Lehrbuch der Mechanik: Teil 1 9783111720531, 9783111224411

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Lehrbuch der

M

e c h a n i k von

S. D.

P o i s s o n

Mitglied de* Iotituts, de» Längenbüreaus and der französiicheu Uoiversiität, dff gelehrten Gesellschaften zu London, Edinburg, der berliner Akademie u. s. w.

Nach der zweiten

sehr

vermehrten

Ausgabe

ü b e r s e t z t von M o r

i z

A.

S t e r n .

Erster

Theil.

Berlin

1 8 3 5.

Ve r l c g t

b e i

G.

R e i m e r .

Vorrede

des

Verfassers.

J ) a die;es W e r k auch beim Unterrichte gebraucht werdiea lann, so habe ich sehr oft Einzelnheilen ausfiihrliicli lehandeln und die Ordnung befolgen müssen, welcHie zir Erleichterung des Verständnisses am geeignetsten wir. Die in diesem W e r k e befolgte Ordnung wird jetz; bei den Vorlesungen über Mechanik in der polytechnischen Schule angewandt. Mau kann sich eine genaiue Lebersicht davon verschaffen, wenn man die, Leidem Binden vorausgeschickten, Inhaltsverzeichnisse durchgeht Ich habe mich beflissen, viele Beispiele zur Aufkll'arunj der allgemeinen Theorien zu geben; die meisteen hibe ich aus der Astronomie und Physik, einige auch aus der Geschützkundc entlehnt. D)ic wesentlichste Bestimmung dieses W e r k e s ist die, als Einleitung zu einem Lehrbuche der mathematischen Physiik zu dienen, von welchem schon die neue Theorie der Haarröhrchenkraft, die ich bereits früher herausgegebem habe, einen Theil ausmacht; die anderen Theilc werden aus verschiedenen Abhandlungen, die ich geschrieben habe, bestehen, die sich sowohl mit dem Gleichgewichte und der Bewegung der elastischen Körper u n d der Flüssigkeiten, als auch mit, den imponderablera Flüssigkeiten beschäftigen und die ich vereinigen und s o vollständig, als ich kann, machen werde. A m Ende des zweiten Theils findet man einen Zusatz rücksichtlich des Gebrauchs des Princips der lebendigen Kräfte bei der Berechnung von Maschinen, in Bewegung sind.

die

IV

V o r w o r t des U c b e r s e t z c r s .

Dieses Lehrbuch der Mechanik ist schon seit seinem Erscheinen im Jahre 1 8 1 1 allgemein als classisch anerkannt worden. Da es in dieser zweiten Ausgabe so bedeutend umgestaltet worden ist, dafs es als ein ganz neues "Werk erscheint, so glaube i c h , mir bei \ielen, welchen das Original nicht leicht zugänglich ist, durch die Uebersetzung desselben Dank verdient zu haben, wiewohl wir eine Uebersetzung der ersten Ausgabe besitzen. Ich habe mir erlaubt, gelegentlich manche Bemerkungen einzustreuen; namentlich wird man am En elf des ersten Theils einige Zusätze finden. In der ganzen Einleitung lese man statt B c r ü h r u t i g s e b e n e Krümmungsebene und statt b e r ü h r e n d e r K r e i s Krümmungskreis, ebenso S. 2 4 Z. 20 v . u . statt d e r B e r ü h r u n g s k r e i s der Krümmungskreis und S . 2 5 Z . 2 0 v . u . statt B e r ü h r u n g s e b e n e Krümmungsebene.

V

I n h a l t s v c r z c i c h u i Ts des ersten Bandes

Einleitung. Erklärung der M a t e r i e , der K ö r p e r , der M a t t e , des m a t e r i e l l e n P u n k t e s und der K r a f t §. 1 u. 2. Gegenstand der Mechanik; Eiutheilung dieser Wissenschaft in zwei Theile, die S t a t i k und D y n a m i k §.3. Den Angriffspunkt einer Kraft bestimmt man vermittelst seiner drei rechtwinkligen oder Polar-Coordinaten §. 4. Was man unter g l e i c h e n K r ä f t e n versteht; numerischer Ausdruck der Intensität einer Kraft §. 5. Die Richtung einer Kraft bestimmt man vermittelst dreier spitzer oder stumpfer Winkel, die durch eine Gleichung mit einander verbunden sind, oder vermittelst zweier von einander unabhängiger Winkel; Verwandlung eines in Graden ausgedrückten Winkels in Theile des Halbmessers §. 6 , 7 u. 8. Ausdruck für den Cosinus des AVinkels, den zwei gerade Linien bilden; Gleichung, welche in dem Falle statt hat, wenn diese Linien auf einander senkrecht stehen; Verwandlung der rechtwinkligen Coordinaten in Polarcoordinaten §. 9. Projection einer geraden Linie auf eine andere gerade Linie und einer ebenen Fläche auf eine andere Fläche §. 10. Wie man die zwei entgegengesetzten Richtungen verschiedener paralleler Kräfte bestimmt §.11. In diesem Werke braucht man ausschließlich die Methode der u n e n d l i c h k l e i n e n G r ö f s e n ; Grundprincipien der Infinitesimalrechnung §• 12.

Erklärung des Differentials einer Veränderlichen und einer Function. Erklärung und Bezeichnung des bestimmten Integrals; dieses lutegral ist, im Allgemeinen, die Summe der Werthe des Differentials §. 13. Differentiation eines Integrals in Beziehung auf eine Gröfse, die III der Integration als constant betrachtet wurde §• 14Formeln für die Q u a d r a t u r e n §.15. Betrachtet man das unendlich Kleine, so ist das Verhältnis des Bogens einer krummen Linie zu seiner Seiine der Einheit gleich; daher darf

VI man eine krumme Linie wJe ein Vieleck von unendlich vielen unendlich kleinen Seiten betrachten §. 16. Erklärung der Tangente einer krummen L i n i e ; F o r m e l n , welche ihre Richtung bestimmen. D i f f e r e n t i a l e l e m e n t der krummen Linie, Gleichung der s e n k r e c h t e » E b e n e ; Cosinus der Winkel, welche die, auf einer Ebene senkrecht stehende Linie mit Linien einschliefst, die den Coordinatenaxen parallel sind §.17. Ausdruck für den C o n t i n g e n z w i n k e l und den K r ü m m u n g s halbmesser §.18. Gleichung der K r ü m m u n g s e b e n e ; Formeln in Beziehung auf die Richtung der auf dieser E b e n e senkrecht stehenden Linie §. 19. § 20. Coordinaten des Mittelpunktes der Krümmung Gleichung der E b e n e , die eine krumme Oberfläche b e r ü h r t , Differeutialelement der Oberfläche, Formeln in Beziehung auf die Richtung der Normalen; man verweist, wegen der Krümmung der Oberflächen, auf eine Abhandlung im 21sten H e f t e des Journal de l ' E c o l e Poljtecliniqua

§. 21. Regel um die Formeln aus einander abzuleiten, die sich auf drei rechtwinklige Axen beziehen, wenn in Beziehung auf j e d e derselben alles in einer Aufgabe ähnlich ist §. 22. Allgemeine Bedingungen, welchen die Gleichungen, die Gröfsen verschiedener Art enthalten, genügen müssen. §. 23. E r s t e s S

t

a

t

B u c h . i

k

.

