Séminaire d'Algèbre Paul Dubreil et Marie-Paule Malliavin: Proceedings Paris 1983-1984 (36ème Année) (Lecture Notes in Mathematics, 1146) (French Edition) 3540156860, 9783540156864

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Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Dold and B. Eckmann

1146

Seminaire d'Alqebre Paul Dubreil et Marie-Paule Malliavin Proceedings, (36eme Annee]

1983-1984

Edite par M.-P. Malliavin

Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo

Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Dold and B. Eckmann

1146

Seminaire d'Alqebre Paul Dubreil et Marie-Paule Malliavin Proceedings, (36eme Annee]

1983-1984

Edite par M.-P. Malliavin

Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo

Editeur

Marie-Paule Malliavin Universite Pierre et Marie Curie, Mathematiques 10, rue Saint Louis en l'lle, 75004 Paris, France

AMS Subject Classification (1980): 05A99, 12H05, 13B25, 13H 10,14025, 14L05, 14L30, 14M 15, 16A08, 16A32, 16A38, 16A46, 16A62 ISBN 3-540-15686-0 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo ISBN 0-387-15686-0 Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin Tokyo

CI P-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek. Seminaire d' Algebre Paul Dubreil et Marie-Paule Malliavin: Proceedings 1Serninaire d'Alqsbre Paul Dubreil et Marie-Paule Malliavin: (... anneej.> Berlin; Heidelberg; New York; Tokyo: Springer Teilw. mit d. Erscheinungsorten Berlin, Heidelberg, New York 36. Paris 1983 - 1984. - 1985. (Lecture notes in mathematics; Yol. 1146) ISBN 3-540-15686-0 (Berlin ...) ISBN Q.387-15686-0 (New York ...) NE:GT This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means, and storage in data banks. Under § 54 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to "Yerwertungsgesellschaft Wort", Munich.

© by Springer-Yerlag Berlin Heidelberg 1985 Printed in Germany Printing and binding: Beltz Offsetdruck, Hemsbach/Bergstr. 2146/3140-543210

Liste des auteurs D.Bartels p.l - J.Bertin p.l06 - K.Bongartz p.32SA.Bouvier p.340 - K.A.Brown p.3SS - M.Contessa p. 367 J.Dixmier p.127 - A.Dur p.176 - M.Fontana p.340 S.J¢ndrup p.40S - A.Lascoux p.161 - L.Lesieur p.367 T.Levasseur p.270 - J.C.McConnell p.288 - U.Oberst p.176 et 214 M.P.Schutzenberger p.161 - T.A.Springer p.299 M.Sweedler p.317

* TABLE DES TITRES

D. BARTELS - Quasi-Homogene affine Varietaten fur SL(2,[) J. BERTIN - Automorphismes des surfaces non completes, g,roupes fuchsiens et s i.ngu Lar i t e s qua s i vhomog en e s

106

J. DIXMIER - Quelques resultats et conjectures concernant les series de Poincare des invariants des formes binaires

127

A. LASCOUX et M.P. SCHOTZENBERGER "' Interpolation de Newton a plusieurs variables

161

U. OBERST/A. DOR linear codes

characterization of all optimal 176

U. OBERST - Actions of formal groups on formal schemes. Applications to control theory and combinatorics

214

* T. LEVASSEUR - Complexe bidualisant en algebre nen-connnutative

270

J. C. McCONNELL - The K-theory of filtered rings and skew Laurent extensions

288

IV

T.A. SPRINGER - Microlocalisation

299

M. SWEEDLER - Introduction to the algebraic theory of positive characteristic differential geometry

317

K. BONGARTZ - Quadratic forms and finite representation type

325

A. BOUVIER et M. FONTANA - The catenarian property of the polynomial rings over a Prtifer domain

340

K.A. BROliN - Ore sets in noetherian rings

355

M. CONTESSA et L. LESIEUR - D-anneaux et anneaux F-semi-parfaits

367

S. J0NDRUP - Here d i. tary P. I. - algebras

405

Publie avec Ie concours de : L'Universite Pierre et Marie Curie La premiere Section de l'Ecole Pratique des Hautes Etudes

PREVIOUS VOLUMES OF THE "SEMINAIRE PAUL DUBREIL" WERE PUBLISHED IN THE LECTURE NOTES, VOLUMES 586 (1976), 641 (1977), 740 (1978), 795 (1979), 867 (1980), 924 (1981) and 1029 (1982).

QUASIHOMOGENE AFFINE VARIETATEN FOR SL(2,[)

Dina Bartels

Abstract: This paper contains some contributions to a refined study of linear actions of the group

G=Sl(2,cr)

on a vectorspace

V. More precisely,

it deals with the study of the sophisticated geometry of orbitclosures. The case where V=R is the irreducible G­module of binary n n­forms is of particular importance, since any finite­dimensional G­module is a direct sum of such irreducible G­modules. Hadziev 1966 [Ha1] started investigating orbitclosures of binary n­forms according to their dimension and their decomposition into

His results

were generalized to orbitclosures in arbitrary finite­dimensional G­modules by Popov 1973 [P1] and (P2], who also began the classification of G­orbitclosures up to G­isomorphism. An intrinsic definition of orbitclosures required for such a classification is the following: An algebraic variety with a regular action of the group

G, briefly

a G­variety, is called quasihomogeneous if it contains a dense orbit. Popov 1973 [P1] classified all normal affine quasihomogeneous G­varieties. In addition, Luna and Vust 1983 [LV] classified the normal (not necessarily affine) quasihomogeneous G­varieties. These classifications use discrete parameters, which even in the most complicated affine case are rather simple, namely a natural and a rational number. This paper deals with the investigation of non­normal affine quasihomogeneous G­varieties. In particular, numerical invariants for G­isomorphism are obtained, which are of an essentially higher complexity than in the normal case. Moreover, it is shown that the classification involves continuous parameters and modulispaces of arbitrary high dimension can occur.

2

Inhaltsverzeichnis Einleitung

s.

4

O.

Notationen

S.

10

1.

Zusammenstellung bekannter Tatsachen tiber quasi-

S.

12

S. S. S. S.

12

S. S. S.

22

S.

33

S.

43

S.

47

homogene affine G­Varietaten und Darstellungstheorie von

G

1.1 Quasihomogene affine G­Varietaten 1.2 Endlich­dimensionale G­Moduln 1.3 Das Hilbert­Kriterium 1.4 Eine Typeneinteilung von Popov 2.

Das Isomorphie­Problem

2.1 Auszeichnung eines B­Orbits 2.2 T­Orbitabschltisse im AbschluB des ausgezeichneten

14 16 18

23 27

B­Orbits 2.3 Automorphismen und Isomorphismen quasihomogener G­Varietaten I 2.4 Konstruktion r­parametriger Familien nicht­isomorpher quasihomogener affiner G­Varietaten mit vorgegebener Normalisierung 3.

Regulare Funktionen auf quasihomogenen affinen G­Varietaten

3.1 Allgemeine Resultate tiber U­Invarianten

S.

47

3.2 Einbettung des U­Invariantenringes in den

S.

48

S.

57

3.4 Automorphismen und Isomorphismen II

s.

59

3.5 Konstruktion U­invarianter Funktionen auf

S.

66

S.

72

S.

72

S.

86

Funktionenring 3.3 U­Invariantenringe normaler quasihomogener G­Varietaten

binaren Formen 4.

U­Invariantenringe quasihomogener affiner G­Varietaten mit unendlicher Automorphismengruppe

4.1 U­Invariantenringe fur Orbitabschltisse von Gewichtsvektoren 4.2 Reduktion auf Orbitabschlusse von Gewichtsvektoren

3

s.

87

s.

90

s.

93

1 h=2 5.2 Orbitabschlusse von Nullformen mit maximaler Hehe

s. s.

93

5.3 Kontinuierliche Familien in den einfachen

s.

101

s.

104

4.3 Gewichtehalbgruppen quasihomogener G-Varietaten mit unendlicher Automorphismengruppe 4.4 Beispiele fur Gewichtehalbgruppen 5.

Beispiele von Orbitabschlussen in einfachen G-Moduln

5.1 Orbitabschlusse von Nullformen der Hehe

99

G-Moduln der Dimension kleiner gleich dreizehn Literaturverzeichnis

4

Einleitung Sei

G

die Gruppe

Unter einer G-Varietat verstehen

wir eine komplexe algebraisehe Varietat, auf der die Gruppe

G

regu-

lar operiert. Eine G-Varietat heiBt quasihomogen, falls sie einen diehten G-Orbit enthalt. Mit

V bezeiehnen wir einen endlieh-dimensio-

nalen G-Modul (d.h. einen

auf dem die Gruppe

G

linear

operiert). Jede affine G-Varietat laBt sieh G-aquivariant in einen endlieh-dimensionalen G-Modul einbetten. Die Untersuehung quasihomogener affiner G-Varietaten bis auf G-Isomorphie ist daher aquivalent zum Studium der G-Orbitabschlusse in endlich-dimensionalen G-Moduln. Wir werden im folgenden eine quasihomogene affine G-Varietat imrner als einen OrbitabschluB

V=GfcV

annehmen.

1. Eine Typeneinteilung von popov Popov [P1] und [P2] hat die G-Orbitabschlusse nach ihrer Dimension und der Struktur des Randes

Gf'Gf

in sechs Typen eingeteilt,

die wir jetzt beschreiben werden. Zusatzlich geben wir den Stabilisator V

G des Erzeugenden f fur den dichten G-Orbit an. Die Null in f ist der einzige nulldimensionale G-OrbitabschluB und wird als Typ 1)

bazeichnet. Eindimensionale G-Orbitabschlusse gibt es nicht. Bei den zweidimensionalen Orbitabschlussen unterscheidet Popov zwei Falle. Der Typ 2a) besteht aus einem abgeschlossenen G-Orbit. Der Stabilisator ist in diesem Fall ein maximaler Torus oder der Normalisator eines maximalen Torus in

G. Der Typ 2b) enthalt auBer einem zweidimensio-

nalen G-Orbit noch die Null. Dabei ist der Stabilisator Gf direkte Produkt einer maximalen unipotenten Untergruppe von

das semiG

mit

einer endlichen zyklischen Gruppe. Die dreidimensionalen G-Orbitabschlusse werden in drei Typen eingeteilt. Der Typ 3a) besteht aus einem abgeschlossenen G-Orbit. Der Stabilisator gendeine endliche Untergruppe von

G ist hierbei irf G. Eine endliche Untergruppe von

G i s t zyklisch, eine Dieder-, Tetraeder-, Oktaeder- oder Ikosaedergruppe. Weiter gibt es den Typ 3b), der aus einem dreidimensionalen und einem abgeschlossenen zweidimensionalen G-Orbit besteht. Der letzte Typ, der Typ 3c), ist Vereinigung eines dreidimensionalen G-Orbits, eines zweidimensionalen G-Orbits und der Null. Fur die Typen 3b) und 3c) ist der Stabilisator sche Gruppe.

G f

jeweils eine endliche zykli-

5

2.

Die Klassifikation von Popov

Ring

0(V) der regularen Funktionen auf

Eine affine algebraische Varietat

U heiBt normal, falls der V ganz abgeschlossen in sei-

nem Quotientenkorper ist. Die normal en quasihomogenen affinen G­Varietaten sind 1973 von Popov [P1] bis auf G­Isomorphie klassifiz±ert worden. Dabei schlieBt die Klassifikation fUr die zweidimensionalen Varietaten auch den nicht­normalen Fall mit ein. Besteht eine G­Varietat nur aus einem abgeschlossenen G­Orbit, so ist sie isomorph zu der Varietat

G/G Damit ergibt sich die Klassifikation der Varief. taten vom Typ 1), 2a) und 3a) aus der obigen Beschreibung der Stabi-

lisatoren. Die Varietaten vom Typ 2b) werden durch die endlich erzeugten Unterhalbgruppen der positiven ganzen Zahlen klassifiziert. Die normal en dreidimensionalen Varietaten vom Typ 3b) oder 3c) werden durch die Ordnung

m

des zyklischen Stabilisators und eine rationale

Zahl

0

und

h

zwischen

klassifiziert. Die Zahl

h

heiBt die

Hohe der quasihomogenen G­Varietat. Dabei haben die Varietaten vom 1

Typ 3b) gerade die Hohe 3.

h=2'

Das Isomorphieproblem In dieser Arbeit beschaftigen wir uns mit dem problem der Klassi-

fikation der nicht­normalen quasihomogenen affinen G­Varietaten. Dabei bleiben nach den vorangegangenen AusfUhrungen noch die Varietaten vom Typ 3b) und 3c) zu untersuchen. Sei im folgenden 1i=Gf

stets vom

Typ 3b) oder 3c). Wir stellen als erstes fest (2.1.6), daB es zu einer festen Borelgruppe B und einem maximalen Torus T in B nau einen B­Orbit in

Gf

ge-

gibt, dessen T­Orbiten aIle nicht abge-

schlossen sind. Diesen so in invarianter Weise ausgezeichneten B­Orbit nennen wir den ausgezeichneten B­Orbit von die T­Orbitabschllisse

V.

Weiter betrachten wir

im AbschluB des ausgezeichneten B­Orbits. Die

Klassifikation der T­OrbitabschlUsse bis auf T­Isomorphie ergibt sich aus der Arbeit von Kempf, Knudsen, Mumford und Saint­Donat [KKMS] . Dabei werden die T­OrbitabschlUsse durch die endlich erzeugten Unterhalbgruppen der ganzen Zahlen klassifiziert.

Eine solche Halbgruppe

nennt man die Gewichtehalbgruppe eines T­Orbitabschlusses. Diese Gewichtehalbgruppen kann man explizit berechnen,und es stellt sich heraus (2.2.6), daB alle T­OrbitabschlUsse im AbschluB des ausgezeichneten B­Orbits bis auf endlich viele Ausnahmen dieselbe Gewichtehalbgruppe besitzen. Die endlich vielen Ausnahmen nennen wir exzeptionelle und die anderen generische T­Orbitabschllisse. Die zugehorigen Gewich­

6

tehalbgruppen liefern einen Satz diskreter Isomorphie-Invarianten. Berlicksichtigt man auBerdem die relative Lage der exzeptionellen T-Orbitabschllisse zueinander, so erhalt man auch kontinuierliche Isomorphie-Invarianten.

4.

Unendliche Familien paarweise nicht-isomorpher G-Orbitabschllisse Sei

V=Rn der Raum der komplexen binaren n-Formen mit der liblichen G-Aktion. Dann ist Vein einfacher G-Modul (d.h. V besitzt keine nicht-trivialen G-Untermoduln). Jeder einfache G-Modul ist isomorph zu einem

R und jeder endlich-dimensionale G-Modul ist n, eine direkte Summe von einfachen G-Moduln. Wir betrachten in diesem Abschnitt ausschlieBlich Orbitabschllisse vom Typ 3c). Diese Orbitabschllisse enthalten die Null in

V. Schon Hilbert [Hi] hat die binaren

Formen untersucht, 'deren OrbitabschluB die Null enthalt. Diese Formen werden seitdem auch Nullformen genannt. Beim Studium von G-Orbitabschllissen haben wir als erstes festgestellt, daB die dreidimensionalen Orbitabschllisse von Nullformen niemals normal sind [B). Die binaren Formen sind nun die Grundlage flir un sere weiteren Untersuchungen nicht-normaler G-Orbitabschllisse. Eine Nullform in Rn ist dadurch charakterisiert, daB sie einen Linearfaktor der Vielfachheit besitzt [Hi]. Wir wahlen jetzt den Reprasentanten f eines Orbitabk ' , schlusses V=Gf in R ohne Einschrankung so, daB f= n i=O 1 1 mit akto und ist. Die Zahl heiBt die H6he von V. Sie andert sich nicht beim tibergang zur Normalisierung und ist gerade die in 2. erwahnte Isomorphie-Invariante. Flir die Orbitabschllisse der H6he

in

R gilt dann (2.3.8): Zwei Orbitabschllisse Gf und n Gf ' sind genau dann G-isomorph, wenn es ein g E G und eine komplexe Zahl A ungleich Null gibt, so daB Af=gf' ist. Man kann hieraus leicht ablesen, daB es flir genligend groBes

n

unendliche Familien

paarweise nicht-isomorpher G-Orbitabschllisse in ere quantitative Aussage ergibt sich (2.3.12): In

R n

gibt. Als genau-

R gibt es eine n -parametrige Familie paarweise nicht-isomorpher Orbitabschllis-

se. Daher existiert flir

eine mindestens 1-parametrige Familie.

