Séminaire d'Algèbre Paul Dubreil: Proceedings. Paris 1977-78 (31ème Année) (Lecture Notes in Mathematics, 740) (French Edition) 9783540095378, 3540095373

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Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Oold and B. Eckmann

740 Serninaire d'Algebre

Paul Dubreil

Proceedings, Paris 1977-78 (Sleme Annee)

Edite par M. P. Malliavin

Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1979

Lecture Notes in Mathematics For information about Vols. 1-521, please contact your bookseller or Springer-Verlag.

Vol. 551: Algebraic K-Theory, Evanston 1976. Proceedings. Edited by M. R. Stein. XI, 409 pages. 1976.

Vol. 522: C. 0. Bloom and N. D. Kazarinoff, Short Wave Radiation Problems in Inhomogeneous Media: Asymptotic Solutions. V. 104 pages. 1976.

Vol. 552: C. G. Gibson, K. WirthmUller, A A du Plessis and E. J. N. Looijenga. Topological Stability of Smooth Mappings. V, 155 pages. 1976.

Vol. 523: S. A Albeverio and R.. J. Heegh-Krohn, Mathematical Theory of Feynman Path Integrals. IV, 139 pages. 1976.

Vol. 553: M. Petrich, Categories of Algebraic Systems. Vector and Projective Spaces, Semigroups, Rings and Lattices. VIII, 217 pages. 1976.

Vol. 524: Seminaire Pierre Lelong (Analyse) Annee 1974/75. Edite par P. Lelong. V, 222 pages. 1976.

Vol. 554: J. D. H. Smith, Mal'cev Varieties. VIII, 158 pages. 1976.

Vol. 525: Structural Stability, the Theory of Catastrophes, and Applications in the Sciences. Proceedings 1975. Edited by P. Hilton. VI, 408 pages. 1976.

Vol. 555: M. Ishida, The Genus Fields of Algebraic Number Fields. VII, 116 pages. 1976.

Vol. 526: Probability in Banach Spaces. Proceedings 1975. Edited by A Beck. VI, 290 pages. 1976.

R. Schaback and K. Scherer. VII, 466 pages. 1976.

Vol. 527: M. Denker, Ch. Grillenberger, and K. Sigmund, Ergodic Theory on Compact Spaces. IV, 360 pages. 1976. Vol. 528: J. E. Humphreys, Ordinary and Modular Representations of Chevalley Groups. Ill, 127 pages. 1976. Vol. 529: J. Grandel!, Doubly Stochastic Poisson Processes. X, 234 pages. 1976. Vol. 530: S. S. Gelbart, Wei l's Representation and the Spectrum of the Metaplectic Group. VII, 140 pages. 1976.

Vol. 556: Approximation Theory. Bonn 1976. Proceedings. Edited by Vol. 557: W. lberkleid and T. Petrie, Smooth S 1 Manifolds. 111, 163 pages. 1976. Vol. 558: B. We1sfeiler, On Construction and Identification of Graphs. XIV, 237 pages. 1976. Vol. 559: J.-P. Caubet, Le Mouvement Brownien Relativiste. IX, 212 pages. 1976. Vol. 560: Combinatorial Mathematics, IV, Proceedings 1975. Edited by L. R. A Gasse and W. D. Wallis. VII, 249 pages. 1976.

Vol. 531: Y.-C. Wong, The Topology of Uniform Convergence on Order-Bounded Sets. VI, 163 pages. 1976.

Vol. 561:Funct1on Theoret1cMethods for Partial Differential Equations. Darmstadt 1976. Proceedings. Edited by V. E. Meister, N. Weck and W. L. Wendland. XVIII, 520 pages. 1976.

Vol. 532: Theorie Ergodique. Proceedings 1973/1974. Edite par J.-P. Conze and M. S. Keane. VIII, 227 pages. 1976.

Vol. 562: R. W. Goodman, Nilpotent Lie Groups: Structure and Applications to Analysis. X, 210 pages. 1976.

Vol. 533: F. R. Cohen, T. J. Lada, and J. P. May, The Homology of Iterated Loop Spaces. IX, 490 pages. 1976. Vol. 534: C. Preston, Random Fields. V, 200 pages. 1976. Vol. 535: Singularites d'Applications Differentiables. Plans-sur-Bex. 1975. Edite par 0. Burle! et F. Ronga. V, 253 pages. 1976. Vol. 536: W. M. Schmidt, Equations over Finite Fields. An Elementary Approach. IX, 267 pages. 1976. Vol. 537: Set Theory and Hierarchy Theory. Bierutowice, Poland 1975. A Memorial Tribute to Andrzej Maslowski. Edited by W. Marek, M. Srebrny and A Zarach. XIII, 345 pages. 1976. Vol. 538: G. Fischer, Complex Analytic Geometry. VII, 201 pages. 1976. Vol. 539: A Badrikian, J. F. C. Kingman et J. Kuelbs, Ecole d'Ete de Probabilites de Saint Flour V-1975. Edite par P.-L. Hennequin. IX, 314 pages. 1976. Vol. 540: Categorical Topology, Proceedings 1975. Edited by E. Binz and H. Herrlich. XV, 719 pages. 1976. Vol. 541: Measure Theory, Oberwolfach 1975. Proceedings. Edited by A Bellow and D. Kolzow. XIV, 430 pages. 1976. Vol. 542: D. A Edwards and H. M. Hastings, Cech and Steenrod Homotopy Theories with Applications to Geometric Topology. VII, 296 pages. 1976. Vol. 543: Nonlinear Operators and the Calculus of Variations, Bruxelles 1975. Edited by J.P. Gossez, E. J. Lami Dozo, J. Mawhin, and L. Waelbroeck, VII, 237 pages. 1976. Vol. 544: Robert P. Langlands, On the Functional Equations Satisfied by Eisenstein Series. VII, 337 pages. 1976. Vol. 545: Noncommutative Ring Theory. Kent State 1975. Edited by J. H. Cozzens and F. L. Sandomierski. V, 212 pages. 1976. Vol. 546: K. Mahler, Lectures on Transcendental Numbers. Edited and Completed by B. Divis and W. J. Le Veque. XXI, 254 pages. 1976.

Vol. 563: Seminaire de Theone du Potentiel. Pans, No. 2. Proceedings 1975-1976. Edited by F. Hirsch and G. Mokobodzki. VI, 292 pages. 1976. Vol. 564: Ordinary and Partial Differential Equations, Dundee 1976. Proceedings. Edited by W. N. Everitt and B. D. Sleeman. XVIII, 551 pages. 1976. Vol. 565: Turbulence and Nav1er Stokes Equations. Proceedings 1975. Edited by R. Temam. IX, 194 pages. 1976. Vol. 566: Empirical Distributions and Processes. Oberwolfach 1976. Proceedings. Edited by P. Gaenssler and P. Revesz. VII, 146 pages. 1976. Vol. 567: Seminaire Bourbaki vol. 1975/76. Exposes 471-488. IV, 303 pages. 1977. Vol. 568: R. E. Gaines and J. L. Mawhin,Coincidence Degree, and Nonlinear Differential Equations. V, 262 pages. 1977. Vol. 569: Cohomologie Etale SGA 4 1/,. Seminaire de Geometrie Algebrique du Bois-Marie. Edita par P. Deligne. V, 312 pages. 1977. Vol. 570: Differential Geometrical Methods 1n Mathematical Physics, Bonn 1975. Proceedings. Edited by K. Bleuler and A Reetz. VIII, 576 pages. 1977. Vol. 571: Constructive Theory of Functions of Several Variables, Oberwolfach 1976. Proceedings. Edited by W. Schempp and K. Zeller VI. 290 pages. 1977 Vol. 572: Sparse Matrix Techniques, Copenhagen 1976. Edited by V. A Barker. V, 184 pages. 1977. Vol. 573: Group Theory, Canberra 1975. Proceedings. Edited by R. A. Bryce, J. Cossey and M. F. Newman. VII, 146 pages. 1977. Vol. 574: J. Moldestad, Computations in Higher Types. IV, 203 pages. 1977. Vol. 575: K-Theory and Operator Algebras, Athens, Georgia 1975. Edited by B. B. Morre! and I. M. Singer. VI, 191 pages. 1977.

Vol. 547: A Mukherjea and N. A Tserpes, Measures on Topological Semigroups: Convolution Products and Random Walks. V, 197 pages. 1976.

Vol. 576: V. S. Varadarajan, Harmonic Analysis on Real Reductive Groups. VI, 521 pages. 1977.

Vol. 548: D. A Hejhal, The Selberg Trace Formula for PSL (2,IR). Volume I. VI, 516 pages. 1976.

Vol. 577: J. P. May, Eoc Ring Spaces and Eoc Ring Spectra. IV, 268 pages. 1977.

Vol. 549: Brauer Groups, Evanston 1975. Proceedings. Edited by D. Zelinsky. V, 187 pages. 1976.

Vol. 578: Seminaire Pierre Lelong (Analyse) Annee 1975/76. Edita par P. Lelong. VI, 327 pages. 1977.

Vol. 550: Proceedings of the Third Japan - USSR Symposium on Probability Theory. Edited by G. Maruyama and J. V. Prokhorov. VI, 722 pages. 1976.

Vol. 579: Combinatoire et Representation du Groupe Symetrique, Strasbourg 1976. Proceedings 1976. Edite par D. Foata. IV, 339 pages. 1977. continuation on page 45 7

Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Oold and B. Eckmann

740 Serninaire d'Algebre

Paul Dubreil

Proceedings, Paris 1977-78 (Sleme Annee)

Edite par M. P. Malliavin

Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1979

Editeur

Marie-Paule Malliavin Universite Pierre et Marie Curie 10, rue Saint Louis en l'lle F-75004 Paris avec Ie concours de Jean-Etienne Bertin Universite de Caen

AMS Subject Classifications (1970): 02HXX, 13010, 13099, 13F05, 13HlO, 14LXX, 16A02, 16A26, 16A46, 16A50, 16A52, 16A72, 16B35, 18G15, 18H20, 20010, 20E25, 20F05. ISBN 3-540-09537-3 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN 0-387-09537-3 Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Serninaire d'Alqebre Paul DubreiL < 31,1977 - 1978, Paris>: Proceedings / Serninaire d'Alqebre Paul Dubreil : Paris 1977 - 78 (31. annee) / ed. par M. P. Malliavin. - Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1979. (Lecture notes in mathematics; Vol. 740) ISBN 3-540-09537-3 (Berlin, Heidelberg, New York) ISBN 0-387-09537-3 (New York, Heidelberg, Berlin) NE: Malliavin, Marie P. [Hrsg.)

This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means, and storage in data banks. Under § 54 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to the publisher, the amount of the fee to be determined by agreement with the publisher.

© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1979 Printed in Germany Printing and binding: Beltz Offsetdruck, Hemsbach/Bergstr. 2141/3140-543210

Liste des Auteurs

M. Andre p. 237 - F. Aribaud p. 184 - L.L. Avramov p. 243 - J.E. Bertin p. 190 R. Bieri p. 1 - R.E. Block p. 69 - G. Cauchon p. 397 - F. Couchot p. 170 R. Froberg p. 272 - J.M. Goursaud p. 432 - J. Herzog p. 230 - R.S. Irving p. 80 M.P. Malliavin p. 408 - J. Marot p. 198 - A.M. Nicolas p. 385 - A. Page p. 9 H. Rahbar-Rochandel p. 205 - R. Rentschler p. 88 - P. Ribenboim p. 444. J.E. Roos p , 285 - H. Rumeur p. 25 - C. Schoeller p. 323 - R.Y. Sharp p. 213 J. Valette p.432 -

D. Voigt p. 48 - E. Wexler-Kreindler p , 99 -

S. Yammine p. 120.

TABLE DES MATIERES

R. BIERI - Finitely presented soluble groups A. PAGE - Actions de Groupes

9

H. RUMEUR - Theoreme d'induction de Brauer et application au calcul des caracteres modulaires

25

D. VOIGT - Groupes algebriques infinitesimaux resolubles et leurs representations lineaires irreductibles

48

R.E. BLOCK - The irreductible representations of the Weyl 69

algebra Al

III

R.S. IRVING - Noetherian algebras and the Nullstellen satz

80

R. RENTSCHLER - Orbites dans le spectre primitif de l'algebre enveloppante d'une algebre de Lie.

88

E. WEXLER-KREINDLER - Series formelles tordues et conditions de chaines

99

S. YAMMINE - Les theoremes de Cohen-Seidenberg en algebre non commutative

120

F. COUCHOT - Classes d'anneaux contenant les V-anneaux et les anneaux absolument plats

170

F. ARIBAUD - Un ideal maximal de l'anneau des endomorphismes

J.E. BERTIN

d'un espace vectoriel de dimension infinie

184

- Prolongements des Q-anneaux de Matlis

190

J. MAROT - La classe des anneaux excellents est-elle fermee par limite inductive noetherienne plate?

198

H. RAHBAR-ROCHANDEL - La cinquieme deflection d'un anneau local noetherien

205

R.Y. SHARP - Necessary conditions for the existence of dualizing complexes in commutative algebra

213

JOURNEES D'ALGEBRES DE CAEN (Organisateur J.E.

J. HERZOG - Deformation

230

of certain Gorestein singularities

M. ANDRE - Algebre homologique des anneaux locaux de caracteristique deux

a

corps residuels

L.L. AVRAMOV - Homomorphismes d'anneaux locaux et homologie R. FRcrBERG - Some complex constructions with applications Poincare series

237 243

to

272

J.E. ROOS - Relations between the Poincare-Betti series of loop spaces and of local rings

285

C. SCHOELLER - Rationalite de certaines series de Poincare

323

A.M. NICOLAS - Generalisation d'un critere de Pontryagin concernant les groupes sans torsion denombrables a des modules sans torsion sur des anneaux de Dedekind. Conditions de rang, de type, de chatnes ascendantes

385

G. CAUCHON - Ideaux bilateres et centre des anneaux de polynomes de Ore sur les anneaux quasi-simples

397

M.P. MALLIAVIN - Catenarite et theoreme d'intersection en algebre non commutative

408

J.M. GOURSAUD et J. VALETTE - Sur les anneaux de groupe hereditaires

432

P. RIBENBOIM - Torsion et localisation de groupes arbitraires

444

IN MEMORIAN Jean-Etienne BERTIN vient de disparattre accidentellement Depuis cinq ans, il animait de

a l'age

de 40 ans.

constante ce seminaire ; il y avait

notamment apporte de nombreux travaux de ses eleves : F. Couchot (Lecture Note 641 p.198-208 et ce Lecture Note p.170-183). M. Paugam (Lecture Note 641 p.298-338) H. Rahbar-Rochandel (Lecture Note 641 p.339-357 et ce Lecture Note p.205

a 212).

v

FINITELY PRESENTED SOLUBLE GROUPS Robert BIERI (Report on joint work with Ralph Strebel) I. Intiioduction 1.1. Let

A O. We embedd

Q

as a discrete subgroup in the additive group of the Euclidian space (e g , tfc R n ) . IRn is endowed with the standard scalar product HI Cr) = MIM' --'i> N/N' is surjective. Since both every

l;: and

0/;: are Q -module homomorphisms it u s finitely generated as a Q -module for u uE. Sn-I. This is, in a sense, the crux of the argument. It is, once

remains to prove that

HI Cr')

i

again, obtained by a carefull analysis of the I-skeleton of

r

3. Metabelian groups 3.1. If

G

is a finitely generated infinite soluble group then there is

always a subgroup of finite index which has a free-Abelian homomorphic image of

O. Since neither type

CFP)2

nor being finitely presented is affected

by a jump of finite index, Theorem A applies. There are two kinds of applications : firstly, it is in general rather easy to verify whether a given module is tame, so that Theorem A can be used in order to prove that certain soluble groups are not finitely presented. More importantly, one also obtains some positive results ; this hinges on the fact that in the metabelian case there is a strong converse of Theorem A. Theorem B. If

Q is a finitely generated free-Abelian group and

tame Q-module then every extension of 3.2. Theorems

A and

A

£l.

A is a

Q is finitely presented.

B immediately yield a necessary and sufficient

condition for a metabelian groupe

G

to be finitely presented. Somewhat

surprisingly this condition does not involve the extension class [G';'-» G ->")GIG']

2(GIG' . H ; G'), so that we have.

Corollary 2. A metabelian group the split extension

G')(I GIG'

G is finitely presented if and only if

is finitely presented.

And another immediate consequence fo Theorems

4

A and

B is

-5Corollary 3. Every metabelian group 3.3. The proof of Theorem

(FP)Z

is finitely presented.

B is slightly technical and

I

shall merely

indicate the methods we use by considering a simple example. Let free-Abelian group Q-module

A

on two generators

x,y

and

let

We visualize the defining relation

=

by considering the convex hull of its support in Z the plane IR :;) Q. This is a triangle 6. ;

A

then we label the vertices of corresponding coefficients It

with the

origin and orthogonal to bounded by

x

A is tame : let

Then at least one of the closed half-planes

A which intersects

1

in a single vertex (with label

:lq, this has the effect that there is a sign

elements of boundary

1

u e. s 1

be the straight line throuhg the

1

Because parallel shifted triangles correspond to annihilators

'A

A

has the property that it contains a parallel shifted copy of

1

the triangle

u,

of

1

1

is now very easy to check that the Q-module let

I+x+y

1

ZZ (cf. figure).

be an arbitrary unit vector and

Q be the

A be the cyclic

c=

i

I).

'f.(I+x+y),

such that all

A represented by lattice points outside

Q but close to the cu are in fact expressable as a sum of elements represented by

lattice points in

Q And, of course, this can be iterated. We obtain that f u' A is generated, as an Abelian group, by the elements of Qeu' and hence A is cyclic as a The argument above shows not only that the Q-module that the annihi lator

1+x+y

A is tame, but also

alone is, in a sense, r espo naab Le

for its

tameness. It is a crucial step in the proof of Theorem B that, using compactness n-I of S ,one can always find a finite number of annihilators of A which are responsable for its tameness. Now let G

G = A)Q Q. Then

= (a,x,y ; [x,y] =

and we have to show

has the presentation i . I, aa x a Y = I, R .. = [aX yJ , a) 1.J G

=

1

all except a finite number of the relations

are redundant. For this we note -i -j 1 = [aa X a Y , aX Y ] [ a, a

(i,jE7l».

X-iy-j]U [X

(R.. ) x 1.J

a , a

x-iy-jJv [Y

a ,

aX-iy-j]W

-i -j -i -j -i -j y u (R. . ) x y v ( )x y W 1.+IJ. Ri j+]

5

R•.

1.J

-6-

where

u,v,

and

ware words in

which need not concern us. It

la, x, y}

follows that any of the occuring relation is a consequence of the two other ones. Now we can systematically deduce new relations of the forme from given ones as follows: assume that some finite set

R..

].J

=

1

R.. = ].J

holds for all

(i,j)

Mer; take a parallel shifted copy of our triangle

with the property that

two of its vertices coincide with points in

in

Ii M; then

the third vertex leads to a new relation. A similar calculation, starting with , aa x a

YJ--

... ,

-.1,

shows that the reflected triangle

too, can be used to deduce new

relations in the above procedure. It has now become obvious that all relations R = 1 can be deduced from R = J (and ROO ij 01 G. Baumslag's group mentionned in Section 1.2.

= 1), hence

G is in fact

I have sketched the proof of Theorem B in a simple special situation. In the general case, and particularly if the extension is not split, one needs more subtle commutator calculations and a few elementary geometric arguments in order to keep track of the consequences of given relations.

4. Further applications The more general character of Theorem A allows a few applications beyond the metabelian case. Let Ip: G

G be an epimorphism between two

soluble groups. If

then, by Theorem A, G' IG"

G is of type

(FP) 2

as a module over some subgroup of finite index in

is tame

GIG'. Being tame is clearly

inherited by homomorphic images, hence the same holds in

G.

If

G

is

metabelian this makes it finitely presented by Theorem B. In particular we have: Corollary 4. If a soluble groupe metabelian homomorphic image of

rr 2lJl,

G

is finitely presenteiL so

G.

This has an interesting consequence for groups in the variety i. e., for groups

N$ G, such that

Q = GIN

Corollary 5. If

G containing a nilpotent normal subgroup of class 2, is Abelian

G is a finitely presented group

(i) every homomorphic image of (ii) G

in

'fl2 111

G is finitely presented.

is residually finite.

6

then

-7Proof. (i) Let

Z

be the centre of

finitely presented. This shows that But

Z

N. Then

G/Z

Z

is finitely generated. Now, let

subgroup. Then

G/Z-module.

Hl'I Z

is a finitely generated

(G/Z)/(HZ/Z)

Q-module. On the other hand

is finitely presented and hence

as a normal subgroup and (ii) By using Z

G/H

every

H

R, G G. R

(Ld.) •

se prolonge

Z(R) =

On a

anne au total de fractions simple (th. 0.2. (i).

Q

et

est l'anneau total de fractions est l'anneau total de fractions

a et l'enveloppe injective a droite : crest un anne au

R = Q

(a) ) et comme c'est l'enveloppe injective de

a

un anneau de Goldie (ii) _

a

Q QG

lci

a a

de

RR est son QG- est semiG G R , R est bien

droite.

(;)G

;G

est un anneau semi-simple

la conclusion provient

du lemme facile suivant Lemme 3.9. Si R

R

est semi-premier sans IG!-torsion et si

est semi-simple,

est semi-simple. La conclusion

si

G R

Rest reduit avec

;G, et on ne sait pas si montre que si

b)

du theoreme 3.6. reste-t-elle valable G R est encore essentiel dans

!GI-torsion. On ne sait si ;G

est regulier auto-injectif. Cependant G R verifie la condition

G. Renault a

Rest reduit et si

0,

(c)

il en est de meme de

R. Par suite sous cette hypothese.

Rest reduit (6) et

;G

est donc regulier auto-injectif (th. 3.5). On peut alors en deduire que les conclusions du corollaire 3.8. subsistent lorsque

Rest reduit avec

c'est un theoreme de V.K. Kharchenko (16, tho 3).

16

!G!-torsion:

- 9 Soit R ; Q

R

un anneau reduit de Goldie et

est un produit de corps et

systeme de de degre

Q

l'anneau total de fractions de

(§. 0) c'est un QG-module a droite admettant un G R

IGI generateurs. Si l'on suppose que de plus, d

on sait que son anneau total de fractions

standard de degre

d. Comme

Q

est un QG-module alGI

SIGld (24), et il en est de meme de

QG

satisfait une i.p.

satisfait l'identite

generateurs il satisfait

R. En fait on ales resultats beaucoup plus

generaux suivants Theoreme 3.10.

(V. Kharchenko, 16) Soient R un anneau reduit et G un groupe G R. Si R satisfait une identite polynomiale de degre

fini d'automorphismes de d,

R

satisfait l'identite standard de degre

Theoreme 3.11.

(v. Kharchenko, 15) Soient

un groupe fini G d'automorphismes de R, tel que R soit sans IGI-torsion. On suppose que R satisfait une identite polynomiale de degre (a) R

R

IGld. un anneau et

G

d, alors :

satisfait une ouissance de l'identite standard SIGld.

(b) Si de plus

R

est semi-premier, il satisfait l'identite standard

§.4. CONDITIONS DE CHAINE I - Condition noetherienne. Les principaux resultats concernant Ie transfert de la condition noetheG R a R sont resumes dans l'enonce suivant.

rienne de

Theoreme 4.1. Soient phismes de

R

un anneau semi-premier et G un grouoe fini d'automorG R est noetherien a droite ; alors R est noe-

R; on suppose que

therien a droite dans chacun des cas suivants : (a) R

est reduit

(b) R

est sans

(c) R

est a identite polynomiale.

Les

(a) et

(b)

;

IG I-torsion sont dus a R. Farkas et R. Snider (8) , ils sont conse-

quences immediates de la Proposition 4.2.

(8)

Si

R

est reduit ou semi-premier sans !GI-torsion, et si

c'est un anne au de Goldie, c'est Un sous-RG-moduie d'un RG-module a droite de type fini. Cette proposition repose sur une etude du cas semi-simple (§.O.). Dans Ie cas commutatif Ie

(a) du tho 4.1. a egalement ete obtenu par J. Brewer et

E .. Rutter (5).

17

- 10 -

Le R

(c)

a ete demontre par D. Handelman, J. Lawrence, W. Schelter lorsque

est premier ou sans IGI-torsion (12)

; ces derniers ne disposaient pas de la

proposition 4.2., qui dans le cas commutatif, leur aurait suffi -comme ils en font la remarque- pour conclure au sur

(c) du tho 4.1., sans hypotheses supplementaires

R.

: 1) Dans l'exemple 1-3,

R

est semi-premier, non noetherien, alors que

G R

est noetherien. 2) Dans les exemples 1-7 et 1-8, R est sans !GI-torsion, non noetherien, G alors que R est noetherien de plus dans 1-8, Rest commutatif.

11 est facile de voir que si on a

G IR('\R

R, pour tout ideal a droite

I

de

I, d I ou :

1

Proposition 4.3. Si IGI- E R

et si

R

G est noetherien a droite, R

est noethe-

rien a droite.

11 existe des anneaux commutatifs integres noetheriens (23), munis d'une involution

s t e l l e que

que nous connaissons, Question : Si

R

R

S

ne soit pas noetherien. Cerendant, dans les exemples

2; d'ou la

est de caracteristique

Rest noetherien a droite sans

IGI-torsion,

G R

est-il noethe-

rien a droite ?

II - Condition artinienne. Le cas semi-premier c'est-a-dire semi-simple a deja ete etudie ; dans le cas general, on ne peut esperer de resultat satisfaisant : ex. 1-7, 1-8. On va G R (resp. R) par son radical premier est

etudier la situation ou le quotient de

semi-simple. On utilisera le resultat suivant : Theoreme 4.4.

(19)

Soient

Si

un anneau semi-premier, et

R

tomorphismes de R tel que G G. fient rad R = rad R 1"\ R

R

IG[-le. R, la propriete est vraie (10)

en rendant IG!

G

un groupe fini d'au-

soit sans IGI-torsion. Les radicaux premiers veri-

si

R

est sans IGI-torsion,

inversible par localisation, on montre facilement que

IGI.rad RGC rad RI"\RGC rad R

(la derniere inclusion etant classique). La conclu-

sion provient alors du lemme suivant : Lemme 4.5.

(G. Renault) Soient

R

un anne au et

soit sans n-torsion ; alors la relation

x E R,

18

n nx

un entier > 0 rad R, entral:ne

tel que

R

x E rad R.

- 11 -

On considere un ensemble semi-multiplicatif

S'

U

nkx.

S'

contenant

SCR

est un ensemble semi-multiplicatif contenant

x

on pose

nx ; on a done

k>-O OE S', d I ou

OE S.

On va deduire de ce qui precede la : Proposition 4.6. Si

R

est sans IG!-torsion les proprietes suivantes sont equiva-

lentes G RG/rad R

(i)

est semi-simple.

(ii) R/rad R (i) =>

est semi-simple. G RG/rad R est sans IG!-torsion (lemme 4.5.), IGI est done inverG, rad R c'est-a-dire inversible dans R. G opere par automorphis-

(ii).

sible modulo mes sur

R/rad R

et on constate sans difficulte que

On conclut a l'aide du lemme 3.9. (ii) =>

(i).

On Ie montre de

analogue en utilisant Ie tho 0.2.,

(a).

En vertu des tho 0.3. et 4.4., si R est sans IGI-torsion, il est equiG valent de dire que rad R est nilpotent ou que rad R est nilpotent. Par suite Theoreme 4.7. tel que

(1)

(10) Soient

un anneau, G

un groupe fini d'automorphismes de

R

soit sans IGI-torsion. Les assertions suivantes sont equivalentes G (i) R est semi-nrimaire. (1) (ii) R est semi-primaire.

rad R

est nilpotent et

Un anneau toute suite si

R

R

R/rad R

(x ) n

R/rad R

est semi-simple.

Rest parfait

a

d'elements de

rad R, i l existe

droite si

rad Rest T-nilpotent (i.e. pour n

0

tel que x

n

... x 0

1xo

= 0)

et

est semi-simple. I l est evident que si R est parfait a droite sans G R . Le probleme de la reciproque est posee par

IGI-torsion, i l en est de meme de J. Fisher et J. Osterburg (10)

; ces derniers demandent de

plus precise si

Ie theoreme de G. Bergman et I. Isaacs (th. 0.3.) reste valable si on remplace la nilpotence par la T-nilpotence. On ales resultats partiels Proposition 4.8. R

(1)

R

est sans IGI-torsion et si

G R

est central parfait,

est parfait.

Proposition 4.9. R

(10) Si

(7) Si

R

est sans !G[-torsion et si

G R

est parfait a droite,

est semi-parfait (1) Le quotient de

idempotent de

R

par son radical de Jacobson

R/J(R) se releve en un idempotent de

19

J(R) est semi-simple et tout R.

- 12 G) G, = rad R J(R et

On a ici par suite

J(R)

R/rad Rest donc semi-simple (prop. 4.6.),

est egal au nilideal

rad R, d'ou le resultat.

proposition 4.10. (z. Maoulaoui) Si R est commutatif semi-parfait (avec ou sans G IGI-torsion) , R est semi-parfait. 2 G G) Soit x E: R tel que x -xE J (R , comme Rest commutatif, il est entier G, G) sur R on a donc J(R Par suite x est idempotent modulo J(R) et 2 i l existe donc e = e ERtel que x-e J (R). On a pour 9 G • g (x-e) =x-g (e) J (R) d'ou

e-g(e)

a alors

E J(R)

; on en deduit que l'idempotent

e(l-g(e») est dans G gee) = g(e)e = eg(e), d t ou eER G) On etablit aisement que RG/J(R est semi-simple.

J(R), on

e = eg(e), de meme

: 1)

w.s. ment

Martindale (18) a montre sur un exemple que l'on a pas necessaireG G) J (R) R = J (R merne si R est sans IG I-torsion. On peut aussi

le montrer rationnels R

a a

l'aide de l'exemple 1.9.a) denominateur impair;

IGI

qUi est cependant sans 2-torsion,

: prenons pour

=2 G) J(R

A

l'anneau des

n'est pas inversible dans est l'ensemble des

G) et n'est 1 11] est dans J(R (1 IG!-l E R, les resultats du tho 4.4. et la

tels que

(a-b)E 2A ; en particulier

pas dans

J(R). Cependant si

prop. 4.6. subsistent si l'on remplace

rad par

J

(voir en particulier

20) . Les remarques suivantes sont dues

a

J.L. Pascaud et J. Valette

2) On n'a pas necessairement : G R semi-parfait R semi-parfait, 1 meme si !GI- E R : dans l'exemple 1.9.b) si on prend pour lise de l'est pas

en

S =

R

est semi-parfait alors que

A R

G

le loca'"

A[i]

: c'est un anneau integre non local.

3) On n'a pas necessairement : G semi-parfait R

R

semi-parfait,

meme si IG!-lE R : dans l'exemple

1.10., on prend pour

A

le meme

anneau que precedemment. Pour terminer ce paragraphe signalons un resultat dfi

a

C. Jensen et

S. J¢ndrup : proposition 4.11. (13) Si G plat, R est artinien.

R

est commutatif artinien, et si c'est un RG-module

On a egalement l'analogue de la prop. 4.3. lorsqu'on remplace la condition noetherienne par la condition artinienne.

20

ne

- 13 §.5. SOCLE ET IDEAUX SINGULIERS J. Fischer et J. Osterburg (10) ont pose la question de savoir si lorsque G du socle droit de R note R est semi-premier sans IGI-torsion la trace sur R G G». La reponse est affirsoc R (resp. Z(R» est egale a soc R (resp. a Z(R mative. Theoreme 5.1.

(7) Soient

R

un anneau semi-premier, G

phismes de

R tel que R soit sans G (a) soc RnR = soc RG G (b) Z (R) n R = Z (RG) .

un groupe fini d'automor-

IG!-torsion.on a

La demonstration decoulera du lemme suivant : Lemme 5.2. Si R est semi-premier sans IGI-torsion; pour tout ideal a droite G, G I < R il existe un ideal a droite J < R tel que JnR soit inc ius dans I. So it

K

et on cons Lde ro

a droite complement de

un ideal G E J" R

x

IR

dans

R; on pose J = IR

e

On a n

L x.a.+k,

x =

i=l

l

a.EO R, r,

l

ke,K,

d'ou

n

L x.

i=l Si

tr k

f

0, il existe

tra.+tr k.

l

l

a£RG/O

tel que

O. Ceci entraine Par suite

tr k = 0

et IGI (J

IGlxEI. On a donc 1'\

d'ou le resultat puisque

G) R c I

IGIJ < R.

a

la demonstration du tho 5.1. on montre facilement les incluG G, Z(RG):)Z(R)f'lR G G (a) Soit x Esoc Rf"\R ; on va montrer que x Esoc R en prouvant qu'il G. appartient a tout ideal a droite I < R D'apres le lemme 5.2., il G existe un ideal a droite J < R tel que J f"\ R C I. On a

Revenons sions

(tr k)aEI/O ; on a alors

ka = 0, soit la contradiction (tr k)a

soc RGC soc Rf"\R

(b)

x E soc R => x E J => x E I . G, G). x E Z (R Comme r (x) < R il existe un ideal a droite J < R G qu' on peut supposer G-invariant tel que J f"\R C r (x). On a les relaG tions aEJ, xc EJnR => IGlxa = tr(xa) = x(tr a) = 0 puLsque So it

traEJ('\RG,et

xa=O.Parsuite

variant, ceci entraine Remarque:

xJ = 0

XJf'lRG=O

d' ou

M. Lorenz (17) a etabli l'egalite

x

etcomme

xJ

estG-in-

Z (R) .

