g a r t S, W i l h e l m s t r . 4 — 6 or to Deutsche B u c h - E x p o r t u n d I m p o r t G m b H , Leipzig C 1, Postschließfach 2 7 6

Schriftleiter und verantwortlich für den I n h a l t : Professor Dr. Dr. Ii. c. P. G ö r l i c h , Berlin C 2, Neue Schönhauser S t r . 20 bzw. J e n a , Humboldtstr. 26. R e d a k t i o n s k o l l e g i u m : Dr. S. O b e r l ä n d e r , Dr. E. G u t s c h e , W . B o r c h a r d t . Anschrift der Schriftleitung: Berlin C 2, Neue Schönhauser Str. 20, Fernruf: 4 2 2 0 4 3 . V e r l a g : Akademie-Verlag GmbH. Berlin W 8, Leipziger S t r . 3—4, Fernruf: 220441, Telex-Nr. 011773, Postscheckkonto: Berlin 35021. — Die Zeitschrift „physica status s o l i d i " erscheint monatlich. Bezugspreis eines Heftes DM 6,—, a b Band I I I DM 10,—. Bestellnummer dieser Hefte 1068/2 7—12. Gesamtherstellung: V E B Druckerei „ T h o m a s Müntzer" Bad L a n g e n s a l z a . — Veröffentlicht unter der Lizenznummer ZLN 5536 des Ministeriums für Kultur.

Contents

I'agt: Review Articles H . BETIIGE

O b e r f l ä c h e n s t r u k t u r e n und Kristallbaufehler im elektronenmikroskopischen Bild, u n t e r s u c h t a m NaCl, Teil II 77ö W. ANDRÄ et al. Ferromagnetische d ü n n e Schichten, Teil 111 941 W.KAISER Der optische Maser 1117 W. ANDRÄ et al. Ferromagnetische d ü n n e Schichten, Teil IV 1227 \V. ANDRÄ et al. Ferromagnetische d ü n n e Schichten, Teil V 1417 H . W . STREITWOLE

Methoden zur Berechnung des E n e r g i e s p e k t r u m s in .Idealkristallen 1595 Original Papers W . B E A I X FOWLER a n d I). L . DEXTER

Critique of t h e P e k a r Theory of t h e F-('enter

821

Ä . SOMLÖ, 1 . T A R J Ä N a n d R . VOSZKA

Ü b e r den E i n f l u ß von Verunreinigungen auf die P h o t o l e i t f ä h i g k c i t r ö n t g e n v e r f ä r b t e r NaOl-Kristalle

829

F . ECKART u n d W . HENRION

Optische U n t e r s u c h u n g e n an hexagonalen Selen-Einkristallen . .

841

H . F I N K E N R A T H u n d M . VOLKMANN

Optische Absorption und Dispersion durch Leitungselektronen in Kadmiumoxydschiehten

850

A . S E E O E R a n d H . STATZ

T h e Electrical Resistivity of Stacking F a u l t s MILES V. KLEIN A Possible Magnetic A f t e r - E f f e c t Caused by Diffusion of Axially S y m m e t r i c P o i n t Defects W. NEFEDOW B e s t i m m u n g von Atomladungen in Molekülen m i t Hilfe der Röntgenemissionsspektren W. KLEBER Zur thermodynamisch-kinetischen Theorie der h e t e r o t a k t i s c h e n Keimbildung H . HARTMANN Uber die in Abhängigkeit von den kristallographischen Eigens c h a f t e n an Zinksulfid-Einkristallen a u f t r e t e n d e L u m i n e s z e n z . . B. N. DUTT A L a t t i c e Constants a n d T h e r m a l Expansion of Silicon u p to 900 °C b v X - R a y - M e t h o d

857 881 904 923 929 984

P . GÖRLICH u n d H . KARRAS

A. BOHUN

Zur elektrolytischen V e r f ä r b u n g von Strontiumfluoridkristallen . Elektronenemission u n d Lumineszenz von Alkalifluoriden . . .

988 992

F . RAMSTEINER, W . SCHULE u n d A . SEEGER

U n t e r s u c h u n g a t o m a r e r Fehlstellen in v e r f o r m t e m u n d abgeschrecktem Silber J . D. ESHELBY T h e Distortion a n d Electrification of P l a t e s a n d R o d s by Dislocations H . STOLZ Q u a n t e n t h e o r i e des Leitfähigkeitstensors im Plasmamodell eines Metalles in einem äußeren Magnetfeld B . K . C y ö a i i i H e B H K). M. P a B H H K TeopHH BciiTHJibHoro $0T0C(J)(j)ei;Ta n a p-n n e p e x o ; i e . . M. M. K j i H i i r e p TeopHH HBJieiiHH n e p e i i o c a B nojiynpoBo;inHKax c Ma.ioft IIOaBH>KHOCTbIO

1005 1021 1029 1043

1062

Contents

IV

R.

FISCHER

O.

HENKEL

Die Energieverteilung der bei der äußeren Feldemission aus Halbleitern emittierten Elektronen 1088 Beobachturgen an magnetischen Einbereichs-Kollektiven bei partieller Sättigung 109G

W . MÖHLING u n d H . T H I E L

Versetzungen in aus der Dampfphase gezüchteten CdS-Kristallen H.-D. WITZKE Über Wachstum von AIN-Einkristallen aus der Dampfphase. . C. K. JORGENS EN Relevant and Irrelevant Symmetry Components. Are the Bloch Energy Bands the Best One-Electron Functions? T. R E W A J On the Effects of X-Ray Irradiation on Transient Phenomena in Rochelle Salt '

1105 1109 1146 Hol

K . TIIIESSEN u n d H . HORNUNG

S. P. SINGH R . PERTHEL W . SCHÜPPEL M. PAULUS

Messung einer inhomogenen Verteilung von Rekombinationszentren in Germanium mit Hilfe der Photoleitung und des PhotoMagneto-Elektrischen Effektes Vibration Spectrum and Heat Capacities of Silver Bestimmung der Konstanten F und 0 der einachsigen induzierten Anisotropie bei endlichen Feldstärken Zum spontanen Charakter der zeitlich veränderlichen induzierten Anisotropie ferromagnetischer dünner Schichten Cinétique de croissance normale des cristaux dans les ferrites poly cristallins

