Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik: Volume 68, Number 10 [Reprint 2021 ed.] 9783112552582, 9783112552575

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Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik

Applied Mathematics and Mechanics Founded by Richard von Mises in 1921

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Akademie-Verlag • Berlin

Volume 68 • 1988 Number 10

ISSN 0044-2267

ZAMM • Z. angew. Math. Mech., Berlin 68 (1988) 10, 461-524

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r

v )

r

>

(3.4)

cos

—cos yi sin r

B f . j

=

L(r),

Eis r

: =

r

E,VAVS, r

(3.5)

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und f ü r die durch

=

r

definierte absolute Drehmatrix

E^xin)

r

EF> = Ei s Eß->, r

r = 1, ... , ÜT;

f Z(r)

des Körpers

E ^ r

B,

gilt die rekursive Darstellung

E P = ¿,ö>.

(3.6)

0

Dabei ist E f ) = EP(q° \ o t P r ) . Sei

l

r

=

OjOT

=

Z%u ' }

j

=

(3.7)

der relative Ortsvektor des Gelenkpunktes

L(r),

dem im Falle eines Schubgelenkes variablen Z\T) = r }

{T + )

ö)d\ r

+

"

r =

OrPT

0,

bzgl.

• tt3 ist dann

{Ou

6,}. Mit j

a '

=

PjOri•

tl3 und 3

(3.8)

d. A J . r r

Für den absoluten Ortsvektor t) — OOr = r(i>tt =

r

PMr))

•

L(r)

|

YM(q«

T

,

a"

6

= 1, ..., K ;

y « = 0,

(3.9) v

0

(3.10)

Die G e l e n k g e o m e t r i e eines Körpers Bj ist nach Wahl des Bezugskoordinatensystems {Pf, 6 4 } eindeutig 3 durch die Menge aller Quadrupel von Gelenkparametern {d, •&, \p\ a) mit r e R] beschreibbar. Die Relativkinematik zweier geometrisch gekoppelter Körper BT und B^ wird durch die komplementären Gelenk variablen t und

Darstellung

^

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MAISSER, P . : A n a l y t i s c h e D y n a m i k v o n M e h r k ö r p e r s y s t e m e n

B e w e i s : Qia = 0 für a « Pr folgt mit (3.7) aus (3.16). Für r = a ist mit (3.12b) und (3.13a) Ü i a = | ( 1 - «.) £i mn 3 A ( i W y = T (1 - * Zur Berechnung der Metrik und Christoffel-Symbole als ,kinetische' Objekte unter Verwendung des Massenmittelpunktes '(MMP) S als speziell gewählten körperfesten Bezugspunkt gemäß Abschnitt 2 erweist sich die Einführung von auf S bezogenen kinematischen Grundfunktionen uia CSt = X^it«) = «*(£,, vi = Vi = Uiaqa) als zweck=

r

r

_

r

mäßig. Sei 9? = OS} = XWn(i) der Ortsvektor des MMP Sj. Dann ist mit £ = Pß} 3

also folglich

3

j

r

=

r

r

r

r

3 3

81 = 9 + r®3 + 1 , 33 ^ i J Z « 3

=

7(0 i

+

h\t) } 3

EP 3

+

Sah'EP j 3

= 80r(i)

3

3

,

h\r) 3 3 +

:=TÖi 3

+

j

e ,

VdaEP, 3

3

nach Multiplikation mit E s (i) und Berücksichtigung von daKl = saöjaö\ schließlich Es ist

um 3

=

3

== IJea 3

3

+

| « A + (1 — Sa) f

a

I fsa(q"

=

I

€ P f ) ,

Saöjaö3s

(1 -

+

sa)

£lsvhlQva 3 3

= const.,

£i3sf

a =

a

6 P,.

(3.21)

j

a 6 PMJ)

a

,

•

( 3

-22)

3.3. M e t r i k Es ist 8.XW Je ßv Je

BsZ® Je

8aEP Je

s

daX^EP 1c Je

dbEP Je

folglich mit

Qab, ^

gab

=

=

rnuiauib k k Je

=

(| 016» Je

-

=

(1

(1 -

-Sa)

