Lehrbuch der Technischen Physik: Teil 1 Mechanik [Reprint 2020 ed.] 9783112356043, 9783112356036

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Lehrbuch der technischen Physik. (Mechanik, Wärmelehre, Optik.) I. Teil: Mechanik. Für den Gebrauch an technischen Mittelschulen und zum Selbststudium.

Von

® t p i P a u l Müller,

Oberlehrer an der Kgl. höheren Maschinenbauschule Aachen.

Mit 144 Figuren.

VERLAG

BERLIN W V O N M. K R Ä Y N 1912.

Yorwort. Von einem L e h r b u c h der P h y s i k , das den besonderen Bedürfnissen des maschinentechnischen Unterrichts dienen soll, w i r d man zu erwarten geneigt sein, es w e r d e den praktischen Anwendungsbeispielen der physikalischen G r u n d l e h r e n eine e i n g e h e n d e r e Behandlung widmen, als es in den L e h r b ü c h e r n f ü r allgemein bildende Unterrichtsanstalten der F a l l zu sein pflegt. D a ß der Verfasser den entgegengesetzten W e g g e w ä h l t hat, bedarf d a h e r einer B e g r ü n d u n g . W ä h r e n d ein P h y s i k l e h r b u c h für Gymnasien usw. im Interesse des Verständnisses fiir die Aufgaben und Leistungen des Ingenieurs g a r nicht g e n u g Hinweise und gute Darstellungen a u s allen Gebieten der T e c h n i k enthalten kann, liegen dem P h y s i k u n t e r r i c h t an technischen Fachschulen ganz a n d e r e Bedingungen und Anforderungen zugrunde. Den a u s g e w ä h l t e n Kapiteln, deren Behandlung lediglich in Betracht kommt, wird hier die Kolle einer — aller historischen und philosophischen Erörterungen entkleideten — Hilfswissenschaft zugewiesen, deren p r a k t i s c h e A n w e n d u n g im eigentlichen Fachunterricht dann eine weit w i r k s a m e r e Behandlung erfährt, als es auch durch die eingehendsten Hinweise im P h y s i k u n t e r r i c h t möglich sein würde. Ein dieser Voraussetzung a n z u p a s s e n d e s L e h r b u c h durfte d a h e r auf die Behandlung und Abbildung von Flaschenzügen und Z a h n r ä d e r n , von D a m p f m a s c h i n e n und W a s s e r r ä d e r n , die mau in fast allen gebräuchlichen L e h r b ü c h e r n findet, wohl verzichten; j a , die Gefahr des allzu weiten Uebergreifens in a n d e r e L e h r gebiete. vor allem in das der technischen Mechanik, m u ß t e geradezu vermieden werden. Die Grenze in dieser Richtung suchte der Verfasser durch zwei Gesichtspunkte zu g e w i n n e n : In den behandelten Problemen sollte die Beweisführung möglichst lückenlos erscheinen; das setzte eine kurze E i n f ü h r u n g in m a n c h e Begriffe voraus, die sicher in den Unterrichtsstoff der technischen Mechanik gehören. Andrerseits sollte auf die experimentelle Behandlung dieser mechanischen Begriffe, die durch die Unter-

V

Vorwort.

elementare Grundbegriffe der analytischen Geometrie zu geben, auf die dann in späteren Kapiteln zurückgegriffen wird. Auch hierbei — vor allem bei der Bewertung der Maßstäbe in den Darstellungen — kommt der Nutzen der Dimensionengleichungen sehr zur Geltung. Die Grundlehren der Algebra und Geometrie mußten selbstverständlich vorausgesetzt werden. Von der höheren Mathematik. deren Behandlung und Verwertung durch den neuen Lehrplan der Kgl. Preußischen höheren Maschinenbauschulen zugelassen ist, wird nur an wenigen Stellen und in solchen Aufgaben Gebrauch gemacht, die für das Verständnis des Ganzen immerhin entbehrlich sind. Über die einfachsten Integrationen ist nicht hinausgegangen worden, so daß diese eventuell aus den Integraltafeln der technischen Taschenbücher ohne Vorkenntnisse entnommen werden können. Der behandelte Lehrstoff entspricht im wesentlichen dem Lehrplan der genannten Unterrichtsanstalten. Der Verfasser verkennt nicht, daß mit demselben Recht, wie z. B. die Federmanometer, die vielleicht in der Dampfkessellehre noch einmal behandelt werden, auch andere physikalisch-technische Meßinstrumente, wie Gas- und Wassermesser, Anemometer, Pitotröhre usw. hier hätten Platz finden können. Die Unsicherheit in bezug auf den wahren Umfang der Arbeit vor der Drucklegung zwang jedoch zunächst zur Beschränkung. Von dem Urteil der Herren Fachkollegen, um dessen Aeußerung der Verfasser sehr bitten möchte, wird es abhängen, ob bei etwaigen späteren Auflagen eine Erweiterung besonders des letzten Kapitels oder auch eine Einschränkung des Stoffes in anderer Richtung stattfinden soll! Einem Wunsche der Verlagsbuchhandlung entsprechend soll das Lehrbuch in zwei Ausgaben — in Einzelteilen und zusammenhängend — erscheinen. Den Firmen, die so liebenswürdig waren, ihre Klischees zur Verfügung zu stellen, nämlich: E. Leybolds Nachf.-Cöln. R. Fuess-Steglitz, Dreyer-Rosenkranz, Droop-Hannover sei an dieser Stelle verbindlichster Dank ausgesprochen! Auch das entgegenkommende Interesse der Verlagsbuchhandlung muß besonders dankbar anerkannt werden! A a c h e n , August 1911.

Müller.

Inhaltsverzeichnis. Seit©

1. K a p i t e l . D e r D r u c k .

(Dimensionengleichungen, Darstellung

der Funktionen.) § 1. Druck in Flüssigkeiten § 2. Luftdruck und Barometer S ii. Luftpumpen und Luftpumpenversuche § 1. Die Manometer (j 5. Apparate, die auf der D r u c k w i r k u n g beruhen § 6. Das Mariotte'sche (Boyle'sche) Gesetz § 7. Graphische Darstellungen II. K a p i t e l . § 1. ¡5 2. § 3. § -I. § 5. III. K a p i t e l . § 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7.

1 9 14 20

25 28 31

Das spezifische Gewicht, Spezifisches und relatives Gewicht Feste K ö r p e r Flüssige K ö r p e r Gasförmige Körper Beispiele graphischer Darstellungen

39 41 46 50 55

D i e K r ä f t e . (Statik.) Die verschiedenen Arten von K r ä f t e n K r ä f t e m i t geineinsamem Angriffspunkt K r ä f t e mit verschiedenen Allgriffspunkten K r ä f t e p a a r und Drehmoment Der S c h w e r p u n k t Stabilität Die W a g e n

57 58 62 64 66 68 69

IV. K a p i t e l . V o n d e n B e w e g u n g e n . § 1. Geschwindigkeit § 2. Beschleunigung § 3. Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung. . . § 4. Zusammengesetzte B e w e g u n g ; W n r f b e w e g u n g § 5. R e l a t i v b e w e g u n g

76 79 80 81 85

Vili

Inhaltsverzeichnis. Seite

V. K a p i t e l . K r a f t , M a s s e u n d B e s c h l e u n i g u n g ; . (Dynamik.) § 1. Gewicht und t r ä g e Masse 87 § 2. Atwood'sche Fallmaschine 87 § 3. Gravitation 91 § 4. D r e h m o m e n t , T r ä g h e i t s m o m e n t u . W i n k e l b e s c h l e u n i g u n g 92 § 5. Zentripetalkraft, Z e n t r i f u g a l k r a f t 95 § (i. Die Pendel 98 § 7. Freie Achse und Kreisel 103 VI. K a p i t e l . A r b e i t , E n e r g i e , L e i s t u n g , E f f e k t . § 1. Mechanische Arbeit § 2. Energie § 8. Energie der drehenden Bewegung § 4. Leistung, Effekt § 5. W i r k u n g s g r a d VU. K a p i t e l . A u s f l u ß u n d S t r ö m u n g . § 1. Ausfluß der Flüssigkeiten § 2. Ausfluß der Gase § 3. Reaktion § 4. Hydraulischer Druck VIII. K a p i t e l . Molekularerscheiuungen. § 1. Allgemeine Erscheinungen § 2. Molekularkräfte § 3. Elastizität und F e s t i g k e i t § 4. Randwinkel, Oberflächenspannung, Kapillarität § 5. Diffusion § 6. Absorption IX. K a p i t e l .

Das a b s o l u t e M a ß s y s t e m

X. K a p i t e l . P h y s i k a l i s c h e M e s s u n g e n . § 1. Längen-, Flächen- und Raummessung § 2. Zeitmessungen

106 107 109 111 113 115 118 120 122 129 130 132 134 137 140 143 146 150

I. K a p i t e l .

Der Druck. (Dimengionengleichung'en. — Darstellung der Funktionen.)

§ 1. Druck in Flüssigkeiten. Das Wort D r u c k wenden wir, wie auch manche andere physikalische Bezeichnung, im täglichen Leben häufig unrichtig an. Wir pflegen z. B. zu sagen: Eine Feder übt einen Druck von 2kg aus. Kichtig wäre: eine K r a f t von 2'^. Für gewöhnlich hat ja die Verwechslung dieser beiden Begriffe nicht viel zu bedeuten; in der exakten physikalischen Ausdrucksweise jedoch, deren wir uns bedienen wollen, spielt der Unterschied eine große Rolle: Die Begriffe D r u c k und K r a f t haben verschiedene D i m e n s i o n ! Das folgende Beispiel soll uns lehren, was wir unter diesem wichtigen Begriff zu verstehen haben. Der Apparat Fig. 1 zeigt uns das „hydrostatische Paradoxon". Der Wagschale am rechten Hebelarm hält links der

Fig. 1.

mit Quecksilber gefüllte Napf das Gleichgewicht. Auf die ringförmige Fassung über dem Napf kann man die Gefäße A, B, M ü ' l l e r , L e h r b u c h der t e c h n i s c h e n Physik.

I.

^

I. Kapitel.

2

Der Druck.

C und D aufsetzen, die mit dem unteren Ende in das Quecksilber eintauchen. Wir legen nun auf die rechte Wagschale ein Gewicht und bringen die Wage wieder ins Gleichgewicht, indem wir Wasser bis zur Höhe h == 8 cm in das Gefäß A gießen. Wiederholen wir nun den Versuch mit den Gefäßen B, C und I), so zeigt sich, daß wir in allen Fällen das Wasser bis zu derselben senkrecht gemessenen Höhe einfüllen müssen, um die Wage ins Gleichgewicht zu bringen. So ergibt sich die Tatsache, daß bei gleicher Höhe h die Gewichtswirkung des Wassers auf den Napf stets dieselbe ist, wie verschieden auch der Inhalt und damit das Wassergewicht im Gefäß sei und daß es gleichgültig ist, ob der Wasserspiegel, dessen Höhe wir ja senkrecht messen müssen, auch wirklich senkrecht Uber der ßodenötfnung liegt oder nicht. Wir wollen uns diese Uberraschende Erscheinung mit Hilfe folgenden Vergleichs erklären: Eine Bleiplatte liege an ihren vier Ecken auf kleinen GummiwUrfeln, die sich unter der Last um ein bestimmtes Stück zusammendrücken werden. Verteilen wir das Gewicht auf eine größere Anzahl von Gummiklötzchen, so drückt sich das einzelne desto weniger zusammen. Das Gewicht, das jedes einzelne Klötzchen zu tragen hat, ist nämlich: Gewicht der Bleiplatte Anzahl der Gummiklötzchen Denken wir uns nun die ebene Bleiplatte unmittelbar auf der Tischplatte liegend, so wird jedes Quadratzentimeter der Unterlage gleichmäßig gepreßt mit dem Wert:

nkg:qcm

'

Gewicht Grundfläche '

1 6 0 6 "'"'•

F e r n e r unterscheidet man zwischen der uns bisher bekannten m e t r i s c h e n o d e r t e c h n i s c h e n Atmosphäre = 7 3 5 , 5 ' " m Hg und der t h e o r e t i s c h e n o d e r p h y s i k a l i s c h e n Atmosphäre, dem Normaldruck 7 6 0 " " " Hg. In der theoretischen P h y s i k werden alle Angaben immer auf diesen Normaldruck bezogen, da er in der Wärmelehre eine große Rolle spielt. (Der D r u c k des Wasserdampfes von 1 0 0 ° Celsius beträgt 7 6 0 m m Hg.) Man hat oft vorgeschlagen, einer Verwechslung der Zahlenwerte durch verschiedene Schreibweise vorzubeugen. D a aber eine allgemein gültige Hegel nicht besteht, so bedient man sich in

§ 2.

11

Luftdruck und Barometer.

allen Fällen, wo Zweifel möglich sind, der Beiworte: techn. bzw. phys. Wir schreiben alle Werte noch einmal übersichtlich zusammen: J techn. atm.

; phys.

atm.

e n t s p r i c h t :

^

1

m

0

W a s s e r s ,

10,333'"

u

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760mm

H g - S ä u l e

»

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7 1 techn. atm.

„ QftQ phys. 7 6 0

Jjlhys.

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atm. "

U atm.ilbd.

^

|

techn.

J

7 3 5 , 5 ^

atm.

~ atm.

' J j atm.

abs.

In der Technik ist es üblich, unter der Atmosphäre liegende Drucke in Prozenten des absoluten Vakuums auszudrücken, wobei als Atmosphäre stets die physikalische angenommen wird. Der Ausdruck für eine absolute ¡Spannung von 53 """ Hg wäre also z. B . — • - - 3 • 100 = 9 3 % V a k u u m . Die gebräuchlichen 760 Ausfiihrungsformen der Barometer siud aus den Fig. 6 — 1 1 zu erkennen. Fig. G zeigt das H e b e r b a r o m e t e r . Die verschiebbare Skala wird mit dem in Glas eingeritzten Nullpunkt der Skala auf dtjs untere Niveau eingestellt und der Niveauunterschied mit Hilfe eines Nonius (s. Kap. X ) auf 1 /1 0 m m genau abgelesen. Beim G e f ä ß b a r o m e t e r Fig. 7 a b ist die Skala fest angeordnet. Dem Umstand, daß dem Sinken des Quecksilbers im Barorneterrohr ein Steigen im Gefäß entspricht, wird dadurch Rechnung getragen, daß man die Millimeterteilung der Skala im Verhältnis des Rohrquerschnitts zum Gefäßquerschnitt (hier 1 : 4 0 ) verkürzt. Um das Aufsteigen von Luft in die Torricellische Leere zu verhindern,7 ist bei b Fig. 7 " der B u n t e n s c h e T r i c h t e r angebracht. Die an der Wand der Röhre aufsteigenden Luftblasen fangen sich bei c unter dem eingeschmolzenen engen Trichter.

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.

I. Kapitel.

Der Druck.

•

Fig. 7

Fig. 7 Ii.

Fig. 8.

F i g . 9.

n.C.

§ 2.

Luftdruck und Barometer.

13

Fig. 8 zeigt das Gefäßheberbarometer von Wild-Fuess, während in Fig. 9 der untere Teil in etwas abgeänderter Form im Schnitt zu sehen ist. Durch Anheben des Lederbeutels stellt man das Quecksilber im unteren Gefäß auf den Nullpunkt der Skala ein und liest die Niveaudifferenz ab. Verschiebt man nun das Nullpunktvisier um ein Stück, so muß. wenn über dem Quecksilber im geschlossenen Schenkel ein vollkommenes Vakuum herrscht, sich dieselbe Niveaudifferenz ergeben wie vorher. Warum das beim Vorhandensein von Luft in der Barometerröhre nicht der Fall sein würde, folgt aus § 5. Man kann das Instrument also stets auf seine Zuverlässigkeit prüfen. Hebt man den Ledersack so hoch, daß das Quecksilber bis zur Schraube S ansteigt und schließt diese, so ist das Instrument transportfähig, ohne daß die Gefahr des Eindringens von Luft in das Vakuum eintreten könnte. Das Instrument ist mit einem Nonius für Ablesung von 0,01 mm und einer Libelle zur genauen Senkrechtstellung eingerichtet (s. Kap. X). Bei der Herstellung K g 10 derQuecksilberbarometer muß man Sorge tragen, daß der Kaum Uber dem Quecksilber im geschlossenen Schenkel ganz luftleer und vor allem frei von Feuchtigkeit sei. Beim Auspumpen der Röhre mit Hilfe einer der nachstehend beschriebenen Luftpumpen benutzt man darum eine Vorlage mit einer hygroskopischen Substanz, etwa konzentrierter Schwefelsäure oder Phosphorpentoxyd (s. Kap. VIII § 6) oder man bringt das Quecksilber in der vollständig gefüllten

14

I. Kapitel.

Der Druck.

