Elemente der Funktionentheorie [7. Aufl. Reprint 2019] 9783111702506, 9783111313771

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

1109

Elemente der Funktionentheorie von

Dr. Konrad Knopp f ehem. Professor der Mathematik an der Universität Tübingen Mit 23 Figuren

Siebente Auflage

Sammlung Göschen Band 1109

Walter de Gruyter & Co. • Berlin 1966 vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung • J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer Karl J. Trübner • Veit & Comp.

© Copyright 1966 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung — ]. Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — Karl }. Trübner—Veit & Comp., Berlin 30. — Alle Rechte, einschließlich der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 77 13 660 — Drude: Lindemann & Lüdedce, Berlin 36. — Printed in Germany.

Inhaltsverzeichnis. Erster Abschnitt.

Die

komplexen

Zahlen und ihre Darstellung.

geometrische Seit«

1. Kapitel. Grundlagen. { 1. Einleitung t 2. D u SyBtem der reellen Zahlen f 3. Punkte nnd Vektoren der Ebene

6 8 13

2. Kapitel. D a s S y s t e m der k o m p l e x e n Z a h l e n u n d die G a u ß s c h e Z a h l e n e b e n e . | 4. Geschichtliches { 5. Einführung der komplexen Zahlen. Bezeichnungen . . . . { 6. Gleichheit und Ungleichheit i 7. Addition und Subtraktion ( 8. Multiplikation und Division { 8. Abgeleitete Kegeln. Potenzen § 10. Das System der komplexen Zahlen als Erweiterung des Systems der reellen Zahlen | 11. Trigonometrische Darstellung der komplexen Zahlen } 12. Geometrische Darstellung von Multiplikation und Division } 13. Ungleichungen und Beträge.- Beispiele 3. Kapitel.

Die Riemannsche

19 21 26 26 28 31 32 34 37 39

Zahlenkugel.

{ 14. Die stereographische Projektion 41 i 15. Die Riemannsche Zahlenkugel. Der Punkt a>. Beispiele 4S Zweiter Abschnitt.

Lineare Funktionen und Kreisverwandtschaft. 4. Kapitel.

Abbildung

durch

lineare

Funktionen.

i 16.

Abbildung durch ganze lineare Funktionen ...-

§ 17.

Abbildung durch die Funktion » = —

48 61

{ 18.

Abbildung durch beliebige lineare Funktionen

67

5. Kapitel. Normaliormen und besondere lineare Abbildungen. | 19. Die Gruppeneigenschaft der linearen Abbildungen 69 { 20. Fixpunkte und Kormalformen 61 | 21. Besondere lineare Abbildungen. Doppelverhiltnisse.... 65 i 22. Weitere Beispiele 68

1»

4

Inhaltsverzeichnis. Dritter Abschnitt.

Mengen und Folgen. 6. Kapitel.

Potenzreihen.

Punkt- und Zahlenmengen.

seit«

§ 23. Punktmengen | 24. Beeile Zahlenmengen § 25. Der Bolzano-Weierstraßsche Satz

7. Kapitel.

Zahlenfolgen.

Unendliche

71 73 76

Reihen. 77 81 83

§ 26. Zahlenfolgen mit komplexen Gliedern § 27. Zahlenfolgen mit reellen GUedef n | 28. Unendliche Reihen

Kapitel.

Potenzreihen.

§ 29. Der Konvergenzkreis § 30. Das Rechnen mit Potenzreihen

89 92

Vierter Abschnitt.

Analytische Funktionen und konforme Abbildung. 9. Kapitel. Funktionen lichen. § 31. 5 32. S 33. f 34. { 35.

einer komplexen Veränder-

Begriff der Funktion einer komplexen Veränderlichen... Grenzwerte von Funktionen Stetigkeit Dlfferenzierbarkeit Eigenschaften der durch Potenzreihen dargestellten Funktionen

10. Kapitel. Analytische Funktionen und Abbildung.

95 96 99 100 102

konforme

i 36. Analytische Funktionen S 37. Konforme Abbildung

106 108

Fünfter Abschnitt.

Die elementaren Funktionen. 11. Kapitel. Potenz und Wurzel. Die rationalen Funktionen. . | 38. Potenz und Wurzel § 39. Die ganzen rationalen Funktionen § 40. Die gebrochenen rationalen Funktionen

111 115 116

12. Kapitel. Die Exponentialfunktion, die trigonometrischen und die hyperbolischen Funktionen. } J $ {

41. 42. 43. 44.

Die Exponentlaifunktion Die Funktionen cosz und Sinz Die Funktionen tgz und ctgz Die h y p e r b o l i s c h e n Funktionen

118 124 128 181

Inhaltsverzeichnis. — Literatur.