G Soc R

G Soc RnR

lorsque

Signalons que l'article de M. Lorenz comporte une etude detaillee des

21

- 14 ideaux vrimitifs, l'un des resultats les plus importants etant "Si si tout ideal primitif de

R

est maximal tout ideal primitif de

IGIG R

1E

R

et

est

§.6. SUR LES lDEMPOTENTS Rappelons qu'un anneau droite si tout ideal neau de Rickart

a

a

Rest hereditaire (resp. semi-hereditaire)

droite (resp. de type fini) est projectif ; R

droite, si tout ideal

un anneau de Baer si l'annulateur

a

a

a

est un an-

droite monogene est projectif ; Rest

droite (ou

a

gauche, c'est equivalent) de tout

sous-ensemble est engendre par un idempotent. On introduit de fa90n naturelle les notions d'anneau hereditaire, semi-hereditaire, de Rickart. Dans l'exemple 1.g.a) prenons

est alors hereditaire, et

c'est de plus un anneau de Baer. Cependant on constate aisement que anneau de Rickart ni

a

droite ni

a

gauche. lci cependant

R

G

R

n'est un

est sans IG!-torsion

et l'on voit donc la necessite d'imposer des hypotheses tres fortes, pour etablir G le transfert de R a R de proprietes relatives aux idempotents et aux projectifs. Theoreme 6.1.

(7) Soient

On suppose que

R

R

un anneau, G

est un anneau de Rickart

a

a

gauche (resp. de Baer) alors

R.

G R

gauche (resp. de Baer) dans chacun des cas suivants

a) IGI est inversible dans G b) R est central. c) R

un groupe fini d'automorphismes de

est un anneau de Rickart

R.

est reduit.

On pourra consulter (14) pour le cas commutatif.

:

L'exemple 1.11. dfi a G. Renault montre que la reciproque est fausse : R 1ER, G IGIR n'estni de Baer ni de Rickart, alors que R ve-

est commutatif

rifie ces deux hypotheses. Theoreme 6.2.

(3,7) Soient

R

un anneau, G

un groupe fini d'automorphismes de R.

On suppose que R est un anneau semi-hereditaire (resp. hereditaire) a gauche, G alors R est semi-hereditaire (resp. hereditaire) a gauche dans chacun des cas suivants : a)

IGI est inversible dans

b)

R

R.

est commutatif.

L'exemple 1.12 dfi

a

G. Renault montre que la reciproque est fausse en general G dans cet exemple R est hereditaire, alors que R commutatif integre n'est pas 1 integralement clos, et n'est donc pas hereditaire on a IGIR.

22

- 15 -

BIBLIOGRAPHIE

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paraitre.

23

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a

paraitre)

J.L. Pascaud et J. Valette ont apporte une reponse negative

a

la ques-

tion posee page 7 : R

quasi-frobeniusien,

IGI-

1e

R

G R

quasi-frobeniusien?

2) J. Osterburg nous a signale que C.L. Chuang et P.B. Lee (Chinese J. of Math., 5 (1977), 15-19) avaient donne l'exemple d'un anne au noetherien R pour lequel il existe un groupe fini d'automorphismes G tel que R G soit sans IGI-torsion et tel que R ne soit pas noetherien. Ceci repond negativement

a

une question posee page 10.

Manuscrit remis Ie 30 janvier 1978, sous forme comp Le t.e e Le

3 juin 1978. A. PAGE Universite de Poitiers Faculte des Sciences Mathematiques 40, Avenue du Recteur Pineau 86022 POITIERS

24

Theoreme d'induction de Brauer et application au calcul des caracteres roodulaires

Huguette RUMEUR

Le but de cet expose est de generaliser, sous des hypotheses convenables, un t heoreme d ' Atiyah [I] concernant les carac t e r e s complexes des groupes finis. Le resultat fera intervenir des matrices de Cartan. Un calcul explicite dans Ie cas d'un produit direct de groupes elementaires termine l'expose. A. Groupe de Grothendieck d'une categorie additive de modules. §.I. Introduction et notations Soit

G un groupe fini, A un anne au commutatif unitaire. Soit

t

l'une des categories suivantes - la categorie des AG-roodules de type fini - la ca t ego r i.a des AG-roodules de type fini qui sont A-proj ectif s , - la categorie des AG-roodules projectifs de type fini. Le groupe de Grothendieck associe

a

l'est de la maniere suivante. Soit

M des

l'ensemble des classes d'isomorphisme definie par

M+

= M ffi

objets de

&

P

muni de l'addition

M'. On obtient ainsi un semi-groupe commutatif qu'on

plonge dans un groupe connnutatif

Ie sous groupe engendre

Soit

par les elements de

IM-M'-M" ; M,M',M" t:

J.[; / (::Iff)t,;'

,0--)

M' --')M

suite exacte} . Alors

est Ie groupe de Grothendieck assode

groupe de Grothendieck de f:

d ' un element

M de

a

(5. La classe dans Le sera notee

[M] .

Les

groupes de Grothendieck associes aux trois categories precedentes seront notes respectivement

K(G,A), KP(G,A)

II est innnediat que

P(G,A)

classes d'isomorphisme

P

et

P(G,A).

est isomorphe au groupe additif engendre par les des

AG-roodules projectifs de type fini. 25

-2-

On identifiera ces deux groupes. Tout element de

P-Q

ou

P

Q sont des

et

P(G,A)

sera donc de la forme

AG-modules projectifs de type fini.

P(G,A) - ) K(G,A)

Definition : Soit GG

'P-Q

1----'

[p) - [Q l

Get homomorphisme est appele homomorphisme de Gar tan associe a G. Sa matrice

a des

par rapport associee

a

bases de

P(G,A)

et

K(G,A)

s'appelle la matrice de Gartan

ces bases.

Rappelons (cf.[SJ) Lemme 1 : Si

A est un anneau commutatif unitaire noetherien de dimension

homologique globale finie et

G un groupe fini, pour tout

M, il existe un entier

fini

0-) L

/In

n

n

et une suite exacte

"'n-l

------7 L - 1 - - - ) n

ou les

L sont des i de type fini _ (pour

L O

-)

'1. 0

---';>

M -,0

AG-modules dont les A-modules sous jacents sont projectifs 0 {, i

n) •

On trouve Ie resultat suivant dans Bass, Heller et Swan Lemme 2 : si pleines de

:fG

[21

est une categorie abelienne, si cJfcj(, sont des sous categories

satisfaisant aux conditions suivantes :

Jf sont fermees pour les sommes directes finies.

a) b) Si

0 _ ) M' __'> M

c) Si

--') M" ----'> 0

alors

M, M" JIo

est une suite exacte dans

Alors l'inclusionvr (ii) Si /\

d'ordre

>K(G, /\) --

>0

est un anneau connnutatif uni taire con tenant les racines de I' uni te

m, la suite K(H, /\ ) - - -G-) K(G, 1\ ) -----') 0 Ql IndH HEE

Ql

H E

est exacte

La structure de

K(G,I\ )-module de

est exacte.

K(G,A») KP(G,A)

et

P(G,A)

permet

d'enoncer Ie theoreme de Swan en utilisant des restrictions de modules:

A

Theoreme 1 : si

A algebre

est un anneau de Dedekind, A

commutative

unitaire et si l'une des deux conditions suivantes est realisee :

(0 X

=

(ii) X = E

ou et

l'exposant de

/\ contient les racines de I 'unite G

d 'ordre

m oil

alors

1) l' application

K(G,A) -----G-· Ql Res H

•

-?Ql

c'est-a-dire qu'il existe

,+,o( $ H8C

K(H,A)

est une injection directe

HEX

y:

Ql

K(H,A) _'> K(G,A)

H X

idK(G,A)

28

telle que

m est

-52) les applications

KP (G,A) (jl

HEX P (G,A) (jl

HEX

PRes G H

)(jl HEX

KP(G,A)

:.

P(H,A)

(jl

HX

s ont des injectives directes. Demonstration : Si

d e s i gne Le

la proposition I,

"u dans

Considerons

K(G,A)

merrt , Si

K(G,A), v

v

'f:

Hex

tel que

K(H,")

L

U] ;

HEx

munie de la structure de H£X

proposition 4. du §.I. Soit

L

AG-module trivial, il existe d'apres

K(H,A) ---> K(G,A)

(jl

HEX

alors

t'

sr:»

\jJ

0

(L

;

L

idK(G,A)

HEX

ce qui prouve que

(jl

HEX

Res

G

H

(lfl

0

L.

(v )

"I

est une injection directe. Les deux autres

proprietes se demontrent de la meme maniere. Dans Ie cas des caracteres complexes Atiyah [I] a determine les familIes de caracteres qui proviennent par

restriction de

caracteres. Ce resultat

peut etre generalise. Theoreme 2 : Soit A

"

G un groupe fini d'exposant

m, A un anneau de Dedekind,

algebre commutative unitaire. Le diagramme suivant

(JJ)

est

commutatif· Si l'on suppose de plus qu'on est dans l'un des cas suivants (i) X (ii) X ; E

de

(,l) )

et A contient les racines de I' uni te d' ordre

sont des suites exactes

29

m

alors les lignes

-6-

G III PRes H HeX

P(G,A)

1

1

Co

a AI

a- g (a)

I,

bx \

PA (L u H) HfX

g

PA X et

u

E: 6l

H

()x([M] -

6l K( (jl Ha; (H,H')EE)(E

i'

I

1

G

I

d

o --0) K(G,k )

(jl d H HEE

(jl

(jl

(jl

d k , .j - 1 > 0 and so I..la.J- k = u-l = s.J- 1 - k Also in the expression (1) for f. k(a) (with a = pc , 1) , JJk .) = s. 1 - s. + s. k J' , while the I..l « a J. / e J. ) c J. - k ,J.) = I..l«e.J - l/e.)c. J J - ,J JJ J- , succeeding terms of fj_k(a) , being multiples respectively of Cj-k,j-l,···,cj_k,j_k+l ' all have values of

I..l n

at least

Sj_l - k+l

Since e.J- kif.J- k(a) and I..l nJe. k = s.J- k s.J- 1 > s.J- 1 - k , we must have s· 1 - k = s· 1 - s. + s. k . , that is, s. k ' s.-k, and JJJ J - ,J J -,J J also

Hence to complete the proof of Lemma 2 it only remains to show that (s , 1 - k+l)Sk_l,j_l + Sk,j -1 J-

= Skj ,

j > k > 0

.

But this equality holds since it just represents the expression of Skj as the sum of those terms for which tk-l = j-l plus those terms for which q.e.d . Lemma 2. < j-l

.

Proof of Lemma 3. Let v denote the largest integer such that sv i f Then 1, Sj v for all j , Sv = v, si i > v and so si = v for all i Then Skj = 0 i f k > v v since in this case each term of Skj contains a factor St - v with Note that for 0 ,; i < k r v t s v-l > v-l

sr-k,r-i

sr_i - (k-i)

Indeed this is an equality by Lemma 2 unless latter case we have sr-i - (k-i) In particular, if

sk-i-l

k-i-l

while i f Lemma 2,

sk-i-l > k-i-l

then

k-i-l

in the

sk-i-l - (k-i) < 0 . then i-k

(c r_k , r-i /

s k-i-l

)(a)

sr-k,r-i

=

0

= Sk-i,r-1.

I..ln(er_i(q-n)

i-k

)

and by

Sk-i,r-i . Now in (1) take a = b = b pr + ••. + b For o k ,; r we claim r a that I..ln f r- k(b) I..l b + r-k This holds when k = 0 since fr(b) = b r and I..lnb r I..lab + r by the definition of I..l fJ.b. Suppose it holds 75

8

for all

i < k.

Then if \..l a «f

i < k ,

.(b)/e

\..la.b + r-i-s

.)c r- k

.)

. + s r- k

. - \..l a b + r-k ;

also, \..labr-k \..la.b + r-k , so that the value of (1) is at least \..l b + r - k , proving the claim. a. k 0, .0., r we may now define For

on each term in

=

a.

Thus what is to be proved is that For 0 i < k r we have

b)

•

8a.,b(s).

Therefore, by (1), (2)

=

- '-1..=0 'Pr-iSk-i,r-i .

For any positive integer n we consider the compositions (= ordered partitions) C of n , that is, the distinct ways of writing n as a sum n = Cl + + with each Ci a positive integer. We also regard n 0 as having a unique (empty) composition For 0

j

0

and

0

i

C. J

Wki =

!t

k

r , define

'j

and

Wki by

J

of

__(Cl) SC. r-i-C -···-C. J' 1 J-l

where the sum is over all compositions we claim that

C

of

k-i.

When k = 0 this follows from (2) since W = 1. oo for l,···,k-l in place of k By (2),

For

0


O. Since the compositions of j are obtained from

those of k , as k goes from 0 to term of j-k, the left side equals

.. YCi,J-(J-k)-Cl-",-C i_ l

YJ-k,J'-C of k '-1

j - l , together with a first

k

= ra=o(-l)Yj_k,j(-l) (to,k,x) by an inductive hypothesis on j . This is supposed to equal (-l)j(to,j-l,x) , that is, what is to be proved is that

.

'"1a

involves the basis vector

is not a scalar multiple of

coefficients than some

v

n

for

o.

-4This proves simplicity. For faithfulness, it is clear that if some a in some

s

S annihilates

in

we can find an element in

A annihilates

V, then

V. Therefore, multiplying by some element of k[t,t-l,y]CK[y]

which annithilates

V. Let

T, q(y)

be such an element. But q(y).v for

so

n') 0,

n

n

q(t + .•• +1)

for all

0

n

v O. This means that

q(y)

0, and

V

must be fai thful.!1 Theorem 2 also implies that

A

does not satisfy generic flatness as a

k[tJ-algebra. An analogous example over the integers may be found in

[7]. Of

course, the possibility remains that such pathological behavior cannot occur for noetherian algebras over other countable fields. Let us now consider some examples which do not satisfy the Nullstellensatz over any countable field

k. These examples, although not

noetherian, are

still Ore domains. Moreover, they closely resemble the noetherian algebras for which the Nullstellensatz does hold. of fractions

K

(if

R

is finite, let

R), and let

f : S --) S extension

to be the identity on

f(Yn)

= Yn+I'

Then form the Ore

I

This is a finitely-generated k[t]

R, and

oo). Define the automorphism

S[x,x-I ; f .

B =

=

K be a countably infinite field

S = R [oo . ,y -1 ' Yo' Y1"

countaining

R

R be a countable domain with field

Let

R-algebra, and an Ore domain. The special case

in the next theorem yields counter-examples to the Nullstellensatz

for any countable field

k.

Theorem 3 : For any countable commutative domain

R, the algebra

B is primitive.

Proof: We construct a faithful, simple B-module, similar to the one in the proof of Theorem 2. Let

l vn

V be the K-vector space with basis

let x.v

= v

n

YO·vn where the elements order to insure that structure of

c

n

=

: n ;z-J, and

n+l cnv n '

are non-zero scalars in

K, which we will choose in

V is faithful and simple. This determines the B-module

V, since y .v

r

c

n

n+r

.vn

Let us see what assumptions are necessary on the scalars to be faithful. It is evident that if

b.V

83

=

(0)

for some

b

c

n

in

for

V

B, then

-5-

s.V = (0)

for some

s

in

S. The element

assume involves the variables

s

is a polynomial, which we may

YO'" "Ym' so that

s = s(YO""'Ym)' Then

s.v n = s(cn,···,cn+m)·vn . Thus if every element the

in

S

is non-zero on an appropriate sequence of

V must be faithful. This imposes countably many conditions on

then

the

s

, each condition involving finitely many of them.

Now consider simplicity. For B.v

in

vlO

V, we want to prove that

V. Let n

L.

v

with

d

10.

m

d .v ..

i=m

Then n

L.

i=m If we choose

cm+r, ... ,c

appropriately, then this is a non-zero scalar

n+ r multiple of a basis vector, and so

B.v

Simplicity follows if we can show that

contains B.v

c.v

for some O contains K.v But O'

cfO

in

K.

YrcvO so this is the case if the sequence of of

contains every non-zero element

K. In summary, we may list a countable set of finite conditions on the , which insure that

V

c's

is faithful and simple. Since the

n

can be

chosen in such a way that these conditions are satisfied, the theorem is provedJI Observe that the same theorem holds if we adjoint to all the elements (Y n}

R

of the

This is the extension of the free abelian group on geneby the infinite cyclic group generated by x

-I

Ynx

for any infinite group

x, via the action

Yn+ l .

Thus Theorem 3 proves that R[ZtGJ

the inverses of

Yn' The resulting algebra is the group ring over

wreath product rators

B

is a primitive group ring. More generally,

G and domain

R with card(R)

card(G), the ring

is primitive (9J, as an extension of the proof of Theorem 3 shows. The "differential" analogue of this example produces still more algebras

which do not satisfy the Nullstellensatz. Let characteristic of

S

0, and let

which vanishes on

extension

R be a countable domain of

S = R (yo'YI""]' Define

d

to be the derivation

R, and for which d(y = Y C be the Ore n+!' Let n) S [x;d] . This is the ring of polynomials in x over S, with the

multiplication rule sx - xs

des) .

84

It is finitely-generated over

R, and may be viewed as the enveloping algebra

of the infinite-dimensional Lie algebra

The algebra group

L

L

with basis

x,yo' ...

and relations

is solvable of derived length two, and closely resembles the

L7.'\..,z. The corresponding result is

Theorem 4 : Let

R be a countable commutative domain of characteristic

Then the algebra

C

o.

is primitive.

We omit the proof, which may be found in [8J. Again, in case

k[t],

R

we

obtain a counter-example to the Nullstellensatz. We now consider the problem of characterizing primitive ideals. As indicated at the beginning, the Nullstellensatz is a useful tool in dealing with this problem. One successful characterization, due to Dixmier, is the following Theorem :[2, 4.5.7) Let field

k, and let

L

be a finite-dimensional solvable Lie algebra over a

U be its enveloping algebra. For a prime ideal

P

of

U,

the following are equivalent (i) P

is primitive

(ii) The center (iii) P P

of the quotient ring Q(U/P)

intersect in an ideal properly containing

Note that the quotient ring of U

is algebraic over

k,

is locally closed; i.e., the prime ideals properly containing

U/P

in (ii)

P.

exists by Goldie's Theorem, since

is noetherian. The implications

hold for any finite-dimensional

Lie algebra. Indeed,

holds for any Jacobson ring, and

follows from the Nullstellensatz and the following result Lemma: [2, 4.1.6]

simple

R be a primitive noetherian ring, and

R-module. Then there is a monomorphism of the center of

the center of

M a faithful, Q(R)

into

EndR(M).

It would be interesting to know for which families of noetherian Jacobson rings such a characterization of primitive ideals holds. Lorenz and Passman have proved [IIJ:

85

-7-

G be a nilpotent-by-finite group, and let

Theorem : Let

P

be a prime ideal

k(G). Then the conditions (i) , (ii) , and (iii) are equivalent

of the group ring

to each other, and to the property that

P

is maximal.

However, the three conditions are not equivalent for group rings of polycyclic-by-finite groups in general. Roseblade has proved that for an absolute field keG]

k

and a polycyclic-by-finite group

are finite-dimensional over

primitive, yet the ideal

G, the simple modules of

k (13]. It follows that

keG]

cannot be

may satisfy condition (ii) • We should add that

(0)

(i) and (ii) are equivalent. as long as

k

is not absolute

lll] .

On the other hand, Lorenz has constructed a polycyclic group that

k(G]

is primitive (provided

locally closed [10] . The group on generators

and

x

is non-abso lute) and

k

(0)

G is the extension of the free abelian group

by the infinite cyclic group generated by

y

G such

is not z, with

respect to the action z

-1

xz

2

x y

z

-)

yz

=

xy.

Still another example is provided by the algebra

A of Theorems 1 and

2. In contrast to Lorenz's example, A is primitive over absolute fields

k. In

addition? Proposition : The ideal Proof: Let (Pa(t))

PaCt)

(0)

A is not locally closed.

be the irreducible polynomial over

is a prime ideal of

Jacobson. The ideals

in

(Pa(t))

A, and

A/(Pa(t))

intersect in

k

of a in

k. Then

is semiprimitive, since

A is

(0), so the proposition follows."

It is also easy to see that the zero ideals of the primitive rings

Band

C

are not locally closed. This raises interest in a weaker, alternate condition to (iii) : (iii') There exists a countable sequence of ideals containing n

with

P

I:::> I

such that for any ideal

I

1 properly 1,12 " " properly containing P, there is an

n

Dixmier has proved that over an algebraically closed uncountable field of characteristic

0, the conditions (i), (ii), and (iii') are equivalent for the

enveloping algebra of any finite-dimensional Lie algebra [3]. Lorenz has proved that (i) or (ii) implies (iii') for group rings of groups, in contrast to his counter-example just mentioned for (iii). No algebra is known in which (i) or (ii) holds, but (iii') does not. Of course, one cannot expect (iii') to imply (i) unless the field is uncountable, as k[tJ

demonstrates.

86

-8-

References

1. Amitsur, S. and Procesi, C., Jacobson-rings and Hilbert algebras with polynomial identities, Annali de Matematica 2l (1966), 61-71. 2. Dixmier, J., Algebres Enveloppantes. Paris: Gauthier-Villars, 1974. 3. Dixmier, J., Ideaux primitifs dans les algebres enveloppantes, Journal of Algebra (1977), 96-112. 4. Duflo, M., Certaines algebres de type fini sont algebres de Jacobson, Journal of Algebra (1973), 358-365. 5. Goldie, A. and Michler, G., Ore extensions and polycyclic group rings, Jour. Lon. Math. Soc. (2) 1 (1974), 337-345. 6. Hall, P., On the finiteness of certain soluble groups, Proc. Lon. Math. Soc. (3) 1 (1959), 595-622. 7. Irving, R., Generic flatness and the Nullstellensatz for Ore extensions, Communications in Algebra, to appear. 8. Irving, R., Some primitive differential operator rings, Mathematische Zeitschrift, to appear. 9. Irving, R., Some primitive group rings, to appear. 10. Lorenz, M., Primitive ideals of group algebras of supersoluble groups, Math. (1977), 115-122. Ann. II. Lorenz, M. and Passman, D., Centers and prime ideals in group algebras of

polycyclic-by-finite groups, to appear.

12. Quillen, D., On the endomorphism ring of a simple module over an enveloping algebra, Proc. Amer. Math. Soc. (1969), 171-172. 13. Roseblade, J., Group rings of polycyclic groups, J. Pure Appl. Algebra 3 (1973), 307-328.

Manuscrit rendu Ie 13 Fevrier 1978

Ronald IRVING Department of Mathematics Brandeis University

87

ORBITES DANS LE SPECTRE PRIMITIF DE L'ALGEBRE ENVELOPPANTE D'UNE ALGEBRE DE LIE par RUDOLF RENTSCHLER CNRS, ORSAY

Resume : Soit

k

un corps algebriquement clos de caracteristique

non denombrable. On note

0

qui est

Uk(£)(ou simplement U(g)) l'algebre enveloppante de £

et

Prim U(£)l'espace des ideaux primitifs de U(£),ou £ est une k-algebre de Lie.

et

W'

r

Soit

un groupe a l geb r i que co nnexe d ' au t omor phi.smes de

deux

demorrt re r : i) U) =

U(£)

r -o rb i t e s

W...W

dans

Prim U(£)

0

£. Soient

est une partie maigre de (jj, ii)

W

W'

=

entraine

W '0 De plus, en passant, on montre ra que pour tout ideal premier Ie centre de l'anneau total des fractions de

de corps de

k

LU

Le but (;:) de ce travail est de de

U(£)/£. est une extension

de type finio

§.l. Introduction

Soit £ une k-algebre de Lie (k algebriquement clos non denombrable de car 0)

a

. Si

£. est un ideal premier d'une k-algebre noetherienne Fract (R/£.)

droite) on note

appelle coeur de C(£ ; £.)

£. Le centre de

£'0 si

Le coeur de

vectoriel sur

k

l'anneau total des fractions de Fract

si

£. C.R =

R

(a gauche et

RI£.o On on note

R est de dimension denombr ab Le corrnne e sp a ce

alors tout endomorphisme d'un

par consequent Ie coeur d'un ideal primitif de

R-module simple est scalaire, Rest reduit aux scalaires

(voir (7J ou [2], Thm 3.2). Un theoreme recent de Dixmier etablit Ie reciproque pour les algebres enveloppantes : Si enveloppante

Uk(£)

(k

£. est un ideal premier d'une algebre

non denombrab Le) e t si

C(£

£.)

=

k

alors

£. est un

(;:)un resume de ces resultats avec une esquisse des demonstrations paraitra dans (8].

88

-2-

(voir [6J, Thm C). En particulier ceci entraine que dans les

ideal primitif

a

algebres enveloppantes les ideaux primitifs

a

gauche et les ideaux primitifs

droite coincident . Remarquons que les algebres enveloppantes sont des

anneaux de Jacobson, i.e. tout ideal premier est intersection d'ideaux primitifs Si

([5], Prop. 3.1.13). R

est un k-algebre noetherienne

ideal rationnel de

R

corps des scalaires

k. On note

Rat(R)

mUl'li de la topologie de Jacobson. si

on a done

Prim

a

si

S

droite, on appellera

R dont Ie coeur est reduit au

l'espace des ideaux rationnels de

R

R

sera appe Lea admissible, si elle est noetherienne 11

R. Si

£

R

est intersection d'ideaux

est un ideal premier dans une algebre enveloppante et

est un ensemble multiplicatif denombrable Oreen de

U(,E)/E.

et

([6J, Thm B)

(U(ll))/£)S

l'ensemble des notera

R

est un ideal de

ideaux rationnels de et si

V(£)S . =

b.

S

R

contenant

I

S(\(9,h) =

R

R, on notera

a. Si

est un ensemble multiplicatif

c V(£ )

U(£)/£, alors

sont des k-algebres admissibles. si

est une k-algebre admissible et si premier de

R

est une algebre enveloppante,

=

droite et si tout ideal premier de

rationnels de

a

gauche et

RatU

Une k -a l.geb re gauche et

a

tout ideal premier de

£

est un ideal

Oreen de

0J.

R/£

on

Dans la suite il sera utile d'avoir quelques informations sur la topologie pour

R

U(ll)' Si

£

qui est homeomorphe

a

est resoluble on sait qu'il existe un ouvert une variete algebrique affine dont Ie corps

des fonctions rationnelles s'identifie au coeur on montrera encore que

C(£; E)

C(£; £). Dans Ie cas general

est une extension de corps de

et on donnera une description de la topologie de convenablement choisi)

a

V(£)S

C(£; £). D'apres un est dense dans

V(E)

t

deduire Ie resultat que deux orbites dans connexe d'automorphismes de II

denombrable et

heo r eme de Dixmier ((6],

pour

S

L'information ainsi obtenue concernant la topologie des

coincident. Pour

(S

l'aide d'une variete algebrique dont Ie corps des

fonctions rationnelles est Thm B) on sait que

V(E)S

k de type fini

£

Prim

denombrable. V(E)

permettra de

pour un groupe algebrique

ont la meme adherence si et seulement si elles

nilpotente ce resultat a ete demontre en 1971 par

N. Conze-Berline ([3J, Thm. 1). Un homomorphisme

If: Rj

Rat(RZ)3.9,.

)If (.9,.)ERat(R

R entre deux k-ra l gab re s admissibles sera Z appele admissible si l'image reciproque de tout ideal rationnel de R est un Z ideal rationnel de R]. Dans ce cas on notera Rat(.

Demonstration. En effet, V(E.) \ V(£')T avec

t

est la reunion denombr ab l.e des

e T.

91

V(E. +

t U(£»

-5-

Le theoreme suivant donner a une description de la topologie de l'exception d'une partie maigre de

V(£)

a

V(£).

Theoreme 2 : Soit a)

p

II

ideal premier de

existe

soit

U(g). Alors

:

ensemble multiplicatif Oreen denombrable

T de

U(j)/£

tel

homeomorphisme.

b) On peut choisir

Z = BS oil B une k-algebre de ensemble multiplicatif denombrable de B et

fini, S C(£ ; £)

= Fract

T de telle faxon

(B).

Demonstration. a) On constate d'abord qu'on peut definir l'ideal premier denombrable [x., x.J 1.

(voir[l), 4.4). Soit n

e

t"'l

1.J

= [:0< ..

J

engendre par les

XQ,

.t

pour

xl, .•. ,xn

=

i, j

(){ .. (i, j, 1.J

e=

une base de

I, ... ,n. Soit

k

£

deja sur un corps

£.

Ecrivons

l'extension de corps de n

0

I, ... ,n). Soit

k

= 1.=0

o

xi

Soient ul, ... ,u s des generateurs de £ comme ideal a gauche de U(£). II existe une extension de corps de type fini k l de ko telle que u/; Uk III k l. Soit £1 : = k l. Soit £1 1 I ideal a gauche de o

Uk (£1) 1

et

£1

ko

0

engendre par

ul,· .. ,u s· Alors

est un ideal premier de Soit

T

£ = £1 III k , U(£)/£ = (Uk (,g)/£I) kl

I

k

I

U(£) .

l'ensemble des elements reguliers de

un ensemble multiplicatif Oreen denombrable de (U(£)/£)T = Fract (U(£I)/£I)

Uk (£1)/£1 . Alors

Test

I

U(£)/£ et l'on a k

CI = C(£I; £1).Co1llllle Fract (U(£I)/£I) est une al.ge br e simple de centre CI, tout ideal de (U(£)/£)T = Fract'(U(£I)/E. III (C III k) est I) C I k

Soit

engendre par son intersection avec Ie centre Comme un ideal de avec

C III k I k

(U(£)/£)T

III

kl

k

I

de

l

est rationnel si et seulement si son intersection

est maximale, on deduit que Ie comorphisme

l

Rat «U(£)/.vT) = V(E.)T 3

Z

Specm (Z)

est un homeomorphisme. b) D'apres Ie theoreme I, C(£ par un nombre fini d'elements

;.10

est engendre comme extension de corps de

c1, ... ,c

r

92

. On peut supposer que

cl, ... ,crEZ.

k

-6Soit

B: = k [cl, ... ,c

la k-algebre angendr ee par cl, ••. ,c d'ou r' r] Zest une k-algebre qui est un espace vectoriel de dimension

Comme

denombrable sur que

k, il existe un ensemble multiplicatif denombrable

SeB

tel

Z ¥:

r )(

r

r ')( Rat (Y",

1C Rat U

-I

E.)..---'?

E. Rat

sont continues.

a·

II suffit donc

demontrer que l'application

r

(l",

.s) .V(g)

est continue.

D'apres Ie theoreme 2 il existe un ensemble multiplicatif denombrable Oreen S

de

tel que

Par consequent on a

(U(.8.)!.g)S

(r

soit une a Lg eb r'e simple (de centre

k) .

et Le comorphisme

=

de l'injection

A(r)c.-, (A(r)

est un homeomorphisme. Lennne 3 Soient

si

A

B

deux

: A -") B

j

1

de

k-algebres commutatives

integres de

un homomorphisme injectif, alors

Specm(B) sous

partie maigre de

comorphisme

de

dans

denombrable.

complement de Specm(A)

Specm(A).

Demonstration. On peut supposer que

ACB. Comme

B

est un A-module de type denomb r ab Ie , Best

B j c:: B C B 2 3 soit monogene pour tout i. si

la reunion d 'une suite

de

Bi+I/B

Bi+j/B

i on choisit cat if de

si & A A

r

-Orbites dans Soit

n'est pas isomorphe

a

A

si' Alors

Prim U(.8.)

une r-orbite dans

W

i

Soit S 1 'ensemble multipliB IB i+ 1 i. B est un AS-module libre et S se trouve dans l'image de Specm (B).

dans l' annulateur de

engendre par les

Specm (AS) = (Specm A)S

§.s.

A-sous-modules telle que

Prim U(.8.) = Rat U(.8.)' Nous sommes maintenant

en mesure d'etablir Ie theoreme essentiel concernant Ie complement de dans son adherence Theoreme 3 : Soit W

une

OJ

r -orbite

dans

Prim

Alors

tV ,w

est une partie maigre de

Demonstration. Soit

s.lS w .

On pose

---"> La comultiplication induisant

A:

.E.

a.

(\ t's. .

'fer

Soit

l'application canonique

U(g)-,> A(r) III U(.8.)

lK.B) I.E. --) Aer)

U(.8.) I.E.

95

•

passe au quotient

U(.8.)/E.

W.

-9-

Les homomorphismes

lP :

=

(id Ill. V)

a:

a

et

A

sont admissibles ainsi que l'homomorphisme A(r) Ill.

- ) AW) Ill.

lfJ est donne par

Le lemme 2 entraine que le comorphisme de

r Remarquons que

)"'-I(g)lE. pour

!:.) --') r'-1 !:. C V (E) .

It V

I..p

est inj ectif. En effet, le noyau de

l"cr .

(E

r' III id) I.f

est

Comme l'intersection de ces noyaux est l'ideal

de

0

IE., l' application I.p est injective. D'apres le theoreme 2 il existe un ensemble multiplicatif Oreen denombrable de

U

IE

'1":

V(E)S-'> Specm (centre

Notons Soit de

C

tel que le comorphisme

le centre de

'"S = \fS

soit un homeouc rphi.sme ,

(U(£)I£)S' On peut supposer que

l'image de

A(r)

Soit

S. Alors

S

C

d I ap re s le lemme 1, b).

le prolongement naturel de

If a ill

A(r) III U(.£) 19..

Du lemme 1, b) on d edui.t que

est sngendr e par l'image de

A( r ). Par consequent l' image du centre

dans le centre Comme

C

est noetherienne.

est un ensemble multiplicatif Oreen

iii

et par

S

Fract (A(r))

de

C

de

(U(£) IE.) S

Fract CACr) Ill. U(.£) Is.))

If'

se trouve

(voir [2], lemme 3.7).

est une k-algebre commutative de type denombrable, il existe un

ensemble multiplicatif denomb r ab Le

T

de

A( r)

tel que

lfIS(C)GA( r)T'

Considerons le diagramme commutatif suivant

Comme tous les homomorphismes dans ce diagramme sont admissibles, on obtient le diagramme commutatif des comorphismes r

Specm (j) T

) Specm (C)

Ii'"

pr1T

cr x VC9..))ST

veE)

t

1

S

V (E) = jjj

96

-10-

Lemme 4 :

'II -I Specm (j) Demonstration.

rT x

Remarquons que

o-,

En effet, si

(r ". 0",

E.) E ( r XV(S.»ST ,alors

If (r- -I s.) = Specm (j) 0")

d'ou

(on peut meme constater que

n = s.) •

Fin de la demonstration du theoreme 3. I Soit 141 = [rv- s.'''£ rTJ. D'apres Ie lemme 3 Le complement de 0

est une partie maigre de

dans

141 0

V(£)S

V(£)S. II existe done une suite de parties fermees

F I,F2, ... de V(£),Fi",V(£) pourtousles i=I,2, .•. , telleque V(£)S \ w 0 soit contenu dans la reunion des F Par consequent V(£) \, W est o i. une partie maigre de V(£). Remarquons enfin que V(£) est 1 'adherence de l' orbite CO dans Theoreme 4 ------

Rat U(g) = Prim U(.a)

d' apr ea la definition de

£.