Tatsachlich tritt die erste Familie sogar in

R auf (5.3.2). tiber 10 den Nachweis der Existenz kontinuierlicher Familien hinaus wird gezeigt (2.4.5): Zu jeder vorgegebenen Normalisierung (d.h. Stabilisatorordnung

m

und H6he

vorgegeben) gibt es beliebig hoch-para-

7

metrige Familien paarweise nicht-isomorpher G-Orbitabschlusse. Um beliebige Hohe und Stabilisatorordnung zuzulassen, muE man bei der Konstruktion dieser Familien in einigen Fallen auch zu Summen einfacher G-Moduln ubergehen.

5.

Automorphismengruppen Wir betrachten jetzt wieder G-Varietaten vom Typ 3b) und 3c).

Die Automorphismengruppe einer quasihomogenen affinen G-Varietat V=Gf laEt sich in der folgenden Weise mit dem Quotienten einer Untergruppe von G nach dem Stabilisator G identifizieren: Ein f G-Automorphismus p von V bildet den dichten Orbit Gf auf sich ab und ist eindeutig durch das Bild p(f)=gf fur ein gE G festgelegt. Wir betrachten nun die Menge aller der gE G , fur die es einen Automorphismus P von 9 braische Untergruppe von

mit p (f)=gf gibt. Dies ist eine alge9 G, die wir in Abhangigkeit von der Auswahl

des Reprasentanten f mit bezeichnen. Die Automorphismengruppe AutnT) ist das homomorphe Bild von unter der Zuordnung 9 Pg' Der Kern dieses Homomorphismus ist gerade der Stabilisator Gf von f. Wahlt man den Reprasentanten f im ausgezeichneten B-Orbit, so ist die Gruppe eine Untergruppe der Borelgruppe B (2.3.2). Hat daruberhinaus der zyklische Stabilisator Gf

von

f

die Ordnung

und ist in dem Torus

T

enthalten, so ist

sogar eine Untergruppe von T. Die normalen quasihomogenen affinen G-Varietaten vom Typ 3b) oder 3c) haben als Automorphismengruppe die volle Gruppe B bzw. B/{l,-l}, falls die Stabilisatorordnung falls

m=1

bzw. m=2 ist, und die Automorphismengruppe T/G f , ist (3.4.6). Fur den Spezialfall m=1 ist die Automor-

phismengruppe auch von Kraft [K] bestimmt worden. 1m nicht-normalen Fall dagegen kann die Automorphismengruppe echt kleiner und insbesondere endlich werden. Dies ist zum Beispiel dann der Fall, wenn mindestens zwei exzeptionelle T-Orbitabschlusse im AbschluB des ausgezeichneten B-Orbits (2.3.4).

8

U-Invarianten

6.

Wir betrachten nun den Ring einer quasihomogenen G-Varietat

V.

der regularen Funktionen auf Dabei ist

eine

und insbesondere ein halbeinfacher G-Modul. Sei

U eine maximale uni0(V)U wird der Ring der U-invarianV(d.h. der Ring aller regularen Funktionen F mit

potente Untergruppe von ten Funktionen auf F=uF

G. Mit

fur alle u E U) bezeichnet. Dann wird erzeugt. Der U-Invariantenring

(?(v)U

kenswerte Eigenschaften: 1)

(Grosshans [Gr] und Hadziev [Ha2]): (J(V)U

ist eine endlich erzeugte

und 2)

ist genau dann normal, wenn sentanten von

(J(V)U

0(G)U

f

(J(V)U

sen im folgenden

CJ(V)U

Af

auf. Insbesondere ist

(Luna und Vust [V]):

CJ(V)

normal ist. Die Wahl eines Repra-

fur den dichten G-Orbit von in den U-Invariantenring

mit dem Polynomring

(J(V) als G-Modul von hat folgende bemer-

(J(G)U

V fixiert eine Einbettung der Gruppe

identifiziert

immer als eine Unteralgebra

G. Dabei wird

(3.2.1). Wir fas-

A

f eine homogene Unteralgebra von

von

0(G)U

(3.2.5). Die U-Invariantenringe der normalen dreidimensionalen quasihomogenen affinen G-Varietaten sind von Kraft [K] bestimmt worden. In dieser Arbeit werden die U-Invariantenringe spezieller nicht-normaler dreidimensionaler G-Orbitabschllisse, namlich der Orbitabschlusse binarer Formen (0 < k s [n;1J ), bestimmt. Mit alten Methoden der Invariantentheorie konstruieren wir gewisse U-Invarianten binarer Formen explizit (3.5.3). Auf den OrbitabschluB eines Gewichtsvektors

eingeschrankt, reichen sie zur Erzeugung des

U-Invariantenringes

Af

aus (4.1.4). Die Kenntnis dieser expliziten

Erzeugendensysteme erm6glicht weitere Resultate uber die U-Invariantenringe nicht-normaler quasihomogener dreidimensionaler affiner G-Varietaten mit unendlicher Automorphismengruppe.

7.

Quasihomogene affine G-Varietaten mit unendlicher Automorphismengruppe Sei

V=Gf

eine G-Varietat mit unendlicher Automorphismengruppe.

Dann kann der Reprasentant f im ausgezeichneten B-Orbit so gewahlt werden, daB der U-Invariantenring A ein TxT-Untermodul von f bzgl. der T-Rechts-und Linksoperation ist (4.3.1). Daher ist als die direkte SUITme von TxT-Gewichtsraumen. Jeder TxT-Gewichtsraum ist von der Form Unter der Zuord-

9

nung

X1yk

(l+k,k) entspricht dem U-Invariantenring

Af eineindeutig

NxN, die wir die Gewichtehalbgruppe von U laBt

eine Unterhalbgruppe von

nennen.Flir die Orbitabschllisse von Gewichtsvektoren

sich aus der Kenntnis der U-Invariantenringe sofort die Gewichtehalbgruppe bestimmen. Wir zeigen dann, daB jede quasihomogene affine G-Varietat mit unendlicher Automorphismengruppe isomorph zu einem OrbitabschluB

GfcV=R

n

$ ••• $

1

R

n

ist, wobei die Projektion von r

jeden einfachen Summanden von

f

auf

Vein Gewichtsvektor ist. Wir erhalten

damit einige Eigenschaften der Gewichtehalbgruppen quasihomogener affiner G-Varietaten mit unendlicher Automorphismengruppe (4.3.4 und 4.3.5) .

Im Kapitel 1 dieser Arbeit werden grundlegende Resultate liber quasihomogene affine G-Varietaten und die Darstellungstheorie von

G

zu-

sammengestellt. Das zweite Kapitel behandelt das Isomorphieproblem und enthalt die Konstruktion der unendlichen Familien paarweise nichtisomorpher Orbitabschllisse.

Das dritte

beschaftigt sich mit

den U-Invariantenringen von G-Varietaten. Im vierten Kapitel werden die U-Invariantenringe spezieller nicht-normaler G-Orbitabschllisse und ihre Gewichtehalbgruppen bestimmt. Das flinfte Kapitel enthalt weitere Beispiele von Orbitabschllissen in einfachen G-Moduln.

Ich danke W. Borho und H. Kraft fur die Anregung zu dieser Arbeit und viele weiterfuhrende Gesprache. Insbesondere danke ich dem ersten fur zahlreiche Diskussionen und wertvolle Hinweise und dem zweiten fur Korrekturen und Verbesserungsvorschlage.

10

O.

Notationen Mit

G

bezeiehnen wir die Gruppe

2x2-Matrizen

so daB

ad-be=1

Sl(2,C)

aller komplexen

ist. Weiter werden wir folgende

Symbole fUr spezielle Untergruppen von

G

benutzen:

B

ist die Borelgruppe der oberen Dreiecksmatrizen mit aE CX=ll:'{O}, bE ([.

U

ist die unipotente Untergruppe der Matrizen

B+

ist die Borelgruppe der unteren Dreieeksmatrizen

u+

ist die unipotente untergruppe der Matrizen

T

ist die Untergruppe der Diagonalmatrizen

N(T)

ist der Normalisator von

T

in

Matrizen

[6

.

.

G, bestehend aus den r E ll:x.

'

ist die zyklisehe Untergruppe der Matrizen

so daB ist.

ist das semidirekte Produkt Die Untergruppen

B+

und

U-

werden wir auch kurz

B

und

U

nennen.

Mit Rn bezeichnen wir den komplexen Vektorraum aller binaren n-Formen mit komplexen Koeffizienten. FUr eine spezielle solche Form benutzen wir die Bezeichnung f = f (X , Y)

n " rn'Xn-jy j "ex, 'J' ) j=O J

als Polynom in

X

und

Y. Die Gruppe

dureh:

G

operiert auf

Rn

linear

f(X,Y)=f(aX+bY,eX+dY). Manehmal werden wir eine binare Form aueh in anderer Weise schreiben. Jedes Polynom in

ll:[X,Y]

besitzt eine eindeutige Primfaktorzerlegung.

Dabei sind die homogenen Primelemente Linearfaktoren. Jede von Null

11

verschiedene binare Form als f(X,Y)

1

n

i=1

(y.X+O.Y) 1

1

f s, 1

aus

mit

R n

besitzt daher eine Darstellung 1 L

i=1

s.=n. 1

und paarweise verschiedenen, linear unabhangigen Linearfaktoren (Yix+oiY). Dabei sind die Vielfachheiten

si

der Linearfaktoren in-

variant unter der oben definierten G­Aktion auf

R n•

12

1.

Zusammenstellung bekannter Tatsachen uber quasihomogene affine G-Varietaten und Darstellungstheorie von

G.

In diesem Kapitel sollen die in dieser Arbeit benutzten grundlegenden Tatsachen uber quasihomogene affine G-Varietaten und einige Resultate aus der Darstellungstheorie von

G

zusammengestellt werden.

FUr die Beweise sowie eine ausfuhrliche Darstellung der Hintergrunde verweisen wir auf die Arbeit von Popov [P1] und das Buch von Kraft (K], die darstellungstheoretischen Grundlagen findet man insbesondere in dem Buch von Humphreys [H1]. In dieser Arbeit nehmen wir der Bequemlichkeit halber als Grundkorper immer den Korper der komplexen Zahlen, (obwohl die wesentlichen Betrachtungen auch Uber einem beliebigen algebraisch abgeschlossenen Korper der Charakteristik

1.1

0

gUltig bleiben) .

Quasihomogene affine G-Varietaten Wir betrachten die Gruppe

als lineare algebraische

Gruppe. Unter einer (affinen) G-Varietat verstehen wir eine (affine) algebraische Varietat

mit einer regularen G-Aktion, d.h. es gibt

eine regulare Abbildung p: G x V+

V

mit

lof1 011 J

(i)

p(e,v) = v

fUr aIle

vE U und

e =

(ii)

p(gh,v) = p(g,p(h,v»

fUr alle

vE'(J und

Statt

p(g,v)

schreiben wir im folgenden kurz

g,hEG. gv.

In dieser Arbeit werden ausschlieBlich affine G-Varietaten betrachtet. Wir werden dies deshalb nicht immer ausdrUcklich erwahnen. Topologische Termini, wie "offen", "abgeschlossen", "AbschluB" etc. beziehen sich grundsatzlich auf die Zariski-Topologie, sofern nicht ausdrUcklich etwas anderes gesagt wird. Sei

V

eine G-Varietat. FUr ein

Gv:={gvl gEG}

vE 7J bezeichnen wir die Menge

als den G-Orbit oder kurz Orbit von

v, und

13

GV:={gEG I gV=V}

nennen wir den Stabilisator von

v

bezeichnen wir den (Zariski-)AbschluB des Orbits

1 .1 .1

in

G. Mit

Gv

Gv.

Definition: Eine G-Varietat heiBt quasihomogen, falls sie einen dichten

G-Orbit enthalt (d.h. gleich dem AbschluB eines G-Orbits ist).

Ein G-Orbit hat folgende Eigenschaften: 1.1.2 Satz: (i)

Der Orbit

(ii)

GV

Gv

ist offen in seinem AbschluB

Gv.

enthalt genau einen abgeschlossenen G-Orbit.

(iii) Der Zariski-AbschluB

Gv

stimmt mit dem AbschluB von

der ublichen Topologie auf

Gv

in

uberein.

Einen Beweis dieses Satzes findet man in dem Buch von Kraft [K], Kap. II, 2.2 fur die Aussage (i), Kap. II, 3.3 Satz 3 fur (ii), weil eine linear reduktive Gruppe ist (vgl. 1.2.1), und Anhang I, 7.2 fur (iii).

tr und

Seien

Vi

zwei G-Varietaten. Unter einem G-aquivarianten

Morphismus oder kurz G-Morphismus

q,

von

V nach

einen M6rphismus (d.h. eine regulare Abbildung) schaft, daB ist ein

1.1.3

q, (gv)=gq, (v)

ist fur aIle

auf dem

G

v

q,

V' verstehen wir mit der Eigen-

V. Ein G-Modul

aus

V

linear

Satz: Fur jede (affine) G-Varietat gibt es eine G-aquivariante Ein-

bettung in einen endlich-dimensionalen G-Modul. Der Beweis dieses Satzes ist nicht schwierig, Kap. II, 2.4 Satz 2).

(siehe zum Beispiel [KJ,

Wir werden in dieser Arbeit G-Varietaten meistens nur bis auf G-Isomorphie untersuchen. Dann ist das Studium quasihomogener affiner G-Varietaten also aquivalent zum Studium von Orbitabschlussen in endlich-dimensionalen G-Moduln.

14

Aile hier aufgefuhrten Begriffe und Satze gelten allgemein fUr eine beliebige lineare algebraische Gruppe mit Ausnahme von Satz 1.1.2 (ii), wofur zusatzlich

G

linear reduktiv vorausgesetzt werden muB (siehe

unten). Wir werden dies spater in Kapitel 2 fUr spezielle Untergruppen von

G

1.2

benutzen.

Endlich-dimensionale G-Moduln In diesem Abschnitt sollen einige Resultate uber die Struktur

endlich-dimensionaler G-Moduln aufgefUhrt werden. Wir erinnern zunachst daran, daB eine algebraische Gruppe

H

linear reduktiv heiBt,

wenn jeder endlich-dimensionale H-Modul halbeinfach (d.h. direkte Summe einfacher H-Moduln) ist. Fur die Gruppe

gilt:

1.2.1 Satz: G

ist eine linear reduktive Gruppe.

Fur den Beweis verweisen wir auf das Buch von Kraft [K], Anhang 11,5 • Bevor wir die einfachen G-Moduln bestimmen, wollen wir einige Notationen zur Darstellungstheorie festlegen. Wir wahlen als Borelgruppe die in Abschnitt zen in

G

0

eingefUhrte Untergruppe

und als Torus die Gruppe

Die Gruppe

B

der unteren Dreiecksmatri-

der Diagonalmatrizen in

hat ein Wurzelsystem vom Typ

zu der Wahl von

B

und

T

gehorige Basiswurzel. Mit

wir das Fundamentalgewicht zu homomorphismus von

T

aus

bilden eine von

. Dabei ist

a

s

s

T

den Wert

T

G.

A Sei a die 1. s bezeichnen

der regulare Gruppen-

in die multiplikative Gruppe von

Element G

T

der einern

zuordnet. Die Gewichte von

erzeugte Gruppe isomorph zu

7, die wir wie

allgemein ublich additiv schreiben werden. AIle Gewichte sind also von der Form

ns

mit

n

aus

die dominanten Gewichte von dul

t

v aus

und ein Gewicht T}. Die Gewichte

7. Dabei sind die Gewichte

setzen wir

mit

n

0

T

V ={vEV

I

fur aile

von der Null verschieden ist,

fUr die

bezeichnen wir als Gewichte von den Gewichtsraum zu

ns

G. Fur einen endlich-dimensionalen G-Mo-

in

V

nennen wir dann

Die von Null verschiedenen Elemente von

heiBen auch Gewichtsvektoren zum Gewicht

V

15

Aus der Darstellungstheorie halbeinfacher linearer algebraischer Gruppen ist wohlbekannt, daB jeder einfache G-Modul

T

B-stabile Gerade enthalt. Da

diese B-stabile Gerade ein Gewichtsraum

u

V

eine Untergruppe von V

genau eine B

ist, ist

Das zugeh6rige Gewicht

u' ist dominant und heiSt das h6chste Gewicht von

V. Ein fundamenta-

ler Satz aus der Darstellungstheorie halbeinfacher linearer algebraischer Gruppen besagt nun, daB es zu jedem dominanten Gewicht G

von

u

bis auf Isomorphie genau einen einfachen G-Modul gibt.

