Lehrbuch der Mechanik. Abschnitt 1 Mechanik der festen Körper: Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung 9783111442549, 9783111076232

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LEHRBUCH DER

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i

ii.

» R J. P . B R O C H .

ERSTE ABTHEILUNG. MECHANIK

DER

FESTEN

KÖRPER

i f s e s a H B R g ö ^ -

BERLIN. IT

*

C O M F.

CHRISTI ANIA.

1849

*

FEILBERG *

LANDMARK.

MECHANIK DER

FESTEN

KÖRPER. *

Erster Abschnitt. Gesetze des Gleichgewichte

CAP.

und

der

Bewegung.

I.

Wirklingsweise und laass der Kräfte. §. l . D i e Ursache, welche einen Punkt in Bewegung setzt, nennt man Kraft

Beispiele verschiedener Kräfte sind: die Muskelkraft, die

Anziehungskraft der Erde oder die Gravitationskraft, die Adhäsionskraft, die W ä r m e als Ursache der Ausdehnung und Verdampfung der Körper betrachtet, der Magnetismus u. s. w. Die Richtung einer Kraft wird die gerade Linie genannt, welche sie den von ihr angegriffenen Punkt beschreiben zu lassen strebt; dieser Punkt wird der Angriffspunkt genannt. Zwei Kräfte heben einander auf, wenn sie keine Wirkung hervorzubringen oder auch nicht die, welche vorhanden ist, zu verändern streben. Eine Kraft wird die Resultante mehrerer anderen Kräfte genannt, wenn sie allein wirkend dieselbe Wirkung wie jene anderen Kräfte hervorbringen würde. Eine Kraft wird graphisch durch eine gerade Linie dargestellt, welche die Richtung der Kraft angiebt und ihrer Grösse proportional ist. lehrbnch der Hccbuik.

1

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

2

W e n n eine Krall auf einen Punkt der Oberfläche eines festen Körpers wirkt, so übt sie auf dieselbe einen Druck aus, welcher die am nächsten liegenden Molekülen gegen die denselben am nächsten befindlichen zu treiben strebt und diese wieder gegen diejenigen, w elche ihnen am nächsten liegen, und so weiter fort bis zum andern Ende des Körpers.

Ist dies E n d e fest, so wird die Kraft eine Zusam-

mendrückung oder Veränderung der F o r m des Körpers hervorbringen.

Ist das Ende hingegen frei, so wird dies sich vorwärts be-

wegen, so dass die Bewegung folglich successive dem ganzen Körper mitgetheilt worden ist.

Diese innere Mittheilung bedarf

einer

gewissen Zeit um ausgeführt zu w e r d e n , und es ist deswegen unmöglich, dass eine Geschwindigkeit momentan irgend einem Körper mitgetheilt werden könnte. Dasselbe würde der Fall sein, wenn eine Kraft dazu angewandt wird, die Bewegung aufzuheben, welche ein K ö r p e r schon hat; sie würde erst die Bewegung der dem W i r k u n g s p u n k t e nächsten Molekülen a u f h e b e n und dann successive diejenige der entfernteren. Wir

haben vorausgesetzt, dass die Kraft auswendig auf den

K ö r p e r w i r k e , das heisst von aussen nach

innen auf ihn drücke;

wirkte sie aber von innen nach aussen, wenn sie folglich den K ö r per zöge oder streckte, so würden die Molekülen von einander entfernt statt einander genähert w e r d e n , und die folgenden Molekülen würden dann in Folge der Anziehungskraft, welche zwischen ihnen stattfindet, denselben Abstand von den ersten wie vorher einzunehmen s t r e b e n , und folglich das andere E n d e des K ö r p e r s , wenn es frei ist, nach sich ziehen.

Zur Fortpflanzung dieser Kraft wird dann

auch eine gewisse Zeit nöthig sein. Die K ö r p e r w e r d e n hiernach aus Molekülen

zusammengesetzt

gedacht, welche iu einer bestimmten Entfernung von einander durch Molekülarkräfte gehalten w e r d e n ,

und

welche

sich

als anziehend

zeigen, wenn der Abstand der Molekülen vergrössert, und als abstossend, wenn der Abstand der Molekülen vermindert wird.

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

3

Eine Kraft kann also nicht auf einen Körper wirken, ohne dass die Molekülarkräfle dieses Körpers reagiren, und diese Reaction ist immer im Zustande der Ruhe der Action gleich, aber entgegengesetzt Wirkt eine Krad nicht unmittelbar, sondern durch ein Seil, eine Stange oder dergleichen, so wird die Krall durch eine Reihe von Actionen und Reactionen von dem einen Ende des Seils oder der Stange zum anderen Ende und zum Körper fortgepflanzt. Zu dieser Fortpflanzung der Krall ist aber eine gewisse Zeit nöthig. §• 3. Die Bewegung eines Puoktes wird g l e i c h f ö r m i g genannt, wenn der Punkt in gleichen Zeiträumen gleiche Räume durchläuft. Sind dagegen die Räume ungleich, so wird die Bewegung v e r ä n d e r l i c h genannt, und zwar a c c e l e r i r e n d , wenn die durchgelaufenen Räume immer grösser, r e t a r d i r e n d , wenn sie immer kleiner werden. §• 4. W a s die Verbindung betrifft, welche zwischen einer Kraft und der durch dieselbe hervorgebrachten Bewegung stattfindet, so hat die Erfahrung uns folgende Gesetze gelehrt. I. Ein Körper kann nicht in Bewegung kommen, auch nicht die schon vorhandene Bewegung ändern weder in Bichtung noch in Grösse, wenn nicht eine oder mehrere Kräfte auf ihn wirken. Dies wird d a s G e s e t z d e r T r ä g h e i t genannt. Der Widerstand, welchen die Trägheit eines Körpers jeder Veränderung des Zustandes, in welchem sich der Körper befindet, entgegensetzt, muss der Bewegung des Körpers entgegengesetzt sein, wenn diese accelerirend ist, dagegen dieselbe begünstigen, wenn sie retardirend ist. II. Die Geschwindigkeiten, welche verschiedene unveränderliche Kräfte in gleichen Zeiträumen demselben Körper mittheilen können, stehen in demselben Verhältniss zu einander wie die Kräfte selbst; ebenso verhält sich auch zu einander diejenige Vermehrung oder Verminderung der Geschwindigkeit eines bewegten Körpers, 1*

4

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

welche verschiedene in der Richtung der Bewegung diesem Körper mitlheilen.

wirkende

Kräfte

Wenn also in einer gewissen Zeit die Krall R einem Körper die Geschwindigkeitszunahme J X , und die Kraft k, während einer ebenso langeil Zeit wirkend, demselben Körper die Geschwindigkeitszunahme Jv mittheilen kann, so ist: K : k = JX : Jv. Dies wird d a s G e s e t z d e r P r o p o r t i o n a l i t ä t d e r K r ä f t e u n d d e r V a r i a t i o n e n d e r G e s c h w i n d i g k e i t e n genannt. III.

Um auf derselben Stelle der Erde bei verschiedenen

pern dieselbe Veränderung müssen die Kräfte

der Geschwindigkeiten

Kör-

hervorzubringen,

der Schwere der Körper proportional

sein.

W e n n also in einer gewissen Zeit die Kraft K einem Körper, dessen Schwere P ist, eine gewisse Vermehrung oder Verminderung der in der Richtung der Kraft stattfindenden Geschwindigkeit mittheilt, und in einer ebenso grossen Zeit die Kraft k einem anderen Körper, dessen Schwere p ist, dieselbe Vermehrung oder Verminderung der Geschwindigkeit mittheilt, so ist K :k =

P : p.

Ist die Vermehrung der Geschwindigkeit eine Längeneinheit in einer Zeiteinheit, so wird die dazu nöthige Kraft, in der Richtung der Rewegung als wirkend angenommen, die M a s s e des Körpers genannt.

Bezeichnen wir die Massen der beiden Körper durch M

und m , und die Geschwindigkeitszunahme, welche jede der Kräfte K und k den Körpern P und p in einer Zeiteinheit mittheilen würde, JX,

so ist nach dem zweiten Gesetze: K:M = JX 1, k : m = JX: 1,

folglich: K:k =

M:m.

K :k =

P : p,

Weil jetzt wird auch

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

5

M:m = P : p. Das dritte Gesetz wird deswegen d a s

Gesetz

der

Pro-

portionalität d e r Massen und d e r S c h w e r e n der K ö r p e r genannt.

IV. Wenn eine Kraft auf einen Körper wirkt, welcher schon eine gewisse Bewegung hat, so wird die neue hierdurch hervorgebrachte Bewegung relativ zur ursprünglichen dieselbe sein, als wenn der Körper ursprünglich in Ruhe gewesen wäre. Bewegt sich folglich ein Punkt so, dass er in jeder Zeiteinheit ein Stück Weges durchläuft, dessen Richtung und Grösse durch die Linie AB (Fig. 1) dargestellt werden mag, und in dem Augenblick, wo der Körper in A war, eine Kraft auf denselben wirkt, welche in einer Zeiteinheit den Körper nach C gebracht haben würde, wenn er ursprünglich in Ruhe gewesen wäre, so wird diese Kraft jetzt den Punkt nach D bringen, wo BD gleich und parallel mit AC ist. Der Punkt wird sich folglich in der Richtung der Diagonale AD bewegen, als wäre er von einer Kraft bewegt, welche in dieser Richtung wirkte und sich zu den Kräften, welche längs AB und AC wirken, verhält, wie die Linie AD zu den Linien AB und AG. Dies wird d a s G e s e t z d e r U n a b h ä n g i g k e i t d e r u r sprünglichen Bewegung und der Richtung der K r a f t genannt, oder auch das Gesetz des Parallelogramms der Kräfte. Auf diesen vier Gesetzen ist die ganze Mechanik gegründet. §. 5. Wegen des zweiten Gesetzes der Proportionalität der Kräfte und der Variationen der Geschwindigkeiten können Kräfte mit einander verglichen werden, wenn man die Geschwindigkeiten, welche sie in einem gewissen Zeiträume einem Körper mittheilen können, mit derjenigen vergleicht, welche die Schwere demselben Körper in demselben Zeiträume mitzutheilen fähig ist. Die Kräfte werden deswegen durch die Angabe des Gewichts desjenigen Körpers bezeichnet, welchem sie dieselbe Geschwindigkeit wie die Schwere mittheilen können.

6

Gesetze d e s Gleichgewichts und der Bewegung. D i e preussische E i n h e i t des G e w i c h t s ist das P f u n d ,

gleich

des Gewichts

eines Kubikfusses

welches

destillirten W a s s e r s

ist,

im luitleeren R ä u m e und bei 1 5 ° R e a u m u r g e w o g e n . Die preussische

Längeneinheit

ist der 0 , 3 1 5 6 7 6 9

oder

nahe

i y y Theil der L ä n g e des einfachen Secundpendels in Berlin. Zur Vergleichung mit den

wichtigsten

fremden Längen- und

Gewichtseinheiten sind die beiden folgenden Tafeln hier hinzugesetzt: Vergleichung von Fussmaassen. Französischer Metre

Pariser Fuss

1 0,324839 0,313853 0,313740 0,296901 0,316111 0,304794

3,078444 1 0,966181 0,965831 0,913993 0,973130 0,938293

Preuss., NorwegiDanischer scher Fuss Fuss

Schwedischer Fuss

Wiener Fuss

Englisch., Russisch. Fuss

3,186199 1,035003 1 0,999640 0,945986 1,007193 0,971136

3,368125 1,094100 1,057098 1,036859 1 1,064701 1,028953

3,163446 1,027612 0,992859 0,973849 0,939234 1 0,964201

3,280899 1,065765 1,029722 1,010007 0,974102 1,037128 1

3,187354 1,055206 1,019520 I 0,964452 1,026853 0,990092

Vergleichang von Gewichten. Französisches Kilogramm

Preussisches Pfund

Dänisches Pfund

Norwegisches Pfund

Schwedisches Pfund

Oesterreich. Pfund

Engl. Adp. Pfund

Russisches Pfund

1 0,467711 0,499309 0,498114 0,425339 0,560012 0,453598 0,409520

2,138072 1 1,067559 1,065004 0,909407 1,197347 0,969524 0,875583

2,002768 0,936712 1 0,997607 0,851856 1,121574 0,908451 0,820173

2,007572 0,938964 1,002399 1 0,853900 1,124265 0,910630 0,822141

2,351063 1,099618 1,173907 1,171099 1 1,316624 1,066437 0,962807

1,785675 0,835180 0,891604 0,889470 0,759518 1 0,809978 0,731270

2,204597 1,031114 1,100775 1,098141 0,937702 1,234601 1 0,902827

2,441883 1,1420% 1,219254 1,216336 l,o:w;2'J 1,367484 1,107632 1

§. 6. Bezeichnet man durch P das Gewicht eines Körpers, durch g die Geschwindigkeit, w e l c h e die S c h w e r e dem Körper in einer S e kunde mittheilt, durch M die Masse des K ö r p e r s , d . h . eine Kraft,

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

7

welche in einer Sekunde dem Körper die Geschwindigkeit 1 mittheilen kann, so ist in Folge des zweiten Gesetzes: P:M =

g:l,

folglich: M M

P

P

= 7'

s - t

P Dieses Verhällniss -j^ ist aber in Folge des dritten Gesetzes dasselbe fiir alle Körper auf derselben Stelle der Erde, folglich ist auch g oder die Geschwindigkeit, welche ein Körper im freien Falle und im luftleeren Räume nach einer Sekunde erlangt hat, dieselbe für alle Körper auf derselben Stelle der Erde.

Ihr Werth auf den

verschiedenen Stellen der Erde kann mit grosser Genauigkeit durch die Formel: g =

31,24394 ( 1 —0,0025911 co» 2 y ) pr.

FUBB,

ausgedrückt werden, wo

> a . d y « , + a.dy u , , a , d z u , + a,d z u , ,

im Punkte (x,, y „ i j : a, d x ^u, + a . d ^ u , , a . d ^ u , + a . d ^ u , , a, d z u, + a,d z u . . im Punkte (x n , y n , i„): i d * u , + a , d x u , , a ( d y u, + a , d y 4 u , , a,d z u, + a.d z u,. n n *n n n a Die normal auf die Flächen u, = o und u, = o wirkenden Kräfte, werden im Punkte (x p , y p , z p ) respective: a

4 i = » , V ( d x p u , ) ' + ( d y p u,)> + ( d z p u,)>, Ap =

a

» V ( d x Pu , ) ' + (d y Fu,)> + (dz P u,)>. §. 14.

Sind im Allgemeinen die Verbindungen zwischen n Punkten durch die p Gleichungen: u, = O, u, = O, U, Up = 0, zwischen ihren Coordinaten ausgedrückt, so werden die Componenten der gegebenen Kräfte, wenn Gleichgewicht stattfinden soll, im Punkte (x,, y , , i , ) : X, = a.d^u, + a . d j u , + a s d x u , +

a

p d Xi U p ,

Y, = a . d y U , + a . d y u , + a , d y u, +

Opdy^p,

Z, = a , d z u , + a . d j U , + a , d z u , +

a

pdziup'

im Punkte (x,, y „ i j : X, = a . d j u , + a . d ^ u , + a . d ^ u , + Y, = a.dy^u, +

a

, d y ^u, + a ^ u , +

Z 3 = a,d Z j U, + a . d ^ u , + a . d ^ u , +

a

pdXiV

a d u p yi p' a

pdZjV

und im Punkte (x 0 , y n . z tl ): A o , + a i d \ nu 3 + a , d x nu, + = a, dy n u i + a s d y n u j + a.dy^u, +

a d, •u , »pdy^p,

Z„ = a , d z u, + a,d z u, + a s d z u, +

a p d up.

Xn = Yn

a

u

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

17

Eliminirt man zwischen diesen 3n Gleichungen die p willkürlichen Constanten a | t a , , a , , a p , so erhält man 3n — p Bedingungsgleichungen des Gleichgewichts zwischen den Componenten der Kräfte. Die im Punkte (x r , y r , zr) normal auf die Fläche u , = o wirkende Kraft ist K = a . y ( d x u , ) ' + (d y u,)> + ( d ^ u , ) ' , die normal auf die Fläche u, = o wirkende Kraft K' = « . V i d ^ u J ' + i d ^ u , ) ' + ( d l r u , ) ' , die normal auf die Fläche u p = o wirkende Kraft 4 P ) = apV(dIruF)' + (d^u,)' + (dlrup)', und die Resultante dieser Kräfte, welcher die Resultante von X r , Y r , Z r gleich ist, wird dann die auf den Punkt ( x r , y r , z r ) wirkende gegebene Kraft sein. §. 15. Wird den mit einander durch die Gleichungen u, = o, u, = o, u, = o, up = o verbundenen n Punkten irgend eine mit dieser Verbindung übereinstimmende Bewegung gegeben, so müssen die längs der drei Coordinataxen zerlegten Geschwindigkeiten d t x , , d t y,, d t z,, d ( x , , d t y,, djZ,, d,x 0 , d j . , dtzD nothwendig folgenden Gleichungen entsprechen : dx".-dt*. + d y I u . - d t y . +

d

t«,

+d,iu1.d|x1 + ....

+ d z o u . • d ,»» = o, dx, , • , , + d y u, . d t y , + d z u , . d t z, + d, .u, . d t x , + . . . . u

d x

+

d

z„ u , • d t*« = o,

dx ( u , • d,x, + d y ^u p . d,y, + d Z(U|1 . d,i, + d^u,, . d t x , + . . . . +

d

znup

oder, was gleichbedeutend ist, so muss die Gleichung Lehrbutb dir Mechanik. 2

d

t *n = o,

18

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung. ( n . d ^ u , + a , d x u, + . . . . + d

l

+ Ci», y i «. +

a^u^d.x,

a d

, yi"I + .... + apdj.u^d.y,

+ O A I «, + M z I «, + . . . . + "rP d z I u1 ^ d , » , r x u r )d x. + ( a , d x 1», + a.dx 2«, + • • • • + a»d 1

+

+ 0 , d z IIu, H- a d z IIii, + . . . . + ar d zu " rp )il t z„ = , für alle W e r t h e von a , , a , , . . . a n stattfinden. Soll jetzt Gleichgewicht vorhanden sein, so müssen die Componenten der gegebenen Kräfte den im vorigen Paragraphen entwickelten Bedingungsgleichungen entsprechen.

Diese W e r t h e hier

substituirt geben dann die Gleichung X . d . x , + Y . d . y , + Z , d , . , + X , d ( x , + . . . . + Z . d , . . = o. welche für alle möglichen Bewegungen stattfinden muss. §• 16. W e n n die Grösse und Richtung jeder der auf die gegebenen Punkte wirkenden Kräfte nur eine Function der Coordinaten dieser Punkte und von der Lage der anderen Punkte unahhängig ist, d. h. wenn X p , Y p , Z p nur Functionen von x p , y p , z p sind, so kann der Ausdruck: X . ' V . + Y.d.y, + Z , d t » , + X , d t x , + . . . . - f Z . d , . . unter eine einfachere Form gebracht werden. Bezeichnen wir nämlich durch R p die Resultante der Kräfte X p , Y p , Z p , so ist R p die auf den Punkt (x , y p , z p )

wirkende

gegebene

K r a f t , und die

Grösse und Richtung von R p ist nur von (x , y p , z p ) abhängig. Ziehen wir jetzt zu jedem Punkte vdie diesem zugehörige Linie R p , construiren eine auf allen diesen Linien orthogonale Fläche, und bezeichnen wir durch M einen Punkt (x, y, z), durch M' den Punkt (x +

y + dy, z + dt), durch m und m' die zugehörigen Punkte

der orthogonalen Flache, dur^h r die Linie Mm, durch r - f dx die Linie M ' m ' ; legen wir ferner durch M' eine Ebene parallel mit der Linie mm', und bezeichnen wir durch N den Durchschnitt

dieser

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

19

Ebene mit der durch M gehenden Linie B , so wird der Winkel M'NM ein rechter Winkel sein, und folglich: „/]w1tf MN Jt co« M'MIN = Tj-rj, = - j MM' z/s Es sind aber die Cosinus, welche die Linie MN mit den drei Coordinataxen bildet, X V z IT R' und die Cosinus der Winkel, welche MM' mit den drei Coordinataxen bildet, z/x z/y z/z z/s z/s z/s also wird m/mtu ^ , V z/y . Z Jz\ co.M'MN = ± ^ . — + - . - ¿ + - . - 1 und folglich

z/r Js

—

/X ^ R z/s

' R

z/s

, Jl R

4£\ z/s/'

oder, wenn man zu den Grenzwerthen übergeht, Xdx + Ydy + Zd» = ± Rdr. Construirt man auf diese Weise fiir jede Krall R p die zugehörige orthogonale Fläche, so wird X , d t x , + Y.d.y, + Z , d t l , + X , d t X . + . . . . + Z . d , i . =

±R)dlr1±R1dtr1±....±R.dtr„

und die Bedingungsgleichung des Gleichgewichts wird demnach i R . d . r , Ä R . d . r , ± . . . . ± R . d , r . = o. Weil hier R p und also auch r p nur Function von x p , y p , zp ist, so wird diese Differentialgleichung nur integrabel sein, wenn die einer jeden Kraft R p zugehörige orthogonale Fläche so gewählt werden kann, dass R p eine Function von r p ist. Dies ist z.B. der Fall, wenn auf das gegebene System Kräfte wirken, welche durch feste Punkte gehen und Functionen des Abstandes von diesen Punkten sind. Alsdann können nämlich diese festen Punkte selbst als jene orthogonalen Flächen gewählt werden. Es kann auch leicht besonders gezeigt werden, dass alsdann die Dif2*

20

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

ferentialgleichung X . d j X , + Y , d t y , + Z . d ^ , -f- X ^ x , +

• •• •

- f Z„d t z n integrabel ist. Es sei nämlich R eine solche Krall, welche vom Punkte (a, b, c) ausgehend auf den Punkt (x, y, z) wirkt, r der Abstand der beiden Punkte und R eine Function von r, so ist r 2 = (x — a) 2 + (y — b) 2 + ( i — c) 2 daher rdr = (x — 1zl!i.

r

z

=

r

•

r

Xdx + Ydy + Zdz = i [ ( x - a ) d x + (y — l))dv + (z — c)dz] = Rdr Folglich wird auch X.d.x, + Y , d , y i +

+ X1dlx, + . . . . +Z„dtzn = R.d.r, + R 1 d , r , + . . . .

