Matematika. Vadovėlis 9 klasei. [1 dalis] 9785430072742

Citation preview

A Ldkos

Vadovėlis

Matematika

Šveicarijos Alpšteinas. Schafflerio viršukalnės kalnagūbris

Vadovėlio turinį vertino prof. hab. dr. Rimas Norvaiša, Inga Jomantienė, Marius Zakarevičius

Vadovėlis atitinka kalbos taisyklingumo reikalavimus Pirmasis leidimas 2023 Bibliografinė informacija pateikiama Lietuvos integralios bibliotekų informacinės sistemos (LIBIS) portale ibiblioteka.lt.

Šį kūrinį, esantį bibliotekose, mokymo ir mokslo įstaigų bibliotekose, muziejuose arba archyvuose, draudžiama mokslinių tyrimų ar asmeninių studijų tikslais atgaminti, viešai skelbti ar padaryti viešai prieinamą kompiuterių tinklais tam skirtuose terminaluose tų įstaigų patalpose. ISSN 2783-7181 ISBN 978-5-430-07274-2

O Jūratė Gedminienė, 2023 O Daiva Riukienė, 2023 O Irena Šukienė, 2023

O Jolanta Jačiauskaitė, 2023 O Leidykla „Šviesa“, 2023

Viršelio iliustracija O fokke baarssen / https://www.shutterstock.com/ ID 2243700349

H2RIZONTAI

Matematika VADOVĖLIS

9

1TDALIS

Jūratė Gedminienė Irena Šukienė Daiva Riukienė

Jolanta Jačiauskaitė

Kvadratinės lygtys

Prisimename Tiesinės lygtys ir jų sprendiniai Sudėtingesnės tiesinės lygtys Ciklo temos 2. Nepilnosios kvadratinės lygtys 3. Pilnosios kvadratinės lygtys 4. Kvadratinio trinario skaidymas daugikliais

5. Tekstiniai uždaviniai Pasitikriname Apibendrinimas Žvilgsnis atgal

Čempionų lyga

60 Lygčių sistemos

Prisimename Tiesinių lygčių sistemos sprendinio sąvoka

Tiesinių lygčių sistemos sprendimas

keitimo būdu

6000

Kvadratinės lygties sąvoka

Tiesinių lygčių sistemos sprendimas

sudėties būdu

Tekstiniai uždaviniai su tiesinėmis lygčių

sistemomis

660600

1.

I! ciklas

Ciklo temos 1. Lygčių sistemos, kurių tik viena

tiesinė

lygtis

2. Tekstiniai uždaviniai, sprendžiami sudarant lygčių sistemas

Pasitikriname Apibendrinimas Žvilgsnis atgal Čempionų lyga

000060 60

I ciklas

6060

Reiškinio tyrinėjimas. ALGORITMO GALIA

66606060

Kaip mokytis su vadovėliu

Kaip pertvarkyti reiškinį?

Kaip išskaidyti reiškinį daugikliais? Kaip apskaičiuoti reiškinio reikšmę?

.

Įrodymo uždaviniai Reiškinių sudarymas

Ciklo temos

6600

4. Trupmeninių reiškinių daugyba, dalyba ir kėlimas laipsniu

Pasitikriname Apibendrinimas Žvilgsnis atgal Čempionų lyga

IV ciklas

Trigonometrijos įvadas

Prisimename

.

60000606

3. Trupmeninių reiškinių sudėtis ir atimtis

60

2. Trupmeninių reiškinių prastinimas

6. Trupmeninių reiškinių sudarymas

Panašieji trikampiai

..

60

Statusis trikampis, kurio vienas kampas 30*

arba 45*

Ciklo temos

6

2. Tikslios 30“, 45*, 60* kampų trigonometrinių santykių reikšmės

60

1. Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas,

kosinusas ir tangentas

4. Platesnis trigonometrinių sąryšių taikymas

660

3. Stačiojo trikampio kraštinių ilgio ir kampų dydžio

skaičiavimas

6. Trigonometrinės lygybės ir jų taikymas

Pasitikriname Apibendrinimas Žvilgsnis atgal

Čempionų lyga

660666

5. Trigonometrinių sąryšių taikymas gyvenimiško

turinio uždaviniuose

Prisimename Apskritimas ir skritulys

Ciklo temos 1.

Centrinis ir įbrėžtinis kampai

2. Apskritimo liestinė ir kirstinė 3. Skritulio išpjova ir nuopjova 4. Sudėtingesnių figūrų perimetrai ir plotai

1. Trupmeninis reiškinys ir jo apibrėžimo sritis

5. Sudėtingesnių trupmeninių reiškinių prastinimas

Apskritimo geometrija

6608

Prisimename

V ciklas

5. Įrodymo uždaviniai 6. Apskritimai ir laikrodžiai

Pasitikriname Apibendrinimas Žvilgsnis atgal Čempionų

lyga

Atsakymai

6600

Trupmeniniai reiškiniai

86006060060

ciklas

066006000 [2]

I

Kaip mokytis su vadovėliu Nuoseklus mokymasis

Graži

yra tik kalnai?

