Séminaire d'Algèbre Paul Dubreil Et Marie-Paule Malliavin: Proceedings. Paris 1979 (32ème Année) (Lecture Notes in Mathematics, 795) (French Edition) 3540099808, 9783540099802

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Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Dold and B. Eckmann

795 Serninaire d'Alqebre

Paul Dubreil et Marie-Paule Malliavin Proceedings, Paris 1979 (32eme Annee)

Edite par M. P. Malliavin

Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1980

Editeur

Marie-Paule Malliavin Universite Pierre et Marie Curie Mathernatiques 10, rue Saint Louis en I'lie 75004 Paris France

AMS Subject Classifications (1980): 06B15, 13B10, 13D25, 13F15, 16A04, 16A05, 16A39, 17B30, 17B35, 20C20, 20C30, 20C99, 20E99, 20GlO, 20G15, 20G99, 22E47 ISBN 3-540-09980-8 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN 0-387-09980-8 Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin,

CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek. Serninaire d'Alqebre Paul Dubreil et MariePaule Malliavin : Proceedings / Serninaire d'Alqebre Paul Dubreil et Marie-Paule Malliavin: Paris 1979 (32. annee) / ed. par M. P. Malliavin. - Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1980. (Lecture notes in mathematics; Vol. 795) Forts. von: Serninaire d'Alqebre Paul Dubreil : Proceedings. ISBN 3-540-09980-8 (Berlin, Heidelberg, New York) ISBN 0-387-09980-8 (New York, Heidelberg, Berlin) NE: Malliavin, Marie-P. [Hrsq.]

This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means, and storage in data banks. Under § 54 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to the publisher, the amount of the fee to be determined by agreement with the publisher.

© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1980 Printed in Germany Printing and binding: Beltz Offsetdruck, Hemsbach/Bergstr. 2141/3140-543210

Liste des auteurs

G. Almkvist p. 1 - M. Andre p. 341 - M. Bayart p. 402 - G. Cauchon p. 179 V. Dlab p , 10 - R. Fossum p , 291 - H.B. Foxby p , 360 - W.J. Haboush p. 35 A. Heller p. 86 - A. Lascoux p. 319 - L. Lesieur p. 191 - T. Levasseur p. 116 D. Salles p. 369 - H.J. Schneider p. 98 - P. Tauvel p. 161 - R. Vidal p. 209 D.A. Vogan p. 172 - T. Vust p. 330

E. Wexler-Kreindler p. 225 -

S. Yammine p. 251.

TABLE DES MATIERES

G. ALMKVIST - Reciprocity theorems for representations in characteristic p . V. DLAB - Structure des treillis lineaires libres (d'apres I.M. Gelfand et V.A. Ponomarev)

10

W.J. HABOUSH - Central differential operators on split semi-simple groups over fields of positive characteristic A. HELLER - Some topological methods in abstract group theory

111

35 86

H.J. SCHNEIDER - Decomposable extensions of affine groups

T. LEVASSEUR - Ideaux premiers et completion

98

dans les algebres

enveloppantes d'algebres de Lie nilpotentes

116

P. TAUVEL - Sur l'application de Dixmier pour les algebres de Lie

161

resolubles D.A. VOGAN - The size of infinite dimensional representations

172

G. CAUCHON - Coeur de

(),

S1 et questions d ' a l geb r i c i. te dans

K(X,rr, S) L. LESIEUR

179

Sur les anneaux premiers principaux

R. VIDAL - Derivations d'un corps local

a

a gauche

191

corps residuel de caracte-

ristique nulle et algebriquement clos

209

E. WEXLER-KREINDLER - Sur la dimension projective des modules filtres sur

anneaux filtres complets

225

S. YAMMINE - Localisation des ideaux semi-premiers et extension des scalaires dans les algebres noetheriennes sur un corps

R. FOSSUM - Tensor functors of complexes (d'apres H.A. Nielsen)

251

291

A. LASCOUX - Produit de Kronecker des representations du groupe symetrique

319

T. VUST - Foncteurs polynomiaux et theorie des invariants

330

M. ANDRE - Produits de Massey et (2p+l)-ie.mes deviations

341

IV

H.B. FOXBY - Homologiaal dimensions of complexes of modules

360

D. SALLES - Dualisation de la platitude. Systemes projectifs de modules plats. Systemes projectifs de modules injectifs

M. BAYART - Factorialite et series formelles irreductibles I

publie avec Ie concours de: l'Universite Pierre et Marie Curie, la Premiere Section de l'Ecole Pratique des Hautes Etudes et du Centre National de la Recherche Scientifique.

PREVIOUS VOWMES OF THE "SEMlNAIRE PAUL 1lJBREIL" WERE PUBLISHED IN THE LEClURES NOTES, VOWMES

586 (1976), 641 (1977)

v

AND

740 (1978).

369

402

RECIPROCITY THEOREMS FOR REPRESENTATIONS IN CHARACTERISTIC

P

Gert Almkvist

1. Introduction. DeCOmposition By a reciprocity theorem we mean a functional equation of the following type : f(l/t) where

f(t)

=

(_l)d t r f(t)

is a rational function with integer coefficients. We extend this

by allowing

f(t)

to be a certain formal power series with coefficients in a

commutative ring. Let p

(where

p

G be a group with

p

elements and

k

a field of characteristic

is a prime). Then there are exactly

p

indecomposable

vn = k[X]/(X-l)n . Here

Vp

is

kLG]

itself and hence it is free. In order to study the

G-invariants of the polynomial ring consider the symmetric powers of P 6l

j= 1

where the integer

cj(r,n)

X1' ...• X n]

V·

(over

c.

(r , n) V.

n

J

it is useful to

k)

J

is the number of times

V. J

occurs. This deconpo-

2

sition is closely related to that of the exterior power In order to compute A(m,r,n)

= the

c. (r,n)

we need some notation. Let

J

number of partitions of

m into at most

r

parts all of size

and

= A(m,r,n)

V(m,r,n)

- A(m-I,r,n)

(this is the notation of the wonderful book Torino 1876). In that

R. Fossum's talk last year in this seminar it was proved

V(m,r,n)ij 0

for

Proposition I - Let

m

(see

m

Corollary III. 1. 7).

n,r

nr

1\ r V n

A similar formula for the decomposition of that

or if

m is not an integer). is obtained by observing

For proofs, see [4] .

2. Reciprocity Theorems. Let

R be the representation ring of G

free on the generators tensor product over

VI

I, V2, .•. ,Vp

and multiplication is induced by the

k. There are relations : V + V n-j n

V V 2 n

for

n=Z, ... ,p-I

and VZV p

ZV

P

Define At (Vn) = an element of

G. As an abelian group it is

i:

r=o

/I r v

n

tr

RG(t] . Then we have :

2

3

Trivial Reciprocity Theorem : We have

The proof uses the trick of extending

I-'

RG by

Then it

where

is shown in [I] that :

'>. t

n

L

(V ) n

(1 + pn-Zv t )

V=o

and the theorem is equivalent to that

Fossum observed that if one disregards the free part then the number of components of

satisfies certain symmetry properties

divide out by the ideal generated by

Sr V n+1

Denote the image of

in co

L r=o

(Jt (Vn+ l)

'"R

G

and define :

V

P

Sr V n+1

by

/"'-J

S

r

(see

Vn+ 1 t

and define

r

in the formal power series ring R [Ct]) . G

Theorem Z - In

RG[p]

we have n

We now proceed with a proof of 2.1. Suppose since

p(u)= u III u

phism

(t.:

A__ A, A

tely that

one sees that

P

0

Of =

by 01

OC(z) = u-r l . Since A

III '"

and

A.

D T/R,

the fact that =

III

p(u) = u III u

f. Conversely, given any

01

one verifies Lmme d i a-: EC T/R ' let

= u III u , This establishes the correspondence

C T/ R. EDT/R(R). Then, as an element of the linear dual

Now suppose of

Then,

zA. Thus one may define a homomor-

A 0

OC(l+z) = u , Then trivially between

u-I

u

Recalling that the algebra structure on

is defined by

D T/ R

is an algebra morphism is then expressed by the equation This gives the remaining correspondence. Thus every

u

e

3&(T)

is of the form

shall routinely write elements of

(I+z)oc

in this form. I f

by definition:

43

, 0(,

• We OC IS C T/ R

(1E CT/ R '

-10-

(Here

is the completion of the multiplication map

immediateley follows that

mea

b) = ab).It

(l+z)()( .(I+z)j3. For the product

01.(1

a convention is required.

2.5. CONVENTION - If

u e z R[[z]]. and

r:

(1 +u)OI =

n'>,o

C • let T/ R

0(

(01) un

n

Apply this convention to form the expression

«I+Z)DC )(\

(l+«l+zt

.

Then it is not at all difficult to verify that

= OC«I+z)(!»

Write 1 for the identity endomorphism. then (n'th power) and

(n. I) = (n) r

r

T/ R

7/GC

T/ R

for any

is commutative for all

R.

PROOF - Observe that «l+z)()(

L

)r-

11'1,0

(/'>

Y

)«I+z)Ol _I)"

L"

q=o Now, write

co

2:.

r=o

r. «I+z)q-l)r r

(u)

substitute in (x)

to obtain

44

R.

«1+zf')P

= (I+z)n

(conventional binonUal coefficient). Since

(l+z)n of (I+z) , we obtain an injection

2.6. LEMMA - The ring. C

(I+z)n.l

=

-1100 v 'Z: L: v =0 q=o

r:.(t r=o

t=o

s=o

z,l

th term in the first sum always begins with

Observing that the

,

one can rearrange to obtain t

W

t

« l+zf'l' = z; [ z; t=o

J,I=o

L

q=o

r=o

This expression is symmetric in (REMARK: For

f' e. 71,

OC,

and

(j,

or indeed

f'

(J('" =

and hence

• Q.E.D.

ill, the expression for

in the

last sum could have beer obtained by Lagrange interpolation). Actually we have shown that

D / is a ring scheme. In this T R

context the expression at the end of the proof of the lemma can be interpreted as the co-morphism corresponding to multiplication. That is, there are maps, !,q* : DT / R-

T/ R II: DT/ R ' which define the addition and

- '> D

multiplication respectively .They are given by ; l'«h)) = r n h q""« )) = L n j=o

n

q)

i=o

q=o

z; L

r

L

(h) Ill. ( h ) r-s s

s=o 00

s=o

q

s

II:

n

Now consider a split torus of rank -I

-I

M = Spec R (tl,t l •••

identity section. Then

J.

M=

Let

the

r

..2. over R,

M denote the completion of

Spf RUzl, ...

,z..l11

is the ring generated by the symbols

H.

H. (/)

z,

where

M along its

= t.-l

Then

i = 1, .•. ,1. , and where

satisfy the relation (2.3) and

«r l )( r 2)...(r..e ),zql ... z

}=b rl ql

the R-algebra horwmorphisms

r 2q2

S

r...t q,£

.

We wish to describe

tp; DM/R -> R. Reasoning exactly as above

each of these corresponds bij ectively to a power series such that

J

u £ R[[z 1' •.. , ':tl)

p(u) = u Ill. u , and hence to a formal group morphism 45

M -'> T.

-12Thus they form a group composition with since

M/ R = DMI /R

is a free

gives

(j.

D

PR(M)

which we write additively. If

PR(M) /R M 'I

N••• 13: D

the structure of a where

M i

=

Of

Cr/R

CT/R-nlodule. Moreover

,

Spf k[(zil1

we see that

PR(M)

C module of rank .It • T/ R

2.7. DEFINITION - The free generalized weights of

CT/R-nlodule

Mover

PR(M)

is called the module of

R.

In a natural sense, the choice of a basis for the characters of

M gives a basis for

is a morphism

M- T,

M.

a generalized weight

Namely,

and hence a morphism of topological Hopf algebras, «(I+z) = (I+zf

morphisms defined by

A=

"Iel+"'+ I\£e£ ' (I+z)'i\

• Then the

e.

e

II i=1

are just a basis for

'Ai

(I+z.) PR(M)

C We give some examples. T/ R.

2.8. EXAMPLE

- Let

R

just polynomials in

2.9. EXAMPLE - If

be a field of characteristic

any homomorphism from

D T/R

that

is the

to

extends uniquely to a homomorphism from

and hence is given by evaluation at a rational. Thus it is evident {qE Q;

'I

\l'n}. This is clearly

CT/'Z = 'I.

2.10. EXAMPLE - Suppose that

is the ring of integers in an algebraic

number field. Then, clearly, DT/e-(e') = L =

is evidently

which take integer values on each integer. Now

can be identified with

7l • That is

D T/ R

R= 'Z, the integers, we see that h

to

O. Then

h , whence one sees imrnodiately that

set of polynomials in

Let

for the

• Then write

> zi . Then any morphism may be written in the form

z

and if

over

Of 4£ PR(M)

{o(l!

, (5' = e'(\ L. Then clearly

46

e' VnJ f)E.e'OL p

for all

Choose p

such an

prime, or

0(

•

-13-

alternatively,

0«0( -I) ... (C( - P +

6'

class field degree of any prime in

rol E

(Ill) .

p

n

ip

'" 71. • p

since

ip

is one. This is impossible

be the complete p-adic integers and let Then as in 2.9, C

ll} .

Vn

T/l

Since

for all

is dense in

,..

G(

( I) .. C/

.. DT/ 7 (lp)

p , C

P"

T

/7 C

whenever

z

p

. Since

2.12. EXAMPLE - Let

k

be any field of characteristic

• Thus

p

O. Then

That is it is the set of homomorphims from

be the vector subspace of 11.J..

definition (DT /k)

.. z

pV

D T/ k 11

k(£ zJl. Thus

DT/ k

k Ill" D 7 into k. T/ h h generated by (1)"'(11 ). By p-I is the dual of k[[z)) /zp kHz]} .

,

But this is the affine ring of an infinitesimal sub-group scheme of of the form with

Spec k

(I+z) . Hence

multiplication. Then lim 'ZIp';? .. functions on

p

Z] , where the generator of is the ring of functions on

= Spec

DT/k(k)

DT/ k

Spec lim

T over

'Ilp":it is identified

under pointwise

'l/p.,):l

lim Spec

• For convenience we give the identification of

Df/k

with

'lJ1r! '$ . The characteristic function of tr}6'$/pV Z, is the

which is one on the class of (I+z)q ,

7l.

p

p

Let

to

takes integers to integers. Since

p , we see that

= DT/k(k).

the other hand,

On

7 • p

from

rE 7, the function

7l.

be the

1\

\Ch] , it gives a continuous

(r) Eo 7 n

CT/ k

"

DT

2.11. EXAMPLE - Let quotient field of

over

l,lr5) = ".

t5'..:I. Thus

unless

pI £1'. It follows that the residue

pV_I, q l' r , Explicitly

(I+z)r it is

(2.13)

This is meant in the sense that j

L.

s=o 47

and zero on all other elements

k

-14Then it is a simple matter to verify that

eT/ k

We take this opportunity to remark that this identification of

7

p

with

is canonical. The formula

(I+zf

is true in the sense that element of

iP

when

J

coincide with its mod p

J

value computed as an

is viewed a polynomial. Thus these conventions are

entirely consistent with the notation and conventions of For all

R, D / operates on T R

§

I.

R[[zJl according to certain

simple rules. In particular the following formulae remain valid over any ring

z

n-r

(2.12)

These formulae may be extended to a torus of rank follows. Having chosen a basis, el ... e£ ' (I+z) ( Hir )

to be the element of

/ M

D R,

.

by

Then for an

'" (I+z

T

D whose kernel is the T/ R

A

0

rr :

R is a homonc rphi.sta , which

we shall, by abuse of language, denote by the same letter defines a

DB/R-module structure on

structure will be written

3.1. DEFINITION - Let

to

A

is the left

R. The ring

A.

Thus it

R, with this left module

R /. •

h 6 PR(T). Then the generalized Verma module associated DG/ R-lWdule,

i) N is finitely generated over ii) There is an index set

so

be the natural

D generated by the monomials of the form B/ R

A

Then for any

t -tuples and

that the restriction of

N

49

I

D G/R

and a set ( \ : i EO II is isomorphic to

with

-16-

it.: that

If H6I3"A

AI">'

t.

2

i

N

'>..}

=

is an admissible module, we shall write IJ(N) for We may impose a partial order on

AI -

if and only if

PR(T)

by saying

is a positive integral linear

combination of simple roots. In this sense we may speak of a "highest weight". What can be said about Verma modules at this level of generality is not especially deep. They do however behave as one would like them to :

3.3. PROPOSITION - Let

AE.PR(T)

be a generalized weight of

T

R

and let

D

6L

C/R -D / B R

R

t.

be the generalized Verma module associated to i ) VR(A)

. Then,

is admissible, it is generated by

I Ill: I

as a

DG/R-module and it is indecomposable. ii) D T/ R

'). ; I

t

01 I

is the only vector in iii)

a

Ill: I

acts on

M

is any

VR(t.)

j'IR.1 01 I = j .

..!!

N'

A

with weight

D -module and if G/ R

and if

is any

D module isomorphic to B/ R

Y I:I(VR('i\»,

A R"A --l> M

D -morphism, "" j : V (A R C/R

D -morphism, there exists a unique B/ R

such that

with weight

) --'>

is

M

DG/R-module R'A

with this property,

as a iv) If of

G opposite to

U

B, then

PROOF - It is clear that

denotes the unipotent radical of a Borel subgroup VR(r.)

V A) R(

is a free rank one

is generated by

Du-/R-module generated

1 Ill: I. Moreover iii) is just

a statement of the universal mapping property of extension of scalars applied to

DB/RCD C/ R' To demonstrate iV),note that by 1.2,

a right

Ill: D

B/ R as

DB/R-module. Property iv) is an immediate consequence. In the notation

50

-17of section I, if

'" (a l. "am)

let

a.a: '" a l O(I+aZ 0(2+".+amO(m' Then the

standard commutation relation for the

Hi

Thus

Of 1.

1 =

--

r

Since the

r

--

V It) R(

are a basis for

I

and the

yO(. may be generalized to

R, this establishes the

over

Q.E.D.

remaining statements.

4. POSITIVE CHARACTERISTIC -

From this point on ristic (j)s

p> O. Moreover

will denote the

qv

will be a field of positive characte-

k

will denote

pV

I, and for any integer

s-tuple whose value is

j

G will denote the base extension of a

in each coordinate. Moreover

k.

to

In section one we saw that it is generated over

First consider

by elements

k

AE. xE.

and that each such element is dual to the monomial

in

k[[YI' ··ym,zl···z;. ,xl" 'xmll are just simply the monomials

E.

On the

Y(a) (H)X(b)

AG •

extension of

G by

k

FV

DG/R

Y(a) (H)X(b)

--

under the morphism

pP

k[[YI" ·ym,zl·

where

by the x i and write

xI'" x'm)]/I(v)

the Y'l

G(V)

for

and the

Zl ».

r

-

pI! .

G where

to

,)

Now given

pV -th power defines an algebraic

the identity. That is, the kernel of

l>

-

generated by

!fIv

:

is the base ,; k _ ) k, tp.>(a) = a P • The

ideal defined above is the completion of the ideal of the fibre of

pl1

r

is coordinate wise strictly less than

other hand,

morphism of algebraic groups

D G/ R.

--

this description it is utterly trivial to see that the elements in

where each of the indices

j,

is

just I( 1»

We write Write

51

p

V

over

the spectrum of is the ideal generated

Ii for

)

for this quotient Then we have

-18-

established the following.

4.1. PROPOSITION - Let

F(V)

DG/

is the sub-algebra of

DG/k

be the

C(v) = ke r F(V)

Frobenius homomorphism. Let

(v)

: (V)G - ' > G

J' th power of the

D(Y) = D Then C(V)/k G/k generated by all monomials of the form

k

and let

yea) (H) X('£') r

is

Moreover

a

co-commutative Hopf algebra with antipode and augmentation. is the algebra considered by Steinberg in [J I] or

Thus

[12J

and by Humphreys,Jantzen and others

([6),(8J). It is usually written (ll )

!!.j)' but we shall adhere to the notation DG/k

as

The most complete

treatment is Steinberg [11] . Observe that since

D G/k

as well as each of the

are Hopf algebras,

there is a natural notion of the tensor product of two representations. mV: DG/k

Namely, if v m(v)

:

DC/k act on

-

(li) Ill: (P» G/k ----") DG/k DG/k

D(v)

(respectively

v

m

2: i

vi

DC/k' Namely O .DG/ k

(\1)+

DC/ k

v m(v»'

D G/k

M

an d

N are

(respectively

by Frobenius also has a natural interpretation in (J)

D G/k

is a normal sub-Hopf algebra of m* (0) =,Li

and

D That G/k•

Ill:0i, then

(For the definition and the attendant details see Consequent l y 1' f

• DG/ k = HlJ (ll )

way. Since

(respectively

and

u sl> (0

Sweedler (10)

, '1" 1S the co-rmu l t i.p i.cat i on an d

D modules, then let G/k)

Mill: N via

terms of

(respectively:

(j.!)

Twisting

is, i f

D Ill: D G/k G/k

_ ,>

D G/k

is a morphism from

G/k

1 th en denotes t h e augmentat10n . 1i dea,

is a two sided ideal and is the dual of the kernel of

DC/k

to

DC/k

DG/k

Frobenius, the

whose kernel is

52

in the following.

v'

H

We have writter the

-19morphism down without base extension. In this form one must assume that perfect. But by a Frobenius base extension the eliminated. In any case given any module d .m

=

S( V)

can be written in the form

pV -th power on the left can be

M, MCpJ] may be defined by

denote the set of dominant weights of

A = a 1 (l)1+a2w2+" .+a.t wj. where the

fundamental dominant weights and the

I.e

S(I», then

I.

= "o+P AJ+P

4.2. THEOREM - (Steinberg) Let highest weight

I

2

ai

A

G

11-1

A2+· · · +p

/lv-J

with

A denote the irreducible

which are the

W.

o

are integers such that

a.

pV -1.

!I.E-S(I).

G module with

Then: i) The irreducible

I

is

)m • With all this in mind, we recall two results of Steinberg. Let

If

k

res tricted to

G(V)

ii) If

!2.E. A

are precisely the modules

A E:. S( I> ) •

A = A0 +p

S (» )

"1

V-J +..• +p

A&J _ J

' wi th

A.i. 6 S( J), then

4.3. THEOREM - (Steinberg) Let Let

tSlJ=

(l-l).p

be the unique vector of weight

where Cj y

for the action of

B

on

Then i)

1"'1>=

1m

ii) The vectors of the form yea) .v -

are

basis for

0

ICj v

These theorems are both proven in Steinberg (J2) . They are not stated in precisely the form above but these statemens follow easely from

53

-20the results of [12J We may now return to Verma modules. As and will no longer be variable, we may use

11

is Pk (T). We recall that by examp Le 2. 12

4.4. PROPOSITION

V').

to denote A

Pk (T)

'Z III P p

'" P.

this module

Let

maximal proper submodule. If VA' V'). IM

maximal sub-IIDdule of V

such that

o

A

avo

DT/ k ' and since

v

v

and we shall write

k . Then

T

denotes the unique

M '),

for all

O

is generated by

is equal to

for

is irreducible and is generated by a A(O).V

PROOF - First observe that since submodule containing

V? (k )

be any generalized weight of

contains a unique

unique vector

R is now replaced by

VA' Since

III I

= v,

any

is semi-simple over

VA

'A

is the unique vector of weight

in

v"A

,if

v

is

contained in a sum of submodules it must be contained in one of then. Thus the sum of all proper submodules of

M" . Then

maximal proper submodule, the image of

v

in

VA IM'A

VA

cannot contain v

V-x 1M"

and it is a

is evidently irreducible and

is the unique vector of weight

A in VA IM h . Q.E.D.

AG P

4.5. DEFINITION - Let

VA 1M)

and

I

be a generalized weight over

k , Then

If,

will

will be called the irreducible of highest weight

A

By a pointed vector space we shall mean a pair (V,v) with

o '"

v

V and

V a k-vector space. A morphism of pointed vector spaces

f :

(V',v')

is a linear map such that

given an infinite set

of pointed vector spaces. Then the

infinite tensor product Mr

= VI

1ll ... 1ll V . If

r

=u

fey) = v'. Now suppose

Vi

r.( s

III v r + 1 1ll... 1ll

V

shall mean the following. Let

define s

If .,s

. Then.

54

:M-,>M

r

s

by

A.

k

-21-

II

4.6. DEFINITION -

(Vi'v

i £7+

i)

is a system of pointed vector spaces,

then the infinite tensor product, Iii e M

r

r

z+

Vi

is the k-vector space

•

of the system{M,lp 1 described r rs l

is the inductive limit above. The natural base vector of vectors

Ill E: 7:+ Vi' wi 11 mean the common image of the i

v\Ill •.• lllv n Now suppose that a system of weights

given. Choose

Vi

I

A1.. '

a

produc t

III

A

0

•

highest weight vector. Now consider the system

f(I Ai

of pointed vector spaces

} v.). 1.

1.),

O. We may form the infinite tensor

We shall refer to this vector space as

='A o +p

Let

is

"., b,O , 'A. S(I) 1. 1.

A1+ ... +p

s"

s

T(

A).

