Séminaire d'Algèbre Paul Dubreil et Marie-Paule Malliavin: Proceedings. Paris 1980 (33ème Année) (Lecture Notes in Mathematics, 867) (French Edition) 3540108416, 9783540108412

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Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Dold and B. Eckmann

867 Seminaire d'Alqebre

Paul Dubreil et Marie-Paule Malliavin

Proceedings, Paris 1980 (33eme Annee)

Edite par M.P. Malliavin

Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork 1981

Editeur Marie-Paule Malliavin Universite Pierre et Marie Curie - Mathematiques 10, rue Saint Louis en l'Ile, 75004 Paris, France

AMS Subject Classifications (1980): 05A 15, 12A85, 13F15, 13G05, 13H15, 13N05, 14D99, 14FlO,14H99, 14L30, 16A08,16A15,16A27, 16A33, 16A38, 16A39, 16A62, 16A 72, 16A 74,17 B35, 20 B25, 20ClO, 20 C20, 20 G05, 22 E35, 58A 10,58 B20, 58 C40 ISBN 3-540-10841-6 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN 0-387-10841-6 Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin

CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Seminaire d' Aigebre Paul Dubreil et Marie-Paule Malliavin: Proceedings! Serninaire d'Alqebre Paul Dubreil et Marie-Paule Malliavin. Berlin; Heidelberg; New York: Springer 33.1980. Paris 1980: (33.annee). - 1981. (Lecture notes in mathematics; Vol. 867) ISBN 3-540-10841-6 (Berlin, Heidelberg, New York); ISBN 0-387-10841-6 (New York, Heidelberg, Berlin) NE:GT

This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means, and storage in data banks. Under § 54 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to "Verwertungsgesellschaft Wort", Munich.

© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1981 Printed in Germany Printing and binding: Beltz Offsetdruck, Hemsbach/Bergstr. 2141/3140-543210

Liste des auteurs

J. Alev p. 351 - M. Bayart p . 174 - G. Besson P> 130 - J.E. Bjork p.148 F. Couchot p . 380- J.P. Van Deurenp. 295- D. Eisenbud p.141 J.\ IP

y

ing, there is an automorphism any automorphism locus of 1T

-1

of

(p) 4

1T

I 2, 3.

be an algebraically closed field of characteristic

Y

1

If

k• of

TI'

IP

I

E

leads to the discovery of is another double cover-

:

such that

1T'

=Y

0

1T.

yields another (isomorphic) double covering.

is denoted by

B

1T

.

Then

consists of exactly one point.

in

P

IP

1

k

is in

B

Conversely, The branch

if and only if

Again it can be shown that

B

1T

consists

distinct points

)}

{( Conversely, given

4

distinct points

and a double covering

1T: E -> IP

I

B

B

1T as above, there is an elliptic curve

with branch locus

determine elliptic curves, up to isomorphism. we can study sets of

4

distinct points in

B.

So the branch loci

Thus to study elliptic curves

/k,

If we want functions on the

space of elliptic curves that are constant on isomorphism classes and distinguish that

isomorphism classes, it should be enough to consider functions on somehow depend on sets of

4

distinct points, no matter how they are ordered,

but are also invariant when those points are moved about by We can begin to normalize by finding

y E Aut (IP

1)

Aut(IP

1).

= PGL2(k)

such that

3

Y( yr

a

b a

l b

Y[ Then

where

,\

a

b

0

1

I)

1

1 2 ] = ( 2

[1 ]

3

0

3

Y[ a 4] b 4

[ ]

# O,l,co

Let

y

(Such a

- b l (a

1

]

,\

B,\ = {O,l,co,'\}.

is the matrix

a

3b2-a2b l),

1

(a

3b2-a 2b 3)}

Then

[ -b3(alb2-a2bl)' a3(alb2-a2bl)

y

[:44] (a (a

=

f (a lb4-a4b l) (a 3b2-a2b3)] ,(a

3b4-a4b 3)

lb 4-a4b l) lb2-a2bl)

(a (a

(a

so

lb2-a2bl)

3n 2-a2b3) 3b 4-a4b s

) ,

the cross-ratio between the four points.) The extension covering is

k(x) + k(x,y)

corresponding to this normalized double

y2 = x(x-l) (x-,\).

The group of permutations on four letters just permuting the points.

slB,\

{l,O,co,'\}

s2B,\

{O,co,l,'\}

s3B,\

{O,l,-l,co}.

If

S4

S4

acts on the branch locus

is generated by its neighbor transpositions

4

For any

w E 54'

we can find

y (w{O» w

0

y (w{l»

1

w

yw E PGL (k) 2

so that

y (w(co» w

Then

y (wC\» w

=:

>..W.

A calculation shows

1 -

>..

1 -

>...

In particular we get an action

where

U

lP

1

- {O,l,co}

defined as above.

o

if

for

1 lP = Proj (k [X, Y]) f{X,Y)

lP

1 by k

o

1

Let

This action extends to all of

1,

and consider how

is homogeneous and

w E 54'

So we calculate:

etc.

54

acts on

the rule is

Proj{k[X,Y]).

In general

5

* a (slX) (b)

* a (SlY) (b)

b.

a X(sl (b»

X(b-a) b

b - a

Hence

*

*

Y - X,

SIX

Y.

slY

Likewise

*

*

s3 Y

Y - X,

s3 X

Y,

and

*

s2 X

*

X

s2 Y

X - Y.

The general action then is few *x,w *y).

w* f(X,Y)

In particular, we have the

I-forms

kX + kY

V

and a (linear) action

S4

x V +

v,

which extends to an action

S4 x

s· (V)

+

S' (V)

on the symmetric algebra

S'(V)

It is clear that sentation of that by

S4

over

k.

dim

of k

v.

V = 2

and that

V

is an irreducible repre-

(The representation is not faithful.

It is clear

fixes each element, and therefore the normal subgroup s

ls3

S3 + GL(V)

is in the kernel of is an injection.)

S4 + GLk(V).

The quotient group is

V

generated

S3

and

6

There are now two exercises. ]pl

The first is to determine the quotient

E

(or if we want the faithful action

if it exists. The second is to determine the ring of invariants

k[X,Y]

53

(where we have used the faithful action). Then we must compare the two. Let since then

P(X,y) =

char (k)

k[X,Y]

E

given by

!

E(g)

x

3

-

6

61

2 2 2 Tr(X ) = X - XY + Y

2,3,

-+

I' L

wES 3

k(X,Y]

w(g)

53

is surjective.

and

i t follows that

(k[X,Y]: k[P,Q]) Hence k[X,Y]

53

and

the homomorphism

xp(x,y) - Q(X,Y)

k [p,Q]

The second problem is an easy exercise.

< 6.

0

Since

7

We can use this to help in the solution of the first exercise.

For

we have a map

proj(k[X,Y]) + proj k[P,Q].

Since

deg P

2

and deg Q

3,

we know that

Pro]. k [3 P ,Q2]

proj k[P,Q]

Consider the map

gotten by

a _ alb) -

[28p {a , b 2 ) 3j '

This is well defined since Q(a,b) ) a = a = b. It is also clear that

implies that

Let us examine the fibres.

It is clear that

a-1 (00) a

-1

w

W

(0) = {(l)' (l)}

a-1

3]

=

where ,

w

3

+ 1

a

}.

The remaining points have complete fibres, namely

where j (;")

2 8 (;.,2_;"+1)3

;.,2(;"-1) 2

p(a,b)

o

Q(a,b)

8 Consider

II'

l

_ {Do}

II'

Since

II'

l _ {Do} = ,,1

cr·

and its pre image under 1

-

{Do}.

with

1

jA = Spec k [j] 2

Q

considered as the complement of Spec k[x,(x(x-l»-l], k [x, (x Ix-T)

and since

= 0,

II'

{O,l,oo} on

we get an induced action of -1

1

1

given by

Let

p

Ix)

x(x-l) + 1

and

q(x) = x(x-l).

k[x,(X(X-l»-l] = k[2

Again a calculation shows that

8

q(x) The map

jA 1 -

crO.)

{O,l}

jAl

3 j(;\.)

q(;\.)2

is that induced by

k[j] T k [x,q(x)

So the elliptic curve Then

j (E)

= 2

8 p(;\.) 3 q(;\.)2

then

E ;; E'.

defined by

in

jAl

E

-1

]

is given by

j -+ j (x) •

determines a branch locus

is an invariant of

E.

If

1 {O,l,oo,;\.} C II' •

j (E)

= j (E'),

9 Geometry:

The family of elliptic curves over

jAl= Spec(k[j]). the classical

k

is isomorphic to

(A coarse moduli space for elliptic curves.)

This

is

j-invariant.

Invariant Theory:

We have seen several actions of

53

(and

54)

on commutative

rings, computed the invariants and seen how this helps to determine the geometric quotients.

Representation Theory: of

k[X,Y]

The action of

53

(and

54)

on the linear terms

arises from a 2 dimensional representation of

three irreducible representations (when and alternating

char (k) f 2,3),

53.

This group has

nameJy the trivial

l-dimensional representations, and this two dimensional

representation.

Commutative Algebra:

The ring of invariants of

53

acting on

k[X,Y]

again a polynomial ring, whose properties are quite well understood.

is

10

II.

N-ary R-forms Let

be a field and

k

variables.

is a homogeneous polynomial of degree

R

in

R-form

An

k[Xl, .•• ,XN1.

A general form

can be written

I

X

I=(i l,··· ,iN) I = il+···+iN=R where the in

AI

GLN(k)

are considered to be variables.

and let it act on the variables

iN

N

Let

{xi}

be an e lemen t

g by

N

I

g .. x .•

J

j=l We define an action of

g

on the

AI'

denoted

and then extend this action to all polynomials in k[{A in a

X: GLN(k)

If

I}].

g

in g *F

for all

by

I I=R ].

k [{A } I I

is a linear character, an element

x-relative invariant if g *F

for all

k

X

g * AI

X(g)F

GLN(k)

and it is an absolute invariant if

F

g. Consider the exact sequence

Let

F

in

SN,R

11

since for

X(g) : GLN(k) (If

(det g)b

for some

n E ZZ,

is an invariant for

SLN(k).

k : k,

or if

has

k

Nth

be recovered from

SLN(k)-invariants.

of

A-Id

is given by

If

F

is homogeneous of degree

if

F

is a relative invariant, then

on

N

and, provided

AI

F

a,

g

Nm

then

it follows that a relative invariant

roots, then relative invariants can

Notice that for

in SN,R'

-Rq.

Let

X

AE k ,

the action

then

So

g E GLN(k)

and write

g

where

gl E SLN(k). and

If F

F

is an

Also let

p

ged(N,R)

with

N

Then

SLN(kJ-invariant, then

is a relative invariant for

g *F

A*F

X(g) : det(g)M.)

Cayley first asked to find all relative invariants - he wanted an algorithm, and many authors have studied the problem since Cayley and Sylvester began their investigations over 100 years ago. Faa de Bruno [1876] lists those who made contributions up to that time and Schur [1968], Popp [1977] and Springer [1977] have more recent bibliographies. An algorithm to find these invariants led to the symbolic method for writing the invariants, but the computations became much too difficult to

12

carry out.

Not much progress has been made in explicitly describing these SLN(k) S invariants. In particular, let P denote the ring of N,R N,R invariants. The following list is known

k. k [de t.I A. ,)]

lJ

where

I

x.A .. x ,

l lJ J

i,j is the form.

2-form,

A, . = A., lJ Jl

and then

is the general symmetric bilinear

(A, .)

lJ

These calculations, as well as the next two can be found in Schur [1968].

Explicit generators and relations (syzygies) are known for

R < 6 P

•

< 3

R

3,R'

Shioda [196 7] has found generators for (In case

N = 2,

In fact in case

write

f(x

P2 , 8

P2,7' l,x2)

N = 2, R = 3,

j{

I

=

i=O

and

R-i i x AiX l 2

P 3,4· so that

just as in the case

N

A r-i,i 2, R

the discriminant of the form is the only invariant. In case

N = 2, R

4,

there are

invariants: The Apolare

and the Hankel

1

6 P,

determinant:

where

2

algebraically independent

2,

A .• ) l

13

det

Al

"""4

"""4

""6

"""4

"""4

A 4

A 2 6

=

A 2

A O Al

A 2

A 3

A 3

=

_1_ det (12) 3

4

(12)

l

2A 2

3A l

2A 2

3A 3

2A

3A 3

12A 4

O

2

_4_ {72 A + 9 A IA2A3 OA 2A4 (12) 3

=: - - 2 Q (A

3A l

12A

6

+

-

O'··· ,A 4)·

It follows that

which is also invariant. Consider two special cases:

Then P(O,l,-(1+;\) ,;\,0)

Q

l

(0,1,-(1+;\) ,;\,0)

=

;\2 - A + 1

and

(;\+1) (2;\-1) (1.-2)

Weierstrass: Then

It is clear that there is a relation with elliptic curves.

14 In particular

where

kID]

D

P, Q l

where

are as above.

(From the previous section

or 2

Q l

4p

3

2

- 27Q .)

The problems stated here can be framed in a representation theoretic picture.

Let

N =

V

V.)

1.

minant of

G

Let

be a finite dimensional vector space over G

SLk(V), th R

Then the

the space of

k-automorphisms of

symmetric power, R S (V)

as does its dual space

*

SR(V),

of

SN,R

of

by the

V

G-action.

The

is chosen. q

V

of deter-

affords a representation

(the contragredient representation).

Then consider the ring of symmetric powers of when a basis

(He wr i. te

k.

th

R

S (V)

*•

Then

This is just

is the ring of invariants is

homogeneous component of

So we can ask for the decomposition of this space into its irreducible spaces. 1

k).

= 0,

(Some restrictions on

2

m 2

2···2

k

are necessary.

We assume

k

k

for example.)

The irreducible m l

G-sub-

There is an invariant if there is an irreducible subspace of dimension

(over

char (k)

SN,R

m N_l

2

0

G-representations are parameterized by sequences

(of weights)

cf.

[Hartshorne (1966)].

So it would

be sufficient to know the decompositions of these symmetric spaces in order to calculate the invariants.

and

15

For

G

known.

=

with (Suppose

V

=

char (k) = 0

For problems that arise in case (1978)].)

The irreducible

know that for

q

2,

the algebra of the irreducibles is well

and that we have then identified char k = P > 0

G-modules are

see

sq(V)

sq(w*) = sq(W) *.

IV and [Alrnkvist-Fossurn

for

0

q.

Furthermore we

p sq+p-2v (V) ,

v=O a decomposition of

G-modules.

(This is the "formula of Clebsch-Gordan" [Springer (1977), p. 50]. rather simple proof, that we give in the appendix.

It goes by induction from

the decomposition

From this formula, it follows that the "binomial coefficient"

[

]

:=

is a well defined representation of sq+v-l(V» ] sr (sq(V»

-

and

sq-l (V) sq-l(V)

!l.r(sq(V»

-

sr-l (V)

]

G

and that

It has a

16

Apply this to the case sl (S2 (V))

s2 (S2 (V))

R

= 2.

s2 (V) S2(V) 9 S3(V)

s5 (v) Gl S3(V) Gl Sl(V)

So(V) @ sl (V)

Sl(V)

S4(V) Gl So(V)

(I-invariant) the discriminant

S2(V) @ S3(V) @ S4(V) So(V) @ Sl(V) @ S2(V) S3 (V) @ s4 (V)

S7(V) Gl S5(V) Gl S3(V) Gl Sl(V)

Sl(V)

sl (V)

s6 (V)

Gl S2 (V) •

In general

and there is an invariant only in case

r

is even, and then only one of theml

So it must be the power of the invariant from What about

R = 3.

1 3 S (S (V))

3 S (V).

4

S (S

3

(V))

There is an invariant, the discriminant again.

S2(S2(V)).

17

In case

R

4 8 0 0

S (V) @ S (v) @ S (V), to

yielding an invariant, proportional

P.

yielding an invariant proportional to

the

Ql.

2 P .

component being an invariant corresponding to The general problem can be stated:

the representations

sq(SR(V))

Determine the decomposition of

into irreducible

representations.

The ideal theoretic properties of the invariant rings are now better understood, due largely to the following result by [Hochster and Roberts (1974)].

Theorem. a field

Let K

noetherian

G

(of arbitrary characteristic) acting K-algebra

In case dim V

2,

be a linearly reductive affine linear algebraic group over

S.

K

rationally on a regular

Then the ring of invariants

char (k) = 0,

the group

and linearly reductive.

SLk(V)

Theorem.

sG

is

is semi-simple provided

By [Fogarty (1969) V Ex. 5] the ring of

invariants in the theorem above will be factorial if by [Murthy (1964)], the ring

SG

S

will be Gorenstein.

The ring of invariants

is a factorial Gorenstein ring (in case

char (k)

0) •

is factorial.

Then

18

(See also Geyer's paper in [Popp (1974)] where these problems are char (k) = P > 0.)

considered in case

We conclude this section with a brief mention of the geometry involved. For more details see [Mumford-Suominen]. The group through

0

in

SL (V) k

V.

acts on

V

and hence on

IP (V),

Hence there is a diagonal action of

the space of lines

SLk(V)

on a product

and this action commutes with the natural action of the symmetric group

SR

on this product. Let

0

SR(V)

W all

a

a

a

a

2l

a

Nl

and define a map a

12

a

22

a

N2

O:IP(V)XR

-+

IP(w)

lR

2R

(b.

1

1

"

. ) N

.1

where

NR

i

R

IT j=l

(a .. X 1)

1

+ ••• + a

N) N

N

i + .. ·+i =R

1

structure through the action on

X N

L

.X )

Note that this action is

N

equivariant, when

W

V.

(On the affine level, this is just

Let

by

IP (V) (R) = IP (V) xR /SR.

IP(V) (R)

-+

IP(W) •

SO there is induced a map

gets its

SL (V) K

19

Now we want to study the projective space action.

If

2 = dim V,

lP (V) (R)

with an action of For even

R > 4

lP(w)

with this

SLk(V)-

then

-

SL

2(k).

R = 4

we are "close" to the study of elliptic curves.

For

this is related to the study of hyperelliptic curves.

summary and Conclusion

Geometry:

There is an action of

SL

and in general an action

on

2(k)

(N+R-l) -1 of

SLN(k)

on

N

lP

whose orbit spaces, although not always well

defined have subsets that are interesting algebraic sets. and

N = 2,

In case

R

one can get a coarse moduli space (see [Mumford-Suominen,

4 4,

Prop. 2]) for elliptic curves. Invariant Theory:

The action of

GLk(V)

and

SLk(V)

actions of these groups on the symmetric algebras

on

SR(V)

S· (SR(V)).

induces

Those invariants

have been studied for many years. Representation Theory: are well known.

The irreducible representations of

SL(V)

and

GL(V)

The "Algebra" of these representations can aid in finding

the dimensions of the space of invariants. Commutative Algebra:

The

unique factorization ring, and

(V)

invariants of

S· (SR(V))

a regular ring.

form a Gorenstein

20 Appendix:

Proof of the Clebsch-Gordan Formula. Let

char k = 0.

Suppose

V

is a vector space over

k.

Let

(r,s)

be a pair of integers and define

Then define d r: Mr,s + Mr-l,s+l s by r

L (_l)r-l

vI

11 ••• 11

vJ.'

11 ••• 11

i=l for

vi E V

and

w E SS (V).

v r

It is clear that each

is

@ V.W J.

GL (V) -equivariant. k

Define also e S: Mr,s

+

r

Mr+l,s-l

s

L

i=l It is clear that

e

s r

(wllv i) @ vl···vi .. ·v

is also

d r+ l s-l

s•

equivariant.

A calculation shows that

(r+s) Id.

Hence the complex

is exact and splits as a

GLk(V)-sequence.

get the complex which is

GLk(V)-split.

° since

Mr,s

Apply this to the case

+ M2,r+s-2 + Ml,r+s-l + MO,r+s + 0,

°

for

r > 2.

Hence

dim V

2

to

21

as

GLk(V)-modules.

Theorem (Clebsch-Gordan Formula): m

There is a decomposition

(m < n)

sn+m-2v (V)

al

v=O as

GLk(V)-modules.

Proof.

Go by induction on

m.

The case

m = I

is the formula above.

If general, suppose the formula holds for m

m.

Then

sn+rn-2v (V) @ V.

al

v=O Hence we get

m ( al

sn+m-2v+I(V»

al

m

( al

sn+m-2v-I(V»

•

v=O

v=O But n

S (V)

@

m-l

s m-l (V)

al

S

n+m-2v-1

(V)

v=O by the induction hypothesis.

As the modules

S r (V)

are irreducible

GLk(V)-modules, it follows

that

m--L al

sn+m+1-2v (V)

v=O (unless complete •

rn + I

> n,

in which case the argument is left for the reader to

II

22 Symmetric Groups

III

In this section we turn to the study of representations of finite

S .

groups, in particular the symmetric groups Let a

V

be a vector space over

k-module in case

k

is not a field.)

n

k.

