Physica status solidi: Volume 2, Number 11 1962 [Reprint 2021 ed.] 9783112500040, 9783112500033

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plrysica status solidi

V O L U M E 2 • N U M B E R 11 • 1962

Contents

1. Review Artide W.

ANDRA

et al.

p«g« Ferromagnetische dünne Schichten (V). 8. Ferromagnetische Resonanz (Z. F E A I T ) 1417

2. Original Papers G . D E L A C O T E e t M . SCHOTT

Effet Hall et mobilité des porteurs de charge dans un cristal moléculaire (Phtalocyanine de cuivre) 1460 R.

FISCHER

Einfluß der effektiven Masse auf die Energieverteilung der bei der äußeren Feldemission aus Halbleitern emittierten Elektronen . 1466

0 . H A U S E R u n d M . BALARIN

Bemerkungen zur Kaskadentheorie für die Berechnung der Anzahl von Strahlendefekten in Festkörpern 1471 A . A . MARADTTDIN, A . E . F E I N , a n d G . H . V I N E Y A R D

On the Evaluation of Phonon Widths and Shifts

1479

A . A . MARADUDIN

Thermal Expansion and Phonon Frequency Shifts

M. WILKENS

Zur Röntgenstreuumng an Kristallen mit Versetzungen

H . PFLEIDERER

Lineare Elastizitätstheorie und Thomas-Fermi-Modell bei Eigen-

1493 (II)

.

.

spannungen in Metallen

1508

1624

H . PFLEIDERER

Elastische Konstanten und Kopplungsparameter

E.

Dielektrische und kalorische Untersuchungen an ferroelektrischen Keramiken bei tiefen Temperaturen 1544

HEOENBARTH

J . IRMER

3.

Ordnung .

1539

Das Verhalten von Defektelektronen bei Untersuchungen mit Hilfe des Print-out-Effekts in AgBr-Kristallen 1552

K . MEINIG, J . METZ u n d J . TELTOW

Der Absorptionsausläufer von AgBr- und AgCl-Mischkristallen bei höheren Temperaturen 1556 W . BORCHARDT

Über photochemische Reaktionen an Kadmiumsulfid . . . .

1575

3. Short Notes (listed on the last page of the issue)

4. Pre-prlnted Titles and Abstracts of Original Papers to be published in this or in the Soviet journal „On3HKa Tßepnoro T e j i a " (Fizika Tverdogo Tela).

physica status solidi B o a r d of E d i t o r s P. A I G R A I N , Paris, S. A M E L I N C K X , Mol-Donk, W. D E K E Y S E R , Gent, W. F R A N Z , Hamburg, P. G Ö R L I C H , Jena, E. G R I L L O T , Paris, R. K A I S C H E W , Sofia, P. T. L A N D S B E R G , Cardiff, L. N É E L , Grenoble, A. P I E K A R A , Poznan, A. S E E G E R , Stuttgart, O. S T A S I W , Berlin, M. S T E E N B E C K , Jena, F. S T Ö C K M A N N , Karlsruhe, G. S Z I G E T I , Budapest, J. T A U C , Praha Editor-in-Chief P. G Ö R L I C H Advisory Board M. B A L K A N S K I , Paris, P. C. B A N B U R Y , Reading, M. B E R N A R D , Paris, W. B R A U E R , Berlin, W. C O C H R A N , Cambridge, R. C O E L H O , Fontenay-aux-Roses, H.-D. D I E T Z E , Aachen, J. D. E S H E L B Y , Birmingham, H. K. H E N I S C H , Reading, G. J A C O B S , Gent, J. J A U M A N N , Köln, E. K L I E R , Praha, E. K R O E N E R , Cambridge Mass., M. MATYÀS, Praha, H. D. M E G A W , Cambridge, T. S. MOSS, Camberley, E. N A G Y , Budapest, E. A. N I E K I S C H , Jülich, L. P A L , Budapest, M. R O D O T , Bellevue/Seine, B. Y. R O L L I N , Oxford, H. M. R O S E N B E R G , Oxford, R. V A U T I E R , Bellevue/Seine

Volume 2 • Number 11 • Pages 1415 to 1592 and K 265 to K 292 1962

A K A D E M I E - V E R L A G B E R L I N

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S c h r i f t l e i t e r u n d v e r a n t w o r t l i c h f ü r d e n I n h a l t : P r o f e s s o r D r . D r . h . c. P . G ö r l i c h , B e r l i n C 2, N e u e S c h ö n h a u s e r S t r . 20 bzw. J e n a , H u m b o l d t s t r . 26. Redaktionskollegium: D r . S. O b e r l ä n d e r , Dr. E. G u t s c h e , W. B o r c h a r d t . A n s c h r i f t d e r S c h r i f t l e i t u n g : B e r l i n C 2, N e u e S c h ö n h a u s e r S t r . 20, F e r n r u f : 4 2 2 0 4 3 . Verlag: Akademie-Verlag G m b H , B e r l i n W 8, L e i p z i g e r S t r . 3 — 4 , F e r n r u f : 2 2 0 4 4 1 , T e l e x - N r . 011773, P o s t s c h e c k k o n t o : B e r l i n 3 5 0 2 1 . — D i e Z e i t s c h r i f t „ p h y s i c a s t a t u s s o l i d i " e r s c h e i n t m o n a t l i c h . B e z u g s p r e i s dieses H e f t e s D M 6,—. B e s t e l l n u m m e r dieses H e f t e s : 1068/2/11. G e s a m t h e r s t e l l u n g : V E B D r u c k e r e i „ T h o m a s M ü n t z e r " B a d L a n g e n s a l z a . — V e r ö f f e n t l i c h t u n t e r d e r L i z e n z n u m m e r Z L N 5536 des M i n i s t e r i u m s f ü r K u l t u r .

Review

Article

phys. stat. sol. 2, 1417 (1962) Institut

für Magnetische

Werkstoffe, Jena, der Deutschen Akademie zu Berlin (a)

der Wissenschaften

Physikalisches Institut der Tschechoslowakischen Akademie der Wissenschaften, Prag (b) Institut für Meß- und Prüftechnik, Berlin, der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (c) Fakultät für technische Physik und Kernphysik der Tschechischen Technischen Hochschule zu Prag (d)

Ferromagnetische dünne Schichten (Y) Von W . A N D R Ä ( a ) , Z . IFBAIT ( b ) , V . K A M B E R S K Y ( b ) , Z . M A L E K ( b ) , U . R Ö S L E R (C) W . SCHÜPPEL (a), P . SUDA (b), L . VALENTA (d) u n d

G . VOGLER ( a )

Inhaltsverzeichnis 1. Allgemeines (ANDRÄ, phys. stat. sol. 2, 99 (1962)). 2. Theorie der spontanen Magnetisierung (VALENTA, phys. stat. sol. 2, 112 (1982)). 3. Magnetokristalline und induzierte Anisotropie (MÄLEK und SCHÜPPEL, phys. stat. sol. 2, 136 (1962);. 4 . B e r e i c h s - u n d W a n d s t r u k t u r e n (SCHÜPPEL u n d KAMBERSKY, p h y s . s t a t . s o l . 2, 3 4 5 ( 1 9 6 2 ) ) .

5. Quasistatische Ummagnetisierung (ANDRÄ, phys. stat. sol. 2, 941 (1962)). 6. Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes und magnetische Widerstandsänderung (SUDA, phys. stat. sol. 2, 1227 (1962)). 7. I m p u l s u m m a g n e t i s i e r u n g (VOGLER, p h y s . s t a t . s o l . 2 , 1 2 4 1 ( 1 9 6 2 ) ) .

8. Ferromagnetische Resonanz (FRAIT) 9. Anwendung in statischen Speicherelementen und in Schaltnetzwerken (RÖSLER)

8. Ferromagnetische Resonanz Von Z. FRAIT

8.1 Einleitung Das Ziel dieses Berichtes ist die Zusammenfassung der bisherigen Ergebnisse der theoretischen u n d experimentellen U n t e r s u c h u n g der ferromagnetischen Reson a n z in d ü n n e n Schichten. Dieses Teilgebiet der P h y s i k k a n n von zwei S t a n d p u n k t e n aus b e t r a c h t e t werden. Erstens bringt die U n t e r s u c h u n g der ferromagnetischen Resonanz in d ü n n e n Schichten eine Reihe wertvoller Erkenntnisse zur E r k l ä r u n g des bei der Resonanz verlaufenden physikalischen Prozesses; sie t r ä g t besonders z u m S t u d i u m der Probleme der Austauschwechselwirkung u n d der Breite der R e s o n a n z k u r v e in ferromagnetischen Materialien bei. Andererseits ist es günstig, die Methodik der ferromagnetischen Resonanz zur U n t e r s u c h u n g einer großen Reihe von Eigenschaften d ü n n e r Schichten a n z u w e n d e n . E s h a n d e l t sich hierbei u m die Größe u n d Orientierung der magnetischen Anisotropie, u m die Größe der inneren S p a n n u n g e n u. a. Aus den Meßergebnissen k a n n weiter die Qualität der u n t e r s u c h t e n Schichten beurteilt werden. 92»

Review

Article

phys. stat. sol. 2, 1417 (1962) Institut

für Magnetische

Werkstoffe, Jena, der Deutschen Akademie zu Berlin (a)

der Wissenschaften

Physikalisches Institut der Tschechoslowakischen Akademie der Wissenschaften, Prag (b) Institut für Meß- und Prüftechnik, Berlin, der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (c) Fakultät für technische Physik und Kernphysik der Tschechischen Technischen Hochschule zu Prag (d)

Ferromagnetische dünne Schichten (Y) Von W . A N D R Ä ( a ) , Z . IFBAIT ( b ) , V . K A M B E R S K Y ( b ) , Z . M A L E K ( b ) , U . R Ö S L E R (C) W . SCHÜPPEL (a), P . SUDA (b), L . VALENTA (d) u n d

G . VOGLER ( a )

Inhaltsverzeichnis 1. Allgemeines (ANDRÄ, phys. stat. sol. 2, 99 (1962)). 2. Theorie der spontanen Magnetisierung (VALENTA, phys. stat. sol. 2, 112 (1982)). 3. Magnetokristalline und induzierte Anisotropie (MÄLEK und SCHÜPPEL, phys. stat. sol. 2, 136 (1962);. 4 . B e r e i c h s - u n d W a n d s t r u k t u r e n (SCHÜPPEL u n d KAMBERSKY, p h y s . s t a t . s o l . 2, 3 4 5 ( 1 9 6 2 ) ) .

5. Quasistatische Ummagnetisierung (ANDRÄ, phys. stat. sol. 2, 941 (1962)). 6. Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes und magnetische Widerstandsänderung (SUDA, phys. stat. sol. 2, 1227 (1962)). 7. I m p u l s u m m a g n e t i s i e r u n g (VOGLER, p h y s . s t a t . s o l . 2 , 1 2 4 1 ( 1 9 6 2 ) ) .

8. Ferromagnetische Resonanz (FRAIT) 9. Anwendung in statischen Speicherelementen und in Schaltnetzwerken (RÖSLER)

8. Ferromagnetische Resonanz Von Z. FRAIT

8.1 Einleitung Das Ziel dieses Berichtes ist die Zusammenfassung der bisherigen Ergebnisse der theoretischen u n d experimentellen U n t e r s u c h u n g der ferromagnetischen Reson a n z in d ü n n e n Schichten. Dieses Teilgebiet der P h y s i k k a n n von zwei S t a n d p u n k t e n aus b e t r a c h t e t werden. Erstens bringt die U n t e r s u c h u n g der ferromagnetischen Resonanz in d ü n n e n Schichten eine Reihe wertvoller Erkenntnisse zur E r k l ä r u n g des bei der Resonanz verlaufenden physikalischen Prozesses; sie t r ä g t besonders z u m S t u d i u m der Probleme der Austauschwechselwirkung u n d der Breite der R e s o n a n z k u r v e in ferromagnetischen Materialien bei. Andererseits ist es günstig, die Methodik der ferromagnetischen Resonanz zur U n t e r s u c h u n g einer großen Reihe von Eigenschaften d ü n n e r Schichten a n z u w e n d e n . E s h a n d e l t sich hierbei u m die Größe u n d Orientierung der magnetischen Anisotropie, u m die Größe der inneren S p a n n u n g e n u. a. Aus den Meßergebnissen k a n n weiter die Qualität der u n t e r s u c h t e n Schichten beurteilt werden. 92»

1418

Z . F E AIT

N a c h diesen S t a n d p u n k t e n wurde der Bericht in zwei Teile geteilt. I m ersten Teil beschreiben wir die Ergebnisse der Arbeiten, welche die physikalischen Gesetzmäßigkeiten der ferromagnetischen Resonanz betreffen, im zweiten behandeln wir die Methodik u n d A n w e n d u n g der ferromagnetischen Resonanz zur Messung einiger Eigenschaften d ü n n e r Schichten. D e r erste Absatz behandelt die Resonanzbedingung u n d die Ergebnisse der Messung der einfachen ferromagnetischen R e s o n a n z ; zwei physikalisch interessanten Problemen, u n d zwar der Spinwellenresonanz u n d dem U r s p r u n g der Breite der Absorptionskurve, sind zwei weitere Absätze gewidmet. E i n Absatz wurde der ferroakustischen u n d galvanomagnetischen Resonanz gewidmet; der erste Teil schließt m i t einer Z u s a m m e n f a s s u n g der Ergebnisse u n d Tabellen. Der erste Absatz des zweiten Teiles beschreibt kurz die experimentelle Methodik der Resonanz, im zweiten werden die bisherigen Anwendungen der Resonanzmethode auf d e m Gebiet d ü n n e r Schichten angegeben. I n diesem Bericht setzen wir eine K e n n t n i s der G r u n d f r a g e n der ferromagnetischen Resonanz u n d der Messungen bei hohen u n d sehr hohen Frequenzen voraus. E s ist vom historischen S t a n d p u n k t aus interessant, d a ß die E r s c h e i n u n g der ferromagnetischen Resonanz gerade bei d ü n n e n Schichten e n t d e c k t wurde, u n d zwar von G R I F F I T H S im J a h r e 1946 [1], E r f ü h r t e Mikrowellenmessungen des spezifischen W i d e r s t a n d e s ferromagnetischer Schichten aus, die elektrolytisch in einer Dicke von etwa 25 fim auf die G r u n d f l ä c h e eines zylindrischen H o h l r a u m resonators niedergeschlagen worden waren. E r stellte fest, daß, wenn sich der Resonator in einem statischen magnetischen Feld befand, dessen R i c h t u n g senkr e c h t zu der des magnetischen Hochfrequenzfeldes lag, die Absorption des Reson a t o r s eine F u n k t i o n der I n t e n s i t ä t dieses statischen Feldes war u n d Resonanzc h a r a k t e r besaß (siehe Fig. 1). Die Messungen w u r d e n im Wellenlängenbereich von 1 bis 3 cm d u r c h g e f ü h r t ; aus den gemessenen F e l d s t ä r k e n bei m a x i m a l e r Absorption folgerte GRIFFITHS, d a ß es sich u m eine Resonanzabsorption der Hochfrequenzenergie d u r c h die magnetischen Elementardipole im F e r r o m a g n e t i k u m handelt. Die aus der Resonanzbedingung a>=yH (1) (a> ist die Kreisfrequenz des elektromagnetischen Hochfrequenzfeldes, y d a s m a gnetomechanische Verhältnis, y = g ¡xB h'1, g ist der magnetomechanische F a k tor, f i B das Bohrsche Magneton, h die Plancksche K o n s t a n t e , H die I n t e n s i t ä t des statischen Magnetfeldes) berechneten Resonanzfeldstärken stimmen bei g = 2 n u r der Größenordnung n a c h m i t den von G R I F F I T H S experimentell b e s t i m m t e n W e r t e n überein. K I T T E L gab ein J a h r s p ä t e r eine E r k l ä r u n g dieses Unterschiedes [2], E r zeigte, daß, wenn m a n die Bewegungsgleichung der Magnetisierung des K ö r p e r s in der F o r m d

H(kOe)

•

Fig. 1. Ferromagnetische Resonanz in einer Nickelschicht nach GRIFFITHS [1] bei einer Wellenlänge von 3,18cm. Die Absorption^' der Hochfrequenzenergie ist in Abhängigkeit von der äußeren Feldstärke H aufgetragen

E = y{M,Hi\ (2) dt (M ist der Vektor der Magnetisierung, H.i die statische magnetische F e l d s t ä r k e i n n e r h a l b des Materials, y bzw. g wird üblich in Resonanzexperimenten spektioskopisches Aufspaltungsverhältnis bzw. spektroskopischer A u f s p a l t u n g s f a k t o r ge-

1419

Ferromagnetische Resonanz

nannt) löst, man für ein isotropes magnetisch gesättigtes Dielektrikum in der Form eines allgemeinen Ellipsoides die Resonanzbeziehung in der Form co2 = y 2

+ (Nx -

Nt) M) {H1 + (Ny -

Nt) M)

(3)

erhält, wobei die JVf (i = x, y, z) die Entmagnetisierungsfaktoren in den Richtungen x, y, z sind, H1 ist die Stärke des äußeren statischen Magnetfeldes (parallel zur z-Achse). Die Richtung des magnetischen Hochfrequenzfeldes liegt in der «-«/-Ebene, der Vektor der Magnetisierung M ist parallel zu H1. K I T T E L brachte auf Grund der Gleichung ( 3 ) die Meßergebnisse von G R I F F I T H S zur Übereinstimmung mit dieser einfachen Theorie. Die erste quantenmechanische Ableitung der Resonanzbedingung führten LUTTINGER und K I T T E L [ 3 ] , P O L D E R [ 4 ] und V A N V L E C K [5] durch. Im realen Fall ist die Bewegung der Magnetisierung mit Energieverlusten verbunden ; dieser Effekt wird phänomenologisch in die Gleichung (2) durch ein Glied, das die Dämpfung darstellt, eingeführt und zur rechten Seite der Gleichung (2) addiert (siehe Abschnitt 8 . 2 . 4 ) . Die Einführung dieses Gliedes in die Gleichung ( 2 ) wirkt sich in einer kleinen Korrektur der Resonanzbedingung (3) aus. Es muß bemerkt werden, daß eigentlich schon in der Arbeit von L A N D A U und L I F S I C aus dem Jahre 1935 [6] die Theorie der Dynamik des Magnetisierungsvektors in Ferromagnetika formuliert und die Erscheinung der ferromagnetischenResonanz im inneren Feld (in einem Ferromagnetikum im äußeren Feld Null) für Nickel vorausgesetzt wurde. Die überwiegende Mehrheit der bisher untersuchten dünnen ferromagnetischen Schichten stellen Schichten aus elektrisch leitenden metallischen Materialien dar, und die Erscheinung der ferromagnetischen Resonanz wird wegen des Skin-Effektes durch kompliziertere Beziehungen als im Falle eines Dielektrikums beschrieben. Eine angenäherte Lösung dieses Problemes wurde in den Arbeiten von K I T T E L und H E R R I N G [ 7 ] , R A D O und W E E R T M A N [ 8 ] , M A C D O N A L D [ 9 ] u. a. durchgeführt. Da aber die Dicke der üblicherweise untersuchten dünnen Schichten sich im Bereich von 1000 A und weniger bewegt und die üblicherweise benutzten Wellenlängen des Hochfrequenzfeldes im Zentimeterbereich liegen, ist die Eindringtiefe mehrfach größer als die Schiehtdicke. Dann kann man in erster Näherung den Einfluß des Skin-Effektes auf die Resonanz vernachlässigen und die Resonanzformel von K I T T E L [3] benützen. Man hat so die Möglichkeit, die Relaxationsprozesse bei ferromagnetischer Resonanz in Metallen in der Form von dünnen Schichten zu untersuchen, ohne daß man die Dämpfung der Bewegung der Magnetisierung durch Wirbelströme und durch die vom Skin-Effekt verursachte Austauschwechselwirkung berücksichtigen muß. Dieser Umstand ist vom Standpunkt der Klärung grundsätzlicher physikalischer Prozesse aus der Hauptgrund für das Studium der ferromagnetischen Resonanz der metallischen Ferromagnetika in der Form dünner Schichten. Bei der experimentellen Untersuchung der ferromagnetischen Resonanz in Schichten aus homogenen Materialien beobachtet man normalerweise eine Resonanzfrequenz. Diesen Fall werden wir einfache Resonanz nennen, obgleich in einigen Fällen wegen der Schichtinhomogenitäten mehrere Resonanzen beobachtet werden können. I m Gegensatz zu diesem Fall ist es in einer gewissen experimentellen Anordnung möglich, wegen der Existenz der Austauschwechselwirkung im Ferromagnetikum eine mehrfache Resonanz anzuregen; diesen Effekt werden wir Spinwellenresonanz nennen.