• Then by the construction of

T(1d

there are natural inclusions : s

Ip s : \

III r.iPJ ... 1lI

1

o

4.7. LEMMA - There is a unique

]

-;>

TCA).

s

DG/k-module structure on

(s)

D -module map into the restriction of G/ k

T(71)

to

lps-I

T( 1. )

D(s) G/k

Proof - If such a modu Le structure exists it is clearly unique since each is an injection and S?)O

so that

O.m

T('A) = U Im(tps). Thus if

s

bE:D(s) ,mE.Imtps-1 • Then if G/k

m T('A ) m=

(s-1)

C

E.

Ips

D k, choose G/

(m') one must have

= tp (s-l) (0 .m ") , One may hence define the module structure on

T(

?)

in

this way and so, to establish the l enma one need only show that the structure is well defined. But in view of the definition of the infinite tensor product, this is the same as saying that "T'r-\,s-I : I ?

in

is D[rJ G/k

a

o

III'" III Ilp '\

r - I]

"r-I

s I r

ep ] -:> I ' 1III' " III I t'\ ''0 As-I

(r) DG/k-module map. This however is an easy consequence of the fact that operates t ri vi ally on

I(prJ III CpS) Ill ... I 'A r "s-I

55

Q.E.D.

-224.8. LEMMA - Under its natural

D -module structure, T(") G/ k

over

DG/ k

it is admissible and it is generated by a vector

DB/ k

fixes

k.v

PROOF - Take

v

clearly, kv

is

that

v, such that

1-.

and acts with weight

equal to the natural base vector of DB/k-stable and

is irreducible

D B/ k

acts on

v

TO.>

(see 4.6) . Then

with weight

?-..

We show that for any vector ucT(A), v DG/k.u. Observe } s-I u = 'f S-lh'Ao 1lI ... 1lI J for every s, whence DG/k.v = T(I\) u, T(A)

v. Since

v

is irreducible, and we have shown that

A

is of weight

over

D there is a B/ k ,

map V('/.) --:> TO.)--';) 0, whence it follows that

4.9. THEOREM - (Generalized Steinberg tensor product theorem) Let field of characteristic

P? 0

connected split group over i) Let

M

A

A

1\

vE.M

D G/ k

ex:>

A L II.

P, and I(P

0

'\

(Ii

i

i=o

module containing a vector

p

i

with

l.

A.

A.l. E. S(I),

(I)

D -module of highest weight G/ k

is the highest weight vector. Then

weight strictly higher than

DG/k-isomorphic

then

J

is the finite irreducible

PROOF - Suppose

be a

be a seui-simple simply connected,

is the highest weight, M is

...

.,J

1'\ - Ill.

Al..

G

be any irreducible

to ii) If

and let

k

k.

of highest weight. Then if

I

is

Q.E.D.

admissible.

where

T(?)

Hence

= 0

56

?-..l.

is of

for all m-tuples

a. Thus

-23v

is a

D B/k

v (A ) -)

weight. Hence there is, by 4, a surjective morphism

M ---'> O. It fo Hows that

N

M = I? (by 4).

and by 4.8, II.

By the construction of a vector

v

is generated by

which is, moreover a DB/ k - weight. Hence there is i V('A.) - - ? Ill. Iep J and since the infinite tensor

of weight "

a surjective morphism

').i

HI 0

product is irreducible by 4.8, it follows that it is isomorphic to

I"

Q.E.D.

I. e P be a generalized weight over

4.10. COROLLARY - Let

integral and simp Ie co-roots 0


Lv

n,

q=o

pq

q

q

and a r =

q=o

for some a such that PROOF - If 1

J}

0 a #

is simple,

0 be arbitrary and let

Let

for all

ueD M/k

65

V, v E V

is an

under the natural

is invariant if and only if

-32-

m;; III

id

0

{(;)

Then =

L..L

(;),

L.

(C)

u

d!1. =(;)h,i _I h'>

g

=(V,i g -I(i g (h).h'»

JL2V)£

Now suppose

f

J\.. (0)

G/k

= (Ad(g)(2».i g (h),h';>

is central. Then

Ad(g) (Jl. (Il) f) G/k

=

(J) But by the Sweedler Larson theorem, D G/ k

a basis. Hence

i (f) =

7.6. DEFINITION

-.!!.

g

f.

u 6.

function associated to

A G

(J)

with JL G/k

as

Q.E.D.

(v)

JL

u

o»

G/k

f

£

will be called the

u

7.7. LEMMA - For any

fA

Y(a)

-

PROOF - Write

(0)

is free over

£ ,

. Then for any

=

X(_c)

b

(l+z)'A(!!)

Hence by section 6, (2)

7.8.

LEMMA - Let

u

(J> ) 1G/k

the function associated to fA

= (I+z)

t.(H)

-

be a central differential operator and let u

in

Let

Then

72

h

be a weight and let

be

-39-

L

u('A)

X(qp),"h)

.E.

The result then follows by applying

7. 7. to this latter expression, after

expanding the binomial coefficients and multiplying by

One

further lemma is necessary. Let

weight. Then let

C:?

g e G(k).

is. if

7. 9. LEMMA

is defined bye'). (g)

. Consider

The expression JL (1)) .hP G/k z 0'"1

and so

=

u

h

z

is defined if

74

h

z

is replaced by its

-41pre-image in regard

h

z

A and it is independent of the choice of such. Thus we may G as a function in

A and we may write G - /l..

u -

e»

G/k

.hP",

-I) (? ') . That is we have constructed an operator 6 I Q.E.D. satisfying the conditions set forth for (Jl (J) hP G/k

G

Ac2...>A'/..A ..!->G

of

with the additional property that this inclusion,

fr

are all conjugate and thus induce the same homomorphism of homology

groups. It is sufficient to show that if q>, I

then

G

is mitotic, k

H (G ; k) = O. Suppose, inductively, that q

q=I, ••• ,n-I

Then any element of

some finitely generated subgroup

Hn(G; k)

that the homomorphisms

H (C . k )

q'

-'>

H (G ; k) = 0 q

for

comes, via the inclusion, from

c c c , But all

so that there is a finitely generated

is a field and

H (C ; k ) q

D between H (D ; k)

q

C

and

are finite dimensional G with the property

are trivial for

q=I, .•• ,n-I. Suppose now that image

a

in

H (G ; k) n

H (C ; k)3;( n

By the Kunneth theorem and

6£ Hn (D ;

k ) . We may calculate its

by using any of the three compositions

I r C --'--"---> C

I 01$

f----7

61li 1 + 1 016'

xC

D x D _f_> G.

goes, under these three homomorphisms, to in

Hn(DX D ; k ) , Thus

90

a =e

+

e = o.

r Ili

I,

-6The construction applied to any group

X we have just used may equally well be

A. Iterating it a countable infinity of times and taking

the union we will have imbedded

A, functorially, in a mitotic, hence acyclic,

group. The systems of equations (3.1) are of course finite. A group is said to be algebraically closed if all finite consistent systems of equations have solutions. Thus we have as a consequence

Corollary 3.3 : Every algebraically closed group is acyclic. The conVerSe of 3.2 is of course false. For the record, Higman's celebrated group H

2 z x ,y

Z

such that

fy

=

z

7"

H, with values in some algebraic

such that

ip(Hy)

=

Hz."

going in the other direction we may of course

invert this procedure to get topological necessary conditions for the solution of an algebraic problem. The functor

B, in fact, yields little new information

91

-7since the homotopy category of classifying spaces is equivalent to the category of groups and homomorphisms. B+, on the other hand, leads to some genuine novelty. Let us look at the problem of solving a system of equations in a perfect group some group

G, thus of extending the inc1 usion of a subgroup

X::> A. In order to apply the functor

B+

we need topogenic groups.

G, since it is perfect, is identified with the topogenic group and

Ac G to

(G,G). For

A

X it is appropriate to take the trivial subgroup. Thus B+(A,I) -->B+G

and We have, as a necessary condition for the

existence of a solution, that of a suitable map Nothing would be gained by supplying

x'

topogenic structures: if homotopy classes of maps of

B+(X, I) - - ) B+G.

A and

X with nontrivial

is a perfect normal subgroup of B+(X,I) = BX

and

into

X

then

+

B G coincide,

+

in virtue of the universal property defining

B .

We may even sharpen this analysis in the following way. Recall that B may be defined as a functor category). Choose in

CWO

Gp

CWO

an inclusion

BG

(rether than into the homotopy I

for all

as a subgroup of the group of units of I.. ( r ) = r, r

0
__•• _

is decomposable and can also 2 variables ([8),4.7).

is decomposable, then obviously

-,

PGLn--i> I ,

automorphism group of the algebra of matrices

decomposable, but in this case

But for the central extension

is not even free over

B

A is free over

nil

A

n R )< n , is not

B.

-> SLn _)PGL n __')1 and even n, A

([7},4.4,4.6).

102

-62. Characterization of decomposable extensions (subgroups).

In this section

k

is supposed to be a field. M could be an arbitrary (not

necessarily abelian) normal subgroup of that

E!M

E

(or more generally, a subgroup such

is affine). The following theorem is the basic characterization of

decomposable subgroups. If Hom(X,Y) f

Y is an algebra and

is an algebra with product i7 (f

g

X

X a coalgebra, then the set of all k-linear maps

ll{

k

g) 6. ,b. = coproduct of A linear map in

X, V = product of

Hom(X,Y)

Y, and unity

is called invertible, if it is

Let ra denote the set of all nilpotent elements of an algebra.

2.1. Theorem ([7], 2.5)

1) 1 - , M -"-':>E

-':>

G

The following statements are equivalent

-;>

I

is decomposable.

2) For every simple subcoalgebra

C'

of

C there is an invertible C-colinear

C'--> A.

3) There is an invertible, B-linear

map

A

Sketch of the proof

Assume

the dual sequence to

M - > E ->G.

1)

j

-==)

A

2), 3)

ll{

If

B

I/J

A

and

Be A

;oX

III

A ---> B!ra(B).

A!AB+, P

the canonical map, to be

B is B-linear and A-co line ar , define

is

q

103

A-co linear ,

-7and

q

q'

A

is B-linear. The

r

B, q'(x)

A, j '(x)

A

j'

S(x(I»j(x(2»

are well-defined and inverse to

resp. q. This implies 2) and 3).

Ao

: Let

be the (direct) sum of all simple subcoalgebras. By

assumption there is a map By (11] ,(4)

A

:A-colinear map

is injective j :

A_._'>

A

j' :

A

o

which is A-colinear and i.nve r t Lb Le .

as A-comodule . So

A. By construction

j/

j'

A

can be lifted to an is invertible, so

o

j

is also

invertible.

3) ===} 1) : Similarly to q : A ---> B, A

2)

=9

I) one obtains an invertible and B-linear map

being projective as Br-mo du l.e , Then

defined by I/;(x) =

t

I/; : A __>A QI. B

is

x(l) fa q(x(2»'

Theorem 2.1 supplies examples of various classes of decomposable subgroups, for instance :

2.2. Theorem «(7J, 3.2) : Let G-module. Assume extensions

M

k

algebraic and

be a perfect field. Let again Pic(l QI. G)

=

I

M be an affine

for all finite field

k c 1. Then Ext (G ,M) .

To prove this theorem, first note that there is a finite Galois extension such that

QI. M

subcoalgebra of

k

c.e

is trigonalizable, which means in this case that every simple ..t QI. C

is I-dimensional. Let

104

e

be an extension of

G

by

M.

-8Define

x'

x(

(e Cl E) =

e.

f '1£ e Cl

Ill: M)

f u] u

C

I

6 ( t) =

e Cl

is a unit of

A,

0 Cl"6 ,E. ( 't)

L

p(u(l»

e Cl.(f

oeX(e Cl M)J. By 2.1 the extension

IJ

01 u(2) =

and

¥

Ci u

for an element

is decomposable iff the group homo-

morphism:

If:

!feu) ='(

,if

[p(u(])) Clu(2)

¥ Cl u ,

is surjective. One can show that the cokernel of 1

AI e 01

H (e- Cl

B 'I')

= kernel

'V

is decomposable over

t

of

is contained in the Amitsur cohomology group

Pic(

e01 G)

Pic(

e III

E). So by assumption

e

e.

itself is decomposable iff

'f'

has a set-section which is compatible with

the natural operation of the Galois group 11 of

elk. Now use the general

lemma: Let

K'C K

be lI-modules, TI a finite group. The canonical map

K/K'

tr-equivariant section (as mapping of sets), if for all subgroups

T1' C 11 ,

H1(Tr',K') = O. This finishes the proof, since the kernel of "P is

H

1(1I'

,pet

Ill: B))

fixed field of

kernel of

pic(e' Ill:

f( e Ill:

B), and

Pic(tlll: B), where

t'

is the

l r ' c 'IT"

In 2.2 the condition on the Picard group is satisfied if for example trigonalizable or if

k

is algebraically closed and

G

given I) M unipo tent.

105

G

is

is solvable.

In [7J the following list of decomposable normal subgroups

has

MCE--:>G

is

-92) E

trigonalizable.

3) k

perfect, G

4) k

= k,

finite.

6) k

perfect and

k,

k

Ill: M

trigonalizable.

trigonalizable and

M

5) G

7) k

and

G

solvable.

unipotent.

connected and

E

G

G

solvable.

This list contains all cases in which the freeness of

A

over

B

was shown in

[5], (12J .

3. Decomposable extensions and 2-cocycles.

e

If the extension

is decomposable, there is a commutative diagram (up to

equivalence)

c

Yll

C Ill: B

where

i (b)

llll:b,j(c)

clll:l,p(clll:b)

C

c E (b), q (c Ill: b)

IZ(c)b, b oli:B

and

c . C.

A

is equal to

coproduct

11A

C Ill: B

of

ex:

Conversely

A

as module over

and

and comodule over C. Product

and

define 2-cocycles

C _'> B Ill: B, and

VA

B

Il A

0

CIll:C __"B.

can be described explicitly by means of ()( and

106

(3

-10-

The algebra map

f:

C

B III C

represents the G-module structure on

This leads to an isomorphism between pairs

Extd(G,M)

M.

and equivalence classes of

satisfying certain conditions (see (8), 2.1 for the precise

(ex, r-»

formulation :

are normalized 2-cocycles satisfying a compatibility con-

dition). This is similar to the description of "decomposable" central extensions of graded, connected bialgebras in [3].

The purpose of the following exact sequence in 3.1 is to separate the pair (ex ,

l-')

o:

and

r

appear in

different groups and there is no condition

involving both. Consider the normalized standard complex of M

n ... -4Reg+(C,R)

'dn

Sp(C) , R a k-algebra [101

n+1 Reg+

..• , n

where

is the group of all invertible maps

x.

1

the alternating sum of all

1 s is- n ,

107

f

Ol: C --., R

for one

i, and

such

-11This is a complex of

G(R)-modules, the module structure being defined in the

natural way (extending the module structure on Let

Z;(C,R)

M(R». The G-module

be the symmetric elements in the kernel of

gives rise to the canonical exact sequence of affine G-modules

. Lus i Lnc USLon,

where is decomposable, the representing map of

3.1. Theorem ([8), 3.3) : The canonical 1 --l> M __> Mj

o

o

(G,M)

M 2 0

L

r.-.1

M

([8), 3.2) :

. sequence v•..I . ThLS

having a coalgebra section

:

I, induces the exact sequence 0

(G,M1)

(G,M2) --4>Ext d(G,M)

2

-----7> Ho(G,M

1)

o This sequence is defined by the usual Ext-sequence, Ex denoting the group of crossed homomorphisms. The main point of 3.1 is, that in the long exact sequence only Hochschild extensions appear.

In theorem 3.1 the sequence certain other sequences such as

1 _> M _>M _> M __ 1 Z 1 I - 7 nP

- ) f --->.>p

can be replaced by

--'> I.

For central extensions there is the

3.2. Corollary

«(8], 3.6)

Let

M be a trivial G-module. Then there is an

exact sequence

108

-122(C,B) H

is the second symmetric cohomology group of the sub-complex of coalgebra

maps in

(Reg:(C,B),

s

3.1 and 3.2 allow to get information on

Extd(G,M)

from knowledge on Hochschild

extensions of affine G-modules. Examples of this method will appear in the following two sections.

4. Extensions with diagonalizable kernel.

In this section M

is diagonalizable, i.e.

( r)

of an abstract abelian group,

'6

IJ. «( ) =

ill:

r ,

Ext:z(r ,X(G», where X(G)

X(G)

=[ s s s Ill(b) = b

ill: b ,

C(b)

k

=

be a field and

G operates trivially on 1

2

This is a consequence of 3.2, Ho(G,M

be a field and

affine groups. Suppose

M = J) (r)

and

--=-) Ext d (G,M) • N

being trivial in this case.

1)

o;

1--> N --"G r--r-> G _> I

For example, from

Ext (G,;o (r »

a central extension of

N

G algebraic, smooth and connected with trivial Picard

«(81, 4.3) :

group. Then there is a long exact sequence

0_)

lcr.

G algebraic, smooth and

More generally, 4. I can be applied to compute the full Ext-group k

for

I}.

Ext:l(X(M) ,X(G»

Let

1

G,

denotes the character group of

4.1. Theorem ([8],4.2) : Let connected. Then

E (Y)

of 3.2 is isomorphic to

In this case the coalgebra cohomology group 1

C is the group algebra

Hom(r ,X(G» _ ) Hom( r ,X(c'»

_ ) Ext(G,Q)( r »

_'>

1 - l ' nr

- >

-'>

SL n

Ext

PGL

109

n

i 7l(

r

--;>

Hom ( r ,X(N»-,>

N

,X(G».

lone gets

-13-

Hom( r ,Z/ (n)

n

Ext d (PGLn.:iJ ( r

while

Suppose now M is the group of

Ext (PGL ,,0 (r)) •

G by

nP

»

=

0

by 4. 1 •

n-th roots of unity. For central extension.

of

there is the following explicit result. The examples 4 and 5 of

the first section are special cases of 4.2.

4.2. Theorem ([8), 4.8)

1) If the Picard group of

G is trivial,

2) There is an exact sequence

3) Suppose

(If

by

x

B is k-free of rank

is an abelian group, then

n. Then

n

X

denotes the set of elements annihilated

n). 2) is an application of 3.1, and to prove 3) one shows (using a norm

argument) that the sequence in 2) splits. This gives the isomorphism in 3) mz- 1, are annihilated by the order of

because all groups

G. This is a

consequence of the theory in the last section and can also be shown directly.

Using the notation of example 4 of the first section, 4.2 implies

4.3. Corollary

«(8J,

4.9)

Let

G be the constant group

110

G

operating

-14trivially on

M = n P' Suppose

the group of units of

k

has a trivial Picard group. Let

U denote

k. Then

U!Unx. U ---l' n

n

11), (class of

0< ,u).....-.,

class of

o(,u

is an isomorphism.

As an example take k = ring of integers

and

2 P) has 4

n = 2

elements (by 4.3). In this Ext-group all non-trivial Z-groups of order 4 appear

([6], 3.2).

As another example, 4.3 leads to the construction of a non-trivial p-divisible group of height 2 Let

en

be a unit of

image of

EO( (R)

The injection

In case

-)

n

R[TJ /(T P -ex),

r .r , 1. J

n

-'>

T in

k. Take in example 4 of the first section

for

0

L

i 1- j

i

R (c. n ] - - > R

n 1.

IX

i

=

lJ

,defines an ascending chain

---" ... , which forms a p-divisible group «(13)).

k = 7 , P = 2 ,

0(

= -1

this is the non-trivial 2-divisible

of (6), and independently [1] ,answering

a question of Tate in [13].

5. Restriction and corestriction.

For the cohomology groups of abstract groups

111

He G

of finite index

-}5there is the well-known relation : Cor Res = multiplication by

(G : H]

In [9J it is shown, that this relation also holds for the Hochschild cohomology of affine groups operating on a left exact abelian group functor In particular, if the affine algebra rank

Ord(G) , then

is annihilated by

B of

M.

G is k-free of finite

Ord(G)

for all

n"'}. This implies

the following result in [14J Every finite free abelian

M is annihilated by its order.

To get the same results for the group inclusions of

where

from

L

Ext(G,M)

consider the canonical

G-modules:

is defined in section 3, Hom(G

R III G

to

set of natural transformations

R III M} , and

and

s

an R-algebra. Define ([2])

M':= sheaf quotient of

I

for the equivalence classes of

5.1. Theorem ([9), 2.2)

Let

H1(k,M)

mod M. Write

instead of

Ill}

H (k,M)

"M-torseurs".

G be flat over

k

and suppose

Ext(G,M).

2) The canonical map Then

}

H (k,M)---> Ext(G,M) Ext(G,M)

([2], III, §6, 3.2) is trivial.

H1(G,M'). o

112

-16-

look at the

This is another application of 3.1

1 _!> M _" I _) M' _> 1, and note that

o Ex -Ext sequence of

Ext(G,M)

3.1 because it factorizes over

Now the functor

M'

Ext(G,I)

is trivial by

O.

preserves finite inverse limits and by the previous remark

there are restriction and corestriction maps for the Hochschild cohomology of M'. Thus 5.1 implies

5.2. Corollary ([9], 2.4) : Let Ord(G)

= CB

: k1

and

operates trivially on

k

be a field, G a finite k-group of order

M algebraic. Suppose

k

is algebraically closed or

G

M. Then

Ord(G) Ext(G,M)

O.

Without the assumptions in 5.2 there are examples where

Ord(G) Ext(G,M) # 0 .

The theorem of Schur-Zassenhaus does not hold for finite algebraic groups : If G and

M are finite of relatively prime order, then

Ord(G) Ext(G,M))

Ext(G,M) (and therefore

is not necessarily zero.

If k is a perfect field and .r the Galois group of the algebraic closure of

k

over

k , one can derive from 5.2 :

5.3 Corollary ([9J, 3.3) : Let

G be a finite

G-module. Suppose (Ord(G) , Ord(M)) Galois cohomology group

I

=

I. Then

M a finite affine Ext (G,M)

is isomorphic to the

G

H (lr,M/M).

But for central extensions, the theorem of Schur-Zassenhaus is true in general

113

-175.4. Corollarx «(9), 3.1) : Let

G,M

be finite, locallx free affine k-groups.

Suppose that the local ranks of the affine algebras of relatively prime for all

G

Mare £. £.6: Spec(R). Then anx central extension:

E

and

splits uniquely.

In the local case, the previous theory implies

Ext(G,M)

=0

and

1

Ho(G,M) = O. The general case follows from the local one because of the uniqueness of the splitting. The special case of 5.4 of etale groups over a field

k

is contained

in [2J, In, §6, 4.6.

Literature

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Mat. Zametki 19 (1976), 717-726

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H.-J. Schneider, Zerlegbare Erweiterungen affiner Gruppen, to appear.

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J. Tate and F. Oort, Group schemes of prime order, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup. 3 (1970),1-21.

Mathematisches Institut Universitat Munchen 39 D-8000 Munchen 2

115

IDEAUX PREMIERS ET COMPLETION DANS LES ALGEBRES ENVELOPPANTES D'ALGEBRES DE LIE NILPOTENTES par Thierry LEVASSEUR

Les problemes de localisation et de completion, bien connus en algebre commutative, se laissent beaucoup moins facilement etudier dans un cadre non commutatif. Nous allons Ie faire ici, essentiellement dans Ie but d'etudier les ideaux d'une a l geb re enveloppante

U(i)

d'une aLgebre de Lie nilpotente

6y

de dimension finie sur un corps commutatif, k. Ce cas presente plusieurs interets : les ideaux sont engendres par une suite centralisante, ce qui implique en particulier la localisabilite des ideaux premiers, et les localises satisfont a une definition convenable de la regularite, generalisant celIe du cas commutatif. Apres avoir rappele en

0

quelques definitions et proprietes,

on s'interessa en! a des proprietes relatives aces ideaux premiers: ­ Diverses dimensions des quotients de ­ Cat ena r i te de

U

et des localises.

).

Etude de certains ideaux premiers, introduits par P. Gabriel et Y. Nouaze. Si

R est un anne au noetherien a droite et

systeme centralisant, Ie _II etudie Ie complete R

=

on montrequ'il existe un ouvert de

completes des localises de

un ideal engendre par un

R = lim _';lr

; puis lorsque

Spec

sur lequel les

possedent un corps de coefficients (au sens

de Cohen), ce qui permet de decrire ces anneaux. En prenant pour d'augmentation de de

k

en tant que

on obtient une description de U(

et

module.

Enfin Ie III, generalisant un resultat commutatif

du a D. Eisenbud et

E.G. Evans Jr., donne une ecriture des racines des ideaux de d'intersection finie d'ideaux premiers). Ces resultats reprennent et deve Loppen t

,

ceux parus en

l'ideal injective

[19], [20] , (21J , [22], [23]. 116

(i.e.

-2-

o

Definitions et rappels

Nous allons rappeler quelques definitions et proprietes qui nous seront constamment utiles. Dans les chapitres suivants nous garderons les notations qui vont etre donnees ici. Definition I ([24]). Soit de

R forment

R un anneau ; nous dirons que Les elements

systeme normalisant est normalisant : xlR

+ (xl' ••. ,x

(rasp , XI

est normalisant

i_ l)

R

(resp. centralisant) si :

= Rx l

est central

R) •

(resp. central) dans

pour

Le systeme normalisant ou centralisant sera dit regulier

forme une

R-suite) si : (i) XI

est regulier (non diviseur de

(ii) Xi + (xI'''' ,Xi_I)

Si

I

Definition 2 : Un ideal

I

r.c l

c.r l

a

gauche) .