5

Seite 13. Kapitel. Der L o g a r i t h m u s , die z y k l o m e t r i s c h e n F u n k t i o n e n und die B i n o m i a l r e i h e . | 16. Oer Logarithmns i M . Die lyktometrlaaben Funktionen | 47. Die BlnomUlralhe and dl« allgemeine Poteni

Register

132 IM 139

142

Literatur. B e h n k e , H., und K. S o m m e r : Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. 2. Aufl. Berlin, Heldelberg u. Göttingen 1962. B i c b c r b a c h , L . : Einführung in die Funktionentheorie. 3. Aufl. S t u t t g a r t 1959. Burkhardt, H.: Funktionentheoretische Vorlesungen. Neu hrsg. von G. F a b e r . Bd. I, 1: Algebraische Analyst»; Bd. I, 2 : Einführung in die Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. Berlin u. Leipzig 1920/21. C a r a t h e o d o r y , C.: Funktionentheorie. Bd. I, Basel 1950. D i n g h a s , A.: Vorlesungen über Funktionentheorie. Berlin, Heidelberg u. Göttingin 1961. H e f f t e r , L . : Begründung der Funktionentheorie auf alten und neuen Wegen. 2. Aufl., Berlin, Heidelberg u. Göttingen 1960. H o r n i c h , H . : Lehrbuch der Funktionentheorie. Wien 1950. H u r w i t z , A., und B . C o u r a n t : Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen. 3.. Aufl., Berlin, Heidelberg u. Göttingen 1929. K n e s e r , H . : Funktionentheorie. Göttingen 1958. K n o p p , K . : Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 4. Aufl., Berlin, Heidelberg u. Göttingen 1947. M a n g o l d t , II. v., und K. K n o p p : Einführung in die höhere Mathematik. Bd. I, 12. Aufl., Stuttgart 1962; Bd. I I , 11. Aufl., Stuttgart 1962. N i e l s e n , N.: Elemente der Funktionentheorie. Leipzig 1911. P r i n g s h e i m , A., und G. F a b e r : Algebraische Analysis. Enzyklopädie d. math. Wissenschaften. Bd. I I , C, 1 Leipzig 1909.

Erster Abschnitt.

Die komplexen Zahlen und ihre geometrische Darstellung. 1. Kapitel. Grundlagen. § 1. Einleitung. Unter dem Namen „ F u n k t i o n e n t h e o r i e " faßt man all die Untersuchungen zusammen, die sich ergeben, wenn man die Fragestellungen und Methoden der reellen Analysis (d. h. der gewöhnlichen Differential- und Integralrechnung und der mit diesen zusammenhängenden Gebiete) auf den Fall zu übertragen versucht, daß man für alle auftretenden Zahlengrößen (Konstante, unabhängige und abhängige Veränderliche) komplexe Zahlen zuläßt, also Zahlen von der Form o + 6 — 1 . Solche Untersuchungen drängten sich schon früh bei verschiedenen Problemen der reellen Analysis ganz von selbst auf und sind zugleich mit der Uberwindung dieser im Laufe der Jahrhunderte erst zaghaft, bald mit immer schönerem Erfolge durchgeführt worden (Näheres s. § 4). Heute bildet die Funktionentheorie eines der ausgedehntesten und wichtigsten Gebiete der höheren Mathematik. In diesen „ E l e m e n t e n der Funktionentheorie" soll nur das Einfachste, aber für den weiteren Ausbau der Theorie Wichtigste 1 ) behandelt werden. Dazu gehört zunächst eine Einführung in das System der komplexen Zahlen und das Rechnen mit diesen. Dazu gehört ferner die Übertragung ') Dieser Alubau findet sich dargestellt in den beiden Bändchen des Verfassers: Funktlonentheorle, Erster Teil: Grundlagen der allgemeinen Theorie (Irr analytischen Punktione», Ul. Auflag« 1901. Saiiimlung «dachen Xr. ¡j! — s, wie auch die positive Zahl c gewählt werden mag. Es ist ersichtlich stets f i ^ / j , ' . Beide Punkte brauchen nicht zur Menge zu gehören. Sie heißen zusammen d i e H a u p t l i m i t e s d e r Menge. Ist eine Menge nach links nicht beschränkt, so bezeichnet man —oo als ihren unteren Limes; ebenso + o o als ihren oberen Limes, wenn sie nach rechts nicht beschränkt ist. Ist schließlich die Menge zwar nach rechts, aber nicht nach links beschränkt und hat sie im Endlichen überhaupt keinen Häufungspunkt, so wird man sinngemäß —oo auch als ihren lim sup und in dem „spiegelbildlichen" Falle + oo als ihren liminf ansprechen. Die Menge der reellen Zahlen, die zwischen zwei reellen Zahlen a und b, (a < b), liegen — sie erfüllen eine Strecke der Zahlengeraden —, nennt man das Intervall a.. .b. Es heißt abgeschlossen oder offen, je nachdem die Endpunkte ihm zugerechnet werden oder nicht. Das erstere bezeichnet man mit 0 für unendlich viele z der Menge f — e f\ + e haben. Da aber 7/—e zu 83 gehört, gibt es dort unendlich viele z mit 3(z) > r\—e. Daher liegen unendlich viele z der Menge in dem Bechteck i — < » ( « ) < £ + e', » ? - e < 3(z) 0 gibt es stets eine Zahl n0 = n0 («), so daß für aUe n > w0 und alle p > 0 (2) \zn+r~zn\ 0 für n > «j (e)

CI % und alle p > 0

l ) Letztens, well die Stelle n„ von der ab die Beziehung (1) erfüllt ist von der Wahl von e abhängt.