1420

Z.

F r a i t

8.2 Der Effekt der ferromagnetischen Resonanz in dünnen Schichten 8.2.1 Die Resonanzbedingung

und die einfache ferromagnetische

Resonanz

Die Resonanzformel (3) gilt für den Fall eines magnetisch isotropen und spannungslosen Materials. Ist die Schicht magnetisch anisotrop (sei es die induzierte oder magnetokristalline Anisotropie oder existiert in der Schicht eine mechanische Spannung), so muß die Resonanzbedingung den Einfluß dieser Faktoren auf die Resonanzfrequenz enthalten. Eine solche Resonanzbedingung kann man auf zwei Weisen berechnen. Erstens ist es möglich, diese Beziehung aus der allgemeinen Resonanzformel abzuleiten, in welcher die Resonanzfrequenz als Funktion der Ableitungen der freien Energie F ausgedrückt ist und welche in sphärischen Koordinaten 0 und 0 ' folgende Form hat [10, 11]: 02F g^F M sin &'

82F 8®

1/2

(4)

8&

Diese Methode benutzte A k t m a n [12] für die Ableitung der Resonanzbeziehungen für magnetisch anisotrope metallische Materialien. Eine andere, einfachere Methode beruht auf der Einführung der effektiven Felder [6, 13, 14, 15], In dem sehr häufigen Falle einer dünnen Schicht, deren Achse der einachsigen Anisotropie sowie deren isotrope Spannung a in der Schichtebene liegen, gilt für die Resonanz in der parallelen 1 ) Anordnung (d. h. Richtung des äußeren magnetischen Feldes in der Schichtebene) die Formel :r

+ 4n M

3A' 0,1 Hv (dann erhalten wir eine Absorption eines homogenen Feldes auch in einem verlustlosen Dielektrikum). Eine zu (21) analoge Beziehung erhielt PINCUS auch für eine ferromagnetische, mit einem dünnen antiferromagnetischen Belag bedeckte Schicht; er leitete ab, daß die Intensität der Aussteuerung der einzelnen Spinwellenmoden proportional ÄT2 ist. Für ein ferromagnetisches Metall wird in der Arbeit ein Ausdruck für die Oberflächenimpedanz berechnet, und es wird gezeigt, daß mit zunehmendem k die Absorption abnimmt und sich einem endlichen, von k unabhängigen Wert nähert. Das Problem der Spinwellenresonanz in ferromagnetischen Metallschichten wird weiter von KAGANOV [ 6 1 ] gelöst, der eine die Dämpfung einbeziehende Bewegungsgleichung behandelt. Er leitet einen allgemeinen Ausdruck für die Oberflächenimpedanz einer dünnen Schicht beliebiger Dicke mit an der Oberfläche festgehaltenen Spins ab. Auch in dünnen Schichten (mit einer Dicke d viel kleiner als die Eindringtiefe Ö) tritt wegen der endlichen Leitfähigkeit des Ferromagnetikums eine Verbreiterung der Resonanzkurve Ao> nach der Formel (für kleine p)

an. Weiter führt KAGANOV eine Randbedingung für die zur Schichtebene parallelen Komponenten m der Magnetisierung der Randspins in der Form b f

z

+

m = 0

(23)

ein, wo b eine das Verhältnis zwischen den Austausch- und Anisotropieenergien an der Schichtoberfläche ausdrückende Konstante ist (eine Bedingung der Form (2) wird schon von RADO und W E E R T M A N [ 8 ] diskutiert; sie führen b = 2 A Kjl ein). Er zeigt weiter, daß die Anregung von Spinwellen in einer dünnen Schicht eines verlustlosen Dielektrikums nur im Falle 6 ^ 1 möglich ist, was mit dem Ergebnis von PINCUS [ 5 3 ] in Einklang steht. ORBACH und PINCUS [ 6 2 ] betrachten die Frage der Anregung der Spinwellenresonanz durch ein homogenes Feld in Antiferromagnetika. Sie leiten das Dispersionsgesetz des Spinwellenspektrums in einem Antiferromagnetikum ab, wo m proportional k ist (im Gegensatz zu einem Ferromagnetikum, wo oj ~ k2). Dasselbe Problem wurde unabhängig von COFTA [ 6 3 ] gelöst, der weiter [ 6 4 ] die Spinwellenresonanz in Ferromagnetika behandelt. Unter der Voraussetzung festgehaltener Oberflächenspins löst er die Bewegungsgleichung für die Spins innerhab der Schicht. Dieses Verfahren genügt für dicke Schichten; für Schichten beliebiger Dicke wird das Problem von FERCHMIN gelöst [ 6 5 ] . Seine Ergebnisse sind mit denen von PINCUS [ 5 9 ] in Einklang. FERCHMIN löst weiter quantenmechanisch

Ferromagnetische Resonanz

1431

Fig. 4. Abhängigkeit eines dem Realteil der Oberflächenimpedanz proportionalen Wertes B einer dünnen Schicht (für den Fall der Anregung einer Spinwellenresonanz) von der statischen magnetischen Feldstärke innerhalb der Schicht (nach [68]). Die volle Linie ist für den Fall Ka 2 A k aufgetragen, die gestrichelte für Es 2 A k. 'Die experimentell bestimmten Größen B [54] für die Maxima einzelner Spinwellenmoden sind mit Kreisen bezeichnet

H

das Problem der Schwingungen in einer endlichen ferromagnetischen Kette [66]. Für die Berechnung der Übergangswahrscheinlichkeit zwischen einzelnen Quantenniveaus benützt er die Methode v0nM0RK0WSKi [67] und kommt zu dem Schluß, daß die Anregungsintensität proportional ÄT4 ist; das widerspricht sowohl der Theorie von KITTEL [51] und PINCUS [59] als auch dem Experiment.

SOOHOO [68] benützt bei Untersuchung der Randbedingungen und der Fragen der Anregung der Spinwellenresonanz die von ihm früher abgeleiteten allgemeinen Dispersionsbeziehungen für Spinwellen [69, 70]. Bei der Lösung dieser Relationen geht er, ähnlich wie KAGANOV [61], von einer die Dämpfung einbeziehenden Bewegungsgleichung für die Magnetisierung, aber in der GiLBERTschen [71] Formulierung, aus. Die resultierenden Gleichungen sind biquadratisch im Bezug auf das Quadrat des Wellenvektors k. Eine analytische Lösung dieser Gleichungen ist nur im Fall des zur statischen Magnetisierung im Inneren des Materials parallelen Wellenvektors möglich; andere Fälle werden numerisch gelöst und für Leiter und Isolatoren graphisch dargestellt. Auf Grund der analytischen Lösung und der allgemeinen Randbedingung von RADO und WEERTMAN [8], die er in der Form (23)

benützt, leitet SOOHOO einen Ausdruck für die Oberflächenimpedanz ab. Im Gegensatz zu KAGANOV [61] betrachtet er die Anregung der Resonanz durch ein magnetisches Hochfrequenzfeld mit verschiedener Intensität an den beiden Schichtoberflächen. Die resultierenden, dem Realteil der Oberflächenimpedanz proportionalen Werte für zwei Grenzfälle (d. h. Ks 2 A k — gestrichelte Linie und Ks 2 A k — ausgezogene Linie) sind in Fig. 4 in Abhängigkeit von der statischen Feldstärke in der Schicht aufgetragen. Mit Punkten sind den Maxima einzelner Spinwellenmoden entsprechende Werte bezeichnet, die experimentell bestimmt wurden [54], Man sieht deutlich, daß dem Experiment viel besser die Bedingung Ks^>2 A k genügt, wie schon PINCUS [59] und KAGANOV [61] festgestellt haben. WOLF [72] untersucht sowohl theoretisch als auch experimentell die Möglichkeit der Anregung der Spinwellenresonanz in der parallelen Anordnung. Er zeigt, daß mit einem homogenen Hochfrequenzfeld nur der nullte Spinwellenmodus angeregt werden kann und daß ein inhomogenes Feld nur den ersten Modus hinreichend stark anregt. Weiter leitet er Beziehungen ab, aus welchen auch der Wert der Oberflächenanisotropie aus Messungen der Spinwellenresonanz in der parallelen und senkrechten Anordnung angenähert berechnet werden kann. KAPLAN [73] leitet in seiner Arbeit einen Ausdruck für die kritische Hochfrequenzstärke hk ab, oberhalb welcher Instabilitäten der Bewegung des Magnetisie93

physica

1432

Z. FRAIT

rungsvektors entstehen [74, 75]. Für den m-ten Modus der Spinwellenresonanz in einer dünnen Schicht eines Isolators und für an den Schichtoberflächen festgehaltene Spins ist diese Feldstärke durch die Formel (y h k f =

J

»wt,w*

y 3 ]/3 (12 n M + Hv a* Ä&)

(24)

gegeben, wo Am die Kurvenbreite für den m-ten Modus, Hv die effektive Feldstärke der Austauschwechselwirkung bedeuten. Wir sehen, daß die kritische Feldstärke von der Nummer des Modus und von der Breite der Kurve des gegebenen Modus abhängt. Weiter wird in der Arbeit ein ähnlicher, komplizierterer Ausdruck für die Resonanzbedingung in der Form (23) abgeleitet. Wenden wir uns jetzt den weiteren Ergebnissen der experimentellen Untersuchung der Spinwellenresonanz zu. T A N N E N W A L D legt in seiner Arbeit [ 7 6 ] zuerst eine Übersicht der zuvor bekannten Arbeiten über Spinwellenresonanz dar. Weiter beschäftigt er sich mit der Untersuchung der Spinwellenresonanz in Schichten, bei welchen die Oberflächenbedingungen künstlich verändert wurden. Solche Messungen führte er an nach besonderen Verfahren hergestellten einige 1000 A dicken Permalloyschichten durch: auf Glas wurde eine dünne (ca. 200 A) Schicht desselben Permalloys schräg aufgedampft, die also eine große induzierte einachsige Anisotropie besaß [77]. Dann wurde eine dicke Schicht senkrecht zur Unterlage aufgedampft und wieder mit einer stark anisotropen Schicht bedeckt. Es wurden auch Resonanzen in komplexen Schichten, die aus abwechselnd aufgedampften Permalloy- und Siliziumoxyd-Schichten zusammengesetzt wurden, und elektrolytisch auf dünne Goldunterlagen niedergeschlagenen Schichten untersucht. In allen diesen Fällen waren die Spektren kompliziert und schwierig zu interpretieren. Kooi und Moss [78] erwähnen, daß sie Spinwellenresonanzen in Permalloyschichten von 2400 A Dicke in der parallelen Anordnung bei 9,35 kMHz beobachtet haben; Details der Messungen wurden jedoch nicht veröffentlicht. OND R I S und F K A I T [79] untersuchten die Spinwellenresonanz in Permalloyschichten verschiedener Zusammensetzung und von Dicken der Größenordnung 1000 A, die auf 200 bis 300 °C warme Unterlagen aufgedampft wurden. Für die Legierungen 78 Ni 22 Fe, 65 Ni 35 Fe, 48 Ni 52 Fe und 37 Ni 63 Fe bestimmten sie die Werte der Konstante der Austauschwechselwirkung, und zwar A = (0,95 bzw. 1,03 bzw. 1,1 bzw. 0,9) • 10~6 ergcm - 1 ; in den Spektren wurde eine Verschiebung der Resonanzfeldstärken zu höheren oder niedrigeren Feldstärken, je nach dem Vorzeichen der Magnetostriktionskonstante, beobachtet. Die Werte der Resonanzfeldstärken entsprechen den aus Gleichung (12) ausgerechneten, wo die die Spannung ausdrückenden Glieder (siehe Gleichung (6)) einbezogen wurden. In Legierungen mit höherem Eisengehalt zeigten sich in einigen Schichten zusätzliche Resonanzen oberhalb des normalen Spinwellenspektrums, und zwar bis zu 24 kOe (bei 9 kMHz in 37 Ni 63 Fe). Wahrscheinlich bilden sich beim Wachstum der Schicht magnetisch verschiedene Phasen. Ein Sonderfall eines doppelten Spinwellenspektrums wurde von F K A I T und O N D B I S [80] in einigen 48 Ni 52 Fe-Schichten beobachtet (siehe Fig. 5). Das nichtsehr gut aufgelöste Spektrum bei niedrigeren Feldstärken erfüllt die Resonanzbedingung (12) mit A = 1,1 • 10 -6 ergcm - 1 und mit dem Wert Mei = 1160 e.m.E. Oberhalb dieses Spektrums wurde ein sekundäres Spektrum festgestellt, das dem Wert Mei = 1380 e.m.E. entspricht und mit A = 1 • 10 ~~6 ergcm - 1 einer Schichtdicke von ungefähr 300 A entsprechen würde. Es ist interessant, daß in diesem Spektrum eher co ~ k als o> ~ Je2 gilt, was auf das Dispersionsgesetz für Antiferromagnetika [62] hinweisen würde. Wir vermu-

Ferromagnetische Resonanz

1433

ten, daß es in der Schicht während des Aufdampfens zu einer Stratifikation kam [47, 48], d. h. zur Entstehung zweier Unterschichten mit verschiedenen magnetischen Eigenschaften; jede Unterschicht hat ein unterschiedliches Spinwellenspektrum, das Dispersionsgesetz der Spinwellen wird dann wahrscheinlich durch dipolare Wechselwirkung der beiden Schichtteile und durch die Randbedingung an der Berührungsfläche beeinflußt. Die Spinwellenresonanz wurde weiter von Kooi, H O L M Q U I S T , W I G E N und DoH E R T Y [81] untersucht; sie maßen bei 9.3 kMHz Spinwellenresonanz in dünnen 2700 A dicken Schichten von 80 Ni 20 Fe, die auf 225 °C warme Quarzunterlagen aufgedampft wurden. Nach dem Auf20 19 dampfen erhielten sie Spinwellenspektra, 17 H(kOe) deren Absorptionen wie üblich bei ungeraden Moden größer als bei geraden waren. Fig. 5. Spektrum der Ableitung der Absorption bei der Spinwellenresonanz einer dünnen 48 Ni 52 ,Fe-Schicht War die aufgedampfte Schicht in Was- der Dicke 3490 A bei der Frequenz 9200 MHz [80] serstoff 6 Stunden bei 250 °C reduziert worden, so war die Intensität der geraden und ungeraden Moden ungefähr gleich. War die aufgedampfte Schicht in Sauerstoff 6 Stunden bei 250 °C oxydiert worden, so verminderte sich die Absorption der geraden Moden beträchtlich. Nach einer Oxydation der ursprünglich reduzierten Schicht war die Resonanz die gleiche wie vor der Reduktion. Nach einigen aufeinanderfolgenden Oxydationen und Reduktionen verschlechterte sich die Qualität des Absorptionsspektrums, wahrscheinlich infolge Beschädigung der Struktur der so behandelten Schicht. Aus diesen Messungen sieht man, daß die entscheidende Rolle bei der Fixierung der Spins an der Schichtoberfläche eine oberflächliche Oxydschicht spielt. Vor kurzem wurde festgestellt [82], daß es sich bei Permalloyen um das Oxyd Fe 2 0 3 handelt. Kooi U. a. [81] geben an, daß ihre Spektren die Beziehung m kx erfüllten, wo 1.4 < x < 2,3 gilt. Dieser Effekt wurde bisher nicht erklärt. T A N N E N W A L D [ 8 3 ] verfolgte mit Hilfe der Spinwellenresonanz die Temperaturabhängigkeit der Konstante D der effektiven Austauschwechselwirkung, welche für lange Spinwellen die Proportionalitätskonstante zwischen dem Quadrat des Absolutwertes des Wellenvektors k und der Energie Ek der Spinwelle ist (Ek D k2). K E F F E R und L O U D O N [ 8 4 ] und B R O U T und E N G L E R T [ 8 5 ] zeigten, daß die gegenseitige Wechselwirkung der Spinwellen zur Abnahme des Wertes D in Abhängigkeit von der Temperatur führt, und zwar mit einem T 5 / 2 enthaltenden Glied. Für Schichten von 9 5 Ni 5 Fe bestimmte T A N N E N W A L D experimentell D ~ 1 bis 6,6 • 1 0 ~ 8 Tbl2; ferner untersuchte er in der Arbeit die Spin-PhononWechselwirkung in dünnen Schichten (siehe Abschnitt 8 . 1 . 3 ) .