_R 1}

!

sera dit localisable

a droite

e s a et

(resp. rIC

R

R nous noterons :

est regulier dans

forme un systeme de Ore que l s que soient

droite et

est regulier dans

est un ideal d'un anne au It> ] 10(1) =I t c I:.R/[c+1

a

0

I)

droite (re sp ,

a gauche)

(resp.

i l exi.s ca

a

c'est

!

gauche) si

dire

rleR, clee:(I) tels que

= clr).

On peut dans ce cas former un anneau de fractions

R I. Rappelons la proposition «(42] corollaire I page 45).

Proposition 3 : Soit engendre

R

noetherien

!

droite et

un systeme centralisant d'elements alors

P

ideal premier

Pest localisable

a

d ro i.t.e .

Definition 4 «(45J) : (i) Nous dirons qu'un anneau noetherien

a

R est local s'il est

droite et si les elements non inversibles de

R forment un

!TIt est Le radical de Jacobson de R e t

R est un corps.

En particulier

(ii) Un anneau local

sera dit regulier de

n

si son ideal

maximal possede un systeme normalisant regulier de generateurs comportant elements.

117

n

-3Definition 5 : Si

R

est un anneau noetherien

a droite

nous noterons :

- K dim M, la dimension de Krull au sens de Gabriel Rentschler d'un module

a

- K(R)

R : Ie supremum des longueurs

la dimension de Krull:.

de chaines d ' ideaux premiers htP

poe ...

c Pn '

Si

P

- rgldim R : la dimension homologique

M.

la dimension homologique

Remarquons que si

R est un anneau local regulier de dimension

integre et

= K(R)

Kdim R

=

dh

R,

est un ideal premier de PC ... CP P. o n a droite de R.

sera Ie supremum des longueurs de chaines - dhJl1

R

M.

droite

! = rgldim RfIIl

R

n, alors

Rest

n, «(45] theoreme 2.7).

Nos principales applications proviennent des deux resultats suivants : Theoreme 6 ([45] t he r oeme 3.3). Si

A est

enveloppante d 'une algebre

de Lie nilpotente de dimension finie (i) Tout ideal de (ii) Si ,nulle,

P

P

A

corps commutatif

est engendre

est un ideal premier

local noetherien

!

droite

!

est de caracteristique

A

est completement premier

est un anne au

Ap

gauche.

Theoreme 7 ([43} theoreme A). En gardant de

du (ii) du theoreme 6 l'ideal maximal

est-un anneau ---

A,

engendre

une suite

k , alors :

.sys t.eme centralisant d'elements.

===.;;;.:;;..:::.

comportant

ht P

elements. Nous aurons egalement besoin de Definition 7 :

k

!:!!! corps commutatif

GK dim A la dimension de Gelfand

I

A de

A

algebre. Nous noterons (cf , (4] definition 1.2).

Anneaux reguliers non commutatifs et applications

§.1. Comparaison des dimensions dans les Proposition 1.1 : Si premier de

R

R est un anne au

des anneaux locaux reguliers. e t si

alors

118

P

est un ideal

-4Preuve: Soit Il1L = (ZI"" ,Zn) sur

n = dim R, le cas

n=1

l'ideal maximal de

etant evident car

R. Pr oc edons par recurrence

P = (0)

ou

Supposons

donc que la proposition soit vraie pour tout anneau local regulier de dimension inferieure ou egale it Soit done

n-l.

R un anneau local regulier de dimension

est un anneau local regulier de dimension n-I. Soit

n, posons P

R

R Z]R

un ideal premier de

R R,

ou bien : (i) ZI Eo P dans

R

auq ue I cas La recurrence s' applique it

R

et

P image de P

ee qui donne :

pR =

= K d il.m.R

P

P

,

K

R

p'

(ii) ZI If P Alors il existe un ideal premier minimal, Q, sur P + ZI R , R R tel que : K d irm Q Kdl.m P+(Z ) ( [37J prop. 1, chap. 7 §.3) . Puisque Q-2(ZI) I nous aurons par recurrence comme dans (i): = K dim De plus il est clair que : "

I

»

et comme (ef. (37]

t

b .B chap. 7 §.2)

= K dim

= K

Ll r e.su I t e :

I)] .$ K dim

K[ ce qui donne En outre dans

:

ZI

R

Q

K

I

»

R

K(p+(Z ») = K dim P+ (Z 1) 1 etant normalisant dans

R

p et le corollaire

I. 9 de

R, sa classe

(45] applique it

R

P

21

n'est pas diviseur de

et

-ZIP R no us fournit

l' egalite : . R K dim P+(ZI) = K di m P

En outre

P

I.

etant premier : I

K(p+ ,R

I

»

)

1$

= K dim P+ R

Donc K d i.m p$ K (p)

- I , d ou l

I

) '" K dim

- I$

- 1 .

l'inegalite inverse etant toujours vraie nous avons

l'egalite.

119

o

-5Corollaire 1. 2 de

Soit

R

local regulier, et

Preuve : Soit

P

un ideal premier minimal sur

(cf . (37) chap. 7, prop. I, § .3). Nous aurons

Mais il est clair, puisque

premier soit localisable, ,

un ideal ---

I

alors

R

norma I'

que: K (p)

.! d r o i t e .

regu 1'-

on a

I

R

Ic;,P

R

R R = 1

P

= K dim

dim

= K

I

I

K

I

,R

K di m

I

de

1 = K (R) l'

R

contenue d ans

q

R

(xI""

,X

q

)

'"

)

K(R) - q ,

'" R (xI" .. ,xq)

K

N

dim

K(R)

et par (45]

.,

K(R) -

q

R -

.,

'"

K dim R

corollaire 1.9 dim

P

; d'oil

K (1)

N

Preuve: D'apres Ie corollaire 1.2 nous avons

K

= K

Alors po.ur tout ideal

( xl' •• "x ) oJ

K(

K dim $

K dim

tel que

I

bilatere

q

N

Mais

N

K

So

D'autre part, par [42}

rs . 4.5

httm.= K(R)' ht [(XI

K(R)

dim

K

'X

q)]

En rassemblant les inegalites K( ( .

IV

R

+ q - K (

(x)

R

N

N

K(R) - q

a

applique

xI"" ,xq

-

(x).

q

'" et 1m. R

(xl,···,X

q)

1

+ q

(xx)

et (xx) i t vient .,

»

$ K(R)

- q

Ca qui demontre Ie resultat. §

.2. Catenari te Nous allons donner une demonstration differente de celles donnees en

(28J

de la catenarite d'une algebre enveloppante d'une algebre de Lie nilpotente de dimension finie sur un corps de caracteristique Rappelons qu'un anneau

O.

est catenaire si lorsque :f' C + 1. Dans tout ce :p paragraphe (bien que cela soit souvant superflu) tous les anneaux seront

noetheriens

a

Lemme 2.1

Soit

droite et (R,flll)

R

a

gauche. Rappelons les resultats suivants : local et

120

M en

R

de type Hni

-6(a gauche) si

f

est un element de

rot

central dans

R, et si

fest

M-regulier, et R-regulier R R

1) Torn (fR ' M) = 0

2)

si

n 7/ I.

-) c::?

,-)

si

n?

0

Preuve : I) cf [26J Proposition 1. 2) On a la suite spectrale q

(cf. [7J, p.348)

R R

Ext R/ f R(Tor (fR ' M), -) P

ou

est un

a

module

n

Ext R(M , -)

q

gauche. (M n (M , - ) . Ext n fM ' - ) .... - Ext R R/ f R

. Compte tenu d e 1) ,on 0 b tLent

3) Remarquons (cf (26J proposition 2), qu' il exsite un R Lscmo rp hi.sme M '" ) "" 1(R R fM -TorR(R isomorphisme de o fR ' M - Ext R fR ' M), qui est en fait un fR modules a gauche. Nous avons d'autre part la sui te spectrale q R ExtR(fR

Ext pR/ f R(q R ExtR(fR

et

M)

si

0

(71

(cf .

n Ext R(-

,

page 345)

R M) , avec - fR

module

q > I, done : '

, M)

d' ap re s ce qui precede:

(- ,

1(- , M)

Dans toute la suite nous allons faire les hypotheses suivantes Soit

R un anneau local regulier tel que de plus : (i) Tout ideal est engendre par un systeme centralisant d'elements et

l'ideal maximal 1m. de

Rest engendr e par une suite

(ii) Tout ideal premier

regulier et

R1=' est local

est engendre par une suite centralisante reguliere de

On sait alors que si (I)

est ccmpLe t ement premier,

'!>

reguliere.

n

i. R

i R

ExtR(1IIL (2) Pour tout

R)

=

= dim R

0

R

= i.

si

n

si

i '" n ,

R module

a gauche

de type fini on a

121

-7dh R M = Sup { dh

M + prof

R

si

(M , R) " O}

R

M = n

M est un

profR M

e t s i,

, M) f

inf

oj

,(cL [3J).

R module, on dit qu'un ideal premier

M s'il existe un sous module non nul tout sous module non nul de

N de

1>

de

Rest assode

M tel que

N. Nous noterons

Ass

R

a

soit l'annu1ateur dE

M les associes

de

M, (cf . [37J).

Lemme 2.2 : Soit

b

R

Ass b R R -

isomorphe !

l'

un ideal --c

b (en tant

R

M= b

Preuve: Posons

bilatere de

ct=

et

a

as soc i e

b

M

to·.N ° i'

, i l existe un ideal

;p =

e i>

rl)(.

-

on a

consequent

x,

a

oil

Lc{.L

L

I

gauche

= fxeR/x1!:ld. Soit b -:- En e f f e t s i

I, a Lor s

x

NfM}

de

L

1> t;;;o·.

L

:fi'

,d'ou

Z

-

avec

l

-

l---)

et si

. Mais

:p.

De plus

:fi'

etant un ideal

(I)

soit non nul et central dans

R b'

b , nous avons l'homomorphisme surjectif

gauche :

x.ZE: b x

xeR

et

x.Z

0

rZ et si

annule

Ri

sa definition

Si

de

eR

R

Remarquons que si r

bilatere de Si de

R.Z

-Z

e r,

ideal bilatere. Par

R

alors donc

a

01'.

par Le cho i.x de

0'.

tel que

(I)

considerons 1e sous module R modules

R, contenant strictement

= Lxet .. b.G[b.b.frb, car b

bilatere il existe un

f

oJ .

l'ideal b i.La t e r e angend r e par

(I)

b. £(1)

est l'annu1ateur de tous les sous modules de

des

{xE.R, xN =

O··N

1', dans cf" e t on sait que l' est

«(37] page 69).

M=

tel que

dans

ideal bi 1atere

R modules! gauche) .

On peut co ns i.de r e r un-element maximal, Puisque

R, alors

R module! gauche) !:.£.

rE R on a : xr z - xz r e b et par suite

annule R et

R.i.

QI R.Z

Si l'on pose donc R :to avec c o b

est un ideal bilatere de

donc

xr z ei b

et

xr.i

0,

. Rec Lpr oquement; il est clair que par c = b + R Z, c'est un ideal

-+-

R nous noterons

dim a

la dimension de Krull

aR , qui est aussi sa dimension de Krull c1assique (cf. corol1aire 1.2). M est un R module

a

gauche nous noterons :

gradeR M

dim R.

122

-8-

En gardant les memes notations, pour tout ideal bilatere

de

R

on a gradeR

(x) quel

soit

= dim

r

Plus precisement si

+ dim

i

R

tel

est considere

i? n

un

i< n-r

e t;

al or s

R module.! gauche) . i R

est une evidence. Pour la

Ext (ll ' R) = 0 pour R deuxieme partie faisons une recurrence sur n. Preuve : Remarquons que Si

n

0

=

c'est clair.

Dans le cas general si

est faux, choisissons

(x)

dans la famille des ideaux qui ne satisfont pas

b

ideal qui soit maximal

(x). Montrons que

b

est un

ideal premier. R

Le lemme 2.2 nous fournit

4> E.Ass b

gauche suivante soit exacte

!.. O ---->. . --'.:t>

' bR

R C

Ext R(c

---" Si

.h:> T*_b

i < inf (n - dim

< n -

i R

di R am b

-1> ;2 b

car

b

est un ideal b i l at e r e) nous avons par

b:

R comma n - da· m b .

0 :

R) ---'> ExtR(b '

(on s ai t que

maximalite de Si

'

R modules ii

0 , avec

on en deduit quel que soit i R

' tel que la suite de

R

-

' n - dim

. f (n - d;m m •

i(R Ext R b , R)

=

0

R) = 0

R

o

et

nous obtenons : si,

ce qui est impossible par suite

et

b

est premier.

trn.=

(ZI""'Zn ) est l'ideal maximal de R deux cas sont alors possibles R R (i) Z1 £ E. est un module et puisque Z I est central regulier b dans R: i R pour tout (Lemma 2.1) , Ext R/ Z R(b ' Si

1

par recurrence puisque i < n-I-dim

c'est-ii-dire

(ii) Z 11- E., ZI car

b

-

dim

1

-!- = dim

ZIR i+1 < rr-d Lm

R - I, ceci est nul des que ce qui contredit le cho i.x de

etant central dans

R

et non d.ivi seur de

est premier on a la suite exacte de R modules ii gauche R ZI R R 0-4 avec --) 0 b + RZ b I

r

123

0

dans

b. R

b

b

-9di

R

b+RZ

dim

I

pour tout

(corollaire 1.3), ce qui induit

... ...,

i'i 0

Par maxi.ma.l i t e de

b

i R Ext R(b+ RZ I ' R)

ZI i R , R) - - - ) Ext R(b '

si

i+1 c n-r di.m

+ 1

i+1 R Ext R (b+RZ

,RJ---?,

I

on a :

0, et ainsi on obtient dans ce cas la relation entre les deux

R _modules a droite de type fini iR ExtR(b" ' R) si

iR ZI . ExtR(b" ' R), Ie lemme de Nakayama donne

b' ce qui est impossible. D'ou Ie lemrne 2.3.

i< n - dim

-1'

et

hypotheses

. ' R) ill R.:p \tR ' Rt» i l' Puisque R:t> est un anneau local regulier Ext R R4> ) = 0 si i " n-j R

dh

.p

*'

4>

p

de dimension egale a pour lequel

et nous obtenons

.p

R.p

j

Ext R

ht.

.p

*'

CT'

nous savons qu'il existe un unique entier , done ce ne peut etre que

dim R -

124

n-I ,

j

=

ht.p

-10-

Corollaire 2.5 : Si

.!!:E.

algebre de Lie nilpotente de dimension finie

corps de caracteristique

O. son algebre enveloppante est un

catenaire. Preuve: Les localises de

verifient les hypotheses du theoreme 2.5

Q. Theoremes 6 et 7).

(cf.

Remarque : L'idee de cette preuve se trouve dans (40) , ou elle est utilisee dans un cadre commutatif plus large. §.3. Applications aux algebres enveloppantes d'algebres de Lie nilpotentes. 0 • que les resultats du §.J. s'appliquent dans Ie cas ou

11 resulte de

Rest

A4> • Le localise d'une al.ge bre enveloppante

de Lie nilpotente. et

P

A

d'une a l ge bre

=

• de dimension finie sur un corps de caracteristique zero.

un ideal premier de

A.

Nous allons donner dans ce cadre quelques consequences du §.J. Proposition 3.1 : Avec les notations precedentes si centralisante reguliere d'elements de si

P

est

(xl •...• X ) est q ideal premier de

Q est

ou

A Q contenant

ideal premier

suite A

on a

p ht P - q . (xl· .. ·,xq ) En particulier si 15 minimal sur (xj •...

ht

ht 15

,X ) q Pest l'ideal premier d'image

: II est connu que si A ( A) N-E-

(xl"" .xq) est une suite centralisante du Lemme 3.6). il suffit d'appliquer le corollaire j.3 a R

=q,

p

preuve

Puisque

=

.

Nous allons demontrer une amelioration du corollaire 2 de (22] , qui repose sur Ie fait que

A est un anne au catenaire. (cf. (28) et Ie paragraphe 2).

Corollaire 3.2 : Soit

A suite

une

Q ideal premier de

centralisante alors GK dim

(a j

q

)

Preuve : Procedons par recurrence sur Si

q

=

1. soit

P

(cf , [42] Th. 4.5)

Mais

GK dim

GK dim

GK dim

...A -

i

A

Q'

est

si

q.

is GK dim

1

A =

GK dim A - q .

un ideal premier minimal sur et

AI

...

A

••••• a

A et

( (4]

125

(a ) , alors

(cf ,

3.4)

l

[4]

ht p

3.l.d).

et

GK dim

,., A=

(cf . (28]

-11-

GK dim

A-

9). Par suite

propriete vraie jusqu'a si

P

ht P = GK dim

Q

GK dim

q-I

=

et soit

est un ideal premier minimal sur

ht P

q

AA- ]

GK dim

Supposons la

(a ," .,a une A suite centralisante, l q) (a ," .,a) nous avons vu qu'alors ]

q

(prop. 3. I). Posons

Nous aurons

( t..) GK

N

P

et

A d i. m -A = GK d irm -P

P

A

GK d'

P

(ii) GK dim _A_ .. GK dim A

=

P

'"

GK dim

=

([41

q

(aq + (al, ... ,aq- ])] •

3. l. d)

([4J 3.4)

(a q )

(iii) GK dim

a

A-

GK dim

ht

P=

En utilisant l'hypothese de recurrence: GK dim

GK dim

A=

A

GK dim

q

A-

(cf.

[28] prop" 9).

(q-I) ; grace

a (D, (Li ) , (iii) il v i en t N

GKdimA-q\(GKdim d ' oii i ' egalite :

E GKdimA- (q

A

(a , ... ,a ) l q

r

l) -

1

GK dim A - q

Comme il est nate en (28) , il serait interessant de pouvoir demontrer Ie resultat suivant : si

R est un anne au local regulier dont tout ideal premier

est completement premier et localisable, alors, pour tout ideal premier l'anneau local

est aussi regulier. Nous allons demontrer (cf. [23]) un Ap R = - - oil P est un ideal premier de

r e s ul t at qui va dans ce sens lorsque

et

A

.. ,x ) p

(XI"

(cf.

reguliere dans

Q Th.

7.), cette suite etant centralisante

par decrire la construction de cette suite

(cf , [43] lemme 1.3 e t preuve du t heo re me A). Puisque po sons

alors

n

k [Xl"" ,X

A = k , A. o J (x)

P

P

A

.2 Pld .•. ;nn

=

U (

.p EX'

Rec i.p roquement; soi t

Ecrivons

f . S-1 B, alors mk mj u Tf I ••• irk ,les

S =

inversible dans

a

unique

Z(B)

Vir

n

f E:

a]flflB

(a.S-

f

Vtr

et

(a)Qm

II.

1

% (a)-m 1

tr I

= Vi

VtT

I

Vy

et

If k

••• 'Ifk

V,\\

(S-I) 1

= Vli'

\TV

f =11"1]

(a)

)

-]

a

m2

(cf , [32J

0 , d' oil

rr 2

dans

car tout

B'lf'kB

-I

A

est une

a

A = U(t;r)

t> eX' (A)

X'(A)

car ; et I.' ensemble

est un ideal

de Weyl car oil

(II} 4.7.17)

enparticulier

AS

n 1N

est simple.

(ii) 11 est facile de trouver des elements qui soient dans A

X'(A) = [(Z-CX)A,IX kJ dans

lOt

fE-B.

mais non dans A. Si par exemple A = k [x,y,z] avec E:.X' (A) -\l algebriquement clos de caracteristique 0 et [x,y] = Z. Alors

l'

Si l'on

irreductible central dans

S-I A =

n

-I

IV, proposition 4).

Remarques ; (i) S

(cf ,

(S). 1

••. Tr ) k

l(1f2

est un anneau factoriel et il existe une bijection entre 11'

.B.

avec

Remarquons que la proposition 4.2 s'applique bien des elements Lr re duct Lbl.e s de

Vrr

V (a]) -

\TV (f) 2

par consequent

principal engendre par un element

(a) -

1

,avec

(a.1- 1)-m.",O, pour 1

a

Z(B), u

(f):" 0, donc

on trouve (T ••. 3

S 'Z(B)'tO}

avec

Z(B) .

1

2 m3

2

a

m = V'll". (S), cette ecriture etant i 1

(a) +

par suite

l,

necessairement

etant irreductibles dans

1

B t ' nous aurons

a

ainsi ; f =

1)

1

1

1 recommence le pro cede pour

v.. .

If.

1

4leX'(B) avec

a.S-

B), et

(donc dans

V'll"

(f)

1

Pui sq ue

f

une unite pres.

Cons Lde rons

11' n. a

f

A, car

x

et

x-I

est dans

f. p

de

129

f\

4> ex' (A)

At-. .,...

k

corps

mais n'est pas

-15-

§.5. Ideaux reguliers

l'algebre enveloppante d'une algebre

nilpotente

Nous allons rappeler, sans demonstrations, divers resultats et definitions figurant dans [13J, 6.1. Dans toute la suite sur un corps UC')

son

de

k

al

sera une algebre de Lie nilpotente de dimension finie

de caracteristique

geb re enveloppante, KC

et

de

UC,,}

O. Nous noterons comme dans le §.5),

6;r}

son corps des fractions, Z

Le centre de

non nul,

d e s i gne r a le centre de

le corps des fractions de

Z

;

et

t }.

Defini tion 5.1 : On appelle regulier tout ideal premier tel que

dans

a

Q du centre

Q

ideal regulier de

ZC

Ip

tf. f I, ... ,mJ. oil

Z(,.)p PZ('t)

envoie

sur

est egal au centre de

est dans

Fr ( _

)) -

P(PZ(

corps

etait r egu l i.e r Fr

If

+,p]).

x 4 sur la classe

P

. x_z ' et reclproque3 qui s'ecrit comme un polynome en peut etre

ment tout element de

le centre de

3

e t an t un po Lynfime en

envoie la classe de cet element modulo

.T. .,. " . d e cet e ement modu 1 0 c est-a-dlre sur un po 1 ynome en

[q(x;) +

1I'([x

U (ct-)

Fr

x

est un polynome en

a

k[ X 3

J , '0 (Centre

x;

Ainsi si est egal

a

x;. D'autre part puisque U(f»

est i ' ensemble des

modulo

3 (Centre

devrait etre e ga l d ' ap re s 6.4 au

mais alors il existerait deux po Iyndme s (g(x;) +t>U(".)p]

135

f. donc

et

g

tels que

-21n(x 3 +f]H ([f(x;) +.t>J) = ([g(x;) q]) et [x 3 ce qui est impossible. Remarquons que l'on a tout de meme : Fr

+-\>]),

.

b) Donnons un autre exemp Le oil 1 'on a pas ce t Lsorro rph i sme : Soit l'algebre de Lie nilpotente de dimension 5 ayant pour base

xl' x

2'

x

3'

x4 ' X

x 3; [Xl' x 3] = x 4 ; [xl' x 4 ] = "s: 22 2 2 3 Alors = k [ x ' 2x 18x 2x3x - x 4 ' 3x 2x - 3x 4x S + x 4 ' 9x 2x S S 4xS 3x S S 3x 3 3 2 2 - 3x ] + 6x + 8x 3x S 2x 4 3x 4 En particulier trde C( ,WI'\l}f '" Lemme

Alors

= r,1>}

W de

•

et egal

la var i ete des zeros de

V(ll)

!X.... =

vectoriel

cs.If f

l'ensemble

= V max(-1». (cf .

' V(t» poids -l>' 6 poids f

de

l(f) = poids

(4) les orbites de dimension

G

2 poids

V(9)

;:J») si et seulement si

de dimension maximale ont pour

Preuve : La propriete (I) est en effet vraie puisque si 11l= l(f)

ave c

done

ht l(f)

/Ill

Vmax (-1>

ht+>+

d'apres ce qui precede.

138

),

-24-

l> e. v (:fl)

Puisque tout ideal (xxx) on deduit :

i> =

f

-t> - 2 poids

2 po i.ds

done (1) est elairement equivalent (2)

a

«(1 I) lemme 6.4.5 applique

ht /lYl. - ht

rm

est eontenu dans un ideal maximal

I

qui a Le merne poids que lui

a

=

I

de

.:t> ') de (xx)

A et

trdeg k

(2).

implique (3) car d'apres la preuve de la proposition 7.2 un element G_x . de -, app ar t i.ent; '" l' s i, et seulement s i..

ht l(f)

r1>

=

trdeg

=

+ ht

(3)

implique

(4)

k car

(4)

implique

(2)

car si

a

po ids

pour tout

.p

poids

=

f

0

Corollaire 7.4 : Dans poids que

c'est-a.-dire si ht l(f)

I(f) .Vmax (.1», f .r..*, Le poids de I(f) est T ,.. dim Gof est maximale done quand poids l(f)

maximal si et seulement si est egal

-f'

dim Gof = 2 poids l(f)

V(4')

rr1'

1 'ensemble

des ideaux qui ont Ie meme

est ouvert.

Preuve:

-1>'

a) Commencons par montrer que si

est un ideal premier de

contenu dans un ideal maximal qui a Le meme poids que Soit

tm..

eet ideal maximal :

applique deux foix:

poids

f G t> G Ilt\ l' I poids.j>

'!' alors

.

