Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik: Volume 70, Number 9 [Reprint 2021 ed.] 9783112571064, 9783112571057

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Z A M M publishes original papers (main articles and short communications), the lectures presented at the annual G A M M conferences, and review articles (requested by the Editorial Office of Z A M M ) i Papers in English (preferably) or German to be submitted for publication should be sent to the address at the bottom of this page (master and one copy), in the case of original papers: together with an explicit assurance that they nave not been published previously in, or are submitted to, another public journal. Authors are held fully responsible for all information included in their paper and should have one copy available for correction purposes. They get two sets of page proofs, one of them has to be returned within one week. Authors may be charged for extensive corrections in the text; corrections in the figures are not possible. They receive 150 (plenary G A M M lectures), 75 (main articles and short G A M M lectures), or 25 (short communications), respectively, free-of-charge reprints. Additional reprints have to be paid for.

Z A M M veröffentlicht Originalarbeiten (Hauptaufsätze und Kleine Mitteilungen), die Vorträge der jährlichen G A M M Tagungen und Übersichtsartikel (die von der Redaktion erbeten werden). Arbeiten in Englisch (vorzugsweise) oder Deutsch, die zur Publikation eingereicht werden, sind an die unten stehende Adresse zu senden (Original und eine Kopie). D e m Manuskript von Originalarbeiten ist eine Erklärung beizufügen, daß die Arbeit bisher in keiner anderen Zeitschrift veröffentlicht worden ist und auch kein Antrag auf Veröffentlichung in einer solchen Zeitschrift läuft. Die Autoren sind für den Inhalt ihrer Arbeiten voll verantwortlich und sollten für Korrekturzwecke eine weitere Kopie besitzen. Sie erhalten die Korrekturfahnen in zweifacher Ausfertigung; eine Korrektur ist innerhalb einer Woche zurückzusenden. Die Kosten für umfangreiche nachträgliche K o r rekturen können dem Autor berechnet-werden. Korrekturen in den Abbildungen sind nicht möglich. Die Autoren erhalten kostenlos 150 Sonderdrucke für die Hauptvorträge der GAMM-Tagungen, 75 für Hauptaufsätze, Übersichtsartikel und die GAMM-Kurzvorträge und 25 für Kleine Mitteilungen. Zusätzliche Sonderdrucke sind gegen Berechnung erhältlich.

M a n u s c r i p t s should be type-written (one-sided, double-spaced with wide margins at both sides, each sheet numbered) beginning with the authors' names and the title of the paper. Extra types (like bold-faced letters etc.) should be marked. Please, distinguish between 1, /, e; v, v, w, a>; o, 0, 0 (zero); k, K, x; I, t; x, x (cross), % etc. F o r m u l a s must be written clearly legible (type-writer if possible, never use pencil). Formulas used in the text have to be numbered at the right margin. Use abbreviations for long terms, " e x p " instead of " e " for extensive exponents, bold-faced letters for vectors etc. instead of arrows; avoid hierarchies of indices and exponents if possible. The end of a proof should be marked. F i g u r e s should be submitted on separate sheets, drawn with Indian ink and numbered consecutively. Figure captions, tables, and footnotes (if not avoidable) should be inserted in the final place in the text. References should be numbered In brackets throughout the text and collected according to these numbers in the appended bibliography (References). Each reference should contain author(s), title, and complete bibliographical coordinates following the subsequent examples. Books (Reports, Preprints etc.): IRONS, B. M.; SHRIVEN. G.: Numerical methods in engineering and applied science — Numbers are fun. Ellis Horwood Series in Mathematics and Its Applications, Ellis Horwood Ltd., Chichester 1987. Articles in periodicals: KASSEM, S. E.: W a v e source potentials for two superposed fluids, each of finite depth. Indian J. Pure Appl. Math. 18 (1987) 2,186—193. Articles in Proceedings etc.: LABISCH, F. K.: Some remarks on the morphology of nonunique solutions in nonlinear elastostatics. In: KOPPER, T.; SEYDEL, R.;TROGER, H.(eds.): Bifurcation: Analysis, algorithms, applications. Proc. Conf. at the Univ. of Dortmund, August 18—22,1986. Internat. Ser. of Numer. Mathematics, Vol. 79, BirkhSuser Verlag, Basel-Boston-Stuttgart 1987, pp. 177—184. T o each original paper and review article, a s u m m a r y of 5 to 10 lines in English (for manuscripts of more than 10 pages in German and Russian) and a short list of key-words and corresponding A M S ( M O S ) classification numbers are needed. The precise address of each author with full name, academic title etc. Is to be added. Information on address changes is appreciated.