Röhre zum Kochen, wobei Luft und Wasserdampf ausgetrieben werden. Außer den zu genauen Luftdruckmessungen stets unentbehrlichen Quecksilberbarometern benutzt man auch sogenannte Aneroid- („nicht feucht") oder H o l o s t e r i c - („ganz starr") Barometer. Fig. 10 zeigt das Prinzip des Aneroides von Vidi. Dem Luftdruck, der den gewellten Deckel der Dose D zusammenzudrücken strebt, wirkt die Spannung der Feder F entgegen; letztere überträgt die mit dem Luftdruck veränderlichen Durchbiegungen des Dosendeckels mittels einer großen Uebersetzung

F i g . 11.

auf den Zeiger des Instruments. Die von außen zugängliche Stellschraube S dient zum Justieren des Instruments. — Das Aneroid von Bourdon entspricht im Prinzip einem abgeschlossenen Röhrenfedermanometer (s. Fig. 23). Es wird seltener benutzt. Die Angaben der Aneroide sind mit der Temperatur weit mehr veränderlich als die der Quecksilberbarometer (s. auch Fig. 46). — Fig. 11 zeigt ein Registrierbarometer. Die Bewegung einer mehrfachen Dosenfeder wird mit großer Uebersetzung auf ein Schreibwerk Ubertragen, das den Luftdruck als Funktion der Zeit aufträgt (s. § 6). § 3. Luftpumpen und Luftpumpenversuche. Fig. 12 zeigt eine Oelluftpumpe, die sogenannte Geryk-Pumpe. Die bei A angesaugte Luft tritt durch die Löcher am unteren Ende des

§ 3.

Luftpumpen und Luftpumpenversuche.

15

Kingraums B über den Pampenkolben, und durch die Umflihrungsleitung C unter diesen. Bei der Aufwärtsbewegung überschleift der Kolben zunächst die Löcher und treibt dann die Luft durch das Druckventil D aus dem Pumpenraum heraus. Dabei füllt das Oel über den Kolben den schädlichen Kaum vollkommen aus. Bei der Abwärtsbewegung tritt anfangs die unter dem Kolben befindliche Luft durch das Saugventil E in den

Pumpenraum ein; bei zunehmender Verdünnung bleibt E geschlossen. Bei F schließt sich meistens eine zweite der ersten gleiche Pampe an, wodurch in A weitgehende Verdünnungen erreicht werden. Durch Anheben des Hahnes G kann man Luft in die evacuierte Leitung einlassen. H und I dienen zum Füllen der Pumpenräume mit Oel.

16

I. Kapitel.

Der Druck.

Die Geißlersche Quecksilberpumpe in der hahnlosen Töplerschen Konstruktion ist aus Fig. 13 zu ersehen. Ihre Wirkung beruht auf der mehrfachen Erzeugung einer T o r r i cellischen Leere. Beim Heben des Gefäßes A schließt das Quecksilber zunächst die Verbindung B vom Rezipienten E ab und treibt dann die Luft durch C bei D in Blasen ins Freie. Beim Senken wird die Luft aus E angesaugt, wobei durch die mit Phosphorpentoxyd gefüllte Trockenvorlage F dafür gesorgt wird, daß keine Feuchtigkeit in die Pumpe gelangt. Mehrfaches Heben und Senken des Gefäßes A erzeugt eine zunehmende Luftverdünnung, die sich durch das Steigen des Quecksilbers in C und G zu erkennen gibt. Zum Schluß wird die Luft nicht mehr nach D, sondern nur noch nach H gedrängt. Betreffs der Berechnung des Enddrucks s. § 6. Fig. 14 zeigt eine etwas vereinfachte Ausführung der Pumpe. — Die auf einem anderen Prinzip beruhende S p r e n g e l sehe Quecksilberpumpe ist im Kap. VIII § 4 beschrieben. Die G a e d e p u m p e Fig. 15—17 besteht aus einem zur Hälfte mit Quecksilber gefüllten eisernen Gehäuse, in dem eine aus drei •c Kammern gebildete Porzellantrommel rotiert. Die bei R aus dem Rezib pienten eintretende Luft wird durch Löcher f in der Trommelwand den Kammern W zugeführt. Dreht sich die Trommel im Sinne des Pfeiles, so wird in den sich vergrößernden Raum Wt Luft hineingesaugt, bis f in das F i g . 13. Quecksilber eingetaucht. Gleichzeitig wird aus W2 (und bei der Weiterdrehung aus W,) die vorher angesaugte Luft durch den Kanal zwischen Zi und Z., hinausgedrängt und durch r und s einer Vorpumpe zugeführt, die eine Luftverdünnung von 15—20 mm herzustellen vermag (Wasserstrahlpumpe s. Kap. VH § 4). Die Pumpe arbeitet kontinuierlich, wie leicht einzusehen ist. In Fig. 17 ist der Rezipient bei E angeschlossen, die Vorpumpe bei s2. Letztere

§ 3.

L u f t p u m p e n und Luftpumpen versuche.

17

arbeitet zunächst allein und saugt die Luft auf dem Wege: 1!, F, 0, a, sv s2 ab, bis bei steigender Verdünnung das Quecksilber des Manometers M die Umführungsleitung bei 0 ab-

Fi«. 15. schließt. Dann setzt man die Trommel in Bewegung, während die Vorpumpe bei v angeschlossen bleibt, t ist die mit Phosphorpentoxyd gefüllte Trockenvorlage. Die Trommelwelle wird durch die mit Quecksilber gefüllte Stopfbüchse A, Fig. 16, abgedichtet. II dient zum Einund Ausfüllen des Quecksilbers. Die Figuren sind Müller,

Lehrlnu-h der technischen Physik.

I.

18

I. Kapitel.

Der Druck.

im Maßstab 1 : 4 gezeichnet. — Mit Hilfe dieser Pumpe ist in 12""" eine Verdünnung von 0.00001""" Hg erreichbar. Au! der Wirkung des Luftdruckes beruhen zahlreiche Experimente, die man mit Hilfe einer Luftpumpe anstellen kann. Hier sollen nur einige der bekanntesten angeführt werden. Weitere Anwendungen der Luftpumpe sind an entsprechender Stelle angeführt.

1. Der Glaszylinder Fig. 18 a wird durch eine luftdicht schließende Glasplatte abgedeckt. Evacuieren wir den Glaszylinder, so wird die Glasplatte zersprengt. Ist der Durchmesser des Glaszylinders d = 9 m und wird ein vollkommenes Yacuum erzielt, so erzeugt ein äußerer Luftdruck von 735,5 m m Hg eine Gesamtlast auf der Glasplatte:

§ 3.

Luftpumpen und Luftpumpenverauche.

G

1 l:9l'Icm

.92

.

j 9

qcm

diese Last vermag die Glasplatte nicht zu tragen. 2. Den dicht schließenden Deckel des Glasgefäßes Fig. 1 8 b bildet ein Trog aus Buchsbaumholz, der mit Quecksilber gefüllt wird. Der Luftdruck treibt das Quecksilber durch die Poren des Holzes in das evacuierte Gefäß, in das es in Gestalt eines feinen Regens niedertropft. 3. Die Magdeburger Halbkugeln Fig. 18°, die man nach dem Erfinder der Luftpumpe, dem Bürgermeister von Magdeburg O t t o von G u e r i c k e , so benannt hat, können, nachdem der Hohlraum im Innern evacuiert ist, nur mit großer Kraft auseinandergezogen werden. In Kap. II § 2 wird der exakte Beweis erbracht, daß die Größe der erforderlichen Zugkraft unabhängig von der Oberfläche der Kugel und nur

20

I. Kapitel.

Der Druck.

abhängig von der Größe der Dichtungsfläche zwischen beiden Halbkugeln ist.

den

§ 4 Die Manometer. Der Druck in einer Leuchtgasleitung erzeuge in dem U-Rohr Fig. 19"'' einen Niveauunterschied von 6"" Wassersäule. Neigen wir das U-Rohr nach Fig. 19 6 , so bleibt der senkrecht gemessene Unterschied der

F i « . 2n.

Fi».

21.

gleiche. In dem unteren Niveau, also in der Gasleitung, muß nach § 1 ein Überdruck herrschen: oder 0,006'"'"; üh"A u f g a b e 5. Ein an einen Dampfkessel angeschlossenes Quecksilbermanometer zeigt eine Niveaudifferenz von 2570""" an. Wie groß ist der Druck im Kessel? 735,5"""''""'' Dieses Beispiel zeigt, daß für den verhältnismäßig geringen Druck schon eine sehr lange Manometerröhre nötig ist. Zu den meisten technischen Zwecken, z. B. zur Messung des Druckes im Dampfkessel bedient man sich daher der unten beschriebenen Federmanometer. Fi « 22Hier sollen zunächst

§ 4.

Die Manometer.

21

noch einige Flüssigkeitsmanometer Erwähnung finden, deren man sich zur Messung größerer bzw. sehr kleiner Druckunterschiede bedient: A u f g a b e 6. Welchen Druck zeigt das fünffache Differentialmanometer Fig. 20 anV — Indem wir alle Niveaudifferenzen in Wassersäule umrechnen, erhalten wir die Gleichung: 1 ntm cm p«"»»- °'"L - : (•"> • 38™ • 1 3 . 6 — 4 • 3S C "' - 1 ) .

'

— 2,43 a < "'-

übd

Hahn a dient zum Absperren des Instruments und zum Füllen mit Quecksilber und "Wasser, Hähne b zum Abschalten einzelner Elemente, c zum Entleeren. A u f g a b e 7. Welchen Druck zeigt das Differentialmanometer Fig. 21 an ? Die freien Oberflächen der Olsäulen liegen in bauchigen Erweiterungen des U-Rohres, so daß ihre Höhenlage nur sehr wenig schwankt. Der durch die Differenz der

-

22

I. Kapitel.

Der Druck.

beiden Flüssigkeitssäulen (Wasser und Ol) angezeigte Druck ist, wenn y — 0,92 das relative Gewicht des Ols ist (Kap. II § 3,2) und h = 0.35 , m : h u ' " s s e r s i i n l e — 0.35"" • ( l — 0,92; = 0,028''". Fig. 22 und 23 zeigen zwei konstruktive Verwertungen der aus Fig. 19 ersichtlichen Tatsache, daß beim Neigen der Manometerröhre die Meßstrecke längs der Röhre wächst und damit eine größere Ablesegenauigkeit bietet. Der Röhre in Fig. 23 kann man verschiedene Neigung geben. Die Querschnittsverhältnisse werden durch Einfüllen von Flüssigkeit mittels der beigegebenen Pipette bestimmt.

Fig.

25.

Von den oben erwähnten Federmanometern ist das Röhrenfedermanometer das gebräuchlichste. Fig. 24 zeigt es in der gewöhnlichen Form. Die am Ende geschlossene hohle Messingfeder von_ ovalem Querschnitt sucht sich unter dem Einfluß von innerem Uberdruck auszustrecken und Uberträgt dabei ihre Bewegung auf das Zeigerwerk. Die Angaben der Skala müssen natürlich durch Vergleich mit einem Quecksilbermanometer geeicht werden. Fig. 25 zeigt das Rosenkranz-Manometer, dessen V orzug darin besteht, daß die Feder hängend angeordnet

§ 4.

Die Manometer.

23

ist und so einen Wassersack bildet, der das Instrument vor der hohen Temperatur des Dampfes schützt. Zur größeren Vorsicht in dieser Richtung bringt man unterhalb des Manometers noch einen zweiten Wassersack in der Anschlußrohrleitung an, Fig. 26, der bei Instrumenten nach Fig. 24 erst recht nicht fehlen darf. Bei der Montage wird die Feder mit Glyzerin gefüllt, um ganz sicher zu sein, daß kein Dampf hinein gelangt. Bei dem Manometer Fig. 25 ist ferner eine besondere Stahlfeder vorgesehen, deren Spannung die Federkraft der Röhre unterstützt. Dadurch wird das Instrument für

jßmutA

Fig. 20.

höhere Drucke (bis 100 oi "') geeignet. F ü r Hochdruckmanometer (bis etwa 800 n ' m ) verwendet man Stahlröhrenfedern. Fig. 27 zeigt das Plattenfedermanometer, dessen W i r k u n g sich mit der des Aneroidbarometers von Vidi (Fig. 10) vergleichen läßt, während das Röhrenfeöermanometer, wie erwähnt, mit dem Bourdonschen Aneroid verwandt ist. Fig. 28 zeigt das Registriermanometer von Fueß als Prinzipskizze. Auf dem Quecksilber schwimmt ein Eisenkern a, der den Hufeisenmagneten m,

24

I. Kapitel.

Der Druck.

der die Manometerröhre von außen umgibt, Bewegung wird auf ein Schreibwerk Ubertragen, verlauf als Funktion der Zeit aufträgt (s. § Köhrenfeder- Manometer wird zum Registrieren benutzt, wie Fig. 29" erkennen läßt. Fig. 2 9 b gibt ein mit diesem Instrument aufgenommenes Diagramm wieder, aas dem der Druckverlauf im Dampfkessel während eines Betriebstages zu ersehen ist. Eine physikalisch interessante Anwendung zeigt dieses Registriergerät in Fig. 30. Hier wird der Wasserstand H im Behälter mit Hilfe des mit ihm wechselnden Druckes am Boden als Funktion der Zeit verzeichnet. (Uber den Zweck der Luftschraube L

mitnimmt. Die das den Druck6). Auch das

s. Kap. VIII § 6.)

¡5 5.

Apparate, die auf der Druckwirkung beruhen.

25

§ 5. Apparate, die auf der Druckwirkung; beruhen. 1. D i e G a s o m e t e r dienen zur Aufspeicherung von Gasen, denen sie einen bestimmten Druck erteilen. Fig. 31 zeigt ein Gasometer, wie es in Leuchtgasfabriken gebraucht wird. Die teleskopartig zusammengesetzte Glocke taucht in das als Sperrflüssigkeit dienende Wasser im Kingbecken ein. A u f g a b e 8. Der Gasdruck betrage h = 12™' Wassersäule. Der Glockendurchmesser sei D = 14"' , Wie groß ist das Gewicht der Glocke? Wir sehen ab vom Gewichte des Gases und fassen die Glocke samt — ^ Gasinhalt auf wie einen Kolben, der auf dem Wasser im Innern der Glocke lastet. Dabei ist es gleichgültig, ob das Wasserbassin als Ringraum, wie gezeichnet, oder als voller Zylinder ausgebildet wird, wie es bei kleineren Behältern dieser Art der Fall zu sein pflegt. Es ist nämlich leicht ein-

Fifi.

30.

zusehen, daß in letzterem Falle das Wasser im Innern der Glocke infolge des auf der Wasseroberfläche lastenden Gewichtes tiberall gleich tief stehen w i r d ; in unserem Falle nun ruht ein entsprechender Teil des Gewichts auf dem festen

26

I. Kapitel.

Innenkreis des Ringraumes. GkK Es ist:

Der Druck.

Wir nennen das gesuchte Gewicht

1400 2 • 7ric'n =

12 k,J'(icm = 18457'-f

1000

Die Skizze zeigt, wie die Stellung des Wasserniveaus zueinander die Höhe des Druckes zu erkennen gibt!

Fig.

31.

Fig. 32 zeigt ein Laboratoriumsgasometer, in dem das Gas unter dem durch die Höhe der Fltissigkeitssäule gegebenen und mit dieser veränderlichen Druck h c m steht. 2. D i e M a r i o t t e s c h e F l a s c h e . In den Luftraum über dem Wasserspiegel in der Flasche Fig. 33 kann die atmosphärische Luft nur durch das Hohr gelangen. Damit das möglich ist, muß in der Höhe des unteren Kohrendes atmosphärischer Druck herrschen. Steigen wir nun in Gedanken von dieser Höhe aus empor bis zum Wasserspiegel, so wird hier und in dem Luftraum darüber ein um die Säule hc,rt geringerer Druck herrschen, der sich aueh an dem Manometer zu erkennen geben wird. Vom Wasserspiegel nach unten wird der Druck ebenso zunehmen wie in einem offenen Gefäß. Aus der Öffnung am Boden wird das Wasser also unter dem Einfluß des Druckes d c ' n ausfließen, der konstant bleibt, solange der Wasserspiegel nicht unter das untere Ende des Luftzuführungsrohres sinkt.

§ 5.

Apparate, die auf der D r u c k w i r k u n g beruhen.

3. Beim H e r o n s b r u n n e n , Fig. 34, wird der durch die Wassersäule h c'n erzeugte Druck durch ein Luftrohr auf das untere Niveau einer zweiten Säule Ubertragen, so daß von hier aus eine Wassersäule von h ° " in die Höhe getrieben wird. Ein frei herausspritzender Strahl wird F i g . 32. freilich infolge der Reibung an der Luft nicht die volle Höhe erreichen.

