Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik: Band 54, Heft 4 1974 [Reprint 2021 ed.] 9783112520109, 9783112520093

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U N T E R M I T W I R K U N G V O N E. B E C K E R • H. B E C K E R T • L. B E R G • L. B I T T N E R • L. C O L L A T Z W . F I S Z D O N • H. G Ö R T L E R • J. H E I N H O L D . K. M A R G U E R R E • P . H . M Ü L L E R • H . N E U B E R W . O L S Z A K • K. O S W A T I T S C H • A. S A W C Z U K • L. S C H M E T T E R E R • G. S C H M I D T K. S C H R Ö D E R • H. S C H U B E R T • H. U N G E R . C. W E B E R U N D F. W E I D E N H A M M E R H E R A U S G E G E B E N V O N H. H E I N R I C H , D R E S D E N

B A N D 54

1974

HEFT 4

INHALT: Vorträge

der

Wissenschaftlichen

Jahrestagung

der Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik 1973 in München (BRD)

A K A D E M I E - V E R L A G ZAMM

M18,—

Bd. 54

Heft 4

G M B H Seite T1 bis T 252

B

E

R

L

I

N

Berlin, 1974

INHALT:

Seile U . Heise: Die Erzeugung von Singularitäten für Integralverfahren der Elastostatik

BERICHT HAUPTVORTRÄGE Seit« I. Babuska: Numerical Solution of Partial Differential Equations T3 P. C a r r i è r e : Progrès et tendances actuelles de la recherche en Aérodynamique appliquée T11 K. Eggers: Von Körpern erzeugte Wasserwellen T20 G. Fichera: Existence Theorems in Linear and SemiLinear Elasticity T24 R. Leis: Rand- und Eigenwertaufgaben in der Theorie elektromagnetischer Schwingungen T36 J.Wittenburg: Stand und Entwicklungstendenzen der Mechanik rotierender Körper

T40

KURZVORTRÄGE Mechanik starrer

Körper

J. Brilla: Convolutional Variational Methods in Linear Viscoelasticity

Principles

and

J. Brilla: Finite Element Method in Linear Viscoelasticity R. Cronjaeger: Ein einfaches Modell für Zungenmusikinstrumente M . Frik: Z u r Stabilität parametererregter Satellitenschwingungen J. Lückel: Verallgemeinerte Störgrößenaufschaltung bei linearen mehrdimensionalen Systemen R. Lunderstädt: Energieoptimale Regelung von Laufkranen K.Magnus: Z u r Theorie der Keltischen Wackelsteine... P. C . M ü l l e r : Stabilität und Instabilität bei linearen, zeitinvarianten, dynamischen Systemen P. C . M ü l l e r und J. LückehModaleMaßefürSteuerbarkeit, Beobachtbarkeit und Störbarkeit dynamischer Systeme P . C . M ü l l e r und K. Popp: Z u r Theorie der ersten Integrale bei gesteuerten dynamischen Systemen K. Popp: Vergleich von passiver und aktiver Schwingungsdämpfung bei gravitationsstabilisierten Satelliten D. Raskovii: Die Verteilung des Ruckvektors im Falle der Zentralbewegung P. Sagirow: Zeitoptimale Drehungen um eine körperfeste Achse W. Schiehlen: Zur Untersuchung von Zufallsschwingungen

T46 T47 T48 T50 T51 T52 T54 TS5

TS7 T58 T59 T61 T63 T64

J. W a u e r : Eigenschwingungen von Systemen aus Kontinua und endlich vielen Starrkörpern T6S H . I . W e b e r : Improving of Mechanical Systems by Optimal and Suboptimal Control T67 Elasto- und

Plastomechanik

D. Besdo: Einige Bemerkungen über Stoffgesetze der Plastomechanik Cosseratscher Kontinua R. B l u m , M . Losch und E. Luz: Ein nichtlineares, zweidimensionales Stoffgesetz für eine hyperelastische Membran unter endlichen Verzerrungen O . Bruhns und K. T h e r m a n n : Stabilitätsprobleme elastoplastischer Kontinua G. Brunk: Rahmeninvarianz in der speziellen Relativitätstheorie

