Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik: Volume 69, Number 6 [Reprint 2022 ed.] 9783112622605

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Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik

Applied Mathematics and Mechanics Founded by Richard von Mises in 1921

Edited at Institute of Mechanics Academy of Sciences of the G.D.R. Editor-in-Chief: G. Schmidt Editorial Board G. Alefeld (Karlsruhe) H. Beckert (Leipzig) L. Berg (Rostock) L. Bittner (Greifswald) L. Collatz (Hamburg) W. Fiszdon (Warsaw) H. Gajewski (Berlin) P. Germain (Paris) H. Günther (Karl-Marx-Stadt) J. Heinhold (Munich) H. Heinrich (Kiel) K. Hennig (Berlin) P. J. van der Houwen (Amsterdam)

Akademie-Verlag • Berlin

ISSN 0044-2267

J. Hult (Gothenburg) A. Ju. Ischlinski (Moscow) R. Klotzler (Leipzig) H. Neuber (Bad Worishofen) K. Oswatitsch (Vienna) M. Peschel (Berlin) J. Rychlewski (Warsaw) G. Schmidt (Berlin) J. W. Schmidt (Dresden) G. G. Tschorny (Moscow) H. Unger (Bonn) F. Ziegler (Vienna)

Volume 69 • 1989 Number 6

ZAMM • Z. angew. Math. Mech., Berlin 69 (1989) 6, T529-T688

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Z A M M publishes original papers (main articles and short communications), the lectures presented at the annual G A M M conferences, and review articles (requested by the Editorial Office of Z A M M ) . Papers in English (preferably) o r G e r m a n to be submitted for publication should be sent to the address at the bottom of this page (master and one copy), in the case of original papers together with an explicit assurance that they have not been published previously in, or are submitted to, another public journal. Authors are held fully responsible for all information included in their paper and should have one copy available for correction purposes. They get two sets of page proofs, one of them has to be returned within one week. Authors may be charged for extensive corrections in the text; corrections in the figures are not possible. They receive 150 (plenary G A M M lectures), 75 (main articles and short G A M M lectures), or 25 (short communications), respectively, free-of-charge reprints. Additional reprints have to be paid for. M a n u s c r i p t s should be type-written (one-sided, double-spaced with wide margins at both sides, each sheet numbered) beginning with the authors' names and the title of the paper. Extra types (like bold-faced letters etc.) should be marked. Please, distinguish between 1, I, e; v, v; w, to; o, 0, 0 (zero); k, K, %; i, i; x, x (cross), % etc. F o r m u l a s must be written clearly legible (type-writer if possible, never use pencil. Formulas used in the text have to be numbered at the right margin. Use abbreviations for long terms, " e x p " instead of " e " for extensive exponents, bold-faced letters for vectors etc. instead of a r r o w s ; avoid hierarchies of indices and exponents if possible. The end of a proof should be marked. F i g u r e s should be submitted on separate sheets, d r a w n with Indian ink and numbered consecutively. Add figure captions, tables, and footnotes (if not avoidable) on extra sheet each. References should be numbered in brackets throughout the text and collected according to these numbers in the appended bibliography (References). Each reference should contain author(s), title, and complete bibliographical coordinates following the subsequent examples. Books (Reports, Preprints etc.): IRONS, B. M . ; SHRIVE, N . G.: Numerical methods in engineering and applied science — Numbers are fun. Ellis H o r w o o d Series in Mathematics and Its Applications, Ellis H o r w o o d Ltd., Chichester 1987. Articles in periodicals: KASSEM, S. E.: W a v e source potentials for two superposed fluids, each of finite depth. Indian J. Pure Appl. Math. 18 (1987) 2, 1 8 6 - 1 9 3 . Articles in Proceedings etc.: LABISCH, F. K.: Some remarks on the morphology of nonunique solutions in nonlinear elastostatics. In: KOPPER, T.; SEYDEL, R.; TROGER, H. (eds.): Bifurcation: Analysis, algorithms, applications. Proc. Conf. at the Univ. of Dortmund, August 18—22, 1986. Internat. Ser. of Numer. Mathematics, Vol. 79, Birkhauser Verlag, Basel-Boston-Stuttgart 1987, pp. 177—184. T o each original paper and review article, a s u m m a r y of 5 to 10 lines in English (for manuscripts of more than 10 pages in G e r m a n and Russian) and a short list of key-words and corresponding A M S ( M O S ) classification numbers are needed. The precise address of each author with full name, academic title etc. is to be added. Information on address changes is appreciated.