27

Fig.

33.

4. D e r H e b e r . Die bekannte Tatsache, daß das einmal angesaugte Wasser aus dem Heber so lange ausfließt, bis die Flilssigkeitsspiegel in beiden Gefäßen sich auf gleicher Höhe befinden, erklärt sich so: W i r denken uns einen im oberen wagerechten T e i l des Rohres Fig. 35 a liegenden Tropfen als reibungslosen, dicht schließenden Kolben. Auf diesen wirkt von links her ein Druck ein: (10 — hj"®) Wassersäule, von rechts: (10 — h 2 '"). Die Druckdifferenz ergibt eine Kolbenkraft, die den Tropfen nach dem Ausflußende zu treibt: attajn

=

•(10 — h , — 10 + h,'") •

10

(h2-h1)

d

2

•

7C*8

d. h. das Wasser fließt unter dem Einfluß des Druckes h2 — h t aus. Bringen wir einen Heber, während er Quecksilber aus einem Gefäß in ein anderes fließen läßt, unter den Rezipienten einer Luftpumpe, so hört der Heber zu fließen auf. sobald der Druck im Rezipienten

Fig.

34.

Fig.

35»

Fig.

3äb.

28

I. Kapitel.

Der Druck.

unter h, Fig. 35 a sinkt. Im höchsten Punkte des Hebers entsteht dann eine Torricellische Leere. Fig. 3 5 b zeigt einen G i f t h e b e r , bei dem das Ansaugen durch das seitlich angesetzte Rohr erfolgt, so daß man es vermeiden kann, die Flüssigkeit in den Mund zu bekommen. 5. D i e H e b e r f o n t ä n e u n d d i e Saugpumpe. Setzen wir das luftleer gepumpte Gefäß Fig. 36 in einen Trog mit Wasser hinein, so treibt nach dem Öffnen des Hahnes der Druck der äußeren Luft das Wasser in das Gefäß hinein. In der P u m p e Fig. 37 wird durch den Kolben ein luftleerer Raum erzeugt, in den der auf dem Wasserspiegel im Brunnen lastende Luftdruck das Wasser durch das selbsttätige 1 Saugventil s hineintreibt. Es leuchtet ein, daß die Höhe h, bis zu der das \ Wasser emporgetrieben wird, theoreja h tisch höchstens 10'" betragen kann. Praktisch liegt die Grenze j e nach —¡g j iutm-riUr — p2Ä

+

v

v2 _60-20 " 1 7--: 1200

?

|

20 = 1180).

A u f g a b e 10. Welchen Druck zeigt das g e s c h l o s s e n e M a n o m e t e r , Fig. 39 a > b an, wenn bei geöffnetem Hahn und dem Barometerstand p, — 7 5 0 d a s Quecksilber in beiden Schenkeln auf 0 stand? Auf dem Quecksilberspiegel im rechten, nun geschlossenen Rohr lastet ein Druck: Fig. 39 a Kig. 39. »j mm. y ccm 750-25 P mm n 1— _ — ^ 1 0 4 1 . 7 D a z u kommt 120'»'" 12 cc v2 '" 18 Quecksilbersäule, zusammen also: 1 0 4 1 , 7 1 2 0 — 1161,7"""-1161 7 — 1 , 5 8 a l s - ausgedrückt in technischen Atmosphären. 735,5 Steht das Quecksilber in beiden Schenkeln, wie Fig. 39 b erkennen läßt, so herrscht ein D.ruck: patm

——

a(

^750 • ^ — 130 j : 735,5 = 0,62 -

NB. Der geschlossene Schenkel des Manometers muß genau zylindrisch sein; beide Schenkel brauchen jedoch nicht gleich weit zu sein, wie z. B. hier auch angenommen wurde! Mit Hilfe des Mariotteschen Gesetzes gelingt es, Spannungen in evakuierten Räumen bis Viooo""" u n d weniger festzustellea. Nach dem Verfahren von A r a g o können wir z. B. die durch die Quecksilberpumpe Fig. 13 zum Schluß erzielte Verdünnung in folgender Weise bestimmen: Das Volumen der Glaskugel zwischen den Marken m und n sei bekannt = V, ebenso das

§ 7.

31

Graphische Darstellungen.

Volumen v, das Uber m stehen bleibt, wenn das Quecksilber bis zu dieser Höhe gehoben wird. In der Stellung des Quecksilberspiegels bei n werde der Druck in der Pampe abgelesen: x ----- b — (h + h,). In der Stellung des Quecksilberspiegels bei m sei er größer um den Betrag h,,, also geinessen: " x + h , ^ b - ( h ' + h'1). Wir haben also zur Aufstellung des Mariotteschen Gesetzes (Gl. 2) bei: Y-f-v x t 4

v

x

Y+v -

x : 1,,. Y

V

X

Heispiel: Es sei h., x

1

•

V

1""", V •

-

h,. -

X

K

v

•

-

TT

V

m

9.'»0 ", v ^ 3.5'"". so ist: 0,0037

Hg.

Nach demselben Verfahren können wir die Torricellische Leere in einem Gefäßheberbarometer nach Wild-Fueß nachprüfen, wie im § 2 bei Fig. 8 und 9 angedeutet wurde. Die Barometerröhre ist zu diesem Zwecke am oberen Ende mit einer Volumenteilung versehen. § 7. Graphische Darstellungen. Wir haben uns daran gewöhnt, unsere auf Beobachtungen sich gründenden Erfahrungen in die Form von Gleichungen zu kleiden. Eine solche Gleichung enthält konstante und veränderliche Werte. In der Gleichung: TT "' z. B. sind P, d und p veränderliche,

„variable", ic und 4 dagegen „konstante-' Größen. Geben wir nun auch noch der Größe p einen konstanten Wert, z. B. 6 kgiqcm^ s o kommt jedem Wert von d ein ganz bestimmter Wert von P zu; wir sagen: P ist eine F u n k t i o n von d. Ein Uberaus anschauliches Bild von dem Gesetze, nach dem sich die eine der beiden Variabein ändert, wenn wir der andern nacheinander verschiedene Werte beimessen, gibt uns nun eine zeichnerische Darstellung der Funktionen. Diese Darstellung dient nicht nur der Veranschaulichung, sondern man kann mit ihrer Hilfe sich auch das Rechnen mit den dargestellten Größen sehr erleichtern.

T. Kapitel.

32

Der Druck.

W i r bedienen uns zur graphischen W i e d e r g a b e der bisher behandelten Gleichungen eines r e c h t w i n k l i g e n Koordinatensystems, dessen E i g e n s c h a f t e n und B e n e n n u n g e n sich aus F i g . 4 0 ergeben. Die zueinander s e n k r e c h t e n Geraden X und Y heißen K o o r d i n a t e n a c h s e n , ihr S c h n i t t p u n k t A der U r s p r u n g des Koordinatensystems. Die S t r e c k e n x und y heißen die K o o r d i n a t e n des P u n k t e s iß; die w a g e rechte, x, h e i ß t die A b s z i s s e , die s e n k r e c h t e , y, die O r d i n a t e . Durch x und y ist die L a g e des P u n k t e s SJi vollkommen bestimmt. Sind nun x und y die Variabein in einer Gleichung, so stellt die G e s a m t h e i t a l l e r Punkte 5)3, deren Koordinaten zusami'iK 4"mengehörige W e r t e von x und y sind. eine K u r v e dar. deren Verlauf uns Uber die Art der Funktion Aufschluß gibt, und, wenn sie einmal vorliegt, für jeden W e r t von x das zugehörige y — und u m g e k e h r t — abzumessen gestattet. D i e Gleichungen, mit denen wir es zu tun haben, ergeben nun Kurven von ganz bestimmten F o r m e n und Eigenschaften, die, i m m e r wiederkehrend, sich in u n s e r e r Vorstellung mit dem B i l d der Gleichung verknüpfen, so daß w i r oft in der L a g e sind, auf Grund w e n i g e r E r f a h r u n g e n das Gesetz zu erkennen, dem eine zu erforschende N a t u r e r s c h e i n u n g folgt. — E i n e der einfachsten Gleichungen, die in unzähligen Anwendungsbeispielen immer w i e d e r k e h r t , hat die F o r m : =

konst. oder: y

- x • konst.

Z. B . : P ' "

- f''"" • p*«""»« (Gl. 1).

Hier soll p die K o n s t a n t e sein, P und f sind dann die V a r i a b e i n . Die erste Form der Gleichung erinnert uns an einen S a t z aus der G e o m e t r i e : In ähnlichen D r e i e c k e n ist das Verhältnis j e zweier homologer Seiten konstant. W i r können also b e l i e b i g viele ähnliche rechtwinklige Dreiecke aufzeichnen, deren K a t h e t e n Verhältnis y : x konstant ist. In F i g . 4 0 fallen die Hypotenusen aller dieser r e c h t w i n k l i g e n D r e i e c k e auf e i n e r G e r a d e n zusammen, für deren sämtliche P u n k t e iß das durch die G l e i c h u n g : y = x - k o n s t . g e g e b e n e Gesetz erfüllt ist. Wir s a g e n : y ist eine l i n e a r e F u n k t i o n von x. W e n d e n w i r uns w i e d e r dem B e i s p i e l zu: P = f - p . Da w i r der G r ö ß e p unzählige W e r t e beilegen können, so g i b t es

§ 7.

33

Graphische Darstellungen.

auch unzählige Gerade durch den Ursprung für p — k o n s t . Fig. 41 zeigt eine Anzahl solcher Geraden. Für jede der letzteren brauchen wir nur einen Punkt durch Rechnung zu bestimmen, durch diesen und den Ursprung ist dann die Lage der Geraden bestimmt. Wir können für jeden Wert von x (f) den durch p bedingten Wert von y (P) abmessen.

Kolbcnfläche

f

•

Fig. 41.

B e i s p i e l : Für l = ö'icm und p = 8 ergibt sich: P = 40 kg. Wir können auch f — konst. einführen; dann ist P eine lineare Funktion von p, und die Gleichung ergibt für jeden Wert von f eine Gerade durch den Ursprung. Die Verwendung dieser Darstellung wäre dieselbe wie im ersten Beispiel. Lineare Funktionen bezeichnet man auch als solche ersten Grades. Sie sind dadurch gekennzeichnet, daß die variabeln Größen nur in der ersten Potenz vorkommen und nicht durch Multiplikation miteinander verbunden sind. In einer Gleichung von der Form: v" = x • konst. M ü l l e n - , L e h r b u c h der t e c h n i s c h e n Physik.

I.

3

34

I. Kapitel.

Der Druck.

erscheint v als quadratische Funktion von x, als Funktion zweiten Grades. Aber auch die Gleichung: x • y -- - konst. stellt eine Funktion zweiten Grades dar, da x und y durch Multiplikation miteinander verbunden sind, und die S u m m e ihrer Exponenten die Zahl 2 ergibt. Das erklärt sich so: Setzen wir x = m • y (worin m eine variable Größe ist), so geht die Gleichung über in die Form: m • y 2 - konst. die ohne weiteres als vom zweiten Grade erkennbar ist. Entsprechend stellen die Gleichungen: — y 2 + a ^ 0 und x 2 • y + a • y 2 — b ^ 0 Funktionen dritten Grades dar usw. In der Gleichung: •

>" der d als

quadratische

Funktion von f erscheint, ersetzen wir d durch y und f durch y 2 • :r x und schreiben : - --- — x. Um die zusammengehörigen Werte von x könnten wir für x nacheinander verschiedene und für jeden den Wert von y ausrechnen. aber in diesem Falle die Arbeit sparen, denn man in jeder Sammlung technischer Tabellen.

und y zu finden, Werte einsetzen Wir können uns die Werte findet Es ist:

Für y (d) 1 2 3 4 5C"< x (f) - : 0,785 ' 3,142 • 7,069 1^,566 19,635''"" „ y (dj = 6 j 7 8 ; 9 | 10 cm (f) = 28,274 | 38,485 50,266 ; 63,617 78,54?' „ y (d) ::: 11 12 , 13™' x (f) —= 95,033 j Fl 3 , 0 8 7 132,732""" Wir zeichnen die diesen Koordinaten entsprechenden Punkte iß auf; ihre Verbindungslinie ergibt die Kurve Fig. 42, aus der wir z. B. ablesen: für f = 100«°"' ist d = ll,3cm. Die erhaltene Kurve ist ein Stück einer Parabel. Wir wollen einige Eigenschaften und einige Konstruktionen dieser wichtigen Kurvenart kennen lernen: Die Normalgleichung der Parabel lautet: .V -

2 -v • x

Gl. 3.

§ 7.

Graphische Darstellungen.

35

Der konstante Faktor 2 • p heißt der P a r a m e t e r . Um zu erkennen, ob die graphische Darstellung einer gegebenen Gleichung eine Parabel ergibt, müssen w i r

14

e

d c b

a 20

40

eo

80

100

Kolben fläche

120

f c " i—i

140

A

C

.

Kig. 42.

die Gleichung auf die Normalform unserem Beispiel erhalten w i r :

zu

bringen

suchen.

4 4 y 2 —- — • x, also den P a r a m e t e r : 2 • f :.--- ^

kons!

In

W i e man den Parameter zur Aufzeichnung der Parabel benutzt, ist weiter unten g e z e i g t ; für die in F i g . 43 angegebene zeichnerische Ermittelung der Parabel bedürfen w i r seiner nicht. W i r berechnen nur den einen Punkt der Parabel, den w i r zum Ausgangspunkt der folgenden Konstruktion machen: D i e Seiten A B und B ^ des Rechtecks AB'iSC sind in eine gleiche Anzahl unter sich gleicher T e i l e geteilt. Vom Ursprung ausgehende Strahlen durch die T e i l punkte a', b', c' usw. ergeben mit den Wagerechten durch die entsprechenden Teilpunkte a", b", c" usw. Schnittpunkte 5)3„, usw., deren Verbindungslinie die gesuchte Parabel ist. Die Begründung der Konstruktion ergibt sich aus einer einfachen geometrischen Beziehung. F i g . 44 zeigt, w i e w i r die Parabel aufzeichnen können, wenn w i r vom Parameter ausgeben. W i r benutzen dabei den Satz: D i e P a r a b e l ist der geometrische Ort aller Punkte, die von einer Geraden L — L , der „ L e i t l i n i e " und einem Punkte F, dem „Brennpunkte", gleichen Abstand haben. Der Abstand des Brennpunktes von der Leitlinie ist gleich p. D e r S c h e i t e l S der Parabel halbiert diesen Abstand. W i r ziehen Parallele zur Leitlinie in beliebig gewählten Abständen m und schlagen mit 3*

I. Kapitel.

36

Der Druck.

m Kreise um F. Die Schnittpunkte $ ergeben dann Punkte der Parabel. Bei diesem Verfahren brauchen wir also keine Werte von x und y auszurechnen. Sie ergeben sich vielmehr aus der Kurve selbst. Man muß jedoch den Maßstab wohl beachten, in dem man den gegebenen Parameter aufzeichnet, wie sich aus dem folgenden Beispiel ergeben wird: Die Kurve Fig. 44 ist für die Gleichung aufgezeichnet worden: P''!/ •=

,12 _

--

•p ' » d i e

Parabel bringen l ä ß t : d 2 ° 4 also: == konst. i) • ,r Y

:

4 p • i

sich auf die Xormalform der P oder y - - -

4 p • .i

2 oder p - — 7n . p ' •

• x. Hier ist

§ 7.

Graphische Darstellungen.

37

Wählen wir z. B. p = 6*»/«cm, so wird p = 0,106«™*'^. In der Zeichnung Fig. 44 ist gewählt: p = 5,3 cm . Es entspricht also: 5,3CMl 0 , 0 1 6 ( D a s Zeichen heißt: e n t s p r i c h t , nicht: ist g l e i c h ! ) Unter Beachtung der Dimensionengleichung können wir auch schreiben: 5,3*»= 0,106 cm oder 5 0 , I » = l c m . Diese Beziehung ergibt den Maßstab in Richtung der X-Achse. In Richtung der Y-Achse gilt: 1 c m H^ 1 cm . Wir lesen z. B. a b : Für d — 7CTn ist P = 230,8*». Auch hier haben wir eine wichtige Verwendung der Dimensionengleichung! Von großer Wichtigkeit für seine technische Anwendung ist die graphische Darstellung des Mariotteschen Gesetzes. Wir schreiben dessen Gl. 2 C : x • y = konst. und sehen, daß wir es mit einer Funktion zweiten Grades zu tun haben. Fässen wir das Produkt x - y als Rechteck mit den Seiten x und y auf, so ergibt sich folgende Konstruktion: Fig. 45. Wir bestimmen durch Rechnung einen Punkt $ und F i g . 46. legen durch ihn eine senkrechte und eine wagerechte Gerade. Beliebige Strahlen vom Ursprung aus ergeben als Schnittpunkte mit diesen Geraden zweite und dritte Eckpunkte von Rechtecken, deren vierter Eckpunkt ein Punkt der gesuchten Kurve ist. Wir erhalten eine gleichseitige Hyperbel. Daß die Forderung p • v = x • y = konst. von allen Punkten der gefundenen Kurve erfüllt wird, lehrt eine einfache geometrische Beziehung, die in Fig. 45 durch Schraffur angedeutet ist. Fig. 45 ist für das Zahlenbeispiel der Aufgabe 9 aufgezeichnet. Als Maßstab ist gewählt: X-Achse: l c m ^ 1 0 B r . Y-Achse: l « » = : 2 0 a i m . Wir lesen z. B. a b : Für v = 40'"' ist p = 30 a(m .