Weiter wurden Spinwellenresonanzen in der parallelen und senkrechten Anordnung von W O L F [72] gemessen, und zwar bei 3,97 kMHz an 1300 bis 1700 A dicken aufgeheizte (200 °C) Glasunterlagen aufgedampften 81 Ni 19 Fe-Schichten. 93'

1434

A '

Z. FRAIT

1,0 1,0

Mit Hilfe einer eigenen Theorie (siehe oben) erhielt er A — 0,£ ergcm" ti u n d Ks = 0,3 ~ 0,7 ergcm" 2 . Ss %Ofi I n Nickelschichten w u r d e die Spinwellenresonanz zuerst von NOSE [21] bei t o f i einer F r e q u e n z von 9,3 k M H z b e o b a c h t e t . 0,2 E r f a n d deutliche Spinwellenresonanzen n u r in auf ungeheizte Glasunterlagen 30 10 ZO 0 a u f g e d a m p f t e n Schichten; A bewegt °/o sich in den Grenzen von 0,66 bis0,83 • 10" 6 Fig. 6. Die K o n s t a n t e A der Austauschwechselwire r g c m - 1 . Die Spannungen verschieben kung in Abhängigkeit von der Zusammensetzung der Legierung (100—x) Ni x Q f ü r Q = P b (Kurve 1) und das Spinwellenspektrum zu niedrigeren Q = Cu (Kurve 2). Nach JiosS [22] F r e q u e n z e n . Die Spinwellenresonanz verschwand n a c h einer einstündigen Glühung bei 320 °C im V a k u u m . ONDRIS u n d FRAIT [79] b e s t i m m t e n bei der F r e q u e n z 9,2 k M H z f ü r Nickel, welches auf Glasunterlagen bei einer T e m p e r a t u r v o n etwa 200 °C a u f g e d a m p f t wurde, A w 0,86 bis 0,94 • 10" 6 ergcm" 1 . I n einer weiteren Arbeit berechnet NOSE [22] zuerst d e n W e r t des Austauschintegrals (nach F o r m e l (13)) zu J = 9,0 bis 10,4 • 10 14 erg. Dieser W e r t ist in guter Ü b e r e i n s t i m m u n g m i t den W e r t e n von J , welche von anderen A u t o r e n aus Messungen der T e m p e r a t u r a b h ä n g i g k e i t der Sättigungsmagnetisierung e r h a l t e n wurden. NOSE [86, 87, 22] u n d KIMTJRA u n d NOSE [88] m a ß e n ferner a u c h Spinwellenresonanzen in Ni-Cu- u n d N i - P d - L e g i e r u n g e n , die auf ungeheizte Glasunterlagen a u f g e d a m p f t w u r d e n . Sie zeigten, d a ß der W e r t der A u s t a u s c h k o n s t a n t e A u m g e k e h r t proportional d e m Prozentsatz der Beimengungen an Nickel ist (siehe Fig. 6), u n d zwar ist A = 0,47 • 10" 6 ergcm" 1 f ü r 70 Ni 30 P b bzw. 0,13 • 10" 8 ergcm" 1 f ü r 78 N i 22 Cu. A n Schichten von 85 Ni 15 Cu u n d 78 N i 32 Cu m a ß e n die Autoren die T e m p e r a t u r a b h ä n g i g k e i t der Spinwellenresonanz bei höheren T e m p e r a t u r e n . F ü r 85 Ni 15 Cu erhielten sie bei 179 °C A = 0,10 X 10" 6 ergcm" 1 (der W e r t der C u r i e t e m p e r a t u r Tc ist 220 °C), f ü r 78 N i 22 Cu bei 103 °C A = 0,02 • 10" 6 ergcm" 1 (T, = 110 °C). Die W e r t e des Austauschintegrals sind a n n ä h e r n d u n a b h ä n g i g von der T e m p e r a t u r . "« 0J3

I n K o b a l t s c h i c h t e n (mit kubischflächenzentriertem Gitter) h a b e n TANNENWALD u n d WEBER [98] Spinwellenresonanz bei einer Frequenz im Bereich 9 k M H z gemessen. Diese Autoren verfolgten die T e m p e r a t u r a b h ä n g i g k e i t der Austauschk o n s t a n t e u n d des Austauxchintegrals mittels Spinwellenresonanz in ca. 3000 Ä dicken Schichten. Sie stellten fest, d a ß A v o n 1,30 • 10" 6 ergcm" 1 ( i 5,5%) bei 295 °K (v¥ ef = 1280 e.m.E.) auf 1,43 • 10" 6 ergcm" 1 bei 4 °K z u n i m m t ; der W e r t des Austauschintegrals ist p r a k t i s c h von der T e m p e r a t u r u n a b h ä n g i g , J = 2,14 X 10~ u erg. Der aus Messungen der T e m p e r a t u r a b h ä n g i g k e i t der Sättigungsmagnetisierung mittels Kernresonanz [90] b e s t i m m t e W e r t J = 2,4 • 10~14 e r g i s t m i t dem l e t z t g e n a n n t e n W e r t in g u t e r Ü b e r e i n s t i m m u n g . FRAIT u n d ONDRIS u n t e r suchten a u c h die Spinwellenresonanz in Kobaltschichten. Die auf ungeheizte Glasunterlagen a u f g e d a m p f t e n Schichten h a t t e n undeutliche u n d komplizierte Spektren, aus welchen A « 1,1 • 10" 6 ergcm" 1 abgeschätzt wurde [28]. Die a u f g e h e i z t e U n t e r l a g e n a u f g e d a m p f t e n Schichten [50] h a t t e n A = 1,3 • 10~6 ergcm" 1 ( i 8 % ) . Der W e r t M e t ergab sich aus Messungen in der parallelen u n d senkrechten Anordn u n g zu 1380 e.m.E. Aus diesem W e r t folgen der Mittelwert s = 0,79 des effekt i v e n Spins bei Z i m m e r t e m p e r a t u r u n d das Austauschintegral J = 1,3- 1 0 " u erg. Spin Wellenresonanzen in Isolatoren w u r d e n bisher n u r von SOOHOO [91] beoba c h t e t . E r gibt an, d a ß in einer sehr d ü n n e n Schicht eines Einkristalls des Eisen-

1435

Ferromagnetische Resonanz

Yttrium-Granates sowohl magnetostatische Moden als auch Spinwellenresonanzen angeregt werden können. Details wurden nicht veröffentlicht. Fassen wir die bisherigen theoretischen und experimentellen Ergebnisse auf dem Gebiet der Spinwellenresonanz zusammen, so sehen wir, daß das Wesen des Effekts theoretisch gut erklärt ist und daß in vielen Fällen gute Übereinstimmung zwischen Theorie und Experiment erzielt wurde. Sehr oft erhalten wir aber von einigen Schichten Spektren, die dem Dispersionsgesetz w •—- k2 nicht entsprechen. Auf Grund des bisherigen Materials ist es schwierig zu beurteilen, ob diese Abweichungen durch einen komplizierteren physikalischen Mechanismus verursacht werden, als er von der Theorie vorausgesetzt wird, oder ob die Ursache des Effekts in der unvollständigen Homogenität der Schichten liegt. Es ist wahrscheinlich, daß das Dispersionsgesetz von der beträchtlichen Variation der Spannung bzw. der Zusammensetzung der Legierung in der Schicht längs ihrer Normalen beeinflußt wird. D a n n würde jede Atomlage der Schicht eine andere effektive Magnetisierung „sehen" u n d die Voraussetzungen, u n t e r welchen das Dispersionsgesetz abgeleitet wurde, sind nicht erfüllt. Eine Variation der Spannung längs der Schichtnormalen stellte schon M A D C O N A L D [17, 18] fest; ihre Existenz wird durch das Zusammenrollen solcher Schicht nach der Beseitigung der Unterlage, z. B. bei NaCl durch Ablösen in Wasser [42], bestätigt. Inhomogenit ä t e n der Spannung u n d andere Störungen verursachen auch Abweichungen in der Verteilung der Richtung der Magnetisierung gegenüber der des äußeren statischen Feldes (also gegenüber der Schichtnormalen); dadurch entstehen Bereiche mit verschiedenen Werten der Resonanzfeldstärke (die Resonanzbedingung ist in der senkrechten Anordnung gegenüber Abweichungen der Magnetisierungsrichtung sehr empfindlich — siehe Gleichung (7) u n d [16]). I n Magnetfeldern, deren Intensitäten sich dem Wert der Sättigungsinduktion nähern (d. h. bei Moden höherer Nummer p), wird die Abnahme der Anregung der Moden, die oft mit einer Verbreiterung der zugehörigen Resonanzkurve verbunden ist, auch durch beginnende Abweichungen des magnetischen Zustandes der Schicht von der Sättigung verursacht. Der Effekt der Stratifikation [47, 48] ist eine weitere Ursache der Abweichungen und Komplikationen im Spinwellenspektrum. Bisher wurde keine quantitative Erklärung der Unterschiede zwischen den experimentellen und theoretischen Werten der Resonanzfeldstärken und der Anregungsintensitäten der Spinwellenmoden sowie des Problems des Zusammenfallens von Moden m i t kleinen k in eine Absorptionskurve gegeben. 8.2.3 Ferroakustische

und galvanomagnetische

Resonanz

Wir erwähnen in diesem Absatz zwei Effekte, die mit der Problematik der ferromagnetischen Resonanz besonders in dünnen Schichten eng zusammenhängen, u n d zwar die ferroakustische Resonanz u n d den galvanomagnetischen Resonanzeffekt. I n den Arbeiten von A C H I J E Z E R , K I T T E L , A B R A H A M S und anderen [92 93, 94, 95], wurde theoretisch die Wechselwirkung von Ferromagnonen und Phononen untersucht. BOMMEL und D R A N S F E L D [96] studierten diesen E f f e k t experimentell an dünnen Nickelschichten. Zwei Mikrowellen-Koaxialresonatoren (die auf der Frequenz 1 kMHz arbeiteten) wurden durch ein kurzes leitendes Rohr vom Durchmesser 3 mm verbunden, welches mit einem aus einem Quarzeinkristall ausgeschnittenen Zylinder der Länge 12 m m ausgefüllt wurde. Beide Grundflächen des Zylinders waren poliert u n d eine mit einer Nickelschicht der Dicke 1,8 fim b e d a m p f t ; die Enden des Zylinders ragten in die Hohlräume hinein. Die Resonatoren wurden in ein statisches magnetisches Feld gebracht, dessen

1436

Z . FBAIT

Richtung parallel zur Achse des Zylinders war; die Richtung des magnetischen Hochfrequenzfeldes lag in der Schichtebene. Dem die Schicht enthaltenden Resonator wurde ein moduliertes elektromagnetisches Feld zugeführt; an den Ausgang des zweiten Hohlraums war ein Mikrowellendedektor angeschlossen. Wenn die äußere Feldstärke gleich dem Wert für die Entstehung der ferromagnetischen Resonanz war, wurde in dem zweiten Hohlraum eine Mikrowellenenergie einer Leistung von maximal 1 mW nachgewiesen. Die Verspätung des Energieimpulses zwischen den beiden Resonatoren weist daraufhin, daß es sich um eine akustische Übertragung der Energie in dem Quarzzylinder handelt. Die eigentliche ferroakustische Resonanz wurde so angeregt, daß die Hochfrequenzenergie dem Hohlraum mit dem freien Ende zugeführt wurde, und in dem anderen Hohlraum wurde, wenn die statische Feldstärke der ferromagnetischen Resonanz entsprach, ein Mikrowellensignal nachgewiesen. Die Mikrowellenenergie wird in diesem Hohlraum dank der Präzession des Magnetisierungsvektors bei ferroakustischer Resonanz angeregt. Das Niveau des Signals war in diesem Falle von der gleichen Größenordnung wie im ersten Experiment. Die Autoren geben an, daß der Wirkungsgrad der Anordnung des Ultrahochfrequenz-Ultraschalls nach dieser Methode vergleichbar mit der der piezoelektrischen Methode ist. P O M E R A N T Z [97] maß die ferroakustische Resonanz bei verschiedenen Moden der Spinwellenresonanz einer 80 Ni 20 Fe-Schicht von 2000 Á Dicke, die wieder auf eine Grundfläche eines zylindrischen Quarzeinkristalls aufgedampft worden war. Die Messung wurde bei der Frequenz 8,9 kMHz und bei der Temperatur 4,2 °K durchgeführt. Die experimentelle Anordnung und das Meßverfahren waren ähnlich wie in der vorangehenden Arbeit [96]. Bei Anregung von Mikrowellen-Phononen im Quarzzylinder wurde in der die Schicht enthaltenden Resonator eine Anregung der Mikrowellenenergie bei mehreren statischen Feldstärken, die den Resonanzfeldstärken für verschiedene Spinwellenmoden entsprechen, beobachtet. DiePhononen (der Frequenz 9,4 kMHz und der Wellenlänge 3400 Á) sind also in Wechselwirkung mit Spinwellen gleicher Frequenz und verschiedener Wellenlängen (unter 1000 Á). Aus den Verhältnissen zwischen den relativen Größen der ferromagnetischen und ferroakustischen Absorption für verschiedene Moden folgt, daß die Anregung durch Phononen mit zunehmendem Unterschied der Wellenlänge von Phononen und Magnonen abnimmt. Weitere Messungen führte P O M E K A N T Z in 83 Ni 17 Fe (Legierung mit minimaler Magnetostriktion)- und 76 Ni 24 Fe-Schichten (für die X 10~6 ist) durch. In der erstgenannten Legierung wurde ferroakustische Resonanz überhaupt nicht, in der zweiten ganz bequem nachgewiesen. Aus diesen Experimenten folgt, daß die Intensität der ferroakustischen Resonanz ungefähr proportional der Größe der Magnetostriktion ist, was auch für die Wechselwirkung von Magnonen und Phononen gilt. T A N N E N W A L D [83] erwähnt ähnliche Messungen in Permalloyschichten und gibt an, daß Informationen über Einzelheiten dieses Mechanismus im Gebiet sehr hoher MikroWellenfrequenzen erhalten werden können. Einen weiteren interessanten Resonanzeffekt beobachteten E G A N und J U B E T S C H K E [ 9 8 ] in Nickelschichten und T A N N E N W A L D und S E A V E Y [ 3 4 ] in Permalloy. In ein starkes magnetisches Hochfrequenzfeld (von einer Leistung von einigen zehn Watt) wird eine dünne ferromagnetische Schicht in der parallelen Anordnung so eingelegt, daß mit den Wänden der Wellenleitung keine leitende Verbindung besteht. Auf gegenüberliegenden Schichträndern sind elektrische Kontakte befestigt, die über einen Verstärker an einen Oszillographen angeschlossen sind. Ist die Energie des Hochfrequenzfeldes genügend groß, so können auf dem

Ferromagnetisohe Resonanz

1437

Oszillographen Impulse der Gleichspannung, mit der die Hochfrequenzenergie moduliert wurde, beobachtet werden, wenn die statische magnetische Feldstärke die Bedingung für die ferromagnetisohe Resonanz erfüllt. Nach einer Kommutierung der Richtung des statischen Feldes ändert sich auch die Polarität der Ausgangsspannung. Das Signal ist der Intensität des Hochfrequenzfeldes proportional, seine Relativgröße nimmt mit abnehmender Schichtdicke zu, und es hängt beträchtlich von der Konfiguration des elektrischen und des magnetischen Hochfrequenzfeldes an der Stelle der Schicht ab. Die Nachweisempfindlichkeit der ferromagnetischen Resonanz in sehr dünnen Schichten ist nach dieser Methode bis zu zwei Größenordnungen höher als nach den üblichen Methoden. Auf Grund einer theoretischen Analyse schließen SEAVEY [99] und allgemeiner JUBETSCHKE [100], daß eine elektrische Spannung in dünnen Schichten unter den Bedingungen der ferromagnetischen Resonanz wegen des Einflusses des Magnetowiderstandsund des außerordentlichen Halleffektes auf die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in diesen Schichten entsteht. In ihrer weiteren Mitteilung bestätigen EGAN und JURETSCHKE [101] diese Theorien und geben an, daß aus Messungen der galvanomagnetischen Resonanz die Werte des Oberflächenwiderstandes, der außerordentlichen Hallkonstante und der anisotropen Magnetowiderstands außer den Werten von AnMe(, des ¡/-Faktors und der Dämpfung X erhalten werden können. Vor kurzem beobachteten HEINZ und SILBER [183] diesen Effekt in dünnen Ferritschichten. Die Messung wurde an Magnetit- und Nickeleisenferritschichten durchgeführt. In diesem Fall ist die bei der Resonanz erzeugte Spannung viel schwächer als bei Metallschichten. 8.2.4 Die Form

und Breite

der

Resonanzkurve

Das Verhalten eines Ferromagnetikums, das gleichzeitig der Wirkung eines magnetischen Hochfrequenz- und eines statischen Feldes unterworfen ist, wird allgemein durch den Tensor der Hochfrequenzsuszeptibilität beschrieben, der durch die Beziehung M =

H

(25)

definiert wird (m ist der Vektor der Hochfrequenzmagnetisierung, h der Vektor der magnetischen Hochfrequenzfeldstärke innerhalb des Materials). Eine lineare Beziehung zwischen m und A ist nur dann erfüllt, wenn die Hochfrequenzkomponente der Magnetisierung und der Feldstärke viel kleiner als die zugehörigen statischen Werte sind. Wir bemerken, daß die Materialeigenschaften des gegebenen Ferromagnetikums beschreibt, nicht die Hochfrequenzeigenschaften eines geometrisch begrenzten aus diesem Material hergestellten Körpers. Ähnlich können wir das Material durch einen Tensor der Hochfrequenzpermeabilität, der durch die Beziehung & = ¡¡T A