Inus

Koks ryšys su gyvenimu? Įdomi informacija. Prisiminkite, ką jau

Kas yra ciklo įvade?

Raktiniai žodžiai

== —

žinote.

Ciklo temų turinys.

Svarbiausios veiklos. Raktiniai žodžiai.

Ls

Diskutuokite, dalykitės

==

nuomone, sužinokite daugiau.

Įrodymo uždaviniai |

+ TR Kai ryti tamsų eg?

(]

B

LZ

Kaip mokytis ciklo temų? Temą nagrinėkite etapais: pasirenkite mokytis, kaupkite ir taikykite žinias, atlikite įtvirtinimo užduotis, apibendrinkite, reflektuokite. Įsidėmėkite sąvokas Remkitės patarimais. Pritaikykite, įtvirtinkite žinias - atlikite užduotis Apibendrinkite. Stabtelėkite, atsakykite į refleksijos klausimus.

i

AE

ara

Ž

S

š

ALGORITMO

GALIA

Kaip plėsti akiratį?

Reiškinio „Algoritmo galia“

tyrinėjimas

“

+ Kelkite klausimus.

|eškokite informacijos.

+ Kurkite

+ Bendradarbiaukite. + Siūlykite sprendimus.

Apibendrinimas

EĘ

>

Zum

L]

.

ą

=

e

G

k

N

o

Kaip pasitikrinti, ar išmokote?

+ Spręskite uždavinius.

+ Pasitikrinkite.

+ Prireikus pagalbos remkitės patarimais.

parų

Ž

Š

Kaip apibendrinti ciklą? +» Pasikartokite ciklo medžiagą.

T 4

+ Atlikite užduotis ir pasitikrinkite.

Darbas poromis - šią užduotį siūloma atlikti su klasės draugu. Darbas grupėmis - šią užduotį siūloma atlikti bendradarbiaujant grupėje. Taip akcentuojamos svarbius įgūdžius lavinančios užduotys.

[75] O]

* Įsivertinkite pasiekimus.

Skaitmeninių išteklių nuoroda: nuskaitykite OR kodą ir raskite papildomų šaltinių užduotims atlikti.

Informacijos paieška - ieškokite informacijos internete ir kituose informaciniuose šaltiniuose. Nuskaitykite šį kodą ir atverkite su vadovėliu

susietus skaitmeninius išteklius „EDUKA klasėje“ arba internete.

5

zŽžr R

V |[ČINN

Susi pažįstame

ALGORITMO GALIA

Kaip apibūdiname tai, ko nesuprantame . S arba negalime paaiškinti?

I]žšĖ [E] mokė ink/bdzp

Pasiskirstykite poromis ir atlikite šias dvi užduotis.

0o

Ti

SI (R

Popieriaus skiautėje atsitiktine tvarka

Jums reikės kuo daugiau įvairių monetų (bent po 20-30

padėkite kuo daugiau taškų. Sujunkite juos į kokį nors objektą, jį apibūdinkite.

kiekvienam mokiniui). Sumaišykite jas, išberkite ant stalo ir per 2 minutes monetų chaosą paverskite tvarka.

Ką tik sutvarkėte iš pažiūros chaotiškas sistemas - įžvelgėte savybių ar bruožų, kurie siejo užduočių elementus: taškus ir monetas. Sukūrėte savo tvarkos algoritmą.

CHAOSU įpratome vadinti viską, kas yra neapibrėžta, netvarkinga, nepastovu, ko negalime paaiškinti protu, kas prieštarauja logikos dėsniams ir t. t. Tvarkant chaotiškas sistemas, laikomasi tam tikrų taisyklių, žingsniai atliekami tam tikra seka - taikomas tam tikras ALGORITMAS. Kiek narių turi paveikslėlyje pateikta skaičių seka? Nustatyti sekos narių skaičius gali atrodyti sudėtinga

užduotis. Iš tikrųjų ji gana paprasta - tereikia pastebėti, pagal kokią taisyklę (kokį algoritmą taikant)

107, 101, 95

gaunamas antrasis, trečiasis ir t. t. narys. Sukuriame

7

universalų algoritmą, t. y. formulę šios sekos nariams suskaičiuoti, ir išsprendžiame lygtį.

a; an

=

za

(n = d An

Ėė

(n

—

TZAn

Užrašykite algoritmą (sprendimo planą) žodžiais. Palyginkite užrašytus algoritmus. Ar visų mokinių

Id

algoritmai yra tokie patys? Kaip algoritmą užrašyti

(y

(o gal pavaizduoti?), kad jis būtų suprantamas

- 04

kiekvienam?

PETA

Panagrinėkite algoritmų užrašymo ir (ar) vaizdavimo būdus. Ki tinkamiausias šiai užduo

Formulė - sprendimo būdas.

Kaip tyrinėsime reiškinį „Algoritmo galia“? |

SKAITYSIME

DISKUTUOSIME

ir ieškosime informacijos |

irkelsime klausimus,

apie algoritmus.

kaip mums padeda

algoritmai ir jų teorija.