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Z A M M veröffentlicht Originalarbeiten (Hauptaufsätze und Kleine Mitteilungen), die Vorträge der jährlichen G A M M T a g u n g e n und Übersichtsartikel (die von der Redaktion erbeten werden). Arbeiten in Englisch (vorzugsweise) oder Deutsch, die zur Publikation eingereicht werden, sind an die unten stehende Adresse zu senden (Original und eine Kopie). D e m Manuskript von Originalarbeiten ist eine Erklärung beizufügen, daß die Arbeit bisher in keiner anderen Zeitschrift veröffentlicht worden ist und auch kein Antrag auf Veröffentlichung in einer solchen Zeitschrift läuft. Die Autoren sind für den Inhalt ihrer Arbeiten voll verantwortlich und sollten für Korrekturzwecke eine weitere Kopie besitzen. Sie erhalten die Korrekturfahnen in zweifacher Ausfertigung; eine Korrektur ist innerhalb einer W o c h e zurückzusenden. Die Kosten für umfangreiche nachträgliche K o r rekturen können dem Autor berechnet werden. Korrekturen in den Abbildungen sind nicht möglich. Die Autoren erhalten kostenlos 150 Sonderdrucke für die Hauptvorträge der G A M M - T a g u n g e n , 75 für Hauptaufsätze, Übersichtsartikel und die G A M M - K u r z v o r t r ä g e und 25 für Kleine Mitteilungen. Zusätzliche Sonderdrucke sind gegen Berechnung erhältlich. Die M a n u s k r i p t e müssen mit Maschine geschrieben sein (einseitig, zweizeiliger Zeilenabstand mit breitem Rand auf beiden Seiten, jede Seite numeriert), wobei mit den N a m e n der Autoren begonnen werden soll und danach der Titel folgt. Besondere Typen (z. B. halbfett) sind zu markieren. Es soll gut unterschieden werden zwischen 1, /, e; v, v; w, co, o, 0 , 0 (Null); k, K, z; i, X (Kreuz), % usw. Die F o r m e l n müssen deutlich lesbar sein (möglichst maschinenschriftlich, keine Verwendung von Bleistift). Im Text verwendete Formeln sollten am rechten Rand durchnumeriert werden. Für lange Terme sind Abkürzungen zu verwenden, „ e x p " anstelle von ,,e" für große Ausdrücke im Exponenten, halbfett für Vektoren anstelle von darübergesetzten Pfeilen — Mehrfach-Indizes wie auch -Exponenten möglichst vermeiden. D a s Ende eines Beweises sollte gekennzeichnet werden. A b b i l d u n g e n sind auf gesonderten Blättern einzureichen und sollten mit Tusche gezeichnet und durchnumeriert sein. Die Abbildungsunterschriften, eventuelle Tabellen und (falls nicht vermeidbar) Fußnoten sind ebenfalls auf gesonderten Blättern hinzuzufügen. Literaturzitate sind durch den gesamten Text durchzunumerieren (in eckigen Klammern) und in der entsprechenden Reihenfolge im am Schluß folgenden Literaturverzeichnis aufzulisten. Jedes Zitat sollte Autor(en), Titel und die vollständigen bibliografischen Koordinaten enthalten, entsprechend den folgenden Beispielen. Bücher (Reports, Preprints usw.): IRONS, B. M . ; SHRIVE, N . G.: Numerical methods in engineering and applied science — N u m b e r s are fun. Ellis H o r w o o d Series in Mathematics and Its Applications, Ellis H o r w o o d Ltd., Chichester 1987. Zeitschriftenartikel: KASSEM, S. E.: W a v e source potentials for two superposed fluids, each of finite depth. Indian J. Pure Appl. Math. 18 (1987) 2 , 1 8 6 - 1 9 3 . Arbeiten in Proceedings usw.: LABISCH, F. K.: Some remarks on the morphology of nonunique solutions in nonlinear elastostatics. In: KÜPPER, T.; SEYDEL, R.; TROGER, H. (eds.): Bifurcation: Analysis, algorithms, applications. Proc. Conf. at the Univ. of Dortmund, August 18—22, 1986. Internat. Ser. of N u m e r . Mathematics, Vol. 79, Birkhäuser Verlag, Basel-Boston-Stuttgart 1987, pp. 7 7 7 - 1 8 4 . Für jede Originalarbeit und jeden Übersichtsartikel w i r d eine englische Z u s a m m e n f a s s u n g (bei Manuskripten von mehr als 10 Seiten auch je eine in Deutsch und Russisch) von 5 bis 10 Zeilen Länge sowie eine kurze Liste von Stichworten und den entsprechenden A M S (MOS)-Klassifikationsmarken benötigt. D i e genaue Adresse jedes Autors mit vollständigem N a m e n , akademischen Titeln usw. muß beigefügt werden. Bei Adressenänderung wird eine umgehende Information erwartet.

