Surfaces Algebriques: Seminaire de Geometrie Algebrique d'Orsay 1976-78 (Lecture Notes in Mathematics, 868) (French Edition) 3540108424, 9783540108429

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Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Oold and B. Eckmann

868 Surfaces Alqebriques Serninaire de Geometrie Alqebrique d'Orsay 1976-78

Edits par J. Giraud, L. lIIusie et M. Raynaud

Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1981

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Vol. 670: Fonctions de Plusieurs Variables Complexes Ill, Pro· ceedings, 1977. Edite par F. Norguet. XII, 394 pages. 1978.

Vol. 641: Semina1re d'Aigebre Paul Dubreil, Proceedings Paris 1976-1977. Ed1te par M.P. Malliav1n. IV. 367 pages. 1978.

Vol. 671: R. T. Smythe and J. C. Wierman, First-Passage Perculation on the Square Lattice. VIII, 196 pages. 1978.

Vol. 642: Theory and Appl1cat1pns of Graphs, Proceedmgs. Michigan 1976. Edited byY. Alav1 and D. R. Lick. XIV, 635 pages.1978.

Vol. 672: R. L. Taylor, Stochastic Convergence of Weighted Sums of Random Elements in Linear Spaces. VII, 216 pages. 1978.

Vol. 643: M. Dav1s, Multiaxial Actions on Manifolds. VI, 141 pages. 1978.

Vol. 673: Algebraic Topology, Proceedings 1977. Edited by P. Hoffman, R. Piccinini and D. SJerve. VI, 278 pages. 1978.

Vol. 644: Vector Space Measures and Applications I, Proceedings 1977. Edited by R. M. Aron and S. Dmeen. VIII, 451 pages. 1978.

Vol. 674: Z. Fiedorowicz and S. Priddy, Homology of Classical Groups Over Finite Fields and Their Associated Infinite Loop Spaces. VI, 434 pages. 1978.

Vol. 645: Vector Space Measures and Applications II, Proceedings 1977. Ed1ted by R. M. Aron and S. Dineen. VIII, 218 pages. 1978. Vol. 646: 0. Tamm1, Extremum Problems for Bounded Un1valent Functions. VIII, 313 pages. 1978.

Vol. 675: J. Galambos and S. Katz, Characterizations of Probability Distributions. VIII, 169 pages. 1978.

Vol. 647: L. J. Ratliff, Jr., Chain Conjectures in Ring Theory. VIII, 133 pages. 1978.

Vol. 676: Differential Geometrical Methods in Mathematical Physics II, Proceedings, 1977. Edited by K. Bleuler, H. R. Petry and A. Reetz. VI, 626 pages. 1978.

VoL 648: Nonlinear Partial Differential Equations and Applications, Proceedings, Indiana 1976-1977. Ed1ted by J. M. Chadam. VI, 206 pages. 1978.

Vol. 677: Seminaire Bourbaki, val. 1976/77, Exposes 489-506. IV, 264 pages. 1978.

Vol. 649: Seminaire de Probabdites XII, Proceedmgs, Strasbourg, 1976-1977. Ed1til par C. Dellachene, P. A Meyer et M. We1l. VIII, 805 pages. 1978.

Vol. 678: D. Dacunha·Castelle, H. Heyer et B. Roynette. Ecole d'Ete de Probabdites de Saint-Flour. Vll-1977. Edite par P. L. Hennequin. IX, 379 pages. 1978.

VoL 650: C*-Aigebras and Applications to Physics. Proceedings 1977. Ed1ted by H. Araki and R. V. Kadison. V, 192 pages. 1978.

Vol. 679: Numerical Treatment of Differential Equations in Applications, Proceedmgs, 1977. Edited by R. Ansorge and W. T6rnig. IX, 163 pages. 1978.

Vol. 651: P. W. Michor, Functors and Categories of Banach Spaces. VI. 99 pages. 1978

Vol. 652: D1fferent1al Topology, Foliations and Gelfand-Fuks-Cohomology, Proceedmgs 1976. Edited by P. A Schweitzer. XIV, 252 pages. 1978. Vol. 653: Locally Interacting Systems and Their .Application m Biology. Proceedmgs, 1976. Edited by R. L. Dobrushin, V.I. Kryukov and A L. loom. XI, 202 pages. 1978. Vol. 654: J. P. Buhler, Icosahedral Golo1s Representations. Ill, 143 pages. 1978. Vol. 655: R. Baeza, Quadratic Forms Over Semilocal Rings. VI, 199 pages. 1978. Vol. 656: Probability Theory on Vector Spaces. Proceedings, 1977. Ed1ted by A. Weron. VIII, 274 pages. 1978. Vol. 657: GeometncApplications of Homotopy Theory I, Proceedings 1977. Ed1ted by M.G. Barratt and M. E. Mahowald. VIII, 459 pages. 1978.

Vol. 658: Geometnc Applications of Homotopy Theory II, Proceedings 1977. Edited by M.G. Barratt and M. E. Mahowald. VIII, 487 pages. 1978. Vol. 659: Bruckner, Differentiation of Real Functions. X, 247 pages. 1978. Vol. 660: Equations aux Derivee Partielles. Proceedings, 1977. Edit€ par Pham The Lai. VI, 216 pages. 1978. Vol. 661: P. T. Johnstone, R. Pare, R. D. Rosebrugh, D. Schumacher, R. J. Wood, and G. C. Wraith, Indexed Categones and Their Applications. VII, 260 pages. 1978. Vol. 662: Akin, The Metnc Theory of Banach Manifolds. XIX, 306 pages. 1978.

Vol. 680: Mathematical Control Theory, Proceedings, 1977. Edited by W. A Cop pel. IX, 257 pages. 1978. Vol. 681: Seminaire de Th€orie du Potentiel Paris, No.3, Directeurs: M. Brelot, G. Choquet et J. Deny. Redacteurs: F. Hirsch et G. Mokobodzkl. VII, 294 pages. 1978. Vof. 682: G. D. James, The Representation Theory of the Symmetric Groups. V, 156 pages. 1978. Vol. 683: Varietes Analytiques Compactes, Proceedings, 1977. Edite par Y. Hervier etA. Hirschowl!z. V, 248 pages. 1978. Vol. 684: E. E. Rosinger, Distributions and Nonlinear Partial Differential Equations. XI, 146 pages. 1978. Vol. 685: KnotTheory, Proceedings, 1977. Edited by J. C. Hausmann. VII, 311 pages. 1978. Vol. 686: Combinatorial Mathematics, Proceedings, 1977. Edited by D. A Holton and J. Seberry. IX, 353 pages. 1978. Vol. 687: AlgebraiC Geometry, Proceedings, 1977. Edited by L. D. Olson. V, 244 pages. 1978. Vol. 688: J. Dydak and J. Segal, Shape Theory. VI, 150 pages. 1978. Vol. 689: Cabal Seminar 76-77, Proceedings, 1976-77. Edited by AS. Kechris andY. N. Moschovak1s. V, 282 pages. 1978. Vol. 690: W. J. J. Rey, RobustStat1s!lcal Methods. VI, 128 pages.1978. Vol. 691: G. Viennot, Algebres de L1e Libres et Monoldes L1bres. Ill, 124 pages. 1978. Vol. 692: T. Husain and S.M. Khaleelulla, Barrelledness logical and Ordered Vector Spaces. IX, 258 pages. 1978.

1n

Topo-

Vol. 663: J. F. Berglund, H. D. Junghenn, P. Milnes, Compact Right Topological Semigroups and Generalizations of Almost Periodjcity. X, 243 pages. 1978.

J. M. Bachar Jr. and D. W. Hadwm. VIII, 184 pages. 1978.

Vol. 664: Algebraic and Geometnc Topology. Proceedings, 1977. Ed1ted by K. C. Millett. XI, 240 pages. 1978.

Vol. 694: Seminaire Pierre Lelong - Henri Skoda (Analyse) Annee 1976/77. VII, 334 pages. 1978.

Vol. 665: Journees d'Analyse Non Lin8aire. Proceedings, 1977 Ed1te par P. Benilan et J Robert. VIII, 256 pages. 1978.

Vol. 695: Measure Theory Applications to Stochastic Analysis, Proceedings, 1977. Edited by G. Kallianpur and D. Kiilzow. XII, 261 pages. 1978.

Vol. 666: B. Beauzamy, Espaces d'lnterpolation Reels: T opolog1e et Geometrie. X, 104 pages. 1978. Vol. 667: J. Gilewicz, Approximants de Pade. XIV, 511 pages. 1978. Vol. 668: The Structure of Attractors in Dynamical Systems. Proceedings, 1977. Edited by J. C. Martin, N. G. Markley and W. Pernzo. VI, 264 pages. 1978. Vol. 669: Higher Set Theory. Proceedings, 1977. Edited by G. H. Muller and D. S. Scott. XII, 4 76 pages. 1978.

Vol. 693: Hilbert Space Operators, Proceedings, 1977. Edited by

Vol. 696: P. J. Feinsilver, Spec1al Functions, Probability Semigroups, and Hamiltonian Flows. VI, 112 pages. 1978. Vol. 697: Top1cs in Algebra, Proceedings, 1978. Edited by M. F. Newman. XI, 229 pages. 1978. Vol. 698: E. Grosswald, Bessel Polynomials. XIV, 182 pages. 1978. Vol. 699: R. E. Greene and H.-H. Wu, Function Theory on Manifolds Which Possess a Pole. Ill, 215 pages. 1979.

continuation on page 317

Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Oold and B. Eckmann

868 Surfaces Alqebriques Serninaire de Geometrie Alqebrique d'Orsay 1976-78

Edits par J. Giraud, L. lIIusie et M. Raynaud

Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1981

Editeurs

Jean Giraud Luc lIIusie Michel Raynaud Universite de Paris-Sud, Centre d'Orsay, Mathematique, Bat. 425 91405 Orsay Cedex, France

AMS Subject Classifications (1980): 10021,14025, 14F05, 14F30, 14F40, 14JlO, 14J17, 14J25, 14KlO, 14L05, 14L15 ISBN 3-540-10842-4 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN 0-387-10842-4 Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Surfaces algebriques ! Serninaire de Geometrie Alqebrique d'Orsay 1976 - 78. Ed. par J. Giraud ... - Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1981. (Lecture notes in mathematics; Vol. 868) ISBN 3-540-10842-4 (Berlin, Heidelberg, New York) ISBN 0-387-10842-4 (New York, Heidelberg, Berlin) NE: Giraud, Jean [Hrsg.]; Serninaire de Geometrie Algebrique ; GT

This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means, and storage in data banks. Under § 54 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to "Verwertungsgesellschaft Wort", Munich. © by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1981 Printed in Germany Printing and binding: Beltz Offsetdruck, Hemsbach/Bergstr. 2141/3140-543210

INTRODUCTION

Ce volume rassemble des exposes du seminaire organise

a

orsay en

1976-77 et 1977-78 sur quelques aspects de la theorie des surfaces algebriques. Trois themes principaux sont abordes a) Les exposes I

a

III sont une introduction

a

l'etude des

surfaces de Hilbert-Blumenthal. On donne leur interpretation modulaire et on calcule certains invariants classiques : dimensions d'espaces de formes automorphes, etc. b) Les exposes IV

a

VII sont consacres

a

des questions de cal cuI

differentiel en caracteristique p . Dans l'expose IV, on prouve, partir du theoreme de Rudakov-Shafarevitch, que toute surface polarisee en caracteristique

p

a

K3

se releve en caracteristique nulle.

Dans I'expose V, on montre que la variete modulaire formelle d'une surface

K3

ordinaire de caracteristique differente de 2 possede une

structure naturelle de groupe formel, analogue

a

celIe de la variete

modulaire formelle d'une variete abelienne ordinaire. Cette derniere structure est etudiee dans I 'expose Vbis, ou l'on compare les points de vue de Dwork et de Serre-Tate. L'expose VII contient un resultat d'annuIation utilise dans l'expose VI, qui presente Ie theoreme de dualite plate de Milne

a

I'aide du formalisme du complexe de de Rham-Witt.

c) Les trois derniers exposes portent sur des travaux de Bogomolov. L'expose VIII rappelle la theorie de Mumford de la stabilite. L'expose IX presente Ie point de vue de Bogomolov sur l'instabilite des fibres vectoriels. L'expose X donne des applications aux surfaces de type general, en particulier l'inegalite de Miyaoka

Orsay,

3c

2

•

janvier 1981

J. Giraud, L. Illusie, M. Raynaud Les formations associees au C.N.R.S. suivantes ont participe seminaire : ERA nO 653 et LRA nO 305.

a

ce

TABLE DES MATIERES

I

SURFACES D'HILBERT-BLUMENTHAL (d'apres Hirzebruch et J. GIRAUD

II

SURFACES D'HILBERT-BLUMENTHAL II J. GIRAUD

III

IV

V

Vbis

VI

VII

VIII

IX

X

19

SURFACES D'HILBERT-BLUMENTHAL III J. GIRAUD

35

RELEvEMENT DES SURFACES K3 EN CARACTERISTIQUE NULLE P. DELIGNE (redige parL. ILLUSIE)

58

CRISTAUX ORDINAIRES ET COORDONNEES CANONIQUES P. DELIGNE avec la collaboration de L. ILLUSIE

80

SERRE-TATE LOCAL MODULI N. KATZ

138

LE THEOREME DE DUALITE PLATE POUR LES SURFACES (d'apres J.S. Milne) P. BERTHELOT

203

EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF SUR LE SITE PARFAIT L. BREEN

238

INSTABILITE DANS LES ESPACES VECTORIELS G. ROUSSEAU

263

INSTABILITE DANS LES FIBRES VECTORIELS (d'apres Bogomolov) G. ROUSSEAU

277

FIBRES VECTORIELS INSTABLES - APPLICATIONS AUX SURFACES (d'apres Bogomolov) M. RAYNAUD

293

SURFACES D'HILBERT-BLUMENTHAL par J. GIRAUD (*)

Expose I

d'apres HIRZEBRUCH et beaucoup d'autres

(*) Equipe de Recherche Associee au C.N.R.S. nO 653 Les groupes d'Hilbert-BlUmenthal et les fonctions automorphes qui leur sont

apparaissent lorsque l'on

les de

de dimension

g

les espaces de modu-

dont l'anneau d'endomorphismes

contient un ordre d'un corps de nombres totalement ne pretendent que servir d'introduction auxquels ont plus

de

a un

g. Ces

sujet maintenant tres

beaucoup de mathematiciens. Les travaux les

et Les

les plus complets traitent du cas g = 2

dans Ie cas analytique complexe et sont dUs principalement et Zagier. lIs ne font pas usage de

a Hirzebruch

modulaire par laquelle

je vais commencer mais celle-ci m'a

indispensable pour guider Ie

que je suis dans ce vaste jardin. II est une raison plus se. La these de Rapoport

dans Ie cadre de la

que, l'existence de compactifications des de dimension

g

et

d'Hilbert-Blumenthal

leur frontiere de

combinatoire

tails) et Ie lien avec Ie point de vue transcendant ne peut guere etre que par

modulaire.

Je me limiterai ici au cas et m'efforcerai de de

a illustrer

g =2

(sur Le corps des nombres complexes)

la compactification explicite due

a Hirzebruch

Ie plus directement possible la vaste

expos ee dans Smooth Compactification of Locally Symmetric Varieties de Ash, Mumford, Rapoport et Tai , Math. Sci. Press, 1975 .

2 On ne peut s'empecher de signaler ici un probleme modulaire encore

plus particulier, ou l'on impose

a une

de dimension

d'avoir de la multiplication complexe, c'est

a dire

g

que son anneau d'en-

domorphismes contient l'anneau d'entiers d'un corps de nombres de L'espace modulaire est alors de dimension nulle, il donne naissance

a des

2g.

loin d'etre trivial,

a la

extensions de corps de nombres et conduit

description de certains corps de classes par les "valeurs en des points de certaines fonctions modulaires" (Shimura et Taniyama quelconque, Deuring pour trie

g=1). On peut

que les

pour de

avec succes par ces auteurs finiront par etre

de quelque secours dans Ie domaine qui nous occupe ici. Pour terminer sur ce point, notons que les points singuliers des Blumenthal correspondent

a des

abeliennes

d'Hilbert-

a multiplication

com-

plexe ayant en outre des automorphismes exceptionnels respectant une polarisation convenable.

g

3 § 1.

Ce bref rappel se limitera au point de vue Ie plus naif : tore complexe admettant une forme de Riemann. Pour plus de fait ici il y a 9 ans.

