Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik: Band 52, Heft 6 Juni 1972 [Reprint 2021 ed.] 9783112549889, 9783112549872

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UNTER MITWIRKUNG VON E. BECKER • H. BECKERT • L. BERG . L. BITTNER • L. COLLATZ W. F I S Z D O N • H. GÖRTLER • J. HEINHOLD . K. MARGUERRE • P.H.MÜLLER • H. NEUBER W. O L S Z A K . K. OSWATITSCH • A. S A W C Z U K • L. SCHMETTERER • G. SCHMIDT K. SCHRÖDER H. SCHUBERT • H. UNGER • C. WEBER UND F. WEIDENHAMMER HERAUSGEGEBEN VON H. HEINRICH, DRESDEN B A N D 52

1972

HEFT 6

A U S DEM IN HALT H A U P T A U F S Ä T Z E Adams, E. und Spreuer, H., Eine Verallgemeinerung des Satzes von Müller auf parabolische Systeme von Integrodifferentialgleichungen nicht notwendig monotoner Art / Schips, B. und Stier, W., Autokorrelationstests und autoregressive Schätzverfahren / Isoy, W. H., Ein Wirbelmodell zur Behandlung der Strömung am Rotorblatteines Hubschraubers K L E I

N E

M I T T

B U C

H

B E S P R E C

N A C

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A K A D E M I E - V E R L A G ZAMM

Bd. 52

E

Nr. 6

I L U

N G

H U

N G

G M B H

•

E N

E N

H T E N

S. 261-320

B E R L I N Berlin, Juni 1972

Prof. Dr. GÜNTER MEYER-BRÖTZ Dr. JÜRGEN SCHÜRMANN

INHALT: Hauptaufsätze

Seile

A d a m s , E. und Spreuer, H., Eine Verallgemeinerung des Satzes von Müller auf parabolische Systeme von Integrodifferentialgleichungen nicht notwendig monotoner Art. 261 « Schips, B. und Stier, W., Autokorrelationstests und autoregressive Schätzverfahren 273 Isay, W . H., Ein Wirbelmodell zur Behandlung der Strömung am Rotorblatteines Hubschraubers 283

Methoden der automatischen Zeichenerkennung 1970. 154 Seiten - 65 Abbildungen - 8 Tabellen - gr. 8°

28,- M Bestell-Nr. 761 352 5 (5778)

Kleine Mitteilungen Lübbert, C., Symmetrieeigenschaften ebener periodischer Bewegungsvorgänge 311

I m vorliegenden Beitrag werden mathematische Methoden der automatischen

Zeichenerkennung

dargestellt und diskutiert, nicht aber beispielsRani, O., Duality in Quadratic Programming.-

314

weise praktische Fragen der Konstruktion v o n Beleglesemaschinen oder der Anwendung v o n Beleg-

Buchbesprechungen

317

lesern in Postscheck- oder Banksystemen. E s wer-

Nachrichten

320

rechnung und Matrizen-Rechnung, die heute zur

den

Grundkenntnisse

der

Wahrscheinlichkeits-

Bildung jedes Diplomingenieurs gehören, vorausgesetzt. Der behandelte Stoff u m f a ß t vier Hauptthemen: 1. Die

Anwendung

der statistischen

Entschei-

dungstheorie auf Erkennungsaufgaben 2. Klassif ikatoren, die auf mathematisch geometrischen Anschauungen beruhen 3. Erkennungsverfahren mit Hilfe der Regressionsanalyse und W i r bitten, alle Manuskriptsendungen und andere Zuschriften an folgende Anschrift zu richten: Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, z. Hd. Prof. Dr.-Ing. H. Heinrich, 8027 Dresden, Friedrich-Hegel-Str. 31. Z u den Arbeiten, die als Hauptaufsätze bestimmt sind, erbitten wir auf gesondertem Blatt eine kurze Zusammenfassung des Inhalts, nach Möglichkeit in deutscher, englischer und russischer Sprache; falls die Übersetzungen nicht geliefert werden können, ist wenigstens die Angabe spezieller Fachausdrücke in den verschiedenen Sprachen erwünscht. Ausführliche Hinweise für die Autoren, um deren strikte Berücksichtigung gebeten wird, finden sich im Anschluß an das Inhaltsverzeichnis des Jahrganges 51 (1971). Die Autoren erhalten von den Hauptaufsätzen 75, von den Kleinen Mitteilungen 25 Sonderdrucke ohne Berechnung, darüber hinaus bis zu 250 Sonderdrucke gegen Berechnung. Der Verlag behält sich für alle Beiträge das Recht der Vervielfältigung, Verbreitung und Übersetzung vor.