+ M J . .

wie vorher, und dieser Ausdruck ist dann ein vollständiges Differential, weil R p eine Function von r p ist. §• 17. Der Ausdruck X . d . x , + Y . d j , + Z . d . z , + X . d . x , +

....

-f- Z n d t z 0 ist auch noch integrabel, wenn die Kräfte in gegenseitigen Anziehungen oder Abstossungen zwischen den beweglichen Punkten des Systems bestehen und ihre Intensitäten Functionen der Entfernungen sind. Es seien nämlich x, y, z die Coordinaten eines Punktes, x', y', z' die Coordinaten eines anderen Punktes, r ihre Entfernung und q (r) die gegenseitige W i r k u n g zwischen ihnen, so sind die Componenten der Kraft y (r) im erstem Punkte X = y(r) •

Y = y(r) •

Z = y(r) •

und die Componenten der im letztern Punkte wirkenden Kraft, welche der vorigen gleich und entgegengerichtet ist, x ' — X X. = ( / 0, ) • — —' N

Es wird also

,,.

v

.

= '/(')•

v' — V

Z' =

,.

z' —

y(r).——

z

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

21

Xdx + Ydy + Zdi + X ' d x ' + Y'dy' + Z'd*' -

[(x-x'Xdx-dxO + iy-y'Xdy-dyO + ii-x'Xdi-d!')]

= 2 0 . rdr = (f(r)dr, und daher X . d , x , 4 - Y . d . y , + Z , d , i , + X , d , x , + . . . . + Z.d,». = ^ ( r ) d r , folglich integrabel. §• 18. Im Allgemeinen, wenn der Ausdruck X, dx, + Y, dy, -f- Z, dz, -{- X , d x , - { - . . . Z.dz„ ein vollständiges Differential ist, und man durch U dessen Integral bezeichnet, so wird U eine Function von x , , y,, z,, x J t . . . z„ sein, deren partielle Differentiale sind: d x U = X , , dy U = Y , , d.U-Z,, d x U = X , , dy[u = Y,, d / ü = Z,, d, U = X „ , d

dy U = Y a , 'n

d , U = ZD, D

und die im § . 1 5 entwickelte Differentialgleichung des Gleichgewichts wird die Form annehmen: d,U = o. Die Function U wird alsdann die K r ä f t e f u n c t i o n genannt, und muss demnach, wenn Gleichgewicht vorhanden sein soll, ein Maximum oder Minimum sein. §• 19Wenn man durch P , die Resultante von X l t Y,, Z , , durch P , die Resultante von X,, Y,, Zt u . s . w . bezeichnet, wo folglich P , , P , , . . . die gegebenen Kräfte sind, durch s,, s „ . . . die von den Punkten (x l t y,, z,), (x,, y , , z j . . . beschriebenen Bahnen, wenn das System auf irgend eine mit den Verbindungsgleichungen übereinstimmende Weise bewegt wird, und durch « „ « , , . . . die Winkel, welche die Tangenten dieser Bahnen mit den entsprechenden Kräften P,, P , . . . bilden, so istY X Z cos«, = pidgX, + 1 - r L d s y , + ^ • d s i , , folglich

22

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung. +Y,dty,

+Z,dt.,

Die im § . 1 5 gegebene ßedingungsgleichung des Gleichgewichts wird sonach die Form P , djS, . cos « , + P . d ^ , . cos u, -f . . . . + P D d t s„ cos «„ = o, annehmen,

und diese Gleichung

muss dann für jede Bewegung,

welche die Punkte machen können, stattfinden. Die Geschwindigkeiten d ( s , , d , s 2 , . . . d t s n , welche die durch die Verbindungsgleichungen u,

=

o,

II,

=

o,

Up =

O

mit einander verbundenen Punkte zugleich annehmen können, werden die v i r t u e l l e n G e s c h w i n d i g k e i t e n dieser Punkte genannt; die Componente P cos « einer Kraft P nach der Tangente der vom Punkte beschriebenen Bahn wird d i e T e n s i o n der Kraft genannt, und das Produkt P c o s a . d t s der Tension einer Kraft mit der virtuellen Geschwindigkeit seines Angriffspunktes wird d i e v i r t u e l l e A r b e i t genannt.

Der durch die Gleichung

P , cos « . d j S , + P , cos « , d j S j + ausgedrückte Satz kann werden: Wenn Weise

mit

Kräfte

einander

wicht hervorbringen, ten für jede Bewegung, Null

+ P„ cos « n d t s n = o

hiernach folgendermaassen auf

ein System

verbundener so muss

mehrerer

Punkte

die Summe

welche das System

ausgesprochen

auf

icirken

irgend

und

eine

Gleichge-

ihrer virtuellen

Arbei-

annehmen

gleich

kann,

sein. Bezeichnet man durch T die Tension einer bewegenden, und

durch T' die Tension einer widerstehenden Kraft, durch s und s' die von ihren Angriffspunkten beschriebenen Linien, wenn das System in eine von den Verbindungen erlaubte Bewegung gesetzt wird, so kann die obige Gleichung geschrieben werden — Tel, s — — T'd ( h' = o, oder: —Td,s = JST'd t 8',

Gesetze d e s Gleichgewichts und d e r Bewegung.

23

d. h. die virtuelle Arbeit der bewegenden Kräfte ist derjenigen der widerstehenden Kräfte gleich. Dieser Satz wird d e r S a t z d e r v i r t u e l l e n G e s c h w i n d i g k e i t e n genannt.

§• 20. Man kann aus der Gleichung P . ^ S , cos a , + P , d j S j cos a, +

+ P D d t s 0 cos aB = o

oder, was dasselbe ist, aus der Gleichung X,dtx, + Y.d.y, + Z , d t z , + X , d t x

1 +

. . . . + Z n d l z D = o,

wieder die im §. 14 dargestellten Gleichungen, und daraus durch Elimination der willkürlichen Constanten die Bedingungsgleichungen des Gleichgewichts finden. Die Gleichung (1)

X,dtx, + Y , d , y i + Z , d t . , + X,dtx, + .... + Z„dt.. = o

soll nämlich für alle Werthe der virtuellen Geschwindigkeiten stattfinden, welche den Verbindungsgleichungen U, = o,

U, = O,

U, = O,

u„ = o

und folglich deren Differentiale d S ( U l . d , x , - M y U , . d ( y , + d z u , . d t i , + d X j U, . d t x , -f . . . . + d

u

x, .•

y , ' 0 . ( x , . y , . z , ) . ( x , » ) ' s » 0 » s o bestehen folgende 3n — 6 Verbindungsgleichungen:

+

y,Y

= (*, - * , ) ' (y. + (». - « , ) ' - < U, = ( x , — X , ) » + ( 7 , - 7 , ) » + ( » , - « , ) » - c = = (*,— + ( 7 , - 7 , ) ' + (», - * , ) ' — c = (*, - * . ) ' + (y. — y . ) J + ( » . — « J ' - c == (*, + (y, - y + («, - « . ) ' - c = u u a

3n-8

= (*. -

+

3._7 = (*> -

(y. - y - ) ' + (•. - ».)' -

) ' + (y, - y J

x

30-c = ( > -

1

c

Ls

+ (», - ».)' -

+ (y. - y»)' + so erhält man die folgenden 3 Bedingungsgleichungen des Gleichgewichts: -

Z.y.) +

-

Z . y J + . . . . + ( Y . « . - Z . y . ) = O,

(Z,x, - X , . , ) + ( Z . i . - X . i , )

(X.y.

+ (X,y, -

+ . . . . + (Z.x.—X.i.) =

o,

Y . x . ) + . . . . + ( X D y n - Y . x J = o.

Der Druck auf den festen Punkt ( x , , y , , z j ist nach §. 14 im Punkte (x a , y,, z j senkrecht auf die Fläche u 4 = o, d. h. längs der Linie c 4 , nach den drei Axen zerlegt a 4 d» j u 4 = 2a I x 1 ,'

a 4d„Yt u * = 2a i vJ 1.

a 4d ./ ^u 4 = 2a 4i 1,1

ebenso im Punkte ( x , , y , , z s ) längs der Linie c, M x , « , = 2a,x,,

a1dyjui = 2ajys,

a . d ^ u , = 2a,*,,

im Punkte ( x 4 , y 4 , z 4 ) längs der Linie c, a d

, x

u

4

, = 2a,x4,

a , d y u, = 2a, y 4 , 4

a, d z u, = 2a, i . , 4

und im Punkte (x„, y„, z„) längs der Linie c 3n a

d

U

3 n -5 X„ 3n-S = 2 a 3 D _ 5 X n , a

d

3.-5 Z„

U

3n-S

a

d

5

U

3„_5 y i i 3 I 1 _5 = 2»,,, _ 5 Vn ,

=

2a

3o-5In-

Unmittelbar auf den festen Punkt wirken ferner die Componenten a , , a , , a,. Der ganze Druck auf den festen Punkt ist nach den drei Coordinataxen zerlegt a 1 + 2 a , x J + 2 a s x 1 + 2 a , x 4 -f-2a,0x4 + . . . +2a3o_r>x„ = X, + X, + X, + X4 + X, + . . . + Xn, a

, + 2 a 4 y , + 2a, y , + 2a, y 4 + 2 a 1 0 y , + . . . + 2 a 3 n _ 5 y „ = Y , + Y , + Y , + Y4 + Y , +

...+Y.,

+ 2«.», + 2 a , i , + 2a, 1 4 + 2 a 1 0 x , + . . . + 2 a 3 D _ , x D =

z, + z, + z, + z. + z. + ... +

z..

30

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung. §. 25. Hat das System zwei feste Punkte (x,, y l t z,) und (x,, y s , z j ,

und nehmen wir die durch diese beiden Punkte gehende Linie als z Axe an, so wird man die 3n — 1 Verbindungsgleichungen erhalten: = x, = o. u, = v, = o. u, = i, c. = o, = X = o, u ä = y , = o, u, = t 3 — c, = o, + = X + = X + .= X + ,= (s u

3—3 =

U U

y! + 0 , — * , ) '

=

3n-2 = < + Yl + K — O X

-••:,=

— C3\_3 =

+ yJ + (». -

3a_l = (*. -

—

y\ + 0= — *,)* — = °> z c y ! + (*, — « ) ' — ! = y! + + (y, - y . ) s + (», - » J '

1

1

-) + ( y . -

— «£-2 =

yu)' + («.

-

Man hat alsdann X , = a „ Y, = a , . X . = a „ Y, = z , = a, + 2 3 , ( 1 , — . , ) + 2 a , ( . , =

a . + 2a, ( » , - « , ) + 2 a „ ( » 2a, x, + 2a, x, + 2 a , , ( x s

a„ •• + 2 a j . _ 3 ( « , — •• + 2 a 3 . _ a ( » , •• + 2 a 3 D _ I ( x J -

•• + 2 a 3 n _ I ( y , - y,)2a, y , + 2a, v, + 2a, , ( y , — 2 a , ( . , _ i , ) _ 2 a , ( . »,) + 2a, 1 Z, = l * , - » . ) + ••• + 2 a 3 n _ I ( » > ~ zn 2a,x4 + 2a,0x, — 2a,,(x, X„ = 2a

x . + 2 a3u—2Xn

2a.)n_ n = 2 a 3 n _ 3 y n + 2a 3 i i _ 2 y I 1 - 2 a 33o , ( y J J ?"u)> —1VJ D_ 2 a 3 n _ 2 ( l J — X„) — 2a 3n K = 2 a3n-3Vi *a) 3 n _ 3 ( z , — "aJ

Y

— »,)•

Eliminirt man zwischen diesen 3n Gleichungen die 3n — 1 willkürlichen constanten CoelTicienten a,, a s , a J t . . . n3n

t,

so erhält

man die folgende Bedingungsgleichung des Gleichgewichts: ( X , y , - Y, x . ) -(- ( X , y , - Y, x j + . . . + (X„y„ -

Yn x„) = o.

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

31

Der Druck auf den festen Punkt ( x , , y,, z ( ) ist, nach den x und y Axen zerlegt, unmittelbar im Punkte: a.dju, = a , , a . ^ n , =a,, im Punkte ( x s , y , , z j längs der Linie c, : a d

, x s u , = 2a, x , ,

a . d ^ u , = 2a, y s ,

im Punkte (x 4 , y , , z j längs der Linie c , : a d . x u . = 2 a , x 4 , a , d y u, = 2a, y 4 , u. s. w. i » Der ganze Druck auf den Punkt (x,, y ( , z j wird nun, nach den x und y Axen zerlegt: a, + 2a, x , +

2 a , x 4 + . . . + 2a3u_3xB

=

Xt,

a

i + 2a, y , + 2a,y 4 + • . . + 2a S D _ 3 y i I = §)„ Ebenso findet man den Druck auf den Punkt (x,, y,, z j , nach den x und y Axen zerlegt: a. + 2a, x, + 2a 1 0 x 4 + . . . + 2a 3ii _ a x 11 =

X„

+ 2 a , y , + 2o l(> y 4 + . . . + 2a3 n _ 2 y n = 3)5. Hieraus findet man X , + X , + X , + . . . XD = ^ X = X, + X „ Y. + Y, + Y, + . . . Y„ = ZY = 9), + © „ ( Y , - Z, y , ) + (Y, z, - Z , y , ) + . . . (¥„.„ - Z„y D ) = 2 ( Y . _ Z y ) = 9),., + 8 ) , . , , C Z . x . - X . z , ) + ( Z . x , — X , . , ) + • • • (Z„ xD — X , i , ) = S ( Z x — X i ) = —(3£, *, + 3fs i , ) , wo der Symmetrie wegen x,, y,, x,, v, mitgenommen, obgleich sie gleich Null sind. Aus diesen Gleichungen findet man •2"(Zx — Xz) + z, 2X z , - z ,

2"(Zx — Xz) + z . J X 2(Yz

-Zy) z,—

2(\z

z,

- Z y ) - z,2T

Der für beide Punkte (x,, y,, z,) und (x t , y1( z j gemeinschaftliche Druck längs ihrer Verbindungslinie, der z Axe, ist:

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

32

a s d z u s + a . d ^ u , + a,d Z [ U, + a,d Z j U, + a . d ^ u , + a . d ^ u , -f . .. +

a

3„-idz,u3.-i +

a

3n_ld2„U3.-l = a, + 6 = z , + Z, + z

s

+ . . . + z„.

§• 26. Ist der feste Körper gegen mehrere Ebenen oder krumme Flächen gelehnt, so übt er in jedem Berührungspunkte einen auf der Ebene oder der krummen Fläche normalen Druck aus. man durch a 0 ,

Bezeichnet

y0 die Winkel, welche die Normale im Berüh-

rungspunkte (x , y p , z p ) mit den drei Coordinataxen bildet, durch «,,(},, die Winkel, welche die Normale im Berührungspunkte (x , y , z p ) mit den Axen bildet u. s. w., so werden die drei Comi " i i ponenten des Drucks im Punkte (x , y p , z p ) ¿P cos «„ 5 im Punkte (x p , y , z ) k cos«,, X r

wo Ä.,

l

r

cos ß0 , xt cos cos/S,

l

>.

r

cosy,

y0,

u. s. w.,

l

. . willkürliche Grössen sind, nur dass ihr Zeichen im-

mer so angenommen wird, dass der von ihnen dargestellte Druck gegen die berührenden Flächen stattfindet.

Statt der berührenden

Flächen kann man nach § . 1 1 diese Kräfte mit entgegengesetzten Zeichen den gegebenen Kräften zufügen und dann das System als frei betrachten.

Die Gleichungen des §. 23 werden dann:

—X — S i f cos « = o, - Y — 2Vlp cos ß = o. — —ÄH cos y — o, i ( Y . - Z y ) — 2A p (» p cos ß — y p cos y) = o, ~ ( Z \ - — Xz) — - ¿ p ( x p cos y — Zp cos «) = o, — (Xy — Yx) — - ¿ p ( y p cos et — x p cos ß) = o. W e n n nur eine Ebene gegeben ist, welche wir als diejenige der xy Ebene annehmen können, so sind cos y0 = cos y, = . . . = 1, cos a0 = cos a, = . . . — cos ß0 = cos ßl = . . . = o, und die verstehenden Gleichungen des Gleichgewichts werden n u n :

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung. ^ X = o,

SY = o,

21 =

— (Yi - Z y ) =

33

ZXf, -(Zx _ X.) =

^pxp,

• Z ( X y - Y x ) = o, wo alle die Grössen Ap, welche den Druck in jedem Berührungspunkte darstellen, dasselbe Zeichen haben müssen, nämlich das positive, wenn der Körper auf der negativen Seite der xy Ebene liegt, das negative, wenn er auf der positiven Seite dieser Ebene liegt. W i r werden hier den erstem Fall annehmen. Die Bedingungsgleichungen des Gleichgewichts sind erstens 2X = 0,

2Y = o,

— ( X y — Yx) = o,

und zweitens, dass die durch die Gleichungen =

2(Y»-Zy) = - ^

p

y

p

,

2(Zx — Xi) =

2lrxr

bestimmten W e r t h e von Ap, Ap , ¿ p , . . . alle positiv seien. Sind mehr als drei Berührungspunkte oder drei in einer geraden Linie liegende Berührungspunkte gegeben, so werden im erstem Falle nur drei, im letztern nur zwei der Grössen ¿ p , Ap , Äp , . . . T

H

bestimmt werden können, wenn die übrigen willkürlich gewählt sind. c) Gleichgewicht biegsamer Systeme.

§. 27. Es seien (Fig. 7) M , M l f M . M , , M , M 4 , . . . gerade Linien von unveränderlicher Länge, welche sich um ihre Endpunkte ohne Hindernisse drehen können, so dass sie ein biegsames Stück eines Vielecks bilden. An den Punkten M ( , M , , M , , . . . seien die Kräfte • • • angebracht, und halten einander gegenseitig im Gleichgewicht. Man hat alsdann die folgenden n — 1 Verbindungsgleichungen u, = ( x i ", = ( * , u

X

, ) J + ( y i — y , ) ' + (*, — * , ) ' — + ( y , - y . ) 1 + (», - T

—i = (*._I —*.)' + ( y D _ 1 - y l l ) , + ( ^

>

_

1

= \

- *

=

1

O,

, )

,

=

o.

Die Componenten der Kräfte P , , P a , . . . nach den drei Coordinitaxen werden alsdann Lehrbnrb der Hccbanik. 3

34

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung. x

, = 2a,(x, — x , ) , X , = — 2 a , ( x , — x , ) + 2a,(x, — x , ) , X , = —2a,(x, — xs) + 2a,(x, — x j ,

X„ =

-2an_1(xn_1-xn), = 2a.iy.-yJ, Y, = - 2 a 1 ( y 1 - y , ) + 2 a , ( y , - y , ) , Y, = - 2a,(y, - y . ) + 2 a , ( y , - y . ) ,

Y

.,_i = —2aB_2(yn_2 — y n _ I ) + 2an_1(yn_I —y„), Y„ - — 2 a n _ 1 ( y „ _ 1 — y n ) , = 2a,(., — i , ) , Z, = _ 2 a , ( i . - i , ) + 2 a , ( i , - x J ) , Z, = - 2 a , ( » , - « J ) + 2 a J ( » , - x . ) ,

Z.-i

=

Z. =

2an_2(i>_2 2a>1(zD

l

+ 2an_1(»n_1

*„),

* n ).