1158 1165 1169 1175 1181

G . R E M A U T , A . DEKETELAERE, a n d W . D E K E Y S E R

Recovery of Quench-Hardened Sodium Chloride Crystals. . . . 1195 W . SCHULE, A . SEEGER, D . SCHUMACHER, a n d K . K I N G

Point Defects in Gold

1199

M . BOCEK, P . KRATOCHVIL, a n d P . LUKÄC

The Effect of Impurities on the Critical Resolved Shear Stress of Zinc Single Crystals 1221 CZAN CZUN D A , J . RAULUSZKIEWICZ, a n d

K. T H I E S S E N C. ALBERS K. U N O E U C. J E C H S. Koc J. SOCHAÄSKI J.

SOCHAÄSKI

M. PAULUS

W. W E L L E R J . SZANIECKI J.

SZANIECKI

W . WARDZYNSKI

Some Optical Properties of Heavily Doped Cadmium Selenide Single Crystals Rekombination in Halbleitern bei Störstellenanregung Über den Einfluß photochemischer Prozesse auf die Lumineszenzeigenschaften von CdS-Einkristallen Bestimmung von Hafttermspektren mit Hilfe von Glow-Kurven. Release of Inert Gas Label from Ionic Crystals during Thermal Treatment New Interpretation of Slow Surface Relaxations on Germanium . Contact Potential Difference Measurements on Real Semiconductor Surfaces by Means of a Point Vibrating Electrode Contact Potential Changes on Germanium Surface Channels. . . Influence des pores et des inclusions sur la croissance des cristaux de ferrite Die Quantisierung des magnetischen Flusses in Supraleitern . . . Kinematical Interaction in the Spin Wave Theory for Isotropic Ferromagnetics, Teil 1 Kinematical Interaction in the Spin Wave Theory for Isotropic Ferromagnetics, Teil I I

1254 1260 1268 1279

1299 1304 1312 1317 1325 1342

1354 1364

T H . K L U P S C H u n d W . HAUBENREISSER

Nichtlineare Effekte der isolierten homogenen Präzessionsmode bei der ferromagnetischen Hauptresonanz 1375 A . WRZECIONO u n d R . GEMPERLE

Einfluß des äußeren Magnetfeldes auf die Entstehung von Bereichsstrukturen in Mn5Ge3 1384

Contents 0.

HENKEL

F. VOIGT W . LANGE u n d

V

Über die anhysteretische Suszcptibilität magnetischer Einbereichs-Kolleketive 1393 Der Einfluß einer Längs- und Querfeldtemperung auf die Dispersion der komplexen Permeabilität von N i - Z n - C o - F e r r i t . . . 1403 D . BERGNER

Messung der Korngrenzenselbstdiffusion in polykristallinem Zinn 1410

G . DELACOTE e t M . SCHOTT

R. FISCHER

Effet Hall et mobilité des porteurs de charge dans un cristal moléculaire (Phtalocyanine de cuivre) 1460 Einfluß der effektiven Masse auf die Energieverteilung der bei der äußeren Feldemission aus Halbleitern emittierten Elektronen. . 1466

O . H A U S E R u n d M . BALARIN

Bemerkungen zur Kaskadentheorie f ü r die Berechnung der Anzahl von Strahlendefekten in Festkörpern 1471 A . A . MARADUDIN, A . E . F E I N , a n d

G . H . VINEYARD

On t h e Evaluation of Phonon Widths and Shifts

1479

Thermal Expansion and Phonon Frequency Shifts M. WILKENS Zur Röntgenstreuung an Kristallen mit Versetzungen, Teil I I . . H. PFLEIDERER Lineare Elastizitätstheorie und Thomas-Fermi-Modell bei Eigenspannungen in Metallen H. PFLEIDERER Elastische Konstanten und Kopplungsparameter 3. Ordnung. . E. HEGENBARTH Dielektrische und kalorische Untersuchungen an ferroelektrischen Keramiken bei tiefen Temperaturen J . IRMEU Das Verhalten von Defektelektronen bei Untersuchungen mit Hilfe des Print-out-Effekts in AgBr-Kristallen

1493 1508

A . A . MABADITLIN

1524 1539 1544 1552

K . MEINIG, J . METZ u n d J . TELTOW

Der Absorptionsausläufer von AgBr- und AgCl-Mischkristallen bei höheren Temperaturen 1556 W. BORCHARDT Über photochemische Reaktionen an Kadmiumsulfid 1575 H . POLLAK, M . DE COSTER, a n d

S . AMELINCKX

Mössbauer Effect in Biotite H . B L A N K , P . DELAVIGNETTE, a n d

1653

S . AMELINCKX

Dislocations and Wide Stacking Faults in Wurtzite Type Crystals : Zinc Sulfide and Aluminium Nitride 1660 M . BALARIN u n d

A . ZETZSCHE

Bestimmung der Aktivierungsenergie f ü r die Beweglichkeit von Gitterdefekten durch zeitlineares Aufheizen M. SCHULZ Versetzungsnachweis auf Spaltflächen von Halbleitereinkristallen Reaktionskinetische Untersuchungen zur Relaxation der PhotoJ . VOIGT leitung von Sulfidphosphoren H. PUFF Zur Theorie der Sekundärelektronenemission von Metallen am Modell freier Elektronen H. PFLEIDERER Quadratische Elastizitätstheorie und Elektronendichte in Metallen W. PFEIFFER Elektronenmikrospopische Durchstrahlung dünner P r ä p a r a t e aus verformten Zink-Einkristallen M. WURLITZER Die Diffusionsnachwirkung polykristalliner Ni-Zn-Ferrite im Temperaturgebiet unterhalb 90° K G . DIETZMANN, M . KRÖTZSCH u n d

M. KRÖTZSCH

1670 1683 1689 1699 1713 1727 1750

S . WOLF

Elektrische Leitfähigkeit und Porosität von N i - Z n - F e r r i t e n . . . 1762 Über die Druckabhängigkeit des elektrischen Widerstandes von Ni-Zn-Ferriten 1768

VI

Contents

3. Short Notes A . LÖRINCZY, T . N E M E T H

und

P . SZEBENI

Beobachtungen an Germanium-Metall-Kontakten, die als Sonden für injizierte Träger verwendet werden K 157 W . LANGE u n d G . HÄUSSLER

Über Messungen des Restwiderstandsverhältnisses an Reinstkupfer K l 60 M . BETZL,