38

I. Kapitel.

Der Druck.

Eine wichtige Anwendung findet die graphische Darstellung zur Wiedergabe der Ergebnisse von Eichungen. Fig. 46 stellt die Angaben eines Aneroidbarometers nach Fig. 10 denen eines Quecksilberbarometers gegenüber. Die Ablesungen sind t « 15 * IcQnat K 77 bei beiden Instrumenten stets 1 JV gleichzeitig und bei derselben 7 i 2 76 T e m p e r a t u r : t — 15° Celsius / y/ vorgenommen. Daraus ergab i 75 1 yr a sich die Kurve, die nun für © jeden Zwischenwert die Kor£ 74 rektion abzulesen gestattet, z. B. entspricht der Angabe 740""" 1 i des Aneroides: 737,5 """ Hg. / ... Ahnliche Eichkurven stellt 73 74 73 70 77c A u e roid b a r o m e t e r . _ man z. B. auch für Federinanometer. für Federwagen Fig. 46. usw. auf. Die Aufzeichnung der graphischen Darstellungen geschieht am besten auf Millimeterpapier. In den Figuren dieses Buches sind die feineren Netzlinien weggelassen, um die Darstellung klarer erkennen zu lassen.

I 1 ,

/

II.

Kapitel.

Das spezifische Gewicht. § 1. Spezifisches und r e l a t i v e s Gewicht. Spezifisches Gewicht nennen wir das Gewicht der Yoiumeneinheit. Das spezifische Gewicht des Schmiedeisens ist z. B. 7 ) 8 l f/ C T i o ", d. h. I dem Schiniedeisen wiegt 7,8k*. W i r sehen, daß dem Begriff: spezifisches Gewicht die Dimension zukommt, was uns aus dem folgenden Beispiel noch klarer werden wird: A u f g a b e 11. W a s wiegt ein schmiedeiserner Zylinder von 6 " " Durchmesser und 8 ° " Höhe? Der Hauminhalt des Zylinders i s t : v*»

=

-----

. S''"' =

226'*'"' =

0,226"k"'.

Dann ist sein Gewicht: G*» =

0 , 2 2 6 tT'c"' • 7

.

8

=

1,763*".

W i r merken uns zunächst die allgemeine Beziehung:

G

Qkg __ yalcw . y kg jedem . ' '

V

. y __

G

Q[

^a—e

y

und merken uns ferner, daß für feste und flüssige Körper die Dimension meistens angegeben wird in l »/ tcdcm

=

7,8. d. i. dem Zahlenwert nach gleich dem

40

II. Kapitel.

Das spezifische Gewicht.

spezifischen Gewicht, aber ohne" Dimension. Die Übereinstimmung verleitet leicht dazu, die Begriffe zu verwechseln. Wie aus der Tabelle (bei den Gasen) zu ersehen ist und im § 4 noch näher erörtert wird, müssen wir uns jedoch stets an die Unterscheidung halten, um Fehler zu vermeiden. In den folgenden Paragraphen sind die Methoden der Bestimmung von spezifischen und relativen Gewichten angegeben. Wiewohl Tabellen der spezifischen Gewichte der wichtigsten Stoffe in technischen Taschenbüchern usw. zu finden sind, sollen hier doch einige Angaben Platz finden, um eine gute Vorstellung zu erleichtern. Wasser bei 4 U = 1.

1. Feste Körper.

Achat 2,5 : 2,8 Lindenholz,trocken Aluminium, gehämmert . 2.75 Marmor Aluminiumbronze . . . 7.7 Nickel . . . . Blei 11,25 : 11,73 Papier . . . . Eichenholz, trocken 0,69 : 1,03 Platin, gehämmert Eis 0,88-:-0^92 Sandstein . . . Flußeisen 7,85 1 Schnee, lose . . Flußstahl 7,86 Schweißeisen . . Gold, gehämmert . . . 19,3 Silber, gehämmert Gaßeisen 7,25 Stahl Iridium 22,25 Wachs . . . . Kork 0,24 ' Zink, gewalzt . . Kupfer, gehämmert 8,9-:-9,0 Zinn, gewalzt . . Leder, trocken . . . . 0,86 2. F l ü s s i g k e i t e n .

Äther Alkohol, wasserfrei . Benzin Glyzerin, wasserfrei . Ol Quecksilber Schwefelsäure, konz. . Seewasser

.

.

.

.

.

.

Wasser bei

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

0,32 : 0,59 2,84 8,9 : 9,2 0,7-: 1,15 . . 21,4 2,2:^2,5 . .0,125 . . 7.8 . . 10,5 7,86 0,95 : 0,98 7,13 : 7.2 7.3 : 7,5

4°=1.

Spez. Gew.

bei 0°C

. 0,74 . 0,79 . 0,68-:-0,7 . 1,26 . 0,91-^0,92 . 13,6 . 1,89 . 1,02 :- 1,03

0 15 15 0 15 0 15 15

§ 2.

3. Gase.

41

Feste Körper.

Relatives Gewicht, bezogen auf

t = o° o

Chlor . . Kohlensaure Leuchtgas . Luft . . Sauerstoff . Stickstoff . Wasserstoff

Wasser = 1

Luft von 760"»» = 1

0,00322 0,00192 0,44-:-0,62 0,001293 0.00123 0,001267 0,000090

2,49 1,485 0,34:0,48 1,000 0,952 0,978 0,0695

§ 2. F e s t e Körper. 1. Körper von regelmäßiger Form werden ausgemessen und ihr Volumen wird ausgerechnet. A u f g a b e 12. Eine Kupferkugel von 6 c m Durchmesser wiegt 10,0''». Wie groß ist das spezifische Gewicht des Kupfers? G

y cdcìtl 2. Ist das Volumen durch Ausmessen nicht zu bestimmen, und ist es angängig, den zu untersuchenden Körper in eine Flüssigkeit einzutauchen, so bestimmt man sein Volumen mit Hilfe der hydrostatischen Wage auf Grund des „ a r c h i m e d i s c h e n Gesetzes". Dieses lautet:

Jeder Körper, den man in eine Flüssigkeit vollständig eintaucht, verliert scheinbar so viel an Gewicht, als das Gewicht der von ihm verdrängten Flüssigkeitsmenge beträgt!

• Ci^r j ' j\

Der Beweis dieses wichtigen Satzes kann durch das Experiment und durch folgende von der Druckwirkung der Flüssigkeit ausgehende Rechnung geführt werden: Ein Zylinder, Fig. 47, ist mit senkreckt stehender Achse ganz in Wasser eingetaucht. Mit den Bezeichnungen der Figur ergeben sich Kräfte auf den Stirnflächen: d 2 • ji»'

—

x'-ri"

Die W e r t e v und V brauchen für j e d e s Instrument n u r einmal ermittelt zu w e r d e n ; man muß dann fiir j e d e Messung n u r noch den Barometerstand b und die Höhe h' ablesen. B e d i n g u n g f ü r ein richtiges Resultat ist. wie bei j e d e r A n w e n d u n g des Mariotteschen Gesetzes, daß w ä h r e n d des Versuches die T e m p e r a t u r k o n s t a n t bleibt.

§

3.

Flüssige

Körper.

Die grundlegende

Beziehung

Gl. 4 gilt auch f ü r Flüssigkeiten. Die Bestimmung des spezifischen Gewichts erfolgt daher auch hier am einfachsten d u r c h W ä g u n g und Volumenmessung. Zu letzterer ist jedes M e ß g e f ä ß oder jede Mensur geeignet; zu g e n a u e n Messungen bedient m a n sich des folgenden I n s t r u m e n t s : 1. D a s P y k n o m e t e r ist eine Glasflasche mit e n g e m . H a l s , an dem eine S t r i c h m a r k e a n g e b r a c h t ist. Um Verdunsten d e r

§ 3.

Flüssige Körper.

47

Flüssigkeit zu verhüten, ist das Instrument mit eingeschliffenem Glasstöpsel verschlossen. Bessere Instrumente sind mit eingeschmolzenem oder eingesetztem Thermometer versehen (Fig. 53). Ist die Flasche auf einen bestimmten Inhalt geeicht, so ist ihre Verwendung ohne weiteres verständlich. Im andern Falle geht die Handhabung aus folgendem Beispiel hervor: A u f g a b e 17. Das Gewicht des leeren Pyknometers sei: 22,53f; mit Wasser gefüllt: 73,53»; mit Schwefelsäure gefüllt: 115,35?. Wie groß ist das relative Gewicht der Schwefelsäure? .. __ 115,359— 22,53" _ 92,82? 73,53" — 22,53? 51? ~

'

Wie leicht ersichtlich, ist das Pyknometer auch zur Bestimmung des relativen Gewichts fester Körper von körniger Form zu benutzen; als Nachtrag zu § 1 sei folgendes Beispiel gegeben: A u f g a b e 18. Die Gewichte des leeren und mit Wasser gefüllten Pyknometers seien dieselben wie in Aufg. 17. Das absolute Gewicht einer Anzahl Granatkörner sei = 59,73?. Wir schütten die Körner in das wassergefüllte Pyknometer und sorgen dafür, daß das Wasser wieder bis zur Marke steht. Dann sei das Gewicht des gefüllten Instruments: 116,76?. Nun ist: Früh. G e w . K ö r n e r — verdr. Wasser = jetz. Gew. =116,76?; 73,53? -f59,73?— x? x = 1 6 , 5 ? ~ 16,5 ccm . Also ist das spezifische Gewicht der Granatkörner: 59 73? •/„#»= ' z= 3 62?'a'"' = 3 62 Niedern /g 16,5 ccm ' ' 2. Wir haben schon im ersten Kapitel (§ 1 Fig. 4) einen Apparat kennen gelernt, mit dessen Hilfe wir die relativen Gewichte von Flüssigkeiten durch Vergleichung der Druckhöhen bestimmen konnten, und wir wollen uns erinnern, daß Form oder Weite der kommunizierenden Röhren hierbei keine Rolle spielen! Der Apparat in jener Form kann aber nur Anwendung finden, wenn es sich um Flüssigkeiten handelt, die sich mit Wasser nicht vermischen! Wollen wir z. B. das relative Gewicht von Alkohol durch Vergleichung der Druckhöhen bestimmen, so

48

II. Kapitel.

Das spezifische Gewicht.

bedienen wir uns des Apparates Fig. 54 (Hydrometer oder pneumatisches Densimeter genannt), bei dem wir durch Ansaugen eine in beiden Schenkeln gleiche Druckdifferenz gegenüber dem Luftdruck herstellen. Die Druckhöhen verhalten sich auch hier umgekehrt wie die spezifischen Gewichte. Ä, 7i

Gl.

K

3. Die Volumen- oder Skalenaräometer zeichnen sich durch bequeme Handhabung aus und lassen sich für spezielle Anwendungsgebiete besonders zweckmäßig gestalten. Es sind Schwimmkörper von der aus Fig. 55 ersichtlichen Form. Die Kugel am unteren Ende ist zum Teil mit H M Quecksilber gefüllt, F i g . 54. wodurch dem Instrument ein bestimmtes Gewicht und stabile Schwimmlage gegeben wird. Bessere Instrumente enthalten ein Thermometer. F i g 55 Nach der Definition des Schwimmens (§ 2, 1, Fall c) taucht der Schwimmkörper so weit in die zu untersuchende Flüssigkeit ein, bis die von ihm verdrängte FlUssigkeitsmenge einen Auftrieb erzeugt, der gleich dem Gewicht des ganzen Schwimmkörpers ist. Der Körper wird also um so tiefer eintauchen müssen, je geringer das spezifische Gewicht der Flüssigkeit ist, und jedem Wert des letzteren wird eine bestimmte Eintauchtiefe entsprechen. Diese können wir durch eine Marke mit Zahlenangabe festlegen. Am zweckmäßigsten erscheint es nun, die Skala unmittelbar auf das spezifische Gewicht zu beziehen; sie wird dabei jedoch ungleichteilig, und dieser Umstand gab Veranlassung zur Einführung gleichteiliger willkürlicher Skalen, deren bekannteste die von B a u m e ist. Die chemische Industrie hält an der Benutzung dieser Skala leider noch heute fest.

§ 3.

49

F l ü s s i g e Körper.

obgleich zur Ermittlung des spezifischen Gewichts eine unbequeme Umrechnung erforderlich wird, daher muß hier die folgende Umrechnungstabelle Platz finden: Für 7 > 1 ^ledern 1 '>.'7 C'lrut Für / y kgjcdan Grad Baume ; spez. Gew. ykyialcm Grad B., ykglcdcm Grad B . :

t

10 20 30 40 50

1,000 0,993 0,875 0,824 0,778

1,000 1,077 1,167 1.273

0 10 20 30

40 50 60 70

!

1,400 1,555 1,750 2,000

Ein Aräometer wird um so genauer anzeigen, je größer der Abstand zwischen zwei benachbarten Teilstrichen der Skala ist; um nun aber keine zu langen Instrumente zu bekommen, verwendet man mehrere derselben, deren jedes nur einen beschränkten Meßbereich hat. Allgemein üblich ist die Verwendung von wenigstens zwei Instrumenten, deren Bereiche Uber und unter dem Wert y = 1 liegen. Bei Salz- oder Zuckerlösungen usw. ist die Kenntnis des spezifischen Gewichts deshalb von Wichtigkeit, weil es zugleich den Prozentgehalt der Substanz erkennen läßt. Man kann nun die Skala des Instrumentes direkt auf diesen Prozentgehalt beziehen; das Instrument ist dann freilich nur für die betreffende Flüssigkeit zu gebrauchen. Ein solches Instrument ist z. B. das A l k o h o l o m e t e r von Tralles, mit dessen Hilfe man den Prozentgehalt des Alkohols unmittelbar ablesen kann (beachte Kap. VIII § 5). Andere häufig gebrauchte Prozentaräometer sind die Mostwage und das Saccharometer, deren Namen ihr Venvendungsgebiet kennzeichnen. Beim Laden der elektrischen Akkumulatoren wird ein Aräometer mit nur einer Marke verwendet; taucht das Instrument bis zu dieser Marke in die Schwefelsäure in einer Zelle ein, so zeigt es mit Hilfe des spezifischen Gewichts der Schwefelsäure an. daß die Ladung der Zelle beendet ist. 4. Die Mohrsche Wage, die ebenfalls zur Bestimmunf des spezifischen Gewichts von Flüssigkeiten dient, wird im Kap. III § 7 besprochen.

Müller,

L e h r b u c h der t e c h n i s c h e n Physik.

I.

4

II. Kapitel.

50

Das spezifische Gewicht.

Während bei den festen und flüssigen Körpern die Temperatur nur einen verhältnismäßig geringen Einfluß auf das spezifische Gewicht hat, wird dieser Einfluß bei den Gasen sehr bedeutend. Hier spieit vor allem der Druck des Gases eine Rolle. Man bezieht nun die Angaben Uber das spezifische Gewicht der festen und flüssigen Körper meistens auf 0° C, oft aber auch auf 15°, während die Angaben für Gase stets auf 0° und den Normaldruck = 760 m m Hg bezogen sind. § 4. Gasförmige Körper. 1. Auch hier kommen wir durch Messung des Volumens und Wägung am einfachsten zum Ziel. Wir benutzen eine Glaskugel Fig. 56, die zwischen den Hähnen genau ein Liter enthält und die ein eben geschliffenes Ansatzstück h a t , mit dessen Hilfe man sie auf den Teller der Luftpumpe stellen und leerpumpen kann. Wir wägen zunächst die mit dem Gase von bekannter Spannung gefüllte, dann die leergepumpte Kugel ab. Die Gewichtsdifferenz ergibt dann das spezifische Gewicht des Fig 86 Gases. Das Einfüllen des Gases geschieht am besten mit Hilfe des zweiten Hahnes, nachdem man die Kugel luftleer gepumpt hat. Uber den Rechnungsvorgang gibt das folgende Beispiel Auskunft: A u f g a b e 19. Der Barometerstand s e i = 745"""; es gelinge, die Kugel bis auf 2 m m Hg leerzupumpen. Der Gewichtsunterschied gegenüber der mit trockener Luft gefüllten Kugel betrage: 1,2638». Die Temperatur betrage 0° C. Wie groß ist das spezifische Gewicht der Luft bei 760 m m Hg? — Wir denken uns, die Druckänderung sei anstatt durch Auspumpen durch Volumenvergrößerang erzeugt worden. Das Gesamtgewicht der Luft bliebe dann dasselbe, und es ist nach dem Mariotteschen Gesetz: G» PJ = 745""" \\ = lUr yl nh h • log K o n s t - f - l o g 7 6 0 - - l o g b h

H

-

h

ll^nsr

M

'=

C/..9.

