Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik: Band 63, Heft 5 [Reprint 2021 ed.] 9783112554265, 9783112554258

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UNTER MITWIRKUNG VON E. BECKER • H. BECKERT • L. BERG • L. BITTNER • L. COLLATZ W. FISZDON • H. G A J E W S K I • H. GÖRTLER • J . H E I N H O L D • H.HEINRICH • K. HENNIG J. HULT • A. JU. ISCHLINSKI • R. KLÖTZLER • P.H.MÜLLER • H.NEUBER • K.OSWATITSCH A. S A W C Z U K • L. SCHMETTERER • J.W.SCHMIDT • H.SCHUBERT • G. G.TSCHORNY H.UNGER • F. WEIDENHAMMER • F. ZIEGLER HERAUSGEGEBEN VON G.SCHMIDT, BERLIN C H E F R E D A K T E U R : G. S C H M I D T

BAND 63

R E D A K T E U R E : F. D U D E L , W. H El N RIC H, H. W E I N E RT

1983

HEFT 5

INHALT Vorträge der Wissenschaftlichen Jahrestagung der Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik 1982 in Budapest TEIL 2

A K A D E M I E - V E R L A G ISSN 0044-2267

Z. angew. Math. u. Mech., Berlin 63 (1983) 5 T305-T432

•

B E R L I N EVP 18,-M

I N

Seite

H A L T

R. H a v e r k a m p : Ein numerisches Verfahren zur Läsung retardierter Differentialgleichungen T3S1 L. G. Hibbey: Matrizen-technische Methoden zur praktischen Behandlung rekursiver Zusammenhänge Sail*

Hauptvorträge R. Klötzler: Globale Optimierung in der Steuerungstheorie

T305

Sektion Angewandte Analysis und Mathematische Physik E. D ' A m b r o g i o : Electromagnetic Radiation and Single Particle Effects in Plasmas T313 K. B a l l a : O n the Solution of a Nonlinear Field Equation . . .

T314

T352

I. H l a v á c e k : Optimization of the Domain of Coefficients In Some Elliptic Unilateral Boundary Value Problems by Finite Elements T354 K. Jetter: Gauss-Formeln vom lakunärenTyp

T356

A . Kuban: Energieerhaltene Diskretislerung zweidimensionaler Diffusionsprobleme T357 V. K u r z I F. S t u m m e l : Rounding Error Analysis of Elimination Methods for Discrete Two-Point Boundary Value Problems T359 G . M o l n d r k a / R. H . Farzan: A Numerical Algorithm for Finding All Real Solutions of a Non-Linear Two-Point Boundary-Value Problem T361 H . N . M ü l t h e i : A-Stabilltät bei Kollokationsmethoden mit mehrfachen Knoten T363

A . B r ä d l m a s : Broken Functional Analysis and ( Min (1) o bezüglich aller x e C2[0, 2'] mit a;(0) - a, x(T) = & zu vorgegebenem Integrand/ € G2 behandelte, ist im Ansatz eine Anwendung der zweiten Methode. Ausgehend von der stillschweigenden Annahme der Existenz einer global optimalen Lösung x * 6 C 2 [0, T ] leitete EULER zunächst die notwendige Optimalitätsbedingung des Verschwindens der ersten Variation ÖJ(x*, £ ) = 0

für alle

I € C2[0, T ] ;

|(0) = £(T) = 0

(2a)

her und daraus wiederum die Eulersche Differentialgleichung d/j ( * , » * , « « ) _fx(t>ai*>i*):=0

(2b)