YV. H A S E ,

K . KLEINSTÜCK

und

J . TOBISCH

Messung der kohärenten Streuamplituden von Dysprosium und Thulium für thermische Neutronen K164 Z. FRAIT a n d M . ONDRIS

Spin-Wave Resonance in Iron

K185

A . OTTO u n d W . STEINMANN

Schichtdickenabhängigkeit des niedrigsten charakteristischen Energieverlustes von 25 keV-Elektronen bei Durchstrahlung dünner Ag-Schichten K187 J . DZIESIATY,

E . GUTSCHE u n d

H. J.

ROHDE

Einige Eigenschaften plasmaähnlicher Raumladungsschwingungen in CdS-Einkristellen K211 Elektronenlebensdauer und Oberflächenrekombinationsgeschwindigkeit in Tellur K214

W . GELBRICH

H . G . MÜLLER u n d

G. K .

SCHMIDT

Zur Deutung der magnetischen Härte von Vicalloy 11 H . KNÖLL u n d

K217

E . MACHERAUCH

Die Temperaturabhängigkeit der Kenngrößen des Anfangsteiles der Vielkristallverfestigungskurven von Aluminium und Kupfer K237 CH. SCHWINK u n d G . ZANKL

W.

Magnetische Messungen zur Verfestigungskurve von vielkristallinem Nickel K241 Photo-EMK in CdS-Einkristallen K244

LUDWIG

J . KUBÄTOVA a n d

O.

K . PÄTEK

Direct Evidence for the Presence of Delayed Recombination in the Electroluminescence of ZnS K2G5 Wechselfeldhysterese-Integral von Dauermagneten K268

HENKEL

E . L E N D V A Y , J . S C I I A N D A , K . R I C H T E R , P . K o v Ä c s , a n d M . SOMOGYI

Luminescent Properties of ZnS Phosphors Prepared at Room Temperature K272 On the Theory of Saturation Effects in Ferromagnetic Resonance . K293 Über den Verlauf der Thermokraft. des Widerstandes und des Photoeffektes von Cs-Sb-Schichten in Abhängigkeit, vom Formierzustand K29('>

J . Loos U. H E I L I G

W . BRAUER u n d

H . PUFF

Bemerkungen zu einer Arbeit von A. J . G U B A über die EnergieWinkel-Verteilung von Sekundärelektronen K300 E . GUTSCHE,

K. MOTZKE

H . - J . HÄNSCH u n d

H . LANGE

Vergleich der spektralen Verteilung der Elektro- und Photolumineszenz von CdS-Einkristallen K304 Einfluß von Kationenleerstellen auf die magnetfeldinduzierte Anisotropie bei Ni-Fe-Ferriten im Temperaturbereich von 200° C bis 300° C K307

W . DEWITZ u n d E . JAHNE

Magnetische Suszeptibilität von CdS-Einkristallen

K311

Author Index C. ALBERS S. AMELINCKX

1268 1653, 1660

W . ANDRÄ

941

M . BALARIN

1471,1670

D . BERGNER

1410

H . BETHGE

775

M . BETZL

K164

W . KLEBER

923

MILES V. KLEIN

881

K . KLEINSTÜCK M.

M.

1062

TU. KLUPSCH

1375

H . KNÖLL

K237

S. KOC

H . BLANK

1660

P . KOVÄCS

M . BOÖEK

1221

P . RRATOCHV(L

A. BOHUN

992

M . KRÖTZSCH

1575

W . BORCHARDT

K164

KJIHHREP

1304 K272 1221 1762, 1768

J . KUBATOVÄ

K265

K300

H . LANGE

K304

M . DE COSTER

1653

W . LANGE

1410, K 1 6 0

CZAN C Z U K D A

1254

E . LENDVAY

K272

A. DEKETELAERE

1195

A . LÖRINCZY

K157

W . DEKEYSER

1195

J . LOOS

K293

G . DELACOTE

1460

W . LUDWIG

K244

1660

P . LUKAC

W . BRAUER

P . DELAVIGNETTE W . DEWITZ

K311

D . L. DEXTER

821

G. DIETZMANN

1762

B . N . DUTTA

984

J . DZIESIATY

K211

F . ECKART

841

A . A . MARADUDIN

1556 1556

W . MÖHLING

K307 K217

H . - G . MÜLLER

1479

W . NEFEDOW

1088,1466

W . BEALL FOWLER Z. FRAIT

821 1417, K 1 8 5

W . GELBRICH

K214

R . GEMPERLE

1384

P . GÖRLICH E.GUTSCH E

988 K211,

K157

M . ONDRIS

K185

A . OTTO

K187

K . PATEK M. PAULUS

K265 1181, 1325

R . PERTHEL

1169

W . PFEIFFER

1727

K304

H . PFLEIDERER

K304

H . POLLAK

H . HARTMANN

929 K164

904

T . NEMETH

H . - J . HÄNSCH W . HASE

1105

K . MOTZKE

1021

R . FISCHER

1479, 1493

J . METZ

A. E. FEIN

850

K237

K . MEINIG

J . D . ESHELBY H . FINKENRATH

1221

E . MACHERAUCH

H . PUFF

1524, 1539, 1713 1653 1699,

K300

F . RAMSTEINER

1005

W . HAUBENREISSER

1375

J . RAULUSZKIEWICZ

1254

O. HAUSER

1471

IO. M . PABH'I

1043

G. REMAUT

1195

G . HÄUSSLER

K160

E . HEGENBABTH

1544

U . HEILIG O. HENKEL W . HENRION

K296 1096, 1393,

K268 841

T. REWAJ K . RICHTER

1151 K272

H . - J . ROIIDE

K211

J . SEIT AND A

K272 K217

H . HORNUNG

1158

G . K . SCHMIDT

J . IRMER

1552

M . SCHOTT

E.JAHNE

K311

M . SCHULZ

1683

1299

W . SCHULE

1005, 1199

C. K . JORGENSEN

1146

D.SCHUMACHER

W . KAISER

1117

W . SCIIÜPPEL

1175

K . KARRAS

988

CH. SCHWINK

K241

C. JECII

K . KING

1199

A . SEEGER

1460

1199

857,1005,1199

Vili

Author Index

S. P . SINGH J . SOCHANSKI A . SOMLÓ M . SOMOGYL H . STATZ W . STEINMANN H . STOLZ H . W . STREITWOLF

B . K . CyfiaiiiHei! P.SUDA J . SZANIECKI

P . SzEBENI I. TABJÀN

K . UNGER

. . .1312,1317 829 K272 857 K187 1029 . . . 1595 . . . . . . . . 1043 1227 . . .1354,1364 . * . . . . Kl57 829

J . TELTOW H . THIEL

1105 K164

. . . .

