Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. Band 57, Heft 9: ZAMM-B, Band 57, Heft 9 [Reprint 2021 ed.] 9783112549469, 9783112549452

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U N T E R M I T W I R K U N G V O N E . B E C K E R • H. B E C K E R T • L . B E R G • L . B I T T N E R • L. C O L L A T Z W . F I S Z D O N • H. G Ö R T L E R • J. H E I N H O L D • H . H E I N R I C H • J. H U L T • A. J U. I S C H L I N S K I R. K L Ö T Z L E R • P . H . M Ü L L E R • H . N E U B E R • W . O L S Z A K • K . O S W A T I T S C H • A . S A W C Z U K L. S C H M E T T E R E R • J . W . S C H M I D T • K . S C H R Ö D E R • H . S C H U B E R T • G. G. T S C H O R N Y H . U N G E R • F. W E I D E N H A M M E R U N D F. Z I E G L E R HERAUSGEGEBEN V O N G.SCHMIDT, BERLIN

B A N D 57

1977

HEFT 9

A U S DEM I N H A L T H A U P T A U F S Ä T Z E B . W e r n e r : Über eine Beziehung zwischen komplementären und nichtkonformen finiten Elementen / J . Wellmann : Eine verallgemeinerte Achsenausstrahlungslösung der Wellengleichung und die daraus resultierenden Überschallfelder / W. Purkert/J. vom Scheidt: Zur approximativen Lösung des Mittelungsproblems für die Eigenwerte stochastischer Differentialoperatoren / W . Splettstößer / H . J . W a g n e r : Eine dyadische Infinitesimalrechnung für Haar-Funktionen / H . Bauch: Zur intervallanalytischen Lösungseinschließung bei charakteristischen Anfangswertproblemen mit hyperbolischer Differentialgleichung zsl = f(s,t,z) / H . Stoyan / D. Stoyan: Bounds for the Probability of Wait in M/G/s Queues K L E I N E M I T T E I L U N G E N B U C H B E S P R E C H U N G E N E I N G E G A N G E N E

B Ü C H E R

A K A D E M I E - V E R L A G ZAMM EVP 18,— M

Bd. 57

Nr. 9

S. 501—564

B E R L I N Berlin, September 1977

34115

INHALT Hauptaufsätze

B. W e r n e r : Über eine Beziehung zwischen komplementären und nichtkonformen finiten Elementen J. W e l l m a n n : Eine verallgemeinerte Achsenausstrahlungslösung der Wellengleichung und die daraus resultierenden Übersehallfelder W. Purkert/J. v o m Scheidt: Z u r approximativen Lösung des Mittelungsproblems für die Eigenwerte stochastischer Differentialoperatoren W. Splettstößer/H. J. W a g n e r : Eine dyadische Infinitesimalrechnung für Haar-Funktionen H . B a u c h : Z u r intervallanalytischen Losungseinschließung bei charakteristischen Anfangswertproblemen mit hyperbolischer Differentialgleichung z s ( = f(s,f,z) H . S t o y a n / D . Stoyan : Bounds for the Probability of Waitin M/G/s Queues . . . . . i

Seite

501 507 515 527 543 549

K l e i n e Mitteilungen M . S a m i r A b d e l s a l a m : A Reliability Model of Partially Parallel Systems Z . Celep : O n the Vibration and Stability of Beck's Column Subjected to Vertical and Follower Forces F. U n g e r : Ein Maximumprinzip bei Steuerproblemen bei der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung-Randsteuerung bei achsenparallelen Kreiszylindern J. Lensing : Die numerische Integration linearer inhomogener Differentialgleichungssysteme zweiter Ordnung mit nichtkonstanten Koeffizienten