in Verbindung mit den Randbedingungen x*(0) = a, x*(T) == b. Die Klassiker der Variationsrechnung dachten zunächst nicht daran, an der Existenz von Lösungen des Randwertproblems (2 b) zu zweifeln, und sie nahmen diese Lösungen auch mit der Überzeugung auf, in ihnen Lösungen des Variationsproblems (1) vorzufinden. Dieser letzte Aspekt ist zweifellos richtig, wenn die. schon in Frage gestellte Existenz einer optimalen Lösung zu (1) feststeht und zugleich deren Unität. Aber wie sichern wir diese nun wieder ? Auf all diese Fragen sind inzwischen Antworten gefunden worden, die letztlich auf einer Erweiterung des Lösungsbegriffs und stark einschränkenden Apriori-Annahmen über den Integranden / beruhen. Statt Lösungen von (1) im Funktionenraum C 2 zu ermitteln, erweiterte man die Suche auf Funktionen des G1 oder Sobolewscher Räume Wp. An Stelle der notwendigen Optimalitätsbedingung (2 b) traten jetzt integrierte Formen der Eulerschen Differentialgleichung nach dem Lemma von Du BOIS-REYMOND und dem Haarschen Lemma (bei mehrfachen Integralen) — vgl. [11]. Um aber die Existenz optimaler Lösungen zu (1) wenigstens im Wp a priori sichern zu können, kommt man beim heutigen Entwicklungsstand der Theorie vorerst nicht darum herum, außer der Beschränktheit von / nach unten und gewissen Wachstumsbeschränkungen nach oben (Koerzivität) im allgemeinen die Konvexität von f(t, .) zu fordern. Stellen wir sogar den Anspruch auf Unität der optimalen Lösung, so ist ohne nähere Strukturuntersuchung des Problems (1) dieser Anspruch a priori zumeist nur dann zu sichern, wenn wir strenge Konvexität des Funktionais J gewährleisten, und das vermögen wir oft nur an der strengen Konvexität von f(t,.,.) zu erkennen. Auf den hier genannten Voraussetzungsgrundlagen beruhen die direkten Methoden der Variationsrechnung zum Existenznachweis und zur approximativen Berechnung optimaler Lösungen. Diese direkten Methoden wurden neben der Neuschöpfung geeigneter Funktionenräume, wie der Sobolewräume und Morrey-Calkinschen Räume, zur Basis für die Lösung des 19. und 20. Mathematischen Problems von D. HILBEBT, zur Basis für das weite Feld der Rand- und Eigenwertprobleme elliptischer Differentialgleichungen. Damit verfolgte man zugleich die 1. Methode. In der heutigen allgemeinen Theorie optimaler Steuerungen stehen wir vor der gleichen Auswahl beider Methoden. Bei der Bevorzugung der ersten Methode wirken sich allerdings hier entsprechende Konvexitätsforderungen viel einschneidender aus (vgl. [6]). Im Unterschied zu Variationsproblemen tritt bei Steuerungsproblemen einfacher Integrale an den Anfang der zweiten Methode an Stelle der Eulerschen Differentialgleichung (2 b) das Pontrjaginsche Maximumprinzip unter stillschweigender Annahme der Existenz einer optimalen Lösung. Zu mehrfachem Integral ist die Frage der Gültigkeit eines Analogons zum Pontrjaginschen Maximümprinzip als notwendige Optimalitätsbedingung noch weitgehend unbeantwortet, und als Ausgangspunkt der' zweiten Methode benutzt man hier oft an Stelle von (2 a) entsprechende Variationsungleichungen. 20 Z. angew. Math. u. Mech., Bd. 63, II. 5

T 306

R. KLÖTZLER : Globale Optimierung in der Steuerungstheorie

Im Nachfolgenden bevorzugen wir zur globalen Optimierung allgemeiner Steuerungsprobleme die zweite Methode unter Verzicht auf einschränkende Konvexitätsforderungen. Da damit aber zugleich die Existenz optimaler Lösungen in Frage gestellt ist, schwächen wir unsere Zielstellung auf die Bestimmung des Infimums zum Zielfunktional ab und auf die Berechnung des weiter unten definierten grundlegenden Begriffs des optimalen Korridors, der dem Anwender und Mathematiker oft eine nützliche Ersatzinformation für optimale Lösungen oder Minimalfolgen liefert. 1. Steuerungsprobleme und optimale Korridore Wir studieren hier allgemeine Steuerungsprobleme des Typs J(x, u) = j f ( t , x(t), u(t)) dt inf (3) a bzgl. aller Zustandsfunktionen x e X und Steuerfunktionen u € U(x), die den Nebenbedingungen (Zmtandsgleichungen) oc = 1, ... ,m , = gl{t> «) auf Q > i = 1,... , n; und Randbedingungen b(x) — 0 auf 3 Q genügen. Dabei sei Q im Sinne vonC. B. M O R K E Y [ 1 8 ] ein starkes Lipschitzgebiet des Em und 0 ein starkes Lipschitzgebiet des En+m. f und gl sind stetige Funktionen, und V ist eine normale mengenwertige Abbildung von G in den Er (im Sinne von J O F F E und T I C H O M I R O V [ 1 0 ] ) . Damit erklären wir FÜR^P > m X={xz