TIRSIME

|

pasirinktą klausimą

(planuosime, kursime,

pateiksime rezultatus).

PRISTATYSIME

|

tyrimo rezultatus ir kelsime naujus

klausimus.

——oe

“

-

Domimės,

2

UA

Ieskome

Kas yra algoritmas ir algoritmų teorija? Algoritmas yra rinkinys taisyklių, kuriomis remiantis atliekamas

skaičiavimas ar sprendžiama problema. Algoritmų teorija yra matematikos ir informatikos mokslų šaka, nagrinėjanti algoritmų sandarą,jų teisingumą ir efektyvumą.

Ši teorija pradėta kurti dar prieš atsirandant kompiuteriams, kai matematikai ir filosofai bandė nustatyti, ar kiekvieną problemą

galima išspręsti algoritmiškai.

Kokiose srityse ir kokius algoritmus kasdien atliekame? Kur praktikoje

taikoma algoritmų teorija? Kokius algoritmų tipusji nagi ja, kuo jie

skiriasi, kokia jų paskirtis?

Išnagrinėkite pateiktus pavyzdžius ir (arba) raskite informacijos savarankiškai, aptarkite juos grupėje, pateikite 2-3 algoritmų naudojimo pavyzdžius iš savo gyvenimo, paaiškinkite, kuo jie svarbūs, kokia jų praktinė vertė.

Elausiame

ALGORITMO GALIA

Kokias problemas padeda spręsti algoritmai?

Diskusija

1

Kokiose srityse aptinkame algoritmų?

Pasirinkite vieną kasdienę veiklą (pavyzdžiui, pusryčių gaminimą arba veiklą mokykloje) ir parašykite jos algoritmą -

Va

atliekamų žingsnių seką. Palyginkite grupių sudarytus

algoritmus, aptarkite jų panašumus ir skirtumus.

=

K (| KN

Pasirinkite vieną klausimą, kurį tirsite savo grupėje. B

Kaip fraktalai padeda spręsti žmonijos problemas (pavyzdžiui, valdyti upių deltose

kylančius potvynius, gydyti kraujotakos ar kvėpavimo takų ligas...)?

Fraktalinių modelių aptinkama gamtoje. Tai medžiai, upės, pakrantės, kalnai, debesys,

.

vieną klausimą

Mandelbrotas, Maiklas Barnzlis ir kt.) yra sukūrę

formulių - algoritmų, aprašančių įvairias fraktalų

formas.

Kelkite savo klausimą apie reiškinį, kurį

Robotika yra mokslo ir technikos sritis,

apimanti robotų konstravimą, kūrimą ir

valdymą. Pagrindinis robotikos tikslas - sukurti

mechaninius įrenginius, kurie galėtų atlikti

tam tikras sudėtingas ar žmogui pavojingas užduotis. Kaip prie šios srities gyvavimo ir plėtojimo prisideda matematika?

Pateikite keletą robotikos užduočių, kurioms

atlikti naudojami įvairūs matematiniai modeliai

(pavyzdžiui, koordinatės judėjimui erdvėje modeliuoti ir t. t.).

—

ii

v

Pasirinkite

kriauklės, uraganai ir kt. Matematikai (Benua

norėtumėte

tirti

Tiriame,

Kuriame

Kaip atliksite tyrimą, eksperimentą arba kursite kūrinį? k +

"m

Zingsniai

|

PLANUOJAME

VEIKIAME

Grupėje suplanuokite, kada kurį tyrimo etapą atliksite ir kas bus atsakingas:

||

PATEIKIAME REZULTATUS

Tirkite, kurkite ar

+» už informacijos paiešką;

eksperimentuokite

pagal sudarytą planą.

+» už ekskursijų, vizitų, eksperimentų ar kūrybinių dirbtuvių organizavimą;

|

Pateikite tyrimo rezultatus

(nuotraukas, tekstus,

galite parengti vaizdo įrašą, pranešimą, pastatyti spektaklį...).

+» už tyrimo eigos fiksavimą, duomenų rinkimą;

+ už tyrimo duomenų apdorojimą pasirinkta forma ir pristatymo rengimą; + už tyrimo eigos ir rezultatų pristatymą renginyje.

Planą ir datas pasižymėkite (pavyzdžiui, savo skaitmeniniame kalendoriuje).

Kokie rezultatai? JŪSŲ ATRADIMAI

SĄSAJOS SU REIŠKINIU

Ką atradote, kai tyrinėjote

fraktalus? Pavyzdys

||

Kaip tai susiję su algoritmais?

Pavyzdys

+ Braižant bet kokį brėžinį

„ Pastebėjome, kad, kartojant mandalos „Gyvybės sėkla“ („Seed of Life“) brėžimo algoritmą be galo daug kartų, gaunamas nesibaigiantis simetriškas plokštumos

kartojama tam tikra žingsnių seka. Pavyzdžiui, norint pavaizduoti 6 ašių simetriją apskritime, reikia atlikti tokį algoritmą: 1. Nubrėžti reikiamo skersmens

galima taikyti kitus algoritmus

2. Iš apskritimo lanko bet

padalijimo modelis, kuriame

bet kokiai taisyklingajai figūrai pavaizduoti.