Ie livre de Mumford ou Ie

x

Un tore complexe

on consultera

pace vectoriel complexe

de dimension

T de dimension

g

est Ie quotient d'un es-

g par un

rr, (sous-

groupe discret de rang maximum done 2g). Bien entendu,

a la

fois

a l'algebre

de Lie et au revetement universel de

son groupe fondamental. Le dual vectoriel dual

rr

T des formes

= {fET, de la

prete done

X

=

x E 'IT, 1m(f(x)) E

X

une forme

a

par Ie

Cette definition se

X. Un morphisme

H:T x T--:;;'g, par rapport

si

rr

s'interprete comme la composante neutre

miere variable et Im H(x,y)

X et

X est Ie quotient de l'espace f:T --:;;. C

de Picard de

comme

de

£-

pour tout

justifie par Ie fait que picO(X)

T s'identifie

x,y E 'IT, Le morphisme

par son application tangente

X

s'inter-

X

par rapport

a La

a la

seconde telle que

4>H

attache

a l'origine

a une

notee

pre-

telle forme f

H,

avec

H(x,y). On a bien sUr

X

X

=X

(qui s'interprete comme l'isomorphisme de

PicO(PicO(X)) ) et par suite, on a une involution

not ee

f

f et si 1 'on pose

pelle groupe de

de

H(x,y)

= H(y,x),

on a

sur Mor(X, X) 4>H

= 4>H'

On ap-

X Ie groupe

NS(X) qui est aussi l'ensemble des formes hermitiennes imaginaire entiere sur

T de partie

'IT. Dire qu'une telle forme est non

signifie que Ie morphisme fini, dont l'ordre est

sur

4>H

est surjectif, son noyau est done un groupe

(rr:4>H('IT)). Pour calculer celui-ci, on introduit

4

E

= Im

a

H, qui est une forme

Zl-bilin(;aire altern(;e

E(ix,iy) = E(x,y) et qui determine

H(x,y) = E(ix,y) + iE(x,y). Dire que

sur

'IT

,

qui satisfait

H par la formule H est non d(;g(;n(;r(;e signifie que comme Ie cardinal de son

E l'est et l'on d(;finit alors Ie degr(; de noyau ce qui donne

ou l'on repr(;sente

E par une matrice dans une base quelconque du

On appelle forme de Riemann HE NS(X)

sur

X une forme hermitienne

qui est positive et non d(;g(;n(;r(;e. On dit qu'un tore

est une vari(;t(; ab(;lienne

s'il admet une forme de Riemann. Pour expliquer

l'introduction de cette notion, il faut relier Ie groupe par

a celui

(2)

PicO(X)

Ox-module inversible

cl(L - L) de Pic(X), ou a

la translation et

NS(X) d(;fini

d(;fini en termes de faisceaux inversibles. Pour cela,

on note que, pour tout (;l(;ment

complexe

T (x) a

x+a de

L a

L et tout

a E X on a un

d(;signe l'image inverse de

X. En fait, cet (;l(;ment appartient

L par

a

L d(;finit une application

(4) dont on montre que c'est un morphisme de tores complexes qui est symetrique

=

defini par

et on a done assode

L un (;l(;ment

H(L) ENS(X)

=

Th(;oreme 1.1.L'application Pic(X)/PicO(x)

a

L

H(L)

induit un isomorphisme de groupes

NS(X). Par cet isomorphisme. les faisceaux amples

correspondent aux formes hermitiennes positives non degenerees.

5

Notons qu'il n'y a qu'une toriellement

au signe pres, d'identifier fonc-

X et PicO(X); en imposant que les faisceaux amples corres-

pondent aux formes positives, on fixe ce signe. Les varietes abeliennes apparaissent ainsi comme les tores complexes que l'on peut munir d'une structure de variete algebrique (necessairement unique).

induisant la

structure complexe donnee. Nous retiendrons que Ie groupe de NeronSeveri d ' une variete abelienne

X est mun i du "c6ne-positif"

mes hermitiennes positives non degenerees, que l'on note

des for-

NS+(X). Le the-

oreme de Riemann-Roch va nous permettre d'expliciter, pour une variete abelienne de dimension

2, (surface abelienne), la forme d'intersection

sur Ie groupe de Neron-Severi.

Theoreme 1 . 2.(Mumford p.150 et162).Soit une variete abelienne

L un

X de dimension g. Soit

noyau de

g

copies de

D un diviseur tel que ,

est

deg 4>L , ou

et Ie nombre d'intersection de

OX-module inversible sur

D et ou

deg 4>L

4>L est de dimension> 0, cependant que deg 4>L

=a

est Ie cardinal

de ce noyau s'il est fini. En outre, dans Ie dernier cas, Hi(X,L) sauf lorsque hermitienne

i

si Ie

=0

est Ie nombre de valeurs propres negatives de Ia forme

H(L).

On a vu que deg 4>L

est Ie determinant de

E(L)

= 1m H(L),

et

comme Ie determinant d'une matrice alternee est Ie carre de son pfaffien, on a forcement gl X(L) Le reseau

±

gl Pf(E(L»

etant contenu dans l'espace vectoriel complexe

T il est

muni d'une orientation naturelle qui est celIe que l'on choisit pour definir Ie pfaffien de la forme alternee

E.

6

On peut montrer que l'on a toujours le signe + (Mumford p. 155) et par suite, pour une surface

abelienne

X et un

HE NS(X) la forme d'inter-

section est donnee par

(6)

(H.H)

2 Pf E

Si

L est un OX-module inversible tel que

on

aura en outre (lorsque

En revanche, si

g

= dim

X

H

2)

H est non degeneree mais a deux valeurs propres de si-

gnes contraires, alors on a . = dlm

(8)

. H1 (X,L ) dlm

H1( X,L-1)

§ 2.

Varietes abeliennes i'i. multiplication reelle ou c o mpLe x e ,

deg 4>H'

On prendra garde que certains des resultats enonces ici ne sont pas valables en caracteristique positive. En effet, la taille de l'anneau d'endomorphismes est limitee en caracteristique nulle par le fait qu'il opere sur le groupe fondamental, alors qu'en caracteristique pose que des representations

1-adiques, 1

p

>

0

on ne dis-

p. Un phenomene typique est

que l'anneau d'endomorphismes d'une variete abelienne "generale" sur est reduit

a

,

g

alors qu'une variete abelienne definie sur un corps fini

admet toujours un endomorphisme, i'i. savoir le frobenius. Certes celui-ci peut

etre scalaire (appartenir

a

et L" on n ' est guere avance en

apparence mais, dans ce cas, un resultat de Tate (Inven. Math., 2 (1966), p. 134) nous apprend que l'anneau d'endomorphismesest alors aussi gros que possible, c'est

a dire

de rang

4g

2

sur

7

Ceci dit, comme nous travaillons sur Ie corps des nombres complexes, compte tenu des enonces admis jusqu'ici, ceux que l'on va demontrer sont des exercices

lineaire. Si f:X

rietes abeliennes, on not era de Lie,

Y est un morphisme de va-

Tf:TX

TY

son effet sur les

son effet sur les groupes fondamentaux et son effet sur les varietes abeliennes

est que Mor(X,Y) est un

ZZ­ module de type fini, car il se plonge dans

Mor(llX,lTY), et sans torsion car isogenie

si

Tf

duales. Le premier point

Tnf

= nTf,

n E ZZ. On dira que

est bijectif, ce qui signifie que

f

est un

fest surjectif

a

noyau fini et l'on a alors grace au lemme du serpent Ker f

coker '!ff.

11 est immediat qu'il existe alors une isogenie gf(x)

= Nx

et

fg(y)

= Ny,

ou

contorsion les consequences de

N

= deg

f

= card

g:Y

X telle que

Ker f. Pour enoncer sans

cette remarque, il est commode de plonger

la categorie des varietes abeliennes dans une categorie qui a memes Objets mais ou l'ensemble des morphismes de

ce qui revient par Ie

a inverser

X dans

Y est

les isogenies. On est immediatement recompense

de

reductibilite de Poincare

qui affirme que

cette nouvelle categorie est semi­simple, ou encore sans cuistrerie, que toute variete abelienne est simples, la classe

a isogenie

a un

produit de varietes abeliennes

des composantes ne dependant pas de

la decomposition choisie. On en tire le

que voici :

8

Theoreme.2.1. Sait

X une varLete abelienne de dimension

End{X)o =

a

IT

isogenes, on a rang fini sur

ou les

X.

£'

et ou

Mn(i)

E.l = End(X.) lO

X

non

est un corps de

designe l'anneau des matrices carrees

n{i).

Le plongement rrX

(End{X) :2)

2g2

o -

1TX

TX

avec

donne un

g

]R-

dim X.

isomorphisme

est un reseau), done un isomorphisme

en tire que, par extension des scalaires de E dans

1TX

a la

devient isomorphe

Zl

rrXrt1??- = TX

= TX $

isomorphismes sont compatibles avec les operations de

de

a deux

sont simples et deux

l

End{X)o = IT Mnr(') (E.l ), ou i

Corollaire 2. 2.On a

(car

. Alors

est une g-algebre semi-simple de rang fini. Si

est isogene

d'ordre

g

a £,

Comme ces

E = End{X) on la representation

somme de sa representation dans

l'algebre de Lie et de la representation conjuguee de celle-ci, d'ou l'inegalite cherchee. On not era que la representation dans rait que

(E:ZZ)

4i,

Alors E0' en outre End{X') sur

o

(K:Q) = 2g, alors

= X est isogene

a

X,n , ou,

End{X) = M (End{X') ). Si o n 0

ee qui prouve que propre eommutant dans

E

0

E

End(X) .

0

0

K est son propre commutant dans X'

est simple

de dimension gin,

o -

X

K dans 2g

de

avec (End{X') :Q) = 2g/n

est un corps eommutatif

La representation de

a

1-adiques.

K un sous-corps commutatif Si

ne donne-

inegalite valable en caracteristique positive

cause des representations Corollaire 2.

1TX

est simple, 1TXIlIl ZZ £

K=E. o

plonge

et que si

De plus, on sait que

et bien

K dans

2g, alo:rs

K est son

X = IT

, done

l

K

9

se plonge dans l'un des quotients simples simplifier n=n(i) X'

et

X' = Xi; on sait que

est simple et si

et

End(X')o

dans

End(X' )

est un corps

0

est son centre, alors en posant

Z

= f, on sait que

commutatif de

Eo' Posons pour

Mn (.) (X.) de

2g =

nhf

car

car

(End(X') :Z) = h o

K est un sous-corps

M (End(X') ). D' autre part, la representation de n 0 1TX'!11

ple de ce corps

£

est un multiple de l'unique representation sim-

7l

donc

fh2

divise

2dim(X'), d'ou l'on tire

n(i)dim(X.) = X', et que

Xi' it savoir

qu'une composante

en tire qu'il n'y a

On

h=1, d'ou la conclusion.

Pour savoir ce qu'il en est en caracteristique non nulle, voir Complex Multiplication of Abelian Varieties, by Goro SHIMURA et Yutaka TANAYAMA, Pub. Math. Soc. Japan, 1961, et l'article deja cite de TATE. Corollaire 2.4. Soit

X une variete abelienne de dimension

K un sous-corps commutatif de

End(X)

o

avec

g

et soit

(K:S) = 2g. Alors

K

est totalement imaginaire. Puisque

1TX

est de rang

vectoriel de dimension

M££ '"

est obtenu en faisant operer fi:K

¥.

est un K-espace

1. En etendant les scalaires de

en tire un K-isomorphisme

ments

2g =

Donc TX

TX4lTX. Or chaque

K sur

& grace

est decrit par

M

S£

a l'un des g

a -module simple 2g plonge-

de ces plongements et

l'isomorphisme ci-dessus montre que, en leur adjoignant leurs conjugues, on trouve tous les plongements complexes de imaginaire. En outre, les deux

a deux

g

plongements qui

K. Donc K est totalement decrivent

TX

sont

distincts et deux d'entre eux ne sont jamais conjugues.

2

10

=g

Notons au passage que, si on suppose alors la

en composantes K-simples de

intervenir les pas un de

g

plongements de

de

K

et

K dans

TX. Bien entendu,

TX fait

car sinon

ne serait

Kn End(X) est alors un

-0--=

un -o-module sans torsion de rang

et

K totalement

2, cependant que si

2g, alors

est un .-o--module sans torsion de rang 1. Si admettant 2g, on dit que X est une de la multiplication

= g,

complexe et si

on dit que

La terminologie dans Ie second celui-ci X par

X admet de la mUltiplication

cas est

elle tient au fait, que, si

du premier et dans g

= 1,

alors un endomorphisme de

t

tel que la multiplication

s'interprete comme un nombre complexe t

dans

Corollaire2

TX

respecte Ie

. Soit

X une variete abelienne admettant

corps de multiplication K-isomorphisme

rrX. K comme

complexe. II existe un

TX

tel que 1 'image de

Km

l'image du morphisme naturel On vient de voir que

TX

C.

est K-isomorphe

juster l'isomorphisme pour satisfaire

soit contenue dans

a la

a KmQS

et il suffit d'a-

seconde condition.

11

§

3. La famille modulaire.

3.1. On fixe desormais note q

un sous-corps

son anneau d'entiers et

x

K de x'

lR

avec

2, on

son automorphisme non tri-

vial. On convient de noter (1 )

lRelR'

(Resp.

La somme directe de deux copies de par

k(x,y)

= (kx,k'y).

lR (resp.

2 munie d'un morphisme d'anneaux

grace auque l, on convient d'identifier

4.r

2

e 1 et

e2

de

1TX

tels que

a

est

1TX = Vel $

peut done choisir l'isomorphisme

1TX

a

-o--module

a

-o1ll

0-M

2 U ----7' 1

v

qui est scindee (produit semi-direct).Si on choisit

fractionnaire

-cx+ay

M=

Le carre de La

D

valeur propre attachee a

la forme lineaire

vest

g

comme dans l'enonce

a pour noyau N et identifie done II reste a verifier

(2)

que l'on a choisi un relevement de g-lG(x)g

,ce qui est aise ;on notera

qui est dans

et c'est important,qu'il ne depend de l'ideal

Mal' ideal

GL

.On notera aussi,

M que par son carre.

On choisit et on fixe desormais un systeme de representants des orbites de

dans

G

et,pour chacun d'eux,un giEGK tel que

g.x.=w

On pose alors

peut done poser Wr(i) = (4)

peW (i» r

I

2 zEH

r

2

np(w

r

est Ie stabilisateur de

et l'on a un isomorphisme Z I----'Si z

r

Lemme 1.3. Soit on a

t

2

=¢ x.

IG

J

Wr=

la projection naturelle.Pour

si

i*j

dans

G

et

pew (i» r

de

2 H

r

=w (i)/G(i) OU r

assez grand, G(i)

Ceci resulte de (1.1 (2) )

Theoreme 1.4. II existe un compact = p(F)

L---I

1< i< h

F

et un nombre reel

r>O tels que

peW (i» r

On trouvera meme dans les notes de SIEGEL une description d'un domaine fondamental de

G mais nous n'utiliserons pas ce fait.II est clair que

X n'est

22 pas compact car la fonction p(Wr(i»

D(z,x.)

,il est commode de l'identifier,grace

Wr/G'(i) , G'(i) =g.G(i)g.-1 1

wr (i)

n'est pas bornee sur

1

a

gi'

a 2/G'(i) H

,qui est une partie du quotient

1

.Pour etudier

Au paragraphe suivant,nous allons construire une compactification partielle de 2/G'(i) H

,c'est

ments normaux

a dire

S(i)

une surface lisse

isomorphisme entre p(Wr(i»

w=TiT a r

X=H

2/G

et

a obtenir

de maniere

W (i) r

- S(i)

r

contenant un diviseur

H2 / G' (i)"" ,. X(i)-S(i)

et un isomorphisme

nous construirons un voisinage compact

X(i)

de

S(i)

dans

a cr6ise-

.En outre, X(i)

et un

.On peut alors recoller les

un espace analytique compact qui n'a

d'autre singularites que celles de

x

ne depend que du groupe

explicite dans (1.2)

.Retenons que la compactification de

W (L) r

§ 2 .Voisinage d'une pointe

2.1.

On consiqere dans ce paragraphe un ideal fractionnaire

Ie sous-groupe (d'indice fini)

uM CM

telles que

uEU+

M de

K

forme des unites totalement positives

et un sous-groupe d'indice fini

V

.A une

telle paire,on peut associer Ie groupe

Nous ne supposons pas que l'ordre attache de

K

,mais pour que

et il suffit que carre (1.2 J

V Pour

d'abord Ie quotient

l

G(M,V)

= U2

Milt

=

soit attache

et que

M soit l'anneau de tous les entiers

a une

M soit un 2/G(M,V) H

etudier

pointe de

-reseau

,il faut

dont La classe est un

,il est naturel d'effectuer

2/M H qui apparait comme un ouvert du tore

de groupe de caracteres (2)

a

xEK

M'"

,oll.

,'rI

yEK

T(M) =

)

On fixe cette identification en disant que la fonction sur

T(M)

attachee au

23 mEM·

ou

est l'automorphisme non trivial de

a

attache opere

correspond

a la

caractere

fonction sur

H2

K .Dans un premier temps, on

2/M H une frontiere, d'ou une surface non compacte

V .On peut alors diviser par

laquelle on peut plonger

X(M)

V et trouver une surface

2/G(M,V) H

sur laquelle

X(M,V)

dans

.Nous utiliserons pour ces descriptions

le langage des eventails car c ' est lui qui permet

a Rapoport

description explicite de la compactification en dimension

>

de donner une 2

,mais ici, ce

point de vue n'ajoute rien de neuf au travail d'HIRZEBRUCH,Hilbert Modular Surfaces, L'enseignement Mathematique,29,183-281 , (1973).

2.2.0n sait que

Ksgrn =JR61JR '

M est un reseau de

l'intersection M+

de

l'enveloppe convexe

(cf. I 3.1 (1») ,on cons i dez-e M+=[mEM, m;;.o , m';;.o

M et du premier quadrant, donc CM

de

M+- {oj ,le bord oCM

J,

de celle-ci et on pose

(1) Quitte

a multiplier

M par un element totalement positif de

K

,ce qui ne

change pas les varietes etudieeg, on peut suppos er que 1 fait partie d'une base de

M sur

(2)

/Z

et l'on peut alors trouver v 0 EM

M=/Z.l + /Zwo

Si l'on impose en outre

,avec

tel que

,

wO

r

r}'

1/Y

lY2

PSL(2N1

et en recollant

compacts des diviseurs exceptionnels

est

.En outre, l'image

est evidemment

En conclusion, en considerant les divers groupes pointes de

= 0

S

a S(i)

G(i)

correspondant aux

les voisinages analogues aux ·W (M) r

que nous

venons de construire,on obtient un espace analytigue compact qui n'a d'autres singularites que celles de Grace

a la

fonction

X. 1/Y

lY2

,on peut,en utilisant sous sa forme la

plus simple Ie critere de contractibilite de

Modifikationen,

29 und exzeptionelle analytische Mengen,Math. Ann;,146,331-368(1 962B,compactifier X en lui attachant seulement autant de points singuliers cu'il y a de pointes. Remarquons d ' abord que la fonction pluri-sous-harmonique sur que la forme hernitienne

HxH

f=l/y lY2

est fortement

,En effet,par definition, ceci signifie

d 2 f h--s;:-"'-dZ. ]. J

-,z.

dz.dz. ].