80

7. Kapitel. Zahlenfolgen. Unendliche Reihen.

I 2»+p — I = I (Z»+p — 0 — (*» — 0 I < £ . — letzteres nach § 11 (2). Die Bedingung ist also notwendig. 2. Ist umgekehrt (2) erfüllt, so ist die Folge (z„) bescÜränkt. Denn wählt man etwa e = 1, so entspricht dieser Wahl von e ein %, so daß für alle « > % I *» — I < 1 und also | I < K , | + 1 ist. Die größte der Zahlen | zx |, | z 2 \ , . . . , | ? B l _! |, \z„t \ + 1 ist also eine Schranke für die Menge. Nach dem BolzanoWeierstraßschen Satz hat also (zB) mindestens einen Häufungspunkt C- Hätte sie nun noch einen zweiten Häufungspunkt ?'4=?> so wäre e = — — f | eine positive Zahl, 3 und es lägen unendlich viele z„ in der «-Umgebung von f , unendlich viele andere in der e-Umgebung von Oberhalb j e d e r Zahl w0 gäbe es also noch ein n und ein n-\-p, so daß | zn+p—z„ | > e wäre, entgegen der Voraussetzung. Also ist f der einzige Häufungspunkt. Bei beliebigem e > 0 gilt daher | zn — £ | < e für fast alle n, es strebt f , w. z. b. w. Jede Zahlenfolge, die n i c h t konvergiert, wird divergent genannt. Konvergiert eine Zahlenfolge gegen 0, z„->- 0, so nennt man sie eine Nallfolge. Über das Rechnen mit konvergenten Zahlenfolgen gelten die folgenden einfachen, aber wichtigen Sätze, die genau wie im Reellen bewiesen werden: Satz 2. Strebt die Folge die Folge z'n-+ und sind c, c' zwei beliebige komplexe Zahlen, so ist auch die Folge (w„) mit den Gliedern w>„= czfl + c'z'n konvergent, und es strebt Satz 3. Unter denselben Voraussetzungen wie. beim vorigen Satz ist auch die Folge (wn) mit den Gliedern wn = znz'n konvergent, und es strebt «>„-»££'. Satz 4. Strebt ?„ — C> sind alle z„ 4= 0 und ist auch £ 0,

§ 27. Zahlenfolgen mit reellen Gliedern

81

so ist auch die Folge (wn) mit den Gliedern wn — — konvergent, und es strebt wn-+ — . Satz 5. Strebt und ist Folge (z„), so strebt auch

eine Teüfolge1) der

§ 27. Zahlenfolgen mit reellen Gliedern. Sind alle Glieder einer Zahlenfolge reell, so nennt man sie kurz eine reelle Zahlenfolge. Da diese als Sonderfall unter den „komplexen" Zahlenfolgen enthalten sind, so sind die Betrachtungen des vorigen Paragraphen auch für diese reellen Zahlenfolgen (xn) gültig. Im Anschluß an § 24 ergeben sich hier aber einige weitere Einzelheiten: Eine nach links beschränkte Zahlenfolge (a*) hat eine wohlbestimmte untere Grenze y, die durch die beiden Bedingungen charakterisiert ist, daß kein xn < y, aber bei beliebigem e > 0 mindestens .ein x„ < y + e ist. Entsprechendes gilt für die obere Grenze y'. Ebenso hat sie einen wohlbestimmten unteren Limes /bt, in Zeichen lim inf xn = n oder lim xn == fx, der die beiden Bedingungen erfüllt, daß bei jedem e > 0 höchstens endlich viele xn< ¡x — e, aber unendlich viele xn n0 und alle p >0 (4) | c B+1 + c b + 2 4 f- cn+p | < e ausfällt. Aus diesem Satze folgen sofort die beiden folgenden: Satz 2. Bei einer konvergenten Reihe 2!en bilden die

84

7. Kapitel. Zahlenfolgen. Unendliche Reihen.

Glieder eine Nvüfolge: c n -»0. Denn für p = 1 besagt (4j, daß von einer Stelle ab | c n + i | < e ist. Satz 3. Wenn die Reihe 2!\cn\ (die positive reelle Glieder hat) konvergiert, so ist auch die Reihe J£cn konvergent. Denn es ist ja stets (s. § 13,1) |C»+1 + Cn+2 + • • • + 1 is

4. £cn ist absolut konvergent, wenn für ein festes positives y < 1 von einer Stelle ab (7) ]/TcnT^ y < 1 isi oder wenn lim Y \cn\ = ^ < 1 Mi. Dagegen ist JE cn divergent, wenn für unendlich viele n (8)

V I c„ | ^ 1 oder wenn lim / | c„ | = X > 1 ist.