F ü r d a s Beispiel A u f g a b e 2 1 e r g i b t s i c h : H — h r - 18 4 0 0 • i j o g 7 4 5 — log 6 8 0 ) ; H — h 729,'". N B ! Die H ö h e H bzw. h ist von oben. d. h. von der g e d a c h t e n Abhängigkeit des Luftdrucks von der Höhe über dem Meeresspiegel. —

•

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n 3? 30 l-H - M - H t IÖ|üoo 50 00 "uts Rncl.

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24

F i g . 56.

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0

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0

-

—

W 0 f-H

50 oc islooo

§ 5.

Weitere Beispiele graphischer Darstellungen.

55

•Grenze der Lufthülle an gemessen; daher ist b H der dem niedriger gelegenen Niveau entsprechende B a r o m e t e r s t a n d ! F ü r ein spezifisch leichteres Gas nähert sich die Konstante mehr dem Wert 1; d e r D r u c k nimmt also in einem solchen Gas nach oben zu langsamer a b als in der Luft. D a r a u s erklärt sich die Tatsache, daß der Ü b e r d r u c k einer Leuchtgasleitung an höher gelegenen Stellen g r ö ß e r ist als unten. Bei schwereren Gasen ist das Gegenteil d e r Fall. Fig. 58 zeigt die graphische Darstellung der barometrischen Höhenformel für die auch in unserer Rechnung gem a c h t e Annahme, daß die T e m p e r a t u r = 0° konstant sei. Die D a r s t e l l u n g ist einem Kataloge der Firma Pokorny & Wittekind in F r a n k f u r t a. M. betr. Köster-Kompressoren entnommen.

§ 5.

Weitere Beispiele graphischer Darstellungen.

1. F ü r eine zylindrische Aräoineterröhre, die aus einer mit Quecksilber beschwerten und an beiden Enden zugeschmolzenen Glasr ö h r e improvisiert worden ist, soll die Skala bestimmt werden. Das Gewicht der Röhre sei G - - - 3 6 " , i h r Q u e r d2 • r schnitt: — 1.3 «C,K - 4 Ist y das veränderliche relative Gewicht der zu untersuchenden Flüssigkeiten und y die Eintauchtiefe der Aräometerröhre Fig. 59, so besteht >. y'Jl^m die Gleichung: y "" • f '>'= G f oder y - / : G Wir erf halten die gleichseitige Hyperbel : y • y — konst. =

^

= 27,692. Fig. 59 zeigt die graphischeDarstellungdieser Gleichung, die wir nach Kap. I § 7 Fig. 45 auf geometrischem W e g e finden. Aus der Kurve entnehmen wir die L a g e der Skalenstriche f ü r das Stück zwischen y = 1 und y = 0,7

F i g . 59.

II. Kapitel.

56

Das spezifische Gewicht.

2. Die Gleichung: Vol.'7'"1 • (j'Luft — /Gas) = ges. Steigkraft aus Aufgabe 22 soll graphisch dargestellt werden, d. h. es soll für den dort benutzten Wert des Auftriebs pro cbm: 0.733 die gesamte Steigkraft (das Eigengewicht = 0 gesetzt) als Funktion des Ballonkugelradius aufgetragen werden. Die entsprechend umgeformte Gleichung lautet: (r'" = Kugelradius; K*" = Steigkraft) t

•

= K * . also r =

±.

^

^

Setzen wir als größte in Frage kommende Steigkraft K = 5000A» ein, so wird r = 11,75'". Wir bringen unsere Gleichung noch auf die Forin: v a :-.

~ • x -- • x • konst. (r ^ y ; K ^ x ) . 44 • ,i • 0,/.!.! Diese Gleichung erinnert uns an die der Parabel (Kap. 1 § 7); sie stellt eine Abart derselben, nämlich die kubische Parabel dar, für die folgende Konstruktion gegeben wird: Wir ziehen durch den gegebenen Punkt ^ (x — 5000, y ^ 11,75) einen vom Ursprung ausgehenden Strahl und nehmen auf diesem beliebige Punkte c an. Für jeden Punkt c führen wir nun die aus Fig. 60 1000 2O 0 3 ü 50 ° ° z u ersehende Konstruk8 t°i k r °°« B ~ tion aus; dann sind alle v ' ,g c t Punkte der gemeinen Parabel, alle c2 Punkte der hier gesuchten kubischen Parabel und alle c 3 Punkte der semikubischen Parabel. Eine genügende Anzahl Punkte c.2 ergibt die gesuchte Kurve, vou der wir für jeden beliebigen Wert von K den erforderlichen Wert von r ablesen können und umgekehrt. So ergibt sich z. B. für r — 7,00"': K : = 1052

III. K a p i t e l .

Die Kräfte. § 1. Die verschiedenen Arten von Kräften. Aus den beiden ersten Kapiteln wissen wir schon, was wir uns unter Kräften vorzustellen haben. Wir haben vor allem gelernt, daß dem Begriff Kraft die Dimension: zukommt. Hier wollen wir uns zunächst darüber klar werden, daß das G e w i c h t , die S c h w e r k r a f t , nur eine von vielen Kraftarten ist. Wir teilen die Kräfte in zwei Gattungen ein: 1. B e w e g e n d e K r ä f t e , S . W i d e r s t a n d s k r ä f t e . Bewegende Kräfte sind z. B.: die einer gespannten Feder, auf eine Fläche wirkender Wasser-, Dampf- oder Winddruck, Muskelkraft, Magnetismus usw. Widerstandskräfte: Festigkeit eines zu zerreißenden Stabes, Trägheit der Masse (s. Kap. V § 1) usw. Bewegende Kräfte treten gelegentlich als Widerstandskräfte auf. z. B. Gegenwind als Widerstand gegen die Muskelkraft eines Radfahrers. Widerstandskräfte können dagegen nicht zu bewegenden Kräften werden. Wirkt eine bewegende Kraft auf einen Körper, so setzt sie ihn in Bewegung, wenn ihr nicht eine andere Kraft von gleicher Größe entgegenwirkt. Die Schwerkraft z. B., die ja stets auf jeden Körper wirkt, muß durch eine ihr gleich große Kraft, etwa durch die Spannung in einem Faden, an dem der Körper hängt, oder die Festigkeit der Tischplatte, auf der er liegt, aufgehoben werden, sonst fällt der Körper herab. Diese Beispiele zeigen uns, daß die Widerstandskräfte erst durch die auszugleichenden Kräfte hervorgerufen werden, also der Größe nach diesen gleich sein werden. Mit dem Aufhören der bewegenden Kraft verschwindet auch die von ihr hervorgerufene Widerstandskraft. Jede Kraft ist bestimmt durch 1. Größe (in *»), 2. Angriffspunkt, 3. Richtung. — Zeichnerisch stellt man die Kräfte als gerade Linien dar, deren Längen in einem gewählten Maßstab die Größe angeben, während ihr Anfangspunkt den Angriffspunkt, ihre Lage und ein Pfeil die Richtung andeuten.

58

I I I . Kapitel.

Die Kräfte.

§ 2. Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt. Es mögen

zwei K r ä f t e , die in einem P n n k t e eines K ö r p e r s angreifen, in einer geraden L i n i e , a b e r entgegengesetzt zueinander wirken. Versehen wir die Richtungen mit Vorzeichen ( + und — ) , so ergibt sich die g e m e i n s a m e W i r k u n g , die R e s u l t i e r e n d e . ' als a l g e b r a i s c h e S u m m e , der K r ä f t e . D a s s e l b e gilt unter den ang e g e b e n e n Voraussetzungen a u c h für mehr als zwei K r ä f t e . B e i s p i e l : A u f g a b e IG, wo wir erhielten, indem wir den s e n k r e c h t nach unten w i r k e n d e n K r ä f t e n das - ( - - Z e i c h e n * g a b e n : - j - 1 5 0 ' ' - j - 2 4 " — Auftrieb'' = - j - 74«. Hier T ist 7 4 ' ' die R e s u l t i e r e n d e , die wir durch die W ä g u n g o( bestimmten. F i g . (¡1 zeigt die graphische D a r s t e l l u n g s i- 0 dieses F a l l e s . D i e K r ä f t e sind im G l e i c h g e w i c h t mit2 einander, wenn ihre Resultierende (die a l g e b r a i s c h e S u m m e ) gleich 0 ist. S c h l i e ß e n die in einem P u n k t e eines K ö r p e r s a n g r e i f e n d e n K r ä f t e W i n k e l g e g e n e i n a n d e r «f ein, so ergibt sich die R e s u l t i e r e n d e auf zeichnerischem j'iK.ii2 W e g e , indem wir die K r a f t s t r e c k e n parallel zu sich selbst zu einem Linienzuge z u s a m m e n s c h i e b e n ; die S c h l u ß l i n i e des K r ä f t e p o l y g o n s vom Anfangspunkt der ersten zum E n d p u n k t der letzten K r a f t ist dann die Resultierende. Eine ihr g l e i c h e und e n t g e g e n g e s e t z t e K r a f t bringt das K r ä f t e s y s t e m ins Gleichgewicht. D i e s e r Satz vom Kräftepolygon läßt sich nicht m a t h e m a t i s c h beweisen, wohl a b e r experimentell bestätigen. Als einfachsten F a l l b e t r a c h t e n wir zun ä c h s t die Zusammensetzung z w e i e r K r ä f t e A und B F i g . 6 2 " . Das Kräftepolygon ergibt sich hier als Dreieck. Man zeichnet jedoch F i g . ü2 a und b. meistens das Parallelogramm d e r K r ä f t e auf, dessen D i a g o n a l e die R e s u l t i e r e n d e n a c h G r ö ß e und R i c h t u n g ergibt. F i g . 6 2 b zeigt das P a r a l l e l o g r a m m der K r ä f t e , die hier durch G e w i c h t e dargestellt werden. Fig. 6 3 a . b zeigt fünf K r ä f t e mit g e m e i n s a m e m Angriffspunkt; wie das Kräftepolygon, das in sich geschlossen ist, zeigt, befinden sich die K r ä f t e im G l e i c h g e w i c h t . W i r können j e d e einzelne K r a f t als G e g e n k r a f t zu der Resultierenden der übrigen K r ä f t e b e t r a c h t e n . ( D i e w a g e r e c h t liegende S c h e i b e des hier benutzten T ö p l e r s c h e n

§ 2.

K r ä f t e mit gemeinsamem Angriffspunkt.

59

Apparates liegt mit äußerst geringer Reibung auf Stahlkugeln, würde sich also, wenn die Kräfte nicht im Gleichgewicht wären, in der Richtung der Resultierenden bewegen!) Liegen die Kräfte nicht iii einer Ebene, so tritt an die Stelle des ebenen Polygons ein räumlicher Linienzug, der aus den Kraftstrecken

l'ig.

63 a.

parallel zu deren Richtungen gebildet wird. (Parallelepipedon der Kräfte!) Die Schlußlinie ergibt auch hier die Resultierende. Ebenso wie wir mehrere Kräfte zu einer Resultierenden zusammensetzen können, dürfen wir auch eine gegebene Kraft nach beliebigen Richtungen in Komponenten zerlegen; das Kräftepolygon muß geschlossen sein. Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften spielen in der technischen Mechanik eine große Rolle. Hier können nur wenige Heispiele erwähnt werden, die in diesem Buche gebraucht werden.

60

I I I . Kapitel.

Die Kräfte.

Aufgabe 22. Auf der schiefen E b e n e Jbig. 6 4 a ' b soll eine W a l z e vom G e w i c h t durch e i n e p a r a l l e l zur B a h n (a) bzw. p a r a l l e l zur B a s i s (b) der schiefen E b e n e w i r k e n d e K r a f t P festgehalten werden. W i e groß muß diese Kraft sein? Wir z e r l e g e n die s e n k r e c h t nach unten wirkende G e w i c h t s k r a f t in zwei Komponenten; deren eine, P , muß die in den Aufgaben geforderte R i c h t u n g haben, w ä h r e n d B die a n d e r e . N, s e n k r e c h t zur B a h n stehen muß, 1'iR. (¡4. da s i e in deren F e s t i g k e i t ihre G e g e n k r a f t findet. Aus der Ä h n l i c h k e i t der D r e i e c k e f o l g t : a ) P : G — h : 1 • - sin c 2 Gleichung s .-= v • t = konst., T ja / / y'B / // o» ist also eine gleichseitige a. l > Hyperbel (s. Fig. 45). Der 0

4

Gleichung

v --

=

konst.

Zeit

5

6

% iL—i •

[•'ig. 88.

entspricht jede Parallele zur X-Achse z. B. BC. der Gleichung t :

konst. jede Parallele

zur Y-Achse z. B. D C. Eine andere Darstellung zeigt Fig. 89, bei der s als Funktion von t aufgetragen ist. Jede Gerade 3 durch den Ursprung entspricht der Gleichung: konst. Von dieser Darstellung wird in den graphischen Fahrplänen Gebrauch gemacht, unter Yertauschung der Achsen, wie in Fig. 90 zu erkennen ist. Die Neigung der v-Linie gegen die X-Achse (Fig. 89) gibt ein Maß für die Geschwindigkeit; g

es ist v:— ^ = t a n g « . Haben

F i g 8!j

wir statt der gleichförmigen eine ungleichförmige (beschleunigte bzw. verzögerte) Bewegung, so krümmt sich die v-Linie nach aufwärts bzw.

78

IV. Kapitel.

Von den Bewegungen.

abwärts. Für zwei sehr nahe benachbarte Punkte M und N können wir die Kurve durch die Tangente M — N ersetzen.

-

Deren Neigung den Wert:

« x

gegen S„ —

8,

Wesrkm Fi«. 90.

die X-Achse m

~ — t2 — t / -

ergibt

.

taug 6 1u, - - v

d. i. die Momentengeschwindigkeit. Für a t = 90 wird tang «, __ y = tang a 2 = V = 0.

oo;

für jeden

Punkt

AS At für

a2 - - 0°

wird

g 2.

79

Beschleunigung.

§ 2. B e s c h l e u n i g u n g . Unter den Fällen der u n g l e i c h f ö r m i g e n B e w e g u n g sind vor allem die der g l e i c h f ö r m i g v e r ä n d e r t e n , d. h. g l e i c h f ö r m i g b e s c h l e u n i g t e n und g l e i c h f ö r m i g v e r z ö g e r t e n B e w e g u n g von Wichtigkeit. So nennen wir eine Bewegung, deren Geschwindigkeit in jeder Sekunde um den gleichen Betrag größer bzw. kleiner wird. Beschleunigung istalso: G e s c h w i n d i g k e i t s zunahme pro Sekunde, ihre Dimension: m/s< " ----- i»;»«^ •S'tv Bezeichnen wir Beschleunigungswerte mit - } - p . s o müssen wirVerzögerungswerte — p nennen. Ihre Dimension ist die gleiche. — In Fig. 91 ist wieder (wie in Fig. 88) v, das hier veränderlich ist. als Funktion von t aufgetragen, Sind t, und t 2 zwei auf einander die zugehörigen Geschwindigfolgende Zeitpunkte, v, und keiten. so ist: v A v

_

'

-c

•p ZP y

J

—

tang

a

..

Gl.

11.

A t 2 den Fall der gleichförmig beschleunigten Bewegung, Für der durch die Gerade A R dargestellt wird, ist tang u - - konst., somit, wenn wir setzen: l

V,

t„

V,

t, •"

V

.

'

ii mjxec -

— ¿sei-

y p>•>:»«'==konst.; *

v ^ p - t ;

t =

p

Gl.

1 2 " -

Haben wir statt der gleichförmigen eine zu- oder abnehmende Beschleunigung, so krümmt sich die p-Linie nach aufwärts bzw. abwärts und der Neigungswinkel der Tangenten gegen die X-Achse gibt für jeden Punkt der Kurve die augenblickliche Beschleunigung an. Wird « 3 — 90°, so ist: tang a 2 = c p = oo. Für öj = 0 0 ist: tang a l — p = 0. Durch die schraffierte Fläche wird auch hier, wie in Fig. 88, die Größe des in t zurückgelegten Weges dargestellt, in dessen Endpunkt die Endgeschwindigkeit v erreicht ist. Da während der Zeit t die s e c

80

IV. Kapitel.

Von den Bewegungen.