Pasirenkite .

pristatyti

.

apskritimą.

JŪSŲ GALIOS ||

Skaitmeninių brėžimo įrankių

valdymas.

Pavyzdys

+ Platformoje GEOGEBRA (https;/www.geogebra.org) galite pagal simetrijos ašių brėžimo algoritmą (ar algoritmus) sukonstruoti šabloną mandaloms piešti ir sukurti savo mandalų.

kurio taško nubrėžti to paties spindulio ...

Iš anksto susitarkite su mokytoju, kaip pristatysite atliktą tyrimą. Tai gali būti

pranešimas, straipsnis, trumpas vaizdo įrašas, pamoka kitos klasės mokiniams ar kt. Parenkite pristatymą ir jame nurodykite, kas tą tyrimą atliko, koks

klausimas nagrinėtas, ką pavyko atrasti, ką sukūrėte patys. Pristatymą turi

rengti visi grupės nariai.

Apibendriname,

Įsivertiname

ALGORITMO GALIA

Ką naujo sužinojote apie tyrinėtą reiškinį? PRISTATYKITE |

DISKUTUOKITE

„ Pristatykite savo atradimus klasės draugams

||

ar mokyklos bendruomenei. Jūsų ruošiamas

KELKITE KLAUSIMUS

Atsakykite į užduotus

|

Patys užduokite klausimų

klausimus, susijusius su

kitų grupių nariams.

turėtų trukti ne ilgiau kaip 5 minutes:

Jeigu į kurį nors klausimą

jeigu matote, kad ką nors

Pasidalykite su jais savo atradimais, įspūdžiais

kad tai išsiaiškinsite,

pranešimas, spektaklis arba vaizdo reportažas

skaitmenine komunikacija.

+ Susitarkite su pasirinkto dalyko mokytoju ir praveskite pamoką jaunesniems mokiniams.

iš savo tyrimo srities atsakyti negalite, susitarkite,

iš išvykų ir susitikimų su specialistais, išmokykiteto, ką sužinojote apie tyrinėtą reiškinį.

Nekritikuokite, patarkite, būtų galima padaryti kitaip.

ir atsakysite vėliau.

+ Jeigu piešiate piešinius, kuriate nuotraukų

koliažus ar prototipus, surenkite savo kūrinių parodą.

Kas toliau? Kaip su reiškiniu „Algoritmo galia“ susijusi ketvirtoji pramonės

revoliucija?

Žmonija sukonstravo skaičiavimo mašinas, sukūrė algoritmų teoriją, vėliau plėtojo robotiką, mašininį mokymąsi ir dirbtinį intelektą.

Visos šios sritys tiesiogiai susijusios su algoritmais, padedančiais Žmogaus gyvenime (o gal gyvenimą komplikuojančiais?).

Dirbtinis intelektas (DI) yra kompiuterinių sistemų struktūra,

gebanti atlikti žmogaus intelektines funkcijas, pavyzdžiui, suprasti kalbą, rasti ir priimti sprendimus.

Ma

mokymasis yra vienas iš svarbiausių dirbtinio intelekto

aspektų, leidžiantis kompiuteriams mokytis iš duomenų be jokio tiesioginio programavimo. Šių technologijų sėkmė ir tobulėjimas gali turėti didžiulę įtaką mūsų

kasdienei buičiai, ekonomikai ir socialiniam gyvenimui.

+ Kaip kūrėjui išlikti unikaliam? O gal tai taps nebeįmanoma?

Ar ir kiek tai susiję su algoritmais?

Ir toliau kelkite .

klausimus

+ Kokie algoritmai sudaro dirbtinį intelektą? Kokiu principu jie veikia? + Kokias matematikos sritis pasitelkia DI sprendimų plėtotojai? + Kodėl (ne)verta aklai pasitikėti dirbtinėmis sprendimų priėmimo sistemomis?

66

„

dailia

R

Šiame cikle

| Ką veiksime

Ž

Raktiniai žodžiai

Kaip sukurti grožį naudojantis matematika? Taikant matematiką gyvenime, svarbu mokėti

suformuluoti problemą - uždavinį, ją užrašyti

matematine kalba (lygtimi, nelygybe ar reiškiniu)

ir tuomet kūrybiškai naudojantis matematiniais instrumentais išspręsti iškeltą problemą. Mozaika iš aštuoniakampių

Apdailininkas Ignas sugalvojo papuošti dušo sienelę mozaika, kurią sudaro taisyklingieji aštuonia-

kampiai. Pirmiausia jam reikia paruošti mozaikos

detales. Igno plytelės yra kvadratinės, iš jų jis turi

išpjauti taisyklingąjį aštuoniakampį. Plytelės kraštinės ilgis lygus 6 cm.

Taigi Ignui reikia apskaičiuoti, kokio ilgio apytiksliai turi būti taisyklingojo aštuoniakampio kraštinė. Padėkime Ignui išspręsti šią problemą.