Erster Tlieil. Erstes Kapitel. Von der Zusammensetzung lind dem Gleichgewichte der Kräfle, die an denselben Punkt angebracht sind S. 35. Was man unter der M i t t e l k r a f t einer Anzahl von Kräften, die an einen Punkt angebracht sind, versteht; ihr W e r t h , für den F a l l , wenn alle diese Kräfte nach einer geraden Linie wirken §. 24. Die Mittelkraft zweier gleicher K r ä f t e , die einen Winkel von 120° einschließen, ist jeder dieser Kräfte gleich und theilt den AVinkel in zwei gleiche Tlieile §. 25. Werth und Richlung der Mittelkraft zweier K r ä f t e , die einen beliebigen Winkel einschliefsen. Regel f ü r das P a r a l l e l o g r a m m der Kräfte § . 2 6 , 2 7 u.28. Unmittelbare Folgen dieses Lehrsatzes §. 29. Geometrische Construction, u m , der Grüfse und Richtung nach, die Mittelkraft einer Anzahl von Kräften zu bestimmen §.30. Zusammensetzung dreier rechtwinkliger Kräfte in eine einzige und / . n i e gung dieser Kraft ¡n drei rechtwinklige Kräfte §»31. IScrccIinung der Mittelkraft einer beliebigen Anzahl gegebener Kräfte,

MI Werth deir Vinkel, die ihre Richtung bestimmen. Ausdruck für diese Mittelkraft ab Functionen der Seitenkräfte und der zwischen ihren Richtungen emthatenen Winkel §. 32 u. 33. Besomdec Eigenschaft derselben Mittelkraft §. 34. Gleiclhuig des Gleichgewichtes eines völlig freien materiellen P u n k t e s ; man z e i g t , thfs, in Folge dieser Gleichungen, jede der K r ä f t e , die auf diesen Puinkt wirken, der Mittelkraft aller übrigen gleich und entgegengesetzt i s t §. 35. Gleiclhun; des Gleichgewichtes eines materiellen P u n k t e s , der auf einer gegebeten Oberfläche bleiben mufs; Druck, welchen die Oberfläche erleidet, uind Richtung, nach welcher er ausgeübt wird §. 3G u. 37. Gleiclhung des Gleichgewichtes eines materiellen P u n k t e s , der auf einer krummen Linie bleiben mufs §.38. Gleicüiung der v i r t u e l l e n G e s c h w i n d i g k e i t e n , welche die Gleichungen des Gleichgewichtes in Beziehung auf die drei vorhergehenden Fälle enthält §.39.

Zweites Kjpitel.

Vom Gleichgewichte des Hebels

S. 58.

Erklärung des H e b e l s . Gegenstand dieses Kapitels $.40. Aenderuig des Angriffspunktes einer K r a f t , die an ein System von unveränderlicher Gestalt angebracht ist §. 41 Erklärung des M o m e n t e s e i n e r K r a f t i n B e z i e h u n g aul e i n e n P u n k t ; Gleichgewicht zweier an einen Hebel angebrachter Kräfte Diese Gleichung ist von dem Winkel, den die zwei H e b e l a r m e bilden, unabhängig. Besonderer F a l l , wenn die gegebenen Kräfte parallel sind §. 42 u. 43. Zwei parallele K r ä f t e , die in entgegengesetztem Sinne wirken, aber nicht einander gerade entgegengesetzt sind, können nicht auf eine einzige zurückgeführt werden. Dieses Kräftepaar kanu auf unendlich viel verschiedene Arten in ein anderes Kräftepaar verwandelt werden, das ebenfalls nicht auf eine einzige zurückgeführt werden kann §. 44. Bedingung des Gleichgewichtes einer beliebigen Anzahl von Kräften, die an eiuem Hebel wirken §. 45. Lehrsatz über das Moment der Mittelkraft zweier Kräfte. Ausdehnung dieses Lehrsatzes auf den F a l l , wenn eine beliebige Anzahl von Kräften in derselben E b e n e wirken; Gröfse, welche bei allen Verwandlungen dieses Systems von Kräften unveränderlich bleibt. Gleichung des Gleichgewichtes dieser Kräfte um einen festen P u n k t der in ihrer Ebene liegt §. 4 6 , 47 u. 48. Man z e i g t , dafs die Gleichung der virtuellen Geschwindigkeiten bei dem Gleichgewichte des Hebels statt hat §. 49.

Drittes Kapitel. Ucber die Zusammensetzung und das Gleichgewicht der parallelen Kräfte S. 73. Directer Beweis der Zusammensetzung zweier paralleler Kräfte, welchen man früher (§. 43) aus der Zusammensetzung der in einem P u n l t e

VIII zusammenlaufenden Kräfte abgeleitet hat; man findet hieran« die Gröfse und den Angriffspunkt der Mittelkraft einer beliebigen Anzahl dieser Kräfte §. 5 0 n . 5 1 . 'Wenn sich parallele Kräfte um ihre bezüglichen Angiffspunkte drehen, indem sie immer parallel bleiben, so dreht sich auch ihre Mittelkraft um ihren Angriffspunkt. Erklärung des Mittelpunktes paralleler Kräfte, E r klärung des Momentes einer Kraft in Beziehung auf eine Ebene § . 5 2 u . 5 3 . Das Moment der Mittelkraft einer beliebigen Anzahl von parallelen Kräften, in Beziehung auf eine Ebene, ist der Summe der Momente dieser Kräfte, in Beziehung auf dieselbe Ebene, gleich. Coordinaten des §. 5 4 , 5 3 u. 56. Mittelpunktes paralleler Kräfte Gleichung des Gleichgewichtes eines Systems paralleler Kräfte, die an einen festen Körper angebracht sind, sey es nun, dafs dieser Körper völlig frei oder durch einen festen Punkt oder eine feste Axe zurückgehalten wird §. 5 7 u . 58.

Viertes Kapitel. Allgemeine Betrachtungen über die schweren Körper und die Schwerpunkte S. 98. Man betrachtet die S c h w e r e wie eine, der Gröfse und Richtung nach, in der ganzen Ausdehnung desselben Körpers, constante Kraft §.59. Erklärung des G e w i c h t e s und der D i c h t i g k e i t ; Gleichungen, welche zwischen dem Gewichte, der Masse, dem Volumen eines Körpers und der Gröfse der Schwere statt haben §. 60. Erklärung des G r a m m e , Verhältnis seines Gewichtes zu dem desselben Volumen Wassers bei der Temperatur des schmelzenden Eises; Dichtigkeit der Luft und des Quecksilbers §.61. Die Gewichte dienen zur Vergleichung für die anderen Kräfte; sie geben das bequemste Maafs der Masse §. 62. Erklärung des S c h w e r p u n k t e s ; praktische Regel, um seine Lage im Inneren eines festen Körpers zu bestimmen §. 63. Gleichungen, nach welchen man die Coordinaten des Schwerpunktes eines Systems von Körpern bestimmt, deren Schwerpunkte schon bekannt sind. Fall, in welchem die Massen der Körper unendlich klein sind. Was man unter den Schwerpunkten eines Volumens einer Oberfläche und einer Linie versteht §. 64u.65. Gleichungen, welche zwischen den wechselseitigen Abständen der Schwerpunkte verschiedener Körper und ihren Abständen vom Schwerpunkte des ganzen Systems statt haben §• 66. Merkwürdige Eigenschaft des Gleichgewichtes eines materiellen völlig freien Punktes §.67. Anfzählung der verschiedenen Fälle, wo der Schwerpunkt unmittelbar bekannt ist §• 68.

Fünftes Kapitel. I.

Bestimmung der Schwerpunkte

Schwerpunkte

der kruinmen

Linien

S. 98. ebend.

IX Cooirdirnatfl

des Schwerpunktes

auf die g e r a d e Linie Scliwerrpuikt der ebenen

einer beliebigen

krummen L i n i e ,

Linie;

Anwendung

§. 6 9 . Anwendung auf den Kreis

und die 74.