Eliminirt man zwischen diesen 3n Gleichungen die n — 1 willkürlichen constanten Coelficienten a , , a , , . . . au l , so erhält man die folgenden 2n - f - 1 Bedingungsgleichungen des Gleichgewichts X, + X, + . . . X „ = o, Y, + Y, + . . . Yn = o, '£, + Z, + . . . Z„ = o, _Y._ = y.— y. x , + x , = Y. + Y, = x.-x» y. — y, x, + X, + X, = Y. + Y , + Y , x » — y . —y. =

X. + X. + .. • + x . _ 1

. . — 2> Z. + Z, z» — z « Z, + Z , + Z, = 2» —z. z

Y,+Y, + . . . + ¥ . _ ,

Z, + Z, + ... + Z D _,

z *n_l— y»-!-yn . - l — 2n Die normal auf den Flächen u, = o , u, = o , . . . u n I = o, d.h. längs der Linien r , , r,,.... r n _ , wirkenden Tensionen sind (§.14):

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

35

im Punkte ( x , , y , , z , ) längs r, K

=

a 1 V ( d x u 1 ) » + ( d y i n 1 ) ' + (d I i U 1 )" =

n. , , ' X, im Punkte ( x , , y , , z , ) längs r, X'%

=

'=

Kx; +

a , V ( d x 1 u , ) 1 + (d y 1 u,)> + (d2> u , ) ' =

.

=

-

2a, r,

Y x ]

+ \ ]

Y : + z T - t

l f

2a, r, + Z ]

=

_ t „

irt demselben Punkte längs r , K

=

^VCd^uJ'+id^uJ'+id^uJ' V (X, +

=

X,)ä

=

2a, r ,

+ ( Y , + Y,)> + (Z, + z , ) » =

t„

im Punkte ( x s , y , , z J längs r , K

=

».V(dSiU,)'+(dyiU1)»+(dlin1)T =

-

V(X7+XJ

5

=

— 2a, r,

+ (V, + Y , ) ' + (Z, + Z J 2

=

-

t„

in demselben Punkte längs r , C = =

a.Vid^u,)' +(dyiu,)» + { d t u i y

=

2a, r3

V(X.l+X,+X,)' + (Y1+Y,+Y.)»+(Z1 + Z,+ZJ)' = t„

im Punkte ( x . , y», z „ ) längs r . _ , - 2 a _ , r ,D - l » V ( X , + X , + . . . X._,)» + ( Y , + Y , + . . . Y . ) » + (Z, + Z , + . . . Z J = »o-.V (d^u.,,)» +tdy>un_1)' +(d1>u._I)« =

= -

= - v x ^ + Y : + Z :

=

_tu.

Die Tension t , _ j in einem der Verbindungspunkte (x„, y s , z,) längs der verbindenden Linie r , _ , wird folglich der Resultante aller Kräfte P , , P , , . . . P s _ ,

gleich

aber entgegengesetzt sein,

wenn

diese parallel mit ihren respectiven Richtungen auf den Punkt ( x t , v , , z J wirkten; längs der verbindenden Linie r , wird die Tension t, der Resultante der Kräfte P , , P , , . . . P , gleich sein, wenn diese parallel mit ihren respectiven Richtungen auf den Punkt ( x s , y , , z.) wirkten.

Die Tensionen t, und t , _ , im Punkte ( x , , y , , z s ) werden

folglich immer die Krall P , zur Resultante haben, oder P , wird mit — t. und —

i

m

Gleichgewichte stehen. 3*

36

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung. §. 28. Bezeichnet mau d u r c h « „ ß t , y , die W i n k e l , welche die Linie

r , mit den drei Coordinataxen bildet, durch a , , ßt,

y, die W i n k e l ,

welche die Linie r , mit d e n drei Coordinataxen bildet, so wird x, — x .

=

r, c o s « , ,

y, —

x, — x, = r, cos « , , — Xn =

r

y, =

C0S

n

"n — 1 '

»n-1 — Diese W e r t h e ,

r, cos0,,

z, — i , =

y , — y , = r, cosß,, ^n - 1

=

l

in die Gleichungen

r, cos

yt,

i , — z, = r, cos

Yt,

V-1CO80„_1'

Yn =

C08

y„_r

des vorigen Paragraphen

sub-

stituirt, geben X,

=

2a, (x, —

x5) =

2 a , r , cos a , =

X,

=

— 2a,(x, —

x3) +

—

xs) =

— t, cos«, -f t, cos«,,

X,

=

— 2aJ(x1 —

x,) +

2nJ(xJ —

x.) =

- t . c o s « ,

X„ =

—

2au_,(xn_, —

=

2 a

1

v,

= —

2a,(y, - y

Y

=

—

2a, ( y , -

Y„

=

—

2a„_,(>-„_, —

Z,

=

2a, («, —

Z,

=

— 2a, ( z , —

z j

-I- 2 a , ( z , —

z,) =

—

t, c o s

Z,

=

—

z j

-f 2a3(z3 —

z j

—

t, cos y , +

=

— 2an(zn_, —

s

1

)

=

cosa,.

5

t„_,coscr0_I,

2a,r1cos/s1

= t

1

c o . ^

1

,

) +

2a,(y1 —

y,) =

— t , cos ß , + t , c o s

y.) +

2a, ( y , -

>'.) =

— t , c o s /», +

!

z,) =

2a,(i, —

—

+t

y.

( y , - y

x„) =

t, c o s a , ,

yn) =

—

2a, r, cos

zn) =

t s cos 0 „

t „ _ l c o s /*„_,,

y, = t , c o s y t ,

— t D _ , cos

= y

a

y, + t , c o s y , , t, cos

y,,

«,,

die Gleichungen cos 2 a , + cos 1 /?, + c o s ' y, = J, cos 1 a, + cos 1 jS, + cos 1 y, = 1« „ _ , + cos 1 ßB_t

+ cos' y a _ i =

1.

Man findet dann wie vorher t, = t, =

v[X;+Y:+Z:], V[(X,

+

x,)'

+

(Y, +

r

„

_l.

F e r n e r bestehen noch zwischen den W i n k e l n « , , ßt,

COB'

ßt,

Y,)' +

(Z, +

Z,)'],

....

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung. t, = ^ [ ( X . + X . + X j ' + i Y . + Y . + Y j ' +

37

iZ.+Z.+Z,)'],

und hieraus wieder c o s

«. = T f

+ r , +

=

Y cos ß t =

co

*r>

T

z,

~

t,

=

Y

pf'

=

z,

"

b

Y

T ü r r t r + T f j

1 =

_

z ] ]

z,

v [ X ; + Y : + Z]]~

F,'

x. + x, x ,! + x , cos a , = —— 1 = —pf ; ä—r VT(X , + X , ) + + V,) + (Z, + Z,) ] cos/? Hl

=

L ± I . t.

=

Y

'+

Y

'

,

V^LtX. + X , ) * + (Y. 4-Y,)* + (Z, + Z , ) " ]

X . ^ - C X . + X, +

. . . + X J ,

Y, =

_(¥, +

¥ , + . . . + ¥ „ ) ,

Z, =

- ( Z , + Z, + . . . +

Z„).

Durch diese Gleichungen sind die Richtungen der Verbindungslinien r t , r , , r „ . . . r D _ „ so wie die Kräfte X , , Y , , Z , , welche den Widerstand des Anfangspunktes

des Polygonenstücks

bestimmt, wenn die übrigen Kräfte gegeben sind.

ausdrücken,

Sind ferner die

Längen der Verbindungslinien und die Coordinaten x , , y , , z, des ersten Anfangspunktes bekannt, so findet man die Coordinaten der übrigen Punkte durch die Gleichungen x , = x, — r , c o s « , , y , = y , — r, cos/9,, z, = * , — r, c o s Y t , x , = x, — r, c o s « , — r , cos « , , y 4 = y, — r, cos/J, — r , cos/»,, * , = » , — r, cos r , — r , cos y t , x„ =

x, — r, cos et, — r , cos a, —

yD =

y , — r, COS ß t — r , cos /S, — . . . . — r n _ , cos / ? „ _ , ,

»„

— r , cos y t — r , cos y t —

— r D _ j cos a „ _ , , — r „ _ , cos

Sind beide Endpunkte befestigt, und folglich ihre Coordinaten ( x .> y.» z i)» (xd> y», O

gegeben, so müssen die an den beiden End-

38

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

punkten angebrachten Kräfte P , und P„ oder deren Componenten X , , Y , , Z,, X n , Y„, Z„, welche die Widerstände der beiden festen Endpunkte ausdrücken, den unbekannten Grössen zugezählt werden. Man hat nun die drei bisher unbekannte Grössen x . , y„, z„ weniger, aber statt dessen drei neue unbekannte Grössen X„, Y„, Z„. Man hat jetzt X ,

— x„ = r ( cos «, + r, cos a , + . . . + r B _ , cos « „ _ , ,

y, — y „ = r, cos ß, + r, cos ßt + . . . + r ^ c o s

*,—*« =

r

i

cos

r,

+ r, cos y, + . . . + rn

lcos

yn

l.

Substituirt man hier die Werlhe von cos «,, cos a , , . . . cos ß„

...

so erhält man, um X , , Y , , Z, zu bestimmen, die Gleichungen r,X, I , V i x i + Y j + Zi] ^ V | ( X , + X V

vJ

r,(X, + X . ) 1 SIT I \T v i . , « .11 + (Y, + Y,)a -(- (Z, + Z,)'J

T

• "

r._i(X,+X1 + ...X._,) V [ ( X , + X, + . . . X„ „,) a + (Y, + Y, + . . . Y n _,) a + (Z, + Z, + ... Z„_,)' j =

Y[x*

+

y*

,

T

+ zH

'

__ _ V[(X, +i

i / * r i v

X

i —

r,(Y, + Y . ) +i , (Y, +i vY,) J +i (Z, +. , Z,)"J v , i i

t

' • •

r„-l(Y. + YJ-t-...Yn_1) Y'[(X,+ X, + . . . X n _,) J + (Y, + Y , + ... Yn _ , ) ' + (Z, + Z, + . . . Z n _ 1 ) , j

V[X\

r,Z. • + Yj + Z?J

V[(\,

= y . — y,.> r,(Z, + Z . ) + X,) 1 + (Y, + Y,)' + (Z, + Z,)'] ^ " "

V [ ( X , + X 1 + . . . X n _ 1 ) i + (Y 1 +Y J + . . . Y n _ 1 ) J + ( Z 1 + Z J + . . . Z D _ 1 ) a | = z i — z ii • Um X„, Y n , ZD zu bestimmen, hat man dann die Gleichungen x„ = - ( X

1

+ X , + ...X1,_1), \

und die Winkel

Yn = _ ( ¥ , + ¥ , +

...¥„_,),

= —(Z. + Z , + ... Z . . J , /S,, y , , « , , . . . werden durch die Kräfte X , ,

X J ( . . . Y , , Y j , . . . Z,, Z J ( . . . wie vorher bestimmt werden. Ist das Polygon geschlossen, so braucht man in diesen Gleichungen nur x, — x„ =

o, y, — y, =

o, z, — zn =

o zu setzen,

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung. um dann die Kräfte X , , Y , , Z , und die W i n k e l a„ r u _ i bestimmen zu können.

ßt,

39 a„

yt,

...

Die Componenten der im Verbindungs-

punkte der Linien r , und r . wirkenden Kraft sind X , + X„ = - ( X , + X , +

. . . Xn

Y, + Y „ =

_ ( ¥ , + Y . + ...

Z, +

- ( Z , +

Z, =

¥„_,),

Z , + •••

^B_l)•

§. 2 9 . Sind

die Richtungen aller Kräfte, ausser der auf den beiden

Endpunkten wirkenden, parallel und wählt man das Coordinatensystem so, dass diese Richtung der z A x e parallel wird, so ist X, =

X, =

=

X„_x = Y, = Y, =

... =

Yn_, =

o.

Diese W e r t h e in die Gleichungen des §. 2 7 eingesetzt, giebt die B e dingungsgleichungen des Gleichgewichts X, — X , y . — y.

X, — X , _

x, X, — X ,

y, — y ,

X

o —1

u

X

' " ~ yn_i—yD ~

_

X, v,

z, , z, — z ,

x, .. z . + z , , X, — X , z , — z, x,

Z,

x, D —1 — * o

+ z t — z.

Z . + Z . + .-. +

;

X , + X

0

z

= o ,

„-i —

z

Z ^ , .

¥ , + ¥ „ = 0,

Z, + Z,+

... +

Zm=0.

Aus den ersten dieser Gleichungen geht hervor, dass alle Punkte in einer verticalen E b e n e liegen müssen.

Nimmt man diese Ebene

als diejenige der x und z A x e an, so wird y. =

y, =

• • • = y„ =

Bezeichnet man ferner durch y,,

o,

y, = y0 =

yt,

0.

Winkel,

rB—i

welche die Linien r , , r , , . . . r n _ j mit der z A x e bilden, so wird x

, — =

r

,

—». =

r

sin

.

c 0 8

y.»

—X. =

r.5

—=

r

r

.

sin

Yyt

,COSy,,

x

o_i— * . =

r

._i

» „ - I — * n = „ _ i COS y m _ y r

Die Bedingungsgleichungen des Gleichgewichts werden dann

40

Gesetze d e s Gleichgewichts und der Bewegung. siu y,

cos Yt

x, sin y t

=

z , + z 1 cos y ,

;

X, ^ z , + z, + z,

sin

cos

X,

_ z , + z , +

sinr.-i X,+X

D

...+z„_,

cosyD_1

=o,

Z , + Z , + . . . + Z„ = o,

und hieraus, indem man b e m e r k t , dass, wenn zwei Brüche gleich sind, jeder einem neuen Bruche gleich ist, dessen Zähler die Differenz der Zähler u n d dessen Nenner die Differenz der Nenner ist, ^

1

_

z, cotang y,

Z, cotang y,—cotang colang yu

Z, cotang yi—cotang

y,

— colang ya _ 2

y, = -

cotang yn

_ X...

Multiplicirt man in diesen Brüchen die Zähler und Nenner respective s n

. sin y x >

mit s i n y , , sin y , . sin y , , sin

' yn_ii

so

können

diese Bedingungsgleichungen des Gleichgewichts auch auf die F o r m gebracht werden Z, sin y|

^

_ ^

'".¡n

sill y, sin y, _ ^ sin y. sin y% __ 5 sin(y, — y,j~ sin(y.-y,)

sin 'y u — 2 „ sin 'y I i — 1 ,

r>

~

1

" - ' s i n (y

, —y

T) ~

sin y P— 1. #

rj

y

" . (

~

Die Tension an jedem Ende einer Verbindungslinie r 5 wird dem §. 27 zufolge die Resultante einer horizontalen Kraft ±

X , und der

verticalen Kräfte Z , , Z . , . . . Z s sein, wenn diese im Endpunkte der Linie angebracht werden. t ä = ± V[X]

+ i

Z ] + Z ]

Man hat alsdann +

. . . z / ] = ± Y [ x \ sin ys

+

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

41

Die horizontale Componente der Tension wird folglich überall dieselbe gleich =fc X , =

X „ sein.

Ist das eine Ende des Polygons befestigt, d. h. sind x , und z t bekannte Grössen, sind ferner die Länge der Verbindungslinien r , , r , , . . . rm, so wie die Kräfte Z , , Z , , . . . Z B , X . bekannt, so werden die W i n kel y t , y t , . . . y D _ ! , so wie die Kräfte X , und Z , , welche den Widerstand des festen Punktes ausdrücken, durch die folgenden Gleichungen bestimmt X,

X„,

cotang y

a l

cotang^.,

cotang cotang yy , _

Z, = - ( Z , + Z , + =

...ZJ,

z. yX„

=

Z

- +

Z

-^i + -

Z

'

-

Z. x.

- X,'

und die Lage der Verbindungspunkte durch die Gleichungen x , = x, — r , siny,, i , = i , — r, cosy,, x , = x , — r , siny, — x , s i n y , , = * , — r, c o s y , — r . c o s y , , U. S.

W.

Sind beide Endpunkte des Polygons befestigt, folglich x , , z l t x „ , z„ bekannte Grössen, dagegen X 1 und Z , , X„ und Z a , welche den Widerstand der beiden festen Punkte ausdrücken, unbekannte Grössen, so findet man diese durch die folgenden vier Gleichungen X,+X rix': + z ] \

+

D

= o,

Z.+Z.+Z, + ...+Z„ =

v[x\+Vt+z,)']

+

r

Y[x* +

, r,(Z, + Z . ) V [ x : + (Z. + Z,) 1 ]

+

+

o,

rix:+(z* +'z,+-¿y] n - I

X

'

r , ( Z , + Z . + Z,) + (Z, + z , + z , ) ' ]

Y[x]

V[x] + (Z, + Z, + ...ZD_1)']

•

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

42

Alsdann werden die Winkel y t , y t , . . . y B _ l und die Coordinaten der Verbindungspunkte wie vorher gefunden.

§. 30. W e n n das gegebene System von Punkten eine Schnur von vollkommener Biegsamkeit, von gleichförmigem Gewicht und von unveränderlicher Länge ist, so wird die Linie, welche die Schnur im Zustande des Gleichgewichts bildet, wenn sie an ihren beiden Endpunkten befestigt wird, eine K e t t e n l i n i e genannt.

Um die Gleichung dieser

Linie zu finden, braucht man nur in den im vorigen Paragraphen entwickelten Bedingungsgleichungen

des Gleichgewichts

eines von

parallelen Kräften angegriffenen Polygons die Seiten unendlich klein und die Kräfte dieser Seiten proportional anzunehmen. Bezeichnet man folglich (Fig. 8 ) durch s die Länge eines Bogens der Kettenlinie, durch k das Gewicht einer Längeneinheit, durcli 0

den Winkel, welchen die Tangente im Punkte ( x , z) mit der z-

A x e bildet, so ist r, = ds,

Z, = kds,

*-. = ©,

y

s

_ , = 0 —d©.

Die im vorigen Paragraphen mitgetheilten Bedingungsgleichungen des Gleichgewichts '

~

Z.® s sin 'y •« — —, 11sin y*' • s i n

( > ' , _ , - > ' „ )

werden dann Y

A, woraus ds

=

Y

— An

~ ~

^ _

"

k sin* ©ds jö ,

X, d© k sin a 0 '

i (Ix =

• ©ds r>A sin -

, di =

cos ©ds =

X

6 0

r. 1 - - ; — k sin (y X, cos ©d© ¡-i, k sin 2 ©

Nimmt man den untersten Punkt der Kettenlinie A als Anfangspunkt der Coordinaten an, so ist hier © =

^ • Integrirt man dann

die vorhergehenden Gleichungen in Bezug auf © von ^ erhält man

bis © , so

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung. s =

cotang©, s = £ l o g cotang -•©, * = ^

43

(^T©-

Hieraus ßndet man dann wieder . „ X, ~ Y2kX. z + k J z' 0 0 8 "ne==xpHS' — x r + k i — ' l + cos© X,! + kz+Y2kX,z + k*z» colang6 2¿ 0 = v—— ;—v.— = — sin 0 X, X, X, + k z — y a k X . z + k'z* folglich V'ikX.z + kJz* B= , k x

=

i

,og

nal

(X. + kz+V^kX.z + =

_ i

k ^

log nat ( X . + k z - r z k X . z +

k ^ ,

Hieraus erhält man dann, wenn wie gewöhnlich e die Grundzahl des natürlichen Logarithmensystems bezeichnet, b X, -X, e X | = X, + ki + Y2kX 1 x + k ' l > , k» X, e _ X ' = X, + ki — V2kX, s -f- k ' i ' , und hieraus

ks = V 2 k X , i + k s i ' ,

unter welcher Form gewöhnlich die Gleichung der Kettenlinie dargestellt wird. Es seien jetzt * und j, i , und }, die Coordinaten der beiden Aufhängepunkte, wo r, negativ genommen werden muss, wenn der tiefste Punkt der •Kettenlinie zwischen beiden Auihängepunkten sich befindet. Es sei ferner L die ganze Länge des Fadens, AM, = X , AM„ = L — X , so hat man zwischen den unbekannten Grössen r, j, r,, },, /, X, folgende 6 Gleichungen

44

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

(

iL + ^ T V ' +

i. = - T

, / ÜL ¿_L =

e

x ,

j'

_ —e

r — r , = a, ii = b» wo a und b die horizontale und verticale Projection des Abstanrics beider Aufhängepunkte sind. Eliminirt man j, X , r, und J,, so erhält man zwischen X,' kr und r die zweik(r-a) Gleichungen kr k(r —n)' 1 X | X x, —e —e e ' + e 5

' kr eX| — e

i, J — ~ »k

> >

kr

k(r-a) k(r -••>)' 1 e X, — e Xl +

1

und hieraus wieder

/ Jil

L(t-a)\ x ' J,

b+ L = b

~

L

= T(

VL'-b» =

e

"

X

'-

^ e ^ - e "

e

X

"

5

*

7

'

)'

) .