I

done d I apr es Le corollaire 7.3

I

et

poids tm

poids

$

.f> I

d I oil

Le r e su l t at ,

b) Montrons que A

tel que

est ouvert : soit

!fl.p

I

trouvons

Z

dans

(avec les notations de la preuve de la proposition 702)

D4> (Z)c!?.p . Soit

avec

V -1> ), il existe Z max( Alors si -l>" . D .. (Z), T

dans un element de

dans

-l>"

A

4t>'

e t ant; ouvert dans

tel que

Dto.

.,..,max

(Z)C

to.,

1""

est eontenu dans un ideal '"

et Ie a) nous donne Ie resultat.

mt de

D"

T,max

Ie meme poids que (0) forment un ouvert de

Max A

A

qui ont

qui correspond aux formes

*, ee qui repond a. ee qui avait ete annonce au § 6. 0

139

(Z) •

Db (Z) done or ,max.

En particulier ee paragraphe a montre que les ideaux maximaux de regulieres de

Z

-25-

a

II. - Completion d'un anneau noetherien

droite, et applications.

§.J. Completion.

Soit

R un anneau ; naus dirons qu'un ideal bilatere

propriete

!

Rees

M, pour tout sou s module k n. que N() MI ,( NI

droite si pour tout N de

R module

M e t pour tout

IN

a

!

R un anneau noetherien

verifie la

droite de type fini

i.I existe

k£.1N

tel

cf , (131.

Rappelons quelques proprietes des suites centralisantes : Soit

I

dr o i.t e . Mors tout ideal

admettant un systeme de generateurs centralisant verifie la propriete

!

d'Artin Rees

droite.

On a Ie corollaire evident suivant Corollaire 1.2 : Soit admettant

a

R un _a_nn_e_au_

droite et

I

systeme de generateurs centralisant. Alors tout

droite de

Hni

n 110

MIn

M vhifie

{mEM/:I L £1

tel que

m(l-i)

=

n=1

En particulier si

R

I

o] R, M

est contenu dans Ie radical de Jacobson de

separe pour .!..i!:. topologie

---

I-adigue:

MIn

(0).

=

n=!

Rappelons que si topologie

R est un anneau et

I-adique sur tout

voisinages de complete de

0

I

est fo r mee de

un ideal de

a droite

R module

definit une

MIn, n £IN. No us noterons

g- =

M pour cette topologie.

Nous avons Ie resultat important suivant Proposition 1.3 : Si

------

de type f i.n i , e t dans ce M est un

a droite

a

droite, et

----

alors

M

R module! droite de type fini .:.:. si

est

alors

ker

i,

n

n'.?;-l

Nous pouvons en deduire

140

lim

'n

MIn

Ie

cf [6] proposition 3.

R est un anne au noetherien

verifiant la propriete d'Artin Rees

(iii) si

R, I

M, dont une base de

MIn.

jM

I

un ideal

-26-

Proposition 1.4 de

(i) Si

est un

M

R un anneau noetherien ! droite de

R

l'application canonique,

Hni. En particulier si I'n?ri' canonique d'anneaux (I) I = jR(I) I

K,

pour tout

un ideal bilatere ----

A

M est un n

,..

jM: M

"Rest

jR: R

engendre

R (xl"" R pour la topologie (b) L'ideal

si

I

K

est

R module!

1 'holOClmorphisme

z- J.

systeme centralisant d'elements

R.

(xI' ••• ,xn) dans (a) Si R =

de

Hni

jM(M) R en particulier

droite de

(ii) Supposons

a droite - - - et -

----

Soit

R.

i

(x., ... ,x)

1=

complete

R

adique s'identifie !

(jR(x I ) " " ,jR(xi_1»K Ie systeme centralisant

engendre

{jR(xl), .. "jR(xn)} , de dans R il en est de

pour

n

1

R.

De plus si 18 suite

{xl"" ,xnl est reguliere

Eour fjR(x I ) " " ,jR(xn)] ----Preuve : (i) cf. (5] chap. III s. 2 prop. 16.

R.

dans

(ii) (a) Nous allons utiliser la preuve de la propos1t10n 15 de [33J chap. 9. Posons

A

A

(xl"",xi_

=

canonique

et remarquons que si jA = A---t A est l'application 1) A " A = jA(A) R = jR(A).R, grace a la proposition 1.3

avons

D'autre partYla suite exacte :

R

0 _ ) A --'" R

0

Nous deduisons la suite exacte : A

En,. particulier

"

-l)

R ,. AlaR R s'identifie

....

a

R module

R

peut etre vu comme la completion I ad i que jR{A)" i est un ideal et pour tout n, done R de A en t ant que R module a droite est la meme que i adique. De p Ius R comme I completion de R n"

"

J R,

R

A

B. j 1\

de

a

droite, done

R A' Dans l'anneau R,

la filtration

I-adique

Sa filtration possede

jR(I) R jR(A)R comme filtration canorrique , Done jR(I)n

R R _

"'_

jR(I)n

jR(A)R

R

---,,jR(MR 1 , anne au

R,

jR(A)

R"'_

(jR(I)R + jR(A)R)n

jR(A)R

jR(AjR

"

avec la filtration

.

Done l'anneau

....

JR(I) R + jR(A) R

-adique est la completion de

jR(A)R R A

' avec la f1' 1 trat10n

(ii) b) jR : R de

R+

"R

I -ad1que. . A

est Ie morphisme,. cano n i que ,

jR(x est dans Ie centre de i) d'apres (ii) (a) jR(x s'identifie i)

R

a

(cf

[33]

la classe de

141

pui.sque

Xi est dans Le centre

lemme 4 page 403). Mais jR(xi)

dans

-27I'.

R

,.,

d

(jR(X I)"" ,jR(X i- I »R de de

o o

oil

Le

r

e

s u

R

t t . De a

meme

x.

si

est non

1

d

i.v

i

s e u

r

est un R module plat, ja(X

R, donc la classe de

dans

l

,.

puisque

dans

'

jR(x

anneau.

R

II est faux en general que

i)

n'est pas diviseur i) n'est pas diviseur de 0 dans cet

sait noetherien

a

droite si

l'est> cf. [25],

R

mais nuus allons montrer que c'est Ie cas lorsque l'ideal

I

est engendre

par un systeme centralisant. Rappelons les resultats bien connus suivants : : Soit

{oll, ... ,otsl

R un anneau et

J

un ideal de

d'elements cent raux de

R

engendre par une suite

R, alors Ie gradue de JR («'I""'ot

1 s

pour la

R

;;;i

est l' image J-adique, grJR, est ega 1 ii J de 0( i dans 2 ' en particulier il est isomorphe ii un quotient d'un anneau J de polynomes en s variables ii coefficients dans : cf [33J page 416. Soit

R un anne au filtre separe et complet pour une filtration R

est noetherien ii droite il en est de meme de

R.

III, §.2 n09, cor. 2 : Soit

R un anneau noetherien ii droite et

engendre par un systeme centralisant d'elements de

R £our la topologie

I-adique, alors

,.,

R

de

R

I ; (xl' •.• ,x faisons une recurrence sur n) les notations de la proposition 1.4. n = 1, 1= xIR

noetherien

a droite.

a droite

et

1= jR(XI)R

puisque

Dans Ie cas general soit

R

,.

R

d l ap re s Le lemme 1.5

1= (xI' ... ,x

la topologie

pcs sede une base de voisinages de

sont fermes pour la topologie

n)

jR (xl) 0

posons

T

est Rest noetherien

alors

R-adique, que nous noterons T, elle k e jR (xl) .R, k IE. IN. Ces ideaux

r-adique, car egaux au complete de

pour

R) R; j k XI R

(xk R)R). I

est plus fine que la topologie I-adique, par consequent

separe et complet pour

a

Eo rmee des

la topologie I-adique (proposition 1.4 (i) et En outre

R

Ie complete

n. Nous reprenons

l'est, par suite (lemme 1.6)

est noetherien par recurrence. Cons i.de rone sur

un ideal de

"R

est un anne au noetherien

Preuve: 8i 8i

I et

T. Le gradue associe

142

a

T

s'identifiant

a un

Rest quotient

-28-

,. R

d'un anneau de polynomes en une indeterminee sur

a

droite. Done,

a droite

Rest noetherien

eorollaire 1.8 : Soit

(R,fln)

, il est noetherien

" jR(x )R l

(lemme 1.6).

un anneau local regulier ou ;m est engendre

R

par une suite centralisante reguliere, alors

!-

lim

est un anneau local

regulier de meme dimension. la proposition 1.4 (ii) est engendre par la suite centralisante reguliere bR(x 1 ), ... ,jR(xn)} d'ou Ie resultat. Remarque I. 9

de

A

1-adique, ou

st

R noetherien a droite,

J.e. Me Connell a donne une demonstration analogue du theoreme 1.7

dans [25] et a demontre que Ie complete

a droite

,.

R. Le theoreme 1.7 nous donne

I

"R

d'un anne au

pour la topologie

R

est engendre par un systeme centralisant, est noetherien R

lorsque

I

1= (xl' ... ,x

Le comp lete de

n)

a

est artinien et si

1$ j $ n

R pour la topologie et

"

11": R --'1 (R)"

done la fermeture de

droite. 1ndiquons rapidement la preuve R xIR+ ... +x.R _ J

1-adique ou

alors

"

R=

po sons _

keriT=

At

RjR(xI)+ ... +RjR(Xj)

n

(R) La preuve se termine alors facilement par recurrence sur

1\

R et i l y a

n.

Remarque 1.10 : Le resultat de 1.7, dans Le cas semi-local, e t 1.8 ont ete obtenus par J. Alev dans (2] Th. 2.7 et 3.1 en utilisant une methode differente reposant sur la dualita de Morita. Remarque 1.11 : Nous pouvons remarquer que la demonstration de 1.7 a ate utilisee pour la premiere fois en [191 lorsque

I

est l'ideal d'augmentation

d'une algebre enveloppante d'une algebre de Lie nilpotente. Mais dans ce cas un resultat plus fort a ete demontre ulterieurement dans (36); cet ideal possede la propriete d'Artin-Rees l'anneau de Rees est noetherien

R*(I) =lr r

a droite.

a

x"

tn'

droite forte (a gauche aussi) c'est-a-dire r l n X une indetermineej n

'

Done dans ce cas Ie gradue

droite.

143

gr

1R

est noetherien a

-29-

§.2. Cas particulier et application. Nous gardons les notations du paragraphe I, et nous allons donner des precisions sur ces resultats lorsque l'ideal d'elements du centre de

I

est engendre par une suite

R.

f

R un anneau noetherien a droite et DC ' ..• , IXS \ une suite 1 reguliere dont chaque element est central et contenu dans Ie radical de

Lemme 2.1 : Soit Jacobson

J(R). Si {il, ... ,isi . est une permutation de

{

p

l'

Lemme 2.5 : Soit

c'est-a-dire

un ideal regulier de

un co,ps isomorphe a

U(

de

pour

un element de P

dans

), alors

est l.e complete

dani:

. j j lU qJ = qll ... qm

et oil

En effet

.. r .. p ( )

ri,j

est une suite de Cauchy

On ver i.f i.e a i s emen.t que ceci fournit une injection dans corps residuel de dans

contient un corps

C

Am (Z

)p)

i sorm rphe a

(cf . I.§.6), on'en dedui c que et qu'ainsi

ou

..,. (n) i j ( QI c'est un ideal b i l a t e re de S. Comme il e xi.s t e

i

oJ

n

N

0

Q c- J f"lR

N tel que

1

=

Q[X]N

nou s aurons

(Jt1 R) S

puisque

J Par consequent

QIl R '" QSJ()R

Corollaire 2.4 : 1. Soit sur un corps

,

J

k

d'ou J

est semi -p remie r .

et

In R = Q.

une algebre de Lie resoluble de dimension finie, n,

cornmutatif de caracteristique

0

et algebriquement clos. Soit

S =

sont algebre enveloppante, alors pour tout ideal bilatere

il existe

n

elements

gl, ... ,gn

dans

I

I

de

S

teis que:

rad 1= fi=£xE:S/3mE./N1:, xm .IJ = V(gl, ... ,gn) 2. Le meme resultat subsiste si I 'on prend pour de Lie nilpotente de dimension

n, sur un corps

k

une algebre

de caracteristique

0

non

necessairement algebriquement clos. Preuve : I) (0() si avec

(r)

x

soit

JL

un ideal de codimension I dans

est un element de R = U(A-)

et

() (u) = xu - ux

Rest noe t he r i en

a droite

Tout ideal b i l at e r e de

d'elements et

n'appartenant pas

rad I'"

Vi

S

et

a A.

pour tout

a gauche,

156

dans

alors on sai t que S U(h.,)

R(x,o]

([10] Lemme 1.11)

i.nt.e gr e (done semi-premier).

est e ngend r e par

(cf. [I]).

u

on a

un sy s t.eme normalisant

-42(b)

GK dim S = n

et tout quotient de

R a une dimension de Gelfand-Kirillov

entiere ([4], 5.4). Le theoreme 2.2 et la remarque 2.3 (2) fournissent alors Ie resultat. I) Si l'algebre de Lie est nilpotente tout ideal bilatere de

S

est

engendre par un systeme centralisant (done normalisant) d'elements (cf. Q Th. 6.), de plus les resultats (Ol),

("'6)

et

rad I

=

Vi

subsistent. Le theoreme 2.2 et la remarque 2.3 (2) terminent ainsi la demonstration du corollaire.

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160

SUR L'APPLICATION DE DIXMIER POUR LES ALGEBRES DE LIE RESOLUBLES

Patrice TAUVEL

RESUME. On donne une definition fonctorielle de I 'application de Dixmier pour les algebres de Lie resolubles et des conditions necessaires et suffisantes pour que Ie noyau de certaines representations induites soit primitif.

1. NOTATIONS Dans toute la suite, k de caracteristique

designe un corps commutatif algebriquement clos

O. Toutes les algebres de Lie considerees sont definies sur

k, de dimension finie e t resolubles. On renvoiea [IJ,(2),[7] pour Le s concepts generaux utilises. Soient!J brique ; on munit

»

U f

8*

r

son groupe adjoint a l.g e-:

de la topologie de Zariski. On note

S(.9)

(resp.

I' algeb re syme t r i.que (resp. I' al geb re enveloppante) de.9 . Soient

6!J* b%

une k -a'l geb re de Lie resoluble,

et Q. un sous -espace de

et

af

B : (x,y) f

l'orthogonal de f([x,y)

sur

51'

$I . On notera q,..L I' orthogonal de 9

Demonstration.

Q

=

-

(P) • Soit

proposition

(P)(\ S(9 I) (P()U(S'j» = 1 Soit F Ie ferme irreductible de F

; I =ILf\9'1

re r ,

9:1:

correspondant

. D' ap re s

6.6 et Ie theorerne 2.1, on a Pf)

I(g) ; Q n S (9') =

)

n

J( g) •

Le corollaire resulte alors d'une nouvelle application de

n

e t du fait que

reg) =

n

I(g)

gEF I

gtF,

2.3 THEOREME. - Soient

S

k-algebre de Lie resoluble,

n

..,

;

9' )

n

n

(7J, proposition 6.6

(corrt i.nu i t e de l' application de Dixmier).

de Lie de S ,'it : 51:1:--,> la surjection canonique, F = rr- I (F , 1= l(lp), J = J(V). On a I) 'fl:F lp£F I I

(i)

a

[7],

I(f)

UF

162

une sous-algebre une partie de

.9" :I:I '

-3-

5!)

(ii) Inds(J ;

n

=

J(f).

fE:F

Demonstration. - L'assertion (i) est demontree dans est i ' ensemble des elements de

r (F)

nuls sur

;}1

2.4 COROLLAlRE. - Soient P1

(81. L'ideal

Inds(J

d ' oiJ. facilement (ii).

une sous-algebre de Lie de

et

Spec U(;} I)' On a :

;g )) -

Demonstration.

x

9'1'

dans

Soient

Q1

=

= IndS(p

F

et

(P I)

P

=

S) =

;

La variete des zeros de

I)

fEF Q

In(£) ; Q

=

I(\f), Q

(j

Inds(QI ;

!:J * est

dans

S)·

I

(jl.F I

-I 1T (F I ) , Ie theoreme 2.3 fournit

F

(PI);

la var i.e t e des zeros de

I

=

On a ([7], proposition 6.6), PI

gl

V =

r

n

S)

= 1\

Q I

J(4.fl). Si

(f)

=f I ij . Par

1jQ;;) l'

i Si

9_lXl_-' _on

l)

a_

=

l(f )

d l apr e s Le t heo r eme 2.3 : Ind;(I(f

=

l

$I'

1) I l' 9 .

; on a alors

d'apres l'hypothese de recurrence

au lieu de

=

!tl,l:l=

i, (f). On raisonne

, i l n 'y a rien

a

Po sons

I

(f]

;

f

§ 1 (f)

9 I)'

=

1

f

1 '

; on a done

D'autre part,

r-L.J. I(h). Comme hE.f+

N,

f +

on a done (continuite de l'application de Dixmier).

D'apres les proprietes des representations induites, il vient done I(f) = Inc\;'(I(g) ; Remarque. -

9'), soit

Si

dans

;!1 ),

S(f

on en dedu i

de

que

t;

I(f)

SP(f ;

9).

on a ;

=

100

et, comme

; i

est un ideal

est Ie plus grand ideal de

contenu

U(S) .I(g).

3.9. - On va maintenant donner une autre caracterisation des sous-algebres

t(f)·

1

PROPOSITION. - L' ideal

9

est Ie plus petit ideal de

$I [f].

contenant

Demonstration. - D'apres 1a proposition 3.2 et Ie corollaire 3.7, on a

9

(f]

c fj I'

g =

Inversement, soient

It

un ideal de

::I

dim(j'

if})-dim(

a.. 19 [f])

d'ou, d l apz e s 3.6 : dim(ct[fl!.g dHinie par

!.f(A) = f

dim(P(Q.!f})

= dimQ.lf!

Soit

rg

A pour

0

ifJ) A

=

dim

=

a...L .

Soit

Q [fJ. On a

If:

g

r

!to'.f] C

g

r

I.p(a:.{fj)

dans r ; on a Lie

= L9[f];onadonc

h+Q.

J.

-

Cr.£.

Cr.f

= &" (01)

# O.

O(oex) = 4(XOl). d'ou d I apre s (3)). Done

«(f"(O = 5.)

M,

XJC f? ou M =

=

est maximal. connnutent et s' ils sont

[r":p

?c M, M b i l at e re . On a donc d l ap re s la prop r i e t e 6 :

G6 et M etant de bons ideaux. 11 en r esu Lt e , Me

9, c'est-ii-dire 33 rP ou

M =

[;:J

etant premier

CP, soit encore

M =

R ou

9 b) Supposons

!iJ,,,

!?(1

(?'. Cons i de r ons

rn 9'

=Wc(Y'. 11 en r esu l.t.e v;:,c:P'

ifn P'

=

(P'c

?

On a donc

e t rpn P'c (?'(f, d'ou l'egalite

:?' [p . On demcnt re de meme r?n

ij>' =

IP C:P'.

Ces proprietes conduisent aisement au theoreme suivant qui generalise aux bons ideaux d'un anne au premier principal ii gauche, un theorerne etabli par Jategaonkar pour les ideaux d'un anneau premier principal des 2 cotes ([9], chapitre III, §.4, th.4.3).

Theoreme 9 : Tout bon ideal premier propre non nul est maximal. Tout bon ideal propre non nul

est, d'une

unique

a

l'ordre pres des facteurs,

Ie produit d'un nombre fini de bons ideaux premiers. Deux bons ideaux quelconques connnutent.

195

-6II en resulte que l'ensemble 0

des bons ideaux non nuls est un semi-

groupe commutatif, reticule et distributif ([6], page 223). SignaIons egalement la propriete suivante :

VJ

Propriete 10 : Si mod. jJ

est un bon ideal propre premier, les elements reguliers

sont reguliers dans l'anneau :

((j-')

c,

et

s

pR f 0 xs

= 0,

us

r egu l i.e r mod. !P. Soit

x f 0 ; on a done d'apres la propriete 5 : x

a

pnus

•

:5.9

et et

us

=0

u eJ?

puis que puisque

pest regulier (propriete 1). On en deduit s

est regulier modulo (f>. Contradiction.

La propriete 10 nous sera utile par rapport

a

la partie IV pour la localisation

a fF .

Le fait que tout bon ideal premier soit maximal evite les bons ideaux premiers immerges ; par contre certains ideaux premiers (mauvais) peuvent etre immerges dans un ideal premier si l'on suppose et principal principal A[X,

(j

,'b]

a

a gauche. droite et

que l'anneau

R est premier

Cette anomalie ne se produit pas si l'anneau est

a

gauche; elle ne se produit pas non plus dans l'anneau

A artinien simple.

Remargue I I : Tous les resultats etablis dans ce paragraphe restent valables en supposant l'anneau

R noetherien

a

gauche premier x

et principal

a

gauche pour les ideaux bilateres.

II. Le centre d'un anne au

R principal a gauche premier.

La factorisation des bons ideaux bilateres donnee pourra s'effectuer techniquement de la

x) ou plus generalement de Goldie

a

suivante :

gauche.

196

par Ie theoreme 1.9

-7-

OJ.

Propriete I. Soi t

un bon ideal premier propre non nul et

representant, c'est-a.-dire un generateur (invariant) tel que

53

Soit

un bon ideal propre non nul quelconque, q

u = ou

E

iXi

c Tr P i '

ou les

est une unite de

on prend les

Soit

Pi

R

p.

un

?

un generateur de

. Alors

et leurs expos ants sont bien determines, et

qui depend de l'ordre (quelconque) dans lequel

p .•

U)

un element non nul du centre,

wt,(Z(R)):K. L'ideal

Rw

un bon ideal non nul. s'il est impropre pour tout UJ # 0, c'est que un corps commutatif ; c'est le cas en particulier si ou bonnement quasi-simple. Sinon, il existe et les bons i.deaux premiers propres non nuls decomposition forment, lorsque to inversibles de

9EJl , avec

vrP

w=

priete 1

1 'exposant de entie r

'>;0

o.

est

est quasi-simple,

tel que

RUJ

t:::JI'.X =;)

1

1

••• VJ

o(n

n

'

qui figurent dans cette

varie dans l'ensemble des elements non

JL

de

(Spec R)* . Les

dans

r?{\

Z(R)

9=

Rp

Z (R) . si

elf p.eXi , a i.

O.

= p R,

Nous allons d e f i.n i r une valuation

to e. (Z(R)):K, on peut ecrire d ' ap r es la pro-

EoU(R). Nous definissons alors

p dans cette decomposition, c'est-a.-dire

v'? (UJ) vf> (w)

Verifions les axiomes d 'une valuation (Bourbaki

1°. v[p(l) = 0

Z(R)

f? e: Jl sent les bons ideaux premiers propres qui verifient

la condition de Formanek:

discrete

f?

(Z(R))*, un sous-ensemble non vide

Ld e aux premiers

Soit

0

W

R

est

et

vy(O) =

+Q;)

[n ,

comme 0(

chap. 6, §. 3)

•

2°. v/? (UJ +to')", inf(vlP (Ui), vp (w ')). 3°. v

(w w') = o=(?'

est E.Ei:.ncipal a gauche premier local. est son unique ideal b i l at e re maximal et c'est un bon ideal,

de sorte que ideaux

53

(S-Jp)n = 0). Les bons ideaux non nuls de n=! = !p,n , nelN. L'anneau total de fractions de Rv>

Les elements du centre en posant

v(cu')

= n,

= ZQ(R)

sont les est

w'

sont done de la forme

on definit une valuation

valuation du corps des quotients ZQ(R(,'»

a

possede les proprietes suivantes

Propriete r , R(? (i.e.

{v-]uE.Q(R)

gauche par rapport

v

de

Q(Rg»

=

ev

= Q(R).

n

Z(RG?)' done une

Q(Z(RO'», qui est ici egal

a

K. (Meme raisonnement que dans Ie tho 111.7). L'anneau de

205

et,

-]6-

Z(R p ) , d'ou :

cette valuation est

u

Propriete 2. On a

ZQ(Rp

valuation discrete

Vy;

K, et

)

)

:.J

Z(R

uJ) est

l'anneau d'une

K.

La propriete suivante va nous servir pour demontrer Z(R)

a

nouveau que

est un anneau de Krull.

ideaux premiers de

JL] designe l'ensemble des bons

ou

Propriete 3. On a : Z(R) R.

II suffit evidemment de demontrer l'inclusion ('\

f?

u

v'

-]

]

u' .{g«(?) ,

u ",

sous forme Lr r educ t i.b Le , on a

vest inversible mod.

9

en raison de l'egalite

v

et

6.

ver;::;; on v'

=

est propre dans

du denominateurXv

IE K, v

i:!:

u

6E? . (car

«>».

Re c i

si

et en

v¢ (P,

p rcqueme nt , soit

ne peut avoir

tv,

K est l'ensemble

des formes irreductibles

K.