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Applied Mathematics and Mechanics Founded by Richard von Mises in 1921

Edited at Institute of Mechanics Academy of Sciences of the G.D.R. Editor-in-Chief: G. Schmidt Editorial Board: G. Alefeld (Karlsruhe) H. Beckert (Leipzig) L. Berg (Rostock) L. Bittner (Greifswald) L. Collatz (Hamburg) W . Fiszdon (Warsaw) H. Gajewski (Berlin) P. Germain (Paris) H. Günther (Karl-Marx-Stadt) J. Heinhold (Munich) H. Heinrich (Kiel) K. Hennig (Berlin)

J. Hult (Gothenburg) A. Ju. Ischlinski (Moscow) R. Klotzler (Leipzig) H. Neuber (Bad Worishofen) K. Oswatitsch (Vienna) M. Peschel (Berlin) J. Rychlewski (Warsaw) G. Schmidt (Berlin) J. W . Schmidt (Dresden) G. G. Tschorny (Moscow) H. Unger (Bonn) F. Ziegler (Vienna)

P.J. van der Houwen(Amsterdam)

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Akademie-Verlag • Berlin

Volume 69 Number 6

1989

Editorial Office Academy of Sciences of the G D R , Institute of Mechanics Prof. D r . Günter Schmidt • Elke Herrmann • D r . Dieter Ullmann • Dr. Horst Weinert

The aim and scope of Z A M M is, in agreement with the intentions of its founder Richard von Mises, one of the outstanding scientists of our century in both Mathematics and Mechanics: to publish new results and review articles, the proceedings of the annual G A M M conferences, book reviews and information on applied mathematics (mainly on numerical mathematics and various parts and applications qf analysis, in particular numerical aspects of differential and integral equations), on the whole field of theoretical and applied mechanics (solid mechanics, fluid mechanics, thermodynamics) and on mathematical physics. The journal is of interest for persons working in applied mathematics and mechanics as well as on mathematical or mechanical questions in other sciences, for instance mechanical and civil engineering, electrotechniques, and chemistry.

In Übereinstimmung mit den Zielstellungen des Begründers der Z A M M , R i c h a r i v o n Mises, eines der bedeutendsten Wissenschaftler unseres Jahrhunderts auf dem Gebiet der Mathematik und Mechanik, publiziert die Zeitschrift neue Ergebnisse und Übersichtsartikel, die Vorträge auf den jährlichen G A M M - T a g u n g e n , Buchbesprechungen und Informationen über Angewandte Mathematik (hauptsächlich über numerische Mathematik und verschiedene Teile sowie Anwendungen der analysis,-insbesondere numerische Aspekte bei Differential- und Integralgleichungen), über das gesamte Gebiet der theoretischen und angewandten Mechanik (Festkörpermechanik, Strömungsmehanik, Thermodynamik) und über mathematische Physik. Die Zeitschrift wendet sich an Vertreter der angewandten Mathematik und Mechanik wie auch an Wissenschaftler und Ingenieure, die sich mit mathematischen oder theoretisch-mechanischen Fragen auf anderen Gebieten, z. B. Maschinenbau und Bauwesen, Elektrotechnik und Chemie befassen.