Um aus dieser Gleichung durch Annäherung X, bequem finden zu können, setze man 2X, — _ p

= tt a n g f t ,

v

X, =

kVL* —b» ^

4 tan

8M»

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

45

so wird die obige Gleichung ,

/

. *

lang (t

—

*

tang

oder :

VITTh»

cotang FT,

e

.

Vt'-b1

cotang /J.

= 2 cotang p.

—e

Es ist aber /

*

colang iL

*

colang u \

/ e

- *

1= ,

, cotang , Vi'-b"

Daher e

cotang u

• colang iL , colang fl Vt'-b» li'-b» „„ — + e = 2 V 1 + cotang» p =

2

wo das positive Wurzelzeichen gewählt werden muss, weil der Ausdruck links nur positive Werthe haben kann. Werden diese beiden Gleichungen addirt, so erhält man : colang /L

. = cotang (i +, -1 — = 1 +: cos"u = cotang l u , ^ sin/u. sin fi oifi

e folglich a

cotang [t = log nat cotang V L —b» 1

oder tang n log nat cotang ifi = wo

a V L' — b J

^ immer kleiner als 1 ist. Aus dieser Gleichung wird

dann [i durch Hülfe der folgenden Tafel gefunden:

46

i*

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung. lang (i X log nat cotang \fi

H>

lang n X

M

log nat colang

tang u X log nat colang

0° 1° 2° 3° 4° 5°

0,000 0,082 0,141 0,190 0,234 0,273

0000 7605 3637 8971 561G 9534

31° 32° 33° 34° 35°

0,770 0,780 0,790 0,799 0,808

6440 5621 1180 3269 1*34

61° 62° 63° 64° 65°

0,954 0,958 0,961 0,964 0,966

7970 0277 1207 0789 9054

6° 7° 8° 9° 10°

0,309 0,343 0,373 0,402 0,424

9209 0870 8817 6276 5760

36° 37° 38° 39° 40°

0,816 0,825 0,832 0,640 0,848

7626 0162 9766 6560 0640

66° 67° 68° 69° 70°

0,969 0,972 0,974 0,976 0,979

6020 1722 6174 9402 1419

11° 12° 13° 14° 15°

0,454 0,478 0,501 0,522 0,543

9278 8481 4738 9216 2910

41° 42° 43° 44° 45°

0,855 0,862 0,868 0,875 0,881

2110 1070 7606 1800 3736

71° 72° 73° 74° 75°

0,981 0,983 0,985 0,986 0,988

2250 1919 0420 7800 4044

16° 17° 18° 19° 20°

0,562 0,581 0,598 0,615 0,631

6683 1289 7393 5587 6396

46° 47° 48° 49° 50°

0,887 0,893 0,MJ8 0,904 0,909

3486 1120 6714 0318 2008

76° 77° 78° 79° 80°

0,989 0,991 0,992 0,993 0,994

9190 3230 6192 8070 8897

21° 22° 23° 24° 25®

0,647 0,661 0,675 0,689 0,702

0293 7701 9013 4576 4710

51° 52° 53° 54° 55°

0,914 0,918 0,923 0,928 0,932

1824 9828 6072 0606 3472

81° 82° 83° 84° 85°

0,995 0,996 0,997 0,998 0,998

8632 7367 5047 1089 7277

26° 27° 2S° 29° 30°

0,714 0,726 0,738 0,749 0,760

9713 9850 5717 6504 3460

56° 57° 58° 59° 60°

0,936 0,940 0,944 0,947 0,951

4720 4379 2500 9120 4259

86° 87° 88° 89° 90°

0,999 0,999 0,999 0,999 1,000

1860 5426 7957 9552 0000

W e n n aus dieser Tafel n durch Interpolation mit hinlänglicher Genauigkeit gefunden ist, so findet man X, =

tang p Y L * — b%

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung. * = x [ 1 o 6 ( L + •») e

log^ X

X

'-e

log

-

e

47

x

'J,

wodurch die Lage des tiefsten Punktes der Kettenlinie bestimmt ist. Bezeichnet man die Spannung im Punkte (x, z) durch t, so ist, weil die horizontale Componente dieser Spannung überall gleich X , ist, t sin @ = X , , folglich 1 =

¡[¡HS

und weil

=

X.Vl+cotaug'©,

X b = - p cotang © , K x ; +k,aI.

t =

Die verticale Componente der Spannung ist alsdann, was auch aus dem §. 29 hervorgeht, gleich ks, d. h. gleich dem Gewicht der Schnur vom Punkte (x, z) bis zum niedrigsten Punkte. =

*

daher

k

tGÏÏTI©-0'

' +

und

Es ist ferner

x

-

-ffirfe

t = ki + X , ,

wodurch die Spannung in jedem Punkte am einfachsten ausgedrückt ist. Bezeichnet man den Krümmungshalbmesser der Keltenlinie im Punkte (x, z) durch B, so ist, wie bekannt R

-l

=

1

+ < d .*> , ] f

=

dix

( J .»>' d*x '

Es ist aber bei der Kettenlinie 8

daher

= Tcotanß® = sd.x =

-f,

S ^ '

48

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

und durch Differentiation d 2 b . dj x +

sd' x =

o,

oder, wenn der W e r t h von s substituirt wird, a,..(d1x)i + ^ . d , , x = Es ist aber

dj x =

o.

d z s . sin © ,

daher tdjX =

dzs.t.sin© =

Xjdjg,

i B ) j + Dieser W e r t h von d t^x ( d substituirt, giebt = V *

o,

7

oder

d.'x

~

kX,'

und folglich der Krümmungshalbmesser der Kettenlinie R =

k sXi"n ' ö

kX,

Im tiefsten Punkte der Kettenlinie ist © =

daher

Die horizontale Spannung der Kettenlinie ist nun das Gewicht eines Theils der Kette, deren Länge gleich dem Krümmungshalbmesser des tiefsten Punktes ist. W i r haben vorher gefunden Y • Y

/

Ü

Entwickelt man hier die Exponentialgrösscn in Reihen, so erhält man k

k V

2X?

2.3.4.XÎ

(V1 x* ,

J k*x'

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

49

F ü r sehr kleine W e r t h e von z , d. h. in der Nähe des Scheitels, wird alsdann x* =

2^-",

oder in der Nähe des Scheitels nähert sich die Kettenlinie einer PaX rabel, deren halber Parameter gleich ist. §• 31. W i r werden jetzt die Theorie des Gleichgewichts einer Kette untersuchen, wenn sie durch dicht an einander gereihete Hängestangen mit einer horizontalen Brücke verbunden i s t Eine solche Brücke wird e i n e K e t t e n b r ü c k e genannt. Gewöhnlich kann man das Gewicht der Kette und der Hängestangen ganz ausser Acht lassen und hat nur das Gewicht der Brücke in Betracht zu ziehen. Bezeichnet man durch k das Gewicht einer Längeneinheit der Brücke, so wird im §. 29

y.-i=0

r, = dB, Z, = kdx, r.-Q,

—d0'

folglich, wenn man diese W e r t h e in die Gleichgewichtsgleichung des §. 29 X, = substituirt,

Z. sin y 1 . sin y .». / — 1?

s"> (;;_,—r.)

_

Y

Y A

und hieraus A

dx

X

.

d

_ .

X„

k sin* 0 . dx d© '

®

T s O T

d . = d x . c o t a n0g 0 = _ X , . d ^ c o l a1 o g © . k »in 0 Nimmt man den untersten Punkt A (Fig. 9 ) der Kette, 0 =

wo

als Anfangspunkt des Coordinatensystems an, und integrirt

diese Gleichungen in Bezug auf 0 von ^ bis 0 , so wird X x = -ji-cotang©, und wenn 0 eliminirt wird, Lfhrbuch der Mechanik.

X t = ^

cotang'0, A

50

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegang. ,

2X, = -¡r1' was die Gleichung einer Parabel ist. Die Kette einer Keltenbrücke wird folglich, wenn das Gewicht der Ketten und Hängestangen vernachlässigt wird, eine Parabel werden, deren halber Parameter X gleich ivird. x

Es seien r, j , — i , . J, die Coordinatcn der beiden Aufhängepunkte, wo — v immer negativ genommen wird, so sind j, j, und r -J- r , als bekannte Grössen anzunehmen, und man bat dann, um die unbekannten Grössen r, r , , X , zu bestimmen, die drei Gleichungen 2X, , r = -¡T^ 2X, r, =

-¡r«.'

r + r, =

I-,

wo L die Länge der Brücke unter den beiden Aufhiingepunkten bezeichnet.

Hieraus findet man I, r =

1 », ,

+

r

'

=

kk LI 2

X. =

—

vt+VT:

VT + V77)' ' ( v n - r a

1

'

durch weiche Gleichungen die Längen der Hängeslangen, die Lage des tiefsten Punktes der Kette und die horizontale Componenle der Spannung der Kette bestimmt sind. Die Spannung im Punkte (x, z) wird durch die Gleichung 1

= iiïTS =

bestimmt.

Vi+colang'0 =

+

Die verticale Componente der Spannung wird non, wie

auch voraus bekannt war, dem Gewicht der zwischen dem Punkte (x, z) und dem tiefsten Punkte der Kette hangende Theil der Brücke gleich sein.

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

51

§. 32. W i r werden jetzt zu den allgemeinen Formeln der §§. 27 und 2 8 , welche die Bedingungen des Gleichgewichts eines von beliebigen Krallen angegriffenen Seilpolygons bezeichnen, zurückkehren und diese auf den Fall anwenden, dass alle Kräfte P , , P t , . . . P J 1 _ 1 die entsprechenden Polygonwinkel halbiren. Weil in jedem Punkte (x j t y t , z j die Kraft P , die Resultante der beiden Spannungen t i — 1 und t t ist, so wird, wenn die Kraft P , mit beiden gleiche Winkel bildet = l.-i Die Spannung wird nun überall im Polygon gleich sein, und gleich der auf den beiden Endpunkten wirkenden gleich grossen Kräfte P, und PD. Bezeichnet man durch u i den Polygonwinkel im Punkte (x g , y t , z j , so wird ferner, weil P t die Resultante von t j und t g l ist, P ( : sin u = t f : sin j u , daher

_ t.. sin u P, = *. , = 2t cos i u . • sin 4 u • Sind die Seiten r t und r a l einander gleich, und bezeichnet

man durch R, den Halbmesser des Kreises, welcher durch den Punkt (x,, y,, z j und die auf jeder Seite nächsten Punkte des Polygons sich beschreiben lässt, so ist r t = 2R, cos j n , folglich P -

kl- R ~

ilh R,

§. 33. Sind die Verbindungspunkte des in den §§. 27, 28 und 29 behandelten Polygons noch dazu genöthigt, sich auf einer gegebenen Fläche, deren Gleichung U = o ist, zu befinden, so hat man folglich noch die Verbindungsgleichung U = o. In den vorigen Gleichungen des Gleichgewichts wird man nun zu den Werthen von 4*

52

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

X , Y , Z

noch respective die Grössen a d U, a d v U, a d

L

hinzufügen, oder, was dasselbe ist, statt X j t Y s , Z t respective Xg — a Dd

U,' Y S — a • d „J,U , Z • — a " dZl, l setzen müssen.

Ausser den

Spannungen in den Seiten des Polygons, welche dieselben Werthe wie vorher erhalten, wird noch in jedem Punkte x s , y s , zg ein auf der Fläche U = o normaler Druck stattfinden. Bezeichnet man diesen Druck durch N s , so ist a

N. = Wenn man durch

„ V'[( d x •U)' + ( d y' 8u ) ' + ( d * SU) 2 J. v s die Winkel bezeichnet, welche die Nor-

male mit den Coordinataxen bildet, folglich cogA

°

06

y i

= d

V K x ) + (dy U>J

'

U 2

•

'S

8

d U C O » IL

=

i

,

's C09

„— ,

U) J + (d U)' + (dz U) a J

'

s

K [ ( d x U ) a + ( d*,y u / + («l, U) 2 ]' d

u

so wird a d, U = N cos X , a d„ U = N coe u, , a (1,U = N cos v n x_> s S ' Q V S ' U Z A » K a In die Gleichungen der §§. 27, 28, 29 muss man nun statt X t , Yt, Zt Y« — N S cos u I *, ZS — NS cos kS setzen. die Grössen X S — N• cos A., • 7

1

Dasselbe gilt von den Gleichungen einer schweren Schnur, welche in den §§. 30, 31, 32 entwickelt worden sind, wenn diese Schnur auf der Oberfläche U — o zu bleiben genöthigt ist. Werden diese Substitutionen ausgeführt, so erhält man aus den Gleichungen des §. 28 die folgenden X,—N1cosAi = l^oso,, X , — N, cos Zt = — t, cos a , + t, co6 a , , X , — N, cos l t = — t j cos a , + t s c o s »

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

53

— N„ cos l m = — t B _ , cos Y, =

t.d^y,,

Z, =

t.d,»,,

X, + X o —JiN cos /ds = o, Y, + Yn —J*N cos juds = o, Z, + Zn —/Neos j/ds = o. Aus den drei ersten dieser Gleichungen erhält man, wenn man in Bezug auf s differentiirt, dS t . d 9 x + t d•' x = —Neos;., 1

1

J

d > t . d t y + td g y =

— N cob (i.

1

d t . d i + td 1 = k — N cos y. s • • • Multiplicirt man diese Gleichungen der Reihe nach mit d^x, dgy, d t z, addirt sie dann und bemerkt, dass, weil (d i x) s + ( d s y ) 1 + ( d i x ) ' = 1, 2 = so erhält man d , x . d, x -f d . y . d.'y + d s « • d^t = kd a i — N(cos ¿d s x -f- cos m \ y + cos j'd > i).

Es ist aber, weil l, [t, v die Richtung der Normale angeben, cos Adgx + cos ftd s y + cos yd s i = o, daher d8t = k5 di. Wählt man den Anfangspunkt der Coordinaten in einem Punkte der Kettenlinie, wo diese Tangente horizontal ist, und bezeichnet die Tension in diesem Punkte durch t s , so erhält man durch Integration t = kx + t 0 . §. 35. Ist die Schnur ohne Schwere und über eine krumme Fläche gespannt, und diese so geformt, dass die Schnur überall der Fläche folgen kann, so wird in den Gleichungen des vorigen Paragraphen k = o. Man erhält alsdann «• = t „ d. h. die Spannung ist überall constant. Ferner erhält man, weil

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

55

( d . x ) » + ( d y ) ' + ( d . . ) > = 1, t = und, wen d t t =

vx:

o,

+

Y:+Z;,

t d ' x + N cos X = o, t d ' y 4- N cos fi = o, t d ' x + N cos v = o. Hieraus erhält man dann wieder d.'x = d ^ = cös~T COS ft COS V d. h. der Krümmungshalbmesser der Kurve fällt mit der Normale der Fläche zusammen. Man erhält ferner, weil cos* X + cos 9 /* cos' v = i , t ' K d . ' ^ + i d . V + i d . V ] = N\ Bezeichnet man durch R den Krümmungshalbmesser der Kurve, so ist r>

i

=

,

daher

oder der normale Druck ist der Krümmung -g- proportional, welches mit dem §. 32 übereinstimmt.

CAP. V.

Reduction der Krlfte. §. 36. Wenn mehrere Kräfte auf verschiedene Punkte eines Systems wirken und nicht im Gleichgewicht sind, kann man, um sie in jedem Augenblick zu den wenigst möglichen Kräften zu reduciren, das System in diesem Augenblick als fest betrachten. Die Bedingungen des Gleichgewichts eines festen Körpers waren nach §. 23 2 X = o, ZY = o, ZZ = o, -(Yz - Zy) = o, 2 ( Z s - Xi) = o, —(Xy — Yx) = o.

56

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

Nehmen wir jetzt an, diese Gleichungen finden nicht statt, folglich auch nicht das Gleichgewicht, so kann dieses augenscheinlich immer hergestellt werden, wenn man drei neue Kralle von unbestimmter Grösse und Richtung hinzufügt. Man hat alsdann 6 Gleichungen und 12 willkürliche Grössen, nämlich die sechs Componenten der beiden Kräfte und die sechs Coordinaten ihrer Angriffspunkte, wovon sechs immer so bestimmt werden können, dass sie den sechs obigen Gleichungen genügen. Es wird alsdann Gleichgewicht stattfinden, und die gegebenen Kräfte können nun zu zwei jenen Kräften gleiche, aber entgegengesetzten Kräften reducirt werden. Von den sechs Coordinaten der Angriffspunkte beider Kräfte muss bei jedem Punkte die eine unbestimmt verbleiben, weil der Angriffspunkt einer Kraft willkürlich in der Richtung der Kraft gewählt werden kann. Unter gewissen Umständen kann auch e i n e neue Kraft zureichen, um Gleichgcwicht hervorzubringen, und alle die gegebenen Kräfte haben dann eine dieser Kraft gleiche, aber entgegengesetzte Resultantkraft. W i r werden diesen letzten Fall zuerst untersuchen. Es sei die Resultante aller Kräfte R, ihre Componenten X, Y, Z und die Coordinaten eines Punktes in ihrer Richtung, welcher als der Angriffspunkt angesehen werden kann, x, y, x, so wird eine in diesem Punkte wirkende Kraft — R , deren Componenten — A', — Y, — Z sind, die gegebenen Kräfte in Gleichgewicht halten, und man hat alsdann die Gleichungen

2X — X = o, ZY Y = o, 2Z — Z= o, Vi — Zy) — ( Fz — Zy) = o, Zx — X») — (Zx — Xz) = o, Z(Xy — Yx) — (Xy — Yx) = o. Eliminirt man zwischen den drei letzten Gleichungen die Coordinaten x, y, z, so erhält man

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

57

XZ(Y. — Zy) + Y2(Zx — X.) + Z2(Xj - Yx) = o, oder, wenn man die Werthe von X, Y, Z aus den drei ersten Gleichungen substituirt, 2 X . 2 ( Y « — Zy) + -2Y. ^ ( Z x — X») + T L . ^ ( X y — Yx) = o. Dieses ist dann die Bedingungsgleichung, welche zwischen den gegebenen Grössen stattfinden muss, wenn die Kräfte Gleichgewicht haben sollen.

Die Grösse und Neigung dieser Resultante ist dann

durch die Gleichung

X = 2X,

Y = -SY, Z =

21

bestimmt; um ihre Richtung zu finden, kann man die Lage der Punkte suchen, in welchen sie die drei Coordinatenebenen schneidet. Im Durchschnittspunkte mit der xy Ebene ist z = o, und daher „ _ 2(Zx —Xz) x V2 '

y

_

^(Yz-Zy) ¿z '

im Durchschnittspunkte mit der xz Ebene ist y — o, und * =

•S(Xy-Yx)

2Y

'

*

=

^(Yz - Zy) 2Y '

im Durchschnittspunkte mit der yz Ebene ist x = o, und 2(Xy-Yx) _ -£(Zx-Xz) 5 y = 2X ' 2X In der Richtung dieser Linie kann alsdann der Angriffspunkt der Resultante R beliebig gewählt werden. Im Allgemeinen haben die Kräfte eine Resultante, wenn die eben entwickelte Bedingungsgleichung

2X. Z(Yz — Zy) + 2 Y . 2 ( Z x — X i ) + IZ . 2 ( X y — Yx) = o stattfindet, und wir haben gezeigt, wie man alsdann die Grösse und Richtung dieser Resultante finden kann. eine Ausnahme, wenn nämlich

Diese Regel hat indessen

= o, SY = o, - Z = o. Alsdann

wird der obigen Bcdingungsgleichung Genüge geleistet, die Kräfte haken aber doch keine Resultante. Es würde nämlich alsdann im Durchschnittspunkte dieser Resultante mit der xy Ebene, weil ZZ = x =

oo,

yz=oo

o,

werden, d.h. die Resultante würde parallel mit

der xy Ebene sein. Ebenso würde sie auch, weil Z Y — o, T L =

o,

58

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

parallel mit der xz Ebene und yz Ebene sein, was voraussetzt, dass sie unendlich weit von allen Ebenen entfernt ist, d. h. gar nicht existirt. Die Bedingungsgleichung, dass die Kräfte eine Resultante haben, 2X . 2(Yi - Zy) +

Y(—Zx _ x « ) + 2Z(2Xy

~ Yx) = o,

wird immer erfüllt, wenn die Kräfte in einer Ebene liegen.