K e t on peut supprimer (? dans

=

Propriete 4. L'ensemble des bons ideaux premiers discrete

-]

v 69

Z(R). Sinon, il existe

e K, forme I r r educ t i bl e , avec u'E

v

est un anneau de valuation discrete dans

Ainsi

Rv + 9 = R et

(?c,A-

tv, t GR. On en dedu i r ai.t

d'ou, en appliquant la p ropr i e t e III.4, 3°) : v'

!;

vest inversible

serait contenu dans un bon ideal premier

Rv = vR

d'apres la definition de

prenant

1;6 K, et soit

d'ou pour lesquels la valuation

JL'

des facteurs premiers

s= v-lucK,

et on a :

Z(R) x En considerant ] nume ra t eu r s ,

u

-1

v

Sf

0, on voit qu'il est equivalent de prendre les

206

-17L' ensemble Jl

du §. II es t un sous -ensemb Ie de

A' •

Pour avoir une valuation dans Ie corps des quotients

k

Z(R),

de

il suffit de considerer l'anneau R.!-V

= Z (R

rp

) () k = R.....

nk

•

II est facile de voir que la valuation obtenue dans seulement si

9

Propriete 5. On a valuation

k

est propre si et

Jl, d'ou :

Z(R)

I\:P

=

R'

ou

dans k. gJ Cette propriete assure l'axiome

R(p(l k

f?

est l' anne au d' une

v

AK

II

d'un anneau de Krull (th. 11.3)

et elle donne de plus une interpretation de l'anneau de la valuation consideree dans la demonstration du theoreme 11.3 : de i ' anne au localise L'axiome

V£?

Rl?(\k, au moyen

Ra. 'J

AK I I I

se verifie comme precedemment (th. 11.3), et nous avons

done une demonstration du theoreme 11.3 par localisation. La question: "a-t-on

k = K?"

reste ouverte dans Le cas general.

On peut remarquer, avec les notations precedentes qu'elle equivaut

JL

=

a

l'egalite

IL'.

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A.V. JATEGAONKAR. Left Principal Ideal Rings. Lecture Notes in Mathematics n0123, Springer-Verlag.

[10]

M.P. MALLIAVIN-BRAMERET. Largeur d'anneaux et de modules, Memoire n08 de la Societe Mathematique de France.

UI] W. SCHELTER. Integral Extensions of Rings Satisfying a Polynomial Identity. Journal of Algebra, 40 (1976), p.245-257.

208

DERIVATIONS D'UN CORPS LOCAL A CORPS RESIDUEL DE CARACTERISTIQUE NULLE ET ALGEBRIQUEMENT CLOS

par Robert VIDAL

On designe par

K un corps local

a

corps residuel

k

de caracteristique

nulle et algebriquement clos. Le but de ce travail est de donner une classification des k­derivations continues d de K et d'appliquer ulterieurement Ie resultat obtenu

a

l'etude des anneaux

a

identite polynomiale et plus precisement

a

l'etude

des anneaux de Cohen non commutatifs. Ce travail est annonce dans (10) .

§] ­

Derivations continues et Differentielles topologiques d'un corps local Dans ce paragraphe, nous rappeloRs des resultats plus ou moins bien connus

que l'on trouve dans J.P. SERRE (5) , (6) , (7) A. GROTHENDIECK, E.G.A. IV (3) , J . P. LAFON. (4) . Soit

K un corps local; de s i.gno ns par

y. sa valuation discrete, par k

son corps residuel, suppose de caracteristique nulle et algebriquement clos, par (YIP

(Y

I' anneau des entiers de

K et par

l' son ideal maximal de sorte que

k • La topologie de f i.n i e par la valuation discrete

K un espace ultrametrique complet est la topologie

)I

sur K et qui fait de

­adique. C'est cette

topologie qui sera exclusivement utilisee dans ce qui suit. Puisqu'on est en egale caracteristique zero, Ie theoreme classique de Cohen nous permet pour chaque choix d'une uniformisante

t

d'identifier

a coefficients dans Ie

corps residuel

K au corps des series de Laurent: k«t» k .

209

de la valuation

)I

-2Puisque

k

est algebriquement clos, Ie theoreme de Puiseux nouS permet

pour chaque choix d'une uniformisante cloture algebrique

K

du corps

K

t

de la valuation

de representer la

U k((tl/i)).On i>o positif Ie corps local K. = k((J/i)),

sous la forme: K

introduit ainsi, pour chaque entier

=

i.

defini a un isomorphisme pres (et qui done ne depend pas de sienne de de gre

i de K ; et on a :

K

=

U

i>o

K

K. . On con s i de r e 1

de valuation dense, muni de la valuation, encore notee des differents

t), extension galoi-

V

c omme un corps

qui prolonge celIe

,

K.

i.

Definition 1 - On appelle K-espace vectoriel des k-derivations continues de

K

note

Derk(K), l'ensemble des applications k-lineaires, continues

d:

ve r i f i an t

:

Introduisons une notion duale. Definition 2 - On appelle K-espace vectoriel des k-differentielles topologiques de

K

Ie couple universel : Slk(K), d : K _Stk(K)

K-espace vectoriel Stk(K) (1'

i

>0

con s t i t ue d'un

topologique, separe, pour la topologie

et d'une application k-Ti ne a i re continue del..p

+

l' -adique

d, ve r i f i an t 0(

•

Le lemme suivant se trouve dans (5) (Groupes algebriques et corps de classes).

Lemme I -

Sl. k (K)

es t un K-espace vectoriel de dimension un. So i t t une

uniformisante de la valuation et pour tout

0(

e K ,notons

rapport a t ; on a alors d ec

=

Dtol . dt

et

dt

D t

Q(

forme une base de

la derivee par

Stk(K) sur K .

Le lemme suivant se trouve dans E.G.A. IV . Lemme 2 -

Derk(K)

est isomorphe au dual de Sl.k(K) (51. (K), K)

k

II s'ensuit que

Derk(K)

Der (K) k

est un K-espace vectoriel de dimension un, et si

est une uniformisante de la valuation, D t

210

forme une base de

Derk(K)

sur

test K

-3Definition 3 - On appelle differentielle de si

t e s t une uniformisante, il e x i s t e

Le coefficient de rapport

a

t

t

-1

topologie

Go)

'P-adique de

e.u

0{

= ( dt

Go).

west i.ndep end an t du choix de

Sl.k(K)

5\ (K)

.

en s e r i.e de Laurent par

e t est note : res

de la d i.f fe re nt i.e l.Le

V(w)

K, tout element WE

tel que:

dans Le deve Lopperue nt; de

s I appe Ll e Le residu de

est j us t i Li ee car Le r e s i.du de La valuation

0( E K

Ce t t e notation

t , voir (5).

west de f i.n ie en accord avec la

e t on a

)J(w) =

si

V(o()

c.l =

(

dt

II est facile de verifier que cette definition ne depend pas du choix de

t.

§z - Le Theoreme principal Dans ce paragraphe,

d

de s i gne r a une k-ide r i.va t i on continu de

K, non

identiquement nulle.

Proposition I - II existe une correspondance bijective entre Der (K) k

-

et

Quel que soit Quel que soit dc.:>(t)

I ;;(

nk(K) -

{oj

dEDerk(K) WE

Der (K) k

St k (K)

definie par

-foJ

fa1 ,

posons w

0(

v=

"K

w

S

e s t bien Lndep end ant e du choix de

t

.

, on a, d I ap r es Le Lemme I

et en utilisant Ie lerume 2

d'oil dt Ht) = Definition 4 - La d i f f e re nt i.e l l e

W

5

appe l ee la d i.f f e re nt i e l Le topologique associee

211

de f i.n i e par la proposition I sera

a

la k-rle r i vat i on continue

d de

K.

-4Donnons main tenant Ie Theoreme principal : Theoreme - Soient k

K un corps local de valuation

a

,

corps residuel

de caracteristique nulle et algebriquement clos, et dune k -de r i.va t i.on conti-

nue de

de differentielle associee

K

W

d.

On obtient la classification suivante I)

> - 1

)I

(et donc en particulier

II existe une uniformisante

Y

r»:

res

de la valuation

est equivalent

0)

telle que

2J

soit

K

1

+ 1

1i(W$}

isomorphe au corps local : k( (Y Dy

cet isomorphisme soit

'

»

a

II existe une uniformisante

Y

par

Y

est equivalent

2)

S

et que la transformee de

la derivee par rapport

y

de la valuation

a telle que

K

soit

- 1

isomorphe au corps local: k«Y isomorphisme soit

D _]

)1("'$)+1

»

et que la transformee de

, la derivee par rapport

a y-

l

;

par cet

.

Y

est equivalent II existe une uniformisante isomorphe au corps local; k«Y» phisme soit:

_ 1 res ""6

logarithme formel de

1

et

res

rs: L

est extension transcendante pure monogene de de la valuation de

telle que

a

k(Log Y)

s'identifie

Y). Si on prolonge

isomor£P.=a:;:r--=c.=e.=t--=.::..::.=.:..=.

extension continue transcendante de

Y

de

d

est equivalent a :

0

existe une uniformisante 1

K soit

telle que

Y

II existe un corps local Ie corps residuel

de la valuation

e t que 1 a t ran s forme e de

D Y , k-homothetique de la derivee par rapport au Log

)/(w,) < - ]

4)

Y

a

(ou

k

et il

L, qui n'est pas dans

Log Y

dont

K

K,

designe Ie logarithme formel

d en une k-derivation continue de

L

en posant ]

,.

o (Log Y)

=

S(y)

--Y-- ; Ie corps

)/(w/)+I

L

est isomorphe au corps local : 1 ((Y

et la transformee du prolongement de

par cet isomorphisme est

» D_ Y

212

1

-5§3 - Demonstration du Theoreme principal La demonstration, assez longue, se subdivise en plusieurs parties.

a

Montrons d'abord les assertions I) et 2) qui correspondent

une forme differen-

tiel Ie sans residu. Le corps 1 'hypothese

k

etant de caracteristique nulle, il en est de meme de

res - I ; i l s ' agit de l' extension

+ I

de

k{(Y)). La substitution de

I

definit un isomorphisme de corps values entre et la derivation

d

devient l'unique application fermant

J

k ((Y))

k ( (Y))

1

J I V(WJ)+]

k( (Y

k( (Y))

K

]

))

-------)

213

V(wJ)+I

k( (Y

))

-6-

II s'agit de la derivation qui, a

done de la derivation qui a

associe

Y associe I, et on reconnait ainsi

» (w.r)

Dans l e cas 2), pu i sq ue

-I

Dy

+ d..

K([X]J

fois, dHinit sur

i

0

d(f.;)

une structure d'anneau de Cohen dans lequel Ie produit s'ecrit

o(x

Xcl.-

En effet, il suffit de remarquer que s = I si

K

+ sci) X

s = IK + X

et

d

i i=o on a : s

s =

2: a

c omrne

xS

alors

s = IK + s(J) X ; mais

s (5)

X

On verifie alors aisement que c(,

s'ecrit Reciproquement,

sed)

etc ...

s =

Quels que soient

Xo(o()X.

f.> '" K

est un morphisme multiplicatif

S (01) s (1'3) = (0< + X

,

s("o s(p) =

rep)

oiX

S(d,)) + X

«(I> + X d(oi)f!'

f «(!))

+ X

•

cf(o() X

Or

c< X

d'ou

= X"" -

("") X

[d("")P

s(oi) s(p)

L'anneau

X

(K[[X)]

, s)

s (0(f»

+

ainsi obtenu sera note

K[rx,i]J

et appele

"anneau de Cohen ii derivation". Si nous supposons

l e corps

K commutatif et

non identiquement nulle, cet

anneau est non commutatif et d'apres (8) theoreme 3, sans uniformisante centrale. si main tenant

K designe un

local ii corps residuel

k

de caracte-

ristique nulle et a Lgeb r i.quement; c Lo s et June k-ide r i.va t i.on continue de

K,

la classification du Theoreme principal donne l'echantillonnage des anneaux de Cohen

a

derivation que lIon peut construire sur l'espace ultrametrique complet

des series formelles

K [[X]]. Toutefois ces differentes structures peuvent se

deduire les unes des autres par des isomorphismes d'anneaux. Proposition 3 - Soient

K

un corps local ii corps residuel

teristique nulle et algebriquement clos et Pour chaque uniformisante

t

une

de la valuation de

222

k

de carac-

continue de K, l'anneau de Cohen

a

K.

-15derivation: K({X,dJJ indeterminee et

D t

est isomorphe 11 l'anneau : K[[Z, D oil t]] t .

Z est une

designe la derivee par rapport 11

Preuve - Identifions

K au corps

k«t», des series de Laurent

Ie

lemme 2 du §I nous permet d'ecrire :

On cons t r ui t un homomorphisme d'anneau de

K[[X,dJl vers

K [[Z, D en t;] Z a la variable

substituant dans toute serie forme lIe du premier anneau formelle

X. On obtient ainsi une serie formelle en

Z que l'on calcule avec

la regIe du produit du deuxieme anneau : X... substituons, il vient d ' oil :

Z

1

X

X

a(0()

Z

Z

x 1

za -

d (t)

at - c
, s e t posons

x

n

-5Pour les classes modulo

M respectivement modulo n+ l,

A UJ(a').) + 1

et

on a l'egalite

x

=

n

on a

x

n

L:=.

a" xI-

f 0, car L. est

G(A)-libre, d'oil

(b)==;. (a) : Notons que si

a£G(A) si

de

a

et

o fax?,

modulo

Soit

?'EJI',

J1'

est la classe de

11

une partie finie de

L

tels que

aA fa,

aE:Mu(a)

ax,/-

v AE fl'.

'6.

s., x'l

';\E1I'

/I

r-

=n

et

u)(x)

=

s,

est homo gene " alors pour tout 'AESl,

a f 0, par

alors

W(x n)

(L I) :

modulo et

soit la classe

est tel que

MuXax.;x)+I'

a'A EO G(A)

des elements non nuls,

On procede par l'absurde et on suppose que

So i t n),

L

aj\.

i= 1

en sornme d'e1ements homogene s , On de du i t

a?,.

la decomposition de

L

'1-£11' avec les

f '6

de )

et

V(3",. x?.) =o(a",.) +J(x'),). Puisque pour chaque 'A £11 ,

sont tous d.i f fe r ent s , pour chaque entier

existe au plus un entier supposer tous les

11",

Jl =f'AEfI' I CJ(a A x'A)

i . [I ,n",] , tel que

1 et L.

n fIN

x

n

X

L

'Ad'n

n

229

e t chaque 'Afil'

u(a?-. x",) = n , On peut alors

homogenes des Ie debut. Soit = n

n

il

-6x

Si

n

0,

L

alors

f,EJl'

a

A x'A

M I ' avec n+

n

et tel que sa classe modulo

On conclut

a

M (

w

a"

) 1

soit

(b) L condition

possede une famille d'elements (11)

G(A)-module gradue

Jl

=

x Preuve (a)-

x

# f/J

au plus denombrab le de

L.

t",

conditions (LI) et (L2). Pour

L

IN

de

inf(W(a'A

de

L, il existe une

et une fami lle unique

x1)\?£nJ.

une base horro gene de

dans

avec

Jl 0

J1 avec

Jl

# 0

L. Par le lennne 2. I

e t pour tout

kGlN

et tout

b'\ o

L

et

ve r i.f i e les

no = w(x), une suite de parties tel, que s i

x

est la c l as se de

LW(x)+1 ' alors

x =r.L.Jl

G(L)

# x e L; il existe une suite strictement

0

croissante d'entiers finies (Jl k)k

=

(x.?, )?£ fl

le r e Levemen t de

x

qui verifie la

A, telles que

at. xI.' UJ(x)

'AEfl x

) (b). Soit

)'AE /1

[: = (x?

et telle que pour tout element

(a?, )).EJ1. d'elements non nuls de x sommable et

modulo

et pour le

G(A)-module gradue libre

partie unique

=

L

G(L), les assertions suivantes sont equivalentes

(a) G(L)

L

(L2)

une contradiction, qui prouve le resultat.

Theoreme 2.2 : Pour un A-module filtre associe

, or par

+

1",0

xI), 1\

b"

6 G(A)

1\,0

A J\k' u n element

tels que

230

bj\,k6A, avec

x

-7-

L

I. J1

b" k

k

II,

xf\ "

•

Alors

x =

ou

7[

Ali s=o U Jl s Posons

IX)

11 x

U 1\ s

'!t .fi , on a la s e r i e convergente dans

. Pour tout

A

x

s=o

( I)

00

L s=o Soit

N';>O

= k

1

t:; 1

un entier et

une partie finie de

N

Up 'ox1to(a'A n=o

etant tel, que si

k

(x -

1

a')".

b'A,s

x

contenant

U

ts ,

o ii

x?) = nl

alors W (x-z ) ;, N k

L.

11

et

n + I > N. Alors k

a" x" ) ';> N ,

"

f\

ce qui prouve x

Pour Ie calcul de

=

w (x) , on note que

et

w (x)

Par (L2) w(y ) = inf [W(b.... )+Ul (x" ) o A,O

Puisque La suite

(w (b

1,s»

s E.lN

I '). .R oj1

est strictement croissante pour tout

I. ,

et

(I) Pour la sommabilite dans les groupes abeliens topologiques, voir

231

l3,§.5].

-8-

W(b;.,s)

+W(X'A)

x').)IAE:Sl s }

d ' oii

W

t

(x) '" inf

W

(a" x t.

Soit est La c l as s e de L

de

f:

y.

est

n

0

l a f ami l.Le d'elements

modulo

) . La famille

L

Ul(X'A +1

n

et soit

L

n

x"

est un re l evement dans

G(A)-libre. Soit yEi.L

x,,6G(L),ou

YEi.Ln!Ln + J

un

l'element dont la classe modulo

Alors

y

sr 11 nest

>

t", (x'A)'un

de degre

G(L)

S

•

et par Ie Lemme 2.1 , t e s t

element de L + n J

/I

) t AE: Jl x}

n

• a"/I . AUl( x'A) -n '. Ato(x). ) • -n+l

La partie (finie) de W (a , x? )

fl

y

,telle que pour tout

'A Jl n

on ait

n'

a Lors

et, par suite,

L

engendre

Definition 2.3 : Un

G(L).

A-module filtre

L qui veri fie les conditions equivalentes

du theoreme 2.2 sera appele A-module filtre f-libre, ou bien Le relevement dans A-module f-libre

L

d'une

G(A)-base de

G(L), sera appele

A-module f-libre. f-base du

L.

Pour les A-modules libres de rang fini, qui sont des A-modules filtres, on obtient sans difficulte Ie resuitat suivant.

Corollaire : Sous les hypotheses du theorene 2.2, les assertions suivantes sont equivalentes (a)

G(A)-module gradue

G(L)

est

232

G(A)-libre de type fini

-9(b)

A-module

L

possede un systeme generateur fini, qui verifie les

(LI) et (L2).

Rappe l.o ns que deux filtrations A-module

M

(Mn)nElN

sur l e meme

et

n elN , il e xi s t e

sont cofinales si pour tout

k E: IN

et

n

, tels que M' eMn --k'n

les sui tes

(k

n)

n elN

et

n .IN

filtrations cofinales sur

2.4 : Soit

L

L

L=

fonction d'ordre et

M

pouvant etre prises croissantes. Deux

definissent la meme topologie.

A-module f:-libre, (Ln)nEIN

muni d'une filtration

dont

w'

L'

une f-base. Si

(x'A)?,6J1

sa filtration,

w

designe Ie A-module

cofinale avec la filtration initiale,

est la fonction d'ordre

et si pour tout

0

f

x6 L,

on pose

ur"

est une fonction d' ordre sur ' cofinale avec celIe de

A-module

L" = L

L',

L, definissant une fi 1 tration \ln lN,

et telle que Ie

muni de cette filtration est f-libre, ayant

On peut de f i.n i r deux suites croissante d' entier s ' telles que

et pour chaque p ro p r i e.t e s , Pour

n, k x

(k

L n)

pour

n lN

k n'", n

et

n

L

k'

n

sont les plus petits entiers ayant cas

on a

233

f rba se . et

-10-

w (x) Puisque

w ' (x) M,

h = f.

Proposition 2.9 : Tout A-module filtre f-libre est f-projectif. Preuve : Soit

L

un A-module f-libre, (x'A

et

f: L

M'

sembles, telle que car

g

une f-base de

i : 11 --'> L, g : M

1 'injection canonique (; ';f

)1.611

un f-morphisme. Soit

g olf'= f

0

M un f-morphisme de la classe

n ----., M

If':

i , oil on peut supposer

est strict. Le prolongement

h: L ---'> M

de

I' application d ' en-

W(lp('A»

If'

= W(f(x?,» ,

(lemme 2.5) ve r i f i,e

goh=f.

Theoreme 2.10 : Soit

P

un A-module filtre et

G(P)

Ie

G(A)-module gradue

associe. Les propositions suivantes sont equivalentes. (a) Le A-module filtre

Pest f-projectif.

(b) Le A-module filtre

Pest f-isomorphe a un facteur direct d'un

A-module f-libre. (c) Le G(A)-module gradue Preuve :

G(p)

(b). On suppose que

f-morphisme surjectif strict f

l

L

1

est projectif. Pest f-projectif et on prolonge Ie P, ou

237

L]

est f-libre (proposition 2.7)

-14jusqu'a un f-morphisme surjectif strict completes de

L

Ker f

"L1

dans

l

1

et de

P

f

l

respectivement et Ie noyau de

,.

et

"P

e t an t; les

f], l'adherence de

[2, lemme 2, page 50] . II existe un f-morphisme

P ---? "L , tel que I

"flO

est l'injection canonique

i

hI = i, oil

On a

et, par la proposition 2.6, L = f;l(p) L . So i t 1

Alors tel que s t rf.c t

,

i

h

f '

"f

larestrictionde

f '

f'

i

car

0

id

l

a L

f, qui est strict, puisque

\Ix E:P, w(x) = W(h(x»)

On suppose maintenant que P

et

et i I exis te un f r-rno rph i sme surjectif

P

directe de ses sous-modules filtres

p :

est f-libre,admettant meme f-base que

A

f

1

f : L ->t) P,

l'est. D'autre part

et Ie A-module f-libre

h

est

Lest somme

Ker f ffi h(P).

Pest facteur direct du A-module f-libre

L,

etant Le f-morphisme surjectif strict canonique. Dans Le

diagramme commutatif g

P f] ,g

sont des f-morphismes, g

et

resulte de la proposition 2.9. Si

hI

canonique, alors

f

g

0

h, oil

est surjectif, strict et de source complete

h = hI

0

i

P--)L

est l'injection

i.

(c) : evident. (c) Soit oil

"P

) (b). On suppose que Le

complete de

P

et

G(P)

est un G(A)-module gradue projectif.

f : L _») "P

Le

f-llIOrphisme surjectif strict,

Lest f-libre et complet (proposition 2.7). On munit Ie noyau

de Ia filtration induite et on obtient la suite exacte

a

-----7 G(N)

G(i)

G(L)

238

Ker f = N

-15-

d'homomorphismes de G(P)

G(A)-modules gradues [2, proposition 2, page 25] . Puisque

est projectif dans Ie sens gradue, G(L)

somme directe de rro du Le s gradues. Soit

(e').)'AGj]

d'une

et

G(A)-base

de la famille

(e1)'). Ejl

(j (e

canonique. Puisque

suite

j

0

i

G(L)

G(N) , ou

L2 = N L

2

$

IX

G(P)

est une

(Y", ) '), II

L

Ie re l evemenz dans

est la proj ection

G(N)

de

L

N

sont complets, par Ie lemme 2.5 et [2, theoreme I,

et

e').

j : L

j : G(L)

N

f1

se prolonge jusqu'a un f-morphisme

Y" N, tel que

est un f-automorphisme de

(P)

$

Ie re l evement dans

G(j)

j. On a

N, L

N

$

Pj

de A-modules filtres et il existe un f-isomorphisme de -I

G(N)

1» A

page 35J , I' application surjectif strict

de

=

est dense dans

L

G(j

0

= idG(N)'

i)

Par

est une somme directe PI

sur

"P.

Alors

qui est complet. Par la proposition 2.6

est f-libre et on conclut a (b).

Corollaire I : Un A-module filtre complet est f-projectif si et seulement s'il est facteur direct d'un A-module f-libre complet. La proposition 2.6 entraine Ie

Corollaire 2 : Tout sous-module filtre dense d'un A-module f-projectif est f-projectif. Le complete d'un module f-projectif est f-projectif. Ce corollaire et Ie corollaire du theoreme 2.2 prouvent Ie

Corollaire 3 : Un A-module filtre f-projectif, dont Ie gradue associe est de tupe fini, est un A-module projectif (dans la categorie A-mod) et un A-module filtre complet, facteur direct d'un A-module f-libre de rang fini sur

3. Anneaux f-hereditaires et dimension f-projective de modules filtres.

Rappelons qu'une suite M' _ _ g_,> M _f_,> Mil

239

A.

-16de modules filtres et

f-morphismes est exacte si

e xact e est strictement exacte si

f

et

g

Ker f

=

1m g

et qu'une suite

sont des f-morphismes stricts

Definition 3.1 : Une resolution f-projective d'un A-module filtre suite de modules filtres et de f-morphismes, exacte en chaque

ou tous les

P

n

sont des A-modules f-projectifs et

E

[n·

M est une

P , n

un f-morphisme surjectif

strict. Une resolution f-projective est strictement exacte si tous les f-morphismes sont stricts.