Damit k6nnen wir nun die einfachen G-Moduln bestimmen. FUr ein beliebiges n 0 ist der Raum R mit der in Abschnitt 0 beschrieben nen G-Aktion offensichtlich ein G-Modul der Dimension n+1. Die einzige B-stabile Gerade darin ist der Unterraum

Da jeder einfache

G-Modul genau eine B-stabile Gerade enthalt, folgt mit Satz 1.2.1, n daB R ein einfacher G-Modul ist. Wegen Xn=TnX ist das n h6chste Gewicht von R gleich nE. Damit ergibt sich der folgende n Satz.

1.2.2

Satz:

flir ein

Jeder einfache G-Modul ist isomorph zu einem passendes

nEIN.

Wir werden daher im folgenden ohne Einschrankung einen endlich-dimensionalen G-Modul

V

immer als eine direkte Summe

fur geeignete

Ais nachstes sollen die Gewichtsraume von den. Wir wahlen in R n Xn Xn- 1y rn ) x n - 2y 2 , n

,

\2

T

in

r ••• ,

Gewichtsraum

V

{n-2i)E

=

V = R

n

betrachtet wer-

Dann ist

V

T

2i

(n-2i) E , denn es ist

Lemma: Sei

r

(nl 2- x2 yn-2 , nxyn-1, yn .

Damit erhalten wir das folgende Lemma:

1.2.3

Rn

Rn

die Basis

Offensichtlich ist der Raum zum Gewicht

$ ••. ®

annehmen.

n

mit

in R n Xn-i yi

16

1.2.4

Notation:

Fur einen endlich-dimensionalen G-Modul V bezeichnen wir mit die Summe aller Gewichtsraume V in V mit r ;;> 0 und entrs sprechend mit V die Summe aller Gewichtsraume V mit r :': O. rs

V+

1.2.5

Beispiel: Fur

o :':

i i

V=R ist V+ die direkte Summe der CXn-iyi mit n , und V- ist die direkte Summe der a:xn-iyi mit :': n.

1.2.6 AbschlieBend wollen wir kurz auf den Zusammenhang zwischen den Moduln einer linearen algebraischen Gruppe und ihrer Liealgebra eingehen. Sei Heine lineare algebraische Gruppe und h ihre Liealgebra. Jeder H-Modul V ist dann in wohlbekannter Weise auch ein h-Modul (vgl. [K], Kap. II, 2.3 oder [H1] 13.2) .Wir bezeichnen mit VH={vEV I hv=v fur aile hEH} den H-Untermodul der "H-Invarianten" von V, und mit I hv=O fur aIle den h-Untermodul der "h-Invarianten" von V. Bekanntlich ist fur eine zusammenhangende Gruppe H ein Unterraum W von V genau dann H-stabil, wenn ist fur aile hEh. Insbesondere ist dann vH= (vgl. [K], Kap. II, 2.50der [H1], 13.2). Wir werden dies spater fur die Gruppe G sowie die Untergruppen B, U und T benutzen.

1.3

Das Hilbert-Kriterium

Ein wichtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung quasihomogener G-Varietaten, die mehr als nur einen Orbit enthalten, ist das HilbertKriterium. Wir wollen hier eine verallgemeinerte Form dieses Kriteriums angeben. Unter einer 1-Parametergruppe A in G vialen regularen Gruppenhomomorphismus

verstehen wir einen nicht-triA der multiplikativen Gruppe

17

in die Gruppe ,

in

G. FUr jedes

,EC x

bezeichne

das Bild von

A(,)

G. Wir erinnern noch einmal daran, daB jede quasihomogene

affine G-Varietat genau einen abgeschlossenen G-Orbit enthalt (1.1.2).

1.3.1

Satz:

(verallgemeinertes Hilbert-Kriterium)

?J eine quasihomogene affine G-Varietat und

Sei

abgeschlossene Orbit in von

Dann gibt es zu jedem

eine 1-Parameteruntergruppe

(J

daB der Limes

1.3.2

V.

limo ,+ A(,)V

G

A

V

und ein

(existiert und) gleich

l.J'4 U

im dichten Orbit w

in

W, so

wist.

Bemerkung: Der obige Satz gilt allgemein fur linear reduktive algebraische

Gruppen. Er wurde zuerst bewiesen fur den Fall, daB der abgeschlossene Orbit

ein Fixpunkt ist, und zwar 1893 von Hilbert [Hi] fUr oder

und 1965 von Mumford [M]

fUr eine beliebige

reduktive Gruppe. Die Verallgemeinerung auf einen abgeschlossenen Orbit

?J wurde 1971 von Birkes [Bi] bewiesen.

In dem hier vorliegenden Fall

ergibt sich aus dem (verall-

gemeinerten) Hilbert-Kriterium auch:

1.3.3

Lemma: Seien

7J und 7J wie in Satz 1.3.1. Dann gibt es einen Repra7J und ein w 7..J, so daB

sentanten v im dichten Orbit von lim [, 01 -1 v=w ist. ,+0 0

Der Beweis ergibt sich aus Satz 1.3.1 und der Tatsache, daB das Bild jeder 1-Parameteruntergruppe

A

von

G

in einem (zu

T

konjugierten)

Torus enthalten ist. Fur genauere AusfUhrungen sei auf die Arbeit von Popov [Pl] verwiesen. Wir werden in den nachfolgenden Untersuchungen eine quasihomogene G-Varietat meistens als G-OrbitabschluB in einem endlich-dimensionalen G-Modul

V

auffassen (vgl. 1.1.3). Dann kann man aus dem Lemma weiter-

hin folgendes schlieBen.

18

1.3.4

Folgerung: Ein G-OrbitabschluB in

V, der mehr als einen G-Orbit enthalt,

besitzt einen Reprasentanten fUr den dichten Orbit in aller Gewichtsraume

V r£

von

V

mit

r

v+, der Summe

O.

Beweis: Sei

f

in

V. Da

T

diagonal auf

V

operiert, laBt sich

f

als

Linearkombination von Gewichtsvektoren schreiben. Offensichtlich exis0T1] -1 f genau dann, wenn die Summanden von f tiert der Limes lim T70 aIle Gewichtsvektoren zu positiven Gewichten r£ mit r 0 sind,

rT to

also in terium.

1.4

V+

liegen. Damit folgt die Behauptung aus dem Hilbert-Kri-

Eine Typeneinteilung von Popov Wir wollen hier die quasihomogenen affinen G-Varietaten nach der

Zahl der darin enthaltenen Orbiten und deren Dimension in verschiedene Typen einteilen. Wir betrachten eine quasihomogene affine G-Varietat wie in 1.1.3 beschrieben als G-OrbitabschluB in einem endlich-dimensionalen G-Modul V. Sei

f

ein Reprasentant flir den dichten Orbit in

gleich dem AbschluB

Gf

des Orbits

und der Struktur des Randes

Gf-Gf

V, also

?J

Gf. Nach der Dimension von unterscheiden wir sechs Typen,

die wir in der folgenden Tabelle auflisten. Zusatzlich geben wir noch den Stabilisator

G von f (bis auf Konjugation in G) an. Wir bef nutzen dabei die in Kapitel 0 eingeflihrten Bezeichnungen.

1. 4.1

Satz:

(Popov [P1])

Jede quasihomogene affine G-Varietat ist von genau einem der folgenden sechs Typen:

19

T

p

dim Gf

G f

Gf Gf

0

0

2a)

2

0

T oder N(T)

b)

2

{oj

u m fur ein

3a)

3

0

b)

3

Typ 2a)

Zm fur ein m

c)

3

Typ 2b)

Z

G

m

eine endliche untergruppe von G

m

fur ein m

Zur Erlauterung der Tabelle wollen wir einige Bemerkungen machen. 1) Eine quasihomogene G-Varietat ist hochstens dreidimensional, da

G

dreidimensional ist. 2) Jede zweidimensionale Untergruppe von konjugiert. Da

G/

isomorph zum

G i s t zur Borelgruppe

B

ist, kann es keine eindimen-

B sionalen affinen quasihomogenen G-Varietaten geben.

3)

Zum Typ 3a): Jede endliche Untergruppe von einer zyklischen Gruppe gruppe

T, Oktaedergruppe

ist konjugiert zu

Zm' einer Diedergruppe 0

Om' der Tetraeder-

oder Ikosaedergruppe

Beispiel in dem Buch von Springer [Sp] 4)

G

I

wie sie zum

beschrieben sind.

Zum Typ 3c): Insbesondere ist der Rand

Gf'Gf

des dichten Orbits

in diesem Fall irreduzibel und daher der AbschluB eines einzigen zweidimensionalen Orbits. Dies ist vielleicht eines der bemerkenswertesten Resultate von Popov - und nicht ganz leicht zu beweisen. Fur Beweise zum obigen Satz verweisen wir im ubrigen auf die Originalarbeit von Popov [P1] , oder auch auf das Buch von Kraft [K]. AbschlieBend wollen wir noch die G-Orbitabschlusse vom Typ 2a), 2b), 3b) und 3c) durch Wahl eines Reprasentanten

f

fur den dichten G-Orbit

charakterisieren. Da ein G-Orbit vom Typ 2a) einen T-stabilen (d.h. Nullgewichts-) Vektor enthalt, kann (als Konsequenz aus dem Hilbert-Kriterium) ein Reprasentant fur den dichten G-Orbit in allen vier Fallen in

v+

gewahlt werden (vgl. 1.3.4). Sei

schreiben wir f=f 1+ •.• +f r mit fiER n. l tet die Wahl von f in v+, daB jedes

fur

V=Rn

1

.•.

• Dann

s i s r. Dabei bedeuvon folgender Form ist:

20

n, zl. j=O

C1

'i J

n.-j j (n.) l. Y J'1. x

mit

1.4.2

Satz:

fur alle

(Popov)

Ein G-OrbitabsehluB

VcV

ist genau dann vom Typ 2a), 2b), 3b) ,

bzw. 3e), wenn es einen Reprasentanten

f=f

ten Orbit gibt von folgender Gestalt: Typ 2a)

m. m. f.=y.X l.y 1. 1.

1.

1+

... +f

fur den dieh-

rEV+

::: i

(1

mindestens ein

i.

mindestens ein

i.

Typ 2b)

Typ 3b)

k. n.-j j "l. I.. C1 . .(n.) . 1. X l. Y j=O J1. J und fur mindestens ein

i ::: r) ,

mit i

ist

AuBerdem hat mindestens ein

f

und v

(1::: v


0

l.

( 1 ::: i ::: r) und

I

k l.. i F O.

C1

Fur den Beweis und weitergehende Resultate verweisen wir auf die Arbeiten [P1] und [P2] von Popov. Fur jedes von Null versehiedene von

f

i

als die gr6Bte Zahl k.

I:l. a .. j=O J 1. J

f definieren wir den "Y-Grad" i mit C1 j i F O und sehreiben:

j

n,-j j

l.

Y

mit

21

1.4.3

Definition:

FUr die G-OrbitabschlUsse vom Typ 3b) oder 3c) heiBt die Zahl k· h:= max{k i I 1 SiS r}, wobei fUr f.={O} als Null definiert n n. i

ist, die Hohe der G-Varietat

V=Gf.

Der Begriff der Hohe wurde von Popov [Pl] eingefUhrt und ist eine

(7. Dabei haben die Varietaten vom Typ

G-Isomorphie-Invariante fUr 3b) die Hohe tionale Zahl

und die Varietaten vom Typ 3c) als Hohe eine rah

mit

0


(r+2)m. Daher hat jede Familie

meter. FUr die Elemente einer Familie

Jr h m,

um>n

Jr h genau m, gilt nun:

r+1

Para-

44

f E J'r

(i)

hat den Stabilisator

m,h

FUr jedes

(ii)

f E j:'r

hat die Varietat

m,h

V=Gf

s

die Hohe

h=I'

Beweis: (i) Sei fE und q die Ordnung des Stabilisators G von f f m,h in G. Wegen a ist der Stabilisator G gleich Zq (vgl. 2.3.6). k_ 1=0 f Wir betrachten zuerst den Fall, daB m gerade ist. Nach Konstruktion ist n-2k+vm (0 v S r+2) durch m teilbar. Daher ist fUr jedes Z=

[6

EZ m z-1 f=

und jedes

fE

a. j=O J J

f

.

Der Stabilisator enthalt also die Gruppe Zm (d.h. m teilt q). Aus ak_mjiO und ak-3m/2jiO folgt nun, daB die Stabilisatorordnung q die Zahlen

n-2k+2m

FUr ungerades

m

und

n-2k+3m teilt und daher gleich

sind aile

n-2k+2vm

(0

S

v

r+2)

mist. ebenfalls durch

m teilbar. Somit ist Zm eine Untergruppe des Stabilisators Zq' Da die Stabilisatorordnung q auBerdern rn und n-2k teilt, die Zahlen und m nach Voraussetzung aber teilerfremd sind, ist q gleich

m. (ii)

ist klar, da nach Konstruktion

f

und

f'

in

h

k n

s

1 ist.

o

r Tm,h' dann gilt:

(i)

m

gerade, so sind Gf und Gf' genau dann isomorph, wenn tET und ein HlC x gibt, so daB ;\f=tf'

(ii)

m

ungerade,

und

genau dann isomorph, wenn es ein Af=tf' ist.

tET

Gf AE

n­2j < n­2k+(r+2)m


k i s t . Damit ist

offensichtlich in der von

AC

und

den Monomen AV (vEr ) erzeugten Unteralgebra von enthalten. f Da fur jede U-invariante Funktion F in die Bilder (F) und

ff(F)

in

ubereinstimmen (3.2.11), ist enthalten. Wir zeigen nun, daB

n

Af

Jl

V

f

(eRn)U) die Funktionen

AC

und

(vEl ) enthalt und damit gleich der von diesen Funktionen erzeugf ten Unteralgebra von ist.

A

Wir betrachten zunachst die folgenden U-invarianten Funktionen auf Seien

(1 s j s k-1)

wie in 3.5.3 beschrieben mit

Ferner sei fur gerades

j

(1 S j S k-2)

n=2k

und

k

ungerade.

Rn :

96

)1= O

(_1»)1 (3) (2k-2j+2-)1) I )1 (2k-2j+2)I

Nach Konstruktion ist

sjk

eine U-invariante Funktion auf

Fur die Berechnung der Bilder nutzen wir, daB

y

auf

Rn

(3.5.1).

(Q,),

2r (lI=diagonale). Rappelons 1a definition algebrique des groupes Fuchsiens [10 ] . Un groupe Fest Fuchsien s'i1 admet une presentation de 1a forme (3.1 )

avec les relations 1

112

r

1

1

mi

signature de F et que X=2g-2+s+I(1- --) est la mesure de cette signature. Le groupe Fest dit de type hyperbolique. elliptique ou parabolique selon que X>O. X=O ou X Pour r=3 ce sont les groupes triangulaires de Schwarz. Dans l'article de Milnor [ll] on trouvera une belle etude de groupes en liaison avec les surfaces de Brieskorn Si on revient aux surfaces qui possedent une on a le resultat suivant : Theoreme (3.2) 1 - Soit S une surface et p:S C une [-fibration; on suppose que C est une courbe complete de genre g privee de s points et que par fibres multiples de multiplicites mI.··· .m r. Alors le groupe

est un groupe Fuchsien de signature

(g.s ; ml, ... ,mr). 2 - Pour toute signature. done pour tout groupe Fuchsien F, il existe une surface affine S munie d'une [-fibration telle que 1T I ( S) =F. Quelques indications sur la demonstration; Pour les details voir [31 et [8 J. Soit C un diviseur irreductible sur une va r i e t.e S (dim et x un point general de C. Supposons que (Zp ...• zn) est un systeme de coordonnees locales en x. et zl=O est une equation locale de C. Soit .•. =zn=O} un s ous espace transverse a C en x. Si y est un petit lacet autour de l'origine de Ii. 1 'image de y dans est determinee a conjugaison pres; c'est le lacet evanescent de C. Maintenant si S=$-O est la surface du theoreme. et C une courbe irreductible lisse sur S transverse a O. on note que l'homomorphisme (5-0 - C) - + TIl (5-0) est s ur j ec t i f et son noyau est engendre par le lacet evanescent de C. On conclut en utilisant le theoreme de Seifert-Van Kampen.

