Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik: Volume 69, Number 7 [Reprint 2021 ed.] 9783112570401, 9783112570395

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Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik

Applied Mathematics and Mechanics Founded by Richard von Mises in 1921

Edited at Institute of Mechanics Academy of Sciences of the G.D.R. Editor-in-Chief: G. Schmidt Editorial Board G. Alefeld (Karlsruhe) H. Beckert (Leipzig) L. Berg (Rostock) L. Bittner (Greifswald) L. Collatz (Hamburg) W. Fiszdon (Warsaw) H. Gajewski (Berlin) P. Germain (Paris) H. Günther (Karl-Marx-Stadt) J. Heinhold (Munich) H. Heinrich (Kiel) K. Hennig (Berlin) P. J. van der Houwen (Amsterdam)

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J. Hult (Gothenburg) A. Ju. Ischlinski (Moscow) R. Klotzler (Leipzig) H. Neuber (Bad Worishofen) K. Oswatitsch (Vienna) M. Peschel (Berlin) J. Rychlewski (Warsaw) G. Schmidt (Berlin) J. W. Schmidt (Dresden) G. G. Tschorny (Moscow) H. Unger (Bonn) F. Ziegler (Vienna)

Volume 69- 1989

Akademie-Verlag • Berlin

ISSN 0044-2267

Number 7

ZAMM • Z. angew. Math. Mech., Berlin 69 (1989) 7, 169-216

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Die Autoren erhalten kostenlos 150 Sonderdrucke für die Hauptvorträge der GAMM-Tagungen, 75 für Hauptaufsätze, Übersichtsartikel M a n u s c r i p t s should be type-written (one-sided, double-spac- und die GAMM-Kurzvorträge und 25 für Kleine Mitteiluned with wide margins at both sides, each sheet numbered) be- gen. Zusätzliche Sonderdrucke sind gegen Berechnung erginning with the authors' names and the title of the paper. hältlich. Extra types (like bold-faced letters etc.) should be marked. Please, distinguish between 1,1, e; v,v; w,co; o, 0, 0 (zero); Die M a n u s k r i p t e müssen mit Maschine geschrieben sein (eink, K, x; /, I; x, X (cross),•/,etc. F o r m u l a s must be written seitig, zweizeiliger Zeilenabstand mit breitem Rand auf clearly legible (type-writer if possible, never use pencil. For- beiden Seiten, jede Seite numeriert), wobei mit den Namen mulas used in the text have to be numbered at the right der Autoren begonnen werden soll und danach der Titel margin. Use abbreviations for long terms, " e x p " instead of folgt. Besondere Typen (z. B. halbfett) sind zu markieren. " e " for extensive exponents, bold-faced letters for vectors Es soll gut unterschieden werden zwischen 1, I, e; v, v; usw. Die etc. instead of arrows; avoid hierarchies of indices and ex- w, co, o, 0, 0 (Null); k, K, x; i, i; x, x (Kreuz), F o r m e l n müssen deutlich lesbar sein (möglichst maschinenponents if possible. The end of a proof should be marked. schriftlich, keine Verwendung von Bleistift). Im Text verwenFigures should be submitted on separate sheets, drawn with dete Formeln sollten am rechten Rand durchnumeriert Indian ink and numbered consecutively. Add figure captions, werden. Für lange Terme sind Abkürzungen zu verwenden, „ e x p " anstelle von ,,e" für große Ausdrücke im Exponenten, tables, and footnotes (if not avoidable) on extra sheet each. halbfett für Vektoren anstelle von darübergesetzten Pfeilen — References should be numbered in brackets throughout the Mehrfach-Indizes wie auch -Exponenten möglichst vermeiden. text and collected according to these numbers in the appended Das Ende eines Beweises sollte gekennzeichnet werden. bibliography (References). Each reference should contain author(s), title, and complete bibliographical coordinates A b b i l d u n g e n sind auf gesonderten Blättern einzureichen und following the subsequent examples. sollten mit Tusche gezeichnet und durchnumeriert sein. Die Abbildungsunterschriften, eventuelle Tabellen und (falls Books (Reports, Preprints etc.): nicht vermeidbar) Fußnoten sind ebenfalls auf gesonderten IRONS, B. M.; SHRIVE, N . G.: Numerical methods in engineer- Blättern hinzuzufügen. ing and applied science — Numbers are fun. Ellis Horwood Series in Mathematics and Its Applications, Ellis Horwood Literaturzitate sind durch den gesamten Text durchzunumeLtd., Chichester 1987. rieren (in eckigen Klammern) und in der entsprechenden Articles in periodicals: Reihenfolge im am Schluß folgenden Literaturverzeichnis KASSEM, S. E.: W a v e source potentials for two superposed aufzulisten. Jedes Zitat sollte Autor(en), Titel und die vollfluids, each of finite depth. Indian J. Pure Appl. Math. 18 ständigen bibliografischen Koordinaten enthalten, ent(1987) 2, 1 8 6 - 1 9 3 . sprechend den folgenden Beispielen. Articles in Proceedings etc.: LABISCH, F. K.: Some remarks on the morphology of non- Bücher (Reports, Preprints usw.): unique solutions in nonlinear elastostatics. In: KÜPPER, T.; ¡RONS, B. M.; SHRIVE, N . G.: Numerical methods in engineerSEYDEL, R.; TROGER, H. (eds.): Bifurcation: Analysis, algorithms, ing and applied science — Numbers are fun. Ellis Horwood applications. Proc. Conf. at the Univ. of Dortmund, August Series in Mathematics and Its Applications, Ellis Horwood 18—22, 1986. Internat. Ser. of Numer. Mathematics, Vol.79, Ltd., Chichester 1987. Birkhäuser Verlag, Basel-Boston-Stuttgart 1987, pp. 177—184. Zeitschriftenartikel: KASSEM, S. E.: Wave source potentials for two superposed T o each original paper and review article, a s u m m a r y of 5 fluids, each of finite depth. Indian J. Pure Appl. Math. 18 to 10 lines in English (for manuscripts of more than 10 pages (1987) 2 , 1 8 6 - 1 9 3 . in German and Russian) and a short list of key-words and Arbeiten in Proceedings usw.: corresponding A M S ( M O S ) classification numbers are needed. LABISCH, F. K.: Some remarks on the morphology of nonThe precise address of each author with full name, academic unique solutions in nonlinear elastostatics. In: KÜPPER, T.; title etc. is to be added. Information on address changes is SEYDEL, R.; TROGER, H. (eds.): Bifurcation: Analysis, algorithms, applications. Proc. Conf. at the Univ. of Dortmund, appreciated. August 18—22, 1986. Internat. Ser. of Numer. Mathematics, Vol. 79, Birkhäuser Verlag, Basel-Boston-Stuttgart 1987, pp. 177—184.

