Surfaces fibrees en courbes de genre deux (Lecture Notes in Mathematics, 1137) (French Edition) 3540156623, 9783540156628

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Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Dold and B. Eckmann

1137 Xiao Gang

Surfaces fibrees en courbes de genre deux

Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo

Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Dold and B. Eckmann

1137 Xiao Gang

Surfaces fibrees en courbes de genre deux

Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo

Auteur

XIAO Gang Department of Mathematics, East China Normal University Shanghai 200062, People's Republic of China

Mathematics Subject Classification (1980): 14JlO ISBN 3-540-15662-3 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo ISBN 0-387-15662-3 Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin Tokyo This work IS subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means, and storage in data banks. Under § 54 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to "Verwertungsgesellschaft Wort", Munich.

© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1985 Printed in Germany Printing and binding: Beltz Offsetdruck, Hemsbach/Bergstr. 2146/3140-543210

Introduction La classification des surfaces algebriques semble etroitement Li ee a la methode de fibration: la d'une surface tient au fait qu'elle admet un qui est une fibration dont les fibres sont les courbes les plus simples (pl) J de les surfaces elliptiques occupent une place non moins importante dans la de la classification parce qu'elles ont une fibration elliptique qui donne beaucoup de renseignements sur la surface. Suivant cette ligne, on peut penser que les surfaces ayant une fibration dont une fibre est de genre 2 forment une continuation naturelle dans cette bien que la situation se complique vite avec l'accroissement du genre de la fibre. D'autant plus que les surfaces de type n'ont ni ni fibration elliptique; done, comme les courbes de genre 2 sont les plus simples parmi les courbes de type les surfaces munies d'une fibration dont les fibres rales sont de genre 2 doivent etre les plus simples parmi les surfaces de type Le but de ce monographe est done la classification des surfaces (complexes admettant une fibration dont les fibres sont de genre 2. On d'abord la question c'est­Adire l'existence des fibrations ayant des invariants puis la relation entre les invariants et la dimension de Kodaira d'une surface en courbes de genre 2, pour dire quIA part une famille finie, ces surfaces sont de type Pour ces surfaces, nous leurs appli­

IV

cations canoniques et bicanoniques. Enfin, on montre qu'en la fibration en courbes de genre 2 est unique pour une telle surface ce qui signifie que la surface est bien par la fibration. Pour etre plus fixons d'abord quelques notations qui seront suivies tout au long du Les surfaces sont lisses et projectives, sur Ie corps • Une fibration d'une telle surface S est par un morphisme A fibres connexes f: S

> C

sur une courbe Iisse c. Nous notons par b Ie genre de la base C, 9 Ie genre d'une fibre F de f . Puisqu'un pinceau A sur une surface ne conduit A une fibration des points de base de A, nous ne supposons pas en que la surface S soit minimale. Par contre, elle sera relativement minimale par rapport A f , c'est­A­dire S n'a pas de courbe exceptionnelle contenue dans une fibre de f . II est bien connu que quand Ie relativement minimal d'une fibration est unique. Une fibration est dite de genre 2 si les fibres sont des courbes de genre 2. Pour les fibrations de genre 2, Horikawa [lJ a obune relation entre les proprietes des fibres sinet les invariants numeriques de S, par une du revetement double de S sur une surface reglee induit par les revetements hyperelliptiques des fibres de f . L'image de ce revetement double a un morelativement minimal canonique, qui est Ie projectif A f,w s/ c . Dans Ie §l, nous donnons une demonstration de la positivite du faisceau f,w ' S/c

v qui servira A cadrer les fibrations 6ventuelles. Puis nous d6finissons un autre invariant num6rique e de la fibration qu'on peut consid6rer comme l'instabilit6 du fibr6 f_w s/c• Nous donnons aussi une interpr6tation des formules de Horikawa qui convient mieux A notre besoin ult6rieur. Le §2 est consacr6 A la question g6ographique,avec une "zone d'existence" des fibrations de genre 2 crite par des in6galit6s donn6es comme les bornes inf6rieures et sup6rieures de K; en terme des autres invariants num6riques 2.2). Ces sont un peu compliqu6es, mais en terme de la pente A d6finie dans Ie paragraphe 2.6, elles donnent une concons6quence ce qui conduit directement A un fait conjectur6 par Persson [1]: K; 8X(as ) (Corollaire du 2.2)­. Le cot6 oppos6 du est plus d6licat: on n'a une solution satisfaisante que pour les cas avec et 2.9). Pour le reste, divers exemples et les m6thodes de construction (2.6­2.8) donnent pas mal de fibrations, ce qui n'empeche pas le de rester partiellement r6solu, parce que, non seulement il existe une possibilit6 de r6tr6cir davantage la zone d'existence, mais surtout il peut y avoir des "trous" au milieu de cette zone. _ L'auteur est inform6 de l'existence d'une d6monstration non­publi6e de cette avant la conjecture de Persson par K. Ueno, qui utilise une m6thode d6crite dans ·Studies on degeneration" par Y. Namikawa, dans "Classification of Algebraic varieties and compactocomplex Manifolds", springer Lecture Notes in Math.• N 412, p. 165­210 •