T70

T82

B. D. Jovanovic: Einfluß von Momentenspannungen in der linearen Biegungstheorie dünner Platten T84 H . J . Kärcher: Über die Anwendung eines KonjugiertenGradienten-Verfahrens auf die Finit-Element-Berechnung nichtlinearer Strukturen T8S Th. Kermanidis: Ein Beitrag zur Torsion prismatischer Stäbe T87 G. Kuhn und M . Matczyriski: Beitrag zum gemischten Randwertproblem am Streifen T88 R. Kürktschiev: Über das Durchschlagproblem des Mises-Fachwerks T91 G. Mehlhorn: Anwendung eines potentialtheoretischen Analogieverfahrens in der Elastomechanik T92 M. Misicu: The Method of Parallel Transfer of Physical Fields on Mobile Manifolds; Application in View of Exact Solving Median-Type Elastic Problems T94 H . Rothert: Repräsentation der freien Helmholtzschen Energie bei viskoelastischen Cosseratflächen T9S S. B. Samli: Über den Gleichgewichtszustand der Kragbalken (Konsolträger) und der beiderseits eingespannten Balken gleicher Festigkeit gegen Zug T97 L. Schmieder: Eine mathematisch strenge Schalentheorie, hergeleitet aus dem Prinzip der virtuellen Verrückungen T99 H . Schoop: Drehwellenberechnung mitfiniten Ort-ZeitElementen S. Spierig: Z u r Dynamik des Seiles bei großen Auslenkungen C. T o r r e : Ableitung der Bewegungsgleichung der Plastiko-Dynamik in den Spannungsgrößen O . E. Widera und E. Frank: Ein Beitrag zur Analyse der versteiften Kreisringplatte W.Wöbbecke: Allgemeine Differentialgleichungen dünner elastischer Schalen in Matrizendarstellung

T100 T102 T104 T107 T108

Fluidmechanik J. Ballmann: Ein Beitrag zum Singularitätenverfahren für Überschallströmungen um schlanke Körper G. Böhme: Die Sekundärströmung „einfacher Fluide" im Spalt zwischen zwei Rotationsflächen R. Bohning: Schallnahe, schwach gestörte Potentialwirbelströmung durch gekrümmte Kanäle K. Burg: Stabilitätsbetrachtungen beim Benard-Problem mit oszillierender Randbedingung R. Emmerling, G. E . A . M e i e r und A . Dinkelacker: Die momentane Struktur des Wanddruckes einer turbulenten Grenzschichtströmung

T110 T111 T112 T113

T113

R. Friedrich: Exakte Lösung der Boltzmann-Gleichung in der Umgebung einer plötzlich bewegten, halbunendlich langen Platte in freier Molekülströmung T114. A . Frohn: Lösung der nichtlinearen Integralgleichung der schallnahen Strömung T116 B. G a m p e r t : Berechnung des Wärmeüberganges an einem in ruhendem Fluid kontinuierlich bewegten schlanken Kreiszylinder für kleine Werte des Krümmungsparameters auf der Basis von Reihenansätzen . . . T118

T73

G. G r a b i t z : Der Widerstand der laminaren Rohrströmung einer Flüssigkeit mit Gasblasen T120 M . Herbeck: Das Temperaturfeld eines geheizten Zylinders in einer Potentialströmung T122 M . Jischa: Diskussion der Energiegleichung reagierender Strömungen bei chemischem Gleichgewicht T123

T76

J. Keller: Eine Mastergleichung für Turbulenzströmungen T125

P. G. Glockner und D. J . M a l c o l m : Cosserat Surface: A Model for Idealized Sandwich Shells T78 H . Grüters: Iterative Lösung von Lastspannungsproblemen in anisotropen Körpern T79 G . H a b e r l : Theoretische Bestimmung der Eigenschaften faserverstärkter Werkstoffe bei Belastung quer zur Faserrichtung T80