Oberflächen

Coordimato des Schwerpunktes

S . 106.

einer beliebigen Oberfläche, B e s t i m -

mung für dien fall wenn die Oberfläche eine ebene ist

§. 7 5 .

Anwendung a u f den Schwerpunkt eines D r e i e c k s ;

Bestimmung dieses

Punktes ohme Hülfe der Integralrechnung.

'Wie man hieraus die Schwer-

punkte e i n e a Kreisausschnittes und Kreisabschnittes findet

7 6 , 7 7 u. 7 8 .

M a n b e z e c h n e t , als Beispiel die Schwerpunkte der drei Kegelschnitte; man

b e r e c h n e t vollständig die zwei Coordinaten des Schwerpunktes eines

beliebigen T l i e l s der Fläche der Cykloide Schwerpuikt

der

Zone

§.79n.80.

einer Rotationsoberfläche;

Anwendung

auf

die durch d i e Cykloide erzeugte concave und convexe Oberfläche §. 8 1 u. 8 2 . R e g e l z u r Bestimmung der Schwerpunkt

der

des Volumens eines Rotationskörpers,

erzeugenden Fläche

wenn

ohne Rechnung bekannt

ist.

Ausdehnung dieser R e g e l auf andere Arten von Körpern

§. 8 3 u. 8 4 .

Volumen eines Prisma oder abgestumpften C l ü n d e r s

§. 8 5 .

III.

Schwerpunkte der Volumina

und der K ö r p e r

S . 122.

Schwerpunkt einer Pyramide oder eines beliebigen K e g e l s Bestimmung

des Schwerpunktes

Hülfe der Integralrechnung;

einer

§. 8 6 .

dreiseitigen P y r a m i d e ,

ohne

wie man hieraus die Schwerpunkte eines K u -

gelausschnittes und Kugelabschnittes findet

§. 8 7 u. 8 8 .

Schwerpunkt eines um eine Axe symmetrischen Körpers und besonders eines S t ü c k e s eines Ullipsoids Schwerpunkt

eines

§.89.

Rotationskörpers

und

besonders

des

durch

Cykloide erzeugten concaven und convexen Körpers Verschiedene Ausdrücke des Schwerpunktes

in dreifachen Integralen für die Coordinaten

eines beliebigen K ö r p e r s ; Anwendung auf einen Theil

einer ungleichartigen Kugel Differentialelement

§. 9 1 u. 9 2 .

eines Volumens, ausgedruckt

durch die

Differen-

tiale der Polarcoordinaten

§.93.

Sechstes KapiteL Berechnung der Anziehung der Körper I.

Formeln uad a u f Allgemeine

die

§. 9 0 .

in

Beziehung

die K u g e l Ausdrücke

in

auf

einen

beliebigen

S.136. Körper

insbesondere dreifachen

Integralen

S.136. für die

drei

recht-

X vvlukligen Seltenkräfte der durch einen Körper auf einen materiellen Punkt §. 9 4 u . 9 5 . ausgeübten Anziehung Reduction dieser drei dreifachen Integrale auf partielle Differentiale eines einzigen Integrals §.96. Eine Schwierigkeit, die schon bei Berechnung d e r Coo>rdinaten des Schwerpunktes eines beliebigen Körpers ( § . 9 1 ) berührt worden ist, führt zu einer Untersuchung über die innere Beschaffenheit der f n der Natur vorkommenden Körper. Erklärung der A t o m e und M o l e c u l e n . Was man unter der Dichtigkeit eines Körpers in einem gewissen P u n k t e verstehen m u ß . Erklärung des m i t t l e r e n Z w i s c h e n r a u m s 'der Molecule an demselben Punkte. Man z e i g t , wie die auf die Massender K ö r p e r , auf die Coordinaten der Schwerpunkte und die nach dem umgekehrten Verhältnisse des Quadrates der Abstände wirkenden Anziehungen bezüglichen Formeln, ohne merklichen Irrthum, auf die in der Natur vorhandenen Körper angewandt werden können §. 97 u. 98. Die Anziehung, die ein Körper auf einen sehr entferntem materiellen P u n k t ausübt, ist beinahe dieselbe, als wenn die ganze Masse dieses Körpers in seinem Schwerpunkte vereinigt w ä r e ; wechselseitige Anziehung zweier gleichartiger Kugeln §.99. Lehrsätze in Beziehung auf die Anziellungen, welche sphärische K ö r per auf innerhalb oder außerhalb derselben befindliche materielle Punkte auaüben lOOu. 101. Directer Beweis für das Gleichgewicht eines materiellen ^Punktes, der in einem durch eine sphärische Schichte begränzten Raum liegt §. 102. II.

Formeln

für das Ellipsoid.

S . 149.

Umbildung der allgemeinen Formeln des § . 9 5 , die besonders in dem Falle nützlich ist, wenn der angezogene P u n k t selbst z u denn anziehenden Körper gehört §. 103. Anwendung auf das gleichartige Ellipsoid. Die F o r m e l n , welche sich auf die Anziehung, die es auf einen inneren Punkt a u s ü b t , beziehen, redlicheren sich auf einfache Integrale, die vermittelst der Tafeln für die elliptischen Functionen berechnet werden können. Ausdehnung des L e h r satzes des §.102 auf eine elliptische Schichte §. 104u. 105. Die Integrale können, wenn man ein durch Umdrehung entstandenes Ellipsoid betrachtet, unter endlicher Form angegeben werden. Besonderer F a l l , wenn das Ellipsoid sehr wenig abgeplattet ist §.106. Merkwürdiges T h e o r e m , vermittelst dessen man die Anziehung, die ein Ellipsoid auf einen äufseren P u n k t ausübt, von der Anziehung, die ein anderes Ellipsoid auf einen inneren P u n k t ausübt, abhängig mracht. Dieser Lehrsatz hängt nicht von dem Gesetze a b , nach welchem diie Anziehung als Funktion des Abstandes wirkt. Anwendung auf den besonderen Fall, wenn man zwei concentrisclie Kugeln hat §. 10T, 108 u. 109.

XI

D

Z w e i t e s

B u c h .

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a

I

k.

Erster Tlieil. F.rslcs Kapitel. Von der geradlinigen Bewegung Maafse der Lifte I.

F c u r i m e l n ur d i e

geradlinige

Bewegung

und dem S. 164. ebend.

Erkläriuiig ud Gleicliuug der gleichförmigen Bewegung §.110. Bemierlkung Oer das Maars der Z e i t ; Unveränderlichkeit des S t e r n t a g e s , steinee Daue im Vergleiche mit der des m i t t l e r e n T a g e s § . 1 1 1 . ErkEärtung de Geschwindigkeit bei der gleichförmigen Bewegung, und alsdann b e i der vränderlichen Bewegung §.112. Worin «die T n g h e i t der Materie besteht §.113. Ausdrucck f ü r ie Geschwindigkeit bei einer beliebigen Bewegung; Ausdruck f ü r dien R a m , der in einer unendlich kleiuen Zeit durchlaufen wird, ohne RücksÜcht ai die erlangte Geschwindigkeit §. 114. Erkläruing un Gleichung der g l e i c h f ö r m i g b e s c h l e u n i g t e n oder v e r m i i u d e t e n Bewegung. Die K r a f t , welche sie hervorbringt, ist eine c o ins t a u e K r a f t . Die Bewegung ist die der schweren Körper im leeren R l a m n e , a n demselben Orte ist die Beschleunigung dieselbe für alle diese Kiörper. Ihr Werth auf der Pariser Sternwarte §.115. Man beeweist, dafs die Gröfsen der K r ä f t e , die nach einander auf denselben miateriebn Punkt wirken, sich zu einander verhalten, wie die unendlich klleinen »eschwindigkeiten, die sie ihm in derselben unendlich kleinen Zeit mittlulen §.116. Bei coinstante Kräften verhalten sich ihre Intensitäten zu einander, wie die uneindlich kleinen Geschwindigkeiten, welche sie in der Einheit der Zeit herrvorbrii?eii. Beispiele des Verhältnisses der K r ä f t e , welches ans dem der beobahteten Geschwindigkeiten abgeleitet wird. Umgekehrtes Beispiel, w o das Verhältnis der Geschwindigkeiten aus dem der Kräfte abgeleitet würd §. 11T. Maafs dler Krat bei einer beliebigen veränderlichen Bewegung, sowohl vermittelst dler Geelnvindlgkeit, die sie hervorbringt, als auch vermittelst des Raumes:, den der Körper durch dieselbe in einer unendlich kleinen Zeit durchlauft §• 118. Allgemeine Fomeln für die veränderliche Bewegung §.119. II.