ZAMM Editorial Office Rudower Chaussee 5 DDR-1199 Berlin

Die M a n u s k r i p t e müssen mit Maschine geschrieben sein (einseitig, zweizeiliger Zeilenabstand mit breitem Rand auf beiden Seiten, jede Seite numeriert), wobei mit den Namen der Autoren begonnen werden soll und danach der Titel folgt. Besondere Typen (z. B. halbfett) sind zu markieren. Es soll gut unterschieden werden zwischen 1, /, e; v, v; w, cu, o, 0, 0 (Null); k, K, x; /, i; x, x (Kreuz), %\ usw. Die F o r m e l n müssen deutlich lesbar sein (möglichst maschinenschriftlich, keine Verwendung von Bleistift). Im Text verwendete Formeln sollten am rechten Rand durchnumeriert werden. Für lange Terme sind Abkürzungen zu verwenden, „ e x p " anstelle von „ e " für große Ausdrücke im Exponenten, halbfett für Vektoren anstelle von darübergesetzten Pfeilen — Mehrfach-Indizes wie auch -Exponenten möglichst vermeiden. Das Ende eines Beweises sollte gekennzeichnet werden. A b b i l d u n g e n sind auf gesonderten Blättern einzureichen und sollten mit Tusche gezeichnet und durchnumeriert sein. Die Abbildungsunterschriften, eventuelle Tabellen und (falls nicht vermeidbar) Fußnoten sind an der Stelle einzufügen, an der sie im Text erscheinen sollen. Literaturzitatesind durch den gesamten Text durchzunumerieren (in eckigen Klammern) und in der entsprechenden Reihenfolge im am Schluß folgenden Literaturverzeichnis aufzulisten. Jedes Zitat sollte Autor(en), Titel und die vollständigen bibliografischen Koordinaten enthalten, entsprechend den folgenden Beispielen. Bücher (Reports, Preprints usw.): IRONS. B. M.; SHRIVEN. G.: Numerlcal methods in engineering and applied science — Numbers are fun. Ellis Horwood Series in Mathematics and Its Applications, Ellis Horwood Ltd., Chichester 1987. Zeitschriftenartikel: KASSEM, S. E.: W a v e source Potentials for two superposed fluids, each of finite depth. Indian i. Pure Appl. Math. 18 (1987) 2,186—193. Arbeiten in Proceedings usw.: LABISCH, F. K.: Some remarks on the morphology of nonunique solutions in nonlinear elastostatics. In: KOPPER, T.; SEYDEL, R.; TROGER, H. (eds.): Bifurcation: Analysis, algorithms, applications. Proc. Conf. at the Univ. of Dortmund, August 18—22, 1986. Internat. Ser. of Numer. Mathematics, Vol. 79, Birkhäuser Verlag, Basel-Boston-Stuttgart 1987, pp. 7 7 7 - 1 8 4 . Für jede Originalarbeit und jeden Übersichtsartikel wird eine englische Z u s a m m e n f a s s u n g (bei Manuskripten von mehr als 10 Seiten auch je eine in Deutsch und Russisch) von 5 bis 10 Zeilen Länge sowie eine kurze Liste von Stichwörten und den entsprechenden A M S (MOS)-Klassifikationsmarken benötigt. Die genaue Adresse jedes Autors mit vollständigem Namen, akademischen Titeln usw. muß beigefügt werden. Bei Adressenänderung wird eine umgehende Information erwartet.

Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik

1

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ii

Applied Mathematics and Mechanics Founded by Richard von Mises in 1921

Edited at Institute of Mechanics Academy of Sciences of the G.D.R. Editor-in-Chief: G. Schmidt Editorial Board G. Alefeld (Karlsruhe) H. Beckert (Leipzig) L. Berg (Rostock) L. Bittner (Greifswald) L. Collatz (Hamburg) M. S. El Naschie (Epsom) W. Fiszdon (Warsaw) H. Gajewski (Berlin) P. Germain (Paris) H. Günther (Chemnitz) J. Heinhold (Munich) H. Heinrich (Kiel) K. Hennig (Berlin)

Akademie-Verlag • Berlin

P. J. van der Houwen (Amsterdam) J. Hult (Gothenburg) A. Ju. Ischlinski (Moscow) R. Klotzler (Leipzig) H. Neubert(Bad Worishofen) K. Oswatitsch (Vienna) M. Peschel (Berlin) J. Rychlewski (Warsaw) G. Schmidt (Berlin) J. W. Schmidt (Dresden) G. G. Tschorny (Moscow) H. Unger (Bonn) F. Ziegler (Vienna)

Volume 70 1990 Number 9

Editorial Office Academy of Sciences of the GDR, Institute of Mechanics Prof. Dr. Günter Schmidt • Elke Herrmann • Or. Dieter Ullmann - Dr. Horst Weinert

The aim and scope of ZAMM is, in agreement with the intentions of its founder Richard von Mises, one of the outstanding scientists of our century in both Mathematics and Mechanics: to publish new results and review articles, the proceedings of the annual GAMM conferences, book reviews and information on applied mathematics (mainly on numerical mathematics and various parts and applications of analysis, in particular numerical aspects of differential and integral equations), on the whole field of theoretical and applied mechanics (solid mechanics, fluid mechanics, thermodynamics) and on mathematical physics. The journal is of interest for persons working in applied mathematics and mechanics as well as on mathematical or mechanical questions in other sciences, for instance mechanical and civil engineering, electrotechniques, and chemistry.

In Übereinstimmung mit den Zielstellungen des Begründers der ZAMM, Richard von Mises, eines der bedeutendsten Wissenschaftler unseres Jahrhunderts auf dem Gebiet der Mathematik und Mechanik, publiziert die Zeitschrift neue Ergebnisse und Übersichtsartikel, die Vorträge auf den jährlichen GAMM-Tagungen, Buchbesprechungen und Informationen über Angewandte Mathematik (hauptsächlich über numerische Mathematik und verschiedene Teile sowie Anwendungen der Analysis, insbesondere numerische Aspekte bei Differential- und Integralgleichungen), über das gesamte Gebiet der theoretischen und angewandten Mechanik (Festkörpermechanik, Strömungsmechanik, Thermodynamik) und über mathematische Physik. Die Zeitschrift wendet sich an Vertreter der Angewandten Mathematik und Mechanik wie auch an Wissenschaftler und Ingenieure, die sich mit mathematischen oder theoretisch-mechanischen Fragen auf anderen Gebieten, z. B. Maschinenbau und Technik, Elektrotechnik und Chemie, befassen.