A . Kluwick: Z u r Bedeutung der kumulativen Glieder im analytischen Charakteristikenverfahren T126 W. Koch: Wechselwirkung zwischen Strahlung und Konvektion an einer umströmten Platte T128 H.-P. Kreplin und H . Eckelmann: Das Verhalten der Längsschwankungen der Geschwindigkeit einer turbulenten Kanalströmung in Wandnähe T129

T71

Bericht

T 1

Band 54

Sonderheft

Bericht zum vorliegenden ZAMM-Sonderheft GAMM-Tagung München 1973

Die wissenschaftliche Jahrestagung 197B der Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik hat wie vorgesehen vom 2. bis 6. April 1973 in München in den Räumen des Mathematischen Instituts der LudwigMaximilians-Universität stattgefunden. Die örtliche Tagungsleitung lag in den Händen von Prof. Dr. G. Hämmerlin. Mit seinen Mitarbeitern hat er durch eine hervorragende Organisation für einen harmonischen und reibungslosen Verlauf der Tagung Sorge getragen. Die Eröffnung der Tagung erfolgte am Vormittag des 3. April durch den Präsidenten der GAMM, Prof. Dr. Dr. h. c. E. Stiefel, Zürich. . Das wissenschaftliche Programm umfaßte eine große Anzahl von Kurz Vorträgen, die auf die acht Sektionen Mechanik starrer Körper Elasto- und Plastomechanik Fluidmechanik Speziai- und Randgebiete der Mechanik Angewandte Analysis und Mathematische Physik Numerische Analysis Informatik Unternehmensforschung und Angewandte Statistik aufgeteilt waren, und — auf Einladung der Tagungsleitung — die folgenden Hauptvorträge : R. Leis,

Rand- und Eigenwertäufgaben in der Theorie elektromagnetischer Schwingungen

J . Wittenburg,

Stand und Entwicklungstendenzen der Mechanik rotierender Körper

P. J . Laurent,

Stability und Duality in Convex Minimization Problems

W. Veite,

Komplementäre Extremalprobleme

P. Carrière,

Progrès et tendances actuelles de la Recherche en Aérodynamique appliquée

P . Kall,

Stochastische Programmierung

I . Babuska,

Numerische Lösung von elliptischen Randwertaufgaben

K. Eggers,

Durch Körper erzeugte Wasserwellen

G. Fichera,

Existence Theorems in Linear and Semilinear Elasticity

N. Bazley,

Numerische Probleme bei nichtlinearen Randwertaufgaben

Soweit die Vorträge zur Veröffentlichung eingereicht worden sind, sind sie oder Hinweise auf die Veröffentlichung an anderer Stelle in dem vorliegenden ZAMM-Sonderheft enthalten. Die Aufteilung der Kurzvorträge auf die einzelnen Sektionen folgt dem Tagungsprogramm. Die Hauptvorträge sind ebenso wie die Kurzvorträge in den einzelnen Sektionen alphabetisch nach den Verfassern geordnet. Der Herausgeber H . Heinrich

Hauptvortrage

T S

HAUPTVORTRAGE ZAMM 54, T 3 - T 10 (1974) I . BABUSKA

Numerical Solution of Partial Differential Equations1) 1. Introduction

The numerical solution of partial differential equations, where the desired solution is a function, follows necessarily the following pattern: PROBLEM OF P D E : Au = f .

(1)

I Parametrization of u: The approximate expression of u by a finite number of parameters — u m (CL . . . , cn) = C . I Formulation of the associate problem for the vector C:B C = y, with computation of all entries of the matrix B.

(3)

I Determining the vector C.

(4)

I Interpretation of the results.

(5)

(2)

The evolution of the size of the problem solved is roughly speaking the following: Y e a r 1960:

(2) (3) (4) (5)

Dimension of vector C: n = 50—100 was considered large . Formulation and preparation mainly by hand. Computed by computers. Made by hand.

Y e a r 1973:

(2) Dimension of vector C: n up to a few hundred thousand (3) — (5) Fully computerized.

