Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik: Volume 65, Number 3 [Reprint 2021 ed.] 9783112547168, 9783112547151

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Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik

Applied Mathematics and Mechanics Founded by Richard von Mises in 1921

Edited at Institute of Mechanics Academy of Sciences of the G.D.R. Editor-in-Chief: G. Schmidt Editorial Board E. Becker f (Darmstadt) H. Beckert (Leipzig) L. Berg (Rostock) L. Bittner (Greifswald) L. Collatz (Hamburg) W. Fiszdon (Warsaw) H. Gajewski (Berlin) P. Germain (Paris) H. Gortler (Freiburg) J. Heinhold (Munich) H. Heinrich (Dresden) K. Hennig (Berlin) J. Hult (Gothenburg) A. Ju. Ischlinski (Moscow) R. Klotzler (Leipzig)

Akademie-Verlag • Berlin

ISSN 0044-2267

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Volume 65- 1985 Number 3

ZAMM • Z . angew. Math. Mech., Berlin 65 (1985) 3,129-232

EVP 1 8 , - M

Editorial Office Academy of Sciences of the G.D.R. Institute of Mechanics Prof. Dr. Günter Schmidt Dipl.-Math. Friedhild Dudel Dr. Winfried Heinrich Elke Herrmann Dr. Horst Weinert

The aim and scope of ZAMM is, in agreement with the intentions of its founder, to publish new results and information on applied mathematics (mainly on numerical mathematics and applications of analysis) as well as on theoretical and applied mechanics. The journal is of interest for persons working in applied mathematics and mechanics as well as on mathematical or mechanical questions in other sciences as physics and technical sciences, for instance mechanical and civil engineering.

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ZEITSCHRIFT FÜR A N G E W A N D T E MATHEMATIK U N D M E C H A N I K Herausgeber und Chefredakteur: Prof. Dr. Günter Schmidt, Berlin. Verlag: Akademie-Verlag, DDR-1086 Berlin, Leipziger Straße 3— 4; Fernruf: 2236221 oder 223 6229; Telex-Nr.: 114420; Bank: Staatsbank der DDR, Berlin, Kto.-Nr.: 6886-26-20712. Anschrift der Redaktion: Institut für Mechanik der Akademie der Wissenschaften der DDR, DDR-1199 Berlin, Rudower Chaussee 5; Fernruf: 6743639 oder 6743643.

Veröffentlicht unter der Lizenznummer 1282 des Presseamtes beim Vorsitzenden des Ministerrates der Deutschen Demokratischen Republik. Gesamtherstellung: VEB Druckerei „Thomas Müntzer", 5820 Bad Langensalza. Erscheinungsweise: Die Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik erscheint monatlich. Die 12 Hefte eines Jahres einschließlich Tagungshefte bilden einen Band. Bezugspreis je Band 396, — M zuzüglich Versandspesen. Bezugspreis Je Heft 33, — M. Bestellnummer dieses Heftes: 1009/65/3. © 1985 by Akademie-Verlag Berlin. Printed in the German Democratic Republic. A N (EDV) 35937

Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik

Ji

• n w n w ^ v m i w w w «r • « i n W * ¥ . T i » , T i « I I I ' —. w H 1 - k il d l l M U h i i l M t e n u

Applied Mathematics and Mechanics Volume 65

1985

Number 3

ZAJ1M • Z. Allgew. Math. u. Much. 05 (1985) 3, 129 -135

GOHRISCH, F . ; HAUNHOEST, H .

Eigenwertschranken für Eigenwertaufgaben mit partiellen Differentialgleichungen Betrachtet werden.Eigenwertauf gaben M

2(Q) s.[18]). Alle Paare (vit wt) e W2-2{Q) X J f 4 > 2 ( ß ) , die den Gleichungen (2.1), (2.2) genügen, erfüllen dann die Bedingung (6). Ganz entsprechend kann man bei den meisten Eigenwertaufgaben mit partiellen Differentialgleichungen vorgehen, wenn Dirichletsche Randbedingungen vorliegen. Wenn V3 erfüllt ist, so gilt für alle ge D,he H mit Mg = h — (g, ä ) = min { < « , Mu) — — (h, w> : u € D) ,

(7)

-{g,hy

(8)

= max { - & ( / , / ) : / e X,

b{Tu,f)

= < « , A> für alle u e D } .