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ZEITSCHRIFT FÜR ANGEWANDTE MATHEMATIK UND MECHANIK Herausgeber: AdW der DDR, Institut für Mechanik, Chemnitz. Mit der Herausgabe beauftragt und Chefredakteur: Prof. Dr. Günter Schmidt, Rudower Chaussee 5, DDR-1199 Berlin, Fernruf: 6745611 oder 6743668 (gleichzeitig Anschrift der Redaktion). Verlag: Akademie-Verlag Berlin, Leipziger Straße 3 - 4 , PF-Nr. 1233, DDR-1086 Berlin; Fernruf: 2236221 oder 2236229; Telex-Nr.: 114420; Bank: Staatsbank der DDR, Berlin, Kto.-Nr.: 6836-26-20712. Amt. Verlagsdirektor Dr. Bernhard Tesche; Stellvertr. Cheflektor Zeitschriften: Armin Beck; Redakteur der Abt. Zeitschriften: Marianne Simon. Veröffentlicht unter der Registriernummer 1282. Gesamtherstellung: Druckhaus „Thomas Müntzer" GmbH, DDR-5820 Bad Langensalza. Erscheinungsweise: Die Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik erscheint monatlich. Die 12 Hefte eines Jahres einschließlich Tagungshefte bilden einen Band. Bezugspreis je Band 480,- DM zuzüglich Versandspesen. Bezugspreis je Heft 4 0 , - DM. Bestellnummer dieses Heftes: 1009/70/9. Urheberrecht: Alle Rechte vorbehalten, insbesondere die der Übersetzung. Kein Teil dieser Zeitschrift darf in irgendeiner Form durch Fotokopie, Mikrofilm oder irgendein anderes Verfahren - ohne schriftliche Genehmigung des Verlages reproduziert oder in eine von Maschinen, insbesondere von Datenverarbeitungsanlagen verwendbare Sprache übertragen oder übersetzt werden. - All rights reserved (including those of translation into foreign languages). No part of this issue may be reproduced in any form, by photoprint, microfilm or any other means, nor transmitted or translated into a machine language without written permission from the publishers. © 1990 by Akademie-Verlag Berlin. Printed in the German Democratic Republic. AN (EDV) 35937

359

BAUER, H. F.: Response of a Viscous Liquid Column

ZAMM - Z. angew. Math. Mech. 70 (1990) 9, 359 - 369

Akademie-Verlag Berlin

BAUER, H . F .

Response of a Viscous Liquid Column to Axial Excitation in Zero-Gravity Dedicated to Prof. Dr. E R N S T

GIENKE

on the occasion of his 65th birthday

Das Antwortverhalten einer viskosen Flüssigkeitssäule wurde analytisch behandelt, wobei zur vereinfachten Lösung die Haftbedingung am oberen und unteren Ende der Flüssigkeitsbrücke unberücksichtigt blieb. Die freie Oberflächenauslenkung, die radiale und axiale Geschwindigkeitsverteilung wurden als Vergrößerungsfunktionen des Erregerfrequenzparameters üa /v für verschiedene Oberflächenspannungsparameter oa/ßv2, Streckungsverhältnisse l/a an verschiedenen Stellen der Flüssigkeitssäule dargestellt. Dabei konnte eine endliche, aber scharfe erste Resonanzerhöhung festgestellt werden. The response of a viscous liquid column to axial excitation has been determined analytically. For a simplified analytical treatment the no-slip condition at the top and the bottom of the liquid column has been abandoned, while the normal condition could be satisfied. The free liquid surface elevation, the radial- and axial velocity distribution have been presented for various surface tension parameters oa/ßv2, aspect ratios IIa and at various locations inside and along the liquid bridge as functions of the forcing frequency parameter da2/v. It could be noticed that due to viscosity the resonance amplitudes are finite and that the lowest resonance is sharply tuned. Omeem e/tsicoeo MCUÖKOIO cmoAÖKa m ocesoe eoißyjicdeHue onpedeMtemcx anajumunecKyM oöpasoM. HAH ynpoutemoü aHOjtumunecKoü o6pa6omxu noKudaemcn ycAoeue npwturumun na eepxe u m due ncudKoeo cmoAÖKa, Koeda oöwmoe ycAoeue ydoejiemeonemcH iwane. Bosabtuienue ceoöoduoü noeepxuocmu ncydieocmu u pacnpedeAeuue paducuuMoü KOK U oceeoü CKopocmu npedcmasAnemcH dan paSAUUHbix napauempoe noeepxHocmuozo HarruaiceHwt oa/ßv2, omHocumeAbrtbix ydAuuehuü l/a u Ha pa3AUUHbix HaxootcdeuuHX e npedeAax u edoAb DKUÖKOZO cmoAÖxa e eude ffiywcifuü om napa/nempa tacmomti eoiöyncdeHUH Oa2/v. MOMCHO 6UAO JOMemumb, umo ÖAaeodapx ensKocmu peionoHCHhie aMnAumydt* neAmom KonenHbiMU a umo caMbiü HU3KUÜ pe30uaHC ommoiHeHHO Hacmpousaemcn.