G . VOGI.ER F . VOIGT J . VOIGT R . VOSZKA W . WARDZYNSKL W . WELLER M . WLLKENS H . D . WLTZKLI S. WOLF A . W'RZECIONO M . WURLITZER G . ZANKL

K . THIESSEN J . TOBISCH

G. H . VINEYARD

A . ZETZSCH«

. . . .

1279 1479 1241 1403 1689 850 829 1254 1342 1508 1109 1762 1384 1750 K241 1670

plrysica status solidi

VOLUME 2 • N U M B E R i . 1962

Contents

1. Review Article H.

BETHGE

Page Oberflächenstrukturen und Kristallbaufehler im elektronenmikroskopischen Bild, untersucht am NaCl (II) 775

2. Original Papers W . BEAXL FOWLER a n d D . L . DEXTER

Critique of the Pekar Theory of the F-Center

821

Ä . SOMLÖ, I . T A J U X N a n d R . VOSZKA

Über den Einfluß von Verunreinigungen auf die Photoleitfähigkeit röntgenverfärbter NaCl-Kristalle 829 F . ECKABT u n d W . H E N R I O N

Optische Untersuchungen an hexagonalen Selen-Einkristallen . . 841 H . F I N K E N R A T H u n d M . VOLKMANN

Optische Absorption und Dispersion durch Leitungselektronen in Kadmiumoxydschichten 850 A . S E E O E R a n d H . S T ATZ

The Electrical Resistivity of Stacking Faults MILES

V.

KLEIN

857

A Possible Magnetic After-Effect Caused by Diffusion of Axially Symmetric Point Defects 881

W.

NEFEDOW

Bestimmung von Atomladungen in Molekülen mit Hilfe der Röntgenemissionsspektren 904

W.

KLEBER

Zur thermodynamisch-kinetischen Theorie der heterotaktischen Keimbildung 923

H . HARTMANN

Über die in Abhängigkeit von den kristallographischen Eigenschaften an Zinksulfid-Einkristallen auftretende Lumineszenz . . 929

8. Short Notes (listed on the last page of the issue)

4. Pre-printed Titles and Abstracts of Original Papers to be published in this or in the Soviet journal ,,nanKa TBepnoro TeJia" Tverdogo Tela).

(Fizika

physica status solidi B o a r d of E d i t o r s P. A I G R A I N , Paris, S. A M E L I N C K X , Mol-Donk, W. D E K E Y S E R , Gent, W. F R A N Z , Hamburg, P. G Ö R L I C H , Jena, E. G R I L L O T , Paris, R. K A I S C H E W , Sofia, P. T. L A N D S B E R G , Cardiff, L. N É E L , Grenoble, A. P I E K A R A , Poznan, A. S E E G E R , Stuttgart, O. S T A S I W , Berlin, M. S T E E N B E C K , Jena, F. S T Ö C K M A N N , Karlsruhe, G. S Z I G E T I , Budapest, J . T A U C , Praha Editor-in-Chief P. G Ö R L I C H Advisory Board M. B A L K A N S K I , Paris, P. C. B A N B U R Y , Reading, M. B E R N A R D , Paris, W. B R A U E R , Berlin, W. C O C H R A N , Cambridge, R. C O E L H O , Fontenay-aux-Roses, H.-D. D I E T Z E , Aachen, J . D. E S H E L B Y , Birmingham, H. K. H E N I S C H , Reading, G. J A C O B S , Gent, J . J A U M A N N , Köln, E. K L I E R , Praha, E. K R O E N E R , Cambridge Mass., M. M A T Y Ä S , Praha, H. D. M E G A W , Cambridge, T. S. M O S S , Camberley, E. N A G Y , Budapest, E. A. N I E K I S C H , Jülich, L. P A L , Budapest, M. R O D O T , BeUevue/Seine, B. Y. R O L L I N , Oxford, H. M. R O S E N B E R G , Oxford, R. Y A U T I E R , Bellevue/Seine

Volume 2 • Number 7 • Pages 773 to 938 and K 157 to K 184 1962

A K A D E M I E - V E R L A G B E R L I N

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Schriftleiter und verantwortlich für den Inhalt: Professor Dr. Dr. h. c. P. G ö r l i c h , Berlin C 2, Neue Schönhauser Str. 20 bzw. Jena, Humboldstr. 26. Redaktionskollegium: Dr. S. O b e r l ä n d e r , Dr. E. G u t s c h e , W . B o r c h a r d t . Anschrift der Schriftleitung: Berlin C 2, Neue Schönhauser Str. 20, Fernruf: 422043. Verlag: Akademie*Verlag GmbH, Berlin W 8, Leipziger Str. 3—4, Fernruf: 220441, Telex-Nr. 011773, Postscheckkonto: Berlin 35021. — Die Zeitschrift „physica status solidi" erscheint monatlich. Bezugspreis dieses Heftes DM 6,—. Bestellnummer dieses Heftes: 1068/2/7. Gesamtherstellung: VEB Druckerei „Thomas Müntzer" Bad Langensalza.—Veröffentlicht unter der Lizenznummer ZLN 5536 des Ministeriums für Kultur.

Review

Article

phys. stat. sol. 2, 775 (1962) Arbeitsstelle für Elektronenmikroskopie der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin und Institut für experimentelle Physik der Universität HallejS.