Pažymėkime aštuoniakampio kraštinės ilgį x, t. y. EM = x. Tuomet:

EC == CM ==5(6-x) 16-43

=3-1 = 3-5.

Norėdami rasti x reikšmę, trikampiui ECM taikome Pitagoro teoremą:

EM? = EC? + CM?. Sudarome lygtį:

12

x = (3 -14)

1

+ (3-25)

Pertvarkę gauname

2

lygtį, kurioje nežinomasis x yra

pakeltas antruoju laipsniu:

Ž2+6x-18-0.

Susimąstėte? Šiame cikle išmoksite spręsti tokio tipo lygtis ir kartu išspręsite Ignui iškilusią problemą.

14

Kokių gyvenimo sričių problemas sprendžiant reikalinga matematika?

Pateikite pavyzdžių.

"mr

Tiesinės lygtys ir jų sprendiniai Lygtis ax + b = O, kurioje nežinomasis x yra pirmojo laipsnio, vadinama tiesine lygtimi. Norint išspręsti lygtį, reikia rasti tokią x reikšmę, kurią įrašius į lygtį, jivirstų teisinga skaitine lygybe.

[1]

a) 5x+12=2;

b) -4x+17=-9;

Prisiminkime sąvokas, su kuriomis susipažinote

€) 2(x-4) +3x=64; d) 7x +3(x+1) =12;

žemesnėse klasėse.

e) 5-(5+2)=12; 1) 6x-2(x-2)=5;

Kintamasis x yra raidė, žyminti kokios nors aibės (pavyzdžiui, realiųjų skaičių aibės) elementą. Lygybė, kurioje yra nežinomųjų, vadinama lygtimi.

9) 35(x+5)-15x = ZX; K) x+L(5-x) = 05x-3;

Tiesinė lygtis gali turėti vieną sprendinį, turėti

be galo daug sprendinių arba neturėti sprendinių.

i) 3(5-x) + 5x = 2x +3; j)

Išspręskime tris tiesines lygtis.

I) 7x+3(x +1) =10x + 30.

2(x+1)-5x=6. 2x+2-5x=6, 2x-5x=6-2, -3x=4|:(-3),

[2]

lygios?

[3]

2 pavyzdys

lygus 2?

3x-6+7=3x+1,

Ši lygtis turi be galo daug sprendinių, nes, į gautą

lygybę įrašius bet kokią x reikšmę, gaunama teisinga skaitinė lygybė. Atsakymas. x € (-»; +).

ir (8 - x)(8 + x) suma lygi 12?

(x + 5)(x- 3) ir (5 - x)? skirtumas

Sprendimas

Ox=0.

a) Su kuria x reikšme reiškinių (x + 6)? b) Su kuria x reikšme reiškinių

3(x-2)+7=3x+1.

3x-3x=1+6-7,

a) Su kuria x reikšme reiškinių (x - 1)? ir x? - x reikšmės yra lygios? b) Su kuria x reikšme reiškinių (x + 5)(x - 5) ir x? + 2x reikšmės yra

x=-2415! E] Atsakymas. al.

5+2x-(5-3x) = 5x;

k) 5-2x=4- (2x-1);

1pavyzdys

Sprendimas

Išspręskite tiesines lygtis:

[4]

Su kuria x reikšme reiškinių 4- xir x +7

kvadratų skirtumas lygus 11?

15

3 pavyzdys 6,5x - 9 = 2x + 3(1,5x + 2).

[5]

Sprendimas

Ar yra tokia kintamojo x reikšmė, su kuria reiškinio

(4x -1)? reikšmė būtų lygi reiškinio 16x? - 8x reikšmei?

6,5x-9=2x+45x +6, Ox = 15. Nėra tokios x reikšmės, kurią padauginę

[6]

iš O gautume 15.

Atsakymas. Sprendinių nėra.

a) Su kuria x reikšme reiškinio 2x - 7 reikšmė yra 4vienetais didesnė už reiškinio 2(x + 1)? reikšmę? b) Su kuria x reikšme reiškinio (x + 1)(x - 2) reikšmė yra 3 kartus mažesnė už reiškinio 3(x7 + 4x) reikšmę?

Sudėtingesnės tiesinės lygtys Norint panaikinti lygtyje esančių trupmenų vardiklius, patogu lygtį padauginti iš visų

6)

vardikliuose esančių skaičių mažiausio

bendrojo kartotinio.

Pavyzdys

[8]

Išspręskime lygtį:

4434

413

> 76

I ATI

6

Zi

16

X-Xa)ž-į-1

Išspręskite lygtis:

1+3x T

-

b) Ax +

5-4x

TP:

d)4-

Aa 55

2x+3)

T

Ax+W

irž skirtumas

[10]

Su kuria x reikšme reiškinių i lygi 10?

ir 2 :2 suma

G)

Su kuria x reikšme reiškinio

„32.42 = 2-42.

Atsakymas. 42.