J

est positive non degeneree,

ce qui est vrai car on a

)

+

qui est positive non degeneree , comme on voit en la diagonalisant. II en resulte deja que la fonction definie par

f

sur

W(M,V) - S est

fortement pluri-sous-harmonique ,done ,par definition, Le voisinage W (M,V) r

de

dans

S

X(M,V)

f';; l/r

defini par

est fortement pseudo-

W (M,V) est

convexe (def. 3 ,§l ,de loc.cit.) et eomme l'adherenee de compacte, alors

r

W (M,V) est holomorphiquement eonvexe (satz 3) . Par Ie

r satz 1 ,§ 2 de loc.cit., il en resulte qu'il existe un espace analytique

normal

W' (M,V) r

et un morphisme propre et surjectif G:W (M,VJ--? W' (M,V) r

dont les fibres sont

. Je dis que

G contracte

S

r

en un point

et est un isomorphisme en dehors de

S

fait que

Wr,(M,v) ,r'.......,.CXl ,cf. satz 5,§2.

S

est l'intersection des

et de son image: ceci resulte du

On aurait pu evidemment citer Ie dernier result at de l'article de GRAUERT, qui permet de conclure en sachant seulement que la matriee d'intersection est negative non degeneree, mais eela serait un peu ridicule puisque la preuve consiste

a fabriquer

une fonction ayant les proprietees de l/YlY2

Corollaire 2.10. 11 existe un espace analytique normal

X'(M,V) ,un morphisme

(1) et un point n dehors de

x E X'(M,V) x

et

tels que

G-l(x)

S .En outre la fibre

=S

et

G-l(x)

G est un isomorphisme est reduite.

30

11 reste 11 demontrer que la fibre

G-l(x)

est reduite ,ce q-ue prouve

la derniere assertion de la proposition que voici. Pro osition 2.11. L'anneau local

A=OX'(M,V),x

l'anneau des

series de Fourier H(z) = ou

>

m 'E M*

2

z E H

+ H(m)exp(2 rr i(m,z))

,

est l'ensemble des elements totalement positifs du dual

M pour La forme

Tr(:xy) ,series dont le domaine de convergence contient 2

un ouvert

w= {z E H t

(2 )

H(em)

ou

,

Y1Y2 > t} et dont les coefficients satisfont 11

= H(m) ,

est le generateur du sous-groupe

e

M· de

V

.Parmi ces series, on

ales h

our

k

\:

de

de

S.

E

= exp(2 11 i(enm,z)) m n E LZ ,la serie h(k) =hm ou

LZ

X(M,V)

11 UkVkH

,ou

mE M'1f" -1 , Q.!l.....£

(2) (3)

Soit

la forme differentielle rationnelle sur

L'espace vectoriel

a pour elements les

soit reguliere sur

ou

D

est l' image par

est aussi l'image par

o

« "J

2

de (2.7.2).

telles que

, ce qui signifie que

.. V

rr: V .. V

V

de

du di viseur d' equation

XY = 0 , qui

SO+SN+l . L'image reciproque par

48

E

div(a)

cp(a)/XY

e.Aa S.

est reguliere signifie que

a , on trouve les drent

et tous les

u.v.

= WV

O'OV(-SO-Sl-"'-SN+1)

WV.

est egal a comme

W

v

'

sont

car dire que

)0

fAa

et

e/va

4 N+1

, 14 i

e.Aa

sont

D'ou un morphisme compose

*

W

v

"*(wv)

et

est reflexif, on en tire que ce morphisme est un isomorphisme,

est une base de

n

r)1 -1

modulo

pear

et pour une valeur de

0 mod. p • On vient de la prouver pour

Supposons-la vraie pour

Vest rationnelle.

lequel est done inversible. 11 suffit

done de prouver (2) pour chaque

w" {n-eL)

engen-

rr * (wV)/torsion

ce qui signifie que

Le premier membre de (2) ne depend que de

n+r

aO'

, ce qui prouve que les

ce qui prouve (1). Ceci prouve que la singularite de

que

) 0 . Parmi les

(r,n)

r = -1

et prouvons-la pour * (OV(rC)))

=

et

n n

telle 1

(r+l,n-l). On a

rr* (H0!!.'V("*

'OV(rC))

"*(OV«r+l)C))) , ce qui prouve (2), d'ou l'on tire (3) par (2.3 (2)).

a donner

REMARQUE 2.7.5. 11 reste pour chaque valeur de

(p,q)

(3). Plus generalement, si

un procede permettant de calculer,

le terme

e(R

E

D

=

diS

l"*(ov(rc))

i,

qui figure dans

on sait que

=

e(HO(V'OV(-D-C+mS))/HO(V'OV(-D-C))) ,ou

m

est un entier naturel assez

grand. Ce dernier nombre s'interprete comme le cardinal de l'ensemble des points de

zf

qui satisfont

a

un certain nombre d'inegalites lineaires

parce que dent aux

a pour base les monomes qui correspona E 7l

tels que

d i.v I a ) +E biS

)/0 , c'est-a-dire, d'apres i (2.7.3 (23)), e.Aa+b.}O • De ce point de vue, la formule (2.7.4 (3))

n'est pas tres commode et les tables ci-dessous ont ete etablies en procedant comme suit. La fonction Pic(V-{x})

=

Pic(V)/E

SO'Sl'" "SN+l

dx(L)

On sait que

est une fonction sur le groupe

Pic(V)

est engendre par

et les formules de (2.7.3 (24) ) montrent qu'il est

49

engendre par par

S2, ••• ,SN+1' d'ou l'on tire que

SN+1' done aussi, parsymetrie, par

trent d'ailleurs que, dans

est engendre

So. Les memes formules mon-

Pie(V-{x}) , on a

°

(1) ou

Pie(V-{x})

So

sont les images par

et

1T: V ... V

de

et

SN+1 . De

plus, on a vu que (2 )

Enfin, la formule (2.6 (10)) montre que 1

(3 )

2(kS o,kS O- C) + e(1T*(okS )/OkS')

°

°

-k(kq+p-q-l)/2p + e(1T*(okS )/OkS') Puisque (4)

kS O

°

est eontenu dans l'ouvert affine

e(1T*(OkS )/okS')

°

°

=

°

°

VI ' on a

°

°

e(H (V 1'OV )/(H (V,OV) + H (V 1'OV (-kS O)))) 1

1

et Le second membre de (4) est Ie cardinal de I' ensemble des

a E

i2

tels

que fAa

( 5)

Voiei done les valeurs de la fonction

0

, et

59 1. ENONcE DU THEOREME DE RELEvEMENT Dans ce numero, X o

designe une surface K3 sur

k .

PROPOSITION 1.1 a) La suite spectrale de Hodge

en h

matrice des nombres de Hodge

E1 '

i j

o

/k)

°20

1

° T = T /k = X

(o;c

0

Hi(X ,T) = 0 0

si

°

°

1

b) Soit

1

o/k

1

)V

1e fibre tangent

, et

i=O ou 2

= 20

a x0

On a

.

c) Les W-modules de cohomologie cristalline libres, de rang

1,0,22,0,1

pour

D'apres (14], HO(X ,T) o

i

0,1,2,3,4.

0 . Par definition d'une surface K3 ,

est trivial, donc on a (1.1.1)

TX /k o

et par suite

o n1 H (Xo'--X /k) = o

Serre. D'autre part, on a

° , donc

1(X H ,0) o -

/k ' 0

2 H (X

°

et

1 0

0

/k) =

2(X H ,0) 0

d'une surface K3 • Le tableau des nombres de Hodge (i,j)

I

°

par dua Li t e de k

-

h

i j

par definition , pour

(1,1) , est donc celui donne en 1.1 a). II en resulte que la

suite spectrale de Hodge degenere en

E Rappelons par ailleurs 1.

(SGA 5 VII 4.11) que

et que

c

2

= 24

par Riemann-Roch. Donc

h 11 = 20 , d ' ou b), compte tenu

de 1.1.1. II resulte de a) que les espaces

sont de dimension

60

1,0,22,0,1

pour

i

0,1,2,3,4. L'assertion c) en decoule grace

a

la

suite exacte "des coefficients universe1s" [2, VII 1.1.11J

COROLLAIRE 1.2. La variete formelle verselle de

X o

S

des deformations

sur les W-algebres artiniennes locales de corps residuel

k

[15] est universelle, et formellement lisse de dimension 20 , i.e. W-isomorphe

a

Spf(W[[

C'est une consequence immediate de 1.1 b). Dans la suite de ce numero, on notera (1. 3) la deformation universelle de 1.4. Soit

L

X o

A associant

k

S .

un faisceau inversible sur

o

le foncteur sur la corps residuel

sur

a

X

0

. Notons

chaque objet

A

de

A

(done lisse)

et d'un prolongement de

faisceau inversible teur associant

a

sur

L

chaque

X

A E Ob A

0

0

l'ensemble des

(X,L)

A

--

des W-algebres artiniennes locales de

classes d'isomorphie de couples sur

Def(X ,L )

formes d'une deformation plate

Notons d'autre part

L

o Def(X ) -0

en un le fonc-

l' ensemble des classes d' isomorphie

de deformations plates de (pro-)represente par de

X sur A: d'apres 1.2, ce foncteur est o S • On a un morphisme "oubli du prolongement

L

o

(1.4.1)

Def(X ,L ) --00

PROPOSITION 1.5. Le foncteur

Def(X ) • --0

Def(Xo,L

est pro-representable, o) et le morphisme 1.4.1 est une immersion fermee, definie par une eguation. La premiere assertion signifie qu'il existe un plus grand sousschema formel ferme (1.5.0)

61

tel que

se prolonge en un faisceau inver sible au-dessus de o x Xs L: (L ) , et que ce prolongement est unique. -

L

0

On veri fie aisement que Ie foncteur

Def(X ,L ) --

0

0

satisfait aux

conditions de Schlessinger d'existence d'une enveloppe. On dispose donc d'un schema formel

S'

Spf(R'), ou

noetherienne complete de corps residuel (x: ,L')

de

(Xo,L

sur

o)

S'

R'

est une W-algebre locale

k , et d'une deformation

telle que, pour tout

AE Ob A , la

fleche associee (1.5.1)

o . Soit

soit surjective, et bijective pour S • Cornrne

de

u: R ... R'

(1.5.2) soit

S

pro-represente

Def(X ) , X' --

R

l'anneau

definit un homomorphisme

0

tel que Ie compose Hom(R' ,A)

Def(X ,L ) (A) --

0

Def(X ) (A) = Hom(R,A)

0

--

0

Hom(u,A). Pour etablir la premiere assertion de 1.5, il suffit

donc de prouver que

u

est surjectif, car alors 1.5.2 sera injectif,

donc 1.5.1 bijectif. D'apres un lernrne bien connu [15,1.1], il revient au meme de prouver que, si (resp. R'), l' application

m

(resp. m')

est l'ideal maximal de

m/pR + m2 ... m' /pR' + m' 2

induite par

surjective, ou encore que l'application lineaire tangente

a

a

R

u

est

l'origine

1.4.1,

(1.5.3 )

Hom(u,k[e]) : Def(X ,L )(k[e]) .. Def(X )(k[e])

est injective. Soit

--00

T'

deformation triviale de

Ie faisceau sur (Xo,L o)

--0

X o

des automorphismes de la

au-des sus de

k[s]. On a une suite

exacte ( 1.5.4)

o ...

Xo

...

T' .. T .. 0

L0 ' T -- TX etant cons Ld ere cornrne o faisceau des automorphismes de la deformation triviale de X au-des sus o

ou

T'" Test d e f i.n i, par oubli de

de

k[e] • II est standard que 1.5.3 s'identifie canoniquement

a

la

62

deduite de

T'

T . Comme

4

la suite exacte de cohomologie de 1.5.4 montre done que 1.5.3 est injective. II reste

a

prouver que l'immersion fermee

nie par une seule equation, i.e. que l'ideal Pour ce l.a , cons Lde rons

S" = Spf(R/mI)

dans

S, d'ideal de carre nul

ceau

L'

Ilml ou

I/ml. L'obstruction

r e Leve

est defi-

est monogene.

xx - S

a

S'

etendre Ie fais-

est un element

S"

0 IlmI , qu' on regardera comme un element de

H2 (X ,'S). Soit

par Le choix d ' une base de f EI

I=Ker(u)

S

; c ' est un epaississement de

defini plus haut au-des sus de

2 2 a E H (X ,1/mI) = H (X o 0

S'

a . On a done

o

S' c I: c S" c S , et par construction

(et fonctoriali te de l' obstruction), L' la p ropr-Le t e universelle de Done, par Nakayama, f

S'

engendre

I: = Spf( R/mI + (f)) ,

a

se prolonge

X

s

I: • Mais

S' = I: , L, e. mI + (f)

entraine que

I.

I , ce qui acheve la demonstration.

Nous pouvons maintenant enoncer Ie resultat principal de l'expose ,

.

THEOREME 1.6. So it,

L

un faisceau inversible non trivial sur

o

Def(X ,L ) , est plat sur --

0

0

En d'autres termes, si (1.5), P

ne divise pas

pas la reduction au-dessus de

so

W, de dimension relative 19. dans

f e s t une equation de

S mod p , i.e. que

L

o

S

ne contient

f . Cela signifie encore que

de

ne peut se prolonger

Xs So

La demonstration de 1.6 sera donnee au n02 . Nous terminerons ce numero par quelques consequences de 1.6. COROLLAIRE 1.7. Soit X o

II existe un trait

un schema formel

X

faisceau inversible

L

T

un faisceau inversible non trivial sur o fini sur W, une deformation de X o

plat sur L

T, et un prolongement de X

o

I:(L ) , prorepreo

Alors, avec les notations de 1.5, Ie schema formel sentant

X

L o

63

II s'agit de prouver qu'il existe un W-morphisme T

est un trait fini sur

l'anneau

R'

de

L(L

W • Comme

p

quasi-fini sur

R'

, il existe (EGA 0IV 16.4.1) des elements

o)

(done

n=19). Le quotient

W, done fini sur

W-homomorphisme local de complet repond

C

a

fini sur

L(L , ou o}

est non diviseur de zero dans

formant avec parametres de

T

B

p

un systeme de

B=R'/(x

1,

... ,x

est

n}

W . II existe par suite un

dans un anneau de valuation discrete

W, et l'homomorphisme compose

R'

B

C

la question.

Appliquant Ie theoreme d'algebrisation de Grothendieck (EGA III 5.4.5), on deduit de 1.7 Ie theoreme de relevement annonce : COROLLAIRE 1.8. Soit II existe un trait

T

L

o fini sur

schema propre et lisse

un faisceau inversible ample sur

X

W, une deformation de T, et un prolongement de

faisceau inversible ample

L

un schema propre et lisse sur k

X o L

o

X.

REMARQUE 1.9. On ignore si toute surface K3 sur

surface K3 sur

Xo

k

se releve en

W . Ogus [13, §2] montre que: a) toute

se reI eve sur

W sauf peut-etre dans Ie caS

"superspecial", non elliptique, qui en fait n'existe pas si lion admet la conjecture d' Artin [1] : b) si releve sur ou

p = 2

p> 2 , toute surface K3 sur

k

se

W[rPJ. Pour I 'instant donc, seul Ie cas particulier de 1.8 et

X est s upe r apec La Le n' est pas abso rbe par ces resultats. o Signalons d'autre part que l'article d'Ogus precite contient des comL(L } , cf. aussi l'expose o

plements interessants sur la structure de suivant pour Ie cas ou

X o

COROLLAIRE 1.10. Si sur leguel la surface

X

de faeon semi-simple sur

est ordinaire. k

o

est la cloture algebrigue d'un corps fini est definie, Ie Frobenius correspondant agit (

premier

I pl.

64

Cela resulte de [5] ; avec les notations de 1.8, la fibre generique de

X

est une surface K3 (Ie fait pour une surface d'etre une

surface K3 est stable par generisation, car il s'exprime par algebriquement equivalent

a

x(

zero et

= 2 " ), donc

X

o

uK

veri fie

l'hypothese de [5, 1.2] ; la conclusion decoule de [5, 6.6J et du fait que l'action de Frobenius sur Ie

HI

-adique

d'une variete abelienne

sur un corps fini est semi-simple ([16J, [11, p. 203J). Noter que 1.10 est en realite independant du fait que

o H (X ,T

o

)

X0

=

0

car s'il existait sur

X

o

un champ de vecteurs non nul,

X serait unirationnelle d'apres [14J, et la conclusion de 1.10 serait o encore vraie (argument de trace).