Oberflächenstrukturen und Kristallbaufehler im elektronenmikroskopischen Bild, untersucht am NaCl (II) *) Von H . BETHGE

I m vorangegangenen Teil I dieses Berichtes wurde nach der Darstellung der besonderen und für die Abbildung von Oberflächenstrukturen mit atomaren Stufenhöhen geeigneten Präparationsverfahren auf Abdampf- und Wachstumsstrukturen ausführlich eingegangen. E s konnte gezeigt werden, daß besonders im Bild der Abdampfstrukturen sehr detaillierte Aussagen zu den zur Oberfläche durchstoßenden Versetzungen möglich sind. I m vorliegenden Teil I I sollen zunächst einige Ergebnisse zur Anordnung der Versetzungen in Kleinwinkelkorngrenzen mitgeteilt werden. Ein nachfolgendes Kapitel enthält erste Ergebnisse zum Nachweis der Verteilung von Verunreinigungen, die den Verlauf der Abdampflamellen beeinflussen. Zwei weitere Kapitel beschreiben Gleitlinien und Spaltstrukturen. I m Kapitel über Gleitlinien werden Methoden mitgeteilt, die eine Beschreibung einzelner bewegter Versetzungen ermöglichen. Diese Gleitspuren lassen erkennen, daß einzelne Versetzungen im NaCl-Kristall häufig Quergleitung oder „climb"Vorgänge zeigen. Auf einige erste Ergebnisse zur Beobachtung von Gleitlinien auf abgeschreckten Kristallen wird eingegangen. Mit der elementaren Spaltstruktur und deren Abhängigkeit von bestimmten Vorbehandlungen des Kristallmaterials und der Ausführung des Spaltvorganges liegen erstmals Beobachtungen vor, die Einblick geben in die in der Rißfront ablaufenden Vorgänge. 5. Versetzungen in Kleinwinkelkorngrenzen Als Kleinwinkelkorngrenzen (subboundaries) in Kristallen werden solche Grenzen bezeichnet, die wenig gegeneinander fehlorientierte Kristallbereiche unterscheiden. Die von den Kleinwinkelkorngrenzen eingeschlossenen „subgiains" sind mit dem früher in der Physik des Realkristalls benutzten Begriff des „groben Mosaikkristalls" identisch 13 ). Bei geeigneter Beleuchtung sind auf Spaltflächen von NaCl-Kristallen bei niedriger lichtoptischer Vergrößerung durch Kleinwinkelkorngrenzen getrennte Bereiche durch die infolge der Orientierungsunterschiede unterschiedliche Reflexion gut zu erkennen. Die Fig. 4 enthält hierfür Beispiele. *) Teil I erschien in phys. stat. sol. 2, 3 (1962). Im Anschluß daran werden Kapitel, Figuren, Literaturzitate und Fußnoten laufend weiter numeriert. 13 ) Der Begriff des „groben Mosaikkristalls" wurde besonders in den früheren Arbeiten der Smekalschen Schule benutzt (Siehe hierzu [38]). Die Mosaikblöcke des allgemeinen Mosaikkristalls, die als kohärent streuende Bereiche aus dem röntgenographischen integralen Reflexionsvermögen postuliert wurden (DABWIN [39]), sind sicher nicht gleichbedeutend mit den durch Kleinwinkelkorngrenzen getrennten subgrains. Es wird in der neueren Literatur angenommen, daß die „Mosaikblöcke" dem räumlichen Versetzungsnetzwerk entsprechen. Die aus dem integralen Reflexionsvermögen ermittelten Größen der kohärent streuenden Bereiche stimmen hinreichend überein mit den etwa aus dem Ätzbild entnehmbaren mittleren Versetzungsabständen. Eine Diskussion hierzu gibt S E E G E R [ 7 1 ] . 51*

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H . BETHGE

Von B U K G E K S [40] und B R A G G [41] wurden zuerst Modelle vorgeschlagen, nach denen Kleinwinkelkorngrenzen durch bestimmte Anordnungen von Versetzungen zu beschreiben sind. Neben den vom Wach stum her im Kristall vorhandenen Kleinwinkelkorngrenzen ist auch eine Bildung durch Polygonisation nach hinreichender Verformung möglich [42], Im einfachsten Modell sind Kleinwinkelkorngrenzen jeweils nur aus Stufen- oder aus Schraubenversetzungen aufgebaut. Es sind aber auch Anordnungen zu erwarten, die beide Versetzungstypen enthalten. Fig. 25 zeigt schematisch die aus Schraubenversetzungen gebildete, in der F-Z-Ebene liegende Kleinwinkelkorngrenze (twist boundary). Zwei Kristallbereiche sind um die X-Achse um einen Winkel # gegeneinander verdreht. Die am hinteren Kristallblock der Fig. 25 a eingezeichneten Netzebenen machen deutlich, daß diese jeweils in einem vom Winkel § bestimmten Abstand eine X-YNetzebene des vorderen Blocks durchschneiden. Dies läßt sich auch so ausdrücken: Mit dem Radius d ist der hintere Block gerade um die Strecke eines Netzebenenabstandes gegenüber dem vorderen verdreht. Fragt man nun, wie die Bausteine des zusammenhängenden Gitters im Bereich der Kleinwinkelkorngrenze angeordnet sein müssen, um die vorstehend beschriebene Verdrehung zu liefern, dann ist leicht zu übersehen, daß dies durch zwei Scharen sich kreuzender Schraubenversetzungen möglich ist. Im umgebenden Gitterbereich einer Schraubenversetzung (siehe Fig. 11) sind ja in einer zur Versetzungslinie parallelen Ebene zwei Gitterbereiche um die Strecke des Burgersvektors gegeneinander verschoben. Im Abstand d liegende Schraubenversetzungen mit Burgersvektoren gleich den in Fig. 25a eingezeichneten Netzebenenabständen liefern also die zur Aufspannung des Winkels & notwendigen Gitterdeformationen. Der Zusammenhang zwischen dem Abstand d der Versetzungen, dem zugehörigen Burgersvektor b und dem Verdrehungswinkel ist gegeben durch die Gleichung # = . Zur besseren Anschaulichkeit wurden in Fig. 25 b die sich kreuzenden Versetzungsscharen orthogonal und parallel zu den Achsen eines kubischen Kristalls angenommen. Im konkreten Fall ist die Orientierung der Versetzungen durch die im betreffenden Gitter möglichen Burgersvektoren und durch stabile Anordnungen (Versetzungsknoten) der sich schneidenden Versetzungen gegeben. Die Versetzungsanordnung in einer nur aus Stufenversetzungen gebildeten Kleinwinkelkorngrenze (tilt boundary) ist für den einfachsten, symmetrischen Typ in Fig. 26 schematisch dargestellt. Um die Z-Achse sind zwei Kristallbereiche

Oberflächenstrukturen und Kristallbaufehler

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um einen Winkel # gegeneinander verschwenkt. Wie die Fig. zeigt, ist jede der in die Grenze einlaufenden Netzebenen als Stufenversetzung zu beschreiben. Der mittlere Abstand d der Versetzungen hängt wieder vom Winkel $ und von dem den Versetzungen zuzuordnenden Burgersvektor b ab, es gilt auch hier

a Wie schon zur Erklärung der twist boundary wurde auch für die tilt boundary der einfachste Fall angenommen. Im NaCl-Gitter zu erwartende Versetzungsanordnungen hat AMELTNCKX [6] im Zusammenhang mit den in verfärbten Kristallen ultramikroskopisch beobachteten Netzwerken diskutiert.14) Eine allgemeine theoretische Behandlung der aus energetischen Gründen folgenden Anordnungen von Versetzungen in Korngrenzen zwischen Kristallbereichen unterschiedlicher Orientierungen h a b e n R E A D u n d SHOCKLEY [43] g e g e b e n .