Proposition 3.2 : Tout

A-module filtre possede une resolution f-projective

strictement exacte. Preuve: Propositions 2.7 et 2.9

Definition 3.3

Nous dirons qu'un A-module filtre

M est de dimension

f-projective:£ n f-pr.dim M:!O n , s'il existe une resolution f-projective de

M

et nous dirons que f-pr.dim M = n si f-pr.dim M::: n

et

f-rpr d i m c

n -L.

Definition 3.4 : Un anneau filtre complet cote si tout ideal du meme cote de

Theoreme 3.5 : Soit un A-module

a

A sera appele f-hereditaire d'un

A est un A-module f-projectif.

A un anne au filtre complet, f-hereditaire

gauche f-libre. Pour tout sous-module

240

M de

a gauche

L, tel que

et M/11 n

L

-17-

a

est un A-module

gauche artinien pour tout

Vne/N

H'SMIlL n

de

L/L

n

L, pour laquelle

et cofinale avec celIe induite de

Remarque : Notons que si

n Q 1, i l existe une filtration

H

f-projectif.

est artinien pour tout

n

n6lN, tout so us -mcdu Le

L veri fie la meme propriete, puisqu'il y a un homomorphisme injectif de

A-modules :

Preuve du theoreme 3.5 : On peut supposer A

sinon Ie complete

de

M

L

M ferme dans

complet et

est un sous-module du complete

M

A

de

L

L. si

est f-projectif pour une filtration co finale avec celIe induite de M est f-projectif pour une filtration induite de

induite de Si

L, M

alors

L

"-

M cofinale avec celIe

(corollaire 2 du theoreme 2.10).

L

(e'A)'i\

est une f-base de

f1

est l e complete de

L, L

(proposition 2.6). On suppose 11 bien o rdonne et on pose pour N

L

L

Il

L'

$ A ;1.£11

e?

IlE fl

r

On a la somme directe de A-modules filtres complets "-'

L

=

p.

Soit

¥P

celle-ci

a

Lp -7' 'V

Ae

P

P

C

fl

$

Ae

Il

la surjection canonique et

Mn L . Soit

pour laquelle

L Il

C

fl

= 1;

est un

/V

I'

(Mn L)

Il

muni de la filtration induite de

f-projectif et soit

muni de la filtration definie

a

c'

fl

l'ideal

C

p

partir de la filtration quotient de

(M()L )/Ker

p

la restriction de

1;

I'

On a

i,

et, par suite, l'application identite

C' - - " ' - 7 ' C f I-'

l'isomorphisme

241

e s t continue. De

de

A, A

18-

C'/C ' P p,n

n )/[(Mn +Kerf;. p )/M] n

C' est complet, on deduit par [2, proposition 8, page 35J que f.l les filtrations de C et c ' sont cofinales. Alors, par la proposition 2.4, il Il C" il existe une filtration (c" ) avec les deux sur C fl,cofinale p.,n n IN f.l autres, verifiant

et du fait que

'ifn IN

et pour laquelle

C

f.l

est

C"

'C I

'p,n

p,n

\.1

f-projectif. On a

i

p

,ou

0

1;

est

strict et

i": C' l'application Lderrt i.t e qui est un f-morphisme p f.l f.l bijectif et hicontinu. II existe alors un f-morphisme injectif h

."

1','

c"

f.l

MnL

=.1

Il

P

•

Par suite, on a la decomposition en somme directe de A-modules (Mf'lL )

(x)

J.I

La filtration de

Mn L

f.l

(jl

P

h (c")

P f.l

f.l

p p

est ce l l.e induite de

L

et

P p

t-

0

est p ro j e c t i f

pour la filtration h(C")f:PilM

P

P

fI,n

qui est cofinale avec celIe induite de

n

L.

P , P Ell ,qui ne son t pas nuls,est directe, f.l on procede conune dans Ie cas des sous-modules des modules libres sur des Pour montrer que la somme des

anne aux he r ed i t a i re s (14, t.he or eme 4.4, page 73J . 11 reste a montrer que N

X

E L . Soit

,,"(x) M t-

M2 1Il P • Si

P P

M=

l)

(jl

P

Ie plus petit f.l

P

P . Soi t X eM. Il e xi s t e f.l G. Il , tel que f.l N 11 , tel que x£. L'A . Puisque M "st f er me,

soit

K=fp(x)lx£M et soit

» e( Spec (A» -T

(resp.

soit cOmpletement premier (resp. maximal) et localisable 3 ) Pour qu'un ideal premier

a

T

(pour la

.t> e(Prim(A»

droite et

de l'algebre enveloppante

a

-T)

gauche.

A d'une

algebre de Lie de dimension finie sur un corps non denombrable de caracteristique

o

soit primitif, il faut et il suffit qu'il existe une famille denombrable

d'ideaux bilateres de bilatere de

A contenant strictement

A contenant strictement

:r

f'

telle que tout ideal

contienne au moins un element de

On adopte dans ce qui suit la terminologie, conventions de (17].

251

les notations et les

.J.

-2-

§.J. Theorie de S-torsion et extension des scalaires. Soit

A un anneau, S

(cf. [7J,p.9l)

$

(I.' a) n S '" propre de

pour tout

A, on note

Soit

a fA. Si

a"

de

J • J - Soient et

de

k

de

une extens ion de corps, A B

2

On suppose que

k'

a

f ESpec(A)

'!' .

I; ( l'

Alors

a

)

E.t5

a

et

(a)

z

.

f

p

L..

k

un ideal semi-premier

&(£-I(u."»

-I

,.,

}P

Inversement,

e, [ou

(I III a)z ek'

e t par suite I III

et

et

k'

e. III x .

'"

...

(k '

est une base du k.-e sp ace j s.r J J '" x.tAUfJ). Alors ax.fa (ou x.aeC!tJ pour tout J J J pour tout j c ,r , c'est-a-dire zE..k' l!lkb... D'ou

vectoriel

z =

eLI

de ses ideaux premiers associes

(lO(k' tels que

Or

k

un ideal premier

(fj, ( -1> "» .

droite. Soit

B tel que les images inverses par

z(l III a)E.k'

.:p II

Ci.). et que B

est une extension algebrique separable de

soient sans relation d'inclusion stricte. Alors soit

f I

est une extension separable de

k'

-I

k -a.l geb re . On

1$ «a,)

A on a

droi te. Soi t

k'

f

b i Lat e re

Ie monomorphisme canonique de k-ral.geb re s . (Q, de

B est un anneau noetherien

:1) Nous avons

tels que

l!2- est un ideal

_>

Pour tout ideal propre

3 ) On suppose que et que

A

=

k'

I

minimal contenant

B

A. On note

de

B, on a

f: A

est un anneau noetherien

oil

I

un homomorphisme d'anneaux. II est clair que, pour

B

tout ideal propre

S = {; (b..)

(cf , (4), p. 708)

f: A

A

une partie multiplicative de

l'ensemble des i de aux a droite

(J1(S)

(eJ')J'LJ

ou

a f-1(tb(k'

2 ) D'apres I) et ([151, Theoreme 1.5), nous avons

t;(t»

'"

D'autre part, d'apres

laire 1.17 (I» D'ou

nous avons

( (f>"» 3 ) Notons

4>= f

-I

(:f>")

et par consequent

2n:"

(resp./Il'l)

0..':"

l'ensemble des i.d eaux premiers de

et

([17J,

Proposition 1.2(1»

= [£-I(fll)

1;(0..") =

D'apres ([15], 'I'he o r'eme 1.4 ou [12], p.3) =

Lai re 3.7), I(u."»

(; (£-1

(f

'"

Lenme 1.2 - Soient

"»

= £-1 (fg

B

(resp.l'i= £-1(6."».11 est ai se de voir

que, d'apres l'hypothese £aite sur les images inverses par

til

corol-

=

(resp. A) minimaux contenant de

([17],

(:p "».

et,

d

l

n

£

des associes

ou

ap r e s 2) et

et

([17J,

Corol-

D'ou

= £-I({g(QII»·1l

A

un anne au noetherien

252

a

d roi t e ,

6, un ideal semi-premier

-3de

a

A. Pour un ideal

droite

I

de

A

les conditions suivantes sont

equivalentes : a)

n (g( a)

I

'" !/J nb(U,) "'!/J

b) (I +Q.)

c)

est un ideal

d)

droite essentiel de

I

Preuve : a) ='> b)

et

[9],

(cf. b)

)a). Soit

i = s-a GIn 18

sont evidentes.

s (1

et

Nous avons

kGk'

[£-1(1") oil tel que f- 1 (I") G rj1

I" (Jf(f(S»}

oil

k', L

L

b

&.

f (S).

I

de

A on a :

[I"

=

de

A

ideal

a droite de

B

ideal

a droite de

B

b Eo B

se met sous la

on a :

Nous savons qu' un element

oil

(e.) . e.r

(k ' III

(L'a.»

de s i gne une base du k-espace vectorie I

jet, J J J J un sous-ensemble fini de J, et

si nous avions

S

':f(£(S»

iuJ .

e. III a.

a i se de voir que

n jH

«k'

-1

£ : A

1

@l, Lenune 2.1. (5»,

decouble de

(Q).II

Lenune 1.3 - Soient A

d)-') b)

lenune 2.1 (2». a)=')d)

Donc

B = k'

a

k' I

I

1"(f(S»

con t ii.e n t

e t , puisque tout ideal

a

{\ (1.' a.) £ 6'(S). jH J I" de B au-des sus

droite

k'ill ' IUS10ns ' kI' nous avons I es deux r.nc

()

I" EO 11 (f (S»1 et {I" ideal a droite de B tel que 1(I")6ifi'(S)}f:'1'(f(S». 1= fSoit I" tf!(f(S». Pour tout (1".- (J III a»f'I f(S) '"

d'ou nous tirons facilement 1(I") Nous obtenons alors l'inclusion ffoil entraine l'inclusion 1 I = f- (I")

e

ideal

a

droite de

ce qui est

ou

t

a A

«£-I(I"»._

nous avons

a)nS '"

B

tel que

(i'(S)}

2 ) D'apres Prop. 1 ,1 (1), nous avons

f ( fg ( &.» s;:

(k '

et les inclusions decoulent de 1 ).

253

_

qui, elle,

\I

6.). Doric

-4Remarque 1.4 - Soient B = k'

k

une extension de corps, A

A. On a de

1°) si

I

2°) Si

evidente

a

est un ideal

droite essentiel de

droite de

B, alors

I

A

tel que

est un ideal

k'

est une extension separable de

premier de

A, alors ([ J 7], Prop. 1. J 2) k '

Proposition 1.5 - Soient A

k

k-a l gebr e , On note

a droite,

un ideal semi-premier de 1 ) Pour un ideal

fI" ideal

a

I

a droite

a.

a

soit un ideal essentiel de

:l..

A.

est un ideal semi-

est un ideal semi -premier de B,

une extension separable de

k,

que I' on suppose un anneau noetherien

le monomorphisme canonique de

k-ra l geb re s . Soit

ta..

A.

a droite

droite de

A

k'

k, et si

un corps, k ' B = k'

f : A--> B

et

une k-ra l.ge b re

B

I

de

A

les conditions suivantes sont equivalentes

tel que

f

ou p

f et

designe Ie monomorphisme d'anneaux deduit de

:f

I).' (I III a))() &(k'

applique

a

k'

de

l'anneau noetherien B

est un ideal

a l'ideal a)

par passage au quotient,

p' les ep i.morp hi.sme s canoniques d ' anneaux. Pour

«k'

(1.'

f

k'

a

B

et

a

l'ideal semi-premier

B

B/k' de

k'

(1.-

.---c:

k'

e.)

• Mais cet ideal s'identifie

A.

Done (Remarque 1.4 (1))

a droite essentiel de A = a)(\ g (tc..) :f • D'ou rs

est un ideal

consequent (Lemme 1.2)

A, nous avons

«k' E (r.-a)) + (k ' k

(cf. Remarque 1.4 (2))

«(I.'a)

(f;

l

a droite

droite essentiel de

a

, et par suite, d ap r e s Lemme 1.2

A/6.--

et par

2 ) Pour la premiere egalite il suffit, d'apres Lemme 1.3 (2), d'etablir l'inelusion (f-I(I")

ou

G.

I"E.

est une extension galoisienne de degre fini de

254

.

Supposons tout d'abord que

k. Done Ie groupe de Galois

k'

r

-5de

k'

0"

iii

I'

sur

k

est fini. Soit

lill

=Qp O'

lA)(k'

droite de

et c'est un ideal

P .

Par 'suite

I' = k '

avons Ie diagramrne commutatif suivant

f-l«¥ iii I A) (1"»

D'ou

£-1(1")

n

UP

f

-1

=

A

f __

iii 1A)

f)-l«l

0

= f-

iii lA) (1"»

B

III lA)(I"»

of\"

Supposons maintenant que I 'extension separable k . Alors i I existe une cloture galoisienne

dag r e fini sur

k. Posons

C = k"

Ill

les applications canoniques. L'anneau

C

d I ap re e Lemme 1.3 applique

a

iii lA)(I"»

k' k"

de de

k est (du fait que

l'extension

= f-l(I'):::

k

est de degre

k'

sur

et

k"

I"E'

,

k

de

h; A _> C

est de degre . Alors,

0.)

et a la k'-algebre

di , c est-a- He

1",,;1; 1 " , = k" ijI_ -k' ... '!!(k" lIl

= f-l(I").

A, g ; B _ ) C

k')-comme B- noether Len il droite. Soit

fini sur

invariant

B

est un ideal il

I

oii

(n "') par suite Mt ou p'" f:@;;"']' L'ideal iJ. l'ideal

I

k"

u..,

de

et compte tenu du fait

k

on a

·11

s. 2. 2.1 - So i t ne contenant pas

A un anne au

et

S une partie multiplicative de

O. On dit qu'un ideal iJ. droite

K de

s'il est un element maximal dans l'ensemble des ideaux iJ. droite de n'appartenant pas iJ.

:1'(S)

A

A est A

o rdorme par l'inc1usion.

Cette definition est p ropo s ee dans ([3], p.7) dans un cas p ar t i.cul i.er , et elle generalise celIe de ((IOJ,p.367, et (161, p.212, Exercice 21). On peut generaliser aisement Lemme 1.1 et Lemme 111.1 de (31 (valables pour les ideaux premiers) aux ideaux semi-premiers :

A.

A sont

A un anneau, S une partie de A, s i multiplicative de I) Pour tout

A. On dit que

S

S est une partie

A qui verifie les deux conditions suivantes (a,s)6AxS

il existe

(b,t)EAxS

(condition de are iJ. droite ou permutabilite iJ. droite).

257

tel que

at

sb

-82) Pour at

0

(a,s} A'>t5

tel que

sa=O

ilexiste

tel que

(reversibilite a droite).

Remarquons que cette definition generalise la definition 3.0 de

(17],

on

la trouve par exemple dans ([16], p.51, Prop. I .4). Par ail leurs on peut

[17]

generaliser Lemme 3.5 de Lemme 2.5 B = k'

1\

kGk'

I}

5

droite pour

une extension de corps, A

f : A--> B

et

A

en ce qui suit:

est une partie de A, alors

f(5)

On note

Ie monomorphisme canonique de k-algebres. A definissant un anneau des fractions a

definit un anneau des fractions a droite pour

B. 2) Pour

S

(resp. S') une partie de

anneau des fractions a droite pour

A

B) de£inissant un

A (resp. B) telles que

5',

existe un homomorphisme de k'-algebres et un seul Ifs,s' : k ' (AS- l) __> BS,-l = (k' 1\ A) S,-l tel que

Ys,s ' oil

(J 1lI (i(a)(i(s}}-l»

i : A_>AS-

l

et

= j(l Ii'! a)(j(l 1lI s})-l

j : B_,>BS,-l

canoniques d'anneaux, et si de plus

g

designent.les

f(S) = S'

(a,s) A)l.S,

homomorphismes

alors

est bijective.

est plat a gauche, et on a Ie diagramme commutatif suivant :

En outre

oil

pour tout

est Ie monomorphisme canonique de k'-algebres, et

f

homomorphisme d t anneaux verifiant

0

i : : ;: j

0

f'" 1 'unique

f.

Preuve : I } se demontre aisement. 2 ) En ce qui conce rne i: existence de If on ra i sonne comme clans Lemme 3.5 de

[17J.

5upposons de plus que

surjective; d'autre part soit

f (5) = S' ; alors l k'

(AS-I)

lfS

tel

5'

est evidemment

IfS , 5 , ( 1} =

0, nous

2:. 1lI i(at} (i(s}) -I (cf. [16], p. 61, Exereice 2) oil teT (ct,a t) ek'X A (t; 6.T) e t e s s, donc If's,s' (I) = j(L. c 1lI at}(j(1 Ii'! s}}-l=o t .T t et par consequent il existe u' = I 1lI u, oil u . S, tel que (L: c 1lI a ) (lllIu)=O t tloT t dans B, c'est-a-dire L. c 1lI a u = 0 dans B et, compte tenu du fait t tET t qu'on peut toujours supposer que la famille (ct}tfT de k' est libre sur k, avons

1 =

on obtient

at u = 0

pour tout

til: T, c ' est-a-dire

258

pour tout

-91

et

0

par suite

est injective. D'autre part il est facile

d'etablir la commutativite du diagramme figurant dans l'enonce. Nous avons enfin Ie diagramme commutatif suivant :

0\

k'

(AS-1 )

Y's ,S '

"BS ,-1

J

oil

S"

f(S), j'

=

«(8],

\.tI l'unique

l'homomorphisme canonique d'anneaux, et

homomorphisme d'anneaux tel que

j'

j. Nous demontrons, en utilisant

=

p.I32, Prop. J) et Le fait que ( 16 , p.57, Prop. 3.5)

a gauche

.1\

et

lps,.s,

If'' est plat a gauche c'est-a-dire que

plats a gauche, que

Definition 2.6 - On dit qu'un ideal semi-premier d'un anneau (resp. fortement localisable) a droite, si fractions a d ro i t e pour S

=18

A

i.e. S

dans

A). On dit que

(resp. s i

S =

c:;

«(1.)

j'

sont

est plat

A est localisable

de f i.n i

t;

un anneau des

/fi.. est localisable a droite et

permet un calcul des fractions a droite

=

A est classique si tout

£Spec(A)

est localisable

a droite. Remarquons que ([15], Lemme 4.1) dans un anneau premier noetherien a droite

A

les notions localisable a droite et fortement localisable a droite

coincident pour un Notons

RJ(A)

:t:> 6Spec (A) . Ie radical de Jacobson d'un anneau

Theoreme 2.7 ", Soient note

B

=

k'

0\ A

kG k'

et

une extension de corps, A

f : A --> B

1 ) On suppose que

k'

A. k-ra Lgeb re , On

Ie monomorphisme canonique de k -al g eb re s .

est une extension separable de

anneau no t her i en a droite. Soit (i. un ideal semi-yremier de

0.'

=

et

A

est Loc a l i s ab Le a droite, alors

k' 2

On suppose que

k'

Preuve : 1 ) Supposons que Iere methode: Soit (Prop. 1.1 (I»

(k '

I

6..' et'

B

=

k'

0\ 6..

U- est localisable a d ro i t e .

1et6.'

k

A

a

droite.

tel que

11'18(6.)

#

Alors

Done (Lemme 2.2) k'

D'ou Ie resultat, d l ap re s Lemme 2.2 et

259

A

est 10 calisable a droi te.

est localisable

O\b.) #

un

U, est un ideal semi-yremier de

un ideal a droite de

0\ 1)(1 &(k'

et par suite (Prop. 1.5 (1»

et A. Si

est une extension algebrique separable de

un anneau noetherien a droite. Si

localisable a droi te, alors

k

0\0-)

-10([16J, p. 52, Prop. 1.5). 2eme methode: Soit (Prop. 1.5 (I» droite sur tel que

K

un ideal a droite

k'

de

A. Alors

et, d'apres la condition no e t her i.eune a K"

B, il existe un ideal a droite

de

B

Nous avons et (Lennne 1.3 (2» 1(K"). par suite K = fD'autre part (Lennne 2.3) k '

k'

c'est-a-dire

et le r e s u.I t at; d eco u l.e de Lennne 2.3

2 ) Supposons que

Cit. est un ideal semi -premier de

Posons

et

S = (J (CA.)

S"

f(S). Par definition

A

S

localisable a droite.

definit un anneau des

fractions a droite pour

A, done (Lemme 2.5) s''

fractions a droite pour

B, et nous avons le diagrannne commutatif suivant

1

0

cas) Supposons

L'anneau

k'

de f i.n i.t un anne au des

est une extension separable de degre fini de

Best alors comme

droite

noe t h e r i e n a droite. Soit

A

de

B. Alors

(Prop.

1.5 (2»

K"

K"

coupant pas BS,,-I

S" et il s'en suit que et

A&,)

= k'

est un i somo rp hi sme d'anneaux, -I

C et par consequent U-A6..= g -I (R/C» S;; (Lfs,s" 0

k'

k'

0

lPs- Is '

S,,(K"S"

g)-l

(6. A 0..) . Or, du fait que

= k' (K"S,,-I) -I

,

k'

(b,s)6

L.

et = f-I(K"). Par suite

est localisable a droite.

est une extension algebrique separable de Nous avons

b =

'2:

e. a. et J J designe une base du k-espace vectoriel

e ., Ill: a' ., oil (e • ) J'EoJ J J J L' deux parties finies de

(j,j') L)l..L'. Po sons g : A--> C

").

1\

est un anneau noetherien a droite. Alors pour un A

les conditions suivantes sont

&(k'

\;

st

I) b)=> a)

alors

f5(C!l.)

1(/'5(.pll»,=

\;C:t.

a)-> b). D'apres Th. 2.7 (2), k '

t5 (k '

avions

.:j> "f)

1\ 6.)

4:

1- $

(k ' 1\6.)

1».

({> ")

t5

l(,pll».

est localisable a d ro i t e . Si no us

nous aurions, d ' ap re s «(151, Lemme 4.1, I f- (.p")f) l!5 (U.)

1-

c'est-a-dire (Corollaire 2.8 (1»

$

et 2) b)=> a)

deco ul e de Prop.

1.1 (1).

a)=> b). l e r cas). Supposons que fini de

k. Alors

B

est une extension separable de deg r e

k'

est un anne au noetherien a droite. Notons

l'ensemble des ideaux premiers de

j,'

(r esp ,

')

Nous avons

= k'

n

:p liE1M'

'

e t que

c'est-a-dire aus s i

pour tout

2eme cas) Supposons que

k'

est un ensemble f i.rri, et

1\6..). Alors

(cj,aj)tk')(A (j J). Po sons

C = k " 1\ A , g : A-,> C

I),

a b).

est une extension algebrique separable de

Soit

et

h: C -')

1\11 C

s =

k , nous avons

/$ (k"

c. Il a. oil j J J J k " = k(cj)jE:.J '

C\.h).

D' ou

e (k '

1\ a) £

Proposition 2.10 - Soient On note

B

= k'

A

et

On suppose que

kG k'

(k' 1\

0.)

C\II

0..

(k" C\))=

1> ) •\\ k-ral.geb re .

le monomorphisme canonique de k-algebres.

est une extension separable de

anneau noetherien a droite. Soit

k"

b) .

{g (k"

une extension de corps, A

f : A---,> B k'

J

les applications

(k' 1\&) = (k'

k

L

canoniques. D' ap r e s le 1er cas) et compte tenu du fait que l' extension est separable de de g re f i.n i, sur Or

b

et

=

c'est-a-dire, d l ap r e s «(17J, Corollaire 3.9) e t

t3(t")

l3(k'

(resp.

(resp. B) minimaux contenant

&(4)"). La condition a) est alors equi.v a l e nt e a

pour tout a

A

un ideal semi-premier de

262

k

et A.

B

un

-13-

6.-

tf:l.-' ; k '

a

est fortement localisable

a

localisable 2 ) On

k'

A

droite, alors

est une extension algebrique separable de

semi-premie.JC noetherien 11 droite. si

premier de

C::t.. est fortement

droite.

A

a

fortement loealisable

a

fortement localisable

&

k

et

est un ideal semi-

6..';

droite, alors

6..

k'

est

droite.

Preuve: I) Decoule du Th. 2.7 (I) et Prop. 1.1 (I).

a

2) Si

&.

alors

&. est localisable 11 d r o i.t e e t;

de

est suppose semi-premier. Done, d'apres Th. 2.7 (2) et Coroll. 2.9. (2),

A

&,

est un ideal semi-premier de

a

est localisable

B.1I

nul de

B; k '

1\

On suppose que

A

k'

et

k' k"

une extension de corps, A

sur

images inverses par

f

k

tel Ie que I' anne au

6,."

Supposons que

ma -c r i t i.que

de K"

K!::f-I(K")

et

a

A. de

atl

a droite

6.;

a droite tel que

('g

soit

k'

K un ideal k'

1\

et ,

B, il existe un ideal

a

Kc£K". Nous avons K; f-I(K"). D'autre

6,; f-I

f-I (K tI )

K et

a droite.

est fortement localisable

a

dro i t e . Alors

B

noetherien 11 droite. Soit

a

13

fortement localisable

droite e t

Theoreme 2.11 - Soient note

A

.p;

k c£ k' A

et

une extension de corps, A

f : A--,:> B

4> II est un ideal completement premier de f-

I

(+")

est localisable

2 ) On suppose que

B

a

k-algebre.