(26)

gegeben wird (b ist der Vektor der Hochfrequenzinduktion) und für den $

= 1 + 4:71 X

(27)

gilt (1 bezeichnet einen Einheitstensor), beschreiben. Den Effekt der ferromagnetischen Resonanz beschreiben wir theoretisch durch die Gleichungen, welche uns die Abhängigkeit des Suszeptibilitätstensors von der Frequenz des magnetischen Hochfrequenzfeldes und von der Feldstärke des äußeren statischen Magnetfeldes angeben. Halten wir einen dieser Parameter kon-

1438

Z. FBAIT

stant, dann bestimmt die Abhängigkeit der Komponenten von "xQi) von dem anderen Parameter den Verlauf der Resonanzkurven. Resonanzkurven kann man also theoretisch für jede beliebige Komponente des Tensors ~%{Jt) auftragen, wir benützen aber üblicherweise nur die Kurven derjenigen Komponenten bzw. Funktionen dieser Komponenten, die wir direkt mit den experimentell bestimmten Größen vergleichen können (siehe das Folgende). Die Abhängigkeit der Komponenten des Suszeptibilitätstensors von der Frequenz bei bestimmter statischer Feldstärke leitete zuerst P O L D E R [4] ab. E r ging von der einfachen Bewegungsgleichung (2) aus, die er unter der Annahme löste, daß die Hochfrequenzkomponenten der Feldstärke gegenüber den statischen klein sind und einen harmonischen Verlauf haben. Da Gleichung (2) keine Dämpfung berücksichtigt, nehmen bei Resonanz einige Komponenten des Tensors unendliche Werte an und entsprechen nicht dem realen Fall. Es ist deshalb notwendig, in Gleichung (2) den Einfluß der Dämpfung zu berücksichtigen, wie wir schon in der Einleitung erwähnt haben. Die erste Bewegungsgleichung, die phänomenologisch den Einfluß der Dämpfung mitbeschreibt, ist die schon 1 9 3 5 von L A N D A U und L I F C I T Z [ 6 ] eingeführte Gleichung d

Ji = y[M,H]

+ ^

[M, [M H]],

(28)

wo a die Konstante der Dämpfung, ursprünglich als X = & y M bezeichnet, und H die magnetische Feldstärke innerhalb des Ferromagnetikums sind. Eine andere Form der Bewegungsgleichung wurde nach den Blochschen Gleichungen [103] von B L O E M B E R G E N vorgeschlagen [ 1 0 4 ] F

(29)

(M 0 ist der zur z-Achse parallele Vektor der statischen Magnetisierung, T wird als Tx = Ty — T2, Tz = T1 definiert, wo T2 die transversale (Spin-Spin-) und T1 die longitudinale (Spin-Gitter-)Relaxationszeit ist). Bei sehr großer Dämpfung wird die Bewegung der Magnetisierung besser mit der GiLBERTschen Gleichung beschrieben [ 7 1 ] ; ein weiterer Typ der Gleichung wurde von G A L L E N [ 1 0 5 ] vorgeschlagen. I m allgemeinen kann man sagen, daß bei kleinen Abweichungen der Magnetisierung von der Gleichgewichtslage ihre Bewegung gut mit den beiden hier angegebenen Gleichungen, die beide zur Lorentzschen Form der Resonanzkurve führen, beschrieben wird. I m Falle dünner Schichten wird häufiger Gleichung (28) benützt, welche auch wir anwenden werden. Für den Fall eines magnetisch isotropen Ferromagnetikums sind die Komponenten des Suszeptibilitätstensors durch die Beziehungen [106] y - y - ( ^ y g p + «(/« + « y i f ) i30) Xn - X22 - (y m)y2Hl+ {jm + a y M f -

_ XU ~ y2H2+

jymM {j(0

+ a y M)2

W

gegeben, wo H0 die innere statische Feldstärke ist, H0 liegt parallel zur z-Achse; die restlichen Komponenten des Tensors sind gleich Null. Für den Fall eines magnetisch anisotropen Ferromagnetikums leitete die Komponenten von allgemeiner z. B. A R T M A N [ 1 2 ] ab. J e t z t taucht die Frage auf, wie die beim Experiment der ferromagnetischen Resonanz erhaltenen Größen (z.B. bei der Messung der Änderung des Gütefak-

1439

Ferromagnetische Resonanz

tors und der Resonanzfrequenz eines Resonators mit einer ferromagnetischen Schicht in Abhängigkeit von der äußeren Feldstärke) mit den Werten der Komponenten des Tensors bzw. zusammenhängen. Wie wir im einleitenden und im ersten Abschnitt gesehen haben, wird die Erscheinung der ferromagnetischen Resonanz in jedem konkreten Fall grundsätzlich durch die Form des gemessenen ferromagnetischen Körpers und durch die gegebene Konfiguration des Hochfrequenz- und des statischen Magnetfeldes in diesem Körper beeinflußt. Das Verhalten des Materials in einer gegebenen Anordnung des Experimentes beschreiben wir durch die Ausbreitungskonstante des elektromagnetischen Wellenfeldes JT. Die Größe r erhalten wir durch Lösung der Maxwell-Gleichungen, in die wir den Ausdruck (25) und entsprechende Randbedingungen einsetzen. Die experimentell bestimmte Größe (d. h. die effektive Permeabilität /¿e{ = — j //2 bzw. Suszeptibilität j e f = Xi — ÍXi (siehe Abschnitt 8.2.1)) ist mit der Ausbreitungskonstante durch die Definitionsbeziehung r

2

= j^-a'

(32)

a) fj,eí — a)2 s fiei

verknüpft, (c Lichtgeschwindigkeit, a elektrische Leitfähigkeit, e komplexe Dielektrizitätskonstante. Für den Fall einer isotropen Metallscheibe in der parallelen Anordnung (die Richtung von M ist parallel zur z-Achse) erhalten wir [106] =

Xl

y*M[(Hü

+ g2) K

+ ±7iM)(\

—O) 2 ) + g 2 a ) 2 ( 2 g 0 +

(COl — CO2)2 + CO2 a2 y2 (2 H0 + 4 n Mf 2 {H\ii+ T a co UJ[y\y~ » Mf "^n (1 1+ -Ta2)«+) T co2] 1 _ y M a. 0 n 4 n tr.>2 2 — r,,2\2_L s), zweitens die Konstanten Q0 und Q'0 zu bestimmen. Der Fall einer Messung an Schichten mit ci > s könnte berechnet werden; es ist aber besser, A a>u bezüglich eines bestimmten Wertes zu messen und die Korrektur durch Messung bei einer hohen Feldstärke zu bestimmen. Eine einfachere Situation liegt in Schichten vor, f ü r welche d + AE ersetzt wird. Das Maximum der Verteilung (18) liegt bei der Energie 4ax YP

1

(20)

Die Gültigkeitsbereiche f ü r die Gleichungen (14), (17) u n d (19) sind ausführlich in [2] diskutiert. Ein Vergleich der berechneten Energieverteilungen mit experimentell gewonnenen ist nicht möglich, da uns bis jetzt noch keine Messungen von Energieverteilungen der Feldelektronen aus Halbleitern bekannt geworden sind. Literatur [1] R. FISCHER, phys. stat. sol. 2, 1088 (1962). [2] R. STRATTON, Phys. Rev. 125, 67 (1962). (Received

August 8, 1962)

0 . HÄUSER u n d M . BALARIN: K a s k a d e n t h e o r i e b e i S t r a h l e n d e f e k t e n

1471

phys. stat. sol. 2, 1471 (1962) Zentralinslitut

für

Kernphysik,

Rossendorf,

Bereich

Werkstoffe

und

Festkörper

Bemerkungen zur Kaskadentheorie für die Berechnung der Anzahl von Strahlendefekten in Festkörpern Von 0 . HAUSER u n d M .

BALARIN

Im Rahmen des Kaskadenmodells werden verschiedene Ableitungen f ü r die Anzahl der strahleninduzierten Defekte verglichen. Die Energieverluste eines bewegten Atoms in einem Festkörper und ihr Einfluß auf die Anzahl der erzeugten Defekte werden schrittweise verfolgt und diskutiert. Die Voraussetzungen und Grenzen des Kaskadenmodells werden kritisch eingeschätzt. Anhand von Bestrahlungsversuchen an Kupfer wird ein Vergleich zwischen experimentell und theoretisch ermittelter Defektanzahl durchgeführt. B p a M K a x KACKAHHOFL MOJIEJIH NPOBOUHTCH c p a B H e m i e p a 3 H b i x BHBOHOB O m i c j i e H a B e a e H H t i x o 0 j i y l i e n n c M neij>eKTOB. O ö c y j K j i a i o T C H n o T e p n 3 H e p r n n u B i i / K y m u x c H B T B e p H O M Tejie aTOMOB H B J I H H H H e 3THX n O T e p b H a HHCJ10 B 0 3 H H K a i 0 m H X HeeKTOB. K p H T H H e C K H O I i e H H B a i O T C f l n p e f l n O J I O H t e H H H H r p a H H U M K a C K a f f H O H M O A e j l H . H a n p H M e p e o n b i T O B n o o ß j i y q e H H i o MeHH n p o B o j u r r c H c p a B H e m i e K O J i H q e c T B a n e $eKTOB, noJiyqeHHbix aKcnepnMeHTajibHO H TeopeTHiecKH.

Einleitung N a c h der 2. Genfer Konferenz (1958) wurde noch allgemein a n g e n o m m e n , d a ß die K a s k a d e n t h e o r i e den Vorgang bei der Bildung der Strahlendefekte in Festkörpern qualitativ richtig beschreibt. Zu diesem Z e i t p u n k t wurde versucht, eine auch q u a n t i t a t i v e Übereinstimmung der theoretisch errechneten m i t der experimentell extrapolierten Defektanzahl zu erreichen, wobei nach dem richtigen Zahlenfaktor f ü r das Verhältnis: Defektanzahl pro absorbierte Energie gesucht wurde. H e u t e wissen wir aber, d a ß bei niedrigen Energien der physikalisch reale Vorgang anders v e r l ä u f t u n d besser d u r c h korrelative Stoßprozesse beschrieben wird. Ziel der vorliegenden Mitteilung ist es, die verschiedenen Kaskadenmodelle einander gegenüberzustellen u n d ihre Voraussetzungen u n d Grenzen kritisch zu b e t r a c h t e n . W e n d e t m a n die Kaskadentheorie zur Berechnung der Anzahl strahleninduzierter Defekte in F e s t k ö r p e r n an, m u ß m a n sich d a r ü b e r im Klaren sein, d a ß die K a s k a d e n t h e o r i e physikalisch gesehen nur eine Abschätzung darstellt, u n a b h ä n g i g davon, welchen m a t h e m a t i s c h e n A u f w a n d m a n bei ihrer Darlegung betreibt. Andererseits ist die Kaskadentheorie z. Z. die einzige Theorie, die zahlenmäßige W e r t e f ü r die Strahlendefekte liefert; eine Tatsache, die u. a. auch eine große technische B e d e u t u n g z. B. f ü r den R e a k t o r b a u besitzt. Allerdings sind die errechneten W e r t e im allgemeinen größer als die Ergebnisse der Bestrahlungsexperimente erwarten lassen. Die Übereinstimmung zwischen E x p e r i m e n t u n d Theorie wird etwas besser, wenn m a n , anstelle der meist b e n u t z t e n Formel von K I N C H I N u n d P E A S E [1], die von B A L A R I N u n d H A U S E R [2] abgeleitete F o r m e l verwendet. Bei dieser Ableitung wurden jedoch im R a h m e n der angegebenen Voraussetzungen die Energieverluste des bewegten Atoms, die nicht zur Erzeugung neuer Strahlendefekte f ü h r e n , etwas überschätzt. 1 ) Diese Energieverluste u n d ihr E i n f l u ß auf die Anzahl der erzeugten Defekte sollen hier nochmals schrittweise verfolgt u n d diskutiert werden.

0 . HÄUSER u n d M . BALARIN: K a s k a d e n t h e o r i e b e i S t r a h l e n d e f e k t e n

1471

phys. stat. sol. 2, 1471 (1962) Zentralinslitut

für

Kernphysik,

Rossendorf,

Bereich

Werkstoffe

und

Festkörper

Bemerkungen zur Kaskadentheorie für die Berechnung der Anzahl von Strahlendefekten in Festkörpern Von 0 . HAUSER u n d M .

BALARIN

Im Rahmen des Kaskadenmodells werden verschiedene Ableitungen f ü r die Anzahl der strahleninduzierten Defekte verglichen. Die Energieverluste eines bewegten Atoms in einem Festkörper und ihr Einfluß auf die Anzahl der erzeugten Defekte werden schrittweise verfolgt und diskutiert. Die Voraussetzungen und Grenzen des Kaskadenmodells werden kritisch eingeschätzt. Anhand von Bestrahlungsversuchen an Kupfer wird ein Vergleich zwischen experimentell und theoretisch ermittelter Defektanzahl durchgeführt. B p a M K a x KACKAHHOFL MOJIEJIH NPOBOUHTCH c p a B H e m i e p a 3 H b i x BHBOHOB O m i c j i e H a B e a e H H t i x o 0 j i y l i e n n c M neij>eKTOB. O ö c y j K j i a i o T C H n o T e p n 3 H e p r n n u B i i / K y m u x c H B T B e p H O M Tejie aTOMOB H B J I H H H H e 3THX n O T e p b H a HHCJ10 B 0 3 H H K a i 0 m H X HeeKTOB. K p H T H H e C K H O I i e H H B a i O T C f l n p e f l n O J I O H t e H H H H r p a H H U M K a C K a f f H O H M O A e j l H . H a n p H M e p e o n b i T O B n o o ß j i y q e H H i o MeHH n p o B o j u r r c H c p a B H e m i e K O J i H q e c T B a n e $eKTOB, noJiyqeHHbix aKcnepnMeHTajibHO H TeopeTHiecKH.

Einleitung N a c h der 2. Genfer Konferenz (1958) wurde noch allgemein a n g e n o m m e n , d a ß die K a s k a d e n t h e o r i e den Vorgang bei der Bildung der Strahlendefekte in Festkörpern qualitativ richtig beschreibt. Zu diesem Z e i t p u n k t wurde versucht, eine auch q u a n t i t a t i v e Übereinstimmung der theoretisch errechneten m i t der experimentell extrapolierten Defektanzahl zu erreichen, wobei nach dem richtigen Zahlenfaktor f ü r das Verhältnis: Defektanzahl pro absorbierte Energie gesucht wurde. H e u t e wissen wir aber, d a ß bei niedrigen Energien der physikalisch reale Vorgang anders v e r l ä u f t u n d besser d u r c h korrelative Stoßprozesse beschrieben wird. Ziel der vorliegenden Mitteilung ist es, die verschiedenen Kaskadenmodelle einander gegenüberzustellen u n d ihre Voraussetzungen u n d Grenzen kritisch zu b e t r a c h t e n . W e n d e t m a n die Kaskadentheorie zur Berechnung der Anzahl strahleninduzierter Defekte in F e s t k ö r p e r n an, m u ß m a n sich d a r ü b e r im Klaren sein, d a ß die K a s k a d e n t h e o r i e physikalisch gesehen nur eine Abschätzung darstellt, u n a b h ä n g i g davon, welchen m a t h e m a t i s c h e n A u f w a n d m a n bei ihrer Darlegung betreibt. Andererseits ist die Kaskadentheorie z. Z. die einzige Theorie, die zahlenmäßige W e r t e f ü r die Strahlendefekte liefert; eine Tatsache, die u. a. auch eine große technische B e d e u t u n g z. B. f ü r den R e a k t o r b a u besitzt. Allerdings sind die errechneten W e r t e im allgemeinen größer als die Ergebnisse der Bestrahlungsexperimente erwarten lassen. Die Übereinstimmung zwischen E x p e r i m e n t u n d Theorie wird etwas besser, wenn m a n , anstelle der meist b e n u t z t e n Formel von K I N C H I N u n d P E A S E [1], die von B A L A R I N u n d H A U S E R [2] abgeleitete F o r m e l verwendet. Bei dieser Ableitung wurden jedoch im R a h m e n der angegebenen Voraussetzungen die Energieverluste des bewegten Atoms, die nicht zur Erzeugung neuer Strahlendefekte f ü h r e n , etwas überschätzt. 1 ) Diese Energieverluste u n d ihr E i n f l u ß auf die Anzahl der erzeugten Defekte sollen hier nochmals schrittweise verfolgt u n d diskutiert werden.

1472

O. HÄUSER u n d M . BALARIN

Wir gehen dabei der Einfachheit halber von einem monoatomaren Festkörper aus. Ein Gitteratom möge von einem eingestrahlten schnellen Teilchen die kinetische Energie E0 erhalten haben. E0 soll wesentlich größer sein als die Schwellenenergie Ed, die einem Festkörperatom übertragen werden muß, um es von einem Gitterplatz auf einen Zwischengitterplatz zu befördern. Dieses Atom wird auf seinem Weg durch den Festkörper mit anderen Atomen zusammenstoßen, ihnen Energie übertragen u n d damit kaskadenartig weitere Gitterdefekte erzeugen. (Die Kaskadentheorie beschränkt sich auf ideale Kristalle, in denen lediglich Zwischengitteratome u n d in gleicher Anzahl Leerstellen erzeugt werden.) Die Dimensionen des Festkörpers sollen im Verhältnis zur freien Weglänge der bewegten Atome groß sein, so daß ein Austreten bewegter Atome aus der Oberfläche gegenüber den im Inneren erzeugten Gitterdefekten vernachlässigt werden k a n n — eine Bedingung, die bei Bestrahlungsexperimenten im allgemeinen ohne große Schwierigkeiten erfüllbar ist. Ferner werden im R a h m e n der Kaskadentheorie folgende vereinfachende Annahmen gemacht: a) Die Energieübertragung von einem bewegten an ein ruhendes Gitteratom erfolgt in der gleichen Weise wie zwischen neutralen harten Kugeln. Diese Näherung ist in dem uns interessierenden Energiebereich bis herauf zu etwa 105 eV außer f ü r die leichten Elemente relativ gut erfüllt [2], U n t e r Umständen m u ß jedoch bei großem E0 der Energieverlust durch Ionisation berücksichtigt werden. b) Die Streuung eines bewegten Atoms an einem Gitteratom erfolgt isotrop, unabhängig von den Nachbaratomen und der Periodizität des Gitters. Diese Annahme stellt eine relativ grobe Näherung dar, die bei hohen Energien einigermaßen, bei Energien von einigen Ed aber bestimmt nicht mehr erfüllt ist. c) Die Schwellenenergie Ed zur Erzeugung eines Defektpaares (Zwischengitteratom + Leerstelle) wird f ü r ein bestimmtes Material als konstant angenommen. Die Annahme eines Energieintervalls f ü r Ed, in dem die Wahrscheinlichkeit f ü r die Erzeugung eines Gitterdefektes stetig oder in mehreren Stufen von 0 auf 1 ansteigt, entspräche sicherlich besser den tatsächlichen Verhältnissen. E s k a n n jedoch gezeigt werden [4, 5], daß bei Verwendung eines geeigneten Mittelwertes f ü r Ed die Form dieser Wahrscheinlichkeitsfunktion die Anzahl der erzeugten Defekte nur geringfügig beeinflußt. Wir wollen noch eine weitere Annahme hinzufügen, die den Rechnungsgang wesentlich vereinfacht: d) Nach jedem Stoß, der zur Erzeugung eines neuen Defektes führt, soll die Energie auf beide Stoßpartner gleich verteilt sein. Bei der Einführung der Wahrscheinlichkeit für die Erzeugung eines neuen Defektes wurde in dieser Arbeit jeweils nur berücksichtigt, mit welcher Wahrscheinlichkeit bereits beim ersten Stoß ein Defekt gebildet wird. Von SEITZ wurde für die Energieverluste früher willkürlich angenommen, daß jedes bewegte Kaskadenteilchen etwa die Hälfte seiner Energie zur Anregung von Gitterschwincuese rsezienung sicner unzurrenena.