113

(3.3) Procedons en sens inverse maintenant. On considere un sous-groupe discret r du groupe P5L(2, R). 5i r est un groupe de type fini, il est connu (c'est 13 un resultat fondamental de Fricke et Poincare) que r est un groupe Fuchsien. Nous deduirons de notre etude une nouvelle demonstration de ce theoreme qui n'utilise pas la geometrie hyperbo1ique. On sait que r opere sur le demi plan H : Im(z»O par z de te11e sorte que 1e quotient H/r soit une surface de Riemann (ouverte). L'application H + H/r est en general un revetement ramifie suite 3 1a presence d'elements elliptiques dans f. Si Z EH a un sous-groupe d'isotropie r z non trivial. il est connu que r z est cyclique fini. Pour uniformiser 1es surfaces du theoreme (3.2), il est ne ce s s a i r e de construire des surfaces (non a l qe br t que s )! cette constructfun se fait au moyen de deux operations : (a) Si 0 est 1e disque unite, reco1lement de m exemp1aires de Dx[ par des identifications convenab1es de O*x[ (b) Quotient du resu1tat de (a) par une action sans point fi xe de 11m7' (a) suivi de (b) donne que1que chose de la forme p : S =

U

Dil- x ([

Dx It I

I 1-------7 D

/jz

ml

On observera que l'action de 7/ m7 sur les m composantes de 1a fibre au-desus de z=O est transitive (dans LJ D x It), et que 5 possede une fibre singu1iere connexe de multiplicite m. On peut poser la definition suivante

[3

J:

(3.4) Soit S une surface analytique et e:S +·C une morphisme sur une surface de Riemann (ouverte). On dira que pest une ([-fibration si pour tout XEC, il existe un petit disque 0 de centre x, tel que p-l(D)-+ 0 soit une surface obtenue par 1es construction a et b qui precedent. Alors en dehors d'un ensemble discret de C, 5 + C est une fibration localement trivia1e, comme i1 resu1te du theoreme de Benkhe-5tein. Le theoreme (3.2) admet la generalisati on sui vante [3 ] .

114

(3.5) 50it 5 une surface analytique fibree au-dessus d'une surface de Riemann (ouverte); alors 1- Tout revetement etale de 5 (fini ou non) est une surface du meme type. 2est un groupe Fuchsien ou un produit libre de groupes cycliques. On peut utiliser (3.5) pour donner une demonstration tres naturelle de theoremes conn us de Hoare-Karrass et 501 ita r [4 J . Revenons a un sous-groupe discret r CPSL{2,R). Si r agit sans point fixe sur H, i.e. est un groupe de surface, alors r=TI 1{Hlr). La construction qui suit montre que l'on peut traiter de la meme maniere un groupe discret arbitraire, pourvu que 1 'on remplace H par une surface analytique reglee simplement connexe dans le sens precedent. Pour les details voir [3 J. Brievement : soit un facteur d'automorphie pour r, par exemple jo{z) =

Alors r agit sur le produit Hx[ par o(z,t)={oz,jo{z)t).

Les points fixes de r sur Hx[ sont les (z,O) OU zG H est un point fixe de r ; en particulier le stabilisateur r z est fini cyclique. Soit (z=z1'z2' .... ) l'orbite de Z; on peut trouver un petit voisinage 11 de z tel que 06 (\6 ¢ 6=:Y o z s z, et alors 011=6. Posons 11.=0.(6), OU a , est tel que 0.{zl=z.(j=1.2, .... ); on a I1J\l1 k=¢ J J J J) J si Uk. Si t a:, t#O, le stabilisateur de (Zj,t) est trivial et si r z designe le stabilisateur de z., l'orbite de (z.,t) sous j

r z J. est de cardinal

[r

I.

L

J

On c ons t de r-e la surface ti.x[

Zj J resultat de l'eclatement des points de cette orbite et Wj cette surface pr ivee de la transformee propre de Zj x It. 11 n'est pas difficile de donner un sens a W = (H

x

a:\{(z."O)})Uw. " J J 1\

,1\

Ce do ub1e i ndice pro ve nan t du fa i t que Z( = Zl) par c 0 ur t 1 'en s em b1e des points fixes de r sur H. On deduit de cette construction le resultat suivant

115

et r

TI

(3.6) ( w/ r). 1

w/r

est une surface analytique reglee sur H/r

(3.7) Indiquons comment on peut appliquer les resultats qui precedent aux groupes Fuchsiens. Considerons un sous-groupe discret r de P5L(2. R). La construction precedente montre que rest le groupe fondamental d'une surface analytique fibree en droites sur une certaine surface de Riemann. L'assertion (3.5) nous permet de dire que rest soit un produit libre de groupes cycliques, soit s'il est de type fini, un groupe Fuchsien. C'est 13 un resultat classique de Poincare sur la presentation des groupes Fuchsiens. Considerons maintenant un groupe abstrait F donne pour la presentation (3.1). Le resultat suivant est dO a Fricke Qg: On peut realiser F comme un sous-groupe discret d'automorphismes du demi plan de Poincare si X>O. du plan complexe si X=O et de la sphere 52 si XO, X=O et XO, F se comme un groupe de espece. Cela d'un de Siegel car 1e volume de H/F = y-2 dxdy est fini. H/F

1

(3.8) 11 est possible que 1 Ion puisse aborder d'autres questions sur 1es sous groupes discrets de PSL(2,R) par 1es dans ce paragraphe. Je vais simplement citer 1a d'extension de Nielsen, qui au cas hyperbolique une classique des groupes cristallographiques. Soit M une surface compacte (orientable) de genre strictement positif. Supposons gue "I(M) soit un sous-groupe d'indice fini d'un groupe G, et que K=G/ul(M) opere effectivement sur M; alors G est un groupe Fuchsien. La traduction de cet utilisant les surfaces algebriques du § 2, ferait intervenir a la fois la topologie et les groupes finis d'automorphismes de ces surfaces.

4 - Singularites guasi homogenes. Dans ce paragraphe nous allons traiter plus en l'exemp1e dans l'introduction, exemple qui a plus ou moins motive notre travail. 4.1 supposerons

Soit X une affine que nous sur le corps des complexes, d'anneau des A. 11 est bien connu que X admet une action du groupe multiplicatif si et seulement si A admet une graduation A= Ak, avec comme d'habitude Si Ak=O pour ko seul point fixe de l'action It* ; ce point est le sommet de X. On dit aussi que X(ou bien P) presente une singularite quasihomogene. Dans la suite nous supposerons que X est de dimension deux et normal. 11 en r e s ul t e que Pest l'unique point singulier de X. L'exemple le plus simple d'une telle singularite est le cone au­dessus d'une courbe propre et lisse C. Par definition l'anneau des coordonnees A est de la forme:

A = It

HO(C,L k)

k;:;o ou L est un faisceau inversible ample sur C. Nous noterons cette variete affine par X(C,L). La description alternative suivante de X(C,L) est classique. Soit F(C,L) le fibre affine de base C et de fibre type de faisceau des sections L­1(V(L) dans la terminologie de Grothendieck). La section nulle CCF(C,L) est de self­intersection negative donc peut etre contractee (algebriquement). Le resultat de cette contraction est X(C,L), P etant l'image de C. En particulier F(C,L)­C est isomorphe a X(C,L)­{P} et il en resulte que le quotient de X(C,L)_{p} par It"" est isomorphe a C. Le re su l t.a t qui suit est du a Pinkham [ 14). Il existe une generalisation due a Demazure [ 6]. Nous suivons a quelques details pres l'expose de Pinkham (loc. cit. ). Theoreme 4.2. Soit X une singularite normale de surface avec action It". 11 existe une courbe propre et lisse C', un groupe fini d'automorphismes de C' et un faisceau inversible ample G­invariant L' sur C' de telle sorte que (i) G opere librement sur X(C',L')

en dehors du sommet.

(ii) X est isomorphe au quotient de X(C',L') par G.

118

11 est utile de resumer le theoreme 4.1 par un diagramme C'

a:="

F(C',L')

Contraction de C':;> X(C',L')

1

quotient par G

\Y

C

'V'

'


X

Les fleches verticales representent le quotient par G ; en particulier Le fait important est que G opere librement en dehors du sommet P' de X(C' ,L'). On notera que F presente des singularites, mais celles­ci sont d'un type tres particulier elles sont toroidales donc se resolvent en transformant un point singulier en une chaine de courbes rationnelles. Ceci explique pourquoi le graphe dual associe a la resolution minimale du point singulier de X est une etoile; 1a courbe centrale etant isomorphe a C. 11 resulte de cette discussion que l'on a un isomorphisme induit par la contraction de 1a "section nulle" entre C et le quoti ent de {P} par 0: On pe u t donc cons i derer F comme une desingularisation partielle de X. Cette methode est due essentiellement a Orlik et Wagreich [131. Une remarque supplementaire s'impose. Dans le diagramme ci­dessus, F(C',L') est un fibre vectoriel de base C' ; cependant F qui d'une part a des singularites, est un fibre vectoriel non pas sur C (quotient de C'par G) mais sur C privee des points de ramification du revetement C' C. Dans cette situation on dit que F + C est un "fibre de Seifert singulier". Les fibres singulieres, qui sont donc au­dessus des points de ramification P.E C, sont non reduites, de la forme b ,..111 1 0 Q b.1 est 1 'in dice de rami f i cat ion au poi nt P,.. Six e F est un point (general) de cette fibre, 1e sous­groupe d'isotropie de est cyclique d'ordre b i. On a par cette x (pour l'action derniere remarque un moyen de determiner les indices de ramification b 1.. Pour la structure locale des fibrations de Seifert sin­ gulieres, leurs singu1arites, on pourra consulter 1es exposes de Dema zure [ 6 ] .

X"

,

119

o

It

It

1

It

It

=1

La generalisation que nous en vue s'applique a toutes les singularites quasi­homogenes de surfaces, contenues dans ou non. Theoreme 4.4. SoH X une singularHe normale de surface avec 0:* On a pour la dimension de Kodaira logarithmique R de

action.

s i g{C')=O

K{X

s i g{C')=l s i 9 (C'

Preuve: La demonstration n'est pas difficile ; elle resulte de suite du procede de resolution explique ci­dessus. En effet si on se reporte au diagramme qui suit le theoreme (4.2) de Pinkham, on observe que s i X'=X{C',L'), X'­{p'} est un r e ve t ement e t a l e (galoisien) de X­{P} ; donc comme K est invariant par un revetement etale, on a K{X\P)=K(X'\P'). Dans ce dernier cas on est ramene au cas conique qui est tout a fait elementaire. On procede de la maniere suivante. Soit F le fibre vectoriel sur C de faisceau des sections L­ 1 ; on compactifie F par le fibre projectif P =P Q) L). Soi en t e e t Coo 1 e sse c t ion s e vide nt e s de P, de tel 1 e s 0 r t e que F\ C=P\ (C U Coo ). Not 0 ns 1T 1 apr 0 j ec t ion can 0 ni que de P Sur C et le faisceau inversible tautologique. 11 est bien connu (et facile a verifier) que le faisceau canonique de P est

120

Alors

B'(Kp+C+C oo ) ';;'1I'*(w C) et il en r e s ul t e l'egalite

R(F\C)=K(C).

(C.Q.F.D.)

4.5. Pour utiliser le theoreme 4.4 il n'est pas necessaire de calculer le genre de C', qui est d'ailleurs difficile a determiner car on ne connait pas le degre du revetement C'+C (consulter [14J); seul importe le signe de 2g'-2. Notons Pl' .•• ,P2 les points de ramification sur C et dl' ... ,d r les indices de ramification. La formule de Riemann-Hurwitz donne r

1

i =1

i

2g'-2=N{2g-2+ L (1donc seul le signe de

1

ou N=jGj

u

i

nous interesse, et pour

determiner celui-ci nous utiliserons le resultat de Orlik et Wagreich [13J qui donne 9 en fonction des invariants de l'action En fait nous allons nous limiter au cas OU X est une surface de donne e par une equation quasi-homogene f(Zo,l1,Z2)=0, i.e. il existe des entiers qo,q1,q2 et d avec pgcd(qo,q1,q2)=1 et qo q1 q2 d f(t Zo,t ll,t l2) t f(lo,ZI,Z2)' Alors la courbe C introduite ci-dessus a pour genre (Orlik-Wagreich loco cit.) d(qo,q1) d(qo,q2) d(Ql,q2) QoQI QoQ2 Q1 Q2 +

11 n'est pas difficile de s'apercevoir que le signe de 2g'-2 et donc est donne par (on exclu 1e cas des singularites toroldales qui est d'ail1eurs trivial) si g=O K( X*)

g=O

et

et l:

L 1/Qi>1

1/Qi

g=1, q) ou

n2.

1

ou g=1 et r=O

121

4.6.

App1iquons

a

quelques exemples la methode qui precede.

On pourrait traiter 1es differents types de singularites quasi homogenes donnees par une equation f(Zo,Zl,Z2)=0 et voir comment 1a classification obtenue (se1on 1a valeur de K), s'insere dans 1a n i e r e r ch t e des singu1arites [1 J.

ll+l2+ 1 2

(a)

P3 Z3 = 0

,

,,

Soit d 1e ppcm des p,., et definissons q. par d=p.q .• Le groupe opere sur

( e t X) par t ( zl,z2,z3 ) =(ql t zl,t q2 z2,t q3) z3 .

11 est immediat qu'un point x de coordonnees (x 1,x 2 , x3) non toutes nu11es qui a un sous-groupe d'isotropie non trivial, a une de ses coordonnees (et une seu1e) nul1e. Supposons par exemple x1=0. Alors x est equivalent modulo t* a un point de la forme (0,1,Z3) avec Alors le groupe des racines . t s, c haque or b 1. t e q2i erne del opere sur 1 ' ensem b 1 e d e ces P3 po,n q2 ayant (q2,q3) elements. Donc 1e nombre)d'orbites distinctes P3(q2,q3 . , un pOlnt de chaque parmi les pOints ayant Zl=O est 2 3 orbite ayant un sous-groupe d'isotropie d'ordre (q2,q3)· On . d(ql,q3) orbites parmi les points ayant z3=0, trouve de meme q q 1 3

avec une isotropie d'ordre (ql,q2)' En uti1isant 1a formu1e du genre (4.5)

on trouve

122

1

donc le signe de 2g-2+E Ii

est egal

a celui de l-EP -1 i .

Ce qui donne le resultat donne en introduction

K(

P1,P2,P3

)=

{

-00

si

0

si

Ep:l>1 1 -1 EPi =1

I

si

Ep:Il. egal ou inferieur

1.

Supposons par exemple Si en Po:

done PI et

2+P1P2 Si p o=l. LCt..= > 1. 1 1+P1P2 eonsiderons les deux formes lineaires

2+(po-1)(P1+P2)+P1P2=L1 et po(l+P1P2)=L2· On a L1>L2

si

po=l

et L1

/ £ , ces auteurs obtiennent :

1.8

f(x)=f(O) + x t:,(f) + x(x-£)/2! t:,2(f) + x(x-£)(X-2E)/3! t:,3(f) + .•.

Taylor fait tendre

£

vers

O. Gauss interpole au voisinage de

A ={O,£,-£,2£,-2£, •.. }. Nous renvoyons

a

avec

pour de plus amples details.