Denn in beiden Fällen bilden die en keine Nullfolge. — Die Kriterien 3. nennt man Quotientenkriterien, die Kriterien

4. Wurzelkriterien. II. Auch die Regeln für das Rechnen mit konvergenten Reihen sind formal die gleichen wie im Reellen und folgen wie diese aus den entsprechenden Regeln für das Rechnen mit konvergenten Zahlenfolgen:

1. Sind £ en und cB' zwei konvergente Reihen mit den Summen s und s' und sind c und c' zwei beliebige komplexe Zahlen, so ist auch die Reihe 2! (cc, + c'c'n) sowie die ohne Klammem angesetzte Reihe cc0+c'c'0+cc1-\-c'c1-+cc2+ . . . konvergent und beide haben die Summe cs+c's'. (Beweis nach § 26, Satz 2 und § 28, Satz 2.) Man sagt, daß man konvergente

86

7. Kapitel. Zahlenfolgen. Unendliche Reihen.

Reihen gliedweise mit einer K o n s t a n t e n m u l t i p l i zieren und daß man sie gliedweise a d d i e r e n darf. Ist (k n ) eine Folge natürlicher Zahlen, in der jede natürliche Zahl (evtl. auch die 0) ein- und nur einmal vorkommt, so nennt man die Reihe mit c'n = c ift eine Umordnimg der Reihe JS c». Über diese gilt 2. Ist die Reihe JE cn absolut konvergent mit der Summe s, so ist auch jede Umordnung 2c'n derselben absolut konvergent und hat dieselbe Summe s1). Beweis. Wird e > 0 beliebig gegeben, so läßt sich nach Voraussetzung m so wählen, daß für jedes p hl I< e (9) I 1 + I Cm+2 IH ausfällt. Wir wählen nun n0 so groß, daß unter den Zahlen fc0, kv..., fe„o die Zahlen 0 , 1 , . . . , m sämtlich vorgekommen sind. Werden dann die Teilsummen von mit bezeichnet, so heben sich für n > rc0 in der Differenz st, — s n die Glieder c0, cv . . c m sämtlich fort, und es bleiben nur endlich viele Glieder stehen, deren Summe wegen (9) sicher < s ist. Für n > n0 ist also | s'„ —sn | < e. Es strebt (s'n—sn)->- 0 und folglich s'„ = s n +(s„—s„) s, d. h. auch £ c'n ist konvergent und hat die Summe s. Ebenso ist mit X Kl auch X\c'„\ konvergent, also ¿c'„ absolut konvergent. 2a. Ist J!cn absolut konvergent, so ist auch jede Teilreihe c,,+cVi+ • • • . . . , (0 ^ v 0 < v1 < ...), absolut konvergent. 3. Es seien jetzt 2!cn und irgend zwei unendliche Reihen. Wir bilden die Produkte ekc't, (fc= 0 , 1 , 2 , . . . , ! = 0 , 1 , 2 , . . . ) , je eines Gliedes der ersten mit je einem Gliede der zweiten Reihe. Diese Produkte kann man in der mannigfachsten Weise zu einer einfachen Folge (p n ) anordnen. Dazu ordne man die Produkte zunächst wie bei einer Determinante ') Ohne Bewela sei hinzugefügt, daß für Reihen, die nur bedingt konvergieren, dieser Satz n i c h t gilt.

§28. Unendliche Reihen.

87

( k = Zeilennumm r, 1 = Spaltennummer) an: • • •

c c

l Xt> C1C11 CjCji • • • c ^2^0» 2"2i • • •

Die A n o r d n u n g n a c h S c h r ä g l i n i e n erhält man dann, indem man die Produkte hinschreibt, für die k + Z der Reihe nach die Werte 0,1, 2 , . . . hat, jede Schräglinie etwa von oben nach unten durchlaufend. Die A n o r d n u n g n a c h Q u a d r a t e n bekommt man, indem man die diesen Schräglinien entsprechenden Quadrate der Reihe nach heranzieht, d. h. die Produkte, für die k und Z = 0, f^ 1, iS 2 , . . . sind. Jede so erhaltene Reihe 2 pn heißt eine Produktreihe der beiden Reihen J£c n und Von diesen gilt: Sind die Reihen 2Jen und £c'n beide absolut konvergent und sind s und s' ihre Summen, so ist auch jede Produktreihe derselben absolut konverg°nt und hat die Summe ss'. Beweis. Es ist offenbar IPol + IPll + ••• + !Pj ^ ( W + • • • + \Cn\) (141 + • • • + 141), wenn nur m groß genug genommen wird. Die Folge der Teilsummen von J E | p J ist also beschränkt und folglich 2 pn absolut konvergent. Wegen 2. hat also jede Produktreihe dieselbe Summe S, da sie voneinander nur Umordnungen sind. Bedeutet aber (pn) insbesondere die Anordnung nach Quadraten, so ist + 0 stets Um y xn = y lim xn iBt, wofern der rechten Seite f ü r lim xn = +• od ebenfalls der Wert + w gegeben wird.