F

'e

— [3]; für große E0 sind diese Annahme und

Kaskadentheorie für die Berechnung von Strahlendefekten

1473

Diese N ä h e r u n g ist n u r im Mittel beim A u f t r e t e n vieler Stoßprozesse erfüllt. L ä ß t m a n diese relativ willkürlich erscheinende Vereinfachung fallen, so f ü h r t das zu keinen wesentlich anderen Ergebnissen. Ableitung der Formeln für die Anzahl der Defekte F ü r die Anzahl der von einem P r i m ä r a t o m m i t der kinetischen Energie E0 erzeugten D e f e k t p a a r e ergibt sich s o m i t : I) U n t e r B e n u t z u n g obiger Voraussetzungen u n d der A n n a h m e , d a ß die ges a m t e Energie E0 f ü r die Defekterzeugung v e r b r a u c h t wird, existieren n a c h d e m ersten S t o ß zwei Zwischengitteratome, von denen jedes die Energie EJ2 besitzt. I n der p-ten Stoßgeneration sind es 2f = n A t o m e m i t jeweils der Energie

Die E r z e u g u n g weiterer Strahlendefekte b r i c h t ab, f ü r Ep = Ed.

(2)

D a m i t ergibt sich f ü r die Anzahl der D e f e k t p a a r e (I)

I I ) Bei der E r z e u g u n g eines neuen Zwischengitteratoms v e r m i n d e r t sich die S u m m e der kinetischen Energie der beiden S t o ß p a r t n e r n a c h dem Stoß u m den B e t r a g Ed, der als potentielle Energie a u f g e b r a c h t werden m u ß . D a r a u s folgt f ü r die Energie Ep anstelle von (1) Ep=^[E0—{n—l)Eá].

(3)

Mit der d u r c h (2) gegebenen Grenzenergie ergibt sich somit f ü r die Anzahl der D e f e k t e a n s t a t t (I)

bzw.

—

(IIa) E s sei hier gleich a n dieser Stelle d a r a u f h i n g e w i e s e n , d a ß genau dieselbe Beziehung ( I I a ) e x a k t erhalten wird, wenn m a n wie bei der ersten Ableitung v e r f ä h r t — also Ed nicht in Abzug bringt — aber die Abbruchgrenze von Ed auf 2 Ed erhöht. Auf diese Weise leiteten K I N C H I N u n d P E A S E [ 1 ] ihre F o r m e l f ü r die A n z a h l der Strahlendefekte ab. I I I ) I s t die Energie des stoßenden A t o m s n a c h einem Auslagerungsstoß kleiner als Ed, so k a n n m a n annehmen, d a ß es eingefangen wird. E s t r i t t a n die Stelle des herausgeschlagenen G i t t e r a t o m s ; d. h. es wird kein neuer D e f e k t erzeugt, es erfolgt lediglich ein Platzwechsel. Zum Teil k a n n das d a d u r c h berücksichtigt werden, d a ß f ü r die Abbruchgrenze der K a s k a d e Ev = 2 Ed a n g e n o m m e n wird, da f ü r 2 Ed*> Ev*>

Ed

1474

O. HAUSER u n d M . BALARIN

zwar noch Platzwechsel aber keine neuen Defekte mehr erzeugt werden können [6], Man erhält d a m i t anstelle von (II) E0 + Ed

(III)

3 Ed

bzw.

(lila)

n ^ 0,33 f-V Ed

IV) I m Verlauf der Abbremsung eines bewegten A t o m s in einem Festkörper kommen auch Stöße vor, bei denen keine neuen Defekte erzeugt werden. Der bei diesen Stößen a u f t r e t e n d e Energieverlust soll abgeschätzt werden. Die Wahrscheinlichkeit d a f ü r , d a ß ein P r i m ä r a t o m mit der Energie E0 beim Stoß eine Energie zwischen 0 u n d Ed an seinen Stoßpartner ü b e r t r ä g t ist EdIE0. Ebenso groß ist die Wahrscheinlichkeit, d a ß das P r i m ä r e nach dem Stoß nur eine Energie zwischen 0 u n d Ed zurückbehält. I n beiden Fällen wird Energie zur Anregung von Gitterschwingungen — u n d zwar im Mittel jeweils Ed\2— verbraucht, ohne d a ß ein neuer D e f e k t erzeugt wurde. Die Wahrscheinlichkeit d a f ü r , d a ß beim 1. Stoß ein neues Zwischengitteratom erzeugt wird, ist somit wt = 1

2 Ed ' E„

(4)

Die beiden Stoßpartner besitzen nach dem Stoß zusammen die kinetische Energie —

Ed.

Angenommen, es existieren N P r i m ä r e mit der Energie E0, d a n n werden N • wx beim ersten Stoß ein neues u n d N (1 — w,) kein neues Zwischengitteratom erzeugen. Letztere besitzen nach dem Stoß im Mittel jeweils nur noch die Energie E0 — Ed\2. Folglich ist die Wahrscheinlichkeit dafür, d a ß eines dieser Atome beim nächsten Stoß ein neues Zwischengitteratom erzeugt w„=

2 Ed

1 En

(5)

Ei

2

u n d die Summe der kinetischen Energie der beiden Stoßpartner n a c h diesem Stoß b e t r ä g t E0—3 Edj2. Insgesamt erzeugen also N (1 —wj • w2 P r i m ä r e beim zweiten Stoß ein neues Zwischengitteratom. Setzt m a n dieses Verfahren fort, so erhält m a n schließlich in guter Näherung, d a sowohl E0 wie auch N sehr groß angenommen werden, 2 N aus ihren Gitterplätzen herausgeschlagene Atome. Die Summe der kinetischen Energie dieser Atome ist EuiT1 = 2 NE = N wx (E0 — Ed) + ( 1 — wx) w2 [E0 — + (1 — W l ) ( l —w2) ws (E0-2Ed)

Y

E

d

j

+ -- •

I m Mittel ergibt sich daraus f ü r die kinetische Energie eines Atoms p2 4 Ei 2 El 771 T? ^d E

=

Y

E

0

( E

0

- ^

+ (6)

(7)

E0(E0-^)(E0-Ed)

d. h. in zweiter N ä h e r u n g * = 2

En

E,,

El E„

(8)

Kaskadentheorie für die Berechnung von Strahlendefekten

1475

I m Gegensatz zu den vorhergehenden Ableitungen wird hier der Energieverlust durch Stöße, die nicht zur Erzeugung neuer Defekte führen, durch das dritte Glied in der K l a m m e r der Gleichung (8) annähernd berücksichtigt. Wenden wir dieses Ergebnis auf unsere K a s k a d e an, so erhalten wir für die erste Stoßgeneration

Ei

für die zweite Stoßgeneration

El — Ed — Wegen E0

,

=

Mì+ì

En — 3 E,,

Ed ist E1 ^ E J 2 und damit 1

E0 — 3 Ed-

5 Eà En

(9)

Entsprechend erhält man

E0-(n—l)Ed-\l

+

n + 1 EJJ 3 ' En

(10)

Mit der Grenzbedingung E"pv = 2 Ed erhält man schließlich aus

Ed

— Ì3—®' + \ Ed n ^

— Ed

1 = 0

(IV)

0,32-^.

Diskussion Vergleicht man die in (II) und (III) erhaltenen Ergebnisse mit denen von S E I T Z und K O E H L E K [ 7 ] , die ihre Berechnungen auf anderem Wege, ohne die Voraussetzung d) durchführten, so ergibt sich folgendes B i l d : Anstelle von (II) erhalten S E I T Z und K O E H L E K 0,561 und anstelle von ( l i l a )

E» + Ed Et

,E n n s s 0,350 ^ . Ed

Man sieht daraus, daß die die Rechnung wesentlich vereinfachende Voraussetzung d) das Endergebnis nur unwesentlich beeinflußt. Auch die in der Ableitung I V durchgeführte Berücksichtigung von Energieverlusten, die nicht zur Erzeugung weiterer Defekte beitragen, ergibt lediglich eine Verringerung des Zahlenfaktors in Gleichung ( l i l a ) von 0,33 auf 0,32. Von entscheidender Bedeutung ist das Problem der Festlegung der Abbruchgrenze der Kaskade. I n den Ableitungen I I I und I V wurde hierfür 2 Ed angenommen, eine Energie, bei der die Bildung eines weiteren Defektes zwar energetisch noch möglich, die Wahrscheinlichkeit dafür jedoch 0 ist. Nimmt man ganz allgemein für die Grenzenergie k • Ed an, so erhält man mit Gleichung (3) E0 + Ed n = (11) (k + l)Ed-

O. Hauseb und M. Balabin

1476

F ü r Energien im Bereich von einigen Ed ist — wie bereits erwähnt — die Voraussetzung b) nicht m e h r erfüllt. Das ist das Gebiet der korrelativen Stoßprozesse [8, 9], f ü r das die Anzahl der erzeugten Defektpaare wesentlich kleiner ist, als auf der Grundlage der Kaskadentheorie erwartet wird. E s überwiegen Stöße, bei denen lediglich Gitterschwingungen angeregt werden, k ist deshalb sicher größer als 2. Setzen wir willkürlich k = 4 — ein Wert, f ü r den bei isotroper Streuung u n d u n t e r Berücksichtichtigung von Stößen ohne Defekterzeugung die Wahrscheinlichkeit der Bildung eines neuen Defektes beim nächsten Stoß n u r noch 1 / 2 ist, so ergibt sich f ü r die Anzahl der erzeugten Defektpaare aus (11) » » 0,2 J .

(V)

Zum Schluß wollen wir noch a n h a n d der Ergebnisse von zwei Bestrahlungsversuchen einen Vergleich zwischen Theorie und Experiment durchführen. Kupferfolien, die bei 10 bzw. 15 ° K m i t Deuteronen bestrahlt wurden [10, 11] zeigten eine relative Längen- bzw. G i t t e r k o n s t a n t e n ä n d e r u n g von Aa/a = 4,1 • 10~21 pro Deuteron • c m - 2 (bezogen auf 7 MeV-Deuteronen). Die Wahrscheinlichkeit f ü r den Zusammenstoß eines Deuterons mit einem G i t t e r a t o m ist gegeben durch den Rutherfordschen Streuquerschnitt

(a 0 = 0,529 A, Iih Rydberg-Energie (13,6 eV), ED Energie des Deuterons in eV, Mx Masse des Deuterons, M2 Masse des Cu-Atoms, Z1 Ladungszahl des Deuterons, Z2 Ladungszahl des Cu-Atoms, Ed = 25 eV). Bei sehr d ü n n e n Folien wie in den oben zitierten Versuchen, k a n n a als k o n s t a n t angenommen werden. Die Anzahl der von einem Deuteron • c m - 2 pro A t o m erzeugten D e f e k t p a a r e ist m i t (11) * = = F ü r E0 ist dabei die mittlere Energie - _ Em-Ed - E - - ^ }

E

l n

Em l i d

(13)

t t+t 1) h tEd(k 4

M1-M2

m l t

einzusetzen. F ü r den Z u s a m m e n h a n g zwischen dem Kristallvolumen V, der Gitterkonstanten a und der Anzahl der Defektpaare gilt folgende Beziehung: AV

-

r

= NnTf t ^

o3 A- a ,

/ Volumenverzerrungsfaktor f ü r ein D e f e k t p a a r . Berechnet m a n N

aus (13)

und setzt f ü r den F a k t o r - | die entsprechenden W e r t e der Gleichungen (II), ic -f- i (IV) u n d (V) ein, so ergibt ein Vergleich mit dem experimentell gefundenen W e r t von Aaja + 0,22 Gleichung (II) / = + 0,34 Gleichung (IV) + 0,55 Gleichung (V) .

Kaskadentheorie für die Berechnung von Strahlendefekten

1477

und T E W O R D T [12] berechneten für Kupfer mit Hilfe verschiedener Potentialansätze den Verzerrungsfaktor / theoretisch zu: 0,47; 0,64 bzw. 1,08. In einer neueren Arbeit von B E N N E M A N N [13] werden für ein Born-Mayer-Potential, aber für zwei verschiedene Lagen des Zwischengitteratoms im kfz-Gitter des Kupfers für / die Werte 0,724 bzw. 1,090 angegeben. BENNEMANN

C O O P E R u. a. [14] haben die Widerstandsänderung von Kupfer, Silber und Gold nach Bestrahlung mit 12 MeV Deuteronen bei ca. 10 ° K gemessen. Die von ihnen gefundene Zunahme des elektrischen Widerstandes pro Deuteron • c m - 2 sind in der 2. Spalte der Tabelle 1 angegeben. Berechnet man wie im vorhergehenden Fall die Anzahl der erzeugten Frenkeldefekte, so kann man wieder aus N und aus den experimentell gefundenen Werten für die Widerstandszunahme pro Deuteron • c m - 2 die Widerstandsänderung pro Atomprozent Defekte angeben (s. 3. bis 5. Spalte der Tabelle 1). Für die Schwellenenergie ED wurden dabei folgende Werte eingesetzt: Cu: 25 eV, Ag: 3 0 eV, Au: 4 0 eV [15, 16].

Tabelle 1 Widerstandsänderung von Cu, Ag, Au nach Deuteronenbestrahlung

Metall

Cu Ag Au

^ßexp 10~17/XÜ cm Deuteron • cm2

0,221 0,263 0,379

AQ

¡HÜ cm/Atom-%-Defektpaare mit Gleichung (II)

(IV)

(V)

0,64 0,63 0,84

1,0 0,98 1,32

1,61 1,57 2,10

Theoretisch wurden für die Widerstandsänderung dieser drei Metalle Werte zwischen 1 und 3¡iQcm/Atom-%-Frenkeldefekte ( z . B . [17 bis 20]) berechnet. Einen stark abweichenden Wert geben O V E R H A U S E R und GORMANN [21] für Zwischengitteratome in Kupfer mit 10,5 ¡XÜ cm/Atom-%-Zwischengitteratome an. Schlußbemerkungen Die Gleichungen (I) bis (IV) ergeben zu hohe Defektkonzentrationen bzw. zu kleine Werte für die Eigenschaftsänderungen pro Defekte. Mit Hilfe der Formel (V) wurde anhand von / und AQ eine Übereinstimmung zwischen der theoretisch und experimentell bestimmten Defektkonzentration erzielt. Ähnliche Ergebnisse erhält man bei einem Vergleich mit anderen bei tiefen Temperaturen durchgeführten Bestrahlungsexperimenten. Der Wert eines solchen Vergleiches wird jedoch dadurch eingeschränkt, daß z. Zt. die Eigenschaftsänderungen pro Defekt nur ungenau bekannt sind. Ferner muß bemerkt werden, daß zur Begründung der Formel (V) Überlegungen angestellt werden mußten, die teilweise außerhalb der Kaskadentheorie liegen. Abschließend kann folgendes festgestellt werden: Trotz der bereits in der Einleitung dargelegten Begrenztheit der Gültigkeit der Kaskadentheorie kann man für genügend große Energien E0 und bei entsprechender Festlegung der Grenz energie für den Abbruch der Kaskade mit ihrer Hilfe eine brauchbare Näherungsformel für die Anzahl der strahleninduzierten Frenkel-Defekte erhalten (Gleichung (V)). I m Rahmen dieser Theorie allein scheint es nicht möglich zu sein,

1478

O. HÄUSER u n d M. BALARIN : K a s k a d e n t h e o r i e bei S t r a h l e n d e f e k t e n

eine entscheidende Verbesserung des Zahlenfaktors der Gleichungen (III a) und (IV) zu erreichen. Um auf dem Gebiet der experimentellen und theoretischen Bestimmung der Anzahl der Strahlendefekte weiter voranzukommen, erachten wir es deshalb für wichtig, die Eigenschaftsänderungen pro Defekt genauer zu ermitteln und die Grenzenergie, unterhalb der korrelative Stoßprozesse nicht mehr vernachlässigt werden dürfen, sowie die Anzahl der bei korrelativen Stößen erzeugten Defekte zu bestimmen. Herrn Prof. Dr. K . F U C H S danken wir für anregende Diskussionen bei der Durchführung dieser Arbeit. Literatur [ 1 ] G . KINCHIN u n d R . PEASE, R e p . P r o g r . P h y s . 1 8 , 1 ( 1 9 5 5 ) .