6 e) XE-7-6

Su kuria x reikšme reiškinių 12

12+9x-2x-2=42, 9x-2x=42-12+2,

4x-Ž=5;

[9]

142

3(4+3x)-2(x+1)=42, 7x=32|:7,

b)

9)

„XI K 4+3x Ž-6.1-6.7 4 4+3x

a) ž+3x-8

a) L43x-4;

2 3 Sprendimas 4+3x x+1—

>

Išspręskite sudėtingesnes tiesines lygtis:

lygus 127

L

R

Iš

ali

kinis B Ema

A

už

raiškinia

Cz—

7vienetais didesnė už reiškinio

[12]

reikšmė yra

LDK +4X 3

Su kuria x reikšme reiškinių 22 Ž ir = reikšmės yra lygios?

ik

reikšmę?

+

aX +bX+c=0

až0

a,b, c- skaičiai,

x-nežinomasis, kurio reikšmę rasime išsprendę lygtį.

Kokios lygtys vadinamos kvadratinėmis lygtimis? Kaip sudaryti kvadratinę lygtį, kai žinomos koeficientų reikšmės? Lygtis, kurios išraiška yra ax? + bx + c = O, vadinama kvadratine lygtimi. Šioje lygtyje x yra nežinomasis,

oa, b, cyra skaičiai. Be to, skaičius a turi būti nelygus nuliui. Si lygtis dar vadinama aftrojo laipsnio lygtimi, nes nežinomojo x aukščiausias laipsnis yra 2.

Nekvadratinių lygčių pavyzdžiai:

Šios lygtys nėra kvadratinės, nes lygtyje:

1) 3x+7=0;

1) nėra nario su x2,

2) Ž+2x-3-0.

2) narys su x? yra trupmenos vardiklyje.

Kvadratinių lygčių pavyzdžiai:

+

Vienas iš kvadratinės lygties narių turi būti antrojo laips-

1) x-2x+5=0; 2) -3x7+7x-8=0;

+

Taip pat gali būti pirmojo laipsnio narys, t. y. narys su

3) 3x7+7x= 0;

4) Žx2=10; 5) 4x2-25=0; 6) 72=0.

Nio, t. y. narys su x*. Koeficientas prie xŽ žymimas raide a.

nežinomuoju x. Koeficientas prie x yra žymimas raide b. Jeigu lygtyje nario su nežinomuoju x nėra, laikoma,

kadb= O.

+

Kvadratinėje lygtyje vienas

iš narių gali būti skaičius.

Skaičius žymimas raide c. Jeigu skaičiaus lygtyje nėra,

laikoma, kad c = O.

17

Jeigu kvadratinės lygties ax? + bx + c = Ovisi koeficientai a, b ir c nėra lygūs nuliui, tai tokia lygtis vadinama pilnąja kvadratine lygtimi.

Nustatykime duotųjų kvadratinių lygčių koeficientų a, b ir c reikšmes. 1pavyzdys

2 pavyzdys

x2-8x+11=0,

3 pavyzdys

-3x* + 4x = 8.

a=1,b=-8;c=11.

7-6x7=0.

Sukelkime visus narius į kairiąją

Kad būtų paprasčiau nustatyti

lygties pusę:

koeficientų reikšmes, patogu

-3x7+4x-8=0,

lygties narius sukeisti vietomis:

a=-3b=4c=

-6x7+7=0, a=-6;b=0;c=7.

Svarbu!

o

z

[1]

Pilnoji kvadratinė lygtis

a) 5x+7x2= 0;

a +bx+C-0,

[2]

[1]

[2]

d) -x+2-0.

Nustatykite koeficientų a, b ir c reikšmes: a) 3x2+4x+7=0;

b) -2x2+5x+3 = 0;

€) 6x-x2+3=0;

d) 5-x2=0.

UŽDAVINIUS

Užrašykite kvadratinės lygties ax + bx + c = O koeficientų a, b ir c reikšmes, jei ta lygtis yra:

a) 2x*+3x-7=0;

b)x*-5x-13=0;

O, sprendinių nėra.

e

Jeiairc ženklai vienodi (£ > 0), tai kairiojoje lygties pusėje esančio reiškinio daugikliais išskaidyti negalime.

Tokia lygtis sprendinių neturi.

Išspręskime tris nepilnąsias kvadratines lygtis ax? + c = O. 1pavyzdys

2 pavyzdys

x -9=0.

3 pavyzdys

4x*-5=0.

Sprendimas

2x2+10= 0.

Sprendimas

Sprendimas

2x2+10=0|:2,

x*-9=0, x2-37=0, (x+3)x-3)=0,

x*+5=0. Šios lygties išskaidyti daugikliais

negalime.

x+3=Oarbax-3=0, x=-3,

Pertvarkome lygtį:

x=3.

x = 5.

Atsakymas. -3; 3.

Nėra tokios x reikšmės, kurią

Pastebėkime, kad šio tipo

nepilnosios kvadratinės lygties

pakėlus kvadratu būtų gauna-

sprendiniai yra vienas kitam

mas neigiamas skaičius. Todėl

priešingi skaičiai. Juos galima rasti iš lygties išreiškus x*:

ši lygtis sprendinių neturi.