Geschwindigkeit v erst entsprechend AB von o auf v anwachsen mußte, so kommt hier nur die Dreiecksfläche A B C in Frage, deren Größe ist: '

2

°L

2

13

~

Eine Betrachtung der Figur lehrt, daß sich die Wege (die Diagrammflächen) in den einzelnen Sekunden wie 1 : 3 : 5 : 7 : 9 usw. verhalten.

Setzen wir aus Gl. 12° t „2 mVaec-

s»'=

V"

2 .p

"

in Gl. 13 ein, so folgt:

2-p,n-""*-S"'

v 2

'n 2-

F

P

m.sec-

|

p

v

s

" s'"

Gl.

14.

Gl.

15.

Ol.

16.

A u f g a b e 30. Ein Eisenbahnzug hat drei Minuten nach dem Anfahren eine Geschwindigkeit v — 60'' m '*h,e erlangt, a) Wie groß war die (gleichförmige) Beschleunigung? b) Welchen Weg hat der Zug in den drei Minuten zurückgelegt? a) Aus Gleichung 12" folgt: 60000"' 1 . 0.092'»•»«" 9,2"""""= v 3600""'' 3 - 6 0 « ' b) Aus Gleichung 13 folgt: 6 0 0 0 0 3 • 60-" Sm = — - - löOO.OO1". 3600 , e " 2 § 3. W i n k e l g e s c h w i n d i g k e i t u n d W i n k e l b e s c h l e u n i g u u g - . Nennen wir die minutliche Umdrehungszahl eines Rades: 11, so ist die Umfangsgeschwindigkeit eines Punktes im Abstände r'" von der Drehachse (celeritas): £ vi\sec _

2 .

r

«'.

; f

.

" QQsec

Gl.

17".

Wir führen die Bezeichnung ein: nrtr.;miit Daraus: 11., = 2 • 0,3'" • ,t Allgemein ergibt sich durch Gleichsetzung der Werte von c, und c.2:

n. r„

r n

i' i=

Gl. 20">".

r-, n..

In Fig. 92 sind die Geschwindigkeitsverhältnisse des Beispiels Aufg. 31 gemäß Gl. 1 7 b z u r Darstellung gebracht. (Uber die rechnerische Verwertung des Begriffs der Winkelbeschleunigung t s. Kap. V § 4).

§ 4.

Zusammengesetzte Bewegung; Wurfbewegung.

Wie schon in Fig. 92 angedeutet wurde, stellen wir Größe und Richtung der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen bzw. entsprechender Wegstrecken als gerade Linien von entsprechender Richtung und Länge dar; für die Zusammensetzung mehrerer Bewegungen eines Körpers, die gleichzeitig in verschiedenen Richtungen erfolgen, zu der resultierenden Bewegung gelten nun dieselben Regeln wie für die Zusammensetzung der K r ä f t e : Das Endziel der resultierenden Bewegung ergibt sich als Schlußlinie des aus den einzelnen Bewegungen (usw.) gebildeten M ü l l e r , L e h r b u c h der technischen Physik.

I.

ß

82

IV. Kapitel.

Von den Bewegungen.

Polygons bzw. räumlichen Linienzuges, da wir uns vorstellen können, daß die Bewegung nacheinander längs der verschiedenen Komponenten erfolge. Zur Zusammensetzung z w e i e r Bewegungen benutzt man auch hier, wie bei den Kräften, das P a r a l l e l o g r a m m der B e w e g u n g e n . Ein gntes Beispiel hierfür bietet die Wurfbewegung, zu deren Verständnis wir die im Kap. V § 2 entwickelte Größe der Freifallbeschleunigung: g = 9,81 m ' sec2 voraussetzen wollen. Es soll die Bahn eines Körpers bestimmt werden, der unter dein Winkel gegen die

/

Fig.

93.

Wagerechte mit der Geschwindigkeit y l emporgeworfen wird. Die Zerlegung ergibt nach Fig. 93 die Geschwindigkeiten bzw. Wege: wagerecht (Gl. 10 b ): v h = v • cos a ; x = v • t • cos a — Gl. (a) senkrecht: (Gl. 1 0 b und 13 b ): m

s e c

er . t

vT = v • sin a ;

2

y = v • t • sin u — 5 - - .. Gl.(b).

Während die wagerechten Wege x in den einzelnen Sekunden

§ 4. Zusammengesetzte Bewegung; Wurfbewegung.

83

gleich sind, nehmen die senkrechten Wege y in den einzelnen Sekunden um Beträge ab, die im Verhältnis 1 : 3 : 5 : 7 : 9 usw. zueinander stehen (s. Fig 91). Als Verzögerung in der ersten Sekunde muß das Stück (Gl. 13): £T 9 81 m'se'~ - ° • I2 = 1 _ 4,905'» von v • t • sin a nach unten abgetragen werden. Als Maßstab ist hier gewählt: l m m ^ l Q m . In den weiteren Sekunden wachsen die abzutragenden Verzögerungen: — 3 • 4,905; 5 • 4,905 usw. Die Kurve 1 Fig. 93 gibt die daraus sich ergebende Konstruktion der Wurflinie für a = 45 0 wieder. Die Kurve ist symmetrisch zu der durch den höchsten Punkt gelegten Senkrechten und hat die Eigenschaften der Parabel (Kap. I § 7 ) . W i r wollen die Gleichung dieser Parabel aufstellen: t aus Gl. (a) ausgerechnet und in (b) eingesetzt ergibt: V

~

X

'

sin a g c o s « " 2 - v * - cos*

«"*"

G L 2 1

•

Für den Winkel a = : 0 0 erhalten wir: — - = t a n f f a = 0 cos u ° Damit verschwindet das erste Glied der rechten Seite in Gl. 21, und wir erhalten mit cos 0 = cos2 0 = 1: ~

y =

v n '

x 2

oder:

= ~

2 j

r • y = — 2 • i • y (Gl. 3).

Hier ist zu beachten, daß x und y gegenüber der Normalform der Parabel in Gl. 3 miteinander vertauscht sind. Entsprechend sind auch hier die Parabelachsen gegenüber der Lage in Fig. 43 und 44 vertauscht. Die Parabel für « = () ist als Kurve 2 aufgezeichnet. Wir haben den Fall des wagerechten Wurfs. Für den Fall des senkrechten Wurfs nach oben, d. h. « = 90° oder sin a = l , geht Gl. (b) Uber in die Form: y = v • t — | -1* (s. Kap. V § 2). y Setzen wir aus Gl. 12 c : t = — in diese Gleichung ein, so V

g

V2

&

V2

folgt: y = v- - - — ~ 2 ' g 2 ~ 2 ~ ~ g ' Höhe:

2 . g m;aec- '

ist

V

die größte erreichbare

^2 • g • y m a x . 6*

84

IV. Kapitel.

Von den Bewegungen.

Die Wurfweite W für einen gegebenen Winkel u erhalten wir, indem wir in Gl. 21: y =- 0 setzen. Alle Punkte der X-Achse, auf der ja der Endpunkt von W liegen soll, entsprechen dieser Beziehung. Es ergibt sich: x2 • g sin a sin «• 2 • v2 • cos'2« , x ; x --= • oder: 2 2 2 • v •cos a cos « ' g•cos « 2 v -sin 2 c. Gl. 22i". Die Trigonometrie lehrt, daß für zwei Winkel «. die um gleiche Beträge größer oder kleiner als 45° sind, sin 2 « gleich groß wird. Es werden also je zwei „Elevationswiukel", z. B. ßj = 30° und a 2 = 60", bei derselben Anfangsgeschwindigkeit Die Kurven 3 und 4 v m/sec dieselbe Wurfweite W ergeben. Fig. 93 sind zwei zusammengehörige Wurflinien (Flachbahn und Bogenbabn). Die größte Höhe y m a x liegt wegen der Symmetrie der Bahn in der halben Wurfweite; ihre Größe ergibt sich wie beim senkrechten Wurf nach obeu, indem wir als senkrechte Komponente der Anfangsgeschwindigkeit: v • sin a in Gl. 14 einsetzen: v2 • sin2« ymax ~ 2-g ' Damit sind uns drei Punkte der Parabel gegeben, die nach Fig. 43 zur Konstruktion ausreichen. Die größte mögliche Wurfweite ergibt sich aus Gl. 22" mit dem größten möglichen Wert von sin 2 a = sin 90° = 1, d. i. « = 45", nämlich: x•A-max —

V

h Gl 22 V-»t. Ä Ä.

g In diesem Falle erhalten wir nur e i n e Parabel, da Flachund Bogenbahn zusammenfallen. Alle Parabeln ergeben eine Hilllkurve, die ebenfalls wieder eine Parabel ist. Die Form der Wurfbahn läßt sich experimentell am besten verfolgen mit Hilfe von Wasserstrahlen, die mit bestimmter Ausflußgeschwindigkeit (s. Kap. VII) unter einem bestimmten Elevationswinkel aus einer Öffnung ausströmen. A u f g a b e 32. Ein Wasserstrahl mit v = 5 m ' sec Anfangsgeschwindigkeit soll einen Punkt P im wagerechten Abstand W = l m treffen (Fig. 93). a) Welche Elevationswinkel sind zu wählen ? b) Welche größte Wurfweite ist bei « = 45" erreichbar ? c) Welche Höhe yin„x ist bei « = 0° erreichbar V

§ 5.

Relativbewegun^.

85

a) Nach Gl. 22 a wird: 9 81 1 ---- 0,392 daraus : 5 2 - a 1 = 2 3 ° ö ' l l " also = 11° 32'35" (Flachbahn) « 2 = 90° — «! = 78° 27' 25" (Bogenbahn). b) Nach Gl. 22 b ist:

c) Nach Gl. 14 ist:

Alle Werte werden durch den Einfluß der Luftreibung beeinflußt. Beim senkrechten Strahl wirkt das herabfallende Wasser störend. § 5. Relativbewegung. Wenn wir die Bewegung eines Körpers beobachten, so fassen wir unsern eigenen Standpunkt als feststehend auf. Bewegt sich jedoch dieser Standpunkt selbst, so beobachten wir die r e l a t i v e Bewegung des Körpers

Fi«.

94.

gegenüber der a b s o l u t e n Bewegung unseres Standpunktes. Die Regeln, nach denen wir die absoluten und relativen Bewegungen verfolgen können, ergeben sich am besten aus folgendem Beispiel: Fig. 94. Im Endpunkt der vom feststehenden Turbinengehäuse aus betrachteten Absolutgeschwindigkeit wx des Wasserstrahls tragen wir die gleichfalls vom Turbinengehäuse aus aufgefaßte Absolutgeschwindigkeit Uj der Schaufel in u m g e k e h r t e r Richtung an. Die Schlußlinie des Dreiecks ergibt dann die Relativgeschwindigkeit v, des Wasserstrahls

86

IV, Kapitel.

Von den Bewegungen.

gegenüber der Tnrbinenschaufel nach Größe und Richtung. w t wird dabei zur Diagonale des aus u, und vt gebildeten Geschwindigkeitsparallelogramms. Infolge der Schaufelkrümmung wird die Richtung der Relativgeschwindigkeit (deren Größe hier als gleichbleibend angenommen ist), allmählich geändert. Sie ist in jedem P u n k t e tangential zur Bahn (zur Schaufelkrümmung) gerichtet. Aus der Figur ist zu ersehen, in welcher Weise auch der absolute (strichpunktierte) Weg des Wasserstrahls aus seiner ursprünglich geraden Richtung abgelenkt wird. w 2 ergibt die Absolutgeschwindigkeit des Wasserstrahls beim Verlassen der Schaufel nach Größe und Richtung. Ist t ,e(: die zum Durchfließen der Schaufel erforderliche Zeit, so ist nach Gl. 11 die Verzögerung des Wasserstrahls:

Da w 2 > w 1 , so wird p negativ, also haben wir einer Verzögerung zu tan. (§ 2 und Kap. VI § 2).

es

mit

V. K a p i t e l .

Kraft, Masse und Beschleunigung. § 1. Gewicht und träge Masse. Die tägliche Erfahrung lehrt: Um einen ruhenden Körper in Bewegung zu setzen (zu beschleunigen) oder um einen mit gleichförmiger Geschwindigkeit sich bewegenden Körper zu beschleunigen, zu verzögern oder aus seiner geraden Bewegungsrichtung abzulenken, müssen wir eine Kraft anwenden. Der Widerstand, den der Körper dieser Kraft entgegensetzt, heißt „Trägheit der Masse". Die Größe der Trägheitskraft ließe sich z. B. messen, indem wir Walzen von verschiedenem Gewicht auf einer ebenen Unterlage (durch die das Gewicht der Walze ausgeschaltet würde) mittels eioer Schnur in Bewegung setzen würden. Eine in die Schnur eingeschaltete Federwage würde dann die Kräfte messen, die zu gleichen Beschleunigungen der verschiedenen Walzen aufzuwenden wären, und wir würden finden, daß diese Kräfte sich wie die Gewichte der zu beschleunigenden Walzen verhalten würden. Das G e w i c h t ist also eine l i n e a r e F u n k t i o n d e r T r ä g h e i t s k r a f t oder der t r ä g e n Masse.

§ 2.

Atwoods Fallmaschine.

Die Er-

fahrung des § 1 und deren weitere Folgerungen lassen sich genauer studieren mit Hilfe der Fallmaschine Fig. 95. Hier ist der Einfluß der Schwerkraft auf die trägen Massen dadurch aufgehoben, daß sich die Gewichte G, + K und G2 gegenseitig das Gleichgewicht halten bis auf das Ubergewicht K. das die Beschleunigung hervorzurufen hat. Der Faden und

88

V. Kapitel.

Kraft, Masse nnd Beschleunigung.

der Umfang der Kolle b e w e g e n sich mit gleichen Geschwindigkeiten wie Gj + K und G 2 . D i e Masse des sehr leichten F a d e n s k a n n vernachlässigt werden. Speichen und Welle der Holle seien so leicht gehalten, daß ihre Masse ebenfalls k e i n e Kolle spielt. (Beachte § 4!) Die Masse der Kolle von 50» Gewicht muß j e d o c h zur Masse der Gewichte Gj + K und G„ hinzuaddiert werden. D a s Übergewicht K wird durch den King K nach dem D u r c h l a u f e n der F a l l s t r e c k e Sj'" abgehoben, wonach sich die beschleunigte Masse infolge ihres B e h a r r u n g s v e r m ö g e n s mit der erlangten E n d g e s c h w i n d i g k e i t v m ' se,; um die Strecke s 2 m gleichförmig weiterbewegt, bis durch das Tischchen T die B e w e g u n g beendet wird. Die folgenden Tabellen geben über die mit der Fallmaschine anzustellenden Versuche und die d a r a u s sich ergebenden Sätze am besten Auskunft: Außer den a n g e g e b e n e n gelten hier noch folgende Bezeichnungen: t / " ' : die zum Durchfallen des W e g e s Sj'", t 2 = 1""': die zum D u r c h l a u f e n des W e g e s s 2 "' mit gleichförmiger Geschwindigkeit v erforderliche Zeit. Es ist v = p - t , ; also p =

(Gl. 12); s 2

V • t0

V

(Gl. 10).

T a b e l l e 1.

Gi + K

G2

Gì/ = Gew. d. bewegt. Masse

72 + 2 72 196 • 1 = 196 ; 0,2 71+4 71 196 • 1 = 196 0,4 70 + 6J 70 196 • 1 = 196 ! 0,6

t, sc-

y m ¡sec

----- S,,

0,2

0,4 0,6

7 2 + 2 j 72 196 - 1 = 196 0.2 169 + 4 I 169 i 196 • 2 = 392 0.2 266 + 6 266 \ 196 • 3 = 588 0.2

0,2 0,2

70 + 6 70 196-1 = 196 0,6 168 + 6 168 196 • 2 = 392 0,3 266 + 6 i 266 196 • 3 = 588 0,2

0,6

0,2

0,3 0,2

pjrt/sec'V

Abgeleiteter Satz

~~ t ,

0,1 0,2

0,3

Bei gleichen Massen v e r h a l t e n sieb die B e s c h l e u n i g u n g e n wie die Kräfte.

0,1

Bei gleichen B e s c h l e u n i g u n g e n v e r h a k e n sich die K r ä f t e wie die Massen.

0,3 0,15

Bei g l e i c h e n K r ä f t e n v e r halten sich die B e schleunigungen umgek e h r t wie die Maasen.

0,1 0,1

0,1

l ) G ist gleich G t + Ga + Gew. d. Rollenumfangs + K, dessen Masse ja auch mit beschleunigt werden muß.

89

Atwoods Fallmaschine.