Denn

es sei diese die xy Ebene, so w erden alle Z und z gleich Null, und daher die obige Gleichung identisch Null. Kräfte in einer Ebene haben folglich immer eine Resultante, wenn nicht zugleich ^ X = o, 2 Y = o, 2Z = o. §. 37. W e n n die Kräfte parallel sind und «, ß, y die Winkel bezeichnen, welche sie mit den Axen bilden, so wird X = P cos«, 2X

= cos « 2 P ,

Y = P cos ß, 2Y

= cos ßZP,

Z = P cos y, 21

=

COR

>2P,

also wird die Bedingungsgleichung, dass die Kräfte eine Resultante haben, wenn man mit ~ P dividirt, cos ai[P(»

cos ß — y cos y)] + cos /S.SfPix cos y — i cos «)] + cos ^ [ P i y cos « — x cos /S)] = o,

welche Gleichung identisch ist. Parallele Kräfte werden daher immer eine Resultante haben, mit der einzigen Ausnahme, wenn - X = o, 2 Y = o, 2 Z = o, oder, was dasselbe wird, 2 T = o. In diesem letzten Falle werden die Kräfte keine Resultantenkraft haben können, und sie werden auch nicht im Gleichgewicht sein, wenn nicht zugleich cos ß — y cos y) = o,

^ P ( x cos y — i cos a ) =

2 P ( y cos a — x cos ß) =

o,

o.

Ist dagegen nicht .SP = o , so werden die Kräfte immer eine Resultantenkraft haben. Um die Grösse und Neigung dieser Resultante zu bestimmen, bat man die Gleichungen X = cos a2P, Y = cos ß2P. Z = cos y2P.

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

59

Die Resultante R wird daher gleich -SP und parallel mit den parallelen Kräften sein. Die Lage der Resultante wird durch die drei Gleichungen COB jS^Pi — CO» y2Py = (cos ß * — cos y y>5P, cos y2Px — cob a-2"Pi = (cos y x — cob y z)-2P, cos aSPy — cob ß2Px = (cos a y — cos ß x)2P, bestimmt, unter welchen Gleichungen die eine von den beiden andern abhängig ist Man kann hier x einen beliebigen Werth geben und dann die entsprechenden Werthe von y und z finden. Setzt man **

so wird

-~

y = s

SP^ ITy J P z

"ip"' und die Lage dieses Punktes der Resultante ist dann von der Richtung der Kräfte unabhängig. §• 38. Sind der parallelen Kräfte nur zwei, P, und P , , so wird _ P,x,+P,i, ~ P, + P, ' „ = p.y. + p . y . , y p. + p, '

Nimmt man den einen des Coordinatensystems punkten als x Axe an, x. = y, = *. = daher

_ P,z, + P , z , p. + p, Wirkepunkt A (Fig. 10) zum Anfangspunkt und die Linie AR zwischen beiden Wirkeso wird y, = », = o, x , = AB, x = AC,

AC oder

y = s =

o,

P» A B - L^AB, P, + P, ~~ R

P, : AC = P , : BC = R : AB,

60

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

d. h. die Resultante zwischen

zweier

parallelen

beiden Wirkepunkten

beiden gegebenen schen

den

Linie

ist.

beiden

theilt die gerade

so, dass jede

und die Resultante, andern

Kräfte

Kräften

der drei Kräfte,

proportional liegenden

Linie

mit dem

Theil

der

die zwi-

geraden

Sind die Kräfte gleich, P , = P , , so wird AC = CB, oder die Resultante füllt in die Mitte zwischen beiden Kräften. Ist eine der Kräfte, z . B . P , negativ (Fig. 11), so wird jene Proportion noch bestehen.

Der Wirkepunkt der Resultante wird

nun in die Verlängerung der Linie AB zur Seite der grössern Krall, in der Figur P 2 , fallen, und die Resultante gleich dem Unterschied beider Kräfte sein, und in demselben Sinne wie die grössere Kraft P , wirken. Sind beide Kräfte P ( und P , gleich, wirken aber im entgegengesetzten Sinne und in verschiedenen Punkten, so ist ~ P =

o,

und sie haben dann keine Resultante und sind auch nicht im Gleichgewicht.

Sie können folglich alsdann nicht weiter reducirt werden.

Dass beide Kräfte in diesem Falle keine Resultante haben können, daher auch nicht durch eine einzige Kraft im Gleichgewicht zu halten sind, kann auch auf die folgende indirecte Weise bewiesen werden. Es seien P und — P (Fig. 12) zwei gleiche, parallele, im entgegengesetzten Sinne wirkende Kräfte. Nähme man an, sie würden durch irgend eine Kraft S im Gleichgewicht gehalten, so kann man immer auf der entgegengesetzten Seite von AB eine Kraft T annehmen, so dass T = S, T

S und AD = BE. Alsdann wäre die Figur (P,

— P, S) vollkommen congruent mit der Figur (— P , P, T), und folglich, wenn die Kräfte P, — P, S im Gleichgewicht wären, müssteu auch die Kräfte — P, P und T im Gleichgewicht sein.

Bringt man jetzt

in D eine der T entgegengesetzte und gleiche Kraft U an, so werden T und U im Gleichgewicht sein; es sind aber S, — P, P im Gleichgewicht , daher würden auch die fünf Kräfte S, — P, P, T , U im Gleichgewicht sein, und weil — P , P , T im Gleichgewicht sind, müssten auch S und U im Gleicbgcwicht unter einander sein.

Dies

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

61

ist aber unmöglich, weil S und U parallel sind und in demselben Sinne wirken, folglich eine Resultante in diesem Sinne Haben. Es ist daher auch unmöglich, dass zwei parallele im entgegengesetzten Sinne und auf verschiedene Punkte wirkende Kräfte durch irgend eine Kraft im Gleichgewicht gehalten werden können, und sie können alsdann auch keine Resultante haben. Zwei solche Kräfte, welche nicht durch irgend eine Kraft ersetzt werden können, wird ein K r a f t e p a a r oder auch schlechthin ein P a a r genannt. §. 39. Ehe wir weiter die Reduction beliebiger Kräfte, welche auf einen festen Körper wirken, untersuchen, werden wir erst die Theorie der Kräftepaare genauer entwickeln. Es sei (Fig. 13) (P, — P ) ein Kräftepaar, so wird die Linie AB zwischen den Angriffspunkten der beiden Kräfte der A r m des Paares, der senkrechte Abstand beider parallelen Kräfte AC die Breite des Paares genannt. Da man den Angriffspunkt der Kraft — P in ihrer Richtung beliebig verlegen kann, so kann man C als ihren Angriffspunkt annehmen und die Breite wird alsdann auch der Arm des Paares. Das Paar wird alsdann r e c h t w i n k l i g genannt Die durch den Arm und beide Kräfte gehende Ebene wird die E b e n e des P a a r e s genannt.

Ein Kräftepaar kann in seiner Ebene oder in einer mit dieser parallelen Ebene beliebig versetzt werden, wenn es nur immer den Arm nach derselben Seite zu drehen strebt und die neuen Angriffspunkte mit den vorigen fest verbunden sind. Um diesen Satz, welcher in Bezug auf die Kräftepaare das nämlich ist, was für eine einzelne Kraft die willkürliche Verlegung des Angriffspunktes in der Richtungslinie der Kraft ist, zu beweisen, kann man ihn erst für den Fall beweisen, dass der neue Arm mit dem vorigen parallel ist, und dann, dass das eine Kräftepaar in seiner Ebene um den Mittelpunkt des Armes beliebig gedreht werden kann. Um den ersten Satz zu beweisen, sei (Fig. 14) (P, — P ) am

62

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

Arme AB das gegebene Kräftepaar, (Q, — Q) am Arme CD das neue Kräftepaar, AB = und 4= CD, P = und Q, und AB und CD fest verbunden. Man ziehe die Linien BC und AD, so werden die Dreiecke Ä ß E und DCE congruent sein, und folglich wird der Punkt E der gemeinschaftliche Mittelpunkt beider Linien AD und BC. In den Punkten C und D füge man noch die Kräfte S , — S hinzu, welche den Kräften — Q, Q respective gleich, aber entgegengesetzt sind. Die Kräfte 0» — Q» S, — S werden dann einander im Gleichgewicht halten. Statt des Paares (P, — P) kann man nun die sechs Kräfte P, — P, Q, — Q, S, — S setzen. Die Kräfte P und S sind jetzt gleich und wirken in derselben Richtung auf die Enden der geraden Linie A D , sie werden daher eine Resultante R = 2P in der Mitte E der Linie AD wirkend haben. Ebenso werden die Kräfte — P und — S eine im Punkte E wirkende Resultante — R haben. Diese beiden Kräfte R und — R heben einander aber auf, und die vier Kräfte P, — P, S, — S halten folglich einander im Gleichgewicht. Statt der sechs Kräfte P, — P, Q , — Q, S, — S können also die zwei Q , — Q gesetzt werden, und es kann daher auch statt des Kräftepaares (P, — P) das neue Kräftepaar (Q, — Q) gesetzt werden, w. z. b. w. Um den zweiten Satz, dass ein Kräftepaar in seiner Ebene um den Mittelpunkt des Armes beliebig gedreht werden kann, zu beweisen, sei (Fig. 15) (P, — P ) am Arme AB das gegebene Kräftepaar, (Q, — Q ) am Arme CD das neue, und P = Q , AB = CD, G der gemeinschaftliche Mittelpunkt der beiden Arme. Li den Punkten C und D füge man noch die Kräfte S, — S hinzu, welche den Kräften — Q und Q respective gleich, aber entgegengesetzt sind. Statt des Paares (P, — P) kann man dann die sechs Kräfte P, — P, Q, — 0» S, — S setzen. Die Verlängerungen der Kräfte — S und P werden einander in einem Punkt E schneiden, welcher folglich als ihr gemeinschaftlicher Angriffspunkt angesehen werden kann; die Verlängerungen der Kräfte S und — P werden einander ebenfalls in einem Ptankte F schneiden, welcher gleichfalls als ihr gemein-

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

63

schädlicher Angriffspunkt asgesehen werden kann. Weil die Dreiecke DEG und AEG congruent sind, wird die Linie EG den Winkel DEA halbiren, und da die Kräfte — S und P gleich sind, wird ihre Resultante längs der Linie FG fallen; ebenso findet man, dass die Resultante von P und — S längs der Linie FG fallen wird. Diese beiden Resultanten werden ferner auch gleich sein, und die Linien EG und GF, welche ihre Richtungen angeben, eine gerade Linie bilden, weil sie die Scheitelwinkel DGA und BGC respective halbiren. Jene Resultanten und die vier Kräfte P, — P, S, — S werden einander im Gleichgewicht halten. Statt der sechs Kräfte P, — P, Q , — Q , S, — S kann man die zwei Q, — Q setzen, und es kann daher auch statt des gegebenen Kräftepaars (P, — P) das neue (Q, — Q ) gesetzt werden. Aus diesen beiden Sätzen folgt dann unmittelbar der Hauptsatz dieses Paragraphen, dass ein Kräftepaar in seiner Ebene oder in parallelen Ebenen beliebig verschoben werden kann. §• 40. Das Product aus der Breite eines Kräftepaares in die Intensität einer der Seitenkräfte wird das M o m e n t des Paares genannt

Zwei Paare von gleichen Momenten, welche in derselben oder in parallelen Ebenen in entgegengesetztem Sinne wirken, halten einander im Gleichgewicht. Es sei (Fig. 16) (P, — P) das eine Paar, AB seine Breite, (Q, — Q) das zweite in entgegengesetzter Richtung wirkende Paar, welches so versetzt werden kann, dass seine Breite BG die Verlängerung derjenigen des erstem Paares bildet Nach der Annahme ist P.AB = Q.BC. Es werden alsdann die Kräfte — P u n d — Q zu einer Kraft — R = — ( P - f - Q ) in B wirkend zusammengesetzt werden können, und die zwei Kräfte P und Q zu einer Kraft R = (P + 0 ) . welche auch in B wirken wird, weil wegen P . A B = Q . B C , P : BC = Q : AB ist. Die Kräfte R und - R heben aber einander auf, und die Kräftepaare (P, — P) und (Q, — Q) smd folglich im Gleichgewicht.

64

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

Zwei Kräftepaare von gleichen Momenten, welche in derselben oder in parallelen Ebenen und im gleichen Sinne wirken, können statt einander gesetzt werden und sind folglich gleichgeltend. Denn es seien (Fig. 1 7 ) ( P , — P ) und ( S , — S ) die beiden Kräftepaare, und man bringe in C und D die Kräfte — Q und Q an, welche S und — S gleich und respective entgegengesetzt sind, so werden (Q, — Q) und (S, — S) einander im Gleichgewicht halten. Es halten aber wegen des vorhergehenden Satzes auch (P, — P) und (Q, — Q ) einander im Gleichgewicht; die Kräftepaare (P, — P) und (S, — S) sind deshalb gleichgeltend. §• 41.

Wenn die Breiten beider Kräftepaare gleich sind, so sind ihre Wirkungen den Seitenkräften proportional. E s seien (Fig. 18) (P, — P) am rechtwinkligen Arme A B und (Q, — Q) am rechtwinkligen Arme CD, wo CD =

A B , die beiden

gegebenen Paare; es soll nun bewiesen werden, dass (P,-P):(Q,-Q)

=

P:Q.

W i r werden diesen Satz erst für den Fall beweisen, dass die Kräfte P und Q commensurabel sind. schaftliches Maass, und

P = Q =

SO wird

P :Q =

E s sei alsdann p ihr gemein-

mxp, r X p ,

in : r.

Die Kraft P kann jetzt in m Kräfte, jede gleich p und in A angebracht, zerlegt werden; ebenso kann — P in m Kräfte, jede gleich — p und in B angebracht, zerlegt werden, und das Paar (P, — P) ist dadurch in m Kräftepaare, jedes gleich (p, — p ) , zerlegt. E s ist daher (P, - P )

=

m X (p, - p ) .

Ebenso wird das Paar (Q, — Q) in r Kräftepaare, jedes gleich (p, — p) zerlegt, folglich E s wird alsdann

(Q> - Q ) = r X ( p , - p ) . (P, — P ) : (Q, — Q ) = m : r,

daher auch

(P, — P ) : (Q, — Q ) =

P : Q,

w. z. b. w.

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

65

Es seien jetzt P und Q incommensurabel. Der Beweis wird dann indirect ganz auf die Weise wie die in der elementaren Mathematik häufig vorkommenden analogen Beweise geführt werden können. Aus diesem und dem vorhergehenden Satz folgt dann der folgende: Die Kräftepaare sind ihren Momenten proportional. Denn es seien (Fig. 19) (P, — P) am rechtwinkligen Arme AB und (Q, — Q) am rechtwinkligen Arme CD die gegebenen Kräftepaare , so kann man ein drittes rechtwinkliges Paar (R, — R) am Arme E F construiré», so dass EF = AB und R . E F = Q.CD, daher (Q, - Q ) = (R, — R). Es ist alsdann (P, — P):(R, — R) = P : R = P.AB :R.AB, (R, —R) = (Q, —Q), R.AB = R.EF = Q.CD, folglich (P, —P):(Q, —Q) = P . A B : Q . C D , w. z. b. w. §. 42. Die Kräftepaare lassen sich durch Linien ebenso darstellen wie einzelne Kräfte. Errichtet man nämlich auf der Ebene eines Paares ein seinem Moment proportionales Loth, welches die A x e des K r ä f t e p a a r e s heisse, so wird diese Axe durch ihre Richtung die Richtung der Ebene und durch ihre Grösse das Moment des Kräftepaares bezeichnen. Wird ferner angenommen, dass die Drehung, welche ein Paar zu bewirken strebt, einem in dem Endpunkte der Axe befindlichen, nach einem der Angriffspunkte hinblickenden Auge immer in demselben Sinne, etwa von der Linken zur Rechten, fortgehend erscheinen soll, so ist durch die Axe auch der Sinn des Kräftepaares gehörig dargestellt. Ein Kräftepaar wird dann wie eine einzelne Kraft durch einen im Endpunkte der Axe geschriebenen Buchstaben bezeichnet. Sind mehrere Kräftepaare gegeben, so können alle ihre Ebenen parallel mit ihren ursprünglichen Stellungen durch einen gemeinschaftlichen Punkt gelegt werden, welcher dann zum gemeinschaftlichen Anfangspunkt aller Axen angenommen werden kann. Die Kräftepaare werden alsdann genau nach denselben Regeln wie die Kräfte zusammengesetzt, indem man beweisen kann, dass f . t b r b o r b der Mrcbatnic.

5

66

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

die Axe des Resultanlenpaares zweier gegebenen Kräftepaare die Diagonale des von den Axen beider Paare gebildeten Parallelogramms ist. Um diesen Satz zu beweisen, verändere man erst nach §. 40 das eine Kräftepaar, so dass beide gleiche Breiten bekommen, und versetze dann beide in ihre respectiven Ebenen, so dass ihre rechtwinkligen Arme in den Durchschnittslinien beider Ebenen einander decken. Es sei alsdann (Fig. 20) AB der gemeinschaftliche Arm, (P, — P ) das eine Kräftepaar und AL seine Axe, (Q, — Q ) das zweite Kräftepaar und AM seine Axe, folglich AL X AP, AL X AB, AMXAQ, AM X AB, so wird R die Resultante der beiden Kräfte P und Q , — R die Resultante der beiden Kräfte — P und — Q werden, R gleich und parallel mit — R und senkrecht auf AB. Das Kräftepaar (R, — R) wird alsdann das Resultantenpaar von (P, — P) und (Q, — Q) sein, und weil diese drei Paare einen gemeinschaftlichen Arm haben, werden sie den Kräften proportional sein. Bildet man jetzt das Parallelogramm LM und zieht die Diagonale AG, so wird, weil AL und AM den Momenten der Paare, folglich auch den Kräften P und Q proportional sind, AL: LG = AP: PR, ferner ^ ALG = ^ APR, weil AL -L AP und AM -L AQ. Es ist daher A ALG co A APR, ^ LAG = ^ PAR, LAG + RAL = ^ PAR + RAL, oder GAR = ^ PAL = R, und folglich AG X AB; es ist ferner, weil AB _L AL und AB -L AM, auch AB -L AG. Die Diagonale AG ist die Richtung der Axe des Resultantenpaares; sie ist diesen auch proportional in demselben Verhältnisse wie die zwei anderen Axen ihren Paaren, weil

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

67

AL: AP = AM: AO = AG: AB,

und weil die Paare ihren Kräften proportional sind. Es ist daher AG die Axe des Resultantenpaares, w. z. b. w. Die Zusammensetzung zweier Kräftepaare kann auch auf die Weise geschehen, dass man das eine Paar erst nach §. 40 so verändert, dass beide gleiche Kräfte erhalten, und die Paare dann so versetzt, dass zwei ihrer Kräfte zusammenfallen. Es sei (Fig. 21) (P, — P) am Arme AB das eine Paar und (P, — P) am Arme AC das zweite, so wird (P, — P) am Arme AD das Resultantenpaar werden, wo AD die Diagonale des von den Armen AB und AC gebildeten Parallelogramms ist. Fügt man nämlich zu den beiden gegebenen Paaren zwei gleiche und entgegengesetzte Kräfte P, — P in D hinzu, so wird hierdurch nichts geändert. Die Kraft P in D und die Kraft — P in C werden aber alsdann ein Kräftepaar bilden, welches man parallel mit seiner jetzigen Lage nach dem Arme AB versetzen kann, wo es das gegebene Paar (P, — P) am Arme AB aufheben wird. Man behält dann aber nur das Paar (P, — P) am Arme AD übrig, welches folglich das Resultantenpaar wird. §. 43. Weil die Theorie der Zusammensetzung und Zerlegung zweier Kräftepaare, wenn diese durch ihre Axen ausgedrückt werden, genau dieselbe ist wie die Theorie der Zusammensetzung und Zerlegung zweier auf einen gemeinschaftlichen Punkt wirkenden Kräfte, so gelten auch die in den §§. 7, 8, 9 und 10 entwickelten Formeln, wenn man statt der Kräfte die Momente der Kräftepaare, und statt der Winkel, welche die Kräfte mit den Coordinataxen bilden, diejenigen setzt, welche die Axen der Kräftepaare mit denselben Coordinataxen bilden. Bezeichnet man durch G, G', G" die Momente mehrerer Kräftepaare, durch l, [i, v, X', ¡i', v', . . . die Winkel, welche ihre Axen respective mit der x Axe, y Axe, z Axe des Coordinatensystems bilden, durch H das Moment des Rcsultantenpaares und durch 1, m, n die Winkel, welche ihre Axe mit den Coordinataxen einschliessen, so wird 5*

68

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung. H cos 1 =

G cos X + G' co» X' + G" co» X" + . . . . =

2 G co» X,

H co» m =

G co» fi + G' co» p' + G" co» /u," - ) - . . . . =

2G co» /u,

H co» n =

G co» v + G' co» v' + G" co» v" + ... . =

JSG co» v,

H =

V ( . 2 G co» / ) ' + (2G co» fi)* + (.ZG co» v)\

Das Resultantenpaar H wird dann durch diese Formeln in die Seitenpaare H cos I, H cos m , H cos 11, deren Axen respective die 1 A x e , y A x e , z A x e , und deren Ebenen die yz Ebene, xz Ebene und xy Ebene des Coordinatensystems sind, zerlegt werden können.