Typical proportions of the work done in solving large problems may be seen from the next table. Table 1.1. Percentage of Production Effort Production effort Manpower % Machine time % Data preparing, Data checking Solution phaze Interpretation

50 10 40

40 50 10

The determining of the vector C, point (4), from a large system (say linear algebraic) of equations is a smaller part of the computer usage. Very expensive and complex software for solving partial differential equations in engineering has been developed. See e. g. [28]. In recent years big progress has been made in the theory and implementations of the numerical solution of partial differential equations. Unfortunately, progress in the mathematical theory and progress in the implementation does not always go together. One of the most effective methods, in use and theory, is the Finite Element Method in all of its different versions. For theoretical aspects of this method we refer the reader to [1], all papers in [2], and [3], [4], [5]. Because of the time limitations we will bring out only some ideas which in our opinion are essential and discuss additionaly some aspects which are not mentioned in the above papers. 1

) Partly supported by the Atomic Energy Commission under Contract no. AEC AT (40—1) 3443. 1*

Hauptvortrage

T 4

2. The approximation problem The problems of computation have brought a special kind of approximation under consideration. Let us assume t h a t our problem is a linear one. Then the operator B in (3) could be a matrix of order up to 106 X 105 [i. e. it has 1010 coefficients]. Obviously matrices of this size may be used only if they are very sparse. This sparseness requirement is related to the local property of the approximation, i. e. to the requirement t h a t a change of one single parameter ct changes the function u (defined by C = (c1( . . . , cn)) only on a small subdomain. The problem of approximation is related to the problem of approximation in some spaces. The main role is here played by the HILBERT scale of SOEOLEV spaces. Let Q be a domain with reasonable boundary Q'. Let E{Q) be the set of all infinitely differentiable functions [up to Q']. For I ^ 0,1 integral, we define Hl{Q) as the closure of E(Q) in the norm IMlH k 0) if the following conditions are satified (i)

S^Q)

c H*(Q)

(ii)

for every g e Hl(Q), I S: 0 and 0 ^ s s i min (I, k) there exists a llH.(G)^ O h " M m o )

(2.6)

fj, = min (t — s, I — s)

(2.6)

where and the constant C in (2.5) is independent of g and h. The function

0 will be called a t, k-regular system if the function

0, (3.2) «e Hi ue5j !|f|k,=i ||«ik„si sup \B(u, v)| > 0 , v+0 (3.3) UiBl where G1 < oo. III. F e H2 i. e. F is a linear functional on H2. Then IV. there exists a unique element u0 e //j such that B(u0, v) = F(v) (3.4) and I

W

k

^

.

^

For the proof and references see e. g. [1], [14]. The problems of elliptic equations may be related to this principle. Let us show two examples. Example 3.1. Let us be interested in the problem - Au - cu = /

(3.6)

with boundary conditions (3.7)

on and c > 0 be not an eigenvalue. Let us take Hx = H2 = H\Q), B(u, v) =

du dv dx1 dx1

du dv dx2 dx2

^^

dx,

(3.8)

F(v) = / fvdx . (3.9) a The bilinear form (3.8) is not positive definite but satisfies all assumptions of Theorem 3.1. The function u0 in (3.4) is the solution of (3.6) and (3.7). Example 3.2. Let us be interested in solving (3.6) with boundary condition u = 0-onfl\

(3.10)

Using the well known DIRICHLET principle together with the LAGRAHGEan multiplier principle to respect the constraint (3.10) we obtain the following principle (for Q' smooth). Take Hl — II1 (Q) X # _ 1 / 2 (i? ) = H2, (u, A) 6 Hv (v, e H2, and B[{u,X), (»,/«)] =

du dv du dv âCX + 5~~ â ox2 l 0X1 OX2

c u v

dx-(j)(fiu

F[(v, ju)] = f f v d x . a

+ vA)dS,

(3.11) (3.12)