[7]

Dne autre possibilite est de poser, avec les A

0

q-analogistes (cf.[ 2]) ,

2 n {z,qz,q z, ... ,q z } , auquel cas

1.9

f

a(A)

[f(z) -

I

n

l-q

f(qz) +

n n-I n-2 (I-q ) (1- q ) (l-q )

n n-I (I-q ) (I-q ) 2

(I-q) (I-q )

2

f(q z) -

3

f (q z ) + ••• ]

2 3 (l-q)(I-q )(I-q )

A est totalement ordonne. C'est

Dans tout ce qui precede, l'alphabet

a

Lagrange que 1 'on doit une interpolation plus syme t r i.que : f(a)/(a-b)(a-c) •.• (a-e) + f(b)/(b-a) (b-c) •.. (b-e) + ..•

1.10

+ fee) / (e-a)(e-b) ... (e-d)

f

a(l\)

, avec

A

{a,b,c, •.• ,d,e} .

On reconnait dans cette formule le developpement, suivant sa derniere. colonne, du determinant (1.7), puisque

c

e

n-I

n-I

/ t:,(A)

[ (a-b) (a-c) ... (a-e)]

-I

.

165

2. COMMENTAlRES 2.1

si lIon developpe

... d'apres la fOrIDule de Newton,

on peut triangulariser Ie determinant (1.7). En effet, plus generalement, soit h, g, '."

f

n+1

fonctions d'une variable. Alors

h(a)

g(a)

f(a)

h(a)

h(b)

g (b)

feb)

h d(ab) gd(ab)

f(a)

g(a)

f:..(A)

h(e)

gee)

fee)

f

comme on Ie voit en prenant pour

h,g, ... ,f

a(A)

des puissances d'une variable

(on a alors une des definitions des fonctions de Schur).

Dans Ie cas ou

h(a),g(a), ... ,f(a)

sont respectivement

I,a, ... ,a

n-I

,f(a),

la matfice de droite est triangulaire, de diagonale I,

2.2

a d(ab)' ... , 1 ; a f

d (A)

n-I

d(a ... d)' f d(A)'

est Ie residu en

Jacobi montre que si

z;O

de

, ... ,zn+l)

f(z)/(z-a) ... (z-e). Plus generalement, est un polynome en

n+1

variables,

alors l:

somme sur

2.3

On

... ,e)/f:..(a,b, ... '.e)]w ,

les permutations

wE W(A), est Ie coefficient de

verifie directement que

2.3. I. et done, d'apres la propriete de linearite (1.4) 2.3.2

(z-a)

-I

d (A) ;

(z-a)

-I

... (z-d)

-1-1 (z-e)

Cette identite permet d'engendrer des fractions rationnelles la plus simple d'entre elles, (z-a)-I.

a

partir de

166 Par exemple, I

2.3.3

(I+a)-

=

I

+ a(l+a)

-)

(I+b)

-)

+ ab(l+a)

C'est en effet le developpement de Newton de

-I

(I+b)

-I

f(O), avec

(I+c)

-I

+ ..•

I+x

f(x)

et

I-x

A = {-I, -a, -b, ... J.

2.4

La formule de Newton

Par exemple, si n 11 (E)

2.4.1

E

est un module, et

n 11 (E-a)

=

s'applique pas uniquement aux anneaux de a,b,c •.. des modules de rang

e a @ 11n-I

Toutefois, si l'on ne suppose pas que des facteurs directs dans

a, a ® b, a ® b ® c ...

a

pour tout couple de modules. Nous conservons la notation lin

soient

E, il est necessaire de se placer dans l'anneau de

Grothendieck des classes de modules pour donner un sens

induit par

I, alors :

l'expression lin

E - F

pour l'operateur

dans l'anneau de Grothendieck (il est usuellement ecrit

An).

On peut dans cet anneau demontrer une formule plus generale que 2.4.I.et

2.3.3 : Soit

E

la classe d'un module, a l,a 2,···an,··· +

...

+ a

de rang

I, A n

soit

un entier positif. Alors :

p

a

l

n

Notons

Ill,

les classes de modules

la somme formelle

L zn lin

, et

2.4.2

Cette expression peut s'interpreter comme Ie developpement de "point" x

=

L II (E- x ) , au

0, connaissant les valeurs de cette fonction aix po i.nts

A,A p p+ I""

Montrons commentla deriver de la formule de Newton. On applique cette derniere

a

la fonction

f(x)

A = {-bl' -b 2 ' ...

2.4.3

(I-x)

-I

=

(I - x)

-1

, pour l'alphabet d'interpolation

J :

+

167

Or, multipliant 2.4.2. par

xP

et sornmant par rapport

a

p, on obtient

2.4.4 Comme

I

A (E-A) n

(x+zan) au facteur

2.5

I

=A

AI(E)

=

(E) I (l+zal) .•. (I+za)

et que

n

n-I

Ii x

z

i

i A (An)' (2.2.4)

pres, et au changernent

est bien equivalente

a

(2.4.3),

b.

t.

Un autre dornaine d'application est la theorie des nombres, en choisissant

pour alphabet un ensemble "ari, t.hmet i.que " (ce dernier terme pris dans un sens t

r es flou).

Par exemple, Ramanujan enonce 2.5.1

exp(x) I

k

k

0 (-x) Iz(z+I) ... (z+k).

Comme d'apres 2.3.1, (-I)

k

[(z+O) (z+I) ..• (z+k)]

(z+O)

-I

a (A)' pour

{O, I, ..• , k}

A

la formule de Ramanujan est un cas particulier de 2.5.2

oil.

fest une fonction de

:IN

dans un groupe abe lien que l con que ,

On peut verifier directement 2.5.2

a

partir de l'expression (1.7) de

Notons que comme precedemment, on peut prendre

f

a

valeurs dans l'anneau

de Grothendieck des classes de modules (coherents) ; par exemple, si element quelconque de cet anneau, on peut poser k

est la classe do module trivial de rang

vante de 2.5.2 2.5.3

A est un

k

f(k) = A (A+k) (rappelons que

k), d'ou la forme equivalente sui-

168

qui decoule de l'identite :

3.

POLYNOMES DE SCHUBERT Revenons aux operateurs

d

' W

wE W(A). L'algebre de ces operateurs

ou

est l'algebre des decompositions reduites, i.e. on a d

3.1

v

d w

d

VW

ou

0

selon que

l(vw)

l(v) + l(w)

ou non.

Plutot que d'etudier abstraitement cette algebre, on considere les images par les

d

W

Soient

de certains polynomes.

A = {a l, ••• ,an+1} , Z

Ie groupe symetrique sur

= {zl"",zn+l}

A, dont l'element de plus grande longueur est note

Definition. Le polynome de Schubert d'indice 3.2

Le polynome de Schubert double est TI. ''';:

1.+J "" n

deux alphabets, W = W(A)

+1 (a.+z.) d 1.

J

ww

w, ou

wE W, est

w.

169

...

permutation

I GURE

POL Y NOM E S V E S C HUB E R T

3210

.... "

... ...'aCed) 3201

2310

"

1320 :a

2be+ab 2e

'" '" '" '"'" '" '" '"

"

..

2130 : a

* '" , ,, * * ,, * , * * "" * * * * 2b+a 2e+ab 2

1230:abe

0321:a

+abe+b 2e

*

....

\\,

\

... ...

•..

,

2031:a

. ....

2b+a 2e

,,

"

,,

,

a+b

0213

... ,

,,

,

... .

,

... ...

..

0123 :

/

,

,

4-

,

3012:a

•..

1203 : ab

: / "'/ ....

..

". a

" '"

1023

.

, , ...

>l-

', . x

-.

11:

* , ... * '**, . . * * * * 0132 : a+b+e

...

....

"

•

'"...

,

21C3:a 2b

", ,

• I032:a 2+ab+ae

,

".

"

... ... . .•. \

notees eomme des mots 0, I, 2, 3

2b+ab 2

\

les permutations sont

.

/V •

\

,

.

, ,,

JF.

1302 :a

...

".

•

\

\

,

..... ...

\

,,

en

:a

't

0231 :ab+ae+be

........

"

.. ..

....

\

* * * * * * *

* * , ** **.. . . . * *3b+a 3e

2be ....

* \

'*

"

..

,,

•• ..

, ,..,. ...

2013

a

2

3

170

On a done que Z

Xw(A)

est la specialisation de

%w(A,Z)

pour

{D, •.. ,D}. Par ailleurs,

3.4

%w(A,Z)

3.5

lew) - lev)

Xw(A,Z)

est un polynome homogene de degre

Les figures

2

et

x

w

po s i t i f s ; i I sont une base du

a +1 n

'

°

lew).

donnent ces polynomes pour

Les polynomes de Schubert

(A)

non

n+l

4.

sont des polynomes a coefficients

Z-module eng endr e par les mon omes

i l

n ,

°

i

Z

n-I, ... ,O

i +1 n

D (cf. 4).

En outre, les fonctions de Schur sont un cas particulier de polynomes de Schubert ; on peut etendre aces derniers les principales proprietes des fonctions de Schur. Par exemple, d'apres une celebre identite de Cauchy dont on a fait un axiome des

;\-anneaux, II (z.+a.) , I J

i,j

n+I, est une somme de produits

de fonctions de Schur d'indices complementaires. Cette propriete revient a munir l'espace des polynomes symetriques d'un produit s ca l a i r e pour lequel la base des fonct ions de Schur est o r t hono rmee ,

L'extension aux polynomes de Schubert de l'identite de Cauchy s'enonce (cf , [5]) :

3.6

X

w

(A,Z)

171

Appliquant l'operateur

d

WW

'

on en tire l(w) - l(v).

3.7

On

"interpole" entre

peut remarquer que

Xw(A)

3.8

+ ". +

xw et

X _) w

X _J(Z) w

a

les termes non ecrits etant ceux de degre non nul

.. lJ·>}("....0 let B(l) denote the matrix with entries B(i,j)q(l) ,q(l):=ql. Theorem D: Situation as above. The dimension of C := Sol given by [ C:F)

is

(1) (m-l ) ) = [ Z:K) - rank ( B -B, ... ,B -B.

The block matrix on the right has the size kx(n-k)(m-l).

D

Finally we explain the precise meaning of (E). Let a=(a(l) .. a(n»EK n be a vector with pairwise different components. Form the van der Monde matrix

f(i) ... 1

M(a) (

.

1

)

a t L) k-l ••. at n ) k-l

Its row space Row(M(a»

is an MDS-code of type (n,k) over K. Let be isometric to Row(M(a». Codes of the form C := ZnF n where is a subfield are called alternant.

(Compare [11) , p.114). A special class

of these are the Goppa codes. Let (10) K) M(I,I')(K) be the set of all those matrices BEV(K) for which the MDS-code Row(EB) is alternant. Assume

For any such B define the normalized

matrix AEQ(K) by A('

(11 )

.) . - B(i,j )B(1,k+l) .- B(i, k+l)B(l,j)

l,J

i=2, .. ,k j=k+2, .. ,n

Consider the (k-2)(n-k-2) equations (12 )

A(i,j)-l A(i,j)A(2,j)-1_ 1

A(i,j+l)-l A(i,j+l)A(2,j+l)-1_1

i=3,.,k j =k+2,. ,n-l

The main result is Theorem E: Situation as above. Assume 2xP) would appear. 0 Information theoretic interpretation (for non-specialists) The binary alphabet {O,i} happens to be a field. This is one main reason that in linear coding theory one considers a finite field F as a (machine) alphabet. In a communication channel one letter of the alphabet F is transmitted per time unit from a transmitter to a receiver. In n time units n letters, i.e. a word x=(x(i) ... x(n»EF n of length n is transmitted. Because of noise in the channel some letters are changed during the transmission so that a word yEFn, in general different from x, is received. The set Supp(y-x) {iE[n]={l,.,n};x(i)*y(i)} is the set of error positions, and d(x,y) II x-y II = :IF(Supp(y-x» is the number of errors in case x is transmitted and y is received. A code CcFn is to be considered as a set of 4!'o(a+moo ) • - - m The algebras are l.c. and local. Their unique maximal ideal is topologically nilpotent. The intersection (2) ra(A) ::: , the radical of A, is closed and consists precisely of the topologically nilpotent elements a of A (lim an::O). n If A is I.e. and local with the unique maximal ideal and if is a finite dimensional k-space then A is a complete local noetherian ring and the topology is the m-adic one. (3) Standardexample: Power series The power series algebra k[[x]] in an arbitrary family x::(xj;jEJ) of indeterminates is I.e. and local. The monomials J) xn::n{(xj)n(j);jEJ} , n::(n(j);jEJ) E

N6

are a topological basis of k[[x]], i.e. (J) k[[x]] :: n{kxn;nEIN (J) } '::_ kiNO· ,.

o

with the product topology. If J is finite then k[[x]] is noetherian and has the topology, ;jEJ>. a Coalgebras The duality (1.1) induces a duality * (4) JU. l J.Q.Q9.;l, A::G * Here denotes the category of cocommutative coalgebras Cover k, endowed with a coassociative and cocommutative comultiplication I':.C: C"'C 8 C and a counit &C: C-'k (Compare SW], Chapter I). The multiplication resp. unit of A, i.e. (5) ,l1A:k->A,a->a1A

222 induce by duality the comultiplication resp. counit of 8

(6)

C=(l1 A)

* :C=A *....

,

* :C=A * ....k* =k

=cec ,

The comultiplication 8 of C is indicated by 8: C....C 8 C, c ....xc (1) 8 c (2)

according to [ SW], Chapter 1. The duality between 8 by the formula =Ass(X)=k(X*] . . *- . -lS the monold algebra of ,l.e. the free associative algebra of polynomials in non-commuting indeterminates XEX. The monoid X* is a basis of H, Le. H=$ {kw; wE * . The coalgebra structure of H is uniquely given by (2) for X X. Let * , be the dual basis of X* ,i.e. a(w) * , ==L"yl(1) 0 . "ayi(r) 0

n

(28)

a

i

Thus the : Assumptions as above. Let y=(

(29)

y is distinguished if and only if i

\yiC 1) aY(l)

for all

;iEI) be a PS of A. Then

i

aY(r)_

(0) •.. ayl ( r) (0)-0

,i(l), .. ,i(r)EI and iEI. Here (r) ) i L".. a.. i II ( =L:y (1 ) ... Q9 Y( r )

o

(29) Example: The group Ga. Let Ga=Sp(k[[t]]) be the additive group from example (4.8). Then t is a

(G ) has the k-basis

distinguished PS of k[[t]]. The Lie algebra and Z.

is the polynomial

a

in the indeterminate

0

7. Linear representations. Let again k be an arbitrary ground field and G any formal group with covariant algebra H, contravariant algebra A and Lie

Assume

moreover that hnEH,nEN, resp. anEA,nEN, are dual bases. Let finally B be a I.e. k-space. A

operation of G on B is given by the following equivalent data:

(1) A group homomorphism or representation P:

where (2)

»-;

»(b->Xob) , i.e. a E-module structure EXB->B , (X,b)->Xob with continuous maps Xo(-). The connection between (4) and (9) is given by the formula (10) (X1 .. X )ob=X 1o(X2o .. (X ob» .. ) , X.Eg,bEB n

n

l

-

Let then y=(yi;iEI) be a PS of A, and pose dyl

for the de-

rived basis of g. Then A can be written as (11) A B->B [y]] =B [ [y]] , b->L{D (b )yn ;nE 1)} n Then (7) implies Z.ob=:LD (b)=D , iEI,bEB l n l e (.)(b) l where &(i)=(0 .. 010 .. 0), 1 at i-th place. Hence Ziob is the coefficient of yi in the representation (11), and thus

237

(12)

l

-0 ' iEI,bEB. y-

ayl

If, finally, I is strictly ordered and z=(zi;iEI) is the distinguished PS belonging to (Zi;iEI) then (13)

/:;. :B ....B

....LZnob

In this context the theorem (6.25) is needed. (14) Example: The free Lie algebra. Assumptions as in example (6.5). An operation of

on B is uniquely

.............

given by arbitrarily chosen continuous linear maps formula (8) reduces to

*}

/:;.(b)=I:{D X ... D X

n

1

The

in Stabilizers Let B be a G-left module as above. The categories

and hence

admit all limits and especially inter-

sections. If Gk,kEK, are subgroups of G then (nGk)(R)=nGk(R)

, REm·

This implies in particular that the ordered set of subgroups of the formal group G resp. of Hopf subalgebras of the Hopf algebra Hare complete lattices. The group G operates trivially on an element bEB or stabilizes b or b is invariant if the following equivalent conditions are satisfied: (16)

gEG(R)

(1 T)

ho b =E(h) b , hEH

(18) If the characteristic is 0 and if G is infinitesimal also Zob=O ,

(19 )

Then

G H B=

(20)

. /:;.

lnJ

is the subspace of invariants, i.e. the closed subspace of B of all elements satisfying the preceding conditions. In general let (21)

G(b):=StabG(b) , H(b):=H(G(b))

,

be the largest subgroup of G stabilizing b. This exists because the subgroups form a complete lattice. Then H(b)=StabH(b):={hEH;hob=E(h)b} (22) . Indeed H(b) is the largest Hopf subalgebra of the subalgebra StabH(b)

238

of H. One obtains H(b) in the following constructive fashion from K:=StabH(b). This algebra is stable under the antipode S as is easily seen. The injection KeH induces an exact sequence * (H/K) *eH * in 1iIod with e.(U),=A@u+u1h , e(U)=O , S(U)=U Then A/AU is the representing algebra of G(b). Dualizing gives H(b) =e.-1 (K @H) =e. -1 (H e K) . (23) IfG is infinitesimal in characteristic 0 the theorem (6.1) implies (24) ili(b)

8. Operations on formal manifolds. The assumptions are the same as in the preceding paragraph. However, I assume in addition that B is a l.c. k-algebra and denote by Q:=Sp(B) the corresponding formal scheme. Then by (4.14), and this is a subgroup of Central for this report is an operation of G on Q from the right given by the following equivalent data: (1) A functorial morphism such that for all the map is an operation of the abstract group G(R) on the set Q(R) from the right. (2) A group homomorphism .i e , operations v

of G(R) on B§R by continuous R-algebra isomorphisms. I call B a G-(left) algebra. Since B) B is a G-module in particular, and the considerations of the preceding paragraph are applicable. (3) A comodule structure e. as in (7.3) which in addition is an algebra homomorphism. Then Sp(e.) is the operation from (1). (4) A module structure ° as in (7.4) such that in addition (5) ho 1B e(h)1 ' hEH B (6) ho(bC)=I:(h(1)ob)(h(2)oc) , hEH,b,CEB where e.(h)=I:h(j)$ h(2)EHeH . If in addition G is infinitesimal in characteristic zero then these data are equivalent to

239

(7) a Lie algebra homomorphism

............