§. 44. Es sei ( P , — P )

ein Kräftepaar, sein Arm r, seine Breite p

und sein Moment Pp =

G. Bezeichnet man durch X , Y , Z die Pro-

jectionen der Kraft P , durch x , y, z die Projectionen des Arms q und durch X, p, v die Winkel, welche die Axe des Paares mit den drei Coordinataxen bilden, so ist cos® X + cos 1 (i + cos' v = 1, ferner,

weil die Axe des Paares senkrecht auf der Richtung der

Kraft P ist, X cos X + Y co» (i

Z cos v =

o,

und weil die Axe auch senkrecht auf der Richtung des Armes q ist, x cos X + y co»

+ 1 cos v =

o.

Aus diesen drei Gleichungen findet man dann Yi —Zy

V(Y. - Z y ) ' + ( Z x - K i y + (Xy - Y x ) ' Z x - X» ( Z x - x.)'

V(Y» - Z y ) ' +

+(Xy-Yx)'

X y - Yx V ( Y x - Z y ) ' + ( Z x - X « ) ' + (Xy -

Yx)* '

Bezeichnet man jetzt durch

COS y = —1

3 Y,(z, — z „ ) - Z , ( y , —y„) Z,(x,-x„) - X,(z, - z„) cos K = g > COB [l = g , C 0 8

„

=

X ( Y . - y , . ) - Y . ( I , - I „ )


= NX — L Z , Ä 1 j = L F — MX. Unter diesen drei Gleichungen ist die eine von den beiden andern abhängig, und diese in Verbindung mit der Gleichung Xr + Fl, + Z j = o bestimmen dann die Lage des Punktes (r,i;, j) in der vom Anfangspunkte des Coordinatensystems in der Richtung von R senkrechten Ebene. Aus den Gleichungen (1) findet man jetzt Yi - Zt, = L -

¿ ( L X + MF + NZ),

Zr — Xj = M — - ^ ( L X + M F + NZ), Xi, — Yx = N — ~-2(LX + MF + NZ). Bezeichnet man jetzt die dem Punkte (r, ty. j) entsprechenden Werthe von G, L, M, N durch ©, 9Jf, SR, so werden i = L — (Fj — Zi>), STO = M - ( Z r - X j ) , ¡ft = N - (Xi> - Fr), © = Vi! 1 + STC' + 91% oder, wenn man die obigen Werthe von F j — Z\), Zr — X j , X\) — Yr substituirt „

X

LX+My+NZ

~R ' Y

= m 01

©

=

R

R

R

Z

LX+My+NZ

R

'

LX+My+NZ

—

R

' '

L X +flM y + N Z .

s = x _ jr at = z^ ® R' @ R, © R Aus den letzten drei Gleichungen geht hervor, dass das kleinste Resultantenpaar © auf der durch den Punkt (r, t;, j) gehenden Resultantkraft R senkrecht ist.

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

79

Multiplicirt man die Gleichungen (1) der Reihe nach respective mit L, M, N und addirt, so erhält man Lt + M* + Nj = o, d.h. der Punkt (r, 9, j), welcher in der durch den Anfangspunkt der Coordinaten in der Richtung von R senkrechten Ebene angenommen ist, liegt auch in der Ebene des Resultantenpaares G; er liegt folglich in der Linie, in welcher diese beiden Ebenen einander schneiden. Multiplicirt man die Gleichungen (1) der Reihe nach mit r, ty, 2 und addirt, so erhält man R7(i2 + + } l ) = G® — ©*, und es wird daher der Abstand r = W + 9M + §' des Punktes (c, j) vom Anfangspunkte der Coordinaten r = VG* — — , g

wodurch dann die Lage der durch (r, j) mit R parallelen Linie völlig bestimmt ist. Alle Krade, welche auf den festen Körper wirken, können dann zu einer längs dieser Linie wirkenden Krall R + Y1 -f- Z* und zu einem auf dieser Linie senkrechten Kräftepaar © = ^

^

^ ^

zusammengesetzt werden, und das

Kräftepaar bat in dieser Stellung seinen kleinsten Werth. Diese Lage der Resultantenkraft R, welche dann auch diejenige der Axe des Kräftepaares © ist, wird die C e n t r a l a x e d e r g e g e b e n e n K r ä f t e genannt. §. 52. Multiplicirt man die Gleichungen (1) des vorigen Paragraphen respective mit x, y, z und addirt, so erhält man R1 (ix + M + ja) = L(Yz — Zy) + M(Zx — Xz) + N (Xy — Yx). Dieser Werth in die Formel des Kräftepaares in Bezug auf den Punkt (x, y, z) substituirt, giebt dann G1 = G» + R\x* + y* + z>) — 2L(Yz — Zy) — 2M (Zx — Xz) — 2N(Xy — Yx) = G' + + y" + *') - 2R*(ix + w + js) = G' + Ä'[(* —xy + ( y - W + (* - g)»] - R\i1 + + j'),

80

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

oder G' = © J + fi'r% wenn r = Y[{x — r)' -j- (y — t>)' - f (z — j) 1 ] den Abstand des Punktes ( x , y, z) von der Centralaxe bezeichnet. Aus dieser Gleichung leuchtet dann auch ein, dass © der kleinste Werth von G ist, und dass G für Punkte, welche gleiche Entfernung von der Centralaxe haben, gleiche Werthe hat. Bezeichnet man durch

J1' — r ä' = v> ^ — = w, ur + yy + ws = s, so wird u i X x + v^Xy-|- w^X»— s—X = o, u I V x + v2Yy + — sSY = o, u2Zx + v 2Zj + iv^Zi — s27> = o.

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

89

Setzt man jetzt der Kürze willen SX(2Z%SYj — 2YiSZj) + 2Y(2Zy2Xi — 2Z% JXy) + 2Z(2Y» 2Xf - 2Yy2X*) = U, 2X(IYi2Zx — 2Z»2Yx) + SY(SZ% 2Xx — IZxIX.%) + ^ J Y x ^ X » — 2Yx 2Xx) = V, 2X(ZYx2 Zy — ZZxZYy) + ZY(2Zy2Xx — 2Zx2Xy) + — 2Yy2Xx) = W, 2Xx(2Zi 2Yy - SYtSZy) + ZYx(2Zy2Xt — 2Zi SXj) + 2Zx(2Y% 2Xj — 2Yj2X%) = S, so erhält man aus den vorigen Gleichungen, wenn nicht die Mittelkrall Null ist, d. h. wenn nicht zugleich - X = o, 2Y = o, 2Z — o, u _ ü v _ v w W s S' s — S ' s ~ S Nimmt man die Grössen x, y, x, x', t/ willkürlich an, so findet man _ U r + Vg , _ Ui' + Vi?' , _ S — Vx — Vy $ W , J — W W Diese Gleichungen bezeichnen, dass der Punkt (x, y, z) willkürlich in einer Ebene gewählt werden kann, deren Gleichung Vx + Vy + W* = S ist, und die beiden Arme, deren Projectionen r, t>, j und r', 9', j' sind, können beliebig dieser Ebene parallel angenommen werden. Diese Ebene wird die C e n t r a i e b e n e der g e g e b e n e n K r ä f t e genannt, und ist im Körper fest. Die Kräfte X, Y, Z, J , g), 3 , P , §)', 3 ' werden Y = SY, Z = TL, X = IX, t>'2Xx — fIXy — Wx — x'y)2X rt)'-

ylYj.

- r'^Yy — Wx — x'y)2Y -wr' t>'2 Zx — t'2Zy - ( » ' x - r'y)2Z rt>'*2Xy — »2Xx - { r y - )x)2X ttft J Y y — p2Yx — (ry — DX)2\" t2Zv — i>2Zx - ( r y - \)X)SZ 19' - 91'

90

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung. Wenn die Mittelkraft nicht Null ist, können die gegebenen Kräfte

immer zu einer Kraft und zu zwei Paaren reducirt werden.

Der

Wirkepunkt der Kraft kann beliebig in der Centraiebene gewählt werden, und sie ist der Mittelkraft des Systems gleich und parallel; nimmt man die Arme der beiden Paare auf zwei der Centraiebene parallelen Linien beliebig an, so wird die Grösse der Kräfte dieser Paare von der willkürlich gewählten Lage und Grösse der Arme und von der Lage des Wirkepunkts der Kraft abhängig. Statt auf eine Kraft und auf zwei Paare können die gegebenen Kräfte auch auf drei Kräfte reducirt werden, deren Wirkepunkte überdies willkürlich in der Centraiebene gewählt werden können.

Die Componenten und Coordinaten der Wirkepunkte dieser

Krälte sind dann X-X-X'.

r—© — X, 9), 3,

z - 3 - 3 ' ,

x + x, y + *?,

X,y,z,

» + $,

3 E ' , S ) ' , 3 ' , X + X', y + i)', 3 + s'. §. 60. Unter den verschiedenen Lagen, welche man dem Wirkepunkt der Kralt und den Armen der beiden Paare geben kann, ist vorzüglich diejenige zu merken, welche so gewählt ist, dass jede Kraft auf der Richtung der anderen senkrecht steht und die Arme der beiden Paare auch auf einander senkrecht sind. Die Grössen x, y, r, t;, r', y' müssen dann so gewählt werden, dass XX + r$) + Z3 = o, XX' + 7 8 ) ' + Z 3 ' = o, XX' + W

+ 33' =

o,

+ W + }}' = o. Substituirt man in die zwei ersten dieser Gleichungen die Werthe von X, Y, Z, f , g), 3 , I ' , g)', 3 ' , so erhält man X 2 X x + Z Y I Y x + 2ZJSZx] — r ' ^ X ^ X y + 2 Y 2 Y y + 2 Z 2 Z y ] — ( t y ' x — i ' y ) [ ( J X ) * + ( ^ Y ) 1 + ( 2 Z ) » ] = o, 9 [2"X J X x + 2 ' Y ^ Y x + ^ Z 2 Z x ] — r [ . 2 X 2 X y + Z Y Z Y y + J Z 2 Z y ] - ( ) x - r y ) [ ( i X ) ' + ( S Y ) ' + ( 2 Z ) « ] = o, und hieraus = 2 X Z X \ + ^ Y J V x + 2: _ Z X I X y + ^Y^Vy + ^Z^Zv x (3X) 1 + + (JZ)' ' y ~ (^X) a + (—V)j + (Ziy '

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

91

und wiederum %

— S — üx - Vy ~ w

2X2Xz

+ ZYZYz + Zl.TLz + (^Z) 1

(^X)» + (Dty

=

Dieser Punkt (x, y, z) ist aber nun der Mittelpunkt aller mit der Mittelkraft parallelen Projectionen der gegebenen Kräfte. Denn es ist die Protection der im Punkte ( x , y, z) wirkenden Kraft P : X2X - f + y ( X X ) ' + (XY)1 + ( s z y

und folglich werden die Coordinaten des &

Mittelpunkts dieser Kräfte die obigen Werthe erhalten. Dieser Punkt ( x , y, z) wird d e r M i t t e l p u n k t d e r

Cen-

t r a l e b e n e genannt. Wir werden jetzt diesen Punkt x, y, z als Anfangspunkt der Coordinaten und den Körper in eine solche Stellung gedreht annehmen, dass die Centraiebene mit der xy Ebene zusammenfällt.

Wir

nehmen ferner die Arme der beiden Paare in der Centraiebene und senkrecht auf einander an; der erste Arm bilde einen Winkel u mit der x Axe, der zweite den Winkel i[ + u, so soll u jetzt so bestimmt werden, dass die Kräfte ( J , g), 3 ) . (£', 2)', 3 ' ) senkrecht auf einander stehen, oder dass J f -f-

+ 33' =

Weil jetzt x, y, z

gleich Null sind, geben die Formeln des vorigen Paragraphen „

_

\f2Xx —r'XXy ; ; xt)' — t)t' *2Yx-?2Yy

=

r?' - !>t' ' P'2Zx-t'2Zy

•X = „ S

a

......

°

folglich XX' + w

1

X

= _

rp'-pt' * tJZy-pJXx

* =

'

+ 33' = ^ ^ p X x ^ X y

i2Xy—l)2Xx : , nj' — yf xSYy-pSXx

'

+ 2Yx2Yj + IZxIZy]

rt'[tfXx)' + (.SYx)1 + (3Zi)M + W'tCSXy)' + (2Y)V -f (2Zy)'| Es ist aber jetzt daher und

xtf

—

pf

i) = t tang u, t)' = — t' cotang u,

fy' -f = rr'(tang u — cotang u) = —2rr'cotang 2u, rr' W = — tang u cotang u) = o, = — rr'.

92

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

SS'+®®'+33'= ^ - [ 2 c o t a n g 2u(2Xx2Xy+2Yx2Yy+2Zx2Zy) + (2Xx)' + ( 2 Y * y + (2Zx)' -

(2Xy)» -

(2Yy)» -

(2Zy)'].

Damit dieser Ausdruck Null werde, muss man u so wählen, dass c o t a n e 2u coiang ¿u

- ffXxl' - (2Yx)> ( ^ X y ) » + ( 2 Y y ) ' + {2ZyV 2(2Xx2Xy + 2Yx2Yy + 2Zx2Zy)

~(2Zx)>

Zieht man durch den Mittelpunkt der Centraiebene zwei mit den auf diese Weise bestimmten Richtungen der Arme parallele Linien, so werden diese d i e M i t t e l l i n i e n

d e r C e n t r a i e b e n e genannt.

§. 61. W e n n die Mittelkraft Null ist, d. h. 2X =

0,

2Y=

o, 2'L = o,

so erhält man aus den Gleichungen (1) des §. 59 die folgende Bedingungsgleichung

S =

o.

W e n n diese Bedingungsgleichung erfüllt ist, findet man u _ 2Xy2Yz w ~~ 2X%2Yy

— 2Xz2Yy — 2Xy2Yx

_v_ _ 2Xz2Yx w ~~ 2Xx2Yy

— 2Xx2Yz — 2Xy 2Y\

Zwischen den 6 Grössen r, ty, j, r', t>', j' finden dann nur zwei Gleichungen statt. Nimmt man r, ty, r', t;' willkürlich, so findet man u v , U , V j = —r !; • — ? 0 = — r' !;'•—> J W W \V w d. Ii. beide Arme müssen der Ebene x(2Xy2Yi

— 2 X z 2 Y y ) + y(2X%2Yx

— 2 X x 2 Y z )

+ z(2X*2Yy

— 2 X y 2 Y x ) =

o

parallel sein, können aber mit beliebiger Grösse und Kiclitung angenommen werden.

F ü r die Kräfte findet man ferner X — o,

—

xt}' — tjt'

=

t2Xy-r,2Xx

r»' — 1) t'

'

Y =

o,

Z =

ri)' — «r' _

)

'

o,

'

r ^ Y y - i ^ Y x ^

ri)' — l)t'

3

xi)' — yr' =

'

t2ly -

'

r>2Z\

rt)' — itr'

§• 62. W e n n cndlich die Mittelkraft Null ist, die Bedingungsgleichung S = o aber nicht stattfindet, so können immer die gegebenen Kräfte auf drei Kräftepaarc reducirt werden.

Es seien 3f, §), 3 die Com-

ponentcn der Kraft, r, y, J die Projectionen des Armes des ersten

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

93

Paares, X', g)', 3 ' die Componenten der Kraft und r', t;', j ' die Projectionen des Armes des zweiten Paares, 3E", g)", 3 " die Componenten der Kraft und x", t¡", j " die Projectionen des Armes des «weiten Paares, so werden die Bedingungsgleichungen des §. 55 IXtl = Xi + X'x1 + X " r " , 2Y% = 9)r + 3)V + SZx = 3 r + 3 ' r ' + 3 " i " ,

2Xy = Xp+X'i)' + X"t>'\ 2 Y y = g)i> + 3)' + = 3$ + 3'»' + 3 ' V ,

2Xt = Xj + X'i' +

2 Y » = g)j + S)'J' + §)"a", 2 Z » = 3$ + 3 ' j ' + 3 " j " . Die Grössen r, j , r', 9', }', r", 9", j " , d.h. die Grösse und Lage der Arme könne ganz willkürlich angenommen werden. Die Kräfte 3f, g), 3 » . - . 3 " werden dann durch die folgenden Gleichungen bestimmt * * = m _

SXxU'tf - i)"Ú + 2Xy(j'i" — r 1 ;") + - i>'r") r ( A ' - »"»') + W * " - * T ) + -*'r") (>"»' + ^YyQ'r" - r ' f ) + ^Yzfr't?" - a ' Q - t)'Y) + !>(*'r" - r'j") + j(r'D" - 9'r") ' U. 8.

W.

§. 63. W i r haben §. 60 gesehen, dass, wenn mehrere Kräfte auf einen Körper wirken und bei jeder Stellung, welche man dem Körper geben mag, in unveränderlichen Richtungen mit unveränderlichen Intensitäten an ihren Angriffspunkten haften, so können sie, wenn die Mittelkraft nicht Null ist, durch eme Kraft und zwei Kräftepaare ersetzt werden.

Der Wirkepunkt der Kraft kann im Mittelpunkte

der Centraiebene gewählt werden, und diese Kraft ist der Mittelkraft des Systems gleich und parallel.

Die Arme der beiden Paare

können den Mittellinien parallel und mit beliebiger Länge angenommen werden.

Die Kräfte dieser Paare sind dann auf einander und

auf der Resultantkraft senkrecht.