(In general we could consider

Suppose

G

is a group and

is a group homomorphism yielding a representation of n EN

Gover

k.

Suppose

and set n times

V'&1 k

As before

for

g

G

in

acts on

G

u ,a. ... ,n}

by the diagonal action, viz.

v ],, E V.

and

Identify

Sn

with the permutations of

(acting on the right of elements) •

'!hen

n

V

becomes an

Sn -

module by

for

w E S.

Note that the

n

Suppose is a right

G

and

S

actions commute.

n

W is a right representation of

kS -module. n

(W,Tn(V»

S

n

over

k,

that is

W

'!hen the set

=: W(V)

n

becomes'a

G

representation over

W =: W[V]

Tn (V)

kS

n

k.

If

W is a left representation, then

23 is also a representation of functors of Examples:

S

Nth

The

symmetric power of

1

symmetric power of

:=

the quotient of form

vI 8 v

V

V

n) •

These are called the Schur

= ul

This is the trivial

8 kS

n

kU l

be the free

giving the left action

kS -module. n

Nth

Then the

ku l• n V.

This module is usually defined as

modulo the submodule generated by all tensors of the

8···8 w 8 w 8···8 v

2

W

w ES

for all

exterior power of n

Let

V.

is the Schur functor

..;'-(V)

Nth

The

wu l

with

w (for all

on

n

k.

V.

k-module of rank of

Gover

Q C k,

In case

n"

we can get the

Nth

exterior power n (ku _l,T (V»

:=

n

where

u

w = (-1) .QAw) u

-1

Set

S2(V)

is the alternating representation of

-1

:= HornS (kul,V

In general, let

i

2

v:

82

Sn "

).

Hom (kul,V kS

82

)

82 V

denote the inclusion

2

defined by

for This map is

GLk(V)

equivariant.

let

Define

e.: W. l

l

v8N

by

For general

N Ern,

and for

1 < i

< N,

24 and then

e:

v

module of

N-l III W. l i=l

eN

eN

V

as the sum of the

e.. l

Then

Im(e)

generated by the tensors mentioned above.

is the sub-

So

:= Coker e.

This defines the exterior powers in terms of Schur functors, independently of the characteristic.

(Note:

Let

S3 (V)

tion maps along the inclusions

induce homomorphisms

and

The following sequence of modules and maps is a complex that is acyclic at least when

(III.l)

o

-+

C k.

S3(V)

All the maps are

--r

GLk(V)

equivariant.

Now it follows that

(WI III W (V) = WI (V) III W 2(V) 2)

as

G-modules.

So to know all schur functors, it is sufficient to know the indecomposable Schur functors.

In case

representations of

sn .

m

k,

these are obtained from the irreducible

(See [Macdonald (1980) 1.)

once we have a representation of we can form the symmetric algebra over In Case to determine the

G = SLk(V) , SLk(V)

and

W

invariants of

k

G on

ku

l,

on W(V)

V

and then on the

W(V),

and ask for the invariants.

we are back to Cayley's problem,

S·(SR(V)).

Or we can consider

25 representations Sm

Sm

GLk(V)

+

and then the associated representations of

on the Schur functors of

V.

These lead back to other topics in classical

invariant theory.

Examples: want

Let k

m

and suppose

for some of the calculations.)

muting a basis of

V,

s'

(V)

Then

Sm

the regular representation of

= k[Xl, ••• ,Xml,

S·(V)

m > 1,

be an integer,

a polynomial ring.

V

= m.

(We

V

by per-

acts on V

over

k.

Then

It is well known that

S m

where

-rr (l i=l m

The

El, ••• ,E

m

Let

s' (where

Am

+ X.t) =: are the elementary symmetric functions in the

-rr i O

an element in

and

acts on the homogeneous components of the symmetric

For a graded ring

P (t) A

a

1

(G:l)

:

Let

l

gEG

A

S. (V)G.

det (l-gt)

-1

Then

30 When

G

5

m

and

for

A = s.(V)G.

=

m

A

m-1 , 1)

is the regular representation, then

When we consider the representation

5

S. (S

V

,

S m-l,l

and consider

then 2 -1 m -1 (l-t) • •• (l-t) •

On the other hand, consider the irreducible representation of

55

of dimen-

sion 5 corresponding to the partition (3.2), in characteristic zero.

The

Mo1ien series is

2 (1_t «1_t 3) (l_t4) (1_t 5 ) (1_t 6) d -1 which is not of the form IT(l-t i) and hence the ring of invariants is not a polynomial ring.

Summary:

Geometry.

The irreducible representations of the symmetric groups induced

actions of these groups on projective spaces.

The orbit spaces sometimes

classify families of varieties, ego elliptic curves.

Invariant Theory.

The classical symmetric functions are invariants for the

regular representation of

5 . n

In characteristic zero, the invariants form

a Cohen-Macaulay ring, but not necessarily a GOrenstein ring.

And the ring

need not be factorial.

Representation Theory. understood [James].

The representations of the symmetric groups are well

31

Commutative Algebra.

The invariant rings form a wealth of examples that

can be used to substantiate or defeat conjectures.

The algebra of the

representations of the symmetric groups is used to find resolutions of determinantal ideals [Lascoux (1978), Nielsen (1978),

IV.

(1979)].

Invariants in positive characteristic.

The problems encountered in invariant theory when the ground field has positive characteristic are manifold.

In the first case, there are few linearly

reductive groups, so the Hochster-Roberts result does not hold. discussion, the field

k

p > 0.

is assumed to have characteristic

blems arise already when one considers

cyclic

p-groups.

V = r,

V

be a finite dimensional vector space over

and suppose

minimal such number,

u, V + V

satisfies

(U-Id)r

Then there is a basis

ue. J

for

1


A[[T]]. VaYiJ.> c.e. C.M,.60Yt ondJ!.e. d'butedu.c.-

tibLtUe e.xMde. e;t vaut 1. Demonstration. D'abord, si fest i r r educ t i.bl.e et f(O)=O, T divise f done e.st.associe a f et eelle-ei est bien de la forme T.u(T), u inversible. Reeiproquement, Test irreduetible ear l'anneau quotient A[[ T ]]/T, isomorphe a A, est integre, etl'ideal engendre par T est premier; par suite, tout element assoeie a Test irreduetible. Quant a la seeonde assertion, il suffit d'etudier l'ordre d'irreduetibilite 2

de T. D' une part, toute s e r i,e congrue a T modulo T

2

es t de la forme T + b • T + ... 2

et est done irreductible d'apres la premiere partie de la demonstration: Test 2

2

irreduetible modulo T ; d'autre part T , qui est reduetible, est congru aTmoduloT. En definitive, l'ordre d'irreductibilite de T est bien 1, d'oll Ie lemme. Le lemme IV.13 montre que (Ti) est vrai pour tous les f de terme constant nul. II l'est trivialement lorsque Ie terme constant est inversible, premise et conclusion etant alors fausses. Seules restent done a etudier les f telles que f(O) n'est ni nul, ni inversible. Dans ce qui suit,

nOIlS

de s i gne r ons par: A[[ 'I"] ]'

I 'ensemble des f E A[ [ T]] tels que f(O)# 0, A[ [ T]]" celui des f tels que f(O) soit non nul et non inversible.

IV. 2 - CONDITIONS SUFFISANTES POUR (T). IV. 2. 1- Soit N E :IN, notons (EN) l'enonce suivant: pour tous F, G, HE A[[ T ]]', il existe un entier r(F,N):> Net deux parties finies I(F,G,H,N)

c

A/G(O),

J(F,G,H,N) c A/H(O) - notes r, I, J quand F, G, H, N sont fixes - tels que, pour g et h E A[ [ T]], la relation F _

(e)

g _

h _

g.h [T r + l] N 1] G [T + H [T N+ 1]

entraine que la classe modulo G(O)(resp. H(O»

du coefficient de

appartient a I (resp. J). Cela pose, on a PROPOSITION IV. 2. J.

s: tous

leA (EN) .6Ont vte.a..u."

(T) I' eAt

a.t.L6.6i.

Demonstration. D'apres Le IV.13, il suffit, pour tout f appartenant a AllT]]", de montrrr que l'enonce "pour tout N, (EN)" implique (Ti). Supposons done que, pour tout entier n, i I existe gn et h

n

dans A[ [ T ]]" tels que:

182

(I) f '= gn·hn[T n

n+1

l : gn =

l:

kElN

n k bk·T,h = n k

n

et Ie lemme II 3.1 de [I] montre qu'il existe une partie infinie O -] n n . de :IN et des un inversibles dans A (n E 1 ) tels que u .b et un'c 0 0 O O -I n independants de n. Remplacer gn par un·g et h par un .h permet de supposer que n n n n n (2)(1) est vraie et b b Co = Co sont independants de n E 10 , o O'

Donc f(O)= bO'c 1

a F f,G b o' H = Co et posons r O = r(f,O). Alors, vu que (2) entraine (e) des que nest sUDerieur ou ega I a r on a : o'

Appliquons l'enonce (EO)

pour tout n E 1 0 , n> r o' TI E I(f,bO'cO'O) et TI E J(f,bo'co'O), bo co Comme 1 est infini, il existe un II infini inclus dans 1 n {r ... J tel 0 O,rO+1, 0 que TIb et TIc soient constants pour n appartenant al ; c'est a direqu'il l . 0b 0 1 et c appartenant a- A tels que : 1 (3) pour tout nEI

Si

- b

l'

est de la forme b

l

[b

l

+

et

O]

'= b l [bo] et

'= c 1 [cO]·

en multipliant gn(n E I

et h

1)par

n

par (I + AI,T), (2) demeure et on a donc, en notant encore gn et h modifiees : (4) pour tout nEI

l'

(1) est

a

gn '= b

O

a

1 et supposons trouves bO,···,b

et cO, ... ,c N N et des gn' hn(n E IN) tels que:

A, une partie infinie IN de

(5) pour tout n E IN,f

n

et

Soit N superieur ou egal appartenant

n

les series

_ = gn.hn

N N+l +., ,+ bN,T [T ]; h

[ n+1 T ] et n

_ = Co

Appliquons alors (EN) a F = f,G = b

o

+ ... + cN·T

+".+

N

[T

N+1

].

N

bN,T, H=cO+.,,+cN'T

N

et posons

r N = r(t,N). On observe ici que (5) entraine (e) des que n est superieur ou ega I

a r N, donc :

pour tout n E IN' n> r N, on a : TI bo Pour la meme raison que ci-dessus, quitte

I(F,G,H,N)et TI

a

substituer

a

J(F,G,H,N). co IN une partie infinie

n {rN,rN+l" .. J et a remplacer gn et h n par des series associees du ,n N+1) .h . I' d ! An type ( + N+!.T N+ ! ) - 1 ·gn' (I + !\N+1·T n, on ab ou t i t a une re a t i on u type(5),

I N+1 de IN

avec N+! a la place de N. Cette recurrence definit deux series g

bk.T

l:

K

k E :IN

et

de plus, pour tout entier N, on a, d ' ap r e s (5): (6) pour tout n E IN,f _ g .h n

n

[T n+ 1]., gn '=g[T N+1],hn '=h[T N+1].

Comme IN est non vide, que ses elements sont tous superieurs ou egaux

a

r

et que N N (cf. (EN))' (6) entraine que, pour tout N, f

ce dernier est superieur ou egal a a gh modulo TN+!, autrement dit f = gh. De plus, g(O) et h(O) sont

est congru

183

associes aux gn(O) et hn(O) respectivement; par suite g et h ne sont pas inversibles, ce qui etablit (T

f ) et

la Proposition IV. 21.

IV.2.2 ­ Nous montrons maintenant que, dans l'etude des (EN)' il suffit de cons iderer Ie cas

au

N = O.

Demonstration. Soient donc N> I, F, G, H, des elements de A[[ T ]]'. Soient aussi r

j

> I un entier qu'on fixera par la suite et g, h appartenant i A[[T]] tels que:

(I) F =: g.h [T rl(N+I)+l]; g =: G [TN+ 1 ] , h =: H [TN+I](et donc F _ G.H [TN+ I]). Soient wl, ... ,w les racines (N+I) iemes de l'unite, toutes distinctes ici N+I puisque, A etant une

sa caracteristique est nulle, appartenant i

cloture algebrique du corps des fractions de A. D'apres (I), g et h sont de la forme (2) g

G + bN+I·T

h

H + cN+I·T

N+I

+ TN+2.y(T),

N+l

+ TN+ 2. neT)

y et n E

M [ T ]].

De plus, pour tout i E {1, .•• ,N+I}, F(W;T) _ g(w.T)h(w.T)[Trl(N+l)+I]. L

L

Donc , avec les notations de [ I ] ,III 1, et n = N+) (3)

f _

i.B

[Trl(N+I)+)].

Mais on a vu (c f , Lemme 111.11 de [I]) que F, g, h sont respectivement de Ia f orrne N+I N+l N+I FI(T ), gl(T ), hl(T ) avec F l , gl et hI appartenant i M[T]]. Par suite, dans la relation (3), Ie module de la congruence est en fait (r et, en y 1+)(N+I) N+ I, substituant T i T on obtient : (4) F

D' autre part, gl (0)

=

_

I

= gl.h

g(O)N+I, hI (0)

=

r

l

[T I

+1

l.

h(O)N+I, autrement d i t , compte tenu de

(I) (5) g

I

=: G(O)N+I [T] ; hI =: H(O). N+ I

N+ I dans Quant au coefficient de T dans gl' c'est celui de T

[

] T.

g,

c'est i dire,d'apres

(2), dans Ie produit des: N+l + W.TN+ 2y(w.T). lIne peut provenir que de G(wiT) + b N+1T N+I N+l TI (G(WiT) + bN+IT ). i=1 On en deduit aisement que ce coefficient vaut : (6)

S+

(N+I).b

N+ I

.(G(O»N;

S etant

N+ I Ie coefficient de T dans

N+ I De meme, si 0 est Ie coefficient de T dans (7) 0 + (N+). c

N+I.

H,

G.

celui de T dans hI est

(R(O»N.

184

_ N+I N+I Appliquons alors (EO) a F i: G(O) ,H(O) ,gl,h

a la place de F, G, H, g, l h respectivement, en observant que la relation (e) decoule de (4) et (5) si l'on prend r r

=

r(F ,0) qui ne depend effectivement que de F et de N,. Posons maintenant I rl(N+I), La relation (1) implique, d'apres ce qui precede, que l

=

(8)

N N+I N+I N I(S+(N+I)b I,G(O»E I(F1,G(0) ,H(O) ,0) N+ G(O) +

11

11

H(O)N+I

N N+I N+I (0 + (N+l)cN+1,H(0) )EJ(FI,G(O) ,H(O) ,0).

Soit v l'application de A dans lui meme qui, a tout x E A, associe S + (N+l). x .G(O)N et remarquons que, vu la definition de S , V ne depend que de G, H, N, De plus, les classes modulo G(O)N+I de v(x) et v(y) sont egales si, et seulement si, G(O) divise (N+I), x, c'est

a

dire si les classes modulo G(O) de x

et y sont egales, puisque N+I est inversible dans A. On en deduit le diagramme commutatif :

1 A

1IG(0)

v

v

A/G(O)

et vest injective. Par ailleurs, la premiere partie de (8) s'ecrit - en designant simplement par I le second membre - : V(1I ( 0) (bN+I»appartient G

a

I; autrement dit:

-I

1I (b N+ I) E G(0)

V

(I).

Et ce dernier ensemble est fini, puisque vest injective, On definit de meme W et wet, en prenant : r(F,N)

=

r l(N+l), c'est a dire r(F1,0)(N+J); -I

I(F ,G,H,N)

=

v (I(F I ,G(O)

N+I

,H(O)

N+I

,0»,

-I

J(F,G,H,N) = W (J(FI,G(O)N+l ,H(O)N+I,O» on termine la demonstration de (EN) et de la Proposition IV. 22 Etant ainsi ramenes

a

la plus petite valeur possible pour N, les reductions

suivantes vont porter sur l'anneau des coefficients,

185

IV.3 - LOCALISATION ET COMPLETION.

que. (EO) Mil VllcU qu' -U Mil VllcU foMqUe.

Lemme IV. 3.

I - POM

rout: anne.au. - 6ac.toJUc£ -U -6u66il es: un anne.au. de. vafua-tion cU.-6CJtete..

pOM

A

Demonstration. Soient A un anne au factoriel et F, G, H appartenant a A[[ T ]]'. Designons par {po liE I} un systeme representatif d'elements irreductibles de A. l

Pour tout i E I, s o i

t L Le localise de A par L' i de a l - premier - APi: L est un i i anne au de valuation discrete, d'uniformisante Pi' c'est une si A l'est,

enfin A[ [T ]] est un sous-anneau de L. [[ T l l . t.

Soient r

i,

Ii

C

Li/G(O)L

i,

J

C

i

Li/H(O)L

i

les resultats de l'application de

(EO) a F, G, H dans L ; observons que, si Pi ne divise pas F(O), il ne peut d i.vi i ni G(O), ni H(O), et que, ces derniers etant alors inversibles dans L Ii et i, sont des singletons {a}. En definitive: les 1. et J. sont presque tous {a} et l

l

s er , J

i les

r i correspondants valent 0 (revenir a la definition). Cela e t ant , soit 0: A

n

-+

i n :

n L. iEI l

-+

i

cI

L

i

I' application diagonale et no tons

n L./G(O)L. Le "produit" des surjections naturelles. Soit x appartenant er ' l

a A, n(o(x»=O signifie que x appartient a tous les G(O)L G(O) c n L.) = G(O)A. i Ell

-

i,

c'est a dire a

On deduit de ceci Ie diagramme commutatif : A

o

nG(o)l

L.

1

rr

n L./G(O)L. i Ell l

AlG(O)

et

n

i Ell

8 est injective. Posons alors r = sup (r.): r est bien defini puisque les r sont presque tous i i Ell

nuls et, d'apres la remarque faite au debut de la demonstration, il ne depend que de F. Designons par b I' on a :

J

et c

I

les coefficients de T dans g et h respectivement. Si

F_g.h[T

r+1

];g_G[T],h_H[T],

. . - (E 0) ' la premlere congruence a lleu modulo Tr l. + I et I' enonce i applique aLi' montre que la classe de b (resp. c ) modulo G(O)L (resp. H(O)L i) i l l appartient a la partie finie Ii (resp. J ) . Autrement dit, en ce qui concerne b l : i

a I ors, d ans c h aque L

186

11(0

(b I )) E

11

i EI

I. 1

et, vu Ie diagrarnme commutatif precedent -I 11G( O)

(b 1) E

ce dernier ensemble etant de plus fini, puisque les Ii sont finis, presque tous {a} et que

6" est

injective, et ne dependant que de F, G, H d'apres sa construction.

On raisonne de meme pour c j

'

d'ou Ie lemme :

Lemme IV. 3. 2 - PaWl que- (EO)

Wb 6-Lt qu' anne-au

VlLcU

fJOd

vnai.

poun: tout anne-all de- vaiua;Uon dMcAUe-, i l f I hypotheM fJuppfeme-ntcU!Le- que- c-u

c-ompte-;!:.

Demonstration. Soit A un anneau de valuation discrete, d'uniformisante p; soient F, G, H appartenant a A[[ T]]

I

et notons

AIe

complete de A pour la topologie

p-adique. A est un anne au de valuation discrete, pour la meme uniformisante (c f . [3 ])et c'est une lQ-algebre si A l'est. Soient

i

e A/G(O)A et :leA/H(O)A

les resultats de l'application de (EO) a F, G, H dans A. Les fonctions naturelles v et

de A/G(O)A dans A/G(O)A et A/H(O)A dans A/H(O)A respectivement sont injec-

ti ves car, pour tout a appartenant a A, aA n A = aA (cf. [6]). Si on pose : -I

-]

r = r,I = vO), J=

on voit aus s i t St qu'ils permettent de verifier (EO)pour

F, G, H, dans A. IV.3. 3 - Conclusion. Les propositions et les lernmes ci-dessus ont ramene, en definitive, la demonstration de (T)

a

celIe de (EO) dans un anne au de valuation discrete, complet

pour sa topologie naturelle : c'est Ie "cas reduit" dont l'etude va etre faite au § suivant.

187

§

5 - Etude du cas reduit

V.I - NOTATIONS ET RAPPELS.