VI

Les du §2 sont sous des formes valables pour toutes fibrations de genre 2, mais en pour Ie cas q(S»b, on a beaucoup mieux dans Ie §3: on y donne une classification de ce cas. En effet, Ie fait que la fibration en jacobiennes assoA f a une partie fixe donne une des jacobiennes des fibres de f . Comme de telles jacobiennes ont des familIes universelles au­dessus de certaines courbes modulaires, on trouve les fibrations universelles pour Ie cas q=b+l en prenant les diviseurs e. Les valeurs des invariants de ces fibrations universelles sont dans Ie 3.13. Comme ces fibrations universelles sont semi­stables, la pente d'une fibration avec q=b+l est en fonction d'un au du §3. A la fin du §3, on utilise cette de fibration en jacobiennes pour fabriquer une de fibrations de genre 2 avec des pentes assez (en fait jusqu'A infiniment proches de 7), que l'on ne sait pas construire autrement. En particulier, l'une d'entre elles donne un exemple de surfaces minimales avec 2 Pg=q=o , K =2 , dont Ie groupe de torsion est d'ordre 9 (exemple 4.11). Dans Ie §4, nous donnons la liste des fibrations telles que la surface n'est pas minimale de type ral 4.5). En suite, des exemples montrent que les fibrations sont toutes Les deux derniers chapitres sont aux surfaces de type en courbes de genre 2. Au §5, on les applications canoniques et bicanoniques d'une telle surface. D'abord, l'application canonique se factorise par la fibration de genre 2 si et seulement si 5.1), ce qui donne

VII

4pg-6 la zone d'existence dans Ie §2, done compte tenu de Beauville [3, du Lemme 5.3J, on trouve comme corollaire que toute surface minimale de type avec K2 >9 telle que son application canonique n'est pas finie 2 4Pg-6 (cf. Reid [1, Problem R.5]). Quand K l'application canonique est finie, elle est dans la plupart du temps de 2 5.2). Quant au bicanonique, il est sans point de base ni partie fixe sauf si Pg=O, K2=1 5.5), et la liste de ces surfaces telles que l'application bicanonique n'est pas de 2 est dans Ie 5.6. Enfin dans Ie §6, nous donnons la liste des surfaces de type ayant plus d'un pinceau de courbes de genre 2. Nous terminons avec deux surfaces de type ral avec respectivement 28 et 191 pinceaux de courbes de genre 2. L'auteur tient ! remercier A. Beauville, L. Illusie, M. Raynaud, L. Szpiro pour leur ! ce travail, ainsi que Madame Bonnardel pour sa merveilleuse frappe. Ce travail a pendant Ie de l'auteur ! de Paris-Sud.

TABLE

DES

\

MATIERES

1. Preliminaires

1

2. Les invariants numeriques

3. Classification des fibrations avec

16

q = b+1

34

4. Les fibrations avec petits invariants numeriques

60

5. Applications canoniques et bicanoniques

71

6. Nombre de fibrations de genre 2 d'une surface

89

Bibliographie

97

Index des Symboles

99

Index de Terminologie

100

§1.

PRELIMINAIRES Le theoreme suivant est un cas particulier d'un theoreme de Fujita

[1]. Nous donnons ici une demonstration independante de ce resultat. Theoreme 1.1. Soient

S

une surface lisse et projective sur

--e

f:S

une fibration. Alors Ie faisceau dualisant relatif ment libre de rang egal au genre

f*W est locales/e d'une fibre generale de f , et

g

pour tout quotient localement libre En particulier, deg( f*Ws/ ) e

l

0

E

de

f*W

'

s/e

on a

deg(E)

£0

.

Demonstration: (L'idee cle de cette demonstration (lemmes 1.2 et 1.3, etape I) est due aM. Raynaud). Nous montrons d'abord que

f*W

est localement libre. Lemme 1.2. Soit

une fibre de

F

f

s/e

. On a

Demonstration : Puisque Ie support de

F e s t connexe, il y a exacH dans r(OF) qui est contenu dans Ie radical nilOF. II revient donc de montrer que H est nUl.

tement un hyperplan potent de

Supposons qu'il y ait une section non-nul Ie point lisse

p

dans Ie support de

F

s

dans

H

II Y a un

de

s

tel que l'image

dans

°

OF ,p ne soit pas nulle. Par hypothese, Ie radical nilpotent de F,p est principal, donc dans Ie cadre analytique, on peut supposer que ce k

radical soit engendre par un element

tel que : .i ) s = cx

, ou

k E Z+ , c est un element inversible de OF ; I i ) si x est un rele,p vement de dans Os ,p ' alors il y a un entier n, n) k , tel que n par l'injection y = x engendre l' image de I' ideal maximal de e,q evidente

°

°e,q ou

q

est l'image de Maintenant soient

F

par m

Os ,p '

f.

un multiple de

n

m = an ,

a E 2f+ ,

et

2

m-y) (i.e. rr est rami,q [t1/(t q). Nous avons alors une fibration de

un revetement fini tel que m

fie de degre

au-dessus de

pull-back (ou

Soit

F

-c q =

est Ia normalisee de

Ia fibre au-des sus de

-1

rr

(donc

(q)

II

* (F)

m'F). Nous avons

2rr i 1 = exp(-n-)' On cons tate tout de suite que II- (p ) est compose de a n . Par hypothese, points Pl, ... ,Pn tels que t = crix dans ik k 'k k il Y a deux indices i et j tels que Oi x 'I cr J x , ce qui entratne

ou

que

Ct

II

* (s), qui est un element non-nul dans

dans Le sous-espace

m- 1 2 q; Ell Q:t Ell q;t Ell ... 8 q;t

hO(Gm'F) ) m . Mais i l est clair que D'autre part, quand composantes de

m

n'est pas contenu de

T'( Gm'F),

hO(Gm'F)

en particulier donc

1

est un mUltiple commun des mUltiplicites des

F, F e s t reduite. De plus, par la factorisation de

Stein, F e s t connexe, donc

hO(Gp ) = 1 , contradiction.