92

8. Kapitel. Potenzreihen.

Da die behandelten drei Fälle sich gegenseitig ausschließen n -und weitere Fälle (wegen |/| o j ^ 0) nicht möglich sind, so folgt noch, daß die für ihr Eintreten genannten Bedingungen nicht nur hinreichend, sondern auch notwendig sind. Die Potenzreihe (6) ^ + 2 a , ( c - z 0 ) + • • • + n a » ( z - z ^ ' 1 + ••• =

i

- Zo)" -1 E

«a»

n—1

i >

+ l ) a B + 1 (2 - z 0 ) n

»—0

nennt man die (formal) a b g e l e i t e t e R e i h e z u E a n ( z — z 0 ) " . M

Wegen / n 1 hat sie denselben Radius wie diese. Dasselbe gilt auch von der (formal) integrierten Reihe

§ 30. Das Rechnen mit Potenzreihen. Bei den weiteren Betrachtungen wollen wir annehmen, daß 2 0 = 0 ist, was offenbar keine Einschränkung bedeutet 1 ). Nach der Regel II, 1 in § 28 folgt dann unmittelbar, daß man eine Potenzreihe g l i e d w e i s e m i t e i n e r K o n s t a n t e n m u l t i p l i z i e r e n und daß man zwei Potenzreihen g l i e d w e i s e a d d i e r e n darf, (1)

+

= £ (a» + &„)*",

wenn nur e für jede der Reihen im I n n e r n des Konvergenzkreises liegt. Unter derselben Bedingung darf man auch ihr C a u c h y s c h e s P r o d u k t bilden (§ 28, II, 5): (2)

(JE0*0) ( 2 b n P ) = £ ( a j > n + «l&n—i + • • • + 0,60)2»,

>) Denn man kann ja (2 — »,) = z' setzen nnd hernach den Akzent weglassen.

§ 30. Das Rechnen mit Potenzreihen.

93

und man erkennt, daß diese Form der Produktbildung gerade für die Potenzreihen von besonderer Bedeutung ist. Durch wiederholte Anwendung ergibt sich, daß die Potenzen einer Potenzreihe (^a n 2") 2 , (^«„z") 8 usw. als Potenzreihen dargestellt werden können, solange z im Innern des Konvergenzkreises liegt. Wir setzen etwa 1 ) (3) (27 « » O ' = £ « » ( * = 1 , 2 , 3 , . . . ) . Um die Division von Potenzreihen zu beherrschen, genügt es, den reziproken Wert einer Potenzreihe 1 _ 1 »o + • tu oder für z - » £ (zauf9R) oder es sei

(2)

lim/(e) = ®,

Z—C wenn die eine oder andere der beiden folgenden Bedingungen

§ 32. Grenzwerte von Punktionen.

97

1

erfüllt ist ): 1) Nach Wahl von e > 0 läßt sich ein 0 so angeben, daß für alle dem Definitionsbereich von f(z) angehörenden und der Bedingung 0 < | z — f | < strebt. Da die Erklärung für die Aussagen (1) und (2) formal genau dieselbe ist wie im Beeilen, so gelten auch für das Rechnen mit Grenzwerten von F u n k t i o n e n komplexer Veränderlicher dieselben Regeln wie dort: I. Sind /¡(z) und /2(z) beide auf der Punktmenge erklärt, so ist es auch «1/1(2) + ej2{z), wenn c t und c2 irgend zwei komplexe Zahlen bedeuten. Ist £ ein Häufungspunkt von 9JI und strebt nun für z— i) Da bei den folgenden Bedingungen ein Funlctlonawert an der Stelle z = { selbst gar nicht auftritt, so braucht /(z) in C selbst nicht definiert zu sein. ') Wahrend im Reellen die Ann&herung der Veränderlichen an eine bestimmte Stelle nur von links oder recht« (oder von beiden Selten) her erfolgen kann, kann im Komplexen z bezw. z n von allen Sellen her an die Stelle { herangehen. K n o p p , Elemente der Funktioaentheorle. 4

9 8 9. Kapitel. Funktionen einer komplexen Veränderlichen. u n d

h 00

so strebt (4) /(z) = c1/1(«) + c 2 / , ( e ) - c 1 o ) 1 + e,to2, insbesondere (z) ± /j(2)-"a>i ±