Zum Nachweis der Kleinwinkelkorngrenzen war vorstehend schon bemerkt, daß die durch solche Grenzen unterschiedenen Kristallbereiche (subgrains) als „grobe Mosaikstruktur" auf Spaltflächen von Ionenkristallen schon lange bekannt sind. Die Bestätigung der Kleinwinkelkorngrenzen als bestimmte Anordnungen von Versetzungen erfolgte wohl zuerst durch LACOMBE und BEATJJABD [44] an Aluminium. Auf elektrolytisch polierten AI-Kristallen konnten Ätzgrübchen entwickelt werden, die neben statistischer Verteilung auch entlang Linien angeordnet sind und Bereiche mit Abmessungen von weniger als 0,1 mm bis einige mm einschließen. An verunreinigten Metallen und Legierungen, die bei bestimmter Temperaturbehandlung Ausscheidungen zeigen, ist der Verlauf der Kleinwinkelkorngrenzen auch durch die Auscheidungen nachweisbar. Die bis zum Jahre 1950 an Metallen vorliegenden Ergebnisse sind von GUINIER in [45] zusammenfassend dargestellt, wobei besonders auf die Bildung von Kleinwinkelkorngrenzen durch Polygonisation eingegangen wird. GUINIER beschreibt auch die röntgenographischen Untersuchungen, bei denen unter Anwendung besonderer Verfahren aus der Feinstruktur der Röntgenreflexe die gegenseitige Fehlorientierung der durch Kleinwinkelkorngrenzen unterschiedenen Bereiche bestimmt werden kann. Besonders zu erwähnen sind die von VOGEL et al. [46] an Germanium erzielten Ergebnisse. Die durch Anätzen sichtbar gemachten und in Kleinwinkelkorngrenzen angeordneten Versetzungen konnten lichtmikroskopisch bei höherer

Fig. 26. Schematische Darstellung einer aus Stufenversetzungen aufgebauten symmetrischen Kleinwinkelkorngrenze. Erklärung siehe Text.

< 1

14) Ergänzend zu den in Kapitel 1 gegebenen Bemerkungen über die Beobachtungen an Versetzungsnetzwerken in verfärbten Kristallen sei noch bemerkt, daß die symmetrische und geordnete Muster bildenden Versetzungen zu ebenen Netzwerken gehören und damit sicher Kleinwinkelkorngrenzen darstellen. Es ist aber nicht entschieden, ob diese Anordnungen auch typisch sind für den unverfärbten Kristall. Denkbar wäre, daß erst durch die erzwungene Kolloidbildung bei der Verfärbung eine „höhere Ordnung" in den Kleinwinkelkorngrenzen entsteht.

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H.

BETHGE

F i g . 27. Kleinwinkelkorngrenzen auf Spaltflächen (mit Ag b e d a m p f t ) bei lichtmikroskopischer B e o b a c h t u n g . Die beiden spiegelbildlichen Aufnahmen sind von den einander entsprechenden Bereichen beider Kristallhälften aufgenommen. L i n k e A u f n a h m e : ungeätzt. Kochte A u f n a h m e : mit Eisessig + H 2 S 0 4 angeätzt. Vergrößerung: 45-fach

Vergrößerung getrennt und ihr gegenseitiger Abstand d ausgemessen werden. Diese Untersuchungen bestätigten erstmals hinreichend genau den Zusammenhang zwischen Versetzungsabstand, dem Burgersvektor der Versetzungen und dem Winkel der ebenfalls experimentell ermittelt wurde. Zugleich konnte damit für die angewendete Ätztechnik am Germanium der tatsächliche Zusammenhang zwischen Ätzgrübchen und durchstoßender Versetzung gesichert werden.15) Im einleitenden Kapitel 1 war schon bemerkt, daß an NaCl-Kristallen zuerst von A M E L I N C K X [9] durch Anätzen Versetzungen und deren Anordnung in Kleinwinkelkorngrenzen lichtmikroskopisch dargestellt wurden. Die Fig. 3 gibt für solche Beobachtungen ein Beispiel. Auf Spaltflächen von Ionenkristallen sind die Kleinwinkelkorngrenzen besonders gut zu erkennen, weil neben den angeätzten, entlang den Grenzen dicht angeordneten Versetzungen oftmals auch die Fehlorientierung der eingeschlossenen Bereiche durch den verschiedenen Kontrast im Auflichtmikroskop deutlich wird. Dies ist nach der schematischen Zeichnung einer tilt boundary der Fig. 26 sofort verständlich. Liegt die Achse, um die die Kristallbereiche gegeneinander verschwenkt sind, nicht senkrecht zur Spaltfläche, dann sind in dieser zu beiden Seiten der Kleinwinkelkorngrenze die Kristallbereiche gegeneinander geneigt. In der Fig. 27 sind jeweils vier solche Kristallbereiche durch ihre unterschiedliche Neigung und den dadurch bewirkten Kontrast erkennbar. Auf der Aufnahme der angeätzten Kristallhälfte sind aber noch weitere Kleinwinkelkorngrenzen abgebildet, und es zeigt sich, daß die auch auf der nicht angeätzten Oberfläche erkennbaren, merklich fehlorientierten Bereiche nochmals durch Kleinwinkelkorngrenzen unterteilt sind. Es können dies einmal tilt boundaries sein mit zur Spaltfläche senkrechter Neigungsachse oder mit sehr kleinen Neigungswinkeln. Zum anderen sind aber auch twist boundaries zu erwarten, die auf der Spaltfläche keine ausgedehnten Bereiche ergeben mit im Reflexionsvermögen wahrnehmbaren Orientierungsunterschieden. Twist boundaries sind nur unter bestimmten Bedingungen im Lichtmikroskop zu erkennen. Wie die Fig. 25b deutlich macht, erzeugt ein etwa frontal eine twist boundary durch16 ) In. Kapitel 3 wurde schon darauf hingewiesen, das Ätzgrübchen den Versetzungen nicht immer eindeutig zuzuordnen sind. Auf Grund des wohl genügend gesicherten Modells der in Kleinwinkelkorngrenzen angeordneten Versetzungen kann aber allgemein für eine bestimmte Ätzbehandlung von vorgegebenen Kristallen der Zusammenhang als gegeben gelten, wenn Ätzgrübchen in Kleinwinkelkorngrenzen ermittelt werden.