.

CQFD

Maintenant la formule d'adjonction dit que pour toute fibre F de f , Le ce ract.are d'Euler-Poincare X(G = h O(8 _h 1( est constant, F) F) 1(G doric par le Lemme 1.2, h =ho(W est constant, d'ou par Le theoreme F) F) de Grauert (voir Hartshorne [1, 111.12.9]), Ie faisceau f*ws / c est localement libre de rang g, et pour tout point pEe, l' application

ou

Fest Ia fibre au-dessus de

p, est un isomorphisme.

Montrons maintenant la deuxieme assertion du theoreme. Remarquons que

f*WS/c

est Ie dual du faisceau 1f*8 R S ® k Ip ) -

1

R f*8 s

' et que

H1(G F}

est aussi un isomorphisme. 1

Lemme 1.3. R f*8 S jacobiennes associee a

est l'algebre de Lie relative de Ia fibration en f.

3

Nous avons une suite exacte

Demonstration

o

--

---+ 'U! ---+

---+ 0

qui donne la suite exacte

Au-dessus d'un point

p

,

de

C, ceci devient (F,:;!')

a

restreint

donc

p e s t l'algebre de Lie de

,

J(F).

CQFD

, il nous suffit de montrer

Par la dualite entre

deg(E')

que pour tout sous-faisceau

0 , ce qui se fait

en 4 etapes :

I) Toute section globale de

est de degre O.

En effet, l'algebre de Lie de la partie constante tion en jacobiennes associee vial

1

de

a

J

de la fibra-

f e s t evidemment un facteur direct tri-

R f*0

' dont Ie rang est egal 8 diagramme commutatif suivant :

a

dim J

. Mais on a un

S - - Alb(S) J(C) ce qui montre facilement

dim J

=

dim Alb(S) - dim J(C)

q(S) - g(C).

D'autre part, la suite spectrale de Leray donne

= donc 1

hOtEl)

R f*0 8

=

rang (

+ho(Rlf*&s) )

hO(R

=

lf*&8)'

=

rang(E')

1 , on a

Supposons au contraire existe un entier un diviseur reduit

n

>> 0

E l.

deg(E')

deg(E')

>0

0

.

E' est ample, il IE,0 n l contienne . une injection E ,0 n _ ' ""'C ' . Alors comme

tel que Le ay s t.eme linea ire

D . D

correspond

a

definit de fa90n evidente une structure d'anneau sur

"'ew E,0-l"" E,0-2 '"

CD

'CD

r

d'ou les sections globales de

engendrent un sous-fibre trivial

II) Si

g(C) +ho(R lf*0 s)

Ell••• $

E'

0-n+l

•

4

, Par hypothese,

... ffiE'

revetement cyclique D . So it

'£: S

--+

C --+

rr: C

C

)

est une courbe lisse

de degre

le pull-back de

tel que les fibres de

f

n

f

au-des sus de

D

n . On peut choisir

D

S

soient lisses, dans ce cas

a un sous-faisceau inver-

E' = 'IT *E'. Mais par construction, on a hO(E') f. 0 ,

deg(E') = n deg(E') ) 0

a f

ce qui contredit l'etape I) appliquee III) Soit

E

un faisceau localement libre de rang 2 sur

deg(E) ) 0 . 11 existe un r evet.ement; fini E

f , tel que le pull-back

E

ait un sous-faisceau inversible de degre positif. Done comme dans 1

le pas II), R positif. Soient

n'a pas de sous-faisceau de rang 2 et de degre

P=Proj(E), et

o

-El

-E -

-- 0

une filtration de E telle que Ie degre de une surface reglee sur C ayant une section 2 filtration de E telle que Co = deg( deg(E Soient

C, et

C __ C qui est etale au-

'IT

dessus des images des fibres singulieres de de

C, avec un

qui est rami fie le long de

par

* 1 R f*0g = rr (R

est une surface lisse, et sible

0-n+l

a,b

l)

0

< deg(

soit maximal. P correspondant )

.

est

a

la

On peut supposer

).

deux entiers positifs tels que

Par Ie critere de Nakai sur l'amplitude (voir Hartshorne [1, V.2.21J), Ie diviseur

aCo-bF

dans

C , done pour un entier

P n»

est ample,

au

Fest une fibre de

P

sur

0 , il Y a un diviseur lisse et Lrr educ't i.b l e

InaC -nbFI. Soit 'IT C __ C un revetement galoisien a qui se factorise par la projection de D sur C . (Done degrr = kn , k E IN+). On peut choisir D et 'IT tels qu'au-dessus du lieu de branchement de 'IT sur C , les fibres de f soient lisses. D

dans Ie systeme

E = E Xc C

Soient induit par

'IT

compose de

na

•

On a

,

IT:

P --

P

Le revetement

P = Proj(E). II est bien connu que

sections

classe nume r i.que de

P = P Xc C , avec C l' ""C

Pic(P).

na

sur

C

IT*(D)

est

qui sont dans la meme

5

Puisque

(fl *D) 2

knaD

2

, on a

Si

o-

E

est la filtration de deg(E

2)

E1

-

E2

E -

a

correspondant

- deg(E

1)

-

0

la section

C on a 1,

= ;a

=

D'autre part, kna.deg(E) kna(deg(

)+deg(E

2

» ,

ce qui donne kn ( a . deg ( E1 ) +b) done

E1

(par (1)

) 0 ,

est Ie sous-faisceau cherche.