«fer

l i m "

(«>=/(£)),

existiert. Semen Wert nennt man die Ableitung oder den Differentialquotienten der Funktion f(z) an der Stelle £ und bezeichnet ihn mit

m

m

•">•

Unter .Benutzung der beiden Bedingungen für die Existenz eines Grenzwertes aus § 32 können wir auch sagen, eine Funktion w = f(z) heißt an der Stelle £ difierenzierbar, wenn die eine oder andere der beiden folgenden Bedingungen erfüllt ist: 2) Es existiert eine Zahl co', so daß jedem e > 0 ein d = d (s) > 0 so zugeordnet werden kann, daß für alle e mit 0 < \z — C| »0 J ( « + l)«»+!«". Die Ableitung /' (z) wird also wieder durch eine Potenzreihe mit demselben Radius dargestellt. Nach demselben Satz 5 ist also /"(z) = J

(» + 1) (n + 2) a n + 2 z", usw.

in Setzt man schließlich die in (8) erhaltenen Werte für die Reihe (6) ein, so erhält man die sogen. Taylorsche Reihe, d. h. den Satz 7. Die durch (2) dargestellte Funktion läßt sich für eine Umgebung jedes (inneren) Punktes zx ihres Konvergenzkreises durch die Potemreihe

darstellen. — Die bedeutsamsten Beispiele zu diesen Sätzen bringt der V. Abschnitt.

10. Kapitel. Analytische Funktionen und konforme Abbildung. § 36. Analytische Funktionen. Während die vorangehenden Dinge eine genaue Übertragung der entsprechenden Betrachtungen im Reellen dar-

§ 36. Analytische Funktionen.

107

stellen, tritt nach Einführung der Differenzier!)arkeit ein tiefgehender Unterschied zwischen den Funktionen reellen und denen komplexen Argumentes auf: Während bei Funktionen f(x) einer reellen Veränderlichen aus der Tatsache, daß sie differenzierbar ist, gar nichts über die etwaigen höheren Ableitungen zu folgen braucht — die erste Ableitung /' (z) braucht bekanntlich nicht wiederum differenzierbar, ja nicht einmal stetig zu sein —, zeigt sich bei Funktionen f(z) einer komplexen Veränderlichen, daß aus der Existenz einer ersten Ableitung ganz von selbst die E x i s t e n z aller höheren Abl e i t u n g e n folgt. Genauer formuliert, gilt der Satz. Wenn eine Funktion f(z) in einem. Gebiete erklärt ist und wenn sie dort eine Ableitung f ( z ) hat, so besitzt sie dort auch alle höheren Ableitungen / " (z), /"' (z),.... (Unter einem G e b i e t e versteht man dabei eine offene und zusammenh ä n g e n d e Punktmenge, d.h. eine offene Punktmenge, bei der man je zwei ihrer Punkte durch einen Streckenzug verbinden kann, der ganz in der Punktmenge verläuft.) Diesen Satz können wir hier nicht beweisen. Er liegt ziemlich tief und kann erst bei weiterem Ausbau der Funktionentheorie mit Hilfe ihrer Integralrechnung bewiesen werden '). Er läßt es aber verständlich erscheinen, daß man die in Gebieten differenzierbaren Funktionen mit einem besonderen Namen belegt hat: Erklärung. Eine in einem Gebiete difjeremierbare Funktion f(z) wird eine dort reguläre analytische (oder auch nur: reguläre, oder nur: analytische) Funktion genannt. Das betreffende Gebiet heißt ein Regularitätsgebiet der Funktion. Von jedem einzelnen Punkte desselben sagt man, daß die Funktion in ihm regulär sei. Die rationalen Funktionen sind in der ganzen Ebene, von der die Nullstellen ihres Nenners ausgeschlossen sind, regulär. ') Vgl. F k t t h . I, § 18.

108 10. Kapitel. Analytisch« Funktionen und konforme Abbildung Jede Potenzreihe stellt im Innern ihres Konvergenzkreises eine analytische Funktion dar; dieser ist ein Regularitätsgebiet für die dargestellte Funktion.