V.I. I - Dans ce §, A designera un anneau de valuation discrete, d'uniformisante p , complet pour la topologie p-r ad i.que , On note v la valuation p-adique et

la valeur absolue associee. Toutes deux se prolongent

a

II

=

e-

v

K, corps des fractions de

A, qui est un corps value complet. Rappelons que, pour taus x et y appartenant a K, on a:

v(x+y);;' inf(v(x),v(y») ;

I x+y I,;;;; sup(lxl, Iyl) avec egalite lorsque

v(x)f v(y). De plus (cf. [I], IV.I. 2) tout element non nul f de A[[ T]] s'ecrit de maniere unique s ous la forme: f

=

pk.u(T).P(T); k E lN, u inversible dans A[[T]], P

polynome distingue. Lorsque k

=

0, fest irreductible dans A[[ T]] si, et seulement si, P l'est dans

A[[T]] et on sait (c f , [4]) que cela revient (i dire qu'ill'est dans A[T]. Nous appaellerons pO£.ljnome qUiL6- que f f.>oU iL6f.>oc.-M modulo Go du e.oe6Mc..{ent de T daM g, appa.Jt.t.{ent

a

I'.

La demonstration se fait en deux etapes.

V.3. 2 ­

ecv.,

ou g e4.t homogeYle, de degILe v(G ) ' o

D'apres les hypotheses, F est de la forme u.ps+aj.T+ ... et G=pt+ b l. T+ ... avec u inversible dans A ; on a vu au lemme V.2. I que (I) equivaut a l'existence d 'un h et d 'un R appartenant

a

A[ [ T]] tels que:

191

r+ 1

(I') g :: GO [T] et F = g.h + T

.R.

Supposons, pour l'instant, que g est homogene en p et T, de degre t, c'est a dire que pt divise tous les coefficients de g(pT), soit encore: contenu (g(pT»=pt. Observons qu'alors b

est de la forme pt-I.S, S appartenant a A. l Substituons, dans (I '), pT aT; on obtient : F(pT)- pr+l .T r+ 1 .R(pT)= g(pT).h(pT).

Soit p s ' Ie contenu du premier membre. On a s'

< s, vu Ie terme constant de F

par suite, s etant au plus egal a r d'apres Ie choix de r, pS' est exactement de F(pT). Le lemme d'Euclide, valable mutatis mutandis ici, montre que Ie contenu de h(pT) est ps'-t . r+1 r+1 gl' h] les quotients respect1fs de F(pT)-p T R(pT), g(pT) et I, h(pT) par leurs contenus. On a : Soient F

les series reduites dans l'anneau (A/p)[[ T ]], on obtient

et, en notant l' ega Li t e :

La division par les contenus montre que F de O. D'autre

gl et hI sont toutes trois differentes I, part, elles appartiennent en fait a (A/p) [ T], puisque dans chacune

les termes en Tk,k

s+ I, initialement multiples de ps+l, sont restes multiples

de p et ont donne 0 par reduction. Enfin, ce qui precede montre que FIne depend que de F, gl(O)= I et Ie coefficient de T dans gl est S. Cela dit, (2) exprime que gl est l'un des diviseurs, a terme constant fixe et egal a 1, du polynome F

dans l'anneau factoriel (A/p est un corps)(A/p)[T]. l On sait qu'il n'existe qu'un nombre fini de tels polyn6mes ; a fortiori, il existe une partie finie

II(F) telle que (1) entraine que

!,

c'est a dire

TIp(S), appartient a II' Or l'application

de A dans A qui,

a

x, associe p

t-j

.x, donne par factori-

sation Ie diagramme commutatif : A

A/pA et on remarque que

v

.,

A

v

,

A/ptA

ne depend que de GO' De ce qui precede - c'est a dire que

(1) entraine que TI (S) E I" - on dedu i t que, si (I) est vrai, alors TI t(bl)=V(TI (S)

appartient a

p

\1(1

1) .

I

p

P

192

Alors, I'

1

=

V(I") 1

ne depend, comme on l' a vu, que de F et GO et convient pour tous

les g homogenes appartenant aIr .. Remarque.

On observera que, dans cette premiere partie, le fait que g est irreduc-

tible n'a pas ete utilise.

Cah ou

V.3. 3 ­

pah homogene de degne

g

t

Nous revenons a la relation (I) du V. 3 I (J) g := GO [T

J

et .F:. E IE g

r

en supposant que g est qua s i­sd i s t i ngue , i r r ad uc t i b Le et non homoge ne de d eg r e

t ,

D'apres le Theoreme V. 11, son polygone de Newton comporte un seul segment non vertical. Si : P

=

P

t

+bl.T+ ... +bA_i.T

A-I

A

+ u.T, avec u inversible,

ce segment ne peut etre que M M , avec M = (0, t O A O

)

et M = (A, 0), et on a A "¥

(3)

! O.

signifie que

E IB

r

A)

comme IB

de A et K, la quantite ci-dessus appartient 11

mais avec E' et Q' 11 la place r . Comme les xi appartiennent 11 E'

et que u, inversible dans A, l'est dans E', on en deduit que pour tout iE{I, ... ,A},

F EIB' r T-x. 1

C'est 11 dire par division euclidienne de F par T-x

i

que:

F(x. )

__ 1_

T-x.

1

soit E lB' r'

encore par division suivant les puissances croissantes : pour tout F(xi) j E {O, ... ,d, ---.r+!EE', c'est 11 dire que v(F(x est superieur ou egal 11 i» x. 1

(j+l). v(x i). Comme v(x est> 0 (cf.(4», on a done i) (5) pour tout i E{I, ... ,A},v(F(x.»>(r+ l).v(x.). 1

1

Comme, par definition des Yj' on a: F=p0.F1=p0(T-y1) ... (T-Y.e.)' F(x

i)

p0(x i -yj) ... (x i -Y.e.)' Tous les termes de cette egalite sont dans E' et _ .e._ (6) v(F(x.» = o+ L v Cx. - y.). 1 j=1 1 J Soity.

Ji

tel quev(x.-y.)= sup({v(x.-y.)!j=l, ..• ,,£}).

entraine que

1

Ji

(6)

J

1

(7) V(F(x.» 1


.)

-I

=-b

-t

1·p

b1

=-C' autrement dit

o

x

I G ( L (o i= 1 xi

-

>.

I - --»-

G ( L _1_). y. 0 i= 1 J.

Yj .

1

1

Par suite (II) bl+G

o

(.£

_1_) appartient

1=1 Yj.

a

Go.E'.

1

Or, le nombre de valeurs possibles pour G --1_) est inferieur ou egal a O( i=l y j . 1

2+ .e + .e •.. + .et-I(suivant que >.= I, .. . ,t-I, voir (4) et le ehoix des y. ), quantite Ji c E' /GO.E' ne dependant que de F et GO' ainsi que les valeurs obtenues. Soit

,

1 ensemble des classes des -G

A

o(

L --1_) modulo GO.E'. (I I) signifie que: i=1 yj. 1

"Si (I) est vraie, la elasse de b appartient a

l

modulo GO.E'

Or, l'application naturelle v de A/GO.A dans E'/GO.E' est injective car, si x appartient

a Go.E' n A,

Posons done Ii =

a

Ii

on a

v1

done

v(G

O)

et x appartient

La relation (1) entraine done que

IT

G

o

a

Go.A.

(bl)appartient

d' ap r e s ce qu' on vient de dire, Ii ne depend que de F et GO' il convient dans

le cas etudie iei.

195

V.3. 4 - Conclusion. Si l'on pose: I' = I; U Ii, il est evident d'apres les n

oS

2 et 3, qui

recouvrent tous les cas possibles pour g E Ir., que I' convient : le Theoreme V.3.] est etabli, done aussi, au moyen des reductions precedentes, le Theoreme(T).

§VI - CAS PARTICULIERS ET CONSEQUENCES

VI.I - VALEURS EXPLICITES DE r(F,N). VI. I. I - On peut, en "remontant" les reductions successives faites aux § IV et V sur l'enonce (EN)' trouver une majoration de l'entier r(F,N). Elle est, surtout a cause de la methode utilisee en IV 2.1, tres grande. Nous allons plutot ci-dessous borner inferieurement f(F,N) et trouver dans trois cas particuliers les valeurs optimales. 11 s'agira dans tous les cas de valeurs uniformes en ce sens qu'elles seront le minimum possible qui convienne a toutes les F ayant un terme constant donne. Plus precisement : Lemme V. I i .

So.c;

P un

.6y.6teme. Jte.)Ylue.n.ta.U6 d' Ueme.rtU buteduc.tible..o daYlJ.> l'anne.au.

6ac.toJUe1. A. So-ie.nt N e.t k appaJtte.nant a IN • r(F,N)" pOUlt tOM le..o F E A[[ T]]' tei.J.> que. a£.OM r o e..ot .6upeJUe.uJt au ega£. a (N+ l).k.

l' e.Ylt-ie.Jt r 0" e..ot un p0u:r- tout p E P,v'(D»E;;k,

S-i

Demonstration. 11 suffi t evide=ent de trouver une s er i e F de ce type pour Laque Ile (N+ I).k - 1 ne convient pas, c'est

a

dire telle que la relation (e), puisse etre

verifiee pour une infinite de classes du coefficient de TN+I dans g ou h. Soient, par exemple, p un element de P et prenons respectivement F=pk,g = p, H= pk-I. Pour tout ;x. appartenant

a

A, soient

N+ I h= k-rl , k-2 g = p +'f\. T , P + f\P TN+I + ... + (_I)k-l,k-1 f\ T(N+I)(k-l)

•

On a bien :

De plus, g.h - qui vaut pk+(_l)k;x.kT(N+l)k - est congru a F modulo N+ I le coefficient de T dans g peut prendre toutes les valeurs possibles modulo p, done une infini te des que Alp est infini : 1 I entier r = (N+I)k - I ne convient pas, d'oil le Le=e. Remarque. Lorsque A est une anneau est infini.

il en est de meme pour Alp et ce dernier

196

VI. l , 2 - Nous montrons maintenant que, pour les "peti tes" valeurs de k, on a en fait une egalite. THEOREME VI.]. 2 - Sod P un 1o!flotemfO !LfOyJJteMYttail6 d' elemfOYtt!.> -Ut!Leduc.tiblf'-!.> dart!.> l' annfOau 6ac..toJUU A. SOifOYtt F, G, H appa!LtfOYtaYtt it A[ [ T ]]

I

U

N E :IN; notort!.> a , •.• ,as If'-!.> fOXpOloaYtt!.> non nuU dart!.> la dec.ompol ,odia n fOn 6ac..tf'-UM -Ut!Leduc.tiblf'-!.> dfO F (0) U pOM rt!.> : a = sup(al' ... ,a s)' y = a J

•••

as·

AloM, ,oi a f'-!.>t in6eJUfOUIL ou ega! it 3 : r(F,N)=a (N+I)c.onvifOYtt POUIL F

U If'-!.> c.a!Ldinaux dfO I(F,G,H,N) U J(F,G,H,N) ,oont in6e-

JUfOUM au egaux it y •

Demonstration. Remarquons d'abord que a(N+I) est ce qu'on a vu etre Ie minimum possible qui ne dependeque de F(O). D'autre part, la demonstration du Lemme IV.3.] montre que, si les entiers r

les parties Ii et J correspondant aux localises i, i de A par les APi' alors r = sup(r , ... ,r et l'image canonique de (Ijx ... xI s' l s) J1x ... xJ conviennent dans A. Or, la definition de y et celIe de I et Jest s) multiplicative, celIe de a et r associee a un "sup"; autrement dit, la conclusion du Th eo r erne IV. I. 2 "passe du local au global". Comme 1 I hypothese que a es t .i nf e-' rieur ou ega 1

a

3 se transmet, elle, aux localises, on conclut de ce qui precede

qu'il suffit de demontrer Ie Theoreme IV.I.2 lorsque A est un anneau de valuation discrete, ce qu'on suppose desormais. Cas oil a =0. Cela signifie que Fest inversible dans A[ [ T l l . Si N+ 1 ] , u s a [T N+ 1 ] ( eo ) F -=G.H [N+I] T , g-_-G [T et F=g.h [T] (ici, r = a(N+I)=O). alors, g(O)h(O)= F(O) est inversible dans A : G, H, g et h sont des series inversibles. Dans ce cas, A/G(O) = A/H(O) = { O} , a fortiori les cardinaux de I (F, G,H,N) et J(F,G,H,N) sont inferieurs ou egaux

a

1 ; d'oil Ie Theoreme dans ce cas.

Cas oil a = I. On a, cette fois :

Si on note an' b on a :

n

"o = b O. cO'

et c les termes generaux respectifs de F, g et h respectivement, n Comme "o es t as so c i e a p (l I uniformisante de A) par hypothese, I' un

des deux elements b

o

ou cO' par exemple b

o'

est inversible. Le raisonnement fait

au premier cas montre qu'alors Ie cardinal de I(F,G,H,N) est inferieur ou ega 1 Dans ce cas, vu que :

a

1.

197

et que 1e terme entre parenthese est fixe d'apres (e ) , ainsi que a l

N+ 1

, on obtient

que bO.c est constant modulo cO' 11 en est done de meme pour c I' puisque N+ N+1 bO;H(O) est inversib1e et fixe. Par suite, 1e cardinal de J(F,G,H,N) estinferieur au ega1

a

1, ce qui reg1e 1e second cas.

A cause de 1a longueur des deux demonstrations restantes, nous traitons maintenant uniquement 1e quatrieme cas, ce1ui au

VI.l. 3 - Cas au a

a; 3, en indiquant ensuite

a; 2.

comment retrouver 1e cas au 3.

Nous suppa sons donc que : g=G [T N+1 J, h=H [TN+IJ, F=g.h [T

3N+4 J

et de plus, quitte a modifier G et H a partir de l'ordre N+2, que Fest congru 3N+4 . Ecrivons g et h sous 1es formes respectives G.H modulo T N

g ; G + T + l.

N+I

B ; h

H + T

a

.y.

2N+ 3J. La relation "F=g.h T3N+4" s'ecrit donc (I) B.H+y.G+TN+IBY = 0 [T Notons B Y gn et h 1es coefficients generiques respectifs de B ,y, G et H. n n, n' La conclusion revient a dire que 1e nombre de classes possibles pour B modulo go O (resp. YO modulo hO) est fini. 11 suffit de demontrer1a premiere assertion car 1a relation "BO.h + YO.go; 0" qui provient du terme constant de l' egalite precedente, O montre qu'e11e entraine 1a seconde. Quitte

a multiplier

par des elements inversib1es - fixes - de A et aechanger

g et h, on peut supposer que g(O) ; p, h(O)

2

p •

On cherche donc 1e nombre de va1eurs possibles pour B modulo p. O Partons de 1a relation mentionnee ci-dessus, et qui s'ecrit

L'examen du coefficient de T dans (I) donne

si hI - EOg] n'est pas multiple de p,B

doit l'etre. Nous exc1urons desormaiscecas, O puisqu'il ne porte que sur une c1asse modulo p. On a donc une relation du type:

198

D'ou, en reportant :

Supposons trouves, en examinant les coefficients de T, ... ,T des elements de A, EO'" .,E

j_ 1

j- 1

(avec j

N),

tels que: j E. ITj-I ).g [T J

r

Remarquons deja qu'a cause de (2), EO, ... ,E sont independants de j_ 1 j coefficient de T dans (I) donne alors : :L SOhj + Srhs+gOYj + r-i s« j 1

:L

S et Y • Le

O.

grYs

Soit, en utilisant (2) et (3) SOhj + go

+

:L

SqEkgt -

q;;;'1

:L

geEkSq

O. D'ou

.1>1

p et que So n'est pas multiple de p, il existe un E tel que j

Par consequent, les relations (2) et (3) sont vraies avec j+l a la place de particulier, pour

N:

(4) h - ( EO +... + EN TN) .g [TN+IJ

N+1 Considerons Ie coefficient de T dans (I), Le seul "nouveau" terme est N I SOYO' provenant de r + ' . On obtient done - EOg N+ 1 -, .. - ENg,)+ ga(YN+ 1 + EOSN+I + .. , •• • +

2

ENS1)-EOS O

0 (car SaYa

2

-EoS a) .

en

199

ppartenant p, et que 6 n'est pas multiple de p, il existe un E N+1a 0

Cornme go = EO a A tel que

N+2 Examinons maintenant Ie coefficient de T dans (I). On obtient, de meme que ci-dessus : - EOgN+2 - ... - EN+Jg 1) + gO(YN+2 + E06N+2 + ... 2 ... + EN+16 1)+ 60g + (SOY + SIYO)=O ; c'est a dire 1 I 2

SO(gl -

E

1) + 60(hN+2 - EOgN+2 - ... - EN+1g 1 - 26 IEO)+

II s'agit la d'une equation du second degre dans Ie corps A/p,dont les coefficients sont constants, puisque EO = go = p et que les E ne dependent pas de S et Y . i si les coefficients de cette equation ne sont pas tous multiples de p, elle a au plus deux racines en So modulo p et Ie resultat cherche est etabli. Ecartons done ce cas et supposons qu'on ait des egalites de la forme:

D'ou, en posant A = I et en reportant : O

Supposons

t

N+j N+2, r ouve s , en examinant les coefficients de T ... , T (j ,;;; N)

dans (I), des elements de A : E ... , EN+j ; A \-1 tels que: N+2, O'"'' (6) h

=: ( EO + ... + EN+j TN+j) . g [N+j+I]. T ,

j ( 7 ) EO + ... + E Tj - 1 =: (A + ... + A Tj - 1).g [T ] . j_ 1 j_ 1 O N+j+ 1 Cornme (I) entraine que yG + SH + TN+1SY est congru a a modulo T (6) et (7) que :

N+j (8) YO + ... + YN+jT

-

TN+ 1 (A

a

+ ... +

+ •..

on deduit de

200 (Pour voir ceci, on remplace H par (EO +... + EN.T +J N j 1 N+II3Y par - TN+ 1 I3 rl3 congru a' T + + et T G

-

N+j

) G modulo

2 TN+113 G ( 1\0 +• '

• •

+

1 • 1\

N+j+ 1 ; on utilise les relations (4) et (5), ce qui donne T

J -I

Tj- I ) modu 1 0

TN+j)( N+j) TN+1(A + ••. G ( Y + (13 0 + ... + 13 N+j EO +... + EN+jT 0 ••• +

1 1\.

J-

1Tj-l)( 13

0

+... + 13.

J-I

Tj- 1 ) 2 ) congru

a

N+ j+ 1 0 modulo T

d'oll (8), puisque

G(O) est non nul). N+ j+ 1 La nullite du coefficient de T dans (1) entraine successivement que

130hN+j+l+gOYN+J'+I+

L I3Eg L I3EI3,+ r+s+q=N+j+l r s q r+s+r'=j r s r r > 1 r> 1

+ 13 y. + ( L g \13 13 , L g 13 E )= 0 oJ q+t+r+r'=j q r r q+r+s=N+j+l q r s q>1 q>l

- 13 0(gIE N+j + ... + gN+J=IE O) +

-

L gAS 13 , + 13 y. q+t+r+r'=j q t r r 0 J r>l

... +

L gqAtl3rl3r' q+t+r+r'=j q>l 0

+ ... +

... + 13. (EO - gOA

J

»-

O

gO(

L

. At l3 r Sr , ) - 13 0 ( L .l3kE£)= 0 k+£=J

r> 1

Cette derniere equation, modulo p, a ses coefficients independants de 13 et Y, droll deux valeurs au plus pour

So

modulo p - et la conclusion cherchee - sauf dans Ie

cas ou les coefficients sont tous multiples de p, crest relations du type suivant :

a

dire lorsque l'on a des

201

d'ou l'on deduit (6) et (7) avec N+j+1 a la place de N+j. 2N+1 N+ 2, Si, par consequent, l'examen des coefficients de T ..., T n'a pas permis de conclure, c'est qu'il existe deux polyn6mes : EO + ... + E2N+IT2N+l ; A = A + ... + A2N+1T2N+l tels que O

E

H _ E.G [T

2N+ 2]

et E

= G.A[T N+ 1].

Comme ci-dessus, on tire de ces relations

Considerons alors Ie coefficient de T

2N+ 2

dans (I). Le seul changement par rapport

au cal cuI fait au bas de la page precedente est que Ie terme SOY 2

N+I

devient

SO(-SOEN+1 - ... - SN+IEO + SO), On obtient done

- E (un multiple de p) 2N+ 1g l)+

O.

Il s'agit, modulo p, d'une equation - unitaire - du t r o i s i.eme de gr e ; ellea auplus trois solutions dans Ie corps Alp et ses coefficients ne dependent pas de S et Y , puisque E et A ne dependent que de G et H. En definitive, suivant les valeurs de G et H, l e nombre de solutions possibles pour

So modulo pest (0), I, 2 ou 3 ; ceci achcve la demonstration du cas oil a =3.