:

Soient w

et

r-orbites dans

W'

meme

w

Prim U(.a). Si

W'

ont la

elles coIncident.

Demonstration.

U(g) = Prim U(g)

Soit

l'adherence conmune de W et

Ie theoreme 3 il existe une suite de parties fermees telle que

V(£) \

F

pour tous les

i

'" V(£)

W

F

soit contenu dans la reunion des i = I, 2,...

I, Fi

F

W'. D'apres

••.

de V(£) 2, et telle que

s.£w'. Notons p l'application

Soit

t----7 l"s.EV(£). Cette application est continue d'apres Le lemme 2.

Supposons que les deux orbites soient distinctes. Alors des

-I

P

(F

Comme

W'4Fi

pour

i = I, 2,

i). pour tous les i = I, 2, 3, . . . . Mais comme

a, ... ,

r' est-une

rest la reunion on a

-I

r'", P (F i) algebrique sur

un corps non denombrable, ceci est impossible. Par consequent les deux orbites to et

W'

coi:ncident. BIBLIOGRAPHIE

Dl

w.

BORHO, Definition einer Dixmierabbildung fur

, t), Inventiones

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97

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a

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Rudolf Rentschler Universite de Paris-Sud Centre d' Orsay Mathematiques, Bat. 425 91405 ORSAY Cedex

98

a

SERIES FORMELLES TORDUES ET CONDITIONS DE CHAINES par Elena Wexler-Kreindler

Cet expose presente quelques resultats, pour la plupart d'entre eux annonce s dans \)0), concernant les anne aux en l'indeterminee

t

phisme injectif

a

et A

Notons que

des series forme Lle s

A muni d'un endomor-

e(

a) t,

A verifie certaines conditions de chaines ascendantes et,

en particulier, lorsque de l'extension de

Z-j)

) A, qui verifie

Va f. A, t a =

lorsque l'anneau

R = A[[t ;

coefficients dans l'anneau

A est semi-simple. est Ie complete pour la topologie

A Ore

P

A [t

=

de l'anneau des polynomes de meme loi pour les produits

Ore en

du meme anneau t

et

a

t a , a . A. Lorsque

resultats sont connus sur les anneaux

P

et

Pt-adique

a

A ,associee

coefficients dans

,

i.e.

A verifiant la

A est un corps, de nombreux R

et on pourrait en trouver un

aper,k, ne

I

a gauche

Sur l'anneau

n l.

toute suite (N'!:) :

+

partir du rang

k, si pour tout entier

A on co ns i de r e la condition

e -croissante d' i deaux a gauche de

A

est

stationnaire

a partir d'un certain rang.

Cette condition est verifiee dans tout anneau semi-simple. Notons que si R

sur

I

a

(i) A est noetherien

A

est

les assertions suivantes sont equivalentes :

gauche et verifie la condition

gauche (ii) P

A [t

=

(iii) R

Ce theoreme etend

[4]

gauche.

est noetherien a gauche.

A

=

a

est noetherien

a

Sous ces conditions, tout ideal de

gauche de l'anneau des series formelles

{Ck(I)!k 1N

Theoreme 2.2. - Pour l'anneau

a

a

est un ideal

A, alors la suite

a

gauche de

R

est ferme.

l'anneau des series formelles tordues un result at

qui etablit l'equivalence entre (i) et (ii).

J.

Preuve : (i) = ) (ii) voir (4

Par la proposition 1.4,

G(R)

est noetherien

a

gauche et, puis-

que, par Ie lemme 1.1., Rest separe, complet, sa filtration exhaustive, Rest noetherien

a

gauche et tout ideal .Supposons que

a

Rest ferme (v. (5), page 414).

gauche de

Rest

notherien

R-module de type fini, donc noetherien. Les

a

gauche. R/Rt

est un

a

R/Rt

R-modules

sont isomorphes pour la loi de composition externe de (f ,a) I--'> Co(f) a

a

gauche de

A et

A est un anneau no e t her i.en

A sont exactement les sous-modules

Soit maintenant une suite A. Po sons

-croissante n-I k=o

oii par

J

k

t

k

+ RJ

A sur

a

{J I

n

et

R, (f ,a)

gauche, car les

a gauche

t

gauche

du R-module d ' ideaux

a

A R y.A ,

Ld e aux

A. gauche de

n

on comprend l'ensemble forme par toutes les sommes finies

2:

f s e R, Cst I · 11 est evident que, pour tout entier f s n s n est un sous-groupe additif de R et RJ t est un ideal a gauche de Montrons que

On a

In

est un ideal

a

n

gauche de

n-I

f

=L k=o

102

R. Soi t

f

In

et

R. hE: R.

-5Puisque

hg £R I

t

n

n

,

hf E. f

Soit

h a

t

k

k

"-I n' pour tout entier

k

[o,n-I]

00

z;

h

b

m=o On a t

n-k-l

k

en-k(J Alors, pour tout hI t

r

L br t r=o f J k 1kErN

Puisque la suite

k)

t

k

k

+ hI t

n-k

t

k

b

r=o

n-k

t

k

= h

j

(J

••• GJ

k+ 1) r

(a

r

t

J

k)

en - k

r

hI t

b

m-s u-k

m

t

m

n, ce qui donne

k+ r

tne:R I

r+k

+ hI

t

n

n

rr-k

e

tnE.l

(0 ,n-I] , ce qui prouve que

k

n-k

on a les inclusions:

est

. [0 ,n-k-l],

r

pour tout entier

a

tm R.

m

== e n - k - I

et

de

ssi

n

In

n

est un ideal 11 gauche

R. La suite d'ideaux 11 gauche

est un ideal 11 gauche de

R

gauche, il existe un entier I m+ 1

=

1 m

=

{IntnflN

de

R

est croissante,

et, puisque par hypothese moelN, tel que, pour

Ck(I

U

I

n£IN est noetherien 11

n

mo' on ait

1.

D'autre part, on verifie que pour tout entier alors

R

I =

n)

= J

et si

k

n£ IN*', si

k to [o,n-I]

,

A ek-n(J ). On obtient les

k z.n , alors

n

egalites : Cm+1 (I) = Cm+1 (1 ) = A 'a (Jm) = Cm+1 (Im+l) = J m+1 . m Par suite,

f Jnl

la condition

REIN

est stationnaire 11 partir du rang

m o

et

A

v er i.f i.e

(N e).

Le theoreme est completement Lorsque

e

est surjectif, la condition

(N-e)

11 gauche equ iv aut; 11 la

condition noetherienne 11 gauche usuelle,car 11 la suite

e-croissante

. r 1 a sua. te t d'ideaux 11 gauche de A , on peut a s so c i.e {J lI n n o(N n nEIN croissante d'ideaux 11 gauche de A. Notons encore que dans ce cas, i.e. lorsque

(A) = A, 11 cote de la structure de P = A (t ;

eJ

et

R = A [[t

;'tJ)

A-modules 11 gauche des anneaux

,on peut con s Lder e r leurs structures de

A-modules 11 droite, les polynomes et les series ayant les coefficients "ecrits 11 droite", avec la regle de multiplication at = t

, VaeA.

On peut utiliser les notations Ainsi, lorsque que

A, P ,R

P

d

= A [t;

est un automorphisme de

et

R = AUt d

A, le t heo r eme 2.2. montre

sont simultanement ou non noetheriens 11 droite.

103

.

-6-

e(A) # A, meme si

Par contre, si R

ne sont pas noetheriens

a

A est un corps, les anneaux

P

et

droite et ils contiennent des sommes directes

a droite.

infinies d'ideaux

§.3. Endomorphismes injectifs dans les anneaux semi-simples. Dans cette partie, ainsi que dans les paragraphes suivants, si aucune mention n'est faite, A designe un

semi-simple, ayant

= e

simples, dont on designe par

A

directe d ' ideaux minimaux et

'e: A

B.

m" I

composantes

la decomposition canonqiue en

i=1 L -> A d e s i.gne un endomorphisme injectif

d'anneaux. Pour les questions concernant les anneaux simples et semi-simples on pourrait se reporter

a [6],

chap. II, §.5.

Nous exposons, sous forme de lemmes, quelques resultats, dus essentiellement

a

A.V. Jategaonkar

des extensions de

[31, qui les utilise pour deer ire les proprietes

Ore A (t

d'anneaux semi-simples. Pour des demonstra-

tions de ces lemmes, que nous allons utiliser plus loin, on pourrait se reporter

a (9]. n

Lemme 3.1. - Soit sous-jacent

a

A

l'anneau semi-simple

minimaux, rei' I $ i $. n} tout entier

k IN

1°) A=

2°)

k

e

i=1 (e.)

A

un

e partie

par

a gauche a deux. Pour

(e.)

est un ideal minimal de

A-modules

Corollaire : Si

A en somme directe d'ideaux

etant des idempotents orthogonaux deux

gauche

on a

n

A

a

Ae une decomposition directe du A-module i

=

J

I

a

gauche, Ae i Ie sont.

est un ideal

a

et

gauche de

i E: lJ ,n].

A pour tout entier Ae.

J

ssi

sont

A

I

Ql

iEE gauche

Ae.

,

oil

# (/) de l'intervalle [J,n], alors l'ideal a A e(I) admet la· decomposition directe : A 'e (I) = Ql A't(e.). HE

Avec les conventions du debut du paragraphe concernant l'anneau

E

est

engendre

A on

a Le :

Lemme 3.2. - II existe exactement une permutation "iT jm' telle que pour tout entier Si

E

,m] , ?:: (B soit un sous-anneau de i) est l'une des orbites du groupe cyclique

104

B'li(i) et Ae(B i) =BIi(i)· dans [I,m], alors

(ii)

-7l'ideal bilatere

$ B. de iEE 1. est laisse fixe par

l' anne au

A ..

A

l'element unite de et toutes les composantes simples

Bi,

i ' E, ont la meme longueur. Par la suite nous allons utiliser les notations introduites dans ce lemme. Definition 3.3. - Soit tes

a un

toutes les orbites, y compris celles redui-

seul element de dans

(I,m]. Nous allons appeller les ideaux

' i E (I ,k] , les composantes

bilateres

t-stables de

A. Leur

1.

nombre est egal au nombre d'orbites de (1r:> et ne depend pas de la numeration choisie des ideaux bilateres

B Nous dirons qu'un anne au A i. ment semi-simple), muni d 'un endomorphisme injectif t , est si

An' admet pas d' ideaux bd Lat e re s

quasi-simple est

(pas necessaire-Z:-simple

t -stables propres non nul s , Tout anne au

t-simple.

Proposition 3.4. - Les composantes

de l'anneau semi-simple

A

sont des elements minimaux dans l'ensemble des ideaux bilateres non nuls et ideal bilatere non-nul A• .:;.To=u.:;.t....;:.==....::.==.::..::."'-':=""-,r:=-

't -s cab l es de

directe de composante : Si

I'; 0

sante simple de

't-stable et

oil

At

A et que

E

e f1 ( f .;. e "

A est somme

f

'to-stable de

A et

B i

une compo-

s£(I,m], A

a

est 1 'orbite de (IT>

laquelle appartient

sont minimaux parmi les ideaux bilateres non-nuls I

est somme de certaines composantes

A. D' autre part, il est evident que

(0)'; A

eo-stable de

A

f"l

est un ideal bi.Lat ar e

Ced prouve que les de

= k$

A, BiSI, alors pour tout entier

et par consequent -stables de

A

il existe

Puisque les orbites de

t..

A=

'=1

Ae

.

i£(I,m), tel que

sont deux

Si B.$Aen( 1.

a deux

-stables

L. A , ) . t'" t f

disjointes, on deduit, pour

l'ideal bilatere suivant, l'egalite

A. J

et, d'autre part l'inclusion

ce qui est Corollaire : Pour un anneau semi-simple

A il y a equivalence entre

(i) A

105

i.

-8-

(ii) A admet une seule

-stable

a

(iii) la permutation iT"" associe

est circulaire.

Dans ces conditions toutes les composantes simples de

A ont ,meme

longueur.

a

Par endomorphismes equivalent

de l'anneau

(pas nece s s a.i remen t semi-simple), nous entendons Le compose 'f u 0 'C: , o ii 1 designe l'automorphisme interieur x u x ude A, defini par un

A

element inversible R

un endomorphisme injectif

[Ct ;

= A

ne-IN. Si

u

= A

e.A.

[[Z

Notons que si A. Soit

III B. la i;1 A en somme d'ideaux bilateres et nous designons

C:-simple, pour I' endomorphisme inj ectif decomposition canonique de par

e

A;

pour tout entier i G [I,m], I' element unite de I' anne au B . i, i Soit fJklk IN une suite

J

k

;

a

J

k

} ,

k(,

IN.

et on verifie Le result at technique

suivant : Lemme 4.1. - a) Si b) Pour tout entier

l' 0, alors

J

k; si et seulement si

kflN, 1i

107

-10-

•

t. k

'"

l'anneau

J

{t k Jk &1N

Si

k.

s

(e

IV

stationnaire, alors

n

11 (E k)

a) Resulte

= Ek+n

t

c) La suite

b) Si

1\1

est l'element unite de = e k+ 1 ' ou e k k) est Ie plus petit entier k a partir duquel la suite

= {,k+!' Dans ce cas

IN

n'"

'

(e k)

= e k+ n IV

admet au plus

valeurs distinctes non nul1es.

m

immediatement des definitions.

i£E

et par Le lemme 3.2., k+ 1 • Des raisonnements analogues

J

k,

At(B i) =

d'ou

conduisent aux autres conclusions. c) Soit

k

o

croissante

ek

7

I

ek

= inf

t k?

{kEIN ;

oj.

On construit une suite strictement

e

e ,.,e

0

e

k o (k e •.. « k tel1e que si k E. [k ,k - I], alors l o l k k t, etc. Les entiers k sont les valeurs distinctes non 0 k 0 t

nulles de la suite {tklk6rN' On a alors

e

m ?, k

t

.r:t ek .

J= I

J

Si autre mention ne sera faite, nous allons supposer jusqu'a la fin du paragraphe que toutes les composantes simples et

e -simple

A

B de l'anneau semi-simple i sont des corps. Dans ce cas tout ideal a gauche de A est

bilatere, car les ideaux a gauche minimaux de est un ideal a gauche de l'anneau

R

A

sont les

= A[Ct ;e]]

B Si i.

d'ideaux b i l acere s de l'anneau

est une suite

I

0

la suite A

et on peut

lui appliquer les resultats du lemme 4.1. Definition 4.2. - Nous considerons pour un ideal non nul R = A [et ;

t.J]

d' ordre minimal

la suite

n

d'ideaux a gauche de

a partir du rang

Proposi tion 4.3. - Soit l'anneau

I

de l'anneau

la propriete :

t-croissante

(5')

I

A est

n.

un ideal ii gauche d' ordre minimal

n E IN de

R. 11 y a equivalence entre:

(i) I

possede la propriete

2!!!.

(ii) Tous les ideaux ii gauche non nuls de la suite meme longueur. (iii) 11 existe une partie I

Rf, ou

f

er ,

o(f) = n, cn(f)

=

L.

i £E

r/J

E

e,

•

(I,m]

et une serie

Vk elN, ck(f)

108

lB i E

B.

f, telles que

-11I, satisfaisant ces conditions engendre Preuve

(i)

)(ii) Si

po s sede Ia p ro p r i e t e

I

I.

({f'), alors

VrE:tN, A

= C (I) . n+ r+ 1 C (I) = Ell B. et par Ies Iemmes 3.1. et 3.2: n+r i E n+r

Par Ie Iemme 4.1,

A

Ell i E

=

On deduit que

Al:(B.)

ED iEE

n+r

B n+r

li'

= E ' ce qui prouve n+ r+ 1 n+ r) consequent on a (ii)

Pour tout

)(iii) . Soit

i £E

cn(f i) = e i donc

ck(e

f

i

B

i)

f.

I

d'ordre

Rf G I

Soit

et

g I,

suite

et par

Ell

i£E et telle qUe

n

B.

i EE

e. f.

verifie

= f

i.

I = Rf, quR nous allons

Pf '=:Rf.

n , On va suppo se r que

par recurrence une

B. J

Cn(I) =

L

kEIN. Alors la ser ie

toutes les conditions de (iii), saui peut etre prouver. On a

Ell

n+r+1

'

pour tout

i

J

E = En c;. [I,m], telle que

il existe une ser i,e

n

'EE

i.

en+r = en+r+1

It(E

(ii)

(.)

gtf.Pf. On peut alors construire

suite strictement croissante d'entiers

d'elements de

et une

A, telles que

c

k

(g) , a E. C (I) r k

o

r

k -n

m

t

r

c

Alors

g = (

k -n t m

[" m7,0

(iii)

L

'"e

[g - (L kt +1 m=o

)f]=k k -n

a

t m

m

)

fJ

r+1 = a

r+1

feRf.

(i) . Soit

f

IV n gt , o(g) = 0, cn(f) = co(g) = e, ou

e. et supposons que tous les coefficients de f, respectivement i E de g, appartiennent a Ell B.• Soit heR, o(hf)?"o(h) + n , Soit iEE o(hf) = n+k?"n. Nous allons montrer que c

k+ n

(hf)

c A 1: k

(Ell

i£E

B.) =

Ell

ce qui prouve que, pour tout entier C (Rf) = A ek(C (Rf)) k+ n n

(4)

et

I

Rf

verifie la propriete

B

i£E

tr k

(i) =

k z-n , on a i t :

Ell

B. J

(9) .

109

Ell

jE1i k(E)

B. J

-IZ-

L

m, t g = + m premiers coefficients sont nuls : Po sons h=

b

k, donc les

o(hg)

r

k

= 0

o

bI b

r

a t . On a

b

+ boa I = 0 r (e) '" + b (a + b a = 0 o Z l l)

e

r

o

Puisque tous les deduit que t(a.)

E;:

b

o

(ll

J

a

e

(ll

i£E a. = 0, 1fj J

r

et

B.

(I,k] . De meme

b

entraine que

B. J

est l'element unite de cet anneau, on

e

(a

l

= 0

et

= 0, 1fj £ [I ,k-I] . En repetant

j)

ce raisonnement, on deduit que c (hg) = b k k

k

N

(e) Eo

B.

(ll

i.

i tlk(E)

La proposition est completement demontree-U

a

Corollaire I - Pour tout ideal un entier

sEIN, tel que

Corollaire 2 - Si l'ideal la propriete

I(\Rt

a

k

gauche

I

soit principal, quel que so it l'entier

gauche

I

d'ordre minimal

et est engendre par l'element

(U') rt»

et est engendre par l'element

Theoreme 4.4. - Soit

A

un anneau semi-simple,

santes simples qui sont des corps et soit a) si

I

t

k-rn

de

;

n, verifiant k possede

I(lRt f.

a

compo-

m

gauche non nul de

.

est projectif

a

gauche.

s £IN, tel que pour tout entier

s,

I ()Rt

possede la propriete c) 11 existe un entier de

m l

ideaux

a

Preuve : a) Soit

a

e.

m ,

m, tel que

l

n,

g =

(ll B.. L'application hg I---';>hgt iEE R-modules a gauche Rg...!:::-.. Rf .

k

I

soit somme directe

gauche, possedant chacun la propriete I = Rf, f = gt

n,

+

L

t

k

r.

e.

hg £ Rg est un isomorphisme de

110

k""s.

R, possede

-e-simple, ayant

un ideal

(S», I

possede la propriete

b) 11 existe un entier

I

R = A [It

l' anne au des series formelles tordues

n

f, d'ordre

(iii) de la proposition 4.3., alors pour tout entier la propriete

; tJ1) il existe

R = A [It

de

k

-13$ Re L'egalite Rg = L 1.g. i&E i ISE immediate. Pour montrer que la somme est directe,supposons que

est

Montrons l'egalite : Rg =

h.

avec

de

= 0,

L h. e. iEE 1 1 dans R. II reste 11 montrer que :

Alors

1

Ann (g) g

L

h.e.g i EE 1 1 est un element de l'annulateur 11 gauche

g

Ann (g) =

$ Re. iEeE 1 ;? est evidente. Soit hg

(5)

g

L'inclusion

E' = {i E/he i

"oJ.

°

et

h

$ B. 1 i E

et soit

E'" ¢. On a

Supposons que

L

he

i E: E'

0, h

= hg

1.e1.g

0, o(h) = r

et, par consequent o = cr(hg) = Pour tout

cr(heieig) = =c (h) = c (L. he . ) r 1 r i EE' o(h) = r. On conclut 11 l'egalite (5).

i E E', il resulte que

ce qui contredit l'egalite

c (he . ) = 0, donc 1 r

Cons Lde ro ns maintenant l'application

0

I--') heige hER qui est i, II est evident que eige est un i i. element de I' anneau des series formelles Si = B [[tm ; em 11 coefficients i dans Le corps Bi'd'ordre O. Alors il existe une ser i.e gl l'inverse

R-lineaire 11 gauche de

de

eige

i

et

gleige

Reig

i

heig

Reige

J)

Donc les ideaux 11 gauche sont egaux : i. Reige i = Rei

= e

i

et projectifs, puisque heige

sur

R =

m

Re j. Supposons maintenant

uc a,

tel que

= O. Alors

Rf=tRe et 11 la p ro j e c t i.vi.t e de 1. i un ideal 11 gauche de R d'ordre mini amI nEIN et soit

On conclut 11 l'isomorphisme b) Soit

I

Ie nombre d' elements de I' ensemble Ck(I) =

$

E k B . i

s [I,m1,

tel que

E = r/J et t. k = O. La suite (e k\', 0 est croissante et k fk$m. Soit s'N Le plus petit entier, tel que pour k";ts on ait k k) t k + 1 = t k • Alors pour k'7, k"s on a Ck,(If\Rt = et IARt pos sede La p rop r i et.e (5') . Si

k < n, alors

c) Soit

I

et

e

n

s

ek

comme plus haut et soit < 0

k < ... < I

ek

r

es

la suite des valeurs distinctes et non nulles de la suite

111

(e k)k

• 11

,

-14est evident que

n = ko A, les assertions suivantes sont equivalentes :

C :

(i) A est

'e -simple ;

(ii) tout ideal bilatere non nul n

A et un endomorphisme injectif

I

de

admet une decomposition directe en somme de I

Cn(I) t

n

...

C (I) t n+m-2

n+m-2

R

;eJ]

=

d'ordre minimal

A-sous-modules Rt

n+m-I

a

gauche

;

(iii) R est premier. Preuve: (i)===)(ii). Soit minimal

I

un ideal bilatere non nul de

R d'ordre

C (I) est un ideal bd Lat er e de A, k par le corollaire de la proposition 5.3. La suite est croissante et Soit

nE-IN. Pour tout entier

k'l n, 0

C -croissante. On utilise les notations et les resultats du lemme 4.1. i6E et e. l'element unite de B.. 11 existe r e r , o(f) = n, n J. J. e

i.

L' element h

est m-I

n+m-I, il appartient

l'

L

a

I

et son premier coefficient est

e j = Cn+m- I (I), car A est e-simple et par consequent i"I est j=o 11" (i) circulaire (cor. de la prop. 3.4.). Alors Cn+m_I(l) = A. n n+m-2 n+m-2 Posons M = Cn(I) t + ... +C t + Rt . C'est un n+m-2(I) A-sous-module a gauche de R et il est immediat que cette somme est directe. n+s Nous allons montrer que C (I) t S I, pour tout entier s [0 ,m-I] . n+s Alors tn+m-I I et M::I. Soit s£[o,m-I] et soit i E Alors n+s' Bic;Cn+s(I). Il existe r e r , o(f) = n+s, cn+s(f) = e i. La s e r i e e/ I et a tous ses coefficients dans B.. Puisque est une bijection, il existe un seul J te 1 que IT n+s(.) J. ""(I ,m, ] = J., ]. = ...-n-s(,) 'I J. • Cons i,'derons 1'-1e ement e.fe. oI • J.] Tous ses coefficients sont dans

et puisque

B.

J.

1r est circulaire d'ordre

m les seuls coefficients eventuellement non nuls sont ceux de rang

avec

k a n+s

(mod.

m). En plus

117

n+s,

-20n s e. t + (e.) = e , donc e. f e. f 0 et il existe une s er i.e i J n+s mJ , co(g) e , S. = B. [[t ; t m]], telle que e. f e. = gt i J , qui est par consequent inver sible dans S. (lemme I. 2.). Soit

=

cn+s(e i f e.) J d'ordre o , g

hg

e

=

i•

Puisque

On deduit que he. f e. n+s

J

e. t n + s f; 1

=

- LEEED

t B i ] n+s et, puisque Cn+m- 1 (I)

Cn + s(l) t

n+s _C I n s Rt n+m- I $ I, donc C + () I t

II reste a montrer que

a

oil a

n+s

a

n+s

t n+ s + a

g ER. Alors

nt k (;A,

t n+ s E'M, donc

a n+k tn+kE,Cn+

IGM. si

n+s+ 1 a

n+s

t n +m- 1 E'. I

A, on deduit que

=

t n+ s+ J + E'.C

,on cone I ut aI' inc lusion

fE'.I,

f £ I, 0 (f)

de man i e re evidente. Soi t f

et n+s

alors

+ a

fERtn+m-1SM

(0 ,m-2 ] ,

n+s, s ...

et

(I) . Puisque

n+s.

n+m-I gt

t n+m-2 +

n+m-2

n+s SM C (I) t n+s

t n+ s E. I et a f - a n+ s n+ s+ 1 k(l) t n+k si k E'. [1 ,m-2]. Finalement

(1)

et de meme

gtn+m-1tE:, I

et

181.

(ii) ====>(iii) Evident. (iii) - ' ) (i) La proposition 3.6. montre que si

A n I est pas

t-simple,

et R qui sont des admet au moins deux ideaux bilateres non nuls R i j anneaux, dont les elements unites sont des idempotents orthogonaux, et par

R

consequent

R. R. = 0.« J

Corollaire - Si

A est semi-simple, alors

Proposition 5.5. injectif

A

[It

Pour un anne au semi-simple

est semi-premier. A et un endomorphisme

A _':> A il y a equivalence entre

(i) A est un anne au simple : (ii) les seuls anneaux bilateres non nuls de l'anneau n, sont les Rt nelN.

R

A L[t

; "loJ]

Preuve: (i)-==) (ii) Immediat a partir des proposition 5.2., 5.3. et du theoreme 5.4. De (ii) on deduit par la proposition 3.6. que Par Ie theareme 5.4., si

I

A

est

est un ideal bilatere d'ordre minimal

n, alors d'oil

Cn(I)

=

A.

Sait maintenant un ideal bilatere minimal

118

B de l'anneau semi-simple

-21I

RBR, I ;e .

par toutes les sommes finies

[f':Jg, ou

-e.-simple

et

A. Posons

unite de l'anneau simple

B. On a

serie

a

de du i.t;

beg

appartiennent

Co(I) S B. Puisque

est d'ordre minimal

f, gE:R

et

b

G: B.

Soit

R forme I 'element

e

febeg. Tous les coefficients de la

fbg

B et si

est l'ideal bilatere de

I

o(fbg)

e £1, e£Co(I)

O.Par ce qui precede

0, alors

on deduit Co (I)

=

Co(fbg)£B. On B et

C (I) 0

A, d'ou

A

I

BK

Bibliographie P.M.

Cohn, Skev field constructions, Cambridge University Press, 1977.

2

N. Jabobson, Theory of rings, Amer. Math. Soc. 1943.

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L. Lesieur, Conditions noetheriennes dans l'anneau des palynomes de Ore Sem. P. Dubreil,Proceedings,Paris 1976-1977, Lecture Notes 641, pp.220-234.

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Universite Pierre et Marie Curie Paris VI 4, Place Jussieu, 75230 Paris Cedex 05

Manuscrit remis Ie 7 novembre 1977

119

Les Theoremes de Cohen-Seidenberg en Algebre non Commutative. par Sleiman Yammine

L'objet de ce travail est l'etude du comportement des ideaux premiers de certaines algebres

A sur un corps

k

par extension du corps de base. Nous

obtenons ainsi, en utilisant la theorie de Lesieur-Croisot, le theoreme de descente (Going-down) pour le couple f-rme par une k-algebre noetherienne bilatere Lorsque et

A et son extension k'

B

= k'

a

un surcorps separable

est une extension algebrique d'un corps

k

et

k'

k. 0,

nous obtenons

stricte (Going up et Laying-over) pour

c;

caracteristique

C;-,

est une algebre de Lie resoluble sur un corps 0, si

1P

alors la dimension de '} est la somme de la hauteur de

Lorsque l' a l geb re de Lie

sur

A, ou

est equivalente

est nilpotente, on peut de f i.n i r

(cf . [21],

(ou non mixte) de l'algebre enve-

a

k'

A et si

GL,

est l'ideal bilatere engendre par

est une extension algebrique de

celie de

k, la purete de

U.

GL'.

Enfin toujours dans le cas nilpotent et si dans laquelle

et de la

On demontre alors que, comme dans le cas commutatif, si

est un ideal bilatere de k'

A

k.

la notion d'ideal bilatere A de

de

est un ideal premier de l'algebre enveloppante

dimension de Gelfand-Kirillov de A/1P

loppante

k

k'

est une extension de

k' est algebriquement fermee, un ideal bilatere de

si et seulement si l'ideal bilatere qu'il engendre dans

k'

A l'est.

algebres sont associatives, les anneaux sont unitaires ainsi que les modules sur ces anneaux ; les homomorphismes d'anneaux font correspondre l'element

a

l'element unite. Les algebres de Lie sont de dimension finie sur le

corps de bas:;par ideal d'un anneau, on entendra toujours ideal bilatere. 120

k

A est premier

Sauf mention du contra£re les corps consideres sont commutatifs. Les

unite

A

a

A. Ceci nous permet de gerie r a l.i.se r les r e su Lt at s de [12] et [24];

savoir que si

dans

k' de

de caracteristique

A l'algebre enveloppante d'une k-algebre de Lie

les theoremes de montee et de montee

de

A

-2§•

I. Going-down

Definition 1.1. : On appelle spectre d'un anne au l'ensemble des ideaux premiers de Si

f, si

X

Y de

= k'

A et I):ili

-;-=

l'ideal

Soient

de

une extension

un ideal premier de

A et so it de

(cf. (9) p.ll) et

B f

I' = k'

I

I", c ' est-a-dire que

2) D'apres ((26], lennne I), il existe

1=

f-

son extension a

B.

I, il existe

1P'

est alors intersection de

est contenu dans

est contenu dans

I

I

I', au dessus de

'J:, sont deux Ldea ux de A tels que

Soit

B alors

de cette famille. D'autre part, si

(k '

(f';)

k-algebres.

est semi-premier, c 'est l'intersection d 'une famille

l'image r ec Lproque par

que I f-

k-ra Igeb re ,

A minimal contenant

B minimal contenant

I"

d'ideaux premiers de et si q" et

corps, A

A est premier (resp. semi-premier).

un ideal de

I

Preuve: I) Si

I'

B, nous dirons

A, relativement a

est un ideal premier (resp. semi-premier) de

f- I (I")

2) Soit

On a

X de

B Ie monomorphisme canonique de

A

f

I"

k=-k'

Alors, pour tout ideal premier

k'

A dans un ensemble

B est au des sus d'une partie

= f-I(y).

Proposition 1.2.

B

Spec(A)

A.

fest une application d'un ensemble

qu'une partie

A et on note

--p';

un ideal premier de

" est un ideal premier de contenant ,pi. D'ou d'apres la premiere partie de la demonstration, -I "1 = f = f' Par suite f est un ideal premier de A minimal -I

au

il existe

l'

'P"

un ideal premier de ideal premier de

('P")' Inversement, soi t

D I ap re s

10"

I), i ' ideal premier

A

un ideal premier de £-1

minimal

contenant \(,.

B=R

g(r) (r

=

1

r

1

r e s t entier sur est entier sur

k

k

a

pour tout

l'iade de

est, d'apres 2.5., entier sur l)r6R

A

a

a

gauche) sur

A

a

A [r f l'aide de f.

A.

reR. Donc, d l ap r e s 2.7.,

g

'-fiR

l'aide de

t-

o

CPA' Par consequent

f, pour tout

rcR.

B qui satisfait aux condi-

est alors une famille d'elements de

tions 1), 2) et 3) de 2.13. donc (resp.

I,

une k-algebre

droite (resp.

canonique. On a Ie diagramme commutatif suivant

r

de

Ie monomorphisme canonique de k-algebres.

Preuve : On note '-P : k_) A et '-fiR : A structuraux des deux k-algebres A et R, et

On suppose que

gauche),

i ES. 1)

A pour tout

est entier

Proposition 2.14 : Soit B

a

B satisfaisant aux conditions suivantes

1) les

tel que

a

a

est

A _ ) B un homomorphisme d' anneaux. Soit

2) les 3) Xi

A

f

une famille d'elements de

Alors ; Af [Xi J i E I Preuve : Pour tout

si

no e t he r i en , Doric Le sous-A-module

A un anneau noetherien

anneau quelconque, et

(xi)ie I

Af [x]. c) -=) a). Supposons qu' il B de type fini, contenant AfLx].