E;...Der(B) , Z"'(b...Zob ) , i.e. an operation of E; on B by continuous derivations. The connection between these data is the same as in §7.

(8) Example: The free Lie algebra. If in example (7.14) the

are continuous derivations then

*

...L{DX .. DX (b)w;w=X 1· .XnEE} 1

n

is a continuous algebra homomorphism. One obtains this generalization of prop. 111.1 of [FL1] without any calculations with the shuffle product. Translations If G operates on itself from the right by translations, i.e. by multiplications, the corresponding A is the comultiplication of A and the left H­module structure (4) of A is given by the simple formula

(9)

= , h,hEH,aEA

In particular (10)

e (ho a ) ==.

In particular, in the situation of theorem (6.25) one obtains =;;(ZnOyi)=znOyily=o

and

F i =y i + L{ Zn 0 y il oy n / n! ; I n I :: 2 }

( 11 )

(12) Example: The free Lie algebra. Assumptions as in examples (6.5),(7.4). The operation of H=k on A=H =k«X»

is given by

= , aEA,v,wEX *

(13)

In particular, for letters XEX and words vY with last letter YEX there results

if x=y i f XH

(14) with the identification A=H=nkw. Fliess defines

Dha=hoa , hEk=H,aEk«X»=A ([FL2],p.525) except that he considers the operation of H on the right instead on the left of A and the Lie algebra

instead of

([FL2],p.524).

(15) Operations of infinitesimal groups on affine spaces in characte­ ristic zero. Let the characteristic of k be zero, G infinitesimal and Q=,A(J)=sp(k[[x]]), x=();jEJ) an affine space. Consider moreover a PS y=(yi;iEI) of A and the corresponding basis Z.:

y .

l

dyl

of E; . I identify G=

via the PS

240

The operation

AJ)xG-+ #..(3) is given by [yl ].=k[ [x,yJ] ,xj-+.c.(x j) .c.:k[ [xl ]-+k[ I J ) , (x,y)-+(pj (x,y). /1.J)x II1. )-+

/A.

J

(Compare (3.17». The operation (7) of g on continuous derivations .

l By (7.12) the Z.ox l

j

l

3

3x J

l

k[[xl] is given by the .

3

3x J

can be calculated as . Zi oxj (x,O) Iy=o 3yl 3yl

and thus (16) These calculations are applicable in particular if Q=G and if G operatffi on itself by right translations. (17) Example: Lie series according to Grabner [GRl. In the preceding situation let G=G =Sp(k[[t]]) be the additive group a with the distinguished PS t (see (6.29» and basis Z: 1 of E;. The 0 operation of Ga on is a flow given by . . .c.:k[[xll-+k[[x,tlJ,xJ-+.c.(x J) Then _3_ j (18) Zo ( _ ) 3Li(x) 3t t=O'J 3x and.c. can, via (7.13), be reconstructed from Zo(-) as (19) Li:k[[xll-+k[[x,t]],b-+L(Znob)tn/nl=exp(tZ)(b) where exp(tZ) is formed in the algebra with the weak topology. Grabner calls exp(tZ)(b) a Lie series. c Stabilizers of rational points Let G operate on the right of Q=Sp(B), and let pEQ(k)=Al(B,k) be a rational point of Q. These data induce the G-homogeneous morphism (20) F:G-+Q,g-+pog and dually, the A-colinear algebra homomorphism .c. A $'A (21) , b-+LP(b(1»b(2)

I

The stabilizer of p is the subgroup Gp:=StabG(p) of G, defined by the pull-back diagram F (22)

J

resp., dually, the push-out diagram

241

(23)

(24)

l'

B

f

A

ioa n

i.e.

k ----+AI Af(B+) A(StabG(p»=A/Af(B+)

is the representing algebra of Gp' By duality (25) Hp:=H(Stab G(p»={hEH;VbEB:Lh(1)P(h(2)ob)=p(b)h} is the covariant algebra of Gp=StabG(p). It is the largest Hopf subalgebra H' of H such that (26) p(hob)=&(h)p(b) , hEH',bEB . If G is infinitesimal in characteristic zero then (27) Ep:=Lie(Gp)={ZEE;p(Zob)=O} , Hp :=U(E p )

9. Quotients and differential calculus. Let the group G=Sp(A) operate on Q=Sp(B) from the right. The notations are those of the preceding paragraph. The quotient Q/G exists as a colimit and is contained in the exact sequence (1) By duality this implies an exact sequence of l.c. algebras (2 )

l:J.

6

,

lnJ i.e., by (7.20), C=HB=GB is the subalgebra of invariants of B. Much more can be said about this situation if the operation is free or transitive (see §13). Assume for the remainder of this paragraph that the operation is i.e. that the morphism (3) QXG­+QxQ, (q,g)­+(q,qg) is a monomorphism. This is the case for example if Q is a group on which a subgroup G operates by translation. (4) Theorem (See [GA], p.504): Assume that G operates freely on Q. Then (5) the canonical map can: Q-+Q/G is faithfully flat and (6) (3) induces an isomorphism can(q1)=can(q2)} . Dually this means that (7) B is a topologically faithfully flat C­module (compare § 3) and (8) that the map

242

is an isomorphism.

0

Assume now in addition that V is a I.e. B-module, i.e. a topological B-module which is I.e . as a k-space. Application of the functor

.,............

HomB(-,V) to (9) gives a k-isomorphism (10) V@H rr;;-m(A,V) r;; h k +----+ f

F

E

f(a)=I:vk , F(b)=I:b(1)f(b(2»=I:(h kob)Vk This isomorphism has important consequences for the differential calculus (Compare [DG1, pp.216, for the discrete case of affine groups). The vector space

C

multiplications

(bo

(B,V) is a B-B-bimodule with the two B-scalar , (bo

1F)(b)=bF(b)

2F)(b)=F(bb)

for b,bEB,FErr;;-mC(B,V). Define ad(b)(F)=bo An FE1io'm

C(B,V)

i.e. ad(b)(F)(b)=bF(b)-F(bb)

1F-bo

is called a C-differential operator of order ad(b o)"

.ad(bn)(F)=O for all bo"

la,u}:=lPu(a)

D

and (10) A->Hom(k[[t]]«I» ,k[[t]]), In analogy to and generalization of [FL1],p.ll, I call {a,-} a causal functional. It is easily seen that a power series aEA=k[[y]] is zero iff for all lP the image lP(a) is zero, i.e. that (10) is injective. Moreover Hence the (11) Proposition: The contravariant algebra A of G is a subalgebra of the algebra Hom(k[[t]]«I» ,k[[t]]) of all maps from k[[t]]«I») to k[[t]] via the identification a={a,-}. The power series a is also called the generating series of the functional u->lPu(a). D Compare [FL1],p.11-15. If bEk[[y]] and uEk[[t]]«I» with u(O)=O the composition b(u) is defined. There results another map k[ [t] ]+( (I) )->k[[t]] ,b->b(u)

245

where k[[t]] + ={v;v(O)=O}. These operators are causal functionals only in the trivial case. Indeed (12) Proposition: Assumptions as above. Let a and bEk[[yJ]=A be power series such that for all UEk[[t]]«I)) with u(O)=O the equation fa,u}=\pu(a)=b(u) holds. Then a=bEk are constant. (Compare [FL1], p.16, and Appendix, p.36). 0 (13) Example: The free Lie algebra. Assumptions as in examples (6.5), (7.4), (8.12). The free Lie algebra on letters XEX has a Hall basis (Z.;iEI) (Compare -l [SE], LA 4.8). Here I is strictly ordered and supplied with an increasing length function such that {Zi;l(i)=ll . Fliess considers only families ui=O for l(i»l. The corresponding is uniquely given by the differential equation d X dt\pu(a)=EXEXU (t)\pu(Xoa) 11. Positively filtered Lie algebras and iterated integrals. The assumptions are those of the preceding paragraph. In this section I give a recursive construction of \P u' (1) Example and motivation: The free Lie algebra [FL1] Data as in (10.13). Then Fliess constructs the "functions" \p(w)Ek[[t]] , by induction on the length of w([FL1],p.l0). Since \p is unital 1. Assume that vY is a word such that \p(v) is known already. Then . But XovY=6(X,Y)v by (8.14). Hence d (y)

since \p(vY)

I

Y

t

Y

-u (t)\P(v) or \p(vY)(t) Iu (T)\p(v)(T)dT t O t Here I denotes the unique inverse of with flt=o=O'

o

0

Of course Fliess considers pieuewise continuous functions u X instead of power series, but this does not change the theory. By induction

246

t tn \P ( X1 ... X ) ( t ) =f u n ( t ) f u n-1 ( non 0

where u i : =u

,

. Hence \P is given as

\p(a)={a,u}=L:{\P(X .. X );X 1 .. X EX* } 1 n n n 1 This is Fliess' form of {a,u} in [FL1],pp.10. One can thus construct the expressions {a,u}=\pu(a) by iterated integrations. D Such a development can be generalized to any Lie algebra which is nilpotent in a generalized sense. A positive filtration of a Lie algebra of countable dimension is a direct sum decomposition of satisfying the following two conditions: (2) the are finite dimensional subspaces of (3 ) [ , ( n ) ]'=E( n +1 ) , n =1 , 2 , ... or [g.,g.]cE(n+1) , n=Max(i,j) - l -J -

... =E9{g.;i>n} -l 1e In particular the E(n) are a decreasing sequence of ideals of with ME(n) =0. The existence of a positive filtration of is equivalent to that of a basis where

E(n) = EnE»

(4 )

such that (5 )

l

where

J

for all i,jEI,n=Max(i,j)

Q'(n)=ffi{kZ.;i>n}, l -

.!Ol

nEIN

A Lie algebra with such a filtration is called positively filtered. Compare [GO],p.12, for finite dimensional Lie algebras. Examples (6) A finite dimensional Lie algebra is positively filtered iff is nilpotent ([loc.cit.]). (7) A positivly graded Lie algebra , is positively filtered if the are finite dimensional. (8) The free Lie algebra on a finite set X is positively graded, namely where Compare [SE], pp. LA. 4.1.

*

length (w)=d} .

247

(9) If finite dimensional

is a Lie algebra, the ideal m p':=h+:=ffi{g ;mEIN} 5! _ W -m

with

of h is positively graded and thus filtered. r (10) If x 1, .. ,x are finitely many indeterminates the power series algebra k[[x]]=k[[ , ... ,x r]] is topologically graded via k [ [x] ] =IT {k [ [x] ] d; dE: INa} where k[[x]]d=k[x]d is the finite dimensional k-space of homogeneous polynomials of degree d. Then k[x]=E&k[xldck[[x]l=ITk[xl

d

The Lie algebra Der(k[[x] 1 )=8){k[ [xl

i=l, .. ,r}

is topologically graded in the form

where D;'r(k[ l x l 1 )d=EB{k[X]d+l

a:i;i=l,

...

,r}

is finite dimensional. With the product topology D;r(k[[X]]) is a I.e. Lie algebra. (Compare [CO]). The graded Lie algebra of "polynomial vector fields" Der( k l x l

)=GHDer(k[x]

Der(k[x])d =EJHk[X]d+l is a Lie subalgebra of

a:

i ; i=l, ... ,r}

and [xl]

is positively graded and filtered according to (9). In the remainder of this paragraph let

0

be positively filtered with a

basis (Zi,iEI) as in (4) and (5). The filtration of

induces one of

To show this I choose a weight function g:I... IN

(11) such that for all

O

This again implies by induction that ,

,

is surjective for all k. But Band C are local and complete and topologically nilpotent. Hence

is

is surjective and C=B. D The preceding theorem is a different version of proposition IV.2 of [FL2] in the general situation. Realizations A system (Q,b) realizes (produces) an element aEA=A(G) or (Q,b) is a realization of a if , . Compare (13.2) and (12.18) and [FL2], p.525, for the original definition in the special case. For Q=Sp(B) the equality (13.6) of theorem (13.5) means in this language that G

there is a bEB auch that (Q,b) realizes a}= ={aEA;GpC;::G(a)} . Here Gp=StabG(p) is the stabilizer of p whereas G(a) denotes the stabilizer of under the right operation of G on A (Compare (8.22) and (7.21». (3) Theorem: Let G be an infinitesimal group and aEA=A(G). Then (4) A(G(a)\G)=AG(a) ­k[Hoa] i.e. the contravariant algebra of the homogeneous space G(a)\G is the observation algebra of or, better, of the system (G,a). Since aEAG(a)=A(G(a)\G) by definition of G(a)=StabG(a) the group G(a) resp. its covariant algebra H(a) act trivially on from the right and hence also on k[Hoa] and k[Hoa]. Thus k[Hoa]C;::AG(a) . (ii) On the other side is left G­stable and thus of the form k[Hoa]=A(G'\G)=A G' for some subgroup G' of G by theorem (13.7). But then aEAG' and and hence

258

0

(S) Corollary: Let (Q,b) be a weakly controllable system realizing i.e., by (13.10), the map , b-sa be injective (and G-equivariant). Then

induces an isomorphism

=A(G(a)\G) , i.e. the observation algebra of b is the representing algebra of the homogeneous space G(a)\G.

0

(6) Corollary: Assumptions as in the preceding corollary. In addition let the characteristic be zero. Then G(a)\G is an affine spaceA\(d) of dimension of E(a) in E according to (13.11), i.e. A(G(a)\G) and thus ktHobl are power series algebras in d variables.

0

The number d in the preceding corollary is called the Lie rank of a (Compare [FL2J, p.S26). The corollary (6) generalizes and sharpens the proposition IV.S of [FL2], p.S3S. (7) Remark: The preceding corollary can be generalized to arbitrary characteristic as in (13.1S).

0

(8) Theorem: (Existence of a minimal realization) Let G=Sp(A) be an infinitesimal group in arbitrary characteristic. There is a, up to isomorphism unique, minimal system (Q,b)

namely (G(a)\G,a).