Oberflächenstrukturen und Kristallbaufehler

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schneidender Spaltriß hinter jeder Schraubenversetzung eine von dieser ausgehende Stufe. Wie aus der Erklärung zur Fig. 11 folgt, haben diese Stufen nur eine Höhe, die gleich dem Burgersvektor der durchschnittenen Versetzungen ist. I n Abständen von einigen ¡j, hinter der Kleinwinkelkorngrenze vereinigen sich aber oftmals die einzelnen ein- oder zweiatomaren Stufen zu höheren Spaltstufen und bilden „river-pattern". Liegen diese in von primären (d. h. auf die Grenze zulaufenden) Spaltstufen genügend freien Bereichen, dann sind die höheren Stufen des river-pattern lichtmikroskopisch gut zu erkennen. Zweckmäßig wird auch hierzu der Kristall mit Silber bedampft. Die rechte obere Aufnahme der Fig. 4 zeigt die hinter einer twist boundary gebildete hohe Spaltstufendichte. Selbstverständlich gibt ein mit dem Lichtmikroskop erkanntes river-pattern nur immer die gröberen, schon vereinigten Stufen wieder. Die unmittelbare Umgebung der Feinkorngrenze erscheint fast immer völlig strukturlos, wie deutlich auf der Fig. 4 zu erkennen ist. Leider ist der Zusammenhang zwischen den Ätzgruben der Versetzungen und dem river-pattern nicht herzustellen, weil beim Ätzangriff auch die feineren Stufen des river-pattern abgebaut werden. Ein solcher gesicherter Zusammenhang konnte aber elektronenmikroskopisch dargestellt werden [15, 16]. Die Fig. 28 zeigt eine mit dem Verfahren der NaClAufdampfung zur Abbildung gebrachte, aus Schraubenversetzungen aufgebaute Kleinwinkelkorngrenze. Die Spaltrichtung verlief von unten nach oben, und hinter dsr twist boundary ist ein besonders deutliches river-pattern ausgebildet, das bei dem relativ kleinen Abbildungsmaßstab auch in seinem weiteren Verlauf hinter der Grenze erfaßt wird. Gut zu erkennen ist der Zusammenhang zwischen den einzelnen Stufen und den durch ein bevorzugtes Aufwachsen markierten Durchstoßpunkten der Schraubenversetzungen. Die Figuren 29 und 31 zeigen die Anordnungen von Versetzungen in twist boundaries auf Spaltflächen, bei höheren Vergrößerungen abgebildet durch das Golddekorationsverfahren. Die Spaltrichtung verlief etwa von oben nach unten. Entsprechend den in Kapitel 4 gegebenen Ausführungen zum Einfluß des Wasserdampfes der freien Atmosphäre, der zu einer Anlösung und Vernichtung feinster Spaltstrukturen führt, erfolgte die Kristallspaltung im Hochvakuum. Eine definierte, kurzzeitige Anlösung nach der Spaltung und vor der Goldbedampfung führte zu einer geringen Beeinflussung der Strukturen durch den AnlösungsWachstumseffekt 16 ). Wie besonders in der Fig. 29 zu erkennen, werden die von den Versetzungen ausgehenden Stufen dadurch zwar in ihrem Verlauf beeinflußt, aber die jeweiligen Ausgangsorte der Stufen — die Durchstoßpunkte der Schraubenversetzungen — bleiben fest verankert. Verschiedentlich sind in der Fig. 29 in den Ausgangsorten der Stufen Anfänge eines Spiralwachstums zu erkennen. Der definierte geringe Anlösungs-Wachstumseffekt kann also hier zur gesicherten Aussage des Vorliegens von Schraubenversetzungen herangezogen werden, und da auch keine Auflamellierung der Stufen zu beobachten ist (siehe hierzu die Diskussion in Kapitel 7), folgt mit einiger Sicherheit, daß die von den Versetzungen ausgehenden Stufen nur einenNetzebenenabstanda/2hoch sind. Damit sollten Schraubenversetzungen mit kleinstmöglichen Burgersvektoren vorliegen. 16

) Ergänzend zu der Beschreibung des Anlösungs-Wachstumseffektes in Kapitel 4 wird in Kapitel 7 noch näher auf den Effekt geringer definierter Anlösung eingegangen. Vorwegnehmend sei bemerkt, daß die Ringstruktur in Fig. 29 und die vereinzelt in Fig. 31 zu beobachtenden keulenförmigen Verrundungen erst durch den Anlösungs-Wachstumseffekt gebildete Strukturen darstellen.