Bei jeder Stellung des Körpers

können diese Paare zu einem Resultantenpaar reducirt werden, und durch Versetzen der Kraft in irgend einen Punkt der zu dieser Stellung gehörigen Centralaxe (§. 51) können wieder das Resultantenpaar und das durch die Versetzung hervorgebrachte Paar zu einem

94

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

auf der Centralaxe senkrechten Kräftepaar zusammengesetzt werden. Dieses ist alsdann das bei dieser Stellung des Körpers möglichst kleinste Paar und gleich der Projection des ersten Resultantenpaares auf einer Ebene, welche senkrecht in der Richtung der Mittelkrall ist (§. 51). Verändert man die Richtung des Körpers, so verändert sich auch die Lage dieser Centralaxe im Körper, so wie die Grösse des dazu gehörigen kleinsten Paares. Wir werden jetzt die Stellungen der Centralaxe suchen, wenn das kleinste Krältepaar Null ist, und die Kräfte folglich zu einer Resultantenkraft; reducirbar sind. Statt aber wie bisher Alles auf die im Räume festen Coordinatenaxen zu beziehen, d. h. die Richtung der Kräfte als unveränderlich und die Lage des Körpers als drehbar zu betrachten, werden wir jetzt drei im Körper feste Axen zu Coordinataxen annehmen, und daher den Körper als fest, die Richtungen der Krälte aber als veränderlich betrachten, doch so, dass die Kräfte fortwährend dieselben Winkel unter einander bilden, also immer dieselbe Stellung zu drei im Räume beweglichen Coordinatenaxen haben. Nehmen wir jetzt als Anfangspunkt des im Körper festen Coordinatensystems den Mittelpunkt der Centraiebene, die z Axe senkrecht auf derselben, die x und y Axe längs der beiden Mittellinien an, so wird, wenn wie vorher r, n, j die Projectionen des Armes des ersten Paares, r', i)', j' diejenigen des zweiten bezeichnen, t) = O, $ = o, y = o, 5' = o. Bezeichnet man ferner wie vorher durch 3f, 3), 3 die Componenten der Kraft 9? des ersten Paares, durch S', 2)', 3 ' diejenigen der Kraft 91' des zweiten Paares, so wird nach §. 60 X = 2X, Y= 2Y, Z = TL, iYx ^ »jr ^Zy x = i X x t r ^ r i> i) t>' Die Componenten des Resultantenpaares der beiden gegebenen Kräftepaare werden, weil die Resultantenkraft im Anfangspunkt der Coordinaten angebracht ist,

95

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung. L =©a + S ) ' s ' - 3 ! > - 3 V = M = 3t + 3 / i ' - 3 E i - 3 E Y = N = fy + X'i)' — ®r — ®'r' = Hieraus findet man alsdann nach §.51 das + ZU y(Z$.'-X3') _ = XL + YM © n

— 3'»', 3r, X'l?' —8)r. kleinste Kräftepaar «+ i(r3-Zg))

Es ist jetzt identisch (Z®' — 3'V)X' + (X3' + (YX' — g)'X)3/ = o, (Z®' — S'Y)X + (X3 ' — X'Z)Y + (YX' — ®'X)Z = o. Vergleicht man diese Gleichungen mit den folgenden as' + SHP' + aB'»®,

XX + WY + 3Z = o,

so erhält man ZW — 3 ' Y = mX,

X& — X'Z = m®, YX' — ®'X = n»3,

wo m eine noch unbekannte Grösse ist. Werden die letzten Gleichungen quadrirt und addirt, so erhält man m'tX'

+ gj'-f-S')

= (ZW—3'Y)*

+

(X3'—X'zy

+ (YX'—

®'X)f,

oder, durch eine leichte Reduction, m» {R> = ¡R''Ä' — (XX' + 7 9 ' + Z3') 1 = 91 weil xx' + r®' + Z3' = o. Hieraus findet man alsdann . SI-'Ä» SM! m m = TT' Z®' — 3' Y =

X& — X'Z =

YX' - ®'X =

Ebenso findet man Der vorher entwickelte Werth von @ kann daher auf die Form gebracht werden ® = 9 W - * 3 ' ) + i(r3 - Z g » = Bezeichnet man durch x, y, z die Goordinaten eines beliebigen Punktes der Centralaxe, so ist nach §.51 Yz — Zy = L - ^ p

Z x - X s = M - ^ ,

X y - Y x =

N - ^ -

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

96

Soll jetzt das kleinste Paar © Null sein, so wird die Lage der ersetzenden K r a d durch die folgenden Gleichungen bestimmt Yz—Zy = h=

— 3 V , Zx—Xz = M = 3 r , Xy—Yx = N =

—

von denen, vermöge der erfüllten Bedingung @ = o , die eine von den beiden andern abhängig ist. Diesen Gleichungen kann folgender Weise, unabhängig von der Richtung der Kräfte, Genüge geleistet werden.

Man setze erst x = o, und erhält alsdann Xs = —3r,

Xy = s y — S)r.

Quadrirt man diese beide Gleichungen, dividirt die erste mit r 3 3i 5 —

v

und die zweite mit r ' 9 1 ' , addirt hierauf, so erhält man / yr , = J 1 a 1 \r SR — !)' iÄ' i'St'J

\9t r'SR»-^'SR''

»V

Es ist aber, weil die drei Kräfte R, 91, SN' immer auf einander senkrecht stehen, die Summe der Quadraten der Cosinus, welche die x Axe mit diesen drei Kräften bildet, gleich 1, d. h.

daher

r + 3 . — [ © • + © • ] . i ^ - ü = (I)

Ferner ist

=

+ ^ « ' ' ( f ) ' = o.

Diese W e r t h e substituirt, geben alsdann leicht i/1 ~a l — 5 — i + -rWi = während mgleicli x = o. r 91 R r»»' — y W i r d in die obigen Gleichungen die ersetzende Kraft y = o 7 gesetzt, so X erhält man ebenso 7j2 1 —;i—5 1 , = öt?

während lugleich y = o.

Diese Gleichungen stellen im Allgemeinen zwei in den Mittelebenen befindliche Kegelschnitte dar, von denen einer eine Ellipse, der andere ein Hyperbel ist, weil von den Differenzen i / ' SR'* — i ' S t ' und r 1 » 1 —

9 T die eine nothwendig positiv, die andere negativ

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

97

ist. Die grosse Axe der Ellipse und die reelle der Hyperbel fallen in die z Axe, ihr Mittelpunkt in den Anfang der Coordinaten. Die Brennpunkte der einen fallen ferner mit den Scheiteln der andern zusammen. Wenn z.B. 9'fR' > r 9 i , so wird die Ellipse in der xzEbene, die Hyperbel in der yz Ebene liegen. Für die Scheitel der gj' Ellipse wird x = 0, z = ± tf •-^i für die Brennpunkte x — 0, fH SR ~ = ± r - JJ ; für die Scheitel der Hyperbel y — o, c = ± r • und für ihre Brennpunkte y = 0, z =

SR'

Die Ebenen der Hyperbel und der Ellipse, oder die durch die beiden Mittellinien senkrecht auf die Centraiebene gelegten Ebenen, werden die M i t t e l e b e n e n d e s S y s t e m s genannt. Der hier entwickelte Satz, welcher zuerst vom Prof. F. Mind i n g aufgestellt ist, lässt sich folgender Weise aussprechen: Wenn die Kräfte eines beliebigen Systems, vorausgesetzt, dass ihre Mittelkraft nicht Null ist, bei jeder Stellung des Körpers immer mit unveränderlichen Intensitäten und in unveränderlichen Richtungen an ihren Angriffspunkten haften, und der Körper, was immer auf unzählige Arten geschehen kann, in solche Stellungen gebracht wird, in welchen die Kräfte sich durch eine einzige ersetzen lassen, so trifft die Richtung der ersetzenden Kraft immer im Körper eine Ellipse und eine Hyperbel, welche den Mittelpunkt der Centraiebene zum gemeinschaftlichen Mittelpunkt haben, von denen die eine in der einen, die andere in der anderen der auf einander und auf der Centraiebene senkrechten Mittelebenen liegt, und welche so mit einander verbunden sind, dass die Scheitel der einen mit den Brennpunkten der anderen zusammenfallen. §• 64. W i r werden jetzt die Bedingungen des Gleichgewichts und der Reduction der Kräfte suchen, wenn diese, wie vorher, mit unveränderlichen Intensitäten und in unveränderlichen Richtungen an ihren Angriffspunkten haften, der Körper aber nur um eine gegebene Lrbrbacb der Mechanik. 7

98

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

Axe beliebig gedreht wird. E s sei diese die z Axe, so findet man ähnlicher Weise wie im §. 55 die folgenden Bedingungsgleichungen des Gleichgewichts 2X = o, 2Y = o, TL = o, 2X% + 2Yy = o, 2Xy — 2Yx = o, 2 X z = o, SYi = o, 2Zx = o, 2Zy = o. Finden diese Bedingungsgleichungen statt, so wird der Körper bei jeder beliebigen Lage, um die z Axe gedreht, im Gleichgewicht sein. §. 65. Finden dagegen nicht alle jene Gleichungen statt, so können doch immer die Kräfte durch eine oder mehrere neue ersetzt werden.

Suchen wir zuerst die Bedingungen, unter welchen die gege-

benen Kräfte auf eine Kraft; reducirt werden können.

Es seien X,

Y, Z die Componenten dieser Kraft, cc, y, z die Coordinaten ihres Wirkepunktes, so wird IX 2Xx + 2Yy

= X, ZY = Y, TL = Z,

= Xx + Yy,

2Xy -

= Xy — K r ,

2Xi

= Xs.

2 Z x = Zx, 2Yi = Ys, 2 Z y = Zy. Durch Elimination der Grössen A', Y, Z, x, y, z erhält man, wenn die Mittelkrall nicht Null ist, die folgenden Bedingungsgleichungen 2 Y 2 X z — Z X S Y z = o, (2Z.£Xx — 2XZZx) + y — 2Y2Zy) = o, ( 2 Z 2 X y — SXTLy) + (2Z2^Yx — J Y ^ Z x ) = o. Wenn die Mittelkraft parallel mit der z Axe ist, wird man noch dazu die Bedingungsgleichungen 2 X i = o, ^ Y z = o haben. Wenn diese Bedingungen erfüllt sind, hat man _ TL\ _ 2X(2Xx + .STv) — ^ Y ^ X v — ^Yx) X ~ 2Z ~ (2X)> + (¿V)1 2Zy _ IV(IXx + 2\v) + ^ X C S X y - IfYx) = V TL ~ (JX) 3 + (JS"V j a ' _ 2Xz _ TVz Z ~ 2X ~ 2Y Die gegebenen Kräfte haben nun immer eine Resultantkraft, welche bei jeder Stellung des Körpers durch den Punkt (x, y, z)

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

99

geht. Dieser Punkt (x, y, z)- wird dann d e r C e n t r a i p u n k t d e r g e g e b e n e n K r ä f t e in B e z u g a u f d i e z A x e genannt. W e n n die gegebenen Kralle alle in der xy Ebene liegen, finden jene Bedingungsgleichungen immer statt. Denn es ist alsdann Z = o, 1 = 0. Der Centraipunkt kann in diesem besonderen Falle durch Construction folgender Weise gefunden werden. Es sei (Fig. 25) P in A wirkend die eine, Q in B wirkend die zweite Krall. Man suche ihren Durchschnitt C, und lege durch die drei Punkte A, B, C einen Kreis. Es sei ferner AD die Richtung der Resultante R, so ist D der Centraipunkt der beiden Krade. Um dieses zu zeigen, kann man, anstatt das System der Punkte A , B , D zu drehen, die drei Kralle P, Q, R um ihre respectiven Angriffspunkte drehen, so aber dass sie fortwährend dieselben Winkel unter einander bilden. Es sei alsdann EP' die neue Richtung der gegebenen Kraft P, so muss EQ' diejenige der Krall Q und ER' diejenige der Krall R sein. Denn es ist ^ : A C D = ^ : A E D , ^ D C B = ^ D E B , ^ : A C B = ^ : A E B . D ist folglich der Centraipunkt der zwei Kräfte P und Q. Auf dieselbe Weise kann man ferner den Centraipunkt der Resultante R und einer dritten Krall u. s. f. conslruiren. Man kann auch alle Kräfte parallel mit zwei auf einander senkrechten Axen zerlegen, die mit jeder Axe parallelen Kralle auf eine Krall im Mittelpunkte dieser parallelen Kräfte wirkend reduciren, und alsdann durch die obige Construction den Centraipunkt der beiden gefundenen Resultantkrälle suchen. §. 66. Untersuchen wir jetzt, wann die gegebenen Kräfte durch zwei neue Kräfte, oder, was dasselbe ist, durch eine Krall und ein Kräftepaar ersetzt werden können. Es seien X, Y, Z die Componenten und x, y, z die Coordinaten des Wirkepunktes der ersetzenden Kraft, i, 3 die Componenten der Kraft, r, j die Projectionen des Arms des ersetzenden Paares, so wird

SX = X,

= r , 2 Z = Z, 2 X x + 2 Y v = Xx + Yy + Xt + 9)!>,

100

Gesetze des Gleichgewichts und d e r Bewegung. ZXy — ZYx = Xy — Yx + 2\z

= Yz +

21x

=

— ®r, Zx + B r ,

2X% = X» +

Xi,

2 Z y = Zy + 3 $ .

Eliminirt man die sechs Grössen X, Y, Z, S, 2), 3» so erhält man

(1) r(zZX-ZXz) -f Yz — zZY) + r(i/2Z — J Z y ) +

) + ¡(2Xx + ZYy—x2X—yZY) = o, 2Xz) -f- j ( ^ X y — 2 Y x — y J X -f- xZY) = o, x ^ Z ) = o.

W e n n jetzt die Mittelkraft nicht Null ist, so werden diese Gleichungen immer erfüllt werden können, und man wird zwei der Coordinaten des Punktes (x, y, z) und eine Projection des Armes (r, t?, j) willkürlich wählen können.

Eliminirt man die Grössen r, t), j und

setzt der Kürze willen ^ Z ^ Y ^ X z — i X ^ Y z ) = A, •SZfJX^Xx + 2Yy) +

— 2Xy)] — ^ Z x t C ^ X ) ' + C 2 Y ) ' ] = B, 2 Z [ 2 X ( S Y x — JSXy) — 2 Y ( 2 X x + Z Y y ) ] + 2 Z y [ ( - S X ) ' + ( J Y ) * ] = C, ^ Z f J Y z ^ X x + 2Yy) — 2Xi(2Y x — ^ X y ) ] — ^ X z ( J Y 2 Z x + J X ^ Z y ) + 2 Y z ( ^ X 2 Z x — Z Y Z l y ) = D, 2Z[.2Xx(.SXx + 2 Y y ) — 2 Y z ( ^ Y x — -SXy)] + ^ X z ( ^ \ J Z x — ^ Y ^ Z y ) + ^ Y z ( ^ X ^ Z v — 2Y 2Zx) = E , (^Xx + 2Yy)(2X2Zy — ZY2Z\) + (iYx — — Z Y I Z y ) = F, pXx + ZYy)(IXzZZy — ZYIZZ-K) - (ZXy — ^ Y x ) ( ^ Y z J Z y + 2 X z 2 Z x ) = C, so erhält man (2)

A(x' +

IF)

+ B

IJZ

+ Cxz + D x + Ey — F s + G = o.

Dieses ist die Gleichung einer Fläche zweifer Ordnung, auf welcher der W i r k e p u n k t x, y, z

willkürlich gewählt werden kann.

Diese

Fläche hat einen Mittelpunkt, dessen Coordinaten sind j. _ 2ACF— DBa + BCE 2A(Bl + C 5 )

_ 2 A B F - C E + BCD '¿ACB' + C 1 )

„ _ _ 2AF + CD + BE '

B1 + C J

W e i l eine der Projectionen des A r m e s (r, !;,}) des Krälltepaares willkürlich angenommen werden k a n n , wird man diesen A r m einen beliebigen Anfangspunkt und eine beliebige Länge geben kön-

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

101

nen. W ä h l t man zu einem Endpunkte des Armes den Punkt (x, y, 2), und bezeichnet durch ( x y ' , z') denjenigen des zweiten, so ist r = x ' — x, t) = y' — y , z — z' — 2. Substituirt man diese W e r t h e in die Gleichuogen (1), so findet man, dass diese drei Gleichungen ganz symmetrisch in Bezug auf x, y, z und x', y', z' sind. Der zweite Endpunkt des Armes (x\ y', z') liegt also auch in der Fläche (2), und folglich, weil die Länge des Armes willkürlich ist, der ganze Arm ( r , ty, 3) in dieser Fläche. Die Fläche ( 2 ) ist ein windschiefes Hyperboloid, oder Hyperboloid mit einem Mantel. Der Wirkepunkt der ersetzenden Kraft kann willkürlich im Hyperboloid, und der Arm des ersetzenden Krällepaares von willkürlicher Länge, aber parallel mit einer der durch den Wirkepunkt der Krallt gehenden erzeugenden Geraden des Hyperboloids angenommen werden. Die Kräfte werden bestimmt durch die Gleichungen X = 2 X , Y=2Y, Z = TL, X =

-

, © =

-

,

3 =

i

Statt die Kräfte auf eine Kraft und auf ein Kräftepaar, kann man sie auch auf zwei Kräfte reduciren, deren Wirkepunkte willkürlich in irgend einer der Lagen der einen, das Hyperboloid erzeugenden Geraden angenommen werden kann. Wenn 2 X = 0 und 2 Y = 0 , d. h. die Mittelkraft der z Axe parallel ist, verschwinden die Grössen A, B, C, F und die Gleichung (2) stellt alsdann eine der xy Ebene parallele Ebene dar. §. 67. W e n n die Mittelkraft Null ist, so erhält man die folgenden Gleichungen + SYy = Xt + 3)i}, 2'Xy — ZYx = Xt> — g)r, SXz = Xi, 2Y > = g)j, 2 Z x = 3 r , IZy = und hieraus durch Elimination^ von f , g), 3» r, 9» J die Bedingungsgleichung (JXx + 2Yy)(2X*^Zy — 2YzZZx) — (2Xy — 2Yx)(2Yx21y + IXiIZx) = G = o. W e n n diese Gleichung erfüllt ist, findet man

102

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

_

ZXz (JXx + 2Yy) — 2'Yz (2Xy — 2 Y x )

~ ( _ • ~ „ X = 1

( ^ X z ) 1 + CSYz)' ' -STz (JXx + - V v ) + -5Xz(.2Xy — 2 T x ) 5 ' + (^Yz)» ' 2Xz „ 2Yz „ ZZx ZZv — , 9) = — , 3 = —

5

'

Die gegebenen Kräfte sind alsdann auf das Paar [ ( £ , §), 3 ) . — ( i , §), 3)1 reducirbar.

§. 68. W e n n die ¡Mittelkraft Null, die Bedingungsgleichung G =

o aber

nicht erfüllt ist, so werden die Kräfte doch immer durch zwei Krällepaare ersetzt werden können.

Bezeichnet man durch I , § ) , 3

die

5 die Projectionen des Armes

Componenten der K r a f t , durch r ,

des ersten Paares, durch I ' , §)', 3 ' die Componenten der Krall, durch r', tj', j' die Projectionen des Armes des zweiten Paares, so erhält man die Gleichungen

2Xx + 2Yy = Xx + 8)i> + X'x' + — X y — ZYx = X!) — §)r + X'i)'— 9)'t',

ZXz = Xj + X'i',

ZY* = ®J +

^ Z x = 3 r + 3'r',

^ Z y = 3 t ; + 3'!>'.

Man kann daher alle die Grössen r , r ' ,

»;', ä'» d. h. die Grössen

und Lagen der beiden Arme ganz willkürlich annehmen. I , 8), 3 »

§)'. 3 '

Die Kräfte

werden nun durch die vorige Gleichung leicht

bestimmt. §• 6 9 . Ein Körper wird astatisch genannt,

wenn er so befestigt ist,

dass er in jeder Stellung, die er annehmen kann, im Gleichgewicht ist.

Die Bedingungen, unter welchen ein ganz freier Körper asta-

tisch ist, wenn die Kräfte mit unveränderlichen Intensitäten in unveränderlichen ltichtungen an ihren Angriffspunkten haften, sind schon am Ende des §. 5 5 angeführt.

W i r werden jetzt die Bedingungen

entwickeln, unter welchen der Körper astatisch wird, wenn er einen festen Punkt oder eine feste A x e hat. Hat der Körper einen festen P u n k t , um welchen er

beliebig

gedreht werden kann, so wird er nur astatisch sein können, wenn

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

103

das System von Krallen einen Gentraipunkt hat, und dieser Punkt der befestigte Punkt ist. Hat der Körper eine feste A x e , um welche er beliebig gedreht werden kann, so wird er nur astatisch sein können, wenn der Centraipunkt der Projectionen der gegebenen Krade auf einer, die gegebene Axe rechtwinklig schneidenden Ebene in dieser Axe selbst liegt, oder wenn diese Projectionen selbst immer im Gleichgewicht sind (§. 64). Denn alle mit der Axe parallelen Componenten der Kräfte und alle bei dem Versetzen der auf der Axe senkrechten Componenten in eine Ebene entstandenen Kräftepaare werden von der festen Axe aufgehoben werden. §• 70. W i r werden jetzt idie besonderen Stellungen des Körpers suchen, in welchen er um einen festen Punkt oder eine feste Axe im Gleichgcwicht ist, wenn er nicht astatisch, d. h. in jeder Stellung im Gleichgewicht ist, und werden zuerst den Fall betrachten, wenn der Körper einen festen Punkt hat. Dem Körper muss alsdann eine solche Lage gegeben werden, dass die gegebenen Kräfte eine durch den festen Punkt gehende Resultantkraft haben. Hat das System der gegebenen Kräfte einen Centraipunkt, so muss der Körper so lange um den festen Punkt gedreht werden, bis dieser Centraipunkt in der Richtung der durch den festen Punkt gezogenen Mittelkraft zu liegen kommt. Dieses giebt alsdann zwei einander genau entgegengesetzte Stellungen des Körpers. Hat das System der gegebenen Kräfte eine Centrailinie, so kann man nach §. 57 die gegebenen Kräfte immer auf zwei in beliebigen Punkten dieser Linie wirkende Kräfte reduciren. Wenn jetzt die Mittelkraft nicht Null ist, so muss man, um Gleichgewicht hervorzubringen, erst den Körper so drehen, dass die Centrallinie in eine durch den festen Punkt gehende, mit den beiden Kräften parallele Ebene fällt. Alsdann fallen nämlich auch die beiden Kräfte in diese Ebene und können nun erst eine durch den festen Punkt gehende Resultante erhalten. Der Körper kann jetzt ferner um eine auf dieser Ebene senkrechte Axe gedreht werden. In Bezug auf diese Axe

104

Gesetze d e s Gleichgewichts u n d d e r Bewegung.

haben dann die beiden in jener auf der A x e senkrechten Ebene liegenden K r ä f t e einen Centraipunkt (§. 65), d u r c h welchen die Resultante der beiden gegebenen K r ä f t e immer gehen m u s s ; der K ö r p e r m u s s folglich, damit Gleichgewicht stattfinde, so gedreht werden, dass dieser Centralpunkt in die durch

den

festen P u n k t

gezogene

Richtung der Mittelkrall fällt, welche n o t h w e n d i g in der E b e n e der beiden K r ä f t e liegen muss.