VI. 1.4 - Cas ou a = 2. On prend alors r = 2N + 3 et on se ramene au cas ou gO=hO=p. lei, EO vaut I, Ie debut de la demonstration demeure jusqu'a la premiere egalite suivant (5) qui, ici, permet de conclure : EO etant egal a I, on obtient une equation unitaire du second degre modulo p, dont les coefficients ne dependent que de G et H, et Ie nombre de solutions possibles pour So est, en definitive, au plus deux. Le 'I'heo r sme VI.I.2 est en t i er ement; dernont r e , Remarque. On peut se demander si Ie Theoreme VI.l .2. est vrai pour toutes les valeurs de a. On observe par ailleurs, dans la demonstration de VI.I.3 combien 2N+2 Ie "pire" des cas, c'est a dire celui ou seul l'examen du terme en T permet de conclure, se rapproche d'un des exemples du Lemme VI. 1. 1, savoir la congruence: p

3

= (p

+ A.T) (p

2

2

2

- A.p . T + A . T ) [T

3

]

202

VI.2 - TRADUCTION DE (T). VI.2. 1 - Cornmencons par une reformulation inunediate. Soit (an)nE IN une suite d'elements de A, avec a

non inversible. Le systeme infini d'equations aux inconO nues (x n) n E IN et (y n) n E IN : x o · yo

aO

x O• Y1 + xl

·yo

a1

(1)

a

n

n'a pas de solution non triviale (c'est a dire avec et seulement si, il existe un entier N tel que

X

o

Le sys t

et YO non inversibles) si,

eme forme par les N+1prenieres

equations de (1) n'ait pas de solution non triviale ; ceci traduit Ie "caractere fini" de l' i r r educ t i b i l i t e . Par ailleurs, (T) montre qu'il y a "beaucoup" d'irreductibles non associes dans A[[ T ]]. En fait, si fest irreductible et de terme constant non nul, soit N son ordre d'irreductibilite (IV. 1. 1) et remarquons que, si A est une l'anneau A/f(O) est infini (cf. VI.1.1 Remarque). On a : Lenune VI. 2.1 - SoU

A une

de fa L 'eMe.mbfe du un cMcUna,( Demonstration.

SoU N £' oILdAe d'VUc.educ;Uf ,

avec f(O)# o. d'VUc.educ;Ubfu it au ega,( it cMd«A/f(O)lN).

f

N+1

modulo T

a

Soit E' un systeme complet de representants pour A/f(O), par

exemple les elements d'un supplementaire dans A du

f(O).A. II suffit

de montrer que, si Fest l'ensemble des ideaux principaux de A[[ T]] engendres N+ 1 par les g congrus a f modulo T et dont les coefficients, a partir du rang N+1, appartiennent a E', alors Ie cardinal de Fest egal a celui de E' IN. Soit done : S

{g

et observons que tous les elements de S sont irreductibles. Soit v l'application de S dans E,lN qui, a g note conune ci-dessus, associe la suite (b

•.. ). v N+1,bN+2, est surjective par definition; quant aI' i nj ec t i v i t e , si deux series ont lesmemes N+1, termes a partir de l'ordre N+1 et sont toutes deux congrues a f modulo T elles sont evidemment egales : vest une bijection. Reste a voir maintenant que deux elements dis tincts de S ne peuvent etre associes. Par l'absurde, supposons que h, de terme general Cu, soit associe a g

203 existe un u inversible dans A[ [ T ]] tel que : u.h

g

soit k le premier entier tel que c

k

# b

k.

Necessairement, k est superieur ou egal a N+l, et on a

Comme h(O) = f(O) est different de 0, on deduit de ceci que u est congru a k, modulo T autrement dit, est de la forme: u

=

I + ukT

k

+ ...

k L'egalite des coefficients dans g et u.h pour T donne donc .'

Par suite, b et c sont congrus modulo cO' c'est a dire modulo f(O), en contrak k diction avec le fait qu'ils sont differents et que E' contient un seul representant de chaque classe. En definitive, S est lui aussi un systeme complet de representants pour les i 'd UCt1. bl es congrus a­ f mod u 1 0 TN+ 1 et 1'1 a d onc meme car d 1na i 1 que F , c 1 asses d 1rre l

ce qui acheve la demonstration du Lemme. VI. 2. 2 ­ ETUDE DES ANNEAUX Rappelons (cf. V. 2.

rs . P

I) que, pour tout n E IN, si on designe par K le corps

des fractions de A, lEn est l ' ensemble des elements de K[ [T ]] dont les'coefficients, jusqu'a l'ordre n inclus, appartiennent a A. On voit aisement que lEn est un sousanne au de K[ [ T]] et on a ( I ) A[ [T ]]e

#

...

e JB elE e ... e n­] n

#

#

De meme, A[[T]], qui est l'intersection des tifie naturellement a la limite projective

#

rsn

#

:rn 0

e K[[ T ]].

#

et qu'on pourra noter JBoo ,s ' iden­

lim JB associee aux inclusions de (I) . n 0(­

Remarque. Aucun des anneaux lEn n I est no e t he r i.en

soi t en effet a un element

de A non nul et non inversible et, pour tout k E :IN, soit :

Les I

sont evidemment des ideaux de JBn , la suite I est croissante (parce qu'il k k en est ainsi des i de aux fractionnaires a­k .A) et meme strictement croi.s s ant e vpu i sque n+] a­k­I •T appartient a I mais pas a I . Cela s i.gnal e , (T) s ' enonce tres simIieD"ent: k+l k

204 (Til) un element de A[[ T]] = lBoo est i r r educ t i.bl,e s i , et seulement si, il existe un N tel qu' il soit i r rcduc c i b l e dans IBN. En effet, on voit qu'un element de A[[ T]] est reductible (resp.inversible)modulo N l T + si, et seulement si, il l'est dans IBN. Corollaire. Sad

A une.

lJ)-a1.ge.bfLe 6ac-toJUe.U.e es: .oupp0-60n6 que., pOU.!L une

- O. S..[ N eAt te potygone de l0Wton de D , -Log(p*(D» eAt t'oILdonnee a t'o!L..Lg..[ne de t'unique d!Lode d'appu..[ de N ayan:t POUIL pen:te Log(p). U

Demonstration. Puisque p*(U)= sup({1 u -Log(p*(D»

n

IpnlnE:IN}, on a :

= inf({v(u )- n.Log(p) In E IN}. n

Autrement dit, -Log(p*(D»

est la plus grande ordonnee

a

l'origine possible pour

frontiere d'un demi-plan superieur contenant l'ensemble des points Mn(n,v(u

n».

Vu

la definition de N.. (cf. V.1.2), la conclusion en resulte. Lemme VII. I .2 . 2 - So..[en:t

u

eX. V appalLtenan:t a

K[T ] et: p un ILee1. !.It!L..Lc.teme.n:t

pOJ.>..Lti6 • 0 n a : p*(U + V) ,;;; sup(p*(U).p*(V»

; p*(UV)

< p*(U).p*(V).

Demonstration. La premiere inegalite est evidente, compte tenu des definitions et de (1). Observons d'ailleurs que, si U = 0, il n'a pas de polygone de Newton, mais que p*(U) est neanmoins defini. si v UV est : w

n

Si on note encore

L

i+j=n

n

est Ie terme general du polynome V, celui de

u .. v .•

J

la cloture algebrique de K, on aura encore, pour tout x E

206

(2) w .x

n

L

n

%

S-ieme de p dans

si

v

zS

Iw

n

I .1Ix

p, done -() v x

I Ia

et II II d e s i gnen t les uniques prolongements de v et

K(z) (cf. V.3.3), on a, d'apres (2) applique (3)

Mal' s

j

un rationnel strictement superieur a -Log(p) et notons z une racine

Soit r

K'

i

(U .• X )(V .• X). 1 J

I u.l. 1

lin ';;sup({

a B

ret II x II

a

za

x

II x Iii }).sup({!v. 1.llx Il J

e -r

j

}).

On deduit de (3) que, pour tout

rationnel r> -Log( ), on a : (4) (e -r) * (UV) .;; (e -r) * (U). (e- r) * (V). Lorsque U est fixe, l'application qui a A associe A*(U) est evidemment continue. r, Comme l'ensemble des epour r rationnel strictement superieur a -Log(p)est dense dans ]O,p[, (4) implique (5) p*(UV) .;; p*(U). p*(V). Le Lemme est entierement etabli. VII.I. 3 - p-diviseurs. Definition. Soient P

L a .T n

n

un polynome de degre d et p un reel stricte-

ment positif. On dira que P est un

si, et seulement si

En particulier, pour tout n E {O, ... ,d}, la I. pn .;; 1. D'autre part, d l ap r e s le n

Lemme VII.I.2.1, la droite d'appui de Np ayant pour pente Log(p) passe c'est a dire par le sommet M de coordonnees et (puisque laol l).Cette O' droitepasse aussi par M (d,v(a » puisque la definition d'un p-diviseur entraine d d que v(a d.log(p). Comme Moet M sont les "points extremes" du polygone de Newton d) d Np' on a demontre le

°

Lemme VII.1. 3 -

p E K[ T l , «vee

P(O) ,;, 0

si., e;t f.,egment

VlOVl

v eAilc.al r

et: p

f.,-t, MVl -tVlUuf.,

UVl !tee£.

polygoVle de

> o. p es: UVl a UVl uvt-LQue

daVlf.> la cVl.OUe d' eQUWOVl y

x.Log(p).

VII. 1. 4 - Division euclidienne Lemme VIr. 1:4 - Soit p un reel> 0 • Soient P un P-diviseur et U un po I qnome que1conque. Si Q et R sont i eepectii vement: 1e quotient et 1e reste de 1a division eucl i.di.enne de Upar P,ana: p*(Q), 2 2,T 3

2

et

B

oJ ,

3,x 2)

est de valuation discrete, on utilisera une decomposition r

M

Ell

M.

i=1

l

de

M en somme directe de modules monogenes

Ci S;

m.

i

De l'exactitude des suites 2.3.1

0

2.3.2

0

2.3.3

0

2.3.4

o

il resulte, d'une

- R'-f 0

2

R B

12.

0

B

0

M

0

les isomorphismes

M. l

R'a

tx . +1

i

RI/(X ' l 1

),

avec

219

'In ;;, 0 Tor

R

n+

Vn ;;, 0

1 (B,k)

d'autre part l'exactitude de la suite longue 2.3.5.

o

de 2.3.5 donne en fait la suite exacte

o-

TorR(B,k) - TorR(Z,k) - TorR(M,k) - 0 ;

La partie de degre

0 0 0

en effet, d'une part done

(-x

3,x 2)

engendre

2 2 R , d'oll l'injectivite de

ZC

2

B, et d'autre part on a B0 k - Z

Nous nous proposons d'etudier le morphisme

de degre

-2, defini par

il est clair que, si

0

a

6 = 0 0 pour tout n;;' O. En particulier, n+2 n+1 n+2 est nul, la suite 2.5. se scinde et que, des rela-

tions Tor R( Z,k) -- TorR 1 (A,k) $ Tor R( M,k) n nn

1i'n > 0

TorR 2(R',k) n+

'In ;;, 0

R

-

TorR(Z,k) n R

R'

Tor (A,k) - Tor (R' ,k)

Tor

R R Tor (M,k) - Tor (R',k)

Tor

i l r esuLt e une relation rationnelle entre

R'

(A,k) (M,k)

rl(R') , n

R'

(A)

et

n

R'

(M) et,

comme ces deux dernieres series sont rationnelles il en est de meme de la premiere done de

nR(k).

Rappelons que

0 M)

TorR(M,k)

M).

2.4. LEMME. a. La restriction de

\I

o

flI H(l:l@ A).

b. Si on appelle degre (-2)

_

0

0 Tor

o

R'

(M,k) - Tor

M) Rt

se factorise (A,k)

ainsi defini, les series associees

a

a

travers

le morphisme de Ker

6

et

1m 6 sont

220

des fractions rationnelles. Plus precisement, on a, pour tout Ker 5 Ker

Ker 52

2p

62p+1

On calcule

'::: Irn 1m 5 2p

et

63 t l

Ker

R' (Ie cas

supposons done

M'::'.

@

M

53

en somme directe de modules monogenes,

i

M

R'

M est monogene et non

etant trivial). (j

M monogene, engendre par

image eanonique de C/+1 -

b x = 0, et tel que f- 0, x 1 2+ 1 3 calcul simple utilisant la description de r'

avec

2

54

1m 6 +1'::'. Im 2P

on peut se con tenter de prouver Ie lemme lorsque

a

2

au moyen de la suite exacte de complexes

A cause de la decomposition isomorphe

p

C/ x 0

a x

0"

=0

pour un

=

0 C/

(a,b)E Z,

< m. Un

ci-dessus, montre que R'x S,(P)SlM':::x M 1 1

et 1e ealcul de la restriction de _en d egr-e

2p

au calcul de

C= -en degre

C'=

2p+1

E

@

6

6(C),

.0

ou

,

M)

B

2p+1

O.

se reduit done

est la elasse d'homologie de

M)

au calcul de

C'

ou

est la classe d'homologie de

S(P)T @ 1

Caleul de

6

2p

(C)

Par la methode elassique, dans la suite 2.4.1 on releve

z

cycle

Comme

x

de

C/+1-

1

0

p

Z ; on peut prendre z m dz= (x + AT + T 1T1 2 3)

0, on sa it que

x

C/+1

1

0

= 0"

0,

C

en un

et l'on a

;

E B, autrement dit, il existe

p'E R

tel que x C/+1 ( a,b ) 1

et l'on a, puisque

2+

< m,

A est dans J2. on l'ecrit

eomme ax

C/

bx

3

=

p'(-x3'x)

0, il vient

A(a,b)

p(-x

A

=

)

avec

p

=

P'x

m-C/-1

1 3,x 2 , et, compte tenu de A'X 2+A"X3

De plus,

221 On opere de meme pour

et l'on obtient A"a)T + 2

Alors

dz

x

est un cycle de

a

B). II reste

0(') (Z)

et

0 B

calculer

est la classe

Z

de

dz

dans

au moyen de la suite exacte de

complexes

o dz

On releve

A

l,

dans

R en

l,

w = pT + (A"b - A"a)T + 1 2 On verifie aisement que

R

B

O.

Z = wS(p-1)

ou

l,

"I

alors 3 ws = 0, et il reste

dZ

(px

vs(p-1)

soit encore dZ

=

Alors

v

degre

2p - 2

px

1+

Ab 1+ est dans A et

=

Ab de

o

(i

illl A)

est un cycle de

®A, 6

2.4.2.

dZ E 'y Gll

2P

( C) = CIs(S(p-1)@v)

dans

H(l,@A)·

On deduit de ce calcul les resultats proposes dans Ie lemme pour les degres pairs :

done

a) pour

p

induit

6

1, on a 2p

b) l'eIement

: Tor

v

R'

Tor

2p(M,k)

de

ci-dessous est commutatif pour Tor

R'

Tor (M,k) 2p o p 2

6

p

51 82P R'

Calcul de

62p+1 (e') =

2p_2(A,k). p, Ie diagramme

3 : Tor

2p(M,k)

R'

0 Tor 2 2(A,k) , p-

o

R'

etant independant de

A

R'

Tor 4 (M,k)

c

R'

2p_2(A,k)

s182P_ 2 64

Tor

a2po 02p+1 (C').

R'

2

(A,k).

De fagon analogue et avec les memes notations, on releve l.f,lZ

en

z'= S(P)T

1

xaa 1

et l'on obtient l'expression de

dz'

C'

dans

comme cycle

222 Je

B sous la forme : d z "> [p'S(p)-

(C')

Alors

02p+1

a(z')

en relevant

(f1'b - f1"a)T1T3]S(P-1)} 6 (-x

est la classe Z'

Jans

Z'

Je

R

Jz'

Jans

3,x 2).

B) ; on calcule

en

Z'= p'S(p)- xaU),.'b - ),." a)T T + (f1'b - f1l1 a)T T ]S(p-1) 1 1 2 1 3 Le cal cuI Je

JZ', compte tenu Jes relations entre les Jivers coefficients,

Jonne avec

v

x av)

Jans

d'ou

6

2.4.3.

2p+1

a Je 1v aux precedentes L'element

x

A

( C' ) =c Ls (S (p-1 ) T

1

1

etant inJepenJant Je

18 A).

p, on a des conclusions analogues

Ceci acheve la Jemonstration Ju lemme, les series associees et

a

Im6

p(z)

Ker

etant alors Ju type f(z)

au

a

=

K K' z p(z) + -----2 + ---2 1-z 1-z

est un polynome Je Jegre 2

a

coefficients Jans

Z, et

(K,K')

un

couple J' entiers • 2.4.4.

Remargue sur Ie calcul Je

Designons encore par ment

(a,b)

Je

Z.

6

a = a T b T 2+ 3

Ie cycle Je

Lorsqu'on effectue Ie proJuit compte Je l'egalite

s.o

E

Jans

E

a l'ele-

on obtient, en tenant

= p(-x

, 3,x 2) s.x a = x a x a ( PT T ) 1o 1T2 3 1vT2T3- 1J

Par ailleurs, on verifie aisement que, A par l'application

corresponJant

x

etant identifie

x T on a, pour tout 2T3, B 2(E)

Va = 0,1, ... ,m.

a

=

a

Z2(F) c Z2(E)

0,1, ..• ,m,

nA

De meme, un calcul simple prouve que, si la classe a a est annulee par x ' alors on a x v = 0. 1 1

a

Je

(a,b)

Jans

M

6

223 De ces diverses remarques, il resulte que la multiplication par

s

induit deux morphismes sf

Soc

- Soc

qui ne dependent que de la classe d'homologie

s

6

La description donnee ci-dessus pour p

62p+2

1,

a

s'identifie

s*

62p+1 a

et

0

de

s.

prouve alors que, pour

sf, compte tenu des isomor-

phismes N) et

N

H

et

2p+1

= A.

(1.'0 N)

Soc

pour

Nous exprimerons ce resultat en disant que, en degre la multiplication par 2.5.

H(1.

(ij S k) g

C , ou u

u

La mUltiplication dans A

a

6

partir de

6.

M) ; il suffit donc de calculer

element de la forme

2,

6n

est

s.

Le lemme suivant donne le calcul de

* M)

n

N = M

E

et

81 k

CE

Rappelons que

6 pour tout

H('f'$ M).

F permet de definir le sous-module

A' de

par

Z1 (F).Z1(F) A'

autrement dit (a,b)

et

(a',b')

A'T2T 3

verifient

Pour tout

UE

6(U ou

=

est lensemble des elements de

LI : (V

\lil

de la forme

et tout

C) = U 6

CE H

C + LI(UQC)

\lil k)@ H(l.\S M) - H(l 8 A)

UE

b) Pour tout

est un morphisme de degre (-2)

LI(U.U E l,;(q-2)81 H(l.'S A)

k , alors

UE

q

S k =

et

-

D'E

n+q-2

ij

q'

,

U LI(U'.C) + (-1 )qq'U'll(U.,)

c) il existe un representant de Z

oU

on a

n

possedant les proprietes suivantes : a) Si

ab'-ba'

et

k

q

A

n+q-2

LI(UeC)

("£0A).

dans

224

0)

(a,b)

de

C)

o(U

Effectuons le calcul de

C

lorsque

-0

ou, comme precedemment,

n = 2p

et

est l'image dans

M de l'element

Z. Soit

1

existe dans ou, pour tout

U

R

l'

R

i,

U

i

E \I

choisir un relevement

un cycle

l'

s l.

q

Zu

de la forme

Zu

avec

On sait, d'apres

qi+

= q

et

Z = u U

e

[3J

qu'il K 1 + L U. , i=1 l

qi< q. Alors, on peut

l

U® 1

de

zU" U

dans

U

un relevement de

modulofC.£

1

dans

\I

q

(8)

=

q

EB ('v.mfj}!m') m+m'=q

1:

R)E9 ( L \l m@ M) ':: k 01 EEl k o '::'. k s(p)o

H

2p 2p+1

Alors, pour o(S(P)T

P

2

1 1

p> 0, on a

1

= _S(p-1)T 1 e 2· Ainsi,

)

2.

Calcul de

Comme

0i A 01

=

0

60

1

est nulle sur

•

U

Eo,.

i

p>o

= 2,3. Comme 01

est la classe d'un cycle dans

x

2

z

A

1

pour

R

i

de

0

2

k

et l'on a

O. et

2

et

6P

= 1,2,3,

a

S(P)T ou 1°1' P calculer 2

0.) l

. pour

•

•

A

®A

dont les coefficients sont en fait

et

0

02

A

03

= x1 '

0

= 01

03

=

est injective pour tout

on voit que

C = S ( p) o· 1

M). II reste

P

02

Vp

=6 =

est nul lorsque Done

M

' 3 Vp> 0

= - S(p-1)e

o(S(p)o)

dans

EEl k °

M) '::'. k S(P)T 6 1 1 '

H

0i

$

0i)

La classe d'un tel cycle est toujours nulle (utiliser les isomor-

1R'. R... x - R' et Tor (x R, k ) 1R 1 En resume, est nulle et, pour tout

R'

phismes

Ker 0n+2 '::'. Im 0

...

n

1R,k) 0, on a

,k)S M) EEl

(R' ,k)

R

n+2 - Tor n (k,k).