M a a f f s d e r K r ä f t e , m i t R ü c k s i c h t a u f d i e M a s s e n S . 179 Das Unpassend: des Ausdrucks K r a f t d e r T r ä g h e i t

§.120.

Was msan u n t r materiellen Punkten von gleicher Masse verstehen m i i k ; zu ei Kräfte welche auf zwei verschiedene Punkte wirken, verlialteu siih a u ein:wler, wie ihre Massen, multipliciert mit den durch diese Kräfte in denselben Augenblicke liert orgebrachten Geschwindigkeiten §.121.

XII Erklärung der b e w e g e n d e n K r a f t , ilir Werth bei einer beliebigen Bewegung, sie geht in einen D r u c k

über,

wenn die Bewegung aufge-

hoben wird

§.122.

Aus der Identität der Bewegung schwerer Körper nn allen Punkteu der Erde schliefst

man,

dafs das Gewicht der Masse

proportional

ist

§. 123. Wenn die bewegende Kraft gegeben i s t , so findet man daraus die b e s c h l e u n i g e n d e K r a f t , wenn man sie durch die Masse des Körpers dividiert; man g i e b t ,

als Beispiel, den

ein gegebenes Gewicht, das allmälich

Widerstand eines Mittels und

an verschiedene Massen angebracht

wird

§ . 1 2 4 u . 125. Erklärung der G r ö f s e

der

Bewegung

und des Stofses; Zerle-

gung eines Stofses in zwei andere, Anwendung auf den K e i l

§.126.

Bedingung der Gleichheit zweier Stöfse, Princip des Gleichgewichtes bei dem Stofse, nacli welchem zwei unelastische K ö r p e r , die zusammentreffen, zur Ruhe kommen, wenn ihre Geschwindigkeiten im umgekehrten Verhältnisse der Massen stehen

§. 127.

Wie man ein Gewicht und einen Stöfs vergleichen kann

Zweites Kapitel.

Beispiele der geradlinigen Bewegung

Differentialgleichungen unter endlicher Gestalt ist Kraft constaut ist oder als Z e i t , der Geschwindigkeit

§. 128.

S. 192.

der geradlinigen Bewegung, die Integration nur dann möglich, wenn die beschleunigende Function einer der drei Veränderlichen, der und des durchlaufenen Raumes gegeben h t

§• 129. Verticale Bewegung eines schweren Körpers im leeren Räume §. 130. Bewegung dieses Körpers auf einer schiefen Ebene §.131. Verticale Bewegung eines schweren Körpers in einem widerstehenden Mittel. Wenn er von einer grofsen Höhe fällt, so nähert sich seine G e schwindigkeit immer mehr einem beständigen Werthe. Mittel den C o e f f i c i e n t e n des Widerstandes durch die Beobachtung der ganzen Zeit der Erhebung und des Falles des Körpers zu bestimmen §. 1 3 2 , 1 3 3 , 1 3 4 u. 135. Beispiel des Gebrauchs der b e s o n d e r e n dynamischen Aufgaben

Auflösungen

bei den §.136.

Bewegung eines Körpers, der nacli einem festen Mittelpunkte gezogen wird, sowohl wenn diese Anziehung in directem Verhältnisse mit dem Abstände, als auch wenn sie im umgekehrten Verhältnisse des Quadrates des Abstandes steht §. 137 u. 138. Bewegung eines Körpers, der nach zwei festen Mittelpunkten gezogen wird, Betrachtung des Falles, wenn diese zwei Mittelpunkte die des Mondes und der E r d e sind. Verminderung der Geschwindigkeit eines geworfeuen Körpers, welche durch seine Schwere gegen den Körper, von dem er aus* gegangen ist, hervorgebracht wird, wenn er sich sehr weit von diesem Körper entfernt hat §.139,140,141,142,u.l«.

XIII

Drittes Kapitel. I.

Allgemeine

Von der krummlinigen Bewegung Formeln

dieser

Bewegung

S. 2 1 3 . cbend.

Die Bestimmung der krummlinigen Bewegung eines materiellen Punkte» kommt auf die der geradlinigen Bewegungen seiner drei Projectionen auf die Coordinstenaxen zurück §. 144. Ausdruck der Geschwindigkeit des Körpers, ihre Richtung ist die Tangente der T r a j e c t o r i e ; die Geschwindigkeiten der drei Projectionen sind das, was man die S e i t e n g e s c h w i n d i g k e i t e n der Geschwindigkeit des Körpers nennt. Die Zusammensetzung und Zerlegung der Geschwindigkeiten geschieht nach denselben Regeln, wie die Zusammensetzung und Zerlegung der Kräfte § dafs diese Dichtigkeit gjrüfser ist als die des Wassers; Zunahme der Dichtigkeit der Erdschichten:, von i e r Oberfläche nach dem Mittelpunkte hin. Ungleichheit der Bewegumg des M o n d e s , die von der Abplattung der E r d e herrührt. Einflufs der örtlichen Anziehungen auf die L ä n g e des Secundenpendels §.254. Reducticon der L ä n g e des in einer gegebenen Höhe beobachteten S e cundenpendells auf die Meeresfläche §.255.

Drittes S

Erstes Kapitel.

t

a

t

Buch. i

k

.

Z w e i t e r Theil. Vom Gleichgewichte eines festen Körpers S. 398.

Bemerkmng über die Zusammendrückbarkeit und die Gestaltsänderung eines Körper/s, der im Folgenden betrachtet werden soll §.256. ümbilduing eines Systems beliebiger K r ä f t e , die an einen festen K ö r per angebracht sind, in drei Gruppen von K r ä f t e n , von welchen die erste aus Kräften besteht, die senkrecht auf einer gegebenen E b e n e stehen, die zweite aius parallelen in dieser Ebene enthaltenen K r ä f t e n , und die dritte aus Kiräften, die nach einer geraden L i n i e , welche auf den vorhergehenden semkrecht und in dieser Ebene enthalten i s t , gerichtet sind §. 2 5 7 , 2 5 8 U. 259. b*

XX Notwendige

und

hinreichende Gieiclmngcn f ü r das

Gleichgewicht

eines völlig freien Körpers §.260. Diese Gleichungen sind auch f ü r das Gleichgewicht eines jeden anderen Systems nöthig, dns kein festes Hindernifs enthält §.261. Besonderer Fall der parallelen K r ä f t e und der K r ä f t e , die alle in einer Ebene enthalten sind §.262. Bedingung, damit die gegebenen K r ä f t e eine einzige Mittelkraft haben. Gleichungen dieser Mittelkraft, ihre Gröfse und Richtung. In allen Fällen können die gegebenen K r ä f t e auf zwei zurückgeführt werden und zwar auf unzählig viele Arten § . 2 6 3 u. 261. Gleichungen des Gleichgewichtes zweier fester K ö r p e r , die sich auf einander stützen §.265. Gleichungen des Gleichgewichtes eines festen K ö r p e r s , d e r durch feste Hindernisse zurück gehalten w i r d , in den wichtigsten F ä l l e n , die vorkommen können §. 2(56. Umbildung der Gleichung des Gleichgewichtes in Beziehung auf eine feste Axe $.267. Gleichgewicht eines schweren Körpers auf einer schiefen E b e n e $.268. Maafs der R e i b u n g im Augenblicke, in weichem das Gleichgewicht aufliört §. 269. Last der verschiedenen Stützen eines horizontalen T i s c h e s , der ein gegebenes Gewicht trägt. Woher die scheinbare Unbestimmtheit dieser Aufgabe kommt §.270.