We obtain a variational principle in the sense of the Theorem 3.1 and the element (M0,A0) satisfying (3.4) is related to the solution w of (3.6) and (3.10) in the following manner: u0 = w, A„ = y - • For more details see [1] and [15]. There are many other variational principles related to the problem (3.6) with boundary conditions (3.7) or (3.10). We refer the reader e. g. to [1]. All these principles may be used for approximate solution. The basis of its use is the following theorem. T h e o r e m 3.2. I. The hypothesis of Theorem 3.1 holds I I . M1 c H1 and M2 c H2 are given linear closed subspaces such that inf weitf,

sup \B{u, u)| ^ d2 (Mlt M2) > 0 v gM2

Hauptvortrage

T 6

and for every v e Mv v 4= 0 (3.14)

sup \B(u, v)| > 0 . M eMj I I I . For given F e H2, u0 denotes the unique element such that B{UQ,V)

=

F{V),

(3.15)

VveH2.

(The existence of such u„ is assured by Theorem 3.1.)

I V . There exists co e M1 such that (3.16) V. w0 6 M1 is such that B(u0, v) = F(v),

(3.17)

V v g M2

(The existence and uniqueness is guaranted by Theorem 3.1.)

Then V I . I K - «oilE, ^ 1

01 d2 (Mv M2)

(3.18)

For the proof see [1] or [14]. Let us show a typical use of Theorem 3.1 and 3.2 on the problem of Example 3.1. Let us take Mt = = S'iik(Q), with k ^ 1 and t > 1. Denote by u0 the solution of (3.6) and (3.7) and assume that u0 e Then llMo-Uollfl'^O^Hiiolla., h"\, abhängt, -und beachten wir, daß der Abstand von Gebieten benachbarter Wellenzahlen sich wegen verschiedener Werte von U linear mit t vergrößert, so bleibt die Energie eines Gebietes mit k S » kt konstant. W I T H A M hat durch dynamische Betrachtungen allgemeiner auch für nichtlineare Systeme höherer Dimension gezeigt, daß der Gradient der Frequenz im Raum der Wellenzahlvektoren bei festgehaltenem Zeitintegral von L über eine Periode als Amplitudenmaß die Energieausbreitung beschreibt. Wird die Phase y> für mehr als einen ¿-Wert stationär, so baut sich das Fernfeld additiv aus entsprechenden Komponenten auf. Im Falle mehrfacher Nullstellen von dipjdk gibt es i. a. eine y Berührung benachbarter Wege in der ¡»-f-Ebene, auf den Grenz\ \ V \ \ xkurven klingt f schwächer ab, z. B. nur wie l/3[/i~ im Falle einer \ (6)) mit y>{6) = kr cos (0 — a) = u x + v y,

\

\ \ \ • « . \

rv\

t

t \

(2)

falls wir die induzierten Wellenzahlen u = k cos 0 und v = k sin 0 einführen. Damit diese Welle im schiffsfesten System verankert ist, muß gelten c(0) = V cos 0, andererseits gilt für Wasserwellen das Dispersionsgesetz c = ]/gfk tanh (k d), wenn g die Gravitationskonstante, d die Wassertiefe ist. Mit a> = c k = tfg k tanh (k d) wird damit für tiefes Wasser (große k d) c = gjk, U — dojjdk — c/2. Daraus ergibt sich für stationäre Fahrtwellen eine Verknüpfung von k und 0 in der Form k — k0/cos2 0, wenn k0 — gjV2 die Wellenzahl für 0 = 0 ist. Ausgedrückt durch u und v ergibt das die Beziehung D{u, v) = u2 - k0)¡v? + v1 = 0 ,

(3)

welche bei Fahrtwellen anstelle der Relation cu = |¡gjk = 0 auftritt. Mit diesem Quasi-Dispersionsgesetz besteht die eingangs erwähnte Analogie zwischen den Größen x, t, k, co und

x, y, u, v .