=

de

est de type fini. Par consequent, d l ap re s 2.11., x

Proposition 2.13. ; Soient B

B"

B"

a droite

est alors un A-module

entier sur

est la proposition 2.9. On etablit

IJrE:R = B est entier

a

droite

Nous utiliserons Ie lemme suivant dont la preuve est immediate. Lemme 2.15. que pour tout

B un anneau integre et

Soient xEB

- t o]

Alors si

I l existe

x'E;B

A un sous-anneau de

-£01

A est un corps (gauche)

132

B

ver Lf i ant;

B, tels

x'x6A

-[oj

est un corps (gauche).

ou

-14Proposition 2.16. : Soient On suppose que

B un anne au

a

B est entier

integre, A un sous-anneau de

a

droite ou

gauche sur

A. Alors les conditions

suivantes sont equivalentes : a) A est un corps (gauche) . b) B est un corps (gauche). Preuve : a) sur

x

xEB-tOJ

a

est entier

droite (par exemple)

A, et il est non diviseur de zero dans B . Done, d'apres 2.3. (2), il

existe B

;> b). Soit

B - [oj

tel que

xx'E A - {oJ. D'apres 2.15. si

A est un corps,

I' est aussi. b)=) a). On suppose que

inversible dans

B d'inverse

B estuncorps.Soit

x. Or

x

est entier n

n-r l

a

aEA-{oJ;

a

est

droite (par exemple) sur

A, done verifie une relation du type: x = -(x .a ... +x.al+a et par o)' n_ I+ n-I n n-2 n-I consequent x = a x = -(a ... +a .al+a .ao)c Aj a est alors n_ I+ inversible dans A d'inverse x. Coro llaire 2.17. : Soi t B est entier premier de

a

f : A --') B un homomorphisme d' anneaux. On suppose

a

gauche ou

f

B, et posons

=

droite sur

'\9"

Soit

un ideal completement

f -1,"). Alors les conditions sui vantes sont

equivalentes

a gauche maximal de a gauche maximal de

A.

Preuve : On a Ie diagrannne commutatif suivant

A

a)f" b)

f

est un ideal est un ideal

B. f

1

p

f

designent les surjections canoniques, et de

f

entier

)B

-

1

ou

p,q

q

Ie monomorphisme d'anneaux deduit

par passage au quotientj B/-p"

est un anne au Lnt eg re et il est

a

Done, d'apres 2.16.,

gauche ou

a

droite sur

si et seulement si

est un corps. Par consequent

Corollaire 2.18. : Soit soit entier

a

droite ou

est un ideal maximal de

a

: A --) B

f

a

gauche sur

gauche maximal de

est un corps b) .

un homomorphisme d' anneaux, tel que A. Soit B, alors

un ideal bilatere de

Q

= f -I (b)

B

B. Si

est un ideal

a

gauche

A.

Preuve : Supposons que un corps. Par consequent

est un ideal

b

a

gauche maximal de

B. Done

est un ideal completement premier de

Bib

est

B. Le

resultat decoule alors de l'implication a)===> b) de 2.17. Corollaire 2.19. : Soit que

f : A ->B

un homomorphisme d'anneaux. On suppose

A est un anne au local dont l'unique ideal a gauche maximal est note 1ft ,

133

-15et que Best entier B qui soit un ideal

a droite a. gauche

1b

a

ou gauche sur A. Soit un ideal de maximal de B. Alors f- t (b)= 111..- •

Preuve: & = r:l. C'b) est, d' apr-e s 2.16, un ideal mal de A. Mais s /ftl... • Donc 1ft.

§ .3.

a

gauche maxi-

et going-up:

Definition 3.0.: Soient A un anneau, S une partie de A. On dit que S est une partie multiplicative de A, si 1 E S et si S est stable pour la multiplication dans A. On dit que S permet un calcul des fractions gauche (resp. permet un calcul de fractions) dans A, si S est une partie multiplicative de A formee d'elements non diviseurs de zero dans A, et telle que pour tout couple (a ,«) A)(, S il existe (b' ,t') E A)(, S (resp. (b,b') E A )(, A et (t,t') S X S) verifiant t'a b's (resp. at eb et t'a b's); dans ces conditions il eXiste un anneau des fractions a gauche (resp. a droite et a gauche) a d enoma.nat eur-e dans S, que l' on notera S·:I. A et, vis vis du monomorphisme canonique d'anneaux: le A-module S-1 A est plat droite (resp. gauche et droite).

a.

=

=

a

a

a

a

Lemme 3.1. : Soient A un anneau noetherien d'un cOte, S une partie de A permettant un calcul des frclctions a gauche dans A. Soit

'P

Spec (A) tel que A (cr , nsr. 4.8)

n

-pns

= 0.

S·"1' E

Alors

1l est sature pour S

A).

(i=t

Preuve - Supposons clue A est noether-a en a droite. Posons a 6 A, tel qU\il existe t E S verifiant ta l:.p} • On a evidemment 1='9 C3,.. • D' autre part, C2. est un ideal de A; en effet l' inclusion 5 (1, est triviale, et s1 a, a' E (l. et a" A, il existe t, t' E S Yerifiant ta, t'a' ' mais pour les couples (t,t') et (a",t) 11 existe (s ' ,b'), (s" ,b") S )(. A tels que s't:: b't' et s"a"= bItt et par consequent s't(a+ a '), s"a"a E ; d'ou. et. • ?omme () S = 0, alors l' n'& ( 'P) = ¢ (vodr la definition de '6 ( 1> ) a la sui t e de 4.2.). Donc , d'apres ( [23), Th.l.6), etsi'; par suite et '= l' et f' est sa'ture gauche pour S dans A, et, d' apr-as ([23],Th.l.6), est sature pour S dans A. ::>i A est noetherien gauche, alors ([23], Lemme 4.1) S s t1' ) et l' est sa'tur e pour S dans A. Done dans les deux cas S-:l.-p est un ideal bilatere de S-:l.A. Soient et' et deux ideaux de S-:l.A t'els que S-i1' • On a (Ci'n A) (t)'n A) S (S-:l.f) () A =-b D'an a.'SS-i-p ou 'b' c;; S-1f'll r

a

a.

Lemme 3.2. Soient A un anneau integre, Il un suranneau de A. On suppose que S :: A - t 03permet un calcul des fractions a gauche dans A et Il, et qu'il existe un sousanneau C de S·l ! contenant (S-:I. A ) U B at entier

134

-16-

a

gauche ou B

a droi te

sur

'P"

S-I A. Soient

Preuve : On a

S

A

tl. "e;; B - -p". Supposons -p"

B -

f

tels que

un ideal

0-".

1I

a

g

gauche

1'''

..p".

&."

est completement premier alors

6.."

et

tous deux au-dessus de l' ideal nul de

comp Le t emen t premier. Alors

«(S],p.3) s-I,?" est un ideal comp Le t ement; premier de S-I B et -I -I (S -p ") f\ B = f'''. Done C;" = (S .p") f\ C est un ideal comp Le t emen t premier de

C, et on a evidemment

gauche maximal de

Gi" f(S-1

9"n (S-I A) = (0)

C. Mais

tL")"

S-I-p

9"

D'ou

" B

un homomorphisme d' anneaux, S

a

permettant un calcul des fractions B

est un anneau noetherien

artinien d'un cote. Soit

a

-p"eSpec(B)

0.."(1

f-I(1"") = f-I(U.") Preuve: On a ..p"I"'IS

gauche dans

gauche

et que

et

Ct."

S =

¢.

une partie de

B. On suppose en outre S-]B

est un anneau

un ideal de

ft."

=

B

,p".

Done, d l ap re s 3.1, S-I1"" SPecCs-IB) -I

alors un ideal maximal de S B. Or S-I et " = S-I.p", et (i"S.p" = (S-I

S

-]

-]

f "G S

1> ")() B.

Ct"1s

-I

tels que

et c'est

B. Par consequent

D'ou Le r e su l t a t

II

Pour la question de simplicite et de semi-simplicite on adopte la terminologie de (4].

Lemme 3.4. : ]) Soient

A

un corps (gauche), B

un suranneau de

(resp. semi-premier), noetherien d'un cote et entier sur

A. Alors

B

k, R

k

un corps, k'

anneau noetherien d'un cote. Alors B

l'ensemble des elements de coroll.4), S

b's

B

k'

R

k'

R

a

s b'

B. D'ou 2)

b'eB -

{a}

separable est un

gauche, et soit

S

non diviseurs de zero.D'apres ([17] ,p.S9,

a

gauche dans

B

est simple (resp. semi-simple). D'autre part pour tout

ou

droite

est un anneau semi-simple.

est un anneau noetherien

permet un calcul des fractions

d l ap re s 2.3.(2), dans

A, premier

a

une extension algebrique

une k-algebre simple. On suppose en outre que

Preuve : I) Supposons que

S-l B

gauche ou

est un anneau simple (resp. semi-simple).

2) Soient de

a

tel que

b'seA -

est inversible dans Ie corps

roJ

cii

et l'anneau se S

s b'eA

A, et par suite

s

i.L existe,

{a}.

Done

est inversible

B = S-I B.

Supposons que

Rest isomorphe

a

k'

R

est un anne au noetherien

une algebre de matrices

135

Mn(A)

ou

A

a

gauche. L'algebre

est un corps

-17-

(gauche) contenant B

=

k'

k

dans son centre. Alors

R), et (Prop. 2.14) entier

anneau semi-simple. D'oil Lemme 3.5 : Soient

B = k'

kGk'

A). L'anneau

gauche sur

A. Done, d'apres 1), B est un

I) f(S)

B

a

S'

une partie de

B

une

A. On note

gauche dans

Ie monomorphisme canonique de k-algebres. Alors

permet un calcul des fractions

Pour

\I

est un anneau semi-simple

une extension de corps, A une k -a Lgeb re , S

f :

et

A 2)

a

k'

A permettant un calcul des fractions

partie de

dans

k'

A est (Prop. 1.12) semi-premier, noetherien a gauche (comme

k'

a

gauche dans

B.

B permettant un cal cui des fractions

a

gauche

S', il existe un homomorphisme de k'-algebre et un

seul

If: tel que (a,s)

(S -1 A)

k'

1f(I II: s

-I

a)

(I II: s)

=

If

AJl,S. De plus

S' -] B -I

S' -1 (k '

=

A)

(I II: a) = (f(s))

est injectif et, si

-1

f(a)

f(S)

pour tout

S', il est bijectif.

On a en outre Ie diagramme commutatif suivant f

A

)

li oil

i,j,g

B = k'

"" f

S,-I (k'

designent

IV

i!Pplications canoniques et

d'anneaux prolongeant

f

A)

l'unique homomorphisme

f.

Preuve: 1) se demontre aisement. 2) S,-I B est canoniquement et

f:

S-I A

(S-IA)

k'-algebres et un seul

S,-I B tel que Ie diagramme suivant

'-1',

k'

f,;1;"-'B

(S-I A)

soit commutatif, c'est-a-dire tel que Pour tout

i6I {,f(e) =

cill: s

Par suite

\f(I II: s

-I

a)

=

""

f(s

-1

a)

=

(f(s))

-I

f(a).

(a,s)eAl'S. Un calcul simple fournit la commut at lv i t e des autres

parties du diagramme. Soit

e = !:'

k'-algebre,

) s,-I B est en particulier un homomorphisme de k-algebres. Done

il existe un homomorphisme de k'

une

!:

iEI

-1

ai

(I II: s)-I

2-

i6I

f k'

(S-I A)

(ci'

oil

et

(ci lil: a;) = 0, et

I!I a.)

o

tel que

dans

k'

136

"»»

et de meme

au-ide s su s de i ' ideal nul de

noetherien

k, done, d'apres

g. Par consequent, d'apres 3.2,

tous deux auvde s sus de l'idea1 nul de A' te1s que

comp Le t ement; premier a Lor s

P(f-I(t"»

est a1gebrique sur

a l'aide de

«(17], p.89,

-19coroll. 4) permet un calcul des fractions dans -I

mutatif precedent (x). La k-algebre

a gauche, k' C'

S

A'

A', et on a Ie diagramme com-

est simple,

est une extension separable de

S'

-I '

Best unanneau

k. Done, d'apres 3.4. (2),

est un anneau semi-simple done artinien des deux cotes. Par consequent,

d'apres 3.3 en tenant compte que ensemble de

B'

B' est un anneau noetherien et que tout sous-

au dessus de l'ideal nul de

precedemment une propriete analogue s'obtient en

a

A'

S' ,

ne coupe pas

on a comme

et Ie reste de la demonstration

(p)

partout : completement premier par premier \\

Corollaire 3.7. : Soient algebrique separable

k

un corps, k' une extension.

de k, A

k-algebre. On note B

=

k'

A

f :

Ie monomorphisme canonique de k-ra Lge b re s . On suppose en outre

B

anne au noetherien d'un cote.

=k'

Soit 1' Spec(A)

=

miers de B minimaux contenant 1" premiers de B au-des sus de Preuve : D' ap res 1.17, on

f= f

-I

BfB. Alors l'ensemble

NV-

f . a m.'

f= f

suite

('\'>'j')

-I

= f

(1'''). D'ou,

&.'

d ap re s l

&.

=

Par

3.6, f" = -P'I' C1!!:.'1I' soit

= k'

On a

tel que

Corollaire 3.8 : Dans les hypotheses "P"e.Spec(B). On suppose

"f"

Inversement so it

(1'''), done f'>;;';f"· 11 existe 'Pi' -I

des ideaux pre-

corncide avec l'ensemble

Bl1B

un ideal de et

f=

f-I

A, et

(-p ") =1''' ()A.

Alors les conditions suivantes sont a).-p b)

est un ideal premier de

of"

est un ideal premier de

Preuve : b)

f

B minimal contenant

1P

est un ideal premier de

Done

(i' = k '

premiers de

2)!!'i=

A

=

f-

I

Cl

BG.B. Notons .@:(resp.

(resp. B) minimaux contenant

if "E-Spec(B)

t1' =

1

('Pi')

Corollaire 3.9 : Dans les hypotheses de 3.7, soit A

A minimal contenant

Ci-'£1>'; On a Cil.'f- (l' i') G f avec -1-1 f =...p= f ({l"). D'ou, d'apres

l"I'E.Spec(B) tel que

-I

de

u.'.

)a). (cf , 1.17).

Supposons que Soit

(i.

A minimal contenant

tel que

(f ") = -p"() A

ou

un ideal de

A distinct

l'ensemble des ideaux

(L(resp.

Gl ').

Alors

f

'fl" !!.'1 .

Resu l t a de 1.17 et de l'implication a)

)b) de 3.8.11

Les resultats 3.8 et 3.9 generalisent l'assertion (iii) du Th. 2.5 de [22J, dans un cas d'algebre

non commutative.

138

-ZOCorollaire 3.10 : Dans les hypotheses de 3.7, soit IYIL' = k' a)

est un ideal maximal de

b) les ideaux premiers de maximaux de

et

A.

B

au-des sus de

B

contenant

sont des ideaux

B.

c) les ideaux maximaux de

de

ml'

sont des

ideaux

B.

Preuve :

-p lie

tIn.£Spec(A)

= BIJKB. Alors les conditions suivantes sont equivalentes

b). Supposons que est un ideal maximal de A, et soit I tel que f- (f ") = '1ll. Soit t1l\.11 un ideal maximal de B tel

Spec(B)

que

On a

f

-I

('Itt")

....-1

=-,1\.= f

1>"

(-t:>"). Donc, d l ap re s 3.6,

'IIt".

=

c). Decoule de 3.7 n'est autre que 1.17.(3).

a)

Lemme 3.11 : Soient k-algebre. On note

k

un corps, k'

B = k'

A

une extension galoisiennede f : A

.§.!.

de k-algebres. On suppose en outre que

'P

Soit de

k'

de

B

eSpec(A) sur

k

.p'

.§.!.

l'

= k '

B B

.p' .

t

c'est un ideal de

B

0.. 11 = k ' &- o ii a. 1>' =.1l. (-p') = ( \

P

de

a..

=

II

=

'fZ'

f' et

(\

k, A une

On pose

«(4],

Donc

D'ou

f-I

tl"

=

D'apres

n ! (!!!!-z

1"2

tel

r

; et, d ' ap re s 3. II, Le groupe de Galois sur

et

l(6i z ) =1'Z' On pose

Corollaire 3.13 (Going-up). Soient k

et

A

f

fz'Ef'{

k

f : A--, B

l '1'Z6: Spec(A)

1"]'

sur

k'

et

un corps, k'

k-algebre. On note

anneau noetherien d'un cote et k-algebres. Pour

On a

ler 1"{

k

opere

tel que c 'est-a.-dire,

It

d'apres 3.7, C I (1' 'I') = fl separable de

de

Par consequent il existe Ona

Gil E

!:z G..p'J'.

et

il existe une famille

jeJ

-r z' 6. Spec (C)

k", i 1 existe

(fz') =flz

k

noe t he r i.en d'un cote.

B

les applications c ano n i que s , On a

Best engendre par une famille finie jEJ

L =

-1>z'

-I

.e "I = g-I(Jh"') T I

applique a. l'extension et

sur

..f>'i' Spec(C)

'\

(1'';)

ZO cas) On suppose que de

A

h: A __? C

il existe

1>;' Co Spec(B),

k"

k'

appliquee a. I' extension

l'extension " Z -

Spec(B)

f-I

A

B. Alors, d' ap re s 1.2

tel que

1Jlt"). 2) resulte de I) et de la definition 1.18 (4).

3) Puisque

(i= f-ICti..')

on a, dap res 2), coht

dap res 1.19 (2), cohtACCt)S cohtBCQ'). D'oil

cohtBCQ.'), et ACQ)7( cohtACft) = cohtBCu..'). D'autre

part, d l ap r e s 1.19 (2), ona

ht Soitmaintenant -r SpecCA) ACU)ShtBCl2..'). D'apres 1.2.(2), il existe tel que

tel que

f'= f-1Cf>"). On a evidernment Mais

u..'Gf"

et, d'apres I), htACf') = ht

= htACf»' Done =

oil

a

Reste

un ideal premier de

BC1'"")' d'otl l'egalite

htBCU.')$htACQ.)

etablir la troisieme egalite. Pour cela soit

A minimal contenant

est un ideal premier de

B

htAC.p) = htBCr ")$ altBCtt'). D'oil

a,

D' ap re s 3.9. (2),

Ct.'.

minimal contenant

-f =

f -I Cf>

")

Done

altACD.)ti altBCQ..'). Inversement

soit

.p" un ideal premier de B minimal contenant ft'. Done, d l ap res 3.9(1), I f>= f- C1> ") est un ideal premier de A minimal contenant Q.. Par consequent htACf»

= htBCf>")SaltACQ,). D'otl

d'etablir l'egalite

Ce qui termine

altACQ..) = altBCQ').

Corollaire 3.16. : Dans les hypotheses 3.13, soit Alors

a dimAE = a

Ck'

E

un A-module non nul.

E).

Preuve: Decoule immediatement de 1.19.(3). et 3.15.(3).

Soient

k0A

oil

j

A minimal Spec(Af»

f'jflA Spec(A)

Proposition 3.6.17). Par consequen/ d I apr e s Ie choix de

fjnA

=

f·

contenant

Qf"

Donc

flE:Spec(A)

('of J).p'

Spec(A p

f'

f.,p

est un ideal premier de

A-r

minimal

((7], Proposition 3.6.17) on a 11.£ -f = d!:f'JC;;f>. Alors

et

'"'l

=

)'

at

A.

tel que

c). 11 suffit d'appliquer l'equivalence de a) et d) de 4.5.

.fit =ff

on a

fj =f.p

D'ou

a). Supposons que Soit

Spec(A)

a ;

f

contenant

l'

Soient

A. Alors les conditions suivantes sont equivalentes

a)

Preuve :

«(7],

Gj

Mt. -primaire.

Proposition 4.6. : Soient nilpotente,

A minimal contenant

dans

A

f

II

145

ou

a

-27-

Corollaire 4.7. : Dans les hypotheses de la proposition 4.6. on suppose que

51 1 (Q) = 1» (ce qui est Le cas l!l-@ est 'fil.." -primaire dans

par exemple lorsque

est'f/primaire). Alors

f'

Definition 4.8. : Soit vides de dans

A un anneau, et soient

A. On dit que

A, si pour

S

a

a)

bl )

i1

a. 1Sf Q.

dans

= ".pll

Cl I

n A

est lO-primaire dans

A

contenant

s at ure pour

D.. ;

S = (; (11)

1

-primaire dans

tel que

= (1

et

l'

. Par suite

f

- '1

lr.tB.:"c: 1J

Vl.

4 = 6.. I! -'P -'P 1

1

(b)

cy

=

et

";.3.

b. () A s:

d)

t

'f

acheve la demonstrationV

de (9)),

e)

n A = GJ I'

de 4.9., ce qui

Definition 4.11. : Dans les hypotheses de 4.10., on appelle p-primaire minimum dans Lemme 4.12. : Soient

kf; k '

A

note

=

k'

enveloppante de

de l'ideal

U. (ca)

l'extension

ca-',

k-a l.geb re s , Soient et po sons Q' = k ' =

i!L

a..

l' algebre enveloppante de

k', B

f : A --» B

et

le

.

une extension de corps de caracteristique

k-ra Lgeb r e de Lie nilpotente, A =

=ll.('E.Ass A(Q.) A, et

pour

Ih

A (a). Alors on a

'\' (op"»

(,\'

e t ant; un ideal -p-primaire dans

A

'PcAssA(.

=

0, telle que

est un ideal

( rr>. Q."(oi/ll"»)J e.G.""''') 13"" Als B(tt' ('P» I 1 ) - J -,-0 .

c:: Als A(Q..) -lfal

A(0.) -fro}

. Comme

-35Corollaire 4.26. : Dans les hypotheses de 4.25., on a : :t

r

h

I) AssB(t..

Le A-module (Ii

D'apres ([51, ch.I, §.3, nOI, Prop. I), E plat si et seulement si, pour tout _E iliA M =

Mf' = 0

A-module Ii gauche

entraine

est plat.

est un A-module Ii droite fidelement M, la relation

M = 0, ce qui est equivalent Ii dire que

la categorie des A-module Ii gauche est bien supportee. (d) Supposons le A-module Ii droite plat et soit

§.3, nOl, Prop. I), on a

P0

. Spec (A)

E

verifiant

E-tf. = A 11. f A . Done -11.. 1"0

'Po

164

A of> f i de Lemen t

=

un ideal Ii gauche maximal de

A. Alors, d'apres

((5J, ch.I,

f E. Done il existe 0

e t , puisque ,JL est

-46maximal

a

1t =.-po .

gauche,

(d) ===!) (e) Il est bien connu que si ideaux

a gauche

ct

n'est pas abel i.enne , i l existe des

qui ne sont pas bilateres: il suffit de considerer un

ideal maximal 1ft

de

A de poids strictement positif et un ideal

maximal dans l'algebre simple les autres conditions et A=

d'ou

A/ffi. II est clair que

(f)

(e)

(e)

de

gauche

(e), car de (f) on deduit que

d'apres 6.6·K

Definition 6.9. : On appelle element normalisant d'un anne au x

a

entraine toutes

A, tout element

Ax = xA.

A tel que

On appelle systeme normalisant de

A, toute partie finie non vide

fXl'" .,xn} de A telle que pour i=I, ... ,n la classe de xi modulo (xl' ... ,x soit un element normalisant de l'anneau A/(xl, ••• ,x i_ 1) . i_ l) Cette condition est equivalente a la suivante : j=i j =i x. Ax. et Ax.£L x . A (i=I, .•. ,n). j=l J i. j=1 J L'ideal

a droite

(resp.

a gauche)

est evidemment bilatere. Tout systeme Remargue : Soit

A un anneau,

structure canonique de

centralisant est un systeme normalisant.

un ideal de

A-module

xh : Ad --'7 Alb.- (resp. hx a 1 - - - ' ) xa

engendre par un systeme normalisant

a droite

As --'> A/a.)

A. On note

(resp.

(r.

f : A--,>B

(resp. centralisant) de Lemme 6.11. : Soient d'anneaux plat

a

f: {f(x B.

A et

b )

B

Ker ( x.h) J

tout

, ... ,xn!

, ... ,f(x l) n)}

a

droite). Soient

engendres par des systemes normalisants de B(ttA

est un systeme

i

£I, ... ,n J.

de

6L

un homomorphisme et

A conserves par

(0..01.) B = B(n. (11.) = (B(iB)n (B1;. B))

165

A est conserve

est un systeme normalisant

B deux anneaux, f : A

gauche (resp.

I) B(aO'\)) B

a

un homomorphisme d'anneaux. On dit qu'un

systeme normalisant (resp. centralisant) f, si son image par

A, et

1 "homorro r ph i sme de A-modules

a.. .• (

Definition 6.10. : Soit

la

(resp. As)

a

gauche) . Il est clair que j=i L- Ax. A) (\ normalisant de A, alors J j=1 j=t j=i j=i ( \ Ker(h )) pour (resp. 6. .. Ax. A) x. J j=1 j=l J

(resp.

Ad

gauche) sur

a

droite (r e sp ,

par

a

deux ideaux de f. Alors

A

-47-

b)

2) B(Q..·

B = (0..,1.) B =

.. (Bb B)

B(Q.·. b) B = B(o..·.b) = (B6..B)·. (Bb B))

(resp.

Preuve: Soient

&.

engendrant (resp. BQ.B

LX1""'xm}

b

et

et

et

tYj , ... ,Ynl

deux systemes normalisants de

respectivement et conserves par

B'bB)

a

sont deux i.de aux

UB

f. Done

et

A

1,B

droite (resp. b i.Lat e r e s ) de

B

engendres respectivement par les deux systemes normalisants de B: tf(xl), ... ,f(xm)}

et

Lf(YI), ...

D'ou

BQB=aB

et

BbB=\"B. I) On a, d l ap r e s

«(5J, ch.l, § .2, n06, Prop. 6),

(Oofl'\,) B= (b..B) 1\ (b.B) = (BU-B)fl(BbB). Enparticulier

(Q.()b)B

est un

ideal b i.l.at e re de

B. Par consequent B«1.flb) B = (Qf\b)B = (BQB)fl(B1.B). i=n i=n i=n i=n 2) On a b = LAy. A = 2: Ay. et BbB = Bf(y.) B = Bf(y.). i= 1 i= 1 i. i= I i. i= 1 On considere alors les diagrammes suivants . h (x) Ii. .,1, Ad _ _ '> (A/o..)n

'L

L

\ (xx)

(0..,1.)

i III IB

,(xxx) i

B

(B/U.B)n =(B/BQ.B)n h

et

h'

sont definies

suivante :

h(a) = (y.a)'_j L

1 . - , ••.

( h(a)). Yi

,n

h' (b)

(f(

et ou les colonnes du diagramme B-modules

h'

designent les injections canoniques, et

de la

A

112

B d

>

B)n

III

IB )(A/b.)n iliA

III

(ft.· b)

et

h III

iliA B

liZ

(D)!

ou

iliA B

a

Yi

(D)

pour tout

... ,n

)h (b)) '=1

1 . , •••

pour tout

b

;

sont les isomorphismes canoniques de

droite. On verifie aisement que

de B-homomorphismes

,n

a c.A

(D)

est un diagramme commutatif

a

droite. (x) est une suite exacte de A-homomorphismes n i=n a droite, car Ker(h) = Ker( h) = b. "(L Ay. A) =Q..'\ = lm(i). Mais i=1 Yi i=1 B est, par hypothese, un A-module a gauche plat. Done (xx) est une suite

n

exacte. Par consequent (xxx) est une suite exacte, et

n Ker(f(y.)h) i= I

(BfA B).' (Bb B) = B(Q

.·t)

Proposition 6.12. : Soient d',algebre enveloppante Pour deux ideaux

B

n

n

lm(j) = (Q .. t,) B = Ker(h') =

\I k

un corps,

(B(i..B).·

(L

Bf(Yi) B)

i=1

une k-algebre de Lie nilpotente,

A = U

ft.

b

de

A

et une partie

166

S

de

A

permettant

-48un cal cuI des fractions dans

A,

S-I(6...'\) = (S-IQ..) .. (S-l'b)

(resp.

S-I(CL·.\.) = (S-I&.) .. (S-11)). f : A -+ B = S-I A

Preuve : Le monomorphisme canonique d' anneaux gauche et 11 droite, et tout ideal de sant de

A

conserve par

f

A

est plat 11

est engendre par un systeme centrali-

II

(cf. 4.2). D'ou Ie resultat d'apres 6.11.(2)

Corollaire 6.13. : Dans les hypotheses de la Proposition 6.12. on a ((S-ltl)f'lA)"b= (S-I(Q."{,))f'lA

et

((S-IC!)f'\A)"1, = (S-I(C2.,·.b))(lA Preuve: d= (S-let)(\A

est s at ure pour

sature 11 droite pour

dans

S

d... .,1.

( (S -I t\.) f'I A) .' t =

S

dans

V =J.. .. 1.

A. Done

est

A. En appliquant deux fois 6.12. on obtient

= V = (S -I V)" A = (S -I (c/...· b ) )(\ A =

( (S -I 6.) .' (S -I \ )) {'\ A = (( S-16..).. (S -I t)) (\ A = (S -I (h.. .' b)) (\ A

II

Corollaire 6.14. ; Dans les hypotheses de la Proposition 6.12., pour deux ideaux

b

Cl.

de

A,

(resp.

(resp. eL-ftL = '{;ffl..) pour tout Preuve ; Supposons tJ..1f/.. F ---'> 0

par consequent

S

Hom K. (HomA(P,Si),Si)

est injectif. I) Soient

ou

)

Hom K. (HomA(N,Si),Si)

A-module

1

I

_> ExtA(F,S)

a gauche simple. a gauche simple

ExtA(L,S) = Comme

a

Q est injectif, on en deduit

S on a la suite exacte

K est un corps, on en deduit que

HomA(u,S)

est surjectif et done

ExtA(F , S) = O.

Comme

N'

un sous-module de

3) So i

t

N/N'

est fp-injectif, et

canonique de On a done

N'

N sur

N/N'

piN

N tel que

N/N'

so i t aemi.r-s i.mp Le .

de presentation finie, la surjection

se prolonge en un homomorphisme

f: P

N/N'.

ker f I) N.

2) est evident.

Soit

a -)

F

N --? L

un A-module E ---,

a

a

gauche de presentation finie,

une suite exacte ou

libre de type fini et par consequent gauche simple, et de

N

f: N

S

L

a gauche A-module a

est un A-module

N est de type fini, S

un homomorphisme. Alors

ker f

un

est un ouvert

pour la topologie semi-simple. Done il existe un sous-module

verifiant

semi-simple et

Lip

f. On a alors

Pt\

suivant :

a

N\s f

u

L

Nip" N 1/1 __:, A/I _:, A/I _'::> O.

1-

a

Alors il existe _un A-module f :

S

tel que f(x) 2. AII Soit s

se pralonge

a

ker (f 0 s) 2. 1 Done A

est un ideal

tels que ker (f

0

Ax + ker (f

r O.

S

et un homomorphisme

A/Ax est de presentation finie, f 2. la surjection canonique de A sur A/I Alors

a gauche 0

gauche simple

Comme

maximal ne contenant pas

s). D'ou il existe

ax + y. On en deduit que

x

s); d'ou une contradiction.

180

=

aEA, et

xax + xy

x, et con tenant

y E ker (f

appartient

a

0

s)

-12-

Soit

Theoreme 3.6.

A un anneau. Les conditions suivantes sont

equivalentes A est coherent

)0)

a

gauche et tout A-module

a gauche

simple

fp-injectif.

1

2°)

Ie separe-complete de

a droite

gauche, est un A-module

A

3°)

est un A-module

a

A pour la topologie semi-simple

plat.

a droite

fidelement plat.

Demonstration :

)

92) Soient

canonique de

I

I

111 If!:

u

est injectif.

1i'AIf!:U A

A verifie les conditions du theoreme 3.2. Soient

a gauche

111 If!:

AIf!:U A

qN

u

1 ,.

u

N

de presentation finie, N un sous-module de type fini ou

/'

A If!: P P

)

f

est 1 'injection canonique de

u

dans

un A-module

a

jectif

Il reste a montrer ,.. a gauche et que A coherent a gauche. )

que

'IN

est un isomorphisme

U est injectif. D' ap r e s la

a droite

A est coherent

est un A-module

Proposition 3.7. : Soient On suppose

A est coherent

est fp-injectif. Alors

a

est injectif,

Comme

on en deduit que et done que

est sur-

de

'1

et done

"A

est

droite fidelement plat.

coherent

A/I-module

n ,

possede la meme propriete.

Soit

l'ideal maximal de

C,

son image reciproque dans

C i 1 : alors, d ' ap r es

tel que 1M, = 'll't C pour tout i i dim C = dim C , prof C = prof C ,pourtout i i] . On i i conclut alors pour les trois dernieres proprietes ; quant aux quatre premieres, II existe un indice

[3J

EGA, IV, 6

i 1 Eo I

,on a

elles resultent d'EGA IV, (5.13)(3J.

2.

INDUCTIVE PLATE DE P-ANNEAUX - Conservons les notations precedentes.

Nous avons la Proposi tion 2.1 - Soient

(A;, '1',,)

locaux noetheriens ; pour tout i)

A

=

lim A.

----4

ii)

Pour tout

iii)

Pour tout

Alors si, pour tout

un systeme inductif filtrant d'anneaux

i 6I , k

Ie corps residuel de

i

Ai . On suppose

est noetherien. i..,:j ,

tf ..

j, CI ji i EO I , Ai

est local et plat. fait de

k.

J

une extension separable de

est un P-anneau, A

199

k i est aussi un P-anneau.

-3Pour tout et

i E I , soient A

Ai --> Ai

u

'A.

i: systeme induct if d'anneaux locaux noetheriens

u

0

'"

'f j i

lfji =

0

A'

i.

q..J )

(A.,

avec

i.$j . Par passage a la limite inductive, il existe

' si

U

j i un homomorphisme canonique local et plat (done fidelement plat) A' done

A.

le separe complete radical-adique de

1 'homomorphisme c anon i.que , Nous avons canoniquement un

lim

=

-;>

'A. --,,1 :

est noetherien. Ainsi les hypotheses de (I. I) sont satisfaites. D'autre

part, par limite inductive, l'ideal maximal de et les corps residuels de

A et A'

A'

est engendre par celui de

sont les memes; on en deduit que

aussi le separe complete radical-adique de A' . L'homomorphisme rise suivant

A

f__ A' --g---;>A. D'apres (1. I), f

D'apres E.G.A., IV, (7.3.4)(3J, pour montrer que il suffit d'etablir que

g

A est

A

facto-

est un P-homomorphisme.

g

f

0

est un P-homomorphisme,

est regulier. Ceci resulte de la (C., y .. )

Proposition 2.2 - Soient

A

A

un systeme inductif filtrant d'anneaux

J

.i,

le corps residuel de

C.

une extension separable de

k.

noetheriens locaux complets ; pour tout

i.

On suppose que : i)

est noetherien.

C =

ii)

Pour tout

,

est local et plat.

iii)

Pour tout

,

fait de

Alors, l'anneau

C

k.