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August

6,

1962)

A. A. MABADUDIN, A. E . FEIN, and G. H. VINEYARD : Phonon Widths and Shifts

1479

phys. stat. sol. 2, 1479 (1962) Westinghouse Research Laboratories, Pittsburgh, Pennsylvania (a) and Brookhaven National Laboratory, Upton, Long Island, New York (b)

On the Evaluation of Phonon Widths and Shifts By A . A . MABADUDIN, A . E . F E I N ( a ) , a n d G . H . V I N E Y A R D ( b )

In this paper a method is described for the numerical evaluation of phonon widths and shifts due to three-phonon processes in an anharmonic crystal. With this method the ¿-function and principal value restrictions on the frequencies of the phonons participating in the three-phonon processes do not have to be taken into account explicitly. The method is based on a dispersion relation satisfied by the width and shift, and on their expansion in Legendre functions of the first and second kinds, respectively. It is illustrated by a numerical example. Es wird eine Methode beschrieben zur numerischen Berechnung von Phononenbreiten und Phononenverschiebungen bei Drei-Phononenprozessen in einem anharmonischen Kristall. Bei dieser Methode ist eine explizite Berücksichtigung der ¿¡-Funktion und der Hauptwertbedingungen für die Frequenzen der an diesen Prozessen beteiligten Phononen nicht notwendig. Die Methode beruht auf einer Dispersionsrelation für Breite und Verschiebung sowie auf deren Entwicklung in Legendrefunktionen erster bzw. zweiter Art. Das geschilderte Verfahren wird durch ein numerisches Beispiel illustriert. 1. Introduction In a recent theoretical study of the scattering of thermal neutrons by an anharmonic Bravais lattice [1] the following two functions were found to play an essential role: A(hi-a))W?,«»-

r) and r(kj;u>) is that to the first order of approximation A(kj;a>(k j)) is the shift in the frequency o)(k j) of the mode (fc j) due to the cubic anharmonic coupling between modes, while 2 r ( k j ; w ( k j ) ) is the reciprocal of the lifetime of this mode. These functions appear in a natural way in several different solid state problems which involve lattice anharmonicity; the scattering of thermal neutrons by anharmonic crystals [1]; infrared optical absorption in ionic crystals [3]; and lattice thermal conductivity [4], Methods for their numerical evaluation for a given model of a crystal are accordingly highly desirable. The difficulties standing in the way of the numerical evaluation of A(kj; w) and r ( k j; ) is the fact that the sums over fcx and k2 are not carried out unrestrictedly throughout the Brillouin zone: the wave vectors fc] and fc2 must satisfy the condition — fc + fci + fc2 = T,

(1.3)

where r is a translation vector of the reciprocal lattice (including zero). Again, if we use a high speed computer, this restriction is not a difficult one to take into account. The vector — fe is introduced in the machine as input data. The machine selects a vector k} in the Brillouin zone in a systematic way and forms the negative of the vector — fc + kx. I t then checks to see if this vector lies inside the first Brillouin zone. If it does, it is called fc2. If it does not, the unique vector r is found which translates fc — fcx back into the first zone, whereupon r + f c — fc] is called fc,.

Evaluation of Phonon Widths and Shifts

1481

The final difficulty stems from the presence of principal value and delta function restrictions on the frequency combination a> + w(k1 +ft>(fc2j2) in the sums. Of the purely computational problems this one seems to be the most troublesome. The main difficulty posed here is how to represent the principal value and delta function restrictions on a multi-dimensional sum in a form suitable for a computer. In reference [1] the following representations were used:

(a)

^ =^

•

ik=!r+

'

(1.4) , sinxT 1 1—cos x T o(x) = lim 71 x , —— = lim x W f T-oo T-*oo However, the use of these representations led to the following difficulties. I n order t h a t (a), for example, provide a good representation for the delta function e must be small (strictly speaking, we want the limit as e —> 0 + ) . On the other hand e must be larger than the smallest increment in a; ( = co + «(fci )\) + oj(k2 j2)) which results from our use of a finite grid of points in fc-space. This is so t h a t there be a large number of fc-values contributing to the sum lying inside the "shell" defined by ejji (x 2 + £2)- These two conditions on s are not necessarily compatible unless the grid of points in fc-space is very fine. To make the grid very fine, however, can increase the time and cost of such calculations prohibitively. In reference [1] a grid of 6912 points inside the first Brillouin zone was used together with a value of 10" 3 for e in dimensionless units such t h a t the largest value of co(fc j) is 2. The results for A(k j; co) and r(k j; co) still showed some dependence on e, and it was not possible to assess the accuracy of the final results. iu\

7

s/

I t is our aim in this report to present an alternative method for the evaluation of A(kj; co) and F(k j; co) which does not require the explicit use of the principal value and delta function restrictions on the sums in (1.1). We will illustrate the method with a particular numerical example. I t is hoped t h a t this method will make feasible the numerical evaluation of neutron scattering cross sections, optical absorption spectra, and particularly lattice thermal conductivities, but we defer consideration of these applications to a subsequent report. 2. A Dispersion Relation Satisfied by A(k

co) and r(k j; co)

The functions A (fc j; co) and _T(fc j; a») appear naturally as the real and imaginary parts of a function of a complex variable z as z approaches the real axis from above or below. This function, which we denote by I(k j; z), is I(k r• z) - —

1

r A (—k

+ k +

^

±3i ±ii ^ but is analytic everywhere else in the complex z-plane. In the limit as N becomes infinite the poles become dense on the real axis in the interval — a(k) < Re z < a(k), where a(k) is the maximum value of | oo,

T(ki-~\.-.-

T A I k I k I k ) \ 4 > ^ hi > ki h - , K h ) \ 2 Mi

1

x

2( ki h) ¿?(fe2)2) + ^ ( f c 2 ? 2 ) E ( k l h )

+

^

(2 2)

We now consider the integral

oo f(kj;z) = j - ^ d z ' , (2.3) — oo where z is in the upper half-plane. We can close the contour with a semicircle in the upper half-plane, and the result of (2.2) tells us that the contribution from the semicircle vanishes in the limit as its radius increases without limit. Then by Cauchy's integral formula we find that f(kj;z) = 2 n i I(kj;z). (2.4) We now let 2 approach the real axis from above. Setting z = a> + i e and using we find that

lim 6-.0+

Z

— ; =

1 01

— 1- i n )p ? dz + i n I ( k j ; w ) .

— oo Combining (2.4) and (2.6) we obtain

(2.6)

oo /(fc ,•;«,)= i - f - W i f l e f e ' . (2.7) i n J (z —(o)p — oo On the other hand we see from (2.1) and the definitions, Equation (1.1), that as z approaches the real axis from above I(kj;a>) = A ( k j ; w )—i r ( k j ; w ) . (2.8) If we substitute this result into both sides of (2.7) and equate real and imaginary parts we obtain finally

A(*,•;«,)=-! J p ^ l d v ' , n J (co'-co)p

(2.9a)

— OO oo

W ; « » = -n J P(to ^ —co)p d c o ' . (2.9b) — oo These relations, particularly (2.9a), provide the starting point for the subsequent analysis. We conjecture that (2.9) hold for the real and imaginary parts of the proper self energy function which appears in the phonon propagator, but we have not attempted to prove this.

1483

Evaluation of Phonon Widths and Shifts

It should also be remarked that since the integral operator appearing in (2.9) is a linear operator, if we express (say) A (k j; co) as the sum of two contributions A{k j;co) = A N{k j; to) + A u(k j; co) , (2.10) where A ( k j ; a > ) is the contribution from all terms in the sum (1.1a) for which —k + + k2 = 0 (normal processes), and A u(k j; co) is the contribution from all terms for which — fe + fe1 + fe2 = r=j=0 (umklapp processes), then we have that oo N

— OO 00

J W ; a , ) = !n

J

(co' —

(2.11b)

a>)P

00

The results expressed by (2.11) are particularly useful in connection with calculations of lattice thermal conductivity. 3. Expansions for A(kj;

co) and r(k j; co)

It is straightforward to show on the basis of (1.1) that A ( k j ; c o ) is an even function of co, while r(kj; co) is an odd function of co. Moreover, we see from (1.1b) that r ( k j ; co) vanishes for real co outside the interval ( — a ( k ) , a ( k ) ) , since in this case the argument of the delta function cannot vanish. In the general case, however, the determination of a(k) is difficult, and in all that follows we replace it by its upper bound 2 coL, where coL is the largest normal mode frequency of the crystal. The dispersion relation (2.9a) can thus be rewritten as 2 oil A ( k y , co)

71

J

(

P

^

l

(CO

d

c

CO)p

o

'

.

(3.1)

— 2 a>l The fact that r(k j ; co) may be identically zero for a range of |a>| below 2 coL will probably show up as a slower rate of convergence of the series expansions for A(kj; co) and r{kj; co) we are going to develop than they would possess if the true limits were used on the integral in (3.1). However, it is convenient to treat all the modes ( k j ) on the same footing, and (3.1) is our starting point. Since A(kj; co) and F(k j; a>) have the dimensions of a frequency, we introduce dimensionless quantities l ,

( x )

is the polynomial

- m ( x ) •

(3.6)

For x real and in the interval (—1, 1), they have the form Qn(x)

= y

In

Pn{x)

-

w

n

^ ( x )

\x\

< 1.

(3.5b)

These functions are commonly denoted by different symbols in the two regions of x. For our purposes it is convenient to define Qn(x) for all real x by Q

n

(x) =

y

P

n

(x)

In

1 +

X

l — x

— Wn^(x) .

(3.5c)

The motivation for the choice of the expansions given by (3.4) lies in the fact that the functions Pn{x) and Qn(x) are related by l W

—

i

j

^

*

*

—l for all real y [6]. If we substitute (3.4) into (3.3) and use (3.7) we find that bn = ~ a n .

(3.7)

(3.8)

We can thus rewrite (3.4) as 2>nQ2n-i(z),

ô ( k j ; x ) =

(3.9a)

n=1 n

*)

=

£

É

(3.9b)

On P i n - l ( x ) .

The coefficients {an} are clearly functions of fc and j. However, we will not indicate this dependence explicitly in what follows. Our problem is solved if we can determine the coefficients {a n }. This we do in the following way. If we invoke the orthogonality of the Legendre polynomials we find that an is given formally by i 4n i f an = —-— I j'> x) dx . (3.10) —l Combining (1.1b) and (3.2) we find that

X [A(fc2 /,) E(k, n) + Wi h) m*

h)] Ô [x +

+

(3.11)

Evaluation of Phonon Widths and Shifts

1485

where we have found it convenient to introduce dimensionless frequencies À(k j) by u(kj) = ±mLX{kj) .

(3.12)

I f we substitute (3.11) into (3.10) we obtain finally n

colMkj) N

£ Jiii

A(~k *

+

X

jj) E(KU)

+

n) E(kz j,)-UK

kl + 1 1

k2)

Whh)W>,h)

+ X(k2 n) E(k, /,)]

p

^ h )

2 n i

h) E(ki h)]

Pin-i(-fel,l)7A(fe2?2))}-(3.i3)

The expression (3.13) for an simplifies in two limiting cases. At the absolute zero of temperature E(k j) =•— h w(k j), and we obtain «„ =

4

Z M - * +

+

•1*

iih (3.14a)

x

In the high temperature limit E(k j) = kT, and an is given by « "» -

mw (4 W

I)

1}

kT 1 r A(-k oSL?.(kj) N kfkA ( hit

X [Aife.h) + M k , i t ) ] P i n + [A(fc, h)-Mk,

k

+ k +k) + fcl + *•>

A2(fe! j\) A2(fc2 j2)

•Xfah) + A(fc2;2)

h)} P2n^

4

.

(3.14b)

Equations (3.9) and (3.13) formally solve our problem. From the computational standpoint, (3.14) are easier to deal with than (1.1) since they no longer contain the ¿-function restriction on the sum of the frequencies, d (co + «(fcj jt) + o)(fc2 js))- From the theoretical point of view, the usefulness of the dispersion relation (3.3) and the expansion in Legendre functions lies in the fact that it is necessary to determine only one set of coefficients to obtain both the shift d(k j; x) and the width y(k j; x). For completeness, we point out that we are not restricted to the use of Legendre polynomials and Legendre functions of the second kind in representing d(k j; x) and y(k j; a;) by expansions in orthogonal polynomials. The Tschebyscheff polynomials of the first and second kind can be used as well. Thus we can write d(kj-,x)

oo = ZcnU2n_2(x) n=l

y(k j; x) = ZdnT**-l{x) n=1 j/1—x2

—1(*') MO

+ • • •• (2.1)

In this equation 0 is the minimum value of the potential energy, ua(l) is the a-Cartesian component of the displacement of the I th atom from its equilibrium position in this configuration, and

(2 2a)

^Mid^ni &aßy(l

VH

=

'

•

(2-2b)

We now suppose t h a t the displacement component ua(l) is the resultant of two terms, the first of which describes a homogeneous deformation of the crystal, and the second of which describes arbitrary displacements of the atoms from their new positions in the deformed crystal: u«Q) = Ze*pxfi(l)+Ul)-

(2-3)

A. A. MABADUDIN: Thermal Expansion and Phonon Frequency Shifts

1493

phys. stat. sol. 2, 1493 (1962) Westinghouse

Research Laboratories,

Pittsburgh,

Pennsylvania

Thermal Expansion and Phonon Frequency Shifts By A . A. MABADUDIN

Expressions are derived for the change in the value of a normal mode frequency of a Bravais crystal due to thermal expansion, and due to externally applied stresses. Es werden Beziehungen hergeleitet, die die Frequenzänderung einer Normalschwingung eines Bravais-Kristalls unter dem Einfluß einer thermischen Ausdehnung und äußerer mechanischer Spannungen beschreiben.

1. Introduction In recent calculations of anharmonic contributions to the Debye-Waller factor for Bravais crystals [1] and to the differential scattering cross section for the coherent scattering of neutrons by one phonon processes [2] it was found t h a t shifts in the phonon frequencies due to the thermal expansion of the crystal contribute importantly to both of these expressions. In references [1] and [2] these shifts were computed approximately for a simple model of a face-centered cubic crystal. Howewer, in view of their importance for the above mentioned applications, and for others, and because no rigorous explicit evaluation of these shifts seems to have been carried out previously, it was felt t h a t their calculation would be worthwhile. We present the results of such a calculation in this note. In addition, expressions are obtained for the shifts of the phonon frequencies due to externally applied stresses. 2. Expression for Frequency Shifts We begin by expanding the potential energy of a Bravais crystal about the configuration which corresponds to its minimum value, ® = ®o + v z 0«ß(11') ¿iv aß

U

*V) M1')

+ Tb E 0«ßy(l in" *ßv

l

' n

u

«(l)

«/>(*') MO

+ • • •• (2.1)

In this equation 0 is the minimum value of the potential energy, ua(l) is the a-Cartesian component of the displacement of the I th atom from its equilibrium position in this configuration, and

(2 2a)

^Mid^ni &aßy(l

VH

=

'

•

(2-2b)

We now suppose t h a t the displacement component ua(l) is the resultant of two terms, the first of which describes a homogeneous deformation of the crystal, and the second of which describes arbitrary displacements of the atoms from their new positions in the deformed crystal: u«Q) = Ze*pxfi(l)+Ul)-

(2-3)

1494

A . A . MABADUDIN

The vector x(l) is the position vector of the Ith atom in the undeformed crystal. The deformation parameters {ea|8} are the elements of a symmetric tensor (sxp = £pa) and are constants. They accordingly describe a homogeneous, pure (i. e., rotationless) strain, and they are in fact the usual strain parameters of infinitesimal elasticity theory. Although for the purposes of this note the distinction between infinitesimal and finite strains can be ignored, we prefer to present the succeeding analysis in terms of finite deformation theory so that the present results if desired, could be used as the basis for a rigorous theory of higher order effects, such as the temperature dependence of the elastic constants. From the relation between the finite strain parameters {rjap} and the infinitesimal strain parameters {e a( s}, Vap = - j (eap + £?«)

(2-4)

which holds for homogeneous deformations, we obtain the result that in the case that the {£ a j j} are the elements of a symmetric tensor (pure strains), L

X

If we substitute (2.5) into (2.3) we obtain «.(*) = Sail) + E *i(l) - T E Vr* %i *i(l) > (2-6) X ¡iX to second order in the finite strains. We now substitute (2.6) into (2.1) and collect terms in powers of the dynamic displacement components {£a(l)}, to obtain = 00 + y S ai> Xy.

*') V*1 ve„

+ E IV ap X +

I') V«X

*„(0 + 0(r,s)

+ 0{rf) +

* IV afi

I' n Vyv Xv(l") Ul) W)

* IV I" txpy

Qafi n Ul)

+ 0{rf) .

W)

(2.7)

v

The terms linear in in this expansion vanish because (— 3&ld£p(l'))o gives the ^-component of the force on the l'th atom when all atoms are at their equilibrium positions in the homogeneously deformed crystal. Since a homogeneously deformed crystal is still a crystal, the net force on any atom in the deformed crystal must vanish. The equations of motion of the deformed crystal are 8& SSaW

v

P

IT

Pyv

(2.8)

where M is the atomic mass. If we asssume running wave solutions, £a(Z) = e-i -> t + 2 * i k - x(i)

(2.9)

1495

Thermal Expansion and Phonon Frequency Shifts

the equations determining the time independent amplitudes { f ^ } become OJ2 I[0>

=

~

E

I')

2

"

I H

-

( " W -

XT»

V N Vy. *>(*") e - 2 " i f c - («o—CO)

+ 4 E

M

E ~

vv.

+ . . . . (2.10)

fi yv

The position vector x(l) which appears in the solution (2.9), as well as the wave vector k, is t h a t appropriate to the undeformed crystal. T h a t we can use these quantities for describing wave propagation in the deformed solid follows from the expression for the allowed values of k for a solid of a n y symmetry on the assumption of the cyclic boundary condition for the displacements k = -i-

+ h2 6 2 + K b3)

hlt h2, h3 = 1, 2, . . . , L .

'

(2.11)

I n this equation L = N1!3 is the number of atoms in the edge of the macrocrystal which is the periodicity volume to which the cyclic boundary condition on the displacements is applied. The vectors {{>*} are the three primitive translation vectors of the reciprocal lattice. They are defined in terms of the primitive translation vectors of the direct lattice, {a*}, by «i • b j = 8 i } .