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Buchbesprechungen

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EingegangeneBücher

560

543 555 557

.Wir bitten, Manuskriptsendüngen zweifach (Original und eine Kopie, sprachlich einwandfrei, Formeln mit Maschine oder in Drutkschrift geschrieben) an folgende Anschrift zu richten: Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik z. Hd. Herrn Prof. Dr. Günter S c h m i d t Zentralinstitut für Mathematik und Mechanik an der Akademie der Wissenschaften der D D R DDR-108 Berlin, Mohrenstraße 39. Z u den Arbeiten, die als Hauptaufsätze bestimmt sind, ist auf gesondertem Blatt eine Zusammenfassung von 5 bis 10 Zeilen in englischer und (möglichst) deutscher und russischer Sprache beizufügen. Ausführliche Hinweise für die Autoren, um deren strikte Berücksichtigung gebeten wird, finden sich im Anschluß an das Inhaltsverzeichnis des Jahrganges 56(1976). Die Autoren erhalten von den Hauptaufsätzen 75, von'den Kleinen Mitteilungen 25 Sonderdrucke ohne Berechnung, darüber hinaus weitere Sonderdrucke gegen Berechnung. Der Verlag behält sich für alle Beiträge das Recht der Vervielfältigung und Übersetzung vor. Bezugsmöglichkeiten: Bestellungen sind zu richten — in der D D R an den Postzeitungsvertrieb; an eine Buchhandlung oder an den Akademie-Verlag, DDR-108 Berlin, Leipziger Straße 3 — 4 — i m sozialistischen A u s l a n d an eine Buchhandlung für fremdsprachige Literatur oder an den zuständigen Postzeitungsvertrieb — in der B R D und Westberlin an eine Buchhandlung oder an die Auslieferungsstelle K U N S T U N D WISSEN, Erich Bieber, 7 Stuttgart 1, Wilhelmstraße 4 — 6 — in Österreich an den Globus-Buchvertrieb, 1201 Wien, Höchstädtplatz 3 — i m übrigen A u s l a n d an den Internationalen Buch- und Zeitschriftenhandel; den Buchexport, Volkseigener Außenhandelsbetrieb der Deutschen Demokratischen Republik, DDR-701 Leipzig, Postfach 160, oder an den Akademie-Verlag, DDR-108 Berlin, Leipziger Straße 3—4. ZEITSCHRIFT FÜR A N G E W A N D T E M A T H E M A T I K U N D M E C H A N I K Herausgeber und Chefredakteur: Prof. Dr. Günter Schmidt (redaktionelle Mitarbeit: Dr. W . Heinrich und Dr. H. Weinert), Zentralinstitut für Mathematik und Mechanik der Akademie der Wissenschaften der D D R , Verlag: Akademie-Verlag, DDR-108 Berlin, Leipziger Straße 3 — 4 ; Fernruf: 2236221 oder 2236229; Telex-Nr.: 114420; Postscheckkonto: Berlin 35021. Bank: Staatsbank der D D R , Berlin, Kto.-Nr.: 6836-26-20712. Anschrift der Redaktion: Zentralinstitut für Mathematik und Mechanik der Akademie der Wissenschaften, DDR-108 Berlin, Mohrenstraße 39; Fernruf:.2000561. Veröffentlicht unter der Lizenznummer 1282 des Presseamtes beim Vorsitzenden des Ministerrates der Deutschen Demokratischen Republik. Gesamtherstellung: V E B Druckerei „ T h o m a s M ü n t z e r " , D D R - 5 8 2 Bad Langensalza. Erscheinungsweise: Die Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik erscheint monatlich. Die 12 Hefte eines Jahres einschließlich Tagungsheft bilden einen Band. Bezugspreis je Band 3 0 0 , — M zuzüglich Versandspesen (Preis für die D D R 2 1 6 , — M). Bezugspreis je Heft 2 5 , — M (Preis für die D D R 1 8 , — M ) . Bestellnummer dieses Heftes: 1009/57/9. © 1977 by Akademie-Verlag Berlin • Printed in the G e r m a n Democratic Republic. A N ( E D V ) 35 937

B.

WEBNER,

Komplementäre und nicht-konforme finite Elemente

501

ZAA1M 57, 5 0 1 - S ü l l (1977) BODO

WEBNEB

Über eine Beziehung zwischen komplementären und nichtkonformen finiten Elementen 11'?'»' untersuchen die Konstruktion, von speziellen Finiten-Element-Räumen, die konform für das komplementäre Energieprinzip für allgemeine lineare elliptische Randwertaufgaben sind. Die mit diesen Räumen arbeitenden Finiten-ElementMethoden stellen sich als nicldlconforme Methode für das Energieprinzip heraus und erfüllen einen verallgemeinerten Patch-Test. Von einigen bekannten speziellen nichtkonformen finiten Elementen kann auf diese Weise gezeigt werden, daß sie untere Schranken für die Energie liefern. We investigate the construction of special finite general linear elliptic boundary value problems. forming method for the energy principle satisfying forming methods which now can be shown yield

element spaces which are conforming for the complementary energy for The finite element method based on these spaces turns out to be a noncona generalized patch test. Thereby we rediscover some well known nonconlower bounds for the energy.

MI.I NUCJICJIYCM itoiicrpyKHHio iipocrpaiicrB cncnnajn>noro (JmiiHTiioro ;J.:icMcina, ILBJIJUOUUIXO] I;onopMl L LIiiiMU II cjiy iac AoiiojiiiHTCJiMioro 3iicprein iecKoro iipmiUHna ;UNR OOIUMX jimicüiiLix WIJIHIITM'ICCKMX upacBwx 3ANALI. Ouepiipyiomne B BTHX npocTpancTBax MCTOHLI iJiHiiHTHoro A.neMeina OKa3biBau>TCJI iiei;oii(J)opMHMMH METONAMH AJIH 3iiepreTimecKoi"O IIPNUNHNA H VHOBJICTBOPHIOT, npw OTOM, TecTy Haw.

TaiiiiM 06pa30M, na iieKOTopux H3ISCCTIII>IX CNCUHAJIBUMX iiCK0H({)0pMimx lioKaaari., ' N O OIUI npiiuojiiiT I; luiiKiicii rpa.NNNE AJJJI aucprmi.