Wjt»(Q) | (t, x{t)) e G für alle f e ß > ,

ü(x) = {u 6 Lrp{Q) | u{t) 6 F(i, x{t)) f. ü. auf Q} . Zur Diskussion stehen bezüglich der Menge iß aller zulässigen Prozesse (x, u) von (3) die Berechnung von inf J und des zugeordneten optimalen Korridors S. ® D e f i n i t i o n : ® = {(t, |) e G \ ~3th 6 Q, (xk, uk) e iß mit der Eigenschaft lim J(xk, uk) = inf J , lim tk = t und lim xk(tk) = £} heißt optimaler Korridor zum Steuerungsproblem (3). * *->0° k-+oo Unter der Voraussetzung, daß iß =f= 0 und V(t, auf G gleichmäßig beschränkt ist, können wir leicht folgende Eigenschaften optimaler Korridore beweisen. Eigenschaften optimaler Korridore: a) t 7^0; b) ® ist eine abgeschlossene Teilmenge von G. c) Für Festrandprobleme, (d. h. b(x) — x — a, a e 0(3/2)) ist £ eine zusammenhängende Punktmenge, die den Rand SR = {(«, a(s)) | s € 9,0} enthält. d) Jede optimale Trajektorie r — {(i, «*( 0 existiert ein d(e) > 0, so daß inf J und ® unverändert bleiben, wenn man _ _ sp den Integranden f auf Gs = {£ € G | dist (£, > e} = G \ um den Maximalbetrag d(e) stetig abändert. Beweis: a) Infolge unserer Voraussetzungen ist J auf iß nach unten beschränkt, so daß eine Minimalfolge (xk, uk) € iß mit lim J(xk, uk) = inf J = I existiert. Es sei t ein fest gewählter Punkt aus Q. Dann ist wegen der Beschränktheit k-* 00 !p von G auch die Folge {xk(t)} beschränkt, so daß eine Teilfolge {xk>} existiert mit lim xk-{t) = f, lim J{xk>, uk>) = inf J 5,3 und (t, | ) 6 ~G. Somit ist (t, £) Element von b) Es sei £ = (i, I) Häufungspunkt von so daß ein ft € $ existiert mit Ci = {h> St) und lim = 'Q. Wegen Zi € ® existieren tlk e ü, (x[k, ulk) e $ mit lim J(x[k, um) = I und lim (tlk, xlk{tlk)) = Ci k-+co k co für alle natürlichen Zahlen l, d. h., zu jedem natürlichen l und N existiert ein k0(l, N) mit \J(xlk, ulk) - I\ < 1 IN

für alle

k ^ k„(l, N) .

Außerdem existiert zu jedem l ein kx{l, N), so daß mit 'Qlk := (tlk, xlk{tlk)) gilt IU - Q < 1 IN

für

k ^ kS, N) .

Schließlich können wir ein L(N) finden mit I h -1\) Am Beweise der Aussage c) erkennt man unmittelbar, daß eigentlich nicht die Voraussetzung wesentlich ist, daß s ä m t l i c h e Randwerte von z fest vorgeschrieben sind; es genügt eine solche Vorgabe lediglich in e i n e m Punkte s s di). 20»

T 308

R.