780

H . BETHGE

Fig. 28. Entlang einer Kleinwinkelkorngrenze angeordnete Schraubenversetzungen mit dahinter gebildetem riverpattern. Präparation: NaCl-Aufdampfung und Kohleabdruck, mit ThF, schräg bedampft. Vergrößerung: 5500-fach

o Fig. 29. Paarweise angeordnete Schraubenversetzungen in einer Kleinwinkelkorngrenze. Die Spaltstrukturen zeigen einen geringen Anlösungs-Wachstumseffekt. Präparation: Golddekoration. Vergrößerung: 15000-fach

Oberflächenstrukturen und Kristallbaufehler

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Flg. 30. Modell zum paarweisen Auftreten von Versetzungen in Eristalloberllächen

Bemerkenswert an der Lage der Versetzungen entlang der Kleinwinkelkorngrenze der Fig. 29 ist die paarweise Anordnung. Auch in dem durch einen Kreis hervorgehobenen Bereich liegen zwei Versetzungen vor. Abweichend vom gewöhnlichen Bild des river-pattern ist eine mit der Rißfront anlaufende Spaltstufe in eine Versetzung eingemündet. Der Abstand zwischen den benachbarten Versetzungen beträgt etwa 0,3 fi, während die Versetzungspaare Abstände von 1 bis 2 ¡M haben. Zur Deutung der paarweisen Anordnung könnte zunächst angenommen werden, daß primär im Kristall eine aus a +

(2.13)

•

Wave vectors in the reciprocal lattice are written in the form k = vB1+XBi

where v = Pi — Pi>

^ = Pi~ Pa',

+

xB3,

« = Pi + P» + Pa •

(2.14) (2.15)

863

Electrical Resistivity of Stacking Faults

The coordinate system introduced by (2.9) and (2.13) is particularly suitable for treating the electrical resistivity of stacking faults. In the subsequent paper on the energy of stacking faults we shall have to use still another description of the f.c.c. lattice. 3. Some Properties of Wannier Functions and Energy Surfaces

We have explained in 1., why the use of Wannier functions suggested itself in the present problem. A particular advantage is that Wannier functions enable us to describe arbitrary energy surfaces in the wave number space including the open ones occuring for the conduction electrons in the noble metals. We shall summarize some of the formulae for Wannier functions (see SLATER [12]) which we shall use later. The Wannier functions for the w-th band are expressed in terms of the Bloch functions bnk(r), the solutions of the one-electron Schrodinger equation of the perfect crystal, as follows: an(r — Rj) = 4r~Z |IN

k

•

(31>

Here N is the numbsr of lattice cells in the fundamental block. Rj are the lattice vectors, and the sum over k extends over all wave vectors in the Brillouin zone satisfying periodic boundary conditions on the fundamental block. The Wannier functions of the same band located at lattice points R j are orthonormal, the Wannier functions of different bands are orthogonal to each other according to / a*(r — Hi) am(r — Rj) dtr = dn_ m 6(Rt - «,) .

(3.2)

A'

In (3.2) and also in later equations the N indicates that the integrals extend over the fundamental block of N lattice cells. Later we shall have to consider integrals of the form U„(ri — rj) = f a*n{r — r j an(r — r}) d r r , (3.3) AT

where rt — t'j is an arbitrary vector. These integrals take up the special form given by (3.2), if r, — t) is a lattice vector. (3.1) may be solved for the Bloch functions bnk(r) = - L Z eihRJ an(r — Rj) , VN Kj

(3.4)

where the sum extends over all the lattice points in the fundamental block. Inserting (3.4) into the Schrodinger equation H0 bnk(r) = En{k)bnk(r)

(3.5)

of the crystal, we obtain the well-known differential-difference equation fo Wannier functions H0 an(r — Rf) = £ - «,) (r — RJ . (3.6) R

i

Here 8,(1*4 - Rj) = ¿r 27 eik^~Ri) fc

En(k) = I a*(r - RJ H0 a (r - Rj) d r r . (3.7) J N

864

A . SEEGER a n d H . STATZ

En(k) is a periodic function in fc-space. The Fourier expansion — ikR, (3.8) EJk) = Zen(Ri)e R; can easily be deduced from (3.7). A description of the energy surfaces in the form of a Fourier series (3.8) is particularly suitable for open energy surfaces. If we neglect in the summation (3.8) contributions coming from more distant lattice points t h a n the nearest neighbours of the origin, we obtain the same general shape of the energy surfaces as in the socalled tight-binding or Bloch approximation. S O M M E R F E L D and B E T H E [15] have shown t h a t in a monovalent f. c. c. metal the tight-binding approximation for a single band of «-electrons leads indeed to an open Fermi surface, with the Fermi body intersecting the hexagonal faces of the Brillouin zone. These are qualitatively the features of the Fermi surface of the noble metals as demonstrated by the experimental work of the past few years. We may expect t h a t the restriction of (3.8) to one band (we m a y drop the index n) and to next-nearest neighbours should be sufficient to describe the characteristic properties of the conduction electrons a t the Fermi surface in noble metals. (We shall denote the non-vanishing coefficients in (3.8) by e(i), where i = 0, 1,2 correspond to the origin, nearest, and next-nearest neighbours). A more complete treatment should also include other bands (in the case of Cu in addition to the 4s band also the 4p and the 3d bands) and should allow for more distant neighbours, particularly in the higher bands, where the Wannier functions are more extended t h a n in the lower bands. These extensions could be handled by the methods of this and the subsequent paper and only present computational difficulties. Since in the present paper we are interested in establishing the general theory rather than in numerical results, we shall not consider these refinements further. Using the coordinate systems in the reciprocal space introduced in 2., we may write E(k) = e(0) + 2 £(1) [cos p1 + cos p2 + cos p3 + cos (pt — p2) + cos (p1 — p3) + cos (p2 — pz)} + 2 £ (2) [cos (— pl + p2 + p3) + cos {px — p2 + ps) + cos (p1 + p2 — p 3 )] ,

(3.9)

tf(k) = e(0) + 2 e ( l ) cos V + cos X + cos (V — Â) + cos + cos

—2v + X + x 2

+ 2 £(2) cos -

v

+

2A-

•2k+

v + A + •*

x

4v—2A cos -

+ cos-

-2v + 4A + x

. (3.10)

If E(k) is normalized in such a way t h a t E assumes the value zero a t k = 0, we have e(0) = — 1 2 e ( l ) — 6 e ( 2 ) . (3.11) 4. The Difference Equation Let us now consider a perturbed crystal with the one-electron Hamiltonian H = H0 + H , ,

(4.1)

Electrical Resistivity of Stacking Faults

865

where H x describes the perturbation of the potential. The solution W(r) of the Schrodinger equation to the eigenvalue E H

W(r)

=

E

(4.2)

W{r)

m a y be developed in terms of Wannier functions as follows: ¥(r) =

]} .

(5.8)

(5.6) holds for all pairs (y, I) with the exception of the pairs (—1,1) and (—1,2). The equations in these exceptional cases are: C(—1,2) (P + T — E) + C(—1,1) Q + (7(0,0) S ==

0,1

C(0,0) (P + T — E) + C(—1,2) S* +