Z A M M publishes original papers (main articles and short communications), the lectures presented at the annual G A M M conferences, and review articles (requested, by the Editorial Office of Z A M M ) . Papers in English (preferably) or German to be submitted for publication should be sent to the address at the bottom of this page (master and one copy), in the case of original papers together with an explicit assurance that they have not been published previously in, or are submitted to, another public journal. Authors are held fully responsible for all information included in their paper and should have one copy available for correction purposes. They get two sets of page proofs, one pf them has to be returned within one week. Authors may be charged for extensive corrections in the text; corrections in the figures are not possible. They receive 150 (plenary G A M M lectures), 75 (main articles and short G A M M lectures), or 25 (short communications), respectively, free-of-charge reprints. Additional reprints have to be paid for.

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Für jede Originalarbeit und jeden Übersichtsartikei wird eine englische Z u s a m m e n f a s s u n g (bei Manuskripten von mehr als 10 Seiten auch je eine in Deutsch und Russisch) von 5 bis 10 Zeilen Länge sowie eine kurze Liste von Stichworten und den entsprechenden A M S (MOS)-Klassifikationsmarken benötigt. Die genaue Adresse jedes Autors mit vollständigem Namen, akademischen Titeln usw. muß beigefügt werden. Bei Adressenänderung wird eine umgehende Information erwartet.

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Applied Mathematics and Mechanics Founded by Richard von Mises in 1921

Edited at Institute of Mechanics Academy of Sciences oftheG.D.R. Editor-in-Chief: G. Schmidt Editorial Board: G. Alefeld (Karlsruhe) H. Beckert (Leipzig) L. Berg (Rostock) L. Bittner (Greifswald) L. Collatz (Hamburg) W. Fiszdon (Warsaw) H. Gajewski (Berlin) P. Germain (Paris) H. Günther (Karl-Marx-Stadt) J. Heinhold (Munich) H. Heinrich (Kiel) K. Hennig (Berlin) P. J. van der Houwen (Amsterdam)

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Volume 69-1989 Number 7

Editorial Office Academy of Sciences of the G D R , Institute of Mechanics Prof. D r . Günter Schmidt • Elke Herrmann • D r . Dieter Ullmann • D r . Horst Weinert

The aim and scope of Z A M M is, in agreement with the intentions of its founder Richard von Mises, one of the outstanding scientists of our century in both Mathematics and Mechanics: to publish new results and review articles, the proceedings of the annual G A M M conferences, book reviews and information on applied mathematics (mainly on numerical mathematics and various parts and applications of analysis, in particular numerical aspects of differential and integral equations), on the whole field of theoretical and applied mechanics (solid mechanics, fluid mechanics, thermodynamics) and on mathematical physics. The journal is of interest for persons working in applied mathematics and mechanics as well as on mathematical or mechanical questions in other sciences, for instance mechanical and civil engineering, electrotechniques, and chemistry.