2. COHOMOLOGIE DE DE RHAM DE

ET DEMONSTRATION DE 1.6

On conserve les notations du n° 1 ; X o et

est une surface K3 sur

k,

designe sa W-deformation universelle (1.3). Le lecteur familier

avec la cohomologie de de Rham est invite

a

sauter les numeros 2.1

a

2.10, qui ne font que rappeler des faits standard concernant la connexion de Gauss-Manin, la filtration de Hodge, l'operation de Frobenius, et la classe de Chern d'un faisceau inversible. 2.1. Notons

Ie complexe de de Rham du schema formel relatif est la limite projective des modules de

(par differentielles habituels infinitesimaux de

Spec(k)

o5c X S

dans

S'

Is'

, au

S). Soit

Par definition, la cohomologie de de Rham de

S' f; X

parcourt les voisinages ..y

S

la projection.

est formee des

(2.1.1) tandis que la cohomologie de Hodge de (2.1.2)

est formee des

$s-modules

65

Comme les

sont localement libres de type fini. les 2.1.1 et 2.1.2 sont coherents en vertu du theoreme de fini-

tude de Grothendieck (EGA III 3.4.2). On a d'autre part la suite spec­ trale habituelle ("suite spectrale de Hodge") (2.1.3) PROPOSITION 2.2 a) La suite spectrale 2.1.3 degenere en

E1; les

sont libres de type fini. et les fleches cano­ nigues i

b) Les

o

/k)

sont des isomorphismes. sont libres de type fini, et

les fleches canonigues

sont des isomorphismes.

c) Le cup­produit

est une dualite parfaite. Comme Ie tableau des nombres de Hodge de

Xo/k

est "entrelarde de

zeros" (1.1 a)). Ie critere usuel (EGA III 7.5.4). applique aUx foncteurs cohomologiques

i

M I­> H·

0 f *M) • entraine aus s i.t.St; la seconde

assertion de a) ; la premiere en resulte. L'assertion b) decoule de a). et implique c), par la dualite de Poincare pour 2.3. Notons "formelles" de

0S/W

Ie complexe de de Rham des differentielles

S/W:

AiO;/W. et

modules de differentielles completes tion

mod pn+1

si

de

limite projective des

1

Os /W • ou Sn/Wn est la reduc­ n n S/W, est libre sur de base dt •.••• dt • 1 20 sont munis d'une connexion

integrable canonique. la connexion de Gauss­Manin. (2.3.1)

\l

:

Hi (Xis) ... 0 1 0 Hi (X/S) S/W -""DR-

-""DR -

La definition la plus simple de 2.3.1 consiste truction de Katz­ada [

J,

a

paraphraser la cons-

en partant de l'extension canonique

66

(2.3.0)

au

1

est le module des differentielles complete. On peut aussi

utiliser le fait que (!l-modules

est la valeur en

sur le site cristallin de

=

S /W :

o

i i HDR(X s) i R (f)

(2.3.2)

-

.

0

!W)(S) -0

au et

(fo)cris:

d'un cristal en

S

est le morphisme correspondant

(So/W)cris

des sites cristallins: il s'agit 10

, et

W

designe un corps algebriquement clos de

I' anneau des vecteurs de Witt sur

(*) Equipe de Recherche Associee au C.N.R.S. nO 653

k .

81

O. INTRODUCTION X /k o

Soit

une courbe elliptique ordinaire. D'apres la theorie

de Serre-Tate [14, V), la variete modulaire formelle

M des deforma-

tions de

X sur les W-algebres artiniennes locales de corps resio duel k est isomorphe au groupe mUltiplicatif formel Plus m pr-ec.i.s emerrt , Le groupe p-divisible G = UKer(pn : est isomorphe o

a

p

p

etale de

p

00

Go

W-algebre

'

et

R

0

et Ie choix d'un isomorphisme

entre la partie

n

permet d'identifier canoniquement, pour toute

artinienne locale de corps residuel

k , l'ensemble des

X sur R au groupe /z o p p tour isomorphe canoniquement au groupe des unites de relevements de

oo)R) , a son p R congrues a 1

modulo l'ideal maximal: on obtient donc ainsi un isomorphisme (ne dependant que de mation universelle que"

q

entre

0')

X

00

p

'

sur

X

M , telle que

sur

qui decrit Ie groupe

0

M"" Spf W[ [q-1] ] . De ce parametre

p-divisible

G

associe

a

X

q ,

cornrne extension de

on peut donner une autre interpretation, en termes

du module

, muni de sa structure de

filtration de Hodge 0'

de

) , et en particulier la deformW M definit une "coordonnee canoni-

M et

F-cristal

et de sa

,nl I Ho(X'-X/M) C HDR(X/M). La donnee d'un isomorphisme

cornrne ci-dessus fournit en effet par dualite un isomorphisme

entre Ie groupe forme I (6;)M , d'ou une forme forme invariante sur

associe bE Ho (X, (G;)M

.

/M)

Soit

a

X

0"

et Ie groupe formel

, correspondant par

a E

1

(x'

tel que va

a

la

o et (a,b)

(a,a) = 0

soit une base syrnplectique de

HDR(X/M) r Le. (a,b) = 1

v :

de s i qne la connexion de Gauss-Manin,

...

r

Si

on a necessairement

avec

'!]

1

E Dk/W

• On peut montrer (voir Appendice et Expose suivant, par

N. Katz) que l'on a (0.2)

'!]

= d log q ,

82 ou

q

est Ie parametre defini plus haut, qui se trouve done colncider

avec celui defini independamment par Dwork ([8], [6J) a l'aide de (0.2). La base

(a,b)

ci-dessus jouit par ailleurs de proprietes

remarquables vis-a-vis de l'operation de Frobenius si l'on choisit comme endomorphisme de M® k

celui donne par

q

H>

M

qP , alors Fa

(0.3 )

=a

F

, Fb

F

sur

relevant Ie Frobenius de s' exprime par

= pb

.

Les constructions precedentes se generalisent aux varietes abeliennes

[8J, voir aussi [9J, [llJ pour des applications arithmeti-

ordinaires

ques dans Ie cas des courbes elliptiques. L'objet de l'expose est de montrer qu'on peut developper une pi 2

theorie analogue pour les surfaces K3 ordinaires, du moins si Soit

X

o

2 H ( X ' G) o

/k

une surface K3 ordinaire, i.e. telle que Ie Frobenius de soit non nul, et soit

deformations de residuel

k

X o

sur les

(IV 1.2). Si

p

S

la variete modulaire formelle des

W-algebres

12 ,

artiniennes locales de corps

on prouve que

S

estI munie canoni-

quement d'une structure de groupe forme1, isomorphe a particulier, la deformation universelle des "ooordonne ee canoniques" S

qi

(1

i

X

:

E A*

et

(a',(bi),c')

H = H EB HI EB H

et que 2 o 13 = (13 .. ) E GL(20,A) tels que =::

I

Grace a 2.1.9, notons e = e 'V'a=\7a' =0 , on a ep'

W

(M 0 k ) (a)

W

UNIQUENESS LEMMA AI.I.(I) Given

as above, there exists at

most one structure of commutative formal Lie group over M

Spf(A)

of formal Lie varieties

Frob : M 0 k

Lie variety

=

M be a

for which the given map

q,: M _

morphism. (2) If this structure exists, it makes formal group, and the given

M __ M(o )

phism lifting Frobenius. (3) If

M(a) M

W on the formal is a group homo-

into a toroidal

is the unigue group homomorand

both admit group

structures as in (2) above, then a morphism

of formal Lie varieties over the diagram

commutes.

W is a group homomorphism if and only if

129

PROOF. We begin by proving (2). Thus let commutative formal Lie group over

G

be a finite-dimensional

W, together with a homomorphism

which lifts Frobenius. We must show that

G

is toroidal, and that

is unique. By the rigidity of toroidal groups, it suffices to show that G®k

is toroidal, and for this it suffices to show that

toroidal. For this, we first observe that

41: G

--'l>'

Ker(Frob)

G(O')

is

is finite

(because it is finite modulo p , being a lifting of Probenius) and flat (because it is a finite morphism between regular local rings of the same dimension). Therefore over

is a finite flat commutative group-scheme

W whose reduction

if we denote by

N

then the lifting

mod p

is

Ker(Frob). According to Fontaine,

the contravariant Dieudonne module of

Ker(41)

is described by a

W-submodule

Ker(Frob), LeN

which

satisfies

But

N

a)

L/pL

r--',

b)

VIL

is injective.

is killed by

a) implies that

N/FN

F, and is of finite length over

L = N , and b) then shows that

hence bijective on

N

Therefore

Ker(Frob)

We next prove (3). By extending scalars k

algebraically closed. Then

of

M l

and

V

is injective, and

is toroidal, as required.

W(k) M 2

W • Therefore

, we may suppose

become isomorphic to products

and our commutative diagram - in the category of formal Lie

varieties - becomes

(6 ) n l m

(G ) n 2

f

m

lp

(6 ) n l m If

f

lp f(O')

is a group homomorphism, then

n

) (0; ) 2 m

f= f(O') , and the diagram commutes.

To prove the converse, we argue as follows.

h.

A

In terms of "multiplicative" coordinates

T

on

m

)

r

i = 1, 2

r

our

130

hypothesis on

f

is (f(T»P, f(l) - 1 mod p •

Iterating, we find n

(f(T)

)p

so in particular (f(l»P Therefore

n

as

n ....

00

•

f (1) = 1 • Now take logarithms, .i , e. let

W)

be the unique pointed morphism (over the fraction field of F(log T)

loge f(T»

for which

;

then we have F(O") (pX) Therefore

F

pF(X) .

=

is linear, and has coefficients in

iDp

.

As these coeffi-

cients are intrinsically the matrix entries of the tangent map of the origin, they lie in coefficients in

p

Wn

W

as well, hence

iD

• Therefore

p

at

is a linear map with

F

f(T)

f

=

exp(F(log

T»

is a

homomorphism. Finally, we obtain (1) as the special case f= id , of (3).

Q.E.D.

COROLLARY Al.2. Suppose that

k

is algebraically closed, and that

admits a group structure as above. Then

(1) The character group

X(M) = Hom., (M,6) w-gp m

is a free

n = dim M , and the natural map (of functors in M

(X(M) '@m)

1----+

p

is an isomorphism.

p

'ilf -module

p

-modules)

of

131

(2) Let q

=1

q

be a function on

M

(Le. q E A

modulo the maximal ideal of

w

Then

W

q E X(M}

A. Then

be a (continuous) one-form on

== dq/q

M == Spf(A)}

with

if and only if

EY.

transforms under

(3) Let

where

with

q E X(M} == Hom(M,G )

.e.

wE "'A/W ) cantin

if and only if

m

1.f w satisfies this, the associated

'

A ,

q E X(M)

is unique

it is given

by the formula

x

q(X) == exp( (4)

'1' E A

for some

If

'1'

0

w

(w[1/p])

q E X(M)

o

w)

0 == the origin in

,

M t&> WLl/p]

be a function on

M. log(q)

W

if and only if

'1'

satisfies

satisfies this, then the associated

q

is unigue

it is given by

the formula q == exp( '1') • (5) Let

ql, •.• ,qn

be

n

corresponding differentials

dim M elements of dqi/qi

W,

ding "functions with denomi'nators"

'1',

and

X(M), w1"",wn '1'1' .•. ,'1'n

form a

base of

X(M)

b) the natural map

is an isomorphism c) wI"'" wn

form an

A-base

the correspon-

log qi . Then the following

conditions are equivalent a) ql, •.• ,qn

the

(01

)contin

A/w

132

form a

7Ip -base --

of

{wE nIl c]?*(w(O'))

of p --,:b",a,-,s::..::e::....-...:::.;::..

fo rm a

7I

{'l' E A0W[1/p] PROOF. Because

I

'1'(0)

M is toroidal, and

is (non-canonically) isomorphic to

is algebraically closed, M

k

This makes (1) obvious.

m

Assertion (2) is a particular case of part (3) of the uniqueness lemma, namely

M

M, M = 1 0

"

:

F(A/IA) ... F(A}

R-algebras

tative group-schemes over EXAMPLE 1.3.2. Let

V

A

and in variable finite flat commu-

R. This example is due to Drinfeld [2J.

X

be any

R-scheme, and

G

any smooth commu-

R, or any finite flat commutative group-scheme

be an integer, and consider the functor on

R-algebras

defined as = H1 f (X0A,G) f" .p.p.. R Using the

"Nv"-homomorphism

already constructed for

G, we deduce by

functoriality the required homomorphism

functorial in variable If we take 2

(A) =

A, G , and

G=Sm' we have A), •••

X

in an obvious sense. ,

148

2. SERRE-TATE MODULI FOR ORDINARY ABELIAN VARIETIES 2.0. Fix an algebraically closed field

k

of characteristic

p

>0

•

We will be concerned with the infinitesimal deformation theory of an ordinary abelian variety

A

over

k. Let

At

be the dual abelian

variety; it too is ordinary, because it is isogenous to We denote by and

At

T A(k)

T At (k )

r

P

P

respectively. Because

A

A

the "physical" Tate modules of and

At

are ordinary, these Tate

-modules of rank g = dim A = dim At • P Consider now an artin local ring R with residue field

modules are free

'l.{

an abelian scheme isomorphism

A@ k R

A

over

..::+ A).

R

which lifts

A/k

k, and

(i.e. we are given an

Following a construction due do Serre-Tate, we

attach to such a lifting a

'l.{

p

-bilinear

q(A/R;-,-)

form

q(A/R;-,-) : T A(k) X T At (k ) .... p p

Gm (R)

This bilinear form, which if expressed in terms of and of

A

would amount to specifying

is the complete invariant of

g

2

'" 1+1n. • '7.{

p

-bases

of

T A(k) p

principal units in

R ,

AIR , up to isomorphism, as a lifting of

A/k . The precise theorem of Serre-Tate is the following, in the case of ordinary abelian varieties. THEOREM 2.1. Let braically closed field

A k

be an ordinary abelian variety over an algeof characteristic

local ring with residue field

p

>0

, and

R

an artin

k .

1) The construction t IA/R ... q (IA/R; - , -) E Hom'l.{ (T A( k ) ® T A (k}, 6 (R» p ppm

establishes a bijection between the set of isomorphism classes of liftings of

A/k

to

R

and the group

2) If we denote by

t

Hom'l.{ (T A(k) ® T A (k ) ,6 (R». p ppm

mA/ k

the formal moduli space of

the above construction for variable artin local rings field

k

defines an isomorphism of functors

R

A/k,

with residue

149

t HOm:iE (T A(k) 09 T A (k),4; ) • P ppm

7JlA/ k

3) Given a lifting

of

A/k, denote by

abelian scheme, which is a lifting of fication of

A

At/k . With the canonical identi-

tt A , we have the symmetry formula

with

t

=

for any

Q!E T A(k)

P

,

Of

t

E T At(k)

At f

.

P

k, and liftings

that

Let

, a/R

f: A ... B

A, B

be a homomorphi sm, and

the dual homomorphism. The necessary and sufficient condition

lift to a homomorphism q

for every

/R;aea)

Suppose we are given two ordinary abelian varieties

4)

t ft : B

the dual

Ci

E T A(k) p

arft

... a

:II:

t) )

and every

t

=

is that

q (a/R; f ( o ) , t)

E T Bt(k) p

(N.B. If the lifting

:II

exists, it is unigue). CONSTRUCTION-PROOF. By the "general" Serre-Tate theorem, the functor {

a b e l i a n SChemes} over R A/R

{abelian schemes over k together } with liftings of their p-divisible groups to R ....

R

is an equivalence of categories. Thus if we are given lifting of of

A/k

A/k, it is equivalent to "know"

or to know its

A[p""]. Because

A/k

p-divisible

is ordinary, its

group

AlP""]

p-divisible

as a as a lifting

group is canoni-

cally a product

AX

T A (k ) 09

P

'Z{

P

P

/7£ ) P

of its toroidal formal group and its constant etale quotient. Similarly for

At. The

en-pairings p

(cf. chapter 5 for a detailed discussion)

en: A[pn] X At[pn] ... p

IJ,J.

p

n

150

restrict to give pairings e p

n

: i[pn] X At(k} [pnJ

which define isomorphisms of

I-L p

n

k-group-schemes

i[pn] .::.... HomZ(At(k} [pn],1-L n) p

,

and, by passage to the limit, an isomorphism of formal groups over A

k

t Hom.". (T A (k},(J; ) ""p p m A

We denote by

sm the corresponding pairing. Because

R

is artinian, the p-divisible group of A

has a canonical

structure of extension

of the constant

p-divisible

group

T A(k} 0 /76) by lA, which is p p P the unique toroidal formal group over R lifting i . Because IA and the

A[pnJ's

are toroidal, the isomorphisms of

extend uniquely to isomorphisms of

k-groups

R-groups

We denote by

the corresponding pairings. A straightforward our extension

Ext

calculation (cf. [9J, Appendix) shows that

151

0 .... fA .... 1A[pooJ ... T A(k)0 (q)

p

p

p

) .... 0

is obtained from the "basic" extension

o ..

T A (k ) .... T A(k) 0 ID

p

p

p

.. T A (k ) 0 (111 /7 ) .. 0

p

p

p

by "pushing out" along a unique homomorphism T A(k) p A

1

t+lll./ R

A(R)

This homomorphism may be recovered from the extension

as follows. Pick an integer

n

sUfficiently large that the maximal ideal

R satisfies

of

Because

p E """ , and

is killed by

IA p

n

is a formal Lie group over

R, every element of

Therefore we can define a group homomorphism It

p

nit

: A(k) .. A(R)

by decreeing

x

E A(k) .... pnx

for any

x E A(R)

lifting

A

If we restrict this homomorphism to n

For variable

n

I

p

nil

: A(k) [p

A(R)

nJ

A

.. A(R)

we have an obvious commutative diagram

so in fact we obtain a single homomorphism T A(k) ... fA(R)

p

x.