Aus der FouRiEKdarstellung eines Systems solcher Fahrtwellen 00

00

— 00

— CO

£ = J h(v) exp (i u x + i v y) dv = J h(v) exp (i y(v)) dv ,

(4)

in dem u und v verknüpft seien durch D(u, v) = 0, finden wir für große r £ ~ Z h{vv) exp (»>(„,) + in Ii sign ( / ' ) ) / ^

+ 0(1 jr),

(5)

V

mit f" = d2ipjdv2, linear in r. Die Wertepaare u„, vv, über die hier summiert wird, sollen D(u, v) = 0 und d (wx + v y)ldv = 0, d. h. x dDjdv — y dDjdu = 0 genügen, die hieraus resultierende quadratische Gleichung hat zwei reelle Wurzeln nur, falls \y\ \x\j\/S, d. h. wenn der Polarkoordinaten winkel oc im Betrag kleiner ist als der Kelvinsche Wellenöffnungswinkel, der für tiefes Wasser unabhängig ist von der Fahrtgeschwindigkeit F. — Es ist nicht sachgemäß, nach der exakten Lage der Spitze des Keils zu fragen, in dem £ schwächer abklingt als 1 jr —, sie variiert mit der Wahl des Koordinatenursprungs zur Beschreibung von (4). Wenn (4) für alle x und y gälte, müßte sich der Keil auch nach vorn erstrecken. Ein von L I G H T H I L L präzisiertes Prinzip sagt jedoch, daß eine Störung nur in solchen Bereichen ein Fernfeld mit dominierender Wellenzahl k ausbilden kann, wo der Vektor der zugeordneten Gruppengeschwindigkeit eine Komponente in der Richtung weg von der Störung besitzt. Für reine Fahrtwellen folgt daraus, daß — naheliegend — nur hinter dem Schiff ein Fernfeld entsteht, relativ zum Schiff hat die Gruppengeschwindigkeit stets eine Komponente in + ¡»-Richtung. Sei nun durch x = xK eine raumfeste vertikale Kontrollfläche hinter dem Schiff gegeben. Die Energie E des Bereichs x < xK erfährt nun durch die Mitwanderung des Wellensystems eine Änderung dEjdt = V f (d^Ejdxdy) dy, sie wird i. allg. abhängen von xK, t und kann schon deshalb nicht der zeitlich konstanten

T 22

Hauptvorträge

Bild 2.

Leistung R V zur Überwindung des Wellenwiderstandes R gleich sein. Vielmehr schiebt jede Wellenkomponente mit Geschwindigkeit U cos 0 = V cos2 0/2 ihre (mittlere) Energie durch die Kontrollfläche. Für eine Einzelwelle f = h cos y> gilt nun, bis auf 0(h3), als Summe der Beiträge von kinetischer und potentieller Energie d2E/dx dy = Q g H2H + qgh2 cos2 y f i , d. h. im Mittel d2Ejdx dy = Q g h2j2 (Q = Dichte). Der mittlere Energiezuwachs in einem Streifen der Breite Ay des Bereichs x < xK ist dann AE = Ay V g Q h2/2, die Welle trägt dazu bei mit AE cos 2 0/2, der Rest entfällt auf die Antriebsleistung des Schiffes. Betrachten wir nun das kontinuierliche Wellensystem (4) als Grenzwert einer Summe C = Z! h(v)„y. Xexp (i if>(v„)) Av, mit vv — v Av, v = 0, £ 1 , . . . ,mit i. a. komplexer Amplitude h, und wählen wir speziell Av = n¡Ay, so folgt für den Widerstand oo R — lim Ay • q g / 2 Z IM«,) M2 (1 - cos2 6{vr)l2) = g gnj2 / |A(t>)|2 (1 - U(v)jc(v) cos2 0) dv. (6) Av-*-

0

v

— oo

Mit dem so gefundenen Zusammenhang zwischen Widerstand R und Fernwellenspektrum h(v) stellt sich die Frage nach der Abhängigkeit beider von der Formgebung des Schiffes. Wenn wir Zähigkeitseffekte und damit die Rotation der Flüssigkeit vernachlässigen, geht es dabei um ein Randwertproblem für das Geschwindigkeitspotential (f mit Randbedingungen auch auf der freien Oberfläche, deren Erhebung z = £(x, y) a priori unbekannt ist. (2 sei positiv nach oben gewählt, so daß für die ungestörte Wasserfläche z = 0 gilt.) Neben Bedingungen für die Normalableitung von