§ 37. Konforme Abbildung. Den Verlauf einer reellen Funktion y= f ( x ) einer reellen Veränderlichen kann man sich in bekannter Weise durch ihr geometrisches Bild in einer «¡/-Ebene veranschaulichen. Bei einer Funktion komplexen Argumentes w= f(z) ist etwas Entsprechendes nicht ohne weiteres möglich, da s und w je zwei Koordinaten haben. Man behilft sich dadurch, daß man zwei Ebenen, eine z-Ebene und eine w-Ebcne, benutzt. In der ersten markiert man den Punkt z, in der zweiten den ihm durch die Funktion zugeordneten Punkt w = f ( z f ) . Dadurch wird jedem Punkt des Definitionsbereiches 9JÍ von f(z) ein Bildpunkt w zugeordnet, kurz: D e r B e r e i c l i w i r d in die w - E b e n e a b g e b i l d e t . Für die linearen Funktionen ist uns diese Abbildung schon vertraut (s. II. Abschnitt). Wir wollen jetzt für beliebige Funktionen u>= f ( z ) feststellen, was den Eigenschaften der Stetigkeit und der Differenzierbarkeit bei der Abbildung entspricht. Die S t e t i g k e i t einer Funktion w — f ( z ) an einer Stelle £ ist sehr leicht geometrisch zu deuten. Die zweite Form der in § 33 gegebenen Erklärung besagt offenbar dies: Wenn man um den Bildpunkt a> = /(£) des Punktes £ einen (beliebig kleinen) Kreis mit dem Radius e > 0 beschreibt, so kann stets ein so kleiner Kreis (sein Radius heiße ö) um den Punkt £ beschrieben werden,, daß die Bilder aller P u n k t e dieses Kreises um £ in dem gewählten Kreise um co liegen. Das Bild » l i e g t also in v o r g e s c h r i e b e n e r Nähe von co, wenn nur der Originalpunkt z in h i n r e i c h e n d e r Nähe von £ liegt. In *) Oder: Man denkt Bich Im Punkte t der ¿-Ebene den Fnnktionawert » " /(«) „angeheftet", den Pnnktz tum „ T r ä g e r " des Kunktlonswerte«u> gemacht, dai Oeflnitlonigsbiet mit Funktlunawerten he legt"

§37. Konforme Abbüdung.

109

diesem Sinne (aber auch nur in diesem) darf man kurz sagen: Benachbarte Punkte der z-Ebene werden auf benachbarte Punkte der te-Ebene abgebildet; oder: Einer kleinen Bewegung von z entspricht auch eine kleine Bewegung des Bildes w. Hieraus folgt insbesondere: Ist /(z) an jeder Stelle eines Gebietes stetig, so hat jede in ihm gelegene stetige Kurve als Bild wiederum eine stetige Kurve1). Etwas weniger einfach, aber von grundlegender Wichtigkeit ist die geometrische Deutung der Differenzierbarkeit. Wir erhalten sie auf folgende Weise: u>= /(z) sei in einem Kreisgebiet $ mit dem Mittelpunkt £ erklärt und in £ difierenzierbar. Die Ableitung /'(£) sei von 0 verschieden. Wir wollen weiter voraussetzen, daß zwei verschiedene Punkte z aus ® auch zwei verschiedene Bildpunkte w liefern2), und wollen die weiteren Betrachtungen auf ffi beschränken. Es sei nun ! ein beliebiges von £ ausgehendes (orientiertes) Kurvenstück, das in £ eine (Halb-) Tangente t besitzt. Dann zeigen wir zunächst: Die Büdkurve V hat im Büdpunkte &> = /(£) auch eine Tangente t', und diese erscheint gegen t um den Winkel arc /' (£) im positivem Sinne gedreht. Beweis. Wir wählen auf i eine Punktfolge (wn) mit wn -* co, deren Glieder aber alle =j= w sind (Fig. 20). Ist dann zn das Urbild zu w n , so liegt die Folge (z„) auf f, es strebt zn ->•£, aber ihre Glie-_1 der sind alle 4= £• Daher strebt (s. § 34,3) Fig. 20. ') In besonderen Fällen kann diene degenerieren; t . B. wenn /(z) identisch konstant ist. *) Bei dem weiteren Ausbau der Funktionentheorie wird gezeigt, daß dies nnter der Voraussetzung f (C) # 0 ganz von selbst der Fall ist, wenn der Badius von 9 nicht zu groB Ist. (Vgl. Fktth. I, § 34.)

110 10. Kapitel. Analytische Funktionen und konforme Abbildung. (1)

r = r - r < t )

und insbesondere (bei geeigneter Bestimmung der auftretenden Winkel) (2) arc (w„ — o>) — arc(z„ — £)-* arc/'(£). Die beiden Winkel linker Hand sind die ersten Richtungswinkel der Sekante von a> nach wn bzw. von £ nach zn. Weil nun t in £ eine Tangente haben soll, so strebt arc (2» — £) gegen den ersten Richtungswinkel dieser Tangente t, wenn w->-oo rückt. Nennen wir ihn r und setzen arc /' (£) = «, so strebt nach (2) (3) arc- (wn — tu) ->• r + «. Das besagt aber gerade, daß auch !' eine Tangente hat und daß ihr erster Richtungswinkel = r + h> • • ¿aß (3) g{z)=ap(z-z1){z — z2).--{z — zp) ist. — Außer den Beweisen, wie sie die Algebra liefert, gibt es mehrere rein funktionentheoretische, von denen drei in Fktth. I, § 28 u. 35, und Fktth. II, § 11 zu finden sind. Die verschiedenen unter den Zahlen zv z2,..., zv% die wir mit • •., (12gfc2s p) bezeichnen wollen, nennt man kurz die Wurzeln oder Nullstellen des Polynoms (2).' Tritt C, im ganzen «,-mal unter z1,.. .,zp auf, (v = 1,2 so sagt man, sei eine Wurzel oder Nullstelle der Ordnung und statt (3) können wir schreiben (4) g{z)=av{zW (2 ...(«tkr. Diese Darstellung eines Polynoms nennt man seine Prodnkt-

darstellung.