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Z E I T S C H R I F T FÜR A N G E W A N D T E M A T H E M A T I K U N D M E C H A N I K Herausgeber: A d W der D D R , Institut für Mechanik, Karl-Marx-Stadt. Mit der Herausgabe beauftragt und Chefredakteur: Prof. D r . Günter Schmidt, Rudower Chaussee 5, DDR-1199 Berlin, Fernruf: 6743669 oder 6743668 (gleichzeitig Anschrift der Redaktion). Verlag: Akademie-Verlag Berlin, Leipziger Straße 3—4, DDR-1086 Berlin; Fernruf: 2236221 oder 2236229; Telex-Nr.: 114420; Bank: Staatsbank der D D R , Berlin, Kto.-Nr.: 6836-26-20712. Veröffentlicht unter der Lizenznummer 1282 des Presseamtes beim Vorsitzenden des Ministerrates der Deutschen Demokratischen Republik. Gesamtherstellung: V E B Druckerei „Thomas Müntzer", DDR-5820 Bad Langensalza. Erscheinungsweise: Die Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik erscheint monatlich. Die 12 Hefte eines Jahres einschließlich Tagungshefte bilden einen Band. Bezugspreis je Band 4 2 0 , — D M zuzüglich Versandspesen. Bezugspreis je Heft 35,— D M . D e r gültige Jahresbezugspreis für die D D R ist der Postzeitungsliste zu entnehmen. Bestellnummer dieses Heftes: 1009/69/6. Urheberrecht: Alle Rechte vorbehalten, insbesondere die der Übersetzung. Kein Teil dieser Zeitschrift darf in irgendeiner Form — durch Fotokopie, Mikrofilm oder irgendein anderes Verfahren — ohne schriftliche Genehmigung des Verlages reproduziert oder in eine von Maschinen, insbesondere von Datenverarbeitungsanlagen verwendbare Sprache übertragen oder übersetzt werden. — All rights reserved (including those of translation into foreign languages). N o part of this issue may be reproduced in any form, by photoprint, microfilm or any other means, nor transmitted or translated into a machine language, without written permission from the publishers. © 1989 by Akademie-Verlag Berlin. Printed in the German Democratic Republic. A N ( E D V ) 35937 02000

BARK, F. H.; DAHLKILD, A. A.: Gravitational and Centrifugal Settling

T 531

PLENARY LECTURES ZAMM • Z. a n g e w . M a t h . Mech. «9 (1989) 6, T 531 - T S39 BABK, F . H . ; DAHLKILD, A . A .

Gravitational and Centrifugal Settling 1. Introduction Settling phenomena appear in a large variety of industrial processes such as separation of cream from milk, water from oil, clarfication of beer and wine etc. Another example is the settling of equiaxed crystals that takes place during solidification of liquid alloys. The simplest way to remove heavy but small particles from a suspension is, of course, to store the liquid in a vessel for a sufficiently ltfng time so that the particles can sink in the gravity field to the bottom of the vessel. However, for very small particles, whose settling velocity is very slow, this process is often too time consuming to be of practical value and a more rapid method is desirable. Furthermore, continuous processes are in many cases preferrable to batch processes. These needs can partly be met by making use of so called lamella settlers, which can, roughly speaking, be characterized as a stack of narrow, tilted channels as shown in figure 1. The details of the operation of such devices is, as is obvious from figure 1, rather complicated but the main idea behind the design will be discussed later in this article.

Fig. 1. Lamella settler

Fig. 2. Centrifugal separator

The next step to enhance the settling rate is to increase the body force driving the motion of the suspended matter relative to the suspending fluid. (Henceforth, the common but somewhat unorthodox notation dispersed phase and continuous phase will be used for suspended matter and suspending fluid, respectively). This can be done by using rapidly spinning centrifuges, in which the centrifugal force can be made several thousand times stronger than gravity. As in lamella settlers, inclined (conical) channels are often made use of in centrifuges to further enhance the settling rate. An example of such a design is shown in figure 2. Due to effects of the Coriolis force, the flow field in a rapidly rotating centrifuge is usually much more complicated than that in a lamella settler. The present paper gives a review of some of the basic fluid mechanical phenomena appearing in gravitational and centrifugal settling. Section 2 contains a discussion of some common mathematical models for the mechanical properties of settling two-phase fluids. In section 3, settling due to gravity is discussed with particular emphasis on the enhancement of settling rate that is obtained in tilted vessels, the so called Boycott effect. The subject of section 4 is some basic phenomena that appear in rapidly rotating suspensions. Modifications of the Boycott effect due to the Coriolis force are taken up in section 5. Finally, it should be pointed out that the literature on gravitational and centrifugal settling is quite large. Due to lack of space, the present review does therefore not have the ambition to be complete. The choice of phenomena to be discussed focusses on basic fluid mechanical effects. 35*