IV) Soit

E

un faisceau localement libre de degre positif sur

II existe un revetement fini fibres singulieres de

rr:c _

C

f , tel que Ie pull-back

E

de

faisceau inversible de degre positif. Done faisceau de degre positif.

23

venable si de

ait un sous-

E. Supposons

. Nous disons qu'un changement de base

rr

E

n'a pas de sous-

Nous faisons la recurrence sur Ie rang de rang(E)

C .

etale au-des sus des images des

« ,C -

C

est con-

est etale au-des sus des images des fibres singulieres

f.

Soit

A(E) = deg(E)/rang(E)

la pente de

E. Quitte

changement de base convenable, on peuL supposer que entier pair. Soit

01

= Sup {

A(E)

a

faire un

soit un

Ie nombre reel defini comme suit :

deg (1\) /A (E) ;

E

pull-back de

de base convenable,

E1

E

par un changement

sous-faisceau inversible de

II suffit de trouver une contradiction en supposant

01

0

E

6

Soient Ie plus grand entier strictement inferieur a Cl!2 = ('V1+1 (done CI). Modulo un changement de base convenable, nous pouvons supposer que E ait un sous-fibre inversible E1 tel que deg(E )O'lA(E). Par hypothese deg( donc A(E/E >A(E). 1) 1) Comme rang(E/E = rang(E)-l , par l'hypothese de recurrence appliquee 1) a E/E10L, ou L est un faisceau inversible de degre -A(E), on peut supposer, apres un changement de base convenable, que E/E ait un 1 sous-fibre inversible E avec deg( ) )>..(E). Soit E' l'image reci2 proque de E dans E. On a une filtration 2

o

--+ E

1 -... E'

-

E2 -

0 ,

donc

Maintenant par l'etape III) appliquee au faisceau inversible avec deg(L') = convenable rr: C --+ C tel que Ei avec deg(Ei) definition de

£

>

E'0L'

ou

L'

OU E

rr*(E), contradiction avec la

Le theoreme est donc demontre. Corollaire. Si

L

est

on trouve un changement de base rr*(E') ait un sous-faisceau inversible

CQFD

est un faisceau inversible ample sur

C, alors

deg(L)+b-1 Demonstration : La suite spectrale de Leray nous donne

. malS par I e t h"eoreme, h o( R1

o

-1)

.o,

t

d'ou Ie corollaire.

CQFD

Puisque nous avons f = t d' la suite spectrale de Leray et Ie theoreme de Riemann-Roch pour les faisceaux localement libres sur C , nous avons - X(R -deg(R donc l'inegalite deg(f*ws/c)

20

0

1

1

+ (g-l) (b-l) (qui est la

chose que

par la dualite relative) est equivalente

a

7

Cette derniere inegalite est prouvee dans Beauville [lJ, ou il est demontre en plus que si l'egalite a lieu, f e s t une fibration isotriviale et lisse. Maintenant soit

P

Ie fibre projectif sur

= f*w f *W s/c s au­des sus de C

qui est le dual de relative"

ep

C

associe

a

. On a une application "canonique

(3)

s

....

P

C

ep

Cette application rationnelle IKS+f *D\ , pour un diviseur

D

est definie par un systeme lineaire suffisamment ample sur

C . Elle est

generiquement de degre 2 ou birationnelle, suivant que les fibres generales de

f

sont hyperelliptiques ou non, et l'image par

ep

d'une

fibre generale de

f e s t une courbe rationnelle de degre g­l (ou une , g­l. courbe canonique de degre 2g­2) dans l'espace P ,qui est la correspondante de

P

sur

C .

Nous supposons desormais Dans ce cas

ep

une surface reglee sur rique

e

g=2

sauf mention expresse du contraire.

est generiquement un revetement double sur

P

qui est

C, et nous pouvons definir un invariant nume-

de la fibration

f

par les deux fa90ns suivantes qui sont

equivalentes i)

Si

E1

est un sous­fibre de degre maximal de

est la filtration de

f*Ws ' alors

ii) 11 Y a une section mal, et e=_c 2 o Puisque

C

de

o

f*w et si s'

e P

au­dessus de

C , de carre mini­

g = 2 , nous avons

(2 )

avec egalite si et seulement si (cf. Beauville [1]) nous avons seulement si

f e s t triviale.

f e s t isotriviale et lisse. Aussi b

q (S)

b+2 , et

q (S) = b+2

si et

8

Dans le reste de ce §, nous allons interpreter les formules de

[13.

Horikawa

Soit

l'eclatement minimal des points (y compris

Sl --. S

les points infiniment proches, et pareil dans la suite) de n'est pas definie, donc

induit un morphisme

de degre 2, et on a un diviseur reduit

R'

dans

S

Sl --+ P

P

ou

generiquement

qui est Ie diviseur

de branchement de ce morphisme. D'apres Riemann-Hurwitz, R'F=6 une fibre generale

P

Soit

F

--+

de P

P

sur

pour

C

l'eclatement des points singuliers de

[3])

est bien connu (voir par exemple Persson

R'. 11

qu'il y a un diagramme

commutatif uniquement determine

tel que

soit un revetement double,

S

une surface lisse, P

un mor-

phisme birationnel.