Man hat also, wenn man sich zur Berechnung von Eigenwertschranken Größen X, b und T mit den in V3 aufgeführten Eigenschaften verschafft hat, zugleich auch ein zur Minimierung (7) des Energiefunktionais komplementäres Extremalproblem (8) gefunden. E s liegt nun nahe, umgekehrt vorzugehen und zu versuchen, die zahlreich vorhandenen (vgl. [13], [23], [24]) komplementären Extremalprobleme durch geeignete Definition von X, b und T in die Form (8) zu bringen. Oft gelingt dies (vgl. Sätze 4 . 1 , 4 . 3 , 4 . 5 , 4 . 6 , 4 . 1 1 in [24]), und dann kann man die dabei definierten Größen X, b und T zur Berechnung von Eigenwertschranken heranziehen. Nach Satz 1 erhält man zunächst lediglich Intervalle, in denen mindestens eine bestimmte Anzahl von Eigenwerten liegt. Wenn man nun gezielt für einen durch seine Nummer festgelegten Eigenwert eine genaue untere Schranke berechnen will, so muß man die nach Satz 1 gewonnenen Ergebnisse mit anderen Informationen über die betrachtete Eigenwertaufgabe kombinieren. Dies soll kurz skizziert werden (Näheres s. [5]); hierbei wird vorausgesetzt, daß die Aufgabe Mcp = XN

k

i £N , e N

x £ IR , 5 e

>

{1, 2} ,

t 6 {1, 2} 3 ) ,

x,yeR.

Die 36 Elemente der Menge ( M ) e A/ 2 ,s ^ i ^ 2, (i,k) e N2,i g i g 6, ( - l ) i + * = 1} werden beliebig durchnumeriert; als vt wird f ü r i = 1, ... , 3 6 das i-te Element dieser Menge gewählt. Ferner wird n : = 46 u n d Vi(x, y) : = 0 f ü r i = 37,... , 46 gesetzt. Die Funktionen werden f ü r i = 1, ... , 36 durch w ( : = 2(2 + c y 1 (—Vi + cibi) ^ ~ 32};. gilt und Wi sich als Lineardefiniert, wobei ibt f ü r i = 1,,... , 3 6 durch die Forderung festgelegt ist, daß zJw4 = - — kombination der Funktionen ox ay y) :=

sin

üx)sin

(%).

FfUlp, y) : = cos (jx) sin (ky) ,

F($ix> y) '•=

sin

üx)cos

(%)»

F${x, y) : = cos ( j x ) cos (%) ,

darstellen läßt. F ü r i = 37,... , 41 wird w4 durch ot[x, y) : = cosh ^(2* - 73) (x - j j j cos |(2i — 73) {y -

^| +

+ cosh ((2i - 73) ( y - ~ ) ) cos ((2i H -- 73) 73) (x —

)

u n d f ü r i = 42, ... , 46 durch Wi(x,y)

:= sinh^(2i — 83) + sinh

— 83) [y — y j j sin

— 83)

x -

erklärt. Mit den vorangegangenen Definitionen sind die Voraussetzungen VI bis V4 erfüllt; bei V I , V3 u n d V4 ist dies offensichtlich; zur Verifizierung von V2 k a n n m a n Resultate aus [18] (S. 87, 303 f.) heranziehen. Nach Satz 1 lassen sich nun Intervalle [o^, qh) berechnen, die mindestem einen Eigenwert der Aufgabe (9), (10), (11) enthalten; in Tabelle 1 finden sich einigfe Ergebnisse f ü r verschiedene Werte des Parameters c.

3

Tabelle 1. Zur Berechnung der Eigenwertsohranken verwendete Einschließungsintervalle [aq^)

Tabelle 2. Untere und obere Schranken für den kleinsten positiven Eigenwert AJ(c) von (9), (10), (11)

c

k •

Qk

c

untere Schranke für Af(c)

obere Schranke für A+(c)

0.1 0.8 1 2 4 8 16 32

1 2 3 4 5 6 7 8

18 17.76978 17.49467 17.49467 17.49467 17.49467 17.49467 17.49467

1 2 4 8 16 32

7.65025 9.28910 11.11219 12.57496 13.51576 14.05239

7.65029 9.28919 11.11241 12.57539 13.51642 14.05327

17.76978 17.49467 7.65025 9.28910 11.11219 12.57496 13.51576 14.05239

) Um Verwechslungen zu vermeiden, werden Dezimalzahlen stets mit Punkt geschrieben