Calcul de la serie

aR(k). On pose OR(k)

=

(x

b zn n

= lJ

(x

2

1R/x 1R)).

k 01 ) ,

230

Il' (k )

= Z zn

n;;'o Zbzn=(Zazn)(Zzn)

etl'ona

n

n

R

Par ailleurs, din Tor (Z,k) = a 2. Alors, compte tenu de ces diverses k n n+ relations et des relations de dimensions donnees par la suite 2.3.5., on trouve

d'ou

2 z

3R

2a n+1 = a R

n+ 4

Vn ;;, 0

- 3a n+2

I

23 2R = B (R')- a (R')-a a - a - a - 3z [a (R')- a a 2z o- 1z]. o] o- 1z 3z

On trouve aisement : a

o=

1, a

derniere valeur est obtenue

1=

2, a

8 k) = 4 , et

2=

a partir

de

a

3=

8

(cette

= 1 ,

= 7

et de la suite en acte Tor

R 52 R R - A \8lk - Tor 1 (Z,k) - Tor (M,k) - 0). 2(M,k) 1

On en deduit : IlR(R') = 1/1-2z R Il (k ) = 1/(1-2z)(1-z).

et Exemple 4 : dans ce cas

R =

avec

2 ) 2 4 5) 3 J = ( X1+(X2+X3)X3,X1X2'X1X2(X1+X3),X3(X1+X3 ,X3(X1-X2-X3),X1X3,X2 •

5

On constate que 2

s = x

1T1

+ (x

= O. Avec Ie notations precedentes on peut prendre ;

2+x3

)T

3

s1= x 1x2T2 s2= x 1(x1+x )T2 ' 3 s3= (x 1+x ' 3)T 3 s4=

2

(x1-x2- X3 ) T3

'

4 s5= x 1T3 ' 4 s6= x 2T2 '

M = k 01 Ell M' , avec A'::'.ke

1

)03 EB

M'= k 02Ell k 05 EB k 06 EB

)04 '

avec

On a alors s s1 = -x 1x2x T 3 2T3 01 A 04

= - x 1x 2x 3

et et

ss

i

o. A l

=

0

° j

Vi;;, 2

= 0 pour

et (4,1).

23'

II resulte de la, en utilisant les decompositions

et que

TorR(M,k)

TorR(k,k)O, ffi TorR(M',k)

TorR(A,k)

TorR(k,k)e, ffi

est nulle sur Tor

R'

-

(k,k)o,

Tor

sur

R'

Tor

(M' ,k)

R'

et induit un isomorphisme de degre

de

-2

(k,k)e,.

Par ailleurs, la restriction de

6 a

TorR(k,k)e, : en effet, on sait d'une part que d'autre part que l'image de la multiplication

Tor

R(k,k)01

"'"

R'

6(Tor

a pour image -

(k,k)O,) = Tor

M@M -A

R'

(k,k)e"

est Ie sous module

ke

il suffit alors d'adapter Ie raisonnement fait pour demontrer la premiere 1, partie de la proposition 2.7.'. pour obtenir Ie resultat annonce. On voit que

6

induit un isomorphisme de degre

-2

de

@ L Tor m;,,2

R'

(k,k)O,

Tol(k,k)e, • Enfin, comme l'image de

est contenue dans

6

aboutit aux conclusions suivantes valables pour tout Im(6

n+

Ker(6

Tor

sur

R(k,k)e 1,

on

n;" 0

2) = TorR(k,k)e, n

n+

2)

R TorR 2(M,k)/Tor 2(k,k)01· m+ n+

II en resulte, en utilisant la suite exacte longue 2.3.5., que

est

une fraction rationnelle. 3. Etude du cas ou

.

_/ 2

= n > 3

Les resultats du paragraphe 2 se generalisent au moyen de calculs analogues. La seule difficulte provient de ce que

n'est plus de R' valuation discrete; on a done des expressions moins simples pour Tor (N,k) lorsque

N est un

R'-module.

Avec des notations analogues, on a deux A

R'=

R'-modules

M = H (F) 1

et

ann xn_,n ann x

et l'on retrouve la suite exacte 2.3.5. n' On prouve comme au paragraphe 2 que l'homomorphisme

R "'" R 6 : Tor (M,k) - Tor (R' ,k) de degre

-2

@

Tor

R'

R R' "'" R (M,k) - Tor (R' ,k) 0 Tor (A,k) - Tor (A,k)

possede les proprietes suivantes : R' 3.1. La restriction de 6 a Tor (M,k) definit, en fait, un homomorphisme

232

Tor

3.2. Pour tout

ou

6

U E

R'

(M,k) - Tor

,E

et

R'

(A,k)

M)

on a

est encore Ie compose de

v

Id

et de l'application

induite par la multiplication dans

3.3.

Si, pour tout couple

(Z1'Z2)

E.

(z1,z2)

de representants dans

d'elements de

2 (F)

1

tels que

H (F) il existe un couple 1 z1z2 = 0 , alors 6 = o.

Enfin, il est possible de prouver la propriete suivante 3.4.

Les series associees aux espaces vectoriels gradues

Ker 6

1m 6

et

sont rationnelles. C'est uniquement la demonstration de cette propriete qui ne peut etre calquee sur celIe du

§2., elle peut etre faite par les methodes

de [3J mais ne sera pas donnee ici. La proposition ci-dessous resulte de ces diverses proprietes. 3.5 Proposition. Avec les hypotheses du paragraphe 1 la serie tion rationnelle lorsque, pour tout couple il existe un couple

(z1,z2)

Dans ces conditions, aR(N) R'-module

nR(k)

est une frac-

(z1,z2) d'elements de

de representants dans

2 (F)

1

H

tels que

1(F) z1z2= o.

est aussi une fraction rationnelle pour tout

N noetherien. Une generalisation de certains de ces resultats, par des methodes

differentes, sera donnee ulterieurement

[4J.

233 Bibliographie [oJ D. ANICK - Construction d'espaces de lacets et d'anneaux locaux

a series

de Poincare-Betti non rationnelles. C.R. Acad. Sc. Paris 162 (1980). [1J J. BACKELIN et R. FROBERG - Studies on some

k-Algebras giving the Poincare

series of graded k-algebras of length 7 and local rings of 3 = O. Pre print series Stockholm Univ. embedding dimension 3 with

[2J C. LOFWALL et J.E. ROOS - Cohomologie des algebres de Lie graduees et series de POincare-Betti non rationnelles. C.R. Acad. Sc. Paris 162 (1980). [3J C. SCHOELLER - Rationalite de certaines series de Poincare - Seminaire d'Algebre Paul Duoreil Proc. Paris 1977-78. Lecture Notes in Math 740 p 323-384. [4J C. SCHOELLER - Anneauxsemi-golodiens

(a

paraitre)

[5J J. TATE - Homology of noetherian rings ans locals rings. Ill. J. of Math.1 (1957) p 14-27.

C. SCHOELLER Universite des Sciences et Techniques du Languedoc Institut de Mathematiques Place Eugene Bataillon 34.060 Montpellier Cedex

DIMENSIONS COHOMOLOGIQUES RELIEES AUX FONCTEURS

L. Gruson et C.U. Jensen

Si qUid tamen olim scripseris nonumque prematur in annum, menbranis intus positis.

R

un anneau unitaire et

I

un ensemble

ordonne filtrant a droite (en abrege f.a d.). Un I-systeme projectif de R-modulus (a gauche) est une famille de R-modules est de R-homomorphismes a E I

pour tout Si

et

f

{f

a 13 = f

ay

:M .... 13 f al3 l3y

M

a

{M

a E I,

a},

} , a :::. 13 ,

tels que

si

y •

f

aa

} et {N sont deux I-systemes projectifs, on a,gal3} a 13 entend par une application (morphisme) de {M dans {N a , ga l3 } a,f a 13} tels que une famille de R-homomorphismes {u } u : M .... N a a a a u af a 13 Si

{r1

a

,f

gal3ul3

si

R

I

et

a < 13 . sont fixes, les I-systeme& projectifs et les rnor-

phisrnes introduits ci-dessus forment une categorie abelienne ayant assez d'injectifs. Le foncteur limite projective

lim

est un foncteur exact a

gauche de cette categorie dans la categorie des R-modules. On designe par

lim (n)

- 0)

,

, ou l'on a utilise l'isomorphisme canonique de Yoneda

Si Pf(R)

H

est un R-module

dans

Ab

a

gauche, le foncteur

est un objet de

D(R).

Comme

M

D(R)

=

-

0

R

11

de

a suffisament

d'objets injectifs on peut introduire la definition suivante: Definition. (notation

Pour un R-module (a gauche) L-dimR(M))

la dimension injective de

un entier ou le symbole (Remarque.

M on appelle L-dimension

+

M dans

c'est

=.

La denomination L-dimension provient du rapport

lation des foncteurs

D(R):

lim(i)

a

l'annu-

que nous allons etablir plus loin.)

- n ,

et tout entier

-

Homo (R) (C a ,M) '" 0 •

Pour tout systeme inductif filtrant

a

(C

(Fa),a E: I

gauche de presentation finie et tout entier

I

de R-modules on a

p > n ,

lim (p) Hom (F ,M) '" 0 • R a

- n,

lim (p)v

on a

-R L

= L

a

D(R) .

Puisque

admet

F

est un ob]et coherent de

D(R) . Revenons

a

la demonstration du theoreme 3.1. De fason pareille

l'implication (ii)

(v) est une consequence de l'isomorphisme naturel ou

F

parcourt les R-modules

a

droite de

presentation finie. De meme on obtient l'implication (ii) considerant le systeme inductif des quotients coherents tels que

(iv) en C

de

R

(cf. la remarque 2.4).

HomD(R) (C,M) E (Va)'

Pour terminer la demonstration du theoreme 3.1 il suffit de prouver les implications (iii)

(i) et (iv)

choisit une resolution injective de

o ....

M .... I

o

1

1

H

(i). Pour cela on

dans

...... , .... I

P

D(R): ....

Kp = Ker (I p + 1 .... I p + 2)' Comme tous les objets qui apparaissent ici, sont des foncteurs exacts a droite Pour tout

de

Pf(R)

dans

ou

Ip(R)

et

modules

a

p

0

Ab, Kp(R)

gauche.

posons

i l s'ensuit que

I

P

= I

P

(R)

et

K =K (R) P

sont munis par la structure naturelle

Kn(R)

peut

R-modules de presentation finie

P

,

de R-

ecrit cornrne limite inductive de et l'on en obtient

248

puisque le foncteur tensoriel commute aux limites

in-

ductives. La proposition 1.4, le lemme 3.3 et l'isomorphisme (*) im= n+1 ExtD(R) (Kn,M)

pliquent que la condition (iii) entralne

En particulier la suite

cal age on en deduit exacte de

D (R) I

est scindee, donc

K n- 1

n

... K ... 0 n

est injectif et

ainsi etabli l'implication (iii)

a

11 reste

verifier (iv)

tive minimale de

K = K (R), n n n

f

Ker II

M < n.

II E HOITn (R)

1m II = R/Ker II

Supposons que

CR, Kn)

'*'

'*'

O.

x

'*'

0

0 •

, A

E pf (R) .

Tout objet de

est la reunion filtrante d'une famille

lui-meme coherent. Par suite, l'on a R/Y

II (f) = Kn(f)x,

Ici l'on a evi-

D (R),

en particulier

(Y

de sous-objets

ex)

1m II = lim(R/Y) ->ex

sont des objets coherents. Les groupes

ex

Puisque

un element de

le I:\orphisme d e f i.n i. par

E HomR(R,A) 0

Soit

'*'

Kn

de type fini. En tant que sous-objet de l'objet coherent

tients

Nous avons

(i). Soit (**) une resolution injec-

K (R) n

etant un homomorphisme

demment

R

(i).

o.

K n

ceci entra:Lne

Soit

L-dim

et conservons les notations plus haut. 11 suffit

M

alors de verifier que

K (R).

Par de-

= 0

R

Yex

est

ou les quoHomD(R) (R/yex,M)

forment un ensemble filtrant decroissant de sous-groupes additifs de R-definition finie de

M.

La condition (iv) et l'isomorphisme (*) impliquent n+1 Ext D (R) ( rm II ,M) Par decal age on en obtient 1m II

K n

et que

I

n

o. 1

ExtD(R) (1m 1l,K n_ 1 ) = O.

Parce que

est une extension essentielle de

minimalite de la resolution injective (**)), on conclut Donc l'hypothese plication (iv)

Kn (i).

'*' 0

K n_ 1

(par la

1m II = 0 .

est contradictoire, et l'on a etabli l'im-

249 Remarque 3.4. tions (i) ­

En general, la condition (v) n'entra1ne pas les condi-

(iv). 11 existe des contreexemples meme dans le cas ou

est l' anneau des entiers

R

g.

Nous donnerons main tenant une description plus detaillee des mo­ dules

M

pour lesquels

Theoreme 3.5.

Soient

L­dim M = 0 . R

un anneau et

a

M un R­module

gauche. Les

conditions suivantes sont equivalentes:

=

(i)

L­dimR(M)

(ii)

Pour tout systeme inductif filtrant

i.e.

0

gauche et tout entier (iii)

M

est pur­injectif.

p > 0

( Na ) aEI

a

de R­modules

lim(P)HomR(N ,M) = 0 • a

on a

­ t .

En par­

est plat on a

n > 0 .

peut etre ecrit sous la forme (La)

Q

n

ExtR(Q,M) = 0

de R­modules

Q = lim L -+

pour un

a

gauche libres de type fini

11 Y a une suite spectrale (cf. 14)

qui, vu la liberte des modules

L

a

degenere en des isomorphismes

L'assertion de la proposition 3.7 resulte maintenant du theoreme 3.1. Proposition 3.8.

Soit

R

un anneau quelconque, et soit

t

un entier

tel que la L­dimension de tout R­module

gauche plat est

t

la dimension projective de tout R­module

gauche plat et

t

Demonstration. suite exacte:

Soit

P

un R­module

Alors

gauche plat et choisissons une

252

sont libres. ment plat.

K

on a pour tout R-module

est alors autornatiqueX

1

Ext (K,X) R D'apres la proposition 3.7 et l'hypothese on en conclut que 1

ExtR{K,X) = 0

a

pour tout R-module

gauche plat

X.

K

peut etre

ecrit comme quotient d'un module libre:

o ou

L

rect de

= 0

K

L,

est

N

0 un R-module plat. Puisque

cette suite exacte est scindee, et

Nest facteur di-

en particulier un R-module projectif. Donc (***)

une resolution de

4.

L

est un R-module libre et

1 ExtR(K,N)

P

N

P

de longueur

t,

est

et la dimension projective de

t . C.Q.F.D.

Caracterisations explicites dans le cas coherent. Dans cette section nous allons preciser des resultats du para-

graphe precedent dans Ie cas, ou l'anneau

R

est coherent

a

droite

c.a d. tout ideal a droite de type fini est de presentation finie. Lorsque

R

est coherent

connu) que la categorie

a

droite il est facile de voir (et bien

Pf{R)

des R-modules

a

droite de presenta-

tion finie est une categorie abelienne. Avant de formuler le theoreme principal de cette section nous donnerons un resultat preliminaire. Proposition 4.1.

Soient

R

un anneau coherent

a

droite et

P

un

R-module a gauche plat. Alors il existe un monomorphisme pur ou

v

P

est un R-module

compact) .

a

gauche plat et pur-injectif (algebriquement

253 Demonstration.

Cornme nous avons observe plus haut la categorie

est abe Li.erme , et par suite (8) la c a t.e qo r i.e une categorie de Grothendieck. Le foncteur par

Tp(X)

X

'=

(X E Pf(R»,

P ,

enveloppe injective flexive de

a

adjoint D(R)

Tp

Sex (Pf (R) ,Ab)

a fi)

est

defini

Pf(R) .... Ab

:

appartient

• fj)

'=

et possede une

est une s oua-ic at.eqo r i.e re-

puisque Ie foncteur canonique

.... D(R)

admet un

v

gauche. Par suite

Test injectif en tant qu'objet de

et donc, en vertu de la proposition 1.2, de la forme

v

T(X)

D(R)

J:l)

dans

;J)

Pf(R)

'=

v P ,

X

v

(X E Pf(R»

tif. Parce que

, P

etant un R-module

est un objet de

plat. Le foncteur canonique de

£j) dans

a

gauche pur-injecv

il s'ensuit que D(R)

Pest

preserve les monomorv

phismes; on en conclut qu'il existe un monomorphisme pur

p .... P . C.Q.F.D.

Remarque 4.2.

On pourrait donner une autre demonstration de la pro-

position 4.1 R-module

a

en prouvant que Ie bidual

gauche plat

P

est plat des

d'un que

R

est coherent

a

droite. Nous sornmes maintenant

a

de demontrer un resultat qui pre-

cise Ie theoreme 3.1 au cas coherent. Theoreme 4.3. dule

a

a

Soient

R

un anneau coherent

droite,

P

un R-mo-

gauche plat et

n

un entier. Alors les conditions suivantes

sont equivalentes: (i)

L-dim (P) R

(ii)

Pour tout systeme projectif filtrant dules on a

(iii)

a

n .

droite de presentation finie et tout entier

lim(P) (F

- n ,

254

(iv)

Pour tout R-module a gauche plat on a

et tout entier

En vertu du theoreBe 3.1 il suffit de prouver les

implications (iii)

(iv) et (iv)

(i)

Considerons d'abord l'implication (iii) Q

p > n ,

0 .

=

Demonstration.

Q

peut etre ecrit

Q

lim L

=

->-

(iv). Le R-module plat

pour un systeme inductif

a

de

R-modules a gauche libres de type fini. En utilisant une suite spectrale standard on obtient des isomorphismes lim (p) Hom (L R

+-

a'

P)

, P > 0 .

Nous employons maintenant l'isomorphisme canonique HomR(La,R)

P

et observons que pour tout

a E I

HomR(La,P)

Ie R-module a

est libre de type fini. Grace aces isomorphismes l'implication (iii)

(iv) est claire. Finalement supposons que (iv)

est verifiee et prouvons (i). Par usage iteratif de la proposition 4.1 on conclut qu'il existe une suite universellement exacte (purexacte) :

o ....

P .... I

oii les modules Ie module m Ext R (Q, It)

n

It' 0 < t

C n

gauche plat

C

o

sont pur-injectifs et plats, et

n-1 ,

est plat. Vu la proposition 3.7 on a 0 < t

0

Q

,

< n-1

pour tout

Par consequent

, sous

par decalage pour tout R-module plat

C

n

m > 0

et tout R-module a

1 'hypothese (iv)

on obtient

Q:

o Puisque

.... 0

(**)

est plat, il resulte de la proposition 4.1 qu'il

existe une suite pur-exacte

o ....

C

n

v

.... C

n

.... C' .... 0

(***)

255 est pur-injectif et plat et

ou

1 Ext (C' ,C ) = 0, R n

D'apres (**) C

est plat.

v

C

est pur-injectif. Ceci entraine

n

que (*) est une resolution pur-injective de L-dim (P) < n . R

. Par suite,

et donc (***) et s c ind e e

en tant que facteur direct de

n

C'

P

de longueur

n,

i.e.

C.Q.F.D.

Pour terminer ce paragraphe, nous faisons mention du cas special, ou

Rest commutatif et coherent et

L-dimR(R)

n

si et seulement si

tout systeme projectif filtrant

P

=

R

Alors on voit que

0 pour tout p > n et a de R-modules de presentation

lim(P)M (M ) a

finie. En particulier, Ie theoreme ci-dessus montre que la dimension injective de si

R

R

en tant que module sur lui-meme. Donc,

est un anneau de Gorenstein de dimension

L-dimR(R)

n

L-dimR(R)

Pour un anneau regulier

n,

on a

on retrouve ainsi

les resultats de Roos [17, 18].

5.

Categories localement coherentes. Dans la section 1 nous avons introduit pour la categorie

D(R)

les notions d'objet de type fini et d'objet coherent. Ces definitions se traduisent mot

[i). [jJ

a

mot dans une categorie generale de Grothendieck

Aussi, comme dans Ie cas classique, on dit qu'un objet

de

est noetherien (resp. artinien) si toute suite croissante (resp.

decroissante) de sous-objets de X

x

de

fj)

X

est stationnaire. Alors un objet

est noetherien si et seulement si tout sous-objet de

X

est de type fini. On dit qu'une categorie de Grothendieck est s'il existe une famille de generateurs coherents. Nous mentionnous Ie resultat suivant (Roos [19], Lazard [15])), qui nous sera utile:

256 Proposition 5.1.

Soit

une categorie localement coherente.