152

as the composite nil

II

T A(k) p for any

A(k)[pnJ

-lI+

p

,o;,.(R)

n >>0 • This homomorphism is the required

We are now ready to define

CPIA/R'

q{IA/R;-,-). We simply view

CPIA/R

as a

homomorphism T A(k) -+

p

,

'\'"

idR) the pairing

"'-l

t Hom(T A (k),@ (R)) , P m

or, what is the same, as the bilinear form q(1A / R;at.'O't)

dfn

=

We summarize the preceding constructions in a diagram :

{

i s omo r p h i s m classes Of} IA/R

lifting

Ext

Serre-Tate ) 1.A[p J/R

A/k

R-gp

classes } lifting A(p ]/k

(T A( k ) m

,

(1.4.2)

pour

i

m+l

F-1

0

• Pour

est un epimorphis-

en est un pour la topologie etale, d'ou l'assertion (i).

Le meme diagramrne nous fournit alors Ie diagramrne exact

qui definit

et montre sa surjectivite.

L'homomorphisme

jouera Ie role d'un morphisme trace en coho-

mologie fppf. Remargues. (i) D'apres (1.9.1), la donnee de

a

la donnee d'un morphisme dans la categorie derivee

(1.9.3) On observera que Ie diagramrne

est equivalente

218

W (Og)[ -rn] n

R1T

!

(1.9.4)

ou les fleches verticales sont definies par les suites exactes 0 .... v (m ) ... W

n

n

dUx

W .oID/d(W an-I) .... 0 ,

est commutatif. En effet, Ie carre commutatif

F-Il - - Wn ((!}S)

R1T

etant donne, il existe entre les cones des fleches verticales un morphisme

'll'

n

donnant un morphisme de triangles

Comme Ie morphisme induit par

'll' n

et qu'il est necessairement egal

a

'1

,

n

(ii) La multiplication par wnOi ....

determine

sur

p

on a

'1' = '1 n n

induit un homomorphisme

, d'ou un homomorphisme p: "n(q) .... "n+l (q) •

II est clair d'apres la definition des

'In

que Ie diagramme

'll' n

'

219

est commutatif. (iii) On peut montrer [13, lemme 3.8 (a)] que les homomorphismes

sont des epimorphismes.

220 II -

LA CATEGORIE DES SCHEMAS EN GROUPES PARFAITS COMMUTATIFS 11 s'agit maintenant d'introduire une categorie de faisceaux sur

le site parfait de

S, contenant les images directes superieures des

faisceaux

n ' et possedant une autodualite naturelle. Cette catep gorie nous est fournie par la notion de schema en groupes parfait cornrnutatif algebrique (groupe quasi­algebrique au sens de Serre

[14, 1.2]). 2.1. Soient

parfait de

S

k

un corps parfait, S

(defini en 1.5), SEt

Pour tout faisceau etale E

a

S parf ' Si

E

represente par Ie

E

sur

=

Sparf

r

le topos

le (gros) topos etale de

S, on note

est represente par un

S­scherna

Spec(k)

xP f

parfait

EP f

la restriction de ,EP f

S­schema

x

a

X

associe

S.

est

rappelons

que celui­ci est la limite projective du systeme F ....

Le foncteur

EH EP f

poa s ed e un adjoint

ceau associe au prefaisceau

O'S(E')

O'S(E')(V)

a

gauche

dans un

S­schema

parfait

r

fais­

defini par =

V4U

E'(U) ,

la limite inductive etant indexee par 1 'ensemble des V

..­

E't­?O'S(E')

S­morphismes

U. 11 est facile de verifier que

commute aux limites projectives finies, de sorte que ce couple de foncteurs ad joints definit un morphisme de topos

pour lequel

EP f

de

..O's

221

2.2. Un

S-schema

XP f , ou

forme

X

parfait sera dit algebrigue s'il est de la

est un schema de type fini sur

k . On obtient

ainsi en particulier la notion de schema en groupes parfait algebrigue sur

S • Cornrne

F

est un epimorphisme sur tout schema reduit, on

voit que tout morphisme provient par passage de

a

ou

Y

est algebrique sur

la cloture parfaite d'un morphisme

x(p

k, -n

k-schemas. On en deduit facilement les proprietes suivantes : a) la categorie des schemas en groupes parfaits algebriques

cornrnutatifs est abelienne b) toute extension de schemas en groupes parfaits algebriS

ques dans

parf

est un schema en groupes parfait algebrique.

LEMME 2.3. Soi t fppf

de

S

S : S fppf

SEt

vers Ie topos etale de

affine cornrnutatif

G

Ie morphisme canonigue du topos

S. Pour tout groupe algebrigue

k ,

= GP f . Pour calculer les images

Par definition,

directes superieures, observons d'abord que, tout recouvrement etale d'un schema parfait etant parfait, Cl's* Si

G

est lisse,

=0

est exact.

pour

i

1

d t ap r e s Le theoreme de

Grothendieck [10, 11. 7]

Ie Lemme est done clair si

7I'/p • Si

on peut calculer

G=

ou

a

p'

G = Sm ' 6

ou a en utilisant

les resolutions acycliques

o

--+I.L

p

o_ap Cornrne

F

est un isomorphisme sur

-6

--+6

m a

K.. 6

K..6

et

m a

_0,

_0.

SPf , on a donc a

o Le cas general resulte alors de ce que, localement pour Ia topologie etale, G

possede une suite de composition dont les quotients sont

222

a

isomorphes

tx

P

[8, IV §3 1.1, IV §3 6.9,

IV §1 1.4]. LEMME 2.4. Soient

G

un schema en groupes parfait algebrique

affine'90mmutatif et annule par une puissance de connexe, D = G/U . Alors

U

p, U

sa composante

possede une suite de composition dont les

quotients sont isomorphes au groupe additif

est un

D

groupe etale. C'est une consequence immediate du theoreme de structure des groupes algebriques affines, et de l'exactitude de

G

ne

pouvant posseder de facteur multiplicatif puisqu'annule par une puissance de

p.

Un tel groupe est donc en particulier unipotent.

On notera

q(pn)

la categorie des

S-groupes

parfaits algebriques

nOOn affines, commutatifs et annu Le s par p , 0 ". Lecture Notes in Math. 407, Springer Verlag (1974) . P. BERTHELOT, W. MESSING.- Theorie de Dieudonne cristalline I . Journees de Geometrie Algebrique de Rennes (1978), Asterisque nO 63.

[5]

S. BLOCH.- Algebraic K-theory and crystalline cohomology. Publ. Math. I.H.E.S. 47, p. 187-268 (1978). S. BLOCH.- Some formulas pertaining to the K-theory of commutative group schemes. Journal of Algebra 53, 304-326 (1978). L. BREEN.- Extensions du groupe additif sur Ie site parfait, Exp. VII de ce seminaire.

(8]

M. DEMAZURE, P. GABRIEL.- Groupes Algebrigues. North-Holland (1970) • A. GROTHENDIECK.- Elements de Geometrie Algebrigue. Publ. Math. I.H.E.S. 32 (1967).

[10]

A. GROTHENDIECK.- Le groupe de Brauer III, dans Dix exposes sur la cohomologie des schemas. North-Holland (1968).

[11] L. ILLUSIE.- Complexe de De Rham-Witt. Journees de Geometrie Algebrique de Rennes (1978), Asterisque nO 63. [12J L. ILLUSIE.- Complexe de De Rham-Witt et cohomologie cristalline. Ann. Scient. Ec. Norm. Sup. 4e serie, t. 12 (1979), p. 501 66L [13J J.S. MILNE.- Duality in the flat cohomoloqy of a surface. Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., 4e serie, t. 9, 171-202 (1976). [14] J.-P. SERRE.- Groupes pro-algebrigues. Publ. Math. I.H.E.S. 7, 1-67 (1960).

Universite de Rennes I Departement de Mathematique B.P. 25 A 35031 RENNES CEDEX (France)

EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF SUR LE SITE PARFAIT Par Lawrence BREEN

Expose VII

•

O. Introduction Les travaux de M. Artin et J. S. Milne sur le theoreme de dua1ite en cohomologie plate ([3], [16], et expo VI) font intervenir de maniere essentielle un theoreme d'annulation des gr0upes d'extensions de schemas en groupe

dont on donnera ici une demonstration.

Avant d'enoncer ce theoreme, introduisons 1a notation suivante sait

R un anne au parfait de caracteristique p

> O. et S par f le site dent la categorie sous-jacente est celle des S-schemas parfaits, munis de la topo1ogie etale. On note AbP (resp. VP) 1a

S = Spec (R)

sur

categorie des faisceaux en groupes abeliens (z-esp , en IF - vectoriels) p p dans AbP et vP designant la perrection). On ecrira indifreremment G pour l'objet de vP ou l'objet a de AbP represente par le groupe additif. On a done : sur Sparr (1 'indice superieur

(0.1)

pour tout objet T de Spar. f On se propose de demontrer le theoreme sui vant : Theoreme 0.1. (cf [3 1

theoreme 4.1 , [16] lemme 2.2, expo VI 2.5)

i ,. O. Ext i (G .G ) = O. VIi a a

pour tout

On verra que l'on commence 1a demonstration en se ramenant aux extensions correspondantes du groupe additif dans la categorie Y des faisceaux en

IF -vectoriels sur le grand site etale de tous les S-schep

mas (et non plus des S-schemas parfaits). A la difference de ce qui se passe dans yP , il n' est pas vrai que Ext i (G ,G ) = 0 pour tout i

>

a

(0 a

etant ici l'objet de

cependant que Hom..(G ,G ) s'identifie commutatifs

v

R[F]

a

a

v

a

V defini par

en une variable

a l'anneau F

a (0.1)). On sait

des polynomes non

qui correspond

• Laboratoire associe au C.N.R.S. nO 305.

a l'endomorphis-

239 me de Frobenius. Ainsi Ie produit de Yoneda de Exti(G ,G ) par a

a

Hom(G ,G ) (agissant a droite) derinit une structure de R[ F] -module a a . a gauche sur ExtJ.(G,G). La forme faible suivante du theoreme d'ana a nulation est tout ce qui reste valable dans V: Proposition 0.2.

Soit

i > O. Le R[ F]-module

Ext

nule par une puissance de F.

i v (Ga ,Ga )

i R[ F] -module de Ext (G ,G ) est entiev a a rement elucidee dans [ 5 1 theoreme 1.7 et la proposition 0.2 en En fait, la structure de

resulte par inspection. Malheureusement, il est necessaire, pour obtenir ce resultat, d'employer des methodes topologiques assez delicates. Il s' avere cependant que Le premier calcul effectue dans

[5 1 (§ 4 )

est de nature plus conceptuelle que les calculs ulterieurs : il consiste en l'etude de certaines operations cohomologiques dans un topos, et en la description d'une generalisation naturelle de l'algebre de Steenrod, mieux adaptee que celle-ci au Cadre des topos. Cette etude equivaut, au Langage pres, au calcul du

as.

droits de I' algetre symetrique.

Pri ddy

[ 18 1 des foncteurs derives

On trouve par ailleurs dans divers con-

textes des operations de Steenrod en cohomologie faisceau (voir notamment

a valeurs

dans un

[9], [4]). Ainsi est-illegitime de consi-

derer ce sujet comme etant relativement bien connu, et en tout cas de nature plus classique que la suite de

[5'], ou l'on s'ecarte de l'in-

tuition topologique. Ces considerations permettent de decrire de maniere plus precise le but de cet expose; il s'agit de donner une demonstration directe de la proposition qu' a celle

0.2, qui ne fasse appe L

a laquelle on vient de faire a la reduction du

paragraphe, consacre 0.2

a aucune

autre partie de [5]

allusion.

Apres un premier

theoreme 0.1

a la

proposition

et a divers corollaires, on a rassemble pour la commodite du lec-

teur dans un second paragraphe, en general sans demonstration, les resultats de

[5]

sur lesquels repose La demonstration de La proposi-

tion 0.2. Celle-ci fait l'objet du dernier paragraphe. L'enonce de ce theoreme m'a ete suggere par J. S. Milne. Je lui suis reconnaissant, ainsi qu'a P. Berthelot, pour l'aide qu'ils m'ont fournie lors de sa demonstration.

240 1. Reduction et corollaires.

Boit T un schema parfait de caracteristique p

>

0, que l'on

suppose quasi-compact et quasi-separe.On note! (resp. !p) le topos des faisceaux d'ensembles sur le site des schemas sur T (resp. des schemas parfaits sur

T), pour la topologie etale. On definit un morphisme de

topos

en prenant pour

i · : ! .... !P

T-schemas parfaits" et pour

le foncteur "restriction au site des i.

son adjoint

a.

droite defini, pour tout

G E !p, pour la formule suivante ( 1.1)

par f V

designe la perfection du T-schema U. Par definition

(1.2)

(v.) designe le systeme projectif de schemas tous egaux

a.

V, avec

le morphisme de Frobenius absolu comme morphisme de transition. On a done pour tout

T-schema affine

U

= Spec (B),

1a formule

( 1.3)

avec

par f B

= lim

B La perfection du

nature1le un schema sur fies T

Tparf, c' est done un

par f et T (puisque

La formule

par f R-module B. U

est de maniere

T-schema une fois identi-

Test parfait). On verifie aisement que

(1.1) definit un objet de !, et que

O. Alors D'autre part, les enances dans

dans

a

limR[F]

chacun des morphisme de transition dans le systeme inductif multiplication

(0 ,0 ),

vp

pour

i ). O.

v P ant pour carallaires des

Ab P•

Corollaire 1.7.

Sous les memes hypotheses gu'en 0.1

o

(resp. Ext i (0 ,G ) --Ab P a a

= 0)

En effet, on sait comparer les groupes au moyen de la formule dite de

(resp. 1.6)

pour tout Ext

triviale :

i

vP

i > 1.

( , ) et Ext

i (,) AbP

244 RHom (G.G) AbP a a En utilisant le devissage

0 + ?l + ?l +

zc!» + 0 pour interpreter le

terme de droite on obtient done la suite exacte infinie i-1 i-1 i-2 i (G.G )+Ext (G.G) + Ext (G.G) + .. , + Ext p (G.G )+Ext a a AbP a a v vP a a vp a a d'ou le resultat.

1,8, Notons egalement que le theoreme des generalisations immediates

a des

0,1

et ses variantes ont

theoremes d'annulation d'extensions

de groupes unipotents. Il suffit en effet de devisser ces groupes en des Ga

et des ?lIp

pour pouvoir conc Iure , compte tenu de La suite d' Artin-

Schreier

o+

?lIp + G

1.:;F G + a

a

°

En particulier. on obtient de cette maniere l'enonce suivant. qui est la forme sous laquelle Milne utilise Ie theoreme 0.1,

s un schema parfait proposi t.i.on 2,1 ) . .;:S..=o..=i..=t_--=-......;::::......::..:=..:=,-",::::...:::..=::;;..;;.

Corollaire 1. 8, ( [16) de caracteristigue de

p

>

0, Pour tout complexe

L'

borne superieurement

OS-modules localement libres de tyPe fini. on a un isomorphisme

canonigue L' if

----'--""')

RHom

- - VP

dans la categorie deri vee de considere comme complexe dans

(L'. ?lIp) [1 ]

vP .L'

(z-esp L'" = 1!2!!!0 (L' • OS» etant S

vP par oubli de la structure de OS-module.

: On se ramene de marrier-e standard au cas d'une base affine

s = Spec(R).

et au calcul particulier suivant :

245

.

(1.6 )

vp

(G ,'?lIp) = a

{O

i; 1

R

=1

i

En utilisant la suite d'Artin-Schreier,on deduit

(1.6) du theoreme

0.1, de 1.4 et de la suite exacte suivante

ou la multiplication par la fleche

1f

1T(

par

1-F

+n l.:

-m

a gauche

s'effectue .

a.

et ou l'on definit

=

2. Homologie et cohomologie des objets d'Eilenberg-Mac Lane. 2.1. Soit

A un groupe abelien d'un topos

truction due

a Dold-Kan

Eilenberg-Mac Lane

T. Pour tout

(voir [15] 23.7) permet de definir un obj et d '

K(A,n). C'est un groupe abelien simplicial de

chaque composante est un produit fini d'exemplaires de satisfait

a la

(2.1 )

A, et il

1f.(K(A,n))

=

tA°

i ; n

i

=n

T, voir

[12]

I 2.12). De plus

a un

sur la categorie homotopique des objets simpliciaux de objet simplicial

X de

T, on a

(voir

[12]

objet sim-

K(A,n) represente, comme

dans Ie cas ponctuel. Ie nieme foncteur d'hypercohomologie

(2.2 )

T dont

propriete caracteristique des objets d'Eilenberg-Mac Lane.

(pour la definition des faisceaux d'homotopie associes plicial de

une cons-

mn(_, A)

T : pour tout

I 3.2.1.16)

[X.K(A.n)] "mn(X.A) 1)

1) Pour une definition des groupes d'hypercohomologie d'un objet simplicial de

T

voir

[7] 5.2.2

et 5.1.11.

246

,I

ou

designe l'ensemble des applications dans la categorie deri-

vee des objets simpliciaux de

T. De meme, lorsque

une section

e l'objet simplicial constant final,

s : e

+

X (avec

X est pointe par

on definit des groupes d'hypercohomologie reduite formule

et l'on a un theoreme de representabilite analogue

a

(2.2)

"'n

[X,K(A,n) lpt '" lH (X,A) designant les applications dans la categorie derivee des ensem-

[ , lpt

bles simpliciaux pointes de

T (K(A,n) est pointe par l'element neutre).