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Um sicherzustellen, daß in den Intervallen [au, Qu) für k = 3,... , 8 gerade der kleinste positive Eigenwert A+ (c) der Aufgabe (9), (10), (11) liegt, werden noch einige Abschätzungen benötigt. Mit Hilfe der Schwarzschen Ungleichung ergibt sich aus dem Maximum-Minimum-Prinzip ([18], S. 92), daß'der ¿-tkleinste Eigenwert der geschlossen lösbaren Eigenwertaufgabe in Q ,

— Aip = Xy y(x, y) =

rp = 0

auf 8 Q ,

— x, n — y) = 0 unterworfen. Die Symmetrie der Matrix A wird keineswegs von diesem thermodynamischen Modell impliziert. Die Theorie, die von ONSAGER [2] und seinen Nachfolgern entwickelt wurde', beweist im Rahmen der statistischen Physik, daß für einen linearen irreversiblen thermodynamischen Prozeß eine solche Symmetrie eine Folge der Mikroreversibilität ist. In der Mechanik des Kontinuums wird die Onsagersehe Doktrin in Form einer Vermutung formuliert. Der Beweis dieser Vermutung war bis jetzt unmöglich. Das entscheidende Hindernis war das Fehlen jedwelcher phänomenologischen Beschreibung der Mikroreversibilität. Diese phänomenologische Beschreibung der Mikroreversibilität und die Beweisführung der Onsagerschen Symmetrie-Beziehungen für die Materialien von Boltzmann-Volterra, die Inertial-Systeme in Spannungen und ^Verzerrungen bilden, sind einige der wichtigsten Ergebnisse der vorliegenden Arbeit. 2. Die Onsagersehe Theorie und die Symmetriebeziehungen in der Wärmeleitung und Yiskoelastizität Die klassische Thermodynamik der irreversiblen Prozesse, die von ONSAGER begründet wurde, betrachtet ein allgemeines thermodynamisehes System, in dem Xu i = 1,2, ... , m, unabhängige Kräfte und Y{, i = 1,2, ... , m, die entsprechenden Flüsse sind. Die sogenannte „Entropieproduktion" wird als m a = Z FsXt geschrieben. Wir setzen voraus, daß ein Fluß Y{ von allen Kräften X1: ... , Xm abhängt. Damit wird Yt = 7 4 ( Z x

Xm),

0 = y 4 (0, ... , 0 ) ,

i = 1, 2 , . . . , m..

Bei kleinen Abweichungen vom thermodynamischen Gleichgewicht, also genügend kleinen Werten der Xt, ist es berechtigt, die Flüsse Y-i nach den Kräften Xt zu entwickeln und diese Entwicklungen nach den linearen Gliedern abzubrechen. Da das konstante, Glied der Entwicklung verschwindet, ergibt sich m Yi=

i-l

L-ikXic.

Die O n s a g e r s e h e V e r m u t u n g ist nun die, daß für alle irreversiblen Prozesse die Symmetriebeziehungen Lik

=

Lm

' ) Eine Ausdehnung dieser Reziprozitätsbeziehungen wurde von CASIMIR [19] betrachtet. E r schlägt die Formel Lik = BiEjcLki vor, wobei £j = 1 gilt, wenn die K r a f t X i in Bezug auf die Zeitumkehrung gerade ist, und £j = —1, wenn sie ungerade ist.

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gelten 1 ). Im Rahmen der statistischen Mechanik wird bewiesen, daß diese Vermutung eine Folge der Zeitreversibilität ist. Dieselben Symmetriebeziehungen bilden die Grundlage aller thermodynamischen Modelle in der Wärmeleitung, Diffusion, Chemie, u. a. Mit ihrer Hilfe wird die Definition der dissipierenden Potentiale und die Formulierung der Variationsprinzipe (z. B. das Onsagersche Prinzip vom Minimum der dissipierten Energie) möglich. Gleichfalls fällt unter diese Reziprozitätsbedingungen auch die Bildung von vollständigen mathematischen Modellen. Bezüglich der Onsagerschen Theorie und ihrer Anwendung schwanken die Meinungen der Wissenschaftler zwischen einer begeisterten Bewunderung und einer totalen Mißbilligung (vgl. G Y A R M A T Y [4] und T R U E S D E L L [5]). Außer den kontradiktorischen Meinungen können wir hier diejenigen experimentellen Untersuchungen erwähnen, die durchgeführt wurden, um die Onsagerschen Reziprozitätsbeziehungen zu bestätigen oder ihnen zu widersprechen. Für Wärmeleitung und Diffusion wurden solche experimentellen Untersuchungen von S O R E T [ 6 ] , C U R I E [ 7 ] und VOIGT [8] bzw. D U N L O P und G O S T I G [9] durchgeführt. Eine kompetente Analyse dieser Untersuchungen wurde von M I L L E R [3] unternommen. Jetzt betrachten wir diejenigen Versuche, die zum Ziel hatten, die Onsagerschen Reziprozitätsbeziehungen für die Thermomechanik der Materialien mit Gedächtnis zu erweitern. Wir beschränken uns auf das Gesetz von Bolt;zmann-Volterra für viskoelastische Stoffe t o(t) = jK(t — T) e{r) dr . — 00