Pour qu'un objet

(i)

X

2)

de

fit que Ie foncteur

soit coherent, il faut et il suf-

Hom(X,-):

commute aux limites

(Ab)

inductives filtrantes.

g;

Tout objet de

(ii)

est limite inductive filtrante d'objets

coherents.

x

Pour tout objet coherent

(iii)

X,

y

et tout sous-objet

de

l'ensemble des sous-objets coherents de

a

croissant de borne superieure egale

Y.

Y

de

est filtrant

(En particulier,

tout sous-objet de type fini d'un objet coherent est lui-meme coherent. ) Pour decrire les categories localement coherentes nous cons iderons une petite categorie abelienne Sex( (,Ab)

et la categorie

-t

des foncteurs exacts a gauche de

dans

(Ab) .

est une categorie de Grothendieck. De plus,

demontre en [7],

est localement coh e r entc , en effet, les objets c oh e r-en t s de sont exactement les objets representables C qui forment une famille de generateurs de C

C

Comme

= Hom

J9

fj}

(C,-) , (C E

et la correspondance

fournit une equivalence entre la categorie oppos e e

r: op

et

la sous-categorie pleine de

formee des objets coherents de

Reciproquement, si

est une categorie localement coherente,

la s ou s-ec a t eqo r i.e pleine

if

f o.rmee des objets coh e r e nt.s de

est une petite categorie abelienne telle que Sex(CoP,Ab). correspondance

(L'equivalence F

Maintenant, soit (c.a d. tout objet de

Hom

t' C.

fj)

est obtenue par la

:ll . )

une categorie abelienne noetherienne est no e t.h e.r i.en ).

[i)

Sex( eOP,Ab)

une categorie localement coherente pour laquelle b pleine des objets coh e r en t.s est equivalente a Puisque les objets coherents de teurs de.fi),

fi)

est equivalente a

ce

(-, F), F E

.

est

sous-categorie donc noe t he r ienne,

forment une famille de genera-

la categorie!il = Sex(CoP,Ab)

est localement noe-

257

therienne, i.e. une categorie de Grothendieck ayant une famille de generateurs noetheriens. D'autre part, si calement noetherienne, rente)

est une categorie 10-

(en tant que categorie localement cohe-

a

est equivalente

au

des objets coherents de

est la categorie

La categorie

etant localement noe-

therienne les objets coherents sont noetheriens, et par suite est noetherienne et

op

Proposition 5.2. [8]

est artinienne. Nous obtenons ainsi la

Une petite categorie abelienne

ienne si et seulement si La categorie

D(R)

est localement noetherienne. introduite au §1 est localement coherente; A,A E Pf(R),

car les objets representables (et coherents) un systeme de generateurs de

D(R).

Si l'on note

tegorie pleine des objets coherents de montrent qu'il y a une equivalence

D(R)

le foncteur contravariant

C(R)

forment

la sous-ca-

les remarques ci-dessus

D(R),

Sex[ (C(R))oP,Ab].

equivalence est obtenue en faisant correspondre D(R)

est artin-

HomD(R) (-,T)

a de

tout objet C(R)

dans

Cette T

de Ab .

Nous allons etudier cette equivalence plus precisement. Lemme 5.3.

Pour qu'un objet

faut et el suffit que exact de

C(R)

dans

Demonstration.

T

de

HomD(R) (-,T)

D(R)

soit exact

a

droite, i l

soit un foncteur (contravariant)

Ab.

Condition suffisante.

A partir

d'une suite exacte de

Pf(R) :

nous arrivons

a

une suite exacte de

C(R):

En vertu du theoreme general de Yoneda il y a un isomorphisme canonique

HomD(R) (A,T)

T(A), A E Pf(R);

done, l'exactitude de

258

entraine l'exactitude de

HomO(R) (-,T)

Condition necessaire. 11 suffit de montrer que le foncteur derive

a

1

droite

R HomO(R) (U,T)

a

objet exact une suite de

droite

T

s'annulle pour tout de

O(R).

Puisque

U U

de

C(R)

et tout

est coherent il existe

Pf(R):

telle que la suite

soit exacte pour un morphisme convenable: resolution projective de

U

dans

O(R),

B

U.

o

1

donc

R HomO(R) (U,T)

est

le premier groupe de cohomologie du complexe:

Le foncteur HomO(R) (ji,T) 1

R HomO(R) (U,T)

T

etant exact

T(Bi),i

= O.

= 0,1,2,

Lemme 5.4.

C(R).

La categorie

et la correspondance

droite, l'isomorphisme de Yoneda implique irnmediatement

C.Q.F.O.

Les objets representables objets projectifs de

a

A

a suffisamment d'objets projectifs,

fournit une equivalence entre la sous-

categorie pleine des objets projectifs de posee

sont exactement les

Par consequent on a

C(R) A

A, A E Pf(R),

C(R)

et la categorie op-

C(R)

nous considerons un

Pf(R)oP. Pour decrire les objets injectifs de

R-module

a

gauche de presentation £inie

M

11 Y a une suite exacte

259

a

sont des R-modules

a

En general, pour un R-module

a

dule

droite

gauche

P

P*

Alors

HOillR(P,R) .

gauche projectifs de type fini.

et

0

designons par P* 1

P*

le R-mo-

sont des R-modules

a

droite projectifs de type fini, et l'on a un isornorphisrne canonique HornR (P * i ' X)

a

X

D


A/B

a

on de-

finit un homomorphisme

Tf',

X E

en posant

pour

(j)x (£a) = f a K a

definition des sous-objets phisme pour tout objet

X

f

i l s'ensuit que

B a de

En vertu de la

Home (A/Ba,x) .

E

a

est un isomor-

(j)x

Ceci termine la demonstration

du lemme vu Ie fait que les limites inductives de foncteurs de Sex( r:,Ab)

peuvent etre f o rrnee s "par points"

Demonstration du theoreme 6.3. un element de

"C'et A

vers

diction de l'hypothese

ici que

T_

=

1m V

T),

*

a.

-->

Tn

--> G --> Ern V -->

est l'image reciproque de

G 1

V

-artinien de n Ie morphisme de

(1m v,T n)

*

a

T

n

(on convient

on a une suite exacte non-scindee

a ou

On designe par

n+1 A

k

un objet

est une extension essentielle de

I n+ 1 1

A

defini au lemme 6.4. Nous allons deduire une contra-

Tn+1

Comme

T

Soient

1m V

a

dans

I

Par consequent

n+ 1.

n+2 Ex t {i (Trn V, T)

et par decalage on en conclut

D'apres Ie lemme 6.4 on peut ecrire

1m V

filtrant decroissant de sous-objets

{B

Ba

* a.

pour un ensemble

de A. En vertu de la rea} marque precedent Ie theoreme 6.3 la suite spectrale

p

degenere en des isomorphismes entier

m;

en particulier on a

m ExtOl (lim B ,T) iJ'{ -sa

(1m V,T)

lim(m)T(Ba)

Ext nl/l+ 2(Im V,T)

pour tout

lim(n+2)T(B ) a

+-

267 L'objet

A

n-artinien l'ensemble filtrant decroissant

;:; k n. D' ap r e s un t.hec r eme de

a une partie cofinale de cardinal Goblot [10] ceci implique que d'oll

= lim(n+2)T(B )

0

(B a)

a

+-

df

l'on obtient la contradiction cherchee.

Corollaire 6.5.

So it

n

un

entier

est f( n-artinien, on a Demonstration. T:

1 •

Si

tout objet de

;:; n +

Le theoreme 6.3 montre que pour tout foncteur exact la resolution injective minimale de

.... Ab,

< n +

> -

T

est de longueur

C.Q.F.D. Avant d'enoncer une autre consequence du theoreme 6.3 introdui-

sons une definition. On considere cornrne toujours une petite categorie abe La erme

e.

Si

u

est un ordinal, on definit par recurrence

transfinie sur

u

suivante:

est formee des objets de longueur finie de

u

a

...,I?

&

0

une sous-categorie epaisse

un predecesseur

u

de la man i.e r-e

-r:' ;

qui sont

est formee des objets de

v,

de longueur finie dans la categorie quotient

n .

Pour

0

b

un element

i .

Soit

a

un element dans

de presentation finie Ie foncteur derive

Ker 0 .

(Aa/IAa)

Les

(R/I}-modules

a

droite

forment un systeme projectif, dont

lim (iliA a IlA) -ea

est Ie l .ieme groupe de cohomologie

du complexe qui provient de (*) en

les modules

A

a o"

'a k

L'element a modulo I est alors un iieme A lI a ... a A a · · ·a o k 0 k cocycle et, puisque L-dom(R/l} = n -

= dim k the

R

k

/ A

K

( z)

R Z (K) / A z (K) (z)

theorem for

+

+ Z(K)N)

Calculating k-dimensions N g Z (K)

--

d il m k

A z ( K) ( z )

and

for

K

11

I

11 A z (K) (z) yields

i s :

11 R11/ AZ (K) (, ,Z )

:

+ Z ( K) ---->- 0

,

•

A z (K) ( z)

nl where

exact sequence

+ Z(K)N

+ K

rows,

,

yields

,N / Z (K) N -+ R ( K) -+ RZ (K)

+

1m 11 0---->- Z(K) (z)

the

afterwards, (z)

(z)

Z (K)

Z (K)

+ Z ( K) ---->- R Z ( K) ---->- R Z (K) /

Since

with exact

s

+ K

dim k

(K) ( z)

o

yields

counting k-dimensions

o -+

I

direct sum of N-times

A z ( K) ( z)

follows

and

M

Wri t t i n g down Riemann-Roch we established i t ,

as

Z (K)

K,

c

Obviously

(*)

K

E Z(K) We may define

gk

of

+ K

+ K

we obtain

N A z ( K) ( z )

+Z(K)N---->-O

+ K

11 A z ( K) ( z )

:

---->-

0

and

as

316

and on the other hand gK + n-I

= d i mk RK / AK ( z ) + K = dimk(R II + AK(z) + K /AK(Z) + K) II d i mk (R /

( z)

(* )

Combination of NgZ(K) -gk- n + I

+

K)-

(** )

and

dim k (R

II

d im

k(

II R

n

(A

K

(z)

+ Ky

)

(z)+ K

yields

II + K) n (AI( (z) + K)/AK(z)

So we have proved Theorem 5.3 The genus

gK of

K

is smaller than or equal

to

NgZ(K)-n+l.

Corollary 5.4

o

Hence if

then we have

(as in the case

that

Remark 5.5 We do not know of any example where NgZ(K)-n+1 feel

F

and we

gK

tempted to conjecture that equality holds in general but

we will not do

that here.

Remark 5.6 A "completely" irreducible or A.

Verschoren

(14).

of some affine P.I. where

curve in the sense of M. Artin (2)

may be viewed as

ring

R

are generic mxm matrices

and

a completely prime ideal of the If we put

K

the set of maximal ideals

equal

to

/p •

which is obtained as for

some m • and

P

is

generic matrix ring

the field of functions

of

R

above Riemann-Roch theorem has a geometric meaning.

then the In a forthco-

ming paper the Riemann-Roch theorem and its consequences will be derived for arbitrary central simple algebras over algebraic function fields of one variable the non-perfect case) it will be possible to a prime ideal).

(extending E.

using primes of algebras treat irreducible

Witt's results (II).

curves

(13).

(i.e.

P

to

Then is

just

317

Acknowledgement

J.

VAN GEEL

College

thanks

(London)

the Department of Mathematics of Bedford

for

in particular, Prof.

the hospitality enjoyed there and, Dr.

P.M.

and stimulating conversations.

COHN for

his encouragement

318

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July

1979.

POUR UNE GEOMETRIE ALGEBRIQUE NON-COMMUTATIVE A.

VERSCHOREN (x)

Universite d'Anvers. UIA. Cette note reprend quelques resultats recents en geometrie algebrique dite "non-commutative", qui son t dus en grande partie a PROCESI, ARTIN, SCHELTER, VAN OYSTAEYEN et l'auteur. Nous ne donnons aucune demonstration, mais nqus renvoyons chaque fois aux sources du resultat et a [43J pour un expose plus complet.

1 - Les representations d'un anneau non-commutatif, d'apres Artin. (I. 1) Rappelons d ' abord quelques reflexions exp r irnee s par ARTIN dans [3 ,5J .

L'etude des varietes algebriques dans la theorie classique se reduit essentiellement a celie des algebres affines commutatives sur un corps. Soit (commutatif !) algebriquement clos. Une algebre affine sur qui est associative et de type fini sur

k k

un corps est une algebre

k, c'est-a-dire qui a une presentation

de la forme : R ou

I

=

k{X] , ... ,Xn}/I

est un ideal bilatere de l'algebre

commutatifs en

n

variables sur

k{X 1 , ... ,Xnl

des polynomes non

k. Afin d'etudier ces algebres, nous aurons

a considerer leurs representations.

(:t)L'auteur beneficie d'une bourse de recherche a l' N.F.W.O-CNRB

R

320 (1.2) - Au premier abord, on se limitera aux representations

R dans l'algebre des matrices de dimension

de l'algebre affine

n

Dne telle representation est dite irreductible si l'application

k.

sur

est surjective.

D'autre part, deux representations sont equivalentes si elles ne different que par un automorphisme de

Mn(k). Le point essentiel est de remarquer que les

classes d'equivalence de representations irreductibles de

R

correspondent

biunivoquement a certains de ses ideaux maximaux. En effet, il est facile de voir que la classe d'equivalence d'une representation irreductible determinee par son noyau cette

est completement

qui est evidemment un ideal maximal de

R. De

l'on obtient une partition: .fl.. (R) = Al (R) U ... U Jl.oo(R)

ou

est l'ensemble des ideaux maximaux de

positif

n, l'ensemble

RIM

la propriete que ideaux maximaux de

R

Jl

n

(R)

n

I

et oil

.n, aJR)

n'ayant cette propriete pour aucun

JL(R)

M de

R

ayant

contient les

n.

la topologie de Zariski induite par celie de

5pec(R), l'ensemble des ideaux premiers de

oil

et ou pour chaque entier

consiste des ideaux maximaux

est isomorphe a M (k)

(1.3) - On peut mettre sur ouverts de

R

R. En particulier, les ensembles

sont de la forme

JL(R)

est un ideal (bilatere !) de

R. 5i nous denotons par

LJ

fI. (R) p

l' union

)tn(R) , on peut demontrer que 1\ (R) est un sous-ensemble ferme de iteR) P n'p pour tout entier positif p. Ceci implique que chaque JLn(R) est localement ferme dans

JL (R) .

Mike

a

A..'tTIN

demontre dans

[41 que chaque JLn (R)

possede la structure d'une variete algebrique (commutative, bien entendu). (1.4) - Nous voulons etudier des proprietes structurales de

jl(R)

de

topologique, afin d'en deduire

R, comme on Ie fait dans Ie cas commutatif.

Neanmoins, ce point de vue est loin de donner des resultats convaincants dans tous les cas. Citons d'abord quelques problemes qui peuvent se presenter

a

ce

sujet. (1.4.1) Dans certains cas, tous les ensembles I' exception de

Jl (R) n

sont vides,

a

J\. W(R) pres. Exemple : l'algebre de Weyl

k{X, Y}I (XY-YX -1). L' etude de ces exemples du point de vue des representations est inepte.

321

(1.4.2) II est tout a fait evident que nous ne pouvons etudier qu'un nombre fini de

a la fois, et on sait qu'en general

Jt(R)

ne peut

etre decrit comme un espace de dimension finie. Exemple : si R = k{.X, Yj, on 2+1. t: (P)l trouve que dimJt (R) = n En contraste, s i R -- k {J:(p) "'I ' ... , .. n J:2 2 n l'algebre des matrices generiques de dimension p, alors dim A(R) = np -(p -I), cf.[29,31). Nous reviendrons plus tard sur cet exemple. (1.4.3) Finalement, il est difficile, sinon tres difficile, de determiner la structure exacte des JLn(R), meme dans les cas les plus elementaires. ARTIN et SCHELTER ont surtout etudie ces espaces a l'aide de la notion de courbe non-commutative, comme nous Ie verrons plus loin. (1.5) - C'est a ce point-Ia qu'interviennent de a identite polynomiale. En effet,

naturelle les algebres

il est bien connu qu'il existe des identites

polynomiales qui sont satisfaites par toute algebre de matrices de dimension Ce sont des polynomes a coefficients dans matrices,

a

n.

7, tels que toute substitution de

la place des variables, du polynome considere se reduit a zero. Un

exemple type de tels polynomes est Ie polynome

standard:

ou

k

es t le corps gauche des matrices

n. Le calcul explicite d'une base de transcendance de

ou toute information pour

I

a ete fait par PROCESI pour

n=2

m 2

es t a i.s emen t dedui te -

[29. 31J et par FORMANEK pour

n = 3.4

[13. 14J. Les techniques utilisees par FORMANEK dans ces deux derniers cas offrent 1 I espoir d ' etre app l i cab l.es pour

n "/4.

3 - La notion de variete en geometrie algebrique non-commutative. (3.1) - Afin d'etudier les algebres affines du point de vue geometrique. nous voulons mettre sur leur

spectre maximal (ou premier. cela revient au meme) un

faisceau d'anneaux. Dans le cas commutatif des techniques de localisation permettent de construire de

canonique un faisceau d'anneaux locaux sur ce

spectre. En general ceci n'est pas possible. En effet. la situation ideakqu'on voudrait atteindre est celle ou l'anneau premier, noetherien et satisfaisant chaque ideal premier

P

R

et tel que

Q

a

ideal maximal

M, ayant

QnM = P. Mais alors, un resultat

JATEGAONKAR [21) dit que (0) =

Comme

une identite polynomiale. s'injecte pour

dans un anneau local

les memes proprietes que bien connu de

a

R. que l'on suppose en particulier

n J(Q)n = n=o n n=o CIO

peM, on voit que

CIO

n pn

= 0

n

M .

et cela pour tout ideal premier

P

ce qui n'est pas le cas en general. Pour le voir, il suffit de prendre R = (k[XJ (X),,) k[X] k[XJ et de remarquer que

P

(X)

P = (k(X]

(X) k[X] )

est idempotent

(3.2) Nous ne pouvons done pas esperer obtenir un faisceau d'anneaux locaux sur JL(R). Nous verrons plus loin comment remedier a cet inconvenient. Bien qu'on puisse obtenir des resultats beaucoup plus generaux que ceux qui suivent, par hypothese

R

sera toujours une algebre premiere, affine et

polynomiale que l'on choisira noetherienne

a

a

identite

gauche. On denotera par

X R

331

son spectre maximal

JL(R)

des ideaux maximaux est clair que premier

P

XI

de

P

et plus generalement par

XI

l'ouvert de Zariski

qui ne contiennent pas l'ideal (bilatere)

ne depend que du radical

rad I

de

I

de

R. II

I. A chaque ideal

R on peut associer un foncteur noyau symetrique idempotent

crR- P defini pour tout R-module a gauche M par : ilexiste

(J""R_P M = [meM

Rappelons qu'un foncteur noyau idempotent 0dans la categorie des R-modules = 0

pour tout

topologisant

(0-)

a

gauche

M. Un tel foncteur est caracterise par son filtre

'qui consiste des i de aux

o-(R/L) = R/L. On dit que

a

gauche

L

cr est symetrique si .;t (0-)

filtre consistant d'ideaux bilateres. Le foncteur noyau

.t(R-P) = [L QR-Q (Rip) serait surjectif, et il est bien connu que si ffR-Q n'induit pas une localisation

337

parfaite dans

ce n'est pas necessairement vrai. D'autre part, il est

naturel d'esperer que seuls les algebriques de

seraient des sous-varietes

Jt(R), et il est clair que si l'on traduit la notion d'immersion

fermee de schemas ou de varietes algebriques commutatives en termes d'espaces

dt X) ' c'est exactement cela que l'on obtiendra. Si on utilise cette notion de sous-variete

geometriques (en utilisant Ie second faisceau structural (ou dimension fermee) de

consequente, on obtient un formalisme qui

ressemble de tres pres au formalisme commutatif. Ainsi les sont des immersions fermees d'espaces geometriques pour tout

n

et on peut

demontrer que chaque sous-ensemble ferme et irreductible d'une variete algebrique peut etre considere essentiellement de

unique comme une

sous-variete fermee. Si

I

est un ideal de

R, alors

XI =

{P .Jl. (R) ; I¢.d

est appele un ouvert geometrique de X si et seulement si 0"1 induit R une localisation parfaite par R-bimodules. L'ouvert XI muni du faisceau structural induit est alors une sous-variete ouverte de

X Plus generalement, R' X est un espace geometrique

une sous-variete ouverte d'une variete algebrique

(y,lry,dfy,lry), ou

Y est un sous-ensemble ouvert de

structurels sont induits par ceux de

X et tel que

d'une structure de variete algebrique sur

X et ou les faisceaux

Y soit muni de cette

k. Dans Ie cas commutatif,

chaque ouvert principal

X f EO R, produi tune s ous-var i ete ouverte de la f' X forment une base de la topologie de Zariski f JL(R), on voit ainsi que chaque ensemble ouvert d'une variete algebrique

variete sur

JL(R). Comme les

commutative est muni d'une structure de variete ouverte. Dans Ie cas noncommutatif ce phenomene se presente souvent, mais n'est pas valable en general. Parmi les anneaux qui ont une base d'ouverts geometriques, il nous faut mentionner les anneaux Zariski centraux, cf.