Zweites Kapitel.

Theorie der Momente

S. 420.

Wenn die Kräfte durch gerade Linien dargestellt w e r d e n , so werden ihre Momente durch ebene Flächen dargestellt. Der Lehrsatz des §.46, rucksichtlich des Momentes der Mittelkraft zweier K r ä f t e , ist alsdann ein geometrischer Lehrsatz, dessen Beweis gegeben wird §.271. Das Moment der Projection einer K r a f t auf eine Ebene ist die P r o jection des Momentes dieser K r a f t auf dieselbe Ebene §.272. Was man unter dem Momente eines Systems von Kräften in Beziehung auf eine Axe versteht. Die Momente desselben Systems von Kräften in Beziehung auf zwei A x e n , von welchen eine in der Verlängerung der anderen l i e g t , sind gleich und haben entgegengesetzte Zeichen. Ebenso ist es in Beziehung auf die Momente zweier gleicher und entgegengesetzter Systeme von K r ä f t e n , die iu Beziehung auf dieselbe Axe g e nommen sind §.273. Ausdruck f ü r die Momente eines Systems von Kräften in Beziehung auf die drei positiven Coordinatenaxen Ihrer Angriffspunkte. Wie man die Zeichen der Glieder dieser drei Formeln bestimmt §.274. Werthe der Cosinus der Winkel, die sich auf die Richtung der N o r malen der E b e n e , die eine gerade Linie und einen gegebenen P u n k t enth ä l t , beziehen §.275. Formeln rücksichtlich der Projectionen eines Systems ebener Flächen a u f versrlltpripne E l i r n p n

IflpntUät

¿IIACAP

VArmaln m J

i l a n o n i f f p n . IVplrllA

XXI den IProjectionen

gerader Linien

anf andere

gerade Liuien

entsprechen §. 2 7 6 ( 1 . 2 7 7 .

E b e n e and Gröfse der kleinsten F l ä c h e , charakteristische Eigenschaft dieser

Ebene

§ . 2 7 8 , 2 7 9 u. 2 8 0 .

E i g e n s c h a f t e n der Momente, aus denen der ebenen Flächen abgeleitet. Identiltät der Zusammensetzung

der Momente und der Zusammensetzung

der KLräfte, welche aus der Identität der Projectionen der ebenen Flächen und Hier Projectionen der geraden Linie herrührt HIauptmoment

§.281.

eines Systems von Kräften.

B e d i n g u n g e n des Gleichgewichtes dieses Systems.

Neuer Ausdruck

Systenme von Kräften gleichgeltend sind Alenderuug des Hauptmomentes, t e l p u n k t e s der Momente

§.282.

die durch die Verrückung des M i t -

hervorgebracht wird.

wie «man hieraus die nothwendige

und

I.

Kleinste

Hauptmomente;

hinreichende Bedingung für das

Vorhamdenseyn einer einzigen Mittelkraft

Drilttes Kapitel. Kiürpers

der

B e d i n g u n g , damit zwei

findet

§. 2 3 3 u. 2 8 4 .

Beispiele des Gleichgewichtes eines biegsamen S. 439.

(Gleichgewicht des S e i l p o l y g o n s

ebend.

l i m Zustande des Gleichgewichtes des Polygons mufs j e d e S e i t e , nach ihren ^Verlängerungen, durch gleiche und entgegengesetzte Kräfte gezogen werdem.

Nothwendige Gleichungen, wenn die an das Polygon angebrachten

K r ä f t e ; im Gleichgewichte seyn sollen

§.285.

CJonstruction der Gestalt des im Gleichgewichte befindlichen Polygons. B e r e c h n u n g der S p a n n u n g e n seiner Selten.

F a l l , in welchem mau die

fiufserstten Punkte desselben als fest ansieht

§.286u.287.

Uiie Ausdehnungen der Seiten des Vielecks sind den Spannungen, die sie erleeiden, proportional

§.288.

W e n n einer der Knoten des Polygons durch einen R i n g ersetzt ist, so mufs ddie an diesen Punkt angebrachte Kraft den W i n k e l , zwei

zzusammenstofsenden Seiten

bilden,

welchen die

in zwei gleiche Theile

thcllen §. 2 8 9 .

B e d i n g u n g e n , tücksichtlich der Richtungen der K r ä f t e , Systemien materieller

im Gleichgewichte

die bei allen

befindlicher Punkte statt

haben

m ü s s e m , und wovon die vorhergehende ein besonderer F a l l ist Gleichgewicht

eines P o l y g o n s , das mit einem Gewichte

§.290. beladen

D r u c k e : , welche die festen P u n k t e , an welche es angeknüpft i s t ,

ist,

erleiden §.291.

E i i n e der des § . 2 7 0 Seile,

analoge Bemerkung über die Spannungen

die ein gegebenes Gewicht t r a g e n ;

S e i l e beschaffen

sey,

wie auch die Anzahl

Immer kann man ihre Spannungen und die Lasten

der festten Punkte aus dem Maafse der Verlängerungen ableiten II.

der

dieser

«Gleichgewicht eines biegsamen Fadens

§.292. S

450.

GUeichungen des Gleichgewichtes eines schweren F a d e n s , die anfängich dre:i an der Zahl sind und auf zwei zurückgeführt werden

§ 293.