J

est henselien excellent.

D'apres E.G.A. IV, (18.6) et (18.7) (3), l'anneau universellement catenaire. Soient

C

I.' ideal maximal de

ty)'i..

est henselien, C ,

'1\\

son image

C ; il existe un indice i I tel que 'lYt.= C pour i. i A o A tout i i ; alors C Ill: C. k. est egal au corps residuel de C , qui est une o extension separable de k. d'apres iii). On en deduit que, pour tout i;?;i reciproque dans

l.f. : C. _ _;> 2 fait de

l'homomorphisme canonique

ment lisse (E.G.A. IV, 19.7. I)

[3J

. Comme l'anneau

tion (1.1), l'homomorphisme canonique dit C est excellent. Proposition 2.3 - Soient

q .. )

(Ai'

locaux ; pour tout

i)

A

= lim A.

I

L

est complet, done excel-

C

.

est alors regulier ; autrement

un systeme inductif filtrant d'anneaux k

i

le corps residuel de

Ai . On suppose

"s t no e t h e r i en ,

ii)

Pour tout

i

,

iii)

Pour tout

i

,

Alors, si pour tout

i

tf:

C i

o

une C;-algebre formelle-

I ir e r , D' apres 1a est regu

Cf i

, d' And re- (IJ montre que 1 ent, 1 e t h eoreme

C

C/ ..

est local et plat.

rb

fait de

'f

ji

iEI , l'anneau

A. i.

200

k.

J

une extension separable de

est universellement japonais

k.

-4(resp. excellent), l'anneau

A est aussi universellement japonais (resp.

excellent) • C'est un cas particulier de la proposition 2.1, P

etant la propriete des

fibres formelles d'etre geometriquement reduites (resp. regulieres), en remarquant en outre que (E.G.A., IV, 18.7.5)

A est universellement catenaire si chaque [3J •

Corollaire 2.4 - Soit

A un anneau noetherien local. Si

en est de meme de son henselise strict

A.

l'est

A est un P-anneau, il

hs A ; en particulier, si

A est univer-

sellement japonais (resp. excellent), il en est de meme de C'est un cas particulier des propositions 2.2 et 2.3, en remarquant que, si

A est un P-anneau, il en est de meme de toute A-algebre La proposition suivante montre qu'on ne peut se dispenser de l'hypothese

de separabilite.

Cf· . )

Proposition 2.5 - II existe un systeme inductif

d'anneaux locaux

noetheriens complets, tel que: i)

C

=

--

lim C.

ii)

Pour tout

iii)

L'anneau

Soient

k

(k: k P)

que

corps de

k

soit un anne au de valuation discrete. i$j , l'homomorphisme n ' une extension finie de K a o n K' = lim K' La fermeture integrale A'de A dans K' est egale a , oil

A'

n

n

est la fermeture integrale de Ill:

inductive en

An dans

A Am' pour tout

. On montre que

' et on conclut par passage

n m

a

la limite

On demontre de meme la Proposition 3.2 - Soit

k

un corps commutatif (aucune hypothese de caracteris-

tique n'est faite). Alors, il existe un systeme inductif filtrant de k-algebres noetheriennes integres semi-locales i)

A

=

lim A.

-'>

(A., i.

'l .. )

tel que:

J

soit noetherien integre de dimension 1 ;

ii)

Pour tout

i $j

iii)

Pour tout

i G I ,Ai

qji

soit un k-homomorphisme fidelement plat soi t excellent ;

iv)

A ne so it pas universellement japonais

v)

Pour tout ideal maximal f'('f(, de A ,Arrrf-

On applique la construction precedente

a

B

soit excellent. k [Xn' Yn]

n

(y

2 n

3) X n

Bibliographie

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M. ANDRE - Localisation de la lissite formelle, Manuscrit Math, 13, 1974, p , 297-307.

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P. SAMUEL - Lecture on Unique Factorisation Domains, Tate Institute of Fundamental Research, Bombay, 1964.

Jean MAROT

Manuscrit remis Ie 25 Janvier 1978

Departement de Mathematiques Faculte des Sciences et Techniques Universite de Bretagne Occidentale 29283 BREST CEDEX

204

La Cinquieme Deflection d'un Anneau Local Noetherien par

H. RAHBAR-ROCHANDEL

Introduction: 1e but de ce travail est de calculer l'expression de la cinquieme deflection d'un anneau local noetherien Koszul associe

a

a

l'aide du complexe de

l'anneau et aes operateurs de Massey matriciels de ce complexe.

Ce travail generalise les resultats de M.Paugam qui a calcule l'expression de la cinquieme deflection dans Ie cas ou Ie complexe de Koszul verifie

HI (E).HI(E)

=

HI (E)H 2(E)

E

de l'anneau

= O.

Signalons que L.1. Avr amov , dans son article "On the Hopf Algebra of a Local Ring. Math. U.S.S.R. ve r i f i e

dim m 2

Lzve s t i j a , vol. 8 (1974). n02"indique

eS

calcule l'expression de

dans Ie cas ou l'ideal maximal

avoir

m de l'anneau

R

4. cal cul , qui d' ailleurs .conme il no us a i.nd i que , peut se ge-

m

neraliser au cas ou

. m d i.m 2

est quelconque mais qui semble donner une expres-

m

sion de eS moins explicite de ce que nous avons obtenu. Qu'il soit ici remercie pour les interessantes discussions que nous avons eues a propos de ce travail. 000

Notations : Dans la suite, d'ideal maximal

designe un anneau local noetherien

m et de corps residuel

k. On notera par

E

Ie complexe de

r de m et par X n) les algebres differentielles introduites par Tate pour la construction d'une

Koszul associe

a

un systeme generateur minimal

(tl •...• t

resolution minimale du corps residuel ayant une structure d'algebre differentielle graduee strictement anticommutative (voir (S)). I. Lemme: Soit

dA

E:E. Al o r s ,

A eX

A E: E + mX r

r

p

(ou

r+l)

205

un element homogene verifiant

-2-

Demonstration: Notons par superieur Y

a

E, YI

o

,11'" "W toutes les variables de degre m 2 r 2 introduites pour la construction de X, ... ,X et posons

c WI;

E

=

';)W I

=

wI'>,· . "

Ym

Ym- I

=

H (X Ix ) S S S

Un calcul facile montre que

f = g = u = v = 0 ; d'ou la proposition. 000

La suite exacte

x3 IE

3 0 ---? E ---? X

0

nous donne la suite

exacte 3 H (X IE) 6

3 H (X IE) ---? H (E) 4 S S/X3) En utilisant la proposition 2 et les egalites H 6(X on trouve la suite exacte

o

-7

3 H (X ) S

H (E) S

3

H (E) IDS (H(E» S

Pour cal euler

£5

H (X) S

o

3

_

H (X IE) ---..., D4 (H(E» -" 0 S

il faut done cal euler

HS(X3/E). Pour cela, nous

introduisons Xl = E et F

1 2

F2 6

3 2 X = X c

c]

(I) 0(

=I

R T. =

1 RSO( , F = $2 3 j=1

; C>V j = v j "> RV. J

3 Ell RV. V. F = Ell RSO( J ' 6 O«P

[HI(E), HI (E)} III HI (E) - ) H2 (E) .

Demonstration: Pour ne pas aloudir l'ecriture, nous identifierons les 6

'3

elements de K a leur image dans X a l'aide de morphisme canonique de 6 3. K dans X Ainsi par exemple T 1& S sera note par TiS. i Soit +

A

L.

de

1\ /I

SclSr>S. I

+ L::M()( . S V. + 01 , j ,) ()( J

0(

p. .

\

= L

U

Lj

\"'"

+LCI#

(2)

'A

'\ (3) '\ + LA. So( +L 0(

\"

L

N.V. + J J i -rI. =.P'

+ l

UDOl , (3 =

tel que

Ill. AD! '

0


Z 6 Z 6 3 HI (E) lIT 4 -') H (K /K ) - ' ) H (K /K ) S S

calcul facile montre que -

-

(AolNS(!>SJ+

f

-

2

0

=

-

(Z)

t f7

(E I+ I)

eI

. Un

et que la famille +

-

est une base de Im(f;;). Par consequent dim Im(f;;) 6 Z) 6 3 dim H (K /K = dim H (K /K ) + (£ I+ I )._(Cj) S S

t (e I-I)

Z H (E) lIT4 o -

E7

=

E7

(Z)

)(l(.

et 6

dim H (K /K S

3)

+

.

Demonstration : La suite exacte (3) de la page 4 donne la suite exacte 64

3

63

64

H6 (K /K ) - 7 HS (E Ill: F 6) ---7 H (K /K ) S

3

H (K /K ) H4 (E fa F 6) • Or S 6/K 4). 6/K3) H Ill: = HS(E Ill: = 0 ; donc dim H = dim H La suite S(K S(K 4(E exacte (4) de la page 5 donne la longue suite exacte 6

H6 (K /K

S)

f" 2 2 6 4 _3) HZ (X )IlI:H (X ) _) H (K /K )

Z

S

a

ou nous avons identifie f f

3=

0

3"(V.V.)

car =

Hj(X

v. N J

Z)

= o. H

v. - v.

S(K

Ill:

v.. J

HZ(X

6/KS)

Donc

Z).

= 0

et

dim Im(f

211

6

f

5

3

2

2

H (K /K ) --7 HI (X )NH (X ) Z S 6/KS)

H

6(K

3")

=

fZ) Z

=

ffi

i 0

induces an exact

sequence

o _>HomA(M/N,I')

_>HomA(M,I')

219

_",,>0

-8-

of complexes which, in turn, induces the exact sequence t+ 1 Ht(Hom (M,I'» _') H (Hom (M/N,I'» A A But 0 ,and so Ht(HomA(M,I'»! 0,

is a non-negative integer and

Assume, inductively, that

that the desired result has been established when the case in which Let

s

0,

s s' j ; consider now

j+l,

xE m be a non-zerodivisor on

a non-zero f,g, i(Hom A-module of depth j, and so, by the inductive hypothesis, H A(M/x11,I'» t-j whenever i:;>t-j, while H (Hom 0, Now the exact sequence A(M/x."1,I'»" 0 __> M _x_> M __;>M/xM 0 induces, for each integer Hi (Hom (M,I'» A For

i::-t-j-l, we

M, Then

M/xM

0

i, an exact sequence

x;> Hi (Hom (M,I' » __,>H i + 1 (Hom (M/xM,I'» , A A

Hi+1(HomA(M/xM,I'»

Hi(HomA(M,I'»

0, and so

,

But, by (2,4), each

and so it forlows from Nakayama's lemma that

is

Hi(HomA(M,I'»

f,g"

for all

0

i? t-j-l.

Also, the exact sequence tHt- j- 1 (Hom (M,I'» _;;> H j (Hom (M/xM,I') )_ _>H t- j (Hom (M,I'» , A A A together with the facts that Ht-j(Hom (M/XM,I'» ,,0 and Ht-j(HomA(M,I'» t-'-l A shows that H J (HomA(M,I'»! 0, This completes the inductive step,

0,

The theorem therefore follows by induction,

(2.7) PROPOSITION, Let that

12. and

.9.

I'

be a fundamental dualizing complex for

are prime ideals of

A such that

.Ec. .9. 12. and 3.' (The symbol lie' t (3. ; I' ) t(.E ; I' ) + I,

prime ideals strictly between te strict inclusion) , Then

A, Suppose

and that there are no is reserved to deno-

Proof. By the comment immediately following Definition (2,3), we may assume that

A is local and

.9.

dimA(A/.E)

1

depthA(A/.E)' Let

(2.6), t-l

is the unique integer

m, Under these assumptions, we have t

denote i

since localization is an exact functor, i ! t-l, and

so

t(.E; I')

t(m; I'), Then, by (2,5) and

for.which

Hi (HomA(A/.E, I'» p

(k(p), (I') ) -

12.

0

! 0, Hence, whenever

t-l, as required,-

This result has useful consequences, (2.8) COROLLARY. Suppose that Let

12.

and

A possesses a fundamental dualizing complex,

3. be prime ideals of

A such that

220

12. c 3., and suppose that there

-9-

is a saturated chain of prime ideals of Then

v

E

to

length

v.

; I·) - t (E ; r).

t

=

A from

We shall come back to this result in §.3 ; for the moment, we just use it to prove the following companion result to (2.6).

(2.9) THEOREM. Suppose that dualizing complex for f.g.

A

A;

is local and that t

A-module of dimension

denote

r. Then

t-r

I·

is a fundamental

I·). Let

M be a non-zero

is the least integer

i

such that

Hi(HomA(M,I·)) f O. Proof. By (2.5), Hi(HomA(M,I·)) = 0 t-r remains only to show that H (HomA(M,I·) having M

E t

r. Then

=

is a non-zero

E

whenever

i< t-r, and so it

f O. There exists

will be a minimal member of

EE:SuPPA(M) SUPPA(M), and so

A -module of finite length. Thus, by (2. I) and (2.6),

E

Cp • I·)

Ht(E; I·) (Hom (M ,(I·) ) f 0, whence (HomA(M,I·») f O. Ap E E But, by (2.8), teE ; I·) = t - dimA(A!v = t-r, and so the result

H -'

follows.

(2.10) COROLLARY. Suppose that

A is local and that

dualizing complex for

t

A;

A-module. Then

denote

M is a Cohen-Macaulay

is exactly one integer

i

for which

I·

I·). Let

is a fundamental M be a non-zero

A-module if and only if there

f O. In particular,

Hi(HomA(M,I·»

is a Cohen-Macaulay ring if and only if there is exactly one integer which

Hi(I·) f

i

A for

o.

Proof. Let

r

dim l1 and s = depthAM. Thus t-r $ t-s, and A if and only if M is a Cohen-Macaulay A-module. The result

t r = t-s r

=

follows from (2.6) and (2.9) , since least) integer

i such since the complexes I·

that and

t-s (resp. t-r)

Hi(HomA(M,I·») f HomA(A,I·)

o.

is the greatest (resp.

The last part is now immediate,

are isomorphic.

This corollary shows that, among local rings which possess fundamental dualizing complexes, the Cohen-Macaulay ones can be characterized simply in terms of the cohomology of their fundamental dualizing complexes. There is a comparable characterization for the Gorenstein local rings in this class. (2. II) LEMMA. Suppose that complex for integer

A. Then

wsuch

A

A

is local and that

I·

is a fundamental dualizing

is a Gorenstein ring if and only if there exists an

that

221

-10-

Hi(I') = 0

whenever

i ofW

Suppose

A

and

(resp. is free).

is a Gorenstein ring of dimension

the minimal injective resolution o 1 i o _'> A (A) E (A) _') , .. _> E (A) _:;> ... for

A

as a module over itself, Let o

, . . 0_,) 0

1

(A) _ _,.

E'

observed in §.1, E'

d-]

i

of

w

EO(A)

(A)

is the

wand a quism

and

whenever

i

that, if

of

d

E (A)--") 0

A. Therefore, by Hence

I'-,,{-W}E'

W ,and

HW(I')

w

such that

denotes

I')

and

d

denotes

I'

HW(I')

dim A, then

t (E ; I')




A

) ,K)-J

3.

=

0,

K _;> F _:;> [Hw(I 3. 3.

of

-and

O)] g

=

0

whenever

i

t-

w . Also,

so the exact sequence _::>0

A -modules and A -homomorphisms splits. Hence HW((I'» is a free 3. q 3. A -moduleo I t therefore follows from (2. 1) and (2. 1 I) that Eo GodA). 3.

223

-12-

Therefore

WSGor(A), as required.

Note. A direct proof (which does not mention dualizing complexes) that each (non-trivial) homomorphic image of a finite-dimensional Gorenstein ring has open Gorenstein locus is given in [19 ; 3. I), al though the ideas used therein are similar to those of the above proof.

The remaining conditions on

A which are necessary for

A

to possess

a fundamental dualizing complex which we wish to establish in this section concern fibre rings of flat ring homomorphisms, and so it is perhaps appropriate for us to remind the reader of the basic definitions concerning this and related concepts. (3.4) DEFINITIONS. Let be a prime ideal of

A

A. The

be a flat ring homomorphism, and let

fibre ring of

over

E

E

is the A-algebra

B N kA(E)' The flat ring homomorphism is said to be a Gorenstein ring A homomorphism if all the non-trivial fibre rings of are Gorenstein rings.

We draw the reader's attention to the following basic facts about fibre rings : these are proved in [17 ;

§.

2]. With the notation of (3.4), there is a

bijective, inclusion preserving correspondence between the set of prime ideals of

B which contract to

E

Spec(B N kA(E)) and A under ; in particular,

B N kA(E) is non-trivial if and only if there exists a prime ideal of B A which contracts to E; consequently, if were faithfully flat, then all its fibre rings would be non-trivial. The work of Grothendieck in (3 ; Chapitre IV, §.6, §.7] provides many examples of results which conform to the general principle that if A

B

rings of

is a flat ring homomorphism and all the non-trivial fibre sufficiently good, then certain properties of

tically inherited by If

R

A are automa-

B.

is a local ring, then

R

or

(R)-

will denote its completion,

and the fibre rings of the natural (faithfully flat) ring homomorphism R --;> R

are called the formal fibres of

R.

The following theorem is part of the main result of

[5].

(3.5) THEOREM. Suppose that there exists a fundamental dualizing complex for so that, by (3.1), A dimensional, and that

is finite-dimensional. Suppose that : A -_;> B

B

is also finite-

is a flat ring homomorphism. Then the

224

A,

-13following statements are equivalent : (i) For each .£ l> Spec(A), the fibre ring

B N k (.£) is either trivial A A is a Gorenstein ring homomorphism.

or a Gorenstein ring, i.e.

(ii) For each .£ £ Spec(A) of

which is the contraction of a maximal ideal

B N k is a Gorenstein ring. A A(.£) Proof. The proof of this theorem, which forms part of the main result

B, the fibre ring

(Theorem (3.3)) of [S], is quite long and

complicated, and so it will not be

repeated here. The reader is referred to [S).

From this we can deduce Some interesting properties of rings which possess dualizing complexes. (3.6) COROLLARY. (Grothendieck & Hartshorne [6 ; p.300] ; see also [20; (3. 7J .) Suppose that there exists a fundamental dualizing complex for each .££ Spec(A), all the formal fibres of Proof. By (2.1), each localization of

A

.£

A

A. Then,for

are Gorenstein rings. possesses a fundamental

dualizing complex. It is therefore enough for us to assume that

A is local

and to show that the natural (faithfully flat) ring homomorphism

't::

A

A

is a Gorenstein homomorphism. We use (3.S) to achieve this: since the maximal

"A

ideal of

contracts to

Gorenstein ring. However,

it

A NA

A N is a A is a field, and so the proof is complete.

enough to show that

Note. It is easy to prove directly that, if

A is a homomorphic image

of a Gorenstein ring, then, for each .£tSpec(A), all the formal fibres of are Gorenstein rings : see [19 ; S.4].

A

.£

(3.7) COROLLARY [S ; 3.4] . Suppose that there exists a fundamental dualizing complex for map

A-;. Proof.

that, if ideal,

n m'

be indeterminates. Then the Xl' X .. "X 2, n {[XI' •.• ,Xn]] is a Gorenstein homomorphism.

A, and let

This is immediate from (3. S) once it is observed

[9

inclusion (IS.I)]

A[[X 1,··· ,xnJ] , then Ann is a maximal A, and the fibre ring of ' ••• "'An' Since each Ai is Z A, we see from (Z.I) that each Ai is

a Cohen-Macaulay ring which possesses a fundamental dualizing complex. Clearly,

226

-15-

it is enough to show that each Ai is a homomorphic image of a finitedimensional Gorenstein ring. Thus we may, and do, assume henceforth that A has connected prime spectrum. The complex whenever

I'

or

is bounded: let

i I

q

q+ 1

_';>", _')

I

t-1

this provides an injective resolution for the non-zero

t

__

f.g. A-module

Hq(I'),

and we may use this resolution to calculate the integers (for

Since

I'

is a fundamental dualizing complex for

that the complex and

It therefore follows, since =

di,d

A, it follows

has only one non-zero term, namely its (Kronecker delta) for all

i7/0. Thus

q+d = t, that Hq(I')

is a

Gorenstein A-module of rank 1, as required, This completes the proof.

We end these notes with a conjecture. (4.4) CONJECTURE. If there exists a fundamental dualizing complex for A must be a homomorphic image of a finite-dimensional Gorenstein ring.

227

A, then

-16-

We know, by (4.3), that this conjecture is valid if Macaulay ring; also, the results of §.3

A is a Cohen-

tend to add weight to this

conjecture: however, in general, it appears that the question raised by (4.4) is an open problem which may turn out to be rather difficult.

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Manuscrit remis Ie

Rodney Y. Sharp Department of Pure Mathematics University of Sheffield SHEFFIELD 53 7RH

22 Mai 1978

ANGLETERRE

229

Deformation of certain Gorenstein singularities par Jurgen HERZOG

In this lecture we describe methods how to compute the modules 2(R/k,R), T defined in (7). We consider only the case that

T1(R/k,R) and R

is a reduced Cohen-Macaulay (or Gorenstein)

we will also assume that where

k

R

1,

... ,X

n]

/1

k-algebra. For simplicity is a complete

k-algebra,

is a perfect field.

To each element of In particular T1(R/k,R)

k'[X

=

=

T1(R/k,R)

belongs an infinitesimal deformation.

R

is rigid, i.e. admits no infinitesimal deformations, if 2(R/k,R) O. The vanishing of T implies, that R is not obs-

tructed, i.e. there exist no obstructions for lifting infinitesimal deformations. Let

denote the module of differentials and

(dualizing) module of

Since we assume that T 1 (R/k, R)

KR

the canonical

R

and therefore

R, see for instance (6). R

is reduced we have

1

Ext R

2 T (R/k, R)

and

' R) (I/I

2,R).

To compute these Ext-groups we use that

From this natural isomorphism results a spectral sequence i R ExtR(Torj(M,KR),K

R)

Ext

i+j (M,R). R

Using properties of the canonical module, one concludmfrom this spectral sequence easily:

230

-2-

Theorem ----

1i

a) t

l

ExtR(M

ExtR(M,R)

sup {dim

i

d-t, where

a}.

>

b) If proj dim M
O.

In particular if R is reduced, we have

If

N

is an Ext

if

R-module with dim

i

for

= 0

i

> 0

N =

dim R,

then

if and only

N is a CM-module (Cohen-Macaulay). Therefore we obtain:

Corollary a)

QR/k @

If

lS

a

CM-module, then

T1(R/k,R)

O.

lS

a

CM-module, then

TZ(R/k,R)

o

R

b)

I/I Z @ K R

If

and the

R

following are equivalent. i)

ii)

is a CM-module.

QR/k :

T 1 (R/k, R) = O.

The second assertion of

b)

follows from the fact that the natural

sequence

o is exact, if

I/I

Z

I/I Z @ K R

e

----+

R is

a

QA/k

@

----> rl

R CM-module. (A

=

R

----> 0 R/ k e R K [xj, ... ,X n]).

Although we have no example it is quite certain that need not to be a

eM-module even if

TZ(R/k,R)

I/I

Z R

=

O. However with this

stronger assumption we can prove the following two theorems Theorem Z -

If

are equivalent : i) Li )

R

I/1Z

is a

CM-module, then the following conditions

R

is a complete intersection.

proj. dim rl < R/ k

00'

231

-3Theorem 3 -

Assume that

1/1

2

rs a

CM-module and let

TI(R/k,R). Since

be a system of generators of

R

t 1" .. ,t

n

is not obstructed,

there exists a deformation S

k [T]

-7

l

R

A

I

T ] n

k

the direction of

t], ... , t

n

and

is rigid.

S

Remarks a) It is conjectured that the conditions

i) and

ii) in Theorem 2

are equivalent in general. In the particular case that

R

is an almost

complete intersection, the conjecture is proved, see (1) and (8). As a consequence of Theorem 2 we obtain in Theorem 4 two new results in this direction.

T

b) Concerning Theorem 3 we don't know whether from one can conclude that Theorem 4 - Let a) If

I

S

height (I) R

b) I f 2

is a

0

is rigid.

be a perfect ideal.

I/I2

1/1

2(R/k,R)

height (I)

2, then is a

3

CM-module. and

R

is a Gorenstein ring, then

All

CM-module.

Remarks a) From Theorem 4 we conclude that

T

2(R/k,R)

=

0

if

codim R

2.

In particular one finds that space curves are not obstructed. These results were obtained by M.Schaps in (9). b) There exist Gorensteinideals of height 4, such that a

1/1

2

is not

CM-module, see (5). We indicate a proof of

n =

a). A proof of

be the minimal number of generators of

lution

232

b) can be found in (5). Let I, then

I

admits a reso-

-4Let M.

x

be a system of parameters of

If

dim M

dim R

R. Let

M

for any

R-module

then the following conditions are equivalent

( (5) , 1 .2)

i) ii)

M is a

.£eM)

CM-module.

Q,(R) rank

M.

Here

denotes the length of a module.

In our situation we have to show that

9,(1/1

2

0 R

2 9,(R).

From (I) we obtain an exact sequence KE.-]-'L. KE. R R with

1/12 0 K R R

0

0

We claim that

Ker 9,(1/1

R. Then it follows that

2

°KR)

9,(K

n

R)

- 9,(K

n-]

R

- (n-]).9(R) + HR)

) +

-

2 9.(R).

To prove the claim we dualize the sequence (I) and obtain an exact sequence n-I

A

--+

--+

O.

Dualizing this sequence with respect to

one obtains the exact sequence

o Since

R

this finishes the proof.

The proof of Theorem 4

a)

gives also some information on

T1(R/k,R)

Consider the exact sequence 2 1(R/k,R) ("A/k0 R)* - - + (1/1 ) * ----->- T ----->- O. A

If we assume that ideal of

I

is contained in the square of the maximal

A, we have E: (R) o

embedding dimension of

R, and r(I/I

2

n , (n-r l )

E:1(R)

denotes the first deviation of

233

R.

-5-

The second equation follows from (6), 6.10, the third equation follows from the fact that 1/1 2 0 is the second module of syzygies in a minimal injective resolution of

o ----+ R ----+

K

r

R:

1 --'L,. K

r

1

----+

I II

2

0

----+

0

(see proof of Theorem 4). The last equations can be checked using the Tate resolution of

k.

Altogether we obtain

In particular it follows that space curves are not rigid. This M.Schaps (9).

corresponds to a result of

With similar methods it is shown in a paper of R. Waldi (10)

R of codim

that for Gorenstein rings a)

T

2(R/k,R) 1

b) 'T (R/ k , R)

R

O.

# 0

if

re. EO

(R) < \

3

1(R»)

2

the following holds :

.

The proof of this and the following results uses a structure theorem of Buchsbaum and Eisenbud that char Let

k

(2). From now on we also suppose

O. R

be as above, then

Theorem 5 (Waldi) - If

R has an isolated singularity and if

then the generic fiber of the versal Assume moreover that Let

R

R

is a

I-dimensional integral domain.

denote the integral closure of

torsion of

dim R < 6,

deformation is smooth.

R

and let

T

denote the

uR/ k '

Using Theorem 5 and a result of Deligne (3) it is shown : Theorem 6 (Waldi) if

R

ideals

lS

£(R/R)

< t(e)

(

2£(R/R) with equality if and only

monomial.

We consider a last example to show that there exist Gorenstein 2 I of any height such that 1/1 is a eM-module.

234

Let

n

3

and k[X .. ,Y1, ... ,Y]/I,

R

1.J

n

I

n

1= (A1, ... ,An_I,1l , ... ,ll) \

=

IIi

=

n l:

j=1

with

X " Y. ,

iJ

J

i -th maximal minor of

In (4) it is shown that

I

(X.. ) . 1.J

is a Gorenstein ideal of height

n.

Theorem 7 (Steurich) 2

a)

1/1

b)

depth

is a CM-module. QR/k '" dim R - \.

From the corollary to Theorem

T

I

it follows that

T1(R/k,R) # O.

We apply Theorem 3 in the simplest case n = 3 : One can show that 2 2 is generated by the class of tp: 1/1 ----> R with (Ai + 1 ) = 0, 2 (lli + 1 ) = Y + I. To \f belongs the deformation i S

t k [T]

I

with

--k

S

k [X .. , Y. , T] / J,

J

(A

1.J

1, A2

Theorem 3.

J

,ll I -TY1, ... ,1l3 -TY) ' and 3

S

is rigid by

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10)

R. WALDI - Deformation von Gorenstein-Singularitaten der Kodimension 3. (to appear).

Jurgen HERZOG Fachbereich 6 - Mathematik Universitat Essen Gesamthochschule Postfach 6843 D - 4300 ESSEN

236

Algebre homologique des anneaux locaux

a

corps

residuels de caracteristique deux par Mi che 1 ANDRE

On

va considerer un anneau commutatif, local et ncetherien

d'ideal maximal

M et de corps residuel

caracteristique egale a

A,

K. On va supposer ce corps de

2. II s'agit d'etudier

TorACK,K).

Voici quelques remarques au sujet de cette hypothese de caracteristique egale

a

2.

1°) Cette hypothese permet d'introduire un peu plus de structure, ce qui est interessant en soi. 2°) Ce supplement de structure permet de demontrer des resultats qui sont peut­etre vrais sans cette hypothese sur la caracteristique. 3°) Cette hypothese fait apparaitre des faits interessants en degre relativement bas, ce qui permet de calculer relativement facilement. Considerons une resolution A­libre du A­module

K, resolution no tee

F•. On en deduit Ie complexe de K­modules

F.

=

F. 0A K

dont l'homologie est precisement

TorACK,K)

qu'il s'agit d'etudier. Nous

allons utiliser des resolutions de nature particuliere. Bien entendu, il y a la resolution

a

la Tate ou

F.

est une belle

algebre differentielle graduee. On la construit en introduisant nouveaux generateurs en degre

n

serie de Poincare L

A

Tori CK,K)x

En

et on retrouve ces nombres dans la

i

Ce n'est pas tout. 237

-2II Y a aussi une possibilite de resoudre de maniere simpliciale. Alors chacun des A-modules libres

est en fait une A-algebre de poly-

F

n names. On a des homomorphismes de face E

i n

F---+F

n

n-]

dont la somme alternee forme la differentielle et on a des homomorphismes de degenerescence i on : F n ---+ F n + 1

fort utiles dans les demonstrations. De Iii on deduit une structure d'algebre differentielle graduee, Ie produit F

x F

P

q

---+ F

p+q

etant du aux melanges (shuffles) empruntes ii la topologie algebrique (theoreme d'Eilenberg-Zilber). On peut construire une telle resolution simpliciale de maniere minimale. La A-algebre de polynomes ,3. Soient

E

A/(x

et

l,x 2,x3) plicatives de

des resolutions libres minimales de

F

et

respectivemertt. En utilisant les structures multi-

E

et de

F (voir (B-E 2) ou (A 2), on construit un mor-

phisme de complexes

f : E -+ F

A/(x

Par la theorie de la liaison, on sait qu'on peut

-+

l,x2,x3) tronquer le dual du cone de

f

sur l'application naturelle pour obtenir une resolution de

Ala. Avec

cette information et le theoreme de structure pour les ideaux de Gorenstein de profondeur 3 (B-E 2, Theoreme 2.1), il n'est pas difficile de montrer que I

t

= ({

ou

=

j=l

(-I) j + I Y .. P f. (X) } . -I ' L ± I Y 1 i , j, k p f. . (X) ) 1J 1- ,2,3 i c j ck 1,J,k

S =2({X. '}I . . t

1J

.(l,r(PA»O

par un resultat classique de Serre.

2.4

r(P

pour les intersections completes d'apres Tate (Tl.

A)

=

I

2.5 Supposons r(P = 1. Considerons Ie developpement de la A) serie de Poincare en produit formel infini . IT (1 _ (_z)i) (-l)i-l e i ( e >.0 ) . En supposant en plus PA r a t aorri i=1 nelle, on peut demontrer que dans ce cas ei # 0 pour un nombre fini

PA() z

d'indices. (Comme je ne connais pas de demonstration directe de ce fait, je renvoie Ie lecteur a l'article de

1.K. Babenko, "proprietes analyti-

252

-]]-

ques des series de Poincare des espaces de Lacets",

a

paraitre dans

"Matematicheskie Zametki" (= "Math. Notes")). Le

theoreme de Gulliksen (Gul) montre maintenant que

A est une

intersection complete. On voit donc que la conjecture de rationalite entraine celIe de Golod et Gulliksen. Le resultat suivant, qui represente un travail commun de E.S. Golod et de l'auteur, montre qu'en general cette derniere conjecture est plus abordable que la question de rationalite. Theoreme 2.6 - Soit

A un anneau local non intersection complete, de di-

mension d'irnmersion 3. Supposons en plus que

A n'est pas de dimension]

et de profondeur nulle. Alors

On deduira Ie theoreme du lernme plus precis ci-dessous. Lemme 2.7 - Soit que

sont des elements lineairement independants de

h]

que tout produit de Massey de f i n i , Alors

]]

r (PA) { ] /12'.

Jm

Demonstration - (Nous renvoyons Ie lecteur (Kra-S)

K. Supposons

A un anneau local de complexe de Koszul avec

a

u.

Jq

h.

H] (K), tels

(i=],2)

(Lev, §2], [A ], §2]

soit

ou

pour un rappel de la definition des produits de Massey). D'apres (A 1, Theoreme 5.]) ou [A 2, Theoreme 2.2 et Remarques

2.3), on a une suite spectrale d'algebres de Hopf 2 E = TorH(K) (k,k) ==> (TorA(k,k)@-!Zk) p,q p,q p+q ou

K

pletant R

-+

est la sous-algebre de A

TorA(k,k),

engendree par

A avec

une Rr-al geb re

R

•

En com-

DG

local regulier de dimension de Krull minimale. Soit commutative, avec

V0 = R

et

homomorphismes de R-algebres differentielles, ou de Koszul de

Tor j

si necessaire, on peut supposer l'existence d'une surjection H(V) = A (T). Alors les KR designe Ie complexe

R, K ,

V

253

V

-12induisent des isomorphismes en homologie. D'une part, par Ie lemme 2.2 -I

de (A 1), ceci implique que les elements

hi = g'l/. (hi) (i=1,2) de

-

H1(V)

satisfont a la condition du lemme sur les produits de Massey. D'autre part, par un resultat d'Eilenberg et Moore, la suite spectrale ci-dessus est isomorphe

a

la suite spectrale

F: 2

p,q

A

= TorH(V)(k,k) p,q

(Tor (k,k) @i{k)p+q

(voir (A 2, 0.14). Or, cette seconde suite spectrale peut aussi etre obtenue en filtrant par Le "deg re homologique" la bar-construction de la k-algebre

DCA

V (A I, §2). Par Ie theoreme 2.3

B(V)

de (Kra-Sl, notre

hypothese sur les produits de Massey montre que (les images de) u!