Du point de vue geometrique,

les anneaux les plus interessants sont ceux qui

possedent cette propriete

d'avoir une base d'ouverts geometriques : leur faisceau structural est un faisceau d'anneaux locaux et les projections canoniques

R

R/P

induisent pour chaque ideal premier Q de Rune application surjective bi bi bi QR-P (I'ft') : QR-Q (R) --7 QR-Q (R/P), c' e s t.r-jl-ed i.r e les p r ob Lemes men t i.onne s en (3.15.1) ne se produiBent pas. (3.15.3) Regardons maintenant la notion de produit de varietes algebriques. Par definition, un produit de deux varietes

X et

Y serait un objet

lui-meme une variete algebrique, possedent la propriete, que pour toute variete algebrique

Z, l'on ait une bijection

y,

338

Hom(Z,X»)/. Hom(Z,Y)

Hom(Z,XXY) .

=

Bien que cela paraisse genant, des produits dans ce sens n'existent pas en general, meme si Y = ;L(S)

X et

Y sont affines. En effet, choisissons

X

=

JL(R) ,

alors on verifie, comme dans Ie cas commutatif que Ie seul candidat X)I.Y est .JL (R Ilk S). Notons d' ap r es BERGMAN [8J que Ie produit

possible pour

de deux algebres premieres sur un corps algebriquement clos est premier lui aussi. En plus REGEV

[33J

a demontre dans

que Ie produit tensoriel de deux

algebres a identite polynomiale sur un corps est a identite polynomiale. On verifie alors aisement que

Jl(R

affine. Mais comme

n'est pas un coproduit dans la categorie des

R Ilk S

S)

definit bien une variete algebrique

k-algebres et extensions, il est evident que produit de

)L(R)

et de

.JL(S)

)L(R Ilk S)

produit geometrique de deux varietes algebriques algebrique

X

X et

Y possedant la propriete suivante. si

algebrique et si

Hom(Z; X,Y)

ne peut etre un

en general. C'est pourquoi on definit Ie Y comme la variete Zest une variete

est l'ensemble des couples

(,.::>

r" =FJi If]

q q+l "':>j:>c;. = pour

nilpotence de ,

o.

de caractp.ristique

On def ini t

(0).

q+l est l'indice de

et sur

Considerons

,

une fonction

"hauteur" de la fa90n suivante

h

(x)

1.2

=

sup

{i

I

XE' i}

x

si

t

0 /

h(O)

Lemme: On a

(i)

h(x+y)? inf ih(x) Ih(Y)}

(ii)

h(x+y) = inf

(iii)

h(

L»,»]

h(x) Ih(Y)} h(y)+h(x)

si

h(x)

f

h(y)

+00.

352 Preuve (1' )

resulte du fait que:

(ii)

Supposons que Si

X+YE,inf

h(x)

X+YE _ C(inf {h (x) , h (y)}

> h(y).

{h(x) ,h(y)} +l , alors

ce qui est contradictoire

ye

r:

+1

avec la definition de

h (y) •

(iii)

1.3

resulte de l'inclusion

'j

Considerons l'algebre de Lie

9"1

2 (fJf:,,3 (fJ .,. $1

g"':J

a

a s soc Le e

?

g

ou le crochet est defini par [ x+(ji+l, Y+1 j+iJ gA

(9' e

p,ep_ 1

(l.1.1.).

'J) i

j+l.

.

e

' ... ,e

2,e 1

une base adaptee

Cons Lde.ro ns l' application et p ro Loriqee

d e s Lqrie la forme initiale de 1.4

+,i+

et on a :

(1.3.1.) Soit

[x, y]

est une a l q eb r e de Lie nilpotente de ffieffie dimension

que ,

(1. 3.2.)

=

Lemme: L'application

A 2

are

G-prime ideaLs of

then there exists a prime ideaL

P1 P2

of

is a prime R* G

P nR 2

TheoJr.em. (Lorenz-Passman [4J) T,

and by "IncomparabiLity" Q in Z

that there is a prime ideaL QZ:::> Q,

Q

Z

idea lin

R

(S, n R)

=:

=:

g nQ, •

We know

nQg and we may take Z

Q,. As in the above proof,

Pz wi l L be mini-

G nR ,

Theoltem. (Going Down), If

in

R such that

since some conjugate contains

mal over

(S,nR):::>(T,nR)

P P, Z:::>

such that

R with

are prime ideaLs in

is minimaL over and

P,

RG and

QZ is a prime

Q n RG, then there exists a prime ideal Z

minimaL over

The technique of proof is simiLar to that used in proving "Going Up", We wiLL use these notions of "Lying Over" and "Going Up" in proving that Lorenz and Passman's theorem on prime rank is stiLL vaLid if the notion of prime rank is extended to arbitrary ordinaLs. We define the classicaL KruLL dimension of R, cL, KruLL dim R, as foL Lows: Let if

a>

a

;r

o

(R)

denote the set of maximaL ideaLs of for any

is an ordi na l Let

and for aLL

QESpec R,

Q:::>P-impLies

QE 6'S(R)

cl., KruLL dim R, if it exists, is the first Spec R

u{fSCR):S,,;a}. See

[6, p, 48].

a

S,

it is sufficient to prove that

be a prime ideal of

R * G. Then

P n R is semiprime and hence semiprimitive.

Therefore by Fisher-Montgomery's theorem mitive. From Lorenz-Passman's work secting in

(P n R) * G. From

easy to see that

P

P

R * G is Jacobson.

R * G/(P n R) * G :; (R!P n R) * G is semipri-

is one of finitely many minimal primes inter-

(P n R) * G being an intersection of primitives, it is

is an intersection of primitives. Hence

We wi II need the following theorem in a moment.

R * G is Jacobson.

376

The-altern. (Lorenz-Passman [8J). (Going Up). Let R * G with

a prime in

A 1

c

A2

be G-primes of

P n R = A Then there exists a prime ideal 1 1.

Rand

P2

in

P1

R* G

We conclude this paper by proving one final theorem relating the primitive ideal structure of ideals of

R

G R to that of

R. Recall that the set of all (left) primitive

comes equipped with the Jacobson topology. Here a collection of primi-

tive ideals is closed if it is precisely the set of all the primitive ideals lying over some ideal of

R. We shall denote this space by Priv R. Priv R is a Baire space

if the countable intersection of dense open sets is always dense. We define a Kaplansky ring to be a Jacobson ring in which the primitive ideal space of every homorphic image of

The-altern.

If

is a Baire space. See

G R is Jacobson by the previous theorem and left Noethe-

rian by well-knownness. Hence, by following assertion. If

,

[11, lemmas 2 and 4J

is a prime ideal of

collection of prime ideals of primitive ideal

[11J.

G R is a Kaplansky ring.

R is a left Noetherian Kaplansky ring, then

First we note that

exploiting

R

it suffices to prove the

G R and

E

1

RG which property contain

is a countable

then there exists a

which does not contain any of the ideals it is sufficient to prove that

I}

1

Again by

R * G satisfies this assertion. This

is precisely what Lorenz and Passman do in [8, Theorem 6J. We will reproduce it here for the sake of completeness. By "Incomparability" each of

R property containing

Moreover

PnR

P n R. By assumption

P. n R 1

Priv(R/P n R)

is a G-prime ideal is a Baire space.

is semi prime and hence semiprimitive. By a slight generalization

377

of

[11, Lemma 3], there exists a primitive ideaL

T:::> P n R of

R which does not

contai n any of the idea Ls Pin R. The "Goi ng Up" theorem app Lied to yieLds the existence of a prime ideaL foLLows from [4, Lemma 4.1. (ii)] contain any of the

Question.

If

Q of

that

S with

and

Q is primitive. Since

Qn R

and

g nT

= nTg•

It

Q cLearLy does not

Pi' the resuLt foLLows.

G R is a Left Noetherian KapLansky ring, then is R a KapLansky ring?

Even through

R is not necessariLy Left Noetherian, there are onLy finite-

Ly many primes minimaL over any ideaL of

R by Fisher-Osterburg [2, Theorem 2.10].

This is preciseLy the ingredient that Farkas needs for again, it wouLd suffice of

Q:::> P

P

to take a countabLe coLLection

R which property contain a given prime ideaL

which does not contain any of the ideaLs

Q .• 1

[11, Lemmas 2 and 4]. Hence {Qi:i

E

I}

of prime ideaLs

Q and produce a primitive ideaL

378

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University of Cincinnati

Universite de Poitiers

Cincinnati, Ohio 45221

Poitiers, France

U.S.A.

21 Avri L 1980

LES MODULES ARTINIENS ET LEURS ENVELOPPES QUASI-INJECTIVES par COUCHOT

Nous nous interessons d'abord aux modules artiniens coirreductibles sur un anneau commutatif. Nous demontrons que ces modules sont quasi-injectifs, que leur anneau d'endomorphismes est un anneau comrnutatif

local noetherien comnlet

pour la topologie definie par l'ideal maximal, et que ces modules sont inJectifs sur leur anneau d'endomorphismes. Ceci nous permet d'affirmer que sur un anneau local noetherien et complet, tout module artinien coirreductible est iniectif modulo son annulateur ; mais ceci n'est pas toujours verifie avec des hvnotheses plus faibles comrne Ie montrent les exemples 1 et 2. Dans Ie paragraphe 2, nous etablissons des resultats similaires avec des modules uniseriels (l'ensemble des Sous-modules est totalement ordonne pour l'inclusion) lineairement compacts (nour la touologie discrete) et extensions essentielles d'un module simple. Enfin dans Ie paragraphe 3, nous montrons aue si artinien, son enveloppe quasi-injective

M est un A-module

M est un module artinien. Nous montrons

en outre qu'il existe un anneau semi-local

A noetherien

pologie definie par son radical de Jacobson, tel que

et complet pour la to-

M et

M aient une struc-

ture de A-modules aui coincident avec leur structure de A-modules, et tel aue soit l'enveloppe injective de

M sur

M

A. nn retrouve ainsi un resultat de (1)

sur la structure des modules artiniens. Nous donnons un exemple de module sur un anneau non-commutatif, tel que

M de lonpueur finie et coirreductible

M ne soit pas quasi-injectif et dont

l'enveloppe quasi-injective n'est pas un module artinien.

381

Tous les anneaux et modules consideres sont unitaires.

I. Quasi-injectivite des modules artiniens coirreductibles

:

Dans tout ce paragraphe, sauf pour la proposition 1.8, l'anneau considere est commutatif. Theoreme 1.1. : Soit

M un

A-module artinien indecomposable. Alors les

les conditions suivantes sont eauivalentes : 1°) M est un module coirreductible. 2°) M est un module quasi-injectif. Demonstration de 2 E

= EA(M) = E I

@E

2. E, on en deduit que

I : Si

M n'est pas coirreductible, on a

Comme d'apres (8), M = (M

E ) @ (M I

M est stable pour tout endomorphisme de

n

2. Done contradiction. Avant de montrer I) Proposition 1.2.

E 2)

avec

Mn E

i

#

{oJ

i = I et

pour

2), nous allons etablir les resultats suivants Soit

M un module coirreductible de longueur finie.

Alors on a : 1°) M est un module injectif modulo sur annulateur. EndA M= A/ann M'

2°) On a

Pour demontrer cette proposition, nous utilisons Ie lemme classique suivant Lemme 1.3. : Soient

A un anneau local d'ideal maximal

loppe injective de 1°) Pour tout A-module

E

l'enve-

: M de longueur finie,

M et

HomA(M,E)

sont de

meme longueur. 2°) L'homomorphisme canonique de morphisme si 3°) Si

M dans

HomA(HomA(M,E),E)

est un iso-

M est de longueur finie. A est un anne au artinien, on a

A

EndAE, et

long A

long E.

Demonstration : 1°) se demontre par recurrence sur la longueur de

M.

2°) l'homomorphisme canonique est injectif puisaue

E

est un cogenerateur

injectif, et on conclut d'apres I) en constatant que les deux modules sont de meme longueur.

382 3°) On applique 2) en prenant

M

A.

M un A-module coirreductible

Demonstration de la proposition 1.2. : Soit donc supposer

n. M On peut M A local artinien. (A, etant artinien, est un produit

AI ann

de longueur finie. Alors

M fidele et

fini d'anneaux locaux. Comme local). Soit alors

E

corps residuel de deduit que

M

s'identifie a un sous-module de

M est indecomposable, on en deduit que

EA(M). Alors

> I,

de

soi t

a

A. D'apres le lemrne 1.3., on a

HomA(E/M,E). On en

annAM

M un module artinien, SOC (MI

Mn l' image reciproque de M/ • Alors on a : M

M sur

est

E.

Proposition 1.4. : Soient n

A

est isomorphe a l'enveloppe injective du

E

M _

)

Soc (M), et si

Dar l'eDimorphisme canonique

n 1

n-l

n

U

1'1

1'1

nE.!N

2 0) si

N

n

est un sous-module de

3°) Pour tout homomorphisme f(M ) n

N

'Q n

n

f

M, on a de

M

M n n

N

n

N

dans un module artinien

on a

N,

1.

Remarque 1.5. : La suite croissante des sous-modules la suite de Loewy de

M. s'il existe

l'elevation du module

n

tel que

M

est aDPelee

M , alors n

nest appele

M.

Demonstration de la proposition 1.4. : 1°) Soit

o. Alors le sous-module Ax est un module noetherien. 3 n tel que (Ax n M ) est donc stationnaire. Donc n

x #

x EM,

La suite des sous-modules Ax

n

Mn

Ax

n

M l . Si n+

puisque

n:k

M

1'1

Soc ( 1

M

M

bx

M . Donc contradiction et n

2°) On sait que Alors

) ,

n

n

aussi

N+M Soc (_ _ n) M n

N+M

N

(_ _ n) M n

est isomorphe a

3b

x tMn, alors

1

n

N+ n 1

Soc N

MIn N.

(N+M ) n

n

M

Ax n

M

et

n+1

Ax n M + on a n l,

M

n

M Suppo s on s aue N n n M 1 N II M + 1 n n+ 0 •

r

"n

(N+M ) n

n Mn+ 1

M

Nn M+ n 1.

3°) se fait Dar recurrence sur

bx £.

tel que

x e: M n

M M n

A

Mais puisque

n

d'oD

dans

n.

. On a donc

N n

Soc

n

N

N

n Mn + 1

N ("\ M n N

n

N n

M + n 1

383

Fin de la demonstration du theoreme 1.1. I) de

M,

f : N

2). Soient

(Mn)n:;d

et

les suites de Loewy de

homomorphisme. Alors

un

------> M

M un module artinien coirreductible,

(Nn)n>1

Soit

gl

un prolongement de

longement de

fn

a

V n )- I f

on a

M et

N un sous-module

N respectivement, et

f (N M 1 den n+ n. n+ l: n+ 1 finipar:hn+l(x+y)=f(x)+gn(y) ou XE:N et ye:.Mn·Alors h n+ 1 est n+! = N Puisaue M bien defini car M n N est quasi-injectif, on Deut pron. n+ 1 n n+ 1 en un longer h gn+1 de M dans M + . On definit ainsi n l n+ 1 n+ 1 un prolongement g de f a M par recurrence sur n. Theoreme 1.6.

Soient

M un module artinien coirreductible, et

H =EndAM.

Alors I) M est un H-module injectif et cogenerateur. 2) H

est un anne au commutatif local noetherien complet pour la tODologie

J-adique,ou

M, on a

H

Jest l'ideal maximal de

= 11'm A/ ann +--

H. Si

(M) n n)-I

est la suite de Loewy de

M. n

Remarque : Dans (7) ce resultat est demontre en Dartie en prenant comme hypothese

M artinien indecomposable et quasi-injectif. Nous donnons ici une

a

autre demonstration qui peut aussi s'appliquer

certains modules lineairement

compacts comme nous Ie verrons dans Ie paragraphe 2. Avant de demontrer Ie theoreme 1.6, rappelons quelques definitions et resultats. Definitions 1.7. : Soient M un A-module

a

gauche. On dit aue

pour tout A-module

a

On dit que

gauche

F

A un anneau (non necessairement commutatif), M est

f -iniectif (ou absolument pur) si p

de presentation finie, on a

i,

Xi

d'un ideal

a

Alors

I

A

(F,M)

=

O.

M est lineairement compact (pour la topologie discrete)

(resp. semi--compact) si toute famille filtrante decroissante tout

Ext

M et gauche de

M i

est un sous-module de

(xi+Mi)i.,;:r

OU pour

M (resp. l'annulateur dans

A) a une intersection non vide.

M est un module injectif si et seulement si il est f p -injectif . et semi-compact (voir (II) propositions 2 et 3).

M

384 si

E

a

est un A-module

gie lineaire sur

gauche, alors la E-topologie de

zero les noyaux des homomorphismes de phes

a

M

dans un produit fini de modules isomor-

E.

Proposition 1.8. M

est la topolo-

M definie en prenant pour systeme fondamental de voisinages de

a

un A-module

: Soient

gauche et

H

A

un anneau (non necessairement commutatif),

=

End

On suppose que M est quasi-iniectif et A que tout module quotient d'un produit de modules isomorphes a M est separe pour

a

gauche

M.

la M-topologie. Alors on a : I) Pour tout H-module

fini) l'homomorphisme canonique de

F

F

de presentation finie (resp. de type

dans

HomA(HomH(F,M) ,M)

est un isomorphisme

(resp. un epimorphisme).

2) M est un H--module

a

gauche

3) M

a

gauche injectif si et seulement si

a

gauche cogenerateur et injectif si et seulernent si

est un H-module

f

p

-r

i.n j ect if. M

est un

A-module lineairement compact. 4) M M

est un H-module

est un A-module lineairement compact et extension essentielle d'un socle de

longueur finie. Demonstration I) On verifie d'abord Gu'on a bien un isomornhisme si

libre de type fini. On utilise ensuite une presentation de soit quasi-injectif pour conclure. (C'est-a-dire que 2) Soient

a

---+

K

F

L

=

HomA(-,M)

et

K '3'F

est

F

est un H-module

et Ie fait que Mn-injectif

L

est un H-module

est par consequent de type fini. Notons I 'homomorphisme canoniaue de

a

gauche libre

T =

F

dans

ST(1').

Ext

1 (F ,M) ---+ H

On a alors la suite exacte suivante

a

---+

T(F)

T(L)

M

Vn).

de presentation tinie,

F ---+ 0, une suite e xa c t e ou

de type fini et ou S

un H-module a

M

F

T(K)

On en deduit Ie diagramme commutatif suivant

a

385

u

, K

0

CfK

I

M

M et que

a

un sous-module d'un produit fini de modules isomorphes M est Mn-injectif

Alors

ST(u)

0

'3'K = "3'L

0

isomorphisme. On en deduit que I

ExtH(F,M)

a

est isomorphe

de modules isomorphes I

pologie. D'oil

a

0

0

est quasi-iniectif que

un produit fini de modules isomorphes 2

jectif, alors

---->-

ST(v) , STep)

ST(u), ST(L)

oil la de rn i ere ligne est exacte puisque

a

, F

jqp

ST(K)

morphe

v

, L

T(K)

T(L)

est iso-

a

est isomornhe

M. (si

M est quasi-in-

\In). u

est injectif et par consequent

ST(u)

q'K

I

est injectif et que

S(ExtH(F,M»

est un

o.

=

Or

un sous-module d'un module-quotient d'un produit fini

M, et par consequent,

1

ExtH(F,M)

est separe pour la M-to-

ExtH(F,M) = O.

3) Soit

N un sous-A-module de

pologie, l'homomorphisme canonique de

M. Puisque N dans

MIN

TS(N)

est senare pour la M-to-

est un isomorphisme. Par

M est l'annulateur d'un ideal a gauche de

consequent tout sous A-module de

H.

On en deduit done 3) d'apres 1.7.

4) Supposons d'ahord que

M soit un A-module lineairement compact et ex-

tension essentielle d'un socle de longueur finie. Alors

M est un H-module a

gauche injectif et il suffit de montrer que pour tout ideal on a

H

IJ,M) f o. Or

U

J

J , oil

AE:/\

gauche de type fini de

H

A

inclus dans

(13) (proposition 1*), pour avoir \ f {a}, Or d ' ap r e s I) on a Reciproquement, soit sous-A-modules non nuls de On a

a

gauche

J. On a

anI\1 J= ,

n

AE. /\

(NA)A E /\

H,

VA

J ). A

une famille filtrante decroissante de

M.