En particulier, Ie groupe des transformations naturelles : lH

n(_

,A)

+

:nf1(- ,B), que l'on appelle egalement groupe des operations

cohomologiques de type (A,n; B,n) et que l'on note

Op(A,n;B,m), est

isomorphe (vu Ie lemme de Yoneda) au groupe d'hypercohomologie mm(K(A,n),B). Explicitement, on definit un tel isomorphisme (2.4)

en associant ou

i

via

"'" ) :nf1(K(A,n) ,B)

Op(A,n;B,m)

n

a l'operation

la classe de cohomologie

),

n

E lHn(K(A,n) ,A) designe la classe fondamentale, correspondant

(2.3)

Remargue

a l'application 2.2.

Soit

t

identique sur

K(A,n).

un point du topos

T. A toute application

f : X + Y dans la categorie derivee des objets simpliciaux de correspond par passage

a la

fibre un morphisme

f

t:

X t

+

Y t

T dans

la categorierhomotopique usuelle. En particulier, compte tenu de (2.2) on definit de cette maniere pour tout groupe abelien A de n > 0

un homomorphisme de passage

a la

fibre

T

et tout

247

De meme, soit

A un anne au de

sait bien que pour tout

T

et A,B

T. On

des A-modules de

n, on a l'isomorphisme

(2.6 )

qui est l'analogue dans la categorie derivee des l'isomorphisme

A-modules

D(A) de

(2.2). Ceci permet de definir comme en (2.5) un homo-

morphisme de passage a la fibre (2.71

t

(Bt,A t).

2.3. II resulte du theoreme de representabilite de la cohomologie (2.3) qu'a tout accouplement, et

a toute

paire d'entiers

u : B

m, n

@

C

D de groupes abeliens,

0, correspond une application simpli-

dale

(2.8 )

u

m,n

:K(B,m) AK(C,m)

K(D,m+n)2)

qui represente en cohomologie reduite l'accouplement du cup-produit 1 ]f'1(- ,B) @ n ( , C) :nrn+ n( ,D). En particulier, soit 8 =K(?l,1)

m

la

1-sphere simpliciale, consideree comme obj et constant de

classe par

i @i E 1 n

(8

1

,?l)

@

T. A la

:iH n (K(A,n) ,A) " jfn+1 (8 1 AK(A,n) ,A) correspond

(2.8) un morphisme de suspension (que l'on peut en fait choisir

canoniquement dans sa classe d'homotopie) (1 :

8

1

A K(A,n)

K(A,n+1 ),

2) Rappelons que pour toute paire d'ensembles pointes (X,x) et (Y,y), X A Y designe Ie quotient

XxY/({x}xY) u(Xx{y}) .

248 1

H (S ;R) 1

d'Ou par Kiinneth (puisque

R pour tout anneau de coefficients

a coefficients

R) un morphisme de suspension sur l'homologie

R

dans un anneau quelconque

H'J+ . 1(K(A,n+1)).

S:R.(K(A,n)) J

En fait, le systeme inductif de ces groupes d'homologie (avec la suspension comme morphisme de transition) est essentiellement constant. Il est commode du point de vue de la notation de

des groupes d'ho-

mologie stables en posant (2.10)

H.(K(A)) ].

lim ...

H

itn+].. (K(A,n))

pour

no> i quelconque, sans meme avoir

Mac Lane VI

9.5.12

a.

o

le spectre d 'Eilenberg-

K(A) dont (2.10) calcule l' homologie (voir cependant pour diverses

[ 14 ] , [ 12]

du complexe dechaines sur

a consulter

lecteur de

+.(K(A,n0 ))

n].

n

[1, 11, 20] pour une

K(A) verra que l'accouplement

K(A)). Le en forme

(2.8) induit un accouplement de spec-

tres d'Eilenberg- Mac Lane (2.11)

K(B) A K(e)

d'ou par passage (2.12 )

K(D)

a l'homologie

des morphismes

H.(K(B)) S H.(K(e)) ].

J

H. . (K(D)). ].+J

Quant au lecteur moins ambitieux, il lui suffira de noter que les applications

IIn +']. (K(B,n)) induites par

S Ifm+J.(K(e,m))

ifm+m+.+.(K(D,m+n)) ]. J

(2.9) en homologie sont compatibles, au signe pres, avec

249

les applications diverses de suspension (2.10), et qu'elles induisent dont par passage

a la

limite l'application (2.12) cherchee. On definit

pareillement des groupes sant

a la

limite projective sur les groupes d'hypercohomologie

2.4. A @ IT

JHn(K(A) ,B) d 'hypercohomologie stable en pas-

Soit +

II

II un]F' -vectoriel de p

T. L' accouplement canoni que

(pour eviter toute confusion on designera dorenavant par

A le groupe abelien constant de

T

assoc i S

a

'!LIp)

induit done par

(2.11) un morphisme

(2.13)

K(A) A K(II)

et done en homologie modulo

+

K(IT)

p un accouplement

(2.14) Par le theoreme de Hurewicz on a, compte tenu de (2.15 )

(2.1),

H (K(II») " II o

Voici une description complete de l'homologie stable modulo p des K(II,n);

Lemme 2.5.

Soit

IT

de points. Pour tout

un

:IF -vectoriel d'un topos p

T qui possede assez

i ;;. 0, le morphisme

(2.16) est un isomorphisme. Preuve : Puisque

T pos se de assez de points, on est immediatement ramene

au cas ensembliste. Le lemme est trivialement vrai pour M = '!LIp, compte tenu de

(2.15). Une propriete fondamentale des groupes

H.(K(H» 1

est

250

leur additivite en

IT. d'ou Ie resultat pour

general s'en deduit par passage

2.6. L'isomorphisme

a limite

IT

de type fini. Le cas

inductive.

(2.4) permet. apres stabilisation. d'identifier

les operations cohomologiques stables elements correspondants de

(au sens classique) avec les

ill*'(K(A),B). En particulier. pour T Ie topos

ponctuel, on identifie de cette maniere Ie groupe gradue sous-jacent a l' algebre de Steenrod

A des opez-at.eur-s stables de type ('ZZlp. 'ZZlp) au

H*' (K('ZZlp). 'ZZ/p)

groupe (2.17 )

Dua.Lemerrt , on a un isomorphisme d ' algebres

tP.

(2.18 )

:A. --,;;.. H. (K('ZZlp))

entre l'algetre duale de l'algebre de Steenrod (munie d'une multiplication que l'on precisera plus loin) et l'homologie stable modulo

p de

K('ZZlp ,n), sur laquelle La multiplication est celle as soc i Se par (2.12)

a la

loi d'anneau de

'ZZlp. Ainsi Ie lemme 2.5

peut se recrire

(2.19) Or, A. (dont on trouvera une description complete dans type fini sur

JF

P

en chaque degre. Ainsi

nombre fini d'exemplaires de

2.7. stable de dans Ie

H.(K(IT) ].

[17 I ) est de

est la somme d'un

IT.

II n'existe pas de description semblable de la cohomologie K(IT,n), valable en toute generalite dans un topos. T • on sait calculer les groupes

Cependant,

ill· (K(G ),G ) de maniere a a

similaire au calcul classique (auquel il a ete fait allusion en 2.6) qui permet d ' identifier

H'll (K('ZZlp) ,'ZZlp) aI' algetre de Steenrod.

251

De maniere plus precise, il est assez facile de construire pour

i

0 des puissances reduites de Steenrod pi (resp. des carres

i de SteenrodSq

en caracteristique

p

= 2).

Ce sont des operations

cohomologiques de type (G im; G ,n) obtenues en recopiant la construca

a

tion classiquement effectuee dans le cas eneembliste. Ces operateurs satisfont

seule difference que la relation classique lorsque

= 2)

p

Lemme 2.8. pour tout n

m

a la

aux memes relations d' Adem que dans le cas classique,

=1

(resp. SqO

=1

est remplacee par la relation suivante.

L'operation de degre 0

-n,

po

(resp. S9° lorsgue

p

= 2)

est,

la transformation naturelle du groupe d'hyPercohomologie

( ,G ) dans lui­meme induite par l'endomorphisme de Frobenius du coefa

ficient

­­­­

G. a

Ainsi convient­il, par analogie avec le cas classique, de definir pour p

F2

une algebre de Steenrod etendue

Ct

comme quotient

de l'algebre associative graduee engendree par des elements Qi ques

pour tout

i

et

0 (ces derniers correspondant aux operations classi-

Bpi avec B l'operateur de Bockstein), par les relations

d'Adem (pour la definition desquelles on renvoie l'on trouvera egalement le cas A est Le quotient de

Munissons via

pi

Q

p

= 2).

a

[ 18 J , [5 ]

e

011

L'algebre de Steenrod classique

par La relation supp.Lementad r­e pO = 1.

a

),G ) de la structure multiplicative induite a

(2.4) par la composition des operations cohomologiques correspondan­

tes. Alors, compte tenu des remarques precedentes, on peut definir un homomorphisme d'algebres graduees

252 (2.20) en associant

a un

generateur

p

j

(resp. Qj)

de

Cl

l'element

pji

designant la classe fondamentale.

Ces definitions permettent de decrire explicitement les groupes

m-(K(G ),G ) . Voici l'enonce dans Ie cas ou la base est Ie corps para

fait

a

S = Spec (IF ); on renvoie 8: [5 I p

pour Le cas d'une base plus

generale.

Proposition 2.9. lorsgue

T

schemas sur

L'homomorphisme

'i'

(2.20)

est un isomorphisme

est Ie topos des faisceaux sur Ie grand site de tous les S = Spec(lF ), pour I 'une des topologies suivantes : p

f.p.p.f., etale, Zariski, chaotigue.

Remargue

2.10.

L'independance de ce resultat de la topologie conside-

ree s'explique aisement : considerons la suite spectrale qui relie l'hypercohomologie d'un objet simplicial

X de

T 8: la cohomologie

de chacune de ses composantes

pour

X

= K(Ga ,n),

F

= Ga .

fini d'exemplaires de G a

Dans ce cas et l'on a

X

p

est un produit d'un nombre

Ef,q = 0

des topos consideres. De plus, les termes

pour ,0

q> 0

dans chacun

sont les memes pour toutes

ces topologies. II en est donc de meme de l'aboutissement.

Ceci nous permet d'effectuer Ie calcul 18: ou c'est Ie plus commode c'est

a dire

dans Ie topos chaotique. Dans ce cas, chaque S-schema U

253 du site definit un point

t

du topos (puisque Ie foncteur fibre

r(u,)

correspondant est exact dans la categorie des prefaisceaux). Le morphisme (2.5) se recrit done, pour

2.11.

[51

A

= Ga ,

R

= r(u,G a )

Pour une demonstration de la proposition 2.9, on peut

se referer a dans

x = K(Ga ,m),

[5 lou, au langage pres, a

[18 1. CelIe qui se trouve

([ 13 1 theoreme 12.1)

est inspiree du calcul par M. Lazard

de ce qu'il appelle la cohomologie de l'analyseur classique, et qui nlest autre, en nos termes, que Ie groupe de cohomologie

m-(K(G ,1),G ). Bornons a

a

nous ici a mentionner Le Lemme-icLe su.i var.t , On en trouvera une demonstration dans Ie cas tout

a fait

similaire de

m-(K(G ,1),G ) dans Ie a a

cours de la demonstration de M. Lazard deja citee; dans Ie cas de la cohomologie stable qui nous cone erne ici, c I est la generalisation au cas de degre quelconque de la proposition

2

de

[6 1. La demonstration est la

meme en toute generalite que dans Ie cas particulier qui y est considere (on prendra cependant garde qu ' en degre ;;. 2 p - 2 , la formule (3. 1) de Loc , cit. cesse d'etre valable; ainsi clest bien l'enonce suivant, et non un incorrect theoreme d'annulation de tous les groupes

qui

est La generalisation de cettepropositionau cas d'un degre que Lconque }.

2.12.

Sous les hypotheses de la proposition 2.8, soit

x E m·(K(G ),G) a a S-schema

•

U

une elasse d'hyPercohomologie. Supposons que, pour tout

= Spec(F)

(F un corps fini), la classe correspondante

6t X Em (K(F) ,F), au sens de

(2.21), soit nulle. Alors

x

= O.

2.13. Mentionnons pour terminer Le fait que les operations de Steenrod pour

a valeurs

dans

G dont on a signale a,

254

l'existence en 2.7 , satisfont aux memes formules de Cartan que les operations classiques correspondantes. Precisement, pour toute paire de clasx,y E

ses d'hypercohomologie

a

), on a la relation suivante (avec

t = deg x , m = deg pi- j) :

(2.22)

et des formules simiiaires pour Qi (resp.

si

lorsque p

= 2).

On a vu

que les accouplements (2.11) et, plus per-t i cul i er-eaent (2.13) pour

TI=G , a

representent le cup-produit des classes d'hypercohomologie correspondantes. On en deduit, compte tenu de la formule de Cartan (2.22) et des formules similaires pour

induite par cation sur le (2.23)

Qi

et

i Sq , que l'application

correspond via l'isomorphisme A-comodule ll'"

:01.-

-+ A

W (2.20)

a la

commultipli-

Ot 8

Ot

definie sur les generateurs par les formules ll-(p i)

(2.24 )

=

j

p j 8 pi-j

(resp.) '" (Sq i )

lorsque

p

2).

OL par

En particulier, lorsque 1 'on quotiente (2.23) induit la comultiplication bien connue

'"

u

la relation po

:A-+A8A

sur A.

1,

255 La multiplication induite sur

duale

A.

est celIe

a laquelle

on a fait allusion en (2.9).

3. Demonstration de la proposition 0.2. Soient A,B deuxF p -vectoriels du topos -T (§1). On considere la suite spectrale du coefficient universel qui relie l'homologie mod p et la cohomologie de l'objet simplicial

2.3, celle-ci

T. Avec la notation

K(A,n) de

en

apres stabilisation

a la

Cette suite spectrale est en general du cas du topos ponctuel ou (3.1) se reduit au du coefficient universel usuel. re

pour A

= B = Ga

On la

cons ide-

• L'anneau des endomorphismes de

B

= Ga

agit sur

la suite spectrale (3.1) toute entiere, et celle-ci est done une suite spectrale de dules, on

R [ F ] -modules

a gauche.

e.e

la classe

puissance de

R [ F l -modules annul.Ss par une

des

0,

des

F. C'est une classe au sens de Serre (voir par exemple

[19] 9 § 6 pour la

tenu de

Dans la

-e

On veri fie

que, pour tout

que

,0

= O.

En

effet, on sait que tous les elements de l'extension

et donc qu ' aucun est d'ordre

2

n' est

P . Supposons, par

de que

256 '0

= 0

,j)

mod (,

est isomorphe foncteur

a une

o

< n'

n. On a vu

en

somme finie d'exemplaires de

2.6

H (K(G » q a

que

G . l'additivite du a'

Ext et l'hypothese de recurrence entrainent done que

',q = 0 mod

f1

modulo

pour

i?

pour tout

s > O. La suite spectrale

(3.1) degenere done

en bas degres en une suite exacte

(3.2 )

!

lHn+l (K(G ),G ) ... Hom(H +1 (K(G »,G ). a a n a a

Il convient done de decrire les homomorphismes-bord qui fera l'objet des lemmes

3.2

et

(l

et

f3, ce

3.4.

On peut supposer que la base est S = Spec (JF ). En effet, p 1(G ,G ) au moyen de la resolution canonique le calcul des groupes Ext n +

Remarg,ue

3.1.

a

a

M( G ) ... G , merrti.onne dans la preuve du lemme 1.3, montre qu' ils commua a tent au changement de base plat. Si lIon veut eviter ce aux resolutions canoniques, et que lIon est pret sertion modulo

e

a se

nouveau recours

contenter de l'as-

correspondante (ce qui est adequat pour ce qui nous

concerne), il suffira de remarquer que les quatre aut res termes de la suite exacte

(3.2) commutent au changement de base plat, et d'utiliser

le lemme des cinq pour conclure.

O. : La suite spectrale du coefficient universel est compatible avec le passage aux fibres au sens de la remarque tenu de la remarque bord

f3

2.10, pour toute

commute au passage

a la

2.2. En particulier, compte

JF - algebre p

R, l'homomorphisme

fibre. On a done, un diagramme commutatif:

257 S

En';' [""GaJ

)]Hn+1 (K(G ), G ) a a

at

p les

at

at(s)

(R,R)

verticales etant

)]Hn+1 (K(R) ,R)

(2.21) et soh analogue pour les Ext

ment i onnes en 2.7. Or les groupes

p

riels abstraits sent. evidemment nuLs pour pouvoir conclure, de prendre

R

(R,R) d'extensions de

pour tout

=F

i

>

IF' -vectop

O. Il suffit done,

un corps fini quelconqu

et d'ap-

pliquer le lemme 2.12.

3.3. Le lemme 2.5

et le theoreme du coefficient universel permettent

de recrire le but de

a:

Hom(H (K(G )hG ) n

a

a

Hom(H (K( IF' »@ H (K(G »,G ) n p 0 a a Homf

H (K( IF' n

p

p

@ Hom (H (K(G »,G ) 0

a

a

Hn(K(lF' ),:IF ) @ ]H°(K(G ),G ). P P a a

(2.20) et

Les identifications decrire

a. On definit pour tout @OL.

0

W

(2.17) permettent maintenant de

n;;;' 0

un homomorphisme

de La jnarriez-e suivante: crest l'homomorphisme

compose \1

ou

\1n

n

n@(;II..,o 1f >(A@()t..)n_-"--7>)'A

est la nieme composante de l'homomorphisme

la prouection sur la composante de bidegre

(n,O).

\1-

(2.23) et

1f

258 Lemme 3.4: Le diagramme suivant est commutatif (y me compose

».

(3.3

4'MnIKrG,1

Ot-n

),:IF)

p

@

Remargue

3.5.

formules

(2.24) et du lemme precedent.