XXII Integrale dieser Gleichnngen unter endlicher F o r m ; Gleichungen der K e t t e i l l i n i e . Werth der Spannung in einem beliebigen Punkte § . 2 9 4 . Berechnung der Spannung am tiefsten Punkte und der Lasten, welche die zwei Aufliängungspunkte tragen g. 2 9 5 . Unter allen gleich langen krummen Linien ist die Kettenlinie diejenige, deren Schwerpunkt am tiefsten liegt §.296. F a l l , wo die verticalen K r ä f t e , die auf die Elemente des Fadens wirken, ihren horizontalen Projectionen proportional sind, die krumme Liuie des Gleichgewichtes ist alsdann eine Parabel. Berechnung der Spannung am tiefsten Punkte und der Lasten der äufsersten Punkte, welche in der Theorie der Hängebrücken nützlich seyn kann §.297. Gleichungen des Gleichgewichtes eines Fadens, der durch beliebige Kräfte getrieben wird §.298. Fall eines schweren Fadens, der vertical an einem festen Punkte aufgehängt und mit einem Gewichte an seinem unteren E n d e belastet i s t ; Berechnung der ganzen Verlängerung §.299. Aufdruck der Spannung im allgemeinen Falle, die krumme Linie wird durch zwei Differentialgleichungen der zweiten Ordnung bestimmt. Werth des Krümmungshalbmessers nach der Richtung der Tangente in jedem Punkte §. 3 0 0 . Anwendung der vorhergehenden Formeln auf den F a l l , wenn ein Faden auf der Oberfläche eines festen Körpers ausgespannt i s t , und zwar durch Kräfte getrieben, die an seinen Endpunkten wirken, und die einzigen sind, die auf ihn wirken, die Spannung ist in der ganzen Länge dieselbe. Im Zustande des dauernden Gleichgewichtes bildet der Faden auf der Oberfläche die kürzeste L i n i e , die zwischen zwei Punkten enthalten ist. Der Druck, der in jedem Punkte der Oberfläche ausgeübt wird, steht im umgekehrten Verhältnisse des Krümmungshalbmessers dieser Liuie und ist der Spannung proportional §. 3 0 1 u. 3 0 2 . Diese Resultate werden durch die Reibung des Fadens gegen die Oberfläche des festen Korpers modificiert. Berechnung der Reibung eines Fadens in der Riune einer festen Rolle §.303. Man bewahrheitet die sechs allgemeinen Gleichungen des Gleichgewichtes des § . 2 6 1 in dem Falle des Gleichgewichtes eines biegsamen F a dens. Gebrauch dieser Gleichungen zur Bestimmung der Coordinateu der nufsersten Punkte, wenn sie frei sind, oder der Drucke, die sie erleiden, wenn sie fest sind und eine gegebene L a g e haben § . 3 0 4 u. 3 0 3 . III.

Gleichgewicht eines elastischen Stabes

S.475.

Bedingung, damit ein Stab durch Biegung elastisch ist. Verschiedene Wirkungen, die seine Theile erleiden, wenn man ihn von seiner anfänglichen Lage des Gleichgewichtes entfernt hat. Erklärung der elastischen Platte $.306. Hypothesen, rücksichtlich der K r ä f t e , die aus der Ausdehnung oder Zusammenzichung des longitudinalen Streifen und der Gröfse ihrer Krümmung entspringen. Werth der ganzen Kraft der Zusammenziehung eines Elemeutes der P l a t t e ; Werth des M o m e n t e s d e r E l a s t i c i t ä t §. 3 0 7 . B e i der eigentlichen e l a s t i s c h e n L i n i e ist die Spannung constant und hat auf die Krümmung der Platte keinen Einflufs. Differentialgleichung dieser krummen Linie. Bedingungen in Beziehung auf ihre Endpunkte §. 308 u. 3 0 9 . F a l l , wo die Platte horizontal, an einem Ende eingeklemmt und am anderen Ende mit einem gegebeneo Gewichte belastet i s t , Berechnung

XXIII der gainzen B i e g u n g ; Vergleichung der Ausdehnung und Biegung einer P l a t t e , , die durch dasselbe Gewicht her\ orgebrach t werden könneu §.310. Faall, wo die Platte eine verticale Feder ist, die auf einer horizontalen Ebene ruht und an ihrem oberen Ende mit einem Gewichte beladen ist. Ausfühirliche Untersuchung der verschiedenen Gestalten, welche diese Feder annehmien kann §. 311 u. 312. AWas man unter der K r a f t einer Feder versteht; Berechnung dieser Kraft mach der Ausdehnung oder Biegung der F e d e r , die durch ein g e g e b e n e » Gewicht hervorgebracht werden §.313. Atusdehnung der vorhergehenden Resultate auf den Fall eines elastischen geradem oder gekrümmten Stabes, der nicht um sich selbst gewunden wordem ist; was man alsdann unter dem m i t t l e r e n S t r e i f e n versteht. Werth 'des Momentes der Elasticität §.314. Foormel, welche die Biegung eines geraden Stabes vermittelst der Kraft «der Feder angiebt. Berechnung dieser Kraft nach verschiedenen H y p o t h e s e n über die Gestalt des senkrechten Schnittes. Yergleiclumg der Krraft einer hohlen Feder mit der einer ausgefüllten §.315. Wierth des Differentials der Spannung in einem beliebigen Punkte eines eelastischen Stabes, dessen Punkte sämmtlich durch beliebige Kräfte getriebten werden; ein S t a b , der an einem Endpunkte gezogen wird, nimmt an Volumen z u , so wie er sich verlängert §.316. Alllgemeine Gleichungen des Gleichgewichtes eines elastischen Stabes mit Rüicksicht auf die Windung §.317. Dais Moment der Windung ist in der ganzen Länge des Stabes constant, .sein W e r t h , aus den K r ä f t e n , die auf einen seiner Endpunkte wirk e n , albgeleitet §.318. Reeduction der drei allgemeinen Gleichungen auf eine einzige, wenn der mitttlere Streifen eine ebene krumme Linie ist. Gleichungen in Beziehung aiuf die besonderen K r ä f t e , welche an den beiden Endpunkten des Stabes wirken §.319. Wienn der Stab gleichförmig schwer ist. Bestimmung seiner Gestalt. Bcreclunung seiner Biegung und der Lasten der Stutzpunkte § . 3 2 0 , 321 u. 322. Fnill, wo das Gewicht des Stabes ungleich über seine verschiedenen Punkte vertheilt ist. Lagrange's F o r m e l , um die Werthe einer gegebenen Functio>n, in einer ebenfalls gegebenen Ausdehnung der Werthe der Veränderlicchen durch eine Reihe periodischer Groden auszudrücken §.323. Beistimmung der Gestalt eines in der Mitte mit einem Gewichte belastetem Stabes; Berechnung seiner Biegung und der Lasten seiner S t ü t z punkte §. 324. B e w e i s der vorher angeführten Formel ( § . 3 2 3 ) ; andere Formeln derselben .Art §. 325U.326. Amwendung der Formeln dieser Art auf die Summation der Reihen §. 327. Foourier's Formel, aus der vorhergehenden abgeleitet §.328.

Vierte:s Kapitel.

Princip der virtuellen Geschwindigkeiten S. 519.

Bejweis dieses Princips in dem Falle, wenn zwei Kräfte an einen F l a s c h e n z u g , ein Rad an der Welle, eine Schraube, einen Hebel angebracht sind §. 329 u. 330. Alllgemeine Gleichung des Gleichgewichtes eines beliebigen System« materieller Puukte, welche sich aus dem Principe der virtuellen Geschwiui

XXIV digkeiten c r g i c b t . D i e s e Gleichung Iiat nur für die unendlich kleinen B e w e g u n g e n s t a t t , die mit den Bedingungen des S y s t e m s vertraglich und so beschaffen s i n d , dafs die entgegengesetzten B e w e g u n g e n e b e n so gut möglich s i n d ; sie ist schon in § . 3 9 für den F a l l eines materiellen isolierten P u n k t e s erwiesen worden §.331. B e m e r k u n g e n in Beziehung a u f die Ausdehnungen und Z n s a m m e n z i e liuugen, die zwischen den physischen Verbindungen der P u n k t e eines im Gleichgewichte befindlichen S y s t e m s statt h a b e n , wie man diese inneren K r ä f t e b e z e i c h n e t , wie man die Aenderungen des Abstandes d e r P u n k t e des S y s t e m s vorstellt. G l e i c h u n g , welche zwischen d e r ganzen Aenderung und den partiellen Aendernngen j e d e s Abstandes statt findet § . 3 3 2 u. 3 3 3 . S e h r allgemeiner Beweis des Princips d e r virtuellen Geschwindigkeiten 3 3 4 u. 3 3 5 . M a n z e i g t , d a f s , wenn der directe L e l i r s a t z g e k e h r t e S a t z eine unmittelbare F o l g e davon ist

bewiesen i s t ,

der um§. 33G.