Ie monomorphisme canonique de k -al geb re s . B

localisable

a

droite,

0)'

une

d ro i.t e .

est un anneau noetherien

263

a

droite. Soit

-14intersection d'ideaux completement premiers de inverses par

f

B

que les images

de ses ideaux premiers associes soient sans relation

si

d'inclusion stricte.

a

est localisable

U"

a

est localisable

tL= f -1

droi te, alors

(0.-")

droite.

Preuve: Nous allons etablir tout d'abord la propriete suivante : (P)

: Si

b"

est un ideal de

B

.6

tel que

= f-

I

(1. ")

soit comp l ecement;

premier, alors pour une famille

a"

=

L.

js.r

tel que

(c. ,a')'LJ d'elements de A la relation J J J to entraine l' existence d ' au moins un indice jo E. J

c. I:!I: a. t; (1") J

J

ajo

En effet si nous avions et par consequent, du fait que ) Supposons que

a

droite. Soit

existe par

.p"

=

j E J, nous aurions

pour tout

1"

est un ideal propre de

est un ideal comp l e t ement premier de

(a,s)

Alors

(b",s") :BXt:;(}")

(e . )J' LJ J to

a. E.l:> J

B, a"4f3( B

1£.1" h").

localisable

et par suite il

I:!I:

tel que

a"

(I I:!I: a I s " = (1 I:!I: s)b"

une base du k -asp ace vectoriel

k'. Nous avons

. Des i gno ns b"

=

L.

L

j

sr

e. I:!I: x. J J

e.l:!I:a. o ii (x.,a.)E.A)l.A (j J), et, d'apres (P), il existe J J J j J J tel que a. nous (t'). De 1 'egalite e. I:!I: aa . = L e. I:!I: sx. Jo J j J J J j EJ J tirons en particulier aasx , ce qui veut dire que A verifie la J0 Jo condition de Ore a droite par rapport

et

sIT

Prouvons maintenant la reve r s i b i l i tel que

")

existe

jotJ

2 ) Notons t1Yl

tel que (resp.

a. Jo

droite. Soit et

0

(I I:!I: a ) s "

tel que

a

e

(I I:!I: s ) (I I:!I: a)

sa = O. Alors

existe

t

r>

('5(6..)=

L

s" =

e. I:!I: a. J J = O.

&(f-

I

({> ,,»

et

aa , Jo

tm.. =

pE 0Jl :t> "E oor.' D'autre part il est ai.s e de voir que l'anneau

tf-

I8(Q")

I

r>

=

A

(resp.

fl"

oil

"f(},tt'

est r edui t

B/b.."

et il

j E:J

1 'ensemble des i d eaux premiers de

b..(:.esp. 6.."). Nous avons

minimaux

E sE. (:p ") . Par suite il

O. Mais

Par consequent

rm ")

(a,s)E A)C.{g (1))

QU"!

t

au sens de

«(14], p.49), et, d I ap re s «(14], p.49, Prop. 14), tous les elements de

0.."

sont comp Le t.eme nt; premiers. Supposons que Soit

(a,s)

(b..). Alors

(b",s")E.Bx13«(2.")

tel que

s" =

L

e. III aa. =

Ql!,."

d ro i.t e .

et par suite il existe

(I III a) s" = (IEs)

e. I:!I: a. oil j J J J i l existe jt>f. J tel que

L

a

b"=L. e.Ex. jE.J J J (x . ,a.) EO A ')C.A(j J), et, d'apres (P), pour tout J J

L

et

III s (b(Q")

est localisable

B)

e. I:!I: sx.

a.

t>

De 1 'egalite

"

aa· = sx· pour J J*, Jt> jE.J J J jE:J J tout fElm,. Or, d'apres ( (]3], p. 8, Lemme 2. I), il existe une famille d'elements de

A

nous

'd'.Mais

telle que

en

s' =

264

L

a·

J .t>

c;

. l'

«(2)

=

-15Posons

L.

a'

x- . x ' , nous obtenons J'f> 1-

1>6.2!!:

a

veri fie la condi tion de Ore du fait que Soient et

k'

f : A_,> B

sa'. Par consequent

a

droite par rapport

a droite, e,

A est noe t he r i.en k

as'

1$ (0.-)

e t , compte tenu

a d ro i t e , Ii

est localisable

une extension de corps, A

une k-ra l geb re

B = k'

A

a

(resp. B) localisable

A

&(resp. &.")

Le nonomo rphi.sme canonique de k-a Igebres . Soit

un ideal semi-premier de

A

droite tel que

Nous notons alors

: k'

\.fli,,&,.11 =

Aet.-"Bv.:'

l'homomorphisme de k'-algebres

defini dans Lemme 2.5 (2).

lEt

DefinitioE; 2.13 - On dit qu'un ideal

a

AR

droite, si pour tout ideal

tel que

I

n e soit localisable a draite.

semi-premier as so c i e d'ideaux premiers de

droite d'ideaux premiers

a

a dro i t e a deux, qui

ne

droite.

-1l eSpec(A)

A a assez de precycles, si tout

est contenu

dans un precycle. Proposition 2.16 - Soient

k

A

B

a

k-algebre. On note droite et "

f: A _'> B

Spec(B). Si

"*' =

un corps, k '

une extension galoisienne de

=

d l i de al semi-premier assode

") f

u..

'1>"

est contenu dans un precycle,

-1

(t ")

6.

appartient

.

=

a

Notons

un p r e cy c Le

'In.'

semble des i.deaux premiers de B minimaux contenant Q'=k Par definition

k,

A qu'on suppose un anneau noetherien

Ie monomorphisme canonique de k-algebres. Soit

f -1 ( f

contenu dans un Preuve : Supposons que

= k'

est l'ensemble des ideaux premiers de

et «(17), Corollaire 3.7,3.8 et 3.9)

268

em.

de

(resp.!ID.'

est

A

(9»

(re sp , k'

1 'en-

9)'

A minimaux contenant forme une partition

-19-

de

OJ

L'ideal semi-premier

a droite. Donc

0\6.

=k'

est (Th. 2.7(2» Loca l i s ab Le

est un ensemble fini localisable a droite et par suite il

vt·

contient un sous-ensemble

mt'

sous-ensemble de

a

est un

localisable a droite ne contenant aucun sous-ensemble

NV-

propre localisable

Jb'

minimal pour cette propriete (i.e.

JU

droite). 11 est evident que

est un p r ecy c Le de

B.

Nous avons alors la propriete suivante : (R)

l'

tel que En effet : posons car

l'

cf{,'()

te I que

Tout d'abord

Ensuite

carsi

alors

"I"

Coroll. 3.7) et en prenant

cu

J.b'()(1t(t't»

eT

d l ou , d l ap res

cJb'n

dans

([171,

cst = f-l(cst") ; d'autre

part l'inclusion inverse est evidente. II s'en suit que l'ideal semi-premier

a

localisable

b" '"

droite

a pour images inverses par

tm,)

ideaux premiers associes les elements de et

(Th , 2.11)

i: ensemble

--'

I(

cJ6

=.1 = (\n clio (Q"1

1'>")

non comparables deux a deux,

est localisable

est localisable a droite e t

,

a

I]J.

du fait que

droite, c'est-a-dire est un p r ecyc Le ,

D'apres (R), nous avons en particulier

«(17],

Coroll. 3.7),

it e xi s t e

l)

ou

'}

dG'

"E

J'>

et

Soit

f>

que Le groupe de Galois

de

tel que

sur

est un p re cy c l e de

,

d l ap re s

Alors, du fait k

opere transitivement sur

I A)

l

. Comme

k'

de ses

f

ef'

Po so ns

=

t( r

!!!!::.' (:t') ,

III 1A)

III I A est un automorphisme de La k ' -algebre B, alors

est un p r ecyc l.e de

B

") B

et

.p".1\

contenant

§.3. Applications On note A

Mod.A

la categorie des modules a droite sur un annneau

est classique, pour un A-module a droite

SuPPA(M) = {:pESpec(A)

tel que

M:p

A. Si

M on pose

MiliA A-t'#

oJ;

une sou s-rc at ego r i.e

;.

Mod.A

est alors dite bien supportee (cf.(17], Def. 6.7) si pour un objet

de

la relation Soi t

M:p

f : A----+B

f:K : Mod.A

=

0

pour tout

{> Spec(A)

Soient

k£ k '

f : A --'.> B

f:K: Mod.B -...,Mod.A

les foncteurs extension e t

une extension de corps, A

f.

une k-a l gebre , B = k '

0\ A

Le monomorphisme canonique de k-ra l geb re s , D' ap re s «(17],

Prop. 1.2), on a une application surjective definie par

M = O.

un homomorplaisme d'anneaux, on note et

restriction des scalaires respectivement induits par

et

entraine

a£(f")

= £-1(,:;>")

pour tout

269

a£: Spec(B) :t>"ESpec(B).

Spec(A)

de M

-20Proposition 3.1 - Soient de

k, A

k

un corps, k'

k-algebre. On note

une extension algebrique separable

B = k'

A et

f : A--:>B Ie monomorphisme

canonigue de k-ral.geb r e s . On suppose en outre gu'une cloture galoisienne

de

k' sur

est telle que l' anneau

k

et que l' anneau pour tout

B est classique (done (Prop. 2.7 (J) )

A-module a droite

:I'" 6. Spee(B)

:«('!, (of»

")

G

l'est). Al o r s

af(SuPPB(M G B» A

t> ").

£ -1 (

et

= SUPPA (M).

Alors (Prop. 1 • I (3»

et il existe un homomorphisme d'anneaux et un seul

li

f : A.p _> Bt>"

ou

A

M on a : et

: Soit

A soit noe t.he r i en a d ro i t e ,

= kIT

C

f

lj

'>

B:pll

designent les homomorphismes eanoniques d'anneaux. II est aise de

voir, vu la platitude a gauche de 1\1

Prop. I), que

f

et

i, j

et

1ft

,done

un ideal a droite maximal

est un ideal a d ro i t e de

1ft

k'

4-

A ne eoupant pas c l est

(cf . Corollaire 1.6 (2»

a-dire (Lemme 2.:,) (k' Par consequent

et en appliquant «(8], p.132,

f

est plat a gauche. Soit

a l or s tn.= i-I (1ft')

de

f

rendant commutatif Le di ag ramme suivant : A - - - - ' ' ) B

A;. et

i

k"

et

r-

=ffl.'B.)"" B.pll

(k '

fest fidelement plat a gauche.

Soit M un A-module a dro i t e , Alors (M B).p" M et, tenant compte de la fidele platitude de f, dire que vaut a dire ([2], ch l , §.3, n01, Prop. 1) que

Hf>"

i

Proposition 3.2 - Soient de

k, A

k

un corps, k'

k-algebre. On note

a droite et

f : A ---?B

suppose en outre que

B

0.11

une extension algebrique separable

k'

A qu'on suppose un anneau noetherien

Ie monomorphisme canonique dE!'

k-ia l geb re s , On

B est un anneau classique (done (Prop. 2.7 (1»

A

l'est). I ) SOit de

une

Mod.B

particulier si

de

2 ) Soit

§.'

de Mod.A

particulier si (Prop. 1.1(3»

Mod.A

est bien supportee, alors

.:p "f: Spec(E)

de l'existenee de

Mod.B

est bien supportee.

une sous-categorie de Mod.B

(M iliA B).f>1I

est bien supportee. En

est bien supportee (c'est Ie cas lorsque

soit bien supportee. Alors

Mod.A

Preuve: 1 ) Soit pouvons ecrire

telle que la sous-categorie

soit bien supportee. Alors f*(Mod.A)

est bien supportee), alors f1!( B-1>"

(c f , Preuve de 3.1), nous

M:r GA,p Bl'"' Nous voyons bien que si

270

est

-21bien s uppor t ee , et si f Spec(A),alors

M est un objet de

(MIlI:

AB)4>" c'est-a-dire, vu la fidele platitude de 2 ) Soit

t' Spec(A)

effet pour par

posons

et M"

tel que (f;;: (M»-1' S"

t

= f (e ( t », 1" =

Lennne 2.1) i L existe une famille s'

=

L.

ms

t

"

1"

k ' !ilk

1>

Spec (A). En

l'

e t des i.gnons

f'

M.j>"

0

=

qui

f .

d'elements de

et d l apr e s

ms '

=

0

B telle que

et par suite

M.... = O.

T

.,.

D'ou nous pauvons ecrire, en tenant compte (Prop. 2.14 (1» ' d'e l ement p l '" Bs,,-1 f1 at 'a gauch e to T-t>,:f"_: k ' A.t>=

de l'homomorphisme

o = M"" = M IlI:B Bt , = (M (BS" I» IIlBS" - 1 (Bt-') = (MS" 1) iiBS" - 1 (B ,) t MS,,-1 = 0 c'est-ii-dire pour tout m£ M il existe sEl':(l» tel que mf(s)

0, ce qui exprime encore le fait que

f;;:(§. ') M = 0

.1/

E. On dit que

E

V(M)

o

E.

l'ensemble des ideaux premiers d'un anneau

contenant une partie sur

et

lorsqu'il est contenu dans la reunion d'une suite de sous-

ensembles fermes et rares de On note

f:k(M) = 0

E on note X l'interieur d'un sous-ensemble o X est rare dans E lorsque X = et qu'il est

Dans un espace topologique X de

et

= O. Si la sous-categorie

de Mod.A etait suppo s ee bien suppo r t ee , on aurait

maigre dans

Soit

et, d t apr e s «(131, p.8 et 9,

= 0

s..." . b ... ,, e'(:t>·). Nous avons

pour tout

B au-dessus de

f"ESpec(B) il existe, du fait que tel que

o

MIllAB

B minimaux contenant

est en meme temps l'ensemble des ideaux premiers de mEMo Pour tout

= 0

pour tout

= 0

l'ensemble des ideaux premiers de

((16],p. 57),

pour tout

= 0

f, M = O.

M un objet de

of " E Spe c f B) . Prouvons alors que

tel que

pour tout

0

M de

A

A. Lorsqu'on parle de proprietes topologiques

Spec(A), il s'agit toujours de celles qui concernent la topologie de

Jacobson sur

Spec(A).

Lemme 3.3 - Soit

A un anneau semi-premier et un ensemble

contenu dans aucun ideal premier minimal de

A. Alors

V(M)

qui n'est est rare dans

Spec(A). Preuve : Soit

!'.. = (Spec (A» minimal de N =

[o],

0 un ouvert de Spec(A) contenu dans V(M). Nous avons - YeN) oii NS A. D' ap re s l'hypothese, tout ideal premier

A n'appartient pas a

D'ou

f!)=

.11

0 donc contient

N et par suite

Proposition 3.4 - Soient k un cOrps de caracteristique 0," k-aIg ebre de Lie algebrique de dimension finie sur k , A = U l' algebre enveloppante

271

-22de

On suppose en outre que le centre de

tout

- T

a

A est egal

(cf. [sl,p.132). Alors il existe une partie maigre

T

de

son semi-centre

Spec(A)

soit completement premier et localisable

telle que

a

a

droite et

gauche. Preuve: Soit f : A de

B

A

une cloture algebrique de

k'

1e monomorphisme canonique de

(resp. B) et

le cas

ZI (resp. Zj)

k. Notons

1e semi-centre de

Z'

= k'

A

[6], Z; =

b) dans la demonstration du Theoreme I de

et, compte tenu du fait que

B

k-r a Lgeb re s , Z

Z, alors

(resp. B). D'apres

nous avons

telle que tout :j>"

(Spec(B) )-T"

comp l.e t

so i t

est une suite d'ideaux de tout jcJ que et

B

c'est-ii-dire (Lemme 3.3) telle que UV(f-I(/l..;'»

T

jEJ

J

oil

([17J, Proposition 1.2(2»

.:p"

T", donc

gauche et

J

j J

0-'.' f (0)

(j

tel que

.:p

ZI

T"

de

oil

(QJ;')J'LJ c

Spec(B)

pour

J). 11 s 'en suit

3.6) f-I(a-

Spec(A). Soit

.}"E Spec(B)

J

soit rare dans

([17],

Test alors une partie maigre de

que

a

telle que

k'

=

emen t premier et

U V(a.'.')

loca1isable A droite et A gauche. Par definition

Z;

Z'. Donc, d'apres un

resultat de [3 bis) , [1 Ibis] et [lsJ, i l existe une partie maigre Spec(B)

A,

k'

(resp. Z') le centre

I .' )

J

f (0) (j6J),

e(Spec(A»-T. 11 existe =

af(f"). 11 est evident

est comp Le t ement premier et localisable ii droite et

est a10rs completement premier et, d'apres 2.1 lou 2.12,

localisab1e A droite et a gauche.1I Proposition 3.5 - soient de

k

un corps

caracteristique

Lie resoluble de dimension finie sur. k , A

de

=11

k -a Igebre

0,

l'algebre

Alors 1es conditions suivantes sont equivalentes a) A est un anneau classique. b) A

a

c)

est nilpotente.

Preuve

assez de p r ecy cl e s .

I l est evident que

b)=7 c). Soit

ga10isienne de B = k'

A

k' k. si

U, (k '

a)

i>

b).

une cloture algebrique de A a

C})

k, donc c'est une extension

assez de precycles, alors (Proposition 2.16) a as sez de p r ecycl e s et, d' ap re s la Proposition J 6

de [12] qui reste vraie lorsqu'on remplace 1e mot cycle par precyc1e, k' c)-

est ni1potente c'est-A-dire

est nilpotente.

a). (cf. [IS], p.sl, Corollaire de la Proposition 3.4).\1

§.4

et extension des scalaires. Soit

G un groupe qui opere sur un anneau A. On note g invariants de A par G (Le. AG {a A tel que a = a

272

G A l'anneau des pour tout

g E.G}).

-23Lenme 4. I - Soient

un corps, A

k

opere sur la k-ra Lgeb re

C. Alors G Preuve: Il est evident que C

Nous

avons

b

et

deux k-ia'lgeb re s et

C

(C

A)

G,..,

G

= C

G

un groupe qui

A.

G A) • Inversement soit

L

G A) .

be (C

c. ei ou designe une base du k-espace i .I i. g vectoriel A et c E'.C pour cout ic 1. D'autre part b = b pour tout i pour = c. c'est-a-dire III e. = c. e. pour tout geG. D'ou i. i61 i. iEI G tout i Eo I et tout g" G. Par consequent c. e C pour tout i £. I et =

L.

L

G b £. C

1\ A·II f: A - ) B

Si

gauche, on note

AM

est un homomorphisme d ' anneaux

restriction des scalaires de Lemme 4.2 - Soient note

B

Si

B

11

A

11 l'aide de

M un B-module 11

f : A--:> B

M par

f.

une extension de corps et

A .£!:.

k'

et

A-module 11 gauche obtenu a partir de

Ie

A

une k-ia Lgebr e , On

Ie monomorphisme canonique de

M est un A-module 11 gauche

semi-simple, alors

k -a Lgeb re s .

A(k'

M)

est

semi-simple. 2 ) si

k'

est de degre fini sur

de longueur finie, alors

A(k'

Preuve: Remarquons que si e t'

M un

M)

(ei)ieI

A-module 11 gauche, alors

k

et si

M

A-module

a

gauche

est de longueur finie. est une base du k-espace vectoriel M=

k'

ke i)

k'

ill «ke i)

M)

(en tant que k-espaces vectoriels) ; d'autre part (ke i)

x

M = [e

i pour tout

(k ' III M) A k

k'

ifl

I 0

et par suite

nul de

M est un A-module 11 gauche simple. En paritculier MI 0

e

i (ie I), aLo r s

M

et c ' est un sous-A-module de

pour tout

i£ 1. Soit

x'

un element non

x ' = ei x oil xE M-!O! et M. Nous venons de prouver que e M i i est un A-module simple pour tout i . I et par suite A(k ' M) = i!I (e i est semi-simple.

Ax'

ei

xC: My

k

) ler cas) Supposons que M

M ou

quel'onnote

III M).

(e.

@

iel

dans

= A(e i III

x)

= ei

(Ax) = e

2eme cas) Supposons que M

M. J consequent =

@

jE:J

ou

M.

A(k'

J

M est un A-module 11 gauche semi-simple. Alors

est un A-module M)

A(k'

a

gauche simple pour tout

j

e J.

M ) et, d'apres Ie ler cas),

j

Par

A(k'

M)

est semi-simple. 2 ) Supposons que

k'

de longueur f i.ni e . Soit

est de degre fini sur M

=

M o

k

et

1. '" 7. Mi 1. Mi + 17 273

M un A-module 11 gauche

I

n

=0

une suite

M)

-24de Jordan-Holder du A-module Mi/Mi + 1

M. Pour tout

est simple, done, d'apres Ie ler

i6. [0,1, ... ,n-I}

Le A-=dule

cas) de I), A(k'

(Mi/Mi + l)

A(k' Milk' Mi + l ) = A(k' Mi)/A(k' Mi + l) est un A-module semisimple de longueur finie. II s'en suit que la suite de composition: A(k'

M) = A(k'

du A-module

A(k'

'1 A(k'

Mo)

1 "'1 A(k'

M)

peut etre raffiner en une suite de Jordan-HOlder

Mi)

Mi + I

)1" ';? A(k'

A(k ' illk M) est de longueur finie.1/

et

Lenune 4.3 note Si

k" k '

B

k'

1

On suppose que

A et

M est un A-module

k'

une extension de corps et

f

A -> B k'

A

k-al gebre . On

Ie monomorphisme canonique de

k-ra l geb re s .

est une extension separable de degre fini de

a gauche

a

seni-simple, alors Ie B-module

k.

gauche

M est semi-simple.

2 ) On suppose que O.

k'

est une extension de degre fini de

M est un B-module

longueur finie), alors

AM

E Ie conunutant de

k

de

gauche semi-simple (resp. de

est semi-simple (resp. de longueur finie).

Preuve: I ) Supposons tout d'abord que Soit

a

M est un A-module

k'

M. II est evident que

a

gauche simple.

E est, du fait que

E

est un corps (gauche), un anneau noetherien des deux cotes et par suite, d'apres ([17], Lemme 3.4 (2», k'

E est un anneau semi-simple. D'ou ([I], ch. 8, §.7, n04, Theoreme 2 (b», Ie B-module a gauche k' M est

semi-simple. Supposons maintenant que M = e M.

ou

is r

M;

M est un A-module

a

gauche semi-simple. Alors

est un A-module a gauche simple, et

k'

L

II s'en suite, d'apres ce qui precede, que Ie B-module

a

M= e

ill k

iE-I

gauche

k'

(k'

K M est

semi-simple. 2 ) ler cas) Supposons que k

de caracteristique

1\(1

fini d'ordre B = k'

est une extension galoisienne de degre fini de

inversible dans

k

A. D'apres Lenune 4.1,

Lenune 2.4), si finie), alors

AM

t er i s t Lque

de

k'

sur

k

est

A'::: f(A)

A et, d'apres ([10 bis] ,

gauche semi-simple (resp. de longueur

est semi-simple (resp. de longueur finie). k'

est une extensinn de degre fini de

O. Alors i l existe une cloture galoisienne

de de gre fini sur

a

a

V>

et en particulier dans l'anneau k

M est un B-module

2eme cas) Supposons que

B-module

k'

O. Done Ie groupe de Galois

k , Posons

C

=

k"

B -;: k"

k"

de

A et so it

k k'

de caracsur

k

M un

gauche semi-simple (resp. de longueur finie). D'apres I) (resp.

Lenune 4.2 (2»

applique

a

l'extension

Le C-module

a

gauche

M

est semi-simple (resp. de longueur finie). Par consequent, d'apres Ie ler cas)

274

-25applique

a

l'extension

finie). Mais B(k U

M

ks k", ik"

s'identifie canoniquement

donc

AM

s'identitie canoniquement

et par suite

M)

est semi-simple (resp. de longueur

AM

est semi-simple (resp. de longueur finie).11

Corollaire 4.4 - Soient

k

algebrique de

une k-algebre. On note

k

et

A

a un sous-B-module de a un sous-k-module de

un corps de caracteristique

suppose un anneau noetherien

a gauche

canonique de k-algebres. Si

M est un A-module

et

0, k'

une extension

B = k' E A que l'on k Ie monomorphisme

f : A _') B

a gauche

semi-simple, alors

est semi-simple. Preuve: ler cas) So it isomorphe au B-module de l'anneau noetherien finie

OJ

(bj)j

ou

L

(a.

')'cI ...

= U

a gauche a gauche

B

k'

a

a

gauche

J

AN

A(k'

(ei)i I

nous avons A

est un ideal

clftL" ,

N =

I 'extension

Lemme 4.2 (I), que

Ie C-module

a

k'

a

AM

(k"

(c/17l"')

Par consequent

2eme cas) Supposons que M = s:s M s AM =

oil

M s

A(k'

a

(k"

';i

(AN» k'

(AN»)

=

AM

est un B-module

a

Proposi tion 4.5 - Soient

k

Preuve : I) Soi t

t> =in- ·.A

1It

ou

a

f i de Lement; plat J que 1ft = f- (1fl.-" = f-

A, alors

k'

gauche. si

k

et

est une intersection finie d'ideaux

est une intersection finie d'ideaux primitifs

k'

un ideal primi t i.f de

est un ideal

a

A. Alors

gauche maximal de

a

droite, il existe un ideal

i'

est de la forme

A. Or, du fait que

gauche maximal

n 1"

U. =

it r

est un ideal primitif de

a

est un A-module

a gauche

k ' 111. K M = M".:;;l 0 #

ou

k'

A pour tout

it: 1. Alors M

tll

iEr

de longueur finie. Soit

•• , ;;;, 'f Mj' M

C:l.. = k '

7 Mj'+17 "'1

e t posons

ideaux premiers de j=O, ...