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2. Mathematical models of two-phase fluids I n order t o formulate a very simple model for a suspension of e.g. droplets, one would neglect all effects of interactions between droplets and regard these as passively moving, due to their different weight, relative t o t h e continuous phase. I n cases where free convection appears, one m a y assume t h a t t h e only effect of t h e droplets on t h e bulk motion is t h a t t h e presence of droplets leads t o a locally increased density compared t o regions where droplets are absent. However, this scheme, which requires t h e solution of an equation of conservation for droplets and t h e equations of motion for t h e fluid, can be used only for very low concentrations. I n order to derive equations of motion based on t h e principles of continuum mechanics for a nondilute suspension of particles or droplets, some kind of averaging procedure has t o be used. I n what follows, t h e subscripts ' C ' and 'D' are used t o denote quantities in t h e continuous and dispersed phase, respectively. One of t h e most widely accepted procedures is t h e time averaging scheme developed by I S H I I [ 1 ] , I n this scheme, t h e time average of e.g. vD, t h e velocity of t h e dispersed phase, a t a point x is defined as t h e time average of the measured velocity a t x during t h e intermittent periods when x is enclosed in t h e dispersed phase. The averaging time is required t o be sufficiently large for t h e average t o be well defined but significantly smaller t h a n all time scales for t h e bulk motion. Other averaging techniques exist, see e.g. D B E W [ 2 ] , I t should be pointed out t h a t this t y p e of model, which is often referred t o as t h e two-fluid model, requires constitutive assumptions t o describe t h e exchange of mass, momentum and energy between t h e phases. Knowledge of t h e mechanical properties of each phase is t h u s not sufficient. As an example, we give a common formulation for an isothermal suspension of very small droplets of uniform radius a. Both phases are taken as incompressible Newtonian fluids of densities ¡jD and Qc, respectively. The equations for t h e volume fraction a , t h e velocities and pressures £>n, c for such a mixture are often written as 9t + hnjL wl" + 0(hllL2)

.

The turbulent stresses (hence the turbulence modelling) do not affect the solution till 0(hmjL2), the first two terms are determined by the upwind velocity profile and the shape of the hill.

T 554

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Middle Layer (hm > z > I) where the perturbation is inviscid but rotational. The shear in the upwind profile is dominating the dynamics. The inclusion of the middle layer ensures a correct matching between the inner and outer regions and has not been analysed before. In the middle layer w satisfies U " \

n

/ h i \

x*

Z

=

z* hm

and the expansion is w

=

L j h „ M

0 )

+

W(D

+

h

m

/ L w> +

0 { h l l L

2

) .

Note the large first term, so that to linearise in the middler layer requires H

U%(hn,)

L

V

% ( 1 )

< L

-

Again the solution is unaffected by the turbulent stresses until the

0(hmjL

z

)

term,

ii. Inner Region Within the inner region the zero order velocity is just the upwind velocity profile displaced over the hill, so a displaced vertical coordinate is used Z = z — H f ( x j L ) and the perturbation expansions are M*

io* t*

=

U

=

UQ[(U

=

[ U ( Z ) +

0

e*gUl[

+ 1 +

H j L u

«„)

d

(x, Z ) +

H j L }'

u ( x ,

+

H j L

0 ( £ P / L U i

3

) ] ,

{x, Z ) +

0 ( H

2

/ L

2

) ] ,

(2.3)

Z ) ] .

The first term in (2.3 b) drives the outer flow to 0(hm/L2). In the inner region, we assume that the upwind profile is logarithmic and that mixing length is a good approximation for the shear stress through all z < I. So 2xZ

du,t

(2.4)

9 Z

The inner region also has to be separated into two layers. We first consider the higher of these the shear stress layer (SSL) where the expansion is -1 U(C)

where | —

x j L ,

f

=

Zjl, d

= In" 1

ljz0.

Matching with the middle and inner surface layer (discussed below) leads to a maximum streamwise velocity perturbation at Z — If3. Another important result is that the shear stress is out of phase with the topography at 0 ( d ) leading to a net drag on periodic terrain of 0 ( H j L 2 U%(hm) y) = &i{X,y) — huv(X, y) = t\Ti'(X, y)

+ et2uv(X, y) + et2Tv(X, y)

3X U Uw

Sy

+

dX +

+

rj 80,

Inner or Viscous Layer (X-9-System) ~ ' V Y y= v = ^

= = = »! = Pi = =

\

tu,„(X,y) t\Tv(X,y) 0 0 P^X, 0) 0

= 0 d um dX

9 dy

8

v2 = 0

+

+ eÒ2(X,y) «Î2M»(X, y) Et-2Tv(X, y) î>! =

_

ax ^

y

8

4

+ + + + H+

£2m3(x, $) + . . . ee?va(X,y) + ... e