4. Grundsätzliche Betrachtungen über Experimente bei Zeichenerkennungsaufgaben u n d spezielle Ergebnisse der Anwendung der mathematischen ' Methoden beim Lesen v o n Schriftzeichen. Nur dieses letzte Kapitel

beschäftigt sich

mit

einer speziellen Zeichenerkennungsaufgabe, während sich der übrige Inhalt mit der mathematischen Methodik befaßt.

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E.

ADAMS

und

H . SPKEUEB:

261

Eine Verallgemeinerung des Satzes von M ü l l e r .

ZAMM52, 261 - 2 7 1 (1972)

Eine Verallgemeinerung des Satzes von M ü l l e r auf parabolische Systeme von Integrodifferentialgleichungen nicht notwendig monotoner Art Von E. Adams*)**) und H. Speeueh,*)

Es werden Systeme linearer oder nichtlinearer parabolischer Integrodifferentialgleichungen für den Vektor iv(x, t) mit N Komponenten Wk betrachtet. Es ist t die parabolische Variable, und in jedem Gebietsoperator sind Ableitungen von w nach allen Komponenten von x zugelassen. In den Integralen wird über alle Komponenten von x integriert. Es werden gewisse Monotonievoraussetzungen verwendet. Die Gebietsoperatoren sollen durch Einsetzen von to*(t) statt w(x,t) in diejenigen gewöhnlicher Differentialgleichungen übergehen. Gewisse entkoppelte Randwertaufgaben für Funktionen u'ic(x, t) sollen von monotoner Art sein. Es wird in einem beschränkten t-Intervall die Existenz genau einer Lösung eines Systems von 2 N gewöhnlichen Anfangswertaufgaben für obere und untere Schranken tv(t) bzw. w(t) von w(x,t) gezeigt. Systems of linear or nonlinear parabolic integro-differential equations are considered for the vector iv(x,t) with N components wHere, t is the parabolic variable. In the domain operators, derivatives of w with respect to every component of x are admissible. In the integrals, the integration refers to every component of x. Suitable assumptions on monotonic change of coefficients and functionals are employed. Certain decoupled boundary value problems are assumed to be of monotonic type. The domain operators are assumed to become ordinary differential operators upon substitution of w*(t) for vc(x, t). In a bounded interval of t, the existence and the uniqueness of the solution of a system of 2 N ordinary initial value problems is shown which determines upper bounds w(t) and lower bounds w(t) of tv(x, t). PaccMaxpiiBaiOTCH c h c t c m w jiiiHeiiHbix h j i h n e j i n n e M n b i x i i a p a f l o n i n i e c K i i x HHTerpofl,H(J)$epeimnajii.Hbix y p a B H e i r a i i h j i h BCKTopa w(x, t) c N cocTaBJifliomiiMH Wk- B e j i H ' i H u a t h b j i h c t c h n a p a 6 0 J i M l i e c K 0 H i i e p e M e n i i o H . B KantaoM o n e p a T o p e n o oöjiacTH iionycKaeTCH n a j r a ' w e iip0H3B0HHbix Bejra«HHbi w n o B e e n cocTaBJiHiomHM B e K T o p a x. H H T e r p H p o B a H H e b M H T e r p a j i a x npon3BOj(HTC5i OTHOCHTejibHO B c e x COCTaBJIHIOEHHX B e K T o p a X. OpHMGHHtOTCil O l i p e a e n e H H b i e npejinOCblJIKH OTHOCHTejibHO MOHOTOHHOCTH. H y T e M noacTaHOBKH w*(t) b m g c t o W(X, t) o n e p a T o p b i n o o S J i a c r a h o j u k h m nepetiTH b TaKHc-;i'e o n e p a Topbi o G l m i i m x RH(M>EPEHI;HAJIBHMX y p a B n e n H H . O n p e n e j i e n H b i e p a c i e n j i e i n n j e i ; p a e B i , i e 3 a R a i n ¡win ({)yni;nHö «^{x, t) ao.ti>khm 6i>iti> MOHOTOHnoro BHj;a. IIOKaaaHO e y m e c T B O B a m i e TOJibKO o a h o i ' o p e rnenHH CMCTeMbi 2 N o S m t o h x 3 a n a n n a n a ' i a j i b i i o e a i i a ' i e i n i e h j i h B e p x n e r o n HH>Kiiero n p e a e J i a w(t) h w(t) BeKTopa w(x, t) b o r p a m m e n n o M npoMe>KyTi

für gelten,

so

f]k
0 unterscheiden, gelten

«»(0 < v>k(t) ^ «*(') ^ ->

w]

rdSv

h

XtK, !=|=fc

F k { x

'

v , (7.9)

gilt, d.h. die durch w?t(i)und wk(t) eingeschlossene Funktionenklasse vk(x, t) die Funktion wk(x, t) enthält, also WS) ^ w*(®> t) g wk{t)

für

k = 1, . . ., N

in

0

für

t 6(0, &2]