Minimality means by definition that bhere is neither (i) a system monomorphism (Q,b)-+(Q,b)

nor

(ii) a system epimorphism (Q,b)-+(Q,b) such that (Q,b) realizes

too.

A system is minimal if and only if it is weakly controllable and observable. Proof: (i) By (13.7) and (2) a weakly controllable and observable system is minimal. (ii) (G(a)\G,a) is a system as asserted. For G operates transitively on G(a)\G, i.e. the system is weakly controllable by definition, and aEAG(a)=A(G(a)\G)-k[Hoal , by (4), i.e. the system realizes

and is weakly observable by (2).

(iii) Let (Q,b) be any minimal system G -+ G \G p

A => A(G \G)=A p

shows that also (Gp\G,a)

The sequence mono, Q

Gp

a (

•

(su rJ B b

The minimality of (Q,b) implies

259

G \G';'Q. But

G

p

aEA

p

hence an epimorphism

i.e. GpcG(a)

Q';'G \G->G(a)\G o Again the minimality of (Q,b) proves Q";'G \G";'G(a)\G p Hence (Q,b)";'(G(a)\G,a). o In characteristic zero the homogeneous space G(a)\G is an affine space where d is the Lie rank of a by (6). (9) Corollary: Assumptions as in theorem (8), but let the characteristic be zero in addition. Thus G(a)\G";' A(d) , is differentially produced, (compare (FL2], p.525), i.e. Then realized by some finite dimensional affine space h,N

1

N

=Sp(k((x , .. . ,x ]]) , bEk([xJ] if and only if the Lie rank d is finite. Then (Q,b) is a minimal realization if and only if n

The preceding results (8) and (9) generalize and sharpen the main theorems 1.1 and IV.4 of (FL2] . The control or syntactic group. Let (Q,b) be a system. The operation of G on Q=Sp(B) induces the homomorphism (10) G->Aut(Q)oP=Aut(B) by (8.2). The kernel K of (10) is the largest subgroup of G which acts trivially on Q or B, and is of course normal. Thus (10) induces, by (13.5), an inclusion (11) G/KCAu!.(Q)oP=Aut(B) (by identification). The subgroup G/K of Aut(B) is the control group of the system (Compare (FL2],p.533). In characteristic zero the inclusion (11) corresponds to the injection (12) , , where is the largest Lie sub algebra of which operates trivially on B. Of course k is an ideal. Assume in particular that Q is weakly controllable, i. e. that G ope ra t es transitively on Q. Then (13) Q=G'\ G,B=AG' ,G ,g'=Lie(G') without loss of generality. Then, as is well-known from group theory, K=Ke(G->Aut(G'\G)op)

260

is the largest normal subgroup of G contained in G' and, in characteristic zero,

is the largest ideal of

If finally aEA=A(G) and if Gl=G(a)=Stab

in G(a),

the control group

G/KcAut(G(a)\G)

is called the syntactic group of 2' In characteristic zero

) is called the syntactic Lie algebra of a. Here k is the largest ideal of

contained in

.

These considerations generalize and contain those of Fliess in [FL2],

pp.530, 531. 15. Combinatorial applications: Divided Differences and q­Identities Throughout this section, we assume that the ground field k has characteristic zero. Let /AXG (1)

a ­­­.,

fA

A(R) xG (R) --A(R)

a

(m,u)_p(m,u)

, REm

, pEk[[x,tll

be a non­trivial operation of the additive group G on the affine line a J\ (compare 8.17). Here pEk[[x,t]] can be written as p=x+tr with non­zero rEk[[x,t]] Then the induced representation of the Lie algebra continuous derivations of k[[x]] is

1 of G by 0 a

, ;t where

is non­zero.

We denote the topological ring k[[t]] by K. By (7.5) the comodule structure can be extended to the K­linear continuous algebra­automorphism (2) ...............

Denote by EndK(k[[x,t]]) the K­module of all continuous K­linear endomorphisms of k[[x,t]], endowed with the weak topology. According to (8.19),8 has the Lie series expansion

(3)

a=exp(tD)

Since in characteristic zero the additive group G and the multiplica­ a tive group G are isomorphic by the map (4.10) m G

R)

a

REm

u _ _ exp(u) log(v)

v

every operation of Gm can be viewed as an operation of Ga' Therefore,

261

we only consider operations of G . a Define the quotient-operator (1) by

(4)

belonging to the operation f(x+tr,t)-f(x,t) tr

The kernel of Q is K=k([t]]. For t=O we get the ordinary derivative,

--

Of

i.e.

(Qf)(x,O)=ai(x,O) .

We define another operator PEEndK(k[[x,t]]) by x

(5)

Pf=fdsf(s,t) , fEk[[x,t]]

o

where

(rn}/d Ek t t». e n

and

tD exp(tD)-Id

1

2i............_ EEndK(k[[x,t]]),

B(i) the Bernoulli-numbers. For t=O

P is the integration operator x

Pf=fdsf(s) , fEk[[x,O]]=k[[x]]

o

Let m be the maximal ideal of k[[x,t]]. Then n n+1 ,. n=O,1,2, .. (6 ) From Qf=-1(exp(tD)-Id)f=l exp(tD)-Id(di!) we infer tr r tD oX (7)

QP=Id , i.e. P is a right-inverse of Q .

Hence Q is surjective, and, for arbitrary aEk[[x,t]] and bEk[[t]], the unique solution of Qf=a , f(O,t)=b is f=Pa+b. We now define a sequence gC,g1,g2"" in k[[x,t]] by n1 , n=O,1,2, .. (8) gn:=p This sequence of power series satisfies the following conditions, which also characterize the gn: (i) gO=1 , g1=x n (ii) g Em , g (x,O)=xn/nl and g (O,t)=o(n,O) n n n (iii) Qgo=O and Qg =g

n

n- 1,n=1,2, ..

Therefore the "Q-exponential function", i.e. the unique solution of Qf=f , f(O,t)=1 00

is e=Lg . Of course, e(x,O)=exp(x). n=O n

262

Examples: (a) Let Ga operate on

by translation: !AxG a-+/A ' (m , u)-+m+u

s .....G (k[[X]])

, ;tlo-+;x

Using the indeterminate h instead of t, we obtain :k[[x,h]]-+k[[x,hJ],x-+x+h and >

fEk[[x]] ,

i.e. the difference quotient of f. The sequence (gn) is given by

g n (x) n, h/n! , n=O,1,2, .. where (x) n, h=x(x-h) .. . (x-(n-l)h) denotes the falling factorial of step width h. The Q-exponential function is

r e=L--(x) n=O

x

In!=exp( log(l+h) x)=(l+h) 11 n,h h

(b) Let Gm act on

by multiplication: AxG -+/A. , (m,v)-+mv m The corresponding operation of G is given by a AXGa-+A, (rn,u)-+m.exp(u) t

d

=xq

where q:=etEk[[tJ]. Then Qf=f(qx)-f(x) D f qx-x q is the q-derivative of

>

fEk[[x]]

([CI],p.24), and gn =x I l n l l , n =0 > 1 ,2, .. n

where Lnl =(qn_ 1)1 (q-l) and Ln l : =[nJ [n-l] .. [1J The Q-exponential function coincides with the usual exponential function in the q-analysis 00

e xp (x) =L

q

x n I ln l !

n=O

([CI],p.29) .

For any non-zero element a of k we get another operation AXG -+A, (rn, v )-+mv a m

AXG -+A, (m,u)-+m·exp(au) a d

at

=xq

a

263

Here

ex Q f f(q x)-f(x) ex ex q x-x

, fEk[[x))

([CI],p.28) ,

and the Qex-exponential function is 00

e =L.xnj[n)! ex n=O

([CI),p.29)

ex

where

=(qnex_ 1 1) and ex (c) The operation of G on J\ m L n

l

)

/

(

q

ex

_

Ln

ex

l

! =[n) (n-1) .. (1) ex ex ex

,

induces the operation of Ga on

fA..

Here

a /'-...

D=(1+x)aiEDe r(k[[x]), t

and

Qf_f(Qx+ q-1)-f(x) , fEk[[x)) (Q-l)(x+1)

By inspection

2

gn=x(x+1-q)(x+1-Q ) .. (x+1-q and

n-1

) / [ n ] ! , n=0,1, ..

00

n=O

q

(x+1)/ex Pq(1)

(d) Using Lie series one can easily compute other operations of

A,

e. g. D=;.L yields

ax

x

Ga on

a

We return to the general situation. Let Y be a new indeterminate and let k[Y] be the polynomial ring in Y equipped with the discrete topology. The algebra k(Y) t u

n inf(o,n). est exhaustive, donc aussi

si

I

il existe une filtration

e t on a

o.

p

n FP K = 0 si p> inf(o,n) e t des definitions de 1.1. II n n FP K = K si p O.

Preuve: (i) de coul a de (ii) provient de

I

§2 - LE COMPLEXE BIDUALISANT DE BJORK 2. I.

Soit

A

un anneau et

0

80

cO

0

C- 1

8- 1

C un complexe

note

de A-modules 11 droite ; rappelons b r i.evemen t comment L' on con s t ru i.t une resolution projective de

C au sens de [G.E] chap. XVII

o pr en d alors

p re ce den t e s

Bj

zj

des resolutions projectives de

en pasant

i Zj=Ker 8 ,

au [Bj] chap.2. On pose Hj -;. B

j

on trouve des resolutions des suites exactes :

0 C1.

0

T· j

S· j

R· j

+

0+

S+

B

zj

j

j

H

-;.

0 0

o.

On

j

et H ,

274 vj Y

On note

r

\)j

vj-I

0 t. 0 ->- ZJ

des suites exactes

ou

->-Y

on prend

vj

vj i±>R

T

S

®

vj cela donne des resolutions

i±>T

0 0 t. 1"1 ->- 0 CJ ->- BJ

-e-

v-I,j est definie par

y-I,j ; O.

On peut alors definir

d

par: dII(t .,r .,t . I);(t. ,0,0), V] vJ '0]vJ-I

II

c'est-it-dire comme la composee des applications naturelles

II est facile de verifier que

(yP,q)p,q

muni de

dI,d

est un double

II

complexe, qui possede les proprietes suivantes 1) yVj

projectif pour tous

vj 2) Vj, (Y , d

et

v

j.

resolution projective de

I)

§4, p. 59) , nous ne redefinirons pas

yoj

Cj, (c f v] Bj]

Chap. 2,

t; • .... C] .... O.

3) Vj, Ie j i.eme groupe de cohomologie du complexe (yv",d r

est un module proj ect if ega I it

v •

que si

(HomA(y ',A))v

on a:

2.2. Supposons

A

type fini. Soit

j

R J. En particul ier les

d

rr

H (HomA(Y

] J ;;, 0

Hh(Y v,")

\l •

(Hrr(y, ) \;;, 0

forment:

represente encore la differentielle sur v,_

,A),

une resolution de

de type fini et fixons Ie complexe

(Hh. (Y ,-) ,A);l-lemA(IfJ. ,A)

) :;; Hom A canonique

noe the r i en it gauche et soit

(P.) .

note

j. H

une resolution projective de 4) On deduit de 3)

rr)

j

v·

X

un

\)

A-module Ii gauche de

X par des modules projectifs

C· , defini par

Cj;HOm (p .,A) A -J

pour

j .;;; 0

275

°

et

si

j


inf(O,n), (preuve n L = 0 si p > lJ· Ceci

si

on a

> lJ

implique que ces deux filtrations, qui sont exhaustives, sont aussi regulieres, (d.

'EP,q(L) 2 si p ou q I- 0

1. I). Lorsque l'on fait Ie caicul de

et celui de

"EP,q(L) 2

donne

G

si

p = q

on trouve

0

Ceci implique

Theoreme 3.1. ([ I] The or eme 1.8) : (i) La cohomologie de si

n/O

si

n=O.

(ii) II existe une filtration par des sous­groupes de

Lest

X

F lJ+ 1 X = (0) C FJX C F lJ- I xc ... c: FOX = X

3.2. Les

ne sont que des sous­groupes de

pas de structures de

X

car les

LP,q ne possedent

A­­module.

La similitude des resultats de 3.1 et 2.2

relation entre ces deux bicomplexes

laisse penser qu'il existe une

nous la trouverons naturellement dans

l'hypercohomologie au sens de [C.E] Chap. XVlI.

,A)

278 §4 - HYPERCOHOMOLOGIE

On garde toutes les notations des paragraphes precedents. On prend finie,

A un anneau noetherien

T(X,Y)

HomA(Y,X)

contravariant en

[0 si q,tO LxP si

Soit

§3

gauche de dimension injecrive

T

[C.E] chap.XVII

un bifoncteur covariant en

X,

droite au sens de [C.E], ("right balanced"). 0

A

O X

; on posera

pq) , (X devient un double complexe, resolution injective du

O. L'augmentation etant

A, concentre en degre

oo X = XO, (cf.[C.E] p. 365).

A X un

a

A-module

j C = HomA(P

0

there is a grading whose

nth component is

The graded modules so constructed are pairwise non-isomorphic in

gr (R) .

More generally, replacing and a X-graded module over a gr(R)

gr(R»

by defines a X-graded ring. If R is

denotes the category of finitely generated

Z-graded (projective) modules over will occur is the ring

Z-graded ring X-graded then

A;

R.

(The only

in Sections 3 and 4).

ring that

291

Let

B

=

tJN

n

B be a graded ring. B is a subring of B and may n o be regarded as a graded ring "concentrated in degree 0". If P is an

with P = $ P its decomposition into homogeneous o) n components then only finitely many of the components are non-zero and

object in

gr(B

each non-zero

P is an objet of ff(B Thus £f gr(B n o) o) identified with the direct sum of countably may £f(B o)'

may be

proposition 2.1 - Ko(£f gr(B » is the direct sum of countably many o copies of K (£f (B ) Nore precisely, K (£f gr (Bo » "" Z [t ]0ZKo (£f (Bo » o o) o (where the powers of t keep track of the degree) . Proof - A straightforward universality argument. If

P E .

(BIlSlP) n

1.+J=n

1.

Proposition 2.2 T Q

Pf gr(B

o)

Pf gr(B)

BIlSl

gr (B then o) B. l8l P . .

-+

•

is a graded B-module defined by

P

J

(i) There are exact functors

£f gr(B),

BIlSl

P

T

and

Q,

P

B

0

-e-

Pf gr(B o)'

P

-+

B

0

I8l

P -

B

p/IP

where I is the ideal

$ n>l Bn

(ii)

If

P E Pf gr(B)

then

P

TQ(P)

if

P E Pf gr(B

then

P ce

QT (P)

Proof -

o) [SW] Theorem 6.6

Since

T

and

Q

•

are both exact functors proposition implies the

Corollary 2.3 - The inclusion K (£f gr (B o o»

-e

•

K (Pf gr (B» o

B

B

o

induces an isomorphism

I

o

•

Disgression 2.4 - It is perhaps worth noting that there is already sufficient information to deal with enveloping algebras over a fiel or over the integers viz

-

Theorem Let A be a filtered ring (as in Section 3 ) such that the associated graded ring B is left noetherian, left regular and B is flat a right A -module I f finitely generated projectives over A 0 0 are stably free then finitely generated projectives over A are stably free. Proof - Follow the argument used by Serre for the case Briefly, t.he conditions on and left regular,

(cf.

B

imply that

A

[R] Proposition). Let

ted projective A-module. Filter

M

A

kIx1,·

HI

x n].

is also left noetherian

M be a finitely genera-

so that gr M

is finitely generated

292 over

B

and construct a projective resolution of

generated free graded modules

o Since

P

P

such that

F

i

until kernel

gr M by finitely P

is projective,

gr M .... 0 • o is projective and graded, by 2.2 there exists F n-1

P

.... F

is isomorphic to

. Since

pI E gr (B o) is stably free, we

pI

may assume (by lengthening the given resolution of one step) that

gr M

free graded B-modules. This resolution of to a resolution of

gr M by at most

has a finite resolution by finitely generated gr M

can be "pulled back"

M

0 .... Qn+1 .... • . . . . . . . . ..... Q .... M .... 0 o such that, passing to the associated graded gives the given resolution of

gr M .