Dieses giebt dann wieder zwei einander

entgegengesetzte Stellungen des Gleichgewichts des K ö r p e r s . Ist die Mittelkraft Null und folglich alle gegebenen Kräfte durch ein Kräftepaar ersetzt, dessen A r m von beliebiger L ä n g e und L a g e der Centrallinie parallel angenommen werden kann (§. 58), so muss man, um Gleichgewicht hervorzubringen, den K ö r p e r um den festen P u n k t so drehen, dass die Centrallinie mit den K r ä f t e n des P a a r e s parallel w i r d ; alsdann w e r d e n der A r m und die K r ä f t e des Paares in eine gerade Linie fallen und das Moment des Paares Null sein.

Dies

giebt wieder zwei entgegengesetzte

Der

Stellungen des K ö r p e r s .

als fest gegebene P u n k t b r a u c h t in diesem Falle gar nicht fest zu sein, weil er keinen Druck auszuhalten hat. W i r werden endlich annehmen, der K ö r p e r habe nur eine Ccntralebene und die Mittelkraft w ä r e nicht Null.

W i r haben alsdann

(§. 63) gesehen, dass, so oft die gegebenen Kräfte durch eine Resultantkraft ersetzt werden können, diese i m m e r durch zwei in den beiden Mittelebenen liegende H y p e r b e l , gehen miissen.

Kegelschnitte,

eine Ellipse und

eine

Man ziehe also durch den festen P u n k t

eine diese beiden Kegelschnitte schneidende Gerade und d r e h e dann den K ö r p e r , bis diese Gerade mit der Richtung der Mittelkraft zusammenfällt.

Die gesuchte Gleichgewichtslage des K ö r p e r s m u s s n u n

durch fernere D r e h u n g um diese gerade Linie gefunden w e r d e n können. Die Gleichgewichtslage wird nämlich stattfinden, w e n n das mit der Resultantenkraft verbundene kleinste P a a r @ gleich Null ist. ist a b e r nach §. 6 3 o

=

Es

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

105

w o x die Länge des längs der einen Mittellinie liegenden Armes des einen Kräftepaares, t)' die Länge des längs der zweiten Mittellinie liegenden Armes des zweiten Paares, 5R die Kraft des ersten, 9t' diejenige des zweiten Paares, beide senkrecht auf einander und auf der Richtung der Mittelkrall, g) die Projection der Krall 9t, parallel mit dem Arme 9', I ' die der Kraft 9t', parallel mit dem Arme r, ist.

Legt man jetzt auf die durch den festen Punkt gehende Rich-

tung der Mittelkraft, um welche als Umdrehungsaxe der Körper in die Gleichgewiehtslage gedreht werden soll, eine senkrechte Ebene, so werden die beiden Kräfte 9t und S R ' dieser Ebene parallel sein. Ziehen wir daher durch jene Umdrehungen in dieser Ebene zwei den beiden Kräften parallele Linien, welche wir mit A und B bezeichnen werden; bezeichnen wir ferner durch C die Durchschnittslinie dieser Ebene mit der Centraiebene, durch

Vdr» + r'dff» + r» sin1 fftty» SQ V dr» + r» d#» + r» sin' Beispiele. 1) S c h w e r p u n k t e i n e r g e r a d e n L i n i e . Die Gleichung einer geraden Linie ist y = ax + b, z = a'x + b'. Es wird daher, wenn die Linie überall gleichartig ist, und (x,, y,, z,), (x,, y 5 , z,) die Goordinaten der Endpunkte sind, y 2(x, — x,) 2 2 2 d. h. der Schwerpunkt fällt in die Mitte der geraden Linie, was auch von selbst augenscheinlich stattfinden muss. X

-

Sucht man den S c h w e r p u n k t des U m f a n g s e i n e s P o l y g o n s , und bezeichnet durch (x,, y,, z,), (x„ y a , z j . . . (Xd, y n , z j die Coordinaten der Spitze, durch 1,, 1,, . . . 1D die Länge der Seiten, so dass 1P die Länge ix p +, ,l ' .v' p + l ' ° der zwischen v(xP, JyP , zP') und V z ,) liegende Seite ist, so wird _ 1,(X, + X.) + !,(», + x.) + ...1.(1, + X) 2 ( 1 , + 1 , + ...!„) y

_

i , ( y . + Y,) + ' , ( y , + Y.) + - i . ( y . + y)

~ ' 2(l, + l 1 + . . . l i i ) _ l,(z, + z,) + l a ( z , + z,) + ...l u (z B +'z) 2(1,+ 1 , + ...!„)

Ist das gegebene Polygon ein Dreieck (Fig. 26), so kann der Schwerpunkt durch Construction folgender Weise gefunden werden. Es sei ABC das gegebene Dreieck, und die Seiten halbirt, so ist a der Schwerpunkt der Seite BC, b derjenige der Seite AC, c derjenige der Seite AB. Der Schwerpunkt des Umfanges des Dreiecks wird daher der Mittelpunkt der in a, b, c wirkenden parallelen Kräfte p,

112

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

p', p", deren jede gleich der zugehörigen Seite des Dreiecks ist.

Um

diesen Punkt zu finden, suche man zuerst den Mittelpunkt E der zwei Kräfte p und p'; es ist alsdann p : p ' =

bE:aE.

auch p : p ' =

BC:AC =

=

Der Schwerpunkt des Umfanges muss also in der ge-

^lacE.

b c : a c , folglich b E : a E =

Es ist aber

bc: ac, und ^ i b c E

raden Linie c E liegen, welche den Winkel acb halbirt.

Ebenso fin-

det man, dass er in der geraden Linie, welche den Winkel cab halbirt, liegt, folglich muss er im Punkte D liegen, welcher der Mittelpunkt des in abc eingeschriebenen Kreises ist. 3) S c h w e r p u n k t e i n e s K r e i s b o g e n s . Die Gleichungen mit Polarcoordinaten werden hier, weil r = „V

r f cos S&d-, arc. B A L J ' 5

x =

y =

J

constant, ip =

r I ¡n-jT sin &A&. arc. BAC J

—u

W e n n AC =

AB, u =

x =

o (Fig. 27),

J

—u

v genommen wird, so ist arc. BAC = 2 r J sin v — 2rv

=

y3

r sin v ? v

4) S c h w e r p u n k t e i n e r P a r a b e l .

=

2; v, und

o.

Man erhält den Schwer-

punkt eines Parabelbogens A B (Fig. 2 8 ) , wenn A der Scheitel der Parabel ist.

Die Gleichung der Parabel ist

y* = 2j)x,

folglich ds = d

x

y £ - ± ^ =

+ >•'.

E s wird daher

X

~

fYf'

jW

o

o

oder, wenn die Integrationen ausgeführt werden, i(

» + irill^niS I V ^ + T ^ +

=

; Vp(p +

f log n a t ( i ^

—

+

+ T*'

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

113

5) S c h w e r p u n k t e i n e r Cycloide. Es sei ADB eine Cycloide, DG = x, GF = y, DF = s, CD = 2r, so ist + V2rx — x J .

y = rarc.^cos =

Setzt man jetzt —y— = cos ip, so wird x = r(l — cos x f f ) = 2r sin1 iip, y = r(ip -f- sin rp), ds = 2r cos itpdip, dy = r(l + cos xp)Aip = 2r cos' iipdtp. Es wird also, weil mit xp = o auch y = o, x = o, s = o, b = 4rsini^/, 83 = 16rJ sin* iip = 8rx, x

und ferner /xds s

X

s1 = 8F'

, =

Js'ds _ s 1 Sri 24r

_

(16r'—8rx)^ 64M

x 3'

8r'fsin jtp cos1 jipdip _ Jyds _ ys—/sdy _ y ~ s I ~ y s _ -yr'(l — cos'tf) _ 8r» (16r' —8rx)* + ~ 7 s ~ 7 24rV2rx Wenn xp = n, x = 2r, y = nr, s — DA = 4r, so wird ® = f r > y = Or— |)r. Der Schwerpunkt der ganzen Cycloide ist im Punkte H , wo DH = | r = *DC. 6) S c h w e r p u n k t der K e t t e n l i n i e . Die Gleichung der Kettenlinie ist nach §. 30 x x{ x x\ y = - T +, A. T \ e + e y wenn der Anfangspunkt der Coordinaten im tiefsten Punkte der Kettenlinie angenommen wird. Wenn dieser Punkt auch als Anfangspunkt des gegebenen Bogen der Kettenlinie angenommen wird, ist + e x

=

s r

7 7*—Z—'

o Lebrbacb der Mecbaoik.

X

J^y(eX + e

)dx y =

— o

X

)dx

w

—

Q

114

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

Es ist aber /-*

/

/

hx \

III

/

= 2 i J

sVx_ +

Wx \

x

y

Ix \

y

/ Ii

bx v

.

C/ Ix _ Lx\ C/Vtl _ - f j ( . » + e" 1 j < k + j f J ( e T +

2kx 2 +

e"

~

\

S

>

+r'»)ix=2y Es wird folglich X

=

X

1 y -= >y

Xv Xv • = x — i—; ks V ky(kv + IX) XX j _ = 2 2k * 2 Vky(kv + 2X)

X_ , X\ +

§• 75. Zwischen der Lage des Schwerpunktes einer ebenen krummen Linie und der Fläche, welche sie durch eine \olIstiindige Umdrehung um eine beliebige gerade Linie in der Ebene der krummen Linie beschreibt, findet folgende Relation statt: Der Flächenraum duet der Länge

einer l'mdrehungsfläche

der beschreibenden

des vom Schwerpunkt

der Linie

ebenen Linie beschriebenen

ist gleich dem mit dem

Pro-

Umkreise

Kreises.

Nimmt man die y Axe als Umdrehungsaxe an und

bezeichnet

wie früher durch x und y die Coordinaten des Schwerpunktes der beschreibenden Linie, so ist die Umdrehungsfläche © = fxds © = 27t—- -s = 2nxs. Es wird folglich auch x =

2/r/xds

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

115

Beispiel. Die Oberfläche eines Umdrehungsellipsoids, dessen grosse Axe gleich a , die kleine gleich b ist, w i r d , wenn die Drehung um die grosse Axe stattgefunden bat, ^ o Li * 2wa J b f. >V — b'\ © = 2wb* -f arc. ( taug = - — , J Va* — b V 1) J

y a»

oder, wenn man die Excentricität

|jT

gleich e setzt,

Der Schwerpunkt der halben Ellipse auf der einen Seite der grossen Axe wird nun in der kleinen Axe liegen, in einem Abstand vom Mittelpunkte gleich *

=

wenn 2s die Länge der ganzen Ellipse bezeichnet.

Es ist aber aus

der analytischen Geometrie bekannt, dass

Es wird folglich b

x

=

' + T

a r c

(

t a D

6

=

¥)

§. 76. W e n n der Schwerpunkt einer Fläche gesucht wird, und die Dichtigkeit überall gleich ist, so wird idM = dxdyVl

+

(d,.)» +(dyi)%

und folglich _ J/x dx d y V H - ( d l Z ) 2 + ( . l y z ) > J

//dxdyVT+(dIz) + ( d J ^ '

_ f f y d x d y V T + i d ^ z ) ' + (c^ z)' V

~ "//dxdy

V ^ T + T T i i '

1

_ _ / / z d x d y V l + C i ^ ) + (d/z)' " ~~

/ / d x d y V l + (d x z) J + ( d / z ) i '

Ist die Fläche eben, so wird 8*

116

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung. _ JJxdxdv^

x

_

Jjydxdy

JJdxdy

JJdxdy

Diese Formeln gelten auch für schiefe Coordinnten.

Denn es

seien x', y', x', j ' die schiefen Coordinaten, welche den rechtwinkligen Coordinaten x , y , x , y entsprechen, und f

der Winkel der

schiefen Axen, so ist dM =

dx'dy'siny,

und, wenn die x und x' Axe zusammenfallen, y = y' Bin (f, daher JJy'dx'dy'sin'gj Jfy'dx'dy' 1 y = ~fc * = sin 9 - J JJdx'dy'siny JJdx'dy' E s ist aber auch y — y' sin y , folglich y' =

-iJ;;'dx'dy',

und ebenso *< =

JJdx'dy

JJdx'dy

Beispiele. 1) S c h w e r p u n k t e i n e s P a r a l l e l t r a p e z e s . das Trapez, F und E die Mitten der parallelen Seiten.

Es sei ABCD Man nehme

F als Anfangspunkt des Coordinatensj stems, F B als x Axe, F E als y Axe an, und setze der Kürze wegen A B = ^EFA =

J

J | xdx^dy =

^Jd^ydy

r

(f>

u

o,

' (a — h)c> _ (a + 2b)c 2 3 ( • - > • ' - 2 ) * - T T "

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung. dx J d y = f ( a - y . ^ ) d y «Büch

* =

= ac-*-?-^

=

117 (a

+ b)c 2 '

o,

W e n n 0 den Schwerpunkt bezeichnet, ist nun F O

=

I3(a T T-+-T T b)'

= 3(a + b)

FO : EO = (a + 2b) : (2a + b) = Q + b ) : ( a + Macht man CK = £a = F B , BL =

= ED und zieht KL, so ist

der Schwerpunkt des Trapezes der Durchschnitt der Linien K L und E F . 2) S c h w e r p u n k t e i n e s D r e i e c k s . herstehenden Beispiel CD = wird alsdann

y =

b =

Setzt man in dem vor-

o , so hat man ein Dreieck.

oder (Fig. 31) FO = ^ C F . —

Es

Dies folgt

auch daraus, dass der Schwerpunkt in beiden Linien C F und AG liegen muss, welche von einer Spitze des Dreiecks zur Mitte der entgegengesetzten Seite gezogen sind. Auch wird man bemerken, dass die Dreiecke AOB, AOC, COB alle gleich gross werden, so wie, dass der Schwerpunkt des Dreiecks auch derjenige dreier gleich grossen Massen ist, deren Schwerpunkte in die drei Spitzen des Dreiecks fallen. 3) S c h w e r p u n k t e i n e s E l l i p s e n s e g m e n t s .

E s sei (Fig.

32) AEB das gegebene Segment, C der Mittelpunkt der Ellipse. DE

AB und F E

durch die Mitte von AB gezogen seien die

Coordinatenaxen; sie sind alsdann conjugirte Durchmesser. Die Gleichung der Ellipse ist, wenn CE = a, CD = b, . vJ , b yf—z ä* 5*= ' y = Setzt man CG = c, so ist xdx — •

|dx y

=

118

Gesetze d e s Gleichgewichts und der Bewegung.

E s ist a b e r

r

r+z**'-*'

jdx =

[ / fdy

X-^T^T*

o,

jdx = ^ f

dx

J «= b a . arc.i cos = ~ ) — — V ä

Setzt man jetzt c j • • j Jasin'ii cos n = —i y a 1 — c = a Bin |U, so wird x - - — - — y a fj/ — >i sin cu, Beim K r e i s e ist 2 p der Winkel des Segments. S e t z t man c =

o,

=

=

o.

so findet man für die halbe Ellipse

4a — in eines Elvperbelsegments.

x =

4) S c h w e r p u n k t

33) A B E ein Hyperbelsegment, eine Coordinatenaxe,

E s sei (Fig.

C der Mittelpunkt; C Y

A B die

C X durch die Mitte D von A B gezogen

die

zweite, so sind C X und C Y conjugirte D u r c h m e s s e r der Hyperbel, und die Gleichung der Hyperbel ist vi vJ E s wird alsdann, wenn C D =

h ..

c, - c / / . + i|Vx»—a«\ ydy

jdx

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung. Es ist aber i> '//-+; V

/ ( I dy

'

- »*\ '

r°

jxdx = -

ydy '' l '

)dx =

f ( fdy x =

- a> dx = | - ( c » -

xVx>

a')*,

o,

= =

. , . fcs wird also

119

- c W - a » -

i ab log n a t ( C + } ' V c - U ' - a ' /

a

——— 3 c V c J — a'

oder, wenn man DB =

2(c J — a 5 ) i

,

y =

o,

®-a® log nat( C + V C ' — ) \c — V c 4 — a V d also d =

- V c J — a* setzt, a 2a* d*

x =

3b* acd — J a ' b ' log nat

P

\a b/ 5) S c h w e r p u n k t e i n e s P a r a b e l s e g m e n t s .

Es sei (Fig.

34) ACB das Segment, D die Mitte der Sehne A B , CDX parallel mit dor Axe der Parabel die eine Coordinataxe, die Tangente C Y AB die zweite, so ist die Gleichung der Parabel y 1 = 2px,

y = ± V*2px.

Es wird nun, wenn CD gleich c gesetzt wird,

f(CV i(€) dx

Äiit)'

dx

_ '

y

~

o

J

V - ) ^

/

re/r+vipi\ j ( dy jdx

120

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

E s ist aber

f^ry^=s/VW*= J ^ J y d /

^dx =

o,

J

=

| Y 2 p i dx =

I c ^ c ,

und folglich wird

x = 6) S c h w e r p u n k t

y =

fc,

o.

eines S e g m e n t s der Kettenlinie.

Es

sei (Fig. 3 5 ) A der tiefste Punkt einer Kettenlinie, A B vertical, CD horizontal, A X und A Y die beiden Coordinatenaxen, so ist die Gleichung der Kettenlinie (§. 3 0 )

(

Ii _ kx\ X , XI e + e J. E s wird nun, wenn CD =|r A X , A B = c, C B = DB =

*

=

x

E s ist aber

u

'

=

dy

f(if) " —d 3

x1 d , x /

3X^iA~.r7~2Xc

2Xd , 2 X 1 r ~ . und folglich

= — r

+

T \

c

, 2Xc

+-£-'

d.

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

X =

o,

y =

^

'

_2d +

—

2|/V

7) S c h w e r p u n k t e i n e r c y c l o i d i s c h e n F l ä c h e . E s sei D G =

x, G F =

y.

121

Fig. 2 9 .

Man sucht den Schwerpunkt von D G F .

Die Gleichung der Cycloide ist y =

r arc.^cos =

r(xp + Bin tp),

=

x

=

r ( l — cos

f ( f d y ) d x

r> • t • L L E s ist jetzt

f

O \O

M d y j x d x

0 * 0 /

=

jxydx

=

^ x

o

) d /

y

x

/ Y f d

/

=

Jdx

O\o

/

y

xp),

) d x

o \ o /

^ x'y -

i j x

o

1

dy

y — ^ r * 1 ( 1 — c o s xp) s i n *

=

tf

=

^-y'x —

=

jy1x -

y

o

'

d x

=

xpdip

ydx =

O

tp),

Ty'x—/yxdy o

-f- bin xp) sin* tpdtp o T'[\ip(ip — Bin Ixp) + 1 5 -

xy —

=

x

o

-J cos xp

c o s 2xp +

—

f

xJ.

o ^x'y—^r*(\xp—fsin2^/—-jsin'

= / \ / y d o \o

l

V2rx —

r x — - — » so wird

Setzt man hier cos ip = y

+

T

'T cos

y — r 5 j"iiin 2 ipdxp

O =

x y - | r ' ( xp —

und folglich wird _ i x ' y — i r s ( i V — 1 sin 2t/;—Jsin't/;) X ~ xy — i r J ( V — i sin 2t/;) '

\s\n2xp),

3xp].

122

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung. t Y ' x — r s [{yj(tfr — s i n 2 f t ) + i't — » c o s ip — jcnstip XV — ir>(j/> — ^ sin 2^»)

_ "

+ ^ c o s Alp]

F ü r den Schwerpunkt der halben Cycloidendäche hat man x =

2r,

y = 7TT, xp = n, daher

und Tür die ganze Cycloidendäche 7r

® = -g ' §• Schwerpunkt

= o.

einer Umdrehungsfläche.

Nimmt man

als Umdrehungsaxe die x Axe a n , bezeichnet durch a den Rotationswinkel von der y Axe gerechnet, und durch r den Abstand eines Punktes der Umdrehungsdäche von der x Axe, so ist i = rsin«,

y = r cos u, und r = f(x),

die Gleichung der beschreibenden Curve. y

= r V l + (drx)ldrd«,

_ / J ' - H f (d r x) J drdrt X

~

j j r V 1 + (d r x 7 drdc