Since x(l) is given by x(l) =

(2.12)

+ l2 a2 + l3a3,

(2.13)

where the {¿¿} are integers which can be positive, negative, or zero, we see from (2.11) to (2.13) t h a t the product k-x(l) is invariant against homogeneous deformations of the crystal, although k and x(l) separately are not. Since this is t h e case, we can choose for k and x(l) in (2.9) their expressions for the undeformed crystal, and in fact it is quite convenient to do so. Since rjyV is symmetric in the indices y a n d v, it is convenient to rewrite the second term on the right side of (2.10) in a form where the coefficient of rjvv is also symmetric, i. e., co2 il 0 ) = E\ iM i W 0 \ v

^ E

2

" " '

(

a

,

w

\*afv{l I' 1")

-

+ 0WI

y g— 2 7t i k • (x(l) — œ(i')) f j -(-

I' I") Xyd")] •

(2.14)

I n an infinite crystal, or in a crystal satisfying the cyclic boundary condition, I') depends on I and V only through their difference, while (t>a.$v(l V I") depends on I, V, and I" only through the differences V — I and I" — I. We t h u s introduce two matrices dap{k) and dxp- yv{k) whose elements are given b y . (2.16)

A. A. Mabadudin

1496

In writing (2.16) we have used the following result, Z 0 a f i y ( l l ' l " ) =

0,

(2.17)

which follows from the invariance of the potential energy and its derivatives against an arbitrary rigid body translation [3]. The coefficients dap(k) and dap. y v ( k ) are real because for Bravais crystals [3] 2(ft

j)

=

w«(ft j)

+

£

a/3

*

a

( k j) d ^ ,

y v

(k)

î f l t j)

V y v

+

0(rj») .

(2.21)

yv

The frequency shift to first order in the strains is thus given by Ao

^ k ft = FTTTfcTi ^

W )

*«!>•• v ( f c )

•

(2-22)

yv

To complete our analysis we must determine r/ap as a function of temperature. The equation which determines this quantity is the equation of state of the solid (in the absence of external stresses) [3], \8r]ap/T

where F is the Helmholtz free energy of the crystal. I t is the sum of a static lattice contribution and of a dynamic contribution. The static lattice contribution is given by the terms independent of the { f » ( 0 } in (2.7), which to second order in the strains we can write as ^

= #0

^

(2.24)

«(k j) we make L E I B F R I E D ' S approximation, ( 3 . 1 6 ) , and specialize to the case of a face-centered cubic crystal with nearest neighbor, central force interactions. Equation ( 4 . 1 8 ) reduces after some manipulation to 1%

+ (ex(k j) - ey(k j)f sin2 + (ex(k j) + (ez(k j)f sin 2 + (e,(fc j) ~ez(k

(kx -

ky)

(kx + kz)

j)f s i n 2 ^ ~ (kx - fcj] +

.

(4.19)

If we make use of the results of reference [2] we find that for either longitudinal or transverse waves propagating in the [100] direction &(hj)

=

T r y ^ ) (¿-l

4

V"(r9)

Vu

+

T

^l) = £ r ^ W 12 7 4 v„{ro)

^

(cll_c1,)«711+

2 C„)

(4 20)

If we substitute into this expression the numerical values for the parameters which appear in it for our model of lead, we find AWa>(kj) _ / em „ om«\ = — T ^1.691 X 10"11 . &(k j)

(4.21)

1506

A . A . MARADUDIN

This result implies that for our simple model of lead a tensile stress of about 5.9 X 108 dyne/cm2 is required to produce a 1% change in co(k j). This value exceeds the yield strength of lead which is quoted in reference [8] as being 0.95 X 108 dyne/cm2 (at 0.5% offset). Of course, we have obtained the preceding numerical results on the basis of a rather simple model for lead, and it is possible that a more sophisticated force constant model would lead to more favorable values for the applied stress needed to produce a 1% change in w(kj). However, it does not seem likely. What is more likely is that there exist other solids for which an applied external stress smaller in magnitude than their yield strength produces a several per cent change in the normal mode frequencies. For such solids it becomes worthwhile to consider the possibility of measuring the cubic anharmonic atomic force constants 0aipy(l I' I") by measuring the change in the phonon dispersion relations due to external stresses at constant temperature by means of neutron spectrometry2) or the thermal diffuse scattering of X-rays. By fitting (4.8) to the experimental data for different directions of k for different polarizations and for different applied stress systems it would then be possible to determine the &xpy(l V I"). The use of metallic whiskers might simplify the experiments in which uniaxial stresses are used.3) A cknowledgement

I should like to acknowledge the hospitality of the Brookhaven National Laboratory during the summer of 1962 when the work described in this note was carried out. Appendix

We derive here the transformation properties of the coefficients d^^k) and da y r(k) when the wave vector k is replaced by k a, where a is the matrix of a real, orthogonal transformation which takes the crystal into itself. In this discussion we describe k by a row vector and x(l) by a column vector, so that the scalar product k • x(l) can be viewed as a matrix product. We have explicitly that dap(ka)=±Z0al,{l

0

)

e

-

2

(

A

.

l

)

We make a change of summation variable according to

x(l) = a x(l') .

(A.2)

Since x(l) and x(V) are equivalent by symmetry, the vector x(l') runs over the very same lattice points as does the vector x(l), although in general in a different order. Equation (A.l) now takes the form

dai)(k a) = -i E < M «

0) e- 2 »4 * • >.

(A.3)

However, we have the result that [3]

x(l'), 0) = E aaK afilt 0^(1' 0) , A fi

(A.4)

2 ) The use of neutron spectrometry for studying the phonon frequency shifts due to a hydrostatic pressure was first suggested to the author by Prof. G. BENEDEK. 3 ) The suggestion that whiskers be used in this kind of experiments wa s made to the author

b y G. SHIRANE.

Thermal Expansion and Phonon Frequency Shifts

1507

so t h a t combining (A.3) and (A.4) we obtain finally d«l>(k O) =

L

««A afsn dxAk)

(A-5)

•

Thus we see t h a t replacing k b y k a in dap(k) is equivalent t o carrying out a similarity transformation on the matrix whose elements are {dap(k)}. The explicit expression for dxp.yv{k a) is d,,

y

,(fc a) = ~

I V) xt(V) + 0 ^ , ( 0 1 V) xy(l')] e 2 - " «

E

.

(A.6)

W e m a k e the changes of variables x{l)

= a x(m),

x(l')

=

(A.7)

a x(n)

and obtain d«

f i ; y

V

( k a )

=

~ L m

2J

Jy(0,

mn a

« x(m),

a x ( m ) , a x(n)) a

a x(n))

aya

v a

£„(»)]

x„{n)

e2nlk'

.

(A.8)

This change of variables clearly does not change the value of t h e sum. W e now m a k e use of the result t h a t [3] Nf?) cos d ,

Ila = Ps{Kltf

M2,

Ps = 4 n2 ^ j4

, R3 P' 1 ' = 16t* 3 — o0M* 3,R

, (16)

3 2

F™ = 16 TT Kh(x)

R B, + A l o g -

a0 M A , Jk(x)

Kh nach (14) ,

N il0n

=

~ * ~J

£

F ü r l0 = 0 ist in iY"'" J0 d u r c h J 0 — 1 zu ersetzen. Fig. 2 zeigt die F u n k t i o n e n K f t , Af u n d I s t der Kristallzylinder hinreichend lang, so k a n n der F a k t o r ilf 2 durch M'^-ÖQ

—

k)-!',Atom

ersetzt werden, wobei d {l —1 0 ) eine D e l t a f u n k t i o n ist. Die wesentlich von Null verschiedene I n t e n s i t ä t ist auf die Ebenen l = l0 b e s c h r ä n k t . W i r müssen j e t z t die B e d e u t u n g der N ä h e r u n g x0 = 0 untersuchen. I n einem speziellen Fall lautete die N ä h e r u n g ¡ J i m dt = jh(x)

X,

-

jh(x0)

jh(*)—J1o(

o).

Diese N ä h e r u n g ist offensichtlich gut, solange die vernachlässigte Differenz l A W — JiMo)\ f ü r große W e r t e von x klein gegen die Oszillationsamplitude / 2 \i/2 I—) von | J ! o ( x ) — J , ( 0 ) | ist. Setzen wir z . B . l0 = 1 u n d fordern, d a ß die vernachlässigte Differenz nicht m e h r als den Bruchteil q b e t r a g e n soll, also 2

für

2

so e r h ä l t m a n f ü r xM die Bedingung

y 3

xM -

8 R2 q2

1 dieser Amplitude

x < xM ,

(17a)

(17b)

Setzt m a n etwa q = 1/3, Rjr0 = Rja = 100, so folgt xM = 16. F ü r lü 1 erhält m a n ähnliche Bedingungen f ü r xM, die in der gleichen Größenordnung, aber bei etwas

1516

M . WlIiKENS

-0.1 r\ 1 \

• 'A \

-0.03

o

2

^

^

II w \) \ V '

x—U.

1

Fg. 2. Die Intensitätsfunktionen

'

^—i—ViVw-ir 2

-0.02

\ y

,2

i

/V^f 2

^

x — •

o

2

I

\

_

i

X

-

3

x — •

k'iJx), N^ix),

Für die gestrichelten Kurven ist das Vorzeichen der Ordinate zu wechseln

höheren Werten liegen. F ü r x > xM geht die spezielle Wahl des inneren Abschneideradius r0 wesentlich in die berechnete Intensitätsfunktion ein. Das heißt aber, daß die Ersetzung der Summation durch eine Integration beim Übergang von (7) zu (8) im Bereich des Versetzungskernes nicht mehr ohne weiteres erlaubt ist. Wir beschränken uns deshalb auf den Bereich x < x M 3. Berechnung der Schwerpunktsverschiebung Bevor wir im folgenden versuchen, die Intensitätsverschiebungen quantitativ zu formulieren, ist eine Vorbemerkung notwendig. Ein exaktes Maß für eine Reflexverschiebung wäre die Verschiebung des Intensitätsschwerpunktes innerhalb des zugehörigen Elementarbereiches im reziproken Gitter (Kubus mit |h — h01, — k0\ u n d 11 — l01 < 1/2). Dieser Elementarbereich ist aber dem Experimentator im allgemeinen nicht mit der notwendigen Genauigkeit zugänglich. Insbesondere beim Debye-Scherrer-Verfahren ist nur der Zentralteil einer Linie — also der Bereich, in dem die Intensität wesentlich von Null verschieden ist — einigermaßen genau auszumessen. E s ist d a n n eine Frage des experimentellen Aufwandes, ob

Röntgenstreuung an Kristallen mit Versetzungen (II)

1517

man die Lage der Maximalintensität oder die Linienmitte bei einem bestimmten Bruchteil der Maximalintensität oder den Schwerpunkt bei abgeschnittenen Linienausläufern als Kenngröße für die Lage der Debye-Scherrer-Linie heranzieht. Am besten definiert ist letztere Kenngröße, die in den letzten Jahren für Präzisionsbestimmungen von Gitterkonstanten im einzelnen untersucht worden ist, siehe z. B. [13, 14]. Es ist also naheliegend, auch für unsere Fragestellung eine Schwerpunktverschiebung ohne Einbeziehung der Intensitätsausläufer zu definieren und als Kenngröße der Reflexverschiebung zu benützen. Zu dem Zweck bestimmen wir erst die Schwerpunktsverschiebungen innerhalb der Ebenen l = l0 und führen für die durch die reziproken Gitterpunkte (OOZ0) und (h0 k010) gehende Gerade die laufende Koordinate a ein, Fig. 1. Die gesuchte relative Schwerpunktsverschiebung lautet dann 2jr Q' j 2n Q'

Aa

Ilt(x) QdQddl J J hSx)QdQdö.

0 0 '00 Die obere Integrationsgrenze o' lassen wir vorerst als freien Parameter offen. Ersetzt man im Zähler (er — a0) durch q cos 8, was für unsere Zwecke ausreicht, und geht entsprechend (13) wieder von q ZU x über, so folgt mit Ii0(x) nach (16) und nach Integration über 8

Aa _ Aaw Aat2> a0 a„ a„ R 1 In i \ t».>, R*\ 1 1 ° r0

N

I , 2

V ) = ^

.

=

f Kl(x) y. dx

„

1 (18)

2

* e' 4a •

o Ff" ist für l0 = 0, 2, . . . geschlossen integrierbar. Die übrigen Integrale wurden numerisch bestimmt. Fig. 3 zeigt die Ergebnisse. In Fig. 3 c ist der Vollständigkeit halber das normierende Integral im Nenner von Ff*'2' angegeben, um zu zeigen, von welchem Wert x an die Integration im wesentlichen die ganze Integralintensität des Reflexes umfaßt. Wir betrachten zuerst die Ausdrücke Ff". Man erkennt, daß diese mit steigendem x' von großen Werten kommend mit einigen Oszillationen gegen den Grenzwert —1 (l0 = 0) bzw. + 1 (Z0 0) konvergieren. (Diese Grenzwerte werden in dem in Fig. 3 gezeigten Intervall von x nicht ganz erreicht. Der Grund ist, daß das normierende Integral, Fig. 3c, in diesem Intervall seinen Grenzwert 1 noch nicht voll erreicht.) Da im verformten Kristall immer verschiedene äußere Abschneideradien R auftreten, kann man über die Oszillationen mittein. Etwa ab x' = 10 findet man in ausreichender Näherung =

Ff- = + 1

für

0.

(19a)

(Mit x' = 10 befinden wir uns noch innerhalb der durch xM, Gleichung (17), gegebenen Gültigkeitsgrenze unserer Näherung.) Fig. 3 b zeigt, daß Fq2) mit steigendem x' um Null herum oszilliert. Nach Mittelung über die Oszillationsperioden kann man deshalb

Vf

= 0

(19b)

1518

M. WlLKENS

setzen. Für die übrigen V " l0 ^ 0 läßt sich nach Fig. 3 b kein fester Grenzwert angeben. Abgesehen von den Oszillationen steigen diese V¡" mit steigendem x' an. Nimmt man etwas willkürlich n = 10 als hinreichend an, um für l 0 = 0, 1, 2, 3 den Hauptteil der Integralintensität zu erfassen (Fig. 3 c), so kann man aus Fig. 3 b folgende, allerdings nicht sehr genaue Werte entnehmen: VTvf

' — 5,4, c- — 3 , 4 ,

(19c)

s—2,8. Wie sich noch zeigt, ist diese Ungenauigkeit nicht sehr wesentlich. Die in Abschnitt 1. ausgeklammerten Teilverschiebungen proportional zu B2 und C2 können jetzt wieder eingeführt werden. Wie schon dort erwähnt, bewirken diese beiden Konstanten eine homogene Aufweitung des Kristallgitters im Zylinderquerschnitt bzw. parallel der Achse. Wir haben also zwei weitere Teilschwer Fig. 3. Die Konstanten der Schwerpunktaverschiebung F ; * ' und f } * ' und daa Normierungsintegral als Funktion der Integrationsgrenze x'. punktsverSchiebungen der ReIn Fig. 3 a ist für die gestrichelte Kurve das Vorzeichen der Ordinate flexe zu betrachten, eine pazu wechseln rallel der tr-Achse (Aa(3) und eine Aufweitung des Kristalleine parallel der l-Achse (AI). Da B2 u n d C 2 > 0 gitters bedeuten, ist das reziproke Gitter entsprechend komprimiert. Aa(3)

B,

A l

-

C

4. Die effektiven Gitterkonstantenänderungen beim Debye-Scherrer-Yerfahren Wir führen jetzt die durch den reziproken Gitterpunkt h0 = a* (h0 k0 l0) gehende Radialkoordinate s = ]/h2 + k2 + l 2 ein, Fig. 1, und benützen »o = \ ! K

K

Röntgenstreuung an Kristallen mit Versetzungen (II)

1519

als Abkürzung für den Abstand des Reflexes des ungestörten Gitters vom Ursprung. Mit Hilfe des Winkels kann man dann die Schwerpunktsverschiebungen —— (i = 1, 2, 3) und ^ auf die s-Koordinate umrechnen. l« ob Fig. 1 AsM . zfcrW = sin2 o) (i = 1, 2, 3) s o ffo

AsW

AI

= cos-® o) j - , 'o

.

a

0 sin (o = — ,

Man entnimmt aus

l

0 cos o> = —

o

,s

s

(20)

o

Die As^js0 (j = 1, 2, 3, 4) hängen nur noch vom Index l0 und vom Winkel a> ab. Im Anschluß an (10) wurde gesagt, daß man im verallgemeinerten Fall

l0 = (b, h0) zu setzen hat. Berücksichtigt man ferner, daß cd der Winkel zwischen dem Burgersvektor b und dem reziproken Gittervektor h0 ist, cos a> -

(b, h0)

l b ! i ft o!' so erkennt man, daß die Schwerpunktsverschiebungen A ^ / s 0 nicht mehr wesentlich von unserer Annahme einer kubisch primitiven Elementarzelle des Kristallgitters abhängen. Die Ergebnisse können deshalb ohne Schwierigkeiten z. B. auf kubisch flächenzentrierte oder kubisch raumzentrierte Gitter übertragen werden. Das soll für ein kubisch flächenzentriertes Gitter näher ausgeführt werden. Das Debye-Scherrer-Präparat wird in unserer Modellrechnung durch eine große Anzahl von Kristallzylindern der weiter vorn behandelten Art mit statistisch regelloser Orientierungsverteilung dargestellt. Der einfachste Burgersvektor im kubisch flächenzentrierten Gitter lautet bekanntlich B=y[110], d. h. die Zylinderachse ist jetzt, abweichend von Abschnitt 1. bis 3., eine [110]Richtung. Zur Unterscheidung von den (h0 k010) des kubisch primitiven Gitters seien die Indizes des kubisch flächenzentrierten Gitters mit (H 0 Kü L0) bezeichnet. Der in (18) und (19) auftretende Netzebenen-Index l0 hat jetzt nur noch die Bedeutung eines ganzzahligen Parameters, der bei gegebenem H0 = a*(H0 K0 L0) aus

l0=(B,H0)=±-(H0 folgt. Ferner ist o

C

+ K0)

(H0

° S a W = 2 (Hl

+

+

Kl

K0f +

(21a) ,

LI)

•

^

Die gesuchte Schwerpunktsverschiebung der Debye-Scherrer-Linie {H0K0L0} ergibt sich dann, indem für alle Komponenten der Linie mit Hilfe des Index l0 und des Winkels CD aus (21) die Teilschwerpunktsverschiebungen As^ls 0 , (20), bestimmt werden. Nach Mittelung über die Komponenten der Debye-ScherrerLinie und Aufsummierung folgen dann die in Tabelle 2 angegebenen Werte

M. WlLKENS

1520 2J

Von den vier Teilschwerpunktsverschiebungen ist die Verschiebung

j

AsWls0 die unsicherste, da sie nach Abschnitt 3. merklich von der Integrationsgrenze x abhängt. Andererseits ist aber ihr Vorfaktor A klein gegenüber dem Vorfaktor + A log der Verschiebung zls(1'/«0. siehe Tabelle 1. Das gilt insbesondere für Kupfer, dessen elastische Konstanten in Tabelle 2 benützt wurden. Man kann deshalb für eine erste Abschätzung der zu erwartenden Effekte diese Unsicherheit vernachlässigen. In Tabelle 2 wurde B = 100 r 0 gewählt. Setzt man den inneren Abschneideradius gleich dem Betrag des Burgersvektors, der im Falle von Kupfer etwa 2,5 Ä beträgt, so entspricht dieser Radius R einer Versetzungsdichte N = - J£ - = 5 • 1010 cm" 2 . R 71 R

Da der logarithmische Faktor log — nur schwach von R abhängt, kann man in rt>

erster Näherung die Schwerpunktsverschiebung als proportional zur Versetzungsdichte ansehen. Die „effektive" Gitterkonstantenänderung Aaja ist •—• bis auf die Umkehrung des Vorzeichens — gleich der resultierenden Schwerpunktsverschiebung der Debye-Scherrer-Linie, also Aaja

=

•

Die letzte Spalte der Tabelle 2 zeigt, daß diese ganz wesentlich von der Indizierung der Debye-Scherrer-Linie abhängt. Sie ist etwa gleich Null für die {024}Tabelle 2 Schwerpunktsverschiebungen von Debye-Scherrer-Linien und effektive Gitterkonstantenänderungen für Kupfer (R = 100 r0) K Jcqh l 0 0 l 2 0 1 0 2 3 1 3

1.