Atsakymas. Sprendinių nėra.

x=-18

x- 13

2

Atsakymas. 15

“2

5

2

" " w m

Argumentuokite, kodėl kvadratinė lygtis —x*=13 sprendinių neturi.

L] "

"

" L]

" L]

L] "

|] |]

m w

Kaip lygties x? = m sprendinių skaičius priklauso nuo m reikšmės?

(1)

ax*=0

Sprendimas ax =Ol:a,

x*=0.

Tik nulį pakėlę kvadratu gausime nulį, +

Kaib= Oirc = O, kvadratinė lygtis ax? = O

todėl šios lygties sprendinys yra x = O.

turi sprendinį x = O.

Atsakymas. O.

1

Išspręskite lygtis: a)

X +2,5x=0;

b) 6x-2x2=0;

0) Žė=-2X e)x-18=0;

d)X-25=0; f) 5x-80=0;

9)9x2-4=0;

h) 16x2-3=0;

i) 1047=0; k) 12-72=0;

J) X+75x=0; I) Ž2--94

m)x2-144=

n)18-x2=0;

0) 12-2x2=0;

p) x2+16=0;

r) -25-x2=0;

s) 9x* = 12.

a) X +6x=0;

b) x*-14x =

€) X +15x=0;

9) 3x7+15x = 0;

h) 13x- 2x?

i) 18x + 5x7 = O;

d) 25x-x2

j) 5x-12x2= 0; 22

O;

e) 18x-x2=

k) 2? +7x= 0;

£) 45x+x2=0;

I) 16x- 8? = 0.

"

|] |]

" "

[2]

Raskite nepilnųjų kvadratinių lygčių sprendinius:

Patarimas

a) X? = 2x;

Sukelkite visus lygties narius į

s-P

X Kai D < O, tai:

bl

giamas reikšmes (2 > 0) su visomis a reikšmėmis,

išskyrus a = O.

Kodėla * 0?

-bžJD £JD,

Kai D = O, tai: (+£)62

Paaiškinkite, kodėl kai D > O, reiškinys 2-igyja tei-

« Kai diskriminantas lygus O (D = 0), tai reiškinys —

be Ox+355-0,

yra lygus O. Tuomet kvadratinė lygtis turi vieną sprendinį.

5-2

D

(2) p -ap 0

| Teigiamas skaičius

« Kai diskriminantas yra neigiamas (D < O), reiškinys = įgyja neigiamas reikšmes.

Tuomet kairiojoje lygties pusėje esančio reiškinio išskaidyti daugikliais negalime. Šiuo atveju lygtis sprendinių neturi.

Sprendinių nėra. Paaiškinkite, kodėl kai D < O, reiškinys Žioyja nei-

D

4

E

giamas reikšmes (E 77 < O| su visomis a reikšmėmis, išskyrus a = O.

27

Svarbu! Kvadratinės lygties sprendinių skaičius priklauso nuo diskriminanto reikšmės.

Diskriminanto ženklas D>0

Sprendinių skaičius

Sprendiniai

Du sprendiniai

Xa=

Vienas sprendinys

D=0 D O, todėl kvadratinė lygtis turi 2 sprendinius.

D= O, todėl kvadratinė lygtis turi 1 sprendinį.

D< O, todėl kvadratinė lygtis sprendinių neturi.

a=,b=-6c=5,

D=b*-4ac,

„O b+JD

bo 22 X

6 x-28-3

D=(-67-4-1-10= =36-40 = -4,

Atsakymas. Sprendinių nėra.

Atsakymas. 3. Atsakymas. 1; 5.

o

e

Išspręskite kvadratines lygtis:

a) x +3x-4=0; d)x*-2x-8=0;

28

b) x2+10x+25=0;

c) x +2x+3=0;

e) xŽ-4x+4=0;

f) X+5x+7=0.

SPRENDŽIAME UŽDAVINIUS [1]

Apskaičiuokite lygčių sprendinius:

a) x2=0; d) (x+3)7=0;

b) 7x2= O; e) (5-x)*=0;

9) 3(x-77=0; [2]

h) -O0A(6-4x)*= 0;

b) x2-12x +36 = 0;

d) x2+26x+169 = 0;

b) x*+8x+15= 0; e) x*+2x-24=0;

a) Pabaikite spręsti lygtį:

c) x*+10x+21=0; f) X-8x+15=0. b)

x2+x-30=0,

Išspręskite lygtis, išskirdami

dvinario kvadratą:

x2+2-x-05+0,52-0,52-30=0,

1) x*-7x+10=0;

(x+0,5-3025-0, (x+05)*-5,57=0,

3) +5x-14-0; 4)5)x2+5x+6=0. X - 3740;

TT

aąa+c>ba+b>c.

trikampio mažiausio kampo dydį. [6]

a Iš trikampio viršūnės nubrėžtas statmuo į priešais esančią kraštinę vadinamas trikampio aukštinė (A). Trikampio kraštinė, į kurią nubrėžta aukštinė, vadinama trikampio pagrindu (=).

74

Trikampio plėtas

S= Žah.