3) Supposons que

.p J'.'

= Ann A(M oii M i i) M., c 'est un Ar-mo du l.e a gauche 1.

est un

une suite de .Jo rdan-Bo Lde'r du

Ann B(Mj')£ Ann B(Mj'IMj'+ I) =

M) = k'

i\Q.

Si

0!L'

k'

j'

et

de s i gne l'ensemble des

, alors

,n-l} . est intersection d'un nombre fini d'ideaux primitifs de est un ideal semi-premier de

([17], Proposition 1.12), k' d l ap re s 2), k '

A. Done, d'apres

est un ideal semi-premier de

B,et

est intersection d'un nombre fini d'ideaux primitifs

B.

4) Soit de

°

M

nous avons

Ann (k ' B

B minimaux contenant

A. En particulier

de

=

k'

= Ann B(M'.' 1M'.' 1)' j=O, ... ,n-I . nest J J+

je!o, ... ,n-I}

AnnA(M)

1\

;

B

=!'

tel

f·1.

est un ensemble fini non vide et

I

gauche simple. Posons

evident que pour tout k'

fest B

de

1.

semi-simple de longueur finie et par suite (Lemme 4.2 (2»

B-module

1ft"

) . L'ideal 1tt"·.B de Best primitif et l'on a 1(ff\.."·.B) '" f- 1 (1tf.. " ) .. A=1T/.. .. A=:P .

2) Supposons que

B-module

1\ t\."

B.

est une extension galoisienne de

a

est noetherien

primitifs de de

k'

On suppose que

k.

est une extension separable de degre fini de

est une intersection finie d' ideaux primitifs de

un ideal primitif de

au-de s sus de

.:j>

A. D' ap re s I) il existe un ideal primitif

et par suite, d ' ap re s (l17J, Corollaire 3.7 et

Lemme 3. II) tous les ideaux premiers de

B minimaux contenant

sont pr i.mi t i f s , Mais ([17), Proposit ion 1.12) k'

done il est intersection d'un nombre fini d'ideaux primitifs.

276

k'

1-

est semi -premier,

-27Si &..

=

primitif de

n:p.

:p.1 est un ideal OU I est un ensemble fini et itI 1 A pour tout i c I. D' ap re s ce qui precede, k ' l&k a"

B·n

est intersection finie d'ideaux primitifs de Remarquons que si et

A

k

est un corps, k '

une k-algebre, alors

20 (a»

B

k'

k

(LI4], p.S6 et 57, Lemme 18(b) et Proposition RJ(A). Par consequent (par passage au quotient) s i Q..

RJ(k'

est un ideal semi-primitif de de

une extension separable de

A, alors

U-

k'

est un ideal semi-primitif

A.

Proposition 4.6 - Soient algebrique de

k

et

k

un corps de caracteristique

A une k-algebre. On note

suppose un anneau noetherien

a

gauche et

canonique de k-algebres. Pour

f:

• Spec (A)

0, k'

= k'

B

B

une extension

A Ie monomorphisme

les conditions suivantes sont

equivalentes a):f>

est un ideal primi tif de

A.

b) il existe un ideal primitif de

B au-dessus de

b ") i1 existe un ideal premier de

B minimal contenant

k'

l'

qui

est pr Lmi t i f . c) to us les ideaux premiers de c') tous les ideaux premiers

B de

au-dessus de

sont primitifs

B minimaux contenant

k'

sont

primitifs. Preuve : Le s equivalences : b)

b')

et

c)

( 17 , Corollaire 3.7) e t i l est evident que a) ler cas) Supposons que et

.f>"

un ideal primitif de

M est un B-module

a

B

k'

c ")

pr ov i ennent; de

c')===,> b').

est une extension de degre fini de

au-dessus de

:p .

Alors

gauche simple et, d'apres Lemme 4.3 (2), AM -I

simple de longueur finie. Par consequent

i'

intersection finie d'ideaux primitifs de

A et par suite

2eme cas) Supposons que et

of'''

1ft"

k'

a

q ")

= AnnA(AM)

B

au-dessus de

gauche maximal de

il existe une extension de de gr e fini

oii

est semic st

est primitif.

est une extension algebrique quelconque de

un ideal p r i mi,t i f de

est un ideal

= f

k

AnnB(M)

-P"

. Alors

=

1tl." 'w B

k ou

B. D'apres la preuve du Corollaire 4.4, k"

de

k

telle que, si i ' on note

C = k'"

A, g : A-> C et h: C-';> B ';)[ k' les applications I = h- (1fl," ) so i t un ideal a gauche maximal de l'anneau C. 11 s'en suit que :P'" = h-I(f>") l(1tt!! .• B) = h- I (11L!!) " c = 1ft'I! .. C est

canoniques,11l'!!

un ideal pr i.mi t i f de g-I(t' "') a)

=

C et, d'apres Le l e r cas) applique

=:p

est un ideal pr imi t i.f de

c) 1er cas) Supposons que

k'

a

l'extension

A.

est une extension de dagr e fi ni, de

277

k

et

-28un ideal primitif de premiers de

B minimaux contenant

B et par suite tous les ideaux

l'

k'

sont primitifs c'est-a-dire

tous les ideaux premiers de

B au-dessus de

2eme cas) Supposons que

est une extension algebrique quelconque de

.:p

k'

un ideal primitif de

existe, du fait que a

A. Soit

sont primitifs.

4''''

tel que

.fIH . Spec(B)

a

B est un anneau no e t he r i.e n

k

et

f-I(:P"). Il

gauche et en appliquant

un raisonnement analogue a celui utilise dans La preuve du Corollaire

4.4 pour 1lt, une extension de de.g re fini note

C = k" Elk A, g : A--':> C

canoniques, .p"

-1>'"

=

a l'extension de

.f>

, l'ideal

et

a

oii

kIt

de

k

telle que, s i, l'on

0\"

h: C --;> B -:: k I

.p'"

=

h

-I

:p'"

..,

C

les applications

(,H). D'apres Le ler cas) applique

est un ideal premier de

C

au-des sus

est primitif. Or, d ' ap r e s La Proposition 4.5 (I), i l

'If

La suite applique

et

et du fait que

'flj'

existe un ideal primitif

de

f

A. Alors, d'apres La Proposition 4.5 (3), k'

est intersection finie d'ideaux primitifs de

h-

de

1(-1'H)

l'extension

fIt

-t''''

tel que

B = h-

1

(l' 'j). et

=

(1' 'i).

h -1

=

Ncus avons par

D'ou (Theor eme 3.6 de (11) ""H est un ideal primitif

B.II Signalons une autre demonstration de 1 'implication

finie sur

!?(resp.

-f'

strictement

s" a r l'

n

{4'(4) ""He

4"£«H' -

A est l'algebre

k'

=

resoluble de dimension finie B au-ide s sus de

f

C4) Spec(B)

tel que

(4 C1» '

et

et d l ap re s «(5], 'I'heo rerne 4.5.7),

n

p

c:

D'ou ([17J, Theo reme 3.6)

A"

«(5], Theoreme 4.5.7)

est un ideal primitif de

l'

n

4El?

1

et

A.

La proposition suivante generalise un resultat de «(6 bis], p.97) qui etait etabli dans Ie cas ou Ie corps de base etait algebriquement clos. Proposition 4.7 - Soient

k

un corps non denombrable de caracteristique

k-algebre de Lie de dimension finie sur enveloppante de

et

'?") l'ensemble des i de aux premiers de A (resp. B) contenant 1> H). Pour tout 4 P il existe, d'apres ([ll),

(resp.

corollaire3.13),cf No us avous

k'

:j>" est un ideal pr i.m i t i.f de

k'. Supposons que

no tons

B

([5J, Theoreme 4.5.7). Dans ce cas

enveloppante de La k'-algebre de Lie

A

A

k, qui se base sur une caracterisation des ideaux primitifs de

donnee dans sur

lorsque

resoluble de dimension

est l'algebre enveloppante d'une k-algebre de Lie

. Pour

F e Spec(A)

k

et

A

les conditions suivantes sont

equivalentes

278

-29-

:j>

a)

est primitif

J

b) il exis te une fami lle denombrable

*'

contenant strictement strictement et

k'

une cloture algebrique de

f : A-->B

A

contenant

A

1 :J .

contienne au moins un

Preuve : Soit

d' ideaux bilateres de

, telle que tout ideal bilatere de k. Posons

B

1\

k'

A 'g lL.(k'

Le monomorphisme canonique de k-a l geb r e s . a)

D'apres

Proposition 4.5 (I), il existe au moins un ideal primitif t" de B tel que t='''' f- 1 ( I" " ) e t , d l ap re.s ([6 bis], p.97, Theo reme C) il exi s t e une suite d ' i deaux bi La t e r e s de

ne IN

tout ideal bi Late re de l'un des I

n,m

B

Considerons la

'" (f-I(I,,»m + n

* (n,m)E.INXIN ,

f

J '"

on aurait

(f

-J

m

de

p;(Q.

A minimaux contenant

4'(4)£

Corollaire 3.13),

r'"l

b"

Posons

d"

1 (1)

f:>"? b .

et par suite

1>" 1

•

e t no tons

a.

Pour tout

Spec(B)

f -I

i l existe

I

n,rn

I

'"

p

-I

f

l>

ce qui est,

J e s t une famille denombrable

J:>.

(6") '" nEIN

Soit

un ideal

(l

4 \m-

et

4'"

UG j

IS'

tel que x tel que

J

(4 (0):;;> a. "if P '" f-

e t alors

m iN

'" (f-J(I,,»m +r-c;O, n

p" Spee(B)

a). Soit ([ 17], Proposition 1. 2 (2) )

b)

et par suite

1:>" 4 '(4)

tel que

Nous avons

Done

ou

!'m: l' ensemb Le des ideaux premier s 4 !m: i l exis t e , d ' apr e s «(I7],

11 s'en suit qu'il existe D'oll

t"

contenant s t r i c t emen t

A

tel que

A

telle que

contienne au moins

(In,m)(n,m) 'NX'NX

d'apres «(17), Theoreme 3.6), impossible. Done d'ideaux b i l.at e r e s de

1""

(n,m)CINXlN x. Si l'on avait pour un

c'est-ii-dire, compte tenu du fait que

bi l at e re de

1"",

contenant strictement

famille

pour tout

P

In,m

B

contenant strictement

e t pour tout

J

I

po sons

::J" '"

(k '

0\ I)

+

p".

p'" f- I ( \>,,) ,

tel que

11 est evident que

(I") est une famille denombrable d'ideaux bilateres de B I I ;) strictement f> ", Soit un ideal b i l.a te re de B tel que l='''

7

u."

Alors, d l apr e s ([17], Theor eme 3.6)

i l exi s te (k'

I :) I) +

tel que

p"

e t , d'apres L' hypo t he se ,

Q". D'ou «(6 bis1, p.97, 'I'heorerne C),

Prim(A)

Q.".

(u."). 11 s'en suit que

primitif et, d l ap re s Proposition 4.6, On note

f-I(Q")

eontenant

po

est primitif.

n

l""

est

l'ensemble des ideaux primitifs d'un anneau

A, que

l'on suppose muni de la topologie induite par la topologie de Jacobson sur Spee(A). On designe par

W(M)

A

M de

contenant une partie

l'ensemble des ideaux primitifs d'un anneau A. Si

A est semi-premier, et si

contenu dans aucun ideal premier minimal de est rare dans

Prim(A).

279

A, alors

M n'est

(cf. Lemme 3.3)

W(M)

-30Proposition 4.8 - Soit

k

un corps de caracteristique

de Lie algebrique de dimension Hnie sur de

On suppose en outre que Ie centre de

A

(Prim (A))-T

k-algebre

I' algebre enveloppante

a

est egal

(cf.(5], p.132). Alors il existe une partie maigre que tout

0,

tL

k, A =

T

de

son semi-centre

Prim(A)

telle

soit maximal et localisable a droite et a gauche.

Preuve : Nous avons a peu pres la meme demonstration que la Proposition 3A. Soit

k'

f : A --> B centre de

une cloture algebrique de

Le monomorphisme

k. Notons

B

k' &k A et

=

canonique de k-ia Lgeb re s . Comme dans

A, Le

Best egal a son semi-centre. Done, d ' ap re s un r e su Lt at; de [3" bis] ,

[Il]et [15] il existe une partie maigre

T"

de Prim(B)

telle que tout

"''' EO (Prim(B)) _Til soit maximal e t localisable a droite et a gauche. Not ons = (f- I (h") ; p"G T"l = af(T"). Par definition \) W(o. '.') OU (Q..J'.')J' '" J r j'J J .. est une suite d' ideaux de B telle que W(tl. '.') soit rare dans Prim(B) pour J tout j£ J c'est-a-dire of (0) (j J), Il s'en suite (Proposition 4.6) J que Tl:; LJ oil ((17), TMoreme 3.6) f-l(o. '.') of (0) et J jeJ J Test alors une partie maigre de Prim(A). Soit 6(Prim(A))-T. II existe, T

a','

d l ap re s Proposition 4.5 (I),

P"E Prim(B)

evident que

,."

"f Til,

done

r

tel que

t' =

af(t:' ") . 11 est

est maximal et l oc a I i s ab l e a droite et a

f>

gauche e t , d l ap re s Theo re me 2.11 et ( 17 , Corollaire 3.14), et localisable a droite et a gauche.

§.5 Extension

II

est maximal

scalaires et poids des ideaux premiers.

Nous commencerons par generaliser legerement Ie Going up ([17]). Dans un espace topologique

E

, ou simplement

on note

n'est a craindre, l'adherence d'un sous-ensemble Pour toute partie ideaux maximaux de

5. I - Soient et

f

A

d'un anneau

M

contenant

X

X de

A, on note

U(M)

si aucune confusion E. l'ensemble des

M.

une extension de corps, A

une k-algebre, B

= k'

A

: A--> B Le monomorphisme cane ni que de k-ra Lge b re s . D' apr e s ([17J,

Proposition 1.2), on a une application surjective a f = Spec(B) --> Spec(A) 1 dHinie par a f = f- (f' ") pour tout Spec(B). Pour un ideal de A

et un ideal

Q."

(af) -I (V(Cl-)) = V(k'

de

B

on a

et

&'). 11 s 'en suit que l'application

280

af

est

-31continue. D'autre part, d l apr e s ([17], Proposition 1.2(2)) et Proposition 4.5 du par agr aphe precedent, on a Si

k'

af(U(k'

et

est une extension algebrique separable de

extension algehrique de

k

de caracteristique

0) et

a gauche, alors ([17), Corollaires3.10 e t 3.14, e t travail)

af(U«(;t"))cfU(f-I(Q"))

af(W(a.."))S

af(W(k'

w(i- I ( O- " ) )

et

et

k B

(resp. une un anneau noetherien

Proposition 4.6 du present

(af)-I(U(Q))

U(k'I\O,)

(resp.

(an-I(W(o..)) = W(k' I\tl.).

Le theoreme suivant generalise Ie Corollaire 3.13 de [17]. 5.2. Theoreme - (Going-up). Soient k-algehre. On note a gauche et

6."

B = k'

f

B

un ideal de

Eremiers de

A

B,

A que l'on suppose un anneau noetherien

!m-

k'

£ V(o..)

k'

algebrique de

F'

E U(O".)) il existe I f= f- ( T' " ) .

est une extension galoisienne de

k

p"E W(tt")

de caracteristique

0). Alors pour tout

k'

B au-des sus de

or

et tous Le s

5..

I (0.") A que

Q' =

ils'ensuit

(If e \")

n

H\"

(r

I§

I

B

2eme cas) Supposons que

k'

k , Notons

C = k"

1\ A

k"

0.'"

app lications canoniques et

f .

IAHi>j')

au-des sus de

et d I aut re

opere transitivement

f> ' .." tiE V(n")

est une extension separable de degre fini de

Alors il existe une cloture galoisienne sur

A

r \" tel que

A) part, du fait que «(17], Lemme 3.11 et Corollaire 3.7)

r

I ) (b.,.")

.peV(Q.).

=

sur I.' ensemble des ideaux premiers de

('a"

au-dessus de

est fini, il existe

e t par suite

et il est au-de s sus de

W(Q.)

sont des ideaux

D'apres «(17], Proposition 1.2 (2)) i l existe Alors d l une part, du fait que \'"

-1>

est une extension galoisienne de

de groupe de Galois '" . L' ideal

est invariant par \"

k (resp. une

:f:>

au-des sus de

; I) ler cas) Suppa sons que k

t> Qn.;

(r e sp .

k.

p" U(G.")) tel que

2) On

de

&.. (re sp . eL").

est une extension algebrique seEarable de

(resp.

de gr e fini de

A

Ie monomorphisme canonique de k-algebres. Soient f- I "), (resp. !Uk") I' ensemble des ideaux

et. que

Alors Eour tout

il existe

une extension de corps et

(resp. B) minimaux contenant

I) On fl'''£V(Q,II)

k'

1\,

k"

E, g

de

k'

sur

B-> C

et

k

k.

de de gre fini

h: A->C

les

6. ". Soit :t:' E V( 0-). D' ap re s Ie

= k"

I er cas) applique aI' extension k: k", il existe f' ", . V( Q.."') tel que -I -I -I 1>=h (.f"').Posons 1>"=g (.p"').Alors 4>"6V(CL") et 1'=f (f")· 3eme cas) Supposons que de

k.L'idealagauche

k'

Q."

est une extension algebrique separable quelconque est,dufaitquel'anneau

a gauche, engendre par une famille finie

281

B estnoetherien

d'elements de

B. Designons

-32par

une base du k.-e sp ace vectoriel

(ei)iE'.I

k'. Alors pour tout

nous

j £: J

b. 2: e. Ill: a. . o ii (a. .).r e'" I est une famille d'elements de J i61 ll , C k ll de support Hni 1.. Notons L = U 1. k A

A

avons

J

J

et h: C --'> B ';t k' a ' " = h-Ica ll). II est evident que

C

g : A --') C

.p

Soit existe

les applications canoniques et

Nous avons alors

t'

tel que

p=

f-

p re cede ,

4

i1 existe

I

p'"

tel que

pI

est au-des sus de

2) Jer cas) Supposons que

1"';

= h-I(l'll).

(p ") .

Crespo "EVCo.. ll)

k

B.

g-ICo.''') = l'extension k=k ll, il

Ct"')

Crespo de voir que

b...

et

et, d l ap re s ([17], Proposition

= g-I(1:> "")

=

Si

tout

a

ISV(tl). D'apres Le ler cas) applique .J:oll'E V(o.ll')

1.2 (2», i1 exi s t e

Le

u.'"

all = k '

ou

L=

U

o..ll I. ,

jeJ J h: C-,,> B k'

et

les applications aanorri que s e t u. ll' h-ICU."). 11 est evident que ll') 6.." = k ' 6.-'" e t g-ICu. = B

0\

k.

af(U(Q."}} = U(Q..}. k'

est une extension algebrique de

Soient

kS k

k

de caracte-

= W(Q..}.

af(W(o."}}

5.4. Coro llaire On note

et."

est une extension algebrique separable de

Elle decoule Immedi a tement de 5. I et 5.2

Preuve

une k-ial geb r e .

que l'on suppose un anne au noetherien a gauche et

af(V(o.."}} = V(&.}

ristique

A

le monom::>rphisme canonique de k-ia l geb re s . Soient

I} On

Alors

k!: k '

Q.= f-I(ft."}.

et

B

0\

Soient

II

une extension de corps et

I

A une k-iaLgebr e .

A que l'on suppose un anneau noetherien a gauche et

le monomorphisme canonique de

I} On suppose que

k'

k-algelj>res.

est une extension algebrique separable de

k. Alors

les applications af : Spec( B} --'> Spec(A} et ()( = (a f )l(B)} ..It. (A) :./l..(B} -'> ,/l..(A} sont f e rmee s ,

I

2) On suppose que r i s t i que

o.

k'

est une extension algebrique de

Alors l' application --

Prim(B)--> Prim(A}

fJ

= Caf

k

I Pr im . CB) /rim(A)

de caracte-

est fermee.

Preuve: Elle decoule irnmediatement de 5.311 5.5.

f

dans un espace topologique ensemble

X

de

Preuve : Soi t et

E

E. Alors 0"

une application d'un espace topologie

: E"-"> E

f

telle que

F = E-O. Si nous avions

FS;F

E". Posons

1

1 (F}}() 0"

Si nous avions

c'est-a-dire

0 = f (0"), F"

nous aurions

F()O

E"-O"

1

I(F}GF" et, d l apr e s l'hypothese et compte tenu

est un ensemble fe rme dans

(f-I(F})() 0" 1 suite

sous-

est ouverte.

un ensemble ouvert de

ce qui est impossible. Donc du fait que F" I (f- (F})n 0" =

pour tout

E"

¢ F

1

Fno

E", f-1(F)£f-1(F}"E.Spec(B)

tel que p= af(p") = f-I(p")EXl,

II = l:>QII p"

F'

et notons, pour tout

l'ensemble des ideaux premiers de

B

(f»

!Spec(A),

P"

minimaux contenant

= k'

1\ F' .

est evident que

X"6V(k'

X"SU(k'

que, d l ap re s ([17J, Coro l l a i ce 3.7 et 3.9), la famille forme

k ' lI!!k

'"

=

et

Xi'V(k, «k l::L.)

que

(X)

= V(

V(k'

(aO-I(iV(tL» U(k'

k'

1=''' .

= et

btl

b btl)

=

,

Done

e t que, du fait que

Best ([17], Proposition

X" = '6'(;!(X)

(\>Q,(f') ro tl)

= plX(k' Ekf»

'V.A.

X

(r e sp .

u..

= V(

= l&.l(xV(Q»

=

u(b) et

b")

V(k'

-V(Q) I X = V(D)

-x"U(k' IlI:kU-) = u(b"»,

b)

=

a

(0

-)

(V(

t»

=

ilIkQ.) = X',U(k' l!lkft.) = U( 6")

(resp.

= (a O-I(XU«(2) =OI(i(Xu(a»). Par consequent, r(Q,.

et

sont ouvertes.

C

J::>' = k '

I' ideal

1.12) semi-premier, (resp. X"

partition de l'ensemble

une

f:' E:Spec (A)

pour tout

II

(r e sp , d l ap r e s «(17], Corollaire 3.10),

et..)

et

(Q,. , V(Q.-)

W(k'

284

et

V(k'

a)

respectivement

-355.7 - On note d'anneaux

Z(A)

Ie centre d'un anneau

f: A

E

exemple lorsque 5.8 - Soient E = k'

A

Soient

fl.."

A. On dit qu'un homomorphisme

est central si

Z(E)

(c'est Ie

f e s t surjectif).

k£ k ' et

une extension de corps et

A une k--al gebre . On note

B Ie monomorphisme canonique de k-algebres. B, U-= f-1(U-") et f: Ii. = A/(;;L.--,;> Ii = B/a-"

f: A

un ideal de

le monomorphisme d'anneaux deduit de

f

f

par passage au quotient. Alors

est central. En effet nous avons Ie diagramme commutatif suivant : f

A

11> A

ou g :

q'_lk,M'1'>

"'-

et

A-">

k'

f

par passage au quotient. Puisque

Supposons de plus que

B

compl e t ement; premier. Notons

B-foJ . I i

7">

Ii

designent les epimorphismes canoniques d ' annea ux

centraux, alors i l en est de meme de

T" =

v

-----------

Ie monomorphisme canonique d'anneaux et

de

t;

A

Q ';;: k'

--

-;;

v

A

d'anneaux d edu i

B=B/k'

f

= v

0

g

v

et

sont

f.

est un anneau noe che r i en

S = Z(A)-{O}, SIt =

est clair, du fait que

Ie monomorphisme

f

f(S)l:S"

a

zdh-{6} , et

droite et T =

x-tol

C

par passage au quotient, S = Z(l}; ..

") =

(AI

[}

t> )-{O}

z(A.)-Io!

=

et

;/>")) = Z(S"-1

unique d' anneaux

1;0: S

11 s'en suit, quitte

a

a

la

-1-

A ----'> S"

s,,-Ili. Or

p

m = po i.d s

et

de

C(1-; r)-algebres de

n = poids

nous obtenons la relat ion

= Fract(Z('i-H») =Z(S

-1-

f>".

Am(C(C};

-

f,

qui est de plus central.

lo(S-IX), que

(resp. S,,-I B)

S-I X

est une

est isomorphe

(x)

Par consequent il existe un m::momorphisme

f»)

dans

An(C('

k'

1\ '"

;1 ).

D'ou

Soient

k

poids

k'

P

1

,""

1\" 4 .

4

= poidsf'>

un ideal premier de

k, A =

et

tr

u

If''') =

(Gr)

V(

r

p)

U(

tel que

1»

k'

tension de

a.

k' , B =

B

1e monomorphisme canonique de k-ra l geb re s . Soit

et

f: A

et

l>"6Spec(B)