+ (1 —

0, const., gab(qs k

d„XMEP k \ k

Is € P

sa)

(1

=

0«) Je

8aEPEP Je Je

(|

Sb)

— sb)

a v'b

uiauib, Je Je

WS» k

dbEpEP Je Je -

m K

a

) ,

5 Pic

a , b e P

k

,

Eir%rlQpaQqb

ie

ie

= (1 -

Sa)

(1 -

Sb)

f f l A te

k

k

,

(3.23)

QVQiaQjb k k k

a = 6= k k

=

a ^ b

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und schließlich

K K gab ••= I gab = Z [mfiafib + (1 ~ Sa) (1 - •%) Qi}üiaQ]b\ , a 6 Pb . (3.24) k=bk k=b kk k k k k Offenbar ist _J0, aiPb, 'iab \gab{non q" | a ig a), «6 Pb ,' folglich gilt L e m m a 4: Für die Metrik gab von MKS mit kinematischer Baumstruktur gilt bei Verwendung von Relativkoordinaten gemäß Denavit-Hartenberg-Notation als generalisierte Koordinaten dcgab = 0 , falls c ig a , a e Pb, oder a iPb . F o l g e r u n g : Für c e ß , ist mit Qc = 0 für MKS mit kinematischer Baum-(Wald-)struktur und bei Verwendung von Relativkoordinaten gemäß Denavit-Hartenberg-Notation als generalisierte Koordinaten qc zyklische Koordinate, und es existiert das zyklische Integral Pc = goß" = const.

mit

gcb = ^ ( n o n qc) .

(3.25)

3.4. C h r i s t o f f e l - S y m b o l e ! = X = (1 - sa) (1 k

k

{i)

8„8 C EP = WtEp schließlich

k

SimrEm&üm

dttEtW = (1 -sa) k

k

,

b Z Pc , C Z Pk , (3.37)

k

kßrakßjbkQqck].

Bei Verwendung des gewöhnlichen Trägheitstensors ist vermöge i ir v§ii = i (£ 'j0 T j,r j,rj,r von a seien 7} bzgl. der ¿?„-festen Basis {©¡J mit p : = Max s: a = A'6 f . ({©«} ist eine „Minimalbasis" insofern, v sefPjnP,) 3,r j,r p p als zur ¿'-Darstellung über dieser Basis eine Minimalmenge generalisierter Koordinaten erforderlich ist.)

Abb. 5. Zur Ermittlung der einem Kraftkoppelelement zugeordneten generalisierten Kraft

S = /(A, A, t) 0° sei die — vermöge des trägheitslosen Kraftkoppelelementes — von B, auf B} in Richtung j,r j,r j,r j,r des Verbindungsvektors a ausgeübte Kraft mit dem Kraftgesetz /(A, A, t). Dann ist die dem Kraftkoppelelement zugeordnete generalisierte Kraft Qa = - ®. daa = - / ( Ä , A, i) 8.A = _/(A, A, t) 9aA2 (3.43) j,r },r j,r ],r ],r },r },r ZA 3,r j-r mit X2 = A{ A\ 8„A2 = 2A* 0 a A { , X = daX*(f . j,r }, r j, r j,r j,r ),r j,r A j,r j,r i,r 1. S o n d e r f a l l : Lineare Feder als Kraftkoppelelement: / = c(A — A0); c: Federsteiflgkeit, A: Momentanfederlänge, A0: Originalfederlänge. Dann ist Qam=

-c^l-^A'e^.

2. S o n d e r f a l l : Linearer Dämpfer als Kraftkoppelelement:/ = kX; k: Dämpferkonstante. Dann ist - - ( A ' Ö ^ ) (Xdd1)

Qaw=

P r o b l e m : algebraische

mit

(A\ 8 a A 4 )-Bestimmung. Nach Abb. 6 ist

.0 = t) - i) + r g s - T®3 + j i.r r / f n