In Übereinstimmung mit den Zielstellungen des Begründers der Z A M M , Richard von Mises, eines der bedeutendsten Wissenschaftler unseres Jahrhunderts auf dem Gebiet der Mathematik und Mechanik, publiziert die Zeitschrift neue Ergebnisse und Übersichtsartikel, die Vorträge auf den jährlichen GAMM-Tagungen, Buchbesprechungen und Informationen über angewandte Mathematik (hauptsächlich über numerische Mathematik und verschiedene Teile sowie Anwendungen der Analysis, insbesondere numerische Aspekte bei Differentialund Integralgleichungen), über das gesamte Gebiet der theoretischen und angewandten Mechanik (Festkörpermechanik, Strömungsmechanik, Thermodynamik) und über mathematische Physik. Die Zeitschrift wendet sich an Vertreter der angewandten Mathematik und Mechanik wie auch an Wissenschaftler und Ingenieure, die sich mit mathematischen oder theoretischmechanischen Fragen auf anderen Gebieten, z. B.Maschinenbau und Technik, Elektrotechnik und Chemie, befassen.

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Z E I T S C H R I F T FÜR A N G E W A N D T E M A T H E M A T I K U N D M E C H A N I K Herausgeber: A d W der D D R , Institut für Mechanik, Karl-Marx-Stadt. Mit der Herausgabe beauftragt und Chefredakteur: Prof. Dr. Günter Schmidt, Rudower Chaussee 5, DDR-1199 Berlin, Fernruf: 6743669 oder 6743668 (gleichzeitig Anschrift der Redaktion). Verlag: AkademieTVerlag Berlin, Leipziger Straße 3 — 4 , PF-Nr. 1233, DDR-1086 Berlin; Fernruf: 2236221 oder 2236229; Telex-Nr.: 114420; Bank: Staatsbank der D D R , Berlin, Kto.-Nr.: 6836-26-20712. Veröffentlicht unter der Lizenznummer 1282 des Presseamtes beim Vorsitzenden des Ministerrates der Deutschen Demokratischen Republik. Gesamtherstellung: V E B Druckerei „Thomas Müntzer", DDR-5820 Bad Langensalza. Erscheinungsweise: Die Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik erscheint monatlich. Die 12Hefte eines Jahres einschließlich Tagungshefte bilden einen Band. Bezugspreis je Band 4 2 0 , — D M zuzüglich Versandspesen. Bezugspreis je Heft 3 5 , — D M . Der gültige Jahresbezugspreis für die D D R ist der Postzeitungsliste zu entnehmen. Bestellnummer dieses Heftes: 1009/69/7. Urheberrecht: Alle Rechte vorbehalten, insbesondere die der Übersetzung. Kein Teil dieser Zeitschrift darf in irgendeiner Form — durch Fotokopie, Mikrofilm oder irgendein anderes Verfahren — ohne schriftliche Genehmigung des Verlages reproduziert oder in eine von Maschinen, insbesondere von Datenverarbeitungsanlagen verwendbare Sprache übertragen oder übersetzt werden. — All rights reserved (including those of translation into foreign languages). N o part of this issue may be reproduced in any form, by photoprint, microfilm or any other means, nor transmitted or translated into a machine language without written permission from the publishers. © 1989 by Akademie-Verlag Berlin. Printed in the German Democratic Republic. A N (EDNA 35937 02000

BRUST, E.: Deterministisches Chaos im Experiment

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ZAMM • Z. angew. Math. Mech. 69 (1989) 7, 171 -174 BRUN, E .