Dieses P r i n c i p hat auch bei dem G l e i c h g e w i c h t e der F l ü s s i g k e i t e n s t a t t , wie in der F o l g e gezeigt werden soll. Anderer B e w e i s dieses P r i n cips a u f die B e t r a c h t u n g der F l a s c h e n z ü g e g e g r ü n d e t § . 3 3 7 , 3 3 8 u. 3 3 9 . Aus dem P r i n c i p e der virtuellen Geschwindigkeiten kann man die R e g e l n des Parallelogramms der K r ä f t e uud der Z u s a m m e n s e t z u n g parall e l e r K r ä f t e ableiten. W i e man hieraus die Gleichungen des G l e i c h g e wichtes eines festen K ö r p e r s , die früher gefunden worden s i n d , ableitet §.340. Umbildung der allgemeinen Gleichung der virtuellen Geschwindigkeit e n ; R e g e l n , um daraus alle Gleichungen des G l e i c h g e w i c h t e s eines S y s t e m s materieller P u n k t e abzuleiten, deren Verbindungen durch Gleichungen zwischen ihren Coordinaten ausgedrückt sind §. 3 4 1 u. 3 4 2 . M a n bestimmt zu gleicher Z e i t die G r ö f s e und R i c h t u n g d e r aus diesen Verbindungen entspringenden inneren K r ä f t e . D a s P r i n c i p d e r virtuellen Geschwindigkeiten ist notlnvendig, um rücksichtlich z w e i e r o d e r mehrerer P u n k t e , die durch dieselbe Gleichung verbunden sind, die Verhältnisse der Grof»e dieser K r ä f t e a n z u g e b e n , während die B e m e r k u n g in § . 2 9 0 nur deren Richtungen bestimmt §.343u.344. Anwendung polygons

der

vorhergehenden F o r m e l n

a u f das B e i s p i e l

des

Seil§.345.

Eigenschaft des Maximum und M i n i m u m , welche beim Gleichgewichte eines S y s t e m s materieller P u n k t e , die i h r e n , als F u n c t i o n e n d e r Abstände g e g e b e n e n , wechselseitigen Anziehungen oder Abstofaungen und anderen ähnlichen nach festen Mittelpunkten gerichteten K r ä f t e n unterworfen sind, statthat §.346. Unterschied zwischen dem c h e n Gleichgewichte

dauernden

Eigenschaft des Schwerpunktes eines diesen zwei Zuständen des Gleichgewichtes

und dem

Systems

augenblickli§.347.

schwerer

Beispiel der D a u e r und Kichtdauer dieses S y s t e m s

K ö r p e r in §.348. §.319.

Einleitung.

1. D i e M a t e r i e ist alles, was auf irgend eine Weise im Sttanide ist, einen Eindruck auf unsere Sinne zu machen; die K L ö r p e r sind Tlieile der Materie, die nacli allen Richtungein 3iin begränzt sind und eben deswegen eine bestimmte F o r i m und ein bestimmtes V o l u m e n haben. Die M a s s e eines Körpers ist die Quantität der Materie, aus welcher er zusamimengesetzt ist. EEin m a t e r i e l l e r . P u n k t heifst ein Körper, dessen Dimernsionen sämmtlich unendlich klein sind; so dafs die Länge3 einer jeden Linie, die sich innerhalb desselben befindet, tunendlich klein ist, das heifst, kleiner als jede angebbare Länge;. Einen Körper, der endliche Dimensionen hat, kann man aals eine Sammlung einer unendlich grofsen Anzahl materiellere Punkte ansehen, und ebenso kann man seine Masse als die Suimme aller ihrer unendlich kleinen Massen betrachten *).

2. E i n Körper ist in B e w e g u n g , wenn er selbst, oder seine 'Theile sich allmälich an verschiedenen Stellen im Räume befindlen. D a aber der R a u m unbegränzt und überall derselbe ist, so können wir auf keine andere Weise beurtlieilen, ob eim Körper sich in Ruhe oder in Bewegung befindet, als *) Mail vergleiche Zusatz I.

Annierk. des Urbers.

1

2 wenn wir ihn mit anderen Körpern, oder mit uns selbst vergleichen. Hieraus folgt, dafs alle Bewegungen, die wir bemerken, notliwendig r e l a t i v e Bewegungen sind. Alle Körper sind b e w e g l i c h , aber die Materie bewegt sich niemals freiwillig, denn es liefse sich durchaus kein Grund angeben, warum sich ein materieller Punkt eher nach der einen als nach der anderen Richtung fortbewegen sollte. "Wirklich finden wir auch immer, wenn wir einen Körper in dem Zeitpunkte beobachten, in welchem er aus dem Zustande der Ruhe in den der Bewegung übergeht, dafs diese Veränderung des Ortes durch die Einwirkung einer Ursache entsteht, die dein Körper fremd ist, das lieifst, die so beschaffen ist, dafs wir uns den Körper als bestehend denken können, wenn sie auch nicht vorhanden ist. Man bezeichnet gewöhnlich durch das W o r t K r a f t jede Ursache, die entweder den Körper in Bewegung setzt, oder doch wenigstens ihn zu bewegen strebt, wenn ihre "Wirkung durch eine andere Kraft aufgehoben oder gehindert wird. 3. Wenn mehrere Kräfte zu gleicher Zeit auf einen Körper wirken, so ändern sie wechselseitig ihre Wirkungen, weil die Theilclien des Körpers unter einander verbunden sind, und eben deswegen verhindert werden, der Bewegung zu folgen, welche die Kraft, die auf ein jedes Theilclien einwirkt, diesem mittheilen will. Es kann sich sogar ereignen, dafs diese Kräfte sich völlig aufheben, so dafs der Körper gar keine Bewegung annimmt; man nennt diesen besonderen Zustand eines beweglichen Körpers, der in Ruhe bleibt, wiewohl er von verschiedenen Kräften getrieben wird, das G l e i c h g e w i c h t , oder man sagt auch, dafs diese Kräfte im Gleichgewichte sind. Die M e c h a n i k ist die Wissenschaft, welche das Gleichgewicht und die Bewegung der Körper behandelt. Man nennt den Theil der Mechanik, der besonders die Bedingungen des Gleichgewichtes zu entdecken sucht, die S t a t i k . Der andere Theil heifst die D y n a m i k ; ; ihr Zweck ist, die Bewegung zu bestimmen, die ein Körper annimmt, wenn die auf ihn wirkenden Kräfte nicht im Gleichgewichte sind.

3 IDa es den Mathematikern, wie man in der Folge sehen wird,, gelungen ist, alle Fragen der Bewegung auf einfache Aufgalben des Gleichgewichtes zurück zu führen, so wäre es am eiinfachsten, wenn man zuerst die ganze Statik, und alsdann die ganze Dynamik abhandelte. Indessen scheint es, zum Ibesseren Verständnisse der Gegenstände, vortheilhafter zu sejyn, im Unterrichte erst den einfachsten Theil der Dynamikc vorzutragen, ehe man zu den allgemeineren Fragen des Gleichgewichtes übergeht. Diese Ordnung werde ich daher auch iin diesem Werke befolgen.