Introduction The vibration of cylindrical liquid bridges under micro- or even zero-gravity environments has recently become of quite some interest in manufacturing processes in space, where a cylindrical liquid column is the most favored geometry. Such oscillations may have detrimental effects on experiments and on products of a manufacturing process. Due to the lack of gravity the liquid bridge is held together by liquid surface tension, which also acts in case of disturbances as the restoring force. The knowledge of the magnitude of the natural frequencies and the decay of the motion, as well as the response of the column due to harmonic axial excitations is of quite some interest to the experimenter. For this reason an experiment on the German D-2-Spacemission will be performed under the title "Liquid Column Resonances" (LICORE), in order to establish experimentally the natural frequencies and the response of the liquid to axial excitation. To support these experiments the necessary theoretical knowledge of the liquid behavior of a column and experiments with small liquid bridges on ground have to be performed before any useful flight experiments shall be executed. Only this way useful, efficient and conclusive results may be obtained from experiments in orbit. Since the liquid zone is held together by surface tension, its free liquid surface may perform oscillations, if disturbed. These oscillations may be damped, which means that a decaying oscillatory motion occurs, or they may be unstable, which is manifested by a motion with increasing amplitude. But there also may appear a non-oscillatory decaying (aperiodic) motion or a diverging instability. It was found [1, 2, 3], that the liquid becomes unstable, if the wave length in the axial direction for the axisymmetric motion (m = 0) is equal or larger than the circumference of the liquid column. This result holds for frictionless [4], viscous [1] and visco-elastic liquids [5]. For viscous and visco-elastic liquids, however, there exists a certain range of axial wave-length, for which (depending on the surface tension parameter aa/Qv2) no damped oscillation occurs anymore, i.e. for which just an aperiodic behavior appears in the liquid motion, if disturbed [6]. The response to harmonic excitations of an otherwise stable liquid bridge is of quite some importance. For this reason a liquid column is axially excited with an excitation amplitude z0 and a forcing frequency ß. This renders finally the response of the damped free liquid surface displacement and the response of the radial- and axial velocity. 2. Basic equations A liquid column of finite length / and diameter 2a consisting of viscous and incompressible liquid is between two walls in a zero gravity environment. If disturbed the liquid column will perform a damped oscillation, in which the free liquid surface tension acts as restoring force. Such a viscous column shall, if subjected harmonically to an axial excitation exhibit a certain response, which we shall investigate. To determine this response the Navier-Stokes equations have to be solved together with the continuity equation and the appropriate boundary conditions. Assuming small velocities and free surface displacement, the basic equations may be linearized and are with the velocity v = uer + wk and the exterior acceleration 25»

360

ZAMM • Z. angew. Math. Mech. 70 (1990) 9

g given by Stokes equation 0®

1

h - grad p + v curl curl ® = g

0t

(1)

e

and the continuity equation div « = 0 . (2) In component writing this yields with g = — Q2z0 e""*, where z 0 is the excitation amplitude of the walls and (2 the forcing frequency of the harmonic axial excitation for axisymmetric motion 0U