Deterministisches Chaos im Experiment1) Meinem allzu früh verstorbenen Freund und Kollegen Dr. BBUNO DERIGHETTI gewidmet. Quantitative Indikatoren für deterministisches Chaos werden am Beispiel des modulierten Kernresonanz (NMR)-Lasers diskutiert und aus experimentellen Daten numerisch bestimmt. Die Ausgangssignale des Lasers werden dazu stroboskopisch abgetastet, dann digitalisiert und als lange Zeitserien von Meßpunkten im Computer gespeichert. Phasendiagramme des Lasers, die aus den Bifurkationsdiagrammen konstruiert werden, zeigen eine reichhaltige Phänomenologie auf den Routen ins Chaos. Fraktale Dimensionen, metrische Entropien und Lyapunov-Exponenten werden für ausgewählte seltsame Attraktoren des NMR-Lasers mit hoher Präzision numerisch, in Funktion der Einbettungsdimension, berechnet. Die Resultate illustrieren Möglichkeiten und Grenzen moderner Verfahren der Dim-ensionsanalyse mit diskreten Meßreihen. In the present paper quantitative indicators for deterministic chaos are discussed and numerically determined using experimental data, where the modulated nuclear magnetic resonance spectrum (NMR) laser is taken as an illustration. For this purpose the output signals are stroboscopically scanned, then digitalized and stor ed in the computer as long time series of measuring points. The phase diagrams of the laser, being derived from the bifurcation diagrams, show rich phenomenology on the routes into chaos. For certain selected strange attractors of the NMR laser fractal dimensions, metric entropies and Liapunov exponents are computed with high precision depending on the embedding dimension. The results illustrate possibilities and limits of modern dimensional analytic methods by means of time series. B CTabe OßCYJKFLAIOTCH H 'IHCJICHHO onpenejmioTCH c noMombio 3KCNEPHMENTA.nbHbix jiaT KOJIWIECTBEHHUE HH«HKaTopbi H.JIH jjeTepMHHHCTiraecKoro x a o c a , r«e B Ka'iecTBe n p r o t e p a paceiwaTpHBaeTCH MojfyjiHpoBaHiibiii .iiacep Ha 6a3e HnepH0-pe30HancTH0r0 cneKTpa ( H P C - J i a c e p ) . JUjih 3Toro BbixoAHbie CHrnanw cnepBa CTpoßOCKOßHqeCKO CKaHHpyiOTCH, nOTOM nepeHOCHTCH B UHijipOBOH BHU H XpaHyTCH B 3 B M B BHJie ÖOJIbUIHX BpeMeHHbix pa«OB Tonen nsMepeHiin. BbiBeneHHbie OT nnarpaMMbi 6n(J)ypKaunn (fiaaoBMe nnarpaMMbi Jiacep a noKa3biBaioT GoraTyro ({¡eHOMeHonorHio Ha n y i a x B x a o c . JXHH HecnoJibKHx naGpaHHux cTpaHHbix npHTHrHBaiomHX MHOWECTB H P C - J i a c e p a BHHHCJIHH5TCH C BHCOKOÜ TOHITOCTCM 3aBHCflineii OT pa3MePHOCTH BCTaKH, (|)paKTajibiiaH pa3MepHOCTb, MeTpniecKaH SHTponHH H 3KcnoHeHTbi JlnnyHOBa. Pe3yjibTaTM noKa3HBaiOT BO3MO>KIIOCTH H r p a n n n M coBpeMeHHbix MCTOJIOB pa3MepnocTiioro ana.nirea c noMomwo PHJJOB H3MepeiiHH.

1. Rauschen und Chaos Stochastische Einflüsse in experimentellen Systemen, die zu einem mechanischen, elektrischen oder thermischen Rauschen f ü h r e n , gehören zum Alltag des Experimentators. Dieses Thema ist jedoch nicht Gegenstand des Berichts. Hier geht es u m das deterministische Chaos und dessen Charakterisierung. Rauschen und Chaos sind beide v e r k n ü p f t mit dem Unregelmäßigen. Das scheinbar Paradoxe ist die Tatsache, daß das determnistische Chaos durch strenge Regeln, ohne irgendwelche Elemente des Zufalls, bewirkt und kontrolliert wird. Grundsätzlich ist die Z u k u n f t eines chaotischen, aber rauschlosen dynamischen Systems voraussagbar ; in praxi werden aber die immer existenten, noch so kleinen Unbestimmtheiten des Anfangszustands über alle Maßen verstärkt, so daß das voraussagbare Kurzzeit-Verhalten ins unberechenbare Langzeit-Verhalten übergeht. Diese „empfindliche Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen" ist das wesentliche Merkmal des deterministischen Chaos bzw. eines damit verknüpften seltsamen Attraktors. Ein experimenteller Test des Chaos erfordert deshalb die Untersuchung dieses Attraktors, der im P h a s e n r a u m des Systems als fraktales Objekt dargestellt werden k a n n und ein scheinbar unregelmäßiges Herumirren illustriert. Da seltsame Attraktoren durch f r a k t a l e Dimensionen, Entropien und Lyapunov-Exponenten q u a n t i t a t i v charakterisiert werden können, verlangt der experimentelle Nachweis des deterministischen Chaos die Bestimmung dieser quantitativen Indikatoren aus Meßdaten.