(7.10)

erfüllt ist. Das wird weiter unten nachgewiesen. Wegen des durch (3.2) und (3.5) ausgedrückten Zusammenhanges zwischen fk und gk sind die Funktionen fk und sup fk in (7.8) und in (7.9) unabhängig von den Ableitungen der Funktionen vk und wk nach x} und ; daher reicht der Nachweis der Gültigkeit von (7.10) für denjenigen von (7.9). Eine (7.8) entsprechende (Un-)Gleichungskette gilt auch mit wk statt wk und mit inf statt sup. Hieraus und aus (7.8) folgt bei Gültigkeit von (7.10) Pk[(wk(t), wk(x, i))] ^ Pk[w(x,

i)] = 0 ^ Pk[(wk(t), wk(x, i))]

in O für t e (0, 6 J ,

(7.11)

wo der Vektor wk(x, t) annahmegemäß bis auf die in wk fehlende Komponente wk mit dem Lösungsvektor w(x, t) der RWA (3.7) identisch ist. Die Systeme (7.1), (7.2) bzw. (4.1), (4.2) sind Aufgaben von monotoner Art [30, p. 42, p. 85 f.], wenn man wie in [30, p. 86] anstatt der Unterfunktionen deren (—l)-faches betrachtet. Es folgt WS) ^ wS) ^ wk(t) ^

in

0

(7.12)

wobei die Ungleichung für t — 0 aus der Vorgabe der Anfangswerte gemäß (7.1), (7.2) und für 0 < t 55 als dem gemäß (7.4) gemeinsamen Definitionsbereich durch Einsetzen in die Operatoren z. B. von (7.1), (7.2) folgt. Die Einzel-Operatoren in (7.5), (7.6) für die entkoppelten Funktionen wk, wk bilden Aufgaben von monotoner Art nach [30, p. 60, Satz X I ] . Durch Einsetzen von wk, wk in die Operatoren in (7.5), (7.6) folgt wegen (7.12) und (4.1), (4.2) bzw. wegen der übereinstimmenden Anfangswerte wk(0) = wk{0) und wk(0) = wk{0) nach (7.5), (7.6) die Ungleichung «>( ?/(0) = Vo

(7-10)

besitze genau eine Lösungskurve y0(t) in 0 t ß0, und es sei f stetig in einem geeigneten, y^t) enthaltenden Gebiet des (y, t)liaumes. Sei ß in 0 < ß < ßQ vorgegeben. Dann gibt es zu allen hinreichend nahe an i)0gelegenen Werten rj Lösungskurven y,t(t) von t SS ß. y'(t) = f(t, y(t.)), y(0) = ij und es gilt i/, —> y0für t]^- TI0 und zv;ar gleichmäßig bezüglich t in 0 Es werden jetzt identifiziert: (a) »/„(() mit der in 0 ^ t 5S 60 als eindeutig nachgewiesenen Lösung i_v(t), w(t) von (4.1), (4.2) und (b) y(t) mit der in 0 £i t Si 6, als eindeutig bewiesenen Lösung w(t), Wi(t) von (7.1), (7.2). Wegen (7.1), (7.2) unterscheiden sich in t = 0 gleich indizierte Komponenten von yz bzw. w, W um +e, wobei + komponentenweise mit r) — »)0 zu identifizieren ist. Dann streben also für jedes feste £>3 6 (0, 60) die Funktionen w(t), iv(t) gegen w(t) bzw. w(t) und zwar gleichmäßig bzgl. t in 0 t bs. Also gilt auch die Behauptung (3.9) in 0 t &3. Da aber b3 beliebig nahe an b0 gewählt werden darf und die in (3.9) betrachteten Funktionen auch in b0 noch stetig sind, folgt i v ( t ) ^ w ( x , t ) ^ w ( t ) in G für

t € [0, &„] .

(7.17)