1 dp

f~d2u

1 du

u

Q 8z

L>2

r 0r

02 J

0 2 tf|

0t 0W Ôt

+

,3b,

and 0M U 0W - + - + — = 0. or r 02

(4)

The boundary conditions are at the top and bottom of the liquid column given by u = 0

and

w = 0

at

z = ± —, 2

(5)

while at the free liquid surface it is „ 0«

,02£l

g

ff

(6a)

and 0C u = — at 0t

r = a

(6b)

with C — C ( z . 0 as the free surface displacement above the equilibrium location r = a. In addition the shear stress xrz vanishes at the free liquid surface, i.e. Sw or

+

0U oz

=0

at

r = a.

(7)

Applying the vector operation "divergence" upon eqn. (1) yields the Laplace equation for the pressure, i.e. 02p 2

dr

1 dp

02p

r dr

2

„

dz

3. Method of solution for the axisymmetric case Since we treat the linearized behavior of the liquid due to axial excitation the liquid will respond in its axisymmetric modes (m = 0). Assuming pressure- and velocity distribution in the form p(r, z, t) = P(r, z) e"*, t0t

w(r, 2, t) = W(r, z) e ,

u(r, 2, t) = U(r, z) eiat C(z, t) = Z(z) e'«1

yield the Stokes equation in the form iQ rr 1 dP d2U 1 dU — U + - — = —2 + - V ti dr dr r dr

U d2U r2 + — T2 > r dz

iQ „, 1 dP d2W 1 dW d2W z0Q2 — w + - — = —=- + - — + - T - — v ij dz dr* r dr oz v and the continuity equation dU

U

dW

(9a) (9b)

361

F.: Response of a Viscous Liquid Column

BAUER, H .

which have to be solved with the boundary conditions

I J dW dU 8r dz

r= a

— + — = 0 at and

(10a) (10b)

dU ff r , 0 1/1 iQP - 2iriQ — +2— \U + a22 —- =0 at r = a. ' dr a 1 dz J

(10c)

With the transformation

W(r,z) = W*(r,z) + iQz0

(11)

equation (9 b) renders the expression

1dP d2W* 1 dW* d2W* - W * + - — = —h + —. v t\ 0z dr r 0r Sz iQ , .

(12)

Equation (9a), (12), (9c) have to be solved now with the new boundary conditions (10c) and

W* = -iQz0 at z= ± y , dW* dU + — dr dz

(13)

= 0 at r = a .

(14)

If we abandon the adhesive condition U = 0 at z = and permit slipping in radial direction, eqns. (9a) and (12) may be solved with the streamfunction ?*(r, z) satisfying with 1 05*

U=

W*

and

r dz

=

1 05*

(15)

r dr

the continuity condition (9 c). This yields - — >pj = o where the operator A =

2 2 d 10 d —2 H -. The solution of this partial differential equation is given by dr r dr dz2

iv

,

(i6)

,,

+ B r ) +

= +

r r / , Kin - l)2 n2a2 ifl? A

ix ? f ,

n

iv „ B

h

r

£ r

K 1 a (1/ ((2n - 1) no r \ 1

+ 12 — ' a ) f{2n - l)?tz\

(17) a —a {—T—a)\C0S ( l ) where A, B and A2„-lf B2n-1 are integration constants depending on the forcing frequency Q. It may be noticed that the

streamfunction (17) has been chosen in such a way to satisfy the upper- and lower normal velocity boundary condition 1 Q2 (13),if B=-— z0. 2 v

The expression U and W* are then with (15) given by

u(r.-

t

~l)nh

\A2-ii2n

al

n=i I

iv(2N -

™

-

L)N „

Qd

+

and

-

Qa

11

-

V

1) JIA r \ ]


l = l , 2 , 3

(9)

As has been pointed out by SPENCER and RIVLIN [10,11], a polynomial tensor-valued function (5) of three symmetric, second order tensor variables