Tabelle 2. Durchweg: Gt + K = 72 + 2, G2 = 72, Gew. d. bewegten Masse: 1 9 0 ' ; t„ = Ver. t,»«-

Z 0.05 0,2 0,45 0,8 1.25

= = = = =

l2 22 32 4a 52

y il> HI'I

0,1

0,05 0.05 0,05 0,05 • 0,05

W e g e in d. einzeln. See. 0,05 0,15 0,25 0,35 0.45

0.2

0,3 0,4 0,5

= = = = =

1 3 5 7 9

• 0,05 • 0,05 •0,05 • 0,05 • 0,05

Abgeleitete Sätze: 1. Die Fallhöhen s t verhalten sich wie die Quadrate der Fallzeiten t,. 2. Die Endgeschwindigkeiten v verhalten sich wie die Fallzeiten oder wie die Wurzeln aus den Fallhöhen. 3. Die Wege in den einzelnen Sekunden verhalten sich wie 1 : 3 : 5 : 7 : 9 usw. Die aus Tabelle 1 abgeleiteten drei Sätze finden ihren gemeinsamen algebraischen Ausdruck in einer Gleichung von uns bereits wohlbekannter Form, nämlich der Form der Gl. 1, 10 oder 12. Die Gleichung lautet hier: K r a f t = M a s s e • B e s c h l e u n i g u n g ; in Buchstabeu: r/ »Cl2 K!' =

m

"'

• /;'" ^

;

m —

p

; pr

:

—

m

Gl.

23a

c

-

Von diesen drei Größen sind uns nun nur K und p selbst bekannt; von m kennen wir zunächst nur (aus § 1) die lineare Q

Funktion: G.

Wir schreiben also G = m - g oder m =

•, worin

?

g nach Größe und Dimension unbekannt ist, und setzen m in dieser Form in eine Anzahl von Gleichungen ein, die wir aus zusammengehörigen Zahlenwerten der Tabelle bilden, z. B. 196» m Bee; 25,25'"SBC

j/9 . 9 ; 81

also gleich der Anfangsgeschwindigkeit. Die Fallbewegung wird in Wirklichkeit durch den Luftwiderstand verzögert. Dessen Einfluß ist um so größer, j e größer die Angriffsfläche des Körpers im Verhältnis zu seinem Gewicht ist. Im luftleeren Raum fallen dagegen alle Körper gleich schnell, wie ein Versuch beweist. § 3. Gravitation. Newton bewies, daß sich die Bewegung der Planeten erklären ließ, wenn man folgendes Gesetz aufstellte: Zwei Massen mj und m 2 , die einen von Schwerpunkt zu Schwerpunkt gemessenen Abstand r voneinander haben, ziehen sich gegenseitig mit einer Kraft an: Dkg

_

A

m * tri kq-sec1;™ ig - See' . "'l

. m

kyncc-iin

Gl.

24.

Hierin ist A die „Gravitationskonstante". Durch zahlreiche Versuche hat man die Richtigkeit dieses Newtonschen Gravi-

92

Y. Kapitel.

K r a f t , Masse und Beschleunigung.

tationsgesetzes bewiesen und hat als Mittelwert von A gefunden: A = 6,64 • l()" a . woraus sich für 111. — u n d einen Erd- , = g/n/secradius r — 6 370 000"' die Masse der Erde n^ 596 • 101» und ihr relatives Gewicht = 5,537 ergibt. Von den vielen Methoden, die nur Bestimmung dieser Werte geführt haben, kann hier nur die von Jolly (und anderen) benutzte angedeutet werden. Mittels einer Wage, die auf jeder Seite zwei Wagschalen hat, je eine unmittelbar am Wagebalken und eine sehr tief darunter hängend, vergleicht man die Gewichte zweier Massen, indem man eine von ihnen zunächst auf die obere und dann auf die untere Wagschale legt; sie erscheint im letzteren Ealle größer. Daraus ergibt sich nun auch die Verschiedenheit der Werte von g für verschiedene Höhen, und da r wegen der Abplattung der Erde nach den Polen zu geringer wird und auch der Einfluß der Zentrifugalkraft (der Erdrotation) auf eine Verringerung von g hinwirkt (§ 5), so ist* g an den Polen am größten (in Spitzbergen bei 78" 50': 9.83), am Aequator am kleinsten (in St. Helena bei — 1 5 ° 55': 9,79) (s. § 6. 4). Da man mit der Hebelwage streng genommen nicht die Gewichte, sondern die Massen vergleicht, so gibt eine solche Wage an den verschiedenen Punkten der Erde stets das gleiche Resultat. Eine unter 50° Breite geeichte Eederwage jedoch würde an den Polen zu große, am Aequator zu kleine Werte ergeben. Ob wir es bei der Gravitation mit einer Fernwirkung oder mit der Wirkung eines näher zu erforschenden Zwischenmediums zu tun haben, ist noch unentschieden. Die Wissenschaft neigt heute der letzteren Auffassung zu. § 4. Drehmoment, Trägheitsmoment und Winkelbeschleunigung. Ein um eine Achse drehbarer Körper setzt jeder Aenderung seiner Winkelgeschwindigkeit einen Trägheitswiderstand entgegen, zu dessen Über-windung wir ein Drehmoment wirken lassen müssen. Wollen wirdie Erfahrungen des § 3 auf die Drehbewegung anwenden, so müssen wir bedenken, daß hier die Beschleunigung der einzelnen Punkte des Körpers je nach ihrem Abstände von der Drehachse verschieden ist. Für eine Masse m (Fig. 96) im Kg. 96. Abstand r m von der Drehachse gilt itm

§ 4.

Gl.

17 b

Drehmoment, Trägheitsmoment u. Winkelbeschleunigung.

and

12b:

c = r • w — p-t.

woraus:

p

93

r • (o

Zur

Hervorbringung dieser Beschleunigung ist die Kraft erforderlich: K = m • p, die sich mit r zu dem Drehmoment zusammensetzt: d= K •r

•

m

t

:

r

die

Gesamtheit

aller Drehmomente

ist

somit (Gl. 1 9 ) :

ßmku

=

ljsCr f ' sr> " . / m >» . fuec '

V J

Winkelbeschleun. X

i" = fc • Im- r2 = • e • I

m .r2

I-

Gl. 25«.

Trägheitsmom. Gl. 25'

Hier ist also analog zu der Beziehung zwischen Masse und Beschleunigung der geradlinigen B e w e g u n g : Drehmoment

--- T r ä g h e i t s m o m e n t beschleunigung.

X

Kraft,

Winkel-

Das Trägheitsmoment der regelmäßigen Figuren und Körper (bei ersteren tritt die Fläche an Stelle der Masse) läßt sich berechnen, wie folgendes Beispiel zeigt: A u f g a b e 35. Das Trägheitsmoment einer kreisrunden Scheibe (Fig. 9 7 ) vom Radius R = öO"' und der Dicke H = 2cm, dem spezifischen G e w i c h t = 7,8'i»'" gehoben werden. Wie groß ist die aufzuwendende Arbeit? (Von der Reibung ist abzusehen!) Wir müssen die Kraft P — G - s i n a in Richtungparallel zur schiefen Ebene angreifen lassen. Die zu leistende Arbeit ist dann: = G*» • sin « • 1'« G'-» • sin u • . ^ 5 0 - 6 = 300"'*.» sin « Wir greifen auf Früheres zurück (Fig 78 a ). Als S t a n d f e s t i g k e i t oder S t a b i l i t ä t eines Körpers bezeichnet man das Maß der Arbeit, die zum Umwerfen des Körpers um die Kante K aufgewendet werden muß: A'"*» = G*f • h m. Diese Arbeit wird um so größer sein, je größer der Abstand m der Kippkante K von der senkrechten Schwerlinie ist und je tiefer der Schwerpunkt liegt. Die Richtung der Kraft ist in den beiden angeführten Beispielen die senkrechte; die geleistete Arbeit ist dieselbe, als wenn wir das Gewicht GÄ» um h'" senkrecht

§ 2.

Energie.

107

emporheben würden. Diesen Satz nennt man die goldene llegel der Mechanik: Was an Kraft gewonnen wird, geht an Wegverloren. § 2. Energie. Ein Gewicht Gk'J befinde sich h'" über dem Erdboden. Lassen wir das Gewicht um diesen Weg h herabsinken, so ist es imstande, die Arbeit zu leisten: A"lkg G1'5 • h'". Das Gewicht hat also durch seine Lage ein Arbeitsvermögen A'"'-' in sich. Das A r b e i t s v e r m ö g e n nennen wir die E n e r g i e , und zwar hier zur Unterscheidung von anderen Energieformen: E n e r g i e d e r L a g e , p o t e n t i e l l e E n e r g i e , ruhende Energie. Die Dimension des Energiewertes ist dieselbe wie die Dimension der aus jenem zu gewinnenden mechanischen Arbeit: Die potentielle Energie kann mannigfache Formen annehmen, z. B. Spannungsenergie einer Feder, des Wasserdampfes, Wärmeenergie, elektrische Spannungsenergie, chemische Energie usw. Lassen wir das Gewicht G'"' um die Höhe h'" frei also ohne daß äußere Arbeit geleistet wird — herabfallen, so ist seine Endgeschwindigkeit nach Gl. 15: v ' " ' " ' v \ ! 2 • gmi*ec'' • h'". y-2

Setzen wir den Wert für h (bzw. s)' aus Gl. 14: h in Gl. 28 ein, so ergibt sich: ±mku -

g , .

Qky . ^

JI ... . Gl. 29 2 ö Dieser Wert, der aus der Energie der Lage entstanden ist, ohne daß äußere Arbeit geleistet wurde, und mit ihr gleiche Größe hat, heißt E n e r g i e d e r B e w e g u n g , k i n e t i s c h e E n e r g i e , b e w e g t e E n e r g i e , W u c h t . Die Dimension ist wieder Das ist besonders zu beachten, weil leider ein irreführender Ausdruck für den Begriff der Wucht sehr gebräuchlich ist: lebendige Kraft. Ebenso wie sich ruhende Energie in Bewegungsenergie verwandeln kann, kann auch das Umgekehrte eintreten. Das Pendel bietet hierfür ein Beispiel. Ist sein Gewicht Gk" um die Höhe H,'" (Fig. 102 a), d. h. von A bis B herabgesunken, so hat sich die ganze in A vorhandene 2-ar"'l*""

Q-.

v2mkg

Lagenenergie G • H/1**' in Wucht — — verwandelt. (Man g•i kann hieraus die Größe von \ i berechnen, auf anderem Wege, als in Kap. V § 6,3 geschah!) Auf dem Wege BC verm

s c c

108

VI. Kapitel.

Arbeit, E n e r g i e , L e i s t u n g ,

Effekt.

wandelt sich nun die Wucht zurück in Lagenenergie, die in C wieder dieselbe Größe hat wie in A. Die S u m m e der beiden Energiewerte ist in allen Punkten der Bahn des Pendelkörpers die gleiche, nämlich: G - H ' " t r ' . Z. B. ist in den Punkten A und C die W u c h t - — 0 ; denn im Augenblick der Umkehr ist die Geschwindigkeit 0. In B ist die Lagenenergie - - = 0 ; denn das Pendelgewicht kann nicht tiefer herabsinken. Äußere Arbeit wird nicht geleistet. Anders liegt die S a c h e im Beispiel Fig. !)4 (Kap. IV § 5). .Jedes A,/ Wasser, das durch die Turbinenschaufel fließt, hat beim

Eintritt 1

W

Austritt: er • v ~

eine Wucht 2mk

n

(Gl. 2 9 ) :

m-

y - ml

—

|

oe

^y 2 mkg

1 9

. am

die Differenz zwischen beiden E n e r g i e w e r t e n : . , \ Ml.r/ _ .

1 f W,2 _ I X.

\V -\mk'J 2 0\

ist als äußere Arbeit an die Turbinenschaufel abgegeben worden. Diese Erkenntnis führt uns auf eines der wichtigsten Gesetze der gesamten Naturwissenschaft: D a s G e s e t z v o n d e r E r h a l t u n g d e r E n e r g i e . Um uns die volle Bedeutung dieses Gesetzes recht klar zu machen, wollen wir den weiteren W e g der erzeugten mechanischen Arbeit zu verfolgen suchen! Wir wollen annehmen, die Turbine, an deren Schaufel die Arbeit abgegeben wurde, treibe eine Dynamomaschine. Der in dieser erzeugte elektrische Strom werde fortgeleitet und treibe an einem entfernten P u n k t einen Elektromotor an. Ein anderer T e i l der erzeugten elektrischen E n e r g i e werde zur Beleuchtung mit Glühlampen und Bogenlampen verwandt, ein weiterer T e i l zum Betrieb eines elektrischen Ofens, zu chemischen (elektrolytischen) Prozessen, zum Betrieb eines Hubmagneten usw. D e r Elektromotor mag dann wieder eine Pumpe antreiben, durch die W a s s e r auf dieselbe Druckhöhe gepumpt wird, die an der Turbine verfügbar war; die hier geförderte W a s s e r m e n g e kann natürlich nur ein Bruchteil von der der T u r b i n e zufließenden sein, da j a der größte T e i l der verfügbaren Energie in die zahlreichen anderen Formen übergeführt wurde. Aus dieser Schilderung erkennt man zunächst, daß es unzählige Formen von Energie gibt; hier konnten wir nur eine ganz geringe Zahl davon anführen. E i n e der wichtigsten E n e r g i e f o r m e n , die Wärme, die in Gestalt von strahlender Sonnenenergie den Ur-

§ 3.

109

Energie der drehenden B e w e g u n g .

sprang des gesamten Energievorrats der Erde bildet, wird besonders eingehend zu behandeln sein. Das Gesetz von der E r h a l t u n g der Energie spricht nun aus, daß bei einem Uniwandlungsprozeß die Energiesummen vorher und nachher die gleichen sind, mit anderen Worten, daß keine Energie verloren geht, oder in seiner weitesten Fassung: Die Energiesumme des Weltalls ist konstant. Die Tatsache, daß bei jedem praktischen Uniwandlungsprozeß ein Teil der ursprünglichen Energie verloren geht, ist nur scheinbar ein Widerspruch gegen dieses Grundgesetz. Wenn z. B. die durch die Dynamomaschine unseres Beispiels erzeugte Energie kleiner ist als die ihr zugeführte mechanische Energie, so können wir einige der zahlreichen Verlustquellen leicht erkennen: In den Lagern der Maschine entsteht Reibung, die sich zum Teil in einer Erwärmung der Lager zeigen wird (Wärme ist eine Energieform!), zum Teil zur Abnutzung der Lagerschalen unter Überwindung der Kohäsionskräfte des Lagermetalls führen wird. Die große Bedeutung dieses Naturgesetzes für die Naturwissenschaft und ihre technischen Anwendungen liegt auf der Hand. Wir werden noch an mancher Stelle Gelegenheit haben, von ihm ausgehend weitere Schlüsse zu ziehen. § 3. E n e r g i e der drehenden B e w e g u n g . Eine Masse m im Abstände r von der Drehachse eines rotierenden Körpers hat eine Wucht:

(Gl. 17" und Gl. ¿9). Die Wucht

des ganzen Körpers ist also (Gl. 25 b ): J^My —

L.l0*ll»ec"- I mkr>«*l»> . 2 J

/•*'»•-

l . w-

—

Gl.

• /

2

A u f g a b e 39. Welche Arbeit ist aufzuwenden, um die Kreisscheibe der Aufgaben 35 und 36 aus dem Stillstand auf die Tourenzahl n = 200 pro Minute zu bringen ? Es ist (Gl. 18): w =

7V U

=

Jl

20.94 J ' sec . Das Trägheitsmoment ist nach

sec

& 30 30 , i 5et Aufgabe 35: I = l,56 ''' " ' ", also wird mit Gl. 29 der Arbeitsinhalt, der der Scheibe erteilt werden muß: A.mk,J

=

\ •

2 0 , 9 4 2 I ' W ; • i ) 56 t f" r "' e i ; ' ; = 344

mk

'J.