M est cogenerateur injectif sur

H

a

A

Jf {a}, il suffit de montrer que JA

de

ann/of J,. D'aores

1: ann N S ann () N ) . Or d ' apr e s 3), on a H A H( A A G../\ A e.t;

Puisque

J

est la famille des ideaux

on en deduit que

£. /\,

386

et on applique (13)

On en deduit que

(proposition 1*) pour

conclure. Proposition 1.9. : Soient

A un anneau commutatif,

M un A-module line-

airement compact et extension essentielle d'un module simnle mal de

A

annulateur de

S. Alors

Demonstration: Soit dans

M. Puisque

x £ M. Alors

4-A1t'

s

s

s

sn

ker

S,

l'ideal maxi-

M

S

Soit

= {n}

et donc

S

la multinlication par

s

s

est i n i e c t i ve . Soit

est un anneau lineairement compact local (voir (2) exercice annex) 21 c, p. 112). La multiplication par s dans Ax est donc biiective et il existe

y

A/

tel que:

x

sy.

=

Demonstration du theoreme 1.6. : D'anres la proposition 1.9., on peut sunn, local. Soient E l'enveloppe injective de "1, N un sous-module de M n, n n entier ? I. Alors Yx G- M x 4-N, 3f: M ---+ E tel aue f(x) # 0 et n) feN) = {O}. Comme M est quasi-injectif, f(M M. Par consequent Mn/N est poser

A

separe pour la M-topologie. On applique la proposition 1.8. Soit Comme

End

M A n

nien, comme

H

A

Ie need to prove that

is not empty ; it is done here by proving that

Ysc

B

N . aEAY

t?(N)

AN

and it is enoueh to show that torsion

be a torsion

A/

X or

is either

N-Y Let

Suppose that

BX

B

Y

such

B X • Then is a natural lattice isomorphism -:

modules correspond. Let

t Y

X-n

I

between subModules of

where

\j

T

B , then

Proof - Let

R, this

,

, hence so as

c E

y -I , hence

I

I

=

(N)

sc Y

,

1;' (N)

1;'

then

KI.

N

InK = N Ys

Ru

=

uR

then height

This is the original theorem of Jateeaonkar

[5

l .

P

,

asc E B and

with

R be a right noetherian rinE with a normal

be a prime minimal over

s E IY -1

Let

y-I

I

is an essential

N

and

,

hence s y

and it is done. non-unit

u

and

403 3. Rings of finite right global dimension The fo l.Lowi.ng theorem is due do Brown - Haj arnavis - Hac-Eachan Theorem 3.1 - Let

[1]

R be a right noetherian local ring of finite global dimension

on the right and set

R/ N

N to be its nilpotent radical. Then

ring over a local domain and for each

n E :IN there exists

is a full matrix

c E 1?(N) with n c ; 0 .

The theorem is a partial generalization of the classical result that a regular is a prime

local ring is an integral domain. Here one is able to prove that ring and the analogy would be complete if it could be shown that is left noetherian the result proves that

Nc ;

a

for some

o

N

When R Then,

c E 1? (N)

of course, in some special cases the theorem can be completed. For example, when R

has an artinian quotient ring then

has zero singular ideal then then

Nk- 1 (N + c R)

; a

R

is regular and

a prime ring. For if

N+c R

and

c

N k N

a

Again when

0

Nk- 1

Nk- 1

is right essential, so

t-

O

R

,

is the singu-

lar ideal. But both of these cases are really special pleading, for example, in the commutative case the singular ideal is such assumption

Ass RR

is

N itself. Probably the must natural

consists of minimal primes ; this is weaker than that

of having a right artinian quotient ring. Proof with

e

2

=

e

M

k E Z+ , where

be a

o

sum of copies of

R-module, then we obtain p (M)

Lg.

is the reduced rank. \·fuen H P

F

k pep)

for some

M. Suppose that

0

-+

K -+ F

-+

M -+

a

is exact

free and proj dim K < proj dim M . Then k

P (K) p

Then

=

is projective it is a direct

and it is clear. So we shall prove the result by induction

on the projective dimension of with

P , P ; e R ,

is known to have a unique minimal projective module

R

p (M)

= (k 2

-

(F) = k

k])

p

Now decompose

l 2

P

(P)

p

(P)

(induction) k] , k 2 E

z+

(P) , so it is done.

R as

e. R '" P , the

being primitive idempotents ; we prove that

e

i

e.N

is a uniform module. Dropping

i.

the subscript, choose

x E e R

with

xR+eN eN

e·

uniform, then

404

+ so either

p (x R) = 0

some

i'?(N)

cE

ed E x R

so

or

, hence

p (

P (x R)

eR

x E N

for some

d E

uniform and essential in

I x R) =

and

P (e R)

=

0 • If

x E eN;

then

0

(x R + e N) I

=

x c

a contradiction. Thus

11 (N). This means that

e RI

=

P (x R)

0

for

p (e R/xR)=O

is both eN is a uniform

We conclude that each eN

module, as stated. Let

D E End R

it is known tha t

tN

D

is an integral domain. As

and

(') ..... 8

e R n Ie N n

hence

N

R

=

p ( IN) each

o

n p (

N

R

R

and

D

leN)

and

LS

R IN

0

is exact and

p (R)

= P (N) +

c E

1I(N)

left noetherian, then

tors

with

and

is

a local

integral domain,

R

e R R

n E N , there exists

If

IN

is a prime ideal of

Finally

]Mn (D)

R

from which it follows that

i N

I

N

o

x. (d. R+N) J L

o

so that

P ( IN)

with

P (R) = n p (P)

and

o .

P (N)

Then for

ncO.

i+l

has a finite set of left genera-

for some

where

d

i

E

11 (N)

d

. Thus

k

E

11 (N)

also.

405

"EFERENCES [ 1]

K. A. BROHN , C.R. HAJAANAVIS, A.B. MAC EACHAN Noetherian rings of finite global dimension. Warwick Math Institute, 1978.

[2]

G. CAUCHON

Les T-anneaux, la condition (H) de Gabriel et ses consequences.

Comm . Algebra 4 (1976), 11-50. [3]

A.W. CHATTERS, A.W. GOLDIE, C.R. HAJARNAVIS, T.H. LENAGAN Reduced rank in ncetherian rings.

[ 4 ]

A.W. GOLDIE

[5]

A.V. JATEGAONKAR

Tors ion free modules and rings.

noetherian rings. [6]

J. Algebra

(to appear in 1980) J. Algebra 1 (1964), 268-287..

Relative Krull dimension and prime ideals in right Comm, Algebra 4 (1974), 429-468.

G.KRAUSE, T.H. LENAGAN, J.T. STAFFORD Ideal invariance and artinian quotient rings . . J. Algebra 55 (1978) 145-154.

[ 7 ]

B. STENSTROM

Rings of quotients. Springer-Verlag 1975.

Prime Ideals in Group Algebras of Vertices and Sources by 11ARTIN LORENZ

These notes represent a somewhat expanded version of a talk that I gave in this seminar in November 79. The results presented here are joint work with D.S. Passman. In Section 1 we describe the machinery that has been developed to study prime ideals in

R[G] whith

G polycyclic-by-finite. We briefly discuss Roseblade's

fundamental work on group algebras of orbitally sound groups and its extension to general polycyclic-by-finite groups by Passman and the author. Although crossed products have played an important role here and some results do in fact hold in this more general setting, we will concentrate on group algebras here. Sections 2 and 3 contain previously unpublished material. The main purpose of these sections is to illustrate the notions of vertex and source for prime ideals in

K[G] that

were introduced in [4] . Our general point of view in Section 2 is to consider the vertex of a prime

P

as being given and derive information about

lar, we will describe the set a fixed vertex

SpecH(K [G])

P. In particu-

of all prime ideals in

K [G ] having

H. Section 3 is devoted to the catenarity problem.

Throughout these notes, K will be a commutative field.

G will always be a polycyclic-by-finite group and

407 I - Preliminary results

§

I. A - Induced Ideals

ideal of ned in

K [H ]

([ 6 ] , [4]). Let

G and let

G L denote the unique largest ideal of

Then we let

L K[G]

H be a subgroup of

L be an contai-

that is

G g L = annK[G] (K[G] / L K[G]) = ngeG L rz[G]. Any ideal of

K[G]

H

precisely, induced from L

ge C

k

g

g

to

L

G L will be called an induced ideal or, more

of the form I

K[G ]

K[C] satisfying

ITH(I)

G L is left-right symmetric. If

tion of

expression for

K [H]

be the proj ection map sending

LG can also be characterized as the unique

k g g • Then

gEH

largest ideal of

trH:

Let

L . In particular, the above defini-

H is normal in

G, then the above

G L becomes: (LG

(1.1 )

Thus, for an ideal of

n K [H]) K [G] •

K[G] , being induced from a normal subgroup

the same as being controlled by

of

H

G is

R, in the usual sense. The basic result that we

will need is a follows : (1.2)

Theorem

index, let ning

t ae

([4, Theorem 1.7]) . Let

Q be a prime ideal of

stabilizer of

Q in

K[N]

K[A] with n

p n K[N]=

geG

Qg

covering prime of

T n K[N]

We remark that if ideal of

K[G ], then

prime ideal

Q of

n

aeA

Moreover, if P n K[A]

and let

G , that is

Then t ae induction map (.) G yields a T of

N be a normal subgroup of

with

I-I

Qa

G

n

g¢A

N is normal in

A be any subgroup of -I

g

A 2 {gEG

Q = g

G contai-

Qg = Q }

correspondence between the prime ideals

and the primes

P = T

G of finite

P

as above, then Qg

C1

of T

K[G] with is the unique minimal

Tn K[N ].

G of finite index and

P n K[N] always has the form

K[N] which is unique up to

P

n K[N] = n

G-conjugacy.

P

is a prime

geG

Qg for some

408

Proof

By Theorem 1.2 , P

G T

G

=

(T n K [A

G T for some prime T of

K [A]

l ) K [G] , since A is normal.

1. B - Orbitally Sound Groups (Roseblade [8 ]). A_

orbital if

[G

JN

G

(H)]

orbital if and only if [M ; H]

iJ)'

admissible pair in W!W(p i )

P.. •

1 $. i

j

We saY' that a Young diagram (7:. rp) is standard on for

e

e

W (and written as

called a defining pair for

(iii)

e

(-c,rp),

...

. ,m

,m

X( e) (or on

xtJ. en

(1:',!p), i f there is a pair

defined as follows:

3-f>t.j

,

Bi,j+l

,1

•••

t.'1Il..

••

2Z-forll in U 1. e. the 2Z- subalgebra of U

or the

Lie

denote the canonio&1

spanned by

457

where

c(

E S, denote a Chevalier basis of Lie G

in the usual notation (of. [23] ). Let let the

G.

a

vector apace

be a dominant weight and

denote the finite dimensional irreducible

aodule with highest weight) • Let e), denote a highest weight

vector (determined uniquely upto a constant factor) in

For -r E: W,

set V

{we see that 1: £

+e = Uzz oc'

= -r. a",

't:E' W

W can be represented by a 2Z-valusd point of GZZ

since the "tleyl group soh8llle" W1l

=N(T

(N{T7L)

=n01'lllaliser

of

is a canst-ant group soh8llle, W being the underlying group. We ..ee that

e T ia weU-datermined upto

=

We write

=

V 2Z (wo) V '71' Wo the element of W of maximal length. 1, (one has VA, 2'l. One mOIlS that V),,2Z ls a U stable 2Z-lIIOdule or equivalently a 2Z "G - 2Z module". We have then the following (for classioal groups) 2Z

=

whioh was conjectured by Dell&zure for all semi-smple G (cf.[4]). Theorem 3.2 a The 7L-submodule

§ 4.

("t")

of

V),z: is a direct suuand.

Outline of proof of Theorell8 2.1 and 2.2. Let us first outline the proof of Theorem 2.1. First one proves

tha character formula tor HO{X(6),L) (i.e. tha forllUla of aeaark 2.3 for m

=I) when the ground field

is of characteristic zero. This 1s done by

induction on tha dimension of tha Schubert variety

X( 6}. Let

X( o} be

458

a Sohubert. subvariety of 6 = \( Such an

I( a) of codillension one of the form

a, c
J

( 0) = v Zl: (e)

(resp. U_o() denotes the Zl:-subalgebra (resp.

at U7J: (resp. U) generated by

n 1_0( (resp. n

f1 o(). -

-subalgebra)

Tbe property (111) ot

Theor_ 2.1 can be translated into a property for the basis

{Q('I:,qr>}

of

460

v

(e) and this property is agaUl checked inductive.q in its

construction (er, Lellll& 5.5, p. 312, G/p-IV, [16] ). By these considerations we would get eleJMl1ts\'p('t",cp)} that they are linearq independent over

of

such

and generate V(4{ e) and

their -reductions mod p" nl1JDely p('t",q) also reaain linearly indeo pendent as .1_eats of H (X( e ),L ) (the property (iii) of Theor_

t p{'C, cp)J is

2.1 is crucial for this purpo.. ). Then one gets that a basis of HO(X72 { e "L

ll);

however the fact that

{P(T,f1

i8 a

basis of HO{ I( e ),L' 1s nat iuedi&te and follows only atter tM property (11) of Theorem 2.2 i8 prO'led. It is to be remarked that the property (11) of Theorell 2.1 is valid for any sea1-s1rlple group

G

and uses a lemma of Deodbar (er, Prop. 5.7 and Lenaa 5.8, G,N-IV, I.i6]

We shall

).

take up the proof of Theorem 2.2. One shows that

standard 1IOn0000al. in p('t,,,) on

I{e) of length

•

are linearly

independent. The proof of this is formal and the idea is the same as for the case of the GrasllIIIW1I1ian (cf.[20] also G,N-I,[22]); one has to use in addition the ·special quadratic· relations, neely

Crespo p{-r:,e,) On account of this; to fora a basis of

2

=.= p(-r)

shOll

on

that standard

I('t'"» 11000111&18

of length •

on

it suffices to prove the

corresponding statement when the base field is i.e. it suffices to a III show that the character of H (I (e ),L ) is as stated in Remark 2.3.

461

One eaeUy reduces this question to the case charaater formula same way as tar

or

II

Remark 2.3 tor the case

=1

II

= 2. The proof

II

=2

or

the

is treated in the

given above, except that the details tor this

case get a bit involved. We w11l now indicate a proof of the statement that

1

=0,

II

H (X(9),L ) IIIOnomia1s Because

or

or

i > 0,

length

II

II

O. This would also imply that standard

on l{ 9) form a basis of

HO{I{ 9 ),LII ).

the standard mnOllial theory already established, one gets a good

hold of the ideal theory of Schubert varieties (unions, intersections etc. ) and their hyperplane sections. The proof again by incluction on dim l{ 9) and

or

US8S

the vanishing theorem is

standard arguments using

exact sequences (er, § 9, GjP -IY , [16J) and they are very s1Ja1lar to the ones in 20 Remark 4.1

aDd GjP-III,[lS]. I

..

The argument given in Theor8lll 8.3, GjP-IY, [i6]that

is projectively normal is not complete

at th. vertex of the cone over I( c) is

l(-c)

(the proof only shcws that the dopth 2) ;however this follows trOlll the

recent results of C. De Concin! and V. Lakshmlbai [2](8ge Theors 2.3). Note that in the proof

or

or depth do not enter (cr.

Theorem 2.2 the considerations

or

normality

87 ,[is] and § 9,0.6]).

I 5. Outline of proof of Theor8lllS 3.1 and 3.2 The proof of the linear independence of standard mnomiala of multi degree

*

II

on l{ 9) 10 GIB uses the existence or a uniqUll!l

Th1e was pointed out by Hochster (as we learn frOIl Laksbllibai).

462

for a given standard

ux1ul (resp. minimal) defining pair

Young diagram

ip(,p>

on

x(e) (cf.

Lelllllas

ai.r

and

n.r' ,GjP-lV,[i6]);

otherwise the arguments for the proof of (i) of Theorem 3.1 run on the same lines as for the case of a maximal parabolic subgroup given in § 4.

As in § 4, one proves first that standard IIOnomiale of Dllt1 degree II o 81 on IzJe) fOrID a basis of H This is done by proving the correflPODd1ng statement when the base field is

'R..

This question 18

eaelly reduced to the case of tm (1,1) i. e.

The proof of the character formula of Remark 3.1 for type (1,1) is almost the same as for the

proof of the character formula of Remark 2.3 for

=2

II

indicated above

proof of this is not given in GjP -IV, [16] ).

(a

One then gets that the canonical map

is surjeotive. Now it can be shown that

(it) implies Theorem 3.2

(Deraazure's conjeoture), the proof being the same (see Remark 5.1 below) as in Remark 9.6, p, 337, GjP-IV,[i6]. Now by the work of Demazure [4J, Theorerm 3.2 implies the "vanishing theoremR i.e. the assertion (11 ) ot Theorem 3.1. Then as a consequence we see that standard monomials on I( a

J of

lIult1degree

II

fOrID a basie of HO(I( e ),L

II

)

whioh is one of the

assertions of Theorem 3.1. Oonsequently we get also that is exact.

463

Re1II&rk 5.1

&

Note that in the proof of Remark 9.6 in G/p-IV, 116]

(l.e. of Demazurel

8

conjecture) one has made use of the hypothesis

(**) above,whereas in the above outline of proof' of Theorems 3.1 and Theorem 3.2, we deduced (._) after proving Theor8lll 3.2. One notes however that the (weaker) hypothesis (it ) instead ot (**) would sutflce in the proof' of R8lII&1'k 9.6 in GjP -IV, [16J. NOlI by the work of Dema.zure [4J, Theorem 3.2 iapl1es the

"vanishing theorem" 1.e. the assertion (11) of' Theorem 3.1. (Note that

(n )follows a posteriad. Remark 5.2

&

In Remark 16.3, p. 361, GjP-IV',[161, 1t has been stated

that the vanishing theorem i.e. the assertion (ii) of Theorem 3.1 can also be proved on the lines of the proof of the assertion (11) of Theorem 2.2 indicated above in § 4. (note that the assertion in Remark

16.3,[16) is a little more general). This appears possible, at least for the present caS6, though we have not worked out all the details. By standard monomial theory one would. get a hold of the ideal theory of Schubert varletiee and then to get at the required Tani8hing theorAIl, one proceeds in the same way as in

i

7.2, G/p -III,

[I?] to get the

Kempf vanishing theorem.

§ 6. Classical invariant th80IT. Consider the flag variety G/8 (or more gecerally G/p, p being any parabolio 8I1bgroup of'

G), G being an arbitrary

algebraic group. Recall that a Schubert cell (or Bruhat cell) is by definition

&

B-orblt in GjP and that it is isomorphic to an affine

464

space. A Schubert variety in Gtp Gtp ) of a Schubert cell in the B-orbit in

o

2JU C

Gtp

in Gtp

i8 just the Zariski closure (in is just

Gtp. The big cell C in Gtp

of the biggest dimension and the opposite big 0

•.

C = W"o C, IN 0

is by defin1tioo

an eleunt of

G

representing the element of the Weyl group of largest length. If

X

is any Schubert variety in G/p, the o'pposite big cell in X (resp. X" CO (resp. X n C). Note

I) is by definition

the big cell in

that the opposite b1g cell in

G/p

is again a cell isomorphic to

the big cell. However the opposite big cell in a Schubert variety X

18

neoessarily isomorphio to the big cell in

which is again

I

isomorphic to an affine space. In fact the opposite big cell in

o

may have singularities. The opposite big cell C 8"Iery Sohubert variety and the affine piece

X

web of the singularity and inforlllation about Consider now the Grassmannian

X reflects

m,2II of m dimensional linear

G

(m x II) Ilatr1L The big (or opposite big ) oell in

2

II.

Gm, 2m

=SL(211l)/p

represents the zero G 11,2.

is an affine apace

Let us then Identify

Opposite b1g cell in Gm,211 In fact if

of

meets

X.

* *), * 0 1s the parabolic subgroup, P = (0

of d1mens100

o

C

2m diaoosional linear space. We have then

subspaces of a where P

(l

in G/p

X

space

of

(m x m) matrices.

Z is the subgroup

0], IE

Id of

SL(2m)

aDd

't

1s the canonioal map

SL{2m ) -7 SL(2m)/P ,

Jlaps

Z

465

iSODlOrphioally onto the opposite big oell in Ga,2•• It can be shown

(o£.[17J,[21J ) that

we have a canonioal bijeotive map

WJW(p )

0.$

II

(!a(k) x !a(k» III

(k = 0 represents the element of 8Ill8J.lest length in W/W(p )}

where we recall (er, § 1)

We simply write for 1: E: 'l/W(P )

1: where (

w.

=«'&'),(j J)

; (..(.),