(For details see [Se]

, Proposition 10

or [R]

, Lemma 1).

Since

gr(Qj) is free over B, Q is free over A. Thus M has a j finite resolution by finitely generated free A-modules and so M is stably free. Let

be a Lie algebra over a field

Then the Krull dimension of

k gr

{by [RG]i)

of Bass (see [SW]

p ;;;>n+1

and

and hence by a well

Proposition 12.1), we have

Theorem (Stafford) - Any finitely generated projective with rank

•

n .

n. Thus by Stafford's stable range thebrem,

[Stl] Theorem, n+l is in the stable range of U(2) known result

=

(in the sense of Rentschler and

Gabriel) is at most the Krull dimension of this latter number is

with

P

over

•

is free.

Stafford has shown [St 2] the Theorem -

is non-abelian then

has a projective left ideal

which is not free.

•

Thus for an enveloping algebra of a non-abelian there is no analogue of the Quillen-Suslin theorem that any projective over a commutative polynomial ring is free. Question - If p is a projective module over rank P = m , where 2 m n , is P We now return to graded rings. From tive module over for some

pI

modules over

E B

B

then

P

with free? End of 2.4

2.2, if

is extended from

P

is a graded projeci.e.

s s

P' Bo gr (B • However there may be (ungraded) projective o) which are not extended from B o

293 Example 2.5 - Let

A

be the universal enveloping algebra of the two

dimensional solvable Lie algebra. A can be identified with the twisted polynomial ring determined by

k[y]

[x;8]

8(y) = y+l

A is a graded ring where extendend from A

k[y]

, where

8

is the k-automorphism of

k[y]

and for

f(y) E k[y] , xf(y) = 8(f(y))x n. k[y]x A graded projective over A

A

n

is

and so is free. But by Stafford's theorem in 2.4,

has a projective non free left ideal.

•

The extended projectives do however give all of Theorem 2.6 (Serre-Swan)

- Let

graded ring. Then the inclusion [P] -->

o

Proof - See [SW] Theorem 6.1

P]

B

K

o

viz

be a left noetherian left regular

B --> B o

induces an isomorphism

. The proof involves a device of Serre and

since Quillen's argument uses a similar device we briefly review Serre's argument. The difficulty is to show that

Ko(B --> Ko(B) is suro) jective, since as seen above, there may be projectives over B which

are not extended from

B . To get round this, use a larger graded ring, o (B[t]) = .L. B. t j . B[t] is left noetherian, n l+J=n l left regular ([SW]) Theorem 4.13 or [B2] Theorem 9.5), (B[t])o = B o and B[t]/(t-l B (as rings). Consider the functor

viz

B[t]

graded by

gr (B[t]) -->

F

Then

f

[SW]

Lemma 6.14 . Let

is exact and is surjective on (isomorphism classes of)objects,

and choose

N

M

such that

be a finitely generated projective B-module

M.

F(N)

N

finitely generated projective graded O-->P

n

-->

By 2.2, Pi

-->P

0

-->N-->O

P'i for some B o sequence yields an exact sequence

a

B[t]ffi

--> BI!1I PIn --> B o

has a finite resolution by

B[t]-modules say

--> BI!1I

p

B

l

i

E Pf gr(B

P '0 --> M -->

o).

Applying

F

to this

a

0

• 3)

Filtered rings Let

a

A

= A_I c Ao

be a filtered ring with filtration C

Al c

ted graded ring of subring in 2.6)

L

n

A

n

zn

... ,

U An = A, AiA j c A i+ j, and

A . The ring of

A[ z]

A'

B

be the associa-

is the "Rees ring", viz the

(A' is the analogue of the ring

B[t]

294

3.1)

Properties of

A:

2)

n). is a graded ring (by the degree in z , viz (A')n AnZ A'/zA' is a graded ring and is isomorphic to B , as a graded ring.

3)

A'Az-l)

1)

A'

4)

(which denotes A' localised at the powers of A[z,z-l], as a g-graded ring.

to

5)

If

M E Mf gr(A[z,z-l])

N

6) 7)

then

M = N[z,z-l] where

z) is isomorphic N

is

belongs to

Ko (Mf(A» K0 (Mf gr(A[z,z-l]». If B is flat as a right Ao-module then right

8)

is isomorphic to A .

If

and

A'

and

are flat as

Ao-modules.

B

and

A

M o

is left noetherian and left regular then so also are

A'

A

•

Proof - Properties (1) to (5) are straightforward. 6) The functors A[z,z -1] Illl - and A[z,z-l]/(Z-l)IlllA[z, ] - go between A the two categories. These functors are exact on the categories stated (cf. the proof of 2.6) and the two compositions act as the identity on isomorphism classes of objects. 7) Since B is a direct summand of B, B is flat i.e. An/A is n n_ l n flat and hence, by induction, An is flat. Hence A and A' are flat, being a union and a direct sum of the 8)

If

C

An respectively.

is a filtered ring such that the associated graded ring is

left noetherian and left regular then so also is Proposition). Thus by (A')n

=

A

The associated graded ring B[z]

[R]

is left noetherian and left regular. Filter

{set of polynomials in

B[z] , where

C (see e.g.

Gr A'

is graded by

z

A'

whose coefficients belong to An}'

is isomorphic to the gradded ring (B[z])

n

=

Iz l

noetherian and left regular by [SW] Theorem 4.13.

Gr A' Hence

is left A'

is also

•

left noetherian and left regular.

Disgression 3.2 - The following easy argument yields part of Quillen's Theorem viz Proposition - Let

A

be a filtered ring as in the statement of

Qillen's theorem. Then the inclusion K (A o o)

->

K (A) . o

A

o

Proof - The commutative diagram of rings homomorphism is

z

->

1

-+

induces a surjection

A

A o

A '. t A'

->

(where the vertical

as in 3.1(3) induces a commutative diagram,

295

is an isomorphism. Since

KO(A) . t KO(A') A

and

A'

are both left regular and left noetherian, by resolution

K (A) = K (Mf(A» o 0 -

KO(Mf(A'». The functor

F = A'/(Z-1)lSlA' -

(A)

isomorphism classes of objects, forgetting the grading,

A

I8l A'

is exact and is surjective on

(compare the proof of 2.6). Thus by -:

(A) .... I·If (A)

morphism classes of objects and so 4)

is surjective on iso-

....

is surjective.

The proof of Quillen's theorem Let

A

be as in the statement of QUillen's theorem and

in Section 3

The inclusion

Mf gr (A') ....

gr (A' z ), M ....

A' .... A'

z

, lSl A' M

subcategory of torsion modules in

A'

be as

induces the localisation functor Let

T

be the corresponding

Mf gr(A'). By the graded version of

the localisation theorem, there is an exact sequence gr (A' »

( *)

.... 0

It remains to identify the terms in (*) • (1)

Ko (Mf gr -

»

"'" "'"

(2)

K (Mf gr (A' ) ) o

"'" T

Let

T E T

0

by

3.1

by

resolution.

"'" Ko{Pf gr (A') ex:

(3)

K (Mf (A» o (A) ) K

by

by Ko{Pf gr(A o» (t] I8l K (A » Z o 0

:It

Then there exists an

(6) ,

resolution 2.3,

by n E R

2.1.

such that

znT = 0 .

has a finite filtration whose terms are the annihilators of the

-rious powers of

z

and the corresponding factors are finetely gene-

rated graded B-modules. There is an inclusion

gr (B) ....

B-module is regarded as an A'-module annihilated by K (T) o -

gr (B» by devissage,

ce ".

".

"'"

K (Pf gr (B» by resolution, o Ko(!:.f gr(A o Z[t]

I8l

» by

2.3

(Pf (A » Z K0 -0

by 2.1

Thus there is a commutative diagram with exact top row

B

:!',

z . Thus

where a

296 Let degree

P E

P

over the graded ring

0

Z[t ll8l z

and regard corresponds to

cdll8l[P)

is

[Bl8l

A

o

P]

as a graded module concentrated in

A ( = B0)' The element o [PI in gr(A

.

If we use the resolution theorem and replace

is

o»

in

and so

M on the top

by

B just regards a B-module as an A'-module annihilated by

row, then Claim -

P

1 I8l [p]

In

K o

I8l A ). o

[B I8l P 1

gr (A' » ,

B

(where

0

- flat right

A modules by 3.1 (2) and (7). Thus o A' I8l P B I8l P 0 is an exact sequence of graded left

A'z I8l P

A'

[A' z I8l P}

The sequence

o

A'z

[A'I8lP]

z.

is an exact sequence of left A'

0

A'-modules. Thus the claim is proved. Since

A'

is!

A' z

r

A' I8l P

les but as graded modules,

is isomorphic to A' z I8l P

A' z I8l P

as ungraded modu-

is isomorphic to a reindexing of

A' I8l P

(as described in Section 2) in which the nth component of A' z I8l P corresponds to the n-l t h component of A'18l P • So [A I I8l P)

y (1

I8l [

P J)

bu t

[A ' z I8l P]

II

So

[B l8lP] 1---7[A'I8lP]

Thus

max(d(x,y),d(y,z». tels que:

< I ell til pi < I cllu liT I·

0 < E < 1 , slbl < cltJ

et prenons

tel que

(voir 2.3(ii». Alors Itav-tSdl = Itav-bpv+bpv-bTd+bTd-tSdl

D'apres 2.3(iii) il existe




S E S, a

a

0, alors il existe

i

E A

tels que

c.

-I

a. (I .,;; i .,;; n ) .

en (muni de la topologie produit).

la suivante : soient donnes s E S

s

et

al, ... ,a

d(x.,(s,a.»


0

C . Soit

E

s

-I

a

avec

a

At

E

est dense dans

2. C et prenons, d'apres 2.3(i),

tel que lat-pal 1

L

i+ i

and condition a)

­­­+X­­­+'l:M

i+ i

­­,lJo

0

imposed on

be the almost split sequence in

333 G[C).Define

+1 to be the full

all predecessors of

subquiver of G(C)

supported by

and

only have to show that each indecomposable

direct summand Y of X has finitely many predeces:30rs and does not lie on an oriented cycle.If are done.If

Y

Y is not projective

P(x),each R. (x) J

lies on

K and we

belongs to

n

a preprojective component of

G(Sub RB.(x)),and our claim follows from part b)i) J

of 2.2.

Now,we can calculate K only by considering dimension types as in

2.4

the well-known case Sub M=mod A ( see e.g.

[;\S]).

We assume that we know all Dim P[x),x

Go,and the corresponding

Dim R [x) as well as Dim M.The only difference to the case Sub M=mod A i o is that we do not only keep track of Dim U but also of (U,M). Proceeding as in the proof of the theorem and starting with a s LrnpIe projective, ble

we assume Dim U and Dim

maps U

to be known for all irreduci-

between indecomposables.By 2.1

U=R. (x) for some i}.Set a=L:. \P[x),M>

x.X

].

+

L:

u.....v

U is Ext-injective.In the other case a equals

c) we find

0

\'l:U,M)

out

-

and Dim

X iX

. If a' 0 can be

calculated easily. Of course,it may happen that we do not yet know Dim R.(x). Dim U J

for some x and some j.Then we have to start with another simple projective and so on,which can be quite cumbersome. To obtain a finite algorithm which decides whether K is finite or not,one can use the results of Bautista alld Brenner on bers

replication num-

(8J).If the assumptions of theorem 2 or 3 are satisfied it is of-

ten more convenient to use the theorem of Ovsienko. Finally we present two easy examples: a)Let Q be the quiver

and define A by the rela-

!i t Set M=I(1) Dim U,U then Dim

e

K,in the 'l;U

1(2)

e

I(5).Then all assumptions are satisfied.We draw

(x,y)-plane.If

has position

tions

'l;U exists and Dim U has position o (x+2,y).The encircled numbers measure

Lx s y )

If we only want to know whether K is finite or not,it is enough to compute only the encircled numbers as soon as all projectives have appeared.

334

o

V)

'""I':"O'"'t"O

..,.. 00

00

-e- 0 0

66) ...j

...

.......

""C:''C"''\"'T

-e

6R --7A Q B is an exact sequence of

w,-v»C

R-mddules. By flatness 0--75

G> B'

(u

0

S,-v

0

S).,c,

is a pull-back if,

345

is a exact sequence of

S-modules; that is the diagram (2.2) is a pull-back

diagram (of S-modules of

COROLLARY 3 : {T : I i

i

p

S-algebras).D

be a divided prime of an integral domain

r} be a family of indeterminates over

D and let

D; then the following

diagram of canonical homomorphisms R r

=

A

=

(Dr) r

» D/p[ T1'" .• TrJ

D[Tj ..... TrJ

1

1

» K(p)[ T1'"

Dp[T1' ...• Tr J

.• TrJ

B

r

C r

is a pull-back diagram.

PROOF

Immediate consequence of Lemma 2

DEFINITION 4 : Let indeterminat.es over q(o)

=

and definition of a divided prime.D

R be an integral domain and {Tj •..•• T r} R. Let

Q be a prime ideal of

Q n R. For every permutation

0:

a finite family of

Rl: Tj .' ". TrJ

{I •...• r } ..,. {I •...• r

l

we can consider and the

the associate ordering of indeterminates contractions of the ideal q

Q:

(o(k))

• we define

where

We write simply *Q. when

PROPOSITION 5 : Let

(V.m)

0

* R.o

Q .Q.!..

is the identical permutation.

be a domain of finite dimension d.

be a finite family of indeterminates over

V. For every prime ideal

{Tj ••••• Tr}

Q of

346

ViT], ... ,T

r],

preserving the notation of

(a)

ht(Q)

(b)

For every permutation

= *Q +

ht(q(o))

If

R =

ht (Q)

{l,2, ... ,r}..,. {l,2, ... ,r}

"

ViT. , ... ,T. ], where

---

We can suppose that

(5. ] )

0:

*Q;

Q (c)

DeL 4, we have

q

(0)

{ i l ' ...

,i . } C {L, ••• ,d, J

"

m. Moreover, we recall (cf. [5]) that

ht (Q/m[ T] , ... , TrJ) + ht (m[

T] , •••• TrJ)

,

and (5.2)

ht (m[ T I , ••• , T sJ )

h t Im)

d, for every

As a matter of fact, the only prime ideals m[ T1'"'' Ts] are the prime ideals ideal of

p

(0)

P

]

< s < r.

of

ViT , ••• ,T 1

[T J"'" T),

p

contained into

(0)

is a prime

V.

(a) For the sake of simplicity,we denote by

because

where

sJ

K(m)[ T] , ... , TrJ

(cf .] 13, Th. (5.4)

*

q

the ideal

q

(r - ]

)*

; then

is catenarian. On the other hand, it is well-known

38 and ]49J) that

*

if

Q ;;

q

if

Q

q

ht(Q/q* )

*

347

(5.5)

h t Iq

(r-I)

/m[TI, ... ,T

r_ I])

So, we get ht (q ( r - I » ht (Q)

(5.6)

+

I, if

O:J q

*

Q

*

-1

=

( ht(q(r-I» and, by induction over

, if

q

r, the announced formula.

(b) Follows easily from (a), because for every permutation

*c

Q

=

0,

we have

ht(Q) - ht(q(o».

(c) We notice that

Moreover let for

I

k

0

:{1,2,... ,r}

+

{1,2, ... ,r}

be a bijection such that

j. Then

In conclusion,

We want to study now some properties of the function i

*0 q(o(i»'

LEMMA 6:

Let

when

0

varies and

0.

is fixed.

e:

{1,2}

+

Q

u ,... ,r}+lN

R be a polynomial ring over a finite dimensional valuation

domain in a finite number of indeterminates. Let minates over

*o

R. Let a : {1,2} {1,2}

+

{1,2}

Xl' X 2

be two other indeter-

the identical tranformation and

the opposite order transformation

(I

2, 2

I). Let

Q be

348

*Q = 0

(a)

or

then

*q (b)

(o Ci)

=

*Q = 2 ,

* q «(l(i»

0';; i, .;; 2.

for

o>o ..£!.

*Q = I, then for

0=13.

PROOF (a) If

*Q=O, then necessarily

*Q=2, then necessarily

If

(b) Suppose that f(X f(X

I) I)

E K(q (0»[ XI] E K(q (0»

(X

2)[

*q(a(l»=l. Then

that

=