2. Laser als Chaos-Generatoren Vor einigen J a h r e n ist es uns gelungen das Laserprinzip zur Erregung von Radiowellen mittels Kernspinresonanz (NMR) [1] zu verwenden. I n unserm NMR-Laser werden Kernspins in einem starken Magnetfeld durch Mikrowellen negativ gepumpt und durch resonante Rückkopplung zu Laseraktivität gezwungen. Wir haben erstmals gezeigt [2], daß sich dieser Laser unter gewissen Bedingungen chaotisch verhält. I n vielen weitern Experimenten [3, 4, 5, 6, 7, 8] haben wir das Laserchaos systematisch studiert und sind dabei auf den Wegen ins und durchs Chaos auf bekannte universelle Szenarien [9, 10] gestoßen. W a s uns noch fehlte, waren quantitative Aussagen über das entdeckte niederdimensionale Chaos. D a f ü r mußten die Möglichkeiten der Computer-Steuerung und -Datenerfassung herangezogen weiden, um die erforderlichen Meßreihen hoher Präzision zu erhalten. Dies ist uns mit dem modulierten NMRLaser gelungen. Dabei wird ein physikalischer Parameter des Lasers (Pumpstärke, Linienbreite, Q-Wert etc.) sinusoidal moduliert. Der Laser antwortet mit einer nichtlinearen Modulation der Ausgangsleistung, die präzise abgetastet, digitalisiert und gespeichert wird. Die so erhaltenen Zeitserien von Meßwerten bilden dann die Grundx ) Diese Arbeit stellt eine Ausarbeitung eines auf dem Minisymposium 4: Chaotische dynamische Systeme (Organisatoren: Prof. Dr. P. HAGEDORN, Darmstadt; Prof. Dr. K. POPP, Hannover) der GAMM-Tagung Wien, 5 . - 9 . April 1988 gehaltenen Vortrags dar.

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läge f ü r die Rekonstruktion der Laser-Attraktoren in Einbettungsräumen (Abb. 1) beliebiger Dimension E und für die Bestimmung der quantitativen Chaos-Indikatoren.

Abb. 1. Zweidimensionale Einbettung eines abgetasteten Attraktors des modulierten NMU-Lasers; T ist die Abtastzeit

3. Fraktale Dimensionen Theoretische und experimentelle Untersuchungen der Dynamik nichtlinearer Systeme haben gezeigt, daß zur Charakterisierung des chaotischen Verhaltens geaignet verallgemeinerte statistische Methoden benötigt werden. Insbesondere werden invariante Eigenschaften von seltsamen Attraktoren durch die fraktalen Dimenionen und die metrische Entropie beschrieben. Neben der Hausdorff-Dimension sind andere, verschieden definierte Dimensionen für fraktale Mengen zweckmäßig. Speziell geeignet ist eine Dimensionsfunktion D(q), die von R E N Y I in Analogie zur Beschreibung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung durch Entwicklung nach Momenten der Ordnung q eingeführt worden ist. Durch Änderung von q ist es möglich, das Skalenverhalten des invarianten Maßes in verschiedenen Gebieten des Attraktors zu analysieren bei einer Änderung der Auflösungsstärke. Neben diesen statischen invarianten Begriffen beschreibt die

Abb. 2. Asymptotisches Verhalten der Steigung von vs • log n für große Werte von E (E = 1 bis 15 von unten nach oben)

Abb. 3. Asymptotisches Verhalten der fraktalen Dimension für große E-Werte und wachsende ¿-Werten (fc = 1 bis 10 von oben nach unten)

metrische Entropie K(q), als dynamische Größe, den Verlust an Information über die Anfangsbedingungen. Unter den verschiedenen numerischen Verfahren zur Bestimmung von fraktalen Dimensionen und Entropien aus Zeitserien eignet sich besonders die Methode der konstanten Masse [11]. Wir haben sie optimiert und mit Erfolg auf Laser-Attraktoren angewandt [12, 13, 14]. Zur Berechnung der fraktalen Dimension überdeckt man den Attraktor im Einbettungsraum der Dimension E mit Kugeln gleicher „Masse" d. h. mit Kugeln der gleichen Anzahl von Datenpunkten. Die Mittelpunkte sind statistisch ausgewählte Punkte des Attraktors, und der Kugelradius ö ist der Abstand vom Mittelpunkt zum k-tcn nächsten Nachbarn. Berechnet wird der über den Attraktor gemittelte Logarithmus des Kugelradius