KLÖTZLER:

Globale Optimierung in der Steuerungstheorie

bezüglich aller T e N | x(T) = 0 unter den Zustandsgieichungen x = u, Steuerbeschränkungen |w(e, A. H . ; THXOMHpoB, B. M., TeopHH 3KCTpeMajibHHX 3anai, MocKBa 1974. 11 KLÖTZLER, R., Mehrdimensionale Variationsrechnung, Berlin-Basel 1969. 12 KLÖTZLER, R., On'a general conception of duality in optimal control, Proceedings of the conference EQUADIFF 4, Prague 1977, 189-196. 13 KLÖTZLER, R., Starke Dualität in der Steuerungstheorie, Math. Nachr. 95, 253—263 (1980). 14 RLÖTZLER, R., Dualität bei Steuerungsproblemen und zugeordneten Flußproblemen. I, II, Z. Analysis u. ihre Anwendungen (im Druck). 15 KLÖTZLER, R., Apriori-Abschätzungen von Optimalwerten zu Steuerungsproblemen. I, II, Math. Operationsforsch. Statist. Ser. Optimization 10, 101-110, 335-344 (1979). 16 KLÖTZLER, R., Dualität in der Steuerungstheorie, Mitteilungen d. MGdDDR, Heft 2—4, 72—83 (1981). 1 7 K P O T O B , B . .; T y p M a H , B . H . , MCTOHM H a ANATRA onTHMajibHoro ynpaBJieHHH, MocKBa 1 9 7 3 . 18 MORREY, C. B., Multiple Integrals in the Calculus of Variations, Berlin-Heidelberg-New York 1966. 19 ORTLIEB, C. P., Dualität bei nichtkonvexen Steuerungsproblemen, Preprint 78/17 Univ. Hamburg, Institut f. Angew. Math. 2 0 I I O H T P H T H H , J I . C . H a p . , MaTeiaaTHiecKaH TeopHH onTHMajibHLix npoqeccoB, MocKBa 1 9 6 1 . 2 1 ROCKAPELLAR, R . T . , Conjugate convex functions in optimal control and the calculus of variations, J . Math. Analysis Appi. 3 2 , 174 - 2 2 2 (1970).

22 C e f t c o B , IO. E . , A6COJIK>THMÜ aKCTpeMysi 23 I L B E T A H O B , M. M., O NBOÖCTBEHHOCTH B 733—736

Anschrift:

B TeopHH onTHMajibHbix nponeccoB, Aiuxaßan 1979. 3 A H A I A X BAPNAIIHOHHORO HCHHCJIEHHH, J3,OK.n. Bonr.

Aitafl. Haj'K 21,

(1968).

Prof. Dr. R.

KLÖTZLER,

Karl-Marx-Universität Leipzig, Sektion Mathematik, Karl-Marx-Platz, DDR-7010, Leipzig

T 313

Section Applied Analysis and Mathematical Physics

KURZVORTRÄGE S E K T I O N A N G E W A N D T E A N A L Y S I S UND M A T H E M A T I S C H E SECTION A P P L I E D A N A L Y S I S AND M A T H E M A T I C A L

PHYSIK

PHYSICS

ZAMM 63, T 313 - T 311 (1.983) E . D'AMBROGIO

Electromagnetic Radiation and Single Particle Effects in Plasmas A suitable approach to the treatment of radiation problems in plasma physics, in the framework of the Vlasov theory, is the so called test particle picture with the introduction of an appropriate source function. In the following we outline the matter of single particle effects from the point of view of the initial value problem for a VlasovPoisson plasma. The self consistent equations for the waves, linearized about a field free (E 0 = B0 = 0) equilibrium and a velocity distribution function fo{v) such that ( g - . * « ) - 0

,1)

are

V-E{x,

oo

i) =

A —OO

d»/ a (®,t), t).

(3)

In terms of the Fourier-Laplace transform, the solution is

ft • * ( * , „> =

ke(k, a > ) a

where

J

c o

— k-v

S

(

5

w

tLtI

•(0>»r I l Y ' dv) 2J o) — kv

e(k, w) = l +

)

(6)

is the longitudinal dielectric constant. Standard notations are used throughout. With the choice of single particle perturbation like f{x, v, t) = Nas ô(x - x'(s(0) t.

(16)

From expressions (14) and (15), which are known in connexion with problems of eollisional relaxation [1], we see that the initial value point of view can be used as approach to describe, in the context of the Vlasov theory, à wide class of single particle effects. So, e.g., for N^ = and «=/=/?, formula (15) reduces to the'electric field which solves the following system of equations +

(17) OO

V • E(X, t) = 4JT £ e* ! 9"

+

O T —OO

à(x - xs(t)) .