Hier bedeuten a und e die Spannungen bzw. Verzerrungen, die in vektorieller Form °1

«1 e 2 es f «4 «5 H dargestellt werden, und K(t) ist eine Tensorfunktion mit den Komponenten Ki0), i, j = 1, 2, 3, ... , 6, t € [0, oo). Falls auch in diesem Fall die Onsagerschen Reziprozitätsbeziehungen gültig sind, gilt für alle t e [0, oo)

. =

K{t)=EJ{t). Solche Beziehungen wurden von B I O T [ 1 0 ] , STAVERMAN und SCIIWARZL [ 1 1 ] und M E I X N E R [ 1 2 ] schon vermutet, aber R O G E R S und P I P K I N [ 1 3 ] stellten fest, daß es keinen Grund für diese Behauptung gibt. Um eine solche Symmetrie zu prüfen, haben R O G E R S und P I P K I N (loc. cit.) mögliche experimentelle Untersuchungen vorgeschlagen. Bis jetzt aber liegen keine experimentellen Ergebnisse über die Existenz von nicht-symmetrischen Kernen vor. Vom theoretischen Standpunkt her erzielte DAY [14] das folgende elegante T h e o r e m : Der relaxierende Kern K(t) ist für alle t € [0, oo) genau dann symmetrisch, wenn die Arbeit, die zu einem Verzerrungszyklus E{t), — oo < t < oo, gehört, invariant zu einer Zeitumkehrung ist, d. h. CO t oo t / ( jK(t - r) s(r) dr) ¿(t) dt = / ( / K(t - r) ¿ ( - r ) dr) s(-t) dt. — CO —oo — oo — oo Die physikalische Bedeutung dieses Theorems bleibt unklar. Später hat DAY [15] bewiesen, daß die Symmetrie eine Folge des Informationsverlustes sein muß. Unlängst hat NAVARRO [ 1 6 ] postuliert, daß der Kern K immer symmetrisch sei, da die viskoelastischen Verzerrungen eine kontraktive Halbgruppe bilden. Zur Zeit ist nur sicher, daß die Onsagerschen Reziprozitätsbeziehungen nicht als eine Folge der thermodynamischen Hauptgesetze zu betrachten sind (vgl. S H U und O N A T [ 1 7 ] ) . Gleichfalls ist sehr wahrscheinlich, daß sie ein allgemeines Gesetz der Physik reflektieren. Es ist bekannt, daß die Reziprozitätsbeziehungen nur bei linearen Prozessen anwendbar sind. Das ist ein Vorwurf der Opponenten der Onsagerschen Theorie, den man nicht zurückweisen kann (vgl. T R U E S D E L L [ 5 ] ) . A U S diesem Grund ist besonders schwer anzunehmen, daß diese Reziprozitätsbeziehungen selbst ein neues thermodynamisches Gesetz bilden. Es scheint gerechtfertigt, daß durch die Beweisführung der Onsagerschen Vermutung die Symmetrie als eine Folge der Mikroreversibilität zu betrachten ist und daß die Mikroreversibilität selbst als ein eigenständiges thermodynamisches Gesetz anzunehmen ist. Für die Erweiterung der Theorie der Symmetrie von ONSAGER auf nicht lineare irreversible Prozesse wird es notwendig, gleichzeitig verschiedene Sätze, die im Rahmen der linearen Theorie mit der Mikroreversibilität äquivalent sind, zu finden. Im Folgenden versuchen wir, für viskoelastisches Materialverhalten nach Boltzmann-Volterra, dieses Programm im Rahmen folgender S t r a t e g i e durchzuführen: 1. Ein thermodynamisches Modell für die Materialien von Boltzmann-Volterra ohne Hilfe jedweder Symmetriebeziehungen zu entwickeln. 2. Im Rahmen dieses thermodynamischen Modells eine phänomenologische Beschreibung der Mikroreversibilität festzustellen. 3. Die Onsagersche Vermutung zu beweisen. 4. Weitere Folgen der Mikroreversibilität festzustellen. Für die Durchführung des ersten Punktes dieses Programms werden wir die nichttrivialen Folgen des ersten Teils des Galileischen Beharrungsgesetzes, wenn es auf die Thermomechanik der Materialien mit Gedächtnis angewendet wird, betrachten. Wir erinnern uns hierzu des ersten Teiles dieses Satzes, wie er von N E W T O N formuliert wurde:

MAZHIXT,

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P. : Onsager's reciprocal relations

„Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi (. . .) nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur statum suum mutare." (I. NEWTON,

1686)

d. h. „Ohne Einwirkung von Kräften bleibt der Körper in Ruhe".