§ 40. Die gebrochenen rationalen Funktionen. Eine rationale Funktion f(z) heißt gebrochen, wenn sie nicht als ganze rationale Funktion dargestellt werden kann. Sie läßt sich dann auf die Form

§ 40. Die gebrochenen rationalen Funktionen.

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bringen, in der g(z) und h(z) Polynome sind Und der Grad von g mindestens = 1 ist. Auch von diesen gebrochenen rationalen Funktionen soll hier nur ein Satz genannt werden, der Satz von der T e i l b r u c h z e r l e g u n g der r a t i o n a l e n F u n k t i o n e n , der in der Algebra bewiesen zu werden pflegt, der in der Funktionentheorie aber erst nach weiterem Ausbau bewiesen werden kann. (s. Fktth. I, § 35). Eine rationale Funktion der besonders einfachen Form (s-O" bei der c =f= 0 und £ je eine komplexe und y eine natürliche Zahl bedeuten soll, nennt man einen Teilbrach. Mit dieser Bezeichnung gilt der Satz. Jede rationale Funktion läßt sieh, — und im wesentlichen nur auf genau eine Weise — als Summe einer ganzen rationalen Funktion und endlieh vieler Teübrüche darstellen. Genauer: Handelt es sich um die rationale Funktion (1) und besitzt in ihr der Nenner g(z) die in § 39 (4) angegebene Produktdarstellung, so gibt es genau ein Polynom q(z) und genau p komplexe Zahlen c^, so daß /(z) die Darstellung

/(.) = ,(,> +

+

«-Ci

,

c

*i

+ ... +

(«—Ci) 1

(«-Ci)

,

c

ta

,

,

c

*»t

(«-«r' besitzt. — Über die konforme Abbildung, die durch rationale

118

12. Kapitel. Die Exponentialfunktion.

Funktionen vermittelt wird, die von den linearen Funktionen verschieden sind, lassen sich nur in besonderen Fällen einfache Aussagen machen.

12. Kapitel. Die Exponentialfunktion, die trigonometrischen und die hyperbolischen Funktionen. § 41. Die Exponentialfunktion. Die Potenzreihe

z2 zn »2" i + «+ _ + ... + _ + . 2! w! „-To«! ist, wie schon in § 29,3 festgestellt wurde, beständig konvergent. Sie definiert daher eine in der ganzen Ebene reguläre analytische Funktion oder, wie man kurz sagt, eine ganze Funktion. Da die Reihe (1) für reelles z — x, wie aus der Differential- und Integralrechnung her bekannt ist, die Exponentialfunktion ex darstellt, so nennt man auch die durch (1) in der ganzen z-Ebene dargestellte Funktion komplexen Argumentes die Exponentialfunktion und bezeichnet sie mit ez. Man definiert also für komplexe Exponenten z die Potenz e* eindeutig durch die Festsetzung (1)

OB

Zu dieser Definition ist man berechtigt, einmal, weil das Zeichen e2 für komplexe z ja bisher überhaupt keine Bedeutung hatte, und weiter, weil die nun festgelegte Bedeutung, wie die nachfolgende Untersuchung zeigen wird, sich als zweckmäßig und sinnvoll aufdrängt. Überdies kann es nach §36, Satz 2 außer (1) keine andere Potenzreihe mit dem Mittelpunkt 0 geben, die für die in der Nähe von 0 gelegenen reellen Werte von z — x dieselbe Summe e 1 hat wie (1). Unsere Reihe s e t z t , wie man sagt, die reelle F u n k t i o n e* ins Komplexe fort. Die folgenden Feststellungen werden

§41. Die Exponentialfunktion.

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zeigen, daß auch die Eigenschaften der reellen Funktion e weitgehend der analytischen Funktion e* zukommen, an der wir aber wichtige neue Eigenschaften kennenlernen werden: 1. Wie im Reellen gilt auch im Komplexen das Additionstheorem (3) «»«• e * ' 3 c e ^ + z > . Denn da die Reihe (1) für jedes z absolut konvergiert, so darf man die Reihen für e*> und e*> nach der Cauchyschen Regel multiplizieren (s. § 28). Das n-te Glied der Produktreihe wird dann n! (»— 1)! 1! "'"(n —v)! r ! ^ ~r nl 1_ + U)