I

= (£1'

designant l'isomorphis-

mO (K(Ga ),G ) a",

Voici une description explicite de A

Hom(H (K(G »,G ) n aa

a, qui resulte des

toute suite

sl' £2' s2'" ,sk' £k+l) 1'entiers satisfaisant aux conditions

s , ;;;. 1

a

On associe le monome en les

pi

et les Qj

qui s'ecrit symboliquement

avec, par convention, gueur

1. On definit la lonpar la formule k

lorsque

k+l

lorsque

a

Alors, on a la formule

avec

3.6.

pI

1 'image de

par la projection canorri que

OL --;;.

A.

Avant de donner la demonstration du lemme 3.4 , achevons la demons-

tration de la proposition

0.2. On verifie que l'action consideree de

F

259

Hom(H (K(G ) ),G ) correspond via l'identification (3.3) ala multi-

sur

n

a

e;

plication par

1 8 F

que Ie conoyau de de

Ext n+

1(G

Cl

dans

An 8 JF [F

p

est nul modulo

1 • La formule (3.5 ) montre done Puisque

8

G) resulte de l'exactitude modulo

= 0, de

a' a

Remargue 3.7. On prendra garde que ni la source ni Ie but de nuls modulo

la nullite

e

Cl

ne sont

Demonstration du lemme 3.4. On considere Ie diagramme commutatif suivant. Les fleches horizontales sont dans chaque cas les homomorphismes bord spectrale

Cl

dans la suite

(3.1) et ses variantes. Les fleches verticales de droite et

de gauche sont successivement les fleches induites par l'application (2.13) (pour

IT = G ), par la formule de Kunneth et par la projection sur a

la composante de bidegre tivement.

L=

i+j =n

(n,O), en cohomologie et en homologie respec-

260

Or 1 'identification

effectuee en

(3.3) du but de

a

avec 1e

coin inferieur gauche de ce diagramme s'est effectuee par composition de l'isomorphisme vertical droit avec l'inverse de l'isomorphisme horizontal inferieur. 11 ne reste done qu ' a verifier La .commutati vi te du diagramme

ou

an

designe La fleche compoaee verticale gauche du diagramme precedent.

C'est une consequence immediate des definitions.

261 BIB L lOG RAP HIE

ADAMS, J. F. Stable homotopy and generalised homology; Chicago-London The University of Chicago Press (1974). 2

ARTIN

A. GROTHENDIECK, J.L. VERDIER: Theorie des topos et cohomologie etale des schemas (SGA4), Lecture Notes in Mathematics 269, 270, 305, Berlin-Heidelberg New-York. Springer (1972-73) •

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BREEN L. Extensions du groupe additif.Publ. Math. IRES 48, 39-125 (1978).

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Universite de Rennes I Departernent de Mathernatique B.P. 25 A 35031 RENNES CEDEX

Expose VIII

INSTABILITE DANS LES ESPACES VECTORIELS par G. ROUSSEAU

,

§l. INSTABILITE Pour des details sur les resultats non demontres de ce paragraphe on consultera Mumford [5J, [6J et Seshadri [7J, [8J, [9J. Soient

un corps, k

k

algebrique affine. Un G ; un

G-morphisme

aux actions de un

G-schema

G-schema

G; un morphisme

1) Un quotient de

X

par

G-invariant

CP: X ..

ii) Si CP(Z)

iii) Si G-stables

un

k-groupe

un G

G-schemas

est un

compatible

G-morphisme

dans

G

G-schema. est un morphisme

G-invariant

universe I pour cette propriete.

2) Un bon quotient de

X ,alors

G-invariant

muni de l'action triviale de X

G

est un schema muni d'une action de

est un morphisme entre deux

DEFINITIONS 1.1. Soit

cP : X .. Y

sa cloture algebrique et

Z

y

X

par

G

est un morphlsme affine, surjectif,

tel que

est une partie fermee (resp. ouverte)

G-stable

de

est fermee (resp. ouverte). (Zi)iEI

est une famille finie de parties fermees

disjointes (i.e.

nz . =.0)

alors les

CP(Zi)

sont disjointes

264 n

fini

0

par rapport

a

et A

0

3A E Y(G)

\riA E Y(G)

U.(x,A)/O

\fA E Y(G)

non trivial

.. (x,A)O 3A E Y(G)

tel que

x

'VA E Y(G)

x

est semi-

VA E Y(G)

x

est stable

soit instable pour

stable pour 1 'action

pour l'action de

1 'action de

de

A(@m)

A(@m)

A(@m)

G'" V g .... g.x

propre

266 NOTATIONS. o t x ) Ie bon quotient de G

est I' orbite de V

@m

dans

V== EEl

nE:i

V

n

Si

oj

°

G,

defini en 1.3. Un sous-groupe

G. On note

Y(G)

A

GL(V)

a

4J : V .... Zest

un parametre de

du groupe multiplica-

1 'ensemble de ces

P @m

correspond une representation

n

sous

est un homomorphisme de groupes algebriques

tif

x

x

A • A

A E Y(G)

qui est diagonalisable

,V ={xEV/P(a)x n

xEv, il s'ecrit sont les poids de

x==L: x avec x EV . Les n n n n x par rapport a A .

nEZ

tels que

(X,A) = Max{ -n .x oj O} •

On note

n

REMARQUES 1.7. 1) On constate que les definitions envisagees ne dependent pas de la sous -va r Let.e Le point

0

X

de

R(V)

et valent pour

x E V-{ O} •

est dit instable.

2) 11 Y a plusieurs variantes (moins restrictives) de la definition de stable S') 3p E p

X et l'action de G sur X est fermee P (c'est la definition nature1le pour la proposition 1.5 mais el1e depend

de

,

X).

S") x orbites (si

semi-stable et

S

V oj ¢

alors

S

V

"

O(x)

de dimension maximale parmi les

s) =V •

Pour toutes ces definitions, stable implique semi-stable et (sous reserve que

X==IP(V)

pour S')

O(x) = -l((x». La definition adoptee

a

se justifie par sa caracterisation par les sous-groupes

un parametre.

2 EXEMPLE 1.8. GL agit sur k done sur l'espace vectoriel 2 2 V= Sn(k ) de base (Xiy n- i). . 11 est facile de voir que tout point l==O,n est instable pour cette action. Etudions la restriction de cette action SL

2

. Le sous-groupe

car

VA EY(SL

par

Ao(a) ==

k.Xiyn- i

2),

A

a

un parametre canonique

est con j uque

a

A

une puissance de

o

de A

O

)

(canonique est defini

:-1) ; les espaces de poids correspondants sont les

de poids

2i-n.

267

Comme les definitions de 1.4 sont invariantes par extension algebrique du corps, Le theoreme 1.6 se tradui t par : (x E V) • x

.(

instable Crespo non stable) pour l'action de

a

3> qui tte

pour l'action de

A(@m)'

II existe une base

X,Y

avec

(resp. 'lfi(¥).

} x a

ai=O

de

telle que

x

interprete comme polynome homogene de degre dans

Pl(k)

2

A (Le. quitte a par conjugaison dans o 2 (X,Y) de k ) x est instable (resp. non stable)

changer

changer la base

4

SL

une racine de multiplicite

>¥

n L

i=O

n

en 2 variables

(resp.

1.9 EXTENSION DE 1.6. Si Ie critere d'instabilite ou de stabilite par des sous-groupes

a

un parametre du theoreme 1.6 etait vaiable sur

un corps quelconque on pourrait supposer que la racine ci-dessus est dans

IF I (k ) . Or cette racine est bien determinee par

x

dans Ie cas de l'insta-

bilite et il peut y avoir arnbigulte (2 racines) dans Ie caS de Ia nonstabilite. Ceci suggere que Ie critere d'instabilite est valable sur un corps parfait; par contre on voit facilement que ces criteres sont faux sur un corps non parfait et que Ie critere de stabilite est faux sur un corps non algebriquement clos. THEOREME 1.10 [10]. Soient groupe reductif sur un corps v

instable pour

Pour demontrer ce

G'(

k

p: G

-+

GL(V)

parfait et

!> 3,\ E Y(G)

une representation d'un v E V ; alors,

tel que

(v,'\)

0, ... , n s ) a

vaut 1 sur le centre de

Ceci etant, si

le tore

i

1

Gl

Gl

s

et

n E 'Z! • De plus, Le caracr

si et seulement si

r

designe la droite dominante dans i 0n1 i 0n ®-n r (1\ 1V) 0 •..0 (1\ sV) s0 (1\r V)

agit sur

to

X

representation irreductible l'adherence de l'orbite de

X ,to

par Ie caractere de

Gl

r

X

engendre dans

de poids dominant

est Ie cone

AX • Posons

X

et

W

la

295

On a donc

So it alors

lui correspond un plus grand ouvert un drapeau

On sait (Exp. 3.3) qu'il

une section non nulle de

s

E

1

c ...C E

de

X, avec

s iu • de type

de

s

U

L. = det(E.)

J

J

L

r

r

X,

codim(X-U,X) #2 ,

(Le. dim E = i j

tient

s . En particulier

de

sur

s

L =

0U(D)

s

qui con-

est 1e diviseur des zeros

s'annule en au moins un point de

s' annule en codimension 1 et alors codimension ); 2 X-U

°

D

E(X)\U

U

Supposons que

sur

ou

pour

= d e t t E) , alors

est Ie sous-fibre en droites de

L

j

r

alors

D

=

D)

° ,mais

° ; ou bien

u'l X

et

s

(Ie drapeau se dechire au-dessus de

s

X. ou bien

s

s 'annule en

s' annule exactement

X-U).

En resume : PROPOSITION 1.2. Pour gu'un fibre

E, de rang

r,

X

soit

instable, il faut et il suffit qu'il existe - des entiers n.)O J

pour

i j , j=l, ... ,s avec 1{i < •.. 0 . Les conditions de la proposition 1.2 sont

realisees en prenant

s

=1

,

E

1

=F

, "i

= mr'{E) ,

Les fibres stables et semi-stables sur les courbes ont ete largement etudies ([6J). Rappelons en particulier 1 'interpretation transcendante (k = d(E)/r(E)

- ou bien

d(F)/r(F)

- ou bien

d(F)/r(F) = d(E)/r(E)

fibre de

d(F). Procedant cornrne dans la demons-

et

F

ne se prolonge pas en un sous-

E .

3. OPERATIONS SUR LES FIBRES INSTABLES PROPOSITION 3.1. Soient

E

un fibre de rang

une representation irreductible de

X

et

Gl(r), qui n'est pas sornrne directe

de representations de dimension 1. Alors si

r

E

est instable si et seulement

est instable. 8i

est instable, il est clair sur la definition 1.1 que

est instable. Reciproquement, supposons representation de

PGI(r)

these, l'image de

GI(r)

E(P)

telle que

nulle, nulle en un point de

X

Soit

dans

GI(N)

E

instable et soit

deduite de

r

une

s

possede une section non • Par hypo-

le rang de

N

E

sr , n'est pas cornrnu-

tative, de sorte que, par passage au quotient, Ie morphisme PGI(r)

est injectif. Soit

un quotient de l'algebre tible, d'espace B

(PGl(r)

A

V. Alors

de

I'algebre de

A

a

cornrne

gauche sur

donc

B). Par semi-

W de

PGl(N). Un point de

est, a fortiori, instable sous

PGl(N)

et

est instable. PROPOSITION 3.2. Soient

f : Y

P irreduc-

PGL(r)-module, donc est contenu

dans une representation de dimension finie PGI(r)

qui est

Vest contenu cornrne sous-representation de

se releve dans

W instable sous

PGI(r)

PGL(N). On peut supposer

operant par translations,

simplicite, V

B

----?

X

instable sur

un Y

k-morphisme

Y

un

k-schema

surjectif. Alors

si et seulement si

E

propre, normal, integre, f * (E)

est un fibre

est un fibre instable sur

X.

299 L'assertion est claire si

f*(Oy)

il suffit donc de traiter Ie cas ou II est immediat que si

E

f e s t fini ; soit

de

P

PGl(r)

possede une section

f*(E(P)

point de

y, la norme de

point de

X, de

E

Ox . Par factorisation de Stein,

est instable, f * (E)

s'il existe une representation

donc

=

s

m

son degre.

aussi. Reciproquement, tel Ie que

s , non nulle, nulle en un

est une section non nulle, nulle en un (puissance symetrique

ieme m

de

et

est instable.

4. PRELIMINAIRES A L'ETUDE DES FIBRES DE RANG DEUX SUR LES SURFACES Dans la suite dans

X

est une surface lisse. Rappelons que l'on definit

des cones convexes epointes, correspondant a diverses

notions de positivite. Par ordre d'inclusion decroissante on trouve : - Ie cone

C+

ceaux inversibles

D> -

° , donc m) ° avec

engendre par les diviseurs ) L, tels qu ' il existe

°

Le cone

C++

engendre par les

L

de

C+

tels que

° . C' est

X, on a L E C++ {

L.L

>0

et

L.H) 0

- Ie cone engendre par les faisceaux inversibles tifs, c' est-a-dire tels que de

L.L)

H est une section

un cone convexe d'apres Ie theoreme de l'index. Si hyperplane de

aussi par les fais®m L = 0X(D) ,

L. L )

0

et

L. C )/

;

L

numeriguement posi-

° , pour

toute courbe

C

X

- Ie cone engendre par les faisceaux inversibles amples, c'est-a-dire encore les

L

tels que

L.L) 0

et

L.C) 0

pour toute courbe

C.

Parmi les faisceaux numeriquement positifs, figurent ceux dont un multiple )

°

est engendre par ses sections ; on obtient ainsi les fais-

ceaux inversibles LOrn

L

sur

X, tels qu 'iI existe

m)

°

pour lequel

est l'image reciproque d'un faisceau ample sur une surface

deduite de

X'

X r e n contractant un nombre fini de courbes. II peut exister

300

des faisceaux numeriquement positifs qui ne sont pas de ce type ([7] p. 124).

Soit maintenant un fibre vectoriel de Chern,

(E) = det(E)

a

rang 2 et cherchons - Si

E

et

C

(E ) E

2

determiner

C

E

X; il a des classes

sur

• Examinons le cas ou

E

est de

( E) .

2

est extension de faisceaux inversibles O __ L_E

c (E)

M--+O,

L.M.

2

- Si

E

possede une section

Z

est le degre du cycle

s

des zeros de

- Dans le cas general, notons droite

L

n'ayant que des zeros isoles, c

K

de la fibre generique

K

sous-faisceau

L

de

s.

le corps fractions de E

K

de

L

et

ElL

X. A toute

E, est associe un plus grand

E, de fibre generique

D'ou une suite exacte

o __ L __ E __ E/L Alors

2(E)

o

sont des faisceaux sans torsion de rang 1. Par suite

Lest reflexif, donc est un faisceau inversible,puisque les anneaux locaux de bidual

ElL

X

sont factoriels. Le faisceau

definit un ferme

Z

IZM, ou

Nous dirons que sous-fibre de

-->" L - - E - - -

IzM ---

Lest une droite saturee de

E

Z)

classes de Chern de

E

et que (**)

Ox

qui

°. (mais

L

n'est un

E, i.e. est localement facteur direct dans

dehors du support de

2

I

est un faisceau d'ideaux de Z de dimension O. D'ou une suite exacte :

o

c (E)

se plonge dans son

M, qui pour les memes raisons est un faisceau inversible, donc

est de la forme

(E)

ElL

E, qu'en

E

est un devissage de

Les

sont en evidence sur (**) :

L0M

L. M + deg (Z) •

Enfin, on note

Sn(E)

le fibre puissance symetrique

n

ierne

de

E.

301

5. FIBRES INSTABLES DE RANG 2 SUR UNE SURFACE PROPOSITION 5.1. Soit

E

un fibre de rang 2 sur la surface

X.

Les conditions suivantes sont equivalentes i) Ie fibre .i i ) 3n) 0

E

est instable.

tel que

r

nulle en un point de iii) Le fibre

E

S2n( E) ® det(E) -n

X admet un devissage :

dans lequel, ou bien et

deg(Z)

possede une section non nulle,

3n)

(4), ou bien

0

0

De plus, si ces conditions sont realisees, Ie devissage introduit dans iii) est unigue.

,

DEMONSTRATION. Soit n}

0

,

V

un

k-espace

les representations naturelles de

se factorisent

a

travers

PGl(V)

representations irreductibles de

vectoriel de rang 2. Pour Gl(V)

dans

S2n(V) & det(V)-n

et conduisent aux diverses classes de PGl(V)

d'ou l'equivalence de i) et

ii) compte tenu de la definition 1.1. Nous allons d'abord prouver l'equivalence de ii) et iii),

a

l'aide

du theoreme 1.2, donc en utilisant les resultats de Bogomolov sur les morphismes dans les modeles de points instables. Nous donnerons ensuite une demonstration directe qui n'utilise que la caracterisation des points instables dans D'apres 1.2, E ouvert

U

de

S2n(V)0det(V)-n

donnee dans (Exp. 1.8).

est instable, si et seulement si il existe un

X, codim(X-U,X)

, un sous-fibre

rang 1 , un entier n 0 et une section non nulle 1) 2n -n 1 L 10 det(E) ,tels que 1 - ou bien

s

- ou bien

s

s'annule en codimension 1 2n -n engendre L 1 0 d e t(E) 1 1

un sous-fibre en droites de

E

sur

X.

et

L

1

L1

de

s

de

Elu

de

ne se prolonge pas en

302

Soit

L

I 'unique droite s a't.u r e e de

E

telle que

Llu:::::>L 1

d'ou.