Ii

Soient

reciproque de

, x , •.. ,x 1 k

Ie diviseur de branchement de

l/J'

eclates par

(y compris les points infiniment proches), X.

J.

On a un diviseur

dans

6

P,

E

"" P

dans

la composante de

i

ai

les points 1 'image

qui domine

xi'

signifie l'equi-

(ou

tel que

ai

valence lineaire), et

ou

0'

est un diviseur dans

que les

a

i

Definition. On appelle a .= 0 J

P

tel que

20' =R'. 11 est facile de voir

sont des entiers non-negatifs.

pour tout point

x

j

xi

un point negligeable si

infiniment proche

a

xi .

a

i

= 0 , et

Par exemple, les points doubles et les points triples dont les 3 branches ne sont pas tangentes singuliers negligeables de

a

une meme direction sont des points

R'.

Nous avons une factorisation de

l/J'

l/J':P...!L...P...1-p telle que

ljJ

(resp.

l/J")

est l'eclatement des points non-negligeables

(resp. negligeables). Cela nous conduit utile que Ie premier :

a

un autre diagramme, plus

9

2

r

6

5 11

5

une courbe non-

C

rationnelle, 17: C --X(d)

un morphisme surjectif. Alors il y a une fibration

f:S ---C

genre 2 avec q=b

x

= deg1T·

e = X-b+1

2 6 6 K = (7-a)X + (1+a) (b-l)

(X (fSs (E, d) ) - g(X(d) ) + 1) +b-l = di'l

ddeg1T

, + b-l

v

si

d

3

de

53

d = 2 , un automorphisme de

Demonstration : Dans le cas

X( 2)

QO

pI

nous permet de supposer que les images des points de ramification de ne tornbent pas sur les pointes de

X(2), donc dans tous les cas, les

equations (10) sont vraies. Maintenant il suffit de prendre pour

f

fibration proche du pull-back de

CQFD

f(E,d)

par

une

Le resultat suivant est utile pour appliquer les modifications elementaires 2.7. Theoreme 3.16. Soi t

d

3 . Les fibres s Lnqul.Ler-es de

f (E, d)

ayant une jacobienne propre sont toutes comme suit :

ou r 1 et r sont des courbes elliptiques lisses de carre 2 qui est equivalent, le nornbre de ces fibres egale s(d). Demonstration: D'apres 3.4, une fibre

F

-1 . Ou ce

dont la jacobienne est

propre est singuliere si et seulement si son image dans

J(F)

n'est

pas irreductible. Le lemme suivant doit etre clair. Lemme 3.17. Soient risee, D

un diviseur

seulement si D

J. D

---+

Ei '

n'est pas irreductible si et

est un produit de deux courbes elliptiques: J

etant la somme d ' une fibre de

P2 : J J

J

June surface abelienne principalement pola-

® dans

PI: J - - Ei

Ei

et ceci si et seulement si Le revetement universel

se factorise en somme directe de deux droites complexes: V

tel que Ie reseau

U

dans

V

definissant

J

XEi,

et une fibre de V

de

= ViffiVi,

se factorise en

U = UiffiUi ' ou Ui = Un Vi ' et que la forme alternee correspondant a la polarisation satisfait a

apres les conditions pour projection

V

»,

(,

telles que

induit une structure

(v 1,v ) == 1, nous avons 2 automatique.

d==l, done

U

V

(E,d)

ViffiVi ' et que la

sur

J . Comme

UiffiUi. Le reste est OQFD

Remargue. 11 est clair que si

D

n'est pas irreductible (done est

decompose), la decomposition correspondante de des facteurs pres.

U

est unique a l'ordre

Regardons d'abord Ie groupe commutatif U engendre librement par {u 1,u2,uS,u6} comme un groupe abstrait muni d'une forme aiternee

et u 3 == dU ' u == du . cons i.dezons I' ensemble f des 4 S-u2 6-u 1 paires (v 1,v2) d'elements dans U tels que (v 1 . Nous avons 1,v2) une relation d'equivalence dans telle que:

= (v > 1,v4 1 3 (v

1,v2

o ,

)

qui met une structure de surface abelienne principalement polarisee sur J(Z) = V(Z)/U(Z), ce qui donne une famille de surfaces abeliennes principalement polarisees de

Z

soit

j:

J_

W telle que la fibre de

J(Z). Nous avons donc un revetement fini

j

w

au-des sus

W dans

de

un voisinage W du point de module X de F dans le domaine de o o 1 'application des periodes des courbes de genre 2. 11 est clair que le degre de ce revetement est egal au nombre de classes d'automorphismes de

J

en

modulo ±l o Maintenant on a un plongement naturel d'un voisinage de

X'(d)

dans

W,

dont l'image est une courbe

f(E,d)(F

X. D'autre part, il

J

n'est pas difficile de montrer que les surfaces abeliennes dans telles que le diviseur tiques sont les

8

J(Z)

se decompose en somme de deux courbes ellip-

telles que

forment une surface lisse

o)

N.

z2 = 0

Soient

X

r

W

dont les images dans

= w(X),

N

= w(N).