(18)

This is, usually, the starting point of the test particle theory. References 1 KLIMONTOVICH, Y . L., The Statistical Theory of Nonequilibrium Processes in a Plasma, M.I.T., Cambridge, Mass. 1967.

Anschrift:

Professor Dr. ENOS D'AMBROGIO, Istituto di Meccanica, Università degli Studi di Trieste, Trieste, Italy.

ZAMM 68, T 314 - T 316 (1983) K . BALLA

On the Solution of a Nonlinear Field Equation 1. The basic equation of nonlinear field theory has been studied for a long time (see [1, 2]). The main attention is directed to the problem whether the equation V2v - c- 2 ^

= [x* + F'(W*)]

(1)

y,,

where x is a real number and F(v) is a fixed (mostly polynomial) function, has solutions, if any, of the form f = q>(r) e~iat

"

(2)

i.e. whether solutions exist with separable time and space variables being spherically symmetric in space variable. We assume F(v) = — -j- [i2v2 + Av3, /i and X real, A > 0 as it was taken in [3]. In this case, the problem of finding solutions of the form (2) yields the boundary value problem (BVP)

0 ;

q>->0 ,

when r-> oo ,

(4); (5)

provided the change of constants and variables to = 0)jcK ,

B = Ax2(l - 5>2) /fit*,

r = xr( 1 — w2)1/2 ,

$ = « " ^ ( l — c52)-1/29>

has been performed. For different values of the parameter B the behaviour of solutions of this BVP was analysed in details [3]. It 3 was also shown that for 0 < 5 < — and the solution f = 0 .

(11)

According to the Theorem in [4], for sufficiently small r tion (11) is equivalent to a functional relation of the form

r 0 ) and sufficiently small solutions of (10), condi-

which holds for r sS r 0 , where the function y) is uniquely defined by a Cauchy problem posed for a quasilinear partial differential equation, which can be effectively solved. Having omitted the higher order terms we get the relation

If one returns to the original function

[ i ( i - . ) + c » >

for fixed, large f ^ . And so, the problem (3), (4), (5) is replaced by the B V P (3), (12), (13) posed on the interval [r0, ?«,], i.e. the numerical solution will be free of the problems of singularities. 3. For the E V P we may use the same ideas of carrying the stable manifolds out of the points of singularity. For the singularity of first kind at r = 0 we apply Theorem 2 [6] in weakened form (we take into account that the zero eigenvalue is also permitted in our homogeneous case). The bounded solutions will satisfy a relation ?

o

= {R)} , (%A denotes the characteristic function of A), equiped with the induced topology from the 2>(R) one (separately on ± are entire functions, x( H 5 ) ( i T ) ] , . . . ) . The complex order differentiation (multi-complex, or broken multi-complex) has been defined elsewhere. Below, I just recall the following application: their use, in the area of the hypergeometric equations with partial or ordinary derivatives, permits to find and classify the solutions supported by sets with zero Lebesgue measure. One of the results is the T h e o r e m : Every eguational family [E, a0, av ... , «„]: anyW -j- ... a0y = 0 admits extra singular solutions for a special set of values of the (an,..., a0) parameters which is called "the critical singular spectrum of (E, a0,..., an)". 1. On the Konig-Schwartz conjecture on the products of functional (1954) In the sense of the left, right values of a distribution we can not resolve it, on the whole of 5D'(R). On the contrary, that conjecture is completely resolved in "fi'a[2){R)] in the following axiomatic way: let T = TSt; let T{x+_) = „„(?.)(£+) be the standard left and right values of T at x £ let us define successively the following {a}-in and {a}-out values of T: {T(x) = T(x-)

if « > a + , T(x) = 0 if x e {a-,

{T(x) = T{x+)

if x > «+,

«+},

!?(«+) = i ' ( « + ) , T(a~)

T{x) = T{x+) = T(a~),

if x < a - } ,

T{x) = T(x.-) if x < «-}

.

Let us also put successively W W = { [ n u { T s , a„(T))\ («) if * € i m , I%T) = H(T) +

ii{T) = { n u { r i \

I1{T)n (