Die beiden in (4.3) genannten Nebenbedingungen sind immer erfüllt, wenn _ß2 = 0 ist. Wenn aber bei einem gegebenen Problem 60 auf Grund der Nebenbedingungen zu klein ausfällt, so kann man versuchen, die Differentialoperatoren oder Anfangsbedingungen in den Hilfs-AWA (4.1), (4.2) geeignet durch Hinzufügen von Gliedern so abzuändern, daß 60 wächst; diese Abänderungen sind zulässig, weil das Zeichen = in (4.1) durch fä und das Zeichen = in (4.2) durch ig ersetzt werden dürfen. Die Komponenten der Vektoren W und W dürfen wegen V-3.1, V-3.2 und V-3.5 das größte Intervall begrenzen, in dem (a) FK stetig ist und (b) fic stetig ist und (c) die LIPSCHITZ-Bedingung durch gz erfüllt ist, und zwar mit 4 = 1 N. Ein endliches Intervall 0 ^ t 50 in (7.17) reicht nicht aus, wenn bei einem speziellen Problem w(t) und w(t) in 0 t < oo gebraucht werden. Bei vielen Problemen interessieren aber iv(t) und li(t) nur in einem endlichen Intervall der Art 0 ), |/^~und ß2 geschätzt. Dann werden die Parameter a und b der Beta-Verteilung ermittelt mit der die unbekannte Verteilung von D approximiert werden soll. Daran anschließend werden Xg und XG bestimmt. Auf Grund der vorgenommenen Transformation ist D — XK — (Xg — ?-K) Z. Mit Hilfe der errechneten Werte und einer Tabelle der unvollständigen Beta-Punktion (vgl. z. B. PEARSON [27]) läßt sich dann für ein vorgegebenes Testniveau a ein kritischer Wert für D bestimmen. Über die Güte dieser Tests ist leider wenig bekannt. Mit Hilfe einer Simulation lassen sich jedoch einige Anhaltspunkte für den praktischen Gebrauch gewinnen. An Stelle einer umfassenden Dokumentation der Ergebnisse von experimentellen Untersuchungen werden hier nur die Ergebnisse eines numerischen Beispiels wiedergegeben. Dieses Beispiel ist jedoch so ausgewählt, daß es eine geradezu typische Situation bei derartigen Untersuchungen wiedergibt. Numerisches

Beispiel

Betrachtet wird ein einfaches lineares Regressionsmodell mit autokorrelierten Störvariablen Vi =

ßo +

ßi

+

«< >

¿ =

1 , . . . , » .

Die stochastische Abhängigkeit der Störvariablen soll dabei durch einen autoregressiven Prozeß erster Ordnung dargestellt werden: Ui =

mit

Q Ui-i

+

vt,

i — 1, . . . , n ,

0 und e(v v') = a% En. Für u0 wird eine Realisation einer N(0, l)-verteilten Zufallsvariablen und für die einzelnen Störvariablen i>i ebenfalls Realisationen einer N(0, l)-verteilten Zufallsvariablen gewählt. Der Stichprobenumfang wird auf n — 16 festgelegt. Mit ßo = 5.0; & = 0.8; Q = 0.7 und e(v)

=

u0 = - 0 . 6 8 4 , = -0.367, v2 = 0.406, v3 = - 0 . 9 6 8 , »4 = 1.571,

v5 vs v7 vs

Vl

sowie

Xi € [2.0, 32.0]

mit

= -0.004, =-1.229, = -0.639, = 0.731,

vt vw vn vu

= 0.251, = 1.608, = -0.537, = 0.629,

v13 = 2.566, vu = 0.190, »15 = 2.451, = 2.139,'

Xi+i = xt + 2.0

9 ) Die PEARSONschen Maße für Schiefe und Wölbung einer Beta-Verteilung sind unabhängig vom Ursprung und Maßstab, und damit auch vom Wertebereich der jeweiligen Beta-Funktion. Sie lassen sich so unmittelbar mit den PBARSOsschen Maßen der Verteilung der Testfunktion D vergleichen (vgl. H . T H E I L , A . L . N A G A E [ 2 9 ] ) .

B. Scmi'S und W.

STIER:

Autokorrelationstests und ¡uitoregressi\re Schätzverfahren

277

ergeben sieh dann folgende Wertepaare (Xi, yi) (2.0, 5.7542), (18.0, 19.5619), (4.0, 8.0139), (20.0, 22.7213), (6.0, 8.7018), (22.0, 23.2679), (8.0, 12.2022), (24.0, 25.2966), (10.0, 13.5576), (26.0, 29.1336), (12.0, 13.7613), (28.0, 29.9235), (14.0, 14.9739), (30.0, 33.2175), (16.0, 17.6727), (32.0, 35.6912) . Diese 16 Wertepaare sind die Basis aller sich anschließenden numerischen Illustrationen. Eine Schätzung der Parameter dieses einfachen linearen Regressionsmodells mit Hilfe der gewöhnlichen Methode der kleinsten Quadrate ergibt dann folgende Schätzwerte: ß0 = 3.1238, /?! = 0.9686 und var{ß-J = 0.0295. Das Bestimmtheitsmaß ist B = 0.9872. A u t o k o r r e l a t i o n s t e s t s zum numerischen Beispiel Es soll nun die Hypothese nicht-autokorrelierter Störvariablen getestet werden. Bei der Anwendung des Testverfahrens nach v. NEUMANX-HAET ergibt sich der Testwert 1.2259. Für die Testniveaus aj = 0.01, a 2 = 0.025 und a 3 = 0.05 ergeben sich die kritischen Werte = 1.0124, c„ = 1.1516 und c3 = 1.3090 (vgl. H A B T [16]). Bei einem Testniveau von a1 = 0.01 und