2.

-7a 0 +7s +7a -7a 0 +V. +7s +7s

—0,8 -1,7 —2,5 -2,4 —0,8 —1,7 —2,2 —3,0 —2,1 —0,8 —1,9 —1,6

1 1

0 2 1 2 0 3 2 2 3 1 3

1 1

2 2 3 2 4 3 4 4 3 5

1 5/

3

+Vs +7.

3.

in Vielfachen in Vielfachen in Vielfachen in Vielfachen

von von von von

B,

A/R2

Cz b2/8 n2 R2, Aaja

(Ad^s0y

!

1) in Vielfachen von ( B x + A log — ) ] R2 = 2) 3) 4) 5)

4.

'

-7a

>

-7a

5,16 6 2 /8 ji2 R2 0,33 fe2/8 ti2 R2 — 6,25 6 2 /8 n2 R2 19,6 b2j8n2Ri

— £ j

5. Aaja 4,3 2,8 1,4 1,4 4,3 2,8 1,3 —0,2 1,3 4,3 1,2 2,0

Röntgenstreuung an Kristallen mit Versetzungen (II)

1521

Linie und hat ihren Maximalwert für die {111}- bzw. {222}-Linie. (Wegen der Ungenauigkeit, mit der die nichtlinearen elastischen Konstanten bekannt sind, hat die schwache effektive Gitterkontraktion für die {024}-Linie keine Bedeutung.) Zum Vergleich bilden wir noch die mittlere différentielle Gitterkonstantenaufweitung. Man findet nach Mittelung über alle Komponenten einer Debye-Scherrer-Linie R

2n

= ktfÖ [(S + ^ + 8£) rdrdr> To

und mit den u, v, w nach (1) folgt Ä|d«f = Y (

=

2

£

° +

8 7t H

C

'* + 4 für

lQ

g

C u mit R

=

100 r

o•

(22)

In einer ganz groben Näherung, ohne Rücksicht auf spezielle Röntgen-Interferenzerscheinungen, würde man erwarten, daß die Gitterkonstantenänderung bis auf das andere Vorzeichen ein Drittel der makroskopischen Dichteänderung Ad/d beträgt. Für letztere Größe findet man — 1 Ad/d = M!a\Am

+ A

= 5,8

für

Cu mit R = 100 r0 .

(23)

5. Diskussion der Ergebnisse Die vorliegenden Untersuchungen haben ergeben, daß die aus der Verschiebung einer Debye-Scherrer-Linie folgende effektive Gitterkonstantenänderung stark von der Indizierung der Linie abhängt und i. a. merklich kleiner als die entsprechende mittlere différentielle Gitterkonstantenänderung ist. Das gilt noch ausgeprägter im Vergleich mit der makroskopischen Dichteänderung. Dieses auf den ersten Blick überraschende Ergebnis hängt unmittelbar damit zusammen, daß die in (16) eingeführten und in Fig. 2 gezeigten Funktionen JVj" für l0 = 0 „richtiges" Vorzeichen, für l0 0 dagegen „falsches" Vorzeichen haben, „richtig" und „falsch" im Hinblick auf die aus ihnen folgenden Konstanten F j " (Gleichung (19a)) bzw. Schwerpunkts Verschiebungen, die für l0 = 0, wie erwartet, eine effektive Gitterkonstantenvergrößerung, für l0 0 dagegen eine Verkleinerung bewirken. Dieses „richtige" bzw. „falsche" Verhalten hat seinen Ursprung wahrscheinlich in der Tatsache, daß für Reflexe mit l0 = 0 (reziproker Gittervektor senkrecht auf dem Burgersvektor) allein das „nicht-lineare" Verschiebungsfeld der Schraubenversetzung wirksam ist, während für Reflexe mit l0=^= 0 eine Art „Interferenz" zwischen dem „nicht-linearen" und dem „linearen" Verschiebungsfeld auftritt, die zu dem „falschen" Vorzeichen von A7]" bzw. F | " führt. Eingangs von Abschnitt 3. wurde begründet, weshalb zur Festlegung der Schwerpunktsverschiebungen eines Reflexes die Intensitätsausläufer nicht berücksichtigt wurden. Ein weiterer, dort nicht erwähnter Grund besteht darin, daß die Funktionen entsprechend (15) nur für x < x M gültig sind. Der eingangs von Abschnitt 3. erwähnte Elementarbereich kann innerhalb der Ebene

1522

M. WlLKENS

l = l0 etwa durch einen Kreis mit Radius pe = — angenähert werden. Mit R u H = 100 r0 und r0 » a ist dann mit (13) = 2 n ge — 300. Wegen xM = 16 umfaßt unsere Näherung also nur einen kleinen Bruchteil des Elementarbereiches eines Reflexes. Die Tatsache, daß die différentielle Gitterdehnung nach (22) von der Konstante B1 unabhängig ist,während bei der Reflexschwerpunktsverschiebung bzw. effektiven Gitterkonstantenänderung gerade die Teilverschiebung AsW/sq und damit die Konstante B1 für die erwähnte Anomalie verantwortlich ist, braucht demnach kein Widerspruch zu sein. Denn die differentiellen Gitterdehnungen können allenfalls mit der Schwerpunktsverschiebung im ganzen Elementarbereich verglichen werden. Für den weitaus größten Teil des Elementarbereiches kann unsere Näherung aber keine Aussagen über die Intensitätsfunktionen machen. Berücksichtigt man jetzt, daß die Hauptkomponente des linearen Verschiebungsfeldes einer Stufenversetzung ähnlich dem linearen Verschiebungsfeld einer Schraubenversetzung ist, siehe z. B. [15], so kann man vermuten, daß auch in Kristallen mit Stufenversetzungen entsprechende „Interferenzen" zwischen dem linearen und dem nicht-linearen Verschiebungsfeld entstehen, die ihrerseits wiederum zu „falschen" Vorzeichen bestimmter Teilschwerpunktsverschiebungen führen, was qualitativ die gleichen Konsequenzen wie im Falle der Schraubenversetzung nach sich zieht. Ein weiterer U m s t a n d erfordert Beachtung: In unserem Kristallmodell fällt die ,,Teilchen"grenze („Teilchen" = Kohärenzbereich im Sinne der kinematischen Beugungstheorie) mit dem äußeren Abschneideradius des Verschiebungsfeldes zusammen. In verformten Kristallen ist das i. a. nicht der Fall, der Kohärenzbereich kann mehrere Versetzungen und dementsprechend mehrere sich gegenseitig abschirmende oder gegenseitig verstärkende Verschiebungsfelder enthalten. Ob die vorliegenden Rechnungen von diesem Umstand wesentlich berührt werden oder nicht, kann z. Z. nicht entschieden werden. Dazu sind weitere Untersuchungen erforderlich. (Bezüglich der Reflex-Verbreiterung infolge des linearen Verschiebungsfeldes von Versetzungen wird diese Frage in [16] untersucht.) Andererseits scheint es von der experimentellen Seite her interessant, Gitterkonstantenmessungen und Dichtemessungen an der gleichen Probe vorzunehmen, um festzustellen, ob die in dieser Arbeit gefundene Diskrepanz zwischen der Dichte änderung, (23), und den effektiven Gitterkonstantenänderungen in Tabelle 2 auch experimentell gefunden werden kann. Die Deutsche Forschungsgemeinschaft unterstützte diese Arbeit im Rahmen ihres Schwerpunktprogrammes „Kristallstrukturforschung". Ihr sei auch an dieser Stelle dafür gedankt. Literatur phys. stat. soi. 2 , 6 9 2 ( 1 9 6 2 ) . J. Phys. Soc. Japan 9 , H O R D O N und B . L . A V E R B A C H , Acta metall.

[1] M . WILKENS, [2]

S.

ISSIKI

[3] M . J .

und

H . KIMURA,

139

(1954).

9, 247,

[ 4 ] C . CRUSSARD u n d F . A U B E R T I N , R e v . M e t . 4 6 , 3 5 4

(1961).

(1949).

[5] H. C H R I S T I A N und E. M A C H E R A U C H , Z. Metallk. 52, 660 (1961). [6] S . S A I L E R und E. M A C H E R A U C H , Z. Metallk. in Vorbereitung. [7] D . MICHELI, u n d E . LOVEGROVE, P h i l . M a g . 5, 4 9 9 (1960).

Röntgenstreuung an Kristallen mit Versetzungen (II)

1523

[ 8 ] H . M . OTTE, J . a p p i . P h y s . 3 2 , 1 5 3 6 ( 1 9 6 1 ) .

[9] Dislocations and Mechanical Properties of Crystals, Lake Placid Conference 1956 J . Wiley a. Sons, New York 1957. [10] [11] [12] [13] [14]

A . SEEGER u n d E . M A S K , Z . N a t u r i . 1 4 a , 1 5 4 ( 1 9 5 9 ) . A . SEEGER u n d O . B U C K , Z . N a t u r i . 1 5 a , 1 0 5 6 ( 1 9 6 0 ) . A . J . C. WILSON, A c t a o r y s t . 5 , 3 1 8 ( 1 9 5 2 ) . E . R . P I K E u n d A . J . C. WILSON, B r i t . J . a p p i . P h y s . 1 0 , 5 7 ( 1 9 5 9 ) . J . LADELL, W . PARRISH u n d J . TAYLOR, A c t a c r y s t . 1 2 , 2 5 3 ( 1 9 5 9 ) .

[15] A. SEEGER, Handbuch der Physik Bd. VII/1, herausgegeben von S. FLÜGGE. [16] M. WILKENS, Acta cryst. in Vorbereitung. (Received

September,

8, 1962)

1524

H . PFLEIDERER

phys. stat. sol. 2, 1524 (1962) Institut für theoretische und angewandte Physik der Technischen Hochschule und Max- Planck- Institut für Metallforschung, Stuttgart

Stuttgart

Lineare Elastizitätstheorie und Thomas-Fermi-Modell bei Eigenspannungen in Metallen1) Von H . PFLEIDEKER

Die Kontinuumstheorie der Versetzungen gibt ein Modell für den Versetzungskern. Die zugehörigen Spannungen der Schrauben- und der geraden Stufen Versetzung werden berechnet. Nach der Thomas-Fermi-Näherung für Metalle ruft die elastische Inkompatibilität im Stufenversetzungskern dort eine unabgeschirmte dipolförmige elektrische Raumladung hervor. Die Auswirkung der Potentialverhältnisse im Kernbereich auf den elektrischen Widerstand der Stufenversetzung in Kupfer wird untersucht. The continuum theory of dislocations gives a model for the dislocation core. Expressions are derived for the stresses of screw dislocations and straight-lined edge dislocations. The elastic incompatibility in the of edge dislocations produces there an unshielded dipole-like electrical space charge. This result is obtained from the Thomas-Fermi-approximation for metals. The electrical resistance of the edge dislocation is investigated for copper with respect to the potential distribution in the core.

1. Kontinuumsmodell des Versetzungskerns Das Zentrum einer Versetzung [1 bis 3] bildet die Versetzungslinie oder, mehr physikalisch betrachtet, der Kernschlauch, in dem die Gitterstruktur stark gestört ist. Die Kontinuumsmechanik der Versetzungen [4 bis 8] geht von Versetzungsdichten aus. Ein idealisiertes Kontinuumsbild der Kristall Versetzung stellt die singulare Versetzung dar, deren Dichte in Form einer Deltafunktion auf die Linie konzentriert ist. Durch Verbreitern dieser Deltafunktion auf den Kernradius kann man elastische Singularitäten vermeiden und gewinnt so ein angemessenes Kontinuumsmodell f ü r den Versetzungskern. Unter „Versetzungsdichte" soll hier nicht die ausgemittelte Wirkung vieler Einzelversetzungen verstanden werden, sondern immer die kontinuierliche „Ersatzfüllung" f ü r den Kernschlauch. Wenn man die elastischen Eigenschaften des Gesamtkörpers auch auf die „schlecht e " Kernzone überträgt, lassen sich leicht Spannungs- und Verzerrungstensor dorthinein fortsetzen. Wir zeigen dies im Rahmen der linearen und isotropen Elastizitätstheorie f ü r die Schrauben- und die gerade Stufen Versetzung. Die Versetzungslinien sollen mit der xz = «-Achse orthogonaler Zylinderkoordinaten zusammenfallen, von welcher die Verzerrungen nicht abhängen (ebenes Problem). Der Maßtensor ay hat in diesem Fall als nichtverschwindende Komponenten nur an, a22 und a33 = 1. Der erste Index des Tensors der Versetzungsdichte oiij kennzeichne die Versetzungslinie, der zweite den Burgersvektor. Wir wenden uns zuerst der Schraubenversetzung zu, die durch eine Dichte a 33 dargestellt wird. Für die zugehörige Spannungsfunktion 0 der Torsion gilt A0 = — f i a 3 3 , 1

¡x Schubmodul.

) Dissertation, Teil I, Technische Hochschule Stuttgart 1962

(1)

1524

H . PFLEIDERER

phys. stat. sol. 2, 1524 (1962) Institut für theoretische und angewandte Physik der Technischen Hochschule und Max- Planck- Institut für Metallforschung, Stuttgart

Stuttgart

Lineare Elastizitätstheorie und Thomas-Fermi-Modell bei Eigenspannungen in Metallen1) Von H . PFLEIDEKER

Die Kontinuumstheorie der Versetzungen gibt ein Modell für den Versetzungskern. Die zugehörigen Spannungen der Schrauben- und der geraden Stufen Versetzung werden berechnet. Nach der Thomas-Fermi-Näherung für Metalle ruft die elastische Inkompatibilität im Stufenversetzungskern dort eine unabgeschirmte dipolförmige elektrische Raumladung hervor. Die Auswirkung der Potentialverhältnisse im Kernbereich auf den elektrischen Widerstand der Stufenversetzung in Kupfer wird untersucht. The continuum theory of dislocations gives a model for the dislocation core. Expressions are derived for the stresses of screw dislocations and straight-lined edge dislocations. The elastic incompatibility in the of edge dislocations produces there an unshielded dipole-like electrical space charge. This result is obtained from the Thomas-Fermi-approximation for metals. The electrical resistance of the edge dislocation is investigated for copper with respect to the potential distribution in the core.

1. Kontinuumsmodell des Versetzungskerns Das Zentrum einer Versetzung [1 bis 3] bildet die Versetzungslinie oder, mehr physikalisch betrachtet, der Kernschlauch, in dem die Gitterstruktur stark gestört ist. Die Kontinuumsmechanik der Versetzungen [4 bis 8] geht von Versetzungsdichten aus. Ein idealisiertes Kontinuumsbild der Kristall Versetzung stellt die singulare Versetzung dar, deren Dichte in Form einer Deltafunktion auf die Linie konzentriert ist. Durch Verbreitern dieser Deltafunktion auf den Kernradius kann man elastische Singularitäten vermeiden und gewinnt so ein angemessenes Kontinuumsmodell f ü r den Versetzungskern. Unter „Versetzungsdichte" soll hier nicht die ausgemittelte Wirkung vieler Einzelversetzungen verstanden werden, sondern immer die kontinuierliche „Ersatzfüllung" f ü r den Kernschlauch. Wenn man die elastischen Eigenschaften des Gesamtkörpers auch auf die „schlecht e " Kernzone überträgt, lassen sich leicht Spannungs- und Verzerrungstensor dorthinein fortsetzen. Wir zeigen dies im Rahmen der linearen und isotropen Elastizitätstheorie f ü r die Schrauben- und die gerade Stufen Versetzung. Die Versetzungslinien sollen mit der xz = «-Achse orthogonaler Zylinderkoordinaten zusammenfallen, von welcher die Verzerrungen nicht abhängen (ebenes Problem). Der Maßtensor ay hat in diesem Fall als nichtverschwindende Komponenten nur an, a22 und a33 = 1. Der erste Index des Tensors der Versetzungsdichte oiij kennzeichne die Versetzungslinie, der zweite den Burgersvektor. Wir wenden uns zuerst der Schraubenversetzung zu, die durch eine Dichte a 33 dargestellt wird. Für die zugehörige Spannungsfunktion 0 der Torsion gilt A0 = — f i a 3 3 , 1

¡x Schubmodul.

) Dissertation, Teil I, Technische Hochschule Stuttgart 1962

(1)

Lineare Elastizitätstheorie und Thomas-Fermi-Modell

1525

Das ist im wesentlichen Formel (43) in [7]. Mit der Greenschen Funktion läßt sich dafür auch ^ =

f i n i r — r ' l «33 df ,

(2)

r Ortsvektor in der Ebene, df Flächenelement, schreiben. Speziell für Polarkoordinaten r,