•

un devissage

° _L et posons

n=n

On a

.

1

__ E _ I z M _ O

et seulement si

Llu

L

- ou bien

(L0 M-

1)n

0X(D). D)

- ou bien

I = L L.U

•

1

(L0M- 1!U)n

c

. Finalement on obtient :

1

(L0M-1 ) n

° Ox

=

1

done

r

L0 M- E C+

en droites projectives sur 0p(l)

°

deg(Z) )

et

DEMONSTRATION DIRECTE DE ii)

structural et

avec egalite si

r

Soient

a

X. associe

D'ou. ii) P

pIE)

E. W : P _ _ x

Ie faisceau tautologique sur

le fibre

Ie morphisme

P. On a

W*(Op(n)) = Sn(E). Rappelons les faits elementaires suivants 5.2. Soit P

, de degre

sur

n n

X , unique

un entier

>/

relativement

a

°

a

Si x

.

D est un diviseur positif sur n i l existe un faisceau inversible L

isomorphisme pres. tel que

d'ou. un morphisme injectif

°p (can. ,. °p (Dn )

:

0p(n)W * (L -1 ),

0p(D n)

..:::....".op(n)W*(L- 1 )

soit

;

encore un morphisme injectif : W* (L)

0p(n). Par image directe. on

en deduit un morphisme injectif : L

Sn(E). Reciproquement. partant

d'un morphisme injectif de

L

Sn(E). on en deduit une section non nulle

.. des zeros est un diviS n( E ) 0 L -1 donc, de 0p(n)W *(L -1 ); son dlVlseur

seur positif

D n

Soit alors

de degre s

S2n(E)0det(E)-n

n

au-dessus de

X.

une section non nulle, nulle quelque part, de donc instable (1.1). D'apres Ie lemme. il lui corres-

pond un diviseur ) 0 , D sur P de degre 2n au-des sus de X. 2n Choisissons une base (A,B) de la fibre generique E de E. Alors

K

s'interprete comme un polynome homogene defini

a

2n mUltiplication pres par un element de

ferme des zeros de si

Q 2n

Q

Q2n' On sait que

a un facteur multiple d'ordre

s

>n

en

A, B , de degre K*

et

s

2n,

est Ie

est instable si et seulement (Exp. 1.8). Ce facteur est

303

alors unique

soit

n+r, 0

0 , HO(X,Sn(E)) = 0 .

une section non nulle de

Sn(E). Quitte

par un multiple convenable, on peut supposer D> 0 . Alors

donc

o d'ou une contradiction.

Z'

table, et si

LiSlM' = (L'iSlM,-l)-l

D = 0 , L = M'

a

s

est as socd ee une

0X(D)

S2m(E)iSldet(E)-m

det(E)-m

j

njection

n = 2m

Ox

a et

remplacer det(E)

-m

n = °X(D) ,

S2m(E), d' ou une

S2m(E)0det(E)-m . 11 en resulte que

possede une section non nulle, qui s'annule sur

donc est instable et par suite

E

D,

est instable.

REMARQUE 5.4. La proposition 5.1 ainsi que la demonstration cidessus, restent valables si propre, integre,

a

E

est un fibre de rang 2 sur un schema

anneaux locaux factoriels, de dimension quelconque

X

305

simplement, dans iii), I

est l'ideal d'un ferme Z de Z mension 2 (localement defini par une 2­suite reguliere).

X, de codi-

6. CRITERE D'INSTABILITE (Bogomolov) THEOREME 6.1. Soit ) 4C

2(E),

E

E

X. Si

un fibre de rang 2 sur la surface

est instable. Plus precisement, les conditions

suivantes sont equivalentes

ii) 11 existe un devissage de

o ---+

E:

L ---+ E ---+ I ZM __ 0

L0 M-1 E C+ et c 2 (L0 M- 1 ) ) 4deg(Z) (donc en particulier 1 1 L0 M­ E C++ (4). De plus ce devissage est unique.

avec

En fait il suffit de prouver que si

4C

2(E),

E

est ins-

table; les autres assertions resultent en effet immediatement de 5.1. Notons

W

X. Si

le faisceau des 2­formes differentielles sur

est un fibre de rang 2 sur

X

et

L

un faisceau inver sible sur

la caracteristique d'Euler­Poincare de

Sn(E)0L

E

X,

est donnee par la

formule suivante n( n­sr ) (n+l)

2: 2

6

+ (n;l) [(C

6.2

1(L)

+¥ C

1(E))2_

W.(C

1(L)

+¥ C 1(E)]

COROLLAIRE 6.3. (c 2 4 (») (2 n+ 1) X (0X) • 1(E) ­ c 2 E + LEMME 6.4. Soient

E

un fibre vectoriel de rang 2 sur

un faisceau inversible. On a

IhO(Sn(E) 0

L) ­ hO(Sn(E»)

On peut trouver des diviseurs amples et lisses tels que

C

I .(,. et

X

et

L

o(n 2). C'

sur

X,

306

hO(Sn(E) @ 0x(C»

Alors

h

°(s" (E)

@

- hO(Sn(E»

Ox(C) I C)

2 0 (n ) .

hO(Sn(E) - hO(Sn(E) 0 0 (-C'})

De meme

O(n 2)

hO(Sn(E) IC'} Soit alors

E

de rang 2 sur

2

Posons 2(E}. 3), F S2n(E)@det(E)-n. D'apres 6.3, on a x(F} = o(n done n n hO(F +h 2(F O(n 3). Par ailleurs F est isomorphe it son dual n) n) n (ear les representations de PGl(2) sont isomorphes it leur contragreV) diente) d'ou h 2(F) = hO(W@F = hO(w0F n ). D'apres 6.4, applique au n n faisceau virtuel E® det(E)-1/2 en place de E, on a


el(E)} 4e

O(n 2). On deduit de ces considerations que

Iho(F n 0w) -ho(F n )1 hO(F) = o(n 3). Soit n

X, tel que

X

xEx. Conune

F

n es t. que de rang

une section non nulle de

r

2n+l, il

l

n

Fn

r

qui s ' annule en

x

est instable.

REMARQUE 6.5. Par une methode analogue, Bogomolov prouve plus generalement que si

E

est un fibre de rang

est instable si

Ci(E) )

c 2(E)

r

sur une surface

X, E

([IJ).

7. APPLICATION AU THEOREME DE KODAIRA-RAMANUJAM

Si

L

est ample sur

X, Ie "vanishing" de Kodaira entraine

o . Dans Ie cas des surfaces, Ramanujan prouve plus generalement : THEOREME 7.1. Si sur la surface

L

X, 2ll-a

est un faisceau numeriguement Hl(X,L- I)

=

0

>0

(cf. 4)

([7]).

Le critere d'instabilite de Bogomolov, donne dans 6 , fournit une demonstration alg&brique, tres elegante, de ce resultat. Soit done

L

un faisceau numeriquement positif sur

X. On a

307 I I nous faut montrer que toute extension : (1 )

o

Ox

E

L

---,lo-

0

est triviale. On a

c

1(E)=L,

C

2(E)

0,

= L.L>O. Donc

instable (th. 6.1) et il existe un devissage de

o --

(2 )

avee

M0 N-1

M0 N

= L

1

E C++

On ne peut avoir

-1(:7

M

0

OX' sinon

N= L

)'- C++ . Par suite les devissages (1) et (2) de

M=L(-D)

r

N= 0X(D)

et E

sont dis-

L . I I existe donc un di viseur

M

est

E

•

tincts, d' ou une injection tel que

IzN

M ---'" E

E

D

0 ,

et (2) devient

(3)

Pour voir que l'extension (1) est triviale, il suffit de montrer que D=O. On a

0

C

2(E)

= L.D-D

(4)

0 , M0N-

Comme on a

2+deg(Z)

1

= L(-2D)

L.L(-2D)

0

, d'ou

L.D ,

D2 .

C+

et que

est dans

L e s t numeriquement 0 ,

soit:

(5) Considerons Ie discriminant de la forme quadratique d'intersection relatif

a

D

et

L L.D

D'apres 4) et 5), D2L 2 - (L.D)2 >" (D.L)2 )/0 . Mais d ap r e s Le t

theoreme de l' index et Le fait que Done il est nul et que

D= 0

dans

2 L.D = D

L

2

) 0 , ce discriminant et

0 .

O. Le theoreme de l' index encore, entraine

NS (X) 0 Q • Comme

D} 0

r

on a bien

D=

a .

308

REMARQUES 7.2. Supposons que

k

soi t de caracteristique

p) 0

1) Le "vanishing" de Kodaira et, a fortiori, Ie theoreme de Ramanujam ne sont plus vrais ([8J). 2) Soit

L

numeriquement positif. Le theorie de l'instabilite de

Bogomolov permet de montrer que pour

n»

0 , Ie morphisme de Frobenius

itere : H 1(X,L- 1) _ _ H 1(X,L-P

n

)

est nul. Pour une autre demonstration voir ([10J, Prop. 2.1). 8. L'INEGALITE Soient

4c

2 i = 1,2 , les classes de Chern de

c

i' formes differentielles de degre 1 sur la surface

faisceaux des

X. Lorsque

de type general, Bogomo1ova montre que lion a a prouve

3c

2

X

est

4c 2 ; puis Miyaoka

. D'apres Hirzebruch, cette derniere inega1ite est la

mei11eure possible. Dans ce numero nous exposons Ie resultat de Bogomo1ov, dans Ie suivant, celui de Miyaoka ([5J) (voir aussi [11]). rr: y --+ C

LEMME 8.1. Soit de type fini normal

y

w est holomorphe sur

V

x EC

et

1 rr- ( x ) . Alors

de

lisse sur

k

en

C

•

Si

sur

morphe. Alors en

y, u(t)!t

X,

est holomorphe, sur

est de caracteristigue 0).

un point maximal d une composante Lr r educt.Lb Le

k I

X, donc

est de codimension 1 dans n

x

V

la mUltiplicite de

en

au voisinage de

n )n

est holomorphe en

LEMME 8.2 (Castelnovo). Soient

dans

11-

X 1

est ( X) .

y , on peut trouver une coordonnee

et une coordonnee

w= u(t)dt!t

* 11 (w) =

W une forme

y

y. Soit

Ecrivons

* (w)

C . Soit

(on rappelle gue

y

C, centree en

11

surjectif d'un schema

C

Localement pour la topo1ogie etale en t

k-morphisme

dans une courbe lisse

differentielle meromorphe sur

Soient

QU

X

y ,

tel Ie que avec

u(t)

mero-

est holomorphe

Mais si x WI

tielles holomorphes sur la surface lisse

et

w2

des formes differen-

X, lineairement independantes

309 et telles que

x

dans une courbe

i

1,2 , sur

=

W

1AW2

c

0

•

A10rs i1 existe un morphisme

et des formes differentie1les holomorphes

w. = 7T * (w. ) .

C, telles que

Les hypotheses faites sur les formes d 'une fonction rationnelle non constante

11 existe un eClatement de

X'

X'

X

de

dans la droite projective

C

notee encore

f

f

sur

telle que p1

sation de Stein de ce morphisme ; f sur

entrainent 1 'existence

W.

. Soit

f 7T'

telle que

X

w2 = f W1

definisse un morphisme X'

C

la factori-

provient d'une fonction meromorphe

. On sait que

est fermee, done on a :

W.

o

(1 )

U un ouvert non vide de

Soit

engendre

01

-u

7T ,

et

C

tel que

flu

so it holomorphe, df

U. Po sons

est lisse au-dessus de

V = IT,-l(U).

On a la suite exacte de faisceaux localement libres :

°

1T'

des formes meromorphes D'apres 8.1, 1

wi

'"" W.

*

1

(nu) ----

sur

C

a;;1 - a;;1 /U i = 1,2

r

C

est holomorphe. Alors

et par suite le morphisme

IT':

X'

r

--+

°

telles que

est necessairement de genre

--+

C , se factorise

a

travers

X , d'ou le lemme. LEMME 8.3. Soient entier ) lisse

°

et

La section n

un faisceau inversible sur

une section non nulle de

X', un morphisme

et une section

L-

s

L

s' s

de

u: X' _

X

X, n

LOn . I I existe une surface

generiquement fini, de degre

L' =u*(L). telle que

definit un morphisme

n

s,0n = u*(s).

Ox --+L0

n

, done un morphisme

----.. Ox • Celui-ci permet de definir une structure de

1-n O' EB L • Soient y le spectre de cette algebre et 1 T : Y _ X i=O le morphisme canonique qui est fini, de degre n , etale en dehors des * 2-n 0' zeros de s . On a 1T *1T (L) = Ell L Dans cet isomorphisme, la section i=1 1 de telle que t 0n =1T * (5). correspond une section t de 1T * (L)

sur

a

310

a

11 reste r

prendre pour

X'

une desingularisation de

,

THEOREME 8.4 (Bogomolov). Soit contenu dans

L

un faisceau inversible sur

hO(X,L0 n) { O'( n ) ,pour

Alors

Y. X,

n> 0 .

Distinguons trois cas : - \in> 0

r

hO(X,Ln)

- hO(X,L)

1 . L'assertion est claire.

2 • D'apres 8.2, il existe un morphisme

courbe lisse, et une forme holomorphe non nulle rr * (w) E HO (X, L). Comrne la fibre generique de engendre une droite saturee dans de que

C; a fortiori, rr * (w) L

= 0X(D),

santes de

Oll

D

C

telle que

est lisse, rr * (co)

L

au-dessus de

C, tel que

U. 11 en resulte

rr). Alors il existe

Lcrr * (M). D'Oll

O(n).

- Enfin, supposons qu'il existe

m)O, tel que

hO(X,L0

»" 2

m

• En

appliquant deux fois le lemrne 8.3, on trouve une surface lisse un morphisme surjectif hO(L' ) } 2 • Comrne done

L'

C

•

u

U:

X'

X , tel que si

est generiquement etale, on a hO(X,L n)

Alors

rr *

et

et

hO(X' ,L,n) { O(n). L

de

c++

1

0-X •

REMARQUE 8.6. Bogomolov prouve plus generalement que si schema propre et lisse sur dans

X'

u * (L), on ait

L'

COROLLAIRE 8.5. 11 n'existe pas de faisceau inversible contenu dans

U

est un diviseur > 0 , vertical (i.e. les compo-

D, sont des composantes des fibres de

hO(C,M n)

sur

W

, C

au-des sus d'un ouvert non vide

engendre

M, faisceau inversible sur hO(X,L n)

rr

rr: X

on a

hO(Y,Ln)

COROLLAIRE 8.7. Si

k

et

est un

un faisceau inversible contenu

O(n i).

X

est de type general,

et en particulier (6.1), on a En effet, si

L

Y

{4c

2

n'est pas instable

.

est instable, il existe un devissage

o __

L --

--

IZM __ 0

311

et un entier

=

LI8IM

=

n>O

tel que

et comme

w

L 2 = (LI8IM- 1) 181 (L0M)

(LI8IM-

X

I)n

= 0X(D),

Par ailleurs

=

est de type general, hO(Lm)

et on ne peut avoir

O(n

2).

Mais

O(m), en contradic-

tion avec 8.4.

0 , on a

E

L(D).CI(E)

contenant

L.cI(E)

et il suffit de considerer le cas ou Lest sature dans E. Alors 1I8IE Lpossede une section n'ayant que des zeros isoles, donc a une deuxieme classe de Chern

Si

c'est fini. Supposons hO(X,L n) +h 2(X,Ln) } O(n 2),

L.L< 0

alors

8.4. Mais wl8l L-

0 :

n

h 2(X,Ln)

= 0X(D

obtient

n)

, D n

h O(w0 L- n)

c (E) i

D

est nume r i quement; positif, on L.c (E) I

t

° ( C2(E).

tel que

sur

ct:

det(E)

est un sous-faisceau inversible de

le fibre en droites projectives sur

E . La donriee de l'injection diviseur positif

L

d'apres

n»O , on a

un sous-fibre de rang 2 de

soit numeriquement positif. Si

P = peE)

h 2(X,Ln) ); O(n 2)

et donc, pour

0 . Comme

E

D'apres Riemann-Roch, on a

et donc

w.cI (E) - nL.c I (E) ); 0 , donc

LEMME 9.2. Soit

Soit

L.L> 0

r

L

e..-..,..

P, de degre

Sn(E) n

equ i vaut,

au-dessus de

a

X

associe

a

la donnee d'un X

(cf. 5.2).

312

Soient

K

Ie corps des fractions de

X

et

K i i,

1, ... , r , les

corps de fractions des composantes irreductibles reduites de dominent

X. Notons

contient les de

dans

X

Notons

K

K'

Soient

i

K', 1T : X'

D'

X'

_

E', p', L', D'

Le diviseur

une extension finie galoisienne de

et, vu Ie choix de seurs positifs de

qui

K

qui

une desingularisation de la norrnalisee Le rnarphisrne canonique et

X

les images r ec i pr'oque s de

a

est associe

D

K', on a

r== i=l n

D' =

p', de degre 1 sur

* (01)

, au les

D:

X'

son degre.

E, P , L ,D

01' =1T

l'injection

d

par

1T

•

sont des divi-

D:

(les diviseurs

peuvent

contenir des compos antes verticales au-des sus des points de codimension 1 de

sur

X'). D'apres 5.2, il existe des faisceaux inversibles

(i= 1 ••. ,n), des injections tel que

oci: Li

01'

(y

un isornorphisrne

r

L ••• 01

•

Comme

etale, Ie rnorphisme canonique E'

X'

est generiquement

1T

est injectif de sorte que

est un sous-faisceau de

evidemment

det(E ')

est encore nurne-

riquernent positif. D'apres 9.1, on a Li· C1(E') d'ou