Trikampio MNP kraštinė MP pratęsta

už taško P. Taškas R priklauso tiesei MP. Kampų N ir M dydžių suma lygi 110“.

Apskaičiuokite kampo NPR, vadinamo

trikampio priekampiu, dydį.

N

Trikampių rūšys Pagal kampus

Smailūsis

Statūsis

smailieji

statusis

Visi trys kampai

Bukasis

Vienas kampas


1-7-2/3.

Jei užduoties sąlygoje yra reiškinys sin? 60“, tai sinuso reikšmė keliama kvadratu: 2

sin“ 60*= (sin 60772 = [3] -Š. 5 pavyzdys Pasinaudokime brėžinio duomenimis ir apskaičiuoki-

me

xreikšmę.

Duota: ZACB = ABD =90*, BC = 6/3,

ZDAB = 45*, /CAB = 60* Rasti: AD.

6/3 Brėžinyje matome du trikampius: ACB ir ABD. Duotas vieno trikampio kraštinės ilgis, reikia rasti

kito trikampio kraštinės ilgį. Patogu pirmiausia rasti trikampių bendros kraštinės AB ilgį.

134

Sprendimas 1.

BC

sin 4CAB= 35.

AB-

B

BC

AB= ZGB

Užrašome kampo

ŠE

CAB sinuso apibrėžtį, Nes yra

duotas statinio prieš tą kampą ilgis ir reikia rasti

įžambinės ilgį.

5 =6/3:12=12.

Pagalvokite, kaip dar būtų galima apskai-

čiuoti AB ilgį. “

2. cos ZBAD = AB

„AB

=

AD= TIZBA5

k

Aaaa

Užrašome kampo BAD kosinuso apibrėžtį. Atsakyme pateikiame tikslias reikšmes, nes sąlygoje

neprašomajų suapvalinti. Gavus atsakymą, jį reikia

Atsakymas. 12/2.

pertvarkyti panaikinant iracionalumą trupmenos vardiklyje.

£

[2]

[1] Apskaičiuokite tikslias reiškinių reikšmes:

Pagal brėžinio duomenis apskaičiuokite x reikšmę.

a) 2sin 307 - 2260, b) 2 sin? 45? + tą 607.

SPRENDŽIAME UŽDAVINIUS [1

brėžinio duomenimis ir apskaičiuokite x reikšmę:

b)

L

a

z

c

sin ZA= ž

cos ZA= B

sin ZA „a,b

Tas ZA

Nagrinėkime statųjį trikampį ABC, kurio ZC = 90".

e

ce

ac

tą ZA -Ž

Užrašykime smailiojo kampo A sinuso, kosinuso

ir tangento apibrėžtis.

==

bT tą ZA.

s

Užrašykime sinuso ir kosinuso reikšmių santykį.

Vadinasi, tg ZA = ana

Matome, kad gautas pertvarkytas santykis lygus nagrinėjamo kampo tangento reikšmei.

Panagrinėkime keletą pavyzdžių

1 pavyzdys Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas lygus i Apskaičiuokime šio kampo kosinuso ir tangento

reikšmes.

Duota: sin x = L a - smailusis kampas Rasti: cos a, tg 4.

Sprendimas

sin? ga + cosža =1, cos?4=1-sin7a, 12

Spręsdami uždavinius, kuriuose reikia apskaičiuoti smailiojo kampo kosinusą, kai

žinoma to kampo sinuso reikšmė, iš formulės

8

R

cos*4=1- (5 5 cosa; =

S

ži

sin? a + cos* a = 1 išreiškiame cos“ a. Kai žino-

275

ma kosinuso reikšmė, išreiškiame sin? a.

5-5

COS 0; =-

.

ž = „242 (netinka, nes kampas

a - smailusis). tga=

sina cosa“

tgd=>

Atsakymas. cos 4 =

152

2/2

1.23/2

33

tas:

1

A2

12

2

az J2o 40

Smailiojo kampo tangento reikšmę apskaičiuosime pasinaudoję lygybe tg 4 = E

irįrašę į ją

jau žinomas sinuso ir kosinuso reikšmes.

2 pavyzdys

D

Stačiojo trikampio DEF (ZE = 90*) statinio EF ilgis

lygus 16, o sin ZF = 0,6. Apskaičiuokime įžambinės DF ir statinio DE ilgius.

2

Sąlygoje duotas smailiojo kam+

Duota: ADEF - statusis,

ZE=90*, EF = 16, sin ZF = 0,6.

F

Rasti: DF, DE.

ETĄ

E

po Fsinusas ir statinio, esančio

Prie to kampo, ilgis.

Sinuso apibrėžties kampui F

taikyti negalėsime, nes nežino-

mas nei įžambinės, nei statinio prieš kampą Filgis.

Sprendimas

1. sin? ZF + cos? ZF=1,


= 70,64

smailusis kampas). EF

2.cos ZF= DE

= -0,8 (netinka, nes ZF-

DF= =

EF

cos ZF"

DF= = 35720.

3. DE? = DF? - EF? (Pitagoro teorema),

Turėdami cos ZF'reikšmę, galime apskaičiuoti