Der Arbeitsinhalt eines runden Körpers, der eine schiefe Ebene

29

110

VI. Kapitel.

Arbeit, Energie, Leistung, Effekt.

von der Höhe h'" herabgerollt ist, anstatt reibungslos herabzugleiten, wird aus zwei Teilen bestehen: 1 v2mA-r, 'M • — + - • VJ-• \mk'J

G • h'"^

2

2

A u f g a b e 40. Die Scheibe der Aufg. 35, 36 und 39 rolle auf einer schiefen Ebene (Fig. 64") von der Höhe h = 6 m hinab. a) W i e groß ist die Endgeschwindigkeit am Fuße der EbeneV b) Welche Zeit ist zum Herabrollen erforderlich? a) Aus obiger Beziehung folgt hier mit 1 Und

10

R

(-ZU ( l e r

112 - m • - - (Aufg. 35)

Beziehung ftihrt die Überlegung-,

letzteren

daß man sich die Scheibe stillstehend und die Ebene mit der bis auf v anwachsenden Geschwindigkeit sich bewegend denken kann und die Beachtung der Gl. 1 7 b ) : y2

m • g • hmt';/

mlcj

1

.,2

ijü,„/.-,,

m•—

•>

o d e r : g • h = ** • v 2

daraus : v ^ ] / 2 A g . h'~ - ] / 2 • ^ - 9 , 8 1 - 6 = 8 , 8 5 »F

2

+

10)'"

Nun ist F

0

>F

3

>F

- ( - Bewegungsenergie ,I ^ giu/sec1

,

. V

2

= '

Gesamtenergie

— E 1 ml: 9

folglich: nach Gl. 40:

v 0 < v 2 < v3 < v t und () V " 2 < u i 3 i 2-g

J"2 < 2-g

-j' 3 - < 2•g

V-,

0

. 2•g

Für die drei Querschnitte F 1 ? F 2 , F 3 , für die H'"4'», d. i. die L a g e n e n e r g i e — 0 ist. wird damit: h 2 > h s > h 1 , d. h. der h y d r a u l i s c h e D r u c k h ist im weitesten Querschnitt am größten, im engsten Querschnitt am kleinsten. D a h 3 = 0 (im Austrittsquerschnitt kann nur der äußere Luftdruck = 10'" herrschen!), so muß hj negativ sein, d. h. der Wanddruck ist kleiner als der von außen wirkende Luftdruck; durch ein L o c h in der W a n d bei F t würde Luft nach innen treten. Hätten w i r ein z y l i n d r i s c h e s Horizontalrohr mit dem Querschnitt F s , so w ä r e auf dessen ganzer L ä n g e die Energieverteilung dieselbe. Wir fänden überall h = 0, d. h. w e d e r inneren noch äußeren Uberdruck. Ein Zahlenbeispiel w i r d die vorstehenden Beziehungen am besten erläutern.

124

VII. Kapitel.

Ausfluß utio Strömung.

A u f g a b e 49. Es sei F 0 so groß, daß v 0 = 0 wird. H = 2,5"', F, 1,24'""' F a = 4,3, F 8 ^ 2. Es solleil die hydraulischen Drucke h in den einzelnen Querschnitten ermittelt werden. J ^ i s t (ohne Berücksichtigung des Ausflußkoeffizienten) v s = ]/2 • 9,81 ."2JS - 7 ( G l . 35) und nach Gl. 4 0 : 2 9 vt

J

' -

11..H;

1 ; 2 4

Druck-

.

energie

l n :

v., =

7 —

Lagen-

-

3,2ti.

,

Bewegungs-

energie

• (h, + 10) +

R, j 1

• (h4 +

R,!l

10)

+

(li : ,+ 10) +

0

_

Energie

v» I lfrf • (h0 + 10"') + U-f, • 2,5»' + J F, i

Somit:

• 0

Ges.

" E n e i g i e j

(=

12,5""-/ ! 0

+ ^ . 1 1 , : ! * (=,,0,5) =.= 12.5

0

+

• 8,20*

0

- r 2-g' • 7-

1

( = 0,5-1)= Ii,5

--4». +1,96'"

(.-^¿,5) = 1 2 , 5

0

Für zwei Querschnitte F 4 = 1,5''"" und F. U,9' "" in der Höhe 1,3"' unter der Oberfläche (im senkrechten Kohr also) würde entsprechend: F,

l-(b

4

+10) +

l .(2,5-1,3)(=1.2) +

1

• . Diffusion.

139

Eine praktische Anwendung dieses Phänoineus ist der Wetterindikator von Ansell (Fig. 135). bei dem Quecksilber als^Sperrfliissigkeit des Manometers einen elektrischen Kontakt schließt, durch den eine Klingel zum Ertönen gebracht wird. Das Instrument wird zum Auffinden der Grubengase benutzt. Diffusion durch poröse W ä n d e hindurch wird auch Transfusion genannt. Zwischen Flüssigkeiten treten Diffusionserscheinungen nur da auf, wo nicht die Kohäsion der einzelnen Flüssigkeiten s t ä r k e r ist als ihre Adhäsionswirkung gegeneinander. Das letztere ist z. B. der Fall bei Wasser und Quecksilber, allgemein bei allen ..nicht mischbaren" Flüssigkeiten. In allen Verhältnissen mischbare, chemisch indifferente Flüssigkeiten ergeben durch Diffusion ein homogenes Gemisch. Der Vorgang beansprucht hier bedeutend mehr Zeit als bei (Jasen. Gießen wir auf Wasser ohne Erschütterung gefärbten Weingeist auf. so zeigt sich im Verlaufe mehrerer T a g e eine stetig wachsende Mischungszone, die schließlich den ganzen Flüssigkeitsraum einnimmt. Bei unmittelbarer Mischung solcher vollkommen mischbarer Flüssigkeiten zeigt sich eine \ olumenverkleinerung, die man als K o n t r a k t i o n bezeichnet. So ergeben 5 0 " ' ' W a s s e r und 50 Weingeist nur ca. 96 "'' Gemisch. Für die Skalenteilung des Alkoholometers (Kap. III $ 3, 3) ist diese Erscheinung von Bedeutung. Die Kontraktion ist mit einer T e m p e r a t u r e r h ö h u n g verbunden. Eine Zwischenstufe zwischen den vollkommen mischbaren und den nicht mischbaren Flüssigkeiten bilden solche, die sich wegen ihrer beiderseitigen Kohäsion nur bis zu einein bestimmten Grade miteinander vermischen. So ist das Endresultat der Diffusion zwischen gleichen Volumen Wasser und Aether eine untere Schicht mit sieben Gewichtsprozent Aether und 93 ",„ Wasser, eine obere mit 97,5 °/ 0 Aether und 2,5 ",,0 Wasser. Die Mischbarkeit ist mit der T e m p e r a t u r veränderlich. Auch Flüssigkeiten diffundieren durch poröse Wände hindurch. Die Erscheinung heißt hier O s m o s e ( E n d o s m o s e und E x o s m o s e ) . Eine Flasche, Fig. 136, deren Boden aus einer porösen Schweinsblase besteht, enthält gefärbten Weingeist und befindet sich in einem Wassergefäß. Da das Wasser von außen her schneller durch die Poren dringt als der Weingeist nach außen, entsteht im inneren Gefäß ein Überdruck,

VIII. Kajiirel.

14()

Molekularerscheinunoen.

der den Weingeist oben aus der Röhre heraustreibt. N u r allmählich erkennt man an der F ä r b u n g des Wassers, daß auch Weingeist nach außen dringt. Die Erscheinungen der Diffusion durch poröse W ä n d e treten nur bei kristallinischen Lösungen auf, während Kolloidsubstanzen keine Diffusionswirkung zeigen. Es gelingt also mit Hilfe der Osmose. Kristalloide und Kolloide voneinander zu trennen. Dieser Vorgang heißt D i a l y s e . Man bringt die zu trennenden Substanzen in ein Gefäß, dessen Hoden aus P e r g a m e n t p a p i e r besteht, und läßt das Gefäß auf W a s s e r schwimmen. Die kristallinische Substanz geht dann in das Wasser über, während die Kolloidsubstanz zurückbleibt. Besondere Bedeutung für die Chemie hat die E r z e u g u n g und Verwendung h a I b (1 u r c h 1 ä s s i g e r oder semipermea b 1 e r M e m b r a n e n gefunden, das sind solche poröse W ä n d e , die von gewissen Lösungen nur das Lösungsmittel, z. B. W a s s e r in Salzlösungen, hindurchlassen, nicht a b e r die gelöste Substanz. Bringen wir die Lösung in das innere Gefäß. Fig. 13ö, dessen Boden eine halbdurchlässige Membran bildet, so steigt die Sperrtlüssigkeit in einem angeschlossenen Manometer bis zu einem bestimmten Höchstdruek, dem o s m o t i s c h e n Druck, dessen Größe von der T e m p e r a t u r und von der Konzentration der Lösung a b h ä n g i g ist. — F ü r eine große Zahl von physiologischen Vorgängen haben die Erscheinungen der Osmose eine große Bedeutung. E r w ä h n t seien hier die E r n ä h r u n g der Pflanzen durch Wurzeln und Blätter, die mit Hilfe von osmotischen Vorgängen erfolgt: die Bereitung der E r n ä h r u n g s s ä f t e des tierischen Organismus aus dem Blute. Auch bei den festen Körpern fehlen die Diffusionserscheinungen nicht. Preßt man •/.. B. K u p f e r - und Zinkplatten längere Zeit unter e t w a 300 0 Celsius gegeneinander, so finden sieh in den Grenzschichten Spuren von Messing. § 6. A b s o r p t i o n . Kräftige A d h ä s i o n s w i r k u n g e n sind die Ursache der Absorption von Gasen bzw. Dämpfen durch Flüssigkeiten oder feste Körper, v— J Bringen wir in ein mit A m m o n i a k g a s gefülltes Reagenzglas, Fig. 137. einen T r o p f e n W a s s e r hinein, eis?. 13? so steigt das als Sperrfliissigkeit dienende Q u e c k silber schnell in die H ö h e ; das Gas wird von der Flüssigkeit begierig absorbiert, so daß sein Volumen b e d e u t e n d g e r i n g e r wird. Die von einer Flüssigkeit zu a b s o r b i e r e n d e n ;

§ 6.

Absorption.

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Gasmengen hängen ab von der Art der beiden Stoffe, d. h. von der L ö s l i c h k e i t des Gases in der Flüssigkeit, von der Temperatur, mit deren Zunehmen die Absorptionsfähigkeit abnimmt. und vom Druck des Gases. Bei 15 0 und 760""" Hg sind in einem Liter Wasser löslich: Wasserstoff . . . 0,01982'"' Sauerstoff . . . 0,0363 .. Stickstoff . . . 0,01705,. (bei 2 0 " (J) Kohlensäure . . . 1.07 .. (gegen 0.826 bei 2 5 " C) Da die Absorptionsfähigkeit sich auf das Volumen, nicht auf das Gewicht bezieht, so wird bei doppeltem Druck entsprechend dem Mariotteschen Gesetz das doppelte Gewicht absorbiert. Diese als H e n r y s G e s e t z bekannte Beziehung wird z. B. bei der Herstellung künstlicher Mineralwässer benutzt: Kohlensäure unter Druck wird mit Wasser unter Schütteln gemischt. Wird beim Öffnen einer Flasche mit solcher Flüssigkeit der Druck verringert, so entweicht so viel Kohlensäure, bis der liest der nunmehr Druck und T e m p e r a t u r angemessenen Absorptionsfähigkeit entspricht. Die Entstehung von Luftblasen an den Wäuden eines erwärmten Wassergefäßes deutet darauf hin, daß das Wasser im kalten Zustande Luft absorbiert hatte. Wegen dieser Absorptionswirkung muß z. B. an dem Apparat Fig. 30 die Luftschraube L vorgesehen werden, um von Zeit zu Zeit die absorbierte Luft zu ersetzen. — Um Wasser ganz luftfrei zu machen, muß man es auskochen. Ein zu absorbierendes Gemisch mehrerer Gase folgt dem Daltonschen Gesetz (Gl. 41). d. h. die Flüssigkeit absorbiert von j e d e m Gas soviel, als seinem Partialdruck entspricht; jedes Gas verhält sich so, als w ä r e das andere nicht vorhanden. Hierbei ist z. B. die von Wasser absorbierte Luft wegen der verschiedenen Absorptionsfähigkeit des Wassers gegenüber Stickstoff und Sauerstoff reicher an letzterem Gase als die gewöhnliche Luft. Manche flüssige Metalle, besonders Silber und Kupfer, absorbieren viel Luft bzw. den in ihr enthaltenen Sauerstoff, den sie beim Erkalten des noch flüssigen Materials unter Fortschleudern feiner Tropfen wieder ausstoßen. Diese Erscheinung heißt Spratzen. Der Absorptionsvorgang wird gefördert, indem man den Gasen große Oberflächen der absorbierenden Flüssigkeiten bietet, z. B. durch Anwendung von Brausen. Kokstürmen usw.

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VIII. Kapitel.

Molekularerächeinnugeu.

Manche Flüssigkeiten, besonders P h o s p h o r s ä u r e und Schwefelsäure, absorbieren k r ä f t i g den in L u f t oder anderen Gasen enthaltenen Wasserdampf und werden deshalb zum T r o c k n e n benutzt, indem man das Gas hindurchströmen oder Uber eine möglichst große Oberfläche streichen läßt. Die von festen K ö r p e r n auf Gase a u s g e ü b t e Absorptionsw i r k u n g laßt sich durch folgenden Versuch e r k e n n b a r machen: In das mit A m m o n i a k g a s gefüllte Reagenzglas (Fig. 137) bringen wir anstatt einer Flüssigkeit ein Stückchen frisch ausgeglühte Holzkohle. Das Quecksilber steigt auch hier in kurzer Zeit zu beträchtlicher Höhe empor, indem sich das Volumen des Gases bedeutend verkleinert. Da es sich hier um eine Art Verdichtung des Gases in den Poren des absorbierenden Körpers handelt, nicht aber um eine Lösung wie in Flüssigkeiten, so pflegt man diesen Vorgang als A d s o r p t i o n zu bezeichnen Die Y erdichtung ist häulig mit einer starken E r w ä r m u n g verbunden. Manche Metalle, z. B. Eisen, Nickel. Kobalt usw.. absorbieren in genügend feiner Verteilung den Sauerstoff der Luft so heftig, daß sie glühend w e r d e n ; man nennt sie P y r o phore. Auf der Absorption von Wasserstoff durch fein verteiltes Platin, sogenannten Platinschwamm, beruhen das Döbereinersche F e u e r z e u g und die Gasselbstzünder. Manche feste Körper, vor allem Palladium und Platin, vermögen erhebliche Mengen von Gasen, vor allem Wasserstoff, zu absorbieren. Hierbei tritt aber nicht nur eine Verdichtung, sondern eine Art chemische Verbindung auf, und man n e n n t diese E r s c h e i n u n g zum Unterschied von der reinen Absorption auch O k k l u s i o n . — Wasserdampf wird auch von festen Körpern, z. B. H a a r e n . Holz, Pflanzenfasern, vor allem Chlorkalcium und Steinsalz, begierig absorbiert; man nennt diese Stoffe h y g r o s k o p i s c h . Aus folgenden Erscheinungen kann man darauf schließen, daß sich die Oberfläche der festen Körper mit einer Art G a s h a u t überzieht, die durch die Adhäsion entstanden sein m u ß : Schreibt man mit einem Holzstäbchen oder dergleichen auf einer b l a n k polierten Metall- oder Spiegelplatte und haucht die P l a t t e dann an, so heben sich die Schriftzüge deutlich durch ein a n d e r e s Aussehen der niedergeschlagenen Wasserbläschen hervor. Wird die P l a t t e vorher mit ausgeglühtem Trippel geputzt, so tritt die Erscheinung nicht mehr auf. Die Glasröhren der B a r o m e t e r müssen vor dem Füllen durch Auskochen von der a n h a f t e n d e n Luftschicht befreit werden.

IX.

Kapitel.

Das absolute Maßsystem. Wie wir im V. Kapitel sahen, ist das Gewicht der Körper an den verschiedenen P u n k t e n der Erde verschieden, w ä h r e n d die Masse überall die gleiche ist. Um nun für den wichtigen Begriff der Masse eine unveränderliche Einheit zu schaffen und vor allem, um für diese Einheit eine einfachere Dirnensinn zu erhalten, als das in dem bisher stets benutzten t e c h n i s c h e n M a ß s y s t e m der Fall war, hat man das a b s o l u t e M a ß s y s t e m eingeführt, das, von G a u ß vorgeschlagen, heute in der physikalischen und vor allem in der elektrotechnischen P r a x i s allgemein benutzt wird. Die Grundlagen dieses Systems und die Beziehungen zwischen den beiden Systemen w e r d e n am besten aus der folgenden G e g e n ü b e r s t e l l u n g h e r v o r g e h e n : Absolutes Maßsystem.

Technisches

Maßsystem.

1. E i n h e i t e n . L ä n g e : cm, geschrieben' . . . . L ä n g e : 100 , : M a s s e : G r a m m - M a s s e , ., — G e w i c h t : = Masse • Beschl/'» Z e i t : Sekunde, geschrieben * . . . . Z e i t : * Der Begriff der K r a f t erhält im absoluten Maßsystem eine abgeleitete Einheit, deren Form aus der folgenden U e b e r l e g u n g folgt: (Gewicht) erteilt der Masse eines die Beschleunigung 9,81" , < w ' =