Alors comme

est justement Ie "degre 11" defini dans o Namikawa-Ueno [IJ, il suffit de montrer NXlx = 1 par la classification o dans le dit article. Ie nombre d'intersection

Nous avons d'abord

NXlx

""" NXlz

1 , ou

w(zo)

o

choisissons une famille de bases. homologuees telle que

u

zu

ou

= Xo

: en effet, si nous

{ui(Z)}

U(Z),

pour

z e s t une fonction analytique

4(Z), 2(Z) et si nous exprimons les vi(Z) en termes de ui(Z), alors . f(z) une fract10n fTTZ) de deux fonctions lineaires f z2

=0

=0

f'{z )

, ce qui veut dire exactement que

zEx,

X -H,

s'ecrit

z2

z , donc

N

et

X

se

-NX=

1 ,

il suffit de

coupent transversalement. Maintenant

-1

montrer que

w

NX = w * (N)w * (X)/deg(w), donc avec (X)

vu l'universalite de abelienne excepte

J

,

est composee de

deg(w)

courbes differentes, et

j(E,d), cela est equivalent

au-des sus d'un point general de

X

a

ce qu'une surface

n'a pas d'automorphisme

±1.

En effet, pour une telle

J

les courbes

E

V

1

1/U1

ne sont pas isogenes. donc il n'y a pas de courbe isomorphe J que

a

E E

2

V 2/U2 dans

2 ce qui entra1ne 2, doit etre stable sous tout automorphisme de J , donc par la

qui ne soit pas algebriquement equivalente VI

et

a

E

57

demonstration de 3.8 et notre choix de J

sont

E, les seuls automorphismes de

±1 , d'ou II) et done le theoreme.

Nous consacrons le reste de ce chapitre

CQFD

a

une variante de la methode

developpee jusqu'ici, ce qui va nous donner d'autres exemples de fibrations avec pente surface

S

avec

>4

, surtout un exemple dans le chapitre suivant d'une

Fixons un entier fibre tangent de

V = V1 EB V2

V2

de

2 ; 'l'o r f S) = 'f EB 'f 3 3

Pg(S) = q(S) = 0 , d

Hx H

23 .

Soient

H

•

le demi­plan de Poincare,

V

Le

Vest la somme directe de deux fibres tri v i.aux :

. Prenons une section non­nulle dans

VI

et une autre dans

' de sorte qu'elles definissent un isomorphisme unique de chaque fibre

V

avec

q:: EB q; • Maintenant pour chaque point

nous avons un reseau

U

(zl,z2)

dans

V(

zI,z2

)

(ZI' 2

De plus, ces reseaux se recollent pour donner un reseau le quotient

VJU

iJ

est une famille

2

dans

)

H XH ,

, qui est engendre par

U

dans

V, et

de surfaces abe Lienne s sur

HXH :

On a aussi une polarisation principale pour chaque fibre de

j , qui est

definie par la forme alternee

telle que

« z I' 0) r ( I, 0» «1,0),(0,1)

=

= «1,0),(O,z2»

« 0,2

2)

, (0, I)

= d ;

= «ZI,O),(O,1)

= «ZI,0),(0'Z2)=0'

Maintenant par le Iemme 3.7 et sa symetrie, on trouve une action du groupe red) X red) sur ou

Al ,A2 E red) , J(

2

1, z2

)

On peut done passer au quotient pour avoir une famille j:iJ ­­­"'X'(d)XX'(d),

ou

X'(d) = HIr(d). Comme dans la demonstration de 3.10, on peut recoller

les diviseurs

®

de genre deux sur

des fibres de X' (d) XX' (d).

j

pour avoir une famiIIe

de courbes

58

Remarquons tout de suite que le quotient de T(d) X T{d ) , qui est un fibre

V

sur

degres

d1

X'(d)), C

par cette action de

J .

quement a l'algebre de Lie de la famille Soient

V

X' (d) X X' (d), s'identifie canoni-

! deux systemes lineaires sans point de base, de 2 respectivement, sur la courbe X(d) (= completee de

ID11 , ID

et d 2 un diviseur assez general dans

Xl d ) x xt a) . C

la i-ieme projection de

* * I IP1(D 1)+P2(D2)

, ou'

Pi

est

est done une courbe lisse de

genre

par la formule d'adjonction. Soient

C'

l'intersection de

C

avec

X' (d) X X' (d),

S' = C' XX' (d)xX' (d)!f On peut completer

S'

lisse, de sorte que

de fa0 et K I Z 0 entrainent K I X = 1 , S S S Puis parce que x 2 a la meme parite que KS'X, on obtient

fixe. Or si l'on note IK

S

KZ

I

1

0

,

les inegali tes

61

x 2 = 1 , ZX = Z2 = 0 . Par Le theoreme de l' index, KZ = z2 = 0

force

Z

CQFD

d'etre nul.

Nous rappelons que sauf mention expresse du contraire, nous ne

cons i.dar-ons que des

f: S

C

Proposition 4.2. Soit

10

Si

S

relativement minimales.

une surface fibree en courbes de genre 2.

, alors la dimension de Kodaira

Corollaire (de 4.1 et 4.2). Bi general. Si

,,(S)=l

0

Jt

(S)

,

S

est

21

est minimale de type

sauf pour quelques surfaces avec

Pg=2,

q=O

20 .