J I

@... @u!

t i.v i te de

Jm

dans

m,m

vivent eternellement. D'autre part, la connec-

V implique qu'aucune differentielle de la suite spectrale

n'atterrit dans

A

E On en de du i t l'existence dans E:,m' et donc m,m m. d'un sous-espace vectoriel de dimension 2 Ceci peut

dans Tor 2m(k,k), s'ecrire sous forme d'inegalite

2 -I

(1-2z)

prof H=prof HL(X,Y,TJ. Si on les prend en nombre

assez grand, il s'ensuit des resultats de Hochster (H 1, Theoreme 2 et Corollaire

gu l i s re de

a

la Proposition 21, qu'il existe dans

prof IL(X,T] =d

L(X,Tl/(uI, ... ,u

elements

soit plat sur

i) L(Yl-suite reguliere dans lisant la platitude de

J, soit

une suite reguliere sur

d'

IL(X,T]

une suite re-

tels que

pour

Si l'on prend une

v1"",v

un argument standard uti-

L(X,T]/(uI, .. "u

d) L(X,Y,Tl/(uI" .. ,u

e' montre que les

vi

forment

On conclut que d). forment une suite reguliere sur

uJ, ... ,ud,vI, ... ,ve£.HL(X,Y,Tl done

L

uJ",.,u

L(X,Y,Tl,

prof HL(X,Y,Tl >"d+e.

2) Puisque

(Xl /1, L [Yl / J) = 0

pour

i > 0, on dispose d'une

suite spectrale E2 = Tor L (Xl (L (X] /1, Tor L (Yl (L (Y] / J ,A» => Tor L (X, Yl (L[X, Y] /H,A) p,q P q p+q

qui en bas degres donne la suite exacte : Tor

L(X] (L(Xl/I,A!J(b,A» 2

--'>

L(Yl A/I(a,A) @ATorl (L(Yl/J,A) --+ 0 .

--+ On peut maintenant ecrire la suite d'implications L(X Yl TorI' (L(X,Y]/H,A)=O peut appliquer L(Xl

====> Tor 1 ==>Tor

a

cause de

1)

par Ie t.heo r eme de Northcott 1.2 qu'on

;

(L (Xl /I,A/ J(b ,A»

=0

L(X] (L(Xl/I,A/J(b,A»=O i

par la sui te exacte ; pour

proposition 21;

261

i>O

parrigidite

voir (N3,

-20=0

==>

par I a suite exacte et Ie Lenme de

Nakayama L(Y)

==> Tori

(L(Y)/J,A)=0

En particulier, on a vu que

i >0

pour

Tor dimJ(A)

par rigidite. 0= Tor dimr(A/J(b,A)) , donc

Ie theoreme 1.2 donne Ie resultat voulu. Dans Ie resultat suivant la barre designe une reduction modulo m. Proposi tion 4.2 - Soi t sur

A,

egal

a

x

une

r

x

s

k)

un anne au local,

matrice sur

y

un

s x I

vecteur

(= rang (i{))

A de rang residuel

q,

Supposons que l'ideal different de

J(x,y)

A et de profondeur

decrit au paragraphe precedent soit

s; posons

Alors pour les series de Poincare de

J(x,y) = a.

A et de

on ales pos-

sibilites suivantes I)

y".

,0

PA/PA/_a= (l +;?.) r (l-z) m(I -

i =1

r- 1

+r-q - 1

z

i+1

pour un entier 2)

y = 0

et

q= r-I :

et

q

pour un entier 3)

y

(r-q) x (s-q) y]

..

o

matrice


o 1. . KR . H(KR) n 2 3 n+l so we get PR(Z) = H1.lb (Z)/H1.lb (-Z,Z) = (I+Z) /(l-c Z -c 2Z - ... -cnZ ). R k Examples of special Golod rings are and where is a regular local ring,

x

E;;;

and

I

is an ideal.

5 - Taylor's resolution Let

R=

where

is a regular local ring. The homology

of the Koszul complex can be calculated by means of two different resoluIz R t i ons , First K is a resolution of k, so H. (K @ R) = Tori (R,k). 1.

Now let In (8)

E be an

of

R. Then

D. Taylor constructed

by monomials in an

R-sequence. In

(4)

H. (E @",k) = 1.

R

for

R, if

1.

I

(R,k). was

the algebra structure of such

resolutions was given. We will give short proofs of these facts in case

R =ke

rx., ... ,Xn))

/ (monomials in

{Xi})' Since localization and

completion are flat, we can consider rings in {Xi})' We call rings

R=keXI, ... ,Xn)/(monomials

keeXI, ... ,Xn))/(monomials

keX1,···,Xn)/(monomials in

{Xi}) monomial rings.

279

in {Xi}) and rings

-9Remark -

Avramov has pointed out that the general case studied in

can be achieved from our "generic" case by means of theorem

2 in

(8)

(2).

Complex construction 'V

Let

'V

Ml' ... ,M .be monomials in k(XI, ... ,Xnl =R, and R=R/(MJ, ... ,M m). m We will now construct an E of R. As graded module E= or and

The basis elements of e

E

e ..... i. J

,

j where I {il, ... ,i I f I={il, ... i we denote I-{i.}=I I, k} k}. J _{' ' } _ J, i will be I -I . The least common multiple of M. , ... , M. i. 1

denoted

(M. , ... , M. 1 or [MIl. We now define the differential

basis elements by

de

r

k 1:

=

(-I)

j=I then extend it linearly to all Theorem 4 Proof -

i

(E,d) = 0

..

- I )j-I

(Mrl

is an

ie r

(-I)

£-2

(MIl -(M' J e j I IJ

if

resolution of

on

I

R.

is a linear combination of terms (-I)

£-1

(Mrl (Mril

erj , z. Each term (MI£l

(_I)J'-1

resp.

(Mrj , £1

(Mrj 1 (Mrj, £)

Exactness: We define deg(e r) to be for all

j_1

d

E.

occurs twice with coefficients

(

are called

deg(x

Let

r 1

1

••• x

r

n)

n

to be

(rl, ...

i. We will now define a

(rl, ... ,r and n) if

... ,sn)

k-linear map

S, with

Sd+dS = Ld ,

and thus prove the exactness. Let r(F) = {i ; We get

and

deg(M

i)

Ne = F, N a monomial. Let r deg(F)}, and let iO(F) =minr(F).

il, ... ,ikEr(F), so

Definition -

SF

SF = 0

Since

otherwise. N[Mrl . deg(F) = deg ([M"'"') erJ) J r SF = 0, then

(so i

O

d

is homogenous in deg), we have

(F) = iI' so

S(TMTI erl) =F. Thus, if

r

280

S (TM""'T erj) = 0 I J SF=O, then

SdF=F.

-10-

N[M

[

= F +

N[M

k

( -I) j

l:

j=1

r

r ) [M U O} U r)

oJ MU O} V r J [M {io}Ur J

L

)

7C";-----:--;-

[M u rj ) U O}

(dS + Sd) (F)

=

F

also

in this case. Theorem - (E,d)

becomes an associative, commutative, graded differential

algebra if we define

"r " eJ

Proof - Associativity

follows from the associativity of the exterior product. Commutativity: er.e

J

[Mr) [MJ) [M

rVJ

281

)

erAe J

= (-I)

lerlleJI [MJ) [M r) [M)

JUr

eJAe r

-11(MIl (MJl d(e I '" e}

L

k

±

d(e 11 e I J)

(MIUJl

(MIl (MJl (MIUJl (MI UJ kJ

"r

1\ eJk

L

k

(MIl (MJl (MIUJl elk 11 e J (M I UJ l (MlkUJl

±

and (del) '" e + (-I) J

leII

+

"r '" de J

(MIl (Mlkl (MJl (Mlkl (Mlk U Jl

for every term agrees on each side. But this is true for the ordinary Koszul complex (MI =X1, ... ,M X so it must be true here. n= n), The case of interest for uS is when

E

is minimal. We give some

conditions for minimality. Proposition 1 -

The following conditions are equivalent

(I)

E is minimal.

( 2)

For

I = {I, ... .m) and every j

(2) .' For every (3)

For

i.

4:: I,

I and every

i

E.I, (Mljl f (MIl.

a

a

I

2

a

a

M = X ml X m2 '" m 1 2 if

Proof

J

j

(Mlj i.

(Mlj i ,

After renumbering the variables and monomials, we have I

(6)

J

I and every

M = X II X 12

(5)

I, M. does not divide

M. does not divide lj I = {I, ... .m} and every j E I, (Mlj 1 f (MIl.

(3)' For every

(4)

E

a

X ln n

a

X mn n

i # 2 and so on. (Specially m < n).

R) H (K f O. m

=

A criterion for minimality is that dE is contained in

Looking at the definition of

(x1, ••. ,xn)E.

d, we see that this is just (3)'. The other

conditions are just elementary reformulations of

282

(3)

I •

-12-

Remark - If

MI, ... ,M are monomials, then in k(XI, ... ,Xn)/(MI, ... ,M m) m dim H. (K) < This is not true for general elements

we always have

=

K

M ... ,M not even if they are forms of degree 2. A counterexample is given by I, m the ring where = 4>(;). The next proposition, for which the proof is rather obvious and omitted, shows that theorem 3 B) applies for monomial rings with

E

minimal. Proposition 2 - If H(E) = H(KR) is an

R

is a monomial ring for which R

Corollary -

E

is minimal, then

M-ring.

For such rings

PR(Z)

R

(Z) /

(-Z,Z)

according to theorem 3 t).

H(E)

=

It is perhaps more straightforward to make calculations on R) H(K directly on the Koszul complex, and the next propositions

shows that this is possible for rings with Proposition 3 - Suppose

E

minimal.

R is a ring for which

E

is minimal, and that

variables and monomials are indexed as in (4) in proposition I. Then we R) can choose representatives in KR for a basis of H(K in the following way T. '"

T.

, where the

T's

are the

ordinary generators of the Koszul complex. Proof - It is easily seen that the fl·' s are cycles which are independent R). modulo d(K Since they are just as many as they should be, the proposition follows. we get

Example - If f2

f

2 x 2 -T x2 2 x

l3

2 lx2x3 x lx3

and

283

-13R

Thus we have

H(K) =k(X I 'X2'X3'XI3'X23,XI23)/(XIXJ all (I,J) except I = {I} and J = {2}), so Hi (X, Y) = I+3XY+2xy 2+X2y 2+Xy3 , so R

R

)(-Z,Z) = (I+Z)3/(I-3Z if

R

P (Z) R

2-2Z 3).

More generally,

... X then n), 2)n-l_ (I+Z)n/((I_Z Z2(I+Z)n-l) = (l+Z)/((I-Z)n-l- Z2).

(This is the same example as in Shamash (7). The difference of the results is explained by a mistake that Shamash has made in calculating the dimension of

H 2(K)). Notel: Now suppose B). The theorem follows from corollary 3.3 in (I) and our corollary to theorem 2. References

(I)

L.L. AVRAMOV - Small homomorphisms of local rings - J. Alg. Vol. 50 n02 (1978)

(2)

J.A. EAGON and M. HOCHSTER Quart. J. Math.

(3)

R-sequences and indeterminates -

vol. 25 (1974) p. 61-71

R. FR5BERG - Determination of a class of Poincare series Math. Scand. 37 (1975) p. 29-39

(4)

D. GEMEDA - Multiplicative structure of finite free resolutions of ideals generated by monomials in an

R-sequence, Disserta-

tion - Brandeis University (1976) (5)

T.H. GULLIKSEN - On the Hilbert series of the homology of differential graded algebras - Preprint series Univ. of Oslo

(6)

T.H. GULLIKSEN and G. LEVIN - Homology of local rings - Queens paper n020

(7)

Inst. of Math.

nOl3 (1977)

Queens University

Kingston (1969)

J. SHAMASH - The Poincare series of a local ring II - J. Alg. 17 (I 971) p. 1-18

(8)

D. TAYLOR - Ideals generated by monomials in an

R-sequence,

Dissertation - University of Chicago (1966) Ralf FR5BERG Matematiska Institutionen Stockholms Universitet Box 6701 S-113 85 STOCKHOLM

284

Relations between the Poincare-Betti series of loop spaces and of local rings by Jan-Erik ROOS

§O - Introduction A SERIES IN ALGEBRA. Let ring with maximal ideal

m and residue field R

•

ITor.

( 1)

be the

R be a local (commutative, noetherian)

=

(I.I

l'

"Poincare-Betti"

k

=

Let dim k')

series of R. It is unknown whether

(I)

represents a rational function for all R (cf (18), (14) and (29), p.IV-52), and a large amount of work has been spent on this question. Let us just recall here that G. Levin has recently proved (among other things) that for any local ring the series

PR(Z)

of each other

R

there is an integer

and

PR/mn(Z)

(22). It

lS

such that for all

can be expressed as rational functions

even possible to deduce from

(22)

the

following explicit formula for n>,k,

( 2)

where

denotes the Hilbert series of L:

Imi /mi+IJ Zi

Pol(Z)

i>,O (Pol(Z)

denotes a polynomial in Z)

part of the series for

R

and where

/ (l_z)!1!!hll

HR(-Z)! >,n denotes that HR(-Z), containing the powers of Z of degree

285

-2-

In particular, if

(1)

is rational for all artinian local rings, then it

is rational for all local rings. If

it is well known (and easily proved) that PR(Z) open case is the question of the rationality of and

3

m

=

m

-

(1 -

ImIZ)

PR(Z)

when

=

-1

0, then

. The first R is artinian

O. This case seems to be difficult, but some suggestive reformu-

lations of it will be given in Theorems A and B and in A SERIES IN ALGEBRAIC TOPOLOGY. CW-complex,

the loop space of

IH.

(3)

the

2

R is artinian with

"Poincare-Betti"

Let

X be a finite, simply-connected

IZi (over

(3) represents a rational function for all simply-connected

below.

X and

'V

series of

§l

It is unknown whether X that are finite and

(29), p. IV-52).

One of the aims of this paper is to show that the problems of the rationality of the series

(1)

and

(3)

are intimately related. In

particular we will ?how Theorem A (i) series

For all local rings (1)

(ii) dim X

The following two assertions are equivalent with

3

m

o and

the

represents a rational function.

For all finite, simply-connected 4, the series

The theorem

(3)

CW-complexes

X with

represents a rational function.

A will follow from the following much more precise

result : Theorem B dim X in

Let

4. Then

--

X be a finite, simply-connected H*(X,Q) (the cohomology ring of 'V

is a local commutative ring

CW-complex with X with coefficients

with maximal ideal

(the cohomology in positive degrees), residue field

286

m= H*(X,2) and

3

= O.

-3Furthermore, the series

PR(Z)

and

following explicit formula

If

even

R

and if

= Heven

even R restr

are related by the

HQX Q(Z) '",

is the rational cohomology ring in even degrees,

is the subring of

even , generated by R

then we have the following explicit relations :

P

even restr

R

Conversely ,let

(Z)-I_ Z(!H 3(X,Q)\ '"

there is a finite, simply-connected CW-complex X, H*(

) --+ R, and we may even choose

3

=

be any local ring with

dim X

= O. Then

4, such that

. X as the mapp1ng cone of a map

f

between wedges of spheres

f

s

V I

In this case, the rational homotopy type of

X

is uniquely determined

by R. The proof of Theorem B (and Theorem A)

consists of three parts

In § I we analyze in detail the Yoneda Ext-algebra of any local ring

such that

3

=0

(arbitrary residue field k

use this to give some explicit formulae for the series

=

and we

PR(Z)

and its

generalizations. In § 2 we give some explicit formulae for the series its two-variable generalizations, when

X is a

we both use the results of the thesis of Lemaire

HQX n(Z)

and

CW-complex as above. Here (20) about the homology

of the loop space of the mapping cone of a map between suspensions, arid recent results of Halperin-Stasheff (IS) about the degeneracy of the Eilenberg-Moore spectral sequence

287

-4-

when

X

is a finite, simply-connected

CW-complex, whose dimension is

4.

In § 3 we compare the results of § 1 and § 2 and obtain Theorem B as well as natural generalizations of it to power series of several variables. Using examples of Lemaire of finite, simply-connected CW-complexes X, such that the homology algebra

is not finitely generated as an 3 algebra, we obtain in § 4 examples of local rings with = 0, such that

•

ExtR(k,k)

(the Yoneda Ext-algebra) is not finitely generated

as an algebra, thereby answering in the negative a question of G. Levin (21), The rest of § 4 is devoted to miscellaneous results, open problems etc. In conclusion, I would like to thank Luchezar Avramov, Jorgen Backelin, Ralf Froberg, Tor Gulliksen, Bo Landgren, Christer Lech, Gerson Levin, Clas Lofwall and Gunnar Sjodin for stimulating discussions concerning these problems.

§I - On the Yoneda Ext-Algebra of a local ring Let

be a local ring with residue field

k

Instead of

studying the sums

R

ITor. (k,k) formed by means of the dimensions

I

.

of the vector spaces

it is more profitable to start with a study of the dual vector

L

•

spaces (for

t.

I

ExtR(k,k)

and the graded algebra that the

i

ExtR(k,k) : s

define

by means of the Yoneda product. We therefore start by recalling some results about the Yoneda product

over any ring : Let L, M, and N be left modules over any ring R (with unit) and consider the bilinear composition product :

o

---+

288

-5-

defined by

g 0 f

=

gof [here (gof)(t)

r-+

It is well known

that there exists one and only one functorial associative extension of this product to the Ext that is compatible with the connecting homomorphisms for short exact sequences

[cf. e.g. [17J, p. 493, [26J, chap. 3,

[14) and [30JJ. In this manner we obtain a composition

(the Yoneda

product) n

m ExtR(L,M)

Ext (M,N) R

( 4)

Ext n+m ( L,N ) R

---+

which is associative in the obvious sense. Let us return now to the case when R is a local commutative noetherian with residue field k =

ring Then (4)

n

ExtR(k,k)

m

and

ExtR(L,k)

and let us put

M = N = k in (4).

are k-vector spaces in a natural way and

is bilinear. Chosing in particular

L

=k

too, we obtain a

k-bilinear

map Ext; (k,k)

(5)

and

•

ExtR(k,k)

=

Ext

LL ExtR(k,k) i

becomes in this manner a graded

connected, associative k-algebra and from that

•• ExtR(L,k)

a graded left

n+m (k,k) R

(4)

we obtain (take M = N

• ExtR(k,k)-module.

k)

For more details

concerning graded algebras and modules we refer the reader to

[5J, [6J,

[14), [20) and [26). We are interested in determining explicitly the image and the kernel of the map

(the Yoneda product)

at least for the case when where Theorem I -

L f 0

is a cyclic R-module, i.e. L

is an ideal of R, contained in m, For each

n)l,

there is a natural map

289

R/Ot.

'

-6-

such that the following sequence is an exact sequence : I

0--->-

(6)

'1'2

-->-

Ext

Ol.,k)

2

C(..

R

-

III

I

ExtR(k,k) lin

,k) ---r ...

-->-

e

I ExtR(R/

ot ,k)

n ExtR(k,k)

-Yon

I

e

2

Ext (R!cx. ,k) R ,k)

Yon

epn+1

n+1 Ext R (R-h ,k)

where Yon is the Yoneda product and where the Ext, induced by

Cf

n+1

is the natural map of

RIO(.

Proof: It follows from the compatibility of the Yoneda product with the connecting homomorphisms that the upper part of the following diagram is commutative n ExtR(k,k)

r

I

n ExtR(k,k)

0i

n+1 Ext R (RIOt- ,k)

Yon

,k)

r

raes0

n ExtR(k,k) @ k

(7)

where the

e k

,k)

r

e k

,k)

Yon

n ) ExtR(OL,k)

Yon

n ) Ext (OlR

I

°n

OL,k)

are the connecting homomorphisms associated to the exact

sequence (8)

0 - OL

The lower part of

(7)

-R-RIOL-O

is also commutative (follows from the functorial

character of the Yoneda product). That the four morphisms in the sign

are isomorphisms is evident. Thus from

(7)

(7)

morphism n :

at ,k) - -

such that the following diagram

290

ek

with

we get an iso-

(RIOL ,k)

-7-

(9)

is commutative. Consider now the short exact sequence:

It gives rise to a long exact sequence :

This sequence (10) can now be transformed into the exact sequence (6) : First, we clearly have a commutative diagram: Cfn+1 6'

(II)

where

n

6'

is the connecting homomorphism associated to the exact n sequence (8) with 0(" replaced by . Now define n

/',n

as the map

(6'

n-I

)-1

at

I

ExtR(k,k) Ok ExtR(R/at ,k)

followed by the natural map

and then followed by the exact sequence

n

,k)

Now the commutative diagrams (10)

show that

(6)

(9), (II)

and

is an exact sequence, and

Theorem I is proved. Corollary I Ext

n-I

R

For any local ring n ExtR(k,k)

I

(k,k) Ok ExtR(k,k)

natural map

n

ExtR(k,k)

the image of the Yoneda product

---+

n

2

,k)

291

is equal to the kernel of the (for all n).

-8-

Proof -

= m in Theorem 1, and the Corollary follows.

Ol

Take

In particular, if ( 12) is zero for all that the Yoneda k

n = 1), it follows

(it is automatically zero for

...

Ext-algebra

ExtR(k,k)

is generated as an algebra over

by its elements of degree 1. The converse is also true.

The dual of the map

(12)

is the natural map

(13) and of course

(13)

is zero if and only if

(12)

is so. Let now Y be

a minimal free R-algebra resolution of the R-module

k(14J. The map

(13)

can be identified with Y ImY • n-n

This gives Corollary 2 -

Let

be any local ring. The following conditions

are equivalent

...

(i)

The Yoneda Ext-algebra ExtR(k,k)

is generated as an algebra by

1

ExtR(k,k).

k,

(ii)

If

Y is a minimal free

then

Y satisfies the following condition :

Remark 1 -

Y

To prove that

find inside algebra

2

dy

(5)

R

(5)

such that 2"v

m K.

-

(the case

"v

K

> Y

K

L

is satisfied for Y, it is sufficient to Y is free over

n

R-module

(y of positive degree).

a differential graded algebra extension

Y

K of

R-algebra resolution of the

"v

"v

K

of the Koszul

"v

K and

')J

Z. (K) C. mB. (K) L

-

L

is not excluded, and in the applications

292

1< will be

-9-

obtained by adjoining variables to

K to kill cycles etc.

a

la Tate (35).

The proof of this assertion will not be given here. Remark 2 -

Of course there are generalizations of the Corollaries 1 and

2 and the Remark 1 to the case of general Remark 3 -

Note that the map

-2--

!!:

01.: s.

is in particular zero

( 12)

= 0, and in this particular case it follows from Theorem

natural map for

if

1 n (k,k) ExtR(k,k) --->- ExtR(k,k) is an isomorphism R so that in this particular case Ext;(k,k) is the free non-

Ext

commutative k-algebra generated by t h at g ld '

(for 1 that the

Ext *k,k ()

=

i.f

m2

It follows in particular

'means Ie f t ( or i.zh t ) R global homological dimension. For more details concerning this dimension 1

O. Here

we refer the reader to e.g. (20), Appendice. More precisely: Corollary 3 - Let

(R,!!:)

be any local ring with

m #

O. The following

conditions are equivalent

(i) (ii)

gldim Ext;(k,k)

(iii)

Ext;(k,k)

=

1,

is the free (tensor) algebra over k, generated

1

ExtR(k,k). Proof -

We have just noted that

Suppose now that generated by Appendice

(ii)

(i)

=> (iii)

and that

is verified. Then the left ideal of

1

ExtR(k,k)

is projective, thus free

(iii) ==> (ii).

* ExtR(k,k)

(cf. e. g • ( 20) ,

A.I.2), so that in particular the map

( 14) is a monomorphism. But it follows from Theorem 1 that the kernel of ( 14)

is

1 2 ExtR(R/!!: ,k)

lemma now gives that Notation 1 -

If

M

2 3 (!!: I!!: ' k ) , Thus 2 m

2 m

3 m

and Nakayama's

= O.

L1

M.

a graded left

293

B-module

(B any graded

-10-

ring), we will denote by

M the graded

of

B-submodule

M

(the "augmentation part" of M).

* ExtR(k,k) 0

Notation 2 - By left

ExtR(k,k)-module, *

k

1 ExtR(R/tn,k)

we will denote the graded

whose component in degree n is

) 0 Ext 1( R/ ov ,k ) . Thi.s .i s the free left Ext n-I. ( k,k R R k

Ext *(k, k ) -module, R

1

generated by

ExtR(R/ ,k), concentrated in degree I. ot

Here is a more general version of Corollary 3 Corollary 4 -

Let

be any local ring and

an ideal. The

following conditions are equivalent :

(i)

The left m. at

(ii)

(iii)

=

O.

The natural map

(Yoneda multiplication) :

is an isomorphism. Proof -

The proof is similar to the proof of Corollary 3.

Remark 4 -

Over any connected graded algebra, free, flat and projective

graded modules coincide (cf.e.g. (20), A.I.2 ). Remark 5 -

the

-

I)

OL

soc (R)

2)

0(

m

V

,

and

or."

=0

(the socle of R). v+1

m

R.

= 0

-I

M is a graded vector space, we will denote by s M n-l "cosuspension" of M, Le. (s -IM)n = M . In case M is a graded

Notation 3 left

Here are two examples where

If

B-module (where

B is a graded

k-algebra) then

294

s

-I

M is so too.

-11Notation 4 -

• B = ExtR(k,k),

If

ot

is an ideal in the local ring

SOL

we will denote by

(R,.!!!), and

the graded left B-module

n

Ext R (RIot- ' k) Ext

n-I

R

I

(k,k) . ExtR(RIat. ' k)

It is now quite evident that the exact sequence

(6)

of Theorem

• ExtR(k,k)

is compatible with the Yoneda multiplication with

on the

left. Thus we obtain a new stronger version of Theorem I which we can formulate as follows Theorem I' -

Let

(R,.!!!)

be any local ring,

B

=

•

Ext R(k , k)

and

0(.

.!!!

an ideal in R. Then we have the following exact sequence of graded left B-modules :

(15) ()--+s

-1-

Sot - s

-I _

I .

Ext R(R/.!!!0l..,k)-B0 k ExtR(RIOl-,k)--+ExtR(RIOL-,k)-+SOI.-+O'

Remark 6 - Of course there are variants of the exact sequence (15), where we take the

of both modules to the right etc. m3 = 0 in R (although some results

From now on we will assume that

given below can be generalized). Then it follows from Corollary 4 above that the natural map (Yoneda product) ( 16)

is an isomorphism of left Let us now put

B-modules.

OL. = m in Theorem I'.• Using the isomorphism

gives the exact sequence of left ( 17)

0-- s

-1Sm -

s

-I

B-modules I

2

(B0 k ExtR(R/.!!! ' k ) )

-

Clearly we also have an exact sequence of left

o -->-

( 18)

where

k

has the

S

m

-->- S

"trivial"

m

B-modules

-->- k -->- 0

graded

B-module structure.

295

(16)

this

-12-

We start with some superficial observations about Definition 1

-

A

k : V = Lvi

graded vector space over

be locally finite dimensional i f

and

(18).

is said to

for all i. Here


r

on doit avoir

a .. T.=z.

J

ZI (Y(I»

i>r est un cycle de

+ BI (Y(I».

327

a .. x , =

°

pour tout

Y(I). Ainsi z=du+

j

j

r,

l:

x z. i

J J

-6DEUXIEME PAS - Utilisant 2. I et 2.2, on trouve une suite exacte

2.3 On peut done choisir un relevement base convenable de

H1(X(I))

(sl, ... ,Sq)

des premiers elements dans d'une base de

dans

ZI(X'(I))

ZI(Y(l))

d'une

forment un relevement

H1(X'(1)), et les derniers elements

un re l evemen t dans

ZI(Y(I))

en sorte que les images canoniques

d'une base de

(St+l, ... ,Sq)

H1(Y(I))

X(2)

X(

1) 1 q

dS.

s.

(J°S.

2,

Y(2)

Y( 1) ,.

as.

s.

(J°S.

2,

X' (2)

X(l)

dS!

s!

(J°S!

2.

On appellera

]((2)

i.

la sous-algebre de

i.

X(2)

forment

k , Alors on pose:

@

i.

de f i.rri e par

= rR ; ce n'est generalement pas une sousalgebre differentielle, mais on ales isomorphismes d'algebres suivants X(2)

Y(2)

]((2) R

et

R'

X'(2).

R

L'homomorphisme et envoie

Si

: X(2) sur

Si

pour

X'(2) i s: t

est un homomo rph i sme d' al.geb re s

differentielles prolongeant la pTojection L'inclusion naturelle

Y(2)

engendre par

X(2)

= L: a!T., a! .oR' j sr J J J

pour tout

on choisit un 're Levetnen t

jH

J J

L: a.x.

j sr J J

j.$ r

=0 . L:

est un homomorphisme d'algebres R

k. II est clair que 3(2)

=

X'(2)

y+ (2).X(2) eJ p){(2)

Y+(2). s'

a!x!

R'. II est surjectif.

par l'ideal d i f fe ren t i e L

Remarque - Soit

L:

R

X(2)

differentielles prolongeant la projection est Le quotient de

de r-algebres qui prolonge

il existe des elements b.x.,

et de plus les

b. b.

a. de

J

de R

sont dans

a!

J

x: (1)

de

un cycle de de gre dans

R. Comme

tels que m

puisque les n

forment un systeme minimal de generateurs de

328

m. On pose

b.=

j

x. J

L:b .. x.

=1

J

-7i > r, et

pour tout

relevement de

ou

S.

l:

i>r

s

b .. x.

relevant

pour tout

a..x =

l:

J

0

J J

dans

s'

b. ox.

est dans

J

R'-module

scinde et que

$-

r (a..

J

est encore un

l: b . .x.x .. On en deduit qu'il J i,j>r X( 1) et de la forme

.E. pour tout

2.4. Lemme - II est possible de choisir tout

j

L: a..T. + l: SoT. J J i>r

s =

j >r

l:

J

J

a!) , et l'on a

existe un cycle (*)

a.. = a. -

i >r , (sl, ... ,Sq)

en sorte que, pour

M, Ie morphisme

@ M : X(2) @ M + X'(2) @ M se R R R X(2) @ M soit isomorphe aux produits tensoriels de modules R

differentiels suivants :

R

R

(Y(2) 0R') @(X'(2) @M) R R' R

R

En particulier, lorsque

M= R', X(2) @R'

de deux a l geb re s de Tate sur

R

RI

:

Y(2) @R I

devient la somme directe

et

X' (2) •

R

Le lemme resulte de la remarque ci-dessus les

s.

et x. @ Y J

R

pour Y

i

en effet, si l'on choisit X(2) e M, d(Si e y) (pour

de la forme (*), alors, dans

t

ne fait plus intervenir les '"

0). Autrement dit Ie sous-module X(2) 0 M sur

j > r (puisque

J

X(2) @ M est en fait un sous R

module differentiel. La restriction de un isomorphisme de

pour

T·

@

M

a

@M

est alors

X' (2) @ M et Ie lemme s'ensuit.

R

R

2.5. Pour les pas suivants, on raisonne par recurrence. On sait que est la resolution de Tate du R'-module

X= X(2)

de sorte que

X@

X'

R

Lemme - Si, pour un entier

Hm(Y(m»

@k

X(m) sur

--

Y(m) @

H (X(m» m

R

X,

X(m)

s'identifie par

cp(m)

a

une

telle que l'on ait un isomorphisme

alors

H (X(m» m

induit un isomorphisme de @k.

Dne fois Ie lemme demontre, on peut construire 9(m+l)

X'(2)

et

R '•

Y(m)

sous-algebre differentielle de de r-algebres

k. On pose

X' = X' (2)

Y(m+l),

X(m+l)

en sorte que les hypotheses du lemme soient vraies au cran

329

et m+l.

-8Par recurrence, on en deduit des proprietes analogues pour

X,Y

et

ce qui prouve les assertions a) et b) du theoreme. Le lemme 2.4. se trans-

a

pose

chaque pas et donne un isomorphisme de

X

(Y @ k) @ (X' @ k). Ainsi la differentielle de R R a l'isomorphisme annonce : R Tor (k,k)

@

R

e

Y

sur

k

est nulle et l'on

k

R R' Tor (R' ,k) @ Tor (k,k).

"c

+

D'ou Ie theoreme.

2.6. Demonstration du lemme 2.5. Remarquons d'abord que tout cycle

z

et tout

a E.,E.,

.£. est un bord de de gre d( uz)

a

duo z - udz

=

F

P

X(m) F

p

az

de

0

= az , On

la filtration de

H(Y(m))

est un bord de

Y(m),

calcule

=

a

=

"c

p £.IN.

S Y (m) , q

X.

etant dans

par la sui te spectrale a s so c i.ee

m

L

a

Y(m)

du, et I' on a

H (X(m))

par les

(X(m))

est un R'-module. En effet, pour

q ..1N

Comme

Y(m)

est une sous-algebre differentielle (mais pas

ecrire la differentielle d

= a'

+

d

de

a'(x @y)

(d'x).\@y

et

a"(x @y )

(-I)P x

p

q

q

p

p

q

@d"y

q

pour

x

p

d' :

X+

de

Y(m). On a alors un raisonnement analogue

X designant la restriction de

cas d 'un produit tensoriel de complexes On

a

d

p "c

X,

a

p

,da '"-F

} , re.lN,

p-r Zr + F /dZ r-\ + F \ p p-\ p+r-\ p-

330

, y

et

q

Y (m) ,

q

d"

la differentielle

celui que l'on fait dans Ie

(cf , [4)).

pose {a; a e.F

et

X), on peut

sous la forme

a"

avec

p

X(m)

"c

-9-

Remarquons que,

:t

ne ra t eur s de

a

cause de la definition de la differentielle sur les ge-

si

x

morphisme E

I

p

3cp alors

Eo

a' x

p

G.