3. Konstitutive Inertialsystemc Es seien Xlt ... , Xn die Kräfte und Ylt ... , Yn die entsprechenden Flüsse in einem thermodynamischen System. D e f i n i t i o n 1: Wir sagen, daß die Fluß-Kraft-Beziehung X — Y ein konstitutives Inertialsystem genau dann bildet, wenn aus X(t) ^ 0

für

t ^ 0

und

F(0) =- 0

immer folgt, daß Y(t) = 0

für alle

t> 0.

gilt'. D e f i n i t i o n 2: Die Fluß-Kraft-Beziehung X 0

Es ist einfach, das folgende Theorem zu beweisen: T h e o r e m 1: Ein konstitutives System ist genau dann inertial, wenn es ein relaxierendes System ist. Um die oben erwähnten Begriffe zu illustrieren, betrachten wir die folgenden zwei einfachen B e i s p i e l e : 1. M a x w e l l - E l e m e n t (Abb. 1)

i

Abb. l o = £ i ^ Inelastischer Teil der Verzerrung; a — kee, £e~ Elastischer Teil der Verzerrung, £ = £ » ' + £« ---- Gesamtverzerrung

Konstitutives Gesetz : a) differentielle Form: ff = ks b) integrale Form:

a ; OC t Je

a(t)=k

*

¿(r)dr.

— 00

Das Maxwell-Element bildet ein Inertialsystem mit e als Kraft und a als Fluß. B e w e i s : Es sei e{t) = 0 für t 0. Dann folgt für t ^ 0 a(t)=ke

* fe"Te(r)

dr = ke

* C S für alle i — 1, 2, ... , 6 und t € [0, oo), dann gibt es Funktionen Aij(t), t 6 [0, oo) ;i,j — 1, 2, ... , 6, so daß - r) = Av(t)

Kip(t gilt, wobei Kf

Kfp(

t) ,

(3.3)

eine Basis von S darstellt, so daß

KM0) - 6fj. Bezeichnet man durch A(t) die Matrix (Ay), dann wird (3.3) in der folgenden Form (3.4)

K(t — r) = A(t) K+(—r) geschrieben. Nimmt man in (3.4) r — 0, dann erhält man = K(t) ,

A(t)

(3.5)

und (3.4) wird A(t - t ) =-A(t)K+(-r).

(3.6)

N i m m t man in der letzten Formel t — 0, so folgt K + ( - t ) = A-i(0)

A{-T)

, •

und (3.6) wird A{t

-

t) = A{t)

^ " ' ( 0 ) A{ - T)

für t ^ 0 und r 5S 0. Durch die Differenzierung bezüglich t im Moment t = 0 erhält man die Differentialgleichung • A ( - T ) = Ä ( 0 ) A'1^)

A{ - t ) .

Es ist bekannt, daß die allgemeine Lösung dieser Gleichung A(t)

= eAt C

142

ZAMM • Z. Angew. Math. u. Mech. 65 (1985) 3

ist, wobei A = /i(0) A 1(0) und C = /1(0) = K(0). Das beweist die Gültigkeit des Lemmas. Jetzt kehren wir zur Beweisführung des Theorems zurück. Es gibt zwei M ö g l i c h k e i t e n : 1. Die Voraussetzung des Lemmas ist erfüllt, d. h. Kf € S für alle t e [0, oo) und i = 1, 2, ... , 6; 2. Es gibt i 0 e {1, 2, ... , 6} und f0 e [0, oo), so daß K f f F{t) G{t)dt, o dann folgt aus dem Projektions-Theorem im Hilbertraum K,,(i - r ) =KiX-r)

+K#-t),

Ü

wobei Kjt e S und K^ orthogonal auf S(Klß) sind. Weil Kia j S ist, muß Kit ^ 0 sein. Es sei e{t) die Verzerrungsgeschichte, definiert durch i{t) =

{1*1 e - l ' l Ä , t ( - i )

i