Demonstration : Supposons escl ure : ,,( S) = 0 Si

ou

,,(S) = 0 , alors

0, S

K 0 , ce qui contredi t S fibration. Si

" (S) =

_00

,

0

L-C

O

(Co k

KSF = 2

pour une fibre

. Le theoreme 2.2 donne

F

de la

q =b = 1

ou

O.

f e s t une fibration lisse, e = 0 , et (6) donne 0

tel que

ne so i, t pas vide, donc

I kL I

qui contredit I'hypothese

,,(S)

Aussi dans Le deuxt.eme cas

I kK I

S

'I

e(P")-3

= -2

dans ce cas.

CQFD Le point iii) de la proposition veut dire que pour "la plupart" des fibrations de genre 2, on a Proposition 5.4. Soit Pg

3 . Alors :

deg 4b-4+e(P')

H1(N)

,

O.

ii) Nous montrons d'abord que

est nul

par

Riemann-Roch, nous avons )-2s (par (7) et (5

2X+4(b-l)+e

I

)

(par (6)). D'autre part, on voit facilement que Ie diviseur la partie fixe de

IM-l/J*C

°

I ,

donc

6.

est contenu dans

hO(M-l/J*C ) = h O(2L-C ), ce qui 0

0

)

79 entraine l'egalite de

o

et

h

1(2L_C 0

des

), parce que les

deux faisceaux sont nuls. 11 revient done au de demontrer 1(2L-C H ) = 0 . Mais comme dans le pas i), ceci decoule immediatement du o lemme 5.3 : on a (2L-C)2 = e+2x+6(b-1) par (6), done l'hypothese o X+b 2 donne (2L-C )2 ) 4(b-1)+e o

*C ) = 0

Maintenant que nous avons

o

r

.i.L y a une surjection

done pour la demonstration de la partie ii), il suffit de montrer que

est un diviseur a croiIM!lj;*C I n'a pas de point de base. Mais o o sements normaux, dont la configuration est un arbre, done il nous suffit

de

que

E de de C

lj; Co

r

IM\EI

n'a pas de point de

ce qui est clair sauf pour

pour chaque composante E = Co ' Le trans forme strict

o

Supposons done

E = Co . Nous avons evidemment deg MIE

deg 2LIE

=

le dernier terme etant superieur au egal n'a pas de point de base, sauf s i,

X+3(b-1)-e ,

a

2b = 2g(E), done

IM\E1

e.2 X+b-1 , compte tenu de la con-

gruence (9). Vu le theoreme 2.1, nous avons 2 exceptions dans ce cas soit

b=O, soit

b

1 , e=x

Notons maintenant par la construction de

P,

D

done de montrer l'inegalite des sus . Ceci est clair quand general, done g(D) montre

1 , done 2 D

fibre dans

KSD

20

Ie trans forme strict de

il est facile de voir que KSD 2 2b

pour tout di viseur

-1 , ce qui donne

K(D+F)

dans

S. Par

ME , il suffit

pour les 2 cas d ' exception ci-

b = 0 , puisque

1 . De plus si

E

KSD

KSD= 1

S

est minimale de type

D . Quand r

b = 1 , nous avons

la formule d'adjonction

3, (D+F)2

3 , ou

Fest une

S. Maintenant Ie theoreme de l'index implique une inegalite

ce qui entraine dans notre cas K2 i 3 . D' autre part Ie theoreme 2.2 dit 2 que dans ce cas K 4 r cette con;radiction montre ME 22 , ce qui acheve la demonstration de l'etape ii).

80 iii} D'apres la description des fibres singulieres dans le chapitre

p'

1, nous savons que si n'est pas nul,

PIE =

Puisque

IMI

dans

0

est une fibre dans de

Alp" F'

D

doit contenir

Mais

unique point d'intersection

x =

A

o

=

o

*C

n'est pas un point de base de

IMI

Ip"

E

contient un point de

P'.

A contenant

est une partie connexe de

F'.

pour

telle que

pour toute composante

entier, en particulier

ii}, x

P

P'C

0

si un diviseur

b\p'

tout

1 , donc il y a un

qui sera contenu dans

D. Par

A

lMI , ce qui exclut la possibilite

d'avoir un point de base dans

Signalons que Bombieri

D

CQPD

[1, theorem 2J a obtenu le resultat analogue

pour toute surface de type general sous la condition Nous etudions maintenant Ie degre de

pg

23

.

¢2K' Par le theoreme d'annu-

Iation de Kodaira­Mumford, on a

(27) pour toute surface minimale de type general P2(S} Si

£2

, avec egalite si et seulement si

P2 = 2 , l' application bicanonique

Pg(S)

q(S)

= 0

1.

est pas generiquement finie,

3 , dans ce cas nous savons (Xiao [lJ) est generiquement fini. De plus, s i. P2 (S) = 3 , l' image de

donc nous pouvons supposer que

n '

S, en particulier

P2

cJ)2K est Ie plan projectif

deg oJi2K = 4

ou

p2 , donc Ie theoreme 5.5 montre que

8 , sui vant que

Theoreme 5.6. Soit

S

ou

= 1

2 .

une surface minimale de type general ayant

24 .

un pinceau de courbes de genre 2. Supposons en plus P2(S} Soient 2 les invariants numeriques de S, l'application bica-

Pg , q ,K

nonique. Nous avons I )