F

p-

I (X(m)). On en dedui t l' i.so-:

3cp @ H(Y(m)) ,

p

En effet, tout element

a EF (X (m)), oil q

r

r

=

p+q

est Le de gre de

a, se

met sous la forme

da",a"a

alors

p,q

+a'a

p,q

et tous les termes autres que et seulement si

alia

'"

p,q

+ alia

p-I,q+l

+a'a

+ ... ,

p-l,q+1

alia

o.

sont dans F ; done p,q p-I On a immediatement, en posant

z'p,q +F p- lexr (m))/dZ op,q +F p- I(X r (m))

,

l'isomorphisme E d ' oil

I

p,q

p

Iip

EI p

2 E

On calcule

@ H (Y(m))

q

@ H(Y(m)). comme l'homologie de

rentielle induite par par

a"

induit

ou

d

0,

d

l l

est la diffeest induite

a'. Puisque

H(Y(m)) 'U

X

On sait,

par

Comme

(E 1,d I)

d

e

a

est un R'-module, il en resulte l'isomorphisme. 'U

H(Y(m))

-+

cause du choix des

est contenue dans

est contenue dans s'identifie

a

'U

(X 0 R') 0 H(Y(m)). s.

pour

'U

X Ell J:X(m). Par suite 1 'image de l d

3c s R', ou encore la restriction de

la differentielle de

'U

, que l'image de

X', (par l'isomorphisme

'U

X par

a

d

l

X

'U

X 0 R'

3c 0 R'

-+

X'

du lemme 2.4). D'ou les isomorphismes : H

p

0H(Y(m))

p

(}(@R') 49H(Y(m))

331

p

(X') @H(Y(m)).

-10-

X'

Connne

est une resolution de 2 E p

0

et

2 E

H(Y(m»

II en resulte que

r E p

0

et

r E

2 E pour tout

Enfin,

0

0

H(X(m»

connne R' module, on a

k p>O

pour

@

k,

pour tout

et

p>O

r

0

etant un k-espace vectoriel, on a

gr H(X(m»

H(X(m»

E

2

H(Y(m»

o

@ k,

et en particulier

C.Q.F.D.

3 - Applications Ce theoreme permet deja Ie cal cuI de la serie de Betti R

Ie cas ou x R

n R

Tor

o

n-e

Tor (R',k)

k, ou bien si

xnR

R

ann x

cas,

n

R'

n

= xnR et si

est simple; par exemple si ann x

Tor (k,k)

n

dans

k. Dans Ie premier cas on a

pour

(utiliser la suite exacte

R

0) ; dans Ie 2eme cas on a

R

xnR

Tor

"v

R

2(R',k) Tor (k,k) n+ n (utiliser la suite exacte precedente et la suite exacte

pour

o

R

I(R' ,k)

aR(k)

0). Un cal cuI simple prouve que, dans ces deux

est une fraction rationnelle. Nous explicitons ci-dessous un exemple qui permet, en particulier,

de retrouver une formule donnee par Shamash

R

Posons R..= k[(X1, ... ,X)) 2 2 n = R' (M).

Pour la demonstration, no us utilisons les resolutions

Y,X

et

x'

cons-

truites lors de la demonstration du theoreme 2 (ou d) n'est qu'un cas

333

-12particuHer du M: X

s

heo reme 4). Si

M est un R'-module, Le morphisme

e M s'identifie au sous R 'V module differentiel X @ M de X @ M. Alors, par extension du lemme 2.4. R R @(X' @M) X(m) pour tout m done a x, on a un isomorphisme R 'V R R R H(X @ M) au moyen de R'-modules differentiels. On calcule Tor (M,k)

lji

s

t

R

M

X' G M

X'

se scinde et

R

R

de la suite spectrale correspondant a la premiere filtration de ce complexe double: F (X @ M)

P

On montre que

R

H(X @ M)

=

Y @ (X' @ M) , r R

p E.IN.

R'

gr(H(X e M» Y @ H(X' @ M). Connne R R' k-espace vectoriel, il en resulte

suite, c.a.d.

H(X @ M)

Y est minimale (Th. 2.c»

Etudions d'abord

de

X

@

Y'

R'

R

Y E Y e R' P P R

e X'

et

3"(y

s'il existe I;;"E Y' @ p-I

De l'egalite @v

c

p P

3'3"(y

4.1. Lemme - Soit

z vCl

Y @ R' , et l'on note d' R X' • Alors la differentielle 3 Y'

d"

celIe de 3

3' + 3"

=

=

ou, pour tout

yP

s

x q'

x EX' q q

et

q>O

la proposition s'ensuit.

R

s'ecrit

3' (y

Remarquons que

R'

R'

X @ R' : on pose

Y' ,

la differentielle de

est un

H(X' @H)

(Y @ k) @ H(X' @ M) R

et comme

de cette

est isomorphe au premier terme

p

e xq )

(d'y ) @ x

s

(-I)Py

x

P

q)

@x ) q

I;;E.Y' @X' P q

= d'y p

@X' p+l q-l tel que

3'1;;' + 3"1;;

ou les

V

Cl

e (d"x )

@ d"x

q

q

,et

un element de bidegre

l;;'e:.Y'

X' q+l

P

q

tel que

3'1;; + 3"1;;"

= a on tire

3'1;;' + 3"1;; =

=

de

X @R', R

0, alors il

O.

3'3"1;;

forment une base de

334

(p,q)

Y'

p

a =

3"3'1;;. Posons

alors

-13-

z

a'l;: =

d' V

a

(_I )p-I Z d'V

a"a' I;:

et

v

@

a

a

a

d'V

Decompos ons

a

zz

a'l;:

W w

yaY

Z Z W

ya

a"a'l;: = (-I)p-I

d'ou Z w

a

ay

v

a

Wy

sur une base

ay

a

p-

(au

a

,

Va,y)

Z (W @ Z d"(w v») = 0 . on en deduit que ay a ' y y a

est un cycle de degre

d"w

Z w

y

1;:"

w ay

w v ay a

@

y

pour tout

q

en degres non nuls, il existe, pour tout

On posera

O.

a

Y' I' il vient

de

@v

d"v

@

a

ay

v

a

y •

X'

Comme

y, un element

est exacte

w £. X'

Y

q+1

tel que

.

(-I)p-I Z W 0 w . y

4.2. Lemme - Pour tout

y

y

p .lN"', et tout

(I;:i ; i = I, ... ,p) d'elements de

Y

@

R

X', 1;:.

p

il existe une famille de bidegre

(p-i,i), tels que

Montrons d ' abord l'existence de

1;:1 : comme d'Uc:.m'Yp-I (Y est minimale) on l'ecrit d'U = zaSVB au les VB parcourent une base du r R'-module libre Y' et a' E: m' ; en posant a' = Z B i. on a p-I B B i=1 L

a' (U s

I)

Z a!s VB @ x!

S, i

i.

r

Z a!s VB

i=1

o

@

"w a '. . S

L ,

On

posera done

335

d"T. VS

tOo

'C1

Ti )

.

-14Supposons maintenant construits

a'

tions du lemme ; comme et i l existe

a"

+

q-2

a'

ve r i f i an t

q-I

X@M->- y R

la d i f Eerent.d e Ll e de

X' @M R

if avec, pour tout

x

3'

q-I +

'V

4.3. Reprenons Ie complexe

y' @ (X' @ M). Soit R R X @M, on a encore

@ M)

3"

+

yP @ q , y P e, y'P ,

d'y

3"

(-I)Py p

p,q

a

R

3' (xp,q ) (x

d

R celIe de

de la forme

p,q

@

s' applique

0, ce qui acheve la demonstration.

q

R

3

et

verifiant les condiLe lemme 4. I.

0

=

)

E:X'

q

e

M,

@

p

e

q

Rappelons que, si l'on pose, pour tout

r .£N,

zr = {ZE:.F (X @M) ; 3zE.F (X I@M)}, p p+q p-r p+qp,q

a

Le terme d ' ordre X @M

r >.. I de la sui te spectrale associee r r , ou est Le module b i gr adue E = Eil E p,q p,q E

la filtration

de

F

r = z" +F (X @M),I3 zr-l +F (X @M). p,q p,q p-I p+q p+r-l,q-r+2 p-I p+q

Naturellement, on a Ie resultat classique E1

p,q

Y

q

eH

P

(X'

r On montre que E = E I pour tout r est nulle pour r >,. I. de E

e M) R

r, en prouvant que la d i.f f e r errt i.e Ll.e

Tout d'abord on verifie que zr + F (X s M) p,q p-I p+q

=

ZI

p,q

+F

p-

I (X

p+q

e M)

•

Le membre de gauche est inclus dans celui de droite. Reciproquement si z'£ Z I o n peut ecrire p,q z' := x

p,q

mod F

p-l

336

d

r

-15ou

x

p,q

t:Y' 3 (X' @M) p q

Si l'on decompose

x

et

de

sur une base

p,q

o.

a"x = p,q

Y' (eomme R'-module libre), p

on a

x et

d"X

o

p,q

l: U 3 z

p,q

a

a

d"z

a

o

a

pour tout

a.

Alors, d l ap r e s le lemme 4.2. i l existe des

.

i.

t.

i=I, ... ,r-1.

a a a d(U 3z +1;1.(l3z )+ ... +1; 1.(1 @z )) .F (X 13M) (rappelons a a ra p-r p+qa :t • que d"(I;I.(1 @z )) = (d"I;I).(13z) pui sque d"z =0.) Ceci etant vr aa a a a pour tout a on en deduit que z' est eongru modulo F a 1 'element p-I r-I z = x + l: l: de Zr . D'ou l'egalite che.rche e . p,q a i=1 1a p,q tels que

r

r est nulle : d est induite par a. Done, si r r z z" est un representant de Z E.E , d (z) est la classe dans p,q r p,q E de az. On vient de voir qu'on peut ehoisir z de la forme p-r,q+r-I

On montre que

d

r-I z = x Alors

p,q

+ l:

a

1-

dZ

D'apres le lemme 4.1., eomme existe des

l:

a i=1

I;a . Y' 3 X' r p-r r

a'

"a + "r-2

a"

"a "r-I

o

pour tout

a, il

tels que

0,

'Va.

On en deduit que

-

dZ

= al:

-

a r

d(1; .(13z ))mod F

a

p-r-

I'

I Ainsi, l'image eanonique de az dans E est nulle, et a fortiori p-r,q+r-I r son image dans E est nulle. Done d r = O. p-r,q+r-I 11 en resulte que l'on a, pour tout

E

I

p,q

F (H + (X @ M))/F q

P q

R

p-

337

I(H

p,q, un isomorphisme

p+q

(X 3 M)). R

-16Comme

H(X

M)

est un espace vectoriel sur

k

et que la filtration

F in-

R

X

duite par celIe de tout

M est compatible avec cette structure on a, pour R

m,

H (X

R

m

H(X

et

M)

EI

'V

-7-

M)

l:

p+q=m d'oll Ie theoreme 4.

,

R

5 - Theoreme

Soit de

2

un anne au local noetherien, s'il existe un element tel que

tout R' -module

R' = R/xR

M

x

soit une intersection complete, alors, pour

noetherien, la serie

R(M)

D'apres Ie theoreme 4 les series

est une fraction rationnelle. i ,

zS-i+1

des

(s-i+I)-uplets notes

p(i) = (ps"",Pi)' Cet ensemble sera muni de la structure de groupe ordonne s. induite par celle de 7 De la sorte, si

s, P=(PS'''',PI)E:.:l

sa projection canonique sur Pour tout

:ls-i+1

P(i) = (ps,,,,,Pi)

(on aura alors

p E:.7, on convient de poser

343

P( I) = P).

de s i gne r a

-22-

Pour

i >

et

pour projection

p

f

0, si

P(i)

P

a pour projection

(et non

P(i),

P+p

aura done

P(i) + P !).

Ces ensembles permettent de de f i n i r sur X

S

p l.us i eurs filtrations

3M

et graduations associees. Pour P = (ps"",PI) .lIlc 'I;s, no us notons (ps) (Ps-I) (PI) ' de sorte que l'on a monome Ss Ss_1 ..• 5 1 1:

sP le

P'i;

si

8.

(x)

o

sinon.

On verifie aisement que est de degre

la differentielle

8.

p.- E

E

(rs, ... ,r l )

s

r

i_ 1

et des

p.t,

(i-I) + r

i_ l

•

R EpT est un espace vectoriel de dimension p. assez grand.

Pour tout pour

r

Ainsi, de proche en proche, on associera

(r )

RO(i)

o

R

T

finie independant de

R

de

TRCi-I)+p

ou (iv)

pour la

(i-I)

est stationnaire, de

= (rs,o .. ,ri,r i_ l )

o

gr

R

O

R

(E T

sorte que, d'apres Ie lemme 3.4.2., de

-T

a

RO(i)

un prolongement

et des isomorphismes

En particulier, on calculera ainsi les termes de la suite spectrale qui converge vers

s

H(X GM). On acheve r a en prouvant que cette suite

est stationnaire et en utilisant (iv). (cf § 2).

a

La difficulte principale sera de definir

R, c.a.d.

partir de O

R

T E

de trouver Ie point de depart de la suite spectrale

(i-I)+p ,

o

aboutissant

a

TR (i)+1

E

z

e: IN·

Remarquons que, pour prouver (ii), il suffit de

demontrer que, pour tout un representant

p

et tout

de

_

z

o TR (i)

grp(i_l)

tel que

350

il existe

dz E: F o. ·p(i-1) _TR CH)

-29-

On Ie fera en utilisant des representants dont les degres en

Ss""Si_I'

verifieront certaines "conditions de majorations" qui sont introduites dans Ie paragraphe suivant. 3.6. Majorations : fonction chaque

A

et

R = (rs, ... ,rj)E&

fRo

s

nous associerons deux familIes de

nombres entiers positifs ou nuls : m

CR={CR(k+m) et

k=I,

,s-j ;m=j,

,s-k},

k=I,

,s-1 ;m=I,

,s.,..k; r=O, ... ,rk+m-J},

qui permettront les definitions ci-dessous. Comme Ie suggerent les notations, si R(k+m) = R' (k+m)

on aura

=

R et

o on conviendra de poser r m R(k+m)

Si

verifient

r R(k+m)-r = r

et

(k+m)

R' m

0

m

Vr.

.

Dans les trois definitions suivantes on suppose que l'on a associe R deux familIes r

R

C et R par "recurrence" sur

3.6. I. Definition: Soit

r

R R.

; au

R4::.lN

s,

§

a

4 on donne une construction de

pour tout

(k,m)

avec

I, ... ,s-I,

k

m = I, ... ,s-k, on definit la fonction m

R(k+m) : IN par recurrence sur

r

k+m,

lorsque

r k +m = 0 ,

lorsque

r k+m > 0 ,

-+

IN

au moyen des formules m

\fx .[N ,

m R(k+m)-I (x-I) +r R(k+m) r

Remarquons que, pour puisque

m

0

-I

k+m 1:

p=o

rm R(k+m)-p

-303.6.2. Definition: Pour majoration

R

C*)p

R et

P

dans

mS , on dit que Q satisfait la

si :

qs

Ps

{ Les fonctions

avec

pour

ki ,

on dit que ,

ou les

E. E @M

sont presque tous nuls, appartient a

implique

Q verifie

Remarque

- Si

x

E:

'lI\R CP)

alors

x .F p'

Remarque 2 - Si

x

E:

ll\.RCP)

alors

dx E: 'll\. (P). 11 suffit en effet de Le

ssi

R

; alors dx est somme de monomes de degres Q verifier lorsque x = Ai et Q (qs, ... ,qi+l,qi-l,qi-I, ... ,ql) pour i = 1,2, ... ,s, si q.r, > O. R Ai II est facile de voir que, si Q verifie C*)p' alors Q aussi. R Remarque 3 - IJlt (P)

=

R+p

'II'l

(P)

majoration ne dependent que de

pour tout R(2).

352

p E: IN

pu i sque les formules de

-31-

3.6.4. Definition - Soit

R IN

S

R, T = T on pose

,

ZT+l P

n 'tY\.R(p)

et • E T+ I

Alors on definit

R 2, .•• ,s De fa

Pi-I - t i_ 1

que

z

dans

pour avoir

Si

P

est fixe, il suffit de prendre

est dans

(*)R p

on prouve que la classe

Q

tel que

oil

et

z"

Q(i)

on a a fortiori

- T(i). On a z"e: Fp(i)_1

et, par suite, sa classe dans dans

=

z

Fp(i)-T(i)-I' En effet

z = z ' + z"

a

dz

de

dz

et

dZ on peut tronquer z

avec est la

z'

des termes de degres

dz = dz' + dz", e t comme Z"£Fp(i)_T(i)_I' Fp(i)-T(i)-I ; donc dz"e:

E1(i)+1 p(i)-T(i)-I

est nul Ie. Ainsi

T(i)+1 Ep(i)-T(i)-I' et il en est de meme des classes de

P(i)-T(i)-I

e = zP ; sachant

T(i)+1 Fp-T,(Ep(i)-T(i)-I)'

Remarquons d'abord que, pour Ie calcul de modulo

zPE:

dzPE: Fp(i)-T(i)-I' Posons alors

verifie les conditions T( i ) +1 EP(i)-T(i)-I

P, un representant

cause de l'hypothese (ii).

358

dz

)

dz = dz' et

dz'

dans

-37-

Nous supposons desormais que Alors les termes de

dz

de degre

proviennent de termes de .

pour

z

z

n'a pas de terme dans

Q

de degres

tel que Aj Q,

Q(i)

=

Fp(i)-T(i)-I'

P(i)-T(i)-I

telsque

(q , ••• ,q. l,q.+I,q. I,· .. ,q·)· Soit Q' la valeur maximum possible s J+ J r i. Aj et Q" la valeur maximum possible pour Q pour un j > i.

,

,

" ") . ( qi-I"" ql ) >, (qi-I,···,ql

5.1.2. Lemme - On a

La demons t ra t i.on est donne e en 5.1.3. On de dui t de ce lemme, que la d i f Ee ren t i.e Ll,e de morphisme f i l t re de de gre t

k=

Pk -

- T' = -(t , ... ,t. s

ET(i)+1 I, ... ,t

L

est un endol')

avec

D' oil

et, par recurrence decroissante sur

k,

on remarque que, dans ces formules, pour

elle se reduisent done

k P j

K

-38Pi-I + fR(i) (T(i», et

q'.'

Pour

k 9 i

.

-

+f (.)(T (i)+I) avec T (L) - (t. , .•• ,t. I,t.-I,t. l,··.,t.). R i. s J+ J - Jt.

= p.

posons xk

Pk-qk + fR(k+l) (T(k+I»

et

= t k + fR(k+I) (T(k+I»,

Pk-qk+fR(k+I)(T (k+I»= t k +fR(k+I)(T (k+I».

Alors et

xk

xk

k > j,

pour

x'.' + 1. J

J

11 est facile de verifier, par recurrence decroissante sur

I' on a alors Lorsque

xk - xk

j = K, on a

fonctions

k=j, ... ,i+1

pour

0

r . >0 J

on trouve :

pour m m q>R(j) (r j)- £PR(j) (rj-I) = Connne

R(j)-r.+1 J

a

x! =r. ; revenant J J

et

x

m

9 R( j ) - r

k

que

x:-x'.'>,,-1.

et

la definition des

(c f , 3.6.1.),

J

m m . + 1 (1)- 'PR(j)-r.+1 (0) = rR(j)-r.+I· J J J

(r , ... ,r. 1,1), on a s J+

rm R(j) -rr , + I x!

tiales de 4.1.). Le calcul de la j-i-I

J

-Xl.'

>

0

(cf. valeurs ini-

donne alors

j-i-I"

x! - x'.' >,. 'PR(j) (xj> - 'PR(j) (x ) - I, j d'ou l'on conclut D'ou les inegalites

,

"

qi-I - qi-I

j -i ( ') j -i ( ") Xj - 'PR(j) x j > 0,

Cf'R(j)

et Ie lennne est demontre dans ce cas. Lorsque toujours

j < K, alors xk-xk?O

m

CT(j) pour

est strictement positif pour tout k > i , d ' oii

360

m, on a

-39-

x! -

j-i-I CT(j) - I

Xl.'

x! - x'.' 90. II en resulte

et par suite

qi-I

j- i - q" :. C > 0, et Le lemme i-I T(j)

est demon t re , Remarque - Nous aurons besoin plus loin (cf. 5.4.6.) du resultat plus precis i suivant : Soi t B (C!. I, ••• ,q) l' ensemble des QiE-IN de la forme Ai m • Q = (q , ... ,q. l,q·+I;l:[. 1, .. ·,C[,q I,· .. ,ql) et BJ(q. I,···,q) celui s i. m mm Aj _ ( I , ') d es Q q s , •.• ,q.J+ I,q·+ ,q.J- I,···,q·,q· I,···,q m.,qm- I,···,ql ou J C[i-I""'C[m

sont choisis de maniere a ce que

jusqu'a l'ordre

Qi

et

Qj

satisfassent

m. On pose

i sup B (qi-I, .•• ,qm) j sup B (C[. I""'C[)' m

et

alors on a Dans Le cas oii

q;_1

m = i - I , on prouve que

q' est superieur a m-I par des arguments analogues aux precedents: si l'on pose

x.'k

Xk -Xk

0

k

- q' + f (P (k+ I) k R(k+l)

)2' =p - q" + f

et

on a

=p

k

k

pour

k

k

i

q' -q" >0 i-I i-I ' x;_1 - x"i-I > 0 .

(P (k+ I) - Q" (k+ I) )

d I ap re s la demonstration precedente.

x'i-I -- q'i-I

Comme

R(k+l)

Q' (k+ I))

-

-q i-I

'

et

X'.'

=

q'.'

-

q

i-I

on a

L

D'ou

-q'.'

Pour les valeurs de decroissante sur

C.Q.F.D.

>0.

m

Lnfe r i eu re s

a

i - I o n raisonne par recurrence

m.

5.1.4. Demonstration de 5.I.b. Soit

sT'

la differentielle induite par

361

d

sur

gr E

T( i ) + 1

-40calculons l'homologie de

(gr ET(i)+1 ,0T').

On

a evidemment

ET(i)+I) '" ET'+I . 0 n ch erc h e s " 1 ' . . une f ormu 1 e de p R'+I T'+I T'+I (*)p telle que l'inclusion * Zp + Zp induise un isomorphisme

*

T'+I Ep

T'+I Ep ' Pour cela, on trouve d'abord des representants convenables

des cycles de Soit dz

gr

ET(i)+I.

p

z

zE.gr p (ET(i)+I)

est nulle dans

est un cycle pour

*

gr p_ T' (ET(i)+I)

On

+Fp_T'_1 /d

T+I yEo * Zp+T-T'

Donc -z est un cyc1 e s' s i."i I exi.s t e

oT'

y

et de

Etudions la majoration de y

yE..'I'1.

R(P-T'+T). avec

Posons

d( y+z ) e:: FP-T'-J"

qui convient a la

P

z.

*

tel que

montre qu'il existe une formule de majoration (*)R'

fois pour les termes de

si la classe de

P' =P-T' +T,

p

= p. + t . - t . J J J J D'ou les formules de majoration pour les monomes de degre Q figurant dans y :

- en ordre > i , on a les memes formules que pour les termes de - en ordre

i

on a qi

- en ordre

j

J et

-I +fR(i+I)(P(i+I»

-Q(i+I»

i ,

q. J Posons

z

J

J

J

+f R(· 1)(P'(j+I) -Q(j+I» J+

pj -qj +fR(j+I)(P'(j+l) -Q(j+I»

pour

j

i

x. = Pi - qi + fR(i+I)P(i+I)-Q(i+I»,

de sorte que

x!

t.

x.-1, Alors, la majoration pour

y

en ordre

i-I

s'ecrit l ::.p +t -t' +C i-I i-I R(i) - i-I

( I)

OU

0i_1 (i+l)

r ep re s en t e les termes d'ordre > i

362

dans

fR(i) (P(i+I)-Q(i+I»

-41-

Posons I

r R' I

et

CPR'

(i)

{

sup

_ (i) (x) -

I

r R(i) ; t i_ 1

_ t'

I}

i-I - CR(i)

I I R'(i)'

pour

( ':i:) pR'

. ne

k= 1,2, ... ,i-1.

R' = (rs, ... ,ri+l,ri+I,O, ... ,O)

R' T =T'=(t , ... ,t. l,t.+I,t! I, ... ,t s

l')

m em et r telles qu'elles sont R' (k+m) R' (k+m) donnees dans Ie lemme. On definit ainsi une majoration par

et les familIes de constantes

i-k

f

ou

m R (k+l) ( P (k +1 ) -Q ( k+1 ) ) = l: eR, ' m=1

xm ' =p m -q m +f R,( m+ 1)(P(m+I)-Q(m+I».

364

,

i -k

(' )

+ 'llR' (i) xi + ok

(.

1)

-43-

11 est facile de verifier que

lier, pour

y

et

z

R'

sont dans

y, un raisonnement par recurrence decroissante sur

en particuk


"k

i- Z

de sorte

ti-z-ti-z-CR(i)'

Et, de proche en proche, on pourra, ayant fixe r

>--A

de sorte que l'hypothese i-k rR'(i)

(HI)

En particulier, pour

t

k

- t

R(k+I), choisir

ci-dessous est ve r i.fi e e :

(HI)

k - CR (i) i-k

> 0,

u v k < i.,

R(i) = 0, on retrouvera la propriete

i-k rR'(i)

f 0

imposee connne condition initiale. Nous supposerons desormais que l'hypothese (HI) est realisee. Alors, dans le calcul de

(HZ)

} '( ) R k+1

donne en 5.1., on a exactement

tk-tk+fR(k+I)(P'(k+I)-Q(k+I»

370

= lR'(k+I)(P(k+I)-Q(k+I».

-49Au cours d'une demonstration (fin du

5.4.6.) nous aurons besoin d'une

§

hypothese supplementaire sur les constantes associees _I

(H3)

Cette hypothese sera justifiee, par recurrence Notations : Pour tout et

J

CR(j) = t j _ 1 + f R(j ) (T (j » + I,

a, = 0 J

pour

'V j

a

a

la fin du paragraphe 5.4.4. R(i+I), a, > r . 1

k+m>i

m cm =C a (k+m) R(k+m)

et

r

m m =r a (k+m) R(k+m)

pour

k+m(i+l)

1emme ci-dessous.

372

pour

R(i+l)

x}

I,

x=

o.

r e suLt e ra des deux

-51-

5.4.2. Lennne - Soi t tel que

z

P INs ; pour tous

E

T(i+I)+1 zS

S(i) = a(i), il existe un representant

, a

z

de

i

>

r

i

dans

forme z +

L

y

S'r .. 1

1

et montrons la pour

(rs, ... ,ri+l,ai+I,O, ... ,O). On pose, pour

k K ,

pour

m K (hypothese de recurrence sur

S').

Enfin, on suppose prouve que

.;m '"xm Alors on ecrit

1{=

{

pour

k


0 R(

on sait que, dans ce cas, q'

j-I

-q',' rl

= x"

r

11 reste

lJ=S. On a tlJS

avec r

u

a

r

Q'

u

le lemme est prouve

0

]; il n'y a plus, dans

d ' oil l' i.nega l i te

r 2

est bien superieur

a

examiner le cas oil l'on aurait

R(lJ) = (O, ... ,O,r),

>

2' On a alors la propriete

r j,

et, de proche en proche on voit que

k, en particulier pour k = j ,

- q" q' j-I j-I

puisque

que des termes d' ordre

q ' 2 -q',' 2

r

j-l

et

r{ f- 0 : en effet

tel que

k' > u

pour tout Si

dans ce cas, Slnon on compare supplementaire

verifie la relation

(x"+I)_cplJ-j (") 1 u R( lJ) xlJ - .

R( u)

Elle sera positive ou nulle si i

x ! - x'.' J J

T(lJ+I) = 0,

r u ' Comme on a suppose

R(lJ+I) = 0, t

u

= r

lJ

-q'.' 2 >...0, J-

Q". ou bien

T S (lJ) = (O, ... ,O,t S) u

on voit que l'on doit prendre

> O. On sait alors que, pour

x'

PlJ-qlJ = rlJ

x"

p

u u

u

- q

u

-] = r

u

-]

s-k s-k s-k CP R(lJ) (rlJ) = 'PR(lJ) (rlJ -I) + r R(lJ) s-k CPR(lJ) (rlJ -I)

et

rlJ-2 s-k I: r R(lJ)-r' r=O

r -I lJI: r s- k R(lJ)-r r=O

La formule (**) devient ainsi J

- x',' J

Comme on a impose x! -x'.' :::.. J

J

o.

r s- j

R(lJ)-r +1 lJ

rs- j

R(lJ)-r +1

> 0

1

(valeurs initiales de 4.1) on a

u

C.Q.F.D.

383

-62Bibliographie (1)

E.F. ASSMUS Jr - On the homology of local rings - Ill. J. of Math. 3 (1959) p. 187-199

(2) T.H. GULLIKSEN-A proof of the existence of minimal R-algebra resolu-

tions - Acta Math. 120 (1968) p. 53-58 (3) T.H. GULLIKSEN-A change of ring theorem with applications to Poincare

series - Math. Scand. 34 (1974) p. 167-183 (4) S. MAC LANE - Homology - Springer-Verlag

(5) G. SCHEJA - Uber die Bettizahlen lokaler ringe - Math. Ann. 155 (1964) p. 155-172

(6) C. SCHOELLER - r-H-algebres sur un corps - C.R. Acad. Sc. Paris 265 (1967) p. 655-658 (7) C. SCHOELLER - Homologie des anneaux locaux noetheriens - C.R. Acad.

Sc. Paris 265 (1967) p. 768-771 (8) J.P. SERRE - Algebre locale et multiplicites - (redige par P. Gabriel)

Springer-Verlag (9) J. SHAMASH - The Poincare serie of local ring - II J. of Algebra 17 (1971) p. 1-18 [10) J. TATE - Homology of noetherian rings and local rings - Ill. J. of Math.

(1957) p. 14-27 C. SCHOELLER Universite des Sciences et Techniques du Languedoc Institut de Mathematiques Place Eugene Bataillon 34060 MONTPELLIER CEDEX

384

Generalisation d'un critere de Pontryagin concernant les groupes sans torsion denombrables a des modules sans torsion sur des anneaux de Dedekind. Conditions de rang, de type, de chaines ascendantes. par Anne-Marie NICOLAS

INTRODUCTION

Les questions etudiees ici concernent des modules sans torsion sur des anneaux commutatifs, unitaires, integres. On y parle beaucoup de modules k-acc, k etant un entier posi tif. Rappelons qu'un module de sous-modules de

M est dit

k-acc si toute suite croissante

M, telle que chaque module

systeme de

k

generateurs, est stationnaire. Si

evidemment

s-acc pour tout entier

La notion de groupe

M est

M possede un n k-acc, il est

s { k.

n-acc pour tout

tere de Pontryagin qui disait que, si

n

figurait deja dans un cri-

G etait un groupe denombrable alors

les conditions suivantes etaient equivalentes : G libre Baumslag nretherienetait

«I»

G n-acc pour tout entier

n.

avait montre que tout module libre sur un anneau

n-acc pour tout

n. Dans (11), je m'etais aussi interessee

a cette question. Je donne ici une generalisation du critere de Pontryagin sur les groupes, aux modules sur les anneaux de Dedekind (theoreme 1.3). Au paragraphe 2, j'aborde des questions de suites croissantes de modules

k-acc sur les anneaux de Dedekind, en relation avec un travail

de P. Hill

«7»

sur des suites croissantes de groupes l{bres.

Dans les generalisations faites, la notion de groupe denombrable se trouve remplacee par une notion de module de rang denombrable (denombrable voudra dire equipotent a une partie de rn, 385

c'est-a-dire qu'un ensemble

-2denombrable pourra etre fini). Rappelons que Ie rang d'un module torsion sur un anneau

A, est la dimension du

K etant Ie corps des fractions de

M

K espace vectoriel

K

sans

2 M,

A (cf (2». Nous abordons au paragraphe

3 les relations entre les notions "type denombrable" (c'est-a-dire existence d'un systeme denombrable de generateurs) et "rang denombrable". I CRITERE DE PONTRYAGIN Rappelons Ie critere de Pontryagin pour un groupe

G

sans torsion

((6) §19 et (13». Si

G

est un groupe sans torsion, denombrable, les conditions

suivantes sont equivalentes (i)

G

est libre.

(ii)

Tout sous-groupe de

(iii)

Toute suite croissante de sous-groupes de rang

G

de rang fini est libre. nest

stationnaire. (iv)

G

est

n-acc pour tout

n.

Ce critere a pu etre generalise aux sur un anne au

A-modules de type denombrable

principal (cf (5) et (12».

A

Nous nous proposons d'exposer une generalisation de ces resultats dans plusieurs directions possibles. D'une part la condition de denombrabilite peut etre remplacee par une condition "rang denombrable" (en ce qui concerne les groupes, P. Hill a donne un resultat en ce sens (7». D'autre part, certaines implications ou equivalences sont vraies plus generalement si l'anneau

A

est un anne au de Prufer, ou un anneau

nca t he r i en , ou un anneau de Dedekind. Theoreme I. I - Soi t

A

un anneau (n-ac c pour tout

sans torsion. Considerons pour

M

n ) et

M un A-module

les conditions suivantes

b) Tout sous-module de rang fini est de type fini. c) Toute suite croissante de sous-modules de stationnaire quel que soit d) M es t

rr-ac c

Alors on a :

n.

pour tout

n,

c

386

M de rang

nest

-3-

Si

A est un anneau tel que tout

tout n , alors Si

c) => b)

=:>

A-module libre soit

n-acc pour

d).

A est nce t he r i en ,

c) b).