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MOHCIIO

I. Einleitung Häufig läßt sich die Lösung einer elliptischen Randwertaufgabe durch zwei zueinander komplementäre Extremalprinzipien charakterisieren (s. V E L T E [19]). Diese gestatten dann prinzipiell eine Einschließung z. B . der Torsionssteifigkeit eines elastischen Zylinders, der Kapazität eines Kondensators oder der Energie eines deformierten elastischen Körpers sowie eine Energienormabschätzung der Lösung — etwa nach der Hyperkreismethode V911 P R A G E H und S Y N G E [13] (siehe auch S Y N G E [17] und Au H I N / B U B C H A R I ) [ ] ] ) . Die Finite-Element-Methode bietet sich hier förmlich an. Sie wird jedoch nieist als RITZ-Verfahren aus einem dieser beiden Extremalprinzipien, dem Prinzip der minimalen potentiellen Energie für die „Verschiebungen", das wir liier vereinfacht „DntiCHLET'sches Prinzip" nennen wollen, abgeleitet. Man spricht von konformen Finitenjilement-Methoden, falls der zugehörige Finite-Element-Raum im Energieraum des DmiCHLET'schen Prinzips enthalten ist, andernfalls von nichtkonformen finiten Elementen (s. S T K A N C / Fix [16]). Grob gesprochen, hängt die Schwierigkeit der Konstruktion solcher konformer Finiter-Element-Räuine von der Beschaffenheit dos Randes und der Randbedingungen der Randwertaufgabe ab. Weniger bekannt jedoch sind Finite-Element-Methoden als TBEMTZ-Verfahren zur Lösung des komplementären Variationsprinzips. Zwar haben schon 1956. H E R S C H / P E L U G E B / S C H O P F [6] eine solche Finite-ElementMethode durchgeführt, und Ingenieuren sind die sogenannten Gleichgewichtselemente ein Begriff (s. C O O K [3]). Jedoch fehlt es an einer systematischen Untersuchung der Frage, welche finiten Elemente zulässig für das komplementäre Variationsprinzip sind, bzw. welche Finite-Element-Räume in dem HiLBERT-Raum enthalten sind, der dem komplementären Prinzip zugrunde liegt. Dieser Frage gehen wir hier bei linearen Randwertaufgaben nach. Unter Zugrundelegung einer präzisen Definition eines Finiten Elements, die insbesondere den Begriff „Knoten" sehr allgemein faßt, geben wir eine Kompatibilitätsbedingung zwischen Bilinearform der Randwertaufgabe und finiten Elementen an, die in Abhängigkeit von Differentialgleichung und natürlichen Randbedingungen zur Konstruktion „komplementärer Finiter-EleineritRäume" genutzt werden kann. Die zugehörigen Finiten-Element-Gleichungen sind dann identisch mit denen niehtkonformer finiter Elemente zur Lösung des DIRICHLET-Prinzips, die einem verallgemeinerten Patch-Test genügen. Solche Beziehungen zwischen Gleichgewichtselementen und (nichtkonformen) Verschiebungsmethoden sind Ingenieuren nicht neu (man vgl. etwa F B A E I J S D E V E U B E K E [5]). Als Spezialfälle ergeben sich für die Bipotentialgleichung das MoBUSY-Element [10], für die Potentialgleichung u. a. ein nichtkonformes lineares Element, dessen Konvergenz C R O U Z E I X / R A V I A R T [4] untersuchten. Kurz hingewiesen werden sollte noch auf die sogenannten „gemischten" Finiten-Element-Methoden, die zwar über das Prinzip von H E L L I N G E R / R E I S S N E R mit dem komplementären Variationsprinzip zusammenhängen, jedoch keine Finiten-Element-Räume verwenden, die zulässig für das komplementäre Variationsprinzip sind (BREZZI / RAVIABT

[2]).

2. Komplementäre Variationsprinzipien und das T R E F F T Z ' S C I I C Verfahren

X -sei reeller HiLBERT-Raum,. hier stets ein SOBOLEW-Raum IIk(Q) mit beschränktem Gebiet Q c 11". Die Lösungen vieler linearer elliptischer Randwertaufgaben lassen sich mit Hilfe einer auf X semidefiniten, symmetrischen, stetigen Bilinearform «(.,.), einem abgeschlossenen Teilraum V C X und einem u" e X als Lösung der DmiCHLET'schen Variationsaufgabe (bzw. Variationsgleichung) J[ù] : = a(u, u) = min ! oder (2.1) a(u, 6 3' mit F1(p)=otj, j' = l,... , m. E heißt Element, die Fj (manchmal auch ihre Träger) heißen Knoten des finiten Elements. Die zu ix, = djk nach der Unisolvenzbedingung (iv) eindeutig bestimmte Funktion vk £ 3 heißt Formfunktion zum Knoten Fk (k = 1, 2 , . . . , m). Die gängigen finiten Elemente (ZIENKIEWICZ [20], STRANG/FIX [16]) besitzen Knoten F vom LAGBANGE-HEBMITE-Typ:

F(