2

deg ¢2K = 2

2 Pg = q = 4 , K = 8

dans ce cas ii} P g = 2

deg ¢2K ,q

,q

S

est Le produit de deux courbes de genre

=4 2, K2

ou

1

genre 2 : dans ce cas iii} p

r

sauf dans les cas suivants :

4 , S

a deux pinceaux de courbes de

deg ¢2K = 4 2

= 4 , S a un pinceau de courbes de genre 2 et un pinceau sans point de base de courbes de genre 3, ces deux pinceaux

g

= 1

0

r

K

se coupant par 4 : dans ce cas Lv ) p

g

= 1

2 q =0 , K

=2

deg ou

= 4

3 : deg ¢2K

=2

ou

4

81

v)

les surfaces ayant une fibration de genre 2 proche de l'une des

fibrations dans les cas i) et ii) p g == q == 2 , K

2

ce sont des surfaces avec soit 2

soi t

8,

p g == q == 1 , K == 4 . Dans ce cas

S

Demonstration : II est clair que quand est un nombre pair. Maintenant soit p -1 IP 2

dans

ql2K

P -1

IP 2

, on a

a un pinceau de courbes

se factorise par Ie revetement hyperelliptique, done

de genre 2, ql2K deg ql2K

deg ql2K == 4

d

Puisque P2-2 == X+K

Ie degre de l'image de

est une surface non-degeneree dans

1m ql2K

2-2

d

D'autre part, on a

d

X

deg ql2K == 4K

2

par Ie theoreme precedent, done (29)

En particulier, deg ql2K

quand

2

3 . Compte tenu de la proposition

X

4.1, on peut supposer que Ie pinceau n'a pas de point de base, et qu'il y a une fibration as soc i.ee

f: S - - C . Maintenant

ql2K

se factorise

par

ou

est defini par

IMI ,

avec

1

deg

2 deg

q)2K

Remarquons d'abord que dans les cas i) et ii), la base de l'un des pinceaux n'est pas rationnelle (voir Ie theoreme 6.5 plus loin), done les deux quotients hyperelliptiques de

S

ne s'accordent pas. Comme

se factorise par chacun des deux quotients, deg q)2K Puis (29) montre que dans ces cas on a un meme systeme lineaire dans Le cas v ) , on a aussi

lMI

pour les fibrations proches, done

deg q)2K == 4 . sur une fibre generale

Maintenant regardons Ie comportemeni: de

F

dans

A

P

Comme

Notons par

.. (F)

MF == 2

X

Lemme 5.7. Boit

est au plus une conique. p -1

l'image de f: S

-+-

1) X == 2

,

IP 2

P

dans

C

une fibration de genre 2 telle que

soit minimale de type general avec conique sauf s i

est au moins 4.

deg ql2K == 4 • De plus, par definition,

P2(S)

£,

4

• Al.o r s

w.(F)

est une

b == 0 , et : K

2

== 4

IM-2FI

2) p g == 1 , q - 0 , K

2

== 2

est un pinceau sans point de base ou

De plus, dans Ie premier cas,

3 •

est une droite.

S

82

Demonstration: supposons que

soit une droite. Alors

est un nombre pair, et (29) avec notre hypothese donnent Le cas ou

l'espace

b

2-1, pX+K X+K2-1

> K2 , donc Ie lemme 5.3 dit que

cone, autrement dit il y a une multi section

E

dans

S

deg

= 2 . Dans

2 K

-10 , X est une surface non-rationnelle de degre

tee par

X

dans

est un

qui est contrac-

Compte tenu du theoreme 5.5, ceci entraine que

ou que

E

est une droite puisque

EK 0, S est minimale de type general, ce

S

qui est une contradiction parce que C

deg

f

induit une projection de

E

sur

qui est une courbe non-rationnelle. On peut doric supposer

b = 0 • Maintenant

X

etant une surface

K2 - I rn X+

rationnelle reglee en droites dans l'espace que d = deg X = X+K2-2 , d ' ou X 2 parce que

d

, il est bien connu 2 2 K . Ensuite K 2

par hypothese. Soit

X'

la desingularisation minimale de

rationnelle avec invariant

e(X')

20 ,

est defini par Ie systeme lineair; 2 demontrer que K 4 . En effet, Ie morphisme tion birationnelle de birationnel

as

de

R

P,

Co(X') dans

Nous allons

au-des sus de

=

*

(6,3e+n) - 3

la section negative de

P

sur

S, as R

est stable

R:

2s r=: $i i=l

X'. L'image reciproque

C, donc

est

C. Puis par la canonicite

est globalement definie, et

Pest lineairement equivalente a

F e s t une fibre de carre

S a

est Ie trans forme strict de A

Soit

__ IE'

S P a r l'unicite du modele minimal de

R

Co(X')

I

!

X'

etant de degre 2, il induit une involu-

un automorphisme global de

a, ou

et Ie morphisme

est une surface P2(S)-1

P, qui se reI eve facilement en un automorphisme

de la construction de sous

X . X'

M-

C

de 1 »F , ou

C

est soit une 2-section a I -2e(X'), soit 2 fois une section a carre (X'). Nous avons 1 2

1

(6,3e+n)(2'2K +e+1- 2e(X'»

- 6s

2+6-3e(X' 3K )+2n-6s (par (5'» done lorsque sante de

C1

E

e(X'» 0 , RC I en eommun. Puisque