Pour la demonstration, cf (12). La condition (ii) du critere de Pontryagin, se generalise par la condition b) : tout sous-module de rang fini est de type fini ; elle impliquait dans Ie cas d'un groupe denombrable, que ce groupe etait libre. Je generalise ce resultat de la Theoreme 1.2 - Soit integre) et soit

suivante :

A un anneau de Prufer (semi-hereditaire, commutatif,

M un

A-module sans torsion. Les conditions suivantes

sont eguivalentes a) Tout sous-module de rang denombrable est projectif. b) Tout sous-module de rang fini est de type fini. Le fait que

a) => b) resulte de ce que si

A est de Prufer, tout

A-module projectif de rang fini est de type fini. (cf. (15»

chapitre 6, et

( 12» . Pour montrer que

b) => a), on remarque d'abord que: si

M est un

A-module reunion d'une chaine croissante de sous modules (M) 0 tels que n k 0, alors M est

M = {a} et soit projectif pour tout o projectif. En effet, la suite exacte

o

---->- M

n-]

---->- M

n-r l

n

est une suite exacte scindee. Le module

-, 0

M n

est un module projectif. Le module

Supposons que

M verifie b), et soit

rang denombrable. L'espace vectoriel K 0 P de

A) admet une base

(en)ne.lN' oii

A

P

M, de

(K etant Ie corps des fractions

enE:P. Po sons

Le module

un sous-module de P n

(Ke]Eil ... Eil Ken)np.

P est reunion des P et chaque module P , etant de rang n' n fini, est de type fini (hypothese b». Donc Pn/P ] est aussi de type nfini ; mais Pn/P n- ] est aussi sans torsion. A etant un anneau de Prufer,

387

-4P

n/P

est projectif. Remarquons auss1 que P j = Kejnp, est sans torsion n_ 1 et de type fini par hypothese b). On peut donc appliquer Ie resultat

precedent au module

P, et

Pest projectif.

Le theoreme 1.2 constitue une generalisation du critere de Pontryagin en ce qui concerne les proprietes (i) et (ii) et l'hypothese de denombrabilite. Nous allons maintenant nous tourner vers la propriete (iv) c'est-a-dire la condition " n-a c c pour tout modules n-acc pour tout

« 11)).

Si

A

n

n-acc pour tout n

est un anneau de Prufer n-acc pour tout n, alors

anneau coherent n-acc pour tout tout

nil. L'existence de

implique que l'anneau est

n, et tout

n «12) §I). D'apres Ie theoreme I. I,

a) ou b), alors

M est n-acc pour tout

A

A-module libre est Sl

est un

n-acc pour

M verifie les conditions

n,

Le probleme se pose de savoir s'il existe un anneau de Prufer n-acc pour tout

n, qui ne soit pas nretherien

(c'est-a-dire qui ne soit pas un

anneau de Dedekind). En effet dans Ie cas ou

A

est de Dedekind, je demontre «12))

Ie theoreme suivant, qui est une generalisation du critere de Pontryagin. Theoreme 1.3 - Pour un module

M sans torsion sur un anneau de Dedekind,

les conditions suivantes sont equivalentes : a) Tout sous-module de

M

de rang deriomb r ab l e est projectif.

a) Tout sous-module de

M

de type denombrable est projectif.

b) Tout sous-module de

M

de rang fini est de type fini.

c) Toute suite croissante de sous-modules de rang naire quel que soit d) M est

n

est station-

n.

n-acc pour tout n.

La demonstration (cf (12)) repose essentiellement sur la structure des modules sans torsion de type fini sur les anneaux de Dedekind «3)) et sur Ie fait que les ideaux d'un anne au de Dedekind admettent un systeme de 2 generateurs «4)).

388

-5Remarque pour un

Supposons que

A-module

M

A

est un anneau (n-acc pour tout

les conditions a), a), b), c), d) du theoreme pre-

cedent soient equivalentes ; alors tout ideal de a)

A

n) tel que

A

est projectif d'apres

est donc hereditaire, commutatif, integre ; c'est donc un anne au

de Dedekind. Si

A

est un anneau de Dedekind, tout sous-module d'un module

projectif est projectif. On a donc Corollaire 1.4 - Pour un module

M

de rang denombrable sur un anneau de

Dedekind, les conditions suivantes sont equivalentes (i)

M est projectif.

(ii)

Tout sous-module de

(iii)

M est

M

de rang fini est de type fini.

n-acc pour tout

n.

On obtient aussi le resultat suivant Corollaire 1.5 - Pour un module

M

de rang fini

k

sur un anneau de

Dedekind, les conditions suivantes sont equivalentes (i)

M est projectif.

(ii)

M

(iii)

M est

(iv)

M est (k+I)-acc.

En effet (iii)

est de type fini. n-acc pour tout

(i)

n.

(iii), d'apres le corollaire 1.4

(ii)

(iv).

Supposons que

M

soit de rang

k, et

(k+I)-acc; si

M n'etait

pas de type fini, il existerait une suite strictement croissante de sous-modules isomorphe

a

Mi, de type fini, de rang r. (. k. Chaque module M serait i t. Ar i- l 41 J. (ou J. serait de type 2) et par consequent i.

serait de type Si type fini

A

«

k+l, ce qui est impossible. est principal, alors : M

II». Le module

M

=

+t

de rang

A XU

n

1 et l -acc et n I est pas d e type f .n=.O Mai\

ou

k A

et

=

k-acc

M de

k(X,YJ, est de rang

k(X,Yl n'est pas unanneau de

Dedekind. Existe-t-il un anneau de Dedekind A, et un soit de rang

k, k-acc, et ne soit pas de type

389

A-module

M

tel que

M

-6II CHAINES ASCENDANTES DE MODULES n-acc La reunion d'une chaine croissante de modules necessairement

n-acc n'est pas

n-acc. II existe un groupe qui est reunion d'une suite

strictement croissante de sous groupes libres de rang 2 ce groupe n' es t pas

2-acc

sous-groupes

pour tout

k-acc

((10) exemple 6.3)

e t i l est cependant reunion d ' une sui te de k.

Par ailleurs, Paul Hill, en relation avec Ie critere de Pontryagin sur les groupes, a demontre Ie resultat suivant ((7)). Si un groupe abelien sans torsion sante

G

(Gn)nEm de sous-groupes purs dans

est reunion d'une suite crois-

G, et libres, alors

G

est un

groupe libre. Or nous venons de n-acc

qu'il y a des relations entre les conditions

et les conditions de liberte, de projectivite etc ... D'ou l'idee

de s'interesser aux chaines ascendantes de modules Theoreme 2.1 -

Soit

A

un anneau integre et

n-acc.

M un

A-module sans

torsion, qui est reunion d'une chaine croissante de sous modules (Mn)nEm. On suppose que, pour un entier donne et que Ie module

k > 0,

MI est sans torsion. Mn

Alors Ie module

M est

de type

k. Le module £

tel que

est

k-acc,

k-acc.

On considere une suite croissante

existe

M n

(Ph)hCm

de sous modules de

est un sous module de

hYm PhC- HI!,

(on prend pour

M£

M, de rang

M,

k. II

un module qui

contienne un systeme maximal d'elements lineairement independants de et on utilise Ie fait que etant

est sans torsion). Le module M£ (Ph)hernest stationnaire.

k-acc, la suite Dans Ie cas ou

A

=

MI

c'est-a-dire Ie cas des groupes, je peux

deduire Ie theoreme precedent du critere de j'ai donne dans (11) : Si A

P. Hill et d'un critere que

est principal, et si

M est un

sans torsion les conditions suivantes sont equivalentes M est k-acc. Tout sous-module

P de

M, de rang ( k, est libre.

390

A-module

-7Supposons que

A soit un anne au de Dedekind. Alors tout module

projeetif est k-aee pour tout k «I)). Considerons done une suite eroissante

de modules projeetifs, de reunion

modules

M/Mu soient sans torsion. D' ap r e s Le

pour tout

k. Si, de plus

t

M, et supposons que les

he or eme 2.1,

M est de rang denombrable,

M est

k-iac c

M est projeetif

(theoreme 1.3). Corollaire 2.2 - Soit

A un anneau de Dedekind et

torsion de rang denombrable. On suppose

M un

A-module sans

M est reunion d'une ehafne

eroissante de sous modules

(M) IN' telle que, pour tout entier n n£ sans torsion.

soit projeetif et Alors

n, M n

M est projeetif.

Le probleme se pose de savoir si ee resultat reste vrai si on ne suppose plus

M de rang denombrable. La reponse est oui si

A

(cas des groupes) d'apres Ie resultat de P. Hill cite ei-dessus. On va main tenant eonsiderer une ehafne eroissante (M )

n ne.us

de modules qui sont k-aee quel que soit

k , A etant un anneau de Dedekind,

tout sous-module de que soit pour tout

°

M de rang fini est de type fini (theoreme 1.3) quel n est k-iacc n. On se propose de montrer que l e module M = n= 1 Mn k, moyennant l'hypothese supplementaire "Mu+I/

quel que soit n". En effet, soit H = HnM = H n

nJ n-I

U

sans torsion M n H un sous-module de rang fini de M:

M) = (H () M) ; posons H H" M . Le sous-module n n=1 n n n H est sans torsion, de rang fini dans M (k-aee pour tout k), done de n n H type fini; est aussi de type fini, et sans torsion, et par consequent projeetif, puisque

A est de Dedekind ; HI

de type fini done projeetif. Le module

est sans torsion

H est done projeetif (ef §I).

Tout module projeetif de rang fini sur un anneau de Dedekind est de type fini, et

H est done de type fini. D'apres Ie theoreme 1.3,

pour tout

M est

k.

Theoreme 2.3 - Soit

A un anneau de Dedekind et

torsion. On suppose que

M un

M est· reunion d' une ehafne eroissante .. (M n)

de sous-modules verifiant :

M k-aee pour tout n M

k, quel que soit

sans torsion, quel que soit

Alors Ie module

A-module sans

M est

k-aee pour tout

391

n, n. k.

k-aee

-8Remarque -

Le theoreme precedent generalise Ie corollaire 2.2 qui pour-

rait aussi bien etre demontre comme consequence du theoreme 2.3. En effet si que

M est de rang denombrable,

M aussi, et il est equivalent de dire n

M est k-r ac c pour tout n

M est p ro je c t i f ou que n

k,

III RANG ET TYPE DENOMBRABLE Nous avons vu au §] que Ie critere de Pontryagin qui concernait des groupes denombrables pouvait se generaliser ; la notion de groupe denombrable pouvait se generaliser en une notion de module de type denombrable, et meme de rang denombrable. Si un

A-module

M sans torsion est de type denombrable, il est

evidemment de rang denombrable. Mais un module de rang denombrable n'est pas necessairement de type denombrable : Ie corps des fractions anneau integre

A

est un

d'un

A-module de rang] qui n'est pas toujours de

type denombrable. Kaplansky dans On dira que l'anneau si tout

K

(9) etudie ce probleme.

A verifie la condition (D) si et seulement

A-module de rang denombrable est de type denombrable. On dira que l'anneau

si son corps des fractions On dira que l'anneau si tout ideal de

A

est un

A verifie la condition (Dd si et seulement K est un

A-module de type denombrable.

A verifie la condition (D si et seulement i) A-module de type denombrable.

Pour montrer que

(Dc) et (D impliquent (D), on va d'abord montrer i) que (Dc) et (Di) impliquent (D]) ou la condition (D]) est ainsi definie : A veri fie

(D]) si et seulement si tout A-module de rang] est de

type denombrable. Supposons que

A

verifie (Dc) et (Ui ) ; alors K est de type A-.!- ou d e..A et d I d i: denombrable et on peut ecrire K U n=] n+ d n n n Soit P un module sans torsion de rang 1 ; on peut supposer que 00

P

est un sous-A-module de

K.

Pr\K= P" (U A..2...) n d

(P

nA

n

{a

°

tel que

a

nm

soit un automorphisme in-

A. 11 existe done un element inversible

m

w (a) = a

-I

acu

pour tout aE.A

405

a

de

(u = u rc..A).

m

A

tel que

H

-10-

a

-I

(a

-I

a

aau)au

-2

a(au)

2

et, d'une maniere gene-

rale uva

d'ou l'egalite :

R-

> 1.

i>l, deux cas

f

= n-t-I+t = n-I

R1P

i

n-t-I, il resulte que

R.p _ tRf->

Rf

pour tout

0

1"

dh

n- t- I

i l r e su l tera du

i> 1

, Rfi) =

R_

"R-

Ext R

et, puisque = 1 + ht

R

r

1P

est regulier on a Sinon on a :

pour tout entier u. II en resulte alors que

r

-r ' Rf ) = 0

pour tout entier v, ce qui est impossible puis-

est regulier. Pour terminer la demonstration, il suffit donc de

verifier 'que que

f+

etant non diviseur de zero dans

(.:...1':..-, R ) = 0 si

Mais puisque ou bien

=

que l'on a aussi

Mais de l'egalite

que

=

R R

(-) =

R

U

-r

prof_ (R/-F) = I, et, d l ap r e s la proposition I-I,

n-t-i tre que l'on a : Ext_

Ext

R

1+ Kr-d Lm

est completement premier et que

R/f) = 0 . Donc

R

ht

= C.Q, dim

f

et meme,ici, se verifie facilement de

D'autre part, on a:

--

on a : 1 + dh

dh

= K-dim

R

puisque l'ideal Hom R

f

est artinien (a droite et a gauche), d'ou

..t5 + Rz 1t+ 1

= I = C.Q,

= C.Q, dim

(11), l'on a:

R

L'anneau

f>

Ext

j

R f>

n>t+ I. On a alors

R) = 0

f .; (0)

pour

j

=

est strictement

o.

-6-

a

inferieur

n-t-2

ce qui precede supposer que

puisque

=

Ej,i 2

morp h i

0

s 1 Ext +

et montrons que

pour

r

R

R)

0 . 0n peu, t d' apres -

On utilise la suite spectrale :

o;:;:i

D'autre part, on a et

2

et pour

j

R))

O.

R

Ej, i 2 j+i = s+1

pour

0

j

et

i+j

= s+3

et

j)3, pour

-I. D' oil, .d' ap r e s

j+i

=

s+2

[5) (Prop. 5a)

une suite exacte : 0

E- I,s+2 EI,s+1 -----+ 2 2

=

s+2 H

=

Ext

s+2 R

2 Hs+

et comme precedemment, on verifie que

0, car

- -

-

(RIA/t, R), s+2

n-t. On en

deduit donc : 1

--

Ext_ iRIMt" R/f> Posons

s+ 1

M = Ext

Ext

(R/1P,R) ;

Ie lemme 5, un

R-module

lemme 6, on a:

Zt+l.m

(RR)

Hom

(RltK)

Ext

i/f

et

I

R/f-i

(R/f' R))

R

R

que les egalites

s+1

a

alors

= O.

M est un

R-bimodule et c'est, par

droite de type fini. D'autre part, d'apres Ie

= m,z t+ 1 pour tout m

(R/-11i"M)

o

,M)

o

entrainent que la multiplication par

Zt+1

resultera du lemme de Nakayama applique au

413

dans

M. Nous allons verifier

M est bijective : il

Rr-modu l e

a

droite

M, que

M = (0) .

-7-

i/f

Pour cela posons

A =

l'anneau integre

A. Po sons

et de s i.gnon s par

AKt

Hom '\. (A/#i'" ' HomA A/zt+t

= A ("-",-=':'---,

Hom (A/zt+IA,M) = {rn EM '" A nul, sinon, il existerait m eM, m I 0, A/z'"

sur l'anneau artinien

(xx)

,

Zt+1 dans l'egalite:

O.

M))

Zt+I A

Z m = O} est necessairement t+l Zt+lm= 0 ; Le module erigend r e par

Alors l e module m

l'image de

II resulte de

possederait un socle non nul ce qui

t+ 1A

'" -",-A m) = O. D'autre part on a aussi, a (A/#[" contredirait : Hom '" A/z t+ 1A Zt+I A l'aide de (KKK) et de la suite spectrale de changement d'anneaux A A - - - - - , l'egalite :

(A/ Hom '" A/z t+ IA

Mt,

_11_)

o

(A/.-ut, M)

Ext

Zt+1 M

o

et par Ie meme raisonnement que precedemment on a

c'est-a-

c.q.f.d. Corollaire 1.6 -

Soit

R un anne au local regulier. Soit

R

ideaux completement premiers localisables de soient reguliers. Soit longueur et

9

m = ht

R1f

tels que

et tels que Ie localise de ht

Proposition 1.7 - Soit sur un corps

k

f

+ ht

f

R entre

en chacun de ces ideaux premiers

R

=

ht

.

une algebre de Lie nilpotente de dimension finie

de caracteristique

ideaux premiers de

Rq

. S'il existe une chaine saturee de

m d'ideaux completement premiers localisables de

soit regulier on a alors

Preuve

deux

O. Alors si

9

tels que

1:>

et

g

sont deux

alors on a

ht ht ) La proposition 1.7 resulte du corollaire 1 .6 appliquee a

On peut aussi dire que, entre deux ideaux premiers emboites de toutes les chaines saturees d'ideaux premiers ont meme longueur. On deduit alors de cela que si

sont des ideaux premiers de

414

f u

+

.

-1)-

alors on a :

f'

GK • d iHII

k

GK . d iHII

=

'I

+ ht

9

k

-r'

ce qui ameliore Ie resultat de (12) ou l'egalite precedente avait ete obtenue pour

(0). L'egalite sur les

GK-dim, et pour

1P = (0),

a ete generalisee au cas resoluble, sur un corps algebriquement clos de caracteristique

o

0, par P. Tauvel [17) puis, sur un corps de caracteristique

quelconque par S. Yarnrnine [19).

Corollaire 1.8 finie sur corps

z

et

t-' (z ) q

modulo

f

+

Preuve:

une algebre de Lie nilpotente de dimension

Soit

de caracteristique O. Soit.-t

k

z

un element de Si

¢f,

un ideal premier de

on a

cr

ht

D' ap r e s

f

ht

=

+ 1.

[15), on a : ht

f

U(j)

appartenant au centre de

est un ideal premier minimal de

tel que

et il suffit d'appliquer la

=

proposition 1.7. Corollaire 1.9 de

et

une algebre de Lie nilpotente de dimension

Soit

finie sur un corps B

de caracteristique O.

k

=

non inversible de

z

. Si

t

un ideal premier

est un element central non nul et

,

on a:

B

Soit

-

B

,

=

zB

Preuve :

D'apres Ie corollaire 10, on a, pour tout ideal premier

minimal pour

t

+ (z)'=

est de hauteur minimale pour

= ,

t+

U("") K

U(Jr) =

GK-dHll,

Sup

+ 1,

U(f) ; q' - Inf {h t

La proposition

=

1.5

l' egali t e

ht

=

. D' ap r e s

+

Notant

if ++

t

z ))

f

+ 1. Done

premier,

s> t

(z)

la r ac i, ne de I " GK-di

lernrne 4.7.) :

9"

ht

[12), on a

II suffit de verifier que

f'+(z)

(3)

UC'd) - ht

q ,

---

K

(z), on a «(4) et

f

de

+f!i 91

If+(z)

+ Cz ) }

A/9' peut etre appliquee

a

des cas d'algebres de Lie

non nilpotentes. En effet, d'apres un resultat recent de Melle Moglin, si

415

-9est une algebre de Lie de dimension finie sur un corps quement clos, de caracteristique

U(

coincide

(ceci est Ie cas pour les algebres de Lie

avec Ie semi-centre de

a

0, tel que Ie centre de

algebri-

k

radical nilpotent et pour certaines algebres resolubles) il existe une

partie maigre

flt

du spectre premier de

T

telle que pour chaque

T, et apres localisation par un element du centre de

image de

si l'on suppose de plus

l'ideal

completement premier, il est facile

de verifier - ce que nous ferons en 1.10 U(U(, -

J.E. Rosenblade (Prime ideals in group rings of polycyclic groups-

Proc.London Math J. 1978 (3)

385-447)

a demontre la catenarite des

algebres,sur un corps k, de groupes qui possedent un sous-groupe polycyclique normal d'indice fini ; rappelons qu'un groupe

G est polycyclique

si c'est un groupe resoluble verifiant la condition maximale sur les

418

-12sous-groupes. Utilisant le theoreme

a

d'un resultat analogue catenarite de

de

B

(16) on peut donner au moyen

la proposition 1.5.

1) k(G) lorsque le groupe

une demonstration de la est de type fini et possede

G

H. d'ordre inversible dans

un sous-groupe normal fini so i t nilpotent sans torsion.

lorsque

2)

Lie nilpotente de dimension finie sur un corps

k

G/

tel que

H

est une algebre de de caracteristique

k

arbitraire.

§.2. Un theoreme de Macaulay pour les algebres enveloppantes d'algebre de Lie nilpotente. Soit

R

un anneau local regulier du type

de Lie nilpotente et (b i l at e r e )

I

de

si

un ideal premier de (ou de

R

I.de aux premiers de

R

»

U

91 () ...

intersection

comme

1)

R

'f n'

(ou de

D'autre part il est immediat que si (c f ,

dans

(19))

lR

de l'ideal

R

Soit

la hauteur de l'ideal Xl"" ,x r associes a I

est une I

il s'ecrit (c f , (19))

est uniquement determine par est un ideal de

I

=

Rl

induit par

PiR = RP ou Pi sont les associes de i, En conservant ces notations on a : Proposition 2.1 -

des hauteurs des 1. D'autre part.

d'ideaux bilateres primaires (a gauche)

1F ides 9 i

l'ensemble des radicaux

1, infimum

qui contiennent

est un ideal (b i La t e r e ) de

I

Par hauteur d'un ideal

on entendra

(r e sp , de

est une a l geb re

• oii

I

1.

les associes dans

I

dans

sont les

R,

contenus dans

M£ .

une suite centralisante de R telle que r engendre par les soit egale a R. Alors

xl' ...• x I

R-suite,

=

ont tous meme

r, les ideaux premiers

composantes primaires de

sont irreductibles.

Preuve

On procede par recurrence sur

r, partant de

=

r

ou il n'y a

0

... ,x < r-I. Verifions que l, r_ 1) ht Is I + ht(x ... ,x Soit s = ht(x ... ,x et soit un ideal l, 1, r_ I). r_ 1) premier de R de hauteur s, ht = s. Toujours par (15) la hauteur de rien

a

l'ideal htCt" ,x

demontrer. D'apres

(-t ,xr) /

t

(15), on a

ht(x

-f

t

dans

R/-f

s+l. Puisque I r) po t he s e de recurrence on a:

c.:

est

(t .xr)

I. Vu la ca t e nar i t e on a on a

r

s+1. D'apres l'hy-

=

9

09

(Xl' ... , x 1) 1n ... rsont des ideaux bilateres primaires (a gauche) de radicaux

419

s

ou les et

9i

-13-

ht(f>i) x

r-I,

=

1fi

i

I, ... ,s

pour tout

r de zero modulo

on aurait

et xI"",x est une R-suite. Par suite r_ 1 I, ... ,s. II en resulte que x r est non diviseur

(xI' ... ,x

a x

et

r n3'O,

pour tout

=

i x

r_ I). a C;; Cf i.

r

on a

En effet s i pour

1

a XrG"(XI, ... ,x

a r_ 1), = I, •.. ,s. Puisque (xr)n

R,

1=

Done

aG

R

) = r et que les ideaux premiers associes xI" "xr sont tous de hauteur r. En localisant en un ideal premier associe a lement que

dh

(

R

on est ramene au cas ou une

R/

I identique

sur

r

et

I

I,

est engendre par

a

est nulle (cf. (2] bis tho 2.2) et une demonstration I celIe du cas cornrnutatif (cf. (2 bis] Prop 6.2) prouve que Ie

R/ I irreductible.

est de dimension

Corollaire 2.2 -

=

Si

I

est de dimension

I

R/

socle de

a

R

a

R-suite centralisante reguliere de longueur r. La dimension injective

de

I

Cfi

(XI' ... ,x GK-dim

Soit

sur

U('J) /

done

rad R '

I

est inter-

une algebre de Lie nilpotente. Soit

un ideal de

r)

R/

engendre par une suite centralisante.

(xI' ..• ,x r)

=

dim

(x1' ... ,x

Gr -r, G

ont tous meme hauteur r) sont inter-irreductibles.

r

alors les i.dcaux premiers a s so c i e s et les composantes primaires de

Preuve GK - dim - Irif i h t

1Done

r

f

de

2.2

i

resulte de

(xI"" ,x r)

Co

r'

ht (XI'''' ,x r) .

= ht(xl,·.·,x r)·

localisant en

1" I Si

1f i

est associe

et en utilisant

2.1, que

a

(XI"" ,x r) on obtient, en ht i = r . De meme la fin

f

2.1.

Rernarque I

II ne semble pas connu de resultat analogue

les algebres

a

a

2.2

nl pour

identites polynomiales ni pour les algebres de groupes

nilpotents.

420

-14Remarque 2.

Dans les hypotheses de

que la decomposition de

a

I

2.1

ou de

2.2, il doit etre vrai

comme intersection d'ideaux bilateres ori-

gauche coincide avec la decomposition de

a

d'ideaux bilateres primaires

I

comme intersection

droite.

§.3. Seconde demonstration de la catenarite. La demonstration 5.3. de la catenarite dans Ie cas nilpotent sur un corps algebriquement clos m'a ete communiquee par M. Lorenz et R. Rentschler: Lemme 3.1 -

(M. Lorenz et R. Rentschler). Soit

clos de caracteristique connexe defini sur

0; soit

k : soit

et catenaire sur laquelle

G

rationnelle. On note globalement Si

G

A

une

un groupe algebrique lineaire et

opere par

Spec(A)G

\(g) c

=

l'ensemble des ideaux premiers de

G-invariant de

g E

pour

Alors l'ensemble ordonne Preuve

a

On a

entre

P

A

Q

et

c

a

A

par

c

pose P P

1

et

Q

P PC I C. Q

tel que

(1 xG-G

%

ht

que

et

C E:

G

tel

modulo J).

G-stables

G-stables

1. Soit

c" Q, c ¢. P

Q est minimal dans

a

a

Spec (A)G,

un element

Spec (A) l'anneau

G ; par suite il est contenu dans I

=

Q ; d'ou

est evidemment I

I

A

sont deux ideaux

1. Le sous-k-espace vectoriel de

xCI). L'ideal

I

PC Q

"Hauptidealsatz"

I C Q. On va montrer que

Q

c

1. Supposons qu'il existe un ideal premier

est invariant par I

de

designe la classe de

tels que la hauteur, relativement

1, alors

(c) + P. En appliquant Ie ht

est un

ont la meme longueur. Puisque, par hypothese, l'anneau

est egale

deduira que

A

Spec (A)G est catenaire.

semi-invariant. On va montrer que deal

I

I, ou

demontrer que, etant donnes deux ideaux premiers

premiers G-stables de

Q P

J

sur i: a Lgeb r e de Lie ou

est catenaire, il suffit de prouver que si

de

et si

Q, toutes les chaines saturees d'ideaux premiers

A, P C

de

k-automorphismes d'algebre de

G-invariants et on suppose la condition suivante satisfaite est un ideal

J

g.c

un corps algebriquement

k-algebre commutative noetherienne

(i.e. il existe une forme lineaire que

k

sur l'i-

Alp, on en I

Alp

rip

de

A,

engendre ou l'on

G-stable et on a

est premier. 11 en resultera du choix de

= Q. 11

est clair que

d'ideaux premiers, est semi-premier. L'anneau

421

A

I,

intersection

etant noetherien, on a

-15-

done :

PI () ... () Ps' decomposition de

I

premiers

I

en intersection d I i.de aux

dont aucun n'est superflu. Evidemment Ie groune

P.

i,

Montrons que

permute transitivement les

G

G permute

P .. En effet, soit

les orbites de l'en-

n.

semble

sous l'action de

G.

Posons

t.

n

Q.

i.

P.

pour

J

j=ni_l+l

Q sont G-stables et leur produit est contei done dans I. Comme llideal I est premier, un ideal Q est i contenu dans I. On a alors i = l, ... ,r. Alors les ideaux

I

nu dans

n

xCI)

I

I =

d I oil l ' e ga l i t e

Q.. Comme Ie

xE.G groupe connexe Pl, ... ,P v.

e

VI

P.

de

A

{V!}. 1 1=

de

G

chaque

P.

est stable

U

P.

et on considere un

v. ¢

,

t.

1

s'

G permute transitivement un nombre fini de sous-espaces t.

jfi

contenant tous les

G-sous-module de dimension finie = V' () P .. Alors

vi' On pose

correspond a une orbite finie de G sous l'action induite s sur la Grassmannienne des r-sous-espaces de VI oil r e s t la dimen, •.• ,

sion commune des reduite

((8) Lemme 10.3). Pour cela, on choisit

a

V!

et, puisque

i.

G est connexe, cette orbite doit etre

un point.

Soit

une k-algebre de Lie resoluble de dimension finie sur un

corps algebriquement clos de caracteristique adjoint de

*

;

=

J. Dixmier

0

et soit

G Ie groupe

G est un groupe a l ge b r i que connexe et il opere sur par la con t r ag re d i ente de 11 action adj ointe. a construit une application de

(6)

Prim

des i.deaux primitifs de

dans l'ensemble

qui est continue et bijective,

d l ap r e s J. Dixmier, Duflo et R. Rentschler, lorsque l'on muni de la topologie de Jacobson et la construction est dlassocier

t

e rmi nee par

a

une

(c'est en par=0)

la representation de dimension

f. On obtient ainsi un

primitif associe, sait

Prim

de la topologie de Zariski. Llidee de

a

ticulier une s ou s-ra l gebre de Lie ve r i f i an t de f acon tordue

t

et dlinduire 1

de

de-

-rnodu l e simple dont 11 ideal

J(f), ne depend que du choix de

422

f modulo

G.

-16La bijectivite de l'application de Dixmier permet

«(13)

de pro longer

cette application en une application continue et bijective Spec

dans

Spec

oil

des ideaux premiers de Spec

»G

de s i gne l'ensemble

Spec

l'ensemble, aussi muni de la topologie de Zariski, des

n

J(f), oil

J(f)

fE.V(9)

designe la variete des zeros de tels que longe

ker '" f

oU

f. Le fait que

91

"Si

9 s: c.

S

f

-I

S

V(

9

f

i)

Co

c' est-a-dire I' ensemble des

S

est l'homomorphisme qui pro-

92

c

alors

Spec

U(d)

tels que

9 i c 9;

(M. Lorenz et R. Rentschler). Si

caracteristique

0

k

algebriquement clos de

est catenaire.

groupe adjoint

G de

(*)

. La condition

Corollaire 3.3 k

Soit

(6)

et

S.

o.

Soit

une cloture algebrique de

• Si I' application de Dixmier associee a

continue, alors l'algebre enveloppante de Preuve:

au

une algebre de Lie resoluble de dimension finie

de caracteristique

@k

A = S(

est alors verifiee

on en deduit Ie resultat par l'hypothese faite sur

k'

alors

est une algebre de

Preuve : Il suffit d' appliquer l e lemme 3.1 a I' a l geb re

=

et

dont l'application de Dixmier associee est bicontinue

alors, l'algebre enveloppante de

et

9'

S, il suffirait de prouver que si

Lie resoluble de dimension finie sur un corps

sur un corps

lil·

(9 ;) .

-I

Proposition 3.2 -

k

9)

est continue s'exprime par la condition :

sont deux i.deaux premiers de

(q

l'ideal premier

k

Pour prouver la bicontinuite de

I:l '2

Spec

a ete pr ccedemment de f i.n i et ou

:

et

2 ' oil

symetrique de

9e

S fait correspondre a

S( 9)

de

muni de la topologie de Zariski et

ideaux premiers G-invariants de tion

S

est bi-

est catenaire.

Ceci resulte des propositions 3.2 et 2.

En particulier,il resulte du corollaire 3.3.et, puisque

N. Conze a

prouve que l'application de Dixmier etait bicontinue pour une algebre de Lie nilpotente, que l'algebre enveloppante d'une algebre de Lie nilDotente est catenaire. §.4.

Theoreme d'

Intersection

423

-17-

4.1-

Proposition

finie sur un corps

k,

gebrique de 'V

'V

k

alors on a :

et

ht

ht

1"

+ ht

Mi l'

heo r eme d ' intersection pour

'V

9 l'

et

b)

du groupe

la suite derivee

soit

G,

le plus grand entier tel que

p

DP+IG

groupe mixte. Alors lemme 2.1

K(DP+IGJ

est hereditaire

w(DP+1G)

est hereditaire DPG/DP+IG

a

x

a T

DPG/DP+1G

DP+1G

a

gauche, done le lemme 2.3

est inversible dans

T

est un groupe fini. Montrons que

438

montre

K. Par conse-

est engendre par des idempotents et

gauche (lemme 2.8), la proposition 2.5 ou

soit un

est un groupe localement fini et d'apres le

que l'ordre de tout element de quent l'ideal

a

G eSt inversible dans K.

K(DPG/DP+1GJ

montre alors que DP+IG

est un

-8groupe fini. Sinon il existe un entier

j 7 p+l

tel que

DjG/Dj+IG

soit un groupe abelien de torsion infini, par consequent tient un sous-groupe Posons

a

H'

=

H

tel que

DjG/Dj+IG.

KH

est l'automorphisme de

H'.

H

DjG/Dj+IG

est alors isomorphe K(H')

groupe de

h

H'

f I

K(H')

(X,a)

K(H')

un element du socle de

h

les groupes cycliques engendres par les elements

K(H') , s i

I

=

e

j

con-

G/Dj+IG)

(x,x-I,a)

ou

H/H'

sur

est semi-hereditaire

H', montrons que le sous-

engendre par les transformes de

somme directe. Soit

G/Dj+IG

H/(D

induit par un generateur de

K(H) etant hereditaire a.gauche,

a gauche. Soit

et

par

a

est fini. Sinon

an(h), n

l'idempotent qui engendre l'ideal

sont en w«h»

dans

lK(H')(X,a) (Xe+e), on a alors

on a car d'apres la definition 2.10. en prenant = ,1

alors

."7>

fait une propriete universelle evidente. Proposition 14 G. Alors la

Soit

G

'frr : G

'(, c '

rr-localisation de

a

G

--+ G rr l'interieur de

la

rr-localisation de est

ou

est

l'homomorphisme canonique et

'frr,c = P

0

'f n'

De meme Proposition 15 localisation de

si G

17. c

G

a

f

alors

rr

,c

: G

-+

G rr, c

est aussi la

l'interieur de la classe de tous les groupes nilpo-

tents. Proposition 16 -

Si

nc

G

alors :

) I) Ker (i./) I rr,c

Ker (