4. Blei einer Kraft, die auf einen materiellen Punkt wirkt, kommien drei Dinge in Betrachtung, nemlich die Lage dieses Punkttes, die Intensität der Kraft und ihre Richtung, das heifst der geradlinige Raum, durch welchen sie den Punkt, auf den Säie wirkt, zu treiben sucht. Jedoch darf man einen materiiellen Punkt nicht mit dem verwechseln, was man in der Gieometrie einen P u n k t nennt, wo dieses Wort das Ende • einer Linie, oder den Durchschnitt zweier Linien, bedeutet.. Ebenso ist der Raum, den ein materieller Punkt durcliliauft, nicht eine mathematische Linie; weil aber ein solchen* Körper unendlich klein ist, und daher die Breite und Höhe «des Raumes, durch welchen die Kraft ihn zu treiben strebt,, ebenfalls unendlich klein sind, so kann man die Lage desseltfoen und die Richtung der Kraft auf dieselbe Weise bestimmten, wie man die Lage eines Punktes und die Richtung einer ¡geraden Linie in der Geometrie bestimmt. Die Lage eines 'Punktes, auf welchen eine Kraft wirkt, im Räume, wird cdalier im Allgemeinen durch drei Coordinaten bestimmt werdem, die den Durchschnitten dreier rechtwinkliger Ebenen paralleel sind, wodurch, wie bekannt, jede Unbestimmtheit entfermt wird, sobald man nur zugleich auf das Zeichen und die Gr-öfse jeder Coordinate Rücksicht nimmt. Zuweilen werden wvir auch die Polarcoordinaten anwenden, nemlich den Radiuss Vector des gegebenen Punktes, oder dessen Abstand vom .¿Anfangspunkte, den Winkel, den dieser Radius mit einer festen Linie einschliefst, die durch den Anfangspunkt gezogejn ist, und den Winkel, der zwischen der Ebene, in

1*

4 welcher diese zwei geraden Linien liegen, und einer festen Ebene, die durch dio zweite geht, enthalten ist. 5. Um die Kräfte zu messen, mufs man eine bestimmte Kraft als E i n h e i t annehmen, und das Vcrliältnifs anderer Kräfte zu dieser Kraft durch Zahlen ausdrücken. Man mufa daher auf eine bestimmte Weise erklären, Avas man unter einer Kraft verstehe, die einer andern gleich ist, oder was man darunter verstehe, wenn man sagt, eine Kraft sey zweimal, dreimal, viermal u . s . w . so grofs, als eine andere, ohne dafs hierbei die besondere Beschaffenheit dieser verschiedenen Ursachen der Bewegung in Betracht gezogen wird. Zwei Kräfte sind g l e i c h , wenn 6ie, in entgegengesetzten Richtungen, an einen materiellen Punkt, oder an zwei Punkte, die durch eine Linie von unveränderlicher Länge verbunden sind, angebracht, sich im Gleicligcwichlc halten. Hat man bemerkt, dafs zwei Kräfte einander gleich sind, und bringt man sie alsdann, nach derselben Richtung, an denselben Punkt an, so hat man eine zweimal so grofso Kraft; vereinigt man auf dieselbe Weise drei gleiche Kräfte, so hat man eine d r e i f a c h e , vereinigt man vier, so hat man eine v i e r f a c h e Kraft u. s . w . W e n n wir also in der Folge sagen werden, dafs eine Kraft, die an einen materiellen Punkt angebracht ist, ein gewisses Vielfaches einer anderen Kraft ist, so mufs man dies so verstehen, dafs die erste Kraft als die Summe einer Anzahl von Kräften angesehen werden k a n n , die der zweiten glcich sind und nach derselben Richtung wirken. Auf diese Weise werden die Kräfte, was auch sonst ihre besondere Beschaffenheit seyn mag, mefsbare Gröfsen, die man durch Zahlen ausdrücken k a n n , wie jede andere Art von Gröfsen, indem man sie auf eine Einheit ihrer Art bezieht. Ebenso kann man ihre Intensitäten durch Linien darstellen, die diesen Zahlen proportional sind, und die man auf ihre Richtungen aufträgt, indem man von dem Punkte ausgehl, an welchem sie angebracht sind; was den Vortheil hat, dafs man die Lehrsätze viel einfacher ausdrücken kann.

5 6. D)a auf diese Weise die Punkte, an welchen die Kräfte wirkem, und ihre Intensitäten bestimmt sind, so brauchen •wir niur noch ihre Richtungen zu betrachten. Stey M (Fig. 1.) der Punkt, an welchem eine Kraft wirkt, die Liinie MD bezeichne seine Richtung, so dafs diese Kraft den Pmnlct M, von AI nach D zu bewegen sucht j durch den Punkt M ziehe man die rechtwinkligen Axen Alsl, MB, MC, die, iun Allgemeinen, den Coordinatenaxen parallel und im Sinne «der positiven Coordinaten gerichtet seyn werden. Ferner bezeiclhne man durch u, ß, y, die spitzen oder stumpfen W i n kel, diie die Linie MD mit diesen Axen einschliefst, so dafs

AMD =

«,

BMD = ß,

CMD =

y

ist, 80) behaupte ich, dafs diese Richtung vollkommen bestimmt seyn w i r d , wenn diese drei Winkel gegeben sind. D»enn, nimmt man blos Rücksicht auf die zwei Winkel r und ß , so mufs sich die Linie MD zu gleicher Zeit auf zwei g'craden Kegeln befinden, deren gemeinschaftliche Spitze der Pumkt M ist, lind deren Axen die geraden Linien MA und AHB sind. Die Winkel et und ß müssen daher so beßclialTem seyn, dafs diese zwei Kegel sich schneiden können, welche;s alsdann in zwei Durchschnittslinien statt haben wird, die in einer auf der Ebene slMB senkrechten Ebene liegen, und diie mit der Axe MC zwei Winkel einschliefsen, von welchcm der eine das Supplement des anderen ist. Die gerade Linie JS1D könnte also noch immer zwei verschiedene Lagen haben,, da aber der Winkel y ebenfalls gegeben ist, so weifs man, «ob er spitz oder stumpf ist, und man wird von diesen beiden Lagen diejenige auswählen können, die der Richtung der Kiraft entspricht. Diiese Conslruction zeigt ferner, dafs die Winkel u, ß, y, nicht ¡alle drei willkührlich angenommen werden können. Wirkliich sind die Cosinus der Winkel, die eine gerade Linie MD miit drei rechtwinkligen Axen einschliefst, durch die Gleichumg cos 2 « -f- cos2/? -{- cos 2 y = 1 (1) verbuntden, die man beweist, indem man auf der geraden Linie ±MD, vom Punkte M aus, eine Linie nimmt, die der lünheitt gleich ist, und ein rechtwinkliges Parallelopipedum

6 bildet, dessen Diagonale diese Linie ist, und dessen drei aneinander liegende Seiten auf den drei Axen MA, MB, MC genommen werden. Diese drei Seiten sind alsdann die Cosinus der Winkel a, ß, yt und da die Summe ihrer Quadrate dem Quadrate der Diagonale, nach einem bekannten Lehrsätze, gleich seyn mufs, so ergiebt sich liieraus die eben aufgestellte Gleichung. 7.

!

In diesem Lehrbuche soll die Theilung der Peripherie in 360°, des Grades in 60 Minuten und der Minute in 60 Secunden angenommen werden. Der Buchstabe JT soll beständig gebraucht werden, um die halbe Peripherie vorzustellen, deren Halbmesser der Einheit gleich gesetzt wird, so dafs man rr = 3 , 1 4 1 5 9 2 6 . . . hat. Der vierte Theil der Peripherie entspricht dem rechten Winkel, oder dem Winkel yon 324000"; hieraus folgt, dafs die Länge des Bogens, der einem Winkel von einer gewissen Anzahl n von Secunden entspricht, das vierte Glied einer Proportion seyn wird, deren drei erste Glieder |rr, n , und 324000" seyn werden. Bezeichnet man diese Länge durch